Kısıtlamalı Sorunlar Constraint Satisfaction Problems

4 Feb 2004CS 3243 - Constraint

Satisfaction 1

Kısıtlamalı Sorunlar Constraint Satisfaction Problems


Satisfaction 2

Konular

kısıtlamalı Sorunlar (CSP) CSP’ler için geriye izlemeli arama-

(Backtracking search) CSP’ler için yerel arama


Satisfaction 3

CSP - Biçimsel İfadesi

X1, X2,….Xn değişkenler kümesi C1,C2,…Cm kısıtlamalar kümesi Her bir Xi için mümkün değerler alanı

Di Değerlerin değişkenlere atanması


Satisfaction 4

Kısıtlamalı sorunlar(CSPs)

Standart arama sorunu: Durum- ardıl fonksiyonunu, sezgisellik

fonksiyonunu ve amaç denemesini destekleyen veri yapısı

CSP: Durum Di alanından değerler alan Xi

değişkenleri ile tanımlanır Standart arama algoritmalarından daha

güçlü olan genel amaçlı algoritmalar oluşturulmasına olanak sağlar


Satisfaction 5

Atama

Hiçbir kısıtlamayı bozmayan atamaya uyumlu veya legal atama denir

Tam atamada tüm değişkenler kullanılmış oluyor

CSP’nin çözümü- Tüm kısıtlamaları tatmineden tam atama


Satisfaction 6

CSP-arama sorunu Başlangıç Durum: boş atama {}; hiçbir değişkene değer

atanmamış Ardıl işlev: değer atanmamış her hangi değişkene, önceki

atamalarla uyuşmazlık oluşturmayan değer atana bilir Amaç Denemesi: atama tamdır ve kısıtlamalar

sağlanmıştır Yol Değeri: her bir adım için değer (=1)

N değişkenli sorun için her bir çözüm n’ci derinlikte meydana çıkıyor derinine arama yöntemini kullanmalı


Satisfaction 7

Örnek: Harita renkleme Deişkenker WA, NT, Q, NSW, V,

SA, T Alanlar Di = {kırmızı,yeşil,mavi} Sınırlamalar: komşu bölgeler

farklı renklerle boyanmalıdır

Yani WA ≠ NT, veya (WA,NT) için {(kırmızı,yeşil),(kırmızı,mavi),(yeşil,kırmızı),(yeşil,mavi),(mavi,kırmızı), (mavi, yeşil)} kümeleri yolverilendir

WANT

SAQ

NSWV

T

Birden fazla mümkün çözümler mevcuttur:

{WA=kırmızı, NT=yeşil, Q=kırmızı, NSW=yeşil, V=kırmızı, SA=mavi, T=kırmızı}


Satisfaction 8

Örnek: Harita renkleme (çözüm)

Çözümler tam ve atamalar uyumludur (kısıtlamalar bozulmuyor);

WA = kırmızı, NT = yeşil, Q = kırmızı, NSW = yeşil, V = kırmızı, SA = mavi,T = yeşil


Satisfaction 9

Kısıtlamalar Grafı

NT

WA

SA

Q

NSW

W

T

Düğümler: değişkenler

Kenarlar: kısıtlamalar


Satisfaction 10

CSP türleri

En basiti: Değişkenler diskret ve sonlu alanlıdır Sonlu alan: n değişken

Her bir değişkenin max alan boyutu d ; Mümkün tam atamalar sayısı O(dn)

İkili CSP’ler’de değişkenler “doğru” veya “yanlış” değer alıyor

Sonsuz alan: Tam sayılar, satır değişkenleri ve s. Görev planlama- değişkenler her bir görevin başlama ve bitiş

günleridir Sınırlama dili gerekmektedir: StartJob1 + 5 ≤ StartJob3

sürekli değişkenler Teleskopla gözlemlerin başlanması/ bitmesi zamanları


Satisfaction 11

kısıtlamaların Türleri

Tek terimli (Unary) kısıtlamalar tek değişkeni kapsar SA ≠ green(Güney Avustraliya ’nın rengi yeşil olmamalıdır)

İkili (binary) kısıtlamalar değişkenler çiftini kapsar SA ≠ WA

Yüksek dereceli kısıtlamalar 3 veya daha çok değişkeni kapsar Şifreli aritmetik sorunlar (cryptarithmetic column

constraints)


Satisfaction 12

kısıtlamaların Türleri (devamı)

Mutlak (absolute) kısıtlamalar- bu kısıtlamanın bozulması potansiyel çözümü engeller

Tercih (preference) kıstlamaları -hangi kısıtlamanın öncelikli olacağı gösteriliyor

Ders programında hocaların isteklerinin dikkate alınması

Sınırlamalara belirli ağırlıklar verile bilir


Satisfaction 13

Gerçek dünya CSP sorunları

Atama sorunları Hangi öğretmenler hangi sınıfta

Zaman paylaşımı sorunları Hangi sınıf ne zaman ve nerede

Nakliyat sorunları İmalat planlama

Gerçek dünya sorunlarının büyük kısmı gerçek değerli değişkenlidir


Satisfaction 14

Örnek: Cryptarithmetic

Değişkenler: F T U W R O X1 X2 X3

alanlar: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Sınırlamalar: Alldiff (F,T,U,W,R,O)

X3 = F, T ≠ 0, F ≠ 0

O + O = R + 10 · X1 X1 + W + W = U + 10 · X2 X2 + T + T = O + 10 · X3

Kareler, uygun değişkenler arasındaki kısıtlamaları gösteriyor


Satisfaction 15

CSP sorunlarının çözümü:

Her bir arama algoritması ile bu sorunu çözmek mümkündür.

enine aramada en üst seviyede dallanma etkeni nd (n değerler,d değişkenler sayısıdır)

n!d -yapraklı ağaç (tüm mümkün tam atamalar sayısı d )

Sırabağımsızlık (commutativity)-hareketler kümesinin uygulanma ardışıklığı sonucu etkilemez

Değerleri değişkenlere atamakla , atama sırasına bağlı olmadan aynı kısmı atamalara ulaşıla biliyor

n n


Satisfaction 16

Geriye İzleme

Tüm CSP arama algoritmaları, arama ağacında düğümün ardıllarını, tek bir değişkene mümkün atamaları gözden geçirmekle üretiyor Örneğin, kök düğümde SA=kırmızı,SA=yeşil veya

SA=mavi arasında seçim yapa bileriz. Geriye İzlemeli Arama- Derinine arama Geriye izleme yönteminde her adımda yalnız

bir değişken seçilir ve değişkene atanacak legal değer bulunmadıkta geriye dönüş yapılıyor


Satisfaction 17

Geriye İzleme (devamı) Değişken atamaları

sırabağımsızdır, yani“[ WA = kırmızı ise o zaman NT

= yeşil]” ile “[ NT = yeşil ise o zaman WA = kırmızı ]” aynıdır

Her bir düğümde yalnız bir değişkene atama dikkate alınıyor

Tek değerli atamalı CSP’ler için derinine arama yöntemine geriye izlemeli arama denir

Geriye izlemeli arama CSP’ler için temel bilgisiz algoritmadır


Satisfaction 18

Geriye İzleme algoritması


Satisfaction 19

Geriye izleme örneği


Satisfaction 20



Satisfaction 21



Satisfaction 22



Satisfaction 23

Sorunlar:

Sonraki atama hangi değişkene yapılmalıdır; değerlerin sınanması sırası nasıl olmalıdır?

Güncel değişkene yapılmış atama, henüz atama yapılmamış diğer değişkenler için ne gibi sonuçlar doğurur?

Değişkene atana bilecek hiçbir legal değerin bulunmadığı durum oluşmuşsa, sonraki arama sürecinde bu hatanın tekrarlanmasından kaçınmak mümkün mü?

Kaçınılmaz başarısızlıkları önceden farketmek mümkün mü?


Satisfaction 24

CSP sezgisel algoritmaları

En az kalmış değerler (minimum remaining values) –MRV

Bilginin kısıtlamalar boyunca yayılması

Kısıtlamaların Yayılması En az çelişki


Satisfaction 25

Değişkenlerin ve değerlerin sırası

var<-Select-Unassigned_Variable(Variable(csp),assignment,csp)

Geriye izleme algoritmasında sonraki atanmamış değişken variable(csp) listesinden rastgele seçiliyor. Bu ise her zaman etkili değildir.

Variable(WA,NT,Q,SA,NSW,V,T)


Satisfaction 26

En az kalan değerler -minimum remaining values(MRV)

En az “legal” değeri kalmış değişkenin seçilmesi

Eğer X değişkeninin sıfır sayıda legal değeri kalmışsa, MRV sezgiseli X’i seçecek ve başarısızlığı fark edecek. X’in seçilmesi, başarısız çözüme götürecek diğer değişkenlere atamaları engelleyecek


Satisfaction 27

En az kalan değerler

En az mümkün değerli değişkeni seç

Örn., WA=kırmızı ve NT=yeşil atamalarından sonra SA için yalnız mavi renk seçimi kalıyor. Bu anlamda, Q’ye atama yapılmadan önce SA=mavi ataması yapılması daha etkili olurdu. Bundan sonra, Q, NSW ve V için de atamalar kolaylaşır

Ana fikir: en az mümkün değerleri bulunan değişkeni seçmeli


Satisfaction 28

Derece sezgiselliği

MRV sezgiseli ilk hangi değişkenin seçileceğini belirleyemez.

Örn., Haritada her bölge için başlangıçta 3 renk vardır ve bu bölgelerden hangisinin seçilmesi sorundur

Bu halde derece sezgiselliği kullanıla bilir. Diğer atanmamış değişkenlerle oranda daha çok sayıda sınırlamaları bulunan değişken seçile bilir.

SA için derece 5, T için 0, diğerleri için 2 veya 3’tür

(örnekte: sınırlama derecesi- komşu ülkeler sayısı


Satisfaction 29

Derece sezgiselliği

Yüksek derece sezgiselliği bulunan değişkenin seçilmesi ile sonraki adımlarda dallanmaların sayısını azaltmak mümkündür


Satisfaction 30

Değerlerin Sırasının Seçilmesi

Değişken seçildikten sonra atanacak değerlerin sırası belirlenmelidir

Bunun için en az kısıtlayıcı değer sezgiseli seçile bilir.

Bu sezgisele göre, kısıtlamalar grafında komşu değişkenler için en az seçim durumuna yol açmayacak değer seçilir

Seçilen değer, kalan değişkenlerde en az değer kalmasını engeller

Sonraki atamalarda esneklik sağlar


Satisfaction 31

En az kısıtlayıcı değer

Örn., WA=kırmızı ve NT=yeşil kısmı atamalarından sonra, bir sonraki seçimin Q için yapılacağını varsayalım. “mavi” kötü seçim olacak, çünkü o, Q’nün komşusu SA için son mümkün değeri de eleyecek. En az kısıtlayıcı değer sezgiseli “kırmızı”yı tercih edecektir.

Bu sezgiselliklerin birleşimi ile 1000 vezir sorununu çözmek mümkündür


Satisfaction 32

İleriyi yoklama-forward checking

X değişkenine atama yapıldığı zaman, onunla komşu olan tüm Y değişkenlerine de göz atılacak.

Y’lerin değer alanlarından, X için seçilmiş değer ile tutarsızlık oluşturan tüm değerler silinecektir


Satisfaction 33

İleriyi yoklama

Ana fikir: Atanmamış değişkenler için

kalan legal değerlerin yolunu hafızada saklamalı (kaydetmeli)

Değişkenlerden her hangi birisinin legal değeri kalmamışsa arama işlemini kesmeli


Satisfaction 34

İleriyi Yoklama

Ana fikir: Atanmamış değişkenler için kalan legal

değerlerin yolunu kaydetmeli (saklamalı) Her hangi değişkenin legal değeri yoksa

arama işlemini kesmeli

Wa=kırmızı oldukta NT ve SA için 2 renk kalıyor


Satisfaction 35

İleriyi Yoklama

Ana fikir: Atanmamış değişkenler için kalan legal

değerlerin yolunu kaydetmeli (saklamalı) Here hangi değişkenin legal değeri yoksa

arama işlemini kesmeli

Q=yeşil oldukta NT ve SA için bir değer (mavi) kalıyor

WA ve Q’den bilgiyi yaymakla NT ve SA’nın dallanmalarını tamamen elemiş oluruz


Satisfaction 36

İleriyi yoklama Ana fikir:

Atanmamış değişkenler için kalan legal değerlerin yolunu kaydetmeli (saklamalı)

Her hangi değişkenin legal değeri yoksa arama işlemini kesmeli

V= mavi olursa SA için değerler kümesi boş olacak

İleriyi yoklama sezgiseli “WA=kırmızı,Q=yeşil,V=mavi” kısmı atamasının tutarsız olduğunu meydana çıkaracak ve anında geriye izleme yapılacaktır


Satisfaction 37

kısıtlamaların yayılması-Constraint propagation

İleriyi yoklama sezgiseli bilgiyi atama yapılmış değişkenlerden atama yapılmamış değişkenlere yayıyor. Ama tüm başarısızlıkların erken farkedilmesini sağlamaz:

Örnek: WA=kırmızı ve Q=yeşıl olması , NT ve SA’nın mavi olmasını zorunlu kılıyor

NT ve SA her ikisi mavi olamaz! kısıtlamaların yayılması , bir değişkene

sınırlamanın etkilerinin diğer değişkenlere de yayılmasını sağlar


Satisfaction 38

Kısıtlamaların yayılması

kısıtlamaların yayılması sezgiseli bir değişken için kısıtlamaları diğer değişkenlere de yayacak. Yayılma WA ve Q’den NT ve SA üzerine gerçekleştiriliyor (ileriyi yoklama). Sonra ise yayılma, tutarsızlığı meydana çıkarmak için NT ve SA arasındaki sınırlama üzerine aktarılıyor


Satisfaction 39

Kenarların tutarlılığı-arc consistency

Yayılmanın en basit biçimi her kenarın tutarlı yapılmasıdır

Eğer X’teki her bir x değeri için Y’de her hangi yolverilen y değeri varsa X Y kenarı tutarlıdır

SA{mavi} NSW{mavi, kırmızı}

SA->NSW tutarlıdır


Satisfaction 40

Kenarların tutarlılığı

Yayılmanın en basit biçimi her kenarın tutarlı yapılmasıdır

Eğer X’teki her bir x değeri için Y’de her hangi yolverilen y değeri varsa X Y kenarı tutarlıdır

SA{mavi} NSW{mavi, kırmızı}NSW ->SA tutarsızdır


Satisfaction 41

Kenarların tutarlılığı Yayılmanın en basit biçimi her kenarın tutarlı

yapılmasıdır Eğer X’teki her bir x değeri için Y’de her

hangi yolverilen y değeri varsa X Y kenarı tutarlıdır

V{kırmızı,yeşil,mavi} NSW{mavi, kırmızı} V->NSW tutarlıdır; her renk ile komşunun en

az bir rengi tutarlıdır


Satisfaction 42

Kenarların tutarlılığı Yayılmanın en basit biçimi her kenarın tutarlı

yapılmasıdır Eğer X’teki her bir x değeri için Y’de her

hangi yolverilen y değeri varsa X Y kenarı tutarlıdır

Kenarların tutarlılığı, ileriyi yoklama yönteminden daha önce başarısızlığı fark ede bilir

İşlemlerden önce veya her atamadan sonra çalıştırıla bilir


Satisfaction 43

Kenarların tutarsızlığı

SA->NSW tutarlıdır (SA{mavi} NSW{mavi, kırmızı})

NSW->SA tutarsızdır;NSW alanından “mavi” çıkarılmalı

SA->NT’ye arama sürecinde kenarların tutarlılığı uygulana biler. Her ikisinin alanı “mavi”. Tutarsızlığı önlemek için SA’dan “mavi” çıkarılırsa alan boş olacak ve tutarsızlık erken fark edilecek


Satisfaction 44

Tutarlı Kenarlar algoritması- AC-3

Zaman karmaşıklığı: O(n2d3)


Satisfaction 45

CSP için yerel arama

• Pek çok CSP sorunu için yerel arama etkilidir

•Tam-durum (complete-state) ifadesi kullanılıyor: başlangıç durumda her değişkene değer atanıyor. Ardıl fonksiyonu olarak her adımda bir değişkenin değerinin değiştirilmesi kullanılıyor

•8 vezir sorununda

• başlangıç durum: her vezirin rasgele olarak bir sütunda yerleştirilmesi

•Ardıl fonksiyonu: her hangi bir vezirin kendi sütununda yerini değiştirmesi


Satisfaction 46

CSP’ler için yerel arama (devamı)

Yerel arama yönteminin CSP’ye uygulanması: Tatmin etmeyen kısıtlamalı durumlara izin veriliyor İşlem yapmakla değişkenlere değerler yeniden atanıyor

Değişken seçimi: her hangi çelişkili değişkenin rasgele seçimi

En az çelişki sezgiseli ile değer seçimi: Sınırlamaları en az bozan değeri seçmeli


Satisfaction 47

En az çelişki (MIN-CONFLICTS) Sezgiseli

Değişkene yeni değer atamak için bir yol, diğer değişkenlerle en az sayıda çelişki oluşturacak değerin seçilmesidir -en az çelişki sezgiseli

Sezgisel, özellikle başlangıç durum verildikte çok etkilidir-Sorunun boyutuna bağlı değil

Başlangıç durum verildikte milyon vezir sorununu ortalama 50 adımda çözmek mümkündür


Satisfaction 48

Yerel arama için MinConflicts algoritması

Function MIN-CONFLİCTS(csp,max-steps) returns çözüm, veya başarısız sonuç

inputs csp, kısıtlamaları tatmineden sorun max-steps, csp için tam atamanın

yapılmasını sağlayan adımlar sayısıFor i=1 to max-steps doIf current cp için çözüm ise then return currentvar- VARİABLE[csp]’den tesadüfi seçilmiş çelişki

(conflicted) değişkenValue- CONFLİCTS(var,v, current,csp) fonksiyonunu

minimalleştiren var değişkeninin değeri set var=value in currentreturn failure


Satisfaction 49

8 Vezir Sorunu

1

2

1

3

2

2

2

2


Satisfaction 50

8 Vezir Sorunu


Satisfaction 51

8 Vezir Sorunu

2

1

2

2

1

2

3

2

8 vezir sorunu-demo

http://www.animatedrecursion.com/advanced/the_eight_queens_problem.html


Satisfaction 52


Satisfaction 53

Özet CSP’ler aşağıdaki sorunların özel türüdür:

Durumlar, belirlenmiş değişkenler kümesinin değerleri ile tanımlanır

Amaç denemesi, değişkenin değerlerine koyulan sınırlamalarla tanımlanır

Geri izleme = her düğümde bir değişkene değer atamakla derinine arama

Değişkenlerin sırasını ve değer seçimini sezgisel yöntemlerle gerçekleştirmek çözüme yardım eder

İleriyi yoklama, sonradan oluşa bilecek başarısızlıklara neden olacak atamaları önler

kısıtlamaların yayılması (kenarların tutarlığı) değerleri sınırlamağa ve tutarsızlıkları ortaya çıkarmağa yardım eder

İteratif en az zıtlık (min-conflicts) pratik olarak etkilidir

Documents

Kısıtlamalı Sorunlar Constraint Satisfaction Problems