Fakulteten för teknik- och naturvetenskap Matematik

David Ström

Nya symbolhanterande räknare i praktiken

En pilotstudie i två svenska NV-klasser

New Handheld CAS in Practice

A Pilot Study in Two Swedish Science Classes

Examensarbete 15 hp (ECTS Credits) Lärarprogrammet

Datum: 2008-06-02 Handledare: Peter Mogensen

Karlstads universitet 651 88 Karlstad Tfn 054-700 10 00 Fax 054-700 14 60

Information@kau.se www.kau.se

Abstract In 2006 the National Agency for Education in Sweden decided to allow handheld CAS at national tests in mathematics for all secondary school students from autumn 2007. The decision was subject to an intense debate, e.g. in the periodical Nämnaren. The prototype of a new handheld CAS was tested in seven ‘pilot classes’ at four Swedish upper secondary schools from December 2006. I have followed two of these classes until autumn 2007 when they used the final version of the calculator TI-Nspire CAS. The purpose of this pilot study is to find out how the new handheld CAS works in practice in these two classes on the science program, mainly from the student’s perspective, but also from the teacher’s perspective. The idea is to test different methods, that can be used in a larger investigation. Among other things, the background gives an overview of the history of handheld computing aids, and a brief history of electronic computing aids in the Swedish school. Earlier research focuses on calculators in school, primarily graphic calculators. The methods of observation are diaries on the use of calculators, diagnostic tests and students’ and teachers’ questionnaires. I also compare students’ marks between classes and classify some book exercises to exemplify possible use of CAS. The result gives a nuanced picture with both positive and negative sides. The schools need to consider which classes should use the new calculators and offer further education to the teachers. New teaching methods, new mathematics textbooks and a reformed education for future teachers are needed to take full advantage of the possibilities offered by this new technology. I leave several suggestions for further research.

Keywords: calculator, computer algebra system, handheld cas, ti-nspire cas

ii

Sammanfattning Skolverket beslutade 2006 att tillåta symbolhanterande räknare på nationella prov i matematik för alla gymnasieelever från höstterminen 2007. Beslutet debatterades flitigt t.ex. i tidskriften Nämnaren. Prototypen till en ny symbolhanterande räknare testades i sju ’pilotklasser’ vid fyra svenska gymnasieskolor från december 2006. Jag har följt två av dessa klasser t.o.m. höstterminen 2007 då de använde den färdiga räknaren TI-Nspire CAS. Syftet med denna pilotstudie är att ta reda på hur den nya symbolhanterande räknaren fungerar i matematikundervisningen i de två pilotklasserna på gymnasiets NV-program, främst ur elevernas perspektiv, men också ur lärarnas. Tanken är att pröva olika metoder, som kan användas i en större undersökning. Bakgrunden ger bl.a. en översikt av de handburna räknehjälpmedlens historia och en kortfattad historik över elektroniska hjälpmedel i den svenska skolan. Tidigare forskning tar upp miniräkna-ren i skolan och då främst grafräknaren. Observationsmetoderna är miniräknardagböcker, diagnostiska test, elev- och lärarenkät. Jag jämför också klassernas kursbetyg och klassificerar ett antal matematikuppgifter m.a.p. möjlig användning av CAS. Resultatet gav en mångfacetterad bild med både positiva och negativa sidor. Skolorna behöver ta ställning till vilka klasser som ska använda symbolhanterande räknare och erbjuda lärarna fortbildning. Det behövs metodutveckling, nya läromedel och en reformerad lärarutbildning för att fullt kunna dra nytta av den nya teknikens möjligheter. Jag lämnar flera förslag på fortsatt forskning. Nyckelord: datoralgebra, datorstöd, symbolhanterande miniräknare, ti-nspire cas

iii

INNEHÅLL 1 INLEDNING OCH SYFTE ............................................................................................. 1

1.1 Syfte ................................................................................................................................................................ 1 2 BAKGRUND......................................................................................................................2

2.1 De handburna räknehjälpmedlens historia...................................................................................................2 2.1.1 Fingerräkning .............................................................................................................................................. 2 2.1.2 Tidig minneshantering................................................................................................................................. 2 2.1.3 Räknebräden (counting boards) ....................................................................................................................... 2 2.1.4 Kulramar (abaci) .......................................................................................................................................... 2 2.1.5 Räknestickor (slide rules) ............................................................................................................................... 3 2.1.6 Mekaniska räknemaskiner (mechanic calculators) .............................................................................................. 3 2.1.7 Miniräknare (pocket calculators)....................................................................................................................... 3 2.1.8 Utvecklingen fram till grafräknaren (graphing calculators) ................................................................................ 4 2.1.9 Symbolhanterande räknare (handheld CAS)................................................................................................... 4 2.1.10 Fickdatorer och handdatorer (PDA, personal digital assistants)....................................................................... 4

2.2 Datoriseringen av den svenska gymnasieskolan..........................................................................................5 2.2.1 Datorer i skolan .......................................................................................................................................... 5 2.2.2 Funktionsräknare och grafräknare ............................................................................................................... 5 2.2.3 Symbolhanterande räknare .......................................................................................................................... 5

2.3 Vad säger gymnasieskolans läroplan om elektroniska hjälpmedel?............................................................6

2.4 Några Matematikdidaktiska perspektiv .......................................................................................................8 3 TIDIGARE FORSKNING OM ELEKTRONISKA HJÄLPMEDEL I SKOLAN ........ 10

3.1 Göte Dahlands forskning (1993-1998) ......................................................................................................... 10 3.1.1 Datorstöd i matematikundervisningen (Dahland 1993) .............................................................................. 10 3.1.2 Elektroniska hjälpmedel i gymnasiets matematikundervisning (Dahland 1995)........................................... 10 3.1.3 Grafiska miniräknare och elevers tolkning av resultat (Dahland & Lingefjärd 1996)................................... 11 3.1.4 Elektroniska hjälpmedel i matematikundervisningen (Dahland red. 1997) .................................................. 11 3.1.5 Matematikundervisning i 1990-talets gymnasieskola (Dahland, 1998)......................................................... 11

3.2 Didaktiska uppsatser (2000-2006) ............................................................................................................... 12 3.2.1 Symbolhanterande miniräknare i matematikundervisningen (Palm 2000) ................................................... 12 3.2.2 Grafräknaren i matematiken – en undersökning av användande och attityder (Andersson 2001)................ 13 3.2.3 Miniräknaren i dagens gymnasieskola (Nordström 2005) ........................................................................... 13 3.2.4 Användandet av den grafritande räknaren i gymnasieskolans matematikundervisning (Davidsson & Mårtensson 2006) .............................................................................................................................................. 13 3.2.5 Den grafritande räknaren som ett medierande redskap (Falkebo Peters & Schrab 2006) ............................ 14

3.3 Forskning om symbolhanterande hjälpmedel (1997-2007)......................................................................... 14 3.3.1 The State of Computer algebra in Mathematics Education (Berry & Monaghan red. 1997) ........................ 14 3.3.2 Computer algebra systems in secondary school mathematics education (Fey, Cuoco, Kieran, McMullin & Zbiek red. 2003) ................................................................................................................................................ 15 3.3.3 The Case for CAS (Böhm, Forbes, Herweyers, Hugelshofer & Schomacker 2004)..................................... 15 3.3.4 Nordisk matematikdidaktik (NOMAD) ..................................................................................................... 16 3.3.5 The International Journal for Technology in Mathematics Education (IJTME).......................................... 17 3.3.6 The International Journal of Computers for Mathematical Learning (IJCML)............................................ 17 3.3.7 The Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching (JCMST) ............................................... 17 3.3.8 Övriga källor för tidigare och pågående forskning ..................................................................................... 17

4 FRÅGESTÄLLNING OCH FORSKNINGSFRÅGOR.................................................. 18 5 METOD ........................................................................................................................... 19

iv

5.1 Den studerade gymnasieskolan .................................................................................................................. 19

5.2 Klasserna i undersökningen........................................................................................................................ 19

5.3 Min undersökning....................................................................................................................................... 20 5.3.1 Miniräknardagbok ..................................................................................................................................... 20 5.3.2 Diagnostiska test ....................................................................................................................................... 20 5.3.3 Elevenkät .................................................................................................................................................. 20 5.3.4 Jämförelse av kursbetyg i matematik.......................................................................................................... 21 5.3.5 Kategorisering av uppgifter i matematik kurs E ......................................................................................... 21 5.3.6 Lärarenkät ................................................................................................................................................. 22 5.3.7 Övriga forskningsfrågor ............................................................................................................................ 22

5.4 Begränsningar ............................................................................................................................................. 22

5.5 Bortfall ......................................................................................................................................................... 22 6 RESULTAT .....................................................................................................................24

6.1 Miniräknardagbok....................................................................................................................................... 24 6.1.1 Översikt .................................................................................................................................................... 24 6.1.2 Ett urval citat ............................................................................................................................................ 25

6.2 Diagnostiska test ......................................................................................................................................... 26 6.2.1 Huvudräkning ........................................................................................................................................... 26 6.2.2 Handräkning ............................................................................................................................................. 27

6.3 Elevenkät, hösten 2007................................................................................................................................ 28

6.4 Jämförelse av kursbetyg i matematik ABCD.............................................................................................. 32

6.5 Kategorisering av uppgifter i matematik kurs E ........................................................................................ 33

6.6 Lärarenkät.................................................................................................................................................... 33

6.7 Övriga forskningsfrågor .............................................................................................................................. 34 7 DISKUSSION ..................................................................................................................35

7.1 Diskussion av den egna undersökningen ................................................................................................... 35 7.1.1 Miniräknardagböcker................................................................................................................................. 35 7.1.2 Diagnostiska test ....................................................................................................................................... 35 7.1.3 Elevenkät .................................................................................................................................................. 36 7.1.4 Jämförelse av kursbetyg i matematik ABCD .............................................................................................. 37 7.1.5 Kategorisering av uppgifter i matematik kurs E ......................................................................................... 37 7.1.6 Lärarenkät ................................................................................................................................................. 37 7.1.7 Övriga forskningsfrågor ............................................................................................................................ 38

7.2 Slutdiskussion.............................................................................................................................................. 38

7.3 Förslag till fortsatt forskning....................................................................................................................... 40 7.3.1 Berry & Monaghan (red. 1997) .................................................................................................................. 40 7.3.2 Egna förslag till fortsatt forskning ............................................................................................................. 40

8 TACK................................................................................................................................42 REFERENSER ..................................................................................................................43

v

1

1 Inledning och syfte Jag har varit fascinerad av elektroniska räknare alltsedan min pappa köpte en Prinztronic MC991. Den var hutlöst dyr (ca 1100 kr), stor och klumpig (ca 0,7 kg), men klarade de fyra räknesätten och kunde lagra ett tal i minnet. Det var något närmast magiskt att kunna räkna ut summan, differensen, produkten eller kvoten av två tal ögonblickligen bara genom att trycka på en knapp. När jag själv skulle köpa miniräknare 1980 föll valet på Texas Instruments’ TI-57, en programmerbar funktionsräknare. De 50 programstegen kunde t.ex. användas till primitiva spel, typ Gissa vilket tal! På tidigt 1980-tal kom även de första hemdatorerna. Jag var lycklig ägare till först en VIC-20 och senare en Commodore 64. När det laddningsbara batteriet i miniräknaren lade av köpte jag en ny TI-57 II, med LCD-skärm i stället för lysdioder. Min första grafritande räknare, en äldre modell av Casio cfx-9850GB med 32kB minne, köpte jag begagnad 1999. Den främsta anledningen till att jag valt att skriva om symbolhanterande räknare i mitt examens-arbete är att jag, under min första verksamhetsförlagda utbildning (VFU) på gymnasiet ht 2006, hamnade i en ’pilotklass’ på NV-programmet i åk 2, där eleverna använde symbolhanterande räknare. I december 2006 bytte dessa elever från TI-89 till TI-Nspire CAS+, en prototyp av en helt ny modell, som ännu inte fanns på marknaden. På skolan fanns ytterligare en pilotklass, då i åk 1, som också de skulle använda prototypen. Jag blev nyfiken på vad eleverna skulle tycka om sina nya räknare och hur de skulle använda sig av dem i skolarbetet. Jag återkom till skolan under vt 2007 och även under ht 2007, då eleverna använde den färdiga räknaren TI-Nspire CAS. CAS, Computer Algebra System på svenska datoralgebrasystem, är ett datorprogram som kallas symbolhanterande, eftersom det inte bara räknar numeriskt (med siffror) utan även förenklar uttryck, faktoruppdelar, löser ekvationer, beräknar gränsvärden, deriverar och integrerar. Exakt vad man kan göra eller inte göra beror naturligtvis på vilken programvara man använder. Symbolhanterande program för datorer är t.ex. Derive, Maple, Mathematica, Maxima och MuPAD. (Wikipedia 2008: Computer algebra system) Casio grundades 1946 i Tokyo av Tadao Kashio (Wikipedia 2008: Casio). Namnet Casio har alltså inget med CAS att göra, däremot tillverkar man flera räknarmodeller med CAS-programvara. Övriga tillverkare av symbolhanterande räknare är Hewlett-Packard och Texas Instruments. Alla de symbolhanterande räknare jag känner till har dessutom samma grafiska och numeriska möjligheter som grafräknare utan CAS. 1994 tillåter Skolverket grafräknare vid vissa centrala prov och ht 2007 blir de symbolhanterande räknarna tillåtna vid nationella prov i matematik. (Skolverket 2006)

1.1 Syfte Syftet med denna pilotstudie är att ta reda på hur den nya symbolhanterande räknaren fungerar i matematikundervisningen i de två pilotklasserna på gymnasiets NV-program, främst ur elevernas perspektiv, men också ur lärarnas. Tanken är att pröva olika metoder, som kan ligga till grund för en större undersökning.

1 Kursiv, blå text är hyperlänkar till webbsidor på www, vanligtvis ordförklaringar eller illustrationer till det som nämns i texten. Normal, blå text länkar till andra ställen i uppsatsen. Klicka på den blå texten för att följa länken. Alla länkar tillgängliga [2008-05-17]. Några externa länkar kommer naturligtvis att bli inaktuella med tiden, men jag bedömer att nyttan av att fram till dess snabbt kunna hitta t.ex. bilder och förklaringar, överväger irritationen över att någon länk blivit inaktuell. Webbsidor i referenser markeras med årtal ’(2008)’ och återfinns under Referenser. Jag har använt Harvardsystemet för hänvisningar, citat och referenser. (Strömquist 2006:45-48; Geidne 2006:18-20)

2 Bakgrund Jag har försökt ge en översikt av utvecklingen av de räkneverktyg, som ligger till grund för dagens miniräknare och handdatorer. Sedan följer en kortfattad historisk beskrivning av hur datorer och olika typer av miniräknare introducerats i svensk skola från 1970-talet och framåt. Därefter redogör jag för läroplanernas skrivningar om elektroniska hjälpmedel och avslutningsvis försöker jag placera utvecklingen i ett matematikdidaktiskt perspektiv.

2.1 De handburna räknehjälpmedlens historia Våra dagars elektroniska miniräknare har en intressant förhistoria, som jag valt att beskriva med utgångspunkt i Georges Ifrahs utförliga verk Räknekonstens historia – Från forntiden till dataåldern (Del 1 & 2: 1981, 1994 svensk utgåva 2001, 2002) För information om räknestickor och olika miniräknarmodeller har jag använt flera källor från Internet [jan 2008].

2.1.1 Fingerräkning Sedan förhistorisk tid har människan använt fingrarna för att räkna och för att lära sig räkna. Det gäller både grundtal för antal (ex. fyra – alla fingrar på ena handen utom tummen) och ordnings-tal (ex. fjärde – det fjärde fingret på handen). ”Människans hand erbjuder sig alltså som den enklaste och mest naturliga räknemaskinen.” (Ifrah 2001:46-48) Ifrah beskriver även metoder för fingerräkning från olika kulturer, det antika ”fingerspelet” morra, fingermultiplikation av tal mellan 5 & 10, 10 & 15 eller 15 & 20 samt ett kinesiskt sätt att räkna till 10 000 000 000 på tio fingrar. Fingrar heter digiti på latin, jfr. engelskans digit – siffra. Här ligger alltså ursprunget till våra dagars digitalteknik. (Ifrah 2001:79-101)

2.1.2 Tidig minneshantering Cromagnonmänniskan ristade skåror i ben redan 35 000-25 000 f Kr. Karvstocken, en skårad träbit användes redan för 40 000 år sedan och är därmed äldre än hjulet. Den användes för bokföring i England ända till år 1826, vid torghandel i flera europeiska länder och i Franska bagerier långt in på 1900-talet. Andra kulturer knöt istället knutar på snören för att hålla reda på skulder, skatter etc. (Ifrah 2001:102-115)

2.1.3 Räknebräden (counting boards) En slät yta med parallella linjer och räknebrickor användes av greker, etrusker och romare hundratals år före vår tideräkning. Fickräknebrädet – en metallplatta med nio skåror för flyttbara knappar från vår tideräknings början – kallas ”den första fickräknaren”. I Rom skrev man också på sand- eller vaxtavlor och så sent som i början av 1500-talet debatterade abakister mot algorister huruvida räknebrädet eller räkning med penna var att föredra. I Kina användes en annan typ av räknebräda med små ”ribbor”, som lades ut på ett rutnät. (Ifrah 2001:303-316, 413-418)

2.1.4 Kulramar (abaci) Den kinesiska kulramen omnämns först på 1300-talet, och används ännu i Kina. Ifrah berättar om en tävling, som ägde rum i Japan 12 november 1945, strax efter kriget, där en japansk kulramsmästare besegrade[!] en amerikan med elektrisk räkneapparat. Själva har vi väl alla räknat addition och subtraktion på kulram under vår tidiga skolgång. Ifrah beskriver hur man räknar multiplikation på en kinesisk suan pan. I Japan kallas den soroban, i ryssland stjoty och på latin abacus. Kulramen kan förutom de fyra räknesätten även användas för kvadrat- och kubikrötter. Ifrah räknar också upp kulramens nackdelar: en relativt lång lärotid, behovet av ihärdig träning, en noggrann ”fingersättning” och ett helt stabilt underlag. (Ifrah 2001:418-425)

2

2.1.5 Räknestickor (slide rules) År 1614 publicerar skotten John Napier den första logaritmtabellen. Året efter konstruerar engelsmannen Henry Briggs en tabell med decimallogaritmer (basen 10). (Ifrah 2002:426) Fördelen med logaritmerna är att istället för att multiplicera två stora tal för hand, så adderar man logaritmerna för talen och får på så vis logaritmen för svaret. En division motsvaras av en subtraktion av två logaritmer, kvadraten blir en dubblering och kvadratroten en halvering. År 1622 uppfinner engelsmannen William Oughtred räknestickan genom att placera två logaritmskalor sida vid sida. Man kunde nu läsa av svaret direkt på räknestickan. Nya modeller kom och på 1700-talet utökas den med kvadrat- och kubikskalor. Mängder av olika modeller dyker upp på marknaden, ett 250-tal bara under 1800-talet. År 1891 skapar William Cox den dubbelsidiga räknestickan. Utvecklingen går framåt med fler olika skalor. På 1960-talet producerar ett japanskt företag en miljon räknestickor om året. Räknestickan användes vid i stort sett alla tekniska beräkningar under ca 350 år. (Oughtred Society 2008) Alla tabeller och räknestickor räknar med avrundade närmevärden och räknestickan kräver att man uppskattar storleksordning, eftersom den bara ger värdesiffrorna i svaret.

2.1.6 Mekaniska räknemaskiner (mechanic calculators) Ifrah (2002:435-541) beskriver utförligt ”Maskinräkningens historia från begynnelsen fram till datorn”. En föregångare till räknemaskinerna var 1500-talets podometer, en slags stegräknare med kugghjul, som användes för att mäta avstånd. År 1623 konstruerar den tyske astronomen Wilhelm Schickard sitt halvmekaniska räkneur. Han skriver till sin vän Johannes Kepler: ”Det du kan räkna ut för hand har jag just försökt göra mekaniskt [...] Jag har konstruerat en maskin som omedelbart och automatiskt räknar de tal man ger den, adderar, subtraherar, multiplicerar och dividerar [...]” (Ifrah 2002: 444). Räkneuret förstördes dock vid en brand året efter. Den 19-årige Blaise Pascal blev den förste att 1643 visa en räknemaskin för allmänheten. Hans maskin klarade addition och subtraktion med en serie kugghjul, men hade vissa tekniska problem; bl.a. låste sig mekanismen då flera hjul visade siffran nio[!]. Flera exemplar, troligen ett 50-tal, tillverkades och såldes över hela Europa. Tysken Gottfried Wilhelm Leibniz blir den förste att 1694 bygga en helmekanisk räknemaskin som även klarade multiplikation och division. 1704 byggdes ett andra exemplar, men Leibniz’ maskin byggde på ny, mer komplicerad teknik och masstillverkades aldrig. Nästa viktiga framsteg var fransmannen Thomas de Colmars aritmometer konstruerad 1820 och sedan förbättrad flera gånger. Den såldes i stor skala över hela världen och många andra kopierade Thomas’ maskin, som var hållbar, praktisk och driftsäker. (Ifrah 2002: 445-447) År 1874 bygger den Karlstadbördige ingenjören Willgodt T Odhner sin första räknesnurra, som 1945 tillverkas i 14 olika modeller och säljs ända in på 1970-talet. (Nöring 2008) En annan klassiker är den bärbara miniatyrräknaren Curta, endast 10 x 5 cm och 230 g lätt, tillverkad i Liechtenstein 1947-1970. (Tout 2008)

2.1.7 Miniräknare (pocket calculators) Under senare halvan av 1800-talet utvecklas räknemaskiner med tangentbord och under första halvan av 1900-talet elektromekaniska räknemaskiner, som räknade med hjälp av reläer som slår till och från. Dessa maskiner var flyttbara, men knappast bärbara. Ifrah beskriver sedan den komplicerade utveckling som leder fram till 1940-talets datorer, som var enorma och bokstavligen vägde ton. Radiorören gjorde dem tusentals gånger snabbare än de snabbaste elektromekaniska maskinerna och när radiorören sedan byttes mot transistorer kom den första bärbara elektroniska räknaren Anita, tillverkad i England i början av 1960-talet. Jack Kilby på Texas Instruments skapade 1958 den första integrerade kretsen med halvledartransistorer på en platta av kisel. Denna revolution möjliggjorde lanseringen av den första kommersiella elektro-niska fickräknaren 1970-71. (Ifrah 2002:533-538) Pocketronic tillverkades i Japan, kostade $395, vägde 880 g och krävde stora fickor: 21x10x5 cm. (Woerner 2008) Räknedosan eller miniräkna-ren, som den kom att kallas, utvecklades och blev billigare, mindre och fick minne. I mitten av

3

1970-talet lanserades miniräknarklockan, ett digitalt armbandsur med pyttesmå miniräknarknappar. Dessa klockor blev billigare på 1980-talet och tillverkas än idag av t.ex. Casio. (Wikipedia 2008)

2.1.8 Utvecklingen fram till grafräknaren (graphing calculators) 1972 introducerar Hewlett-Packard HP-35, en multifunktionsräknare med invers-, exponent-, logaritm- och trigonometriska funktioner, en elektronisk ersättare till räknestickan. Sådana räknare kallas funktionsräknare, tekniska räknare eller vetenskapliga räknare (scientific calculators). 1973 lanseras Sharp EL-805, den första miniräknaren med LCD-skärm (Liquid Crystal Display). Skärmarna med flytande kristall är till en början dyra, men strömförbrukningen sjunker till ca en hundradel jämfört med tidigare lysdiod-skärmar. Utan LCD hade inte grafräknaren varit möjlig. 1974 kommer den första programmerbara miniräknaren: HP-65. Man kunde mata in program i upp till 100 steg och spara på magnetremsa. Vad jag vet är alla grafräknare idag programmerbara. 1985 kommer Casio fx-7000G, den första grafräknaren, med en LCD-skärm på 8x16 tecken. Liknande modeller, men med större minne och fler funktioner, säljs fortfarande [jan 2008] t.ex. Sharp EL9900W, Casio FX-9750G+ och TI-82 STATS. Priset ligger mellan 500 och 700 kr, medan mer avancerade modeller kan kosta det dubbla. En vanlig teknisk räknare kostar 60-80 kr. Räknarinfo: Woerner (2008), priser från Clas Ohlson, Kjell & Company, Teknikmagasinet.

Kärt barn har många namn: Vanligast är utan konkurrens grafräknare följt av grafritande räknare/miniräknare och sist kommer grafisk räknare/miniräknare. Google-sökning [maj 2008].

2.1.9 Symbolhanterande räknare (handheld CAS) En symbolhanterande räknare är egentligen en liten dator, som är programmerad att kunna hantera matematiska uttryck. Programvaran förkortas ofta CAS (Computer Algebra System). Pionjärarbete utfördes av nobelpristagaren Martin Veltman 1963 och sedan utvecklades CAS under 1970-talet. Den första symbolhanterande räknaren var HP 28, som kom 1987. Med den kunde man bl.a. lösa algebraiska ekvationer och derivera funktioner. Texas Instruments presenterade 1996 den symbolhanterande räknaren TI-92 utrustad med programmet Derive. För funktioner hos dessa räknare se 2.2.3. (Wikipedia 2008; Hicks 2008; Woerner 2008)

2.1.10 Fickdatorer och handdatorer (PDA, personal digital assistants) En fickdator (Pocket PC) har ett tangentbord, medan handdatorn (Palmtop) i stället har en tryckkänslig skärm. Den första fickdatorn Psion Organiser 1 lanserades 1984. Utvecklingen har idag lett fram till s.k. smartphones, hybrider mellan handdator och mobiltelefon. (Wikipedia 2008) Handdatorer finns enligt Pricerunner (2008) i alla prisklasser mellan 1 000 och ca 20 000 kr. Det finns åtskilliga CAS-program för PDA, bl.a. Maple och Mathematica, men även flera gratisprogram. (FSF 2008) TI-92 och efterföljaren Voyage 200 har QWERTY-knappar och liknar fickdatorer, medan Casios ClassPad 300/330 med sin tryckkänsliga skärm mest liknar en handdator. Casios Algebra FX2.0, HP-modellerna och TI-89 är traditionella miniräknare, medan TI-Nspire är svårare att kategorisera. Den är större än en traditionell räknare och utrustad med pekare och ABC-knappar.

Idag tillverkas CAS-räknare av Hewlett-Packard (HP 40gs , HP 48gII , HP 49g+ , HP 50g), Casio (Algebra FX2.0 , ClassPad 330) och Texas Instruments (TI-89 Titanium , TI-Nspire CAS) Priset ligger från ca 1100kr (Algebra FX2.0) och uppåt. (Zenit ab Läromedel 2008)

4

2.2 Datoriseringen av den svenska gymnasieskolan Jag har valt att kortfattat följa Dahlands (1998) redogörelse för tiden fram till mitten av 1990-talet och presenterar därefter den symbolhanterande räknaren och Skolverkets beslut att tillåta dem vid nationella prov i matematik från och med höstterminen 2007. När jag använder termen grafisk räknare är det ofta i referat eller citat av Dahland, som föredrar den beteckningen framför grafräknare. (Dahland 1998:9)

2.2.1 Datorer i skolan De första skoldatorerna var enstaka minidatorer; stora, dyra maskiner vars operativsystem kunde finnas på hålkort och behövde matas in på nytt efter strömavbrott. I slutet av 1970-talet kom skoldatorerna ABC80, Apple II och senare Compis. Dessa s.k. mikrodatorer såldes i stora upplagor, byggde på den tidens 8-bitsprocessorer och programmerades bl.a. i BASIC. Utvecklingen drevs ofta av entusiastiska lärare, men t.ex. Compis-projektet utmärktes av centralstyrning genom statliga bidrag. I mitten av 1980-talet konkurrerade MS-DOS ut Compis-datorernas CP/M 86-operativsystem. Skolan tvingades in i ett kostsamt systembyte till IBM-kompatibla PC. Enligt Skolverket användes 1994 i landets gymnasieskolor: 72% PC med Windows, 21% PC med OS/2, 4% Apple Macintosh, 3% övriga typer. I genomsnitt fanns det en dator på 10 elever och en dator på 7 lärare i den kommunala gymnasieskolan. (Skolverket 1994:16 se Dahland 1998:156-160) Sedan dess har utvecklingen gått vidare med Internet-datorer, fler datorer i datasalar och lärarrum och även fler bärbara datorer hos elever och lärare den svenska gymnasieskolan.

2.2.2 Funktionsräknare och grafräknare

”Räknestickan kom snabbt ur bruk inom alla sina tillämpningsområden när elektroniska miniräknare med tillgång till de vanligaste matematiska funktionerna introducerades under slutet av 1970-talet.” (Dahland 1998:72)

Funktionsräknaren introducerades först av eleverna och accepterades därefter av lärare och skolmyndigheter. Den påverkade matematikundervisningens innehåll och metoder genom att stegvis ersätta alla tidigare använda tabeller för olika matematiska funktioner. I slutet av 1980-talet introduceras grafräknaren. Den ger möjlighet att rita en eller flera funktioners grafer på skärmen, man kan välja koordinatsystem, ”zooma” in/ut, ”spåra” koordinater m.m. När räknaren används till beräkningar sparas de senast utförda på skärmens textrader. (Dahland 1998:185)

”Tre egenskaper gör de grafiska miniräknarna attraktiva vid en jämförelse med datorer. De har ett jämförelsevis lågt pris, de har tillräckliga prestanda för de flesta syften i gymnasiets matematikundervisning och de är fullständigt mobila.” (Dahland 1998:160)

1994, samma år som de nya läroplanerna kommer, tillåter Skolverket för första gången graf-räknare vid vissa centrala prov. Detta får stora konsekvenser; bara under hösten samma år säljs enligt uppgift 30 000 - 40 000 grafiska miniräknare i Sverige. (Dahland 1998:13,161) Enligt Carina Kroninger [e-post 2008-02-29] var totalmarknaden ifjol [2007] för grafritande räknare ca 48 000 - 50 000 enheter i Sverige. En nyhet på senare år är att gymnasieskolorna själva köper in miniräknare och lånar ut till eleverna. Fördelen med detta system är dels att eleverna själva slipper köpa dyra räknare, dels att alla elever en klass får samma modell.

2.2.3 Symbolhanterande räknare Enligt Dahland (1998:161) har den nya generationens räknare funnits sedan mitten av 1990-talet. Han syftar då på modellen TI-92, som liksom övriga symbolhanterande räknare inte var tillåten att använda på nationella prov vid denna tid. Använde man symbolhanterande programvara i gymnasieskolan var det datorprogram, som Derive och Mathematica. (se Dahland 1998 II:156)

5

Vad kan då den symbolhanterande räknaren, som inte en grafräknare klarar?

- Den förenklar uttryck: 144 2

−−

xx ger )1(4 +⋅ x och (sin(x))2 + (cos(x))2 ger 1.

- Den faktoriserar uttryck: factor( ) ger 4164 23 +−− xxx )14()2()2( −⋅⋅+⋅− xxx . - Den löser ekvationer exakt: solve( ) ger xxx ,0122 =−− 12)12( +=−−= xorx ,

solve( ) ger xx ,102 =)2ln()10ln(

=x och solve( xxx ,12123 =+−+ ) ger

57619297

=x .

Naturligtvis kan man få samma närmevärden som på en vanlig grafräknare också.

- Den deriverar funktioner: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

xx

dxd 12 ger 2

12x

x +⋅ .

- Den integrerar funktioner: ger ∫ +− dxxx )12( 2 xxx+− 2

3

3 (utan konstantterm, min anm.)

Den kan dessutom beräkna gränsvärden, summor och serier. Den Taylorutvecklar funktioner, löser differentialekvationer [med randvillkor], räknar obehindrat med komplexa tal och hanterar bråktal med hundratals siffror i täljare och nämnare, listan kan göras lång. Olika modeller har sina möjligheter och sina begränsningar, men det är alltid stor skillnad mellan räknare ”med CAS” och räknare ”utan CAS”.2 Ht 2007 blir de symbolhanterande räknarna tillåtna vid nationella prov i matematik för alla elever. Skolverket skriver:

”Som hjälpmedel på del II i de nationella proven i matematik anges att symbolhanterande räknare inte är tillåtet att använda med undantag för de lärare som genomgående använder dessa i sin undervisning. Det har framförts att denna restriktion bromsar utvecklingen inom matematikundervisningen. Skolverket har därför beslutat att symbolhanterande räknare blir tillåtna från och med höstterminen 2007. Det bör betonas att prov och provmaterial kommer att utformas på så sätt att det inte ska vara någon fördel att använda symbolhanterande räknare som hjälpmedel.” (Skolverket 2006)

Thunberg & Lingefjärd (2006) kritiserar beslutet i ett öppet brev till Skolverket och debatten har sedan fortsatt på Nämnaren debatt (NCM & Nämnarens webbplats 2008) med ett 15-tal inlägg av olika debattörer [feb 2007] även Lindholm (2006) uttalar sin skepsis till beslutet.

2.3 Vad säger gymnasieskolans läroplan om elektroniska hjälpmedel? I kursplanen för matematik för den tidigare gymnasieskolan, där jag själv gick 1984-1987, gällde för NT-linjerna (3-årig naturvetenskaplig och 4-årig teknisk linje) följande mål:

”Eleven skall genom undervisningen i matematik bli väl förtrogen med några väsentliga matematiska begrepp och metoder, förvärva färdighet i att tillämpa matematiska begrepp och metoder samt uppöva färdigheten i numerisk räkning även med tekniska hjälpmedel.” (Skolverket 2008a:5, min fetstil)

Bland 17 huvudmoment nämns två med särskild anknytning till elektroniska hjälpmedel:

Lösning av ekvationer, ekvationssystem och olikheter med grafisk-numeriska metoder. Datalära, tolkning och skrivning av enkla program, enkla numeriska metoder för ekvationslösning och

integralberäkning. (Skolverket 2008a:5)

2 Många grafräknare har funktioner för t.ex. bråkräkning, vissa komplexa beräkningar och numerisk lösning av ekvationer, numerisk beräkning av derivator och integraler, men kännetecknande för CAS är förmågan att kunna förenkla uttryck, faktorisera, lösa ekvationer exakt, derivera och integrera funktioner, kort sagt: Att kunna hantera matematiska bokstavsuttryck symboliskt i stället för att enbart räkna numeriskt (med siffror).

6

Efter gymnasiereformen, 1991-1994, ersattes Lgy 70 av Lpf 94, linjerna blev 3-åriga nationella program, centralproven (CP) blev nationella prov (NP) och alla elever, oavsett program, läser kurs A i matematik. Nya skrivningar kom att ersätta de tidigare: Under matematikämnets ”syfte” stod 1994-2000: ”Eleverna skall [...] lära sig att med förtrogenhet och omdöme använda sig av miniräknare och datorer som matematiska verktyg.” (Skolverket 2008b) Under ämnets ”karaktär och struktur” stod: ”Tillgången till nya tekniska hjälpmedel förändrar delvis matematikens innehåll och metoder. Många rutinoperationer, främst av numerisk och grafisk karaktär, kan nu utföras av miniräknare och datorer. Inriktning mot förståelse, analys av hela lösningsprocedurer och kritisk granskning av resultat samt förmåga att dra slutsatser blir viktigare än isolerad färdighetsträning. [...] Inom matematikämnet utnyttjas algebraiska, numeriska och grafiska metoder – de senare både utan och med hjälp av miniräknare och datorer.” (Skolverket 2008b) Under ”bakgrund” stod:

”Den tekniska utvecklingen har medfört att matematiken fått nya och kraftfulla verktyg men detta ställer också ökade krav på användarens kunskaper.” (Skolverket 2008b)

Bland ”Några speciella inslag” stod:

”Kursplanerna i matematik lägger stor vikt vid förståelse. Tack vare nya tekniska hjälpmedel har kraven på färdighetsträning minskat och möjligheter och utrymme för utveckling av begreppsförståelse och problemlösningsförmåga [har ökat].” (mitt tillägg) (Skolverket 2008b)

”Datorlära betraktas inte längre som ett särskilt kunskapsområde. Kravet på att själv kunna programmera har ersatts av krav på att kunna utnyttja färdig programvara på ett medvetet sätt. Tillgången till grafräknare och till matematiska verktygsprogram för datorer underlättar för eleverna att tillägna sig kunskap om och förmåga att värdera olika problemlösningsstrategier och att låta algebraiska, numeriska och grafiska metoder komplettera varandra. Övrig lämplig programvara att utnyttja i undervisningen är kalkylprogram för att lösa problem inom bl.a. det ekonomiska området, statistikprogram för att hantera stora datamängder och symbolhanterande program för att bearbeta algebraiska uttryck och utföra exakta beräkningar.” (Skolverket 2008b)

Efter år 2000 står det mindre om elektroniska hjälpmedel i ämnesbeskrivningen matematik. Det står inte nämnt under ”ämnets syfte”, men det sista av de s.k. strävandemålen lyder:

”Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleverna utvecklar sina kunskaper om hur matematiken används inom informationsteknik, samt hur informationsteknik kan användas vid problemlösning för att åskådliggöra matematiska samband och för att undersöka matematiska modeller.” (Skolverket 2008c)

Här har man valt att använda ett nytt ord, informationsteknik: ”samlingsbegrepp för datateknik och telekommunikation i samverkan” (NE.se 2008), ”ett ganska vagt begrepp, oftast avses utnyttjandet av datorer och Internet för informationshantering” (Svenska datatermgruppen 2008) När informationsteknik används för att åskådliggöra matematiska samband och för att undersöka matematiska modeller, tolkar jag det som att det sker via Internet. Ska det syfta på t.ex grafräknare och CAS-program måste it-begreppet tolkas annorlunda. Jag erkänner att jag inte riktigt förstår vad Skolverket menar. Under ”ämnets karaktär och uppbyggnad” står följande om tekniska hjälpmedel:

”Tillgången till tekniska hjälpmedel har delvis förändrat matematikämnet. Såväl numeriska, grafiska som algebraiska metoder utnyttjas och nya typer av problem av mer sammansatt karaktär kan studeras i ämnet. De tekniska hjälpmedlen har dock begränsat värde utan kunskaper om begrepp och metoder. Förståelse, analys av hela lösningsprocedurer och kritisk granskning av resultat samt förmåga att dra slutsatser är grundläggande i gymnasieskolans matematikämne.” (Skolverket 2008c)

7

I kursmålen för Matematik A stod fram till år 2000:

”Efter genomgången kurs skall eleven [...] i aritmetik ha erfarenhet av användning av datorprogram vid beräkningar. [...] i funktionslära kunna utnyttja grafritande hjälpmedel.” (Skolverket 2008d: MA200)

Efter år 2000 står det:

”Eleven skall [...] med och utan tekniska hjälpmedel med omdöme kunna tillämpa sina kunskaper i olika former av numerisk räkning med anknytning till vardagsliv och studieinriktning [...] ha vana att vid problemlösning använda dator och grafritande räknare för att utföra beräkningar och åskådliggöra grafer och diagram.” (Skolverket 2008d: MA1201)

Jag hittade inga motsvarande formuleringar bland kursmålen för kurs B. Däremot stod i de tidigare målen [1997-2000] för kurs C:

”Efter genomgången kurs skall eleven i algebra och funktionslära känna till hur dataprogram kan utnyttjas som hjälpmedel vid studier av matematiska modeller i olika tillämpade sammanhang. [...] i differentialkalkyl inse sambandet mellan en funktions graf och dess derivator av första och andra ordningen samt kunna använda detta i olika tillämpade sammanhang med och utan grafritande hjälpmedel.” (Skolverket 2008d: MA203)

I de nuvarande kursmålen [2000- ] står, något annorlunda formulerat:

”Eleven skall känna till hur datorer och grafiska räknare kan utnyttjas som hjälpmedel vid studier av matematiska modeller i olika tillämpade sammanhang. [...] kunna använda sambandet mellan en funktions graf och dess derivata i olika tillämpade sammanhang med och utan grafritande hjälpmedel.” (Skolverket 2008d: MA1203)

För kurs D gällde tidigare:

”Efter genomgången kurs skall eleven [...] förstå tankegången bakom några numeriska metoder för ekvationslösning och vid problemlösning kunna använda grafisk/numerisk programvara [...] förstå tankegången bakom några metoder för numerisk integration och vid problemlösning kunna använda grafisk/numerisk programvara för att beräkna integraler.” (Skolverket 2008d: MA204)

Nu står samma sak, med tillägget symbolhanterande programvara:

”Eleven skall [...] kunna förklara och använda tankegången bakom någon metod för numerisk ekvationslösning samt vid problemlösning kunna använda grafisk, numerisk eller symbolhanterande programvara [...] kunna redogöra för tankegången bakom och kunna använda någon metod för numerisk integration samt vid problemlösning kunna använda grafisk, numerisk eller symbolhanterande programvara för att beräkna integraler.” (Skolverket 2008d: MA1204)

I målen för kurs E hittar jag inte någonting nämnt om elektroniska hjälpmedel, inte heller i målen för Matematik breddning eller Matematik diskret. En ny gymnasiereform (GY-07) planerades länge och skulle ha genomförts med början ht 2007. Det blev dock borgerlig valseger [sep 2006] och 2006-10-11 meddelar dåvarande skolminister Jan Björklund att reformen inte kommer att genomföras. (Eriksson 2006)

2.4 Några Matematikdidaktiska perspektiv Med Dahland (1998) som utgångspunkt räknar jag upp några didaktiska perspektiv och begrepp, som kan vara relevanta i diskussionen om elektroniska hjälpmedel i matematikundervisningen. Dahland (1998:40-44) redovisar en teoretisk bakgrund med tre didaktiska modeller för matematik beskrivna av Blankertz (1987). Jag saknar kunskap och erfarenhet för att kunna sätta mig in i dessa modeller, däremot uppskattar jag resonemanget om ”elementära didaktiska föreställningar” som följer. Frågorna Vad? (vilket innehåll), Varför? (varför just det innehållet) och Hur? (val av metod och arbetssätt) kan gälla kursavsnitt, enstaka lektioner eller moment och de kan ställas av

8

nybörjaren likaväl som av den erfarne läraren (fritt efter Dahland 1998:46). Dahland ställer även de didaktiska frågorna om användningen av elektroniska hjälpmedel: ”Vad för slags teknik skall jag använda i den önskade tillämpningen?” Val av verktyg och teknisk miljö. ”Varför är den tekniska ansatsen motiverad?” Analys av ämnesinnehåll och val av framställning. ”Hur ska det [undervisningen] gå till?” Lärobok, tekniska tips och lärarens muntliga framställning måste förenas till en studiemiljö. (fritt efter Dahland 1998:51-52) Enligt Dahland (1998:107) saknas en allmänt accepterad definition av begreppet lärande. En definition av inlärning ges av Arfwedson & Arfwedson (2002:25) ”En bestående förändring i, eller en modifikation av, en individs förmåga att åstadkomma någonting [praktiskt eller teoretiskt]”. Förändringen sker genom påverkan, t.ex. erfarenhet, undervisning, tankearbete eller annan övning. Andra inlärningsdefinitioner kan handla om ändrat beteende, ny förståelse eller ny kunskap. Men inte heller begreppet kunskap är entydigt definierat enligt Dahland (1998:107). En beskrivande definition med fyra olika former av kunskap används i Bildning och kunskap - särtryck ur läroplanskommitténs betänkande skola för bildning (SOU 1992:94) (Skolverket 1997:31-34) Det olika formerna är fakta, förståelse, färdighet och förtrogenhet. Sven-Eric Liedman belyser kunskapsbegreppet ur olika perspektiv i sin bok Ett oändligt äventyr: Om människans kunskaper. Liedman (2002) beskriver kunskap som ”sitter i kroppen”, ”tyst kunskap” och han talar om kunskap som visdom, klokhet och bildning. Ytterligare ett perspektiv på kunskap får man kanske hos KK-stiftelsen, som arbetar för att öka Sveriges konkurrenskraft genom att stödja Kunskaps- och Kompetensutbyte mellan näringsliv och universitet/högskolor, främja IT-användning och stödja viss profilforskning i Sverige. (KK-stiftelsen 2008) Det finns en mängd teorier om lärande. Dahland presenterar tre, som utvecklats under 1900-talet och periodvis ansetts relevanta för matematikinlärning: behaviorismen samt två konstruktivistiska teorier. I ”Lusten att lära – med fokus på matematik” (Skolverket 2002:9-10) beskrivs tre andra teorier för lärande, som alla påverkat våra nuvarande läroplaner (Lpfö 98, Lpo 94 och Lpf 94): social-konstruktivism, metakognitiv teori och symbolisk interaktionism. De teorier för inlärning vi stiftat bekantskap med tidigare under lärarutbildningen är främst behaviorism, konstruktivism, kognitivism samt Säljös (2000) sociokulturella perspektiv. Min egen syn på detta överflöd av teorier är att de beskriver verkligheten ur olika perspektiv och att en skicklig pedagog använder de metoder som passar bäst för de elever och det område som undervisas just då. Den amerikanske psykologen Jerome Bruner, företrädare för den kognitiva inlärningsteorin, ger i ”The Process of Education” (1960) en bild av barn som aktiva problemlösare, redo att utforska ’svåra’ ämnen. Bruner betonar fyra teman (Smith 2002, fritt översatt): - Strukturens roll i lärande och undervisning: Om lärandet innan ska underlätta senare lärande, så måste det ge en tydlig bild av hur kunskaperna hänger samman. - Mognad för lärande: Skjut inte upp undervisning för att ämnet anses ’för svårt’, utan utgå från hypotesen att man kan undervisa alla ämnen till alla barn på något sätt, oavsett mognadsgrad. Följ ’spiralprincipen’ och återvänd gång på gång till ämnet. - Intuition och analytiskt tänkande: Intuitionen är försummad och behöver tränas i skolan. Den är en viktig beståndsdel i ’produktivt tänkande’. - Motiv för lärande: Intresse för ämnet är det ideala. Eleven får inte bli en ’passiv’ åskådare, utan ett brett intresse måste väckas.

”Det har skrivits ca 20 000 avhandlingar i pedagogik. Kontentan av dessa är inte mycket mer än, att en lärare som har god kontakt med sina elever, kan entusiasmera dem och har mycket goda kunskaper i sitt ämne,

den läraren får dem att lära sig ämnet.” Jerome S. Bruner (1915 – )

9

3 Tidigare forskning om elektroniska hjälpmedel i skolan I sin doktorsavhandling ”Matematikundervisning i 1990-talets gymnasieskola” gör Dahland (1998) en bred undersökning av hur matematikundervisningen påverkats av datorer, miniräknare och grafiska räknare i 1990-talets svenska gymnasieskola. Han nämner då och då även symbol-hanterande programvara och räknare. Dahland (1998) inleder med att presentera sina tidigare arbeten (Dahland 1993; Dahland 1995; Dahland & Lingefjärd 1996; Dahland red. 1997). Dahlands resultat och slutsatser om datorer och grafiska räknare känns ofta aktuella även i dagens diskussion om symbolhanterande räknare. Därefter följer några didaktiska uppsatser om miniräknare samt forskning om symbolhanterande räknare.

3.1 Göte Dahlands forskning (1993-1998)

3.1.1 Datorstöd i matematikundervisningen (Dahland 1993) Med datorstöd betecknar Dahland ”användningen av datorn som pedagogiskt hjälpmedel för undervisning och studier”. Andra betydelser är ”själva det datorprogram som utnyttjas”, ett ”räknetekniskt hjälpmedel” eller ett ”inlärningshjälpmedel”. (Dahland 1993:37) Dahland tar upp ”symbolbehandling” med program som Derive och föregångaren Mumath. Han översätter och gör ett sammandrag av dansken Langberg (1990) som anger fyra områden inom matematikundervisningen, som genom datorstöd kan komma att påverkas på ett avgörande sätt:

1. Man kan på alla nivåer behandla uttryck av större komplexitet än med manuella metoder. 2. När eljest tidsödande och långtråkig symbolmanipulation görs med dator kan begreppsmässig förståelse och planering av problemlösning få utrymme som tidigare inte varit möjligt. 3. Symbolmanipulerande program ger de studerande en impuls till experimentellt och undersökande arbetssätt i samband med algebraiska resonemang. 4. Undervisningen blir mera verklighetsanknuten genom att kunna utnyttja realistiska exempel och arbeta med större modeller. (Langberg 1990:11, se Dahland 1993:105, Dahlands översättning och sammandrag)

Dahland varnar för faran att man blir beroende av programmens tillförlitlighet. I praktiken blir det omöjligt att kontrollera resultaten med andra metoder. Han ger exempel på att ”buggar” förekommit. Det krävs stor matematikteoretisk kunskap för att kunna tolka resultaten rätt.

”Värdet av arbetet med datorstöd ligger till stor del i efterarbetet och därför kommer många traditionella aktiviteter att framgent ha en stark ställning. Det är ett metodiskt problem att utnyttja sådana kraftfulla program, som nu nämnts, i skolmatematiken. De didaktiska Vad och Hur-frågorna är ännu till stor del obesvarade.” (Dahland 1993:105)

Dahland ser ett metodiskt problem med programmen. Langberg skriver om denna ambivalens:

”Det är alltså något, som tyder på, att användande av symbolmanipulatorer kan ha en positiv effekt på de studerandes utbyte av undervisningen, men att det fortfarande en öppen fråga, var balansen mellan användande av sådana verktyg och traditionell handräkning ska ligga, för att uppnå traditionell inlärning. Kanske kan ett alltför ensidigt bruk av symbolmanipulatorer på grundläggande nivå ge allvarliga problem, när eleverna ska undervisas i mer avancerade ämnen.” (Langberg 1990:13, se Dahland 1993:105, min översättning från danska)

3.1.2 Elektroniska hjälpmedel i gymnasiets matematikundervisning (Dahland 1995) Dahland (1993) var en pilotstudie till denna större studie, genomförd 1994 i ett område med 57 västsvenska gymnasieskolor, av vilka 44 kom att ingå i undersökningen. Sedan den föregående studien hade de grafiska räknarna slagit igenom på gymnasiet och därmed försköts intresset från rent datorstöd till elektroniska hjälpmedel i allmänhet. Studiens avsikt var att ”[...] kartlägga spridningen och användningen av datorer, traditionella miniräknare och grafiska miniräknare [...och] att skapa en bild av skolornas programbibliotek inom matematikområdet.” (Dahland 1995:3, se Dahland 1998:9)

10

Av symbolhanterande program fanns Derive vid 19 skolor och Mathematica vid 2 skolor av 44. (se Dahland 1998 II:156).

”Program som Derive och Mathematica aktualiserar frågan om vad som är viktigt att lära ut. Det är relevant att diskutera vad som är kunskaper i matematik. Man måste reflektera över utvärdering av kunskaper i matematik när lärare och elever under studieprocessen har använt kraftfulla elektroniska hjälpmedel. Det ger konsekvenser för till exempel elevers skriftliga redovisning av lösningar. Det matematiska språket påverkas. [...] Problemlösning och begreppsbildning är områden inom vilka det saknas konsensus om effekterna av elektroniska verktyg. [...] Datorns egenskap att fungera som katalysator måste observeras så att man inte aningslöst blandar samman vissa fenomen med deras orsaker.” (se Dahland 1998:14)

Dahland skriver ang. diskussionen om metodiska konsekvenser av datorstöd och användning av grafiska miniräknare: ”Det gäller att fråga sig hur den nya tekniken kan användas för att bearbeta uppställda problem[,] inte att leta efter problem som passar för den nya tekniken.” (se Dahland 1998:14) Lärarkompetensen utvecklas i två faser, dels tekniska färdigheter med verktyget, dels metodisk tillämpning av tekniken integrerad i undervisningen. Fördelarna med datorstöd är bl.a. att man kan studera områden som tidigare inte varit inom räckhåll och att tekniken spar tid, som kan användas till begreppsbildning och samtal kring matematik. (se Dahland 1998:14-15)

3.1.3 Grafiska miniräknare och elevers tolkning av resultat (Dahland & Lingefjärd 1996) Denna studie (Dahland & Lingefjärd 1996) genomfördes 1995 bland ca 100 gymnasieelever och syftet var att undersöka om deras dokumentation och lösningsstrategier påverkades av tillgången till grafiska räknare. Studien hade sex uppgifter som gymnasieeleverna skulle lösa. Man under-sökte deras förmåga att redovisa en lösning, att ange miniräknaranvändning och hur de tolkade räknarresultaten. ”Den nu presenterade studien, [...] bekräftar att frågor på prov kan klassificeras i enlighet med hur eleverna tenderar att formulera sina skrivna lösningar.” (Dahland & Lingefjärd 1996:50, se Dahland 1998:22) Att dokumentera logiska lösningar behärskas inte tillräckligt och eleven måste kunna tolka informationen på skärmen och samtidigt ha tillräcklig förståelse att se sambandet mellan det matematiska problemet och räknarens möjligheter. Svårigheten att översätta mellan bildskärmens symboler och skrivna grafer och algebraiska symboler är ett språkproblem. (se Dahland 1998:22) Författarna drar bl.a. slutsatserna att ”[...] traditionella metoder med största sannolikhet kommer att påverkas av de nya verktygen i en omfattande grad.” och att ”Ju bättre man behärskar tekniken och ju bättre kunskap i matematik man har, desto kraftfullare verktyg är den grafiska miniräknaren. Detta ställer krav på en dubbel kompetens hos den undervisande läraren och den studerande eleven.” (se Dahland 1998:22).

3.1.4 Elektroniska hjälpmedel i matematikundervisningen (Dahland red. 1997) Dahland (1998) gör ett kort sammandrag av den rapport han sammanställt om De elektroniska hjälpmedlens konsekvenser. Jag väljer ett citat, som kunde handlat om symbolhanterande miniräknare:

”Grafiska miniräknare i gymnasieskolan innebär krav på kompetens i matematik kompletterad med förståelse för miniräknarens arbetssätt. Miniräknaren rätt använd betyder att effektivt integrera dess teknik med andra arbetsformer. Användningen övergår i missbruk om man använder miniräknaren när den är onödig och olämplig eller ger missvisande resultat.” (se Dahland 1998:24)

3.1.5 Matematikundervisning i 1990-talets gymnasieskola (Dahland, 1998) Dahland (1998) beskriver en enkätundersökning bland 197 matematiklärare vid 17 västsvenska gymnasieskolor. Syftet med studien var att undersöka ”hur gymnasielärare i matematik i sin undervisning har påverkats av tillgången till moderna elektroniska hjälpmedel.” (Dahland 1998:210)

11

57% av lärarna lät eleverna använda sina miniräknare obegränsat. En av dem frågar sig hur man ska göra om grafräknarna får Derive. (Dahland 1998 II:58) Bland positiva iakttagelser hos eleverna kan nämnas: ökad förståelse för grafer och sambandet mellan funktion och graf, man hinner ägna sig åt fler och mer realistiska problem, ökat intresse. Bland de negativa: sämre ”räknefärdighet”, räknarna används till enkla uppgifter och eleverna glömmer att räkna i huvudet, sämre redovisning av lösningar, eleverna ”vet” inte vad de gör. (Dahland 1998 II:84-85) Dahland tar förutom grafiska räknare även upp användningen av CAS i undervisningen och kritiserar den på vissa grunder, bl.a. kommer godtrogna användare att stöta på problem p.g.a. begränsningar i programmens algoritmer, otillförlitliga resultat kan vara svåra att upptäcka och ett alltför starkt beroende av verktygen kan hämma elevernas kreativitet och problemlösnings-förmåga. Han ger exempel på några uppgifter att lösas med dator eller symbolhanterande räknare (Dahland 1998:187) och konstaterar:

”Med tillgång till symbolhanterande verktyg löser man uppgiften på en bråkdel av den tid det tar med traditionell behandling. Även elever med god förståelse för algebra och förmåga att hantera algebraiska uttryck behöver arbeta noggrant under avsevärd tid för att lösa problemet manuellt. Numera behöver alltså ett stödjande verktyg inte vara en dator med lämpligt program. Tillgängligheten ändras påtagligt när eleven använder en egen miniräknare. Därmed ökar sannolikheten för att redskapet används och att problemtypen rutiniseras även av elever som är mindre försigkomna. Kraven på att förstå uppgiftens problem kvarstår oförändrade.” (Dahland 1998:188).

Dahland beskriver experimentellt arbete i laborationsform, med symbolhanterande hjälpmedel (såväl dator som miniräknare). Metoden tillåter manuell manipulation och kan ge empiriska erfa-renheter som stöd för begreppsbildning inom det bearbetade området. Han ger exemplet derivata och diskuterar sedan förmågan att rätt hantera verktygen; förstå teknikens språk och att kunna tolka de resultat man får. Dahland talar om ”algebraisk skuldkänsla” (Vilken lösningsmetod anses ’finast’?) och ”effektiv användning eller missbruk”, d.v.s. att känna programmet/räknarens begränsningar. (Dahland 1998:188-206)

”En lärare med erfarenhet av symbolhanterande verktyg i undervisningen menar att det är de duktigare eleverna som tillgodogör sig verktygen bäst. För svaga elever kan ett avancerat verktyg snarast vara en belastning, ytterligare en sak man skall lära sig. Dessa elevers problem är att på språklig nivå ta del av matematiken.” (Dahland 1998:259)

I sitt slutord skriver Dahland: ”Gymnasieskolans matematik kommer, när symbolbehandlande verktyg accepterats, att påverkas än starkare än vad den här studien har beskrivit.” (Dahland 1998:281)

3.2 Didaktiska uppsatser (2000-2006) Jag konstaterar att miniräknaren i skolan varit ett vanligt ämne för didaktiska uppsatser. Här följer sammandrag av ett examensarbete om symbolhanterande räknare, samt några av de arbeten jag fann på uppsatser.se (Valentin 2007). De handlar huvudsakligen om grafräknaren i gymnasieskolan. Några tar även upp symbolhanterande räknare. Det var bl.a. ur dessa uppsatser, som jag hämtade inspiration till min egen undersökning.

3.2.1 Symbolhanterande miniräknare i matematikundervisningen (Palm 2000) Det enda examensarbetet ägnat åt symbolhanterande räknare fann jag via en Google-sökning. Anders Palms problemformulering lyder:

• Är symbolhanterande hjälpmedel i gymnasieskolans undervisning av godo eller av ondo? • Kan eleverna bibehålla tillräckliga kunskaper inom traditionell matematik om de har tillgång till ett så kraftigt hjälpmedel? • Om så, kan undervisningen se ut som den gör idag eller måste presentationen av matematikämnet förändras?

12

Palm använde TI-89 i tre smågrupper av NV-elever, 3+3 elever i åk 2 (Ma D) samt 3 elever i åk 3 (Ma E & F). Eleverna använde annars TI-83, en vanlig grafräknare. De fick 30 min introduktion med övningsuppgifter för att bekanta sig med den symbolhanterande räknaren. Sedan följde huvuduppgiften, att lösa ett eller flera av Palms egna CAS-problem. Palm skriver i sin sammanfattning:

”Det eventuella införandet av symbolhanterande miniräknare, så kallade CAS-räknare, i gymnasieskolan måste ske varsamt. Räknarna kan rätt använda vara en enorm tillgång i matematikundervisningen men det finns samtidigt en del faror med dem. För att kunna använda dem på rätt sätt måste därför såväl lärare som lärarutbildare noga tänka igenom vad matematikundervisningen skall innehålla och vilka matematiska kunskaper hos eleverna som skall bedömas. Det jag läst om aktuell forskning på området och de inblickar jag fick i några elevers första möte med CAS-räknare i min egen undersökning, gör att jag ställer mig positiv till att prova dem.”

Han avslutar med konstatera:

”Vi står inför en ny teknisk revolution på miniräknarfronten. Inför vi CAS-verktyg på gymnasieskolan, blir matematik-undervisningen aldrig mera sig lik.”

3.2.2 Grafräknaren i matematiken – en undersökning av användande och attityder (Andersson 2001) Martin Andersson (2001) gör en slags pilotstudie om grafritande miniräknare och skriver bl.a. följande i sin slutsats:

”Min erfarenhet, efter att ha varit ute på matematiklektioner under vårterminen 2001, är att de flesta ger upp huvudräkningen helt och slår in alla uträkningar i grafräknaren hur enkla beräkningarna än må vara.”

”Att det underlättar förståelsen för eleverna och att man kan variera undervisningen mycket med grafräknarens hjälp är två argument som har etsat sig fast hos mig och gjort att jag vridit mig mer mot den positiva sidan.”

”Efter att ha gjort denna undersökning kan man konstatera att det krävs fler och större undersökningar inom detta område i Sverige och speciellt nu när nästa generation grafräknare, den symbolhanterande grafräknaren, gör sitt intåg i gymnasieskolan.”

3.2.3 Miniräknaren i dagens gymnasieskola (Nordström 2005) Daniel Nordströms (2005) arbete syftar till att undersöka hur gymnasieelever använder sina mini-räknare och hur de ser på sitt eget användande, men även också om det finns några skillnader mellan killars och tjejers användande av och attityder till miniräknaren. Undersökningen ska försöka besvara fyra grundfrågor:

• Hur använder lärarna miniräknaren i sin undervisning i dag och hur ser de på användandet av den? • Hur använder eleverna miniräknaren? • Hur skiljer sig elevernas och lärarnas uppfattning? • Finns det några skillnader mellan tjejer och killar vad gäller användande av och uppfattning om miniräknaren i skolan?

3.2.4 Användandet av den grafritande räknaren i gymnasieskolans matematikundervisning (Davidsson & Mårtensson 2006) AnnaKarin Davidsson och Jenny Mårtensson (2006) skriver om den grafritande räknaren som hjälpmedel i matematikundervisningen. Syftet med studien är att undersöka hur gymnasielärare använder den grafritande räknaren i undervisningen. Deras frågeställningar är:

1. Hur använder gymnasielärare den grafritande räknaren i matematikundervisningen enligt dem själva? 2. Till vad anger gymnasielärare att de använder den grafritande räknaren i matematikundervisningen? 3. Vad anger gymnasielärare är anledningen till att de väljer att använda den grafritande räknaren i matematikundervisningen? 4. Varifrån anger gymnasielärare att de får information och idéer om hur den grafritande räknaren kan användas i matematikundervisningen?

13

3.2.5 Den grafritande räknaren som ett medierande redskap (Falkebo Peters & Schrab 2006) Michael Falkebo Peters och Linus Schrab (2006) skriver om Den grafritande räknaren som ett medie-rande redskap. Deras perspektiv är tydligt sociokulturellt och deras övergripande forskningsfråga är ”På vilka sätt presenterar två läroböcker i gymnasiets matematikkurs C den grafritande räknaren i samband med begreppet derivata och dess tillämpningar?” med följdfrågan ”Hur förhåller sig läroböckernas texter och dess räkneövningar till den grafritande räknaren som ett medierande redskap?” I sitt arbete nämner de symbolhanterande räknare på flera ställen, bl.a. undersöker de hur införandet av en sådan räknare påverkar elevernas förhållningssätt till matematiken ur ett sociokulturellt perspektiv. (Falkebo Peters & Schrab 2006:12-13)

3.3 Forskning om symbolhanterande hjälpmedel (1997-2007) Dahland (1998) konstaterar: ”Forskningen kring CAS som pedagogiskt hjälpmedel är relativt omfattande.” Femton doktorsavhandlingar har noterats mellan 1988-1995 och de typer av CAS som studerats är Mathematica, Derive, Maple, Toolkit och True Basic. Slutsatserna är mestadels positiva, bl.a. ökad begreppsförståelse, bättre bevarande av räknefärdighet, förbättrad attityd mot matematik. Det återstår dock mycket forskning om hur CAS påverkar undervisningen i matematik. (Dahland 1998:175) Detta är vad jag funnit om CAS i undervisningen. Jag börjar med att referera tre böcker, sedan nämns fyra tidskrifter och några övriga källor för tidigare och pågående forskning.

3.3.1 The State of Computer algebra in Mathematics Education (Berry & Monaghan red. 1997) Boken innehåller artiklar från ett internationellt symposium, som hölls på Hawaii, i augusti 1995. Författarna kommer från 11 länder och boken är indelad i fem delar: Läroplanen, Bedömning, Skriva för CAS, Få lärare att använda CAS i klassrummet, Förståelse. Allt är mycket strukturerat och i kapitel 1 definieras viktiga begrepp som vita låd-fasen: kognitiv inlärning, svarta låd-fasen: tillämpning av kunskapen. De används som modeller för olika sätt att undervisa. Enligt vita/svarta låd-principen lär man sig först det nya kunskapsstoffet för hand (vit låda) och använder sedan t.ex. en bevisad formel för att lösa olika problem (svart låda). Tanken är att man stoppar in olika värden i en ”låda” och ut kommer ett resultat.

• När lådan är vit, så är innehållet det viktiga: -Vad händer i lådan? Förstå hur och varför. • När lådan är svart, så är resultatet det viktiga: -Vad blir resultatet? Kunna använda, t.ex.

med CAS. Enligt den omvända svart/vita låd-principen börjar man med att experimentera och använda CAS som en svart låda. När man upptäckt ett samband verifierar man det genom att pröva, testa, beräkna och slutligen bevisa sambandet (vit låda). Fönsterväxlings-metoden (The Window Shuttle Method) går ut på att man t.ex. arbetar numeriskt i ett fönster och grafiskt i ett annat. När man ändrar en parameter för en funktion i det ena fönstret, så kan man direkt se hur funktionsgrafen påverkas i det andra. Modul-metoden: En modul kan vara en funktion eller ett program, som själv använder andra moduler och/eller själv används av andra. Mitt ex: En modul som beräknar sannolikheten för olika pokerhänder kan bestå av en lista på olika kombinationer av kort, t.ex. fyrtal. Sannolikheten för fyrtal beräknas med nCr-funktionen, en modul i räknaren, som använder n-fakultet, som i sin tur bygger på multiplikation, etc. Modulen själv kan ingå i ett taktikprogram för en pokerdator. (Berry & Monaghan red. 1997:33-36)

14

I fortsättningen av kapitlet förs en diskussion om evolution av läroplaner, snarare än revolution och en rad exempel på typisk användning av CAS. Kapitel 2 tar upp bedömning och examination med hjälp av CAS. Eleven ska enligt en hypotes tillgodogöra sig nya matematiska områden numeriskt, grafiskt och algebraiskt för att internalisera dem fullständigt. (Berry & Monaghan red. 1997:78-79) Man diskuterar även ”livlinor” för svagare elever och kapitlet avslutas med 4 exempel på olika uppgifter för bedömning. Det följande kapitlet är matnyttigt för den som ska skriva arbetsblad, övningar, laborationer etc. för att användas med CAS. Kapitel 4 är argumenterande och konstruktivt skrivet. Hur ska man göra för att komma över motstånd och problem, som man kan möta vid introduktionen av CAS i utbildningen? Det avslutande kapitlet handlar om hur CAS påverkar elevernas förståelse. Förf. slogs av hur lite som var känt, hur lika många studier var samt hur svårt det var att organisera vad som var känt eller behövde undersökas ytterligare. (Berry & Monaghan red. 1997:163) Den ”dubbla didaktiska pyramiden” presenteras med mediet (CAS) i mitten, läraren, eleven, gruppen och kunskapen i var sitt hörn. Den andra s.k. roll-pyramiden består av lärande-rollen (Learner), informationsanskaffaren (Information provider), handledaren (Tutor), ”oraklet” (Oracle – något som behöver tolkas) i var sitt hörn och interlokutören (Interlocutor – den som man talar med) någonstans emellan hörnen. Därefter följer ett avsnitt med då aktuell forskning och boken avslutas med 12 frågeställningar för fortsatt forskning (Berry & Monaghan red. 1997:190-202 se 7.3.1). Tyvärr läste jag denna bok i ett sent skede, då min egen undersökning redan var genomförd.

3.3.2 Computer algebra systems in secondary school mathematics education (Fey, Cuoco, Kieran, McMullin & Zbiek red. 2003) Computer algebra systems in secondary school mathematics education är i mitt tycke den mest intressanta boken, med sin blandning av 18 forskningsartiklar från sammanlagt 10 länder (flest från USA). Boken är utgiven av National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) och består av 4 delar:

• Perspectives for Analyzing CAS Potential • Examples of CAS at Work in the Curriculum and Class-room • Evidence and Implications from Research • CAS and Assessment of Mathematical Understanding and Skill.

Varje del består av en kort introduktion och sedan följer artiklarna inom resp. område, varvat med korta Activities. Det finns rikligt med referenser i de flesta av artiklarna. Jag beklagar att denna bok liksom Berry & Monaghan (red. 1997) kom in i arbetet efter det att min egen undersökning redan var slutförd, men rekommenderar den varmt för den som vill forska vidare inom ämnet.

3.3.3 The Case for CAS (Böhm, Forbes, Herweyers, Hugelshofer & Schomacker 2004) En sammanställning av forskning kring symbolhanterande räknare finns i The Case for CAS. Den är utgiven av T3 Europe (T3 - Teachers Teaching with Technology™)

”At Texas Instruments we are committed to providing excellent, value for money professional development for maths and science teachers to support them in using TI technology. This training is provided to schools and other educational establishments through T3 - Teachers Teaching with Technology™.” (Texas Instruments 2008)

De fem medförfattarna är alla T3-ansvariga eller instruktörer i sina resp. hemländer och jag läser denna publikation med reservation att författarna kan, medvetet eller omedvetet, ha överdrivit

15

fördelarna med CAS och/eller ha förminskat nackdelarna. Man har gjort en slags textstudie med syfte att: ”[...] testa hållbarheten hos argumenten för vad som lärs ut med CAS och hur detta kan utvärderas. Bakgrund och teori lägger fram redan tillgängliga forskningsresultat i en bekväm och kortfattad form, för att ge direkt tillgång till data tydande på fyra nyckelfrågor:”

• Att undervisa i matematik blir intressantare med CAS. • Att elever är mer intresserade och motiverade att lära matematik med CAS. • Att elever som använder CAS är minst lika bra på att räkna med papper och penna som andra elever. • Att bedömning av höga mål[?] och CAS är kompatibla. (Böhm et al. 2004:9, min översättning)

Notera att man formulerar påståenden[!] i stället för frågor. Den tredje punkten gav mig idén att undersöka detta i min egen studie. I kapitel 2 ”bakgrund och forskning” radas olika forsknings-resultat upp, som alla tolkas så att de stöder dessa fyra ”nyckelfrågor”. Intressant är att följa länkar till Austrian Center for Didactics of Computer Algebra (ACDCA), Kutzler (1999) och Computer Algebra Systems in Schools Curriculum, Assessment & Teaching (CAS-CAT). Kapitel 3 ägnas åt CAS-tillståndet i författarnas resp. hemländer: Österrike, Belgien, Danmark, Scotland och Schweiz. I kapitel 4 föreslås ett schema med fem olika kategorier för att klassificera examensfrågor med avseende på CAS. Författarna ger också exempel på uppgifter i de olika kategorierna. (se Bilaga 4) Detta inspirerade mig att klassificera matematikuppgifter i min egen undersökning. I kapitel 5, som är det mest omfångsrika ges elva exempel på olika undervisningsområden, som kan undervisas med hjälp av CAS. (se Bilaga 8, Böhm et al.) Därefter tittar man på olika länders examensprov. Näst sista kapitlet ägnas åt en argumenterande diskussion, där författaren agerar ”advocatus diaboli” genom att ifrågasätta CAS utifrån sex högst relevanta angreppspunkter:

a) Matematikutbildare på 1980/90-talet missbedömde vikten av balans mellan basfärdigheter och räknaranvändning. Är det inte risk att vi gör om samma misstag med CAS, som vi gjorde med andra slags räknare – men på en annan nivå? b) Vilka bevis finns det att elever inte blir beroende av CAS och förlorar förmågan att räkna för hand? c) Vilka är farorna och nackdelarna med att använda CAS-teknologi? d) Kommer inte CAS att öka skillnaden ännu mer mellan de duktiga och de svaga eleverna, och kommer inte matematik att betraktas som ett ännu svårare ämne och på så vis avskräcka elever från att läsa vidare? e) Var finns bevisen för att elever blir mer motiverade med CAS än med grafräknare? f) Vad kan man göra med CAS, som inte kan göras med en grafräknare? (Böhm et al. 2004:123-125, fritt översatt)

Författarna summerar till sist fördelarna av ett effektivt användande av CAS och avslutar med att de tror på att utbildning och inlärning med CAS kan öppna nya dörrar i klassrum, där man har en vision om undervisning och lärande. De hoppas att vi läsare ska göra denna vision till verklighet och finna fördelarna med ’fallet CAS’. (Böhm et al. 2004:127)

3.3.4 Nordisk matematikdidaktik (NOMAD) Jag sökte först forskningsartiklar i tidskriften Nomad eller Nordic Studies in Mathematics Education som den heter på engelska. I de senaste 8 årgångarna (1997-2000, 2004-2007) av Nomad fann jag endast två artiklar med anknytning till datoralgebra eller geometriprogram: Berry, Fentem, Partanen & Tiihala (2004) resp. Engström & Lingefjärd (2007). Ytterligare två tog upp grafräknarens användning på gymnasiet – Bergqvist (1999) och Brown & Stillman (2006). Jag vet att Dahland & Lingefjärd (1996) publicerats i en tidigare årgång av Nomad, men blev förvånad att inte mer forskning publicerats på senare år. (NCM:s & Nämnarens webbplats 2008)

16

3.3.5 The International Journal for Technology in Mathematics Education (IJTME) The International Journal for Technology in Mathematics Education hette tidigare The International Journal of Computer Algebra in Mathematics Education och ges ut av The Centre for Teaching Mathematics (CTM), en forsknings- och resursutvecklingsgrupp vid the University of Plymouth, UK. I tidskriften finns, som namnet antyder, åtskilliga artiklar med anknytning till CAS i utbildningen. Via CTM:s webbsida (CTM 2008) kan man hitta referat av relevanta artiklar även från andra tidskrifter.

3.3.6 The International Journal of Computers for Mathematical Learning (IJCML) The International Journal of Computers for Mathematical Learning ges ut av Springer Netherlands och finns delvis tillgänglig på Internet via tidskriftens hemsida (SpringerLink 2008), där man förutom förlagets tidskrifter även kan söka bland kapitel i förlagets böcker. En sökning på ”computer algebra” och ”education” gav 33 träffar i IJCML (1998-2008) och 396 träffar totalt [2008-05-16]. Relevanta för CAS i undervisningen är t.ex. Kieran & Drijvers (2006) och Monaghan & Ozmantar (2006).

3.3.7 The Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching (JCMST) The Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching ges ut av Association for the Advancement of Computing in Education (AACE) med säte i Virginia, USA. Bland tidigare publicerade artiklar finns många om grafräknare i undervisningen, men även några enstaka artiklar om CAS i undervisning, t.ex. Pierce & Stacey (2001). AACE ger ut flera tidskrifter, som kan sökas via EdITLib, tidigare AACE Digital Library. En sökning på ”Computer algebra” gav dock bara 12 träffar [2008-05-16]. (AACE 2008; EdITLib 2008)

3.3.8 Övriga källor för tidigare och pågående forskning Organisationer som Computer Algebra in Mathematics Education (CAME) samt tidigare nämnda ACDCA, CAS-CAT och CTM har länkar till olika forskningsprojekt om CAS i utbildningen på sina resp. hemsidor (2008). Doktorsavhandlingar från hela världen kan man söka via Göteborgs universitetsbiblioteks hemsida (2008).

The National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) har en sökfunktion på sin hemsida (2008). En sökning på ”computer algebra” och ”education” gav 15 träffar [2008-05-16].

Fri sökning kan ske via databaser som Education Resources Information Center (ERIC). En sökning på ”computer algebra” och ”education” gav 215 träffar. Databaser som MathEduc och MathSciNet kräver inloggning, men gav bara 37 resp. 33 träffar [2008-05-16].

Flest träffar gav Google Scholar. En sökning på ”computer algebra” och ”education” gav 6020 träffar. Till och med en sökning på ”ti-nspire” och ”cas” gav 12 träffar [2008-05-16], denna kombination brukar annars inte ge några träffar vid sökningar efter forskningsrelaterat material.

17

4 Frågeställning och forskningsfrågor Min frågeställning löd: - Hur fungerar den nya symbolhanterande räknaren i matematikundervisningen i de två pilotklasserna på gymnasiets NV-program? Jämfört med tidigare symbolhanterande räknare och jämfört med parallellklasserna som använder vanliga grafräknare. Främst ur elevernas perspektiv, men också ur lärarnas. Mina preciserade forskningsfrågor lyder (elevperspektivet):

• Vad ansåg eleverna i pilotklassen om den nya prototypen? Hur är den att använda? Vad är bra och dåligt [jämfört med de symbolhanterande räknare de hade innan]?

• Hur duktiga är eleverna i pilotklasserna i huvudräkning jämfört med parallellklasserna? Nu och ett år senare?

• Hur duktiga är eleverna i pilotklasserna i handräkning jämfört med parallellklasserna? • På vilket sätt används den slutliga versionen av den nya räknaren? • Vad tycker eleverna i pilotklasserna om de nya symbolhanterande räknarna? • Hur har eleverna i pilotklasserna utvecklats betygsmässigt jämfört med parallellklasserna? • Vilken användning har man av CAS-räknaren i matematik kurs E?

Lärarperspektivet:

• På vilket sätt använder lärarna den symbolhanterande räknaren i undervisningen? • Vad kan man lära ut med hjälp av CAS? Vad kan man inte lära ut med CAS? • Vad krävs av en matematiklärare för att kunna dra fördel av CAS i undervisningen? • Vad krävs av en elev för att kunna dra fördel av CAS som inlärningsverktyg3? • Hur ser lärarna på CAS i matematikundervisningen? • Vad säger gymnasieskolans läroplan om CAS i undervisningen? • Var hittar man svensk forskning om CAS i undervisningen? • Var hittar man information om symbolhanterande räknare i undervisningen? • Hur kan exempel på uppgifter för CAS i matematikundervisningen se ut?

3 Med inlärningsverktyg menar jag hjälpmedel för undervisning och studier, jfr. Dahlands definition av datorstöd 3.1.1.

18

5 Metod Jag prövade flera olika metoder för att finna svaren på mina forskningsfrågor:

• Eleverna i den första pilotklassen fick skriva ”dagbok” om sina räknarprototyper och jämföra dem med de symbolhanterande räknare de hade innan.

• Eleverna i fyra klasser fick göra diagnostiska test i huvud- och handräkning. • Eleverna i de båda pilotklasserna fick besvara en enkät om den nya räknaren. • Jag jämför klassernas medelbetyg i matematik kurs A-D. • Jag kategoriserar matematikuppgifter i kurs E, med avseende på användning av CAS. • Matematiklärarna i pilotklasserna fick besvara en enkät.

5.1 Den studerade gymnasieskolan Gymnasieskolan är en av flera i kommunen och har ca 1000 elever, främst på NV- och TE-programmen. Sedan 5 år tillbaka bedrivs det försöksverksamhet med symbolhanterande räknare i klasser på skolan. Verksamheten inleddes ht 2002 med två NV-klasser, som utrustades med den symbolhanterande räknaren TI-89. (huvudläraren i matematik, samtal feb 2008) På gymnasieskolan där denna undersökning genomfördes, lånar man sedan 4-5 år tillbaka ut miniräknare till eleverna på samma villkor som man lånar ut kurslitteratur. En fördel med detta system är att eleverna i klassen har samma räknarmodell.

5.2 Klasserna i undersökningen Jag kallar klasserna A, B, C och D. Klasserna ABC är parallell-klasser på NV-programmet och detta läsår [2007-08] är de NV3:or. Klass D går i 2:an och saknar egentlig parallellklass på skolan, eftersom man går en variant av NV-programmet med inriktning på programmering. Urvalet elever i denna klass är speciellt och jag hade tänkt jämföra dem med eleverna i årskursen över. Det är klass A och D, som använder de nya symbolhanterande räknarna. Klass A är en ”pilotklass” och har hela sin gymnasietid använt symbolhanterande räknare, först TI-89 i 1:an och större delen av höstterminen i 2:an. Från och med december 2006 byter dessa 21 elever till en prototyp av en helt ny räknare, som används resten av 2:an. Den riktiga räknaren kommer lagom tills de börjar 3:an. Det finns ytterligare tre elever i klassen, som av olika skäl använder vanliga grafräknare. Klass A har två parallellklasser, klass B (20 elever) och klass C (25 elever), där alla elever använder TI-83+, en vanlig grafräknare. Klass D är skolans andra pilotklass, där 31 elever i 1:an provar ut den nya prototypen. Innan använde de TI-84+, en annan grafräknare. Den nya symbolhanterande räknaren kommer när de börjar 2:an. En elev i klassen väljer att i stället fortsätta använda grafräknaren. Alla elever i klass D har dessutom bärbara datorer. Matematiklärarna i undersökningen kallas lärare A och lärare D. Klass A och D använder de nya symbolhanterande räknarna, medan parallellklasserna B och C är med i undersökningen, för jämförelse. För närmare presentation av de olika räknarmodellerna, se Bilaga 6.

19

5.3 Min undersökning Min undersökning har vuxit fram under en längre tid [ht 2006-vt 2008], först spontant och sedan mer strukturerat. Undersökningen består av flera delar. Avsnitt 5.3.1-5.3.5 handlar om elev-perspektivet och 5.3.6 om lärarperspektivet.

5.3.1 Miniräknardagbok Idén om miniräknardagböcker är inspirerad av Dysthe (1996:100-102) och hennes ”klasslogg-böcker”. I klass A, som fick sina miniräknarprototyper 2006-12-01, delade jag i mitten av december ut 21 miniräknardagböcker (rutade A5-kollegieblock), med uppmaningen:

”I det här häftet kan du skriva ned allt som har med din Nspire-räknare att göra. Hur det kändes att vänta ... Hur det var när den kom ... Hur den är att använda ... Vad som är bra och dåligt ... Om ni lär er nya saker ...”

Dagböckerna samlades in under min nästa VFU i slutet av mars 2007. Jag kopierade sidorna med anteckningar och lämnade tillbaka dagböckerna till eleverna 20 april 2007. Min tanke var sedan att de skulle återanvändas på hösten, när den riktiga räknaren kommit, men så blev det av olika anledningar inte. Miniräknardagböckerna handlar därför enbart om prototypen. Jag läste först igenom dagböckerna och antecknade vilka ämnen varje elev tog upp och om de var positiva eller negativa. Vid en andra genomgång ordnade jag ämnena i sex kategorier: väntan, utseende, jämfört med TI-89, bra, dåligt resp. ”lärt oss” och sammanställde resultatet. (se 6.1)

5.3.2 Diagnostiska test Idén att testa eleverna i huvud- och handräkning väcktes av Böhm et al. (2004:12-15) som hävdar att forskning visar att elever som använder CAS är minst lika duktiga med papper och penna som andra. 2006-12-15 genomför jag ett diagnostiskt test i huvudräkning i klass A. Det var 60 skriftliga uppgifter med addition, subtraktion, multiplikation och division, gradvis allt svårare, som skulle lösas individuellt, så många du hann, på 3 minuter. Uppgifterna var framtagna med hjälp av slumpvis dragna sifferbrickor och med större tal för ökande svårighetsgrad. Test 1, se Bilaga 1. I mitten av februari 2007 fick samma elever göra ett test i handräkning – de fyra räknesätten med papper och penna. En enkel uppgift med heltal och en svårare uppgift med decimaltal för varje räknesätt. Sammanlagt 8 uppgifter på 5 minuter. Uppgifterna var framtagna med hjälp av en slumptalstabell och fanns i två versioner, så att ingen ska frestas att kika på grannen. De båda versionerna är gjorda för att vara av exakt samma svårighetsgrad. Test 2, se Bilaga 2. I slutet av april 2007 gjorde klass D samma tester och i december 2007 gjorde klass B testet i huvudräkning, samtidigt som klass A och D fick upprepa huvudräkningstestet en andra gång för att se om det skett någon förändring sedan sist. I februari 2008 utökades studien till båda parallellklasserna. Klass B fick göra handräkningstestet och klass C fick göra båda testen. För alla klassers testresultat, se 6.2. Diagnostiskt test Klass A Klass B Klass C Klass DTest 1:1 Huvudräkning Dec-06 Dec-07 Feb-08 Apr-07Test 1:2 Huvudräkning Dec-07 - - Dec-07Test 2 Handräkning Feb-07 Feb-08 Feb-08 Apr-07

Tabell 1: Diagnostiska test i klasserna A, B, C och D.

5.3.3 Elevenkät I december 2007 genomförde jag en enklare enkät i klass A och D. Enkäten hette ”Att använda TI-Nspire CAS på gymnasiet (ht-07)” och frågorna rörde alltså inte prototypen, utan enbart den

20

färdiga räknaren. Frågorna handlade om hur räknaren använts under terminen och om hur eleverna upplevt användandet. Först ville jag veta om eleverna använt det medföljande dator-programmet eller inte, därefter frågade jag i vilka kurser de använt TI-Nspire CAS. Flera frågor följde om hur ofta de använt olika räknarfunktioner, vilka CAS-funktioner som varit mest användbara och om räknaren använts som inlärningsverktyg. Sedan fick de ta ställning till ett påstående ur reklamen för räknaren och svara på frågor om ändrad lust att lära matematik, jämföra räknaren med sin tidigare, ange vad som är bäst och sämst med den nya räknaren och slutligen betygsätta den. Anledningen till att jag gjorde enkäten redan på höstterminen var att eleverna i klass A höll på att avsluta matematikkurs D och några av dem skulle inte läsa matematik alls på vårterminen. För enkätfrågorna, se Bilaga 3. För resultatet, se 6.3.

5.3.4 Jämförelse av kursbetyg i matematik Jag jämförde den relativa betygsfördelningen (kursbetyg i matematik, registrerade 2008-02-27) inbördes mellan klasserna A-C för kurs ABCD. Jag tänkte göra samma jämförelse för klass D och matematikkurs ABC, för att se hur betygsfördelningen hade ändrats mellan olika kurser. Klass A använde prototypen i kurs C och den nya räknaren i kurs D. Klass D använde prototypen i kurs B och den nya räknaren i kurs C. För resultatet av betygsjämförelsen, se 6.4.

5.3.5 Kategorisering av uppgifter i matematik kurs E Dahland & Lingfjärd (1996) fann tre olika typer av matematikuppgifter, beroende på vilken användning eleven har av den grafiska räknaren (kategoriseringen kan variera mellan olika elever):

Typ I: Grafräknaren har ingen omedelbar användning. Typ II: Grafräknaren är ett självklart verktyg vid lösningen av uppgiften. Typ III: Grafräknaren kan användas för en grafisk lösning på ett annars algebraiskt problem. (Dahland & Lingfjärd 1996:36)

I Böhm et al. (2004:23) föreslås ett schema med fem kategorier (C0-C4) för att klassificera examensfrågor med avseende på CAS. Även här gäller att kategoriseringen kan variera för olika personer, t.ex. mellan C0 och C1. För exempel på uppgifter i kategorierna C0-C4, se Bilaga 4.

C0: Uppgifter där CAS hjälper lite eller inte alls, eller det går snabbare att lösa för hand. C1: Vanliga uppgifter som löses snabbare eller blir triviala med CAS. C2: Uppgifter som verkligen testar förmågan att använda CAS. C3: Vanliga uppgifter som utökats till CAS-uppgifter. C4: Uppgifter som är svåra, tidsödande eller omöjliga att lösa utan CAS. (Lokar & Lokar 2001)

Eftersom jag studerat Matematik 3000, kurs E (Björk & Brolin 2001), en vanlig lärobok [skriven för elever med tillgång till grafräknare], så har jag bara haft användning av följande tre kategorier: K 0: Vanliga uppgifter där CAS hjälper lite eller inte alls. K.5: Vanliga uppgifter, där vissa delar av uppgiften blir triviala med CAS. K 1: Vanliga uppgifter som blir helt triviala med CAS. K 1 förutsätter att man behärskar tekniken för CAS och hit räknas även uppgifter som kanske skulle kunna gå snabbare att lösa för hand, men som blir triviala med CAS, d.v.s. man kan mata in den givna uppgiften och få ut det efterfrågade svaret på räknaren. Jag kategoriserade 15 A-uppgifter (relativt enkla), 15 B-uppgifter (medelsvåra) och 15 C-uppgifter (svåra) m.a.p. användning av CAS-räknare, för att se hur de fördelar sig mellan olika kategorier. Uppgifterna fanns alla under rubriken ”Kan du kurs E?” (Björk & Brolin 2001:170-175) och var representativa för hela kursens innehåll. För resultatet av kategoriseringen, se 6.5.

21

5.3.6 Lärarenkät Jag skickade frågorna med e-post (2008-03-31) till matematiklärarna i klass A och D. Jag frågar om lärarnas första kontakt med CAS, hur länge de använt CAS i undervisningen och vilka kurser de undervisat med den nya räknaren [ht-07]. Jag frågar hur de använder CAS i klassrummet, vad som krävs av lärare och elever för att ha nytta av CAS och om vissa kurser lämpar sig bättre att undervisa med CAS. Jag frågar om deras åsikt om den nya räknaren och slutligen deras tankar om framtiden. För enkätfrågor och lärarnas svar, se 6.6.

5.3.7 Övriga forskningsfrågor De övriga forskningsfrågorna besvaras inom ramen för den litteraturstudie som resulterade i avsnitten Bakgrund och Tidigare forskning. Jag har sökt relevanta böcker, tidskrifter och andra informationskällor på universitetsbiblioteket och på Internet. Jag har med skiftande framgång använt mig av Google, bibliotekskataloger, forskningsdatabaser och Artikelsök.

5.4 Begränsningar Jag bedömde att det skulle bli för mycket arbete att använda miniräknardagböcker även i klass D, så därför delades de bara ut i klass A. Diagnostiska test delades ut i alla fyra klasserna. Om jag redan från början bestämt vilka klasser som skulle vara med i undersökningen, hade jag valt att dela ut alla testen vid gemensamma tidpunkter och inte som nu skett, lite då och då. Alla klasser skulle upprepat test 1 med ett års mellanrum och alla klasser skulle gjort test 2 så tidigt som möjligt. Om tiden räckt till hade jag kunnat genomföra fler typer av tester i klasserna. Elevenkäten i klass A och D blev lite improviserad p.g.a. tidsbrist vid konstruktionen. Några av frågorna kunde varit mer genomtänkt formulerade. Exempelvis kunde jag börjat med att fråga om eleverna installerat programmet på datorn, förklarat vad jag menar med ”inlärningsverktyg” och bett dem betygsätta även sin gamla räknare, som jämförelse. Jämförelsen av kursbetyg skulle egentligen varit en jämförelse av resultat på nationella prov i matematik ABCD, men kursbetygen var lättare att få tag på från expeditionen. Klass D hade bara registrerats för kurs AB [feb 2008] och resultat för kurs C väntades inte förrän juni. De uteslöts därför från jämförelsen. Jämförda matematikuppgifter av olika svårighetsgrad kunde ha innefattat alla kurser ABCDE, men eftersom repetitionen av kurs E i Björk & Brolin (2001) bestod av 15 uppgifter i respektive svårighetsgrad A/B/C, föll det sig naturligt att välja ut just denna kurs för min pilotstudie. Jag valde att bara ställa frågor till matematiklärarna i de två klasser där den nya symbolhanterande räknaren används. Dessa frågor ställdes via mail i stället för vid intervju, mest av praktiska skäl. Eventuella följdfrågor kan även ställas via mail, så skillnaden är inte så stor i detta fall, eftersom en intervju skulle varit av typen muntlig enkät. I en större studie hade man även kunnat ta med övriga matematiklärare och ställt fler öppna frågor.

5.5 Bortfall Bortfallet i min undersökning är överlag lågt. I klass A finns några elever, som av olika skäl inte deltar i pilotstudien, men av 21 utdelade miniräknardagböcker får jag in 19 st, vilket motsvarar 90%.

22

134 elever i test 1 (huvudräkning) motsvarar 86% deltagande. Vid jämförelsen av test 1:1 och 1:2 försvinner de elever som bara deltagit vid ett av tillfällena. Dessutom räknar jag bort tre elever ur klass A, eftersom de slutat räkna för tidigt på test 1:1 och därmed presterat ett missvisande dåligt resultat. 84 elever i test 2 (handräkning) motsvarar 84% deltagande. Observera att jag i dessa test räknat med 23 elever i klass A. Två av dessa har inte använt den nya räknaren. En av eleverna var inte med på något av testen. Den andra deltog i test 1:1 och test 2, med bra resultat. Jag har inte bedömt det som nödvändigt att räkna om resultatet p.g.a. detta tillskott. 20 enkäter av 21 möjliga från klass A och 30 enkäter av 31 möjliga i klass D motsvarar hela 96%. En elev av 32 i klass D har valt att använda sin TI-84 i stället för TI-Nspire CAS. Bortfallet av enkätsvar är marginellt (högst 4%) utom på fråga 8 (12%), fråga 9 (8%), fråga 11 (20%), fråga 14 (10%) och fråga 15 (24%). De övriga 11 frågorna besvarades av minst 96% (48 elever av 50). I jämförelsen av kursbetyg räknar jag med 21 elever i klass A, 20 i klass B och 25 i klass C. Det är inget ytterligare bortfall jämfört med tidigare. Däremot föll hela jämförelsen med klass D bort, eftersom de bara hunnit få betyg i ma AB och den kursen var slut på vt 2007, innan de riktiga räknarna kommit. Kursbetyget i ma C sätts inte förrän i juni 2008. I jämförelsen av uppgifter i matematik kurs E var det inget bortfall. Alla 45 uppgifterna är med i studien. Lärarenkäten befarade jag först skulle förbli obesvarad. Våren är en hektisk tid i skolan, men efter påminnelser fick jag in svar från både lärare A och D. Svaren var kortfattade, men täckte i stort mina frågor. Informationssökningen är först och främst inriktad på symbolhanterande räknare och ”computer algebra”. Det är tiden, tillsammans med min erfarenhet av informationssökning, som varit den begränsande faktorn.

23

6 Resultat

6.1 Miniräknardagbok Av 21 utdelade miniräknardagböcker fick jag efter ca tre månader in 19 st. Några elever hade slarvat bort sina och skrivit på lösblad i stället. Av 19 tillfrågade elever tillät 17 att deras dagböcker fick publiceras anonymt i examensarbetet. Dessa 17 dagböcker återfinns i Bilaga 5.

6.1.1 Översikt Kategori Ämne 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19Väntan Upplevd n x n x x n x x n x

Utseende Design p p n –– ” –– Stor/klumpig n n n –– ” –– Ful n

Jfr TI-89 Batteritid/byten n n n n n n n n n n n n n –– ” –– Knappar p p p n n n n p –– ” –– Pekare p n n p –– ” –– Hastighet n n p p n –– ” –– Grafer n n p n n –– ” –– Mer kompl. n –– ” –– Mycket Bättre p p –– ” –– Gränssnitt p –– ” –– Överblick p

Bra Dok. hantering p p p –– ” –– Stor skärm p p –– ” –– Flera fönster p p –– ” –– Katalogen p –– ” –– Historik p –– ” –– Page sorter p –– ” –– Menyer p –– ” –– Stora tal p –– ” –– Snygga grafer p –– ” –– Ctrl-Z p –– ” –– Lätthanterlig p –– ” –– Programvara p Dåligt Inte svenska n n n –– ” –– Graf-Zoom n n –– ” –– Tal i nämnaren n –– ” –– Ej √x -knapp n n –– ” –– Hoppa i text n n –– ” –– Installera CD n n n –– ” –– Oljud n –– ” –– Startar ej n –– ” –– Ej Vista™-komp n –– ” –– Batteri-indikator n n –– ” –– Värden raderas n Lärt oss Tal-omvanlingar x x x –– ” –– Kurvanpassning p p –– ” –– Derivering p p –– ” –– Ekvationer n p –– ” –– Dok: Fysik-lab p –– ” –– Ordbehandling p

Tabell 2: Innehållet i dagböckerna sorterat efter ämne. Ett x markerar att ämnet är omnämnt, ett p betyder positivt omdöme och ett n betyder negativt omdöme. (mina beteckningar)

24

Kategori Positiva Neutrala NegativaVäntan - 6 4

Utseende 2 - 5 Jfr TI-89 13 - 27

Bra/Dåligt 16 - 19 Lärt oss 7 3 1

Tabell 3: Sammanställning av värdeomdömen i dagböckerna sorterade efter kategori.

6.1.2 Ett urval citat Resultatet ger en mångfacetterad bild. Nedan följer ett urval citat ur miniräknardagböckerna. Om väntan: ”Innan vi hade fått miniräknaren gick man och väntade. Den var flera veckor försenad! Jag tror att vi alla frågade om miniräknaren vid varje tillfälle som gavs och äntligen, äntligen har den kommit!” (4)

”Det kändes som om vi var viktigare än andra klasser.” (14)

”Alla i klassen var ju som små barn på julafton...” (15)

”Vi fick vänta mkt längre än jag trodde vi skulle få, och det var trist, men nu är jag glad i alla fall! Är värsta stolt över den.” (7)

”har fått reda på att en annan klass ska få en miniräknare likadan som vår. Nu känns det inte lika speciellt längre...” (13) Om utseendet: ”Den var stor, ny, luktade ny plast/gummi, stor display, många nya funktioner och knappar. Sammanfattning: rena rama drömmen.” (4)

”Räknaren är bra och har mycket funktioner som är nyttiga till mycket, men den är lite stor och ful ☺” (12)

”Den feta displayen gör att räknaren får en konstig tyngdpunkt. Det saknar jag mest från våran förra MINIräknare... :P” (15)

”Jag upplever att det är ganska onödigt mycket design både utanpå och inuti räknaren, när det kommer till kritan har det varit få ”wow”-upplevelser.” (16) Jämfört med TI-89: ”Den här nya räknarn är mycket bättre än den som vi hade förut. Den är mycket enklare också. Det som jag tyckte var bra med den nya är att bokstäver och siffror inte är på samma knappar, som på den gamla.” (8)

”Dåligt: Batterierna tar slut snabbt = ILLA! Har redan bytt batterier 2 ggr på 4 månader. Den andra vi hade innan har jag aldrig bytt batterier på och den hade vi i ca 1.5 år.” (9)

”Graffunktionen, måste få tillbaka vissa gamla saker, t.ex. lätt att finna min och max, gällande grafer är 89:an bättre.” (17)

”Miniräknaren reagerar långsammare på knapptryckningar än TI-89.” (10)

”Efter sådär tre veckor känns det som man alltid har haft den... och den gamla miniräknaren ligger numera bara i skåpet och vilar.” (5) Bra: ”Jag gillar upplägget med Document Browser. Det blir lätt att hitta bland filer.” (10)

”Riktigt bra är det att det finns en katalog med massa olika konstanter, längdenheter, volymenheter osv.” (6)

”Att den har samma kortkommandon som en dator, ctrl+c, ctrl+v & ctrl+z är jättebra att ha.” (17) Dåligt: ”det finns inget svenskt språk. Det är dåligt.” (2)

”Man borde kunna ställa in ett eget window och själv bestämma x o y värden när man ritar grafer.” (3)

”Vi har fått koderna till programmen på datorn, men jag får bara en massa felmeddelanden.” (16) Vad vi har lärt oss: ”[...] idag lärde vi oss i alla fall hur man omvandlar från det decimala talsystemet till det binära.” (1)

”Gjorde en fysiklabb med tabell och graf, mycket smidigt att kunna spara allt som dokument!” (16)

”Jag hade gjort en derivering och blev osäker på ifall jag gjort rätt eller inte, så jag tog fram miniräknaren och kontrollerade.” (11)

25

6.2 Diagnostiska test

6.2.1 Huvudräkning Klass A B C D totalt test 1:1 1:2 1 1 1:1 1:2 datum 2006-12-15 2007-12-19 2007-12-19 2008-02-11 2007-04-20 2007-12-19 elever (i klassen) 20 (av 23) 16 (av 23) 16 (av 20) 22 (av 25) 30 (av 32) 30 (av 32) 134 stbesvarat (av 60) 52,9 56,3 54,6 55,5 55,4 57,5 55,5 rätt (av 60) 51,7 54,6 51,9 54,0 53,7 55,5 53,7 fel-% (av besvarat) 2,3% 3,0% 4,9% 2,7% 3,2% 3,4% 3,2%

Tabell 4: Resultat av test i huvudräkning: medelvärden för resp. test, samt totalt för alla huvudräkningstest.

Alla fyra klasserna var ganska jämna vad det gäller antal besvarade uppgifter. I klass A var det tre elever som missförstod instruktionen och slutade räkna innan tiden var ute. Därför har klass A ett lägre medeltal besvarade uppgifter vid test 1:1. Klass B räknade mest fel, ca 5%, medan klass A och C räknade minst fel. Klass D hann med flest uppgifter och hade flest rätt vid test 1:2.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Klass A 1:1 Klass A 1:2 Klass B 1 Klass C 1 Klass D 1:1 Klass D 1:2

60 p

58-59

56-5754-55

52-53

50-5145-49

40-44

≤ 39

Diagram 1: Resultat av huvudräkningstest: poängfördelning i klasserna vid resp. testtillfälle.

Klass A hade störst spridning på sina resultat. Både klass A och D ökade andelen höga poäng och minskade andelen låga poäng vid det andra testet. För att kunna göra en mer rättvisande jämfö-relse räknade jag bara med de elever som varit med vid båda provtillfällena i klass A resp. D. Klass A A* D test 1:1 1:2 1:1 1:2 1:1 1:2 urval (antal test) 15 (av 20) 15 (av 16) 12 (av 20) 12 (av 16) 28 (av 30) 28 (av 30) besvarat (av 60) 52,6 56,1(+3,5) 56,8 57,6 (+0,8) 55,9 57,3 (+1,4) rätt (av 60) 51,5 54,6 (+3,1) 56,0 56,5 (+0,5) 54,1 55,5 (+1,4) fel-% (av besvarat) 2,2% 2,7% 1,5% 1,9% 3,1% 3,2%

Tabell 5: Jämförelse mellan test 1:1 och 1:2 för klasserna A och D. Endast ett urval av eleverna är medräknade. * Tre elever borträknade p.g.a. missvisande resultat i test 1:1.

Sedan jag i A* räknat bort även de tre eleverna med missvisande låga resultat på test 1:1, visade det sig att klass A ändå höjt sitt medelresultat något. Siffrorna för klass D är dock betydligt mer signifikanta eftersom 28 av 32 elever ingår i urvalet, mot endast 12 av 23 för klass A. Resultatet visar ingen försämring mellan provtillfällena för klass A och D, snarare en viss förbätt-ring. Klass B ligger något under och klass D något över totala medelvärdet för klasserna.

26

6.2.2 Handräkning Klass A B C D totalt datum 2007-02-16 2008-02-11 2008-02-11 2007-04-27 elever (klassen) 17 (av 23) 15 (av 20) 22 (av 25) 30 (av 32) 84 st besvarat (av 8) 5,24 6,60 5,41 5,67 5,68 rätt (av 8) 3,35 5,13 4,23 3,93 4,11 fel-% (av besvarat) 36% 22% 22% 31% 28%

Tabell 6: Resultat av test i handräkning: medelvärden för resp. test, samt totalt för alla handräkningstest. Klasserna var betydligt mer ojämna i räkning med papper och penna. Klass B fick revansch för huvudräkningen. I handräkning var de snabbast och räknade mest rätt. Klass C hann inte räkna riktigt lika många uppgifter som klass D, men de räknade mindre fel. Klass D hamnade strax under medel och sist kom klass A med färre antal lösta uppgifter och högst andel fel.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

A+ − × ÷ B+ − × ÷ C+ − × ÷ D+ − × ÷

ej svarfelrätt

Räknesätt A B C D totaltAddition fel: 25% rätt 50% 83% 73% 60% 65% ej svarat 18% 0% 9% 10% 10% Subtraktion fel: 18% rätt 62% 73% 66% 67% 67% ej svarat 24% 7% 18% 13% 15% Multiplikation fel: 20% rätt 35% 67% 48% 47% 48% ej svarat 38% 17% 39% 30% 32% Division fel: 15% rätt 21% 33% 25% 23% 25% ej svarat 59% 47% 64% 63% 60%

Tabell 7: Testresultat, fördelade på räknesätt. Diagram 2: Klassernas resultat fördelat på olika räknesätt. Något överraskande visade det sig att eleverna i klass A och D behärskade subtraktion bättre än addition. Andelen rätt lösta multiplikationsuppgifter var lägre och på jumboplats kom divisionen, som många glömt hur de skulle ställa upp. En bidragande orsak till den lägre svarsfrekvensen för multiplikation och division kan också ha varit tidsbrist. De två sista uppgifterna på testet var just en multiplikation och en division.

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Klass A Klass B Klass C Klass D

8 rätt7 rätt

6 rätt

5 rätt4 rätt

3 rätt

2 rätt1 rätt

0 rätt

Diagram 3: Resultat av handräkningstest: poängfördelning inom resp. klass. Klass A hade ingen elev med mer än 5 rätt. Klass B och C hade ingen elev med mindre än 2 rätt. Störst spridning hade klass D.

27

6.3 Elevenkät, hösten 2007 Av 21 elever med CAS-räknare i klass A fick jag in 20 enkätsvar och av 31 elever i klass D fick jag in 30 enkätsvar. 50 enkäter av 52 är ca 96%, vilket var över förväntan. Bortfallet är dock större på vissa frågor. Jag presenterar varje enkätfråga för sig med klassvis svarsfördelning, procentuell fördelning för vissa frågor, totalt antal svar och antalet inlämnade enkäter inom hakparentes. Fråga 1: Hur har du använt TI-nspire CAS? Klass A Klass D Båda klasserna Enbart miniräknare 15 75% 22 76% 37 75,5% Både räknare och dator 5 25% 7 24% 12 24,5% Enbart programvaran - 0% - 0% - 0%

Totalt antal svar 20[20] 29[30] 49[50]

Jag blev förvånad att så få använt sig av programvaran. Alla eleverna i klass D har bärbara skol-datorer. Det är också oklart hur många som verkligen försökt installera programmet. Fråga 2: I vilka kurser har du använt TI-nspire ht-07? Klass A Klass D Klass A Klass D Ma A - 2 Fy A - 3 Ma B - 4 Fy B 19 26 Ma C 7 26 Ke A - 22 Ma D 19 4 Ke B 2 - Ma diskret 2 - Ke breddning 3 -

övriga svar - 3 Totalt antal svar 19[20] 29[30]

I klass A har alla elever läst kurserna Ma D och Fy B under höstterminen. Alla elever i klass D har läst Ma C, Fy B och förmodligen även Ke A. Övriga svar var ”flera”, ”alla” och ”MaFyKe”. Fråga 3: Har du använt textbehandlings-funktionen (Notes)? Klass A Klass D Båda klasserna Nej 12 9 21 1-3 gånger 8 14 22 4-9 gånger - 5 5 Varje vecka - 1 1 Varje dag - - - Oftare - - -

antal svar 20[20] 29[30] 49[50]

Få elever har använt ordbehandlingsapplikationen mer än någon enstaka gång. Jfr fråga 1. Fråga 4: Har du använt kalkylblad (Lists & Spreadsheets)? Klass A Klass D Båda klasserna Nej 1 - 1 1-3 gånger 3 6 9 4-9 gånger 12 15 27 Varje vecka 3 6 9 Varje dag - 3 3 Oftare - - -

antal svar 19[20] 30[30] 49[50]

De flesta elever har använt list- och kalkylbladsapplikationen några gånger under terminen.

28

Fråga 5: Har du använt grafikfunktionen (Graphs & Geometry)? Klass A Klass D Båda klasserna Nej - 1 1 1-3 gånger - 3 3 4-9 gånger 3 5 8 Varje vecka 15 17½ 32½ Varje dag 2 2½ 4½ Oftare - 1 1

antal svar 20[20] 30[30] 50[50]

De flesta elever använde graf- och geometriapplikationen varje vecka. En elev har kryssat mitt emellan varje vecka/dag. Fråga 6: Har du använt CAS-funktionerna? Klass A Klass D Båda klasserna Nej - 1 1 1-3 gånger - 4 4 4-9 gånger 1 6 7 Varje vecka 10 10½ 20½ Varje dag 7 6½ 13½ Oftare 2 2 4

antal svar 20[20] 30[30] 50[50]

De flesta eleverna använde CAS-funktioner varje vecka eller varje dag. En elev har kryssat mitt emellan varje vecka/dag. Det är två olika elever i klass D, som svarat nej på fråga 5 och 6. Fråga 7: Vilka CAS-funktioner har du haft mest användning av? (rangordna om möjligt) Klass A Klass D

placering 1:a 2:a 3:e 1:a 2:a 3:e Lös ekvation 15 1 1 19 2 1 Derivera funktion 3 11 3 1 8 1 Integrera funktion 1 5 10 - - - Övrigt (ej CAS) 1 1 6 8 4 3

antal svar 20[20] 28[30]

De flesta eleverna satte ”solve” först, därefter derivera och integrera. Eleverna i klass D använder inte integrering ännu. De övriga funktioner som nämndes var ”grafer”, ”kalkylator”, ”nDeriv” (numerisk derivering), ”listor”, ”anteckningar”, de fyra räknesätten, ”log” och ”enter”. Fråga 8: Har TI-nspire använts som ett inlärningsverktyg i undervisningen? Klass A Klass D Båda klasserna Nej 7 37% 15 60% 22 50% Vet ej 5 26% - 0% 5 11% Ja 7 37% 10 40% 17 39%

antal svar 19[20] 25[30] 44[50]

Här går uppfattningarna starkt isär. De som svarat ja i klass A anger att studera grafer, t.ex. exponentialfunktioner och logaritmer, grafiska lösningar, funktionstabeller, kurvregression (fysiken) etc. I klass D talas det också om förståelse av grafer, att förtydliga och visa, göra det lättare att förstå och att bevisa ”matematiska saker”.

29

Fråga 9: ”Alla elever har olika sätt att lära sig på. Vissa förstår ekvationer utan problem, en del tar snabbt åt sig tabeller medan andra föredrar diagram.” Stämmer detta in på dig? Klass A Klass D Båda klasserna Nej 9 47% 12 44% 21 46% Ja 10 53% 15 56% 25 54%

antal svar 19[20] 27[30] 46[50]

Detta är ett citat från marknadsföringen av räknaren. Tydligen tycker lite drygt hälften av eleverna att det stämmer in på dem. En elev i klass D förstod inte frågan. Följdfråga: Om ja, vilken typ är du själv? Klass A Klass D Båda klasserna Ekvationer 6 60% 7½ 58% 13½ 59% Tabeller - 0% 2 15% 2 9% Diagram 1 10% 2½ 19% 3½ 15%

övrigt 3 30% 1 8% 4 17% antal svar 10[10] 13[15] 23[25]

De flesta skriver att de föredrar ekvationer. En elev i klass D skriver både ekvationer/diagram. Under övriga svar: en är ”snabb”, en lär sig ”hyfsat”, en vill ”veta vad man ska ha det till” och en är ”inget av alternativen”. Fråga 10: Har din lust att lära matematik förändrats på grund av TI-nspire? Klass A Klass D Båda klasserna Kategori Minskat 1 5% 1 3% 2 4% Lite ner 1 5% - 0% 1 2%

Kat. I: Minskad lust

Oförändrad 11 55% 20 69% 31 63% Kat. II: oförändradLite upp 7 35% 8 28% 15 31% Ökat - 0% - 0% - 0%

Kat. III: Ökad lust

antal svar 20[20] 29[30] 49[50]

Det här var en intressant fråga tyckte jag. De flesta (63%) har svarat oförändrad lust, något ökad lust anger ungefär hälften så många (31%) och övriga anger sänkt lust (6%). Jag använder dessa tre kategorier elever senare för att studera om de skiljer sig åt på andra frågor.

Förändring i lusten att lära matematik

0%

20%

40%

60%

80%

100%

Klass A Klass D

Ökat Lite uppOförändradLite nerMinskat

Diagram 4: Klassvis svarsfördelning på fråga 10.

30

Fråga 11: Vad hade du för räknare innan? Klass A Klass D TI-84/TI-84 Plus - 18 TI-89 17 -

övrigt 2 3 antal svar 19[20] 21[30]

Som förväntat har de flesta elever i klass A tidigare haft den symbolhanterande TI-89. Övriga svar var ”mobilen” och ”gammal”. I klass D svarade de flesta TI-84. Bortfallet var stort och jag tror inte att de kom på vad räknaren hette. Övriga svar var ”TI-83”, ”dålig gammal” och ”ingen”. Fråga 12: Tycker du TI-nspire varit lätt att lära sig (jämfört med din tidigare)? Klass A Klass D Båda klasserna Kat. I Kat. II Kat. III Nej 6 30% 3 10% 9 18% 1 33% 7 23% 1 7% Delvis 7 35% 12 41% 19 39% 2 67% 10 32% 7 47%Ja 7 35% 14 48% 21 43% - 0% 14 45% 7 47%

antal svar 20[20] 29[30] 49[50] 3[3] 31[31] 15[15]

De flesta eleverna svarar att de tycker att den nya räknaren varit lätt att lära sig helt (43%) eller delvis (39%). Övriga svarar nej (18%). Bland svaren fördelade på kategorier ser vi en väntad fördelning med relativt färre ja i kat. I (minskad lust) och relativt färre nej i kat. III (ökad lust). Fråga 13: Håller du med om att TI-nspire är ”enkel att använda”? Klass A Klass D Båda klasserna Kat. I Kat. II Kat. III Nej 1 5% - 0% 1 2% 1 33% - 0% - 0% Delvis 14 70% 10 34% 24 49% 2 67% 16 52% 6 40%Ja 5 25% 19 66% 24 49% - 0% 15 48% 9 60%

antal svar 20[20] 29[30] 49[50] 3[3] 31[31] 15[15]

Nästan alla elever (98%) tycker att den nya räknaren är helt eller delvis enkel att använda. Här visar sig kategorierna ha en ännu tydligare skillnad mellan svarsalternativen. Kat. I (minskad lust) svarar även på denna fråga nej/delvis, medan kat. II (oförändrad lust) svarar ja/delvis i lika mån (48-52) och kat. III (ökad lust) upplever att räknaren är enkel att använda i största mån (60-40). Fråga 14: Vad tycker du är bäst med TI-nspire CAS?

20[20] svar från klass A, 25[30] svar från klass D, några nämner fler än en sak. De flesta svararmängden funktioner/möjligheter/den kan allt(17), följt av gränssnittet/GUI:n/menyerna/pekaren(10)och stort fönster/upplösningen/tydlig(5). Några nämner enskilda funktioner: solve(3), grafritaren(2),integral(1) och bråkräkning(1). Andra skriver praktisk/lätt att förstå/lätt att använda/enkel(4),styrkan(1), går att ansluta till datorn(1) och knappar(1). Sedan återstår de generaliserande svarenden kan allt(1), ok(1), det mesta(1), allt(1) och inget(1).

Fråga 15: Vad tycker du är sämst?

18[20] svar från klass A, 20[30] svar från klass D. Flest svarade batteritiden(9), några svaradedesignen/ful/klumpig(3), stor(3), röriga knappar/lätt komma åt fel knapp/bokstavsknapparna(3),pekaren/navigeringen seg/svår(3), plottrig display(2), graf-funktionen(2), zoom-funktionen(2), variabelnamnpå listor och tab-knappen i menyer(1). Övriga svarade komplicerad/svår att förstå/oöverskådligafunktioner/för många komplexa funktioner(4), för mycket att lära sig/mycket vi inte lärt oss(2), krångligibland(1), inget(2) och allt(1).

31

Fråga 16: Vad sätter du för medelbetyg på en skala från 0 (sämst) till 10 (bäst)? betyg Klass A Klass D betyg Klass A Klass D

0 - - 6 - 2 1 - - 7 4 4½ 2 1 - 8 7 13½ 3 - 1 9 6 6 4 - - 10 2 1 5 - - Totalt antal svar 20[20] 28[30]

Medelbetyget i klass A blir 8 av 10, eller 80%, medelbetyget i klass D blir 7,8 av 10 eller 78%. Detta var den sista enkätfrågan.

6.4 Jämförelse av kursbetyg i matematik ABCD Klass A Klass B Klass C

kurs A B C D A B C D A B C DMVG 13 11 10 7 13 9 11 8 16 17 16 14VG 6 8 7 9 6 7 4 4 9 5 5 6G 2 2 3 3 1 4 4 5 - 3 3 2IG - - 1 2 - - 1 3 - - 1 3

totalt antal 21 21 21 21 20 20 20 20 25 25 25 25

Tabell 8: Betygsfördelning inom matematikkurs ABCD för resp. klass.

Klass A

0%

20%

40%

60%

80%

100%

A B C D

Klass B

0%20%40%60%80%

100%

A B C D

Klass C

0%

20%40%

60%80%

100%

A B C D

MVGVGGIG

Diagram 5A, 5B, 5C: Betygsfördelning inom matematikkurs ABCD för resp. klass. Jag beräknade kursmedelbetyg för klasserna med IG = 0p, G = 10p, VG = 15p och MVG = 20p.

13141516171819

A B C D

KlassAKlassBKlassC

Klass A Klass B Klass C Klass ABCKurs A 17,62 18,00 18,20 17,95 Kurs B 17,14 16,25 17,80 17,12 Kurs C 15,95 16,00 17,00 16,36 Kurs D 14,52 13,50 15,60 14,62

totalt antal 21 20 25 66 Tabell 9: Betygsmedelvärde för matematikkurs ABCD för resp. klass och för alla tre klasserna tillsammans. Betygsmedelvärdet sjunker för alla klasser, när kurserna blir svårare. Klass A låg lägst från början i kurs A och föll 3,10 betygspoäng till kurs D, medan klass B sjönk 4,50 betygspoäng. Klass C låg högst från början och sjönk minst: 2,60 betygspoäng.

32

6.5 Kategorisering av uppgifter i matematik kurs E

Svårighetsgrad

Tabell 10: Fördelning av uppgifter av svårighetsgrad A, B, C på olika kategorier. K 0: Vanliga uppgifter där CAS hjälper lite eller inte alls. K.5: Vanliga uppgifter, där vissa delar av uppgiften blir triviala med CAS. K 1: Vanliga uppgifter som blir helt triviala med CAS. Som väntat hittar vi de flesta uppgifterna av kategori K 1 bland de enklare A-uppgifterna, de blir färre bland B-uppgifterna och saknas helt bland de svårare C-uppgifterna. Typexempel på K 1-uppgift är ekvationer och differentialekvationer, som löses med räknaren. En K.5-uppgift kan vara att ställa upp en volymintegral, som sedan löses med räknaren och till K 0 hör att tolka grafer, ställa upp differentialekvationer eller beskriva numeriska lösningsmetoder.

6.6 Lärarenkät Båda lärarna svarade via e-post; lärare A: 2008-04-11 och 2008-05-02, lärare D: 2008-04-29. Fråga 1: När kom du i kontakt med CAS första gången? Hur länge har du använt det i din undervisning? Vilka kurser undervisar du/har du undervisat med TI-Nspire CAS? A: Det var 1998, kanske var det något tidigare. Jag började en försöksverksamhet i en NV 1-klass hösten 2002. Projektet pågick i 3 år. Resultatet var skolans överlägset bästa klass i matematik. I kurserna MA C, D, E och diskret matematik. (något avkortat, min anm.)

D: För 5 år sedan. 5 år. Under läsåret C och D kurs. Fråga 2: Hur brukar du använda CAS i klassrummet? Finns det undervisningssituationer som lämpar sig särskilt bra för CAS? Finns det situationer då du har mindre användning av/undviker CAS? A: Det finns många situationer, som passar för att använda TI-nspire CAS. Ex.vis visa räta linjens ekvation med att variera k- och m-värdena. D: Ungefär som andra räknare. Grafhantering är bättre än hos tidigare versioner- interaktiv. Nej.

Fråga 3: Krävs det särskild kompetens hos läraren för att utnyttja CAS i undervisningen? Hur har du lärt dig använda CAS-räknare/programvara? Anser du att särskild utbildning behövs, för att kunna använda CAS på ett bra sätt i undervisningen? A: Jag anser att särskild utbildning behövs för att läraren skall kunna använda räknaren fullt ut.

D: Läraren bör ju kunna räknaren hyfsat. Mest på egen hand men även deltagit i några kurser. Utbildning behövs.

kategori A B C ABC K 0 4 3 6 13 K.5 4 8 9 21 K 1 7 4 0 11

antal uppgifter 15 15 15 45 0%

20%40%60%80%

100%

A B C

K 0K.5K 1

33

Fråga 4: Upplever du att vissa elever har mer nytta av CAS än andra? (Elevenkäten tyder på att det är så...) Vilka elever har mest nytta av CAS? Vilka elever har mindre nytta av CAS? A: Mest nytta har de elever, som är mest intresserade och förstår den stora nyttan av en sådan räknare.

D: Ja. Det behövs ganska mycket initialjobb av eleven för att han skall kunna utnyttja alla finesser och då har de duktigare eleverna en fördel. För svagare elever kan den nog bli en belastning. Fråga 5: Upplever du skillnad mellan nyttan av CAS i olika matematikkurser? Har din klass dragit fördel av CAS i matematikundervisningen, anser du? Vad krävs av en klass för att kunna ha fördel av CAS? A: Störst nytta av räknaren har eleverna från och med MA C. Svaret på en uppgift finns ju många ggr att hämta direkt från räknaren. Vissa elever har inte brytt sig om att lära sig hur räknaren fungerar i lite mer avancerade situationer.

D: Man har mest nytta av den i de senare kurserna. Ja. Intresserade och duktiga elever. Fråga 6: Hur skulle du (kort) beskriva TI-Nspire CAS ur ett undervisningsperspektiv? Är räknaren ”enkel att använda” och ett ”inlärningsverktyg” för eleven? A: Är ett utmärkt verktyg, men läraren behöver tid (kurser) för att lära sig själv hur räknaren fungerar utöver att vara en vanlig grafräknare. Se också svaret på fråga 5.

D: En räknare med många möjligheter, men som kräver en hel del tid för att lära sig. Beror på vilken elev det gäller. Fråga 7: Dina egna synpunkter på CAS-användning i matematikundervisningen? Är det något man bör tänka särskilt på inför framtiden? A: Se svaret på fråga 6. Vi skall tillsammans med universitetet ordna en kurs på 4 st halvdagar för att lärarna skall få en första bra introduktion i hur denna räknare fungerar.

D: Lämplig för duktiga och ambitiösa elever.

6.7 Övriga forskningsfrågor - Vad säger gymnasieskolans läroplan om CAS i undervisningen? Resultatet återfinns under 2.3

- Var hittar man svensk forskning om CAS i undervisningen? Förutom Dahland (1998) och Palm (2000) hittade jag även en rapport av Bergqvist (2002), som beskriver svenska förhållanden. Rapporten heter MatBIT. Matematisk Begreppsbildning och IT och fanns tillgänglig på Internet [maj 2008]. Antagligen finns det mer forskning, som jag inte lyckats hitta.

- Var hittar man information om symbolhanterande räknare i undervisningen? Information kan finnas i läroböcker eller annat undervisningsmateriel, i nyhetsartiklar, recensioner, tillverkarnas material, på hemsidor m.m. Några exempel återfinns i Bilaga 7.

- Hur kan exempel på uppgifter för CAS i matematikundervisningen se ut? Några källor räknas upp i Bilaga 8, av dem är Böhm et al. (2004) samt Jakobsson (2007) tillgängliga på Internet [maj 2008].

34

7 Diskussion Här diskuteras både metod och resultat under resp. avsnitt av undersökningen.

7.1 Diskussion av den egna undersökningen

7.1.1 Miniräknardagböcker - Vad ansåg eleverna i pilotklassen om den nya prototypen? Hur är den att använda? Vad är bra och dåligt [jämfört med de symbolhanterande räknare de hade innan]? Miniräknardagböckerna var en lyckad idé, som gav mycket personlig information om elevernas relation till sina nya räknare. Eleverna gjorde själva jobbet, var och en på sitt eget vis. För mig återstod att samla in alla dagböckerna och sammanställa resultatet på lämpligt sätt, vilket var ganska tidsödande. Tyvärr fanns inte förutsättningar att förlänga dagboksskrivandet ytterligare en termin (elevernas motivation och intresse hade avtagit). Min uppfattning är att dagböckerna ger en äkta och sann bild av hur eleverna upplever arbetet med sina räknare (prototyperna). Det är en sammansatt bild, som växer fram. Mycket upplevs som positivt, t.ex. dokumenthanteringen, den stora skärmen, användargränssnittet (fönster, menyer etc.), men en hel del upplevdes som bättre med den förra räknaren, t.ex. utseendet, batteritiden, knapparna och graffunktionen. Nu ska det sägas att vissa saker har åtgärdats på den färdiga TI-Nspire CAS. Den är batterisnålare än prototypen, även om laddningsbara batterier nog är att rekommendera, programmet finns sedan januari 2008 även på svenska, man kan ställa in fönstret vid grafritning och jag hade själv inga problem att installera CAS-programmet på datorn. Värt att notera är att eleverna känner sig som en utvald skara, efter väntan ska man vara med och testa en ny, avancerad miniräknare. Enligt Carina Kroninger (e-post, 2008-02-29) var det 7 klasser vid 4 svenska skolor, som var med och provade ut prototypen. Sist i miniräknardagbok 16 funderar eleven över om någon försökt fuska genom att spara text-dokument i räknaren. Detta kan enkelt göras genom att klippa och klistra i datorn och sedan föra över ett eller flera textdokument via USB. Rimligtvis skulle alla räknare vara ”nollställda” vid varje provtillfälle, för att förhindra fusk. Sker detta? Nej, inte enligt lärare A (samtal), en anledning var att eleverna har egna program sparade i räknarna, om jag fattade saken rätt. Tänk om det visar sig att elever med nya räknare förbättrar sina resultat i fysik, kemi och även vill ha med sig sina räknare på historie- och samhällskunskapsprov. Hur ska skolan lösa detta?

7.1.2 Diagnostiska test - Hur duktiga är eleverna i pilotklasserna i huvudräkning jämfört med parallellklasserna? Nu och ett år senare? - Hur duktiga är eleverna i pilotklasserna i handräkning jämfört med parallellklasserna? Tanken var att upprepa samma huvudräkningstest två år i rad (test 1:1 och test 1:2). För klass A var det 12 månader mellan provtillfällena, medan det för klass D endast hade gått 8 månader. Klass B och C hann bara göra ett huvudräkningstest vilket berodde på att min undersökning växte efterhand. Skulle jag gjort allt på nytt, så hade alla eleverna i de fyra klasserna fått göra ett datortest, med automatisk tidtagning och rättning, vid två tillfällen med 1 års mellanrum. Det skulle besparat mig mycket rättningsarbete. Både klass A och D förbättrade sitt medelresultat, vilket jag också förväntat mig. Höjningen för klass D var tydliga +1,4 poäng mot +0,5 för klass A, om man jämför de elever som var med båda gångerna och räknade i tre minuter. Klass A, C och D presterade ungefär likvärdiga resultat, medan Klass B räknade störst andel fel, 4,9%. Det förekommer i huvudsak två typer av fel,

35

slarvfel typ 8-7=2 och räknefel typ 71-26=47, men eftersom gränsen mellan dem är flytande, så har jag inte fört någon statistik över detta. Handräkningstestet (test 2) ansåg jag bäst att göra vid ett tillfälle, för att få en bild av tillståndet just då. En upprepning skulle kanske orsaka en resultathöjning just för att kunskaperna efterfrågades. Jag vet inte vad skillnaden beror på, men här skilde sig klasserna faktiskt åt markant: klass A & D låg under medel och klass B & C låg över. Med acceptabla kunskaper i handräkning bör man på fem minuter, enligt min bedömning, åtminstone få 3-4 rätt, med goda 5-6 rätt och med mycket goda 7-8 rätt. Felen var även här slarv- eller räknefel. Svårast att ställa upp var, som väntat, divisionen. Jag vet inte om det var nödvändigt, men jag tyckte det var en bra idé med två olika test, så att inte grannen löser exakt samma uppgifter. Det är även viktigt att lösningarna lämnas in på svarsbladet, eftersom jag vill se vilken uppställning man valt. Ibland förekommer egna varianter, t.ex. valde en elev att multiplicera med 20 i stället för att dividera med 0,05 i sista uppgiften. Jag har inte fått någon förklaring till att klasserna var så pass lika i huvudräkning, men skiljer sig tydligt åt i handräkning. Användandet av olika miniräknare borde, enligt min bedömning, inte få dessa konsekvenser. Jag vill inte ge mig in i spekulationer utan lämnar frågan öppen, i brist på mer information.

7.1.3 Elevenkät - På vilket sätt används den slutliga versionen av den nya räknaren? - Vad tycker eleverna i pilotklasserna om de nya symbolhanterande räknarna? Överraskande få elever (ca 25%) hade använt CAS-programmet på datorn. I klass D har alla elever egen laptop. Jag borde ha ställt frågan om de försökt installera det. Flertalet har bara använt Notes, eller Anteckningar som det numera heter på svenska, någon enstaka gång, vilket antagligen beror på att det är minst sagt omständligt att knappa in text på räknaren. Bland övriga funktioner: Räknare, Grafer och Geometri, Listor och Kalkylblad har även tillkommit Data och Statistik [jan 2008]. Enkätfråga 3-7 ger information om hur räknarens funktioner använts i klass A och D. Svaren tyder på att 1/3 av eleverna i klass D mest använt TI-Nspire CAS, som en vanlig grafräknare, medan alla utom en elev i klass A använt CAS varje vecka. Som de mest användbara CAS-funktionerna rangordnas ekvationslösning, derivering och i klass A även integrering. Av ja-svaren på fråga 8 kan man dra slutsatsen att läraren försökt använda räknaren som ”inlärningsverktyg” i båda klasserna, även om inte alla elever uppfattat det så. Om jag hade förtydligat att jag med inlärningsverktyg menar hjälpmedel för undervisning och studier kanske svaren sett annorlunda ut. Något fler än hälften anser att ”elever har olika sätt att lära sig på”, men bara 38% (19 elever av 50) ville kategorisera sig efter alternativen i fråga 9. På fråga 10 hade jag väntat mig en större andel positiva svar, men eleverna i klass A hade ju redan innan en avancerad räknare (TI-89). Oförändrad och något ökad lust att lära matematik anges av 94%. Intressanta är de 3 elever som angett något minskad eller minskad lust. Vad beror det på? Eleven som angett något minskad lust svarar så här på fråga 15: ”för mycket att lära sig, man hinner/orkar/kan inte lära sig allt.” Eleven i klass A som angett minskad lust tycker varken att räknaren varit lätt att lära sig eller är enkel att använda (fråga 12 och 13) medan eleven i klass D svarar ”delvis” på dessa frågor, samtidigt som CAS-funktionerna bara använts 1-3 ggr under ht 2007. Det är dessa två elever som sätter de lägsta betygen (2 resp. 3 av 10) på räknaren.

36

På fråga 12, om den var lätt att lära sig (jämfört med din tidigare räknare), fördelade sig svaren jämnt i klass A men var mer positiva i klass D. Fråga 13 om den nya räknaren är enkel att använda dominerades av svaret ”delvis” i klass A och ”ja” i klass D. En förklaring till denna tydliga skillnad mellan klasserna kan vara att eleverna i klass D är mer vana vid ny teknik av olika slag och att alla läser programmering. Det är också dessa elever som berömmer räknarens GUI, Graphic User Interface (grafiska användargränssnitt) i fråga 14. På topplistan dominerar mängden funktioner följt av användargränssnittet, och på minuslistan dominerar fortfarande batterierna, följt av designen/storleken/bokstavsknapparna/pekaren etc. Elevernas medelbetyg på räknaren (0-10) är dock genomgående mycket högt: 8,0 (klass A) resp. 7,8 (klass D).

7.1.4 Jämförelse av kursbetyg i matematik ABCD - Hur har eleverna i pilotklasserna utvecklats betygsmässigt jämfört med parallellklasserna? Jämförelsen visade en liknande utveckling i alla tre NV-klasserna: Ett mycket högt medelbetyg i kurs A, som sedan gradvis sjunker för de följande kurserna. Klass B och C startar från ett något högre betygsmedelvärde än klass A, klass B tappar mest och klass C minst. Jag hade väntat mig en något bättre utveckling för klass A jämfört med parallellklasserna. Min första tanke var att använda resultat från nationella prov i undersökningen, men det visade sig kursbetygen var lättare att få tillgång till. Klass D deltog inte i jämförelsen.

7.1.5 Kategorisering av uppgifter i matematik kurs E - Vilken användning har man av CAS-räknaren i matematik kurs E? Som väntat var det skillnad mellan uppgifter av olika svårighetsgrad. Ju svårare uppgifter, desto mindre hjälp av CAS. Detta beror på att svårigheten är av en annan art än sådan som går att lösa med CAS. Det bör därför vara ganska lätt att konstruera ett nationellt prov enligt Skolverkets princip att man inte ska ha någon fördel av CAS. Vid en vidare studie skulle jag kategorisera uppgifterna på nya nationella prov m.a.p. CAS-användning. Enligt min indelning borde man hitta K1/K.5-uppgifter i del I (utan räknare) och enbart K0-uppgifter i del II (med räknare). Är detta möjligt att åstadkomma även i kurs A och B, undrar jag?

7.1.6 Lärarenkät Svaren jag fick på lärarenkäten blev mer kortfattade än om jag istället hade intervjuat lärarna och haft möjlighet att ställa följdfrågor. Vid en ny undersökning skulle skulle jag välja intervju före enkät. - På vilket sätt använder lärarna den symbolhanterande räknaren i undervisningen? Av svaren att döma (se Resultat 6.6) så använder båda lärarna räknaren i undervisningen ungefär som vanliga grafritande miniräknare (studerar grafer). Jag antar att man oftast visar exempel ur kursboken på tavlan m.h.a. OH-plattan och att man lär ut användbara räknarfunktioner både med och utan CAS. - Vad kan man lära ut med hjälp av CAS? Vad kan man inte lära ut med CAS? Denna fråga blev jag inte så mycket klokare på. Lärarna svarar alltför kortfattat på min andra enkätfråga. Kanske beroende på att den nya räknaren oftast används som en vanlig grafritande räknare i klassrummet?

37

- Vad krävs av en matematiklärare för att kunna dra fördel av CAS i undervisningen? Läraren bör kunna räknaren ”hyfsat”, enligt lärare D. Särskild utbildning behövs enligt båda. Jag håller med om att det är viktigt att behärska räknarens grundläggande funktioner, sedan är det naturligtvis en fördel om man känner till mer avancerade funktioner också. Det beror ju även på vilken nivå man undervisar. - Vad krävs av en elev för att kunna dra fördel av CAS som inlärningsverktyg? Intresse och att inse nyttan av räknarens möjligheter, enligt lärare A. Duktiga elever har en fördel framför svaga, enligt lärare D. Min egen åsikt är att motiverade elever förhoppningsvis blir ännu mer motiverade, samtidigt som de svaga eleverna inte kommer att ha ork eller lust att sätta sig in i alla nya funktioner och finesser. Deras behov kanske i stället är en enklare räknare? - Hur ser lärarna på CAS i matematikundervisningen? Båda lärarna anser att eleverna har mest nytta av räknaren i de senare matematikkurserna (MA C och uppåt, enligt lärare A). Många uppgifter trivialiseras om man kan sin räknare, men alla elever har inte lärt sig använda räknarens mer avancerade funktioner, enligt lärare A. Det krävs intresse-rade och duktiga elever i en klass för att kunna dra nytta av CAS, anser lärare D.

7.1.7 Övriga forskningsfrågor - Vad säger gymnasieskolans läroplan om CAS i undervisningen? Enligt 2.3 så visar min studie att nyskrivningarna från år 2000 i fallet med elektroniska hjälpmedel är fåordigare och mer svårtolkade (it-begreppet) än tidigare. Intressant är att 1994, då grafritande hjälpmedel tilläts på bred front, stod mer skrivet om både grafritande och symbolhanterande hjälpmedel i ämnesbeskrivningen för matematik, än vad det gör idag. I kursmålen är värt att notera att symbolhanterande programvara bara nämns i kursplanen för MA1204 (kurs D). Om Skolverkets beslut att tillåta symbolhanterande räknare låg ”i tiden”, så får man konstatera att kursplanerna sedan ht 2007 ligger klart efter sin tid m.a.p. dessa räknare. - Var hittar man svensk forskning om CAS i undervisningen? Det har varit svårt att få ett heltäckande svar på denna fråga. Mina exempel är antagligen bara ett axplock. Intressant är att av Bergqvists (2002) förslag har Skolverket valt att sjösätta ett – tillåt symbolhanterande räknare vid nationella prov. Det återstår fortfarande att ta fram läromedel för CAS samt att anpassa alla landets lärarutbildningar till de nya hjälpmedlen.

7.2 Slutdiskussion Symbolhanterande räknare i skolan har blivit ett ”hett” ämne för många lärare. Från min utgångs-punkt ser det ut som många är antingen odelat negativa eller odelat positiva till CAS i skol-debatten. Enligt min egen bedömning är verkligheten mer nyanserad. CAS som redskap har både för- och nackdelar. Genom att vara medveten om faror och risker har man möjlighet att undvika dem och dra nytta av fördelarna med det nya verktyget. Lusten att lära matematik har inte samma grund hos alla elever, och detsamma tror jag gäller även matematiklärarnas lust. En del älskar avancerade tekniska hjälpmedel, andra inte. Några lär sig snabbt att använda nya funktioner och skriver snart egna program till sin nya räknare, medan andra bara lär sig de allra vanligaste funktionerna och håller sig till dem. De flesta befinner sig väl någonstans mellan dessa motpoler.

38

Dahland (1998) skrev:

”En lärare med erfarenhet av symbolhanterande verktyg i undervisningen menar att det är de duktigare eleverna som tillgodogör sig verktygen bäst. För svaga elever kan ett avancerat verktyg snarast vara en belastning, ytterligare en sak man skall lära sig. Dessa elevers problem är att på språklig nivå ta del av matematiken.” (Dahland 1998:259)

Detta stämmer väl med svaren på lärarenkätens fråga 4:

”Upplever du att vissa elever har mer nytta av CAS än andra? (Elevenkäten tyder på att det är så...) Vilka elever har mest nytta av CAS? Vilka elever har mindre nytta av CAS?

[Lärare] A: Mest nytta har de elever, som är mest intresserade och förstår den stora nyttan av en sådan räknare.

[Lärare] D: Ja. Det behövs ganska mycket initialjobb av eleven för att han skall kunna utnyttja alla finesser och då har de duktigare eleverna en fördel. För svagare elever kan den nog bli en belastning.”

Dahland (red. 1997) tar upp en annan viktig punkt, som gäller användningen av alla slags räkne-verktyg:

”[...] Användningen övergår i missbruk om man använder miniräknaren när den är onödig och olämplig eller ger missvisande resultat.” (se Dahland 1998:24)

Jag har själv mött gymnasieelever som slår 42 ⋅ på sin miniräknare, ”för säkerhets skull”. Man får inte frestas tro att de fina huvudräkningsresultaten i denna undersökning gäller för alla gymnasieelever. Olika typer av miniräknare kan ”missbrukas” enligt Dahlands definition. Ett ex. är olika slags avrundningsfel, som följer av att räknaren använder närmevärden. Detta gäller även CAS-räknare, som också räknar numeriskt ibland. Två exempel på missvisande resultat från CAS är att försöka lösa en ekvation med falska rötter4 och att derivera en odefinierad funktion.5 Ett mer alldagligt exempel är om jag utelämnar multiplikationstecknet och skriver t.ex. , eller , i stället för ,

kte )cos(xx02 =++ qpxx tke ⋅ )x cos(x⋅ eller . Liksom att 1/2π, 2a/3a

och ex/5e2x tolkas som

02 =+⋅+ qxpx

2π ,

3 a2 2⋅ och

5

3 xe ⋅

. De sista exemplen visar vikten av att kunna räknarens

”grammatik”. Alla dessa exempel gäller för TI-Nspire CAS [ver: 1.3.2437]. De intresserade eleverna lär sig vad som fungerar och var gränserna går inom de områden där räknaren används, men det är ju inte heller de eleverna som är i riskgruppen för att bli ”missbrukare”. Dahland (1995) tar upp ytterligare en viktig tankegång, när han skriver: ”Det gäller att fråga sig hur den nya tekniken kan användas för att bearbeta uppställda problem[,] inte att leta efter problem som passar för den nya tekniken.” (se Dahland 1998:14) Samma tanke slog mig, när jag löste olika typer av matematiska ”problem”, t.ex. geometriska problem, läsproblem och ”tankenötter”. Tänk så många av dessa uppgifter, där jag inte hade någon som helst hjälp av CAS-räknarens alla funktioner. Marknadsföringen av CAS-räknaren som ett ”inlärningsverktyg”, får inte tolkas som att den matematik, som inte går att lära sig med CAS, inte är värd att lära sig.

4 Ett sådant exempel är ekvationen

3103

31

−−

=−

−xx

xx . (Björk & Brolin 2001:179)

5 Ett allvarligt om än lite udda exempel är om jag i real-läge deriverar ”icke-funktionen” f(x) := ln(ln(sin(x))) och får

))ln(sin()tan(1))((

xxxf

dxd

⋅= tillsammans med varningen ”Resultatets definitionsområde kan vara större än[... den

ursprungliga funktionens?]” trots att f saknar värde och därmed derivata för alla reella x. (Mogensen 2008)

39

Om man däremot ska dra nytta av den nya tekniken krävs det att man studerar matematikämnet, parallellt med att man lär sig räknaren och dess möjligheter, precis som Dahland & Lingefjärd (1996) skrev om grafräknaren:

”Ju bättre man behärskar tekniken och ju bättre kunskap i matematik man har, desto kraftfullare verktyg är den grafiska miniräknaren. Detta ställer krav på en dubbel kompetens hos den undervisande läraren och den studerande eleven. [teknisk insikt och matematisk förståelse]” (se Dahland 1998:22).

Ifrah (2002:579) skriver om ”Morgondagens artificiella hjärnor”:

”Vi bör därför, tycks det, inte låta oss förskräckas av de artificiella hjärnor som kommer att konstrueras under de närmaste decennierna. De kommer att bli ’hjärnor’ som avbördar människan endimensionella komplexa uppgifter som för övrigt inte kan genomföras utan deras hjälp. Kort sagt kommer de i förhållande till dagens läge att ge oss större frihet, mera fri tid och större insikt, genom att låta oss utvecklas fullt ut i alla riktningar.”

Palm (2000) skriver i sin sammanfattning: ”Vi står inför en ny teknisk revolution på miniräknarfronten. Inför vi CAS-verktyg på gymnasieskolan, blir matematikundervisningen aldrig mera sig lik.”

Dahland (1998:281) skriver i sitt slutord: ”Gymnasieskolans matematik kommer, när symbolbehandlande verktyg accepterats, att påverkas än starkare än vad den här studien har beskrivit.” Jag kan bara konstatera att: Nu är vi där, och det är upp till var och en att dra fördel av CAS eller att välja att låta bli. Detta gäller både elever och lärare, så länge inte CAS står med i kursplanerna. För egen del så välkomnar jag de nya verktygen, med ovanstående reservationer, och är övertygad om att de kommer att innebära mycket glädje för teknik- och matematikintresserade elever och enorma didaktiska utmaningar för matematiklärarna.

7.3 Förslag till fortsatt forskning Jag börjar med Drijvers’ förslag och fortsätter sedan med mina egna förslag till fortsatt forskning.

7.3.1 Berry & Monaghan (red. 1997) I slutkapitlet räknar Paul Drijvers upp tolv frågor för fortsatt forskning om CAS i utbildningen. De flesta av dessa frågor och deras svar tycker jag verkar vara högaktuella för dagens debatt. 1) Vilka förkunskaper behöver studenterna innan de kan använda CAS? 2) Kan datorstöd ersätta arbete med papper och penna? 3) Vilka metoder att använda CAS (se 3.3.1) är bra för att öka elevers förståelse? 4) Påverkar CAS-användningen processen med inkapsling (encapsulation)? 5) Kan CAS hjälpa till att upptäcka elevers missuppfattningar? Vilka hinder i lärprocessen skapas av CAS? 6) Påverkar CAS-användningen förmågan att växla mellan olika representationsformer i en problemsituation? 7) Kommer användandet av CAS att leda till en omorganisation av matematiken och erbjuda nya sätt att lära? 8) Kan CAS-användningen bana väg för modellering och programmering (higher order skills)? 9) Hur påverkar CAS-miljön kommunikationen och interagerandet mellan studenter? 10) Hur påverkar CAS-användningen elevernas motivation, attityder och uppskattning av matematikämnet? 11) Vilka egenskaper och kunskaper behöver läraren för att kunna integrera CAS i klassrummet. 12) Hur påverkas förståelsen av blandningen av CAS-språk, matematiskt språk och vanligt språk? Hur ska eleverna rapportera sina arbeten med CAS? (Berry & Monaghan red. 1997:191-193, min övers.)

7.3.2 Egna förslag till fortsatt forskning Utökad studie: Jag kan tänka mig denna pilotstudie utökad kvantitativt genom att omfatta fler klasser med symbolhanterande räknare, som får skriva ’miniräknardagbok’, göra diagnostiska test, fylla i elevenkäter och få sina kursbetyg jämförda med parallellklasserna, men jag tror inte att det skulle tillföra så mycket nytt än vad som redan framkommit vid pilotstudien. Då verkar det intressantare

40

med en kvalitativt utökad metod, t.ex. fler test för att kunna jämföra hur eleverna utnyttjar sina räknare vid olika typer av uppgifter, jämförelse av resultat på nationella prov, jämförelse mellan pojkar och flickor och/eller lärarintervjuer för att få en tydligare bild av hur de symbolhanterande räknarna används i undervisningen. Nationella prov: I vilken grad kommer CAS-räknarna att användas på nationella kursprov? Har man lyckats utforma prov och provmaterial så att det inte är någon fördel att använda symbolhanterande räknare? (Skolverket 2006) Användningen vid andra prov i gymnasieskolan: Hur hanterar skolorna den situation jag beskriver i 7.1.1, när räknarna användas i andra ämnen t.ex. fysik och kemi? Kommer man att kräva nollställda räknare vid alla prov? Situationen i Norden: Hur är CAS-situationen idag och hur ser man på framtiden i våra nordiska grannländer? Bakgrund: 2005 genomfördes en gymnasiereform i Danmark6. Bilden av CAS-försöket har flera nyanser. Året innan reformen skrev danska undervisningsministeriet i sin årliga matematikrapport:

”De stadigt mere avancerede lommeregnere og matematiske værktøjsprogrammer stiller matematikundervisningen i gymnasiet overfor pædagogiske og faglige udfordringer, som vi næppe i dag kan hævde, vi har fuldt tilfredsstillende svar på.

Samtidig kommer udfordringerne i et sådant tempo, at vi knap når at fordøje erfaringerne fra brugen af ét værktøj, før det næste er over os. CAS-værktøjer, geometriprogrammer og nye statistikprogrammer giver nye muligheder, men stiller samtidig nye spørgsmål til undervisningen, ikke mindst til den skriftlige del. Sådan er betingelserne i disse år. Der er ingen pauseknap.” (Grøn 2004:8)

I 2007 års matematikrapport skriver man i förordet att ”Eleverne var tydeligt ikke så gode til at anvende CAS-værktøjer, som forventet. Hvordan løser vi som undervisere dette?” (Grøn 2007:4) CAS-räknaren i ett genusperspektiv: Finns det ett genusperspektiv på symbolhanterande räknare och grafräknare? (Nordström 2005) Ökade skillnader mellan olika skolor? Hur finansieras introduktionen av nya räknare i skolan? Vilka resurser satsas i olika skolor på den nya tekniken? Hur fördelar sig kostnaderna mellan inköp av räknare/tillbehör och fortbildning av lärare? Vad och vem avgör vilken räknare man väljer? Jämförelse av räknare: Vad skiljer egentligen modeller och fabrikat från varandra? En opartisk jämförelse av CAS-räknarnas funktioner och prestanda med tanke på användning i gymnasieskolan.

6 Alla danska examensprov från 1998 till och med 2008 fanns [maj 2008] på Undervisningsministeriet (2008).

41

8 Tack Jag vill rikta ett varmt tack till alla elever och deras matematiklärare, som ställt upp och medverkat i undersökningen. Tack också till studievägledare Anders Hedin, som i ett tidigt skede kontaktade min blivande handledare Peter Mogensen, som varit ett stöd och bollplank under arbetets gång och alltid ställt upp, till och med ute på Finlandsturné med Bergslagens Kammarsymfoniker! Tack Peter! Tack till Maria Waern, utbildningsansvarig på Texas Instruments (TI) till juni 2007 och hennes efterträdare Carina Kroninger. Tack även till Catharina Sparre och Mats Wiberg, marknads- resp. försäljningschef på TI, för att jag själv fick tillgång till en symbolhanterande räknare i september 2007.

42

Referenser AACE (2008) Association for the Advancement of Computing in Education. [2008-05-17] http://www.aace.org/default.htm ACDCA (2008) Austrian Center of Didactics for Computer Algebra. [2008-05-17] http://www.acdca.ac.at/english/index.htm Andersson, M. (2001) Grafräknaren i matematiken - en undersökning av användandet och attityder. Examensarbete. Gymnasielärarutbildningen Malmö högskola. Tillgänglig [2008-05-17] http://hdl.handle.net/2043/1131 Arfwedson, G. & Arfwedson, G. (2002) Didaktik för lärare: En bok om lärares yrke i teori och praktik. Stockholm: HLS förlag. Atomic Learning (2008) TI-Nspire tutorials. [2008-05-16] http://movies.atomiclearning.com/k12/ti_nspire/ Bergqvist, T. (1999) Gymnasieelever undersöker ett matematiskt begrepp med grafräknare. Nomad, vol. 7(3-4). Abstract tillgänglig [2008-05-17] http://ncm.gu.se/?q=node/1465 Bergqvist, T. (2002) MatBIT. Matematisk Begreppsbildning och IT. Enheten för pedagogiska mätningar, Umeå Univeritet. [2008-05-20] http://www.umu.se/edmeas/publikationer/pdf/pmnr176sec.pdf Berry, J., Fentem, R., Partanen, A.-M. & Tiihala, S. (2004) The use of symbolic algebra in learning mathematics: The barrier from formal examination schemes. Nomad, vol. 9(4). Abstract tillgänglig [2008-05-17] http://ncm.gu.se/?q=node/485 Berry, J. & Monaghan, J. with Kronfellner, M. & Kutzler, B. (red.) (1997) The State of Computer algebra in Mathematics Education: a report of the international symposium on computer algebra in mathematics education held in Hawaii, August 1995. Bromley: Chartwell-Bratt; Lund: Studentlitteratur. Berry, J.S. (red.) (1995- ) Learning through Computer Algebra. Bromley: Chartwell-Bratt; Lund: Studentlitteratur. Berry, J.S., Graham, E. & Watkins, A.J.P. (1996) Learning Mathematics through Derive. Bromley: Chartwell-Bratt; Lund: Studentlitteratur. Björk, L.-E. & Brolin, H. (2001) Matematik 3000: matematik tretusen Kurs E, Lärobok: Naturvetenskap och teknik och komvux. Stockholm: Natur och kultur. Blankertz, H. (1987) Didaktikens teorier och modeller. Stockholm: HLS förlag. Brown, J. & Stillman, G. (2006) Defining moments in the graphing calculator solution of a cubic function task. Nomad, vol. 11(3). Abstract tillgänglig [2008-05-17] http://ncm.gu.se/node/1432 Bruner, J. (1960) The Process of Education. Cambridge, Mass: Harvard University Press. Böhm, J. (red.) (1993) Teaching mathematics with Derive®: proceedings of the International School on the Didactics of Computer Algebra, April 27-30, 1992, Krems, Austria. Bromley: Chartwell-Bratt. Böhm, J., Forbes, I., Herweyers, G., Hugelshofer, R. & Schomacker, G. (2004) The Case for CAS. Münster: Westfälische Wilhelms-Universität. Även tillgänglig [2008-05-17] http://www.t3ww.org/cas/index.html CAME (2008) Computer Algebra in Mathematics Education. Website. [2008-05-17] http://www.lkl.ac.uk/research/came/index.html CAS-CAT (2008) Computer Algebra Systems in Schools - Curriculum, Assessment & Teaching. University of Melbourne. Homepage. [2008-05-17] www.edfac.unimelb.edu.au/DSME/CAS-CAT Casio (2008) Technical & Eucational Support. [2008-05-16] http://world.casio.com/edu/support/index.html Casio Education (2008) [2008-05-16] http://www.casioeducation.com/ Casio Scandinavia (2008) Skol- och grafkalkylatorer. [2008-05-16] http://www.casio-europe.com/se/sc/

43

Casio WEW (2008) Worldwide Education Website. [2008-05-16] http://edu.casio.com/ CasioEd (2008) Supporting Australian Teachers. [2008-05-16] http://www.casio.edu.shriro.com.au/ CTM (2008) The Centre for Teaching Mathematics. [2008-05-21] http://www.tech.plym.ac.uk/research/mathematics_education/index.htm

IJTME. The International Journal for Technology in Mathematics Education. [2008-05-21] http://www.tech.plym.ac.uk/research/mathematics_education/field%20of%20work/IJTME/index.htm Sample Research Papers. see Technology: Pre and Post 2001. [2008-05-21] http://www.tech.plym.ac.uk/research/mathematics_education/publications/index.htm

Dahland, G. (1993) Datorstöd i matematikundervisningen: En studie av förutsättningar för förändring av en traditionsrik skolmiljö. Rapport nr 1993:08. Göteborg: Göteborgs universitet. Dahland, G. (1995) Elektroniska hjälpmedel i gymnasiets matematikundervisning. En översikt av samtida forsknings- och utvecklingsarbeten med en studie av västra Sveriges gymnasier våren 1994. Rapport 1995:07. Göteborg: Göteborgs universitet. Dahland, G. (red.) (1997) Elektroniska hjälpmedel i matematikundervisningen. Rapport 1997:04. Göteborg: Göteborgs universitet. Dahland, G. (1998) Matematikundervisning i 1990-talets gymnasieskola: Ett studium av hur en didaktisk tradition har påverkats av informationsteknologins verktyg. Vol I: Huvuddel & Vol II: Bilagor. Rapport nr 1998:05 Göteborg: Göteborgs universitet. Dahland, G. & Lingefjärd, T. (1996) Graphing calculators and students’ interpretations of results: A study in four upper secondary classes in Sweden. Nomad, vol. 4(4). Davidsson, A.K. & Mårtensson, J. (2006) Användandet av den grafritande räknaren i gymnasieskolans matematikundervisning. Examensarbete. Lärarutbildningen Malmö högskola. Tillgänglig [2008-05-17] http://hdl.handle.net/2043/3553 DiU (2008) Föreningen och Stiftelsen Datorn i Utbildningen. Om Datorn i Utbildningen. [2008-05-17] http://www.diu.se/diu.asp?val=fdiu Dysthe, O. (1996) Det flerstämmiga klassrummet: Att skriva och samtala för att lära. Lund: Studentlitteratur. EdITLib (2008) Education & Information Technology Library. [2008-05-17] http://www.editlib.org/index.cfm?fuseaction=Reader.FrontPage Engström, L. & Lingefjärd, T. (2007) Posing problems using Cabri. Nomad, vol. 12(3). Abstract tillgänglig [2008-05-17] http://ncm.gu.se/node/2260 ERIC (2008) Education Resources Information Center. [2008-05-17] http://www.eric.ed.gov/ Eriksson, M. (2006) Ledarsidan: Helst både snabbt och rätt. Svenska Dagbladet (2006-10-12). [2008-05-17] http://www.svd.se/opinion/ledarsidan/artikel_360520.svd Falkebo Peters, M. & Schrab, L. (2006) Den grafritande räknaren som ett medierande redskap. Examensarbete. Lärarutbildningen Malmö högskola. Tillgänglig [2008-05-17] http://hdl.handle.net/2043/3533 Fey, J.T., Cuoco, A., Kieran, C., McMullin, L. & Zbiek, R.M. (red.) (2003) Computer algebra systems in secondary school mathematics education. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics. FSF (2008) Free Software Foundation. Free Software Directory. Symbolic. [2008-05-17] http://directory.fsf.org/category/mathsym/ Geidne, J. (2006) Anvisningar inför PM- och uppsatsskrivande. Hälsovetenskapliga institutionen Örebro universitet. Senast reviderad 2006-02. [2008-05-17] http://www.oru.se/oru-upload/Institutioner/Halsovetenskap/Externt/Utbildning/Idrott/FHVB/Studiematerial/Riktlinjer%20uppsatser%20FHVII.pdf Google Scholar (2008) [2008-05-17] http://scholar.google.se/

44

Grouws, D.A. (red.) (1992) Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning: A project of the National Council of Teachers of Mathematics. New York: Macmillan Publishing Company. Grøn, B. (2004) Evalueringsrapport: Matematik Studentereksamen og hf: Sommereksamen 2004. Det danska undervisnings-ministeriet. [2008-05-17] http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsministeriet/eval-skr-eksamen/matematik04.pdf Grøn, B. (2007) Evaluering af skriftlig eksamen i matematik for stx B, hf B og hf C efter ny ordning maj 2007. Det danska undervisningsministeriet. [2008-05-17] http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsministeriet/eval-skr-eksamen/Evaluering-stxB-hfB-hfC-mat-maj2007.pdf Göteborgs universitetsbibliotek (2008) Avhandlingar från andra universitet och högskolor. [2008-05-17] http://www.ub.gu.se/sok/dissdatabas/ovriga/ Heugl, H., & Kutzler, B. (red.) (1994) Derive in education: opportunities and strategies: proceedings of the 2nd Krems Conference on Mathematics Education, September 27-30, 1993, Krems, Austria. Bromley: Chartwell-Bratt. Hewlett-Packard (2008) Graphing Calculators. [2008-05-16] http://h41111.www4.hp.com/calculators/se/sv/graphing/index.html

Education & Training. [2008-05-16] http://www.hp.com/education/ HP Calculator. Educalc.net [2008-05-16] http://www.educalc.net/

Hicks, D.G. (2008) The Museum of HP Calculators. [2008-05-16] http://www.hpmuseum.org HP 28C. [2008-05-17] http://www.hpmuseum.org/hp28c.htm HoCF (2008) History of Computing Foundation. History Of Computing Project. Timeline. [2008-05-17] http://www.thocp.net/timeline/timeline.htm ICME 11. International Congress on Mathematical Education. Monterrey, Mexico. 6-13 juli 2008. Hemsida. [2008-05-17] http://icme11.org/ ICMI. The International Commission on Mathematical Instruction. [2008-05-17] http://www.mathunion.org/ICMI/ Ifrah, G. (2001 & 2002) Räknekonstens kulturhistoria: Från forntiden till dataåldern. Del 1 & 2. Wahlström & Widstrand. Jakobsson, L. (2007) Undersök, upptäck och verifiera med TI-89 Titanium. Texas Instruments. [2008-05-17] http://education.ti.com/sites/SVERIGE/downloads/pdf/TI-89%20Titanium.pdf Kieran, C. & Drijvers, P. (2006) The Co-Emergence of Machine Techniques, Paper-and-Pencil Techniques, and Theoretical Reflection: A Study of Cas use in Secondary School Algebra. The International Journal of Computers for Mathematical Learning, vol. 11(2):205-263. Abstract tillgänglig [2008-05-17] http://www.springerlink.com/content/u7t3580294652u37/?p=d9ef8544a1544e868f74a469d041d03e&pi=1 KK-stiftelsen (2008) Stiftelsen för kunskaps- och kompetensutveckling. Hemsida. [2008-05-17] http://www.kks.se/ Kutzler, B. (1999) The Algebraic Calculator as a Pedagogical Tool for Teaching Mathematics: ACDCA 5th Summer Academy, Gösing (Lower Austria) Proceedings. [2008-05-16] http://www.acdca.ac.at/kongress/goesing/g_kutzle.pdf Langberg, F. (1990). Datamater i matematikundervisningen på gymnasiet og højere læreanstalter. Tekst nr 189. IMFUFA. Roskilde: Roskilde universitetscenter. Även tillgänglig [2008-05-17] http://milne.ruc.dk/ImfufaTekster/ Liedman, S.-E. (2002) Ett oändligt äventyr: Om människans kunskaper. Viborg: Bonnierpocket. Lindholm, G. (2006) Täljaren. Matematiskt dividerande. Om symbolhanterande räknare. feb 2006. [2008-05-16] http://www.taljaren.se/matematik.php?lang=sv Lokar, M. & Lokar, M. (2001) CAS and the Slovene External Examination. The International Journal of Computer Algebra in Mathematics Education, vol. 8(1). LUMA (2008) Lärarutbildare i matematik. Startsida. [2008-05-17] http://luma.ncm.gu.se/ Historik. http://luma.ncm.gu.se/?q=node/2

45

Lönnberg, P. (2000a) Symbolhanterande räknare i gymnasiet. Datorn i Utbildningen, nr 5:29-31. Lönnberg, P. (2000b) Folkvagn eller Rolls Royce. Datorn i Utbildningen, nr 5:32. Lönnberg, P. (2003) En ny generation räknare. Datorn i Utbildningen, nr 5:30-31. Matematikbiennalen (2008) Hemsida. [2008-05-17] http://matematikbiennalen.ncm.gu.se/ MathEduc (2008) Mathematics Education Database. Mathematics Didactics Database. OBS: kräver inloggning [2008-05-16] http://www.emis.de/MATH/DI.html MathSciNet (2008) Mathematical Reviews on the Web. American Mathematical Society. OBS: kräver inloggning [2008-05-16] http://ams.rice.edu/mathscinet/ Monaghan, J. & Ozmantar, M.F. (2006) Comments on The Co-emergence of Machine Techniques, Paper-and-Pencil Techniques, and Theoretical Reflection. The International Journal of Computers for Mathematical Learning, vol. 11(3):351-360. Abstract tillgänglig [2008-05-17] http://www.springerlink.com/content/l774m8h5t6842145/?p=05b284c8691648a1b3dcce6b954d141c&pi=0 NCM:s & Nämnarens webbplats (2008) Hemsida. [2008-05-17] http://ncm.gu.se

Debatt: Avancerade räknare - hjälper eller stjälper? [2008-05-17] http://ncm.gu.se/node/1521 Nomad. Nordisk matematikdidaktik. [2008-05-17] http://ncm.gu.se/node/959 Tidskrifter. [2008-05-17] http://ncm.gu.se/node/383 Tidskriftsnytt. [2008-05-17] http://ncm.gu.se/node/964

NCTM (2008) The National Council of Teachers of Mathematics. [2008-05-17] http://www.nctm.org/ NE.se (2008) Nationalencyklopediens internettjänst. Informationsteknik. OBS: kräver inloggning. [2008-05-17] http://www.ne.se/jsp/customer/login.jsp Mogensen, P. (2008) Månadens problem. April 2008. [2008-05-22] http://www.math.kau.se/problem/ Nordström, D. (2005) Miniräknaren i dagens gymnasieskola. En undersökning av lärares och elevers attityder och användande. Examensarbete. Lärarutbildningen Malmö högskola. Tillgänglig [2008-05-17] http://hdl.handle.net/2043/2122 Nöring, C. (2008) Swedish Typewriter Page. Home. [2008-05-17] http://web.telia.com/~u13101111/typewriters.html

Odhner. [2008-05-17] http://web.telia.com/~u13101111/odhner.html Oughtred Society (2008) Slide Rule History. [2008-05-17] http://www.oughtred.org/history.shtml Palm, A. (2000) Symbolhanterande miniräknare i matematikundervisningen. Examensarbete. Lärarhögskolan Stockholm. Tillgänglig [2008-05-17] http://www.anderspalm.net/Skolfolk/uppsatser.php Persson, O. (2006) Elektroniska hjälpmedel i matematiken! Examensarbete. Lärarutbildningen Malmö högskola. Tillgänglig [2008-05-17] http://hdl.handle.net/2043/2861 Pierce, R. & Stacey, K. (2001) Reflections on the Changing Pedagogical use of Computer Algebra Systems: Assistance for Doing or Learning Mathematics? Journal of Computers in Mathematics and Science Teaching, vol. 20(2):143-161. Abstract tillgänglig [2008-05-17] http://www.editlib.org/index.cfm?fuseaction=Reader.ViewAbstract&paper_id=8475 Pricerunner (2008) Handdator. http://www.pricerunner.se/ [2008-05-17]. Skolverket. (1994) Skolans datorer - en bild av datoranvändningen i skolan. Redovisning av ett regeringsuppdrag. Stockholm: Skolverket. Skolverket. (1997) Bildning och kunskap. Särtryck ur läroplanskommitténs betänkande skola för bildning (SOU 1992:94). Även tillgänglig [2008-05-17] http://www.skolverket.se/sb/d/192 Skolverket. (2002) Lusten att lära - med fokus på matematik: Nationella kvalitetsgranskningar 2001-2002. Skolverkets rapport nr 221. Även tillgänglig [2008-05-17] http://www.skolverket.se/sb/d/192

46

Skolverket. (2006) Nyheter i det nationella provsystemet för matematik och fysik. Dnr.2006:43. Även tillgänglig [2008-05-17] http://www.skolverket.se/content/1/c4/12/92/Informationsbrev%20om%20nyheter%20i%20matematik%20vt%202006.pdf Skolverket (2008a) Gamla kursplaner matematik: Naturvetenskaplig linje, fyraårig teknisk linje. [2008-05-17] http://www3.skolverket.se/ki/kpl/pdf/amne/ma.pdf Skolverket (2008b) Kursinfo. Gymnasial utbildning. Matematik 1999/00. [2008-05-17] http://www3.skolverket.se/ki03/front.aspx?sprak=SV&ar=9900&infotyp=8&skolform=21&id=MA&extraId Skolverket (2008c) Kursinfo. Gymnasial utbildning. Matematik 2000/01. [2008-05-17] http://www3.skolverket.se/ki03/front.aspx?sprak=SV&ar=0001&infotyp=8&skolform=21&id=MA&extraId Skolverket (2008d) Kursinfo. Kursplaner. MA1201/MA1203/MA1204/MA200/MA203/MA204 Alla kursplaner tillgängliga [2008-05-17] http://www3.skolverket.se/ki03/front.aspx SMaL (2008) Sveriges matematiklärarförening. Hemsida. [2008-05-17] http://www.smal-matte.com/ Länkar. http://www.smal-matte.com/links.htm SMDF (2008) Svensk förening för matematikdidaktisk forskning. Hemsida. [2008-05-17] http://www.matematikdidaktik.org/ Smith, M.K. (2002) 'Jerome S. Bruner and the process of education', the encyclopedia of informal education. Last updated: 2007-12-28. Tillgänglig [2008-05-17] http://www.infed.org/thinkers/bruner.htm SpringerLink. IJCML. The International Journal of Computers for Mathematical Learning. [2008-05-17] http://www.springer.com/education/mathematics+education/journal/10758 Strömquist, S. (2006) Uppsatshandboken. 4 rev. uppl. Göteborg: Hallgren & Fallgren. Svenska datatermgruppen (2008) Ordlista, version 27. informationsteknik, IT. Uppdaterad 2007-05-10. [2008-05-17] http://www.nada.kth.se/dataterm/rek.html#a30 Säljö, R. (2000) Lärande i praktiken: Ett sociokulturellt perspektiv. Stockholm: Prisma. T3 Europe (2008) Teachers Teaching with Technology™ [2008-05-16] http://t3europe.org/ T3 Worldwide (2008) Teachers Teaching with Technology™ [2008-05-16] http://www.t3ww.org/ Texas Instruments (2008) Education Technology. [2008-05-16] http://education.ti.com/educationportal/sites/US/homePage/index.html Nedladdningsfönster: familjerna TI-83 Plus & TI-84 Plus. [2008-05-15] http://education.ti.com/educationportal/downloadcenter/SoftwareList.do?website=SVERIGE&tabId=1&paneId=2 Nedladdningsfönster: TI-Nspire™ CAS. [2008-05-15] http://education.ti.com/educationportal/downloadcenter/SoftwareList.do?website=SVERIGE&tabId=1&paneId=6002 Räknare & Grafräknare. [2008-05-16] http://education.ti.com/educationportal/sites/SVERIGE/homePage/index.html

T3 ™ Professional Development. [2008-05-17] http://education.ti.com/educationportal/sites/UK/nonProductSingle/teacher_training.html Thunberg, H. & Lingefjärd, T. (2006) Debatt: Öppet brev till Skolverket: Avancerade räknare – hjälper eller stjälper? Nämnaren 2006(4). Även tillgänglig [2008-05-17] http://ncm.gu.se/media/namnaren/debatt/1013_Thunberg_Lingefjard.pdf Ticalc.org (2008) Basics: Calculators. [2008-05-16] http://www.ticalc.org/ Tout, N. (2008) Vintage Calculators Web Museum. Home. [2008-05-17] http://www.vintagecalculators.com/

Curta Type I. [2008-05-17] http://www.vintagecalculators.com/html/curta_i.html Undervisningsministeriet (2008) Gymnasiale uddannelser: Stx/hf: Centralt stillede skriftlige opgavesæt (gammel ordning). [2008-05-17] http://us.uvm.dk/gymnasie/almen/eksamen/opgaver/?menuid=150560

47

Valentin, T. (2007) uppsatser.se [2007-08-18] http://www.uppsatser.se/ VCCA. Victorian Curriculum and Assessment Authority. Approved calculators. [2008-05-17] http://www.vcaa.vic.edu.au/vce/studies/mathematics/approvedcalculators.html Wallén, M. (2001) Miniräknare i skolmatematiken. Examensarbete. Grundskollärarprogrammet 4-9, Linköpings universitet. Tillgänglig [2008-05-17] http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:liu:diva-990 Wikipedia. (2008) http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page [2008-05-17]. Calculator watch. [2008-05-17] http://en.wikipedia.org/wiki/Calculator_watch Casio. [2008-05-17] http://en.wikipedia.org/wiki/Casio Computer algebra system. [2008-05-17] http://en.wikipedia.org/wiki/Computer_algebra_system Personal digital assistant. [2008-05-17] http://en.wikipedia.org/wiki/Personal_digital_assistant Pocket PC. [2008-05-17] http://en.wikipedia.org/wiki/Pocketpc Psion Organiser. [2008-05-17] http://en.wikipedia.org/wiki/Psion_Organiser Smartphone. [2008-05-17] http://en.wikipedia.org/wiki/Smartphones Woerner, J. (2008) Datamath™ Calculator Museum. Home. [2008-05-17] http://www.datamath.org/

Casio fx-7000G. [2008-05-17] http://www.datamath.org/Related/Casio/fx-7000G.htm HP 35. [2008-05-17] http://www.datamath.org/Related/HewlettPackard/HP35.htm

HP 65. [2008-05-17] http://www.datamath.org/Related/HewlettPackard/HP65.htm Pocketronic. [2008-05-17] http://www.datamath.org/Related/Canon/Pocketronic.htm Sharp EL-805. [2008-05-17] http://www.datamath.org/Related/Sharp/EL-805.htm

TI-Nspire CAS. [2008-05-17] http://www.datamath.org/Graphing/NSpire_CAS.htm TI-Nspire CAS+. [2008-05-17] http://www.datamath.org/Graphing/NSpire_CASP.htm TI-83 Plus. [2008-05-17] http://www.datamath.org/Graphing/TI-83PLUS.htm TI-84 Plus. [2008-05-17] http://www.datamath.org/Graphing/TI-84PLUS.htm TI-89. [2008-05-17] http://www.datamath.org/Graphing/TI-89.htm TI-89 Titanium. [2008-05-17] http://www.datamath.org/Graphing/TI-89T.htm TI-92. [2008-05-17] http://www.datamath.org/Graphing/TI-92.htm

Zenit ab Läromedel (2008) Matematik & Räknare. [2008-05-17] http://zenit.bai.nu/

48

Huvudräkning Test 1 Bilaga 1 Tid: 3 min Klass A, B, C & D

Namn: .....................................................................

5+0= 1+4= 6+1= 2+6= 9-7= 9-3= 8-7= 6-2= 0*3= 4*1= 2*5= 3*2= 8/2= 3/3= 0/4= 10/5= 5+11= 9+4= 5+10= 11+7=

12-4= 16-10= 16-7= 14-8= 5*7= 7*3= 4*8= 9*5= 24/3= 40/8= 27/3= 24/6= 6+12= 6+7= 5+8= 12+4= 16-5= 17-10= 18-6= 13-9=

10*3= 4*12= 9*5= 3*12= 40/10= 60/5= 36/9= 55/5= 50+14= 61+26= 72+36= 71+24= 97-72= 43-16= 71-26= 61-24= 9*12= 13*13= 6*15= 21*9=

Handräkning Test 2 Bilaga 2a Tid: 5 min Klass A, B, C & D

Namn: ............................................................... 3749 + 7213 + 89 = ............... 4830 – 684 = ............... 720 * 13 = ............... 4437 / 9 = ............... 321,8 + 758,24 + 433,11 = ............... 432,6 - 14,78 = ............... 5,12 * 7,8 = ............... 87,95 / 0,05 = ...............

Handräkning Test 2 Bilaga 2b Tid: 5 min Klass A, B, C & D

Namn: ............................................................... 4739 + 7213 + 89 = ............... 3840 – 684 = ............... 270 * 13 = ............... 4347 / 9 = ............... 231,8 + 758,24 + 433,11 = ............... 342,6 - 14,78 = ............... 5,12 * 8,7 = ............... 78,95 / 0,05 = ...............

Elevenkät: Att använda TI-nspire CAS på gymnasiet (ht-07) Bilaga 3 Klass A & D

OBS! Frågorna gäller bara hösten 2007 1. Hur har du använt TI-nspire CAS? 2. I vilka kurser har du använt TI-nspire ht-07 (t ex: MaC, MaD, FyB, KeA...)? 3. Har du använt textbehandlings-funktionen (Notes)? 4. Har du använt kalkylblad (Lists & Spreadsheets)? 5. Har du använt grafikfunktionen (Graphs & Geometry)? 6. Har du använt CAS-funktionerna (t ex: Solve, Derivative, Integral, Limit etc...)? 7. Vilka CAS-funktioner har du haft mest användning av? (rangordna om möjligt) 8. Har TI-nspire använts som ett inlärningsverktyg i undervisningen? Om ja, ge exempel på hur. 9. ”Alla elever har olika sätt att lära sig på. Vissa förstår ekvationer utan problem, en del tar snabbt åt sig tabeller medan andra föredrar diagram.” Stämmer detta in på dig? Om ja, vilken typ är du själv? 10. Har din lust att lära matematik förändrats på grund av TI-nspire? 11. Vad hade du för räknare innan? 12. Tycker du TI-nspire varit lätt att lära sig (jämfört med din tidigare)? 13. Håller du med om att TI-nspire är ”enkel att använda”? 14. Vad tycker du är bäst med TI-nspire CAS? 15. Vad tycker du är sämst? 16. Vad sätter du för medelbetyg på en skala från 0 (sämst) till 10 (bäst)?

Miniräknaren både-och Programvaran

¤----------¤----------¤ ..................................

Nej, 1-3ggr, 4-9ggr varje v, varje dag, mer

¤---¤---¤---¤---¤---¤ Nej, 1-3ggr, 4-9ggr, varje v, varje dag, mer

¤---¤---¤---¤---¤---¤ Nej, 1-3ggr, 4-9ggr, varje v, varje dag, mer

¤---¤---¤---¤---¤---¤ Nej, 1-3ggr, 4-9ggr, varje v, varje dag, mer

¤---¤---¤---¤---¤---¤

..................................

Nej – Ja:

¤--¤ ........................... ..................................

Nej – Ja:

¤--¤ ........................... ..................................

Minskat, lite ner, oförändrad, lite upp, Ökat

¤----¤----¤----¤----¤ ..................................

Nej Delvis Ja

¤---¤---¤ Nej Delvis Ja

¤---¤---¤

..................................

..................................

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

¤-¤-¤-¤-¤-¤-¤-¤-¤-¤-¤

Exempel på kategorisering av uppgifter enligt Lokar & Lokar (2001): Bilaga 4(1)

Här följer mina egna exempel på uppgifter i alla fem kategorierna C0-C4. Alla uppgifter är lösta med TI-Nspire CAS. Med ”vanlig” uppgift menar jag en uppgift konstruerad att lösas utan CAS, men kanske med funktions- eller grafräknare. C0: Till denna kategori hör förståelse- och begreppsuppgifter, t.ex. där man ska tolka grafer, diagram eller funktioner (CAS hjälper lite eller inte alls). Vanliga huvudräkningsuppgifter tar alltid längre tid att skriva in i räknaren, men det finns även många andra uppgifter man löser snabbare med papper och penna, förutsatt att man vet hur man ska göra, förstås. Tre sådana exempel:

Beräkna 2111

33

222⋅

, Derivera xxxf34)( 2 −= , Lös ekvationen 0

7)82)(2)(1)(3(

=++−− xxxx .

Några elever skulle säkert glatt knappa in dessa uppgifter på sina CAS räknare (missbruk?) och

förlora ett par minuter, jämfört med att direkt i huvudet räkna 233-11-21 = 21 = 2, 342)( −=′ xxf

samt de fyra rötterna 4− = − = == xxxx ,2 1, 3, . Vissa uppgifter är på gränsen, för mig tar det lika lång tid att lösa för hand, som med solve på räknaren, men var gränsen går mellan C0 och C1 blir en individuell fråga, beroende på hur snabbt och säkert man kan hantera sin räknare, jämfört med vilken vana och snabbhet man har med papper och penna.

0693 23 =+− xxx

C1: Många uppgifter blir triviala att lösa i den meningen att om du bara knappar in rätt värden och använder rätt funktion på miniräknaren, så får du svaret direkt i den form som efterfrågas. Detta behöver ju, som vi såg ovan, inte betyda att uppgiften skulle tagit längre tid att lösa för hand. En vanlig andragradsfunktion är exempel på detta, liksom enkla derivator, integraler och differentialekvationer samt alla exemplen ovan. Det går dock att hitta uppgifter, som för de allra flesta av oss går snabbare att lösa på räknaren. Exempelvis komplicerade ekvationer, derivator och integraler. Ekvationen skulle nog de flesta av oss lösa snabbare på räknaren, liksom komplexa rotdragningar eller differentialekvationer med begynnelsevillkor. Intressant nog verkar det som att de relativt enkla uppgifterna alla blir triviala, medan de tidsbesparande uppgifterna alla är relativt avancerade.

013 23 =++− xxx

C2: Uppgifter, som verkligen testar förmågan att använda CAS, kan betyda att känna till CAS-programmets begränsningar eller att på ett riktigt sätt kunna tolka den information CAS-räknaren ger. Ex. på det senare kan vara att lösa trigonometriska ekvationer och rätt försöka tolka svaret.

Ekvationer som 23cos2sin =+ xx kan lösas exakt med kommandot solve, men svaret blir minst

sagt svårtytt! Avrundat ger räknaren ...)206763.(360 += nx or ...)059179.(360 −= nx och lös-ningen bör därefter skrivas på formen x ≈ 74,4˚ + 360˚·n eller x ≈ – 21,3˚ + 360˚·n om inget annat anges i uppgiften. Försöker man lösa får man ett oväntat svar... Det gäller att vara noga med multi-plikationstecknen! måste det skrivas, för att räknaren ska tolka rätt. Svaret,

0 2 =++ qpxx 0 2 =+⋅+ qxpx

242 pqp

x−⋅−

= or 2

)4( 2 pqpx

+⋅−−= , får du själv räkna om till det mer välbekanta

Exempel på kategorisering av uppgifter enligt Lokar & Lokar (2001): Bilaga 4(2)

qppx −⎟⎠⎞

⎜⎝⎛±−=

2

22. Även med CAS har man ibland god nytta av sina algebrakunskaper!

C3: En ”vanlig” uppgift, som att derivera funktionen en eller två gånger, kan utö-kas till en CAS-uppgift. Exempelvis genom att man beräknar en derivata av högre ordning (C1) eller undersöker vad som händer med derivatan, när ordningen stiger från 1 till 5 (C2).

)sin()( 2xxf =

Att faktorisera tal är en vanlig uppgift, t.ex. är 8 = 2·2·2, 9 = 3·3, 10 = 2·5, 11 är ett primtal och kan inte faktoriseras, 12 = 2·2·3, 13 är nästa primtal etc. Med CAS skulle man kunna ge uppgiften att bestämma vilka årtal mellan 2000 och 2050 som är primtal (C2/C4). För att inte få för mycket jobb, sållar man först bort alla de årtal som är jämna, delbara med 3 eller 5, återstår då 12 årtal, som kontrolleras med CAS. Primtal är bara 2003, 2011, 2017, 2027, 2029 och 2039. En tredje typ av uppgift kan vara att faktorisera polynom av grad > 3. ”Vanliga” polynom kan vara ( ) ( ) ( ) ( )3311 3 4 24 +⋅−⋅+⋅−=+− xxxxxx eller , men väljer man i stället t.ex. x4 – x3 – x2 – 5x – 30, blir det mer tidskrävande att lösa utan CAS. Med CAS blir alla tre faktoriseringarna triviala (C1).

( 22234 2 44 −=+− xxxxx )

C4: Uppgifter som är svåra, tidsödande eller omöjliga att lösa utan CAS. Ex: Tag två funktioner f(x) = x3 – x + 4 och g(x) = sin(x) – cos(x) + x2, i stället för att bara derivera f(x) och g(x), (C0/C1) så kan man med CAS enkelt bestämma derivatan av f(f(x)), f(g(x)), g(f(x)) och g(g(x)). (C3/C4/C2) Lägg märke till hur kategorierna flätas in i varandra: En C0-uppgift, som är trivial med CAS (C1), utökas (C3) till en svår uppgift (C4), som testar hur väl man behärskar CAS (C2). Böhm et al. (2004:23) talar om ”the possible fuzziness of the categories used.” Kategorierna kan nästla sig i varandra. Ett tydligare exempel är att försöka beräkna det exakta antalet riskorn på ett schackbräde, där det lagts 1 riskorn på första rutan, 2 på nästa, 4 på tredje, 8 på fjärde o.s.v. ända till ruta 64. Svaret blir 264 – 1, men utan CAS är det ett tidsödande arbete att räkna ut svaret i siffror. Räknaren ger svaret direkt: 18446744073709551615. Ett tredje exempel är faktorisering av polynom med reella eller komplexa koefficienter, där man kan hitta exempel på uppgifter, som är både svåra, tidsödande eller omöjliga att lösa för hand. Till den senare kategorin hör att faktorisera uttrycket xn – 1 för heltal n > 100. Räknaren faktoriserar även vanliga heltal. Den klarar alla tal med upp till 20 siffror, även om det tar tid (ca 50 s.) att faktorisera 99809189788284944131. Hur lång tid faktoriseringen tar beror på primfaktorernas utseende; två olika men jämnstora primfaktorer tar längst tid. Många små primfaktorer kan gå snabbt trots avsevärt större tal, t.ex. 446! ett tal med 990 siffror, som faktoriseras på en sekund[!]. TI-Nspire CAS hanterar tal som har uppemot 1000 siffror, t.ex. är 23000 (≈ 1,23·10903) ett tal med 904 siffror, där varje siffra finns i räknaren. 1/32000 är ett bråk med 955 siffror i nämnaren. Dessa tal kan man räkna med, exakt! En ”vanlig” räknare klarar att hantera tal mellan 10-100 och 10100 men bara med 14 värdesiffror, som jämförelse. Går vi över räknarens gränser och försöker räkna med tal med fler än 1000 siffror, lösa tredje ordningens linjära ODE eller faktorisera vissa stora tal, har vi passerat CAS-räknarens gräns och är tillbaka i kategori C0. Däremot klarar CAS-programmet på min dator att faktorisera 26-siffriga tal på mindre än 45 s. (P4-3.4 GHz). På kraftfullare datorer antar jag att CAS-programmet kan faktorisera ännu större tal. Tekniken att räkna med riktigt stora tal brukar kallas bignum-aritmetik.

Miniräknardagböcker om prototypen, klass A. Bilaga 5(1) -utdrag eller hela dagböcker (med mina kommentarer)

1) ”20/12: Jag har inte orkat skriva så mycket, men idag lärde vi oss i alla fall hur man omvandlar från det decimala talsystemet till det binära.” 2) • ”Jag tycker den är lite mer komplicerad (än TI-89) och drar väldigt mycket batterier. • bytte batterier 3 gånger. • tappade den en gång, men det gick bra. Tycker om designen och olika fönster för programmet, men det finns inget svenskt språk. Det är dåligt.” 3) ”Det var inte kul att vänta på räknaren, det blev näst intill outhärdligt i slutet. Tur att den kom till slut, dock kraftigt försenad • Man borde kunna ställa in ett eget window och själv bestämma x o y värden när man ritar

grafer. (detta är åtgärdat, min anm.) • Räknaren käkar batterier till frukost! Med andra ord, de tar slut väldigt fort.” 4) ”Innan vi hade fått miniräknaren gick man och väntade. Den var flera veckor försenad! Jag tror att vi alla frågade om miniräknaren vid varje tillfälle som gavs och äntligen, äntligen har den kommit! ☺ Egentligen hade vi nog ganska höga förväntningar, men vad vi väntade oss visste vi inte... Den var stor, ny, luktade ny plast/gummi, stor display, många nya funktioner och knappar. Sammanfattning: rena rama drömmen.” 5) ”Mån. 18/12: Efter sådär tre veckor känns det som man alltid har haft den... och den gamla miniräknaren ligger numera bara i skåpet och vilar. Ons. 20/12: Vi ska lära oss hur man ska ändra mellan Bin och >Hex och 0hf5 > Dec... men jag förstår inte alltför mycket. [...] Otroligt kort livslängd... har nu bytt batterier 2 ggr efter vi fick dem med nya batterier i.... Känns som det finns otroligt med funktioner etc men vi har knappt lärt oss 1/3 av allt. Skulle gärna vilja veta hur man överför dokument från miniräknare till dator. Går det att få fram en graf som man gjort på miniräknaren direkt på datorn??” 6) ”Tycker att det kunde vara lättare att få in tidigare värden i nämnaren, när man valt bråkform. Det går inte att hämta med enter för att få ner till nämnaren. Då måste man använda ctrl-c, sen ctrl-v.

• Ibland kan miniräknaren vara lite seg, även om den är tom på gamla uträkningar. • Att man kan behålla gamla uträkningar är bra om man behöver kolla något senare. • Riktigt bra är det att det finns en katalog med massa olika konstanter, längdenheter,

volymenheter osv. Första gången att byta batterier 26/1 -07, andra gången 21/2 -07.”

Miniräknardagböcker om prototypen, klass A. Bilaga 5(2) -utdrag eller hela dagböcker (med mina kommentarer) 7) ”Nu har vi äntligen fått den nya räknaren! Vi fick vänta mkt längre än jag trodde vi skulle få, och det var trist, men nu är jag glad i alla fall! Är värsta stolt över den [...] Den äter batterier! Mina är redan slut! Det känns svårt att lära sig en ny, men jag förstår nog snart [...] Nu har jag börjat förstå, så nu känns det jättebra!” 8) ”Den här nya räknarn är mycket bättre än den som vi hade förut. Den är mycket enklare också. Det som jag tyckte var bra med den nya är att bokstäver och siffror inte är på samma knappar, som på den gamla. Man kan göra mycket mer saker i den nya räknaren och vi kan använda den via kontakt med dator, så att det blir enklare att använda. (t.ex. ordbehandling, min anm.) En nackdel som jag inte tyckte om. Man måste byta batterier jätteofta. Jag vet inte om batterierna är bra eller dåliga. I den gamla räknaren kunde batteriet hålla i mer än ett år. Jag har bytt batteri en gång, det var 12/3.” 9) ”Dåligt: Batterierna tar slut snabbt = ILLA! Har redan bytt batterier 2 ggr på 4 månader. Den andra vi hade innan har jag aldrig bytt batterier på och den hade vi i ca 1.5 år. (TI-89) Det var lite ovant med bokstäverna på egna knappar och i början tyckte jag att de var i vägen, men man vänjer sig efter ett tag, och då är det bra att de fått egna knappar. Bra: Bra med den nya pilen, den är lätt att hantera osv. Påminner om Microsoft Equation. Sen har jag en önskning: Ge egen knapp till ”roten ur”. Att vänta på räknaren var inget spec. egentligen, men när vi väl fick den satt alla och tryckte på den, kemiläraren fick t.o.m. säga åt oss att låta bli räknarna.” 10) ”TI-nspire CAS+ Sämre: Miniräknaren reagerar långsammare på knapptryckningar än TI-89. Den drar väldigt mkt batterier. Jag bytte batterier 23/1 -07, 21/2 -07, sedan vi fick CAS+ 1/12 -06. Det är avsevärt mer än TI-89. Graferna är svåra att handskas med. T.ex. svårt att byta skala m.m. Muspekaren är för långsam för att vara användbar. Bättre: Gränssnittet är mycket bättre än TI-89. Funktionerna är mycket användbara. T.ex. att använda regression i Lists&Spreadsheet. Att det finns knappar för enbart bokstäverna är en klar förbättring jämfört med TI-89. Jag gillar upplägget med Document Browser. Det blir lätt att hitta bland filer. Helhet: Det är mycket lättare att ”förstå” sina uträkningar på CAS+, i och med den fina visningen av uträkningarna. I vissa fall föredrar jag ändå TI-89 för att den är mkt snabbare i uträkningar m.m.” 11) ”19/1 -07: Miniräknaren är bra och tänker snabbt, men jag har fortfarande vissa problem med att hitta vissa funktioner. 1/2 -07: Jag bytte batterier för ungefär en vecka sen... Det är faktiskt lite opraktiskt att ha bokstavsknapparna så nära siffrorna, man kommer så lätt åt dem när man räknar. Bokstäverna borde få ett eget område under skärmen. 15/2 -07: När vi väntade på miniräknaren var alla i klassen så himla otåliga för det var så spännande. Fortfarande är det nog så att alla i klassen är lite mer försiktiga med den nya miniräknaren än vi var innan med den gamla. Ibland när man visar den för andra människor reagerar de lite på att den är så stor, vilket den iofs (i och för sig, min anm.) är.

Miniräknardagböcker om prototypen, klass A. Bilaga 5(3) -utdrag eller hela dagböcker (med mina kommentarer) 21/2 -07: Jag börjar verkligen gilla miniräknarens funktioner. Jag hade gjort en derivering och blev osäker på ifall jag gjort rätt eller inte, så jag tog fram miniräknaren och kontrollerade. 16/4 Det är väldigt bra att man kan ha olika dokument!” 12) ”Räknare TI-nspire cas+ Räknaren är bra och har mycket funktioner som är nyttiga till mycket, men den är lite stor och ful ☺ De små bokstavsknapparna stör lite när man knappar in siffror, om man har stora klumpiga fingrar... Har bytt batterier 2 gånger hittills. Sista gången var 16/4 -07. Kom fram till att räknaren klarar sig med batterier på ena sidan också dvs 2 batterier, men inte så länge. Graffunktionen är inte den bästa. Men om man har lärt sig ett tag så tror jag att det kommer gå bra. Vill gärna ha svenska i räknaren i o m att jag inte kan engelska så bra. Räknaren har varit ett bra skolmateriel för mig hela tiden. Man känner sig så handikappad utan den!” 13) ”-Hej dagboken, idag så fick jag räknaren. Kändes innan som om vi skulle bli den mest tekniska klassen (mest avancerad räknare). Men har fått reda på att en annan klass ska få en miniräknare likadan som vår. (Klass D, min anm.) Nu känns det inte lika speciellt längre... -Har haft några genomgångar på hur man använder räknarens program nu. Tycker det är bra att vi har kvar den gamla räknaren. Tycker att den är lättare att använda, men det kanske ändras när jag lärt mig den nya lite bättre. Tillsvidare kommer jag nog att använda den gamla mest. -Hade fysik breddning idag o lät min lärare se på räknaren. Han verkade tycka att den var krånglig o han kunde inte hjälpa mig med en uppgift jag behövde räknaren till. -Nu har jag märkt två saker jag stör mig på. Det ena är att det är så tätt emellan knapparna att det är lätt att trycka på bokstäver när man försöker trycka på siffrorna. Det andra är att man inte kan hoppa direkt till början på det man skrivit utan att använda musen. -Har funderat över vad jag tycker är bra med räknaren o jag har kommit fram till några saker. 1. Det är lätt att bläddra mellan olika dokument med page sorter. 2. I grafer kan man dra i de olika axlarna i stället för att zooma. Man kan även vandra längs en kurva o läsa av värden. 3. I grundfönstret får man en bra överblick över det man skrivit.” 14) ”Hur det kändes att vänta.....? Jag var verkligen stolt över min miniräknare som jag hade då (TI-89). Den var också ny, i alla fall nyare än mina kompisars som gick i andra klasser. När jag hörde att vi skulle få nyare blev jag chockad, jag blev jätteglad. Jag började tänka och fråga mig själv: Hur ser den ut? Är den större eller mindre? Det var jättekul att få veta att vi skulle få nyare, men varför skulle just vi få dem? Att vänta tills de kom var inte så kul. Varje gång när vi skulle ha matte så tänkte jag på den nya miniräknaren och jag ville alltid fråga läraren om de hade kommit än. // Det kändes som om vi var viktigare än andra klasser ☺ ... Varje kväll, när jag satte mig för att läsa, hörde jag ett ljud som var jättestörande. Det lät som en repig CD-skiva i spelaren. Till slut upptäckte jag att det var miniräknaren som lät. Jag försökte installera CD-skivan med miniräknarens program två gånger... Jag kontaktade TI customer support och försökte få prata med någon som kunde svenska, men han var ledig. En engelsktalande kvinna sa att en dansk kollega skulle kunna hjälpa mig... Båda språk, engelska och danska var svåra för mig att förstå... I alla fall till slut lyckades jag installera CD:n.”

Miniräknardagböcker om prototypen, klass A. Bilaga 5(4) -utdrag eller hela dagböcker (med mina kommentarer) 15) ”18/12 -06: Hej Dagboken och David! Ja, jag kan väl börja med när vi fick reda på att vi skulle få en ny miniräknare. Självklart blev man förväntansfull och fick lite pirr i magen dagen vi skulle få dem. *NÖRD* Jag var en av de 5 första som fick hämta den och blev alldeles till mig när jag fick den. Jag förväntade mig en svart dyster räknare, men när jag såg den ljusa dosan blev jag glad. Kanske lite för glad och töntig, så jag strök den mot min kind... Alla i klassen var ju som små barn på julafton... Men i alla fall BRA med snabbknapparna på räknaren, men en aning störande ibland är bokstäverna som sitter mellan siffrorna. Så ibland kan det hamna ett g eller m mitt i allt. Det jag gillar mer är den stora displayen och de tydliga menyerna. Men det tog ett tag att lära sig lösa ekvationer på räknaren. På vår gamla var det bara att knappa in ekvationen, men nu måste man skriva vilken variabel den ska lösa. Men det beror väl på något finurligt som vi snart lär oss och får nytta av, VEM VET? Fiffigt att man kan spara och öppna dokument smidigt och enkelt! Tjo sålänge 5/1 -07: Kanske slarvat lite med att skriva i denhär. Men iaf (i alla fall, min anm.), vår fysiklabb som handlade om halveringstjocklek för gammastrålning i bly har jag nästan gjort klart. Bara diagram kvar. Jag använde mig av räknaren för att räkna ut halveringstjockleken. Jag skrev in mm bly (x) och aktiviteten (y) och fick en graf och begärde sedan regression (kurvanpassning, min anm). Fick en formel och värden som jag satte in i sambandet. Med krångel och bök fick jag fram ett vettigt (tror jag!?) svar på x1/2. Innan lovet hade vi genomgång på detta, hur vi skulle göra med räknaren. Och smart var jag som skrev upp varenda steg ☺ Annars hade det varit ett stort problem för mig, för det var inte sååå lätt. Men jag ska nog göra om det nu igen, så att det fastnar lite bättre. Tjingeling 15/1 -07: Nu börjar jag bli riktigt förbannad på knapparna som är TRÖGA, och dessa små bokstavsknapparna som man av misstag råkar trycka på, så att det blir FEL. Har också kommit på att den är för klumpig att hålla i båda händerna och trycka på knappar med tummarna. Den feta displayen gör att räknaren får en konstig tyngdpunkt. Det saknar jag mest från våran förra MINIräknare... :P 17/2 -07: Batteriet tog slut nu..... och både jag och min bror stör oss på de DRYGA, TRÖGA knapparna!!” 16) ”Spänningen var mycket stor dagen vi skulle hämta räknarna. Ingen kunde koncentrera sig på uppgifterna under lektionen, alla ville iväg för att hämta sin först. Ska bli kul att se vem som tappar den i golvet först! haha (Jag fick höra att eleverna slagit vad om detta, min anm) -Just nu har vi fått batterier och efter den korta genomgången pillar alla frenetiskt med räknaren, själv hittade jag ”solve”-funktionen! Utan den funktionen kan man ju inte lösa ekvationer på räknaren och då hade de flesta föredragit TI-89:an... -Sitter och försöker navigera med den sabla pekarknappen... måste lära mig använda knapparna istället. Verkar dock som att man måste ”peka-klicka” på vissa saker... dåligt. Behändigt när man ritar grafer kanske, får se... -#@%!? Räknaren startar inte! Batterier ok... Hmmm, nu fick läraren igång den. skumt... -Räknaren tuffar och går, har inte gjort något speciellt... -Lärde oss derivera på räknaren. Snyggt gränssnitt, mycket överskådligt med färdiguppställda tecken... bara att fylla i siffror! -Snart jul, och första batteribytet! Har hållit ett bra tag, förmodligen för att jag bytte batterier med min kompis en gång. -Verkar som att en del återgått till 89an för att nspire är för krånglig? Fånigt, man ska väl ändå försöka!

Miniräknardagböcker om prototypen, klass A. Bilaga 5(5) -utdrag eller hela dagböcker (med mina kommentarer) -Hehe overflow-gränsen (hur stora tal miniräknaren klarar, min anm.) verkar ligga vid ca π2011 (≈ 6·10999) 89an klarar knappt π200 sist jag pröva. (antagligen klarar TI-89 π201 ≈ 8·1099, min anm.) -Urk, vad krångligt grafritarsystemet är! Muspekare i all ära, men vi vill faktiskt kunna ange skalorna på axlarna själva!!! Just nu andvänds nåt urkorkat system där man måste dra i pilarna. Tacka vet jag ”window”-inställningar från 89:an, puh... (detta har åtgärdats på den riktiga räknaren, min anm.) -Gjorde en fysiklabb med tabell och graf, mycket smidigt att kunna spara allt som dokument! -Vi har fått koderna till programmen på datorn, men jag får bara en massa felmeddelanden. Väntat så länge och ändå mer krångel... nä, det där programmet struntar jag i, skulle säkert inte använda det ändå. -Räknaren börjar bli lite skitig och repig, även lite väta har den fått tåla efter cykelturerna i regnet. Ännu en gång har den vägrat starta, fast jag tror inte det är mitt fel... -Har inte lärt mig så mycket nytt på sistone, verkar som vi lärt oss det mesta vi behöver... Undrar om vi kommer få nästa version av operativsystemet på räknaren när dom fixat ett och annat. Jag upplever att det är ganska onödigt mycket design både utanpå och inuti räknaren, när det kommer till kritan har det varit få ”wow”-upplevelser. -Man kanske skulle använda ordbehandlingsfönstret lite mera, kanske till att ta anteckningar under lektionen! Verkar som om min kompis skrivit in vissa provdatum ☺ Undrar om någon försökt fuska på något prov genom att skriva saker i ett textdokument.” 17) ”Det är aldrig roligt att vänta och klassen var ganska spända när det var dags att gå ned till depån för att hämta räknaren. (alla skolräknare lånas ut av skolbiblioteket, min anm.) Det var väldigt kul att utforska den på egen hand. -Batteri bytt 2006-12-11 -Batteri bytt 2007-01-08 Det finns många nya saker med den, tyvärr både förbättringar och försämringar. Det som är bra med den är följande: + Stor tydlig skärm + Spara dokument-funktionen + Siffror och bokstäver har egna knappar + Att man kan ha flera dokument öppna samtidigt + Snygga, tydliga grafer + Att den har samma kortkommandon som en dator, ctrl+c, ctrl+v & ctrl+z är jättebra att ha. Speciellt gå tillbaka-funktionen är underbar. För räknar man fel på ett prov, och vill radera flera steg, kan man råka ta bort något som borde ha varit kvar, ctrl+z, så löser sig allt. + Att många användbara saker fått en egen knapp t.ex. ^ , π. + Denna räknare är väldigt duktig på derivering. + När man väl lärt sig var alla knappar är så går allt grymt fort, lätthanterlig. + Den är tydligare och lättare att använda än 89:an när det gäller att stoppa in värden i en lista, få fram en formel och sedan rita en graf. + Datorprogrammet är en bra idé och bra att använda + Styrspaken + Locket!, mitt förra till 89:an passade inte ens + Har knappt tappat poäng med den, slår aldrig fel och njuter av att ha den på proven - Det dåliga - Datorprogrammet måste snart få stöd för Vista, kompatibilitetsläget som jag måste använda programmet i stör mig =S - Registreringen av programmet, har fått sista koden men den fungerar inte

Miniräknardagböcker om prototypen, klass A. Bilaga 5(6) -utdrag eller hela dagböcker (med mina kommentarer) - Window-zoomning i grafer, det måste tillbaka - Graffunktionen, måste få tillbaka vissa gamla saker, t.ex. lätt att finna min och max, gällande grafer är 89:an bättre - Om du står längst till höger i en lång uträkning och vill längst till vänster så finns det inget bra sätt, på den gamla tryckte man 2nd+vänster, saknar den funktionen. - ge ”roten ur” en egen knapp - BATTERITIDEN, Herregud, den är ju värsta batteritjuven, med 4 batterier borde den kunna klara sig längre än vad den gör, stort minus - Den har inte svenska, lite synd, lite komiskt att engelska är lättare att använda än danska, men ☺ - Batteri-indikatorn är lite underlig ”spara dokumentet” sa han i nästan 3 veckor, ganska störande Jag tycker att den är mycket bättre än 89:an och jag är jättenöjd över att få vara med och testa den. Man sitter ju och trycker lite ibland och sen när vi lär oss saker så känner man ibland igen det ifrån räknarens alla funktioner, den kan ju så mycket.”

Miniräknarna i undersökningen Bilaga 6

Här följer en presentation för den tekniskt intresserade. All information om räknarmodellerna är hämtad från Woerner (2008). Alla de beskrivna modellerna har batteridrift: 4 st AAA.

TI-83 Plus (grafräknare) Grafräknaren TI-83+, som lanserades 1999, var en TI-83 (modell från 1996) utrustad med 160 kB Flash-minne. Detta minne kan bl.a. användas för lagring av program och extra funktioner. Räknaren har en 8-bitars Z-80 processor med 6 MHz klockfrekvens. Den har en serieport, där man kan ansluta div. mätutrustning. Displayen har 16x8 tecken. Räknaren väger ca 160 g.

TI-84 Plus (grafräknare) Grafräknaren TI-84+ från 2004, har 480 kB Flash-minne. I minnet finns elva förinstallerade extra program eller ”applikationer”, jämfört med fyra för TI-83+, bl.a. finans, geometri, sannolikhet och övningar i algebra. Genom USB-kabel kan man ladda ned andra program, som man först hämtar från Texas Instruments’ hemsida (2008). I februari 2008 fanns 55 gratisapplikationer att hämta för TI-83+ och TI-84+. Räknarprocessorn är fortfarande en Z-80, men med 15 MHz klockfrekvens. Räknaren väger ca 220 g.

TI-89 och TI-89 Titanium (symbolhanterande) TI-89, är Texas’ första symbolhanterande räknare i fickformat från 1998. Displayen är 160x100 jämfört med 128x64 bildpunkter för grafräknarna. Processorn bygger på Motorola MC68000 och finns i två versioner, en med 10MHz och en med 12 MHz klockfrekvens. CAS-programmet är en version av Derive. Uppföljaren TI-89 Titanium från 2004 har 2.7 MB Flash-minne, USB-port och levereras med 16 förinstallerade applikationer. Även TI-89 Titanium väger ca 220 g.

TI-Nspire CAS+ (prototypen) När prototypen TI-Nspire CAS+ kom i december 2006, hade ryktet gått i ett halvår att en ny CAS-räknare var på gång. Skärmen hade 320x240 bildpunkter och kan delas upp i fyra olika arbetsytor. Mellan de vanliga tangenterna sitter små runda bokstavsknappar och det finns en ”pekare”, som man styr med knappar. Den har en 32-bitars RISC processor (ARM9) 90 MHz. Själva räknaren är betydligt större än föregångarna och väger ca 280 g.

TI-Nspire CAS Den riktiga TI-Nspire CAS kom inte förrän juli 2007. Eleverna fick sina vid terminsstarten. De enda synliga skillnaderna var pekarknappens utseende och att funktionerna på ett par knappar fått byta plats. (log/10X resp. ln/eX) Inuti hade man förändrat för att sänka tillverkningskostnad och energiförbrukning. Programmet fanns först bara på engelska, danska, tyska, franska, italienska och norska, men i januari 2008 kom en uppdatering på svenska. (Texas Instruments 2008)

CAS-programmet för dator CAS Computer Software for Windows® levereras på CD-ROM7. Programmet säljs separat och ersätter det tidigare Derive. För eleverna i klass A och D följde det med en programlicens per räknare.

Utrustning till räknare med USB-port Till varje räknare hör två USB-kablar en för anslutning mellan räknare och en för anslutning till dator. På skolan finns OH-plattor (ViewScreen) till alla räknarmodellerna. Med en TI Presentation Link™ adapter kan en vanlig TI-84+ eller TI-89 Titanium anslutas till OH-plattan.

7 En 30-dagars testversion kan även laddas ned från räknarens nedladdningsfönster (Texas Instruments 2008).

Information om symbolhanterande räknare i undervisningen Bilaga 7

Var hittar man information om symbolhanterande räknare i undervisningen? Information kan finnas i läroböcker eller annat undervisningsmateriel, nyhetsartiklar, recensioner, tillverkarnas eget material, på hemsidor m.m.

Läroböcker om Derive Litteratur och tidskrifter hittar man under Eabt, Ta eller annan klassificering. Bland läroböcker kan nämnas Learning Mathematics through Derive (Berry, Graham & Watkins 1996). Boken ingår i en serie med titlar om linjär algebra, differentialekvationer och modellering. Annan litteratur om Derive, CAS-programmet som ligger till grund för TI:s symbolhanterande räknare, är Teaching Mathematics with Derive (Böhm red. 1993) och Derive in Education (Heugl & Kutzler 1994).

Datorn i Utbildningen (DiU) Stiftelsen Datorn i Utbildningen är en icke-vinstdrivande, fristående stiftelse vilken driver ett flertal verksamheter: bl.a. tidskriften Datorn i Utbildningen. Här har publicerats åtskilliga artiklar med anknytning till CAS under perioden 1994-1997, sedan har antalet sjunkit drastiskt. (DiU 2008) Lönnberg (2000a) ger en positiv bild av de nya möjligheterna och skriver: ”De elektroniska verktygen för lösning av matematiska problem blir allt effektivare och en total översyn av hela matematikundervisningen känns allt mera angelägen.” Han jämför sedan CAS-räknarna TI-89 och HP 49G under rubriken Folkvagn eller Rolls Royce (Lönnberg 2000b). Tre år senare kommer en ny recension, denna gång av CAS-räknaren Casio ClassPad 300 (Lönnberg 2003). Dessa artiklar är i stort sett allt som skrivits om symbolhanterande räknare mellan 1998-2007.

Tillverkarnas eget material På hemsidorna nedan kan man bl.a. hitta manualer, program och uppdateringar för räknare, gratis inspiration och undervisningstips, t.ex. CASIOnytt (Casio Scandinavia 2008) och Undersök, upptäck och verifiera med TI-89 Titanium (Jakobsson 2007). Det kan finnas information om utbildningar, kurser och konferenser. Det kan även finnas information om CAS-programvaror, böcker, OH-plattor, mätutrustning och andra tillbehör till räknarna. Casio Scandinavia (2008): Skol- och grafkalkylatorer Casio Education (2008): log in Casio (2008): Technical & Educational Support CasioEd (2008): Supporting Australian Teachers Casio WEW (2008): Worldwide Education Website Hewlett-Packard (2008): Graphing Calculators Hewlett-Packard (am.): Education & Training Hewlett-Packard HP Calculator (asian): Educalc.net Texas Instruments (2008): Räknare & Grafräknare Texas Instruments (2008): Education Technology T3 Europe (2008): Teachers Teaching with Technology™ T3 Worldwide (2008): Teachers Teaching with Technology™ Atomic Learning (2008): TI-Nspire tutorials Fristående sida för TI-räknare: ticalc.org (2008): Basics Calculators

Exempel på uppgifter för CAS i undervisningen Bilaga 8(1)

Berry, Graham & Watkins (1996) Learning Mathematics through Derive är en lärobok om div. funktioner, serier, derivata, integraler, numeriska metoder, komplexa tal och matriser. Alla uppgifter är tänkta att lösas med Derive och svar till övningarna finns i slutet av boken. Jag har bara hunnit bläddra i den, men det ser ut som om den skulle gå bra att använda även med symbolhanterande räknare. Tillsammans med fyra andra titlar utgör den serien Learning through Computer Algebra (Berry red. 1995- ).

Berry & Monaghan (red. 1997) Olika författare tar upp olika exempel på användning av CAS i undervisningen, mestadels för att illustrera sina idéer och tankar om symbolhanterande program i utbildningen.

Dahland (1998) Dahland hämtar sina uppgifter från flera källor. Främst använder han dem för att visa på olika komplikationer man kan stöta på, när man arbetar med grafisk eller symbolhanterande räknare. Flera intressanta problem ang. noggrannhet, avrundning, skärmupplösning, tolkning av resultat, etc. En anmärkning är att i ett exempel av Monaghan hämtat från ovanstående källa (Berry & Monaghan red. 1997:2, se Dahland 1998:165) har Dahland kopierat ett tryckfel utan att rätta det. I uttrycket för konens volym skall det stå r3 och inget annat.

Palm (2000) Anders Palm ger 9 övningsuppgifter för att träna användningen av TI-89 (Palm 2000:bilaga 2). Nästa bilaga består av fyra mer avancerade uppgifter av min/max-typ. Uppgift 2 kan dock med fördel lösas även utan CAS.

Fey et al. (red. 2003) Computer algebra systems in secondary school mathematics education innehåller uppgifter för CAS i nästan alla av de 18 forskningsartiklarna och däremellan i 11 s.k. ”Activities” – kortare CAS-övningar med lösningar.

Böhm et al. (2004) I kapitel 5 presenteras en rad olika ämnen: andragradskurvor, SGD/MGM, Herons formel för trianglar, binomialsatsen och vektorgeometri för elever 15-17 år, samt optimering, variabel-substitution, ”CAS your girl friend”, egenskaper hos trianglar med hörnen på liksidiga hyperbler, utforska några speciella trigonometriska funktioner samt summan av tredjegradsekvationens rötter för elever 17-19 år. Innehållet i avsnitten varierar mycket i längd (2-10 sidor) och innehåll, ibland finns förslag på bedömningsuppgifter, ibland inte. Tanken verkar vara att materialet ska kunna användas som lektionsunderlag, men det är lite överkursvarning enligt mig. Det krävs elever med viss kunskap om tekniken och hög motivation för ämnet. Nivån varierar dock och vissa avsnitt, t.ex. andragradskurvor och optimering, skulle nog kunna användas i helklass, medan andra avsnitt platsar bäst som Matematik breddning bland svenska gymnasiekurser. Uppgiften ”CAS your girl friend” går ut på att en ung man kysser sin flickvän farväl på perrongen och inte märker att tåget går. Efter 6 sekunder börjar han springa efter sista vagnen och frågan är hur snabbt han måste springa för att hinna med tåget, som rör sig med konstant acceleration. Kanske lite ”inkorrekt” ur ett modernt genusperspektiv, men relativt enkelt och åskådligt att beräkna med CAS.

Exempel på uppgifter för CAS i undervisningen Bilaga 8(2)

Jakobsson (2007) En pedagogisk introduktion till TI-89 Titanium. Lars Jakobsson går igenom andragrads-ekvationer, beräkning av nollställen, min/max-värden, derivator, integraler, differentialekvationer, n-fakultet, permutationer/kombinationer, listor/statistik, summor/serier och numerisk lösning av differentialekvationer (Jakobsson 2007:6-19). De 22 första uppgifterna har lösningar, men inte problem 23-36. Några av de senare är hämtade från The Case for CAS (Böhm et al. 2004:25-27). En bra introduktion till att räkna med CAS, oavsett vilken räknare man använder. Min enda invändning är några tryckfel: Uppgift 7: minimipunkt skall vara 2. Uppgift 12b): ”funktionen”. Uppgift 17: Kulor: 1, 4, 10, 20. (facit) Uppgift 25: Q(2;7) Uppgift 33b) ”trubbvinkliga”.