Karnaugh Map

1Karnaugh MAP (K-Map)

Pokok Bahasan :1. K-map 2 variabel2. K-map 3 variabel3. K-map 4 variabel4. Penyederhanaan rangkaian dengan k-map

Tujuan Instruksional Khusus :1.Mahasiswa dapat menerangkan dan memahami cara

membuat k-map 2, 3, 4 variabel.2.Mahasiswa dapat menerangkan dan memahami cara

peng-cover-an minterm dalam sebuah k-map..3.Mahasiswa dapat menyederhanakan persamaan logika

melalui metode k-map.

2Karnaugh Map (K-Map)

Suatu peralatan grafis yang digunakan untuk menyederhanakanpersamaan logika atau mengkonversikan sebuah tabel kebenaran menjadi sebuah rangkaian logika.

Salah satu metode yang paling mudah untuk penyederhanaan Rangkaian Logika.

3Map Value A B Y0 0 0 AB

1 0 1 AB

2 1 0 AB

3 1 1 AB

Karnaugh Map 2 Variabel : ( A dan B )

Tabel Kebenaran

A

AB3

AB1

AB2

AB0

0

1

0

1

B

Model II

AB3

AB2

AB1

AB0

0

1

0

1

AB

Model I

Map Value

4Desain Pemetaan K- Map 2 Variabel

0

1

0

1

AB

A A

B

B

5Karnaugh Map 2 Variabel : dengan minterm-mintermnya

x y F0 0 10 1 11 0 01 1 0

0 1y

x0

1

1

0 0

1

0 1y

x0

1

xy

xy xy

xy

x

y F = (m0,m1) = xy + xy

60A

1 01

B 0 101

F=AB +AB 0A

1 11

B 0 101

F=AB +AB +AB

0A

1 01

B 0 101

F=AB +AB 0A

1 11

B 0 101 F=A+B

F=AB +AB +AB

7Contoh : 1

1 0

02

01

13

AB 0

Tabel Kebenaran 1

0Map Value A B Y0 0 0 11 0 1 02 1 0 03 1 1 1

1AB

AB0

01

02

AB3

0

1

AB 0

1AB

Jadi Y = AB + AB

8Contoh : 2

1 0

11

02

03

AB 0

Tabel Kebenaran 1

0Map Value A B Y0 0 0 11 0 1 12 1 0 03 1 1 0

1AB

AB

AB0

AB1

02

03

0

1

AB 0

1

Jadi Y = A

9 0 kotak terlingkupi = 0 (Low) 1 kotak terlingkupi = 2 variabel output 2 kotak terlingkupi = 1 variabel output 4 kotak terlingkupi = 1 (High) Melingkupinya harus posisi Horisontal

atau vertikal , yang dilingkupi digit 1 dan jumlah digit 1 yang dilingkupi 2n (1, 2,4,8,16, ...)

Catatan untuk K-Map 2 Variabel

1

110 1

1

0

AB

B A

0 1

1

0

A

1

1 AB

AB

Y = AB + AB

Y = B + A

10

Contoh 3:Dari Tabel Kebenaran dibawah, tulis persamaan logikanya dengan menggunakan K-map :

11

1

0

1

0

1

AB

A A

B

B

Map Value A B Y0 0 0 11 0 1 12 1 0 03 1 1 1 0

1

0

1

AB

A A

B

B

1

1 1 Jadi Y = A + B

Sederhanakan persamaan logika :Y = A + AB + AB Menggunakan K- map :

Contoh 4 :

0

1

0

1

AB

A A

B

B1

1

111

1

0

1

0

1

AB

A A

B

B

Jadi Y = A + B

11

12

Karnaugh Map 3 Variabel : ( A, B dan C )

11170116101500141103010210010000

YCBAMap Value

Tabel Kebenaran

A

00 01 11

ABC5

ABC7

ABC3

ABC1

ABC4

ABC6

ABC2

ABC0

Model IIAB

00 01 11

ABC6

ABC7

ABC5

ABC4

ABC2

ABC 3

ABC1

ABC0

10

0

1

10

0

Model IBC

C

Map Value

1

13

Tabel Kebenaran

11170116101500141103010210010000

YCBAMap ValueModel III Model IV

ABC7

ABC6

ABC5

ABC4

ABC3

ABC2

ABC1

ABC0

0 1

00

01

10

11

A BC

ABC7

ABC3

ABC6

ABC2

ABC5

ABC1

ABC4

ABC0

0 1

00

01

10

11

B CA

Map Value

14

Desain Pemetaan K- Map 3 Variabel

00 01 11

0

1

10ABC

C

C

BB

A

A

15

0 kotak terlingkupi = 0 (Low) 1 kotak terlingkupi = 3 variabel output 2 kotak terlingkupi = 2 variabel output 4 kotak terlingkupi = 1 variabel output 8 kotak terlingkupi = 1 (High) Melingkupinya harus posisi Horisontal

atau vertikal , yang dilingkupi digit 1 dan jumlah digit 1 yang dilingkupi 2n (1, 2, 4, 8, ... )

Catatan untuk K- Map3 Variabel

00 01 110

1 111110

00 01 110

1 1111

10BC

A

A

A

B

00 01 11

0

1 11

110A

+ ABC+ ABCY = ABC

16

Contoh pengcoveran

00 01AB

C0

1

11 10

C

B

A

cab

00 01 11 1001

0 0 1 00 1 1 1

cout = ab + bc + ac

F(A,B,C) = m(0,4,5,7)

G(A,B,C) = 0 0

0 0

1 1

1 1CB

A

1 0

0 0

0 1

1 1CB

A

A

= AC + BC

cab

00 01 11 1001

0 0 1 10 0 1 1

f = a

17

0A

1 11

00 0101

BC

01 1

111 10

F=ABC +AB C +ABC +ABC + ABC + ABC

A B C F0 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 1

+

F=A+B C +BC 0

A

1 11

00 0101

BC

01 1

111 10

F=ABC +AB C +ABC +ABC + ABC + ABC

18

Contoh 1 :Tabel Kebenaran Diketahui Tabel Kebenaran seperti disamping :

Cari persamaan logikanya :

1111710116110150001401103001021100110000YCBAMap Value

00 01 11

0

1

1 1

1 1 1

10BC

A

AB

AB

AC

Jadi Y = AC + AB + AB

19

Contoh 2 :

A

Diketahui Persamaan Boolean :D = ABC + ABC + ABC + ABC + ABCSederhanakan dengan metode K-map

00 01 11

0

1

1 1

1 1 1

10BCABC

ABC

ABC

ABCABC

00 01 11

0

1

1 1

1 1 1

10ABC

B

ACJadi D = B + AC

20

ABCD10

ABCD14

ABCD6

ABCD2

ABCD11

ABCD15

ABCD7

ABCD3

ABCD9

ABCD13

ABCD5

ABCD1

ABCD8

ABCD12

ABCD4

ABCD0

ABCD 00 01 11 10

00

01

11

10

ABCD10

ABCD11

ABCD9

ABCD8

ABCD14

ABCD15

ABCD13

ABCD12

ABCD6

ABCD7

ABCD5

ABCD4

ABCD2

ABCD3

ABCD1

ABCD0

CDAB 00 01 11 10

00

01

11

10

Map Value

A B C D Y

0 0 0 0 0

1 0 0 0 12 0 0 1 03 0 0 1 14 0 1 0 05 0 1 0 16 0 1 1 07 0 1 1 18 1 0 0 09 1 0 0 110 1 0 1 011 1 0 1 112 1 1 0 013 1 1 0 114 1 1 1 015 1 1 1 1

Model 1

Model 2

Tabel KebenaranKarnaugh Map 4 Variabel :

( A, B, C dan D )

21

Dengan wxyz input

22

Desain Pemetaan K- Map 4 Variabel

ABCD 00 01 11 10

00

01

11

10

A

D

C

B

C

D

A

B

23

Catatan untuk K-Map4 Variabel

0 kotak terlingkupi = 0 (Low) 1 kotak terlingkupi = 4 variabel output 2 kotak terlingkupi = 3 variabel output 4 kotak terlingkupi = 2 variabel output 8 kotak terlingkupi = 1 variabel output 16 kotak terlingkupi = 1 (High) Melingkupinya harus posisi Horisontal

atau vertikal , yang dilingkupi digit 1 dan jumlah digit 1 yang dilingkupi 2n ( 1,2, 4, 8, 16, ... )

111111

11111111

ABCD 00 01 11 10

00

01

11

10

11

1111

ABCD 00 01 11 10

00

01

11

10

AC

A

ACD

BC

ABCDABCD

24

Contoh pengcoveran :

A' B' D + A' C + B' C D

B C' D' + A C' + A B D'

LT =EQ =GT =

K-map untuk LT K-map untuk GT

0 0

1 0

0 0

0 0D

A

1 1

1 1

0 1

0 0B

C

K-map untuk EQ

1 0

0 1

0 0

0 0D

A

0 0

0 0

1 0

0 1B

C

0 1

0 0

1 1

1 1D

A

0 0

0 0

0 0

1 0B

C

A'B'C'D' + A'BC'D + ABCD + AB'CD

25

Contoh pengcoveran :

F= ABC +ACD +ABC+AB CD +ABC +AB CCD

0AB

1 10

00 010001

00 1

111 10

11 0

11110

11 1

1F=BC +CD + AC+ AD

26

C + BD

Kalau digambarkan dengan system coordinate

Contoh 1 F(A,B,C,D) =

m(0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15)F =

D

A

B

AB

CD

0000

1111

1000

01111 0

0 1

0 1

0 0

1 1

1 1

1 1

1 1C

+ ABD

27

111111

1

AB00 01 11 10

00

01

11

10

CDA

D

C

BAC

ABCD

ABD

Contoh 2 : Diketahui Tabel Kebenaran , cari persamaan logikanya.

Jadi Y = AC + ABD + ABCD

C12 1

113 111

10

AB00 01 11 10

00

01

11

10

CDA

D

B

Map Value

A B C D Y

0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 02 0 0 1 0 13 0 0 1 1 14 0 1 0 0 05 0 1 0 1 06 0 1 1 0 17 0 1 1 1 18 1 0 0 0 09 1 0 0 1 110 1 0 1 0 011 1 0 1 1 112 1 1 0 0 113 1 1 0 1 014 1 1 1 0 015 1 1 1 1 0

28

111111

11

WXYZ 00 01 11 10

00

01

11

10

Z

111111

11

WXYZ 00 01 11 10

00

01

11

10

W

Y

Z

Y

Y

X

W

WXYZ

YZ

WXZ

WXZ

Contoh 3 : Lingkarilah danTulis Persamaan Logikanya.

Jadi M = WXYZ + WXZ + WXXZ + YZ

29

Physical Implementasi

A B C D

EQ

Step 1: Truth table Step 2: K-map Step 3: Minimized sum-of-

products Step 4: Implementasi dengan

gates

K-map untuk EQ

1 0

0 1

0 0

0 0D

A

0 0

0 0

1 0

0 1B

C

30

Poin-poin penggunaan K-map

Tulis persamaanlogika hasil peng-coveran.

Buat persamaan kebentuk SOP (melaluitabel kebenaran).

Minterm-mintermnyamasukkan ke k-map ( sesuaikan jumlah kotakatau variabel input).

Lingkari (pe-ngcover-an) yang benar.

31

Dont Care Kondisi dont care merupakan kondisi dimana ada beberapa

kombinasi variable input yang tidak selalu dapat dinyatakan nilaioutputnya.

Keadaan dimana nilai outputnya tersebut bisa berlogic 1 atauberlogic 0 yang disimbulkan dengan X atau d.

Kegunaan dari kondisi dont care pada penyederhanaan fungsidapat dinyatakan pada fakta bahwa dapat diset dengan logic 1atau logic 0, berdasar kegunaannya untuk format kelompoklogic 1 yang lebih besar.

32

Karnaugh maps: dont cares (contd) f(A,B,C,D) = m(1,3,5,7,9) + d(6,12,13)

f = A'D + B'C'D tanpa don't cares f = AD + CD dengan don't cares

0 0

1 1

X 0

X 1D

A

1 1

0 X

0 0

0 0B

C

C f0 00 11 01 10 00 11 X100110011

D0101010101010101

10100XX00

A0000000011111111

+

B0000111100001111

+

33

Pengcoveran dengan Dont Cares

0AB

x x1

00 01

00

01

CD

0x 1

011 10

1x 0

11110

11 1

x

F=ACD+B+AC

34

Bentuk ilustrasi pengkoveran

0 X

1 1

1 0

1 0D

A

1 0

0 0

1 1

1 1B

C

6 prime implicants:A'B'D, BC', AC, A'C'D, AB, B'CD

minimum cover: AC + BC' + A'B'D

essential

minimum cover: 3 essential implicants

0 0

1 1

1 0

1 0D

A

0 1

0 1

1 1

0 0B

C

5 prime implicants:BD, ABC', ACD, A'BC, A'C'D

minimum cover: 4 essential implicants

essential

minimum cover: ABC+ACD+ABC+ACD

35

Aplikasi K-mapPada Rangkaian Full Adder

Adder

Cin

Cout

SB

A

A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1

+

S = ABCin + ABCin + ABCin + ABCin

Cout = ABCin + A BCin + ABCin + ABCin

= ABCin + ABCin + ABCin + ABCin + ABCin + ABCin

= BCin + ACin + AB

= (A + A)BCin + (B + B)ACin + (Cin + Cin)AB= 1BCin + 1 ACin + 1 AB

Metode Aljabar Boole

36


Adder

Cin

Cout

SB

A

A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1

+A

B

Cin

0

0

0

1 1 1

01Pengisiaan digit 1 ke K-map

Karnaugh Map for Cout

37


A

B

Cin

Adder

Cin

Cout

SB

A

A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1

+

0

0

0 01

1 1 1Pengcoveran pertama.

Cout = ACinKarnaugh Map untuk Cout

38


A

B

Cin

Adder

Cin

Cout

SB

A

A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1

+

0

0

0 01

1 1 1Pengcoveran kedua.

Cout = Acin + ABKarnaugh Map for Cout

39


A

B

Cin

Adder

Cin

Cout

SB

A

A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1

+

0

0

0 01

1 1 1

Karnaugh Map untuk Cout

Pengcoveran ketiga (seluruhnya)

Cout = ACin + AB + BCin

40


A

B

Cin

Adder

Cin

Cout

SB

A

A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1

+

0

1

1 10

0 1 0

S = ABCinKarnaugh Map untuk S

41


A

B

Cin

Adder

Cin

Cout

SB

A

A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1

+

0

1

1 10

0 1 0

S = ABCin + ABCinKarnaugh Map untuk S

42


A

B

Cin

Adder

Cin

Cout

SB

A

A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1

+

0

1

1 10

0 1 0

S = ABCin + ABCin + ABCinKarnaugh Map untuk S

43


Coba anda gambar rangkaian diagramnya ?

A

B

Cin

Adder

Cin

Cout

SB

A

A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1

+

0

1

1 10

0 1 0

S = ABCin + ABCin + ABCin + ABCinKarnaugh untuk S Tidak bisa direduksi

44

Latihan Soal 1:

Gambarlah K-map untuk setiap ekspresi logika dibawahserta sederhanakan dengan pengcoveran yang benar :

1. AB + BC + AB2. AC + ACB + BC + BC3. XY + XZ + YZ4. XY +YZ + XZ +XY

45

Latihan Soal 2 :

Gambarlah K-map untuk setiap ekspresi logika dibawahserta sederhanakan dengan pengcoveran yang benar :

1. A(BC + C) + B(A + AC)2. (AC + ACB). (BC + BC)3. Z(XY + XZ) . YZ(X+ Z)

Catatan : cari minterm-mintermnya dulu (rubah kebentuk SOP)

Documents

Karnaugh Map