Upload
buithien
View
222
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E S ,
O R H A N Ö Z E R , S E R K A N A L I D Ü Z C E
K A L K U L Ü S
N O B E L
Contents
1 Analiz Ögretimi 3
1.1 Iki Milenyum Süren Sorunlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2 Mantık ve Matematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.1 Tümdengelim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.2.2 Tümevarım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3 Matematik Dili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
I Ön Bilgiler 31
2 Ön Bilgiler (Pre Kalkulüs) 3
2.1 Ön KalKulus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Önermeler Cebiri 3
3.1 Iki-degerli Mantık . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Matematiksel Mantık . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Boole Cebiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Önermeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.1 Yalın Önermeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.2 Bilesik Önermeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.3 Denk Önermeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.5 Önermeler Cebiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6 Operatörler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6.1 ∧ Operatörü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.6.2 ∨ Operatörü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7 Degilleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7.1 Bir Önermenin Degili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.7.2 Ise Baglacı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.7.3 Kosullu Önerme Sonuçları . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.8 ∨ Operatörünün Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.8.1 ∨’nin Esgüçlülügü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.8.2 ∨’ nin Yer Degisim Özeligi . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.8.3 ∨’ nin Birlesimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.9 Dagılma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.10 Bilesik Önermelerin Degillenmesi . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.10.1 De Morgan Kuralları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.11 ⇔: Ancak ve Ancak Operatörü . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4
3.12 Hepdogru ve Hepyanlıs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.12.1 Karsıt Ters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.12.2 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.12.3 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4 Kümeler Cebiri 4
4.1 Kümeler Cebiri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.1 Kapsama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.2 Evrensel Küme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2 Venn Çizenekleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.1 Tümleyen Küme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.2 Bos Küme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.3 Tek ögeli küme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.2.4 Esit Kümeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.5 Has Alt Küme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.6 Kuvvet Kümesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.2.7 Simetrik Fark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3 Bagıntılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.3.1 Kartezyen Çarpım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.2 Grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.3.3 Kartezyen Çarpımın Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . 59
4.4 Analitik Düzlem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5 Bagıntılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5.1 Bagıntıların Gösterimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.5.2 Grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.6 Bagıntı Türleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.7 Denklik Bagıntıları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.7.1 Esitlik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.8 Denklik Bagıntısı Nedir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.8.1 Denk Ögeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.9 Denklik Sınıfları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.10 Ters Bagıntı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.11 Simetrik Bagıntı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Sayılar 4
5.1 Sayıların Kurulusu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.2 Sayıların Sıralanması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3 Dogal Sayılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.4 Dogal Sayıların Kurulusu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.5 Peano Belitleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.6 Sonlu Tüme Varım Ilkesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.7 Nicelik Sayıları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.8 Esgüçlülük . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
5.9 Sayılabilirlik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.10 Sayılamayan Sonsuz Kümeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.11 Gerçel Sayıların Tamlıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.12 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5
6 Rasyonel Üslü Ifadeler 4
6.1 Tamsayı Üsler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.1.1 Üslü Ifadelerin Özelikleri: . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.1.2 Negatif Üsler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.1.3 Benzer Üslü Ifadeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2 Rasyonel Kuvvetler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.3 Üslü Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.4 Alıustırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.5 Üslü Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.6 Alıustırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.7 Köklü Ifadeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.8 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.9 e Sayısı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.10 Analitik Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.11 n-sıralılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.12 Kartezyen Çarpım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.12.1 Ikili ve Çoklu sıralılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.12.2 n-sıralılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.13 Analitik Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.14 Kartezyen Çarpımın Genellesmesi . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.15 ALISTIRMALAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7 Denklemler 5
7.1 Dogru deklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.1.1 Iki noktası bilinen dogru Denklemi: . . . . . . . . . . . 87
7.1.2 Bir noktası ve egimi bilinen dogru Denklemi: . . . . . 88
7.2 Dogrunun Genel Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.2.1 Ikinci Dereceden Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . 88
7.2.2 ax2 = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü . . . . . . 89
7.3 ax2 +bx = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü . . . . . . . 89
7.3.1 ax2 + c = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü . . . . 89
7.3.2 ax2 +bx + c = 0 Biçimindeki Denklemlerin Çözümü . 90
7.4 Degisken degistirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.5 Köklü denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
7.6 Mutlak Deger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7.7 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
7.8 Köklerle Katsayılar Arasındaki Bagıntılar . . . . . . . . . . . . 94
7.8.1 Köklerin Toplamı: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.8.2 Köklerin Çarpımı: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.8.3 Köklerin Farkının Mutlak Degeri: . . . . . . . . . . . . . 95
7.9 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
7.10 Ikinci Dereceden Denklemlerin Incelenmesi . . . . . . . . . . 96
7.11 Denklem Sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.12 Esitsizlikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
7.13 Esitsizlik Sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.14 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.15 Ikinci Dereceden Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.16 Parabol Çizimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
6
7.17 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.18 Esitsizlik Sistemlerinin Grafikle Çözümü . . . . . . . . . . . . 105
7.19 Örnekler: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.20 Dogrusal denklem sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8 Parametrik denklemeler 6
8.1 Egrinin yönü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.2 kapalı Egri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.3 Çember’in Parametrik Denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . 109
8.4 Elips’in Parametrik Denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
8.5 Cycloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9 Matrisler 6
9.1 Matrisler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.1.1 Satır ve Kolon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.2 Matrisin Bilesenleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.3 Matris Islemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.3.1 Matrislerin Toplamı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.3.2 Matrislerde Çıkarma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9.3.3 Matrisin Sayı ile Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9.3.4 Matrislerin Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
9.3.5 Çarpımın Sırası Degisemez . . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.3.6 Ikiden çok matrisin Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.3.7 Matrisin Devrigi (transpose) . . . . . . . . . . . . . . . 117
9.4 Matrislerin Çarpımının Devrigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.4.1 Matrislerde Bölme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
9.5 Matris Türleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.5.1 Kare Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.5.2 Sıfır Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.5.3 Kare Matrisin Kösegenleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.5.4 Kare Matrisin Kuvveti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.5.5 Birim Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
9.5.6 Simetrik Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9.5.7 Anti Simetrik Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
9.5.8 Ters Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.5.9 Üçgensel Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.5.10 Matrisin Izi (trace) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
9.6 Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.7 Matrisin Uzunlugu (size) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
9.8 Determinantlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.9 Determinant Nedir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
9.9.1 1×1 Matrislerin determinantı . . . . . . . . . . . . . . 123
9.9.2 2×2 Matrislerinin determinantı . . . . . . . . . . . . . 123
9.9.3 3×3 Matrislerinin determinantı . . . . . . . . . . . . . 124
9.9.4 Sarrus Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
9.10 Baska Yöntemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.10.1 Yüksek Boyutlu Matrislerin Determinantları . . . . . . 125
9.11 Laplace Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
7
9.11.1 Minör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
9.12 Esçarpan (cofactor) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.13 Determinant için Laplace Açılımı . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
9.14 Determinantların Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
9.14.1 Sarrus Yöntemiyle Hesap: . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.14.2 Laplace Yöntemiyle Hesap: . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.14.3 Gauss Eleme Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
9.15 Ters Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
9.16 Matrisler Üzerinde Ilkel Satır islemleri . . . . . . . . . . . . . . 131
9.17 Gauss Eleme Yöntemi ile Ters Matrisi Bulma . . . . . . . . . . 132
9.18 Ekli Matris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
9.19 Esçarpan Ile Matrisin tersini Bulma . . . . . . . . . . . . . . . 134
9.20 Dogrual Denklem Sistemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
9.21 Esçarpan ve Determinant Kullanılarak Ters Matrisin Bulunusu138
9.22 Ters Matris Kullanılarak Denklem Sisteminin Çözümü . . . . 140
9.23 Dogrusal Denklem Sisteminin Cramer Yöntemiyle Çözümü . 141
10 Dogrual Denklem Sistemleri 7
10.0.1 Sonsuz Çözüm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.0.2 Tek çözüm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
10.0.3 Matrislerle Çözüm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.1 Denk Sistmler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
10.2 Indirgenmis Satır Esolon Biçimi . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
10.3 Esçarpan ve Determinant Kullanılarak Ters Matrisin Bulunusu148
10.4 Ters Matris Kullanılarak Denklem Sisteminin Çözümü . . . . 150
10.5 Dogrusal Denklem Sisteminin Cramer Yöntemiyle Çözümü . 151
10.5.1 Iki Bilinmeyen için Cramer Formülü . . . . . . . . . . . 151
10.5.2 Üç Bilinmeyen için Cramer Formülü . . . . . . . . . . 153
10.6 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
11 Polinomlar 7
11.1 Bir Belirsizli Polinomlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
11.2 Çok Belirsizli Polinomlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
11.3 Terimleri Kuvvetlerine Göre Sıralama . . . . . . . . . . . . . . 158
11.4 Iki Polinomun Esitligi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
11.5 Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
11.6 Polinomlar Kümesi Üzerinde Islemler . . . . . . . . . . . . . . 160
11.7 Toplama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
11.8 Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
11.9 Çıkarma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
11.10Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.11Çarpma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
11.12Sayıl (skalerle) Çarpma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.13Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.14Baslıca Özdeslikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.14.1 Iki Terim Toplamının Karesi . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.14.2Iki Terimin Farkının Karesi . . . . . . . . . . . . . . . . 169
11.14.3Iki Terimin Toplamı Ile Farkının Çarpımı . . . . . . . . 169
8
11.14.4Üç Terim Toplamının Karesi . . . . . . . . . . . . . . . . 170
11.14.5Iki Terim Toplamının Küpü . . . . . . . . . . . . . . . . 171
11.14.6Iki Terim Farkının Küpü . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11.14.7Iki Küp Toplamı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11.15Iki Terimlinin Kuvvetleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
11.16Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11.17Polinomlarda Bölme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
11.18Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
11.19Bölme Algoritması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
11.20Çarpan Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
11.21Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
11.22Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
11.23Horner Yöntemi ile Bölme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
11.24Bir Polinomun (x −a)(x −b) Ile Bölünmesinden Elde Edilen
Kalan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
11.25Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
11.26Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
11.27Polinomların Çarpanlara Ayrılması . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11.28Karmasıkları Basite Indirgemek! . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
11.29ebob, ekok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
11.30Cebirsel Ifadeleri Çarpanlara . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
11.30.1Ortak Çarpan Parantezine Alma . . . . . . . . . . . . . 201
11.31Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
11.32Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.33Özdeslikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
11.34Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
11.35Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
11.36Özdeslikleri Kullanma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
11.37Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
11.38Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
11.39Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
11.40Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
11.41Baslıca Özdeslikler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
12 Fonksiyonlar 8
12.1 Foksiyonun Grafigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
12.2 Tek Degerli Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
12.3 Alıstrmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
12.4 Fonksiyon Türleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
12.4.1 Esit Foksiyonalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
12.4.2 Içine Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
12.4.3 Örten Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
12.4.4 Bire Bir Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
12.4.5 Bire Bir Içine Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
12.4.6 Bire Bir Örten Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
12.4.7 Sabit Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
12.4.8 Sıfır Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
12.4.9 Özdeslik Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9
12.5 Kapalı Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
12.6 Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
12.7 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
12.8 Fonksiyonların Bileskesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
12.9 Bileske Isleminin Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
12.9.1 Yer Degisim Özeligi Yoktur . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
12.9.2 Birlesme Özeligi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
12.10Ters Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
12.11Ters Foksiyonun Grafigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
13 Rasyonel Ifadeler 9
13.1 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
13.2 Rasyonel Ifadelerin Toplamı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
13.3 Rasyonel Ifadelerin Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
13.4 Rasyonel Ifadelerde Bölme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
13.5 Polinom Denklemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
13.6 Birinci Dereceden Polinom Denklemlerin Çözümü . . . . . . 233
14 Kombinason Ve Permütasyon 9
14.0.1 Kombinasyon (Combination) . . . . . . . . . . . . . . . 235
14.1 Permütasyon (permutation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
14.2 Combinatorics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
14.2.1 Kombinarik’in temel formülü . . . . . . . . . . . . . . . 237
14.3 Sayma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
15 Pascal Üçgeni 9
16 Ön Trigonometri 9
16.1 Yönlü Açılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
16.2 Yönlü yaylar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
16.3 Birim Çember . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
16.4 Açı Ölçü Birimleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
16.4.1 Derece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
16.4.2 Grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
16.4.3 Radyan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
16.5 Trigonometrik Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
16.5.1 Simetrik Açılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
16.5.2 Simetriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
16.6 Trigonometrik Fonksiyonların Özelikleri . . . . . . . . . . . . 251
16.7 Özel Açılar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
16.8 Trigonometrik Fonksiyonları Grafikleri . . . . . . . . . . . . . 252
16.8.1 Cosinus Grafigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
16.8.2 Sinus grafigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
16.8.3 Tanjant Grafigi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
16.9 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
16.9.1 Arcsinus Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
16.9.2 ArcCosinus Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
10
16.9.3 Arctanjant Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
16.9.4 Arccotanjant Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
16.10Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
16.11Periyodik Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
16.12Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
16.13Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
16.14Fonksiyonun Limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
16.15Soldan ve Sagdan Yaklasım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
16.15.1Soldan Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
16.15.2Sagdan Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
16.15.3Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
16.16Uç Noktalarda Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
16.17Karl Weierstrass’ın Tanımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
16.18Örnekler: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
16.19Limit Kuralları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
16.20belirsiz Biçemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
16.20.1Sonsuzdaki Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
16.21Çözümlü Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
16.22Rasynel Fonksiyonlarda Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270
16.22.1Sonsuzda Limitin Olmadıgı Durum . . . . . . . . . . . 271
16.22.2Köklü Ifadelerin Sonsuzdaki Limiti . . . . . . . . . . . . 271
16.23Çözümlü Prolemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
26 Integral Alma Yöntemeleri 10
27 Belirsiz Integral 10
27.0.1 Belirsiz Integral Formülleri . . . . . . . . . . . . . . . . 305
27.1 Degisken Degistirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
27.2 Trigonometrik Integraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
27.3 Ters Trigonometrik Konumlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
27.4 Çözümlü Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
27.5 Rasyonel Fonksiyonların Integralleri . . . . . . . . . . . . . . . 316
27.5.1 Payda’nın Türevi Pay’a Esitse . . . . . . . . . . . . . . . 316
27.5.2 Basit Kesirlere ayırma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317
27.5.3 Payda’da Gerçel Kökü Olmayan Çarpan Varsa . . . . . 320
27.6 Karma problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
27.7 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
27.8 Ilkel Fonksiyon Biliniyorsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
27.9 Sürekli Fonksiyonların Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
27.10Degisken Degistirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
27.11tan θ2 Konumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336
27.12Kısmi Integrasyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
27.13Polinomların Çarpanlara Ayrılması . . . . . . . . . . . . . . . . 342
27.14Basit Kesirlere Ayırma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
27.15Rasyonel Fonksiyonların Integrallenmesi . . . . . . . . . . . . 345
27.16Rasonel Fonksiyonların Kesirlere Ayrılması . . . . . . . . . . . 349
27.17Rasyonellestirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
27.18Köklü Ifadelerin Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
11
27.19Indirgenme Yöntemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
27.20Bazı Indirgeme Formülleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
27.21Baglantılı Oranlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
28 Belirsiz Integral 11
28.0.1 Belirsiz Integral Formülleri . . . . . . . . . . . . . . . . 363
28.1 Degisken Degistirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
28.2 Trigonometrik Integraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365
28.3 Ters Trigonometrik Konumlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
28.4 Çözümlü Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
28.5 Rasyonel Fonksiyonların Integralleri . . . . . . . . . . . . . . . 374
28.5.1 Payda’nın Türevi Pay’a Esitse . . . . . . . . . . . . . . . 374
28.5.2 Basit Kesirlere ayırma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
28.5.3 Payda’da Gerçel Kökü Olmayan Çarpan Varsa . . . . . 378
28.6 Belirli Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
28.7 Belirsiz Integral Kuralları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
28.8 Calculus’un Birinci Temel Teoremleri . . . . . . . . . . . . . . 388
28.8.1 Calculus’un 1.Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
28.8.2 Calculus’un Ikinci Temel Teoremi . . . . . . . . . . . . 388
28.9 Belirsiz Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
28.9.1 Belirsiz Integral Formülleri . . . . . . . . . . . . . . . . 391
28.10Alan Hesabı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
28.11Iki Katlı Integral Ile Düzlemsel Alan Hesabı . . . . . . . . . . . 391
29 Integral 11
29.1 Integral Kavramı ve Tanımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
29.1.1 Belirli Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
29.2 Belirli Integral Kuralları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
29.3 Calculus’un Temel Teoremleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
29.3.1 Calculus’un 1.Temel Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . 401
29.3.2 Calculus’un Ikinci Temel Teoremi . . . . . . . . . . . . 402
29.4 Belirsiz Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
29.4.1 Belirsiz Integral Formülleri . . . . . . . . . . . . . . . . 404
29.5 Degisken Degistirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
29.6 Trigonometrik Integraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
29.7 Ters Trigonometrik Konumlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
29.8 Çözümlü Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
29.9 Rasyonel Fonksiyonların Integralleri . . . . . . . . . . . . . . . 415
29.9.1 Payda’nın Türevi Pay’a Esitse . . . . . . . . . . . . . . . 415
29.9.2 Basit Kesirlere ayırma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
29.9.3 Payda’da Gerçel Kökü Olmayan Çarpan Varsa . . . . . 419
29.10Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
29.11Belirli Integral Kuralları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
29.12Sayısal Integraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
29.13Düzlemsel Egrilerin Uzunlugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
12
30 Integral Alma teknikleri 11
30.1 Ilkel Fonksiyon Biliniyorsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
30.2 Integral Alma Yöntemeleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
30.3 Degisken Degistirme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
30.4 tan θ2 Konumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
30.5 Kısmi Integrasyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
30.6 Logaritmik integraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
30.7 Köklü Ifadelerin Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
31 Integral Alma teknikleri 12
31.1 Ilkel Fonksiyon Biliniyorsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455
31.2 Integral Alma Yöntemeleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 456
31.3∫
R(si nx,cosx) biçimindeki Integraller . . . . . . . . . . . . . 457
31.4 Indirgenme Yöntemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
31.5 Bazı Indirgeme Formülleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
31.6 Ilkel Fonksiyon Biliniyorsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
31.7 Ters Trigonometrik Fonksiyonlar . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
31.7.1 Arcsinus Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
31.7.2 ArcCosinus Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
31.7.3 Arctanjant Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469
31.7.4 Arccotanjant Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . 470
31.8 Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
31.9∫
R(si nx,cosx) biçimindeki Integraller . . . . . . . . . . . . . 472
31.10Logaritmik integraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
31.11Dönel Cisimleri Hacimleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
31.12Silindirik Kabuklar Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
31.13Dilimleme Yöntemiyle Hacim Bulma . . . . . . . . . . . . . . 482
31.14Örnek Hacim Hesapları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
32 Dogal Logaritma Fonksiyonu 12
32.1 Dogal Logaritma Fonksiyonunun Tanımı . . . . . . . . . . . . 488
32.2 Tanım bölgesini Genisletme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
32.3 Dogal Logaritma Fonksiyonunun Özelikleri . . . . . . . . . . 489
32.4 Dogal Logaritma Fonksiyonunun Grafigi . . . . . . . . . . . . 490
32.5 Logaritmik Türev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
32.6 Logaritmik Türevin Intrgrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490
32.7 Üstel Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
32.8 a tabanlı Üstel Fonksiyon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
32.9 a Tabanlı Üstel Fonksiyonun Davranısı . . . . . . . . . . . . . 492
32.10a Tabanlı Üstel Fonksiyonun Türevi . . . . . . . . . . . . . . . 493
32.11a Tabanlı Üstel Fonksiyonun Integrali . . . . . . . . . . . . . . 493
32.12a Tabanına Göre Logaritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
32.13l oga x fonksiyonunun özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
32.14l oga x fonksiyonunun Türevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493
32.15Çözümlü Problemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
13
33 Kutupsal Koordinatlar 12
33.1 Kutupsal Koordinatlarda Grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
33.2 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502
33.3 Kutupsal Koordinatlarda Grafik Çizimi Örnekleri . . . . . . . 503
33.3.1 Merkeze Göre Simetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503
33.3.2 Ox− Eksenine Göre Simetri . . . . . . . . . . . . . . . . 503
33.3.3 O y− Eksenine Göre Simetri . . . . . . . . . . . . . . . . 503
33.4 Grafik Çiziminde Izlenecek Yol: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
33.5 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
33.6 Kutupsal Sistemde Tegetin Egimi . . . . . . . . . . . . . . . . . 506
33.7 Kutupsal Kordinatlarda Alan hesabı . . . . . . . . . . . . . . . 507
33.8 Iki kutupsal egri arasında kalan alan . . . . . . . . . . . . . . . 508
33.9 Kutupsal Koordinatlarda Yay Uzunlugu . . . . . . . . . . . . . 510
33.10Kutupsal Koordinatlarda Dönel Yüzeyler . . . . . . . . . . . . 510
33.11Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511
33.12Parametrik Fonksiyonların Türevi . . . . . . . . . . . . . . . . 512
33.13Ikinci Basamaktan Türev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513
33.14Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515
33.15Sayısal Integraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
33.15.1Dikdörten Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517
33.16Yamuk Kuralı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518
33.17Pappus teoremleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519
33.18Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 520
33.18.1Dairesel Simit’in Yüzeyi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
33.18.2Dairesel Simit’in Hacmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
33.19Simpson Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
33.20Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524
34 Diziler 13
34.0.1 Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
34.0.2 Yakınsak Dizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526
34.1 Aritmetik Dizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 527
34.2 Geometrik Dizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
34.3 Monoton Dizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
34.4 Alt dizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
34.5 Sınırlı dizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
34.6 Dizilerde Limit Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
34.7 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534
35 Seriler 13
35.0.1 Kısmi Toplam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
35.1 Yakınsak Seriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
35.2 Rasyonel Terimli Seriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536
35.3 Özel Seriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
35.4 Aritmetik Seri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537
35.5 Geometrik Seri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538
35.6 Binom Serisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539
14
35.7 Genellesmis Binom Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
35.8 Serilerin Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541
35.9 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
35.10Kuvvet Serilerinin Yakınsaklıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544
35.11Yakınsaklık Aralıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545
35.12Kuvvet Serileri Üzeinde Cebirsel Islemler . . . . . . . . . . . . 546
35.13Toplama ve Çıkarma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546
35.14Kuvvet Serilerin Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
35.15Kuvvet Serilerinin Bölümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
35.15.1Alterne Seriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
35.16Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 550
35.17Caucy Dizi ve Serileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551
36 Seriler Için Yakınsaklık Testleri 14
36.1 p-serisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
36.2 Oran Testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 558
36.3 Kök Testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
36.4 Integral Testi: p-serisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561
36.5 p-serisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563
36.6 Karsılastırma Testleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564
36.7 Limit Karsılastırma Testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566
36.8 Oran Testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569
36.9 Newton Metodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573
37 Degisken Terimli Seriler 14
37.1 Kuvvet Serilerinin Yakınsaklıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 577
37.2 Yakınsaklık Aralıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578
37.3 Kuvvet Serileri Üzeinde Cebirsel Islemler . . . . . . . . . . . . 579
37.4 Toplama ve Çıkarma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
37.5 Kuvvet Serilerin Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579
37.6 Kuvvet Serilerinin Bölümü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
37.7 Maclaurin Serisi Uygulamaları . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
37.8 Düzgün Yakınsama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
37.8.1 Fonksiyon Dizileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583
37.8.2 Fonksiyon Serileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 587
37.8.3 Fonksiyon Dizileri Için Cauchy Kriteri . . . . . . . . . . 589
37.8.4 Fonksiyon Serileri Için Cauchy Kriteri . . . . . . . . . . 590
37.9 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592
37.10Fonksiyon Dizi ve Serilerinin Integrali . . . . . . . . . . . . . . 592
37.11Dirichlet ve Abel Testleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596
37.12Dirichlet Testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597
37.13Fonksiyon Dizi ve Serilerinin Türevlenmesi . . . . . . . . . . . 599
37.14Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
37.15Kuvvet Serilerinin Türevlenmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . 602
37.16Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604
37.17Kuvvet Serilerinin Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
37.18Çözümlü Kuvvet Serisi Problemleri . . . . . . . . . . . . . . . 606
37.19Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609
15
37.20Serilerin Yaklasık Toplamı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610
37.21Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612
38 Vektörler 15
38.1 Vektör Uzayı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613
38.2 Simgeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614
38.3 Denk Vektörler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614
38.4 Vektörlerin Gösterimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614
38.5 Vektör Uzayında Islemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
38.5.1 Sıfır Vektörü . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
38.6 Vektörlerin Toplamı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615
38.6.1 Toplamanın Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616
38.7 Vektörlerde Çıkarma Islemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616
38.8 Vektörün Sayı ile Çarpımı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616
38.9 Birim Vektör . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
38.10Dogrultu Açıları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617
38.11Analitik Geometriye Giris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618
38.12Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619
38.13Bilesenlerle Islemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620
38.14Nokta Çarpım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621
38.15Izdüsüm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622
38.15.1Izdüsümün Genellenmesi . . . . . . . . . . . . . . . . . 622
38.16Iki Vektör Arasındaki Açı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623
38.17Iki Vektör Arasındaki Açının Ölçümü . . . . . . . . . . . . . . . 624
38.18Iki Vektörün Birbirine Dikligi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624
38.18.1Üçgen Esitsizligi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625
38.19Uzayda Dogru ve Düzlem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626
38.20Iki noktası Verilen Dogru Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . 626
38.21Noktanın Dogruya Uzaklıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 627
38.22Düzlem Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 628
38.23Üç Noktadan geçn Düzlem Denklemi . . . . . . . . . . . . . . 628
38.24Noktanın Düzleme Uzaklıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629
38.25Alıstrmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630
38.26Vektörel Çarpım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631
38.27Vektörel Çarpımın Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
38.28VektörelÇarpımı Geometrik Yorumları . . . . . . . . . . . . . . 632
38.28.1Diklik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632
38.28.2Alan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
38.29Üçlü Çarpım . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 633
38.30Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
38.31Uzayda Dogru ve Düzlem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634
38.32Iki noktası Verilen Dogru Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . 635
38.33Noktanın Dogruya Uzaklıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
38.34Düzlem Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636
38.35Üç Noktadan Geçen Düzlem Denklemi . . . . . . . . . . . . . 637
38.36Noktanın Düzleme Uzaklıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638
38.37Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639
16
32 Katlı Integral 15
32.1 Iki Katlı Integralin Özelikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 690
32.2 Ardısık Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691
32.3 Katlı Integral Uygulamaları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702
32.4 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707
32.5 Katlı integralde degisken degistirme . . . . . . . . . . . . . . . 707
32.6 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 710
32.7 Iki Katlı Integral Ile Düzlemsel Alan Hesabı . . . . . . . . . . . 711
32.8 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713
32.9 Iki Katlı Integral Ile Hacim hesapları . . . . . . . . . . . . . . . 714
32.10Kutupsal Koordinatlarda Iki Katlı Integraller . . . . . . . . . . 715
32.11Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718
33 Üç Katlı Integraller 16
33.1 Hacim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723
33.2 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725
33.3 Üç Katlı Integrallerde Degisken Degistirme . . . . . . . . . . . 725
33.4 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726
33.5 Silindirsel Koordinatlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726
33.5.1 Silindir Nedir? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726
33.6 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 730
33.7 Üç Katlı Integrallerde Küresel Koordinatlar . . . . . . . . . . . 730
33.8 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 734
34 Egrisel Integraller 16
34.1 Düzlemde Egrisel Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735
34.2 Uzayda Egrisel Intgral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 740
34.3 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742
34.4 Vektör Alanlarının Egrisel Interalleri . . . . . . . . . . . . . . . 743
34.5 Divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744
34.6 Vector Alanını Egrisel Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746
34.7 Egrisel Integralle is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748
34.8 Alıstrmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749
34.9 Integralin Yoldan Bagımsızlıgı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 750
34.10Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 755
34.11Üç Boyutlu Uzayda Korunumlu Vektör Alanı . . . . . . . . . . 755
34.12Green Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756
34.13Green teoemi Ile Alan Hesabı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759
34.14Aıstrmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760
34.15Yüzey Integralleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760
34.16Paramertrik Yüzeyin Alanı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762
34.17Yüzey Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765
34.18Yönlendirilmis Yüzey Üzerinde Integral . . . . . . . . . . . . . 767
34.19Vektör Alanlarının Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 768
34.20Stokes Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 769
34.21Divergence Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773
34.21.1Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776
17
35 Vektör Degerli Fonksiyonlar 16
35.1 Vektör Degerli Fonksiyonlar ve Uzay Egrileri . . . . . . . . . . 777
35.2 Vektör Degerli Fonksiyonların Limiti . . . . . . . . . . . . . . . 778
35.2.1 Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778
35.3 Vektör degerli Fonksiyonların Sürekliligi . . . . . . . . . . . . 780
35.4 Süreklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780
35.5 Türev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780
35.6 Türev Kuralları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 781
35.7 Vektör degerli Fonksiyonların Tegeti . . . . . . . . . . . . . . . 782
35.8 Düzgün Egri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782
35.8.1 Düzgün Egriler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783
35.9 Vektör Degerli Fonksiyonların integrali . . . . . . . . . . . . . 783
35.9.1 Belirsiz Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783
35.9.2 Belirli Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784
35.10Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785
35.11Egri Uzunlugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786
35.12Egrilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787
35.13Egrilik Çemberi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 789
35.14Normal ve Ikinci Normal Vektörler . . . . . . . . . . . . . . . . 790
35.15Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 791
35.16Uzayda Hareket . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792
35.17Kepler Yasaları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794
35.18Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794
36 Konikler 17
36.1 Koniklerin Adlandırılması . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795
36.2 Koniklerin Kutupsal Sistemdeki Denklemleri . . . . . . . . . . 795
36.3 Koniklerin Kartezyen Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797
36.4 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799
36.5 Ikinci Dereceden Yüzeyler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799
36.6 Elipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801
36.7 Elipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801
36.8 Hiperboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801
36.9 Eliptik Paraboloid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804
36.10Eliptik Koni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 804
36.11Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805
37 Fiziksel uygulamalar 17
37.1 Düzlemsel bölgelerin kütle merkzi . . . . . . . . . . . . . . . . 807
37.2 Agırlık Merkezi Bulma Problemleri . . . . . . . . . . . . . . . . 807
37.3 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811
37.4 Yay’ın Kütle merkezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811
37.5 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811
37.6 Yogunluk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 811
37.7 Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812
37.7.1 Noktaya Göre Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812
37.7.2 Dogru üzerinde Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . 812
18
37.8 Kütle Merkezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813
37.9 Noktanın Eksene Göre Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . 813
37.10Düzleme Göre Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 814
37.11Bir Düzlem Parçasının Bir Eksene Göre Momenti . . . . . . . 815
37.12Bir Yayın Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815
37.13Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816
37.14Üç Katlı Integral Ile Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817
37.15Düzlemsel Bölgelerin Kütle Merkezi . . . . . . . . . . . . . . . 818
37.16Agırlık Merkezi Bulma Problemleri . . . . . . . . . . . . . . . . 819
37.17Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822
37.18Yay’ın Kütle merkezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 822
37.19Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823
37.20Yogunluk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823
37.21Work (Is) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 824
38 Diferensiyel denklemler 18
38.1 Birinci basamaktan birinci dereceden Diferensiyel denklemler827
38.2 Özel ve Genel Çözüm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828
38.3 Tek Degiskenli Diferensiyel Denklemler . . . . . . . . . . . . . 828
38.4 Denklemin Dogrusala Dönüsmesi . . . . . . . . . . . . . . . . 830
39 Diferensiyel Denklemler 18
39.1 Tek Degiskenli Diferensiyel Denklemler . . . . . . . . . . . . . 831
39.2 Tam Diferensiyel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833
39.3 Degiskenlerine Ayrılabilir Denklemler . . . . . . . . . . . . . . 840
39.4 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843
39.5 Integral Çarpanı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844
39.6 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852
39.7 Birinci Basamaktan Homojen denklemeler . . . . . . . . . . . 854
39.8 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862
39.9 Birinci Basamaktan Dogrusal Diferensiyel Denklemler . . . . 864
39.10Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 868
39.11Tam Diferensiyel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 869
39.12Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874
39.13Degiskenlerine Ayrılabilir Denklemler . . . . . . . . . . . . . . 876
39.14Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 879
39.15Integral Çarpanı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881
39.16Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 888
39.17Birinci Basamaktan Homojen denklemeler . . . . . . . . . . . 889
39.18Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 894
39.19Birinci Basamaktan Dogrusal Diferensiyel Denklemler . . . . 895
39.20Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900
39.21Bernoulli Diferensiyel Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . 901
39.22Bernoulli Diferensiyel Denkleminin Çözümü . . . . . . . . . . 901
39.23Çözümlü Örnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902
39.24Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905
39.25Riccati Diferensiyel Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906
39.26Clairaut Diferensiyel denklemleri . . . . . . . . . . . . . . . . . 910
19
39.27Lagrange Diferensiyel Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . 911
39.28Alıstrmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913
40 Üç Katlı Integraller 19
40.1 Hacim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 917
40.2 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 919
40.3 Üç Katlı Integrallerde Degisken Degistirme . . . . . . . . . . . 919
40.4 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920
40.5 Silindirsel Koordinatlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921
40.6 Üç Katlı Integrallerde Küresel Koordinatlar . . . . . . . . . . . 923
40.7 Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926
40.8 Düzensiz Integraller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927
40.9 Aralıgın Sonsuz Olması Durumu . . . . . . . . . . . . . . . . . 927
40.9.1 [a,∞) aralıgında integral . . . . . . . . . . . . . . . . . 927
40.9.2 (−∞, a] aralıgında integral . . . . . . . . . . . . . . . . 927
40.9.3 (−∞,∞) aralıgında integral . . . . . . . . . . . . . . . . 928
40.10Aralıgın uç noktalarında fonksiyonun sınırsız olması durumu: 928
40.10.1Sol Uç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928
40.10.2Sag Uç . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928
40.11Aralıgın içinde fonksiyonun sınırsız olması durumu: . . . . . 928
40.12Düzensiz intgralleri karsılastırma: . . . . . . . . . . . . . . . . 929
40.12.1Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 937
40.13Düzlemsel bölgelerin kütle merkzi . . . . . . . . . . . . . . . . 937
40.14Agırlık Merkezi Bulma Problemleri . . . . . . . . . . . . . . . . 938
40.15Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941
40.16Yay’ın Kütle merkezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941
40.17Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942
40.18Yogunluk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942
40.19Sıvı Basıncı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942
40.20Work (Is) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944
40.21Pappus teoremleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945
40.22Alıstırmalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 946
40.23Simpson Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 947
40.24Yamuk Kuralı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 949
40.25Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951
40.26Noktaya Göre Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951
40.27Dogru üzerinde Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951
40.27.1Kütle Merkezi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952
40.28Noktanın Eksene Göre Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . 952
40.29Düzleme Göre Moment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952
40.30Bir Düzlem Parçasının Bir Eksene Göre Momenti . . . . . . . 953
40.31Bir Yayın Momenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954
40.32Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955
41 Belirli Integral Uygulamaları 19
41.1 Düzlemsel Egrilerin Uzunlugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 957
41.2 Alan hesapları . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 960
41.3 Foksiyonun Orta Degeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 961
20
Index 19
T I M U R K A R A Ç AY, H AY D A R E S ,
O R H A N Ö Z E R , S E R K A N A L I D Ü Z C E
K A L K U L Ü S
N O B E L
38 Vektörler
Vektör kavramı, fiziksel kavram olarak ortaya çıkmıs olsa da matematiksel
sistemlerin temel kavramı olmustur. Gerçekten vektör kavramın gelisimi
matematikçilerden çok fizikçiler ve kimyacılar tarafından gerçeklestir-
ilmistir.
Klasik fizikte iki türlü nicelik kullanılır:
1. Sayısal (skalar) nicelikler
2. Vektörel nicelikler
Sekil 38.1: Yön-boy-dogrultu
Sayısal nicelikler, ölçümlerde sayısal degerinden baska bir nitelik
tasımayan ögelerdir. Daha açık deyisle, yalnız sayısal nitelik tasıyan ögel-
erdir ki bunlar bildigimiz sayılardır. Vektörler ise büyüklük, dogrultu ve
yön niteligini tasıyan ögelerdir. Vektörün büyüklügü onun uzunlugudur
(boy) ve sayısal bir niteliktir. Dogrultu uzaydaki konumunu belirler. Yön
ise, üzerinde bulundugu dogrultuya göre pozitif ya da negatif tarafa
yönlenmesidir. Vektör düzlemde ya da uzayda hangi dogru üzerinde
ise, vektörün dogrultusu odur. Çogunlukla o dogrutuya tasıyıcı dogru
diyoruz. Tasıyıcı dogru üzerinde pozitif ve negatif olmak üzere iki yön
belirlenebilir.
Her vektörün tasıyıcı dogru üzeride bir baslangıç ve bir bitim noktası
vardır. Baslangıçtan bitime dogru olan yön vektörün yönüdür.
Fiziksel kaynakların çogu, vektörün yönü ile dogrultusunu aynı
sayarlar. Uzayda vektör çizilince tasıyıcı dogrusu da belirli olacagı için
bu yaklasım kabul edilebilir. Ama fizikte vektör alanı diye geçen kavramı,
matematikte vektörler üzerindeki bir denklik sınıfı olarak tanımlayacagız.
38.1 Vektör Uzayı
Dogrusal cebir, vektörleri fiziksel nitelikleriyle tanımlamak yerine, on-
ların sagladıgı cebirsel özeliklerle ilgilenir. Böylece fiziksel ortama baglı
olmayan soyut bir matematiksel sistem ortaya konabilir. Uygulamacı bu
soyut sistemi alıp kendi isine uyarlayabilir.
V bos olmayan bir küme R gerçel sayı kümesi olsun. V kümesi asagı-
daki kosulları saglıyorsa bir gerçel vektör uzayıdır:
Her u, v , w ∈V ve her α,β ∈R için asagıdaki özelikler saglanır
1. V kümesi toplama (+) islemine göre bir Abel grubudur:
(a) u, v ∈V ise u + v ∈V
(b) u + (v +w) = (u + v)+w (Birlesme özeligi)
614 Vektörler
(c) u + v = v +u (yer degisme özeligi)
(d) v +0 = v (birim öge varlıgı)
(e) v − v = 0 (ters öge varlıgı)
2. R×V −→V dönüsümü asagıdaki skalerle çarpma özeliklerini saglar:
(a) α(βv) = (αβ)v (uyumluluk)
(b) 1v = v (skaler çarpımın birimi)
(c) α(u + v) = αu +αv (skaler çarpımın vektör toplamı üzerine
dagılımı)
(d) (α+β)v =αv +βv (skaler toplamın vektörle çarpımının dagılımı)
11~v
38.2 Simgeler
Fiziksel uygulamalarda a vektörünün ~v , v gibi simgelerle gösterilmesi
gelenek halini almıstır. Yalınlıgı saglamak için bazı bazı kaynaklarda
v vektörü v gibi koyu yazılır. Matematikte, tipografik nedenlerle ok
gösterminden sakınılır. Vektör, V uzayının bir ögesi olarak alınır ve
normal harflerle gösterilir.
Bu kitapta v , ~v ve v gösterimleri es anlamlı kullanılacaktır. ~v vek-
törünün uzulugunu, yazılıs kolaylıgına baglı olarak v, |v| ya da |~v | simge-
siyle gösterecegiz. her durumda vektör ile uzunlugu gösterimlerde belirli
olacak, bir karısıklık dogmayacaktır.
38.3 Denk Vektörler
Uzayda bir ~a = −→AB vektörünü dogrultu, yön ve uzunlugunu koruyarak
O(0,0) baslangıç noktasına kaydıralım. Kaydırma sonunda elde edilen
~a = −−→OP vektörü ile ~a = −→
AB vektörü arasında bir denklik bagıntısı vardır:
Dogrultuları paralel, yönleri ve uzulukları aynıdır.
Sekil 38.2: denklik
Bunu genellestirelim:
Tanım 38.1. Uzayda bütün vektörlerin olusturdugu kümeyi V ile göstere-
lim. V kümesi üzerinde dogrultuları paralel, yönleri aynı ve uzunlukları
esit olan vektörleri birbirlerine denk sayan bir bagıntı kuralım. Bu bagıntı
V kümesi üzerinde bir denklik bagıntısıdır. Bu bagıntıya ait her denklik
sınıfına bir vektör diyecegiz.
Buradaki denklik sınıfı, fizikte kullanılan vektör alanı kavramıdır.
Görsel kolaylık saglamak için, denklik sınıfları içinden, baslangıç
noktaları koordinat sisteminin O baslangıç noktasıyla çakısan temsilcileri
seçelim. Baslangıç noktası O(0,0) ve bitim noktası P (x, y) olan vektörü ~a,
AB vektörünü−→AB ile ve ~a vektörünün uzunlugunu |~a| ile gösterelim.
38.4 Vektörlerin Gösterimi
Sekil 38.3: Iki boyutlu vektör
Dikey kartezyen koordinat sisteminde bir ~v vektörü Sekil (38.3)’deki gibi
ya da Sekil 38.9’deki gibi gösterilir. ~v vektörünün bir tasıyıcısı (dogrultu),
38.5 Vektör Uzayında Islemler 615
A baslangıç noktası, B bitim noktası ve A noktasından B noktasına
yönlendigini belli etmek için B noktasının oldugu yöne konulan ok
simgesi var. Genellikle ~v vektörünü
~v =−→AB (38.1)
simgesiyle, v vektörünün uzunlugunu
v = |v | = |−→AB | (38.2)
simgesiyle gösteririz.
38.5 Vektör Uzayında Islemler
Vektör uzayı natematiksel bir yapıdır. Genellikle, matematiksel yapılar
üzerine sayılardakine benzer operatörleri tanımlamak isteriz. Vektör
uzayında toplama ve çıkarma islemlerini basit geometrik yorumlarla
tanımlayabiliyoruz. Vektörler üzerinde biraz sonra anlatacagımız üç
çarpma islemi tanımlanabiliyor. Bölme islemi tanımsızdır.
38.5.1 Sıfır Vektörü
Sekil 38.4: Sıfır vektör
Uzunlugu 0 ve yönü olmayan vektördür.~0 ile gösterilir. Bu vektörü
baslangıç noktasına konulmus bir nokta olarak düsünebiliriz. Sıfır
vektörü ait oldugu vektör uzayında sayılardaki sıfırın rolünü oynar.
Uzunlugu ve yönü olmadıgı için toplandıgı ya da çıkarıldıgı vektörün
uzunlugunu ve yönünü degistirmez. Sıfır vektörü toplamsal V grubunun
birim ögesidir; yani her ~v vektörü için
~v +~0 =~v (38.3)
olur.
38.6 Vektörlerin Toplamı
Vektörlerin toplamı için sayılarda kullanılan artı (+) operatörü kullanılır.
Tabii, bu operatörün sayılardaki toplama isleminden farklı bir isleve
sahip oldugunu söylemeye gerek yok. ~a = −−→O A ile~b = −−→
OB vektörlerinin
toplamı
~a +~b =−−−−→(a +b),
−−→O A+−−→
OB =−−−−−−−→AB +C D (38.4)
biçiminlerinden birisiyle gösterilir.
Sekil 38.5: Vektörlerin Toplmamı
Vektör uzayı bir grup oldugu için toplama ilemine kapalıdır; yani
a,b ∈V ise a +b ∈V olacaktır.
Toplama isleminin geometrik yorumu: Sekil (38.5)’den görüldügü gibi
~a ile~b vektörlerini toplarken ~a vektörünün bitim noktasına~b vektörü
eklenir. Ekleme islemi yapılırken vektörlerin dogrultu, yön ve uzunlukları
korunur. Böylece ~a +~b vektörü OACB parelelkenarının kösegeni olur.
Vektör toplamı için kullandıgımız artı (+) simgesi sayıların toplamında
kullandıgımız simge ile aynıdır, ama islevleri farklıdır. Tabii, vektör
toplamı sayılardaki toplamdan farklı oldugu için farklı bir simge kul-
lanılabilirdi. Ama bütün toplamsal gruplarda (+) sembolünü kullanmak
gelenektir; bu gelenek algıyı ve ögrenmeyi kolaylastırır.
616 Vektörler
38.6.1 Toplamanın Özelikleri
Birlesme Toplamsal gruplarda birlesme özeliginin varlıgını biliyoruz. V
vektör uzayı da artı operatörüne göre toplamsal bir grup oldugundan
a + (b + c) = (a +b)+ c (38.5)
birlesme özeligini saglar. Böyle oldugunu sekil çizerek geometrik olarak
görebilirsiniz.
Üçgen Esitsizligi a,b ∈V ise
|a +b| ≤ |a|+ |b| (38.6)
bagıntısı vardır. Buna üçgen esitsizligi denilir. Üçgen esitsizligindeki
ögelerin sayısal (skalar) olduguna dikkat ediniz.
Toplamaya Göre Birim Vektör Sıfır~0 vektörü toplma isleminin birimidir.
Çünkü her ~v vektörü için
~v +~0 =~vdir.
Sekil 38.6: Vektörün TersiVektörün tersi Toplamsal V grubunun her ~v ögesinin toplama islemine
göre −~v ile gösterilen bir ters ögesi vardır:
~v + (−~v) =~0 (38.7)
olur.
38.7 Vektörlerde Çıkarma Islemi
Iki vektörün farkını sayılardaki gibi tanımlarız. her a,b ∈V için
~a + (−~b) =~a −~b (38.8)
yazılır. Buradan hemen su sonuç çıkar:
~a + (−~a) =~0 (38.9)
Sekil 38.7: Çıkarma:~a −~b
Sekil 38.8: ~u −~v farkı
38.8 Vektörün Sayı ile Çarpımı
~v bir vektör ve α bir gerçel sayı ise α~v sayıl (skalar) çarpımının, R×V →V
isleminin bir sonucu oldugunu biliyoruz. Buradaki α sayısına sayıl
(skalar) denir.
• Sayıl çarpım vektörün uzunlugunu α katına uzatır.
• Sayıl çarpım vektörün dogrultusunu degistirmez.
• Pozitif sayı ile çarpılınca vektörün yönü degismez.
• Negatif sayı ile çarpılınca vektörün yönü tersine döner.
• α> 1 ise vektörün uzunlugu artar: |~v | < |α~v |.
38.9 Birim Vektör 617
• α= 1 ise vektörün uzunlugu degismez: |~v | = |α~v |.
• α< 1 ise vektörün uzunlugu azalır: |~v | > |α~v |.
Sayıl çarpım
(α+β)~a =α~a +β~aα(~a +~b) =α~a +α~b (38.10)
esitliklerini saglar.
38.9 Birim Vektör
Uzunlugu 1 olan vektöre birim vektör denilir. Geometrik anlamada,
uzunluk ölçü biriminin ne oldugu önem tasımaz, çünkü bütün uzunluk
ölçü biriemlei birbirlerine dönüstürülebilir.
Her ~a vektörünü kendi uzunluguna bölerek birim vektör elde edilebilir.
Dolayısıyla her dogrultuda birim vektör vardır.
~a
|~a| =1
|~a|~a (a 6= 0) (38.11)
Kolayca görülecegi gibi
| ~a|~a| | =1
|~a| |~a| = 1
Fizikte ve analitik geometride, çogunlukla vektör ok seklinde bir
dogru parçası ile gösterilir. Buraya kadar söylediklerimizin fiziksel ya da
geometrik yorumları kolayca yapılabilir.
1. Aynı yön ve aynı büyüklüge sahip iki veköre esit vektörler denilir.
2. ~v vektörü ile ters yönlü ama esit uzunlukta olan ~−v vektörüne ~v
vektörünün tersi denilir.
3. ~v =λ~u ise bu iki vektör birbirine paraleldir. Paralel vektörlerin tasıyıcı
dogruları birbirlerine paralel olur.
4. Tasıyıcı dogruları birbirlerine dik olan iki vektör birbirlerine diktir.
5. Baslangıç noktası O ’da olan vektörlere yer vektörü denilir.
38.10 Dogrultu Açıları
Üç boyutlu uzayda vektörün koordinat eksenleriyle yaptıgı α,β,γ
açılarına dogrultu açıları, bu açıların ölçümleri de dogrultu kosinüs-
leri diye adlandırılır.
Sekil 38.9: Dogrultu Açıları
Dogultu açıları belli olan vektörün yönü ve dogrultusu belli olur.
Koordinat eksenleri üzerindekii , j ,k birim dikey sistemini kullanarak,
dogrultu açılarını bulabiliriz: Her hangi bir ~a için
cosα= ~a.i
||a|||i || =~a.i
||a||cosβ= ~a. j
||a||| j || =~a. j
||a||cosγ= ~a.k
||a|||k|| =~a.k
||a||
618 Vektörler
x = ||a||cosα, y = ||a||cosβ, z = ||a||cosγ
dersek, ~a vektörünün koordinat eksenleri üzerindeki izdüsümlerinin
uzunluklarını buluruz. α,β,γ açılarının kosinüsleri sayısal olark bulun-
abilir. Bu sayılara dogrultu kosinüsleri denilir.
Bir ~a vektörünün dogrultu kosinüslerinin kareleri toplamı daima 1
olur:
cos2α+cos2β+cos2γ= 1
||a|| (x2 + y2 + z2) = 1
olur. Çünkü ||a|| =√
x2 + y2 + z2dir.
38.11 Analitik Geometriye Giris
Vektörlerin daha yararlı kullanılabilmesi için onlar üzerinde geometriye
dayanmayan cebirsel islemlerin tanımlanması gerekir. Bunu yapmak
çok kolaydır. Vektör uzaylarında yaptıgımız denklik sınıfları tanımına
göre, her vektörü yer vektörü gibi düsünebiliriz. Yer vektörlerini bitim
noktalarının koordinatları cinsinden yazabiliriz.
Algıyı kolaylastırmak için düzlemsel vektörleri düsünelim. ~v vek-
törünün bitim noktasını (vx , vy ) koordinatları ile gösterirsek, bitim
noktaları ile vektörler arasında bire-bir bir eslesim kurulabilir.
~v ←→ (vx , vy )
Ox− ekseni üzerinde birim vektörü~i ile ve O y− üzerindeki birim vektörü~j ile gösterelim. Bitim noktasının Ox− ekseni üzerindeki izdüsümüne
karsılık gelen yatay vektör x~i ve bitim noktasının O y− ekseni üzerindeki
izdüsümüne karsılık gelen düsey vektörü y~j ile gösterelim.
~v = vx~i + vy~j (38.12)
dir.
Sekil 38.10: Orthonormal Taban
Düzlemdeki her ~v vektörü için bu eslesmeyi yapabiliriz. Dolayısıyla
her vektörü~i ile ~j birim vektörlerinin katlarının toplamı cinsinden yaz-
abiliriz. Buna dogrusal bilesim deniyor. Bu eslesme olaganüstü kolaylık
saglar. Düzlemdeki bütün vektörleri iki vektörün toplamı olarak ifade
edebiliyoruz. Bu kolaylıgı saglayan {~i ,~j } birim vektörlerine düzlemsel
vektörlerin bir dikey birimsel tabanı (orthomormal base) denilir. {~i ,~j }
vektölerinin uzunlukları ||i || = || j || = 1dir ve birbirlerine diktirler. Dikligi
i ⊥ j simgesiyle gösterecegiz. (38.12) ifadesinden sunlar çıkar:
v = |~v | =√
(vx )2 + (vy )2 (38.13)
~v =−−→OP vektörünün Ox− ekseni ile yaptıgı açı θ ise
x = |~v |cosθ = vcosθ, y = |~v |si nθ = v si nθ (38.14)
olur. (38.12) ifadesinde vx , vy sayılarına, sırasıyla, ~v vektörünün birinci ve
ikinci bilesenleri denilir.
Yüksek boyutlu uzaylarda da geçerli olan bu formülü n-boyutlu V n
vektör uzayına genellestirelim:
38.12 Alıstırmalar 619
Tanım 38.2. V n vektör uzayında
{~e1,~e2,~e3, . . .~en} (38.15)
vektörleri verilsin.
1. i 6= j ⇒~ei ⊥~e j
2. |~ei | = 1 (i = 1,2, . . . ,n)
3. V n vektör uzayına ait her ~v vektörü için
~v =n∑
i=1αi~ei (38.16)
olacak sekilde hepsi aynı anda sıfır olmayan
α1,α2,α3, . . . ,αn (38.17)
katsayıları varsa, (38.15) vektörlerine V n vektör uzayının dikey birimsel
bir tabanıdır (orthonormal base) denilir.
Bu durumda, (38.20)’ye {ei } sisteminin bir dogrusal bilesimi (linear
combination), (38.17) sayılrına ~v vektörünün {ei } tabanına göre bilesen
katsayıları denilir. {ei } tabanı belirli oldugu zaman tabanın kim oldugunu
söylemek gerekmez. Ayrıca, belirli bir taban için bilesen katsayıları tek
olarak belirli olugundan, (38.20) toplamı yerine,
{αi } = (α1,α2,α3, . . . ,αn) (38.18)
katsayılar vektörünü kullanabiliriz. Bunu yapmak, özellikle, vektörler
üzerinde cebirsel islemler yapmayı kolaylastıracaktır. (38.20)’deki ~v
vektörünün uzunlugu
|~v |2 =n∑
i=1α2
i (38.19)
ile tanımlıdır.
αi katsayılarının hepsi birden sıfır olmadan (38.20) dogrusal bilesmi~0
vektörüne esitse,n∑
i=1αi~ai =~0 (38.20)
oluyorsa, ai (i = 1,2, . . . ,n) vektörlerine dogrusal bagımlıdır (linear
dependent) denilir. Bu durumda ai vektörlerinden her hangi birisi
ötekiler cinsinden yazılabilir. Dogrusal bagımlı olmayan vektörlere
dogrusal bagımsız vektörler denilir. Dogrusal bagımsız vektörlerden hiç
birisi ötekiler cinsinden yazılamaz.
38.12 Alıstırmalar
1. ~a = (1,0,3) vektörünün uzunlugunu bulunuz.
2. Uç noktaları P1(2,3,5) ve P2(3,0,7) olan−−−→P1P2 vektörünün uzunlugunu
bulunuz.
3. Düzlemdeki a(x, y) noktası için ~a =−−→O A vektörünü, düzlemdeki dikey
birimsel taban cinsinden yazınız.
620 Vektörler
4. ~v = 2i − j − 2k vektörüyle aynı yön ve dogrultudaki birim vektörü
bulunuz.
5. P1(3,−2,0) ve P2(7,4,4) noktalarını birlestiren dogru parçasının orta
noktasını bulunuz.
6. ~a = (a1, a2, a3),~b = (b1,b2,b3),~c = (c1,c2,c3) vektörlerinin bitim
noktalarını köse kabul eden ABC üçgenin kenar ortaylarının kesisim
noktasının
(x2, x2, x3) =(
a1 +b1 + c1
3,
a2 +b2 + c2
3,
a3 +b3 + c3
3
)oldugunu gösteriniz.
7. ~u = (2,3,4) ve ve ~v = (−2,1,3) ise ~u +~v , 2~u ve 2~u + 3~v vektörlerini
bulunuz.
8. ~u = (1,0,3),~v = (−1,2,3), ~w = (0,1,2) veriliyor. ~a = (−2,6,1) vektörünü
~u = (1,0,3),~v = (−1,2,3), ~w = (0,1,2) vektörlerinin dogrusal bilesimi
olarak yazınız.
9. A(2,4),B(−3,2) ise−→AB ile aynı dogrultu ve aynı yönde olan birim
vektörü yazınız.
38.13 Bilesenlerle Islemler
Daha önce tanımladıgımız vektörlerin toplamını ve sayıl çarpımını
bilesenler cinsinden ifade edebiliriz:
~a = a1~e1 +a2~e2 +·· ·+an~en (38.21)
~b = b1~e1 +b2~e2 +·· ·+bb~en (38.22)
olmak üzere, ~a +~b vektör toplamını bilesenlerinin toplamı cinsinden
yazabiliriz.
~a +~b = (a1 +b1)~e1 + (a2 +b2)~e2 +·· ·+λan~en +λbn~en (38.23)
dir. Benzer olarak, bir vektörün bir sayı ile çarpımı, o sayı ile bilesen-
lerinin çarpımı cinsinden yazılabilir:
λ~a =λa1~e1 +λa2~e2 +·· ·λan~en (λsabit ) (38.24)
Bu esitlikler vektör toplamı ve sayıl çarpımı tanımından görülebilir.
Asagıdaki bagıntılar apaçıktır:
−~a =−a1~e1 −a2~e2 −·· ·−an~en (38.25)
~a −~b = (a1 −b1)~e1 + (a2 −b2)~e2 +·· · (an −bn)~en (38.26)
|~a| =√
a21 +a2
2 +·· ·+a2n (38.27)
38.14 Nokta Çarpım 621
Önce de söyledigimiz gibi, islemlerde kısalıgı saglamak için, ~a yerine
(38.18) vektörünü kullanırız: Bu durumda
−~a = (−a1,−a2, . . . ,−an)
λ~a = (λa1,λa2, . . . ,λan)
~a +~b = (a1 +b1, a2 +b2, · · · , an +bn)
~a −~b = (a1 −b1, a2 −b2, . . . , an −bn)
~a =~b ⇔ (a1 = b1)∧ (a2 = b2)∧ (an = bn)
~a =~0 ⇔ (a1 = 0)∧ (a2 = 0)∧ . . .∧ (an = 0)
bagıntıları geçerlidir.
38.14 Nokta Çarpım
Skaler Çarpma
Vektörler üzerinde toplama, çıkarma ve sayı ile çarpma islemlerini
tanımladık. Meraklı ögrenciler su soruyu sorabilirler: Vektörler üzerinde
çarpma ve bölme islemleri tanımlı degil mi? Bu soruya verilecek yanıt
hayır olacaktır. Vektörler üzerinde sayılardakine benzer çarpma ve
bölme islemleri yoktur. Onun yerine vektörler üzerinde iki çarpma islemi
tanımlanır. Bunlardan birincisi olan nokta çarpım (skaler çarpım) sayısal
deger verir ve bir vektörün baska bir vektör üzerine izdüsümünü belirler.
Ikinci çarpma islemi vektörel çarpım adını alır, çarpılan vektörlerin
düzlemine dikey olan yeni bir vektör yaratır.
Tanım 38.3. ~a ile~b n-boyutly Rn öklit uzayında iki vektör olsun. Bu vek-
törlerinin ~a.~b simgesiyle gösterilen nokta çarpımı, karsılıklı bilesenlerinin
birbirleriyle çarpımlarının toplamına esittir:
~a.~b = a1.b1 +a2.b2 +·· ·+an .bn (38.28)
Bu durumda nokta çarpım (.) operatörü Rn ×Rn kartezyen çarpımından R
gerçel sayılar kümesine bir dönüsümdür:
. : Rn ×Rn −→R (38.29)
Dönüsümün degeri sayısal oldugu için, bazı kaynalar ona skaler çarpım
der. Notasyonları yalınlastırmak için vektör üzerine ok isaretini koymaya-
cagız.
Asagıdaki bagıntılar kolayca görülebilir:
~a.~a ≥ 0
~a.~a = 0 ⇐⇒~a = 0
~a.~b =~b.~a
(α~a).(β~b) = (αβ)~a.~b
~a.(~b +~c) =~a.~b +~a.~c
(~a.+~b).~c =~a.~c +~b.~c
α(~a.+~b) = (α~a).~b =~a(α~b)
~ei .~ei = 1, (i = 1,2, . . . ,n)~i .~j = 0(i 6= j ) (38.30)
622 Vektörler
Teorem 38.4. ~a ile~b vektörleri arasındakis açı θ ise, ~a.~b = |~a|.~b|cosθ olur.
Buradan
~a.~b = |~a|.|~b|cosθ
|~a.~b| = |~a|.|~b|.|cosθ| (cosθ ≤ 1)
|~a.~b| ≤ |~a|.|~b|
çıkar. Son esitsizlik ünlü Cauchy-Schwarz esitsizliginin özel bir halidir.
Ayrıca ikinci satırdan, iki vektör arsındaki açı formülü çıkar:
cosθ = ~a.~b
|~a|.|~b|(38.31)
38.15 Izdüsüm
~a ile~b vektörleri arasındaki açı θ ise, ~a vektörünün~b üzerine izdüsümünün
uzunlugu
λ= |~a|cosθ (38.32)
sayısıdır. |OB | dogru parçasını−−→OB vektörü olarak ifade etmek istersek,
~b||b|| birim vectörünün λ katını alabiliriz:
−−→OB = (|~a|cosθ)
~b
||b|| =λ(~b
||b|| )
yazabiliriz.
Sekil 38.11: Iki vektör arasındaki açı 38.15.1 Izdüsümün Genellenmesi
Düzlemsel durum için yukarı ifade ettigimiz sonucu n− boyutlu uzaylara
genellestirebiliriz:
~a ile~b vektörleri Rn Öklit uzayına ait olsunlar. ~a vektörünün~b vektörü
üzerine izdüsümü olan vektörü i zdb a simgesiyle gösterelim. ~a − i zdb a
vektörünün~b vektörüne dik olacagı açıktır.~b vektörü ile aynı dogrultu
ve yöne sahip her vektör~b vektörünün bir katı olur. O halde i zdb a = λb
olacak sekilde bir λ sayısı vardır. (~a − i zdb a) ⊥~b oldugundan bu ikisinin
nokta çarpımı sıfırdır:
0 = (~a −λ~b).~b
0 = (~a.~b)−λ(~b.~b)
λ= ~a.~b~b.~b
= ~a.~b
||b||2
Uzunlugu λ olan~b yönündeki, vektör
i zdb a = ~a.~b
||~b||2.~b
||b||
38.16 Iki Vektör Arasındaki Açı 623
olur.~b.~b = ||~b||2 oldugundan
i zdb a =(
~a.~b
||~a||.||~b||
)~b
=(~a.~b
||~b||
)~b
||~b||olur. Eger ~ub vektörü~b nin yön ve dogrultusunda birim vektör ise,
i zdb a = (~a.~b)~ub
olacaktır.
Teorem 38.5. Cauchy-Schwarz esitsizligi: n− boyutlu Rn Öklit uzayındaki
(38.21) vektörleri için
|~a.~b| ≤ ||~a||.||~b|| (38.33)
bagıntısı vardır.
Kanıt:~b = 0 ise bagıntının saglanacagı apaçıktır.~b 6=~0 ise esitsizligin
iki yanını ||~b|| sayısı ile bölebiliriz. Buradan,∣∣∣∣∣~a.
(~b
||b||
)∣∣∣∣∣≤ ||a||
çıkar.(~b||b||
)birim vektör oldugundan, teoremin kanıtı, ~u birim vektör
olmak üzere,
|~a.~u| ≤ ||~a||esitsizliginin kanıtlanmasına indirgenmis olur. Simdi bunu gösterelim:
~a.~u’nun bir sayı oldugunu düsünerek ~u.~u = ||u||2 = 1 yazabiliriz. Bunu
kullanırsak,
0 ≤ ||~a − (~a − (~a.~u)~u||2
≤ [~a − (~a.~u)~u] . [~a − (~a.~u)~u]
≤~a.~a −~a.[(~a.~u)~u]− [(~a.~u)~u].~u + [(~a.~u)~u].[(~a.~u)~u]
≤ ||~a||2 −2(~a.~u)2 + (~a.~u)2, (~u.~u = ||~u||2 = 1)
≤ ||~a||2 − (~a.~u)2
çıkar. Son satırı
~a.~u ≤ ||~a||2
biçiminde yazıp iki yanın karekökü alınırsa, amaçlanan esitsizlik elde
edilir.
38.16 Iki Vektör Arasındaki Açı
n− boyutlu Rn Öklit uzayındaki (38.21) vektörleri arasındaki açıya θ
diyelim. Cauchy-Schwarz esitsizliginden
−||a||.||b|| ≤~a.~b ≤ ||a||.||b||⇔−1 ≤ ~a.~b
||a||.||b|| ≤ 1
yazılabilir. [−1,1] aralıgındaki her sayı bir açının kosinüsüdür. O halde
cosθ = ~a.~b
||a||.||b|| (38.34)
624 Vektörler
esitligini saglayan bir θ açısı vardır. Bu açıya ~a ile~b vektörleri arasındaki
açı diyoruz.
Bu tanım, iki ve üç boyut için geometrik gösterimlere uyar. Dolayısıyla,
bu tanımı yüksek boyutlara bir genisleme olarak kabul etmek gerekir.
Sekil 38.12: Iki Vektör Arasındaki Açı
38.17 Iki Vektör Arasındaki Açının Ölçümü
Iki ya da üç boyutlu Öklit uzayında iki vektör (ya da iki dogru) arasındaki
açının ölçümü çok kullanılır. Bunu yüksek boyutlara genellestirmek
mümkündür:
~a.~b = ||a||.||b||cosθ (38.35)
formülünü daha önce çıkarmıstık. Bu formülün 2 ve 3 boyuttaki ge-
ometrik açıklaması kolayca yapılabilir. Dolayısıyla, (38.35) formülünü
yüksek boyutlara dogal bir genellestirme olarak düsünebiliriz.
Bu formülde, seçilen koordinat sisteminin hiç bir rolü olmadıgı,
dolayısıyla iki vektör araındaki açının ölçümünün degismez (invariant)
kaldıgı gözlenebilir.22~a ⊥~b ⇔ (~a.~b = 0)
38.18 Iki Vektörün Birbirine Dikligi
~a ile~b arasındaki açı θ = 90o ya da denk olarak θ = π2 radyan ise ~a ile
~b vektörlerine birbirlerine dik iki vektör diyecek ve ~a ⊥ ~b simgesiyle
38.18 Iki Vektörün Birbirine Dikligi 625
gösterecegiz.
~a ile~b vektörleri birbirlerine dik iseler, Formül (38.34)’den nokta
çarpımlarının sıfıra esit oldugu görülebilir
~a ⊥~b ⇔ (~a.~b = 0)
38.18.1 Üçgen Esitsizligi
n− boyutlu Rn Öklit uzayındaki (38.21) vektörlerinin nokta çarpımların-
dan
(~a +~b).(~a +~b) = ||~a +~b||2
yazabiliriz. sag yandaki kareyi hesaplarsak,
||~a +~b||2 = ||~a||2 +2(~a.~b)+||~b||2
çıkar. Sag ortadaki nokta çarpıma Cauchy-Schwarz esitsiliginiuygularsak,
||~a +~b||2 ≤ ||~a||2 +2||~a||.||~b||+ ||~b||2
≤(||~a||+ ||~b||
)2
olur. Son esitsizlikte iki yanın karekökü alırsa
||~a +~b|| ≤ ||~a||+ ||~b|| (38.36)
elde edilir.3 3 Bir karısıklık dogmuyorsa, yazım
kolaylıgı için vektörlerin üzerine oksimgesi konmayabilir.Örnek 38.6. ~u = 2i +3 j +k ile ~v =−i +5 j +k vektörleri arasındaki açıyı
bulunuz.
Çözüm: ||u|| =p
22 +32 +12 = p14, ||v || =
√(−1)2 +52 +12 = p
27
u.v =−2+15+1 = 14 oldugundan, Formil (38.34) uygulanırsa,
cosθ = 14p14.
p27
=p
42
9
çıkar. Buradan, isteniyorsa, trigonometri cetvelinden ya da hesap maki-
nasından,
θ = cos−1
(p42
9
)' 0.77 r ad y an = 44.9o
bulunur.
Örnek 38.7. ~a = 2i +14 j +5k ile~b =−3i − j +4k vektörlerinin birbirlerine
dik oldugunu gösteriniz.
Çözüm: ~a.~b = 2(−3)+14(−1)+5(4) = 0 ⇒~a ⊥~bÖrnek 38.8. ~a = 3i − j +5k vektörünün~b =−2i + j +2k vektörü üzerine
izdüsümünü bulunuz.
Çözüm:
i zdb a = (~a.~b)~b
||b||2 =((3i − j +5k).(2i + j +2k)
).(−2i + j +2k)
9
= 3
9
(−2i + j +2k)
=−2
3i + 1
3j + 2
3k
olur.
626 Vektörler
38.19 Uzayda Dogru ve Düzlem
Teorem 38.9. Uzaydaki bir dogru, üzerideki bir nokta ve dogruya paralel
olan bir vektör yardımıyla tek olarak belirlenebilir.
Sekil 38.13: Uzayda dogru denklemi
Kanıt: Uzayda bir L dogrusu üzeride bir A(x1, y1, z1) noktası ve L
dogrusuna paralel olan bir
~v =−−→OQ, Q(a,b,c), ~v = ai +b j + ck
vekörü verilsin. L dogrusu üzeride gezgin bir P (x, y , z) noktasını düsüne-
lim. ~u = −−→OP olsun.
−→AP vektörü ~v vektörüne paraleldir. Bunu ~v ∥ −→
AP
simgesiyle gösteriyoruz.
−→AP =−−→
OP −−−→O A = (x −x1, y − y1, z − z1)
ve
x−x1 = at , y−y1 = bt ; z−z1 = ct ⇔ x = x1+at , y = y1+bt , z = z1+ct , −∞< t <∞
parametrik denklemi yazılabilir. Her birinden t çekilip esitlenirse,
x −x1
a= y − y1
b= z − z1
c(38.37)
elde edilr. Bu denklemlere dogrunun simetrik denklemleri adı verilir.
Iki boyutlu uzayda dogru denklemini yukarıdak fomülden çıkarabiliriz.
L dogrusu A(x1, y1) noktasından geçiyorsa x = x1 + t a, y = y1 + tb
olacagından ~v 6=~0 oldugunda ya a 6= 0 ya da b 6= 0 olmalıdır. t = x−aa ve
y = y1 + tb’de yerine yazılırsa
y = y1 + b
a(x −x1) (38.38)
elde edilir ki bu düzlemdeki dogru denklemidir.
Örnek 38.10. A(3,−1,2) noktasından geçen ve ~v =−2i +4 j +5k vekörüne
paralel olan dogrunun simetrik denklemini bulunuz.
Çözüm: Verilenler için (38.37) denklemini yazacagız:
−x −3
2= y +1
4= z −2
5
çıkar.
38.20 Iki noktası Verilen Dogru Denklemi
Iki nokta bir dogru belirler. Baska bir deyisle iki noktadan ancak bir dogru
geçer. Bundan yaralanarak dogru üzerindeki A ve B noktaları biliniyora,
dogruyu belirlyebiliriz. Simdi o dogrunun denklemini yazacagız: ~v =−→AB
vektörüne paralel olan ve A noktasından geçen dogrunun simetrik
denklemini biliyoruz.
~v =−→AB = (x2 − z1, y2 − y1, z2 − z1)
vektörü ~v vektörüne paralel oldugundan, (38.37) denklemi
x −x1
x2 −x1= y − y1
y2 − y1= z − z1
z2 − z1
olur.
38.21 Noktanın Dogruya Uzaklıgı 627
Örnek 38.11. A(3,2,1) ve A(1,3,5) noktalarından geçen dogrunun simetrik
denklemini yazınız. Dogrunu x = 0 koordinat düzlemi ile kesim noktasını
bulunuz.
Çözüm: Verilenler için (38.37) denklemini yazacagız:
−x −3
1−3= y −2
3−2= z −1
5−1
çıkar.
Çözüm: Yukarıdaki formülden,
x −3
1= y −2
−3= z +1
2
olur. Bu denklemde x = 0 alınırsa,
y −2
−3= z +1
2=−3 ⇒ y = 11, z =−7
çıkar. O halse dogrıunu x = 0 düzlemini deldigi nokta (0,11,−7) nok-
tasıdır.
38.21 Noktanın Dogruya Uzaklıgı
Teorem 38.12. Uzayda bir A(a,b,c) noktasının bir L dogrusuna olan
uzaklıgı, ~v//L ise,
d = |~v ×−→AB |
|~v | (38.39)
dir.
Sekil 38.14: Noktanın dogruya uzaklıgı
Uzayda bir L dogrusu ile bir P (p, q ,r ) noktası verilsin. Dogru üzerinde
bir A(x0, y0, z0) noktası alalım. ~v =−→AP vektörü ile
−→AP vektörü arasındaki
açı α ise,
d = |−→AP |sinα
dır. Buradan,
|~v ×−→AP | = |~v |× |−→AP |sinα
çıkar.
Örnek 38.13. P (5,−3) noktasını 4x+3y −15 = 0 dogrusuna uzaklıgı nedir?
Çözüm: Dogru üzerinde bir P noktası bulup, uzaklık formülünü
uygulamalıyız.En kolay yol, koordinate eksenlerini kestigi noktaları
bulmaktır. x = 0 konulursa, P (0,5 noktası dogrunun Ox eksenini kestigi
nokta olarak bulunur. α açısının sinüsünü bilmedigimiz için, yukarıdaki
formül ile aynı sonucu vereck olan skaler çarpım uygulanırsa
d = |~h ×−→AP | = |~h|.|−→AP |
|~h|= 20−24p
16+9= 4
5
olur.
628 Vektörler
38.22 Düzlem Denklemi
Sekil 38.15: Kesisen iki dogru bir düzlembelirler
Sekil 38.16: Düzlemin normali
Sekil 38.17: Düzlemin normali
Düzlem denklemi, birbirlerine denk farklı yöntemlerle elde edilebilir. Bu
yöntemlerden birisi, uzayda paralel olmayan iki vektör ile bir noktanın
düzlemi belirleyecegi gerçeginden hareket eder. Denklemi aranan dü-
zlem D olsun. P0(x0, y0, z0) düzlem içinde sabit bir nokta ve P (x, y , z) ise
düzlem içinde gezgin bir nokta olsun. Düzlemin normali (düzleme dik
vektör) ~n = ai +b j +ck olsun. ~n normali düzlem içindeki her dogruya dik
oldugundan ~n.−−→P0P = 0 olacaktır.
−−→P0P = (x −x0, y − y0, z − z0) oldugundan
a(x −x0)+b(y − y0)+ c(z − z0) = 0
dır. Buradan,
ax +by + cz +d = 0, d =−ax0 −by0 − cz0) (38.40)
olur ki bu aranan düzlem denklemidir.
Örnek 38.14. P (2,−1,3) noktasından geçen ve ~n = 83,5,7) vektörüne dik
olan düzlem denklemini bulunuz.
Çözüm: Aranan düzlemde gezgin bir P (x, y , z) noktası düsünelim.
~n ⊥−−→P0P oldugundan, skaler çarpımları sıfıra esittir:
3(x −2)+ (−7)(y +1)+5(z −3) = 0
Buradan arana düzlemi
3x −7y +5z −28 = 0
olarak çıkar.
38.23 Üç Noktadan geçn Düzlem Denklemi
Örnek 38.15. P1(2,−1,3), P2(1,2,2), P3(−2,1,1) noktalarından geçen
düzlemin denklemini bulunuz.
Çözüm: Üç noktadan bir düzlem geçtigini biliyoruz. Denklemini
aradıgımız düzlem D olsun. Düzlem içinde iki vektörün vektörel çarpımı,
düzleme dik olan bir vektördür.−−−→P1P2 = (−1,3,−1) ve
−−−→P1P3 = (−4,2,−2)
vektörlerinin vektörel çarpımı,
−−−→P1P2 ×−−−→
P1P3 =
∣∣∣∣∣∣∣i j k
−1 3 −1
−4 2 −2
∣∣∣∣∣∣∣=−4i +6 j +10k
olur. Bu vektör D düzlemine dik oldugundan, düzlem içindeki−−−→P1P2
vrktörünr diktir. Öyleyse onların skaler çarpımı sıfıra esit olur:
−4(x −2)+6(y +1)+10(z −3) = 0
olur ki buradan düzlemin denklmi olarak,
2x −3y −5z +8 = 0
bulunur.4, 54
5
38.24 Noktanın Düzleme Uzaklıgı 629
Örnek 38.16. x −2y43z −6 = 0, 3x +2y −5z −10 = 0 düzlemlerinin
arakesiti olan L dogrusunun denklemini bulunuz.
Çözüm: Düzlemlerin normalleri, sırasıyla, ~n1 = (1,−2,3), ~n2 =(3,2,−5) dir. Arakesit dogrusu her iki düzlem içinde olacagından, her
ikisinin normaline dik olacaktır: Öyleyse, nomallerin vektörel çarpımı
arakesit dogrusuna paralle olur:
~n1 ×~n2 =
∣∣∣∣∣∣∣i j k
1 −2 3
3 2 −5
∣∣∣∣∣∣∣= 4i +14 j +8k
elde edilir. Her iki denklemde z = 0 konularak x y düzlemi ile arakesiti
bulunur.:
x −2y = 6, 3x +2y = 10
denklem sitemi elde edilir. Bu sistem çözülürse x = 4, y =−1 bulunur. O
halde, arakesit dogrusu (4,−1,0) noktasından geçmektedir. Dolayısıyla L
nin simetrik denklemix −4
2= y +1
7= z
4
olacaktır.
Örnek 38.17. 6x +3y −2z = 0, x +2y2z = 0 düzlemleri arasındaki açıyı
bulunuz.
Çözüm: Düzlemlerri arsındaki açı, noralleri arasındaki açıya esittir.
Öyleyse, iki normeal arasındaki açıyı bulacagız.
~n1 = (1,2,2), ~n2 = (1,2,2)ol dugund an,
cosα= ~n1.~n2
|~n1|.|~n2|= 6(1)+3(2)−2(2)√
62 +32 + (−2)2= 8
21
çıkar.
α= cos−1(8
21) ≈ 67.6o
olur.
38.24 Noktanın Düzleme Uzaklıgı
Sekil 38.18: Noktanın Düzleme Uzaklıgı
Teorem 38.18. Uzayda bir P (x0, y0, z0) noktasının ax +by + cz +d = 0
düzlemine uzaklıgı
d = |ax0 +by0 + cz0 +d |pa2 +b2 + c2
(38.41)
bagıntısı ile verilir.
Kanıt: Düzleme P diyelim. Düzlem içinde her hangi bir nokta
B(x1, y1, z1) olsun. A noktasından düzleme inilen dikmenin ayagına
A′ diyelim. Düzlemin ~n = (a,b,c) normali−−→B A′ vektörüne diktir. A nok-
tasının−−→B A′ dogrusuna olan uzaklık formülünden,
d = ~n ×−−→B A′
|~n| = ~n.−→B A
|~n|
630 Vektörler
olur.−→B A = (x1 −x0), (y1 − y0), (z1 − z0) oldugundan,
d = a(x1 −x0)+b(y1 − y0)+ c(z1 − z0)|pa2 +b2 + c2
= |ax0 +by0 + cz0 − (ax1 +by1 + cz1)|pa2 +b2 + c2
olur. B noktası düzlem içinde oldugudan (ax1+by1+cz1) = 0 dır. O halde,
d = |ax0 +by0 + cz0 +d |pa2 +b2 + c2
(38.42)
Örnek 38.19. A(−3,1,5) noktasının 6x − 2y + 3z = 9 düzlemlemine
uzaklıgını bulunuz.
Çözüm: (38.49) formülünden,
d = |6(−3)+ (−2)(1)+3(5)−9|√62 + (−2)2 +32
= |−14|7
= 2
çıkar.
Örnek 38.20. Merkezi M(3,2,1)) olan ve 4x +8y + z = 0 düzlemine teget
olsn kürenin denklemini bulunuz.
Çözüm: Küre merkezinin teget düzleme uzaklıgı kürenin r yarıçapıdır:
d = r|4(3)+8(2)+1(1)−2|p
42 +82 +12= 27
9= 3
olur. Merkezi ve yarıçapı bilinen kürenin denklemi
(x −3)2 + (y −2)2 + (z −1)2 = 9
olur.
38.25 Alıstrmalar
1. Asagıdaki nokta çiftlerinden geçen dogruların parametrik denklem-
lerini yazınız.
a)P (1,2,−1) Q(−1,0,1)
b)P (0,1,0) Q(0,3,0)
c)P (1,−1,3) Q(2,1,3)
d)P (1,2,0) Q(1,1,−1)
2. P (3,2,1),Q(1,3,2),R(3,2,1) noktalarından geçen düzlemin denklemini
bulunuz.
3. P (3,−2,1) noktasından geçen ve x = 1+2t , y = 2− t , z = 3t dogrusuna
paralle olan dogrunun denklemini yazınız.
4. 2x−3y45z−700, 3x+2y−5z+2 = 0 düzlemlei arasındaki açıyı bulunuz.
38.26 Vektörel Çarpım 631
5.
L1 :x −1
2= y +1
1= z −2
4
dogrusu ile
L2 :x +4
4= y
−3= z − 1
2
−1
dogrusu kesiyorsa, kesisim noktasını bulunuz.
6.
x =−6− t , y = 20+3t , z = 1+3t ile x5+2s, y =−9−4s, z = 1+7s
dogruları kesiyorsa, kesisim noktasını bulunuz.
7. 2x +3y +6z = 18 düzleminin grafigini çiziniz.
8. P (−1,2,2) noktasının 2x −2y − z +5 = 0 düzlemine uzaklıgını bulunuz.
38.26 Vektörel Çarpım
Daha önce bir sayı ile bir vektörün çarpımını ve iki vektörün nokta
(skaler) çarpımını gördük. bu kesimde iki vektörün vektörel çarpımını
inceleyecegiz:
Tanım 38.21. ~a = (a1, a2, a3) ve~b = (b1,b2,b3) vektölerinin vektörel
çarpımı
~a ×~b =
∣∣∣∣∣∣∣i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣∣dir.
Matrisin açılımını yazarsak
~a ×~b =
∣∣∣∣∣∣∣i j k
a1 a2 a3
b1 b2 b3
∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣a2 a3
b2 b3
∣∣∣∣∣ i +∣∣∣∣∣a1 a3
b1 b3
∣∣∣∣∣ j +∣∣∣∣∣a1 a2
b1 b2
∣∣∣∣∣ k
= (a2b3 −a3b2) i + (a3b1 −a1b3)|; j + (a1b2 −a2b1) k
olur. Bu çarpımı bilesenler cinsinden de ifade edersek,
~a ×~b = (a1i +a2 j +a3k)× (b1i +b2 j +b3k)
= (a2b3 −a3b2) i + (a3b1 −a1b3) j + (a1b2 −a2b1) k
= ((a2b3 −a3b2, (a3b1 −a1b3), (a1b2 −a2b1))
olur.
Örnek 38.22. ~a = 2i − j +k, ~b = −3i + j −k ise ~a ×~b vektörel çarpımını
bulunuz.
632 Vektörler
Çözüm: Tanımı kullanarak
~a ×~b =
∣∣∣∣∣∣∣i j k
2 −1 1
−3 1 −1
∣∣∣∣∣∣∣= (1−1)i + (−3+2) j + (2−3)k
=− j −k
olur.
38.27 Vektörel Çarpımın Özelikleri
(i )~a =~0 ya da~b =~0 ⇒ a ×~b =~0(i i ) a ×~b −b ×~a
(i i i )~a × (~b +~c) = (~a ×~b)+ (a ×~c)
(i v) (~a +~b)×~c = (~a ×~c)+ (b ×~c)
(v)~a × (λb) = (λa)×~b =λ(~a ×~b), (λ ∈R)
(vi )~a ×~a =~0(vi i )~a.(~a ×~b) =~0
(vi i i )~b.(~a ×~b) =~0(i x)~i .×~i =~0, ~j .×~j =~0, ~k.×~k =~0(x)~i .×~j =~k, ~j .×~k =~i , ~k.×~i =~j
~j .×~i =−~k, ~k.×~j =−~i ,~i .×~k =−~j
dir.
38.28 VektörelÇarpımı Geometrik Yorumları
38.28.1 Diklik
Sekil 38.19: Vektörel Çarpım
Tanım 38.23. Uzayda ~a ile~b vektörleri sıfırdan farklı iseler,
1. ~a ×~b vektörel çarpımı ~a ile~b vektörlerinin olusturdugu düzleme diktir.
2. Düzlemin ~n normalinin yönü sag el kuralına göre belirlenmis ve ~a ile~b
vekörleri arasındaki açı θ (0 ≤ θ ≤π) olmak üzere,
~a ×~b =(|~a|.|~b|sinθ
)dır.
Vektörel çarpım çarpan vektörlerin olusturdugu düzleme dik olduguna
göre her iki vektöre de dik olur. θ = 0 ya da θ = π ise ~a ile~b vektörler par-
alel olurlar:
~a 6=~0, vecb 6=~0 ⇐⇒~a ∥~b ⇔~a ×~b =~0
olur.
38.29 Üçlü Çarpım 633
38.28.2 Alan
~a ×~b vektörel çarpımının uzunlugu ~a ile~b vektörlerinin olusturdugu
paralelkenarın alanına esittir.
Sekil 38.20: Vektörel Çarpım
Tabanı |~a| ve yüksekligi |~b|sinθ olan paralelkenarın alanı A ise,
A = taban× [yükseklik
=~a ×~b| = |~a| (|b|sinθ)
= |~a ×~b|
Örnek 38.24. Köseleri A(1,1,1), B(2,3,4), C (3,0,−1) olan üçgenin alanını
bulunuz.
Çözüm: Üçgenin alanını iki kenarınının olusturdugu vektörlerin
vektörel çarpımının yarısıdır.−→AB = i +2 j +3k ve
−→BC = i −3 j −5k dır.
Buradan
−→AB ×−→
BC =
∣∣∣∣∣∣∣i j k
1 2 3
1 −3 −5
∣∣∣∣∣∣∣=−i +8 j −5k
olur. O halde,
A = 1
2|− i +8 j −5k| = 3
p10
2
38.29 Üçlü Çarpım
~a,~b ve~c vektörlerinin üçlü çarpımı
~a.(~b ×~c) (38.43)
olarak tanımlanır.
Teorem 38.25. ~a.(~b ×~c) üçlü çarpımı ~a,~b ve~c vektörlerinin olusturdugu
prizmanın hacmine esittir.
Sekil 38.21: Vektörel Çarpım
Kanıt:
Prizmanın bir yüzünün alanı (buna taban alanı diyelim) A = |~b ×~c| dir.
veca ile~b×~c arasındaki açı θ olsun. Prizmanın yüksekligi h = |veca||cosθ|olacaktır. Öyleyse, prizmanın hacmi,
V = A.h = |~b ×~c|.|veca|.|cosθ| = |veca.(~b ×~c)|
oacaktır. Vektörlerin koordinatlarcinsinden ifadeleri
~a = a1i +a2 j +a3k, ~b = b1i +b2 j +b3k, ~c = c1i + c2 j + c3k
ise, sözkonusu hacim
V =~a.(~b ×~c) =
∣∣∣∣∣∣∣a1 a2 a3
b1 b2 b3
c1 c2 c3
∣∣∣∣∣∣∣Örnek 38.26. ~a = i +4 j −7k, ~b = 2i − j +4k, ~c =−9 j +18k vektörleri aynı
düzlemdemidirler?
634 Vektörler
Çözüm: Aynı dzlemde olan üç vektörn olusturdugu paralelyüzün
hacmi sıfır olur, çünkü yükseklik sıfırdır. Böyle olup olmadıgına bakalım
V =~a.(~b ×~c) =
∣∣∣∣∣∣∣1 4 −7
2 −1 4
0 −9 18
∣∣∣∣∣∣∣= 0
dır. O halde verilen üç vektör aynı düzlemdedir.
38.30 Alıstırmalar
1. ~a = i −3 j +k vektörüveiliyor. Öyle~b ve~c vektörlrini bulunuz ki ~a, ~b, ~c
vektörleri ikiser ikiser birbirlerine dik olsunlar.
2. ~a = 2i − j +k, ~b = i −3k ise ~a ×~b nedir?
3. Köseleri a(0,2,1), B(3,0,1), C (2,2,1) olan üçgenin alanını bulunuz.
4. ~a = i +k, ~b = 2i + j vektörlerine dik olan birim vekrörü bulunuz.
5. Kenarları ~a = 2i + j +k, ~b = j +k, vr cc = i +k olan paralelyüzün
hacmini bulunuz.
6. ~v = 7 j −4k, ~w = 2i − j +3k ise ~v × ~w vektörel çarpımını bulunuz.
7. Kenarları ~a = i −2 j +3k, ~b = 4i +7 j −11k, 5i +9 j −k ile belirlenen
paralelyüzün hacmini bulunuz.
8. ~a = i + 2 j − k, ~b = −2i + 3k, ~c = 7 j − 4k vrktörleri ile belirlenen
paralelyüzün hacmini bulunuz.
38.31 Uzayda Dogru ve Düzlem
Teorem 38.27. Uzaydaki bir dogru, üzerideki bir nokta ve dogruya paralel
olan bir vektör yardımıyla tek olarak belirlenebilir.
Sekil 38.22: Uzayda dogru
Kanıt: Verilen sabit nokta A(a1, a2, a3), verilen dogru~b dogrulsusu
olsun. ~a = −−→O A diyelim. Uzaydaki d dogrusu üzerinde hareketli bir
R(x, y , z) noktası alalım.~r = −−→OR diyelim.
−→AR ∥~b oldugundan
−→AR = λ~b
olacaktır. O halde r =−−→OR =~a +λ~b çıkar, yani
~r =~a +λ~b
istenen dogrunun vektörel denklemidir.
Dogrunun simetrik denklemini yazmak için, bilesenleri kullanalım.
O noktasından−→AR vektrüne bir ~v =−−→
OQ paralelini çizelim. Q =Q(a,b,c)
olsun. A(a1, a2, a3) ve R(x, y , z) olduguna göre−→AR = (x −a1, y −a2, z −a3)
olur.
x −a1 = at , y −a2 = bt ; z −a3 = ct
yazılabilir. Buradan, t parametresi çekilip degerleri esitlenirse,
x −a1
a= y −a2
b= z −a3
c(38.44)
elde edilr. Bu denklemlere dogrunun simetrik denklemleri adı verilir.
38.32 Iki noktası Verilen Dogru Denklemi 635
Iki boyutlu uzayda dogru denklemini yukarıdak fomülden çıkarabiliriz.
L dogrusu A(a1, a2) noktasından geçiyorsa x = a1 + t a, y = a2 + tb
olacagından ~v 6=~0 oldugunda ya a 6= 0 ya da b 6= 0 olmalıdır. t = x−aa ve
y = y1 + tb’de yerine yazılırsa
y = a2 + b
a(x −a1) (38.45)
elde edilir ki bu düzlemdeki dogru denklemidir.
Örnek 38.28. A(3,−1,2) noktasından geçen ve ~v =−2i +4 j +5k vekörüne
paralel olan dogrunun simetrik denklemini bulunuz.
Çözüm: Verilenler için (38.37) denklemini yazacagız:
−x −3
2= y +1
4= z −2
5
çıkar.
38.32 Iki noktası Verilen Dogru Denklemi
Iki nokta bir dogru belirler. Baska bir deyisle iki noktadan ancak bir dogru
geçer. Bundan yaralanarak dogru üzerindeki A ve B noktaları biliniyora,
dogruyu belirleyebiliriz. Simdi o dogrunun denklemini yazacagız: Verilen
noktalar A(a1, a2, a3) ve B(b1,b2,b3) olsun. ~v = −→AB vektörüne paralel
olan ve A noktasından geçen dogrunun simetrik denklemini biliyoruz.
yinr R(x, y , z) aranan dogtuüzerinde hareketli bir nokta olamak üzere
dogrunun simetrik denklemi
x −a1
b1 −a1= y −a2
b2 −a2= z −a3
b3 −a3(38.46)
olur.
Örnek 38.29. A(3,2,1) ve B(1,3,5) noktalarından geçen dogrunun simetrik
denklemini yazınız.
Çözüm: Verilenler için (38.37) denklemini yazacagız:
x −3
1−3= y −2
3−2= z −1
5−1
çıkar.
Örnek 38.30. A(3,2,−11) ve B(5,−1,1) noktalarından geçen dogrunun
simetrik denklemini yazınız. Dogrunun X = 0 koordinet düzlemi ile
kesisimini bulunuz.
Çözüm: Yukarıdaki formülden,
x −3
1= y −2
−3= z +1
2
olur. Bu denklemde x = 0 alınırsa,
y −2
−3= z +1
2=−3 ⇒ y = 11, z =−7
çıkar. O halde dogrunun x = 0 düzlemini deldigi nokta (0,11,−7) nok-
tasıdır.
636 Vektörler
38.33 Noktanın Dogruya Uzaklıgı
Teorem 38.31. Uzayda bir A(a,b,c) noktasının bir L dogrusuna olan
uzaklıgı, ~v//L ve P noktası ~v üzerinde ise
d = |~v ×−→AB |
|~v | (38.47)
dir.
Sekil 38.23: Noktanın dogruya uzaklıgı
Uzayda bir L dogrusu ile bir P (p, q ,r ) noktası verilsin. Dogru üzerinde
bir A(x0, y0, z0) noktası alalım. ~v vektörü ile−→AP vektörü arasındaki açı
α, 0 ≤α≤π ise,
d = |−→AP |sinα
dır. Buradan,
|~v ×−→AP | = |~v |.|−→AP |sinα
çıkar.
Örnek 38.32. P (5,−3) noktasının 4x +3y −15 = 0 dogrusuna uzaklıgı
nedir?
Çözüm: Dogru üzerinde bir P noktası bulup, uzaklık formülünü
uygulamalıyız.En kolay yol, koordinat eksenlerini kestigi noktaları
bulmaktır. x = 0 konulursa, P (0,5) noktası dogrunun Ox eksenini kestigi
nokta olarak bulunur. α açısının sinüsünü bilmedigimiz için, yukarıdaki
formül ile aynı sonucu vereck olan skaler çarpım uygulanırsa
d = |~h.−→AP ||~h|
= 20−24p16+9
= 4
5
olur.
38.34 Düzlem Denklemi
Sekil 38.24: Kesisen iki dogru bir düzlembelirler
Sekil 38.25: Düzlemin normali
Sekil 38.26: Düzlemin normali
Denklemi aranan düzlem D olsun. P0(x0, y0, z0) düzlem içinde sabit bir
nokta ve P (x, y , z) ise düzlem içinde gezgin bir nokta olsun. Düzlemin
normali (düzleme dik vektör) ~n = ai +b j + ck olsun. ~n normali düzlem
içindeki her dogruya dik oldugundan ~n.−−→P0P = 0 olacaktır.
−−→P0P = (x−x0, y−
y0, z − z0) oldugundan
a(x −x0)+b(y − y0)+ c(z − z0) = 0
dır. Buradan,
ax +by + cz +d = 0, d =−ax0 −by0 − cz0) (38.48)
olur ki bu aranan düzlem denklemidir.
Örnek 38.33. P (2,−1,3) noktasından geçen ve ~n = (3,−7,5) vektörüne dik
olan düzlem denklemini bulunuz.
Çözüm: Aranan düzlemde gezgin bir P (x, y , z) noktası düsünelim.
~n ⊥−−→P0P oldugundan, skaler çarpımları sıfıra esittir:
3(x −2)+ (−7)(y +1)+5(z −3) = 0
Buradan aranan düzlem
3x −7y +5z −28 = 0
olarak çıkar.
38.35 Üç Noktadan Geçen Düzlem Denklemi 637
38.35 Üç Noktadan Geçen Düzlem Denklemi
Örnek 38.34. P1(2,−1,3), P2(1,2,2), P3(−2,1,1) noktalarından geçen
düzlemin denklemini bulunuz.
Çözüm: Üç noktadan bir düzlem geçtigini biliyoruz. Denklemini
aradıgımız düzlem D olsun. Düzlem içinde iki vektörün vektörel çarpımı,
düzleme dik olan bir vektördür.−−−→P1P2 = (−1,3,−1) ve
−−−→P1P3 = (−4,2,−2)
vektörlerinin vektörel çarpımı,
−−−→P1P2 ×−−−→
P1P3 =
∣∣∣∣∣∣∣i j k
−1 3 −1
−4 2 −2
∣∣∣∣∣∣∣=−4i +2 j +10k
olur. Bu vektör D düzlemine dik oldugundan, düzlem içindeki−−−→P1P2 ve−−−→
P1P3 vektörlerine diktir. Öyleyse ~n = (−4,6,10) ve P1(2,−1,3) ’den geçen
düzlem denklemi
−4(x −2)+6(y +1)+10(z −3) = 0
olur ki buradan düzlemin denklemi olarak,
−4x +2y +10z −20 = 0
bulunur.6, 7 6
7
Örnek 38.35. x −2y +3z −6 = 0, 3x +2y −5z −10 = 0 düzlemlerinin
arakesiti olan L dogrusunun denklemini bulunuz.
Çözüm: Düzlemlerin normalleri, sırasıyla, ~n1 = (1,−2,3), ~n2 =(3,2,−5) dir. Arakesit dogrusu her iki düzlem içinde olacagından, her
ikisinin normaline dik olacaktır. Öyleyse, nomallerin vektörel çarpımı
arakesit dogrusuna paralel olur:
~n1 ×~n2 =
∣∣∣∣∣∣∣i j k
1 −2 3
3 2 −5
∣∣∣∣∣∣∣= 4i +14 j +8k
elde edilir. Her iki denklemde z = 0 konularak x y düzlemi ile arakesiti
bulunur.
x −2y = 6, 3x +2y = 10
denklem sitemi elde edilir. Bu sistem çözülürse x = 4, y =−1 bulunur. O
halde, arakesit dogrusu (4,−1,0) noktasından geçmektedir. Dolayısıyla L
nin simetrik denklemix −4
2= y +1
7= z
4olacaktır.
Örnek 38.36. 6x+3y −2z = 0, x+2y +2z = 0 düzlemleri arasındaki açıyı
bulunuz.
Çözüm: Düzlemler arasındaki açı, normaller arasındaki açıya esittir.
Öyleyse, iki normal arasındaki açıyı bulacagız.
~n1 = (6,3,−2), ~n2 = (1,2,2)
638 Vektörler
oldugundan,
cosα= ~n1.~n2
|~n1|.|~n2|= 6(1)+3(2)−2(2)√
62 +32 + (−2)2p
12 +22 +22= 8
21
çıkar.
α= cos−1(8
21) ≈ 67.6o
olur.
38.36 Noktanın Düzleme Uzaklıgı
Sekil 38.27: Noktanın Düzleme Uzaklıgı
Teorem 38.37. Uzayda bir P (x0, y0, z0) noktasının ax +by + cz +d = 0
düzlemine uzaklıgı
d = |ax0 +by0 + cz0 +d |pa2 +b2 + c2
(38.49)
bagıntısı ile verilir.
Kanıt: Düzleme P diyelim. Düzlem içinde her hangi bir nokta
B(x1, y1, z1) olsun. A noktasından düzleme inilen dikmenin ayagına
A′ diyelim. Düzlemin ~n = (a,b,c) normali−−→B A′ vektörüne diktir. A nok-
tasının−−→B A′ dogrusuna olan uzaklık formülünden,
d = ~n ×−−→B A′
|~n| = ~n.−→B A
|~n|olur.
−→B A = (x1 −x0, y1 − y0, z1 − z0) oldugundan,
d = a(x1 −x0)+b(y1 − y0)+ c(z1 − z0)|pa2 +b2 + c2
= |ax0 +by0 + cz0 − (ax1 +by1 + cz1)|pa2 +b2 + c2
olur. B noktası düzlem içinde oldugudan (ax1+by1+cz1) = 0 dır. O halde,
d = |ax0 +by0 + cz0 +d |pa2 +b2 + c2
(38.50)
Örnek 38.38. A(−3,1,5) noktasının 6x −2y +3z = 9 düzlemine uzaklıgını
bulunuz.
Çözüm: (38.49) formülünden,
d = |6(−3)+ (−2)(1)+3(5)−9|√62 + (−2)2 +32
= |−14|7
= 2
çıkar.
Örnek 38.39. Merkezi M(3,2,1)) olan ve 4x +8y + z −2 = 0 düzlemine teget
olsun kürenin denklemini bulunuz.
Çözüm: Küre merkezinin teget düzleme uzaklıgı kürenin r yarıçapıdır:
d = r = |4(3)+8(2)+1(1)−2|p42 +82 +12
= 27
9= 3
olur. Merkezi ve yarıçapı bilinen kürenin denklemi
(x −3)2 + (y −2)2 + (z −1)2 = 9
olur.
Çözüm:
38.37 Alıstırmalar 639
38.37 Alıstırmalar
1. Asagıdaki nokta çiftlerinden geçen dogruların parametrik denklem-
lerini yazınız.
a)P (1,2,−1) Q(−1,0,1)
b)P (0,1,0) Q(0,3,0)
c)P (1,−1,3) Q(2,1,3)
d)P (1,2,0) Q(1,1,−1)
2. P (3,2,1),Q(1,3,2),R(3,2,1) noktalarından geçen düzlemin denklemini
bulunuz.
3. P (3,−2,1) noktasından geçen ve x = 1+2t , y = 2− t , z = 3t dogrusuna
paralel olan dogrunun denklemini yazınız.
4. 2x−3y +5z = 0, 3x+2y −5z+2 = 0 düzlemleri arasındaki açıyı bulunuz.
5.
L1 :x −1
2= y +1
1= z −2
4
dogrusu ile
L2 :x +2
4= y
−3= z − 1
2
−1
dogrusu kesiyorsa, kesisim noktasını bulunuz.
6.
l1 : x =−6− t , y = 20+3t , z = 1+3t ile x = 5+2s, y =−9−4s, z = 1+7s
dogruları kesiyorsa, kesisim noktasını bulunuz.
7. 2x +3y +6z = 18 düzleminin grafigini çiziniz.
8. P (−1,2,2) noktasının 2x −2y − z +5 = 0 düzlemine uzaklıgını bulunuz.
9. Merkezi (x0, y0, z0) noktasında olan ve yarıçapı r olan kürenin genel
denklemini yazınız.
10.
Örnek 38.40. Uzunlugu (boyu) 1 birim olan vektöre birim vektör denilir.
Dolayısıyla birim vektör degiltirç Her dogrultı için bir birim vektör
vardır. ~v he hangi bir vektör ise vecu = 1|vecv | vecv birim vektördür.
Gösteriniz.
11.
veci = (1,0,0), vec j = (0,1,0), veck = (0,0,1)
koordinat vektörlerinin birer birim vektör oldugunu gösteriniz.
12. Her vektörün koordinat vektörlerinin bir dogprusal bilesimi olarak
yazılabilecegini gösteriniz.
640 Vektörler
13. Iki nokta arasındaki uzaklıgın, bu noktaları bitim noktaları olarak
kabul eden yuer vektörlerinin farkının uzunlugudur. Gösteriniz.
14. r yarıçaplı ve merkewzi baslangıç noktasında olan kürenin denklem-
ini yazınız.
15. Merkezi M(−2,4,−6) noktasında olan ve x y düzlemine tegpet olan
kürenin denklemini yazınız.
16. Iki vektör arasındaki açı, geometrik olarak söyle tanımlanır: Vek-
töler kendilerine paralal olarak baslangıç noktaları O(0,0) baslangıç
noktasına kaydırılır. Olusan iki yer vektörünün pozitif yönde mey-
dana getirdikleri iki açıdan küçük olanı vektörler arasındaki açıdır.
Iki vektör arasındaki açı 0 derece ise vektörler paralel olur. vecu
ile vecv vektörleri arasındaki thet a açısı, skaler çarpım cinsinden
vecu = αvecv = |vecv |.|vecu|cosθ ile verilir. vecu ile vecv vektör-
lerinin paralel olması için vecu =αvecv olacak sekilde bir α sayısının
varlıgının gerekli ve yetreli oldugunu gösteriniz.
17. Iki vektör arasındaki açı π2 = 90o ise vektörler birbirlerine diktir.
vecu ile vecv vektörlerinin birbirlerine dik olması için vecu.vecv = 0
olması gerekli ve yeterlidir. Gösteriniz.
|vecu.vecv | ≤ |vecu|.|vecv |Cauchy-Schwartz esitsizligini kanıtlayınız.
18.
|vecu + vecv | ≤ |vecu|+ |vecv |üçgen esitsizligini kanıtlayınız.
19. Çemberin |AB | çapını gören çevre açının dik oldugunu gösteriniz.
20. Yukarıdaki özelik küre için de vardır. Kürenin merkezinden geçen
dogrunu küre ile kesisim noktaları A ve B ise |AB | dogru parçası
kürenin bir çapıdır. Küre üzerindeki bir P noktası düsünelim. ang l e APB
açısının dik oldugunu gösteriniz.
21. Iki vektörün vektörel çarpımının boyunun, olustırdujkları paralelke-
narın alanına esit oldugunu gösteriniz.
22. Düzleme dik olan vektöre dügzlemin normali denilir. Normal dü-
zlem içindeki her dogruya diktir; yani vecn normal, vecPQ düzlem
içindeki bir dogru ise vecn.vecPQ = 0 dır. Bu özeligi kullanarak
normali verilen düzlem denklemini yazınız.
23. A(−2,0,4) ile B(2,4,−2) noktalarından geçen dogrunun parametrik
denklemini yazınız.
24. Verilen bir dogruya pararlel olan ve berilen bir noktadan geçen
dogrunun denklemini yazınız.
Index
üçgen esitsizligi, 625
üçgen esitsizligpi, 640
üçlü çarpım, 631
çemberin çapı, 640
analitik geometri, 618
bilesenlerle islemler, 620
birimsel taban, 618
Cauchy-Schwartz esitsizligi, 640
denklik sınıfı, 613
dik vektörler, 617, 624
diklik, 640
Directional Angles, 617
dogru denklemi, 625, 634
dogrultu açıları, 617
dogrultu kosinüsleri, 617
dogrusal bagımı, 619
dogrusal bagımlı, 619
dot product, 621
esit vektörler, 617
iki vektör arasındaki açı, 623, 640
izdüsüm, 622
kürenin çapı, 640
linearly dependent, 619
linearly independent, 619
nokta (skaler) Çarpım, 621
noktanın dogruya uzaklıgı, 635
normal vektör, 640
orthonormal base, 618
paralel vektörler, 617
parallel vektörler, 640
skaler çarpma, 621
ters vektörler, 617
triple product, 631
Vektör alanı, 613
vektörel çarpım, 631
vektörel çarpımın özelikleri, 632
yer vektörü, 617