Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 1 Alain Gély Autour des implications Unitaires [email protected] Université

Journées Treillis Rochelais – La Rochelle – 30/31 Mai 2007 1

Alain Gély

Autour

des implications Unitaires

http://www.isima.fr/gely/[email protected]

Université d’Auvergne / LIMOS


Plan

Implications unitaires et codage

Implications unitaires et base canonique

Motivations


Motivations - Définitions

Implications

Implications unitaires (ou simple)

J un ensemble d’éléments,

Implication = Couple (X,Y) noté X Y

= {X1 Y1 , X2 Y2 , … , Xi Yi } une famille d’implications

Exemple = { d b, c a, abc d, abd c }

J un ensemble d’éléments,

Implication unitaire = Couple (X,Y) noté X Y , avec |X| = 1

Exemple = { d b , c a, abc d, abd c }


Motivations

Implications simples à calculer

Implications en nombre réduit

Propriétés d’ensembles ordonnés

Déjà l’objet de plusieurs études

Présentes quelque soit la base utilisée


Plan



Motivations


1 23 4

12 13 14 23 24 34

123 234134 124

1234

12

13

1234

24

12

123 124

4

134

3

13

1234

14

3 13 12 1234 4 1234


abcd

bdab

ac

ba

Base d’implications minimum

db, c a,

abc d, abd c Graphe Biparti /

Contexte

Système de fermeture

O((n.N)k) O((n.N)k)


a b c d1 0 1 01 1 0 00 1 0 1


db, c a,

abc d, abd c


Donnée : Un contexte réduit sur les objets(éléments -irréductibles )

Résultat : La base canonique du contexte

a b c d1 0 1 01 1 0 00 1 0 1



Idée n°1 : retrait incrémental

Fait : Soit une base canonique et XY Alors \ { XY} est une base canonique

Principe : 1. Trouver une implication { XY } de 2. Modifier l’entrée pour correspondre à \ { XY }

3. Revenir en 1 avec la nouvelle donnée


?

Modification des données

Retrait incrémental d’implications

??

?

???

?

?

??

?

??

??

?ca

?

?

???

?

?

??

?

??

??

?

-



Quels problèmes peuvent se poser ?

Identification d’une implication de la base

Calcul polynomial de la nouvelle entrée

Explosion de la taille de l’entrée

Facile pour les implications unitaires

Calculer les éléments -irréductibles du nouveau système de fermeture

Cf. exemple


1 2

13 24 25

1234

12345 12 1234245 12345

3 134 245 25

Base de Guigues-Duquenne

4

14

134

Calcul de F’ à partir de F

J



12 1234245 12345

3 135 25Base canonique

J

1 2

13 24 25

1234

12345

5 éléments -irréductibles

4 24



1 2

13 24 25

1234

12345

12 1234245 12345

3 135 25Base canonique

4

14

134

J


4 24

1 2

13 24 25

1234

12345





Exemple d’explosion combinatoire

2 31

14 25 36

7

1 2 3 7

4 5 6

(J,<)




Exemple d’explosion combinatoire

2 n1

{1,n+1} {2,n+2}

2n+1

1 2 n 2n+1

n+1

(J,<)

2n éléments -irréductibles

{n,2n}

n+2 2n


2n + n(n+1) -1 éléments -irréductibles


Après avoir retirer les n implications unitaires

Problème d’efficacité

2n éléments -irréductibles

Donnée initiale



Idée n°2 : Ajouter des implications(contraindre le système)

abcd

bdab

ac

ba

db, c a,

abc d, abd c Graphe Biparti /

Contexte

a b c d1 0 1 01 1 0 00 1 0 1


Ajout d’implications : Contrôler les modifications

??

?

???

?

?

??

?

??

??

?

ca

Modifications inconnues



Ajout de l’implication a b :

{a b} n’est pas forcément une base de Guigues-Duquenne

12 123

12

123

1 23

2313

2 3

12

123

1 23

2313

J 2 23

J



Modification des données d’entrées du problème

ajout d’implications

??

?

???

?

?

??

?

??

??

?

cbcb

??

?

???

?

?

??

?

??

uvxy

?cb

+

C(F) : systèmes de

fermeture - équivalent


124 1234

3 123

124 1234

3 123123

1 2

1214

1234

123

2 1

1224

1234

4 144 24

F F’

3 1234 1234

123

1 2

12

1234

F’’

les systèmes de fermeture - équivalent ne forment pas un système de fermeture




J1

J2

J3 J4

J5

J6 J7

Elément maximal(maximum)

Elément minimaux


Pour tout P P

Caractérisation : -équivalence en ajoutant a b

(i) Si a P alors b P

(ii) Si a P alors b P

(iii) Si a j , j P, alors (jb) ≠ P

Conclusion inchangéeReste un ensemble

quasi-fermé

Reste un ensemble quasi-fermé minimal

a b peut être ajoutée sans modifications de ssi



Caractérisation : relation de couverture dans C(F)

(i’) Pour tout P P , P ≠ a , Si a P alors b P

(ii) Pour tout P P Si a P alors b P

(iii’) Pour tout P P Si a P alors (ab) ≠ P

a b peut être ajouté sans modification de ,

et F’ couvre F dans C(F) ssi


Ces propriétés peuvent être vérifiés en temps polynomial à partir des éléments irréductibles.


Caractérisation : relation de couverture dans C(F)


Propriétés vérifiables en temps polynomial à partir du contexte

Nouveau contexte plus petit


Plan



Motivations

Quelques définitions


c a d b

e aba b

e dc

Implications unitaires et codages

Ø

a b

abe bdac

abcde

Ordre induit par J

a b

e dca b

abe bdac


Implications unitaires et codages

Théorème de Dilworth (décomposition en chaîne)

a b

e dc

a b c d e

a b

e dc

a b c

d

e



Théorème de Dilworth (décomposition en chaîne)

a b

e dc

a b

c d

e

a b

e dc

a b

e d

c

Nombre de chaînes minimal = largeur de l’ordre



Plongement dans un produit de chaînes

a [1,0,0,0,0]

abe

abcd

a b

e dc

b [0,1,0,0,0]

ac [1,0,1,0,0] ab [1,1,0,0,0] bd [0,1,0,1,0]

abd [1,1,0,1,0]

abde [1,1,0,1,1]

abcde [1,1,1,1,1]

abc [1,1,1,0,0]

abce [1,1,1,0,1]

x0

1x

0

1x

0

1x

0

1

0

1

a b c d eCa Cb Cc Cd Ce




a b

e dc

a b c

d

e

a [1,0,0,0]

abe

b [0,1,0,0]

ac [1,0,1,0] ab [1,1,0,0] bd [0,2,0,0]

abd [1,2,0,0]

abde [1,2,0,1]

abcde [1,2,1,1]

abc [1,1,1,0]

abce [1,1,1,1]

abcd [1,2,1,0]

x0

1x

0

1x

0

1

0

1

2

Ca Cbd Cc Ce




a b

e dc

a b

c d

e

a [1,0,0]

abe

b [0,1,0]

ac [2,0,0] ab [1,1,0] bd [0,2,0]

abd [1,2,0]

abde [1,2,1]

abcde [2,2,1]

abc [2,1,0]

abce [2,1,1]

abcd [2,2,0]

x0

1x

0

1

0

1

22

Cac Cbd Ce




a b

e dc

a b

e d

c

a [1,0,0]

abe

b [0,1,0]

ac [1,0,1] ab [1,1,0] bd [0,2,0]

abd [1,2,0]

abde [2,2,0]

abcde [2,2,1]

abc [1,1,1]

abce [2,1,1]

abcd [1,2,1]

x0

1x

0

1

0

1

22

Cae Cbd Cc


a [1,0,0]

abe

b [0,1,0]

ac [1,0,1] ab [1,1,0] bd [0,2,0]

abd [1,2,0]

abde [2,2,0]

abcde [2,2,1]

abc [1,1,1]

abce [2,1,1]

abcd [1,2,1]


a [ 1 , 0 , 0 ]b [ 0 , 1 , 0 ]

ac [ 1 , 0 , 1 ]bd [ 0 , 2 , 0 ]

abcde [ 2 , 2 , 1 ]abe [ 2 , 1 , 0 ]

Ø

a b

abe bdac

abcde


a [1,0,0]

abe

b [0,1,0]

ac [1,0,1] ab [1,1,0] bd [0,2,0]

abd [1,2,0]

abde [2,2,0]

abcde [2,2,1]

abc [1,1,1]

abce [2,1,1]

abcd [1,2,1]


ac [1,0,1]bd [0,2,0]

abe [2,1,0]

Ø

a b

abe bdac

abcde


Ø

a b

abe bdac

abcde

a [1,0,0]

abe

b [0,1,0]

ac [1,0,1] ab [1,1,0] bd [0,2,0]

abd [1,2,0]

abde [2,2,0]

abcde [2,2,1]

abc [1,1,1]

abce [2,1,1]

abcd [1,2,1]

ac [1,0,1] bd [0,2,0]abe [2,1,0]

a [1,0,0] b [0,1,0]

[0,0,0]

abcde [2,2,1]



Ø

a b

abe bdac

abcde

a [1,0,0]

abe

b [0,1,0]

ac [1,0,1] ab [1,1,0] bd [0,2,0]

abd [1,2,0]

abde [2,2,0]

abcde [2,2,1]

abc [1,1,1]

abce [2,1,1]

abcd [1,2,1]

ac [1,0,1] bd [0,2,0]abe [2,1,0]

a [1,0,0] b [0,1,0]

[0,0,0]

abcde [2,2,1]

[Bouchet71]Il existe un -homomophisme de L vers C1x…xCk

ssi (J(L),<) peut être partitionné en k chaînes


L


Ø

a b

abe bdac

abcde

ac [1,0,1] bd [0,2,0]abe [2,1,0]

ac [1,0,1] b [0,1,0]

ac [1,0,0]

abcde [2,2,1]

Seul l’ordre relatif sur les chaînes compte


1 0 1

2 1 0

0 2 0

0.1 0 1.7

5 15 0.3

-2 20 0.3

Connexion de Galois Généralisée

[ E. Diday, R. Emilion, Maximal and stochastic galois lattices,

Discrete Applied Mathematics 127 (2003) 271--284. ]


[2,0]

[1,0]

[2,2]

[0,1]

[0,2]

[0,0]

[1,2]

1 1

1 1 1

1 1

1

2 0

1 2

0 2

0 1


Intérêt :

Avoir une représentation plus compacte


Conclusions

Implications unitaires

Faciles à manipuler

Propriétés d’ensembles ordonnés

Coupes dans l’espace de recherche

Documents

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