24
Journ ´ ee sur les m ´ ethodes particulaires en estimation et commande optimale stochastique (matin) 9h30 - 10h00 : “Introduction aux m ´ ethodes particulaires”, Nadia Oudjane (EDF/R&D, Clamart) 10h00 - 11h00 : “M ´ ethodes de Monte Carlo avec interaction pour l’inf ´ erence statistique des mod ` eles de Markov cach ´ es”, Franc ¸ ois Le Gland (INRIA, Rennes) 11h00 - 11h30 : pause caf ´ e 11h30 - 12h30 : “Algorithmes de filtres particulaires hybrides”, Christian Musso (ONERA, Ch ˆ atillon) 1

Journee´ sur les methodes´ particulaires en estimation et ... · RPF / EKF : mesure d’angle seul 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

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Journee sur les methodes particulaires en estimationet commande optimale stochastique (matin)

9h30 - 10h00 : “Introduction aux methodes particulaires”,

Nadia Oudjane (EDF/R&D, Clamart)

10h00 - 11h00 : “Methodes de Monte Carlo avec interaction pour l’inference

statistique des modeles de Markov caches”,

Francois Le Gland (INRIA, Rennes)

11h00 - 11h30 : pause cafe

11h30 - 12h30 : “Algorithmes de filtres particulaires hybrides”,

Christian Musso (ONERA, Chatillon)

1

Page 2: Journee´ sur les methodes´ particulaires en estimation et ... · RPF / EKF : mesure d’angle seul 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

Journee sur les methodes particulaires en estimationet commande optimale stochastique (apres-midi)

14h00 - 15h00 : “Les methodes particulaires en estimation non lineaire”,

Pierre Del Moral (Universite Paul Sabatier, Toulouse)

15h00 - 15h30 : pause cafe

15h30 - 16h30: “Commande optimale stochastique : des arbres de scenarios

aux methodes particulaires”, Guy Cohen (CERMICS / INRIA)

et Anes Dallagi (CERMICS)

16h30 - 17h00 : Discussions

2

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Introduction aux methodes particulaires

1. Description du filtre optimal

2. Quelques applications

3. Methode particulaires pour le filtrage

3

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1. Description du filtre optimal 4

Le probleme du filtrage

� Processus etat (signal) �� � � � ��� � � �

� � Chaıne de Markov � ��� � �� � � Ex : � � � � �� ��� � ��� � �

� Processus observation �� � � � ��� � ���

� � � ��� � ��� � � � � � �

� Calcul du filtre optimal �� � � � ��� �! � �

� � ��"# � $ % � � � "# & � �' � ( avec � � ' � ��� � �*) ) ) � � � �

Page 5: Journee´ sur les methodes´ particulaires en estimation et ... · RPF / EKF : mesure d’angle seul 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

1. Description du filtre optimal 5

Filtre de prediction et vraisemblance

� Filtre de prediction � � � � ��� � � � ��� �! � �

� � �� � � � � � � ��� � ��"# � $ % � � � "# & � � ' ��� � (

� Fonction de vraisemblance � � � � � ���

� � �# � �� �� � � ��� � �

� � � �� � �� � � avec � � � � � � � �# � � ��� � � � �# � �

Page 6: Journee´ sur les methodes´ particulaires en estimation et ... · RPF / EKF : mesure d’angle seul 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000

1. Description du filtre optimal 6

Evolution du filtre optimal � � � � � � �

� ��� � � � �� � � � � �Prediction

� � � ��� � � � � ��� � ��� �� � � � � �

Correction

� � � � ) � � � ��� �

� Prediction � ��� � � � � � � ��� �

� � � ��� � ��"# � �

� ��� � ��"# �� � �# � "# � �

� � � ��� � � � � ��� �

� Correction � � � ��� � � � � �

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� � � � � ) � � � ��� � �

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1. Description du filtre optimal 7

Filtres approches

� Methodes analytiques

� Kalman optimal dans les cas lineaires gaussiens

� Kalman Etendu cas pas trop non-lineaires et monomodaux

� Methodes numeriques

� Maillage fixe ou adaptatif Kushner, Dupuis (92) / Cai, Le Gland, Zhang (95)

Faible dimension (" � � )

� Methodes de Monte-Carlo

� Filtre Particulaire Del Moral, Rigal et Salut (92)

� Filtre Bootstrap ou SIR Gordon, Salmond et Smith (93)

� Filtre de Monte Carlo Kitagawa (96)

Quasi-insensibilite a la dimension et aux non linearites

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2. Quelques applications 8

Le probleme du pistage

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2. Quelques applications 9

Description du modele de pistage

� Modele d’etat et d’observation �� � � �

� �� � �

���

���

# �� ��# �� �

� �� ��

� �� ��

���

���

��

���

���

# ��# �

� ��

� ��

���

���

� � ��

� ��� � �

��

lineaire

� �

# � � � � � �

� � � � � � �# � ��

� � ��

� ��� � �

��

non lineaire

� But : Estimer � � sachant les observations ��� � �) ) ) � � � �

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2. Quelques applications 10

Application pour le calage du modele a 2 facteurs

� Donnees de prix spot electriques �� � � � ��� � � �0 2e3 4e3 6e3 8e3 10e3 12e3 14e3 16e3 18e3

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

0 8000

280

.

Prix spot LPX

Heures

Eur/Mwh

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2. Quelques applications 11

Application pour le calage du modele a 2 facteurs

� Donnees de prix a terme � ��� � � ��� � � fixe

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2. Quelques applications 12

Application pour le calage du modele a 2 facteurs

� Representation des donnees de prix a terme � ��� � � ��� � � fixe

0

5

10

15

20

25

30

35

Oct 01 Nov 01 Dec 01 Janv 02 Fev 02 Mars 02 Avr 02 Mai 02 Juin 02 Juil 02 Aou 02 Sept 02 Oct 02 Nov 02 Dec 02

τ θ

Préavis de livraison Durée de livraison

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2. Quelques applications 13

Description du modele a 2 facteurs

� Modele a 2 facteurs � � ��� � � ��� � � � �� � ���

������������������ ����������������

�� � � ��� � � � � �

� ��� � � ��� � ��

�� ��� �

� ��� � � � � ���� ��� � �� � � � �

� � � �� � � � � � � � � � �

" � ��

� � � �� " � � � � "� ��

" � ��

� � "� ��

� But : Estimer � � � � � � � � � � sachant les observations ��� � �) ) ) � � � � ou

� � � ��� � � � � � �� � �

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2. Quelques applications 14

Maximum de vraisemblance et filtrage

� Methode : maximum de vraisemblance ��� ��� � �) ) ) � � � �

��� ��� � �) ) ) � � � � �� � ��� � � �� ��� � �*) ) ) � � � �

�� Argmax � ��� ��� � �) ) ) � � � � � � � �

� Calcul de la vraisemblance �� ��� � �) ) ) � � � � par filtrage

� ��� � �) ) ) � � � � �

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��� ��� � �*) ) ) � � � � �

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3. Methodes particulaires pour le filtrage 15

Evolution du filtre optimal � � � � � � �

� ��� � � � �� � � � � �Prediction

� � � ��� � � � � ��� � ��� �� � � � � �

Correction

� � � � ) � � � ��� �

� Prediction � ��� � � � � � � ��� �

� � � ��� � ��"# � �

� ��� � ��"# �� � �# � "# � �

� � � ��� � � � � ��� �

� Correction � � � ��� � � � � �

� � � "# � � � �# � � � � ��� � ��"# �

� � � ��� � ��"� � � � �� �

� � � � � ) � � � ��� � �

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3. Methodes particulaires pour le filtrage 16

Principe du filtre particulaire avec interaction (IPF)

� ���� � � � �� � � � � � � � � � �Prediction

echantillonnee

� �� � ��� � �

� �� � � ���� � � ��� �� � � � � �

Correction

� �� � � ) � �� � ��� �

� Prediction echantillonnee

� �� � ��� � ��

��� �

� � �� � ��� � avec � � �� � ��� � �*) ) ) � � �� � ��� � � � � � � ���� �

� Correction

� �� �

�� �� �� � � �� � ��� �

avec � �� � � � � �� � ��� � �

��� �

� � � � �� � ��� � �

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3. Methodes particulaires pour le filtrage 17

Filtre particulaire avec interaction (IPF)

�������� � ���� ��� ����� � ��� ���Prediction

echantillonnee

������������ � � ����� � ���������� � � �!� ��� �"�Correction

���� � # ��$ ������%�&���

')(*,+.- / 021 -*,+3-547698:�; 8=< :�;?>A@ BCBDBE@ 1 (*,+3-F4 6!G:�; 8=< :�;?>EH

(1.a) I Echantillonnage I02J -*,+3-LK BDBCB J (*,+.- H

(1.b) I Evolution M * I

'3(*ONP*,+3- / 0QR 4 698: < :�; 8 @ BDBCBE@

QR 4 6 G: < :�; 8 H

(2) I Correction S * I

1UT* V W *YX J�T*ONP*,+3-9Z

' (* / 021 -* 47698: < :�; 8 @ BDBCB.@ 1 (* 4 6 G: < :�; 8 H

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3. Methodes particulaires pour le filtrage 18

Regularisation

� Noyau de regularisation (d’ordre 2) �

� � � � � # � � � &# �# � & � ��

� Noyau dilate � � � � �# � ��� � �#� �

� � � � �� ��� Regularisation� � � � � � � � �� � � � � � � � � � �) � � � �

W1

W2

W3

W4

W5 <−−−−−− POIDS

<−−−−−−−− ECHANTILLON

<−−−−−−−− NOYAUX

<−−−−−−−− DENSITE ESTIMEE

<−−−−−−−− ECHANTILLON

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4. Resultats de simulations 19

RPF / EKF : mesure de distance et d’angle

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

5

10

15

20

25

TEMPS (s)

BIA

IS E

N X

(m

)

L2RPFEKF

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

20

40

60

80

100

120

140

TEMPS (s)

EC

AR

T-T

YP

E E

N X

(m

)

BCRL2RPFEKF

Biais en� Ecart–type�

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4. Resultats de simulations 20

RPF / EKF : mesure d’angle seul

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

BIA

IS E

N Y

(m

)

TEMPS (s)0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

TEMPS (s)

EC

AR

T−

TY

PE

EN

Y (

m/s

)

POST−RPFBCR

Biais en� Ecart–type en�

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4. Resultats de simulations 21

RPF / IMM : cible manœuvrante (1)

−10 0 10 20 30 40 50 60 7010

20

30

40

50

60

70

80

90

OR

DO

NN

EE

S (

km)

ABSCISSES (km)

← NUAGE DE PARTICULES

POST−RPFETAT IMM

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

TEMPS (s)

PR

OB

AB

ILIT

E E

ST

IME

E D

U M

OD

EL

DE

RO

TA

TIO

N

POST−RPFIMM

Trajectoires reelle et estimees Probabilite du model de rotation

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4. Resultats de simulations 22

RPF / IMM : cible manœuvrante (2)

180 200 220 240 260 280 300 320 340 3600

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

TEMPS (s)

BIA

IS D

E L

A V

ITE

SS

E A

NG

ULA

IRE

(ra

d/S

)

180 200 220 240 260 280 300 320 340 3600

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

TEMPS (s)

EC

AR

T−

TY

PE

DE

LA

VIT

ES

SE

AN

GU

LAIR

E (

rad/

S)

Biais de la vitesse angulaire Ecart–type de la vitesse angulaire

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Annexes 23

“Richesse d’une transition”

� Prediction � � � �� � � � �

�� � � � � � � �� � � � � � � � �� Oubli du passe

� Correction

�� � � � � �

��� � � ��� � � � � �� � Gain d’information

Yn

<−−−−−−−−−−−−−−−− VRAISEMBLANCE

<−−−−−−−−− PREDICTION

Yn

<−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− VRAISEMBLANCE

<−−−−−−−−− PREDICTION

Observation precise / � � � � � Observation incoherente / � � � � �

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Annexes 24

Faiblesses de l’IPF

� Faible bruit d’etat ( � � � � ) � Faible bruit d’observation (

�� � � � )

��� ������ ���

��� ���

� �

��� ��� � ���

��� ���

��� ���

��� ������ ���

��� ���

��� ���

��� ������ ������ � !�! "�" T=0

T=1

T=2

T=3