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Journee sur les methodes particulaires en estimationet commande optimale stochastique (matin)
9h30 - 10h00 : “Introduction aux methodes particulaires”,
Nadia Oudjane (EDF/R&D, Clamart)
10h00 - 11h00 : “Methodes de Monte Carlo avec interaction pour l’inference
statistique des modeles de Markov caches”,
Francois Le Gland (INRIA, Rennes)
11h00 - 11h30 : pause cafe
11h30 - 12h30 : “Algorithmes de filtres particulaires hybrides”,
Christian Musso (ONERA, Chatillon)
1
Journee sur les methodes particulaires en estimationet commande optimale stochastique (apres-midi)
14h00 - 15h00 : “Les methodes particulaires en estimation non lineaire”,
Pierre Del Moral (Universite Paul Sabatier, Toulouse)
15h00 - 15h30 : pause cafe
15h30 - 16h30: “Commande optimale stochastique : des arbres de scenarios
aux methodes particulaires”, Guy Cohen (CERMICS / INRIA)
et Anes Dallagi (CERMICS)
16h30 - 17h00 : Discussions
2
Introduction aux methodes particulaires
1. Description du filtre optimal
2. Quelques applications
3. Methode particulaires pour le filtrage
3
1. Description du filtre optimal 4
Le probleme du filtrage
� Processus etat (signal) �� � � � ��� � � �
� � Chaıne de Markov � ��� � �� � � Ex : � � � � �� ��� � ��� � �
� Processus observation �� � � � ��� � ���
� � � ��� � ��� � � � � � �
� Calcul du filtre optimal �� � � � ��� �! � �
� � ��"# � $ % � � � "# & � �' � ( avec � � ' � ��� � �*) ) ) � � � �
1. Description du filtre optimal 5
Filtre de prediction et vraisemblance
� Filtre de prediction � � � � ��� � � � ��� �! � �
� � �� � � � � � � ��� � ��"# � $ % � � � "# & � � ' ��� � (
� Fonction de vraisemblance � � � � � ���
� � �# � �� �� � � ��� � �
� � � �� � �� � � avec � � � � � � � �# � � ��� � � � �# � �
1. Description du filtre optimal 6
Evolution du filtre optimal � � � � � � �
� ��� � � � �� � � � � �Prediction
� � � ��� � � � � ��� � ��� �� � � � � �
Correction
� � � � ) � � � ��� �
� Prediction � ��� � � � � � � ��� �
� � � ��� � ��"# � �
� ��� � ��"# �� � �# � "# � �
� � � ��� � � � � ��� �
� Correction � � � ��� � � � � �
� � � "# � � � �# � � � � ��� � ��"# �
� � � ��� � ��"� � � � �� �
� � � � � ) � � � ��� � �
1. Description du filtre optimal 7
Filtres approches
� Methodes analytiques
� Kalman optimal dans les cas lineaires gaussiens
� Kalman Etendu cas pas trop non-lineaires et monomodaux
� Methodes numeriques
� Maillage fixe ou adaptatif Kushner, Dupuis (92) / Cai, Le Gland, Zhang (95)
Faible dimension (" � � )
� Methodes de Monte-Carlo
� Filtre Particulaire Del Moral, Rigal et Salut (92)
� Filtre Bootstrap ou SIR Gordon, Salmond et Smith (93)
� Filtre de Monte Carlo Kitagawa (96)
Quasi-insensibilite a la dimension et aux non linearites
2. Quelques applications 8
Le probleme du pistage
2. Quelques applications 9
Description du modele de pistage
� Modele d’etat et d’observation �� � � �
� �� � �
���
���
# �� ��# �� �
� �� ��
� �� ��
���
���
��
���
���
# ��# �
� ��
� ��
���
���
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� ��� � �
��
lineaire
� �
# � � � � � �
� � � � � � �# � ��
� � ��
� ��� � �
��
non lineaire
� But : Estimer � � sachant les observations ��� � �) ) ) � � � �
2. Quelques applications 10
Application pour le calage du modele a 2 facteurs
� Donnees de prix spot electriques �� � � � ��� � � �0 2e3 4e3 6e3 8e3 10e3 12e3 14e3 16e3 18e3
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
1000
0 8000
280
.
Prix spot LPX
Heures
Eur/Mwh
2. Quelques applications 11
Application pour le calage du modele a 2 facteurs
� Donnees de prix a terme � ��� � � ��� � � fixe
2. Quelques applications 12
Application pour le calage du modele a 2 facteurs
� Representation des donnees de prix a terme � ��� � � ��� � � fixe
0
5
10
15
20
25
30
35
Oct 01 Nov 01 Dec 01 Janv 02 Fev 02 Mars 02 Avr 02 Mai 02 Juin 02 Juil 02 Aou 02 Sept 02 Oct 02 Nov 02 Dec 02
τ θ
Préavis de livraison Durée de livraison
2. Quelques applications 13
Description du modele a 2 facteurs
� Modele a 2 facteurs � � ��� � � ��� � � � �� � ���
������������������ ����������������
�� � � ��� � � � � �
� ��� � � ��� � ��
�� ��� �
� ��� � � � � ���� ��� � �� � � � �
� � � �� � � � � � � � � � �
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� � "� ��
� But : Estimer � � � � � � � � � � sachant les observations ��� � �) ) ) � � � � ou
� � � ��� � � � � � �� � �
2. Quelques applications 14
Maximum de vraisemblance et filtrage
� Methode : maximum de vraisemblance ��� ��� � �) ) ) � � � �
��� ��� � �) ) ) � � � � �� � ��� � � �� ��� � �*) ) ) � � � �
�� Argmax � ��� ��� � �) ) ) � � � � � � � �
� Calcul de la vraisemblance �� ��� � �) ) ) � � � � par filtrage
� ��� � �) ) ) � � � � �
�� � � � �� � �� �� � ��� � � $ ��� � � "# &� �� � �) ) ) � � � �
��� ��� � �*) ) ) � � � � �
�� � � � �� � �# � � � � � �� � ��"# �
3. Methodes particulaires pour le filtrage 15
Evolution du filtre optimal � � � � � � �
� ��� � � � �� � � � � �Prediction
� � � ��� � � � � ��� � ��� �� � � � � �
Correction
� � � � ) � � � ��� �
� Prediction � ��� � � � � � � ��� �
� � � ��� � ��"# � �
� ��� � ��"# �� � �# � "# � �
� � � ��� � � � � ��� �
� Correction � � � ��� � � � � �
� � � "# � � � �# � � � � ��� � ��"# �
� � � ��� � ��"� � � � �� �
� � � � � ) � � � ��� � �
3. Methodes particulaires pour le filtrage 16
Principe du filtre particulaire avec interaction (IPF)
� ���� � � � �� � � � � � � � � � �Prediction
echantillonnee
� �� � ��� � �
� �� � � ���� � � ��� �� � � � � �
Correction
� �� � � ) � �� � ��� �
� Prediction echantillonnee
� �� � ��� � ��
��� �
� � �� � ��� � avec � � �� � ��� � �*) ) ) � � �� � ��� � � � � � � ���� �
� Correction
� �� �
�� �� �� � � �� � ��� �
avec � �� � � � � �� � ��� � �
��� �
� � � � �� � ��� � �
3. Methodes particulaires pour le filtrage 17
Filtre particulaire avec interaction (IPF)
�������� � ���� ��� ����� � ��� ���Prediction
echantillonnee
������������ � � ����� � ���������� � � �!� ��� �"�Correction
���� � # ��$ ������%�&���
')(*,+.- / 021 -*,+3-547698:�; 8=< :�;?>A@ BCBDBE@ 1 (*,+3-F4 6!G:�; 8=< :�;?>EH
(1.a) I Echantillonnage I02J -*,+3-LK BDBCB J (*,+.- H
(1.b) I Evolution M * I
'3(*ONP*,+3- / 0QR 4 698: < :�; 8 @ BDBCBE@
QR 4 6 G: < :�; 8 H
(2) I Correction S * I
1UT* V W *YX J�T*ONP*,+3-9Z
' (* / 021 -* 47698: < :�; 8 @ BDBCB.@ 1 (* 4 6 G: < :�; 8 H
3. Methodes particulaires pour le filtrage 18
Regularisation
� Noyau de regularisation (d’ordre 2) �
� � � � � # � � � &# �# � & � ��
� Noyau dilate � � � � �# � ��� � �#� �
� � � � �� ��� Regularisation� � � � � � � � �� � � � � � � � � � �) � � � �
W1
W2
W3
W4
W5 <−−−−−− POIDS
<−−−−−−−− ECHANTILLON
<−−−−−−−− NOYAUX
<−−−−−−−− DENSITE ESTIMEE
<−−−−−−−− ECHANTILLON
4. Resultats de simulations 19
RPF / EKF : mesure de distance et d’angle
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
5
10
15
20
25
TEMPS (s)
BIA
IS E
N X
(m
)
L2RPFEKF
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
20
40
60
80
100
120
140
TEMPS (s)
EC
AR
T-T
YP
E E
N X
(m
)
BCRL2RPFEKF
Biais en� Ecart–type�
4. Resultats de simulations 20
RPF / EKF : mesure d’angle seul
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
BIA
IS E
N Y
(m
)
TEMPS (s)0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
9000
10000
TEMPS (s)
EC
AR
T−
TY
PE
EN
Y (
m/s
)
POST−RPFBCR
Biais en� Ecart–type en�
4. Resultats de simulations 21
RPF / IMM : cible manœuvrante (1)
−10 0 10 20 30 40 50 60 7010
20
30
40
50
60
70
80
90
OR
DO
NN
EE
S (
km)
ABSCISSES (km)
← NUAGE DE PARTICULES
POST−RPFETAT IMM
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 5000
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
TEMPS (s)
PR
OB
AB
ILIT
E E
ST
IME
E D
U M
OD
EL
DE
RO
TA
TIO
N
POST−RPFIMM
Trajectoires reelle et estimees Probabilite du model de rotation
4. Resultats de simulations 22
RPF / IMM : cible manœuvrante (2)
180 200 220 240 260 280 300 320 340 3600
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
TEMPS (s)
BIA
IS D
E L
A V
ITE
SS
E A
NG
ULA
IRE
(ra
d/S
)
180 200 220 240 260 280 300 320 340 3600
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
TEMPS (s)
EC
AR
T−
TY
PE
DE
LA
VIT
ES
SE
AN
GU
LAIR
E (
rad/
S)
Biais de la vitesse angulaire Ecart–type de la vitesse angulaire
Annexes 23
“Richesse d’une transition”
� Prediction � � � �� � � � �
�� � � � � � � �� � � � � � � � �� Oubli du passe
� Correction
�� � � � � �
��� � � ��� � � � � �� � Gain d’information
Yn
<−−−−−−−−−−−−−−−− VRAISEMBLANCE
<−−−−−−−−− PREDICTION
Yn
<−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− VRAISEMBLANCE
<−−−−−−−−− PREDICTION
Observation precise / � � � � � Observation incoherente / � � � � �
Annexes 24
Faiblesses de l’IPF
� Faible bruit d’etat ( � � � � ) � Faible bruit d’observation (
�� � � � )
��� ������ ���
��� ���
� �
��� ��� � ���
��� ���
��� ���
��� ������ ���
��� ���
��� ���
��� ������ ������ � !�! "�" T=0
T=1
T=2
T=3