JOURNAL - tu-plovdiv.bg4)A_709.pdf · в областта на управлението, още повече и предопределена от възможностите на изчис-лителната

Copyright © 2006 by Technical University at Plovdiv, Plovdiv, BULGARIA. ISSN 1310 - 8271

JOURNAL

OF THE TECHNICAL UNIVERSITY AT

PLOVDIV, BULGARIA

FUNDAMENTAL SCIENCES AND APPLICATIONS

VOL. 13 (4) 2006

ANNIVERSARY SCIENTIFIC CONFERENCE 2006

THE SCIENTIFIC REPORTS

Automation

- 2 -

ORGANIZING COMMITTEE Conference Co-chairs: Prof. Kamen Veselinov, PhD Rector of TU - Sofia Prof. Dimitar Katsov, PhD Director of the Plovdiv

Branch of TU - Sofia Members: Prof. DSc Vassili Loumos Greece Prof. DSc Mark Himbert France Prof. DSc Panayiotis Frangos Greece Prof. DSc Reinhart Verschoore Belgium Prof. DSc Yasser Alayly France Prof. Dr. Dr.h.c.mult. Uwe Heisel Germany Acad. Prof. DSc Yuri Kuznetsov Ukraine Prof. DSc Alexander Tsiganenko Russia Prof. DSc Victor Baranov Russia Prof. DSc Edward Evreinov Russia Prof. DSc Okyay Kaynak Turkey Acad. Prof. DSc Kiril Boianov Bulgaria Corr. Memb. Prof. DSc Mincho Hadjiski Bulgaria Corr. Memb. Prof. DSc Petko Petkov Bulgaria Prof. DSc George Popov Bulgaria Prof. DSc Marin Nenchev Bulgaria Prof. DSc Mincho Minchev Bulgaria Prof. Angel Vachev, PhD Bulgaria Prof. George Stoianov, PhD Bulgaria Prof. Drumi Bainov, PhD Bulgaria Assoc. Prof. Pepo Yordanov, PhD Bulgaria Assoc. Prof. Valentin Kirchev, PhD Bulgaria Assoc. Prof. Kostadin Iliev, PhD Bulgaria Assoc. Prof. Valyo Nikolov, PhD Bulgaria Assoc. Prof. Peyo Stoilov, PhD Bulgaria


- 3 -

CONTENTS Page NIKOLOVA N.G, E.K. NIKOLOV RATIONAL APPROXIMATIONS OF IRRATIONAL FUNCTION – I ……………………………… .

5 NIKOLOVA N.G, E.K. NIKOLOV RATIONAL APPROXIMATIONS OF IRRATIONAL FUNCTION – I I …………………………….. 15 NIKOLOVA N.G, E.K. NIKOLOV RATIONAL APPROXIMATIONS OF IRRATIONAL FUNCTION – I I I…………………………….. 25ANDREY YONCHEV, MIHAIL KONSTANTINOV, PETKO PETKOV PERTURBATION ANALYSIS OF THE DISCRETE-TIME H∞ LMI BASED SYNTHESIS PROBLEM………………………………...………………………………………………………………… 37ANDREY YONCHEV, MIHAIL KONSTANTINOV, PETKO PETKOV SENSITIVITY ANALYSIS OF THE DISCRETE-TIME H∞ RICCATI BASED SYNTHESIS PROBLEM………………………………………………………….……………………………….………. 45 LUCHEZAR TOMOV, EMIL GARIPOV ALGORITHMS FOR DIRECT TUNNING OF CONTINUOUS ANALOGUE PID CONTROLLERS WITH GUARANTED STABILLITY AND QUALITY ….………………………………………...…… 53 LUCHEZAR TOMOV MATRIX METHOD FOR GENERALIZED DISCRETIZATION OF TRANSFER FUNCTIONS TRHOUGH FORMAL REPLACEMENT WITH FIRST ORDER OPERATOR 61MILKA UZUNOVA PLANT PARAMETERS VARIATION INFLUENCE ON THE QUALITY PERFORMANCE IN FRACTIONAL CONTROL SYSTEM ……………………...……………………………................……. 69

MILENA LYUBENOVA, VESSELA KARLOVA ANALYSIS OF DYNAMIC SYSTEMS WITH VARIABLE PARAMETERS IN LAPLACE PLANE.... 77 DIMITER PANDOV, KOSTADIN KOSTOV APPLIED MIGO APPROACH FOR THE SYNTHESIS OF CONTROLLERS WITH FIXED STRUCTURE ………………………………………...……………………………………………………… 83 DARINA MARINOVA, VESSELA KARLOVA, STANISLAV ENEV FREQUENCY DOMAIN ANALYSIS OF SENSITIVITY OF DYNAMIC SYSTEMS……………….. 93 TODOR IONKOV, EVTIM IONCHEV ADAPTIVE OBSERVER FOR SENSORLESS CONTROL OF INDUCTION MOTOR….................. 101 GEORGI GEORGIEV, RUMEN RAINOV APPLICATION OF ELECTROMOTORS IN DRIVE SYSTEMS FOR SERVICE ROBOTS……..… 115 PUMEN RAINOV, VLADIMIR HRISTOV INFLUENCING THE DERIVATIVE ON THE PICKUP ON THE PRODUCTIVENESS OF THE PRODUCTION MECHANISNS WITH CYCLIC MANNER OF WORK……………………………..

125 KRUM P. KUTRYANSKI, BOZHIL R. MIHAJLOV OPTIMIZATION OF ELECTRIC DRIVES SYSTEM WITH PERMANENT MAGNET SYNCHRONOUS MOTORS ………………………………………………………………………………. 137

- 4 -

GALIN DASKALOV, BOZHIL MIHAJLOV DYNAMICAL MODEL OF PERMANENT MAGNET SYNCHRONOUS MOTORS ………………..

143 IVAN KOSTOV, RUMEN MISHKOV OPTIMIZATION OF A CLASS OF INDUCTION DRIVES WITH RESPECT TO EFFICIENCY AND POWER FACTOR ………...........................................................................................................…… 153 CHAVDAR DAMYANOV, VESELIN NACHEV PROBABILISTIC NEURAL CLASSIFIERS………………………………………………………………. 169 NIKOLA GINOV AN AUTOMATIC CONTROL SYSTEM OF THE FUMIGATION OF BULK STORED GRAIN IN SILO……………………………………………………………………………………………………………. 175 BORISLAV PENEV A PROOF OF ONE PROPERTY OF A CLASS OF LINEAR TIME OPTIMAL CONTROL PROBLEMS…………………………………………………………………………………………………… 181 ANDON TOPALOV , SEVIL AHMED, NIKOLA SHAKEV AN ALGORITHM BASED ON SLIDING MODE CONTROL THEORY FOR ON-LINE LEARNING IN FUZZY-NEURAL NETWORKS ……………………………………………………………………….. 187 ALBENA TANEVA, MICHAIL PETROV, IVAN IVANOV, MILKO PORYAZOV WEB BAZED APPLICATION AND PLC’S COMMUNICATION FOR MONITORING AND CONTROL …………………………………………………………………………………………………… 199 MICHAIL PETROV, IVAN GANCHEV, ALBENA TANEVA, MARGARITA TERZJISKA NONLINEAR MODEL PREDICTIVE CONTROL OF AN EVAPORATOR SYSTEM: A CASE STUDY ………………………………………………………………………………………………………… 205 VASSILIY CHITANOV FUZZY MODEL PREDICTIVE CONTROL FOR TEMPERATURE MIXTURE OF POLYMER REACTOR ……………………………………………………………………………………………………. 217 ZAHARI KAVROSHILOV, ALEKSANDAR VUCHEV INVESTIGATION OF SYSTEM FOR „AIR – FUEL” RATIO CONTROL……………………………. 223 ZAHARI KAVROSHILOV, ALEKSANDAR VUCHEV INVESTIGATION OF SYSTEM FOR FLOW RATIO CONTROL…………..…………………………. 230 NASKO ATANASOV MODIFICATION OF S, H AND W ALGORITHMS FOR RECURSIVE COMPUTATION OF GM ESTIMATES FOR THE PARAMETERS OF LINEAR DYNAMICAL SYSTEM 237 NASKO ATANASOV APPLICATION OF SCHWEPPE’S GM-ESTIMATORS FOR CLOSED-LOOP IDENTIFICATION USING THE JOINT INPUT-OUTPUT APPROACH 247 YORDAN BADEV COСONTROLER USING STATE VARIABLES TO STABILIZE THE SPEAD OF DC MOTOR 257 DIANA TSANKOVA, SVETLA LEKOVA CHAOS BASED MODIFICATION OF RANDOM SEARCH METHOD LOCATING GLOBAL OPTIMUM OF FUNCTION 263 NIKOLAY PETKOV TUNING AND AUTO-TUNING OF CONTROLLERS – A SURVEY 273


- 5 -

©Journal of the Technical University at Plovdiv “Fundamental Sciences and Applications”, Vol. 13(4), 2006 Anniversary Scientific Conference’ 2006 BULGARIA

RATIONAL APPROXIMATIONS OF IRRATIONAL FUNCTION-I

NINA NIKOLOVA, EMIL NIKOLOV

Abstract: The following paper aims are a new method approximation of a rational quotient of polynomials is used for modeling the non-rational transfer function of a delay. Approximation is achieved by the use a Taylor, Maclaurin and Padé series expansion and Butterworth, Bessel and Chebyshev polynomials. Calculation of the Bessel functions and calculation of Chebyshev orthogonal function is proposed. Frequency characteristics and Step Response of models are graphically represented and analyzed is given. Key words: Delay rational approximation; Taylor-, Maclaurin-, Padé-, Chain-, Butterworth-, Bessel-, Chebyshev Approximation, Magnitude/Phase Response, Stability, Step Response

РАЦИОНАЛНИ АПРОКСИМАЦИИ НА ИРАЦИОНАЛНИ ФУНКЦИИ - I

1. Въведение. Аналитичното моделиране на закъснението в индустриалните обекти за

автоматизация като динамични системи, винаги е интересен и основен въпрос за всички етапи от развитието на теорията на автоматичното управление. Подходите за описанието на този феномен следват естественото развитие на свързаните с това съответни области в математиката и математическата физика. Приложните резултати от изследванията в това направление са пряко свързани с: моделирането и анализа на обектите за управление; синтеза и анализа на системите за тяхното управление. Проблемът на моделирането на закъснението, е определен от затрудненията на аналитичното описание на ирационални функции. Реални резултати, способстващи ефективно за неговото решаване на нов етап, се появиха през последните години с развитието на фракталния математически анализ, операторите за фрактално интегриране и диференциране и свързаните с тях специални математически функции [7,13,15]. Това логично доведе и до повишаване ефективността и приложимостта на редица методи от теорията на апроксимацията - област, функционално свързана с нови решения на описанието на закъснението като физически феномен. От тази гледна точка, обектът на изследване на настоящата разработка се определя с конкретни решения, свързани с рационални апроксимации на ирационални функции. Акту-алността на проблематиката е съществена и непрекъснато отразявана в научна област (системи със закъснение). Недвусмислено е определена и с адекватността на решенията в областта на управлението, още повече и предопределена от възможностите на изчис-лителната техника както за моделиране, симулация и изследване, а така и за целите на реалното управление. И теоретичното развитие, и реалната ефективност на редица подходи за управление с различаващи се стратегии (модалното управление с наб-

- 6 -

людатели; подходите за робастното, фракталното, адаптивното, предиктивното, репети-тивното и интелигентното управление с вътрешен модел на обекта; моделно базираното управление и др.) са пряко свързани с използваните модели на закъснението. Някои от подходите третират неадекватността на този аналитичен модел като априорна неопре-деленост в обекта. И теорията на дискретните системи също е свързана с предварител-ната адекватна информация за закъснението и с неговото моделиране. От друга страна е известно, че някои от до сега намиралите приложение в инженерната практика модели на закъснението са неустойчиви динамични системи. Анализ на тези модели за първи път бе публикуван от B. Kuo [11.12]. Целта на настоящата работата е да сис-тематизира и паралелно да анализира добре известни, малко известни и нови методи и алгоритми за аналитично моделиране на закъснението. Задачите в изпълнение на тази цел са: описание на методите за рационални апроксимации на ирационални функции и на алгоритмите за апроксимация; изчисление и систематизация на конкретните модели с цел тяхното инженерно практическо приложение, в това число изчисляване на: Taylor-, Maclaurin-, Padé-, Butterworth степенни редове от симетричен и неси-метричен тип; Bessel- полиноми; ортогонални Chebyshev- полиноми от първи и втори тип; моделиране, симулиране и сравнителен анализ на свойствата и особеностите на характеристиките на предлаганите апроксимации.

2. Постановка на задачата. Възможностите за апроксимация на ирационални функции (в това число и на

експоненциалните ирационални функции) са в две направления - с помощта на непрекъснати рационални функции от пълен ред (или непълен ред -фрактални) и с дискретни функции. Съществуващите в това направление [14,15] методи използват еквивалентните на „оригиналната” ирационалната функция: разложения в симетрични или несиметрични отворени (безкрайни) и/или крайно-мерни (затворени) степенни редове; разложения с помощта на безкрайни верижни дроби и последващо трансформиране в степенен ред; регулярна или ортогонална полиномиална апроксимация; трансформации с помощта на специални математически функции от функционалния математически анализ и/или фракталния математически анализ.

Настоящата работа си поставя задачата да систематизира методите и алгоритмите за апроксимация с непрекъснати функции от пълен ред, като сведе крайните резултати до инженерни приложения във вид на директно приложими регулярни монотонни хомогенни полиноми от n -ти ред.

3. Аналитични модели на закъснението. Апроксимации. 3.1. Апроксимация с формула на Euler [4,8,14]. Формулата е показана с (1)

( ) ( )xnisjxsoce xj −= (1),

където ( ) ( )( ) ( )1j,xnisjxsocnlxj −=−= (2). Зависимостта (1) е получена въз основа разложението на ирационалната експоненци-ална функция (1) в ред (3), където ( )xΓ е гама-функция

( )( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )xnisjxsocn2

x1j

1n2

x1

1n

xje

1n

1n21n

0n

n2n

0n

n

xj −=−

++

−=

+= ∑∑∑

∞

=

−−∞

=

∞

= ΓΓΓ (3).

Традиционно използваният модел (4) на закъснението τ в теорията на управлението следва (1) ( ) ( )τωτωτω nisjsoce j −=− (4), където ω е честота в характеристиката на динамичната система (5), наречена „звено със закъснение” ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )τωωωτωτωω τω −=∠=−== − jW;1jW,nisjsocejW j (5), представено и с предавателната си функция (6), където p е операторът на Laplace


- 7 -

( ) ( )1j,jp,epW p −=+== − ωδτ (6). 3.2. Апроксимация с формула на Euler-Wallis [4,8,14]. В този случай е

използвана формулата на Wallis (7) ÷ (8), с помощта на която (5) е трансформирана до (9), наречена формула на Euler-Wallis

( )( )∏∞

=

−−=

1n

1222 nx1xxnis π (7), ( ) ( ) ( ) ( )( )∏∞

=

−−=

1n

1222 n1nis πτωτωτω (8),

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= ∏∏

∞

=

−∞

=

−−

1n

1222

2

1n

1222j n1jn11e πτωτωπτωτωτω (9).

Зависимостите (4), (5), (9) представляват „оригиналната” ирационална функция. Тя е обектът на разглежданите апроксимации на нейните честотни характеристики (5) в разделите 3.3 ÷ 3.12 в работата.

3.3. Апроксимация с едномерен ред на Taylor [4,8,11,12,14]. Известен е редът (10) за разлагане непрекъснатата диференцируема функция ( )xf по производните

( ) ( )xf i до n -ти ред ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfax!n....xfax!2xfax!1afˆxf nn122111 −++−+−+= −−− (10).

Приложен към показателната функция ( ) xexf = , редът на Taylor (10) я представя еквивалентно с (11) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∞<<∞−+−+−+−+−+= −−− x,...ax24ax6ax2ax1eê 413121ax (11), където a е една възможна стойност на аргумента x . Разложението на закъснението τpe − (6) е показано с (12) ÷ (13), където: p -оператор на Laplace, k -брояч на генериращата функция, Γ -гама-функция ( ) ( )( ) ( )ωσΓτ

ττ jp,1kap1e

e1ê

1n

0k

1kap

p +=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+≡=

−

=

−− ∑ (12),

( ) ( ) ( )( ) ( )ωσΓττ jp,1n,1kap1epRê1n

0k

1kan,0

p +=≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+≡=

−

=

−− ∑ (13).

Трансформирана и изчислена до 10-ти ред с еквивалентни полиноми, апроксимацията на закъснението τpe − (6) с едномерен ред на Taylor (13) е показана в Табл.1.

3.4. Апроксимация с едномерен ред на Maclaurin [4,8,11,12,14]. Редът (14) на Maclaurin предоставя възможност за разлагане на непрекъсната диференцируема функция ( )xf по нейните производни до n -ти ред като се отличава от реда на Taylor (10) само по „центъра” на апроксимацията (в случая 0a= ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xf!n0x....xf!20xxf!10x0fˆxf n1n21211 −−− −++−+−+= (14). Приложен към показателната функция ( ) xexf = , редът на Maclaurin (14) я представя с (15) ÷ (16) ( ) ( ) ( )( ) ( )∞<<∞−+−+−+−+= −− x,...0x60x20x1eê 31210x (15), ( )∞<<−∞++++= −− x,...x6x2x1ê 3121x (16), а разложението на закъснението τpe − (6) е показано с (17) ÷ (19), където: p е операторът на Laplace, k - брояч на генериращата функция, ( )xΓ е гама-функция ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )ωσττττττ jp,p,...p24p6p2p1ê 413121p +=∞<++−+−= −−− (17),

( ) ( )( )1

n

0k

1k

p

p 1kp1ê

1e

−

=

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++== ∑ Γτ

τ

τ (18), ( )( ) ( ) ( )ωστΓτ

τ jp,p1k1ê1e

1n

1k

k1

pp +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++==

−

=

−− ∑ (19),

( ) ( ) ( )( ) ( )ωσΓττ jp,1n,1kp1pRê1

n

0k

1k

n,0

p +=≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++≡=

−

=

−− ∑ (20).

Трансформирана и изчислена до 10-ти ред с еквивалентни полиноми, апроксимацията на закъснението τpe − (6) с едномерен ред на Maclaurin (20) е показана в Табл.2.

3.5. Апроксимация със симетричен крайно-мерен ред на Padé [2,3,14,18]. Симетричният крайно-мерен ред на Padé (21) е показан с отношението на полиномите

- 8 -

( )pAm от ред m и ( )pB n от ред n . С (22) и (23) са отразени генериращите функции на коефициентите ia и ib на двата полинома в (21) в общ вид, а и конкретно при mn ≡

( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )ωστττ

ττττ jp,mn,

pb..pbpbb

pa..papaa

pB

pApRê

n

n

2

210

m

m

2

210

n

m

n,m

p +=≡++++

++++===− (21),

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )∑ ∑= =

≡ +−++

++−−=

+−+++

++−+−=

m

0k

m

0k

k

k

mn

k

k

m p1km1k1m2

1m1km21p

1km1k1nm

1m1knm1pA τ

ΓΓΓ

ΓΓτ

ΓΓΓ

ΓΓ (22),

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )∑∑=

≡= +−++

++−=

+−+++

++−+=

n

0k

k

mn

n

0k

k

n p1kn1k1n2

1n1kn2p

1kn1k1nm

1n1knmpB τ

ΓΓΓ

ΓΓτ

ΓΓΓ

ΓΓ (23),

( ) ( ) ( ) ( )ωστ jp,mn,pBpApRê nnn,n

p +=≡==− (24). Трансформирана и изчислена до 10-ти ред с еквивалентни симетрични полиноми, апроксимацията на закъснението τpe − (6) със симетричен крайно-мерен ред на Padé (24) е показана в Табл.3.

3.6. Апроксимация с несиметричен крайно-мерен ред на Padé [2,3,14,18]. Несиметричният крайно-мерен ред на Padé (25) е показан с отношението на полиноми-те ( )pAm от ред m и ( )pB n от ред n . С (26) и (27) са отразени генериращите функции на коефициентите ia и ib на двата полинома в (25)

( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )ωστττ

ττττ jp,mn,

pb..pbpbb

pa..papaa

pB

pApRê

n

n

2

210

m

m

2

210

n

m

n,m

p +=≥++++

++++===− (25),

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∑=

−+−+++++−+−=m

0k

k1k

m p1km1k1nm1m1knm1pA τΓΓΓΓΓ (26),

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∑=

−+−+++++−+=n

0k

k1

n p1kn1k1nm1n1knmpB τΓΓΓΓΓ (27),

( ) ( ) ( ) ( )ωστ jp,mn,pBpApRê nmn,m

p +=≥==− (28). Трансформирана и изчислена до 10-ти ред с еквивалентни полиноми с несиметричен ранг, апроксимацията на закъснението τpe − (6) с несиметричен крайно-мерен ред на Padé (28) е показана в: Табл.4 за 1mn += ; Табл.5 за 2mn += ; Табл.6 за 3mn += . С помощта на генериращите функции (26) и (27) могат да се определени еквивалентните полиноми от пълен ред в разглежданата апроксимация (28) до произволна несиметрич-ност, съобразена с основното изискване (29) за рационалност на полиномите [ ) [ )∞∞∈≥≥≥ ...,4,3,1,0;...,4,3,1,0n;mn;0m;0n (29).

3.7. Верижна полиномиална апроксимация [11,12,14]. Апроксимационната зависимост по този метод е представена с (30) ( ) ( )( ) ( )ωσττ jp,1n,pkkpRê

n

1k

kk

n,0

p +=≥+≡= ∏=

−− (30),

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )ωστττ jp,1n,pnnnp1np1mil nnn1n1

n

+=≥+≡+=+ −−−−−

∞→

(31).

Тя се основава на доказаната сходимост на граници на редицата едномерни вектори (31), където: p е операторът на Laplace, а k - броячът на генериращата функция (в конкретния случай брояч на полиномите във веригата, както и редът на апроксимацията). Трансформирана и представена до 10-ти ред с еквивалентни полиноми, апроксимацията на закъснението τpe − (6) с верижна полиномиална апроксимация (30) е систематизирана в Табл.7. Настоящата разработка е първа от общо трите съвместно представящи я части с посоченото название. Тя съдържа общите: 1. Въведение, 2. Постановка на задачата и 3. Аналитични модели на закъснението - апроксимации със седем от разглежданите методи за рационална апроксимация на ирационални функции. Обект на разглежданията в останалите две части са: пет метода за рационална апроксимация, както и общите за работата 4. Числени примери, сравнителен анализ и 5. Заключение.


- 9 -

- 10 -


- 11 -

- 12 -


- 13 -

- 14 -


- 15 -


RATIONAL APPROXIMATIONS OF IRRATIONAL FUNCTION-II

NINA NIKOLOVA, EMIL NIKOLOV

Abstract: The following paper aims are a new method approximation of a rational quotient of polynomials is used for modeling the non-rational transfer function of a delay. Approximation is achieved by the use a Taylor, Maclaurin and Padé series expansion and Butterworth, Bessel and Chebyshev polynomials. Calculation of the Bessel functions and calculation of Chebyshev orthogonal function is proposed. Frequency characteristics and Step Response of models are graphically represented and analyzed is given. Key words: Delay rational approximation; Taylor-, Maclaurin-, Padé-, Chain-, Butterworth-, Bessel-, Chebyshev Approximation, Magnitude/Phase Response, Stability, Step Response

РАЦИОНАЛНИ АПРОКСИМАЦИИ НА ИРАЦИОНАЛНИ ФУНКЦИИ - II

1. Въведение. Настоящата разработка е втора от общо трите съвместно представящи я части с

посоченото название. Първата представи общите: въведение, постановка на задачата и първите седем (раздели 3.1-3.7) от разглежданите методи за рационална апроксимация на ирационални функции.

2. Постановка на задачата. Настоящата работа си поставя задачата да систематизира методите и

алгоритмите за апроксимация на ирационални функции с рационални непрекъснати функции от пълен ред, като сведе крайните резултати до приложения във вид на приложими регулярни монотонни хомогенни полиноми от n -ти ред.

Табл.8коефициенти в едномерен ред на Butterworth

n 0b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7b 8b 9b 10b

1 000,1 000,0 000,0 000,0 000,0 000,0 000,0 000,0 000,0 000,0

2 000,1 414,1 000,1 000,0 000,0 000,0 000,0 000,0 000,0 000,0 000,0

3 000,1 000,2 000,2 000,1 000,0 000,0 000,0 000,0 000,0 000,0 000,0

4 000,1 613,2 414,3 613,2 000,1 000,0 000,0 000,0 000,0 000,0 000,0

5 000,1 236,3 236,5 236,5 236,3 000,1 000,0 000,0 000,0 000,0 000,0

6 000,1 864,3 464,7 142,9 464,7 864,3 000,1 000,0 000,0 000,0 000,0

7 000,1 494,4 098,10 592,14 592,14 098,10 494,4 000,1 000,0 000,0 000,0

8 000,1 126,5 137,13 846,21 688,25 846,21 137,13 126,5 000,1 000,0 000,0

9 000,1 759,5 582,16 163,31 986,41 986,41 163,31 582,16 759,5 000,1 000,0

10 000,1 392,6 432,20 802,42 882,64 233,74 882,64 802,42 432,20 392,6 000,1

- 16 -

3. Аналитични модели на закъснението. Апроксимации. 3.8. Апроксимация с едномерен ред на Butterworth [5,8,13,14]. Апроксимира-

щата функция (32) по този метод

( )( ) ( ) ( ) ( ) n

n

2

210n

n,0

p

pb..pbpbb

1

pB

1pRê

ττττ

++++===− (32),

е представена (Табл.8) с полиномиалните коефициенти n0 bb ÷ във функция от реда на полиномиалната апроксимация n . Трансформирана и представена до 10-ти ред с еквивалентни полиноми, апроксимацията на закъснението τpe − (6) с ред на Butterworth (32) е показана в Табл.9.

3.9. Апроксимация с Butterworth - многочлени [5,8,13,14]. В този случай апроксимиращата функция по метода на Butterworth (33) е трансформирана в произведение от полиноми от нисък ред, съобразно корените на апроксимиращ полином на Butterworth (32)

( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2

n,2n,1n,0

2

2,22,12,01,11,0n

n,0

p

pbpbb..pbpbbpbb

1

pB

1pRê

ττττττ

+++++++===− (33).

Трансформирана и представена до 10-ти ред, апроксимацията на закъснението τpe − (6) с Butterworth - многочлени (33) е показана в Табл.10.

3.10. Bessel полиномиална апроксимация [1,5,6,16,17,19]. Генериращата функция ( )xR x,n (34) на коефициентите в полинома на Bessel от n -ти ред

( )( ) ( )

( ) ( )( )0n,

1kn1k

2x1knxR

n

0k

k

x,n ≥+−+

++= ∑

= ΓΓ

Γ (34),

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

( )ωσΓΓ

τΓ

ΓΓ

Γjp,0n,

1kn1k

2p1kn

1kn1k

2x1knHxRHpR

n

0k

kn

0k

k

x,nn +=≥+−+

++=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−+

++== ∑∑

==

(35),

( )( )

( )( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )ωστττ

ΓΓ

τΓτ jp,0n,

pb..pbpbb

pR

1kn1k

2p1kn

pR

pR

pRê

n

n

2

210

0

n

0k

k

0

n

0p +=≥++++

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+−+

++==

∑=

− (36),

се основава на модифицирана сферична Bessel-функция от втори тип [5,6,16,17,19].

Табл.11n полиноми на Bessel ( )xR x,n

0 1 1 x1+

2 2x3x31 ++

3 322 x15x15x61 +++

4 432 x105x105x45x101 ++++

5 5432 x945x945x420x105x151 +++++

6 65432 x10395x10395x4725x1260x210x211 ++++++

7 765432 x135135x135135x62370x17325x3150x378x281 +++++++

8 8765452 x2027025x2027025x945945x270270x51975x6930x630x361 ++++++++

9 98765432 x34459425x34459425x16216200x4729725x945945x135135x13860x990x451 +++++++++

10 109

8765432

x654729075x654729075x310134825x918918x1891890x2837835x315315x25740x1485x551

++

+++++++++


- 17 -

С помощта на (34) са определени, изчислени и представени по фиктивната променлива x в Табл.11 Bessel-полиномите до 10-ти ред. Всеки от Bessel-полиномите (Табл.11) се преобразува по Hankel-трансформация [5,15,16] (35). Тя се състои в: инверсия на

x,nR (34) по степените на x до получаване на vni

x,nR ; смяна на променливата τpx = в vni

x,nR ; определяне на хомогенните регулярни полиноми 0R и nR в апроксимационната зависимост (36) по този метод. Трансформирана и изчислена до 10-ти ред, апроксимацията на закъснението τpe − (6) с Bessel полиноми (36) е показана в Табл.12.

3.11. Първи тип Chebyshev ортогонална полиномиална апроксимация [5,9,10, 16,17,20]. Генериращата функция ( )xR x,n на ортогоналните първи тип полиноми на Chebyshev от n -ти ред е (37)

( ) ( )( )

( )0n,n2

1k2socx2xR

n

1k

1n

x,n ≥⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−= ∏

=

−π

(37),

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )

∏∏=

−

=

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−+=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−==

n

1k

1nn

1k

1nx,nn

n2

1k2soc1p22

n2

1k2socx2HxRHpR

πτ

π (38),

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )ωσττπ

τ

τ jp,0n,pb..pbb

pR

n2

1k2soc1p22

pR

pR

pRê

n

n10

0

n

1k

1n

0

n

0p +=≥+++

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−+

==

∏=

−

− (39).

С помощта на (37) са определени, изчислени и представени по фиктивната променлива x в Табл.13 ортогоналните полиноми първи тип на Chebyshev до 10-ти ред. По Hankel-трансформация [5,15,16] (38) всеки от Chebyshev-полиномите (Табл.13) се преобразува. Трансформацията се състои в: инверсия на x,nR (37) по степените на x до получаване на vni

x,nR ; смяна на променливата ( )1p2x += τ в vni

x,nR ; определяне на хомогенните регулярни полиноми 0R и nR в апроксимационната зависимост (39) по този метод. Трансформирана и изчислена до 10-ти ред, апроксимацията на закъснението

τpe − (6) с Chebyshev ортогонална полиноми от първи тип (39) е показана в Табл.14. 3.12. Втори тип Chebyshev ортогонална полиномиална апроксимация

[5,9,10,16,17,20]. Генериращата функция ( )xR x,n на ортогоналните втори тип полиноми на Chebyshev от n -ти ред е (40)

( ) ( )

( )( )0n,

1n

ksocx2xR

n

1k

n

x,n ≥⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−= ∏

=

π (40),

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

( )∏∏==

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−+=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−==

n

1k

nn

1k

n

x,nn1n

ksoc1p22

1n

ksocx2HxRHpR

πτ

π (41),

( )( )

( )

( ) ( )( )

( )( ) ( )

( )ωσττπ

τ

τ jp,0n,pb..pbb

pR

1n

ksoc1p22

pR

pR

pRê

n

n10

0

n

1k

n

0

n

0p +=≥+++

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−+

==

∏=

− (42).

С помощта на (40) са определени, изчислени и представени по фиктивната променлива x в Табл.13 ортогоналните полиноми втори тип на Chebyshev до 10-ти ред. По Hankel-трансформация [5,15,16] (41) всеки от Chebyshev-полиномите (Табл.13) се преобразува. Трансформацията се състои в: инверсия на x,nR (40) по степените на x до получаване на vni

x,nR ; смяна на променливата ( )1p2x += τ в vni

x,nR ; определяне на хомогенните регулярни полиноми 0R и nR в апроксимационната зависимост (42) по

- 18 -

този метод. Трансформирана и изчислена до 10-ти ред, апроксимацията на закъснението τpe − (6) с Chebyshev ортогонална полиноми от втори тип (41) е показана в Табл.15.

Табл.13

n първи тип ортогонални полиноми на Chebyshev

втори тип ортогонални полиноми на Chebyshev

0 21 1 1 x x2 2 2x21+− 2x41+− 3 3x4x3 +− 3x8x4 +− 4 42 x8x81 +− 42 x16x121 +− 5 53 x16x20x5 +− 53 x32x32x6 +− 6 642 x32x48x181 +−+− 642 x64x80x241 +−+− 7 753 x64x112x56x7 +−+− 753 x128x192x80x8 +−+− 8 8642 x128x256x160x321 +−+− 8642 x256x448x240x401 +−+− 9 9753 x256x576x432x120x9 +−+− 9753 x512x1024x672x160x10 +−+− 10 108642 x512x1280x1120x400x501 +−+−+− 108642 x1024x2304x1792x560x601 +−+−+−

Като обобщение в този раздел 3. Аналитични модели на закъснението - апроксима-ции на работата са: трансформирани, изчислени до 10-ти ред и представени в таблици апроксимиращите рационални полиноми по дванадесет апроксимационни метода и съответстващите им алгоритми с:

едномерен ред на Taylor; едномерен ред на Maclaurin; симетричен m,m крайно-мерен ред на Padé; несиметричен m,m+1 крайно-мерен ред на Padé; несиметричен m,m+2 крайно-мерен ред на Padé; несиметричен m,m+3 крайно-мерен ред на Padé; верижни полиноми; едномерен ред на Butterworth; многочлени на Butterworth; Bessel полиноми; първи тип Chebyshev ортогонални полиноми; втори тип Chebyshev ортогонални полиноми.

Обект на разглежданията в третата част, последна от общо трите съвместно представящи настоящата разработка с посоченото название, са общите: 4. Числени примери, сравнителен анализ и 5. Заключение.


- 19 -

- 20 -


- 21 -

- 22 -


- 23 -

- 24 -


- 25 -


RATIONAL APPROXIMATIONS OF IRRATIONAL FUNCTION-III

NINA NIKOLOVA, EMIL NIKOLOV Abstract: The following paper aims are a new method approximation of a rational quotient of polynomials is used for modeling the non-rational transfer function of a delay. Approximation is achieved by the use a Taylor, Maclaurin and Padé series expansion and Butterworth, Bessel and Chebyshev polynomials. Calculation of the Bessel functions and calculation of Chebyshev orthogonal function is proposed. Frequency characteristics and Step Response of models are graphically represented and analyzed is given. Key words: Delay rational approximation; Taylor-, Maclaurin-, Padé-, Chain-, Butterworth-, Bessel-, Chebyshev Approximation, Magnitude/Phase Response, Stability, Step Response

РАЦИОНАЛНИ АПРОКСИМАЦИИ НА ИРАЦИОНАЛНИ ФУНКЦИИ - III

1. Въведение. Настоящата разработка е трета, последна от съвместно представящи я части с

посоченото название. Първата и втората части представиха общите: въведение, поста-новка на задачата и методи за рационална апроксимация на ирационални функции.

2. Постановка на задачата. В тази си част работата представя числени примери, сравнителен анализ и

заключение.

3. Аналитични модели на закъснението. Апроксимации. Първата и втората части на работа представиха общо дванадесет метода за

рационална апроксимация на ирационална функция.

4. Числени примери и сравнителен анализ. Предложените в настоящата работа динамични модели (11) ÷ (42), са рационални

статични системи. Те апроксимират честотните характеристики (5) на ирационалната функция на системата „закъснение”. Представени са в Табл.1 ÷Табл.15 във вид на реализуеми от n -ти ред полиноми. Апроксимацията на характеристиките на системата „закъснение” в пространството на времето (преходна и импулсна преходна функции, преходна характеристика и др.) не са обектът на разглежданите методи (3.3 ÷ 3.12). Системното разглеждане на оригиналната ирационална функция (4),(5),(9) изисква и оценката на адекватността на предлаганите модели и по отношение на характеристиките в пространството на времето. За това на фиг.1 са представени характеристиките (43), (44) на системата „закъснение”. С честотните характеристики в Nyquist, Bode-, Nichols- пространствата и преходната функция ( )thW , те показват една картина на нейните ирационални свойства ( ) ( ) ( ) [ )( )∞∈∀−=∠== − ,0,jW;1jW,ejW j ωτωωωω τω (43), ( ) ( )0t,0thW =≡ (44.a),

- 26 -

( ) [ ] [ ) ( )++ →→∞+∈∀−∈∀=′ 0,0,,t,,0t,0thW εδετδτ (44.b), ( ) ( )τ≡∞=′ t,thW (44.c). За да бъдат оценени възможностите на предлаганите (Табл.1 ÷ Табл.15) рационални апроксимации ( )ωjR n,m , в работата се предлага сравнителен анализ по следните крите-рии за оценка (като се отчита априори нереализуемостта на свойството (44.c)): устойчивост (45) на моделиращата закъснението динамична система ( )ωjR n,m , фор-мулирана в случая по критерия на Nyquist ( ) ( ) dB0jRgol20,1jR n,mn,m ≤≤ ππ ωω (45);

близост (адекватност) на апроксимиращата закъснението динамична система ( )ωjR n,m до честотните и до характеристиките в пространството на времето (фиг.1) на

оригиналната ирационална функция ( )ωjW - по модул (46) и по аргумент (47) ( ) ( ) ( )ωωωξ jRjW n,m1 −= (46), ( ) ( ) ( )ωωωξ jRjW n,m2 ∠−∠= (47) ;

апериодичност и монотонност (отсъствие на колебателност) на моделиращата закъснението динамична система, изразена в (48), (49) и (50) със съответстваща на

( )ωjR n,m преходна функция ( )th R ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0t,0th,0th0tht RRW3 =≡=−==ξ (48), ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( )+→−∈∀≥′′−′= 0,,0t,0th,ththt RRW4 δδτξ (49), ( ) ( ) ( ) ( ) [ ) ( )( )+→∞+∈∀≥′′−′= 0,,t,0th,ththt RRW5 εετξ (50). Рационалните апроксимации ( )ωjR n,m (Табл.1 ÷Табл.15) са изчислени и моделирани в работата за конкретна стойност на закъснението s,3=τ . Резултатите от симулацията на честотните характеристики на n,mR са показани на фиг. 2 ÷ фиг.4, а на фиг.5 ÷фиг.6 - преходните ( )th R и импулсните ( )ti R преходни функции на апроксимиращите системи. Върху характеристиките на моделиращите закъснението апроксимации е проведен сравнителен анализ (Табл.16) по критериите (45) ÷ (50).

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)

Step Response Procede

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)

Nyquist plot Procede

↓

ω

( )th W

τ

( )ωjW

10-3 10-2 10-1 100 1010

0.2

0.4

0.6

0.8

1

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101-4

-3

-2

-1

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

( ) dB0jWgol20 =ω

( ) τωω −=jWgra-800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)

Nichols plot Procede

( )ωjW

ω←

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


↓

ω

( )th W

τ

( )ωjW

10-3 10-2 10-1 100 1010

0.2

0.4

0.6

0.8

1

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101-4

-3

-2

-1

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

( ) dB0jWgol20 =ω

( ) τωω −=jWgra-800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0 100-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


( )ωjW

ω←

Фиг.1.1

Фиг.1.2 Фиг.1.4

Фиг.1.3


- 27 -

Резултатите от анализа на възможностите на апроксимиращите модели се обобщават така: Очевидно е, че само апроксимиращите системи на Taylor и на Maclaurin за стойности

[ ]10,3n∈ на реда на апроксимация [ ]10,3n∈ не отговарят на критерий (45);

Оценени само по критерий (46) превъзходство имат апроксимиращите системи Padé m,m+1, Padé m,m+2, Padé m,m+3 за стойности на [ ]10,6n ∈ , Padé m,m за [ ]10,1n∈ и Butterworth и Butterworth многочлени за [ ]10,6n ∈ ;

Оценени само по критерий (47) превъзходство няма никоя от апроксимиращите системи - стойностите на 2ξ за всички системи са с тенденция

( ) [ )∞∈∀→ ,0 c2 ωωωξ , ( )0c >>ω ,

но за определена честотна лента;

Апроксимиращата система на Padé m,m за стойности на [ ]10,1n∈ не отговаря на изискванията на критерий (48); Апроксимиращите Padé m,m+1, Padé m,m+2, Padé m,m+3 системи за стойности на [ ]10,1n∈ не отговарят на изискванията на критерии (49) и (50); Апроксимиращите системи на Butterworth и Butterworth многочлени не отговарят на изискваният на критерий (50), а заедно със системите на Chebyshev 1 и Chebyshev 2 се характеризират с продължителен преходен процес;

Интегрално превъзходство, и по отношение на (45), (46), (47), и на (48), (49), (50), имат апроксимиращите системи на Bessel и на Верижни полиноми.

Табл.16ред 2 3 4 5 6 7 8 9 10

критерий (46)

(4

7)

(48)

(4

9)-(5

0)

(46)

(4

7)

(48)

(49)

-(50)

(46)

(47)

(4

8)

(49)

-(50)

(4

6)

(47)

(4

8)

(49)

-(50)

(46)

(47)

(4

8)

(49)

-(50)

(4

6)

(47)

(4

8)

(49)

-(50)

(4

6)

(47)

(4

8)

(49)

-(50)

(4

6)

(47)

(48)

(49)

-(50)

(46)

(4

7)

(48)

(49)

-(50)

Padé m,m

Padé m,m+1 Padé m,m+2 Padé m,m+3 Верижни пол. Butterworth ред Butterworth мног. Bessel Chebyshev 1 Chebyshev 2

- 28 -

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real (jw)

Imag

(jw

)


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Real (jw)

Imag

(jw

)


-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Real (jw)

Imag

(jw

)


Taylor

Maclaurin

m,mPadé

1m,mPadé +

2m,mPadé +

3m,mPadé +

Chain

hButterwort

101n ÷=

( )ωjR n,m( )ωjR n,m

100n ÷=

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m

101n ÷= 100n ÷=

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m

101n ÷=

101n ÷=

101n ÷= 101n ÷=-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real (jw)

Imag

(jw

)


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Real (jw)

Imag

(jw

)


-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Real (jw)

Imag

(jw

)


Taylor

Maclaurin

m,mPadé

1m,mPadé +

2m,mPadé +

3m,mPadé +

Chain

hButterwort

101n ÷=


100n ÷=

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m

101n ÷= 100n ÷=

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m

101n ÷=

101n ÷=

101n ÷= 101n ÷=

-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Real (jw)

Imag

(jw

)


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Real (jw)

Imag

(jw

)


-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Real (jw)

Imag

(jw

)


Taylor

Maclaurin

m,mPadé

1m,mPadé +

2m,mPadé +

3m,mPadé +

Chain

hButterwort

101n ÷=


100n ÷=

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m

101n ÷= 100n ÷=

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m

101n ÷=

101n ÷=

101n ÷= 101n ÷=

Фиг.2.1


Фиг.2.5

Фиг.2.3


Фиг.2.7


- 29 -

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Real (jw)

Imag

(jw

)


-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Real (jw)

Imag

(jw

)


-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Real (jw)

Imag

(jw

)


10-3 10-2 10-1 100 101-200

-150

-100

-50

0

50

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101-400

-300

-200

-100

0

100

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

10-3 10-2 10-1 100 101-200

-150

-100

-50

0

50

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101-500

-400

-300

-200

-100

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

10-3 10-2 10-1 100 101 102-100

-80

-60

-40

-20

0

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101 102-2000

-1500

-1000

-500

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

10-3 10-2 10-1 100 101 102-150

-100

-50

0

50

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101 102-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

Taylor

Maclaurin

2m,mPadé +

3m,mPadé +

hButterwort Bessel

1_Chebyshev 2_Chebyshev

Chain

101n ÷=

( )ωjR n,m

101n ÷=

( )ωjR n,m

101n ÷=

( )ωjR n,m

101n ÷=

( )ωjR n,m

101n ÷=

101n ÷=

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

101n ÷=

101n ÷=

100n ÷=

100n ÷=

100n ÷=

100n ÷=

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Real (jw)

Imag

(jw

)


-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Real (jw)

Imag

(jw

)


-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Real (jw)

Imag

(jw

)


10-3 10-2 10-1 100 101-200

-150

-100

-50

0

50

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101-400

-300

-200

-100

0

100

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

10-3 10-2 10-1 100 101-200

-150

-100

-50

0

50

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101-500

-400

-300

-200

-100

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

10-3 10-2 10-1 100 101 102-100

-80

-60

-40

-20

0

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101 102-2000

-1500

-1000

-500

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

10-3 10-2 10-1 100 101 102-150

-100

-50

0

50

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101 102-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

Taylor

Maclaurin

2m,mPadé +

3m,mPadé +

hButterwort Bessel


Chain

101n ÷=

( )ωjR n,m

101n ÷=

( )ωjR n,m

101n ÷=

( )ωjR n,m

101n ÷=

( )ωjR n,m

101n ÷=

101n ÷=

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

101n ÷=

101n ÷=

100n ÷=

100n ÷=

100n ÷=

100n ÷=

Фиг.2.9

Фиг.2.11 Фиг.2.12

Фиг.2.10

Фиг.3.1


Фиг.3.3

- 30 -

10-3 10-2 10-1 100 101 102-4

-2

0

2

4

6x 10-13

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101 102-2000

-1500

-1000

-500

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

10-3 10-2 10-1 100 101 102-60

-40

-20

0

20

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101 102-2000

-1500

-1000

-500

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

10-3 10-2 10-1 100 101-150

-100

-50

0

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101-800

-600

-400

-200

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

10-3 10-2 10-1 100 101-300

-200

-100

0

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101-1000

-800

-600

-400

-200

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

10-3 10-2 10-1 100 101-300

-200

-100

0

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101-1000

-800

-600

-400

-200

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

10-3 10-2 10-1 100 101-150

-100

-50

0

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101-800

-600

-400

-200

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

10-3 10-2 10-1 100 101-200

-150

-100

-50

0

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101-800

-600

-400

-200

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

10-3 10-2 10-1 100 101-250

-200

-150

-100

-50

0

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101-800

-600

-400

-200

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

0n =

0n =

m,mPadé

1m,mPadé +

Chain

hButterwort

ChainhButterwort − Bessel


( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

101n ÷=

101n ÷=

101n ÷=

101n ÷=

101n ÷=

101n ÷=

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

101n ÷=

101n ÷=

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

101n ÷=

101n ÷=

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

101n ÷=

101n ÷=( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

101n ÷=

101n ÷=

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

101n ÷=

101n ÷=

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

10-3 10-2 10-1 100 101 102-4

-2

0

2

4

6x 10-13

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101 102-2000

-1500

-1000

-500

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

10-3 10-2 10-1 100 101 102-60

-40

-20

0

20

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101 102-2000

-1500

-1000

-500

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

10-3 10-2 10-1 100 101-150

-100

-50

0

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101-800

-600

-400

-200

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

10-3 10-2 10-1 100 101-300

-200

-100

0

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101-1000

-800

-600

-400

-200

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

10-3 10-2 10-1 100 101-300

-200

-100

0

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101-1000

-800

-600

-400

-200

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

10-3 10-2 10-1 100 101-150

-100

-50

0

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101-800

-600

-400

-200

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

10-3 10-2 10-1 100 101-200

-150

-100

-50

0

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101-800

-600

-400

-200

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

10-3 10-2 10-1 100 101-250

-200

-150

-100

-50

0

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot Procede

10-3 10-2 10-1 100 101-800

-600

-400

-200

0

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

0n =

0n =

m,mPadé

1m,mPadé +

Chain

hButterwort



( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

101n ÷=

101n ÷=

101n ÷=

101n ÷=

101n ÷=

101n ÷=

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

101n ÷=

101n ÷=

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

101n ÷=

101n ÷=

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

101n ÷=

101n ÷=( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

101n ÷=

101n ÷=

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

101n ÷=

101n ÷=

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m∠

Фиг.3.5


Фиг.3.7

Фиг.3.9

Фиг.3.11 Фиг.3.12

Фиг.3.10


- 31 -

-400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


-450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


-1800 -1600 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10-13

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


-1800 -1600 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


-2000 -1800 -1600 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


-2000 -1800 -1600 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


-800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


-900 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


Taylor

Maclaurin

m,mPadé

1m,mPadé +

2m,mPadé +

3m,mPadé +

Chain

hButterwort

101n ÷=

( )ωjR n,m

100n ÷=

( )ωjR n,m

100n ÷=

( )ωjR n,m

101n ÷=

( )ωjR n,m

101n ÷=

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m

101n ÷=

( )ωjR n,m ( )ωjR n,m

101n ÷=

101n ÷=

-400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0 50-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


-450 -400 -350 -300 -250 -200 -150 -100 -50 0-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


-1800 -1600 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5x 10-13

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


-1800 -1600 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


-2000 -1800 -1600 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


-2000 -1800 -1600 -1400 -1200 -1000 -800 -600 -400 -200 0-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


-800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0-100

-90

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


-900 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


Taylor

Maclaurin

m,mPadé

1m,mPadé +

2m,mPadé +

3m,mPadé +

Chain

hButterwort

101n ÷=

( )ωjR n,m

100n ÷=

( )ωjR n,m

100n ÷=

( )ωjR n,m

101n ÷=

( )ωjR n,m

101n ÷=

( )ωjR n,m

( )ωjR n,m

101n ÷=

( )ωjR n,m ( )ωjR n,m

101n ÷=

101n ÷=

Фиг.4.1


Фиг.4.5

Фиг.4.3


Фиг.4.7

- 32 -

-900 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


-800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


-800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


-800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


0 5 10 15-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


0 5 10 15-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-3

-2

-1

0

1

2

3

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


Taylor

Maclaurin

2m,mPadé +

3m,mPadé +



100n ÷=

( )th R

τ

ττ

τ

( )th R

( )th R

( )th R

101n ÷=

101n ÷=

100n ÷=

101n ÷=

101n ÷=101n ÷=

101n ÷=



( )ωjR n,m

-900 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


-800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


-800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


-800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0-200

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Phase(deg)


0 5 10 150

0.5

1

1.5

2

2.5

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


0 5 10 15-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


0 5 10 15-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-3

-2

-1

0

1

2

3

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


Taylor

Maclaurin

2m,mPadé +

3m,mPadé +



100n ÷=

( )th R

τ

ττ

τ

( )th R

( )th R

( )th R

101n ÷=

101n ÷=

100n ÷=

101n ÷=

101n ÷=101n ÷=

101n ÷=



( )ωjR n,m

Фиг.4.9

Фиг.4.11 Фиг.4.12

Фиг.4.10

Фиг.5.1


Фиг.5.5


- 33 -

0 2 4 6 8 10 12-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


1m,mPadé +

Chain

hButterwort



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


101n ÷=

m,mPadé

( )th R

τ

101n ÷=

( )th R

( )th R

101n ÷=

( )th R

101n ÷= 101n ÷=

101n ÷=

101n ÷=

( )th R

( )th R

( )th R

101n ÷=

( )th R

τ

ττ

τ τ

ττ

0 2 4 6 8 10 12-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


0 5 10 15 20 25 30 35 400

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


1m,mPadé +

Chain

hButterwort



0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de (-

)


101n ÷=

m,mPadé

( )th R

τ

101n ÷=

( )th R

( )th R

101n ÷=

( )th R

101n ÷= 101n ÷=

101n ÷=

101n ÷=

( )th R

( )th R

( )th R

101n ÷=

( )th R

τ

ττ

τ τ

ττ

Фиг.5.3


Фиг.5.7

Фиг.5.9

Фиг.5.11 Фиг.5.12

Фиг.5.10

- 34 -

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)

Impulse Response Procede

0 2 4 6 8 10 12-3

-2

-1

0

1

2

3

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)


0 5 10 15-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)


0 5 10 15-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)


0 10 20 30 40 50 60 70 80-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)


0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)


0 10 20 30 40 50 60 70 80-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)


Bessel

chainhButterwort

hButterwort

m,mPade

1m,mPade +

2m,mPade +

3m,mPade +

Chain( )ti R

( )ti R

( )ti R ( )ti R

( )ti R ( )ti R

( )ti R ( )ti R

101n ÷=

100n ÷=

100n ÷= 100n ÷=

101n ÷=

101n ÷=

101n ÷=

101n ÷=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)


0 2 4 6 8 10 12-3

-2

-1

0

1

2

3

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)


0 5 10 15-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)


0 5 10 15-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)


0 10 20 30 40 50 60 70 80-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)


0 5 10 150

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)


0 10 20 30 40 50 60 70 80-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)


Bessel

chainhButterwort

hButterwort

m,mPade

1m,mPade +

2m,mPade +

3m,mPade +

Chain( )ti R

( )ti R

( )ti R ( )ti R

( )ti R ( )ti R

( )ti R ( )ti R

101n ÷=

100n ÷=

100n ÷= 100n ÷=

101n ÷=

101n ÷=

101n ÷=

101n ÷=

Фиг.6.1


Фиг.6.5

Фиг.6.3


Фиг.6.7


- 35 -

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)


0n =

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)


1_Chebyshev 2_Chebyshev( )ti R ( )ti R

101n ÷= 101n ÷=

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)


0n =

0 5 10 15 20 25 30 35 40-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)


1_Chebyshev 2_Chebyshev( )ti R ( )ti R

101n ÷= 101n ÷=

5. Заключение. Новото и оригинално в настоящата работа може да се обобщи така: систематизирани и описани са методи за апроксимации на честотните характеристики на закъснението като ирационална функция с рационални функции (на: Euler, Euler-Wallis, Taylor, Maclaurin, Padé, Butterworth, Bessel, Chebyshev); определени са съответните генериращи функции, по които аналитично са трансформирани, изчислени са до 10-ти ред и са представени в таблици апроксимиращите рационални полиноми по дванадесет апроксимационни метода и съответстващите им алгоритми (с: едномерен ред на Taylor, едномерен ред на Maclaurin; симетричен крайно-мерен ред на Padé, три несимет-рични крайно-мерни редове на Padé; верижни полиноми; едномерен ред на Butter-worth; многочлени на Butterworth; Bessel полиноми, първи и втори тип Chebyshev ортогонални полиноми); определени са генериращи функции, по които са изчисле-ни до 10-ти ред и са представени в таблици функциите на Bessel и ортогонални функции на Chebyshev от първи и втори тип, към които е приложена Hankel-инверсна трансформация; предложените в работата дванадесет апроксимиращи рационални полиноми са моделирани и симулирани, характеристиките им са систематизирани и по-казани паралелно; формулирани са аналитични критерии за оценка адекватността на апроксимациите на ирационална с рационални функции, въз основа на които чрез срав-нителен анализ са определени устойчивите апериодични моделиращи закъснението ди-намични системи - обект на изследването в работата; систематизираните в таблици резултати са предназначени за директно практическо приложение при анализ и синтез на системи за управление.

6. ЛИТЕРАТУРА. 1. Agarwal R. P. (1954), On Bessel polynomials, Canad. J. Math. 6 (1954) 410-415 2. Baker George A. Jr., Graves-Morris P. (1981), Padé Approximants- part I and part II, ©

Addison-Wesley Publishing Co., London, Amsterdam, Sydney, Tokyo, 1996, 502 p. 3. Batlle1 Carles, Alicia Miralles (2000), On the approximation of delay elements by

feedback, Automatica, © 2000 Elsevier Science Inc., 36 (2000) 659-664 4. Beghi A., Lepschy A., Viaro U. (1997), Approximating delay elements by feedback, IEEE

Transactions on Circuits and Systems - I, 1997, 44, 824-828 5. Chen B. S., S. C. Peng, B. W. Chiou (1992), IIR filter design via optimal Hankel-norm

approximation, IEEE Proceedings-G, vol. 139, no. 5, Oct. 1992, 585-590 6. Doha E. H., H. M. Ahmed (2006), On the coefficients of integrated expansions of Bessel

polynomials, Journal of Computational and Applied Mathematics, © 2006 Elsevier Science Inc., 187 (2006) 58-71

Фиг.6.9 Фиг.6.10

- 36 -

7. Erdélyi A. (1953), Higher Transcendental Functions, © McGraw-Hill Book Company, Inc., New York, 1953, 448 p.

8. Glader C., Hognak G., Makila P. M., Toivonen H. T. (1991), Approximation of delay systems - a case study, International Journal of Control, 53, 369-390

9. Karageorghis A. (1988), Anote on the Chebyshev coefficients of the general-order derivative of an infinitely differentiable function, Journal of Computational and Applied Mathematics, © 1988 Elsevier Science Inc., 21 (1988) 129-132

10. Koepf W. (1999), Efficient Computation of Chebyshev Polynomials, In Computer Algebra Systems: A Practical Guide, Ed. M. J. Wester, © Addison-Wesley Publishing Co., 1999, New York, 79-99

11. Kuo B. C. (1991), Automatic Control Systems, ©Prentice-Hall Inc., Englewoods Cliffs, New Jersey, 6th edition, 1991, 610 p.

12. Kuo B. C., F. Golnaraghi (2002), Automatic Control Systems, © Wiley, New York, 2002 ISBN : 0-471-13476-7, 610 p.

13. Lin S. -D., H. M. Srivastava, P.-Y. Wang (2002), Some families of hypergeometric transformations and generating relations, Math. Comput. Modelling, Journal of Computational and Applied Mathematics, © 2002 Elsevier Science Inc., 36 (2002) 445-459

14. Luk Yudell L. (1980), Mathematical Functions and Their Approximations, © Academic Press Inc., New York, San Francisco, London, A Subsidiary of Harcourt Brace Jovanovich Publishers, 1980, 608 p.

15. Nikolov E. (2004), Special mathematical functions and fractal operators, Sofia 2004, © 2004 Ed. of Technical University Sofia, ISBN 954-438-423-5, 2004, 108 p.

16. Ohta Yoshito, Akira Kojima (1999), Formulas for Hankel singular values and vectors for a class of input delay systems-1, Automatica, © 1999 Elsevier Science Inc., 35 (1999) 201-215

17. Pathan M. A., M. G. Bin Saad (2000), On generalization of Bessel polynomials of several variables, Internat. J. Math. Statist. Sci. 9 (2000) 89-101

18. Press W. H., B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterlink (1992), Padé Approximants : The Art of Scientific Computing, © Cambridge University Press, Cambridge, 1992, 294 p.

19. Shy-Der Lin, I-Chun Chen, H. M. Srivastava (2003), Certain classes of finite-series relationships and generating functions involving the generalized Bessel polynomials, Applied Mathematics and Computation, © 2003 Elsevier Science Inc., 137 (2003) 261-275

20. Siyyam H. I., M. I. Syam (1997), An accurate solution of Poisson equation by the Chebyshev-Tau methods, Journal of Computational and Applied Mathematics, © 1997 Elsevier Science Inc., 85 (1997) 1-10

Department ANP, block 9, Technical University, Kliment Ohridski 8, 1754, Sofia, BULGARIA e-mail: [email protected] [email protected]


- 37 -


PERTURBATION ANALYSIS OF THE DISCRETE-TIME H∞ LMI BASED SYNTHESIS PROBLEM

ANDREY YONCHEV, MIHAIL KONSTANTINOV, PETKO PETKOV

Abstract. The set of H∞ controllers with closed-loop performance γ can be implicitly parametrized by the solutions R, S of a system of linear matrix inequalities (LMIs). The paper is concerned with obtaining linear perturbation bounds for the discrete-time LMI based H∞ synthesis problem, which are linear functions of the data perturbations. The sensitivity analysis of the perturbed matrix inequalities is considered in a similar manner as for perturbed matrix equations, after introducing a suitable right hand part, which is slightly perturbed. The proposed approach leads to tight linear perturbation bounds for the LMIs' solutions to the H∞ synthesis problem. Numerical example is also presented.

Key words: Perturbation analysis, H∞ synthesis, LMI based synthesis, Linear systems.

ПЕРТУРБАЦИОНЕН АНАЛИЗ НА ДИСКРЕТНАТА H∞ ЗАДАЧА ЗА СИНТЕЗ ОСНОВАНА НА ЛМН

1. Introduction

In many control problems, the design constraints have a simple reformulation in terms of linear matrix inequalities (LMIs). This is hardly surprising, given that LMIs are direct byproducts of Lyapunov based criteria, and that Lyapunov techniques play a central role in the analysis and control of linear systems, see [1, 12] and in pdf format on the following web address www.dcsc.tudelft.nl/~cscherer/2416/lmi.pdf.

The H∞ control problem is a good illustration of this point. Indeed, the H∞ constraints can be expressed as a single matrix inequality via the bounded real lemma [9, 10]. Even though the H∞ control problem has a solution in terms of Riccati equations [2], the LMI approach remains valuable for several reasons. First it is applicable to all plants without restrictions on infinite or pure imaginary invariant zeros. Secondly, it offers a simple and insightful derivation of the Riccati based solvability conditions [3, 5]. In addition, the LMI based H∞ design is practical thanks to the availability of efficient convex optimization algorithms, based on the interior point method [8, 7], and software [4].

In this paper we propose an approach to perform linear sensitivity analysis of the LMI based H∞ synthesis problem via introducing a suitable right hand part in the considered matrix inequalities.

- 38 -

We use the following notations: m nR × - the space of real m n× matrices; 1n nR R ×= ; nI - the identity n n× matrix;

ne - the unit 1n × vector; TM - the transpose of M ; †M - the pseudo inverse of M ;

2 max|| || ( )M Mσ= - the spectral norm of M , where max ( )Mσ is the

maximum singular value of M ; || || ( )TFM tr M M= - the Frobenius norm of M ;

Re 0 2|| || : sup || ||sM M∞ ≥= ;|| . || - is any of the above norms; ( ) m nv e c M R∈ - the column-wise vector representation of m nM R ×∈ ;

,m n m n

m n R ×Π ∈ - the vec-permutation matrix, such that

,( ) ( )Tm nvec M vec M= Π ; M P⊗ - the Kroneker product of the matrices M and P ;

( ) ( ) ( )Tv e c M X P P M v e c X= ⊗ - column-wise vector representation of the multiplication M X P . The notation “:=” stands for “equal by definition”. The remainder of the paper is organized as follows. In Section 2 we shortly present the problem setup and objective. Section 3 describes the performed linear sensitivity analysis of the LMI based H∞ synthesis problem. Section 4 presents a numerical example before we conclude in Section 5 with some final remarks.

2. Problem Setup and Objective Consider the discrete-time system

1 1 2

1 11 12

2 21 22

k k k k

k k k k

k k k k

x Ax B w B uz C x D w D uy C x D w D u

+ = + +

= + +

= + +

(1)

where nkx R∈ , m

ku R∈ , rky R∈ , and p

kz R∈ are the system state, input, output and performance vectors respectively, l

kw R∈ is the disturbance and 1 2 1 2 11 12 21, , , , , , ,A B B C C D D D are constant matrices of compatible size. The existing H∞ control problems are stated in [13].

We consider an LMI approach to solve the H∞ synthesis problem, as stated in [3]. Specifically we are interested in the solution of the following system of LMIs [3, 12],

1 112 12

1 1 1 11

1 11

0 00

0 0

T TT

T T

T T

ARA R ARC BN N

C RA I C RC D

I IB D I

γ

γ

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ <⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎢ ⎥⎣ ⎦

(2)

1 121 21

1 1 1 11

1 11

0 00

0 0

T T TT

T T T

A SA S A SB CN N

B SA I B SB D

I IC D I

γ

γ

⎡ ⎤−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥− +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ <⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦−⎢ ⎥⎣ ⎦

(3)

0,R II S

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

(4)

where 1 2N and

2 1N are the orthonormal bases of the null spaces of 2 1 2

T TB D⎡ ⎤⎣ ⎦ and

[ ]2 2 1C D , respectively. Here we assume that the optimal closed-loop performance o p tγ of

the system (1) is already obtained. The main objective of the paper is to perform a linear sensitivity analysis of the LMI

system (2)-(4), needed to solve the H∞ synthesis problem, using an approach developed in [6]. Suppose that the matrices 1 2 1 2, , , , ,A B B C C 11 12 21, ,D D D are subject to perturbations

1 2 1 2 11 1 2 21, , , , , , ,A B B C C D D D∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ and assume that they do not change the sign of the LMI system (2)-(4). The sensitivity analysis of the LMI based H∞ synthesis problem is aimed at determining perturbation bounds of the LMIs (2)-(4) near the optimal value ofγ , as functions of the perturbations in the data 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1, , , , , , ,A B B C C D D D and in optγ .


- 39 -

3. Linear Sensitivity Analysis First we perform sensitivity analysis of the LMI (3). Its structure allows us to consider only the following part

1 121 21 21 21

1 1 1 1 1 1

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) 0,

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

T TT

T T

A A S S A A S S A A S S B BN N N N

B B S S A A I B B S S B Bγ γ⎡ ⎤+∆ +∆ +∆ − +∆ +∆ +∆ +∆

+∆ +∆⎢ ⎥+∆ +∆ +∆ − −∆ + +∆ +∆ +∆⎣ ⎦≺ (5)

and to study the effect of the perturbations 1 2, , ,A B B∆ ∆ ∆ 1 2 11 12 21, , , ,C C D D D∆ ∆ ∆ ∆ ∆ and

optγ∆ on the perturbed LMI solution S S∗ + ∆ , where S ∗ and S∆ are the nominal solution of LMI (3) and the perturbation. The essence of our approach is to perform sensitivity analysis of the LMI (3) in a similar manner as for a proper matrix equation after introducing a suitable right hand part, which is slightly perturbed. Thus for expression (5) we have

1 121 21 21 21

1 1 1 1 1 1

*1

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

0,

T TT

T Topt opt

A A S S A A S S A A S S B BN N N N

B B S S A A I I B B S S B B

H H

γ γ

∗ ∗ ∗

∗ ∗

⎡ ⎤+∆ +∆ +∆ − +∆ +∆ +∆ +∆+∆ +∆⎢ ⎥+∆ +∆ +∆ − −∆ + +∆ +∆ +∆⎢ ⎥⎣ ⎦

= +∆ ≺

(6)

where H ∗ is obtained using the nominal LMI *

1 *2 1 2 1

1 1 1

0 .T T

TT T

o p t

A S A S A S BN N H

B S A I B S Bγ

∗ ∗

∗ ∗

⎡ ⎤−=⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦

≺ (7)

The matrix 1H∆ is due to the data and closed-loop performance perturbations, the rounding errors and the sensitivity of the interior point method that is used to solve the LMIs. It is important to mention that the (1,2), (2,1), (2,2) blocks of the LMIs (2) and (3) pose constraints on the size of the perturbations 1 1 11, ,B C D∆ ∆ ∆ and optγ∆ since the introduced right hand part matrix must be negative definite. The perturbed relation (6) may be written as

*21 21 21 21 21 21 21 21 1,

T T T TS S S SN W N N W N N W N N W N H H+ ∆ + ∆ + ∆ ∆ = + ∆ (8)

where *

1 1 1 1*

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

).

T T T T T T T T

S T T T T T T T Topt opt

A S A A S A A SA A S A S S A S B A S B A SB A SBW

B S A B S A B SA B S A I I B S B B S B B SB B S Bγ γ

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

⎡ ⎤+ ∆ + ∆ +∆ − −∆ + ∆ + ∆ +∆=⎢ ⎥+ ∆ + ∆ +∆ − −∆ + + ∆ + ∆ +∆⎢ ⎥⎣ ⎦

Here the terms of second and higher order are neglected we use the relation (7) to obtain the following expression

* * *21 21 21 21 21 21 21 21 1( ) ( ) ( ) ,T T T T

S S S SN N N H N N H N N H N Hϒ + + ϒ ∆ +∆ + ϒ + ∆ + ϒ ∆ = ∆ (9) where

* *21 21

1

1 1 1

, ,

,

TS S S

T T

S T T

H N H N

A SA S A SBB SA B SB

= ϒ = ∆ +Ω

⎡ ⎤∆ −∆ ∆∆ = ⎢ ⎥∆ ∆⎣ ⎦

and

1 1

1 1 1 1 1 1

.T T T T

S T T T Topt

A S A A S A A S B A S BB S A B S A I B S B B S Bγ

∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗

⎡ ⎤∆ +∆ ∆ +∆Ω =⎢ ⎥∆ +∆ −∆ + ∆ +∆⎢ ⎥⎣ ⎦

- 40 -

Since we try to obtain linear perturbation bounds for the LMI based H∞ synthesis

problem, the terms of second and higher order in (9) will be further neglected, i.e. (9) yields

* *21 21 21 21 21 21 21 21 1,

T T T TS SN N N N N H N N H N H∆ + Ω + ∆ + ∆ = ∆

(10)

Setting * * *21 21 21 21, TH N N N H N= = it follows that

2* *21 21 21 21 21 21 21( ),

( ) ( ) ( ) ( ).T Tn l n

vec N N N N N I I N vec N+

⎡ ⎤∆ + ∆ = ⊗ Π + ⊗ ∆⎣ ⎦

(11)

We use the setting 11

1 1, , , ,T TT T

A BA BA S S S A S B S S S B S∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= = = = in this way the

relation (10) may be written in a vector form as

21 21 21 21 21 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),T T T TS S SN N vec N N vec N vec N vec HΩ⊗ ∆ + ⊗ Ω + ∆ = ∆ (12)

where

2

1

1

1 1

( ) ( ) ,

T Tn

T T

S T T

T T

A A IB A

ve c v ec S N sA BB B

⎡ ⎤⊗ −⎢ ⎥⊗⎢ ⎥∆ = ∆ = ∆⎢ ⎥⊗⎢ ⎥

⊗⎢ ⎥⎣ ⎦

2

21

1

11

*

*

* 12

*2 3

( ) ( ) 0 0( )( ) ( ) 0

( ) ( )( ) ( ) 0

0 ( ) ( )

T

T

T

T

AA n

B n AS

A lBopt

B l lB

I S S Ivec AS I I S

vec vec BI S S I

I S S I eγ

∗

∗

∗

∗

⎡ ⎤⊗ + ⊗ Π⎢ ⎥⎡ ⎤∆⊗ Π ⊗⎢ ⎥⎢ ⎥Ω = ∆⎢ ⎥⎢ ⎥⊗ ⊗ Π⎢ ⎥⎢ ⎥∆⎣ ⎦⎢ ⎥⊗ + ⊗ Π −⎣ ⎦

[ ]1 2 3 .t t t tN N N N= = and

2*

21 21( ),( ) ( ).T

S n l nN N I I NΩ +

= ⊗ Π + ⊗

Further we obtain the expression 1 2 1 3 21 1( ) ( ) ( ) ( ),s ts ts ts opt SN s N vec A N vec B N N vec N vec Hγ Ω∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ = ∆ (13)

where

21 21 1 21 21 1

2 21 21 2 3 21 21 3

( ) , ( ) ,( ) , ( ) .

T T T Ts ts t

T T T Tts t ts t

N N N N N N N NN N N N N N N N

= ⊗ = ⊗

= ⊗ = ⊗

It is well known that the perturbation bound [11] that the perturbation bound for the projector 21N may be written as

[ ] [ ]†21 2 2 21 2 2 21 2|| || | | , || || , || .N C D C D≤ ∆ ∆ (14)

Thus having in mind expression (14) and the fact that 2|| ( ) || || ||Fvec M M= , the following relation is valid [ ] [ ]†

21 2 21 2 21|| || || , || || , || .F F FN C D C D≤ ∆ ∆ (15)


- 41 -

Finally the relative perturbation bound for the solution S ∗ of the LMI (3) has the form 2| | | |

| | | | F

sS ∗

∆

11 2 3

1

| ||| || || ||1|| || || || || || | |

optF Fab ab ab

F F F opt

A BN N NS A B

γγ∗

⎛ ⎞∆∆ ∆≤ + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ (16)

[ ][ ]

2 21 11

2 21

|| , || || ||1 ,|| || || , || || ||

F Fcd

F F F

C D HN NS C D H∗ ∗

⎛ ⎞∆ ∆ ∆≤ +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

where † †

1 2 1 2 2 2 2 2 1|| || || || || || || || || || || ||, ,|| || || || || || || ||

ab s ts F ab s ts F

F F F F

N N N A N N N BS S S S∗ ∗ ∗ ∗= =

† †2 3 23 21

|| || || || | | || || || ||, ,|| || || || || || || ||

s ts optab s F

F F F F

N NN N HNS S S S

γ ∗

∗ ∗ ∗ ∗= =

[ ] [ ]††2 2 2 21 2 21|| || || || || , || || , ||

,|| || || ||

s S F Fcd

F F

N N C D C DNS S

Ω∗ ∗=

may be considered as individual relative condition numbers of the LMI (3) with respect to the perturbations 1 2 1 2 11 12 21, , , , , , ,A B B C C D D D∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ and optγ∆ . In a similar way the relative perturbation bounds for the solution R ∗ of the LMI (2) may be obtained using the following expression

1 1

12 12 12 121 1 1 1 1 1

( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( )

( )( )( ) ( )( )( )

T TT

T Topt opt

A A R R A A R R A A R R C CN N N N

C C R R A A I I C C R R C Cγ γ

∗ ∗ ∗

∗ ∗

⎡ ⎤+∆ +∆ +∆ − +∆ +∆ +∆ +∆+ +⎢ ⎥+∆ +∆ +∆ − −∆ + +∆ +∆ +∆⎢ ⎥⎣ ⎦

*1 0,E E= +∆ ≺ (17)

where *

1 1 1 1*

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

).

T T T T T T T T

R T T T T T T T Topt opt

AR A AR A A RA AR A R R AR C AR C A RC ASCW

CR A CR A C RA CR A I I CR C CS C C RC CR Cγ γ

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

∗ ∗ ∗ ∗ ∗

⎡ ⎤+ ∆ + ∆ +∆ − −∆ + ∆ + ∆ +∆=⎢ ⎥+ ∆ + ∆ +∆ − −∆ + + ∆ + ∆ +∆⎢ ⎥⎣ ⎦

* *12 12

1

1 1 1

, ,

,

TR R R

T T

R T T

E N E N

A RA R A RCC RA C RC

= ϒ = ∆ +Ω

⎡ ⎤∆ −∆ ∆∆ = ⎢ ⎥∆ ∆⎣ ⎦

and * * * *

1 1* * * *

1 1 1 1 1 1

.T T T T

R T T T Topt

AR A AR A AR C ARCCR A CR A I CR C CRCγ⎡ ⎤∆ +∆ ∆ +∆

Ω =⎢ ⎥∆ +∆ −∆ + ∆ +∆⎢ ⎥⎣ ⎦

We use the setting 11

1 1, , , ,T TT T

A CA CR A R AR R R C R C R R∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗= = = = and also the notations

* * *12 12 12 12, TE N N N E N= = in order to obtain the relation

2* *12 12 12 12 12 12 12( ),

( ) ( ) ( ) ( ).T Tn p n

vec N N N N N I I N vec N+

⎡ ⎤∆ + ∆ = ⊗ Π + ⊗ ∆⎣ ⎦ (18)

- 42 -

The following notations are also important

2

1

1

1 1

( ) ( ) ,

n

R

A A IC A

vec vec R M rA C

C C

⊗ −⎡ ⎤⎢ ⎥⊗⎢ ⎥∆ = ∆ = ∆⎢ ⎥⊗⎢ ⎥⊗⎣ ⎦

2

1

21

21 1

*

*2

1*

*3

( ) ( ) 0 0( )( ) ( ) 0

( ) ( )( ) ( ) 0

0 ( ) ( )

T

T

T

T

AA n

A pCR

C n Aopt

C pp C

R I I Rvec AR I I R

vec vec CI R R I

I R R I eγ

∗

∗

∗

∗

⎡ ⎤⊗ + ⊗ Π⎢ ⎥⎡ ⎤∆⊗ ⊗ Π⎢ ⎥⎢ ⎥Ω = ∆⎢ ⎥⎢ ⎥⊗ Π ⊗⎢ ⎥⎢ ⎥∆⎣ ⎦⎢ ⎥⊗ Π + ⊗ −⎣ ⎦

[ ]1 11 2 3 .t t t ac t acM M M Mγ γ= ∆ = ∆

and 2

*12 12( ),

( ) ( ).TR n p n

N N I I NΩ += ⊗ Π + ⊗

We should also have in mind that 12 12 1 12 12 1

2 12 12 2 3 21 21 3†

12 2 12 2 12

( ) , ( ) ,

( ) , ( ) ,

|| || || , || || , || ,

T T T Tr tr t

T T T Ttr t tr t

T T TF F F

M N N M M N N M

M N N M M N N M

N B D B D

= ⊗ = ⊗

= ⊗ = ⊗

⎡ ⎤ ⎡ ⎤≤ ∆ ∆⎣ ⎦ ⎣ ⎦

to finally obtain the relative perturbation bound for the solution R ∗ of the LMI (2)

2| | | || | | |F

rR ∗

∆

11 2 3

1

| ||| || || ||1|| || || || || || | |

optF Fac ac ac

F F F opt

A CM M MR A C

γγ∗

⎛ ⎞∆∆ ∆≤ + +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

(19)

2 12 11

2 12

|| , || || ||1 ,|| || || |||| , ||

T TF F

cd T TF FF

B D EN NR EB D∗ ∗

⎛ ⎞⎡ ⎤∆ ∆ ∆⎣ ⎦⎜ ⎟≤ +⎜ ⎟⎡ ⎤⎣ ⎦⎝ ⎠

where

† †

1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2|| || || || || ( )|| || || || || || ( )||, ,|| || || || || || || ||

ac r tr ac r tr

F F F F

M M M vec A M M M vecCR R R R∗ ∗ ∗ ∗= =

† †2 3 23 1 2 2

|| || || || | | || || || ( )||, ,|| || || || || || || ||

r tr optac r

F F F F

M MM M M vec ER R R R

γ ∗

∗ ∗ ∗ ∗= =

††2 2 2 12 2 12|| || || || || , || || , ||

,|| || || ||

T T T Tr R F Fbd

F F

M N B D B DMR R

Ω

∗ ∗

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦=

may be considered as individual relative condition numbers of the LMI (2) with respect to the perturbations 1 2 1 2 11 12 21, , , , , , ,A B B C C D D D∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ and optγ∆ .

In the next Section we will use the bounds (16) and (19) to study a numerical example. 4. Numerical Example Consider the following system description


- 43 -

[ ]11 12 21

/ / 1/0 0 0 , 0 , 0 0 00 0 0 0

c c c

pm pc m pk m mD D D

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

and 3, 1, 2, 0.4, 0.2, 0 .3.m c k pm pc pk= = = = = = Here 1 2 1 2, , , , ,c c c c cA B B C C 11 12 21, ,c c cD D D are the system matrices of a continuous-time system, which for the aim of the analysis is turned into a discrete one using sampling time of 0.01 s.

The perturbations in the system matrices of the discrete-time system are chosen as

1 1 2 2

1 1 2 2 11 11 12 12

1 1

10 , 10 , 10 ,10 , 10 , 10 , 10 ,

10 , 10 , 10 .

i i i

i i i i

i i iopt opt

A A B B B BC C C C D D D D

E E H Hγ γ

− − −

− − − −

− − ∗ − ∗

∆ = × ∆ = × ∆ = ×

∆ = × ∆ = × ∆ = × ∆ = ×

∆ = × ∆ = × ∆ = ×

The perturbed solutions and S S∗ + ∆ are computed based on the method derived in [3] and using the software [4]. In our experiments we obtain 0.4191optγ = . The relative perturbation bounds for the solutions R ∗ and S ∗ of the LMIs (2)-(3) are obtained by the linear bounds (16) and (19), respectively.

The results obtained for different values of i are shown in the following table Table 1. Real and calculated relative perturbation bounds

i 2|| |||| ||F

sS ∗

∆ Bound (16)

2|| |||| ||F

rR∗

∆ Bound (19)

8 0.1 10-6 0.5 10-5 0.7 10-6 6.3 10-5

7 0.1 10-5 0.5 10-4 0.7 10-5 6.3 10-4

6 0.1 10-4 0.5 10-3 0.7 10-4 6.3 10-3

5 0.1 10-3 0.5 10-2 0.7 10-3 6.3 10-2

4 0.1 10-2 0.5 10-1 0.7 10-2 6.3 10-1

5. Conclusions

The full linear sensitivity analysis of the discrete-time LMI based H∞ synthesis problem has been studied. Tight perturbation bounds, which are linear functions of the data perturbations, have been obtained for the matrix inequalities determining the problem solution. Based on these results we have presented a numerical example to explicitly reveal the performance and applicability of the proposed approach to analyze the sensitivity of the LMI based H∞ synthesis problem.

1

0 1 0 0 0, ,

/ / / /c cA Bk m c m pm pc m pk m

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − − − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦

[ ]2 1 2

/ /0

, 0 , 1 0 ,1/

0c c c

k m c mB C c C

mk

− −⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

- 44 -

REFERENCES 1.S. Boyd, L. El. .Ghaoui, F. .Feron, and V. Balakrishnan. Linear Matrix Inequalities in

Systems and Control Theory. SIAM, Philadelphia, 1996. 2.J. C. Doyle, K. Glover, P. P. Khargonekar and B.A. Francis. State – space solutions to

standard H2 and H∞ control problems. IEEE Trans. on Automat Control, 34:831-847, 1989. 3.P. Gahinet and P. Apkarian. A linear matrix inequality approach to H∞ control. Int. J.

Robust and Nonlinear Control. 4:421-448, 1994. 4.P. Gahinet, A. Nemirovski, A. Luab, and M. Chilali. LMI Control Toolbox for Use with

MATLAB. The MathWorks, Inc., 2000. 5.T. Iwasaki, and R. E. Skelton. All controllers for the general H∞ control problems: LMI

existence solutions and state-space formulas. Automatica, 30(8):1307-1317, 1994. 6.M. Konstantinov, P. Petkov, N. Christov, D. Gu, and V. Mehrmann. Sensitivity of

Lyapunov equations, Adv. in Intelligent Sysytems and Computer Sci., WSES Press., New York, pages 289-292, 1999.

7.A. Nemirovski and P. Gahinet. The projective method for solving linear matrix inequalities. Proc. Amer. Control Conf., Baltimore, MD, pages 840-844, 1994.

8.Y. Nesterov, and A. Nemirovski. Interior – Point Polynomial Algorithms in Convex Programming. SIAM, Philadelphia, PA, 1994.

9.I. R. Peterson, B. D. O.Anderson, and E. A. Jonkheere. A first principle solution to the non-singular H∞ control. Int. J. Robust and Nonlinear Control. 1:171-185, 1991.

10.C. Scherer, The Riccatii Inequality and State-Space H∞ optimal Control. PhD thesis University of Wurzburg. 1990.

11 G. Steward and J. G. Sun. Matrix Perturbation Theory. Academic Press. N.Y., 1990. 12.A. Yonchev, M. Konstantinov, and P. Petkov. Linear Matrix Inequalities in Control

Theory, Demetra, Sofia, 2005. ISBN 954:9526-32-1 (in Bulgarian). 13.K. Zhou, J. C. Doyle, and K. Glover. Robust and Optimal Control. Prentice Hall, Upper

Saddle River, New Jersey. 1995. Department of Automatics Technical University–Sofia, Kliment Ohridski blvd. 8 1000 Sofia BULGARIA E-mail:[email protected], [email protected]

Department of Mathematics University of Architecture Sivil Engineering and Geodesy Hristo Smirnenski blvd. 1 1046 Sofia BULGARIA E-mail: [email protected]


- 45 -


SENSITIVITY ANALYSIS OF THE DISCRETE-TIME H∞ RICCATI BASED SYNTHESIS PROBLEM

ANDREY YONCHEV, MIHAIL KONSTANTINOV, PETKO PETKOV

Abstract. In this paper we perform linear sensitivity analysis for the H∞ synthesis problem for the discrete-time linear multivariable systems. The case when the H∞ norm of the closed-loop system is less than previously specified number γ , is considered. Perturbation bounds, which linearly depend on the data perturbations, are obtained. Sensitivity of the central H∞ sub-optimal controller is also studied. A numerical example is also presented and tight perturbation bounds are calculated.

Key words: Perturbation analysis, H∞ synthesis, Riccati equations, Linear systems. АНАЛИЗ НА ЧУВСТВИТЕЛНОСТТА НА ДИСКРЕТНАТА ЗАДАЧА

ЗА H∞ СИНТЕЗ ОСНОВАНА НА РИКАТИ 1. Introduction

Many techniques have been derived for solving H∞ synthesis problems for discrete-time systems. On the other side the numerical aspects of the H∞ synthesis problem are not completely considered, due to the use of unreliable numerical algorithms and the lack of appropriate tolls for studying of the problem. That is the reason why in this paper we perform linear sensitivity analysis of the H∞ synthesis problem for discrete-time linear multivariable systems. First, linear local perturbation bounds are derived for the matrix equations, which determine the problem solution. Then we study the sensitivity of the H∞ controller, as presented in [1], and construct linear local perturbation bounds for its system matrices. We use the following notations: m nR × - the space of real m n× matrices; 1n nR R ×= ; nI - the identity n n× matrix;

ne - the unit 1n × vector; TM - the transpose of M ; †M - the pseudo inverse of M ;

2 max|| || ( )M Mσ= - the spectral norm of M , where max ( )Mσ is the

maximum singular value of M ; || || ( )TFM tr M M= - the Frobenius norm of M ;

Re 0 2|| || : sup || ||sM M∞ ≥= ;|| . || - is any of the above norms; ( ) m nv e c M R∈ - the column-wise vector representation of m nM R ×∈ ;

,m n m n

m n R ×Π ∈ - the vec-permutation matrix, such that

,( ) ( )Tm nvec M vec M= Π ; M P⊗ - the Kroneker product of the matrices M and P ;

- 46 -

( ) ( ) ( )Tv e c M X P P M v e c X= ⊗ - column-wise vector representation of the multiplication M X P . The notation “:=” stands for “equal by definition”. The remainder of the paper is organized as follows. In Section 2 we shortly present the problem setup and objective. Section 3 describes the performed linear local sensitivity analysis of the Riccati based discrete-time H∞ synthesis problem. Section 4 presents a numerical example before we conclude in Section 5 with some final remarks.

2. Problem Setup and Objective Consider the discrete-time system

1 1 2

1 11 12

2 21 22

k k k k

k k k k

k k k k

x Ax B w B uz C x D w D uy C x D w D u

+ = + += + += + +

(1)

where nkx R∈ , m

ku R∈ , rky R∈ , and p

kz R∈ are the system state, input, output and performance vectors respectively, l

kw R∈ is the disturbance and 1 2 1 2 11 12 21, , , , , , ,A B B C C D D D are constant matrices of compatible size. The existing H∞ control problems are stated in [2].

We consider an LMI approach to solve the H∞ synthesis problem, as stated in [1]. Let

1

11 121

m

,I 00D DC

C D⎡ ⎤⎡ ⎤

= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

and define the matrices

1 1 1

1 2 1

2 2 2m m

0 0 0ˆ, , ,0 I 0 I 0 Ip m m

p

I I IJ J J

γ γ γ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

where 2 2

22 1 2 1 2, ,m pD R m m m p p p×∈ = − = − . Let X be the solution to the discrete-time algebraic Riccati equation

1 ,T T TX C JC A XA L R L−= + − (2) where

1 2

2 3

1

2

: ,

: ,

TT T

T T

R RR D JD B XB

R R

LL D JC B XA

L

⎡ ⎤= + = ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎡ ⎤

= + = ⎢ ⎥⎣ ⎦

Assume that there exists an 2 2m m× matrix 12V such that 12 12 3TV V R= and an 1 1m m× matrix

21V such that 2 112 12 1 2 3 2, 0.T TV V R R R Rγ − −= − ∇ ∇ = − − < We also define the matrices

1 2

1 11 12

2 21 22

:

t t t

t t

t t t t t

t t t

A B BA BC D C D D

C D D

⎡ ⎤⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

11 1 21

1 1 1 112 3 2 2 12 3 2 12

1 12 21 21 21

0

'( )

0

A B L BV

V R L R L V R R V IC D L D V

−∇

− − − −∇

− −∇

⎡ ⎤− ∇⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥− ∇⎢ ⎥

− ∇⎢ ⎥⎣ ⎦


- 47 -

where 1

1 2 3 2.TL L R R L−∇ = −

Let the matrix Z be the solution to the discrete-time algebraic Riccati equation 1ˆ ,T T T

t t t t t tZ BJB A ZA M S M−= + − (3) in which

[ ]

1 2

2 3

1 2

ˆ : ,

ˆ : .

t tT Tt t t t t T

t t

T Tt t t t t t t

S SS D JD C ZC

S S

M B JD A ZC M M

⎡ ⎤= + = ⎢ ⎥

⎣ ⎦

= + =

In the following, we refer to (2) and (3) as X - Riccati equation and Z - Riccati equation, respectively. As shown in [1], a stabilizing controller that satisfies

|| ||zwT γ∞< exists, if and only if

1. There exists a solution to the Riccati equation (2) satisfying 0, 0,X ≥ ∇ <

such that 1A BR L−− is asymptotically stable. 2. There exists a solution to the Riccati equation (3) satisfying

11 2 3 20, 0,T

t t t tZ S S S S−≥ − < such that 1

t t t tA M S C−− is asymptotically stable. In this case a controller that achieves the objective is

11 2 2 3 2

12 1 2 3 2

ˆ ˆ ˆ( ),ˆ ˆ( ),

k t k k t t k t k

k t k t t k t k

x A x B u M S y C xV u C x S S y C x

−+ = + + −

= − − −

which yields 1 1 1 1 1

2 12 1 2 3 2 2 3 2 2 12 2 3 2 3

01 1 1 1

12 1 2 3 2 12 2 3

( ).

( )

t t t t t t t t t t t t

t t t t t t

A B V C S S C M S C B V S S M SK

V C S S C V S S

− − − − −

− − − −

⎡ ⎤− − − − +⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

This is the so called central controller which is widely used in practice. The closed-loop state matrix F looks like this

10: ( ),T TF A BR B X A D JC−= − +

here 0X denotes the nominal solution of the matrix Riccati equation (2). Thus the problem of studying the sensitivity of the H∞ synthesis problem comes down to the perturbation analysis of the matrix Riccati equation (2). The equivalent forms

1( ) 0,T T T T TF XA X C JC A XB C JD R D JC−− + − + = (4) 1ˆ ˆ ˆ( ) 0,T T T T T

t t t t t t t t t tA ZH Z B JB B JD S D JB C ZA−− + − + = (5) of equations (2) and (3) are more convenient for the perturbation analysis, here the following notation is used

10

ˆ: ( ) .Tt t t t t t tH A A Z C B JD S C−= − +

The round-off errors in the solution and the parameter uncertainties in the model are represented by equivalent perturbations in the coefficient matrices:

; : , , , , ,M M M M A B C D J→ +∆ ∈ =Μ

- 48 -

where the only information about M∆ is that || | |F MM∆ ≤ ∆ for 0M∆ > being a given quantity. Then the perturbed Riccati equations can be obtained

1

( ) ( ) ( ) ( )( ) (( ) ( )( ) ( )( ))( ) ( ) ( )( ) 0,

T T T

T T

F F Y A A Y C C J J C C A A Y B BC C J J D D R R D D J J C C−

+∆ +∆ − + +∆ +∆ +∆ − +∆ +∆

+ +∆ +∆ +∆ +∆ +∆ +∆ +∆ = (6)

1

ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( )ˆ ˆ( ) (( ) ( ) ( )( )( ) ) 0,

T Tt t t t t t t t t t

T Tt t t t t t t t t t

A A W H H W B B J J B B B B J J D D

S S C C W A A D D J J B B−

+∆ +∆ − + +∆ +∆ +∆ − +∆ +∆ +∆

∗ +∆ +∆ +∆ + +∆ +∆ +∆ = (7)

where after neglecting the terms of second and higher order we obtain ,T T T T TR D J D D JD D JD B Y B B YB∆ = ∆ + ∆ +∆ + ∆ +∆

( ) ( ) (( ) ( )T T TF F A A A A Y B B+ ∆ = + ∆ − + ∆ +∆ 1( ) ( )( ))( ) ( ) ,T TC C J J D D R R B B−+ + ∆ +∆ +∆ +∆ +∆

ˆ ˆ ˆ ,T T T T T T Tt t t t t t t tS D J D D JD D JD C W C C WC∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ +∆

1( ) ( ) ( ) ( ) (( )T T Tt t t t t t t tH H A A C C S S D D−+ ∆ = + ∆ − + ∆ +∆ + ∆

ˆ ˆ*( )( ) ( ) ( ) ).T T Tt t t t t tJ J B B C C W A A+∆ +∆ + +∆ +∆

Since the Frechet derivative of the left-hand side of (4) in X at the solution 0X is invertible, the perturbed equation (6) has an unique solution 0Y X X= + ∆ in the neighborhood of 0X . In a similar way Frechet derivative of the left-hand side of (5) in Z at the solution 0Z is invertible, the perturbed equation (7) has an unique solution 0W Z Z= + ∆ in the neighborhood of 0Z .

Denote by : , , , ,T

A B JDC∆ = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆⎡ ⎤⎣ ⎦ the vector of absolute perturbations : || || , , : | | | |A F J FA J∆ = ∆ ∆ = ∆… in the data matrices , , .A J… Then the aim of the

sensitivity analysis of the H∞ synthesis problem for linear discrete-time systems aims at determining perturbation bounds for the solutions of the Riccati equations (2) and (3) and also for the central controller 0K system matrices as functions of perturbations in the data

, , ,A B C D and ,J which are asymptotically small. For the continuous-time H∞ optimization problem, using the approach developed in [3], local and non-local perturbation analysis is presented in [4]. The problem for the sensitivity analysis of the discrete-time H∞ optimal control problem is discussed in [5]. 3. Linear Sensitivity Analysis Consider first the linear local analysis of the Riccati equation (2). Denote by

( , ) ( , , , , , )X X A B C D JΘ Σ = Θ the left hand side of (2), where ( , , , , )A B C D JΣ = . Then 0( , ) 0 .XΘ Σ = Setting 0 ,Y X X= + ∆ the perturbed equation (6) may be written as

0 0( , ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) 0,X A B J dDCX X X X A B C D J G XΘ +∆ Σ+∆Σ =Θ Σ +Θ ∆ +Θ ∆ +Θ ∆ +Θ ∆ +Θ ∆ +Θ ∆ + ∆ ∆Σ = (8)

where ( . ) , ( . ) , ( . ) , ( . ) , ( .)X A B DCΘ Θ Θ Θ Θ and (.)JΘ are the Frechet derivatives of ( , )XΘ Σ in the corresponding matrix arguments, evaluated for 0 .X X= The second and

higher order terms in ,X∆ ∆ Σ are contained in ( , ).dG X∆ ∆Σ A straightforward calculation leads to


- 49 -

0 01 1

0 01 1

1 1 1 1

1 1

( ) , ( ) ,( ) ,

( ) ( ) ( ),

( ) ( ) ( ),

( ) ..

T T TX A

T T TB

T TC

T T TD

T T T TJ

P F PF P P F X P P X FP F X PR L L R P X F

P C DR L P P C DR L

P DR L C PR L L R P DR L C

P C PC L R D PC C PDR L

− −

− −

− − − −

− −

Θ = − Θ = −

Θ =− −

Θ = − + −

Θ = − + −

Θ = − −

The matrix representations of the operators , , , , ,X A B JDCΘ Θ Θ Θ Θ Θ are denoted by

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

, , , , ,n n n n n n n n n n n nX A B JDCR R R R R R× × × × × ×Λ ∈ Λ ∈ Λ ∈ Λ ∈ Λ ∈ Λ ∈ in the following way:

2 0 0

1 10 0

1 1

1 1 1 1

1 1

: , : ( ) ,

: ( ) ,

: ( ) (( ) ) ,

: ( ) (( ) ) ,

: ( ) ( ) ( ),

T T T TX A n n nn

T T T TB n

T Tn n nCT T T T

nDT T T T T T T T

J

F F I I F X F X I

L R F X F X L R

I C DR L C DR L I

L R DR L C DR L C L R

C C C L R D L R D C

− −

− −

− − − −

− −

Λ = ⊗ − Λ = ⊗ + ⊗ Π

Λ = − ⊗ − ⊗ Π

Λ = ⊗ − + − ⊗ Π

Λ = ⊗ − + − ⊗ Π

Λ = ⊗ − ⊗ + ⊗

where 2 2n nn R ×Π ∈ is the permutation matrix such that ( ) ( )T

nvec M vec M= Π for each 2

( ) nvec M R∈ is the column-wise vector representation of .M It follows from (8) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ).X A B J dDCX A B C D J G XΘ ∆ = −Θ ∆ − Θ ∆ − Θ ∆ − Θ ∆ − Θ ∆ − ∆ ∆Σ (9) Since the matrix 0F is convergent, the operator (.)XΘ is invertible and (7) yields

1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )X A X B X X DCX A B C D− − − −∆ = −Θ Θ ∆ − Θ Θ ∆ − Θ Θ ∆ − Θ Θ ∆

1 1( ) ( ( , )).X J X dJ G X− −−Θ Θ ∆ −Θ ∆ ∆Σ (10) The operator equation (10) may be written in a vector form as 1 2 3 4( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d d dvec X N vec A N vec B N vec C N vec D∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ 4 5( ) ( ( , )),d d dN vec J N vec G X+ ∆ + ∆ ∆Σ (11) where 1 1 1 1

1 2 3 4, , , ,d X A d X B d X d X DCN N N N− − − −= −Λ Λ = −Λ Λ = −Λ Λ = −Λ Λ 1

5d X JN −= −Λ Λ . From the expression (11) follows the next relation

2 1 2 2 2 2 2 3 2 2|| ( ) || || || || ( ) || || || || ( ) || || || || ( ) ||d d dvec X N vec A N vec B N vec C∆ ≤ ∆ + ∆ + ∆ 2

4 2 2 5 2 2|| || || ( ) || || || || ( ) || (|| || ).d dN vec D N vec J O+ ∆ + ∆ + ∆ Having in mind the relation 2|| ( ) || || ||F Mvec M M∆ = ∆ = ∆ and using the notation

1 2 2 2 3 2 4 2 5 2|| || , || || , || || , || || , || ||X X X X XA d B d d d J dDCKd N Kd N Kd N Kd N Kd N= = = = = , we obtain

2(|| || ),X X X X XX A A B B J JD DC CKd Kd Kd Kd Kd O∆ ≤ ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ (12)

where , , , ,X X X X XA B JDCKd Kd Kd Kd Kd are the individual absolute condition numbers of (2)

with respect to , , , , .A B JDC∆ = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆⎡ ⎤⎣ ⎦

The linear sensitivity of the Riccati equation (3) may be determined using the duality of (2) and (3). For the estimate Z∆ we have

2ˆ ˆ

ˆ(|| || ),t t t t t tt t

Z Z Z Z ZZ A A B B D DC C J JKd Kd Kd Kd Kd O∆ ≤ ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ + ∆ (13)

- 50 -

may be considered as individual absolute condition numbers of the equation (3) with respect to the perturbations ˆ

ˆ , , , , .t ttA B DC J

⎡ ⎤∆ = ∆ ∆ ∆ ∆ ∆⎣ ⎦

Now we will study the sensitivity of the central suboptimal H∞ controller 0K . Thus we have the following expression

1 1 1 1 12 12 1 2 3 2 2 3 2 2 12 2 3 2 3

0 01 1 1 1

12 1 2 3 2 12 2 3

( )

( )

t t t t t t t t t t t t

t t t t t t

A B V C S S C M S C B V S S M SK K

V C S S C V S S

− − − − −

− − − −

⎡ ⎤− − − − +⎢ ⎥+ ∆ = ⎢ ⎥⎢ ⎥− − −⎣ ⎦

( , , )K K

k

K K

A BG X Z

C D

∆ ∆⎡ ⎤⎢ ⎥+ + ∆ ∆ ∆Σ⎢ ⎥⎢ ⎥∆ ∆⎣ ⎦

(14) where

2 12 1 2 12 2 3 2 3 2 2 12 2 3 2 2 3 2( ) ( )K t t t t t t t t t t t t tA A B V C B V S S M S C B V S S C M S C∆ = ∆ − ∆ + − ∆ + ∆ − ∆ + 2 12 2 3 2 2 12 1 12 2 2 2 3 2 2 12 1 2 12 3 2( ) ( ),t t t t t t t t t t t tB V S S C B V C V S C M S C B V C B V S C∆ +∆ − + − ∆ + − ∆

2 12 2 3 2 12 2 3 2 12 2 3 2 12 2 3 2 3 2 3( ) ,K t t t t t t t t t t t tB B V S S B V S S B V S S B V S S M S M S∆ = − ∆ + ∆ − ∆ + ∆ + ∆ + ∆

12 1 12 1 12 2 3 2 12 2 3 2 12 2 3 2 12 2 3 2 ,K t t t t t t t t t t t t t tC V C V C V S S C V S S C V S S C V S S C∆ = − ∆ + ∆ + ∆ − ∆ + ∆ − ∆

12 2 3 12 2 3 12 2 3K t t t t t tD V S S V S S V S S∆ = ∆ − ∆ +∆ and ( , , )kG X Z∆ ∆ ∆Σ contains the second and higher order terms in ,X Y∆ ∆ and ∆Σ . Here we use the fact that 1 1 1 1( )p p p p p pA A A A A A− − − −+ ∆ = − ∆ and also the following notations are used

1 1 112 12 12 12 12 12,V V V V V V− − −= ∆ = ∆ and 1 1 1

3 3 3 3 3 3,t t t t t tS S S S S S− − −= ∆ = ∆ . We plug the perturbation bounds for ,X Y∆ ∆ and ∆Σ in the expression (14). Then we calculate the corresponding system matrices norms of the linear part of the perturbation 0K∆ . In this way we obtain the perturbation bounds

|| || , || || , || || , || ||K F pb K F pb K F pb K F pbA A B B C C D D∆ ≤ ∆ ∆ ≤ ∆ ∆ ≤ ∆ ∆ ≤ ∆ (15)

for the controller system matrices perturbations , ,K K KA B C∆ ∆ ∆ and KD∆ . 4. Numerical Example Consider the following system description

11 12 21 22

0.1 0 0.2 0 1 0 0 0, , , .

0 0.2 0 0.5 0 1 0 0c c c cD D D D⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Here 1 2 1 2, , , , ,c c c c cA B B C C 11 12 21, ,c c cD D D are the system matrices of a continuous-time system, which for the aim of the analysis is turned into a discrete one using sampling time of 0.01 s.

1

1 0 1 0, ,

0 2 0 2c cA B−⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

2 1 2

1 0 2 0 0 0, , ,

0 0.1 0 1 0 0c c cB C C⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦


- 51 -

The perturbations in the system matrices of the discrete-time system are chosen as 1 1 2 2 1 1

2 2 11 11 12 12 21 21

10 , 10 , 10 , 10 ,

10 , 10 , 10 , 10 .

i i i i

i i i i

A A B B B B C C

C C D D D D D D

− − − −

− − − −

∆ = × ∆ = × ∆ = × ∆ = ×

∆ = × ∆ = × ∆ = × ∆ = ×

In our experiments we use γ =7.6294e-005. The perturbed solutions 0X X+ ∆

0Z Z+ ∆ of equations (6) - (7) are computed by the Schur method [6] in arithmetic with relative precision ε =2.22e-0016. The perturbations || ||X FX∆ = ∆ and || ||Z FZ∆ = ∆ in the solutions are obtained by the linear bound (12) and its dual bound (13), respectively.

The results obtained for different values of i are shown in the following table.

Table 1. Real and calculated relative perturbation bounds for Riccati solutions

i X∆ Bound

(12) Z∆ Bound (13)

7 2.36 10-7 7.78 10-6 1.74 10-6 1.53 10-5

6 2.36 10-6 7.78 10-5 1.74 10-6 1.94 10-5

5 2.34 10-5 7.78 10-4 1.75 10-5 1.84 10-4

4 2.33 10-4 7.78 10-3 1.76 10-4 1.72 10-3

After computing the mentioned bounds in the solutions of the equations (6) – (7) we are able to calculate the bounds , , ,pb pb pb pbA B C D∆ ∆ ∆ ∆ of the controller system matrix perturbations || || ,|| || , || || , || ||K F K F K F K FA B C D∆ ∆ ∆ ∆ .

The results obtained for different values of i are shown in the following table.

Table 2. Real and calculated relative perturbation bounds

for H∞ controller system matrices

i || ||K FA∆ pbA∆ || ||K FB∆ pbB∆

7 2.17 101 2.49 102 1.67 10-2 2.08 10-1

6 2.17 101 2.07 102 1.67 10-2 1.67 10-1

5 2.87 101 1.39 102 4.17 10-2 1.72 10-1

4 1.98 101 2.44 103 3.39 10-2 2.26 100

i || ||K FC∆ pbC∆ || ||K FD∆

pbD∆

- 52 -

7 5.31 100 4.19 101 4.07 10-4 3.79 10-3

6 5.30 100 4.55 101 3.57 10-4 2.92 10-3

5 1.21 101 1.20 102 1.65 10-2 3.45 10-2

4 1.37 101 1.15 102 8.71 10-2 5.53 10-1

The obtained perturbation bounds (12), (13) and (15), based on the presented solution approach,

are close to the real perturbations X∆ , Z∆ , and || || , || || ,K F K FA B∆ ∆ || ||K FC∆ , || ||K FD∆ thus they are good in sense that they are tight.

5. Conclusions

The full linear sensitivity analysis of the Riccati based discrete-time H∞ synthesis problem has been studied. Tight local perturbation bounds, which are linear functions of the data perturbations, have been obtained for the matrix equalities determining the problem solution. Based on these results we have computed tight perturbation bounds for the central suboptimal H∞ controller system matrices.

REFERENCES 1.M. Green and D. J. N. Limebeer. Linear Robust Control. PrenticeHall, Englewood Cliffs,

New Jersey 1995. 2. K. Zhou, J. C. Doyle and K. Glover. Robust and Optimal Control. Prentice Hall, Upper

Saddle River, New Jersey. 1995. 3. M. Konstantinov, N. Christov and P. Petkov. Perturbation analysis of the continuous and

discrete matrix Riccati equations. Proc. ACC, Seatle,1, pages 636-639, 1986. 4. M. Konstantinov, N. Christov and P. Petkov. Conditioning of the continuos-time H∞

optimization problem. Proc. 3 ECC, Rome, 1, pages 613-618, 1995. 5. V. Angelova, M. Konstantinov and P. Petkov. Perturbation analysis of the discrete-time

H∞ optimal control problem: IFAC 14th Trennial World Congress, Beijing, P. R. China, 49-54, 1999.

6. A. Laub. A Schur method for solving algebraic Riccati equations. IEEE Trans. Automat. Control, 24: 913-921, 1979.

Department of Automatics Technical University–Sofia, Kliment Ohridski blvd. 8 1000 Sofia BULGARIA E-mail:[email protected], [email protected]

Department of Mathematics University of Architecture Sivil Engineering and Geodesy Hristo Smirnenski blvd. 1 1046 Sofia BULGARIA E-mail: [email protected]

- 53 -



ALGORITHMS FOR DIRECT TUNNING OF CONTINUOUS ANALOGUE PID CONTROLLERS WITH GUARANTED

STABILLITY AND QUALITY

LUCHEZAR TOMOV, EMIL GARIPOV

Abstract. Numbers of cases for which the well-known direct tuning methods for analogue PID controllers do not guarantee stability of the Control Systems (CS) are observed here. The main reasons for that are analyzed. New algorithms for direct tuning are derived on the basis of this analysis. Thee algorithms guarantee stability of the CS. The second one guarantees also improvement of the quality of the CS.

Key words: PID control, gain margin, direct tuning.

АЛГОРИТМИ ЗА ПРЯКО НАСТРОЙВАНЕ НА АНАЛОГОВИ ПИД РЕГУЛАТОРИ С ГАРАНТИРАНА УСТОЙЧИВОСТ И КАЧЕСТВО

1. Въведение

Съществува набор от класически методи [1],[2], [3] за пряко настройване на ПИД регулатори, използващи критични показатели - коефициент на усилване при който затворената система с обратна връзка и П регулатор изпада в автоколебателен режим и период на автоколебанията. Тези показатели съответно са еквивалентни на запаса на устойчивост на САУ по амплитуда и честотата, при която амплитудата достига стойност 0 dB с точен модел на обекта. За тези методи се предполага, че гарантират устойчивост на САУ с ПИД регулатор, което се оказва, както е показано от автора в [3] с конкретен пример, невярно. Причината за това е, че се прави аналогия между запасите на устойчивост на САУ с модел на обекта и П регулатор и САУ с модел на обекта и ПИД регулатор. Внесената от ПИД регулатора под формата на интегрираща и диференцираща част динамика се пренебрегва при настройването. Пренебрегването, обаче води до това, че на САУ с ПИД регулатор и обект не може да се гарантира устойчивост. Поради тази причина авторът е разработил два итеративни алгоритъма за настройване. Първият алгоритъм – Алгоритъм на Порт фолиото създава n на брой алтернативни настройки на основните параметри на регулатора. Вторият алгоритъм – Алгоритъм на Многократно Вложено Настройване е по – прост, създава само една настройка на параметрите на регулатора, но има сравнително по – широки възможности за влияние върху качеството на САУ от първия. В глава 2 е обяснена накратко теоретичната постановка на проблема. В глава 3 са описани алгоритмите за директно настройване, разбити стъпка по стъпка. В глава 4

- 54 -

са представени три тестови модела под формата на предавателни функции, за които никой от класическите методи не дава устойчиво настройване. Върху тях са приложени и сравнени описаните в глава 2 алгоритми.

2. Теоретична постановка Въвежда се за нуждите на конкретните разсъждения твърдението, че

предавателната функция на обекта ни е известна и тя е означена с ( )pW0 . Преките методи за настройване, използвани в този доклад, търсят запаса по модул и срязващата честота на обекта с предавателна функция ( )pW0 . Известно е от класическата теория на управление, че ако обектът се върже с П регулатор и системата се затвори с обратна връзка, то тази САУ ще се разколебае за стойност на коефициента на усилване на П регулатора pK равна на запаса по модул mG , т.е. за mp GK < , САУ е устойчива. Тези методи използват критичните показатели uK и uT , по които се настройват pK , iT и dT . Смята се, че за mp GK < , uid TTT << , САУ е устойчива.

Това не може да се гарантира теоретично. САУ с П регулатор и обект е частен случай на САУ с ПИД регулатор и обект за ∞=iT и 0=dT . Веднъж, когато бъдат настроени iT и dT , uK се променя, като в общия случай не може да се каже в каква посока. Може да се достигне до случай, в който pu KK < и САУ е настроена неустойчиво, както е показано в глава 3.

Теоретична постановка на Алгоритъм на Порт фолиото. При този метод първоначално се настройват времеконстантите на ПИД

регулатора и след това се търси критичния коефициент K ( 1=pK ) на САУ. Ако той е по – малък от предложения от метода pK , то системата ще е неустойчива, ако методът се приложи. Най – простият начин да се гарантира стабилност е да се избере KK p < в пропорцията, в която се предлага от метода. Така пренастроената САУ очевидно е устойчива. Тук възниква въпросът за качеството (бързина на преходните процеси, запаси на устойчивост) на управление. Върху него може да се влияе чрез другите параметри на ПИД регулатора – iT и dT . Първият алгоритъм постига подобряване на качеството на системата, чрез описаното по – горе пренастройване за няколко известни метода. По този начин се създават няколко алтернативни настройки на ПИД регулатора, една които се избира от потребителя на алгоритъма по негов субективен критерий. По този начин се оставя свобода за потребителско доразвиване на този алгоритъм.

Теоретична постановка на Алгоритъм на Многократно Вложено Настройване При този метод също първоначално се настройват времеконстантите на ПИД

регулатора и след това се търси критичния коефициент K ( 1=pK ) на САУ. Ако той е по – малък от предложения от метода pK , то системата ще е неустойчива, ако методът се приложи. Тук, за разлика от първия алгоритъм не се променя само коефициентът на усилване pK , но и времеконстантата на диференциране dT . Този алгоритъм използва метода на Ziegler-Nichols-2, тъй като Astrom-Hagglund поради особеностите на своите функции дават в някои случаи по – висок коефициент на усилване от критичния показател при многократно влагане.

Многократното влагане по своето същество означава многократно рекурсивно пренастройване на pK и dT с критичните показатели на САУ с ПИД регулатор от предишни итерации. Началните настройки се дават от метода за настройване, приложен върху критичните показатели на САУ с П регулатор.

- 55 -


Много често причина за неустойчивостта при настройване с метода на Ziegler-Nichols-2 е високата стойност на dT . Увеличаването и води до изместване на честотата на срязване (честотата, при която фазовата характеристика на САУ достига – 180 градуса) надясно. Това изместване води до намаляване на стойността на uT (с ПИД регулатор) и оттам – до намаляване във втората итерация на стойността на dT . Ако стойността на dT е твърде малка, това води до изместване на срязващата честота наляво и оттам до увеличаване на dT . Устойчивостта на алгоритъма по отношение на устойчивост на САУ е гарантирана, поради това, че се взима реалния критичен коефициент на усилване на САУ, а не на модела. Устойчивостта на алгоритъма по отношение на сходимостта към оптималната стойност на dT на този етап не е теоретично гарантирана. Затова алгоритъмът запазва данни от всяка итерация и може да бъде избрано от инженера, което и да е решение, а не само последното.

3. Описание на алгоритмите за пряко настройване. 3.1.Алгоритъм на Порт фолиото Този алгоритъм използва в основата си класическите методи за настройване с

двукратно вложено настройване. Тук са изпозлвани методите Ziegler-Nichols 2, модифициран Ziegler-Nichols, Hang-Astrom-Ho, Astrom-Hagglund. По – долу е представен алгоритъмът, разбит в стъпки.

Стъпка 1. Избор на начален метод за настройване. Този избор се прави от инженера, който прилага алгоритъма. Стъпка 2..Изчисляване критичните показатели и на параметрите за настройка по

избрания начален метод за САУ с модел на обекта и П регулатор. Стъпка 3. Изчисляване на критичния коефициент на усилване за САУ с модел на

обекта и добавения ПИД регулатор с настройките от Стъпка 2 ( 1=pK ). Ако критичният коефициент на усилване от Стъпка 3 е по – голям от

коефициента на усилване pK , изчислен в Стъпка 2 , алгоритъмът спира и връща параметрите от Стъпка 2.

Ако критичният коефициент на усилване от Стъпка 3 е по – малък от коефициента на усилване pK , изчислен в Стъпка 2 , настройването е неустойчиво. Прилага се пак началния метод за настройване, но се използва новия критичен коефициент на усилване. Пренастройва се единствено pK . Снемат се преходните процеси в САУ с пренастроения ПИД (симулация в MATLAB е препоръчителен вариант) и данните се запазват във файл.

Стъпка 4. Избира се произволно друг метод за настройване и се повтарят Стъпка 2 и Стъпка 3 спрямо него с тази разлика, че при устойчиво настройване Стъпка 3 не се изпълнява и се запазват във файл данните от първоначалното настройване.

Стъпка 5. Повтаря се Стъпка 4 до изчерпване на методите за настройване. Стъпка 6. Извършва се сравнение на качеството на настройване в САУ в портфо-

лиото (набора от различни настройки на параметри на ПИД регулатора) и се избират от прилагащя алгоритъма инжененер подходящите настройки на ПИД регулатора.

- 56 -

3.2 Алгоритъм на Многократно Вложено Настройване Този алгоритъм се прилага върху класическия метод Ziegler-Nichols-2. Стъпка 1. Изчисляване критичните показатели и на параметрите за настройка по

Ziegler-Nichols-2за САУ с модел на обекта и П регулатор. Стъпка 2. Изчисляване на критичния коефициент на усилване за САУ с модел на

обекта и добавения ПИД регулатор с настройките от Стъпка 1 ( 1=pK ). 2.1.Ако критичният коефициент на усилване от Стъпка 2 е по – голям от

коефициента на усилване pK , изчислен в Стъпка 1 , алгоритъмът спира и връща параметрите от Стъпка 1.

2.2. Ако критичният коефициент на усилване от Стъпка 2 е по – малък от коефициента на усилване pK , изчислен в Стъпка 1 , настройването е неустойчиво. Прилага се пак началния метод за настройване, но се използват новите критични параметри. Пренастройват само pK и dT . Снемат се преходните процеси в САУ с пренастроения ПИД (симулация в MATLAB е препоръчителен вариант) и данните се запазват във файл. СТЪПКА 3. ВЪРХУ ПРЕНАСТРОЕНАТА САУ С ПИД РЕГУЛАТОР СЕ СНЕМАТ КРИТИЧНИТЕ ПАРАМЕТРИ И ТЯ ОТНОВО СЕ

НАСТРОЙВА ПО НАЧАЛНЯ МЕТОД. Снемат се преходните процеси в САУ с пренастроения в ПИД и данните се

запазват във файл.

Стъпка 4. Повтаря се Стъпка 3 до постигане на желано от инженера качество или до изчерпване на зададен от него брой итерации. 4. Резултати Тестовите модели, използвани за верификация на алгоритмите са дадени съответно на (1), (2), (3). Първият тестови модел е разглеждан в предишен доклад [2]. За него е предложена частна методика за настройване, но тук върху него ще бъдат приложени описаните алгоритми. За тези модели никой от използваните методи за пряко настройване никой не дава устойчивост, както може да се види от Фиг.1а-в (използван е Astrom-Hagglund 1.4 метод). В този доклад са представени резултатите само за модел (2), с оглед ограниченията на обема на работата, но авторите могат да представят изследванията и за другите два модела на желаещите да разгледат работата на двата алгоритъма за пряко настройване.

peppp

ppW 123 117215

13)( −

+++

+−= (1)

pe

pppppW 1

234 114171314

1)( −

++++= (2)

( )114171314

1)(234 ++++

=ppppp

pW (3)

- 57 -


(а)

(б)

(в) Фигура 1. Управляван сигнал на САУ с модел (1) – (а), модел (2) – (б) и модел (3) – (в),

настроена по Astrom-Hagglund 1.4

4.1. Алгоритъм на порт фолиото За краткост тук няма да бъдат показвани всички настройки от протфолиото, а

само най – добрата от тях. Критичните показатели на модел (2) са 000743.6=uK , 706107.7=uT . На Табл.1 са показани критичните коефициенти на суилване на САУ с

ПИД регулатор ( 1=pK ) за съответния метод, а на Табл.2 са дадени стойностите на пренастроените коефициенти на ПИД регулатора.

Таблица 1 Критичен коефициент на усилване на САУ с ПИД по методи

Метод uK Hang-Astrom-Ho 1.532403643410824 Ziegler-Nichols 2 1.532403643410824

Ziegler-Nichols 2 c=-0.42-0.36i 0.823626342624937 Astrom-Hagglund M=1.4 1.082899247683923 Astrom-Hagglund M=2 1.672631977356676

Таблица 2 Коефициенти на ПИД регулатора по методи Метод pK iT dT

Hang-Astrom-Ho 0.919442186046494 3.853053429809602 0.963263357452401 Ziegler-Nichols 2 0.919442186046494 3.853053 0.963263357452401

Ziegler-Nichols 2 c=-0.42-0.36i

0.345923063902473 5.333211020877229 1.333302755219307

Astrom-Hagglund M=1.4

0.330069560168203 4.441291003343117 1.144628593892054

Astrom-Hagglund M=2

0.509821114263561 3.699854435903237 0.929731349024977

За най – добро решение авторите избраха Astrom-Hagglund M=2, като компромис между бързодействие на системата и запасите и по амплитуда и фаза. Управляваният и управляващият сигнал са показани съответно на Фиг.1 (а) и Фиг.1 (б).

- 58 -

(а)

(б)

Фигура 1. Управляван (а) и управляващ (б) сигнал – най – добро решение

3.2. Алгоритъм на многократно вложено настройване В Табл.3 и Табл.4 са показани по итерации съответно критичните параметри и

коефициентите на ПИД регулатора, настроени по тях. На Фиг. 2 и Фиг.3 са показани управляващият и управляваният сигнал на САУ при втора и трета итерация (в първата итерация САУ е неустойчива).

Таблица 3 Критични параметри на САУ по итерации Итерация uK uT

(1) 6.000743 7.706107 (2) 1.532403643410824 6.213593640311934 (3) 2.317449154217952 6.358714839076074

Таблица 4 Коефициенти на ПИД регулатора по итерации Итерация pK iT dT

(1) 3.600446 3.853053 0.963263 (2) 0.919442186046494 3.853053 0.776699205038992 (3) 1.390469492530771 3.853053 0.794839354884509

- 59 -


(а)

(б)

Фигура 2. Управляван (а) и управляващ (б) сигнал – итер. (2)

(а)

(б)

Фигура 3. Управляван (а) и управляващ (б) сигнал – итер. (3)

4. Заключение

В доклада бяха представени два алгоритъма за многократно настройване по известни от литературата преки методи с пропорционален регулатор. В основата на алгоритмите е настройване на САУ с включената динамика от ПИД регулатора, което гарантира устойчивост на настройването, а при втория алгоритъм води и до подобряване на качеството на преходните процеси. Тези алгоритми съдържат голяма свобода в себе си и могат да бъдат видоизменяни от инженерите за техните специфични нужди.

ЛИТЕРАТУРА 1. KJ Astrom and T. Hagglund. Automatic Tuning of PID Controllers. Instrument

Society of America, Research Triangle Park, NC, 1988 2. Ziegler, Nichols (1942): "Optimum settings for automatic controllers", Trans. ASME,

64, pp. 759-768.

- 60 -

3. CC Hang, KJ Astrom, WK Ho IEE proceedings. Part D. Control theory and applications 138:22, 111-118

4. Л. Томов, Гарипов, Е. Възможности за управление на някои особени динамични системи с ПИД регулатор, 4-а Национална младежка научно-приложна сесия (19 Май, 2006) Department of Systems and Control, Faculty f Automatics Technical University–Sofia, 8, Kl. Ohridski Str. 1000 Sofia BULGARIA E-mail:[email protected]

- 61 -


©Journal of the Technical University at Plovdiv “Fundamental Sciences and Applications”, Vol. 13(4), 2006 Anniversary Scientific Conference’ 2006 BULGARIA MATRIX METHOD FOR GENERALIZED DISCRETIZATION

OF TRANSFER FUNCTIONS TRHOUGH FORMAL REPLACEMENT WITH FIRST ORDER OPERATOR

LUCHEZAR TOMOV

Abstract. A new matrix method for discretization through author generalized associative

oeprator is derived. Continuous transfer functions from 1st to 4th order are examined. The so-called matrixes of discretization are calculated for these functions in generalized type. The determinants of these matrixes are calculated. A comparison between the traditional matrix methods and the authors method has been made.

Key words: transfer functions, generalized discretization, linear algebra

МАТРИЧЕН МЕТОД ЗА ОБОБЩЕНА ДИСКРЕТИЗАЦИЯ НА ПРЕДАВАТЕЛНИ ФУНКЦИИ ЧРЕЗ ФОРМАЛНО ЗАМЕСТВАНЕ С

ОПЕРАТОР ОТ ПЪРВИ РЕД 1. Въведение Традиционните методи на дискретизация [1] имат своите силни и слаби страни, които са изследвани в литературата [2]. Бaзирани на крайни разлики, тези трансформации имат ограничения на приложимостта си. Невинаги тези подходи дават добри резултати особено при предавателни функции от по – висок ред, заради акумулиране на грешката от дискретизация. Нужен е нов подход, който да параметризира дискретизацията и да даде възможност за адаптивност и оптималност на трансформирането на диференциалните уравнения в диференчни. Al-Alaoui [5-6] прави една крачка напред в тази посока, като въвежда един клас от интегратори, който е частен случай на авторския асоциативен оператор ,представен в [3], и на α -апроксимацията, представена по – късно в [4]. Този еднопараметричен асоциативен оператор обаче не е достатъчен, за да разшири възможностите на подхода на формалното заместване. Това налага създаване на асоциативен оператор от n-ти ред, идентичен с α -апроксимацията. Приложението на този оператор за дискретизация чрез простото формално заместване е трудна и енергоемка задача, поради което съществуват в литературата [1] разбработени матрични подходи. Тези подходи са изведени за стандартните методи за дискретизация. Тук е представен матричен подход за авторския асоциативен оператор за предавателни функции от първи до четвърти ред. В глава 2 са представени матричните представяния за класическите асоциативни

- 62 -

подходи – Tustin, Euler1 и Euler2. В глава 3 е изведен авторския матричен подход. Някои разсъждения свързващи сингулярността на матрицата на дискретизация с грешката от дискретизация са дадени в глава 4.

2. Подход на матричното описание за стандартни асоциативни методи Непрекъснатата и дискретизирана предавателни функции са показани съответно

на (1) и (2). Връзката между коефициентите на дискретизираната и непрекъснатата матрица са дадени с (3), като nQ е матрица на дискретизацията с размери nn× . Трябва да се отбележи, че коефициентите на непрекъснатата предавателна функция се подреждат в обратен ред преди умножението с матрицата на дискретизация nQ .

( ) ( )( ) n

nnn

nn

apapa

bpbpbpApBpW

+++

+++==

−

−

...

...1

10

110 (1)

( ) ( )( ) *1*

1*

0

*1*1

*0

*

*

...

...

nnn

nnn

azaza

bzbzb

zA

zBzW+++

+++==

−

− (2)

nn

n

n

n Qaaabbb

aaa

bbb⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

... ...

...

...

01

01**

1*

0

**1

*0 (3)

Изведените в литературата [] матрици на дискретизация за, Euler1, Euler2 и

Tustin са показани съответно на Табл.1, Табл2 и Табл.3.

Таблица 1 – Матричен подход за метод на Euler-1 Ред на предавателна

функция/наименование на матрицата на дискретизация

Матрица на дискретизация

1Q ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1-

10 0T

2Q

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

1 2- 1 -

00

20

000

TTT

3Q

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

1- 3 3- 1 2-

- 0

000

20

20

30

00

000

TTTTT

T

4Q

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

1 4- 6 4- 1 - 3 3 - 0

2-

-

0000

20

20

20

30

30

40

00

000

0000

TTTTTTT

TT

T

- 63 -


Таблица 2 – Матричен подход за метод на Euler-2 Ред на предавателна

функция/наименование на матрицата на дискретизация


1Q ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛1-

1

00T

2Q

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

1 2- 1 -

000

00

20

TTT

3Q

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

1- 3 3- 1 0 2- 0 -

000

20

20

30

0

000

TTTTT

T

4Q

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

1 4- 6 4- 1 0 - 3 3 - 2-

- T

0000

20

20

20

30

30

40

00

000

0000

TTTTTTT

T

T

Таблица 3 – Матричен подход за метод на Tustin

Ред на предавателна функция/наименование

на матрицата на дискретизация


1Q

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

1- 2

2

1

00 TT

2Q

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

1 2- 1 2

-

2

4

4

4

00

20

20

20

0

2

TT

TTT

3Q

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

1- 3 3- 1

2

2

- 2

- 2

4 -

4-

4

4

8

8

8

8

0000

20

20

20

20

30

30

30

30 333

TTTT

TTTT

TTTT

- 64 -

4Q

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

1 4- 6 4- 1

4

0 - 2

4

4

2- 4

8

T-

82T

- 8

2T

8T

16

16

16

16

16

20

000

20

20

20

30

30

30

30

40

40

40

40

40

00

0

464

TTT

T

TTT

TTTTT

3. Подход на матричното описание за авторскии асоциативен метод Този метод бе приложен от автора още през 2004г в [], а точната формулировка

му бе публикувана едва наскоро в []. Иразът е даден на (4)

( )( )( )n

nn

n z

zT

p 1

11 0−

+−≈

γγ , [ ]1,0∈γ (4)

3.1. За предавателна функция от 1-ви ред. Приема се че тя е частен случай на предавателната функция от четвърти ред, т.е.

коефициентите на по – високите степени на ( ) ( )( ) 43

43 .apabpb

pApBpW

++

== и

( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )γγ

γγ−+−++−+−++

=1.1.

043043043043

TaazTaaTbbzTbb

zW са нули. Матрицата на дискретизация и нейната

детерминанта са дадени на (5)

( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

1-

11 00

1TT

Qγγ , ( ) 01det TQ −= (5)

3.2. За предавателна функция от 2-и ред.

Непрекъсната предавателна функция е показана на (6), дискретизираната предавателна функция е дадена на (7), а матрицата на дискретизация и нейните детерминанти са представени на (8).

( ) ( )( ) 43

22

432

2 .

apapa

bpbpbpApBpW

++

++== (6)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )22

040322

040032222

04032

2204032

204032

22204032

11.212212

11.212212

γγγγγγγ

γγγγγγγ

−+−−+−+−+−+++

−+−−+−+−+−+++=

TaTaazTaTTaazTaTaa

TbTbbzTbTbbzTbTbbzW

(7)

( ) ( )( ) ( )

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

=1 2- 1

-

γγγγγγγ

12111

000

220

20

220

2 TTTTTT

Q , ( ) 302det TQ −= (8)

- 65 -


3.3. За предавателна функция от 3-и ред. Непрекъсната предавателна функция е показана на (9), дискретизираната предавателна функция е дадена на (10), а матрицата на дискретизация и нейните детерминанти са представени на (11).

( ) ( )( ) 43

22

31

432

23

1 .

apapapa

bpbpbpbpApBpW

+++

+++== (9)

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ...

13323133

13323133223

042

03021333

0422

03021

22304

203021

33304

2203021

+−+−+−+−++++

+−+−+−+−++++=

zTaTaTaazTaTaTaa

zTbTbTbbzTbTbTbbzW

γγγγγγγγ

γγγγγγγγ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )33

0422

0302123

042

03021

3304

2203021

2304

203021

111.13311233

111.1331

1233...

γγγγγγγγ

γγγγγγγγ

−+−−−+−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+−+

−+−−−+−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+−+

TaTaTaazTаTаTаа

TbTbTbbzTbTbTbb

(10)

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−

−−−

=

1- 3 3- 1

-

3 3 2

γγγγ

γγγγγγ

γγγγγγ

12331

131

132

111

0000

220

20

20

220

330

30

230

330

3TTTT

TTTT

TTTT

Q , ( ) 603det TQ = (11)

3.4. За предавателна функция от 4-и ред.

Непрекъсната предавателна функция е показана на (12), дискретизираната предавателна функция е дадена на (13), а матрицата на дискретизация и нейните детерминанти са представени съответно на (14а) и (14б).

( ) ( )( ) 43

22

31

40

432

23

14

0 .

apapapapa

bpbpbpbpbpApBpW

++++

++++== (12)

( ) ( )( ) ...

44404

3303

2202010

44404

3303

2202010

zTaTaTaTaa

zTbTbTbTbbzW

γγγγ

γγγγ

++++

+++++=

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ...

1443212414

1443212414...

33404

230302010

33404

230302010

+−+−+−+−+−

+−+−+−+−+−

zTaTaTaTaa

zTbTbTbTbb

γγγγγγγ

γγγγγγγ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )...

1621136611236

1621

136611236...

222404

303

2202010

222404

303

2202010

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−++−+−+

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−++−+−+

zTaTaTaTaa

zTbTbTbTbb

γγγγγγγγ

γγγγγγγγ

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ −−−−+−

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−−+−

zTaTaTaTaa

zTbTbTbTbb

3404

2303

202010

3404

2303

202010

144114

2114434

1441

1421

14434...

γγγγγγγ

γγγγγγγ

- 66 -

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2 32 3 40 1 0 2 0 3 0 4 0

2 32 3 40 1 0 2 0 3 0 4 0

1 14 3 4 4 1 4 1 4 12 4

... ...1 14 3 4 4 1 4 1 4 12 4

b b T b T b T b T z

a a T a T a T a T z

γ γ γ γ γ γ γ

γ γ γ γ γ γ γ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − − − − − − − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − − − − − − − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠

( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )44

0433

0322

02010

4404

3303

2202010

1111

1111...γγγγ

γγγγ

−+−−−+−−

−+−−−+−−

TaTaTaTaa

TbTbTbTbb (13)

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+−−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−

−−−−

=

1 4- 6 4- 1 - 3

4 2

- 4- 3

4 6 4 32

γγγγγ

γγγγγγγγ

γγγγγγγγγ

γγγγγγγγ

1431241

121166121

1411

21143

1111

00000

220

20

220

20

220

330

230

30

230

330

440

40

240

340

440

4

TTTTT

TTTTT

TTTTT

TTTTT

Q

(14а)

( ) ( )1312249327639026472det 23456781004 +−+−+−+−= γγγγγγγγTQ (14б)

3.5. Обобщено представяне на резултатите. Матриците на дискретизация са показани в таблица, на Табл.4

Таблица 4 – Матричен подход за обобщен асоциативен метод на дискретизация

Ред на предавателна функция/наименование

на матрицата на дискретизация

Матрица на дискретизация в обобщен вид.

1Q ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

1-

11 00

1TT

Qγγ

2Q ( ) ( )( ) ( )

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

=1 2- 1

-

γγγγγγγ

12111

000

220

20

220

2 TTTTTT

Q

3Q ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−

−−−

=

1- 3 3- 1

-

3 3 2

γγγγ

γγγγγγ

γγγγγγ

12331

131132

111

0000

220

20

20

220

330

30

230

330

3TTTT

TTTT

TTTT

Q

- 67 -


4Q ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+−−

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−

−−−−

=

1 4- 6 4- 1 - 3

4 2

- 4- 3

4 6 4 32

γγγγγ

γγγγγγγγ

γγγγγγγγγ

γγγγγγγγ

1431241

121166121

1411

21143

1111

00000

220

20

220

20

220

330

230

30

230

330

440

40

240

340

440

4

TTTTT

TTTTT

TTTTT

TTTTT

Q

4. Критерий за точност на дискретизацията Може да се види от (5), (8) и (11), че когато 0T клони към нула, ( ) 4,1,det =iQi също клони към нула, т.е. матрицата се приближава до сингулярност. Интуитивно е лесно да се свърже намаляващата грешка от дискретизация с приближаването до сингулярността на матрицата на дискретизация. Към тези интуитивни разсъждения може да се добави фактът, че детерминантата на матрицата на дискретизация на предавателна функция от четвърти ред има глобален минимум за стойност, твърде близка на стойността, отговаряща на частния случай – методът на Al-Aloui. За него от литературата е известно, че дава най - добри резултати сред асоциативните методи при дискретизация на предавателни функции от по – висок ред. Полиномът, функция на γ е показан на Фиг.1. Оптималната стойност е γ =0.86969561694320844895156635954339. Може да се изкаже следната хипотеза:

H1. Ако ( ) ( )( ) yy0

discreteanalogue∫ −=∞

dttt 2)1( minγγ , ( ) ( )γkm

n PTQ 0det = , !, nkm < и

( ) γγ γ kPmin)2( = , то )2()1( γγ ≈ .

Фигура 1. Стойност на коефициента пред детеримантата на матрица от четвърти

ред като функция на γ

- 68 -

5. Заключение В доклада бе представен обобщен асоциативен метод за дискретизация в матрична форма, която е удобна за употреба и програмна имплементация. Изказани бъаха съображения за връзката точността на дискретизацията и близостта до сингулярност на матрицата на дискретизация. В бъдещи публикации, този и други обобщени матрични методи ще бъдат изследвани за абсолютна устойчивост (устойчива дискретизация независимо от големината на 0T ) .

ЛИТЕРАТУРА

[1] Гарипов Е. Идентификация на системи: I и II част (второ преработено издание). ТУ - София, 2004, 273 стр.

[2] Boxer, R. and Thaler, S. "A Simplified Method of Solving Linear and Nonlinear Systems." Proc. IRE 44, 89-101, 1956.

[3] Гарипов, Е., Л. Томов. Проектиране и реализиране на универсален цифров ПИД регулатор с обобщена дискретизация. Годишник на ТУ-София, т. 54, кн. 1, 2004 (Юбил. научна конф.на ФА при ТУ-София, Октомври, 2004), 25-32.

[4] T. B. Sekara and M. R. Stojic, “Application of the α-approximation for disretization of analogue systems,” Facta Universitatis, Ser.: Elec. and Energ., no. 3, pp. 571– 586, Dec. 2005.

[5] M. Al-Alaoui, .Novel digital integrator and differentiator,. Electron. Lett., vol. 4, no. 29, pp. 376.378, 1993.

[6] M. Al-Alaoui, .Filling the gap between the bilinear and the backward-difference transforms: An interactive design approach.. Int. J. Elect. Enging. Educ., vol. 34, pp. 331.337, 1997.

Department of Systems and Control, Faculty f Automatics Technical University–Sofia, 8, Kl. Ohridski Str. 1000 Sofia BULGARIA E-mail:[email protected]

- 69 -



PLANT PARAMETERS VARIATION INFLUENCE ON THE QUALITY PERFORMANCE IN FRACTIONAL CONTROL

SYSTEM

MILKA UZUNOVA

Abstract. The paper show an application methods using a non-integer control algorithms. The main aims is to present how change the system comportment under plant parameters variations. On past basis made in previous researches was shown how the non-integer order influence on the system comportment and on the quality performances. Cause of this is the reason to continue the research in other direction and finally to achieve this elaboration. The gain, temporary constant and delay variation exert influence on the temporary and frequency characteristics and this is presented in the follow paper. Key words: fractional system, non-integer order, parameters variation, plant performance.

ВЛИЯНИЕ НА ПРОМЯНАТА НА ПАРАМЕТРИТЕ НА ОБЕКТА ВЪРХУ КАЧЕСТВОТО НА СИСТЕМИ ЗА УПРАВЛЕНИЕ ОТ НЕПЪЛЕН РЕД


При всеки технологичен процес стремежът за получаване на определени качествени и количествени показатели е от съществена роля и главна цел на управлението. Във своето функциониране управляващите фактори не са единствените въздействия, които влияят пряко на процесите и обектите. Съществуват допълнителни влияния, които могат да доведат до влошаване на желаните характеристики и да променят структурата и параметрите на модела на обекта. Как тези промени в параметрите и структурата на модела на обекта влияят на технологичните процеси е основна цел на настоящата разработка. Началните условия са номинален модел на обекта и настроен към него фрактален регулатор [4, 5].

2. Описание на методите за изчисляване на сила Фрактално управление е получено, посредством рационално апроксимиран

фрактален регулатор по метода на A. Oustaloup [1-3]. Този метод се състои в достигане до честотно отношение на n-брой форсиращи звена [1-5], които формират структурата и типа на алгоритъма за фракталното управление в системата. Това честотното отношение на всяко звено обуславя появата на честотно ограничен диапазон, в който показателите на качеството на системата не се изменят. Това е характерно за системите с управление от непълен ред [1, 2, 4]. Основен, за тях, се явява критерия за инвариантност на запасите на устойчивостта, характерен с константна стойност на запаса по фаза в околност на срязващата честота. За конкретните цели на разработката

- 70 -

не се изисква да се покаже метода за синтез на фракталния регулатор. Нужно е да се покаже как влиянието на външни и вътрешни смущаващи фактори, изразяващи се в промяна на параметрите на модела на обекта, променят количествено качеството системата, оценено посредством времевия и честотен анализ. При номиналния модел на обекта (1.a) и (1.б) и управляващото въздействие (2), ще се отчита влиянието на промените в параметрите на обекта и съответно влиянието им върху преходните и честотни характеристики. В предишни разработки бяха разгледани статични и астатични системи при различно синтезирани фрактални управляващи въздействия (фрактален ПИД и фрактален И регулатори), но при критерии: промяна на непълния ред на синтез на фракталния регулатор (n’=var); определен запас по фаза; определен показател на колебателност, които са в пряка аналитична зависимост (3) [1-3] . Тази промяна даде една насоченост при изследване на класа фрактални регулатори. Именно поради тази причина настоящата разработка цели да покаже как смущаващите въздействия, променящи параметрите на обекта (4) (статичен коефициент к, времеконстанта Т, времезакъснение τ) също променят количествените показатели на качество на системите (запас по модул, запас по фаза, показател на колебателност).

Номиналния модел на обекта (1.а) е следния:

( )( )( )

p2p

oб

oбобект e

1p7.150

14.1e

1pT

k

pE

pSpW oб 50.6--

+=

+== τ , (1.а)

след рационализиране на времезакъснението чрез ред на Паде се достига до крайния вид на модела на обекта, използван при изследванията и симулационния анализ в Matlab / Simulink.

( )0002.0p0239.0p

0002.0p0239.0p

1p7.150

14.1e

1p7.150

14.1pW

2

2

p2обект

++

+−

+=

+= 50.6- (1.б)

На база честотната рационална апроксимация [1-5] за получаване на фрактални регулатори се достига до вида на управляващото въздействие (2):

( )( )

( )

DNEDNE

INE

INE

регулатор

1p004996.0

1p232051.0

1p024727.0

1p148346.1

1p1223827.0

1p683433.5

1p6057.0

1p1286.28

1p1827364.3

1р015304561.0

1p6960715.0

1p0149884.0

1p445039.3

1p074183.0

1p0503.17

1p367148.0

1p38589.84

1p8171.1

1p04591.0

1р54821.271р1.0

p1.0

000017.0pW

o

o

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+

+

+

+

+

+

+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

++

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

+

+

+

+

+

+

+

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

++=

(2)

Съществена роля при фракталните алгоритми и тяхната рационална апроксимация играят някой зависимости на показателите на качество на системите и синтезирания непълен ред (3):

( ),

Q

1arcsin

2n'm

Q

1arcsin

2'n

2'nsin

1Q

иF

12n'm

F12'n

2'nF

m

m

m

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⇔=

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⇔−=

π

ππ

π

ππ

ππ

(3)

;остколебателннапоказателQ;фазапозапасF;регулаторфракталенссистемаотворенатанамоделанаредm

;обектанамоделанаредn;регулаторанаияапроксимацфракталнанареднепълен'n:където

m −−−−−

Критерия за синтез в разработката е промяна на параметрите к и Т на обекта (4).

- 71 -


⎪⎩

⎪⎨⎧

==

==

]800;500;300;7.150[]Т;Т;Т;Т[Т

]5;4;3;14.1[]k;k;k;k[k

3сму2сму1смуномоб

3сму2сму1смутномоб (4)

3. Резултати За конкретни числен пример – статична система (Фиг.1): модел на обекта (1.б) и ПИД фрактален регулатор (2) при критерии (4) са изследвани преходните характеристики при единичен стъпаловиден сигнал и честотните характеристики. В заключение ще се отчете влиянието на промяната на (4) върху показателите на качеството на системата.

IINENE регулаторрегулатор

DDNENE регулаторрегулатор

WWобектобект++++

+ + || kkрегулаторрегулатор

yyoo

u(pu(p)) yy

ПИДПИД фракталенфрактален регулаторрегулатор

p1.0

1p1.0 +

Фиг.1. – САР: статична система с апроксимиран ПИД фрактален регулатор

Изследвани са фрактални системи синтезирани за три различни стойности на непълен ред. Тъй като n’ се променя от 0 – 3 (тъй като реда на модела на обекта е също 3, то следователно непълния ред на синтез не може да надвишава реда на модела на обекта), то се разграничават три области, за които аналитично е изчислен запаса по фаза:

- за 0< n’<1 – с промяна на запаса по фаза на системата от 180 º до 90º ; - за 1< n’<2 – с промяна на запаса по фаза на системата от 90 º до 0º ; - за 2< n’<3 – с промяна на запаса по фаза на системата от 0 º до -90º ;

За всяка област се поставя задачата да се изследва влиянието на промяна на параметрите на модела на обекта върху качеството на системата. В предишни разработки беше показано, че непълният ред, означава фиксиране на запаса по фаза с точно определена стойност, изчислено аналитично (3). Промяната на непълния ред също оказва влияние върху преходните функции и върху честотните характеристики. От една страна непълният ред на синтез влияе върху анализа на системата, а промяната на параметрите също променя характеристиките, което се отчита след направения симулационния анализ. Точното влияние от промяната на статичния коефициент са показани на преходните характеристики Фиг. 2(а, б, в)., Фиг. 3(а)., честотните характеристики Фиг.3(б) и Фиг.4(а, б, в). и при промяна на времеконстантата Фиг. 5(а, б, в)., Фиг. 6(а, б, в). 3.1 Промяна на статичния коефициент к: В настоящата работа се синтезират три системи: при n1’=0.7; n2’=1.5 и n3’=2.5 с промяна на статичния коефициент к и времеконстантата Т (4). Нужно е да се наблюдава кой от параметрите влияе и променя съществено устойчивостта на системата, респективно показателите на качество. От преходните функции и от честотните характеристики може да се съди за влияние при промяната на параметрите на системите, синтезирани за трите основни области на изменение на непълния ред на фрактална апроксимация n’. Изследването е направено за статичен обект с ПИД фрактален регулатор.

- 72 -

а)0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 104

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Time (sec)

Ampl

itude

(-)

Step response du Systeme Force

Кном=1.14Ксмут=3Ксмут=4Ксмут=5

б) 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

Time (sec)

Ampl

itude

(-)



в)0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Time (sec)

Ampl

itude

(-)



Фиг. 2. Преходни процеси при промяна на статичния коефициент к на модела на обекта

за системи от непълен ред: а) n1’=0.7; б) n2’=1.5; в) n3’=2.5.

От графичните зависимости се вижда, че при непълен ред n3’ промяната на статичния коефициент оказва най-силно влияние върху устойчивостта на системата Фиг.2(в). Тук се забелязват колебателни процеси с увеличаване на времеконстантата и значително понижение на запаса по модул и фаза на системата. За разлика от системите от нисък непълен ред, при които значителното нарастване на к няма да доведе до неустойчивост на системата, то при системите от висок непълен ред итеративно се достига до граничната стойност на коефициента кгр=6.64 – Фиг.3(а,б). При стойности на к>кгр , системата губи устойчивост.

а)0 2 4 6 8 10 12

x 105

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)


б)-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)

Nyquist plot Systeme Force

кном = 1.14

кгр = 6.64

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


кном = 1.14

кгр = 6.64

Фиг. 3. Гранични стойности на статичния коефициент за система от непълен ред n3’: а) преходна характеристика; б) честотна характеристика в пространството на Nyquist.

- 73 -


а) -180 -150 -100

-30

-20

-10

0

10

20

3020

log1

0[G

(jw)]

(db

)

Frequence (rad/s)

Nichols plot Systeme Force

Kном=1.14Ксмут=3Ксмут=4Ксмут=4

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

-100

-50

0

50

100

20.lo

g10[

G(jw

)] (

db)

Bode plot System Force

10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1-200

-100

0

100

200

Frequency (rad/sec)

Pha

se

(deg

)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


б) -180 -160 -140 -120 -100 -80

-20

-10

0

10

20

30

40

50

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Frequence (rad/s)


Kном=1.14Ксмут=3Ксмут=4Ксмут=5

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1-100

-50

0

50

10020

.log1

0[G

(jw)]

(db)

Bode plot Sy stem Force

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1-200

-100

0

100

200

Frequency (rad/sec)

Phas

e (d

eg)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


в) -180 -160 -140 -120 -100 -80

-20

-10

0

10

20

30

40

20lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Frequence (rad/s)



10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1-100

-50

0

50

100

20.lo

g10[

G(jw

)] (d

b)

Bode plot System Force

10-7

10-6

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1-200

-100

0

100

200

Frequency (rad/sec)

Phas

e (d

eg)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)Nyquist plot Systeme Force

Фиг. 4. Честотни характеристики (в пространството на Black-Nichols, Bode, Nyquist) при промяна на статичния коефициент к на модела на обекта за системи от непълен

ред: а) n1’=0.7; б) n2’=1.5; в) n3’=2.5. 3.2 Промяна на времеконстантата Т: След отчитане на влиянието на устойчивостта на системите от непълен ред при промяна на статичния коефициент, си поставяме задачите: да се определи до каква степен качеството на системите от непълен се влияе от промяната на времеконстантата Т в обекта; до колко тя променя количествените показатели на качеството на системата. Резултатите са показани на Фиг. 5. (времеви характеристики ) и Фиг.6. (честотни характеристики).

- 74 -

а) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 105

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de

(-)


0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25

x 104

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

0.16

Tim e (sec)

Ampl

itude

(-)

Step response du Sys teme Force

Тном=150.7 сек.

Тсмут=800 сек.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 105

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de

(-)


0.8 0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25

x 104

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

0.15

0.16

Tim e (sec)

Ampl

itude

(-)

Step response du Sys teme Force



б) 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de

(-)




0 2000 4000 6000 8000 10000 120000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Time (sec)

Am

plitu

de

(-)




в) 0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)




0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 90000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Time (sec)

Am

plitu

de (

-)




Фиг. 5. Преходни процеси при промяна на времеконстантата Т на модела на обекта за

системи от непълен ред: а) n1’=0.7; б) n2’=1.5; в) n3’=2.5.

а)

-0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0

-0.1

-0. 08

-0. 06

-0. 04

-0. 02

0

0. 02

0. 04

0. 06

0. 08

Real (j w)

Imag

(jw

)

Nyquis t plot S ys teme Force

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


-0.35 -0. 3 -0. 25 -0.2 -0.15 -0. 1 -0.05-1. 04

-1. 02

-1

-0. 98

-0. 96

-0. 94

-0. 92

Real (j w)

Imag

(jw

)

Nyquis t plot S ys teme Force-0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0

-0.1

-0. 08

-0. 06

-0. 04

-0. 02

0

0. 02

0. 04

0. 06

0. 08

Real (j w)

Imag

(jw

)


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


-0.35 -0. 3 -0. 25 -0.2 -0.15 -0. 1 -0.05-1. 04

-1. 02

-1

-0. 98

-0. 96

-0. 94

-0. 92

Real (j w)

Imag

(jw

)


б) -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


-0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0. 1 -0. 05 0 0.05 0.1

-0. 03

-0. 02

-0. 01

0

0. 01

0. 02

0. 03

0. 04

0. 05

0. 06

Real (jw)

Imag

(jw

)

Nyqui st plot Syst eme Force

-0. 5 -0.4 -0.3 -0. 2 -0. 1 0 0.1

-1. 02

-1

-0. 98

-0. 96

-0. 94

-0. 92

-0.9

-0. 88

Real (jw)

Imag

(jw

)


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


-0.4 -0.35 -0.3 -0.25 -0.2 -0.15 -0. 1 -0. 05 0 0.05 0.1

-0. 03

-0. 02

-0. 01

0

0. 01

0. 02

0. 03

0. 04

0. 05

0. 06

Real (jw)

Imag

(jw

)


-0. 5 -0.4 -0.3 -0. 2 -0. 1 0 0.1

-1. 02

-1

-0. 98

-0. 96

-0. 94

-0. 92

-0.9

-0. 88

Real (jw)

Imag

(jw

)


- 75 -


в)

-0. 3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05

-0. 01

0

0. 01

0. 02

0. 03

0. 04

0. 05

0. 06

Real ( jw)

Imag

(jw

)

Nyquis t p lot Sys teme Forc e

Tсмут =800 се к. Тно м , n '=2. 5

Tн ом=15 0.7 сек.

Тс мут, n'= 2. 5

Т смут, n '=1. 5

Т ном , n'= 1. 5

Тсм ут, n'= 0. 7

Тн ом , n '=0 .7

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


-0. 35 -0. 3 -0.25 -0. 2 -0.15 -0.1 -0.05

-1

-0. 98

-0. 96

-0. 94

-0. 92

-0.9

Real ( jw)

Imag

(jw

)


-0. 3 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05

-0. 01

0

0. 01

0. 02

0. 03

0. 04

0. 05

0. 06

Real ( jw)

Imag

(jw

)


Tсмут =800 се к. Тно м , n '=2. 5

Tн ом=15 0.7 сек.

Тс мут, n'= 2. 5

Т смут, n '=1. 5

Т ном , n'= 1. 5

Тсм ут, n'= 0. 7

Тн ом , n '=0 .7

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Real (jw)

Imag

(jw

)


-0. 35 -0. 3 -0.25 -0. 2 -0.15 -0.1 -0.05

-1

-0. 98

-0. 96

-0. 94

-0. 92

-0.9

Real ( jw)

Imag

(jw

)


Фиг. 6. Честотни характеристики в пространството на Nyquist n’=0.7;1.5;2.5 при: а) промяна на Т=300 сек., б) промяна на Т=500 сек., в) промяна на Т=800 сек.

Отново за системи апроксимирани с нисък непълен ред (n1’=0.7) се наблюдава малка вариация на преходните процеси при смутен обект от тези изследвани при номинален модел на обекта. За разлика от системите с n’<1, то за другите две области на изменение: за 1<n’<2 се наблюдават поява на колебателни процеси и за n’>2 -процеси с висока степен на колебателност. С това се обуславят и промените в запаса на устойчивостта по модул отчетени в честотната област. Следователно може да се заключи, че при промяна на времеконстантата в обекта значително се променя запаса по модул, докато запаса по фаза се запазва постоянен. Само при системите от висок непълен ред се наблюдава лека вариация на запаса по фаза, което не оказва влияние върху устойчивостта на системата. Изследване с намаляване на времеконстантата на обекта не е показано, тъй като това не води до разлики в процесите и в състоянието на системата, а отношението закъснение/времеконстанта (τ/Т) се увеличава. Увеличавайки Т, τ/Т намалява и става по-малко от единица, което започва да оказва влияние. За изследваните случай отношението на закъснение/времеконстанта е следното: - Тном=150.7 сек. - τ/Т=1.663; - Тсмут=300 сек. - τ/Т=0.83533; - Тсмут=500 сек. - τ/Т=0.5; - Тсмут=800 сек. - τ/Т=0.3135. 4. Заключение На база на направения симулационен анализ може да се обобщи следното: 1) промяната на статичния коефициент влияе по-съществено върху устойчивостта на системата и променя значително показателите на качество от колкото промяната на времеконстантата. За фрактални системи от нисък ред, влиянието не би довело до неустойчивост на системата дори и при значително увеличен статичен коефициент. При системи от непълен ред над 2, стойността на коефициента к дори при леки нараствания би довел до неустойчивост на системата, тъй като фазата на апроксимиран фрактален регулатор от висок ред е много малка. Следователно, имаме значително приближение на ФЧХ на отворената система до фаза –π и бихме отчели малки запаси на устойчивостта при номинален модел на обекта. Изчислено е, че за системи от ред над n’>2 фазата на регулатора варира от 45º (при n’=2) до 0º (при n’=3.1). Фазата на регулатора прибавена към фазата на обекта в системата означава отместване на ФЧХ, т.е. малката стойност на фазата на регулатора, означава незначително фазово отместване на ФЧХ на отворената системата. Това обуславя приближението на системата до точката (0 dB; -180º) и се отчитат силни колебания в преходните характеристики.

- 76 -

2) промяната на времеконстантата обуславя вариации на запаса по модул, което във времевата област се явява причина за появата на силни колебания при системите от непълен ред над n’>2 и промяна на преходния процес от апериодичен към критично-апериодичен за системите с 1<n’<2. На (Фиг. 6) е показан честотния анализ в пространството на Nyquist като се акцентира върху областта на срязващата честота ωср, където се отчита запаса по фаза и на честотата ω-π, където се отчита запаса по модул. За тези честоти се отчита промяната на съответните запасите на устойчивостта, отразяващи количествено качеството на изследваната система, основна цел на настоящата разработка.


1. A. Oustaloup. La dérivation non entière (théorie, synthèse et application), Hermès, Paris, ISBN 2-86601-456-1, 1994.

2. A. Oustaloup. La commande CRONE, Commande robuste d’ordre non entier, Hermès, Paris, ISBN 2-86601-289-5, 1991.

3. A. Oustaloup, М. Benoît. La commande CRONE, du scalaire au multivariable, Hermès, Paris, ISBN 2-7462-0043-0, 1999.

4. Е. Николов. Фрактални алгоритми и режекторни регулатори, ТУ – София, ISBN 954-438-395-6, 2001.

5. Е. Nikolov. Approximations and realizations of the fractal control algorithms. French Department of Electrical Engineering, Doctoral School Technical University–Sofia, 8, bvl. Kliment Ohridsky 14000 Sofia BULGARIA E-mail: [email protected]

- 77 -



ANALYSIS OF DYNAMIC SYSTEMS WITH VARIABLE PARAMETERS IN LAPLACE PLANE

MILENA LYUBENOVA, VESSELA KARLOVA

Abstract. In the present paper analysis of typical dynamic systems in Laplace plane is

performed. Different model parameters are varied. Performance assessment based on classical design parameters is given. The time domain analysis is performed by simulation in MATLAB©. Results are presented in graphical form and in tables. Numeric examples are given.

Key words: PI controller, performance, root locus, root contours, time domain. ИЗСЛЕДВАНЕ НА СИСТЕМИ С ПРОМЕНЛИВИ ДИНАМИЧНИ

ПАРАМЕТРИ В ЛАПЛАСОВАТА РАВНИНА

1. Въведение.

Методът на ходографа на корените (ХК) е разработен за изследване влиянието на един конкретен параметър на система за автоматично регулиране върху качеството във времевата област [5]. Това най-често е общия коефициент на усилване. Функцията на коефициент на Еванс може да бъде изпълнявана от който и да е динамичен параметър на системите, като времеконстанта на обекта за управление, времеконстанта на интегриране, времеконстанта на диференциране и др.

Приложението на ходографа на корените за изследване на качеството на управление, може да бъде разширено чрез добавянето на допълнителни клонове в диаграмата на ХК. Тези клонове представляват промяната на траекториите на корените по отношение на друг (втори или повече) независим параметър на системата, като началото им съответства на дадена стойност на първия варируем параметър. Допълнителните клонове разширяващи традиционния ходограф на корените са познати като контури на корените [1-4]. За построяване на контурите е необходима трансформация на характеристичното уравнение на затворената система във форма на еквивалентна предавателна функция, в която независимия параметър се отделя и изпълнява функцията на коефициент на Еванс.

- 78 -

2. Цел на работата.

Целта на настоящата работа е да се приложи метода на ходографа на корените в съчетание с контурите на корените, за да се изследват интегралните и пропорционални свойства на PI регулатор върху качеството във времевата област. В резултат се избират конкретни стойности на P - и I - съставката определящи желано поведение на системата за автоматично регулиране в преходен режим.

3. Изследване на система за автоматично регулиране чрез помощта на

контурите на корените.

Едно от основните изисквания към системите за автоматично регулиране е грешката в установен режим да е с нулева стойност. При системи от клас нула статичната грешка може да се редуцира с увеличаване на общия коефициент за сметка на бързодействието. Нулева установена грешка при стъпаловиден входен сигнал се постига чрез разполагането на полюс в началото на координатната система в комплексната равнина.

Разглежда се система за автоматично регулиране със структурна схема показана на фиг. 1.

Фиг. 1

Предавателната функция на отворената система съгласно фиг. 1 е

( ) ( )( )1 2

21 ( )

4 8 1k s kG s

s s s s+

=+ + +

,

а характеристичното уравнение на затворената система има вида:

( ) ( )( )1 2

22 1 0

4 8 1k s k

s s s s+

+ =+ + +

.

3.1 Влияние на пропорционалната част.

За да се получат контурите на корените по отношение на 1k е необходимо първоначално да се нулира 2k и да се построи ХК при промяна на параметъра 1k . Получения ХК показва началото на траекториите на допълнителните клонове. Характеристичното уравнение при 2 0k = има вида

( ) 1 3 2

13 1 05 12 8

ks s s

+ =+ + +

.

На фиг. 2 е показан ХК при липса на I - съставка в закона за управление.

- 79 -


Фиг. 2

Граничната стойност на варируемия параметър 1k е 52 . Това е стойността, при

която се получават незатихващи колебания във времевата област, а при понататъшно увеличение на P съставката системата губи устойчивост. В защрихованата зона при стойности на 1k 7, 8, 10= се постига спецификация на качество – пререгулиране около 20% . В този диапазон системата само с пропорционална част може да се разглежда в динамично отношение като система от втори ред, съгласно концепцията за доминиращите корени.

На фиг. 3 са показани преходните процеси при 2k = 0 .

Фиг. 3

- 80 -

С увеличаване на 1k се намалява установената грешка, но се увеличават колебанията както и времето за установяване (табл. 1).

3.2 Влияние на пропорционалната и интегралната част.

Построяването на контурите на корените по отношение на I -съставката изисква модифициране на характеристичното уравнение (2) в (4) за да се обособи втори независим параметър.

( ) ( )2 4 3 21

14 1 05 12 8

ks s s k s

+ =+ + + +

.

Задавайки горните стойности на 1k 7, 8, 10= се построяват три ходографа на корените съгласно (4) съвместно с ХК получен от (3). Получава се диаграма, съдържаща семейство от ходографи на корените (фиг. 4), която служи за едновременно анализиране влиянието на двата параметъра на PI регулатора.

Фиг. 4

Налагат се следните изводи, който следват пряко от интерпретацията на положението на корените, получено при едновременна промяна на 1k и 2k .

С нарастване стойността на пропорционалната част 1k , при отсъствие на 2k , се увеличава близостта на корените до имагинерната ос и нараства стойността на тяхната имагинерна част (фиг. 4). Това води до увеличаване на времето за установяване на преходните процеси, както и амплитудата на колебанията.

- 81 -


С увеличаване на интегралната част 2k доминиращите корени на характеристичното уравнение на затворената система се позиционират по-близо до имагинерната ос, което води до намаляване на бързодействието на преходните процеси.

Едновременното увеличаване на стойностите на P - и I - съставката води до нарастване на граничната стойност на 2k , което означава, че има възможност за вариация в по-голям диапазон на параметрите на системата.

На фиг. 5а, б, в е онагледено поведението на системата при реакция на единичен стъпаловиден входен сигнал.

a) б)

в)

Фиг. 4

При 2k = 5 доминиращите корени са реални и отрицателни и преходният процес е без колебания (фиг. 5а). С увеличаването на 1k разстоянието на корените до имагинерната ос в Лапласовата равнина расте и бързодействието намалява (табл.1). За стойност на I - съставката 2k = 11 , доминиращите корени попадат в защрихования участък определящ 20% пререгулиране. Фиг. 5б показва, че при увеличаване на пропорционалната част времето на установяване намалява както и

- 82 -

колебанията на преходните процеси. В табл. 1 са дадени стойности на някои преки спецификации на качество във времевата област. При 2k = 20 , положението на корените е извън защрихованата зона, което обуславя пререгулиране > 20%σ . Сравнявайки фиг. 5а и фиг.5б се забелязва, че увеличаването на интегралната част увеличава пререгулирането. Същевременно се вижда и ползата от P - съставката – подобрява се бързодействието, а колебанията в преходните процеси намаляват (табл. 1). Таблица 1

1k 7 8 10 7 7 7 8 8 8 10 10 10

2k 0 0 0 5 11 20 5 11 20 5 11 20

,2%rt , s 2.75 3.61 3.7 6.55 5.27 20.2 7.35 5.78 17.5 8.51 4.58 13

1maxt , s 1.99 1.91 1.77 - 2.37 2.23 - 2.48 2.15 - 2.12 2

σ , % 9.16 11.7 16.5 - 24.4 67.8 - 26.6 64.4 - 22 59.2

19t , s 0.924 0.869 0.784 2.21 0.974 0.796 3.31 1.01 0.754 1.39 0.9 0.72

( )ε ∞ 0.5333 0.5 0.4444 0 0 0 0 0 0 0 0 0

4. Заключение.

Методът на ходографа на корените и контурите на корените ефективно комбинират нагледността в интерпретацията на преходните процеси и възможността за изследване влиянието на повече от един параметър върху качеството на управление.

Контурите на корените могат да се прилагат за изследване промяна в свойствата на динамични системи вследствие включването на различни съставки в закона за управление, както и за избор на параметри на регулаторите.

Ходографът на корените построен за един или повече независими, варируеми параметри може да се използва за изследване на обекти с неопределеност в техните параметри.

Използвана литература.

[1]. Dorf R. C., R. H. Bishop, Modern control systems, Addison-Wesley, 7th ed., 1995. [2]. Kuo B.C. Automatic Control Systems, Prentice Hall International, Ins., 7th ed., 1995. [3]. Ogata K., Modern Control Engineering 3rd ed., Prentice Hall International, Ins., 1997. [4]. Schwarzenbach J., K.F. Gill, System Modelling and Control, Edward Arnold, 3rd ed,

1992. [5]. Удерман Э., Метод корневого годографа в теории автоматических систем, М.,

Наука 1972. Department Automatica Technical University – Sofia, 8, Kl. Ohridski str. 1000 Sofia BULGARIA E-mail: [email protected]

- 83 -



APPLIED MIGO APPROACH FOR THE SYNTHESIS OF CONTROLLERS WITH FIXED STRUCTURE

DIMITER PANDOV, KOSTADIN KOSTOV

Abstract. A brief classification of the most common criteria for optimal performance of dynamic systems is presented. Benefits of using the maximum sensitivity MS and complimentary sensitivity MT as a design parameters are discussed. Main concepts of MIGO optimization approach are given. Tuning formulas called AMIGO are presented as well as the numeric examples in which the optimization results have been applied. Key words: sensitivity, tuning, controller, MIGO, root locus

ПРИЛОЖНИ МЕТОДИ MIGO ЗА СИНТЕЗ НА РЕГУЛАТОРИ СЪС СТАНДАРТНА СТРУКТУРА

1. Въведение.

Вече повече от седемдесет години ПИД регулатора е основна съставна част от почти всяка система за автоматично регулиране. Той бива използван за управление на изключително широк спектър от промишлени обекти и процеси. ПИД регулаторът се е превърнал в крайъгълен камък за всеки нов метод или всяка нова разработка в сферата на автоматиката. Качеството на регулиране на всеки от новите подходи в управлението винаги бива сравняван с ПИД регулатора.

На фиг.1 е показана класическа система с единична отрицателна обратна връзка и ПИД регулатор. Управляващото въздействие ( )tµ се формира въз основа на грешката

( )tε в съответствие с ПИД закон.

( )pε ( )u p( )ПИДW p ( )G p( )r p ( )pµ

( )l p

( )y p

Фиг.1 Класическа система за автоматично регулиране

Стандартният запис на ПИД закона за регулиране е:

0

1 ( )( ) ( ) ( )t

P di

d tt k t d TT dt

εµ ε ε τ τ⎡ ⎤

= + +⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ . (1)

- 84 -

Предавателната функция на регулатора се получава след използване на

трансформацията на Лаплас:

1( ) 1 i

ПИД P d P di

kW p k T p k k pT p p

⎛ ⎞= + + = + +⎜ ⎟

⎝ ⎠.(2)

Комплексната предавателна функция на ПИД регулатора е: 1( ) 1 i

ПИД P d P di

kW j k jT k j kjT

ω ω ωω ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

. (3)

2. Общи сведения за настройка на регулаторите [1, 5, 10, 12, 13, 15]. При решаване на обща задача за автоматично регулиране е необходимо да се

осмисли основната цел, която трябва да бъде постигната. Две от най-често поставяните задачи са за следене на заданието и компенсация на външните смущения. От първостепенна важност е да се познава:

• динамиката на процеса; • нелинейностите в процеса; • характера на външните смущения; • неопределеността в модела на процеса. Типични изисквания към системата за автоматично регулиране са: • компенсация на товарните смущения; • нечувствителност към смущенията при измерване; • ниска чувствителност към неопределеността на модела; • следене на заданието. Едни от най-често поставяните критерии за оптимални преходни процеси са: • преходни процеси с пререгулиране не по-голямо от maxσ 1 и минимално време

на установяване устt ; • преходни процеси с пререгулиране не по-голямо от maxσ и минимално време

на първия максимум 1mt ; • преходни процеси без пререгулиране и минимално време на установяване

устt , т.нар. критично-апериодични преходни процеси; • преходни процеси със зададено отношение на затихване d 2. Оптималните стойности за настройка на даден регулатор са различни в

зависимост от това дали ще се компенсират смущения по задание или смущения по натоварване. Това може да бъде избегнато като се използва регулатор с две степени на свобода [1, 2]:

Може би най-богатата на информация променлива в една система за автоматично регулиране е грешката ( )tε . Това именно е причината да се формират различни интегрални критерии за оптимална настройка на промишлените регулатори:

0

( )T

IAE t dtε= ∫ (4)

1 Типична стойност е

max 20%σ = 2 Например Ziegler и Nichols приемат d = 1/4

- 85 -


2

0

( )Т

ISE t dtε= ∫ (5)

0

( )T

ITAE t t dtε= ∫ (6)

2

0

( )T

ITSE t t dtε= ∫ (7)

От посочените интегрални критерии, (4) и (5) се използват за намиране на

оптимални настройки по натоварване, а (6) и (7) – по задание. 3. Приложение на елементи от теорията на чувствителността. При синтеза на регулатори със стaндартна структура могат да се използват и

функциите на чувствителност ( )S p и допълнителна чувствителност ( )T p :

1 1( )

1 ( ) ( ) 1ПИД ОС

S pW p G p G

= =+ +

, (8)

( ) ( )

( )1 ( ) ( ) 1

ПИД ОС

ПИД ОС

W p G p GT pW p G p G

= =+ +

. (9)

Функцията на чувствителност дава представа за това до каква степен обратната връзка е в състояние да компенсира появилите се смущения. Смущенията с честота ω , за които ( ) 1S jω < , се подтискат от обратната връзка, а при ( ) 1S jω > - смущенията се усилват.

Mодулът на функцията на чувствителност е реципрочен на разстоянието от дадена точка на АФХ до точката на Найкуйст (-1, j0). Графичната интерпретация на

( )S jω е показана на фиг.2:

1

SM

1( )iS jω

( )iA ω

( )iϕ ω

iω

1−

Im ( )ОСj G jω

Re ( )ОСG jω

Фиг.2. Ходограф на АФХ на отворената система и окръжността,

описваща точките с постоянна чувствителност 1SM −

Като допълнителен показател при определяне на оптималните параметри за

настройка може да се използва максималната чувствителност на системата MS [1, 2, 9]:

- 86 -

1max ( ) max

1 ( )SОС

M S jG jω ω

ωω

= =+

, (10)

където ( )ОСG jω представлява комплексната предавателата функция на отворената система.

Препоръчва се параметърът MS да приема стойности от 1,3 до 2,0. Максималната чувствителност гарантира минимални запаси по модул и фаза:

min

min

;1

12arcsin .2

S

S

S

MAM

Mϕ

∆ ≥−

⎛ ⎞∆ ≥ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

(11)

За 2, 0SM = минималните запаси са: min 6L dB∆ = и min 29ϕ∆ = , а за 1, 4SM = –

min 11L dB∆ = и min 42ϕ∆ = .

1( )iS jω

ПИДW G∆iω

1−

Im ( )ОСj G jω

Re ( )ОСG jω

Фиг.3. Ходограф на АФХ на отворената система и

неопределеността породена от G∆ Ако се предположи, че предавателната функция на процеса се променя от G в

G G∆+ , то тогава дадена точка от АФХ с честота iω ще се намира вътре в окръжност с радиус ПИДW G∆ и център iω (фиг.3). Затворената система ще запази устойчивост, ако:

1

ПИДW GS

∆ < , (12)

или

( ) 1( ) ( )

G jG j T j

ωω ω

∆ < . (13)

За удовлетворяване на неравенство (13) може да се постави изискване към максималната стойност TM на допълнителната чувствителност T

( )max ( ) max

1 ( )ОС

TОС

G jM T jG jω ω

ωωω

= =+

. (14)

- 87 -


В равнината на Найкуист точките с постоянна чувствителност TM представляват окръжности [4, 8, 12] с център C, лежащ на реалната ос и радиус R

2

2 2;1 1

T T

T T

M MC RM M

= − =− −

. (15)

За да се спазят едновременно изискванията за максимална чувствителност SM и максимална допълнителна чувствителност TM , Åström и Hägglund [1, 2] предлагат да се използва окръжност M (фиг.4), обхващаща и двете окръжности, като S TM M= .

1−

Imj

1,4S TM M= =

Re

TM M

SM

Фиг.4 Окръжност М, обхващаща SM и TM

Окръжността М има център C, лежащ на реалната ос и радиус R

2 2 1 2 1;

2 ( 1) 2 ( 1)M M MC R

M M M M− + −= − =

− −. (16)

4. Метод MIGO3 за оптимална настройка на ПИ регулатор. В настоящата работа се разглежда ПИ регулатор със стандартна структура. Ротач [12], както и Åström и Hägglund [1, 2] предлагат за оптимална настройка

на ПИ регулатор да се използва критерия:

maxPi

i

kkT

= → (17)

при ограничение ходографът на АФХ да е извън, или да допира, окръжността М. Ограничението се изпълнява, когато разстоянието от всяка една точка на АФХ до центъра на окръжността C е по-голямо от радиуса R:

( , , ) ( )

( )

i ОС

iP

D k k C G j R

kC k j G j R

ω ω

ωω

= − ≥

⎛ ⎞− − ≥⎜ ⎟⎝ ⎠

(18)

От фиг.5 се вижда, че разстоянието D от дадена точка на АФХ и центъра на окръжността може да се изчисли по косинусова теорема при известни амплитуда и фаза на отворената система.

2 2( ) ( ) 2 ( )cos 180 ( )D C A CAω ω ω ϕ ω⎡ ⎤= + + −⎣ ⎦ . (19)

Тогава неравенство (18) придобива вида: min ( )D R

ωω ≥ . (20)

3 MIGO – M-constrained Integral Gain Optimization

- 88 -

R

( )iD ω ( )iA ω

( )iϕ ω

iω

1−

Im ( )ОСj G jω

Re ( )ОСG jωC

М

Фиг.5. Ходографът на АФХ трябва да бъде извън или

да допира окръжността М

В случая, когато АФХ допира окръжността M, неравенството (20) се превръща в равенство. Тогава за дадена стойност на Pk може да се намери ik , което да удовлетворява горното равенство. Зависимостта ( )i Pk f k= , за които АФХ допира M е показана на фиг.6:

( )i Pk f k=

,i optk

Pk,P optk

ik

Фиг.6. Стойности на ik и на Pk , за които АФХ допира окръжността М Параметрите за настройка се определят от зависимостта ( )i Pk f k= . След изследване на типични за промишлеността процеси, Åström и Hägglund [1]

предлагат приблизителни фомули за настройка на ПИ регулатори (21), базирани на метода MIGO, които те наричат AMIGO (Approximate MIGO). Използва се модел на обект от първи ред и закъснение:

- 89 -


( )0 0 0

20 0 0 0 0

20 0

0 2 20 0 0

0,15 . 0,35 ,

130,35 .12 7

P

i

T Tkk k T

TT

T T

ττ τ

ττ

τ τ

⎡ ⎤= + −⎢ ⎥

+⎢ ⎥⎣ ⎦

= ++ +

(21)

Зависимостите (21) гарантират 1,4М = с точност 15%± . 5. Пример. Разглежда се обект от втори ред със самоустановяване и ПИ регулатор:

1 2

1 2

1 2

1( ) ,( 1)( 1)

1( ) .( 1)( 1)

iОС P

i

G p Т ТT p T p

T pG p k

T p T p T p

= ≤+ +

+=

+ +

(22)

Ако се разгледа класическия подход с използване ходографа на корените ще имаме три полюса на реалната ос, като единият се намира в началото на координатната система и една нула (също на реалната ос), чието положение се определя от времеконстантата на интегриране (фиг.7).

Imj

Re

0

Фиг.7 Нуполен портрет

За да се определи подходящото разположение на нулата, се прилага метода

MIGO за стойности: 1 21; =1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10T T= . Резултатите са показани в табл.1.

Таблица 1 2T Pk iT ik

1 1,40 1,79 0,778 2 1,57 2,60 0,603 3 1,88 3,32 0,566 4 2,16 3,86 0,560 5 2,50 4,40 0,568 6 2,88 4,94 0,582 7 3,19 5,32 0,599 8 3,51 5,68 0,619 9 3,93 6,13 0,640 10 4,21 6,35 0,662

Зависимостта на ik и iT от съотношението на времеконстантите 1T и 2T е

показана на фиг.8.

- 90 -

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Integral Gain

T1/T2

ki

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

2

4

6

8

10

12Intagral Timeconstant

T1/T2

Ti

Фиг.8. Зависимост на ik и iT от разположението на полюсите на обекта Прави впечатление, че ik има най-ниска стойност за 1 2/ 0,27T Т ≈ , тъй като това

съответства на канцелиране на по-бързия полюс от нулата. При 1 2/ 0,27T Т < , нулата се намира зад двата полюса на обекта, а при 1 2/ 0,27T Т > тя се намира между тях.

6. Заключение. • Въпросите, свързани с настройката на регулаторите със стандартна структура

продължават да бъдат актуални и в днешно време. • Повишените изисквания към качеството на регулиране обуславят

приложението на критерии и показатели, отчитащи в някаква степен неопределеността на моделите на реалните обекти.

• Като формален израз на повишените изисквания се разглежда едновременното удовлетворяване на функциите на чувствителността и допълнителната чувствителност на системите.


1. Åström K., T. Hägglund. Advanced PID Control, USA, ISA – The Instrumentation,

Systems, and Automation, 2006. 2. Åström K., T. Hägglund. Revisiting Ziegler– Nichols step response method for PID

control, Journal of Process Control, pp.635-650, 2004. 3. Doyle J., B. Francis, A. Tannenbaum. Modern Control Theory, Macmillan

Publishing Co., 1990. 4. Kuo B. Automatic Control Systems, USA, Prentice-Hall, Inc., 1987. 5. O’Dwyer A. PI and PID controller tuning rules for time delay processes: a summary.

Part 1: PI controller tuning rules, Proceedings of the Irish Signals and Systems Conference, National University of Ireland, Galway, Ireland, June 1999.

6. Schlegel M., J. Mertl, M. Čech. Generalized Robustness regions for PID Controllers, Department of Cybernetics, University of West Bohemia in Pilsen.

7. Ziegler J., N. Nichols. Optimum settings for Automatic Controllers, Transactions of the ASME, 64, pp. 759-768, 1942

8. Бесекерский В.А., Е.П. Попов. Теория систем автоматического регулирования, Наука, Москва, 1972.

- 91 -


9. Егоров К.В. Основы теории автоматического регулирования, Энергия, Москва, 1967.

10. Копелович А.П. Инженерные методы расчета при выборе автоматических регуляторов, Металлургиздат, Москва, 1960.

11. Розенвассер Е.Н., Р.М. Юсупов. Чувствительность систем управления, Наука, Москва, 1981.

12. Ротач В.Я. Расчет настройки промышленных систем регулирования, Госэнергоиздат, Москва, 1961.

13. Стефани Е.П. Основы расчета настройки регуляторов темплоэнергетических процессов, Москва, 1972.

14. Гарипов Е. Цифрови системи за управление. Част I. Проектиране на ПИД регулатори, София, ТУ-София, 2004.

15. Хинов Х. Автоматизация на технологични процеси, София, ДИ „Техника”, 1970.

Факултет „Автоматика”, Катедра „АНП” Технически университет – София бул. Климент Охридски 8 1000 София E-mail: [email protected], [email protected]

- 92 -

- 93 -



FREQUENCY DOMAIN ANALYSIS OF SENSITIVITY OF DYNAMIC SYSTEMS

DARINA MARINOVA, VESSELA KARLOVA, STANISLAV ENEV

Abstract. The emphasis of present paper is the linear, continuous, SISO dynamic

systems. Analytical form of the sensitivity and complementary sensitivity functions is given. Performance assessment is based on typical frequency-domain criteria. Results are presented in graphical form, i.e. Nyquist, Bode, Black-Nichols plots. MATLAB© is used to obtain the simulation results. Numeric examples are given.

Key words: sensitivity, complementary sensitivity, gain margin, phase margin, Nyquist, Bode, Black-Nichols plots

ИЗСЛЕДВАНЕ ЧУВСТВИТЕЛНОСТТА НА СИСТЕМИ ЧРЕЗ ЧЕСТОТНИ МЕТОДИ


При проектирането на системи за автоматично регулиране се формират различни ограничения за параметрите им. В процеса на експлоатация на всяка от тези системи оказват влияние различни видове смущения, които предизвикват промени в характеристиките им. Необходимостта от управление на процесите изисква познание за степента на зависимост от измененията на параметрите, което може да бъде постигнато чрез изследване на чувствителността на системите [2].

Често се оказва, че върху системата влияят сигнали като различни смущения и такива със синусоидален характер, които естествено се проявяват в процеса на работа. Затова е необходимо да се правят изследвания в честотната област, за да се види каква е реакцията на системата при различни честоти. В тази област чувствителността се разглежда основно чрез диаграмата на Боде, където се изчертава нейния модул, но също така може да се интерпретира и с помощта на диаграмата на Найквист [1].

2. Цел.

Целта на настоящата работа е да се направи честотен анализ на функциите на чувствителността - S(p) и на допълнителната чувствителност - T(p) на система от втори ред при промяна на динамичните й параметри. За изпълнението й се извеждат аналитичните изрази за S(p), както и за запасите на устойчивост на системата.

3. Функции на чувствителността и на допълнителната чувствителност.

- 94 -

Нека е дадена система за автоматично регулиране от вида:

Фиг.1

където: )( px - входен сигнал; )(py - изходен сигнал; )( pe - разсъгласуване или грешка на системата, e(p) = x(p) – y(p); )(pA - предавателна функция в правия канал; )(pB - предавателна функция в обратния канал.

Предавателната функция на затворената система е: ( )( ) (1)

1 ( ) ( )A pT p

A p B p=

+

Функцията на чувствителността се бележи с S [4] и израза, с който се описва е съответно:

( ) / ( ) ( ) ( )( ) .( ) / ( ) 1 ( ) ( ) ( )

TA

T p T p A p A pS pA p A p A A p B p T p

⎡ ⎤∂ ∂= = ⎢ ⎥∂ ∂ +⎣ ⎦

или

1( ) ( ) (2)1 ( ) ( )

TAS p S p

A p B p= =

+

При 1)( =pB , се получава следната връзка между чувствителността S(p), която е еквивалентна на T

AS (p), и предавателната функция на затворената система T(p): 1 ( )( ) , ( ) ( ) ( ) 1 (3)

1 ( ) 1 ( )A pS p T p S p T p

A p A p= = ⇒ + =

+ +

От този израз може да се направи извода, че между двете функции съществува пряка връзка, с увеличаването на едната другата намалява. T(p) се нарича допълнителна чувствителност. Зависимостта между S(p) и T(p) е илюстрирана графично на фиг.2.

Фиг.2

- 95 -


При отсъствие на обратна връзка всяко едно изменение на параметрите в правия тракт води до директна промяна в поведението на системата. Това е и една от причината за използването на обратната връзка, а именно за намаляване на чувствителността на системата. Като цяло се оказва, че при вариации на параметрите на самата обратна връзка системите за автоматично регулиране са изключително чувствителни. Затова е желателно използването на единична обратна връзка.

4. Качество на системи за автоматично регулиране и запаси на устойчивост.

Всяка една система за регулиране, за да удовлетворява изискванията към нея,

трябва да е устойчива и да покрива определени критерии за качество. Под устойчивост в най-общия случай се разбира свойството на дадена система след

като е извадена от равновесното си състояние, да се върне в същото или да премине в друго равновесно състояние. Устойчивостта на една система за автоматично регулиране се явява необходимо условие за работоспособността й, но не достатъчно. Затова се налага използването на допълнителни критерии, известни под общото название критерии на качеството. Критериите за качество формулират определени изисквания към системите за автоматично регулиране или по-точно към техните свойства. Числената стойност на дадено свойство на системата се нарича показател на качеството. Показатели на качеството, които се снемат от честотните характеристиките на отворена система са:

запас на устойчивост по модул - показва с колко децибела може да се увеличи коефициентът на пропорционалност на отворената система без това да доведе до загуба на устойчивост на затворената система. Дефинира се със следната формула:

1 (4)( )mgА πω−

=

или

[ ]20lg ( ) (5)mg A dBπω−= − ,

където: πω− е честотата, при която ФЧХ на отворената система пресича -180о, т.е. πωϕ −=)( .

запас на устойчивост по фаза - дефинира се съответно с израза:

[ ]1180 ( ) (6)om gradϕ ϕ ω= + ,

където 1ω е честотата, при която стойността на АЧХ на отворената система е единица ( 1)( =ωА ) или честотата, при която ЛАЧХ пресича абсцисната ос - 0)( =ωL .

И двата показателя за качество трябва да бъдат изчислявани при анализа на системата, за да се определи положението на характеристиката й спрямо точката на Найквист. Това може да се избегне с помощта на един друг показател, който се въвежда, а именно запас на устойчивост по чувствителност - sm [1]. Той представлява най-краткото разстояние от критичната точка (-1, j.0) до съответната характеристика на системата и гарантира дадена чувствителност. Определя се чрез израза:

1m

ss M= ,

- 96 -

където Ms се нарича максимална чувствителност и отговаря на най-лошия случай на влияние на смущенията. Тя се описва с израза:

1max ( ) max (7)1 ( )sM S j

A jω ωω

ω= =

+

( )A jω е модула на предавателната функция в правия тракт. Графично този параметър

е представен на фиг.3.

Фиг.3 Фиг. 4

1/ sM представлява радиус на окръжност с център точката на Найквист (-1,j.0). Този радиус гарантира дадена чувствителност. Колкото по-малка е S(p), толкова по-малка ще бъде Ms , съответно окръжността ще бъде с по-голям радиус, което ще ни гарантира по-голям запас, както по фаза – φm, така и по модул - gm. Връзката между тези величини може да бъде описана аналитично. Нека характеристиката от фиг.3 пресича реалната ос в същата точка, в която и окръжността с радиус 1/ sM . Имайки в предвид (4), може да се запише следния израз, описващ връзката между запаса по модул и максималната чувствителност [1]:

1 1 1 (8)1 1

s sm m

s m s s

M Mg gM g M M

+ = ⇒ = ⇒ ≥− −

За определянето на връзката между максималната чувствителност и запаса по фаза

се прилага косинусовата теорема за триъгълниците, показани на фиг.4. Прилагайки теоремата се получават следните изрази:

2 222 2 2 2

2 22 2

, , , 1cos cos ;

1 cos 1 cos ;За двата правоъгълни триъгълника се прилага Питагоровата теорема:

11 1 1

1

m m

m m

ss s

BD x DC y AD h AC by bx b

h xMx h x y

M Mh y

ϕ ϕϕ ϕ

= = = = == == − = −

⎫= − ⎪+ = ⇒ ⇒ − = −⎬⎪= − ⎭

- 97 -


2 2

2 22 2

m

2

2m m

m

11 1(1 cos ) 1 cos cos 1

2

За синусът на , вземайки под внимание израза за косинуса, се получава:22 11

21 cos 1sin2 2 2 2

1От тук за следва: 2arcsin( )2

m m ms s

s

s

s

ms

y h

M M

MM

M

M

ϕ ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

ϕ ϕ

+ =

− − = − ⇒ = −

−−−= = =

=

12arcsin( ) (9)

2msM

ϕ ≥

5. Примери.

За изследване на чувствителността се разглеждат пет системи от втори ред с единична обратна връзка като се прави сравнителен анализ между тях. Предавателните функции на отворената система за петте са съответно

1 2 3 4 51 1 1 10 0.1( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( )

( 1) (0.1 1) (10 1) ( 1) ( 1)A p A p A p A p A p

p p p p p p p p p p= = = = =

+ + + + +

като първата система ще се използва като базова на основата, на която ще се прави сравнителния анализ.

За тези системи функциите на чувствителността и на допълнителната чувствителност според (3) са съответно:

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

1 ( 1)( ) , ( )( 1) 1 ( 1) 1

1 (0.1 1)( ) , ( )(0.1 1) 1 (0 .1 1) 1

1 (10 1)( ) , ( )(10 1) 1 (10 1) 1

10 ( 1)( ) , ( )( 1) 10 ( 1) 10

0.1 ( 1)( ) , ( )( 1) 0 .1 ( 1)

p pT p S pp p p p

p pT p S pp p p p

p pT p S pp p p p

p pT p S pp p p p

p pT p S pp p p p

+= =+ + + +

+= =+ + + +

+= =+ + + +

+= =+ + + +

+= =+ + + 0.1+

Функциите на A(p), T(p) и S(p) са илюстрирани графично чрез диаграмите на Найквист, Блек-Никълс и Боде съответно на фиг. 5, 6, 7, 8, 9 и 10.

- 98 -

Фиг. 5 Фиг. 6

Фиг. 7 Фиг. 8

Фиг. 9 Фиг. 10

На фиг.9 е обозначено изменението на честотната лента при промяната в стойностите на динамичните параметри. При увеличаване на коефициента на пропорционалност k=1/Ti, графиката се измества надясно спрямо базовата система и честотната лента се разширява, а при намаляването му става обратното. При варирането на времеконстантата се забелязва като цяло намаляване на честотната лента. Допълнителната чувствителност на тези системи е голяма в областта на честотната лента, като достига своя максимум в нея, а извън тази граница намалява. На базата на (3) следва, че поведението на S(p) ще е обратно на това на T(p), т.е. ще е малка в честотната лента и голяма извън нея (фиг.10).

В табл.1 са обобщени резултатите за запасите по модул и фаза, като на базата на (9) е изчислена и максималната чувствителност за всяка от системите.

- 99 -


0

1

2

3

4

0,1 1 1 1 10

T

Ms

0

20

40

60

80

100

0,1 1 1 1 10T

fi

020406080

100

0,1 1 1 1 10

Ti

fi

Табл.1

От получените резултати се вижда, че системите 2 , 5 и 3 , 4 две по две имат един и същ запас по фаза и съответно чувствителност. В диаграмите на Найквист и Блек-Никълс техните характеристики съвпадат. С помощта на диаграмата на Боде се получава ясна представа за големината на чувствителността и на допълнителната чувствителност на всяка една от системите.

Ако системите се представят с общия вид:

1( )( 1)i

A pT p Tp

=+

,

то могат да се изчертаят следните зависимости, показани на фиг. 11, 12, 13 и 14 като се приложат резултатите от табл.1.

Фиг.11 Фиг. 12

Фиг. 13 Фиг.14

От изчертаните диаграми на зависимостта на Ms и φm от параметрите на системите, се вижда , че с чувствителността намалява с увеличаване на Ti (фиг. 11), т.е. с намаляване на коефициента на пропорционалност (k=1/Ti). Това от друга страна води до нарастване на запаса по фаза (фиг. 12). С нарастване на времеконстантата – T чувствителността също нараства (фиг. 13), което води до намаляване на запаса по фаза (фиг. 14) и влошаване на устойчивостта на системата.

A1(p) A2(p) A3(p) A4(p) A5(p) Ms 1,14 0,75 3,2 3,2 0,75 gm inf Inf inf inf inf φm 51,8 84,3 18 18 84,3

0

1

2

3

4

0,1 1 1 1 10

Ti

Ms

- 100 -

6. Заключение.

При работата на системите за автоматично регулиране е желателно те да имат малка чувствителност, т.е. да са нечувствителни към малки изменения в техните параметри. Чрез анализа в честотната област може да се придобие ясна представа за големината на чувствителността и нейното влияние. При изследването на системите се използват, както диаграмата на Боде, така и диаграмата на Найквист. Преимуществото на диаграмата на Боде е, че при нея може да се проследи как промяната на времеконстантата изменя характеристиката на системата. В Боде се изчертава модула на чувствителността като дава възможност за проследяване на изменението му при различни честоти. Съществува връзка между функцията на Ms и запасите по устойчивост като се оказва, че с нарастването на чувствителността намалява φm, което води до влошаване на управлението.


1. Karl J.Åström, Tore Hägglund. Advanced PID Control, ISA, USA, 2006. 2. B. Kuo. Automatic Control Systems, Prentice Hall International, Ins,7th ed., 1995. 3. K. Ogata. Modern Control Engineering, , Prentice Hall International, Ins,3rd ed., 1995 4. N. Duffie. Lectures, University Of Wisconsin-Madison, 1996 г.

- 101 -



ADAPTIVE OBSERVER FOR SENSORLESS CONTROL OF INDUCTION MOTOR

TODOR IONKOV, EVTIM IONCHEV

Abstract. The article presents new adaptive observers of both velocity and flux in an induction motor, which can be applied for control in sensorless environments. The synthesis of the observers is based on the description of the induction motor in filtered current and voltage control signals. The current-observer is based on interconnections involving measured and filtered signals, and manifests remarkable dynamic characteristics in the low-velocity zone. The article also presents a number of different simulations and their results which clearly show the potential and usability of the new approach. Key words: observer, sensorless, induction motor.

АДАПТИВЕН НАБЛЮДАТЕЛ ЗА БЕЗСЕНЗОРНО УПРАВЛЕНИЕ НА

АСИНХРОНЕН ДВИГАТЕЛ 1. Въведение

В последните години съществуват редица изследвания на наблюдатели на скорост и поток при безсензорно управление на асинхронни двигатели [1]-[6]. В [1] се предлага робастен наблюдател на роторния поток, базиран на естествената динамика на потока. В [2] са анализирани 2 наблюдателя на скорост, които се допълват един друг при различните режими на работа на двигателя. В [3] са проектирани наблюдатели на скорост и поток и регулатори на въртящ момент при условията на асимптотична стабилност на управлението. В [4] e разработен метод за определяне скоростта и потока, използвайки адаптивна стратегия, при което е постигната висока степен на устойчивост на наблюдателя. В [5] e представен скоростен наблюдател, базиращ се на въвеждането на сигнали за ток и напрежение, който в [6] е доразвит за определяне на роторното съпротивление.

В [7] са класифицирани схеми различни схеми за оценяване на роторния поток, базирани на измерване на скоростта. В [8] е създадена система за управление на въртящия момент и потока на асинхронен двигател, базирана на прякото следене на сигнали за поток и момент.

Представените в настоящата работа наблюдатели на скорост и поток са базирани на асинхронен двигател, в който динамиката на статорния ток е отделена от ненаблюдаемия поток на ротора. Моделът е получен при приемането, че скоростта е по-бавно изменяща се величина, отколкото тока и потока. Използвайки този модел на

- 102 -

асинхронен двигател, е проектирана схема за идентификация скоростта на ротора. Получено е алгебрично уравнение, определящо потока на ротора. Уравнението е базово при създаването на наблюдател на роторния поток.

2. Динамичен модел на асинхронен двигател Разглеждаме динамичния модел на асинхронния двигател в ( ) статорна

координатна система [9]:

sr

rrp

r

rr MiLRJnI

LR

dtd

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−= ψωψ

(1)

ss

sr

rs

srp

r

r

rs

s vL

iL

RMRL

JnILR

LLM

dtdi

σσψω

σ1)(1)( 2

2

++−+−−= (2)

ω=Θdtd

(3)

mT

mJi

dtd L

rTs +−= αωψµω . , (4)

където

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

1001

I

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=

0110

J

ssr vi ,,ψ - роторно потокосцепление, статорен ток и статорно напрежение

Θ - ъглова позиция на ротора ω - ъглова скорост на ротора

sr RR , - съпротивления на ротора и статора M - взаимна индуктивност

sr LL , - индуктивности на ротора и статора

rs LLM /1 2−=σ

pn - брой на двойките полюси m - инерционен момент на ротора α - коефициент на демпфиране

LT - съпротивителен момент

rp LMn 2/3=µ r

Tse JiT ψµ.= - електромагнитен въртящ момент

Целта на управлението е близост между електромагнитния момент и еталонната

му стойност :

feretTT →

∞→lim (5)

βα ,,0

ferT

- 103 -


За постигане на тази цел е необходимо поддържане на роторното

потокосцепление на определено ниво:

ferrtΨ→

∞→ψlim (6)

където ferΨ е еталонната стойност на потокосцеплението.

Еталонните стойности са в затворена област ferT , ferΨ ][1 +∈ RC , която е дефинирана от реалните физически ограничения по ток и напрежение.

Регулирането на въртящия момент и потокосцеплението - (5), (6) обикновено се постига чрез използване индиректно векторно управление с ориентация по роторното потокосцепление с измерване на роторната скорост [9].

В редица индустриални приложения е желателно да бъде избегнато измерването на позицията на ротора или неговата скорост (най-вече поради оскъпяването на системата от посочените сензори и намаляването на нейната надеждност). Така възниква проблемът за определянето на скоростта на ротора по валидните за измерване статорен ток и статорно напрежение. Целта на това оценяване разбира се е близост между изчислената и действителната скорости

ωω →

∞→ˆlim

t (7)

където ω е оценката на скоростта на ротора. При системите с директно векторно управление на момента и

потокосцеплението се използва директно стойността на роторното потокосцепление или неговата оценка. Поради това по аналогия с (7) е необходимо и изграждането на наблюдател на роторно потокосцепление, подчинен на условието за сходимост:

rrtψψ →

∞→ˆlim (8)

където rψ е оценката на роторното потокосцепление. Както е известно параметрите на асинхронния двигател се променят по време на

неговата работа, а информацията за точните им стойности е твърде съществена за качеството на управлението. Поради това е и актуална задачата относно точността на оценяването на горепосочените величини при условията на съществена нестационарност на параметрите на двигателя. Ето защо е необходимо и оценяването на тези променливи параметри.

PP

t→

∞→ˆlim (9)

където T

sr RRP ][ ,= и P е оценката на роторното и статорното съпротивления.

- 104 -

3. Наблюдател на скоростта на ротора За целите на проектирането на наблюдател на скоростта, е направено

предположението, че скоростта на ротора се променя значително по-бавно от роторното потокосцепление. Това предположение позволява скоростта на ротора да бъде разглеждана като бавно променящ се неизвестен параметър. По този начин могат да бъдат приложени адаптивни идентификационни техники.

След диференциране на (2) и елиминирането на rψ , се получава:

( ) ( ) ( )dtdvvJIiJI

dtdiJI

dtid s

ssss

43322112

2

αωβαωβαωβα ++++++= (10)

където

;12

2

1r

r

r

rs

s LR

LRMR

L−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

σα

;1 pn=β

;2sr

sr

LLRR

σα −=

;2s

sp

LRn

σβ =

;3Rs

r

LLR

σα =

;3s

p

Lnσ

β −=

.14

sLσα =

добавяйки dtcdis / (при 0>c ) от двете страни на уравнение (10) и формално

разделяйки на ( )cdtd +/ , уравнение (10) се преобразува в

.)(.)( εω ++= tbtadtdis (11)

Тук 0→ε експоненциално и функциите )(ta и )(tb са линейни комбинации от филтрираните сигнали на статорния ток и статорното напрежение 1010 ,,, ssss vvii

14030211)()( ssss vviicta αααα ++++= , (12)

),()( 030211 sss viiJtb βββ ++= (13) където

- 105 -


;10 ss i

csi

+=

,1 ss i

cssi+

=

;10 ss v

csv

+=

,1 ss vcs

sv+

=

Уравнение (11) се използва като еталонен модел при оценяването на роторната

скорост. Настройвания модел (наблюдател на статорния ток) се представя чрез:

),ˆ()(.ˆ)(ˆ

sss iiLtbta

dtid

−−+= ω ,0>L (14)

където si е оценката на статорния ток, ω е оценката на скоростта на ротора и L е положителна константа. Нека ss iie −= ˆ е грешката от изчислението на статорния ток, тогава динамичното уравнение за грешката, получено чрез изваждане на уравнение (11) от (14), води до:

.)()ˆ( εωω −−+−= tbLedtde

(15)

Следователно изчислението на скоростта ω трябва да бъде осъществено по такъв начин, че грешката при изчислението на тока и нейната производна да клонят към 0. Това ще означава и нулева сходимост на израза ).()ˆ( tbωω − Ако

идентификационното условие 0)( >≥δtb се задържи постоянно, тогава изчислението на скоростта ще се приближи до реалната скорост на ротора. Такова оценяване се реализира чрез следващото уравнение

),(ˆ

tbedtd Tγω −= (16)

с положителен, настройваем коефициент на усилване 0>γ .

Наблюдателят на статорния ток (12)-(14), заедно с (16), дават наблюдателя на скорост.

4. Експериментални резултати На фиг.1 е представена блоковата схема на изпитваната в средата “Matlab”

система. Наблюдателя на системата се състои от две части: Наблюдател – подсистема 1 и Наблюдател – подсистема 2.

- 106 -

На фиг.2 и фиг.3 са представени съответно блоковите схеми наблюдателите на двете подсистеми.

Наблюдател - подсистема 1

Фиг.2



Асинхронен мотор

Фиг.1

- 107 -


Асинхронния двигател, представен чрез блоковата схема на фиг.4, е със

следните параметри в относителни единици: 05,0=sR , 03,0=rR , 094,0=sL , 093,0=rL , 758,0=M


Фиг.3

Асинхронен мотор

Фиг. 4

- 108 -

Резултати от симулацията при c = 20, L = 0,005, γ = 0,005

Статорен ток при директно пускане при Мс=0

Оценка на статорния ток при директно пускане при Мс=0

siα

siα

ωt

ωt

- 109 -


Скорост при директно пускане при Мс=0

Оценка на скоростта при директно пускане при Мс=0

ω

ω

ωt

ωt

- 110 -

Статорен ток при директно пускане при Мс=0.5

Оценка на статорния ток при директно пускане при Мс=0.5

siα

siα

ωt

ωt

- 111 -


Скорост при директно пускане при Мс=0.5

Оценка на скоростта при директно пускане при Мс=0.5

ω

ω

ωt

ωt

- 112 -

Статорен ток при широчинно-импулсно модулирано трифазно захранващо напрежение при Mc = 1

Оценка на статорния ток при широчинно-импулсно модулирано трифазно захранващо напрежение при Mc = 1

siα

siα

ωt

ωt

- 113 -


Скорост при широчинно-импулсно модулирано трифазно захранващо напрежение при Mc = 1

Оценка на скоростта при широчинно-импулсно модулирано трифазно захранващо напрежение при Mc = 1

ω

ω

ωt

ωt

- 114 -

5. Заключение Резултатите от направените изследвания доказват сходимостта на адаптивната

процедура по оценяването на токовете и скоростта. Синтезираният наблюдател е приложим при общопромишлените асинхронни електрозадвижвания. Простотата на алгоритъмът на неговото функциониране е предимство при решаването на нелинейните проблеми, свързани с описанието на разглежданата електромеханична система.


1. Khalil, H.K., Strangas, E.G., and Miller, J.M. "A torque controller for induction motors without rotor position sensor," Intern. Conf. on Electric Machines (ICEM'96), Vigo, Spain, 1996.

2. Yoo, H.S., and Ha, I.J. "A polar coordinate-oriented method of identifying rotor flux and speed of induction motors without rotational transducers," IEEE Transaction on Control System Technology, vol. 4, No. 3, May 1996.

3. Utkin, V., and Jin, C. "Sensorless Sliding Mode Control of Induction Motor," Technical report OSU, Ford Motor Company, 1997.

4. Kubota, H., Matsuse, K., and Nakano, T. "DSP-Based Speed Adaptive Flux Observer of Induction Motor," IEEE Trans. Industry Applications , V.29, No. 2, pp. 344-348, 1993.

5. Bondarko, V., Zaremba A. "Speed and flux estimation for an induction motor without position sensor", in Proc. Amer. Contr. Conf., San Diego, June 1999.

6. Zaremba, A., and Semenov, S. "Speed and Rotor Resistance Estimation for Torque Control of an Induction Motor," in Proc. Amer. Contr. Conf., Chicago, June 2000.

7. Hori, Y., Cotter, V., and Kaya, Y. "A novel induction machine flux observer and its application to a high performance AC drive system," in Proceedings IFAC I Oth Triennial World Congress, V. III, pp. 363-368, Munich, 1987.

8. Pavlov, A., and Zaremba, A. "Direct Torque and Flux Regulation in Sensorless Control of an Induction Motor," in Proc. Amer. Contr. Conf., Washington, D.C., June 2001.

9. Leonhard, W. Control of Electric Drives, Springer Verlag, 1984. Department of Electrical Drives Automation Technical University–Sofia 8, Kliment Ohridski St. 1000 Sofia BULGARIA E-mail: [email protected], [email protected]

- 115 -


©Journal of the Technical University at Plovdiv “Fundamental Sciences and Applications”, Vol. 13(4), 2006 Anniversary Scientific Conference’ 2006 BULGARIA APPLICATION OF ELECTROMOTORS IN DRIVE SYSTEMS

FOR SERVICE ROBOTS

GEORGI GEORGIEV, RUMEN RAINOV

Abstract. During the past years the service robotics can be defined as the most quickly progress area in the roboconstruction. Drive systems of service robots in most cases are assembled with different electromotors – DC motors, brushless DC motors, step motors, specialmotors and etc. In this article we present examples of extant service robots with such systems. Structure scheme of driving systems for service robots with electromotors are examined and a principle scheme for one of driving axis is presented. Different types driving systems are comprared.

ПРИЛОЖЕНИЕ НА ЕЛЕКТРИЧЕСКИТЕ ДВИГАТЕЛИ В ЗАДВИЖВАЩИТЕ СИСТЕМИ НА СЕРВИЗНИТЕ РОБОТИ

1. Въведение През последните години сервизната роботика може да се определи като най-

бързо развиващата се област в роботостроенето. Според Международната федерация по роботика (IFR) и World Robotics 2000 сервизен робот е роботът, който работи автономно или полуавтономно и изпълнява обслужващи дейности полезни за хората или обслужване на оборудване, като се изключват производствените операции.

Задвижващите системи на сервизните роботи в повечето случаи са изпълнени с електродвигатели от различен тип – колекторни и безколекторни постояннотокови, стъпкови, специални и други. В настоящият доклад са показани примери на съществуващи роботи с такива системи.

2. Примери на роботи задвижвани с електродвигатели

2.1. Микророботи 2.1.1. Микророботи Marv и Sandia Sandia National Laboratories - разработва серия от минироботи предназначени за

наблюдение и разузнаване.

- 116 -

Микроробот MARV (Miniature Autonomous Robotic Vehicle) [1] е с размери на едноинчово кубче, задвижван от стъпков двигател. Предназначен е да открива и проследява електрически проводник, като за целта използва радиочестотни сензори. Притежава on-board компютър за обработка на информацията от сензорите, за управление и комуникации.

Микроробот Sandia [2] е с размер една четвърт от инча, захранва се с три часовникови батерии и се придвижва посредством два двигателя. Сензорната му система се състои от температурен сензор, миниатюрна камера, микрофон, химичен микросензор, комуникационно устройство. Предвиден е за локализиране и дезактивиране на мини, откриване на химически и биологически оръжия.

2.1.2. Микроробот Monsieur II-P на Seiko Epson

Този микроробот е с обем 7.8 cm3 и маса 12.5g [3]. Задвижването е от ултразвуков миниатюрен двигател, който предава движението на две колелца и позволява скорост до 150 mm/s. Възможно е да се управлява чрез безжична връзка по Bluetooth протокол със скорост 70 mm/s. Използват се за изследване на недостъпни места при земетресения, терористични актове и др.

2.1.3. Микроробот K-Alice на K-Team

Малък автономен робот с колелца [4], с размери на едноинчов куб и тегло 5g, с ниска консумация на енергия, с модулна концепция на програмиране и хардуерно разширяване, което го прави удобен за развойна дейност и обучение. Управлява се от процесор PIC 16F84. Снабден е с инфрачервени сензори, комуникации по инфрачервен канал, което му позволява да избягва препятствия и да следи стена.

2.2. Домакински сервизни роботи

2.2.1. Робот-прахосмукачка Roomba

Автоматичната прахосмукачка - робот Roomba на iRobot [5], използва интелигентна навигационна система, осигуряваща почистване както на равни повърхности, така и на первази, стълбища и други сложни повърхности без човешко присъствие. Фирмата предлага и модел, наречен CoWorker, който може да се контролира посредством Интернет.

- 117 -


2.2.2. Робот за почистване на прозорци RoboWin

Друг домакински сервизен робот е RoboWin на Smart Robotics [6] - интелигентен, компактен, лесен за използване почистващ прозорци сервизен робот. Може да работи 24 часа без прекъсване и върху труднодостъпни за хора прозорци.

2.3. Сервизни роботи хуманоиди 2.3.1. Хуманоиден робот SDR-4X на SONY

Хуманоидният робот на SONY - SDR-4X [7] е висок 58см, задвижва се от сервомотори - ходи, скача, премята се, танцува в такт с музиката, изкачва се по стълби, говори и пее - разполага със запас от около 60 хил. думи и изрази. Управлява се от няколко мощни процесора, две цифрови видеокамери, седем микрофона и множество различни сензори. SDR-4X разпознава събеседника си и поддържа разговор с него.

2.3.2. Хуманоиден робот Nuvo – съвместна разработка на ZMP и Seiko Clock

Японският производител на роботи ZMP представи в Токио хуманоидния робот Nuvo [8] - висок 39 см, разработен съвместно с производителя на часовници Seiko Clock. На нивото на очите на робота има вградена камера, с която той снима и изпраща изображения по мобилния телефон на собственика си, докато го няма в къщи. Nuvo е способен да различава звукови сигнали и може да бъде управляван посредством мобилен телефон.

2.3.3 Аниматронна глава

Давид Нг от Хонг Конг [9] е разработил и предлага във вид на кит за по-нататъшни експерименти аниматронна глава (фиг.1.5.1.), състоящ се от плексигласов череп със силиконова кожа, плексигласова основа с дисплей, 6 сервомотора, сервоконтролер (Scott Edwards), управляващ софтуер и подробна инструкция. Основните действия включват движение на очите наляво и надясно, отваряне и затваряне на клепачите, отваряне и затваряне на челюстта, усмивка, намръщване и повдигане на веждите.

2.4. Развлекателни сервизни роботи

2.4.1. Kучетo Aibo на Sony

- 118 -

Най-голяма популярност придобиха кучетата Aibo на Sony [10], които могат да виждат, чуват, чувстват и играят. Сами зареждат акумулаторните си батерии. Реагират на и изпълняват гласови команди. Снабдени са с цветна видеокамера, модул за безжична връзка с компютър и интернет – могат да предават видео и аудио

информация, да изпращат електронна поща. Всичко това дава възможност да се използват освен за забавление и като охранители на дома.

2.4.2. Котки на NeCoRo

Котките-роботи, използват технология за изкуствен интелект на Omron [11]. Те са със синтетична кожа. Имат сензори за докосване, звук, зрение и ориентация. Снабдени са с 15 вътрешни двигателя, които им позволяват да извършват присъщи за котките движения - могат да мъркат да се притискат да спят. Разпознават гласа на собственика си и познават името си.

2.4.3. Персонален робот PaPeRo

PaPeRo [12] на японската фирма Нипон Електрик Къмпани (NEC) е висок 44 cm и тежи 7 кг. Името му е съкращение на Partner-type Personal Robot. Управлява се с гласови команди – разбира и възпроизвежда над 3 хил. думи. Това е първия робот-преводач от японски на английски. Придвижва се свободно в помещенията с помощта на 3 колела, две от които са двигателни и се задвижват от електромотори. Снабден е с тактилни и инфрачервени сензори, микрофон, камера и инфрачервен слот за управление на домашни електроуреди.

2.5. Сервизни роботи със специално предназначение

2.5.1. Packbot - верижен робот

Произвежда се от фирмата iRobot - той е малък, здрав, многофункционален, високоманеврен, верижен робот [13]. Началния замисъл е бил да се използва само за военни цели, впоследствие започва използването му за разузнаване, контрол, спасителни операции, патрулиране на труднодостъпни или опасни за хората места. Робота е с тегло около 20 кг и размери 18/40/68 см, задвижва се от три постояннотокови двигателя - два за веригите и един за палците - всички с обратна връзка осъществена с енкодер.

- 119 -


2.5.2. Робот охранител - MOSRO на Robowatch

MOSRO е мобилен робот с височина 1,5 метра [14]. Снабден е с датчици за откриване на взривни вещества, атомно и химическо оръжие, термодатчици за засичане на жив организъм по топлинното му излъчване, радар, който засича всяко движение на разстояние от 30 до 100 метра. Данните от наблюдението на робота постъпват в център за управление, където се анализират. Акумулаторът издържа 12 часа, след което робота самостоятелно се презареждат от специална станция.

2.5.6. Roborior - домашен робот-пазач

Roborior може да наглежда оставени сами вкъщи деца, домашни любимци или само да наблюдава и съобщава за всичко, ставащо в къщата, като предава данните по GSM или интернет. Roborior тежи 3,25 кг, висок е 26 см. Роботът-пазач е разработен съвместно от Tmsuk Co. Ltd. и компанията за електроника Sanyo Electric [15]. Roborior е снабден с електрически двигател, задвижващ 2 от гумените му колела, видеокамера и редица сензори регистриращи на шум, дим и движение. От робота

се изпраща незабавно съобщение по телефона на определен номер, в случай че в къщата се е случило нещо необичайно. Според фирмата-производител, робота по подадена му команда, следва навсякъде своите повереници и периодично изпраща снимки за състоянието им на мобилния телефон на стопанина си.

2. 6. Учебни роботи В много институти, като изследователски проекти и за целите на обучението на

студентите, се разработват различни сервизни роботи, използващи като основа различни комерсиални платформи – най-често Lego.

В повечето от тези разработки за управлението се използват микроконтролери Motorola, PIC, Atmel, Fanuc и други. Задвижват се от високомоментни електродвигатели. Най-използваните сензори са за допир- фотоклетки, ултразвукови и инфрачервени. Много от тях се управляват от компютър по паралелен или USB порт.

Тук се представя един успешен такъв проект на института по роботика на Carnegie Mellon University – PalmPilot.

- 120 -

Това е мобилен робот с три колела, които могат да се въртят в две ортогонални посоки, което позволява да се движи устойчиво по неравни повърхности. Снабден е с IR сензор. Задвижването е с постояннотокови електродвигатели, а управлението се осъществява от Pontech SV203 контролер с модулна архитектура, която позволява препрограмиране и хардуерно разширяване, за целите на развойна дейност и обучение.

3. Функционални схеми на задвижващи системи за сервизни роботи с

електродвигатели

Фиг.1 Функционална схема на система за управление и задвижване на автономен мобилен робот

- 121 -


Фиг.2 Мостова схема за управление на една от задвижваните оси

Фиг.3 Съгласуваща схема между задвижваната ос и PC

- 122 -

Фиг.4 Примерна схема за управление на два стъпкови двигателя.

На Фиг.1 е показана функционалната схема за управление и задвижване на автономен мобилен робот. Задвижващата система на робота се състои от три постояннотокови двигателя - два за двигателните колела и един за кормилното колело. Захранването се осигурява от акумулаторна батерия -12V. Управлението на двигателите се реализира с PIC - контролер, който комуникира с персонален компютър и дистанционното управление на робота. На Фиг.2 е показана принципната схема за управление на ПТД осъществена с четриквадрантен широчинно –импулсен модулатор. На Фиг.3 е представена съгласуващата схема между задвижваната ос и PC. Благодарение на нея се осъществява галванично разделяне посредством оптрони на двете системи. При задвижване на робот реализирано със стъпкови електродвигатели, може да се използва показаната на Фиг.4 принципна схема за управлението им с микроконтролери.

4. Оценка на възможностите за приложение на електродвигатели в задвижващите системи на сервизни роботи Направения преглед, представен в този доклад накратко, на съществуващите

реализации на сервизни роботи показа, че задвижващите им системи са реализирани предимно с електродвигатели. Типа използвани двигатели се определя от експлоатационните им режими и вида захранващи източници. В масовия случай този източник е акумулаторна батерия с ограничен капацитет, което извежда като най-важен критерии минимизирането на енергопотреблението при избора на система за управление и електрозадвижване. Реализирането на задвижваща система с най-малък разход на енергия би позволило увеличаване на времето за работа и намаляване на престоя за зареждане на акумулаторите. Поради това най-често използваните в сервизната роботика електродвигатели са – постояннотокови колекторни двигатели с независимо възбуждане от постоянни магнити и такива с последователно възбуждане, безчеткови двигатели за постоянен ток и стъпкови електродвигатели. Двигателите с възбуждане от постоянни магнити се използват често в сервизната роботика, защото не е необходима енергия за създаване на магнитното поле. Тези двигатели имат фиксирана максимална скорост, зависеща от напрежението на батерията (акумулатора). Подходящи са за задвижване на автономни мобилни

- 123 -


платформи, ходовата част на мобилни роботи и на роботи играчки. Приложими са, когато е необходимо регулиране на скоростта в строги граници и фиксирана максимална скорост. Реверсирането им се осъществява лесно чрез изменение на посоката на тока в роторната намотка.

Двигателите с последователно възбуждане се отличава с възможността си да развиват висок пусков момент, което позволява и значително претоварване. Прилагат се в случаите, когато е необходим голям въртящ момент при сравнително ниски скорости. Това определя приложението преди всичко при сервизни роботи от типа мобилна платформа.

Безчетковите двигатели за постоянен ток (БДПТ) се характеризират с много голям експлоатационен живот (над 30 хил. часа), висока надеждност на работа, дължаща се на липсата на колекторно-четков апарат, възможност за работа във взриво- и пожароопасни среди, широк диапазон на регулиране на скоростта - 1 : 1000 и повече. Тези качества на БДПТ позволяват широкото им приложение във всички сфери на сервизната роботика.

Стъпковите двигатели позволяват изграждането на качествени отворени позиционни системи без наличието на скъпоструващи датчици за обратна връзка. Характеризират се с редица предимства дължащи се на специфичната им конструкция - голяма точност при позициониране, лесно регулиране на скоростта в широки граници, способност за запомняне на информация, запазване на скоростта при изменение на натоварването в широки граници, добра съвместимост с цифрови управляващи устройства. Изброените им качества определят масовото им използване в сервизната роботика. Те са незаменими при сервизни роботи предназначени за обслужване на промишлено оборудване, изискващо точно позициониране и високо бързодействие.

5. Заключение Задвижващите системи за роботи имат редица специфични особености. За всяка

задвижваща ос в общия случай е необходима отделна сервосистема. Тя не работи независимо сама за себе си, а трябва да се съгласува с работата на задвижванията и на останалите оси, за да се осигури зададено комплексно преместване на работния орган на робота. Сервосистемите на отделните оси си взаимодействат помежду си индиректно, чрез изпълнителните механизми на роботите и захранването (акумулатор, батерия). Затова, при проектирането на роботи, управляващата система на задвижването им трябва да се разглежда като единна многоканална система. Задвижването на робота е подложено на значителни статични и динамични натоварвания, а и на непредвидени експлоатационни въздействия – ударни натоварвания, вибрации, външни въздействия и др. Задвижващите системи на сервизните роботи трябва да отговарят и на редица конструктивни изисквания, а именно: да бъдат леки, компактни, с малки габарити, удобни и лесни за поддръжка. Не маловажно е изискването за висока степен на безопасност при тяхната експлоатация.

От казаното може да се изведат следните проблеми, които трябва да се решат при избора и проектиране на системите за електрозадвижване на сервизни роботи:

• обоснован избор на типа, мощността и момента на двигателя, с оглед минимизиране на масогабаритните му показатели;

• оптимизиране броя на използваните двигатели – да се изследват възможностите за задвижване на няколко оси от един двигател;

• да се постигне оптимално съгласуване при работата на електрозадвижванията на отделните оси;

• да се избере типа система за електрозадвижване в зависимост от необходимия закон на преместване;

- 124 -

• оптимизация на контурите за регулиране и избор на необходимите защити.

Световната практика показва, че електрическите двигатели, в болшинството случаи, са най-подходящите при задвижването на сервизните роботи, заради тяхното бързодействие, широки граници на регулиране на скоростта, висок к.п.д., точност при позициониране и лесна техническа поддръжка.

ЛИТЕРАТУРА 1. http://www.sandia.gov/isrc/Marv.html 2. http://www.sandia.gov/media/NewsRel/NR2001/minirobot.htm 3. http://www.computerra.ru/focus/new/24942/ 4. http://www.k-team.com/products/k-alice 5 http://www.irobot.com/sp.cfm?pageid=128 6. http://www.onrobo.com 7 http://www.sony.net/SonyInfo/News/Press_Archive/200203/02-0319E/ 8. http://www.hanssuter.typepad.com/folder/2005/04/nikkei_net_inte.html 9. http://www.members.shaw.ca/davidng/robot/index.html 10. http://www.sony.com/aibo 11. http://www.necoro.com/newsrelease/index.html 12. http://www.incx.nec.co.jp/robot/english/papero2005/index.html 13. http://www.defense-update.com/products/s/sugv-fcs.htm 14. http://www.robowatch.de/index.php?id=25 15. http://news.softpedia.com/news/Robots-to-become-guard-dogs-of-the-future-2572.shtml 16.World Robotics 2000 - Statistics, Market Analysis, Forecasts, Case Studies and

Profitability of Robot Investment, United Nations, 2000.

Department of Electric Drives Automation Technical University–Sofia 8, Kliment Ohridski Str. 1000 Sofia, BULGARIA E-mail: [email protected] Department of Electric Drives Automation Technical University–Sofia 8, Kliment Ohridski Str. 1000 Sofia, BULGARIA E-mail: [email protected]

- 125 -



INFLUENCING THE DERIVATIVE ON THE PICKUP ON THE PRODUCTIVENESS OF THE PRODUCTION

MECHANISNS WITH CYCLIC MANNER OF WORK

RUMEN RAINOV, VLADIMIR HRISTOV

Abstract. The cause on limiting first derivative on the pickup is the appearance on the production mechanisms off - putting physiological touches with lifting humans; Major active loads in the kinematics chain at abrupt change to the pickup during the period of transition; securing more good conditions for safe work and est. Everything limiting the derivative on the pickup that entails reduction to the productivity necessitates this. This cutback can be discovered in dependence by the sort to the high - speed diagram on motion and the characteristics on the real manners of work on the film advance. In the composition, for the different kinds of diagrams of motion, dependences, price influencing first derivative on pickup, on time for motion and the productiveness of the mechanisms, are showed.

ВЛИЯНИЕ НА ПРОИЗВОДНАТА НА УСКОРЕНИЕТО ВЪРХУ ПРОИЗВОДИТЕЛНОСТТА НА ПРОИЗВОДСТВЕНИТЕ МЕХАНИЗМИ С

ЦИКЛИЧЕН РЕЖИМ НА РАБОТА


Съществено влияние върху производителността на производствените механизми оказва наложеното ограничаване на производната на ускорението по време на преходните процеси. Такова ограничаване е необходимо поради появяващите се усилия в кинематичната верига на механизма, както и на неприятни физиологични усещания в превозвани хора (обслужващ персонал на механизма) [1]. Причина за последните са взаимното преместване на вътрешните им органи при всяка промяна на ускорението- производната на ускорението. Тогава еластичните връзки, поддържащи тези органи, се натоварват с динамична сила, под чието действие дължината на връзките се променя. Тези динамични сили могат да се намалят, ако големината на първата производна на ускорението се ограничи в съответствие с адаптационните възможности на човешкия организъм. Всяко ограничение на първата производна на ускорението води до повишение на времето за движение, а вследствие на това- до намаление на производителността. Тези влияния могат да бъдат оценени, като се отчита вида на скоростната диаграма на движене на механизма [1,2].

- 126 -

2. Аналитични зависимости за оценка на влиянието на производната на ускорението

2.1. Влияние при триучастъкова скоростна диаграма При условия, че са известни разстоянието на преместване S и ускорението нa времето за движение ще бъде най-малко, ако скоростта V се изменя по така наречената триучастъкова скоростна диаграма. Съществуват редица задвижвания при които се налага ограничаване и на производната на ускорението ρ до определена стойност. Това води до влияние върху скоростта V , времето за движение и производителността на механизма.

Съществува минимална допустима стойност minо ρ=ρ до която може да се ограничава производната на ускорението (Фиг.1).

1t 2t 3t 4t

нa

нa−

dtda

V

1τ 1τ1τ 1τ t

t

t

01V

03V

minρ

minρ−

Фиг.1. Триучастъкова скоростна диаграма при minо ρ=ρ .

От фигурата следва, че:

031

t

01н3o

1minн

V..2S

adt)t(aV

a2

τ=

τ==

τ⋅ρ=

∫ ,

- 127 -


откъдето:

min

2н

03aVρ

= и 2min

3нa2S

ρ= .

Тогава за minρ се получава :

Sа2 3н

min =ρ .

Когато minо ρ=ρ времето за движение е :

min

н13дв

a44Т мин ρ=τ=ρ .

Ако не се ограничава производната на ускорението ( ≈∝ρ ), времето за

движение е [1]:

н

дв aS2Т =∝ρ .

Относителното повишение на времето на движение, вследствие на ограничаване

на стойността на производната на ускорението, се дава с коефициента:

2

aS2

a4

ТТ

l

н

min

н

дв

3дв3

мин =ρ==∝ρ

ρρ .

При minо ρ=ρ времето за движение нараства 2 пъти спрямо случаите при които ρ не се ограничава .

За случаите, когато стойността на производната на ускорението 0ρ е в интервала ∝≤ρ<ρ 0min - (Фиг.2), може да се запишат зависимостите:

∫ τ+τ==

τ⋅ρ=3t

01н3o

10н

)'(adt)t(aV

a

,

където:

0

н1

aρ

=τ ,

- 128 -

н

0102

aVV −=τ′ .

Скоростта 01V в края на интервала 1t е :

0

2н

01 2aVρ

= ,

a скоростта 02V в края на интервала 2t е :

н20

4н

0

2н

02 a.S.4a21aV +

ρ+

ρ−= .

Тогава времето за движение е:

н2

4

н0

н13дв a.S.4

aa1a624Т

0

н +ρ

−ρ

=τ′+τ=ρ ,

а коефициента на относително повишение на времето за движение ρ3l е:

н

н2

4

н0

н

дв

3дв3

aS2

a.S.4a

a1a6

ТТ

l0

н +ρ

−ρ

==∝ρ

ρρ .

Намалението на производителността на механизма може да се оцени чрез коефициента ρ3f на относително използване на максималната производителност, който при зададена относителна продължителност на включване %ПВ се определя от [1] :

%ПВ%ПВ100l

%ПВ%ПВ1001

f3

3 −+

−+=

ρ

ρ .

- 129 -


1t 2t 3t 4t 5t

0ρ

0ρ−

нa

нa−

dtda

6t

V

1τ 1τ1τ 1ττ′ τ′ t

t

t

01V02V

03V

Фиг.2. Триучастъкова скоростна диаграма при ∝≤ρ<ρ 0min . Триучастъковата скоростна диаграма осигурява максимална производителност, но е икономически неизгодна поради факта че максималната скорост се използва теоретически за нула време. Поради това, по-изгодно е използването на четириучастъкова скоростна диаграма.

2.2. Влияние при четириучастъкова скоростна диаграма И тук, както при триучастъковата скоростна диаграма, при същите условия- зададено разстояние на преместването S, ускорението нa и приета стойност на установената скорост на движение 04V , съществува минимално допустима стойност на ограничаване на производната на ускорението minо ρ=ρ (Фиг.3). От тази фигура следват зависимостите:

н

4o

м3o

4o4

214o

21min4o

1minн

aSV

VV

)4(VS.V

a

⋅==β

τ+τ=

τρ=

τ⋅ρ=

- 130 -

където: 4β - е коефициент на използване на максималната скорост.


Sa

a24T 2н

min

min

н214дв min

ρ+ρ

=τ+τ=ρ ,

а коефициента ρ4l на относително повишение на времето за движение е:

4

2

дв

4дв4 2

21

ТT

l 4min

β

β+==

∝ρ

ρρ .

нa−

нa

dtda

1τ1τ 1τ2τ1t 2t 3t 4t 5t

04VV

t

t

t

1τ

01V

minρ

minρ−

Фиг.3. Четириучастъкова скоростна диаграма при minо ρ=ρ . За случаите, при които ограничаваната стойност 0ρ на производната на ускорението е в интервала ∝≤ρ<ρ 0min (Фиг.4) следват зависимостите:

- 131 -


нa−

нa

0ρ−

0ρdtda

1ττ′1τ 1τ1τ τ′2τ1t 2t 3t 4t 5t 6t 7t

04VV

t

t

t

01V02V

Фиг.4. Четириучастъкова скоростна диаграма при ∝≤ρ<ρ 0min .

τ′=+=

ρ=

ρ=τ

.aVVVV

2aV

a

н02

020104

0

2н01

0

н1


0

н

н

4o

4o214дв

aaV

VS'24T

ρ++=τ+τ+τ=ρ ,

а коефициента на относително повишение на времето за движение ρ4l е:

Sаa

2

1

ТT

l н

0

н

4

2

дв

4дв4

4

ρ+

β

β+==

∝ρ

ρρ .

- 132 -

Увеличеното време за движение, води до намаляване на производителността на механизма, което може да се оцени чрез коефициента ρ4f на използване на максималната производителност:

%ПВ%ПВ100l

%ПВ%ПВ1001

f4

4 −+

−+=

ρ

ρ

3. Резултати

Така получените по-горе зависимости са използвани за да бъдат извършени изследвания за влиянието на ограниченията на производната на ускорението. Изчисления са направени за m50S = и 2

н s/m5.0a = . Използвани са относителни

единици за производната на ускорението minρρ=ρ′ и за скоростта

min003

03

VVV

ρ=ρ

∗ =

при движение по триучастъкова скоростна диаграма. Резултатите от тези изследвания при движение по триучастъкова скоростна диаграма са показани на Фиг. 5, Фиг. 6 и Фиг. 7.

0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

1,60

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ρ '

l3ρ

Фиг.5. Коефициента на относително повишение на времето за движение при триучастъкова скоростна диаграма във функция от първата производна на ускорението.

- 133 -


0,00

0,20

0,40

0,60

0,80

1,00

1,20

1,40

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ρ '

V*

Фиг.6. Скоростта на движение при триучастъкова скоростна диаграма във функция от

първата производна на ускорението.

0,000,100,200,300,400,500,600,700,800,901,00

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ρ '

f3ρ ПВ=100%ПВ=60%ПВ=40%ПВ=20%

Фиг.7. Производителност при триучастъкова скоростна диаграма във функция от първата производна на ускорението.

При същото разстояние на преместване и ускорение, но движение по четириучастъкова скоростна диаграма, са получени резултати демонстрирани на Фиг. 8 ÷ Фиг. 12.

- 134 -

ПВ=100%

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ρ '

f4ρ β4=0,8

β4=0,6

β4=0,4

β4=0,2

Фиг.8. Производителност при четириучастъкова скоростна диаграма във функция от

първата производна на ускорението при %100ПВ = .

ПВ=60%

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ρ '

f4ρ β4=0,8

β4=0,6

β4=0,4

β4=0,2



- 135 -


ПВ=40%

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ρ '

f4ρ β4=0,8

β4=0,6

β4=0,4

β4=0,2



ПВ=20%

00,1

0,20,3

0,40,5

0,60,7

0,80,9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ρ '

f4ρ β4=0.8

β4=0,6

β4=0,4

β4=0,2

Фиг.11. Производителност при четириучастъкова скоростна диаграма във функция от първата производна на ускорението при %20ПВ = .

- 136 -

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

l4ρ

ρ '

β4=0,8

β4=0,6

β4=0,4

β4=0,2

Фиг.12. Относителното повишение на времето при четириучастъкова скоростна диаграма във функция от първата производна на ускорението.

4. Заключение Получените аналитични зависимости дават възможност за оценка на влиянието на ограниченията на производната на ускорението върху времето за движение и производителността на механизми с цикличен режим на работа. На базата на тях могат да бъдат отчитани и реалните режими на работа на механизмите чрез законите на разпределение на осъществяваните премествания. Това позволява да се даде обективна оценка за ползата и вредата от предприеманите мерки за подобряване на динамиката на осъществяваните движения , чрез ограничаване на първата производна на ускорението.

ЛИТЕРАТУРА 1. Св. Йорданов, К. Кутрянски. Автоматизация на производствените механизми,Печатна база на Технически Университет- София, 2001.

2. Р. Райнов, Върху избора на параметрите на системи кранови електрозадвижвания дисертация, 1977.

Department of Electric Drives Automation Technical University–Sofia 8, Kliment Ohridski Str. 1000 Sofia BULGARIA E-mail: [email protected] Department of Electric Drives Automation Technical University–Sofia 8, Kliment Ohridski Str. 1000 Sofia BULGARIA E-mail: [email protected]

- 137 -



OPTIMIZATION OF ELECTRIC DRIVES SYSTEM WITH PERMANENT MAGNET SYNCHRONOUS MOTORS

KRUM P. KUTRYANSKI, BOZHIL R. MIHAJLOV Abstract. The paper discuses optimization of electric drives system with permanent magnet synchronous motors. Presentation engineer methods allowed determination of optimal circumstances guarantee maximization of torque. Key words: permanent magnet synchronous motors, optimization.

ОПТИМИЗАЦИЯ НА СИСТЕМИТЕ ЗА ЕЛЕКТРОЗАДВИЖВАНЕ СЪС

СИНХРОННИ ДВИГАТЕЛИ С ПОСТОЯННИ МАГНИТИ ПО ОТНОШЕНИЕ НА ЕЛЕТРОМАГНИТНИЯТ МОМЕНТ


При системите за електрозадвижване (СЕЗ) изградени с двата най-често използвани видове синхронни двигатели с постоянни магнити (PMSM), а именно с външно разположени магнити (SPM) и с вътрешно разположени магнити спрямо ротора (IPM), все по-често се налага работата на двигателят при максимален момент. Условията, при които се получава този режим определят качеството на управление (бързодействие, способност за претоварване, устойчивост и др.) на системата като цяло. Подходът при математичното извеждане на условията за получаване на максимален момент е съобразен с разликите в конструкциите на машините и е обобщен за двата вида двигатели [1], [2]. Моделът е реализиран в програмната среда Matlab/Simulink и е разгледан при работа в динамичен режим, но на базата на математичното описание може да се направят симулационни модели и в други програмни среди с малки изменения и допълнения, там където е нужно (MathCad, SciLab, 20sim, Оctave и др.).

- 138 -

2. Описание на методите за изчисляване на сила Математичното описание описващо динамиката на процесите е:

qqmq

ddmd

fdm

rr

mrer

qdqmdmqe

q

rdr

qm

dmq

qmq

qm

q

qrdm

qmd

dmd

dm

d

iLiL

ILdt

d

TFTJdt

d

iiLLipT

Lp

ipLL

iLRu

Ldtdi

ipLL

iLR

uLdt

di

=Ψ

=Ψ

=

=Θ

−−=

−+=

−−−=

+−=

λ

ω

ωω

λ

ωλω

ω

)(1

])([23

1

1

(1)

където: cba uuu , , - фазови напрежения [V]

0u - напрежение с нулева последователност [V]

qd uu , - напрежения по осите d,q [V]

qd ii , - токове по осите d,q [A]

fI - постоянен ток, съответстващ на възбудителния ток на синхронната машина [A]

qmdm LL , - индуктивности по осите d,q [H] R - съпротивление на статора [Ω] p - брой на чифтовете полюси λ - взаимен поток, създаван от постоянните магнити [Wb]

qd ΨΨ , - потокосцепления по осите d,q [Wb]

eT - електромагнитен момент [Nm] J - инерционен момент [kgm2]

mT - съпротивителен момент [Nm] F - момент, отчитащ сухото триене [Nms]

rω - ъглова скорост на ротора [rad/s]

rΘ - ъгъл между статора и ротора [rad] ω - ъглова скорост, използвана при ориентирането на координатните

системи (трансформация на Парк) [rad/s]

В статичен режим, всички диференциали се полагат равни на нула, като считаме, че ъгловата скорост е различна от нула, и е константа. Получаваме следната система уравнения:

- 139 -


qqmq

ddmd

fdm

qdqmdmqe

q

rdr

qm

dmq

qmq

qm

qrdm

qmd

dmd

dm

iLiL

IL

iiLLipT

Lp

ipLL

iLR

uL

ipLL

iLRu

L

=Ψ

=Ψ

=

−+=

−−−=

+−=

λ

λ

ωλω

ω

])([23

10

10

(2)

От двете описания характеризиращи динамичният и статичният режим е видно, че развиваният момент зависи от токовете qd ii и , като уравнението му е едно и също и за двата типа двигатели и за режимите на работа.

При двигател с външно разположени магнити спрямо ротора имаме равенство на индуктивностите )( qmdm LL = , т.е. уравнението на електромагнитния момент става :

qqdqmdmqe ipiiLLipT λλ23])([

23

0

=−+= (3)

Полученият резултат показва, че моментът зависи само от тока qi и при максимална негова стойност ще има и максимална стойност на момента. Изводът е валиден и за динамичен режим на работа.

При двигател с вътрешно разположени магнити спрямо ротора имаме по-голямата стойност на индуктивността по eq - оста ( qmdm LL < ), т.е. . уравнението на електромагнитния момент става:

0

][23])([

23

<−=

+=−+=

qmdm

qdqqdqmdmqe

LLK

iKiipiiLLipT λλ (4)

Полученият резултат показва, че моментът зависи от тока qi и от произведението qd ii , като максимален момент се получава когато това произведение е с отрицателен знак, т.е токът di е отрицателен, тъй като разликата от индуктивностите е отрицателно число, а токът qi съвпада о знак с електромагнитният момент, т.е. при работа в двигателен режим на машината той е положителен, а при работа в генераторен режим той е отрицателен. Въз основа на така направения анализ се извеждат и условията осигуряващи максимален момент при двата типа двигатели, а именно:

- за двигател с външно разположени магнити спрямо ротора (SPM):

max

0IIi

i

q

d

≤=

= (5)

- 140 -

- за двигател с вътрешно разположени магнити спрямо ротора (IPM):

max

0IIi

i

q

d

±≤±=

< (6)

където maxI е максималният възможен ток, които се обуславя от конструктивните параметри на машината. В (6) знакът “+” на тока maxI се взема за двигателен режим, съответно “-“ – за генераторен режим. Системата от уравнения при спазването на горните условия има вида:

- за двигател с външно разположени магнити спрямо ротора (SPM):

max

max

maxmax

max

00

)(123

1

10

ILiLLiL

ILdt

d

TFTJdt

d

IpT

LpI

LRu

LdtdI

IpLL

uL

qmqqmq

dmddmd

fdm

rr

mrer

e

q

r

qmq

qm

rdm

qmd

dm

==Ψ===Ψ

=

=Θ

−−=

=

−−=

+=

λ

ω

ωω

λ

ωλ

ω

(7)

- за двигател с вътрешно разположени магнити спрямо ротора (IPM):

max

maxmax

max

)(

)(1

]))(([23

)(1

)(1)(

ILiLiLiL

ILdt

d

TFTJdt

d

iiLLipT

Lpip

LL

ILRu

LdtdI

IpLL

iLRu

Ldtdi

qmqqmq

ddmddmd

fdm

rr

mrer

qdqmdmqe

q

rdr

qm

dm

qmq

qm

rdm

qmd

dmd

dm

d

==Ψ±==Ψ

=

=Θ

−−=

±−+=

−±−−=

+±−=±

λ

ω

ωω

λ

ωλω

ω

(8)

- 141 -


3. Резултати Представените резултати се отнасят за синхронен двигател с външно разположени магнити спрямо ротора при работа на празен ход и при работа с номинален момент, съответно на Фиг. 1 и Фиг.2. Аналогични са резултатите и при другия тип двигател с уточнението, че токът di трябва да бъде по-малък от нула и да има съобразяване със знака на тока qi за съответния режим на работа – двигателен или генераторен.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

t, [s]

M, [

Nm

]

M, Id=0M, Id<>0

Фиг. 1. Преходен процес на електромагнитният момент, Мс=0.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1−40

−30

−20

−10

0

10

20

30

40

t, [s]

M, [

Nm

]

M, Id=0, Mc=MnM, Id<>0, Mc=Mn

Фиг. 1. Преходен процес на електромагнитният момент, Мс=Мn.

- 142 -

4. Заключение В статията е предложен метод подходящ за приложение в инженерната практика, при който се получава максимален електромагнитен момент на вала на двигателя. Видно е, че при работа с номинален момент преходният процес е по-кратък в сравнение със случая на работа на празен ход. Представеният метод е подходящ за приложение при СЕЗ работещи с постоянен съпротивителен момент. Направените изводи са валидни и за двата типа синхронни двигатели с външно разположени магнити (SPM) и с вътрешно разположени магнити спрямо ротора (IPM).

Таблица 1. Данни за електродвигателя U 220 V f 50 Hz R 2.875 Ω

dL 8.5e-3

H

qL 8.5e-3

H

p 4 - λ 0.175 Wb J 0.8e-

3 kgm2

F 0 Nms Tm 0 Nm Mn 3 Nm

ЛИТЕРАТУРА 1. B. K. Bose. Modern power electronics and AC drives. Upper Saddle River, NJ 07458, Prentice Hall, 2002 2. Daskalov G., B. Mihajlov. Dynamical model of permanent magnet synchronous motors, Journal of the Technical University at Plovdiv, 2006, vol.13, pp. XXX-XXX, ISSN XXXX-XXXX (под печат). 3. W. Leonhard. Control of electrical drives. Berlin, Springer, 2001 4. В. И. Ключев. Теория на електрозадвижването. София, Техника, 1989 Department of Electrical Engineering Technical University–Sofia, Plovdiv Branch 25, Tsanko Dystabanov Str. 4000 Plovdiv BULGARIA E-mail: [email protected] , [email protected]

Documents

JOURNAL - tu-plovdiv.bg4)A_709.pdf · в областта на управлението, още повече и предопределена от възможностите на изчис-лителната