Jos¶e Luis Lizarbe Chira ¶Indices de Enla»camento Assint ...paul/tesechira.pdf · sidade Cat¶olica do Rio de Janeiro. V.I. Arnold no seu trabalho \The asymptotic Hopf Invariant

$Page 1: Jos¶e Luis Lizarbe Chira ¶Indices de Enla»camento Assint ...paul/tesechira.pdf · sidade Cat¶olica do Rio de Janeiro. V.I. Arnold no seu trabalho \The asymptotic Hopf Invariant$
Jose Luis Lizarbe Chira

Indices de Enlacamento Assintotico para Acoesde Rk em Variedades Riemannianas Compactas

Tese de Doutorado

Tese apresentada ao Programa de Pos–graduacao em Ma-tematica do Departamento de Matematica da PUC–Rio como re-quisito parcial para obtencao Do tıtulo de Doutor em Matematica

Orientador: Prof. Paul Schweitzer

Rio de Janeiroabril de 2005

Please purchase PDF Split-Merge on www.verypdf.com to remove this watermark.

DBD

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0015584/CA


Indices de Enlacamento Assintotico para Acoesde Rk em Variedades Riemannianas Compactas

Tese apresentada ao Programa de Pos–graduacao em Ma-tematica do Departamento de Matematica do Centro TecnicoCientıfico da PUC–Rio como requisito parcial para obtencao Dotıtulo de Doutor em Matematica. Aprovada pela Comissao Exa-minadora abaixo assinada.

Prof. Paul SchweitzerOrientador

Departamento de Matematica — PUC–Rio

Prof. Dethang ZhouUFF

Prof. Sebastiao Marcos Antunes FirmoUFF

Prof. Rafael Oswaldo Ruggiero RodriguezPUC-Rio

Prof. Derek Douglas Jack HaconPUC-Rio

Prof. Paulo Henrique Cabido GusmaoUFF

Prof. Jose Eugenio LealCoordenador Setorial do Centro Tecnico Cientıfico — PUC–Rio

Rio de Janeiro, 04 de abril de 2005


DBD


Todos os direitos reservados. E proibida a reproducao totalou parcial do trabalho sem autorizacao da universidade, doautor e do orientador.


Graduacao: Matematica-Universidad Nacional de Ingenieria-Lima-Peru (1987-1996).Mestrado: Matematica-Universidade Federal Fluminenense(1997-1999).Doutorado: Matematica-Pontificia Universidade Catolica doRio de Janeiro (2000-2005).

Ficha CatalograficaChira, Jose Luis Lizarbe

Indices de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk

em Variedades Riemannianas Compactas / Jose Luis LizarbeChira; orientador: Paul Schweitzer. — Rio de Janeiro : PUC–Rio, Departamento de Matematica, 2005.

v., 88 f: il. ; 29,7 cm

1. Tese (doutorado) - Pontifıcia Universidade Catolica doRio de Janeiro, Departamento de Matematica.

Inclui referencias bibliograficas.

1. Matematica – Tese. 2. Algebra Exterior. 3. k-CamposVetoriais. 4. Lei de Biot-Savart. 5. Invariante de Hopf. 6.Acoes de Rk. 7. Indice de Enlacamento assintotico. I. Schweit-zer, Paul. II. Pontifıcia Universidade Catolica do Rio de Ja-neiro. Departamento de Matematica. III. Tıtulo.

CDD: 510


DBD


Agradecimentos

Em primeiro lugar a Deus por ter ficado espiritualmente sempre de meu

lado e por ter posto no meu caminho as pessoas certas para que este trabalho

fosse realizado.

A minha amada esposa Patricia pela paciencia, amor e comprensao nos

momentos difiıceis, por seu companherismo no dia a dia e em especial por estar

presente na minha vida e por ter me dado o melhor presente da minha vida

nosso filho Juan Pablo.

A minha famılia peruana, pai, irmaos e sobrinhos pelo carinho, respeito

e motivacao que sempre me deram.

A meu orientador Paul pela sua ajuda academica, espiritual e por ter

providenciado tudo para que este trabalho desse certo, muito obrigado Paul.

Ao professor Ricardo pela sua ajuda academica nos primeiros perıodos

do doutorado.

Aos meus amigos Edwin, Rosa, Sumaya e Jose Barbosa pelo companhe-

rismo. A todos os componentes da secretaria do departamento de matematica

pela ajuda prestada e em especial para Kreuza e Orlando.

Ao CNPq e a PUC–Rio, pelos auxılios concedidos, sem os quais este

trabalho nao poderia ter sido realizado.


DBD


Resumo

Chira, Jose Luis Lizarbe; Schweitzer, Paul. Indices deEnlacamento Assintotico para Acoes de Rk em Varieda-des Riemannianas Compactas. Rio de Janeiro, 2005. 88p. Tesede Doutorado — Departamento de Matematica, Pontifıcia Univer-sidade Catolica do Rio de Janeiro.

V.I. Arnold no seu trabalho “The asymptotic Hopf Invariant and its

applications” de 1986, considerou sobre um domınio Ω compacto de R3

com bordo suave e homologıa trivial campos X e Y de divergencia nula

e tangentes ao bordo de Ω e definiu o ındice de enlacamento assintotico

lk(X, Y ) e o invariante de Hopf associados a X e Y pela integral I(X,Y ) =∫Ω

α∧dβ, onde dα = iXvol e dβ = iyvol, e mostrou que I(X, Y ) = lk(X,Y ).

Agora, no presente trabalho estenderemos estas definicoes de ındices de

enlacamento assintotico lk(Φ, Ψ) e de invariante de Hopf I(Φ, Ψ), onde Φ e

Ψ sao acoes de Rk e de Rs, k+s = n−1, respectivamente de difeomorfismos

que preservam volume em Ωn a bola unitaria fechada em Rn e mostraremos

que lk(Φ, Ψ) = I(Φ, Ψ).

Palavras–chaveAlgebra Exterior. k-Campos Vetoriais. Lei de Biot-Savart. Invari-

ante de Hopf. Acoes de Rk. Indice de Enlacamento assintotico.


DBD


Abstract

Chira, Jose Luis Lizarbe; Schweitzer, Paul. Asymptotic LinkingInvariants for Rk-Actions in Compact Riemannian Mani-folds. Rio de Janeiro, 2005. 88p. PhD Thesis — Department ofMatematica, Pontifıcia Universidade Catolica do Rio de Janeiro.

V.I. Arnold, in his paper “The algebraic Hopf invariant and its applications”

published in 1986, considered a compact domain Ω in R3 with a smooth

boundary and trivial homology and two divergence free vector fields X

and Y in Ω tangent to the boundary. He defined an asymptotic linking

invariant lk(X, Y ) and a Hopf invariant associated to X and Y by the

integral I(X, Y ) =∫Ω

α ∧ dβ, where dα = iXvol e dβ = iY vol. He showed

that I(X, Y ) = lk(X, Y ). In the present work we extend these definitions of

the asymptotic linking invariant lk(Φ, Ψ) and the Hopf invariant I(Φ, Ψ),

where Φ and Ψ are actions of Rk e Rs, k + s = n − 1, by volume

preserving diffeomorphisms, on the closed unit ball Ωn in Rn, and we show

that lk(Φ, ψ) = I(Φ, Ψ).

KeywordsExterior Algebra. k-Vector Field. Law of Biot-Savart. Rk-Actions.

Asymptotic Linking Invariant.


DBD


Sumario

1 Introducao 8

2 Extensao do Produto Vetorial Sobre uma Algebra Exterior 112.1 Produto Interno Sobre Λ(E) 112.2 Os Produtos · e × 16

3 Os Operadores div e rot 223.1 Operadores Associados a K-Campos em M 223.2 Os operadores rot e div sobre E(M) 26

4 Invariante para Acoes de Rk e Teorema Ergodico em Mn 354.1 Acoes de Rk em Mn 354.2 Teorema Ergodico para Acoes de Rk numa Variedade Riemanniana

Compacta 41

5 A Generalizacao da Lei de Biot-Savart 455.1 Distribuicoes em Rn 455.2 A Lei de Biot-Savart em R3 495.3 A lei de Biot-Savart em Rn 53

6 Formulas de Enlacamento 566.1 Indice de Enlacamento 566.2 Formas de Enlacamento 616.3 Indice de enlacamento para ciclos singulares em M 63

7 Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk em VariedadesRiemannianas 67

7.1 Indice de Enlacamento Assintotico de uma Acao de Rk e uma sub-variedade 67

7.2 Indice de Enlacamento Assintotico entre Acoes de Rk 78

Referencias Bibliograficas 88


DBD


1Introducao

Sejam γ1 e γ2 duas curvas fechadas, disjuntas e orientadas em R3 (ou na

esfera unitaria S3 em R4). Seja N qualquer superfıcie orientavel, transversal a

γ1 e que tem a γ2 como bordo orientado. O ındice de enlacamento lk(γ1, γ2)

e o inteiro definido como o numero algebrico de intersecoes de γ1 com a

superfıcie N . Agora, se uma aplicacao f : S3 → S2 e suave, onde S2 e a

esfera unitaria em R3, entao para cada par de pontos p e q em S2 podemos

definir If := lk(f−1(p), f−1(q)) sempre que as curvas fechadas f−1(p) e f−1(q)

em S3 sejam disjuntas. O inteiro If e chamado de Invariante de Hopf para f

sendo que independe da escolha de p e q. O interessante deste invariante If

e que tambem pode ser calculado como um valor integral∫

S3 d−1β ∧ β, onde

β e a 2-forma em S3 pull back f ∗(θ) de uma 2-forma θ que e um gerador de

H2(S2,Z) e d−1β representa uma 1-forma α em S3 tal que dα = β.

Em (Arn), Arnold define para cada campo X ( fluxo ϕ ) de divergencia

nula em S3 o ındice de enlacamento assintotico lk(X) a qual e uma extensao

do invariante de Hopf visto como enlacamento. Para isso, ele define um

sistema Σ de curvas que ele chama de sistema de caminos curtos tal que

para cada p ∈ S3 e tempo T ≥ 0 existe uma unica curva σ(p, T ) em

Σ com ponto inicial p e ponto final ϕT (p). Assim, para cada pedaco de

orbita ϑ(p, T ) = ϕt(p); t ∈ [0, T ] ele associa uma unica curva fechada

ϑ(p, T ) := ϑ(p, T )∪ σ(p, T ). Logo, define para cada par de pontos p e q em S3

o limite lk(p, q) := limT,R→∞

1

TRlk(ϑ(p, T ), ϑ(q, R)) e mostra, devido a definicao

de Σ, que este limite existe para todo (p, q) no complemento de um conjunto

de medida nula em S3×S3 . Assim, define o ındice de enlacamento assintotico

pela integral lk(X) =∫

S3×S3 lk(p, q)vol× vol, onde dvol e a forma de volume

na metrica usual de S3.

Alem disso, sendo α := iXvol uma 2-forma fechada em S3 ( X sendo de

divergencia nula ), define a invariante de Hopf para X como o valor integral

I(X) :=∫

S3 d−1α ∧ α e mostra, como no caso de aplicacoes suaves de S3 em

S2, que I(X) = lk(X).

No trabalho de Arnold, ele assume a existencia dos sistemas dos caminhos

curtos e da ideias de como construir estes sistemas para campos com zeros


DBD


Capıtulo 1. Introducao 9

isolados mas nao da um exemplo concreto no caso geral. Vogel em (Vog)

consegue dar exemplos naturais destes sistemas Σ, onde cada curva em Σ

e um pedaco de geodesica em S3, mas a sua definicao de Σ somente considera

a convergencia em L1(S3 × S3) da funcao lk(p, q) e nao a convergencia q.t.p.

Vogel observa que para este tipo de convergencia o ındice lk(X) ainda esta

bem definida.

Observemos que, tanto lk(X) como I(X) podem ser estendidas naturalmente

para definir o ındice de enlacamento assintotico lk(X, Y ) de um par de campos

de divergencia nula. Aqui lk(p, q) e o enlacamento assintotico da orbita de X

que passa por p e da orbita de Y que passa por q, e o invariante de Hopf

I(X,Y ) =∫

S3 d−1α∧β, onde α = iXdvol e β = iYvol. Ainda temos a igualdade

I(X,Y ) = lk(X, Y ) . Por outro lado, sabemos que ϕ e ψ os fluxos de X e

Y , respectivamente, sao acoes de R em S3 de difeomorfismos que preservam

volume (de divergencia nula). Naturalmente, poderıamos ter definido I(X,Y )

e lk(X, Y ) como I(Φ, Ψ) e lk(Φ, Ψ), respectivamente.

Por outro lado, analogamente como em R3, podemos definir o ındice de

enlacamento de duas subvariedades Nk11 e Nk2

2 de Mn, k1 + k2 = n− 1, sempre

que ambas sejam de homologia nula.

O proposito deste trabalho e estender o ındice de enlacamento assintotico

para acoes ϕ de Rk numa variedade riemanniana compacta Mn, n > 3, de

difeomorfismos que preservam volume. Isto e, uma acao Φ1 de Rk1 enlacando-

se com uma acao Φ2 de Rk2 , k1+k2 = n−1, ambas agindo em M . Os resultados

desta extensao serao feitas para o caso M = Dn (a bola unitaria em Rn). Para

isto, precisaremos que as acoes Φ1 e Φ2 sejam tangentes ao bordo de Dn.

No trabalho de Arnold em R3 a lei de Biot-Savart e crucial para

estabelecer a igualdade lk(X) = I(X). A lei de Biot-Savart afirma que se Ω e

um dominio em R3 com bordo suave e X e um campo em Ω de divergencia nula

e tangente a ∂Ω entao o campo BS(X)(x) :=1

4π

∫

Ω

(y − x)×X(y)

‖y − x‖3vol(y)

satisfaz rot(BS(X)) = X .

Assim, neste trabalho primeiro estendemos a definicao do produto veto-

rial e do produto interior para k-vetores (Capıtulo 2) e em seguida damos uma

definicao de divergencia e rotacional para k-campos (Capıtulo 3). Tambem

estendemos a Lei de Biot-Savart para k-campos (Capıtulo 5). Agora, para a

extensao do ındice de enlacamento assintotico, seguiremos a ideia de Vogel, isto

e, construiremos um sistema Σki(Teorema 7.9) de k-subvariedades singulares,

tal que para cada ki-retangulo de orbita ϑi de Φi existe σi em Σkique satisfaz

∂ϑi = ∂σi. Deste modo obtemos ki-subvariedades singulares ϑi = ϑi ∪ σi fe-

chadas e sem bordo as quais serao usadas para definir a funcao limite lk(p, q),

como no caso §3, e mostraremos que esta funcao converge em L1(M × M) e


DBD


Capıtulo 1. Introducao 10

independe dos sistemas Σkiescolhidos (Proposicao 7.10). Tambem mostrare-

mos que podemos definir invariante de Hopf integral I(ϕ1, ϕ2) =∫

Md−1α∧β

(Capıtulo 4), onde as formas α e β estao associadas naturalmente as acoes ϕk1

e ϕk2 . E finalmente, mostraremos que lk(ϕ1, ϕ2) = I(ϕ1, ϕ2) (Teorema 7.12) e

daremos algums exemplos no caso k1 = 1, k2 = 2 e n = 4.


DBD


2

Extensao do Produto Vetorial Sobre uma Algebra Exterior

Seja R3 o espaco euclidiano tridimensional, chamamos de algebra exterior

de R3 a algebra Λ(R3) gerada pela base canonica e1, e2, e3 satisfazendo

ei ∧ ej = −ej ∧ ei, ∀i, j.

Nesta algebra define-se o operador linear ∗ que satisfaz:

∗(1) = ei ∧ ej ∧ ek ; ∗(ei) = ej ∧ ek ; ∗(ei ∧ ej) = ek ; ∗(ei ∧ ej ∧ ek) = 1,

para todo i, j, k permutacao positiva de 1, 2, 3.Sejam × o produto vetorial e · o produto interno canonico em R3. Nao e

dificil mostrar que estes produtos podem ser tambem expressados fazendo uso

da algebra exterior e do operador estrela ∗, a saber :

u× v = ∗(u ∧ v) e u · v = ∗(u ∧ ∗v), ∀u, v ∈ R3.

Neste capıtulo estenderemos a definicao de × e · visto como produtos na

algebra exterior de qualquer espaco vetorial e veremos algumas propriedades

as quais sao parecidas ao caso R3.

2.1Produto Interno Sobre Λ(E)

Seja E um espaco vetorial real de dimensao n com produto interno 〈 , 〉.Fixemos β = u1, u2, ..., un uma base ortonormal de E. Chamamos de algebra

exterior de E a algebra Λ(E) gerada por β cujo produto ∧ e anticomutativo

em β ,isto e, para todo i e j em 1, .., n temos que ui ∧ uj = −uj ∧ ui . O

sub-espaco Λk(E) gerado pelos elementos da forma ui1 ∧ ..∧uik1≤i1<..<ik≤n e

dita a k-algebra exterior de E. Cada u ∈ Λk(E) e chamado de k-vetor e no caso

de u = v1∧v2∧ ..∧vk, onde os vi ∈ E, sera chamado de k-vetor decomponıvel.

Notemos que Λ(E) pode ser definida pela soma direta

Λ(E) := Λ0(E)⊕ Λ1(E)⊕ ..⊕ Λn(E).


DBD


Capıtulo 2. Extensao do Produto Vetorial Sobre uma Algebra Exterior 12

Observemos que a propriedade distributiva de uma algebra garante a extensao

da propriedade anticomutativa do produto ∧ para cada par de vetores em E,

isto e, para todo u e v em E se satisfaz u ∧ v = −v ∧ u, em particular, para

todo u ∈ E temos que u ∧ u = 0. logo, se v1, .., vk e um subconjunto de E

linearmente dependente entao

v1 ∧ v2 ∧ .. ∧ vk = 0. (2-1)

Notemos tambem que se v1, .., vn e um subconjunto de E e se para cada i

temos que (vi)β denota as coordenadas de vi na base β entao por (2-1) e a

propriedade anticomutativa do produto ∧ temos que

v1 ∧ .. ∧ vn = [(v1)β, .., (vn)β]u1 ∧ .. ∧ un,

onde [(v1)β, ..(vn)β] e o determinante da matriz cujas linhas sao as coordenadas

(vi)β. Em geral, se γ = w1, ., wn e uma base qualquer de E entao

v1 ∧ .. ∧ vn = [(v1)γ, .., (vn)γ]w1 ∧ .. ∧ wn. (2-2)

Por outro lado, no caso de E∗ o espaco dual de E podemos usar

definicoes analogas ao caso de Λ(E) para definir Λ(E∗) a algebra exterior de

E∗ sendo os elementos desta algebra chamados de covetores. A algebra Λ(E∗)

e isomorfo a (Λ(E))∗. Em particular, Λk(E∗) e isomorfo a (Λk(E))∗, a saber, se

ω1, . . . , ωn e a base dual de u1, . . . , un entao a base ωi1∧..∧ωik1≤i1<..<ik≤n

de Λk(E∗) sera identificada como a base dual de ui1 ∧ .. ∧ uik1≤i1<..<ik≤n em

Λk(E). Notemos que todo k-vetor u pode ser escrito da forma

u =∑

1≤i1<..<ik≤n

(ωi1 ∧ .. ∧ ωik)(u)ui1 ∧ .. ∧ uik . (2-3)

Analogamente, todo k-covetor ω pode ser escrito da forma

ω =∑

1≤i1<..<ik≤n

ω(ui1 ∧ .. ∧ uik)ωi1 ∧ .. ∧ ωik . (2-4)

Notemos tambem, que se α = α1 ∧ .. ∧ αk e um k-covetor decomponıvel e

v = v1 ∧ . . . ∧ vr e um r-vetor decomponıvel entao

α(v) =

0 se k 6= r;

det[αi(vj)] se k = r,(2-5)

onde det denotya o determinante de uma matriz quadrada.

Para cada u ∈ Λ(E) chamaremos de produto interior por u a trans-


DBD



formacao linear

iu : Λ(E∗) −→ Λ(E∗),

ω 7−→ iuω, iuω(υ) = ω(u ∧ υ) ∀ υ ∈ A(E).

Em particular, se u e um 1-vetor, u ∈ E, entao iu e uma antiderivacao de grau

-1 em Λ(E∗), isto e, iu satisfaz

1. iu(ω) ∈ Λk−1(E∗), ∀ω ∈ Λk(E).

2. iu(ω ∧ β) = iu(ω) ∧ β + (−1)kω ∧ iu(β), ∀ω ∈ Λk(E∗) ∀β ∈ Λ(E∗).

Observacao 2.1 Observemos que se u1, u2, .., uk−1 e uk sao elementos de

Λ(E) entao

iu1∧u2∧..∧uk−1∧uk= iuk

iuk−1..iu2iu1 . (2-6)

Para cada k 6= 0 definamos a aplicacao bilinear :

〈 , 〉k : Λk(E)× Λk(E) −→ R

tal que, para cada par u = u1 ∧ ... ∧ uk e v = v1 ∧ ... ∧ vk de k-vetores

decomponıveis corresponde o valor :

〈u, v〉k = det[〈ui, vj〉]. (2-7)

Proposicao 2.2 〈 , 〉k e produto interno sobre Λk(E) .

Prova: Por definicao, o produto 〈 , 〉k e bilinear. Por outro lado, sabendo que

para toda matriz quadrada A e sua transposta At se satisfaz detA = detAt,

por definicao do produto 〈 , 〉k temos

〈u1 ∧ .. ∧ uk, v1 ∧ .. ∧ vk〉k = 〈v1 ∧ .. ∧ vk, u1 ∧ .. ∧ uk〉k.

Logo o produto e simetrico. Agora, seja u1, ..., un base ortonormal de E.

Tomndo u = ur1∧...∧urke v = us1∧...∧usk

decomponıveis tais que r1 < ... < rk

e s1 < ... < sk , temos

〈u, v〉k = det[〈uri, usj

〉]

= det[δrisj

] =

1 se ri = si para todo i.

0 se ri 6= si para algum i.


DBD



Agora, se u =∑

1≤i1<...<ik≤n

ai1...ikui1 ∧ ... ∧ uik ∈ Λk(E) entao

〈u, u〉k =∑

ai1...ikaj1...jk〈ui1 ∧ ... ∧ uik , uj1 ∧ ... ∧ ujk

〉=

∑a2

i1...ik≥ 0,

onde as somas sao tomadas sobre todos os k-uplos tais que

1 ≤ i1 < .. < ik ≤ n e 1 ≤ j1 < .. < jk ≤ n. 2

Notemos que a definicao do produto 〈 , 〉k implica que o conjunto ui1 ∧ .. ∧uik1≤i1<..<ik≤n e uma base ortonormal de Λk(E).

Definamos o produto interno:

〈 , 〉 : Λ(E) × Λ(E) −→ R

tal que se u ∈ Λk(E) e v ∈ Λr(E)

〈u, v〉 =

〈u, v〉k se k = r.

0 se k 6= r.(2-8)

A norma de um vetor u ∈ Λ(E) sera definido como ‖u‖ :=√〈u, u〉.

Este produto interno induz o isomorfismo

j : Λ(E) −→ Λ(E∗)

u 7−→ j(u), j(u)(v) = 〈u, v〉 ∀v ∈ Λ(E)(2-9)

Proposicao 2.3 j e um isomorfismo de algebras, isto e

j(u ∧ v) = j(u) ∧ j(v) ∀u, v ∈ Λ(E). (2-10)

Prova: Seja u = u1 ∧ .. ∧ uk um k-vetor decomponıvel. Tomemos um k-vetor

v = v1 ∧ .. ∧ vk decomponıvel arbitrario. Notemos que

[j(u)](v) = 〈u, v〉= det[〈ui, vj〉]= det[j(ui)(vj)]

= [j(u1) ∧ ... ∧ j(uk)](v1 ∧ .. ∧ vk)

= [j(u1) ∧ ... ∧ j(uk)](v).

ou seja, temos que j(u) = j(u1) ∧ ... ∧ j(uk). 2


DBD



Observacao 2.4 O isomorfismo j−1 : Λ(E∗) −→ Λ(E) induz o produto

interno ≺ , Â: Λ(E∗)× Λ(E∗) −→ R, ≺ α, β Â= 〈j−1(α), j−1(β)〉

Observemos que se u1, ..., un e qualquer base ortonormal de E e

ω1, ..., ωn e a base dual em E∗ entao para todo i temos que ωi = j(ui).

Disso e da definicao do produto ≺ , Â temos que ω1, ..., ωn e tambem uma

base ortonormal de E∗.

Exemplo 2.5

Sejam E = Rn com o produto interno usual, e1, ..., en base canonica de Rn

e α1, ..., αn a base dual.

1.Seja A := 〈3e1 ∧ e2 + 4e2 ∧ e3, 4e1 ∧ e2 + e2〉. Logo:

A = 12〈e1 ∧ e2, e1 ∧ e2〉+ 3〈e1 ∧ e2, e2〉+16〈e2 ∧ e3, e1 ∧ e2〉+ 〈e2 ∧ e3, e2〉

= 12

∣∣∣∣∣e1 · e1 e1 · e2

e2 · e1 e2 · e2

∣∣∣∣∣ + 16

∣∣∣∣∣e2 · e1 e2 · e2

e3 · e1 e3 · e2

∣∣∣∣∣= 12.

2. Seja B := ≺ 3α1 ∧ α2 + 4α2 ∧ α3, 4α1 ∧ α2 + α2 Â. Logo:

B = 〈j−1(3α1 ∧ α2 + 4α2 ∧ α3, j−1(4α1 ∧ α2 + α2)〉

= 〈j−1(3α1 ∧ α2) + j−1(4α2 ∧ α3), j−1(4α1 ∧ α2) + j−1(α2)〉

= 〈3e1 ∧ e2 + 4e2 ∧ e3, 4e1 ∧ e2 + e2〉 = 12. 2

2.2Os Produtos · e ×

Sejam E um espaco vetorial de dimensao n e u1, .., un uma base

ortonormal de E. O subespaco Λn(E) e gerado pelo n-vetor u1∧ ..∧un, logo, a

dimensao de Λn(E) e igual a 1. Assim, Λn(E)− 0 tem duas componentes e

a escolha de uma destas componentes define uma orientacao para E. Fixando

uma componente dizemos que E e um espaco vetorial orientado. Denotaremos

esta componente por O. Alem disso, toda base v1, .., vn de E tal que

v1 ∧ .. ∧ vn ∈ O sera chamada de uma base positiva de E.

Definicao 2.6 Sejam E um espaco vetorial orientado com produto interno

〈 , 〉 e u1, ..., un uma base ortonormal positiva de E. Chamamos de operador

estrela de Hodge a aplicacao linear ∗ : Λ(E) −→ Λ(E) que satisfaz

1. ∗(u1 ∧ u2 ∧ .. ∧ un) = 1.


DBD



2. ∗(1) = u1 ∧ ... ∧ un.

3. Se i1, .., ik, j1, ..jn−k e uma permutacao positiva de 1, .., n entao

∗(ui1 ∧ ... ∧ uik) = uj1 ∧ .. ∧ ujn−k, k 6= n.

Observacao 2.7 O operador estrela de Hodge ∗ independe da escolha da base

ortonormal positiva u1, ..., un.

Analogamente, podemos definir o operador estrela de Hodge sobre o dual

Λ(E∗) considerando sobre E∗ o produto interno e a orientacao induzida pelo

isomorfismo j. O operador ∗ possui as seguintes propriedades:

Sejam i1, .., ik, com os ils distintos, e j1, .., jr contidos em 1, .., ncom intersecao nao nula. Entao

(ui1 ∧ ... ∧ uik) ∧ ∗ (ui1 ∧ ... ∧ uik) = u1 ∧ u2 ∧ .. ∧ un. (2-11)

(ui1 ∧ ... ∧ uik) ∧ ∗ (uj1 ∧ ... ∧ ujr) = 0. (2-12)

O operador ∗ tambem satisfaz as propriedades

∗ ∗ u = (−1)k(n−k)

u ∀u ∈ Λk(E). (2-13)

| ∗ u| = ‖u‖ ∀u ∈ Λn(E). (2-14)

Exemplo 2.8

Sejam E = R5 e e1, .., e5 sua base canonica ortonormal. Suponha que

e1∧ ..∧e5 define a orientacao O de R5. Neste caso sendo α1, .., α5 a base dual

da base canonica e que 1, 3, 4, 2, 5 e 1, 2, 5, 3, 4 sao permutacoes positivas

de 1, 2, 3, 4, 5 temos que

1. ∗ e1 ∧ e3 = e4 ∧ e2 ∧ e5 = − e2 ∧ e4 ∧ e5 .

2. ∗ (e1 ∧ e2 ∧ e5 − e1 ∧ e2) = e3 ∧ e4 − e3 ∧ e4 ∧ e5.

3. ∗ α1 ∧ α3 = − α2 ∧ α4 ∧ α5.

4. ∗ ∗ α1 ∧ α3 ∧ α5 = α1 ∧ α3 ∧ α5. 2

Consideremos Λ(E)=⊕

k∈ZΛk(E), onde

⊕denota soma direta de su-

bespacos, Z denota os inteiros e Λk(E) = 0 se k < 0 ou k > n. Definamos os


DBD



seguintes produtos em Λ(E):

· : Λ(E)× Λ(E) −→ Λ(E)

(u, v) 7−→ u · v = ∗ (u ∧ ∗v).(2-15)

× : Λ(E)× Λ(E) −→ Λ(E)

(u, v) 7−→ u× v = ∗ (u ∧ v).(2-16)

Note que se u ∈ Λk(E) e v ∈ Λr(E) entao u · v ∈ Λr−k(E) e u × v ∈Λn−(r+k)(E).

Observacao 2.9

Sejam E = R3 e e1, e2, e3 a base canonica tal que e1 ∧ e2 ∧ e3 define a

orientacao. Entao, pelas propriedades do operador ∗, temos que

ei · ej = ∗(ei ∧ ∗ej) =

∗(e1 ∧ e2 ∧ e3) = 1 se i = j.

0 se i 6= j.

ei × ej = ∗(ei ∧ ej) =

ek se i 6= j.

0 se i = j,

onde i, j, k e permutacao positiva de 1, 2, 3. Assim, · e × sao respectiva-

mente o produto interno e vetorial usuais em R3. 2

Usando somente as definicoes de × e · podemos mostrar que

u× (v × w) = u · (v ∧ w) ∀u, v, w ∈ Λ(E). (2-17)

Tambem, para v1, ..vn conjunto de vetores em E podemos mostrar por

definicao de × e · e por (2-2) que os vetores decomponiveis u = v1 ∧ .. ∧ vk1 ,

v = vk1+1 ∧ .. ∧ vk2 e w = vk2+1 ∧ .. ∧ vn satisfazem

u× v · w = [(v1)β, (v2)β, .., (vn)β], (2-18)

onde β e qualquer base ortonormal que define a orientacao de E e usamos a

notacao de (2-2).

Proposicao 2.10 Sejam u, v ∈ Λk(E). Entao

u · v = v · u = 〈u, v〉. (2-19)

Prova: Seja u1, ..., un uma base ortonormal de E. A definicao de 〈 , 〉kimplica que ui1 ∧ .. ∧ uik1≤i1<..<ik≤n e base ortonormal de Λk(E).


DBD



Por outro lado, por (2-11) e (2-12) temos que

(ui1 ∧ .. ∧ uik) · (uj1 ∧ .. ∧ ujk) = ∗((ui1 ∧ .. ∧ uik) ∧ ∗(uj1 ∧ .. ∧ ujk

))

=

1 , ir = jr ∀ r

0 , ir 6= jr para algum r

Logo, os produtos 〈 , 〉k e · coincidem numa base de Λk(E). Disso e do fato

que ambos produtos sao bilineares, temos que

〈u, v〉 = u · v, ∀u, v ∈ Λk(E). 2

Seja u1, ..., un uma base positiva de E. Notemos por definicao de norma que

‖u1 ∧ ... ∧ un‖2 = det[〈u1, uj〉], onde det denota determinante.

Corolario 2.11 Sejam u1, .., un uma base positiva de E e ω1, .., ωn a base

dual de E∗. Se g = det[〈u1, uj〉] = ‖u1 ∧ .. ∧ un‖2 entao

j ∗ (u1 ∧ .. ∧ uk) =√

gωk+1 ∧ .. ∧ ωn (2-20)

∗j−1(ωk+1 ∧ .. ∧ ωn) =(−1)k(n−k)

√g

u1 ∧ .. ∧ uk (2-21)

Prova: Sendo j∗(u1∧..∧uk) um r-covetor, r = n−k, e ωl1∧..∧ωlr1≤l1<..<lr≤n

a base dual em Λr(E∗) de ul1 ∧ .. ∧ ulr1≤l1<..<lr≤n entao por (2-4), definicao

de j, proposicao anterior, (2-13), (2-1) e (2-14) temos

j ∗ (u1 ∧ .. ∧ uk) =∑

1≤l1<..<lr≤n

[j(∗(u1 ∧ .. ∧ uk))(ul1 ∧ .. ∧ ulr)]ωl1 ∧ .. ∧ ωlr

=∑

1≤l1<..<lr≤n

[(ul1 ∧ .. ∧ ulr) · ∗(u1 ∧ .. ∧ uk)]ωl1 ∧ .. ∧ ωlr

=∑

1≤l1<..<lr≤n

[∗(u1 ∧ .. ∧ uk ∧ ul1 ∧ .. ∧ ulr)]ωl1 ∧ .. ∧ ωlr

= [∗(u1 ∧ .. ∧ uk ∧ uk+1 ∧ .. ∧ un)]ωk+1 ∧ .. ∧ ωn

=√

gωk+1 ∧ .. ∧ ωn,

mostrando assim (2-20). Usaremos este resultado para mostrar (2-21).

∗j−1(ωk+1∧ ..∧ωn) = ∗j−1(j ∗(1√gu1∧ ..∧uk)) = (−1)k(n−k) 1√

gu1∧ ..∧uk. 2

Sejam u1, .., un base ortonormal positiva de E e j(u1), .., j(un) sua

base dual em E∗. Definamos o n-covetor unitario volE := j(u1 ∧ .. ∧ un) dual

ao vetor unitario u1 ∧ .. ∧ un.

Proposicao 2.12 Seja u ∈ Ek(M). Entao

iuvolE = j(∗u). (2-22)


DBD



Prova: Sendo u1, ..un uma base ortonormal temos que j(u1), .., j(un) e

a base dual em E∗. Para cada i denotemos ωi := j(ui), logo ui1 ∧ .. ∧uik1≤i1<..<ik≤n e uma base ortonormal de Λk(E) e ωi1 ∧ ..∧ωik1≤i1<..<ik≤n e

a base ortonormal dual de Λk(E∗). Consideremos o caso u1 ∧ .. ∧ uk. Notemos

que iu1∧..∧ukvolE ∈ Λn−k(E

∗). Por (2-4), definicao de iu1∧..∧ukvolE, (2-1)) e

definicao de j temos que

iu1∧..∧ukvolE =

∑1≤j1<..<jn−k≤n

[iu1∧..∧ukvolE(uj1 ∧ .. ∧ ujn−k

)]ωj1 ∧ .. ∧ ωjn−k

=∑

1≤j1<..<jn−k≤n

[volE(u1 ∧ .. ∧ uk ∧ uj1 ∧ .. ∧ ujn−k)]ωj1 ∧ .. ∧ ωjn−k

= [volE(u1 ∧ .. ∧ uk ∧ uk+1 ∧ .. ∧ un)]ωk+1 ∧ .. ∧ ωn

= [‖u1 ∧ .. ∧ un‖2]ωk+1 ∧ .. ∧ ωn

= ωk+1 ∧ .. ∧ ωn

= j(uk+1 ∧ .. ∧ un).

Por outro lado, sendo u1, .., un uma base ortonormal positiva, temos que

∗(u1 ∧ .. ∧ uk) = uk+1 ∧ .. ∧ un. Logo

j(∗(u1 ∧ .. ∧ uk)) = j(uk+1 ∧ .. ∧ un).

Assim j(∗(u1∧ ..∧uk)) = iu1∧..∧ukvolE. No caso de iui1

∧..∧uikvolE, 1 ≤ i1 < .. <

ik ≤ n, podemos considerar uma permutacao positiva j1, ..jn de 1, .., n tal

que para todo r ∈ 1, ..k temos que ir = jr e mostrar como acima que

j(∗(ui1 ∧ .. ∧ uik)) = iui1∧..∧uik

volE. 2

Proposicao 2.13 Sejam u ∈ Λk(E) e v ∈ Λr(E) entao

j(u · v) = (−1)(r−k)(n−r)iuj(v). (2-23)

Prova: Por definicao u · v ∈ Λr−k(E) . Seja w ∈ Λr−k(E) arbitrario. Por

definicao de j e (2-19) temos que j(u · v)(w) = w · (u · v). Aplicando as

propriedades de ∗ convenientemente temos w ·(u·v) = (−1)(r−k)(n−r) (u∧w)·v.

Logo, por (2-19) e definicao de iu temos que

j(u · v)(w) = (−1)(r−k)(n−r) 〈v, u ∧ w〉


DBD



= (−1)(r−k)(n−r) j(v)(u ∧ w)

= (−1)(r−k)(n−r) iuj(v)(w). 2

Corolario 2.14 Seja u ∈ E, dim(E) = n. Se v ∈ Λk(E) e w ∈ Λs(E) entao

u · (v ∧ w) = (−1)ns(u · v) ∧ w + (−1)(n+1)k v ∧ (u · w). (2-24)

Prova: Sejam v ∈ Λk(E) e w ∈ Λs (E). Por (2-23), (2-10) e sendo iu

antiderivada temos que

j(u · (v ∧ w)) = (−1)(k+s−1)(n−k−s)iuj(v ∧ w)

= (−1)n(k+s−1)iu(j(v) ∧ j(w))

= (−1)n(k+s−1)(iu j(v)) ∧ j(w) + (−1)k j(v) ∧ (iu j(w)).

Disto, (2-23) e (2-10) temos

j(u · (v ∧ w)) = (−1)nsj((u · v) ∧ w) + (−1)(n+1)kj(v ∧ (u · w)).

Logo pela linearidade de j temos

j(u · (v ∧ w)) = j((−1)ns(u · v) ∧ w + (−1)(n+1)kv ∧ (u · w)).

Finalmente, sendo j um isomorfismo podemos aplicar j−1 a ultima equacao e

obter o resultado. 2

Corolario 2.15 Sejam u, vi , i=1,..,k , vetores em E. Entao

u · (v1 ∧ ... ∧ vk) = (−1)(k−1)n

k∑i=1

(−1)i−1 〈u, vi〉v1 ∧ ..vi.. ∧ vk. (2-25)

Prova: ( Por inducao )

k = 1: u · v1 = 〈u, v1〉.Para k + 1 sabendo que se cumpre para k:

Por (2-24) temos que

u·(v1∧..∧vk+1) = (−1)n(u·(v1∧..∧vk))∧vk+1+(−1)(n+1)kv1∧..∧vk∧(u·vk+1).

Como a formula se cumpre para k, temos que

u · (v1 ∧ .. ∧ vk) = (−1)(k−1)n

k∑i=1

(−1)i−1 〈u, vi〉v1 ∧ .. ∧ vi ∧ .. ∧ vk.


DBD



Alem disso, como u · vk+1 = 〈u, vk+1〉 ∈ R, podemos escrever

v1 ∧ .. ∧ vk ∧ (u · vk+1) = 〈u, vk+1〉v1 ∧ .. ∧ vk.

Portanto,

u · (v1 ∧ .. ∧ vk+1) = (−1)kn

k+1∑i=1

(−1)i−1〈u, vi〉v1 ∧ .. ∧ vi ∧ .. ∧ vk ∧ vk+1.2

Observacao 2.16

Sejam u, v, w ∈ R3. Entao por (2-17) e (2-25) temos que

u× (v × w) = (u · w) v − (u · v) w.


DBD


3Os Operadores div e rot

Em R3, para todo campo vetorial X a divergencia e o rotacional deste

campo podem ser calculados fazendo uso do vetor gradiente (∂

∂x,

∂

∂y,

∂

∂z) e

do produto interno · e do produto vetorial ×, respectivamente. No capıtulo

1 as definicoes do produto interno · e produto vetorial × em R3 foram

estendidas para qualquer espaco vetorial pelo que neste capıtulo estenderemos

as definicoes de divergencia e rotacional para k-campos numa variedade M .

3.1Operadores Associados a K-Campos em M

Seja Mn uma variedade riemanniana . Para cada p ∈ M temos que

Tp(M), o espaco tangente a M no ponto p, e um espaco vetorial. Definamos

Tk(M) :=⋃

p∈M

Λk(TpM) . A variedade M induz naturalmente sobre Tk(M)

uma estrutura diferenciavel de dimensao n +(

nk

). A saber, sejam U uma

vizinhanca coordenada em M e (x1, .., xn) seu sistema de coordenadas. Para

cada p ∈ U consideremos em Tp(M) a base

∂

∂x1

(p), ..,∂

∂xn

(p)

de vetores

tangentes coordenados e seja π : Tk(M) → M a projecao canonica de

Tk(M), isto e, π(v) = p, sev ∈ Λk(TpM). Entao⋃p∈U

Λk(TpM) sera uma

vizinhanca coordenada em Tk(M) com sistema de coordenadas (x1 π, .., xn π, a12...k, ..., a(n−k+1)...n) definidas por

∑1≤i1<...<ik≤n

ai1i2..ik

∂

∂xi1

(p)∧ .. ∧ ∂

∂xik

(p) 7→ (x1(p), ..., xn(p), a12...k, .., a(n−k+1)...n).

A variedade Tk(M) e chamado de k-fibrado tangente de M . Cada aplicacao

suave X : M → Tk(M) que satisfaz π X = id e chamado de k-campo vetorial

suave em M . Localmente, no sistema de coordenadas (x1, ..xn), escreveremos

um k-campo X como

X(p) =∑

1≤i1<..<ik≤n

fi1..ik(p)(∂

∂xi1

∧ .. ∧ ∂

∂xik

)(p).


DBD


Capıtulo 3. Os Operadores div e rot 23

Denotaremos por Ek(M) o espaco dos k-campos vetoriais em M . A variedade

M e dita orientavel se existe um n-campo suave V tal que V (p) 6= 0, ∀p.

Seja N =V

‖V ‖ o n-campo unitario em En(M). Observemos que para cada

p ∈ M a componente de Λn(TpM) que contem N(p), define uma orientacao

Op para TpM . Neste sentido, diremos que N define uma orientacao para M

ou que M e uma variedade orientada com orientacao O. Se M e conexa entao

somente existem duas orientacoes possıveis. Como N define a orientacao, entao

para todo p ∈ M temos que ∗N(p) = ‖N(p)‖ = 1. Localmente, o sistema

de coordenadas (x1, .., xn) sera dita coerente com a orientacao sempre que os

vetores tangentes coordenados

∂

∂x1

(p), ..,∂

∂xn

(p)

forem uma base positiva

de TpM .

Analogamente, para Ek(M) :=⋃

p∈ M

Λk((TpM)∗) podemos induzir na-

turalmente uma estrutura diferenciavel que sera chamado de k-fibrado cotan-

gente de M . Chamaremos de k-forma diferenciavel a toda aplicacao suave da

forma ω : M → T k(M) tal que ω(p) ∈ Λk((TpM)∗). Localmente, no sistema

de coordenadas (x1, .., xn), sendo Λk((TpM)∗) dual a Λk(TpM) e considerando

dx1(p), .., dxn(p) a base dual de

∂

∂x1

(p), ..,∂

∂xn

(p)

escreveremos uma k-

forma diferenciavel ω como

ωp =∑

1≤i1<..<ik≤n

fi1..ik(p)(dxi1dxi2 ..dxik)p,

onde o produto ∧ esta implıcito na igualdade acima, isto e, (dxi1dxi2 ..dxik)p :=

(dxi1 ∧ dxi2 ∧ .. ∧ dxik)p. O espaco das k-formas diferenciaveis em M sera

denotado por Ek(M).

Seja (x1, .., xn) qualquer sistema de coordenandas em M . Para cada

f : M → R suave definimos o diferencial de f como a 1-forma df que tem

representacao local

df =n∑

i=1

∂f

∂xi

dxi.

Em geral, para cada k-forma α, localmente α =∑

1≤i1<..<ik≤n

fi1..ikdxi1 ..dxik ,

definimos o diferencial de α como a (k + 1)-forma dα que tem representacao

local

dα =∑

1≤i1<..<ik≤n

(dfi1..ik)dxi1 ..dxik .


DBD



Definicao 3.1 A aplicacao bilinear

∧ : Ei(M)× Ej(M) → Ei+j(M)

(X, Y ) 7→ X ∧ Y, (X ∧ Y )(p) = X(p) ∧ Y (p)

e chamado de produto exterior de k-campos. A algebra dos k-campos vetoriais

para todo k sera denotada por E(M). Analogamente, podemos definir o produto

exterior de k-formas diferenciaveis

Seja g a metrica riemanniana em M . A metrica restrita a TpM sera identificada

por gp. A extensao de gp a Λ(TpM) tambem sera denotada por gp. Sejam X

e Y k-campos vetoriais em M . Definiremos a funcao g(X, Y )

g(X,Y )(p) = gp(X(p), Y (p)), ∀p ∈ M (3-1)

Definicao 3.2 Seja X ∈ Ek(M). A k-forma j(X) definida por j(X)(p) =

j(X(p)) sera chamada de k-forma associada a X. A (n− k)-forma j(∗X) sera

chamada a (n − k)-forma associada a X. Em particular se f ∈ Λ0(M) =

C∞(M) entao j(f) = f .

Seja N o n-campo unitario que define a orientacao. Chamaremos a j(N)

a forma de volume em M a qual sera denotada por vol. Definamos para

cada X ∈ Ek(M) a (n − k)-forma iXvol tal que para todo p ∈ M temos

(iXvol)p = iX(p)volp e notemos por (2-22) que

iXvol = j(∗X), ∀X ∈ Ek(M). (3-2)

Exemplo 3.3 Seja M domınio Ω ⊂ R5. Considere e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4 ∧ e5 ∈ ϑ.

Seja X = f12e1 ∧ e2 + f24e2 ∧ e4 ∈ E2(Ω). Entao

j(X) = f12dx1 ∧ dx2 + f24dx2 ∧ dx4 ∈ E2(Ω)

∗X = f12e3 ∧ e4 ∧ e5 − f24e1 ∧ e3 ∧ e5 ∈ E3(Ω)

j(∗X) = f12dx3 ∧ dx4 ∧ dx5 + f24dx1 ∧ dx3 ∧ dx5 ∈ E3(Ω)

Proposicao 3.4 Sejam M uma variedade orientada, (x1, .., xn) um sistema

de coordenadas em M coerentes com a orientacao, ∂

∂xi

, ..,∂

∂xn

os vetores

tangentes coordenados e dx1, .., dxn sua base dual. Definamos o valor g :=

‖ ∂

∂xi

∧ .. ∧ ∂

∂xn

)‖2 = det[g(∂

∂xi

,∂

∂xj

)]. Entao

∂

∂x1

∧ .. ∧ ∂

∂xn

=√

gN (3-3)

vol =√

gdx1dx2..dxn (3-4)


DBD



Prova : Sendo N(p) base de Λn(TpM) entao (∂

∂x1

∧ .. ∧ ∂

∂xn

)(p) = f(p)N(p).

Como ∗N = 1 entao ∗(( ∂

∂x1

∧ .. ∧ ∂

∂xn

)(p)) = f(p). Sendo ∂

∂x1

, ..,∂

∂xn

base positiva entao ∗( ∂

∂x1

∧ .. ∧ ∂

∂xn

) > 0. Logo, por (2-14) temos que

∗( ∂

∂x1

∧ .. ∧ ∂

∂xn

) =

∥∥∥∥∂

∂x1

∧ .. ∧ ∂

∂xn

∥∥∥∥ =√

g. Por tanto f =√

g, mostrando

assim (3-3).

Por outro lado, sendo volp base de Λn((TpM)∗) temos que

(dx1..dxn)p = h(p)volp.

Como volp e base dual de N(p) e (dx1..dxn)p e base dual de∂

∂x1

∧ ..∧ ∂

∂xn

(p)

entao

h(p) = (dx1..dxn)p(N)

= (dx1..dxn)p(1√g

∂

∂x1

∧ .. ∧ ∂

∂xn

)

=1√g.

Por tanto, vol =√

g dx1 .. dxn. 2.

Para cada funcao suave f : M → R podemos definir o 1-campo

grad(f) ∈ E1(M) pela igualdade

df(X) = g(X, grad(f)) ∀X ∈ E1(M),

onde df e a diferencial de f . Este 1-campo grad(f) e chamado de gradiente

de f . Obsevemos que g(X, grad(f)) = j(grad(f))(X). Logo df = j(grad(f))

Estenderemos esta definicao de gradiente para E(M).

Definicao 3.5 O operador gradiente e a aplicacao ∇ : Ek(M) → Ek+1(M)

tal que cada k-campo X e aplicado no (k+1)-campo

∇X = j−1dj(X). (3-5)

Proposicao 3.6 Sejam f ∈ Λ0(M) = C∞(M), X ∈ Ek(M) e Y ∈ E(M)


DBD



entao

∇(f) = grad(f) (3-6)

dj(X) = j(∇X). (3-7)

∇(X ∧ Y ) = (∇X) ∧ Y + (−1)kX ∧ (∇Y ) (3-8)

Prova: Sendo f uma funcao temos f ∈ E0(M), logo j(f) = f . Assim

∇f = j−1(d(f)). Disso e pela definicao de j temos para Y ∈ E1(M)

g(∇(f), Y ) = g(j−1d(f), Y ) = jj−1d(f)(Y ) = d(f)(Y ),

mostrando assim (3-6). Agora, (3-7) segue da definicao

j(∇X) = j(j−1dj(X)) = dj(X).

Por outro lado, sendo j e j−1 homomorfismos de algebras e o diferencial d uma

antiderivacao temos

∇(X ∧ Y ) = j−1(dj(X ∧ Y )) ( definicao de ∇ )

= j−1( d(j(X) ∧ j(Y )) )

= j−1( dj(X) ∧ j(Y ) + (−1)k j(X) ∧ dj(Y ) )

= j−1(dj(X)) ∧ j−1(j(Y )) + (−1)k j−1(j(X)) ∧ j−1(dj(Y ))

Diante disto e por definicao de ∇ temos que

∇(X ∧ Y ) = (∇X) ∧ Y + (−1)kX ∧ (∇Y ). 2

3.2Os operadores rot e div sobre E(M)

Sejam Mn variedade riemanniana orientada, com metrica g.

Definicao 3.7 Sejam s e k inteiros positivos tal que s+k+1 = n. Definamos

os operadores

rot : Ek(Ω) → En−k−1(Ω)

X 7→ rot(X) = (−1)s(k+1) ∗ (∇X).

div : Ek(Ω) → Ek−1(Ω)

X 7→ div(X) = (−1)s(k+1) ∗ ∇(∗X).


DBD



Os operadores rot e div serao chamados de operador rotacional e operador

divergencia, respectivamente. Observemos que as definicoes destes operadores

implicam

rot(U × V ) = div(U ∧ V ), ∀U ∈ Ek(M), ∀V ∈ Es(M) (3-9)

Agora, mostraremos um resultado que relaciona as formas associadas a k-

campos com os operadores definidos acima.

Proposicao 3.8 Seja X ∈ Ek(M). Entao

dj(∗X) = idiv(X)vol. (3-10)

dj(X) = irot(X)vol. (3-11)

Prova: Por (3-7) e (2-13) temos

d(j(∗X)) = j(∇ ∗X)

= i(−1)(k+1)(n−k−1)∗∇(∗X)vol.

Agora, por (2-22) e definicao de div temos

d(j(∗X)) = (−1)(n−k+1)(k−1)j(∗ ∗ ∇(∗X))vol

= idiv(X)vol,

mostrando assim (3-10). Por outro lado, por (3-7) e (2-13) temos

d(j(X)) = j(∇X)

= j((−1)(k+1)(n−k−1) ∗ (∗(∇X))).

Agora, por (2-22) e definicao de rot temos

d(j(X)) = i(−1)(k+1)(n−k−1)∗(∇X)vol

= irot(X)vol. 2

Proposicao 3.9 Sejam X um k-campo sobre M e f ∈ C∞. Entao

div(fX) = fdiv(X) + (−1)s(k+1)∇(f) ·X. (3-12)

Em particular, se k = 1 entao

div(fX) = fdiv(X) + g(∇(f), X). (3-13)


DBD



Prova: Por definicao de div, linearidade de ∗, (3-8) e definicao do produto ·temos que

div(fX) = (−1)s(k+1) ∗ ∇ ∗ (fX)

= (−1)s(k+1) ∗ ∇(f ∗X)

= (−1)s(k+1) ∗ [∇(f) ∧ (∗X) + (−1)s(k+1)(∗f∇ ∗X)]

= (−1)s(k+1) ∗ (∇(f) ∧ (∗X)) + f [(−1)s(k+1) ∗ ∇ ∗X)]

= (−1)s(k+1)∇(f) ·X + fdiv(X). 2

Proposicao 3.10 Seja (x1, x2, .., xn) sistema de coordenadas coerentes com a

orientacao de M . Definamos g := ‖ ∂

∂x1

∧ ..∧ ∂

∂xn

‖2 = det[g(∂

∂xi

,∂

∂xj

)]. Entao

div(∂

∂xi

) =1√g

∂√

g

∂xi

(3-14)

div(∂

∂xi1

∧ .. ∧ ∂

∂xik

) = (−1)k∑

j

(−1)jdiv(∂

∂xij

)∂

∂xi1

∧ ..∂

∂xij

.. ∧ ∂

∂xik

(3-15)

Prova: Lembremos que dx1, .., dxn e a base dual a ∂

∂x1

, ..,∂

∂xn

e que

dx1 ∧ ..∧ dxn =1√gvol. Seja N o n-campo unitario que define a orientacao de

M . Entao, por (2-20) e (2-21) temos que

div(∂

∂x1

) = ∗∇ ∗ ∂

∂x1

= ∗j−1d(j ∗ ∂

∂x1

)

= ∗j−1d(√

gdx2..dxn)

= ∗j−1(∂√

g

∂x1

dx1dx2..dxn)

= ∗j−1(1√g

∂√

g

∂x1

vol)

=1√g

∂√

g

∂x1

∗N =1√g

∂√

g

∂x1

.


DBD



Tambem

div(∂

∂x1

∧ .. ∧ ∂

∂xk

) = (−1)(k+1)(n−k−1) ∗ ∇ ∗ (∂

∂x1

∧ .. ∧ ∂

∂xk

)

= (−1)(k+1)(n−k−1) ∗ j−1d(j ∗ (∂

∂x1

∧ .. ∧ ∂

∂xk

))

= (−1)(k+1)(n−k−1) ∗ j−1d(√

gdxk+1..dxn)

= (−1)(k+1)(n−k−1) ∗ j−1(k∑

i=1

∂√

g

∂xi

dx1dxk+1..dxn)

=k∑

i=1

(−1)k−i 1√g

∂√

g

∂xi

∂

∂x1

∧ ..∂

∂x1

.. ∧ ∂

∂xk

= (−1)k

k∑i=1

(−1)idiv(∂

∂xi

)∂

∂x1

∧ ..∂

∂x1

.. ∧ ∂

∂xk

No caso geral, podemos considerar j1, j2, j3, .., jn permutacao positiva de

1, 2, .., n tal que i = j1 no primeiro caso e ir = jr, ∀r ∈ 1, .., k, no segundo

caso. 2

Exemplo 3.11

Sejam Ω a n-variedade Rn, a base canonica e1, .., en e dx1, .., dxn a base

dual. Suponha que N = e1∧e2∧e3∧e4∧en define a orientacao de Ω . Notemos

que

∇ei = j−1dj(ei) = j−1ddxi = j−1d2xi = 0, ∀i.

Seja X =n∑

i=1

fi ei entao

a) ∇ X =n∑

i=1

∇(fi ei)

=n∑

i=1

∇(fi) ∧ ei

=n∑

i=1

[n∑

j=1

∂fi

∂xj

ej] ∧ ei

=∑

1≤i<j≤n

[∂fj

∂xi

− ∂fi

∂xj

]ei ∧ ej

b) rot X = (−1)(n−2).2 ∗ (∇X)

= ∗(∑

1≤i<j≤n

∂fj

∂xi

− ∂fj

∂xi

ei ∧ ej)

=∑

1≤i<j≤n

(−1)i+j−1∂fj

∂xi

− ∂fj

∂xi

e1 ∧ ..ei..ej.. ∧ en


DBD



c) div (X) =n∑

i=1

div(fiei)

=n∑

i=1

[∇(fi) · ei + fidiv(ei)]

=n∑

i=1

[n∑

j=1

∂fi

∂xj

ej] · ei

=n∑

i=1

∂fi

∂xi

2

Observacao 3.12 Se X e um campo vetorial em M entao div(X) e a

divergencia usual em M . Se M ⊂ R3 entao div(X) e rot(X) sao a divergencia

e o rotacional usual em R3.

Sejam U e V campos vetoriais em M . Seja (x1, .., xn) um sistema de

coordenadas locais de M , onde localmente U =n∑

i=1

ui∂

∂xi

e V =n∑

i=1

vi∂

∂xi

.

Entao localmente podemos escrever o colchete de Lie de U e V como

[U, V ] =n∑

i=1

g(∇vi, U)− g(∇ui, V ) ∂

∂xi

(3-16)

Em particular, se U = f ∂∂xi

e V = h ∂∂xj

, i < j, entao

[U, V ] = g(∇h, U)∂

∂xj

− g(∇f, V )∂

∂xi

= (∇h · U)∂

∂xj

− (∇f · V )∂

∂xi

Teorema 3.13 Sejam U e V campos vetoriais em M . Entao

div(U ∧ V ) = −(divU)V + (divV )U − [U, V ] (3-17)

Prova:

Primeiro, provaremos para U = f ∂∂xi

e V = h ∂∂xj

, i < j. Entao por (3-12),


DBD



(3-15), (2-25),(3-8), (3-13) e (3-16) temos que

div(U ∧ V ) = div(fh∂

∂xi

∧ ∂

∂xj

)

= fhdiv(∂

∂xi

∧ ∂

∂xj

) + (−1)(n−3)3∇(fh) · ( ∂

∂xi

∧ ∂

∂xj

)

= −fhdiv(∂

∂xi

)∂

∂xj

+ fhdiv(∂

∂xj

)∂

∂xi

)−

(∇(fh).∂

∂xi

)∂

∂xj

+ (∇(fh).∂

∂xj

)∂

∂xi

= −fdiv(∂

∂xi

)V + hdiv(∂

∂xj

)U − (∇f · ∂

∂xi

)V − (∇h · U)∂

∂xj

+(∇f · V )∂

∂xi

+ (∇h · ∂

∂xj

)U

= −fdiv(∂

∂xi

)V + hdiv(∂

∂xj

)U − (∇f · ∂

∂xi

)V − (∇h).U∂

∂xj

+

+(∇f.V )∂

∂xi

+ (∇h.∂

∂xj

)U

= −(fdiv∂

∂xi

+∇f · ∂

∂xi

)V + (hdiv∂

∂xj

+∇h.∂

∂xj

)U −

−(∇h).U∂

∂xj

+ (∇f.V )∂

∂xi

= −div(U)V + div(V )U − [U, V ].

Agora, provaremos para U =∑

i

fi∂

∂xi

=∑

i

Ui e V =∑

j

hj∂

∂xj

=∑

j

Vj

div(U ∧ V ) =∑i,j

div(Ui ∧ Vj)

=∑i,j

−div(Ui)Vj + div(Vj)Ui − [Ui, Vj]

= −div(∑

i

Ui)(∑

j

Vj) + div(∑

j

Vj)(∑

i

Ui)− [∑

i

Ui,∑

j

Vj]

= −div(U)V + div(V )U − [U, V ]. 2

Corolario 3.14 Seja V = V 1 ∧ V 2 ∧ .. ∧ V k tal que V i ∈ E1(M), ∀i. Entao

div(V ) = (−1)k

k∑i=1

(−1)idiv(V i) V 1 ∧ ..V i.. ∧ V k +

(−1)k∑

1≤i<j≤k

(−1)i+j[V i, V j] ∧ V 1 ∧ ..V i..V j.. ∧ V k. (3-18)


DBD



Prova:

Procedendo como na demonstracao do teorema anterior. 2

Observacao 3.15 Sejam V i, i = 1, .., k campos vetoriais em M tal que

div(V i) = 0 e [V i, V j] = 0 para todo i, j. Entao, pelo corolario anterior

div(V 1 ∧ .. ∧ V k) = 0 (3-19)

No caso de M for um domınio Ωn ⊂ Rn, com metrica igual ao produto

interno usual 〈 , 〉, a base canonica e1, .., en podem ser consideradas campos

vetoriais em M ortonormais entre si. Procedendo como no exemplo 3.11

podemos mostrar que

div(ei1 ∧ .. ∧ eik) = 0, ∀i1, .., ik ∈ 1, .., n (3-20)

Logo a propriedade (3-12) garante que a divergencia de um k-campo possa ser

calculado derivando os coeficientes dos k-campos que estao representados como

combinacao linear dos ei1∧..∧eik . A saber, seja U =n∑

i=1

fie1 entao pelo exemplo

3.11 temos div(U) =n∑

i=1

∂fi

∂xi

, logo div(fU) =n∑

i=1

∂(ffi)

∂xi

, onde f e uma funcao

suave de M . Em geral, sejam os campos U i =∑n

j=1 f ijej, i = 1, .., k, em E1(M)

entao por (3-12) e (3-20)

div(U1 ∧ .. ∧ Uk) = div(∑

i1, ..ik = 1nf 1i1..fk

ikei1 ∧ .. ∧ eik)

=n∑

i1,..ik=1

(∇(f 1i1..fkik)) · (ei1 ∧ .. ∧ eik).

Logo, por (3-8), (2-25) e pelo valor da divergencia para 1-campos temos

div(U1 ∧ .. ∧ Uk) =n∑

i1,..ik=1

n∑i=1

(∂f 1

i1..fkik

∂xi

ei

)· (ei1 ∧ .. ∧ eik)

=n∑

i1,..ik=1

(−1)nk

k∑j=1

(−1)j

((∂f 1

i1..fkik

∂xi

ei

)· eij

)ei1 ∧ ..eij .. ∧ eik

= (−1)nk

k∑j=1

(−1)j

n∑i1,..ik=1

(∂f 1

i1..fkik

∂xij

)ei1 ∧ ..eij .. ∧ eik

= (−1)nk

k∑j=1

(−1)j

n∑

i1,..ij ..ik=1

div(f 1i1..f j

ij..fk

ikV j)ei1 ∧ ..eij .. ∧ eik .2

(3-21)


DBD



Portanto, V (x, y) =∑

1≤<i1<..<ik≥n

fi1..ik(x, y)e1 ∧ .. ∧ ek pode ser vista tanto

como um k-campo na variavel x ou um k-campo na variavel y logo podemos

calcular sua divergencia tanto na variavel x como na variavel y.

Corolario 3.16 Seja domınio Ω ⊂ Rn. Seja f ∈ C∞(Ω) e 4f = div(∇f) =n∑

i=1

∂2f

∂y2i

o laplaciano de f . Sejam V =∑n

i=1 viei e U i =n∑

j=1

uijejk

i=1 1-campos

vetoriais em Ω. Definamos o k-campo vetorial U = U1 ∧ .. ∧ Uk. Entao

divx((∇xf(x− y)) ∧ V (y)) = −(4yf)U −∑

i

divy(fyiV )ei + (divy(V ))∇yf(x− y)

(3-22)

divx((∇xf(x− y)) ∧ U(y))) = (−1)k(4yf) U − (−1)k+n(k−1)∇yf ∧ divy(U) + (−1)n+k

k,n,n,..,n∑

r,j,j1,..jr..,jk

(−1)rdivy

(∂f

∂yj

u1j1

..urjr

..ukjk

V r

)ej ∧ ej1 ∧ ..ejr .. ∧ ejk

.

(3-23)

Prova: Notemos que∂2f(x− y)

∂xi∂xj

=∂2f(x− y)

∂yi∂yj

, ∀i, j. Disso, por (3-17),

notando que V independe dos xi, por definicao de laplaciano e por definicao

do colchete de lie temos que

divx((∇xf(x− y)) ∧ V (y)) = −(4x(f))V − [∇xf, V ]x

= −(4x(f))V −n∑

i=1

(∇x(

∂f

∂xi

) · V)

ei

= −(4y(f))V −n∑

i=1

(∇(

∂f

∂yi

) · V)

ei

Agora por (3-12) temos que

divx((∇xf(x− y)) ∧ V (y)) = −(4y(f))V −n∑

i=1

div

(∂f

∂yi

)V )− ∂f

∂yi

div(V )ei

= −(4y(f))V −n∑

i=1

div

(∂f

∂yi

V

)ei + (div(V ))∇yf.

Mostrando assim (3-22). Agora mostraremos (3-23): Seja U = U1 ∧ .. ∧ Uk ∈Ek(M) e os (k − 1)-campos Ai = U1 ∧ ..U i.. ∧ Uk. Por (3-17), definicao de

laplaciano e notando que U independe dos xi e que∂2f(x− y)

∂xi∂xj

=∂2f(x− y)

∂yi∂yj


DBD



temos que

divx(∇x(f) ∧ U) = (−1)k(4x(f))U − (−1)k

k∑i=1

(−1)i[∇xf, U i]x ∧ Ai

= (−1)k(4x(f))U − (−1)k

k∑i=1

(−1)in∑

j=1

(∇x(

∂f

∂xj

) · U i

)ej ∧ Ai

= (−1)k(4y(f))U + (−1)k

n∑j=1

ej ∧(

k∑i=1

(−1)i−1

(∇y(

∂f

∂yj

) · U i

)Ai

).

Agora, por (2-25) e definicao de Ai temos que

divx(∇x(f) ∧ U) = (−1)k(4y(f))U + (−1)k(−1)n(k−1)

n∑j=1

ej ∧∇y(∂f

∂yj

) · U.

Por (3-12) e por (3-21) temos para A :=n∑

j=1

ej ∧∇y(∂f

∂yj

) · U que

A =n∑

j=1

ej ∧(

div(∂f

∂yj

U)− ∂f

∂yj

div(U)

)

= (−1)nk

n,k∑j,r=1

(−1)r

n∑

j1,..jr..,jk

div

(∂f

∂yj

u1j1

..urjr

..ukjk

V r

)ej ∧ ej1 ∧ ..ejr .. ∧ ejk

−(∇yf) ∧ div(U).

Isto mostra (3-23). 2


DBD


4Invariante para Acoes de Rk e Teorema Ergodico em Mn

No capıtulo 2 vimos que para cada k-campo em M podemos associar

naturalmente uma k-forma e uma (n − k)-forma. Em particular, para uma

acao Φ de Rk em M podemos associar naturalmente um k-campo X. Assim,

podemos associar a Φ naturalmente formas diferenciais, as quais como veremos

neste capıtulo darao origem a invariantes integrais associados a Φ.

4.1Acoes de Rk em Mn

Seja M variedade riemanniana de dimensao n, compacta, sem bordo,

orientada , conexa e vol sua forma de volume. Seja X ∈ E1(M) um campo

vetorial e Φ, (t, p) 7→ Φt(p), seu fluxo. Como M e compacta sem bordo, o

dominio de Φ e R ×M . Suponha que o fluxo Φ preserva a forma de volume

vol, isto e, para cada t ∈ R temos que Φ∗t (vol) = vol. Neste caso, por definicao

da derivada de Lie com respeito a X se cumpre que LXvol = 0. Sabendo que

LXvol = diXvol temos por (3-2), definicao de div e (2-13) que

LXvol = diXvol = d(j(∗X)) = ∗div(X) = div(X)vol.

Portanto div(X) = 0. Da igualdade anterior podemos afirmar que o recıproco

tambem e certo, isto e, se div(X) = 0 entao o fluxo Φ preserva volume.

Sejam g := X ∈ E1(M); div(X) = 0, a algebra de Lie dos 1-campos

cujos fluxos preservam volume e

gk = (X1, X2, .., Xk) ∈ g× ..× g = gk; [X i, Xj] = 0 ∀i, j,

onde [X i, Xj] e o colchete de Lie dos campos X i e Xj. Para cada X =

(X1, X2, .., Xk) ∈ gk podemos associar uma acao de Rk em M da seguinte

forma. Para cada i ∈ 1, .., k denotemos por Φiti

o fluxo associado a X i. Para

cada par i e j temos que Φiti Φj

tj = Φjtj Φi

ti, ja que [X i, Xj] = 0. Definamos

Θ : Rk ×M → M

(t1, .., tk, p) 7→ Θ(t1,t2,..,tk)(p) = Φktk Φk−1

tk−1 .. Φ1

t1(p)


DBD


Capıtulo 4. Invariante para Acoes de Rk e Teorema Ergodico em Mn 36

Como para cada ti ∈ R a aplicacao Φiti

: M → M e um difeomorfismo que

preserva volume entao para cada (t1, t2, .., tk) ∈ Rk temos que a aplicacao

composta

Θ(t1,t2,..,tk) = Φktk Φk−1

tk−1 .. Φ1

t1

e um difeomorfismo de M que preserva volume. Observemos tambem que

Θ(s1,..,sk)(Θ(t1,..,tk)(p)) = (Θ(s1,..,sk) Θ(t1,..,tk))(p)

= (Φksk .. Φ1

s1 Φk

tk .. Φ1

t1)(p)

= (Φksk Φk

tk.. Φ1

s1 Φ1

t1)(p)

= (Φksk+tk

.. Φ1s1+t1

)(p)

= Θ(s1+t1,..,sk+tk)(p).

Portanto Θ e uma acao de Rk em M de difeomorfismos que preservam volume.

Definicao 4.1 A acao Θ e chamada de acao de Rk em M associada a X ∈ gk

e sera denotada por A(X).

Proposicao 4.2 Seja Θ : Rk ×M → M uma acao de Rk em M cujos fluxos

preservam volume. Entao existe X ∈ gk tal que A(X) = Θ .

Prova : Sejam os campos vetoriais X i ∈ E1(M) definidos por

X i(p) := (dΘ)(0,p) (ei, 0), ∀p ∈ M,

onde e1, .., ek e a base canonica em Rk. Notemos que Φi(t, p) := Θ(tei, p) e

o fluxo associado a X i. De fato,

∂Φi

∂t(t, p) =

∂Θ

∂t(t ei, p)

= limh→0Θ(t ei + h ei, p) + Θ(t ei, p)

h

= limh→0Θ(h ei, Θ(t ei, p) ) + Θ(0, Θ(t ei, p) )

h= (d Θ)Θ(t ei,p)(ei, 0)

= X i (Θ(t ei, p) )

= X i (Φi (t, p)).

Por outro lado, por definicao os Φi comutam e preservam volume, logo para


DBD



todo i e j temos que [X i, Xj] = 0 e div(X i) = 0. Logo

Φktk ... Φ1

t1(p) = Φk

tk(...(Φ1

t1(p))...)

= Θ(tk ek, Θ(tk−1 ek−1, ..., Θ(t1 e1, p)...) )

= Θ(tk ek + tk−1 ek−1 + t1 e1, p)

= Θ(t1, t2, .., tk, p). 2

Proposicao 4.3 Seja X = X1 ∧ .. ∧ Xk o k-campo associado a X =

(X1, .., Xk) ∈ gk . Entao a (n − k)-forma j(∗X) = iXvol associada a X

e fechada.

Prova:

Como X ∈ gk , temos, para todo i e j, que div(X i) = 0 e [X i, Xj] = 0. Por

(3-19) temos que div(X) = div(X1 ∧ .. ∧Xk) = 0; logo, por (3-10) temos

dj(∗X) = idiv(X) vol = 0. 2

No que segue, trabalharemos somente com os X de gk tal que iXvol e exata,

ou seja, X ∈ gk, onde

gk := X = (X1, .., Xk) ∈ gk; ∃ α ∈ En−k−1(M) tal que dα = iXvol.

Observacao 4.4 Se Hk(M) = 0 (equivalentemente por dualidade de Poin-

care Hn−k(M) = 0) entao gk = gk .

Definicao 4.5 Sejam X = (X1, .., Xn) ∈ gk , Y = (Y 1, .., Y s) ∈ gs e N s

subvariedade fechada sem bordo e de homologia nula em M , k+s=n-1. Sejam

α ∈ Es(M) e β ∈ Ek(M) tais que dα = iXvol e dβ = iY vol respectivamente.

Os ındices

I(X, Y ) =

∫

M

α ∧ dβ. (4-1)

I(X, N) =

∫

N

α. (4-2)

sao chamados de invariante de Hopf associados a (X,Y ) e a (X, N), respecti-

vamente.

A definicao de invariante e justificada pela seguinte proposicao:

Proposicao 4.6 I(X, Y ) e I(X, N) independem da escolha de α e β.


DBD



Prova: Mostremos o caso I(X,Y ). Sejam θ ∈ En−k−1(M) e γ ∈ En−s−1(M)

tais que dθ = iXvol e dγ = iY vol. Entao, existem θ1 ∈ En−k−1(M) e

γ1 ∈ En−s−1(M) tais que α = θ + θ1, β = γ + γ1, d θ1 = 0 e dγ1 = 0.

Logo

I(X, Y ) =

∫

M

α ∧ d β =

∫

M

(θ + θ1) ∧ d (γ + γ1) =

∫

M

θ ∧ d γ +

∫

M

θ1 ∧ d γ.

Como d(θ1 ∧ γ) = θ1 ∧ dγ, temos

I(X, Y ) =

∫

M

θ ∧ d γ +

∫

M

d(θ1 ∧ γ).

Finalmente, pelo teorema de Stokes e sendo ∂M = ∅ temos

I(X, Y ) =

∫

M

θ ∧ dγ +

∫

∂M

θ1 ∧ γ =

∫

M

θ ∧ dγ.

Analogamente, podemos mostrar que I(X, N) independe da escolha de α. 2

Proposicao 4.7 Seja α uma s-forma em M e β uma k-forma em M tal que

dβ = iY vol. Entaoα ∧ dβ = α(Y )vol. (4-3)

Em particular, se α satisfaz dα = iXvol entao

I(X,Y ) =

∫

M

α(Y )vol. (4-4)

Prova: Por definicao de iY 1∧..∧Y sα, por (2-6) e pela propriedade de antide-

rivacao de iY i temos

α(Y )vol = α(Y 1 ∧ .. ∧ Y s)vol = (iY 1∧..∧Y sα)vol

= (iY siY s−1 ..iY 1α)vol

= iY s(iY s−1 ..iY 1α ∧ vol) + (−1)s−1(iY s−1 ..iY 1α) ∧ iY svol.

Notemos que (iY s−1 ..iY 1α)∧vol e uma (n+1)-forma em Mn, logo e nula. Entao

α(Y )vol = (−1)s−1iY s−1 ..iY 1α ∧ iY svol.

Procedendo analogamente como acima temos

α(Y )vol = (−1)s−1(−1)s−2..(−1)2(−1)1α ∧ iY 1 ..iY s−1iY svol.


DBD



Disso, por (2-6) e pela anticomutatividade do produto exterior ∧ temos

α(Y )vol = (−1)s−1(−1)s−2..(−1)2(−1)1α ∧ iY s∧..∧Y 2∧Y 1vol

= α ∧ iY vol,

mostrando assim (4-3). A igualdade (4-4) resulta da definicao (4-1) e de

(4-3). 2

Para cada α ∈ Es(M) definamos o s-campo U = j−1(α), U(p) =

j−1(αp), ∀p ∈ M . Por definicao de j temos

g(U, Y ) = g(j−1(α), Y ) = j(j−1α)(Y ) = α(Y ) , ∀Y ∈ Es(M).

Proposicao 4.8 Sejam X = (X1, .., Xn) ∈ gk , Y = (Y 1, .., Y s) ∈ gs e

α ∈ Es(M) tal que dα = iXvol, onde X = X1 ∧ .. ∧ Xk. Se U := j−1(α)

entao rot(U) = X e

I(X,Y ) =

∫

M

g(U, Y )vol =

∫

M

U · Y vol. (4-5)

Prova: A igualdade (3-11) afirma que dj(U) = irot(U)vol. Notemos que j(U) =

j(j−1(α)) = α, logo

irot(U)vol = dj(U) = dα = iXvol.

Portanto X = rot(U). Por outro lado, da igualdade (2-19) temos g(U, Y ) =

U · Y . O resultado (4-5) segue de (4-3).

Proposicao 4.9 Se Hs(M) = 0, entao I(X,Y ) independe da escolha de U

tal que rot(U) = w.

Prova :

Seja V ∈ Es(M) tal que rot(V ) = X. Entao existe W ∈ Es(M) tal que

U = V + W e rot(W ) = 0. Note que dj(W ) = irotW vol = 0, isto e,

j(W ) ∈ Es(M) e fechada. Como Hs(M) = 0 , existe θ ∈ Es−1(M) tal

que dθ = j(W ). Logo, por definicao de j, temos

W · Y = g(W, Y ) = j(W )(Y ) = dθ(Y ).


DBD



Entao

I(X, Y ) =

∫

M

U · Y vol

=

∫

M

(V + W ) · Y vol

=

∫

M

V · Y vol +

∫

M

W · Y vol

=

∫

M

V · Y vol +

∫

M

dθ(Y )vol.

Agora, por (4-3) temos

I(X, Y ) =

∫

M

V · Y vol +

∫

M

dθ ∧ iY vol.

Finalmente, sendo iY vol fechado e aplicando Stokes temos

I(X, Y ) =

∫

M

V · Y vol +

∫

M

d(θ ∧ iY vol)

=

∫

M

V · Y vol +

∫

∂M=∅θ ∧ iY vol

︸︷︷︸0

.

Portanto I(X,Y ) =∫

MV · Y vol. 2

Observacao 4.10

Seja Mn uma variedade riemanniana compacta com bordo suave. Se X =

(X1, .., Xk) ∈ gk e Y = (Y 1, .., Y s) ∈ gs entao o invariante I(X, Y ) =∫

Mα∧dβ,

onde dα = iXvol e dβ = iY , pode ainda ser definido sempre que para todo i e

j os campos X i e Y j sejam tangentes a ∂M e Hs(M) = 0. De fato, notemos

primeiro que iY vol restrita a ∂M e nula

iY vol |∂M = iY 1∧..∧Y svol |∂M

= iY siY Y−1 ...iY 1vol |∂M

= 0.

Agora mostraremos, como no caso de variedade sem bordo, que I(X,Y )

independe da escolha de α e β. Sejam γ ∈ Es(M) e θ ∈ Ek(M) tal que

dγ = iXvol e dθ = iY vol. Definamos γ2 := α − γ ∈ Es(M) e θ2 := β − θ ∈Ek(M). Entao dθ2 = 0 e dγ2 = 0 e sendo Hs(M) = 0 temos que existe γ3

tal que dγ3 = γ2. Logo, temos que

I(X,Y ) =

∫

M

α ∧ dβ


DBD



=

∫

M

(γ + γ2) ∧ d(θ + θ2)

=

∫

M

γ ∧ dθ +

∫

M

γ2 ∧ dθ

=

∫

M

γ ∧ dθ +

∫

M

dγ3 ∧ dθ

=

∫

M

γ ∧ dθ +

∫

M

d(γ3 ∧ dθ)

=

∫

M

γ ∧ dθ +

∫

∂M

γ3 ∧ dθ

=

∫

M

γ ∧ dθ +

∫

∂M

γ3 ∧ iY vol

=

∫

M

γ ∧ dθ. 2

Definicao 4.11 Seja Mn variedade riemanniana compacta sem bordo e ori-

entada. Sejam Φ e Ψ acoes de Rk e Rs em M respectivamente, k+s = n−1,

e N uma s-variedade fechada, sem bordo e de homologia nula em M . Suponha

que X ∈ gk e Y ∈ gs , onde A(X) = Φ e A(Y ) = Ψ. Definimos

I(Φ, Ψ) := I(X, Y ), I(Φ, N) := I(X, N), (4-6)

Os quais serao chamados de ındice de Hopf com respeito ao par de acoes e

ındice de Hopf com respeito a Φ e N , respectivamente.

A observacao 3.10 garante que o ındice de Hopf para acoes esteja bem

definido tanto para variedades com bordo como para variedades sem bordo.

4.2Teorema Ergodico para Acoes de Rk numa Variedade Riemanniana Com-pacta

Seja M uma variedade riemanniana compacta com forma de volume

vol. Seja Φ uma acao de Rk de difeomorfismos que preservam volume em

M . Denotemos por L1(M) o espaco das funcoes f : M → R tais que∫M|f |vol < ∞. Lembremos que se A ⊂ M entao chamamos de funcao

caracteristica de A a funcao χA tal que χA(x) = 1 se x ∈ A e χA(x) = 0

caso contrario. Agora, uma funcao f e dita simples se existem A1, A2, .., Ak

subconjuntos mensuraveis em M e escalares a1, a2, .., ak tal que

f =k∑

i+1

aiχAi.


DBD



Seja W o subespaco de L1(M) definido por

W = h− h Φ(t1,..,tk); h funcao simples e (t1, .., tk) ∈ Rk.

Denotemos tambem por W o fecho em L1(M) do subespaco linear gerado por

W . Notemos que W e denso em W .

Seja I o subespaco de L1(M) das funcoes Φ invariantes, isto e, uma

funcao f pertence a I se existe U ⊂ M tal que seu complemento tem medida

nula em M e f satisfaz

f(x) = f Φ(t1,..,tk)(x)) ∀x ∈ U, ∀(t1, .., tk) ∈ Rk.

A demonstracao do teorema seguinte pode ser lida em [Tem] no teorema 5.1,

Teorema 4.12 Cada funcao f ∈ L1(M) tem uma unica represenracao da

forma

f1 + f2, f1 ∈ I e f2 ∈ W.

Isto e, L1(M) = I ⊕W .

Seja µ a medida de Lebesgue em Rn. Consideremos uma sequencia de

k-retangulos

Tn = [0, T 1n ]× ..× [0, T k

n ]n∈N

tal que para todo i ∈ 1, .., k temos limn→∞ T in = 0. Seja f ∈ L1(M) e

definamos a sequencia de funcoes fnn∈N ⊂ L1(M) tal que para cada p ∈ M

temos

fn(p) =1

µ(Tn)

∫

~t∈Tn

f(Φ~t(p))dµ(~t).

=1

T 1nT 2

n ..T kn

∫ T kn

0

∫ T k−1n

0

..

∫ T 1n

0

f(Φ(t1,..,tk)(p))dt1dt2..dtk,

onde ~t = (t1, .., tk).

Teorema 4.13 A sequencia fnn∈N converge para uma funcao f em L1(M),

isto e,lim

n→∞

∫

M

|fn − f |vol = 0. (4-7)

Alem disso, esta funcao f independe da escolha da sequencia Tnn∈N escolhida

e satisfaz ∫

M

fvol =

∫

M

fvol. (4-8)

Prova: Seja f ∈ W . Neste caso devemos mostrar que para todo p ∈ M se

satisfaz limn→∞ |fn(p)| = 0. Fixemos ~t′ = (t′1, .., t′k) ∈ Rk. Sera suficiente


DBD



mostrar para o caso f(p) = χA(p)−χA(Φ(t′1,..,t′k)(p)), onde A e um subconjunto

mensuravel em M e χA e a funcao caracterıstica de A. Seja

Dp = (t1, .., tk) ∈ Rk; Φ(t1,..,tk)(p) ∈ A.

Por ser Φ continua (suave) temos que Dp e um conjunto mensuravel em Rk

para todo p em M . Notemos que χA(Φ(t1,..,tk)(p)) = χDp(t1, ..tk). Logo

|fn(p)| = | 1

µ(Tn)

∫

~t∈Tn

f(Φ~t(p))dµ(~t)|

= | 1

µ(Tn)

∫

~t∈Tn

(χDp(~t)− χDp(~t′ + ~t))dµ(~t)|

=

∣∣∣∣∣µ(Dp ∩ Tn)− µ((Dp − ~t′) ∩ Tn)

µ(Tn)

∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣µ(Dp ∩ Tn)− µ(Dp ∩ (~t′ + Tn))

µ(Tn)

∣∣∣∣∣

≤ 2k∑

i=1

(T 1n + t′1)..(T

i−1n + t′i−1)t

′i(T

i+1n + t′i+1)..(T

kn + t′k)

T 1nT 2

n ..T kn

.

Portanto |fn(p)| → 0. Agora, suponha que f ∈ W . Para cada ε > 0 existe

fε ∈ W tal que∫

M|f(p)− fε(p)|vol = 0. Logo

∫

p∈M

|fn(p)|vol(p) ≤∫

M

(1

µ(Tn)

∫

~t∈Tn

|f(Φ~t(p))| dµ(~t)

)vol(p)

≤∫

M

(1

µ(Tn)

∫

~t∈Tn

|f(Φ~t(p))− fε(Φ~t(p))| dµ(~t)

)vol(p) +

+

∫

M

(1

µ(Tn)

∫

~t∈Tn

|fε(Φ~t(p))| dµ(~t)

)vol(p)

=1

µ(Tn)

∫

~t∈Tn

(∫

M

|f(Φ~t(p))− fε(Φ~t(p))| vol(p)

)dµ(~t) +

+

∫

M

(1

µ(Tn)

∫

~t∈Tn

|fε(Φ~t(p))| dµ(~t)

)vol(p).

Logo, para n suficientemente grande temos∫

p∈M|fn(p)|vol(p) ≤ 2ε. Como ε e

arbitrario, temos que

limn→∞

∫

M

|fn|vol = 0.

Agora, seja f ∈ L1(M). O teorema 4.12 garante que existem f ∈ I e h ∈ W


DBD



tal que f = f + h. Observemos que

fn(p) =1

µ(Tn)

∫

Tn

f(Φ~t(p))dµ(~t)

=1

µ(Tn)

∫

Tn

f(Φ~t(p))dµ(~t) +1

µ(Tn)

∫

Tn

h(Φ~t(p))dµ(~t)

=1

µ(Tn)

∫

Tn

f(p)dµ(~t) + hn(p)

= f(p) + hn(p)

para todo p ∈ U , onde U e o conjunto em M no qual a funcao f ∈ I e invariante

pela acao. Lembremos que U tem complemento em M com medida nula, logo

∫

p∈M

|fn(p)− f(p)|vol(p) =

∫

p∈U

|fn(p)− f(p)|vol(p)

=

∫

p∈U

|f(p) + hn(p)− f(p)|vol(p)

=

∫

p∈U

|hn(p)|vol(p)

→ 0.

Portanto fn converge a f no espaco L1(M) e observamos que f independe da

sequencia Tn escolhida, mostrando assim (4-7). Agora, mostraremos (4-8)

lembrando que Φ e uma acao que preserva vol. Assim

∫

p∈M

fn(p)vol(p) =

∫

p∈M

(1

µ(Tn)

∫

~t∈Tn

f(Φ~t(p))dµ(~t)

)vol(p)

=1

µ(Tn)

∫

~t∈Tn

(∫

p∈M

f(Φ~t(p))vol(p)

)dµ(~t)

=1

µ(Tn)

∫

~t∈Tn

(∫

p∈M

f(p)vol(p)

)dµ(~t)

=

(∫

p∈M

f(p)vol(p)

)1

µ(Tn)

∫

~t∈Tn

dµ(~t)

=

∫

p∈M

f(p)vol(p). 2 (4-9)


DBD


5A Generalizacao da Lei de Biot-Savart

Seja Ω um domınio compacto em R3 com bordo suave e X um campo

vetorial em Ω de divergencia nula e tangente ao bordo de Ω. A Lei de Biot

Savart afirma que o campo vetorial BS(X) em Ω definido pela igualdade

BS(X)(x) :=−1

4π

∫

Ω

(x− y)×X(y)

‖y − x‖3vol(y)

satisfaz rot(BS(X)) = X. Neste capıtulo estenderemos este resultado para

um k-campo U em Ω da forma U = U1 ∧ .. ∧ Uk tal que cada U i e um

campo em Ω de divergencia nula e tangente ao bordo. Neste caso, definiremos

o (n− k − 1)-campo BS(U) de Ω pela igualdade

BS(U)(x) :=(−1)k

an

∫

Ω

(x− y)× U(y)

‖x− y‖nvol(y),

onde an e o (n− 1)-volume da esfera unitaria Sn−1 em Rn, e mostraremos que

este (n− k − 1)-campo satisfaz rot(BS(U)) = U .

5.1Distribuicoes em Rn

Seja C∞0 o espaco das funcoes suaves em Rn com suporte compacto.

Uma forma linear sobre C∞0 e dita uma distribuicao se u[φk] → 0 para cada

sequencia φkk∈N em C∞0 satisfazendo

1. Existe conjunto compacto K tal que para todo i o suporte de φi esta

contido em K, isto e, supp φi ⊂ K; e

2. A norma do supremo de qualquer derivada parcial das funcoes φi converge

para 0 , isto e, para cada n-upla = (i1, ..., in) fixa de inteiros nao negativos

e r =∑n

j=1 ij temos que sup

∣∣∣∣∂rφk

∂xinn ..∂xi1

1

∣∣∣∣ → 0.

No que segue, se u e uma distribuicao e f e uma funcao suave com suporte

compacto em Rn entao u[f ] denotara o valor da distribuicao aplicado a f . O

espaco das distribuicoes sera denotado por D. Em particular, se f ∈ L1loc(Rn),


DBD


Capıtulo 5. A Generalizacao da Lei de Biot-Savart 46

isto e uma funcao em Rn tal que |f | e localmente integravel, entao esta define

naturalmente uma distribuicao, a qual denotaremos pela propria f , fazendo

f [φ] :=

∫

Rn

f(y)φ(y)vol.

Agora, suponha que a funcao f , que define a distribuicao, e suave. Entao

cada derivada parcial∂rf

∂xinn ..∂xi1

1

de f tambem define uma distribucao. Neste

caso, fazendo integracao por partes, temos, para cada φ suave de suporte

compacto, que

∂rf

∂yinn ..∂yi1

1

[φ] =

∫

Rn

∂rf

∂yinn ..∂yi1

1

(y)φ(y)vol

= (−1)r

∫

Rn

f(y)∂rφ

∂yinn ..∂yi1

1

(y)vol

= (−1)rf [∂rφ

∂yinn ..∂yi1

1

].

Logo, pela definicao de distribuicao, podemos definir a distribuicao derivada

parcial ∂αu de uma distribuicao u por

∂ru

∂yinn ..∂yi1

1

[φ] := (−1)ru[∂rφ

∂yinn ..∂yi1

1

]. (5-1)

Em particular, se f e uma funcao que tem derivada parcial∂rf

∂yinn ..∂yi1

1

local-

mente integravel entao

∂rf

∂yinn ..∂yi1

1

[φ] =

∫

y∈Rn

φ(y)∂rf

∂yinn ..∂yi1

1

(y)vol. (5-2)

Chamamos de operador laplaciano ao operador 4 que age em D e e definida

para cada distribuicao u por

4u :=n∑

i=1

∂2u

∂y2i

. (5-3)

Entre as distribuicoes que nao sao definidas por uma funcao em L1loc(Rn)

existe uma que requer especial atencao, a distribuicao delta de Dirac centrada

em x que e denotada por δx e e definida por δx[φ] := φ(x). No caso de δ~0, onde ~0

e a origem em Rn escreveremos simplesmente δ. Seja fn, n ≥ 3, a distribuicao

definida pela funcao

fn(y) = − 1

(n− 2)an

1

‖y − x‖n−2, (5-4)

onde an e o (n−1)-volume da esfera unitaria Sn−1 ⊂ Rn. Podemos verificar que

4fn = 0, y 6= −→0 , e que

∂fn

∂yi

=1

an

yi

‖y‖ne uma funcao localmente integravel


DBD



em Rn. Alem dissoδx = 4fn. (5-5)

De fato, mostraremos este resultado para o caso x = ~0. Por (5-1) e por definicao

do laplaciano de uma funcao em Rn

4f [φ] = f [4φ] = f [n∑

i=1

∂

∂yi

(∂φ

∂yi

)].

Agora, pela linearidade de uma distribuıcao e por (5-2) temos

4f [φ] = −∑

i

∂f

∂yi

[∂φ

∂yi

] = −∑

i

∫

Rn

∂f

∂yi

∂φ

∂yi

vol.

Notemos que∑n

i=1

∂f

∂yi

∂φ

∂yi

= 〈∇f,∇φ〉, onde 〈 , 〉 e o produto interno canonico

em Rn. Disso, por definicao de integral de uma funcao com singularidades, por

(3-12), aplicando divergencia de Gauss temos que

4f [φ] = − limξ→0

∫

‖y‖≥ξ

〈∇f,∇φ〉 vol

= − limξ→0

∫

‖y‖≥ξ

div(φ∇f)− φ4f vol

= − limξ→0

∫

‖y‖≥ξ

div(φ∇f).

= − limξ→0

∫

‖y‖=ξ

φ〈∇f, N〉dS

= − limξ→0

1

an

∫

‖y‖=ξ

φ(y)〈 y

‖y‖n,−y

‖y‖〉dS

= limξ→0

1

an

∫

‖y‖=ξ

φ(y)1

ξn−1dS

= limξ→0

1

an

∫

‖y‖=ξ

(φ(0) + O(ξ))1

ξn−1dS

= limξ→0

φ(0)

ξn−1an

∫

‖y‖=ξ

dS

= φ(0). 2

Consideremos Eo(Rn), o subconjunto de E(Rn) formado pelos k-campos

cujas funcoes coordenadas tem suporte compacto em Rn. Seja Dn o espaco dos

1-campos vetoriais em Rn cujas funcoes coordenadas sao funcoes em L1loc(Rn)

que serao consideradas distribuicoes em Rn. Definamos o produto ∧D entre os

espacos Dn e Eo(Rn) tal que se multiplicamos dois de estes elementos obtemos

um elemento da algebra exterior de Rn, a saber, se F =n∑

i=1

fiei ∈ Dn e


DBD



U =∑

i1,..,ik

ui1,..,ikei1 ∧ .. ∧ eik ∈ Eo(Rn) entao definimos o produto por

F ∧D U :=∑

i,i1,..,ik

fi[ui1,..,ik ] ei ∧ ei1 ∧ .. ∧ eik ∈ Λ(Rn),

onde cada fi e considerada distribuicao e fi[ui1,..,ik ] e o valor de fi aplicado na

funcao ui1,..,ik . Observemos que podemos definir os produtos

F ×D U := ∗(F ∧D U)

=∑

i,i1,..,ik

fi[ui1,..,ik ] ∗ ( ei ∧ ei1 ∧ .. ∧ eik)

=∑

i,i1,..,ik

fi[ui1,..,ik ] ei × (ei1 ∧ .. ∧ eik).

F ·D U := ∗(F ∧D (∗U))

=∑

i,i1,..,ik

fi[ui1,..,ik ] ∗ ( ei ∧ ∗(ei1 ∧ .. ∧ eik))

=∑

i,i1,..,ik

fi[ui1,..,ik ] ei · ∗(ei1 ∧ .. ∧ eik).

Agora, suponha que o k-campo U depede das variaveis x e y. Entao podemos

calcular a distribuicao com respeito a variavel y e definir divx e rotx como

veremos a seguir

divx(F ×D U) := divx(∑

i,i1,..,ik

fi[ui1,..,ik ](x) ei × (ei1 ∧ .. ∧ eik)

=∑

i,i1,..,ik

(∇xfi[ui1,..,ik ](x)) · (ei × (ei1 ∧ .. ∧ eik)).

rotx(F ×D U) := rotx(∑

i,i1,..,ik

fi[ui1,..,ik ](x) ei × (ei1 ∧ .. ∧ eik)

= (−1)(k+1)s∑

i,i1,..,ik

∗(∇xfi[ui1,..,ik ](x)) ∧ (ei × (ei1 ∧ .. ∧ eik))

= (−1)(k+1)s∑

i,i1,..,ik

∗(∇xfi[ui1,..,ik ](x)) ∧ ∗(ei ∧ (ei1 ∧ .. ∧ eik)).

= (−1)(k+1)s∑

i,i1,..,ik

(∇xfi[ui1,..,ik ](x)) · (ei ∧ ei1 ∧ .. ∧ eik).

Exemplo 5.1

Sejam U = (U1, U2, U3) ∈ Eo(R3) e f, h1 =y1

‖y‖3, h2 =

y2

‖y‖2, h3 =

y3

‖y‖3

distribuicoes em R3. Definamos F := (f1, f2, f3) ∈ D3 . Notemos que F = ∇f3,


DBD



onde f3 satisfaz 4f3 = δ. Logo

〈 F , U 〉D = 〈 (h1, h2, h3) , (U1, U2, U3) 〉D= f1[U1] + f2[U2] + f3[U3] ∈ R

F ×D U = (h1, h2, h3)×D (U1, U2, U3)

= (h2[U3]− h3[U2])e1 + (−h1[U3] + h3[U1])e2 + (h1[U2]− h2[U1])e3

=

(∫

R3

y2U3 − y3U2

‖y‖3vol,

∫

R3

−y1U3 + y3U1

‖y‖3vol,

∫

R3

y1U2 − y2U1

‖y‖3vol

)

=

∫

R3

F × Uvol ∈ R3. (5-6)

〈 F ,∇Ui 〉D = 〈∇f3 ,∇Ui 〉D= 〈(∂f3

∂y1

,∂f3

∂y2

,∂f3

∂y3

) , (∂Ui

∂y1

,∂Ui

∂y2

,∂Ui

∂y3

)〉D

=∂f3

∂y1

[∂Ui

∂y1

] +∂f3

∂y2

[∂Ui

∂y2

] +∂f3

∂y3

[∂Ui

∂y3

]

= −∂2f3

∂y21

[Ui]− ∂2f3

∂y22

[Ui]− ∂2f3

∂y23

[Ui]

= −(∂2f3

∂y21

+∂2f3

∂y22

+∂2f3

∂y23

)[Ui]

= −4f3[Ui]

= −Ui(~0). (5-7)

5.2A Lei de Biot-Savart em R3

Agora, fazendo uso do produto ∧D mostraremos a Lei de Biot-Savart. No

que segue consideraremos x = (x1, .., xn) e y = (y1, .., yn).

Proposicao 5.2 (Lei de Biot-Savart) Seja Ω domınio limitado em R3 com

bordo suave ∂Ω. Se U e um campo vetorial em Ω tal que div(U) = 0 e e

tangente a ∂(Ω) entao o campo definido por

BS(U)(x) :=−1

4π

∫

Ω

(x− y)

‖x− y‖n× U(y)vol(y)

satisfaz

rot(BS(U))(x) = U(x)


DBD



Prova: Sejam p ∈ Ω, r = dist(p, ∂Ω) , 0 < 2ζ ¿ r e f : Ω → [0, 1] uma funcao

suave tal que

f(y) =

1 se ‖y − p‖ ≤ ζ.

0 se ‖y − p‖ ≥ 2ζ.

Em Ω definamos os campos vetoriais U1 := fU , U2 = (1− f)U e

BS1(U1)(x) =

−1

4π

∫

Ω

(x− y)

‖x− y‖3× U1(y)vol(y).

Notemos que U1 ∈ Eo(Rn) e que ∇(− 1

4π‖y‖) =1

4π

y

‖y‖3. Entao fazendo uma

mudanca de coordenadas na integral, por (5-4) para o caso x = ~0 e por (5-6)

temos que

BS1(U1)(x) =

−1

4π

∫

R3

(x− y)

‖x− y‖3× U1(y)vol(y)

=−1

4π

∫

R3

y

‖y‖3× U1(x− y)vol(y)

= −∇yf3 ×D U1(x− y).

Notemos por (3-9) que

rotx(∇yf3 ×D U1(x− y)) = divx(∇yf3 ∧D U1(x− y)).

Logo, por (3-17), observando que ∇yf3 independe de x e usando a formula

(3-16) para o colchete de Lie temos que

rotx(BS1(U1))(x) = −divx(∇yf3 ∧D U1(x− y))

= −∇yf3 ∧D (divx(U1(x− y))) +

3∑i=1

〈∇yf3,∇xU1i (x− y)〉Dei

= ∇yf3 ∧D (divy(U1(x− y)))−

3∑i=1

〈∇yf3,∇yU1i (x− y)〉Dei.

Logo, por definicao de distribuicao, por (5-7) e por (5-5)

rotx(BS1(U1))(x) =

−1

4π

∫

y∈R3

div(U1)(x− y))y

‖y‖3vol +

3∑i=1

4f3[U1i (x− y)]ei

=−1

4π

∫

y∈R3

div(U1)(y))x− y

‖x− y‖3vol +

3∑i=1

δ[U1i (x− y)]ei

= − 1

4π

∫

y∈R3

div(U1)(y)x− y

‖x− y‖3vol + U1(x).


DBD



Assim, pela definicao do campo U1 temos que

rotx(BS1(U1))(x) = U1(x)− 1

4π

∫

ζ≤‖y−p‖≤2ζ

div(fU)(y)x− y

‖x− y‖3vol.

Por outro lado, seja

BS2(U2)(x) =

−1

4π

∫

Ω

(x− y)

‖x− y‖3× U2(y)vol(y).

Se Ω0 := ‖y − p‖ ≥ ζ ∩ Ω temos , pela definicao de U2, que

BS2(U2)(x) =

−1

4π

∫

Ω0

(x− y)

‖x− y‖3× U2(y)vol(y).

Neste caso, ∀x ∈ Ω tal que ‖x − p‖ < ζ estamos integrando funcoes suaves.

Logo, podemos derivar dentro da integral. Assim, por (3-9) e por (3-17) temos

que

rotx(BS2(U2))(x) =

1

4π

∫

Ω0

divx((x− y)

‖x− y‖3∧ U2(y))vol(y)

=1

4π

∫

Ω0

divx((x− y)

‖x− y‖3)U2(y)vol(y)−

∑i

∫

Ω0

〈∇x((xi − yi)

‖x− y‖3), U2(y)〉vol

ei.

Como divx((x− y)

‖x− y‖3) = 0 e ∇x(

(xi − yi)

‖x− y‖3) = −∇y(

(xi − yi)

‖x− y‖3) temos

4π rotx(BS2(U2))(x) =

∑i

∫

Ω0

〈∇y((xi − yi)

‖x− y‖3), U2(y)〉vol

ei

=∑

i

∫

Ω0

(div(

xi − yi

‖x− y‖3U2)− xi − yi

‖x− y‖3divU2

)vol

ei.

Por definicao de U2 e teorema de Stokes temos

4π rotx(BS2(U2))(x) =

∑i

∫

∂Ω0

〈 xi − yi

‖x− y‖3U2, N〉dS −

−∫


xi − yi

‖x− y‖3divU2volei.


DBD



Como ∂Ω0 = ‖y− p‖ = ζ ∪ ∂Ω , U2|‖y−p‖=ζ = ~0 e U2|∂Ω = U |∂Ω e tangente

ao bordo, temos que

rotx(BS2(U2))(x) = − 1

4π

∑i

∫


divU2(y)xi − yi

‖x− y‖3vol

ei

= − 1

4π

∫


div(1− f(y))U(y)x− y

‖x− y‖3vol

=1

4π

∫


divf(y)U(y)x− y

‖x− y‖3vol.

Finalmente, rotx(BS(U))(x) = rotx(BS(U1))(x) + rotx(BS(U2))(x) = U(x).

2

Nesta demonstracao dividimos U em dois campos com a finalidade

de integrar a singularidade de BS(U) usando propriedades de distribuicao.

Ressaltamos que podemos demonstrar o teorema de Biot-Savart em forma

pratica, derivando dentro da integral como se estivessemos trabalhando com

funcoes suaves. Neste caso podemos usar o teorema de divergencia de Gauss,

quando for o caso, e observar se podemos usar a distribuicao delta de Dirac. Na

verdade a propria demonstracao do teorema sugere este fato, ja que as integrais

que faltam na forma pratica sao as integrais que se anulam ao dividir U em duas

partes na demonstracao rigorosa. Apresentaremos agora esta demonstracao

pratica:

Seja f(x, y) =−1

4π‖y − x‖ . Notemos que∂2f

∂xi∂xj

=∂2f

∂yi∂yj

, ∀i, j. Ob-

servemos que1

4π‖x− y‖3= ∇xf . Disso, por (2-17), (3-22) e sendo U de di-

vergencia nula temos que

rotx(BS(U))(x) = −∫

Ω

rotx (∇xf)× U(y)vol(y)

= −∫

Ω

divx (∇x (f) ∧ U(y)) vol(y)

=

∫

Ω

(4yf) U(y)vol(y) +3∑

i=1

(∫

Ω

divy

(∂f

∂yi

U

)vol

)ei.

Por outro lado, por (5-4) e (5-5) temos que 4yf = δx. Logo, pela definicao

de δx, pelo teorema de divergencia de Gauss e sabendo que U e tangente ao

bordo de Ω, temos que

rotx(BS(U))(x) = δx[U ] +3∑

i=1

(∫

∂Ω

⟨∂f

∂yi

U,N

⟩dS

)ei

= U(x). (5-8)


DBD



5.3A lei de Biot-Savart em Rn

Agora, generalizaremos o teorema de Biot-Savart para dimensoes maio-

res. No que resta deste capıtulo fixemos k e s inteiros positivos tal que k + s =

n− 1. Lembremos que (U1, U2, .., Uk) e uma n-upla em gk(Ω) se cada coorde-

nada U i e um 1-campo vetorial em Ω que satisfazem div(U i) = [U i, U j] = 0,

para todo i e j, alem disso se U = U1 ∧ .. ∧ Uk e o k-campo associado a U

entao j(∗U) = iUvol, a (n− k)-forma associada a U , e exata.

Proposicao 5.3 Seja Ω domınio limitado em Rn com bordo ∂Ω suave. Sejam

U = (U1, .., Uk) ∈ gk(Ω) e U o k-campo associado a U . Suponha que cada

1-campo U i e tangente ao bordo de Ω. Entao o s-campo BS(U) definido por

BS(U)(x) :=(−1)k

an

∫

Ω

(x− y)

‖x− y‖n× U(y)vol(y), (5-9)

onde an e o (n− 1)-volume da esfera unitaria em Rn, satisfaz

rot(BS(U))(x) = U(x) (5-10)

Prova: A demonstracao sera feita na forma pratica como no caso do teorema

de Biot-Savart. Seja f(x, y) =−1

an(n− 2)‖y − x‖n−2. Notemos que esta funcao

satisfaz∂2f

∂xi∂xj

=∂2f

∂yi∂yj

,e observemos quex− y

an‖x− y‖n= ∇xf . A observacao

2.15 garante que div(U) = 0. Suponha que para cada i temos que U i =∑nj=1 ui

jej, logo, por (3-9), (2-17), (3-22) e sendo U de divergencia nula temos

que

rotx(BS(U))(x) = −∫

Ω

rotx (∇xf)× U(y)vol(y)

= −∫

Ω

divx (∇x (f) ∧ U(y)) vol(y)

= (−1)n+k

k,n,n,..,n∑

r,j,j1,..jr..,jk

(−1)r

(∫

Ω

divy

(∂f

∂yj

u1j1

..urjr

..ukjk

U r

)vol

).

.ej ∧ ej1 ∧ ..ejr .. ∧ ejk+

∫

Ω

(4yf) U(y)vol(y),

onde os pontinhos nas ultimas linhas significa continuacao do sumatorio.

Agora, o teorema de divergencia de Gauss e sabendo que U e tangente ao

bordo garantem que

∫

Ω

divy

(∂f

∂yj

u1j1

..urjr

..ukjk

U r

)vol = 0.


DBD



Alem disso, por (5-4) e (5-5) temos que 4yf = δx. Assim

rotx(BS(U))(x) = δx[U ]

= U(x). 2

Agora usaremos o teorema de Biot-Savart generalizado para dar uma

formula da invariante de Hopf de duas n-uplas U ∈ gk(Ω) e V ∈ gs(Ω) a qual

sera muito importante para resultados posteriores.

Corolario 5.4 Seja Ω domınio limitado em Rn com bordo ∂Ω suave e com

a cohomologia nula em dimensao s, isto e, Hs(Ω) = 0. Sejam U =

(U1, .., Uk) ∈ gk(Ω) e V = (V 1, ..V s) ∈ gs(Ω). Suponha que os U i e os V j

sao tangentes ao bordo de Ω. Se U e V sao o k-campo e o s-campo associados

a U e V , respectivamente, entao

I(U, V ) =(−1)k

an

∫ ∫

Ω×Ω

(y − x)× U · V‖y − x‖n

vol(x)vol(y) (5-11)

=(−1)k

an

∫ ∫

Ω×Ω

[y − x, U1(x), .., Uk(x), V 1(y), .., V s(y)]

‖y − x‖nvol(x)vol(y).

(5-12)

Prova:

Pelo Teorema de Biot-Savart generalizado, rot[BS(U)](y) = U(y). Disso e do

fato que Hs(Ω) = 0, temos pela proposicao 3.8 e pela proposicao 3.9 que

I(U, V ) =∫Ω

BS(U)(y) · V (y)vol(y). Logo por definicao do s-campo BS(U)

temos

I(U, V ) =(−1)k

an

∫

Ω

(∫

Ω

(y − x)× U(x)

‖y − x‖nvol(x)

)· V (y)vol(y)

=(−1)k

an

∫ ∫

Ω×Ω

(y − x)× U(x) · V (y)

‖y − x‖nvol(x)vol(y)

mostrando assim (5-11). Para mostrar (5-12) consideramos a base canonica de

Rn, β = e1, .., en, e o resultado sera obtido usando a formula (2-18). 2

Observacao 5.5


DBD



O invariante de Hopf usado por Arnold em [Arn] para um campo X ∈ E1(M)

de divergencia nula satisfaz

I(X) := I(X,X) =1

4π

∫

Ω

∫

Ω

(x− y)×X(x) ·X(y)

‖x− y‖3vol(x)vol(y),

=1

a2

∫

Ω

∫

Ω

[x− y, X(x), X(y)]

‖x− y‖3vol(x)vol(y)

onde × e · sao o produto vetorial e interno usual em R3 e [ ] e o produto

mixto, os quais como sabemos coincidem com o produto ×, o produto · e o

determinante no caso R3 e observamos que este resultado de Arnold coincide

com o resultado do ultimo corolario para o caso k = 1, U = X e V = X.

2


DBD


6Formulas de Enlacamento

6.1

Indice de Enlacamento

Seja S1 uma variedade conexa, compacta, orientada e sem bordo de

dimensao n. Sendo S1 conexa toda funcao f de S1 em R que satisfaz df = 0

e uma funcao constante. Logo, por definicao temos que H0(S1) = R, onde

H0(S1) e a 0-esima cohomologia de S1. Logo, a dualidade de Poincare garante

que Hn(S1) = R. Por outro lado, o teorema de de Rham afirma que a k-

esima homologia Hk(S1) e isomorfo a Hk(S1) para todo k ∈ 0, 1, .., n. Em

particular, Hn(S1) = R, logo podemos considerar a classe fundamental de S1

como gerador de Hn(S1). Logo, se S2 e outra variedade conexa, compacta,

orientada e sem bordo de dimensao n entao cada aplicacao f : S1 → S2 suave

satisfaz f∗S1 = mfS2, onde mf e uma constante. Um resultado importante da

topologıa assegura que mf e um inteiro chamado de grau de f e denotado por

deg(f).

Suponha agora que a variedade S1 acima seja de dimensao n−1 e imersa

em Rn−~0 sendo f a funcao que define a imersao. Seja g := πf : S1 → Sn−1,

onde π : Rn − ~0 → Sn−1, π(p) =p

‖p‖ , e a projecao na esfera unitaria. O

inteiro deg(g) indica o numero de vezes que f(S1) roda em torno da origem e

sera denotado por If (S1). Neste caso, se σ e a forma de volume de Sn−1 e an

e o (n− 1)-volume de Sn−1 entao

deg(g) =deg(g)

an

∫

Sn−1

σ =1

an

∫

deg(g)Sn−1

σ =1

an

∫

(πf)∗S1

σ =1

an

∫

S1

(π f)∗σ.

Portanto, se τ = π∗σ entao If (S1) =1

an

∫

S1

f ∗τ .

Observacao 6.1

σ =n∑

i=1

(−1)i−1xidx1..dxi..dxn. (6-1)

τ =n∑

i=1

(−1)i−1 xi

rndx1..dxi..dxn, (6-2)


DBD


Capıtulo 6. Formulas de Enlacamento 57

onde r e a norma euclidiana do vetor posicao X = (x1, x2, .., xn). 2

Seja M uma variedade riemanniana, conexa e orientada de dimensao n.

Sejam S1 e S2 sub-variedades orientadas imersas em M , ambas compactas,

sem bordo e de dimensoes k1 e k2 respectivamente, onde k1 + k2 = n − 1.

Suponha que S1 ∩ S2 = ∅ e ambas sejam de homologia nula em M . Seja S1

uma (k1 + 1)-cadeia em M tal que

1. ∂S1 = S1, como cadeias

2. S1 e transversal a S2.

Define-se o ındice de enlacamento de S1 e S2 por

lk(S1, S2) =∑

S1∩S2

±1, (6-3)

onde sumamos +1 em cada ponto de trasversalidade positiva e −1 se a

transversalidade for negativa. Notemos que o conjunto S1 ∩ S2 e finito, ja

que S2 e compacto e os pontos de transversalidade sao isolados, logo lk(S1, S2)

e finito. Na definicao deste ındice de enlacamento poderıamos tambem ter

usado uma sub-variedade S2 de M tal que ∂S2 = S2. Afirmamos que este

ındice independe da escolha de Si, i = 1, 2, ja que este ındice tambem pode

ser definida por uma integral que depende somente de S1 e S2. Mostraremos

este fato, primeiro para o caso M = Rn. Sendo S1 e S2 compactas, orientadas

e sem bordo a variedade produto S1× S2 e tambem uma variedade compacta,

orientada e sem bordo. sejam x = (x1, .., xn) e y = (y1, .., yn) as imersoes de S1

e S2 em Rn, respectivamente. Por ser S1 ∩ S2 = ∅ podemos definir a aplicacao

suavef : S1 × S2 → Rn − ~0.

(x, y) 7→ y − x.

Entao pode-se mostrar que

lk(S1, S2) = If (S1 × S2) =1

an

∫

S1×S2

f ∗(τ) (6-4)

Esta formula mostra a independencia do lk(S1, S2) com respeito a escolha das

S1 ou S2.

Agora, sendo estas sub-variedades orientadas existem o k1-campo

unitario N1 e e o k2-campo unitario N2 que definem as orientacoes de S1 e S2,

respectivamente. Para cada p ∈ S1 identificaremos Tp(S1), o espaco tangente

de S1 em p, como o subespaco de Rn de vetores tangentes da imersao no ponto

x(p), isto e, estamos considerando Tp(S1) ⊂ Rn. Logo, se u1, .., uk1 e uma

base ortonormal positiva de Tp(S1) entao N1(p) = u1 ∧ .. ∧ uk1 . Identificacoes

analogas serao feitas para os espacos tangentes de S2.


DBD



Proposicao 6.2 O ındice de enlacamento de S1 e S2 pode ser calculado pela

formula

lk(S1, S2) =(−1)k1

an

∫

p∈S1

∫

q∈S2

(q − p)×N1(p) ·N2(q)

‖y − x‖nvol(p)vol(q). (6-5)

Prova: A formula (6-2) afirma que τ =n∑

i=1

(−1)i−1 xi

rndx1..dxi..dxn. Agora,

sendo f(x, y) = y − x temos que

f ∗(τ) =n∑

i=1

(−1)i−1 yi − xi

‖y − x‖n(dy1 − dx1)(dy2 − dx2).. (dyi − dxi)..(dyn − dxn).

Por outro lado, localmente os sistemas de coordenadas (t1, .., tk1) de S1 e

(r1, .., rk2) de S2 originam o sistema de coordenadas (t1, .., tk1 , r1, .., rk2) de

S1 × S2. Notemos que dxi =∑k1

i=1

∂xi

∂tidti e dyi =

∑k1

i=1

∂yi

∂ri

dri. Seja base

β = dr1, .., drk2 , dt1, ..drk2 entao as coordenadas de dyi − dxi na base β sao

(dyi − dxi)β = (∂yi

∂r1

, ..,∂yi

∂r2

,∂xi

∂t1, ..,

∂xi

∂tk1

).

Usando a formula (2-2) temos que

f ∗(τ) =

n∑

i=1

(−1)i−1 yi − xi

‖y − x‖n[(dy1 − dx1)β, (dy2 − dx2)β.. (dyi − dxi)β..(dyn − dxn)β]

.

.dr1..drk2dt1..dtk1 ,

onde o pontinho na primeira e segunda linha significa continuacao da formula.

O calculo de um determinante pelo metodo de cofatores com respeito a primeira

linha implica que

f ∗(τ) =[(y1 − x1, (dy1 − dx1)β), .., (yn − xn, (dyn − dxn)β)]

‖y − x‖ndr1..drk2dt1..dtk1 ,

onde cada (yi−xi, (dyi− dxi)β) esta sendo considerada vetor coluna. Notemos

que as k ultimas linhas sao − ∂x

∂t1, ..,− ∂x

∂tk1

. Entao

f ∗(τ) = (−1)k [(y1 − x1, (dy1 + dx1)β), .., (yn − xn, (dyn + dxn)β)]


Agora, aplicando a propriedade anticomutativa do determinante com respeito


DBD



as linhas e sabendo que dr1..drk2dt1..dtk1 = (−1)k1k2dt1..dtk1dr1..drk2 temos

f ∗(τ) = (−1)k [(y1 − x1, (dy1 + dx1)β′), .., (yn − xn, (dyn + dxn)β′)]


onde β′ = dt1, .., dtk1 , dr1, .., drk2. Escrevendo o determinante por linhas

temos que

f ∗(τ) = (−1)k

[(y1 − x1, .., yn − xn),∂x

∂t1..

∂x

∂tk1

,∂y

∂r1

, ..,∂y

∂rk2

]

‖y − x‖ndr1..drk2dt1..dtk1 .

Finalmente usando a formula (2-17) obtemos o resultado desejado. 2

Exemplo 6.3 Sejam Si, i = 1, 2 curvas fechadas e disjuntas em R3, onde

k1 = k2 = 1. Seja αi : [0, Ti] → R3 a parametrizacao de Si. Denotemos por

αi, i = 1, 2, ao vetor tangente∂αi

∂ti. Logo Ni =

αi

‖αi‖ e voli = ‖αi‖dti. Entao

lk(S1, S2) =−1

4π

∫

p∈S1

∫

q∈S2

(q − p)×N1(p) ·N2(q)

‖p− q‖3vol(p)vol(q)

=−1

4π

∫ T1

0

∫ T2

0

(α2(t2)− α1(t1))× α1(t1)

‖α1(t1)‖ ·α2(t2)

‖α2(t2)‖‖α2(t2)− α1(t1)‖3

‖α1‖‖α2‖dt1dt2

=−1

4π

∫ T1

0

∫ T2

0

(α1(t1)− α2(t2))× α1(t1) · α2(t2)

‖α1(t1)− α2(t2)‖3dt1dt2

Esta e a conhecida formula de Gauss para o ındice de enlacamento de duas

curvas fechadas. 2

Observacao 6.4

Sejam X(t1, .., tk1), (t1, .., tk1) ∈ [0, T 1]×..×[0, T k1 ] e Y (r1, .., rk2), (r1, .., rk2) ∈[0, R1] × .. × [0, Rk2 ] parametrizacoes de S1 e S2, respectivamente. Por (3-3)

temos que

∂X

∂t1∧ .. ∧ ∂X

∂tk1

=√

g1N1 ;∂Y

∂r1∧ .. ∧ ∂Y

∂tk2=√

g2N2.

e por (3-4)temos que

dt1..dtk1 =√

g1vol1 ; dr1..drk2 =√

g2vol2.

Entao usando a formula (2-18) podemos localmente escrever


DBD



an(−1)k1lk(S1, S2) como

∫ Rk2

0

..

∫ R1

0

∫ T k1

0

..

∫ T 1

0

[X − Y,

∂X

∂t1, ..,

∂X

∂tk1

,∂Y

∂r1

, ..,∂Y

∂rk2

]

‖X − Y ‖ndµ1dµ2, (6-6)

onde dµ1 = dt1..dtk1 e dµ2 = dr1..drk2 . 2.

Continuemos agora para o caso de M ser uma variedade riemanniana

compacta e sem bordo. Sendo Si sem bordo, a aplicacao linear [α] 7→ ∫Si

α esta

bem definida sobre Hk(M). A dualidade de Poincare garante que Hn−ki(M) =

(Hki(M))∗, logo existe [ηi] ∈ Hn−ki(M), chamado o dual de Poincare de Si,

tal que toda k-forma fechada α ∈ Ek(M) satisfaz∫

Siα =

∫M

α ∧ ηi. Agora,

como existe Si tal que ∂Si = Si, temos

∫

Si

α =

∫

∂Si

α =

∫

Si

dα = 0.

Assim, [ηi] = 0, isto e, ηi e exata. Escolhamos vizinhancas tubulares Wi de Si

tal que W1 ∩W2 = ∅. Podemos escolher representantes ηi do dual de Poincare

de Si tal que o suporte de ηi esta contido em Wi. Podemos mostrar que se α1

e uma forma diferencial que satisfaz dα1 = η1 entao

lk(S1, S2) =

∫

M

α1 ∧ η2.

De fato, W2 pode ser escolhida sendo um fibrado normal de S2 e o dual de

Poincare η2 de S2 pode ser escolhida como uma (n − k2)-forma diferenciavel

fechada que representa a classe de Thom de S2 em W2. Seja U1 um fibrado

normal de S1, onde S1 e qualquer sub-variedade singular tal que ∂S1 = S1,

entao podemos escolher por α1 a classe de Thom de S1 em U1. Entao o produto

exterior α1 ∧ η2 representa a classe de Thom de S1 ∩ S2 em U1 ∩W2. A classe

de Thom θ ∈ En(M) de um ponto satisfaz∫

supp(θ)θ = 1 Como S1 ∩ S2 e um

conjunto finito de pontos temos que

∫

M

α1 ∧ η2 =

∫

Vp

ϕ(S1 ∩ S2) =∑

p∈S1∩N2

±1

= lk(S1, S2)

Outro fato importante e que a escolha da classe de Thom η2 tem integral +1

sobre cada fibra da vizinhanca Wi que e isomorfa a um disco Dε . Assim


DBD



∫

M

α1 ∧ η2 =

∫

W2

α1 ∧ η2 =

∫

p∈S2

α1

∫

Dε

η2.

Portanto ∫

M

α1 ∧ η2 =

∫

S2

α1. (6-7)

6.2Formas de Enlacamento

Definicao 6.5 Uma forma de enlacamento em M e uma forma dupla L em

M×M tal que para duas subvariedades disjuntas e fechadas Sk11 , Sk1

1 , k1+k2 =

n− 1 ambas sem bordo e de homologia nula, a seguinte igualdade se satisfaz

lk(S1, S2) =

∫

S1

∫

S2

L.

Por exemplo em Rn, se v11, v

12, .., v

1k1∈ TpS1 e v2

1, v22, .., v

2k2∈ TqS2 Podemos

definir LRn por

LRn(v11, v

12, .., v

1k1

, v21, v

22, .., v

2k2

) =1

an

[p− q, v11, v

12, .., v

1k1

, v21, v

22, .., v

2k2

]

‖p− q‖n.

No caso de M ser uma variedade riemanniana compacta sem bordo uma forma

de enlacamento e construıda como segue:

Pelo teorema de decomposicao de Hodge, cada α ∈ Ek(M) pode ser

escrita de forma unica como

α = d∂(Gα) + ∂d(Gα) + H(α), (6-8)

onde d e o operador diferencial, ∂ = ∗d∗ e o operador codiferencial, H e o

operador de projecao na parte harmonica da k-forma e G e o operador de

Green. Nesta formula as componentes sao ortogonais entre si na metrica

〈α, β〉 =

∫

M

α ∧ ∗β.

O operador de Green e definida por G(α) = ω − H(ω), onde ω e solucao da

equacao 4ω = α−H(α). O operador de Green tambem pode ser escrita como

G(α)(x) =

∫

M

α ∧ ∗yg(x, y)β

= 〈α, g(x, ·)〉,

onde g(x, y), chamado o nucleo de G, e uma forma dupla em M ×M a qual

e suave fora da diagonal e tem polo de ordem n − 2 ao longo da diagonal.


DBD



Denotemos por wy o operador linear que age sobre o espaco das formas

duplas decomponiveis wy(α(x) ∧ β(y)) = (−1)k(n−k)α(x) ∧ β(y) sempre que

β(y) ∈ Ek(M).

Proposicao 6.6 A forma dupla L := wy(∗ydyg(x, y)) e uma forma de

enlacamento em M . L tem singularidade r(x, y)1−n ao longo da diagonal e

e suave fora dela, onde r e a funcao distancia riemanniana. Alem disso, para

cada k-forma α existe uma (k − 1)-forma h tal que

∫

y∈M

L(x, y) ∧ dα(y) = α(x)−H(α)(x) + dh(x). (6-9)

Prova. O operador G comuta com d e ∂, logo por (5.3) temos

G(∂dα)α = α−H(α)d(−∂(Gα))

= α−H(α) + dh

Por outro lado, ∂ e operador adjunto de d na metrica 〈 , 〉, logo temos

G(∂dα) = 〈∂dα, g(x, ·)〉 = 〈dα, dg(x, ·)〉=

∫

M

dα ∧ ∗ydyg(x, y) =

∫

M

wy ∗y dyg(x, y) ∧ α

=

∫

M

L(x, y) ∧ α

Agora, mostraremos que L(x, y) e uma forma de enlacamento em M . Seja

ε > 0 e denotemos por Dn−k1ε a bola de raio ε em Rn−k1 . Se o fibrado normal

de Si em M e trivial, podemos tomar Wi como a imagem de Si ×Dn−kiε pelo

difeomorfismo dado pela aplicacao exponencial geodesica restrita ao fibrado

normal de Si em M . As coordenadas compatıveis com estes produtos serao

denotadas por (p, a) e (q, b) para W1 e W2 respectivamente. Escolhendo

as classes de Thom como representantes, no fibrado respectivo, do dual de

Poincare ηi de Si com supp(ηi) ⊂ (Wi) temos para cada p ∈ Wi

∫

p×Dn−k1ε

exp∗ηi = 1.

Entao, se α1 e primitiva de η1, por (5.4) temos

lk(S1, S2) =

∫

M

α1 ∧ η2

=

∫

x∈M

(H(α1)(x)− dh(x) +

∫

y∈M

L(x, y) ∧ η1) ∧ η2(x).


DBD



As integrais ∫

M

H(α1) ∧ η2 e

∫

M

dh ∧ η2

se anulam pelo teorema de Stokes ja que η2 e exata e dH(α1) = 0. Como ηi

tem suporte em Wi obtemos

lk(S1, S2) =

∫

x∈W2

(

∫

y∈W1

L(x, y) ∧ η1) ∧ η2(x)

Como W1 e W2 sao disjuntas, L(x, y) e suave em W2. Para ε suficientemente

pequeno

lk(S1, S2) =

∫

(q,b)∈W2

(

∫

(p,a)∈W1

(L((p, 0), (q, 0)) + O(ε)) ∧ η1) ∧ η2(x)

=

∫

(q,b)∈W2

(

∫

p∈S1

(L(p, (q, 0)) + O(ε))) ∧ η2(x)

=

∫

q∈S2

∫

p∈S1

L(p, q) + O(ε)

Como ε pode ser arbitrariamente pequeno, segue o resultado.

No caso em que o fibrado normal de Si nao e trivial, uma calculacao

semelhante, onde Wi e a imagem pela aplicacao exponencial dos vetores

normais a de norma menor ou igual a ε, da o mesmo resultado. 2

6.3

Indice de enlacamento para ciclos singulares em M

Podemos estender o ındice de enlacamento a cadeias e ciclos singulares

em M . Lembremos que um k-simplexo singular em M e uma aplicacao

σ : 4k → M , a qual podemos supor suave sem perda de generalidade, onde

4k e o k simplexo canonico, o menor conjunto convexo que comtem os pontos

e1, e2, .., ek+1 da base canonica em Rk+1. Uma k-cadeia e uma combinacao

linear c =∑

i = 1laiσi, de um numero finito de k-simplexos σ1, σ2, ..σl em M

com coeficientes ai ∈ R. O bordo ∂c de uma k-cadeia c e uma (k − 1)-cadeia

(vide [BT], §15, para a definicao), e c e um k-ciclo se ∂c = 0.No caso de um

k-simplexo σ : 4k → M , definimos∂

∂ti:=

∂F

∂ti. Seja g a metrica em M . Se

gij = g(∂

∂ti,

∂

∂tj) e g = det[gij] entao definimos como no caso de variedades

vol =√

gdt1..dtk, (6-10)

uma k-forma singular a qual chamaremos a forma de volume singular em C.

Agora, se para cada p ∈ C aplicarmos Gram-Schmidt a ∂

∂t1(p), ..,

∂

∂tk(p) ob-

temos X1(p), .., Xk(p) (possivelmente algum Xi(p) nulo), que sera chamado


DBD



de sistema ortonormal singular em C e definiremos o k-campo unitario singular

por N := X1 ∧ .. ∧Xk. Notemos como no caso de variedades que

∂

∂t1∧ .. ∧ ∂

∂tk=√

gN

Sejam C1 um k-ciclo e C2 um s-ciclo em M , onde r + s = n − 1, e suponha

que sejam disjuntas . Se C1 e C2 sao de homologia nula entao podemos definir

o ındice de enlacamento de C1 e C2 pela integral

lk(C1, C2) =

∫

x∈C1

∫

y∈C2

L(x,y).

Este ındice de enlacamento coincide com o usual sempre que C1 e C2 sejam

sub-variedades orientadas em M . Agora, suponha que M = Rn e sejam N1

e N2 o k-campo unitario singular em C1 e o s-campo unitario singular em

C2, respectivamente. Entao como no caso de sub-variedades em Rn podemos

definir

lk(C1, C2) =

∫

p∈C1

∫

q∈C2

L(p,q)

=

∫

p∈C1

∫

q∈C2

(p− q)×N1(p) ·N2(q)

‖p− q‖nvolpvolq. (6-11)

A integral esta bem definida porque o conjunto onde cada Ni se anula e

mensuravel.

Para finalizar este capıtulo definiremos classes especiais de cadeias sin-

gulares e criaremos uma notacao propria para estes ja que serao de muita

importancia no proximo capıtulo para poder definir o ındice de enlacamento

assintotico para acoes que preservam volume numa variedade riemanniana.

Chamaremos de k-retangulo canonico a qualquer k-retangulo da forma

Γ = [0, T1] × .. × [0, Tk] que sera denotada por Γ. Denotaremos por Γi

ao (k − 1)- retangulo [0, T1] × ..[0, Ti].. × [0, Tk]. As faces de Γ serao de-

finidas pelas aplicacoes (t1, .., ti−1, ti+1, .., tk) 7→ (t1, .., ti−1, 0, ti+1, .., tk) e

(t1, .., ti−1, ti+1, .., tk) 7→ (t1, .., ti−1, Ti, ti+1, .., tk) de Γi em Γ e serao denotadas

por ∂i0Γ e ∂i1Γ, respectivamente. Uma aplicacao suave F : Γ → M sera cha-

mada de k-retangulo singular em M e as restricoes de F a ∂0i Γ e a ∂1

i Γ serao

chamadas de i0-bordo de C e de i1-bordo de C e denotadas por ∂i0C e ∂i1C,

respectivamente. Uma k-cadeia singular da forma∑m

i=1 aiCi, onde Ci e um

k retangulo singular em M , sera chamada de k-cadeia retangulo singular em

M . Se C e um k-retangulo singular em M o bordo de C sera a (k − 1)-cadeia

retangulo ∂C =∑k

i=1(−1)i(∂0i C − ∂1

i C). Duas aplicacoes suaves do tipo

F : Γ1 → M e G : Γ2 → M , onde Γi e k-retangulo canonico, representam o


DBD



mesmo k-retangulo singular em M si existe difeomorfismo θ : Γ1 → Γ2 que

preserva orientacao tal que G θ = F .

←↓ ↑Γ

∂02Γ

−∂12Γ

−∂01Γ ∂1

1Γr0r → r

T1

rT2 r−→F

rF(0,0)

C

∂02C

−∂12C ←

−∂01C ∂1

1C

rF(T1,0)

rF(T1,T2)

rF(0,T2)

k=2, Γ um retangulo e C um 2-retangulo singular.

Seja R um k-retangulo singular definida por F : Γ → Ωn, onde Ω e uma

regiao compacta e convexa em Rn O cone C(R) gerado por R de vertice p ∈ Ωn

e o (k + 1)-retangulo singular em M definida pela aplicacao

F : [0, T1]× ..× [0, Ts]× [0, 1] → Ωn

(t1, .., tk, t) 7→ (1− t)F (t1, .., tk) + tp

Como Ωn e convexa, segue-se que F esta bem definida. Agora, se C =m∑

i=1

aiCi

e uma s-cadeia tal que cada Ci e um k-retangulo singular entao a piramide

gerado por C de vertice p e a (k + 1)-cadeia retangulo C(C) =m∑

i=1

aiC(Ci).

Exemplo 6.7R

rα(0)

rα(T1)

rp

−→Rrα(0)

rα(T1)

rp

HHH¡

¡¡

AA

AA

¢¢¢¢

Naturalmente, C(0) = 0. Em particular, se R e um k-retangulo entao nao

e dificil mostrar que

∂C(R) = (−1)k+1(R− p) + C(∂R), (6-12)

onde p e o k-retangulo constante e C(R) e a piramide gerada por ∂R. Em

particular, se ∂R e o bordo do k-retangulo R entao ∂(C(∂R)) = (−1)k∂R,

como veremos a seguir. De fato, sendo ∂R =∑k

i=1(−1)i[∂0i R−∂1

i R] temos que

C(∂R) =k∑

i=1

(−1)i[C(∂0i R)− C(∂1

i R)].


DBD



Logo, pela linearidade de ∂ temos

∂(C(∂R)) =k∑

i=1

(−1)i[∂C(∂0i R)− ∂C(∂1

i R)].

Agora, sabendo que ∂ji R e um (k − 1)-retangulo temos pela formula (6-12)

∂(C(∂R)) =k∑

i=1

(−1)i[(−1)k

(∂0

i R− p)

+ C(∂∂0i R)− (−1)k

(∂1

i R− p)− C(∂∂1

i R)]

=k∑

i=1

(−1)i[(−1)k

(∂0

i R− p− ∂1i R + p

)+ C(∂∂0

i R)− C(∂∂1i R)

]

= (−1)k

(k∑

i=1

(−1)i[∂0i R− ∂1

i R]

)+

k∑i=1

(−1)i[C(∂∂0i R)− C(∂∂1

i R)]

= (−1)k

(k∑

i=1

(−1)i[∂0i R− ∂1

i R]

)+ C

(∂

(k∑

i=1

(−1)i[∂0i R− ∂1

i R]

))

= (−1)k∂R + C(∂2(R))

= (−1)k∂R.

k = 2R

C(∂R)

p


DBD


7

Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas

Sejam M uma variedade riemanniana compacta, orientada e L(x,y) a

forma dupla de enlacamento nesta variedade como foi definida na secao

anterior. Neste capıtulo usaremos L(x,y) para definir ındices de enlacamento

associadas a acoes de Rk de difeomorfismos que preservam volume em M .

Os objetos geometricos que enlacaremos serao geradas pelas orbitas da acao.

Consideraremos estes objetos sendo k-cadeias singulares em M , ja que uma

orbita de uma acao nao esta necessariamente imersa em M .

7.1

Indice de Enlacamento Assintotico de uma Acao de Rk e uma sub-variedade

Seja M uma n-variedade riemanniana compacta, orientada, completa

com Hk(M) = 0. Sejam Φ uma acao de Rk em M de difeomorfismos que

preservam volume e S uma sub-variedade de M de dimensao s, fechada, sem

bordo e de homologia nula, k + s = n − 1. Para cada ponto q ∈ N existe

uma unica orbita que passa por q e como cada orbita de Φ e uma variedade

imersa em M de dimensao menor ou igual a k, temos que o conjunto de

pontos cujas orbitas interceptam S e de medida nula em M . Logo, cada p

no complemento deste conjunto de medida nula tem sua orbita enlacando-se

em torno de S. Assim, e natural pensar em definir, se e possıvel, um ındice

que meca o enlacamento das orbitas de Φ com a sub-variedade S. No que

segue, cada k-uplo (T 1, .., T k) ∈ (R+)k, R+ = (0, +∞) sera relacionado o k-

retangulo canonico Γ = [0, T 1] × .. × [0, T k]. A orbita de Φ de perıodo Γ que

passa por p ∈ M , isto e Φ(t1,..,tk)(p); (t1, .., tk) ∈ Γ, sera denotada por ϑ(p,Γ)

e considerada um k-retangulo singular em M .

Seja Σk um conjunto de k-cadeias singulares em M satisfazendo as

seguintes propriedades:

1. Para cada ϑ(p,Γ) existe uma unica σ(p,Γ) em Σk tal que ∂ϑ(p,Γ) = ∂σ(p,Γ).


DBD


Capıtulo 7. Indice de Enlacamento Assintotico para Acoes de Rk emVariedades Riemannianas 68

2. Existe subconjunto Θ ⊂ (R∗)n mensuravel, cujo complemento tem

medida nula, tal que para cada (T 1, T 2, .., T k) ∈ Θ o conjunto

OΓ := p ∈ M ; σ(p,Γ) ∩ S 6= ∅

tem medida nula em M .

3. As σ(p,Γ) em Σk variam continuamente em medida no sentido de que para

cada (T 1, T 2, .., T k) ∈ Θ a funcao hΓ : M → R, definida por

hΓ(p) =1

T 1..T k

∫

x∈σ(p,T )

∫

y∈S

L(x, y),

e uma funcao em L1(M),isto e,∫

p∈M|hΓ(p)|vol < ∞.

4. A famılia de funcoes hΓ converge em L1(M) para a funcao identica-

mente nula, isto e,

limT 1,..,T k→∞

∫

p∈M

|hΓ(p)|vol = 0. 2

Definicao 7.1 Todo conjunto Σ de k-cadeias singulares em M que satisfaz as

condicoes 1,2,3 e 4 anteriores sera chamado de sistema de k-volumes singulares

pequenos de enlacamento associados a Φ e S.

Enlacamentos na bola unitaria Ωn

Seja Ωn a bola unitaria fechada em Rn e fixemos o ponto p ∈ Ωn.

Para cada k-retangulo singular R em Ωn definiremos a k-cadeia singular

σ(R) := (−1)kC(∂R) sendo a piramide gerada por ∂R de vertice p, como

foi definida na ultima secao.

k = 2R

σ(R)

p


DBD



Definamos Σ(p) := σ(R) ; R e um k-retangulo singular em Ωn. Cha-

maremos este conjunto de k-cadeias estreladas com vertice em p.

Teorema 7.2 Seja p um ponto no complemento de S em Ωn. Entao Σ(p) e

um sistema de k-volumes singulares pequenos de enlacamento associados a Φ

e S. Σ(p) independe de Φ.

Prova: Sejam p ∈ Ωn e Γ um k-retangulo canonico quaisquer.

1. Como ϑ(p,Γ) e um k-retangulo singular em Ωn, temos que σ(ϑ(p,Γ)) ∈Σ(p). Por construcao ∂C(∂ϑ(p,Γ)) = (−1)k∂(ϑ(p,Γ)). Logo, se σ(p,Γ) := σ(ϑ(p,Γ)),

entao por definicao de σ(ϑ(p,Γ)) temos que

∂σ(p,Γ) = (−1)k∂C(∂ϑ(p,Γ)) = ∂ϑ(p,Γ).

Assim Σ(p) satisfaz a propriedade 1.

Para provar que Σ(p) satisfaz as condicoes 2,3 e 4, sendo

σ(p,Γ) =k∑

i=1

(−1)i+k(C(∂0i ϑ(p,Γ))− C(∂1

i ϑ(p,Γ)))

mostraremos que estas condicoes sao satisfeitas para cada famılia C(∂ji ϑ(p,Γ)).

Neste caso, sera suficiente mostrar para uma unica famılia, ja que o resto se

mostra de maneira analoga. Em particular, seja σ(k,0)(p,Γ) := C(∂0

kϑ(p,Γ)) a piramide

gerada por ∂0kϑ(p,Γ) de vertice p, isto e, a k-cadeia definida pela aplicacao

F(k,0)(p,Γ) : Γk × [0, 1] → Ωn,

F(k,0)(p,Γ) (t1, .., tk−1, u) = (1− u)Φ(t1,..,tk−1,0)(p) + up.

2. Fixemos ~t = (t1, .., tk−1) ∈ Γk e definamos a homotopia

Hu~t

:= (1− u)H0~t− uH1

~t, t ∈ [0, 1],

onde H0~t

:= Φ(t1,..,tk−1,0) e H1~t(p) = p, ∀p ∈ Ωn. Seja O

(k,0)Γ := p ∈

Ωn; σ(k,0)(p,Γ) ∩ S 6= ∅. Notemos que

O(k,0)Γ = (Hu

~t)−1(S); (t1, .., tk−1, t) ∈ Γk × [0, 1) ⊂ Rk.

Sendo (Hu~t)∗(vol) = (1 − u)vol, ja que Φ(t1,..,tk−1,0) preserva volume, entao

(Hu~t)−1(S) e uma s-subvariedade em Ω. Assim, O

(k,0)Γ tem no maximo dimensao

k + s = n − 1. Logo, O(k,0)Γ tem medida nula em Ωn, mostrando assim a

propriedade 2 e neste caso Θ = (R+)k.

3. Seja (t1, .., tk−1, u) ∈ Γk × [0, 1]. Notemos que


DBD



‖F (k,0)(p,Γ) (t1, .., tk−1, u)−F

(k,0)(q,Γ) (t1, .., tk−1, u)‖ ≤ ‖Φ(t1,..,tk−1,0)(p)−Φ(t1,..,tk−1,0)(q)‖.

Logo, sendo Φ uma aplicacao suave e considerando em C∞(Γk × [0, 1], Ωn)

a topologia induzida pela norma do supremo temos que p 7→ F(p,Γ) e uma

aplicacao contınua de Ωn em C∞(Γk× [0, 1], Ωn). Disto e sendo L(x,y) suave no

complemento da diagonal (q, q); q ∈ Ωn em Ωn × Ωn temos

h(k,0)Γ (p) :=

1

T 1..T k

∫

x∈σ(k,0)(p,Γ)

∫

y∈S

L(x,y)

e continua no complemento de O(k,0)Γ que tem medida nula. Assim, h

(k,0)Γ pode

ser considerada uma funcao mensuravel de domınio Ωn.

Agora, mostraremos que∫

p∈Ωn |h(k,0)Γ (p)|vol < ∞. Seja X =

(X1, X2, .., Xk) ∈ gk, como definido no capıtulo 3, tal que A(X) = Φ.

Notemos que∂F

(k,0)(p,Γ)

∂ti(t1, .., tk−1, u) = (1−u)X i(Φ(t1,..,tk−1,0)(p)), i = 1, .., k−1.

Sendo X i campo vetorial definido no domınio compacto Ωn existe A tal

que ‖X i‖ ≤ A, ∀i. Logo ∀i ∈ 1, .., k − 1, ∀p ∈ Ωn e para todo Γ

temos que ‖∂F

(k,0)(p,Γ)

∂ti‖ ≤ A e tambem ‖

∂F(k,0)(p,Γ)

∂u‖ ≤ 2. Como S e com-

pacta, podemos supor que esta definida por um atlas finito da forma

θi : [0, 1]r → Si ⊂ S, (ri1, , , .r

is) 7→ θi(r

i1, .., r

is)i∈1,2,..,m tal que existe

B > 0 tal que ‖∂θi

∂rij

‖ ≤ B, ∀i, j. Seja fi : S → [0, 1]i∈1,2,..,m uma particao

de unidade com respeito a este atlas, note que ‖fi‖ ≤ 1, ∀i. Definamos

h(k,0)(Γ,i)(p) =

1

T 1..T k

∫

x∈σ(k,0)(p,Γ)

∫

y∈Si

fi(y)L(x,y).

Entao h(k,0)Γ =

m∑i=1

h(k,i)(Γ,i). Logo, por (6-11), (6-6) e como σ

(k,0)(p,Γ) esta definida por

F(k,0)(p,Γ) , podemos escrever

h(k,0)(Γ,i)(p) =

1

T 1..T k

∫

Γi

∫ 1

0

∫

(0,1)r

fi

[F

(k,0)(p,Γ) − θi,

∂F(k,0)(p,Γ)

∂t1, ..,

∂F(k,0)(p,Γ)

∂u, ..,

∂θi

∂ris

]

‖F (k,0)(p,Γ) − θi‖n

dυk−1dudυr,

onde dυk−1 e dυs sao as formas de volume em Rk−1 e Rs, respectivamente, F(k,0)(p,Γ)

definida em Γi×[0, 1] e fi, θi definidas em (0, 1)r. Como o valor absoluto de um

determinante e menor ou igual ao produto das normas de seus vetores linhas


DBD



e ‖f‖ ≤ 1, temos que

∫

p∈Ωn

|h(k,0)(Γ,i)(p)| vol ≤ 1

T1..Tk

∫

p∈Ωn

(

∫

Γi

∫ 1

0

∫

(0,1)r

2Ak−1Br

‖F (k,0)(p,Γ) − θi‖n−1

dυk−1dudυr) vol.

Agora, para ~t = (t1, .., tk−1) fixo a homotopia H t~t

= F(k,0)(p,Γ) (t1, .., tk−1, u)

geometricamente deforma Ωn no ponto p. Como p nao pertence a S, existem

δi ∈ (0, 1] e uma constante Di > 0 tal que ∀p ∈ Ωn, ∀q ∈ S temos que

‖F (k,0)(p,Γ) (t1, .., tk−1, u)− q‖ ≥ Di , ∀(t1, .., tk−1) ∈ Γk, ∀u ∈ [δ, 1].

Daqui, segue que

I1 :=1

T1..Tk

∫

p∈Ωn

(

∫

Γk

∫ 1

δi

∫

[0,1]r

2Ak−1Br

‖F (k,0)(p,Γ) − θi‖n−1


≤ 1

T1..Tk

∫

p∈Ωn

(

∫

Γk

∫ 1

δi

∫

[0,1]r

2Ak−1Br

Dn−1i

dυk−1dudυr) vol

=2Ak−1Brvol(Ωn)

Dn−1i Tk

Agora, notemos que para cada q ∈ Ωn a funcao p 7→ 1

‖p− q‖n−1e integravel.

Portanto, a funcao definida em Ωn por q 7→∫

p∈Ωn

1

‖p− q‖n−1vol e continua.

Logo, existe constante E > 0 tal que∫

p∈Ωn

1

‖p− q‖n−1vol ≤ E ∀q ∈ Ωn. (7-1)

Daqui, aplicando Fubini, sendo (Hu~t)∗(vol) = (1 − u)vol e notando que

1

1− u≤ 1

1− δse 0 < u ≤ δ < 1 temos que

I2 :=1

T 1..T k

∫

p∈Ωn

(

∫

Γk

∫ δi

0

∫

(0,1)r

2Ak−1Br

‖F (k,0)(p,Γ) − θi‖n−1


=1

T 1..T k

∫

Γk

∫

(0,1)r

∫ δi

0

(

∫

p∈Ωn

2Ak−1Br

‖H t~t(p)− θi‖n−1

vol)dudυk−1dυr

=1

T 1..T k

∫

Γk

∫

(0,1)r

∫ δi

0

1

(1− u)n(

∫

p∈Ωn

2Ak−1Br

‖H t~t(p)− θi‖n−1

(Hu~t)∗(vol))dudυk−1dυr

=1

T 1..T k

∫

Γk

∫

(0,1)r

∫ δi

0

1

(1− u)n(

∫

p∈(Hu~t

)∗Ωn

2Ak−1Br

‖p− θi‖n−1vol)dudυk−1dυr


DBD



≤ 1

T 1..T k

∫

Γk

∫

(0,1)r

∫ δi

0

2Ak−1BrE

(1− δi)ndudυk−1dυr

=2Ak−1BrE

(1− δi)nT k

Como

I1 + I2 =1

T 1..T k

∫

p∈Ωn

(

∫

T (k−1,k)

∫ 1

0

∫

[0,1]s

2Ak−1Br

‖F (k,0)(p,Γ) − θ‖n−1

dυk−1dudυs) vol,

temos que

∫

p∈Ωn

|h(k,0)(Γ,i)(p)| vol ≤ I1 + I2 ≤ 2Ak−1Br

T kvol(Ωn)

Dn−1i

+E

(1− δi)n < ∞, ∀i

Como∫

p∈Ωn |h(k,0)Γ (p)|vol ≤ ∑m

i=1

∫p∈Ωn |h(k,0)

(Γ,i)(p)|vol, temos que Σ(p) satisfaz a

condicao 3.

4. A condicao 4 e satisfeita da relacao

∫

p∈Ωn

|hk0Γ (p)|vol ≤

m∑i=1

∫

p∈Ωn

|h(k0,i)Γ (p)|vol ≤ 2Ak−1Br

T k

m∑i=1

vol(Ωn)

Dn−1i

+E

(1− δi)n

e do fato que T k →∞ . 2

Pela propriedade 1 de Σ(p), a cada ϑ(p,T (k)) podemos associar a k-cadeia

singular sem bordo ϑ(p,Γ) := ϑ(p,Γ) − σ(p,Γ). Como Hk(Ω) = 0, temos que

ϑ(p,Γ) e de homologia nula.

k = 2ϑ(p,T )

rp r

p1

rp3

rp2

σ(p,T )

rp r

p1

rp3

rp2

rp


DBD



ϑ(p,T ) = ϑ(p,T ) − σ(p,T )

rp r

p1

rp3

rp2

rp

Seja O ⊂ Ωn o conjunto de pontos cujas orbitas interceptam S. No inıcio

desta secao vimos que O tem medida nula. Fixemos Γ. Seja ΩΓ o complemento

de O∪OΓ. Para cada p ∈ ΩΓ temos que ϑ(p,Γ) ∩N = ∅. Logo, podemos definir

em ΩΓ a funcao contınua

lkΓ(p) =1

T 1..T klk(ϑϕ

( p, T ), S).

Sendo o complemento de ΩΓ de medida nula podemos considerar lkΓ como

uma funcao mensuravel definida em Ωn.

Proposicao 7.3 O limite

lk(p) = limT 1,..,T k→∞

lkΓ(p) = limT 1,..,T k→∞

1

T 1..T klk(ϑ(p, Γ), S)

existe no sentido L1 e define uma funcao integravel que nao depende da escolha

do sistema Σ de k-volumes singulares pequenos de enlacamento associados a

Φ e S.

Prova: Sejam X1, .., Xk os campos vetoriais em Ωn de divergencia nula associ-

ados a Φ e N o s-campo unitario em S que define a sua orientacao. Definamos

X := X1 ∧ .. ∧Xk k-campo em Ωn. Para cada p no complemento de S em Ωn

definamos a s-forma suave α(p) em S

(α(p))q :=(−1)k

an

(q − p)×X(p) · Y (q)

‖q − p‖nvolq

Logo, a funcao f definida por f(p) :=∫

Sα(p) e uma funcao contınua no

complemento de S em Ωn. Como S tem medida nula em Ωn a funcao f pode

ser considerada uma funcao mensuravel em Ωn. Aplicando Fubini, podemos

mostrar que f e uma funcao em L1(Ωn). Por outro lado, na k-cadeia ϑ(p, Γ)

temos que o i-esimo vetor tangente coordenado∂

∂tie igual a X i(Φ(t1,t2,..,tk)(p),


DBD



logo∂

∂t1∧ .. ∧ ∂

∂tk= X(ϕ(t1,..,tk)(p)).

Lembremos que podemos definir o k-campo unitario singular N de ϑ(p,Γ) pela

igualdade∂

dt1∧ .. ∧ ∂

dtk=√

gN ,

onde g = ‖ ∂

dt1∧ .. ∧ ∂

dtk‖ e ‖N‖ = 1 se os

∂

dtisao linearmente independentes

e e 0 caso contrario. Logo, pela formula (6-5) e sendo dt1..dtk =√

gvol temos

que

∫

x∈ϑ(p,Γ)

∫

q∈S

L(x,y) =(−1)k

an

∫

x∈ϑ(p,Γ)

∫

y∈S

(q − x)× N(x) ·N(q)

‖q − x‖nvolxvolq

=(−1)k

an

∫

x∈ϑ(p,Γ)

(∫

y∈S

(q − x)×X(x) ·N(q)

‖q − x‖nvolq

)dt1..dtk

=

∫

x∈ϑ(p,Γ)

∫

y∈S

αx(y))dt1..dtk

=

∫ Tk

0

..

∫ T1

0

∫

y∈S

α(Φ(t1,..,tk)(p))dt1..dtk

=

∫ Tk

0

..

∫ T1

0

f(ϕ(t1,..,tk)(p))dt1..dtk.

Logo,

lkΓ(p) =1

T1..Tk

∫

x∈ϑ(p,Γ)

∫

y∈N

L(x,y)

=1

T1..Tk

∫

x∈ ϑ(p,Γ)−σ(p,Γ)

∫

y∈S

L(x,y)

=1

T1..Tk

∫

x∈ϑ(p,Γ)

∫

y∈S

L(x,y) − 1

T1..Tk

∫

x∈σ(p,Γ)

∫

y∈S

L(x,y)

=1

T1..Tk

∫ T1

0

..

∫ Tk

0

f(ϕ(t1,..,tk)(p))− 1

T1..Tk

∫

x∈σ(p,Γ)

∫

y∈S

L(x,y).

Assim pelo teorema ergodico para acoes, teorema 3.13, e condicao 4 do sistema

de k-volumes singulares pequenos de enlacamento temos que lkΓ converge no

sentido L1 para uma funcao lk que satisfaz

∫

p∈Ωn

lk vol =

∫

p∈Ωn

f(p) vol. 2

Definicao 7.4 O ındice lk(Φ, S) :=∫Ωn lk vol sera chamado o ındice de

enlacamento assintotico da k-acao Φ e a subvariedade S.


DBD



Lembremos que no capıtulo 3 definimos o invariante de Hopf I(Φ, S) =∫S

α, onde dα = IXvol e X e o k-campo associado a Φ.

Teorema 7.5 Seja Φ uma k-acao de difeomorfismos que preservam volume

em Ωn, e S uma s-variedade compacta, sem bordo e mergulhada em Ωn,

k + s = n− 1. Entao o ındice de enlacamento assintotico lk(Φ, S) satisfaz

lk(Φ, S) = I(Φ, S)

Prova: Sejam X1, .., Xk os campos vetoriais de divergencia nula associadas a

ϕ , X = X1 ∧ .. ∧ Xk o k-campo associado a Φ e η = iXvol. O teorema

generalizado de Biot-Savart garante que rot(BS(X)) = X. Pelo teorema

generalizado de Biot-Savart temos que

X1 ∧ .. ∧Xk = rot(BS(X1 ∧ .. ∧Xk)).

Logo, pela definicao de rotacional temos

d(j(BS(X))) = irot(BS(X))vol = iXvol = η.

Logo α := j(BS(X)) e uma forma diferencıavel que satisfaz dα = η. Por

teorema 4.13 e resultado do teorema anterior temos que

lk(Φ, S) =

∫

p∈Ωn

lk(p)vol =

∫

p∈Ωn

f(p)vol =

∫

p∈Ωn

(

∫

S

α(p))vol.

Entao, por definicao da forma αp e aplicando Fubini temos que por definicao

do campo BS(X1 ∧ ..∧Xk) = BS(X), por definicao do operador j e notando

que em N temos que α = α(Y )vol , temos

lk(Φ, S) =(−1)k

an

∫

p∈Ωn

∫

q∈S

(q − p)×X(p) · Y (q)

‖q − p‖nvolqvolp

=

∫

q∈S

(−1)k

an

∫

p∈Ωn

((p− q)

‖p− q‖n×X(p)volp) · Y (q)volq.

Agora, por definicao do campo BS(X) e definicao do homomorfismo j temos

que

lk(Φ, S) =

∫

q∈N

BS(X)(q) · Y (q)volq

=

∫

q∈N

j(BS(X))q(Y (q))volq


DBD



Logo, como α = j(BS(X)) e notando que α(Y )vol = α ja que Y e unitario

temos

lk(Φ, S) =

∫

N

αq(Y (q))volq

=

∫

N

α

Finalmente por definicao de I(Φ, S) temos que

lk(Φ, S) = I(Φ, S). 2

Exemplo 7.6

Sejam X(x, y, z, w) = (y,−x, 0, 0) e Y (x, y, z, w) = (0, 0, w,−z) campos

vetoriais de divergencia nula em Ω4. Sejam

ϕXs (x, y, z, w) = (rsin(α + s), rcos(α + s), z, w), r = (x2 + y2)

12 e α = arctan(

x

y)

ϕYt (x, y, z, w) = (x, y, lsin(α + t), lcos(β + t)), l = (z2 + w2)

12 e β = arctan(

z

w)

os fluxos de X e Y , respectivamente. Notemos que as orbitas de X e Y sao

fechadas e de periodo 2π. Como [X, Y ] = 0, existe 2-acao Φ de R2 em Ω4

associado a (X, Y ). Observemos que Φ esta definida por

ϕ(s,t)

(x, y, z, w) = ϕYt ϕX

s (x, y, z, w)

= ϕYt (ϕX

s (x, y, z, w))

= ϕYt (rsin(α + s), rcos(α + s), z, w)

= (rsin(α + s), rcos(α + s), lsin(β + t), lcos(β + t)).

As orbitas de Φ sao fechadas de periodo [0, 2π]× [0, 2π]. Notemos que

iX∧Y

dvol = iYi

Xdvol = ywdydw + xwdxdw + yzdydz + xzdxdz

e que a 1-forma α = (x2+y2

2)(zdz + wdw) satisfaz dα = i

X∧Yvol. Agora, Seja

S o cırculo no primeiro quadrante do yz-plano centrada no ponto (0, y0, z0, 0)


DBD



de raio R. Logo, γ(t) = (0, y0 + Rcos(t), z0 + Rsin(t), 0) parametriza S.

I(Φ, S) =

∫

N

α

=1

2

∫ 2π

0

(y0 + Rcos(t))2(z0 + Rsin(t))Rcos(t)dt

=1

2

∫ 2π

0

Rcos(t)(y20 + 2Ry0cos(t) + R2cos2(t))(z0 + Rsin(t))dt

Como estamos integrando ao longo de um perıodo, temos que a integracao se

anula para todos os somandos excepto para cos2(t). Assim

I(Φ, S) =1

2

∫ 2π

0

2R2y0z0cos2(t)dt = R2y0z0π.

Por outro lado, no caso de enlacamentos, consideremos o disco D no yz-

plano tal que ∂D = S. Notemos que uma orbita ,ao longo de um periodo,

(s, t) 7→ (rsin(α + s), rcos(α + s), lsin(β + t), lcos(β + t)) , pode interceptar

D se rsin(α + s) = lcos(β + t) = 0 , isto e, se s ∈ −α, π − α e

t ∈ π2−β, 3π

2−β Como D esta contido no primeiro quadrante um retangulo de

orbita(um perıodo) se intercepta a D vai intercepta-lo somente num ponto da

forma (0, r, l, 0). Como na integral de enlacamento o somando correspondente

as areas pequenas nao e significativo somente calcularemos os enlacamentos

no retangulos de orbitas que em nosso caso sao fechados. Em particular, se

T1 = [0, 2π]× [0, 2π] temos que

lkΓ(p) =

1

2π2πlk(ϑΦ(p, Γ), N) =

1

2π2πse ϑΦ(p, Γ) ∩D 6= ∅

0 se ϑΦ(p, Γ) ∩D = ∅.

Sabendo que o ındice de enlacamento assintotico independe da sequencia

de perıodos escolhida podemos escolher em particular a sequencia Γn =

[0, 2nπ] × [0, 2nπ]. Notemos que ϑΦ(p, Γn) e um retangulo de orbita fechado

formada por n2 copias do toro ϑΦ(p, Γ) logo

lkΓn

(p) =1

2nπ2nπlk(ϑΦ(p, Γn), N) =

n2

2nπ2nπ= 1

2π2πse ϑΦ(p, Γn) ∩D 6= ∅

0 se ϑΦ(p, Γn) ∩D = ∅.

Note que Ω :=⋃q∈D

ϑΦ(q, Γn) = p ∈ Ω4; ϑΦ(p, Γn) ∩ D 6= ∅. Agora, como

(r, s) 7→ (0, y0 + rcos(s), z0 + rcos(s), 0) e uma parametrizacao de D entao

ρ(r, s, t, u) definido por

((y0+rcos(s))cos(t), (y0+rcos(s))sin(t), (z0+rcos(s))cos(u), (z0+rcos(s))sin(u))


DBD



e uma parametrizacao de Ω. Fazendo as contas necessarias temos que a forma

de volume nesta parametrizacao e r(y0+rcos(s))(z0+rsin(s))drdsdtdu. Assim,

∫

p∈Ω4

lkΓn

(p)dvol =

∫

p∈Ω

lkΓn

(p)dvol

=

∫

p∈Ω

1

4π2dvol

=1

4π2vol(Ω)

=1

4π2

∫ R

0

∫ 2π

0

∫ 2π

0

∫ 2π

0

r(y0 + rcos(s))(z0 + rsin(s))drdsdtdu

=1

4π2

∫ R

0

∫ 2π

0

4π2r(y0 + rcos(s))(z0 + rsin(s))drds

=

∫ R

0

∫ 2π

0

ry0z0drds

= y0z0R2π

Como

∫

p∈D4

lkΓn

(p)dvol e constante ∀n entao

lk(Φ, S) = y0z0R2π = I(Φ, S).

7.2

Indice de Enlacamento Assintotico entre Acoes de Rk

Seja M variedade riemanniana orientada, compacta e conexa. Sejam Φ

uma acao de Rk em M e Ψ uma acao de Rs em M de difeomorfismos que

preservam volume, onde k+s = n−1. Notemos que as Φ-orbitas sao variedades

imersas em M de dimensao no maximo k. Agora, por cada ponto de uma Ψ-

orbita ϑΨ passa uma unica Φ-orbita . Logo, o conjunto de pontos das Φ-orbitas

que interceptam a ϑΨ tem medida nula em M . Assim, existe subconjunto de

M , com volume igual ao de M , tal que cada ponto deste conjunto tem sua

Φ-orbita enlacando-se ao redor de ϑΨ. O recıproco tambem acontece com uma

Φ-orbita ϑΦ e a acao Ψ. Logo, e natural pensar em definir um ındice que meca

o enlacamento medio das orbitas de Φ com as orbitas de Ψ. No que segue,

denotaremos por Γ o k-retangulo canonico [0, T 1] × .. × [0, T k] e por Υ o s-

retangulo canonico [0, R1] × .. × [0, Rs], usaremos ϑΦ(p,Γ) e ϑΨ

(q,Υ) para denotar

o k-retangulo de orbita Φ(t1,..,tk)(p) ; (t1, .., tk) ∈ Γ e o s-retangulo de orbita

Φ(r1,..,rs)(p) ; (r1, .., rs) ∈ Υ. Sejam Σk conjunto de k-cadeias singulares em

M e Σs conjunto de s-cadeias singulares em M que satisfazem as seguintes

propriedades:

1. Para cada p e q em Ωn, cada k-retangulo canonico Γ e cada s-retangulo


DBD



canonico Υ existem unico σΦ(p,Γ) ∈ Σk e unico σΨ

(q,Υ) ∈ Σs tal que

∂ϑΦ(p,Γ) = ∂σϕ

(p,Γ) e ∂ϑψ(q,Υ) = ∂σψ

(q,Υ).

2. As σΦ(p,Γ) ∈ Σk e as σψ

(q,Υ) ∈ Σs variam continuamente com respeito a

(p, T 1, .., Tk) e com respeito a (q, R1, .., Rs), respectivamente, no comple-

mento de conjuntos de medida nula.

3. Os conjuntos

Ω(Γ,Υ)(Φ,Σs)

= (p, q) ∈ M ×M ; ϑΦ(p,Γ) ∩ σΨ

(q,Υ) 6= ∅ Ω

(Γ,Υ)Σk,Ψ = (p, q) ∈ M ×M ; σΦ

(p,Γ) ∩ ϑΨ(q,Υ) 6= ∅

Ω(Γ,Υ)(Σk,Σs)

= (p, q) ∈ M ×M ; σϕ(p,Γ) ∩ σψ

(q,Υ) 6= ∅

tem medida nula em Ωn × Ωn para cada Γ e Υ fixos.

4. Seja L(p, q) a forma de enlacamento em M . Os limites

limT 1,..,T k,R1,..,Rs→∞

1

T 1..T kR1..Rs

∫

ϑΦ(p,Γ)

∫

σΨ(q,Υ)

L = 0 (7-2)

limT 1,..,T k,R1,..,Rs→∞

1

T 1..T kR1..Rs

∫

σΦ(p,Γ)

∫

ϑΨ(q,Υ)

L = 0 (7-3)

limT 1,..,T k,R1,..,Rs→∞

1

T 1..T kR1..Rs

∫

σΦ(p,Γ)

∫

σΨ(q,Υ)

L = 0 (7-4)

existem na topologia de L1(M)

Definicao 7.7 Todo par (Σk, Σs) satisfazendo as propriedades acima sera

chamado de sistemas de k-volumes e s-volumes pequenos associados a Φ e

Ψ.

Exemplo 7.8

ϑΦ(p, T )

rp

rΦ

T(p)

XXXXXXXXX ©©©©©©©©©

rp

rp

rΦ

T(p)σΦ(p, T )

ϑΦ(p, T )

rp

rΦ

T(p)

XXXXXXXXX©©©©©©©©©

rp


DBD



rr

rr

ϑΨ(q, R)

rq

rΨ

(T1,0)(q)

rΨ

(0,T2)(q)

rΨ

(T1,T2)(q) σΨ(q,R)

r r

r r

r

r

ϑΨ(q,R)

rq

rΨ

(T1,0)(q)

rΨ(0,T2)

(q) r Ψ(T1,T2)(q)

q

r

rr

r

Teorema 7.9 Sejam p e q em ∂Ωn, p 6= q. Entao o par (Σk(p), Σk(q)) formado

pelo sistema de k-cadeias singulares estreladas com vertice em p e o sistema

de s-cadeias singulares com vertice em q sera um sistema de k-volumes e s-

volumes pequenos associados a Φ e Ψ.

Prova: Por construcao como vimos na secao anterior (Σk(p), Σk(q)) satisfazem

as propriedades 1 e 2 de um sistema de volumes pequenos associados a Φ e Ψ.

Agora, para mostrar as propriedades 3 e 4 lembremos que

σΦ(p,Γ) =

k∑i=1

(−1)i+k(C(∂0i ϑ

Φ(p,Γ))− C(∂1

i ϑΦ(p,Γ)));

σΨ(q,Υ) =

k∑i=1

(−1)i+k(C(∂0i ϑ

Ψ(q,Υ))− C(∂1

i ϑΨ(q,Υ))).


DBD



Logo, devemos mostrar que estas propriedades sao satisfeitas para cada famılia

C(∂ji ϑ(p,Γ)). Neste caso, sera suficiente mostrar para uma unica famılia, ja que

no resto se mostra de maneira analoga. Em particular, escolheremos as familias

:

σ(k,0)(p,Γ) := C(∂0

kϑΦ(p,Γ)) ;

σ(s,0)(q,Υ) := C(∂0

kϑΨ(q,Υ)).

Estas cadeias singulares em Ωn sao definidas pelas aplicacoes:

F(k,0)(p,Γ) (~t, u) := (1− u)Φ(~t,0)(p) + up ;

F(k,0)(p,Γ) (~r, t) := (1− t)Φ(~r,0)(q) + tq,

onde ~t′ = (t1, .., tk−1) ∈ Γk, ~r′ = (r1, .., rs−1) ∈ Υs e u, t ∈ [0, 1]. No que segue,

~t := (t1, .., tk1 , tk), ~r := (r1, .., rs1 , rs) e para todo i a medida de Lebesgue e

a forma de volume em Ri serao denotadas por µi e por dµi, respectivamente.

Primeiro mostraremos (7-3). Procedendo analogamente como na demonstracao

da propriedade 3 de sistema de k-volumes pequenos da secao anterior, temos

que existe uma constante C > 0 tal que a integral da formula de enlacamento

nas cadeias singulares σ(k,0)(p,Γ) e ϑΨ

(q,Υ) satisfaz

A(p, q) :=

∣∣∣∣∣∫

x∈σ(k,0)(p,Γ)

∫

y∈ϑΨ(q,Υ)

L(x,y)

∣∣∣∣∣

=

∫ Rs

0

..

∫ R1

0

∫ 1

0

∫ T k−1

0

..

∫ T 1

0

C

‖Ψ~r(q)− F(k,0)(p,Γ) (

~t′, u)‖n−1.

Entao, sabendo que para cada ~r a aplicacao Ψ~r e um difeomorfismo que

preserva volume temos usando tambem a desigualdade (7-1) que

∫

q∈Ω2

∫

p∈Ω1

|A(p, q)| vol(p)vol(q) ≤ ECT k−1..T 1Rs..R1vol(Ω1).

Portanto

1

T 1..T rR1..Rs

∫

q∈Ω2

∫

p∈Ω1

∣∣∣∣∣∫

x∈σ(k,0)(p,Γ)

∫

y∈ϑΨ(q,Υ)

L(x,y)

∣∣∣∣∣ vol(p)vol(q) ≤ ECvol(Ω1)

T k


DBD



mostrando assim 7-3, ja que T k → ∞. Analogamente para (7-2) no caso de

σ(s,0)(p,Υ) temos que existe constante A > 0 tal que

1

T 1..T rR1..Rs

∫

q∈Ω2

∫

p∈Ω1

∣∣∣∣∣∫

x∈ϑΦ(p,Γ)

∫

y∈σ(s,0)(q,Υ)

L(x,y)

∣∣∣∣∣ vol(p)vol(q) ≤ EAvol(Ω2)

Rs.

, O fato de que Rs → ∞ mostra (7-2). Agora para mostrar (7-4) considere-

mos σ(k,0)(p,Γ) e σ

(s,0)(p,Υ). Procedendo como na demonstracao da propriedade 3 da

existencia de volumes pequenos asociados a acoes e sub-variedades podemos

mostrar que existe constante K tal que

A(p, q) :=

∣∣∣∣∣∫

x∈σ(k,0)(p,Γ)

∫

y∈σ(s,0)(p,Υ)

L(x,y)

∣∣∣∣∣

≤∫ 1

0

∫

~r′∈Υs

∫ 1

0

∫

~t′∈Γk

Kdµk−1dudµs−1dt

‖(1− u)Φ(~t′,0)(p) + up− (1− t)Ψ(~r′,0)(q)− tq‖n−1.

Por outro lado, Para cada ~r′ e cada ~t′ as familias de aplicacoes h1u e h2

tdefinidas em Ωn por h1

u(p) = (1−u)Φ(~t′,0)(p)+tp e h2t(q) = (1−t)Ψ(~r′,0)(q)−tq

satisfazem

(h1u)∗(vol) = (1− u)nvol; (h2

t )∗(vol) = (1− t)nvol

Portanto, usando este pullback na integracao e por (7-1) temos que

I1(t, u) :=

∫

p∈Ωn

∫

q∈Ωn

1

‖(1− u)Φ(~t,0)(p) + up− (1− t)Ψ(~r,0)(q)− tq‖n−1vol(p)vol(q)

=1

(1− t)n(1− u)n

∫

p∈(h1u)∗(Ωn)

∫

q∈(h2t )∗(Ωn)

1

‖p− q‖n−1vol(p)vol(q)

≤ E

(1− t)n(1− u)n.

Agora, mostraremos propriedade 3. fixemos Γ e Υ. Seja C uma s-cadeia em

Ωn. Por cada ponto q de C passa uma unica Φ-orbita( k-cadeia ). Entao o

conjunto de pontos que interceptam C e no maximo de dimensao k+r = n−1,

isto e de medida nula em Ωn. Agora, suponha que o conjunto Ω(Γ,Υ)(Φ,Σs)

tem

medida nao nula em Ωn × Ωn. Neste caso, existe um C := σΨ(q,Υ tal que

o conjunto A = p ∈ Ωn; ϑΦ(p,Γ) tem medida nao nula mas isto e um

absurdo ja que notemos que A e um subconjunto de pontos das orbitas que


DBD



interceptam C o qual tem medida nula. Analogo para o conjunto Ω(Γ,Υ)(Σk,Ψ). Para

mostrar o caso ΩΓ,Υ)(Σk,Σs)

de novo suponha que este tenha medida nao nula em

Ωn × Ωn. Entao, existe um σΨ(q,Υ) que nao contem p, o vertice de Σk(p) com a

propriedade que o conjunto B de pontos p tal que σΦ(p,Γ) interceptam σΨ

(q,Υ) tem

medida nao nula em Ωn, mas isto e um absurdo, ja que poderıamos proceder,

usando homotopias, como no caso de secao anterior, de enlacamento de uma

k-acao com uma sub-variedade para mostrar que este conjunto e de medida

nula. 2

Sejam Γ e Υ fixos . No teorema anterior mostramos a existencia de um

sistema de k-volumes e s-volumes associados a Φ e Ψ. Seja U o conjunto de

medida nula que e a uniao dos conjuntos definidos na propriedade 3 de um

sistema de volumes pequenos associados a Φ e Ψ. Seja D(Γ,Υ) o complemento

de U em Ωn × Ωn. Logo podemos definir a funcao lk(Γ,Υ) : D(Γ,Υ) → R por

lk(Γ,Υ)(p, q) =1

T 1..T kR1..Rslk(ϑΦ(p, Γ), ϑΨ(p, Υ)). (7-5)

Observemos que os ϑΦ(p, Γ) variam continuamente com respeito a p e que

os σΦ(p, Γ), pela condicao 2 de Σ, variam continuamente com respeito a p

no complemento de um conjunto de medida nula. Assim, os ϑΦ(p,Γ) variam

continuamente com respeito a p no complemento de um conjunto de medida

nula e podemos afirmar o mesmo para os ϑΨ(q, Υ). Assim , as funcoes lk(Γ,Υ).

sao funcoes mensuraveis definidas em Ωn × Ωn.

Proposicao 7.10 A funcao limite lk : Ωn × Ωn → R definida por

lk(p, q) := limT 1,T k,R1,..,Rk→∞

lk(Γ,Υ)(p, q)

= limT 1,T k,R1,..,Rk→∞

1

T 1..T kR1..Rslk(ϑΦ(p, Γ), ϑΨ(q, Υ). (7-6)

existe na topologia de L1(Ωn×ωn). Alem disso, lk e uma funcao integravel que

independe do sistema de volumes pequenos associados a Φ e Ψ escolhido.

Prova: Sejam X = X1 ∧ .. ∧Xk e Y = Y 1 ∧ .. ∧ Y s o k-campos e o s-campo

de divergencia nula associados a Φ e Ψ, respectivamente. Definamos a funcao

f : Ω1 × Ω2 → R por

f(p, q) :=(−1)k

an

p− q)×X(q) · Y (p)

‖p− q‖n. (7-7)

Observemos que as singularidades de f sao de ordem n − 1 na diagonal

de Ωn × Ωn (Pontos de intercepcao de Ωn e Ωn). Como esta diagonal tem

dimensao n temos que f e uma funcao de valor absoluto integravel, isto e,

f ∈ L1(Ωn×Ωn). usando a formula (2-18) para a forma de enlacamento temos


DBD



que

A(p, q) :=

∫

y∈ϑΨ(p,Υ)

∫

x∈ϑΦ(p,Γ)

L(x,y)

=(−1)k

an

∫

y∈ϑΨ(p,Υ)

∫

x∈ϑΦ(p,Γ)

y − x)×NΦ(x) ·NΨ(y)

‖y − x‖nvol(x)vol(y),

onde NΦ e NΨ sao os campos unitarios singulares de Φ e Ψ, respectivamente.

Agora, por(2-18) e por (6-6)

A(p, q) =(−1)k

an

∫ Rs

0

..

∫ R1

0

∫ T k

0

..

∫ T 1

0

(Ψ~r(q)− Φ~t(p))×X(Φ~t(p)) · Y (Ψ~r(q))

‖Psi~r(q)− Φ~t(p)‖ndµkdµs,

onde ~r = (r1, .., rs), ~t = (t1, .., tk), dµk = dt1..dtk e dµr = dr1..drs. Definamos

a acao Θ de Rk+s em Ωn × Ωn

Θ(~t,~r)(p, q) = (Φ~t(p), Ψ~r(q)).

Notemos que

f(Θ(~t,~r)(p, q)) = f(Φ~t(p), Ψ~r(q))

=(−1)k

an

(Ψ~r(q)− Φ~t(p))×X(Φ~t(p)) · Y (Ψ~r(q))

‖Psi~r(q)− Φ~t(p)‖n

Disso, da propriedade 4 de sistema de volumes pequenos e a definicao de lk

temos que

lk(p, q) = limT 1,..,T k,R1,..,Rs→∞

1

T 1..T kR1..Rs

∫ Rs

0

..

∫ R1

0

∫ T k

0

..

∫ T 1

0

f(Θ(~t,~r)(p, q))dµkdµs.

Portanto, do teorema ergodico para acoes, resultado (4-7) temos que lk(p, q)

converge na toplogia L1(Ωn × Ωn). Alem disso, o resultado (4-8) do mesmo

teorema garante que∫

q∈Ωn

∫

p∈Ωn

lk(p, q)vol(p)vol(q) =

∫

q∈Ωn

∫

p∈Ωn

f(p, q)vol(p)vol(q) (7-8)

Esta ultima equacao garante a independencia da integral com respeito ao

sistema de volumes pequenos escolhido. 2

Definicao 7.11 O ındice

lk(Φ, Ψ) :=

∫

q∈Ωn

∫

p∈Ωn

lk(p, q)vol(p)vol(q).


DBD



sera chamadop o ındice de enlacamento assintotico medio das acoes Φ e Ψ.

Agora, mostraremos um teorema muito importante que afirma a igual-

dade da invariante de Hopf e da invariante de enlacamento assintotico das

acoes Φ e Ψ.

Teorema 7.12

lk(Φ, Ψ) = I(Φ, Ψ),

onde I(Φ, Ψ) e o invariante de Hopf para Φ e Ψ.

Prova: Por (7-8) e (7-7) temos que

∫

q∈Ωn

∫

p∈Ωn


∫

q∈Ωn

∫

p∈Ωn

f(p, q)vol(p)vol(q)

=

∫

q∈Ωn

∫

p∈Ωn

(−1)k

an

p− q)×X(q) · Y (p)

‖p− q‖n

Aplicando o teorema de Biot-Savart para o k-campo X temos que

∫

q∈Ωn

∫

p∈Ω1


∫

q∈Ωn

BS(X)(q) · Y (q)vol(q)

Finalmente pela formula (4-3) temos que

∫

q∈Ωn

∫

p∈Ωn


∫

q∈Ωn

α ∧ iY vol

= I(Φ, Ψ).

Exemplo 7.13 Seja Φ a acao de R2 em Ω4 definida no exemplo 6.1.9.

cujos campos associados sao X1(x, y, z, w) = (y,−x, 0, 0) e X2(x, y, z, w) =

(0, 0, w,−z). Se X = X1 ∧X2 entao

iXdvol = ywdydw + xwdxdw + yzdydz + xzdxdz.

A 1-forma α = (x2+y2

2)(zdz + wdw) satisfaz dα = i

Xdvol. Agora, Fixemos

o ponto (0, y0, z0, 0) ∈ Ω4 no primeiro quadrante do plano yz. Sejam B4 ⊂ Ω4

uma bola centrada em (0, y0, z0, 0) de raio R suficientemente pequeno tal que

suas coordenadas y e z sao positivas e ψ uma acao de R em B4 definida pelo

campo Y (x, y, w, z) = (0,−(z − z0), (y − y0), 0). Logo,

iYdvol = (y − y0)dxdydw + (z − z0)dxdzdw.


DBD



A 2-forma β =(y − y0)

2 + (z − z0)2

2dxdw satisfaz dβ = i

Ydvol. Logo, se

tildeR =√

R2 − x2 − w2 temos que:

I(ϕ, ψ) =

∫

B4

β ∧ dα

=

∫

B4

((y − y0)

2 + (z − z0)2

2)(yz) dxdydzdw

=

∫

(x,w)∈DR(0,0)

∫

(y,z)∈DR(y0,z0)

((y − y0)

2 + (z − z0)2

2)(yz) dydzdxdw

=1

2

∫

(x,w)∈DR(0,0)

∫ 2π

0

∫ R

0

r2(y0 + rcosθ)(z0 + rsenθ)rdrdθdxdw

=1

2

∫

(x,w)∈DR(0,0)

∫ 2π

0

∫ R

0

r3y0z0drdθdxdw

=y0z0π

4

∫

(x,w)∈DR(0,0)

r4]R

0dxdw

=y0z0π

4

∫

(x,w)∈DR(0,0)

(R2 − x2 − w2)2 dxdw

=y0z0π

4

∫ 2π

0

∫ R

0

(R2 − r2)2 rdrdθ

=y0z0π

2R6

12

Para calcular lk(ϕ, ψ) o ındice de enlacamento assintotico das acoes podemos

escolher sequencias quaisquer dos Tn e Sn, em particular Tn = [0, 2nπ]×[0, 2nπ]

e Sn = [0, 2nπ]. Notemos que ϑϕ(p, Tn) e um pedaco de orbita fechado composta

por n2 copias do toro ϑϕ(p, [0, 2π]× [0, 2π]) e ϑψ(q, Sn) e composta de n copias

do cırculo ϑψ(q, [0, 2π]) logo, se Dp e o disco num plano paralelo ao plano yz

cujo bordo e ϑψ(q, [0, 2π]) entao, analogamente como no exemplo 6.1.9,

lk(Tn,Sn)

(p, q) =1

T 1nT 2

nS1n

lk(ϑϕ(p, Tn), ϑψ(q, Sn))

=

n2n

(2nπ)3=

1

8π3se ϑϕ(p, Tn) ∩Dq 6= ∅

0 se ϑϕ(p, Tn) ∩Dq = ∅.

Pelo que as funcoes lk(Tn,Sn)

sao constantes. Assim usando o resultado do


DBD



exemplo 6.1.9 temos

lk(ϕ, ψ) =

∫

p∈Ω4

∫

q∈B4

lk(Tn,Sn)

(p, q)dvol(p)dvol(q)

=

∫

p∈Ω

[

∫

(x,w)∈DR(0,0)

[

∫

(y,z)∈DR(y0,z0)

lk(Tn,Sn)

(p, (x, y, z, w))dydz] dxdw] dvol(p)

=

∫

(x,w)∈DR(0,0)

[

∫ R

0

[

∫

p∈Ω

∫ 2π

0

lk(Tn,Sn)

(p, (x, y0 + r cos(θ), z0 + r sin(θ), w)dθ] rdr] dxdw

=

∫

(x,w)∈DR(0,0)

[

∫ R

0

[y0z0πr2] rdr] dxdw

=y0z0π

4

∫

(x,w)∈DR(0,0)

(R2 − x2 − y2)2dxdw

=y0z0π

4

∫ 2π

0

∫ R

0

(R2 − r2)2rdrdθ

=y0z0π

2R6

12

Por tanto,

lk(ϕ, ψ) =y0z0π

2R6

12= I(ϕ, ψ).


DBD


Referencias Bibliograficas

[ArK] V.I. Arnold, B.A. Khesin, Topological Methods in Hydrodynamics, Sprin-

ger, 1998.

[Arn] The asymptotic Hopf invariant and its applications, Sel. Math. Sov.

5(1986), 327-3454. 1

[BT] R. Bott, L. Tu, Differential Forms in algebriaic Topology, Springer, 1982.

[CaC] A. Candel, L. Conlon. Foliations I. American Mathematical Society,

Providence, RI, 2000.

[CoI] G. Contreras, R. Iturriaga, Average linking numbers. Erg.Th. & Dynam.

Sys. 19(1999), 1425-1435.

[deR] G. de Rham, Differentiable Manifolds, Springer, 1984.

[DuS] N. Dunford, J.T. Schwartz. Linear Operator I, Interscience Publishers,

1958.

[FrW] Frank W. Warner. Foundation of Differentiable Manifolds and Lie Groups,

Springer, 1983.

[Geo] H.O. Georgii, Gibbs Measures and Phase Transitions, de Gruyter, 1988.

[Tem] A. A. Tempelman, Ergodic theorems for general dynamical systems. Sov.

Math. Dokl. 8(1967), 1213-1216.

[Vog] T. Vogel, On the asymptotic linking number, Proc. Amer. Math. Soc. 1

[VoK] D. Kotschick, T. Vogel, Linking number of measured Foliations, Erg.Th.

& Dynam. Sys. 23(2003), 541-558.


DBD


Documents

Jos¶e Luis Lizarbe Chira ¶Indices de Enla»camento Assint ...paul/tesechira.pdf · sidade Cat¶olica do Rio de Janeiro. V.I. Arnold no seu trabalho \The asymptotic Hopf Invariant