Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
�������� � � � � � � � � �
�� � �������� ����� ������ � ��� ����� ����������������� ��
��������������� ��������������������� �������� �������� ������ ����� �������� � ��!"��
�������� �#�$% ��&#�'�# ���(�� ) �
*)�+ ��,��-./,
��!�"!#$!%&'%(
������� � � � � � � � � �
��)��� *��
0 � �������������1������ ��&������������$��� ���+� ��������+� �1��2!3*4�5�� ����� � ����
0 ����6��)���+����64�))���)6����� ��� ��7�6����������� ��� �0 �����)� ��$ ���+� ��� ��� ) ��1��7��)���5�� ���6�
��� �1���)�����)������ � ���� �0 �� )�1�)���+� �������� ��
��8�����)��9� ������������� � �
+��� ) ���������$ ��� ���$ �:�)��� �� �
������� � � � � � � � � �
���* ������ � ��� ����������������!+�*�
0 (������ ������9�������)�� � � ����+� �
; ��� � 1������� �
; 2!3*�1������� ���
0 <�����+� �� ��5�����7�� ; =�+ ��) )�����6�������� 1� ��+6���� ) 11�)� ���� ��5�
����7�� ������ ���������
; = )� ���� � ���� ) 11�)� ������5�����7�� ������ � ��
0 ' ����� �������� ��� �������>?..���� ��
qi ∈ {−1, 1}qi ∈ {0, 1}
minq1,...,qn
( n∑i=1
aiqi +∑
1≤i<j≤n
aij qiqj
)
�������� � � � � � � � � �
�,��������
0 &��+ ��1�9�+��� �>/...�0 ���� ���������) )�����6
; @����+� ������ �� ��A)��� �B�19�+���
; �� �� �+ ��)��� � �������1��� ������C?�� ���) �
; ���� �9�+�� ���� ��)� ���11 �
0 D���� ���� )��� �1�� )�� �9�+�� � ��)��� ��7 �����
0 = ��� � ���� �� ����� ��� ��� ��11 )����� ���)�
�������� � � � � � � � � �
��-���������� ��������.�/��� 0��
0 � ����� ��1�������
0 ! ) ����� ���2!3*��1�������
; � � ������ �����8�1������� �� ����������
; ��+� ����$ ������� ����>C?
maximize:∑i∈V
xi
subject to:∑
(i,j)∈E
xixj = 0, xi ∈ {0, 1}
minimize(−
∑i∈V
xi +M∑
(i,j)∈E
xixj , xi ∈ {0, 1})
������ � � � � � � � � � �
.��,�1���������* ������������������
0 =8���)�� ���� ���)� ; �1��%� ��1����)��9� �1���$ �� �E/��� �� ������ ���) ��1�
� �� ��� ������ �� � ���� ��� ; �� �� ����� ����+�������������)� ; 1� ������8�)��9� � ��� ���)� ������ ����� ��� ����� ��������
0 ��+������������� � ��; ����� � � ��� ������ ����+�������1�A�����B���$ ���F�C?�; 1� ���� ���8�)��9� �� � �)����+�����; �1��� � �)��9� ���������8�)��9� �1����� ��������
�������� � � � � � � � � �
.��,�1���������* �������������������2����34
0 �� �� �� �� 8�������� � �; ��)%���� �� 8�; ��� ���+� ��1���������� � � � �� ��� � � �� )���G�; � ��� ��� ����� ��1��� �)��9� �
��
�������� � � � � � � � � �
�!+�*���������������* �����-�5�� ��
0 ����; � ����� ���� � ��2!3*�1����; ���7��) ����� ��9�� ����� ��� ������ ��� ������� � ��
0 9��� ; � ����� 6�+� )��� �1� )�� ��1�� +� ��6������+� �; �6+����� ����� �� ����)�+� ��� �1���+� � ��)��� ��9�� ����
������ �
0 9+��� ; ��+� ����$ � ������� ��+6�����7�� ������ � ��; �6+������� ��� ��)� ����7���)��5�� ��� ��) ���+�� ��
�������� � � � � � � � � �
��� ���������� ��
0 �������1���$ �FC?0 !� ��� )���� ���C? �+ ��� �0 �?..�� ��� ���� ������ �9�����64��������60 H��������� ��� ��� �>.G/?�� )G0 3�% �)��� �
�� � ���......................////�� � ���.......................////�� � ���........//////..........�� � ���..................../////GGG����/,�+�% �)��� �����1�C/�
��������� � � � � � � � � �
6�7��!+�*��,��1�������8����,� ��
���) ���5��
��������� � � � � � � � � �
,����������������������� ��
)��9� ���$ )��9� ���$
��+
��1�)��9�
�
��+
��1�)��9�
�
��� ����� �+ ��� � ����� � �+ ��� �
�������� � � � � � � � � �
�� ���� ����� ���������,�
���� ����������D'&D� ���� ���������� ���)��� �
�������� � � � � � � � � �
���� �9������� ���
200 400 600 800 1000
−50
−40
−30
−20
−10
0
Graph size
best
cliq
ue s
ize
foun
d, r
elat
ive
to D
wav
e 2X
Dwave 2XPPHaSA−clique fastSA−clique slowSA−isingfmc
��������� � � � � � � � � �
����1������� ���
0 200 400 600 800 1000
1e−
021e
+00
1e+
021e
+04
1e+
06
Graph size
spee
dup
2'
�'�1���
��������� � � � � � � � � �
��,����������
0 ��+�+������)�� ��� �1��� ��� �� �� �� 8�������� � �������������+���?8��� ����
0 !�� ��� � �� �� ��� �1���)� �� )� �9� 0 ������ ����� ��+� ���+6���+� ��� ��8��� 0 ����6� ���� ��2!3*�1������� �0 # ��)� ���� ������� �� I��� ���6�+6�� 1������� �
� )� �9� ���� ����)�� �1� 7������+� ����7�%�� ����� ���
0 ����6� ���� � 11 )���1���� �� � �������7�%�� ����� ���
0 # ������ ����� ��������������� � �� ��5��
������� � � � � � � � � � �
:���,����� � �� ����������
6 8 10 12 14 16 18 20
1e−
031e
−01
1e+
011e
+03
number of vertices
com
putin
g tim
e [s
]
�
�
�
�
��
��
�
METISSAQSageQBsolvSapiGurobi
6 8 10 12 14 16 18 20
510
1520
number of vertices
min
imal
edg
e−cu
t
�
�
� � � �
�
�
�
METISSAQSageQBsolvSapiGurobi
��������� � � � � � � � � �
������� ���
0 �5�� ��� ��� �6����� ������) )�����)�����������������������) ��� ���9+�����9��� ��; ��6����%�����)�� ���1��� �9�� �������� ; ��������� ����� ������� �����) ��� � ������6�2'
0 �� ��� �������� )������ ������� ����� ����+� ��0 H���6�1����� �� )��� �� ��)��� ��������11 )���� ��))���)60 D���� �� )�� ���� )��� 1�) 11�)� ��0 2�� ������ ��� � ���'����� ��J�)����+ ���� ��1�� ������������� �
���� � ���0 '����1�)���� �� ��� � ��)����+� �� ����+ ���� ��� ��� ����
� ���$ ��� ��� �����1�9�� ����� ��� �