-
8/10/2019 Inverse Z Transform (Useful)
1/9
1
I n v e r s e Z T r a n s f o r m
S i n c e t r a n s f e r f u n c t i o n s a n d c o m m o n s
i g n a l s h a v e t r a n s f o r m s w h i c h a r e r a t i o n
a l , i t i s l o g i c a l t o a p p l y
t h e s a m e t e c h n i q u e d e v e l o p e d f o r L a p l
a c e t r a n s f o r m . O n e w o u l d h a v e a t a b l e o f b
a s i c t r a n s f o r m
p a i r s a n d u s e p a r t i a l f r a c t i o n e x p a n s
i o n t o d e c o m p o s e a r a t i o n a l f u n c t i o n a s a
s u m o f e n t r i e s f r o m
t h e t a b l e . T h e r e i s o n l y o n e m i n o r p r o b
l e m i l l u s t r a t e d b y t h e f o l l o w i n g e x a m p l
e . L e t
X z =
2 z
z
2
, 1
=
2 z
z , 1 z + 1
U s i n g p a r t i a l f r a c t i o n e x p a n s i o n o n e
w o u l d h a v e
X z = A
1
1
z , 1
+ A
2
1
z + 1
O n e c a n c o m p u t e t h e c o e c i e n t s A
1
; A
2
, b u t t h e r a t i o n a l f u n c t i o n s 1 = z , 1 a n d
1 = z + 1 d o n o t
a p p e a r a s e n t r i e s i n t h e t a b l e o f b a s i c
t r a n s f o r m s .
T h e b a s i c w a y a r o u n d t h i s m i n o r p r o b l e
m w i l l b e t o p e r f o r m t h e p a r t i a l f r a c t i o n
o n t h e f u n c t i o n
X z = z . T h u s
X z
z
=
2
z , 1 z + 1
= B
1
1
z , 1
+ B
2
1
z + 1
O n c e t h e p a r t i a l f r a c t i o n h a s b e e n d e t
e r m i n e d a n d t h e c o e c i e n t s c o m p u t e d , o n e
c a n m u l t i p l y
b o t h s i d e s b y z . H e n c e
X z = z
X z
z
= B
1
z
z , 1
+ B
2
z
z + 1
T h e t w o e n t r i e s a r e n o w i n t h e t a b l e o f b
a s i c t r a n s f o r m p a i r s a n d o n e c a n p r o c e e d
t o t h e i n v e r s i o n
b y i n s p e c t i o n .
-
8/10/2019 Inverse Z Transform (Useful)
2/9
P r e p a r e d b y D r . J o r g e L . A r a v e n a . L a s t
M o d i e d o n O c t o b e r 1 5 , 1 9 9 9 2
I n v e r s i o n o f r a t i o n a l f u n c t i o n s w i t h
o n l y s i m p l e p o l e s
T h i s c a s e i s b a s e d o n t h e f o l l o w i n g t r a
n s f o r m p a i r
b
k
q k !
z
z , b
G i v e n
X z =
N z
z , r
1
z , r
2
: : : z , r
n
; r
i
6= r
j
; i 6= j
F o r m
X z
z
=
N z
z z
,r
1
z
,r
2
: : : z
,r
n
W r i t e t h e p a r t i a l f r a c t i o n e x p a n s i o n
f o r X z = z a s
X z
z
=
A
0
z
+ A
1
1
z , r
1
+ : : : + A
n
1
z , r
n
C o m p u t e t h e r e s i d u e s A
0
; A
1
; : : : ; A
n
u s i n g a n y o f t h e t e c h n i q u e s s e e n i n L a p
l a c e .
F o r m t h e m o d i e d p a r t i a l f r a c t i o n e x p a
n s i o n f o r X z
X z = z
X z
z
= A
0
+ A
1
z
z , r
1
+ : : : + A
n
z
z , r
n
P e r f o r m t h e i n v e r s i o n b y d e t e r m i n i n g
t h e t r a n s f o r m o f e a c h p a r t i a l f r a c t i o
n
x k = A
0
k + A , 1 r
1
k
q k + : : : + A
n
r
n
k
q k
-
8/10/2019 Inverse Z Transform (Useful)
3/9
P r e p a r e d b y D r . J o r g e L . A r a v e n a . L a s t
M o d i e d o n O c t o b e r 1 5 , 1 9 9 9 3
A n a l t e r n a t i v e t e c h n i q u e f o r i n v e r s i
o n
T h e m e t h o d j u s t d e s c r i b e d e x p a n d s X z =
z a n d t h e n m u l t i p l i e s b y z i n o r d e r t o g e t t
e r m s o f t h e
f o r m z = z , b , t h a t a r e d i r e c t l y i n t h e b a
s i c t a b l e . T h e r e a s o n b e i n g t h a t t h e o r d i
n a r y e x p a n s i o n
o f X z w i l l c r e a t e t e r m s o f t h e f o r m 1 = z ,
b w h i c h a r e n o t i n t h e t a b l e . T h e a l t e r n a t
i v e m e t h o d
i s b a s e d o n t h e i d e n t i t y
X
1
z =
1
z , b
= z
, 1
z
z , b
O n e c a n n d t h e i n v e r s e t r a n s f o r m f o r
X
1
z w i t h t h e h e l p o f t h e s h i f t i n g p r o p e r t
y o f t h e t r a n s f o r m .
T h u s
x
1
k = Z
, 1
1
z , b
= b
k , 1
q k , 1
C o n s i d e r a g a i n t h e e x a m p l e
X z =
2 z
z
2
, 1
=
2 z
z , 1 z + 1
U s i n g c o n v e n t i o n a l p a r t i a l f r a c t i o n
e x p a n s i o n o n e w o u l d h a v e
X z = A
1
1
z
,1
+ A
2
1
z + 1
S i n c e , n o w , o n e h a s t h e i n v e r s e o f e v e r
y t e r m , o n e c a n w r i t e d i r e c t l y
x k = A
1
1
k , 1
q k , 1 + A
2
, 1
k , 1
q k , 1 = A
1
+ A
2
, 1
k , 1
q k , 1
-
8/10/2019 Inverse Z Transform (Useful)
4/9
P r e p a r e d b y D r . J o r g e L . A r a v e n a . L a s t
M o d i e d o n O c t o b e r 1 5 , 1 9 9 9 4
I n v e r s i o n o f r a t i o n a l f u n c t i o n s w i t h
m u l t i p l e p o l e s a t t h e o r i g i n
T h i s i s t h e n e x t s i m p l e s t c a s e . I t u s e s
t h e s a m e p a i r a s b e f o r e p l u s t h e p a i r
k , p ! z
, p
w h i c h i s d e r i v e d u s i n g t h e s h i f t i n g p r
o p e r t y o f t h e t r a n s f o r m .
C o n s i d e r a r a t i o n a l f u n c t i o n
X z =
N z
z
m
z , r
1
z , r
2
: : : z , r
n
; r
i
6= r
j
; i 6= j
i . e . , i t h a s n s i m p l e p o l e s a n d a p o l e o f
m u l t i p l i c i t y m a t t h e o r i g i n .
T h e i n v e r s i o n p r o c e e d s i n t h e s a m e m a n
n e r a s b e f o r e
F o r m
X z
z
=
N z
z
m + 1
z , r
1
z , r
2
: : : z , r
n
W r i t e t h e p a r t i a l f r a c t i o n e x p a n s i o n
f o r X z = z . H e r e i s a l i t t l e d i e r e n t . B e c a u
s e o f t h e
m u l t i p l e p o l e o n e h a s
X z
z
=
A
0 0
z
+
A
0 1
z
2
+ : : :
A
0 m
z
m + 1
+ A
1
1
z , r
1
+ : : : + A
n
1
z , r
n
C o m p u t e t h e r e s i d u e s A
0 0
; A
0 1
; : : : ; A
0 m
; A
1
; : : : ; A
n
u s i n g a n y o f t h e t e c h n i q u e s s e e n i n L a p
l a c e .
F o r m t h e m o d i e d p a r t i a l f r a c t i o n e x p a
n s i o n f o r X z
X z = z
X z
z
= A
0 0
+ A
0
z
, 1
+ : : : A
0 m
z
, m
+ A
1
z
z , r
1
+ : : : + A
n
z
z , r
n
S i n c e t h e t e r m s o f t h e f o r m z
, p
h a v e a n i m m e d i a t e t r a n s f o r m , t h e i n v e
r s i o n o f t h e p r e v i o u s
e x p r e s s i o n i s a l s o i m m e d i a t e .
-
8/10/2019 Inverse Z Transform (Useful)
5/9
P r e p a r e d b y D r . J o r g e L . A r a v e n a . L a s t
M o d i e d o n O c t o b e r 1 5 , 1 9 9 9 5
I n v e r s i o n o f r a t i o n a l f u n c t i o n s w i t h
d o u b l e p o l e s
T h i s c a s e i s b a s e d o n t h e f o l l o w i n g t r a
n s f o r m p a i r
k b
k
q k !
b z
z , b
2
O n e m u s t k e e p p r e s e n t t h a t e a c h p o l e o f
m u l t i p l i c i t y m c r e a t e s m p a r t i a l f r a c t i
o n s . F o r e x a m p l e
X z =
z
2
+ 1
z , 0 : 5
2
z , 2
F o r m
X z
z
=
z
2
+ 1
z z , 0 : 5
2
z , 2
P e r f o r m t h e p a r t i a l f r a c t i o n f o r X z = z
. U s e t h e n e c e s s a r y t w o t e r m s f o r t h e d o u b
l e p o l e
X z
z
=
A
0
z
+ A
1 1
1
z , 0 : 5
+ A
1 2
1
z , 0 : 5
2
+ A
2
1
z , 2
D e t e r m i n e t h e c o e c i e n t s u s i n g a n y o f t
h e a v a i l a b l e t e c h n i q u e s
D e t e r m i n e t h e m o d i e d e x p a n s i o n f o r X
z
X z = z
X z
z
= A
0
+ A
1 1
z
z , 0 : 5
+ A
1 2
z
z , 0 : 5
2
+ A
2
z
z , 2
O n e c a n s e e t h a t e v e r y t e r m , e x c e p t t h e
t h i r d a p p e a r d i r e c t l y i n t h e b a s i c l i s t o
f t r a n s f o r m
p a i r s . T h e t a b l e e n t r y t h a t i s c l o s e s t
t o t h i s t h i r d t e r m i s b z = z , b
2
, f o r b = 0 : 5 . R e w r i t i n g
t h e t e r m a s
A
1 2
z
z , 0 : 5
2
=
A
1 2
0 : 5
0 : 5 z
z , 0 : 5
2
o n e t s i t t o t h e e n t r y .
G e t f r o m t h e b a s i c t a b l e t h e i n v e r s e s o
f e a c h t e r m
I n t h i s c a s e t h e c o m p l e t e i n v e r s e i s
x k = A
0
k + A
1 1
0 : 5
k
q k +
A
1 2
0 : 5
k 0 : 5
k
q k + 2
k
q k
F o r a d d e d e c i e n c y , o n e c a n f o r c e t h e t e
r m s i n b a s i c t a b l e a s e n t r i e s i n t h e p a r t i
a l f r a c t i o n
e x p a n s i o n . T h u s , f o r a d o u b l e p o l e z ,
b
2
, o n e w o u l d u s e t h e t e r m s
1
z , b
;
b
z , b
2
:
I n t h e e x a m p l e , o n e c o u l d w r i t e t h e e x p
a n s i o n a s
X z
z
=
B
0
z
+ B
1 1
1
z , 0 : 5
+ B
1 2
0 : 5
z , 0 : 5
2
+ B
2
1
z , 2
T h e p r o c e d u r e i s j u s t c o s m e t i c a n d o n e
s h o u l d g e t A
0
= B
0
; B
1 1
= A
1 1
; B
1 2
= A
1 2
= 0 : 5 ; B
2
=
A
2
.
-
8/10/2019 Inverse Z Transform (Useful)
6/9
P r e p a r e d b y D r . J o r g e L . A r a v e n a . L a s t
M o d i e d o n O c t o b e r 1 5 , 1 9 9 9 6
A n E x t e n s i o n f o r t r i p l e p o l e s
T h e p r e v i o u s t e c h n i q u e s c a n b e e a s i l y
e x t e n d e d t o t r i p l e p o l e s a n d p o l e s o f h i g
h e r m u l t i p l i c i t y . F o r
a t r i p l e p o l e z , b
3
, o n e w o u l d u s e t h e f o l l o w i n g t h r e e p a r
t i a l f r a c t i o n s
1
z , b
;
b
z , b
2
;
b z + b
z , b
3
A f t e r t h e m u l t i p l i c a t i o n b y z , o n e w i l
l g e t t e r m s t h a t a p p e a r d i r e c t l y i n t h e b a
s i c t a b l e .
-
8/10/2019 Inverse Z Transform (Useful)
7/9
P r e p a r e d b y D r . J o r g e L . A r a v e n a . L a s t
M o d i e d o n O c t o b e r 1 5 , 1 9 9 9 7
I n v e r s i o n o f r a t i o n a l f u n c t i o n s w i t h
c o m p l e x c o n j u g a t e p o l e s . U s e o f q u a d r a t
i c
t e r m s e x p a n s i o n
T h e i n v e r s i o n o f r a t i o n a l f u n c t i o n s w
i t h c o m p l e x c o n j u g a t e p o l e s c a n b e a c c o m
p l i s h e d w i t h t h e
p r e v i o u s t e c h n i q u e s i f o n e i s w i l l i n g
t o u s e c o m p l e x a l g e b r a . A s i n t h e c a s e o f L
a p l a c e t r a n s f o r m ,
o n e c a n a v o i d u s i n g c o m p l e x n u m b e r s a t
t h e e x p e n s e o f u s i n g q u a d r a t i c f a c t o r s i
n t h e p a r t i a l
f r a c t i o n e x p a n s i o n . I n t h i s c a s e , o n e
l o o k s a t t h e f o l l o w i n g t w o p a i r s :
b
k
c o s k !
0
T q k !
z z , b c o s !
0
T
z
2
, 2 b c o s !
0
T z + b
2
b
k
s i n k !
0
T q k !
z b s i n !
0
T
z
2
, 2 b c o s !
0
T z + b
2
I n v e r t i n g a r a t i o n a l f u n c t i o n w i t h c o
m p l e x c o n j u g a t e p o l e s r e q u i r e s t h e f o l l
o w i n g s t e p s
f r o m t h e q u a d r a t i c e x p r e s s i o n o f t h e c
o m p l e x c o n j u g a t e p o l e s d e t e r m i n e t h e v a
l u e s o f b a n d
!
0
T .
d e t e r m i n e t h e q u a d r a t i c f a c t o r s t o b e
u s e d i n t h e e x p a n s i o n
d e t e r m i n e t h e p r o p e r p a r t i a l f r a c t i o
n e x p a n s i o n
d e t e r m i n e t h e i n v e r s e o f e v e r y t e r m i n
t h e p a r t i a l f r a c t i o n
C o n s i d e r f o r e x a m p l e t h e r a t i o n a l f u n
c t i o n
X z =
z + 3
z
2
+ 2 z + 9
T h e q u a d r a t i c t e r m , z
2
+ 2 z + 9 , h a s n e g a t i v e d i s c r i m i n a n t .
f r o m t h e q u a d r a t i c e x p r e s s i o n o f t h e c
o m p l e x c o n j u g a t e p o l e s d e t e r m i n e t h e v a
l u e s o f b a n d
!
0
T
z
2
+ 2 z + 9 = z
2
, 2 b c o s !
0
T z + b
2
B y i d e n t i c a t i o n o f c o e c i e n t s , o n e c o n
c l u d e s
b
2
= 9 c o e s o f z
0
,
, 2 b c o s !
0
T = 2 c o e s o f z
N O T E : O n e a l s o n e e d s t h e t e r m b s i n !
0
T w h i c h c a n b e c o m p u t e d f r o m
b
2
c o s
2
!
0
T + b
2
s i n
2
!
0
T = b
2
a n d u s i n g t h e p o s i t i v e s i g n a s d e f a u l t
o p t i o n . F o r t h e e x a m p l e o n e h a s
b = 3 ; b c o s !
0
T = , 1 ; b s i n !
0
T =
p
8
S i n c e c o s !
0
T = , 1 i s n e g a t i v e a n d s i n !
0
T =
p
8 i s p o s i t i v e , !
0
T i s a n a n g l e i n t h e s e c o n d
q u a d r a n t . O n e c a n w r i t e
!
0
T = t a n
, 1
b s i n !
0
T
b c o s !
0
T
= , t a n
, 1
p
8
-
8/10/2019 Inverse Z Transform (Useful)
8/9
P r e p a r e d b y D r . J o r g e L . A r a v e n a . L a s t
M o d i e d o n O c t o b e r 1 5 , 1 9 9 9 8
d e t e r m i n e t h e q u a d r a t i c f a c t o r s t o b e
u s e d
I n t h e c a s e o f t h e e x a m p l e , o n e h a s
F
1
z =
z z , b c o s !
0
T
z
2
, 2 b c o s !
0
T z + b
2
=
z z + 1
z
2
+ 2 z + 9
F
2
z =
z b s i n !
0
T
z
2
, 2 b c o s !
0
T z + b
2
=
p
8
z
2
+ 2 z + 9
d e t e r m i n e t h e p r o p e r p a r t i a l f r a c t i o
n e x p a n s i o n
T h e m o s t s t r a i g h t f o r w a r d w a y i s t o c o n
s i d e r t h e e x p a n s i o n o f X z = z , u s i n g p a r t i
a l f r a c t i o n s
F
1
z = z a n d F
2
z = z . I n t h i s c a s e , t h i s t a s k c a n b e d i v i
d e d i n t h e f o l l o w i n g a c t i v i t i e s
w r i t e t h e p a r t i a l f r a c t i o n e x p a n s i o n
f o r X z = z .
F o r c a s e o f t h e e x a m p l e o n e h a s
X z
z
=
z + 3
z z
2
+ 2 z + 9
=
A
0
z
+ A
1
F
1
z
z
+ A
2
F z
z
z + 3
z z
2
+ 2 z + 9
=
A
0
z
+ A
1
z + 1
z
2
+ 2 z + 9
+ A
2
p
8
z
2
+ 2 z + 9
d e t e r m i n e t h e c o e c i e n t s i n t h e p a r t i a
l f r a c t i o n e x p a n s i o n
F o r t h i s t a s k o n e c a n u s e a n y o f t h e t e c h
n i q u e s a v a i l a b l e . F o r e x a m p l e , u s i n g i d
e n t i c a -
t i o n o f c o e c i e n t s o n e h a s
z + 3
z z
2
+ 2 z + 9
=
A
0
z
2
+ 2 z + 9 + A
1
z z + 1 + A
2
z
z
2
+ 2 z + 9
H e n c e
0 = A
0
+ A
1
1 = 2 A
0
+ A
1
+ A
2
3 = 9 A
0
w r i t e t h e e x p a n s i o n f o r X z
X z = z
X z
z
=
z + 3
z
2
+ 2 z + 9
= A
0
+ A
1
z z + 1
z
2
+ 2 z + 9
+ A
2
p
8 z
z
2
+ 2 z + 9
d e t e r m i n e t h e i n v e r s e o f e v e r y t e r m i n
t h e p a r t i a l f r a c t i o n
E v e r y e n t r y i n t h e p a r t i a l f r a c t i o n e x
p a n s i o n c o r r e s p o n d s d i r e c t l y t o a n e n t r
y i n t h e b a s i c
t a b l e o f t r a n s f o r m p a i r s . H e n c e
x k = A
0
k + A
1
3
k
c o s k !
0
T q k + A
2
3
k
s i n k !
0
T q k
w i t h !
0
T = , t a n
, 1
p
8
-
8/10/2019 Inverse Z Transform (Useful)
9/9
P r e p a r e d b y D r . J o r g e L . A r a v e n a . L a s t
M o d i e d o n O c t o b e r 1 5 , 1 9 9 9 9
E x a m p l e s
E x a m p l e 3 . 1 C o n s i d e r t h e r a t i o n a l f u n
c t i o n
X z =
z + 5
z
2
+ 9
T h e d e n o m i n a t o r h a s r o o t s x
1 ; 2
= j 3 . H e n c e o n e c a n u s e t h e q u a d r a c t i c f
a c t o r s .
1 . d e t e r m i n e b ; b c o s !
0
T ; b s i n !
0
T ; !
0
T
d e n o m i n a t o r = z
2
+ 9
= m u s t b e o u t i n t h e f o r m z
2
, 2 b c o s !
0
T z + b
2
b c o s !
0
T = 0
b
2
= 9
b s i n !
0
T = 3
!
0
T = = 2
2 . d e t e r m i n e t h e q u a d r a t i c f a c t o r s
.
z , b c o s !
0
T
z
2
+ 2 b c o s !
0
T z + b
2
=
z
z
2
+ 9
b s i n !
0
T
z
2
+ 2 b c o s !
0
T z + b
2
=
3
z
2
+ 9
3 . w r i t e t h e p a r t i a l f r a c t i o n f o r X z =
z
X z
z
=
z + 5
z z
2
+ 9
=
A
0
z
+ A
1
z
z
2
+ 9
+ A
2
3
z
2
+ 9
4 . d e t e r m i n e t e c o e c i e n t s o f t h e e x p a n
s i o n
A
0
= 5 = 9
A
1
= 1
A
2
= 5 = 3
5 . w r i t e t h e e x p a n s i o n f o X z
X z = A
0
+ A
1
z
2
z
2
+ 9
+ A
2
3 z
z
2
+ 9
6 . r e a d t h e i n v e r s e s o f e a c h t e r m f r o m t
h e t a b l e
x k = A
0
k + A
1
3
k
c o s k = 2 q k + A
2
3
k
s i n k = 2 q k
