INTRODUCTION TO THE LITERATURE AND NEOCLASSICAL MODELS

7/23/2019 INTRODUCTION TO THE LITERATURE AND NEOCLASSICAL MODELS

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N B E R W O R K I N G P A P E R S S E R I E S

L E C T U R E

N O T E S

O N E C O N O M I C G R O W T H

I ) :

I N T R O D U C T I O N

T O T H E L I T E R A T U R E A N D

N E O C L A S S I C A L

M O D E L S

X a v i e r S a l a — i - M a r t i n

W o r k i n g P a p e r N o . 3 5 6 3

N A T I O N A L B U R E A U O F E C O N O M I C R E S E A R C H

1 0 5 0 M a s s a c h u s e t t s A v e n u e

C a m b r i d g e , M A 0 2 1 3 8

D e c e m b e r 1 9 9 0

T h e s e n o t e s w e r e d e v e l o p s w h i l e I w a s a s s i s t i n g R o b e r t J . B a r r o t o

t e a c h t h e f i r s t y e a r g r a d u a t e m a c r o e c o n o m i c s c l a s s a t H a r v a r d i n

1 9 8 8 - 8 9 a n d 1 9 8 9 - 9 0 . T h e t w o v i n t a g e s o f f i r s t y e a r s t u d e n t s

s u f f e r e d t h e f i r s t d r a f t o f t h e s e n o t e s a n d m a d e a l l k i n d s o f

u s e f u l c o u u n e n t s / a m e n d m e n t s . T h a n k y o u k i d s . I a m e s p e c i a l l y

g r a t e f u l t o S u s a n G u t h r i e f o r c a r e f u l l y r e a d i n g t h e m a n d h e l p i n g

m e t h i n k a b o u t s e c t i o n 1 .

I a l s o r e c e i v e d c o m m e n t s f r o m S e r g e

M a r q u i e , a n d ( K i d ) C a s e y M u l l i g a n f r o m H a r v a r d , a n d J u l i e L e e

f r o m

Y a l e . F i r s t d r a f t c o m p l e t e d : N o v e m b e r 1 9 8 8 . T h i s r e v i s e d v e r s i o n

c o m p l e t e d : D e c e m b e r 1 7 , 1 9 9 0 . T h i s p a p e r i s p a r t o f N B E R ' s

r e s e a r c h p r o g r a m i n G r o w t h . A n y o p i n i o n s e x p r e s s e d a r e t h o s e o f

t h e a u t h o r a n d n o t t h o s e o f t h e N a t i o n a l B u r e a u o f E c o n o m i c

R e s e a r c h .



N B E R W o r k i n g P a p e r # 3 5 6 3

D e c e m b e r 1 9 9 0

L E C T U R E

N O T E S

O N E C O N O M I C G R O W T H ( I ) :

I N T R O D U C T I O N

T O T H E L I T E R A T U R E A N D N E O C L A S S I C A L

M O D E L S

A B S T R A C T

T h i s

i s a s u r v e y o f t h e l i t e r a t u r e o n E c o n o m i c G r o w t h . I n

t h e i n t r o d u c t i o n w e a n a l y z e t h e m a i n d i f f e r e n c e s b e t w e e n e x o g e n o u s

a n d e n d o g e n o u s g r o w t h m o d e l s u s i n g f i x e d s a v i n g s r a t e a n a l y s i s .

W e a r g u e t h a t i n o r d e r t o h a v e e n d o g e n o u s g r o w t h t h e r e m u s t b e

c o n s t a n t r e t u r n s t o t h e f a c t o r s t h a t c a n b e a c c u m u l a t e d . A

g r a p h i c a l t o o l i s t h e n d e v e l o p e d t o s h o w t h a t c h a n g e s i n t h e

s a v i n g s r a t e h a v e d i f f e r e n t e f f e c t s o n l o n g r u n g r o w t h i n t h e t w o

k i n d s o f m o d e l s ; w e s h o w t h a t o n l y e n d o g e n o u s g r o w t h m o d e l s a r e

a f f e c t e d b y s h i f t s i n t h e s a v i n g s r a t e . W e t h e n e x p l o r e t w o

v e r s i o n s o f t h e R a a s e y — C a s s - K o o p m a n s n e o c l a s s i c a l m o d e l w h e r e

s a v i n g s a r e d e t e r m i n e d o p t i m a l l y ; o n e w i t h e x o g e n o u s p r o d u c t i v i t y

g r o w t h a n d o n e w i t h o u t .

X a v i e r S a l a - i - M a r t i n

D e p a r t m e n t o f E c o n o m i c s

Y a l e u n i v e r s i t y

2 8 H i l l h o u s e

N e w H a v e n , C T 0 6 5 2 0



" T h e c o n s e q u e n c e s f o r h u m a n w e l f a r e i n v o l v e d i n q u e s t i o n s l i k e

t h e s e a r e s i m p l y s t a g g e r i n g : o n c e o n e s t a r t s t o t h i n k a b o u t t h e m , i t i s h a r d

t o t h i n k a b o u t a n y t h i n g e l s e " . L u c a s ( 1 9 8 8 ) , p . 5 .

( 1 ) I N T R O D U C T I O N T O G R O W T H ) I O D E L S .

( a )

E x o g e n o u s

v e r s u s E n d o g e n o u s G r o w t h m o d e l s : A n I n t r o d u c t i o n

M o s t o f t h e r e c e n t e c o n o m i c g r o w t h l i t e r a t u r e d e a l s w i t h

" o p t i m i z i n g g r o w t h m o d e l s " w h e r e c o n s u m e r s c h o o s e a c o n s u m p t i o n p a t h b y

m a x i m i z i n g s o m e k i n d o f u t i l i t y f u n c t i o n s u b j e c t t o s o m e i n t e r t e m p o r a l

b u d g e t c o n s t r a i n t ' .

T h e c o m p l i c a t e d m e c h a n i c s o f d y n a m i c o p t i m i z a t i o n ,

h o w e v e r , o b s c u r e s s o m e o f t h e i m p o r t a n t p o i n t s a p d i s s u e s .

H e n c e , b e f o r e

s t u d y i n g s u c h m o d e l s i t w i l l b e c o n v e n i e n t t o s t a r t w i t h t h e a s s u m p t i o n t h a t

t h e s a v i n g s r a t e i s a n e x o g e n o u s c o n s t a n t : p e o p l e s a v e a c o n s t a n t f r a c t i o n

" s " o f t h e i r i n c o m e . T h i s i s w h a t S o l o w ( 1 9 5 7 ) a n d o t h e r s , f o l l o w i n g t h e

K e y n e s i a n m u l t i p l i e r h y p o t h e s i s , d o . W i t h i n a n i n t e r t e m p o r a l l y o p t i m i z i n g

f r a m e w o r k , t h e r e i s a c o n f i g u r a t i o n o f p a r a m e t e r s t h a t w i l l y i e l d a c o n s t a n t

2

s a v i n g s r a t e .

H e n c e ,

e c o n o m i s t s t h a t d o n o t b e l i e v e i n K e y n e s i a n

1

E a r l y e c o n o m i s t s u s e d t o c o n f i n e t h e i n t e r t e m p o r a l o p t i m i z a t i o n

a n a l y s i s t o n o r m a t i v e i s s u e s . T h e c e l e b r a t e d R a m s e y 1 9 2 8 p a p e r ( w h i c h d e a l s

w i t h i n t e r t e m p o r a l o p t i m i z i n g e c o n o m i e s ) s t a r t s w i t h t h e s e n t e n c e " T h e f i r s t

p r o b l e m I p r o p o s e t o t a c k l e i s t h i s : h o w m u c h o f i t s i n c o m e s h o u l d a n a t i o n

s a v e ? " ( p . 5 4 3 ) .

C o n t e m p o r a n e o u s e c o n o m i s t s u s e i n t e r t e m p o r a l o p t i m i z i n g

m o d e l s f o r d e s c r i p t i v e o r p o s i t i v e a n a l y s i s a s w e l l .

F o l l o w i n g B a r r o

( 1 9 7 4 ) , t h e r e p r e s e n t a t i v e a g e n t i s a s s u m e d t o b e a f a m i l y o r g r o u p o f

i n d i v i d u a l s l i n k e d t o e a c h o t h e r t h r o u g h b e q u e s t s .

2

K u r t z ( 1 9 6 8 ) s h o w e d t h a t i f t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n i s C o b b

D o u g l a s , n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t c o n d i t i o n s f o r c o n s t a n t t r a n s i t i o n a l

o p t i m a l s a v i n g s r a t e s a r e

( 1 ) t h e u t i l i t y f u 1 1 c t 1 o , p ) b e C o n s t a n t E l a s t i c i t y o f I n t e r t e m p o r a l

S u b s t i t u t i o n o f t h e f o r m c

/ ( 1 - ( 1 / s ) ) , w h e r e s i s t h e s a v i n g s r a t e ,

3



m u l t i p l i e r s m a y w a n t t o t h i n k o f a n e c o n o m y d e s c r i b e d b y s u c h c o n f i g u r a t i o n .

S u p p o s e a l s o t h a t t h e o n l y a s s e t i n t h i s ( c l o s e d ) e c o n o m y i s s o m e t h i n g w e

c a l l K . Y o u m a y w a n t t o t h i n k o f K a s b e i n g p h y s i c a l C A P I T A L b u t i t m a y

a l s o i n c l u d e o t h e r i n p u t s t h a t c a n b e a c c u m u l a t e d , s u c h a s k n o w l e d g e o r

s k i l l s . N o w i m a g i n e t h a t t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n i s C o b b - D o u g l a s a n d t h a t

t h e r e a r e t w o a g g r e g a t e i n p u t s .

O n e o f t h e m , I ( , c a n b e p u r p o s e l y

a c c u m u l a t e d a n d t h e o t h e r L , c a n n o t b e a c c u m u l a t e d , o r i t g r o w s a t a r a t e

w h i c h i s i n d e p e n d e n t o f i n d i v i d u a l c h o i c e s ( t h i n k o f L a s l a b o r b u t U t m a y

a l s o i n c l u d e o t h e r u n r e p r o d u c i b l e r e s o u r c e s s u c h a s l a n d o r e n e r g y ) .

( 1 . 1 ) Y —

K L

T h e i n c r e a s e i n K o v e r t i m e , w h i c h w e w i l l c a l l 3 K — d K / d t i s

a g g r e g a t e n e t I N V E S T M E N T I n a c l o s e d e c o n o m y n e t i n v e s t m e n t m u s t e q u a l t o

S A V I N G S m i n u s D E P R E C I A T I O N . U s i n g ( 1 . 1 ) a n d t h e f i x e d s a v i n g s r a t e

a s s u m p t i o n :

( 1 . 2 )

—

s K L

-

6 K

W h e r e 6 i s t h e ( c o n s t a n t ) d e p r e c i a t i o n r a t e .

P o p u l a t i o n i s

a s s u m e d t o b e e q u a l t o e m p l o y m e n t ( s o w e a b s t r a c t f r o m u n e m p l o y m e n t a n d

l a b o r f o r c e p a r t i c i p a t i o n i s s u e s ) a n d i s a s s u m e d t o g r o w a t a n e x o g e n o u s

c o n s t a n t r a t e , L / I i — n . L e t u s d e f i n e l o w e r c a s e k a s t h e c a p i t a l - l a b o r r a t i o

( o r c a p i t a l p e r w o r k e r ) K / L . B y t a k i n g d e r i v a t i v e s o f k w i t h r e s p e c t t o

( 2 ) t h e d i s c o u n t r a t e b e r e l a t e d t o t h e p a r a m e t e r s o f t h e m o d e l t h r o u g h

p — a - s ,

w h e r e

p

i s

t h e d i s c o u n t r a t e , a n d

i s t h e s h a r e o f c a p i t a l i n t h e

p r o d u c t i o n f u n c t i o n .

S e e a l s o B a r r o a n d S a l a - i - H a r t i n ( 1 9 9 0 ) c h a p t e r 1 f o r a n e x t e n s i o n

o f t h i s r e s u l t .

3

T h r o u g h o u t t h e s e n o t e s w e w i l l d e n o t e t i m e d e r i v a t i v e s b y " d o t s "

o n t o p o f v a r i a b l e s .

4



t i m e w e c a n r e w r i t e ( 1 . 2 ) i n p e r c a p i t a t e r m s a s 4

( 1 . 2 ) '

—

s k L '

-

( 5 + n ) k

L e t u s d i v i d e b o t h s i d e s o f ( 1 . 2 ) ' b y k a n d d e f i n e t h e g r o w t h r a t e o f

c a p i t a l p e r w o r k e r k t / k t w y k . W e w i l l c a l l S T E A D ? S T A T E t h e s t a t e w h e r e a l l

v a r i a b l e s g r o w a t a c o n s t a n t ( p o s s i b l y z e r o ) r a t e . T h u s , i n s t e a d y s t a t e

i s c o n s t a n t . T a k e l o g a r i t h m s a n d d e r i v a t i v e s o f b o t h s i d e s a n d g e t

( 1 . 3 ) O _ ( P I ) k + n ( f l )

T h i s K E Y e q u a l i t y d e s e r v e s f u r t h e r a t t e n t i o n .

I n t h e o r i g i n a l

N e o c l a s s i c a l g r o w t h m o d e l ( S o l o w ( 1 9 5 6 ) a n d S w a n ( 1 9 5 6 ) ) t h e p r o d u c t i o n

f u n c t i o n i s a s s u m e d t o e x h i b i t C o n s t a n t R e t u r n s t o S c a l e i n c a p i t a l a n d

l a b o r ( i e , a + — l ) b u t D e c r e a s i n g R e t u r n s t o C a p i t a l a l o n e ( < l ) . N o t i c e

t h a t b y v i r t u e o f t h e C R S a s s u m p t i o n ( a 4 - — l ) , t h e s e c o n d t e r m i n t h e r i g h t

h a n d s i d e o f ( 1 . 3 ) i s z e r o s o w e a r e l e f t w i t h

( 1 . 3 ) '

b u t d u e t o t h e D e c r e a s i n g R e t u r n s t o C a p i t a l a s s u m p t i o n ( f l < 1 ) , e q u a l i t y

( 1 . 3 ) ' s a y s t h a t t h e o n l y s u s t a i n a b l e s t e a d y s t a t e g r o w t h r a t e i s

T h a t i s , i n t h e C R S n e o c l a s s i c a l m o d e l , t h e o n l y p o s s i b l e s t e a d y s t a t e

g r o w t h r a t e i s z e r o . I f t h e o n l y p o s s i b l e g r o w t h r a t e i s z e r o , h o w d i d t h e

n e o c l a s s i c a l t h e o r i s t s o f t h e S O ' s a n d 6 0 ' s e x p l a i n l o n g r u n g r o w t h ? . T h e y

b a s i c a l l y a s s u m e d t h a t t h e e c o n o m y g e t s ( e x o g e n o u s l y ) m o r e p r o d u c t i v e o v e r

t i m e .

I n o t h e r w o r d s , t h e y e x t e n d e d t h e t e c h n o l o g y i n ( 1 . 1 ) t o a m o r e

N o t i c e t h a t t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n e x p r e s s i n g t h e a c c u m u l a t i o n

e q u a t i o n i n l e v e l s o r i n p e r c a p i t a t e r m s i s t h e t e r m n k a d d e d t o 6 k . W e

c a n i n f a c t t h i n k o f n k a s s o m e e x t r a d e p r e c i a t i o n s i n c e i t r e p r e s e n t s t h e

l o s s o f c a p i t a l p e r p e r s o n d u e t o t h e f a c t t h a t , w h e n p o p u l a t i o n g r o w s , w e

h a v e t o s h a r e c a p i t a l w i t h a n i n c r e a s i n g n u m b e r o f p e o p l e .

S



g e n e r a l

( 1 . 1 ) '

—

A ( t ) K L

w h e r e A ( t ) r e f l e c t s t h e l e v e l o f t h e t e c h n o l o g y w h i c h i s a s s u m e d t o b e

g r o w i n g a t t h e c o n s t a n t r a t e g , s o A ( t ) . . A ( O ) e t

T h e p a r a m e t e r " g " i s o f t e n

r e f e r r e d a s t h e " e x o g e n o u s p r o d u c t i v i t y g r o w t h r a t e " 5 .

I n s e c t i o n 1 . 3 w e

w i l l p r e s e n t a n o p t i m i z i n g v e r s i o n o f t h i s m o d e l . W e w i l l s e e t h a t i n c o m e

p e r c a p i t a , c a p i t a l p e r c a p i t a , a n d i n v e s t m e n t p e r c a p i t a w i l l e n d u p

g r o w i n g a t t h i s e x o g e n o u s l y g i v e n r a t e .

W e w i l l a l s o e x p a n d o n t h e t e r m

A ( t ) a n d o n d i f f e r e n t w a y s t o m o d e l p r o d u c t i v i t y g r o w t h .

A s e c o n d ( a n d p o s s i b l y m o r e i n t e r e s t i n g ) w a y t o r e a d e q u a t i o n

( 1 . 3 ) i s t h e f o l l o w i n g : " I n a C O N S T A N T S R E T U R N S T O S C A L E m o d e l ( a + f l — 1 ) i n

o r d e r t o h a v e p o s i t i v e s t e a d y s t a t e g r o w t h ( i k > O ) , t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n

m u s t e x h i b i t

C O N S T A N T R E T U R N S T O T H E I N P U T S T H A T C A N B E A C C U M U L A T E D ,

T h i s

s i m p l e

f a c t u n d e r l i e s t h e C O N S T A N T R E T U R N S E N D O G E N O U S G R O W T H m o d e l s

d e v e l o p e d I n t h e l a t e 8 0 ' s .

T h e i m p l i e d p r o d u c t i o n f u n c t i o n i s t h e

f o l l o w i n g :

( 1 . 1 ) ' '

—

T h e

s i m p l e s t g r o w t h m o d e l u s i n g t h i s t y p e o f p r o d u c t i o n f u n c t i o n

( R e b e l o ( 1 9 9 0 ) ) i s o u t l i n e d i n s e c t i o n 1 . 4 . N o t i c e t h a t t h i s t y p e o f

p r o d u c t i o n f u n c t i o n d o e s n o t g i v e a n y r o l e t o e x h a u s t i b l e o r n o n

r e p r o d u c i b l e r e s o u r c e s s u c h a s r a w l a b o r o r l a n d . O n e c o u l d a r g u e , h o w e v e r ,

t h a t w h a t m a t t e r s f o r p r o d u c t i o n i s n o t r a w l a b o r b u t , r a t h e r , q u a l i t y

5

I t

i s c a l l e d e x o g e n o u s b e c a u s e i t i s u n a f f e c t e d b y a n y o f t h e

p a r a m e t e r s o f t h e m o d e l s u c h a s t h e c a p i t a l s h a r e o r t h e s a v i n g s r a t e .

N o t i c e t h a t w e a r e s a y i n g C R t o K a n d n o ç c t j S c a l e . T h e d i s t i n c t i o n

i s i m p o r t a n t : t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n Y — K ' L "

w i t h

0 < f l < 1 , e x h i b i t s

c o n s t a n t r e t u r n s t o s c a l e ( i f w e m u l t i p l y a l l i n p u t s b y A > l w e g e t A t i m e s

a s m u c h o u t p u t ) b u t D e c r e a s i n g R e t u r n s t o C a p i t a l ( s i n c e i f w e m u l t i p l y

c a p i t a l b y A w e g e t l e s s t h a n A t i m e s a s m u c h a s o u t p u t ) .

6



a d j u s t e d l a b o r . T h e q u a l i t y o f t h e l a b o r f o r c e ( o f t e n c a l l e d H u m a n C a p i t a l )

i s a c c u m u l a t e d a s e a c h g e n e r a t i o n i s m o r e k n o w l e d g e a b l e t h a n t h e o n e b e f o r e .

W h e n o n e c o m b i n e s p h y s i c a l a n d h u m a n c a p i t a l i n t o s o m e b r o a d m e a s u r e o f

c a p i t a l , t h e a g g r e g a t e p r o d u c t i o n f u n c t i o n w i l l l o o k l i k e t h e l i n e a r A K

f u n c t i o n p o s t u l a t e d a b o v e . T h i s i s t h e a p p r o a c h t a k e n b y L u c a s ( 1 9 8 8 ) a n d

U z a w a ( 1 9 5 6 ) . A v e r s i o n o f t h e s e m o d e l s i s p r e s e n t e d i n s e c t i o n 1 . 7 .

B a r r o

( 1 9 9 0 )

a n d i t s e x t e n s i o n s o u t l i n e d i n B a r r o a n d

S a l a - i - M a r t i n ( 1 9 9 0 ) a s s u m e t h a t t h e t w o i n p u t s o f p r o d u c t i o n a r e p r i v a t e

p h y s i c a l c a p i t a l a n d p u b l i c l y p r o v i d e d i n p u t s s u c h a s r o a d s , i n f r a s t r u c t u r e

o r l a w e n f o r c e m e n t . O u t p u t e x h i b i t s c o n s t a n t r e t u r n s t o b o t h i n p u t s .

I n

s e c t i o n 1 . 5 w e w i l l s h o w t h a t t h i s s e t u p e n d s u p b e i n g s i m i l a r t o

p o s t u l a t i n g a n A K p r o d u c t i o n f u n c t i o n w h e r e K m u s t a g a i n b e i n t e r p r e t e d a s a

b r o a d m e a s u r e o f c a p i t a l .

N o t i c e t h a t ( a s c a n b e s e e n f r o m e q u a t i o n ( 1 . 3 ) ' , t h e s t e a d y s t a t e

g r o w t h r a t e

d e r i v e d f r o m t h e s e m o d e l s i s p o s i t i v e w i t h o u t a s s u m i n g

e x o g e n o u s p r o d u c t i v i t y g r o w t h . A s w e w i l l s e e i n t h e n e x t s u b s e c t i o n , t h e

p a r a m e t e r s o f t h e m o d e l ( i n p a r t i c u l a r t h e s a v i n g s r a t e ) w i l l d e t e r m i n e t h i s

g r o w t h r a t e .

B e c a u s e t h e g r o w t h r a t e i s d e t e r m i n e d w i t h i n t h e m o d a l , ( i n

o t h e r w o r d s , i t d e p e n d s o n t h e o t h e r p a r a m e t e r s o f t h e m o d e l ) t h e s e a r e

o f t e n c a l l e d W E N D O G E N O U S G R O W T H M O D E L S U .

F i n a l l y , e q u a t i o n ( 1 . 3 ) a l l o w s f o r o n e m o r e p o s s i b i l i t y . I f t h e

p o p u l a t i o n g r o w t h r a t e i s z e r o ( n — O ) , w e c a n h a v e n o n r e p r o d u c i b l e i n p u t s

( c > O ) t o g e t h e r w i t h E N D O C E N O U S G R O W T H

i f t h e r e a r e C O N S T A N T R E T U R N S

T O T H E I N P U T S T H A T C A N B E A C C U M U L A T E D ( f l — i ) .

B u t n o t i c e t h a t t h i s i m p l i e s

O V E R A L L I N C R E A S I N G R E T U R N S T O S C A L E ( a + f l > l ) . T h i s p o s s i b i l i t y g i v e s r i s e t o

t h e s o c a l l e d T M I N C R E A S I N G R E T U R N S E N D O G E N O U S G R O W T H M O D E L S " 7 .

O f c o u r s e , i f w e p l a i n l y p o s t u l a t e a n I n c r e a s i n g R e t u r n s t o S c a l e

( I R S ) p r o d u c t i o n f u n c t i o n w e r u n i n t o t r o u b l e s i n c e w e c a n n o t f i n d a s e t o f

A s c a n b e s e e n f r o m e q u a t i o n ( 1 . 3 ) , w h e n t h e p o p u l a t i o n g r o w t h

r a t e i s p o s i t i v e , t h e i n c r e a s i n g r e t u r n s t o s c a l e m o d e l s ( a + f l > l ) r u n i n t o

t r o u b l e s i n c e t h e r e i s n o

t h a t s a t i s f i e s t h e k e y e q u a l i t y . W h a t h a p p e n s

i n t h i s c i r c u m s t a n c e s i s t h a t t h e g r o w t h r a t e i s n e v e r c o n s t a n t b u t , r a t h e r ,

i t i n c r e a s e s o v e r t i m e .

7



p r i c e s t o s u p p o r t a g e n e r a l c o m p e t i t i v e e q u i l i b r i u m . T h e r e a r e a t l e a s t t w o

w a y s t o g e t a r o u n d t h i s p r o b l e m .

( a ) T h e f i r s t o n e ( d u e t o A l f r e d M a r s h a l l ) i s t o i n t r o d u c e I R S a t

t h e a g g r e g a t e l e v e l b u t C R S a t t h e f i r m l e v e l . T h i s c a n b e f o r m u l a t e d

t h r o u g h p r o d u c t i o n e x t e r n a l i t i e s o r s p i l l o v e r s : e a c h f i r m ' s d e c i s i o n a f f e c t s

a l l o t h e r f i r m s o u t p u t , b u t n o n e o f t h e f i r m s t a k e s t h i s i n t o a c c o u n t .

H e n c e , a l l t h e f i r m s f a c e a " c o n c a v e " p r o b l e m w h i c h h a s a c o m p e t i t i v e

s o l u t i o n . T h e e c o n o m y a s a w h o l e , h o w e v e r , f a c e s a n I R S p r o d u c t i o n f u n c t i o n

w h i c h , u n d e r s o m e c o n d i t i o n s t h a t w e w i l l m e n t i o n i n a s e c o n d , g e n e r a t e s

e n d o g e n o u s g r o w t h . T h e C o b b D o u g l a s v e r s i o n o f t h i s p r o d u c t i o n f u n c t i o n i s

( 1 . 1 . ) ' '

—

w h e r e K i s p r i v a t e c a p i t a l a n d

i s t h e a g g r e g a t e c a p i t a l i n t h e e c o n o m y .

I n d i v i d u a l f i r m s d o n o t t h i n k t h e y c a n a f f e c t

s o t h e y t a k e i t a s g i v e n .

N o t i c e t h a t u n d e r t h e s e c i r c u m s t a n c e s f i r m s f a c e a p e r f e c t l y d e f i n e d c o n c a v e

p r o b l e m s o t h e K u h n - T u c k e r t h e o r e m s a p p l y . I n t h e a g g r e g a t e , h o w e v e r , t o t a l

c a p i t a l w i l l e q u a l t h e s u m o f i n d i v i d u a l c a p i t a l s a n d t h e r e f o r e s c — K .

T h u s

t h e a g g r e g a t e p r o d u c t i o n f u n c t i o n w i l l b e

( 1 . 1 ) ' ' ' '

—

N o t i c e t h a t i f t h e s i z e o f t h e e x t e r n a l i t y i s " c o r r e c t " ( t h a t i s

i f + — 1 ) w e w i l l h a v e C O N S T A N T R E T U R N S T O C A P I T A L i n a n I N C R E A S I N G R E T U R N S

T O S C A L E w o r l d . T h u s , b y m o d e l i n g I R S t h r o u g h e x t e r n a l i t i e s w e g e t a r o u n d

t h e p r o b l e m o f i n e x i s t e n c e o f c o m p e t i t i v e e q u i l i b r i u m . A s i t i s w e l l k n o w n ,

h o w e v e r , t h e s e c o m p e t i t i v e e q u i l i b r i u m m o d e l s w i t h e x t e r n a l i t i e s w i l l b e N O N

O P T I M A L .

I n s e c t i o n 1 . 6 w e s h o w h o w R o s t e r ( 1 9 8 6 ) , f o l l o w i n g A r r o w ( 1 9 6 2 )

a n d S h e s h i n s k i ( 1 9 6 7 ) . p o s t u l a t e s c a p i t a l s p i l l o v e r s ( e x t e r n a l i t i e s ) i n t h e

a g g r e g a t e p r o d u c t i o n f u n c t i o n a n d f i n d s t h a t t h e m o d e l g e n e r a t e s s t e a d y

e n d o g e n o u s g r o w t h w h e n f l + — l .

( b ) A s e c o n d w a y t o g e t a r o u n d t h e e x i s t e n c e o f t h e c o m p e t i t i v e

e q u i l i b r i u m p r o b l e m i s t o d r o p t h e a s s u m p t i o n o f c o m p e t i t i v e b e h a v i o r . T h i s

i s s o m e t i m e s c a l l e d t h e C h a m b e r l i n i a n a p p r o a c h t o i n c r e a s i n g r e t u r n s . T h i s

8



a p p r o a c h i s i n t e r e s t i n g f o r a v a r i e t y o f r e a s o n s , o n e o f t h e m a i n o n e s b e i n g

t h a t u n d e r i m p e r f e c t c o m p e t i t i o n t h e r e w a r d s t o a l l i n p u t s o f p r o d u c t i o n

d o e s n o t e x h a u s t t o t a l o u t p u t . H e n c e , t h e r e a r e r e n t s t h a t c a n b e a s s i g n e d

t o a c t i v i t i e s n o t d i r e c t l y p r o d u c t i v e b u t t h a t m a y c o n t r i b u t e t o t h e

e x p a n s i o n o f t h e f r o n t i e r s o f k n o w l e d g e s u c h a s R & D .

N o t s u r p r i s i n g l y ,

t h e r e f o r e , t h i s a p p r o a c h h a s b e e n e x t e n s i v e l y u s e d b y e c o n o m i s t s t h a t t h i n k

t h a t R & D i s a n i m p o r t a n t s o u r c e o f e c o n o m i c g r o w t h . I n s e c t i o n 8 w e e x p l o r e

a m o d e l o f R & D a n d g r o w t h t a k e n f r o m B a r r o a n d S a l a - i - M a r t i n ( 1 9 9 0 , a ) 8 w h e r e

f i r m s i n v e s t i n R & D i n s e a r c h o f n e w v a r i e t i e s o f c a p i t a l g o o d s . I n t h a t

m o d e l , t h e r e a r e N O d e c r e a s i n g r e t u r n s t o t h e i n t r o d u c t i o n o f n e w v a r i e t i e s

s o t h e i n c e n t i v e t o p e r f o r m R & D n e v e r d i m i n i s h e s , w h i c h k e e p s t h e e c o n o m y

9

g r o w i n g

O f c o u r s e o n e c o u l d h a v e m o d e l s w i t h b o t h i m p e r f e c t c o m p e t i t i o n

a n d e x t e r n a l i t i e s .

I n f a c t t h e r e i s a n i m p o r t a n t l i n e o f r e s e a r c h t h a t

c o m b i n e s R & D ( w i t h i m p e r f e c t c o m p e t i t i o n ) w i t h e x t e r n a l i t i e s . I t e m p h a s i z e s

R & D a s s o m e a c t i v i t y e x e r c i s e d b y f i r m s i n s e a r c h f o r n e w v a r i e t i e s o f

p r o d u c t s o r h i g h e r q u a l i t y p r o d u c t s . A s a s i d e p r o d u c t , R & D i n c r e a s e s t h e

g e n e r a l s t o c k o f k n o w l e d g e w h i c h h a s t w o e f f e c t s . F i r s t , i t d e c r e a s e s t h e

c o s t o f f u r t h e r r e s e a r c h ( s o t h e i n c e n t i v e t o p e r f o r m R & D r e m a i n s p o s i t i v e

a n d K n o w l e d g e g r o w s a t a c o n s t a n t r a t e f o r e v e r ) . A n d s e c o n d i t i n c r e a s e s

t h e p r o d u c t i v i t y o f o t h e r i n p u t s ( s u c h a s l a b o r ) i n t h e p r o d u c t i o n o f a

m a n u f a c t u r i n g g o o d .

T h e r e f o r e , g i v e n t h a t t h e s t o c k o f k n o w l e d g e g r o w s a t

c o n s t a n t r a t e , s o d o e s t h e m a n u f a c t u r i n g g o o d . M o d e l s o f t h i s t y p e i n c l u d e

A g h i o n a n d H o w i t t ( 1 9 8 9 ) , G r o s s m a n ( 1 9 8 9 ) a n d G r o s s m a n a n d H e l p m a n ( 1 9 8 9 d

a n d e ) .

B e f o r e s h o w i n g t h e m e c h a n i c s o f a l l t h e s e m o d e l s , l e t u s i n t r o d u c e

8

T h i s m o d e l , i n t u r n , i s a n e x t e n s i o n o f R o m e r ( 1 9 8 7 ) a n d G r o s s m a n

a n d H e l p m a n ( 1 9 8 9 , a ) .

9

T h e r e i s a t h i r d w a y t o m o d e l i n c r e a s i n g r e t u r n s i n a m o d e l o f

p e r f e c t l y c o m p e t i t i v e f i r m s a n d t h a t i s t o i n t r o d u c e i m p e r f e c t f i n a n c i a l

m a r k e t s . T h i s a p p r o a c h h a s b e e n t a k e n b y G r e e n w a l d , S a l i n g e r a n d S t i g l i t z

( 1 9 9 0 ) .

9



a g r a p h i c a l d e v i c e t h a t w i l l f u r t h e r c l a r i f y t h e b a s i c d i f f e r e n c e b e t w e e n

e x o g e n o u s a n d e n d o g e n o u s g r o w t h m o d e l s . I t w i l l a l s o h e l p u s u n d e r s t a n d w h y

t h e s a v i n g s ( o r i n v e s t m e n t ) r a t e d o e s n o t a f f e c t l o n g r u n g r o w t h i n t h e

f i r s t o n e a n d d o e s s o i n t h e l a t t e r .

( b ) T h e R o l e o f S a v i n g a n d I n v e s t m e n t : a G r a p h i c a l E x p o s i t i o n .

W e c a n o f t e n h e a r e c o n o m i c a d v i s o r s t o t h i r d w o r l d c o u n t r i e s s a y

t h a t o n e o f t h e n e c e s s a r y c o n d i t i o n s f o r e c o n o m i c g r o w t h a n d d e v e l o p m e n t i s

t h e i n c r e a s e i n n a t i o n a l s a v i n g s r a t e . H i g h e r s a v i n g s v i i i l e a d t o h i g h e r

i n v e s t m e n t ( s i n c e i n a c l o s e d e c o n o m y t h e t w o m u s t b e e q u a l ) a n d h i g h e r

i n v e s t m e n t w i l l l e a d t o m o r e r a p i d e c o n o m i c g r o w t h . I n t h i s s e c t i o n w e w i l l

a n a l y z e u n d e r w h a t c o n d i t i o n s t h i s p o l i c y r e c o m m e n d a t i o n i s v a l i d .

L e t u s k e e p a s s u m i n g t h a t p e o p l e s a v e a c o n s t a n t f r a c t i o n o f t h e i r

i n c o m e a n d t h a t t h e g o v e r n m e n t c a n i n f l u e n c e i t ( f o r i n s t a n c e t h r o u g h

d i s t o r t i o n a r y i n c o m e t a x e s ) .

S u p p o s e t h a t , f o r w h a t e v e r r e a s o n , t h e

g o v e r n m e n t m a n a g e s t o i n c r e a s e t h e e c o n o m y ' s s a v i n g s r a t e . W h a t w i l l t h e

l o n g r u n e f f e c t s o f s u c h p o l i c y b e ? .

I n o r d e r t o a n s w e r t h i s q u e s t i o n , l e t u s s t a r t b y a s s u m i n g t h a t

t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n i s c o n s t a n t r e t u r n s t o s c a l e ( + p — l ) a n d d i v i d i n g

b o t h s i d e s o f t h e ( p e r c a p i t a ) c a p i t a l a c c u m u l a t i o n e q u a t i o n ( 1 . 2 ) ' t o g e t

( 1 . 4 ) k / k t —

S A k a

-

( 6 + n )

T h e l e f t h a n d s i d e o f t h i s e q u a t i o n i s t h e i n s t a n t a n e o u s g r o w t h

r a t e . E q u a t i o n ( 1 . 4 ) s a y s t h a t t h e g r o w t h r a t e i s t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n

s A k a n d ( 6 + n ) .

W e d e p i c t t h e s e t w o f u n c t i o n s i n F i g u r e 1 .

T h e

f u n c t i o n 6 + n i s i n d e p e n d e n t o f k s o i t i s a f l a t l i n e . I n t h e n e o c l a s s i c a l

m o d e l 8 < 1 a p p l i e s .

T h i s i m p l i e s t h a t t h e f u n c t i o n s A k i s d o w n w a r d

s l o p i n g i n k , a n d a p p r o a c h i n g z e r o a s y m p t o t i c a l l y .

N o t i c e t h a t t h e t w o

c u r v e s c r o s s a t a p o i n t k * , t h e s t e a d y s t a t e c a p i t a l l a b o r r a t i o . L e t u s

n o w c o n s i d e r a n e c o n o m y w i t h a n i n i t i a l l e v e l o f c a p i t a l k 0 l o w e r t h a n k * .

T h e i n i t i a l g r o w t h r a t e o f c a p i t a l w i l l b e v e r y l a r g e ( n o t i c e t h a t ,

a c c o r d i n g t o ( 1 . 4 ) , t h e g r o w t h r a t e i s t h e v e r t i c a l d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e

t w o c u r v e s ) a n d i t w i l l b e d e c r e a s i n g o v e r t i m e . I m a g i n e f o r a s e c o n d t h a t

1 0



w e a r e i n t h e s t e a d y s t a t e a n d , s u d d e n l y , t h e s a v i n g s r a t e s , i n c r e a s e s .

F i g u r e 1 s u g g e s t s t h a t t h e c u r v e s A k w i l l s h i f t t o t h e r i g h t a n d

n o t h i n g w i l l h a p p e n t o t h e ( + n ) l i n e . W e c a n s e e t h a t t h e f o l l o w i n g t h i n g s

a r e t r u e :

( a ) t h e

g r o w t h

r a t e w i l l i m m e d i a t e l y i n c r e a s e .

( b )

t h e g r o w t h r a t e w i l l b e f a l l i n g o v e r t i m e u n t i l , e v e n t u a l l y , i t

g o e s b a c k t o z e r o .

( c ) t h e s t e a d y s t a t e c a p i t a l l a b o r r a t i o i s h i g h e r .

H e n c e , a n i n c r e a s e i n t h e s a v i n g s r a t e g e n e r a t e s a s h o r t t e r m

i n c r e a s e i n t h e g r o w t h r a t e a n d a n i n c r e a s e i n t h e s t e a d y s t a t e L E V E L

o f

c a p i t a l p e r w o r k e r .

I t d o e s n o t a f f e c t , h o w e v e r , t h e l o n g r u n o r s t e a d y

s t a t e g r o w t h r a t e , w h i c h i s s t i l l z e r o . U n d e r n o r m a l p a r a m e t e r i z a t i o n s . t h e

s p e e d o f c o n v e r g e n c e t o w a r d s t h e n e w s t e a d y s t a t e i s q u i t e f a s t .

F o r

i n s t a n c e , B a r r o a n d S a l a - i - H a r t i n ( 1 9 9 0 ) s u g g e s t t h a t t h e m o d e l p r e d i c t s

t h a t h a l f t h e d i s t a n c e b e t w e e n k 0 a n d k * d i s a p p e a r s i n l e s s t h a n 6 y e a r s l .

A s i t w a s m e n t i o n e d a b o v e , F i g u r e 1 s u g g e s t s t h a t t h e g r o w t h r a t e

f o r a n e c o n o m y w h i c h s t a r t s b e l o w t h e s t e a d y s t a t e i s h i g h a n d d e c r e a s i n g .

T h i s , o f c o u r s e , i m p l i e s t h a t i f e c o n o m i e s d i f f e r O N L Y o n t h e i n i t i a l

c a p i t a l l a b o r r a t i o , w e s h o u l d o b s e r v e p o o r e c o n o m i e s g r o w f a s t e r t h a n r i c h

o n e s ( i n F i g u r e 1 , d i f f e r e n t e c o n o m i e s w o u l d b e r e p r e s e n t e d b y d i f f e r e n t

s t o c k s o f k 0 b u t a l l o f t h e m w o u l d h a v e t h e s a m e s t e a d y s t a t e k * ) .

E c o n o m i s t s c a l l t h i s t h e " c o n v e r g e n c e h y p o t h e s i s " . T h i s h y p o t h e s i s i s

c e r t a i n l y t r u e , b u t n o t i c e t h a t t h e r e i s a b i g O N L Y o n i t .

T h a t i s ,

e c o n o m i e s m a y d i f f e r N O T O N L Y i n t h e c a p i t a l l a b o r r a t i o b u t a l s o I n t h e

l e v e l o f t e c h n o . o g y ( A ) , t h e s a v i n g s r a t e ( s ) , t h e d e p r e c i a t i o n r a t e ( 5 ) , o r

t h e p o p u l a t i o n g r o w t h r a t e ( n ) . I f c o u n t r i e s d i f f e r i n o n e o r m o r e o f t h e s e

p a r a m e t e r s , t h e y w i l l e n d u p i n d i f f e r e n t s t e a d y s t a t e s .

I n F i g u r e 2 w e s h o w t h e b e h a v i o r o f t w o e c o n o m i e s , o n e c a l l e d P

( p o o r ) a n d o n e c a l l e d R ( r i c h ) .

T h e p o o r e c o n o m y h a s a l o w e r i n i t i a l

c a p i t a l s t o c k k O p < k O R , ( t h a t i s w h y i t i s c a l l e d p o o r ) . W e a s s u m e t h a t t h e

p o o r e c o n o m y a l s o h a s a s m a l l e r s a v i n g s r a t e s o i t c o n v e r g e s t o a s m a l l e r

s t e a d y s t a t e c a p i t a l l a b o r r a t i o , k < k . N o t i c e t h a t i n t h i s p a r t i c u l a r

e x a m p l e , i t h a p p e n s t h a t t h e

p o o r

e c o n o m y g r o w s l e s s t h a n t h e r i c h o n e s o

1 1



t h e r e i s n o c o n v e r g e n c e i n t h e a b s o l u t e s e n s e .

Y e t t h e r e i s C O N D I T I O N A L

c o n v e r g e n c e i n t h e s e n s e t h a t e a c h c o u n t r y c o n v e r g e s t o i t s o w n s t e a d y s t a t e

a t d i m i n i s h i n g g r o w t h r a t e s . E m p i r i c a l l y , t h i s m e a n s t h a t i f w e h o l d

c o n s t a n t t h e s t e a d y s t a t e , p o o r c o u n t r i e s w i l l g r o w f a s t e r t h a n r i c h o n e s .

I f w e d o n ' t , h o w e v e r , w e w i l l n o t s e e p o o r e c o n o m i e s g r o w i n g f a s t e r u n l e s s

t h e y a r e v e r y s i m i l a r ( I n t h e s e n s e t h a t t h e y c o n v e r g e t o s i m i l a r s t e a d y

s t a t e s ) .

B a r r o a n d S a l a - i - M a r t i n ( 1 9 9 0 ) f i n d t h a t t h i s f e a t u r e o f t h e

n e o c l a s s i c a l m o d e l c a n b e f o u n d i n t h e d a t a . T h e y f i n d t h a t t h e S t a t e s o f

t h e U . S . d i s p l a y a b s o l u t e c o n v e r g e n c e w h i l e c o u n t r i e s i n t h e w o r l d d o n o t .

H o l d i n g c o n s t a n t t h e s t e a d y s t a t e , h o w e v e r , t h e r e i s c o n v e r g e n c e a c r o s s

c o u n t r i e s a l s o . T h i s m a k e s s e n s e i f w e t h i n k t h a t t h e s t a t e s o f t h e U . S .

a r e s i m i l a r i n t h e s e n s e o f h a v i n g t h e s a m e t a s t e s a n d t e c h n o l o g y s o t h e y

c o n v e r g e t o t h e s a m e s t e a d y s t a t e . T h i s i s c e r t a i n l y n o t t r u e f o r t h e l a r g e

c r o s s s e c t i o n o f c o u n t r i e s , s o t h e y d i s p l a y c o n d i t i o n a l c o n v e r g e n c e o n l y .

F o r r e l a t e d s t u d i e s o n c o n v e r g e n c e s e e B a u i n o l ( 1 9 8 6 ) , D e l o n g ( 1 9 8 8 ) , D o w r i c k

a n d N G u y e n ( 1 9 8 9 ) , M a n k i w , R o m e r a n d W e i l ( 1 9 9 0 ) . a n d S a l a - i - M a r t i n ( 1 9 9 0 ) .

L e t u s n o w e x p a n d t h e n e o c l a s s i c a l p r o d u c t i o n f u n c t i o n b y

i n t r o d u c i n g e x o g e n o u s p r o d u c t i v i t y g r o w t h .

R e c a l l t h a t t h e p r o d u c t i o n

f u n c t i o n n o w l o o k s l i k e

( 1 . 1 ) ' y —

A ( t ) k

w h e r e

N o t i c e t h a t , i n t e r m s o f F i g u r e 1 , t h i s s p e c i f i c a t i o n

i m p l i e s t h a t t h e c u r v e s A k " ' k e e p s s h i f t i n g o v e r t i m e a t a r a t e g .

T h i s i m p l i e s t h a t t h e s t e a d y s t a t e c a p i t a l l a b o r r a t i o k * k e e p s s h i f t i n g a t

t h e s a m e r a t e . T h i s i s h o w t h e n e o c l a s s i c a l m o d e l e x p l a i n s l o n g r u n g r o w t h .

I n F i g u r e 3 w e s h o w t h a t t h e i m p l i c a t i o n s f r o m c h a n g i n g t h e

s a v i n g s r a t e a r e v e r y d i f f e r e n t w h e n w e c o n s i d e r a s i m p l e e n d o g e n o u s g r o w t h

m o d e l . I f t h e c a p i t a l s h a r e i s 1 ( f l — l ) , t h e s A k c u r v e i s a f l a t l i n e

a t s A .

I f w e a s s u m e t h a t t h e e c o n o m y i s p r o d u c t i v e e n o u g h s o a s t o h a v e

s A > 6 + n , t h e n t h e g r o w t h r a t e ( d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e t w o l i n e s ) i s c o n s t a n t .

I n o t h e r w o r d s , t h e e c o n o m y g r o w s a t a c o n s t a n t r a t e e q u a l t o s A - ( 6 + n ) .

N o t i c e a l s o t h a t i n t h i s c a s e , a n e x o g e n o u s i n c r e a s e i n t h e s a v i n g s r a t e

1 2



i n c r e a s e s b o t h t h e s h o r t r u n a n d t h e s t e a d y s t a t e g r o w t h r a t e s .

H e n c e ,

c o n t r a r y t o t h e n e o c l a s s i c a l p r e d i c t i o n s , p o l i c i e s d i r e c t e d t o i n c r e a s e s i n

t h e s a v i n g s ( a n d i n v e s t m e n t ) r a t e s w i l l h a v e l o n g r u n g r o w t h e f f e c t s .

F u r t h e r , n o t i c e t h a t i f e c o n o m i e s d i f f e r i n t h e i n i t i a l c a p i t a l s t o c k O N L Y .

i t i s n o t t r u e a n y m o r e t h a t p o o r o n e s w i l l g r o w f a s t e r t h a n r i c h o n e s .

F i n a l l y , t h i s m o d e l p r e d i c t s t h a t a t e m p o r a r y r e c e s s i o n w i l l h a v e p e r m a n e n t

e f f e c t s . T h a t i s , i f t h e c a p i t a l s t o c k t e m p o r a r i l y f a l l s f o r s o m e e x o g e n o u s

r e a s o n ( a n e a r t h q u a k e , a n a t u r a l t r a g e d y o r a w a r t h a t d e s t r o y s p a r t o f t h e

c a p i t a l s t o c k ) , t h e e c o n o m y w i l l n o t g r o w t e m p o r a r i l y f a s t e r s o a s t o g o

b a c k t o t h e p r i o r p a t h o f c a p i t a l a c c u m u l a t i o n .

T h e e n d o g e n o u s m o d e l

d e s c r i b e d h e r e p r e d i c t s t h a t a f t e r s u c h a t e m p o r a r y r e d u c t i o n i n t h e c a p i t a l

s t o c k , t h e g r o w t h r a t e w i l l s t i l l b e t h e s a m e s o t h e l o s s w i l l t e n d t o b e

1 0

p e r m a n e n t

F i g u r e 4 d e p i c t s t h e c a s e w h e r e p > l ( I R S i n t h e i n p u t s t h a t c a n b e

1 1

a c c u m u l a t e d ) .

T h e

c u r v e s A k

i s u p w a r d s l o p i n g ( a n d i f f i > 2 i t s s l o p e

i s i n c r e a s i n g i ) . N o t i c e t h a t t h i s i m p l i e s g r o w t h r a t e s t h a t i n c r e a s e o v e r

t i m e . W e w i l l r e f e r t o t h i s c a s e a g a i n i n s e c t i o n 6 ( R o w e r ( 1 9 8 6 ) ) .

( c ) T h e H a r r o d - D o m a r M o d e l .

L o n g b e f o r e t h e n e o c l a s s i c a l t h e o r y c a m e t o l i f e i n t h e m i d 5 0 ' s ,

t h e m o s t p o p u l a r m o d e l o f e c o n o m i c g r o w t h w a s t h e s o c a l l e d t h e H a r r o d - D o m a r

m o d e l ( d e v e l o p e d b y H a r r o d ( 1 9 3 9 ) a n d D o m a r ( 1 9 4 6 ) ) .

W e c a n u s e t h e

g r a p h i c a l t o o l d e v e l o p e d i n t h e l a s t s u b s e c t i o n t o l e a r n a b o u t t h i s o l d e r

1 0

T h e r e a r e u n b e l i e v a b l e a m o u n t s o f p a p e r s o n t h e e x i s t e n c e o f a

u n i t r o o t i n m a c r o e c o n o m i c a g g r e g a t e s s u c h a s G N P .

T h e r e s e e m s t o s o m e

e v i d e n c e t h a t , f o r t h e U n i t e d S t a t e s , G N P i s n o n s t a t i o n a r y , w h i c h i s w h a t

t h i s s i m p l e m o d e l w o u l d p r e d i c t . S e e B l a n c h a r d a n d F i s c h e r ( 1 9 8 9 ) C h . 1 . f o r

d i s c u s s i o n o f t h e s e i s s u e s .

1 1

I n t h i s c a s e t h e a s s u m p t i o n o f C R S a - I - f l — I . m u s t b e d r o p p e d s i n c e a

n e g a t i v e l a b o r s h a r e h a s l i t t l e e c o n o m i c s e n s e . T h i n k o f t h i s c a s e a s o n e

w h e r e a — 0 ( s o a l l i n p u t s c a n b e a c c u m u l a t e d ) a n d f l ) ' l ( s o t h e r e a r e b o t h I R S

a n d I R t o c a p i t a l .

1 3



g r o w t h m o d e l .

H a r r o d a n d D o m a r t r i e d t o p u t t o g e t h e r t w o o f t h e k e y f e a t u r e s o f t h e

K e y n e s i a n e c o n o m i c s - t h e m u l t i p l i e r a n d t h e a c c e l e r a t o r - i n a m o d e l t h a t

e x p l a i n e d l o n g r u n e c o n o m i c g r o w t h .

W e h a v e b e e n u s i n g t h e m u l t i p l i e r

a s s u m p t i o n ( s a v i n g s i s a f i x e d p r o p o r t i o n o f i n c o m e ) a l l a l o n g s o l e t u s

d e s c r i b e t h e d i f f e r e n t i a l f e a t u r e o f t h e H a r r o d - D o m a r m o d e l : t h e

a c c e l e r a t o r . T h e i n c r e a s e i n c a p i t a l r e q u i r e d t o p r o d u c e a g i v e n i n c r e a s e

i n o u t p u t i s a s s u m e d t o b e a c o n s t a n t n u m b e r .

I n p a r t i c u l a r , I t i s

i n d e p e n d e n t o f t h e c a p i t a l l a b o r r a t i o . T h a t I s

( 1 . 6 ) A Y — A o X

w h e r e A i s c o n s t a n t . N o t i c e t h a t o n e p r o d u c t i o n f u n c t i o n t h a t s a t i s f i e s

t h i s r e l a t i o n s h i p i s t h e l i n e a r A X p r o d u c t i o n f u n c t i o n u s e d b y t h e C R S

E n d o g e n o u s G r o w t h m o d e l s . T h u s o n e c o u l d b e t e m p t e d t o i d e n t i f y t h e

H a r r o d - D o m a r m o d e l w i t h t h e n e w E n d o g e n o u s G r o w t h M o d e l s . Y e t t h a t w o u l d b e

a m i s t a k e . T h e r e a s o n i s t h a t H a r r o d a n d D o m a r w e r e v e r y c o n c e r n e d a b o u t

t h e e f f e c t s o f g r o w t h o n l o n g r u n e m p l o y m e n t a n d u n e m p l o y m e n t ' 2 ( t h e i r s t u d y

c o u l d b e t h o u g h t o b e a n e x p l a n a t i o n f o r t h e t h e n e x i s t i n g l o n g r u n

u n e m p l o y m e n t o f t h e G r e a t D e p r e s s i o n ) . A l t h o u g h t h e y n e v e r I n t r o d u c e d a

s p e c i f i c p r o d u c t i o n f u n c t i o n , t h e f a c t t h a t t h e y w o r r i e d s o m u c h a b o u t

e m p l o y m e n t s e e m s t o • i n d i c a t e t h a t t h e y w e r e n o t t a l k i n g a b o u t a f u n c t i o n

s u c h a s N A X W , w h e r e t h e r e i s n o r o l e f o r i n p u t s s u c h a s l a b o r .

A n o t h e r p r o d u c t i o n f u n c t i o n w h i c h s a t i s f i e s t h e a c c e l e r a t o r

p r i n c i p l e a n d w h i c h i s c l o s e r t o t h e s p i r i t o f w h a t H a r r o d a n d D o m a r h a d i n

m i n d i s t h e L e o n t i e f F i x e d C o e f f i c i e n t s f u n c t i o n . O u t p u t i s a s s u m e d t o b e

p r o d u c e d b y a f i x e d p r o p o r t i o n o f c a p i t a l a n d l a b o r . G i v e n t h i s p r o p o r t i o n ,

a n i n c r e a s e i n t h e l e v e l o f o n e o f t h e i n p u t s w i t h o u t a c o r r e s p o n d i n g

i n c r e a s e I n t h e o t h e r l e a v e s o u t p u t u n c h a n g e d . T h u s , w e s h o u l d r e p l a c e t h e

1 2

I n f a c t , D o m a r ' s p a p e r i s c a l l e d " C a p i t a l E x p a n s i o n , R a t e o f

G r o w t h , a n d E m p l o y m e n t " .

1 4



p r o d u c t i o n f u n c t i o n ( 1 . 1 ) b y

( 1 . 1 )

—

m i n ( A K . B L )

w h e r e A a n d B a r e e x o g e n o u s p r o d u c t i o n p a r a m e t e r s .

A f t e r r e w r i t i n g t h i s

f u n c t i o n i n p e r c a p i t a t e r m s . y — i n i n ( A k , B ) - w e p l o t t e d i t i n F i g u r e 5 . W e

s e e t h a t t h e r e i s a c a p i t a l l a b o r r a t i o k * _ B / A t h a t h a s t h e f o l l o w i n g

p r o p e r t y : f o r c a p i t a l l a b o r r a t i o s s m a l l e r t h a n k * , A k i s s m a l l e r t h a n B s o

o u t p u t i s d e t e r m i n e d b y A k . F o r c a p i t a l l a b o r r a t i o s l a r g e r t h a n k * , A k i s

l a r g e r t h a n B s o o u t p u t i s d e t e r m i n e d b y B . I n o t h e r w o r d s , t h i s p r o d u c t i o n

f u n c t i o n c a n b e r e w r i t t e n a s

f

A k

f o r a l l k c < k * _ B / A

( 1 . 1 ) y —

*

B

f o r a l l k > k — B / A

N o t i c e t h a t t h i s t e c h n o l o g y i s s i m i l a r t o t h e A k m o d e l b u t o n l y f o r

s m a l l c a p i t a l l a b o r r a t i o s . F o r l a r g e o n e s , h o w e v e r , t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n

i s f l a t s o t h e M a r g i n a l P r o d u c t o f C a p i t a l i s e q u a l t o z e r o . W e c a n n o w

a p p l y t h e b a s i c s a v i n g s e q u a l i n v e s t m e n t e q u a l i t y ( 1 . 5 ) t o t h i s t e c h n o l o g y

t o g e t .

f o r k t < k * _ B / A

( 1 . 7 ) k ÷ i —

I

*

I . s B

+ l S . n ) k

f o r k ) k — B / A

A s H a r r o d a n d D o m a r p o i n t e d o u t , t h e r e a r e t h r e e p o s s i b l e

c o n f i g u r a t i o n s o f p a r a m e t e r s e a c h o f w h i c h w i l l y i e l d d i f f e r e n t i m p l i c a t i o n s

f o r g r o w t h a n d e m p l o y m e n t .

C A S E 1 : s A < 6 + n

W h e n t h e s a v i n g s r a t e a n d / o r t h e m a r g i n a l p r o d u c t i v i t y o f c a p i t a l

a r e v e r y s m a l l c o m p a r e d t o t h e a g g r e g a t e d e p r e c i a t i o n r a t e ( w h i c h i n c l u d e s

p o p u l a t i o n g r o w t h ) , t h e r e i s n o p o s s i b l e s t e a d y s t a t e . T h i s i s p i c t u r e d i n

F i g u r e 6 . N o t i c e t h a t t h e e c o n o m y c o n v e r g e s t o a p o i n t w h e r e t h e l o g a r i t h m

o f t h e c a p i t a l l a b o r r a t i o i s m i n u s i n f i n i t y ( s o t h e c a p i t a l l a b o r r a t i o

I s



c o n v e r g e s t o z e r o ) .

I n t h i s c a s e n o t o n l y t h e r e w i l l b e u n e m p l o y m e n t

( b e c a u s e A X ( B L ) b u t i t w i l l g r o w o v e r t i m e . H a r r o d a n d D o m a r t h o u g h t t h a t

t h i s w a s a g o o d d e s c r i p t i o n o f t h e o b s e r v e d l a r g e a n d g r o w i n g u n e m p l o y m e n t

r a t e s o f t h e 3 0 ' s .

C A S E 2 : s A — 6 + n

W h e n , b y c h a n c e , t h e e x o g e n o u s l y g i v e n s a v i n g s r a t e a n d m a r g i n a l

p r o d u c t o f c a p i t a l a r e s u c h t h a t a A — 6 + n , t h e e c o n o m y w i l l r e a c h a s t e a d y

s t a t e w h e r e a l l t h e p e r c a p i t a v a r i a b l e s g r o w a t a z e r o r a t e . I n F i g u r e 7

w e s h o w t h a t , i n t h i s c a s e , t h e i n i t i a l c a p i t a l l a b o r r a t i o w i l l b e t h e

s t e a d y s t a t e o n e .

C A S E 3 : s A > 5 + n

T h e t h i r d c a s e , d e p i c t e d i n F i g u r e 8 , i s o n e w h e r e t h e m a r g i n a l

p r o d u c t o f c a p i t a l o r / a n d t h e s a v i n g s r a t e a r e v e r y l a r g e r e l a t i v e t o t h e

d e p r e c i a t i o n r a t e . W e s e e i n F i g u r e 8 t h a t , f o r s m a l l c a p i t a l l a b o r r a t i o s ,

t h i s c a s e l o o k s v e r y m u c h l i k e t h e R e b e l o m o d e l . B u t a s t h e c a p i t a l l a b o r

r a t i o g r o w s , t h e l a b o r r e q u i r e m e n t g e t s b i n d i n g ( t h a t i s w e h i t k B / A a t

s o m e f i n i t e p o i n t i n t i m e ) .

A f t e r t h i s p o i n t , t h e m a r g i n a l p r o d u c t o f

c a p i t a l i s z e r o a n d t h e p e r c a p i t a g r o w t h p r o c e s s s t o p s . T h e s t e a d y s t a t e

c a p i t a l l a b o r r a t i o ,

w i l l b e o n e w h e r e t h e r e w i l l b e u n e m p l o y e d

m a c h i n e r y .

T w o o u t o f t h e t h r e e c o n f i g u r a t i o n s o f p a r a m e t e r s y i e l d l o n g r u n

e q u i l i b r i a w e r e t h e r e a r e i d l e r e s o u r c e s a n d t h e o n l y t h a t d o e s n o t , w o u l d

b e a c h i e v e d o n l y b y c h a n c e : r e m e m b e r t h a t a l l t h e r e l e v a n t p a r a m e t e r s - A . s •

S a n d n - w e r e g i v e n b y m o t h e r n a t u r e .

T h e q u e s t i o n i s w h y i n t h e w o r l d

w o u l d m o t h e r n a t u r e b e s o k i n d a s t o g i v e u s e x a c t l y t h a t c o n f i g u r a t i o n o f

p a r a m e t e r s ? .

I n o t h e r w o r d s , t h e c h a n c e o f t h e m b e i n g s u c h t h a t t h e

e q u a l i t y a b o v e i s s a t i s f i e d a r e q u i t e s m a l l .

A t t h e t i m e , t h e N e o c l a s s i c a l a p p r o a c h w a s s e e n a s a w a y o f

s o l v i n g t h i s k n i f e e d g e p r o p e r t y o f t h e H a r r o d - D o m a r m o d e l . T h a t i s , t h e

n e o c l a s s i c a l p r o d u c t i o n f u n c t i o n a c h i e v e s t h e e q u a l i t y b e t w e e n s A a n d 6 + n b y

a l l o w i n g f o r A ( t h e m a r g i n a l p r o d u c t o f c a p i t a l ) t o b e v a r i a b l e i n k 1 3 . W e

1 3

A n d w e k n o w t h a t t h e r e w i l l b e a l e v e l o f c a p i t a l k s u c h t h a t t h e

1 6



s h o u l d j u s t m e n t i o n t h a t t h e r e a r e o t h e r n o n n e o c l a s s i c a l w a y s o f a c h i e v i n g

t h i s e q u a l i t y . O n e o f t h e m , p r o p o s e d b y t h e o l d C a m b r i d g e S c h o o l i n E n g l a n d

w a s t o a r g u e t h a t t h e s a v i n g s r a t e w a s e n d o g e n o u s .

T h e y t h o u g h t t h a t

w o r k e r s h a d a d i f f e r e n t m a r g i n a l p r o p e n s i t y t o s a v e f r o m c a p i t a l i s t s .

H e n c e , s o t h e y a r g u e d , i n t h e p r o c e s s o f e c o n o m i c g r o w t h t h e r e w i l l b e

c h a n g e s i n t h e d i s t r i b u t i o n o f i n c o m e t h a t w i l l l e a d t o c h a n g e s i n t h e

a g g r e g a t e s a v i n g s r a t e i n s u c h a w a y t h a t t h e e q u a l i t y b e t w e e n s A a n d 6 4 - n

w i l l b e g u a r a n t e e d 1 4 . W e w i l l n o t t a l k a b o u t t h e C a m b r i d g e s c h o o l o f t h o u g h t

a n y m o r e .

( d ) T h e N S o b e l o w P r o d u c t i o n F u n c t i o n .

F i n a l l y , w i t h t h i s g r a p h i c a l a p p r o a c h w e c a n s e e t h a t t h e g r o w t h

p a t h s a r e n o t l i m i t e d t o t h e c a s e s s e e n u p t o n o w . W e c o u l d f i n d f u n c t i o n s

t h a t b e h a v e i n s o m e o t h e r w a y s , w e m a y d i s c o v e r n e w g r o w t h m o d e l s a n d n e w

t r a n s i t i o n a l d y n a m i c s t o w a r d s s t e a d y s t a t e s . C o n s i d e r F i g u r e 9 : T h e s t e a d y

s t a t e i s s i m i l a r t o t h e o n e d e s c r i b e d b y t h e R e b e l o m o d e l b u t t h e

t r a n s i t i o n a l d y n a m i c s a r e d i f f e r e n t . O n e p r o d u c t i o n f u n c t i o n t h a t e x h i b i t s

s u c h d y n a m i c s i s t h e f o l l o w i n g :

( 1 . 9 )

+

T h i s

p r o d u c t i o n f u n c t i o n w a s f i r s t p r o p o s e d b y K u r t z ( 1 9 6 8 ) a n d

G a l e a n d S u t h e r l a n d ( 1 9 6 8 ) a n d l a t e r r e i n t r o d u c e d i n t h e e n d o g e n o u s g r o w t h

m a r g i n a l p r o d u c t o f c a p i t a l i s e q u a l t o ( 6 + n ) / s s i n c e t h e m a r g i n a l p r o d u c t

i s a s s u m e d t o r a n g e f r o m z e r o ( f ' ( . o ) — O ) t o i n f i n i t y ( f ' ( O ) a ) i n a

c o n t i n u o u s f a s h i o n .

1 4

T h i s w a s o n e o f t h e m a i n d i f f e r e n c e s b e t w e e n t h e C a m b r i d g e ( U . S . ) a n d

t h e C a m b r i d g e ( U . K . ) s c h o o l o f t h o u g h t . T h e o t h e r m a i n d i f f e r e n c e w a s t h a t

t h e b r i t i s h r e j e c t e d t h e N e o c l a s s i c a l p r o d u c t i o n f u n c t i o n a n d ,

i n

p a r t i c u l a r , t h e y r e j e c t e d t h e n o t i o n o f a g g r e g a t e c a p i t a l s t o c k .

T h e y

t h o u g h t o f c a p i t a l a s a n u m b e r o f d i f f e r e n t m a c h i n e s w h i c h , c o m b i n e d w i t h

d i f f e r e n t t y p e s o f w o r k e r s y i e l d e d d i f f e r e n t t y p e s o f o u t p u t .

S u c h a

h e t e r o g e n e o u s s e t o f o b j e c t s , t h e y a r g u e d , i s i m p o s s i b l e t o a g g r e g a t e i n t o a

s i n g l e v a r i a b l e c a l l e d A g g r e g a t e C a p i t a l s t o c k . S e e R o b i n s o n ( 1 9 5 4 ) .

1 7



l i t e r a t u r e b y J o n e s a n d M a n u e l l i ( 1 9 9 0 ) . N o t i c e t h a t t h i s f u n c t i o n i s h a l f

w a y b e t w e e n S o l o w ( B K ) a n d R e b e l o ( A X ) 1 5 .

I t h a s a l l t h e n i c e p r o p e r t i e s

r e q u i r e d b y t h e K u h n T u c k e r t h e o r e m s o w e c a n a p p l y s t r a i g h t f o r w a r d

o p t i m i z a t i o n t e c h n i q u e s t o f i n d s o l u t i o n s .

I n p e r c a p i t a t e r m s t h e S o l o w p r o d u c t i o n f u n c t i o n i s c o n c a v e a n d ,

a s k t e n d s t o i n f i n i t e , t h e m a r g i n a l p r o d u c t o f c a p i t a l a p p r o a c h e s z e r o .

T h e R e b e l o p r o d u c t i o n f u n c t i o n i n p e r c a p i t a t e r m s i s l i n e a r w i t h s l o p e

e q u a l t o A f o r a l l v a l u e s o f k .

T h e S o b e l o w p r o d u c t i o n f u n c t i o n i s a l s o

c o n c a v e f o r a l l c a p i t a l - l a b o r r a t i o s . A s k g o e s t o i n f i n i t y , h o w e v e r , t h e

s l o p e o f t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n d o e s n o t g o t o z e r o b u t t o A .

F o r l a r g e

l e v e l s o f k , t h e r e f o r e , i t g e t s a r b i t r a r i l y c l o s e t o t h e R e b e l o p r o d u c t i o n

f u n c t i o n .

H e n c e , t h e o n l y d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e S o l o w a n d t h e S o b e l o w

f u n c t i o n s i s t h e l a t t e r d o e s n o t s a t i s f y t h e I n a d a c o n d i t i o n .

W e o b s e r v e i n f i g u r e 9 t h a t s f ( k ) / k n o w i s n o t g o i n g t o z e r o

a s y m p t o t i c a l l y b u t t o A . A s K u r t z ( 1 9 6 8 ) n o t e d , i f A i s s u f f i c i e n t l y l a r g e

( i n t h i s c a s e t h i s m e a n s i f s A > S + n ) , t h e n t h e s t e a d y s t a t e g r o w t h r a t e i s

p o s i t i v e , e v e n t h o u g h t h e r e i s a t r a n s i t i o n p e r i o d w h e r e g r o w t h r a t e s a r e

d e c r e a s i n g m o n o t o n i c a l l y .

I t i s w o r t h n o t i c i n g t h a t i f t h e e c o n o m y h a s

b e e n g o i n g o n f o r a w h i l e , t h e d e c r e a s i n g r e t u r n s p a r t o f t h e p r o d u c t i o n

f u n c t i o n w i l l b e a l m o s t i r r e l e v a n t s o w e m i g h t a s w e l l d e a l w i t h t h e

( s i m p l e r ) l i n e a r t e c h n o l o g y d e s c r i b e d a b o v e .

( e ) P o v e r t y T r a p s .

A n o t h e r p o s s i b i l i t y c o u l d b e t h e o n e i n F i g u r e 1 0 .

H e r e w e s e e

t h e f u n c t i o n s f ( k ) / k c r o s s i n g t h e h o r i z o n t a l l i n e ( 6 4 - n ) t w i c e s o t h e r e a r e

t w o s t e a d y s t a t e s . T h e l o w e r c r o s s i n g r e p r e s e n t s a " s t a b l e p o v e r t y t r a p .

T h a t i s , c o u n t r i e s w h o s e i n i t i a l " c a p i t a l " ( h e r e w e d e f i n e c a p i t a l i n a

b r o a d s e n s e t h a t i n c l u d e s a l l i n p u t s t h a t c a n b e a c c u m u l a t e d ) i s v e r y l o w

w i l l t e n d t o t h i s z e r o g r o w t h - l o w i n c o m e t r a p . I n f a c t a l l c o u n t r i e s w h o s e

1 5

T h a t w e c a l l i t t h e S o b e l o w p r o d u c t i o n f u n c t i o n .

1 8



i n i t i a l c a p i t a l l i e s t o t h e l e f t o f k w i l l f a l l i n t o t h i s t r a p . C o u n t r i e s

t h a t s t a r t t o t h e r i g h t o f t h i s t r a p w i l l t e n d t o a c o n s t a n t g r o w t h s t e a d y

s t a t e a

I a

R e b e l o .

I n t h e n e x t t w o s e c t i o n s w e w i l l p r e s e n t t h e o p t i m i z i n g v e r s i o n s

o f t h e N e o c l a s s i c a l m o d e l s w e h a v e b e e n t a l k i n g a b o u t i n t h i s i n t r o d u c t i o n .

I n s e c t i o n s 4 t h r o u g h 7 w e p r e s e n t t h e " n e w " g r o w t h m o d e l s o f t h e 8 0 ' s . I t

i s u s e f u l t o t h i n k a b o u t t h e m i n t e r m s o f b e i n g o p t i m a l s a v i n g v e r s i o n s o f

t h e — l m o d e l w e j u s t p r e s e n t e d i n t h i s s e c t i o n .

( 2 ) T h e R . a i n s e y - C a s s - K o o p m a n s m o d e l

( a ) T h e M o d e l .

A l l o p t i m i z i n g g r o w t h m o d e l s w e w i l l a s s u m e t h a t c o n s u m e r s c h o o s e

a p a t h o f c o n s u m p t i o n s o a s t o m a x i m i z e a u t i l i t y f u n c t i o n o f t h e f o r m :

( 2 . 0 ) U ( 0 ) —

J

e 1 t u c t ) L t d t

—

I

e . P t [ c 1 0 . l ] L d t .

W h e r e

p

i s t h e d i s c o u n t r a t e , c i s c o n s u m p t i o n p e r c a p i t a a t t i m e

t a n d L t i s p o p u l a t i o n . W e c a n t h i n k a b o u t h o r i z o n s b e i n g i n f i n i t e ( d e s p i t e

t h e f a c t t h a t , o b v i o u s l y , l i f e t i m e s a r e n o t ) i f , f o l l o w i n g B a r r o ( 1 9 7 4 ) w e

t h i n k t h a t i n d i v i d u a l s c a r e a b o u t t h e i r u t i l i t y A N D a b o u t t h e i r c h i l d r e n ' s

u t i l i t y . I n t h i s s e n s e , w e m u s t t h i n k o f t h e a g e n t a s b e i n g a d y n a s t y o r

f a m i l y

t h e n u m b e r o f i n d i v i d u a l s o f w h i c h g r o w s o v e r t i m e . U n d e r t h i s

i n t e r p r e t a t i o n , t h e d i s c o u n t r a t e ( w h i c h w a s d e s c r i b e d b y R a m s e y ( 1 9 2 8 ) a s

" e t h i c a l l y i n d e f e n s i b l e a n d a r i s e s o n l y f r o m t h e w e a k n e s s o f t h e

i m a g i n a t I o n " 1 6 , ( P . 5 4 3 ) a t t h e i n d i v i d u a l l e v e l ) r e p r e s e n t s t h e f a c t t h a t

i n d i v i d u a l s c a r e m o r e f o r t h e i r o w n u t i l i t y t h a n t h e o n e o f t h e i r c h i l d r e n .

1 6

R a m s e y w a s c o n s i d e r i n g t h e o p t i m a l c h o i c e f r o m a g o v e r n m e n t ' s

p o i n t o f v i e w .

H e t h o u g h t t h a t i n t r o d u c i n g a d i s c o u n t r a t e w a s e t h i c a l l y

i n d e f e n s i b l e b e c a u s e t h a t m e a n t t h a t t h e g o v e r n m e n t w a s g i v i n g a l a r g e r

w e i g h t t o c u r r e n t t h a n t o f u t u r e g e n e r a t i o n s .

1 9



S i n c e c i s c o n s u m p t i o n p e r c a p i t a , u ( c ) i s t h e i n s t a n t a n e o u s p e r c a p i t a

f e l i c i t y . H e n c e , t h e i n s t a n t a n e o u s f e l i c i t y f o r t h e w h o l e f a m i l y i s e q u a l t o

t h e i n d i v i d u a l t i m e s t h e n u m b e r o f p e o p l e i n t h e f a m i l y .

W e a s s u m e t h a t t h e r e i s o n l y o n e g o o d ( c o o k i e s ) .

W e w i l l a s s u m e

t h a t h o u s e h o l d s O W N t h e f i r m s ( o r t h a t t h e r e i s o n l y h o u s e h o l d p r o d u c t i o n 1 7 )

s o t h e y c a n c o n s u m e t h i s g o o d o r t h e y c a n n a i l i t t o t h e f l o o r . T h e r e a s o n

w h y a n y o n e w o u l d d o s u c h a h o r r e n d o u s t h i n g i s t h a t c o o k i e s n a i l e d t o t h e

f l o o r c a n b e u s e d t o p r o d u c e m o r e c o o k i e s i n t h e f u t u r e . F o r l a c k o f a

b e t t e r n a m e , a l l c o o k i e s n a i l e d t o t h e f l o o r w i l l b e c a l l e d " c a p i t a l " a n d

w i l l b e r e p r e s e n t e d b y K t . W e a s s u m e t h a t t h e r e i s n o b o d y e l s e i n t h e

u n i v e r s e , s o a l l t h e c o o k i e s p r o d u c e d w i l l h a v e b e c o n s u m e d o r n a i l e d . H e n c e

t h e i n c r e a s e i n e x i s t i n g c a p i t a l ( c a l l e d i n v e s t m e n t ) m u s t b e e q u a l t o

s a v i n g . I f w e l e t k b e p e r c a p i t a c a p i t a l ( K / L ) , t h e f o l l o w i n g r e s o u r c e

c o n s t r a i n t m u s t b e s a t i s f i e d :

( 2 . O ) k —

f ( k )

-

c - n k - 6 k

N o t i c e t h a t n i s l i k e a " d e p r e c i a t i o n r a t e " b e c a u s e i t r e p r e s e n t s

t h e f r a c t i o n o f r e s o u r c e s t h a t w e n e e d t o g i v e t o n e w g e n e r a t i o n s . T h e k e y

N e o c l a s s i c a l a s s u m p t i o n i s a p r o d u c t i o n f u n c t i o n t h a t e x p r e s s e s N E T o u t p u t

i n p e r c a p i t a t e r m s a s a f u n c t i o n o f c a p i t a l p e r c a p i t a w i t h t h e f o l l o w i n g

p r o p e r t i e s : t w i c e d i f f e r e n t i a b l e , w i t h f ( O ) — O , f ' ( k ) > O , f ' ' ( k ) < O , f ' ( O ) —

a n d f ' ( o ) — O ' 8 . A s i m p l e N e o c l a s s i c a l p r o d u c t i o n f u n c t i o n t h a t w e w i l l b e

u s i n g t h r o u g h o u t i s t h e C o b b D o u g l a s : f ( k ) — k w i t h O < l . P o p u l a t i o n i s

1 7

A s w e w i l l s h o w i n t h e n e x t s e c t i o n , t h e r e s u l t s w i l l b e t h e s a m e

w e w o u l d g e t i f w e a s s u m e t h a t h o u s e h o l d s o w n c a p i t a l a n d l a b o r a n d s e l l

t h e i r s e r v i c e s t o c o m p e t i t i v e f i r m s i n e x c h a n g e f o r w a g e s a n d r e n t s .

1 8

T h e l a s t t w o c o n d i t i o n s ( t h e I n a d a c o n d i t i o n s ) a r e o f t e n s w e p t

u n d e r t h e r u g .

T h e y a r e o f c r u c i a l i m p o r t a n c e b e c a u s e , a s K u r t z ( 1 9 6 8 )

s h o w e d ,

t h e m a t h e m a t i c a l d i f f e r e n c e b e t w e e n a n e n d o g e n o u s a n d e x o g e n o u s

g r o w t h m o d e l i s t h e c o n d i t i o n l i m f ( k ) — O . T h i s p o i n t h a s b e e n e m p h a s i z e d

k -

a l s o

b y J o n e s a n d M a n u e l l i ( 1 9 9 0 ) .

2 0



a s s u m e d t o g r o w a t t h e ( e x o g e n o u s l y g i v e n ) r a t e n s o w e c a n r e w r i t e t h e

p r o g r a m a s :

( 2 . 1 ) M A X U ( 0 ) —

J

e 1 t [ c C 1 ) d t

s . t .

k —

f ( k )

-

c

- n k -

6 k

k ( 0 ) > 0 g i v e n

F o r U ( 0 ) t o b e b o u n d e d ( U ( 0 ) < , a n d t h e p r o g r a m t o b e m e a n i n g f u l

a t a l l ) w e n e e d t h e t e r m i n s i d e t h e i n t e g r a l t o g o t o z e r o a s t

g o e s

t o

i n f i n i t y . T h i s i m p l i e s

L i m e

t [ c 1 7 l ] —

l i m

e t c 0 u r n

e

( j t i ) t 1 / ( 1

) —

— —

— —

I - a

I - a

I n s t e a d y s t a t e c w i l l b e c o n s t a n t ( w e w i l l s h o w l a t e r ) . H e n c e .

i f t h i s l i m i t h a s t o b e z e r o , i t m u s t b e t h e c a s e t h a t

( 2 . 2 ) p > n .

T o s o l v e t h e m o d e l , w e s e t u p t h e c o r r e s p o n d i n g H a m i l t o n i a n

( 2 . 3 ) H O —

e

P _ n ) t { c l - a l } + i [ f k )

-

c

-

n k -

S k i

w h e r e . , i s

t h e d y n a m i c L a g r a n g e m u l t i p l i e r ( o r s h a d o w p r i c e o f

i n v e s t m e n t ) . T h e f i r s t o r d e r c o n d i t i o n s a r e t h e f o l l o w i n g :

( 2 . 4 ) H —

0

*

e

P f l ) t c O

-

— o

2 . 5 )

H k —

• i '

v

—

- v ( f ' ( k ) - n - S )

( 2 . 6 ) T V C

l i m k v )

—

0

E q u a t i o n ( 2 . 4 ) s a y s t h a t a t t h e m a r g i n , t h e v a l u e w e w i l l g i v e t o

2 1



c o n s u m e o n e m o r e u n i t w i l l b e e q u a l t o t h e v a l u e w e w i l l g i v e t o i n v e s t o n e

m o r e u n i t ( t h a t i s , w e w i l l b e i n d i f f e r e n t b e t w e e n c o n s u m i n g a n d i n v e s t i n g

t h e u n i q u e g o o d ) . T a k e l o g s o f ( 2 . 4 ) t o g e t ( . n ) t . o l o g ( c ) _ l o g ( l / ) . N o w

t a k e t h e d e r i v a t i v e w i t h r e s p e c t t o t i m e t o g e t :

( 2 . 7 ) - ( p - n ) - a ( c / c ) —

s o

( 2 . 7 ) ' c / c —

a 4 ( - p + n - & ' / v )

W e c a n n o w p l u g t h i s i n ( 2 . 5 ) t o g e t t h e t r a d i t i o n a l c o n d i t i o n f o r

c o n s u m p t i o n g r o w t h :

( 2 . 8 ) ' . c / c —

T h i s

e q u a t i o n c a n b e r e w r i t t e n a s p + a ( c / c ) — f ' ( k ) - 5 a n d i n t e r p r e t e d

a s f o l l o w s : T h e l e f t h a n d s i d e r e p r e s e n t s t h e r e t u r n t o c o n s u m p t i o n . T h e

d i s c o u n t r a t e r e p r e s e n t s t h e g a i n i n u t i l i t y f r o m c o n s u m i n g t o d a y s i n c e w e

p r e f e r c o n s u m p t i o n f o r o u r s e l v e s r a t h e r t h a n f o r o u r c h i l d r e n . T h e r e t u r n

t o c o n s u m p t i o n a l s o i n c l u d e s c c / c .

I f w e w a n t t o s m o o t h c o n s u m p t i o n o v e r

t i m e ( c > O ) , t h e n w e w a n t t o i n c r e a s e c o n s u m p t i o n t o d a y , w h e n e v e r w e e x p e c t

c o n s u m p t i o n t o b e h i g h e r i n t h e f u t u r e ( i e , w h e n c / c > O ) .

T h e r e t u r n t o

s a v i n g ( a n d i n v e s t m e n t ) i s t h e m a r g i n a l p r o d u c t o f c a p i t a l m i n u s t h e

d e p r e c i a t i o n r a t e , 6 . O p t i m i z i n g i n d i v i d u a l s s h o u l d , a t t h e m a r g i n ,

b e

i n d i f f e r e n t b e t w e e n c o n s u m i n g a n d i n v e s t i n g . T h i s i n d i f f e r e n c e i s t h e o n e

r e p r e s e n t e d b y e q u a l i t y ( 2 . 8 ) .

U s i n g t h e C o b b - D o u g l a s t e c h n o l o g y , ( y — k ) , e q u a t i o n ( 2 . 8 ) c a n b e

w r i t t e n a s

( 2 . 8 ) '

2 2



I f w e d e f i n e s t e a d y s t a t e a s t h e s t a t e w h e r e a l l t h e v a r i a b l e s g r o w a t a

c o n s t a n t ( a n d p o s s i b l y z e r o ) r a t e , e q u a t i o n s ( 2 . 8 ) t o g e t h e r w i t h t h e c a p i t a l

*

a c c u m u l a t i o n e q u a t i o n ( 2 . 0 ) ' s a y t h a t t h e r e i s a u n i q u e s t e a d y s t a t e k

w h i c h e n s u r e s t h a t c a p i t a l a n d c o n s u m p t i o n p e r c a p i t a d o n o t

g r o w ' 9 . H e n c e

t h i s m o d e l s a y s t h a t , i n t h e s t e a d y s t a t e , a l l v a r i a b l e s i n p e r c a p i t a t e r m s

d o n o t g r o w a t a l l . A l t e r n a t i v e l y , a l l " l e v e P ' v a r i a b l e s g r o w a t t h e s a m e

r a t e a s p o p u l a t i o n , w h i c h i s a s s u m e d t o b e e x o g e n o u s .

( b ) C o m p e t i t i v e S o l u t i o n .

S i n c e t h i s m o d e l i s c o n c a v e ( c o n c a v e p r e f e r e n c e s a n d t e c h n o l o g y )

a n d t h e r e a r e n o e x t e r n a l i t i e s o f a n y k i n d , t h e O P T I M A L P R O G R A M ( c o m m a n d

e c o n o m y s o l u t i o n ) w i l l y i e l d t h e s a m e s o l u t i o n a s

t h e C O M P E T I T I V E

E Q U I L I B R I U M P R O G R A M , p r o v i d e d t h a t c o n s u m e r s a n d f i r m s h a v e R A T I O N A L

E X P E C T A T I O N S ( s i n c e t h e s e m o d e l s d o n o t h a v e u n c e r t a i n t y , r a t i o n a l

e x p e c t a t i o n s i m p l i e s P E R F E C T F O R E S I G H T ) . W e c a n s h o w t h a t t h e c o m p e t i t i v e

s o l u t i o n i s t h e s a m e a s t h e o n e w e s o l v e d . O n t h e c o n s u m p t i o n s i d e ,

i n d i v i d u a l s m a x i m i z e ( 2 . 0 ) s u b j e c t t o

( 2 . 9 )

—

w

+ r k -

c

1 9

W e c a n s h o w t h a t t h e o n l y s u s t a i n a b l e g r o w t h r a t e i s z e r o :

t a k e t h e c o n s t r a i n t k — k - c - n k - 6 k a n d d i v i d e i t b y k . D e f i n e k / k v k

w h i c h

i n

s t e a d y s t a t e w i l l b e a c o n s t a n t ( b y d e f i n i t i o n o f s t e a d y s t a t e l ) . R e a l i z e

t h a t k 1 — ( y c + p ) / p . R e a r r a n g e t o g e t c / k _ ( y a + p ) / f l . y k . f l & _ C o f l S t a f l t . T a k e

l o g s a n d d e r i v a t i v e s t o c o n c l u d e t h a t c / c _ k / k 7 k — i . N o w c o n s i d e r a g a i n t h e

e q u a l i t y

— ( y o + p ) / f l .

T h e

R I I S

i s

a c o n s t a n t . T a k e l o g s a n d d e r i v a t i v e s

o f b o t h s i d e s t o c o n c l u d e t h a t ( l ) 1 k O . T h i s i s a n o t h e r w a y t o s h o w w h a t

w e s a w i n s e c t i o n 1 : i f t h e r e a r e D R t o k ( < l ) , t h e n t h e s t e a d y s t a t e

g r o w t h m u s t b e z e r o . T h e o n l y w a y t o a c h i e v e n o n z e r o g r o w t h r a t e s i s t o h a v e

C R t o k ( f t — i ) .

2 3



w h e r e

i s t h e r e t u r n t o l a b o r ( w a g e ) a n d r k i s t h e r e t u r n t o

c a p i t a l ( w e a r e a b s t r a c t i n g a g a i n f r o m d e p r e c i a t i o n a n d p o p u l a t i o n g r o w t h ) .

I n t h e o t h e r s i d e , c o m p e t i t i v e f i r m s w i l l p r i c e f a c t o r s a t m a r g i n a l c o s t s

s o :

( 2 . 1 0 ) r —

f ' ( k ) . 6 k

—

f ( k ) . k f ' ( k )

N o t i c e t h a t w + r k — f ( k ) - k f ' ( k ) + k f ' ( k ) - 5 k — f ( k ) - E k s o s u b s t i t u t i n g

( 2 . 1 0 ) i n t o t h e i n d i v i d u a l b u d g e t c o n s t r a i n t w i l l g i v e t h e o r i g i n a l r e s o u r c e

c o n s t r a i n t ( 2 . 0 ) ' .

( c ) T r a n s i t i o n a l D y n a m i c s , G o l d e n R u l e , a n d D y n a m i c E f f i c i e n c y

T h e n e o c l a s s i c a l m o d e l j u s t o u t l i n e d i s N O T a v e r y i n t e r e s t i n g

m o d e l , o f s t e a d y s t a t e g r o w t h ( b e c a u s e s t e a d y s t a t e g r o w t h i s z e r o ) . I t i s

n e v e r t h e l e s s a n i n t e r e s t i n g m o d e l o f t h e t r a n s i t i o n t o w a r d s t h e s t e a d y

s t a t e . T h i s t r a n s i t i o n i s s h o w n i n F i g u r e 1 1 . T h e v e r t i c a l l i n e i s t h e c — 0

l o c u s . T h e u p w a r d s l o p i n g l i n e i s t h e k — 0 l o c u s r e p r e s e n t i n g t h e r e s o u r c e

c o n s t r a i n t ( 2 . 0 ) ' . N o t i c e t h a t t h e e c o n o m y c a n c o n v e r g e t o t h e s t e a d y s t a t e

f r o m b e l o w o r f r o m a b o v e . T h e i n t e r e s t i n g c a s e i s t h e o n e w h e r e w e c o n v e r g e

f r o m b e l o w s o w e a c t u a l l y g r o w . A l o n g t h i s p a t h k / k > 0 . P e r c a p i t a c a p i t a l

g r o w s , b u t i t d o e s s o a t a d e c r e a s i n g r a t e ( w h i c h e n d s u p b e i n g z e r o i n

s t e a d y s t a t e ) . A s t h e c a p i t a l l a b o r r a t i o i n c r e a s e s , t h e m a r g i n a l p r o d u c t

o f c a p i t a l f a l l s a n d , t h e r e f o r e s o d o e s t h e i n t e r e s t r a t e .

I t i s w o r t h n o t i c i n g t h a t , i n F i g u r e 1 1 , t h e r e i s a l e v e l o f

c a p i t a l c a l l e d k i d ( f o r G o l d e n R u l e ) .

T h i s i s t h e c a p i t a l l e v e l t h a t

m a x i m i z e s s t e a d y s t a t e c o n s u m p t i o n . F r o m t h e b u d g e t c o n s t r a i n t w e s e e t h a t

w h e n k — 0 , s t e a d y s t a t e c o n s u m p t i o n i s e q u a l t o c * _ f ( k ) ( 5 + n ) k . T h e c a p i t a l

l a b o r r a t i o t h a t m a x i m i z e s c i s t h e o n e t h a t s a t i s f i e s

T h i s l e v e l c a p i t a l d i v i d e s t h e s e t o f c a p i t a l l a b o r r a t i o s i n t w o . C a p i t a l

l e v e l s a b o v e t h e G o l d e n R u l e h a v e t h e p r o p e r t y t h a t i n o r d e r t o a c h i e v e

h i g h e r s t e a d y s t a t e c o n s u m p t i o n , t h e e c o n o m y n e e d s t o g e t r i d o f s o m e

2 4



c a p i t a l .

I n o t h e r w o r d s , i n o r d e r t o a c h i e v e h i g h e r c o n s u m p t i o n i n t h e

f u t u r e t h e e c o n o m y w o u l d n e e d t o d i s s a v e ( w h i c h o f c o u r s e m e a n s h i g h e r

c o n s u m p t i o n t o d a y ) . T h e r e f o r e , i f t h e e c o n o m y w e r e t o f i n d i t s e l f i n o n e o f

s u c h c a p i t a l l e v e l s , e v e r y b o d y c o u l d i n c r e a s e c o n s u m p t i o n a t a l l p o i n t s i n

t i m e . T h e p o i n t s a b o v e k

a r e c a l l e d t h e D Y N A M I C I N E F F I C I E N T R E G I O N

g o l d

b e c a u s e s o m e g e n e r a t i o n s c o u l d b e m a d e b e t t e r o f f w i t h o u t m a k i n g a n y

g e n e r a t i o n w o r s e o f f .

N o t i c e t h a t f o r c a p i t a l l e v e l s b e l o w t h e G o l d e n

R u l e , i f t h e e c o n o m y w a n t s t o i n c r e a s e t h e s t e a d y s t a t e c o n s u m p t i o n , i t

n e e d s t o a c c u m u l a t e o r s a v e : h i g h e r c o n s u m p t i o n t o m o r r o w w o u l d h a v e t o b e

t r a d e d f o r l o w e r c o n s u m p t i o n t o d a y . T h i s r e g i o n i s c a l l e d D Y N A M I C E F F I C I E N T

R E G I O N .

W e c a n i n t e g r a t e ( 2 . 5 ) f o r w a r d b e t w e e n 0 a n d t a n d g e t

t

-

1 ( f '

( 2 . 5 ) '

' o

e

w h i c h , a f t e r s u b s t i t u t i n g i n t h e T V C

y i e l d s

t

-

f ( f '

k ) - 8 - n ) d s

( 2 . 6 ) ' l i m & ' 0 e

k —

0

t -

>

S i n c e

i s p o s i t i v e , i t m u s t b e t h e c a s e t h a t t h e s e c o n d t e r m i n

( 2 . 6 ) ' i s e q u a l t o z e r o .

N o t i c e a l s o t h a t t h i s i m p l i e s t h a t i n t h e s t e a d y

s t a t e , t h e m a r g i n a l p r o d u c t o f c a p i t a l m u s t b e l a r g e r t h a n £ + n .

T h i s

c o n d i t i o n i s a l w a y s s a t i s f i e d i n s t e a d y s t a t e i f w e a s s u m e t h a t u t i l i t y i s

b o u n d e d .

R e c a l l t h a t t h i s c o n d i t i o n r e q u i r e d p > n a n d t h e s t e a d y s t a t e

i m p l i e s f ' ( k ) — p + 6 s o t h i s e n s u r e s t h a t f ' ( k ) > n + 6 .

N o t i c e h o w t h i s

i n e q u a l i t y i m p l i e s t h a t t h e c a p i t a l p e r c a p i t a i n t h e s t e a d y s t a t e w i l l b e

d y n a m i c a l l y e f f i c i e n t ( t o t h e l e f t o f t h e g o l d e n r u l e ) 2 0 .

2 0

2 5



( d ) R u l i n g o u t e x p l o s i v e p a t h s .

I t j u s t r e m a i n s t o b e s h o w n t h a t , g i v e n t h e s a d d l e - p a t h s t a b i l i t y

p r o p e r t y o f t h e m o d e l , t h e e c o n o m y w i l l f i n d i t s e l f o n t h e s t a b l e a r m . T o

s h o w t h i s w e m u s t r u l e o u t a l l o t h e r p o s s i b l e p a t h s . S u p p o s e t h a t w e s t a r t

w i t h t h e c a p i t a l s t o c k k 0 i n F i g u r e 1 1 , L e t

c 0 t h e c o n s u m p t i o n l e v e l t h a t

c o r r e s p o n d s t o t h e s a d d l e p a t h .

L e t u s i m a g i n e f i r s t t h a t t h e i n i t i a l

c o n s u m p t i o n l e v e l i s c > c 0 . I f t h i s i s t h e c a s e , t h e e c o n o m y w i l l f o l l o w

t h e p a t h d e p i c t e d I n F i g u r e 1 1 : a t f i r s t b o t h c a n d k w i l l b e g r o w i n g . A t

s o m e p o i n t t h e e c o n o m y w i l l h i t t h e k — O s c h e d u l e a n d , a f t e r t h a t ,

c o n s u m p t i o n w i l l k e e p g r o w i n g y e t c a p i t a l w i l l b e f a l l i n g .

H e n c e , t h e

e c o n o m y w i l l h i t t h e z e r o c a p i t a l a x e s i n f i n i t e t i m e . A t t h i s p o i n t , t h e r e

w i l l b e a j u m p i n c ( b e c a u s e w i t h z e r o c a p i t a l t h e r e i s z e r o

o u t p u t a n d

t h e r e f o r e z e r o c o n s u m p t i o n ) w h i c h w i l l v i o l a t e t h e f i r s t o r d e r c o n d i t i o n

( 2 . 8 ) .

I n o r d e r t o s h o w t h a t t h e e c o n o m y w i l l h i t t h e k — O a x e s i n f i n i t e

t i m e j u s t r e a l i z e t h a t k c a n b e r e w r i t t e n a s

( 2 . 1 1 ) k t _ + J k 5 d s

S u p p o s e t h a t T i s t h e t i m e a t w h i c h w e h i t t h e k — O s c h e d u l e .

A f t e r t h a t m o m e n t , k e v o l v e s a c c o r d i n g t o ( 2 . 1 1 ) . I f w e s h o w t h a t

d k / d t i s

n e g a t i v e , w e w i l l h a v e t h a t k i s n e g a t i v e a n d f a l l i n g s o k i s f a l l i n g a t

i n c r e a s i n g r a t e s . T h i s , o f c o u r s e i m p l i e s t h a t t h e r e i s a t i m e T ' a t w h i c h

i t w i l l b e z e r o . T h e d e r i v a t i v e o f k w i t h

r e s p e c t t o t i m e i s ( ( f r o m 2 . 0 ) ' )

R e c a l l t h a t k * i s s u c h t h a t f D ( k * ) _ p + 5 a n d t h a t t h e b o u n d e d

u t i l i t y

c o n d i t i o n

( 2 . 2 )

i m p l i e s

t h a t

p > n .

T h e r e f o r e

f ' ( k ) _ P + 6 > f l + 6 _ f k g o l d • S i n c e t h e p r o d u c t i o n f u n c t i o n i s

c o n c a v e ( f ' ' < O )

i t f o l l o w s t h a t k < k

g o l d

2 6



( 2 . 1 2 ) d k / d t —

[ f . ( k )

-

( n 4 - 6 ) ] k

-

c

n o t i c e t h a t s i n c e k < k t , w e k n o w t h a t f ' > r i + 6 . W e a l s o k n o w t h a t k < O a n d c > O

s o o v e r a l l , ( 2 . 1 2 ) i s n e g a t i v e w h i c h i m p l i e s t h a t k i s f a l l i n g a t i n c r e a s i n g

r a t e s . H e n c e , i f w e a r e i n t h i s r e g i o n i n f i n i t e t i m e ( i e i f w e h i t t h e k — O

s c h e d u l e i n f i n i t e t i m e ) , t h e n

w i l l h i t z e r o i n f i n i t e t i m e . T h e r e f o r e ,

i t O N L Y r e m a i n s t o b e s h o w n t h a t w e w i l l h i t t h e k — O s c h e d u l e i n

f i n i t e

t i m e ) . W e c a n s h o w t h a t t h i s i s t h e c a s e b e c a u s e a r o u n d t h e k — O s c h e d u l e ,

c o n s u m p t i o n i n c r e a s e s a t i n c r e a s i n g r a t e s s o i t w i l l r e a c h t h e k — O s c h e d u l e

i n f i n i t e t i m e . N o t i c e t h a t t h e d e r i v a t i v e o f c w i t h r e s p e c t t o t i m e i s

( 2 . 1 4 ) d c / d t -

( l / o ) [ f ' ( k ) - ( 5 + ) J c

+

( c / c ) [ f ' ' ( k ) ] k

n o t i c e t h a t t h e f i r s t t e r m i s p o s i t i v e a n d , a r o u n d t h e k — O s c h e d u l e i t

d o m i n a t e s t h e s e c o n d t e r m s o o v e r a l l d c / d t > O . H e n c e , i f i n i t i a l c o n s u m p t i o n

i s l a r g e r t h a n t h e o n e r e q u i r e d b y t h e s t a b l e a r m w e w i l l f i r s t h i t t h e k — O

s c h e d u l e i n f i n i t e t i m e a n d t h e n h i t t h e k — O a x e s i n f i n i t e t i m e . T h i s w i l l

i m p l y a f i n i t e t i m e j u m p i n c o n s u m p t i o n w h i c h w i l l v i o l a t e t h e f i r s t o r d e r

c o n d i t i o n ( 2 . 8 ) . H e n c e , i t i s n o t o p t i m a l t o s t a r t a b o v e t h e s t a b l e a r m .

L e t u s i m a g i n e n e x t t h a t w e s t a r t b e l o w t h e s t a b l e a r m .

T h e

* *

d y n a m i c s

i n F i g u r e 1 1 t e l l u s t h a t w e w i l l c o n v e r g e t o k

.

N o t i c e

t h a t

t h i s p a t h w i l l v i o l a t e t h e t r a n s v e r s a l i t y c o n d i t i o n s s i n c e k * * > k l d . T h a t

t

I

* *

* * - I ( f ' ( k

) - 6 - n ) d s

l i m k e t

> 0

t -

>

w h i c h

i s p o s i t i v e s i n c e t h e t e r m i n s i d e t h e i n t e g r a l i s n e g a t i v e .

2 7



H e n c e , i n i t i a l c o n s u m p t i o n l e v e l s b e l o w t h e s t a b l e a r m a r e n o t o p t i m a l

e i t h e r . W e a r e l e f t , t h e r e f o r e , w i t h t h e s t a b l e a r m a s t h e U N I Q U E o p t i m a l

p a t h o f t h i s m o d e l .

( e ) C o n v e r g e n c e a n d C o n v e r g e n c e R e g r e s s i o n s .

T h e N e o c l a s s i c a l m o d e l j u s t d e s c r i b e d h a s t h e a d d i t i o n a l

i m p l i c a t i o n t h a t , i f a l l c o u n t r i e s s h a r e t h e s a m e p r o d u c t i o n a n d u t i l i t y

p a r a m e t e r s , t h e n p o o r c o u n t r i e s t e n d t o g r o w a t a f a s t e r r a t e t h a n r i c h

o n e s .

I n o t h e r w o r d s , i n c o m e o r o u t p u t l e v e l s w i l l c o n v e r g e o v e r t i m e .

F o l l o w i n g S a l a - i - M a r t i n ( 1 9 9 0 ) , w e c a n s h o w t h i s i m p o r t a n t i m p l i c a t i o n w e

c a n l i n e a r i z e t h e t w o k e y d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ( 2 . 8 ) a n d t h e c a p i t a l

2 1

a c c u m u l a t i o n e q u a t i o n ( 2 . 0 ) b u d g e t c o n s t r a i n t a r o u n d t h e s t e a d y s t a t e

.

I f

w e e x p r e s s a l l v a r i a b l e s i n l o g a r i t h m s t h e s y s t e m b e c o m e s

l n ( c ) — ( l / a ) ( a e t . ( p + 8 ) )

( 2 . 1 5 )

l n ( k ) —

e 1 ' 1 t

-

e f l t

( k r ) ) -

( n + 6 )

I n s t e a d y s t a t e t h e t w o e q u a t i o n s a r e e q u a l t o z e r o s o

e 1 h 1 * )

—

( 2 . 1 6 )

e ( 1 c * m m *

—

e * )

-

( n + 6 )

-

h

> 0

w h e r e c a n d k * a r e t h e s t e a d y s t a t e v a l u e s o f

c a n d k r e s p e c t i v e l y a n d

h — ( p + 6 ( 1 - a ) - a n ) / W e c a n n o w T a y l o r - e x p a n d t h e s y s t e m ( 2 . 1 5 ) a r o u n d ( 2 . 1 6 )

2 1

S e e K i n g a n d R e b e l o ( 1 9 9 0 ) a n d B a r r o a n d S a l a - i - M a r t i n ( 1 9 9 0 ) f o r

a d i s c u s s i o n o f c o n v e r g e n c e w h e n t h e e c o n o m y i s f a r a w a y f r o m t h e s t e a d y

s t a t e .

2 8



a n d g e t

l n ( c ) —

p [ 1 n ( k t ) . l n ( k * ) ]

( 2 . 1 7 )

l n ( k ) —

h [ l n ( c t ) 1 n ( c * ) I

+

( p n ) [ l n ( k t ) . 1 n ( k * ) j

w h e r e p — ( l - a ) ( p + 6 ) / a > 0 . o r

l n ( c )

0

- p

l n c t ) l n c * )

( 2 . 1 8 )

—

l n ( k t )

- h ( p - n )

l n k t ) l n k * )

n o t i c e t h a t t h e d e t e r m i n a n t o f t h e m a t r i x i s d e t A — - h p < 0 w h i c h i m p l i e s

t h a t t h e s y s t e m i s s a d d l e p a t h s t a b l e . T h e e i g e n v a l u e s o f t h e s y s t e m a r e

2

( l / 2 )

- A 1 —

( l / 2 ) ( p - n

-

+ 4 h J

) < 0

( 2 . 1 9 )

2

( 1 / 2 )

A 2 —

( 1 / 2 ) ( p - n

+

( ( . n )

+ 4 h )

) > 0

T h e s o l u t i o n f o r 1 n ( k ) h a s t h e u s u a l f o r m

( 2 . 2 0 ) l n ( k ) -

l n ( k * )

—

l e l t

+

w h e r e

a n d

a r e t w o a r b i t r a r y c o n s t a n t s . T o d e t e r m i n e t h e m , w e n o t i c e

t h a t s i n c e A 2 i s p o s i t i v e , t h e c a p i t a l s t o c k w i l l v i o l a t e t h e t r a n s v e r s a l i t y

c o n d i t i o n u n l e s s

T h e i n i t i a l c o n d i t i o n s h e l p u s d e t e r m i n e t h e o t h e r

c o n s t a n t s i n c e a t t i m e 0 t h e s o l u t i o n i m p l i e s

( 2 . 2 0 ) ' l n ( k 0 ) -

l n ( k * )

—

2 9



H e n c e t h e f i n a l s o l u t i o n f o r t h e l o g o f t h e c a p i t a l s t o c k h a s t h e f o r m

( 2 . 2 1 ) l n ( k ) -

l n ( k )

—

[ l n ( k 0 )

-

l n ( k ) J e

I f w e r e a l i z e t h a t l n ( k ) _ l n ( y c ) / a a n d w e s u b t r a c t l n ( y 0 ) f r o m b o t h

s i d e s o f e q u a t i o n ( 2 . 2 1 ) w e w i l l g e t w h a t i s k n o w n a s t h e " c o n v e r g e n c e

e q u a t i o n "

( 2 . 2 2 ) ( l n ( y ) l n ( y 0 ) ) / t —

a

-

i l n ( y 0 )

w h e r e a _ l n ( y * ) ( 1 e A l t ) / t a n d 3 _ ( l e A l t ) / t . T h i s e q u a t i o n s a y s t h a t i f a

s e t o f e c o n o m i e s h a v e t h e s a m e d e e p p a r a m e t e r s ( d i s c o u n t r a t e , c o e f f i c i e n t

o f i n t e r t e m p o r a l e l a s t i c i t y o f s u b s t i t u t i o n , c a p i t a l s h a r e , d e p r e c i a t i o n a n d

p o p u l a t i o n g r o w t h r a t e s , e t c ) s o t h e y c o n v e r g e t o t h e s a m e s t e a d y s t a t e , t h e

c r o s s s e c t i o n r e g r e s s i o n o f g r o w t h o n t h e l o g o f i n i t i a l i n c o m e s h o u l d

d i s p l a y a n e g a t i v e c o e f f i c i e n t . I n o t h e r w o r d s , p o o r c o u n t r i e s s h o u l d t e n d

t o g r o w f a s t e r .

T h e r e a s o n f o r t h a t i s t h a t c o u n t r i e s w i t h l o w i n i t i a l

c a p i t a l w o u l d h a v e h i g h i n i t i a l m a r g i n a l p r o d u c t o f c a p i t a l .

T h a t w o u l d

l e a d t h e m t o s a v e , i n v e s t a n d t h e r e f o r e g r o w a l o t .

I f c o u n t r i e s c o n v e r g e t o d i f f e r e n t s t e a d y s t a t e s , h o w e v e r , t h e r e s h o u l d

b e n o r e l a t i o n b e t w e e n g r o w t h a n d i n i t i a l i n c o m e , u n l e s s w e h o l d c o n s t a n t

t h e d e t e r m i n a n t s o f t h e s t e a d y s t a t e .

S a l a - i - M a r c i n ( 1 9 9 0 ) a n d B a r r o a n d

S a l a - i - M a r t i n ( 1 9 9 0 ) u s e a s l i g h t l y m o r e c o m p l i c a t e d 2 2 v e r s i o n o f ( 2 . 2 2 ) t o

s h o w t h a t t h e s t a t e s o f t h e U . S . ( w h i c h w e m a y t h i n k a r e d e s c r i b e d b y

s i m i l a r p r o d u c t i o n a n d u t i l i t y p a r a m e t e r s ) c o n v e r g e t o e a c h o t h e r e x a c t l y

t h e w a y e q u a t i o n ( 2 . 2 2 ) p r e d i c t s .

T h e y a l s o s h o w t h a t , o n c e t h e y h o l d

c o n s t a n t t h e d e t e r m i n a n t s o f t h e s t e a d y s t a t e , l a r g e s a m p l e o f c o u n t r i e s

A L S O c o n v e r g e t o e a c h o t h e r t h e w a y e q u a t i o n ( 2 . 2 2 ) p r e d i c t s .

2 2

I t i s a s l i g h t l y m o r e c o m p l i c a t e d v e r s i o n b e c a u s e t h e y i n c l u d e

e x o g e n o u s p r o d u c t i v i t y g r o w t h .

3 0



( 3 ) E X O G E N O U S P R O D U C T I V I T Y A N D G R O W T H

( a ) C l a s s i f i c a t i o n o f T e c h n o l o g i c a l I n n o v a t i o n s .

A s w e j u s t m e n t i o n e d , t h e s i m p l e n e o c l a s s i c a l m o d e l p r e d i c t s t h a t

t h e l o n g r u n g r o w t h r a t e i s z e r o .

I n o r d e r t o e x p l a i n o b s e r v e d l o n g r u n

g r o w t h n e o c l a s s i c a l e c o n o m i s t s a m e n d e d t h e m o d e l a n d i n c o r p o r a t e d e x o g e n o u s

p r o d u c t i v i t y g r o w t h .

I n s e c t i o n 1 w e s a w t h a t , i n t h e f i x e d s a v i n g r a t e

m o d e l s , t h e i n t r o d u c t i o n o f p r o d u c t i v i t y g r o w t h l e a d t o l o n g r u n e c o n o m i c

g r o w t h .

T h e q u e s t i o n i s w h a t k i n d o f t e c h n o l o g i c a l p r o g r e s s s h o u l d b e

i n t r o d u c e d .

S o m e i n v e n t i o n s " s a v e " c a p i t a l r e l a t i v e t o l a b o r ( c a p i t a l

s a v i n g t e c h n o l o g i c a l p r o g r e s s ) , s o m e s a v e l a b o r r e l a t i v e t o c a p i t a l ( l a b o r

s a v i n g t e c h n o l o g i c a l p r o g r e s s ) a n d s o m e d o n o t s a v e e i t h e r i n p u t r e l a t i v e t o

t h e o t h e r ( N e u t r a l o r u n b i a s e d t e c h n o l o g i c a l p r o g r e s s ) .

N o t i c e t h a t t h e d e f i n i t i o n o f n e u t r a l i n n o v a t i o n s d e p e n d s o n w h a t w e

m e a n b y " s a v i n g " . T h e t w o m o s t p o p u l a r d e f i n i t i o n s o f u n b i a s e d o r N e u t r a l

t e c h n o l o g i c a l p r o g r e s s a r e d u e t o H i c k s a n d H a r r o d r e s p e c t i v e l y .

H i c k s s a y s t h a t a t e c h n o l o g i c a l i n n o v a t i o n i s N e u t r a l ( H i c k s - N e u t r a l )

w i t h r e s p e c t t o c a p i t a l a n d l a b o r i f a n d o n l y i f t h e r a t i o o f m a r g i n a l

p r o d u c t s r e m a i n s u n c h a n g e d f o r a g i v e n c a p i t a l l a b o r r a t i o . C o n s e q u e n t l y , a

t e c h n o l o g i c a l i n n o v a t i o n i s l a b o r ( c a p i t a l ) s a v i n g i f t h e m a r g i n a l p r o d u c t

o f c a p i t a l ( l a b o r ) i n c r e a s e s b y m o r e t h a n t h e m a r g i n a l p r o d u c t o f l a b o r

( c a p i t a l ) a t a g i v e n c a p i t a l l a b o r r a t i o .

N o t i c e t h a t H i c k s n e u t r a l i t y

a m o u n t s t o r e n u m b e r i n g t h e i s o q u a n t s .

P r o d u c t i o n f u n c t i o n s w i t h H i c k s

N e u t r a l t e c h n o l o g i c a l p r o g r e s s c a n b e w r i t t e n a s

( 3 . 1 )

—

A ( t ) F ( K , L ) .

w h e r e A ( t ) i s a n i n d e x o f t h e s t a t e o f t e c h n o l o g y a t m o m e n t t e v o l v i n g

a c c o r d i n g t o

g t ( i e , A / A — g ) a n d w e r e F ( ) i s s t i l l h o m o g e n e o u s o f

d e g r e e o n e . T h e s e c o n d d e f i n i t i o n o f t e c h n o l o g i c a l u n b i a s i s d u e t o H a r r o d .

H e s a y s t h a t a t e c h n i c a l i n n o v a t i o n i s n e u t r a l ( H a r r o d N e u t r a l ) i f t h e

r e l a t i v e s h a r e s ( K F k / L F L ) r e m a i n u n c h a n g e d f o r a g i v e n c a p i t a l O U T P U T r a t i o .

R o b i n s o n ( 1 9 3 8 ) a n d U z a w a ( 1 9 6 1 ) s h o w e d t h a t t h i s i m p l i e d a p r o d u c t i o n

3 1



f u n c t i o n o f t h e f o r m

( 3 . 1 ) '

—

F ( K ,

A ( t ) L )

w h e r e , a g a i n , A ( t ) i s a n i n d e x o f t e c h n o l o g y a t t i m e t , A / A — g a n d F i s

h o m o g e n e o u s o f d e g r e e o n e . N o t i c e t h a t t h i s p r o d u c t i o n f u n c t i o n s a y s t h a t ,

w i t h t h e s a m e a m o u n t o f c a p i t a l , w e n e e d l e s s a n d l e s s l a b o r t o p r o d u c e t h e

s a m e a m o u n t o f o u t p u t .

T h e r e f o r e , t h i s f u n c t i o n i s a l s o k n o w n a s l a b o r

a u g m e n t i n g t e c h n o l o g i c a l p r o g r e s s .

B y s y m m e t r y w e c o u l d h a v e t h o u g h t o f

t e c h n o l o g i c a l c h a n g e a s b e i n g " c a p i t a l a u g m e n t i n g " . i e Y _ F ( B K , L ) . T h i s

w o u l d m e a n t h a t , f o r a g i v e n n u m b e r o f h o u r s o f w o r k ( L u ) , w e n e e d

d e c r e a s i n g a m o u n t s o f c a p i t a l t o a c h i e v e t h e s a m e i s o q u a n t .

T h e r e a s o n w h y w e c a r e a b o u t w h a t k i n d o f t e c h n o l o g i c a l p r o g r e s s

w e s h o u l d p o s t u l a t e i s t h a t , a s P h e l p s s h o w e d , a n e c e s s a r y a n d s u f f i c i e n t

c o n d i t i o n f o r t h e e x i s t e n c e o f a s t e a d y s t a t e i n a n e c o n o m y w i t h e x o g e n o u s

t e c h n o l o g i c a l p r o g r e s s i s f o r t h i s t e c h n o l o g i c a l p r o g r e s s t o b e H a r r o d

N e u t r a l o r L a b o r A u g m e n t i n g . N o t i c e , h o w e v e r , t h a t w h e n w e w o r k w i t h C o b b

D o u g l a s u t i l i t y f u n c t i o n s t h e t w o t y p e s o f p r o g r e s s a r e i d e n t i c a l s i n c e

Y ( K , A L ) —

K ( A L ) 1

—

—

B Y ( K , L )

( b ) T h e I r r e l e v a n c e o f E m b o d i m e n t .

A l l t y p e s o f t e c h n o l o g i c a l c h a n g e w e h a v e b e e n t a l k i n g u p t o n o w

a r e " D I S E M B O D I E D " i n t h e s e n s e t h a t , w h e n a t e c h n o l o g i c a l i n n o v a t i o n o c c u r s ,

A L L e x i s t i n g m a c h i n e s g e t m o r e p r o d u c t i v e . A n e x a m p l e o f t h i s w o u l d b e

i m p r o v e m e n t s i n c o m p u t e r s o f t w a r e : i t m a k e s a l l e x i s t i n g c o m p u t e r s b e t t e r .

T h e r e a r e a l o t o f i n v e n t i o n s , h o w e v e r , t h a t a r e n o t o f t h i s t y p e . W h e n o n e

i n v e n t i o n o c c u r s , o n l y t h e N E W m a c h i n e s a r e m o r e p r o d u c t i v e ( a s i t i s t h e

c a s e w i t h c o m p u t e r h a r d w a r e ) . E c o n o m i s t s c a l l t h i s , " E M B O D I E D T E C H N O L O G I C A L

P R O G R E S S " .

I n t h e 6 0 ' s , w h e n t h e n e o c l a s s i c a l m o d e l o f e x o g e n o u s p r o d u c t i v i t y

g r o w t h w a s b e i n g d e v e l o p e d , t h e r e w a s a d e b a t e o n t h e i m p o r t a n c e o f

3 2



e m b o d i m e n t i n e c o n o m i c g r o w t h .

P r o p o n e n t s o f w h a t a t t h e t i m e w a s c a l l e d

' N e w I n v e s t m e n t T h e o r y " ( e m b o d i e d t e c h n o l o g i c a l p r o g r e s s ) s a i d t h a t

i n v e s t m e n t i n n e w m a c h i n e s h a d t h e u s u a l e f f e c t o f i n c r e a s i n g t h e c a p i t a l

s t o c k a n d t h e a d d i t i o n a l e f f e c t o f m o d e r n i z i n g t h e a v e r a g e c a p i t a l s t o c k .

P r o p o n e n t s o f t h e " u n i m p o r t a n c e o f t h e e m b o d i m e n t q u e s t i o n " a r g u e d t h a t t h i s

n e w e f f e c t w a s a l e v e l e f f e c t b u t t h a t i t d i d n o t a f f e c t t h e s t e a d y s t a t e

r a t e o f g r o w t h .

I n a c o u p l e o f i m p o r t a n t p a p e r s S o l o w ( 1 9 6 9 ) a n d P h e l p s

( 1 9 6 2 ) s h o w e d t h e f o l l o w i n g :

( 1 ) T h e n e o c l a s s i c a l m o d e l w i t h e m b o d i e d t e c h n o l o g i c a l p r o g r e s s a n d

p e r f e c t c o m p e t i t i o n ( s o t h e m a r g i n a l p r o d u c t o f l a b o r i s e q u a l f o r a l l

w o r k e r s n o m a t t e r w h a t t h e v i n t a g e o f t h e m a c h i n e t h e y a r e u s i n g i s ) c a n b e

r e w r i t t e n i n a w a y t h a t i s e q u i v a l e n t t o t h e n e o c l a s s i c a l m o d e l w i t h

d i s e m b o d i e d p r o g r e s s ( S o l o w ( 1 9 6 9 ) ) .

( 2 ) T h e S t e a d y S t a t e g r o w t h i s i n d e p e n d e n t o f t h e f r a c t i o n o f p r o g r e s s

t h a t i s e m b o d i e d ( i t d e p e n d s o n t h e t o t a l r a t e o f t e c h n i c a l p r o g r e s s b u t n o t

o n i t s c o m p o s i t i o n ) ( P h e l p s ( 1 9 6 2 ) ) .

( 3 ) T h e c o n v e r g e n c e o r s p e e d o f a d j u s t m e n t t o t h e s t e a d y s t a t e g r o w t h

r a t e i s f a s t e r t h e l a r g e r t h e f r a c t i o n o f e m b o d i e d p r o g r e s s ( P h e l p s ( 1 9 6 2 ) ) .

T h u s , t h e d i s t i n c t i o n b e t w e e n e m b o d i e d a n d d i s e m b o d i e d p r o g r e s s s e e m s

u n i m p o r t a n t w h e n s t u d y i n g l o n g r u n i s s u e s b u t m i g h t b e c r u c i a l w h e n s t u d y i n g

s h o r t r u n d y n a m i c s 2 3 . T h e m o d e l i n g o f e m b o d i e d t e c h n o l o g i c a l p r o g r e s s i s

q u i t e c o m p l i c a t e d b e c a u s e o n e h a s t o k e e p t r a c k o f a l l o l d v i n t a g e s o f

c a p i t a l a n d a s s o c i a t e d l a b o r .

Y e t a s i m p l e w a y t o t h i n k a b o u t i t i s t o

p o s t u l a t e a t e c h n o l o g y - f r e e p r o d u c t i o n f u n c t i o n Y — F ( K , L ) a n d a n a c c u m u l a t i o n

f u n c t i o n o f t h e f o r m K _ A ( t ) ( Y C ) w h e r e A ( t ) / A ( t ) . g a n d K ( t ) i s a m e a s u r e

o f a g g r e g a t e c a p i t a l . T h i s f u n c t i o n r e f l e c t s t h e f a c t t h a t a u n i t o f s a v i n g

2 3

T h e i m p o r t a n c e o f e m b o d i m e n t i n m o d e l i n g b u s i n e s s c y c l e s c a n b e

s e e n f r o m t h e f a c t t h a t a n e m b o d i e d s h o c k a f f e c t s t h e m a r g i n a l p r o d u c t o f

c a p i t a l b u t d o e s N O T a f f e c t t h e m a r g i n a l p r o d u c t o f l a b o r o r c u r r e n t o u t p u t

s u p p l y . T h i s i s a k e y d i f f e r e n c e w i t h r e s p e c t t o a d i s e m b o d i e d s h o c k ,

e s p e c i a l l y a s f a r a s t h e i m p l i c a t i o n s f o r t h e p r o c y c l i c a l i t y o f r e a l w a g e s

a n d r e a l i n t e r e s t r a t e s i s c o n c e r n e d .

3 3



( Y - C ) i n a l a t e r p e r i o d g e n e r a t e s a l a r g e r i n c r e a s e i n c a p i t a l t h a n a u n i t

o f s a v i n g i n e a r l i e r t i m e . T h i s i s l i k e s a y i n g t h a t l a t e r v i n t a g e s o f

c a p i t a l a r e m o r e p r o d u c t i v e .

( c ) T h e N e o c l a s s i c a l M o d e l w i t h T e c h n o l o g i c a l p r o g r e s s .

L e t u s g o b a c k t o t h e l a b o r a u g m e n t i n g f o r m a s d e p i c t e d i n

e q u a t i o n ( 3 . 1 ) ' . T o s o l v e t h i s m o d e l i t i s g o i n g t o b e u s e f u l t o d e f i n e t h e

c o n c e p t o f " e f f e c t i v e l a b o r " , L .

( 3 . 2 )

—

L t e t

a n d L —

L 0 e t

-

- - - > L t _ L O e t

I n w o r d s , f o r a g i v e n s i z e o f p h y s i c a l p o p u l a t i o n w e g e t m o r e

e f f e c t i v e l a b o r a s t i m e p a s s e s b y . S i n c e , o n t h e o t h e r h a n d , t h e n u m b e r o f

p h y s i c a l b o d i e s i n c r e a s e s a t t h e c o n s t a n t r a t e n , t h e e f f e c t i v e l a b o r f o r c e

g r o w s a t r a t e g + n . N o t i c e t h a t u s i n g t h i s d e f i n i t i o n w e c a n r e w r i t e t h e

p r o d u c t i o n f u n c t i o n a s f o l l o w s .

( 3 . 3 ) Y —

F ( K . L )

L e t ' s d i v i d e b o t h s i d e s o f ( 3 . 3 ) b y L t , d e f i n e y — Y / ( L ) a n d

k - . K / ( L ) . T h e C R S a s s u m p t i o n i m p l i e s :

( 3 . 4 ) y —

f ( k )

A g a i n , t h e c l o s e d e c o n o m y a s s u m p t i o n i m p l i e s t h a t d o m e s t i c s a v i n g s

e q u a l g r o s s d o m e s t i c i n v e s t m e n t s o Y — K + C - 6 K . D i v i d e b o t h s i d e s b y L a n d g e t

y — ( K / L ) + c - k . B y t h e d e f i n i t i o n o f k , w e k n o w t h a t k — K / L -

( n + g + 8 ) k ,

w h i c h

w e c a n p l u g i n s a v i n g s e q u a l i n v e s t m e n t e q u a l i t y t o y i e l d :

( 3 . 5 ) k -

f ( k )

-

( n + g - f 5 ) k

-

c

C o n s u m e r s m a x i m i z e a u t i l i t y f u n c t i o n

o f t h e f o r m

( 2 . 0 ) s u b j e c t t o

3 "



( 3 . 5 ) . N o t i c e t h a t t h e u t i l i t y f u n c t i o n i s d e f i n e d i n c o n s u m p t i o n p e r c a p i t a

( p e r p h y s i c a l b o d y ) w h i l e t h e b u d g e t c o n s t r a i n t i s d e f i n e d i n t e r m s o f

c o n s u m p t i o n p e r e f f e c t i v e l a b o r u n i t ( c e ) . W e c a n t r a n s f o r m t h e u t i l i t y

f u n c t i o n u s i n g t h e e q u a l i t y

( 3 . 6 ) U ( 0 ) -

J

e t [ ( t e t ) 1 0 1 ] L o d t

W e h a v e t o c h o o s e c s o a s t o m a x i m i z e ( 3 . 6 ) s u b j e c t t o ( 3 . 5 ) a n d

s u b j e c t t o t ( o , L 0 a n d A 0 , S e t u p t h e F a m i l t o n i a n :

( 3 . 7 ) H O -

e

t [ ( t ) I o l } +

i i [ f ( k )

-

c

-

( n + + 5 ) k J

T h e F . C . C . a r e t h e f o l l o w i n g :

( 3 . 8 )

( P n ) t g t [ e t J

-

o

( 3 . 9 )

—

• & , * v

—

- v ( f ' ( k ) - n - g - 8 )

( 3 . 1 0 ) T V C l i m

k t v )

—

0

B y f o l l o w i n g t h e s a m e s t e p s a s i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , w e w i l l

f i n d t h a t :

( 3 . 1 1 ) v / v —

- ( p - n )

+

g

- c c / c -

o g

-

f ' ( k )

+

i i + g

+ 6

b y s e t t i n g c / c — C w e w i l l g e t t h e s t e a d y s t a t e c o n d i t i o n :

( 3 . 1 2 ) f ' ( k ) —

p + c g + 6

O b s e r v e

t h a t t h i s r e s u l t i s e x a c t l y p a r a l l e l t o t h e o n e i n s e c t i o n

t w o ( e q u a t i o n ( 2 . 8 ) ) .

T h e d i f f e r e n c e h e r e i s t h a t t h e g r o w t h r a t e r e l a t e s

t o c o n s u m p t i o n p e r u n i t o f e f f i c i e n t l a b o r .

T h i s m e a n s t h a t , s i n c e

3 5



v a r i a b l e s i n e f f i c i e n c y u n i t s d o n o t g r o w , v a r i a b l e s i n p e r c a p i t a t e r m s

g r o w a t t h e c o n s t a n t r a t e g .

( c ) B o u n d e d U t i l i t y C o n d i t i o n .

F o r U ( O ) t o b e b o u n d e d , a g a i n , w e n e e d t h e e x p r e s s i o n i n s i d e t h e

i n t e g r a l t o t e n d t o z e r o a s t g o e s t o i n f i n i t y .

( 3 . 1 4 ) u r n

-

u r n

e ) t / ( l a )

N o t e t h a t i f p > n - f g ( l - a ) > n , t h e s e c o n d t e r m g o e s t o z e r o . S i n c e c

w i l l e n d u p g r o w i n g a t r a t e g , t h e f i r s t t e r m a l s o g o e s t o z e r o i f t h e a b o v e

c o n d i t i o n h o l d s . N o t i c e , f i n a l l y , t h a t t h i s c o n d i t i o n i m p l i e s t h a t t h e T V C

i s s a t i s f i e d a n d t h a t w e w i l l e n d u p a t a p o i n t t o t h e l e f t o f t h e g o l d e n

r u l e ( d y n a m i c a l l y e f f i c i e n t r e g i o n ) .

F i n a l l y , l e t ' s a n a l y z e t h e s a v i n g r a t e .

( 3 . 2 7 ) s / y — ( k / y ) + ( n k / y ) — ( k / k ) ( k / y ) + n ( k / y ) — ( y + n ) ( k / y ) —

( p + o ) / 1 — ( g + n ) / ( p + g c ) .

A p a t i e n t s o c i e t y ( l o w p ) w i l l s a v e m o r e a n d e n d u p w i t h a h i g h e r

o u t p u t L E V E L a l o n g t h e b a l a n c e d p a t h t h a n a n i m p a t i e n t o n e . S h e w i l l n o t ,

h o w e v e r , g r o w a t a f a s t e r r a t e . W e h a v e s e e n t h a t t h e g r o w t h r a t e d e p e n d s

o n g a n d n o n l y . T h i s i s a n i m p o r t a n t i m p l i c a t i o n o f t h e n e o c l a s s i c a l m o d e l

o f e c o n o m i c g r o w t h .

3 6



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INTRODUCTION TO THE LITERATURE AND NEOCLASSICAL MODELS