373

Click here to load reader

Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Part 1:Introduction to tensor calculus Part 2: introduction to continuum mechanics

Citation preview

Page 1: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

������������������� ������

����������� ��� ����

����������������

��� !"#��"�$% "&�# "��' �()" "�'"��'

*�(��#�����+��,�!'�"�

Page 2: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

�������

�������� ������ ����������� ��������������������� �����������

������� ����������� ����������� �������������������������� ��

� ��������������� �������� ��� �������������������� ������

����������� ������������� ���� ��!������ � ����� ���������� ����������

��� ��������������������������� ���� ���������� ��������������

�������!����"��������� ����� ����� ������ ������ ���� ���!����

�������#����������������������� ��!��� "���������$������������

��������� ��� ����������������� �������� �������%������&��������

�� �������������� ��������������������������� ����� �������

��� ����

����� ������ �� ����������������������������� ������ �����������

��'��������������(�� ���������� ����������� ����������� ������������

��������)�� ����� ������� ���� ��������*�+��!�������������� ������

����������������������������������� ��������*��+��!����������

�(����������� ����������� ����������� ������������������������ ��

��������� �������������, ����������(������������������!������ �

�������������������������������������� ���� ������������� ��

���� �����������������������-������!��� �����

������ ���������!������������ �����' �� ������������ ����.

���������� ������������ ����������� ��������!� ������������������

������������ ���� ���! ������� ���������������� ������� �����������

�� ����������� ����/�����0� ���������� ������ !��� ����� !���� .

!�� ������������(�� ����� ����������� ������-���������������

���� ���� ��������������! ������������ �� ��������� �����������

������������������� �� ����� ������������������� ���������� ���.

��������� ����������������������� ��������������� ����������������

�������� ������ ���������� �������$�������$��������������� �����

� �����1��2���)��� �������34���2�����������������������������������

$�������5��������������0� ���������������������"�������������

! ������ �������������$�������0���� ��������!���� ����������

6�7�7������"���899:

Page 3: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

������������ ����������������������������������

����������������������������������������������������������������������� �

�������������

Page 4: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

�������������������������

����������� ��� ���

������������������������������

���������������� ������������������ �

����������� �������������������������� ��

��� �����������������!������� ���� "#

����������� ��������������������������� #$

���%���������� ������������������ &#

����������" ��������������������������� �'�

���(����)��)��!����� �������������� �'�

����������$ ��������������������������� ��"

���*��!!�������+������,�������)��, ���� ��-

����������# ��������������������������� �&�

��� ������������������������ ��� ���

� ��������������!��)�����.������� ���� �/�

����������� ��������������������������� ���

� � �,���� ���������������������� ��/

����������� ��������������������������� �'&

� �%0���.������!��������� ��� ��� ��� ���

����������" ��������������������������� �"�

� �(��������� ��� ���1����2 ��������� �$"

����������$ ��������������������������� �/�

� �*��������� ��� ���1!����2 ��������� ���

����������# ��������������������������� "�/

� �3�����������+�����!���� ���������� "�#

����������& ��������������������������� "$/

0�0���+�� , ��������������������� "#�

������� �����!��������� ������� "#"

�������0 � ����!!��,�0���!�����4��� "##

�������� )�������������� ���������� "&�

����� �������������������������� "&"

Page 5: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��������������� �� �����������

������������������������������������������������ �������!���������"#������������$����

��#��������%���������������������&���������������������������� ������"#�������������$'��"�

!�������(��)������������&����!���!*��+"�����"#����������!���������*��"����"#����������!��

�����$,)���)����"#�������&������������-��#������� ��)�&����#��.�#�����-�����������$/�

!������0����������������-���������������������-���1�������(��� )�����%�������������������

������������-���1����������$

2�����&���������� ��)����������"�"����)���������������.��������$/����������)���������

����������������������"�������$,���������������%����!���������0%������������������� )���)�&

����"�3�������%����"����������������-��#������$/��"����"��)���������)�%������������������ )��)

���������������-�)������������&���#"��������������)�������$4���"���-�)���"��-"�����������0

����"��������������������%����"�-"���#������� ����"����!���)&����0��!�������!0����������

#��)�#�����$5)����������������������.���#��&"��-"����)�&���������������-�)������������&���#�

����������$

6�7��� 8������

5 �%������9:���9;������.����������)���#������-��#

9:<:=>?=@:A>?A@:B>?B ��� 9;<;=>?=@;A>?A@;B>?BC

)���>?=C>?A���>?B������)�!����"��������%������$D-��� )�������-"����������0�)�%������9:���

9;����.�������-�����%��&��1����"#����������$E���.�#���0 ���� ����

9:<F:=C:AC:BG ��� 9;<F;=C;AC;BG

)�������"����������)�����&�)���#��������-�)�%������9:���9;���!�%��$5)�"���%������ �"��

�������������

>?=<F�CHCHGC >?A<FHC�CHGC >?B<FHCHC�GI

�������)�������������0��������!�)�%������9:���9;���)�����.������������������$/��)�����.��������0

�)�+"��������

:JC K<�CLCM ��� ;NC O<�CLCM

����������)���#��������-�)�%������9:���9;I5)����������-��"���������������&���)���#��������-

�)�%����������#���&���"##&�"������� )������!��%���)�����!�������������$5)��&#���:J��-���

������-�)���#��������-�)�%�����9:��#"������"��&$5)��"##&�"�������K���)�%���&�-�)�����!��

%��"���CL��MIE��K<� �-��"�������������)�:=��#�������-�)�%�����9:IP�����!K<L-��"���

������������)���������#������:A�-�)�%�����9:�����#�����& )��K<M ����-��"������������

�)��)�����#�������-9:I5)��"�������K����"##&�"����������#�&�����������&����)��������0��&

O0�����!��������������)�����!��%��"���)���)���"##&�"����������)�%�$

Page 6: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���������������������� ��� ���������������� ������������ ������������������

��������������� ������������

����� !�"!###!�$%

&����� ������'!(�)!�!###!*���������*��� ������������+�������������������������

�����������

���� ,- .�",-".///.�$,-$

&����

,- !,-"!###!,-$

��������������������������������0������� ���1�����������������������������1���

��������������������1��������� ��������������������1��*��� �������������

�1������������������������������2��������&���������������������������&�������������

�����������������������3���2�������������1�������������� ��4�������2������������������

����1�� ������&����������1������������������� �������� ����2����������5�

67'8 9'87 :'8 :8' 6' ;8 <'8#

=�������������������������������1�������������������>����4������2�����������������������

�����1�� �����1����&�������?

)�=��������&������@�����A���5��������

��=�����������������1������������B!C!D!E!F!G%������� ���������������

=��� ����1����������������������������� ������������1�������� �+����� &���������

����������������� �+����� &����&������������������������������� ��������������� &���

*���������������*������������ �+����� &���������������������������H��������������� �

=�������1����� ������������� ����1��������������������������������������������

������ ����6'87��;IJK!��������������)��0%�����1����� ������������������������ �

� ����1������������������������������������������ �6'87��LIMN ������1����� �����

�������������� ����&���������������������������� ���������������������������������� �

���� ����1��������������������������� ������������������ ��������1� ��������=��

������� ��������������������O��������������&�������������������������������

��������1�������������� �������1���P��&���Q�1�2������&����������������������

��� �����1&����������������������������E!F!G%������� �����E !E"!ER%!���&����������

F�E"&����E"��������������E�����������&���3� ���������������������G�ER�����

������� ���1G������������ER������������������1����&���E�����������&�����������

&����������������2�����������&����������������������� �����E"%R������������E"������S�

�1���������1��������������������������������������� ���2�������1 ���� ��������������

���� �������5������������� ����1�� �

=���������������������������&�������������=�������������������&����������

������������&�����������������������������������������������������1���������������

����������������5�����1��������������)!�!###!*&����*������������������������ ����

Page 7: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��������������� �������������������������������������������������� �� �!�����

!��"� ��#�����$�� ��� ���%&"�������

�''��

�('��

�)'��

�'(��

�((��

�)(��

�')��

�()��

�))��*

+�� ������������� �������������$����� ����� � ��� ��"������" ��,- ��������.��$������ ���

����&"�����

/012/03��13 4�5���#�� 6�*�*�7

��� "� ���$� 4�5���"�"���$������������� ��������&"�������������" ��� ����"�������� ��

��� ��������&"�����,+�� ������ ��������8����9����� ������������������!��"� ��#���

� $������������� �,:����������������������� ������!��"����4������������� ����!��"���

5���������&"�����6�,�,�7��$�� ��� �����&"����� ��"������" ��,+�� ������&"����� ���

/0'2/0'��

/0(2/0'��

/0)2/0'��

/0'2/0(��

/0(2/0(��

/0)2/0(��

/0'2/0)��

/0(2/0)��

/0)2/0)��*

;<==0>?@ABCD;E0FG;<==0>?@A;<H>0=H

- � ��������� "� ���$� �� "$�� ���$� ��� �� �!��� ����!��"� � ������ ��������

��������� ����� ��������$����� ���"����� ������������� ������������ �,I���.��$������

�������� � ���J��K� ������������������ ���L��

J��K�JK�� ������!��"� �������L*

- � ��������� "� ���$� �� "$�� ���$� � ������ ��M ����������������� ����� �����

���$����� ���� � � ������������� ������������ �,I���.��$��������"������� � ���J��KN�

��M ������������������ ���O��

J��KN�PJN�K� ������!��"� ����L��O*

- ��������.��$������ �������������� � ���QRST�U�V�W���#�������� ���$������ ��M

����������������� ����� ,X���"�������!�

QRST�PQRTS�QTRS�PQTSR�QSTR�PQSRT*

Y�� ����� ���.���� ��� ������ ���$������ ��M �������� � ��� �� #Z������� �#�����������

[���,+��\���[���������� ���������������������������"������!��&"����� ����6U�V�W7�6��#��7*

+�� � �.$�� �� ���� ����������!� � ����� ����������$��������$�����,

Page 8: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

�����������������

� ��������������������������� ��� ������� ���������������������� ���� ������������� ��

�������������� ��������������� ������!��������� ����� ������!��������������������������

������������ ������������������"� ����������#���$����� �����$����%��������&��#�� ����$�"'

�����������������%%�����������������!� �%����������������������%%������������"� ����������

������������ ������ ���������������%%������������������������������ ������������$����

����������"(��������� ����%����������������������������%�����������������������#�%#�

������ ����������#�%�������������� ����$� ������������������������$��� �����������

� �� ������"� ����������������������������%��������������#��������������%��������������

����%��� �������")��� ������������� ���������� �����������������������%��&���������������%��

���%%��������� ��������� ��������%��������"� ������������� �����%��������&������������������

�������������������������� �������"

*+,-./*01020� ����� �������

34564474864979

39569474869979

���#������������������ ������#�����������$�����������!���:;������������$� ��#���� �������

��

3<56<47486<979; :5=;>?

� ����$������������������ ��:�������� ������������ ���%���=��>!@:������������A"� ��

� ������������#����������� �����

3<5

9B

CD4

6<C7C56<47486<979

� ���E��� ��������������������"F ��� ������������$�������������� ��������������������

����������� ���

3<56<C7C E;:5=;>?

G����� ���#������E�����������%�!� ���������������������� ������ ������������#����������#�

%�����$� ������������#��������H���� ���%��������&��#�� ����$����� ��������$� �����%��"

� ������:� �� ���������%�������� �%��������%�������� ���$ � ���������� �� ��������

��%%������������"I�� ��%�#������� ��#�� :���E����������#�������������#����%����#��� ��

%������")�������%�!����������

3J56JK7K L;M5=;>

� ���M��� ������������������L��� ����������"G�����$��M��������

3J56J47486J979

���%�����$� ����������L��H���� ���%�����=���>���������� ����$���%���� �������"

Page 9: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

������������� ����������������������������������������� !"#� $%"�!� &�' "�&�

$" (��#$%"�!� &�' "�)

*+,-./+012�(�$ &3#� ($%"4&!"�"56�$&���7��'""38 "��"�9

:

;�<�=�>

?

@�

:

;�<< �<= �<>�=< �== �=>�>< �>= �>>

?

@

:

;�<�=�>

?

@ ���

:

;�<�=�>

?

@�

:

;�<< �<= �<>�=< �== �=>�>< �>= �>>

?

@

:

;�<�=�>

?

@A

B�C�� !"#� $%"�!� &�' "�&�$" (��#$%"�!� &�' "�����'$�&�

:

;�<�=�>

?

@�

:

;�<< �<= �<>�=< �== �=>�>< �>= �>>

?

@

:

;�<< �<= �<>�=< �== �=>�>< �>= �>>

?

@

:

;�<�=�>

?

@A

D%"&��"3��$�$&��"(8 �E�&��&7"�$%�$� "�6((E&��&7"������C"7��C &$"

�F��FG�G� H�I������ ��� �G ��G���� I��������A

J" "C"%�!"86 8��" E7%��4"�$%"&��&7"���$%�$C%"�C"�6'�$&$6$"#� �GK# �(��""56�$&��&�$�$%"

�$%" K��6((�$&��&��"3��"���$ "8"�$&$�" #(� "$%��$C&7")L6'�$&$6$&�4C"M��$%"&��&7&� #� (�#

$%"�'�!"(�$ &3"56�$&����

�F��FG�G���� I�H��������

C%" "H&�$%"# ""&��"3���I��� "$%"�6((E�6((�$&��&��&7"�)2$&� "#$����"3" 7&�"$�"38���

'�$%$%"(�$ &3"56�$&�����$%"&��&7&� "56�$&�����!" &#E$%�$$%"E� "�&N" "�$C�E��# "8 "�"�$&�4

$%"��("$%&�4)

����������O� D%"��$8 ��67$�#$C�!"7$� �PQ�R���������S���������7��'" "8 "�"�$"�

C&$%$%"&��"3��$�$&��'E$%"8 ��67$P�S��PS7��T �������� P�UVPU� S�UVSUAL&�7"$%"

�6'�7 &8$�&� "8"�$"�&$&�6��" �$���$� "8 "�"�$��6((�$&��&��"3)L6((&�4����!" $%" ��4"

�8"7&M"�K$%" " "�6 $�

P<S<WP=S=WP>S>�PS7��TA

X'�" !"$%�$$%"&��"3��$�$&��"(8 �E��6((E&��&7"�)Y$$&("�$%"�"&��&7"�� "� $" "�&�� �" $�

7��#� ($�$%"�'�!"�6((�$&�� 6 "�KC&$%�6$�$$"�$&��'"&�4' �64%$$�$%"7%��4")Y�&�$%&�"3�(8 "K

$%"&��&7"�R����� "�6((E&��&7"����7��'"7%��4"�$��$%" "$$" �&#��"�"�& "�)Y ��K&�$%"#6$6 "K

&#$%" ��4"�#$%"&��&7"�&���$�$�$"�&$&����6("�$%�$$%" ��4"&��!" $%"&�$"4" !� 6"��������A

D��E�$"(�7��$�&�&�4�6'�7 &8$�����68" �7 &8$���"7���88 E7" $�&�� 4"' �&7�8" �$&���)Z"

8 "�"�$&���&�#� (� C�E$%"�8" �$&����#���&$&��K(6 $&8 &7�$&�����7��$ �7$&��)

Page 10: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��������������� ���� ������� �����

��������������������������������� !��������������� �� " ��# ����� �#��"����������$����

� %��������� !��������&���#������ �� " ��# $'���(�#���)��� !#��*+,-���.+,-� ������

" ��#����� �#��"������ ��������"/+,-0*+,-1.

+,-2%������&���#������ ��������$

�������!�����%� " ��# � ���������"#!�����"���������#�����������3� � " ��#%�������

��#����������� ����� " ��#$4!�������!��� ���������!�������!��$��������������� !�����

����!�� " ��#� ��� !#���������� ������%� " ��# ��5��5�������#����������!��$'���(�#���)

��*+,� � ���������� " ��#���.678� ����������� " ��#)%������������ ��5�����������9��:)

�����������!�� " ��#� 3������������ �������/+678, 0*+,.678;�������!�� " ��#����� ��� <=

���# ��� ��!�������#����� ��������!�� �������#������ ���#*+,%��������#������ ���#.678;

����������������������������!� %������%������(� ���>!������!��������(������ !##�����

���5������� ��5�&��$'���(�#���)��%���5��3�������� " ��#/+678, ���%� ��?0@��� !#)����

%����#��� " ��#

/6780/,678, 0/A678A 1/B678B 1CCC1/D678D ;

E������ "#���/678� ! ��������� ���������������� " ��# ������ !�� %������������������

������#��$F����5��������������� ������#��)����� !����� " ��#� ��%�" �������G�� �������

�������� " ��#$H����������� ��������������� ��� ���#� ������������#���������������%���%���� �

������ $��� � ��������������� %�������� ���������������� ������$

������5���������� %�����#������#���"��3��������%���5��(�������%������ �� ���$

IJKKL�K�M� ����NOMP� ��Q���K�RK��K�

�%� "#��� �������! ��>!������>!����"%�����������������������������S���#!������ "#���

������T�����&�������$����S���#!������ "#���� �#���#� ����������� ����������������� ��$���

�S���#!������ "#���)� �����#� !��� � )���� %������#!������ $U���#!������� ���������#�����

����� $F�����������������������#���� �������)���%���#!�������� !�� $U���� �� ������ ��

��������������%���� ��!��5����# �����������#���$U ���(�#���)���! �������������� 9GV ��

VG9�"#�&���� �>!���������� �� ����� $4�������%����������� ����������9GV%������������G���

VW3� ����� �� �����X��������9VG;:�(�)������������������� 9���VW ��������� �� �����X��������

V9G;'�����")������������������� 9���GW��������� �� �����X�������5�VG9;E������������!#���

������ �� ����� ��9GV��VG9� �����)������!#���$Y�������� �� ����� ��9GV��VG9����� ���

%������$E�%�5��)��� ������ �������!#��������� �� ����� $

Page 11: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

����������� �� ��������� ���������� ����������������� ������� !����"#$ ��%

��� &���& ������ '��������#(�%���&��� ��� '��������)�� � �� �������&���& �� ������� � &���

�����#( �& �� � ����������� �������� ���������#�� �����&�*!+* +*�+,!-,.���� ���� ���

� �������������� �������) ���!#�� � ��"� ������������

� ! % �� ���������

�! ���� ���������

!� % �� ���������

! � ���� ���������

!� % �� ���������

�! ���� ���������#

( � �� ������������ !��&��� � % ������� � ����������� �� ��� � ���� % ���������� �

�������������������� ������#/�� ����&� %�& ��� � �� ��� % �������� ������������� !

����������� ����� '��� �#�0�#1�� ���� % �� ������������� !�� ������ ���� � &����������

&��� &���% ���� ������ �� � 2� �& � !� !����� ���� ����������� ������� � &����������

&��� &���% ���� �������� � 2� �& ! �! �#

3���� �#�0�#4 ������������� !#

5�� � ���)�� ���� ���� ������������6��������7 �8������ ����% ����� � ������

9*6:8+,6*6;�+*6; +<<<*6;8=�+>

?�� � &��������� ���8��@ &�������&��� &������6��@ &��)8A6)�������� �������� ��� ������

&��� ��&������������6��@ &����7 �8������ #3�� "���� )&�������������!���� ����7 �����

�� � �B�: :!:CD�� *� !+:*� C+:*�!C+:* !C+#1�� ������� �������&���������������&����� � �#����

��)�� � ����������*� !+:*�! +:* !�+:* �!+:*!� +:*! �+�� &����� � � 2���#5�� � ���)�� ���� ���

&�������������6��@ &����7 �8������ ����% ���E*6:8+,F6

8

G,

6-

8-*6;8+-�� �

HIJ

K�� ��

��������&� L&� ������&��&&������ "�������

*M=N+I,

IO

JPQ

F6

8

GMIRJNJ>

Page 12: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

�������������� ������������������������������ �������� ���

������������ !�"#$�%����&'#(�)�"%)��"�%���*���&�"+

�������� �������� ����������

,-./00012,-./00012

345

46

7 �89:;;;<�����=����� �������������>���7?@;;;A

B7 �89:;;;<��������� �������������>���7?@;;;A

C ��������������

DEFG!HDIJI KJ L���,MNOPQR;

S�)$����������� ���T������U7?VW@�����=�������� ������7?@VWUT�T�����T����>�=��

�� ����������T��� T�T�����������>���7����>�U�X�Y��� �����������������������������

T�������>���7�7�?�

L�>���7�7�?�Z�� �������7?@VWU�

[��>���7�7�?\����������=������������������������������>��Y��� ���������� ���

�������������������� ��������T����������� ��������������� ��������� ��������

�������� ���,MNOPQR2B7;

]����������������� ������������������������������ ���� �����������>�������>���������

�����_����Y�������T����T��T���������� ������������������������������

����������� "���ab�"c�)�%+ ���_����Y���������������d

e-.2e.-2

f7 �8�����9

C �8����g������ 9

Page 13: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

������������� ���� �������������� ��������� ������ ����!"����������#

�$%&'�$%&'()

�%$&'�%$&'�)

�$$%'�$$%'*

+$$')

+$%'*

+$&'*

+$%'*

+%%')

+&%'*,

����������-� .��������������� ����!"�������+/0����1��1��������� �����!��1������2

����3�!��������������!��4��������5������3����������67����� ���2���8/0������������ ��������

9:9 �����6;���<���=�������5�������4��1���������4��1�����)>?>,,,>9,@���������������!�

8/0+/A

5����������4���<>=>B��)>?>,,,>9,C�������<�����������������������������������������������

��� ������1��������4�6C�������<��!�������� ����������6C�����������!��=���B�������

����!��6C������������������4������1�������� ������4����������!��6C�����������1��1�������

�� ��������������1�����25����1�����!�����������4���� 2���D���6E��������4��1������=���

B�����1�������=���B,C��������!��������� ���������������1��������=���B���D���������

������ ��6.���5������� ����� ������1������� ����������<5�����4�1�������<��� ���

���4���������� �1�������1�����6F����� ��4�������!������ �����5�������

8/0+/A'8$0+$A(8%0+%A(GGG(8A0+AA(GGG(8H0+HA,

I������� �������� ����!"���������J����1���5�����������!����������3���������K�������5����

�������!������������� �6C���������������� �������� �����5��!������J���6I����������

5��������� ����������<5���K��������D���1����BC���4�1�����������

8A0+AA'8A0

5�������������!��������� �������������K�����������1�D���1�������������������� ��6

L������4���������!����5�5����

8/0+/A'8A0

;���5���1��������������������<��B�����5������ ����!"������������������ ��������!���

����"��5������������������������6C���������������������������� ����!"�������!����������

�� ������1���������������������1��1��4����������������6�� ���� �������#

M/0+0N'M/N

+0A+AO '+0O

�/0A+/O+0P+AQ'�OPQ,

�� ��������������������������������!�����!�������������2�������� ����������������� ��6

7����� ���2

8RS+RR '8RS

Page 14: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

����� ������������ �������������������� �������������������������������

���������������������������������������������������������������������� ��

���� �������!�� "

����������������������� ������������������������������������������������

��#�������#��� �#���������������������������� ��������������������

��������������������������������������������$��%����������� ���������

����������������� ����������������&'���������()*�

+,-./0+1213425��6����7���� ��#��� �8 ����9�:�� �;������������������$���

����������� �����������$�������� ��88"�����������������%����������������;<

=� �>���������"?"<<<"@����%�

�88!�AAB�

CCBDDDB�

EE

�88!�B�BDDDB�

�88!@<

5���������������%��8 ";"9!�"?"F��

���!�AAB�

CCB�

GG!F<

5������������������6����7���� ������������� #���������� �������� ��

�8 " ;"9!�"?"F<H���� I������������������� ����������������������� ����

�����������88!F<

+,-./0+1213J2 $�����������������K!'�8 )���������������������� �����

L�� �#�����M���������#��� ������������@N@����������������

OKO!P8 QQQ��A8�C DDD�E�

�����P8 QQQ����@�������#����5�������� �������?N?�����������

OKO!P8 �A8�C

�����������������%����������?�����M���������#��� ���������?�5�������� ����

���FNF���������%�

OKO!

RRRRRR

�AA �AC �AG�CA �CC �CG�GA �GC �GG

RRRRRR!P8 ��8A� C��G!P8 ��A8�C �G�

�����;"9"(��������������������������������%����������?�F�S���P8 ��������

�M���������#��� �������F�T�����#�������������������FNF�������������

Page 15: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���������������� ���������������������������������������������������������������

�����������������������

!!!!!!

"#$ "#% "#&"'$ "'% "'&"($ "(% "(&

!!!!!! )*+,"#*"'+"(,-

.� ������� ������������������������������ � /0/

.� ������� ����������������������������� � 1/0/

.� ������� ���������������������������� � 2-

3��������4����

)*+,"#*"'+"(, )#'(/0/-

5��������������������������6���7������������������������������8�����������������

��������������������598:;<5���=�>?�����������������

@ABCDE@FGFHFIG J����������)*+,K*+L*����������������������M�������������������

�4������������������������������������4����.�7������7���4�����������������4����

�������������4���?����������������������N�������������������������4�����

4������

OP

*Q$

)*+,K*+L*-

@ABCDE@FGFHFFG

J�������������������������RS$�RS%�RS&����������������������������������7

RS*TRS+

UVW

VX

RS, ���M�Y�Z���������������������������

1RS, ���M�Y�Z��������������������������

2 �������������

J�����������4���������������RS*TRS+ ),*+RS,-J��������������������6���7����������

�����Z���4�����������[��������������������M���Y-

@ABCDE@FGFHF\G ]�������������0#�� ��������K#�� ������������������������4�

��������������L#�� �����4������������

L* )*+,0+K,� M�Y�Z �����- ��-�-��

J�� �������L*����������������������������������������

_L _0T_K L$RS$`L%RS%`L&RS&-

J���������������?4������6����������������_L?����������������������������4����

������������3��������������������Z

L* )*+$0+K$`)*+%0+K%`)*+&0+K&- ��-�-��

Page 16: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

�������������� �������������������������������������������������������

�� !�""#"$"%!�&"#&$"%!�'"#'$"

%!�"&#"$&%!�&&#&$&%!�'&#'$&

%!�"'#"$'%!�&'#&$'%!�''#'$'(

��(�()�

*��������������+,����������� ����������������-������������.���(/������+ �.����

�������+ �.�� 0����-�������+ ��� ������������� ����������

�" #&$'1#'$&

�& #'$"1#"$'

�' #"$&1#&$"(

��������� ���������,��������� ������� 2#32$ !�45#4$567�(�������������,�����0� ,-

������������� ����+8��� 9�

:;<=>?:@A@B@CA D��

!�45 1!�54 !45� �� +.�.9 �.�.�

EFGHIJFKL�������-+9������������� ��,��������������������� ����+�9�� �����

����������������������������������M����������-,��D������-8�9+�������������������

�+�9�� ������������������������M����������-,������,���� ������ ��������

��������������������� ������ ����+.�.9(

NO77BPQR7KIJIS

T�� �����-������������M����������-,��� ���U����V�� ����8�����������������������M

0���������������������8������MP� �����-������ �����-���,��������� �� �W������������

��,��������������� �����-��

!�45!�XY P4XP5Y1P4YP5X. +.�.9.Z.[ �.�.�

�����+������������� ���� �.9.Z.[��������� �����T �������� ����,�������������

�����,�������������������0�������M��

�����,��������������U����V�� ����\����������M��� �� ������MP� �����-����������

�0��������� �M�������������(

��������������������������������������� �������8�.Z������0����� ��������������M

������ ���� 9.[���������� �� �������������������� �������� �����.[��������� ����

��������� ����������� ����9.Z������� ������������ �����������������M��� �� �����

� �����-�

Page 17: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

�������������� ���������� �� ���� � ������������

�� ����� �� ����������������� ��� ������������������������������������� ��

������� !"��"� #"

� "��$ %�$�$&'

(��)�� ��� ������������������� ����������*���� �%����&'�����������������+,-,.,/$0���

����������������������� ���������� ��,1 ��$2���������� ����)����������� ���� �+,-,.

�/�������������� ��� ��3!4�� �������*���� ���������������������������� ��*���� �%����&'�

5�)������ �����4� �������*���� ��)�������������������������������� ����� ������� ������� ��

������������������ ���������������

������������� � �����#"����������� � ��������������������

666666

"77 "78 "79"87 "88 "89"97 "98 "99

666666!

666666

� : :: � :: : �

666666!�$

5����� ��������������� � ����� )� ����������;)������������������� ����� ����)����

666666

"�7 "�8 "�9"�7 "�8 "�9"�7 "�8 "�9

666666!����$

5����� ��������������� � ����� �����<)����)����666666

"�= "�> "�?"�= "�> "�?"�= "�> "�?

666666!�����=>?$

@ )���� ���� ������� � �����������A���B� �����666666

"�� "�> "�?"�� "�> "�?"�� "�> "�?

666666!������>?$

C������ �A)����� "��!"77D"

88D"

99!�����;������������������� ���������������������

"�>"�?#"

�?"�>!�

�����>?$

Page 18: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

�������������� �������

����������������������������� ��!���"#���$%&%'�����(�����

)*+,,,-./,,,01

222222222

)*. )*/ 333 )*0)+. )+/ 333 )+0444

444444

444)-. )-/ 333)-0

222222222

5

6���7�(8��9���������(�� ��� :����:����

)*+-./01

222222

)*. )*/ )*0)+. )+/ )+0)-. )-/ )-0

2222221;*+-;./05

<��=��(�������������������������� >���?:��"�������=�@�������� # ��(

)AB./1)AB0./01;

AB0;./01;0AB;0./1)

A.)B/C)

A/)B.5

D ���7���� �������E���=#���������!�������=����F8��(@������ #("������� �"���!��������(

�=�����������������������������

;+G+H+IJJJ+K 1)LMNJJJO+G+H+IJJJ+K5

D�����������!������ ����� @�� �(8��#����������������������������������=�@��������7���� � 4

P� �������4Q:� ���� ��:�������������������������8 ����8��(@������ #("������@(��������� ��

:������E�!7����(8����� ���E��#���������� # ��(4

R�������RSS�� �����T�U�V�W�� ���X�������

�������������������9��������:������;C)�������#9���"�@ ����8��E�E����@ E�������������� 4

YZR[\]Y _`a_ b��:9@ ����������7��������9����cd&ce1Cce&cd

f��g����hi��cj1cd&ce1jLk�LljMk�MljNk�N1j*k�* ������

cm1ce&cd1mLk�LlmMk�MlmNk�N1m*k�*5

n���E� ��:����������(8����� �=������ 8���@�� ���"���8�� ��������������7��������"#

j*1;*+-d+e- ��� m*1;*+-e+d-5

n��� ����� ��:����m*1Cj*=�����E��@� �=o5p�� �������=����:���(���8@������ qi��e+1eB)B+

���d-1d.).-���:����

m*1;*+-e+d-1;*+-eB)B+d.).- $�5�5r'

:������������� ��E����������stsQ5P�����78�� ���$�4�4r'���������� @((���������7�88���

(��������:���"���@ ��=������7�88�����(��������:������ @((��������E������:�@��"���(�

(�������� 4u#��������������( ���v@�����$�4�4r':���E�

m*1;*+-)B+).-eBd. 1;*B.eBd.5

Page 19: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������������� ������� � ��� ��������������� ������ ����������� ����������

���������������������� ������������

������ ! "��#�� �! "��#$�%

&����'������()�*� ����+��#+$��+",+!�#+!,+"%-�����(+����./��#$�./��#+$%

0�����-�����������

$���� �! "� �� $1 ��123!2"3

)�������� ������4��5������5��67686�������� �9������������ �9������������������ �����:

������������������������ ������������� ������������ ����� ��5�����������������4������

�� ���������� �������;����� ������ �����<������4�����;����������5�� ���5��-���(�;���

���������()������������4������������������ ;������� ������4��4� (�����;��� �����������

��� ����������������������������������)���

0���7�=����� ������������������)��������)��<��5)��������������4��4��5����� ���������(

����� �������������5� ��������>�������(��������4���������;����)����� ��4�������

������ ������������������?���������� ������������;���������)���@��������

����� �" !����� "�! �#�� �! "��#$�%

0���8�A�����;�����)������5���<�� ;�������)������4��������������� �� ����������B����4������

4�����+!��������������

+!�!�./�

����������������������������

+!C./��!�6 D��6768%

E��������4������'�������������-�����( ������<���������<��;)�����5+!�!����������

�������;����'�����5����������������;���4��������'�������������������������)���������

�9�����'����������=4��������������5���� ��� ��������)��������������������5���� ��

FGHIJKFLMLNLOM P���;����4������ ������

+!C?+",+$@�+"C?+$,+!@

QRSTUVRWXY��+",+$�+����./� )���� ����� �" $� �� ���

+$,+!�+Z�Z�./� )���� Z���� �$ !�

)��������� ������4�������5��6768%-���4�������4�� ������()���4�

+!C?+",+$@�+!C+��!����!��� �" $�

�" ?�� �!�$�@

�" ?� ��$�!�@

Page 20: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

����������� �����������������������������

�������

���������������������� ���!���������������" �����������������

��������

#��������� ��������

$�%&$'($�)�'��$'%$��$'%&$�($�)

�����������������*

#��" ������$�%&$'($�)�������+����������������+ ��*#���������+���������������������������

���������+ ������������������������������+���+����������&,����������*�-.)* ���������

$�%&$'($�)�

//////

�0 �1 �2'0 '1 '2�0 �1 �2

//////�����'�

3�����������������������������������!��+���������������������+ ���������������� ����� �����������

������ ��������������������+�����+����������������������������$�4$'4$�*#������� ����� ���

���+�+���� �����������������������������+ ������!�����*#�������������������������������������+

�������������������5! ���*�-6*

7�! ���*�-6*#��������������+ ����+��� ��

Page 21: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

����������� ����������������������������������������������� !"#$�������������%���

&'()�����

�������

������������������%��������������%��������*��$�����+��*�����*�%�

,,�-.&'(

,,)

,,,,�-.�����

�������

,,,,)/

�0����������1�%�������-��&'(2��%��������������������������������������*+�����������*����������

���� ,,,�-.�������

,,,)�������/)������� ������������)������$

34567839:9;9<: =����>�����%����*�����>

��-����������?�)����?.�-����@�?���.�-����

ABCDEFBGHI���J)�-���)JK&'K��*�L)����?)LK&'K$+������%�����������%���������

JK)MKNO-N�O ��* LP )MP(Q�(?Q

2���������*�%���������������RSRT$+����%����U)�J��L)UK&'K������%���������

UV)MVKPJKLP )MVKPMKNOMP(Q-N�O�(?Q$

W�������*�����>MVKP )MPVK����%�� ��X������*

UV)�MPVKMP(Q�MKNO-N�O�(?Q

2��%�����2�������2����2�%��������M@Y�*�����>������*���������������������������*�%�

UV)�YV(YKQ@YVQYK(�MKNO-N�O�(?Q$

Z������>��������X��������2������

UV)MKNO[�?QYKQ���(YV(�-N�O@�?QYVQ���(YK(�-N�O\

)MKNO[?K�V-N�O@?V�K-N�O\

)�V[?KMKNO-N�O\@?V[�KMKNO-N�O\

2��%���������%���%����������������%���

����?.�-����@�?���.�-����$

Page 22: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������� ������

��������������������������������������� �! �����������"� ����������#��������"$����

%&���%&��� '(�)***)�*+ ���������������������%&)'(�)***)� !����� �#, �������-���,

� �!����������������������.��$�����������!�/0�$�����"1� �����������������������������-���

���������$��� ���.��$�����������!�/+ ���!����������������#$����������2#�����������������

!�$���32#��������/4#�� ��1�����#$�� ��� �����������������������"��������������$������2#������/

%&(%&5%6)%7)***)%89 '(�)***)�* 5�*�*:9

;������#$��� ��� �����������$������2#��������������������/<��!�����"����#=!����!��������� ��

� �����������$������2#���������������������� ��� �>�!����������$���������?��������$@���1� ��

��

A5%

%9(

BBBBC%&

CD%E

BBBB(

BBBBBBBBBB

FGH

FGHFGH

FGIJJJ FGH

FGK

FGI

FGHFGI

FGIJJJ FGI

FGK

//////

//////

FGK

FGHFGK

FGIJJJ FGK

FGK

BBBBBBBBBB

L(M*

+ �����#$�����������#�������������������������������

%&(%&5%6)%7)***)%89 '(�)***)�) 5�*�*�9

� ���� �%NO��������$���������$���� �%NO*+ ��#, �#��#����!#��������������#���������� ��� �

,������������$������2#����������������!�����#�#�/4#�� ����������������� �����������#����!#������

������#$�����3��������!�����#�#���� ���$������ ����������!���������/

�PQRST� UVUWUXV + ���������,�����3�$�������������������$������2#��������� ����$

��-����"�2#������5�/�/:9���5�/�/�9��� �!���� (Y*��������� ���������$��������$!"������!��

!����������5Z)[)\9���� ���!��!����������5]))[9*4��$� �,��$���"��� �-,#���/�_��!��-��� �

��������$������2#������Z(]���

[([ Ma[abc

\(]!�� Ma^ac

��� ���������������$�����](dZ7e\7

[([

^(��!���5Z

\9

f��$�g�� ��#�����#�����

5%6)%7)%h9(5Z)[)\9 ��� 5%6)%7)%h9(5]))[9*

Page 23: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������ ������� ����������� �����������

������� ���������������������������������������������������������������� ��

!"#$%#"&'()(*+,-'."&'.,/

0���1������������������ ���� ����������2���������������������������3�������3 ���0�

���������������2����������������������� ���������4��565�7897:9;;;97<�3����� ���������������

�����3 ��7=9 >6�9;;;9?��� ������������3 ��3��� �������������������3 ��7=91���>6�9;;;9?3�

����������������������������������������� ����������� �������������51��������������������3 ��

7=���3��@������������������� ����������

A5

A7=6A5

A7BA7B

A7=6A5

A78A78

A7=CA5

A7:A7:

A7=CDDDC

A5

A7EA7E

A7=��;�;��

������F@���� ����>�����������G>G?;

��������������� �������������5���� ��3��@����������������@���������H�2�������������

��������������������� �1������������7I ��������

A:5

A7=A7I6A5

A7BA:7B

A7=A7ICA

A7I

JA5

A7B

KA7B

A7=; ��;�;�L�

�������� ����������������������� ������������������ �� ������2����������������������1�

���������������� ����������������������3���M������������������������L�������3������3��������

��������������������3���M�������������������3�������3 ���4��

N6A5

A7B6N�7897:9;;;97E�

���������O����������������������3�������3 ��P�������������������N��

AN

A7I6AN

A7QA7Q

A7I6A:5

A7BA7QA7Q

A7I; ��;�;���

������R�������� ������������3������ ��������������������1���5��� ����3�N;S�����������������

������������������L����3��@�������

A:5

A7=A7I6A5

A7BA:7B

A7=A7ICA:5

A7BA7QA7B

A7=A7Q

A7I��;�;�T�

1����>9U�����������������V9W�������������������������

Page 24: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

����������� � ����������� � ����� ����������� �� !� ��� ����� "��� !�� ������ �� !

�#�$�%&�� ��� !'��(���� )*���� !#����!� $��!� �+,� ��� �������� ��-���- !.�

.#� �

./�

.#/0123451678� �������� ��-���- �'������ !� ����#�!'�* �'��(�� � ����� �9:9:;�� ��� % �����

.�

.#�.�

.�

.�

.#<.�

.�

.�

.#+ �9+9+9=�

8� ! �� ��������� ��-���- �!�%��� �%&��> � ����� ?�� @�!��������� ��-���- :,��(�� ����*��

�*� '����> � ������ � �� ����

./�

.#/�.�

.�

./�

.#/<.�

.#

.

.#

A.�

.�

B

<.�

.�

./�

.#/<.�

.#

.

.#

A.�

.�

B

+ �9+9+9C�

8�'*��� �!�(���'&�9:9:9C���(*!�% � ( (% � ������� � �(!� !�� �� %���D �!�� ��% �� �� ��!

'* ���� !�'�� -����%� !�� ��� ������� � ��-���- �'�� ! � �(!�� % -��*�� �%&� ����&� ?��

%�!���*� '��( )*���� �9:9:9=������� ���� �%&EFEG� ��� �� ���� �%&EFEH+8��!?�- !

./�

.#/�.�

.�

./�

.#/<.�

.#

A./�

.�/.�

.#<./�

.�.�

.�

.#

B

<.�

.�

./�

.#/<.�

.#

A./�

.�.�

.�

.#<./�

.�/.�

.#

B

+

�9+9+9I�

,��(�� ��� !'��(���� )*���� !� �%��� �� � ����� !�/�#/<$/ � � �� ��$

#� �'��(

�� ! � ����� !� �� ����*��� ����� � !!��&� ��-���- ! � �'���� !�(���@����� �'�� )*���� !

�9:9:9=�� ��9:9:9I�:8� ! � ��-���- !�� J

��.�

.#��# ��

.�

.#�#

����!�

! �/�.�

.#�K

$

#/��

.�

.#�K

$

�/�K!� �

./�

.#/�K!� �

.�

.#�!� /�

./�

.#/�K���!�EHEL<!� �

EGEL

�/��!� ���!�

�/+

8� � '�� M�� � ��-���- !'��( )*���� !�9:9:9=�� ��9:9:9I��� % N�� !! �� �� '��(

.�

.#�.�

.���!�K

.�

.�

!� �

./�

.#/�.�

.�

!� /�

�<�.�

.�

!� ���!�

�/<./�

.�/��!/�K�

./�

.�.�

��!�!� �

�<./�

.�/!� /�

�/+

O&� ��� ?#P���#/���#P�#�#/�$� �� �'��(� ?�� � ����� �!*((���� !� �� )*���� !�9:9:;�

� ��9:9:9���� � �!����*� ��� !�( � !*��!�!�%�- :

QRS41TUVR64545RW56XYT4RW5Y6X11TV56Y4RW

Z(���&� ?�� !*%!���*��� !#P�#�#/�$�#[�\M�� � !*� �!�����-����%� !�� (���& �� �

� ��� ?�� * ��- ����!� "��� !�� ������ �� !%&]RP�]R/�]R[M� ���*!���� ����-����*!- ������ ����� !

�� ����� %&*!� ?�� � � N ������ :

Page 25: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������� �� ���������������������������������������������

��������

�� �!"

��

�# �$"

��

�% �&'

(������)�����������*���������������+�������,-�������������������.�� ������������������������

��,-�����������-��������*�������,,��*/����-����������������0���0�

�12�������31���

��14 5��4�46'

(����,,���������7���/�����*�������������8.9����77�*����������������0���0��.9���)�,-��

�31���

��14 �31:�

�$�

��1��:4���.

;�<��=��>� �� ������������������������0����������0���������?@�������������������/�

��-��������

A2?@�BCD?@��@!��"�@$�#"�@&�%'

E,-��+�������*,,��������0�������������)��������F�����0��������� ����������������������/�

��-��������

A2?@�BCD?@�@G3G��@G��G��@!��!

"�@$��$

"�@&��&

7����C������*,,+�*,,���������).

HI�J (���-���������0�����?K��*��?@�AL?@�� �������������������F7����������������)

�����������*���������������+�������,-������������0�����.(����,-������KG4C��4�46��?K���

/���-��������

KG� �G2�*��?@�MG1:@:314 ��� C454N��4�46

7����MG1:�����-��,*�������+,/��������*�������������@:31�OPQORS'(�0����+������-����������������

�*��?@7��������+-�����,����*,,���������������/+�����-������������.T���0��*,,�����5����

KG�MG!:@:3!"MG$:@:3$"MG&:@:3&'

U�7�*,,����������,�������-���������)N��0��*�

KG�MG!$@$3!"MG!&@&3!"MG$!@!3$"MG$&@&3$"MG&!@!3&"MG&$@$3&

V���C�����������)7���������W�����+�����0��*���4���6' ����X*����+F7���0�

9�� C��4 K!�@&3$Y@$3&��@&��$

Y�@$��&

9�� C��4 K$�@!3&Y@&3!��@!��&

Y�@&��!

9�� C�64 K&�@$3!Y@!3$��@$��!

Y�@!��$

7����0�������������)����������-��������������*��?@�� �������������������.

Page 26: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

�������������� ������������������������������������������������ ��!����������������

����������"� ��������������#�������� ����������$

%$&����������������� ��������������"� ���'()*+,(-���

.'()*+,(-/*0�12-134)4 5672%6�68

��� ��!�"���9��!:����������������� ��������������$;���"�!:��������������������

�����7

-134)42-13<)<=-13>)>=-13?)?@

�������5������������������ � ����"���:�����"�����%6���8@;���"�A

��� 52%6 -<34)42-<3<)<=-<3>)>=-<3?)?

2B-<BC<)<=

B-<BC>)>=

B-<BC?)?

��� 52�6 ->34)42->3<)<=->3>)>=->3?)?

2B->BC<)<=

B->BC>)>=

B->BC?)?

��� 5286 -?34)42-?3<)<=-?3>)>=-?3?)?

2B-?BC<)<=

B-?BC>)>=

B-?BC?)?

�$ ��� ����'()*+,D��������������������������������������������������A

'()*+,D2)ED3E2)<D3<=)>D3>=)?D3?

2)<BD

BC<=)>

BD

BC>=)?

BD

BC?@

8$ �� ��������������"� ���'()F+,D�����������������������������!:

0�E*G'()F+,D

H2IEJK)JD3K@

��� ��!�"���9��!:����������������� ������������������������������� ���$

L$ ��� ����'()F+,*(-��:!����������������������������$&�����������

'()F+,*(-2IEJK)J-E3K@

��� ������!�"���9��!:����������������� ������������������������������� ���$

M$ ��"� ��� �����������+>(-��������������������������������

0�1*+>(-2-1344@

��������������������������� ���$

Page 27: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������ �������� ������ ��������������������� ����

������ !"#$%�� !"#�$�"% !&��$% !"'

()*+,-)./0�� 1#������ !"� �2���������3�� � ����

14#5467��!7"86

#54679�!786&�86!7:

#�5467!786&5467�86!7'

;���� ��<=��3�� �2>��<�������� ���������=��3

1#������ !"#��$% !"&�$�"% !

���������?@A���������������� ����$B� !& 1"#$B !&$B 1

()*+,-)./0�� !& 1# C� �2���������������D����� � ���� ��< ������ ��!4&14#C4EF����

����

$B C#C484#�!4&14"84#!484&1484#$B !&$B 1'

���������?�� �������� ������ ��������������������� ����� !B$"�# !B$�

()*+,-)./� ���� ��< ������ 2�2����

� !B$"�#!4�84#!G�8G&!H�8H&!I�8I

#!GJ�

JKG&!H

J�

JKH&!I

J�

JKI# !B$�'

���������??� �������� ������ ��������������������� ����

$%� !% 1"# !�$B 1"L 1�$B !"&� 1B$" !L� !B$" 1

()*+,-)./;��MNO��3�� � ��=���������$%� !% 1"��

PQRB9$%� !% 1":#5RS795764!614:8S

#5RS75764!6148S&5RS75764!68S14

T������� U���5LV��� ����W����>����<������� ��3���X��������������������E;�����W

PQRB9$%� !% 1":#�VR6VS4LVR4VS6"!6148S&�VR6VS4LVR4VS6"!68S14

#!R1484L!S1R8S&!R8S1SL!S8S1R

� ������=��3�������<�������

$%� !% 1"# !�$B 1"L� !B$" 1&� 1B$" !L 1�$B !"

Page 28: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

����������� ������������������������������������������������ !"#���$ !"%�& !

'()*+,(-./�����0�����123��4�������0�� !��5����6�789$:�� !;#<9=>!>?=��������@A���B����

C23��4�������0����� !"��

78D$:����� !";#<DEF:<F=>!>?=;?E

#<DEF<F=>!>?=EG

H��<%I������������A���

78D$:����� !";#�ID=IE>%ID>IE="!>?=E

#!>?D>%!D?EEG

JK�������5�������AB���������0��4L���������� !"#���$ !"%�& !G

M-N,O,P)Q(RS (TM-+8URP)VW8(R8SX

H�������5����������4Y��6�������������������B��������Y���6�L������

ZZZ

[

���$ \] #

ZZ

_

\$7-]

Z

[

\9?9] #

Z

_

\9a9] 1#bc�cd �bGbGbe"

L����a9�����������������������0���A����K���������4�B������A�0���Y] �����BA4��B�4������]

�����B�4����0�A�0�������fg���������A���5����������B�������������BA4�����A�0�������5��B����

��6��K����������������5������h��6�����������fH����A55����������������5����������4���6�

���B��������������a%��4�������B������f

H��������0��4����������B��������0�����i��j��������4���

ZZ

_

��� \"$7-] #

Z

k

\$] l

Z

_

<9=>\>?=a9] #

Z

k

\9]m9 1cnco#bc�cd �bGbGbp"

������q����r�������4������B���YL�������������B�����0���i��j�r�������4Y���6��K�������

ZZst\&tm%t\utv

w

]m]v#

Z

k

\u]mx\&]v

Z

_

<y=>\>?=]z#

Z

k

\9]m9 1cnco#bc� �bGbGb{"

|����0��4��0����6�������5��B������4����

ZZZ

[

�}] #

ZZ

_

}7-]

�6������0��4��������5����������46�B�����5 \#} ~L���� ~�����������������f�����B����5 \6�

\� ~����������5����������4������������

ZZZ

[

��� \

�] #%

ZZ

_

\� a]G

���������5����������44�j�����A6����A���� \#}�����6����

ZZZ

[

��}�&�x��}"$���"

�] #

ZZ

_

�}��"$7-]G

Page 29: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

�������������� ���

����������

����

��

�������������

!"�#���" $��%����&'(���������)��&��*����!��+#������%����&'(���������)��&��*�

���!��+#������,"��#*��&�����,%�-

./0/123�4�0567894:0815

;!�<��=>?�@A@B�C@DDD@E#�EFE+#��GH��������+�#��!I<*#�"�J�����#

���<�K<K�L>M>N>OPPP>Q=R>M=�>N=S>ODDD=T>QD

��&)�#,++#�!�!I���EUV��+,�#�!�!IV�!�,*�I!�+��I�!+����%�+���!I���+#��G<-���

��,%�#�&%��,+"��*#%%����������+�#��!I<D

WXYZ[\W]]_a b����*#�E��J��#)�

K<K�

cccc=RR =R�=�R =��

cccc�LTd=RT=�d

�LRd=RR=�deL�d=R�=�d

�LR�=RR=��eL�R=R�=�R

�=RR=���=R�=�R

WXYZ[\W]]_f b����*#�E�gJ�*#�,������!I����!�#�!�

<�

h

i=RR =R� =RS=�R =�� =�S=SR =S� =SS

j

k !� <�

h

i=RR =R� =RS=�R =�� =�S=SR =S� =SS

j

k

#����V�������������+�#��!I<�#� !I���I!�+

���<�L>?l=R>=�?=Sl

���<�L>?l=>R=?�=lS

���<�L>?l=>R=?�=lS

���<�L>?l=R>=�?=SlD

������V������!J#��*!%,+��GV#�!�!I��������+�#��-

m�+V!��#������� ��,%�IJ��G#+�����n,#��� opqr�L>?l=>p=?q=lrDb�#��# �G��*��!

*�#�&�����,++ ,++#�!���*�#����#��#�&����+����GV��!�-;!��G#+V%�H

opqr�L>?l=>p=?q=lr�Ll?>=

lp=?q=>r�Ll?>=

>r=?q=lp��L>?l=

>r=?q=lp��orqp@

#��" *!�����&!����V��+,�#�!�!I�����*�H!��*#���#"%���#�opqr*!+V%���% s�Jt

++���*-b�����G��*���!J���#�#� ����!����*!+V%���% s�Jt ++���* ��+#�$�

opqr�oR�SLpqrDu,�oR�S����<#��!J�#��)�#���������

opqr�L>?l=>p=?q=lr�K<KLpqrD

Page 30: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���������������� �������

������������������

��� � � ���������������������� ��������

� ���������!��� ����� ����������� � �

����

""""""

�## �#$ �#%�$# �$$ �$%�%# �%$ �%%

""""""

&�'������� ��(��) ������ *+�(�)' �,!� �� -��������� � �(� &���!��� ���

����������#��$��% ������.�

� ���� �'���/�,!� �� ��������� � �(� &��,!�����

���������#��$��%�� ��������

0�1 ���2 ����(���(���������)�� ��2� � ��������� � �����3������4'���� ��*�*�.����(���(���

����#��&��� ��&���)��� 5����)�� �� �/�1 �

�#��������$��%� ��������

6����')���*�*�.�(� ��� &��,!����� ������

������#�#���

##�##7�

$#�#$7�

%#�#%� ������8�

6����-��������� � ������&��� ��&�')��!)�� 5��(��)�� �� ���1��(�)' &���(����!� �� 5

(���(���� �'� 5�����')�*�&��9��)�������� ����4'���� ��*�*�.�/�1 ����������� �)

(���(���

�$��������#��% � � �%�������

�#��$� ������:�

;� (�-����4'���� ��*�*�.�(� �)�&��,!����� � ���������

������$�$���

#$�$#7�

$$�$$7�

%$�$%

������%�%���

#%�%#7�

$%�%$7�

%%�%%

6����')�����4'���� ��*�*���� ���*�*�:�(� &�/����� � �)�5��)���<��� ����/������� ��(��)

������ *3����� ������ ����5� ���)�=��>�� �(?����)����1 ��&�

�����@2A�B���@2AC

����&�9�(���(���(� &�/����� � ������

�#���#$%�����

�$��%�

�D�#�������

������

�DB#������

�����

�$���#$%�����

�#��%�

�D�$�������

������

�DB$������

�����

�%���#$%�����

�#��$�

�D�%�������

������

�DB%������

������

Page 31: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������������� ����������������������

�����

���������

�� �� !�"�"�#$

%������&���������������� ��"'�������� ������ �(��%!������ �$�� ���&�����(����

������&�������������)������������ ��)%�������*����������� ���+'����*����

��� ������ �(��%!������ �$�� ���&�����(����������� ������ ��,������%!������ �$)

������������ ��)%���-���+�����������������(��������������� ���

.���. �

������.��

�� �� .� �

��/���/.��

.� �� ��

��

��/���/���0�0�

���������0�0��

��0�0

1���%��*�������/2������(�����

��������/���/����/

���/����������2�

������3�

��2�

�����

��

%����%�������� &���(����*������+

4���5��������������%���������� ������*��� �������� ����(���������

��

�.�.� �0�0�

��"

6789:;6<=<>?@= A�BC�� �������������(��D�EFFF�G�D�EFFF�G��������������-��H�����I�����+A

������J������� ���&�� �����( �����

/�D�EFFF�G/�D�EFFF�G ���D�EFFF�G�D�EFFF�G

!�"�"�K$

L����*��

��D�EFFF�G�D�EFFF�G/�D�EFFF�G �!M�$/�D�EFFF�G

���������%�������/�D�EFFF�G ���I�%C�( ��������&���������&������&�+������C�������������

�� �����M��� �+���J���� ������ �������&������&�NONP"""NQ ���������� �

�*���&������&�%�������� �&�� �����������������%�� ����������������%�������� �

�*�������&�� ����+R�����/�D�EFFF�G ���� &����(�I�%C�( ����%�J������� �����

�� ����*���*���S/�D�EFFF�G"'��������M��������� �+

Page 32: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

����������

� �� �������������������������� ������������ ������������������������ ��!����"#�����

�� �������� �������!����������������������������������"

$%& '()*+*,

$-& '()*+(.+)/

$0& '()*+(.+)/+*,

$1& %()+(,

$'& +()+),

$2& +()+),+,(

3 �� �������!������ �����!�����!�� �������4����������56�67

$%& +((

$-& +()+()

$0& '()*8(8)8*

$1& '()*'()*

$'& '()*+)*

$2& 8(9)+)(:9/8,+/,

; <=���������������������������!�=��������">���������������������������"?�������@8A8(

�����������������������������4������������B����������"C����������@8DEF(A8(�����!�����!��

�=��������GHI�� ���������4�����"

$%& @8D$@9J@K&

$-& @8J$@9J@K&

$0& @9$@8D@K&

$1& @9$@8D@K&:@K$@8D@9&

L �������'��� ��������� ��������M��N$%& '()*A')*(A'*() $-& '()*A:')(*A:'(*)A:'*)(

O P����!�=����������4��������4������!������@8J$@9J@K&A@9$@8D@K&:@K$@8D@9&

Q R��S(A%()T)��!T/ A%(/U(��������������������!������56�

$%& ���4����S(����� ���U(����������!���������������!���� ����������

����������������!�=������������� ������������"

$-& #����� �����!�����!�� ��������!���������=���������

���SV6SW����� ���UV6UW

$0& <=�����������4��B��������� ����=��� "<=���!��� ����=

�B���������!���� ������������������!������$�&"

X P�����':+�!���������� �����$%& '()*')(* $-& '()*')*(

Y #��4�������������4������!��������N

$%& @8D$@9J@K&A@9D$@KJ@8&A@KD$@8J@9& ���������������!���

$-& $@8J@9&J@KA@9$@8D@K&:@8$@9D@K&

Z #��4�������������4������!��������N

$%& $@8J@9&D$@KJ@[&A$@8D@K&$@9D@[&:$@8D@[&$@9D@K&

$-& @8J$@9J@K&\@9J$@KJ@8&\@KJ$@8J@9&A@]

$0& $@8J@9&J$@KJ@[&A@9$@8D@KJ@[&:@8$@9D@KJ@[&

Page 33: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���� ����� �� ������������������������������� ��������!

�"� #$�%$&'&�'� (� ����

�)� $�$

�*� +������������,�����������-���.������/

���� 0�.�����������1�������,�2�������34536�"55457"5848 ���

34836�"85457"8848

������������ ��������9

��:�

;��<�<�=�>�?����=�>���.�,��@������������,������A��������@�����������B�4�-C��������D��E

F������2������� B�=@��> ��� 4�=���>G

����������.�����,����H���H��I<

I4� ���

I8<

I48

�-�A�F-����������,���.������?����������,�D��FJKLMN;J 9 E O��@�,@�,������;�.,�@���

P8<�I8<

IB87I8<

I48

��.�,��@����������9

��Q� �R��� ���������;��"55��� "58��� "85�S� "88�TG

A�,@�,������2������C#�"$&"$&�(�U� ��G

��V� W��?���F�F�����D�������X$&������-C

X55�

YYY

Z

�487[8�\�B�4�[�3]

X88�

YYY

Z

�B87[8�\�B�4�[�3]

X �

YYY

Z

�B8748�\�B�4�[�3]

X8 �X8��

YYY

Z

4[\�B�4�[�3]

X58�X85��

YYY

Z

B4\�B�4�[�3]

X5 �X5��

YYY

Z

B[\�B�4�[�3]�

@��-���.����������������� ����������X$&�

YYY

Z

_B`B`a$&�B

$B&b\3]�?����\�����������C!

B5�B�B8�4�B^�[���3]�3B343[�����,�F����DH�,�F�9

��c� d����F����D���D�,,�?�����,�������������D�,��9e����DCC������?��9

fg$h�fg&ifg'���fg$ifg&�hfg'�%$&'� (�U�j� ����G

k���l;��fg ��a5 �a8 �a �G

��m� +��������-���������H�,���D��(�n� ����@�,@�,����,,�������F��D�����H��2���������

�"� �$o��a$&'7a$'&�%

&'o �)� $o��a`$�

'7a'$�`�%o'

��p� ;�� qB`4q��D����-�����CB$���4$!(� �����������?����$&��D���,,H�,����D(�UG

Page 34: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

����

����� ��������������������������� �� ��� �! !���"

�#�$��� �! !���� ���������%��&&'�&(��%!)�*�������+,� �� ��� ��(��#������

���������-

��.� $��/�+,0,�+���1������������ �&���+���)2�+,3)2���4����'�&�-5 �� ���%6�/0���

�����74�,(���� �+89:�6��89:�/�;89:�0�"

<�+�=>��� ����(&�%���7��4&��-��?-

�@A�

���$��BC�BD�BE#�%(+���+�%� �'����#&��FC�FD�FE"(�� ������(��� ��FC�FD�FE����+�(�+���

%(+���+�%� �'����#&��!C�!D�!E"$��

GGGGHB

H!�

GGGG�H�BC�BD�BE�

H�!C�!D�!E�,�+��� �I��#��+%� �BJF���

���4����� �!JF"5 �� ��

GGGGHB)

H!

GGGG�

GGGGHB)

HF2HF2

H!

GGGG�

GGGGHB)

HF2

GGGG;

GGGGHF2

H!

GGGG"

�#�K��� ��H!)

HL!2HL!2

H! �H!)

H! �M) �+,� �� ��N�

OPO�;N�

POO����� ���N�

OPO���� �I��#��+,������+�+�

%� ����+�%�����+��-�-Q�-

�@�� R� ��,�,���������S ���� T���������������,�#�����������+��%����(#����4���%� �

��4+�+�����(+�&����,� �+� ����(#����4������+���� �+U�,-V �+�S �����4&���&����������� �+

�S ��� S���S� �� �S��� S���S "V �+�'��� ��� ��,�,������������4&���&�����������

� �+=���<���+���4+�+������ ���W����<���+�%� �����4+�+�����,����+��W

<�+�=X+��,��� �� �����������T���� ����T��Y�� �����TY��Y��"

�@@� R� ��,�,��������3S ���� T���������������,�#����������������+��%����(#����4��

�%� ���4+�+��� �+U���U+� �+� ��(#����4������+���� �+U�,-R��4&���&���������������� ��,

�,�������������Z��3S ��[3 S��3 �S�[3� S�3�S �[3S� "���<���+���4+�+��,��

���4&���&��������������������� �'�W����<���+�%� �����4+�+�����\��W�����<���+�

��4+�+����+#�,�]���+�%�� \��W ��'�5 �� ��� �����+�,����+����4+�+�3CDE�+,� ��

3S ��9S �3CDE"

<�+�=X+��,��� �� �����������T���� ����T��Y�� �����TY��Y��"

�@� $��*�_� �������+,���(��� ��9)2ab2a��%��&&'�&(��%*"V ��,��� ���c(���+��&&�(

�#(�� �'�&(��b)2�*�_������W

�@d� R��(��� ��/ ��+,0 �������������%����������"$��/ �! !��0 �!

!�%���#������

'�&(��%!)�*��������+,� �� ��/)2�0)2%��&&'�&(��%*�+,_"

�@e� R��(��0 �������������+,0 �! !���%���#������'�&(��%!)�*�������� �� ��0)2��"

Page 35: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���� ������ ��������������� ��������������� !�"#�$��%&��"�����'���()("����* ����

+,-.../01...23

444444444

+,0 +,1 555 +,2+-0 +-1 555 +-2666

666666

666+/0 +/1 555+/2

444444444

7����+89 '���#�$��%&��"����6

�:� ;�$7 <,-/3+=>?,-/

�@� ;�$7 <,-/3+,-/=>?

�A� ;�$7 +,-013<,-<01

�B� ����� +89013+892012 �'C**�� $�$�D�

��"'�$7 +89013+80+91E+

81+90

F$������GH%$*G � ������G$I���'C��7 �������'C��J�$*K����%�

7�$G�� �����7$" *��' $���J$�*$J���<E+ "��� �H <89<013+80+91E+

81+90L

�<� �����+80 3=>+8101 �'C**�� $�$�(� ��"'�$7 +89M29M3N+

82

�O� ;�$7 +89M89M3�P

��Q� R��S,8"��$�����%$J�%�$�$J:8, ����"����* ����

444444

:== :=> :=?:>= :>> :>?:?= :?> :??

444444�'� I��GH�TC�� $���6�6NU�6

�:� ;�$7 <89MS,83<,-/:9-:

M/ �@� ;�$7 <89MS

8,3<,-/:

-9:/M

��V� ���;�$7���� JS,-/3S-,/WXYZY[3�YNY������ '��$���$JN\���*���'WGC�$��H�]���" '� �%�6

�G�;�$7����J$�XYZY[3�YNYLLLY �������� ?���*���'WGC�$��H^>� _��N���" '� �%�6

��a� R��:,-3b,b-J$�XYZ3�YNY�7����b=Yb>Yb?�����G ����H%$�'����'6c��%C����"���:,-�3dSdL

�ef��:� g$� S3�:,-�YXYZ3�YNY�Y '�$7 dSd3<,-/:,=:->:/?L

�@� g$� S3�:,-�YXYZ3�YNY�Y '�$7 dSd3<,-/:,=:->:/?L

�A� g$� S3�:,-�YXYZ3�YNY�Y '�$7 dSd3<,-/:=,:>-:?/L

�B� g$� h3�+,-�YXYZ3�YNY�Y '�$7 dhd3�L

�ei� R��dSd3<,-/:,=:->:/?��""����S,0 �'���%$J�%�$�$J:,0L;�$7���"����* ����%��G�

�jK��''�" ���H$J���J$�*'k

�:� dSd3S,=:,= 7���� S,=3<,-/:->:/?

�@� dSd3S->:-> 7���� S,>3<-,/:-=:/?

�A� dSd3S/?:/? 7���� S,?3<-/,:-=:/>

Page 36: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���� ������� �� ���������������������������� �

�����

���� !��"#$" $#!% ��&�

���& !��"#$" $#!% ��'�

���' !��"#$" $#!% �� ��( �

���( !��"#$" $#!

���� ) ����� �� ��������� ����*������+���$,(��( �-�-.�,/

��0� 1�2$�"3�

4

5� � �� 6 �� � �

7

8��*��������9�$�"$�"%:%;��%�%�/

��<� 1�$����=�% $��&��% $�&��>% $�&&��

$&����% $&�&�?% $&&���% $&&&�=�

��*����������@����A9�$�"#$�"#%:%;%B��%�/

��C� 1�$������% $���&��% $��&���% $��&&��

$�&���?% $�&�&�=�% $�&&��>% $�&&&�=�

$&�����% $&��&�6% $&�&��=�% $&�&&�=�

$&&���=�% $&&�&��% $&&&���% $&&&&��

��*����������@����A9�$�"#D$�"#D%:%;%B%E��%�/

��F� �������A���G��� ��� �

2$3 2��"#DH�"#D�H�#D�"H�D�"#3I�I"I#ID

2J3 2K�"#HK"#�HK#�"3I�I"I#

2L3MI�

MI"

2N3 $�"M&I�

MI!MI MI"

MIO=$(�

M&I(

MI MI!MI�

MIO

��P� 1�Q*������*����������������G��+��R���������� Q�"%:%;��%�%�/�����

2$3 Q�O !�

SSSSSS

Q�O Q� Q�!Q&O Q& Q&!Q'O Q' Q'!

SSSSSS

2J3 Q�O !��"#�

SSSSSS

Q�O Q� Q�!Q"O Q" Q"!Q#O Q# Q#!

SSSSSS

��T� �������"#�(U,�.�"#(U,�

SSSSSS

.�( .�U .�,

."( ."U .",

.#( .#U .#,

SSSSSS

�0V� �������"#�(U,�(U,���"#=��#"H�#�"=�"�#H�"#�=�#"�

W���) ����� �� ������������XY

�0Z� �����

2$3 ��"��"���

2J3 ��"#��"#���

2L3 ��"#D��"#D�>�

2N3 [�� ����� �� ��\�] ^�_��\�] ^�_

Page 37: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���� ��������� ��������������������������������������������������������������������

��!� "��#��$%$&�'$()������ �*�+���������(,(���-�$� * ������*��������.

/�01-+��)2�� 3�3����#�4#�5��)3�3�

6666#44 #45#54 #55

6666��7����� ��� �����+��������������� �����

/208����� ��9�7����*���� �)��7��7���������

:3�3

:.����

:#�4:.#�5;���#�4

:#�5:.

��):3�3

:.�

6666

<=>><?

<=>@<?

#54 #55

6666;

6666#44 #45<=@><?

<=@@<?

6666

/*0"��#��$%$&�'$($�)������ �*�+����������,����-�$� * ������*��������. ��7���+

�++��+������������A�-+��)� ���)7����A������+����/�0��)/20�2�7�A� ���+������������

�)����������)��)��7��7��

���� B��C�C/D4$D5$DE0��)F�F/C0)G������2���*�������*����A���� ��)*�����������H�)�

��������*��*��������)F

��I� J��� ��)*�����������+��7�/#0 K,KF�LM /N0 KOK,L��M

��P� Q����������*��)�����R��S�����*A%$&�'$($�A� ��*��*�������������

��T� U�����������/D4$D5$DE0��)�������/D

4$D5$DE0���%$&�'$($����������)2�� ��-+������

�VW����XD�

XDVXD�

XDW Y��*������ �)��7��7�

X�VW

XD�

��Z� [��7�� �������������/�����*�����0������-�������* ����)A� ��� �7������� �

)����������� ����-����+��)2��������Y������*�����+���������,����*���

��\� [��7�� ����������/��*�����0������-���+��+�������A� ��� �7������� �)��������

��� ����-�]����Y������*�����+���������,����*���

�I� [��7�� �������/��*����0������-�������)2��))�����*����������+��������� ��

���/��*����0A� ��� �7������� �)����������� ����-�������* ����)�Y������*�����+����

�����,����*���

�I_� +���� ��-+������F������aVW��a��V��W

�I�� "������)������� �)��)�������� ���%$&$b�'$( /�0c�����*�+������)���� ������

�7�d/20"������2��R��S�����*�� �����+�����)*��A ������)�+��)���*�+������)���

� ������ �7�d

�I!� "������)������� �)��)�������� ���%$&$b�'$($� /�0c�����*�+������)���� �

����� �7�d/20Q��))�����������������)�����e������))������� ���2����)���*�

���]���*�+�������������

Page 38: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���� ������ �����������������������������������������������������������������

��� �������������!��"#���������!��������������������������"

���� $�����������������%& '&(&)*+&,&�&�"

-�./���������������������������� �0

-�.1��������%����� ������������2���������������3��������������������������������

������� �0

-�.1���������������������4��� ������������2���������������3���%5��%�5�%��*6��

����7������22 �2�����'&(&���)&����������������������������������������� �0

��8� -�.9������:��������2���;<*;<=5>;����������2����?-�.9������:����������2���

;@A-;<B;<=.*6���������2����?-�.9������:��������4�����22��������2������?-�.9�����

�:���������2��������2������?-�.#������:���������2�����7���������������������

�2����,C5�D5EF*+,���EC5�D5F*E"-�.#������:����������2�������4��������

-G&�&,.3-�&+&G.3-+&�&�."#����2���������2�����2���?

��H� I����42�6JKJL���������2���������������7���������42������������������

������������ ���������2����������4��?���������2���������������������M����

N�'*+&,&�3��������������42����������2��������7��

���K*M�N�

OM�M�ON�N�

��P� Q�M��*BM�����'&(*+&,&"""&R������ ������R���ST>-M��.*6"

��U� Q�V*���C�C��������*��������2��2�� -�.WV

WCX-�.

WYV

WCXWC%

�8Z� [� ���������������\��� ����]%3)*+&,&�3��7����������2�����M��*T��%]%3����T��%

����� ��������������2? ���������M����������������� ��������?�������]%����7�����

����� ��:�������������������\���M��3�����2 ����]%����������M��?

�8_� ����*��!�a*6����22'&( �2���������*������'&(*+&,&"""&R3��������*V!�!�

����V���������?�����V��?

�8b� 1����������%X3��'&(&)&c*+&,&�&������2��2���� ��������?/���������������

����������������:������� �0

�8d� $�������e��%X3'&(&)&c*+&,&�&�?-�./���������������������:������� �0-�.�

e��%X *Be��X%*Be��%X ��������������������������������e��%X �� �0-�.����������

e��%X *e%X���������������������������������������?

�8�� Q�C�*M��fC�3'&(*+&,&�����������4��� �����2���������������������������������

������������������������������������f��*M��������M������������3f����������������

fC� �����2���������������������C� �����2��?$�2��2��Wf��WfCX

"

Page 39: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������ ���������������

������������������ �����!��!"�#��$%&��!'�(!��)*+$)�'�(!��),-.�/$0.��!�$�0'�(!��12$)

1232����42����42����

."���*2��2��2�,$��!"�(������$!�)�512��%$!�'�!�!"�+$)�'�(!��)("�)��67"�)�(�/ ����!)$��!"�

��8�(!����512��!�!"�+$)�'�(!��)$��

123*129���,���4*129���,���4*129���,���:

;�%�(!$�0!"������� �����!��!"�#��$%'�(!��)-*1<��1<��1<�,���!��(�))$��%0�5&��!%��#!"-.�($�!"��

.��!�

���31<�

=1<�=� ���3

1<�

=1<�=� ���3

1<�

=1<�=�

$��(��)�>&��!%0-!"�'�(!��12($�+��? ��))��$)

123

@1291<�1<�91<�

A

1<�4

@1291<�1<�91<�

A

1<�4

@1291<�1<�91<�

A

1<�:

B���.�)$0!"$!1291<CDE1<CDE91<CDE

� F3G�H��

$��!"�(�/ ����!)�512��%$!�'�!�!"�("�)��+$)�'�(!��)1<��1<��1<�:I�($%%!"$!!"� $���!"�)�)$+�&!

!"�)&+)(�� !F����!�)!"$!!"����)��)&//$!�����!"�))&+)(�� !6J!�)!"��!��$!��$)$5���)&+)(�� !

."�("($�"$'�$�0�5!"�'$%&�)G�H���:

��KLMNOKPQRPSLS

T��)����$)�!�5$�0!"������� �����!'�(!��)*1<��1<��1<�,."�("$����!��(�))$��%0��!"�#��$%-����5

&��!%��#!"6J������!��� ��)��!!"�'�(!��12��!��/)�5!"�)�'�(!��).�/&)!U��(�/ ����!)*2��2��2�,

)&("!"$!

1232�1<�42�1<�42

�1<�:

7"�)($�+�����+0!$V��#$ �� ��$!� ��8�(!���)$���+!$����#!"����>&$!���)$��!"���&�V��.�)5��/

."�("!"�(�/ ����!)$����!��/����6W/&("�$)���.$0!�U��!"�(�/ ����!)*2��2��2�,�)!�(��)!�&(!

$��(� ��($%+$)�)*1<��1<��1<�,:I�($%%!"$!!.�+$)�)*1<��1<��1<�,$��*1<��1<��1<�,$��)$��!�+���(� ��($%

�5!"�0)$!�)50!"�(����!���

1<D91<X3YXD3

ZG �5F3[

\ �5F]3[:

�!�!"$!1<�91<�3Y��3\ $�� 1<�91<

�3Y��3\)�!"$!!"�'�(!��1<��) �� ����(&%$�!�+�!"!"�

'�(!��)1<�$��1<�:*�6�6W'�(!��5��/���+$)�)�)��!"�#��$%!�!.��5!"�'�(!��)5��/!"��!"��+$)�)6,

_�($�!"���5���.��!�1<�3`a�1<�b1<�."���`�)$(��)!$�!!�+���!��/����6c0!$V��#!"���!

���&(!�5+�!")���)�5!"�)�>&$!���.�!"!"�'�(!��1<�.�U��!"$! 3 1<�9*1<�b1<�,�)!"�'�%&/�

�5!"� $�$%%�%� � ��5��/��+0!"�!"���'�(!��)1<��1<��1<�."��!"������#��)$��/$��!�(���(���6J�$

Page 40: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

����������������� ������ �������������������������������������������������

������������ ���� ������������

�����

���� ���� ����

���� ���� ����

���� ����

!���� ���"���� ����#�$���������������� %��� ����������%��������������

������������������������ �&

'��������������� ������������� ����(�����������������&)����������(�����*

!������������������&+�!������������������������ ������*�������

�*�*����,*����,*

����� ��-.-��

������������*��*��*�����*������������������������������������ ������������

�����������*-/�������������� ���� �����0%�����

�*"����*�� �*"����*�� �*"����*�-

1�������(���!����������������������������������� ������*�������

�*�*����,*���

�,*����� ��-.-.�

������������*��*��*��������������������������������� �������������������

�*-/�������������� ���� ������������

�*"����*�� �*"����*�� �*"����*�-

/�������������� ������������������ �2��!�(�������������������!������

������������������������&/���������������������!�����������!����!��!

����&)���� %��������

��3"��4�534�543� �� ��3"��4�534�543 ��-.-��

!��534������ ���������������������� 534������ ����6%��������������

�������&)�����!��

�*"����*�����"����,*����

�"����,*�����"�����*�

�*"����*�����"����,*

�����"����,*�����"�����*�

��

*��*�5��,*

�5��,*�5��- ��-.-7�

+����������������(����� ����� ���� %���*"����� �*"������������������%��

*��*�5��,*

�5��,*�5�� *��*

�5��,*�5��,*

�5��-

/����%������8���� !����� 8��������

*3�539*9- ��-.-��

:������� ���� %���*"���� �*"���� �*"�����������; ��

*3�539*9- ��-.-<�

/�0%�������&.&���� ��&.&<����������!����8���!��������������� �������������=

�����������*-1�������(������������%>!�����4�?���,@���,A��������������!

����4�534��3-/�����������8����&

Page 41: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������� ��������

����������������������������������������������������������� !���"�#�$!��%���&'������

���������������()�������*��"�#�$!

�*��"�#�$!

* �"�#�$!

�+,-,.!

/������)����0���0������������������������12�3�2)��4������)�)����5�������0���3������������������

"*"����� !

#*#����� !

$*$����� !,

�+,-,6!

70������������������()��������%�������������������)��������������������)�3��870�����������

�)�����������%���&'�0��()������"����� !*9:

#����� !*9;

$����� !*9<

�+,-,+=!

>0���9:�9;�9<������������870����)������������������0������������)�3��

?@�"�9;�9<!� ?@�9:�#�9<!� ?@�9:�9;�$!� �+,-,++!

>0���

?@�"�#�$!*��"�#�$!A:B��"�#�$!A;B �"�#�$!A<,

70�1�����2���)��������22)����������0�%1)��+8-C+8

���������0�3������

?D:*1���"*E"� ?D;*1���#*E#� ?D<*1���$*E$ �+,-,+-!

�3�2)�������0�������5�������������������9:�9;�9<!���0������������)������870��'������3������

�?D:�?D;�?D<!���&���2���������'���� ��&����3������>0��0��������2���0������������)������8

F���2��2'4�0�3������

?D:*G?@

G"� ?D;*

G?@

G#� ?D<*

G?@

G$�+,-,+�!

>0���3�2)�������0�������5�������������������9:�9;�9<!�������'������3�������?D:�?D;�?D<!>0��0

>������2������&����870��&���������������1���3���������0������������)�3��8/�����>������������

�0���0������2&�����?D:�?D;�?D<!����0����1�����2&�����?D:�?D;�?D<!�������������5����2&����8

H���22�0��?@*�A:B�A;B A<��������0�5�������3��������3����&2�5����8I'�)&����)�������

���� �����+8-8.!�0������)2��

?@*?@�"�#�$!*��"�#�$!A:B��"�#�$!A;B �"�#�$!A<, �+,-,+J!

Page 42: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���������� ����������������� ���������������

��������������������� ���

������� !"�#� $"�%� &�'��

'(�("

'��

')�)"

'��

'*�* +�,,�-.

/����'��

'(�'�

'(� !"

'#

'(� $"

'%

'(� &

'��

')�'�

')� !"

'#

')� $"

'%

')� &

'��

'*�'�

'*� !"

'#

'*� $"

'%

'*� &,

+�,,�0.

1������ ����(2)2*� ��������3�������������4��� ���� ���� ������ ��������� ��� ��5�����

����5�5��������������� ������'��

'(�(2

'��

')�)2 ���

'��

'*�*,

������(�(+�2#2%.����6���47�8���� �+�9.�����:������������������� �� 4����

�(�'(

'���"

'(

'#�#"

'(

'%�%, +�,,�;.

<���8���� �+��-.���4������ ��5������������:�������������� ��=

�(�����(>���

�(�����(>

?'��

'(�("

'��

')�)"

'��

'*�*

@

�(�

?

����(>'��

'(

@

�("

?

����(>'��

')

@

�)"

?

����(>'��

'*

@

�*,

+�,,��.

A7� �5�������B�����������������8���� �/�6������

�C!>�C!��2 �C!>�C$�D2 �C!>�C&�D, +�,,�9.

E�������73�� ���� �����8���� �����8���� �+�9./������6��)�)+�2#2%.2 ��� *�*+�2#2%.��

���4���� ������������

�)�

?

����)>'��

'(

@

�("

?

����)>'��

')

@

�)"

?

����)>'��

'*

@

�* +�,,D.

Page 43: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���

���

����� �

��

���

����� �

��

���

����� �

��

��� ��������

����������� !"!�#��!$%�"���#��&�&�'������&�&���(!)��

*+� *,�'- *+� *+��- *+� *.�'

*.� *,�'- *.� *+�'- *.� *.�����������

/0!!$%�"���#��&�&��������&�&���#0�(%#"0�""0!1�#�#2!�"�#�!)�!�1�!$%�"���#��&�&��������&�&���

�!!�������&

3�"��%���"0!��"�"���

�4,-4+-4.����-�-�� �5,-5+-5.���4-5-6� ��������

(0!!"0!478�!��"!"0!!�!���9!��������"!#���"0!578�!��"!"0!!�"��%��:�"!#����������"!#;

"0!�1�2!!$%�"���#���1!!<�!##!������!�����#!=��(�"0"0!���!<��"�"���&>�!<����!;�=

4?�4?�4-5-6��4?�5,-5+-5.�- ��� 5?�5?��-�-���5?�4,-4+-4.�- @��-�-� ������A�

"0!�"0!!�������1�#�#2!�"�#���1!!�!#!�"!�

*?���4?- @��-�-� ������B�

���

*?�� �

�4?- @��-�-�� ������C�

D!��(#0�("0�""0!#!1�#�#2!�"�#�!!�������&E1#!2!"0�" �� ��4,-4+-4.�(�"0

� ��� �

�4F�4F ������G�

������#!$%!�"��

�4?���4?�� ����4?�� �

�4F�4F �

H *?� *F

I�4F �J?F�4

F- @��-�-� ������K�

:�������� !"!�#��"0�#��#"!$%�"���!#"�1��#0!#"0!!#%�""0�"

*?� *F �J?F- @-L��-�-� ��������

(0��0�!���#"�"!#"0�""0!1�#�#2!�"�#�!!�������&

Page 44: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

�������������� �� ����

����������������������������������������� ��!�����"���#������$���"���$%������$!�������

��&��'�����&�����������������'��� ����!(������� ���������������#)����""�����������&��

*�&��'����������!(�����������(�������&��%����������&����������!�#)�&�����+���"�&'�� �����

����� ��!�����"�������&�������������(������%������(������""������ ��!���������&�(��&����

�������&����������!������#,� ���&�*���'&�-�������(��� �������"�����.�!���������!������

����&���������� ��!�����#

/���&���������� ��!������� �����(� ���&�����������01#2#34��&01#2#54�����'�����"�6�&��

��'���&�!�������#7��89:;< 1:2:===:> &�����> %�����"��#������������������������'��� ��

��(��������'�%�����"�(����08?:8@:===:8A4����>&�!�������"�(���BA=C���������� D����������$

��""���!�����&����������$89:;<1:2:===:>:��������&����(�������%�����"�(����08?:8@:===:8A4��

��>&�!�������"�(���BA=)������8EF�����"���&�����8EF������������ ��� ��!

89<8908?:8@:===:8A4: ;<1:2:===:> 01=2=G�4

���������� ��!����������&���.�����������������&������89��&89:;<1:2:===:>=)����%�����

��"������01#2#G�4��� ��������""���&�(��&���$���'"�%�"��&��&(������(�����"&���%���%�������������

H�������� �������� ��!�����

IJ8

8

K<I

L8?:8@:===:8A

8?:8@:===:8A

M

<

NNNNNNN

OPQ

OPQOPQ

OPR=== OPQ

OPS

###### ===

###OPS

OPQOPS

OPR=== OPS

OPS

NNNNNNN

01=2=G14

��&�-����� ��!6���$����������.��������%��������� ��!�����

89<8908?:8@:===:8A4: ;<1:2:===:>= 01=2=G24

T�����%����������� ��!��������������01#2#G�4��&01#2#G24�����!���!���.(�����&�������������

89<89084:;<1:===:> ��& 89<89084:;<1:===:>= 01=2=GG4

/����&������������ ����� ��!������ ��!8��U8��&���� ��!U8��UU8����&������#T����!("�����

"��U8<V��&UU8<W=X ��&�������Y?:Y@��&YZ�������� ��!������

Y?[ V9<V908?:===:8A4 ;<1:===:> �� Y?8<V

Y@[ W9<W90V?:===:VA4 ;<1:===:> �� Y@V<W

������������ ��!�����YZ�������&�������������'Y?����Y@����""�&���(��&���� �����������%�

����� ��!��������&���������

YZ[ W9<W90V?08?:===:8A4:===:VA08?:===:8A44 ;<1:===:> �� YZ8<Y@Y?8<W=

����(��&�������� ��!�������&�����&��!��"���""���YZ<Y@Y?=

���H�������� ���(��&�������� ��!�����������"�����(��&���� H�����������������&�������

(��&�������� ��!�������&IZ<I@I?=

Page 45: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���������������� � ����

������������������������ �����������!��"��!� �"#���$��%������!�� ������&'!�$��%���(

� ���������(�����(%�����(�$�&'!��#��)��(*���� ����������!����������!�"���(�+���!�

�"���$��%������ ������#�!����(�$�$��%���������(�����()*&'!�������($��%����� �"������

��������!��� �"���������������������+�(,

-�./��� )0*1�#�!��)*1�&'!����$� �(�!�$ �������������&

-��.'!����2�������(������� �����3��$!�!������ )1�"�!�4�3)5)35)6

-���.'!����2��������4����� �����&'!����#���� )1��!����2��������4����� �����)78��$!�!��

))785)78)536

-�4.'!�����$����4� �"!� (���(���!�$��%����� �"��()-*9.5-)*.9���� )0*091�6

/���2��� �#�!������� �������5:�0;�0<0;<=#"!���<>5;������!��"��!�!�$��%����� �"��

��(������� ��� �$�����#�����������&'!��$��%����������!��� ��� �$�������% �&

? � @� � @�� � @� � @�@� @� � @� �@� @� � � @�� � @� @� �

'!������� $���(�����������������������!���������(���A������-�&B&CD.#"��!E�$�%���(�F�����

����G���#�����������%�$����,

-�.'!����(�$���������������#"!�$!$����������"���$$����4����������������#%� �������!������

���������������&-$ �����.

-��.'!��(���������������������2�������!����$�� $����!��H��(H����!�����$���(������&

-���.'!���4�������������������2����%�$�����!�E�$�%�������$!��(�4�(�� ����������������(�F�����

����G���&

-�4.'!�����$����4� �"�������+�(���!���!������������������������!���������IJ-I>I8.5-IJI>.I86

K!���!���4�����������������A�������$�����������������!�$��%����� �"�����������������@

�����(������(�$������%� �$���������&/���2��� �#"�(�����%�IL�����������������$���(������

!�4�������������M6'!���4������������������$��%�(�����(%�I78L ��(���$��"����ILH5H��

H5I78L H6K� ��IN(������!�������������������#%��"��!����������O#�!���!���������4���������

���2������(���%� �$� �%�ILIN5IP"!����!����(�$�ILIN�����������!����� ��������������"�

��$$����4����������������&'!�+���$���(������������������������!���4�����������������A���������(

�����!����������M���!����A�������&'!�������������������!���� �"�(%�����!��$���(����������@

���������������!�������������������������A�������#%���!�������!����������4� ����O6'!��%�4�

���%� �$���(�$������(��(�����������!���!����� ������ �����"���$$����4�������������������(�$��

����� �"!�$!���A��4� �������������������� �����������������$���(������!�4����!����������4� ��

Q6R��� ������� ������!��$���!��%�����% ��!�(%��"����!����������4� ���M0O��(Q6

Page 46: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

����������� ������� �����������

����������� ������������� �����������������������������������������������������������

� ����!������� ����������������������"��������������������������������������������� ����

������������������������#������������������$����������������� � ��%���������&�'(��)

*+,-./0+1*22,301+-./

4������������� ���������������������������� ��������������������������� ��������������

567 8(�7�7)))79)������������������:; ���������������<���������� =�� ����������>���� ��

��������� �?������������������������@678(�7)))79�����������������5AB����������"����������

��������� �����������������������#������������������������������"�������

56(56C@D7@E7)))7@;F7 8(�7�7)))797 C�)�)G�F

����H���������I���������?���J��� �� ������������������������������� �?������������������������

������@678(�7)))79��������@AB����������������������������5AB7����������� �#�������������

����������������������������"�������

56(56C@D7@E7)))7@;F7 8(�7�7)))797 C�)�)GKF

����H���������I���������?��������������������������������"�������C��G�F���C��GKF��� �

����������#������ ����������������@AB���@AB���������C��GLF������ ������������������������

����C��G�F������ �������������������������������������� � ������������������������� ���

��������M; �����$�������������������������� ��������C9 (�F������������������ ������

C9(GF�� ������������������ ������������ ��� ������������������������������9(�)

NOPQRSNTUVWTUXYZ[013,0Y+[Y22,301+-./C\7!7]F�������������������������

@(@C\7!7]F(\���! 5(5C\7!7]F(\���! ](]C\7!7]F(]

������������ �������������C@757]F���� ������� �����������C\7!7]F7� �������������$�������_�

������

5D(@7 5E(57 5`(] @D(\7 @E(!7 @`(]

������ �������"�����������#��� ����������������������"�������C��aF����b(\7c(!7d(]��

��������� �?�������������

Page 47: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���������� ������������������������ !

"#$%&'()*+(*),$%-#).,*&#$

/0/����� !0�%&$�1#% 202����� !0�%&$�%&$ 303����� !0�1#%�

-)#.)(1*,$456,)1##)'&$,*(%�/�2�3!*#%7+()&1,61##)'&$,*(%����� !89:6(**&$4

2;0/�2<02�2=03 /;0��/<0��/=0

*+(,>#?(%(*#-(@5,*&#$%+,%*+(-#).-#5$'&$(@5,*&#$�ABCBD!E&*+F0��G0��H0 *+(4($(),6&I('

1##)'&$,*(%BJ$(1#56'76,1(>,)%#?()*+(/KL&$*+&%(M,.76(&$#)'()*#'&%*&$45&%+*+(%(1##)'&$,*(%-)#.

*+(/KL#-*+(7)(?&#5%(M,.76(BN+(%7+()&1,61##)'&$,*(%����� !,)(&665%*),*('&$*+(O45)(ABCP�B

Q&45)(ABCP�BR7+()&1,61##)'&$,*(%B

������ST����������U�V�������

W(,)($#E,*,7#&$*E+()(E(1,$>(4&$*#'(O$(E+,**($%#)@5,$*&*&(%,)(BN+(O)%*'(O$&*&#$&%

-#),%1,6,)&$?,)&,$*#)*($%#)#-#)'()I()#B

Page 48: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������� ������ ���� �� ������������������� �!�"���

���"�# ����� " #����$%�&'()(*+,-���.�� /��"0!�1���"�#� �2�� (3��

������4��#�"��� "

565&7897:9;;;97<, &';);*=,

/��#�"��� " #���� �!�"����7>9?6'9;;;9@ �"��%���A<;B��"�C��

������������#�"��� "

565&7897:9;;;97<, &';);*D,

-�������#�"��� " #���� �!�"����7>9?6'9;;;9@��������560E 59

���"5����44�!���"� � #��"F � �!��2�� #-��G��H �"����%���A<;

B��"�C��H 6+I������4��5����44�!���� �% "�"� #�"�/� 4������4��

J�4!�"!����#����!� ���"�/� 4�����"� � #��"F � �!��2�� (

K�����I�"�/� 4������4��J�4!���"�"C����"� /L����"����%���A< -������%���� ���G� �% #

� �!�"������"�# ����� "�(M�������"G4�� �% "�"��"����� �!�"����$����(N ��"$���4��#�"��� "

#����$%�!�J"�!/$�O���� "&'()(*=,I-���"��/�������������"�# ����� "�O���� "�&'()(*+,�"! /���"

565&789;;;97<,65&78&7,9;;;97<&7,,65&789;;;97<,; &';);*P,

Q�����R����S��T�����UV�����W������V�TX������

M"A< � "��!������C�Y!�J"�!/$������ #%����������O���� "�

YZ 7>67>&[,9 ?6'9;;;9@

-����[���%��������(K����"G�"�C��� �� ������C�Y�����C��� �

\]6

^_78

_[9_7:

_[9;;;9

_7<

_[

`

;

M"�"!��" ���� "I-����# ���������"�� " "���� �% "�"��I������"G�"�C��� ���!�" ��!

]>6_7>

_[9 ?6'9;;;9@;

N ��� �!�"������"�# ����� " #����$%�!�J"�!/$�O���� "&'()(*+,-�������"C�������"�# ����� "

!�J"�!/$�O���� "&'()(*),I������C�Y����%����"��!�"���/����!�%���/$

7>67>&78&[,97:&[,9;;;97<&[,,67>&[,9 ?6'9;;;9@9

-���[�"���"G�!(K����"G�"�� ������C��"���/����!�$���� #� �!�"��������%����"��!/$

_7>

_[6a7>

a7b_7b

_[9 ?6'9;;;9@; &';);*c,

Page 49: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���������� �������������������������������������������������������������������������

����������� !"!#$%����������&����������������

��'(

'()�) �*� ����� �"��+%

,���������������������-�������������������.�/����������/���������.������������������������

���0����������!1����������#��������&�������������������������������������

2

3�4

�5

�6

7

8�

2

93

:;<

:;<:;<

:;=:;<

:;>

:;=

:;<:;=

:;=:;=

:;>

:;>

:;<:;>

:;=:;>

:;>

7

?8

2

3�4

�5

�6

7

8 �"�� %

@����������.��-��������

ABCDEFEGDHIJGDFKLMLKELDFFBDNGKO P������������������Q��

����������������� (4���(R%�����.������� ����������Q���

���������������� (4���(R%�����������S�������T����U�����

����V���������������������������.�/

Q�TW

'(

'()Q)

�������-�����������������������..��������������������.�����������

�����0����������/���/�����X!P�������X �+���������������

�����..�����������������������.��������������0����������!

P������������������������������.�/�����-��������������������!

YZ[\] Y_abc IdKLDNEFEMB]KGeBKFfGgJGDFKLMLKELDFdKLDNgGKhLFEGDO

i��/���������������������������������������������.������������������������������!

jGklFEGDHm���������������������������������������������������������������������������!@

������������.��������������0���Q�Q (%�� ����/�..���������.�0������������ !"!�+%���

Q (%�

'(

'()Q) (%� �"��"%

@������������������������(n(�����������/�..��������������������

Q (%�

'(

'()Q) (% �"��#%

o���/��������������������Q) (%���������V�����������������������������Q)�������(

�����������!m������������������������������������� !"!�"%���� !"!�#%/�-��

Q (%�

'(

'()'()

'(pQp (%� �"���%

Page 50: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������� �

� �� �

� ��� �

� ��

�����������������������������

�� ��

� �

� � �� � ��!�!�"�

�#������������������������������$�����%��&���������'(�(��)������'�$����������$�

*���������������)���������#�����������������

+�������������������������*����

� �

� �� �

� ,�� �

� -� -

� ,.� �

� /� /

� ,.� �

� 0� 0

� ,�� �

� ,�1�,!

2�����3��������3��*�����)

� �

� /� /

� ,�� �

� ,��

� �

� 0� 0

� ,�� �

� ,

�������&���������������������+������������������������������������4*������������

����������#�&�������������������������������

56789:;:<=>?9:@<8A9=BC9D<:A<=8C9@E9=6=8>

F����#��������$���� � �� � �*�������������#�������������������

� -� /�!!!� ,�� � -� /�!!!� ,�

��$��$��)�������#����������������������������GH��I(�����������*�#�J��������������$����

�#��#��������������������)�#������������(

� ���

� �� �

� �! ��!�!���

K��

���

� ��# ��

� ��

���������������������'��&������#����������������*

�� �� �

� �! ��!�!�L�

M��������������������*���'��������$�������������3����#������N����)�����#��������

��

Page 51: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������ �� ��������� ��������� ���������������

!!�"������#���$%&'()))(&*+�����,���"�!���������������� !-

!�"������#���$%&'()))(&*+./���0� !1���2"�3�����4�!$5��!.�� �

������������4!�$���!�,�/

��627 8&

9

8&��9 %:);)�<+

�������=�".���������������������� �,,�"��� !$>!�����!4���,�����

!�����������!�!4���?!�!�"��!�������@�/��@��!4AB����-

����A 6C.������������������ �,,�"��� !$>!�����!4���1�!,���

!�����������!�!4���?!�!�"��!��B

D@���/��!����������1!�������4!�$���!������=�����@�!�>>�!>������BD1�!,�������!��!4���?!�

!�"��!�������4����"�!���� �!��/��,��1�!,�������!��!4���?!�!�"��5��!�����4����"�!��� �,���B

EFGHIJEKLMNOLP� �������I��Q���R�S��� �� ��P� ��S��T �����

U!���"��������� �!4�����4!�$���!�,�/�!4����#>�"�=��"1#���������!�%:B;B��+

&V&

&V&

��%&+6�9%&+8&9

8&�

�W%&+6�X%&+8&X

8&W

�� �������4!���Y>������������4!�$���!�!4��� !$>!��������! ����"/������ !!�"����������4!�$���!�

&V&��"

�W%&+6

Z

�9%&+8&9

8&X

[8&X

8&W6�9%&+

8&9

8&W(

/�� �"�$!���������������������>�!>���#!4� !������������4!�$���!�B

\�]��_���P������

��������!/�����=���!�"������!���������������/�� �!1�# �����������4!�$���!�,�/�Ba�@���

!�"������!�����"�=��"�����$�,��$�������"�,�!�����4#���@�!�>>�!>������B������$�����/����

@���������4!�$���!��!4����#>��,,�������"��������!��%:B;BbC+��"%:B;Bb;+/�� �������@,���,��"��"

!�����!��/���0� !1���2"�3�����4�!$5��!Bc������.�������������&���"&�(d6:()))(e��>���������

!!�"����������#�/! !!�"������#���$�Bf��4!,,!/��@�����4!�$���!�,�/�"�=���� !�"!�"����"����"

!�"������!��B

Page 52: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

�������������� �� ���������������������� ��������������������� ! !��"#$

!��%&&��!�� ��'� �()*+,---,*./�����0� �� &������������� ! !��"12!��%&&��!�� �

�'� �()*+,---,*./��%� �� �� ����3&�(� !&�0�4

"12)*/5"#$)*/67

8*1

8*#8*2

8*$)9-:-�;/

!��� !�<��= ��� �������� ! !�����%�00��%&(>&��� �&3���0� !��%&� �����!�� ���&�&3

���?&�&���� 4&4! �4�!@� AB��������A 5C �������� ! !�����%�00�� ��%&(>&��� �

&3���D�&0� �%&� �����!�� ���&�&3���?&�&���� 4&B

�������������� �� ������������������ ��������������������� ! !��

"#$!��%&&��!�� ��'� �()*+,---,*./�����0� �� &������������� ! !��"12

!��%&&��!�� ��'� �()*+,---,*./��%� �� �� ����3&�(� !&�0�4

"12)*/5"#$)*/67 8*

#

8*18*$

8*2)9-:-EC/

!��� !�<��= ��� �������� ! !�����%�00��%&(>&��� �&3���0� !��%&���!�� ���&�

&3���?&�&���� 4&4! �4�!@� AB��������A 5C �������� ! !�����%�00��

��%&(>&��� �&3���D�&0� �%&���!�� ���&�&3���?&�&���� 4&B

�������������� �� ��F�G� ������� ��������������������� ! !��

"#$!��%&&��!�� ��'� �()*+,---,*./�����0� �� &������������� ! !��"

1

2 !�

�%&&��!�� ��'� �()*+,---,*./��%� �� �� ����3&�(� !&�0�4

"1

2)*/5"#$)*/6

7 8*1

8*#8*$

8*2)9-:-E9/

!��� !�<��= ��� �������� ! !�����%�00��%&(>&��� �&3���0� !��(!H�� ���&�&3

���?&�&���� 4&4! �4�!@� AB��������A 5C �������� ! !�����%�00�� ��

%&(>&��� �&3���D�&0� �(!H�� ���&�&3���?&�&���� 4&BI !�%&� �����!��

&3&����&�����%&���!�� &3&����&��B

J!@���&���� ���&�������<���!���!(!0��(�����BK&��H�(>0�=!34�%��<����%�D������ ! !��

"12L��%� ��

"#

$M)*/5"NOP)*/6

7 8*#

8*N8*O

8*$8*P

8*M)9-:-E:/

��� �!�!����0� !��(!H�� ���&�&3&���� ����4! �4�!@� ABI !�%&� �����!�� &3&����&�����

%&���!�� &3&���� 4&B

Page 53: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

�������������

������������������������������������ !

"#$#%&&&#'($(%&&&()�*+,+-.!

��/�����0�����������������/�0�������������������1�2��3�����������������4

"#$#%&&&#'($(%&&&() 5

6789

9

:;<"=$=%&&&='>$>%&&&>)

?9#$

?9=$?9#%

?9=%@@@?9#'

?9='@?9>$

?9($?9>%

?9(%@@@?9>)

?9()�*+,+-�!

43���

789

9

:5

AAAA?9

?9

AAAA5?�9BC9DC+++C9E!

?�9BC9DC+++C9E!

���3�F�/�1������3���������������GH3��I 5J�3���������/��������1���K��������L��3��4�������

/������������0���������4���3�I+

M����KN���/��N�����K�����������/�����0������/��N����������K1�/��N�����K�����������/�0���O

���/��N������GP3K�L��4������0���3�������/��N�����������/����������2����L�3���3�/��N������

����2��3��/����������2�����������������12�3�����������������4���QK������*G,G-�!GP3��K�3�K�

�3�������������3����������3�K��������������������1���K���������K������N�/�R����3��4���G

�S�TU��TV��S�TU

W����3��0�/����/��1���N����������1�����/��2N�4��3�3���������

X5Y#Z#

P3����������/������1���������[����������QK��������GM��3��������������/������1��������121���

��/��2N�G\������N���3�������/��N������"#(���]#( /��1���N������������������3�1����0�/����

Z#C_5*C+++C 12K�������������43�/3������������3������3���N�������������0�/����G\������N��L

a5"#(Z#Z(

b5]#(Z#Z(Z^+

M���a��������������4��3/��N������"#(���b��������������4��3/��N������]#(+P3�QK��������

Z#Z(���/�����K����2������Z#Z(Z^���/�����K���������GP3��������K���N��/���������1��4����3�

1����0�/����GP3������������/������N��2����������Gc�K��3����������[��������3�������������3�

��N�����������������1�����2������K�����3�1���������/�N��/��1����0�/������1����2N�G\������N��L

������������4�K��3�0��3�N��2���/��N�����������

a5"#(&&&de&&&fZ#Z(+++ZZdZe+++Zf+

c�2���/��������12�3��K���������/�N���K/����4�0�/����G\������N��L�3��K���N���K/����3�

0�/����

�5gBZB�gDZ

D�ghZh ��� i5jBZ

B�jDZD�jhZ

h

Page 54: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���������� ������

������������������

���

��������������

������������

��������������

�������������

���������������������������

�� !"�!�" #$%�&$���$'

(��������)**���+��+������+������,���-+�����������������./���+�0������ !"�����������

�+�0������+-����.1�������+�0���������(����������'2'��������������*����3.4���

���+�+�������+������(����������������+*������+�+-��./����-+�*������-+�������+�

+�������+��.5�����3�*�����+�����)�����������������6����$����$���$����7$���+�����(���

���+)�����+)���+-������*����+�����������+����+�����)��������-+�������+�+�������+����

����������+*�+����� !"��!�"(���#$%�&$8$9�:�*�����������������-+�*

;�<!"=�!�"�= :)*+��������������

(����#$%$>������������&$8$���$'�/�����+-+)���+��������+)���6�!�"�=7�(���#$%$>�&$���$'

�+�����)���������-+��������+�������+��./���+��+*�+�����(���*�3��)03����?�@!"=������+�����

(������������+-���-+�*

A�@!"=�!�"�=

(����#$%$>������������&$8$���'�B��������+�����(������+)�����+)��+-�(+����+���(����������

�������...������+�����(���������C+���+)�����+)���./����������C+���+)���+��������+)������

��-�����+���+���.

/���+���+����+������������D���+�+-�������+��+����+�./���)�E���+-�+(�+���+*�+�����

�����-+�*���(����++����������*�������)�E���+-����+�����)�)�.

��F���������++�������(������!��!�GH!������(����+*�+��������������(������

�� !"GH!GH"+��� ��GH�GH�� ��GH�GH�� ��GH�GH�

��GH�GH�� ��GH�GH�� ��GH�GH�

��GH�GH�� ��GH�GH�� ��GH�GH�

(����������*�GH!GH"��������)�����.I+������������������+*�+��������+*����(����

����+�(�������+��������+*�+�����./���+�E)��������J���K����������+����+�+-���)���

����+�������++������J� ��GH�GH�� ��GH�GH�� ��GH�GH�

��GH�GH�� ��GH�GH�� ��GH�GH�

��GH�GH�� ��GH�GH�� ��GH�GH�

Page 55: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������ �� ����������������������������������� ����� �����������������

��� ������������ ������������������������������������� ����� !" ��������#

$������������������������������������������� �%��&�

'�()*()*+(),(),+()-()-.

/�� �������� ��$��$�������$���$� ����$�����������$����������'!���������01$����� ��

�������01.2��3��$��

014'�51*()*+1,(),+1-()-64'

�1*()*4()*()*+1,(),4(),(),+1-()-4()-()-�01

��� '401�'451*()*+1,(),+1-()-6

�1*()*()*4()*+1,(),(),4(),+1-()-()-4()-�01

#�������$����������� ���$�� �� ������� ���� �����&����$�������78!������

8��&��������� �9�&��������� ��3$����� ������� ���&������!�������$���������������

�����������$���()�()�7():();�����&�������������������

()�()�7():();�5()�4():65()�4();6.

2��3��$���������()�()����8�<��()�()�=��������&����$�������78� ���������� �����! �

�78�5���()�()�675<:;():();6����<:;5()�()�7():();6����<:;5()�4():65()�4();6

����<:;>�:>�;��:�<:�

��**<**+�*,<*,+�*-<*-

+�,*<,*+�,,<,,+�,-<,-

+�-*<-*+�-,<-,+�--<--

?���$������!������� ������ ���$����� ����� ��%�����������!������� ���$�����

���$���� ���$� ����2��3��$�����0����()����0<�<�()������ !�������$������

0�0<��:<;():();�@

���� $��������������@!������$���� �:<;������$��� ���������$������

0<0��<:�;():();�A

$����� ��������A!������$���� <:�;./����

@�0�0<��*<*()*()*+�*<,()*(),+�*<-()*()-

�,<*(),()*+�,<,(),(),+�,<-(),()-

�-<*()-()*+�-<,()-(),+�-<-()-()-

��� A�0<0��<*�*()*()*+<*�,()*(),+<*�-()*()-

<,�*(),()*+<,�,(),(),+<,�-(),()-

<-�*()-()*+<-�,()-(),+<-�-()-()-

����B��������� �

/� ��������$�������������!���������0C� �%�����&���$����$� ������$���������

@40C�0�0<40C�0�50<40C6

0C4@�0C40�0<�50C40�60<

/� $������ ������������������

Page 56: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

����������� �����

���������������������������������������������������� ��!��!���"���������# ��������!��

���"�"���� ��!��������$

%&&����&'()���*��

�����������������+����!���������,��!!�!��� ,������!$-���.�����/�������!��!����.�!

�������/�����!!�!/���! �������������!��!����.�!������$0��1234��!5234!������������!��!��

��.�!�������$������ ���!�����!

62347123485

2349

������/��:���������������!!�!$���� ����������.�!�������������"����+$;+�+��������1234

��!5234�������!��!����.�!���������!������ ���,�+���������������������

12

3471<=>

?@2

?@<?@=

?@3?@>

?@4

52

3475<=>

?@2

?@<?@=

?@3?@>

?@49

A����62

34712

34852

34!��������� ����������������!����!������$��������!!�����������,�"�

���������������# ���������! ���

62

347B12

34852

34

C7D1<=>85

<=>

E?@2

?@<?@=

?@3?@>

?@476<=>

?@2

?@<?@=

?@3?@>

?@49

F����# ����+/���� ����������������.�!����!��!��������$

G(H���H�*���I�(���J�&(*�K

������! ���������������������������$������:����!���������� ����������������� ���

������:���������������� ����������� ������������$L����.�����/���1234!��������.�!����!��!��

��������!���5M< !��������.�!�����!��!��������$���� ������! ������������������������N���

��!��������

62M34< 712345

M<OPOQOROSOT7UO�O999OV9

W��������!�������������!������POQOROSOT��:�����+������������"�� ��UO�O999OV90��12

34��!5M

<

!�������������������������"��������������,����!�+����������!������$A�!�N��62M

34< �����

� ������! �������������������$X,���"�����62M34< ������������,+�+��������1234��!5

M< ����������

��!������,�+���������������������

1Y

Z[71234

?@Y

?@2?@3

?@Z?@4

?@[

5\

]75M<

?@\

?@M?@<

?@]9

U9�9��_

���� ������! ����������������������! ���

6Y\

Z[]71Y

Z[5\

]712345

M<

?@Y

?@2?@3

?@Z?@4

?@[?@\

?@M?@<

?@]

762M34<?@Y

?@2?@3

?@Z?@4

?@[?@\

?@M?@<

?@]

U9�9�_

�����!���������������62M34< ���������������.�!N�����!���,��� ��������$X����� ������! ������

����+a�!������������+$

Page 57: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

����������

�� ������ � �� ������� � ������������� � ������ ������ ����������������������

��������� �� ��������������������� �� � ���� ����� ���!"������������� ������� ����

�������������������������������#������������� ����� � ����� � ����$%&'()* ��������+���

,-./010203450'0)))06��� ������������ �������� ���� ������� �7�������#2������ 1)"� 7����

,--/4,88/9,

::/9;;;9,

<</4,/ $5)')�=(

�����3������������! �� �����,/������� �+�����,-

-/4,/��� ������ ������� � ����

������ ����� �� ����� �,-./)>���� ������,-./������������ ������������� �� ���������

���������������� ����� ����

,-

./4,?@A

BC-

BC?BC@

BC.BCA

BC/)

D ���������� ������� �7�������#2������ 1������� ���������� � ������������������!"�

E��

,-

-/4,/4,?@A

BC-

BC?BC@

BC-BCA

BC/4,?@A

BC@

BC?BCA

BC/

4,?@AF@?

BCA

BC/4,@@A

BCA

BC/4,A

BCA

BC/)

$5)')�G(

H����+���� ������� ��� ���������� � ������� ����������� ��#�������� �!I ������� �� � ����

��������� �����7������J������������������!

D������ �����7�� ����������� � ������ ��7����� ����#�� ������� � ������������ ���

�����!����� �������7������������ �#�������������������� ���������� ������� ���� �����

� ������� �!K��������� ������� ������� ����������� ������������#���� ����� ���������������

���� ��#�������� �!

LMN�ON�����PQ��R�S��TM��U

��������� ���� ��� ���� ���� 7������7�V

$�(E��������#��� ������ ���� ����#� ������ �����

$��(���� ����#�� ������� � ��� �����������!

WXYLSZW[\]_\PQ��R�O��TM��U

��,-���a.��� ������ �� ����� ��� E��� �������� ��$ ��� ��(!�� ������ ���� ������

���� ����

b-.4,-a.0102450'0)))06)

��������� ���� ���������� �������������

b4,-a-4,8a89,

:a:9;;;9,<a<)

D ��������� ��������� ������������ ���������� ����7����� ���# �����7�������������!* �

�������+����7 �������� ������� ������������������

b4,-a-4,8a89,:a:9;;;,<a<)

���� ���� ���������������������I������������ ������ ��������!

Page 58: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���������

� ������� �������������������� � ������ �� !"���#��� ���$�#�%��&�������'()*+,$#�-#

$��#��.��/#�����#����������0����� ��'12345� #�$��/�#���#��&������

'������� 6�

��

� ��� 7��8�#����9� �$ �#��'����� ������� ��!:#� � ���0��; ��9�#�&������� �$!<�%��� �8

�#� �� � �-����/����� �=�����;; ������ �� �9�������������.!:�;��%��#����%�� ������$� #�

#�$9����#����%��&�������#��'123� ���� ��!>��?1���?1������������������������ � ����9

-��������� $#�-#����� ���������� 9�������� �9�#�9�����7������&������(@!A!BC,!D��#�������

� ���8$�� ����#��

'�

�����

� 6��

� (@4A4�E,

$#�����#�;��#� � �123 ����FG �������������� � ������ �� ����#���9����� � ��� 9��#����� 9��������

�&������

���

� 6�123

H?�

H?1H?�

H?2H?3

H?�

��

�6�FG

H?�

H?FH?G

H?�4

I� �� ������9�����

� �����

����#��&������(@!A!�E,����������#��&������

'�

��

J

�123H?�

H?1H?�

H?2H?3

H?�

K

6

J

�FGH?�

H?FH?G

H?�

K

6'��G��F�

H?�

H?FH?G

H?�4

L��-��#� ������������-� ������������-� �#��-������; �-������#�� ���� !I�-#��/�M��*8

N��)���O��+���$�����#����%��&�������

H?�

H?2

J

'�

��

H?�

H?1H?3

H?�P'31G

H?G

H?�

K

�123 6C4

Q �������� ��; �-�������RST

RSU ��� ��; �9��#� �&���������#�9���

VW2

X

'�

��

H?�

H?1H?3

H?�P'31G

H?G

H?�

Y

�123 6C ��

X

'�

��

H?�

H?1H?3

H?�P'31G

H?G

H?�

Y

�1W3 6C4

5�-�� ��1W3 � �������������� ��8�#�&��������� ����#����-.�� � =�������#���9���

'�

��

H?�

H?1H?3

H?�P'31G

H?G

H?�6C4

:#� �&������� ��; �7����������� ��; �-�������RSZ

RS[RS\

RS]��������

V�2VF�'�

��P'31G

H?G

H?�H?1

H?2H?F

H?36C ��

'F

2�6'31G

H?G

H?�H?1

H?2H?F

H?3

$#�-#� �#����� 9�������� �$9����#����������0����� ��!

Page 59: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

����������

�� �� ����������� ��������� ������� �������� �� ��������� �������������� � �����

!"

#$% &$%'���($)�� �

$) &$%�� �*$)'���

+������������������ ����,������������ ��������� �'� ��������������-./ �� ����0�������

,��'�"

1�2��0�������� ���.��� ��������� 3

1��2��0������ 0������� ��������� 3

1���2���,������ ��������� ����� ����0�� �������� ��������� ,����&4%�����,��-.���� ���������

,����&4)������0��� ��������� ��������� ��� ��&4%*4)�

� 5��,������ ���������

!"

#$% &�$%

$) & %!$)

�����������,����������������36� ����0���������'�����"

1�2������ ���.��� ��������� ������3

1��2���� 0������� ��������� ������3

1���2������ ����0��������.�������/��3

7� 5��,�����0� ��� ��������� �����������,��������������

!"

8$% & 9:

%;!9:

$) & 9<

%;!9:

=� �� ��������>��� �?��� ��������� ����������0��.�����.��0� ����0���'��.���������@AB�����

������������� �$C&D������3

E"

FGGGGGGH

GGGGGGI

$% & 9:;E9JK%;L

<

M<

$) &$)

$N &$N

$C &9J;LO

:

M<K%;L

<

M<

5��,������������ ��������� �'� ��������������P-.����-����� �"

1�2@&Q��0�������� ���.��� ��������� R�

1��2 E<S E:& R������������@)&(@%�

1���2 E<S E:& ET������������

@N&@%*@)

U*E:E<V<�

W� 6��1XY%AXY)AXYN2� ��-�����.� ���� �� �-����P1�2Z����.����

XY%&U

@XY)[XYNA XY)&

U

@XYN[XY%A XYN&

U

@XY%[XY)

�����'����'��-����P,����@&XY%S1XY)[XYN2 1-25��,����XY\&]\XY�

Page 60: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

��������� �����������������������������

�� ����!��������������������������������������������!�"�������

���#��������!������$��%������&�������$��% ������������'�(����������������������������������

�����������)���*��������!���+���������$��%�����

�,�-����%����!�$����*���,����+�����������������������������������.����������������������%��$

����������������������

���/!�����������,����012�013�014�����/!����%��,����012�013�014������567�568�569

*!���567�568�569������%���:��+���������!������������$�!�����������,����

���)+�����0;<;=>62?;@>63?;9>64���,���.��������������$�!�$��%�A

0;<;2012?;3013?;

4014

0;<;2012?;301

3?;4014

0;<;7567?;8568?;9569

��.�������.���!�,����+��������������B����%��$�!���%.������;=�;@�;9

���C��+�$���!�������+��������%.������;2�;3�;4�

����C��+�$���!���+��������%.������;2�;3�;4�

�����C��+�$���!���%.������;7�;8�;9�DE.���������������������������������������F����!�

��%.������;7�;8�;9�����$���������.!��������%.������G!��������%.���������������������

%�������������������������

Page 61: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���������� ��������������������������

�� ������� �����������������������������������������!�������

���"���������������#��$������%�������#��$������������&�'�(��������������� �����������������

���������)���*�����������%�������*����������+������,���������#��$�����

�+�-����$������#����*���+����,��������� ������������������

���.������������+����/01�/02�/03�

����.�����$��+����/01�/02�/03�

�����456�457�458*����������$���9��,����������������������#�������������+����:; ��������������

�����$��#� ������������������

���),�����/<=<>?51@<A?52@<B?53���+��� ������������C�#���#��$�D

/<=<1/01@<2/02@<

3/03

/<=<1/01@<2/0

2@<3/03

/<=<6456@<7457@<8458

�� ������� �����+����,��������������E��������F�����$��#���������������������������

��$ ������<>�<A�<B

���.��������,��������$ ������<1�<2�<3�

����.����,��������$ ������<1�<2�<3�

�����.����$ ������<6�<7�<8*������������� �C�������$ ������

�G "��H��� ��+��$�IF������������&1�&2�&3�=�J���(���������������������������C���������

�C���$�������&1�&2�&3�=��������������������������������� ��������C���$

���"������������#��$������%�������&K &#��$�C������������ ������������������)���!�����

��,���������#��$������ �L���D������!�������M�������

�+�N������������#��$ �������������������#��$ ��+��$�IF���,���#C����

<O=<PQ&P

Q&O#�� R=���S�

�����+�������<P#��$ ��+��$I�����T<O��,���� ��+��$��

Page 62: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

�������������� ������������������� ����������������� ����

�����

� �

� � � !�"#$#%&

��'�'(����������� �����������)��*��)�������������'�

+,- .��/�0��������������������������� #1���������

234��5647568 ��� 238�5647�568

������239�569����������������������������234���238&:�������234���238��������)��

����;���)������<����������������������������������;)��"'$=�'

���>�������������������234#238#239�&

���?��

2@� 564715687A569�B2347C2387D239

�����0���

B��

$EF1

$E

C�F

$E7�1

$ED�A

���(�0 ��B7C

1�B7�C

A�D

���>�D�DG�����������0����������������������������B� �������� ��� C� ���������

����/�������� ������������������'�(��;)��"'$=�'�

���>�����������H��������I�)����������H������������0�����B#C#D������'

>�)��"'$=�'J���<������������'

Page 63: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���� ����� ���� ���� ������������

����������

����������

����������

�������������� ����!�"��

#$��%&'(�%&)(�%&*+

,�-�������!�"��

�#.'�#.)�#.*��

/0#$

0��0#$

0��0#$

0�

1

2����� �" �"�3��

#.'�4

5#.)6#.*� #.)�

4

5#.*6#.'� #.*�

4

5#.'6#.)+

2�� �

5�#.'7�#.)6#.*�+

8����#.'7�#.)6#.*������2�����75�4+

���� 9!�����"�� ������ ���� �����

��:�:;� ��:�:� ���

���<�����33�� ���= � �"�33>��������"�� �����"� !�?

���<� #$�#$�������� ����!�"�� @��-�������!�"��

#.'�0#$

0�� #.)�

0#$

0�� #.*�

0#$

0�+

��3"�3�������!�"�� �������"�3"�3������ �" �"�3��#.'�#.)�#.*+

�"�A�� � �"��������!�"�� ����-�����"��� �!� ���"�� �����BC��"����2�����!�"��

#B�D'%&'(D)%&)(D*%&*

2�� ��D'�D)�D*�� �"������?

���<�����"�!� ���"�� �����BC��"����2�����!�"�� #B=!��� � ��"�?

�����3"�3��������� "���� ECF���"��G�=������ "���� ECF+

���< ����� ��3����@!� �>����ECFEFH�IHC

�=�J���� ��3�� ���"������������!� �>����BC�ECHBH

���J���� ��3�� ���"������������!� �>����BC�ECHBH

��<����� �G�"��������!�"�� #B�����!�"�� ����� �"���#.'�#.)�#.*+

�G�<����� �G�"��������!�"�� #B�����!�"�� ���� �"���#.'�#.)�#.*+

Page 64: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���� ����� �� ������ �� ���������������������� �!"#�$%&'&�%

()�*

*�)�*�

*�)�� +���,'�&-��.�'&�%-���'��' (/ �

*�/

*�)��)

�%#0�%-�12�%'."

3 )�( 4()�*�/

*� *�/

*�)� �%# 3 )�( 4()�

*�

*�/*�)

*�/� ��5�6���+++��

��7� 8�%-&#��'��-�'�9�..0���#&%�'�'��%-9��,�'&�%-�9'��9��,

� �: )�);<

�����: )�%#< ���0�%-'�%'-�%#'��#�'��,&%�%'�9: )&-#&=���%'9��,>���?@���'�&--�'�9'��%-9��,�A

'&�%-9��,-�B��2C?

��D� ���E �F 0�%-'�%'-�%#G�C���,�'���� �E ;GF ��������&-'��C���,�'�&0��C��-�%'�'&�%�9

�-'��&B�'.&%�?�&%#'��C���,�'�&0�12�'&�%�9'��.&%���&0�C�--�-'���2B�'��'��C�&%'-��������%#

��H�I�J��+K��'#��-'�� �0'��LMNLO��C��-�%'P

��Q� R-2�9�0�0�%!���C��-�%'�#2-&%B'��C���,�'��-S�T!"&%'��#20&%B'��C���,�'�&0�12�'&�%-

� �� �S�T�� �������� :USU< �%# VUTUW+

X��C���,�'��-S�T���0�..�#'��02� &.&%���0���#&%�'�-�9�C�&%'�%'��-2�9�0�?RC�&%'�%'��-2�9�0�

0�%!���C��-�%'�#!"'��C�-&'&�% �0'����S�T�����S�T����;���S�T����;�

��S�T����+X�� �0'��-YMNYZ

�%#YMNY[���'�%B�%' �0'��-'�'��0���#&%�'�-2�9�0�02� �-�S�V���%#�V��T���-C�0'& �."?R%�.�,�%'�9

-2�9�0�����W\�%'��-2�9�0�&-#�$%�#�-'�������9'���.�,�%'�.C���..�.�B��,�� &%B'�� �0'��-&#�-YMNYZWS�%#

YMNY[WT?@���'��'

W\�]*

*S^*

*T]WSWT�

_3��3��J�3����WSWT

�����

3���*

*S4*

*S3���

*

*S4*

*T3���

*

*T4*

*T+

&%'a�b^c�4�b^c��]b^c]�@��de��0&-��?��C��!.�,f�0�?

��g�

���h-�'����-2.'-9��,C��!.�,�i�%#$%#'���.�,�%'�9-2�9�0������9'��0&�02.��0�%�

��S-&%E0�-T ��S-&%E-&%T j�S0�-E

E�0�%-'�%' �kSk< �kTk�l

�!��&%#'��-2�9�0������9'���!� �0�%�?

Page 65: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���� ������ ���������� ������� ���������������������������������������

������� ���!� "��#$#%#

������� ����!����&��������'( �������� �������������� &�����������)������ ���*�#$#%+,

*�-#.#/%+���*0#0#0+12��������� ����3�����4������ �������� � ��4�&���56*�#�+,���4�&����7897:,

7897;���56*<#<+=> ��?@�����3����0'

��A� B����� ������� ����� ������&� �������&�4��C�D,�E�*D+E,�F�*D+F� ����������

G�C/0�E��F/-�<1

��H� I�� �J�������� ���KL�MN5ON�5O�P5OM ��� �QCL�MN5ON�5O

�P5OM�������5OCR*5OEP5OF+���

K�5OCR*5OEP5OF+1'

�ST� U��V�������,"��#$#%3��������3J���� ��������������� ��V���W�M�M,�����W�M���&��������

�&�������������� ����W�XLD*W�M+ �� Y���������Z���'U��![\ ���������&���&�����W

\[ � 4 ���3J

��������� ����W'

*�+@�������W�M!MN�!

�MWMN�]

�N1

*3+@������ �4��������������� ��&��3������������!�MV�M1

*&+@������� �_� ��&�����4�� ���4�&���,���� �������������&������������V_`�W`a_a1

*�+@������� �_� ��&�4�� ���4�&���,���� �������������&������������V_��!`�_1

�S�� @������������������&������&�����4�� ���4�&����_����b�,"��#$#%������ ����&���

�����&�����4�� ���������'

�SS� @���������������� � ��4�&���56�c�*�C#�E#�F+de���������������&���)������� �

XfE�X56RX56�g�MX��X�M�����g�M�5O�R5OM�

hc\

h��hc\

h�M'

�Si� (��_�MN#b\[ ���j

`ka�3������������,�������� �_

�MNb

N[�j

�M[����_

MNbN

[�j�

M[1

�Sl� U��_�M���������3�����&�4�� ����������������$'@���������������� ����_�XLD*_�M+ �

�� �4�� ������� )��$���m*_+ ��� �4�� ������� )���'

�Sn� U��b�M���������3�����&�����4�� ����������������$'@���������������� ����b�XLD*b�M+

��� �4�� ������� )��/$���ob ��� �4�� ������� )��/�1

�Sp�

*�+2� �������&�����4�� ���&�������������������� �)4�&����

*"+ 5OC *""+ 5OE *"""+ 5OF ����� 5O��h56

h����� "��#$#%1

*3+2� �������&�4�� ���&�������������������� �)4�&����

*"+ 5OC *""+ 5OE *""+ 5OF ����� 5O��)�����# ��� "��#$#%1

Page 66: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���� ����� ���� ��������������� �������� ����������������

����������� ����� ��

���� ���� �����!�"#$%�&$�$'$(����)��*�+ ��������� ���������������� ����,�-��������

.�/�0!�/01

20!/01�

20!�01/

��������������� ����,�-����.�/���)��*�+ ������ ���3�����4� ������ �,�-����� � ���� � ���

�4� ��3� �� ��� 3� � �������� �������

��5� ��������� ���4�� �612768296� �:127:829:$�������3��������;���3�4������� �

� ���� ������ �1�1���<=8�� <2>� �8�1�� <28���<2?$�������4�� �612768296� �

:127:829:@���������������A�� ������67:=:76� �6:2767:���� ����� ���

�BC� ���������������������4������8�D,1-��E�F8GG,&28G:-HIJ:� �������������������� �� �

� ����� �� ������;���3�4������� �;��� � ���3����� &�K� �LM��������NONP�NONPNPNP@

�BQ� ����������� ����A����� �4��������;��� � ���3��� �����4�� 1�1,R-$8�8,R-$���

��������������E�FS1T8=S8T1

,S1:2S8:-IJ:� ��� �� �� ����� �� ��������� ;��43��� ����R�R,R-"�����

S1�NPNU$����

�B�� ����/ �� �������������� �V���� ����,�-������������� ������� � ���W��������

�� �������� ��� ����,�-���������� ������� �4#� �%3�������/������� ����� ����X��������

����� ;� ����"���3�������4�� ������� ���� ������+��33�+��� ������������ �������

�BB� ���Y�Y,16$1:$@@@$1Z-�� ���� ��������������� ����� ��,�-[����A�� ���+\]\P ��� ���_,�-

[����A�� ���+ \`]\P\Pa ��� ���_

�Bb� M� ������������ ���������������� ���!�$#$%�&$������!66�&"!6:��"!:6�'� �!::�(@

c� ������ 3� � ���4!�� ��������� �4�� ���� �4������ ����16�1621:� �1:�16=1:@

�Bd� ���"7�� �������� 3� � ���4���������� ����������� �����4������ ����������

9��7���� ������������ ������������� ��� ����

�Be� ����� �������� 3� � ���4� ���������� �������� ��� ����4������ �� ����7�� ������

�� 3� � ���4� ��������������� ��� ����4������ �"��������9��7���� �4�� ���� ��������

�V���� ����4���������

�B�� ,�-��������� � ���f��� ���4����� �����4����� �)� ���������� ����4����)� ��,�-����

������������3�������4����� ��������� ����g�3����,�-,�-� ����3��������������� ��� ���

������������� ����4���;��(� ����������� ���7�/������������� ����4���;��'�h�����������;��

�4��������3�������� ���i�/ �7�/� �����3���������_

�B�� ����/j �� �������� 3� � ���4� �V���� ����4���;��k�c�� ����� ������� 7�j �

�j

� ������ � ����7�j ��� �4�� ��h�����������;��_

�B5� ������ �������� 3� � ���4� �������� �V���� ����4��������������������������

�� ������� l���� � ����� ��

Page 67: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���� ����� �� ������ ������������������������������ ������!�"�!#��������!$%�!����

& ���#�'()�*+,

*-. �������!�#��#�()�!�����!���#/�������!$

��0� ���������������������������"�!#���"����!$���1��2����3)�44 )

54)4

�!����

��������������������!��!�����!$���1��2����43)4 6

743)64

74364 )

�8�

��9� 1��2���� �:;)6)(6<2#��:=�8����!�#�!�!'<#��>���!����� �#��������'�������& ��#���

�8�(

�8�?�@�A���B#"��>�����!#�#���!�!����#������#�!�� ��#���!����"����!�$

��C� B#"�����"����!D�EFG�7HFG�7 FGI2��!�FG��FG��FGI������������ �#����#�"����!�2�#��

��J���������!���>���� �E�H�K��$���DL���FG�7MFG��DL��MFG�7NFG����DLI�FGI������������

���#�"����!�2�#����J��������O�P�Q�K��$���%#��������!�#�����!�����!���#�����2���������2�

�������K��$���%#��������!��#�!����"����!�DL��DLI�DLI$���R��� ���������"�!#���������������D�

���R��� �����������!�"�!#���������������D�

���� ���S�)FGFG)��������'��#�$1��2����

STSU�����7����7�II�7����7����7�II�7I��I7I��I7�III

��V� ���D�FG�D(�(FG�DW�WFG�DX�XFG������"����!�������Y� DD(�Z� DWDX������

�'��#��2�#���!����� ��!�!�� ���#�"��"#�>������"�"����!�$1��2��������� �������!�� �����#�J��

YTZ�DD(TDWDX��D[DW��D([DX�

��\� 1��2����#�3)#���'����!#������!#�������!�#�����'����<����#�#��'����!#�#�������!�#����

�'�����$

��]� ^!#������!�����!���#����2���!���>#"�������!�$�3� 6) �_� )6 �� )6a

��b� 1��2����#��)4 )

4 <�����)

*-.

*-,�c���������#�#��& #"�������#���!����>#�>�����!

��� ���!!���'�����$

��d�

���1��2���� ���!����#���!����>���� ��!�����!���#��

��3�� �73

�� �

��3�� �73

�� �

���& ��!��#���!�

e� �� ���f��� ���7Af�� � �7f��� ��

� ������� e� �� ���f��� ���7Af�� � �7f��� ��

2��!�f)�f��3)�3�7f���3

�3)�73

)�3��7f��3

�3)��

���1��2g�f��f��5�f����#��!����#"�#�"�!#�����2�#>��A�����& ��!��#���!�e� �� ��2#��!������

�����>!� ����#���!����>���� ��!�����!���#���$#$�$1��2����g�h�g2��!�g�f��f��5�f����

���h��3��3��53

��3����

Page 68: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���� ����� ������������� ����������������������� ������� �� ��

�!�!"#�#"$$$"%�%�

&� �'���������'������(������������� ��

)!�!$�!"#$�#"$$$"%$�%

*����� ��+�� ,���+�������������+(��� ���*�������������-.��'�������������������� �� �'��

/)�!0�!"#0�#"$$$"%0�%

*����������������+�� ,���+�������������+(��� ���*�������������-

1�23��*�������'������(���� �����������������

�45!45#"45#456"456456

������+������(���� 45!"456�

1�27������������8�9!45!"9#45#"96456������������� �� ��:8�����;��������<���+������

:8�

=

>

?@A?B

?@C?B

?@D?B

?@A?E

?@C?E

?@D?E

?@A?F

?@C?F

?@D?F

G

H�

3��*�������� �� ��������'������(���� ����������������;������

:$8�I9!IJ"I9#IK"I96IL

:08�

MI96IKNI9#IL

O

45!"

MI9!ILNI96IJ

O

45#"

MI9#IJNI9!IK

O

456

��P� ��� �������� �� ��;������+���(��QR-.�� �� �� # �'�� ��

#��

S

T

UV

0V�0�V

����((� ���W��������� �� ���� X*��������,�����������Y�������((+���,������������ Z-[���

��Z��� �� ��������-\����������+���,���������Z�� Z��;���������� �� �� �����,���*���

�����'��(�,�-.���������]S����������� �,�(��;- �������� *������W���� �� #���������(��

����������

)#��

S

T

UV

10V2$1�0�V2

)6��

T

UVU_

10V$_21�0�V$�_2

3��*������� ��

� "ab"cd

������'������(����������� )!�$"�$a"c$d

���'������������������ /)�0 "�0a"c0d

W��������� �� #��0ca0d"c0d0 "0� 0a

����� ���(���� )#�1�0c2$1a$d2"1c02$1d0 2"10�2$10a2

���� ���(���� )6�10�$c210a$d2

Page 69: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

��������� ����������������������� �!"#�$� %��$ �&%#'(����"#���) �#�) ��$��!"#�#*$�"

�$+#� �+ �&%#�%#���" �,-.+#&�##�/0#���#12�34 �"#��$�5#�����)��6�"#��$&$��)�"#�!"#�#���"#

5#��$�#�'3( �+�/7 8#�"#���������$�����"�" ��9�4: �$�!��$�$5#*$�"�;4; )��6$�& �$&"�<" �+#+

�2��#6/=#�>;?;@+#���#�"# �&%#�1#�*##��"#�#��$�5#��������"�" �

�94A���@ 9�A���? 49 A���>B �,�

C"#&�# ��$��%#��"���&"�"#5#��$�#�'3(3��"#�6 8#�!�"#�$+#��)�"#�!"#�$� %��$ �&%#*"#�#�$+#>

$��!!��$�#5#��#D'3�$+#?$��!!��$�#5#��#D( �+�$+#@$��!!��$�#�"#5#��#D�/C"# �&%#�'3( �+�

1#�*##��"#5 �$���!% �#�)��6#+12�"#5#������34 �+ �#� %%#+�"#$��#�$��+$"#+� % �&%#��)�"#

�!"#�$� %��$ �&%#/E��#�" ��"#�����!��+����

�:4A�$�@ 4: A�$�>� :�A�$�?4 �F�

+#G�#��$�5#������;4 �+ !#�!#�+$��% ����"#!% �#�+#�#�6$�#+12�"#��$�5#������;4 �+ BC"#

+��!��+����

�94A���@ 49 A���> 9�A���? �H�

+#G�#�"# �&%#�>3? �+@*"$�" �#� %%#+�"##D�#�$��+$"#+� % �&%#� ��"#5#��$�#�'3( �+� �+ �#

���"�" �

>AIJK ?AIJL @AIJMB �N�

� �O�$�& !!��!�$ �#�� %$�&3�"�*�" ��"#5#������;4; �+�;4; )��6 �#�$!��� %�#�/

�1�P"�*�" ��9�4: �A�$�>�9�A�$�?494A�$�@ 9

���P"�*�" ��9�4: �A�$�>�9�A�$�?494A�$�@ 9

�+�O�$�&! ����1� �+����"�*�" ��$�>

�$�>A�$�?

�$�?A�$�@

�$�@

�#�O�#�"#�#��%��)��6#Q� �$���N���+#�$5#�"#% *�)�$�#�)���!"#�$� %��$ �&%#�

�$�>

�$�KA�$�?

�$�LA�$�@

�$�M

�)�O�$�&�"##Q� �$����F��"�*�" �

�$�?�$�@49 A� :��9��:4�A� 9����94�J49

�+"#��#�"�*�" �

���>A���?���@J�$�?�$�@���>B

R� �$6$% �6 ��#��"�* %���" �

���>A���?���@J�$�?�$�@���>B

�&�O�$�&! ���)�+#�$5#�"#% *�)���$�#�)���!"#�$� %��$ �&%#�

���>A���?���@S�$�?�$�@���K

���KAJ���L���MS�$�L�$�M���>

'�2�%$�!#�6�� �$���)�"#�261�%�!��+��#��$6$% ��#��%��$�5�%5$�&�"#��"#� �&%#� �+�$+#��)�"#

�!"#�$� %��$ �&%#/

Page 70: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

��������� ������

������������������������������������ ����������������!�!�"!��#�����#$�"������

��%�����������&'�(�)"��������*���������������*#��)"���+$��������!!+���!��,+�(����$�"���"+�

+������������� �������!����+��������������$���"�&-��������������(��(!������������)"��������

���������&.��+�������������������!����+�������������"��,�"����������������������&

/01234 05672

8����9:;<=>;???;@������!���������������������@��(�������+���������+A������������������

�$���(&B�����������)"����,���������!�����9: ��� 9:CD9:; <=>;???;@ ��������,$���

�E!�������

DFG=D9HD9H =ID9JKGCID9GKGCLLLCID9MKG? I>?N?>K

O��"(�������������������9:�����+�����������#����!������������+� �������������P:;<=>;???;@

,$�����#�����#��(������)"������

9:=9:IPJ;PG;???;PMK; <=>;???;@? I>?N?QK

B��(!���� ���������9:��!����"!�����P���������������(���(��"�������������9:=9:IPK;#��

<=>;???;@?B����%�������+�#�����������������,����������

D9H =R9H

RPSDPS; T=>;???;@; I>?N?NK

��������)"���+$�����PU������+� �������������������������)"����*#�"��#��(����)"�����I>&N&>K*

,���(���)"�������#��(&'",����"�����)"�����I>&N&NK�����)"�����I>&N&>K�����

DFG=R9H

RP:R9H

RPSDP:DPS=V:SDP

:DPS I>?N?WK

�����

V:S=R9H

RP:R9H

RPS; <;X=>;???;@ I>?N?�K

�����++�����(��������#����!���������,$��������������P:;<=>;???;@?Y������V:S���#"��������#

���P������������������(���(�����������V:S=V:SIPK?Z"�����*���(�������V:S����$((����������

�������<���X������V:S=VS:#���++[�+"���#<���X�[�����������#����������&-#�������#��(��

������������������$���(*��$P:;<=>;???;@*��������+�(����#���+������)"�������E!�����������(�

�#���,�������������������DFG=V:SDP:DPS;�����V:S=V:SIPK���#"�������#���,����������������&

B��#�++������E�(!+���(������������������(�����������������������[�������������&

Page 71: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

����������� �� ����������� �� ������������ ����������� �� ������� �� �����

!"#$%!&'(��� ��������)����*�+,-.+///+0����1����� ����1��2���34������

567-���5*�5*� 8./9/�:

���1����� ��������)����*�+,-.+///+0����1����� ����1��2���34����������������������� ��

567-�;<5*;5*</ 8./9/=:

>���1����� ����1��2���34������� ?���������������� ����34�������

�;<5*;5*<-���5*

�5*� 8./9/@:

A����������4�������������B������ ������������� ����� � ����� ����C���?)�34��� �8.�D�9E:

� 2������������������������ ����� �F�����34��� �8.�D�9D:F�������1�������?��������4�?�����

� ���������(�2�����1F��*�-*�8*:F����� �,-.+///+0������

5*�-G*�

G*;5*; ��� 5*�-

G*�

G*<5*< 8./9/H:

�4?����4���2�������I�������1����34��� �8.�9�@:2����4�������41�

�;<5*;5*<-���

G*�

G*;G*�

G*<5*;5*< �

J

�;<K���G*�

G*;G*�

G*<

L

5*;5*<-E

M ���?�����)����2����5*; �����34��� ����1��������;<-���G*�

G*;G*�

G*<���� ���34���1)��������� ���

������ �� �����?� 14��� ����������� ��

���������N�OP#QR%"%&STQU!!QV%&T$SWXY ���������� �2�����1������ ����� ��34��� ���� �

������241��� ��������8*+Z+[:� �4���1������ ��������8\+]+:�>���������� ����� ��34��� ��������

� ����� ����2������������� ����� ����������������

*-*8\+]+:

Z-Z8\+]+:

[-[8\+]+:/

\-\8*+Z+[:

]-]8*+Z+[:

^- 8*+Z+[:

8./9/.E:

A���Z_-*+Z7-Z+Z`-[ ��� *_-\+*7-]+*`-^������Y�����������2�����1�a��� ��������

���0-9/>������������ � ����� ��������4������\-b_F]-b7���^-b��C��� ��������4����

�����4���1������ ��������)�����>���4?����4�� � ����2���������� ����� ��34��� ��8.�9�.E:���

���� ���� ����� �cd-*eS_fZeS7f[eS �� �4������� ���� ����� ����������4���� � ����2�����1�a��

� �����������

cd-cd8\+]+:-*8\+]+:eS_fZ8\+]+:eS7f[8\+]+:eS

Page 72: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������ �������

�����

���

�����

���

����������

�������

�����

������

����!�

�"

����#

��!����

�����

������

����!�

�"

����#

��#����

�����

������

����!�

�"

����#$

%&$'$&&(

������)���*����������������+������*��,-�����.����/������)��+������*+�+���������+�����+�

�0!����1�������

��1���

�������

���

��1���

�������

���

��1���

������

����

��1���

�������

���

��1���

�������

���

��1���

������

����

��1���

�������

���

��1���

�������

���

��1���

������$

%&$'$&2(

3�+�+4+�)����..��+�����*���+��5����6�*����6��78������+����+���7�����+��,9�:�����

���+�+��

;������

��1���

��

;!�����

��1���

��

;#�����

��1���

��

;�!����

��1���

��

;!!����

��1���

��

;#!����

��1���

��

;�#����

��1���

��

;!#����

��1���

��

;##����

��1���

��

����������� �!��� �#��$-�������6�*����.����/������)�����6��78��������

�0!���<1��=��<��=�;<=��

<��=� >�?�&�2�'

�����

;<=���<1��=����

��<1���

��=�� @

��<� @

��=� >�?/���+��+��� %&$'$&'(

������������.���+���.8�������/�����*+�+���������+����� ���.,-��.���+���.8������.� 6�

���)���/��������.�����/�� ..���+�.���+75�+���;<=�;=<$A����������)��������+����� ���.

�� �"�������.����/������)�������+��0!���!�� !��"!$A���+��8������.���+���.8���������

;<=�

B

C& D DD & DD D &

E

F$

Page 73: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���������� ����������������������������

!"#$%&'()*%+&$,*'#-.&$,*'()%*+%#/$&'0.1&%/**%2,'&$#($*/31,'2%,/&1/**%2,'&$#(/&'4##56%#((#2

&(78�/*(�� 98�(,'�� �8�:;#%#9<87�9=89�9>8� &'2 7<8��7=8��7>8��&'2$"#

6*(,$,*'?#/$*%/&'4##56%#((#2@�8@��������8�/*(�A�<B�(,'�A�=B�A�>:!"#2#%,?&$,?#(*)$",(6*(,$,*'

?#/$*%&%#/&1/.1&$#2&'2C#D'2

@E<8F@�

F�8/*(�A�<B(,'�A�=� @E=8

F@�

F�8G�(,'�A�<B�/*(�A�=� @E>8

F@�

F�8A�>:

H%*+$"#%#(.1$(,'#-.&$,*'�IJKJIK�L$"#+#$%,//*+6*'#'$(*)$",((6&/#&%#

MNO8

P

QI R RR �= RR R I

S

T:

U#'*$#$"&$(,'/#MNO8RC"#'VW8XL$"#/**%2,'&$#(3($#+,(*%$"*0*'&1J

Y,?#'&(#$*)$%&'()*%+&$,*'(*)$"#)*%+)*.'2,'#-.&$,*'�IJKJIR�L*'#/&'%#&2,132#$#%+,'#$"#

+#$%,//*+6*'#'$(&((*/,&$#2C,$"$"#0#'#%&1,Z#2/**%2,'&$#(JH*%).$.%#%#)#%#'/#C#1,($(#?#%&12,[#%\

#'$/**%2,'&$#(3($#+($*0#$"#%C,$"$"#,%+#$%,//*+6*'#'$(J]&/"*)$"#1,($#2/**%2,'&$#(3($#+(&%#

*%$"*0*'&1&'2(*MNO8R)*%VW8XJ!"#+#$%,//*+6*'#'$(*)$"#(#*%$"*0*'&1(3($#+("&?#$"#)*%+

MNO8

P

Q^=< R RR ^== RR R ^=>

S

T

&'2$"##1#+#'$*)&%/1#'0$"(-.&%#2,(

_=8^=<�_7<�=B^==�_7

=�=B^=>�_7>�=:

IJa&%$#(,&'/**%2,'&$#(�7�9���787

989

�8�

<8I

=8I

>8I

!"#/**%2,'&$#/.%?#(&%#)*%+#243$"#,'$#%(#/$,*'*)$"#/**%2,'&$#(.%)&/#(

78a*'($&'$L98a*'($&'$&'2�8a*'($&'$J

Page 74: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���������� ��������������������

�� ���������������������������

�������

�������

���

� !

!"�"�#

$%&�&%

'(��

')��

'*��

+,��������������-��.��������������,�/�������.���0��1��2 �,��������������0�,�����������

���0�����)3�)��)� � �������

�4������ 5�����

��6789:;8: 5�����<

=>,������������������?���@�

��?�������@

��?�������@

��?����

? !

!"�"#

!"@"�#

'(��

')�?

'*�?����

+,��������������-��.��������������,�/�������.���0��1��2 �,��������������0�,�����������

���0�����)3�)3�)�?) =>,����

�)3�)����)��) �����

������@ 5�����<

A5���2����� ���������������������B�C���

��BC

���

��B)$C)�

���

$%&B&%

$%&�&%

C !

'(�DB)3C)

')�DB)3C)

'*��

Page 75: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

��������� �������������������

�������������������������������������������������������������������������������������

��������

!"#�$!%&#$!

�' (�����������������

!"�)!%&*)!

�' (�����������������

+",-./01.0 (�����2

��������(�������������������������������������+"�

3(�������������������%$4)45'

"$)���5

&"$)���5

+"�

�%$!#)!'

$6�

)6�

�757�8

9:";$!*)!

9!";$!*)!

9<"$)

Page 76: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������ ������� ������������ �������������������������������������������

� ������

����� !"#�$%!#�

"& '���������

����� "(�$%�(�

"& '���������

� ���) '����*

+� ��������'�����������������) ,-�*

.�/��0�������������������$#1(1%&

� ����#���(

� ��#�(

% %

#23

34(4",

!56%65

78

9

���#���(

7�

9

���#���(

7: �

������������ ������� ������������ ������;������������������������������������

� ��������

�����#�

��

���# � /��0���������

��

����(!��

��( � <�0�������������

% =>?@AB?A '����*

Page 77: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

��������� ������������������������������������������

� ����������������������� !

"�#��$�%!��%$�!���

&�#��$�%!��%$�!���

����

�'�()

$�'�'�

�' (�*

+,�

-�%$�%

�%$�

+%�

-�%$�%

�$�%

+.�#��$�%!��%$�!

/���������������0��1����������������2������31���4��5��6�����������������4�������������

���4����"%

�%$�7&%

�%$�7�%

�%�� 8���������������

�%

�%$"%

�$�%$&%

�$�%�� /9��������������6�����

&�"��� 8�����

:;������������������<�=��!

"�>����=

����=$���<� �'<(�*

&�>���<

����=$���<� $)(=()

��� $)(�()

+%,�+%%

+%%�>%

�����=$���<!%

+%.��

Page 78: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���������� ����������������������

������������� �������������

������������������� � �������������!������� ���"��#��$%����������������"�������������

���"����

&'()����*+,-.,�),

����,*/% ������

',-&.()���0+,�),

���,0/% ������

1�23456)46 7 �����

Page 79: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

�������������� ���������

�����

��� ������������ ���

���

���� ������ ���

�� ��

!��

���� ������ ���

�� ��

"�#�$

"�������� ���

��� ������ ���

"�%������ ���

��� ������ ���

&'�������� ��(�)��*�(� � ���� '�+,(��$�-./*��0��1��23 '��� ����� ����0 '�������� �

�(�0�����4��4!���� 56'����

��

��4

��

�� ��4

!�

�� ����� �����

��

��4

��

�� ��4

!�

�� ����� �����7

8�,(��$�-./������������� ���

$��9�� ��6'������������ �������:�

������'��������:� ���

������'��������:� �;�;<

!�����'������ �;:=><

"�#�"��

"���������'��4������

"�%������'�������

&'�������� ��(�)��*�(� � ���� '�+,(��$�-.�*��0��1��23 '��� ����� ����0 '�������� �

�(�0�����

�����'���4

��

�����'���4

!�

�����'����$� 9�� ���6�����

!�

��������

��

��������

��

���������$� &?�.�'�� ��'36��2����

��� �:� 9���7

Page 80: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

��������� ���������������������������

������������������������������������

!"�������������� �#$

%!"�������������� &'

()�)

'

(*!"���������� $)�)('

+,-!+,,

+,,!",�����,�.���,��

+,/!",����,����,�

0���������������1��2����������������3�������$2���4��5���6����������������4�������������

���4���� ,

�"������,.

%,

�"������,.

*,

�"������,!�� ����������������

,

�"�����,.

%,

�"�����,&

*,

�"�����,!�� ����������6����������

%! ����� �����7

�(0�������������������8�9���

!"����9����

����9&���8� $)8:('

%!"����9����

����9&���8� &;:9:;

*!"���8

����9&���8� $)�:('

+,-!+,,

+,,!",

�����9&���8�,

+,/!",����,9

�����9&���8�,

0���������������1��2����������������3��������2���4��5���6����������������4�������������

���4����

,.%,.<*&"���8

���8

=,!",

���,8� >������

?@ ,.%,&"

����9

����9

A,.*,!

",

����,9� 0����

%! ����� ������

Page 81: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���������� ��������������������������

�����������������������������

������� !"#$!%��&���'�����(�������)*+���,�-�������������������

./0123/456���,�&���7�����������������8��,�����9*:9*;9<=>:�=???=@�8���8��,;�A�<���

��������������7���������8��,������8���8��,;�AA<B��)*

+���)*+���������'�����(������������

������������������C���,�8�����������DC��E���������'�����(�����������E���

)*

+:)*+:

F�= �8 >G:H

�= �8 >:H?

Page 82: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���������� ��������������

���

�������

������

�������

������

������ ��������

�������!�!"����#$��#���#%�����&����&�� ���&����!��&����'�������(�)*+

)*, ���

� ��&��-�-���

!�����.�!�

��

� ����

���

������

����

/����'���"��0���� 1��&������!'���!�!���2�&!� ��&��&����!��-

3456789:;<;:=>?@;5A4=

B�C&������&���������'������2��(�������� ��!��C�D#$#E��#���#%�!�!������!-

F����!�&��' �'� ��������!�'�����2����(�!������

GHI�CJD�CJ�KGHI�CLD�CL�K���KGHI�CMD�CM��C�D�� ������N�

O� ���!���!'� �.�&��������!������(��!�����2�!!� ���&���������2��(����

�������!C�D�/��������!�'��!��(��!�����2���

C�D��

CGHI�C�D� ������P�

��&��� ����&�� ��Q������� �������!-O��2�������!�������C�DC����&.�&R

C�DC���CJDCJ�KC

LDCL�K���KCMDCM�

��

CSGHI�CJD�CJ�KGHI�CLD�CL�K���KGHI�CMD�CM�T

��

C

UC�D�

V��D�

/���W�����

C�DC����D� ��������

�!���2������������ ���!���W���������!���C�D�!�!� ��&��&�� ����(�������!��- � ��!�

�'��!�������'C�D��&C�D���W�������-�-��� ��X������!���&������'���!-

YZ[<\]Y _ab_ B�c���&c�&������!�� �(����� �(�������& ����(����� �������!�'�

(� ��dc�e�����!� �������!��������&X����W�����!

c��C�DcD ������f�

c��CD�cD ������g�

�����C�D��&C�D��������� ��& ��Q������� �������!�'��!�� �-

Page 83: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���������� ����������� ����������������� �����!�!�" #����" $��� ���������������$�����%�

���!�$ ��$�&��$�!�" #�$����� ������� '�(�� ��)'

)(* )')(' +,���-��-��"�#�$�!�" #�$���

!�$ ��-�.������ �����������/��,��.�!$���0�%1�$��!�1����� �����������/���"� ���������2 �����!

�!�" #��1��������2 '2(�2 �

)2')(*) ')(' 1��#��$������!%�!��%����� �������������1���

�����"�#�$#���-�"�

3���#����#��$�� ��#�$�%1�������� �����$����������"������/������1���1��!������!���-����

,�!��$���#��!"�����$�$���1��!�

��)(

4

5� 6 66 � 66 6 �

7

8 ��" ��)(

4

5� 6 66 � 66 6 �

7

8+

9����$$��#���#�$�01���.�':(�::'

:;�:<'<;�:='

=(':

'<(�<:':;�<<'

<;�<='=('<

'=(�=:':;�=<'

<;�=='=('=+

&��$��� �����$���� $�������,�!��$���#��!"�����$�$������#���!�.�!������"#�.�!����#��������$

�!��"����#�������$����

>?@ABC>DEFGHE���.��!�.�� $��$��1������%'��$�#�.�!�������$�!�%!��I���$#��������$��

���!!�"$�$����%#��!"�����$�!�

'�(')JK)

JK�+ ��+�+L6�

M��.�%�!���')����!�$�%���')+�����N�"�����.�!$��!��$%�!��������

��������O �������� ����������L6���PQR

PQS �����!�!�" #����"������

'�JK�

JK (')

JK)

JK�JK�

JK + ��+�+L��

9�������.��!�" #�1���.�JK)

JK�JK�

JK (JK)

JK (*) $��#�K

)��"K �!��$$ ��"������"����"���

#��!"�����$�&��$!�" #�$�� ����������L�������%�!�

'�JK�

JK (')*

) (' ��+�+LL�

1��#��$���"�$�!�"��.�!$��!��$%�!�������

&��$!�$ ��#�����������"��������!1���TU���������!��$%�!�������� ����������L6���"�$I���

� �$����0V���1���.��1�#��!"�����$�$���$0$�����!!�"��"�� ���!!�"$�$���0"��$�������!1��#�

$�$���1�#��������!!�"$�$���WX ���$������ -����$�� �"����.�� $������"��$�Y������!1��#�

$�$����� ������$�����!!�"$�$����&��!�%�!�01�#������!#���-������!!�"��" ���!!�"$�����$��

�� ����������L6���"���������!�$ ��'�(')JK)

JK�1��#��$���$���%�!��$�� ����������LL�0� �1���

�"�Z�!���$���%��"�#�$�

Page 84: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������ �

��������������������������������������������������������� ���!��������!������������

"����������#�����"�����������$

%&������'(������������ ) ����������������������"�*���*����+�����

�������,���-��������!������"����������#�����"���������������**����

����������������$

����������������������.�����!���� �������������������$/��"�*���*�������� ������������

"����������#�����"������������������.���� *�!���������������������$0���1�"�*������-������

���������-��������"�������� �-����������.��������������������� �����"�-���������.����� ��"�$

/���� ��"��������������!���������������!��� ���"�����������#�����"��������������

23453654 2345

46537

89�:;<8=>?@A>/�� �**�!��������"��1�"�*��� �����������������$

54623453

5BC4D62B3534D

5CEB3CC 62BD2E4534D

54623453

53CDB 62B4534D

5B4D623B53C4D

F�"���"��G����H�������������������������������������*�������� �������1����!����������*�!����$

I �����������""�����J������������ �������1���""������*��������������������$0���1�"�*�J�

5BE�����""�����������J�����������������!����5ECB ���5

CEB ����K��*�������� ��������!������

��5EB !��������� �����$

L����������������������"�*��*���*����$0���1�"�*�J� !�M��� ������������-������������N34DB

!�������������������� ����������������-������������NOPQR ��"�����*�����

NOPQR62O32P42QD2RBN34DB7

/��� ��������������������*�����1����������"�1��������$F�"�"�1�������������������!���

�����-�� ������������-���������������S

NOC4DB 62O3N34DBT NOPCCDB 62

P4NOC4DB7

Page 85: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������

����������������� ������������������������������������� !��������������

"#$%&'(")'")( *+,-,.-/

0���������������&'(%&'(*)12)$2,,,2)�/���������!�!��!�������������������������������3�����

�������������45���������������&'(%6'(�������������������� ���!������7!������������8�,

9��������������������� !������:���;<� !�����*+4-4.-/��������������������������������<

�������<0�������!���;<!����������������������������������������<4 ������� ��������=����

���������;����:���������������������������0�������������������������� !������"#$%>'*")'/$

0��������>'��������?+��@+4 �����0���������=�����������!�A��4

B�C��DEF����

G�A���0�A������HI%I'H8'���HJ%J(H8(K����������������!�����;������������

HILHJ%I'J(H8'LH8(%&'(I'J(%I(J

(%I'J'%&'(I(J'%MHIMMHJM���N, *+,-,.O/

P���� !����<K����Q���������������������������� �����������������!�����0�A������HI���HJ

����:���R

&'(I'J(%I(J

(%I'J'%&'(I(J'%IJ���N, *+,-,.S/

5�������:������I�����������!�������A�����I'2��� !�����<J�����������!�������A�����J'���

N����������;��0������A������0��������������������������������45�������������������N%T�U

0���A�&'(I'J(%��������������������!��;������:������������������A��A������I'���J'���

����������������������4P���������������������������� !�����*+4-4.S/0���I'%J'���N%�,5�

������������ !������*+4-4.S/������!�����

&'VIVI'%I'I'%&'VI

'IV%*I/$, *+,-,.W/

X�������� !�����������������������������!�������A�����I',9��������!���I���J���;�

0������I%*&'VI'IV/

YZ ��� J%*&[\J

[J\/YZ �����0������������ !�����*+4-4.O/���������

���N%&'(I

'J(

*&]VI]IV/YZ*&[\J[J\/

YZ

, *+,-,./

������������������������;�A���������������������<�������������;��<������4_����������

A�����I'�����������������!��������������!���� ab

c ����3���������d���K�������A������I'���

ab

c �!��;������������������������!��������������&'(I' ae

c %�, ����������K�����������!���

A������f�1Kf�$���f�g������������<������P������������4h���A�������������i'Kj%+2W����

"f�1"k%i1f�$?i$f�g

"f�$"k%igf�g?ilf�1

"f�g"k%imf�1?inf�$

;���!���������A���A�����<f�'*j:���/��������A������!��������������������������A������f�(���

f�oK*pq%jKrq%j���pq%r/K�������<A�����������������!��;����������!�����f�',

Page 86: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

����������� ������� ����� ���� �������� ������� ��� ��������

����������� ���!�"��#$ %������� ��&�'�� ��������(

��)*����� +, ����� ������--����� ��� ��./� �������0�

����

1*2)*)23�� 4��5�6�7

89:;<=8>?@AB?� ���!�"��#C$

/��� ���-�&�� �����-��' ��D�������E������FGH31*2FI

*FI20����������E�������� ��

���&�31*2FI*

FG

FI2

FG������D�� ���� � �� �� ����� ��

FI*

FGJK3�J���JL������ ��� ��.M�����-��� ���

�� ����D�� ����� ������������ ��-�&����'�-��'���������� 0��������������+ ������&� ���

�D�� ����I*3I*4N7J���K3�J���JL������� ���*3OPQ

ORJK3�J���JL�������� ����-��� +��� ���� ��

��� ��-�.S+�������-��T���� �� ���0�����

�*3FI*

FN3FI*

FG

FG

FN3�FI*

FGJ 4��5�6U7

0�����3OVOR�� �����-�������� ����� ��-���

OPQ

OV������ ��'�� ��� �� � �������.����D�� ���

4�.5.6U7���0� �� ����-��� +������ ��-��' �� ��'�� � �������������&�'�� ������� ��

WFG

FN

XH34�7H31*2�

*�2�

89:;<=8>?@AY?�Z[#!�\���]#"��#��]��C$

_�����E����������� ���������� ����'-���� 0��� ��������� �������������� �0� � ��

�������&� ����D�� ����

I3I4JaJb7J c3c4JaJb7J d3d4JaJb7�

Page 87: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

����������� ���������� ������� ��������� ����

��������� ��!"#$%!&#!%!'#(� �$"#)%$&#*%$'#+�� ����,�-������� � �������� ���

������ �������.�������/0��,��1��� �����,�2������������ � ���.����,�� ��������� �1�,����1����

*#3&� �+#3'���,������45#456)%3&%3'7�,��,���1� ���� �1�,�.���8����)9:/8��� �� �/��� �

�,���������,���;45#<45

<);)� ��� ��=�� ��/

;>&#;45?;45#<45

<)?<45

<););)#@""6;$

"7&%

��

�#;45

;>?;45

;>#@""

A;$"

;>

B&9

C,���=����� �,����,���,�������DEF

DG #"HIFF���� ����������� ��,�������C,���� �� ���������

����.���� ����/JKL"M#"HIFFNK"9

C,�������,��,����2 ���/�,�� ��������� �1�,����1����)#3"� �+#3',���,�� ���� �� �

������JKL&M#"HIOONK&9P�8�����/Q�,�������,��,����2 �����,�� ��������� �1�,����1����)#3"� �

*#3&,���,�� ���� �� �������JKL'M#

"HIRRNK'9C,����� ��1�,�� ���S"&%�,��,���,�� ��������� �,�

� ���������JKL"M� �JKL&M%������� ��1��8�,��������1�=����� 6��T70�2 �

���S"&#@UVJUL"MJ

VL&M#@UV

�W@""NU"�W@&&NV&#

@"&W@""W@&&9

���S"'�,�� ��������� �,��������� �JXL"M� �J

XL'M��2 �

���S"'#@"'

W@""W@''9

�� ���/Q1��S&'�,�� ��������� �,��������� �JXL&M� �J

XL'M��2 �

���S&'#@&'

W@&&W@''9

0,� S"'#S"&#S&'#YZ[%��,���@"&#@"'#@&'#Z� ��,������� ����������,��,8�\��.�,�

������� ��������� ����/���8������,��� ����� �� ��,��

] � ���,��� �������� ����/���8�����.��,� ������

@""#6"7&% @&&#6&7

&% @''#6'7& � � @X_#Z%a#b9

Page 88: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

��������� ������������

������������������� �!"#�����$�%"&�'����!��!����� ��'�$ �!"#�����$�%"&�'���($��&%���

!�'����$�

)*+,-./�*+, �$� )*+,-

0./�*+, 102�2�34

���!�/���������!"�$�$��5���"��!����/*+6

7���$&���"�$��!������������*+, �!"#�����$�%"&�'���!�'���8���$��!�5���9���0���!������

)*+, �!"#�����$�%"&�'���$�&��'#����$��!6:�"�'�!'%;����*+, �!"#�����$�%"&�'���!�'���8���$��!�5

���9��<0�$������!!�� �$��$9)*+, �!"#�����$�%"&�'���$�&��'#����$��!6

�=>?@�ABCDAEBF)��� ������������G

:��������*+,���!�'���8���$��!�5���9���0�$������!!�� �$��$9)*+, �!"#�����$�%"&�'���$

�&��'#����$��!6

��� ����HIJ�"�$����K���&��$

LMN

N

O-

PPPPPPP

QRS

QRSQRS

QRTQRS

QRU

QRT

QRSQRT

QRTQRT

QRU

QRU

QRSQRU

QRTQRU

QRU

PPPPPPP

�$�"�V�����#&����#���$

W*+-XN*

XN+YZY[-0Y\Y�2

]!�"�����($����$�5�����!"�$�$���"�%�!���

�*+,W*^W+_W,`-L1

N

N4� _2 102�2�04

a%��($����$;� _ -� _ �$�''���!��$����%���"��$���$���b#����$106�6�04��$&��J !������$���

5�!" cL1N

N4def�*+,XN*

XN^XN+

XN_XN,

XN`-� _ 102�2�\4

�������"�$��!���������*+,�!�$�5�!"����!�'���8���$��!�5���9���02

g���8� !�8��#�'%����$���"��!����$��!/*+�������$��!��!��8�!��$���$��!�$��!�$�5�!"�

����!��$9�����!#'�/*+-/_XN^

XN*XN_

XN+2h�V�$9�������!"�$�$��5����!��#'���($�

/-i/*+i-i/_i

PPPPXN^

XN*

PPPP

j

-/cL1N

N4dj

102�2��4

���!�/���������!"�$�$��51/*+4�$�/���������!"�$�$��51/*+42h���!��#'���"�$��!��������/���

���'�!�$8�!��$��5���9��<\6h�V�$9����b#�!�!����5����!��#'���($�����

k/-./L1N

N42 102�2�l4

m�$��b#�$�'%;����''./����'�!�$8�!��$��5���9��<06n��"#'�� '%&���������5�b#����$106�6�\4&%

./�$�#��106�6�l4��8�!�5%���!�'����$

./�*+,

XN*

XN^XN+

XN_XN,

XN`-k/� _2 102�2�o4

h����b#����$��"�$��!�����������b#�$���%)*+,-./�*+,�!�$�5�!"�'�V��$�&��'#����$��!6

Page 89: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������ ��� ����������������� ������ ���

�� ����� �� �������� �������� �� ��� ��!���������������"� ��#�� $ %&'��� �� � �������

���������������� � ���������

(������������������� ������������������������������ � ����� ��) ����������*+��������

������,�������������

-��#�./#�01$-.0-/1*-.1-/02 3�2245

6789:;<7=>:=;?8;

@������������������ �����������������������A�� ����������,��� ��������!�������

����������� ������������������ � �� ��� �������������� ��� ����@������������������BC

������� ��������D�������

���������E���������������

������D����������� ������ �� ����,��������������F�,�������G���!������,����C��CH��

� !� �� ��� ������������������������ ��� �����������CD���

Page 90: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

����������� ���� � �����

��������������� ��������������������� ��� �������� ���� ����������������������������

����������������������������������������� ���������������� �����!� !�������� �������

"#$%$&'�������������( ��(����������"#$%$&'����)�( �������������� ���� � ������������

������!���!( ��(����������������� ���������(�(������*�����������+�(� �,-$./�$0$1)���

��� �����!������������� !����+����������� ���������������������������������������������

(������ ���� ���������� ����� ����� � ���� �

��

23/#4567%4587&459 "�11:'

��� �����* ���� �+�(� � ��+�������* ���;����( ��������"#$%$&'�������*�(�� ��� �����!������

����+�(� ��456$458$4591<�������* ���������������(���������*�(�� ��� �����!����������+�(� ��

=56$=58$=59$��������*��������� �

23/#=567%=587&=591 "�11�'

>�( ������������*� ?�(�� �� �23�* ���������������������������(��( �����(���������� ����� �

�@���� ����������������������������������)�(��(��������*� ?�(�� �� �23 �� ���#$%���&����

������A23B456/#/#"=56B456'7%"=58B456'7&"=59B456'

23B458/%/#"=56B458'7%"=58B458'7&"=59B458'

23B459/&/#"=56B459'7%"=58B459'7&"=59B459'1

"�11C'

)���� (��(��������*� ?�(�� � �23 �� ���#$%$&����������A

23B=56/#/#"456B=56'7%"458B=56'7&"459B=56'

23B=58/%/#"456B=58'7%"458B=58'7&"459B=58'

23B=59/&/#"456B=59'7%"458B=59'7&"459B=59'1

"�11�!'

>����� ��(������� ���� �"%6$%8$%9'/"#$%$&' "%6$%8$%9'/"#$%$&'����������DEF����������

��������������+�(� ��45E���=5F$��(����*����������� +������� ����� ��@���� ������ ��( �(���

Page 91: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������� ��� ���������������������������

�����������������

�����������������

�����������������

�����������������

�����������������

�����������������

�����������������

�����������������

�����������������

�� ! "�#

� �� ���$�%�������� ��&%��������!�!'#������!�"(#��� �����

)*��*+)+ ��� )*��+*)+ �� ! ",#

-��.� �����/������������0������ �%����������1

��2��32��3 �� ��3��32��2 �� ! "!#

� ����32���� ����������������4��� � ���������%������5���� �%��������������� �.���$

�������&%���$5���%� ���� ����0���%��

��2���3�623 ��� ��7���8�678 �� ! ""#

� ���6*+�� �9�����:����$���;%���%���.�&%��������!�"!#�����&%��������!�""#��<��� ����������

������*+�%�����5� ���$�����1

��2���=��32��3��7=��7 ��32�7=��3���7 ��32�7=637 ��72�7=�62=

��� ��2���=��27��7��=8��8��27�=8��7���8��27�=8678��27�=7 �62=

> ���$�����

�72�7=�62= ��� �27�=7 �62=? �� ! "@#

��� %�����������/AB�����0��������$������ �� ������<��5� ��������������������������

������������/��

C������.� ����������������$������&%�������<��

)*� �*+)+DEFG2HIJI*H8

K L*DEFGI2J8=MJI*H8

�� ! "�#

���%$��0$5� ��&%�����5�*N�����:�%���� ���$��������!�"@#��<��� ��������������������

)N��*N�)*OL*# �� ! "P#

> ��������������������$$��$��������Q����������������

C������� �R*�/��</��B� �$�� �R*�/�����������.��� ��0������ �R*�/�� ����� ��

���/� �������������.���S��TU�U*��*�������������</��������������.��� � �R*�/����

������5VTU

VW

XXXXY

���VTU

VW

XXXX2

� �������������TU��� ��0������ �</����#����������.��#�/�������

Page 92: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

�������������������� ��������������

��

�����

����

�������

����������������

�����������������������

������������ �� �!�" ��#���$������������������� �� �%��&�'()))(*#������

���+���%,��-.%-��,

���-���%+��,.%/��+

���,���%0��+.%1��-

�������"��2�3��!���������#����+4��-�2���5��� 56��7��� ������ ��+48�9:8; �

8�9<8; 4��-�2

������!=��%/�%,�>�!�=��=6����!���������#����+4��,� ���-4��,���5��� 56��7��� ������ ���

������� �=��=���� %0�%-� �%1�%+�$������������������������������ �������� ��5�

����� ���

���

��

�����

����

������?%-�,.%,�-@��+�?%,�+.%+�,@��-�?%+�-.%-�+@��,�

���

��

����A

��%B��

������%�%�������==��� � "#=����=����6����������������� "6��!�$�����!�%B������� ����

��=����6����������� "6��!��=���������� ���6��!� ����

��

����A

����

���������� ������������������

���������������� "6��!�

C!=�6� "�������=��� ���!���� �D#���� ?'�E�F*@=��#���!� ������ ��D#� �������� ���!

��� #5G����������� =���� � �������� ������$�������#�����=��� ���!���� =�����H������

�� ���I����!� �� =6������ ���!���� =����� ��� ���� ������H������ �� �����"��������

��� ���!���� =��������=6����� ���I����������#=6��� ����� "� ���=��� ��� ���� ������

�� ��D#� ���������6������ ���!���� =��J

����KLMKLM�

?')E)F�@

����K

LM�LMK

?')E)FN@

�OP���K

LMOLM�

LMPLMK

?')E)Q2@

�OP���KLM�LMO

LMKLMP

?')E)Q'@

�O

P ���K

LMOLM�

LMKLMP

?')E)QR@

3���������=�����H������ �� �����#!�����M�� �M�(&�'(R(E���=� ���=6� ��� �� ��I�

��7��� ���������D#���� ?'�E�F*@� �?'�E�F�@� � �

LM�LMS�T�K

LMKLMS�T�KUKS�T�S( � �

LMSLMO

�T�SLM�LMO

�T�SU�O �TOS)

>#5���#�� "��������������� �������� ���!���� �D#���� ?'�E�F�@����#"�?'�E�QR@�����#�����

��� ���!���� �D#���� ����KTK�

����KTK�

�OP���KT�OTKP

�OP���KT�OTKP

�O

P ���KT�OTKP)

Page 93: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������� ������ ��������������� �������� ���

����� ������� ������ ����� ��������������������������� ��������� �������������� �����

������������������� ������� ��� ��� ����������� ��������������� ���� ���!"#������ ������ ����

� ������������������������� ������� ���� ���������������� $����

�������$ ���������� %&'%('%)#��������������� �����*�� �������������� ��+

,�-./�- �� ,�-./�-

�����/�-�����0�����1������ ������$ ������������������� ���2������� ����������� �2��� ��

,�-.3%�3%�

3%�3%-4

��������������� ������� ����� ���!"#��5��

,�-.�����-./�- �� ,�-./�-4

6��7 ������� ����� ����������

8�.,�-8-

8�-.,��,-98�9

8�9.,��8�9

8�.,�-8-

8�9.,��,9-8�-

8�9.,9-8�-

��5���� ��������� � �� �� ����� �� �����:������ ��������� ������ ���������������� �����

���$ ������������������� ����;��������� �������:��� ��������� ���� ���������:������ ������

����� �������������$����:��� ������������������:��� ����� ���������� �������������� �����������

������ � ��7����������� ����� ������� ����� ������������������$����:��������� �� ::����<���

�� ����� ����� ������������:������ �������������:��� ����� ����� ������������������7��������

=>?@ABCDEFGHFIJIK@

6�� ��:�������������� � �$��� ��������L8� �$���:����������� ���������:�������:��

���������� �������� ��$ �����������������������7 �:��2�����������5�������������������� ���

M ����� �������� �������� �� ��������� �������� ���������

Page 94: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

���������� �����������������

�������������������������������������������������������

�� �!"#$%�&"#'%�("#)

�����*"#$+"#'+"#),������-�����������������������������������.��������������������������������

������/���*0$+0'+0),12�������������-�����������������������������������������

�� �$�3$%�'�3'%�

)�3) *�114,

��������������������������-�����������*�3$+�3'+�3),15������������/������������������-������������

�����.���

�� �$�3$%�'�3

'%�)�3) *�1146,

�������������������������������������������������-�����������*�3$+�3'+�3),12�����7����������

8�����9����������.�������������������������������-���������������������-������������������

-�������������������������-���������������������/����������������������.��������������:

����;�������������

2���������������������.���������������������������<�����������8�������.�����������

�������������������������������=�����/���������������������.�����������������3$��

��>�3$

?�3$? �$

?�3$? ���8�������.�����3$1 *�114�,

@��������/���������������������.�����������������3$��

��>�3$

?�3$? �$

?�3$? ���8�������.�����3$1 *�114�,

ABCDEFAGHIJGGHKELMNOPQRPSTUSV#VWNXY��Z+[+\���������]�������������������������������

���������������Z\ ��������<��������������������������-�����������

�3$ Z"#$+ �3' ["#$%\"#'+ �3) "#)

����������������<��������

Page 95: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������� ������������������������

�������������� ��������� �������

!�"������������#�$�������"��"%����������&�&'���(&)����"�����"��������"�������$��#

�&�&����(&���� ����"���$��# &*�+�,�-

.�����������������"��������"���#��"�"��

&���&/�����&'��&) �" &���&/�����&)

0���"������1������#���������"���������"��������������"�������

�&�&����(&���

� 2������������"���$��# &*�+�,�-

.���������"���#��"�"�����$�3"$��#���������"�

&���&/�����&' &���&/�����&'(�&)

.�����������#��"�"���$�&�"����������"�����"������$�3"����4

�&/���

5���5�&�

5���5��&'��&)6��(��

�&7,8

�&/���

5���5�&�

5���5��&)��&)�&7-8

9��������������#����3����������"�$��#��������3��������"�3��"%������$��#�$����������&

:���;�#��12���"2����

�&/���

5���5�&�7��

�/���8(&�7���/���8

5���5�&7,8

�" �&/���

5���5�&�7��

�/���8(&�7���/���8

5���5�&7-8

�"%�"���1������������#��"�"���$��������&�"��������"�$�3"��������<*�����%�"����=�

�����3���">? .��������3�����"�"�����"��"��"���;������

@*A&*<A�&*<*�&*<

*����B�����"�$�&�"�������"�$<*

Page 96: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

��������� ����������������������������

���������������� !���"#�$#"�%"��""�"&"���'����"����#()��" !�*+!#

,-./012,31,32/4567

.4,367.845.7.4,3.7.845+7

.4,3+7.

9�"�"

012/

:

;4567

. < << 45.7

. << < 45+7

.

=

>? 4�?@?A<7

����!#��#"��"�)�%!�!�"������ !���"#��"������������

5.B1C/0B1CB1C D���#)&&" �� 012/<EDF/G?

H�����$!����IJ�!��!���!#���� !���"#I#�"&9"��K"L1ED/�EME@�#�)�!�%"����!���" !�"��!��

�'��"���� !���"36?N"��"��$��!�

L6/,36

,-E L./<E L+/<?

O�!#!#�)�!�%"����#!��"

�/012L1L2/066L

6L6/5.64L67.

��L6/ 6PQ?R"�"��"�)�%!�!�"������ !���"#I#�"&!#������������ !���!#��#"��"J�I#!�����&J��"��

�'�%"����S1T!���" !�"��!��31T!#��"J��U"��!���'S1��L1!�*+?O�"J��U"��!��!���"36 !�"��!��!#

"�"�&!�" '��&

S4�7/012S1L2/066S

6L6/5.6S6�

56/56S

6?

V!&!����IT9"����#")�!�%"����#W1�� X1ED/�EME@!���"3.�� 3+ !�"��!��#YO�"#")�!�%"����#

���$"�"J�"#"��"

W6/<E

X6/<E

W./,3.

,-/�

5.E

X./<E

W+/<

X+/,3+

,-/�

5+

�� ��"J�I#!�����&J��"��#�'��"%"����S1!���"#" !�"��!��#��"����)���" �#

S4M7/5.S. �� S4@7/5+S

+?

��#)&&��IT9"���#�I����!����������������� !���"#I#�"&��"J�I#!�����&J��"��#�'�������%��!���

�"�#���'�� "���"���$" "�"�&!�" '��&��""()��!��#

S4D7/5B1CSB1C/

Z0B1CB1CS

B1CE D/�EM[\@ ��#)&&��!����!E

9�!��!#�#������� �����!��'����"J�I#!�����&J��"��#456S6E5.S

.E5+S+7?������������������ !���"

#I#�"&��"���]"�����U)���"&"��!���&J��"��#��"

0B1CB1C/�

0B1CB1CE D/�EME[\@ ��#)&&��!����!Y

Page 97: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������� ����������������������������������������������������� ������� ��

� �� ����� ���������������� ������������������� ����������

��������� !�

"

�� �# �!�$# �%�$

������&�������� �'������(%��)� � ������

�*+,*�+��*+,

*�+-�- �,+�+-�- �,����

���,� �"

!��,� ��,."/0

1������� ��� �������������� �������

,.�/�,! !

�� ,.2/�,% %

�� ������� �������������������� �������!���%����������������������)� � ������

������� ����������

,.3/�,4*5

4*5�,4*56�4*54*5

# 3�"#�782 ����������3�

1�� ���9������ ������������������������������������������)��������� ��� �����

���� ����������� �������������������������������,*�*+�,+���������3���)���

,���+:,!�!+:,

%�%+�,+0

;����*+�$�� 3<�=�����&����� ��������

,4*5�4*54*5�,4*5# ���������0

>���� �� ��� �����&�������

,.3/�,4*56�4*54*5�

,4*56�4*54*5

���������#

����������� ��������������������������������������������� ��� ��������� �������?

���� ����������

@ABCBDA@������������������ ������������ �����)����)���������)�� �������� � ����

������ ������� �����9�������� �'���������E���� ����������F*����������� ��� ���

����������G ��� �� ���� �����������9� ����������������� � ��������������������

���������F*��� ������� ������������H

� ���9��� ��� ����� ���� �������

��� ������ ������ ������� �������

9�� �� .��#�!#�%/ F* F."/#F.�/#F.2/

����9��� .�#I#J/ F* FK#FL#FM

����� ���� .8#N#J/ F* FO#FP#FM

��� ���� .Q#N#R/ F* FS#FP#FT

9�� �� .U#V#W/ F* FX#FY#FZ

Page 98: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������� ��

������������������������������������������������������������ ���!����"���������#$ "%��

��&������������ ���������������'(��������������������)*+,,,-�����������.%���/������0*12*133314*

���5���������������%��6���"������7

)*+,,,-0*2+3334-3

8������"�������������������������������������������%�/��9��������:�������5�������5���%���

/������'��������%���:;������������������'

����!�/����������%���������������������������������5���������)*+,,,-�������������������5

���%���/������0*12*133314*3�����������%���/�����������������!�����������'<��������������

�����������%���/����������������������������������9�������%�������5�����������������������

������������� ��'=�����!��������%���/������0*>?@10*>;@133310

*>A@�����6B716.7133316C7�������������5

���D����������9����������������������5��������.��������������������������

)6B.333C7E)*+,,,-0*>?@0

+>;@3330

->A@

FGHIJKFLMNOLPMQJ�R��STUS VW ���X�Y

<��������������%�/�����������������������#Z����������[*+1\1]E 1_1�1 ����������������

��������5

6�7��������������������a*+36��7��������������������a*+36���7��������������������a*+3

b UcX� �d����������������������5a?;1B1.E 1_1��������������������5���%���/������0*���

2*���� �����������������%����#Z'��������������������������!��e�������

a6\]7Ea?;0?>*@2

;>+@ \1]E 1_1�1

���������%!�������6\7���6]7�������������5�����������������������'f�����������%!�������6\7���

6]79����&�����!���/������������������������%�/�������������������������������������������5��

�������������5���%���/�����0*�������������������5���������������5���%���/�����2*3����������

�������������������������������������gh1gi��gZ�����������%�/��������������5����������5���

�%�/�����������������������'��������%����������5���������!����������������������������������

���������a?;3

(���e�����9������!������������������5���%���/�����0*1\E 1_1������gh�����������������

5������e����������5�����������5����������j%����

kliE6mh7i6kgh7in6mi7

i6kgi7in6mZ7i6kgZ7i3

=��������kgiEkgZEo9�� ��

kgh

klE^

mhE0h1 0iEo1 0ZEo3

���������/�����0*>h@1\E 1_1�3p��������9�5�������������������%���/�����0*1\E 1_1������gi

���������9�����kghEkgZEo�������������5����������j%������� ���������������

0hEo1 0iEkgi

klE^

mi1 0ZEo3

Page 99: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

�������������� ������������������������������ ������������� !"������������# $�# ��%

��������&���������'���()���"��""����&������)�������

�$�%� ���%� �!�# !

#*��

+!�

�������������� �!����������,�&����������)�������- ��.�������"���������.�������

"�������/01�&����'�������2���.��&.����������������'���)�������������)�������2������

&2������������'����"����������&��3

45��6�4$$+$+$

45��6�4�$+$+�

45��6�4!$+!+$

45��6�4$�+$+�

45��6�4��+�+�

45��6�4!�+!+�

45��6�4$!+$+!

45��6�4�!+�+!

45��6�4!!+!+!

��������)�����.�������������&��&2����&

45�76�4� ��8�

+� �+�8���)&&�������7/ 5����9�6

��&�1�"������������

4 8�: ;4;8�:

$4$8<: �4�8<:

!4!8� 5����9�6

��&������: 8�%���=�7��'������������2������&2�������&�()����5�/�/9�6�����()����

5�/�/9�6��")���

4� ��8��:

� �� �4� ��8���

+�� �>+� �+�8�45�76 ��)&&��������"��7������/

���������.���������������&

45�76�4� ��8�

+� �

+�8���)&&�������7/ 5����9�6

?�������2������&2������������"�������&�1�"�����4 8�������'����"����������&

��.��12�����"��45��6�4$$

45��6�4�$+�+$

45��6�4!$+!+$

45��6�4$�+$+�

45��6�4��

45��6�4!�+!+�

45��6�4$!+$+!

45��6�4�!+�+!

45��6�4!!�

�����"�"���������������������&�������

4 8:8; �4 ; �4

$:$;<4 �:�;<4

!:!;�

Page 100: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������ ���������������������������������������������������� ! "!#����$�����

%�&�����������������'(�)(*)�'

(�)(*)�(*)(*) ������������+ ,�����������������������

���&�

-(*)

-(�)'��+#�'(�)(*)-.(*) �� '��+#�'

(�)(*)-(�)-(*)/���������� �0+��010! ��/!/"2#

34����������������������������� ! "2#��5�$���������������������������$�������

����&����������'� 6���������������$����������6�%���������7

'���#�'88-8-8

'�1�#�'.8-.-8

'�!�#�'98-9-8

'��1#�'8.-8-.

'�11#�'..-.-.

'�!1#�'9.-9-.

'��!#�'89-8-9

'�1!#�'.9-.-9

'�!!#�'99-9-9/

:;<=>?@ABCDECFGFH=>FIGFGJ@A

,�������������&���������$����������6������������������������$������������$��

������K� LLLMN���������&���������$����$���������%�����������$7

K���///OP#�K(�)( )LLL(M)(N)

-(�)-( )///-(M)-(N)�����������/

Q��������������������%������$�����&������������������$����K� LLLMN/R���4����6��

�������������$����������6������������������������$���������4�$������K� LLL*SLLLMN�%�

�4������$�7

K���///+T///OP#�K(�)( )LLL(*)(S)LLL(M)(N)

-(�)-( )///-(*)

-(S)///-(M)-(N)�����������/ ��/!/"�#

UVWX:YUZ[\]Z\[ :;<=>?@A?CDECFGFH=_ ��a��a��b#0���010!$����������������&������

������������&����������������b/c�����������4�������$����������������a��a��a#0���

���010!0�����������&��%����������� 1 !!# Q���������������������������������$����������

�����%���$�����������$������%�����$%���%��������� Q���������d�$&�����������������

�������%���$��������&�����������������

e��fa�

fb0���010!/

Q���������d�$&����������������������������������%���$���������%����$����������

���� ��5�$����&������������������$%�

e��fa�

fb�ga�

ga fa

fb�ga�

ga e /

Q���������������������������&�������������

�e80e.0e9#��fa8

fb0fa.

fb0fa9

fb#

Page 101: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������������ ����������������������������������������������������������� �������������

���������������������������������� �������������������������������������������������������

����������������������������� ������������������������������������������������� ���!�����"

�����������������������������#��$%���$&���$'()*��������������������������������������

���������������������������������� ��������������������������

+�$,��

,-$,%

,-� +�$

,��

,-$,&

,-� +�$

,��

,-$,'

,-)

*���+����+�����������������������������������+�����������������������������������

��������������������.������"��������������������������������/����!����������������

�������������������������������������0�1��������������������������2�$3�2�$%�2�$3������

�������������������������������������������4

+5$+#3($+�2�$

,%

,-� +6$+#7($+

�2�$%,&

,-� +8$+#9($+

�2�$,'

,-)

:����������������������������������������������������������������������������

;����������!���������������������������������������������������� ��������������"<��

���������������������������������������"��������������������������������������������

�������=����������"������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������>�������������������������"��

�������������������������������������������!���������������������?�������������!������

���������������������������������������������������������������������������������������

����������������������������������������������=���������!�������������"�!��������������

�����������������������"����������������������������������

@ABCDECFBGHIJKLJLBAFEMDENC

����������������������������������������������������1��������������������O)/��

���1����������������O�����������"���������������������������������������0��������

��������������������������������������������

PAQBLKLDBRSTLBAFEUDENV /��O�����������������������

���������������W��W���W���))));������������W�����������������

X#W�(��������������������������W�����������1��������������

����������4

#Y( X#W��ZW��($X#W��(ZX#W��(

#YY( X#[W��($[X#W��(#3)9)��(

����������������������W���W����O����������������[)

Page 102: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

�������������� � ��������� ���� �����

����������� ��������

�� �������������!��� ���������� "�� � #!��� "��$��$����!��� �����%�

&����������� � ��������"���� ��������� ������������������!��� ��������"���

!��� ��'()*'(+*'(,������ �� ��������-�� ����. � ������!��� ��������������� �

����/'(/��)'()0�

+'(+0�,'(,*

�� ��/*1��*2*�� ��������������� ��� ����������"����!��� ��'()*'(+*'(,��3#������� ��#

� �� �#�� ���� ���

���������/'(/�����)'()0�

+'(+0�,'(,�

����)'()�0���+'(+�0���

,'(,�

��)��'()�0�+��'(+�0�

,��'(,���/��'(/�

-��� ���� ����������/��'(/����"#��4���$���5������#��'(/��6/������� �"�����������/6/�

&�������� �����$�"����� ��'()*'(+*'(,����7)*�7+*�7,�����������������������������$�8

9�����$�/������������������� ��� ������������ "����. � ����!�

����/�7/ ��� ���������/�7/���/���7/��

-������ � ����4������ ���� 6/����7/�������������/6/�:����!� ��� ������4���� �����

"�� ������"����!��� ��'()*'(+*'(,������7)*�7+*�7,�.��#.

�7/�;�<

;�/'(<*

������� ����������4���� �����"�� ���������� �6/���6/�-��� �������

6/����7/����;�<

;�/'(<��

;�<

;�/��'(<��

;�<

;�/6<�

-��������� ���� ������ � ���"�����!� �������� � ��= �� ��8

-���"!�������� �����������$�� �� ���� �8

>(?@ABAC@DEFAGA@(HIJCIKL �"����� � ���������M���

���� �����������*�M� ���� !��� � $������. ���������4��

������� ��#� �� ����N

�1� ����)0��+*�M)������)*�M)�0����+*�M)�

�11� ����)*�M)0�M+������)*�M)�0����)*�M+�

�111� ��O��)*�M)��O����)*�M)�

�1P� ����)*O�M)��O����)*�M)�

������Q�

� � "�� � #!��� ���)*��+*�M)*�M+�����!��� �����%���� �

�����"� �O�

Page 103: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

������������������� ������������������������������������������� �������������������

��������������� ��������������������������������

�������� ��!�� �"�#�$��

%���� ��������� ��������������&����������'�

(������������ ���������������������%������������������� ����)

*+,-./.0-12345/.5.-+678079:; �����������������������< ���< �����

���������������&��������������

��=���>�������?

�����������������

����=���>�������?�

��< &��������������%���������������������@������������������������������

���������)(�����A�����������@�������B "�C�����< �������������D

�E� ����=�������F=G��F>������?� ����=�������F=�������?�G����=�������F>�������?�

�EE� ����=�����H��F�������?� H����=�������F�������?��"�#�IJ�

�������� �����@&��������=�������? �����&����������'������������ ���H�

��������������������������������������������������������������������������

���������K� ��!���L�K�� �"�#�I"�

���������������������������������������������������@��������������������@�������

&��������������)M�����������������&����������%���������� ����&�������N+=�N+>�N+O������������

���&������%���������������� �������)P���������A���������K��������&������%������������������

&�������������������������

�� �QN+Q� �� �FN+F� �K KRN+R �"�#�IC�

%����%���&������@����������������&������������������������E�B��S�T� ����������U�������

�")#)IC������U�������")#)I"�%�� ����

���QN+Q��FN+F�K

RN+R� �Q�FKR��N+Q�N+F�N+R�� �"�#�I#�

�������������������������������)V@��������������U������@

��N+Q�N+F�N+R� WQFR �"�#�IX�

Page 104: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��

��������������� ������������������� ���������������� �������������� ���� ������� ��

��� ���������������!��

"�#$%#&%#'�()*+,$*&+',% -%.%/(% %�0 �0�0���

1��� �2������)*+, �������������� ���������!�����! �!������ �3����������������������� ����� �

� ���!���!�������

3�������������� �� �!�����4�"�#$%#&%000%#'�����4 ������������������������!���� �� ����

� �������������� ���� ���������� ���567%568%569�0:����������� ������� �� �����$*%&*%'*%-(% %�

������������ ����������!��������� ��;�������������

#$($*56*% #&(&+56+% #'(',56,0

��������������������� ����� ���4 !����������������� ���� !����

"�$*56*%&+56+%000%'

,56,�($*&+<<<',"�56*%56+%000%56,�0 �0�0�=�

> �������������������������� ��!�?������� �� �2������

@*+AAA,("�56*%56+%000%56,� �0�0���

���������������!� ������ �� ����� ������ � � �!��401������ �������������!����������������

� ����!���4 ��!������"�� �!�����40

B ����������������� �!�C�������� ���������� ��������#D7%#D8%#D9���������������� ��!�?���

�������� �

@*+AAA,("�#D*%#D+%000%#D,�0 �0�0�E�

1���������� �������� ������ !�������������� ��������� ������ �F!�?���������� ��������������

��������! �!��������� ����!� ����������������������!�?���������� ������������ �� ����� �

��������!��!�������!���� ��� �� �����G������������������������� ������� ����� ������� ��

&*(&*�$7%$8%$9�%-(% %�% �0�0���

�� ������������� ��������H�!������������ �!������������������������������� ����������������

����������� ��

#D*(I&+

I$*56+% -(% %�0 �0�0EJ�

K ������������������ ���������&7($%&8(&%&9('%$7(L%$8(M%$9(N0������������

������ ����EJ���� ������ �����E��� �����

@*+AAA,("�I&O

I$*56O%I&P

I$+56P%000%

I&Q

I$,56Q�0

R��������������� ����� �"����������� �������������������� ��

@*+AAA,(I&O

I$*I&P

I$+000I&Q

I$,"�56O%56P%000%56Q�

@*+AAA,(I&O

I$*I&P

I$+000I&Q

I$,@OPAAAQ

1���������������������� ����� ����� ��� ����������� � �!�����40R���������������� ��������

���� ������ ����� �!��������� ����� ������ �� ��������������� �������!��������!

1���� ���������������������������� �������� ���!���!������������!���������� ������������

� ���!�?��! �� ������ ������

Page 105: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������

� ������������������������������������������� �������������!���������"#��$%&%'(((%) �

�*� ���������+������, ���-��� �������

.$/&/'(((/01) 2�

345/&/'(((/01)%&%'(((%)$%&%'(((%) 367 8�9:9;�<

��� ���������������+����� �� $%&%'(((%)"=���� ��� ��������������������������������������� ��

� ��� ���>����+����?������� ����������� ��� �!�� �� �� ��� �� ��� ���������������"

� �������������������� ��� ������ �������������

5%&%'(((%@5%&%'(((%@ 2A4

5%&%'(((%@5/&/'(((/@ 2B%&%'(((%@/&/'(((/@

5C&C'(((C)%&%'(((%@1)5/&/'(((/)%&%'(((%@1) 28AD3<4B/&/'(((/)C&C'(((C)

B/&/'(((/)C&C'(((C)$/&/'(((/) 234$C&C'(((C)9

8�9:9;E<

F����� ����!����������� �+�����!����� ��*� ���������+���������������� �����������"G�-��

$%&%'(((%) 2�

87D3<45%&%'(((%)/&/'(((/01) .$

/&/'(((/01)9 8�9:9;:<

#���H�����,��I%/JKL2�KEK:����*� ���������+������, ��������+���� �� ��� �����������

M%2�

E45%/CI/CK

�+ ���-����������������!�+���"=���� ��I%/ ��� �+���������

N

O� IPQ IPRDIPQ � IQRDIPR DIQR �

S

T 8�9:9;U<

���+����?������,� �+������������ �!�+���VM���

8MPKMQKMR<28IQRKIRPKIPQ<9 8�9:9;W<

=���� ��� �!�+���+��������� �!��+�+��+�������� �����+�� �+ +��������� �+�+��+����������

��� ��������������������"

X����� ���H�����,+�������� ������ ������*� ���������+������I%/CYKJKLKZK[2�K999K7"G�+��

����+���� �� � �������������� �����������?���������

M2�

U45%/CYI%/CY

M%2�

U45%/CY\I/CY\

M%/2�

U45%/CY\]ICY\]

M%/C2�

U45%/CY\]IY\]

M%/CY2�

U45%/CY\] _I\] _

8�9:9;<

X����+�������������������+�������������+����E"E"

Page 106: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������

��

� ���������� ������ ����� �������������������������� !�"#$%"

$%�$%#

$%

���&��������"#����������� '

�(�)����� ����� ���*������������������� ���*���������*��������� ��������� ���*�����+

���,���!-./��� � ���!-./��� � �������� ��!�01�22� �������34����*

5�!

6�0�%

%�'7���

������� ���� �� � ���& �� �������8��9 ��6��� �� � ���& �� �������8���+

�: ���

�� !$;<

$%�$;<

$% ������ � �� !

$%�

$;<$%

$;<

� )����� ��� �4�&����� �������� ���*����������������8�� ���� &�=

�>� �!-./��� �!�??�11�@@

�A� �<B!�<B!� ���CD!E

�F� �GG !�

�GG���H!�I9IJ ����4�� ������K�

�L )����� ��!-./��� �!

MMMM$;�

$%

MMMM

1

!01I�����0�����N ��(� �+

�O P�Q�����34 �������R?!RS!T$UV

$WTI R1!RX!T

$UV

$YTI R@!RZ!T

$UV

$[T ��������4�����4���

&������

\]S!�

R?

$UV

$WI \]X!

R1

$UV

$YI \]Z!

R@

$UV

$['

� � ��4������������ ���*�����������8�� � �������� �

�??!R1?!

_$%

$W

1

a

_$;

$W

1

a

_$b

$W

1

I

�11!R11!

_$%

$Y

1

a

_$;

$Y

1

a

_$b

$Y

1

I

�@@!R1@!

_$%

$[

1

a

_$;

$[

1

a

_$b

$[

1

'

�(�)����� �-UV� �(��cd���������������-UV!R?\]S-WaR1\]X-YaR@\]Z-['

���)����� ����&��4�������������� �d � �����d�d��� &��8-UV ��� 8�� �� �(���d��������

-e!6�-W-Y-[!0-W-Y-[!

$�%I;Ib�

$�WIYI[�-W-Y-['

f���=

TUgh�UijUk�T!

MMMMMM

g? g1 g@i? i1 i@k? k1 k@

MMMMMM

Page 107: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ����������������������������

��� ����������������� ����!�����"#$���%������"�����!��������!�!��%�����������������&

'�(������"����)�����*+,-.//.001.//0�2�3�����4,�����������)���

'�(5�����"����)�����*/,-.00.++1./+0�4�3�����2,�����������)���

'�(������"����)�����*0,-.++.//1./+/�4�2�����3,�����������)���

'�(6����������� ����"�����)������������������!��������������� ����������������������������

����78���&9�:;�<9,

-

'�:;�<(='�:;�<(

,

-

'�:=�:('�<=�<(1'�:=�<('�:=�<(

>

�?� @�A��������������������������� ������B�������)��"�����CD,EDFCF%����

C+,�

�#'#C+1�GC/H�C0(I C/,1

'�C+HC/H�C0(I C0,

�#'��C+H�C/1��C0(

'�(J��%��������)��"�����������������

'�(K ������:'C+IC/IC0(������������������"��������"!������

:+,'C+(/I :/,'C/(

/ :0,'C0(/>

���������"!�������)���� ���������������������"�)�����������

�L� A�����������"�����������M�����"������������������������������������'�INIO(>

�P� A�����������"�����������M�����"���������������!������������������'QINIR(>

�ST� A�����������"�����������M�����"��������������!������������������������������'UIVIO(>

�SS� A�����������"�����������M�����"�������"!������������!�������������������������'UIVIO(>

�SW� A�����������"�����������M�����"�������"!������)����������������������������������'�IRIV($

�������������X��������$%����C,����RI Y,����RHV���ZI O,V���Z���Z���!���"����

�[Z\]/> ���&6���Z,

]/����������������������������

Page 108: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���� ����� �� � ������������� � ���� ����������� ������� ������������ �������� �

������������ ����� ���� � �!�"#�� �

$%�&'(�������

)%�&'(��������

*%(����

&+(+�

�,�,-.

�,�,-.

/���� � �!�" 0����������� �������� �

��1� ����� �� � ������������� � ���� ����������� ������� �2� �������� �������� �

�3�4��������� ����� ���� � �!-�#�� �

$%&���3��4

)%&���3���4

*%&��3

&+� ���������

�,4,-.

�,3,.

-

��5� ������ �678�9�:%��-

���;�������6<<%6==>� 6<=%6=<%

?6<=>� 6==%

6<<>�� � >%6<<6==?6<=6=<@

�A�B� �� � ������2���������C ���D����67867E%FE8� 9�:�G%��-@

��H� I �JK�JL�JM� ��� �� ���������2�� ������C ��������� ������������ � B������

������������������� - N-������ - NO�������� �����C����������C��������2�� ���������C ���

�2��������������D�������������� ��P�3�*�@�A��2� ����������� ��Q�3�4������R���A��

D�������������� �

��S� /����� � ��������2���� T����A �� ��� ��C �������� �� �����

�&� JUVEWX ��� JUVWY

�(� JUXZWY ��� JUVXXWY

�[� J7X8XX\XZ ��� JXYXUWX]X

�� JZ_E ��� J78XXE

Page 109: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ��������������������������

���� �������������������������� !"#$%& !&"#'()& "&!#'& #&!"*'+)& "&!#,& #&!"*-����%.(

���+�������������& /�����0�����1������� ��-�����������������������������2�����������������

�3��-���4 $5 /4/ -���� 5675 7$5"65" $&6 �����2�������������8���������������������9�:

������-������2��������������������������������������������2���������������;���������<������

9������-�:����������������8��2������:= ��-� !"#�������������������>

��?� 9���2�@ /A�������������������������������B#C"D���������������������������������E����

����@ !AB!A"D���2�3��������������������F-�������������������-���������������������

�GH� 9���2�����I"D67�����8������������ ��-������I /!A'I /A!$�����������������:���246

����I /!A'I /A!$�����:����������������:���246J

�G�� ��-����

K /!K67L$

MMMMMM

N 6 N 7 N LN/6 N/7 N/LN!6 N!7 N!L

MMMMMM

O���P �����8��2QFR3��������

�GG� S����2���������������T������K"D#K" /'K"D/K"# $K"D K"#/�������������U�����::������-��

�GV� E���������������������:N /K #LK/67$N#6NL7,N#7NL6JO���P �����8��2QFR3��������

�GW� X��@67��������1�-��:22������������������������������Y6$�

�K6"D@

"D-����

K6"D$ZN[6"DJ ��-����Y6��������2�������������������������\���������������2�������

�G]� X��@67��������1�-��:22��������������������������Y6$�

�K6"D@"D -���� K6"D$

�ZN[6"DJ

��-����Y6��������2�����������������������������\���������������2�������

Page 110: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���� ���� ��� ��

��������

��� �������������������������� �

�������������������������

�!"#������������������������������$�!%��&"

��'� (���)*�����+���,������-������./)*����������������������0�"

��1� (���)*�����+���,������-�������23)*����������������������%�"

��4�

$�&5���6)*7����������������������0�8

$+&5���9)*7� �236)*7�����+���,������8:��;5���<�=-���8�>?�8

�@A� B���C,��������,���D�D��+���-������ +E���C,�����������=F$G�HG!HGI&�JKLMNOLN"

5������,�����=����D������,���D�D��+���-������ +E����D��

L)�/)*PQPRS

$/TU PQPRVPQPRW&

XY

"

�@Z� [��,=���/)*�\/)*���\����]���D�����8 �� �� D��D,���/)*����=���/)*"

�@�� _���=����������������������C,�������,�8,���EE�,�������8

9�*7�)09)�7

�*09)*�

�7�9)*7

��"

:��;5��-��+��=?�ab<��D����8�8

�@@� 5���������)�� �)����D��� ������a�� �)�9)*7* 7H����)�9)*7

* 7

�@c� #������9)*7�� 9)*7�������D��� ������8 :��;d���� ���� ���=������/)*"

�@e� 5���9)*7) *�7�9)*7) *�7"

�@�� ��f)*HgHh��H?Hi �������D�� �� ��=�<� �����85������������C,����������D����

���������8$g& j��f

))

$gg& j!��

?

k$f))&

!%f)TfT)

l

$ggg& jI�m6Nnf)*n

�@'�

$�&[��,=�)*�� )*HgHh��H?Hi����+���,�D����������������a�� ���=������������-�� ,D

�)7�)* *7�����+���,������o

$+&[��,=�����D�� ����pG*

pGUpG*

pGT�qUT ������r� a�� ���=����������������-�� ,D��

-��$�&��������o

$D&d���� �����E�������=��������D������������� ������������<��s)�t)*s*0u)H�����t)*���

���D���D��������������������<��85�����ps*psU

ps*psT

�qUT

Page 111: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���� ���� ��������������������������������������������������������������� ���

����������������!"�����# $�� % &�"����������'���������(���)*��+��&�'�����+�,��"�

+�-����

��.� /�,�����01�������#2�� 2�34$1�31 451

�41 36

�78� ����������,����9 %:$�%;%<�����=���������>&?��'��,��@�����������?��$2�� 9 %

����2�� �����25+��"�������#�-���

&�'*��,���9���������?34-#�"���+�#��@-�������������@�,���!"�����-#2��A����������251

�������#������"������+���#�����"���

&-'*"����@�,���>+��������:�����������@�,��"�����������������&��B$��;�<'������+��#�"

��"�������+��&�'�

&�'C�?���#��������D��0�#��������������E

�7F� C����-�������������������"��#�!"�������G"���#���������-��>+������������������

�HI

J

JKL&HIM9L'N

JM

JO$�%

����M�����������#�����G"���O�������9L�����P$�%;%<�����,������#���+���������I$QI��Q

�������������������������������R�+��#��@����"����������,����������+�����@��������

���+��������,������#-#����+�#��������+��������>+������������"��#�!"�������

&�'������������������&K%S%T'����+�#��������+������9U%9V%9W6

&-'�#������������������&P%X%T'����+�#��������+������9L%9Y%9W6

&�'*+����������������&Z%X%['����+�#��������+������9\%9Y%9]6

�7� _��K`%Ka%Kb�������������D��������������������+��������������������������S`%Sa%Sb�

c��"������de%dea%deb��"���,������������������������K`%Ka���Kb�>����+����,��#�C����"���

,�����������#�����������de fde $�

deafdea$�

debfdeb$�

de fdea$���Xa

de fdeb$���Xb

deafdeb$���Xab%

��������"��������������I��������B"@����������I��6

�7�� _����%�%�$�%;%<%g����������D��0�#��������������D�����

��$

h

ij

� ? k l5? � m 25k 5m � n5l 52 5n �

o

pq%

����?%k%l%m%2%n�����+��>��������������"����������+������������"�������

9��$�

;2�� A A6

Page 112: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���� ����� ���������� �������������� �������������������� ������

�����

� !� "�# !� "�

$

%���!�������&�������������� �'����������������()���������������������������

����������� ���������� � ������*�����

�+��,��,-.��%������ ���� � ���&��� � (

��/� 0����������&����*��%�������'������������ �'�����&��� �

12����

�+��,32,3 4565758��5�595:

�� ��%����'4678� ���������������'��9:5����12���2,3-

��;� ��� ������<���&=���� '������>"��?��"�%���@"A5"B5"CD�@"5E5FD%������� �

�� '������"�� G��>"�-H�������@D�����<��'����&��I"JKEJLFJM � ��������

�� '��������@*D�����<��' �������<������� ������

I"BJ�K"EJLEBJM"JNEJO��-

��P� Q ��<��&��&���'���'��<��RS���������� '������&%'���������������'

��<��R(

��T� U��V�������������������'V���� ��%��� V

",�VV��

V�� ",-

��W� 0���� ��%����'��������'"EFX� %���� ������ ���'�X��>">E>FX� S�����������

�'�����YI%���� ��������* ��������*��X� � <����*�

ZYI

Z[

\\\\]

�ZYI

Z[

\\\\^

JY�_YI-

����������������

M]YI�ZYI

Z[

\\\\]

������������X�� � ���

M YI�ZYI

Z[

\\\\^

����������������< � ���

@D.��%���M]YI�@M JY�_DYI-

@*D��� ������ ����&� ������������YI� ����� ����������Y-.��%���M]Y�@M JY�_DY

������ Y!

\\\\]

�Y!

\\\\^

JY�_Y%���Y!

\\\\]

��� ��� �����&������'����&��&����������X�� � ���

��Y!

\\\\^

��� ��� �����&������'����&�%���� ��������������< � ����'�������� (

@�D.��%���Y?

\\\\]

�Y?

\\\\^

JY�_@Y�_YD%���Y?

\\\\]

��� ��� ������&������'����&��&���������

�X�� � �����Y?

\\\\^

��� ��� ������&������'����&�%���� ��������������< � ���(

@�D.��%����� ����&� �Y�� ��� ������

Y?

\\\\]

��Y�_Y!JY�_@Y�_YD

%���Y!� �����&������'�������&��&��������������< � ���()������Y�_Y!� �'�����

�������&� ���&�������������Y�_@Y�_YD� �'����� �����������&���&�����(

Page 113: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������� ����� ����

������������������������ �!�������!����"!�����!�����!������������"�#$����"��!��%&����'���

(!����"�(�� ��'��������"�!��)�)��!����"%!��*��!�����"+)!����%�������!')�������'��� ��"��

�����",-.!���� ��'�����"��!�����/,-./01

2/3,-./01/04

255556���)�����'�����"�(�� �����'�)"���"��"

7�� !��8�"����9�������":-.;<��(�������������"��%#���"��"��)���"��!��������������"�!�!""����

!�&�� )��*"����������� ��"��� ��!"%"��!�����������������=8�"����9���% (���#

>?@ABCDEFG�HIJDGB

K��)��������"��� ��"�������",-.�������L����!���*������"!��'�" !�����!�

,MNO,PQ/0P

/0M/0Q

/0N5

R�*�����+)!����%

ST2U2VWO/,MN/0X

O/,PQ/0Y

/0Y

/0X/0P

/0M/0Q

/0NZ,PQ

/30P

/0M/0X/0Q

/0NZ,PQ

/0P

/0M/30Q

/0N/0X

!��'�" ����� (��!�����'��" ��

[\ST2U2VWZSU2V2TW]SV2T2UW���(�!�����"��)��

[

_/,MN/0X

Z/,NX/0M

]/,XM

/0N

`

O�

[

_/,PQ/0Y

Z/,QY/0P

]/,YP/0Q

`/0P

/0M/0Q

/0N/0Y

/0XZ,PQ

/0Q

/0N/30P

/0M/0X5 S�5a5�W

�������+)!��������� (��!�����'��"��!��������)""��=���������("!�L������!����!8�"����9���% (��

�'���*"��L���!������*���(%������!����

\bc2dO\cb2dO�

[

_/,PQ/0Y

Z/,QY/0P

]/,PY/0Q

`

5 S�5a5[W

e���+)!����S�#a#�W��*�������"!��'�" !����'�"!8�"����9���% (���'���*"��L���!���!�(��f�"�����

!�

\TV2UO\bc2d/0P

/0M/0Q

/0N/0Y

/0XZ,PQ

/30P

/0M/0X/0Q

/0N5 S�5a5gW

h(��"����!����8�"����9���% (���'���*"��L���\bc2d��������"!��'�" ��L�!�����"#$�����"&����

�% ��"��������������b!��c5

6������� �����������������)������+)!����S�#a#gW���������!��f�"������'�"�����������"��!����

��" ��������)"�����!��+)!����!�������������"��!������" !"�������� ��'�)"')�)"��������"!�����#

e������'�"������������"��!�������!� )�����%�+)!����S�#a#gW(%/0N

/0i,ij!���� ���'%���"��)�������

'�" /30j

/0M/0XO],ij\bc2k

/0P

/0M/0Y

/0XZ\TV2U

/0N

/0i,ij5 S�5a5aW

e���"!��'�" !����,ijO,lm/0i

/0l/0j

/0m!�����)����f�"�������+)!����S�#a#aW�����'�"

/30j

/0M/0XO],ij\bc2k

/0P

/0M/0Y

/0XZ,Nm\TV2U

/0j

/0m5 S�5a5nW

Page 114: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������ ������� � ������� ��������

��

��

��

��

��� !��"#$��

%�� &'�( ')*

+'�* ')(

,'�*(')

-

. /�.0.12

3������� ������� � ������� ������������������������������������� ��45��� �/�606728�

������������������������� ���� ���8

�9

#:

�');

')<�

�=

>?

�')@

') ')A

')B+'C);

') ')B. /�.0.D2

E���F������������ ������� � ������� ������� ��� ������ ���������� 45������6G����5��

�������� ����������45��� �/�606D2� �HI��������� �����F���F� ��������� ���� ��45��� ����

���� �������� ������� �� ������� ������6J��������8������ �F������� �I������������ ���

���� ��8�����5����I�� ����������������� �8��������������5�����63�5�K����������F�� ���� �

��

*(

������ ���� �

��

*(

L

.

MNOPQRMSTUVSTWXYZ[\]_a\bcda\ef �F�� ������� ������� � ����������������� �

������� ������� � ������� ������6

gah][ijk����������� �� ��45��� �/�606128���F�

��

��

��� !��"#$.

G��5���I�������45��� ����l�������

�l�

��

��

�m l!��"#$�!��"n$

����

!��"#$�� �

��

��

�� o

��

��

+ppp+� q

�r

��

.

MNOPQRMSTUVsTWXYZ[\]_a\bcda\ tuZ\]v[iwe

���F�� �5���� ���������� ������� �� ��������������x������y�� �� x ���� ������

������8��������� �z������

��*�� � �{�� ��� �|�}|�}�~C|�}" ���"%"�

8������� ��5����6

gah][ij���� �� x ���� ������������8�����*��� �{��8� ���F�����

!>�"?$��

%

&'�@A')�

+'��A')@

,'�@�')A

-

. /�.0.�2

������������%D45��������� ����5����6G�� ��������� �� 8��x������

Page 115: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ���������������������������� ���

!�" #�!��"�#��

$

%&''%('

���������������) ��)�)*�

+,������������-�.��.��.������/�0��1�,���2���/�3���

!��"�#" !$$"$#" �, !44"4#)

������������5� �������������������������� �����0�,�

!�" #�!��" #�6�

$

%&''%(7

����������������8�5� �� ��)�)���

���.��&'7��0�,�5� )9�������������-���--���/.��.������/�0����:1�,���2���/�3���

!��"$#" !��"4#" !$$"�#" !$$"4#" !44"�#" !44"$#)

���������� ��5�����8����;��&'<��0�,�5����.��3�=�,� �8������������������

������ �����0�,�

!�" #�!��"�#�!��"�#��

$

%&''%(<

����������������8�5���� ��)�)���

+,������������-�.��.��.������/�0��-��=�1�,���2���/�3���

!�$"�#�!$�"�#

!4$"4#�!$4"4#

!�4"�#�!4�"�#

!4�"4#�!�4"4#

!$�"$#�!�$"$#

!$4"$#�!4$"$#

�����>��5��5� ��8���-������������������,�8�.���

!�" #��" �5��5� )�

9���,��,���������:1�,���2���/�3���

!�$"4#�!$�"4#�!$4"�#�!4$"�#�!4�"$#�!�4"$#��)

+,����1����?�??�???�?@���-��/��=��1�,���2���/�3����0�� ,�A��8.��3�8��,����8�?�

�,�.�.�����/�����B�,�1�,���2���/�3����,�����8�

�C�DEF�GHIJKHL�MNOPQRSTUPVWXRUPRYQMTZNPQ[O\]+��8�����B�,�1�,���2���/�3����0��

,�A��8��./���8,�.��.��,8������

�RU_QOR\ +,����,������0�:��������a$-� �8��0�,(b�c" (d�e" (f�g��8

&bb��" &dd��(b�d�cd" &ff��

�����B�,�1�,���2���/�3����0�� ,�A��8��./���8,�.��.��,8������,�h

!$$"�#�6�

$

%&dd%(b

�6(b�6c

!$�"$#�!�$"$#��

$

%&dd%(b

�(b�c)

Page 116: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������ ������������������ ������������

� !"#$%&'()*#$%+,-.)(.'()+ $!$#+,-/,% *+$0-(*1&2$(*$#+,-*-.$!"3 !" !)4-!-%)( 5-"$%+,$4$!)(

.$$%" !)+-*1*+-&6 +,&-+% ..$-7. -!+*

89:;< #$% =>;? )!" 8@9A@9A;BC@9AD =;�DEDF

6,-%-= *!$+*'&&-"G

H��I����JK1"-L! + $!6-,)M-

N=

?O

P

;89QR?ODST;89UR?OD�TV89CR?ODETV89WR?ODFT X�YZY�E[

K1,1\$+,-* *+,-.$$%" !)+-*1*+-& *$%+,$4$!)()!"*$

89:;< #$% =>;? )!" 899;�

899=!$+*'&&-"G

],-$!(1!$!5-%$+-%& !+,--')+ $!X�GZG�E[$..'%*6,-!S;=)!".$!*-'-!+(1

N=

?O

P

;899R?OD=T;R?OD=T

899!$*'&&)+ $!$!=G X�YZY�F[

_-.)!!$6.$!* "-%+,-#$'%.)*-*.$!* "-%-" !+,--)&\(-�GZaEG

��H�bc-+?;O;=)!"*,$6

N=

==

P

;R==D=T

899;�

E899

d899de9;�

E

d

de9(!899 !$*'&&)+ $!$!=G X�YZY�Z[

��H�bbc-+O;?>;=)!"*,$6

N=

??

P

;R??D=T

899;f�

E899

d8::de9

!$*'&&)+ $!$!=$%?G X�YZY�g[

��H�bbbc-+=;?>;O)!"M-% #1+,)+

N?

?O

P

;

N?

O?

P

;R?OD?T

8::;�

E8::

d8::deh

;�

E

d

deh(!8:: !$*'&&)+ $!$!=$%?Y X�YZY�i[

��H�bj�$%+,-.)*-=>;?>;O6-L!"

N=

?O

P

;R?OD=T

899;<D =>;?>;O !$*'&&)+ $!$!=G

],-)2$M-.)*-*%-\%-*-!+)((Ek+-%&*G

Page 117: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ����������������������������������������������� ������!�"�������������

#��������$���%������&����'!��������������(���)

*�

��

+

,-�

�.//

0.1102/

,-2/,-3

*�

��

+

,

*�

��

+

,�

�.11

0.1102/

,�

2/,�

3

�����)4�����������������!�"�%������&����'!������!���� 5�������� '5��������2/,3621,7

���28,9:;���"��<������������ � �����������������������������!���!������:=��� ��> ��������

��"���#���2/,9621,3���28,7:����������������<���� '!����?�����'�����%������&����'!���

����?��:4��"������� ����<�����������'�������������?���%������&����'!������� ���������������

5�������������?����<����@:A���B�'5��<����������������������������������

*7

37

+

,

*7

73

+

,�

3���

*3

77

+

,-3C

������#��2/,3621,7628,9<����������$���%������&����'!���������������

*�

��

+

,

*�

��

+

,�

3���

*�

��

+

,-3C

����������<������#��2/,9621,3628,7<����������$���%������&����'!�������������

*@

�@

+

,

*@

@�

+

,�

3���

*�

@@

+

,-3C

�����)D�'���B�!��(� �������������EFGHI���%������&����'!��������#���(������EJHI,.

JFEFGHI���

%������&����'!��������������(���:4���������������� �������������������������������� ??����

�������%������&����'!�����������������������<������������ �:4��%������&����'!��������#���

���������(����������������:4������������������� �������!������������'������K ������ �:L:@����

�:L:M�:

NOPQRSQTUVSWXRXTUSQUSOT

Y��Z[���������"�����������������(�������!��������������'��������

Z\,Z[02[

02\C �CLC�M�

]�&����������������������������5�����2^�������

0Z\

02^,Z[

012[

02\02^_0Z[02

02`

02^02[

02\C �CLC�a�

��� ����������������'�K ����� �:L:M������'������������������"���"����'���' �:L:�a�����B5����

����������'0Z\

02^,Z[

b*c

de

+02[

02f-

*g

hi

+02`

02\02j

02^

k

_0Z[02

02`

02^02[

02\C �CLC�l�

Page 118: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ��������������������� ���� ������� ���������������� �� ����� ��� !���

"#$

"%&'#(

)�

�*

+

,"#-"%.

"%-

"%$"%.

"%&'#/

)0

12

+"%-

"%$"%.

"%&��3�345�

����� ����6 �� 7"#$

"%&'#(

)�

�*

+8

,

9"#-"%.

'#/

)0

12

+:"%-

"%$"%.

"%&3 ��3�34��

; < �� �������

#-=.,"#-"%.

'#/

)0

12

+

��3�344�

���� ��6������ ��6���6 �!#-����� �� ����%.3>� �����������4��� ������� ������� ��6�����

� ��6���6 �!���6������ ��������� ��� ������ �� �������������< ��� ����!����������

#$=&,#-=."%-

"%$"%.

"%&3 ��3�34��

?�� ��������!� �� ����� ���� �� �� ��6������ ��6���6 �� @

#-=.,#-A.,#-B.,C.#-,#-D.3 ��3�34��

E�� �� ������� �� � F/-�� ��������� G������H ���������!�� � ���I���� J �������� K

�� ����� ��6������ ��6���6 � ��� ���#-=.,"#-"%.3>�������� ��� �� �������������� ��� � ��

G������H ���������!�� � ���I���� J ����� ��6������ ��6���6 � ��� ������������ ��6���6 �

LMNOPQORSTUPQNOSQNUMVLMRSPONOPQORSWURXMP

Y�����6������ ���#/�� ���� ����!����������#/,#$

"%/

"%$�������� �� �� ����

!���

#/,#$"%/

"%$��3�34��

���� ������� ���� �������� �������� ��Z ���� �� ����!������������� !����! ������

�����4������ �����I �� �!�� � ���� ��6���6 � �����!����� �� 6������� ��6 � ��������������

;�H � ���� �����������4������� �� ����%-��������� � �����

"#/

"%-,#

$ "[%/

"%$"%&"%&

"%-\"#$

"%&"%&

"%-"%/

"%$3 ��3�34]�

G����� ���� �� �����������4]�������������!���� � ���� ��6���6 � �������� � �����

!��� �������������������� ��� ������

"#/

"%-,#

$

7)�

�*

+"%/

"%('

)0

^2

+"%_

"%$"%.

"%&

8"%&

"%-\"#$

"%&"%&

"%-"%/

"%$3 ��3�34�

Y������� � �����!���� �����������4�������0� ���� ���^a�� �� ������� � �����

"%&

"%-"%.

"%&,b.-a

Page 119: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ��������������������

����

����

!"

#

�$%

&

'��(

��)�

�*

+,

#

�-

.��)

������

��(/ ��/�/�0�

1�2������� ����

��3�&���

����

!"

#

�$ ��/�/�4�

����5�6 �� ��7���6 ��6�����5���� 6 �� ����������/8����� ����������0�7������� ����� � 5�6 �� ��

7���6 ��6�� 5���� 6 �� �������������� �������9� ��:�7��5��7��7�������� �7

��3�&�(

3)

��)

������

��(/ ��/�/�;�

<= ���������7>��>���6�7�� ������5��7����������?�� ��5���� ������ 6���3�&

���

��� �7���

5�6 �� ��7���6 ��6�� 5���� 6 �� ����������7�5���� ���7�� �7���6 ��6����������5� �5 ���

@� ����� �� �������5�6 �� ��7���6 ��6����5��7� �9�������5 �>�7���6�7�A�2�7�����

7���6 ��6��� 6��������B

���3C&������C

D�(�

�*

E

#

D��(

�*

"E

#

���3C&������C

��(�

*E

#

D��(

�*

"E

#

���3C&����

��C��(�

*E

#

���(�"

*E

#

/

��/�/FG�

@�=���� �H���5�6 �� ��7���6 ��6�� ��:�7������

���IIICJ$IIIK

�� �9L� �������

���IIICJ$IIIK3M&����IIICJ$IIIK

��M��(�IIICJ$IIIK

*N

#

���(IIICJ$IIIK

�"

*N

#

�OOO����III(J$IIIK

�E

*N

#

D���IIIC($IIIK

�*

PN

#

D���IIICJ(IIIK

�*

!N

#

DOOOD���IIICJ$III(

�*

QN

# ��/�/F��

�7����7���6 ��6��� �������� �9L��/R������� ������������=�������5���� 6 �� ����7�5��

�7���D��=�������5�6 �� ����7�5���

S>���6��� ����5�6 �� ��7���6 ��6�� �L����7�����������7�5�� �L������7��������H�����7�5��

��������=�����7���������5 � ���>�� ���7 �7������7>��������5 ����>��������5��5��T�= ��

�����5�������U���: ������5 ������

?�$��CV$ &��CV� �7 ?�$��CV$ &�

�CV�

Page 120: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ���� ����� �� ��

������������������� !�"���� �� ������ ����#��������!����$!�"���� �� ���%��� ��&

'�(����������� !����� ��������#�� ����#�� ���������� !����� ����%

'��(����������� !����� ������)��!�� �� �������� ��*�� �#�� ���������� !����� ����� �������!

)��� �������! �#�� ���������� !����� ����� ��*�� %

'���(+�,���!����� �������!�*��!��!����� ������!����� ����%-����������������� ��,��,�����!��!�����.

��������,������

/012345/01326

789:;<7=>?@A>B��� ���C ����� �� ��D E������ � �������!�������� !����� ���/01236

F���� ��G����������� !����� �����/0��

/0125H/0HI2J/K

LM

NO

P

6

-$!�*�� ���Q �������!�������� !����� ����� ���������� !����� �������������� !����� �����!�����

/01235'/012(135H

HI3

RH/0HI2J/K

LM

NO

PS

J/T12

LU

NV

P

J/01T

LU

OV

P

6

W�#)���$��, ����X)�����������Y ����

/01235HZ/0HI2HI3

JH/KHI3

LM

NO

P

J/KH

HI3

LM

NO

P

J

RH/THI2

J/K

LM

UO

PSLU

NV

P

J

RH/0HIT

J/K

LM

NU

PSLU

OV

P

6

[������,��, ��#�Q �������!�������� !����� ������Y��X)�����!�� �����#

/01235HZ/0HI2HI3

JH/KHI3

LM

NO

P

JH/THI2

LU

NV

P

JH/0HIT

LU

OV

P

J/K

RH

HI3

LM

NO

P

J

LM

NU

PLU

OV

P

J

LU

NV

PLM

UO

PS

6

'�6\6](

Page 121: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� �������

����������������������� �!"#$���%��&��%���'�()�%���%��*����

+,-./0+,-/.1+232,./

*��(�

32,./14

45.

67

89

:

04

45/

67

8;

:

<

6=

89

:67

=;

:

0

6=

8;

:67

=9

:

��> >!!#

�%)����?���@��A���B�(�%��C�����%�(�D��)�E�(����&�(A�&���%���%�(�%

3F./G1H,F3,./G> ��> >! #

I��%����%J�'�()�%���%��*�������%)�E�(����&�(A)��K��'L(�%%�?�������(�&���&�(A%

3,M./14

45.NO9P8Q0

4

45/NO;P8Q<N89PRQ

6R

O;

:

0N8;PRQ

6R

O9

:

�( 3,./G1�

"

S4TH,G45.45/

04TH.G45,45/

04TH,/45.45G

<4TH./45,45G

U

<HVW�N;9PXQN8YPZQ0N;YPXQN89PZQ#>

[(�A���%�&�(A%*�\�?�������@��A���B�(�%��C�����%�(�%%]�*%JAA��(�)�����\(%��*���?�)�%

��?�����%��*���?�)�%�%*����%K����%JAA��(�)���������()������&���\(%�L��(��?��%�L��(%�&

��?�)�%��?)��%�������J

3.,/G103,./G 3,.G/103,./G 3/G,.13,./G>

I���*�?�A��%�����%L�)����(��(����J&��()�AL�����%�&���@��A���B�(�%��C�����%�(��)��%�?�(�

D��%�&��()�AL�����%�(������(<3 TT�(03 TT%��)����J�(����(�����?KJ

3 TT103T T13TT 103TT>

I��B�(��%���)��(?�����%J%��A3F,./1_�D��@��A���B�(�%��C�����%�(�%�AL�(����K�)��%����))�(%

��?�C�(���������A��(J��?(�����E��J*��)��(��*��(��%�&����(�%���K�)��%�?�(�?����(� ??�������

L(�L�(���%�&���%���%�(�(�&���?������'�()�%�%�&%�)������a�

Page 122: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ��� �������������������� � ��������

����������� ���!�"#$�%&��!%#�����'()*(+*(,-.�&��&����!/&��0�1��#�2�&��!�'34)*34+*34,-560���

1��#�2�&��!�&0�� �.#�07��#�#��860��#�9��&01��#�2�&��!#���/�&�#�����0�&��!%#�������.0#&0�0��

�!��2�"/���%8:�&����70��#$��0#�%�7��%��&�1�.!#�#�

34;<34;'()*(+*(,-<

=3>

=(;?<�*@*A5

B���&#���%.#�0�0���1��#�2�&��!�.�0�2��0�!�&#7!�&�"1��#�2�&��!�

34;<34;'()*(+*(,-* ?<�*@*A

.0#&0�!��"���/�&�#�����7��#�#��8B2�&��!3C&��1�!�7!������%#���!����&���!�2�!#���&��7��������

3C<C)34)DC+34+DC

,34,<CE34E '�5F5AG-

�!#�&��1�!�7!������%#���!����&�2�!#���&��7��������

3C<C)34)DC+34

+DC,34,<CE34

E5 '�5F5AH-

B&0�� �#��0�2�&��!3C#�!�7!������%��

I3C<=3C

=(JI(J

.0�!��!���K/��#��'�8F8AG-.�L�%

=3C

=(J<CE

=34E=(J

D=CE

=(J34E '�5F5A�-

�!�"��!���#2�"��!���K/��#��'�8F8AH-.����.!#��

=3C

=(J<CE

=34E

=(JD=CE=(J34E5 '�5F5AM-

:�%�L���0�&�2�!#���%�!#2��#2����0�&�2�!#���&��7��������

C;NJ<=3C

=(JO34;<

=C;=(JDCE

=34E

=(JO34;5 '�5F5AP-

60�&�2�!#���%�!#2��#2����0�&���!�2�!#���&��7�������!�%�L��%1��0�!�"��#��

C;NJ<=3C

=(JO34;<

=C;

=(JDCE

=34E=(J

O34;5 '�5F5FQ-

���!�%/&��0������#��

=34E=(J

<

RS

TU

V34W ��%

=34E

=(J<X

RT

SU

V34W5 '�5F5F�-

:��0��0�2�

34;O=34E=(J

<

RS

TU

V34WO34

;<

RS

TU

V

Y;W <

R?

TU

V

'�5F5F@-

Page 123: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���

������

�� �

��

��

�������� �

��

��

��� �

��

��

� ��������

������ �!"#�$��%�%�&������%�%�'�(�)#*�

+�,� +����

��

��

+

+�,� +�

��-

��

��

+.

/�")�"$)#�$"$!��!/"!�# 0��01"�0��2�"!"#�$30#*�� �!"#�$��%�%44������%�%4��%5�0�!��20$!!�0*#3

!��)#6�0"��!��0"6�!"6�0�70�$��!$!��0�!�#3)���8�#3!��!��$#02�1��$/�*#6��1#�8�)##0�"��!�) 06�%

���$�)#��!�0*"�!��)#6�0"��!��0"6�!"6�0�70�$��!$!��)���8�"�!��1#)�1(�$"$6�)!#0$�$/�*#6�

�1#�8!��)##0�"��!�) 06�$%��"$"$!��7�9$")�1"�!�070�!�!"#��$$#)"�!��/"!�!��:�0"$!#;�1$9*(#1$#3

!��$�)#��<"��%

=�*�<�!��#($�06�!"#�!��!!����0"6�!"6�$#3!��(�$"$6�)!#0$"��� �!"#�$��%�%�&������%�%�'��0�

0�1�!��$"�)�

������ ��

���)#�$�� ��!19

���������

� ������

��-�������� '

#0 ������

�� ����

�����

5��)�/�)���>70�$$�� �!"#���%�%�&�"�!��3#0*

+�,� +����+��

������� ��������

=�/0"!�!��20$!�� �!"#�"���%�%���"�!��3#0*

����

��

��

?����� @��.�A��� ������B�

���)#�$�� ��!19

����

����

��

��

�������

��

��

���

��

��

�������

���� @��.�A������� @��.�A�

�� @��.�A�

������C�

���$�0�$ 1!$�1$#0�� )�!���� �!"#�$��%�%�'������%�%���!## 070�6"# $3#0*$3#0!��)#6�0"��!��0"6�D

!"6�$%

����� �!"#�$��%�%����0�0�70�$��!�!"#�$#3!��6�)!#0$EFGHEIJ���E

FGK

EIJ"�!�0*$#3!��(�$"$6�)!#0$���

0�)"70#)�1(�$"$6�)!#0$#3!��$7�)�%���)#6�0"��!��0"6�!"6�0�1�!"#�$!���!�<�"�!#�))# �!�#/!��$�

6�)!#0$)���8�/"!�7#$"!"#�����;�)!)���8�$"�!��!��$#02�1�%

���:�0"$!#;�1$9*(#1$"��� �!"#�$��%�%�C��0�$9**�!0")"�!��"��")�$�����$"�)�

����

��

L�M

N

L�M

��

N

����� ������O�

Page 124: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ���������� ��������������������

�������� !"#� $#%&

��

'

(

� !"#� $#%&

)� !"#� &#%$

*

��

'

(#

#%&

+� !"� $

,)#

#%$

+� !"� &

,-� $"

#� !#%&

-� &"#� !#%$

*

��

'

(#

#%&

+� !"� $

,)#

#%$

+� !"� &

,-� $"

#� &#%!

-� &"#� $#%!

*

��

'

.#

#%&

+� !"� $

,)#

#%$

+� !"� &

,-#

#%!

+� $"� &

,/

��

'

.#0!$#%&

)#0!&#%$

-#0$&#%!

/

�������

��1��2���2���������3��4���������

5�6�������6����1���7�8��������4�������6���4�1���9���3������������6�7 �9�9$� $�

�4�4�21����4�����173�����:������7�;����

<�9�#�9

#%&<%&�

=#9$

#%&� $)9

$#� $#%&

>

<%&

?#9$

#%&� $)9

$

@A

��

B� C

D

<%&

?#9$

#%&)

@�

��

B

9!D� $<%

&�9$E&<%&� $F

�F�F�G�

H7����;:6���4�1���9���3������������6�7 �9�9$� $�4�4�214�����173���������6���

���I��1����������

<�9�9$E&<%&� $ �F�F���

JKLLKMNOPQRSQT

U11V������7�������������14��������4��4�6���7���1�����4���������0C&EW�XF

YSRRZ[\���4�

0C&EW�#0C&#%W-

@�

�]

B

0C!-

@�

A]

B

0!&

0C&EW�#0C&#%W-��]�A�-�A]���

0C&EW�#0C&#%W-�

'

.#0C&#%W)#0CW#%&-#0&W#%C

/

-�

'

.#0C&#%W)#0&W#%C-#0CW#%&

/

�XF

�1����6U11V������7���173�����6���7���1�����1������2�������1�����������214�����

�_���������

abcYd efghifjkRlmSKmnopKqQSQnoKmoKRnrH������sC$E&�XF

tRuvoKRn

sC$E&�#sC$#%&)sw$

@A

x�

B

-sCw

@x

��

B

@A

��

B

-

@A

��

B

�XF

Page 125: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ������������������������������� �!"#$%&�'

(�)*����+�,-./!"#!#%&0%"�/� 1/��/.�2 3, -�4/3,2 �,2/�5��,6/783/66,�- -49-4

:!"#!#%;$<&0

%"$<&�

!"#!#%$<=!"#$<!

#%&�'

>?�!"#$<&�@AB,..,C6��/�3/D -4�/-./!"#!#%$<&�'E/D?F�,8FA��,6/783/66,�-@A!

"G -4�@� ,-

!"G!"#!#%$<&0

G#!#%$<&!

G%$<&�

��,.�4/D�-6�3 �/6�� ���/.�2 3, -�4/3,2 �,2/�5��/.�-H?I �/D/�3,.�/-6�3,6 F6�J/3�K

���������L���������������������������D/ 44,�,�- F/7 D8F/6�5.�2 3, -�4,M/3/-�, �,�-

3/N:O; :!"<P

<;$%&!"<P<$%&P"$%

:OO; :!"G!#QP"#;$%&!"G!#QP

"#$%&PGQ$%

R�����S�T���US�)*��V�������������

W�/,-�3,-6,.�3 @6�F?�/4/3,2 �,2/�5 .�2 3, -�2/.��3P"� 1/- F�-I .?32/X"&X":Y;ZO&�Z'''Z[

,64/9-/4 6��/,--/383�4?.��5��/.�2 3, -�4/3,2 �,2/�,����/� -I/-�2/.��3����/.?32/KW�/,-�3,-6,.

4/3,2 �,2/,63/83/6/-�/40P"0Y&P"$#

\X#

\Y

0P"0Y&

]P"X#_P

ab

Oc

de\X#

\Y

0P"0Y&\P"\Y_P

ab

Oc

d\X#

\Y'

:�'f'g�;

�,D,F 3FAh��/ @6�F?�/�3,-�3,-6,.4/3,2 �,2/�5 .�-�3 2 3, -��/-6�3P",63/83/6/-�/4

0P"

0Y&P"$#

\X#

\Y&\P"

\Y=

aO

ci

d

P%\X#

\Y'

W�/,-�3,-6,.�3 @6�F?�/4/3,2 �,2/,6?6/4��4,M/3/-�, �/6?D6 -483�4?.�6,-��/6 D/D --/3 6?6/4

,-�34,- 3A4,M/3/-�, �,�-KjF6�,5��/.��34,- �/6A6�/D,6k 3�/6, -��/,-�3,-6,.4/3,2 �,2/@/.�D/6 -

�34,- 3A4/3,2 �,2/K

W�/,-�3,-6,.4/3,2 �,2/�5�,I�/3�34/3�/-6�36,66,D,F 3FA4/9-/4 6 -,--/383�4?.��5��/.�2 3, -�

4/3,2 �,2/�,����/� -I/-�2/.��3����/I,2/-.?32/Kl�3/7 D8F/h

0P"#%<G0Y

&P"#%<G$m\Xm

\Y

,6��/,-�3,-6,.4/3,2 �,2/�5��/95���34/3D,7/4�/-6�3P"#%<G'

Page 126: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� �������������������������������������� !�"#���$%�&"!'��()*()+ ,

-#./*�0111023!�"#���4�5#6$�$#"7�8�#.#-&5&.�$8'�$"�4�9�"�.&'$:�!8##.!$"&��6+(;01110(<,1=.#%

�4��.&"6-#.%&�$#"�>?&�$#"6+�@�@AB,3�4�5#6$�$#"7�8�#.#-�4�6&%�5&.�$8'�$"�4�C&..�!6D6��% #-

8##.!$"&��63+(;0(E01110(<,3$6

()*()+(;+ ,0(E+ ,01110(<+ ,,*()+ ,0 /*�0111021

F4�9�"�.&'$:�!7�'#8$�D$6G)*HIJ

HK0/*�0111021F4�>?&"�$�DG)�.&"6-#.%6&6&��"6#.6$"8�CD!�L"$�$#"

G)*M()

M *N()

N(OM(O

M *N()

N(OGO1 +�1P1Q�,

���?6"#RL"!&"�S5.�66$#"-#.�4�9�"�.&'$:�!&88�'�.&�$#"@T.$���>?&�$#"+�@P@Q�,$"�4�-#.%

GO*G)N(O

N()+�1P1Q�,

&"!!$U�.�"�$&��R$�4.�65�8��#�$%��##C�&$"

MGO

M *G)

NE(O

N()N(VM(V

M WMG)

M

N(O

N()+�1P1QA,

F4��>?&�$#"+�@P@QA,!�%#"6�.&��6�4&�HXJ

HK !#�6"#��.&"6-#.%'$Y�&��"6#.@=.#%�4��>?&�$#"+�@P@Z,

5.�7$#?6'D!�.$7�!3R�84&"9�$"!$8�6&"!R.$���>?&�$#"+�@P@QA,$"�4�-#.%

MGO

M *G)

M(V

M

[\]

/

_N(O

N(`a

\b

cd

_N(e

N()N(f

N(V

g

WN(O

N()MG)

M 1

h�&..&"9$"9��.%6R�L"!

NGO

N(VM(V

M W

\b

cd

_iN(e

N()G)jiN(f

N(VM(V

M

j

*N(O

N()NG)

N(VM(V

M W

\]

/

_

G)N(O

N(`M(V

M #.

kNGO

N(VW

\b

c

_

GelM(V

M *

[NG`

N(VW

\]

/

_

G)

gM(V

M

N(O

N(`

mGO

m *mG`

m

N(O

N(`1

F4�&C#7��>?&�$#"$''?6�.&��6�4&��4�$"�.$"6$8!�.$7&�$7�#-�4�7�'#8$�D$6&��"6#.>?&"�$�D@F4$6!�.$7&�$7�

$68&''�!�4�9�"�.&'$:�!&88�'�.&�$#"&"!$6!�"#��!

n)*mG)

m *G)oO

M(O

M *MG)

M W

\/

pq

_

GrGs*ME()

M EW

\/

pq

_M(r

M

M(s

M 0 /*�011102 +�1P1QP,

F#6?%%&.$:�3R�4&7�64#R"�4&�$-

()*()+ ,0 /*�011102 $6�4�9�"�.&'$:�!5#6$�$#"7�8�#.3�4�"

G)*M()

M 0 /*�011102 $6�4�9�"�.&'$:�!7�'#8$�D3&"!

n)*mG)

m *G)oO

M(O

M 0 /*�011102 $6�4�9�"�.&'$:�!&88�'�.&�$#"@

Page 127: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������������� �

�������������������������� !�"�"#$%�&'��&�$�� '��"��$�'���� ( ��)���*��+���,���

"�� ����%�"��$'��-' ( ��).&�� �$#"�����"-!�'���/�-�"#$%�&�-�%�"��$+�.0-' !$��#"� �,�*�

�/!�$�**�*%�"��$ �*��1�-�"#$%�&.2-��-�!!�� ���-�"#$%�����-�,�*��/!�$�**�*%�"��$ 3-��3�

�$�� /�$)�����$4'�$�$("��$�'���� ( ��)# '�1�-��$�� /�$)��'���5#��'��

������67�68�69�� �������

3'�-'�%�$ ��$�� /�$)��'��

6��6���7��8��9�� �������:

0-� !�"�"#$%�&'��-���3"��$�'���� ' �4��'����'$�"�*(/$�)�-��$�� /�$)��'���5#��'�� ���"��

4�3$'����

6��6���7�����8�����9�����6����� �������;

0-�,�*��/!�$�**�*%�"��$ +�4�"�)�<�'��-���3"��$�'���� 3-�$�

+��<=>��

>6=; ��;?;@@�

A'�"��-�"�)!����� �/+��$�"�� ���� ��-�'$��$'%��'%� 3'**4�B�$����"�� �5#���*(3��4��'�4(

�'C�$���'��'�1�-��5#��'����.?.@@��3'�-$� !�"����-�!�$�)���$���-���-�,�*��/!�$�**�*%�"��$ <�

)# � ��' /(�-��'C�$���'�*�5#��'��

D<=

D�

>��

>6=E<=

>8��

>6=>6FD6F

D��D+�

D��G; ��;?;@H�

&-��1'�1 ()4�* '��-��5#��'����.?.I���� ���'�1�-�&-$' ��C�* ()4�*��B�$�'��-�&�$�� '�� ( ��)

�/"��$�'���� �3�$�!$� ����5#��'����.?.I�'��-�/�$)

>8��

>6=>6F�

JK

LM

N>��

>6O

���"�� �5#���*(��-��5#��'����.?.@H�"��4�$��#"�����-�/�$)

P<=

P��D<=

D�E

JL

QM

N

<RD6F

D��G; ��;?;@I�

0-��5#��'����.?.@I�' �-��'C�$���'�*�5#��'��3-'"-)# �4� ��' ,��4(�!�$�**�*,�*��/%�"��$ <�

�*��1���$4'�$�$("#$%�6����;

Page 128: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������

� ��������������������������������������� ����!���"�����!�������! �!������ ���

#$%&$'&$()*#+&,&-)&.����$*+!��,& /*+���,& -*-0

�1 ��������������������������������������� ����!���"������2����! �!������ ���

#$%&$'&$()*#3&,&4)&.����$*3���,!��4& /*3���,���4& -*3!��,0

�5 ��������������������������������������� ����!���"�����2 � ����!!�������! �!������ ���

#$%&$'&$()*#6&7&-)&.����$*67& /*�

�#6'87')& -*-0

�� ��������������������������������������� ����!���"�����2 � ����!!������ ���

#$%&$'&$()*#6&7&4)&.����$*67!��4& /*67���4& -*�

�#6'87')0

�9 ��������������������������������������� ����!���"���������2��!!�������! �!������ ���

#$%&$'&$()*#6&7&-)&.����$*!���6!��7& /*����6���7& -*-0

�: ��������������������������������������� ����!���"�������������;<�!�������! �!������ ���

#$%&$'&$()*#+&4&7)&.����$*+!��4& /*+���4=7!��>& -*7���>.���?@>@A' ��>!���� ��B

C���DE���F<���B�G�H ���I��!����B�J2��������B

�K E��.LMN&OP=LON&MP*QRSTQ$U0

�V

# )W��

X+

YZ

[

*R\SLYZ&MP �����]��������������������������������"�������������������������

�������������!���"���B

#�) ��<��LYZ&MP* R_S

X`

YZ

[

�����]������������������������������!���"���������������

�������������������������"���B

�a

# )b������.������ ������ ����� .� �������������<��������������cSUTde0

#�)E��.�� �cSUTde *?�� ��!������ ���������B

#!)E��.�� �#fR)dT*?0

�g E��.cSUTde *?0

� � �!<� �������!���!�] �� ������] ��]�hSdTUB

�1 i��F� ������� �! � �����4#$%&$'&$()�����]�!���F� �4*jkSQ4

Q$SB

# ) ������2����! �!��2������ ���!� ���.������!�] �� ��!��2������4dS

#�)E��.�������!���� �����] ��]���4�� ����!����hS��l4

lh*

hS4dS#Re_heh_)%m'

0

Page 129: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����

���� ��������������������� ��������

������������������� ������!���"# ��������$%&�������'�$����� ����

���()*

+��

+,)-

./

0/

1��*2�

���� ����

./

0/

1

*+

+,)�"���*

��

+�

+,)�

��3� ���������������� ������!�������

./

0/

1

*+

+,)�"���*

��

+�

+,)�

4�"�5%& �"#����������"�#���������6789(:�"#���"����������6789*��;789��� ���<�<�""��

����� �������" ���=>?@AB �"#"������%&�������'�$ �������C'

��D� E������������������"�#���������FG(H �"#���"��"������"/�"#I����� ����

FG(G*���

+

+,GJ��FGK�

��L� �� ���

+

+,MJ���GMK�

.I

NO

1

�:P*2�4�"�5�� ��������'

��Q� R������������������"�#����������������S����������������������"�#����������'

4�"�5T�����UG*FG�VG�"# �����������������"�#������������UG(M�

��W� X��UGM*FGVM�"# ������������������"�#������������ ��#����S�������Y���������������

�������"�#������������������"#���� ����������"#�������������������"�#��������������Y�������'

��Z� ���� ���������"���������"�� [FGM*F\]+,\

+[,G+,]

+[,M�"#����"��#�"��<#�����������������#��

������ �����[,)�"#��"��#���������������"���FGM()����"�"��'�'_2'

� a� ���� ���������"���������"�� FGM* [F\]+,G

+[,\+,M

+[,]�"#����"��#�"��<#�����������������#��

������ �����,)�"#��"��#���������������"���FGM()����"�"��'�'_2'

� �� b�"#����������"�#������������

�c FGM) �d FGM) �e FGM) �f FGM)

�`� b�"#����"���"���#������������"���������,G*,G�g$ I*�h���hi���

�c FGM) �d FGM) �e FGM) �f FGM)

� ��

��T�����jF*FGjkG�"#��� ����fjF*FG()f,

)jkG�

��T�����jF*FGjkG�"#��� ����fjF*FG()f,

)jkG�

Page 130: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���� ������ ��������������� ��������������������� �!"��"�#$%�������$��#�����&

'##%���"���������#�����% �������(��)�����*�"� �������������#���"�#����������+

!�!�%���"��" ������ ���������"��������%# ��������&'##%��,��#���#���+�"��

-,�� ./0.12-�

3�456"�!�"�$������ ���������"������������73�4�%#�8�#��#���&

��9� 6"�!�"�:;)<�=>

:�?�@AB

:

:�?

CD

)<

E

F�;=G�D>F;DG�=>�

CD

)<

E

5

��H� 6"�!�I7JK�J7I�:�I:�J

K:�J:�I5

��L� ���M���������������#M�%��� ���"����� ��� �������������#

���N �����#O � �P#��O

��Q����"��"M#������������#�I� �R����S&

�8�T������"��"M#������������#�$��7?+)�G�����*+8M

�II �IR �IS

�RI �RR �RS

�SI �SR �SS5Q����"�#��"M#������������#&

��U� Q����"��� ���$���$�"����� ������#�V��W�?3�37?5

XY��##M�%�#!������#�$�37?&

��Z� ��[��#����������#�����������"������%���$�"���#����� ������&6"�!�"����7?��

��?

�8��7�?��

�\�?K

� ���?����7���

�5���]�� �

�+�_�4+��#"�!�"� 7�?�

K\�?� F*���?�

��

7���45

�ab� [��#����!������#����#���!��"��������$������"#c%��

-d��@���-e���F@���-e

��� ������� @�?�

f@�� 44 @��

g

!"��e��e��#%$����������#&

��Q���$��%�#�����%����"�["�#��h��#M�8��#�$�"��#�i���&

�8�Q���$��%�#�����%����"�["�#��h��#M�8��#�$�"�#�����i���&

�aj� Q����"���������#���["�#��h��#M�8��#�$�"��#���#�����i���##������!��"�"�

�!������#����#�����#��8��������#���M������$��%#k5]��e��O��e��P������#%$��

��������#!"����k��#O�k��#e�

l�k#��O�k#��e�

P�P�e�

Page 131: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���� ���� � ����� ������������ ������������ ������ ������������ ������

����� ��������� ����������������� � ������� !" �#$%&�#'%( �� ������

������� ��� � )% ��&���(% ��#$���#'

*% ��&��(% ��#$��#'

+% ���&% ���#$

���� ���� � ����� ������������ ������������ ������ ������������ ������

����� ��������� ���������������������,���� ����� � �� �-������� ������� �

#$%./ #'%0!��������� ��� ���� �123�415� �������� ������ ���� ������� ��, �� ���

���� ������ ������� ����� 6������

)%7 8-���.9���0

*%7 8-���.9��0

+%-��.

��:� ;��, ����<=>? @->A?#=B@8<=>?

=-@A?#>B@8<=>? =->A@#?B@ %#

CBC<=>?

=->A?!D��EF GH ���� �12I

����� �2��GH ���� �1�I����� ���1

��J� �������� �� � ����,����� ��,���, K=B>?!

��L� F�������M=>B>%�NO

P

P)>QNOM=>R8M@S

TU

VW

X

��Y� ���� �����,�����I��,������������������� ����, ���������� � ������7�9���� ���

������� ��7�9���������������� �1

��Z� ���� �����,�����I��,������������������� ����, ���������� � ��������� �����

������� �1

��[� \��� ������������ �7]/&/(9���������� ��� � ���������� ����� � �� � � �� ���

���� , ����������� ����

_%a_ba'c8a

'd

]/ c%ac8

a_ac]ba'd]��&

/ d%ad8a_ad]8acad]��&

D��E�������� a_/ac/ad!

�:e� 5� �, �� � ���, ����K=��K=B=15�����I� ������������������ ��,����� ��,���,

K=B>�������K=B=1�������� �� �, �� � �7�9���� ���������� �7�9���������������� ��7�9

��� ������������ �1

�:f� \�g����������,�������� ����� �K=>?��������� �� ����, � ������ ����hI����

����gijK=>?���������� � ���1

Page 132: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���� ���� �������������������������������������������������� ���!���"������#$

���%!�&���'��'�()* �������&�������+&����&������,�- ��.������/0��!���������123

4

15

���!�&�������!�����������&������!���"+�����

,�-��6'

-

6)����7�8�����/

(&9�9:������������������������;����������� ��7+&����� ���������&������!���"9*

<��+��&������'�()*!���� �����������&��=��=�('>�'?�'@* ����������������������

�����AB ���CDE

C23F ��;����������� ��+&����� ���������������������!���" &���#$

=��=�('>()*�'?()*�'@()**9

G

��H� ��I�������J���#&�������&���KL=�

L=-K9M&N����&��I+&��������=B ������+��

LI

L=B�I

OP

PQ

RL=S

L=BTI

OU

UV

R

/

W&�X<��YZ���&���9� ���#��������(�9[9�*9

���� 0��!����\&������&����������+�& �] ����\�I^ \/M&N����&���&�����&��+&�

�������=_9 �������!��������#���[���#�&������������&����+X

aL\

L=_T]

OP

Pb

R

\

c

�I^dL\

L=BT]

OU

VU

R

\

eL=B

L=_/

:��%!��&$&��&����#���;��&��������������&�����&��&���������&����������+�& �]/:��

�����&�����&��&���������&����������+�& �] &���������

\f_�L\

L=_T]

OU

bU

R

\

����&�����&&��������Z�����&�����&� ��+�& �9

g���#����+����&�&������!�������������&����������+�& �]/h���Z����� �������&��

���&��&�������������������������&����������+�& �] �����������

i�f_�Li�

L=_j

O�

bV

R

iBT]

OU

bU

R

i�

i�-f_�Li�-L=_j

O�

bk

R

il-T

Ok

.b

R

i�lT]

OU

bU

R

i�-

m�����+�& ����&�n������������&�����&��&������!��������!�� &���&��!�����&�!�����&&���9

��o� ��1D4

15 �p������� ������&n�������&$�����������������!��&����;&��&����� $i���

���&���+&�����V��

i��

�V,�-p

�p-��

�V,�-q=

�q=-/

<��+����&��&��&����&��&����i&��������������&���$���&��&����i/(&9�9<��+��rsrs�1s15/*

Page 133: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������� ����� ����������

������������

���

����

�����������

�������

���� ��� !� �� "�������#��� � ����$%� ��& �� �'����(�

���)(�"���

*� ����+, � ��

�� ���-�$%��� ���-��.��/0�12����� ���-���33� �!��� ������4��3 ����� 4��

!2��� 2��"���� 4� �� ���#�5�& �� �-��#�� ����+

��6� 7���82�! � ����!#��4��#� ��3 �3�9��5�� �5�4 �2�3 4 �$:� ;�<"�<=�<>�

?��<@@@<A3��� �5�4 ��0 ����12��3��35��� �������-�B2�3 4 �C

D�E%� -�3!������F�G��;�"� ��4���3� �!��� $

F��G��;� �5�4 �D� � ��E$

D#E%� ���3!������H�G���;�"�=� ��4���3� �!��� $

H��G���"�=� �5�4 �4���2�3 4 $

H���G���=� ��I�-8��!!� 4!� 1

D4E%��� 3!������

'�G����;�"�=�>� ��4���3� �!��� $

'��G����"�=�>� J83!�������4���2�3 4 $

'���G����=�>� �I�-8��!!� 4!� 1$

'����G���>� �I�-8��!!� 4 ����$

- ��!��2�3 4 ���B��3!������$

��K� L12��3 ��4 ��2�� ���C

D�E7-�3!������"�G��;�M�

D#E7���3!������"��G���;�M�

D4EN� 3!������"���G����;�M�

Page 134: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������� ������ �������� ��� �

�������������������� !"�����"�#$�%!"���!�&'�&�'�����#�$'(��!�%�$'#!���)��&!'���$�!'*!�

�!��&�����#!�&!���$'(����!������'$��!"�(��+���'%��!���,���"���������+�#!�!�+���(����'*!

��'"!�(����'!�%!-���'"!�(����'�������&�'&��%��$�!'��-�������!�+���!�%��'"!�(����'�).��

�����(����'���!�+�!���"�(�!���+����&!���$'(�-'��+�$&����$-/�����#�$'(!�$'�!�%��'����

!�����!��%����!�&!���$'(�)0���$'(!�$'���!"�!�$'��#�������!�+���(����'������$'(�����!�+��+

!�%�����'������!"�!�$'��#����������+�#����$'(��$��#!&�!��)1�����2�%��!���'!�+��������!(�

3�'��$'(!�$'�!�%&�!���$'(���!(�3�'���'����)

��!��"��!'#!�����*!�����!��%�����(�',�"�����$'#!�����'�!'�������'%��!���$'#!���$'(��!�%

!��'"!��$'#!��(����'��'�$+��!��&����������$'#!��)0�����'%��!���$'#!���$'(���!(��!�+���

(����'��������+����'���������'"!��$'#!��(����'��'�!��!����#-!���(����'�)0����(����'��!�-�

$��%��%�2���$������+�!�!���%�"������!��$'#!��"��'��!�%!�����%�'%�'�$'(!�$'������')0��

���'%��!���$'(���!(��!�+���(����'��������+����'��������$'#!����'"!�#�'"!���'%��!���,���"!�

�!��&�����#����$'#!��).��������$'#!��(����'���!�+�-'��+����������%�'!�������%�4�'����$'(!�$'��)

5��'"!��$'(!�$'�!�%!�!�+����!��$'(!�$'�6+��%�����$'(!�$'�7).��������$'(!�$'��!'�'��!��%��

����$'(!�$'������'!�%�����8��"!��9�'����4�������'*���'�%$��%������!���������*!�����!�����'

����'�����+'��!�������&�-���������(!'��$��$'#!��(����'�!�%�$'(!�$'��*������$-/���!'�!�#%�4�'����!�

+��"��',)

5���&'������%���������������!-'��#���'�%$�������'��!��(��,���'�!+!�����8��"!��9�'����4��

�����'�������$'):'�&�'�����#�����"&�'�!�������'!'�%�(���&�%������ �'������#�����������)

;<=>?@ABC?D=EF@ABC=GAB?

H�'IJKIJ6L7*MK�N�NO*!OP%�"������!��&!���$'(���!8��"!���!��&!��QR����"��'�������'SJTN

!�%!'����+��&!'!"���'L*���(����'UJK VWX

VY '�&'������!�!�+���(����'������$'(�!�!&����Z��

����$'(�)0��(����'UJ��!$���(����'-��!$��

SJTUJUTKSJT

[IJ

[L

[IT

[LK�\ 6�\]\�7

�4�'����!�����'�����!��,*����'��&�����!'����+��*���'��!����6�)])�7!�%(�'�#,��!�

SJTUJ_U

T

_L`SJT

_UJ

_LUTKaN 6�\]\�7

������"&������!�

SJTUT_U

J

_LKa\ 6�\]\O7

.����*���(����'bcX

bY ��&�'&��%��$�!'������!�+���(����'UJ\ �2�����$�����'"!�(����'dJ�����

�&!���$'(���-�������!"�%�'������!����(����'bcX

bY !�%�'���

dJK�

e

_UJ

_L6�\]\f7

���'�e��!��!��#!���'*�!���%����$'(!�$'�*!�%���������%�$����!�

SJTdJdTK� ������"&���� SJT

_UJ

_L

_UT

_LKeg\ 6�\]\]7

Page 135: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� �������������������������� ������������������������������������� ������

�����������������������������������������������������������������������������������������

�������������������� !�" #���$������

�� !�%"

%�&��

%!�

%�" #�' (�')'*+

,���-�������������������.���/����������� ������������

�� !�%"

%�#0��

%!�

%�" #0�� ."

�" #0. (�')'1+

�������$���������� �������������2��������� �����������������������������(��)�)+���$������

�� "�%"

%�#�' (�')'3+

����������-��������������������������456

47 ��������������������������"�'����-�����

(��)��+�������������!������������������"��������������������/������ ���������������

���/�������������"�'�������/���������������$���/���������������������/������

%"

%�&.! (�')'8+

�����������������������������/���$����

9 #�

:

;%"

%�&.!

<

(�')'��+

�����:������������������������������� :���������������������������!��"����9� ���

���������������������=� >!�" 9>#���������������� :������������������9�������������

����� ����

�� 9�9 #�' (�')'��+

�������� ������!��"��9���������������� �����������������������������!����9���

�������������� �������������������������"����9��������������������������������������

!����"������������������������������������� ������������������������� ���������

�������������������� ������ ��������������������������!��"����9� ��������?������

���������������������������������������� �����������

9�#=� >! ">' (�')'�@+

�����������-�����(��)���+�����/���������9���������������/�����������!����"������

�� 9�! #� ��� �� 9

�" #�'

2����� ������A�����������������/�����������9������$������������4BC

47 #0:"�'��������

��������%!�

%�#."�

%"�

%�#:9�0.!�

%9�

%�#0:"�

(�')'��+

Page 136: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������������� ��������������������������������

������� �!"#��$�%���

&���'���������(����)��������������������(�������������(����������*��������

�����(������������+����(���,�(������� ����������-�(�(��.���/������0�����������

����,'-��(���1234567891��-��(���1:56787293;��-�������(����.���/��������-�������(

�<�������������

6365=7>97 8385=7>97 2325=7>9

���(�(�����������-�����-�������=7>(���������(�(�������������'��-��1���<�����

63?��@(�A7 83?��@��A7 23?(�@

�����-�������(�<��������(���/���-����(������(��������?���-�������=3@���>3AB

�������'��-��/������� C;���(�������D�������������-�������=7>���(������0�����-��(�

������������(����.���0������2����.������'-��(�������������(��E�����-�������(

�����������(���(����/����-�����0�(����-�����������(����(�������-��������

�������-�������=7>�

FG3FG5=7>9365=7>9H�IJ85=7>9H�KJ25=7>9H�LB 5�BMB�N9

O��(��������5=7>9���(�������(��0�������(�����������-�����������(��O�����(���

65=7>9785=7>9725=7>9���������.�����������������.���(���PQRPSTPQRPUV3;BO��(��0�

FG5=7WK9 ��� FG5WI7>9 5�BMB�M9

���WI7WK(����1�����/��������(�(��0�(�����(��������(��0�1���(������(�������(�

(��������5WI7WK9BO����������(��0���/���.��<�����5��M��M9����<�����-�(��(����0����

WX7WXJYWX7WXJCYWX7BBB��/�������(�(����������������O��0�(��PQRPS���

PQRPU�0���������

����(�(��������5WI7WK9��������(�1��������0�(�����(��������(��0���������-���

������.��0�(��������0�(���������������(��&����5678729358I78K78L9���5=7>935=I7=K9

�������*������������(��0�����1��(��������-�����0�(����������

FG3FG5=I7=K938X5=I7=K9H�XB 5�BMB�Z9

O�������0�(�����(��������(��0���-���[(�����.���-���������.��0�(��

F\]3FG

=]38X

=]H�X7 _3�7C 5�BMB�9

�������-���������0��0�����.��0���������-���[�������(��������(��0���������(�

�����(��������.��0�(����(����(����������0�(���������(����-���[.�

(��(��������(��-����(���������0�(��FGS3PQRPS���FGU3

PQRPUB+�������������

Ha3Ha5=7>93F\ITF\K

bF\ITF\Kb3FGSTFGUbFGSTFGUb

5�BMB�c9

Page 137: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������ ���������������������������������������������������

��������������������������� ����������������� !�"#����������� $!�$"#����������������

%�������������������������

!&! $!�$"#� "&" $!�$"#�

���'����������������%�����

�(&�( $!�$"#&) ! $!�$"#�" $!�$"##�*�+, ! $!�$"#�" $!�$"##�*�+- ! $!�$"#�" $!�$"##�*.

������������ ����������������������� �����

/�(

/$!&/�(

/!

/!

/$!+/�(

/"

/"

/$!���

/�(

/$"&/�(

/!

/!

/$"+/�(

/"

/"

/$"0

1��������������������������������%���2����������

/,3

/$!4&/,3

/!5/!5

/$!40

6���������������������������������������������%���� ����������������

7�� ���������������8���%����������9 !�"#&:%���������� ������������������7�����

�������2��������� �����������������2�����������2����������������!&! ;#���"&" ;#<

����;���2���������6� ����=�(

=;&/�(

/!

=!

=;+/�(

/"

="

=;

��������������� ������������

7�����������������������2��������������������������2��������%�

=>�&=�(?=�(&/�(

/!4?/�(

/!5=!4=!5&@45=!

4=!5 �0A0�B#

����@45&CDECFG ?

CDECFH ���I�J&�����8����������������6������������������������������

����������������'�����������

K&=>�&� =!#�+�L=!="+M ="#�&�

� �=!+L="#�+

�MNL�

�="� �0A0�:#

����������8�����������������������������O%��� �������=>���%�2����� ���8������'���������

�����MNL�����%�2����� ��

6��������������������������������������������������8���%�

@45&��4?��5&/�(

/!4?/�(

/!5&/,3

/!4/,3

/!5� I�J&��� �0A0��#

�����P����������������@45��8��������@45@5Q&R4Q0S���������������%������������

������������2����������T3U���@45�����������������������������������'������ ��A��:#

��'�����������L�M�������������������������������!�"�������������������������������

�&@��&/�(

/!?/�(

/!&/,3

/!�/,3

/!�

L&@��&/�(

/!?/�(

/"&/,3

/!�/,3

/!�

M&@��&/�(

/"?/�(

/"&/,3

/!�/,3

/!�

�0A0��#

Page 138: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������������� �����������������������������������������������������

�����������������������������������������

����������������������������������������� ������������������� �����������

������������������������������� ���������!"#�������������������$������ #���������

������������������������� ���%����������������������������������������������

����������������&'(&')*+��������������������$��������������������������������

������������������������������*����������������������������� ��������� � �$,��

������������������$�����������������������������������-�������.( /01/23���������

���������������������������������������������������������������������������

��������������������������4��5�����������������������������5����������#�������������

�����������4��� �����������6�5���������������������.7�.(�3�������������������*��

$������.7/�8/2(9���� ���������������/�8/2������������������������������

�.!:������

���������4��� �����������������������������������������������������������������

&; ( /�8/23���������������������$���������������������������������<

&;<(=����������

���������>(�?=! ������ ���@�������������������������� �����������/�8/2������

�����������������4�#���������A������������&;(=�@(B�.

B*!����������� ���4�$������CD�

�����$�����������������������E(��F�.�������������������#����������������������

�.�������������� ������������������������.G�EG����G�� ������D������4��� �

%�������CD�:�������������������������������� ��������

Page 139: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ������������������������������������ �����������������������

���������� ��!��!���������������������������������!����"�����������������#

�����$%������� ���"�����������������&������!���� ���

�&'(��

()'*+,-�#.*+/-��'�&,.�&/ 0�$1$2�3

"����*+,-�������������������������*+/-�����������������������������4���!������

����������������������4���������� ����"��5���������������6��������#7��'8"��4���

46��9���������"�����!���������)��������#7(��

().��7

(�#

()'8$:����;����6<��������

������������������ �������!�����������

�#7�&'*+,-'=��7(�#

()'=(�>

()7(�#

()$ 0�$1$2�3

?6�@�������!����� ��"���;�����0��1�2�3"�A�������������������������������

�������!�������!�����������

*+/-'��7(��

()'0�#B��37

(��

()$ 0�$1$213

CDEFGHIJEKGLJEM

����;�����0��1�2�3��4��N!������������� �;������ ���46"�����

*+,-()�'=(�>7(�#$ 0�$1$2O3

������������������ ���#���!�����������>��� ������� ����� ������������PQ"��

(�>'R�>

R�(�.

R�>

RQ(Q ��� (�#'

R�#

R�(�.

R�#

RQ(Q$ 0�$1$2S3

%���A����;������ ���

T'=(�>7(�#'=

UR�>

R�(�.

R�>

RQ(Q

V

7

UR�#

R�(�.

R�#

RQ(Q

V

T'W0(�3�.2X(�(Q.Y0(Q3�'Z[\(�[(�\

0�$1$2]3

"����

W'=R�>

R�7R�#

R�P 2X'=

UR�>

R�7R�#

RQ.R�#

R�7R�>

RQ

V

P Y'=R�>

RQ7R�#

RQ0�$1$23

���Z[\ _P '�P2������������������������a[bZ[\'Zb\�������������������������

���;������ ���� �;�����0��1�2]3�������������� ��������� ���� ����� ���c��������

������ ��������������d����� ���;������ �������� ����� ����"�������������������

������ ����������!��!����������������������������������������!���e���

���� ���"�����������������6����������!�

R�>

R�7�#'8 ���

R�>

RQ7�#'8$ 0�$1$�83

Page 140: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ���������������������������������������������������� � ������

������������

!"#$%&

#�$'()"*

#%&

#�'#()

#�"+,,

-"#$%&

#�#�'()"*

#%&

#�'#()

#�"*#()

#�'#%&

#�"+$,"+,$

."#$%&

#�$'()"*

#%&

#�'#()

#�"+$$

��/�/���

�� �������������������������������0������ ��

+12"*#%&

#�1'#()

#�2/ ��/�/�3�

4���� ����5��6�5��6�������������3���� �����37����������������������6����������

���5��6�5������5��� ����5��6��8�9� 5��6������������3:������6�������������

�������;<;=��

>?@A"B

C"!�D��$E3-D�D�E.�D��$

F�D��$E3GD�D�EH�D��$/ ��/�/���

I5������������������������������5��6 (J" ;KL;M"

NKLN<O

;<O

;M �� �0������ ��������

�5�������5������6��������������������;(@;M"N(@N<P

;<P

;M ������6���������������

�0������ ���5��6

>?@A"*(J'D()

DQ"*

R#%&

#�1'#()

#�2

SD�1

DQ

D�2

DQ

"+12D�

1D�2

DQ$"+12D�

1D�2

T12D�1D�2/

��/�/�U�

������������������������������ �� ����66����������

I���������� ���������������������������������6�������������������V������

����� �������������������������������5������6���W��������������������������

���5������6��()�X���� �������������5����������������5����Y������������������

�������� ����Z��0�6����������������������9� �6�0�6�6�� 6���6�6���6�����������

�������� ������5����8�����������������������5��6

>?@A"!E3-[E.[$

FE3G[EH[$��/�/���

����[";=;</\��6������5�����������������������������������5��6

>?@A"�!E-[�E[�-E.[�

�FEG[�E[�GEH[�"-E.[

GEH["!E-[

FEG[/ ��/�/�:�

]��������������������>��������5�� �����������������

�!*>F�D�E�-*>G�D�"� �� �-*>G�D�E�.*>H�D�"�/ ��/�/��

4�6�0�6�6�� 6���6�6������������������� ��������[����;_ab;c "�/]���������� �����d

����5>?@A���������[�� ������ ���������e�������������� �������������[

�G.*H-�[$E�F.*H!�[E�F-*G!�"� �G.*H-�f"�/

Page 141: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ������������ ��������������

������������

����� � �����

�����

����� !�"#"�$%

����������&�'"�����(����)*�+,)*�+������-� �� .������������ ������//�����-�� ��-/

��(��������-�� �012�(��/� ��������� �������������/�����)*�+ �)*�+��3!�%���-�� ��-/

��������(���45��6)5,7�� 89!8%:���!)*�+�)*�+%�//�����;� ��(��� �<�)*�+)*�+

�//��������/��(�����=��� ��(�������������1>?���(�������������� ��������;� �

����������� �� ��������

@AB�@C�DAB

DC�DAB

DE�� �

@AB�@C�DAB

DC�DAB

DE��"

F�������������� ��������.� /����//�(�

@AB�@CG@AB�@C�!DAB

DC�DAB

DE��%!DAB

DC�DAB

DE��%�'"

��������������

�������!�����%���'" !�"#"�H%

F���/���� �I��������(��������������� ���������� �������������� ������;� ��?����-�� ��-/

��(����;��?������.� /1F �����������������'���(������' ���'?�������

������ ����(���������.� / ��;��?�-�����(�1F �����-���/�������������//����������� �

�����;� ��?������J��� ��/����� �!�1#1�K%����@E�',@C�?�����, �@C�',@E�?�����1L��;

�����J��� ��/����� �!�1#1�K%��M �������������� �������-� ���

)*�+��

� � )*�+�

�"

N�/���O�PQR

PS �� ��� ��(������ ��������������� .TOU�O�U��"��� �������� !�1#1�V%

� ?������� �)*W+�XOU�O�U����� �����!XOU�)*W+TOU%�

O�U�'"���;I�;; �;� �;;

��;/��(��������� ������������� ��O�����

!XOU�)*W+TOU%�O�'

���)*W+;��?���������������;� ������ YXOU�)*W+TOUY�'��

YTOZXOU�)*W+[ZUY�

\\\\X���)*W+ X��X�� X���)*W+

\\\\�)

�*W+�XOUT

OU)*W+�X

T�'" !�"#"V'%

����������������� � )*W+��������;)�*W+�!)*�+�)*�+%)*W+�)*�+)*�+�'"F �������������

-�� ��-/��(����)*�+ �)*�+�������.� (/�������;���I�����/�;� ��XZU�T

OZXOU">?���(����

���;��������;� ������ � )*W+��� ������/�M �������/��(�����=��� ��(��������

�� � (�� �.�(� ?�< �)*�+)*�+�YXOUY�YT

OZXZUY�X6T1���;� ��(�����/�� � (�� �

�?�� �����;:� ��!)*�+�)*�+%�

��TOUXOU �����T�T��T���T��T�� �X�X��X���X��X�������

�����;� �����;�����;��������;������� ��� ���(����� �����;-� � ��1

Page 142: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ����� ������������������

��������� �� �!�����"#$�%��� �� !�#"���" ���� &� �'()�" �� �#*�+',� -" ��.� �#*�+

'/01��-�#�$���$�!�2���!�$����#!)%���#�!�������#�+� &��)�� �+!�.�#��#�!� ��-�!+� ��#��*.� ���� !

�2���.�!�$����#!'(3',3'/04��2�#�5�*�+����6#� ��74�##��2�#*"+�!2#�*�8"���� !9�:;:��<:= �!�*�+�#

2�!��� ���!"#2���$����#!'>?3'>@3AB2�#*�.�!�!� -���-�#�$���$�!�2���!�.�!�!$����#!%���#�!������

���!"#2������#-� ���!C3D�� �+!�.��5�#�!!�-�!+� ��#��*.� ���� !�2���.�!�!$����#!'>?3'>@3AB:6�#

�5�*�+�)���-�#�$���$�!'>??3'>?@3'>@@�� .��5�#�!!�-�!+� ��#��*.� ���� !�2'>?3'>@3AB0E��� %#���

'>??FGH'>?IGJ'>@IGKAB

'>?@FGL'>?IGM'>@IGNAB

'>@@FGO'>?IGP'>@IGQAB

9�0;0R�<

%��#�GH30003GQ�#��� !�� �!��.�-���#*� �-:=��!� ��!S�5�#��!�9!���5�#��!��:;)�#�.+�*T<��!��%

�������!��8"���� !�� .�%#���� � ���� -����+ ������ �!

UJ'>

UCVUCWF

XY

Z[

\U'>

UC]I VWAB0 9�0;0R_<

1��!��8"���� !�#� �% �!���a�"!!�8"���� !:

= �!�*�+�#2�!��� ���-�#�$���$�!�2��� �#*�+$����#�� .�#��#�!� ��-�!+� ��#��*.� ���� !�2

���!"#2���.�!�!$����#!:=2%�%#���

UAB

UCFGH'>?IGJ'>@

UAB

UDFGK'>?IGL'>@

�#

U'>

UCFGbH

UAB

UCIGbJ

UAB

UDU'>

UDFGbK

UAB

UCIGbL

UAB

UD

9�0;0R�<

%��#�GH30003GL� -GbH30003G

bL�#��� !�� �!:1��!��8"���� !�#� �% �!���E�� &�#�� �8"���� !:=�

�!��!�+S-�*� !�#���-9!���5�#��!��:;)�#�.+�*c<�������E�� &�#�� �8"���� !�� .�%#���� � ���

� -����+2�#*UAB

UCVFd W

V

U'>

UCW9�0;0RR<

%��#�WVFe

W]]V�!���*�5�-!��� -�#-�#2�#*�2����"#$��"#��� !�#:

1���8"���� !�2a�"!!�#�-"���!S!��*�2��#���+-�f�#� ���+�8"���� !-�g � &���!"#2������#-� ���!

hi�!�2" ���� �2����"#$�+� ��#���#-� ���!C� -D01���8"���� !�#� ��� -��� -� ��!��#���

��*����.�+��S�� -���� !*"!�.�!���!g�-:= ��#���"+�#)���!#�8"�#�-�������*�5�-��#���+-�#�$���$�!

*"!�!���!2SUK'>

UCVUCWUCjF

UK'>

UCVUCjUCW0

E���+�"+���

UK'>

UCVUCWUCjF

XY

Z[

\UJ'>

UC]UCjI

U

X]

VW

\

UCjU'>

UC]I VW

UAB

UCjIUVWUCjAB

� -"!�����8"���� !�2a�"!!� -E�� &�#�� ���5�#�!!���!-�#�$���$�� ���2�#*

UK'>

UCVUCWUCjF

k

llm

U

Xn

VW

\

UCjI

XY

Z[

\Xo

Yp

\

d VWnj

q

rrsU'>

UCnI

tXY

Z[

\

]jIUVWUCj

u

AB0

Page 143: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������� ������������

����������

����

�����������

���� �������������� ���� �!�� ��"�����#$�� %&'%() �*�+�,���-.�������������� #$

�/*�0�,���!�� *�����1� �,,��/*�����

23

45

6

78��

23

49

6

78�:�7�����

��7�����

��; <�;=;>=?

@�����/*������������������ ���� �����A����� �B1� �,,��/*�����-C/*����,�������������

� %&'%() ���� ��D��8��7��7

�8�7�87

������������ ��������"�����"����� ���

EF�D���8�DF��8�7F�7�8�7F87��G <�;=;>H?

�����

D��8���

��8

29

45

6

��

���

29

43

6

:

2I

45

629

I3

6

2I

43

629

I5

6

<�;=;>J?

������K� L�������*�"�*�������-

MNOPQRMSTUVS

.�������W�*���������0�*�"�*��X �YZ[\YZ]\ �!�� ���0*!���������E���� ��

X�D[][]E�����E�_a<E��?;

bcdefgchi

j�0�,������B ���������0�0����������� ���� ��!��!�� � ������������������

`8�X�`��78�7�� ����� ���!����JkX�l78�l�lE

�87��l;m���*0�!0+ 8n�� �����������

o�� 9��+���

8�8�X� 8�

��78�7���pX

pX� 8���<E8q7�(?

rE�s7�s

t

u* 8�E8qE�s�Eqs���� pX�`��Eqs7�q7�s;j���

vEqs�wqs����"�pX�wqsw��7�q7�s;

x����������� �������������

pX�w�8wF�7F�7�8 �� pX�w8�wF�7F87��;

y ������0�������*0����� ��>X �w�8wF8<7F�7�8�7F87��?�w�8wF8DF��8;m���*0�!0

+���� ��+ wz{w|s��+���>Xwz{w|s�9�8z{9

F�|sDF��8;�����K�������-=k!��+0���Hk��L������

�*�"�*�������D}~�������������������<�G�?G<�G�?����00��+��������������<��?G<��?!���

� �� ����-1����/*��0k9�8z{9F�|sDF��8�>D|sz{�� �����D|sz{�Xwz{w|s�� ����"����!����0����

�����XvE[]vE[]�D[][]��X�

D[][]E;y�*�����!0���� ��+���������*0����+���"�X�

7

E<+���� !����J?�� ��� ����/*����<�-=->H?��D[][]�7[[7]]�7[]7][�7-

m��������*� ���_�]�E��_��_�������E�������������� �����*� ���-@�����������

������� ��������E8��E�����

���8���

������ + ���� �������������

�E�����E8�

���������

���8

���������

����

����E�]

Page 144: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ������������� � �������������������������� �������������������� �

������������������������ ��������� �� ! !"�! ! "#� !! "#�! !$%���&�� ��'()'�*�

+�������������������

,�-./0"�����12�

1,2-12�

1,2.12�

1,2/12�

1,20

��� ��������������������� ���������,� ! !"� ! !�!��� ���3�����

,� ! !,4"� ! !4"5

��� ��������6����� ��������� ��������������7!8

9:;<:=>?@ABCDEAB:

+��F���������� �������G�������� ��� ��������� ��H5)�� ��������� ����)�

���� ���� ���������� �������IJKLMN���G����� �������IJOLM2����������������� �

��������� ���������G���� �����G���� ������������ ��P��G����� �������IJOL�

��������������3�����$��Q�'Q*��� �������������

IJOL"M2RH5"M2RSHT

SU"$MNVHT*R

SHT

SU"

W

HTVSHT

SU

X

RMN8

%������G������&���������� ��

HT"SHY

SU"HYZ

S2

SU[HY\

S]

SU

SHT

SU"H5"HYZZ$2

^*!['HYZ\2^]^[HY\\$]

^*![HYZ2^[HY\]

^_

�����^" `a_���������b��G������������������(�����&�� ����������G��� ���)��c��

����G����� ������� ��������������

IJOL"

de'

��

f

$2^*g[

h

'

e'

�'

f

#

e�

��

fi

$2^*!]^[

he'

''

f

#'

e�

�'

fi

2^$]^*!#

e�

''

f

$]^*g[$2^]^#2^]^*

jklm#n!8

$�8Q8op*

P���3��������� ������G����� ���������������� ����������� ����� �l_n_m���

�����������2^_]^_2^_]^8q�����G����� ��������b����� ����� ������G����� �����%� �

��������������)���������)���������������� �������������������� ��+��

�&�����)��G��� �� ������������� ��������G���G�������������������G����� �����

r����������������� �� ����� ������������������ ����������������� �� ��

�������������G����� ���� ���� ��G��������)�������)������������������ �

���������������

+������� ��������2"s���]"t�����G����� ����������� ��

uO"2^]^#2^]^"

Sv

SU

Page 145: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ������������ �����������������������������

�������������������������������� ������������������������� !"����� � ������

�����������#��������$%�����������������������&���' �������������������&�

��������������&���(����������)������#�������*+,�("�����*-,�("�������������

.��

./,�*+"� ���

.��

./,�*-"�0 1��2��34

������������(���56758�������&����������)�%��������#��&�$����

��".�*

./"9�*

9:

.:

./;9�*

9<

.<

./"�*+:

=;�*-<=

.��

./"�*++1:

=4>;?�*+-:=<=;�*--1<

=4>;�*+:==;�*-<

==

@���A����$#���A�����1��2��34����&�

.��

./,�*+"1�*++,�*+41:

=4>;?1�*+-,�*+4:=<=;1�*--,�*+41<

=4>;B:==;C<=="�

.��

./,�*-"1�*++,�*-41:

=4>;?1�*+-,�*-4:=<=;1�*--,�*-41<

=4>;C:==;D<=="��

� 1��2�2�4

E������ ���������&�F�������2#1���%�����&�#2���G4#��������&����<==���&���A�����

1��2�2�4������

.>:

./>;

H�

��

IJ.:

./

K>;?

H�

�?

I.:

./

.<

./;

H�

??

IJ.<

./

K>"�

������&����� :==���&���A�����1��2�2�4%���������A�����

.><

./>;

H?

��

IJ.:

./

K>;?

H?

�?

I.:

./

.<

./;

H?

??

IJ.<

./

K>"��

)��������&#��������A�������������

.>:L

./>;

HM

NO

I

P

.:Q

./

.:R

./"�0 M0N0O"�0? 1��2�2�4

�����:":����<":>�S���A�����1��2�2�4�������T��������A�������U��� � �������������

��������V�����U��������&�$%����A�������������������� ������������������

��%������ �������������������$�&��������F�&%��%�����&�W���F�����?�?�

Page 146: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������������

������������������������������ !�����"�#��!�$������"!�#�����%���&'�������������

� !�����"()�()��*+�,�-.�������������"������"!�#����!�$������"�����/0������'"�������"!�#���

�!�$����&������"����������"�����/����������"����!0���������"��������()�()��*���+�,�����()���-

1���//����#��()�()����0�$���!�$�23���������"������$���$��#�$�����%�/�4)�/��02�"��%����"

������������!���#�����$����������$���$��#���$�����%�/�5���������0���$�����������!�$�67��"

������"������$���$��"5������

84)

8��4)9:

;(:

;��

<=4)

=(:>

?@

AB

C

D

4E

F;(:

;�

��84)

8��;4)

;�>

?@

AB

C

D

4E;(:

;�

5�������"!&"�����G��������"�������2���"��H�/"'�&�/�"#�����#������"�����/������G):-I#4��"�

"!�#���$�������%����/��0����!�$�23���������"������$���$��"�����"�����

84�

8��4�9J

;�J

;��

K=4�

=�J>

?L

MN

C

O

4PQ;�J

;�

��84�

8��;4�

;�>

?L

MN

C

O

4P;�J

;�

5�������"!&"�����R������"�������2���"��H�/�"#�����#������"!�#���������R�J-

S���/��/'3���#���!/�"#�����������"������$���$��#���$������"�����/$�����4)����$������"!�#���

$�����4����0�$��&'84)8��;4);�T

?B

@A

C

D

4E;(:

;�

���84�8��;4�;�T

?N

LM

C

O

4�;�J

;�-

2��"�������U�����"��V)�5�����"������$������5�����"�����������"#���������#"��������������"

()�����$������5�����"�����������"#���������#"!�#�������������"��-W��V)���%����$�����"!�#���

�!�$�235��������/"�&�$��5���"�"�����!�$�23��%�����"��/����$������X�X����V)�4)Y�5����

4)�"�����//�/$�����%�/��/��0����!�$�25������"$��5���"�"�����!�$����Y��"�/"������//�/

$�����%�/��/��0����!�$�25������"$��5���"�"!�#����!�$�61���//�������"�����//�/$�����%�/�"

�!"�"���"#'�����H�������/� !�����"

84)8��;4);�T

?B

@A

C

D

4E;(:

;��Z ���

8Y�

8��;Y�

;�>

?L

MN

C

O

YP;�J

;��Z- ��-[-[\�

7��"��/����$������X�"�#!�������#��������������#���"�����!�$�"����&���������"��������

����//�/$�����%�/�"�����&��$�/!�����/��0����!�$�26]'��H����������0���#!������X5�����"����

����������������������"!/�"

;X

;��;V)�;�4)Y

�>V)�;4);�Y�>V)�4)

;Y�

;�- ��-[-[�

Page 147: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ��������������������������������������������������������������������� � �!�

"������������������������ � #!����$��������������

%&

%'(

)%*��%'+

,-

./

0

1

*2�%34

%'5

,6

78

0

9

*�:%;<

%'

=

���> ��> > �!

"����������������������?�������������� � �!������������������������������������$���������

�������������'�����������@�"����������������������������$������

A*��%'(%*��%'+

,-

./

0

1

*2�%34

%'5

,6

78

0

9

*�:%;<

%'> ��> > !

"������������������������������@����������������������������������������@���������

����������������"�������B$����C������������������ � !��������

A*��%'(

)D*��D;<

+

,-

./

0

1

*2�D34

D;<5

,6

78

0

9

*�:

=%;<

%'��> > E!

"����������������������?��������C�������$��������������������������������*�� $���

������������������������;<>"�����������������������C�������*�� $�������������

��������������;<��$������

*��F<(D*��D;<

+

,-

./

0

1

*2�D34

D;<5

,6

78

0

9

*�:>

G��������B��������C�������*�HHH4�HHH<$����������������$���������������������������

����������������������$�����������������������������������������B����$���

����������������������������������@��

&�'!(*�HHH4�HHH< �III 4��III�< ��> > J!

$���� �K>>>K 4�����K>>>K�<�������������������������������@�"�������������������������

�����������������L������������������������ � J!$����������������������'�

"������������������������������M�4KN�<�����������������������O�42KO�<����������������

������������P���Q���B����������������������������������������L����������������

RSTSUVWXYVZX[T\

G��]������������� _$��������M�4���������������������3�K-(�K�K#B�������������

����������$�����������������������3�(3��;`K;a!$����;�K8(�K����������������������

�������������������b���

%3�(D3�

D;�%;� ��> > c!

���������������%;�������������������������%3�������������������Q�������������

�������������������������������������������������������������������������"�������

������������������������������������������������������������������������"���B��

�������������������������������������������������������������

%da(N�<%;�%;< ��> > e!

Page 148: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ���������������������� ���� ������������������������ ���������������

������ �!��! " #�"$"%&'

()�*����+����*������#��$�$,'���#��$�%&'��-������

�� �!��! ���

.!�

./�.!

./�/��/����/

��/" #�"$"%�'

����*�����#��$�%�'������������������� ����������������������� ����������0�����������

��� ��������������� .!�

./�.!

./"����*������������������*�����#��$�1�'����������������

2������������������3�������������������������-�����*���������� 4����/��/�����-���

����� �������� �������������������+�������������������������������-��+�������������+���

0)567

589 ������0���������������������������������������������������������������:���-��

�����������

!���.!�

./�; <��;1;�; =��;1" #�"$"%1'

>�)������������������� 0�������������+���������������������������������������������

�������>�������������4��������0���������������������4������������0���������������

�������������������������������������4��4�!��"�����������������������4�;=��;1������

�������������������4�;<��;1;���-������� ����������� �+���������

�� 4�4 ��� 4

�!��4! ��� !

��! 4�4���4

�4"

2��������)�����������������4����?����������������������������4����?������

4��4�!�� ��� ?��?�!��" #�"$"%�'

������������������+��������������������������� �����������������������0���-������ ���

�������������������

@�4?��A�B� C4 ?C #�"$"%�'

�����4;?������ �+��������4�;?����A������+��0��������������������������+����� ���

���������D�0������+�*������#��$�%�'�������*�����#��$�%�'��-��

@�4?��A�B� C4�! �?

!C" #�"$"%$'

3���� ������������� ����������4?��A�B�4�?�������*�����#��$�%$'���0�����������

���

#@�B�EB� C! �!C'4

�?�& #�"$"%%'

���������0����)�������������� ����

@�B��B� C! �!C �� @��

1B�B� C!

�!C" #�"$"%F'

����*�����#��$�%F'��-���������� ������������������������ ���������+���������������

������������������������� ����������������������������������������������������+������

Page 149: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������������� ��������������������������� � ������������������������������� � ����

��������������������������������������

� !"#$%&�

%'!%'#(

)*

+,

-

.

�/!�0#1

)2

34

-

5

� 6 ��7�789�

���������:����������;�����<����:�������������������������������������� =�����

��������������������������� � �>����������������

? @� !"A�

@#(? @�

!�@#"A$B!#"A$�7 ��7�78��

C��������������������3D4DE����������������������� � 8����������������

? @� !"#�

@A$�7 ��7�7>��

F����������� � >��������������������������������������������� !"#����������������

�������������������� A�������������������������������������������G 7F���������

�������H�������������������I!#������

I!#G $� !"#7 ��7�7>��

����������������? @G G@$���������������������� � >��������

I!#$? @G@� !"#$

JKALK @M�

!"#�

@A�ML7 ��7�7>J�

F������������������������I!#���������������������������������������

N$I!#O'!O'# ��7�7>P�

���������������������������������������

;��������������������������������������������������������������������������

��������� F��������������

G "!$%G

%'!(

)*

QR

-

.

G@�M!7 ��7�7>��

F�S���������������������? @G G@$���������������������������������������������

? @G G@"!$��������������������G

@"!����������������G

�������������������������

������� C�����������:��H������������������:����������������������������� !��������

�������

G "!$T#!� # ��7�7>��

����������U�����T#!���:����������������������������������B!#�������������

��������I!#��������� F����������G ���������������������

? @G �@!$�7 ��7�7>8�

Page 150: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ��� ������������������������������������������� ��

��������������

������� ! "�!�!##$

%�&�����������������"�'�'##$����(������)��������"�'�'�#$*"�'�'#�$���"�'�'#�$����������

+���,-�./.�! "�!�!#0$

%( �������������"�'�'#0$������1������/.���2��

/.��,-�.+��! "�!�!#3$

4���&����������������"�'�'#3$�������������"�'�'#�$���������5���������)�(�

�����,-.�+.��

��! "�!�!0 $

��������(����������� ��� ����������)�(����)�����������)����*�� �����������

��������������'

6���������)����(�)�������������� ��&7������������)

8�9��:;�:;� "�!�!0�$

����9������2���������7))��������������

9�����������

���! "�!�!0<$

=7��������5���������)�(�������������"�'�'0�$����� ���7����

9���-.>+�.+�>! "�!�!0?$

@ABCADEFGBBHCEIJKAD

L��M���������������7���)���)���������������������������������(7���M����N�(

�7)&(���O����((��������������'������&���������M����N�(�7)&(���������������

������ ��� ������)����������������������'L���������PQ ����M��������������M����N�(

�7)&(���� ��������((��������������'R�� �*��������&(��2�����������7���)����

���M����N�(�7)&(���((�(( ���������� ������S���������'%���������������((���������

����������������S!

M����������)������(������������������������;����������)����-��!L��������)

��)��������)������(��������7���)*��7T;�����)����T-��*�������������������

�(����&7�����)�����������������)

;��;�"T;UVT;W$V X��V<V "�!�!0�$

Page 151: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������������ ������ ��������������� ������������� ��������

��

��

!

"#$

"%#&'

�(

�)

!

"#&

"%#*"#+

"%#,-".#$

"%#*"%#,/ ��/0/10�

2� � ������� ��� 3����������4�� ��5������� ��������6 �����������7�

�&

*,

!

8�� ������

�3 ��9�����������3��� �����3 ���������� ����0�10���6�����

".#$

"%#*"%#,':

�(

�)

!

"#&

"%#*"#+

"%#,��/0/1��

����������������8������6�����3 ��;�4�8������� ��������� ����0�1�� ���� �<�6�����3 ��;�

�������4�� ��5������

�&

*,

!

�����=������ �3 ���4�� 6������3�� ����6 ������������>

� �

#$'#$?-%#$:�

@

�(

��

!

%#*%#$ ��/0/1��

�����#$? ���������������6 ���������3 ��9/2��3 ��9 ���������6 ����� �� 8����

%#$'A/B���6 5����� ����������� ����0�1������ � ���� �<���������� ����0�1���B����������

���6�� 8�� 8��"#$

"%#C'�$C:

@

�(

�D

!

%#*:�

@

�(

D�

!

%#,EEEFGH?

��/0/11�

��6".#$

"%#C"%#I':

�(

DJ

!

EEEFGH?

��/0/1K�

����������6�� 8�� 8�����8������6��%#$'A/B�<�6���6�� 8�� 8������ �����0�11���6���0�1K�6

��� ����������� ����0�1�������������3 ��;�L��������4�� ��5�������� �������=������ �

3��� �����3 ���2�������6 �������������������6��6�� ���6 ������

MNOPQRRSTUNVWXYOZ[ORVXU

4�� 6�����\ ����4�� ��5�������6�<��6���������� ������]]�� �� ��3�3��� ����� �

��������6�� 8�6 �����_��� ����������6��� ����� ��B�� ����3��� ������� ��������6 ����

\ ����4�� ��5������� ����6 ��� ����3���� ����� � $*��6��6 �����#$/B�<�6���

\ ����4�� ��5���������������

a&b$*,'"

"#*

��

(�

:"

"#,

��

(�

-

�D

(�

���

�D

:

�D

(�

���

�D

��/0/KA�

��������4�� ��5�����������8������6� �����3����������������� ��2����8������������

���� ���6�����

aI$*,' I&a&b$*, ��/0/K��

�� �� ��c��>����� � ���� �6 ����Jd(���6��d����������

aI$*,':a$I*, ��6 aI$*,':aI$,*/ ��/0/K@�

2����6 ��� ����������� ������� ����6�6�<������������

e'�

�)$*),&a$*,& ��/0/K]�

Page 152: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������ ���������������������������������������������������������������������������

�������������������������������������������������������������� ����������������������!�

����������������������������������������������������������

"#$%&'()#$)%&* ��*�*+��

�����������������������������������,-#������������!.

,-#/$%'0,-#/$01%

2

34

56

7

8

,-#/$,9%:

3;

<=

7

>

,-&/$:

3;

?=

7

>

,-#/% ��*�*+��

��������!��������������.����������

,-#/$%:,-#/%$'"

&@#$%,

-&* ��*�*+A�

B�������������������+A���������������������������������������������������������C#$DE#$D

F#$D "#$%&D����������������G�������������������(*

���������������������������������H����������������������!��������

,I#/$%'E#$/%6I2E#$6

I/% ��*�*+��

�����

E#$/%'0E#$01#

:

3J

<=

7

>

EK$:

3J

?=

7

>

E#K* ��*�*+L�

M.��������N���������������O��������H�����������LP�O����H�����������+�����!��������������

����

,I#/$%'E#$/%6I:E#$C

QKEQ%,IK ��*�*++�

���!.���������H������������+L���������++������!�����!���������

,-#/$%:,-#/%$'�E#$/%:E#%/$�6

-:CQ&�E#$EQ%:E#%EQ$�,-&* ��*�*�PP�

R��!.�H�����������������������H������������+A����������PP���������������������

"&@#$%,-&'�E#$/%:E#%/$�6

-:CQ&�E#$EQ%:E#%EQ$�,-&* ��*�*�P��

S���.�������H������������P��!.6-�������������������������H������������A���������������

����TT��H�������

E#$/%:E#%/$'P* ��*�*�PU�

S���.�������H������������P��!.V-W,WK ��������.������������������������H������������

�������

"K#$%'E#%EK$:E#$EK%* ��*�*�PX�

M.��������������H�������������PX�����H�����������+�����!����������

()K#)$%'E#%EK$:E#$EK%* ��*�*�P��

Page 153: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� �������������������������� ��������� ����������������������������������

��� !�"#$"�$�#%&�����������'�(�����)�������� �������

!*��� +��!�"#,"#,��% ��%�%��-�

.�/������ ������

0 �

1�"#,"# ��%�%��2�

���������( )�� ������ �(�3��������� ������������-�(�����������������

+��!10,��4*��� �% ��%�%����

5�� ���6���������� ����������������78�78����� �����3��/��

9!10:4*; � ��%�%��<�

����������(����(�������/��3��(���������� �������������

=>?@AB=CDEFG

&�����������������6�(����H������I�����J��������������������K������6������(��6�����

LMNMN��O��P'�(������36������ ���1���I����� �����3����� ��������������(���������������

��*Q�RMNQ�RMN ,NN,MM!,NM,MN������)�������S� �����( )�� �*��/��

* ,NN,MM!,MN,NM�MM�NN!�MN�NM

,

� LMNMN�% ��%�%����

TUVWXYZ[UV\X]UVZ

��� �(�( )�8� 8��_�3 �a1����� 6���� �(�bc bc�8Ma8N�3d �a1a�3����)�����

������������6�(����������������������������6�(��e� �3�f� 78�

7_��� ����������)�(����

���� �(�( )��������78�

7_

78�

7_ ���f

�f� �%e�������)�(��(�����6������������ ����������

)�(��������6�(�( )�bc bc�8M�_�a8N�_������gc 7bc

7_�e�������������)�hci

7bc

7_

7bi

7_ hcig

cgi �%

e��� �(�)�(��f��������6�(�)�(��gc����������

gc jbc

j8�78�

7_ bc�f

�% ��%�%����

e��� �(�)�(��f���� ���)�(�����������f�f� �%&����J�������������� ������������(��������

��6�(������6������_3��/���������f�klm

kn �%e���������������� �(�)�(��klo

kn��6�6����( ��

������ �(�)�(��f�%p��8�������� ��������)�(�������� �(�6�������(�����������������

�������)�(��f�%e�����(�����8�������(���� (�����$��f�8� �%e�����3�����'������(���qrst

� (�����uf�

u_ qrst8

� ��%�%��1�

Page 154: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ��������������� ������������� ����������������������� ����������������

��

�������� ��� ��������������� !�"�����

�� #$ !�����$���� ���� ����������������������%&

��'����������������������(!) !*)#+�������� ���&������,���&�����-������$#.��������������

/*!

/0#.��

!1 2�131��45

6���7�������2��3���85���2��3���45���������������������������9�����:;���������������� ����

���������������� ��

6�<�������������� �������������7������2��3����5=�������,� ������,��������0>��-������

/?@

/0#A@!

/ !

/0BA@!C)

D*)

D0 !1 2�131���5

6���������� ��������,� � ������������9�������������2��3��45������������� ������������ �

����=������������9�������������2��3���85���2��3���45���������&����7������2��3����5 ����

����������������

�E@#A@!��*!BA@!C)

) !1 2�131��35

%&��������������������7������2��3�F�5���7������2��3���35��������

�E@#��*@BG!)H

@ ! ) 2�131��I5

�����*@������,� ��� ��� ������,������������� ��� ���*!1"��J����������������������������� �

������H@������,��� �,��������E@=�������������� ��J#H@E@1K�� �=�&�����,�&�������7������

2��3���I5�&H@��������

� ��J#G!) ! )1 2�131��F5

L����7�����&=������ ��������������� ��������������������� ��� !=���7������&� ��J����������

��������6�����������<������M�������N���������O������������ ��J#��P����������� ��,�����

����� ���������������J#�������������� ��,���������� ���������6��������=����������

�7������2��3���F5��

��P#G!) ! ) 2�131��Q5

��� ���,���������������� ������������������ ���������� ���� !16���7������2��3���Q5 ��������

����������������

��P#G!)D*!

D0

D*)

D0#R

S2�131���5

��� �����������7������� ������

6������� ����� ����������� ���P������T��������������������������������������7������

2��3����5��� ������������

2G!).��P(!)5U!U)#+1 2�131�8+5

6������ �������������T����������������������P��������������&

2G!).��P(!)5U)#+ 2�131�8�5

Page 155: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ��������������������������� �����

�������������� �! ��!�!�""�

#���$%������������� �������&�&�""�'����(��������

�)����������*

� � ��!�!�"+�

(����� �,,�))��,)�),���� �,,�))��,)�),!-���.�����/������.�0������ �������&�&��1���� ���.

������ 2������� �������&�&����3����� �������&�&�"+�'�����$%���������������

�)��"4��*5 �! ��!�!�"6�

#��������,�����)�������� �������&�&�"6�����������7�����2������

4 �

"��,�*�)�� ��!�!�"��

���

5 �,��)�! ��!�!�"8�

9���4���������0�2 ������%���'�%�2' �0�� ������5�����:� �����������2' �0�� ��(��'������

%��� '������%���'�%�2' �0�� ���&;��������270���/������

4 <=�">?*�@

"�<@�?)���� 5

�=�>)

<@�?)

�����0����������������������� ���'������'���' �0�� ��������&

ABCDEFGFEH

I��;���'J�(������K2����L�������0��(�����(��2���M�����27(�����'��������'�����..��0��7���

��������������%2�����&;���������������� '��������2���0��7(�(�22'��%������J�(�������� ������

(��������2���0����'�� �����������'�����.%2������7������&N���.��(������$�����������J�(������

�7�����&

J�(���O�0��(%������%2������7���������� 2��%2�������%���2��3� �������%2�'��7(�'�������

��27��(����7%���2��3��7���� ��������%2����(���������������P��%2�'����%2���&J�(���O�

2�(��.��0������������������(�������Q���R ��������'�����(�����'������(�������'�����.��� ��STUVW 3(����@���'�������3X�����������'����(������������3Q��������������%2�������R �����

���������� �&Y��'��'����� '���Z[\%2���'��������.����(�������(���������.��2�'���������

'����������������� �&]��BV '��_B,*���_B)������� ���0�'�����������.��������'���������

�7�������%������.���������'�������������Q&#��0�'������'��������'����������R ������Q��

.�0���7�����2�����

? �@QR

X)BV! ��!�!�"1�

Page 156: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������������� ����������������������������

�������������������������� ������������������ ��� ���������������������������� ��

!"#"$%&�����������������'����������������������������������������������������������� �

�����������(����������

!)#*+��

",$%&#�

-,!"

-.,#�

-!/

-.#*+��

"0!" 1�2�2�34

������������������������������������������������������ ������� ������������������

5��������������������������6�������������������7189:4���������������������7�����6;��

�����1��������4<������������1����4<�������������������������������������7�����6;������<������

���������;<���������������������6;�����������������������������������(����������������������(

������������ (����(� ��=����=#������ ����������>���?@=@�����������������>���=A��

�(��� ����������>�����=#?�������������������������

B��������������6�������<�����������������6��������������������CDDE#=�����)F#"���

FG#H*"���I��������=����������'����"���� ��������������������������������������������

"#7

�J=���I1�2�2�K4

Page 157: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ����������������������������������������� ���������������������������

����� ������������������ ����������������!"������������� #$%����&���'(����������� ���

� ������)�����������

&��

�*���!�+�,'�� -�

&�./�*���!�+�,'01 !�2�2�34'

������,�����������������������������(�� �������������5%�����������������6���7��� ��

������������������������� ��� �����1�115��������� ��

�*��5!�+' �� ��5!�+$'2 !�2�2�3�'

���������������������!������8'��� ����������������� ������������ ����9�������������

����: ����������������� ���� ������������ ��������!������8'����)���������������!������;'�

��)��� ������������� ��������)������ ��������<

=&>?@A�4

B

BC

D

=&>B=&

BC

E

�=&>B$=&

BC$

?@AFB?@ABC�4

?@A>

D

?@A>B?@ABC

E

�+B?@ABC2

!�2�2�3�'

G��������������!������8'��H� ����

B

BC

D

=&>B=&

BC

E

�=&>B$=&

BC$�+I:

&$=&>?@A�=4 !�2�2�33'

�������������������� ��������!�����33'��� ����

=&>B=&

BC�=J���������� !�2�2�3K'

�����������=L �=&>9=M�=&>9NOANP��������������������� �������9 �����������������=J

���������������������������������������������������!�����3K'�����������=J����������� �����

����� ��������"��������������=J��������������)�

B

BC

Q=M>=J

R�B=M

BC>=J�+

I:

&$?@A>

D

=&>B=&

BC

E

�+I:

&$?@A>/=&?@A>!&

B?@ABC*B&

BC?@A'0

�+I:

&$?@A>!?@A>

B?@ABC'&$�I:

B?@ABC

�� ���������������������������� ����

=M>=J�I:?@A*=S

Page 158: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ��� �������������������������� ��������� ������������

��������� !�������"��

"# !�$!%&���'()*�����

��

�$!%&�*�� �+ ��,�,���

�����+��������-����������� �����������.�������/������������� ��0������

�!1

�*2 �+��,�,��3

�����1!�$4%& ���2!�4%&,�������5�����6�����70��������������������28�

�����9�� �-�������� ����-���������������� ��

:��������������������������������/������������; �����������.�������/�����������<=

������

<"��

"#�"$��

"#$!"

"#

>"��

"#�"��

"#

?

!@<%&

�A���"��

"#!@%&

�A"

"#������ , ��,�,��B

C���������/������������B ����� �� ���������DED+������������� �F ������������G!H)HIJ

�$!HKHIJ�

A!HLHI��������F �� �������������� �F�������-F�)!

H)HIJ�K!�

HKHIJ�L!��E

HLHI

������������ �F ��-�������

��!"��

"#!"�

"#'()*�

"E

"#'(K*��E

"+

"#'(L, ��,�,��=

M�-�������/������������= ����/������������B �����������

"

"#

N>"�

"#

?$*�$

>"E

"#

?$*�$�$E

>"+

"#

?$O

!@%&

�A"

"#��$ !@

<%&

�$"�

"#!<%&

"

"#

>�

?

�� � ��-������������� ��F�����

>"�

"#

?$*�$

>"E

"#

?$*�$�$E

>"+

"#

?$!<%&

�@P ��,�,��Q

�����@P� ������������������R������ �� �������������-�����E! S$ �����������

����/������������Q ���� ���

>"�

"#

?$*�$

>"+

"#

?$!<%&

�@P

>"�

"+

"+

"#

?$*�$

>"+

"#

?$!<%&

�@P,

��,�,�T;

U��������� �� ���������������������

V���"��

"#V!�$

"+

"#!�, ��,�,�T�

WF��������HLHI��������/�����������T; ���-�����������

>"�

"+

?$*�$!

<%&

�$�A@

P

�$�X, ��,�,�T<

Page 159: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ����������������������� �������

��������������������������� ����!����������"������#����$%���������

&'(

')

*+,(+-

$./

0+(,

1

0+�2 #�3�3���%

���������������� �������� �����������������4��������������!�������������� �����"�������

#����$%��#�����%������� ����������������������!�� �������"������#����2%

4������ ������� ��� ����� ����������������������� �������5���6�� 67���� ���������

��������� �!���� �����8���������������6�������������������9- �������������!�� :�� �����

�����������63

����4��������������5��������;�2������� ��<������������������������� �5����������;

�!����=#9>?>@%�����6����������� ������� ��������������������"�������

9�9,:;

?�?

@�@

;�;

��

9�9-:;

?�?

@�@

;�;3

#�3�3���%

��������������������������"��������4�����A��� ����������������������� �����B� � �����������

������

C�����D����������!�����! ����� ���������"���� ������ ���������� ������� ����B� � ��A��� �����

� ������� �

EFGH�EFGI,EIGH3 #�3�3���%

Page 160: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ������������� ������������� ������������� ������������ ������

������� ������������������������������������� !�"�������������������������#$

!�"��������� ����������%��������� �����# !�"��������� ����������%�&���������

����������������������������������� �������������� ���'��������������%()�

���� ����������%%���(�����������������%����������*� �����+*�������������� �

���,���,�%�����������������������������-������.�����������,�����������/01/��%

�����%����'2345'236575��%�������,�������� ��������

8� �����������0����������������-������ ����%�%����������������������������$��%

$����������9��%9�8���9�������������� ���:���������9�������%�����;5$

�����������������������9���������9����������������������������������������� ��

���������%����������

<=>?=>@=57=;= ��A�A�B#�

���7������%��������C�����������������������������������9����������;5$�������

����������� ���������

<=>?=>@=57=;=A ��A�A�BD�

1,��������0���������������������BB�%���������������������������B#���%������BD��%���+

�����8�?5?��%@5@�������� ����,���<E<���%�������,���;E;�����������,����%�

-������������%���������������������������������,����������,��

<5F�<G:;� ��% <5F�<>:;� ��A�A�BH�

���F��� ���������,%�����%���%�I�����������������������BH����%�

J<5F�J<G:J;� ��% J<5F�J<>:J;� ��A�A�BK�

������� ���,������������

J<

F�J<>:J;�5F�J<G:J;�

J<��

F��> LMN

MO

�5F��G

:PQPR

�A ��A�A��$�

&��J<

J;5J<

J;57�����%������������������������$�����������

F=5��G:=

7=�ST �� F5��G

:=

7=�ST3=A ��A�A����

��������������������BH���������<��%U�%

;5F�;G:

7=<�A ��A�A��V�

& ��������� ��0���������������������BB�,������������ ����������������������

<5F�<>:;�

?5?

@5@

;5F�;>:

7=<�

��

<5F�<G:;�

?5?

@5@

;5F�;G:

7=<�

��A�A�� �

Page 161: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� �������������������������������������������������������������������

������������ !"�����

!#$%"�$�"����������������������&�'������((��)����������������

������**��������������������&��������������������������*����+������*,��+����'�����'�� �

���+�������-�+ �� ���������.������" ����'��������+�/�������������� �������������������

������*0�����

12

134

56578�

�89:

9;

<=<

> ��>�>��*�

������������������*�����?������������������'����++������������'���(��'����(���������������

�������� ���������������*���@�'������������������������*������������������������������*���

ABCD4ABCE8AECD

�8FGHI<

FIHJ<

> ��>�>����

K ������������ABCE !��+AECD !����������������������((��)�����'����������������

������*���L���ABCE ��+AECD �((���'����(��+������������

���MGHIN O

MIHJN O

ABCE8AECD

�8FGHI<

FIHJ<

4! ��>�>����

���'���������?������P��(������������(��+�������������������

����������������������(����������������������?��������������(�'���+����� ���

������+��+�����+��������������(������ �����������+��'(������(�'�Q����'���������

R�'������������������+��'������� �

1#2S

1T#8

UV

WX

Y12Z

1T

12[

1T4%\ ��>�>��,�

�����T���'����������������������� ���'����+�����*Q+���������(�'�Q���������']SZ

����������+�'�V\W���������������\\&\*��+���2S������������+'���+������?���������+

����������"_����������+�'��(�'�Q���������']SZ�'�����������������������,�'��������

��(��+�'��������������������������'����5abc57a 8

decf gh4%i_������������������(�����'�� �

�����+��(������+���������(�'�Q����'���������������������'������(�'����������������

�����������������'�����?�����������������������������+ �������+�����'�������������(�'�

���'�'�� �� �����+�������R������Q�����/�������jSZ[k>��������'��+����]SZ\V\W4�\\&\*

����'��(���������'��l���������'�����]SZ�+�-��+�'�����]SZ]Z[4mS[��+�����������

��'����������+����� �1T#4]SZ12S12Z�?������������������������'�����+'����������

R������Q�����/��'����������������'�"���n4*����'��(�����" ������ %�����������������

��+�(��+���������������������� �������������������'���� ������������������������

�����'������+�?������'���+���+���'�����'��+�����

oSZ4j7SZ74

p

p2Z

Un

Vn

Y

qp

p2r

Un

VW

Y

8

Us

Vn

YUn

sW

Y

q

Us

VW

YUn

sn

Y

> ��>�>��0�

t(����'��'���+������h\u\v����������'��������

1T#4q�1h�#qh#�1u�#qh#��#u�1v�#8!#�13�#

Page 162: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������� �����

�������������������������� ����!�"�#���!�����

��"���$%����"��"&'(')

*���+���,���"�#�����+-����"��#�.�%�"/����"!���"��"����01���#���

"���2�"��%��..��"���3���%�"��%$�#�"$��"�����#�������0 ���,����%�.�/22�"�/��"��,��4.�2�$!!��"

"��"���������%���!����.������������2���56��07�"89�:9�:9�:9�;8 :�:<:=;������$2�

���>?: ���

�: ��� ������: ���>

@ 8������A;

�����B���+���$�3�����$�%"������ "�4���"��2����0 ���!�#��"��%��C$!�"�2�"��%"�����

���>D?: ����

�: ���

������: ���>D@ 8�����E�;

�������������� ���%���%����2�"��%,���$%��

FG�>?8F ;� �8F�;� ������8F<;�H>@8F=;� 8�����E�;

"�!�"�����"�"�����I���J����"�K�.�/24�.�

L�

��

M

N

FB

F L�

NN

M

>D?

L�

OO

M

>D?�����

L�

PP

M

N>@D?

F+

FQ

LN

�N

M

LN

N�

M

LN

OO

M

����%���

LO

�O

M

LO

NO

M

%���

����LO

O�

M

LO

ON

M

%���

����

LP

�P

M

N

F+

F LP

P�

M

N

F+

F �

8�����EN;

���R$�"���8�0�0��S;��$���"�%�.%$.�"�"�����I���T�������5��"��"

T���

N

F�+

F �H�

P

UF+

F

V��

P

FB

F

F+

F �

FB

F

T��>D?

U

�H�

N F+

F �

N FB

F >?V

T��>D?

U

�H�

N F+

F �

N FB

F >?V

�����

T��>@D?

W�

N

F�+

F ��

P

FB

F

F+

F H�

P

UF+

F

V�H�

F+

F

X

8�����EO;

���T���������� �����$2,"���"��"T�������..�:�.����"�"����K����"��.�R$�"����

F�+

F �H�

N

UF+

F

V��

N

FB

F

F+

F N

FB

F �

�H�

N F+

F �

N FB

F >?�

F�+

F �H�

N

UF+

F

V��

N

FB

F

F+

F HN

F+

F ��

8�����EP;

Page 163: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ����������������� �� �������������

��

�����

���� �� �������������� !�"�"�#�$

% ��������������!� � �#&$� ��������

���

����'() !�"�"�##$

��*������ ������+����������!� � �##$������������������� �����+�

()��

�',-.!�"�"�#/$

0 ����1��������������������������������+2

(3�(,45)�(,46

�'�1�

7

" !�"�"�#�$

% �������������+������ � ��899�**��� ���1����������0� �������� % �*������� �

������

8���'�

�',-.: 811�'�

1: 8;;�'�1��1<: 899��

1!�'�1�$ !�"�"�#=$

0 ����1�����������++������������� % ������������2�������!� � �#=$�����0������

�>*���� ���������!� � ��/$��*��������� ���������� �������������+�*�� % ��?������+

����������*��������� ��������������������

@AB

@CADE

F

@G

@B

H@B

@C

IAJBKLM

H@N

@C

IAJBKLMOPQAN

H@R

@C

IADE

FKSLM

@T

@B

H@U

@C

IAVW XEYZYE[W\

@AN

@CADF

B

@N

@C

@B

@CJOPQN]ON

H@R

@C

IAVW XEYZYE[E\

@AR

@CADF

B

@R

@C

@B

@CDF]ON

OPQN

@R

@C

@N

@CVW XEYZYE[F\

@AU

@CAD@T

@B

@U

@C

@B

@CVWY XEYZYE[_\

% ��������!� � �/�$������++2��������0��>����*+���������0 ���<� `1��������� % �

��+����<�+����*+���� ���������!� � �/�$���!� � �/a$ % ��������!� � �/a$���������>��

�?������+��������

�b

6

�1�c

�b

7

�� �� �1�c

�b��9: !�"�"�/&$

���� ��������!� � �/d$�+�����������>���?������+

�b

6�e

�b(37

�� ���e

�b(3��f: !�"�"�/�$

0 ����9����f���������������������� % �+������ ��������!� � �/�$0 ���������� �����g

������ �����+��������������!� � �/&$���!� � �/�$h����� ��0� � ���+����!� � �#�$h� ��������

!� � �/�$���������1�

�b1��1a�1��1�19

a�9'!�'

�1�$�19�;��" !�"�"�/#$

Page 164: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� �������

���

�������

���

���

��

�����

��

���

�������

���������

���

��

����������

�� !�" �!�#�$�$�%&'��(�����������)!�*

���

�����

���

��

������

��

��������

�����

��+, #�,�,�%%'

-�� ( �� �!���./��� �� ����" �!�#�$�$�%%'�!���)!�*

��0

����0�

�������1

���0

�, #�,�,�%2'

3 ��4������" �!�#�$�$�%2'(��5/56�����7�������� 4����!��!!(��

��0

��

���0��

�����0���0

8��9, #�,�,�%�'

������9 �!� ���!)���7��!�$-!�����*������!� ����9����������" �!�#�$�$�&�'����

4���� �:�;��� ���� ( �� �!� )�!*����" �!� #�$�$�%<'��#�$�$�%�'�!!(��

=/���

��

���=/

���

��

��

��

�������

���

��

���=>

��?

��

��

!� ���

��

���

�����

���

�����������

���

����+, #�,�,�2+'

-�� ( �� �!���./��� �� ����" �!�#�$�$�2+'�!���)!�*

��0

��

���0����0

8��

���������0�

��������

�+, #�,�,�2�'

@!��!*4��7����" �!� #�$�$�2�'��#�$�$�%�'�� �����

�9�

��������

��

���

!�������" �!�#�$�$�%�'�A� !����)!�*

��0

��

���0��

�����0�

�������

��

������0

8 #�,�,�2�'

@!������!*4��! ������ ���" �!�#�$�$�2�'���! �@���!���" �!�#�$�$�<1'$B�!����

��������!�" �!� �*! �7����� ���������!� ��� ��C��C�� !���

�������DE

F���

��GHIGH

����J

F�, #�,�,�21'

-���" �!� #�$�$�21'��!�����!�" �!� ������ �A�!�� �� !�� �������!���" �!�

�*KLM

����

�?� �*KLM

����

��

��

�?�F #�,�,�2<'

Page 165: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ����� ������������������������ ������������������������������� ������

����������� ��������� ������������ ����� ����

!"!#

!$%&' ��'�'����

(��� ��������������)�������������� ����� � ������

!#$%!#

�*+,-

. !#%/01

!#

2�

�*34!#

5

. !"%&

!6�*34!#

��'�'����

7� � 8��� ������ ���� ���������������9����� � ��: � ���� ������

2;<

;=

5#*<#>

/01

&#<*

3

&#%/01

!#

2�

�*34!#

5

<?' ��'�'����

@ A%,-,-B%#CD

E- ���F%!#%#CD,- �

GGH+I,-�� �� ��: � ���� ������������������ ��� ���

;#<

;=#*<>

A

/%)

/F<#' ��'�'����

J ����� �������� �������������)�����8 �K

<%�

L%M��*N����=>=O�� ��'�'��P�

������ ����� ��������� ����������������������� � � ��������J ������M������������

� ��� � �����9������ ��������� �����������������8 �K �������������P���������=O��

�99��Q��� �K���������8��� ������K������������M=�R� �8 ����=O%=O�M=��� �STUST %=

VOM

���S-TUST- %=

VVOM#��� � 9��� �� �� ��: � ���������� �9 ��� ����� ���� ����������� �

M=������9��� ���7� � ��8��8 ��� �������������P�9�����

;<

;=%>NM����=>=O���>=

VOM�

;#<

;=#%NM?����=>=O�=

VVO>NM����=>=O���>/M=

VO*M

#�=VO�#�

%>NM����=>=O�*/NM#=VO����=>=O�*W�M

?�'

��������� � � ��8��8 ����� ��: � ���� ���������������9����� �� �������

/NM#=VO����=>=O�*M>A

/%)F

/

XM#*/NM#����=>=O�*N

#M#���#�=>=O�Y*W�M?�'

Z��M����������� ���W�M?���� � �� � ��[������� ������ ������� �� \�� ���

� ����=>=O� ���� ����� �������

M>A

/%)F

/M# /NM#=VO%)FNM

#*)F

/N#M#����=>=O�'

7� ����=O�� �� �����K�������� ��8 �K� ����� �99��Q��� ��������

M]A

/=O]

)F

/M=*

)F

�MN����=>=O� ��'�'�P��

Page 166: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ������������������������������ ������������������������������

��� !��������"�!�#����!���������$!����������%��&���'��(����� �������������

������ ����)*+),�-�����(������� �����(���� ����.��!���

/0�1�2���34�#���!�56�5

7 0�1�����88��

90�12:���;5�!�

�0�1<��

=0>���;��!�6��!

?@</7

=50<1�����A�!�

B@C/79��D�5�0<12����;E�!�56��!

F�

FG@

H/7

98

I;J5��!3;K� ���L���#���

��1�1����

��!��!��������������(������(�����%��&���'����� ��'�����

F��FG0F��F�

F�

FG@>

<?MF�

FG@>

H/7

=B

I5H/7

98

I;J50�1�<:���3;N���#6��!

0O>1�� ��!��#��(��! ��!�����1

��1�1��<�

������� ������.��!���L����%��&���'������������� �#��#�������#��#������������

����� � �����P��������!���!�!���#���!!���(����!�������.��!���L����%��&���'����

Q����L�������(���� �#���� ��� ��#!��������������������(������������::�!����

���#������!����#����!�� �����(��� �!�%��!�������

���!����!�#!�� ���������/RS��������T����&������(����!��#�����!����������#

���#������ ������!(����� �!�%��!�������U������� ������ �����(/RS�������

� ��������V�#�(!�� ��������� �!��W����������' �����(����� �������������������

����������� �!������#��������!�X��!��������������'���!��(������������!�

������#��������� �!������������#��!������� �!�%��!������� �����������

�(���� ���!���������

����������#�!������� ��!��!��#�#�������(�����PUYUP���Z���������� ����

��������� ������:�[������\�:%���]U��������������(PUYU��#�� ����������!�������(���#

�� ��#��!� #��!��(� ��������� ��#!�#:�������������Q����L�������(����������� �_

����Q����#������� �!���#�������#���(�����������������������' ��������

�"�!�V������(����#��������#����������]�����#��������V������ ���(�������

����� �����!Va�#��!������������U�������� ��� �������������������#���(�U�����

��!V�������������������� ������#�������Y�����������Q�������� ����� �!�%���

� !�������#���(���������(�������(�������������Q�������������!���� ���#�

��&������Y!��!��

Page 167: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������

� ���� ������������� ���

������ !!"#�$��"%��&����'&()�&�$��%$�!$'��%$*��$*�!()�+,��,���%�

!(#�-$���%'(#.$���$(�()�+,��,�����&��'���%$*��&�/%����01�%%��)(%#"-�!()�$2�%���$�-3�(#��%45

�6 7���%#$���&�3$*��!"%)�'�!57�!'%$.����!8��'&�&�'"%*$-$���%'((%�$����!"9(���'&!"%)�'�5

:;< �=:>,?<�>@ABC?@AD :E< �=:>,?<�>'(!?@ABC>!$�?@AD :F< �=:>,?<��>?D

>DC?D@ABC

�>D?

>DC?D@AD�

�G 7���%#$���&�3$*��!"%)�'�!�����!'%$.��&�'"%*$-$���%'((%�$����!"9(��&�!"%)�'�5H!�!(#�

3%�9&$'!9�'8�3��(9-(��&�!"%)�'����$--"!�%����&�'((%�$����'"%*�!(��&�!"%)�'�5/$���-�#���()

�%��IJ$���%#!()>���?�

:;< �=:>,?<�;!$�>'(!?@ABCE!$�>!$�?@ADCF'(!>@AK ;,E,F'(�!����! LM>,?M�N

:E< �=:>,?<�:OC?!$�>

�<'(!>@ABC:OC?!$�

>

�<!$�>@ADC?'(!

>

�@AK P�M?M�, LM>M�N

:F< �=:>,?<�;>'(!?@ABCE>!$�?@ADCF>@AK

:I< �=:>,?<�>'(!?@ABC>!$�?@ADCQ?@AK Q'(�!����

:R< �=:>,?<�;'(!?@ABCE!$�?@ADC>@AK ;,E'(�!����

:S< �=:>,?<�>'(!?@ABC>!$�?@ADC>D@AK

�T U(�!$��%��V(�$#��!$(��-!9�'�V$�&#��%$'���!(%:;WX<�

YZ [[ \

]

� !!"#��&���&�!"%)�'�$!

��!'%$.��.4�"��$(�!()�&�)(%#_`�_`:>,?<����&����49($��(��&�!"%)�'�$!3$*��.4�&�9(!$�$(�

*�'�(%�=��=:>,?<�_@A51&(V�&���&�#��%$'�!Z,[,\�%�)"�'�$(�!()�&�9�%�#���%!>,?����%�3$*��

.4

Z��=a��=a, [��=a��=b, \��=b��=b V&�%� �=a�c�=

c>��� �=b�

c�=

c?�

�� /(%�&�#��%$'3$*��$�9%(.-�#O!&(V�&���&�U&%$!�(2�-!4#.(-!()�&�d%!�8$���%�3$*��.4

e��,�f��=a��=aa

e��,�f��=b��=aa

e��,�f�e��,�f��=a��=ab

e��,�f�e��,�f��=b��=ab

e��,�f��=a��=bb

e��,�f��=b��=bb

V&$'&'��.�%�9%�!�����eQg,hf�cD�=

c>Wc>X�c�=

c>i, Q,g,h��,��

�j 1&(V�&���&�%�!"-�!$�9%(.-�#k'���-!(.�V%$����$��&�)(%#

e��,�f��

�Za

e��,�f�[aP�

�Zb

e��,�f�e��,�f��

�Zb

e��,�f�e��,�f��

�\a

e��,�f�[bP�

�\a

e��,�f��

�\b

V&�%��&�!".!'%$9�!$��$'���9�%�$�-�$2�%���$��$(�5

�l /(%�&�#��%$'3$*��$�9%(.-�#Om!&(V�&���&�U&%$!�(2�-!4#.(-!()�&�!�'(��8$��'��.�

�n9%�!!��$��&�)(%#

oh

Qg

p

�;i�eQg,qf, Q,g,h��,����9%(�"'��&�%�!"-�!

o�

��

p

�\ZaP�[[aC[Zb�:Z\P[D<

o�

��

p

��\[bP\\aP[\b�:Z\P[D<

o�

��

p

o�

��

p

�\ZbP[\a�:Z\P[D<

o�

��

p

o�

��

p

�Z\aP[Zb�:Z\P[D<

o�

��

p

��Z[aPZZbP[Za�:Z\P[D<

o�

��

p

�Z\bP�[[bC[\a�:Z\P[D<

V&�%��&�!".!'%$9�!$��$'���9�%�$�-�$2�%���$��$(�5

Page 168: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��� ������� �������������������������

��������������� ��!"#$ ��� ��%�����&�� ��'"#$ �� ��(�����)�� ��*"#

+������$,,,$�*���-��������.�������.����/��.��0��.�-���1��������-����+������-�������$�� $

��."#23��+�������

4�

��

5

$���

46

��

5

$�!�7$�%�

4�

�6

5

$�&�

46

�6

5

$�'�8$

�(�

4�

66

5

$�)�

46

66

5

$�*�93��+��� ������������-����+�����:���

:;<:;=�

4>

?@

5:��

:;A�B<="#,

�C� �������D����������������

"#������������

"# ��!�����%�� ��.

�����E�"#���

E�"#

�� ��E!"#���

E%"#

��.���+

���8FG7H

IHGF�

���7FG8I

IHGF�

�!�9FG8H

IHGF�

�%�8FG9I

IHGF�

�E��8FG9I

79G8�

�E��8IG7F

79G8�

�E!�8HG9F

79G8�

�E%�8FG7H

79G8�

J��-���������������������������.�������.����������K����������������.�0���K��L2

3��+�������D����������������-����+���������1���

:"#

:;<�GB=<

:��

:;=,

�MN� O���"#����P�� QIHGF�

R�������K��1����S��-���2�R0���K��TU�VR��.�������K��1���0���K��WR

��1�����

U���P����VX"#�

46

��

5YIHGF�

U���P��� VX"#�

46

�6

5YIHGF�

U�� P����VX"#�G

4�

��

5YIHGF�

U���P�� VX"#�

46

66

5YIHGF�

U�� P��� VX"#�G

4�

6�

5YIHGF�

U�� P�� VX"#�G

4�

66

5YIHGF�

U���P�� VX"#�YIHGF�

��.����.������1����K�1��������.��--�������������������U�2W2ZLV2

[��\U"#P�]VX�]

_�U�]P

�]

_VX"#��.`<ab@>$cb�

4?

@>

5

,

Page 169: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���� ����� ����������������� � � ���� ��� ������������������������������ � ��������

����� ��!"#"$%&�"#%"$�%'()*

��+� ����� ��,-./0,1234512-.(�534/0*

��6� 7��� �8������������������������������� ���������8���9�:(;�<=>�*

��?� ����

@ABCDE@ABDC(@/5/FACD

� ���

5/FACD(G

G<C

HI

JK

L

EG

G<D

HI

JM

L

%

HN

JK

LHI

NM

L

E

HN

JM

LHI

NK

L

*

� � ���������������

5AOCD(

PPPPPP

QQRS

QQRT

UNM=KVUNK=JV

PPPPPP%

PPPPPP

HW

OC

L HW

OD

L

UJM=XV UJK=XV

PPPPPP

��Y� 7��5ACDZ([A/5/FCDZ� ��

5AOCD(G

G<CUNK=JVE

G

G<DUNM=JV%UJK=XV

HX

NM

L

EUJM=XV

HX

NK

L

� � ���������������

5/FACD(

PPPPPPPP

QQRS

QQRT

H/

AC

L H/

AD

L

PPPPPPPP

%

PPPPPPPP

HO

AD

L HO

AC

L

H/

OD

L H/

OC

L

PPPPPPPP

��\� ] ��

5ACDZ(�

^

_G$[AZG<CG<D

EG$[CZG<AG<D

EG$[ADG<CG<Z

%G$[CDG<AG<Z

`

%[2-�UMK=aVUJb=cVEUMb=aVUJK=cV�*

��d� e��� �����������f��9�������� ��

�J� 5CADZ(E5ACDZ= �JJ� 5ACZD(E5ACDZ= �JJJ� 5DZAC(5ACDZ

g����h� �������5ACDZ��i��j���������� ������J=M���K=b�k���� �������5ACDZ�����������

���f������ ��JM�����Kb�f���������

��l� ����� ������� �����f��f������� �m�����n ����o�����9��p

�J� 5OACD%5OCDA%5ODAC() 8������q8q��

�JJ� 5AOCD%5CODA%5DOAC() ���������q8q��

�JJJ� 5ACOD%5CDOA%5DAOC() � �����q8q��

�Jr� 5ADCO%5DCAO%5CADO() ���� ���q8q��

��s� t���f���� � ������������ �f������f��9����h� ��������f�������� ����p

5AACD= 5AOCC= 5AACC= 5AAAA= ���������������u�����9�v����

Page 170: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���� ���� ��� ���� � ������ ���������� ������ �� ���������� �� ���

��� !" #"$"%"&'�"(")))"*)+� � �� *,����� ���� -��� ��*.�� ��������� /0�1��

�� � ����� ���� 2 �����1���� �2 ������� ���� � ��� ��� ���� ��1�1�� ��� �

���� �1�������� ��� �/3 ���1�� �������4��� �5

6789:; -��� ����� ������ ������<�<" #='> ������������������/+� ?���� -

��� ���� �*��1���� � ��� ����#='>�� � ��� -��� ���� �*.���1�/@�� �A

������<�<'�<�<�" B�������������C���� �������� ����������������� � � �� /+���

� �A �DE'EF*B*.�C����� ������ ������<�<)+� G�����1DE������� ����4��������

��� ������������������� �B#">C)

6789::; -� -��� ����� ������ ������<��" #='>='$�� � �� � ������������

�� � -�/; ��A �� A�����1���������� ?������������ ���� ���� �DE��1�/+� � ��� H

�� ����� -��� � � �� �*.(��1����� G� ��1�� � �� DF'EF*B*.�CB*.(C������

����� ������ ������<������#='>='$)

6789:::I -� -��� ����� ������ ������<� �� � #='>='$='%)�����JKLM�� ?��������

����� �B#">C��� ���� �DE��1�/+�N�4����������1�� ��� �H����� ���������� � ��

��������� ���� ���� �EFB*.(CB*.OC��1�/+�������� ������� � �� E,*B*.�CB*.(CB*.OC

��1���������4�� ��� �#">"$�%����#='>='$='%)P1�1�� ��1�� �����B#">C�B$"%C���

�� ����4 ��� � ��� ��1� �������� � ������������ ������/+���� �A �

Q*B*.�CB*.(CB*.OC

���������������� �/J��������� �1����� ������� ?������1������������ ���A ����� ��

�� ������/+�������� �

DR'*B*.�CB*.(CB*.OC

�(

����������� ������ ������<� ����#='>='$='%)

J�4�� ���A ����� ������ ������ � ?�� � ��

D,'DESDFSDR'*FB*F.�C

�(

�������� � ������ ��/

3 ���1�� ��� ���� �������4���� 5

T�� ��������� I � ( O U �

I��� �������� ��*, � �� Q� (�� �(�

D,'M � ������ ������� ! V � � (V �V

I�� �5J� �� ��������� ����� ���A ����� �� ��������� ��� L���� �/B�/ /��� ��A

� � � ������� 4���G��� 4�A �1WXF'YBZCBWZCF"� ����N �� ������� ������������[YBZCWZ'W\�� �� �� ���� 4���G��� ���� ����WXF'W\F)C

I�� (5M������ ��������� H�� ��� �����1��N ��� A��� ���(/M������ ������� �� �

�� ��������� ����� ��/M���� ���������� ��1�A�����4����� ���� 5

�EFEF'.�EFFE'.�FEEF'�FEFE)

Page 171: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������������� ���������������������������������������������������

�������������������������� �������������������������������������������

�����������������������������

������������ ������������������� !���"#$#%#&'�#(#)#*�����+����

�����

��,�,

��,�,

��-�-

��-�-

�,-,-

���,�

��-��

��,-�

���,�

���-�

��,-�

�,��,

�,�-,

�,�-,

�-��-

�-,�-

�-�,-

��,�-

��-,�

��.���������������+��������������������

/012

3�4���5'(���+�����������������������������������

�����'�����'6�����'6�����7

3.48��+���������9��������������������9�:;+���������':�;��

�<7

/002 8��+���5'(����

�����'�����=�'�����

>>>>?@

?@

>>>>

/0A2 B�C����'�DE��D�����F�����������G

��'�

��6

��H��������I�����������+�����

��'J

� � �

���'���78��+����

3K4 �� 'JLM��LM

3N4 ���'?���

OJ

?@�?@�6

PN

"$

Q?��

OJ

?@M6?

?@L

PK

"$

Q

R

PN

"K

QPK

$N

Q

3S4 ���� 'T

/0U2 ��������� ������9���������������9����.������+������������5'(+����

���J��'���J��'���J��'6�����J

+����J����������������J��7

/0V2 W�������������5'(+����+����J��'J��'T�����+����

3K4 ���'���'T

3N4 ���J��'���J��'�����

3S4 �'(�����J��J��

3X4 ���'�

(�J��# +���� �'J

�����

Y�����������������Z�+�����I������9���9��������9���������������G��'���6

��H�����

Z�+�����I�����������

/0[2 ���5 ')���+���������#��,�,#��,�,#����,#����,#�,�,�������������������������

F����W������\��������

Page 172: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���� ���� ������

���� �� ���

������ �

����������

���

!

!"�

����

!���!"�

#!

!"�

����

!���!"�

�$

%

��&� ���� ������

���� ������ ���

������ �

���

���

'!

!"�

��������

!���!"�

����

!���!"�

$

#!

!"�

���

!���!"�

����

!���!"�

���������

!���!"�

$(

%

)�*+,-�.*�./��0-�*��1�2��������� ��+�34 1�2��1� ���*�1���� �215*�1���*4�0/*3��6

��7� 81�*�.���*�*�*�9:**�;�3./ �<�6=6���><�6=6��?>;��.; +*+.5*�1��*3��;)�1���@*/

�-30�/��;��*�*+���,1��6

�AB�

< >C�*��*; +��� �;�D���*� 5*���������������������������2*��*�1��E��FE����*���

�13*��1�� / /�*� �1�2�*������������ ���**G. �1��<�6=6���>+ �0*�1��*� �

���HI��J��JHI ��** J�����E�� �� J���

���E��

*��*+�*�4���1�2*4�1/���*����6

<0>:����� �;�3��**�./�1�4 �< >�*�0� 1��

K���HIJ

��JHI��%

L1��M:***G. �1���<�6?6N�>O<�6=6P?> ��<�6=6PK>6

�AQ� R*1;-��**�./�215*�0-��**G. �1��<�6=6���>6

�A�� :����� ����S���KT����%

�AA� �1��*G. �1���;���*41�+14 /+.5 �.*� ���+1 �*��1����*�.; +*

U�"F V�WF X�Y<"FW>%

�AZ�[\]\_a_]bc_de\f\g*�<hFi>�*���*��*�.; +*+���1� �*��;��*�4�**�; �1.�j�*k�*�

0-��*4 3*�1+*G. �1���

U�j�1�h+��iFV�j�1�h�1�iFX�j+��h% <�>

)���1�* /�� 4/ �*��1+�4 ��*����.2���*�121��1����3 /� 51�2��*�1*+�1���.30*�<D�FD�FDl>%

m�1�4/ �*1�*4*�*��*�0-D�U#D�V#DlX�� ��1��*�*+����*�4�**1� 2* �+1+/*��1+�1��*�+10*�

0-��**/ �1��

D��1�h+��i#D��1�h�1�i#Dl+��h��% <�>

m�1�1� �134/1+1�*/ �1��0*��**���*�.; +*+���1� �*�hFi��1+��*�+10*���*2* �+1+/*/-1�2����*

�4�**68*+ ��1�*��1�/ �**G. �1��1���*;�3

D�+��i#D��1�i��Dl� �h

<?>

Page 173: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ��������������������������������� ��������

������ �����

���!�� ������"�

#����

���!

$

% �&

'����()*������+����� ����� ��������������*�������������������+��,���

���� �������-'���� �,��)*���� ��������+��.��*���������������,���������

)*�������������.��/��������,)*������& ������������� �,��0,�(��� �����

���!1�

10�

����2��345

6734568

1!

10�9

10��:�1!�;:����!1�� ��

'����()*������� <�� ����������������� ����,���� �-

�� =�����������/����� )*������+���,��,��������*�����������)*�������-9-9�

��

1�!

10����!��!

#1�

10

$��> �?

1��

10�;@���!

1!

10

1�

10�> ��

�� A* ��� .)*������� �.���!������,�����������

���!1�

10�B� �C

���B���������������,������-

�� A* ��� .)*������? �.D8DE���*���* ���)*������C ��������������,����������*�

#1!

10

$���B�����!

;B�� ��>

���B����������������,������-

�� F��)*������9 �� ���������B���G:���B��HI57J %

� =�������)*������C �����> ��� .����

1�

1!�����

����!

��!2��345

6734568

�����K��,��*����*����L�34573458���)*������������,��������������)*������& -M

�������������)*������& ���������* ��������NOPOQ����������)*������R -

'������*��� ���������������������,������� -S��)*�� .���,�������

�����,������� -

Page 174: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���� ���� �� � ���� ������� ����� � � ������� ������ ������� ��

���� ���� �� � ���� ������� ����� � � ������� ������ ����������� ��� � !�"#

$% ���� ��"&

��'� ���� �� � ���� ������� ����� � � ������� ������ ��� (������

)*+���,- .*+��,- /*0�+&1

2�� �� ���( /*0�)&��( ������� ���� ������ �3� ���( �+*4������� �� ������ ��#5��� ��

���( �,*4������� �� ! ��������� ������ �

678*��90:8&6+89+86,81

��;� ���� �����!������ ���� ����� ������������� ���������������

)*<��=���,- .*<��=��,- /*<���=1

3������������ ��� (������5���+*<��=�0�+&*+���=5���=�������

��>� ? �7 �� ���� ��������! �� �������( ����@+�7&���������� ��������7A����5����

�� 3������ �� �@+�7&*@+�7A&9B@+:�7A&9

B8

CD@+::�7A&9

BE

"D@+:::�7A&9FFF� ����� ����7A#5���B*7G7A��

��( �@+�7&*@+�7A&9B@H9I8JB

8@K9ILBE�GJ8@H9J:@K9JM@N&9FFF5������� ��� ��� � ������

�� �� ����!�����

�OP�

��&���5������ ��������� ��% � �)*Q���R- .*Q��R- /*SR5���Q-S�������#�����

���� ������������ ����� ���( !�T ����������� 5����� �� ����� /U�%���

��� �@HFVWE*���=*�������&

� &���5��������@KFVWE*X���� �� ���VWE�������� ����� � ���������� #5�����!��� �����

VWE*@H���=9@N��=1

��&Y�� � ���� �� � ���������� &����5����JZM*��=����������

�O[� 4��� ������ ���( )\*)\�7&�4��� ���������� ��

��&���5����J*]]]6@H

67

]]]*^):\)

:\

� &���5����M*�

J8_\a)

:\)::):::a1b��c4��� �@+

:F@+::d@+:::

�Oe�

��&���� �� �������� ������!����������� /*0�)-.&1

� &���� �� �������� ������!����������� f�)-.-/&*X1

��&���� �� �������� ������!����������� )*)�<-g&-.*.�<-g&-/*/�<-g&1

�O�� ���5���������!���������� /*0�)-.&�� h���������(���� ���������� ������ ����(

i*0jj0kkG0

8jk

�08j908k9�&

81

Page 175: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���� ������� �������� �������������������� ��� ������������� ����������� !

"���#�$%��&&'(�&�%�&%#��#�

$&��%%

(��$&#�$%#��

)*$+

��,� -.� �����/ ���0�� ��� ��1����232�4���� ����5� ���6�1�!� �1����������78��72

��9� :� ��!�� �1������232��;�2

��<� =�>?��������@AB�CDAB��7�����C�E? �� �@�D

AB@AB+F��� ���1��8�����

-������G�� ��������1�H������������� ���� ��� ����2=�����1��������I�������H�����

J$>�C� ����K��������� !��� �������2

��L� =�>?��������@ABMN�O�DAMDBN'DANDBM���7�����@�OP��'P�+�Q��R���� � 1��(42�

��S� T�����DAB���� UV�W��7�� ��!����11����2

���@XABM���� YV�UV�WV�Z

� �@XAAM�[DAA

\]$[DAA

]�X]�M'][DAA

]�X]1��

[DXX

]�M'][DAA

]�M]1��

[DMM

]�X

^

�� Y�U�Z���H��12

���@XAAX�[DAA[DXX

_

`a]

]�X

\�[DXX

][DAA

]�X

^

#]

]�A

\�[DAA

][DXX

]�A

^

#

?b

cdecfdg cfdh

][DAA

]�i][DXX

]�i

j

kl�� �YV�U+

�,m� 5����7� ��� ������ ���1������ ���n���op��n���o��7����n������������������n+

�����������>$�����qr$���#��s�$�qn$#n$qo$�� �s� t

tu+

� ���������7�����H�����������>$� �

q$n

qr$#

�s�ss

�#��s�$

\qn

qr

$

'n

�#��s�$

\qo

qr

$

��

q$o

qr$#(

n

qo

qr

qn

qr��

�����1���������7�H��������� � ��� ���qo

qr�v

n$+�� ������� ���1�� qr���� �������

qo�wvx�#��s�$

n[n$'v$

qn������� ����11!��� ����� ��72

Page 176: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ��� ����� �� ��� �

�������������������������� ���!��"�#!!���#������������$�#��%�%������#$�#����&�#"���'

��#������&'(%���#�������$����&#��"#������")*�+����+&,$���� ���!�������$#��-���.!$���������$���

����$�!�$#��������$#�����'�� �$�����'#���%$�)/�������$#��-���.!$���������$����$ ����$�!�$#��$�

#$��������$�����$��$��#������$�0%#������#�+���� �$����� ����$�0%#�����)*������$%��#�#+����

#��������$#���#����������$#��-�������$�0%#������� ����$��$"#�� ��� �$�#)

1��+#����0%#�������������%%""���#����#$��� ���!��������#��$��������)1�����0%#�����#$�

�� ���!����+���2#$����#�#������$#��-�������$��$"#��������� �$����� ����$��$")

3�45��������6�� �7����8� ��9��������

*��������$��������$$�!$�����#��������"� ����$�.!$�������):%$��#������� ���!���#+����&��

��� �$� ����$�0%#������������$��$"#�����#�+����#+����$�!$����������$�0%#������� ����$��$")

����������������+#����0%#�������������%%""���#����#$�$�!$�������%����+���# ����$���#����#��

���������#����#������������%���#������������������$��"!������)���$��$��"� �+#�;#����$��

+��������������#�����'���$�!$�����#������ ����$0%#��������������$��$"������������$��)

<=>?@ABC

D�$EFEGHIJHKJLLLJHMN#��#�#$�%��������������$���#���HOJPF�JLLLJQ '����$#�������E��

��,���#������ #$�#�� ����$

EROFSE

SHOJ PF�JLLLJQL GTL�L�N

1������$# #$�#����$"������$#�������

UOVERVL GTL�LTN

W���'��XOFUOVERVJPF�JTJY#$���������$��"!������������$#�����������#��$������#����$���#��

�&���"�������# �

XIFUIIERIJ XKFUKKERKJ XZFUZZERZL

*�������#���#��$������#����$���#���&���"��#�UOOF�[\KO'G���%"���N'PF�JTJY#�������

$�!�#������������$��"!������+&����$�0%� #����!�&���#���"!���������$�$��%�������0%#�����

XG�N

\IF�

\KI

SE

SHIJ

XGTN

\KF�

\KK

SE

SHKJ

XGYN

\ZF�

\KZ

SE

SHZL

]�"!���&���'��,�����!�&���#���"!������������$#�����#$�

XG�NF�

\I

SE

SHIJ XGTNF

\K

SE

SHKJ XGYNF

\Z

SE

SHZL

1����$��%���#$����& #�������������$���#���&���"���$������#�#��UO F_��$PFa#��UOOF\KOJ

����PF�JTJYJ#�����$�P������%""��)

Page 177: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������

�� ��� �� �� ����������������� �������������� ����������� ���������� ������� ����� � ��

��!"����� � ����#���������������$���� ���%� �

�����&��'�( )�(�(*+

,��--����� ����#����� ��� �� �� �������� �����# -�������� . � �����)�$�$*+$�� ���������� ����/

��� ���� � � � �� �

��'"&0��

0!"1

23

45

6

�7(

8 ��������������� ����� �3���5���%������ � �%-����#9. ���� �$:; ���- #�*;� ������

��'�&0��

0!�1�<=

0)<=+

0!7�7

��'�&�<=

><=0��

0!�1��

0<=

0!�

?

��'�&�<=

0

0!�)<=��+(

)�(�(:+

@ABCDE@FGHIHGJ��������K L����� � � � ����������� ��� �� �� ���� ��������� � ����-

��������� �)MNONP+(QRSTU�RV W�� � ����-��������� �� ���

!X&MN !Y&ON !Z&P ���� =[\&] ��� _&` ���

=XX&aYX&�N =YY&a

YY&M

YN =ZZ&aYZ&M

Y���YO(

�� � � �#�������=[\��=&b=[\b&Mc���YO���

<=&MY���O(9# -������� � -�����)�$�$:+� d��

�����&�<=

e0

0!X)<=�X+1

0

0!Y)<=�Y+1

0

0!Z)<=�Z+

f

(

W�� �#����� ������-��# �� ������� g%������ ��# �

�����&�<=

e0

0M)<=�)�+

aX+10

0O)<=�)�+

aY+1

0

0P)<=�)*+

aZ+

f

(

h�%������ ��������

�)�+&�iN �)�+&�jN �)*+&�k

����� ������-��# �� ���;�� ��� �� �� ���� . � �� ��� ��� ����� ���#�l

�����&�

MY���O

e0

0M)MY���O�i+1

0

0O)MY���O

�jM+1

0

0P)MY���O

�kM���O

+

f

��

�����&�

MY0

0M)MY�i+1

M���O

0

0O)���O�j+1

M���O

0�k0P(

Page 178: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����

���� �������� ������ ��� �� ����������������� �

������ � !�" #$"�"%&

'�(��������� �������� � ���)���*

�+��,-

./�0/12

3/�2/10

4

�2��,-

./�+/10

3/�0/1+

4

�0��,-

./�2/1+

3/�+/12

4

"

#$"�"5&

6789:;6<=>?<=@����A B��� ������ � ������ ������� ������������������������ �

#CDEDF&"

GH��IJHKL '��������������� �M���*1+�CD 12�ED 10�FM� �-���N���OP�Q���

-++�R2+��D -22�R

22�C

2D -00�R20�C

2���2E"

��� ������ ��-����-�S-��S�CT���2EM� �

,-�C2���E"����� ����#$U�U5&�� ����V�� ����

����� ��W ������� ��� �� �������"��X�� ������� ����������������������� �

MM�� �V�� ����#$U�U5&�� ����� �����Y���������� �U���V�� ���� �Z�� �����*

�#�&

R+��,-

[/

/E#R0�#�&&3

/

/F#R2�#$&&

\

�#$&

R2��,-

[/

/F#R+�#�&&3

/

/C#R0�#�&&

\

�#�&

R0��,-

[/

/C#R2�#$&&3

/

/E#R+�#�&&

\

"

#$"�"�&

]����Y ��� � ����

�#�&��D �#$&��_D �#�&��D �#�&��D �#$&��_D �#�&��

���� ���Y���������� �a���X�� ������� ��� �� �������D���������������� �a

��(�����)��� �����*

� ��

C2���E

[/

/E#C���E� &3

/

/F#C�_&

\

�_��

C���E

[/

/F#�&3

/

/C#C���E� &

\

� ��

C

[/

/C#C�_&3

/

/E#�&

\

"

#$"�"b&

Page 179: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������

�� ����������������������������������

����� !�" !�#� !�" $"!�

%

� !&�

&'

(

"!

) #*)�)+$

,-���.��/�����-�����������.0�������10������2

����&

&'!

%

� !&�

&'

(

3� 4&�

&'

56

76

8

����&

&'!

%

� !&�

&'

(

3�9�

&9�

&'!� !&�

&'

�����9�

:9�&

&'!

%

� !&�

&'

(

3� !&�

&' &9�

&'!

;

�����9�

&

&'!

%9�� !&�

&'

(

)

#*)�)�<$

=������/��������.������>������ !�<���?@�6��.

�AA�B�AC ����B

��C �DD�B

�D

��.��#*E�E�<$>����-���.�.��.0������������

�����

BAB�BD

:&

&'A

%B�BDBA

&�

&'A

(

3&

&'�

%BABDB�

&�

&'�

(

3&

&'D

%BAB�BD

&�

&'D

(;

) #*)�)��$

����������������������F����.���������/�����F����������.������E

GHIJK�GLMNOPMQ��������R S��.��� �����������������������.������E

TU�VW�UX Y����Z��/������0���/���������������0��-�����>�[�.��� �����������������������.������

����������

�����

\����]

:&

&\

%

\����]&�

&\

(

3&

&]

%

���]&�

&]

(

3&

&

%�

���]

&�

&

(;

) #*)�)�*$

���������[����

����&��

&\�3*

\

&�

&\3�

\�&��

&]�3���]

\�&�

&]3

\�����]

&��

&�) #*)�)�_$

�������/���������������.����������������������������0�10������������������E

Page 180: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������ ������� �� ����� ���� ��

�� ������ ��

����� ����������������

������������

����

�������� �������������� �����������

��� �!"� ��#�$# �$��%�

%&�

�����"'(�� �#)�#$)��*$*�

���

%

%&*+���*, ��$��

%��%&�

��������-.�/�� ���0�����$� �������%��%&�

�12 �#)2$#)����

%

%&�

3�����%2

%&�

4%

%&�

3%2

%&�

4

���+����,�� ����#��$# ����#%��%&#

�����+����, �������$� �����%�#%&#

����1�� �����#��$#� �� �����#��$#� ���

%

%&#

3%��%&#

4

5����

67 ��#��7$# ��7$�

�5����

6��#8�*$*9$#

%1�*%&�%&*

��5����

60����

�#80�:;�;$:

9$#

%1��%&�%&�

<%1��%&�%&�

�!=/>��>-?��!@"?>@A���>B�>A>@?!?'�@AC

Page 181: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� �������������������� ��� !"�#$%&'!(!)�*&$%�+,-)"� !*!+*-"!"� !'&((&.-�/

0!)�&*"+�$")+(+*"12345(!)�*-)'&*)!0!)�&*6723849!.�&�:)&#(&,;

2<4=+/�!�-)'&*)!0!)�&*672<84>!;!*:,?

2@4A-"B(+)!,!��0!)�&*672@84)&#(&,;:,?

2C4D#E-(+*%,+/�!�-)'&*)!0!)�&*672C84+,B!*!:,

2F4G*!!)#**!��$!�"-�%672F84+,B!*!:,?

H4'*!!) +*/!$!�"-�%67H84)&#(&,;:,I

J !+;&0!K#+��-�-!"+*-"!-�� !*!B*!"!��+�-&�&'� !'&((&.-�/(+."1

L�M�N�O����� J -"(+."�+�!"� !(-�!-��!/*+(&'� !!(!)�*&,+/�!�-)'&*)!+*&#�$+(&&B-"B*&B&*�-&�+(

�&� !*+�!&'P#E&',+/�!�-)-�$#)�-&�� *&#/ � !(&&BQJ -"/-0!"*-"!�&� !R*"�!(!)�*&,+/�!�-)R!($

!K#+�-&�1

ST234UV2<

VW&* XYZ[3[\Z4U

V<Y

VW] _]�]�a

�bc�M������ J -"(+."�+�!"� !(-�!-��!/*+(&'� !,+/�!�-)'&*)!0!)�&*+*&#�$+)(&"!$(&&B-"

B*&B&*�-&�+(�&� !"#,&'� !)#**!��� *&#/ � !(&&B+�$� !*+�!&'P#E&'� !$-"B(+)!,!��0!)�&*

� *&#/ � !(&&BQJ -"B*&$#)!"� !"!)&�$!(!)�*&,+/�!�-)R!($!K#+�-&�1

ST2C42FdV2@

VW&* XYZ[C[\Z4F

YdV@Y

VW] _]�]��a

e���������f�M���g�M�g��O J -"(+."�+�!"� +�� !P#E&'� !!(!)�*-)'&*)!0!)�&*� *&#/ +)(&"!$

"#*'+)!-"B*&B&*�-&�+(�&� !�&�+() +*/!!�)(&"!$;%� !"#*'+)!QJ -"*!"#(�"-�� !� -*$!(!)�*&,+/�!�-)

R!($!K#+�-&�1

Sh2@4H &*�ij

V

VkYlij@Ym4H] _]�]��a

e���������f�M��n�����b J -"(+."�+�!"� !,+/�!�-)P#E� *&#/ +�%)(&"!$0&(#,!-"o!*&QJ -"

B*&$#)!"� !'&#*� !(!)�*&,+/�!�-)R!($!K#+�-&�1

Sh2<4p &*�ij

V

VkYlij<Ym4p] _]�]�qa

J !'&#*!(!)�*&,+/�!�-)R!($!K#+�-&�"+*!*!'!**!$�&+"=+E.!((r"!K#+�-&�"QJ !"!!K#+�-&�"+*-"!

-�� !"�#$%&'!(!)�*&$%�+,-)"+�$)+�;!*!B*!"!��!$-�&� !*'&*,"QJ !"!&� !*'&*,".-(($!B!�$#B&�

"#) � -�/"+"� !,+�!*-+(+""#,B�-&�"+�$#�-�"&',!+"#*!,!��"#"!$Q9&�!� +�� !�!�"&*!K#+�-&�"

_Q�Q�a� *&#/ _Q�Q�qa+*!*!B*!"!��+�-&�"&'=+E.!((r"!K#+�-&�"-�+'&*,. -) -"-�$!B!�$!��&'� !

)&&*$-�+�!"%"�!,) &"!�Q

��+BB(-)+�-&�"s� !�!�"&*K#+��-�-!",#"�;!!EB*!""!$-��!*,"&'� !-*B %"-)+()&,B&�!��"Q��+

/!�!*+(&*� &/&�+()#*0-(-�!+*)&&*$-�+�!"%"�!,.!.-(( +0!

jtt4u?t6 j??4u

??6 jII4u

?I6 +�$ jYZ4p '&* vw4x]

J -"B*&$#)!"� !*!"#(�ij4utu?uI]G#*� !*s-'.!*!B*!"!��� !B %"-)+()&,B&�!��"&'

@Y6<Y63Y6CY ;% @ va6<va63va6+�$C va

Page 182: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������� ���������������������������� �������������������������������

������������ � ������������� ������������������������������������� �������������������

���������������������� ������������� ��������������

!"!#!$

%&

&'#(!$)(�**+

&

&'$(!#)(�**

,

-+�

!"

&.(�*

&/

!"!#!$

%&

&'$(!")(�**+

&

&'"(!$)(�**

,

-+�

!#

&.(�*

&/

!"!#!$

%&

&'"(!#)(�**+

&

&'#(!")(�**

,

-+�

!$

&.(�*

&/

!"!#!$

%&

&'#(!$0(�**+

&

&'$(!#0(�**

,

-1(�*

!"2�

!"

&3(�*

&/

!"!#!$

%&

&'$(!"0(�**+

&

&'"(!$0(�**

,

-1(�*

!#2�

!#

&3(�*

&/

!"!#!$

%&

&'"(!#0(�**+

&

&'#(!"0(�**

,

-1(�*

!$2�

!$

&3(�*

&/

!"!#!$

%&

&'"

4

!"!#!$3(�*

!"

5

2&

&'#

4

!"!#!$3(�*

!#

5

2&

&'$

4

!"!#!$3(�*

!$

5,

-6

!"!#!$

%&

&'"

4

!"!#!$.(�*

!"

5

2&

&'#

4

!"!#!$.(�*

!#

5

2&

&'$

4

!"!#!$.(�*

!$

5,

-7

����������������� �����������8�� ��� � ��� ���������

9 �������������� �� � �������:��������������������������� � ������

Page 183: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������������

���������������

����������������

�������������

����

�������������

����

��������������

����

�����������������

�����������������

��������������� !"� �����������#$

���%�&

���%'&

���%(&

���%�&

���%'&

���%(&

���%�&

���%'&

���%(&

���%�&

���%'&

���%(&

���%�&

���%'&

���%(&

�����)�* �+�* �,* -)-+-,�

.�/0�(1�2��003#�4!�����#5����#���"��� �����#

6

����7���8����9�

��9������6���8�

6

�6%6�8&�

6

��9�7�����

6

����7���8��9�

��9�

��9������6�8�

��8�

6

�6%6�8&�

6

��9�7���

����

6

�6%6�9&�

6

��8�7������

6

�6%6�9&�

6

��8�7������

��������������� !"� �����������#$

�9�%�&

�8�%'&

���%(&

�9�%�&

�8�%'&

���%(&

�9�%�&

�8�%'&

���%(&

�9�%�&

�8�%'&

���%(&

�9�%�&

�8�%'&

���%(&

�����)6* �+7* �,* -)�* -+6* -,�:

.�/0�;1�2��003#�4!�����#��"<0�� ��"�0"��� �����#=

Page 184: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�����

������� �

���

�����

�����

�����

���� ��

���

���� �

��������

�����

������� �

���

�������

�����

�����

���� ����

���

���� �

�������

���

��

����� �

�����

������� �

�����

�����

��

����� �

�����

������� �

�����

�����

���� �!"#���$�%&'(�&$!��%$"$�%��)

�����

����*

����+

�����

����*

����+

�����

����*

����+

�����

����*

����+

�����

����*

����+

�$!,-��. ,���. ,/��. 0-��. 0���. 0/������

1"23�45"6 �337��8'"$�%���9!���("3(%%�&��"$��:

;<=>?@ABC>DA?E;<=>?@>FGHIDHJKLMM>GI<FN>?DHID

O%���&��$!��8'"$�%�

PQRSR�TSQ. U.V��.*.+. *W�W��

!���PQR�PRQ���XYY�$��(ZSQ"��$!�(%Y9%���$�%["#�($%�"�&T��"�("3"�:\�X�%�]��%�%3'$�%�

SQ%[�8'"$�%�*:�:�� ��("33�&"�����#�($%�%[$!�$���%�PQR"�&$!�"��%(�"$�&�("3"�T��("33�&"�

����#"3'�:_!���69"�&�&$!����8'"$�%��!"#�$!�[%�Y

P--�T S-� P-�S�� P-/S/��

P�-S-�P���T S�� P�/S/��

P/-S-� P/�S��P//�T S/��W

1!�(%�&�$�%�[%��8'"$�%�*:�:�� $%!"#�"�%�]��%�%3'$�%�SQ��$!"$$!�(!"�"($����$�(�8'"$�%�

�!%'3&2�]��%:1!���8'"$�%���[%'�&[�%Y$!�&�$��Y��"�$�8'"$�%�

T �

aaaaaa

P--�T P-� P-/P�- P���T P�/P/- P/� P//�T

aaaaaa��. *W�W*�

Page 185: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������������� �����������������������

������������ �� ������! �"#�#"��

�������!� ����������$������ ��%����&�����'�����

���())

� ��

"())(**�

"()*()*

���+)*,()�(* (,�#

�"#�#""�

-���()*� ��.��������������/���'���� ���������0�����1(23�()*4)24*30����

4)24*3�(23��523��1()*��5)* ��� ����(23��523�����61()*��5)*

7#

8����0�����/��$�'�� ��� ������������� ����������$������������������/���'���� ���������9

:�()*� ���'��� &�����������

;�����/��$�'�� ��()*��''�����'0���

;�����/��$����� ����� �����/���� �������/��$�'�� ��''�������/���'9

<=>>?@ A� �����������&� ���'�� �������������.�/���������������&����' ���/�$���������&9:�

�"9�9�B�� ��� %��0����'��'&�&������.�/���C)���������

C)()*C*��C)C)# �"#�#"D�

A����/������ �������� ���������� ��������������C)C)������ ���'9:������� �� ������'���

���� ��������������"9�9"D�� �' ����'9E�� ����������.�/�������� '������� �����������

C)()*C*�C)()*C*�C)(*)C*�C)()*C*#

E�� ������'&0���'������� ��������������"9�9"D�� ���'��������/��$�'������������ ������ ���

�������������'��������� 9

F ��������G�H����G H�������� �������/��$�'�� ��������������������/��$����� IJ����IJ

������������ 4)����4) !K��!"!L�� ����$�'&9-�������$�

()*4*���G�H4)� ��� ()*4* ��G H4) # �"#�#"M�

E�� ������������� �G�H4)�4) �()*4*�4) !

�G H4)�4) �4)�()*4* �4*�(*)4) #�"#�#"N�

��� ���������� ��������� 9-�%������

O�G�H��G HP4)�4) ��# �"#�#"��

Q&�&���� � 0�G�H� ��R����������G H������ ������'&��������������4)�4) �� ���S���9A��������0

�����/��$����� ����� �����/���� �������/��$�'�� ��������/���'9

Page 186: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������� ���� ��� ��� ��������������������� ��������� �������� ��

������ �!�"!# �$�"$# �%�"%

�� ���&'���� �(�)������������������ ���������� ��*

�+ �( �,(+ �� �- -( �,�(. /�.�.��0

������ �������� �� ��* ����� ���

1�- -!���!� �! 1�- -$���$� �$ 1�- -%���%� �%

����2���� �� ��������3� ���

1�- -( ���(� �(� )�����45� &�� �&&��6

7������ �� �����& ���

8�� �-8- �� 8( � (-8-

�������'���� �� �����9������� �-�� ������� �����������& ���������� ����1�-.����

����� �����& �������� �� �- ��*�3� ���/�6�6��06:��� �����& ������������ ������

�����& ���6;� �����8������� �* �&������'�����'�9�������

1(+�1�-<8�

<8(<8-

<8+�1�- �( -+���+� �+ �( ���+�,(+ /���&��=06 /�.�.�>0

����3� ������ � �� ��2����������� �* �& ������ ����&'����

?1(+@�

A

B��!� C CC ��$� CC C ��%�

D

E.

�� ������ ��'�����'�9� �� ������&'���� 1�-�� �����&�� � ����&'���� 1�-�����

1�-�C����F�G.������&�� 1���������� �&&�����'���� ������������� �� �����& ���

/�.�.�H0.

Page 187: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������

� � ������������������������������ ��!"#"�������$���!�%��������&"'

� ������������������������������ ��!()#()�������$����*()'

� + ������������������������������&��()#()�������$���,��()'

� - ������������������������������&��"#"�������$��./"'

� 0 ��1!������������������2���3� ��!"#"�2���3�$���!�%��������&"'

� 4 ��1!������������������2���3� ��!()#()�2���3�$����*()'

� 5 ��1!������������������2���3�&��()#()�2���3�$���,��()'

� 6 ��1!������������������2���3�&��"#"�2���3�$��./"'

� 78��(�#9:;<=>:;/=�:;?�������!�1�������*������&�*����@��1�����9�>�����A�������������������B

8���#C(�C�������!����������&�!��1����&��D�!����%��BE��������D��&(�����F

�G� %������ �H� %�����I� �J� %�����

�� �K� %�������� �L� %����3�

!���3#3���������@������&,�������&�'

� �M8��(�#9:;<=>:;/=�:;?�������!�1�������*������&�*����@��1�����9�>�����A�������������������B

8���#C(�C�������!����������&�!��1����&��D�!����%��BE���F

�G� ��*�(�� �H� ��*��I(�� �J� ��*��N?(�� �K� ��*�3(��

!���3#3���������@������&,���������'

� �� 8��(�# 9:;<=>:;/=�:;?�������!�1�������*������&�*����@��1�����9�>�����A��������

�����������B8���#C(�C�������!����������&�!��1����&��D�!����%��BE���F�G� �,��(� �H� �,���3(��

!���3#3���������@������&,�������&�'

� �OP1��������D1��&��!���1�����������&���,����,��()�'

� �+Q!� �!���!��,���&�!�%���������R�����%�������R�������������B

� �-S�����,��!�1!��������D1���������������� ��!�!�%��������&3#3�9<�9/�9?�'

� �0Q!� �!��

TUI)UVI #�WT

X

X9UYWTTUI)I

Z#)UVU#

�WT

X

X9UYWT)UZ'

Page 188: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

� ������� � ��������������������������������� � �����!� �"������ �#�����!��

� �$� %&'��(���)*+�,��&*�)-./����0.1/�0/1.�2 324��252�6��0���20�5�20������*�(�

7(8)&����*97*���)*:0�20�20;�����-�34����*�(�7(8)&����*97*���)�))*�&���<&(-./6=))�9�

(��**+�&���)8)�9���2��2�;�&)*+(*>*���<&(9�+&��*�?�&��)@A.BA.B�C�.23��252����@./�D

:*+3E�46

���F&���G7+�))&*�):*+(�7(8)&����*97*���)-����2-�55����-����&��+9)*:(�7(8)&����*97*H

���)0�3�23��252�6=�)<�+I-�33���

C.

JK�3�

J�.�L

/MN.

K�4�

C.C/

JC.J�/

�*)�9*�&O

�P�F&���G7+�))&*�):*+(�7(8)&����*97*���)-��5�2-�������-�5��&��+9)*:(�7(8)&����*97*H

���)0�3�23��252�6=�)<�+I-�34���

5

QC.C/

J

J�/

RK�3�

C.

S

�C/C.

J

J�.

RK�4�

C/

ST

� �U�V+&�*�(���)*+�,��&*�)&�7+*P��9�W&�X�+�)&���**+�&���)O

� �Y�V+&�*�(���)*+�,��&*�)&�7+*P��9�W&��8�&��+&����**+�&���)O

� Z[�V+&�*�(���)*+�,��&*�)&�7+*P��9�W&�)7(�+&����**+�&���)O

� Z��\G7+�))(�'��*+�,��&*��]�5��_`5�a b� c� D&���)*+:*+9O

� ZZ� V+&�*�(��,��&*�)&�7+*P��95�:*+�>���+��&d��*+(*>*����**+�&���)8)�9&��+9)*:

7(8)&����*97*���)O

� Ze�V+&�*�(��,��&*�)&�7+*P��955:*+�8�&��+&����**+�&���)O

� Zf�V+&�*�(��,��&*�)&�7+*P��955:*+)7(�+&����**+�&���)O

� Zg�h)��,��&*��5O�Oi�*+�7+�)��(��&'�+>����&�7�+�P*�&��8�&��+&����**+�&���)�j2k2��O

� Z��h)��,��&*��5O�Oi�*+�7+�)��(��&'�+>����&�7�+�P*�&��**+�&���)�j2k2l�O

� Z$�h)��,��&*��5O�Oi�*+�7+�)��(��&'�+>����&����&7&��8�&��+&����**+�&���)�j2k2��O

X(��>�(�>&'���,��&*�):+*9�'��*+�*�&*�*���)*+�*�&*�O

�5�6 m� 0�� n���� 0� n

�5o6#

#pq n�� ma r�s�

# n

#p�� ma r�� n��

# m

#pa r�� n�� ma

# r

#p�

��D6# 0

#p�J 0

Jp�� 0��� 0

���6�

"

J t

Jp� ��+� u

��56# m

#p`� m��� 0� m��� 0�� D

Page 189: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������������� ��������������������������������

���� ����������� !

���� "�����#�#����� !

��$�%&

%'�(&)�*+, !

��-� &(%)�%'�).

%)�%/.

* 0%1

%/��2

%3)�%/.%/.

���

� 4567����������������������������8������������8�9��8:;<��

==

>

(?.?.@��0?�?�*AB

C����AB����D�������������D� D���������������<��+,+E �+F���������D�DD ����8�

��9� ��F��G���8���C��<��

HII3JK

L 0I3MJ3K3

0I3MJ3K3 I

I3JLK

N

O� ��F��G�P�������������������D�

� 4Q6R������� D�����S��:D���T��8�������U���9� ��F��G���� �������D�V��:����8

�;���������8�����

(�*W��C�����:����8�;���������8����

<II

H<II�<33F

N

H<II0<33F

N

���FV�<I3��FV

<I3 <3I 0

H<II0<33F

N

��FV�<I3���FV

<33

H<II�<33F

N

0

H<II0<33F

N

���FV0<I3��FV

(:*O��C����D ���VCDD<II�������U� ���D �X

(�*W��C��C���<II����U� �YC�CDD����<33���� ���8<I3 <3I !�

Page 190: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ����������

� ������ � ����������� �� ������ ����������������� �� ���������� !�����"���� !��#$�%

&'� ����� ����()*��+*�,-��".)*,,+/*�,-������������"�����0������

&1����������(.��"������������� ���2��������������������������*�3��4� ����� ���2

������� �"������

)*��5*,,

+6-

&7�������������"��� �������������������������� ���2��"����"��� ���(.��"�� �����

��"�����

89

:;*��/*,,

<,5*,�,

&4� ����#�3�#�#��"#���#�#������ �* ������������� ��������"�������������������*�3��

4� �����*=>?9*��9*��5*,,

58 *=@A9*,,9*��5*,,

/8B

� CD�4� �"������ ������������������ ����� ##�����#����3*@E9

;*�� *�,*,� *,,

<

���F�9*=>?��"

F,9*=@A�����*=>?��"*=@A������������ !��#$G

� CH����"�������������3����"# #���� ��������� ��������������������� !��#$I��"��##���J�

����������� #�� !��#�$IK$�K$GK��"L6

� CM�N���� � � ��� � ���� �"��������������� ��

OPQR(

STUVW@X9

YZ

[\�

VW@XE[

]�],]Y]W@X

)]W[X()_--

^E

PQR(9�

]�],]Y

aaaaaa

]�Ub� ],Ub, ]YUbYcc?d

cc?e

cc?f

]�()�- ],()- ]Y()$-

aaaaaaB

� C��N���� � � ��� � ���� �"��������������� �

OPQ)PQR(-

STUVW@X9

YZ

=\�

VW@XEgVgh=]W@X

]�],]Y

^

^E

i],WgX

]�],]Y

)]W=X()j--

^h

k

�7����������� � ��)��$���G��-l��#���������������

Page 191: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

� ����������� �������������� �� ������ ���������

����� !"#

$ !"

%

%& !"

'�

$($)$*

+%,$)$*�,�--

%&(.%,$($*�,/--

%&).%,$($)�,0--

%&*

12

� �3����� ������ ��

�,����-�4

���5 !"#

*6

78(

�,9-

$ 7"

%4,:-

%&7.6

7;8!

4,9-

$7$ !"

<

�,:-%$ !"

%&7=�,9-

%$7%& !"

>

� �?�@��A�B���C������� �����D�E� ��FFF

G

<%H(

%&.%H)

%I.%H*

%J

>

KL#

FF

M

NO(H

(.O)H).O*H

*PKQ

E����R� ��C��BD�E ����DS���������B����TUV��� ����BD�� �� H!#H!,&WIWJ-���

��� �B�B�B�� ���E ���� �B�B�X�� ��������C� C�� ���B���B R���O!��� ������ ��������

� ���B E������D�� �TWKL������D�� �C��BD����KQ������D�� ��B��������U

,�-Y��E �� ��Z�� ����������� ���� �D

H![!#%H(

%&.%H)

%I.%H*

%J

��� �� �� �������D� �� �����D�

FFF

G

H![!KL#

FF

M

H!O!KQ\

,]-^� � ��C�� ����D� �� �����DU

,�-Y��E �� E���X��

_ #%_

%&W a#

%a

%&��� H #bcH

c #_a

���H![!#b!cH![c #b

!c,_a![c._ca!-

,�-Y��E �� ��� �����D� ��A�B���C������� �����D�FFF

G

b!c_ca!KL#

FF

M

_acOcKQ=

FFF

G

_b!ca![cKL

^� ��B ���]�C��dB� ���Z�� ����������� ��U

� �e�f�� ������C��B���������C�� ��������� ��E � ��D� �g�#

h

i� � /� / �/ � �

j

k\

Y��E �� ������C�� �������� �������U

� �l�f�� ������C��B���������C�� ��������� ��E � ��D� �g�#

h

i� / �/ � m� m �

j

k\

Y��E �� ������C�� �������� �������U

� �n�f�� ������C��B���������C�� ��������� ��E � ��D� �g�#

h

i� � m� � �m � �

j

k\

Y��E �� ������C�� �������� �������U

� 3o�@�����D������]���D���B�� �����S� �� ��B�� ������B�� ��D� ��D� ���D������

�D���S������S��]��D�Up�����B ���q�S����r��dB� ���)s#m�����������D���B�� �����

������B ��� ��]���D����dB� ���ts#m��������]���D���B�� ��U

,�-ugS��� ��q�S�����dB� ���Z�� ����v�������������S������������� ��U

,]-ugS��� ��]���D����dB� ��� E��D�������Z�� �������S����������� ��U

V� wZ�������ts#�),�)s-Ux�Z�� ����������� ���)s#s[!!����ts#s[!!yyU

Page 192: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������

������������������������������������������ �����!����������"�����#$������������������

�������!��� ��������! �����!�%��������������������������������� �����!��#&���������!������

�������������������������'����! �������������������������"!�������#

()*+,-./01/2/3+

&�����4��������� �����!����������!�5��������������������������"��"���� ����������6�������

78978:;<= >9�=???=@ :A?A?�<

�����;������� ��������#B����������������������������"�����������"�����������������������

��������������

78978:7C=7D=???=7E<= >9�=???=@

����������4����������� �����!������"��������������������������

78978:7C:;<=7D:;<=???=7E:;<<= >9�=???=@? :A?A?A<

&��������!�5��'�!���������� �����!��������"���������������F���"�

G89H78

H;= >9�=???=@? :A?A?I<

$�����������!���J�������������������������������6�������:A#A#A<������'������������'�!�������

���"�������������

GK9H7K

H;9L7K

L7MH7M

H;9L7K

L7MGM= N9�=???=@? :A?A?O<

P����6����!�%���������!�5��'�!�����G8���F��������������'������������#&��� �������� �����!���

�"���������������������������'�!����������

GD9Q8MG8GM?

&��������!�5������!�������R8����� �����!�����F���������������������'���'������������!�5��'�!�����#

&��������!�5������!�����������������

R89SG8

S;9G8TU

H7U

H;9HG8

H;V

W>

XY

Z

G[GU9HD78

H;DV

W>

XY

ZH7[

H;

H7U

H;:A?A?\<

������������������������!���������

RD9Q8MR8RM?

Page 193: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� �� �� ������ ��� ���������� ��� �����

�������������� �!"#$%

�&������������'����� ()���*��(������������ ����� �����+��(����,��&��-��� �����&�.����

���/�/�(&����. ������&��� ���-�&�������&�-����/� ����&��� ��� ��������(0

123� ���� �� ������������&��� ��4

523� �� ����������������&��� ��4

623� ���� ����������������&��� ��4

�&�(�������(��. ��&��(������ �� ������ ������-7� ���� �(����(������� �&�.�������

8 �&��� �����+�������� ���(�&������ ��&('������(

9:;3<2=9>29>=4

?�. �123@AB

@C �(�&��� �� ����������&������������������. ���7�'����� )���*�&�(�������(�

� ���� �� ������������(��-/�/�����&������ ��-����� ��&('������ �&�-���

�3<2=9>2

9:

9>=

9:3<2=1

21=D )�4�4E*

/������ �&��� �����+������������-��124�&�(�� �����+������������������(�&���&��� �� �������

�(�� ��������?�F��� ����� ��&��'����� )��E*� ��� (�����7/��&��(����������� ��&:��� ��&������

�������(

<GHI1G

I:1HJ<GH1

GI1H

I:3KD

/&��&(�����.�(��

<GH1HI1

G

I:3K4 )�4�4L*

Page 194: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ��������������������������

�� ��������������������������������

������ �!�� ��

"#$�

%

&�#

&'�� "#$

%

&�#&'( ������

)����%������������� ������������ �������������������� ��*"#���+�������,�����

�*�����������-$ ./()��������� ���� ���*���������������������*����������0���

)��������������*����������������������������������������*�������*������������

������������������

��������� ���������1��2,����� ���*���

3#4�#"4$5� ������

��6��������� �������*������ ������)����,�������������',�� ����

3#4�#&"

4

&'73#4

&�#

&'"4$5

��

3#4�#&"

4

&'$83#4

&�#

&'"4$8%3#4"

#"4$8%� �����5�

����������0� �,�� �����1�)���

3#4�#�4$�(

�� ����������+)�����2,���������� �����5����*���

3#4�#&"

4

&'$8%3#4�

#�4 �� 3#4�#

9&"4

&'7%�4

:

$5� �������

;���������+<�������&"4

&'7%�4 �������

������������#�=�������������<)���������������3#4"#"4$��� >��������������+

)����,�������������'����)��

3#4"#&"

4

&'$5�

����������1��2,����� ���*���

3#4"#

9&"4

&'7%�4

:

$5�

���*����*���������,��������������,������ ������� ������������������������

��������"#�?� �!������1�������������

@#$�

A

9&"#

&'7%�#

:

�� @#$�

A

9&"#&'7%�#

:

�����B�

)����A������������� �������������������������������1���������������������

����������������������*�������*����������,������ ����������+<�������A���������

Page 195: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������������� ��������������������������� ���������������� ���������� ���

������������� �!���"��� ������� ��������

���#�$%�$�%&

'����(��������������������� ���"������� ����� ������)��*��

+��

+)�#�$%

,

�$+�%+)-+�$+)�%

.

�#�$%/�$0��%12�%3-2�$�%4

��#�$%�$�%�1�#�%$�%�$�1��

�&

0 & &�53

����������0 � �63�0 � ��!3���0 � ��53�������77��8�����������

+��

+)�2��

+��

+)����12��

+��

+)�1���&

0 & &�93

�����:��������;��������<�����=>��������7������(����������7���"�

?@ABCDEFGHIJCC@A@KGEDBH

L��������(���������������������8������ �"�M���N���������7

O��PQ�

PR�PQ�

P)

P)

PR���O� 0 & &�S3

�����O�TUTV���������������� ��������7���������O

�&����� �������������������� ���

��������W� ���" ����������7�R&����:�����0 � ��S3�����7���������� ������������ �"���

���� ������"������� ����������������� �������� ����������������O�

X" ��������(��������������������8��� ���������M���N���������7

YZ�+OZ

+R�PO

PR�Z-O

+�Z

+R

�PO

PR�Z-O

+�Z

+)

P)

PR

�PO

PR�Z-2O[�Z&

0 & &�\3

����:�����0 � ��\3������������ ��������������� ������������<�����������:�����0 � ��\3

�� ������������������� �7������������ ��������T]TV�����������7�� �7������������ ��=

������2O[&

Page 196: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������ ������

������ �������������������������� �!��� ���"���!��#����$�"�%����%&'�($�� ��)*+*+�,+

-!��!��./%��������������������������"�����) �������� ���$� ��������$�������,0� ������$���

������� �!�+1�0���2������%!�0����� ���������&��3������% ��������

./4�5/ �� ./4�5/6 )*6*6�7,

8��0��9%���: ���" �#����� �!�������� ��;<����� ��;=�!��#��$�"�>/4>/)?,@A4�@*@BC

0 �����������?@ �����������%&'��$���� ����������#��� �!������������������������ �#�!��#���

������% �%����%�����! �� ���#��!

: 4

DEF

EG

./H>/

HIHI4

DEF

EG

./H>/4

DJF

JG

./H>/

H?H?4

DJF

JG

./K/H? )*6*6��,

0����./4L/M.M ������"�� �����������������"�����C? ����� �������������%I ����!��#���!��#

����$�"�+

N��O��P��P�Q�O�RO

S���������"����� �������"�� "� ������������������ �%�� "�&!���������!�������� �!�$��� ��

T4T)>=@>U@666@>V, �$������ ./4WTX/4WYT

Y>/@ A4�@666@Z6 )*6*6*[,

S��� ���������($�� ��)*+*+��,���&� ���#����%��%0���%������0 �� ����%% � "���������0�0 !!

��"�T4W:68�������� �!�$��� ��T ���!!�%��������� �!����#'��������� �!���%���0��9%���

&�������������#� ������� �!����#'&��0����������� �#��%��%�� �����% � �%����%������������

������� �#����� ���+

\�������]O� _����O� a����

8��9 ��� �����#'b��������� �!� �%����%�������!��������� ������"�!�� �'�($���%��%���

&��3������% ���'����������

b4�

*�

cHI

H?

dU4�

*�KU4

*�LefK

eKf4�

*�Lefg>

eg>f@ )*6*6*�,

0�������%������� ��%������% h����� �� ��0 ������������ ��+S� ������'�3��� ������!�$!������

%�� "�� "��Yb

Yg>/4�L/eg>

e

H

H?

cYb

Yg>/

d

4�

i

L/ej>ek

YL/eY>f

g>fg>el

Yb

Y>/4�

*�YLefY>/

g>eg>f@

)*6*6**,

��%�����&'"�� �'�����!�� ��

H

H?

cYb

Yg>/

d

WYb

Y>/4�5/4./@ A4�@666@Z6 )*6*6*B,

Page 197: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ������������� ������������������ �������� �

���������� !�"�#$%&'()*(+,(&'()')*-./0'1%21((03')%&/*4 5� ������� ����������

�������� �������� � �6������������ ����

7(2$&'()8 ���9:;<=9>;?=9@;A��� �������� ������� ��������� �6������������ �����

�������

BC>;DB<E>F<>DB?E>F<>�� >?DBAE>G

�������� ������� ��������� H�������� ��������I� ����� ���J�5���K�6��L

M;�

�N

OBC

BP

Q>;�

�NRDS<E>F<>DS?E>F<>�� >?DSAE>

TG

������ ���������������� �������� ��6���������� �������������� �D�����UE ���

���������H�V

NW:;X:;B

BP

OYM

YS<

Q

ZYM

Y<;N

R[<Z<DS?E>Z<�� >?DSAE>

T

NW>;X>;B

BP

OYM

YS?

Q

ZYM

Y?;N

\B

BP

]<>S?^Z<>�� ?���?DSAE>

_

NW@;X@;B

BP

OYM

YSA

Q

ZYM

YA;N

\B

BP

]<>�� >?SA

_

G

�������6�J�������6� � ��a��b�

Xc;NR[<Z<DS?E>Z<�� >?DSAE>

T

Xd;N

<

\B

BP

]<>S?^Z<>�� ?���?DSAE>

_

Xe;N

<�� ?

\B

BP

]<>�� >?SA

_

G

�$2/0 �%f0%)f/�#$%&'()*(+�(&'()

g���� �a��������� ������������������ �������� ��������� D�����UELa��������

����K��� ������Xh������bH������6��� ���� ���� i��6���j��HJ�������� D�����kE������L

a���������J�������� ���b��b� ��K6������������ �������� � �������

B

BP

OYM

YS9h

Q

ZYM

Y9h;Z

Yi

Y9h;Xh= l;�=GGG=m D�G�G�nE

������ �� ����j ��HJ��������

o;MZi;MD9:=GGG=9p=S9:=GGG=S9pEZiD9:=GGG=9pE;oD9q=S9qEG D�G�G�rE

s�6��J� ������j � ������ D�����rEL���������Jb���j������������� �������� ���K6�����H��

� �������B

BP

OYo

YS9h

Q

ZYo

Y9h;k= l;�=GGG=m= D�G�G�tE

a��������������s���u��� ����������������� �������� �

Page 198: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ��������������

����������������� !" #!!"$%$%&"�' ��()�*��+�,��-(-. -��-(.-��*��� ��������������

�������,��)�(�*�/�����

�0!#&�012 3*���4�(����� *,�-(��-(�)�����-..���)- 5�,�6789���,��� �)�*,�

67:6;<=<,>-(��,(�8

3*�?�(���>�(����-.�*������ ��

@<�

AB7:B;CD6

;78

E��67�(>��,��F�,(, -�(�G67,()�*-H�*�H-�?)-(�F���,4���>,(F��I������),�

GJ <B7KG67:B;KG6;

GJ <B7KG67LB;KG67

GJ <AB7LB;CKG67<M7G678

N���M7<AB7LB;CK���*��I���(,�.-�>�,>��(�-(�*������ H*���K���*�,>>����,��-(-.��,4���3*�

E,��,(���+�,��-(-. -��-(��G

GO

PQ@

QD67

R

LQ@

Q67<M7

-�

AB7:B;CS67<AB7LB;CK8

9(���,�>-()���-(� ���F�,�����)�-67,()D67F�.-���*���+�,��-(>,(F��-�4�)

Page 199: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ��������������� ��������� !��"�"#$"��"�#"%���&��� ' $()(��$�'' (*

�%!��������+, %�-.-*/.

�0��1�0�2 3�""(����!�,'�4�'' (�%!��������+, %�-.-*/!(���,���%!'�5��6""%���!��.7#���&��� ' $

�($"8��#%"$!8�%��6!'&"(���"���%" ,�!�!�,'�49:�";(�%8���!����$!((< $"8�( &!��(�!�6�

=>?@?6"(4AB��:"%C�"����$"8��,���($!((!8�%��6!'��(�!�6�=�(

D >@<E=>@<E?F�@6"(4GH

(��6����#"%6��(@<E�����(6""%���!��()(��$.7�$"8��,���&��� ' $��%" ,�!�!�,'�49���!%6'��,��

I(:�&�" �;)���$!((<�(I>?4AB��(�$&'��(��!����C�����6���%,)6!�;��J&%�((��

K>�

-<

LMI

MN

OP>�

-<Q?R4SP>�

-<?PFR4GPA

��, %�-.-*/T�$&'�&��� ' $()(��$

B��U!,%!�,�!�"#���()(��$�(

V>K@W>�

-<?PFR4GP@<E?F�@6"(4G

!��#%"$���(:�+������� !��"�"#$"��"�

M

MN

LXV

XR4

O

@XV

X4>Y "%

M

MN

Q<?PR4

S@<E?F@(��4G>YA

B��(��� %�(�$&'�+�(�"����� !��"�

Z4[E

?(��4>YA

B��(�� !��"��",����%:���!(��"#�����!'6"�����"�(#"%4!��R4%�&%�(���(����"�'���!%��\�%����!'�� !��"�

:��6���(6%�;�(���$"��"�"#!&��� ' $:���" ��!$&��,.

Page 200: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ����������������� ��������� !��"�#"$%"��"�$"&���'"%(" ��(��� ) %

�)) #�&!��������*+ &�,-,./-

0���12��3 4�""#�$"&���+���&!)�5��'""&���!��#���!�+)�#67897!��6:89:�)) #�&!��������*+ &�

,-,./-;"*�����("�����!)$ �'��"�<$"&���##=#��%>�'"�#���&���>"&?�"��!#���%!##�#@7!��

@:!&�%"A��-4"�#���&����(������%"��"�#"$���!�+)�#97!��9:BC%!+������'"%(" ��(��� ) %

�����!))=�����A�&��'!)("#���"�!#�)) #�&!��������*+ &�,-,./D!E-F">)��@7G���#()!'��� ��"!'�!�+�

��97!��"G�!�����*+ &�,-,./DGE-;��>"&?�"���"!'���A����#("#���"��#

H78ID@7J@:EKL78ID@7J@:EKM7D�I'"#97EB

N�!&���+$&"%���("#���"���*+ &�,-,./DGE>��">)��9: ���&+"!��#()!'�%���!��!'���A����'"�*+ .

&!��"������*+ &�,-,./D'E-

��+ &�,-,./4"%(" ��(��� ) %

;��>"&?�"��� ��"�����#()!'�%���9:'!�G�&�(&�#�����

H:8I@:KL:8I@:KM:D�I'"#9:EB

N��'����("�����!)���&+=<#!��#*�#<8IH �">�����!�!�����A�'"�#�!��O>�'!�>&���

<8IH 8IH7IH:8ID@7J@:EKM7'"#97I@:KM:'"#9:JPQRSTURTV

>��&����'"�#�!����&%�����("�����!)���&+=�!#G�����+)�'���#��'����"�#�"�'"��&�G ��!�=����+�"

����� !��"�#"$%"��"�-D�-�-�����&�A!��A�"$!'"�#�!���#5�&"-E

;��?�����'���&+=��&%$"&���##=#��%'!�G�&�(&�#�����

W8�

,@7

XYS7YT

Z:J�

,@:

XYS:YT

Z:

W8�

,@7D[6

:7J[\

:7EJ

,@:D[6

::J[\

::EV

D,B,B,]E

Page 201: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� �������������

������ �������������������������������������

���������������������������� ��� ����!����"�#$%&'(����'���)����*'��������%�%��������*'�����

��%�%�+�������!#��$��)!���'������,����������)$�-!�������

. �

�� � ���

�/��� ����

/�/�������������

� ��

��/���� ��������

0�����)���1�)���)������ .�23����*'������������(��)�����������������!�'��!���'#'�

����(�������������1�)���)����*'������

4

45

67�

7/�

8

�7�

7� 9 ���

4

45

67�

7/��

8

�7�

7�� 9�

:�#�'#����)�����������$����"���"��3�'(����'���)�����������1�)���)����*'���������������������

���!#��$��)������"�����*'��������������

�;�� �

� ���;������������

� � �

���/��������������<���� 9

�;�������������;�����/�������������<����� 9�

=�����*'�����������������'!#��3��������������#������������$��>�������#�*'������%=�����*'������

����'(?�����������#����������(���)��!����'!�������)'#�����!#���������������������)'#��

"�#��������/�/����

@ABCDEFBGHCICDGHFBGJEJKLFMDFEMCNOPQRFBGJEOJKSJBGJE

1��T�������)�"���'�"���!�������������!�������������

�U �U�5� V ����W 5XY5Y5

���#��ZXZ���������!������������'�"�������!�����)�����!��������"�#'��5X���5���!����"�#$%

1��T��������������'�"�������#��!���������')�������!�����ZX���Z���##'������������[)'��

�%�\]%

=���'�"�T����!�������������!�������������

�U �U�5� �U�5�� _U�5� V ����W 5XY5Y5

����������!����������������!���������������'������_U�5��'��������$����������������

_U�5X� 9 ��� _U�5� 9 V ����W

���������'�"�T�����'�����!�������')�������!�����ZX���Z�

:����������#�������)��#

a��

bcd

ce

��5�U� _U/�U� /_U�45 �����f9�

Page 202: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������� ���������������������

�����

�������� !"#!$"#%

�����&��������������������������������'(���)���*�������+,(�������������-���.������/��.0

�������������������������������1�2%�������3���-�-���������2��4���5678�����������1�2%���

�-���-�-���������2��4�����8������������������������������9�����2����.�4�����������������

����������:1�2%

:2

;;;;<=>

�?'

@-9��0��������/������:1

:2

;;;;<=>

���-<A>

1�2%�1�?%

2�1B�?%�?

���39������&������������*�������C?%����������.������9����2�?'D�.�������������39������

�� !"#E2F#!$"#E2$F#%��� !"#!$"#%E2

GH�

H"#F#E

H�

H$"#$F#I

E2JKLEMMM

�����*�������C?%������������������������

1B�?%���-<A>

1�2%�1�?%

2���-<A>

NOP

OQ

GH�

H"#F#� %E

H�

H$"#$F#� %

I

: E2KLEMMM�?!

�������������������������������9������82�����2���99��������4���R���0����8�����*������

��8��-������������������1����-���-�-�������2�?9����������������������

S1�

NOP

OQ

GH�

H"#F#� %E

H�

H$"#$F#� %

I

: �? �''C�%

Page 203: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������� ����� ���������������������� ��������������

���

���

��

!

"#$#%&'

( !

)"#$#*&+

,��

��

-

���

��

%

%&

. !

)"#

/

$#*&+%&�01 *212132+

4��������������$#*&+��5����������������67�����*2232+8�����������������������

���� ���

���

���

��

$#*&+

( !

"#-%

%&

. !

)"#

/,

%&�09 *212133+

������7���67��:���������$#*&+1;����$#*&+�����������<����������������� ������67�����*2233+���

��:���������$#*&+������������������������5�����8�����4������7���������7������������� ���

�����=� ��� ��������>����7��������?7���@=� ��� ��67������

%

%&

. !

)"#

/

- !

"#�09 A��91119B *21213C+

����������4��������������������������������� ����*D+����8�������7�8��7�

�� ������<����������� ������������

��

���

��

E*&9"#9)"#+%& *21213F+

������>����7� 8��7�������7�8�G������"#� "#*&+9A� �91119B �����������?7���@=� ��� �

�67������%

%&

. E

)"#

/

- E

"#�09 A��91119B1 *21213H+

4�����8����8���������������������*223H+����E�!1I�����������67���������������67������

*223C+���J7�������������������67������*222C+I�����������

�K

�&��

�&

.�

2LM#NO

#ON/

�LM#NO#PN�LP#O

#�LP#)"#

���������7��������������Q#�����8�������������������7������R<����LP#�Q#�- R

"#<��

�����K

�&�LP#)"

#�Q#)"#�-

R

"#)"#�-

�R

�&���

�&*K'R+�0��K'R�S��������������������� �

�������������������

TUVWXYZYV[\]_

4���67��������������*223C+��*222C+����������������������� ��������������������

����@���������

%a�2L*S-R+MNb%"N%"b

�����R���������������7�������������������������K'R�S��������� ��������������������

4������ �����% ���� ��7�8�c����������������de��da������������������� �������

f�g2L

�hi

h�

j

*S-R+MNb%"N

%k

%"b

%k

lema

%k

Page 204: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������������� ����������������� ������������������������������������������

� �������� ���������������������������������������������� ������� ������� ����

!�����"������������������� ��� � �������� ���������������

#$%&'

(

)*+,-./012/

1�

120

1�

3�4�

���5 ����)&�&�67-�8��������������920$:;<

:= �� �����

>#

>92?$&'

#)*+,-.?092

0

>#

>2?$&'

&#)*+,-

>./0>2?92/920+

&'

&#

>,

>2?./092

/920@

����5 ����)&�&�67-���������������������� ���A������������ ������

1

1B

C&'

#)*+,-.?092

0

D

+&'

&#)*+,-

>./0>2?92/920E

&'

#

>,

>2?./092

/920$F@

G����������������������B�����:H:=$IJKI

�LMNOP�� ����������A���������������� �� ��

����������5 ����

'1

1B

Q

.?0120

1B

R

+'

&

>./0>2?12/

1B

120

1BE>,

>2?$F

��������������5 ������)&�&�&S-�)����T���������5 �����)&�&�&&-�-

UVWXYZ[\] _ZZab]aVc]dZ]W

e�� �����������5 ��������������������������������������� ���������������������

�����f�������������������������������������������������������������������� ����

� ��������������������������������������������5 ���������������������������g������

������������������������

g���������������h�������������������� ����������i?jk$�j&j6l�� �����m���� ��

��������������������������e��n,LoP����������������������p������������������'LoP��

�������2LoP? lk$�j&j6����������������������������m�f���� ���������������������� ��

������������������������������������������������������������������������l�����������

�������������� ��������������������������������������������������������������������

��� ��������������

n,LoP$niqnrLoP �� ,LoP? $s?/0i/2

LoP0 @ )&@&@6t-

��������������������������� ����������������������� � �������������������������

������� �����������

u$�

&

vw

ox�

'LoP,LoP? ,

LoP? $

&

vw

ox�

'LoPs?/0i/2LoP0 s?JyiJ2

LoPy @ )&@&@6z-

Page 205: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ����� ������ ����������������� ������� ����� ����

!"

#$

%&'

()%*

+,-,-.

)%*/ .

)%*/ �,0,/.

)%*/ .

)%*0

12

3 � �� � ������ ��������������� �������� ������

456!

#$

%&'

()%*

+.)%*/ .

)%*/ �56�.

)%*5 .

)%*6

1��2�2�7�

��8��� �� 9� ��� ����� ����

!"

�456,5,62 ��2�2:��

;��������<�� �������� ������� ���� ���������� �������� � �� � � ��� �������

� ������ ��������������� �����=� �������� ���������� ���������� ���� � ����

������������ ��� ������ �� ����� ����� ������>������������ ����

?5!#$

%&'

()%*�56/.)%*6 @

)%*/ !

#$

%&'

()%*�56/.)%*6 �/-0,-.

)%*0 2 ��2�2:"�

=� ����� ����������� ��� �����������:"����� ����

?5!,6

#$

%&'

()%*

+.)%*0 .

)%*0 �56�.

)%*6 .

)%*5

1!,64652 ��2�2:��

=� �������������������������������� ���������A 8��B�� �����8�����������

���� ���C������� ��=� ����������������� D��������� ��8����

()%*E.)%*5 !F

)%*5 2 ��2�2:��

;���� �����������:���> ����������� ��> ��� � ����

#$

%&'

()%*E.)%*5 !

#$

%&'

F)%*5 2 ��2�2::�

=���� �� � ���� ����������� ������������������ ���������=� �����������::�� �� � ����

��� ����� ���� ����� ���� � �������� ����� G� ������� ��������� ���� ��=�9�

�� �������������� �����������:��8����� �������> ����.)%*6 ������ �

()%*E.)%*H �IJH.

)%*J !�IJH.

)%*J F

)%*H

��������> ����������� �8 ���� ������

#$

%&'

()%*�IJH.)%*J E.

)%*H !

#$

%&'

�IJH.)%*J F

)%*H 2 ��2�2:K�

Page 206: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ������������������������ ������� ��������������������������������������

�����������

��

!"

#$%

&'#()*'#(+

,

-

!"

#$%

.'#(+ ��/�/�0�

���

��

!"

#$%

&'#(1+23*'#(2 )*

'#(3

,

-!"

#$%

1+23*'#(2 .

'#(3 / ��/�/�4�

56��7���������8+-9&'#()*

'#(+ ����� ������������������:.+-

9.'#(+ ����������

�������� 6 ���������� :;+-9&'#(1+23*

'#(2 )*

'#(3 �������������������� 6 ��������

�������:���<+-91+23*

'#(2 .

'#(3 �������������� 6 ����������������=����

���������>��� �������� ������0����������4��������

�8+��-.+ ��/�/�?�

����;+��-<+/ ��/�/�@�

���������������@��>��� � ������������������������������������ ��������

����������>���������� �������������� ������� �������������� 6 ����

������ ����� �����6��� ������������������������ ���� 6 ������ �����������

��� �������� �6��� ���������������� ��������������� ��������������

=����������� ��������� ��������>��� �������� ������@����������������������

� ����� ������ ���7� �������� ���������������������������6�

ABCDEFGBHIEFIJDJKLJMNCDOPBCIQFER

S�� ������T������������������ �������6U���U�5���������������� ���S��� ��

�������� ���>� *V���*V:W-�X�XY:�� ������6������������������U 7>��� �������

����������������������������� ����Z7>����������� 6 �����>� ������������������U 7>��

�������� ����������6��� ����������6Z7>�� 6 �����>� �[���:�������������:

� ������������ �������������� 6 �� ���7>�������������� ����������6�

\�����:������ 6 ��U�������� ����� ]BVXW-�X�XY:��������������� 6 ��U�� ����

����� BVXW-�X�XY/������ ������������� ���������� � ������������>� ������_��

��� �������

*V- aV*a ��� *V- Va*a ��/�/���

����� Va- Va�������������� �� ������������� ����������� Va������� �� ����

����� ��������������������������>� ��������������>� ����������������� ����Z7>��

���������>� ������������� �� � �6��������

VaVb-cab ��� Vaba-cVb/ ��/�/���

Page 207: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������ ��������������� ������ !"# $�%%�&��'� () �* �$"!+��$�!,+"����&#�*#

+! )� ���* % �"�+%, *#+��*�-.�!�"+!�"+"���+/�)""# 01+2��"+3��'"# 04+2 �"�"# 54+2 �6

7585951

:

;<

6

7*��� ���� �=���� *��� �� � >

:

;

6

7080901

:

;

&# ! "# !�"+"���+�'% ���*+%% �"# %��'�")� �$"# +�* ����'��� -? *���@+!�"+"���+/�)""# 58

+2��"+3��'"# 54+2 �"�"# 5A4+2 �6

75A85A95A1

:

;<

6

7> � �� *��� ����� =���� *���

:

;

6

7585951

:

;

&# ! "# !�"+"���+�'% ���*+%% �"# +�'% �$��*%��+"����$"# �!/�"+%B%+� -.��+%%C@+!�"+"���+/�)"

"# 5A1+2��"+3��'"# 5A4+2 �"�"# D04+2 �6

7D08D09D01

:

;<

6

7*��� ���� �=���� *��� �� � >

:

;

6

75A85A95A1

:

;

&# ! "# !�"+"���+�'% ���*+%% �"# +!'), �"�$B !�' -E# F)% !+�'% ���"# +�'% D01�01@"# +�'%

���"# +�'% 08�58+�����"# +�'% 58�D08-E# � +�'% �+! �%%)�"!+" ���"# G')! �-�HI-J�" +%��"#+"

"# !�"+"���K *"�!�+���*�+" �&�"#"# � "!+��$�!,+"����+! K *"�!��$,+'��")� L��L��L���"# ��! *"����

����*+" ���"# G')! �-�HI-

.�')! �-�HI-F)% !+�'% �-

MC*�,/����'"# +/�K "!+��$�!,+"����"# ! ! �)%"�"# "!+��$�!,+"��� ()+"����N�-�-O�P6

7D08D09D01

:

;<

6

7*���*���=*����������� *�������Q*���*������� ��������=����*���=*�������*��� =��������Q*���*���*��� *�������

�������� =����*��� *���

:

;

6

7080901

:

;R

S"��% $"+�+� 2 !*�� "�K !�$C"#+""# "!+��$�!,+"���,+"!�2���!"#�'��+%+��"# *�,B�� �"�TU4

�+"��$C"# ! %+"����N�-�-O>P-

Page 208: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������� ������������������������������������������������������������

�!������� ��������"���������� ����������"�������������� �!������

��������"������������"��������� ��������#$%��%��&��"���������� ��������

���

'(��)���*+),�-���*+-,�.���*+.�/0�/1*+� ��2�23��

���� ����������������"�4�"�����5����

'(��)���6+),�-���6+-,�.���6+.�/0�/16+� ��2�23��

���� ��������"���������� ��������#$%������"�7������������������������

������'(�������"��������'(�������"������&�������������������

'(��)���6+),�-���6+-,�.���6+. ��2�238�

���'(��)���*+),�-���*+-,�.���*+.2 ��2�233�

9��� ���������������������������� ��������"���������� ����������"

�������������" ��������"���������� ����������"�4�"�����5������������

��������"���������� ����������"5������������������" ��������"������

���� ����������"�

9����'(���'(� ��������������"�������$���������������������������#

"���������

������:;��;����:;�<0; ��� ������:�;�;����:�;<0;2 ��2�23=�

7�>?�����������3=��$������� ��������"���������?�����������"12@���A����������

>?�����������3���������/0�/1�������:;�<0;,<:;�0; ��2�23B�

���/0�/1�������:�;<0;,<:�;0;2 ��2�23C�

D?��������>?����������3B���:E����"?��������>?����������3C���:�E ����� ���������

�E�����E���,:E�<:;�0; ��2�23F�

���

�E�����E���,:�E<:�;0;2 ��2�2=��

7�>?�����������3F���������=���������������"������������� ��������"������?��������#

�����"�������������"�7��>?����������%�������"��������?�� ������

��"�G���������?�����?���������������$���

7�$�������?�� ������ ���H�������������������G�#��""������?�� ������

����H�;�����$����>?�����

HEI�J�EIH�2 ��2�2=!�

Page 209: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ��������������������������������������

����

���������

������ ���!"�#����$�!������%�&������%����� ����'#�����#��#����!��(� '��

������)�$�!�!������&�$������#���(* '��+�*�)��,�!���&������-������$����%�

&��".�������!�����&�������#����!�#����$���� �(* '���.��!���!���������#����

����%�&��"$��&�!������$������!�����#����!�#�����/���������".$�$��������

����01����#�����(* '�23*�43��)�$�!��������

(* '��+3*�43��)��+�*�)� �� �*���*� '5'��3*�43���

�����������������������!�&�%����%���� ���!"������#'���� ��'�,�!�����������.

!��&��������������&������"���&"

�*6 '5'��3�*3�6��� '5'�

�3�*3�63�743�7

�8*73�643�7

�3�643�*

�������

9"�:������%��������� ����0��������"�-��!������$�������;�$<�"����!����

��!����������%���� ���!"�����!��&������$����������� ����01���� ����������#����

(* '��(* '�2�*� '5'�)�

(* '��(* '�2��* '5'�)� �����=�

����&� �������������$�����"������ ���!���&����>����?���������#�����#��%�&��"�

@ABCDEF@GAHIJKLFKMNKIJKL

O�������P������������#�����#��%�&��"$�!����&Q�!����-�����#��!��������

������������#������� �����1�.���$���$���!����$�����������������%��"�:����#����

,������������!���#����%���� ���!"�����.% ��������� �������.$���$�����!���

#����$�%������

�����#���������������#���������R*67S$�!�������������!��������������#

���������R��&"���������

R*67S��

���*6��7SR�� �� R���

�RTUV7��TU��V7 �������

�������!����������%����������������W��$�!�������������%����������� �!��

W�&"��������

W���

�����W�� �� W�������W� �����0�

=������!������������������X��$�!����������������X�&"��������

X���

�����X�� �� X�������X�� �������

Page 210: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ��������������������������������������������������

!"� #$%"�& ��&�&'(�

)��������������� �����������������������"*+�������������, ��--�.�����������������

!*+$�"*+/�0�"$0*+12/12

��.����-������-�����������������������'(�������, ��--�.�-

#�0"�12/12�$%"�& ��&�&'3�

4���������-�����������������.-�-��������.�����-�����056�1����������-������.���-�������

��-.���7���7�������8����4�� ����������-���������������-

0"�12$9"59�691�92�056��

/"�$91"92�/12

%56$9"59�6%"�

��.������� �����������������'3���9"59�6��.-� ������������

9"59�6

#

:9";9�<0;<��/��

=$%56&

>, ��.������-�����-���������.��?������������.���7���7������0;<���-8����@���, ��.�.

�����������-� ��A�-��

056�� /�� #B�C;DC5EC<6BC5;C<DC6E�0;<��/��/DE$%56& ��&�&'��

)�-���������������������'�������������-����������-�����'F�������'����.�����''����.������� ��

���*56��.-� ���������������>���G-�������-�������

0"* /" #H�2*�0"�/"/2$%*& ��&�&(��

I�� ��J����������������. �������J�����.�����.-�����-�7��������J�F���K��A�.���

>����������-��7�������

0LL /L #B0ML

/M #B0NL

/N #B�0LN/LB0MN/MB0NN/N�/MH�0LM/LB0MM/MB0NM/N�/N$%L

0LM /L #B0MM

/M #B0NM

/N #B�0LL/LB0ML/MB0NL/N�/NH�0LN/LB0MN/MB0NN/N�/L$%M

0LN /L #B0MN

/M #B0NN

/N #B�0LM/LB0MM/MB0NM/N�/LH�0LL/LB0ML/MB0NL/N�/M$%N&

��&�&(F�

O����- �������-��������������.�,�-��� ����� ���,�-�����0"�$����PQ$R��.���>���G-

�������-��.��-�����-�-�������������.�S���������������-

0LL /L #B�0NNH0MM�/M/N$%L

0MM /M #B�0LLH0NN�/N/L$%M

0NN /N #B�0MMH0LL�/L/M$%N&

��&�&(��

O������-������-�������T�����-��.���-��������-���-������-��������7�.�S���������������-

������, ��--�.�����-��U��������� ����������-�

Page 211: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������

� � ���������������������������������������������� ��������������������������!"#$%$%$&���

!'#�%(%)&* �����������������+���������,���������������*

� -������������������+�./"'���

'0%1/"'02

"3����0%4/���0 ����0������������* ����������

+������56%76%86%9/$%�%(���������� ����0/:;

� <=��������>����������������������+�./0%1/0'%4/0?������������������$$@A�,BC/���

�������������������*D��������������������������������*E�����,,������ �����F����������������

�������������������,�@���*

� G ����������������������������.6/.6#H"%H'&%9/$%�%(����������� ��������������������

������!"#(%�%�&I!'#�%)%�&���!?#�%�%J&; �������������������������*

� K ���������@./���0 1/���0 4/�

:0F��������������������������������������+������

����� ����0/:L); ��������������������������������������+����������� ����0/:L);

� MN����,�������+���+�O5

OP.Q/RSQTP.

T;

� UN����,�������+���+�V

V0

WO5

OP.Q

X

/R

Y

SQTZ.TB

OSQTO.[

P.[P.T\

;

� ]N����,�������+���+�O5

O.Q/$

�ROST[O.Q

P.TP.[;

� _�������������������>�����I���a������+����b�������c����������������������������

��F���>,��������#�*�*�(&*

� �de@����������������C��+������,������������������,��������������������#."%.'%.?&/#f%g%4&���

���

h"/V."

V0/Vf

V0

h'/V.'

V0/Vg

V0

h?/V.?

V0/V4

V0

i"/jh"

j0/V'f

V0'2f

WVg

V0

X'

i'/jh'

j0/V'g

V0'B�

f

Vf

V0

Vg

V0

i?/jh?

j0/V'4

V0'

��������,�����������������+������,������������������,��������������������������

hQ/Vf

V0

hk/fVg

V0

hl/V4

V0

iQ/V'f

V0'2f

WVg

V0

X'

ik/fV'g

V0'B�Vf

V0

Vg

V0

il/V'4

V0'

Page 212: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

� ��������� ������������������������������ ������������������������� �!�"����

� �#

$%�&�%

&'�&

&'

$��&��

&'�&!

&'

$��&��

&'�&"

&'

(%�)$%

)'�&�

&'�*

+&!

&'

,�* ����!

+&"

&'

,�

(��)$�

)'�&�!

&'�*���!���!

+&"

&'

,�-�

&

&'

&!

&'

(��)$�

)'�&�"

&'�-�

&

&'

&"

&'-����!

&!

&'

&"

&'

.���� � ��������/�������0����������������������� ����������������� �#

$1�&

&'

$2� &!

&'

$3� ���!&"

&'

(1�&�

&'�*

+&!

&'

,�* ����!

+&"

&'

,�

(2� &�!

&'�* ���!���!

+&"

&'

,�-�&

&'

&!

&'

(3� ���!&�"

&'�-����!

&

&'

&"

&'-� ���!

&!

&'

&"

&'

� �4�������56�������7�789����#���6����� ��/�������0� /�/���0���������:;<=

� �>�.� � �������0�������6�6�/��������&?���/���0���6/����������@# �

/����������6���A##�� &?�����/���0/��������@=.�����56�����# �� ����B��

����0/����0� ����@=

� �C�D�� 56�������7�7EF������� 56�������7�7E9�7

� �G�H��� B������������������ 56�������7�7���������� 56��������7�7�I�7

� �J�K�0�� �6�����0�/�����A��������/���7�LMA���� ������7

� �N�.�� �6������/�������/���6�������� O�6�7�L���

P�� ���6��0�� �6���7

Q%�� ���� �0� 6��� ��7

Q��� ���� �0� ��#� ��7

R����� #�� ��0� �6������O��� 56�������0/�����0�� �6���/�������/7

Page 213: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ���������������

� ������������� !���"���!���# ����!$�� ���� %&%����%��#��'��������� �(��#%%��������

)�*+�����!���# ����!�������� #%%����������,"�-./012/120,3����!% �!�������� 45��6���$�

�7����%�)��89*5��&��������!�������#�$�� ���� %&%����%��#��'�

)$*:�����!�;� �����������7����%��)��8<*�!% �!���!��!%�����������#�$�� ���� %&%�������

������ �(���&�#����!�#��'���6���$��!��7����%��=>2?@

AB

CD

E

12F12G�12?�H���H

����

)#*I!% ���!��&�#�� #���3�"�!��7����%����&���)$*����#��%,J2?

,"J@

AB

CD

E,2F

,"

,2G

,"��5K%�

B�L�MMM�NMO��P�������%�%K�7����%�)L99L*�!% ��!���!��$%'�#��'�������%����##��'��

)�*I!% �!���!��!%�����������#�$�� ���� %&%�������& ������������!� ���

)�*Q%������� %&%����%��!����K�#�%K�#� �����%K������RM���ST�U���SJ�V���%�����K�#�

#%%�����������!�� %�������%�� �&�#���6���$��!����K�#�%K�!�#� �����I!% �!���!��!%�����

������#�$�� ����!�&%���� !���U���V�����U�W�V�X��Y�-RJWJ@XJM

� �Z��%�[� TJ\.?F]

?]F�!� �����#������%K�&����# ����_�!�&%������ ������%K�!�&����# ��!%

�!��[@_� ab"3Rb3M

c���=\d?�e?�fghgij� B�L���8 ���

�ij

���12?�]?�B�L���8M

� kl�m�6��X�[@_���!����%K�!� �����#���������&%������ ������%K�&����# �n!�7�������

X�X)2o�po*��#� ���!�c��� �%����%K�!�&����# ���������P&�������������%K=

q�!�&����# �&%����%�2?���

q�!�&����# ��%������p?�\]?�\.?F12FMc���2o���po����������������&������'����$ ��

)�*I!% �!���!�&����# ��%���������#%'����������%�%K��� L

)$*;P&�����!� �����#������[�������%K�!�&����# ��%������

)#*I!% �!��p?�r[

r12?

Page 214: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� �� �����������

����� ��������

����

�!����

�!����"�

���#$��%�����%�� &��'���������(���� �%��%)��*������

� %��� �)��������� ������)����� &��������)��������+� ���%,����� �-%�(���� �% &� �� �

& �������)��

. /01 2��345

36 �78����39

5

36 �:;�"7<����)��)��������������%�)����=���=� &���)� %%�� ��)�

;��>�?@<?8@���A��3B5

36 ������% &�������� ����=�)� �

. //1� �<���+�����)�����C &������)�����D���� ������������C &������)��E��A�����2���������

F�F���GH����<"D�I

�JK�?H�

�H�?"D�%�&��)�� � &��������������=����*��%��GH��#L�A�����

,����� ���� � ���G!���<MD�I

�JK�?!�!?MDG�%�&��)�� � &��������������=����*��%�

�G!�G

�����!��%���� ������=�)� � &��������)�����J �%�����%% &��������)��

����� �����!���<

�H��#

�*��� ������

����"

�F

���

. /N1 O������P���������%EA������QE����������� ���� �� � &� ������ *R�)�%ES�%��������

&������ �ET�%�������� &���)�%%� ����U�%�������� &%���$�+��� R�)�� �%���%� ��������

��������=���=� &���P���������%����������� ����������=�� )��C=�)� �) �� ����%VWGVXGVY*C���

������ �%VW�HS) %UMHT%��S%��U

VX�"HS%��UMHT%��S) %U

VY� HUMHT) %S

�����VWGVXGVY�������������=�� )��C) �� ����%�� ������ZG�[G�\�]�%

. /1��������(���� �% &� �� �& ����) �� ���������������%�����������A�������

Page 215: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

� ������� ���

�������������������������� ��!�� ���!���"�����������������#���

�����������!�����#� ��$���� �����#���$���� ���������%&&������!�� ��$���'��

���!����� �����(�����'�����������)*�+,�������-����.���!������#��"����!��

�������� ��$#���!����!��"����$����� �������"�������)*"+/�����0

01*�23+�����

!���������4�23��25%&56�7��!�����)

� �8�9�����!���� �:��;:�������!���������(����)����<�:��"�����'��������:��������'

��$��������� ���� ��(��������'��!��������)����=�:�����"����������'�(����

����>�:�� ��$���'�?�������4��$� !���������)@��=�:����!�������������:�������>�:����

!���������$���:��)A�;��BCDEF����4��'����$�����"�����������:��)A�;��GHII����4��'����

$�����"�������'��������:��)A�;��JKL����4��'����$�����"�������$���:��)9���������

���� �:��)M��������<N=N>�:����!�������$����'��������!�� )@��������� �:����

������ONPNQ�����;:�����(�!�*������������ �:��+)A��!��"���(�!�#�������4��� �����!��

������(�!������������� �:��)/��������� ��$����������'����)R��S9�������(�!����

���(�!���;:���:��#���!�����������������(�!���(�!��:�����;����4!�������4�����

���(�!��������:��)@���(����!��������(�������� ��$����$���!�����!�!�����"�!�$"����

����!��"���$������ (�!�#�������4��� �����!�� )

� �T�U�9�������!������������V��V*<WN<XN<�+������ ��!�;��������<V�<V*1+������!����

Y)*�+/���-����.���!�������$(����������'��!����Y0

01

Z�

��

[0<V

01

\X]

��V*<WN<XN<�+

0<V

01

*����$$�������+������!�

0

01

^�

��

Z[0<W

01

\X_

[0<X

01

\X_

[0<�

01

\X]

�0

01

a�

��3Xb

��W0<W

01_�X

0<X

01_��

0<�

01

*"+9���������(��������!����Y#��4(���c#<V*1d+���(���e#<V*1f+��������������g

������$����' ��$c�e���� ��!�;����V��

��3Xb6h

6i

jf

d

�V0<W_�X0<

X_��0<�

���������'�������������������'�������'��(��Y ��$c�e)*!+/������ �� ��!�;�����

������"�� ��$�(������ ��!���k*<WN<XN<�+"4�g��'��'������#��������g����������(�����

� ��(��Y�����(�������4�(�������(����c���e)

� �l�m�������'���'������������ $����� ��(����!��(������$���!�!������� �"�"� $����

���(������������ ������ ���'�n#���!��� ��������'����4����!�����"o�!���!�������

�����������'���!�����)-�'��!�����'�� ��������������� ����������!������

���'��� ���'�������<N=N>!���������4��$#�����>�:����������#p����'��"�����������

�����>�:�����q����'��� ������� ��"�" ��$��=�:��#�����������������������

$����0

01

[

���Xp0q

01

\

�� ���0Xp

01X

[0q

01

\X���p!��p_

r

n���p��

Page 216: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

� �������� ���������� ���������������� ����������

���

����� ��!

��"

����� �"!

��#

����� �#

������� ���$���%&������� ��'������(��)*�#+

� ,-���� ��������������.���� � ���.�����/������0

� ��12�.�����/����������'%������������ ��������'%��%� ��������03�����4����5

����� '%��%� ���������/67����&�������5������������������'%���������������/879

����&���������� 4�4������������'%��%� ��������0:��4� �����&������.����4����

������.�����/���������4� ������/4� �����&����������4����5.�&���/�;�<67);=879

����<>;=��67������ ��� �����&����879 � '%�����������.��������.�����/0

$������/?��@

�A��� ���.�����.������ 4��������������&����879 ������ ����

���'%����������'�����&�����.��&������/ �?��

�AB@67C�

�@

�A67����@67� ��'��� ���

&�����.����������0

BC3�������879�@�67 879+

B�C3�������D���;

�A�;=

�879�A�;=

�879�@

�@

�A��? B;=879C��? B<67);=879C��? �;+

� ��12�.�����/����������'%��4����50��� �����4����5�������&����87E������

'%�����������.��������.�����/0���4.� F5>FG��H�������87E�A�� ���4�4�������

��87E�� �������'�����&����87I ����&���������� ����������������87E�A ������

�87E�A�J87I�� ������ ���J+K���������'���������&����87L��� 87L�87E 87I+

BC3�������87L�A>������� ���4�4���������87L!� � �4�4���������87E+

B�C3�������87L�A����������

�87L�A�M87I�� ������ ���M+

B�C��� 87I�87L 87E �������87I�A�BJ87LNM87EC 87I

B�C$�'���?�J87LNM87E�� �������87E�A��? 87E!

�87I�A��? 87I!

�87L�A��? 87L

B�CO���;�P87E)Q87I)R87L����������/4��������������.�����/����� 4��������4����50

3��������;

�A��? �;+

S��������� ����������������?� ���'%�� �������&���� 87L��87E���� ����/���.��.0

����� � �������������?� �������� ������� %� �����������?>������ ������.���

�.����������������>� ���������� ������� �.��&������/0

Page 217: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ����������� � ������

��������� ����������������� !�"��#����$��%�&���'�#�����&(���� ���)��$��%��*������+

,)��$��%��*������#�����-������.$�.�$�����"���&�������$���������/���"�$���0���.�$���$�0�������%

$��������0�� �%���$��.��������+,)��.%���""�$����$�/$�'��������%"�$���0�%���$���/�����"�$���0��

���������%"�$���+1�%� � �"�$��� �$�)��$��%"�$����� �� �"�$��������$���� �� +2%�� ���'��� �$

�)��$��%"�$����� �����'�%����!�"���*�� ����� �� +

3����$��%������� �$� ��&�������������� ��#���������%%�������"����$��%.���������$��������

&!����$��%"�$���4"�$���&��#�������������5��/�.�������$��%6+7��������$����.��������$����.��

.$�.�$����$����$����������$����.��.$�.�$�����"�������$��%+7��$����������$��%���&� !#������

����/�������� �����������������5��.+

8��������$� ������#�#�%%��%!����� �$��%� �� ���� %�9�� �� ��+8�/���$�%0�����"���� ���

�� �����.�� �'�%�.� ����������������&��..%�� ����!�!.��"����$��%#������������ ��&��

��%%�������"����$��%.�������% ��/����$&!����5�� �"����$��%"�$���+

3��%���������$��%�����#���� �"�$���� �$�..%�� "�$����������#�!������#�%%$���$������

�$�/���%��%�� � �����#�������..%�� "�$����$�$���'� +7����%����$$�%������)����&��#������

�..%�� "�$����� ����$��% ��.%��������0�����������$��%����%%� �%����$�%���������$��%+8�����$���0�

.%���������$��%�����#���� �"�$���� �$�..%�� "�$����������#�!������ ������$���$�������$�/���%

������"��$$���'�%�"����..%�� "�$���+:%���������$��%�#�%%�%#�!��)��&������.�$������ �"�$������

�"��$$���'�%�"����..%�� "�$���+3��%���������$��%����%%� ����/�������"������������.$�.�$����

��$��/����+3�����$�.������$��%����������.$�.�$����0���.����0���%% �$��������&������.����+

8��������$� ������#� �'�%�.���&���������������%�9�������#���� ���$�&���#����������

&���'��#�����&(���� ���)��$��%"�$���+7����%% ����'�$�������$��)���������"&�����9�������

��������� #����%%��������������$��%�� ��+;����&�����9��������$� �'�%�.� "�$%����$�%���������$��%�

�� �..%�� ����%� ��� *�� ���%���$��������+

<=>?@AB=C?<=?�DEF=CBC=G

;�5��$�&&�$&�� 0#��������$�����/�%�$�$����������0�� ��$5�����.�$�%%�%�.�.� ��'��/�

%��/��H0�#� ��I�� ����/��JK���%%���$��� �����L/�$��+MN�+

O�#�..%!�"�$��P��&����� ��"���.�$�%%�%�.�.� �$���������������$�&&�$&�� �� �)�����

#�����..��������.�$�%%�%�.�.� +Q��#�%%�������R

�S H���$�����&!��������THS

�S I ��$�����&!��������TIS

MS J ��$�����&!��������TJS

;��$��$����!����$��%�#����&���'���������$'�$!����%�$�����$�&&�$&�� +U�������$��%�0

#�����&(���� ���������"�$���#�%%&$��5�"�������/�TH����%!����$�#�.�$�����"����$�/���%%��/��+

;���&�'��)��.%����$� ����������'�$�%�����.��#�����$����������� !�"����$��%�#������!�$�

��&(���� ���)��$��%"�$���+;��L$�������.��������"��$���#������ �L�� ��

VWXYZ[\����/���%��/��

�$�/���%%��/��K 4 ��������%���6S

Page 218: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������� ����������������

���� ����������������� ��������������������� ���������� ��� �����

��

��

��

��

!

"�������������� �� ��������#������������������� ������ ��������$����������������� �����%�

��� ������&

'()*''+�����

,����-��.����������� �� .� ������������

�����

��� ����!

��.������� ���� ����� ��#���� �������� �����������������&��� ������� ������.����������/�����

����.� ������� � ��������#� ���� ����� ���� ������

0112345678

������������� ���� ������&.���� ����������������������������& ��� �������� ������������ ��

�#9��:�;���..������� .���� ��"��9��:�;���.&��� ���&� � �� �� � ������������ ����� �� ����

�� ��� �� ������� ���&.���� ��<����;��������=�� �������� ������ #���� �� �"�����.�� ��

9��:�;���.��� ��

>+=

?��

@

! A�!!�B

,�������� ����-�� �������� ����� ����.� ������=�� ������������ ��������� ���� ������

"��9��:�;���.&��� .�&��-��-�� ����� �� �������� ������� ��� ���������������� � ��

� �� ������� ����"��� ������� ��� ����� ����������� � ��.�� ��������� ����������� ����� �

��� ������ ��� �� ������� ����"�������� ������ #���� �� ����� ��C������;��� ��D!

9��:�;���.��� ���

�+�

+ED

��

�� FGDG

�! A�!!�B

"�������� ������ #���� �� �=���D���������� ���� ���������������������"������ �� D��������

��C������;��� ������ ����.�#������ �-�������.���������� ����������������������� � �-�-�����

���=���D����������.��

H������ #������ ��� �IA�FBJ���K=KFA�FBJ��� F!�LKDKF!�H������ #�������������� M!FA�FBJ���K=K��!FA�FBJ��� F!KDKF!N

Page 219: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ���������������������

����������� ��������������������������������������������������������������������������

�� ����������������������� ������������������������� ������ ����������������������������

�������������������������������������������� ��������������������������������������!"#$���

������������������������������������������������!�������� ���������������������������������

����������������������������������������������������������������%�����������������������

������������������������������������� ��� �������������� �� ���������������������������� �����

���������������������&��'�(������������������������������������������������� ���������������

������������ �������������� �� ��������������������������������� ������������������������

�����&��'�(����)����������������������������������������������������������� ���������������

�������������������������������� ��������������� ������������*��������� ��������������

��������������������������������������������������������������������������������� �����

������ ���������������������������������� ������������������������������������������������

��� ������������������������)���� ������������������������������������������������� �����

������ ����������������������)��������������������������������������������������������������

������������ �� �����������������������

+,-./0+1234526789:;<98=;>8?@9@?=A;B;ACD ������������������������������������������!

����������E����������F����������� � ������������������������������������������ �����

�������������������������� ��� �������������������������� �����G���H��������������G

������� ����I���H������� ����IJKI#L����������� ��� ����������������������������

G�������GM���H�������HM#L��������������� ��� ����������������������� ��������

��������NONPIQRS��������������������� ����������������������������������R#)���'������

��� ����������������NONPIQRS�������������������������������������������������������������

��� ����������������

GGMONPIQRSQ TGMOIJNPIQRSQ HHMONPIJKIQRS THMOIJKIJNPIJKIQRS#

Page 220: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ����� ��� ������������������ ��� �����

�������� ���������������������� ������� !��

"���

�� #!#$ !

!�%&!#$& #'$%&!$& '

!

"�(�)��)*%�)��+,'$%�)*%�+,''-$(%�)��'$�-

��

"�*%�)��+,'$*%�+,'

��.

/�����0��1�2����3���%�'� ������

4

5�6*%�)��+,'$*%�+,'

��.

��1� ��������������33�������7�����8 �����

4

5�69*%�+,'

9�.

0� ��:�����������3��3����� ��������3���������;���;���������3������ ��� ����

<=>?@A@BCDEF@>GBHDI>FJJFJ

K������ ������������ ������������ � ���������;�������������������� �������������

��;� �������������L������ �������;�����M.N�������������� ���O���������������P� ����

���������������� ����� �������3����������������������������������������������������QR� �Q,STU

�����QR������O�����3��� ������(VWXY"Z[\]]-:� �Q,STU����������������� 3��� ������(VWXY"Z\X"\-

�����3������3�%'� ���;������������� �O������������� �O��� ��������� ��� ��������3� � �

������������������_����� ���������O���3���:����������3���:� ��� �� �����������������3�������

�������� ���3�� �����������������������;�����;��O������� �� �������� ������������������� �

�����Q4� �������� ����� �Qa ���� �� ������������O�� ������� �;�������������� �;������ �������

��������������������� ��3� ����������� 3���������:���������� ������Q4���� �� �����������

�� ������������O����������� �;������ �������b

Q4�

cc

d

Q,STUeL)

ccc

f

PQReg %�..'

Page 221: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ���������������������������������������

�������������������������������������������������������������������������������������

�������������������� !"������������������������ ���!#�������������������

$�����������������%& ��������������������������'���������

%& (

))

*

%+,%-./0!"1

)))

2

�3%+,%45!#6 3�66�5

$������������������������������������������7�����8���������������

9$�����������������������������������8�����������������������

!

!-

:)))

2

�%;!#

<

(%=(

))

*

%-./0!"1

)))

2

�%4!#6 3�66�5

$��������������������������������������������������������

9$������������������������������������8������������������������

!

!-

:)))

2

�%+,%;!#

<

( %& (

))

*

%+,%-./0!"1

)))

2

�3%+,%45!#6 3�66>5

$������������������������������������������������������

?@ABCDAEE?AFEGD

H�I������������������%-J(KJJLAJ1K

JMLAM1KJNLAN

%-M(KMJLAJ1KMMLAM1K

MNLAN

%-N(KNJLAJ1KNMLAM1K

NNLANO

3�66P5

�����KQROSOT(�O�O�����������������������������������������������$������'S������������

�����������������UQ(��������� ���������%-Q����$������������'T�����������������������������

�������������������%-Q6

Page 222: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� �������������������������

������������������������������������������������������� !"�������������������������

����#�����������$������������%"����������$������������������������������&�����������������

'������(������$$�������������������������������������$���������$�������������$��)��������

�����������&������������*++�*,,�*--�����$$�������$�����������$��������������*".��/�0���

��$$������������������&���1�������2�34�����������������������������������������������$

����������

!"�*".56.� ��0�����7 2�7784

9��������������������������������������������$������������������:�����$�����;<���������

����������������������������:���������������;�$�������������������������:7=��������������

���'�������<������������������;�$�������������������������:�����$�������������������$���;

���������������)������������$������$������������������������$�#������$$�$�����%+�%�%,�>

���%-�?�#��9�����'���������������$$���������������������@

A !+ ������������BC)

A !, ������������BD)

A !- ������������BDC

!EFG ������������DC)

&������������������������H����������;����������������������������������������������������

����$���IJK������������������;����������$�������������������������������H+�H,���H-7

Page 223: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ����� �����

������� ����� �����

������� ����� �����

������ ����� ������

������ ����� ���� � ���������� ��������

��� ���! ��� ���! ��� ��� "�#$#%&

'����������(�����) �*������������)����)�����+,���������� -�!�!$#

./01234567889/:

���;<=>?����������@)������������ ����� ������������ ����ABC������D'����

E;=>?;�=>?F7�G;�=>?F7�G;

�=>?F7�;<=>?F7<# "�#$#��&

H�'�������@���� �����������@)������;<=>?������ ����� �������� ���E;=>?����������'���)����

� ��(I����J��(�������� @��'���� ������������� �! ���� �D@������������ ��������

;<=>? ,K,<! -!L�!�!$# "�#$#��&

��� ���������M��'������������ �����'�

N6OOPQ R�@���� ��������(�������@�������� ��� ������S(� ���$TU�H������������V����� ��@D

�������@�������� ���@����V���W� ��

"XE;����&G"XE;

����&G"XE;����&GE;

=>?���# "�#$#��&

�� �������������V�������"��$�%&� ���������@)��������@���� ��������V������"��$���&�H���

������J� �S���������@���� �����@)��S����

E;=>? �E;�G �E;

�G �E;� ,E;

,# "�#$#�$&

R����������(���� ��������� �@�V������"��$�Y&'�S��

E;=>?;<=>?F7< ,K,<F7<! -!L�!�!$ "�#$#�Z&

� ����@)������� @

;<=>? ,K,< "�#$#�U&

'������������� �����'�

Page 224: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� �������������

������������������������ !����!����"�����#������$%�$&#� ��!������'(!�%����&�)���

������������*��')�����������&�����+���,-�������!�%�$����'�)�!�#������$%�$&#����&��.� ���/�

������$� ������!���#������)�!�����)$�����#�#���&#�0&�$���!�)�����������&����!�%�$&#���

��1�+2+34+5�6��7

78

9:::

;

(,<=>

?

@

::

A

B-<C-=DE

:::

;

(F<=>G

H���=>�����$�#����)%�$&#�I=D�����$�#����)�&�)�������IF<���*��')��������&���#���I���B-<

����!���������+J#�$�'����!�K�&����%��������!����#I�!��&�)����������$���#�����$����*'�%�$&#�

�������$���.� ���/�������$� ���"����������!�)��#

:::

;

L(M<N(F<NB-<O-

P=>@QR 1�G2G�S4

!���M<���!�����$�������)��#�0&�����1�+T+3T4+U�����������*�����'������I�!��0&�����1�+2+�S4

�#�$����!��

B-<O-E(F<@(M<G 1�G2G�V4

W!���0&�����������)��#�*�$�����)$�����#�#���&#��������������!��0&�������)#�����)��#������$

���������&&#+X)�!�������%�$����'���#I�!���0&�����1�+2+�V4���&��������0&�$�*��&#�0&����� !��!

���*� ������

B-<O-E(F<@QG 1�G2G��4

W!���0&���������$��*� ���������!���%������)��#

YZ-B[ZO-E(F[ @QR

!��!���&�����B-<O<E(F-@Q��\�������������������+W!��0&�����1�+2+��4�����0&�$�*��&#�0&�����

���������)�&�)&���#����$�0&������������*����������&&#+

����������� ]��_���������

W!�������%������)���&$��#�#���&#�0&�����1�+2+S4!���!�\�����������������������������

=

=8

9:::

;

(-<ab<,a=>

?

@

::

A-<ab<BcaCc=DE

:::

;

(-<ab<Fa=>G 1�G2G�d4

J#�$�'����!�K�&����%��������!����#I�!��&�)����������$���#�����$����*'�%�$&#��������$���*����

:::

;

9

-<a(=

=81b<,a4N -<a

e

(b<FaEf

fbc1b<Bca4

g?

=>@QG 1�G2G�Q4

U�����0&�����1�+2+�Q4#&��!�$�)���$$��*�����'%�$&#��� �����$&���!��

-<a(=

=81b<,a4@ -<a

e

(b<FaEb<fBcafbc

EB<a

g

Page 225: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� �������������������������

����������������������������

���

!

"� #$�%&"' &$'

#() *(+, +-.*(,�,

/

012 %�22��.

3�����4������%���.�����55��������6����������������4������%��7.8����������������

%���.��6������������� ,�, ���������������������5������9���������������:���4������%���.

�����������5������

��� "� 01; %�22��.

������������%�������������<���������.����"��0"��������=��5>2:���<���������9��������������

����������4���������������������������?�������@����4�����?<�����������?���5����5���������

��������������5��������5:���������������5�����������������������

ABCDEFEFGHIJEKLFMEIFM

@����5������������4������ N$�

O

0

N� 1P �

ON$�

O

%�22�.

�������������5�����������������%$;�.��������%$;�.2Q�����������������������������5�����

�����4��������������5�����R�������%�.������������������?����������5�����R�������%�.�����

�������������������������������������3�P��9��?�����<���������������������������PSP��5

�����������������������������������������������������������TUTV��������������P�����

��������TWUTWV������������5������������5��������������5����

�������?<����������4������ N$�

O

0

N� X1 �

ON$�

O

%�22�Y.

��������5������������������������������4�����������������$����������������5�����R����

��7%�.

Page 226: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ����������������� ������

����������� �������������������������

���������������� ����!� ������ �������� ���������"���������������������������������

��� ���� ���#$#%��� ���������#&$#&%'(�!����� �������� � ����)����������*�������+����,���

+����-,�(���� ��� �������� �������)�������� ���������)��.�����.������ ���������� ������)��

/��

0

1

/2 �3 2

0/2 �� 2

0/��

0

1

/2 �3 24�3

0/��

0

/��

0

1

/2 �� 2

0/2 �3 2

0/��

0

1

/24�3 �3 2

0/��

0

'

+�''�5,

6��*������+����5,!�!������� �� ��� ������)��3������������ ������)��.������)����7 ��� �

������� ����� �������)�����!���.�� ����������� ��������� ������*������+����5,!�������)���

/��

0

1

/2 �3 2

0/��

0

' +�''�8,

��������� ���������� ���������������*����!��.����� ��� ���������� ����������������.�� � ��

������������������������ �9��������

7 ���������� �����)��� ��.��������������� ����������������� ��!�� ��������� ��������)���

��� �9������:�

���)� ��������!�)������������ ��������� ������*������

/��

0

1

/2 �;� 2

0/��

0

+�''��,

Page 227: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������ �� �������������������������

��������������������������������

������������������ ���������������������������������!���� ���������"����#���#���$�������

�����������������#�����%���������

&������#�'����"������#���"������������������"����#����������������������!�������(����)*

��#(����*����������#�����%�������+��#�����,���������"��� ������������!�������(����-*

��#(����)*�������� ���#��#�������"� ��#�"������$�"�������������#��$����������.���$����

��������/�!������

012

3

4

0� �5� �

3012

3

4

0� �� �

3012

3

6 78 9�#������

:

0� �5� �

3012

3

6 78 9;<=>=?<@

A (�AA�B*

C���"��$������ ����#����� �� ���������������������������!�������(����-*��#(����)*���"�

�� ��������������������������!����������������#�����%���������

C�������/�������������#��#����!������(����B*���������#������������������/�C���#���

����������#$�����$������ ���������������������� ��������������"����#�����������������������

��$���������������������"����������������#��������������,� ����"����.������$����������#��

�/���"�����������#$�#��������������#������#���������#���������������������� ��������������

������#�� ��"������

Page 228: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������ � �������� ������

��������������������������� !"�"��

#� $�%�&�������'$�(����%�����( ����)���)�&�� *+,-���))�� �� �%�� .�/���������

0� .�1��� �2345.�6� .�(���%��� ��

2789:;9 378<=89:;9 4789:<=:;9 578<=89:<=:; 7�>�>�?;

��%%��� �@A

BCB789:;9 DCD789:;

.�%��1)�(�&�� /�)%����(�� �%$� .��(.�� .�1��� ��� .�&� ����)(�� ����&$.��� ��%�������

%����&� ����*���&� .� .�%����&� ����� .��)�&�� 2345��/��������(��@���1����� �%@A .�

&� ��E���� ��� F8:

G

C

FHII HIJHJI HJJ

GF8:

G

7�>�>�K;

$.��� .�(��L(��� �HMN9O9PC9�9���� �@�%� ��&���%�0� ��%�/��BCB789:;�� .�.���Q�� �)

%��1)�(�&�� �� .�1��� 789:;��%DCD789:;�� .�6�� �(�)%��1)�(�&�� �� .���&�1��� �R�(����$

�E1���� .�%��1)�(�&�� ����(.�� .�1��� �29394��%5�� ��&��� .�%��1)�(�&�� /�)%BCB789:;

��%DCD789:;�,����%��/�� .�%��1)�(�&�� �� .�1��� 2 �2S>T��� .�(���%��� ��789:;%����& �

.���$(���%��� ��

8C8<B9 :C:<D>

U.� ��' .�(��L(��� �HMN&�� @�(.������(. .� .����� ���

F8<B:<D

G

C

FHII HIJHJI HJJ

GF8:

G

7�>�>�;

���� ��/�%�R���E �E�&��� .�%��1)�(�&�� �� .�1��� 3 �3S>U.��%��1)�(�&�� ��%��(��@�%@A .�

(���%��� ��78<=89:; �������&��� �789:;9$.���

8C8<=8<B78<=89:;9 :C:<D78<=89:;> 7�>�>��;

Page 229: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������������� �������������������������������

�� ������������� ������!��"�#����������$����%� ���� &'(!)�*��

&+&,-&,�,.�

.&-&,/01020

(+(,�,.�

.&-&,/01020'

�0�0��!

)%���/01020�������%��%������������)%��%%�3�$�������������"%��4������� ������!��4�����%���%�

���5������678������#�%��������4������

9&,�,-&,:;:<-&

(,�,:=:<-&

>

+

96?? 6?@6@? 6@@

>9&,-&(

>

0 �0�0�A!

Page 230: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ��������� ���������������������������� ������������� ������ ��������

�����

���� ��������� �������!��������" ��"#"#$�

%�� ���&� ������������ �'������� � �� �!� ������������(������� ������ �

' �

���� �)

)����*"+","

�������!�)!

)����*"+","

��"#"#-�

�����.(��� ���������������/��� ��012�(��������� �(�����

3�� �4546��

��!����4746��

8

3099 09:0:9 0::

83�

����

8

" ��"#"#;�

<� �=��� ��>���'����������� �?���������� ����������������>���������� �?�����

������ ���

������� ������������ �������!�����������" ��"#"#@�

A&� �� � �!� ������������(������� ��������' �������/��� ��012�(��������� ��

�������������&�.(���

3����� �454B���

4546��

�����!�474B���

4746��

8

3099 09:0:9 0::

83��������

8

" ��"#"#C�

����.(��� ���D#D#E�=��D#D#��=��D#D#;� ���D#D#C���>�������������(� ��(��.(��� �

099��09:����

0:9��0::����!

099�������09:���� ����)

)���

0:9�������0::����!�)!

)���

099��09:��������� �)

)���

0:9��0::���������!����)!

)���

099�������09:������������ �)

)����

)

)���

0:9�������0::������������!�)!

)����

)!

)���"

��"#"�F�

G��������>���'�����������������.(��� ���D#D�F��������(���

099�E�)

)�

0:9�)!

)�

09:�)

)�

0::�E�)!

)�"

��"#"�E�

Page 231: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� �������������

������ ������������������������������������������� !"

#

$

�%&'&(

&'&)

&*&( �%&*&)

# !"

#

+ ��++���

,- .����������-�����������������/��� � �������������������������/�.������������ �����0 !"

#

$

� �� �

# !"

#

1 23 45678959:

%

;<< ;<=;=< ;==

# !"

#

1 23 4>9?@58A@9?5B

%

C<< C<=C=< C==

# !"

#

1 23 4?D9@95D8A@9?5B

E ��++��

� ���

;<<$FG

F!

;<=$�

FH

F!%FG

F"

#;=<$

FG

F"%FH

F!

#

;==$FH

F"

��++���

���� �������������.������������I�����/� ������������I��/

C<<$�

C=<$�

FH

F!JFG

F"

# C<=$�

FG

F"JFH

F!

#

C==$�

��++���

���� �������������K���.������������I�����/� ��������������I�

L �������-����������� ��� �!/�����������������/��� � �-����M��� �N����������

;<<$O!%&'&(O!JO!

O!$FG

F!��++�P�

��/� �������-����������� ��� �-����M��� �./����������

;==$O"%&*&)O"JO"

O"$FH

F"+ ��++�Q�

L ������� ������������ �����/���������� ������������I�L ��������.��� �N����������-����

� ��

���R$&*&(O!

O!%&'&(O!E ��/ ���S$

&'&)O"

O"%&*&)O"

+ ��++�T�

��������/���U���U�����������/��� � �/��-���������G��/H����������/� ��� �������S��/R���

�������/� ���������������T�� ���������/������ ��--��I��������������

���RVR$FH

F!���SVS$

FG

F"+ ��++�W�

����- .����������-����������� ���������������/��� �/������������������������������������� ��

��/�������� ������������������/��� �N��������

Page 232: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ���������������������������������

�����������

�� !

"#$

#%�#&

#'

(

!�)*+!�)+* ,�--./0

������������������������������������������������������������1����1����*+,�� 0!)*+!)+*

���������������������������.2��������������������������������������)+*3)*+������������

��������������������������

4*+!�)*+ ,�--.�0

����������������������

5������������,����.06�������������7+*!87*+������������������������9����������������:

�����������������������������������1��������������������������������������������������������

�����������������������������������������1����1��������������������

;<=>?@?@AB=CCD?EC@F?G@F

�����H��������������������������������������������������1���I�����H��1��������������

������������������������H����������J���������������������������������������������������H�����

���������������������K����������

L>=<CF?>@AC@FG=DC=?M><?G@GN;<=>?@O

J����������������1��������9P��������:����������������������������������������������������

�������������Q��,%*3%+3%R0����������������������J�������������������6�:���������61������

������������9����������������1������������������������6���$S!$S,%*3%+3%R03T!�3�3�������

����������������1����������9����������������������������1�����������������U�����������������

������������V���W�������1������9�����������1����������������1����������������������������

�������������H������������VX���WX1���������������������������������U����%S3T!�3�3

��������������������H����������������������V�������������61�������������������������6���

������9�%S�$S3T!�3�3�����������H���������������VX1���������������������������������

Page 233: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������ �������������������������������������������������������

����������������������������������

�������� !"# $%�#�#�

��������� !"&'"(!)#!*#!+,# $%�#�#�

�������� !"&-!"# $%�#�#�

��������� !"&-!"&'"(!)&-!)#!*&-!*#!+&-!+,# $%�#�#�

(�.�./�,

0� ��1�������������2��������2����������������2��������������������2������ ����

����2����������3%454646

#�����46%����24%����.7�����������������������2������

������������2�������46��24.7��8�������4*6��24

*�������1���������2�1����2���2�� ��2����

��������������9�� ���������4*6%-!"-!"#��2���2������4%�������������2������������

!"&-!"&'"(!)&-!)#!*&-!*#!+&-!+,5(!"&'"(!)#!*#!+,,# $%�#�#�.

09 ��2����8�����1'"(!)&-!)#!*&-!*#!+&-!+,��7�1���������������� ������2�������

������2�������������9 ���������2����

4*%(-!"&:'":!;-!;,(-!"&

:'":!<-!<,.

09 ��2��������������9 ������ ��2��������8�����

4*%-!"-!"&:'":!<-!"-!<&

:'":!;-!;-!"&

:'":!;

:'":!<-!;-!<.

=�������4��246������1�������2�����9 �������2>������4*54*6����������������3.?����

����

4*54*6%(4&46,(4546,%(4546&�46,(4546,%(3&�,34*6.

=�����3���1��������23*����������������8����� ��2�������� ��9�����

34*6@4*54*6�

%�

A:';:!<

&:'<:!;

&:'B:!;

:'B:!<

C

-!;-!<.

7��8�������

3;<%�

A:';:!<

&:'<:!;

&:'B:!;

:'B:!<

C

(�.�./�,

������2���D�����������������E������������������7���������3"F��2��2��������������2��

����������������!"%G"F!F&H"#�����GF"GI"%JFI%G"FG"I.=��������������2��������������KLMKLN%G"F

��2�����������������8������'"%G"F'F#$%�#�#�������9 ���������������������2�1������

����2������O������������������1����������� ��2����

3"F%�

A:'":!F&:'F:!"&:'B:!"

:'B:!F

C

%�

A:

:!<(G"I'I,

:!<:!F&:

:!;(GFI'I,

:!;:!"&:

:!I(GBP'P,

:!I:!"

:

:!Q(GB;';,

:!Q:!F

C

%�

A

G";G<F:';:!<

&GFIG;":'I:!;

&GBPGBRGI"GQF:'P:!I

:'R:!Q

C

%�

A:';:!<

&:'<:!;

&:'P:!;

:'P:!<

C

G";G<F

�� 3"F%3;<G";G<F.S����8�����1���������3"F�����������T�������2��2��S��������������

Page 234: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������������� ������

������������������������������ �!���"�����"��#�����#�����$$!%&��$!������������"��!����

��"��#�����!�'����������"�����(����#��"��������"���)*�������� #��"��������"�"� �""�������

��!�#��"�������+���!%,������-�����������#��.��/�"�������� $�#����� ���������������������

��!�(�#��("�����0��1�23�43�5367),����'�"���#���8��� ��+��+��#��9$�����+��"��"�����������"!�

� �����������������������!�:���"��"������������"� �""���������8"��8����"!���"���"��"�����������

���9$�����+%;���#��.����$8��� ����"��� �"!������ ���#��"�������%,������<�#�.���=1>>7� ����

�"��� �"!���������?�"��� "�!@�"�:����.�'����� �9$��������'��$��9$���'�"����0��1�23�43�53673

(��"������������� �����"��#������(�/�"���������"!�� ��������������$��������������!�%A$#��

"��"������������"� �""��������B$��"����"����������#"������� ���!�����%

���1�23�43�57������������������������� ���"��#��(����!����������#"�.��.+��0��1�23�43�5367:

����C�0��D������������������#�!���'�#��"(��#�#��.+"��"������������8"��8����"B$��"���

�"!%E�"�/�!���:� �20�1�2D�471F

GDH7I1�4D�271FJGDH7I�2

�401�2D�471FGDH7I1�4D�271F

JGDH7I�4

�50�5

�������������#�!���'�#��"#��.�"��"��������������8"��8��� �"!

C20�1�2D�471FGDH7I1�4D�271F

JGDH7

C401�2D�471FGDH7I1�4D�271F

JGDH7

C50K

�"���B$��"��� �"!

C20�2D1��4D�271HDFJG7D1�2D�471F

J4GDFJG7D�2FJG

C40�4D1��4D�271HDFJG7D1�4D�271F

J4GDFJG7D�4FJG

C50K)

L��������������8"��8����+���!���������#�!�����"��/�"���������"!�� ���������������������

��!�:(���������B$��"����+���!��������������'�"��.����"������������#��"������������!�%B$��"

�9$���������#"�.�:��� $�#����� ��!�:��(�$#�����8���������+:�"���$"�:���M$��'���#��+#���8���

�-/������������!���$!%N�#���"���:�����8"��8���'��(����� ����(������!������"+� �!�'��8

����'��$��M$����"��#������!�'����"�$8����!���$!%

Page 235: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������������� ������������

������������������������� !"#���$�%�����%����&'������'(����)*�����'��������&�+��

,-./-0/-12%�����'3'���$�'�����%��'��$4$��&*�����$�5�%��$('������'������%���'����%��'��

��'�$���&'����-67-6,8./80/812/ 97"/�/ '�%��(��$���'::(����$*����������������&*�����$(���

��'$���������':�;�%����%��'��$,8./80/812<+��)%�����'�����':(�����������������&*��:����$

��'���$��'���%$�'��'�%'$$�&���'����$(�������$��'�$���&�%��'(����)=*��������������&

�5(�������$�5����':�����$�>�)&�?�$��)=@����'::(����$A*����'����'�)*�::&�?���(����$A=

��'�)=<���'��&'������'��������$��'���%$�'��'::���(����$�������������&'�����������%*���

��$(��������$���������':�;�%����%��'��$,8./80/812<B�������$��'�������$@*��'��&'������'���*�::

C����?����������(��$���'::(����$�������������&*�����$(�����'��*C'���%$4$��&������%��'��$

,8./80/812����'::���������':$��������%��'��$���+'��'���'�$4$��&������%��'��$'�%�����*$��

��C'���%����%��'��$���D�:���'�����%��'��$�E��D�:���'�����%��'��$'��'$$�&�%��C�%�$���C�%C4

'$��������%��'����'�$���&'�����F�'����$86786,8./80/812/ 97"/�/ *�����?��$���'�$���&'����$

86786,8./80/812/ 97"/�/ /*����'��'$$�&�%���5�$��E��C'���%'�%��C'���%����%��'��$�'�

C���:'��%��'�5�%$����3'���$�'�����%��'��$-6/97 "/�/ /'�%*�&'4'$$�&���'�������5�$�$

��'�$���&'�����F�'����$

-67-6,8./80/812/ 97"/�/ '�% -67-6,8./80/812/ 97"/�/

*������:'�����C'���%'�%��C'���%����%��'��$�����3'���$�'�'5�$�>����%�$��$$�����'���::�*$

C�$���������*������������$'C'��?��'$4&C�:@'$*�*�::C�G�&(���C'�H'�%�����C��*������

+'��'���'�'�%D�:���'������������'&�$�

I������� !"#�J��'���������':�;�%����%��'��$

>����+'��'���'�$4$��&����C'���%����%��'��$*��'?����C'$�$?�����$KL67MKN

M86*����(��%���

���&������$O6P7KL6QKLP<J�&�:'�:4@�����D�:���'�$4$��&��C'���%����%��'��$*��'?����C'$�$?�����$

KL67MKN

M86*����(��%���$���&������$R6P7

KL6QKLP<E��$�C'$�$?�����$'���::�$��'��%������������ !"#�

Page 236: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������������� �������������������������������������� ���� �������

���������������������������������������� �����������������������������������

�������� ���������� ��������� ����������������������� �������!"#$%� �

&�'#�!"(�!"#���#)*+�,

*�,+- .�/�/012

3���)*+������������������������� ������� ����4������������ ���������������

������������������������ ����

&�'#���#)*+�,

*�,+- 3��� )*+#)567,5

7,*7,6

7,+/ .�/�/002

8������� ����9�������� ��� �� ����������� ��������������������

&�#�!"(�!"#���#:*+�,*�,+- .�/�/0;2

3���:*+��������������9�������� ��� �� ��������4������������ ���������������

���������������������������� ���� ������ �

&�#���#:*+�,*�,+- 3��� :*+#:56

7,5

7,*7,6

7,+/ .�/�/0<2

=������������� ���3��>�

���?���#.:*+?)*+2�,*�,+#�@*+�,

*�,+

3���

@*+#A

�.:*+?)*+2 .�/�/0B2

���������C������������ � ������������������� ���������>�� ����9�������� ��� �

� �������3��� 3���

���?���#D:*+?)*+

E�,*�,+#�@*+�,

*�,+

3���

@*+#A

D:*+?)*+

E.�/�/0F2

������������������������ � �9��������������� ��

Page 237: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ����������������������������������������������������������������

�����������������

��!�"�#" ������������$%����������

��!�"�#" ��������$%�������������������

��!�"�#" ������������$&��������

��!�"�#"��������$&������������������

'��������������������()��!�(�������*������+�()+��!+�(,-����%������������������������

���������.����������������������������������!�"�#"�������+�(��������+�(!+/"�#",'�

��������*�����0��1�123������4���+����������+��!�"56+/6�#",����������������������

������������+�(!0+/")�"56+/63�#"����%����������������������7���������4���+8

9����

%�������������7� ��

+�(:+�(!+89!0+/")�"56+/63�#":0+/

;)�;5<+/<3�#;

!0+/"+/;)�;5<+/<+/")�"56+/

6+/;)�"56�;5<+/

6+/<3=";

�������*��������������������0�����23����������������������

>";!�

?�"5;)�;5")�<5"�

<5;

@, 0�,�,AB3

����������������������%�������������������������������������������������

>";��������7�����������������������������������������������������������*�����

0����AB3�C�������������������*�����0����AB3��������>";!D90�"5;)�;5"3,

-������$���������������������������������������������&��������$���������

����

��!�"�#" ��� +��!�"56+/6�#",

�������������������

+�(!+�(E+��!0+/"E�"56+/63�#",

����������������+�(����&������������������������������������������������>";�������

�������+89E+89,-���������4�����������������������

>";!�

?�"5;)�;5"E�<5"�

<5;

@, 0�,�,A�3

����*�����0����A�3��������������������&�����������������������������������C����

�������������������������������*�����0����AB3���0����A�3����������������F��%��������

���&���������������>";!D90�"5;)�;5"3,-����������������������������*�����0����AB3���

0����A�3��������������-���������������������$�����������������������������$���

�������������*�����0����AB3���0����A�3������������������%�����������&����������

�����������������F������

>";!�

�G�"5;)�;5"H >";!

�G�"5;)�;5"H, 0�,�,A�3

Page 238: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������� �������������� �����

���������� �!"#$"%��������� �&!'���! (��)��*��������+��������,���-.,/01�1�������

�)��� �����2������*����3�����4�����5������������3�*����)���� � �����* ������6��73�

�����)3�����������*58��)�� �����2�����-.9:-.,/01�1�;<� ����)�+���������)���� �)�

�� ���������2�����=>;?������ � �����)��=>0=>@-A1-B1-CD������ �)��� ���������+���8)���)�

���������� ��� �����* ������E)�+������������ ����� �)����� �����* �����5��2� ��5F���7

��2� ��7F;6��� +����������� )��3��8����)��� �����573�*����)� ���������)��� �����5F7F8)��

�)����������� ��� �����* ���������=GA1=GB1=GC3� � *������� ��� ���������58�)�2����2��� �4

)�8��)���*

=>@-A1-B1-CD0>.=G. �)�� :=>0>.HI:-I=G.;

J�8*��=>9:=>�)��� ����������*�)������78���4� �2����������������8����

579=>9:=>0=>95F7F; @�;�;��D

6��570:-.=G.0K.=G.����������3�����4 �����)�������)�����������E)� ��3�����4�� ���������

��� ��*�������5F7F0L.=G.������)� �����* ��������)�����������M����4����)��N������@������D

8�8����

:-.9>.HI:-I0K.9>.HIK

I0L.

8)��)���3�8���������)�*���

OK.0L.PK.0>.HIKI 8)��� :-.0K.1/01�1� @�;�;�QD

������ ����3�����4 �����)�����E)���� ��>.HI����)�� ���������� ��>.HI0R.S>SHI������������

��� 4���������� �� �?�8�2��,8�T��88�����U��� >.HI� �)� ���*� 4�������@V.ID��� T�8

4�������@W.ID��� ���(��)���*���8����

>.HI0V.I9W.I �� >.HI0V

.I9W

.I1

8)���

V.I0

�@>.HI9>IH.D0

�@R.X>

XHI9RIX>

XH.D ��� W.I0

�@>.HIP>IH.D0

�@R.X>

XHIPRIX>

XH.D;

E)���*���������*� ����N������4K.����)���*���3������ �����34����� �����L.PK.0V.YKY*����8��

34���������L.PK.0W.YKY;

Page 239: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������� � ��������� ���������������� �������������������������������

������ ������ ��!������������� �"���#����$������������������������������ $����%�����

��������� "������#�&���� ��������$$ ����������������� ��!���$����������������������

$�� � �$�$��"������#��������������������������������� ��$ ����������������������

$����%� ������%'���������������� ��!� "������������������������(��)��*��� ���������

��������������"��+���������(��)��*�$������������������$�� � �$�$��������������������

,�����������-������������$�� � �$�$��

.��/0����������� ��������$�� � �$�$�������������� ��!��%"��������������� ��/0'

����������� ���������������$�� � �$�$��������������1������������������(��)��*�����

$����%'2����������������������������� �����������������������"#��������� �� �����

����� ������������$����%2+���� ��������������&$�������

34/0'5/0

/04678�9�97:;2 ��2�2<=�

>����?@�74������$������������$ ��������� ��������������1���������� �����A������

�����<B�����$�����������$ �����������(��)��*��������

(@4�@C?@DE�E

)@4 @C?@DE E

*@4!@C?@DE!E

��2�2<<�

������� ��!���"���#��� ���������������������$����%��������������������+��� �������

�� ���/0�"������������1���� �� ������������$ ���� �$������ �����

/04��F�� G�!�4H@EI�@ E!I2

+��� ��������� ���/0'�����������������������1���� �� ������������$ ���� �$�����

/0'4�(F��)G�*�4H@EI(@)E*I2

Page 240: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������� �������� ���������������������������� ��������� � ���������

���� !"#�$!%&!'($

(��)"%&"'*)*��+#%&#',+

,�-

./�������� ��������� � ������������0���� ������ ��./� ����1��2� �������23�4����

������4�� �����������������������

5����6��

���&7'7�����8&�- ��-�-�9�

:�����2��������������������� �������������������4����;�������� �������������������4���

��<� �2��� ����������������������� ������������������ ��������;�������� ��������

�����������4�������=� ��� ��<� �2������� ����������������� ��������

>������������ �� !"���/� ���������� ������������������4����0��� ������

!"�1

��&!'"%&"'!�? �����������0 @(* (*�&

7'7- ��-�-�A�

B���2�� �� �������0��������� �����������������������/� �������� ��������� ���������

����������������

CDEFGHIJKLDEDMNJFF

O����� ������� ������ ��� � 0 ���P�����������Q��R�R�S?T?U?V��������������0

��������� ���3������� ����W�����������������������������0R��@XY+XZ�������0����

�������[������������������� ���P���������0��������� ����\3����/�� �� ���� ���8]

��4����� 03�� ������� ����� � ��� 23����8_�8_�S?T?U?V��������������04�������������3������

�����3���������������:���������04������������+XY +�������0�����������>������

��� �������a�2�����3������ ������������/��������������� ������ ��������� ���P�

.������3����P��������� �������X3�� �X�

bbb

c

Rde3�������������@X�������0������

�����B� �de����������������������������� ���P-:������������3����������������

�0��=� �������������� �������f�=� �������������� ����������������

gX

gV�

bbb

c

gR

gVde ��-�-�h�

������������������@XY +-

O����� ��������� ������� ��

i�

bb

j

R8_kl]dm ��-�-9n�

3�� �dm������������� ����� �������� ����\3�����������P��l]������/�� �� ���� ���

����� ������� ����\-:������������������ ��i������ �����0�/���������������������

�� �������� ����i-[�4�����

oip�@X

+XZk+X

+k+Xq�

@X

+

����������������i������������������������ �������������3������� ���P-:��

�� ������� ��i�����r�/ ��������� ���� ��������� ������P�� �� ������������������

Page 241: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������������ ��������������������������������������������� �������������������

������������������������������� �������������������� ������!����"#$���!����%&$��'����

�������������������������������������

()

(*+

,,,

-

(.

(*/0+1

,,

2

.� ���/34 !�4�4%5$

6�� �����!����%5$�������������������������������������7�������������� ���������

�����������8�����7�������������946���������������������������������������

������������������8�������������������������������:����������������������

������������������ �����!����%5$���'���������'�����������������������������������

�����������������'���������

,,,

-

;(.

(*<���!.� $

=

/0+&4 !�4�4%�$

>�����������7������'�������������������������������������'���?�������� ���@���

6��������������������� �����(.

(*<���!.� $+& !�4�4%�$

��������������������������������������������������������6����������������������A

��������������������8��

� ������������������������� ��������B

(.

(*<� �����.<.���� +&

(.

(*< C

(.

(DC<.( C(DC+&

E.

E*<.( C(DC+&

����E.

E*+(.

(*<(.

(DC/DC

/*+(.

(*<(.

(DC C��������������������������������������.4F�������

������������������������������������GHGIJ C�����?������������������������������K���

�������.+.!DLMLNL*$���������������

E.

E*+(.

(*<(.

(D

/D

/*<(.

(M

/M

/*<(.

(N

/N

/*+(.

(*<(.

(DC/DC

/*+& !�4�4%O$

������������������� ����������������!� $+&46��������!� $��@������������������

����������'���

PQRSTUPVWXYVWZ[\]_] _aPb c_\]de�����f��������������������������������������

g\h _\]if��!jLkLl$����������������������8�������������������������������8���'�

.!jLkLlL*$����.!jLkLlL&$�����������������������*+&4m�������������������������

��������������������������'�7!&$������*+&���'�7!*$��������������*46��������

���������7!&$��������A�A���������������7!*$4K�������������������������7!&$��

)!&$+

,,,

-nop

.!jLkLlL&$/0!&$����/0!&$+/j/k/l�������������������7!&$4q����������

Page 242: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ���������������������������������������

���

����

�!"#"$"��%&���'����

%&����%(%)%*� ������ ������������+������� �����%&�,���%&����-./010230405

6%&�,�'����-�

���78���������9+������(")"*�������'�������8������:�������!"#"$�������������;<��

�8���������'���=+�������������,�������>?�����������

�!"#"$"��-� �!"#"$",� ��>�>@A�

���������B��8������������������,���������;?��������� � ����=+������;�;@A���� ���� ���

������� �%

%�� �!"#"$"��-��,> ��>�>@��

?������:���������������8�����+����=+����'��8��C�����8���������;D��������+��

���%-

%��- ��EF"�����������GB9C��8���;��B����=+������;�;@��8����C�� � � '�����������

����H

H�I ��EF�, ��>�>@@�

'����JKJ�������=+������;�;@L�;?�����������8�����+����=+������;�;@@����������9+���������

������+�� ������� ;

M����9+�����8��� �������8�����+����=+�����'������NKN�I ��� EO��,B'���������:������

�������8�����+����=+�����'������P�KQ�P� �,>R�������������8���8�������:������C��

��� �����8������ ;?�����S�8��������� ��8��������EOT�� ;?�+B���� ��������

��8������ ����� ���������������;?���8�S�'� ��� �����8�8����;?��������

�����������������+�� ���8�����������������'������9+������ :���������'�����;

M�������B����:���������'�����B��=+�����U�(")"*"��'��8���+�8�����������������

� ��������������������� �����S+� ����8����OV"OW"OX���U�(IOV%�")IOW%�"*IOX%�"�I%��;

?���������� ����������U8���������NYN�� ��� ��8��������EOTZU;M��������S�'B���

9+��������'�������S�'����� �+���[C� ���+�����8�B ���8�� ������=+������;�;@\�B

M�8�����B���:���������'���������������+��������'������S+� � 8���=+�����

H

H�

���

����

]%&�,"

'����������������������+��������'������S+� ; ������'�������� +8������8�����+���

�=+������S�8�������8������������;

_ aabcdefgbhijklbmienh

:��++����o������8�=+����'��8������ �����������8�����++�;p���� ����� q

rs�������������8�����+����=+�����

t

t�I� Ou�0u�,

Page 243: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������� ����� ���������������� ����������������������� ������� ���

����������� �! "�#!�!�$

�������� ������%�����������

�������

�&�� ��������� �������� � ��

'���#

�()����)���*$

+�,������������������ ���� � ���� � - ��.������� ������ ��.����������� �����

�������� �������-��, ��-�/���0������ �� ������� ������ �1� ������������� �� �����������

0��������� ������%���������������� ����� �������������������-������� ����,�����

2������� 3��������0����� � �%����� ����������������� ������� ��� ����2�������4��,��5

�� �1���������)6!)7!)8

9��� �� '66!'67!'68!'77!'78!'88

9������� �66!�67!�68!�77!�78!�88

������������.,��� ��������� � ���� ������ �� �,���� �������� ���������4��,���

:�����������-������� �������� ������������ ������� - �%������� ��1�1�� �������

���� �����;�,�����31������ ����� ��������� <���������� �� ����� ��,�����-=��������3�����

������>������ �������� ���,� ������ -�������� ��1�1�� ��������������� ��� ������ ����

+���������, �%���� ���,�, �� ���� %�������� ��� ������ �������� ������ �� ���;�, ����� ��

���������� �������� ����� ��������%�,������� ��� ������� ���� 1-��,��������������

��� ��;�, ��������� ��1���� �� �������� ����� ����? �������� ����� ���������1�1�������

�������� �������������� ������� �-������������ �����������������%������������������� ��

���������������1�1�� ������������� ������ ����1�������

Page 244: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������

� �������������������������������������������������� !"#$%��&'#(��� )!*)!*#+,!-��

�����������&./0�������1�������%������

234#5

�-637486473.#

5

9 3:6

:748 4:6

:73

;

�������������������%���<����������<������

2-&(.#2!"+!+"

�������������&��(

6-&.#+!6! �������������&

����������������=�������>

2!!# !:

?@6:

@A!8

BC

D&

E

6FG

�������������&

�2!"# !:@6:

@A"8 ":

@6:

@A!H &'#(

2-&&.#@

@A!

I6-&.

+!

J

85

�+,!

KL

FMN

6-D.

+F

@

@AF9+,!;�������������&

�2-&(.#+!+"

@

@A"

I6-&.

+!

J

8+"+!

@

@A!

I6-(.

+"

J

H �������������&��(O&'#(P

� 0������������%���<��Q���5����������������<�������%�����������������R�������������������/

0�������������6-5.#6O6-�.#SO6-�.#T���

2-55.#2UUH 2-��.#2VVH 2-��.#2WWH 2-5�.#2UVH 2-5�.#2UWH 2-��.#2VW

��X���%�������������>

2UU#@6

@A

2VV#@S

@Y

2WW#@T

@Z

2UV#5

I@S

@A8@6

@Y

J

2UW#5

I@6

@Z8@T

@A

J

2WV#5

I@T

@Y8@S

@Z

J

� �0������������%���<��Q���5����������������<�������%���������������������������������������/

0�������������6-5.#63O6-�.#6[O6-�.#6W���

2-55.#233H 2-��.#2[[H 2-��.#2WWH 2-5�.#23[H 2-5�.#23WH 2-��.#2[W

��X���%�������������>

233#@63@\

2[[#5

\

@6[@]863\

2WW#@6W@Z

23[#5

I5

\

@63@]8@6[@\^6[\

J

23W#5

I@6W@\8@63@Z

J

2[W#5

I@6[@Z85

\

@6W@]

J

Page 245: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

� ���������� ��������� ����������� ������������������������������� �����������

����������������� ������! ������"���

#�����#��$ #�����#!!$ #�����#""$ #�����#�!$ #�����#�"$ #�����#!"

�%����&��� �����

#���'��'(

#!!��

(

'�!')*��(

#""��

(���)

'�"'+*��(*�!(��)

#�!��

,�

(

'��')-�!(*'�!'(

.

#�"��

,�

(���)

'��'+-�"(*'�"'(

.

#!"��

,�

(

'�"')-�"(��)*

(���)

'�!'+

.

� /�01�����2����������34����5����� ���������������&���� ����������������6���

�&������%����&�

7��

898:8;

<'�8:8;�����

'=9*'�898;�����

'=:*'�898:�����

'=;

>

� ?�@����&���� �������A�������������������

7�#BB*#CC*#DD�'�

'=*'E

'F*'G

'HI

� J�@����&���� ��������& ������� ������������

7�#KK*#!!*#DD�'�K'L*�

L

'�!')*�

L�K*

'�D'HI

� M�@����&���� �������������� ������������

7�#��*#!!*#""�'��'(*�

(

'�!')*�

(��*

(���)

'�"'+*�!��)

(I

� N�O����������6��� ��������������������������PQR�������������������&����

����������������

P�ST���

�8Q8R

<'�8Q��S��

'=R-'�8R��T��

'=Q

>

$ �����������

U��VO������ ����

� WX��������� �������� ����%����&���A�����������������

PCB��

,'E

'=-'�

'F

.

PBD��

,'�

'H-'G

'=

.

PDC��

,'G

'F-'E

'H

.

Page 246: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

� ����������� ��������� ��������������� ������� ����������

�����

!"# $�%

" &"$�"'

(

��)��

!"$�"*&"$)"

(

�)���

!�

"$)"'&"$�"*

(

� �+��������� ��������� �������������������� ����������

��,��

�-

!"#-$�%

"-&"$,"'

(

�,.��

�-

!�

���'

"$,"/&"#-$.%

"-

(

�.���

�-���'

!"#$.���'%

"'&"$�"/

(

� �0�1������������������2�� ��������� ������ ���������� ����������������������������

�3

4567589:6��; <;=��;�;>;

3���465�����������������������?:6�����@���� �����������������������9���������

��������� AB����������C��� �������������������������� �3��C���� �A

#�%D�3�

45675��EF

"

"G5#EF456%&H<=;IJ4

K5

#�%��������������

4#<=%�456L5L6

������������<��=

:#<%�:6L6

������������<

4#<=%�465L6L5 ������������<��=

����@�������2�� �������2�������������������� ��������������������� �����

MN

5OP

�EF

"

"G5

QEFL64#<=%

L5

R

&�

MN

5OP

4#==%

LS5

"#LS5%

"G68L69:#<%��;

3��������������������<T

� �U��������� ��������� ���>������������2�� �������2��������V�����������������

������@�������"4WW"G8"4WX"Y8"4W)"*89:W��

"4XW"G8"4XX"Y8"4X)"*89:X��

"4)W"G8"4)X"Y8"4))"*89:)��

Page 247: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

� �������� �������������������������� ������ �� ���������������������������

������������ �!"�

!

�� #�$"�� %�&"�

!'� (�##)"*+ ,-

��# �!"�

!

��##�$"��#%�&"�

!�# "*+#,-

��% �!"�

!

��%#�$"��%%�&"�

!�% "*+%,-

� �.������ �������������������������� ������ �� ������������������������

����������

��//�0"�

0

��/#�$"

0���$

��/1�2"�

0'��//(�##(�11"�/#��$)"*+/,-

��#/�0"�

0

��##�$"

0���$

��#1�2"�

0'��/#"3�##(�114��$)"*+#,-

��1/�0"�

0

��1#�$"

0���$

��11�2

"�

0'��/1"��#1��$)"*+1,-

� �5�6������ �����7�8���8���������9������ ����'�:�:;-):

� �<�6������ �����= �����������9����� ����'�:�:;�):

� �>� ?�� ����@AB,CBDEAEF�������������������������������� �G��������:?�

� ����@AB�������H�������IB(AB�J�� �������������������:

'�)7KAK������8�� ��������AB������J��������L����������AB����

������

L,@KAK

KAK,LBE

MAB

KAK

NMAE

KAK

N

,LBEOBOEP

J��OB��� ����������������AB:

'�)Q��J�����OR,�POS,-POT,-���� ��L,LRRFJ����������� ���������8������OB��

�U���&��������:

V��WX���������8�� ��� ���KAKS,YBEABAE:

� Z[�\�����'�P�P�)������������������� �����������]A, 'ST_R"ST_S"

RT_T)FJ��

a-��������������� ����:?��������� �G��������� ����������J��8���������9��

�� ��:

]C,'bU_R"U&_S"b&_T)c�-dS

X��� �������������]I�������������9�������������:

� Z��e������������9��

]C,'bS"U&)_R"'bU"&S)_S"bU&_T

'�)X��� �������������������'�P�P�):

'�)X��� ��������������������'�P�P�):

Page 248: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

� ����������� ������ ������� ���������������� � ������ ������������� ��

����

���� !"�#$%&

'(

)*+

��,"

�)

-#�."

-/)0

'(

1231425

#�,"

�)�%

6

��."-�%-/)

7��,"-�)-/%

8

� �9� :� ������������������������ ��� �;<=<��������> ����������>��?����������

���@����������>����� � ���A��������

B�

�&B;

;0B=

=0B�

�&7C?�D7�E"

FG

H��I> ��J&FKC�D7�E"����������>�L���>�>����������@

� �M������ :���� ������ ������ � >���I>�� ��

-N

-�0-�NO"

-/0-�NP"

-Q0-�N="

-R&S<

������O<P<="���������������� � �@

� �T������ ���� ����������� ������ � >���I>�� ��

-N

-�0D

U

-�UN�V"

-U0D

U

-�N�W"

-X0-�N�Y"

-R&S

������V<�W<�Y���������������� � �@

� �Z������ �������������� ������ � >���I>�� ��

-N

-�0D

[\-�[\N�]"

-[0

D

[�� X

-�N�W�� X"

-X0

D

[�� X

-�N�"

-_&S

������]<�W<� ���������������� � �@

� �� �"a���������bcc����� �����I>������� � /<Q�� � >>�@d��>��� �����

���� �������>��>����������@��"a���������bee����� �����I>������� �

/<Q�� � >>�@d��>��� ��������� �������>��>����������@��"f���>��������� ����>�

���>��� ����" ���" ��A��� ������� ������� �

gee&beeF7EbccF

� gcc&bccF7EbeeFG

� �h�����������������������i���� j&j

6/<Q<R

k<l<m

8

���n��oj

o�&j����������

�����&-�+-/0-�\-Q0-�'-R

� �+&o/

o�< �\&

oQ

o�< �'&

oR

o�G

p� qr��/<Q<R"&�/+</\</'" ��k<l<m"&�k+<k\<k'"s�� ���

g%tu-�+-k%

-/\-kt

-/'-ku

&g%tu-�+-/)

-/)-k%

-/\-kt

-/'-ku

&g%tu-/+-k%

-/\-kt

-/'-ku

-�+-/+< ��@

Page 249: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ���������������

������������� ������ �������!!" �#�� �$" �����"���"%#�� "&�#������"� ��%��'��"(�)�� #*

"+" �� �"#�"�%)",�"��#*-�� "�# ���'�(����*���#��.����/��#�����������"%#�� "&�#�������#�

#�"#((*� #%*"��#** ������#0��"�"#�""&�#�����$�� �#�" ������ �"����#1"����# ����!#�"��#*

�#�# �"����� �/2�"�""&�#�����#�" #**"� ���������3""&�#�����/4��",#!(*"0����"����)�-��*�����"

���������3""&�#�����-��#*��"#�"*#��� !#�"��#*��#�"��-�"*#�����%"�$""����"��#�����#��/����"����)

�-.����0��" ���������3""&�#����� ��������-#�"��-�"*#�����%"�$""����"��#���#�"�-���#��/5���������3"

"&�#�����#�"���#**) ������ �"�-��!��!"%#�� #,��!�/2�"�"��*���'"&�#������#3"��1��$�!#�"��#*

(#�#!"�"��$�� � #�%"�"�"�!��"�-��!",("��!"��#*��3"���'#�����/

6�"�-��"%#�� #,��!�0��"�����"����)�-"*#��� ��*���0����#��-!#�"��#*��3#��#� "/2���#,7

��!�"&���"���#� "��#���)!!"��) ����������-��*���#�"���"!#����3#��#�����"�#�"��-�����'��#*

��#��-��!#�����#����#��*#�����/2���#,��!��"!(*�)"�����"�",��" ��������!(*�-)��" ���������3"

"&�#�����-��"*#��� ��)/8"%"'���������)�- �������!!" �#�� �%)��3"���'#���'��"�"3"*�(!"���-

���������3""&�#�����-��*��"#�"*#��� ��*���/

9:;:<=>?@:A�BBC:DE�=F

�-��" �������! !#�"��#*��#*��"#�"*#��� !#�"��#*0$"������� "��"'"�"�#*�G"�H��1"I�*#$��

5#��"��#� ������#�"�

JKLMNKLOPQOPR SRTRURVMWR�R�X Y�X�XWZ

2�"H��1"I�*#$��#��#�"!"����#���"���"����(��(������#*����"'�#��"���-��"�"-��!#����� �����'

����"!#�"��#*/2�"�""&�#�����#���!"#*��"#��"*#�������(",����%"�$""���" �!(��"����-��"���"��

�"����#�����#���"����#��$"�#)���"����#*��"#�-�� �����-���#��/[� ��"*#�����#�"�"-"��"���#�#

�"��- ���������3""&�#�����/5���������3""&�#������"�3"���"� ��%"��"!#�"��#*(��("���"��-��"!"���!

$�"�������%\" �"���",�"��#*-�� "�/

�B;E]?]]?_:� =]?B;E

2�""&�#�����Y�/�/WZ#�" ���������3""&�#�����$�� �#�"#((*� #%*"-��!#�"��#*�",��%����'�!#**

�"-��!#�����$�"���%\" �"���",�"��#*-�� "�/2�"aW ����#���NKLOP#�" #**"���""*#��� ���+�"���-��"

!#�"��#*/2�"#%�3"�"*#����� #�#*��%"",(�"��"�����"-��!

QKLMbKLOPJOPR SRTRURVMWR�R� Y�X�X�Z

$�"�"bKLOP#�" ����#��� #**"���""*#��� �!(*�#� "�-��"!#�"��#*/[�� "��"���"��JKL#�����#��QKL

�#3"%""����$���%"�"�����$" #� �� *��"��#�%�����""*#��� ���+�"��NKLOP#��"*#��� �!(*�#� "

bKLOP#�"-��������"��"�����/c�"����"�)!!"��)�-��"���"��#�����#���"�����$"d����#���""*#���

���+�"��#��"*#��� �!(*�#� "�"����!����#���-)��"�"*#�����

NKLOPMNLKOPMNKLPOMNLKPO

bKLOPMbLKOPMbKLPOMbLKPOY�X�X�Z

#�� ���"&�"��*)��*)�e�-��"aW ����#���#�"# ��#**)���"("��"��/�-#**�e�-��"!#�"��#*Y �)��#*Z

����#���#�"���"("��"����"!#�"��#*�� #**"���� *��� #����"�"#�"��!#�"��#*�)!!"���"�/

Page 250: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������ ������� ��������������

�������������� � !"��#�� � �"$��%�&�'(�$�#%)������*�(�������+���������,��$��&������&��

���()-� �������$$�.'(����#%)#�/���0�������������

123 143 153 163 173 18

923 943 953 963 973 98

,��&� :

;12 16 1716 14 1817 18 15

<

=>

:

;122 124 125142 144 145152 154 155

<

=

��# :

;92 96 9796 94 9897 98 95

<

=>

:

;922 924 925942 944 945952 954 955

<

=?

�������0���&�(�-�#@��A�B�(�,+&�.�������������� � !"��#�� � �"$��%�&�'&������#�������&�+

���+�&.�

9C>DCE1E �& 1C>FCE9E ,��&� G3H>!3???3I ��?�?�"

,��&�DCE�&�$��������&�(���#������(����$���J������#FCE�&�$��������&�(���#������(����$$�.'(���$�

�����$�������������+)���&�(�����

FKCDCE>LKE ,��&� G3M3H>!3???3I ��?�?N"

@�&�

1CE>

O1C3 G>H>!3�3P

12QCQE3 GR>H3��#G>!3�&3�

��#��.�(�&()

9CE>

O9C3 G>H>!3�3P

92QCQE3 GR>H3��#G>!3�&3�?

�����&�(���������,�������$��������DCE�&�&�(���#������(����$���J����$��S$�����DTUVW%)���

&�(������DK2>DCE22

DK4>DCE44

DK5>DCE55

DK6>�DCE24

DK7>�DCE25

DK8>�DCE45

,��&�

M>

OG3 �+G>H>!3�3�&P

!XGXH3 �+GR>H��#G>!�&�?

Y��.�(�&�)'�&�(�������(#�+�&���$��������FCE��#FTUVW?����%�*�&�(������$��%�*�&�/�#%)�Z'��#��0

�������������� � !"��#�� � �"��#$�.'�&��0(�A���&.�,�������Z'��#�#+�&.�+������������� � �"

Page 251: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ����������������������� ������������������ ���� �������������

�������� ������ ����� ����������������������� ����������������

!

"""""#

$%$&$'$($)$*

+

,,,,,-

.

!

"""""#

/%% /%& /%' /%( /%) /%*/&% /&& /&' /&( /&) /&*/'% /'& /'' /'( /') /'*/(% /(& /(' /(( /() /(*/)% /)& /)' /)( /)) /)*/*% /*& /*' /*( /*) /**

+

,,,,,-

!

"""""#

0%0&0'0(0)0*

+

,,,,,-

1 2�1�1�3

4������5��6��������������������6���������������7��5�������

!

"""""#

0%0&0'0(0)0*

+

,,,,,-

.

!

"""""#

8%% 8%& 8%' 8%( 8%) 8%*8&% 8&& 8&' 8&( 8&) 8&*8'% 8'& 8'' 8'( 8') 8'*8(% 8(& 8(' 8(( 8() 8(*8)% 8)& 8)' 8)( 8)) 8)*8*% 8*& 8*' 8*( 8*) 8**

+

,,,,,-

!

"""""#

$%$&$'$($)$*

+

,,,,,-

1

9:;<=>:?@ABB<;=><C

4�����2�����3������������������������ ���������������D��������E%F

E&��������������������������7������2�����3�����������5������ ��������� ����

������������ !

#E%E&E'

+

-.

!

#G H HH G HH H IG

+

-

!

#E%E&E'

+

- 2�1�1J3

������������������5�����������E'���������6�����E%FE&������������������������ ��

���������E'��IE'� ����7������2�����3���� ������������ ��������7��5����������

�����������������������������7�����2����J3��������������������������$K./KL0L�����

���/KL����������� ����������������������M�����������������������7������

E%.E%N E&.E&N E'.IE' 2�1�1O3

������������������ ������������������7������

0KL.0PQREPREK

REQREL

� $KL.$PQREPREK

REQREL1 2�1�1S3

D������� ����������7������2����S3� ���������������������� ���5��5��

RE%RE%.GN

RE&RE&

.GNRE'RE'.IGN 2�1�1GH3

�����������������0%%.0%%

0&&.0&&

0''.0''

0&%.0&%

0'%.I0'%

0&'.I0&'

$%%.$%%

$&&.$&&

$''.$''

$&%.$&%

$'%.I$'%

$&'.I$&'1

2�1�1GG3

Page 252: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ������� ���� �������� ��� ����������������� �� � �� ����������������

�� ����� ���������������� ������� !�� ���"��"� "�#��� ����� ���$%���� ������&�'�

�'��� ������������'�"'�"' "'#��� ����� ���$(���) ����*�$�$�+����,������

-

.

.

.

.

./

����� �#0��0��

1

222223

4

-

.

.

.

.

./

5�� 5�� 5� 5�# 5�� 5��5�� 5�� 5� 5�# 5�� 5��5 � 5 � 5 5 # 5 � 5 �5#� 5#� 5# 5## 5#� 5#�5�� 5�� 5� 5�# 5�� 5��5�� 5�� 5� 5�# 5�� 5��

1

222223

-

.

.

.

.

./

'�'�' '#0'�0'�

1

222223

6 *�6�67�+

8������������� ����� ������������������� ���������� !������� ������ ������ ����

�������� �������������) �����*�$�$�+ �*�$�$7�+����������� ��������$9��� ������������

�) �������&��� �5��45��4:

5��45��4:

5 �45 �4:

5#�45#�4:

5��45��45� 45�#4:

5��45��45� 45�#4:6

*�6�67;+

8���� ������� ��! ��� ����������) �����*�$�$�+ �*�$�$7�+��&��� ���� � ���������

� ���� �*����� �+���������� ����������������;������ ���5<=�������:����� ��� ��������� ��>�

?��@�A�� �*������������) ����+� ��������

-

.

.

.

.

./

����� �#����

1

222223

4

-

.

.

.

.

./

5�� 5�� 5� 5�# : :5�� 5�� 5� 5�# : :5 � 5 � 5 5 # : :5#� 5#� 5# 5## : :: : : : 5�� 5��: : : : 5�� 5��

1

222223

-

.

.

.

.

./

'�'�' '#'�'�

1

222223

6 *�6�67�+

B����� ����������?��@�A�� �� �,��������������������

-

.

.

.

.

./

'�'�' '#'�'�

1

222223

4

-

.

.

.

.

./

C�� C�� C� C�# : :C�� C�� C� C�# : :C � C � C C # : :C#� C#� C# C## : :: : : : C�� C��: : : : C�� C��

1

222223

-

.

.

.

.

./

����� �#����

1

222223

6

Page 253: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ������

������������������������� ��������������!�""���#!��$��!�#���������%������&'(&)$��!�%���!

��*�����#����&+�,����# �"���*�����- ���#!���.�./�� !������".�����������0#$��!��#���������

���!�����0���� �#���������1������"$��!�#���������.2 ���������������������������"#���#��#$��.

�!��#" ��!3����""���#!�����!��#�����#!

&+45&+6 &'4&'6 &)4&)

0������$����!�������*�����#����&+�,��%����,$�!"�"�#��#��- ���#!���.�.7���� ��"�#���� �������

�8���#�� ������!��#�����#! $#!����������!"�����!��!�#�.9�:!";+6;'6;)6;<6=+6='6=)6=<�����!

!���!3�"0����;>6;?6=>6=?���!3���3!.@���- ���#!��.�./�����!1��#���

A

BBBBBC

=+='=)5=>5=?=<

D

EEEEEF

4

A

BBBBBC

G++ G+' G+) G+> H HG'+ G'' G') G'> H HG)+ G)' G)) G)> H HG>+ G>' G>) G>> H HH H H H G?? G?<H H H H G<? G<<

D

EEEEEF

A

BBBBBC

;+;';)5;>5;?;<

D

EEEEEF

I ��I�I/J�

K#������������#!���� ��*��- ���#!���.�./���!"��.�./J�����#$�#" ������������ ��� $#!��*�����

#����&+�,��%���!0���- �����������#��#0�!3�#�L���!��1��- ���"�#M��#N

G+>4G'>4G)>4H

G>+4G>'4G>)4H

G?<4G<?4HI

@������!$�#" �������#!���� ��*��- ���#!

A

BBBBBC

=+='=)=>=?=<

D

EEEEEF

4

A

BBBBBC

G++ G+' G+) H H HG'+ G'' G') H H HG)+ G)' G)) H H HH H H G>> H HH H H H G?? HH H H H H G<<

D

EEEEEF

A

BBBBBC

;+;';);>;?;<

D

EEEEEF

��I�I/O�

#�����- �*���!��#��A

BBBBBC

;+;';);>;?;<

D

EEEEEF

4

A

BBBBBC

P++ P+' P+) H H HP'+ P'' P') H H HP)+ P)' P)) H H HH H H P>> H HH H H H P?? HH H H H H P<<

D

EEEEEF

A

BBBBBC

=+='=)=>=?=<

D

EEEEEF

�!"���#��3�!��QO�#!���!����*�1��!��" ��"�#/��#!���!��.@���������#!���� ��*��- ���#!�#�

#���#��#$��������������������.

Page 254: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� �

������������������������������������������������������������������������� !������"��

����������#����$%��&���������'(�������������������������!�����������)�!��������������*

������

'(+'(, '-+'. '.+/'-

&������!������&��0��1&������$����������������!�����0������������!������&��0��1&���������&!���

�������2������������3�����������!����������0��#����������������

4

555556

7(7-7.78797:

;

<<<<<=

+

4

555556

>(( >(- >(- ? ? ?>-( >-- >-. ? ? ?>-( >-. >-- ? ? ?? ? ? >88 ? ?? ? ? ? >88 ?? ? ? ? ? >::

;

<<<<<=

4

555556

@(@-@.@8@9@:

;

<<<<<=

�� 4

555556

@(@-@.@8@9@:

;

<<<<<=

+

4

555556

A(( A(- A(- ? ? ?A-( A-- A-. ? ? ?A-( A-. A-- ? ? ?? ? ? A88 ? ?? ? ? ? A88 ?? ? ? ? ? A::

;

<<<<<=

4

555556

7(7-7.78797:

;

<<<<<=

B

C������D���������������!�����������������!D���'-�����������������������������2�!��

!�����������)�!��������������������

'(+/'., '-+'-, '.+'(

&������!������&��0��1&������$��!��E�0���F�����������������������������&!����G��H�I���2

!������&��0��1&��������������

4

555556

7(7-7.78797:

;

<<<<<=

+

4

555556

>(( >(- >(- ? ? ?>(- >(( >(- ? ? ?>(- >(- >(( ? ? ?? ? ? >88 ? ?? ? ? ? >88 ?? ? ? ? ? >88

;

<<<<<=

4

555556

@(@-@.@8@9@:

;

<<<<<=

B �B�BJ3"

K�������� !�������"2��������!�����#��������������E������E�0��������������!�������������!

���������$%��1&�0����������� �$�$J3"�������������

4

555556

@(@-@.@8@9@:

;

<<<<<=

+

4

555556

A(( A(- A(- ? ? ?A(- A(( A(- ? ? ?A(- A(- A(( ? ? ?? ? ? A88 ? ?? ? ? ? A88 ?? ? ? ? ? A88

;

<<<<<=

4

555556

7(7-7.78797:

;

<<<<<=

B

L��F#&���$�*J�����0��&��������������!���)��������!�����2�������������2��!������������!(

(%���������!�����������#�0����M�������������L�E�����N���!���O��������PDK�����QL���������

K�!����!��R���DS��$JTDU�����E�N$%�����DV��#����V����DJWTW$

Page 255: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����� � � ����� � �� � �� � ���� ���� ���� ������ ����� ����� ������ ��� � ��� ������� ��� ���� �� ��� ���� ���� �� � � ����� �� �� ��� �

������������ ��!��"!��#$�!!"��%"��$�!&��!�'�'����!()�")���"���"�

��$!��$�!�����*�$�$�$��!�&� +,-./0�1

2$3���)�!�"�$3����$!�)�!���!!!����$"�$!������*��������$!"�$��(�����$�!

45456�7�8.9�6.9.9.::8

45456�7�8.9�6.9.9.::8

4:54::56�7�8.::9�6.9.9.::8

4�545���.

4;54:5���.:

4<54:5���.:=

6�=�=��8

>?@AB@CDEFGAHBDGI

��������!6"�J!���!8()�")������!��"���J�)�!�'��$���3���"���$!���"����3�!����K�"���)�*�!)�($

�)��&���"���"'�������()�")�L)����!!J''���J(��)��!K�"�������L�!�$3K��$�!M�)�"�$!������*�

!���!!�!����$�������$��3�"�!���)�&��'&��$3�$�N�����$6������8�O�P$��)�N��$�����!

/5�

QR /57

S

QR /��5

�T

()���Q�!�)�U��$�V!��3���!�&���!��"��JMS�!�)����!!�$V!�����M�$3T�!�)�!)���������3��J'�3���!�

����!����K�"'�������!�)��)���"�$!��$�!QRSRT���$���$3�K�$3�$��!�)�&����(�$��L�'K��3�'�$!�����!�

WXYFZ[W\]_]aWIG?ADEE@b?AGbA?c ����$�!����K�"'�������M"�$!�3���"��!!!�"���$�&'��������$

�)�d�dK��$�()�")�!!��e�"��3��K���!)����$�!��)��4�54�!�)��$�J$�$f���!���!!�!����!�����3

�$�)�P����������

����)����*�"�$3����$!M�)��N�����$6������8��3�"�!���)�!�$����N�����$

.�5.5/��4�5/��4 �� T54g

�$3!��)�!)���'�3���!�!�)�������&�)�!)���!���!!���)�!)����$������(�������)��L�!�)����)�

��3������$�����������3!J!��'�&"���3�$���!()���

d5d"�!h7d!�$h d5d!�$h9d"�!h

Page 256: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ����������������������������

����������� ���������������!���������"�������#�$%��&������

'(�'((���������'()*��������')(�'()�'�

')�'))�+��������'()+��������')(�+'()�+'�,

������� �� -

.(�.((�.�, .)�.))�+.��

/�����������-����0���1��2�3� ���������

.(�4(('(*4()') ��

.��4(('�+4()'��4��'��

1����0������������4((,4(),4������� �����-����� �����

4((+4()�4�� ��5

6*7

6�5

�8� #���5$%

9������������������ ������������������� �������������������������������������������� �9��

���:������!������������ ������� ��������� ����0�� �������0�����������0����� ����� ������� ���

&���� ��������������������� ��������������

;����:�� ������������ ������� ������� ��������!������������-!�������<=�����������

�������-����'>?�@AB

@CDE/�����������������������-!�������0��������� ����� ��������0���������

<=�F>?.>.?�����F>?��������"���� -4>?����-�������/���������������:��������������-��������

��:����!� ��������� ��!��������G���� ��������� ������4>?H5I���G��������������������!��!��

�� �������������� 0$���G��������������������!5�!�������������������� 0���J���G������������

��������!K!���� ����� ������� 9�������������!������������ �������-����4>?�4?>���-�������

Page 257: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ��������������������������������������������� ����������������

���������������������

� !�

"#$ %&�$''($))�*

�''!�

"#$''%&�$))($ �*

�))!�

"#$))%&�$ ($''�*

�' !� '!�(&

"$ '

�)'!�')!�(&

"$')

�) !� )!�(&

"$ )

+ ��,-,�.�

�������������/-/�0��� �/���������������1��2������ ����� ���������� ����������

�34!�(&

"$34%

&

"$55634+ ��,-,���

�����$55!$ ($''($))����������������� 634����7������� ����/8�������������������

���������������19������������������:�� ;���������/-/���/���������� ������

�33!�(&

"$33%

<&

"$55!

�%�&

"$55,

=���������������������������/-/�����������1���������������������������������/

8�>�

�34!�(&

"$34%

&

�%�&�55634

"

�(&�34!$34%

&"

��(&���%�&��55634

� $34!"

�(&�34(

&"

��(&���%�&��55634,

��,-,���

����������������/-/�����������������2�������������

$ !"

��(&���%�&�#��%&�� (&��''(�))�*

$''!"

��(&���%�&�#��%&��''(&��))(� �*

$))!"

��(&���%�&�#��%&��))(&��''(� �*

$ '!"

�(&� '

$ )!"

�(&� )

$')!"

�(&�'),

Page 258: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������������� ��������������������

������������������ ����!�"��!#$%��&�'�(���) *�+�!* ,-�)����)�.��/ ��)� *�� �#� ..)� ���!

-)�/ �����).�����-���,01����!�)���(���) *�+�!%��&�'�* ,

234563478978: ;:<:=:>5?:�:@A

B-,��) ��-�)/�� # ))�!�$���/�-���)!�� ���C,�,�**� �������,%��&�'�* ,

234563478978: ;:<:=:>5?:�:@A

D�) �����)�.��/ ��)� *,�)����)��� �

63478563478A

�����)�,������/.������ )����� /��� **���)!�� ���$���/� )�� **�!����)�.�������)�0E�� ��

.)������*$���,���FG�)����?0@C.)�#*�/?HC�� �

6IJKL5MNIJNKLOPQNIKNJLONILNJKROSQNIKNJLTNILNJKR

�� �����)�.�������),���,������!�) U���$.��) ��-�)/ �����0B-,�-�)���))����)�����$//��)$

���!������-���!����� �����Q�0V0@R#�� ���"�!C,�"�!�� �S5W �!����������*$���(���) *�+�!

%��&�'�* ,/���� �����-�)/

2IJ56IJKL9KL5XMNIJNKLOPQNIKNJLONILNJKRY9KL

2IJ5MNIJ9KKOPQ9IJO9JIR

�) 2IJ5�P9IJOM9KKNIJ:

Q�AVA�@R

,��)�9KK59ZZO9[[O9\\5]�����!�* � ����0�������� ���M �!P )�� **�! /�'������ ���0

1�/. )��(������ ����Q�0V0��R,������ ����Q�0V0�@R,�"�!�� ��������� ���M �!P� ���-$���

)�* �����

P5_

�Q?O RM5

_

Q?O RQ?T�RA Q�AVA�VR

B� !!��������������� ���_::P:MC������/���/�����������������)�!����������� ��=C� **�!���#�*&

/�!�*���-�* ������$CQFG�)�����0@C.)�#*�/�@RC!�"��!#$

=5_

@Q?T�RA Q�AVA��R

�����)���a��) ����������������� ����Q�0V0�@R, �!�)���!����(1 )���� ������)�0��(���) *�+����

��� ����Q�0V0�@R,������!�) �) ��-�)/ ����-)�/ 1 )���� ����)!�� ���$���/b3:;5?:�:@�� (���) *

���)!�� ���$���/c3:;5?:�:@AE��/.*�$���)�* �����

d345ebf

ec3ebf

ec4: d345

ec3

ebfec4

ebf

�!

2fg5234eb3

ecfeb4

ecg: 9fg5934

eb3

ecfeb4

ecg: �) 9KJ5934

ec3

ebKec4

ebJ

Page 259: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ������������������������������ ������� ������������������

�� ��!

��"�������

�#$ ��

% "&'��!

�� ��!

��"())*+�( "*(" �,

-#��#����$�����.����#���

% "&'/ "(01/01*+�( "*(" �2

3�������#����������4-#��

% "&'/ "/01(01*+�( "*(" �2

5#�����������������#�$� ������$

%6)&'/6)/01(01*+�/ 6/")*/"6/ )�( "2

7���������#� �����$���������#����$ �������$��8�$$����#���

%)6&9

��:*;�

<

/ 6/")*/"6/ )*�;

:=�;/6)/ "

>

( "2 ��2�2�?�

5#�$�$�������������#$�$$@$�������$��� ���� �����$-#��#�$������������������$�$��$�

� �����������/6A������������# $���$$���������$�$4���������

%01&9

:*;

<

(01*;

:=�;( B

01

>

� %01&�+(01*'(

B01,

����������$���#� �����������?��C$��8��$4$������#$����$����$���#$�$$$

���$#�-�#��

9(01&�:*;�%01=;%

B012

DEFGHID JKLMJK NOPPQRSTUVWX Y� $���$� ���$����8�������$��#$ ��$-#��

������$����Z��$���#��$��������������������� $�������#.� ���@��

[�� ���@��\�$$���������������

Page 260: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������

�� �

�� � �� � �� � �

���������������������� ������!�������������������� ���"������#$����%�����"&��

'������(��)��*�+���,�#�#�-.�������������(���������

/00�-12

3�004

2

3,�001�551�66.�

�003

/55�42

3�00

/66�42

3�00

7��������%���������8���9

:�;������� )��*�+���

�00�3/00���

!�3/00<

:����������� )��*�+���

���������������

���'��������=��������4/55/00

�4/66/00

�2�>������+�����<

:���=�������������������'������(��)��*�+��� �����'������������������������

���������������?�����������������������'�?����,�#@#-.��,�#@#�.#

ABCDEFGHBIDJKCJLFMBCIDEDIN

�������'��������"O���������&��8����%������� ��������"�����������%�����������������'

������?����� ����������������'�������������'��������������P�������������������

������������?��%������#Q������%��������8��" �������������*����#:���8����%������

�������-��%��������-���*��������� �����8������ �%�����������?�#R����� �����?��'

����������������%��������9-.S=���������������������%�������������� ��������������

T����8����"����� �������U��������%������#V��?����"����� �������U��������%������

����������������T���������������������������'������#:���������8��������������

���������� ���������������?��%������#�.V��?� �������������� ����������������������

�������� ��������������������������������#:�����?�������8�����%�����������������

��������������������8��������������"#

Page 261: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������� ��������������

��������������������� � ���! "

#$%&$'()%*(+% ,*-.�./0 1�020�31455

67���#$%���7�������������8)%���7�9�:;���<�=��!��� �����:+%��

�7��<<���������">��7������� �����8�7��+%*?��:�7����@!������

��:!<����7��@!���9��! �@!������

#$%&$'()%*? ,*-.�./0 1�020�31)55

�����������������A!��� � ���! " #$%*#%$

�B�����������"

C$%*-

�1D$&%'D%&$5 1�020�E5

67���D$:�������7�:��=��<� ���F��:"

��������!�����@!�����"G���������������<������=�< �������6�7���

#$%*H

-'IC$%'

H

1-'I51-J�I5CKKL

$% M.,*-.�./ 1�020�N1455

������@!����������

#$%*�OC$%'PC

QQL$% M.,*-.�./. 1�020�N1)55

67���CQQ���7�:���������"R7��=��:!<��-��@!����������7�-�!�S��6��

DT.DU.DV.#TT.#TU.#TV.#UU.#UV.#VV.CTT.CTU.CTV.CUU.CUV.CVV.

67�<7��=�������/:��=��<� ����8W���������:W��������">��7��9���

�@!�������������! �:�7���7�9�:;���<�����S��6�"

X�Y���Z��������

R7��@!������1�"2"�35�7��!A71�"2"�N5<��9�<� 9���:��:6�����������������@!������"R7�

���!����A�@!���������S��6���[�����\��@!����������7�:��=��<� ����D$�����7����A�M*-.�./0R�

:������7�[�����\��@!�����������������<���:������86�6�����7��@!������1�"2"�3581�"2"�E5��:1�"2"�N5

�����������<���:������"]��7��<��<!����#$%&%����� ����7�:��=��<� ����D$��:�!9����!���7����!���

�����7� � ���! �@!�����1�"2"�31�55" �_��������������7�<������!�����@!������1�"2"�N1955=��:!<��

#$%&%*�OC$%&%'PCKK&%L$%0 1�020/?5

Page 262: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������������� ���������� ��� ������

�����

����������������� ��������

��� �� ������! ������ �� ��"���� �"�"

�##�$��#�#$� ��������

% ���&�'�� ����� ������� (������)�)�*�+! ������ �� ��"���� �"�"

�,$�$��

���,�$$��$�,$�� ��������

-� � � ��������!���� .�� ���� ��"���� �"�" ���� ��� ���� � ����� ����� ��/ ��)0

/��1,$�$�23�,�$$��$�,$4�56,$�#�#$

�� 1,$�$��5�2��#�#,�2�,�$$���������

7�8������' (������)�)�������� �� � � ��� (���������� ��� 9" � (�����:

�5�2��#�#,�2�,�$$�;<,�;=,> ?��>�>�� ��������

@�" ������� �� � (�������8 .�� �� �

�5�2�A�ABC���2ADC��;C<�;C=> ��������

!� � C���� ����� ��" ����+C<��� 8��&���� � ���� ����C=��� �� � ����)@�E�� ��

������� ��� � (������" �� ��� :

�5�2�

FGD�HGIHGI,

�GD�DGIDGI,

�GD�JGIJGI,

K

�2AD�,�;<,�;GD�,GLD>

���?��>�>�>!� �

AD�,�GD�,GIHD

�GD�,GIDD

�GD�,GIJD

-� 9" � (����� ���8 ���/ �8&� ������������,��,�IH>ID>IJ�!���� �� � ����

����� ��� ��������� �� �� ���8 �� '��M�N��!�'�� ����� ��/ ��! ��������

�� ����/ ���� ���&���'�� (������)�)�*�)N��!� �' ���� ����/ �� �8� ����������������

���� ������'��� ��/ ����� �� ��������" (�����)

@��� 8� �� ��8��&���� �+�����'�"�&+�� ��������� (������)�)�����8 � �� � �� �

��� ��� C��C�OHP�C�ODP>!� � C�OHP���/ ��"C�OHP�ABC�OHP�Q���� " ����C�ODP���/ �

����C�ODP�ARC�ODP�Q�-� " ����/ ��C�OHP���� ���� ����/ ��+!�� �� " ����/ ��C�ODP�

��� ����������/ ��)7�8������'C������ (������)�)������ ���'C<�Q>! /���E�� ��

������� ����

;

FGDC�OHP

GLD�GDC�ODP

GLD

K

��5�2�ASABC�ODP

T�2ADC�OHP�2ADC�ODP� ������U�

Page 263: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ������������������� ������������������ ��!��"��� ���"��������#� �#����

�����������#$ ���#

%&'()���'�

&*'+�,-.�('�()���'��-.()('���'�/

��� �#$����������� �#�##��� ����������#�� #0������������"���� �����$���#('

�� (�� 0���

()

1

%&'���'�

&*'2�,-�.�('���'�

3

+4/

���#��#����������$���#����

%&'���'�

&*'+�,-�.�('���'�

�� ��#������� 5���'��#�����0���0�������#0������#$�� 6�,-�.�7%/8������ 50����������

��� ���'��#��������� ��������������������5� ��!��"����������#� �#50��� ������������

��##���#��#�0���������������"�����

%&'�����

&*'+.('�����/

���#����0������#0������#$�� 6.7%/����������'��#���$�##���0���50�������0��������#

�#�����"0����

����9���#�#�4���"��:�������#�0������;����<#�������#��=���#���5� ��� ����

#$������� �����#�>�$�������50����������#���� �����#

�,-.��&'�

&?'-&'@

&?&A-&'B

&?&C�-.�

&'�

&?'-&'�

&A'-&'�

&C'�-%DE+%

&'�

&*'

�,-.��&'�

&?&A-&'@

&A'-&'B

&A&C�-.�

&'@

&?'-&'@

&A'-&'@

&C'�-%DF+%

&'@

&*'

�,-.��&'�

&?&C-&'@

&A&C-&'B

&C'�-.�

&'B

&?'-&'B

&A'-&'B

&C'�-%DG+%

&'B

&*'

�� ��� ��� ����� �����#

�,-.�&

&H

1I

H

&

&H�H�J�-

I

H

&�K&L-&�G&C

3

-

.�&'�J&H'

-I

H

&�J&H-I

H'&'�J&L'

-&'�J&C'

2�JH'2�

H'&�K&L�-%DJ+%

&'�J&*'

�,-.�I

H

&

&L

1I

H

&

&H�H�J�-

I

H

&�K&L-&�G&C

3

-

.�&'�K&H'

-I

H

&�K&H-I

H'&'�K&L'

-&'�K&C'

-�

H'&�J&L2�KH'�-%DK+%

&'�K&*'

�,-.�&

&C

1I

H

&

&H�H�J�-

I

H

&�K&L-&�G&C

3

-

.�&'�G&H'

-I

H

&�G&H-I

H'&'�G&L'

-&'�G&C'�-%DG+%

&'�G&*'

Page 264: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ����������

������

��

��

���

���������

�����

�����������

�����

�����

��!���"�

����"

�������"�������

��"

������

�������#$�%#

�����&�

������

��

��

���

���������

�����

�����������

�����

�����

��!�����

�������"

��

�������"�

������

�����

�������#$�%#

�����&�

������

�����

��

��

���

���������

�����

�����������

�����

�����

��!���"�

����������

������

�����������

�������

�������#$�%#

�����&�

'�!������(���)��(���*+�������,�,�������,�,�-�,

./0123456/12787/19

:� �������;�<��;)������+���(����$=>?%�>�>-������+(�@��'�,:������������)�

)� �'��A�;��)<�+����;������������+�+� ;������<�B

CD���� ��(����=> ?%�>�>-��������<����<�+����;�)��A���E�F�'����� +����

�������,

CD��������+�)��������������������<����<�+����;�)��A���E�F�'����� +������

�����,

CD���� ��(����=>?% �>�>-��A�F��F�����������)�<�+����;�����������+�)��

����������������G��F���(�����A��������)�<�+����;,D���;��)<�+����;�����������

@��'����(�H�<�+����;���������,

IJ1J43KL/K087/1/MN3O7J4P9QR0387/19

D���<����F��A��� �� +�������S�F��T�*+������,:���@��'����U��@�F��VS+<�

�� +����,:������)��� ����*+� �<��+(��(+���� F�*+� �<��+(*+������

�����!�!WX����!�X��#X$%Y ��

!�X���

�"�Z!�!WX���

#

�X$%Y �Z[%

��

��\]\-��

Page 265: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������� ��� ����������������������������������������������� ������ ����� ���������!"#$

��

#%& �'�!(#)*#$�+��,+-�#$ ��.�.���

/�� �!��'#$� ����������������������������������

01!&+2#)*#3

�4�,+-���' 01#$&

2#3

�4�,+-���.�.�5�

/���#)&6789(:781(;78<� �������=���� ������ �� �����6>:>;�/������������������

? ���@A� ��/�/ ����������������������������� �� �

%BCDD(,

,+�-�%ECE�CB(

2

43B&5 ��.�.�,�

F�/�� �G����������/��������������������"������� �� �"

%B&!CB(�6E$E�CB+��,+-�$B ��.�.���

���������������������������,��H�/� '���� � ���"/�'�I� �����������������������

%BCD&!CBD(�6E$E�CBD+��,+-�$BCD ��.�.���

��'�������� �����J��'K�=��

%BCB&!CBB(�6E$E�CBB+��,+-�$BCB. ��.�.���

L� ��M������'�����M�6E$E�CBB&�$BCB(6B$BCDD�������������������G������

%BCB&!CBB(�$BCB(6B$BCDD+��,+-�$BCB. ��.�.���

NM'�I� ������������������������/�����G��������

%BCDD&!CBDD(�6E$E�CBDD+��,+-�$BCDD

&�!CDD�CB(��6E$E�CDD�CB+��,+-�$BCDD

&O!CDD(�$ECE(6E$ECDDPCB+��,+-�$BCDD.

��.�.�Q�

R��������M �������

!CDD&+26ESE�4�,+-�

��' $ECDD&2SE

�4�,+-�>

��'��� ���M�����������������Q�������� �

%BCDD&�$ECEB+��,+-�$BCDD. ��.�.�T�

���GM'�I� ��������������������������G��������

%ECEB&�!CEE�CB(�$ECEB(�6E$ECDD�CB+��,+-�$ECEB

&

U+26ESE�4�,+-�

V

CB

(�$ECEB(

U26ESE�4�,+-�

V

CB

+��,+-�$ECEB

&+��,+�-�$ECEB.

��.�.���

Page 266: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� �����������������������������������������������������������

��� !"

"#�$�%�%�!

&'�()�*

+���������������������������,-��������������������������,���

.���/�0���0����������1������� ���������������������0�����2�����������������������

��0� �

345)� ��� 3467)6�*

8�����0�����9�������������������,-��������������������������,��/��1����5�����0�0� /������

67������ ���0��0������:��;�/<�1�0�=>�����/������������������?���������0� /��@1�������������

�����1�1���������=�� �������������������0/����� ��������0����>��������������;�/<�1�0�=>�����

/�������������������������A�����0� ����������5���670��/����0������ �1������6�*

BCDEFGHIHJHGKLMNFGHCOP

8��<�����0������1�������/��0� ���9�����QR)"Q�Q,��0������0��0��������0� /�������

���������������

S�%)"

�����%!�%���* ��*�*�-�

T�����?���������0� /�������������������������?���0���������1�����������

+����������0��1����/����� ����������������������?�1����� /����������������?���������

9�������������<��������� ���������/��0� ���9�����QR)"Q�Q,*8��������������0�������U8����1��

/������������1�����������/��0� ����?�1����@������0� /������U8�������������0������ ���� ���0��

������0����� �����/��0���/�����������0� /����������������������1����/����� ��1�����������

:���� ���� ���0��������0��������<������0� /�������������������:�������0��������������������?�

��@������0� /������S�%����@/�0���9������/��0� ���9�����QR)"Q�Q,���������0� /���������0�

�����9���������������������?�1������������������-��

LVWXYZL[\]_\ �//��������?�1��������/��������A�����������������

a�

ab)b!c ���

a�

ac)bd*

+�������1����)��bQc�U:������������������������e��f��0�������?�1����������������0�����=

�����:����0��������0�����������������0��0�������� �@����0�������1���1���� ��0����������g�

9���� ���9���������������a4�

abac)"����� �����0�������������0��0�����

a4�

acab),b4*:����

�@����0���/����������1���1�����������������b��A������� h,i,�8�?�����������1����9���

�����/��������A�����������������a�

ab)j�bQc� ���

a�

ac)k�bQc�Q������0��������0������?���������

����������������������������� �@��/����������1���1��

a4�

abac)aj

ac)a4�

acab)ak

ab

������������������������b���c1������1������� ��������0����������������������:�������

�@� /����0� /������������������

Page 267: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������� ������ ������ ��� ����������� ��������� ������������������

��������� ���� �� �������������������������� ����! "����������� ��������� ����� �

���������� ������ ������������� #���$�$%&�'(� �)�)%&�'(� ��&*� �'*������ �+

,��� �� ������-����� ���������������� ���� �����������������./������

������! 0���� �� ��� ��"�����1�2�3������

����4$

4&�1%&�'(� ����

54$

4'64)

4&

7

�2%&�'(� ����4)

4'�3%&�'(.

8���� ������������������-���� ����� ���� �9���������������������"�����

���������� #���$�$%&�'(� �)�)%&�'(+9�� ������-����� ��������"������������ �-����

%� �!����� �� ���� (�/����!�"� �-���� ����� ����������������� !��������"��"��

4:���4':

�4;$

4&4':�4:1

4':

4:���4&:

�4;)

4'4&:�4:3

4&:

�4:���4&4'

�4;$

4&4':64;)

4'4&:��

4:2

4&4'.

9�������-���� !�"���������������� �-����

�4:���4&4'

�4:���4':

64:���4&:

����� ��� �2�1�3�������� �������

�4:2

4&4'�4:1

4':64:3

4&:.

<=>?@AB=CD@>BE=?BFCFG<FHI=?BJBKB?LMNO=?BFCA

�������������� #���$P�Q�����0��R �� ���� ���"������ � ����� � ���

�PS��

�%$PTS6$STP( � � UPS�

�%$PTS*$STP(. %�.V.W�(

X����R���R���������������� � ����� � �����!�"� � ���R��-����� �Y�����������

����"��������������� #���$P�Q�����0+Z����"������-���� %��V�W�(���� ������-���� �

���� R �� ��PS�UPS� �$P� ���� ������� ����� ����� ����� R �� �UPS� �$P�� ��

�������������-���� ���������������#��� ����� ��PS.9�����-���� ���R �� ����

���������� �-���� �� ��� ����� �� ���� ����������� ����� � ��������� � ���

������������� �� ��� �[��� ����-���� �%��V�0\(������#���,������������ ��������

���-���� �%��V�W�(������ ����-�� ����$P� �UPS� ��� �����"������������� �-���� ��

������ �����-���� �%��V�W�(�������

$PTS�4$P4&S��PS6UPS. %�.V.W�(

Page 268: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������������� ������������� �����������������������

����������

��������

�!�����" #�"$"%�&

'����������(�������� ���(���)���������������������(���� �����������������*��

������������

�����������

" #�"$"%+&

,������-��-.��/���*�����#�0$0%�&-������

����������

��������

�!�����" #�"$"%$&

1*����-���������������������(�*������#�0$0%$&��#�0$0%�&�������-��-���(� ���������

�������������

2�������

��!�����

2�!�����

#�"$"%%&

34��-���5����������!������)���!�����

2�!�����

��!�����

6���*�����#�0$0%%&��( ��)������

���(�������

2�������

��!�����" #�"$"%�&

7����(��������-!����5����(�����5�����-��(���� ��������������������

��!�������8

���!����8���

" #�"$"%9&

7�����������( ��5������*��������������������*�����#�0$0%�&������ ������8 �����

�������-��-���������:��;����5���������������������*�����#�0$0%9&07������ ��������

��( ��5������*�������������8���

���8�������

2�������8���

2���8�������

�<" #�"$"%=&

7���������=> ���������������*���������(���5�����)��5����������( ������0?���������@

�������((����������������������������=>�*����������������07�������������*��������

4�������A�0B����C���( ��5������*����������5���������

���DD�����E

����D���D��E

2����E��D�

���ED��D���

�������D��E

�����E�����D

2���ED����

���D������E

���EE��D���

����ED��E���

2���D���E�

����E��E��D

����D���D���

����DD����

�������D�

�����E�����E

��������E�

���EE����

����ED��E��D

����EE��D�

���DD��E�

"

#�"$"%F&

G5����������������( ��5������*����������(�����������������( ���0$H+0

7�����( ��5������*�����������5��� ��������������������(

���I�8 �8�I��2���I�82�8�I���<" #�"$"�<&

Page 269: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ���������������������

������������ !�"#$$%�&'��()�*+�� $�,�-.-�/0)(�1��'$�2�3$����'��� � ����4'$3'���''-5� '

��+��( ��� 2�� '��$���6��'����� $�$3���1$46�� 7 � �8�*+�� $�' ����4'$3'���''-5����'+�� ��

�*+�� $�'���%�$(��'���9�����4 :; 1�����*+�� $�'-<� � ! �����'��� �:'���''����� $�

=>?@ABC

DE>?F

C

DEGGH>?

(�'+7'� �+��3$����'��� � �����*+�� $�',�-.-�I0��"������������4'�$6�$"+1������'+��

E>?JGKBEKGJ?>FE>GJ?K FEK?JG>@C

ABCLH>?EMMJGK BHKGEMMJ?>FH>GEMMJ?KFHK?EMMJG>NO

,�O.O�A0

P$($��8�$3���'�QA�*+�� $�'���� �����8 �"�6��"���-��1��7�'�$(���������� �����8 �"�6��"���

�*+�� $�'����*+ 2������$����*+�� $�'$7�� ��"78'��� ��R@S��"'+44 ��$2�������6����" �" 1�'-

T�����$7�� �����*+�� $�'

E>?JKKBEKKJ>?F,E>KJK0J?F,EK?JK0J>@C

ABCLH>?EMMJKKBEMMJ>?NO

U46�$8 ������*+ � 7� +4�*+�� $�E>?J>BVW?@I����7$2���'+��1��7�(� ���� ����3$�4

E>?JKKBA

ABCEGGJ>?F

C

ABCH>?EMMJKK @F,VW>0J?F,VW?0J>

$�

XYE>?BA

ABCEGGJ>?F

C

ABCH>?EMMJKK @F,VW>0J?F,VW?0J>O

5� '��'+��1��7�3+�����' 46� Z�"78$7'��2 �������1$����1� $�$���� �" 1�'R��"[ ��*+�� $�

,�-.-�A03$��$(�"78�1$����1� $�$���� �" 1�'S��"\6�$"+1�'�����'+��

E>?J>?@AFC

ABCEMMJ??O

]$�'�*+����8)���9�����4 :; 1�����*+�� $�'1��7�(� ���� ����3$�4

XYE>?BA

ABCE J>?@F

C

AFCH>?,VWG0JGF,VW>0J?F,VW?0J>O ,�O.O��0

5�� �"�� 2�� $� '��3��'���_��1 '�-5��9�����4 :; 1�����*+�� $�'�$������( ������ ����4$4���+4

,�*+ � 7� +40�*+�� $�'E>?J>BVW?@I��6��'���/�*+�� $�' �' _+�%�$(�'���''�'-5� '1$47 ��� $�'

$3�*+�� $�' '" 1+���$���"��-a���' ��1$47 ��� $�$3�*+�� $�' ����4'$3'���''3+�1� $�'( ��7�

"�2��$6�"'�$���8-

5��P�2 ���*+�� $�'( ��7$+�"��81$�" � $�'���" 1+���$'$�2� ��������-b��+'��%����4$:

4���+4�*+�� $�',�-.-�c,�00)���'��� ������ $�',�-.-�Q0��"1$�'� �+� 2��*+�� $�',#$$%�&'��(0,�-.-�/0

��"4�%�' 46� 38 ���''+46� $�''$�����4$�����1��7��'8'��4'��'+��'-

Page 270: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������

� ��������������������������������������������������� ���� ������������������ ��������

� �������������������� � ��������������������������!� � "���������#$����%&'�������������

� ��� ����(�������������������(��������������������( #)����������������� ���������� �*���

��+���#,��� ��-������������(��� ���������-�����������������������������������������(��������

�(%���'���������������( #.���� ���������������� �������/00����1�����(���+���#

$�2�������������������� ����������������������������������(���� ����������������� �� ���

���������������� �������(���

3

4566 567 568576 577 578586 587 588

9

:;

3

45<< 5<= 5<05=< 5== 5=050< 50= 500

9

:>

$(��������� ������������� �� ����������������� ���+������� ���������!�������������������

(���������(����%���'-���������������(�����������#,���������(�����������-� �����������������

�����������(���� �����������?��*�������#� �����������(������������������� �����������?��*�������

��� �(���@

5<<;A

BC/<<"DE/==F/00GH

5==;A

BC/=="DE/00F/<<GH

I;A

BC/00"DE/<<F/==GH

5<=;5=<;AFD

B/<=

50=;5=0;AFD

B/=0;I

50<;5<0;AFD

B/<0;I

/<<;B

EAFDGEA"�DGCEA"DG5<<FD5==H

/==;B

EAFDGEA"�DGCEA"DG5==FD5<<H

/00;B

EAFDGEA"�DGCDE5==F5<<GH

/<=;B

AFD5<=

/<0;I

/=0;I

E�>�>�JG

� ���/<<K /==K /00K /<=K /<0K /=0���� �� �����������������(� �������#� ����?�����������?�

�*������������� ��(���������(����������������� �?�

/00;DE/<<F/==G

5<<;AFD

BCEA"DG/<<"D/==H

5==;AFD

BCEA"DG/=="D/<<H

5<=;AFD

B/<=>

L��������� �������������� ���������������*���������������

M75<<M'7

FM75==M%7

;�M75<=M%M'

>

Page 271: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������

� ��������� ����� ���������������������������� ��������������������� �������������� �

� ���!"����#��� � ��������������������� ��#������!$% ��������#� ����� ����������#���� � ��

&������ �#����!������������ �'������������ � (������#���� � �������� ����������� #��� �

��)� �*$

+ ,������� #����� ��������������� ������-������ ��� ���������������#��#���� � ��� �#� �

������� ��� ���������- .

/011 012 013021 022 023031 032 033

4

56

.

/077 078 079087 088 089097 098 099

4

5$

+�&�������������������������&������ �#����!���'���� ��������� � (������������ ���� #��� ���

)� �*&�� ��� ����������� �����������#� �������:��;����� �����������&������������������ �

������������������<���;����� ����

=776>

?077"

@

?088

=886>

?088"

@

?077

=996"@

?A077B088C

=786>B@

?078

=796D

=896D$

0776?

>"@2E=77B@=88F

0886?

>"@2E=88B@=77F

0996D6A>"@C=99B@A=77B=88C

0786?

>B@=78

0896D

0796D

A�$G$�GC

H������������� ����������#������ ������;����� �����#���

I2=77I*2

BI2=88I)2

6�I2=78I)I*

A�$G$��C

� ���������������� ���;����� �

I2=99I)2

6DJI2=99I*2

6DJI2=99I)I*

6D$

����������������� ���;����� �#�����#��������� ���������� ����

KLM����NO�PLQ�

+ ,������� #����� ����&��-��� �����;���� �����;����� �A��G���A CC� ������#� ����� ������ �

����� �+ ������������#��#���� � ��&�< �����������;����� �����#���

I077I)BI078I*BRS76DJ

I087I)BI088I*BRS86DJ

I099I!6D$

��������;����� �������<���� #�099����� #��� ��)� �*$+�&��������������������� ������#��

���#� ���:���:�� �����:� ����������� ������ #��� T ������������ RUS6"(���T �� RSV6"TWV

&�#� �-��������� �:��;���� �����;����� �� �������X

I077I)BI078I*"IT

I)6D

I087I)BI088I*"IT

I*6D

A�$G$��C

Page 272: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������ ������� �� ��� ����� � ������� ����� ����� ������������������ ��

���������������� ��� ������� ��������� ��������������� ��� ��!"#������� �� ��

����������$�������� ����� ���� ���� � ������ ��%�������� � ������&

'(( )*�

)#*+% '(, -

)*�

)!)#',,

)*�

)!*+%. ��.�.�/�

������ ��� ��!"#�������� ��0��� ����� ���� �� ��1����� ���������� ���� ����

2��3�����0����45647458���2��� ������ ��������/�� ��� ����������������� ����������

������ ������� ����� ����� �����

9��� � ������� ������� � � � ������ ��������:�� � ������� ����� ����� ����������

����� � ������� ����� ����� ��� ����� ������ ���� � � � ������ ��������/���

�;��� ������� ����� ����� ��� ����� ��0��� ����� ���������� � � �������� �

�;������0� ����� ����� � � �� ������� ����� ����� ��<���� � ������� ���<������ � ��

����)=�

)!=+�

)=�

)!*)#*+)=�

)#=+4-�>

4->

?)*%

)!*+)*%

)#*

@

6. ��.�.�5�

A ���������������� ���������������������$�% 6������ ��������5����� �����������

� ��������������� ���

B=� )=�

)!=+�

)=�

)!*)#*+)=�

)#= 6. ��.�.�8�

A������������ � ��������������� ������ �

B=� B*�B*��

?)*

)C*+4

C

)

)C+4

C*)*

)D*

@?)*�

)C*+4

C

)�

)C+4

C*)*�

)D*

@

6.

9������ �������� ��<��������� �������0��� ����� ����� ������ ��������/��

E���$��<��;�� ��� ���� ������ ��������������� ������ ������� ����� ����� ���

��F��� ��� ���G�����$�� ������ �� �� '(("',,"'(,���������� ��H<������� ��

���������<� ������� �� ������� ��������� ���� ���; �������� �� ����� �������

������ ��� ������

� I->H*

��4+>�B*I ��.�./6�

�����I����� ���� ��������������� ��B=I 6.J���$� �� ��H�$�������<� ������ ��

��� ����� ��< ������ �������/6���$� �������;��� ���KI�L��� ������� ��<���� ��

�������;��� ���� ���������� ������� ����� ����� ���������� ��� ����� � �� ����� ��

����������� ��������/��� �% 6.M� � �� ����� ������ ���������� ��������8�����

� ������ ������� ����� ����� ��<����$��<� �����$���;����� �� �����;��� �� � ����� ��

� ���������� ����� ��$��� ���

A������<������� ��������� ���������< ������ ��������5���������8��� ����$�����

��0��� ����� ���������������$����������N�A���� �� ����������������� ��!"#

����< ���������� ������������� ��������� ��� ������������������� ������������

�� ������ ���� � ������ ������ ��������/� ������������ �����������������.A ��

�������������� �����������������<�� � ���������������� �������� ��������$����

�� �������������O��� ������� ���� ���������� ������������ ���

Page 273: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� �������������������������������������������� !���"��#$��%&&'%&('%((

"��������)"���� ��������"���� �*�� �!

+,+-.'/0,1

2%((.

(3�%&(./4%&&/(56

7������"�������� ��!���������"������"�����������*��������������"�8������9:+,;#7����������<

������*�� ��

=>>,?(+

?/(,%&& =@@,

?(+

?.(,%(( =>@,3

?(+

?.?/,%&(6

7����������)"�������� �����������������*����A��������� ��������������������������������������

"������������"��������������B�������.�� /6C�����"���)����B�=DD,E-%&&4%((067��"�������� ��<

������*�� ��������� �������"���������B��8�������#F�*� ���������������

G>>,14E

HI-13E0%&&3E%((J G@@,

14E

HI-13E0%((3E%&&J G>@,

14E

H%&(6

7�� �����"�����*�� ������ ����

K,K-.'/0,14E

HI-13E0%&&3E%((J.4

L14E

H

M

%&(/4N&/4N(

O,O-.'/0,14E

HI-13E0%((3E%&&J/4

L14E

H

M

%&(.3N&.4NP'

����N&'N('NP"��������)�� ��������� �!����<�����<��������� �����"������8�������<�B����Q���"���

�#R)��������#

���������S ���"���"�������������B�������������������� �!������<%((,%&(,;#

7�����������������������*����������������!������������.3 ���"����#C��������"���"�������B�

+,&(%&&/

(6T���<��<�������"��� �������������

+,+-U'V0,%&&�U(���(V,

%&&WU(-13"���V06

7��Q���"����#W)��������;)��<<���������������� ��!�8��������������"��� �������� "��"��������

��������

=XX,1

U

?+

?U41

U(?(+

?V(,%&&"��

(V,%&&�-14"���V0

=YY,?(+

?U(,%&&���

(V,%&&�-13"���V0

=XY,1

U(?+

?V31

U

?(+

?U?V,3%&&�����V6

Page 274: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ��������������������������������������������� !" #$ ���������������

%���&'���(������������)������*������������������*������)*+,,#-../ +00#1/ +,0#123���

�������������&

4567895:;

<����������)������*�����������=#$��>?#+@?A@ ��

>.#+..A.!+. A ��� > #+. A.!+ A 2

3����������������������B�A.#AC#D/A #AE#1����������������%���)������*������������

������%����%�����������������+CCFCGH#1 ��� +CEFCGH#12<���������%��(������B�����I�(���

������������)������*������������������*&

J�����)��(����������B�%�����'��*������%�������K#KL=/MN�����������������%���)����(����

�O������&<�����B�����I�(����&PQR������%��(�%���)������*������������������*��SS����������

����(���������������)����(�����O�����������������%��(K#KL=/MN#T.L=N!T L=N����M/�����

T./T �����U����%����������)������(����&V�)��������S�������(�����������������)����(����

�O������������������O������

WX

X= !D

=

X

X=

YW

TZZ.!D

=TZ.

Y

!

WX

X= !D

=

X

X=[P

=

YW

TZZ !D

=TZ [P

T =

Y

����M#12

�������%�����O��������T./T )��������������%*����O�������

WX

X= !D

=

X

X=

YW

TZZ.!D

=TZ.

Y

#1

�� =\T]?_. !�=`TZZZ. [=

TZZ.!=TZ.#1

WX

X= !D

=

X

X=[P

=

YW

TZZ !D

=TZ [P

T =

Y

#1

=\T]?_ !�=`TZZZ [a=

TZZ !a=TZ #1

<�����O����������b����*�*���O�������&<�����������������)������)*����(��S����������%���%��(

T.#=c���T #=

@ ����������B��S%��������������d���e&��������S����������������%����)�B�

�O����������

T.#f.= ��=!f =

!f��=!f\ ��� T #fg= !fh=

\!fi= !fj2

<�����������f?/k#D/222/������������(����%��(���)������*����������&<����������f\���)�

��)�����*������������B���B��%�����������l���&<����(�����S�����������������(����%��(���������

����������&m���S����������%��(nI�������&Po���)��(�1o����������������������

+CC#f.LD!���=N!�f !f

= [p�fg!�

fi=\!Pfj=

q����M

+EE#f.Lr!���=N!�f [f

= !p�fg!D�fh=

!�fi=\

q����M

+CE#p�fg!�fh=

[�fi=\[�fj=

q����M2

Page 275: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������������ �� �������������� �� ����� �������������� ���������

����� � ���������������������������������� !!"!#$%&�����������

��'(�)*'%& � ��+(�

�,*-(.�/*'%&�

��������� !0"!#$%&�����������

��+1��,*-1��/*'%&�

2 ����������3 4 �������������������������������������� ���� ���� �������5������

�6�5���7.897����������������� ���'%:��� ���+%1

:����;��� ������������������� �

5���������<����������� ���

=%=>�?@A%:��.(:��.�'1

*'

�:��� �(�-(

B:��*

'

�1:��.�'1

:��*-

.�'

C

���@

���������5 �� �������������

!!%:���

B

D1*'

�'

C

(:���

B

D(E*-

�-1.*'

�'

C

���@

!0%1:���

B

D1E*-

�-(�*'

�'

C

�� �@

00%:���

B

D(*'

�'

C

1:���

B

D(E*-

�-

C

���@�

��������6���������� 00%E:���@%FG�?EFG� ��� ���������� 00%1:���@%&?F�

����H���������������������� ��� ������55����������7��������E��I � �������

� �� ���� ����72 �� ���J���5�� ��� �� ��������5���� �����5���������������������

� �� ���� ������� �� ����� �����7

KLMNOPKQRSTUR V ����� � � ������� ���������J����� �������W� �������������WXJ

����������Y������ � ��� �5�������Z� � �6��� �5�������ZX������������ ���������7.8[7

\� ���������� ����5����� ������7

] _abcde��f!?f0?fg�� ��������5����� �����7h���������f0%& �fg%&�� �����

���� ������������������ �� ���� ����� ���@�i������� �7������5����� �f!%f!>�A

�����������5� � ���5 ����������� ����j ��������� ���� ����k��������� ������

>l(�mAn

n�

BD

n

n�>�f!A

C

%&�

��������� ���������� f!%���

�(�'� �������� ��5 � ������ ������������ �

o!!%nf!n�? o00%

f!�? ogg%o!0%o!g%og0%&�

�������������������� �����pI�q���>���� �������������� �A ��������

rs%ltrsu(�mors?

Page 276: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�����

���� ����

�����

�����������������������������������������

������ �!"#�

�$!$ �%%��� �!"

�$!$ �&&��!" ��%���&��&%��'

(�����))�*����������*+���������

���,�-./0��#

1

�� �!"#�

2$"!$

3

� 4" ��� ���,�-.50��

1

�� �!"#�

2$6!$

3

�#46'

7��8��9������+��������!"���!$��:��

!"�2$"4"#2

$646

�� ��2$6#2$"�; !$�

2$"2$6�4"#46�

� �2$6#2$"�'

����)����+��������)��+�<���:���

��2$"4"

��2$6#2$"�

=�

� 2$6 �

>

#2$646

��2$6#2$"�

=�

� 2$" �

>

; %��; &��;

���������:����

����2$"4"2$6#2

$"

=

�#2$6�$

>

#2$6462$6#2

$"

=

�#2$"�$

>

�%%�2$"4"2$6#2

$"

=

� 2$6�$

>

#2$6462$6#2

$"

=

� 2$"�$

>

�&&�

=�

>2$"4"#2

$646

2$6#2$"

��&��&%���%��

?@ABCD?EFGHIF J*<�K��9��<)���*��9����<)��������L�8����M�������+��������+�����<���

���+��������<�N���O�<)��P��+������+����L�8����M���������������<��������)�����<�*<�K��9

�����������9����<)�����

�'Q��������+����������R"�R; R$�S; RT�U

�'"�"�R;V�; $�T��'

W'�������������*���+���

X'Y������+����������� "�R;���� ���"�R;��

V��

Z'J������*+�����������������)��+�<����*)� "��;V��[�V�;

�����[�V�����)�+�:�����+��������������<)���������+����L�8����M���������������9�������<��\

��������8��M������$"V$

�]$$"R$; ]$�

� �

^'

������������������M��������

"�R;V��

_[�V#R]�; Ra]V

�; Rb]V'

Page 277: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� �� ��������������������������� ���������������� ������������������� ���

����������������������������������� ������ �������������������������

� !"#$%&' !"#$%&()*(��

����� �������� �������

� !

+�,-./01 23"4��5�&6 �7�4

86 �9�4�

:� ��� �������������;����� �������� ����!�4�

<=>>?@ABCD?EFGHI=?JFBKEBCHL?EJFGFJA

��������M ����������� �����������M����������������� ��NOPO$QRN!86��� �

RN� ���M��;�� ����� ����������NO����� ������� �S������������M������������

����������������������NO!#'TTUNO$�%'NO������������ ���V��:��W�X���� ������� ����

� ����� ������ ��������� ������� �������� ������� �� �����������������������)NM;

��� ����������'NO!�

�")NPO$)OPN&����������������M����M������M�����Y���� �������

%)NPOO$"#$%&)OPON$QRN!8�

����M������������M��������������� �� ������������ ���M��;�ZM���� ;����

� �M��� ������������������������������������M���� ;� ���������������[��Y����

���������M��������M\������ ��� �M�������������M���� ;����������S������������

��� ������M���� ;� ���������[�������� ��� �M��� ������ �������� ���� ���������

�������;�� �������4N,]0!�NO O6��� � N�������� ��� ������� ���M���� ;�_�

� ���� ������[�����������������M���;����������M���������������������������

�����M ������������������� ������ �� ���ab���������������������M���;

�NOPTT$�

�$c�TTPNO$Q"RNPO$ROPN&$

c

��cQRTPT!8�

:� ������������ ��� ������������� ��������������� ����M��������������

�M\������ ���� �����M���� ;����������Y���������������;� �M������� ������ ����

��������������������[�����������M���;����������M����� ���

_� ��d��M���� ;����� �M���������������;������������������������������M ��

�������[���������������[���� �������������������������������������������M\��

������������� ���������������)N� �� ��� �M���������� ���"�&����M���� ;���� ������ �

� ��� �M������ ���������� ���"�&����M���� ;�b�d��M���� ;����� �M����� ��� ���e��

�������

_� ������;������ �M����[�������M ���������� � �������M;���������������S����

��������������������������������������M���� ;���������M��� ��������������� M����

�;�������������

Page 278: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������

� � ���������������������������� !������"��#��$"�����������%������&��������'

(��������� ���)��*��&����+�"����&��"�"�,-.�������������/-��������&��"�"���&��"�"�

����������01��&���&���������*�2��3������������%��456�&���!�������7������*"��&��"�"���

������!���8������"&���������������$"������1�'9':;451�'9'�94���1�'9'�<4'=�� ������������������

�&)��������������������������#�������)��*��&������"��>'

� �

,?01@7A�04

0A7

,?71:A/41:B�/4

/

,?;818B74

@8B7

,?�01:A/4

,?;80

0A@8

,?@1:B�/48

� C

/?@8B,

>8

/?7

�10A74

/?

D1,A74EAF7EB1,A74

97

/?@8B�0

�10A@84

/?,B�0

�0

/?7

@8B7

8?

D1,A74EAF7EA1,A@74

>

8?�0A@7

@

8?,

@1:B�/4

8?0,

@1@0B,4

8?�01:A/4

@1:B�/4

8?71:A/4

@/

� G

0?@18B74

0?71:B�/4

�/

0?@81:B�/4

�1:A/4

0?@,8

;8B,

0?

D1,A74EAF7EA1,B@74

9

0?,

�1:A/4

� H

7?@8/

:A/

7?01�0B,4

,B@0

7?@8B�0

@

7?@81@8B,4

;8B,

7?/,

1:A/41:B�/4

7?�0/

:B�/

� IJ��)��#��"��%��!���������"��>�&)�����������������������������

KLM?�0NLMA7OLMNPP

���%)�����*�����#�����������&�'Q��&��������!��������10575/5,584 �!������!����� �!��������

��������%)������������� �����&��������!��������'

1�43%)��������*�#���������� �����&������!��������,���/R

1*43%)��������*�#���������� �����&������!��������8���,R

1!43%)��������*�#���������� �����&���)����!��!�&)������'����SJ��$"������NPP������#������

���!������"��������� ���� ��!��������������������)�������������&���)����!��!�&)������'

=������)��*��&�:T5::5:�'

Page 279: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

� ������� ���������������� �����������������������������������������

�����

� !"#� $�"#%� $"#&��!"&''(

�''��

� !"#� $�"#%� $"#&''!"&��(

�))��"

� !"#� $�"#%&��!&''(

��'��

!"&�'

�')���)�*

� +������ ���������������� ��������������������������������������

�,,��

� !"#� $�"#%� $"#&,,!"&--(

�--��

� !"#� $�"#%� $"#&--!"&,,(

�))�"�

� !"#� $�"#%&,,!&--(

�,-��

!"&,-

�,)��-)�*

� ./�0������� �������������1��������2��3�4��������5����6�����������1��������7���

����������1�������7�������������������89:��������������������� �����1�����"����;

�<���1�������������7 �1��������7�������1������8#

� ..�0������� �������������1��������2��3�4��������5����6�����������1��������7���

����������1�������7��������������������89:��������������������� �����1�����"����;

�<���1�������������7 �1��������7�������1������8#

� .=�0������� �������������1��������2��3�4��������5����6�����������1��������7���

����������1���������� ���������������89:��������������������� �����1�����"����;�<���1�

������������7 �1��������7�������1������8#

� .>� ?��������������7 �1��������7�������1����������1�� ����:���������������������

������������������8����� �����@��1�����������

A���AB!A��'AC!DE��*

A�'�AB!A�''AC!DE'�*

A�))AF!DE)�*

2��GH�����@��1 I79:������8�8

Page 280: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

� ������� �������������� ����������������������������������������� ���� �

�������� ���������������������������� ��

!"" #$%

#

!"& '$%

#(!"")!&&*$+,"-.

!"& #$%

#

!&& '$�

#!"&$+,&-.

!// 0$+,/-.

1� �23��������%4�5��������6�

� �7� ���� �������������� ����������������������������������������� �������

8���� ����� ���������������������������� ��

!99 :$ !9; <$+,9-.

!;9 :$ !;; <$+,;-.

� �=�>����� ���������������������� �� ���������?��������� ���� @A�� ��������������

���� �������?���������������������B���������� ����� ���� CD

� �E� ���� �������������� ����������������������������������������� �������

�������� ���������������������������� ��

!"" #$%

#

!"& '$%

#(!"")!&&*$+,"-.

!"& #$%

#

!&& '$�

#!"&$+,&-.

Page 281: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

� �������� �������������������������������������������������������������������������

������������������������ ����� ������������!�������"�������������������������#���$

����������������!�������������������%���!��������������!����&������

����� ��� '����������������������

(���)*����!�������������������������������#���$���������� +������������������,-. /,-. ���

���,-. /0��������!������1$ 2����������������!���� #1#1$�����3�����������1#4 5���

1$456

� �7� 8&���������������� ����������������������������������������������9:;;9:--9���:;-

�������������� �������������������������<�������������������:==9:>>9:=> (���)<����������

����������������%:?@A:BCDEB

DE?DEC

DE@6

� FG�+����������������������0H��������������������������!��������������������

:==AIJD.K

DL.M :=>AN

D.K

DEDLM :>>AIJ

D.K

DE.

%����I����������������������K�����O�� ������������� 2��%��������������������

��������������O�� �����������������������

:;;AIJ0

#

DK

D#J0

#.D.K

D$.M :;-A

0

#.DK

D$N0

#

D.K

D#D$M :--AIJ

D.K

D#.6

� F������� �������O�� ��������������������������������9�!������������59������ ������������

������������������������������!�����������0�

Page 282: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

� ��� ����� ���������� ������������������������������ �������� �������������

����������� �������� ��� ��!

"#$ %#&''(!

)

�%#*+#*,#(%-

.*+#*,-(*+-*,#

/

(%0

.*+#*,0(*+0*,#

/1

"-$ %-&''(!

)

%#

.*+-*,#(*+#*,-

/

(�%-*+-*,-(%0

.*+-*,0(*+0*,-

/1

"0$ %0&''(!

)

%#

.*+0*,#(*+#*,0

/

(%-

.*+0*,-(*+-*,0

/

(�%0*+0*,0

1

�����%#2%-2%0��������������� ��� ������������3����� �����+#2+-2+0�������4�����

������� 43������ ��"#2"-2"0���� ���������� �

� �5���� ������6����43�� ��7�������� ��������,8����������3��9 ��� �����43�� ���

��3��:;;$"����:;<$:<<$=>?������ ������4����� &;;�&<<��&;<>93 �6������� 43������

6�3�+$+�,2@���A$A�,2@�>

� �B���� ������6����43�� ��7�������� ��������@C����������3��9 ��� �����43�� ���

��3��:<<$"����:;;$:;<$=>?������ ������4����� &;;�&<<��&;<>93 �6������� 43������

6�3�+$+�,2@���A$A�,2@�>

� �D���� ������6����43�� ��7�������� ������������,��@�������� �9 ��� �����43��

�����3��:;;$"�:<<$"��:;<$=>?������ ������4����� &;;2&<<��&;<>93 �6�����

�� 43������6�3�+$+�,2@���A$A�,2@�>

� �E�9���6������3�����3������� FG� ��H���34� ��IG �33� ������6J����KCK�?���

��� �� ���� 43������6�3� �

?�J����LCK�MH���34� �������

Page 283: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ��� ����������� �������������

������������������� ��� ��� ������ �����������

� ���� � ������ ������������������!������"#����� � ��� ����������$#�������������� ���

���������� ����������� ���������%� � �����

� �&�������!� ��������"#� ������������"'���� � ��� �����������!$#� �� ����� ����������

�!$'�������������� ��� ��������(���!)���������� ���������%� � ��������*��� ���%�������

� �+�,��-������� �� ����� ���%�� �����.����� ��!�.��������%/012134506789��:�;����/016

<=>>?013�@=01� ��������� �� ���=016A

�BC0213C120D� �����*����E�*����.����� ��!�.��������%

/012134506B<3@DFG

FH03@

FIC0FH>FH>

3450678

�����G6=##3=II3=JJ�������������� �

� KL�M������E�*����.����� �� ������%�N�� �������� � ����� ���!��%

@C02113B<3@DC1210345067

�����*�����!��%

@OIPC3B<3@DOBOQPCD34P56P7R

Page 284: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

� ��������� ������������� �������������������������������� ��!������� ������

����� ����������� ��������� �

"�������#$%&

'$

(

()$

*&

'+','-

.(�','-��&��

()+/(�'+'-�����

(),/(�'+',��0��

()-

12

� �3������� ����������� ������������������,����� �� ����

4�,��5$%678�$978%:$

��� ����������� ����������������� ��

'$:�;�%-<

7=+

&

',7

>

?(,�'$��;��

()7()7@�

-<

A=+

*B

;C

2(�'A��B��

()7@

-<

A=+

*B

CC

2(�'$��;��

()A

@

-<

A=+

'A��B�

D(

()7

*B

;C

2

@

-<

E=+

*B

;F

2*F

CC

2

@

-<

E=+

*B

CF

2*F

;C

2GH

I

� ���J��������K��� ��� ���0���� �L����� ����� ������������ ������������"�,��#$%:$

��� ������������4�,��5�MN+%:�&�%

(,�

(),/(,�

(O,/(,�

(P,

4�,��5�MN,%:���%

(,Q

(),/(,Q

(O,/(,Q

(P,

4�,��5�MN-%:�0�%

(,R

(),/(,R

(O,/(,R

(P,

������SQSR�������������������� ����������T������U

� �V�J��������K��� ��� ���0���� ���� ��� ������ ������������ ������������"�,��#$%:$

��� ������������4�,��5�MNW%:�&�%�

,�W@&

X,�W@

X,(�Y(Z

4�,��5�MNY%:���%�

,�Y/�

X,(�W(Z@&

X,�Y

4�,��5�MN[%:�0�%�

,�[

�����WS�YS�[���������� ������������������,\%

(,\

(X,/&

X

(\

(X/&

X,(,\

(Z,/(,\

(P,

� �]�J��������K��� ��� ���0���� ������ ������ ������������ ������������"�,��#$%:$

��� ������������

4�,��5�MN %:�&�%�,� @

_,� @

_,(�Y(Z@���Z

_,�Y@

_,� �Z

(�

(a4�,��5�MNY%:���%�

,�Y/�

_,(�

(Z@

&

_,� �Z�Y@

���Z

_,� �,Z

(�Y(a

4�,��5�MN %:�0�%�,� @

&

_,� �,Z� /

_,� �Z

(�

(a/���Z

_,� �,Z

(�Y(a

�����S�YS� ���������� ���������������������

�,\%(,\

(_,/�

_

(\

(_/&

_,(,\

(Z,/��Z

_,(\

(Z/

&

_,� �,Z

(,\

(a,

Page 285: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

� ������� �� � ������������ ��������������������� �� ���� � ���������� ��������

������ ���� �������� �!"�� ������ �#����� �� ��� ��$������� �������%�!&!��%''��� ������#�� ��

���� �������� ��� �� � � ��������( �� ������� � ��������)* � �� �!������ ������&���

� ��� �� ���� � ��������!

� �+����� �� � ������������ �������������&������� �� ���� � ���������� ��������

�� #������ �� �������� �!"�� ������ �#����� �� ��� ��$������� �������%�!&!��%''��� ������#�� ��

���� �������� ��� �� � � ��������( �� ������� � ��������)* � �� �!������ ������,���

� ��� �� ���� � ��������!

� �-����� �� � ������������ �������������,������� �� ���� � ���������� ��������

����� �� �� �������� �!"�� ������ �#����� �� ��� ��$������� �������%�!&!��%''��� ������#�� ��

���� �������� ��� �� � � ��������( �� ������� � ��������)* � �� �!������ �&����.���

� ��� �� ���� � ��������!

� �/�"��� 01234(���5���� �6� ��� �� "��#��� ����� ����� 7� �#

89935:;<6

;=<

8>>35:;<6

;?<

89>34;<6

;?;=

%�'@���������� ��������������� �������� �������� ��������������� �������� �����7 �#��

��� � 7�������!%')*�� ���� ���������# �������

;<A99;=<

:;<A>>;?<

3�;<A9>;?;=

��� ����6���5�����������

BC6:�4�D

�4DB<53�E

� FG������� ��� �� �� � �� ��#��� ��� ��� ������ ���� ����� ����� ������� �������� ����

�� �����02H345IHE@���������� � ��������������� ��������� ���(�������� ���� �������� ���

���������# �������AJJI<<:A<<IJJ3�AJ<IJ< �� � �� ����� ���B<8HH3

�4DB<5 KL3�K�

��������(�� ��� �� ������ ��� �����!M���NO�P � ����� �� �������� ��������!

� FQ�R� �� � ������8HS3�TAHS:UA

VVWHS������� ����� ��������� ������ ��� ��!

� FX�O ��� �� �������%�!&!�.'����� �������%�!&!��'!

� F�� Y������ ���������� ������ ��#��� ��� � ����� ��� ���� �������� ����5 ���

02H34ZHS5IS!"������� ������ ��� ����� ����� ����� "��#��� ����� ��������� ��� �����

��� ����# ���#��(�� � �������8HS3[HV[S\]VI\:ZHS5 LKK_K 3�K��� � ]V 36IV ���

[ab���� ����� ������� ������� ���������#������������ ���� �� ���( ���!

%�'@�������[HV[S\%6V'I\S3�!

%'@�������8HSIS3402H!

% 'c ���#�� ��� ��������� #������ ��������� ���� �������� �(�� ������� ��#����(�� ���

*�� ��������8HS!M���N)*������ ������������� ������� ��� ��� ������ ������#�� �� ���$

� ���!"���� �������[HS3 JdeAHS!

Page 286: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

� �������� ����� ����������� ���� �������������� !���"���� ����� ��������������

#$ #$%&%���� �&%����� ������ ���'(� ��� )���*+��������������������������� �������

���������� ��������� ��*,�%'

-�./�������� 0������ �1������� ������ ��*2 *234*25��� �*23

6

7

���*+�89

����������1 �� �� �����1����� 0��������������� �����*25

6

5

#$*+$8:�� ����

���1 �� �� �����1����� 0���������� ������ ��'

-�.;�1���<����� 1�������� �������������� 0��������� �� �������

*2 !

6

7

=�%>?*@,>?,�%A89 � 2 !

6

7

#�%,�%89B

C������ D������EF#�%,�%���������� ����� 1������� � ����� 1��� ���������'

G��HI��� ����1���� ��)����� ��������������2 J7#

�%@*+�K%4*+%K�A89B

� �L������ ���� ���������M������������ ���� �� �N�����O�� ���� �� �NP'Q��R������

������ ������S������� ����������� �������'(������������������� �T����

��� ������ �����-��U�V.B

G��HW�������� �����U���V� ���������������������������������������������

��� ������+X +X-�.� +Y +Z �B

� �[� -�.\� �������� �1��� ���� �� ��� ������������������)��� ����� ��� �������

�������������0���������������''�'/�������E]#��

^E_F

E],�� a,

����� �a������0������

���������'

-�.b�T�����D��������� ������������� ����������� ��������� �1��� ���� �

c E]#�������� �1�������������,

E],���������

� �������� d�% ,�%e,*

�%

� ������� c�% #�%ec*

�%

/�������f� � ������������� ������� �� ��������� ����� �������� '-C�������

��T����� ������������� ������ �������� �'g���� � �� ������ ������������

������� �� � �� ������ ���� ���'.

-�./�������-!e�h.c i, � c -"j4�k.,

-�.lO� �G��0�m������ ������� ������ ������� ������

i-d�%4,*�%. -!4h.c

�%4-!e�h.c*

�%

�������T���c�% �kd�%B

� �n�/������� ����� 1������-� �����oo.������ ������� ������� ����� ��������

-� �����op.���

2 !

6

7

#�%,�%89 !

6

7

-"c,4c�%d�%.89

���� ��G��0�m���

2 "

6

7

--"j4�k.,F4�k

"d�%d�%.89B

Page 287: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

� ������� ��� ������������������� ���� ��������������������� ����������������� �

�� �� ���� ������ �� ������ �� ��� ���� !"#$% � ��� �� ��&������� ��$

� �'�(��������� �����)�*

+"""",)-�.*/

-�0*/-�.�*/+""##,

)*

-�0*/-�.�*/+"#"#,

)

�-�0*/

� 12�(��������3��� ���������� ��� 4�����5

6,�77�880�88�990�99�77.-�78/#.-�89/

#.-�79/#

������ ���:�����$;��<�����: ���5������ �������6,�

�-�==�>>.�=>�=>/?

� 1@�(��������3��� ���������� ��������� ����� ������� � �� ������ � ���� �: �5

A,A-BCD/�E,E-BCD/�F,G��� ��� ������� ������������5�� 4������

H�77HB0H�78HD0IJ7,G

H�87HB0H�88HD0IJ8,G

K#-�770�88/,.I

�.*

LHJ7HB0HJ8HD

M

� 1N�(��������3��� ���������� ��������� ����� ��� ���� � �77,�77-BCD/��88,�88-BCD/�

�78,�78-BCD/��79,�89,�99,G�� ��� ������� ������������5

H�77HB0H�78HD0IJ7,G

H�87HB0H�88HD0IJ8,G

K#-�770�88/,.I-*0�/

LHJ7HB0HJ8HD

M

Page 288: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� � �������������

������������ !"���#����#!�����$! ����!������ ����� �%��&�#!�&�#!���!'�(�!������&!�

���� �)�&�*!"���)�&!%��+,"�����������#-'�.�!��'����������#-���&! !��� �/��)0�(�!�����

���� �)��12

34$���� %!�����5'���! #�#����#

67898:;<7=;>?7 @�4A43B

�4$���� %!�����5!�1�'! #�#����#678=6874

C4$���� %!�����5#!��@���������0�(�!����B

D;

DE:D;

DF7?7:;

D?7DF7=G �

H;

HE:;IJKL=G4 @�4A4�B

M��&�!)�%��(�!�����?7NO=3N�NC��!%�'����0P�'�-;���&�������0�5�&�"���-678���&��� ��������

!��<8��!��Q�� �!'5� ��R� ����#!��+M��&��1��0���#�5������5#�!�� �#���-�&�!)�%�(�!�������

&!%���#�������

S>?8T=�#U���VN S<8T=WXYZ[U\N S678T=WXYZU]

VN S;T=\U] _4 @�4A4CB

&����R'!��#���P�'�a7NO=3N�NC�!�)� �R ����������� #��5�&�%�'����0P�'�?7NO=3N�NCN)0

�&� �'!����

a7=

bc

d

?7WE4 @�4A4eB

&��� !������� ��#R�������5�&�#����#�!��&��)� �R ����������� #��5�&�%�'����0P�'�!�

Z78=3

�@a798:a897B=

bc

d

3

�@?798:?897BWE=

bc

d

H78WEN @�4A4AB

*&� �

H78=3

�@?798:?897B @�4A4fB

���!''���&�ghijklmjlkgnhiokpijpqkg-rjsktoiuqighopijpqkg-� ghijklqighopijpqkgv

w����&���x� �������&��(�!��������� �)��1!��'����������# ��#R! ��*��&�&���5� !"���

��������#+M����� �)��1!��'����������#*�*� �R �#! �'0���� ��������!'��'!���1�&����R'!��#���

P�'�a7NO=3N�NC*&���&���������#*!���)y��������Q�� �!'5� ���+M����� �)��1!"���#����#-*�

�!'��'!���&�%�'����0P�'�?7NO=3N�NC*&���&���������#����)y��������Q�� �!'5� ���+z��&� �5� �

�R'!���&��� !������� �'!�����)0�&�%�'����0�� !������� �'!�������!''5��� �������� !���������� ���1

�&�����0�5"���#�����+

�{|}~�~�~��� ���~�{|}�{������}

M�!����������&�!)�%�)!����(�!�����-*�*�''����!����5����������%��(�!�����*&��&���� �)��&�

#!�� �!'R �R� �����5�&�"���+ �*! ��&��R� R���������� !�! )�� ! 0R����*��&���&�"���#����#

!��R!��!��#!1��! 0R'!���& ��1&�&�R����+ &�� ����!�����5�&�R'!�������� #����)0!������ #!'

Y7-O=3N�NC���&�R'!�! �� 5!��+�� !"���!� ���*�*��&������ #����&��� ���%���� E���7 !����1

���&�R'!���'�#���R!����1�& ��1&�&���'�����R�����4z����� ����QR ���E���7 ���� #��5�&��� ���

����� 6784 &���R� �� �R�@YB���&��� ���%���� ���� �#���0���&!��&��� ���!����1���&�R'!�!

�'�#�����R�����R���&�� ����!�����5�&�R'!���& ��1&�&�R����+

Page 289: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������� ���������� ��� ����� ��������������������������� �������

����������� ����� ���������������� ������������� �������������������� ������

����������������������! ����"�� �����������������������#�$����!� ��������������

�� ����� ������������%�� ���� ����������������#�$��!��� ����� �������% ��&� ��

#�$��������� '������%�'��� ��� '����������#�$�������������������� ���������

����� ����"���(� )*+,�,�������#�$���������������������� ��!���������� ����"���

(�,)*+,�,�-. ���#�$ ������ ������ �"������������ �����

#/�*#�$0(�

0(/0($

0(�, ),1,2,3*+,�,�- 4�-5-67

���� ���������������#�$��!��� ���� ������������! ����"����� �����8��9�� ���

������������� ������� �������������� �� ��������� ���'������5:+4�7���4!7�

; ������5:+�9���� �������������� ������������ ��

;�������������� ���&��� ��� ��� �'������5:+4�7 ���������� ���!�����"�����

����� ���� #<<*#== #=<*#>= #><*#<=

#<=*#=> #==*#>> #>=*#<>

#<>*#=< #=>*#>< #>>*#<<-

4�-5-�7

��#�$ ��!� ����� � ���� �����#<<*#<< #==*#==���#>>*#>>-�����&��� ��4��5��7���

����������������� ����&� �����#<< #==���#>>���!��&��������������������������

!"4?@7-������ ����� ���&��� ��4��5��7����� �#<<*#<< #==*#==���#>>*#>>,��������

��&� �����#<<*#==*#>>*?@-��#<=*#<=���#=>*#=> ����������&� �����#<=*#=>*#><-

��������� �#<>*#<>���#>=*#>= �������&� �����#=<*#>=*#<>-�����&��� ��4��5�67���

�8������� �������������� ��� ��� �'������5:+4!7 ���!�� ������ � ������&� ���������

#<<*#== #=<*?#<= #><*#>=

#<=*?#=< #==*#<< #>=*?#><

#<>*#=> #=>*?#<> #>>*#>>-

4�-5-A7

Page 290: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ���������������� ����������������� �������������������

������� � ����� ������ �� ������� ���� ��! "�!#!$�%

& ���'��������(����������� ���� ������������������������������ �'�� ����

�����)*��! "�!#!$$%

+��� ���������(��"�,-,$$%���(�.������ �������'������

/012� ����3���)3�! "�!#!$�%

& �����������������(������������4� �������'��������������������� �����(���

�����3��� ���)�� ���������" �(��������������%��������4���(�������(������'�,& �

��4��'��4��������"�,#,$�%(�������������'�������,

5��4���������4�(�6�����7�(��(��,8����� ����4��� ��6�������'���(�� ���

�����'������������4������ �������������,& �������"�,#,$�%� ��� ��� � �(������

�������������������� ��6������������'�������,���������������� �������'��������4�

� ��6���,& �(������� ������������� �(������� ���������(�����'�����,5��

��������'���������� ����� ���������� ��6���,

& ���'����(�������������7�(������" �(�������%,9��7�(����" �(�(������%

�(:��������������������������(�,;�(�(��������.��������� �� ��� �� ���������

�������������<����(��������������������� �'�4� ����

�����)*��=>��? @?A�$?�?-? "�!#!$-%

� ���>��������(� �'���������������,B��� ���������7�(������ '������(����������,

CDEFGHGIFJKLGMNIOMPGFQGMNGRSOGRT 5�� �'�������������U

��>���<�������@?A?� ��� �7�(������(���'��(���U

'�����(�����������7�(,& �7�(������('����� ��>��

�(:��������<��,

5�� ���������������(� ��� �������"�,#,$-%����������� �����������������'��������

(������47�(���,

Page 291: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������ ���������������

���������

������������ ��� ����!��"�� �#� �� ��� �� ������������ ��������������$ ����%�#�������

� ��������������� �����%� �������&��'�������'�(�������� ������������))����������� �*����

���' � �))���������������&���"��'����'�����))�)�)������#� ��+��,������� ������� �"��'���

� ��'��)����-�'.���� �)�'�����#� �*��������������������&�� ���������#� �����))�)��� �

)�'�����#� �'�� � �������&�)� ���/012#����������� �#�� �3��4���������������� � �������

&�)� ����#� ���������#� �%������ �&��� ��� �#�� �3&��������� �)���� �����5�#� ����#� ����

� ������016,7$ ���������������� �#���

3

589:

01,7 ;�7�7<=>

$ � �������9:��������������)��� ������� �))��� � ��? �����#&�� �����$ �&�� ���������))��������

���������������%"��� ���� ��������� �������'�'�))������� �������������� �������@����������)

���)�����#� ��4������;��<=>���)���� ��� �"��� ����������#� �&�� �������A9:B8CDEFGEF7���

�����)�%A9:B8��6; � �� >��� � ���������#�����$ �&�� �����������))�����������������#

���������' ������ ���������������������� ������� �#������%' ���� ������#<�����8<����

��� �������������� ���$ �����)��#� ��"�&������������ �'�� ��� ��������������������)��� �

������&�)� ���'�� ������������ ������������#� �&�)� ���

H�IJKL�����M�NOM�P�

$ ��"�&�����������'�� &�� ������������� ��� �&�� ���������������QRS���������������"��

� ����������#� �����&�)� ������� ���������#� �����

2�(�������� ����������%� �����)�������)���������"�� ��"�&�������������� ��� �&�� ���

������������QRS�������������)��� �&�)� �����������TRUS�����'�'����

QRV8WRVXYTXUYZ ;�7�7<�>

' ���WRVXY��������������)��� �������' � ���������������� ������������

$ �&�� �������������������"�������������#�����#���� �#����%��� �� �'�������� ��� �

�����������)��� ��������WRVXY ��"������������"����������� ������[� �))� ������������ ������

��� �"��� #���

WRVXY8\:]RV]XY^9

:;]RX]VY^]RY]VX> _:;]RX]VY`]RY]VX> ;�7�7<a>

Page 292: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ������������������������������������������������������ �� ������! ��"� ������

���#���������������$�������%����&'()&('*+�������������,���������-����.����������$%���#������

�������������� �������������

&'/)��0'/12324

��1/3'41'3/ * ��*�*�5

+�����6������������� ���"������6�������#�������$�� ������6�������������� �������� ���6�����

��#�������$�7���������������#�������� �"��

8)��4�

!� ��*�*��

��9������������ ���6�������#�������$%:��9,��;���6�������#�������$�:+����� �������-���,��;

#�������$��;������7��;���$<��������=��$>�� �<��,�������������7��;�?��$<��������+�����������

�������,��;���6�����,�-�����#��$������@� ���������������������������� ���6�������#�������$

�������� �����"������6�������#�������$,$�������������)ABC��D������� $������;��#����

����������#�����7��;�?��$<�������������<<����,���

+����������$��,����� ��<����������������������#�������$�� �E������$<����>�� ��������

���,��,����� �F������<��%�������� $�����;�����������$����������#�������$���,����������

�������7�������� ��������)GHIJ

CKB

J4GB�����GHGB�����������������<���"�����+�������������

���,����� �����������,����+���������$I��������#������������������� J��������<���������

������L��;����MN)O�P4MQ �=��$�������<����������������;�����,�#�������R������$���<��

�� ��,����#�������#�������$���,����� �+����,��������������<<��������#����������#�������$��

����������� >�� ��� ������

+�,�����

S�������$��������� >�� ��� ��������������

������T���)U����

��R����<�����U��������

7�,������ PV. �PVG �PVG �PPVG

W���� P*P�5X� P*P�PP� P*PPO�X P*PP��OR������ P*P�55!

���$�R������ P*P�� P*PP�X�

Y�$��� P*�XX P*POX� P*P�XX=�����$ P�P�5 P*P��5 P*P�! P*P�PP

R�� �*5P���PTZ �*�5���PTZ

[����� �*����PTZ �*XO��PTZ �*����PTZ

\������� �*�����PTZ �*5O��PTZ �*X���PTZ �*PX��PTZ

+��#��������������������#������������������5 ��$����,���<����� ������������������

���������������� �"�� ,$�������������� �+�����<�������������

&'()��0'(]//4�

�]'( ��*�*�X

������]'()1'3(41(3'�� ]//)]HH4]BB4]CC)1H3H41B3B41C3C)1'3')^�����������������

����� �������������� ��� ��������D�.������������%����#������$���<������_1���#������������

Page 293: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�����������������

�����������

��

��������

�����

��

���������

��

��������

�����

��

!!���������

��

��������

�����

��

�� � ������

�����

��

!�� �!������

�����

��

! � !������

�����

��

"�#$%�&�%�$'��()%�*+�$�%�#��������,-.,/.,0(�*�+%��1�����������������������

22������2

�3���4567

88�����9

3

��8

�:��2

3

����4567

!!������!

�����4567

)*��� 4567�9

3

�3�3�2��

9

3

��8

�:���!

��

82� 28����9

3

��2

�:���8

�3;�8

3

2!� !2������2

�����!

�3

!8� 8!����9

3

��!

�:���8

��

"���*��%�$���&%�����()%�*+�$�%�#��������,<.,/.,=(�*�+%��1���������������������*�+��*�

'��

>>������>

�?���4567

88�����9

?

��8

�:��>

?

����4567

@@�����9

?ABC:

��@

�D��>

?��8EFG:

?

����4567

)*��� 4567�9

?H�

�?

I?H�>J�

9

?ABC:

�:�ABC:�8��

9

?ABC:

��@

�D

>8� 8>����?�

�?

��8

?

��9

?

��>

�:

@>� >@����9

?ABC:

��2

�D�?

�?

��8

?

��

8@� @8����ABC:

?

�:

��@

ABC:

��

9

?ABC:

��8

�D

K����*���*�+%��1�������������%��$%����'1��%���'�*������'&�'����%��������LMNOP1*�

Q1%&%��$$�&�RSTUVWXYWZ[X\]"�����)*����*�+%��1�������������%�����$%����'1��%���'LMN�*�

Q1%&%��$$�&WVWRSTUVWXYW]

_ abcdcebfgh idebcjbklmcno "'�*�+%��1�������������pMN

%��q�����%r$����$%����'1��%���'�*������'&�'����%��������

LMN.�*�Q1%&%��$$�&�K�)���%��Q1%&st�*��)%��(�*�Q1%&%�

�$$�&����uK�)���%��Q1%&s

"�����������vw�������1�����r%����#'��'���*�����%�1�%+��x1��%���1�$����*���%��qu

���%����$�+%&������1�����#�1����1��%��sy����%�1�%+��x1��%��%��+��#%�����������%��*�

�&�$%�z����������%�&���%r���*�����%�$#�1���)��{%�z)%�*st���������r%����%$#���%z��'��

���*�+%��1���������&�q����*���*���%�$�x1��%�����&���%r��*������Q1%&r�*�+%��s|*�'��

�'�*�+%��1�������%���%������������'�*��&�$%�z��������&r#���%z�%�z&%}�����'������*�

+%��1��������������*��+��%�1��#����'����%�$���r��&�$�&s~������%��1���1&#%��*��������

��K�)���%��Q1%&�s

"�������%�����&%������*������'&�'����%��u����������%�1�%+��x1��%���'���K�)���%��Q1%&��

r�)�%������

�MN����MN����MNL�����

�LMN ��O�O���

Page 294: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������� �������������� ������� �

���������������������

� ���������! �"#"�$!

�������%���% �&��������������'(

)*�� ��� ���%� � �+� ������ &�����'��� ,�-.� $-�-/��� �%��� ��'��� �

� &�����0�-.�$-�-/-��� ���

�12����3,�

3013,�

302" �"#"��!

4�5��%���&��� %����� ��65���� �($(/!��&5����5���%�65���� �(#(�$!����65���� �(#(��!��

������� �%��� ���7* ���� ��������5�����65����(8� � ���%�����&�����&5����5������ �

�5��

�12�9�������

����������

� ���������!:3,�

3013,�

302

�12���;12���;12�

�����

� �1�2��2�1!"

< **��%����� ������=���� �>������'� ��� ��������*�����%��� ��� &�����0�-.�$-�-/-�

�12���;12���;12;

��������� �1�2��2�1!" �"#"�/!

?@AABCD

E�������65���������&�� ������������4�������F5�&� �G

+����5��'�65���� +�� ��������!

3H

3I�JH��K���L-

MH

MI�HNOPQ�L $�65����" �"#"�R!

+�� ����������� �����5� ������HS��HT��- /�65����

������ � � HMPQ

MI�HPS�NOU�HPS�N��NOV �"#"�#!

��� �U�WX�YZ

WX�YZ ������[��!\]�\]���&V�

WX�YZ

WX�YZ[��\]�\]�� ����& &� ��� (+�� >

��������%5�� �����5��������- �&5���������65���� �(#(�/!�_�65����(! ����

&�� �������� �����'� ������ !

M���$

� ���������!- _�65����( �"#"�_!

+����5�����65����

�12���;12���;12;

��������� �1�2��2�1!- _�65����( �"#"�a!

Page 295: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ���������� ������������������� �� ������� ���������������������

� ��������� ������� ����������� ���!� "��#���$��

%�& ���������� ����'� ���!� "%�&#�����$��(

) ����*��������� ")#��$��+

,� �����-������� ��� ���.�������� ",�#�����$�

/�& �������� ���� ����� ���� � "/�&#���01

2 ����.����� "2#�����$��(

34�54 ���� �6����� ���� ��� "34#�"54#�7 ��

����� 7 ��� �$����

������������-������� ��� ���.�����������8� ��9������������� �:�;<;�=>9:�;<;�<>9

:�;<;�?>9���:�;<;�@>��.����� ?������ ������ ?��8� ��

)��1��(��+�%11�%1(�%1+�%((�%(+�%++�/11�/1(�/1+�/((�/(+�/++A

BCDEFGHIJKLFMHNOPFQ RSOCJEKTMKUVWOEXYKJEKT

Z������������������ ��� ������� �:�;<;�@>��� ���������� ������������ �:�;<;�<>9���

��������������� ���� �6��������� �����9�� ��������[�����\Z� 8�\]���������� �� �*���

� �� �;����������� ����������������� ��������.������������ ��������������� ��

)���),�_2&a�&b:34b54>�cc�b5

4��&&

)d��deb)�&��&�),�b:_2a�&bf�&>&

d)��deb:)���&b2a�&_f�&>&�),�

)/g�

/e�)g,_h2b:34b54>h:hig�>b54h(g�

:�A<A��>

�����/g�

/e�dg�

deb:g�ih>g�����������������������9������������������� �� ������������������;j��

�������������.��������

���d��debd��dk&lk&

le�d��debd��dk&�&�

d��deb��&�

&A :�A<A��>

��������� �� �� ������� �:�;<;��>9������� ��������\������� ���������� ���.������ ���

����;j������)g,��.������-������� ��� ���.������� ����;������� ����������������� ��

. ������������� �m9��������-������� ������� �������������������.������������� ��_)hmA

j������_h2����������� ����.����������.������� ���.������� �������� ���� �����

.�����;j���� ������������������������-���������� �� �������� �;j�����������������

���������

gno�pqrsp�:34b54>h:hig�>b54h(g� :�A<A!t>

Page 296: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������ ���������� ����������������������� ���������������������������������

������������������������������������������ !��"������������#������$��%��&'�������

(����)��#������

��������������*�������������������+�������,���-.��/���#���������0�1���������

2�����������

3456�57869

56�5:9;<3=�8

5

5:9

>

?@A�98BCA�956D5:D8EC

F56�5:985695:�

GH

<3=�?5@

5:�85

5:�

F

BC56D5:D

G

85

5:9

>

ECF56�5:985695:�

GH

1����������0�1����������������0��/���*������������I<BC8JKEC��

3456�57869

56�5:9;<3=�?

5@

5:�85

5:�

F

$I?�

LEC'56D5:D

G

85

5:9

>

ECF56�5:985695:�

GH

<3=�?5@

5:�85

5:�

F

I56D5:D

G

85

5:9

>

ECF56�5:985695:�?�

LA�956D5:D

GH

������#�������������0�������������1�������

�������������������������������+1����MN�ON�O<PJ�$����������'���M�9<����QR<S+�������

�T �������������,���-.��/���#����������������� ��������� ������6$U'V6$�'V6$L'���W

XYZ[\]_ab\cdef\g \heY[aicja]kagl]\cc[mn\oe[p[i \]gcajlfqc[kYnkaglai\icr$QR<SR<s'

t

uvwxyz

v{|wx}z

~�

vwxyz

v��|wx�z

~�

vwxyz

v��|wx�z

~�

vwxyz

v��

�wx�z

~�~�

F

wx�zv~�

v���wxyz

v~�

v��

G

|wx�z

~�~�

�wxyzv~�

v���wx�z

v~�

v��

�H

t�xyz

~��}

~�

v�

v��|}

~�

v

v��

�������

�|��

~�~�

>~�

~�

v

v��

Fwx�z

~�

G

|~�

~�

v

v��

�wxyz

~�

�Hv~�

v~�

|��

~�~�

u~�

~�

v

v��

�wxyz

~�

�|~�

~�

v

v��

�wx�z

~�

��v~�

v������

~�~�

>}

~�

vwx�z

v��|wx�z

~�~�

v~�

v��|wxyz

~�~�

v~�

v��

H

����

~�~�

>}

~�

vwx�z

v��|wxyz

~�~�

v~�

v��|wx�z

~�~�

v~�

v��

Hv~�

v��|

}

~�~�~�

>v

v��

���~�~�

F}

~�

vwxyz

v��|wx�z

~�~�

v~�

v~�|wx�z

~�~�

v~�

v��

G�

|v

v��

��~�~�

F~�

~�

v

v��

Fwx�z

~�

G

|~�

~�

v

v��

�wxyz

~�

�G�

|v

v��

���~�~�

�~�

~�

v

v��

�wxyz

~�

�|~�

~�

v

v��

�wx�z

~�

���H

$��%�LU'

1����� �6��������#�����$��U�¡'�

������0���#�����+����������������������QVS���s������+������:¢��� �����������

��������Q<UVS<�Vs<L£������:J��� �������������������Q<�VS<LVs<U£���������:K

��� �������������������Q<LVS<UVs<��

�����0���%��+%�L���%�¡���1����T ��������������,���-.��/���#�������2�������+����-

��������� ������������������� �������

Page 297: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����

�����

��

� ��

�������

� �������

���

��

�������

������

����

��

�������

������

��

����

�����

��

����

�������

� ����

��

����

��

�������

���������

���

��

�������

������

��

��

����

�����

��

����

�������

� ����

��

����

��

�������

������

��

����

��

�������

���������

�� ! �

��"#�

�"#

�����

�"#

� ���

�"#

�����

�"#

��

$%& ��������

� ����

������

��'�()(*�+,

-$./ )0�1$23 !45678 9 :;$637%9<7!=7>?! 993./ @;3&93%A$!6 93$%=77!&3%$6 90

B��C

���DEF

G

��C��

�F��

�F

������C

�F�������

��H

F

�I

����H

F

��C

�I���E

�F�E

F

��

��

��

������C

������

�F

������

F

���C

�FH

F

��E

�I�C

F

���E

����C�E

F

���E

H

F

��

�I��

�F

����H

F

��C

�I���E

�F�E

F

���H

F

�I

�����H

F

��E

�I��C

F

��������

��

��

����H

F

���

�I���E

��

������

F

�H

F

��C

�I���E

�F�E

F

����

�����

��

���H

F

�F

���F

���C

������

�F

���H

F

�I

����H

F

���

�I���E

��

����

��

�������

���������

�� ! �

��"#�

�"#

����C

�"#

�F��E

F

�"#

�I���

�"#

��

$%& �����H

F

�"F�C#

�F�H

F

��E

�I����

��'�()(*�J,

-$./ )0*1$23 !45678 9 :;$637%9<7!=7>?! 993./ @;3&93%=K/3%&!3=$/=77!&3%$6 90

Page 298: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������ ��������� ������ ������� � ��� ����

������������� ����!��� ���

���������� ���� �"�# ��������� � � �"�������� ��� ��� �"�������$!� ���%&���������

�#��� ���� �" ��������!��#����#����#����� ��������� ��� ��������!�###��������

�$!� ��������� �! �"�$!� �� �����'"�$!� ���#��$!� ��������%������'"�$!� �������

������(������������#"�� ����� �#������������!��� � ����! #�#� �������� #���#

������� ����#%���$!� �������� ����� ��������������#"�� ��� ����� � �##�#

�������!�������$!� ����$!�����!������!�)�����%*!��"�������$!� ��� �)�����

�����#�"����%+��,��������$!� �������� ��� #��'������������!��- ������#��'�

#��� �".�#�������!��/�"������ ��-�.0/����0 ���!� �����'��������%

1

2345

367489:4

8;

<

=

>1?57@A

@<:@

@<

2BCD@45

@<:EDFGH4

I:J

<

@

@K

2CD<

@

@<

L49

<

M:CD

<

@45

@K

I

:J

<NOPK

@

@Q

2CD

<NOPK

@45

@Q:CD<

@

@<

L4;

<

MI

:CD

<

2R@45

@<7B

<

@49

@K7R45

<7

B

<NOPK

@4;

@Q7B49STUK

<:<STUK

@

@<

L49

<

M:STUK

<

@45

@K

I

1

2349

36:4549

<748;STUK

<

=

>1?97J

<

@A

@K:@

@<

2CD<

@

@<

L49

<

M:CD

<

@45

@K

I

:J

<

@

@K

2BCD

<

L@49

@K:45

M:EDFGH4

I

:J

<NOPK

@

@Q

2CDNOPK

<

@

@K

L4;

NOPK

M:CD

<NOPK

@49

@Q

I

:CD

<

2BSTUK

LJ

<

@49

@K7

J

<NOPK

@4;

@Q749STUK

<

M:V

L<@

@<

L49

<

M:J

<

@45

@K

MI

1

234;

36:494;

<:494;STUK

<

I>1?;7

J

<NOPK

@A

@Q:@

@<

2CD

<NOPK

@45

@Q:CD<

@

@<

L4;

<

MI

:J

<

@

@K

2CDNOPK

<

@

@K

L4;

NOPK

M:CD

<NOPK

@49

@Q

I

:J

<NOPK

@

@Q

2BCD

<

LJ

NOPK

@4;

@Q:45:49STUK

M:EDFGH4

I

:CD

<

2V

<NOPK

@45

@Q:V<

@

@<

L4;

<

M:BSTUK

LNOPK

<

@

@K

L4;

NOPK

M:

J

<NOPK

@49

@Q

MI

����3

36WX>

@WX

@6:45

@WX

@<:49

<

@WX

@K:4;

<NOPK

@WX

@Q

�# FGH4>J

<8@W<845X

@<:

J

<NOPK

@49NOPK

@K:

J

<NOPK

@4;

@QY��Z�[\]

����Z%_ � ��a*��)���$!� �������������� ����! #� ����� ������# ����%

Page 299: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ������������������� ����������������������

��� !"#$"%�&'(�������)*������ �� �������������)*+,-./(������������� ���

������������0����1���������23��456758+9:�����������������4��;��<:������������������

4)=>-:)=+,?

@-A,-. @�������� 4�/;/��:

B����2�C��� ����������2

4)=>-:)=+4-D)=:D)=E?

�-4)=>)=:F 4�/;/��:

����������������������������4��;���:������ �����)=/����C����)=>G4-D)=:D)=H+)9���I���

)=>-

JA

@E.E

?

�=KL

+9/ 4�/;/�M:

N����������������������23��������� �

A

@E.E

?

�=K+������� 4�/;/�;:

����C����������N������������O�������P��������Q�����������������.+RS�

����������C�� �2T����������4��;��;:��������A

@E=K

�ERS+UVWXYZWY/N��������������

O�������P��������Q������� ����������C2�����������������2����������3���

��� !"#$"%�['(�������)*+,-.����� �� ������\�����������2]I2

)]+-D)=+����)= ^+?

�] 4�/;/�_:

���� �����2 ������������������3��3������I�� ��������C�������� �����������

�����C���� �����2���3����������N�����C��������2�����������4��;���:������������

�� ������������������������������� �����2 ���������I�������2����2�����������

)=

YE)]D)=E

?

�-=K+,

?

@-A,-.E

?

@)a7bcdefcF 4�/;/�g:

�����)a7bcdefc��\���I2�������4��;��9:�Q����������������� ���3�������������������

���B�����������)=

YE)]D)=E

?

�-=K+,

?

@-A,-./

Q��������2@����������������������2��������2��������������������

h+

ij

d

kA

@����� -h+

kh

kA-A+

?

@-A

�������B�����������I�����

)=

YE)]D)=+,-4hE.E

?

�=K:/

�����l������� ��������������CT��������T��������T������������m�����������

� ����lI2�����C������������������������ �������C�����������������2�����������

���������� ����lI�C���������n��������������������������C������

Page 300: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� �������� ���������������������������������������������������

��

!"#$%&'(����&'� ����������)���������������������( !� ����������������������

��������*���#$%� ���������������������������+,����������� ��������������������)�������

����������� �������+,������������� ��� ���������)���������������������� �)�����������

�����������������+,������������������������ ������� ��������

���-��./

0���������������

-���� ������������������������+

1�2���� ������*�)��� !� 3(������������ ��������������������������������� 4��56����� �

�������� �������������� � � ��������5

7)������������� ��������������������������������������� ����������������)���

��� �)����8������9�5:5;<=57)��)����� ��������������� ������� ������������� ������

�8������ >" !�3 7������ �������*?� ��� ����5

@���� ! A���������)�������������5

B @

BCD>E9 @E !=�

FG

?>H @ I� ��� ���� �����)�������� 4��5

9�+:+;J=

K�����������@� �����������4��*���������������������������������8������ ����������

0�����LI�������8������ 5K����� ������)������>E9 @E !=� ���������*��������� ��8��������

�8������9�5:5;J=����� �����M� ����8������5,�� ���� � �����������������M� � �������������

������� ������5

N�������������� ����������������� ������5O��P�����*��������������������� ���

Q�RS#$T(����R(S��� ���� *����������������������*������� Q�>E Q��S#$U*����� ��� ���

��������� ��������������������52�������� ���������������5O��P�����*��� ��������������

���� Q�V#$W����VX3+6 ���������� �����)��������� ������� �Y QY����� � � V����� � 5

O���� ���������������� Q�>E Q�Z#$[+,������L����������� � �����)����������������

������ ��������������������������������� ����� ��)��� ����M��� 5

\]_ab cde_f

7����K����L2���� LA�����8������ )������������������ ���������������P��������

)��� ���������)������������)�������g������� h�Z>gi&Vj$klmno��� ��������������

K����L2���� �8������ ����� �) �����������

!� !

!/

p�p

p/

?�?

?/

C�C

q

g�g

lr(

s�s

r

V�V

r

t�t

r

����������)������ ������ � ����)����� ����� ������ 5A���� ����� ������ ������L

������ ����������������� ������������ ���)�8������ ��������������� ��������������

�������� ������ ����� ���������������������5u ���������������� ������ ���� ����� ��)��

����� ������� � �������)����������)��� ���)�8������ 5,���������� ������ ���� � �������

������������������8����� ������ ���� ���������������)��� 5,���������� ������ ����

Page 301: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� �������������������� ��������������������� �� ���������������������� ��

����� ��������������� ������������� ���������������������������������������

���������� ����������������������������������������� ������������������������

����������� �������������������������������� ������������������ ����������������������

����������������� ������������������ ��� ������������ ���� ���� ������������

������� ���������� ������

!� ��������������� ��������������������� �"�����#$�%��������������&'��������

� ���������������('�� �������������������)'�� �������������� �*�� �������������� �+ �

������������������ ��,�� �������������-����������,.*/&'0� �� ���������������&�(�

)�1�2�3�4��5����������������6���� ��������������������

7.8

839:;<

8

849:=<

8

859:>

� �������������������� ������� ����������������� ������� ��������������������� �

"�����#$�%��#6� ����������

)8?&

82<)-?&@70?&.A)71A7(<-BC<DC07-7@?&0<DC7=?&E -�F�FG�0

� �����H)'&',

I)8?&

82<

J)'&

='

*

K

)L?&@7

M?&.A)'+)71A

H('*

I7(

<-BC<DC0

*=&'7L7@?&

M<

JDC&'*=

K

7=?&F

-�F�FNO0

"������� ����� ��������-����NO0������� ����P����)'&='/*E������� ��������

Q)8?&

82<)L?&@7

M?&.

AR

S)71AT7(<

JBC

DC<R

KR

U7L7@?&

M<R

U7=?& -�F�FNR0

� �� �� ����������������P�����

T.(')'&='

.V����������

S.&='+*. W�����������+��������������������

U.)'X'*

DC.Y� ����������

Q.*

,&'.$��� ��������F

6������� ��������� �� ������������ ������������������������� ���������P������

� �������������������� ��� �����

Q)8?&

82<)-?&@70?&.A

R

S)71AT7(<

JBC

DC<R

KR

U7-7@?&0<

R

U7=?& -�F�FN�0

Page 302: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ����

�������������������������������������� �!����"������ �!�#$��"������%���������� �!

����������&���% �����'��(�&���(&����'��(��()��'��(��(��**��#$��"������%���"������ �!

��������� ��� �!�������&��������+�%��������%�#������&�+����%���������&��������������%

�������+!&��&�� ������&�!�&� �����&�'��#,��&����+����%���������&� ����������������&���

����������+#-��./0�������&���������'�����������������������+����������!��&���'��( ���1

������./�������&���������'��������(��������������&� ���#2����.34./5���&�'������+�%�&� �����

�&������./��������.34./05���&�6��!�'������+�%�&��������+#7&��������+��(&�����'��(!��&��

�&� ���������������"����!&��&�����&�'������+��������������&��������+��*���#8�������&�

�������+�������������������!��&���'��( ���������&�������������+���������#

9:;�� ���<=>�?::�@:����������� ���A

$���&�������������+�������������������!��&� �����������

�����������&���������BCDBCE

.34./5F.34./05!&���./0���&���������

'����������������&��������+#

G��������1!&�����������������������������1������������+���������������������&�����������

�%�&�'������+%��%����&����(��#G��&���������������%����������������+������������������+#

H�II����>��� ����J������:� ����

7&���(&����&���'���������%�&�������K��������%������������&�����!�&�'���(�������&��)

���+�������������������(������L����#7&�����������%�&�����+������������������(��������������

������������������&�������K��������%���������#7&���������K����������������(�������������M

����:N� ����OI���

7&�������'������%�����������������&���&�����������%����+�����&��(�������(���������#

7&����������������+�&����������+�K������

PQ

PRS4Q3T5UTFV ��

WQ

WRSQXY.ZFV

!&���Q���&�����������+���3T���&�'������+#

����:N� ����OJ��:�I�I:� �I

7&�������'������%����������������K������&���&����������%�&��(��%���������������K���

�&�����������%���%����������(���&����+#,��+�����1!�!����

W

WR

[

\

Q3] _F

[

`

a]bcde] fS

[

\

Qa]b0d _S

gh

ijk

a]bid 4�lmlno5

!&���pqr

psFtqr

tsStqr

tuv3T���&�������������'���'�1a]bcd����&����%���%����������������1a

]b0d����&�

���+%�������������������a]bid�������������������"������%�����#w���x�����������&����%������

y�����������&�'������%�&��������'�����#7&���(&�)&��������%�&��������'�������!�����������&�

���������%���������(%����&���������������%������%���%�����������+%����������(����������'�����#

Page 303: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������� ���������������� ���������� ���������������� ����������� ����

��������������� ��������� ��� ��������� �������� ������

���� !"#$%���&#�'()#!*�* �$(*

+�������� ��������������� ������������ ������������������������

,������ ���������-����.�������������������������������� �����������

/��������

0

01

2

3

4567897:8;<=

2

>

567897?8@AB;CD

2

3

4567897?8@EB;<D

FG

HIJ

,567897@HB?

8@HBDK

6@HB- ,�LMLNN-

���K6@HB������������������������?8@HB������� ����������

���� !"#$%���& � !'O

+�������� ����������.� ��������� �����������P �� ��������� ������

��� � �.������������������P����������������������������� �����Q�����

��� �������������������������� ��� ��+�����.��� �������������������

���������� ����������� ���

0

01,RDS-= TU D TVW ,�LMLNM-

���R ��� �����������S ���P �� ������TU ���������P���� ���� �����������

�����������TVW ��� ���������������������� ������X����

Y�5����� ��������� ��������� ��� �� ���������������R=

2

3

45;<�������

������ �����������������������+�P �� ����������������� �Q�������

S=Z

2

3

4[67:6:7;<���:6 ������ ���4 ������ �����;< �����������+�����,���

���P-���� ���� �������������������� ��������

TU =

2

>

[67?6@AB:

7;CD

2

3

4[67?6@EB:

7;<D

FG

HIJ

,[67?6@HB:

7D[67K6@HB\

7-

���\7 ������������� ������ ��96@HB�?6@HB�� �������������K

6@HB�� �����������

+�Q���������������������������������]�^6������� ��������������� �__a

���� ������+�������� ���������������������

0

01

2

3

4,5DZ

�[67:

6:7-;<=

2

>

,[67?6@AB:

7b 6c6-;CD

2

3

,4[67?6@EB:

7DdV

d1-;<

D

FG

HIJ

,[67?6@HB:

7D[67K6@HB\

7De@HB-

,�LMLNf-

���e@HB���������������� ������ ����������������� �������� ������� ����� ���

������� �� �]�Q��������������0g01 ������� ���� ��� ��

/�.��� �,��M�Nf-���������� � ������� ���� ��� ���� �����������������

5a=4,5DJh[67:

6:7-��������������i��� ���� ��� ������� P�� ������ ��� ������

Page 304: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������������� ������������������������ ������������������������������

���

��

�����

!��!�"#$%��&'(

)

��*

+�,��-���������������������� ������,��.����/�0������������������1���2,��

�������+��1���20���.��������3-������������+��������������1���2������

������-������4�5�60������������������������ �����1���2�

!4

!��

!%60(

!����

��

60��7

8

60&'$9:�;<

������,����������������� ��������������������-�����,������=�>����������

-������+������� ��.������9:�����2�����������������?2���-��� ����������� ����

�-������� ���3.2��@�����-�� ����������3���������� � ������A����

��

60���

B!%60(

!�"#$%60&'(

C

��*

D��1����%��E�FG(���� �������������>����������������.���HIJKL�MIN:N3H

IJOL�P

I�����

MIN�7QRIN"�IN*S������,���������������� ����.2-������� �������A������������-�����

���� 2���.���,��������������

!��!�"#$%��&'(�#%T$&'(7#$&U"6&P$&'"

!V

!�%�*E*FW(

��������6�"6%XYZ"X

YY"X

Y[(\����������� 2���T�

][I Z

][N ZMIN9�I9�N�������������������

����������

T$&'�7Q&'"[_

N Z

�ZNXN9�Z"

[_

N Z

�YNXN9�Y"

[_

N Z

�[NXN9�[�7Q&'" $&'

����IN�ab%XIcN"XNcI("d

bRINXece���-����������������f�� �������

6�%��\6(

���!��!�"#$%��&'( ��� 6

�%��\6(

���6��

��"6�%'Y\�(

��

� ����������������1����%��E��E(������&'��

6�&'

��$&'�6&P$&'7#Q$&'"%#$ ($&'

������ 2�1����%��E�FW(������.���,��������������

6��

��"Q%#$&'(�7#$&U"

!V

!�"g %�*E*F�(

�����g������,���������������.���,�������

g�%�INXI(cN7XI�INcN�#$% $&'(7%#$ ($&'*

h����>��������.�������������,����������������.���,���������g��ab�IN�IN"dbiY

�����i����������+�����=��-�������������������j����������������������

Page 305: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������������� �������� ������������������������������������������������ �

�����������!����������

"#$

#%&'(�)�*+�

,-

,%&.&�(/� +0 (�0102�+

3���������������������(45657+�����

#

#%�,

,%&*8

,

,4&*9

,

,6&*:

,

,7

�)�*�,*8,4&,*9,6&,*:,7

�)(�� +�,

,4

;

�,

,4

<

&,

,6

;

�,

,6

<

&,

,7

;

�,

,7

<

3�����������������������(=5>57+

#

#%�,

,%&*?

,

,=&*@=

,

,>&*:

,

,7

�)�*�A

=

,

,=(=*?+&

A

=B,*@,>&,*:,7

�)(�� +�A

=

,

,=

;

=�,

,=

<

&A

=B,

,>

;

�,

,>

<

&,

,7

;

�,

,7

<

�����������������������(C5>5D+

#

#%�,

,%&*E

,

,C&*@C

,

,>

*FC���>

,

,D

�)�*�A

CB,

,C(C*E+&

A

C���>

,

,>(*@���>+&

A

C���>

,*F,D

�)(�� +�A

CB,

,C

;

CB�,

,C

<

&A

CB���>

,

,>

;

����>,

,>

<

&A

CB���B>

,

,D

;

�,

,D

<

G����!��������������H�$&'I"��J�������������������������������K���������� �

����������������

"#H

#%�#'

#%&,-

,%��)��&.0

G�����������������������������������K�������

LMNOPQRSTURPVWOTPXO

Y��-�������������������������������������Z���-���!����������������������������

[����\������������[�������� �����������������������]������������������*0G������

��������-���������������� ����!�^^

_- a�������������� ���������������������

��������bbc^^- a0G��������������-�����]��� ��������������(�����J�+�������������

���!������������������G����������������������������������d5���������������������������

e���������������������������]0G�������e�K�������������������������������^f��d)gh i

(gh���������������������+G��������(�����J�+]j �������� ���������(������+����������������

�����������^^

_]j a���������������(������+���������������������k���[K�������������

�������������!������ lll

_

,-

,%a��

ll

f

�d)gh i&

lll

_

]j a0

Page 306: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������ �������������� ������������ �������������

��

��������� !"#$#$�%

&� ��������'(�����������'(���������)��*������ ���� ������������������* ��� ��

���� ��#+�,������� ��������-� ���*������ ��������'(������.'������

��/ �� ���/�0�/!01234�05236�07238% !"#$#$9%

&����'(������ ����������������*����.'�� ������3:����� ������������������

������'���

���

;

!3:�<%=4>8?

@A4

=@B1@�C1

D

234�

;

!3:�<%=6>8?

@A4

=@B5@�C5

D

236�

;

!3:�<%=8>8?

@A4

=@B7@�C7

D

238#

!"#$#$"%

+������������������'����� ��������!E4FE6FE8%��(������!"G$G$�%��������

��!!H4H6H8�%%�

�E4!!H6H8�4%%�

�E6!!H4H8�6%%�

�E8!!H4H6�8%%��F

���H4FH6FH8��� ���� �����.�������� ����������������(��������������������������

��������G

&��������(���������)��*������ ��� �������������������������

��I

�����!J%�/�K !"#$#$�%

����I���� �����J���� ������'����� �����J�8?

LA4

8?

MA4

NML23M23L#+�,������� ��������

����I�/!01234�05236�07238%��N@M�/=@=M�<O@M>B@M#+������ ��������!E4FE6FE8%��

�������(������������.'�� �����I�/�0��N@M�/=@=M�<O@M>B@M#+������������������'���

�� �������������!"G$G$�%��������������

��!!H4H6H8�I%%�

�E4

P!H6H8J�234%

Q��

�E6

P!H4H8J�236%

Q��

�E8

P!H4H6J�238%

Q�/�K# !"#$#$R%

S�� ����.�'��� �������������*��� ����-�� ��������'-������������'(�������

��.)*������������� �������������

�T

����U

�E��V

�W��X

�Y�� !"#$#$$%

���

T�

Z

[[[\

]]01]05]073:

^

___`

!"#$#$a%

Page 307: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��

����

���� ������������

���� �������������

����

��������

��

����

����������� �����������

���� ������������������

����

��������

����

������������������ ����

���� ������������������

����

������!�

"#$%$&#$'#$(%'&%$''$'(%$�)*�+,�)-*�*-)��.)*/

,0-012%34546��4�4��

789:;<=<>8?=@788AB>?=<CD

E2&%(F'12%G&#$H2F'$%I(&JI$'K'&$G��L�L���1%2G(M#K'JH(N�O4P4Q�R2G(JF&2(H2GMS&(&J2F(N�T4U4V�

R2G(JF%$WSJ%$'&#(&(X$F$%(NH#(FX$21I(%J(YN$'&(Z$MN(H$L[2F'JR$%&#$12NN2"JFXX$F$%(N&%(F'12%G(&J2F

21&#$JFR$M$FR$F&I(%J(YN$'

T�T�O4P4Q� U�U�O4P4Q� V�V�O4P4Q� �����\��

"J&#](H2YJ(FRJ$%$F&1%2G_$%2LE#$H#(JF%SN$12%H#(FXJFXI(%J(YN$'JF$WS(&J2F��L�L���%$WSJ%$'&#$

2M$%(&2%'��

O���

TT�

��

UU�

��

VV

��

P���

TT��

��

UU��

��

VV�

��

Q���

TT��

��

UU��

��

VV�

�����\��

E#$M(%&J(NR$%JI(&JI$'JF&#$'$$WS(&J2F'2HHS%JF&#$RJ$%$F&J(N$aM%$''J2F'

bT�TbO�T�bP�T�bQ

bU�UbO�U�bP�U�bQ

bV�VbO�V�bP�V�bQ

2%

�bTbUbV

��

�T T� T�U U� U�V V� V�

�bObPbQ

� �����\��

cF('JGJN(%G(FF($%1%2G&#$JFI$%'$&%(F'12%G(&J2F$WS(&J2F'

O�O�T4U4V� P�P�T4U4V� Q�Q�T4U4V� �����\��

"$H(F"%J&$&#$RJ$%$F&J(N'

bO�OdbT�OebU�OfbV

bP�PdbT�PebU�PfbV

bQ�QdbT�QfbV�QfbV

2%

�bObPbQ

��

�Od Oe OfPd Pe PfQd Qe Qf

�bTbUbV

� �����\g�

Page 308: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� �����������������������������������������������������

��� �� ���� �� �� � � �

!

"#

�$% $& $'(% (& (')% )& )'

!

"

*+

#,

�(&)'-(')& -�$&)'-$')&� $&('-$'(&-�(%)'-(')%� $%)'-$')% -�$%('-$'(%�(%)&-(&)% -�$%)&-$&)%� $%(&-$&(%

!

"

��.�.���

/0�� 1���23�4��3� ����56���������������7��������3����

��#,�(&)'-(')&�

��#-,�$&)'-$')&�

��#,�$&('-$'(&�

��#-,�(%)'-(')%�

��#,�$%)'-)')%�

��#-,�$%('-$'(%�

�#,�(%)&-(&)%�

�#-,�$%)&-$&)%�

�#,�$%(&-$&(%�

��.�.���

����56����������������7����������� ������������73���8�8 ��

9:

9;<9=

9���<

9=

9���<

9=

9 �<

9>

9���<

9>

9���<

9>

9 �<

9?

9���<

9?

9���<

9?

9 �#� ��.�.�@�

A��������������� 70���B���7��B�����������56����������@��������

9

9;

C:

,

D

<9

9�

C=��<>��<?��

,

D

<9

9�

C=��<>��<?��

,

D

<9

9

C= �<> �<? �

,

D

-=

E9

9�

C��,

D

<9

9�

F��,

G<9

9

C �,

DH

->

E9

9�

C��,

D

<9

9�

F��,

G<9

9

C �,

DH

-?

E9

9�

C��,

D

<9

9�

F��,

G<9

9

C �,

DH

#�

��.�.�I�

J�2�����3����2�����56���������������������������6�307���4������� �7�������33K���

������������ ���56���������������3�7������������������������

9L:

9;<9L=

9�<9L>

9�<9L?

9 #� ��.�.�M�

�����L:#:

,

L=#=��<>��<?�)

,

L>#=��<>��<?��

,

L?#= �<> �<? �

,

��.�.@��

Page 309: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������ ������ ���

���������������������� ���������!��������"#$%&'(#����)����*��+��������� "#$%&#,'(,

������)����*��+�������-���.��� ����+!���)���� �+��)��������)���� �/�� �)01$234

5

6 )�����

�������7�����+)���!���*��)���� ��8����)������� �����)�)

"9$%:;<

=

01

>'

>?"@$%

:;<=

01

>'

>A"B$%

:;<=

01

>'

>C

D���������+*��E����F��������)������������)0$GHIJ%KLM:;$NONPQM:;'$

NORNPQ�� ��������

�!�S��F������)�����������������+)

"9$%<=

01IJ%KL

>

>?

TJ0

G

U

"@$%<=

01IJ%KL

>

>A

TJ0

G

U

"B$%<=

01IJ%KL

>

>C

TJ0

G

U

���)*�� ��)��� �)V�S��!EW$

XJ0

G$YJZ'�� )�������)�!)������W[��*��������������

J0

G

������!�S��F������)-

\]�������_ ��`���]�������_ a���_��b�_��c

d�V���+*�������V�)7��)��F����)*��������)� �������)-e�*���������M���)*���/��������+��������

�� ����+��V�)�)��� �f������� �����V�������������������+*�������-�������VE���V�)���!�

��������)H$HghHihHjhHkhHl�����Hg��*��)���)����)������������VEMHi�)��������������VEMHj�)

S�!������������VEMHk�)��������������VEM�� Hl�)�����������VE-���V�)�)�������m���n+��� �)���!�����

������� �V��������� �+�� ���)�F�����E��S��E��V���+*�������)�������������M����)����������

S�!�������� �V���)������ �+���������S�����������+*�������-o� �����)���� �����)���V�)�))��

��!����)����������F����!���+-e�)����)�������������� )� �����������VE�F������)-�������VE

�F������ �S���*� �����)�����)�)����F����!���+����+� E��+��)������������������M����)����������

S�!����������+*�������)������)�+�-

\]� �����c �

e��)�))�+� �������F��������)����)����)������S��)��V�)�����*������V�)���pq$rZ'

��� )�����������)*��))���pstuv[wMS���+�qsvxwM�+������V�)rsvyzwM�� ��+*�������'s{w�����

Zs|uvyz%{w�)������S��)��+����V�)���)����-e����� ���V�)����)��*��)���� ��������+p$GZ'

�����Gs{}uvxw�)���V�) ��)��EM����������S��)��V�)���)����+�)�!��~*��))� ������)��s|u{}%{w

I����**�� �~�L-���EV�)�) �S�������+���)� ���!���S���-e��� ����������������������+��������

�����)�))������ ������V� ��)��EV�)�)M���+*�������F��������)������������+

p$�Z'h

���

l�Q

�l�l�i�hHPN��PN��

����

l�Q

:l�l�i�

��S��S��V���)����)�Q��[��l�:l�1Q�1[�JQ�J[�)������)� -����*������V�)�����������)

H$:j' J$:;:j

:j$Z

J%K:;$

JZ

J%K�$:;'

��� M�����Z�)������S��)��V�)���)����M:j�)���)*���/����������)����S���+�M:;�)���)*���/�

���������)����*��))���MJ�)����������)*���/�����)�� ��)���������*E-���:j�� :;���)����)���

��������)p$IJ%KLGH�� Z'$IJ%KLH���!�S���/� -

Page 310: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ������������������������

����� �!���"��"�� �����#����#�$�!���� �����%����#!&����� ���$! �����!������� ��'(�������

�$��������%�#��� �)��*&�+����������)��#���$)���!��&,-./���$�"��� �!����(0 ����1��� ���

+�����%)��������#����!��� ��)�����2"�����$���$�!&����� ���������3� �*��&%� !��(4� �5�� �

�$�%�������#�5�������*������2��(

����� )������%����67

689��)�7:;�.��$�!$��������������� ���!����

67

6896

6<�7/�.�=

����� )������%��������>�5�������?(@(?A� ���!����6

68�7/�9

6

6<

B7/CD96E

6<.�=

����� )������%��� #&>�5�������?(@(�A����$��*���!��%$������������� ���$���+ ���!����>

*�!������������������7

F6G

689/6G

6<

H

9E6/

6<.�=I���#�$�!���� )������%���� ��������$��

�5������!��*�� ��������$�%� �6

68�7G�9

6

6<�7G/�9E

6/

6<.�=

J�!��� ���>% ���K�# ��#���+�����%)���������$�!��� ��)�������)����$�$�������!������

��)�!������ ��(L$��#�)���$�%�������#�$ ���5��������$�!$!���$��*�!��+� �����$�$��*�)�

1��� ����5��������%������(

����� )������%����M

M8�7N�.��$�!$������������������5��)�������

O7

O8976/

6<.�=

����� )������%��������>�5�������?(@(?@����������������7O/

O896E

6<.�=

����� )������%��� #&>�5�������?(@(�A����������������7OG

O89E6/

6<.�=J��$��*�)��5�������

PQRPS.

TTS��9/

TTU��=L$�K�# ��#���)���+����#�)���$ ���5����������$��$ ����V�����WX/XG=

J�*��$�$�1��� ������K�# ��#����5��������$�+ ���� �E �+ �������$������+ ���� �E.EY9EZ

�$� �EY���$�#��+ ���� ����EZ���$�)��!���+ ���� ��$�!$!����������%V�����!��� #&(L$�#��+ ���� �

���%��!�����%7XG��������� �����% ���$������#�����EY.7[\.7�]_]Z�\.7�a

b_c�]Z\�

EY.7�d_c�G=e���V����%�����+������������&������ �+ ������$�)��!���+ ���� �EZ���%��!����

�%GX/(L$��*�)��5�������� ��$����*f�!�����*����� &����������!������������� �������&���)��

���� �!���&(

�ghijklmgnopqrmhl

1�� #&� ���%� ���������&� �)� ��*��(s��&��� #&� ���%� + �!������ �� �)� ��*��(L$���!���

����%�$� ���&����!���������� #&� ���%� ��*� �)� ��*�����&���+�!���!� !������!��(J�#��� ��>

�$���!�������%�$� ���&����!�!��*�� ������������ �+&���5�����&>V�������$����������t�$��

���5�����&(L$�����5�����&�������$���$����� ����%!$��#��%�$��������� �+&��# ���� �$��� �5�����

�$��������� �+&!$��#��!!� ��#�! ����$��� %�!�������$���$�*��&�%�!��� ��)�����(L$����������

t�$�����5�����&+��!�� ��� �!��������$�!���������)��5�������(L$�����5�����&!��*��"+ ��������$�

%� �O

O8

u

v

7wMx

y z{ |}����%��� �+&��! ����

~

u

w���M�9

u

v

W�Mx9

��

��-

�Q�R

y z{ |1�� �+&��+�� �������!��� ��)�����

�$� �w���$��+�!�2!��� �+&������&>w�������� �+&��">�������� �+&��� !�����Q�R� ���������

��� �+&��� !��(J �)� ��*��+ �!������ �!$� �!�� �3��*&�$�����%�$����5�����&��#��$���%� �)� ��*��

Page 311: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� �������� ��������������

����������������������� ����������������������� ������������������������������ ���� �� �

�������� ���������������

��� ������� ����������������� ���� ������������� ����� ��� ���������������������� ��������

��� ������������� �� ���� �!������������������ ����� �������������"����� ����������!�

���������������!� �������� �

#$%&&'&($)*+,-$./012&- 34567�89:

;

;<=>9:6=?7�@

#$%&&'&($)*+,0(0A1,2A21B 345C7DE89:

;

;<=>9:C=?7DE@

F$,$G$B'&($) 3H5I7J;56

;KL=MNINOM7J

;6=

;K@

P-Q0,0'&($) 3H5R75ST;5C

;KL=MNRNOM7S

=T;C=

;K@

!����DE������������� ���� S=���������� ��� ���� C=7L

M=IMTU=����������������������� �������

R=�������� �������� 6=7VM=RMTW=�������� ����� ������ I=����������������� W=�����

��� ���X���� ������� �U=�����������X���� ��������Y� ����������� ����Z�����[���!�����������

��!���� �������� ��������!����������������

;DE;KT345S7�

;DE;KT89:

;

;<=>9:S=?7�@

��������������� ��������������������������� �������� ������� �����\��!�� �������

�����\���!������� ������ �� ���]������������"���������!�� ���� ��� �����������������

��� ���� ������������������������������������������������ ����� ������� ���������� ����

��������������������� �������� ���X����������"���������!�� ���� ��� ������������������� ������

��� ���� ����������������������������������]�������������"����������������������� ���� ��������

������� ���������������"����������������� ��_����������������� ����� \��������\�������� �

����� ���������������� ���� ���������"����\�� ��� �������

������������!��������������� �_����������� ����\��!�� ������������� �����C=� �

������������I= �� ����������� �������� ���!��� !����C=7LM=IM� �IM7aMbCb !����LM=���

Page 312: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������� ��� ����� ��������������� �������������� ����������� ����������������������

��� ��������� �� ���������������� ������������������ �� �!"#$ �%$ ��% !"& �$��$�

����#$ � ��& �$ �� ������������������� ����'(������ ���� �� ������������ �� �� �

������������������� ��������(����������������������& �!) �$%$ ��%$!"* �$&�$�����

) �$ ��* �$ � �������(��������������� ��������� ���������� �+��� �� ������������

�������,������� �������-����� �������.������������ ��� ���������� �+�������� ��������(

���� ��� ��/������ � ���� �������� � ���� �+�������� ��������(� ��� ���,���������0���

������������ ��� ���������� �+�����������������0���(� ��� ���/������������ �+��� �� ���

0 � ����������� ���� �������������������1�������� �����������������( � ��� �

������2��� � �� �� � ����������1������������������������� � ��� �������� ����

����� �������������� �����(���������� ���(����� ������ ������� � �(�����3��

����������������� �������������4� ����(���(�

� �!"*5 �65 6 !) �$��$ & �!#$ �6$ 6 !& �$&�$

����*5 ��) �$�#$ � ��& �$ ���������������� ����

7�����+�(���� ��� ������������ ����� ���������������(�������������0��4� �����

8�� �����������������0��4� ����� ����������������������� �������������������+���

���������0��4� ���������(�

� �!9 �$:&$:"� �;< �� & �!= �$:�$:>? �;<

����(������� ��� �������@������? � ��� � ����� ����A� ������ ������(����� ����

���������������� ��� �� �����������������������������0��4� ��������� 2�����(�

& �!= �$:�$:>? �;<>)5 �%5B

C���� ������ ������ ������� � �����0�������������(�� ���� �+���3� ������� �������

������ �(������������ ���� ������� �����0��������

'(�������������� �������������� ������ ���� ����� � +��������� ��� +�����D�������

����� +������� ����� ���(�������������������0 � ������0�0���E������������� � ���2

��������������(� +������(���0 �������������� ������� +������������8 � +�

� F���(� ��� ������������� ��� �� ��� �����+���������������������+��� ��� 2�

GHIJKLMNOPQQGRPQSTKRMUVWPMXKQ

3��������+(���� ����(� ������� �����+�� �������� ��������(���+��������

���������+����2� ��� ��� ��� �� ��������+��� �(������ ���� �2����������(+ ����

7��������������������������� ��������� ������ � � �Y�� ������ ����� �����D������� ��

�����������+�� ����������+�Z���+� �� ������+�Z���+���� ���� ��0 ��������( �� ���

��������+�3���������� ��� �����(��������+������ 0�( ������(���� ����+� ������ ������

�������������� ������� �����+��3�� 0� +�� �������� 0�� ����������������[���� ��

�4� ����������������� ��� ����������4� ����� ���Z�������� ��� ���� ��-\]]_]a]b]c.�1�

Page 313: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������������� �������������������������������������������������������������

�������������������������

������������������������������������������������ !" # $ %�������������������

������������������������

�����& ����������������������������������������������������� !' " &( &) &*��

�������������������������������

������+�������������������������������&",�+�

����-"./0,

/1�������������������

��� �+���������������������������+��� ! - �+��������������������������������������

�����������������������+2

����3"3���4-4�+45��������������������������������������������������������������

���������&������������������������ �+����5���6 "6���4-4�+45�",3���4-4�+45�

��������������������������������������������������� �+����527��8�����

6���4-4�+45� ! - �+���������������������������������������������������������

�����������-���-9 -��������������+�������������� �+����5�

�����:���4-4�+45�",6���4-4�+45�����������;� ���������������<��/=>��=�����

������?�-@A-4�+@A �+�������������B�������������������������������������������-@

�����������+@��������������������������-���-9 -��������������+����

���������� �+��������;� �

�� �?C�-4����������������������������������������������������������������������

��;� �

� �?D�-4���������������������������������������������������������������������

;� �

E�����������������5������������������������������������������F���G�HBI�7���

������������������&�����������+�������������-�J������ !" # $ %K�+���-��

������������������������������������� ! - �+K���� �+" �+�L4M�"���L L M�������������

��������������+�

7��N��O����������8�����������������������������������������������������

! - �+���������������������

56���4-4�+45� ! - �+"PQ6���4-4�+45� �G2H2�R�

����PQ �����������������������������������������������������������������������

������������������������������������7�������������������������������������

S���4-4�+45������������������������K�����������������������<�����������������������K

���������������������������������������������������������7�����������������

����������������������������������-K������ �����������������K�����������������

-=T-���������������������������������U����������������������-@V-���K

Page 314: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������� �����������������������������������������

�������������������������������������������� !"#$!%!�������������������������������

&������������'�������(���)��*������������������������������&����������������������� +

,�-"+

,!"./!"0!1�-"0 �-2*/��1!"1�-132,4,!,�-

�����������������������������������������������������������������������������������(����� !"���

����������-"�������������������������������������� �������!���!5,!�������������-��,�-

6����������������&����������������������������

'�������(*����������������������������������&������&��������������������(�������������

���

.7/!1��2*/��1!1�-132,4,!,�-8

6��������������������������������������������������

.9/!1��2*/��1!1�-132,4,!,�-8

6�������������������������(���������������������(������������������(���������������

������������������������6����������������

,:

,3,4,!,-%

+

,�-"+

,!"./!"0!1�-"0 �-2*/��1!"1�-132,4,!,�-

#.7/!1��2*/��1!1�-132,4,!,-

#.9/!1��2*/��1!1�-132,4,!,�-

5;/��1!1�-132,4,!,�-8

/8�8<2

6�������(������=>=?�������(�����������(�@������/�<2���������

,:

,3%A:

A35A:

AB

,B

,35A:

AC

,C

,35A:

AD

,D

,3

5A:

AEF

,EF,35A:

AEG

,EG,35A:

AEH

,EH,3

Page 315: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������������� ��

�����

�����������

��

������ ��� �!�"

���#��#$ �

�%& �'� �� ��()*�� �����+,'*���'�����- ./�0*-�12���3,���*�������

4'� 5�

��

�����������

��

�������6��� 78* � ��� �!9"

:)����+��;���5 �5*)��3,���*���. .!9"� 1�*<��3,���*�� =�*��� ��8�*,>�--3,���*�.:�

�� '���-�� �����>-*���� ���*� ������55*�*�����+������2���*>3,���*���. .!9"

�������������2 *)��?,4@��5�� ��)*�2

AB

C

����D�����EF�GH�I"�EJ�GH�I"

K

@��IHGH�DH�"�LM@ ��� �! "

���

LM@�

N

��DON

�GOE�GOPGH�DOP �D"@��IHGOH�DOH�"�Q��IHGH�DH�"�

/��*>3,���*��'� �� ��0*-�12������� '*��3,���*������� ����--��'�����- ��

�� �2.:����� *)��*2���*--� �*� *)'�����- *�2, ���=���*�*� �5����*���+�����*�*)

�*�5��('�����- � ,-���+)�*2���*--� �*� .

8������,2�*)'�����- *)�('R���>*-,2-2��*)'�� '��.S*�4�2'-R�T

�'�*�*� "��5R�U��,��*� ".V�*� �5� ��5( ����*�5���*� ��55W���3,������

��"@X��IHGH�D"� ��?,4*)��'�����- *)�('R.

���"YXZ��DH�DOHGHGO"���*--� �*���* ; ���*��'� ����+'�*� ���'�����- *)�('[2*>��+��

5�����*��DO������+(GO'�*5,���('R'�����-2*>��+����5�����*��D������+(G.

����"YX�G"�EF�GH�I"�EJ�GH�I"����* ; ���*�)*��('R'�����- .

/� ��5( ���)*�2*)��3,���*���. .\9"�������������

�D��@X��IHGH�D"�YX�G"@X��IHGH�D"

�]

Z

N

YXZ��DH�DOHGHGO"@Z��IHG

OH�DO"��DO�GO��� �!\"

����� ,22���*�� *>��--'�����- [�R�

/�0*-�12������� '*��3,���*�����'� ��5��2��(5�_���)*�2 ./� >���*, )*�2

��5'�5��,'*���� ,2'��*� 2�55,���+��5��>���*�<���('*)'�����- <��5�*--� �*���* ;

���*� .:�+���-���*--� �*���* ; ���*� ��5'�5��,'*�����*2'*��� .

�B" abcdeffgaaeceghcij����,�-, � �*�4���5(���*--� �*�,���+(� ���� )��5('�*k���-

��*�-.

��"lhmabcdeffgaaeceghcij� *2'�����- ����� 5�*���+����+( ���,���4������*���+(�

�*� ,n�����*'�*5,���('�����-2� �*� 5,�*���*--� �*�.

��"oghpmabcdeffgaaeceghcij����,�-, � -)�����4���5 ���5,�*���*--� �*�'�*� ��5

*2*)�� �,�-*� �'�*�*� *��,��*� "��k��5./��2�����+�,�-*� ��������*)*�2� ��-

��,��,���5, ,�--('�*5,��5� ���,��*�*)-*���+('�����- ������ � *��*'������������.

Page 316: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������ �� ������� ��� � ������������������������� ������������ �

������� ����������������������������� �������� ��� ������ !��� �������������

�������� �������� � ��������������������� �����"��� �"� �� �������� �����!����

����� �����������#������������������� $����������� ������������� ������� �������

!�������� $������������� � �������� !���������� �% ������� ��������!� ������� ������

&�'���������� � �������� ��� � $�������

&��'������ ���(������������������"�������������� ��������� ������������������������

�������$���������������� �

&���')��� ���(�������� �"����"�*� ����� ��������������� �������� �����+����������������������

&�"'����������������!����"� �����(��� ����������*� ����� ���(� ����� ���������������� �

���� �������������� ����������+��������������� ���!��,-&.'/0102 ������ ����� ���(

������ ���� ������"����� �������� ������� ������ ���(���������� 03401 /

564718

��

9-&.'/:1;

01<

6471<8=>� �������"������� ?��� ������5��!�����������(������ �������

������ ������� �������� ������������*�� ������

@ABCD-&@EF.F@A'G�

H-

I

I.&,-&.'D-&@EF.F@A''JK-&.'D-&@EF.F@A'

/L

MNO-

P

Q.RQ@ARK-M&@[email protected]'DM&@EF.

RF@AR'&S=T=UU'

!����H-����������������� ���(��V� �D-&@EF.F@A'����������� ���(��V�"� ��

����������� @A!���� ���(.�

W���"������ ������������$�� ��������������� ������� ������ �������������

��� ��������������� �(���� ���� � ���������!������������$�� ��������������� �������

������ ���������������� ����������������� �� ���� !���� �"�������� ��������������

��������� �� ��������� ������� �������

XYZ[\] __ ab[cY_dYefghg

i� ������������� ������� � ������������������������ �� ���� j&@EF@kFl'!������ ��

!����� � mI

IlJ@kBCnoJ

@p

qBCnr

s

j&@EF@kFl'/tuj&@EF@kFl' &S=T=Uv'

����� ��������������������!����������� �(������� �� � ��������� ���������������

���� ���"����� ��������&wFxFyFk2FkzFk{'�� �������������"�������� �Q|/QwQxQy

���������������� ���������!����"�������� �Q|}/Qk2QkzQk{������"������(���� ������

���� ������ ������������� @E� �"������(@k�����l=% ����������� �� �"������(k5�� ��

����������������� ��k~5/k~2Jk

~zJk

~{������������"�������� �Q|Q|}��� ��!������

� ����������� @E� �"������(@k��� ��!���������������� "�����@E��� ����������"������(

5��� ?�?��� ��!�� ��?���! � � ?�����)������� � ��"� �)���� ���!�� ���������

��� ������( ��� ����i��� ���� ���i�)�� � ���(��)�� � ���� ?�������( ���������

���������������������������������������� ��)������� ������������ �STU ������������

Page 317: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ����������������������������������������������

���� !"!"#��$�����������%$�����

��&����$������������$�����$�����&���!"!"#����&��'

(���&����������������)���������������$������������&���&����$�����$�����������

��$��������������� ��*&�����������&��������!���$�����$�����&�������������$�����

��+��*!������*+���!�',������-�������������$�������)���������&����$�������&�����

��������������������$�������&���&���&�� ��&����&����$�����$����������-�����

�� �����������$��������.�������������������������!"&�� �������$�������&������

����������� �������*���*+!��*�/�������������������$����������������� ��������

$�����01��������� �����.�2&����3������

4�������-�����������$�������-�����%$������������� ������,&���������$�������-���

����� ��*�����-���$������5����������� ��6�7����� 8���* 9 ��:*���6 9 ��:6 !";<!";= ���

��������$������� ����$��������������������&����� ��*����-�����:*���

��:*+!��:*������

�����>$������5�������������&����� ��6����-�����:6���

��:6+!��:6'?�-���������������������

����� $����:*���:6 9�

��*���6 ���@%���������*������-����$�����������&����$����������������

���!";<�(������������������������ $����*���6 9���:*���

:6 ���@%��������*��������$�������

$�������������������!";<�,&���������$��������!"-�������� ��:*���A����������&�$�������

-�������������:6�/����������B�%������&���!"!";C< ��D��:*E��

:6D�������

:6�� !";C= ��������

8���*9 ��:*���69 ��

:6 !";<!";=!�D��

:*E��

:6D�������

:6�� !";C= �5'F'GH

��$������������&����������)�������&��������!�)-�������������&��:*����-�����*�����*+!��*

��-���������������:6����-�����6�����6+!��6'I���$ �3������5�F�GH � ��������� �$�������

�������&���!"!";C< ����������������$���������������������:*)��

:6���@������������6���3��

���*'/�������������&����$���������!"-�������������������!";<!���

JKLMN!"!";<!�

O

!";=!";C=

O

!";C<8���:*9

��*���:69

��6 D��:*E��:6D�����

��:*�� �������:6�� ' �5'F'PQ

,����&���&����������&����$���������!"-�������������������!";<!���

JKRSTN!"!";<!��������*��

O

!";=

O

!";C=

O

!";C<8���:*9

��*���:69

��6 D��6E��*D�������6�� ' �5'F'P�

U��

V���:*9��*���

:69

��6 ND��*E��6D8���:*9

��*���:69

��6 �5'F'P5

��@���� &&���������������>�������������������01��������� NJKLMEJKRST���$���������

.�2&����3����������$��������������&

WX

XYZ[\] _Z

[a

b] _c

d

ef[gh[\ihYjk

O

lmcC<

O

lmcC=

O

lmc=nf[\io [\

pih[\qo [\

pqjref[gh[\pihYjef[gh

[\pqhYjsef[gh[\ihYjef[gh[\qhYj

tu

�5'F'P�

/�>����&&�������.�2&����3������5�F�P� -������$�������������� �������v���* �/���

��)&���$ �3������5�F�P� � v���* ����������������������&���������� �$���!";<�7�@��

����-�����������������&��� w

Page 318: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������� �������������� ���

����������

� !"�����#����

$%���

&%

"�����#����#'�#(�#) ��*+*,-�

.���/��0��������������1

���������� ����

�#2��#��

$%���

&%

�#2"�����#2����#2'�#2(�#2)

3����4�����5�5��#2���6����7���4�����

5�5��������

�������

5��#�"�����#���� !��

$%���

&%

5��#�"�����#����#'�#(�#)* ��*+*,+�

3���8��������9:; �������������<

�#8�����������<�4�������1+1,��������������

=

=�

>�?@A

BC

DE2

=

=FD>�#2D?

@G�

BC

DE2

HD0

=?

=#2D�I ��*+*,J�

K��.�����L�M.� ���<��4�����1���6������4�������1+1,J�<� �.�<�������N� �

�="�����#2���

=�?��#2�� !O�

=

=�

"�����#2���?��#2�� !O�=

=���?� ��*+*,P�

.�����Q��������������N��������7����������N��1��������������4�������1+1,J�<� �.�

<�������N� ��#2R9S"?��#2�� !O�

� BC

DE2

#2D="

=FD?� !O

BC

DE2

=

=FD

T�

#2D?"� !O

U

BC

DE2

=

=FD>�#2D?

@*

��*+*,,�

�����������4�������1+1,J����7�����<����<� �.��N���N� .������N����7������

��� ����� �H

0R9!O"?� !O�

� BC

DE2

THD0

="

=#2D

U

?� !O

$%���

&%

BC

DE2

?

THD0

="

=#2D

U

�#2'�#2(�#2(

�G

�=

=#2D

THD0?

U

"� !O

�G�=

=#2D

THD0?

U

�GHD0

=?

=#2D

��*+*,V�

Page 319: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������������� ������������������� ������������ ������ !���"!�#!������

�� �����$%&%'(������������!�����"�����)*��+,��,�����-�����% !������"��������.��� ���

�!��-//��������������0��!�!���"!�#!�������� �����$%&%'��%1!-������-2�!�����"�����)3��+

,��,�����-�����/ ��.�����������������0��!��-���������"���/�����������������������!�

� /.���������������� .�������/��������-���/�����!��������%

4��� �����$%&%'(�0�0�����!�,����������������/���!�/���,���������5�6�7������/

,���������89��9�:9�0��!

���;89<5� ��=;�9<6� ��>;:9<7 �$�&�?@�

����; ��9<��0��!���; ��9<�� ; ���������9;@��%�%�!��,���"����/,�����-�����%�A�

� � �����������0�0������ �����$%&%'(������/���!������/,�����������!�/����������,���,�%

B .���� �����!�,����������/�� �����$%&%?@����� �����$%&%'(�"�,��

C�D+�

C�<C

CE

FD�89<5�+

G<C

CH

FD��9<6�+

G<C

CI

FD�:9<7�+

GJD

>K

�L�

��M

C+

C���;@ �$�&�?��

�C�D+�

C�<C

CE

ND5+O<C

CH

ND6+O<C

CI

ND7+O

<C

CE

ND89+

O<C

CH

ND�9+

O<C

CI

ND:9+

OJD

>K

�L�

��M

C+

C���;@�

�$�&�?$�

P.���,��!��

D5+;

QRSSS

TR

5+����������U�VU�WU�X;D5+ �$�&�?��

����/�����-D6+;D6+2D7+;D7+� !�����.����!��� �����$%&%?$��.�0���������!���/

DC+

C�<D5

C+

CE<D6

C+

CH<D7

C+

CI

<+

YCD

C�<C

CE�D5�<

C

CH�D6�<

C

CI�D7�

Z

<C

CE

ND89+

O<C

CH

ND�9+

O<C

CI

ND:9+

OJD

>K

�L�

��M

C+

C���;@�

�$�&�?[�

!�/���.���\���� /���� �����$%&%?[������"�������!������ ��-�� ����0!��/ �������.-

M��!���������% !�//����� �����$%&%'(��0!���!���/

D)+

)�<C

CE

ND89+

O<C

CH

ND�9+

O<C

CI

ND:9+

OJD

>K

�L�

��M

C+

C���;@� �$�&�?&�

]���!����/�!��� ������$%&%'(���$%&%?&���������,��!�.������ ������ � 0��/

����� //��!������,�����������%_��������!����0��"��������������!�`�a0�����������

�� ����%

Page 320: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������� ��� ������������������������ ���� ������������������������� ����!

���������������" �#�$

$%�&��'()�&�*+,��- ��.�./��

0� ��� ����������������$1

$%'()�1*+��- ��.�./2�

0�1���#������������*+���#��3�� ����4��������

��������� ��� �����*+,��#�#���#!������������������� ����#�#���#�������

��������� ���0���!00����������������������#��������� *+,*+,������#

$

$%

5&�*+,

6'()�&�*+,*+,�7&*8�- ��.�./��

��$

$%

51�*+9'*+�

6'()�1�*+9'*+��*+9'*+��7&*8�-. ��.�.//�

:�;�71*+9*+9���������������0� ������������##���������<������� �����0���������������//�������#

1$*+

$%'*+$1

$%'1*+�()*+�'*+�()�1*+��7();7&*8�-. ��.�.�--�

��#*+5=>=?'()�1

*+�6�-" ������ ����������������������������������--���� �

���#�#���#�������

1

@$*+

$%'*+()*+

A

�&*8'();. ��.�.�-��

B��*8�C*D'C*+E*F'�*G!0�C�� ��<!*D���*F��� ��� ���#�<��� 4���!���*G���

"������ ������#���!��<��0��

;�HI

JK,

HI

LK,

�7MNJL'OJL�PQJPQL ��.�.�-��

��������������-��" �#��#�#���#�������

1R*+

R%�1*G7(M'()O'&C�*D'*+E*F�. ��.�.�-��

����� ��� ��0�*D���*F3����!��������������-����� ������3����#�#���#

����������������

���������� ��� ����ST*+,)*+,�

ST�+

T,,'+

T,T'+

T,H��������� �U���� ��<�!����������������

��#���4������<��������������# ��� �� ���0���0��"�����������������������/��

�����#������V�����

���

W�X9'Y�T'�+9'Z�T'�[9'\�T

]

���

WXT9'+

T9'[

T9'Y

T'ZT'\T] ��.�.�-��

Page 321: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������� ��������� ����������������

��

���

�����������������

�� � ��!"���#�$��%

&�'

(���

�)� ��������"

*+�������#��

,&�,'

-���"��� ��"������"�

.

�,'

/�������� ���

0

�������1"

����#��

, &�,'

- ���� ��

��� �

.�������2"

,�&�,'

-��������� ���

.�������3"

�����%�+������+��

4���� 55678�&"�' 9:��;��#�����#�#�<��=��������+����>�������������#����������� � ?�"@���

A���#���#�B�C��++�����<��������������>��C<���������#�$��%

DE

EF

G���� �

H

�IJ

JK

(DL���� ���M

)

IJ

JN

(DL� �� ��� �M

)

IJ

JO

(DL����� ����M

)

IJ

JK

G

D���

H

IJ

JN

G

D ���

H

IJ

JO

G

D����

H

�,PQRP �

�������?"

S�%<����#����������� � ��?"���#�#�����;T���������� � !3"

DEU

EF�DE

EF

V �

W

�X�YRP "IXRPZ�DP[RP ��������"

�#����#��������+#�������;T#��>����������+��\��� ���U�]^_� �������#��������+����;T�����

�����%%������$�#�;��<�����+��@PQ�'P[@���+��

XRPZ�IJ

JK

G

D���

H

IJ

JN

G

D ���

H

IJ

JO

G

D����

H

�IJ

JK

V

`Ja

JK

W

IJ

JN

V

`Ja

JN

W

IJ

JO

V

`Ja

JO

W ��������"

��<�������#�#����������������%�������#������<����$<�����+�����;Tb]^_� >T��T�$�#������%

<�����+�%����� c#���%�����;���%������+�������#������$�#��;��$���d������$�����������;�=��;

IJ

JK

(DL���� ���M

)�J

JK��eff��efg��efh"

IJ

JN

(DL� �� ��� �M

)�J

JN��egf��egg��egh"

IJ

JO

(DL����� ����M

)�J

JO��ehf��ehg��ehh"�

��������"

Page 322: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������������� �������� ����� ���������

���������

����������

�������� �

����������

���������

�������� �

������ ���

������ ���

������ ��!

"#!$!���%

��&��'� ��(� ����� ) ���� ����������������*������+�*�������� �� ���������

,���� -���� �����������)�����*� �������)���� �.�� �����+/��&��'� ��

(� ���*��� �� ��������+)�� �+���������� ���0)��+������0)��+���������� � ������

� ��+�����/1���� ����������������������*�&��'� ��(� ������ � �� �

���*�����������������)�� �������� �����,�����),�����������/��) ������)��

����� �,���&��'� ��(� ������2�� �����+�����)����.��)3�����)���� �+ ��4��

���� ����������.,���������)� ����� �5�,/

����������(� �����������+�����) ���� ���������� �� )���*����+.� ������+.

����.��� �� ��������,������������) ���(� �����*����������� ������������

����/6�� �������*�&��'� ��(� ���.�����*��� ��. ������������� �

��������(� ���� �����+ �� ���*��� �� �,�� ���(����/

7��� ����� ������� � ����� �� �� ����8�� 9 8,��� ������)����

:";<=;�=>%?@";<=>%A B

#CDE

FGH�8�A�B

#DE;�I;�

F"#!$!��J%

��)+� )������ ���� ����*����������� ����� ��*���� ���� �������� ����/

7���� �.��� �� +� �&��'� ������ �0��K��� �(� ��� ���9 8,��� ��*�

(� ��� �,������ �*����� �������-�������+�*� ��/��9 8,��� ��*�(� ���

������������� �0� ���������+L,������ ������) *�������*�� �0� ���������+/

��&��'� ��(� ������������ � �0� ���������+�����)����*������:,�������������

�������;<.�����+;� ����>!���*����� ���������,������� ������� ���,�����

�����������-�������+�*� ��/

Page 323: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������

� ���������������������� !���"���#�$%�&&'%�(�($")���������)�(*')����)'�(�%�&�

�#��%"&�(�)�&�+(��,��-.���"��(��,�����"/*')�0",'��&)�'(���(��#)&$")��(&),,'&�%(���)��#�

12'%�345654

7)2'%�3456548%�&&'%�(��)�2"�(0",'���,�����4

�(�9#":�#(��#�/"%��(��)�2"��#�/(��;<=>)&��������-�-�?@AB

�C�9#":�#(��#�/"%��(��)�2"��#�/(��DEFG)&

H���I-������-�-�?@A�H

J

��������IK�

K�-�I

K �

K� �-��

3LIMMM

N

-�-�?@AB

���O�$(%��C���2,�����%�&:)�#$":�%&"/-�2%�(��%�#(�"%�P'(,�"3(��&#":�#(��#�%�&',�(��/"%��

)��#��6�)%���)"�)&HK�

K�-�-�-�?@AB

���Q#(�#(&C����"��)��#��6�)%���)"��(�(,&"C��"��)��#��(���6�)%���)"�&49#":�#(��#�

%�&',�(��/"%��&)��#�&��)%���)"�&(%�HK�

K�-�-�-�?@ (�� H

K�

K�-�-�-�?@RB���9#":�#(�HS��

H

TK�

K�?@AI

K�

K�?@ I

K�

K�?@R

U

)&�#�/"%��$�%'�)�0",'��(��)�2(��#�$")���������"/�#�*')����)'�4

� 7",,":�#��V(�$,�"/�V�%�)&��(C"0�C'�'&���,)��%)�(,�""%�)�(��&(��1���#�/"%��$�%'�)�0",'��

(�($")���W�X���BY)��Z[��,�����"/0",'��)���,)��%)�(,�""%�)�(��&)&2)0��C�-.�W-W-X-�B

� \7",,":�#��V(�$,�"/�V�%�)&��(C"0�C'�'&�&$#�%)�(,�""%�)�(��&(��1���#�/"%��$�%'�)�0",'��

(�($")���]�X��BY)��Z[��,�����"/0",'��)�&$#�%)�(,�""%�)�(��&)&-.�] &)�X-]-X- B

� _9#":�#(�)/�#����&)�� � �������a�)&(�"�&�(��+�#��bcdc�eB

� �[&&'���#(�fg(��hg(%�i�%"49'�#(*')�)&�(,,��(�"�0)&�"'&"%$�%/���*')�4�(�9#":�#�

j(%��&)(��P'(�)"�&��&�%)C)�2�"�&�%0(�)"�"/,)��(%�"����'�(%�

Kk

KaIkKk

K�IbKk

K�IlKk

K��mnH

`

K�

K�

Kb

KaIkKb

K�IbKb

K�IlKb

K��moH

`

K�

K�

Kl

KaIkKl

K�IbKl

K�IlKl

K��mpH

`

K�

K�

:#�%��k�b�l�(%��#�$#�&)�(,�"�$"����&"/�#�*')�0�,"�)��4�C�9#":�#(��#��"��)�')���P'(�)"��(�

C�:%)����K

KaIK

K��k�I

K

K��b�I

K

K��l��e

Page 324: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

� �������� �� ��������������������������������������������������� �!���

�"��#����$�����������������������%

&'������(�������������������������������� ��

&'� ��(#������)���

&*���(������$+�����

&,��(�$������������$����-./����������������������0 01-2/345 51-2/3���

6 �71�38���(��� ��������������������#(��9������������ �!������#(��

������

0:0

:-;5:0

:/;�

<

:=

:- �

0:5

:-;5:5

:/;�

<

:=

:/ �

:0

:-;:5

:/ �

1 3>�"�����������������������������$��������������������$�����������������

���������������

:5

:-?:0

:/ � ���

@

A0B;5B

C;�

<= DEFGHIFH7

1�3J���������K����(.L����9����������M�������N�9����������� �����#9��������

� O������� ��(#����������� �#�����������#�������P��������QR ?PSR7*��$����#����

��������$����������������(��9��������#������������ $������������#��#���

:5T

:H;5TSU5

U ?�

<VTW=SW?V

TWPSW ��:5T:H;5TSU5

U ?�

<=ST?PST

� X�'��������������YBZ5 Y1Y[Z53?Y\1Y\Z53 ��� 1Z5[Y3Z5 �

@Y1Z5[Z53?Z5\1Y\Z53��

�����+������]����.*��"�.��9����������������#����������������������(_ Y\Z57

1�3��K������������������������������ �����������1 3*��$�������������(��� $�����

��������)�������������5`5WS VW`5a5aS?b

WcdbRaVdR5c5aS7 e���%*��$����:5B

:- @5a5aS7

� f������ ��������$����������������� �g��� $�����

:5T

:H?bTcd_d5c ?V

TW :

:-W

h=

<;P;

5B

@

i

��:5R:H?bRa5

`_a ?:

:-R

h=

<;P;

5B

@

i

� jk�l�����#��(�������������4���$������������)���������������������4#��mn o4�����

�#�#������������pR ��� $�����p1mo3 �

@

qrRr

:

:-

h51m3

rR

i

;r

rR

:

:-R

h51o3

r

is

2 ����������

���#��m o���������p1mm3 �

rR

:51m3

:-R?51m3

rBR

:rR:-R;

tu

avw

rRra51x3

:rR:-a2 ����������71e���%*

J�� ��g8+����@���3

Page 325: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������� ���������������

� �������������������� ��������!��������!��!�� �����������"#$����������������������%&���'

(�����)�� �*+

� �,������������������ ��������!��������!��!�� �����������������������������������%&���'(��

���)�� �*+

� �-�%���������������+ .��� ��/�������������������������������)����������������������������

�����0������

%�+1�0��2345

6 �����7��� ����/�������������������8��������!���� ��������)��������

9:#

9;<:#=>:

>3?�

@A#BC=B<2A

$B:#=B$<A#$D$E F3�EE�

%)+G��H:3%IE:EJ+������������������� ��������!������������� �7����!������������ ������

KI3I%L+E:3J3*

K(��������������M����

KN����������O��������PO�����������Q�)�/����)���� �����N��)���� �������0M�����

���������!����R������������������������7����� �/��������/�������IS3I%Q+

KC���@������������

KN��)���!������ ����������T���

�������/�������I3I%L+

%�+(�����������������������M�����)���� �/���������R

P3UVW3UXY3UYX3Z

[ISQ\N���

�M� �������������������������������������������IS�����/��������������������Q\

� �]� ���������������8������ �7�����������!/����)���

;3;

_E @3

@

@SE H:3

H:

:SE `3

`

aE L3

L

aE b3

b

a

����������������������8����������� ��!���)�����/����)���������(����������� ����

� �c�%������������������+ ����������������������������������������������������������0����

��de�����������L3*��������������������L3QG��H:3%IE:EJ+������������������� �������

�!�������/���������� �7����!������������ ����������������������N��)���!��������T���N��

����/���/�9C

93?CS��������������

9C

9L39C

9b3*\N��/������������ �������������!��������!L����

Page 326: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ���� ������������

����������������������������� !�������������"���#$�������� ��%����������&�'()*

�����+���,���%!��%����

���-�������.�������/����,�������&01�

0�1234*��5 ��������"���

����������!���%�� ���������6�����,�7�,�,!���%�� �����8�����%�����%�9��: ���������

,�����������%�������;����8�84�<=>?@A>@5B������C�C�"5����CDCE#

-�������: ��

�'(*34"

F#G���������'(��%������B: ��%������

H IJK$�������.�����������L������.�������%�����7;��������!�M������2N�O�P<��

O@5�����<�����

�;�%�6%����Q%��)�,RSBP�����!���,������� Q�,)%,FSBN����������/��������������Q%��)��%%,FSB�

�������,;�������QRSBM���������,��%����%��!�� Q%��)��%%,RS#T���,�%�����������,��%����%��!�� B

!���,������� ����;�%�6%��������7;�������������� !����;�����,

MO1�

O81�P<

O�

O@5 �U8UV

���5@���5 ��V5@���W5 ��85���X�8�

���/��,�����������!�������������,����������T���,��W��%�������

H IYK-�,;��/ ���G�!����-��+���Z���,�.�������������������,;�����������������%�,;�����������

H I[K�\� ������,;����!����� $��6������]���������������,����������;���������� ����!��

;������%�������������7����������#$��;���������������_���!���%�� /�����������!���,����

����,�@�����;��������!�����������������!���%�� �4�����;�����!�8�����%����T���,����;� ��%��

%�,;�������/���!���%�� �������5�5�����%������/ �����5@�5�����#T���,��������������

�/���������%�������B������������/���;���������_���B��������� /��%�����_������-����������

!���%�� �����8�����%��������!������ �����L���������.������

O�

O@�&O1�

O�15 ���� &�

'(

*#

T���,�������6������������%�����������5@���4N�@������N�����a��!��������;/��%����T�������,�

������7����%������������6��� ��,bcd ���5@�#$���������%����������.�������������!���%�� ����6���

���e���� ,��������������!���%�� ��

���5@���4f�4��/

g�

�h&@

i

��4��/%

g�

�h&@

i

Page 327: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� �������������������

������������������������������������������������������������������������������������������

���� ! "!�#$�����������������������������������%�������������������&����������������

������������������� ! "'

( )*+,����������-������,������.�����/�����������������������������������������������0�����

���������������

( 12+3��4!56789:6�����������������������/�������;���<����������������0�������������

����

=>?!@AB>?7:6

C

D>E?7D?E>@�

�B>?DFEF

G

74B>?DFEFH

( 1)+;�<I����������-������,������.�����/�������������������������������J� ��������������

������������������

K56789:6!L ;M��������������������������,����N����<

KM�������������������0��

KM�������������������������OP! @QRS%���TUV���������������������������/�������

�����������������0���DWXD8XSXQXYXAXZX:6������������������/������;0<[�����;�<���������

��������������0�������������0��������&����������������0��������;�������������������

������/�������������������J�������������������������������/�������������������

������������������������������<;�<\���������O]!]_9�����]!�

`aD8aJ@aDWa

b

���

�����������������������������/������

c]

cZ!$R8] �����

c]

cZ!a]

aZ7DW

a]

aJ7D8

a]

a H

%���TM�������������/�����������������������d���;�<.�e�����������������f!f;JX <

����������DW!af

a ��� D8!@

af

aJ���������������������/������������������������e��

,�����������]!@W8R8f�������

Rgf!�

$

CaR8f

aZ7af

a

aR8f

aJ@af

aJ

aR8f

a

G

H

[�$�����������h��������RgfiLH

Page 328: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

� ����������� �����������������������������������������������������������������

����������������������

� ��!�"#$%&%'

(

()'

*+ �!

%&

,

-%'%&

(

()&

*+ �!

%'

,.

/ ���0������/

����������1

� ��!�23-�"#$4

%&

(+ �!

()&-4

%&%'+ �!(%&()'-4

%&%5+ 1!

(%&()5

.

-6#

%7%8%9

$(

()7:%8%9+ 4!;-

(

()8:%7%9+ �!;-

(

()9:%7%8+ �!;

.

/ ���0������

� �<�=������������������������������������������������>��������������?@���AB��

��������?

� �C�=�������������������������������������������������������������������?@���AB��

��������?

� �D�E�������FG��HB��I���J0���������������������K0������������L+&�24

M3N&-O+&NPP-Q&

����O�RS

T ����������I�������G��������?

� �U�E�������FG��HB��I���J0������������������K0������ ���0�IG������������������

L+&�24

M3N&-

O

�+PNP&-O+&NPP-Q&����O�

RS

T ���I�������G��������?

� �V�W���������0��G��J0��������������HF�������B��I����K0�����&'�23X&'-YZ&'-[Z&5Z5'\

]��0�����Y��[��������� !E��������&'N'�23N&-YZ&'N'-[ Z&5Z5'N'-Z&5N'Z5'!

�! ����0����>0����J0���������������>��������������? B�������_!?

� ��a������������0��G��J0�����������������������������������I��������0�������

��������0���������0�b?W���������0��G��J0������G�������c&'�4-O

d�&'2

O

d�55X&'-ebX&'

����e�����f������������g������������������b���������0��������0�?B��G������

������������������?

� �h�i��G��J0���� �?j?j�!���������������������0�I���f�������G���������� ������FG��H

B��I���J0��������>�����������������������������������G�������

( Mk!

(l-( Mk8-32mnn!

()-( Mk+2mno!

(p-( Mkq2mnr!

(s�MQn

( M+!

(l-( Mk+2mno!

()-( M+8-32moo!

(p-( M+q2mor!

(s�MQo

( Mq!

(l-( Mkq2mnr!

()-( M+q2mor!

(p-( Mq8-32mrr!

(s�MQr

����+7�k�+8�+�+9�q��m&'�"# +&N'-+'N&2

�X&'+5N5!\@���A]������G������������?j?�t��0��

���������0����J0����?

Page 329: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

� ���������� ��� ��������� �������������������������������������� ��� �� !

���"�����#�$%$�%&��

'()*

(+�'),�-./

0

�-#�-1)*&/-#)*1-�&�)*-��/#-�&2#-2)*&�#-1)*&-��-2#-2#�)*&&

� �3�4� � ������ �5�"�����'(6

(+�(.

(+/78

7+�-1)9/:;<��=>�����������5�"�����$

� �?��������@� �������� ��������A� �� B��C���"��������!������ ���!� ����DE�F���

���D� ���

G(H

(+�G,I�

7.

7J/7

7J

K

���7H

7J/��-1)L

M

/7

7N

K

��#7H

7N/7*

7J&

M

/7

7O

K

��#7P

7J/7H

7O&

M

G(*

(+�G,Q�

7.

7N/7

7N

K

���7*

7N/��-1)L

M

/7

7O

K

��#7*

7O/7P

7N&

M

/7

7J

K

��#7P

7N/7P

7J&

M

G(*

(+�G,R�

7.

7O/7

7O

K

���7P

7O/��-1)L

M

/7

7J

K

��#7P

7J/7H

7O&

M

/7

7N

K

��#7*

7O/7P

7N&

M

�� �#LISLQSLR&�#HS*SP&;

� �����������5E��� ���E��� ��������A� �� B��C���"��������!������ ���!� ����DE�F���

���D� ���

'

K(LT(+�L�UV

M

�',T�7.

7V/7

7V

K

���7LT7V/��-1)L

M

/W

V

7

7X

K

��#W

V

7LT7X/7LU7V�LUV&

M

/7

7O

K

��#7LT7O/7LR7V&

M

/���

V#7LT7V�W

V

7LU7X�LTV&

'

K(LU(+/LTLUV

M

�',U�W

V

7.

7X/W

V

7

7X

K

���#W

V

7LU7X/LTV&/��-1)L

M

/7

7O

K

��#W

V

7LR7X/7LU7O&

M

/7

7V

K

��#W

V

7LT7X/7LU7V�LUV&

M

/���

V#W

V

7LT7X/7LU7V�LUV&

'(LR(+�',R�

7.

7O/7

7O

K

���7LR7O/��-1)L

M

/W

V

7

7V

K

��V#7LT7O/7LR7V&

M

/W

V

7

7X

K

��#W

V

7LR7X/7LU7O&

M

� �Y�������������������������:���D� �����:����(Z[(Z[/��\�;

� �]� � ��5����������=

#_& '(

(+#ab'&�

7a7+/-1#a)L& #,& '

(

(+#ab'&�'

(`

(+/'(

(+

cL�b�

d;

� �e������������� ����E��� ���F����� ��D5

7f

7+/-1#f)*�g-f&�hi

�� �g������ !�E������� �5����!�� ��E�f�����!�� �� ��)jklmnoaZpq�f)*�

)jopqlroaZpq��g-f���hi������ ��� !$A���������E��!�� ��E�� �����F������)*�s���

Page 330: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������� ���������������������� ������ � �������������� ������������� �������

������ � ������������������ ������ ��� ���������� �����

� ������������ � ������������� �������!����"������������ �������� ������� ��������#�����

��������

$%&'(&)*'+,-'

+.

/01$2(*

34

3/-3

3/

5

�673'(3/-879:;'

<

-=

/

3

3>

5

67%/3

3/%',?/0-

=

/

3'(3>0

<

-=

/�� >

3

3@

5

67%=

/�� >

3'(3@-/3

3/%'.?/00

<

-67

/%�3'(3/*�

/

3',3>*�'(/*

/�� >

3'.3@*�',���>

/-/���>

3

3/%',?/0-

���>

/

3'(3>0

$%&',&)-'(',/*'+.���>

/01$2,*

=

/

34

3>-=

/

3

3>

5�67

/%3',3>-'(0-8

79:;'

<

-=

/�� >

3

3@

5

67%�� >

/

3

3>%'.?�� >0-

=

/�� >

3',3@0

<

-3

3/

5

67%/3

3/%',?/0-

=

/

3'(3>0

<

-67

/

A

5=

/

3',3>*

=

/�� >

3'.3@*',���>

/

<

���>-�

5

/3

3/%',?/0-

=

/

3'(3>

<B

$

5&'.&)-'.'(/-','.���>

/

<

1$2.*=

/�� >

34

3@-3

3/

5

675=

/�� >

3'(3@-/3

3/%'.?/0

<<

-=

/�� >

3

3@

5�67

/

5=

�� >

3'.3@-'(-',���>

<

-879:;'

<

-=

/

3

3>

5

675�� >

/

3

3>%'.?�� >0-

=

/�� >

3',3@

<<

-67

/

A

5=

/�� >

3'(3@-/3

3/%'.?/0

<

-����>

5�� >

/

3

3>%'.?�� >0-

=

/�� >

3',3@

<B

� �C�D����������������� �%��E��F0�

� �G�H������� ������� ��� ���������� %��E��I0������������������� ��������� %��E��E0��

�������������� %��E��F0�

� JK�D�������������� %��E�EE0�

� JL�M� ����� � ������#��� ������������ ������� ��������� �� ������ �� ����������

� ��������������� ������ ��� �N%�0O���� ����$���� ��� ��%��0P������������Q����%���0������

�����#��� ���%�0M� ������ ��������� ��� ��#������ � "Q������������� � � ��R1R%STU0� �

V1V%STU0�������������������������������������� �

R3R

3S-V3R

3U-=

$

3W

3S1XT R

3V

3S-V3V

3U-=

$

3W

3U1XT

3R

3S-3V

3U1XY

Z���� �Q������������������ � ������������� ������M�����"Z���� ������ �����[%\01R*]V

��� � �������� ���� ������ �� ��������_�������������������#���#������������� ��������3V

3S*3R

3U1XY�������������� ��������

=

`R+-V+

a-W

$1M� ��� �Yb�� ������� R� �V�����������

����� ��� ������ ���� @%STU0T��������R1 c.cd� �V1

c.ceT��� ��������@�������� ���� ���� �

P��� ������� ������ f���������� ���� ���� g%STU0������ �� ��� ����h%\01@%STU0-]g%STU0��

��������hi%\01R%STU0*]V%STU0� �hi%\0���������������O���������������@%STU01�� ��� ����

��������� ��� ���������� �����������������g%STU01�� ��� ������������������ �����������

����������������� ������� ����������������

Page 331: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ��� ����������

������������

����� !"#$%&��!' !(�#")!(�$*++)+!�$#,-�'!+%�.!(�/%-++'%�+)+!�$#,-�'!+%"�!(�#��+$#+!

#,!���� #-�!�"�.0��!('++� !'#�!(��1-%!'#�+2'��3�&'4��'�!(�$*++)+!�$#,-�'!+0�,)#-2%�!!(�

�1-%!'#�+'�!(�/%-++'%�+)+!�$#,-�'!+$%*�!(�"�5�% �$��!+&'4��'�!(� #�-$��#,6%3��70

6%3��7089:;<=/;>::�;<><�6:

89:+)$3#�

89:-�'!+

?�5�% �$��!+)$3#�

/;>::�;<-�'!+

@ABC�� !"' D��.E 4#�!F$ @A +!%!4#�!F $

@GB8%&��!' D��.E 2�3�"F$HIJK &%-++

@LB='+5�% �$��!D��.E #-�#$3F$HIMNO +!%! #-�#$3F $H

@PB;-Q'�'%")8%&��!' D��.E %$5�"�F$ KIRNO #�"+!�.

@SBT-""��!.��+'!)E %$5�"�F$H @S +!%!%$5�"�F $H

@UBV� !#"5#!��!'%�E 2�3�"W$IXK &%-++Y $

ZBC�� !"' 5#!��!'%�E 4#�! Z +!%!4#�!

[B='��� !"' #�+!%�!E \NO

]B8%&��!' 5�"$�%3'�'!)E NOK_

�a����b�c���b

;3%+' 5"#3��$'���� !"#+!%!' !(�#")'+!#.�!�"$'��!(�,#" �@d#�% (%"&�e5�% �.%.'+!%� �f

,"#$%�#!(�" (%"&�g06(�+#�-!'#�!#!('+5"#3��$'+T#-�#$3h+�%2

@di7

jk[l

ge

fHman B�opo7E

2(�"�gqe%"�$�%+-"�.'� #-�#$3+q[liror�s7tuvH #-�#$3HF<w$H'+ %���.!(�5�"$'!!'4'!)'�%

4% --$qf'+'�$�!�"+qx@dy(%+-�'!+#,<�2!#�+%�.man'+%-�'!4� !#"5#'�!'�&,"#$g!#e',gze(%4�

!(�+%$�+'&�#"5#'�!'�&,"#$e!#g',gze%"�#,#55#+'!�+'&�06(�1-%�!'!)@Ai @dFe'+ %���.!(�

��� !"' D��.5"#.- �.3)!(� (%"&�+0��!(�+5� '%� %+�ei7q2�(%4�@Ai@d%�.+#ei7'+ %���.

%!�+! (%"&�06('+!���+-+!(%!!(���� !"' D��.%!%5#'�!{ %�3�4'�2�.%+!(�,#" �5�"-�'! (%"&�

�Q�"!�.#�%!�+! (%"&�e5�% �.%!!(�5#'�!{06(�!�+! (%"&�e'+%�2%)+5#+'!'4�%�.+#'+"�5-�+�.',

g'+5#+'!'4�%�.%!!"% !�.',g'+��&%!'4�0

6(���� !"' D��.%++# '%!�.2'!($%�) (%"&�+'+#3!%'��.3)!(�5"'� '5%�#,+-5�"5#+'!'#�0|#"

�Q%$5��q��!gvzgHzooozg}.��#!��Y (%"&�+(%4'�&"�+5� !'4��)!(�.'+!%� �+fvzfHzooozf},"#$%!�+! (%"&�

e5�% �.%!%5#'�!~o6(�,#" ��Q�"!�.#�e'+

@di@dv�@dH�www�@d}

@di7

jk[l

�gve

fHvman��

gHe

fHHman_�www�

g}e

fH}man�

#" @Ai@AB~Ei@d

ei7

jk[l

}�

��v

g�fH�man�

B�opo�E

Page 332: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ���������� ���������� ����� ����������������������������� ����������������

���� !���������� ���� ��������� ���������"����������� ��� ��� ����#� ���������� ������������ ��

$%&�������'��&������������������ ��(%&�������'�)�&�*��������������� ��+%&�������'�,�&

��������������������������� ���������� ����� ��������������"����������� ��� ��� ����-���.��"��&

������ ��������� ��� ��� ��$%$%/����������*�0&�����/ ������������"��������&������

�������*�

����1

2345

6

7

89:;)$%</ �=�=��

����������� ��������"� ��>������� �������� ��� ��� ������ ������� ������ ���������� ���

� �� ������������������*�?��������</ ����������������������@�������� ����������"��������

���� ����������� �������������������������*�?�-������� ������������ ��� ��� ���*����������

A&��������� ��������"� ��> �

����1

2345

66

B

89:;)(%<C �=�=2�

�����<C��"�������������������������������A�D � �����& �+%��"������������ ������������ ���

��� �������������*�����E&������������� ����� ���"��������

����1

2345

666

F

89:;)+%<G �=�=H�

�����<G ������������*������I��������� ���������&����2�&����H������JKLKM����������"�� � ��

���������������������JNKLNKMN��������"� �������� ��&��������������� �� ����*�����&����

�;JOJN�89PQLOLN�89)QMOM

N�89, �=�=��

��"����������� �������������"� ��>�������������������$%</&(%<C��+%<G� ��;R�;R���89:�;

;=

I���������� ����� �������*�� *�&����ST��U&����� � ���� *���������"����� ������� ��V

����W ���������� *���������� �����V���

��OSV= �=�=X�

-����������� � �����������SVY<�;O��Y<�; ����.���� Z����� �����������"����� ������� �����

����"�������������� �� �������

VV��O

6[

\

��Y<�; �=�=]�

����� ��������������"� ��������� ��� ��&�����V_�U��-���������*�� *������� ��������� ��

�������� ���� ���"�����������"���������� ��������"� ��� ���a������

Va�OV�O

6b

\

��Y<�;O

c

O

6d

\

��Y<�;

e

O

6b

d

��Y<�;

6b

d

SVY<�;= �=�=f�

g�� _ ������ ������]�&�������"����� ������� ������� ����� ���"� ����������* �� �

������ ��� ���� ��89: �

V;�O

6:

h

��Y<�;Oi

2345

6:

h

1

;)<;

i

2345

1

;R:h

i

2345;=

Page 333: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ������� ��������� ����� �� ����������������� ������������� ��

������

� !"

###

$

%&

'()� ������������������ ������������

� !"

##

*

+&

'(,� ����� �

��������� �������������

� !"

#

-

.&

'(/0� ������������������� ��� �������

������

� !"

12

345

63'378�� ������ ������ ��� �����9 �������� ���� ���� ����� ���

�� ��������������� �������7

:����� ������ ��� �������������;<� �= � ��� �������;���� ����������9���7

:��;<� �� ��� �����������>���� �?��� �@��� � ���������������������� ��

����7:������������ ����������>��AB�>AC� ��������AB�D>AC��� ������ �����

����������������������7:��;<� ���

= �

#E

F

ABG(A'�

#E

F

D>ACG(A'�>

#E

F

HIG(A'�>J��@�D��?�KL ��LML�N�

:��;<� ���� ���� �� ���������O� � �����;�� ��� ����� �� �� ���� ��� ��� �

������ ��� ������ ����7P� �����>��� 9 ������ �@���� �������������= �>I�@�L

Q �������9���AC�AC����������9���;������ ������� ���������������� ������ ������

����������������� ��� ��������7R��������������������9������7Q9����� ����������;���

�����9����������������������� �� ��������� � ����������������������� �����

����9����������� �7S������ ����������� �����������T��� �� �������9���� �����9����

� �� ���7:���� �� ���9����� ������ ����������������� ���������9���AC�������� �7

S�U������� �;���� �� ����A'�VWX5YZWX[�� ���������� �������� � �9����� �7:��

�� �� ������������ ������������� (A'�(VWX5Y(ZWX[7P�AC�AC�V\Z��D]�V\Z�WX5Y^�V\Z�WX[

���������9���� ������������������ ����� AC� �(A'��������� ��7:����������� ��V\Z�

�9����� �;��_�������(A'�`AC����� ��� � 7a_���� ���<���� � ��;�9 ��������

9����� ������������������b�� ��������� 7

(V

D]�V\Z��

(Z

^�V\Z��

^�V\Z�(VY]�V\Z�(Z�NL

��LML���

P �;���� �� �������������_����� �����������V\Z��c5�� ��� ������� ������������

�9����� ��� ������������������ �������b�� �����_����

]�V\Z�(VD^�V\Z�(Z�N

���� �����_���� ��7M7�������<� ���� ����������������������7:��9����� �������� ���d

��������_����� ������������������������ � ���������c5;�����H���� ����� ������

����������c5� ��������� ��;���AC������������ �7S������ �����������;����������

9��������������������� ������7:���� ��������9����� ����; ��� ���������� �������

���� ��������� �������������9���������������7

Page 334: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� �����������������������������������������������������������������

!"#$%&!'()*+(

�������,������������-���������������������������.������������������/�����������������

�������������������������/����������������������

012345167 8�����������������,�������9���������������������:;�������������<=������

����������������>�?���9@A�������������9�����B��������������B�����������������������������

:;=:;CD:;E F��������������������������������������������������

:;C=G/�>D��HICDG/?HIE

JKC.��� JEC=�>D��

ED?E

:;E=�G/�>���HIC�G/?HIE

JKE.��� JEE=�>���

ED?E�� ���

.����G=�

LMNO�����������F��������

:;=:;CD:;E=

PG/�>D��

JKC�G/�>���

JKE

Q

HICD

PG/?

JKC�G/?

JKE

Q

HIE

F��������B���������R���������-�����������,��������

S>TUVWXYZ[\]

�TUVW YZ[\_

=S?

TU[\]�TU[\_

�� ���

F������������R���������-������.�B�a������@����������

���bC=>D�

JC��� ���bE=

>��

JE�� �L�

Page 335: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ����������������������� �������������� �������

�������������������������������������������������� ����� � ����! ������� ���

������� �

"�� #$%#$&'$%("�()* %'$

'+$

�'$%'$&��()* %()�,%,

"�� #+%#+&'+%("�("* %'+

'++

�'+%'+&��("* %()�,%,

����������������

"�� #$%#$&"�()* ,%,

'-$),+%(

'-$

"�� #+%#+&"�("* ,%,

'-+),+%(

'-+

��..�/

0������������������������������ ���/ ���������1��� ����������� ���� � �������� �����

,��� � ������� ���������������� ���� 2�����������������1��� ����������� ���� �� ��

������ � ������������������������3�����1��� �����������

"�� #$%#$)�� #+%#+&4 ��..�

� ����������5��������#$� �#+.2��������� ��� ��������� ���������������

���#$"���#+&6 ��..�7

�����6����� ��� ���� �������� 8 �������(9,���������� �� ��������

()*:�()* +),+

"("*

:�("* +),+

&6. ��..�;

2���������� ����������������� �����������

Page 336: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������� ���������� ������������������������������������������������

�����������������������������

��

���

� !"#$%&'(

)� !"*$%&'+

� ,&'+)� ,&'(

-

�������������.���������/

)

01�234��2���

567

8

2

01�)34��2���

569

8

��

.������/��������������������������/

)�575972�59599��

���/������.���������57��59�:������������������ ��������������

;

57);

59�<9

��;

=1�23492�9

);

=1�)3492�9

�<9-

��������������������������/������������������������������������������

>7�)?@

57��>9�

?@

59���������.����������������������������1)3A�4��13A�4-

B����������������������������/������/������������������������������������

�������������C����������������������������������������.��������������������

��������.����D����������������/������������� ���������/����������������������

�����/��������.���������������.������������������������EF�D���/�������������

���������������������.���������������������������������������� ��������������

�����������:���G.���������������������������.�.�������HIEF��-

D������/������������������������.������������.���/������D����������

������EF�EF1�A�AJ4�K1�A�AJ4LM72N1�A�AJ4LM92O1�A�AJ4LM6��E5��LM72�LM92JLM6����������

������������������1�A�AJ4���������G����������E5��EF/���������������

�E5�PEF�����/�����P�Q �����������R���������������/��� �����

��

K1�A�AJ4�

��

N1�A�AJ4�

�J

O1�A�AJ4�P- 1S-T-;U4

V��/�������/��� �������/���������.���������������G������/W71�A�AJ4�X7

��W91�A�AJ4�X9����������������������Y����/�����/����������������C����.�������

��������������G���������������.�����������������������������.�������������EF-�����

��������������������/��������/�����R�������������

����������Z�[\] ��������������EF������������ �������������//���������/��

��/�����EF��������������������������

\]�

__

`

EFabc�d .�������e/9

<1S-T-S�4

Page 337: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ����� � �������������������� ����� ������������� ���� � ��������

������ ��������������� ������������� ������������ �����������������������

� ������������ ��������!�

��"

###

$

%&'()*"

##

+

'(&��),

�����-� ���������������� ./

01233415

6� ),���� �������� ����������������./7������������������� �� ��������

��),�������� ��� ���� ���� � ���������������������� ������ ���������������� � ���

����� � ���� �������8�9:��

;�����8�9:��<���������� ������ ������ �����

=��� '>���� ���� ������ ������ �������� ����� �� �������� ��),���� ������ �

��� �� �������� � ������� ������ �=� ��������&'>">��?�����>"@'>@��?� ��

������ ���� ����� ������'>�A�� ��� �����B��� ���� ��������B���������>���������

�� ���� ��������������� ����)C�������������� ������ ),�������)D")C

>E/F� �

� ����G������ ���� ��� ������ ����� ��������������� ���� ��������������� ��

��)D�<������������������ ��������� � ������������ ���� �G�� ������ ��

������������� � ����G������HI ��������������� ����)C� �����J�� �����),�� ��

��� ��� ���������)C"),��?"��&'>

>),� � )D"

��&'>

>K),"

)C

>E/L����� � ��� ��� ��

�� ������ ��&'>���� ���B ������������������������� ������� � ����������� ��� ���

M���� ����������� ��������N

���!���������� �� ��������� � � ����� ������� ���������������

������ �� � �������������� ��������������� OP/���!������� ��##

+

'(&��),"

QRSTU

�������������.

V ���������� ���.M8/9/8�N

Page 338: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������������������� ��� ����������������� ������������������� ����� ��������� ���

����������� ���������������������� ������ ��� ���������������� ���!�����������

"��� � ����������� ������������� ��� ����������������#$%&

'()*

+,-./ �����0�1

����� ��

23%

44

5

#$6��78%

44

5

'()*

-./6��

+,78%

'()*

44

5

79

+,%

)*:�!;!��<

���-./6��

+,%��=78

+,%79

+,%7> �

44

5

7>%'(!?������������������ ���@����� � ���� �

��������� ��������� �������������� ���A���������������B���%

CD

EFG

E!H�� �������

�������������� ����������B�������� �������%

444

I

JK7L@�����JK������ �������������

������B������M����� ��� ���������������������� ����������������������� �0�1 ���

������ ���������� �����"���������������������� �� ������������������N���

� �

44

5

#$6��78%O����� ��������������� ���A������������������ ������� �����������

B�����������P������� �� ��

����Q� ���:��;��&<����� �� ������� ������R�� ������� ����P����� �����

�������S������ ���B���������������� �������� ����� ��B������� �

44

5

#$6��78%

444

I

T6#$7L%

444

I

JK

)*7L%

��)*%&

)*

444

I

JK7L

�������� ����� ��B�����������

T6#$%JK

)*! :�!;!��<

����Q� ���:��;���< �:��;�U<� ������������ ����� �� �� ������������������

T,V%WJK

)*������� ����X�����Q� ����

YZ[\] Y_ab_

H�������������"��� ��� ������� �"����� ������������B��� ����

cdefghd�iA���������1�� ��������� ���� ���jK ��� � ������ �������������� �

��� ���M����B�������������������� ��������� �������� � ���������������1����Q� �

��� �� ��B� ����������� ���� ���R�� ���� �������������0�1�B������ �������������

����� ��������������������������k��������� ������������������jKl�����l���� �� ��

����������R�"��� ����� �� ���Q������ �

44

5

#$6��78%��)*%jKl

)*:�!;!�'<

��������������� ����� ������������� ����B��B�������� ���!?����������������

��� �������������������B������������ �������� � ������������������� ���� ������

���������������� ������������������ ���m��������� ���� ����� ���-.C �W-.C �

����� �#$%n-.C�������������� �� �#$%Wn-.C�������������������� ��������

��� �n�o������������������������Q� ���:��;��'<�������

44

5

#$6��78%�nl :�!;!�p<

Page 339: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������������������ ��� ������������� �������� ��������������������� ��

������������������������ �������� ����� ���������������� ���� �� ��!������

������ �"�!������#$�%�$&'���#$�%�$('�������� �����)�*+

$,-��������!����������� ��

./�*+

$,-����� ���� �0 ������������� "������� �����

1�������� ��2����������������� ���3�"0��������������� ��������� ������ ��*+45���

�������6�"0�������./78�*+

$,-������./9:;��<

*+

$,���������=� ������

./78<./9:;��*+

,-��� � />?

@AB> C/

>?@DB> C

*+

,-��4 #$4%4$%'

E������=� ��������������3�"0������������

FGHIJKFLMNOPM

Q������������ ��2�������������������� "���� ����0� ��� �����R�

STUVWXT�YZ�0 ����������0 �������6�"0���[�*+����������� "�� ����� ��������� �

�� ��������0� ��������\����������� "�����0� ��]������ ������� �����

__

a

*+bc�&dRD*+4E������� ����0� ��� �����efR� ������� ����0� �g�������

���h������ �" ___

i

./���\bc�jk,-�^

,-4 #$4%4$l'

5����g���������"���""� ��� ./�������"���0���� ����������� ������ ��������

�� ������ "����\�������� " ./�)��\�� ��"�������)4m����������������� ./����

�!�����#$�%�$l'��2���

__

i

./���\bc�)

__

i

bc�&d)eD�^

,-4 #$4%4$n'

]�������./�o

&d,-

^

eD��\�� ���\������� ��� "�����0� ��]������������ ��2���

��������0� ������"����������� ���� ���������� �����

p� q�0���������������� ������������������"�r���s>�s>#tAutDutv'w�ou$u�g����������

���� 2���������������� ��������h�������� ������� �"���������� �0�����x�6���� ��

��s>��� q�������"����� ��������� �������s>��� �����"�r����

__

`

s>?>bc�

___

y

s>z>b{ �

__

`

.s���bc�

___

y

bw|.sb{4 #$4%4$}'

E�r����������"0���������� ����~�� �s>����������������"��"�����������h�������� �����

�� �"�

FGHIJKFLMNO�M

Z��6�"����"���2��������h�������� ������� �"�� �0� ����� �� ������ ���

�����0��[�r����� ����� ��q�������������� ����~�Q������ �2�� �$�%�&�� ������"�

r����������q������������~��������������

Page 340: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ���������������� �����

� ������������������������������������� �������������������

!"

#$%&$'()

!*+

#$%,"$ '()

-"

#$%-"$ '(.

/"

#$0$'1 2�33�45

6�������%$�������������6������������������ ���������������&7�,8����&3� �������������

����������������������9��������������� �������������������

!:

#$%;$'()

!*<

#$%,:$ '()

-:

#$%-:$ '(.

/:

#$0$'1 2�33�=5

>9�������������������������������������,8����,?����@������� ��������������������������

�@�������2��45���2��=56��9����

!

#$%$'()

-

#$%A8B$ '(.

/"C/:

#$0$'1 2�33��5

Page 341: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������ �� � ��������������� ���� �������������������� �� � �������������

�� ����������������������� �� �������������� � ������������� �� ������� �� ���������

��������!"���#��$ ��%������ ��$���� ������ �&�� ������� ����������������'��

((

)

*���+�� ,-�

(((

./

*�0�,1 23454��6

�������+�� �� ���� ���������� ��47#�����$ ���8�� ����23!5!��6���23!5!�36��'�� ��

((

9

*���,-

((

)

:*��

���� *

���+��

;,-�

(((

.

*�0�,1 23454�<6

�����=�=�==)4>���8�� ���23!5!�<6������������ ����

((

9

*���,-�

(((

.

*�0�,1?

((

)

:*��

���� *

���+��

;,-4 23454��6

@� ������ �� =��� ������������� �� � ������ �������$����������

AB�

(((

.

CD,1

((

)

ED,- 23454�56

�����ED�� �������������$������ #������CD�� �� ���������$������ # ����$��� =4>��%����

��������8����� �� ((

9

F���,-�ABGH�I

GH

(((

.

CD,1I

GH

((

)

ED,-4 23454�J6

@� ���������&��������� ���� #������ ��������������� ������� ����8�� ���23!5!�<6������ �

((

9

F���,-�

(((

.

F�0�,1?

((

)

:F��

���� F

���+��

;,-4 23454�K6

L�� ��� ��$ ���8�� ���23!5!�J6���� ���8�� ���23!5!�K6$� ��

(((

.

M

F�0�?CD

GH

N

,1?

((

)

M

F������ F

���+��

ED

GH

N

,-�O4 23454�P6

Q������ ���#�������������� ����8�� ���������� ����R���� ��������� ��%�������

F�0��CD

GH4 23454<O6

Q�� ������ ���������������� ������������������$���� ���� ������� �

F������ F

���+��

ED

GH�O 23454<I6

���������� ������ ���'��������$���������� ���� #����#�������������������$�ED4

Page 342: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������������� ��������

���������������������������������������� ����������!���������������������"#����������

$�������� �������������%���&�'�������������������($���������������$�������� ���������&���

�������������������������������������������")���������������� �� ���'�!���������������*����'��

����������������$������������������������$���������������"+��� �� ���'�����������������"

,���-�� ��(�������������������$����������������".����� �����/��'�����������������������/��'

���������������������������������"�������������- ������������������0���12���������/������

��/��� �������12$������� �����/��'����������������/�����������������!12".!12���������������

�������3��������*' �������������������$�'!�������������",�����������'��3����������0�������

���������/�����%����*���� �������$������� �����/����������/������������4���".��������������

���������������*� �����3�������/���� ���������156

7�8������9����� ����!�������:;���<;����� ������*'���������=1>������������� ���

����������0���*'15?=1>;($����15��������������!@A�B"

.����� ���������$����1>���������������������12�����������������'�������$���'����15

�� �� ����������12���$����15?C12($����C����������������� �����3�*����'".!�������������*D���

������������0������������������'������ ��������������������������������������������������*�

�����3��"+��/�����%������'1E���������������� �����������4���"+��/�����1E����������� �����3�����

/�������/���������!@AF�GB(����� ����������/������� ��������� ������/������!��������"+��

/������EH���2H����������������������� ��������/�����IH��������

EH?IH<JK2H6 L=6�6M=N

,������������ ����������L��'����N

IH?JOH2O ��� EH?C

OH2O L=6�6M�N

$����JOH������������������������������COH������������������������ ��*����'������"A����%�����'(

EH?COH2O?J

OH2O<JK2H?LJ

OH<JKP

OHN2O ������ COH?J

OH<JKP

OH6 L=6�6MMN

)��������������������������������������!�����������!���������� ��������/���������������!����'

�$� �����$��������������"+�����%��������������������!���������� ��������/������*���������

�������/�����0����".�����!������-�����������$����������������!������������'������JOHQR?S6

)�������������������������������� ���!�����������!����/����������� ��������/�������/��������

���������"+�����%���������JOH?JPHO$����P

HO�����T�����&�������"+������J?JKUV�����������

�������������������!���������"+����������JK?W6WXLYSNZ[G����GF\]�G����� �������/��'�!!���

� ���������%������' V?__ �����������������/�������������������L������/���JKN",��!���� ��� V?Y6

a�������'!���������� ����������$���/�COH?JKCVPOH$����CV������������������������ ��*����'",���

���������������/������1E(1I���12����������*'

IH?JK2H:EH?JK2H:JKCV2H?JKLY:CVN2H?JKUV2H?J2H L=6�6MXN

Page 343: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ������������������������ ������������������������������ ���������������� ��

����������!������� �

����"���� #�����$������ ��#��������%��� � &��������%� '(���������!����������&����

�� �������%� )(��%��������� �������%� '*�������������� ���� ���#�����$������+���������������

������,-./�'( ��&��������!�����%� ���./-012�)( ��&���� �� �������%� 3�����012� �

�������!�������&������% �� ���� �������!��4���� ������! ����� ����5#�� ��� �����#��������

�������� �������

6�

�789

:::

;

'(<=>

�789

::

?

)(<=@ ��A�A���

������B�� ���&���!�

89,-.C�'D�'('*�E,-./'* �� ,�89.C./��'*A ��A�A���

F����.G�89.C./���B�� �������� �&������������� ��!

,-.G�'* �� GHIH�'*A ��A�A�J�

+�������� � ������ � ����#����'*&K'A4�����%��� ��!���B�� ��� ������������ � �������

::

?

.G-LM=@�N*� ��A�A�O�

�����N*�� �������� �������%���� ��K�������������� ��% �� ����

PQRM1STUSQSVWU

X ��������K����%�%������� ����������Y���.C������!����%����%�%������� �!�%�����Y���.ZA

[�%�����Y������� � ������������ ����K�������!����%������� ��!��� �����# � ���� �����������

Y%������\��

]�%������\��[�%�����Y������� �

������������� ���!�%����� ����� �����!����&K�����%���������������������!&� �����%��

����#���� ��������������� ������������������Y�%�� � �����%������������������������������

� ���!�%�����Y���.ZA��� ��������� �����%�N!����%�����������K._���!�%�����Y����

.a �N�._b.Z�A ��A�A�c�

���������������!�%����� ���������%��N� ����������� ����#�� ���!�%����� ��������

.�Nd.C�._b.Z�

e��A�A��

Page 344: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������������� ��������������������������������������������������������

����������������������

��� !"

#

$

��%&'�()�*+"

#

$

�,)�*%&- '.-/-0.+

1�������2�������������������������������������

��� !"

##

3

4�%5'�()�*+"

##

3

�6)�*%5 '.-/-0�+

��������������������������

��� !"

###

7

8�%9'�()�*+"

##

7

�:)�*%9 '.-/-0;+

��������<���������,"���(2�6 "4��(���:"8��(�����=������������������2����������=������

������2���������=���������

>��������������������������������������������?����������������@�A��B�

���A��B���������������������������������:C������������������������������������

:C"5C�D�2�����5C� ��������������������������������E���������2����=����������

5C� "5FC� ����:C"5DC�����5������������������GH5����������������������

1������������������8�������@��������=�������������I����������(���������

���?�J��������������������������������K�L��@��������������������

##

3

�:MNO%5"

###

7

PM�:%9- '.-/-00+

Q���������@���������2����������?��������������������������������<�����������

���������������������������������������������=����

##

3

�:MNO%5"

###

7

PM�:%9"R%

%S

###

7

8�%9"R

###

7

T8�

TS%9 '.-/-0/+

� ###

7

U

PM�:VT8�

TS

W

%9"X- '.-/-0Y+

������=�����������@�������������������

PM�:"RT8�

TS- '.-/-0�+

Z������<����'.�/�0�+�������������������������<����'.���Y�+����������������

����������������������<���������������������E������������������J�������������

������������������������[\]

[ "X�������<��������PM�:"X-

Page 345: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ���������� ���������

�������������

!"�#����$ % ��� �&��' �����(� ���(��(���)�(�"�' ���������� � *����+����� (�� �,����

�������'�%��� ���� ���%�- ���(

./0+123456

7

8

.9:;<=>?

@A 0�BBC�1

���"����(DEF '*G'H ���"����"������� �����(���"�����������&�"��������I��J��"�#����$ % ��

� ���" %��"����(� ��34256:KLMNEF '*?�"��"�(� �����"�*��'� )����,�&&���(* ��O.929;<P�(

�"��������I��������"�����������&�"������ �����%�����;<P���"����%�-Q;<=�( ����%�������������

&��' *�������"����%�-��� ���"�*����+ ��>�(�"���(� ���&��' *�������"����%����"�

����� �*����+BE����" �&�� (�� �,����������R�(� �����"����%��"�' ��������&.9'�(�)��"�

( '��%��,�"��� �����"����%�S����O�"�(���'� �)�)����"������&�����&�"������� ����(��& ��

�������(.T ��%���'��������(.U�"�#����$ % ��� ��(�������

./0+123456

77

V

.T:;<=>?

@W

�� ./0+123456

777

X

.U:;<=>?

@YB

Z[\] �Z_a�b

c ���� ���"�' ����������./ ��(� ���d*��*������� ��� ����� ��,��� ���(� ���������.9B

��ef���gh !"�' ����������������( ������"���������"����'���,�&�"��������O�"�' ������

����*����(����&�"�* ��i�� ������

.9:;<=29;<P:;<=29j<(��k

�"���j<�( ����%������ ��������"��������&� ���(d�"��"��������(�"����� �����(�"�����*��*���

����� ��,

Page 346: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� ��� ���������������

���������

��

� !

"#$%&

'(� ���)*� +(,)����� - �� ��.�)+-/� 012�2

��(*�%

3���� $%�3 4#*$* �(, 4�*�

3

"&

5� � )�� 6

���������

�78

79

� !�(:3 4#*

3#;4�#*$*&

�/�6:��;0<*������(:�4�*�(,4�( =/ (��.

��������� !

��3

�78

79

4�*$*���� !

��3��(*#>�(*?�&

������(-����-����� *?@>�;0�(,*#@�;0��-�� �� ��-( ��4+ �,��������� !

0�3&

������/� 4/�� (��� ���������������

����������

���

A

�BCD!E"#

$F �0&2&2��

�(,4�( =/ (��.� G �4� �

HI����& �0&2&2J�

K 4����� ,�� �- (4 �)�( � 4���4+ �,�HI�L�MN

OP�Q(��(��� R�/S���)�� � 4���4+ �,�(,�

�(�(���-.�� ,�� �- (4 HI������� ��� � ) �� ,���R�/S���)����-( ��4+ �,1')HI����6

�� (�� � G���� 4���+ �,�T/4��������HC�T&5� � 4���+ �,�T�4��� ,�� � 4����� (�����)

��&U�� ����HI���HI�HC�T���&V���� � 4����� (�����T�(��/(�=/ �(4 ������, ������

)����� � 4����� (�����T<HW�� � W��(��������.4�(��(/�/�(,,�X � (����� 4����1

YZ[!\!]_a

V� � S������4��� ,������ ���Q,�( �(����(-���/(,���� 4�� ,���1��� G��� 6

4�(�, ��� � ���/ G��� 012�b1'(��� G��� �� �(� -����)�����/(,�4��4/�������)��,�/3

���4��4 (� � ,���� ��(��(�� ��� 4�(� ��4��� ,������ ���Q,�( �(����(-���/(,���

���15� /������(�))��4 ��� ,���(4 �

c

d ��I$�"�

c

d ��I !$%����

0�3

c

d$%���� �0&2&20�

�� � (��$�"� !$%����(- (�� 4������� 4��4� (4��4��(-�� ��� �(,

c

d$%�0�3��� ,���(4

���/(,���4��4� 15� =/����(�012120����,(���(�.)��4��4� 6�/�)���(.��� 4�� ,4/�� ���/(,

�� ��� 1e�(-�� ���Q S�� �� �� ���

c

d ��I$�"�

��

f

�HC���ID!g$h�����

��

f

���BID!g$h �0&2&2��

Page 347: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�����

��

�� ��������������������������������������������� ����������������!"#����������

��$����%��"����������&'(��������)����$����(�������*&+&+����%�����!�,�������� ��$� -$����.�

���

/012345 �*5+5+��

6789 :;<:7:=><=967: ?=7@<

A�$������������������������������������!���!����$������������%�$�������B��!������%��

��������$�%����������������$��������&C�����$���D�������������$�%������!�����$���#�������

�������� ��$�!&E����������������������������������!$�������!�����$�$����F�������������

$�������&G����$�������B��!1��������!���$�������$�!��$����������������$���� ���$�������

!������&E��(������#HI�����!���$������J�����%������������!���!&K���H �����������!�����

!���������$�!��$��!�����������L�$�M$N��!�������������%�����$�������!�����$�$����������

%���$���!����������������������J�����%�����O���!����������������&E��$������J�����%�����H

����������)�������%����������J�����%����������������!����"���!%���$���������P��!��� ���

��������QP�����/0H 2P���%���$��������!�����#������������$�%���$���!H0� �2QP���

��� ���������������"���!��#� ����%���$�&

C��$���������������������������$�!���%���%�� R4STUSV��������$���������������!�����#&E��

���������������$������J�!$�������������V2PWXWR4STUSV�����

P�����"���!�������DX�����

������������!R4STUSV�������!���!�������&-$����.����D�(�������*&+&+��D��$������J�!$������������

"���$��

/01234V234�PWXWR4YZ

Y[�234W34R4

YZ

Y[�*5+5+\�

�����2 PWX5E�����$R4STUSV���� ����!�����!�������$���������������]������������������

���B��!�(������&E������$�$��������������������������B��!��!�����$�������B��!&

-���������#$�����B��!!�B��!"#

_2�

341_ H_ �*5+5++�

�������!���!���������������$������� ����%�����1��!$������J�����%�����H5E���������������a

�������%��(�����������!�����"��$�����������������&C���������������$����������#�����

1_23b_ b ��! H_2c

b_ b �*5+5+d�

�����3b_�������!���$����������$��"����#��������!cb_�������!���$����������$��"����#������&e���

� �����(������������!�$����������&C�������������$�������

3b_23fb_ ����� 3234gh5 �*5+5+i�

K���342�j0�klmno�$�p��������$��"����#� ����������!gh 2

qqr�����������%����$��"����#

���s�����&A�$�����#D �������������$�����������%�cb_2chfb_�����ch �������!���$����������a

�����"����#���s�������!��!�$����������&E��$���������������"����#���s��������������%�%����� ��

Page 348: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ������������������������������������������������������������������

�������������� ����������������

�� !"#��$��% !"��$!"&'�� !"#($&'%�� !")'�� !�� #�*+*+,%

-����! !")' !"#($&'%�������� �����������������������

.���/0����1��������������������� ������������������������ ����������������

�� ��������������2������������������������3���������������������������������������

��4�������1���������������������������������������5������������������������6���

7�-����������������������������������������������8

9:;<=>?@ABCDE<F

G��������������������������������������������������������HI JKLJM������� ����N�����

�������-�������6�

OP�HI OPQ�R

QS Q

QSOP�R T

QUVQS

#�*+*WX%

�������������������������� ���

�H �HV$�HY$�HI OZ �� $�HY$Q�R

QS#�*+*W(%

����������������������� ����N�������������

�������[�-�������������������������6�����������������6���G� ������������������\

����������������������������� �������]� �� ���������������������������1�������������

6����������-������������_���������-���]*�������[�-����

`

a

b �cPd�e TQ

QS

`

f

��Pg;hdi*

j������5��k�[��������-�6��

`

f

#OZ�c%Pg;hdi T

`

f

Q��

QSPg;hdi*

0���������������������������������������������� �l��������k�����-������������4�������

�������������[�-

OZ�c TQ��

QS* #�*+*W�%

0������6����������������6������������m�1-��

n� ���[�-���������#��+�+o%�-����������������������������������������#��+�W(%�������

OZ�� !"#OZ �� $�HY$Q�R

QS%$!"p"

Q�c

QS#�*+*W�%

-�����������-�������

OZ#(

!"��T��% �HY$

Q

QS#�R$p"�c%

8q�r�s��t���G�������������l�������������u�������7��(,v(�u�����

Page 349: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��

���������

��� ��������

����������������� �!"��� #��$�%!�#� &��"�'(�#��!)

��#���'(�#��!���)�)����!"��)�)������""#��*�(�������+��$�%!�#�,�#��!-�'(�#��!��)�)�.��!"

*�(�������+����� #���#�#� �-�'(�#��!��)�)�/�)�����+�(��'(�#��!�0��"( �#������������'(�#��!��+

��� #��"1!�$� ��!"���!���($$���,�")���%�!����+��$�+����������'(�#��!��!2��2�#��'(�!#�#���

3456�� #�� +�� �2� #��-7348�9��#�!: �(��$;

<45��%!�#� +�� �2� #��-7<48�=�;��:$>

�45?(�����1$�%!�#� +�� �2� #��-7�48��$0���:$

45@��0�� �$�!#2� #��-7 48� �(��$;:$>

45A��� (���!#"�!��#1-748��$0���:$>

B45C�����,�#��!2� #��-7B48� �(��$;:$>

D45��%!�#�,�#��!2� #��-7D48��$0���:$

+��E�.5�5��������������#��'(�!#�#���

F5��0����!#�!%#��+��� ���%�"�!��#1-��#�(!�#�7F8� �(��$;:$G

HI5C��$�##�2�#1�++����0� �-7HI8�+���"�:$ �� �(��$;>:9��#�!J$>

KI5C��$��;���#1�++����0� �-7KI8���!�1�:$ �� L%J$: �(��$;>

M!�""�#��!-#����������#��$�#�����0���$�#���N

K4O5$�%!�#� 0��$��;���#1#�!���-��� ���"�$�!���!����

H4O5"���� #�� #�!���-��� ���"�$�!���!����

P4O5��� #�� �(� �0#�;���#1#�!���-��� ���"�$�!���!����

Q4O5$�%!�#� �(� �0#�;���#1#�!���-��� ���"�$�!���!����

�����0���$�#������(��"#���0����2����#��!��!#����� #�� &��"34�!"$�%!�#� &��"<4���!

� #�!%�!�$�#�����$�"�($)M!0��#� (���-B45 45D4�!"�4���"�&!�"+��$#���'(�#��!�

4�HO43O�HI34�B4 H4O�HIR

4O�P

O4

<4�KO4�O�KI�4�KID45 K4O�KI�R

4O�Q

4O�

B4�PO43O5 �!" D4�Q

O4�O +��E�.5�5��

����;�2�'(�!#�#����;�1#��+������!%����N

STUTVTWXYZT[ ��������#�#��#����!��!#�%����+#����� #��$�%!�#� +�� ����(!"����0��0��0��#��!��

#�#����#��+\(��+$�%!�#� �!"( #��!#���(%�#�����0)����%�2������#�#��&��#��� #��$�%!�#� &��"

�'(�#��!N

���3�]��<

���� H4O 3_O�]

�<4

��� �������

Page 350: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� � ������������ ���������������� ���������������������������������������

��������������� ������� ��������� ���� � ��������� ������� �!��� �������������������

� ���� � �����"� ����������� ����������������������#����$������%

&'()*(+,-.(/

.0�� 1234)453*+

2,-./2

.06 78696:9;

<=�����>?�@A�BC�DBDCE � ������������ ��� � �!��� ��������������������� ���� �������

������������������������ ������� ������������FG� ��������"� ������������ �� ������������������

#����$������%

&H(/*I, �� /252*I, ��JKL

.

.M2NKL/2O*I,6 78696::;

<=�����>?�PQR�CD�� � ������������ ��������� �!� ���� ��G��������������S���"� ��

��������� ������ ���������������#����$������%

&H(T*U �� T252*U ��JKL

.

.M2NKLT2O*U6 78696:V;

W ���������������������������������������� ���F������X����� ��F���Y�!�����$�������"

Z�������!�������������� ��F���Y�!�����$������������������ ������J:9��J:["

@A�BC�?�QR�CDB\C����R]@R��QE

��_������� �������������������������������� 6 �������������� �������� �� �������a

�������������G����������� ��������"� ������������� ������G ���������������"b������� � �

#������Y�!����c��$���������d������������

1234e453*f.T2.0

78696:[;

1234)453*+2-./2.06 78696VU;

g���������G�$������78"9":[;FG)2����$������78"9"VU;FGe2"� ������������������ ������������

�����G��������������������������� �� �������

1234e453)2*f.T2.0)2 78696VJ;

1234)453e2*+2e2-./2.0e26 78696V8;

Z�F���������$������78"9"V8;�����$������78"9"VJ;��#��

12347e453)2f)453e2;*f+2e2f./2.0e2f

.T2.0)2

1234h7e4)2;53fe4)253-)253e4i*f+2e2f./2.0e2f

.T2.0)2

jF������ ��13427e4)2;53��� �������12347e3)4;52��� ��� ��F���������#����

12347e3)4;52-+2e2*f./2.0e2f

.T2.0)26 78696V�;

Page 351: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ���������������������������������������������������� ����

!!

"

#$%&'%(&)$*+,

!!!

-

.$'$*/01

!!!

-

�23$24'$,

25$24($�*/6 ��6�6���

7�8�������� ������������������������������9���:��������������:�����������

������7����������� ��������������������������� �;�����������������<�������

��������:������:������������������������7� ����������������=������>��������

����������� ���������������:���

!!

"

�?'@?(�ABC*+0

!!!

-

�1?'A2?3

241?(A

2?5

241?'A?.�*/6 ��6�6���

D����������8��� �������

E$0#$%&'%(& �� ?E0?'@?( FG����H�IJ ��6�6���

��>�����������9�K���������������E$��������������� ���'$���($���������������

�:�������������������������������������:������������������������8���

LMNOPQRSTUCNPVOWPQNXXYNCXRQ

Z������:�������������9�������������[������������:���������������\�������

���������������������������� ����:�:������������������������������7�� ��������

����������::�����������������=���������������: �����������]�����3$����������

��������: ������������_�����5$����� �������� ����

1#$a#$%&�'&b%3a,(&b%5a�0#$a.$5a,#$a

c23$245a,

25a243$

d

�����������8�������e1f���������

1�f%fa&1f&fa%��'&b%3a,(&b%5a�0#$a.$5a,#$a2

24�3$5a�

�����:�����������8���

1'ab3a,'ba3a1(ab5a,(ba5a0#$a.$5a,2

24�#$a3$5a�6 ��6�6�]�

g ���������8�������������� ������������]���� ������

'ba3a1'ab3a0'ba3a1#h'ab'a

0�'3a�ba1'3aba1#h�i

�'a'a�b

0�'3a�ba1j' 1i

��'%3%fa�ba

0�'3a1i

�'%3%fa�ba1j'

�������� K���������:���

'ba3a1'ab3a0klaba1j'

Page 352: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�����

���� ��

��� �� ��������

������������������������������� !�"����#$��"������������������������

���

%

&�' '�

'(�� � �' ( �' )

�( ' �( (�'(�� � �( )

�) ' �) ( �) )�'(�� �

*

+� ������,�

-./��$��"��0��"��������1�����������������$��"�����������$�1������"�������21������� � �3����

�4����

567�567��86 �����,9�

�����

�8�57:��

�5�7�� �����,��

�����"�0����������������� !�"����#$��"���"�0��������������������������

�8�

%

&7'5'�

'(7�5� 7'5( 7'5)

7(5' 7(5(�'(7�5� 7(5)

7)5' 7)5( 7)5)�'(7�5�

*

+� �����,��

;��������������"�0�������������������

����<�

8� �����,��

;�������21������� � �3����4�������������$��"

�6�=��>?@?7<A

AB�>? ?7�

��

=�<>?@?7:��6�A

AB�>? ?7�� �����,��

C��$����/��� ?�>D�?���7?�ED5?����������������"�$�21������� � ,�����4�������������"�

�$���F�.����0G�������

ED>DAHAB�A

AB�>? ?7�� �����,I�

J������0��������21������� � ,���G�����G��1"����4�������������������"�0�����$����

KKK

L

=�MN<

KKK

L

>?@?7MN�

KKK

L

�6MN�ED>D

KKK

L

AHABMN�

O//�.��0�����G��0����������"�$P�1��0�G��

KKK

L

=�MN<

KKK

L

>?@?7MN�

KK

:

�QMR�ED>D

KKK

L

AHABMN� �����,��

;����$������$����21������� � ,����/����������$����������0������0������1���������������������

���G��1"����"��� !$��������������"�0�����S���������G��.������"�T��������������"�����

��0����U��� !������������$��������4��#/��������������0����$����������"�0�����������������

Page 353: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������

� ������������������������������������������������ ����������������!�"���������#$%&'(���

�������������!�"���������#%&'()*�������������������������������!���+,-.�,

��!���+,-.�,/�����0��������0����1�� ���� �����!���0�����2���!�,

� 3�����������������00������������������������������������ ������������������

45645#7&8(6+89:;<+79:=,>?�������������00��������������������������,@������ ������������0

0��������� ����������0������������,

�A B��!����������������������1C

76D���EF���G& 86D���EF���G& H6D���EF

���'IGI+J���DK')>�� ����������!����1������1C����������L6 MNO6+J#P$���EF()

�Q B����!�<"�������������������#'&%(��������!�$"�������������������#'&$%()>�� ����

�����������0����45�������������#7&'(& ����7R%��456P

�JSF

$+%"

#%=<7=(TU=9:=)

�V /�����������7=<8=6%=����C���������!�WX,>�� �������������������������#'&'&H(��

456P

�JSF

WX%H#+J(9:T#%=<H=(TU=

)

�� Y��������������������������������������������� ���� �������������������������������

����C��!�������1������������!����0�������!�������CZX,�����������1�� ����������������������

�0���������,[���\����������02�!������]^_

=a������������������������,

�b ��������2��������4c���d���.>������� !����4e6ZF�J

fff

g

4ch9:Ni=

jk)>�� ����lm4e6')

[���\/��9:N64i

i�����������lm#4ch

4i

iT()*��������21���P����P'�0����������n3,B�����������

lh4c6'1������4c�������������������������,

Page 354: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��� �������� �������������������������������������������������������� ����!���

������� �����������"#�$%&'(

�)� ��� ����!���������� �*���������������������� ����"������������

�+,� ��� ����!���������� �*���������������������������-�������������������

.�$�&/012/0

34(

�++� 5���!����6�7 ���8��9 ��������:� ����� ����!��������!������������������� ������������

;<=�&1

";<=�&'

;<=>&?;=@&'

;A=�&B1

C

D=>

DE&B?

C

D=@

DE

;A=@&1

C

D=�

DE2�F

C=G&"

C

D=�

DE2�F

CH=�

�+I� 5���!����6�7 ���8��9 ��������:� ����� ����!�������������������� ����������� ����

������

;<=�&�F3

;<=>&'

;A=�&B1

C

D=>

DE

;A=@&�F

C=G21

C

D=�

DE

�+J� K������ ������3�����������!��� �LM���������������NOPQPRS-� ������ ��

=�NTPUPVS&1

�F"W

XXX

Y

3

Z[\]LM

N�S��� ����Z[&NTBOS[2NUBQS[2NVBRS[(

N�S��� ����\]&1

ZNNTBOS\]_2NUBQS\][2NVBRS\]S(

N�S��� ����

=�NTPUPVS&1

�F"W

XXX

Y

NTBOS\]_2NUBQS\][2NVBRS\]

aNTBOS[2NUBQS[2NVBRS[bc[3LOLQLR&

1

�F"W

XXX

Y

;

d\]

Z[

e

3LOLQLR

N�S��� ����������������! ������!��=���f&1

�F"W

XXX

Y

3NOPQPRS

aNTBOS[2NUBQS[2NVBRS[b_c[LOLQLR

N�S��� ����=�&B;f(

N!S��� ����;[f&B3

"g���hi��������������������j�������� �����7�������������� ����

NOPQPRS& NTPUPVS(-��������������������������� ��������k����������������������

��� ���������NTPUPVS������������������ ��!��������������������j����k�����������������

;lm$n$op

d\]

Z[

e

&B;NOPQPRS

d\]

Z[

e

��������������������:� ��������������������������

� �!�����������q��������� ������������ B3

�F"W

XX

r

\]

Z[<stLu&

3

�F"W�F�����st&B\](

�+v� ��� ����!��������������������3w&xyNTBTWSyNUBUWSyNVBVWSP ����y�����z���������

! ������*����9 �����N{�|�}S�������� ���������9 �����N{�|�1S�

�+~�

N�S��� ���������������=�& _�\] ���������������g���\]&

�^��� ������������������������!Z(

N�SK���������������! ������f� ������=�&B;f ������������fNZWS&'!��ZW�'(

Page 355: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����

���� ������������������������������������ ���� �������!����� �������������������������

�"� ������ �#$

�%��"� ������ �# ���!����� ��������������&��&�&'��!� ����$

(���)*��!��+���������������,�- �.����,��������,��������,/�������/�01231241��

�0231241����������/�0231241���023241��������5���/�023241���02324���%�!������

����02324��

67

78

9�0231241:0�

6;

;8

<�023241:3�

6=

=8

>�02324:4$

?�!��������@�

@3�� <�023241�

6=

=8

@ >�02324

@3:4

������/�"� �#!����@ >@3�@ <@4 !�����/A����

@�

@3�� <�02324$'�/���������������%������

���@�

@0���

@�

@4$(�������!����� $

��B�

��'��!�������C�D�# ����������E������/������������F���������D��"�F&

*�������������F�����������������A�����������D$

(���)G���F�02324�

69

1

H�D�H02H32H4"�I:H!�����I�0JK9L3JK<L4JK>

�������,����

69

1

:DM:HH<:H%5A����&

�%'��!�����C��"�F�#$

��N� O��P�����5Q���!���R/A���Q���!�����!

SMT� UVUVT�SUT MVTU��W1

@

@X

Y

ZML[1@ M

@X

\

��]� R���/������Z� � !���� ����������������5&'��!�������_�# �E!���Q��a�������A������

W1@�

@XLW1[1

@<�

@X<��<�

��� W1@�D

@XLW1[1

@<�D

@X<��<�D$

(���%���� ����D������5�����/��a������!������+��!����������,��A���Q��a������&

�bc� '��!���� �E!���Q��a��������d&e&fg�����,��d&e&fh������������������������������������

�������������������"� �#

�C�i�_j

?�!� ��������������������� ����$'��!�����<���_j[$

Page 356: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���� ������ ������������������������������������� ����!������"#��$��$��!����������"

"�$�������$�"��%&'()'*��$%+',)�-.��$�/�����"� ',0����1���!2����',"��0�$���/�$

�!�/�"��2������� ��"���'3��"�����',)%&'3�4���'3����������5���2�0��!�6�7 �����"�

'3��"�����%+'3)������� ���!������5����2�"!�������5 ��� ��82��!�����!������5����

%9'3):;'*-

���� ��������$��������$8�����"�$����� ���"��$8��!�"����<���$�8�� �! �������

������������������������������$�������������'= ) :%>�?�8������@ A0���/�����

%+',)���"������',)%&'3 ��!�/�"��2�������'3�B��������/�"��2�������������

<���$�8����"��0�������%&

C

'=DE'3

EF

G

)��.��������������������8����$����2������������

"����/���/���$��"������'=DE'3

EF):%> ��!��"����2�������>�.����2����������

'=):%>:E'3

EF

���!�����������2���������� ������"���"2��������A0���/����� �����$8�����"�$�����HIJHK)�

���������2���������2������������$�"������2��/����� ����"�������"��

��L� B�������2������� �!������'=):%>:E'3

EF$���/�$��2�0��!��5���������/�"��!

���M������"��0�������%9>DE%+'3

EF):

N

OP�0�Q!2�������"��0�������

%&R%&'3

S);P'*:;POP%

TE>

EF

U

:;POPE9'3

EF9

�"��������������2����0�"�����0���2�����$����� �!C

%9'3:;POPE'3

EF

G

:%

T

%+'3D;POPE>

EF

U

):;P'*

��V� .�� ����������������/�"��!��/���� �!

%&'=):E',

EF%&'()

E'W

EFDN'X %+'W)N %+',)�

����'W)OP'=Y ',);P'(���OP��$;P"������������ 8���OP;P)Z[\9����\������2��$ ������

7���$�"����/�"��2�������'3��$�"����2�������>$�#��$08',)%&'3 ��$ '=):E'3

EF:%>-

]���������/�"��2������������������<����!2��5��/��^����"����2��������"������

',)%&'3)%&�'3D% �Y���"����"��� ����$������1���.���� ��5����"���!��8��!2���!�

_��$ �$$�������������!�������2���������.�����$$������"�$����������"�����'=��$',���

��"�����$�A����"�"�$����������'3��$>����� 8%+'3DZ

\9E>

EF)�-.������������_�������

����1�������� ����1������<��$��� ������������������/�"��!�����!� '3��$>��$��

���� a

%9:Z

\9E9

EF9

b

>):N

OP��$

a

%9:Z

\9E9

EF9

b'3):;PN'X-

Page 357: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���� ����� �������������������

������

������

��������

������

���� ���! ����!

��"�

#$%��������&�&&'��������()�*+& ,��&��+����������&��) ���&��)&+��-����&

./��)&�����-�&�*�

�����#01�$���23456789:; �� �����#01�$���23

456789:;

��&)&��2����2)&��������<=��&����&�������������&��) >�?3456789:;)&�++&�(+�&

�) �����&�<%� &�� &���&�)&�++&� �����)� ����&�<@&)&A��B����� -��)�����<

C�+&)D���&���������������&)&+��� -��)�()������&�&��(&�&����������&��&��)

?���#E0FG�$ �� ?���#E0FG�$H

I�&�&)&()&�&��(+�&�&�<I�&�������?����& (+����&����&�&JG����&�-�+)�)&'�&���J

��EK,L���++&���&�&�� *&)<I�& ��������� (+&�) ���� �����*������� &���(�&<

I����J�M.&�(����0��& ��������� (+&�) �������� &���M.&��� &�J��& �������

�) �������(�&<N�&. ����-&���&) ����&���&�������&�&) ��&M�����0���� &��������

+&�-��JE���� &�������)&��()��++&�-��J����� &���������� &��G���� &��������)&��()��+

�� &�)�-�+)&+�����<I�&'��������GKE����&�&&+�����<I�&+�&O�,LKE���� &�����

��+&�-�������++&���&�&+&�-�����KO���++&���&�&�� *&)<I�&�&�� *&))&()&�&���

��&�� *&)���&�(&)������������&+��-��&./.��<I�&(&)�������&�&��P�OK��,LKG

����&�)&'�&�����Q��KPHI�&�)&'�&���)&()&�&�����&�� *&)���&������(��M.&�(����

���������� &<

#*$%������G�,LQ

#�$%��������QO

#�$����&�& �����>����#E0BG�$R���#E0RG�$�)&+��-�&SC.(+��<

#&$%��������-&�&)+��&�&&'�������T��

����T

����&��+����������&��) ���&��)&+��-��

&���&)��&R0�)B0��)&�����-�&�*�

T�T#01�$�Q#0R��$RU#0B��$

��&)&Q��U)&)*��))�����&��V&)&���*+&���������<

#�$W��� &(+�&&+&��)� -�&����&�� ���-����&R0��)&�����<%��������&&+&��)��M&+�����

��&0XB(+�&����& -�&���M&+�������&0YB(+�&<

@���ZW��� &��+�������7�U[#0B��$1 �\�U�#0B��$1�]�U#0B��$1�7�U_#0B��$1

�\� U#0B��$1�]�Ua#0B��$��&)&U4JA��1HHH1b)&)*��))����������<I�&���������7

��&����������� ���!������ (+�&�U[ ���*&���&(&��&����0��������&��������<c�

��&� &��)��&�� (��&�������<%���&*���� ���� ���!��&��7��7�!<%����&�

)&�++&��)��&)�&�&�*&���&��&&+&��)���� -�&���M&+��)&(&)(&�����+)����&��)&�����

��()�(-����<d)��D�+�� (+�&������&�������&� ���*&��(��&��*& ���++�

(&)(&�����+)��&�����&)<

Page 358: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������

�������������������������� !"#$%%&%'(!)*+,!)-.!/01".)-%"2�34�5���

6�����789�:���3;<��

7�:�=�������>������?�?��@"A")B%#1.)-%")%C-"+!B@/D+$B!!"#E+"2%B2�6�����789�:���3;<��

��=����5��F����G+.)%B2HE+"2%B2H!"#)*+I!2-.JK1!)-%"2%'0/1-#(+.*!"-.2�

L��>�����M>�N=�6�O�8�����P�Q��>>�3;R��

�7�����O��S�T�6��@"A")B%#1.)-%")%)*+E*+%BU%'J/!2)-.-)U�

������8�����������V��������3;W4�

��=5�V��������>�����������E+"2%B@"!/U2-2%"(!"-'%/#2�6�����789�:���3;RW�

����=��7������X���V�:���L��G+.)%B!"#E+"2%B@"!/U2-2Y-)*@ZZ/-.!)-%"2�6�����789�:���3;RW�

M5��>����S��G+.)%B!"#E+"2%B(+)*%#2�M5�P5�=����L��>���8L>>�=�����������3;<R�

9��=���M�X�O���=����X��E+"2%B[+%,+)BU�������8��������>�=5���M���3;<;�

L�=��5��������\-+,!""-!"[+%,+)BU����P�����6�O�8]��:����P������==�3;R4�

L��������M��(+.*!"-.2%' %")-"1!������������6���8������L�_�������3;W4�

9�O�����5=�A")B%#1.)-%")%J/+.)B%#U"!,-.2������P���>>�3;W3�

S>a�����b��E+"2%B@"!/U2-2!"# %")-"11,(+.*!"-.2�6�����78�V������Q?��>���3;<��

S������M��@0-B2) %1B2+-" %")-"11,(+.*!"-.2�L��>�����M>�N=�6�O�8�����P�Q��>>�3;R;�

�������c����� !B)+2-!"E+"2%B2�M5�P5�=����L��>���8L>>�=�����������3;W��

��c���L��G+.)%B!"#E+"2%B@"!/U2-2�6�����789�:���3;���

���5�=�b�S����c>����L�b��I!2-.JK1!)-%"2%'J"D-"++B-"Dd.-+".+�6�����78�P����Q��>>�3;Re�

O�N��c=���� !B)+2-!"E+"2%B2�M���������L��>���8M��������]��:���==�3;<e�

��==����G+.)%B!"#E+"2%B@"!/U2-2�6�����78�P����Q��>>�3;�4�

��:�QM�:����X��E*+@$2%/1)+f-g+B+")-!/ !/.1/12�������8�>�P7����������������3;�e�

��:�>�P7�9����������E+"2%B2Hf-g+B+")-!/0%B,2H!"#G!B-!)-%"!/hB-".-Z/+2�6�����789�:���3;W;�

��>:������L��A")B%#1.)-%")%)*+(+.*!"-.2%'! %")-"1%12(+#-!�

L��>�����M>�N=�6�O�8�����P�Q��>>�3;R;�

�PM����>>��O��@ZZ/-.!)-%"%'E+"2%B@"!/U2-2�6�����789�:���3;e<�

6���>>���L��G+.)%B@"!/U2-2�6�����78�P������>>�3;���

�P5������O���E+"2%B@"!/U2-2'%Bh*U2-.-2)2�6�����789�:���3;W;�

�P�V�������hB-".-Z/+2%' %")-"1!Y-)*@ZZ/-.!)-%"2�6�����78O�5�b�>�c������=�3;R<�

��7�>��7�N������E+"2%B@"!/U2-2�6�����78O�5�b�>�c������=�3;�W�

�V����>������G+.)%B@"!/U2-2�6�����78�P5������>��������=�3;�;�

�c����O�����P5�>����E+"2%B !/.1/12�X������8]��:�X��������==�3;�R�

���>�����V5c

Page 359: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������� ���������

���������������������� ���������!"��#$��������%���

�&��'�%��������������!(���'�� )!��������!�������*��������+,

-./01/23

���� ����������#$ �����"��4�������4��� �&%������� 5678 ���� 569 :%��� 56; �<��� 56= >��4�� 568 �!�<� 56 !�!�4� 56?7 !4���� 56?8 4%���� 56?= %%�4�� 56?; @���� 56?9 �"�4� 56?78 "

AB2CDEFCG23H���4�������%������%���

��� ��%� �&%���*����� %���� %���� <������% <��%� ��4��! �

���4���44������ �%"��� ��%"������� !�����>�� �� I>

*�%�������������& 4��!��� 4!

��""��%�����&�������� ��%� �&%���

���������� ��!��� ��!����!����� �����!��� ��

Page 360: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� � ����� �� ���

���� ������ ���� �

���� � ����� ���� �

��������� ���� ! "�#$%������� &���'�� (������� ���� &') �

�������� ����(�������* )���'����+������� ��*���(�������* ��*)������������� ����(�������*������* )��

��'���������������� ��*���(�������*������* ��*)��

����� ��,��� "&'- )��%.������� ��,���(�������� ���� ) �

/��� ����+�������� ������ ����(�������* �)����� ��+�������� ��,��������*(�������� ���� -�) �

0��&1����'�1���������2���� 3���� 4 "- %.�,�� ,��� 0 "4)�%

������������'� ����� � 5 "�-�%�����'�1.��������*�6������ +��� � "0)�%

������� ���+�2���� +��� � "0)�%��������2����7��* +���(�� ���� �) ������������������ �� 8 "�)�%����������(�������� 2���* � "�-�)�%

9�'�����:�; ,���� 0� "�-�%��*������� ����� ! "�-�)�%

9�'�����:�;*������ ����� "0�) �%9�'�����7��*�����'�� � (���(�� ���� �) 9�'���� ���+�2���� � (��� �

<=>?@ABCADE?FBEF?G

�������HIJI�KH�H�LMN���OLPL�M�O�NMN��KKK

�� QRS

T

HUH

V

WQIXIMKPHOMOHOMO��LY��M���NYMOPKKK

�����Z��������� [IYK�PPMH�NN�LYH��MONYNYN�HMKKK

[I �� QRS

T

HUH

MUH

�U---U

H

V\��'V

W

�(��*�2��'����+���� IMKLLPLM�"HY%]^_#$

������������'�IHKNYMHY"HY%#$a

�+�'�*��Z���������INKYMM�M"HY%��^bc#$

.���&Z���������INKNM�N"HY%#�de_

���+�����'����������IOK�H��ef#$^bc#$IO�H�K�efg#$f#$

h��� �����������IHK�OY��"HY%#��ef#$

���2��ih��� �����������I�KNNLP"HY%#]j^#�f#d

k��+�����������������INKNP"HY%#$$l^�mg#�

Page 361: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ������ ���� �� ��������

�������������� �����!"#$%&'&()*$+,&+-&+.)

+*%/01'

2*%134'

(*(

%56

67'789

:;<(<;

=,*�

=-*%

=.*�

�>?/00@A34BC?/D@E?1B@?F0@G?AHIC>?34C?@1?/C3040FC>?/00@A34BC?1D@FB/?1

+-J2-*%-& IK34A?@1

2L+*CB4' �KB4?1

(*MNOPQROQ �KB4?1S

T�

88

U

*:%

T8

�8

U

*

T8

8�

U

*�

%

8�VWX"������ �����!"#$Y&'&Z)*$+,&+-&+.)

+*Y134'/01Z

2*Y134'134Z

(*Y/01'

Y56

67'79

67Z789

=,*�

=-*Y

=.*Y134'

�>?/00@A34BC?/D@E?1B@?F0@G?AHIC>?34C?@1?/C3040FC>?/00@A34BC?1D@FB/?1

+-J2-J(-*Y- [>?@?1

+-J2-*CB4-'( 04?1

2*+CB4Z �KB4?1S

T�

88

U

*:Y

T�

��

U

*:Y134-'

T8

��

U

*:134'/01'

T8

�8

U

*

T8

8�

U

*�

YT�

��

U

*

T�

��

U

*�

YT�

�8

U

*

T�

8�

U

*/0C'

Page 362: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� ��������� ����������������������

����

���

���� ���

���

!"�"!

!"�"!

�#$

%��&��'��

%��&��'��

%���

()*+,,-./012*+3-4*51-*6,-7*.892)*/02*-5*+2/,0,62)*+,,-./012*53-61+*5

��� ����� ��

�� :1-18,;/++9;/0.*-5

��������'��

�� :1-18,;/++9;/0.*-5

��<=>?@A>@ :;10*5B

C�

��

D

��

��'��C�

��

D

��

��'��C�

��

D

� �

��'��

C�

��

D

� �

��'��C�

��

D

C�

��

D

��

��'��C�

��

D

C�

��

D

��

��'��

E������������� ���������F������������

����+,5F

����5/0F

���

���� ���

�#$

�#$

$"F"�G

%��&��'��

%��&��'��

%����

()*+,,-./012*+3-4*51-*6,-7*.892)*/02*-5*+2/,0,62)*+,,-./012*53-61+*5

��'��� ����� ��

�� :1-18,;,/.5

��'��������'��

�� :1-18,;,/.5

���210F :;10*5B

C�

��

D

��

��'��C�

��

D

��

��'��C�

��

D

� �

��'��C�

��

D

� �

��'��C�

��

D

� ���

��'��

C�

��

D

� ���

��'��C�

��

D

C�

��

D

��

��'��C�

��

D

C�

��

D

��

��'��C�

��

D

C�

��

D

��

�C�

��

D

C�

��

D

��

Page 363: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������� ����� �������������������������

����� �����

!��"# ��"#�

���

�$%

%&�&'(

)*+�+*

,��

-

�"# ��.�"#��

,��

-

�"# ��.�"#��

,��/

0 1���23"#451�6271�4218�2913:;5 1"#512�1�5"�#�85 1���23"#451�6284�1�

��

��� ��.

!�

�"# ���/ <==">5"��;="#312�

��

�����)!�

�"#���/ ?;>12:�="��;="#312�

��@ABCDEBD F=4#1�G

H/

//

I

��"# ���� �

�"# ��.�"#��H/

''

I

�)�"# ���� �

�"# ��.�"#��H/

/'

I

H/

'/

I

��"#�����

�"# ��.�"#��

H'

''

I

��"#�����

�"# ��.�"#��H'

//

I

�)�"#�����

�"# ��.�"#��H'

/'

I

H'

'/

I

��"# ���� �

�"# ��.�"#��

J���������� ������������K������������

��L�/)������)/����K

!�L�/)������)/��"#K

����

/&�+*

)/&�&/

%&K+'(

,��

M��)��

��)/

,��

M��)��

/)��

,��L�/)������)/�

0 1���23"#451�6271�4218�2913:;5 1"#512�1�5"�#�85 1���23"#451�6284�1�

��

��)/.!�

��)/.��

���/ F2�=4511==">��"3

��

��)��

/)��)!�

/)���/ 0N�O� 11513 ;>12:�=�"3

!��54#K F=4#1�

H/

//

I

�)�

)/.��.

��)��H'

''

I

��

/)��)

��)��H/

''

I

�)�P)/.��

Q

�/)������)���H/

��

I

�)�P)/.��

QP/)��

Q

��)��H'

//

I

��P/)��

Q

�)/.������)���

H'

��

I

P)/.��

Q�P/)��

Q

��)��H/

/'

I

�)�

��)��H'

'/

I

��

��)��H�

�/

I

��

)/.��H�

�'

I

�)�

/)��

Page 364: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

����������� �����������������������

����� !�

"#�!�$"#��� %&�'()

*���� �

"#�!�$"#��� $+'�'+

��� $+'�'+

,���,��

,�����

�"#�!�$"#����

,���-

.!/"##01� 23/"405/�20/6#07/1893!/� 3/0�/"3�# #63!/"##01� 23/�4062"/�

��$�"#3!���:*����

�� !��;9<� 1/0�

��:�*$�"#3������

�� ��;9<� 1/0�

��=>?@A�?A B<2 /�C

D-

--

E

��� �

"#��$"#�!�D(

((

E

��� !�

"#��$"#�!�D-

((

E

��� �

$"#��:"#�!�

D(

--

E

��� !�

$"#��:"#�!�D-

-(

E

��� !�

"#��$"#�!�D(

(-

E

��� �

"#��$"#�!�

��F�������� ����������G������������

����G

�H� H�I��I��IG�� �J%

*��

K���$����G�$���

��$H�

���

H

K���$H���G�$H��

H�$��

,���-

,��������$G��

���$����H�$���

,��������$G��

�G�$����G�$H��

.!/"##01� 23/"405/�20/6#07/1893!/� 3/0�/"3�# #63!/"##01� 23/�4062"/�

��:*�:����� LM!/0/�

��

��:

*�

��$��:

��

��$H��%� ;# /�

��

G�:

*�

G�$��:

��

G�$H��%� ;# /�C

D(

((

E

��

H�$��$

$��:��:

��$G�D�

��

E

�$G

��$G�$

G

$��:G�$

G

$H�:G�D-

((

E

�$�N��$G�

O

�H�$����$��:���D-

��

E

�$�N��$G�

O

�$��:G���$H�:G��D(

��

E

�$�NH�$��

ON$��:��

O

���$G���$��:G���$H�:G��

D�

((

E

�GN$��:G�

ON$H�:G�

O

�H�$����$��:������$G��D(

(-

E

�-

�D(

(�

E

�$G

��$G�D�

�-

E

�-

�D�

�(

E

��

��$G�

Page 365: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

��������� ���������������������������������

����� !��� �"#��� �$%

&���� !��� ��� �� %'�'(

)��"#�!�"#��� %'�*+(

,���,��

,�������� !��-�� ���

,������� !���� ��

.!/"##01� 23/"405/�20/6#07/1893!/� 3/0�/"3�# #63!/"##01� 23/�4062"/�

��

���� !���-

&�

��� !���-

)�

�"#�!����:� ;0#<23//<<�=�#�1�

��

��"#����>

&�

���� ���>

)�

��"#�����:� .?#@�!//3/1!9=/0=#<#�1

&��32 �� ;<2 /�A

B:

::

C

�"#�!��� !�

�� ��-�� !��B+

++

C

�"#���� �

�� ��-�� !��B:

++

C

�>"#�!��� !�

�� ��-�� !��B:

��

C

�>�� ��"#�!��� !�

�� ��-�� !��B+

::

C

�>"#���� �

�� ��-�� !��

B+

��

C

�>"#���� ��� !��

�� ��-�� !��B:

:+

C

�"#���� �

�� ��-�� !��B+

+:

C

�"#�!��� !�

�� ��-�� !��B�

�:

C

�"#�!�

�� !�B�

�+

C

�"#��

�� �

:%�DE���� ����������������F�G��������������

���"#�!F"#�G"#��� F$%

&��"#�!F"#�G�� �� >(

+'G'

(

+)���� !F�� G� %'�'+(

,���,��

,�������� !�F-�� �G�

,�����"#�!�F"#��G

.!/"##01� 23/"405/�20/6#07/1893!/� 3/0�/"3�# #63!/"##01� 23/�4062"/�

��

��"#�!F��-

&�

��"#�!F��-

)�

���� !F���:� H8<23//<<�=�#�1�

��

��"#�G��-

&�

��"#�G��>

)�

���� G���:� H /@�!//3!9=/08#<#�1�

&��32 �� ;<2 /�A

B:

::

C

�"#�!F�� !F

�� �G-�� !�FB+

++

C

�"#�G�� G

�� �G-�� !�FB:

++

C

�>"#�!F�� !F

�� �G-�� !�FB:

��

C

�>"#��G"#�!F�� !F

�� �G-�� !�FB+

::

C

�>"#�G�� G

�� �G-�� !�F

B+

��

C

�"#�G�� G"#�!�F

�� �G-�� !�FB:

:+

C

�"#�G�� G

�� �G-�� !�FB+

+:

C

�"#�!F�� !F

�� �G-�� !�FB�

�:

C

��� !F

"#�!FB�

�+

C

�>�� G

"#�G

Page 366: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

�������������� ���������������������

������ �!"��

!"� �#!"��� �$�%&'

(����� �����

!"� �#!"��� #)%�%)

*������

!"� �#!"��� �$�%&'

+���+��

+�����

�!"� �#!"����

+�������� ��

�!"� �#!"����

, -!""./��01-!2.3-�0.-4".5-/671 -��1-.�-!1�"�"41 -!""./��01-�2.40!-�

��8(�89*#�!"��

����

:����

������ ;< -.-�

=>��8(�#�

!"� �

��� �

?�8*��

��

��� ��� ,".-�

(��10��� <@0�-�

A�

��

B

�����

!"��#!"� �A&

&&

B

���� �

!"��#!"� �A�

&&

B

�����

#!"��8!"� �A�

��

B

�������� ��

#!"��8!"� �A&

��

B

���� �

#!"��8!"� �

A&

��

B

�#��� ��!"��!"� �#��

!"��#!"� �A�

�&

B

���� �

!"��#!"� �A&

&�

B

�����

!"��#!"� �A�

��

B

�����

!"��#!"� �A�

�&

B

�!"��!"� �#�

!"����� �#!"� ���� �

Page 367: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

������������ ��� ������ ����������������������

���������������������

���� ������!��� �"!�" �"��

#��� ����� ����� ����

� ������ ��!��� !�"�" �"��

$���!�����!�����!����

�!������!�� ��� !�" �"�"��

%�������������

&������� �����!����

%�������������

&������� �����!����

%�������������

&������� �����!����

'�

��

(

��

�������)

�� ����)

��!����)

������)

������'�

��

(

��

�������)

�� ����)

��!����)

����)��)

������'�

��

(

��

�������)

�� ����)

��!����)

����)��)

����)��'�

��

(

*����

+* ���

+*!���

+�����

�������� �����!��������������'�

��

(

*����

+* ���

+*!���

+���)��

������������� �����!���������'�

��

(

*����

+* ���

+*!���

+�����

�������� �����!�������)�������'�

��

(

*����

+* ���

+*!���

+���)��

����)��������� �����!���������'�

��

(

������

*����

+* ���

+*!���

+

�������� �����!�������)�����)��'�

��

(

����)��

*����

+* ���

+*!���

+

�������� �����!�������)�����)��

'�

��

(

���

������'�

��

(

���

������'�

��

(

���

����)��'�

��

(

���

������'�

��

(

���

����)��'�

��

(

���

����)��

Page 368: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

���

���������� �����������

��������������������������������� !�"!�#!�$ �%���&�%�����'��(�)��%���)�������*������������

+!+,!+-�%���&�%�����'���)���%���)�������*�������.

/. � 01�"2�#34�"01�#2� 34�#01� 2�"3

�. � 21�"2�#34�"1� 0�#35�#1� 0�"3

�. 1� 2�"301�#2�$341� 0�#31�"0�$351� 0�$31�"0�#3

6. � 21�"2�#37�"21�#2� 37�#21� 2�"34�8

9. 1� 2�"321�#2�$34�"1� 0�#2�$35� 1�"0�#2�$3

4�#1� 0�"2�#35�$1� 0�"2�#3

�. 1� 2�"301�"2�#321�#2� 341� 0�"2�#3-

:. ;1+,7+-34;+,7;+-

<. ;01� 7�"34;0� 7;0�"

=. ;21� 7�"34;2� 7;2�"

/8. ;1+� 341;+30� 7+;0�

//. ;1+,+-34+,;+-7+-;+,

/�. ;21+� 343;+32� 7+1;2� 3

/�. ;01� 2�"34�"01;2� 35� 01;2�"3

/6. 1� 0;3� 4;

>?� ?-

@

5� 21;2� 3

/9. ;1� 0�"341�"0;3� 71� 0;3�"7�"21;2� 37� 21;2�"3

/�. ;21� 2�"341�"0;3� 5�"1;0� 351� 0;3�"7� 1;0�"3

/:. ;01;+34;-+

/<. ;21;+34�8

/=. ;01;2� 348

�8. ;21;2� 34;1;0� 35;-�

Page 369: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

����� ����

���� �������� �� �����

���� ������������

���� � ��������������

�������� �������������

�� ���� � ������

���� ��!" �#����

���� ��! �������

��$������������"���� �����

��� �%��#� ��������

�&�� ���!�#� ��������

���" ��!��� �����

��#��� ���� ������

�� ���� �� ������

�#%���'��(���������������

�� ���� (���)�� ������

�� ����##�� �#�������

�� ����)���� "�������������

������ $���������

���� �� �����

��*�����"+� �� ���������

�*�!"##� �"���

,

,����-�� ����� ��� "�����������

,����-�� ��!���� ����#���

,����-�� ��!.����������

,��)�� ����������

,�� ��#����

,�������'/$���#���

,�$��#����-�� ���������

,�������!�#��

,���#��)�� ����

,� 01�)�� ��(���

,�%��������� ���

,� 2#����-�� ���������

,�����"���� ���������

,��3#�������

,��3��&���� !)��� "���

4

4�� ���������� ���������������

4�� ���� ������������

4���$" ����(���

4���$"05��#����-�� ���������

4$�� ����� "���

4$�� ���"#�������������

4������ �����

4��22��-�� �����

4�&���� !)��� "���

4!�� ���������

4#%� ����� "�-�� �������������

4#%�� ��"3�("##� ���" �#��

4#%���%������#�������

4#%������#� ��������

4����� �����

4����������� ���

4�6� � ��"����

4�6� � �#� ��� ��������

4���)� ��!�� ����##�� �#�������

4���)� ��!���� "���

4���)� ��!������##�� �#�������

4���)� ��!#��������

4���)� �)�" �#�������

4���)� �)����� ����������

4� � � �)��-�� �����������������

4� ���� "�-�� �����������������

4� ��� ������

4� ��)����� �#%��� �����

4� ��)����� �����

4����� ����)������

4����� ���!��������

4����� � ���!�#� ����

4��#���(���

4)����� �#%��� �����

4)����� ������� �� �������������

4)����� �����

4�%���� ��

4���������

4��)� ������������������

4��)� ��� ����������

4��)������������� ������

4"��������������� ���������

Page 370: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��� �����

��� ��������

�����������������

���������������������������������

��� ����������������

����������������

����������� �����

���!����"!��������

�������������

����������������

���#��� ����������

�����#�����!������� $

������%!����!���������

�����������$�

��������&�� ��

���#���!���

��!%����#���!�������

�!����������

�! ����'���

�������������

���� �����$

(

)� !�������� %����$���

*+���������

(������!��$ ���

(����������$ ����

(��������������

(������������������

(����������������

(����������������

(�����������,���������

(������-!'��$

(������!�������

(��������� �����

(����� �������������

(����� ������������������

(���#�������������$�

(���#��������������������������$�

(��&��#�� �

(����#����

(#�����#� !�������� %����

("!�������������

("!���%��! "!�������$�����

(����������������������

("!�#��������!������

(!���! %�� �

(!��*.������"!������� �

(!����������������

(!������� ��$

(!��������� ��$

(!���"!������� ��������

/

/������0���1�$���������

/�������������$

/������������

/����!��� ������ �������

/�!�����1� $��

/��������

/���*2����� !����������

/��!��! %�� �

/�!������

3

3����1���

3�!����������&�� ������

3�!��"!���������

3�!��0���1������������$���������

3�!��0���1�� ������ �$���������

3�!������!����!���$��� ���

3�������������

3������!����!��������

3�����������

3�����4�56+�������������

3�����4�7��80���1���

3�����4�9����8����������

3�����4���������������

3� �����:� ������2#����

3����������$�

3������%�����$

3��0��&�� ��

3��!##��#���������

3�����4�����������

3�����4��������������

Page 371: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

����� ����

��� �������

�� ��� ������

������� �������

����������� ��������� �

���!�"��#�����������

�$����$��%��� �������

&

&���'������

&��(% ����

&�%�)�����*�� �������

&������ ���������

&���%���� ������������

&����)����% ��

&��� ���

&� ���� ��������

&� �����%����+ �+����

&�+��� ��

&�+��%��'������

&�� ��)�% �������

&�� ��)�% ��������

,

,%�*������������������

,�)���%�� ���� $���

-

-����%!����� ������������

-��� �%�����$���

-��� �%+��%��� $���

.

.�����"���� ����(� ���� ��� �

.��������

.)�%�����

.����(�� �

.������� ��� ����

.���� ���(�� �����

.����+��%���'�������

.���� / ���(�� �����

.�"�%��� � ����

0

0��� ����(+�% ����

0��� �� �%��������

0��� �%1������

0��� �/ ���+�% �����

0��� �%)���*��� $���

0 ��������+ �+��������

0 �����$� �$�������

0�#������ ����������

0�#��� ���(����� ������

0��������%��+ ����������

0��%��+ ����������

0� ��% ����������

0�������"�2��������

0���� ������

0���"�%��%�����

0��� �(���� �����������

0��� ��������

0�� ������(��� �� �

0�� �)��% ����( ����������

3

3+���"���� �����������

3+���45 �!����� ��������� �

3�# ����'�������

3��+��%���'������

3���%��+ ����������

3���)������

3���� �������

3���+�% ���������

3� ���(��)�$��%�%�)���� � �

6

6*� �5)�������%������ ����

6*�����%������ ����

6*�����%$������%�%������ �����

6�����

6� ������%������ �������

6� �� ��)�% �������

6� ��)����% ����

6�%�� ���)������

Page 372: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

��� �����

������ ��������

������� �����������������

������ �����������

������ ����� � ����������

���� �!������ �

������!�����!� �"���

��#� �$���%�"�

��!���������

�������� ����

����� � �!�������%%" �" �

���&��� �� ���

��� �"�"'�(��

����)������*�(��+

������������*�(���

������������

�����������,

�������-��.��������

�������-��������

�����!������

����&������� �����

������,%

�����������$�� �

��������#�� �������

�������$-��� ���,�

�������%�

��� ����/���%�

��0� �����+

������1������� ����������,

��������!� ,"���

2

2��������(+�

3

3������# ���������"���

3��$� ����������"�

3����#��#�!������%�"�%�

3����#������%�

3����$��!������*�(���

3� ��� �������+"�%

3������� �����

3�����������+�"���

3������!��������

3���������+�

3������!������++

3��������!��� ,

3� �-������!��

3��!���)�����4���������"�� "�� "�,�

3��!������ �%�

3� ��#���$�����%%

3�$��������������

3��������#�/��%+"%�"���

3���#����� ���

1

1 ��,�",�

1 ����������,�"��"��+

1 ����������� �

1 ����������� �

1� ���#����!����#�!��+"�,+

1� �����������,�

1�����$���������,

1�!�����������!� �

1�!��������!� ,

15�(��!!��� �����!�"��

15�(�� �����������"���

1�����$���%

1�� � �������

1�� ���������+

1���� � ����������%",�"+�"� "���"� ,

1��5��*�(��%

1��5�������������%+

1��5�������!�,

1���$�������

1������%"��+"��%

1�������������

Page 373: Introduction to Tensor Caculus and Continuum Mechanics - J.H Heinbockel

����� ���

���� ��

���������� ��

����������������� ��

����������� ��

� ���� !�

������"�

���������������!�#�

������������������#�

��"����"�

������� #���

���������!�

���������������

����������� !#���

�����"�����$�������

�������������� �!

�$������$����#��#!�#�%�

�$���$ ��

�$��� #��

&

&���������������

&�����������%

&����������������%#�!%

&���������������

&������������

&����������� #��%

&�����"�������#!�#��!

&��������

&�����$������ ��

&�������������������

&�������$������

&����������������!#�%�

&���� �

&�����������'��������#��#��

&�������"�"�$�!#��

&���������������������

&���"��'������%

&���"�������

&���!%

&�����������

&�"�������"�����!

(

(������������#��

(����������#���

(����������#���

(��������#�%!

������������!# %#��!

��������������!#��

����"���� %#��!

���"���������

�����$�!#� �#��%#���

�����$�������� ��

������$ �!

������$���� �!

������)��� ��

����������� ��

�������������� �!

����$�%�# �

*

*����'����� !!# ��

*������������#� �

*�������+��'��������#�!�

*�,���# ��

*�,����� �

-

-����+�������� �