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Introduction aux modèles de Majorons. Workshop sur les neutrinos GPP printemps-été 2003 Véronique Pagé. Introduction - Remarques. - PowerPoint PPT Presentation
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Introduction aux modèles de Majorons
Workshop sur les neutrinos
GPP
printemps-été 2003
Véronique Pagé
Introduction - Remarques
• Le sujet de cette présentation est l’inclusion d’une masse de neutrino
dans le Modèle Standard et le rôle du Majoron dans ceci; on verra que le
Majoron est un boson de Goldstone qui apparaît suite à la brisure
spontanée (globale) du nombre leptonique, nombre qui ne peut plus être
conservé dès lors qu’on introduit une masse de Majorana pour le neutrino.
• Tous les développements sont faits avec 1 seule génération de neutrino;
évidemment ils se généralisent à 3 générations
• Le mot « introduction » dans le titre de la présentation a été choisi pour 2
raisons : cette présentation ne couvre pas la totalité du sujet et elle n’a pas
été réalisée par un expert du domaine!
m m(L R + R L)
Le terme de masse d’un fermion de Dirac s’écrit comme:
Le terme de masse d’un fermion de Majorana s’écrit comme
mC m((LC) L + (R
C) R)
Rappel: neutrino de Dirac et neutrino de Majorana
et donc il nécessite l’existence des parties gauche et droite du fermion
et donc il peut être écrit pour un fermion qui n’est que gauche ou que droit.
Par contre, seuls les fermions non-chargés peuvent répondre à la condition de Majorana (être sa propre anti-particule, c’est-à-dire être tel que C=, C étant le conjugué de charge de ). On peut voir équivalemment que C et créent tous les deux des fermions, et donc un fermion chargé donne un terme de masse de Majorana qui n’est pas un singulet de charge.
Le neutrino du MS est sans masse et gauche seulement. Si on veut ajouter une masse, on a 2 choix:
• masse de Dirac:
nouvelle physique : ajout du neutrino droit (singulet de SU(2)L comme eR)
• masse de Majorana:
nouvelle physique : violation du nombre L / couplage Yukawa avec Higgs inconnu
Inclusion du neutrino massif dans le MS
M (L R + h.c)
et mR (RC) R) + h.c.mL (L
C) L) + h.c.
Inclusion du neutrino massif dans le MS
Pourquoi un terme de masse de Majorana viole-t-il le nombre leptonique?
Comme et C créent tous les deux des fermions, si porte un certain nombre
quantique, le terme de masse de Majorana porte 2 fois ce nombre quantique:
• un porte un nombre leptonique de 1: sa masse de Majorana porte 2
=> le terme de masse viole la conservation du nombre leptonique
•un L porte un isospin faible de 1/2 ; sa masse de Majorana porte 1
=> (LC)L ne peuvent pas se coupler au doublet de Higgs
=> le couplage Yukawa avec le Higgs connu ne permet pas d ’écrire une masse de
Majorana
Dans le MS, les leptons se couplent au Higgs par un Lagrangien de Yukawa. Pour 1 génération, on a:
où est le Higgs, un doublet de SU(2)L. Lorsque le Higgs acquière un vev , on peut faire le remplacement:
LY = f(e )( lL ) eR + h.c.
2-1/2 Ceci, remplacé dans LY , donne leur masse aux leptons:
LY = f(e) ee21/2
Les neutrinos, bien que faisant partie du Lagrangien Yukawa, n’acquièrent pas de masse parce que le couplage du Higgs aux leptons ne couple que les parties gauches avec les droites, et que les neutrinos n’ont pas de partie droite.
Rappel: masse des leptons dans le MS
On a donc les possibilités suivantes:
avec R
sans R masse de Majorana
masse de Dirac seulement
masse de Dirac et masse de Majorana
• couplage Yukawa avec Higgs du MS
• couplage Yukawa avec Higgs du MS et nouveau couplage (nouveau(x) Higgs)
• violation du nombre leptonique
• nouveau couplage (nouveau(x) Higgs)
• violation du nombre leptonique
Inclusion du neutrino massif dans le MS
masse de
Cas avec R, masse de Dirac seulement:
Inclusion du neutrino massif dans le MS
On ajoute au MS un R, singulet de SU(2)L; on peut alors écrire son Lagrangien
de Yukawa exactement comme pour eR:
LY = f(e)(lL)eR + f()(lL)R + h.c.
Pour avoir m < 10-5 me, on doit avoir f(e) < 10-5 f() , mais on s’explique mal
pourquoi il faudrait avoir des constantes de couplage aussi différentes pour 2
éléments d’un même doublet (ce qu’on a pas, par ex., dans le doublet (u,d)).
On préfère donc inclure un (des) neutrino(s) de Majorana; il faut donc
briser la conservation du nombre leptonique
Rappel: brisure de symétrie globale[1]
On a un Lagrangien L décrivant un champ , dont le nombre d ’états du vide est infini. Par exemple avec le potentiel « mexican hat » (sombrero?) :
L = tV(t) où V(t) = m2 [t
2
les états du vide se trouvent sur un cercle || = 0. Le Lagrangien possède une symétrie U(1) globale, e-i, L L, pour tout réel. Si on fixe (0,0) comme état du vide, on brise la symétrie U(1). On développe en série autour de (0,0), 0 + 2-½(+ i) et on remplace dans le Lagrangien, pour obtenir:
L = ½ t½ tm2 [2½0 +2 +2]2
2
On obtient alors un boson sans masse (). On appelle boson de Goldstone le boson sans masse qui apparaît toujours suite à une brisure de symétrie globale.
Rappel: brisure de symétrie locale
On considère cette fois un potentiel invariant sous une transformation locale de
jauge e-iqx). Il faut alors introduire un champ de jauge (sans masse ) A:
L = [(iqA)t][(iqA] -1/4FF - V(t)
avec encore V un potentiel « mexican hat ». L est alors invariant sous la
transformation de jauge locale
Étant donné (x), on peut choisir e-iqx) comme étant réel, et ceci brise la symétrie.
On remplace ’(x) = 0 + 2-½h(x), h(x) réel, dans le Lagrangien, et on obtient cette
fois un champ vectoriel massif A et un champ scalaire massif h(x). Ce champ est
appelé boson de Higgs.
(x) ’(x) = e-iqx)x , A(x) A’(x) = A(x) + x
On a donc 3 choix pour briser la conservation du nombre leptonique[2] :
• Brisure explicite : on écrit directement un couplage au Higgs
qui n’a pas 0 de nombre leptonique;
•Brisure spontanée globale : on obtient un boson de Goldstone
sans masse pour le « courant leptonique ».
•Brisure spontanée locale : on obtient un boson massif pour le
« courant leptonique »;
C’est le boson de Goldstone de la 2ème option qu’on appelle le Majoron. On
considère 2 modèles de Majoron: le modèle de Gelmini&Roncadelli (81) et le
modèle de Chikasige,Mohapatra&Pelleci (CMP) (81).
Inclusion du neutrino massif dans le MS
Modèle de Gelmini & Roncadelli (81)[3]
(Proposé quelques mois après le modèle de CMP. C’est une extension du secteur
scalaire seulement : il inclut une masse de Majorana pour le neutrino (qui reste
gauche seulement) et il prédit 4 bosons, dont 1 de Goldstone, le Majoron.)
On définit le comme
= L+(L)C
donc son terme de masse de Majorana est
Lmass = m
On a vu qu’un tel terme ne peut pas être introduit par couplage Yukawa avec le
doublet de Higgs; on cherche un autre Higgs qui pourrait coupler. On ne peut pas
choisir un singulet de SU(2)L, puisqu ’un terme de ce type porte 1 d ’isospin
faible; on choisit donc un triplet de SU(2)L, qui porte en plus un nombre
leptonique de 2.
Modèle de Gelmini & Roncadelli (81)
On a donc en main 2 multiplets de Higgs: , qui donne leur masse à tous les leptons
(sauf les et qui doit briser SU(2)L, et , qui donne sa masse au et qui doit briser
globalement U(1)LEPT. On a comme Lagrangien:
Le couplage Yukawa pour le s’écrit comme
Lfermion, = - M(lL)C lL + h.c.
où V() est le potentiel le plus général qui soit invariant sous
SU(2)LU(1)LEPT :V() = a||2 + b||2 + c||4 + d||4 + e||2||2 + f(ttT)(T) + ijknhtjk
tn
et le Lagrangien pour et est
L = |D|2 + |D|2 - V()
L = Lfermion + Ljauge + Lfermion, + Lfermion, + L
Modèle de Gelmini & Roncadelli (81)
Lfermion, = - M{-21/2(L)CL0 + [(eL)C L + (L)C eL]+ + 21/2 (eL)C eL++}
et on brise les 2 symétries en choisissant une direction:
+
0=
+
2-1/2(D + D + iD)
=
2-1/2(T + T + iT)
Ceci remplacé dans LY, donne une masse au seulement,
Ceci remplacé dans LY, donne une masse à l’électron seulement.
On réécrit le Lfermion,en terme des états propres de charge de
m = MT
Modèle de Gelmini & Roncadelli (81)
On a obtenu une masse de ; il reste à voir quels sont les bosons physiques qu’on prédit. On effectue le « shift » sur et dans le Lagrangien L:
L = |D|2 + |D|2 - V()
et on obtient, en lisant dans le Lagrangien, les bosons suivants:
Boson masse
W± = 2-½(W
1 iW2) MW = ½g(D
2 + 2T2)½
Z = g’B - gW3 MZ = ½ (g2 + g’2)½ (D
2 + 4T2)½
(g2 + g’2)½
= 2(T/D)D - T m = 0
+ = i[(T/D) 2½+ - +] m+2 = ½h (D
2 + 2T2)
high = D + [(e - h)/2c](T/D)T mh2 = 2c D
2 + [(e - h)2/2c] T2
light = T + [(h - e)/2c](T/D) mL2 = [2d - (e - h)2/2c] T
2
Modèle de Gelmini & Roncadelli (81)
Les contraintes sur les masses connues ou bornées nous donnent que T << D, et
alors on sait que light est (relativement) léger et les autres nouveaux bosons sont
lourds (mis à part qui est sans masse).
Comme le Majoron est sans masse (ce qui est nécessairement le cas pour une brisure
globale du nombre leptonique), on vient de prédire une force avec une portée
infinie, ce qui peut sembler à priori déraisonnable. Mais en fait Gelmini&
Roncadelli se sont « permis » de proposer un tel modèle parce que la question de la
force de portée infinie avait été abordée par Chikasige, Mohapatra et Peccei quelques
mois plus tôt et que ceux-ci avaient montré qu’une telle force n’était pas
nécessairement exclue par l’expérience.
Modèle de Chikasige, Mohapatra & Peccei (81)[2]
C’est le premier modèle de Majoron. Il fait une extension du secteur scalaire et du
secteur fermionique, puisqu’il ajoute aussi un neutrino droit; il utilise le mécanisme
see-saw et prédit 2 neutrinos de Majorana et 3(?) bosons, dont 1 de Goldstone, le
Majoron.
On ajoute R, un singulet de SU(2)L. On ajoute aussi un Higgs , qui porte encore
un nombre leptonique de 2 mais cette fois est un singulet de SU(2)L : il ne permet
donc d’écrire un terme de masse de Majorana que pour le R. On a donc encore
comme Lagrangien:
L = Lfermion + Ljauge + Lfermion, + Lfermion, + L
mais cette fois:
Lfermion,h1lLR f(e )( lL ) eR + h.c.
Lfermion,h2R)CR + h.c.
Modèle de Chikasige, Mohapatra & Peccei (81)
acquière un vev et donne leur masse de Dirac à l’électron et au neutrino;
acquière un vev et donne une masse de Majorana à la partie droite du
neutrino. On obtient alors comme terme de masse :
Lmass = (L, R)C) 0 MD LC + h.c.
MD mM R
C’est le cas du mécanisme see-saw (...qui a déjà été présenté au workshop...). Il faut
diagonaliser la matrice de masse pour obtenir les neutrinos physiques 1 et 2. On
considère le cas mM>>MD, et on obtient alors 2 neutrinos de Majorana:
neutrino masse
1 (droit) mM = 2-½h2
2 (gauche) MD2 = 2-½ h1
2 2
mM h2
Modèle de Chikasige, Mohapatra & Peccei (81)
Lorsque brise sa symétrie, on obtient
= 2-½(i
Et, de la même façon que précédemment, on obtient que le acquière une masse et
que le est le boson de Goldstone attendu, le Majoron.
Comme on l’a dit plus tôt, il faut expliquer pourquoi on se permet de prédire une
force de range infini. CMP montrent qu’en fait le Majoron a un couplage avec la
matière tellement faible qu’il peut à toutes fins pratiques (ou presque) être ignoré.
Modèle de Chikasige, Mohapatra & Peccei (81)
Le couplage du Majoron aux leptons chargés est :
L = gf (h2Gf/162) mfmf 5f
où
gf = 1, e, u
f = -1, d
Si on prend des valeurs typiques pour mf 10 MeV, m1 eV, h2 10-2,
on obtient une force de couplage pour le Majoron avec la matière de l’ordre de
10-20 . En terme d’un potentiel effectif entre 2 fermions chargés non-relativistes,
Vf = (f/r3) [3(1. r)(2 . r) - 1.2]
ceci signifie qu’on a une contrainte sur f, telle que f 10-40/mf2. La contrainte
à l’époque était de f (m)2 < 10-8 et donc la force de portée infinie proposée
n’était pas exclue.
Conclusion
• Pour pouvoir espérer tester ces 2 modèles, il faut étudier les couplages avec
la matière de tous les bosons qu’ils prédisent (qui sont assez nombreux dans
le cas de Gelmini&Roncadelli) et aussi déterminer si on peut les détecter de
manière directe. La phénoménologie des modèles de Majoron pour la masse
des neutrinos est décrite dans plusieurs articles que je n’ai pas eu le temps de
lire et pourrait faire un intéressant sujet de présentation …
• Les premiers modèles de Majoron ont été introduits pour donner une masse
aux neutrinos, mais ont en a développés depuis qui ne servent qu’à briser la
conservation du nombre leptonique, sans donner de masse aux neutrinos.
[2] Chikasige, Y., Mohapatra, R.N., Peccei, R.D., Phys. Lett. 98B (1981) 265.
[3] Gelmini, G.B., Roncadelli, M., Phys. Lett. 99B (1981) 411.
[4] Mohapatra, Rabindra N., in Current Aspects of Neutrinos Physics, ed. by David O. Caldwell, Springer, Berlin, 2001.
[1] Cottingham, W.N. and Greenwood, D.A., An Introduction to the Standard Model of Particle Physics, Cambridge University Press, Cambridge, 1988.
[6] Fukugita, Masataka and Yanagida, Tsutomu, Physics of Neutrinos, Yukawa Institue Kyoto, YITP/K-1050, 1993.
[7] Elliot, Steven R. and Vogel, Petr, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci., 52:115-151, 2002.
[8] Zuber, K., On the physics of massive neutrinos, hep-ph/9811267
[9] Dìaz, M.A., Garcìa-Jareno, M.A., Restrepo, D.A., Valle, J.W.F, Nucl. Phys. B527 (1998), 44-60.
Références
[5] Ramond, Pierre, Journeys Beyond the Standard Model, Perseus Books, Cambridge, Mass., 1999.