Introduccion a Los Metodos Numericos Con Derive 6

IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN AA LLOOSS MMÉÉTTOODDOOSS NNUUMMÉÉRRIICCOOSS CCOONN DDEERRIIVVEE 66 PPrriimmeerraa EEddiicciióónn

JJaaiimmee EEcchheevveerrrrííaa PPrrooffeessoorr ddee ÁÁllggeebbrraa LLiinneeaall yy MMééttooddooss NNuumméérriiccooss DDeeppaarrttaammeennttoo ddee CCiieenncciiaass EExxaaccttaass –– EEssccuueellaa PPoolliittééccnniiccaa ddeell EEjjéérrcciittoo..

2 Prólogo

PPRRÓÓLLOOGGOO

Los Métodos Numéricos, constituyen una herramienta fundamental en la generación de algoritmos computacionales y una técnica mediante la cual se resuelven problemas matemáticos, que no tienen solución analítica, frecuentes en las ciencias aplicadas y en todos los campos de la Ingeniería y la Tecnología.

El presente texto explica en detalle una gran parte de los métodos del Análisis Numérico, poniendo énfasis en la ejemplificación de los mismos y en la programación con la ayuda del sistema de álgebra computacional Derive 6 y el software MathCAD, aunque el uso de los mismos no es obligatorio al lector, el cual puede hacer uso ya sea de otros sistemas CAS o lenguajes de programa-ción(MATLAB, MATHEMATICA, MAPLE, C, Fortran, etc.).

El capítulo 0 introduce al lector en los errores y su uso dentro del Análisis Numérico, pues al ser los métodos numéricos “aproxi-maciones” a lo exacto incurrirán en errores que deberán ser cuantificados para evitar que su presencia influya de forma negativa en un resultado. Además los errores constituyen uno de los parámetros fundamentales para identificar las fortalezas y debilidades de un método numérico y su análisis puede llevar a mejorar su rendimiento.

El capítulo 1 trata la interpolación polinómica, elemento indispensable en la predicción de resultados así como para la generación de métodos numéricos para otros campos como la diferenciación e integración numérica.

El capítulo 2 estudia la solución de las ecuaciones no lineales, pues algoritmos numéricos en este campo son indispensables da-do que no existen soluciones analíticas exactas para la mayoría de ecuaciones no lineales, excepto para muy pocas de ellas, y aún para ecuaciones polinómicas sólo existen soluciones analíticas exactas para ecuaciones de cuarto grado o inferior. Muchos pro-blemas de las ciencias aplicadas llevan la resolución de una ecuación lineal, por lo que este tema es de irrenunciable análisis para los métodos numéricos.

Los capítulos 3 y 4 revisan los temas del cálculo numérico, dado que las derivadas e integrales numéricas son de vital importan-cia dentro del estudio de las ecuaciones diferenciales, tema este último que es uno de los puntos culminantes del Análisis Numéri-co y es revisado en el capítulo 5.

El capítulo 6, revisa brevemente algunos métodos numéricos del Álgebra Lineal, exclusivamente en la solución de sistemas de ecuaciones lineales.

Finalmente el Apéndice A, da una breve descripción de Derive 6 y en el Apéndice B una revisión de las series de Taylor, elemento básico en el análisis del error por truncamiento.

El contenido del texto es suficiente para un curso de un semestre de Métodos Numéricos, pudiendo quedar a discreción del profe-sor la elección del orden de los temas a tratarse de acuerdo a su experiencia docente.

La mayoría de los cálculos numéricos en los problemas del texto fueron realizados con la ayuda de una calculadora gráfica TI – 92 Plus, así como los gráficos provienen de los sistemas CAS Derive 6 y MathCAD.

Espero que el texto sea una fuente invalorable de consulta para quienes esperan obtener de los Métodos Numéricos una fuente de información valiosa para sus posteriores estudios en campos especializados de la Ingeniería y la Tecnología.

Cualquier comentario, consejo o sugerencia remitirlo al e-mail [email protected]

Quito, Marzo 2010

3 Contenido

CCOONNTTEENNIIDDOO

PPRRÓÓLLOOGGOO ...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 22

CCOONNTTEENNIIDDOO ................................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 33

CCAAPPÍÍTTUULLOO 00 ........................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 66

PROCESOS ITERATIVOS Y ERRORES EN ANÁLISIS NUMÉRICO ............................................................. 6 0.1 PROCESOS ITERATIVOS. ........................................................................................................................... 6 0.2 ERRORES EN ANÁLISIS NUMÉRICO. ........................................................................................................ 8

0.2.1 ERRORES DE REDONDEO Y NÚMEROS DE PUNTO FLOTANTE .................................................... 10 0.2.2 FUENTES DE ERROR POR REDONDEO........................................................................................... 13 0.2.3 CIFRAS DECIMALES Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS. ............................................................................. 14

0.3 PRECISIÓN EN DERIVE 6. ........................................................................................................................ 17

CCAAPPÍÍTTUULLOO 11 .................................................................................................................................................................................................................................................................................................... 2200

INTERPOLACIÓN POLINÓMICA .................................................................................................................. 20 1.1 INTERPOLACIÓN POLINÓMICA POR EL MÉTODO GENERAL O DE SERIE DE POTENCIAS ................. 20 1.1.1 POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN POR EL MÉTODO GENERAL CON DERIVE 6. ............................... 21 1.2 INTERPOLACIÓN LINEAL......................................................................................................................... 22

1.2.1 INTERPOLACIÓN LINEAL CON DERIVE 6. ....................................................................................... 23 1.3 POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE. ................................................................................ 25

1.3.1 POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE CON DERIVE 6. ................................................ 27 1.4 DIFERENCIAS DIVIDIDAS. ........................................................................................................................ 28 1.5 POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON. .................................................................................... 32

1.5.1 POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON CON DERIVE 6. .................................................... 38 1.6 ERROR EN POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN. ..................................................................................... 39 1.7 ERROR EN LOS POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON. ....................................................... 45 1.8 INTERPOLACIÓN CON RAÍCES O PUNTOS DE CHEBYSHEV. MINIMIZACIÓN DEL ERROR DE INTERPOLACIÓN. .......................................................................................................................................... 46

1.8.1 RAÍCES DE CHEBYSHEV CON DERIVE 6.......................................................................................... 48


SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES ............................................................................................. 49 2.1 AISLAMIENTO DE RAICES. ...................................................................................................................... 49 2.2 APROXIMACIÓN GRÁFICA A LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN. ......................................................... 50 2.3 MÉTODOS CERRADOS. ........................................................................................................................... 51

2.3.1 MÉTODO DE BISECCIÓN. ................................................................................................................ 51 2.3.1.1 MÉTODO DE BISECCIÓN UTILIZANDO DERIVE 6 .................................................................... 55

2.3.2 MÉTODO DE FALSA POSICIÓN, DE LAS CUERDAS O REGULA FALSI. .......................................... 56 2.4 MÉTODOS ABIERTOS. ............................................................................................................................. 59

2.4.1 MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON O DE LAS TANGENTES. .......................................................... 60 2.4.1.1 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON CON DERIVE 6. .................................................................. 63

2.4.2 MÉTODO DE LAS SECANTES. .......................................................................................................... 64 2.4.2.1 MÉTODO DE LAS SECANTES CON DERIVE 6. ......................................................................... 66

2.4.3 MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO O DE SUSTITUCIONES SUCESIVAS. ............................ 66 2.4.3.1 MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO CON DERIVE 6. ..................................................... 71


DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA .................................................................................................................... 72 3.1 DERIVADAS POR APROXIMACIÓN DE DIFERENCIAS. ............................................................................ 72

3.1.1 DERIVADAS POR APROXIMACIÓN DE DIFERENCIAS PROGRESIVAS Y REGRESIVAS. .................. 72 3.1.2 DERIVADAS POR APROXIMACIÓN DE DIFERENCIAS CENTRALES. ................................................ 78 3.1.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR. ................................................................................................ 79

4 Contenido

3.2 ERROR EN DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA. ............................................................................................. 81 3.3 DERIVADAS NUMÉRICAS CON DERIVE 6. ............................................................................................... 83


INTEGRACIÓN NUMÉRICA .......................................................................................................................... 85 4.1 MÉTODO DE LOS RECTÁNGULOS Y DEL PUNTO MEDIO ..................................................................... 85

4.1.1 MÉTODO DE LOS RECTÁNGULOS Y DEL PUNTO MEDIO CON DERIVE 6. .................................... 89 4.2 MÉTODO DE LOS TRAPECIOS. ............................................................................................................... 89

4.2.1 MÉTODO DE LOS TRAPECIOS CON DERIVE 6. ............................................................................... 92 4.3 REGLAS DE SIMPSON. ............................................................................................................................ 92

4.3.1 REGLA DE 1/3 DE SIMPSON. ........................................................................................................... 92 4.3.2 REGLA DE 3/8 DE SIMPSON. ........................................................................................................... 96 4.3.3 REGLAS DE SIMPSON UTILIZANDO DERIVE 6. ............................................................................... 97

4.4 FÓRMULAS DE NEWTON – COTES. ........................................................................................................ 98 4.5 ERROR EN MÉTODOS DE INTEGRACIÓN. .............................................................................................. 98 4.6 INTEGRACIÓN DE ROMBERG. .............................................................................................................. 102

CCAAPPÍÍTTUULLOO 55 ................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 111100

ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS ........................................................................................ 110 5.1 SOLUCIÓN GENERAL Y PARTICULAR DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL .......................................... 110 5.2 MÉTODOS DE EULER ............................................................................................................................ 111

5.2.1 MÉTODOS DE EULER HACIA ADELANTE Y HACIA ATRÁS ............................................................ 111 5.2.2 MÉTODO DE EULER MODIFICADO ............................................................................................... 116 5.2.3 ERROR EN LOS MÉTODOS DE EULER .......................................................................................... 118

5.3 MÉTODOS DE TAYLOR .......................................................................................................................... 122 5.3.1 ERROR EN LOS MÉTODOS DE TAYLOR ........................................................................................ 125

5.4 MÉTODOS DE RUNGE–KUTTA .............................................................................................................. 127 5.4.1 MÉTODO DE RUNGE–KUTTA DE TERCER ORDEN ...................................................................... 127 5.4.2 MÉTODO DE RUNGE–KUTTA DE CUARTO ORDEN ....................................................................... 129 5.4.3 ERROR EN LOS MÉTODOS DE RUNGE–KUTTA ............................................................................ 131

5.5 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE EDOs DE PRIMER ORDEN CON DERIVE 6 ........................................... 131 5.6 APLICACIONES ...................................................................................................................................... 133 5.7 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS ....................................... 137

CCAAPPÍÍTTUULLOO 66 ................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 114422

ALGEBRA LINEAL NUMÉRICA .................................................................................................................. 142 6.1 MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS CON PIVOTEO PARCIAL ........................................................ 142 6.2 MÉTODOS ITERATIVOS PARA SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ...................... 145

6.2.1 MÉTODO DE JACOBI ..................................................................................................................... 145 6.2.2 MÉTODO DE GAUSS–SEIDEL ........................................................................................................ 147

6.3 MÉTODOS DE JACOBI Y GAUSS–SEIDEL CON DERIVE 6 .................................................................... 153 6.4 APLICACIONES ...................................................................................................................................... 153

AAPPÉÉNNDDIICCEE AA ................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 115599

BREVE INTRODUCCIÓN A DERIVE 6 ........................................................................................................ 159 A.1 INSTALACIÓN, INICIO Y BREVE DESCRIPCIÓN DE DERIVE. ............................................................ 159 A.2 SIMPLIFICACIÓN Y APROXIMACIÓN ................................................................................................. 160 A.3 SUSTITUCIÓN .................................................................................................................................... 161 A.4 VECTORES Y MATRICES ................................................................................................................... 162 A.5 PROGRAMACIÓN CON DERIVE 6. .................................................................................................... 164 A.5.1 PROGRAMACIÓN FUNCIONAL ...................................................................................................... 164

A.5.1.1 PROCESOS ITERATIVOS Y LAS FUNCIONES ITERATES E ITERATE ....................................... 164 A.5.1.2 FUNCIÓN CONDICIONAL IF ................................................................................................... 165 A.5.1.3 FUNCIÓN VECTOR .................................................................................................................. 166 A.5.1.4 SUMATORIA Y PRODUCTO ITERADO – FUNCIONES SUM Y PRODUCT ............................... 166

5 Contenido

A.5.2 PROGRAMACIÓN PROCEDURAL .................................................................................................. 168

A.5.2.1 FUNCIÓN PROG...................................................................................................................... 168 A.5.2.2 FUNCIÓN LOOP ...................................................................................................................... 168

A.6 GENERACIÓN DE UNA UTILIDAD ..................................................................................................... 169

AAPPÉÉNNDDIICCEE BB................................................................................................................................................................................................................................................................................................ 117733

SERIES DE TAYLOR ................................................................................................................................... 173 B.1 SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN. ...................................................................................................... 173 B.2 SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN CON RESTO EN FORMA DE LAGRANGE. .................................... 174 B.3 FORMA ALTERNATIVA PARA LA SERIE DE TAYLOR Y EL RESTO. ........................................................ 175 B.4 SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN CON DERIVE 6. ............................................................................. 175

BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS .............................................................................................................. 180 BIBLIOGRAFÍA. ............................................................................................................................................ 180 NOTAS Y REFERENCIAS. ............................................................................................................................. 180

ÍÍNNDDIICCEE AALLFFAABBÉÉTTIICCOO ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 118811

6 Procesos iterativos y errores en Métodos Numéricos

CCAAPPÍÍTTUULLOO 00 PPRROOCCEESSOOSS IITTEERRAATTIIVVOOSS YY EERRRROORREESS EENN MMÉÉTTOODDOOSS NNUUMMÉÉRRIICCOOSS

Los métodos numéricos al consistir de aproximaciones bastante confiables, pero aproximaciones al fin, incurren en errores propios de lo no exacto. El presente capítulo tiene como objetivo analizar estos errores pues, en base a ellos, se podrá escoger un método y no otro, así como cuantificar la precisión de los resultados que se obtengan en cada uno de los métodos numéricos que se estudien a lo largo del texto.

0.1 PROCESOS ITERATIVOS.

Un proceso iterativo es el uso de una fórmula para generar de forma secuencial valores a partir de uno o más valores iniciales, así entonces…

i 1 ix f(x ) i 0,1,2,3...

El siguiente ejemplo aclarará este concepto...

EEjjeemmpplloo 00..11

Determinar los primeros cuatro valores numéricos que se obtengan mediante un proceso iterativo para

sen(x )f(x) e 2 , a partir de x0 = 3 como valor de inicio.

El proceso iterativo va a generarse mediante: isen(x )i 1x e 2 con i = 0,1,2,…, es decir

0sen(x )1x e 2 1sen(x )

2x e 2 2sen(x )3x e 2 …

serán los sucesivos valores a obtenerse.

Los cálculos indicados se resumen en la siguiente tabla…

Los valores pedidos son: 0.848436, 1.52775, 1.63177 y 1.63143.

Cada nuevo valor obtenido se denomina iteración, y la función f(x) que se utilizó en los cálculos se conoce co-mo fórmula de iteración o iterativa.


Genere un proceso iterativo para la fórmula cos(x) 1, empezando con x0 = 0, hasta obtener un resultado

con 3 cifras decimales de precisión.

El proceso iterativo se va a generar mediante: x cos(x ) 1i 1 i , y en base a él se obtiene la siguiente ta-

bla…

i xi f(xi)

0 x0 = 3 (valor inicial) 0sen .84 6(3) 2 843e

1 x1 = 0.848436 sen( 0.848436 1.5)e 2 2775 Primera iteración

2 x2 = 1.52775 sen( 1.52775 1.6)e 2 3177 Segunda iteración

3 x3 = 1.63177 sen( 1.63177 1.6)e 2 3143 Tercera iteración

4 x4 = 1.63143 Cuarta iteración

(0.1)


i xi f(xi)

0 0 cos(0) 1 1.41421

1 1.41421 cos(1.41421) 1 1.07515

2 1.07515 cos(1.07515) 1 1.21474

3 1.21474 cos(1.21474) 1 1.16128

4 1.16128 cos(1.16128) 1 1.18244

5 1.18244 cos(1.18244) 1 1.17417

6 1.17417 cos(1.17417) 1 1.17742

7 1.17742 cos(1.17742) 1 1.17614

8 1.17614 cos(1.17614) 1 1.17664

9 1.17664

La respuesta con tres cifras decimales de precisión es 1.176.

Los procesos iterativos tienen dos características importantes que vale la pena resaltar, estas son: (a) Conver-gencia, y (b) Velocidad de convergencia.

Se dice que un proceso iterativo es convergente cuando la secuencia de iteraciones tiende a un valor definido al incrementarse hacia el infinito el número de las mismas; por otro lado la velocidad de convergencia se mide por el número de iteraciones con el cual se logra un valor con cierto nivel de precisión(número de cifras decimales repetidas), así entonces a mayor número de iteraciones menor velocidad de convergencia y viceversa.


Determine si el proceso iterativo para 2

1f(x)(x 1)

, iniciando con x0 = 1, converge o no.

El proceso iterativo es i 1 2

i

1x(1 x )

. Las 20 primeras iteraciones para este proceso son…

i 0 1 2 3 4 5 6 7

xi 1 0.25 0.64 0.37180 0.531394 0.426409 0.491487 0.449532

i 8 9 10 11 12 13 14

xi 0.475931 0.459058 0.469737 0.462936 0.467250 0.464506 0.466249

i 15 16 17 18 19 20

xi 0.465141 0.465845 0.465398 0.465682 0.465501 0.465616

La tendencia del proceso muestra que las iteraciones tienden a un valor determinado, el cual a tres cifras deci-males repetidas es 0.465, por lo que el proceso es convergente.


Determine si el proceso iterativo para 2f(x) (x 1) , iniciando con x0 = 2, converge o no.


El proceso iterativo 2i 1 ix (x 1) , genera la siguiente tabla con las 8 primeras iteraciones…

i 0 1 2 3 4 5 6 7

xi 2 1 0 1 0 1 0 1

las iteraciones alternan su valor entre 0 y 1, no pudiendo establecerse un valor determinado; ésta se denomina una divergencia alternante.

El análisis de la velocidad de convergencia es necesario también realizarlo en base a los resultados numéricos obtenidos, como en el siguiente ejemplo…


De los procesos iterativos para 2

1f(x)x 1

y y

1f(y)e 1

determinar cuál es el más rápidamente conver-

gente, si ambos inician con x0 = 1.

Las procesos iterativas son: i 1 2

1

1xx 1

y ii 1 y

1ye 1

, con ellos se obtiene para las 10 primeras iteracio-

nes…

i 0 1 2 3 4 5 6

xi 1 0.5 0.8 0.609756 0.728968 0.652100 0.701061

i 7 8 9 10

xi 0.670472 0.689878 0.677538 0.685374

i 0 1 2 3 4 5 6

yi 1 0.268941 0.433167 0.393370 0.402906 0.400614 0.401165

i 7 8 9 10

yi 0.401033 0.401064 0.401057 0.401058

el segundo proceso iterativo tiene mayor velocidad de convergencia, porque al mismo número de iteraciones que el primero logra un resultado con mayor número de cifras decimales repetidas(exactas).

0.2 ERRORES EN MÉTODOS NUMÉRICOS.

Los métodos numéricos tienen como base principal de su manejo el análisis de los errores, pues al usar méto-dos numéricos su inexactitud lleva a la pregunta ¿con cuanta exactitud se ha obtenido la respuesta? Planteada la interrogante, aquí se inicia el estudio del error en al análisis numérico…

El error absoluto entre dos valores, de manera general, se puede cuantificar por la relación:

e x X

donde e representa el error absoluto, x el valor exacto y X el valor aproximado. Esta formulación es algo incom-pleta, pues no considera el orden de magnitud de la variable cuyo error se evalúa. A continuación un ejemplo demuestra la importancia de relacionar el error absoluto con la magnitud exacta de la variable medida…

(0.2)



En la medición de la longitud de un perno y un eje, se han obtenido los valores aproximados de 18 cm. y 278 cm. pero según los planos de construcción sus medidas exactas deberían ser 20 cm. y 280 cm. ¿Cuál es el error más significativo, del perno o del eje?

Los errores absolutos cometidos en su fabricación son...

ejee 280 278 2 cm pernoe 20 18 2 cm

Así, según los valores obtenidos para el error absoluto, ambos casos producen errores de igual magnitud. Sin embargo, intuitivamente se infiere que ello no es cierto, pues al dividir las dos expresiones para su valor exacto, con el objeto de relacionarlas con la magnitud de lo medido, y multiplicarlas por 100(para obtener un valor por-centual de error), se tiene...

eje

280 278E 100280

0.714%

perno20 18E 100

2010%

resultados que muestran que el error cometido en la construcción del eje es menos significativo.

El error relativo porcentual E, se puede escribir como...

x XE 100x

este error pone en evidencia su verdadera magnitud en relación a lo medido.

Como principio fundamental, en el resultado de cualquier método numérico se debe tomar en cuenta que

e tol o E tol , donde tol representa un valor positivo muy pequeño considerado como valor de toleran-

cia. Si bien se ha utilizado en las fórmulas (0.2) y (0.3) los términos valor exacto y aproximado, muchos méto-dos numéricos utilizan procesos iterativos en los cuales x se substituye por xi+1 que representa la iteración ac-tual y X se substituye por xi que representa la iteración anterior. En estos procesos entonces las expresiones (0.2) y (0.3) se transforman en...

i 1 i

a i 1 i ai 1

x xe x x E 100%

x

donde el subíndice a en las fórmulas aclara que se trata de un valor de error aproximado. Un método numérico se detiene cuando el error absoluto o relativo porcentual (o aproximados para procesos iterativos) no superan el valor tol, de tolerancia fijado previamente, es decir...

x Xe x X tol E 100 tolx

i 1 i

a i 1 i ai 1

x xe x x tol E 100 tol para procesos iterat

xivos

Los errores más significativos, presentes en el análisis numérico pueden clasificarse bajo uno de estos tipos:

Errores de redondeo. Errores de truncamiento.

Errores de toma de datos.

Los errores de toma de datos dependen del manejo de la obtención de datos requeridos para un procedimiento

(0.3)

(0.4)

(0.5)

(0.6)


numérico determinado y en todo caso son en la mayoría de las veces inevitables y muy difíciles de cuantificar.

En la siguiente sección se analizará los errores de redondeo, posponiéndose el análisis de los errores de trun-camiento para los métodos numéricos donde éste sea aplicable.

0.2.1 ERRORES DE REDONDEO Y NÚMEROS DE PUNTO FLOTANTE

Los errores de redondeo son los producidos por la limitada capacidad del computador para representar las ci-fras tanto enteras como decimales de un número real. Al no poder trabajar con la infinita cantidad de cifras ente-ras así como con la también infinita cantidad de decimales que tiene un número real, entonces es necesario re-emplazar el conjunto infinito de los números reales con un conjunto finito de números enteros y decimales, pro-duciéndose entonces los errores por redondeo.

A diferencia de nosotros, los seres humanos, las computadoras utilizan para la representación numérica el sis-tema de numeración de base dos o binario, en el cual un número está representado por los dígitos 0 y 1. Éstos, al igual que en el sistema decimal, tienen un valor posicional que permite expresar una cantidad cualquiera, así por ejemplo el número 1011 será distinto del número 1101, pues los dígitos a pesar de ser los mismos ( tres unos y un cero) se encuentran en diferente posición. Un número binario en notación base 10 o decimal se pue-de expresar como:

n n 1 1 0r 2 r 2 ... r 2 r 2

donde r es 0 ó 1.

Así el numero 1011, en base binaria, equivale a...

3 2 1 01 2 0 2 1 2 1 2 11 , en base decimal

y el número 1101, en base binaria, equivale a...

3 2 1 01 2 1 2 0 2 1 2 13 , en base decimal

Ahora bien, un número real se puede expresar en la computadora en la forma denominada número de punto flo-tante, la cual se puede expresar genéricamente como...

expm b

donde m representa la mantisa o parte fraccionaria, b la base en la cual se representa el número y exp el expo-nente. De esta forma, el número 236.789 se puede representar como 0.236789103 en punto flotante. Una for-ma matemática más explícita de la expresión (0.8) se puede escribir como...

m

exp1 2 k bs (.d d ...d ) b

donde s representa el signo (0 para +y 1 para ); di , i = 1,2,...,k son los k dígitos en base b(por ejemplo 0 y 1 para base 2) y exp el exponente. La expresión 1 2 k b(.d d ...d ) corresponde a...

1 2 k1 2 k b 1 2 k

d d d(.d d ...d ) ...

b b b

y da la magnitud de la mantisa. Si ésta se representa siempre con d1 0, se dice entonces que se halla en for-

ma normalizada. Así por ejemplo el número 1 0.047619...21

representado en punto flotante a 4 cifras deci-

males es 0.0476100 y representado en punto flotante normalizado a 4 cifras decimales es 0.4761101, ganándose de esta forma una cifra decimal más. El número k de dígitos de base b que se emplean en la repre-sentación de un número en punto flotante es llamada precisión; la precisión simple utiliza k = 6 ó 7 dígitos, la

(0.7)

(0.8)

(0.9)

(0.10)


precisión doble k = 13 ó 14 dígitos y la precisión extendida k = 19 ó 20 dígitos, todas en base 10. Lamenta-blemente resulta imposible que la mantisa contenga todos los dígitos necesarios para representar con exactitud un número de punto flotante, siendo necesario utilizar una precisión determinada, de acuerdo a la exactitud de-seada para el resultado de un problema en particular. El siguiente ejemplo muestra la representación finita en números de punto flotante en base 2(como trabaja la computadora) para una computadora ideal simple y su equivalencia de representación en base 10(como entiende el ser humano)…


Determinar el conjunto de números de punto flotante que podría representar una computadora hipotética que almacena en memoria la información usando un conjunto de 7 bits(llamado usualmente longitud total). Emplear el primer bit para el signo de la mantisa, los siguientes tres bits para el signo y la magnitud del exponente y los tres restantes para la magnitud de la mantisa.

Cualquier computadora representa la información mediante el uso de bits(0 ó 1), por lo que de acuerdo a lo in-dicado la estructura de un número en punto flotante en la computadora hipotética de 7 bits sería como lo mues-tra la gráfica…

Fig. 0.1 Representación de un número de punto flotante en una computadora hipotética

matemáticamente se pueden escribir como…

exp1 2 3 2(.d d d ) 2

si en esta computadora hipotética(lo que ocurre generalmente en las computadoras reales) se escribe siempre en forma normalizada d1 0, por lo que d2, y d3 = 0 ó 1 y exp = –(11)2 = –(3)10, –(10)2 = –(2)10, –(01)2 = –(1)10, (00)2 = (0)10, +(01)2 = +(1)10, +(10)2 = +(2)10, +(11)2 = +(3)10.

Las magnitudes de mantisa posibles entonces son:

12 0

22 3 1

31 0 0 1(.100) 1 2 0 2 0 2 (0.5)2 22 2

1 22

33 102

1 0 1 5(.101) 1 2 0 2 1 2 (0.625)2 82 2

1 2 32 32 10

1 1 0 3(.110) 1 2 1 2 0 2 (0.75)2 42 2

1 22

33 102

1 1 1 7(.111) 1 2 1 2 1 2 (0.875)2 82 2

Combinando las magnitudes de las mantisas con respectiva base y exponentes se tiene un conjunto de núme-ros de punto flotante mostrados en la siguiente tabla…

21 20 2–1 2–2 2–3 0 1 1 1 1 1 1

signo de la mantisa

signo del exponente

magnitud del exponente

magnitud de la mantisa


2 10(.100) (0.5) 2 10(.101) (0.625) 2 10(.110) (0.75) 2 10(.111) (0.875)

e = –(11)2 = –(3)10

32

0.0625(.100) 2

32(.10

0.1) 2

078125

23(.110) 2

0.09375

3

2(.110.

1) 2109375

e = –(10)2 = –(2)10

22(.100) 2

0.125

22(.101) 2

0.15625

2

2

0.1875(.110) 2 2

2(.111) 20.21875

e = –(01)2 = –(1)10

21(.100) 2

0.25

1

2

0.3125(.101) 2 2

1(.110) 20.375

1

2

0.4375(.111) 2

e = (000)2 = (0)10

20(.100) 2

0.5

20(.101) 2

0.625

20(.110) 2

0.75

20(.111) 2

0.875

e = +(01)2 = +(1)10

21(

1.100) 2 2

1(.101) 21.25

21

1.(. 10) 2

51 2

1(.111) 21.75

e = +(10)2 = +(2)10

22(

2.100) 2 2

2

2.(. 01) 2

51 2

2(3.110) 2 2

2

3.(. 11) 2

51

e = +(11)2 = +(3)10

23(

4.100) 2 2

3(5.101) 2 2

3(6.110) 2 2

3(7.111) 2

entonces el conjunto de valores, en base 10, representados por la computadora hipotética del ejercicio es…

0, 0.0625, 0.078125, 0.09375, 0.109375, 0.125, 0.15625, 0.1875, 0.21875, 0.25, 0.3125, 0.375, 0.4375, 0.5, 0.625, 0.75, 0.875, 1, 1.25, 1.5, 1.75, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 5, 6, 7

un total de 57 números que en la computadora hipotética de 7 bits representan a todos los números reales.

Un gráfico en la recta real grafica los puntos(en rojo) o números manejados por la computadora hipotética de longitud total 7 bits…

Fig. 0.2 Distribución de números de punto flotante en una computadora

Algunas características de este conjunto finito de números de punto flotante son…

Existe una mayor densidad de puntos en la cercanía a 0, mientras que hacia el infinito(positivo o negativo)

ésta disminuye.

Entre el 0 y el número más pequeño(sea positivo o negativo), existe una zona sin puntos denominada zo-

na de agujero(ó zona de underflow) como lo muestra la siguiente figura…

Fig. 0.3 Zona de agujero o de underflow

Entre el número más grande(sea positivo o negativo) y el infinito(positivo o negativo) existe una zona sin

puntos denominada zona de desbordamiento (ó zona de overflow) como lo muestra la siguiente figura…

Fig. 0.4 Zona de desbordamiento o de overflow

0 0.0625 – 0.0625

Zona de agujero Zona de agujero

0 7 – 7 –

Zona de desbordamiento Zona de desbordamiento


Si se quisiese almacenar el número 0.26 en esta computadora hipotética, éste se representaría como 0.25(el más cercano que posee el conjunto de números de punto flotante de la computadora hipotética) incurriendo en un error absoluto de 0.01, ¡aquí aparece el error por redondeo!. Por otro lado cualquier número que se quiera representar y que caiga en la zona de agujero será representado por la computadora hipotética con el 0, y cual-quier número que rebase el valor máximo(7 ó –7) provocará en la computadora hipotética un mensaje de error de overflow. Más aún es posible que la suma, resta, multiplicación o división de números reales produzca un error de redondeo ¿podría explicarse el porqué?¿píenselo?

Lo analizado anteriormente para una computadora hipotética ocurre con cualquier computadora real de forma tal que al efectuar operaciones entre números de punto flotante con una precisión dada se produce un error de re-dondeo, que como se verá más adelante en algunos casos se hace muy significativo. Existe un intervalo de dis-continuidad entre dos números y que son consecutivos en el conjunto de números representables por la computadora. Para una determinada precisión, el número positivo más pequeño posible, , tal que sumado a 1 produce el siguiente número consecutivo(diferente de 1 para dicha precisión) se denomina el épsilon de la com-

putadora y está dado por i2 , i 1,2,3,... . entonces el intervalo entre un número real cualquiera y el si-

guiente es .

0.2.2 FUENTES DE ERROR POR REDONDEO.

Para visualizar sin confusión las fuentes de error en el redondeo de números de punto flotante se usará siempre la base 10. Los errores por redondeo se presentan en cualquier operación aritmética con números de punto flo-tante, pero se hacen especialmente notables en los siguientes casos:

Adición de un número pequeño a otro grande o resta de un número pequeño de otro grande.

Resta de números muy cercanos.

Supóngase que se desea sumar los números 45.238 y 0.00000234 y obtener el resultado a cinco dígitos signi-ficativos de precisión, entonces se procede de la siguiente forma…

2

2

2

100.45238

100.00000

1045238.0

entonces para una suma, a cinco dígitos de precisión el sumar 45.2389 a 0.00000234, resulta como sumar 45.2389 a 0, es decir se pierden cifras decimales del segundo sumando, para evitar ello es necesario realizar la operación al doble de precisión, es decir, diez dígitos significativos para obtener el valor correcto, así pues…

2

2

2

10340.45238002

10340.00000002

104523800000.0

El mismo error surge si se resta un número pequeño de otro grande.

Si un método numérico posee varias operaciones de esta clase, es obvio que el error de redondeo se acumulará pudiendo convertirse en un error significativo en el resultado final.

Ahora, se desea restar 3.456789 de 3.456723 y obtener el resultado con cinco cifras significativas de preci-sión, entonces se procederá así...

-1

-1

1

100.00000

100.34567

1034567.0


es decir, para la computadora el resultado es 0, lo cual obviamente no es así; para evitar las perdida de las ci-fras decimales que dan el valor verdadero, es necesario aumentar la precisión a siete dígitos, obteniéndose en dicho caso...

-1

-1

1

100.0000066

100.3456723

103456789.0

que da el resultado correcto. Igualmente que en el caso anterior, la acumulación de errores de redondeo de este tipo, puede arrojar una solución poco confiable. Un procedimiento numérico que se enmarca dentro de este último tipo de error es la resolución aproximada por fórmula de una ecuación de segundo grado, como lo mues-tra el siguiente ejemplo…


Resolver la ecuación 2x 1357x 1 0 , con tres dígitos significativos de precisión.

Se procede de la siguiente forma:

2

1( 1357) ( 1357) 4(1)(1) 1357 1356.999x 1356.999

2 2

2

2( 1357) ( 1357) 4(1)(1) 1357 1356.999x 0.000

2 2

el primer resultado es relativamente más correcto, no así el segundo, pues la cercanía de los valores en la resta, produce un error de redondeo que genera un valor erróneo. Este error se puede evitar de dos formas, en este caso, aumentando la precisión o racionalizando la expresión para x2 y con ello eliminar la fuente de error(la resta de números cercanos). Para este proceso numérico por ejemplo se podría cuantificar el error cometido, toman-do como valor exacto los resultados obtenidos con seis cifras decimales de precisión, es decir...

2

1( 1357) ( 1357) 4(1)(1) 1357 1356.998526x 1356.999263

2 2

2

2( 1357) ( 1357) 4(1)(1) 1357 1356.998526x 0.000737

2 2

por lo tanto, los errores relativos porcentuales para cada resultado son...

1

1356.999263 1356.999E 100 0.00001%1356.999263

2

0.000737 0.000E 100 100%0.000737

lo que muestra la magnitud del error en el segundo resultado.

0.2.3 CIFRAS DECIMALES Y CIFRAS SIGNIFICATIVAS.

Como se ha visto un número obtenido de una computadora, en la mayoría de los casos, no puede ser expresa-do con todas las cifras decimales para poder afirmar que sea exacto, entonces es necesario trabajar el número con cierta cantidad de cifras decimales, de acuerdo a la precisión establecida. Los números así expresados se


denominan números o valores aproximados(correspondiente a X como se definió en (0.1)), y son de esta mane-ra como se obtienen los resultados en los métodos numéricos.

Cifras decimales son todos los dígitos que se hallan a continuación del punto decimal en un número de punto flotante, así por ejemplo los números 0.03456 y 0.245073 tienen 5 y 6 cifras decimales de precisión respecti-vamente. Si se desea aproximar a 4 y 5 cifras decimales de precisión respectivamente los anteriores números se puede proceder de dos maneras distintas:

(a) Cortar los números a 4 y 5 cifras decimales, ó

(b) Redondear los números a 4 y 5 cifras decimales.

Para el primer caso los números se convierten en 0.0345 y 0.24507 y para el segundo caso se transforman en 0.0346 y 0.24507. Para redondear las cifras decimales se tiene en cuenta la siguiente regla: si la última cifra decimal es inferior a 5 se redondea hacia el valor inmediatamente inferior, y si la última cifra decimal es 5 o su-perior a 5 se redondea hacia el valor inmediatamente superior. Dos números aproximados son iguales si al re-dondearse al mismo número de cifras decimales de precisión son idénticos, así por ejemplo 4.30235 y 4.30167 son iguales si se redondean a 3 cifras decimales de precisión, pues dan como resultado 4.302 en ambos casos, pero son diferentes si se redondean a 4 cifras decimales de precisión, pues el primero da 4.3024 y el segundo 4.3017.

Cifras significativas son los dígitos que se hallan a continuación del punto decimal de un número de punto flo-tante en su forma normalizada, así por ejemplo todos los siguientes números tienen 4 cifras significativas, 0.01342 , 25.06, 4321, pues expresados en forma normalizada a 4 cifras decimales de precisión producen 0.1342101, 0.2506102, 0.4321104 respectivamente. La misma regla de redondeo que se utilizo para cifras decimales se puede aplicar a las cifras significativas y el mismo criterio de igualdad que se empleo para cifras decimales es aplicable a las cifras significativas. En el caso de números enteros que posean acumulación de ce-ros a su derecha el número de cifras significativas puede diferir para un mismo número, así por ejemplo el número 235000 puede tener 3, 4, 5 ó 6 cifras significativas dependiendo de las siguientes formas normalizadas 0.235106, 0.2350106, 0.23500106 y 0.235000106. De forma práctica, se puede afirmar que las cifras sig-nificativas representan el número de cifras confiables que se pueden utilizar en un número aproximado.

Como se vio en la sección 0.2, el principio aplicable a la cuantificación del error relativo porcentual (o porcen-

tual aproximado) era E tol ó aE tol y para el error absoluto(ó absoluto aproximado) e tol ó ae tol ,

pero no se dijo mucho acerca del valor que se fija para tol. Ahora se puede profundizar en dicho principio afir-

mando que si 2 ktol (0.5x10 )% , entonces el valor o número aproximado(iteración anterior para los métodos

iterativos) obtenido mediante el método numérico aplicado tiene al menos k cifras significativas correctas con

respecto al valor exacto(iteración actual para los métodos iterativos) y si ktol (0.5x10 ) , entonces el valor o

número aproximado(iteración anterior para los métodos iterativos) tiene al menos k cifras decimales correctas con respecto al valor exacto(iteración actual para los métodos iterativos). Entonces un criterio de cuantificación del error en los métodos numéricos para detener su proceso de ejecución es...

k 2 kx Xe x X 0.5 10 E 100 (0.5 10 )%

x

para un método numérico en general, y

k 2 ki 1 i

a i 1 i ai 1

x xe x x 0.5 10 E 100 (0.5 10 )%

x

para un método numérico iterativo.

(0.11)

(0.12)



Para las siguientes parejas de números, determinar con cuantas cifras decimales exactas y con cuantas cifras significativas exactas X aproxima a x. Determinar además el error absoluto y relativo cometido en cada caso.

i.) x 2.35678 X 2.3459

ii.) 5x X 0.4545511

iii.) x 0.0025365 X 0.0024674

Para este caso x y X coinciden en 1 cifra decimal exacta(3) y en 2 cifras significativas exactas(2 y 3) y...

1e 2.35678 2.3459 0.01088 0.5 10 0.05

2 22.35678 2.3459E 100 0.46% (0.5 10 )% 0.5%

2.35678

confirman el principio expresado mediante la relación (0.11).

En este caso x y X coinciden en 4 cifras decimales exactas (4,5,4 y 5) y en 4 cifras significativas exactas(4,5,4 y 5) además...

4e 0.454545... 0.45455 0.000000454 0.5 10 0.00005

2 40.454545... 0.45455E 100 0.001% (0.5 10 )% 0.05%

0.454545...

nuevamente se confirma la relación (0.11).

Aquí x y X coinciden en 3 cifras decimales exactas (0,0 y 2) y en 1 cifra significativa exactas(2) siendo...

3e 0.0025365 0.0024674 0.0000691 0.5 10 0.0005

2 10.0025365 0.0024674E 100 2.72% (0.5 10 )% 5%

0.0025365

y también se vuelve a verificar la relación (0.11).


¿En que rango debe hallarse el valor aproximado X, para que se aproxime a x = 0.022156, con 3 cifras signifi-cativas?

Por la expresión (0.11)...

2 30.022156 XE 100 (0.5 10 )% 0.05%

0.022156

es decir...

000011078.0100

)022156.0)(05.0(X022156.0

de donde resolviendo la desigualdad, se tiene...


022167078.0X022144922.0

000011078.0022156.0X000011078.0022156.0

cualquier número dentro de este rango tendrá por lo menos 3 cifras significativas con respecto a x = 0.022156.


Como resultados de un método numérico iterativo se obtienen los siguientes valores(redondeados a su última cifra decimal)...

i 0 1 2 3 4 5 6

xi 3 2.5 2.4938315715 2.4759527368 2.4753677501 2.4753532325 2.4753532211

Determinar el número de cifras significativas que se obtienen para x4 – x5 y x5 – x6.

Para x4 y x5, se tiene xi+1 = x5 = 2.4753532325 y xi = x4 = 2.4753677501, entonces por la expresión (0.12)...

2 k

a2.4753532325 2.4753677501E 100 0.5 10

2.4753532325

5984750.00058648105.0 k2

tomando logaritmos en base 10 en cada extremo de la desigualdad...

604.93071236k

598475)0.00058648(log2)5.0(logk

598475)0.00058648(logk2)5.0(log

598475)0.00058648(log)105.0(log

1010

1010

10k2

10

por lo tanto x4 tiene al menos k = 4 cifras significativas exactas con respecto a x5.

Por otro lado para x5 y x6, se tiene xi+1 = x6 = 2.4753532211 y xi = x5 = 2.4753532325, entonces por la ex-presión (0.12)...

2 k

a2.4753532211 2.4753532325E 100 0.5 10

2.4753532211

0548908310.00000046105.0 k2

tomando logaritmos en base 10 en cada extremo de la desigualdad...

718.03569424k

054890831)0.00000046(log2)5.0(logk

054890831)0.00000046(logk2)5.0(log

054890831)0.00000046(log)105.0(log

1010

1010

10k2

10

por lo tanto x5 tiene al menos k = 8 cifras significativas exactas con respecto a x6.

0.3 PRECISIÓN EN DERIVE 6.

Derive 6 posee tres formas de precisión para trabajar con números en cálculos numéricos u operaciones aritméticas, estas son:

Precisión en modo exacto.


Precisión en modo aproximado.

Precisión en modo mixto.

Los tres modos de precisión se pueden obtener mediante la orden Definir/Preferencias de Simplificación... , en cuyo caso aparece el cuadro de diálogo...

En la zona Precisión, del cuadro de diálogo anterior, aparecen las casillas de selección:

Modo: para escoger el modo de precisión (Aproximado = Approximate, Exacto = Exact y Mixto = Mixed), y

Dígitos: para elegir el número de cifras significativas con las cuales van a trabajar los modos Exacto y Mixto (Derive 6 trabaja con 10 cifras significativas por defecto).

Derive 6 almacena internamente todos los números reales como enteros o como un cociente entre enteros, es decir, como fracciones y todas las operaciones realizadas se realizan utilizando aritmética racional.

La precisión en modo exacto significa que Derive 6 trabaja los números irracionales en modo exacto, así por

ejemplo para efectos de cálculo aritmético 2 será 2 y no 1.414213... Derive 6 en este caso utiliza mucha

más memoria para almacenar los números racionales, los cuales son expresados en forma de cociente entre

enteros, así en modo exacto 1.5 se expresa como 32

o 2.34657 como 234657100000

; la precisión en modo exacto

es la precisión por defecto en Derive 6.

En la precisión en modo aproximado, Derive 6 corta un número de acuerdo al número de cifras significativas in-

dicadas en la casilla de selección Dígitos: así entonces los números 2.1354678... , 0.02345676... ,

0.0001232597... se expresan en modo aproximado con Dígitos: 5 como 2.1354 , 0.023456 y 0.00012325 res-pectivamente. Nótese que Derive 6 considera el corte para las cifras significativas y no para las cifras decimales y además no utiliza redondeo.

Para la precisión en modo mixto, Derive 6 trata a los números decimales e irracionales de acuerdo a la preci-sión en modo aproximado y a los números expresados como fracciones en precisión en modo exacto, de esta

forma los números 1213

, 4.285679 y 5 serán expresados en modo mixto (con Dígitos: 5) como 1213

, 4.2856

y 2.2360 respectivamente.

A pesar de encontrarse elegida la opción de precisión en modo exacto, se puede expresar el resultado en modo


aproximado, si se selecciona el número y se hace clic sobre el botón


Escribir una función en Derive 6, que permita determinar el épsilon de la máquina para una precisión dada.

Se definió al épsilon de la máquina como el número más pequeño = 2 i, i = 1,2,3,... tal que 1 + 1. La siguiente función (n), determina un vector en el cual aparecen todos los posibles valores de épsilon (valores que cumplen con 1 + 1), obviamente el más pequeño de ellos será el correcto...

#1: (n) := VECTOR([i,IF(1 + 2^(–i) 1, "posible ", " no es "), IF(1 + 2^(–i) 1, 2^(–i), "***")], i, 1, n)

Para una precisión de modo aproximado con Dígitos: 6, y tomando n = 18, la función produce el vector...

1 posib le 0.5

2 posib le 0.25

3 posib le 0.125

4 posib le 0.0625

5 posib le 0.03125

6 posib le 0.015625

7 posib le 0.0078125

8 posib le 0.00390625

9 posib le (18)

10 posib le

11 posib le

0.001953120.0009765620.0004882

12 posib le

13 posib le

14 posib le

15 posib le

16 no es ***

17 no es ***

18 no es ***

810.0002441400.0001220700.00006103510.0000305175

De los posibles valores de , el más pequeño y el correcto obviamente es 0.0000305175; esto quiere decir que a partir de este valor para la precisión con 6 dígitos cualquier valor mayor sumado a 1 dará como resultado un número diferente de 1.

20 Interpolación Polinómica

CCAAPPÍÍTTUULLOO 11 IINNTTEERRPPOOLLAACCIIÓÓNN PPOOLLIINNÓÓMMIICCAA

Este capítulo va a estudiar el problema de la interpolación polinómica, que consiste en hallar una depen-

dencia funcional de tipo polinómico, entre dos conjuntos de igual número de datos, uno especifica el argumento

y el otro su correspondiente función. El objetivo es encontrar cualquier valor de la función dentro del intervalo en

que se hallan los valores del argumento, aunque también la interpolación polinómica es básica en posteriores

capítulos.

Definición (Interpolación Polinómica). Dado un conjunto de (n + 1) valores, f0, f1, f2, ... ,fn , que representan a

una función y su correspondiente conjunto de (n + 1) valores del argumento x0, x1, x2, ... , xn, tal que: a < x0 <

x1 < x2 < ... < xn < b, existe un único polinomio P(x) de grado n, el cual cumple la condición...

i if P(x ) i 0,1,2,...,n

Los valores xi, i = 1,2,...,n, se denominan nodos o puntos de interpolación.

Una vez determinado P(x), es posible hallar el valor del mismo para un argumento xr (a< xr < b). Este resultado

es una aproximación a fr.

1.1 INTERPOLACIÓN POLINÓMICA POR EL MÉTODO GENERAL O DE SERIE DE POTENCIAS

El polinomio P(x) se puede expresar mediante un polinomio de grado n, como...

2 n0 1 2 nP(x) a a x a x ... a x

donde ai son los coeficientes por determinarse. Aplicando la condición fi = P(xi), a cada punto (xi, fi), se obtiene

el siguiente sistema de ecuaciones...

2 3 n0 0 1 0 2 0 3 0 n 0f a a (x ) a (x ) a (x ) ... a (x )

2 3 n1 0 1 1 2 1 3 1 n 1f a a (x ) a (x ) a (x ) ... a (x )

. .

2 3 nn 0 1 n 2 n 3 n n nf a a (x ) a (x ) a (x ) ... a (x )

que expresado matricialmente es...

f XA

donde

2 3 n0 00 0 0 0

2 3 n1 11 1 1 1

2 3 nn nn n n n

f a1 x x x .. xf a1 x x x .. xf X A. .. . . . .. .f a1 x x x .. x

Para escribir el polinomio (1.1), debe hallarse A dados f y X. Con ello en mente, se multiplica ambos lados de la

ecuación matricial (1.3) por X1, obteniéndose...

1 1X f X XA entonces…

(1.1)

(1.2)

(1.3)


1A X f

expresión que permite calcular A, para escribir P(x).

Se definió al polinomio P(x) como único, esto se puede verificar fácilmente al observar que el determinante de la

matriz de coeficientes(conocido usualmente en el Álgebra Lineal como determinante de Vandermonde) del sis-

tema de ecuaciones lineales (1.2) es...

jiji

ji

nn

3n

2nn

n1

31

211

n0

30

200

x x0xx

x.xxx1

......

x.xxx1

x.xxx1

y por lo tanto el conjunto solución a0, a1, ... , an es único y el polinomio P(x) también.

1.1.1 POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN POR EL MÉTODO GENERAL CON DERIVE 6. En Derive 6, por programación funcional, es factible crear un archivo de utilidad para el cálculo del polinomio de

interpolación mediante el método general. Las siguientes líneas de programación conforman el mencionado ar-

chivo...

#1: Precision := Approximate #2: “Matriz X, construida a partir del conjunto de datos, d” #3: X_(d) := VECTOR(VECTOR((d1i)^n, n, 0, DIM(d`) 1), i, 1, DIM(d`)) #4: “Matriz A = X^(–1)f” #5: A(d) := (X_(d)^(–1))d2 #6: “Polinomio de interpolación por el método general” #7: P_MG(d, x) := A(d)VECTOR(x^(i – 1), i, 1, DIM(d))


Dado el conjunto de datos...

Por el método general encontrar los coeficientes del polinomio de interpolación ajustado a dichos valores, se-guidamente determinar f para x = 2.5 y x = 3.2. Utilizar corte a 6 cifras decimales

(a) Se forma la matriz X…

2

2

2

1 1.3 1.3 1 1.3 1.69

X 1 2.7 2.7 1 2.7 7.29

1 3.6 3.6 1 3.6 12.96

(b) Se calcula su matriz inversa, X–1…

-1

1 1.3 1.69 1 0 0 1 1.3 1.69 1 0 0 1 1.3 1.69 1 0 0

X 1 2.7 7.29 0 1 0 0 1.4 5.6 1 1 0 0 1 4 0.714285 0.714285 0

1 3.6 12.96 0 0 1 0 2.3 11.27 1 0 1 0 2.3 11.27 1 0 1

1 1.3 1.69 1 0 0 1 1.3 1.69 1 0 0

0 1 4 0.714285 0.714285 0 0 1 4 0.714285 0.714285 0

0 0 2.07 0.642857 1.642857 1 0 0 1 0.310559 0.79365 0.483091

x 1.3 2.7 3.6

f 3.63 4.18 4.54

(1.4)


1 1.3 0 0.475155 1.341269 0.816425 1 0 0 3.018633 3.714285 1.695652

0 1 0 1.956521 3.888888 1.932367 0 1 0 1.956521 3.888888 1.932367

0 0 1 0.310559 0.79365 0.483091 0 0 1 0.310559 0.79365 0.483091

-1

3.018633 3.714285 1.695652

X 1.956521 3.888888 1.932367

0.310559 0.79365 0.483091

(c) Los coeficientes del polinomio de interpolación son entonces…

3.018633 3.714285 1.695652 3.63 3.130186

A 1.956521 3.888888 1.932367 4.18 0.380434

0.310559 0.79365 0.483091 4.54 0.003105

finalmente…

2P(x) 3.130186 0.380434x 0.003105x y, P(2.5) 4.100683 P(3.2) 4.379378


Empleando Derive 5, para el conjunto de datos...

x 0 2 5 6 7

f 10 7 0 2 � 9

Escribir y graficar un polinomio de interpolación de grado 4 mediante el método general. Utilizar una precisión de 10 cifras significativas.

Ejecutando la función P_MG([0, 2, 5, 6, 7; 10, 7, 0, 2, –9], x) el polinomio obtenido es...

4 3 2P(x) 0.2464285714x 3.411904761x 14.43928571x 15.70238095x 10

Su gráfica es…

2 0 2 4 6 8

40

20

20

1.2 INTERPOLACIÓN LINEAL.

Al elegir dos puntos para efectuar una interpolación, el polinomio de interpolación expresado por el método ge-

neral es una función lineal y la interpolación entre dichos puntos se denomina interpolación lineal. Es muy sim-

ple deducir la ecuación para este método de interpolación en base a lo desarrollado para el método general,

P(x)


así…

Sean los puntos xi y xi+1 correspondientes a fi y fi+1, los coeficientes de interpolación a0 y a1, están dados

por...

i 0 1 if a a x i 1 0 1 i 1f a a x

de donde despejando a0 y a1...

i 1 i0 i i

i 1 i

f fa f xx x

i 1 i

1i 1 i

f fax x

por lo que...

i 1 i i 1 iL i i

i 1 i i 1 i

f f f fP (x) f xx x x x

x

reacomodando los términos la expresión (1.7), se tiene...

i 1 i i i 1 i 1 iL

i 1 i i 1 i

x f x f f fP (x)x x x x

x

que es la fórmula para la interpolación lineal; en ésta los valores xi , xi+1 , fi y fi+1, son datos conocidos, por lo

que la ecuación corresponde a una línea recta…

L

i 1 i i i 1 i 1 i

i 1 i i 1 i

P (x) A B

x f x f f fdonde A y B

x x x x

x

1.2.1 INTERPOLACIÓN LINEAL CON DERIVE 6.

En Derive 5, mediante programación funcional, la utilidad expresada por las siguientes líneas de programación

permite determinar el polinomio de interpolación lineal para una pareja de puntos, así como para toda un conjun-

to de ellos...

#1: Precision := Approximate #2: “Ecuación de interpolación lineal para parejas de datos consecutivos i e i + 1 de un conjunto de datos, d” #3: [(d1(i+1)d2i – d1id2(i+1))/(d1(i+1) – d1i), (d2(i+1) – d2i)/(d1(i+1) –d1i)] #4: INT_LINEAL(d, i, x) := #31 + (#32)x


Para el conjunto de datos dado por...

x 0 2 5 6 7

f 10 7 0 2 � 9

Calcular el valor de f para x = 3 y x = 6.5 mediante interpolación lineal.

Para x = 3…

i 0 1

xi 2 3 5

fi 7 ? 0

1 0 0 1 1 0L

1 0 1 0

x f x f f f (5)(7) (2)(0) 0 7 35 7P (x) x x xx x x x 5 2 5 2 3 3

(1.5)

(1.7)

(1.8)

(1.9)

(1.6)


L

35 7 14P (3) (3) 4.666666

3 3 3

Para x = 6.5…

i 0 1

xi 6 6.5 7

fi 2 ? –9

1 0 0 1 1 0L

1 0 1 0

x f x f f f (7)(2) (6)( 9) 9 2P (x) x x 68 11xx x x x 7 6 7 6

LP (3) 68 11(6.5) 3.5


Para el conjunto de datos...

Calcular, utilizando Derive 5, el valor de f para x = 2.5 y x = 4.3 mediante interpolación lineal y compararlos

con los valores obtenidos mediante el polinomio de interpolación por el método general. Además graficar el po-

linomio de interpolación lineal, el polinomio de interpolación obtenido por el método general y los puntos (x, f).

Para x = 2.5, utilizando la instrucción INT_LINEAL([1.3, 2.7, 3.6, 5.2; 3.63, 4.18, 4.54, 2.07], 1, x), se obtie-

ne…

1L (x) 0.3928571428x 3.119285714

substituyendo x = 2.5, resulta…

4.101428

Para x = 4.3, mediante la instrucción INT_LINEAL([1.3, 2.7, 3.6, 5.2; 3.63, 4.18, 4.54, 2.07], 3, x), se obtie-

ne…

2L (x) 1.54375x 10.0975

substituyendo x = 4.3, da…

3.459375

La instrucción P_MG([1.3, 2.7, 3.6, 5.2; 3.63, 4.18, 4.54, 2.07], x), genera…

3 2P(x) 0.2001552795x 1.524285714x 3.204346273x+5.659348447

que substituyendo para x = 2.5 y x = 4.3, da…

4.047842236 para x 2.54.150956517 para x 4.3

Los valores calculados por interpolación lineal y el método general se comparan en la siguiente tabla…

x 1.3 2.7 3.6 5.2

f 3.63 4.18 4.54 2.07

M. General Int. Lineal Error absoluto M. General Int. Lineal Error absoluto

x 2.5 2.5 ------ 3.2 3.2 -----

f 4.047842 4.101428 0.053585 4.150956 3.459375 0.691581


Graficando…

0 1 2 3 4 5 6

2

4

6

2.5 4.3

1.3 POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE.

A pesar de que el polinomio de interpolación es único como se explico al final de la sección 1.1, es conveniente

estudiar un método más fácil de determinarlo sin tener que resolver el sistema f = XA. Éste se halla de una ma-

nera más directa y sencilla, mediante el método denominado de Lagrange.

Definición (Polinomio básico de Lagrange o función de forma). Sea un conjunto de (n + 1) nodos de interpola-

ción x1,x2,...,xn, entonces el polinomio Li(x), llamado polinomio básico de Lagrange o función de forma se define

por...

n,1,2,...,0i ,)x(x

)x(x

)x(x)x)(xx(x)x)(xx(x

)x(x)x)(xx(x)x)(xx(x(x)L

n

ij0j ji

j

ni1 ii1 ii1i0i

n1 i1 i10i

Nótese que el polinomio básico de Lagrange no contiene el término (x – xi) en el numerador, ni el término (xi –

xi) en el denominador, éste último por obvias razones. Resulta evidente que Li(x) es un polinomio de grado n y

que...

0)x(xL

1)(xL

iji

ii

Teorema. Sea un conjunto de (n + 1) puntos (x0,y0) , (x1,y1),..., (xn, yn), entonces el polinomio de interpolación

para dicho conjunto de datos se puede escribir como...

n

0 0 1 1 n n i ii 0

P(x) f L (x) fL (x) ... f L (x) fL (x)

llamado polinomio de interpolación de Lagrange.

Es sencillo comprobar que el polinomio de interpolación de Lagrange cumple la definición de interpolación poli-

nomial, pues la propiedad (1.10) de los polinomios básicos de Lagrange así lo permite.


Para el conjunto de datos...

(1.10)

P(x)

L1(x) L2(x)


i 0 1 2 3 4 5

x x0 x1 x2 X3 x4 x5

f f0 f1 f2 f3 f4 f5

Determinar el polinomio de interpolación de Lagrange.

Los polinomios básicos de Lagrange o funciones de forma se escriben como...

)xx)(xx)(xx)(xx)(xx(

)xx)(xx)(xx)(xx)(xx()x(L

5040302010

543210



5141312101

543201



5242321202

543102



5343231303

542103



5434241404

532104



4535251505

432105

y el polinomio de interpolación de Lagrange es...

1 2 3 4 5 0 2 3 4 50 1

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 1 0 1 2 1 3 1 4 1 5

0 1 3 4 5

2 0 2 1 2 3 2 4

(x x )(x x )(x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x )(x x )(x x )P(x) f f

(x x )(x x )(x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x )(x x )(x x )

(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )

(x x )(x x )(x x )(x x )(

0 1 2 4 5

2 32 5 3 0 3 1 3 2 3 4 3 5

0 1 2 3 5 0 1 2 3 44

4 0 4 1 4 2 4 3 4 5 5 0 5 1 5 2 5

(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )f f

x x ) (x x )(x x )(x x )(x x )(x x )

(x x )(x x )(x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x )(x x )(x x )f

(x x )(x x )(x x )(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x )(x

53 5 4

fx )(x x )

es fácil notar que el orden del polinomio es n = 5.


Encontrar el polinomio de interpolación mediante el método de Lagrange, para el siguiente conjunto de datos:

x 0 1 3 7 9

y – 2 – 1 0 5 – 3

0( 1)( 3)( 7)( 9) ( 1)( 3)( 7)( 9)( )(0 1)(0 3)(0 7)(0 9) 189x x x x x x x xL x

1( 0)( 3)( 7)( 9) ( 0)( 3)( 7)( 9)( )

(1 0)(1 3)(1 7)(1 9) 96x x x x x x x xL x

2( 0)( 1)( 7)( 9) ( 0)( 1)( 7)( 9)( )(3 0)(3 1)(3 7)(3 9) 144x x x x x x x xL x

3( 0)( 1)( 3)( 9) ( 0)( 1)( 3)( 9)( )(7 0)(7 1)(7 3)(7 9) 336x x x x x x x xL x


4( 0)( 1)( 3)( 7) ( 0)( 1)( 3)( 7)( )(9 0)(9 1)(9 3)(9 7) 864x x x x x x x xL x

entonces,

( 1)( 3)( 7)( 9) ( 0)( 3)( 7)( 9) ( 0)( 1)( 7)( 9)( ) ( 2) ( 1) (0)189 96 144

( 0)( 1)( 3)( 9) ( 0)( 1)( 3)( 7)(5) ( 3)336 864

x x x x x x x x x x x xP x

x x x x x x x x

2( 1)( 3)( 7)( 9) ( 3)( 7)( 9) 5 ( 1)( 3)( 9)( )189 96 336

3 ( 1)( 3)( 7)864

x x x x x x x x x x x xP x

x x x x

1.3.1 POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE CON DERIVE 6.

En Derive 5 las siguientes líneas de programación permiten determinar el polinomio de interpolación de Lagran-

ge para una serie de datos...

#1: Precision := Approximate #2: “Función de forma j–ésima” #3: FUNC_FORMA_J(d, j, x) := PRODUCT(IF(i j,(x – d1i)/(d1j – d1i),1), i, 1, DIM(d`)) #4: “Todas las funciones de forma para el conjunto de datos” #5: FUNC_FORMA(d, x) := VECTOR(FUNC_FORMA_J(d, j, x),j,1,DIM(d`)) #6: “Polinomio de interpolación de Lagrange” #7: P_LAG(d, x) := FUNC_FORMA(d, x)d2


En la siguiente tabla se dan los valores de xy redondeados hasta cuatro cifras decimales, para argumen-

tos desde 1 a 1.3 con pasos de 0.05...

x 1 1.05 1.1 1.15 1.2 1.25 1.3

f 1 1.0247 1.0488 1.0724 1.0954 1.1180 1.1402

Con Derive 5, hallar el polinomio de interpolación de Lagrange, y calcular el valor de f para argumentos desde 1

a 1.3 con pasos de 0.025. Utilizar precisión de 6 dígitos.

La orden P_LAG([1, 1.05, 1.1, 1.15, 1.2, 1.25, 1.3; 1, 1.0247, 1.0488, 1.0724, 1.0954, 1.1180, 1.1402], x)

genera el polinomio…

6 5 4 3 288.8887x 613.332x 1760.22x 2689.53x 2307.67x 1054.81x 199.896 Para evaluar el polinomio de interpolación de Lagrange dentro del conjunto de datos pedidos, se introducen las

siguientes líneas, dentro de la utilidad que contiene la función P_LAG(d, x), y luego se aplica la nueva función

P_LAG_(d, in, fin, )...

#8: “Generación de los nodos de interpolación” #9: X_(in, fin, ) := VECTOR(i, i, in, fin, ) #10: “Polinomio de Lagrange para el conjunto de nodos anterior” #11: P_LAG_(d, in, fin, ) := [X_(in, fin, ), VECTOR(P_LAG(d, (X_(in, fin, ))i), i, 1, DIM(X_(in, fin, )))]`

La nueva orden P_LAG_([1, 1.05, 1.1, 1.15, 1.2, 1.25, 1.3; 1, 1.0247, 1.0488, 1.0724, 1.0954, 1.1180,

1.1402], 1, 1.3, 0.025) genera el vector…


1 1

1.025 1.01247

1.05 1.0247

1.075 1.03680

1.1 1.0488

1.125 1.06067

1.15 1.0724

1.175 1.08396

1.2 1.0954

1.225 1.10673

1.25 1.118

1.275 1.12919

1.3 1.1402

En la columna 1 se muestran los valores desde 1 hasta 1.3 en pasos de 0.025, y la columna 2, los correspon-

dientes valores del polinomio de interpolación de Lagrange.

1.4 DIFERENCIAS DIVIDIDAS.

Definición (Diferencias divididas). Sea un conjunto de (n + 1) nodos de interpolación xi para i = 0,1,2,...,n, y

considérese además sus correspondientes valores para la función dados por f(xi) con i = 0,1,2,...,n, entonces

la relación...

i 1 i 2 i n i i 1 i 2 i (n 1)i i 1 i 2 i n

i n i

f[x ,x ,...,x ] f[x ,x ,x ,...,x ]f[x ,x ,x ,...,x ]

x x

se conoce como la diferencia dividida de n�ésimo orden.

Esta definición es bastante genérica, por lo que es necesario analizarla con mayor profundidad.

Las siguientes expresiones desarrollan en detalle la notación indicial de la definición anterior…

La diferencia dividida de orden 0, para el punto xi es…

i if[x ] f(x ) i 0,1,2,...,n

por lo tanto, las (n + 1) diferencias divididas de orden 0 para el conjunto de (n +1) puntos (x0, f(x0)), (x1, f(x1)),

(x2, f(x2)),…, (xn, f(xn)) son…

0 0 1 1 2 2 n nf[x ] f(x ) f[x ] f(x ) f[x ] f(x ) . . . f[x ] f(x )

La diferencia dividida de orden 1 para los puntos xi y xi+1 es…

i+1 i i+1 ii i 1

i 1 1 i 1 i

f[x ] f[x ] f(x ) f(x )f[x ,x ] i 0,1,2,...,n

x x x x

por lo que las n diferencias divididas de orden 1 se pueden expresar como...

1 0 2 1 n n 10 1 1 2 n 1 n

1 0 2 1 n n 1

f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) f(x )f[x ,x ] f[x ,x ] . . . f[x ,x ]

x x x x x x

La diferencia dividida de orden 2, para los puntos xi, xi+1 y xi+2 se escribirá...


i+1 i 2 i i 1i i 1 i 2

i 2 i

f[x ,x ] f[x ,x ]f[x ,x ,x ] i 0,1,2,...,n

x x

entonces las (n – 1) diferencias divididas de orden 2 serán...

1 2 0 1 2 3 1 20 1 2 1 2 3

2 0 3 1

n 1 n n 2 n 1n 2 n 1 n

n n 2

f[x ,x ] f[x ,x ] f[x ,x ] f[x ,x ]f[x ,x ,x ] f[x ,x ,x ] . . .

x x x x

f[x ,x ] f[x ,x ]f[x ,x ,x ]

x x

en consecuencia la única diferencia dividida de orden n para los puntos xi, xi+1, xi+2 ,…, xi+n se escribirá de

acuerdo a la definición dada.

Es importante resaltar que la notación indicial de las diferencias divididas, es una nomenclatura nemónica que

ayuda a recordar fácilmente la correcta expresión para una diferencia dividida de cualquier orden. Los siguientes

ejemplos aclaran la definición de diferencias divididas.


Escribir mediante notación indicial todas las diferencias divididas para el conjunto de puntos (x0, f(x0)), (x1,

f(x1)), (x2, f(x2)), (x3, f(x3)) y (x4, f(x4)).

Considérese la siguiente simplificación de nomenclatura…

i i 1 i 2 i n i,i 1,i 2,...,i nf[x ,x ,x ,...,x ] f

entonces, la siguiente tabla resume las diferencias pedidas…

Nodo / Orden 0 1 2 3 4

x0 f0 = f(x0) f0,1 f0,1,2 f0,1,2,3 f0,1,2,3,4

x1 f1 = f(x1) f1,2 f1,2,3 f1,2,3,4

x2 f2 = f(x2) f2,3 f2,3,4

x3 f3 = f(x3) f3,4

x4 f4 = f(x4)

Si bien la notación puede ser confusa, el siguiente ejemplo numérico muestra cuan sencillo es el cálculo de las

diferencias divididas.


Determinar todas las diferencias divididas para el siguiente conjunto de datos…

i 0 1 2 3

x 0 1 2 3

f 10 8 2 8

La correspondiente tabla de diferencias divididas es...


i xi fi fi, i+1 fi, i+1, i+2 fi, i+1, i+2, i+3

0 0 10 28 10

1 0

6 ( 2)2

2 0

2 ( 2)

00

3

1 1 8 62 8

2 1

10 ( 6)2

3 1

2 2 2 8 2

310

2

3 3 8

Este procedimiento de cálculo se puede extender para un conjunto de cualquier número de datos.

Algunas características importantes de las diferencias divididas son...

A medida que aumenta el orden de una diferencia, su número disminuye en uno; así, en la tabla de dife-

rencias para un conjunto de 8 datos por ejemplo, existirán: 7 diferencias de primer orden, 6 de segundo

orden, 5 de tercer orden, 4 de cuarto orden, 3 de quinto orden, 2 de sexto orden y 1 de séptimo orden.

La resta del último y primero subíndices representa el orden de la diferencia.

Si los datos (xi, fi) se toman de un polinomio p(x) de orden m, la columna para la diferencia de orden m se

convierte en una constante y la columna para la diferencia de orden (m + 1) se anula; ésta característica

permite reconocer el orden del polinomio del cual se extrajeron los datos, en base a una tabla de diferen-

cias, así en el último ejemplo se puede decir que los datos xi y fi provienen de un polinomio de segundo

grado, pues la columna correspondiente a la diferencia de segundo orden da una constante (– 2) y la co-

lumna de la diferencia de tercer orden se anula.

Cuando entre los nodos de interpolación existe una distancia idéntica h (i 1 i

h x x

, i =0,1,2,…,n), entonces

las diferencias divididas se pueden expresar como...

ni

i i 1 i 2 i n n

ff[x ,x ,x ,...,x ] i 0,1,2,...,n

n!(h )

donde n

if es la denominada diferencia finita hacia adelante o diferencia finita progresiva de orden n, cuya es-

tructura se va a detallar y ejemplificar a continuación.

La diferencia finita progresiva(llamada usualmente diferencia progresiva) de orden 0 es…

0i if f(x ) i 0,1,2,...,n

La diferencia progresiva de orden 1 es…

0 0

i i 1 i i+1 if f f f(x ) f(x ) i 0,1,2,...,n

La diferencia progresiva de orden 2 se escribirá...

2i i 1 if f f i 0,1,2,...,n

entonces la diferencia progresiva de orden n se expresa como…

(1.11)


n n 1 n 1

i i 1 if f f i 0,1,2,...,n

Si se tienen nodos equiespaciados se pueden utilizar las diferencias progresivas mediante el segundo miembro

de la expresión (1.11), para calcular de una manera más simple las diferencias divididas.


Escribir mediante notación indicial todas las diferencias progresivas para el conjunto de puntos equiespaciados

(x0, f(x0)), (x1, f(x1)), (x2, f(x2)), (x3, f(x3)) y (x4, f(x4)).

La siguiente tabla resume las diferencias pedidas…

0iΔ f iΔf 2

iΔ f 3iΔ f 4

iΔ f

x0 f0 = f(x0) 0 0

1 0

1 0 0f(x ) ( )

f f

f x f 2

1 0 0 f f f 2 2 3

1 0 0f f f 3 3 4

1 0 0f f f

x1 f1 = f(x1) 0 0

2 1

2 1 1

f f

f(x ) f(x ) f

2

2 1 1f f f 2 2 3

2 1 1f f f

x2 f2 = f(x2) 0 0

3 2

3 2 2

f f

f(x ) f(x ) f

2

3 2 2f f f

x3 f3 = f(x3) 0 0

4 3

4 3 3

f f

f(x ) f(x ) f

x4 f4 = f(x4)


Determinar todas las diferencias progresivas para el siguiente conjunto de datos…

i 0 1 2 3

x 3 5 7 9

f(x) 10 8 2 8

La correspondiente tabla de diferencias finitas progresivas es...

i xi 0iΔ f iΔf 2

iΔ f 3iΔ f

0 3 2 4 2 6 5 ( 6 11) 13 11 24

1 5 – 4 1 ( ) 54 18 35

2 7 1 7 1 8

3 9 7

Como se observa, el cálculo de las diferencias finitas progresivas es aún más simple que el de las diferencias

finitas divididas, lo que las hace más útiles, aunque es condición indispensable para emplearlas el tener nodos

equiespaciados. El exponente que poseen el símbolo de las diferencias finitas progresivas es nada más una

indicación de su orden; además al igual que las diferencias finitas divididas su número disminuye en 1 al


aumentar el orden y presentan la misma característica mencionada anteriormente para datos tomados de un

polinomio.

1.5 POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON.

Teorema. Para un conjunto de (n + 1) puntos (x0, f0), (x1, f1),..., (xn, fn), el polinomio de interpolación de Newton

esta dado por...

)xx( )xx)(xx(f...)xx)(xx(f)xx(ff)x(P 1n10n,...,2,1,0102,1,001,00

Es indispensable comprobar que la expresión anterior es correcta, para lo cual considérese que el polinomio de

interpolación de Newton se puede expresar genéricamente como...

)xx( )xx)(xx(...)xx)(xx()xx()x(P 1n10n102010

donde los coeficientes 0,1,2,...,n deben determinarse. A fin de encontrar dichos coeficientes se va a utilizar

la definición de la interpolación polinomial según el cual debe cumplirse que...

0 0P(x ) f

1 1P(x ) f

2 2P(x ) f

.

.

n nP(x ) f

entonces...

0 0 0P(x ) f

1 0 1 1 0 1P(x ) (x x ) f

2 0 1 2 0 2 2 0 2 1 2P(x ) (x x ) (x x )(x x ) f

n 0 1 n 0 2 n 0 n 1 n n 0 n 1 n n 1 nP(x ) (x x ) (x x )(x x ) ... (x x )(x x ) (x x ) f

de las anteriores expresiones es notorio que los coeficientes 0,1,2,...,n se pueden calcular de forma recur-

siva, pues conocido 0 = f0, se halla 1 y a partir de éste y 0 se encuentra 2, procediendo consecutivamente

de esta forma hasta hallar todos los coeficientes, de forma tal que se obtiene...

0 0 0f(x ) f

1 01 0,1

1 0

f ff

x x


1 02 0 2 0

1 0 2 0 1 0 1 0 2 02

2 0 2 1 2 0 2 1 1 0

2 1 1 0 1 0 1 0 2 1 1 0

2 0 2 1 1 0

2 1 1 0 1 0 1 0 1 0 2 1

f ff f (x x )

x x (f f )(x x ) (f f )(x x )

(x x )(x x ) (x x )(x x )(x x )

(f f f f )(x x ) (f f )(x x x x )

(x x )(x x )(x x )

(f f )(x x ) (f f )(x x ) (f f )(x x

1 0 1 0

2 0 2 1 1 0

2 1 1 0 1 0 2 1

2 1 1 0 1 0 2 1 2 1 1 0 2 1 1 0

2 0 2 1 1 02 0 2 1 1 0

2 1 1 0

2 1

2 1

) (f f )(x x )

(x x )(x x )(x x )

(f f )(x x ) (f f )(x x )

(f f )(x x ) (f f )(x x ) (x x )(x x ) (x x )(x x )

(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )

(x x )(x x )

((f f )

(x x )

1 0

1,2 0,11 00,1,2

2 0 2 0

f f )

f f(x x )f

(x x ) (x x )

.

.

n,...,2,1,0n f

la complejidad de cálculo para n, no permite expresar explícitamente este coeficiente, pero no es necesario,

pues se infiere fácilmente que si 00 f , 1,01 f , 2,1,02 f entonces n,...,2,1,0n f . Así el polinomio de

interpolación de Newton es...

)xx( )xx)(xx(f...)xx)(xx(f)xx(ff)x(P 1n10n,...,2,1,0102,1,001,00

Los polinomios de interpolación de Newton salvan algunas dificultades que son propias de los métodos de in-

terpolación vistos anteriormente, especialmente del polinomio de interpolación de Lagrange. Entre sus carac-

terísticas favorables se pueden mencionar:

La cantidad de cálculos necesarios para una interpolación es menor que en los métodos anteriores, y este

hecho se hace más notorio a medida que el orden del polinomio interpolador aumenta.

La interpolación de un punto, fuera del intervalo de interpolación, no requiere del reinicio de todos los

cálculos nuevamente, sino que se puede utilizar lo ya hecho; cosa igual sucede si se aumentan o dismi-

nuyen el número de datos.

La evaluación del error es más fácil.

El polinomio de interpolación de Newton de la manera más general se escribe como...

n n,n 1 i n,n 1,n 2 n n 1 n,n 1,n 2,...,m n n 1 m 1P(x) f f (x x ) f (x x )(x x ) ... f (x x )(x x ) (x x ) donde P(x) es de grado (m – n) e interpola al conjunto de nodos xi, ubicados entre xn y xm (0 n m). Es impor-

tante recalcar que los nodos para este polinomio podrán ser equiespaciados o no.

Ejemplo 1.12

Para el siguiente conjunto de datos...

(1.12)


i 0 1 2 3 4 5

x x0 x1 x2 x3 x4 x5

f f0 f1 f2 f3 f4 f5

generar los polinomios de interpolación de Newton para: a) i = 0,1,2,3,4 ; b) i =1,2.3,4,5 ; c) i = 2,3,4 ; d) i =

3,4,5 ; e) i = 4,5

La tabla de diferencias finitas divididas para el conjunto de datos es...

x0 f0 1 0

0,11 0

f ff

x x

1,2 0,1

0,1,22 0

f ff

x x

1,2,3 0,1,2

0,1,2,33 0

f ff

x x

1,2,3,4 0,1,2,3

0,1,2,3,44 0

f ff

x x

x1 f1 2 1

1,22 1

f ff

x x

13

2.13,23,2,1 xx

fff

14

3,2,14,3,24,3,2,1 xx

fff

15

4,3,2,15,4,3,25,4,3,2,1 xx

fff

x2 f2 3 2

2,33 2

f ff

x x

24

3.24,34,3,2 xx

fff

25

4,3,25,4,35,4,3,2 xx

fff

x3 f3 4 3

3,44 3

f ff

x x

35

4.35,45,4,3 xx

fff

x4 f4 5 4

4,55 4

f ff

x x

x5 f5

1,2,3,4,5 0,1,2,3,40,1,2,3,4,5

5 0

f ff

x x

y los polinomios interpoladores son...

a)

)xx)(xx(

)xx)(xx(f)xx)(xx)(xx(f)xx)(xx(f)xx(ff)xP(

32

100,1,2,3,42103,2,1,0102,1,001,00

)xx)(xx)(xx)(xx()xx(

ff

)xx)(xx)(xx()xx(

ff)xx)(xx(

)xx(

ff)xx(

)xx(

fff)xP(

321004

3,2,1,04,3,2,1

21003

2,1,03,2,110

02

1,02,10

01

010

b)

)xx)(xx(

)xx)(xx(f)xx)(xx)(xx(f)xx)(xx(f)xx(ff)xP(

43

215,4,3,2,13214,3,2,1213,2,112,11

)xx)(xx)(xx)(xx()xx(

ff

)xx)(xx)(xx()xx(

ff)xx)(xx(

)xx(

ff)xx(

)xx(

fff)xP(

432115

4,3,2,15,4,3,2

32114

3,2,14,3,221

13

2,13,21

12

121

c)


)xx)(xx(f)xx(ff)xP( 324,3,223,22

)xx)(xx()xx(

ff)xx(

)xx(

fff)xP( 32

24

3,24,32

23

232

d)

)xx)(xx(f)xx(ff)xP( 435,4,334,33

)xx)(xx()xx(

ff)xx(

)xx(

fff)xP( 43

35

4,35,43

34

343

e)

)xx(ff)xP( 45,44

)xx()xx(

fff)xP( 4

45

454


En base a la siguiente tabla...

i 0 1 2 3 4 5 x 0.15 0.5 0.75 0.8 0.95 1.3 f 0.1494 0.4794 0.6816 0.7174 0.8134 0.9636

Hallar el valor de f para x = 0.32, x = 1.12 y x = 0.63 utilizando un polinomio de interpolación de Newton con

diferencias divididas ajustado a:

a.) i = 0, 1, 2, 3, 4, 5; b.) i = 2, 3, 4, 5; c.) i = 1, 2, 3.

Usar corte a 4 cifras significativas.

Se genera la tabla de diferencias divididas…

i xi fi [1]If

[1] 2if

0 0.15 0.1494 0.4794 0.1494

0.5 0.150.9428

0.8088 0.9428

0.75 0.150.2233

1 0.5 0.4794 0.6816 0.4794

0.75 0.50.8088

0.716 0.8088

0.8 0.50.3093

2 0.75 0.6816 0.7174 0.6816

0.8 0.750.716

0.64 0.716

0.95 0.750.38

3 0.8 0.7174 0.8134 0.7174

0.95 0.. 4

80 6

0.4291 0.64

1.3 0.80.4218

4 0.95 0.8134 0.9636 0.8134

1.3 0.950.4291

5 1.3 0.9636

3if 4

if 5if

0.3093 0.2233

0.8 0.1.13

50 23

0.1571 0.1323

0.95 0.150.031

0.1013 0.031

1.3 0.150.115


0.38 0.3093

0.95 0.50.1571

0.076 0.1571

1.3 0.50.1013

0.4218 0.38

1.3 0.750.076

y los polinomios de interpolación de Newton son...

a.)

1P(x) 0.1494 0.9428(x 0.15) 0.2233(x 0.15)(x 0.5) 0.1323(x 0.15)(x 0.5)(x 0.75)0.031(x 0.15)(x 0.5)(x 0.75)(x 0.8) 0.115(x 0.15)(x 0.5)(x 0.75)(x 0.8)(x 0.95)

1P(0.32) 0.3154

1P(0.63) 0.5889

1P(1.12) 0.8993

b.)

2P (x) 0.6816 0.716(x 0.75) 0.38(x 0.75)(x 0.8) 0.076(x 0.75)(x 0.8)(x 0.95)

2P (1.12) 0.9

c.)

3P (x) 0.4794 0.8088(x 0.5) 0.3093(x 0.5)(x 0.75)

3P (0.63) 0.5893

Ejemplo 1.14

Para la siguiente tabla de datos:

x – 0.2 0 0.1 0.5 0.7 f(x) 0.7028 0.13534 – 0.14943 – 1.1518 – 1.4845

halle un polinomio de interpolación de segundo y otro de tercer grado que permitan obtener de forma aproxima-

da f(0.2). Utilice diferencias divididas.

La tabla de diferencias divididas es…

xi fi fi[1] fi

[2] fi[3] fi

[4] – 0.2 0.7028 – 2.8373 – 0.0347 1.0260 0.0036

0 0.13534 – 2.8477 0.6836 1.0293 0.1 – 0.14943 – 2.5059 1.4040 0.5 – 1.1518 – 1.6635 0.7 – 1.4845

Un polinomio de segundo grado que interpole a x = 0.2 es…

P(x) 0.14943 2.5059(x 0.1) 1.4040(x 0.1)(x 0.5)

y uno de tercer grado es…

P(x) 0.13534 2.8477x 0.6836x(x 0.1) 1.0293x(x 0.1)(x 0.5)

la expresión para el polinomio de interpolación de Newton con nodos exclusivamente equiespaciados, de dis-

tancia h, utilizando (1.11), se transforma en...


)x(x )xx)(x(x)(hn!

f...)x)(xx(x

)(h!2

f)x(x

h

ffP(x) 1n10n

0n

102

02

00

0

o de forma general, para un conjunto de puntos ubicados entre xn y xm (0 n m), en un polinomio de grado (m

– n) dado por...

2 m nn n n

n n n n 1 n n 1 m 12 m n

f f fP(x) f (x x ) (x x )(x x ) ... (x x )(x x ) (x x )

h 2!(h ) (m n)!(h )

denominado polinomio de interpolación de Newton con diferencias progresivas o polinomio de interpolación de

Newton–Gregory.

Ejemplo 1.15

En base a la siguiente tabla...

i 0 1 2 3 4 5 6 x 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9 1.1 1.3 f 0.15 0.44 0.63 0.73 0.84 0.96 0.99

Encontrar el valor de f para x = 1, x = 0.45 y x = 0.12 mediante un polinomio de interpolación de Newton–

Gregory ajustado a:

a.) todos los datos; b.) i = 3, 4, 5, 6.

Usar redondeo a 7 cifras significativas.

Se genera la tabla de diferencias progresivas…

i xi fi fi 2fi

3fi 0 0.1 0.15 0.44 0.15 0.29 0.19 0.29 0.10 0.09 ( 0.10) 0.01

1 0.3 0.44 0.63 0.44 0.19 0.10 0.19 0.09 0.01 ( 0.09) 0.10

2 0.5 0.63 0.73 0.63 0.10 0.11 0.10 0.01 0.01 0.01 0

3 0.7 0.73 0.84 0.73 0.11 0.12 0.11 0.01 0.09 0.01 0.10 4 0.9 0.84 0.96 0.84 0.12 0.03 0.12 0.09

5 1.1 0.96 0.99 0.96 0.03

6 1.3 0.99

4fi 5fi

6fi

0.10 0.01 0.09 0.10 0.09 0.19 0 ( 0.19 .1) 0 9

0 0.10 0.10 0.10 ( ) 00.10

0.10 0 0.10

los polinomios de interpolación de Newton son entonces...

a.) h = 0.3 – 0.1 = 0.5 – 0.3 = 0.7 – 0.5 = 0.9 – 0.7 = 1.1 – 0.9 = 1.3 – 1.1 = 0.2

1 2 3

4 5

6

0.29 0.10 0.01P(x) 0.15 (x 0.1) (x 0.1)(x 0.3) (x 0.1)(x 0.3)(x 0.5)0.2 2!(0.2) 3!(0.2)

0.09 0.19(x 0.1)(x 0.3)(x 0.5)(x 0.7) (x 0.1)(x 0.3)(x 0.5)(x 0.7)(x 0.9)4!(0.2) 5!(0.2)

0.19 (x 0.1)(x 0.6!(0.2)

3)(x 0.5)(x 0.7)(x 0.9)(x 1.1)

(1.13)

(1.14)


1P(x) 0.15 1.45(x 0.1) 1.25(x 0.1)(x 0.3) 0.2083333(x 0.1)(x 0.3)(x 0.5)2.34375(x 0.1)(x 0.3)(x 0.5)(x 0.7) 4.947917(x 0.1)(x 0.3)(x 0.5)(x 0.7)(x 0.9)4.123264(x 0.1)(x 0.3)(x 0.5)(x 0.7)(x 0.9)(x 1

.1)

1

1

1

P(1) 0.9039550P(0.45) 0.5951189P(0.12) 0.1763624

b.)

2 2 3

0.11 0.01 0.10P (x) 0.73 (x 0.7) (x 0.7)(x 0.9) (x 0.7)(x 0.9)(x 1.1)0.2 2!(0.2) 3!(0.2)

2P (x) 0.73 0.55(x 0.7) 0.125(x 0.7)(x 0.9) 2.083333(x 0.7)(x 0.9)(x 1.1)

2P (1) 0.905

1.5.1 POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON CON DERIVE 6.

Las siguientes líneas de programación[2] en Derive 6 presentan una utilidad para generar un polinomio de inter-

polación de Newton por diferencias divididas...

#1: Precision := Approximate #2: “Generación de la tabla de diferencias divididas y progresivas para el conjunto de datos, d” #3: DD(x, f, k) := VECTOR((f(i + 1) – fi)/(f(i + k) – xi), i, 1, DIM(x) – k) #4: DD_(x, f) := ITERATES(DD(x, r, DIM(x) + 1 – DIM(r)), r, f, DIM(x) –1) #5: DD_BLANCOS(x, f) := VECTOR(APPEND((DD_(x, f))k, VECTOR("***", i, 1, k – 1)), k, 2, DIM(x)) #6: TABLA_DD(d) := APPEND(d, DD_BLANCOS(d1, d2)) #7: “Polinomio de interpolación de Newton por diferencias divididas #8: PN1_DD(d, n, m, x) := VECTOR(PRODUCT(x – (TABLA_DD(d))i1, i, n, j), j, n, m – 1) #9: PN2_DD(d, n, m, x) := (TABLA_DD(d))[3, ..., 2 + m – n]n #10: PN_DD(d, n, m, x) := (TABLA_DD(d))n2 + PN1_DD(d, n, m, x)PN2_DD(d, n, m, x)

Ejemplo 1.16

Resolver el ejercicio 1.12 empleando Derive 6 con una precisión de 7 dígitos.

Derive 6 produce los siguientes resultados…

a.) La orden PN_DD([0.15, 0.5, 0.75, 0.8, 0.95, 1.3; 0.1494, 0.4794, 0.6816, 0.7174, 0.8134, 0.9636], 1, 6,

x), produce el polinomio…

5 4 3 20.1152921x 0.3942649x 0.3711869x 0.3333666x 1.090123x 0.007679653

sustituyendo x = 0.32, x = 0.63 y x = 1.12 se tiene respectivamente…

0.3154386

0.5889323

0.8993745 b.) La orden PN_DD([0.15, 0.5, 0.75, 0.8, 0.95, 1.3; 0.1494, 0.4794, 0.6816, 0.7174, 0.8134, 0.9636], 3, 6,

x), genera el polinomio…

3 20.075844131x 0.1903895x 1.147812x 0.04016882

sustituyendo x = 1.12, resulta…

0.9

c.) La orden PN_DD([0.15, 0.5, 0.75, 0.8, 0.95, 1.3; 0.1494, 0.4794, 0.6816, 0.7174, 0.8134, 0.9636], 2, 4,

x), produce el polinomio…


20.3093333x 1.195466x 0.04099999

sustituyendo x = 0.63 se tiene…

0.5893692

1.6 ERROR EN POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN.

Si una función conocida f(x), se desea aproximar mediante un polinomio de interpolación P(x), surge un error

e(x) entre la función y el polinomio interpolador, el cual se define como...

e(x) f(x) P(x)

donde f(x) es la función de donde se extraen los datos (xi, fi) para la interpolación. En raras ocasiones es cono-

cida f(x), por lo cual es necesaria alguna forma alternativa de calcular o estimar el error de un polinomio de in-

terpolación.

Teorema(Error en un polinomio de interpolación). Sea f(x) una función continua y derivable, hasta el orden (n +

1) por lo menos, entonces para un cualquiera dentro del intervalo de interpolación [x0, xn], el error e(x) se pue-

de expresar como...

,)x-(x)!1n(

)(fP(x)f(x)(x)e

n

0ii

)1n(

En la fórmula para el error, si f(x) es un polinomio de grado n o menor, f(n+1)() se anula y en ese caso el error

es 0; si esta no es la situación, la ecuación para el error es difícil evaluarla ya que es desconocido el valor exac-

to de , no obstante, cuando la (n + 1)�ésima derivada esta acotada, es decir…

0M donde M)(f 1)(n

el error estimado o aproximado, eap(x) es entonces...

n

i api 0

Me(x) f(x) P(x) (x x ) e (x)(n 1)!

fórmula válida para cualquier valor de x que se encuentre entre x0 y xn. Esta ecuación permite obtener la cota

máxima para el error.

La forma de distribución y la magnitud del error depende de los siguientes factores:

Distribución de los nudos de interpolación.

Tamaño del intervalo de interpolación, [x0, xn].

Número de nodos de interpolación (u orden del polinomio de interpolación).

Si los nodos de interpolación están igualmente espaciados, el error tiende a distribuirse de forma tal que su

magnitud es pequeña en los alrededores del centro del intervalo pero crece de forma rápida al acercarse a los

extremos del mismo, hecho conocido con el nombre de fenómeno de Runge. La distribución de los nodos de in-

terpolación puede ser optimizada utilizando la interpolación con puntos de Chebyshev, método que distribuye la

magnitud del error de una manera más uniforme a lo largo del intervalo de interpolación, reduciendo los valores

máximos del error en los extremos.

Ejemplo 1.17

(1.15)

(1.16)


Estudiar el comportamiento del error en un polinomio de interpolación, que resulte de la aproximación de la fun-

ción f(x) = cos(x2+1) desde 0 hasta 1 en distancias de 0.1. Emplear corte a 6 cifras significativas

Para empezar el estudio es necesario contar con la tabla de datos, la cual es...

x � 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 f 0.540302 0.531860 0.506220 0.462485 0.399339 0.315322 0.209238 0.0807084

x 0.8 0.9 1 f – 0.0691484 – 0.236929 – 0.416146

Es necesario entonces contar con el objeto de análisis, el polinomio de interpolación. A través de la orden de

Derive 6 P_LAG([0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1; 0.540302, 0.531860, 0.506220, 0.462485,

0.399339, 0.315322, 0.209238, 0.0807084, –0.0691484, –0.236929, –0.416146], x), se obtiene...

10 9 8 7 6P(x): 0.00557236x 0.0137833x 0.0531327x 0.03436911x 0.163270x5 4 3 20.00970102x 0.267578x 0.000411552x 0.841435x 0.00000124909x

0.540302

por lo tanto la expresión para el error es...

2 10 9 8 7e(x): cos(x 1) 0.00557236x 0.0137833x 0.0531327x 0.03436911x6 5 4 3 20.163270x 0.00970102x 0.267578x 0.000411552x 0.841435x

0.00000124909x 0.5403029

Para visualizar el efecto del error es necesario graficarlo conjuntamente con el polinomio de interpolación, así…

Del gráfico se pueden observar las siguientes características:

El error oscila.

El fenómeno de Runge es evidente en los extremos del intervalo de interpolación.

El error en los nodos de interpolación es nulo.

fenómeno de Runge

Centro del intervalo

10

(1108)e(x)

f(x)


Seguidamente, se estimará la cota máxima de error...

Con ayuda de Derive 6, es posible calcular el valor absoluto de la onceava derivada de f(x) como…

(11) 3 8 4 2 8 4 2f (x) 128x (16x 3960x 17325)sen(x 1) 3520x(16x 504x 189)cos(x 1)

se grafica dicha expresión para determinar su cota máxima M…

por lo tanto...

ap

e(x) f(x) P(x) x(x 0.1)(x 0.2)(x 0.3)(x 0.4)(x 0.5)(x 0.6)(x 0.7)(x 0.8)(x 0.9)1246577(x 1) e (x)

(11)!

ap

e(x) 0.0312293 x(x 0.1)(x 0.2)(x 0.3)(x 0.4)(x 0.5)(x 0.6)(x 0.7)(x 0.8)(x 0.9)

(x 1) e (x)

finalmente se traza la grafica para el error aproximado eap(x)...

f(11)

M =


concluyéndose que e(x) 0.000000130106.

De manera general, al disminuir el tamaño del intervalo de interpolación, también disminuye la magnitud del

error, y obviamente al aumentar el tamaño del intervalo también aumentará la magnitud del error, pudiendo ésta

inclusive superar al valor del polinomio interpolador.

Finalmente, si el tamaño del intervalo de interpolación permanece fijo y se incrementa el número de puntos de

interpolación a partir de un número pequeño de ellos, el valor máximo del error tiende a disminuir hasta un cierto

número de nodos, a partir del cual si se incrementa éste el error máximo puede comenzar a crecer, por lo que

se deduce que el aumentar el número de nodos de interpolación no garantiza el incremento en la precisión, pues

se presenta un fenómeno de oscilación que hace crecer el valor del error a tal punto que en conjunto con la

acumulación de errores de redondeo puede superar inclusive al valor del polinomio.

Ejemplo 1.18

Aproximar por interpolación polinomial la función 4

xf(x)

1 x

en el intervalo [–1, 4], con los siguientes con-

juntos de nodos de interpolación:

i. {–1, –0.5, 0.5, 2, 4},

ii. {–1, –0.5, 0, 0.5, 1, 2, 3, 4}

iii. {–1, –0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4}

Analizar el comportamiento del error.

Las tablas de datos (xi, fi) para cada conjunto de nodos de interpolación son…

x –1 –0.5 0.5 2 4 f 0.5 0.94117 0.94117 0.058823 0.0038910

x –1 –0.5 0 0.5 1 2 3 4 f 0.5 0.94117 0 0.94117 0.5 0.058823 0.012195 0.0038910

x –1 –0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 f 0.5 0.94117 0 0.94117 0.5 0.16494 0.058823 0.024960

x 3 3.5 4 f 0.012195 0.0066197 0.0038910

Con dichos datos los polinomios de interpolación Pi(x), Pii(x) y Piii(x) se escriben...

i4 3 2P(x): 0.093842x 0.44678x 0.024147x 1.0528x 0.011902

ii7 6 5 4 3 2P (x): 0.016189x 0.13833x 0.30932x 0.17292x 0.99613x 0.034584x

1.1706x

iii10 9 8 7 6P (x): 0.00557236x 0.0137833x 0.0531327x 0.03436911x 0.163270x

5 4 3 20.00970102x 0.267578x 0.000411552x 0.841435x 0.00000124909x0.540302

es necesario entonces efectuar las gráficas de los polinomios de interpolación para obtener una idea general de

lo que sucede al aumentar el número de puntos de interpolación…


es evidente observar como al crecer el número de puntos de interpolación se mejora la aproximación de los po-

linomios a la función, excepto en el intervalo [–1, –0.5] donde se presenta una oscilación polinómica.

Las expresiones para los errores son...

ix 4 3 2e (x): 0.267578x 0.000411552x 0.841435x 0.00000124909x41 x

0.540302

ii7 6 5 4 3P (x): 0.03436911x 0.163270x 0.00970102x 0.267578x 0.000411552x

20.841435x 0.00000124909x 0.540302

iii10 9 8 7 6P (x): 0.00557236x 0.0137833x 0.0531327x 0.03436911x 0.163270x

5 4 3 20.00970102x 0.267578x 0.000411552x 0.841435x 0.00000124909x0.540302

y sus gráficas son…

oscilación polinómica

Pi(x)

Pii(x)

Piii(x)

f(x)

ie (x)

iie (x)

iiie (x)


La gráfica confirma que el error disminuye a medida que el número de puntos de interpolación aumenta, excep-to en el intervalo donde se presenta la oscilación polinómica. Aún así, el error presente en los extremos es supe-rior al resto del intervalo de interpolación.

Un caso más crítico de oscilación polinómica lo muestra el siguiente ejemplo…

Ejemplo 1.19

Aproximar por interpolación polinomial la función 2

1f(x)

1 x

en el intervalo [–5, 5], con los siguientes con-

juntos de puntos de interpolación:

i. {–5, –4, –1, 2, 4, 5},

ii. {–5, –4, –1, 0, 2, 3, 4, 5}

Analizar el comportamiento del error.

Sus tablas de datos (xi, fi) son…

x –5 –4 –1 2 4 5 f 0.038461 0.058823 0.5 0.2 0.058823 0.038461

x –5 –4 –1 0 2 3 4 5 f 0.038461 0.058823 0.5 0 0.2 0.1 0.058823 0.038461

y sus correspondientes polinomios de interpolación…

i5 4 3 2P(x): 0.00022624x 0.00090498x 0.0092760x 0.039367x

0.090498x 0.45701

ii7 6 5 4 3P (x): 0.00022624x 0.00090498x 0.0092760x 0.039367x 0.090498x

20.45701x 1

las gráficas de f(x) y los polinomios de interpolación anteriormente calculados, son…

Pi(x)

Pii(x) f(x) oscilación polinómica

oscilación polinómica


éstas muestran una gran influencia de oscilación polinómica en los extremos del intervalo de interpolación lo

que hará nada confiables los datos interpolados en estos intervalos. Los errores de interpolación para estos po-

linomios serán…

i1 5 4 3 2e (x): 0.00022624x 0.00090498x 0.0092760x 0.039367x21 x

0.090498x 0.45701

ii1 7 6 5 4 3e (x): 0.00022624x 0.00090498x 0.0092760x 0.039367x 0.090498x21 x20.45701x 1

y sus gráficas versus f(x) es…

resulta evidente que el error supera a f(x) en algunas regiones del intervalo de interpolación; esto confirma que el aumentar el número de puntos de interpolación no siempre incrementa la precisión.

1.7 ERROR EN LOS POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON.

Para los polinomios de interpolación de Newton existe una forma alternativa y más sencilla de expresar el error,

la cual la define el siguiente teorema...

Teorema. Sea f(x) una función continua y derivable hasta el orden (n + 1) inclusive, entonces para un polinomio

de interpolación de Newton, el error e(x) se puede expresar como...

n

0iin10 )x-(x x,x,...,x,xfP(x)f(x)(x)e

para un valor arbitrario x x0,x1,...,xn, siendo f[x0,x1,...,xn, x] la (n + 1)�ésima diferencia finita dividida.

Si se toma un valor fijo xn + 1 como por ejemplo un punto adicional de la tabla de datos, entonces la anterior ex-

presión se convierte en la relación aproximada...

)xx()xx)(xx(f)x-(x x,x,...,x,xf(x)e n101n,n,...,2,1,0

n

0ii1nn10

(1.17)

ie (x)

iie (x)

f(x)


denominada regla del término siguiente, que muestra como el error aproximado de interpolación para un poli-

nomio de Newton por diferencias divididas está dado por el término (n + 1)�ésimo del desarrollo de grado n. Si

bien la expresión (2.17) es válida para las diferencias divididas, se la puede también escribir en función de dife-

rencias progresivas como...

)xx()xx)(xx(h)!1n(

f(x)e n101n

01n

Para las expresiones (1.17) y (1.18) se podría utilizar como punto adicional xn+1, ya sea un valor posterior a xn o

un anterior a x0, con el cual se construye las diferencias divididas o progresivas que requieren dichas fórmulas.

1.8 INTERPOLACIÓN CON RAÍCES O PUNTOS DE CHEBYSHEV. MINIMIZACIÓN DEL ERROR DE INTERPOLACIÓN.

En los métodos de interpolación revisados hasta aquí, el error se reparte de forma tal que toma valores máximos

cerca de los extremos del intervalo de interpolación; este comportamiento puede ser modificado si se escogen

los nodos de interpolación de manera que el error se distribuya uniformemente a lo largo de dicho intervalo.

Además, en este caso el error disminuirá considerablemente con respecto a los valores obtenidos en los méto-

dos vistos hasta ahora, lográndose con ello una minimización del error.

La minimización y repartición uniforme del error a lo largo del intervalo de interpolación se logra al tomar como

puntos de interpolación las raíces del denominado polinomio de Chebyshev.

Los polinomios de Chebyshev, Tn(x) (donde n = 0,1,2,3,...) cuyo dominio de definición es [�1,1], están dados

por la fórmula:

1,2,3,...,0n ))xarccos(ncos()x(Tn

De esta definición, se puede establecer una fórmula recurrente para los polinomios de Chebyshev, así...

para n = 0, 1))xarccos(0cos()x(T0

para n = 1, x))xarccos(1cos()x(T1

de la identidad trigonométrica...

)BAcos()BAcos(2

1)Bcos()Acos(

con A = n, B = 1 y = arccos(x), se obtiene...

))Xarccos()1ncos((

))xarccos()1ncos((2

1))x(cos(arccos))xarccos(ncos(

rescribiendo la ecuación...

))Xarccos()1ncos((x))xarccos(ncos(2))Xarccos()1ncos((

))x(cos(arccos))xarccos(ncos(2))xarccos()1ncos((

pero, Tn+1(x)=cos((n+1)arccos(x)) y Tn�1(x)=cos((n 1)arccos(x)), entonces…

)x(T)x(xT2)x(T 1nn1n

fórmula recurrente que permite calcular el termino (n+1)ésimo en función de los términos nésimo y

(1.18)


(n1)ésimo. En base a ésta fórmula se pueden definir los polinomios de Chebyshev, de la siguiente manera...

)x(T)x(xT2)x(T

. . . . . . . .

x3x4x)1x2(x2)x(T

1x21)x(x2)x(T

x)x(T

1)x(T

1nn1n

323

22

1

0

se puede notar además que debido a la función coseno, –1 Tn(x) 1, por lo que los polinomios de Chebyshev

se encuentran “encerrados” dentro de un cuadrado de coordenadas x = 1 e y = 1.

En Derive 6, existe la utilidad ORTH_POL.MTH contenida dentro del directorio MATH, que posee la función CHE-

BYCHEV_T(n, x), la cual calcula el nésimo polinomio de Chebyshev. Así por ejemplo...

CHEBYCHEV_T(1, x) x 2CHEBYCHEV_T(2, x) 2x 1

3CHEBYCHEV_T(3, x) 4x 3x 4 2CHEBYCHEV_T(4, x) 8x 8x 1

5 3CHEBYCHEV_T(5, x) 16x 20x 5x

Graficando estos polinomios se tiene…

Pero nos interesa de los polinomios de Chebyshev sus soluciones, pues éstas constituyen los nodos de interpo-

lación que distribuyen uniformemente el error y lo minimizan, entonces seguidamente se hallarán las raíces o

puntos de Chebyshev. Considérese...

0)x(Tn

es decir, 0))xarccos(ncos(

de donde... n0,1,2,...,i 2n2

1i2)xarccos(


o sea... n0,1,2,...,i 2n2

1i2cosxi

que es la fórmula para las raíces de Chebyshev en el intervalo [�1,1]. Sin embargo rara vez, coincidirá el inter-

valo de las raíces con el intervalo de interpolación, por lo que es necesario acomodar la anterior fórmula para

que funcione dentro de cualquier intervalo [x0, xn]. Para lograr esto, considérese el siguiente cambio de varia-

ble...

n 0 n 0(x x )x (x x )

z2

donde, 0

n

z x si x 1

z x si x 1

despejando x, se tiene... n 0

n 0

2z (x x )x

(x x )

y reemplazando en la fórmula para las raíces...

i n 0

n 0

2z (x x ) 2i 1cos

(x x ) 2n 2

es decir...

n0,1,2,...,i ab2n2

1i2cos)ab(

2

1zi

que son las raíces de Chebyshev que se encuentran dentro del intervalo [x0, xn].

1.8.1 RAÍCES DE CHEBYSHEV CON DERIVE 6.

Es posible automatizar con Derive 6 el cálculo de las raíces zi de Chebyshev y los puntos de interpolación eva-

luados para una función f(x) en dichas raíces, mediante las siguientes líneas de programación...

#1: Precision := Approximate #2: F(x) := #3: RAICES_CHEBYSHEV(x0, xn, n) := VECTOR([i, (1/2)((xn – x0)COS(((2i + 2)/(2n + 2))) + xn + x0)], i, 0, n) #4: DATOS(x0, xn, n) := VECTOR([RAICES_CHEBYSHEV(x0, xn, n)i2,F(RAICES_CHEBYSHEV(x0, xn, n)i2)], i, 1, n + 1)

49 Solución de ecuaciones no lineales

CCAAPPÍÍTTUULLOO 22 SSOOLLUUCCIIÓÓNN DDEE EECCUUAACCIIOONNEESS NNOO LLIINNEEAALLEESS

Las ecuaciones no lineales, en su mayoría, no poseen métodos exactos de obtención de raíces y en caso de

que éstos existan, muchas veces su proceso resulta de trámite muy engorroso. El objetivo del presente capítulo

es exponer al lector los principales métodos de solución de ecuaciones no lineales, que mediante una automati-

zación por computadora, resultan una alternativa muy eficaz.

Matemáticamente el problema lo establece el siguiente teorema...

Definición (Raíz de una ecuación). Sea y = f(x) una función dada, y sea xr un número real o complejo, entonces

si f(xr) = 0, entonces se dice que xr es una raíz o solución de f(x) = 0.

2.1 AISLAMIENTO DE RAICES.

El primer paso a darse para poder aplicar los métodos numéricos del presente capítulo es aislar el intervalo de

tal manera que exista una sola y única raíz. Analíticamente, se puede proceder a determinar dicho intervalo,

aunque en muchas ocasiones es necesario ayudarse de una aproximación gráfica.

De forma matemática el aislamiento de una raíz se fundamenta en el siguiente teorema…

Teorema (Teorema de Bolzano). Sea y = f(x) una función continua en el intervalo [a, c]. Si f(a)f(c) < 0, enton-

ces existe al menos un punto xr, tal que f(xr) = 0.

La interpretación geométrica del teorema de Bolzano se muestra en el siguiente gráfico...

Aunque el teorema anterior establece la condición necesaria para la existencia de por lo menos una raíz, deja

abierta la posibilidad de que exista más de una. Para descartar tal posibilidad y encontrar un intervalo que con-

tenga una y solo una raíz, es indispensable considerar el siguiente teorema...

Teorema (Existencia de una única raíz). Sea y = f(x) una función continua y derivable en el intervalo [a, c] con

f(a)f(c) < 0. Si el signo de f(x) permanece constante en [a, c], entonces existe una única raíz o solución de f(x)

Fig. 2.1: Teorema de Bolzano


= 0 en dicho intervalo.

Debido a que y = f(x) es continua y derivable en [a, c], se puede aplicar el teorema de Bolzano con lo que se

asegura la existencia de al menos una raíz. Por otro lado, dado que existe f(x) y que tiene un valor constante,

entonces se garantiza que f(x) sea estrictamente creciente o decreciente en [a, c], lo que impide que la curva

pueda cortar al eje de las abscisas en más de un punto, permitiendo de esta forma la existencia de una sola y

única raíz.

2.2 APROXIMACIÓN GRÁFICA A LA SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN.

Antes de utilizar un algoritmo numérico para encontrar la raíz de una ecuación es necesario previamente encon-

trar un primer intervalo de aproximación o una ó más aproximaciones a la raíz. Este proceso de “primera

aproximación” se lo puede lograr a partir del grafico de la curva cuya raíz se busca.

En Derive 6 el proceso de graficación es muy simple, para ello…

Paso 1: Se escribe la función en la forma y = f(x).

Paso 2: Se hace clic sobre la orden Window/New 2D–plot Window y luego sobre el icono

Paso 3: Entonces aparece la ventana de gráficos, que tiene el siguiente aspecto...

Paso 4: En dicha ventana se hace clic sobre la orden Insert/Plot (ó F4) y la gráfica automáticamente se dibuja.

Ejemplo 2.1

Graficar mediante Derive 6 la función y = sen(x) + e-cos(x), y descubrir un intervalo donde exista raíz.

Se escribe y resalta la ecuación...

seguidamente se efectúa el proceso anteriormente indicado y se obtiene...


Del gráfico se puede observar claramente que hay un intervalo de existencia de la raíz en [4, 5].

2.3 MÉTODOS CERRADOS.

Estos métodos de solución de ecuaciones no lineales encuentran una aproximación(valor cercano) a la raíz,

mediante procesos iterativos, partiendo de un intervalo cerrado el cual es reducido a otro, siempre dentro del an-

terior, que contenga la raíz en una vecindad tan pequeña como se desee.

2.3.1 MÉTODO DE BISECCIÓN.

Este es el método más simple, seguro y sólido, aunque no el más rápido, para hallar la raíz de una ecuación no

lineal. Para poder determinar la raíz de la ecuación es previamente necesario encontrar por aproximación gráfica

o aislamiento numérico el intervalo de ubicación de la misma.

A continuación se describe el método...

Supóngase que en el intervalo entre x = a y x = c, expresado [a, c], existe una sola

raíz, como se muestra en el siguiente gráfico...


El método se fundamenta en el hecho de que existe una raíz en el intervalo [a, c], siempre y cuando los signos

de y = f(x) en los dos extremos del mismo sean contrarios, o bien que f(a) ó f(c) se anulen, es decir f(a)f(c)

0. El primer paso para utilizar este método consiste en bisecar o dividir por la mitad el intervalo [a, c], a saber

[a, b] y [b, c] donde b es el punto medio dado por 2

)ca(b

. Luego de verificar los signos de f(a)f(b) y

f(b)f(c) se ubica la mitad del intervalo que contiene la raíz. De esta manera, si f(a)f(b) 0, el intervalo [a, b]

contiene la raíz, caso contrario el intervalo [b, c] será el que la contenga. Encontrado el nuevo intervalo que con-

tiene la raíz se biseca de nuevo el mismo y se repite el proceso para hallar el nuevo intervalo que contiene la

raíz. Si se repite secuencialmente el proceso anterior, el intervalo de la raíz se vuelve cada vez más pequeño,

pudiéndose detener el proceso cuando la raíz (punto medio en cada bisección) se encuentre dentro de una tole-

rancia tol prefijada. Luego de haber realizado el proceso n veces el tamaño del intervalo tiene el tamaño

ninicial

2

)ac( . La tolerancia tol entonces debe cumplir entonces con la desigualdad

inicial

n

(c a)tol

2, ó

inicialln((c a) ) ln(tol)

nln(2)

Ejemplo 2.2

Encontrar las raíces de la ecuación f(x) = sen(x2 2x) que se ubiquen en el intervalo [1, ], utilizando el méto-

do de bisección con una tolerancia de tol = 0.001. Redondear los cálculos a 6 cifras decimales.

Se procede a generar una tabla para aislar las posibles raíces contenidas en el intervalo [1, ]...

i xi f(xi)

1 1 – 0.841471

2 1.5 – 0.681631

3 2 0

a c

y

x

f(c) 0

f(a) < 0

raíz

f(x)

Fig. 2.2: Método de bisección


4 2.5 0.948985

5 3 0.141120

6 3.141593 – 0.430301

De la tabla se puede observar que una raíz se encuentra en x = 2 y la otra en el intervalo [3, ], pues en el se

produce un cambio en f(x) de positivo a negativo. Entonces se procederá a la búsqueda de esta última raíz...

i a b c f(a) f(b) f(c)

1 3 3.070796 3.141593 0.141120 – 0.146079 – 0.430301

2 3 3.035398 3.070796 0.141120 – 0.001252 – 0.146079

3 3 3.017699 3.035398 0.141120 0.070421 – 0.001252

4 3.017699 3.026549 3.035398 0.070421 0.034685 – 0.001252

5 3.026549 3.030974 3.035398 0.034685 0.016736 – 0.001252

6 3.030974 3.033186 3.035398 0.016736 0.007747 – 0.001252

7 3.033186 3.034292 3.035398 0.007747 0.003249 – 0.001252

8 3.034292 3.034845 3.035398 0.003249 0.000998 – 0.001252

i 1 2 3 4 5 6 7 8

Error absoluto --- 0.035398 0.017699 0.008850 0.004425 0.002212 0.001106 0.000553

Por lo tanto, la raíz para el intervalo [3, ] es x = 3.033186 por error relativo y x = 3.034845 por error absolu-to.

Ejemplo 2.3

Hallar una raíz de la ecuación f(x) = x4 3x3 + 3x – 1, utilizando el método de bisección con una tolerancia de

tol = 0.001. Emplear redondeo a 6 cifras decimales.

Como no se da en el problema un intervalo donde encontrar la raíz, se procede entonces a graficar la función

para aislar un intervalo de búsqueda de la raíz...

1 0 1 2 3

2

2

f x( )

x Se puede entonces tomar varias alternativas para intervalos de búsqueda, tomemos el intervalo [2, 3], y en él se

afinará el aislamiento de la posible raíz, mediante la siguiente tabla...

i xi f(xi)

1 2 – 3

2 2.2 – 2.918400


3 2.4 – 2.094400

4 2.6 – 0.230400

5 2.8 3.009600

6 3 8

por lo que la raíz se halla en el intervalo [2.6, 2.8]. La tabla de búsqueda de dicha raíz es...


1 2.6 2.7 2.8 – 0.230400 1.195100 3.009600

2 2.6 2.65 2.7 – 0.230400 0.436631 1.195100

3 2.6 2.625 2.65 – 0.230400 0.092041 0.436631

4 2.6 2.6125 2.625 – 0.230400 – 0.071904 0.092041

5 2.6125 2.61875 2.625 – 0.071904 0.009382 0.092041

6 2.6125 2.615625 2.61875 – 0.071904 – 0.031432 0.009382

7 2.615625 2.617188 2.61875 – 0.031432 – 0.011062 0.009382

8 2.617188 2.617969 2.61875 – 0.011062 – 0.000851 0.009382

i 1 2 3 4 5 6 7 8

Error absoluto --- 0.05 0.025 0.0125 0.00625 0.003125 0.001563 0.000781

Entonces la raíz para el intervalo [2.6, 2.8] es x = 2.617188 por error relativo y x = 2.617969 por error absolu-to.

Ejemplo 2.4

Utilice el método de bisección para hallar la raíz de la ecuación x tan(x) , contenida en el intervalo [4, 5],

con hasta 2 cifras decimales de precisión.

Se escribe la ecuación en la forma f(x) = 0, de donde f(x) x tan(x) 0 .

Se procede entonces al aislamiento de las posibles raíces…

x f(x)

4 4 tan(4) 2.842179

4.1 4.1 tan(4.1) 2.676474

4.2 4.2 tan(4.2) 2.422220

4.3 4.3 tan(4.3) 2.014152

4.4 4.4 tan(4.4 1.3 6) 0367

4.5 4.5 tan(4.5) 0.137332

4.6 4.6 tan(4.6) 4.260175

4.7 4.7 tan(4.7) 76.012763

4.8 4.8 tan(4.8) 16.184871

4.9 4.9 tan(4.9) 10.167493

5 5 tan(5) 8.380515

El primer cambio de signo entre 4.4 y 4.5 corresponde a la presencia de la raíz, mientras que el segundo cam-


bio, entre 4.7 y 4.8, se presenta en la asíntota 3x2

y no corresponde a la presencia de una raíz.

Por lo tanto el intervalo de búsqueda de la raíz es [4.4, 4.5]


1 4.4 4.45 4.5 + 0.726731 –

2 4.45 4.475 4.5 + 0.341933 –

3 4.475 4.4875 4.5 + 0.116078 –

4 4.4875 4.49375 4.5 + – 0.006887 –

5 4.4875 4.490625 4.49375 + 0.055491 –

6 4.490625 4.492188 4.49375 + 0.02451 –

7 4.492188 4.492969 4.49375 + 0.008875 –

i 1 2 3 4 5 6 7

Error absoluto --- 0.025 0.0125 0.00625 0.003125 0.001563 0.000781

La raíz pedida es 4.492969.

Comprobemos la no existencia de raíz en el intervalo [4.7, 4.8]:


1 4.7 4.75 4.8 – 76.012763 31.325414 16.184871

2 4.7 4.725 4.75 – 76.012763 84.016526 31.325414

3 4.7 4.7125 4.725 – 76.012763 9012.129732 84.016526

4 4.7 4.70625 4.7125 – 76.012763 – 158.185203 9012.129732

5 4.70625 4.709375 4.7125 – 158.185203 – 327.076783 9012.129732

6 4.709375 4.710938 4.7125 – 327.076783 – 684.477771 9012.129732

7 4.710938 4.711719 4.7125 – 684.477771 – 1487.869069 9012.129732

i 1 2 3 4 5 6 7

Error absoluto --- 0.025 0.0125 0.00625 0.003125 0.001563 0.000781

Si bien se puede observar que el error disminuye como en la búsqueda del intervalo [4.4, 4.5], el valor de f(b)

en lugar de acercarse a cero crece (ya sea con valores negativos o positivos), lo que demuestra que el acerca-miento al posible punto raíz no es más que un acercamiento al punto correspondiente a una asíntota.

2.3.1.1 MÉTODO DE BISECCIÓN UTILIZANDO DERIVE 6

Aislamiento de las raíces

Las instrucciones siguientes permiten en Derive 6 generar un rastreo de los intervalos posibles donde se pueden

hallar las raíces...

#1: F(x) := #2: AISL(in, fin, p) := VECTOR([x, SIGN(F(x))], x, in, fin, p)

Método de Bisección

Un programa en Derive 6 utilizando programación funcional para hallar la raíz de una ecuación por el método de

bisección utilizando el número de iteraciones n como criterio de paro, está dado por las siguientes instruccio-

nes...


#1: F(x) := #2: BIS_AUX1(in, fin) := IF(F(in)F((in+fin)/2)<0, [in, (in+fin)/2], [(in+fin)/2, fin]) #3: BIS_AUX2(in, fin, n) := ITERATE(BIS_AUX1(v1, v2), v, [in, fin], n – 1) #4: BISECCION(in, fin, n) := IF(F((in+fin)/2) = 0, [“raiz” ; (in+fin)/2], [“raíz”, “error” ; ((BIS_AUX2(in, fin, n)1+ BIS_AUX2(in, fin, n)2)/2, ABS(((BIS_AUX2(in, fin, n))2 – (BIS_AUX2(in, fin, n))1)/2)])

Un programa en Derive 6 utilizando programación procedural para hallar la raíz de una ecuación por el método

de bisección utilizando el número de iteraciones n como criterio de paro, está dado por las siguientes instruc-

ciones...

#1: F(x) := #2: BISECCION(in, fin, n) := PROG(i := 1, LOOP(r := (in+fin)/2, t := ABS((fin – in)/2), IF(F(r) = 0, RETURN [“raiz”, “er-ror”; r, 0]), IF(i = n, RETURN [“raiz”, “error”; r, t]), IF(F(in)F(r) > 0, in := r, fin := r), i :+ 1))

2.3.2 MÉTODO DE FALSA POSICIÓN, DE LAS CUERDAS O REGULA FALSI.

Este método efectúa una aproximación a la raíz, mediante interpolación lineal, la que genera una cuerda, de ahí

su nombre extendido de método de las cuerdas. Considérese una función f(x) en el intervalo [a, c], en el cual

existe una raíz, es decir f(a)f(c) 0; entre los puntos extremos [a, f(a)] y [c, f(c)] se efectúa una interpolación

lineal generando una cuerda AC, como lo muestra el siguiente gráfico...

Dicha cuerda corta al eje x en el punto b, éste es la primera aproximación a la raíz exacta; por este punto se tra-

za una recta vertical hasta cortar la función f(x), es decir hasta generar el punto [b, f(b)]. Gracias a este punto la

curva queda cortada en dos segmentos uno de los cuales contendrá la raíz. Supóngase que el segmento entre

los puntos [b, f(b)] y [c, f(c)] (como se observa en el gráfico), contiene la raíz, entonces este segmento de cur-

va se vuelve a aproximar mediante interpolación lineal repitiendo el proceso explicado anteriormente; así se

hallará una segunda aproximación a la raíz. Este procedimiento se repite un número n de veces hasta que la di-

ferencia entre la n–ésima y la (n – 1)–ésima aproximaciones no superen una tolerancia prefijada tol. De lo expli-

cado se puede comprobar que el proceso es casi exactamente idéntico al método anterior, excepto por la forma

de determinar el punto intermedio b, que deja de ser una monótona bisección. El siguiente paso es determinar la

a

c x

f(c) 0

f(a) < 0

raíz

b

f(b) < 0 A

C y

f(x)

Fig. 2.3: Método de falsa posición


fórmula para el punto intermedio b. Considérese para ello los triángulos Aab y Ccb mostrados claramente en

el gráfico anterior; estos triángulos son semejantes entonces se puede establecer la relación...

ab

bc

)a(f

)c(f

despejando de ésta b, se tiene...

)a(f)c(f

)a(cf)c(afb

expresión que constituye la formula general para la aproximación a la raíz mediante el método de la falsa posi-

ción.

La desventaja de este método es que pueden aparecer extremos fijos, en donde uno de los extremos de las ite-

raciones no se mueve del punto original, por lo que las sucesivas aproximaciones a la raíz, convergen a la raíz

exacta solamente por un extremo. Los extremos fijos hacen más lenta la convergencia, especialmente cuando el

intervalo inicial es muy grande o cuando la función se desvía de manera significativa de la línea recta generada

en la interpolación lineal.

Ejemplo 2.5

Determinar las raíces de la ecuación )xcos(e)x(f3x que se ubiquen en el intervalo [0,2], utilizando el

método de la falsa posición con una tolerancia de 0.001.

Se procede a generar una tabla para aislar las posibles raíces contenidas en el intervalo...

i xi f(xi) 1 0 0

2 0.2 0.0119652

3 0.4 0.0169439

4 0.6 – 0.0196003

5 0.8 – 0.0974110

6 1 – 0.172422

7 1.2 – 0.184718

8 1.4 – 0.105654

9 1.6 0.0458384

10 1.8 0.230134

11 2 0.416482

De la tabla se puede observar que una raíz se encuentra en x = 0 y otras dos posibles raíces se hallan en los in-

tervalos [0.4, 0.6] y [1.4, 1.6]

Búsqueda de la raíz en el primer intervalo...

i a b c f(a) f(b) f(c) 1 0.4 0.492731 0.6 0.0169439 0.00620691 – 0.0196003

2 0.492731 0.518530 0.6 0.00620691 0.00131492 – 0.0196003

3 0.518530 0.523651 0.6 0.00131492 0.000243068 – 0.0196003

4 0.523651 0.524586 0.6 0.000243068 0.0000438128 – 0.0196003


i 1 2 3 4

Error absoluto --- 0.092569 0.005121 0.000935

Ahora la raíz en el segundo intervalo...


1 1.4 1.53948 1.6 – 0.105654 – 0.00528296 0.0458384

2 1.53948 1.54573 1.6 – 0.00528296 – 0.000171186 0.0458384

3 1.54573 1.54593 1.6 – 0.000171186 – 0.00000673644 0.0458384

i 1 2 3

Error absoluto --- 0.00625 0.0002

Las raíces son entonces x = 0.524586 y x = 1.54593.

Ejemplo 2.6

Encuentre la raíz de f(x) = sen(x) – x + 1 que se sabe está en 1 < x < 3, mediante el método de falsa posi-

ción. Utilice una tolerancia de 0.0001.

Se procede a generar una tabla para aislar la raíz contenidas en el intervalo dado...

i xi f(xi) 1 1 0.841470

2 1.2 0.732039

3 1.4 0.585449

4 1.6 0.399573

5 1.8 0.173847

6 2 – 0.0907025

7 2.2 – 0.391503

8 2.4 – 0.724536

9 2.6 – 1.08449

10 2.8 – 1.46501

11 3 – 1.85887

Entonces la raíz buscada se encuentra en el intervalo [1.8, 2], hallémosla...


1 1.8 1.93142 2 0.173847 0.00425689 – 0.0907025

2 1.93142 1.93449 2 0.00425689 0.0000991965 – 0.0907025

3 1.93449 1.93456 2 0.0000991965 0.00000452348 – 0.0907025

i 1 2 3

Error absoluto --- 0.00307 0.00007

La raíz es x = 1.93456.

Ejemplo 2.7

Mediante el método de falsa posición encuentre una raíz de 3f(x) x x 1 , con hasta 3 cifras decimales de

precisión.


1 0.5 0 0.5 1 1.5 2

2

2

4

f x( )

1 2

x Del gráfico es fácil observar que la raíz se halla en el intervalo [1, 1.5].


1 1 1.266667 1.5 – 1 – 0.234369 0.875

2 1.266667 1.315962 1.5 – 0.234369 – 0.037037 0.875

3 1.315962 1.323436 1.5 – 0.037037 – 0.005461 0.875

4 1.323436 1.324531 1.5 – 0.005461 – 0.000797 0.875

5 1.324531 1.324691 1.5 – 0.000797 – 0.000115 0.875

i 1 2 3 4 5

Error absoluto --- 0.049295 0.007474 0.001095 0.000160

La raíz pedida es 1.324691.

CARACTERÍSTICAS DE LOS MÉTODOS CERRADOS ESTUDIADOS: El siguiente cuadro muestra una serie de ca-

racterísticas que pueden servir para elegir uno de los métodos estudiados de acuerdo al contexto del problema...

Método de bisección Método de falsa posición

El método siempre halla la raíz, si ella se encuentra en el intervalo de búsqueda utilizado.

El método siempre halla la raíz, si ella se encuentra en el intervalo de búsqueda utilizado.

El método puede determinar una singularidad de la fun-ción como raíz de la ecuación , por lo que es necesario

verificar que f(b) converja a 0.

El método puede determinar una singularidad de la fun-ción como raíz de la ecuación , por lo que es necesario

verificar que f(b) converja a 0.

El método, en general, es lento en su convergencia hacia la raíz. Este problema se puede minimizar si se afina lo más posible el intervalo de búsqueda de la raíz, antes de proceder a utilizar el método.

El método tiene una convergencia más rápida que el método de bisección, siempre y cuando la función lineal que interpola a f(x) y ésta sean muy próximos entre sí; pero en general este método no es más rápido que el de bisección, porque genera la aparición de un extremo fijo que detiene su convergencia.

El método tiene una convergencia lineal El método tiene una convergencia lineal, aunque en algu-nos casos, especialmente aquellos en los que la interpo-lación lineal es muy cercana a la curva f(x), presenta una convergencia mayor a la lineal.

2.4 MÉTODOS ABIERTOS.

Los métodos abiertos de solución de ecuaciones no lineales hallan una aproximación a la raíz, mediante proce-

sos iterativos, partiendo de una o más aproximaciones iniciales a la raíz. Sus valores obtenidos a partir de estas


aproximaciones iniciales no se restringen a un intervalo cerrado como en los métodos anteriores, ello da el

nombre de “abiertos” a estos métodos.

2.4.1 MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON O DE LAS TANGENTES.

Este método constituye uno de los más utilizados y basa su algoritmo en la aproximación a la raíz mediante la

tangente a la curva en un punto inicial de búsqueda.

Sea f(x) una función que contenga una raíz, como lo muestra el siguiente gráfico...

Se estima entonces un punto inicial de búsqueda, por ejemplo x0 y se traza la tangente a f(x) que pase por el

punto (x0, f(x0));dicha tangente corta al eje x en el punto x1, que es la primera aproximación a la raíz exacta. Aho-

ra se toma como estimación de búsqueda al punto x1 y se vuelve a repetir el procedimiento para encontrar las

siguientes aproximaciones x2, x3, ..., xn; el proceso se detendrá cuando la distancia entre dos aproximaciones

sucesivas xn-1 y xn no superen una tolerancia prefijada tol. Existe una fórmula general para la aproximación n–

ésima (xn) a la raíz exacta, ésta se deducirá a continuación. Considérese el triángulo Ax2x0 del gráfico anterior;

por trigonometría se puede establecer... 10

o

10

00

´01 xx

)x(f

xx

Ax)x(f)xAxtan(

, de donde...

)x(f

)x(fxx

0´

o01 para el triángulo Bx2x1 se puede establecer bajo la misma deducción que...

)x(f

)x(fxx

1´

112 y como el procedimiento genera triángulos de la misma especie, de manera general se tie-

ne... nn 1 n ´

n

f(x )x x n 0,1,2,3,...

f (x ) Ésta es la fórmula general para la n–ésima aproximación a la raíz

exacta. Si bien el método es muy sencillo de aplicar, el método tiene dos inconvenientes: el cálculo de la prime-

Fig. 2.4: Método de Newton – Raphson

x

y

f(x)

X0

A

B

X1 X2


ra derivada puede ser algo complicado y se requiere una buena estimación inicial, de otro modo, la solución ite-

rativa puede divergir o converger a una solución irrelevante; por otro lado, la velocidad de convergencia hacia la

raíz exacta del método es alta, en comparación a los métodos cerrados.

Ejemplo 2.8

Determinar las raíces de la ecuación )x(senx)x(f 5 que se ubiquen en el intervalo [–1,1], utilizando el

método de las tangentes con una tolerancia de 0.00001.

Graficando f(x)...

1 0 1

5

5

f x( )

x

Es muy fácil notar que posee una raíz en x = 0, y que las dos restantes se hallan en los intervalos [–1,0] y

[0,1].

La fórmula iterativa que se aplicará para este problema es ii 1 i i

i

f(x )x x xf (x )

5i i4i i

x sen(x )5x cos(x )

La primera raíz se halla muy cerca de –1, por lo que esta puede ser una buena aproximación a la primera raíz,

entonces el proceso iterativo es...

i xi f(xi) f’(xi)

0 – 1 – 0.1585290151 4.459697694

1 – 0.9644529683 – 0.01272220908 3.756210276

2 – 0.9610659883 – 0.0001072614342 3.692980193

3 – 0.9610369436 – 0.000000007766774559 3.692440754

4 – 0.9610369414 – 0.0000000003571252802 3.692440713

i 1 2 3 4 5

Error absoluto --- 0.0355470 0.00338697 0.0000290447 0.00000000219958

La segunda raíz se encuentra en cambio cerca de 1, por lo que este valor será una buena aproximación a dicha

raíz, así entonces...

i xi f(xi) f’(xi)

0 1 0.1585290151 4.459697694

1 0.9644529683 0.01272220908 3.756210276

2 0.9610659883 0.0001072614342 3.692980193


3 0.9610369436 0.000000007766774559 3.692440754

4 0.9610369414 0.0000000003571252802 3.692440713

i 1 2 3 4 5

Error absoluto --- 0.0355470 0.00338697 0.0000290447 0.00000000219958

Las raíces son entonces x = – 0.9610369414 y x = 0.9610369414.

Ejemplo 2.9

Hallar una raíz de la ecuación f(x) = cot(x) + 3x, en el intervalo [0,4] utilizando el método de las tangentes con

una tolerancia de 0.00001.

Graficando la función…

0 2 4

10

10

f x( )

3

x

se observa una raíz en el intervalo [2,4]. Se tomará un punto muy cercano a la raíz, x = 3, como aproximación

inicial.

La fórmula iterativa que se aplica a este problema es

ii 1 i i

i

f(x )x x x

f (x )

i i

2i

cot(x ) 3x13

sen (x )

Por lo tanto...

i xi f(xi) f’(xi)

0 3 1.984747448 – 47.21376835

1 3.042037471 – 0.8853610661 – 98.22960122

2 3.033024291 – 0.07549562518 – 82.17270712

3 3.032105547 – 0.0006539986341 – 80.75487484

4 3.032097448 – 0.00000001634703654 – 80.74253467

i 1 2 3 4 5

Error absoluto --- 0.0420374 0.00901318 0.000918744 0.000008099

entonces la raíz pedida es x = 3.032097448.

Ejemplo 2.10

Encuentre la raíz de x 1 3f(x) e 5x con hasta 4 cifras decimales de precisión. ¿Cuántas iteraciones requerirá

el método de bisección para lograr la misma precisión?

asíntota

aproximación inicial


El punto más adecuado para empezar el procedimiento es x = 1, así…

i xi f(xi) f’(xi)

0 1 – 4 – 14

1 0.7142857142 – 1.070680141 – 6.901583931

2 0.5591502914 – 0.2305996222 – 4.046246315

3 0.5021592917 – 0.02529061192 – 3.174617562

4 0.4941927850 – 0.0004562793948 – 3.060379018

5 0.4940436925 – 0.0000001578965366 – 3.058258837

6 0.4940436408 0.0000000002120244336 – 3.058258102

i 0 1 2 3 4

Error absoluto --- 0.285714286 0.155135423 0.056991000 0.007966507

i 5 6

Error absoluto 0.000149093 0.000000672

La raíz exacta a cuatro cifras decimales es 0.4940

El método de bisección en el intervalo [0, 1] requiere de…

inicialln((c a) ) ln(tol)n

ln(2)ln(1 0) ln(0.00001)n 16.6 17

ln(2)

es decir 17 o más iteraciones.

2.4.1.1 MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON CON DERIVE 6.

Las siguientes líneas de programación en Derive 6 mediante programación funcional constituyen el método de

las tangentes para el cálculo de la raíz de una ecuación, utilizando el número de iteraciones n como criterio de

paro...

#1: F(x) := #2: APROX(in, n) := ITERATES(v – F(v)/F'(v), v, in, n) #3: NEWTON(in, n) := [“raiz”, “error” ; (APROX(in, n))n, ABS((APROX(in, n))n – (APROX(in, n))(n – 1))]

en cambio las siguientes líneas constituyen la programación procedural en Derive 6 para el cálculo de la raíz de

una ecuación mediante el método de Newton – Raphson, utilizando el número de iteraciones n como criterio de

paro...


#1: F(x) := #2: NEWTON_(in, n) := PROG(i := 1, r := in, LOOP(r_ := r – F(r)/F’(r), t := ABS(r_ – r), IF(i = n, RETURN [“raíz”, “error”; r_, t]), r := r_, i :+ 1))

2.4.2 MÉTODO DE LAS SECANTES.

Este método es una variante del anterior, pues la aproximación a la raíz se la efectúa mediante secantes a la

curva, en lugar de tangentes. Para construir la secante son necesarios dos puntos iniciales de búsqueda, y co-

mo se verá no es necesario el cálculo de la derivada, particularidad que simplifica los cálculos y hace de este

método más fácil de utilizar que el anterior.

Sea f(x) una función que contenga una raíz, como lo muestra el gráfico siguiente...

Se estiman entonces como puntos iniciales de búsqueda, x0 y x1, seguidamente por dichos puntos se traza una

secante a f(x) que pase por los puntos (x0, f(x0)) y (x1, f(x1)); dicha secante corta al eje x en el punto x2, que es la

primera aproximación a la raíz exacta. Ahora se toma como estimaciones de búsqueda a los puntos x1 y x2 y se

vuelve a repetir el procedimiento para encontrar las siguientes aproximaciones x3, x4, ..., xn; el proceso se de-

tendrá cuando la distancia entre dos aproximaciones sucesivas xn-1 y xn no superen una tolerancia prefijada tol.

Existe una fórmula general para la aproximación n–ésima (xn) a la raíz exacta, ésta se deducirá a continuación.

Considérese el triángulo Ax2x0 que contiene en su interior al triángulo semejante Bx2x1, por semejanza se pue-

de establecer que... 21

20

1

0

1

0

xx

xx

)x(f

)x(f

Bx

Ax

, de donde... )x(f)x(f

)x(fx)x(fxx

01

01102

para la pareja de trián-

gulos Bx3x1 y Cx3x2 se puede establecer bajo la misma deducción que... )x(f)x(f

)x(fx)x(fxx

12

12213

y como el

procedimiento genera parejas de triángulos de la misma especie, de manera general se tiene...

n n 1 n 1 nn 2

n 1 n

x f(x ) x f(x )x n 0,1,2,3,4...

f(x ) f(x )

Ésta es la fórmula general para la n–ésima aproximación a la

raíz exacta. El método es muy sencillo de aplicar, pero al igual que el método de las tangentes, su principal pro-

blema es que requiere buenas estimaciones iniciales, de otro modo, la solución iterativa puede divergir o con-

Fig. 2.5: Método de las secantes


verger a una solución irrelevante. La velocidad de convergencia hacia la raíz exacta de éste método es algo me-

nor que la del método de Newton – Raphson, pero mayor que la de los anteriores. El segundo punto inicial de

búsqueda se puede establecer como 1 0x x donde es un valor arbitrario muy pequeño, por ejemplo

podría ser = 0.1

Ejemplo 2.11

Determinar las raíces de la ecuación )x(sen5ex)x(f x2 que se ubiquen en el intervalo [0, 3], utili-

zando el método de las secantes con una tolerancia de 0.0001.

De una exploración gráfica...

1 0 1 2 3

5

5

f x( )

x

se observa que en el intervalo pedido existen dos raíces ubicadas en [0, 1] y [2, 3].

La fórmula iterativa que se aplicará para este problema es...

n 1 n

n 1 n

x x2 2n n 1 n 1 n 1 n n

n 2 x x2 2n 1 n 1 n n

x ( x e sen(x )) x ( x e sen(x ))x

( x e sen(x )) ( x e sen(x ))

Tomándose como aproximaciones iniciales x0 = 0 y x1 = 0.1, se genera la siguiente tabla...

i xi f(xi)

0 0 1

1 0.1 0.5568494498

2 0.2256569465 0.02322391412

3 0.2311256618 0.0006856431217

4 0.2312920271 0.0000009698230056

5 0.2312922627 0.0000000002522049249

i 1 2 3 4 5 6

Error absoluto --- 0.1 0.125656 0.00563508 0.000166365 0.000000235600

En el intervalo [2, 3], para las aproximaciones iniciales x0 = 2 y x1 = 2.1, la tabla para el proceso iterativo es...


i xi f(xi)

0 2 – 1.171719571

1 2.1 – 0.7697572352

2 2.291499840 0.1344009559

3 2.263033846 – 0.01067115809

4 2.265127736 – 0.0001228361095

5 2.265152119 0.0000001128807819

i 1 2 3 4 5 6

Error absoluto --- 0.1 0.191499 0.0284659 0.00209389 0.0000243829

entonces las raíces buscadas son x = 0.2312922627 y x = 2.265152119.

2.4.2.1 MÉTODO DE LAS SECANTES CON DERIVE 6.

Las siguientes líneas de programación en Derive 6 constituyen el método de las secantes para el cálculo de la

raíz de una ecuación mediante programación funcional y con el número de iteraciones n como criterio de paro...

#1: F(x) := #2: APROX(, , n) := ITERATE([v2, (v1F(v2) – v2F(v1))/(F(v2) – F(v1))], v, [, + ], n – 1) #3: SECANTE(, , n) := [“raíz”, “error” ; (APROX(, , n))2, ABS((APROX(, , n))2 – (APROX(, , n))1)]

2.4.3 MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO O DE SUSTITUCIONES SUCESIVAS.

Este método se basa en un proceso iterativo mediante el cual sustituyendo una aproximación inicial n veces en

una misma ecuación, se llegará a una aproximación tan cercana como se desee de la raíz verdadera.

Supóngase que se tiene la ecuación f(x) = 0, y partiendo de ella se puede despejarla, de manera de escribirla en

la forma x = g(x). A partir de ésta ecuación se puede generar un proceso iterativo, empezando con una estima-

ción inicial x0 de la raíz. Así... x1 = g(x0) , x2 = g(x1), x3 = g(x2), .... , xn = g(xn-1). El valor xn será una aproxima-

ción más exacta a la raíz.. El proceso iterativo se detendrá cuando la distancia entre dos aproximaciones sucesi-

vas xn-1 y xn no superen una tolerancia prefijada tol. Los sucesivos valores x0, x1, x2,x3, ..., xn si bien, en general,

se aproximan a la raíz existe la posibilidad de que también se alejen de ella, es decir de que diverjan. Si se quiere

que la sucesión de valores se aproxime a la raíz se debe cumplir que 1)x´(g para todos los valores de x en la

región de búsqueda de la raíz; si esta condición no se cumple el proceso de sustituciones sucesivas divergirá. El

método de sustituciones sucesivas y su convergencia o divergencia en base a la condición anteriormente dada,

se representa gráficamente, mediante el denominado diagrama de Cobweb, de convergencia ó divergencia o de

escalones. La raíz exacta es el punto en el cual x y g(x) se intersecan y el proceso de sustituciones sucesivas

tratará de llegar a este punto, cuando exista convergencia.


Si 0 < g´(x) < 1, en todos los puntos del intervalo de búsqueda de la raíz, entonces el proceso de sustitucio-

nes sucesivas representado en la gráfica anterior muestra una convergencia hacia la raíz. En dicho caso la con-

vergencia es monótona y ocurre por el extremo del intervalo de búsqueda que contenía la aproximación inicial.

Si – 1 < g´(x) < 0, en todos los puntos del intervalo de búsqueda de la raíz, entonces el proceso de sustitucio-

nes sucesivas representado en la gráfica siguiente muestra también una aproximación hacia la raíz. En este caso

la convergencia es oscilante o alternada y ocurre por uno y otro extremo del intervalo de búsqueda que contenía

la aproximación inicial.

Ambos intervalos de la primera derivada de g(x) analizados anteriormente están contenidos en la condición,

1)x´(g . Resultará obvio que para valores que no cumplan esta condición se producirá un alejamiento o di-

vergencia de la raíz exacta.

Si g´(x) > 1, en todos los puntos del intervalo de búsqueda de la raíz, entonces el proceso de sustituciones su-

cesivas representado en la gráfica siguiente muestra una divergencia monótona de la raíz.


Si g´(x) < – 1, en todos los puntos del intervalo de búsqueda de la raíz, entonces el proceso de sustituciones

sucesivas representado en la gráfica de abajo muestra una también una divergencia de la raíz, pero esta es al-

ternante.

Las siguientes líneas de programación en Derive 6 permiten crear una matriz de puntos que dibujan el diagrama

de Cobweb para el método de iteración de punto fijo[3]...

#1: COBWEB_AUX(v, g, x, n) := [[v1, 0; v1, v2], VECTOR([vr, v(r + 1); v(r + 1), v(r + 1); v(r + 1), v(r + 2)], r, 1, n – 1)] #2: COBWEB(g, x, in, n) := COBWEB_AUX(ITERATES(g, x, in, n), g, x, n)

Ejemplo 2.12

Determinar la raíz de la ecuación )1x(senx)x(f 2 que se ubica en el intervalo [0, 1], utilizando el méto-

do de sustituciones sucesivas con una tolerancia de 0.0001.

Primeramente se escribe la ecuación en la forma x = g(x), así x sen(x 1) ;a continuación se obtiene la

primera derivada de g(x) y se grafica )x´(g para ver si cumple la condición 1)x´(g ...


1 0 1

1

11

xg x( )

d

d

x de la gráfica se observa que la condición g (x) 1 se cumple. Esto se puede verificar realizando el gráfico de

Cobweb con x0 = 1...

El cálculo de la raíz entonces es...

i xi g(xi)

0 1 0.9535708819

1 0.9535708819 0.9631365028

2 0.9631365028 0.9612579363

3 0.9612579363 0.9616306269

4 0.9616306269 0.9615568349

5 0.9615568349 0.9615714513

i 1 2 3 4 5 6

Error absoluto --- 0.0464291 0.0095656 0.00187856 0.000372690 0.000073792

por lo que la raíz pedida es x = 0.9615568349.

Ejemplo 2.13

Encuentre la raíz de la ecuación 2f(x) x cos(x) contenida en el intervalo [0.5, 1] mediante el método de

iteración de punto fijo con 4 cifras decimales de precisión.

Se escribe la ecuación en la forma x = g(x)


2

2

cos( ) 0cos( )

cos( )

x xx x

x x

entonces…

( ) cos( )g x x

y

( )( )2 cos( )

sen xg xx

una tabla para g(x) , entre 0.5 y 1 produce:

xi ig(x )

0.5 0.25588638369116888504

0.6 0.31076224819089528823

0.7 0.36831273140128669859

0.8 0.42971429180476252213

0.9 0.49676851807340434979

1 0.57238828862337537795

Lo cual demuestra que con este despeje el método va a converger.

i xi g(xi) error

1 0.5 0.9367937669 ------

2 0.9367937669 0.7696585012 0.4367937669

3 0.7696585012 0.8474363439 0.1671352657

4 0.8474363439 0.8135766709 0.07777784269

5 0.8135766709 0.8287964113 0.03385967299

6 0.8287964113 0.8220483178 0.01521974040

7 0.8220483178 0.8250588816 0.006748093499

8 0.8250588816 0.8237194383 0.003010563799

9 0.8237194383 0.8243161060 0.001339443299

10 0.8243161060 0.8240504594 0.0005966676999

11 0.8240504594 0.8241687585 0.0002656465998

12 0.8241687585 0.8241160826 0.0001182990998

13 0.8241160826 0.8241395391 0.00005267590000

14 0.8241395391 ------- 0.00002345650020

La raíz pedida es 0.8241395391; éste resultado se ha logrado luego de 14 iteraciones, demostrando con ello que el método de iteraciones sucesivas es el más lento de los métodos abiertos.


2.4.3.1 MÉTODO DE ITERACIÓN DE PUNTO FIJO CON DERIVE 6.

Las siguientes líneas de programación en Derive 6 conforman el método de sustituciones sucesivas para el

cálculo de la raíz de una ecuación, utilizando programación funcional y el número de iteraciones n como criterio

de paro...

#1: G(x) := #2: APROX(in, n) := ITERATES(G(x), x, in, n) #3: SUST_SUC(in, n) := [“raíz”, “error” ; (APROX(in, n))n, ABS((APROX(in, n))n – (APROX(in, n))(n – 1))]

CARACTERÍSTICAS DE LOS MÉTODOS ABIERTOS ESTUDIADOS:: El siguiente cuadro muestra una serie de carac-

terísticas que pueden servir para elegir uno de los métodos estudiados de acuerdo al contexto del problema...

Método de Newton - Raphson Método de las secantes

El método puede converger o divergir de la raíz buscada


Es rápido en su convergencia hacia la raíz, pues tiene convergencia cuadrática.

Es rápido en su convergencia hacia la raíz, algo menor que el método de Newton – Raphson, pues tiene convergencia casi cuadrática.

Necesita de una sola aproximación inicial a la raíz.

Necesita de dos aproximaciones iniciales a la raíz, aunque se puede modificar de forma tal que se requiera una sola aproximación inicial.

Una buena aproximación inicial a la raíz debe estar lo más cerca de la misma.

Buenas aproximaciones iniciales a la raíz de-ben estar lo más cerca de la misma.

Método de iteración de punto fijo


Su convergencia será más rápida, cuanto más

g (x) sea próximo a 0.

Necesita de una sola aproximación inicial a la raíz.

Una buena aproximación inicial a la raíz es aquella

para la cual se cumple que 0g (x ) 1

72 Diferenciación numérica

CCAAPPÍÍTTUULLOO 33 DDIIFFEERREENNCCIIAACCIIÓÓNN NNUUMMÉÉRRIICCAA

La derivada de una función en un punto es un procedimiento matemático de suma importancia, dentro de mu-

chas ciencias aplicadas, es por ello que es necesario implementar procedimientos numéricos que agiliten su

cálculo, tanto más que este es un requerimiento indispensable en la resolución de ecuaciones diferenciales.

En el presente capítulo se estudiarán los métodos para hallar la derivada a partir de un conjunto de datos, en los

cuales obviamente irá incluido el punto de cálculo de la derivada.

3.1 DERIVADAS POR APROXIMACIÓN DE DIFERENCIAS.

Este método consiste en utilizar un conjunto discreto de datos, con el objetivo de generar un polinomio de inter-

polación y a partir de éste obtener la derivada. Dependiendo de la disposición de los puntos del conjunto de da-

tos con respecto al punto de cálculo de la derivada, se pueden conseguir tres posibilidades que son:

Aproximación por diferencias progresivas o hacia adelante.

Aproximación por diferencias regresivas o hacia atrás, y

Aproximación por diferencias centrales.

Revisemos cada una de ellas…

3.1.1 DERIVADAS POR APROXIMACIÓN DE DIFERENCIAS PROGRESIVAS Y REGRESIVAS.

Considérese los siguientes conjuntos de datos:

1 1

1

0 0

0 0 1

,x x

x ,

x x

xx x

donde x0 es el punto de cálculo de la derivada. El subíndice denota la posición relativa de x.

Si se evalúa una función f(x) en dichos conjuntos de datos se tiene…

1

1

0

0

f( ),f(x )

f(x ),f( )

x

x

o de forma abreviada…

0 1

1 0

f ,f

f ,f

Entonces con los conjuntos de datos…

x0 x1

f0 f1

x–1 x0

f–1 f0


Se procederá a hallar los polinomios de interpolación correspondientes mediante el método de Lagrange. Adi-

cionalmente se va a considerar que los puntos están equiespaciados, es decir, hay una distancia h entre ellos ó

0

10

1h xh

xxx

.

Para el primer conjunto de datos, los polinomios básicos de Lagrange o funciones de forma se escriben como...

10

10

(x xx

)L (x)( x )

01

01

x(x )L (x)

(x x )

por lo que el polinomio de interpolación será…

1 0

0 00 1

1 1

(x )(x x )p(x) f f( x ) (x

xx x )

derivando esta expresión se tiene..

1

0

0

1 xf fdp

dx x

por lo que…

0

1 0 1 00 0

x x 1 0

f f f fdf f (x ) fxdx x h

Para el segundo conjunto de datos…

00

01

(x )L

xx

(x)(x )

11

10

(x x )L (x( x )x

)

por lo que el polinomio de interpolación será…

11 0

1 1

0

0 0

(x ) (x x )p(x) f f(x ) xx x( )

x

derivando esta expresión se tiene..

0

10

1f fx

dpdx x

por lo que…

0 0

0 1 0 10 0

x x 1

fx

f f fdf f (x ) fdx x h

La expresión (3.1) se denomina aproximación por diferencias progresivas o hacia delante, mientras que la ex-

presión (3.2) se llama aproximación por diferencias regresivas o hacia atrás.

(3.1)

(3.2)


Ejemplifiquemos el sentido geométrico de estas aproximaciones…

Considérese la función 2f(x) x 1 , y supóngase que se desea calcular de manera aproximada f (1) , enton-

ces…

por diferencias progresivas el conjunto que se elegirá es…

x 1 2

f(x) 21 1 2 22 1 5

y por diferencias regresivas…

x 0 1

f(x) 20 1 1 21 1 2

las formulas para aproximación por diferencias progresivas y regresivas corresponden a los valores en x = 1 de

las rectas que se obtienen de las tablas, mientras que la derivada exacta es la línea tangente a f(x) en x = 1, es-

to se muestra en la gráfica siguiente:

Es obvio que si la distancia h entre los puntos x, disminuye las rectas para las diferencias progresivas y regresi-

vas se aproximarán más a la recta tangente que representa la derivada exacta, por lo que se podría suponer que

el error de aproximación se reduce al disminuir dicho valor.

Ejemplo 3.1

Determinar la primera derivada de sen(x)f(x) e en x = 0, con h = 0.1 y h = 0.01 mediante aproximación por

diferencias progresivas y regresivas. Utilizar 10 cifras significativas.

Primeramente se genera ambas tablas de datos tanto para h = 0.1 como h = 0.01, así…

a.) h = 0.1 y diferencias progresivas

x 0 0.1

f(x) sen(0)e 1 sen(0.1)e 1.104986830

Recta para diferen-cias progresivas y 3x 1

Recta para dife-rencias regresivas y x 1

Tangente a 2f(x) x 1

2f(x) x 1


x 0

1.104986830 1df 1.049868299dx 0.1

b.) h = 0.1 y diferencias regresivas

x – 0.1 0

f(x) sen( 0.1)e 0.9049881614 sen(0)e 1

x 0

1 0.9049881614df 0.9501183859dx 0.1

c.) h = 0.01 y diferencias progresivas

x 0 0.01

f(x) sen(0)e 1 sen(0.01)e 1.010049998

x 0

1.010049998 1df 1.004999800dx 0.01

d.) h = 0.01 y diferencias regresivas

x – 0.01 0

f(x) sen( 0.01)e 0.9900499987 sen(0)e 1

x 00

1 0.9900499987df 0.9950001299dx 0.01

Siendo la derivada exacta 1, entonces el error en cada caso es.

a.) e 1 1.049868299 0.049868299

b.) e 1 0.9501183859 0.0498816141

c.) e 1 1.004999800 0.004999800

d.) e 1 0.9950001299 0.0049998701

Como se dijo al disminuir el valor de h, se observa que el error también disminuye.

El proceso estudiado para un conjunto de dos datos se puede aplicar a 3 o más datos generándose de dicha

forma formulas para diferencias progresivas y regresivas más exactas. Sin embargo al aumentar el número de

puntos el procedimiento se hace de trámite engorroso, por lo que vamos a utilizar Derive 5, para facilitar los

cálculos…

Considérese el conjunto de datos 20 0 1 1 2,f , x ,f , x ,fx , separados una distancia h tal que 01x hx y

02x 2x h , entonces va a generarse el polinomio de interpolación con Derive 5 mediante el proceso siguien-

te:

Se ingresa la orden InputMode := Word para que admita variables de más de 1 carácter.

Se define el polinomio de interpolación como p(x): a x 2 b x c .


Se establece el vector de condiciones de la interpolación [p(x0)=f0, p(x1)=f1, p(x2)=f2], que generará

un sistema de ecuaciones.

Se resuelve el sistema obtenido, para las variables a, b y c, mediante la orden SOLVE([p(x0) = f0, p(x1)

= f1, p(x2) = f2], [a, b, c]).

Se obtiene entonces el vector solución…

Se substituye en el vector solución 01x hx y 02x 2x h , lográndose simplificar la solución a…

Entonces se reemplaza a, b y c en p(x), obteniéndose…

Se deriva la expresión anterior…

Finalmente se substituye x = x0…

Esta fórmula corresponde a la aproximación por diferencias progresivas con tres puntos y escrita con notación

formal se presenta como…


0

0 1 20 0

x x

3f 4f fdf f (x ) fdx 2h

De forma similar se pueden obtener la aproximación por diferencias regresivas para el conjunto de datos

2 2 1 1 0 0x ,f , x ,f , ,fx con 1 0x hx y 2 0xx 2h , obteniéndose…

0

0 1 20 0

x x

3f 4f fdf f (x ) fdx 2h

que corresponde a la aproximación por diferencias regresivas con tres puntos. Con estas aproximaciones se

disminuye el error como se va a demostrar mediante el siguiente ejemplo…

Ejemplo 3.2


diferencias progresivas y regresivas en tres puntos. Utilizar 10 cifras significativas.

Primeramente se genera ambas tablas de datos tanto para h = 0.1 como h = 0.01, así…

a.) h = 0.1 y diferencias progresivas

x 0 0.1 0.2

f(x) sen(0)e 1 sen(0.1)e 1.104986830 sen(0.2)e 1.219778556

03(1) 4(1.104986830) (1.219778556)f 1,00084382

2(0.1)

b.) h = 0.1 y diferencias regresivas

x – 0.2 – 0.1 0

f(x) sen( 0.2)e 0.8198209380 sen( 0.1)e 0.9049881614 sen(0)e 1

03(1) 4(0.9049881614) (0.8198209380)f 0.999341462

2(0.1)

c.) h = 0.01 y diferencias progresivas

x 0 0.01 0.02

f(x) sen(0)e 1 sen(0.01)e 1.010049998 sen(0.02)e 1.020199979

03(1) 4(1.010049998) (1.020199979)f 1.00000065

2(0.01)

d.) h = 0.01 y diferencias regresivas

x – 0.02 – 0.01 0

f(x) sen( 0.02)e 0.9801999802 sen( 0.01)e 0.9900499987 sen(0)e 1

03(1) 4(0.9900499987) (0.9801999802)f 0.99999927

2(0.01)


a.) e 1 1,00084382 0.00084382

(3.3)

(3.4)


b.) e 1 0.999341462 0.000658538

c.) e 1 1.00000065 0.00000065

d.) e 1 0.99999927 0.00000073

Es evidente que al considerar aproximaciones por diferencias en tres puntos el error ha disminuido de forma no-toria.

La siguiente tabla resume las derivadas aproximadas por diferencias progresivas y regresivas para 2, 3 y 4

puntos

Aproximación por diferencias progresivas

2 puntos 1 00

f ff

h

3 puntos 0 1 20

3f 4f ff

2h

4 puntos 0 1 2 30

11f 18f 9f 2ff

6h

Aproximación por diferencias regresivas

2 puntos 0 10

f ff

h

3 puntos 0 1 20

3f 4f ff

2h

4 puntos 0 1 2 30

11f 18f 9f 2ff

6h

3.1.2 DERIVADAS POR APROXIMACIÓN DE DIFERENCIAS CENTRALES.

Este método debe su nominación a que el punto donde se determina la primera derivada se halla en el centro de

un conjunto discreto de puntos equidistantes. De esta manera solamente se pueden obtener un conjunto de un

número impar de puntos, así…

101x , ,x 3 p sx unto

2 1 0 1 2x ,x , ,x ,x 5 pux ntos …

procediendo como en el anterior ítem, se deducen para las aproximaciones por diferencias centrales las siguien-

tes fórmulas…

Aproximación por diferencias centrales

3 puntos 1 10

f ff2h


5 puntos 2 1 1 20

f 8f 8f ff12h

La aproximación por diferencias centrales usualmente produce resultados más exactos que la aproximación por

diferencias progresivas o regresivas con el mismo números de puntos, como lo demuestra el siguiente ejem-

plo…

Ejemplo 3.3


diferencias centrales en tres puntos. Utilizar 10 cifras significativas.

a.) h = 0.1

x – 0.1 0 0.1

f(x) sen( 0.1)e 0.9049881614 sen(0)e 1 sen(0.1)e 1.104986830

0(1.104986830) (0.9049881614)f 0.999993343

2(0.1)

b.) h = 0.01

x – 0.01 0 0.01

f(x) sen( 0.01)e 0.9900499987 sen(0)e 1 sen(0.01)e 1.010049998

0(1.010049998) (0.9900499987)f 0.999999965

2(0.01)


e 1 0.999993343 0.000006657

e 1 0.999999965 0.000000035

Este resultado es consistente con el hecho de que en un puntos equiespaciados la interpolación polinómica es

más exacta en la parte central del intervalo de interpolación y más errónea en los extremos.

3.1.3 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.

El procedimiento para hallar la segunda derivada o derivadas de orden superior es el mismo empleado en las

derivadas de primer orden, con la única salvedad de que si se desea calcular una derivada de orden n es nece-

sario contar con n + 1 puntos.

Así entonces, para hallar la segunda derivada es necesario tener tres puntos sea por diferencias hacia delante,

hacia atrás o centrales. Con la ayuda de Derive 5, se puede determinar las fórmulas para la segunda derivada,

las cuales se expresan en la siguiente tabla:

Aproximación por diferencias progresivas

3 puntos 0 1 20 2

f 2f ffh


Aproximación por diferencias regresivas

3 puntos 0 1 20 2

f 2f ffh

Aproximación por diferencias centrales

3 puntos 1 0 10 2

f 2f ff

h

Ejemplo 3.4

Determinar la segunda derivada de sen(x)f(x) e en x = 0, con h = 0.1 mediante aproximación por diferencias

progresivas, regresivas y centrales. Utilizar 10 cifras significativas.

a.) Diferencias progresivas, h = 0.1

x 0 0.1 0.2

f(x) sen(0)e 1 sen(0.1)e 1.104986830 sen(0.2)e 1.219778556

0 1 20 2

01 2

0

f 2f ffh

(1) 2(1.104986830) (1.219778556)f(0.1)

f 0.9804896

El valor exacto es 1, por lo que…

e 1 0.9804896 0.0195104

b.) Diferencias regresivas

x 0 – 0.1 – 0.2

f(x) sen(0)e 1 sen( 0.1)e 0.9049881614 sen( 0.2)e 0.8198209380

0 1 20 2

01 2

0

f 2f ffh

(1) 2(0.9049881614) (0.8198209380)f(0.1)

f 0.98446152


e 1 0.98446152 0.01553848

el error es similar al obtenido por diferencias progresivas.

c.) Diferencias centrales

x – 0.1 0 0.1

f(x) sen( 0.1)e 0.9049881614 sen(0)e 1 sen(0.1)e 1.104986830


0 1 20 2

01 2

0

f 2f ffh

(1.104986830) 2(1) (0.9049881614)f(0.1)

f 0.99749914


e 1 0.99749914 0.00250086

el error ha mejorado con respecto a diferencias progresivas y regresivas.

3.2 ERROR EN DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA.

El error en los métodos de derivación numérica se deduce en base a un análisis por series de Taylor.

Se deducirán dos casos en particular, el error en la primera derivada por diferencias progresivas con 2 y 3

puntos; los restantes casos se pueden analizar de una forma similar

Considérese la serie de Taylor siguiente…

0 0

2

0 0h hf( h) f( ) f ( )x x x xf ( ) ...1! 2!

, donde 01x hx

despejando 0f ( )x …

0 0 00

x xf( h) f( ) f ( )f ( ) h ...h 2

xx

en forma simplificada se escribe…

1 00

0

f ff O(h) ...

hdonde

hO(h) f2

lo que demuestra que el error en la primera derivada por diferencias progresivas en dos puntos es de orden h.

Ahora considérense las series de Taylor siguientes…

0 0

2

0 0h hf( h) f( ) f ( )x x x xf ( ) ...1! 2!

, donde 01x hx

0 0

2

0 0h hf( h) f( ) f ( )x x x xf ( ) ...1! 2!

, donde 01x hx

El siguiente cuadro tabula el orden del error para las diferentes derivadas obtenidas anteriormente…

No. de puntos Aproximación por … Orden de la

derivada Orden del error

2 diferencias progresivas 1 O(h)

término dominante del error (orden del error)

Primera derivada por diferencias progresivas


3 diferencias progresivas 1 O(h2)

4 diferencias progresivas 1 O(h3)

2 diferencias regresivas 1 O(h)

3 diferencias regresivas 1 O(h2)

4 diferencias regresivas 1 O(h3)

3 diferencias centrales 1 O(h2)


3 diferencias progresivas 2 O(h)

3 diferencias regresivas 2 O(h)


El término O(hn) significa de forma práctica, que el número aproximado de cifras decimales exactas están dadas

por el resultado de hn. El siguiente ejemplo aclara este concepto…

Ejemplo 3.5

Determinar la primera derivada de xf(x) x en x = 1.5, con 5 cifras decimales de precisión mediante diferen-

cias progresivas, regresivas y centrales.

a.) Diferencias progresivas

Para obtener 5 cifras decimales de precisión se utilizará la fórmula para 4 puntos con h = 0.01, pues en ese

caso el orden del error(número aproximado de cifras decimales de precisión) es 3 3h (0.01) 0. 100000

x 1.5 1.51 1.52 1.53

f(x) 1.51.5 1.837117307 1.511.51 1.863181616 1.521.52 1.889740860 1.531.53 1.916804803

1.5 1.51 1.52 1.531.5

1.5

1.5

11f 18f 9f 2ff

6h11(1.837117307) 18(1.863181616) 9(1.889740860) 2(1.916804803)f

6(0.01)f 582002. 9617

Este valor es confiable en un 100% hasta la quinta cifra decimal, las restantes podrían ser o no ser exactas. Pa-

ra corroborar esta afirmación se puede comparar con su valor exacto a 10 cifras significativas 2.582004274.

b.) Diferencias regresivas

Para obtener 5 cifras decimales de precisión se utilizará nuevamente la fórmula para 4 puntos con h = 0.01,

pues en ese caso el orden del error(número aproximado de cifras decimales de precisión) es

3 3h (0.01) 0. 100000

x 1.5 1.49 1.48 1.47

f(x) 1.51.5 1.837117307 1.491.49 1.811538381 1.481.48 1.786435493 1.471.47 1.761799498


0 1 2 31.5

1.5

1.5

11f 18f 9f 2ff

6h11(1.837117307) 18(1.811538381) 9(1.786435493) 2(1.761799498)f

6(0.01)f 581992. 9332

e 2.582004274 2.581999332 0.0000 94204

El valor del error con respecto al valor exacto muestra la confiabilidad en las 5 cifras decimales(al efectuar el re-

dondeo).

b.) Diferencias centrales

Para obtener 5 cifras decimales de precisión se utilizará la fórmula para 3 puntos con h = 0.001, pues en ese

caso el orden del error(número aproximado de cifras decimales de precisión) es 2 2h (0.001) 0. 100000

x 1.499 1.5 1.501

f(x) 1.491.499 9 1.834537728 1.51.5 1.837117307 1.5011.501 1.839701739

1 11.5

1.5

1.5

f ff2h

(1.839701739) (1.834537728)f2(0.001)

f 582002. 55

Nuevamente es fácil observar la confiabilidad en las 5 cifras decimales de precisión al compararlas con el valor exacto.

3.3 DERIVADAS NUMÉRICAS CON DERIVE 6.

Con la ayuda de la programación funcional de Derive 6 se puede escribir muy fácilmente una utilidad para todas las derivadas numéricas estudiadas anteriormente. Esta utilidad se detalla a continuación…

#1: Precision := Approximate #2: f(x) := #3: DDP2(x0, h) := (f(x0 + h) – f(x0))/h #4: DDP3(x0, h) := – (3*f(x0) – 4*f(x0 + h) + f(x0 + 2*h))/(2*h) #5: DDR2(x0, h) := (f(x0) – f(x0 – h))/h #6: DDR3(x0, h) := (3*f(x0) – 4*f(x0 – h) + f(x0 – 2*h))/(2*h) #7: DDC3(x0, h) := (f(x0 + h) – f(x0 – h))/(2*h) #8: DDC5(x0, h) := (f(x0 – 2*h) – 8*f(x0 – h) + 8*f(x0 + h) – f(x0 + 2*h))/(12*h)

DDPn representa la primera derivada por diferencias progresivas en n puntos

DDRn representa la primera derivada por diferencias regresivas en n puntos

DDCn representa la primera derivada por diferencias centrales en n puntos

X0 es el punto en que se calcula la derivada con un tamaño de paso h.

Ejemplo 3.6

Determinar la primera derivada de xef(x)

cos(x) sen(x)

en x = 0.2, con 5 cifras decimales de precisión me-

diante las fórmulas de diferencias progresivas(2 y 3 puntos), regresivas(2 y 3 puntos) y centrales(3 y 5 puntos).

Se determina el tamaño de paso en cada caso…

84 Integración numérica

No. de

puntos Aproximación por …

Orden del

error h

2 diferencias progresivas O(h) 0.000001

3 diferencias progresivas O(h2) (0.001)2 = 0.000001

2 diferencias regresivas O(h) 0.000001

3 diferencias regresivas O(h2) (0.001)2 = 0.000001

3 diferencias centrales O(h2) (0.001)2 = 0.000001

5 diferencias centrales O(h4) (0.01)4 = 0.00000001

Se ingresan entonces las siguientes instrucciones…

f(x) :=(ê^(–x))/(cosx – sinx)

[DDP2(0.2,0.000001),DDP3(0.2,0.001),DDR2(0.2,0.000001),DDR3(0.2,0.001),DDC3(0.2,0.001),DDC5(0.2,0.

01)]

al simplificar se obtiene…

resultados que presentan cinco cifras decimales de precisión en todos los casos, redondeando para DDP3, DDR2 y DDR3.


CCAAPPÍÍTTUULLOO 44 IINNTTEEGGRRAACCIIÓÓNN NNUUMMÉÉRRIICCAA

La integración de una función es el proceso inverso a la derivación, pero mientras que la derivada de una fun-

ción es relativamente fácil de hallar y esta definida para toda función continua, la integral de una función no

siempre es sencillo determinarla, pues en un buen número de casos la integral de una función resulta ser una

función no elemental.

La integración numérica entonces proporciona métodos a través de los cuales es muy simple hallar la integral

de una función, considerando el significado geométrico que ella representa; así pues, la integral de una función

continua f(x) entre x = a y x = b, es el área bajo la curva f(x) entre x = a y x = b, como lo representa la figura

siguiente:

Bajo este enfoque es posible hallar una integral, para una función o un conjunto de datos, como se analizará a

continuación.

4.1 MÉTODO DE LOS RECTÁNGULOS Y DEL PUNTO MEDIO

El método de los rectángulos consiste en aproximar una función mediante una serie de rectángulos de forma tal

que el área calculada para los mismos aproxime al área bajo la función. El siguiente esquema ejemplifica lo

mencionado…

a b

b

a

f(x)dx


Al incrementar el número de rectángulos utilizados en la aproximación es evidente que el área total de los

mismos es más cercana a la integral, como lo muestra claramente el siguiente gráfico…

El método de los rectángulos considera entonces una serie de n rectángulos…

cuyas bases tienen una longitud h( 1 0x x h , 2 1x x h , 3 2x x h ,…, n n 1x x h ) y sus alturas son

Áreas en exceso eliminadas al duplicar el número de rectángulos.

…

x0 x1 x5 … xn–3 xn

h h h h h h h h

… …

f(x0)

f(x1) f(x2) f(x3)

f(x4)

f(xn–3)

f(xn–2)

f(xn–1)

n rectángulos

Área aproximada por los rectángulos Área bajo la curva f(x)


f(x0), f(x1), f(x2),…,f(xn–1) respectivamente. El area total de los rectángulos esta dada por…

n 1

rect 0 1 2 n 1 0 1 2 n 1 ii 0

A hf(x ) hf(x ) hf(x ) ... hf(x ) h[f(x ) f(x ) f(x ) ... f(x )] h f(x )

entonces…

n

0

x n 1

ii 0x

f(x)dx h f(x ) R

fórmula que identifica al método de los rectángulos.

Si se considera que 1 0x x h , 2 0x x 2h , … , n 0x x nh , la expresión (4.1) se simplifica a…

n

0

x n

0i 1x

f(x)dx h f x (i 1)h R

expresión alternativa para el método de los rectángulos, útil en la programación del método.

Ejemplo 4.1

Calcular 1

sen(x)

0

e dx mediante el método de los rectángulos con n = 10. Utilizar 10 cifras significativas.

La longitud h de la base de los rectángulos es 1 0h 0.110

i xi f(xi)

0 0 sen(0)e 1

1 0 + 0.1 = 0.1 sen(0.1) 1.1049e 86830

2 0.1 + 0.1 = 0.2 sen(0.2) 1.2197e 78556

3 0.2 + 0.1 = 0.3 sen(0.3) 1.3438e 25243

4 0.3 + 0.1 = 0.4 sen(0.4) 1.4761e 21946

5 0.4 + 0.1 = 0.5 sen(0.5) 1.6151e 46296

6 0.5 + 0.1 = 0.6 sen(0.6) 1.7588e 18845

7 0.6 + 0.1 = 0.7 sen(0.7) 1.9044e 96534

8 0.7 + 0.1 = 0.8 sen(0.8) 2.0490e 08650

9 0.8 + 0.1 = 0.9 sen(0.9) 2.1887e 41912

9

ii 0

f(x ) 15.66092481

1sen(x)

100

e dx (0.1)(15.66092481)=1.566092481=R

El valor exacto de esta integral a 10 cifras significativas es 1.631869608, por lo que el error es…

e 1.631869608-1.566092481 0.065777127

Del ejemplo se puede observar que a pesar de utilizar un buen número de rectángulos, apenas se obtuvo dos

(4.1)

(4.2)


cifras significativas de precisión, lo que muestra que el método es lento.

Una corrección que mejora el método de los rectángulos generando el denominado método del punto medio se

va a analizar seguidamente…

Si en lugar de generar los rectángulos, formándolos a partir de los puntos extremos(xi, xi+1), se lo hace a partir

del punto medio ( i i 1x x2

), la precisión para un mismo número de rectangulos utilizados mejora

significativamente. Para esta disposición de los puntos se tiene…

0 1 1 2 n 1 nmed

n 10 1 1 2 n 1 n i i 1

i 0

x x x x x xA hf hf ... hf2 2 2

x x x x x x x xh f f ... f h f2 2 2 2

por lo que…

n

0

x n 1i i 1

i 0x

x xf(x)dx h f M2

expresión que define el método del punto medio.

Ejemplo 4.2

Calcular 1

sen(x)

0

e dx mediante el método del punto medio con n = 10. Utilizar 10 cifras significativas.

La longitud h de la base de los rectángulos es 1 0h 0.110

i xi i i 1x x

2

i i 1x xf2

0 0 ----- -----

1 0 + 0.1 = 0.1 0 0.1

20.05

sen(0.05) 1.0512e 49197

2 0.1 + 0.1 = 0.2 0.1 0.2 1

20. 5

sen(0.15) 1.1611e 81629

3 0.2 + 0.1 = 0.3 0.2 0.3 2

20. 5

sen(0.25) 1.2806e 96357

4 0.3 + 0.1 = 0.4 0.3 0.4 3

20. 5

sen(0.35) 1.4090e 24762

5 0.4 + 0.1 = 0.5 0.4 0.5 4

20. 5

sen(0.45) 1.5449e 09811

6 0.5 + 0.1 = 0.6 0.5 0.6 5

20. 5

sen(0.55) 1.6865e 53721

7 0.6 + 0.1 = 0.7 0.6 0.7 6

20. 5

sen(0.65) 1.8315e 93596

(4.3)


8 0.7 + 0.1 = 0.8 0.7 0.8 7

20. 5

sen(0.75) 1.9771e 15096

9 0.8 + 0.1 = 0.9 0.8 0.9 8

20. 5

sen(0.85) 2.1197e 12370

10 0.9 + 0.1 = 1 0.9 1

20.95

sen(0.95) 2.2555e 98853

10

ii 0

f(x ) 16.31763539

1sen(x)

100

e dx (0.1)(16.31763539)=1.631763539=M


e 1.631869608-1.631763539 0.000106069

Como se observa la precisión es ahora mucho mejor que con el método de los rectángulos.

Una fórmula algo más util, especialmente en la programación del método del punto medio se obtiene al considerar que 1 0x x h , 2 0x x 2h , … , n 0x x nh , de donde…

med 0 0 0

n

0 0 0 0i 1

h 3h (2n 1)hA hf x hf x ... hf x2 2 2

h 3h (2n 1)h (2i 1)hh f x f x ... f x h f x2 2 2 2

es decir…

n

0

x n

0i 1x

(2i 1)hf(x)dx h f x M2

expresión alternativa para el método del punto medio

4.1.1 MÉTODO DE LOS RECTÁNGULOS Y DEL PUNTO MEDIO CON DERIVE 6.

Utilizando programación funcional y esencialmente la función SUM, la automatización de éstos dos métodos

con Derive 6, es muy simple. Las siguientes líneas definen la programación de ambos métodos en base a las

expresiones (4.2) y (4.4)…

#1: F(x) := #2: RECT(in, fin, n) := ((fin–in)/n)SUM(F(in+(i–1)((fin–in)/n)),i ,1, n) #3: MED(in, fin, n) := ((fin–in)/n)SUM(F(in+(2i–1)((fin–in)/(2n))),i ,1, n)

4.2 MÉTODO DE LOS TRAPECIOS.

Este método sigue un proceso muy similar al utilizado en diferenciación numérica, consistente en aproximar

mediante interpolación en este caso una malla de puntos de la función subintegral, para integrar dicho polinomio

y obtener una aproximación al valor exacto.

Una interpretación geométrica y su correspondiente deducción es más conveniente para este método,

dejándose una aplicación de la interpolación a métodos posteriores.

Considérese una malla de n intervalos equiespaciados donde se han construido n trapecios rectángulos…

(4.4)


el área aproximada bajo la curva será la suma de todos los trapecios, así…

0 1 1 2 n 1 ntrap 0 1

n 1

2 n 1 n 0 n ii 1

f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) hA h h ... h [f(x ) 2f(x )2 2 2 2

h2f(x ) ... 2f(x ) f(x )] f(x ) f(x ) 2 f(x )2

entonces…

n

0

x n 1

0 n ii 1x

hf(x)dx f(x ) f(x ) 2 f(x ) T2

expresión que identifica al método de los trapecios.

Ejemplo 4.3

Calcular 1

sen(x)

0

e dx mediante el método de los trapecios con n = 10. Utilizar 10 cifras significativas.

La longitud h de la base de los trapecios es 1 0h 0.110

i Xextremos xintermedios f(xextremos) f(xintermedios)

0 0 ----- sen(0)e 1 -----

1 ----- 0.1 ----- sen(0.1) 1.1049e 86830

2 ----- 0.2 ----- sen(0.2) 1.2197e 78556

3 ----- 0.3 ----- sen(0.3) 1.3438e 25243

4 ----- 0.4 ----- sen(0.4) 1.4761e 21946

5 ----- 0.5 ----- sen(0.5) 1.6151e 46296

6 ----- 0.6 ----- sen(0.6) 1.7588e 18845

7 ----- 0.7 ----- sen(0.7) 1.9044e 96534

x0 x1 x2 xn–1 xn

h h h

h

…

f(xi)

f(xi+1)

n trapecios

xi xi+1

(4.5)


8 ----- 0.8 ----- sen(0.8) 2.0490e 08650

9 ----- 0.9 ----- sen(0.9) 2.1887e 41912

10 1 ----- sen(1) 2.3197e 76824 -----

f(x) 3.319776824 14.66092481

1sen(x)

100

0.1e dx 3.319776824+2(14.66092481) =1.632081322=T2


e 1.631869608-1.6320813222 0.0002117142

la precisión obtenida es similar a la del método del punto medio.

Considérese las dos siguientes disposiciones de puntos x para un mismo intervalo…

si sobre dichas mallas descansa una curva f(x) y a la misma se le aplica el método de los trapecios para hallar 2n

0

x

x

f(x)dx , se tiene…

n 0 2n 2 4 6 8 2n 22hT f(x ) f(x ) 2(f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) ... f(x )) para los n intervalos2 , y

2n 0 2n 1 2 3 4 2n 1hT f(x ) f(x ) 2(f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) ... f(x )) para los 2n intervalos2

aplicando además el método del punto medio al calcular la integral para la malla de n intervalos se obtiene…

n 1 3 5 7 9 2n 1M 2h f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) ... f(x ) para los n intervalos

sumando Tn y Mn…

n n 1 3 5 7 9 2n 1

0 2n 2 4 6 8 2n 2

0 2n 1 2 3 4 5 2n 1

M T 2h f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) ... f(x )

h f(x ) f(x ) 2f(x ) 2f(x ) 2f(x ) 2f(x ) ... 2f(x )

h f(x ) f(x ) 2(f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) f(x ) ... f(x ))

resultado que corresponde a 2n2T , de donde…

n n2n

M TT2

x0 x2 x4 x6 x8 x10 x12 x14 x2n-1 . . . x1 x3 x5 x7 x9 x11 x13 x15 x2n

h h h h h h h h h h h h h h h h

2n intervalos

x0 x2 x4 x6 x8 x10 x12 x14 x2n . . . x2n-2

2h 2h 2h 2h 2h 2h 2h 2h

n intervalos

(4.6)


esta expresión permite calcular la integral con el método de los trapecios para 2n intervalos en base a hallar úni-camente la integral para n intervalos por el método del punto medio y el de los trapecios, método conocido co-mo método de aceleración de la regla de los trapecios.

Ejemplo 4.4

Calcular 1

sen(x)

0

e dx mediante el método de aceleración de los trapecios con n = 20. Utilizar 10 cifras significa-

tivas.

De los ejemplos 4.2 y 4.3 se tiene que…

M10 = 1.631763539 , y

T10 = 1.632081322 , entonces…

10 1020

M T 1.631763539+1.632081322T 1.63192243052 2

Considerando el valor exacto de esta integral a 10 cifras significativas como 1.631869608, el error es…

e 1.631869608-1.6319224305 0.0000528225

La aplicación del método de la aceleración produce una mejora en la precisión, en base a resultados calculados.

Considerando que 1 0x x h , 2 0x x 2h , … , n 1 0x x (n 1)h , la fórmula del método de los

trapecios se puede escribir como…

n

0

x n 1

0 n 0i 1x

hf(x)dx f(x ) f(x ) 2 f x ih T2

4.2.1 MÉTODO DE LOS TRAPECIOS CON DERIVE 6.

Empleando programación funcional, la función SUM y la expresión (4.7), la automatización del método de los

trapecios es…

#1: F(x) := #2: TRAP(in, fin, n) := ((fin–in)/(2n))(F(in)+F(fin)+2SUM(F(in+i((fin–in)/n)),i ,1, n–1))

4.3 REGLAS DE SIMPSON.

Las reglas de Simpson, utilizan una interpolación de segundo y tercer grado sobre las cuales se obtienen las

respectivas aproximaciones mediante integración. La obtención de éstas fórmulas de forma manual es

sumamente largo, pero con la ayuda de Derive 6, el proceso toma pocos segundos.

4.3.1 REGLA DE 1/3 DE SIMPSON.

Se desea calcular la integral 2

0

x

x

f(x)dx utilizando un polinomio interpolador de segundo orden�p(x) en lugar de

la función subintegral f(x); para ello se debe disponer de tres puntos con los cuales construir p(x) tal como lo

muestra el siguiente gráfico...

(4.7)


entonces…

Se ingresa la orden InputMode := Word para que admita variables de más de 1 carácter.

Se define el polinomio de interpolación como p(x): a x 2 b x c .

Se establece el vector de condiciones de la interpolación [p(x0)=f0, p(x1)=f1, p(x2)=f2], que generará

un sistema de ecuaciones.

Se resuelve el sistema obtenido, para las variables a, b y c, mediante la orden SOLVE([p(x0) = f0, p(x1)

= f1, p(x2) = f2], [a, b, c]).

Se obtiene entonces el vector solución…

Se substituye en el vector solución 1 0x x h y 2 0x x 2h , lográndose simplificar la solución a…

x0 x1 x2

h h

f(x0) f(x1)

f(x2)

p(x)

f(x)


Entonces se reemplaza a, b y c en p(x), obteniéndose…

Se integra p(x) entre x0 y x0 + 2h…

y se obtiene finalmente…

es decir…

2

0

x

0 1 2x

hf(x)dx f(x ) 4f(x ) f(x )3

que es la expresión para el método de Simpson con aproximación cuadrática o regla de 1/3 de Simpson.

Para aproximar con un error menor el área calculada por este método, se puede subdividir a su vez cada

intervalo en dos subintervalos y proceder de la misma manera hasta obtener un número n par de intervalos.

Aplicando a cada pareja la ecuación anterior se obtiene...

n

0

x

0 1 2 2 3 4 n 2 n 1 nx

hf(x)dx f(x ) 4f(x ) f(x ) f(x ) 4f(x ) f(x ) ... f(x ) 4f(x ) f(x )3

que simplificando resulta...

n

0

x

0 1 2 3 4 n 2 n 1 nx

hf(x)dx f(x ) 4f(x ) 2f(x ) 4f(x ) 2f(x ) ... 2f(x ) 4f(x ) f(x ) donde n es par3

denominada regla compuesta de 1/3 de Simpson.

Esta expresión se puede simplificar como…

n

0

x k k 11/3

0 n 2i 1 2ii 1 i 1x

hf(x)dx f(x ) f(x ) 4 f(x ) 2 f(x ) =S donde n=2k3

(4.8)


Ejemplo 4.5

Calcular 1

sen(x)

0

e dx mediante el regla de 1/3 de Simpson con n = 10 intervalos. Utilizar 10 cifras significativas.

La longitud h de los intervalos es 1 0h 0.110

i xi f(xextremos) f(xpares) f(xno pares)

0 0 sen(0)e 1 ----- -----

1 0.1 ----- ----- sen(0.1) 1.1049e 86830

2 0.2 ----- sen(0.2) 1.2197e 78556 -----

3 0.3 ----- ----- sen(0.3) 1.3438e 25243

4 0.4 ----- sen(0.4) 1.4761e 21946 -----

5 0.5 ----- ----- sen(0.5) 1.6151e 46296

6 0.6 ----- sen(0.6) 1.7588e 18845 -----

7 0.7 ----- ----- sen(0.7) 1.9044e 96534

8 0.8 ----- sen(0.8) 2.0490e 08650 -----

9 0.9 ----- ----- sen(0.9) 2.1887e 41912

10 1 sen(1) 2.3197e 76824 ----- -----

f(x) 3.319776824 6.503727998 8.157196817

1sen(x) 1/3

100

0.1e dx 3.319776824+4(8.157196817)+2(6.503727998) =1.631867336=S3


e 1.631869608-1.631867336 0.000002272

la precisión es casi el doble que el método de los trapecios, con el mismo número de intervalos.

Un método de aceleración para la regla de 1/3 de Simpson es también posible, y su demostración se deja al lec-

tor. Se tiene que…

1/3 n n2n

2M TS

3

Ejemplo 4.6

Calcular 1

sen(x)

0

e dx mediante el método de aceleración de la regla de 1/3 de Simpson con n = 20 intervalos.

Utilizar 10 cifras significativas.

De los ejemplos 4.2 y 4.3 se tiene que…

M10 = 1.631763539 , y

T10 = 1.632081322 , entonces…

(4.9)


1/3 10 1020

2M T 2(1.631763539)+1.632081322S 1.6318694673 3

Considerando el valor exacto de esta integral a 10 cifras significativas como 1.631869608, el error es…

e 1.631869608-1.631869467 0.000000141

Nuevamente, la aplicación del método de la aceleración produce una mejora en la precisión, en base a resulta-dos calculados.

4.3.2 REGLA DE 3/8 DE SIMPSON.

Ahora se desea calcular la integral 3

0

x

x

f(x)dx utilizando un polinomio interpolador de tercer orden�p(x) en lugar

de la función subintegral f(x); para ello se debe disponer de cuatro puntos con los cuales construir p(x) tal como

lo muestra el siguiente gráfico...

siguiendo el mismo procedimiento empleado en la regla de 1/3 de Simpson se obtiene…

3

0

x

0 1 2 3x

3hf(x)dx f(x ) 3f(x ) 3f(x ) f(x )8

expresión que determina el método de Simpson con aproximación cúbica o regla de 3/8.

Para aproximar con un error menor el área calculada por este método, se puede subdividir a su vez cada

intervalo en tres subintervalos y proceder de la misma manera hasta obtener un número n(multiplo de 3) de

intervalos. Aplicando a trio de intervalos la ecuación anterior se obtiene...

n

0

x

0 1 2 3 3 4 5 6x

n 3 n 2 n 1 n

3hf(x)dx f(x ) 3f(x ) 3f(x ) f(x ) f(x ) 3f(x ) 3f(x ) f(x )8

... f(x ) 3f(x ) 3f(x ) f(x ) n es un valor multiplo de 3

que simplificando resulta...

n

0

x

0 1 2 3 4 5 6 n 3 n 2 n 1 nx

3hf(x)dx f(x ) 3f(x ) 3f(x ) 2f(x ) 3f(x ) 3f(x ) 2f(x ) ... 2f(x ) 3f(x ) 3f(x ) f(x )8

x0 x1 x2

h h

f(x0) f(x1) f(x2)

p(x)

f(x)

x3

h

f(x2)


fórmula denominada regla compuesta de 3/8 de Simpson.

Esta expresión se puede simplificar como…

n

0

x k k 13/8

0 n 3i 2 3i 1 3ii 1 i 1x

3hf(x)dx f(x ) f(x ) 3 f(x ) f(x ) 2 f(x ) =S donde n=3k8

Ejemplo 4.7

Calcular 0.9

sen(x)

0

e dx mediante el regla de 3/8 de Simpson con n = 9 intervalos. Utilizar 10 cifras significativas.

La longitud h de los intervalos es 0.9 0h 0.1

9

i xi f(xextremos) f(xmúltiplos de 3) f(xno múltiplos de 3)

0 0 sen(0)e 1 ----- -----

1 0.1 ----- ----- sen(0.1) 1.1049e 86830

2 0.2 ----- ----- sen(0.2) 1.2197e 78556

3 0.3 ----- sen(0.3) 1.3438e 25243 -----

4 0.4 ----- ----- sen(0.4) 1.4761e 21946

5 0.5 ----- ----- sen(0.5) 1.6151e 46296

6 0.6 ----- sen(0.6) 1.7588e 18845 -----

7 0.7 ----- ----- sen(0.7) 1.9044e 96534

8 0.8 ----- ----- sen(0.8) 2.0490e 08650

9 0.9 sen(0.9) 2.1887e 41912 ----- -----

f(x) 3.188741912 3.102644088 9.369538812

0.9sen(x) 3/8

90

3(0.1)e dx 3.319776824+2(3.102644088)+3(9.369538812) =1.406349244=S8


e 1.406354371-1.406349244 0.000005127

la precisión es similar a la regla de 1/3 de Simpson.

4.3.3 REGLAS DE SIMPSON UTILIZANDO DERIVE 6.

Con programación funcional, la función SUM y las expresiones (4.8) y (4.10), modificadas de la siguiente

forma…

n

0

x k k 11/3

0 n 0 0i 1 i 1x

hf(x)dx f(x ) f(x ) 4 f(x (2i 1)h) 2 f(x (2i)h) =S donde n=2k3

n

0

x k k 13/8

0 n 0 0 0i 1 i 1x

3hf(x)dx f(x ) f(x ) 3 f(x (3i 2)h) f(x (3i 1)h) 2 f(x (3i)h) =S donde n=3k8

la automatización de los métodos de Simpson es…

(4.10)

(4.8a)

(4.10a)


#1: F(x) := #2: SIMP13(in, fin, n) := ((fin–in)/(3n))(F(in)+F(fin)+4SUM(F(in+(2i–1)((fin–in)/n)),i ,1 ,n/2) + 2SUM( F(in+(2i)((fin–in)/n)),i ,1 , n/2–1)) #3: SIMP38(in, fin, n) := (3(fin–in)/(8n))(F(in)+F(fin)+3SUM(F(in+(2i–2)((fin–in)/n))+ F(in+(2i–1)((fin–in)/n)),i ,1 ,n/3) + 2SUM( F(in+(2i)((fin–in)/n)),i ,1 , n/3–1))

En base a la expresión (4.9) y los programas para el método del punto medio y de los trapecios, la regla de 1/3

de Simpson se puede automatizar como…

#4: SIMP13_(in, fin, n) := (2MED(in, fin, n/2)+ TRAP(in, fin, n/2))/3

4.4 FÓRMULAS DE NEWTON – COTES.

Las fórmulas de Newton–Cotes son una generalización de las fórmulas del trapecio y de Simpson, es decir, una

aproximación por polinomios interpoladores de cualquier grado para hallar una estimación de las integrales

numéricas. El siguiente cuadro resume las fórmulas de Newton–Cotes hasta el orden 5.

n Regla Fórmula

1 Trapecios 1

0

x

0 1x

hf(x)dx f(x ) f(x )2

2 Simpson 1/3 2

0

x

0 1 2x

hf(x)dx f(x ) 4f(x ) f(x )3

3 Simpson 3/8 3

0

x

0 1 2 3x

3hf(x)dx f(x ) 3f(x ) 3f(x ) f(x )8

4 Boole 4

0

x

0 1 2 3 4x

2hf(x)dx 7f(x ) 32f(x ) 12f(x ) 32f(x ) 7f(x )45

5 5

0

x

0 1 2 3 4 5x

5hf(x)dx 19f(x ) 75f(x ) 50f(x ) 50f(x ) 75f(x ) 19f(x )288

4.5 ERROR EN MÉTODOS DE INTEGRACIÓN.

El error de los métodos de integración se deduce en base a un análisis por series de Taylor, cuyo análisis no se

va a detallar en este texto. El siguiente cuadro define la expresiones del error para los métodos estudiados

anteriormente…

Regla Orden Error estimado o aproximado

Rectángulos O(h)

n

0

x 2

nx

nhe f(x)dx R2

, donde es el valor máximo que to-

ma la primera derivada en el intervalo [xo , xn] de integración, es de-

cir, f '(x) para [xo , xn].

Punto medio O(h2)

n

0

x 3

nx

nhe f(x)dx M24

, donde es el valor máximo que

toma la segunda derivada en el intervalo [xo , xn] de integración, es


decir, f ''(x) para [xo , xn].

Trapecios O(h2)

n

0

x 3

nx

nhe f(x)dx T12

, donde es el valor máximo que to-

ma la segunda derivada en el intervalo [xo , xn] de integración, es de-

cir, f ''(x) para [xo , xn].

Simpson 1/3 O(h4)

n

0

x 51/3n

x

nhe f(x)dx S180


toma la cuarta derivada en el intervalo [xo , xn] de integración,

es decir, (4)f (x) para [xo , xn].

Simpson 3/8 O(h4)

n

0

x 53/ 8n

x

nhe f(x)dx S80


toma la cuarta derivada en el intervalo [xo , xn] de integración, es de-

cir, (4)f (x) para [xo , xn].

De la tabla se puede observar que los métodos del punto medio y trapecios, así como las reglas de Simpson

tienen un error del mismo orden lo que significa que van a producir un número semejante de cifras decimales de

precisión.

Ejemplo 4.8

Calcular 1

sen(x)

0

e dx mediante:

a.) Método de los rectángulos con n = 10,

b.) Método del punto medio con n = 10.

c.) La regla de los trapecios con n = 10.

d.) La regla de 1/3 de Simpson con n = 10.

e.) La regla de 3/8 de Simpson con n = 9.

Utilizar 10 cifras significativas. Además en cada caso estimar los errores, comparándolos con los valores de

error exacto.

Los ejemplos 4.1, 4.2, 4.3, 4.5 y 4.7 generaron los siguientes resultados…

n Método Valor aproximado de la integral Error exacto

10 Rectángulos 1.566092481 0.065777127

10 Punto medio 1.631763539 0.000106069

10 Trapecios 1.632081322 0.0002117142


10 Simpson 1/3 1.631867336 0.000002272

9 Simpson 3/8 1.406349244 0.000005127

Se procederá ahora a la estimación para ello es necesario determinar el máximo valor que toman la primera, se-

gunda y cuarta derivadas de sen(x)f(x) e en el intervalo [0, 1], para ello deduzcamos dichas derivadas y grafi-

quémoslas en el intervalo mencionado…

sen(x)

sen(x) 2

(4) sen(x) 4 2

f (x) e cos(x)f (x) e cos (x) sen(x)

f (x) e cos (x) cos (x)(6sen(x) 7) sen(x) 3

valor máximo

valor máximo


La siguiente tabla calcula los valores de error estimado para cada caso…

n Método Error estimado Error exacto

10 Rectángulos 2 2

estnh (10)(0.1)e 1.47 735

20

20. 6570.0 77127

10 Punto medio 3 3

estnh (10)(0.1)e 1.275 0.0 5312524 24

00 100.000 6069

10 Trapecios 3 3

estnh (10)(0.1)e 1.27 05 1062512 1

.002

2110.000 7142

10 Simpson 1/3 5 5

estnh (10)(0.1)e 5.73 0.0 31833180 1 0

00008

0.000002272

9 Simpson 3/8 5 5

estnh (9)(0.1)e 5.73 64462580 8

0.0 0000

0 0.000005127

Como se puede verificar en todos los casos eest > eexacto, lo cual demuestra que el error estimado es conserva-dor.

Ejemplo 4.9

Determine el valor de h necesario para calcular 0.8

x

0

sen(e )dx , mediante el método de los trapecios con hasta

dos cifras decimales de precisión y calcule el valor de la integral. Para los cálculos considere = 5.284.

3nh 0.8 00.001, pero h12 n

30.8nn 5.284 0.001

12

valor máximo


20.512

n 5.284 0.00112

2

0.512 5.284 0.00112n

2 (0.512)(5.284)n12(0.001)

(0.512)(5.284)n 15.01 1512(0.001)

0.8h 0.053333315

i xi f(xextremos) f(xintermedios)

0 0 0.84147098

1 0.053333333 0.86979228

2 0.106666667 0.89683556

3 0.16 0.92211469

4 0.213333333 0.94506624

5 0.266666667 0.96504242

6 0.32 0.98130479

7 0.373333333 0.99301922

8 0.426666667 0.99925301

9 0.48 0.99897512

10 0.533333333 0.99106099

11 0.586666667 0.97430344

12 0.64 0.94743192

13 0.693333333 0.90914242

14 0.746666667 0.85814088

15 0.8 0.79320348

f(x) 1,63467447 26,5029659

0.8x

0

0.053333333sen(e )dx (1.63467447 26.5029 0.7659) 03370722

5

El valor exacto es 0.7507863514, lo cual demuestra de la exactitud de por lo menos dos cifras decimales como se pidió.

4.6 INTEGRACIÓN DE ROMBERG.

El método de Romberg es un procedimiento para mejorar el resultado de una integral numérica en base a


considerar el error cometido, y utilizarlo como fuente para aumentar la precisión.

La integral exacta, se puede expresar, para el método de los trapecios, como…

b

exa

I f(x)dx T e

donde Iex es el valor exacto de la integral, T es el valor aproximado obtenido mediante la aplicación del método

de los trapecios a n intervalos y e es el error exacto cometido. Tanto T como e dependen del valor h, por lo que

la anterior expresión se puede reescribir como…

exI T(h) e(h)

Si se calcula una misma integral con dos valores diferentes de h, por ejemplo h1 y h2, se tiene…

ex 1 1 2 2I T(h ) e(h ) T(h ) e(h ) (A)

por otro lado se tiene que el error para el método de los trapecios se puede escribir como…

3 2nh (b a)he(h)12 12

si se considera que es un valor constante para el intervalo de integración [a, b], entonces…

21 1

22 2

e(h ) he(h ) h

rearreglando la anterior ecuación…

2

11 2

2

he(h ) e(h )h

y reemplazando en la expresión (A)…

2

11 2 2 2

2

hT(h ) e(h ) T(h ) e(h )h

resolviendo para e(h2)…

2

12 2 2 1

2

2 1 1 22 2 2

1 1

2 2

he(h ) e(h ) T(h ) T(h )h

T(h ) T(h ) T(h ) T(h )e(h )h h1 1h h

por lo que…

2 21 2 2 1 1 2

ex 2 2 2 22 11

2

ex 2 2

T(h ) T(h ) h T(h ) h T(h )I T(h ) (B)h hh1

h

I T(h ) e(h )


la precisión mediante esta estimación de la integral exacta es mejor que la obtenida aplicando la simple regla de

trapecios con n intervalos. Si se considera que 12 1

h b ah , donde h2 n

, entonces se obtiene…

221

1 1 2 1 2

ex 2211

ex 2 2 1 2

h 1T(h ) h T(h ) T(h ) T(h )4 4I

1h 1h 444 1I T(h ) T(2h ) R (h )3 3

Ejemplo 4.10

Mejorar la precisión de 1

sen(x)

0

e dx mediante el empleo de h1 = 0.1, h2 = 0.05. Utilizar 10 cifras significativas.

Para h1 = 0.1, se tiene n = 10, con h2 = 0.05 , n = 20. Utilizando la función TRAP(in, fin, n), se obtiene…

T10 = 1.632081322

T20 = 1.631922431

y…

1sen(x)

2 20

4 1 4 1e dx T(h ) T(2h ) (1.631922431) (1.632081322) 1.6318694673 3 3 3


e 1.631869608-1.631869467 0.000000141

la precisión respecto a T20(0.000052823) ha mejorado.

La expresión (B) anterior, aumenta el orden del error de O(h2) a O(h4) al sustituir 12

hh2

, y de O(h2) a O(h6) al

sustituir 12

hh4

, obteniendose en este último caso la expresión…

ex 2 2 2 216 1I T(h ) T(2h ) R (h )15 15

El siguiente cuadro resumen este procedimiento de reducción de h y aumento de orden…

k 1h 2h Integral de Romberg 2O(h )

1 1,1h 1,11,2

hh

2 1 1,2 1,2 1,2

4 1R (h ) T(h ) T(2h )3 3

41,2O(h )

2 2,1 1,2h h 2,1 1,22,2

h hh

2 2 2 2,2 1 2,2 1 2,2

16 1R (h ) R (h ) R (2h )15 15

62,2O(h )

3 3,1 2,2h h 3,1 2,23,2

h hh

2 2 3 3,2 2 3,2 2 3,2

64 1R (h ) R (h ) R (2h )63 63

83,2O(h )


4 4,1 3,2h h 4,1 3,24,2

h hh

2 2 4 4,2 3 4,2 3 4,2

256 1R (h ) R (h ) R (2h )255 255

104,2O(h )

Este proceso se puede generalizar por la expresión…

kbk 1 k,2 k 1 k,2

k k,2 0ka

4 R (h ) R (2h )f(x)dx R (h ) donde R T(regla trapezoidal)

4 1

conocida como Integral de Romberg. La aplicación sucesiva de este procedimiento se conoce como método de

integración de Romberg. El orden del error cometido por la expresión (4.11) es 2k 22O(h ) .

En lugar de los valores para h, es más conveniente generar las Integrales de Romberg mediante el uso del

número de intervalos n, el siguiente cuadro muestra el proceso…

n Trapecios R1 R2 R3

Orden del error O(h4) O(h6) O(h8)

n Tn ---- ---- ----

2n T2n 1,n 2n n4 1R T T3 3

---- ----

4n T4n 1,2n 4n 2n4 1R T T3 3

2,n 1,2n 1,n16 1R R R15 15

----

8n T8n 1,4n 8n 4n4 1R T T3 3

2,2n 1,4n 1,2n16 1R R R15 15

3,n 2,2n 2,n64 1R R R63 63

16n T16n 1,8n 16n 8n

4 1R T T3 3

2,4n 1,8n 1,4n

16 1R R R15 15

3,2n 2,4n 2,2n64 1R R R63 63

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. .

n Trapecios R4 . . .

Orden del error O(h10) . . .

n Tn ---- . . .

2n T2n ---- . . .

4n T4n ---- . . .

8n T8n ---- . . .

16n T16n 4,n 3,2n 3,n256 1R R R255 255

. . .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

(4.11)


Ejemplo 4.11

Mejorar la precisión de 1

sen(x)

0

e dx mediante el método de integración de Romberg a partir de h1 = 0.1, hasta

lograr 10 cifras significativas de precisión.

k 1h 1n 2h 2n 2k 2k,2O(h )

Cifras significativas de precisión

(aprox.)

1 1,1h 0.1 10 1,20.1h 0.052

20 41,2O(h ) 4(0.05) .0 0000 5062

2 2,1 1,2h h 0.05 20 2,2

0.05h 0.0252

40 6

2,2O(h ) 6 0 0000(0.025 000) . 40024

entonces la integral de Romberg, para k = 2, es…

211 2,2 1 2,2 1 2,2 1 2,2sen(x) 1 1

20

4 R (h ) R (2h ) 16R (h ) R (2h ) 16R (0.025) R (0.05)e dx15 154 1

donde

1,21,2

1,21 2,2 1

1

h4T T(h )

h 2R (h ) R

2 34T(0.025) T(0.05)R (0.025)

3

, y

1,2 1,21,21 2,2 1 1 1,2

1

4T h T(2h )hR (2h ) R 2 R h

2 34T(0.05) T(0.1)R (0.05)

3

h = 0.1, corresponde a n = 10 intervalos,

h = 0.05, corresponde a n = 20 intervalos, y

h = 0.025, corresponde a n = 40 intervalos

entonces…

40 201

4T TR (0.025)

3

20 101

4T TR (0.05)

3

Utilizando la función TRAP(in, fin, n), se obtiene…

T10 = 1.632081322

T20 = 1.631922431

T40 = 1.631882807

10 cifras significativas de precisión


40 201

4T T 4(1.631882807) 1.631922431R (0.025) 1.6318695993 3

20 101

4T T 4(1.631922431) 1.632081322R (0.05) 1.6318694673 3

finalmente,…

1sen(x) 1 1

0

16R (0.025) R (0.05) 16(1.631869599) 1.631869467e dx 1.63186960815 15

La integral exacta a 10 cifras significativas de precisión calculada con Derive 5 es 1.631869608, que coincide exactamente con el valor obtenido mediante el método de integración de Romberg.

La resolución se puede realizar también mediante el esquema de n, así…

n Trapecios R1 Orden del error

10 1.632081322 ---- ----

20 1.631922431 1,10

1,10

4 1R (1.631922431) (1.632081322)3 3

R 1.631869467

4

201 0h

0 0000020

. 625

40 1.631882807 1,20

1,20

4 1R (1.631882807) (1.631922431)3 3

R 1.631869599

4

401 0h40

. 39060 000000 25

n R2 Orden del error

10 ---- ----

20 ---- ----

40 1,20

1,20

16 1R (1.631869599) (1.631869467)15 15

R 1.631869608

6

40

0 0000

1 0h40. 24414000 625000

Ejemplo 4.12

La concentración C, en gramos/litro, de una medicina para la alergia en el cuerpo esta modelada por:

2C(t) 12 6.69ln(t 4t 6) 0 t 4

donde t es el tiempo en horas desde que la medicina se toma. Encontrar el nivel promedio de concentración en

el cuerpo en un período de 4 horas, usando:

a.) La regla trapezoidal con n = 6

b.) La regla trapezoidal con n = 12

c.) Estimar una valor más exacto del nivel utilizando el método de Romberg.

10 cifras significativas de precisión


a.) La longitud h de la base de los trapecios es 4 0 2h

6 3


0 0 ----- 212 6.69ln(0 4(0)

0.013129150886)

-----

1 ----- 2/3 ----- 212 6.69ln((2/3) 4(2

3.1/

03)

80 0 16

5)

8 2

2 ----- 4/3 ----- 212 6.69ln((4/3) 4(4

6.0/

23)

03 8 06

4)

5 9

3 ----- 2 ----- 212 6.69ln(2 4(2)

7.36286

53)

4 62

4 ----- 8/3 ----- 212 6.69ln((8/3) 4(8

6.0/

23)

03 8 06

4)

5 9

5 ----- 10/3 ----- 212 6.69ln((10/3) 4(1

3.108080510 6)

2/3)

6 4 ----- 212 6.69ln(4 4(4)

0.013129150886)

-----

f(x) 0.02625830177 25.61972320

4

60

2/3C(t)dt 0.02625830177+2(25.61972320) =17.08856823=T2

b.) La longitud h de la base de los trapecios es 4 0 1h12 3


0 0 ----- 212 6.69ln(0 4(0)

0.013129150886)

-----

1 ----- 1/3 ----- 212 6.69ln((1/3) 4(1

1.5/

33)

70 3 46

6)

0 8

2 ----- 2/3 ----- 212 6.69ln((2/3) 4(2

3.1/

03)

80 0 16

5)

8 2

3 ----- 1 ----- 212 6.69ln(1 4(1)

4.65026

37)

8 88

4 ----- 4/3 ----- 212 6.69ln((4/3) 4(4

6.0/

23)

03 8 06

4)

5 9

5 ----- 5/3 ----- 212 6.69ln((5/3) 4(5

7.0/

03)

11 5 56

6)

3 1

6 ----- 2 ----- 212 6.69ln(2 4(2)

7.36286

53)

4 62

7 ----- 7/3 ----- 212 6.69ln((7/3) 4(7

7.0/

03)

11 5 56

6)

3 1

8 ----- 8/3 ----- 212 6.69ln((8/3) 4(8

6.0/

23)

03 8 06

4)

5 9


9 ----- 3 ----- 212 6.69ln(3 4(3)

4.65026

37)

8 88

10 ----- 10/3 ----- 212 6.69ln((10/3) 4(1

3.108080510 6)

2/3)

11 ----- 11/3 ----- 212 6.69ln((11/3) 4(1

1.537003641 6)

8/3)

12 4 ----- 212 6.69ln(4 4(4)

0.013129150886)

-----

f(x) 0.02625830177 51.99656938

4

120

1/3C(t)dt 0.02625830177+2(51.99656938) =17.33656617=T2

c.) Por el método de Romberg, con h1 = 2/3 y h2 = h1/2 = 1/3

14T(1/3) T(2/3) 4(17.33656617) (17.08856823)R (1/3) 17.41923215

3 3

resultado que tiene una precisión mínima de 4(1/3) . 12345 10 0 6790 , es decir, por lo menos la primera cifra

decimal es exacta.

El valor exacto a 10 cifras decimales es 17.41917543, por lo que en realidad el valor corregido de Romberg esta generando…

e 17.41917543-17.41923215 .0 000 72056

4 cifras decimales exactas.

110 Ecuaciones diferenciales ordinarias

CCAAPPÍÍTTUULLOO 55 EECCUUAACCIIOONNEESS DDIIFFEERREENNCCIIAALLEESS OORRDDIINNAARRIIAASS

Las ecuaciones diferenciales son expresiones matemáticas, donde a más de las variables usuales x, y, z…etc.,

aparecen derivadas de cualquier orden de una variable respecto de otras, así por ejemplo…

2dy ysen(x) z ydx

si únicamente están presentes las variables x(variable independiente) y y(variable dependiente) y una o más de-

rivadas de cualquier orden de y respecto de x, la ecuación se denomina ecuación diferencial ordinaria; además

el orden de la derivada más alta define el orden de la ecuación diferencial, así…

2

23

3

2

y

2

sen(x) cos(y) Ec. dif. ordinaria de 1er orden

dyx y x y Ec. d

dydx

d ydx

d y

if. ordinaria de 2do ordendx

dy e x y 1 Ec. dif. ordinaria dd

e 3er ordendx x

Las ecuaciones aparecen de forma natural al generar un modelo de un fenómeno de la vida real en cualquier

ciencia aplicada, por lo que su resolución es vital para definir el modelo. A pesar de ello es posible resolver

analíticamente sólo algunos pocos tipos de ecuaciones diferenciales por lo que se hace absolutamente necesa-

rio el conocimiento de métodos numéricos que permitan resolver ecuaciones diferenciales. De aquí en adelante

se nominará como ecuación diferencial a una ecuación diferencial ordinaria y se tratarán en este capítulo solo

ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

5.1 SOLUCIÓN GENERAL Y PARTICULAR DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL

Toda ecuación diferencial presenta dos tipos de soluciones: una solución general y una particular; la primera

proviene de integrar la ecuación diferencial y obtener la solución en función de la o las constantes de integra-

ción, el siguiente ejemplo aclara esta situación…

Ejemplo 5.1

Hallar la solución general de la ecuación diferencial 2dy xdx

Si se despejan las diferenciales de la derivada se tiene…

2dy x dx

integrando a cada lado de la expresión…

2dy x dx

resolviendo las integrales indefinidas…

111 Álgebra Lineal Numérica

3

3

3

xy A B3

xy B A3xy C3

por lo que la solución general de la ecuación diferencial dada es3

y Cx3

, siendo C una constante cuales-

quiera.

Si a más de solamente la ecuación diferencial se conoce una o más parejas de valores (x, y), llamadas condi-

ciones iniciales, tal que a través de ellas se pueda determinar el valor de la constante de integración, la solución

general pasará a denominarse solución particular, así para el ejemplo anterior…

Ejemplo 5.2

Hallar la solución particular de la ecuación diferencial 2dy xdx

, si y = 2 para x = 1.

Dado que la solución general es 3xy C

3 , entonces sustituyendo en ella x = 1, y = 2, se tiene…

3(1)2 C312 C3

1 5C 23 3

por lo que la solución particular en este caso es 3

y 5x3 3

.

Los métodos numéricos requieren del conocimiento de las condiciones iniciales para su ejecución. En el pre-

sente texto se van a revisar únicamente métodos numéricos de resolución de ecuaciones diferenciales de primer

orden.

5.2 MÉTODOS DE EULER

Son los métodos más simples, compactos aunque menos precisos y utilizan aproximaciones por diferencias

para las derivadas. Los métodos de Euler son:

Método de Euler hacia adelante.

Método de Euler hacia atrás, y

Método de Euler modificado.

Seguidamente se analiza cada uno…

5.2.1 MÉTODOS DE EULER HACIA ADELANTE Y HACIA ATRÁS

Considérese la ecuación diferencial de primer orden dy f(x,y)dx

, si se substituye en ella la primera derivada su


aproximación por diferencias hacia adelante (Ec. (3.1)), dada por…

i 1 ii 1 i

y ydy , con h x xdx h

entonces se obtiene la expresión…

i 1 iy y f(x,y)h

de donde,

i 1 i i iy y hf(x ,y )

ecuación que aplicada de forma iterativa, a partir de las condiciones iniciales (x0, y0), permite hallar el conjunto

solución 0 1 2y ,y ,y ,... para la ecuación diferencial dada, tal como lo muestra el siguiente ejemplo…

Ejemplo 5.3

Hallar la solución de la ecuación diferencial dy xydx

para el intervalo [1, 2] , si y0 = 2 para x0 = 1, mediante

el método de Euler hacia adelante. Compare dicha solución con la solución exacta expresada mediante 2x 12y(x) 2e

. Utilice h = 0.2

0y 2 para x0 = 1

1 0 0 0y y h(x y ) 2 (0.2)(1)( 2.) 42 para x1 = 1.2

2 1 1 1y y h(x y ) 2.4 (0.2)(1.2)(2.4 2.97) 6 para x2 = 1.4

3 2 2 2y y h(x y ) 2.976 (0.2)(1.4)(2.976) 3.80928 para x3 = 1.6

4 3 3 3y y h(x y ) 3.80928 (0.2)(1.6)(3.80 5928) .0282496 para x4 = 1.8

5 4 4 4y y h(x y ) 5.0282496 (0.2)(1.8)(5.02824 6.8384194596) 6 para x5 = 2

la solución aproximada está dada por la tabla…

i xi yi

0 1 2 1 1.2 2.4 2 1.4 2.976 3 1.6 3.80928 4 1.8 5.0282496 5 2 6.838419456

Graficando la solución aproximada y la solución exacta se tiene…

(5.1)


es de notar que mientras se incrementa xi, la solución aproximada se aleja más de la exacta.

Si en lugar de emplear la aproximación por diferencias hacia adelante se utiliza la aproximación por diferencias

hacia atrás, expresada mediante…

i i 1i i 1

y ydy , con h x xdx h

se tiene,

i i 1y y f(x,y)h

de donde,


expresión que aplicada iterativamente a partir de las condiciones iniciales (x0, y0), permite hallar el conjunto so-

lución 0 1 2y ,y ,y ,... para la ecuación diferencial dada, tal como lo muestra el siguiente ejemplo…

Ejemplo 5.4


para el intervalo [0,1] , si y0 = 2 para x0 = 1, mediante el

método de Euler hacia atrás. Compare dicha solución con la solución exacta expresada mediante 2x 12y(x) 2e

. Utilice h = 0.2

0y 2 para x0 = 1

1 0 0 0y y h(x y ) 2 (0.2)(1)( ) .2 1 6 para x1 = 0.8

Solución exacta

Solución aproximada

(5.2)


2 1 1 1y y h(x y ) 1.6 (0.2)(0.8)(1 1.34.6 4) para x2 = 0.6

3 2 2 2y y h(x y ) 1.344 (0.2)(0.6)(1.344) 1.18272 para x3 = 0.4

4 3 3 3y y h(x y ) 1.18272 (0.2)(0.4)(1.18272) 1.0881024 para x4 = 0.2

5 4 4 4y y h(x y ) 1.0881024 (0.2)(0.2)(1.0881024) 1.044578304 para x5 = 0

la solución aproximada está dada por la tabla…

i xi yi

0 1 2 1 0.8 1.6 2 0.6 1.344 3 0.4 1.18272 4 0.2 1.0881024 5 0 1.044578304

Graficando la solución aproximada y la solución exacta se tiene…

nuevamente la diferencia entre solución aproximada y exacta se incrementa al ir avanzando en el proceso iterati-vo.

La precisión mejora en los métodos de Euler hacia adelante y hacia atrás si se reduce el tamaño del paso(h),

como lo comprueban los siguientes ejemplos…

Ejemplo 5.5

Mejore la precisión del ejemplo 5.3 tomando un valor de h = 0.1

Para el ejemplo 5.3…

Solución exacta

Solución aproximada


0y 2 para x0 = 1

1 0 0 0y y h(x y ) 2 (0.1)(1)( 2.) 22 para x1 = 1.1

2 1 1 1y y h(x y ) 2.2 (0.1)(1.1)(2.2 2.44) 2 para x2 = 1.2

3 2 2 2y y h(x y ) 2.442 (0.1)(1.2)(2.442) 2.73504 para x3 = 1.3

4 3 3 3y y h(x y ) 2.73504 (0.1)(1.3)(2.73 3504) .0905952 para x4 = 1.4

5 4 4 4y y h(x y ) 3.0905952 (0.1)(1.4)(3.09059 3.5232785252) 8 para x5 = 1.5

6 5 5 5y y h(x y ) 3.523278528 (0.1)(1.5)(3.5232785 4.0512 78) 703072 para x6 = 1.6

7 6 6 6y y h(x y ) 4.0517703072 (0.1)(1.6)(4.0517703 4.700053556072 4) para x7 = 1.7

8 7 7 7y y h(x y ) 4.7000535564 (0.1)(1.7)(4.7000535 5.499062660564 9) para x8 = 1.8

9 8 8 8y y h(x y ) 5.4990626609 (0.1)(1.8)(5.4990626 6.488893939609 9) para x9 = 1.9

9 8 8 8y y h(x y ) 6.4888939399 (0.1)(1.9)(6.4888939 7.721783788399 5) para x10 = 2

las soluciones aproximadas anterior y actual así como la solución exacta están dadas por la siguiente tabla…

i xi yi (h = 0.2) yi (h = 0.1) yi (exacta)

0 1 2 2 2 1 1.1 --- 2.2 2.2214212207 2 1.2 2.4 2.442 2.4921534611 3 1.3 --- 2.73504 2.8239798393 4 1.4 2.976 3.0905952 3.2321488043 5 1.5 --- 3.523278528 3.7364919148 6 1.6 3.80928 4.0517703072 4.3629445309 7 1.7 --- 4.7000535564 5.1456267571 8 1.8 5.0282496 5.4990626609 6.1297084065 9 1.9 --- 6.4888939399 7.3753781874

10 2 6.838419456 7.7217837885 8.9633781406

La tabla muestra una mejoría evidente al reducir el valor de h, aunque como antes al aumentar el proceso iterati-

vo el error también se incrementa. Para aumentar aún más la precisión es necesario reducir todavía el valor de

h, lo que hace del método no tan práctico.

Finalmente, graficando las soluciones aproximadas y la solución exacta se tiene…


que confirma lo deducido en la tabla.

5.2.2 MÉTODO DE EULER MODIFICADO

El método de Euler si bien es simple, sien embargo, requiere de un valor de h muy pequeño para ser preciso lo

que conlleva una gran cantidad de cálculos, es entonces necesario buscar una alternativa para mejorar dicha si-

tuación; esa alternativa es el método que se desarrollará seguidamente…

Considérese la ecuación diferencial de primer orden dy f(x,y)dx

, y en ella se procede a efectuar la integración

como sigue…

i 1 i 1

i i

y x

y x

dy f(x,y)dxdy f(x,y)dx

dy f(x,y)dx

aplicando el método de los trapecios a i 1

i

x

x

f(x,y)dx

, se tiene…

i 1

i

x

i 1 i i i i 1 i 1x

hy y f(x,y)dx f(x ,y ) f(x ,y )2

es decir,

i 1 i i i i 1 i 1hy y f(x ,y ) f(x ,y )2

en esta última expresión se aplica el método de Euler hacia delante a i 1y , en el miembro derecho y se tiene fi-

Solución exacta

Solución aproximada (h = 0.1)

Solución aproximada (h = 0.2)


nalmente…

i 1 i i i i 1 i i ihy y f(x ,y ) f(x ,y hf(x ,y ))2

ecuación que se aplica iterativamente, y se escribe de manera simplificada como…

i 1 i 1 2

1 i i

2 i 1 i i i

hy y k k donde2

k f(x ,y )k f(x ,y hf(x ,y ))

A continuación se ejemplifica este método…

Ejemplo 5.6


para el intervalo [1, 2] , si y0 = 2 para x0 = 1, utilizando

el método de Euler modificado. Compare dicha solución con la solución aproximada dada por el método de Eu-

ler hacia adelante y con la solución exacta expresada por la ecuación 2x 12y(x) 2e

. Utilice h = 0.2

Para la ecuación diferencial dada se tiene que…

1 i i

2 i 1 i i i

k x yk x (y hx y )

así entonces…

0y 2 para x0 = 1

1 0 0 0 1 0 0 0h 0.2y y x y x y hx y 2 (1)(2) 1.2 2 (0.2)(1)(2)2 2

2.488 para x1 = 1.2

2 1 1 1 2 1 1 1

2

h 0.2y y x y x y hx y 2.488 (1.2)(2.488) 1.4 2.488 (0.2)(1.2)(2.488

3.218476

)2 2

para 8 x 1 .4

3 2 2 2 3 2 2 2

3

h 0.2y y x y x y hx y 3.2184768 (1.4)(3.2184768) 1.6 3.21847682 2

(0.2)(1.4)(3.21 4.3282084768) para x 1.676006

4 3 3 3 4 3 3 3

4

h 0.2y y x y x y hx y 4.3282076006 (1.6)(4.3282076006) 1.8 4.32820760062 2

(0.2)(1.6)(4.3 6.282076006) pa0491029426 ra x 1.8

5 4 4 4 5 4 4 4

5

h 0.2y y x y x y hx y 6.0491029426 (1.8)(6.0491029426) 2 6.04910294262 2

(0.2)(1.8)(6.0491029426) para 8.7832 x974727 2

las solución aproximada por este método así como el de Euler hacia adelante y la solución exacta están dadas

por la siguiente tabla…

(5.3)


i xi yi (E. adelante) yi (E. modificado) yi (exacta)

0 1 2 2 2 1 1.2 2.4 2.488 2.4921534611 2 1.4 2.976 3.2184768 3.2321488043 3 1.6 3.80928 4.3282076006 4.3629445309 4 1.8 5.0282496 6.0491029426 6.1297084065 5 2 6.838419456 8.7832974727 8.9633781406

es fácilmente observable que el método de Euler modificado da una solución bastante precisa aún más que

aquella de Euler con paso h = 0.1. El gráfico siguiente confirma lo dicho…

la solución dada por el método de Euler modificado prácticamente se confunde con la solución exacta.

5.2.3 ERROR EN LOS MÉTODOS DE EULER

El error en los métodos de Euler puede ser tratado muy minuciosamente con la ayuda de Series de Taylor, más

ese estudio sale fuera del alcance introductorio de este texto y es más útil en todo caso revisar las consecuen-

cias prácticas de dicho análisis.

En el error en ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) es útil diferenciar dos clases de errores existentes, a

saber…

Error local y

Error global

Error local es el cometido durante un paso del proceso iterativo, desde yi hasta yi + 1, mientras que el error global

es el error acumulada en yi, debido a todos los pasos previos. El error global en xi, es…

global exacto aproximadoi i ie y y

Solución exacta

Solución aproximada (Euler modificado)

Solución aproximada (Euler hacia adelante)


donde exactoiy es el valor generado por la solución exacta y aproximado

iy es el valor dado por el método numérico

en estudio. El error local puede ser medido únicamente en la primera iteración del proceso, ya que en las subsi-

guientes se acumula error generando el error global.

Un teorema importante del análisis numérico válido para EDO, afirma que si el error local es del orden O(hp+1)

entonces el error global, para valores pequeños de h, será del orden O(hp), es decir…

global exacto aproximado pi i ie y y ch donde c es una constante que no

depende de h

Para los métodos de Euler, el orden del error local y global, lo muestra la siguiente tabla…

Método Orden del error

Error local Error global

Euler hacia adelante O(h2) O(h)

Euler hacia atrás O(h2) O(h)

Euler modificado O(h3) O(h2)

Los siguientes ejemplos estudian el error local y global.

Ejemplo 5.7

Encuentre la solución aproximada para y(1.2) en la ecuación diferencial…

2 2dy x sen(y )dx

si y(1) = 0, utilizando el método de Euler hacia adelante con h = 0.2, h = 0.1, h = 0.05 y h = 0.01. Analice

además el error local y global. El valor exacto a siete cifras decimales es y(1.2) = 0.2463119

i xi yi (h = 0.2) yi (h = 0.1) yi (h = 0.05) yi (h = 0.01)

0 1 0 0 0 0 1 1.01 --- --- --- 0.01 2 1.02 --- --- --- 0.020202 3 1.03 --- --- --- 0.03061008120 4 1.04 --- --- --- 0.04122845097 5 1.05 --- --- 0.05 0.05206144882 6 1.06 --- --- --- 0.06311355273 7 1.07 --- --- --- 0.07438938583 8 1.08 --- --- --- 0.08589372335 9 1.09 --- --- --- 0.09763150000

10 1.1 --- 0.1 0.1052499998 0.1096078176 11 1.11 --- --- --- 0.1218279535 12 1.12 --- --- --- 0.1342973685 13 1.13 --- --- --- 0.1470217166 14 1.14 --- --- --- 0.1600068536 15 1.15 --- --- 0.1663038666 0.1732588475 16 1.16 --- --- --- 0.1867839887

(5.4)


17 1.17 --- --- --- 0.2005888006 18 1.18 --- --- --- 0.2146800507 19 1.19 --- --- --- 0.2290647628 20 1.2 0.2 0.2219999833 0.2338115391 0.2437502287

El error local se puede verificar donde exista un solo paso, es decir con h = 0,2; en este caso el orden es de

O(h2), o sea (0.2)2 = 0.04, por lo que debe existir una sola cifra decimal exacta, y en efecto para h = 0.2 se

tiene y(1.2) = 0.2, entonces..

local1.2e 0.2463119 0.2 0. 46 90 311

lo que corrobora la única cifra decimal exacta.

En los demás casos se presenta error global cuyo número mínimo de cifras decimales exactas lo determina el

siguiente cuadro y se compara con los valores calculados…

h Orden del error global, O(h) Valores calcula-

dos Error global

0.1 Ninguna cifra decimal exacta 0.2219999833 global1.2e 0.2463119 0.22200000. 3119024

0.05 Una cifra decimal exacta como mínimo 0.2338115391 global1.2e 0.2463119 0.23381150. 5004012

0.01 Una cifra decimal exacta como mínimo 0.2437502287 global1.2e 0.2463119 0.24375020. 5617002

En los casos de h = 0.1 y h = 0.01, el orden del error previsto es conservador respecto de lo obtenido.

Ejemplo 5.8


dy x ln(y)dx

si y(0) = 1, utilizando el método de Euler modificado con h = 0.5, h = 0.1 y h = 0.05. Analice además el error

local y global. El valor exacto a siete cifras decimales es y(0.5) = 1.1476682.

i xi yi (h = 0.5) yi (h = 0.1) yi (h = 0.05)

0 0 1 1 1 1 0.05 --- --- 1.00125 2 0.1 --- 1.005 1.005126360 3 0.15 --- --- 1.011762404 4 0.2 --- 1.021018370 1.021296066 5 0.25 --- --- 1.033868815 6 0.3 --- 1.049168174 1.049624418 7 0.35 --- --- 1.068707581 8 0.4 --- 1.090599472 1.091262494 9 0.45 --- --- 1.117431341

10 0.5 1.125 1.146455331 1.147352815

El error local se verifica con h = 0,5; en este caso el orden es de O(h3), o sea (0.5)3 = 0.125, por lo que no de-


be existir una sola cifra decimal exacta como mínimo, sin embargo para h = 0.5 se tiene y(0.5) = 1.125, en-

tonces..

local0.5e 1.1476682 1.125 0. 22 20 668

existiendo una cifra decimal exacta.

Para los otros valores de h se presenta error global cuyo número mínimo de cifras decimales exactas lo deter-

mina el siguiente cuadro y se compara con los valores calculados…

h h2 Orden del error global, O(h2) Valores calcula-

dos Error global

0.1 0.01 Una cifra decimal exacta (mínimo) 1.146455331 global0.5e 1.1476682 1.14645530. 2129001

0.05 0.0025 Dos cifras decimales exactas (mínimo) 1.147352815 global0.5e 1.1476682 1.14735280. 3154000

En ambos casos el orden del error previsto es conservador respecto de lo obtenido.

La expresión (5.4) se puede utilizar para mejorar el valor de una estimación de yi, en base a cálculos previos

como lo demuestra el siguiente ejemplo…

Ejemplo 5.9


2dy x ydx

si y(1) = 0, utilizando el método de Euler hacia adelante con h = 0.05 y h = 0.025. Mejore las anteriores esti-

maciones. El valor de y(1.3) a siete cifras decimales es 0.4592940

i xi yi (h = 0.05) yi (h = 0.025)

0 1 0 0 1 1.025 --- 0.025 2 1.05 0.05 0.051890625 3 1.075 --- 0.08075039062 4 1.1 0.107625 0.1116597753 5 1.125 --- 0.1447012697 6 1.15 0.17350625 0.1799594265 7 1.175 --- 0.2175209121 8 1.2 0.2483065625 0.2574745599 9 1.225 --- 0.2999114239

10 1.25 0.3327218906 0.3449248345 11 1.275 --- 0.3926104554 12 1.3 0.4274829851 0.4430663418

Ambos resultados tienen como mínimo una cifra decimal exacta, lo cual es fácilmente corroborable en base al

valor exacto.


Por la relación (5.4), se tiene que…

aprox(h 0.05)1.3 1.3y y ch (A)

para h = 0.05, y

aprox(h 0.025)1.3 1.3

aprox(h 0.025)1.3 1.3

hy y c2

2y 2y ch (B)

para h = 0.025. Restando (B) – (A) se tiene…

aprox(h 0.025) aprox(h 0.05)1.3 1.3 1.3y 2y y

que da una estimación más exacta que las anteriores, así…

1.3y 2(0.4430663418) (0.4274829851) 0.4586496985

ésta última estimación es exacta a 3 cifras decimales.

5.3 MÉTODOS DE TAYLOR

Estos métodos utilizan el desarrollo de la serie de Taylor(ver Apéndice B) como instrumento para resolver la

ecuación diferencial dyy f(x,y)dx

y la precisión del método dependerá del número de términos tomados de

la serie.

La serie de Taylor se puede escribir como…

2 31 1f(x h) f(x) hf (x) h f (x) h f (x) ...2! 3!

usando y en lugar de f, xi por x y xi+1 en vez de x + h, se convierte en…

2 3i 1 i i i í

1 1y(x ) y(x ) hy (x ) h y (x ) h y (x ) ...2! 3!

o de forma abreviada,

2 3i 1 i i i i

1 1y y hy h y h y ... (A)2! 3!

tomando los dos primeros términos de la serie (A), se tiene..

i 1 i iy y hy

pero i i iy f(x ,y ) , por lo que


expresión que corresponde al método por serie de Taylor de primer orden(ST1) y que no es sino el conocido

método de Euler. Tomando los 3, 4 y 5 términos de la serie se tiene…


2

i 1 i i i

2 3

i 1 i i i i

2 3 4(4)

i 1 i i i i i

hy y hy y Metodo de serie de Taylor de 2do. orden(ST2)2

h hy y hy y y Metodo de serie de Taylor de 3er. orden(ST3)2 6

h h hy y hy y y y Metodo de serie de Taylo2 6 24

r de 4to. orden(ST4)

Estos métodos involucran el calculo por derivación implícita de las derivadas de orden 2, 3, 4, … tal como lo

muestra el siguiente ejemplo…

Ejemplo 5.10


2dy x ydx

si y(1) = 0, utilizando ST2 y ST4 con h = 0.1. El valor de y(1.3) a siete cifras decimales es 0.4592940

derivando implícitamente…

2i i i

i i i

i i(4)i i

y x yy 2x yy 2 yy y

(a) Empleando ST2…

2

1 0 0 0hy y hy y2

con

02 2

0 0 0

0 0 0

y 0y x y (1) 0 1y 2x y 2(1) 1 3

por lo que…

2 2

1 0 0 0h (0.1)y y hy y 0 (0.1)(1) (3)2

0.112

5 para x1 = 1.1

2

2 1 1 1hy y hy y2

con

12 2

1 1 1

1 1 1

y 0.115y x y (1.1) 0.115 1.325y 2x y 2(1.1) 1.325 3.525

por lo que…

2 2

2 1 1 1h (0.1)y y hy y 0.115 (0.1)(1.325) (3.525)2 2

0.265125 para x2 = 1.2

(5.5)


finalmente…

2

3 2 2 2hy y hy y2

con

22 2

2 2 2

2 2 2

y 0.265125y x y (1.2) 0.265125 1.705125y 2x y 2(1.2) 1.705125 4.105125

por lo que…

2 2

3 2 2 2h (0.1)y y hy y 0.265125 (0.1)(1.705125) (4.105125) 0.456162

312

para x3 = 1.3

el error es…

global1.3e 0.4592940 0.4561631 0. 3090031

lo que muestra la existencia de dos cifras decimales exactas.

(a) Empleando ST4…

2 3 4(4)

1 0 0 0 0 0h h hy y hy y y y2 6 24

con

02 2

0 0 0

0 0 0

0 0(4)0 0

y 0y x y (1) 0 1y 2x y 2(1) 1 3y 2 y 2 3 5y y 5

entonces

2 3 4 2 3 4(4)

1 0 0 0 0 0h h h (0.1) (0.1) (0.1)y y hy y y y 0 (0.1)(1) (3) (5) (5)2

0.11585426 24 2 6 24

para

x1 = 1.1

2 3 4(4)

2 1 1 1 1 1h h hy y hy y y y2 6 24

con

12 2

1 1 1

1 1 1

1 1(4)1 1

y 0.1158542y x y (1.1) 0.1158542 1.3258542y 2x y 2(1.1) 1.3258542 3.5258542y 2 y 2 3.5258542 5.5258542y y 5.5258542

entonces


2 3 4 2(4)

2 1 1 1 1 1

3 4

h h h (0.1)y y hy y y y 0.1158542 (0.1)(1.3258542) (3.5258542)2 6 24 2

(0.1) (0.1)(5.5258542) (5.5258542)6 24

0.2670129

para x1 = 1.2

2 3 4(4)

3 2 2 2 2 2h h hy y hy y y y2 6 24

con

22 2

2 2 2

2 2 2

2 2(4)2 2

y 0.2670129y x y (1.2) 0.2670129 1.7070129y 2x y 2(1.2) 1.7070129 4.1070129y 2 y 2 4.1070129 6.1070129y y 6.1070129

entonces

2 3 4 2(4)

3 2 2 2 2 2

3 4

h h h (0.1)y y hy y y y 0.2670129 (0.1)(1.7070129) (4.1070129)2 6 24 2

(0.1) (0.1)(6.1070129) (6.1070129)6 24

0.4592925

para x1 = 1.3

el error es…

global1.3e 0.4592940 0.4592925 0. 1500000

lo que muestra la existencia de cinco cifras decimales exactas.

Como resulta evidente los métodos de series de Taylor de mayor orden producen mejores resultados, aunque a

costa de un mayor número de cálculos.

5.3.1 ERROR EN LOS MÉTODOS DE TAYLOR

El orden del error en los métodos de series de Taylor se resume en el siguiente cuadro…



ST1(Método de Euler) O(h2) O(h)

ST2 O(h3) O(h2)

ST3 O(h4) O(h3)

ST4 O(h5) O(h4)

El siguiente ejemplo ilustra el uso que se puede hacer del orden del error en los métodos de Taylor…

Ejemplo 5.10



dy x ydx

si y(1) = 0, utilizando cualquier método por series de Taylor. El resultado debe poseer cinco cifras decimales

exactas.

Utilizando ST4, el error global es O(h4), entonces…

h = 0.1 (0.1)4 = 0.0001 Se obtienen un mínimo de 3 cifras decimales exactas

h = 0.05 (0.05)4 = 0.00000625 Se obtienen un mínimo de 5 cifras decimales exactas

por lo que la elección adecuada es h = 0.05.

derivando implícitamente…

i i i

i i

i i(4)i i

y x yy 1 yy yy y

2 3 4(4)

1 0 0 0 0 0h h hy y hy y y y2 6 24

0

0 0 0

0 0

0 0(4)0 0

y 0y x y 1 0 1y 1 y 1 1 2y y 2y y 2

2 3 4 2 3 4(4)

1 0 0 0 0 0h h h (0.05) (0.05) (0.05)y y hy y y y 0 (0.05)(1) (2) (2) (2)2 6

0.05254224 2 6 2

14

9

para x1 = 1.05

2 3 4(4)

2 1 1 1 1 1h h hy y hy y y y2 6 24

1

1 1 1

1 1

1 1(4)1 1

y 0.05254219y x y 1.05 0.05254219 1.10254219y 1 y 1 1.10254219 2.10254219y y 2.10254219y y 2.10254219

2 3 4 2(4)

2 1 1 1 1 1

3 4

h h h (0.05)y y hy y y y 0.05254219 (0.05)(1.10254219) (2.10254219)2 6 24 2

(0.05) (0.05)(2.10254219) (2.10254219)6

0.1103418324

para x2 = 1.1

2 3 4(4)

3 2 2 2 2 2h h hy y hy y y y2 6 24


2

2 2 2

2 2

2 2(4)2 2

y 0.11034183y x y 1.1 0.11034183 1.21034183y 1 y 1 1.21034183 2.21034183y y 2.21034183y y 2.21034183

2 3 4 2(4)

3 2 2 2 2 2

3 4

h h h (0.05)y y hy y y y 0.11034183 (0.05)(1.21034183) (2.21034183)2 6 24 2

(0.05) (0.05)(2.21034183) (2.21034183)6

0.1736684724

para x3 = 1.15

2 3 4(4)

4 3 3 3 3 3h h hy y hy y y y2 6 24

3

3 3 3

3 3

3 3(4)3 3

y 0.17366847y x y 1.15 0.17366847 1.32366847y 1 y 1 1.32366847 2.32366847y y 2.32366847y y 2.32366847

2 3 4 2(4)

4 3 3 3 3 3

3 4

h h h (0.05)y y hy y y y 0.17366847 (0.05)(1.32366847) (2.32366847)2 6 24 2

(0.05) (0.05)(2.32366847) (2.32366847)6

0.2428054924

para x4 = 1.2

El valor exacto a 8 cifras decimales exactas es 0.24280552, por lo que…

global1.2e 0.24280552 0.2428054 00000009 0. 3

lo que muestra que el resultado obtenido tiene como mínimo 5 cifras decimales exactas(en realidad existen 7 ci-fras decimales exactas).

Nuevamente se comprueba que trabajar con el orden del error para determinar el número de cifras exactas lleva

a cálculos por el lado conservador del análisis numérico.

5.4 MÉTODOS DE RUNGE–KUTTA

Una de las dificultades del uso de los métodos por series de Taylor, es el empleo de la derivación implícita, ésta

no esta presente en los métodos de Runge–Kutta cuya deducción matemática sale fuera del alcance de este li-

bro, por lo que no se van a detallar.

5.4.1 MÉTODO DE RUNGE–KUTTA DE TERCER ORDEN

El método de Runge–Kutta de tercer orden(RK3), para la ecuación diferencial dyy f(x,y)dx

se define me-

diante…

i 1 i 1 2 31y y (k 4k k )6


donde…

1 i i

2 i i 1

3 i i 2 1

k hf(x ,y )1 1k hf x h,y k2 2

k hf(x h,y 2k k )

El siguiente ejemplo muestra el uso de este procedimiento…

Ejemplo 5.11


dy x ydx

si y(1) = 0, utilice el método RK3 con h = 0.1. La respuesta exacta a 8 cifras decimales es 0.63848116.

Se empleara…

i 1 i 1 2 31y y (k 4k k )6

con

1 i i i i

12 i i 1 i i

3 i i 2 1 i i 2 1

k hf(x ,y ) 0.1( x y )

k1 1k hf x h,y k 0.1 x 0.05 y2 2 2

k hf(x h,y 2k k ) 0.1 x 0.1 y 2k k

Así entonces…

1 0 1 2 31y y (k 4k k )6

1 0 0

12

3 2 1

k 0.1( x y ) 0.1( 1 0) 0.1

k 0.1k 0.1 1 0.05 0 0.1 1 0.05 0 0.124830192 2

k 0.1 1 0.1 0 2k k 0.1 1 0.1 0 2(0.12483019) 0.1 0.14356685

11y 0 (0.1 4(0.12483019) 0.1435668 0.12381 6) 456

0 para x1 = 1.1

2 1 1 2 31y y (k 4k k )6

1 1 1

12

3 2 1

k 0.1( x y ) 0.1( 1.1 0.12381460) 0.14006818

k 0.14006818k 0.1 1.1 0.05 0.12381460 0.1 1 0.05 0 0.151266302 2

k 0.1 1.1 0.1 0.12381460 2k k 0.1 1 0.1 0 2(0.15126630) 0.14006818

0.163049

60

(5.6)


21y 0.12381460 (0.14006818 4(0.15126630) 0.16304960) 0.27 1 46

5 78 3 para x2 = 1.2

3 2 1 2 31y y (k 4k k )6

1 2 2

12

3 2 1

k 0.1( x y ) 0.1( 1.2 0.27517843) 0.16200196

k 0.16200196k 0.1 1.2 0.05 0.27517843 0.1 1 0.05 0 0.171484172 2

k 0.1 1.2 0.1 0.27517843 2k k 0.1 1 0.1 0 2(0.17148417) 0.16200196

0.181556

04

31y 0.27517843 (0.16200196 4(0.17148417) 0.18155604) 0.44 7 96

6 60 0 para x3 = 1.3

4 3 1 2 31y y (k 4k k )6

1 3 3

12

3 2 1

k 0.1( x y ) 0.1( 1.3 0.44676090) 0.18085772

k 0.18085772k 0.1 1.3 0.05 0.44676090 0.1 1 0.05 0 0.189482732 2

k 0.1 1.3 0.1 0.44676090 2k k 0.1 1 0.1 0 2(0.18948273) 0.18085772

0.198625

31

41y 0.44676090 (0.18085772 4(0.18948273) 0.19862531) 0.63 3 86

6 29 9 para x4 = 1.4

el error es entonces…

global1.4e 0.63848116 0.6363298 09 0. 215120 7

lo que indica la presencia de 2 cifras decimales exactas.

5.4.2 MÉTODO DE RUNGE–KUTTA DE CUARTO ORDEN

El método de Runge–Kutta de cuarto orden(RK4), para la ecuación diferencial dyy f(x,y)dx

generalmente

el más utilizado de estos métodos se define mediante…

i 1 i 1 2 3 41y y (k 2k 2k k )6

donde…

1 i i

2 i i 1

3 i i 2

4 i i 3

k hf(x ,y )1 1k hf x h,y k2 21 1k hf x h,y k2 2

k hf(x h,y k )

El siguiente ejemplo ilustra este método…

(5.7)


Ejemplo 5.12


2dy x ydx

si y(1) = 0, utilice el método RK4 con h = 0.1. La respuesta exacta a 8 cifras decimales es 0.33427343.

Se utilizara…

i 1 i 1 2 3 41y y (k 2k 2k k )6

con

21 i i i i

2

2 i i 1 i i 1

2

3 i i 2 i i 2

24 i i 3 i i 3

k hf(x ,y ) 0.1(x y )

1 1 h 1k hf x h,y k 0.1 x y k2 2 2 2

1 1 h 1k hf x h,y k 0.1 x y k2 2 2 2

k hf(x h,y k ) 0.1(x h (y k ) )

entonces…

1 0 1 2 3 41y y (k 2k 2k k )6

21 0 0

2

2 0 0 1

2

3 0 0 2

24 0 0 3

k 0.1(x y ) 0.1

h 1k 0.1 x y k 0.104752 2

h 1k 0.1 x y k 0.104725692 2

k 0.1(x h (y k ) ) 0.10890325

1 0 1 2 3 41y y (k 2k 2k 0.1046424)6

4k para x1 = 1.1

2 1 1 2 3 41y y (k 2k 2k k )6

21 1 1

2

2 1 1 1

2

3 1 1 2

24 1 1 3

k 0.1(x y ) 0.10890410

h 1k 0.1 x y k 0.112468882 2

h 1k 0.1 x y k 0.112411862 2

k 0.1(x h (y k ) ) 0.11528874


2 1 1 2 3 41y y (k 2k 2k 0.2169683)6

1k para x2 = 1.2

3 2 1 2 3 41y y (k 2k 2k k )6

21 2 2

2

2 2 2 1

2

3 2 2 2

24 2 2 3

k 0.1(x y ) 0.11529248

h 1k 0.1 x y k 0.117458692 2

h 1k 0.1 x y k 0.117399082 2

k 0.1(x h (y k ) ) 0.11881984

3 2 1 2 3 41y y (k 2k 2k 0.3342729)6

5k para x3 = 1.3

el error es…

global1.4e 0.33427343 0.3342729 05 0. 4800000

lo que indica la presencia de 6 cifras decimales exactas.

5.4.3 ERROR EN LOS MÉTODOS DE RUNGE–KUTTA

El orden del error en los métodos de Runge–Kutta se resume a continuación…



RK3 O(h4) O(h3)

RK4 O(h5) O(h4)

Se deja al lector comprobar con el ejemplo anterior el orden de error indicado

5.5 MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE EDOs DE PRIMER ORDEN CON DERIVE 6

Derive 5, dentro del archivo de utilidad Ode_appr.mth, posee dos funciones correspondientes a los métodos de

Euler y RK4, para solución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden.

EULER_ODE(f, x, y, x0, y0, h, n) se aproxima a un vector de n + 1 puntos de la solución de la ecuación

dyy f(x,y)dx

con y = y0 en x = x0 empezando con x = x0 y usando un paso de h.

RK([f], [x, y], [x0, y0], h, n) usa el método de Runge-Kutta de cuarto orden(RK4) para aproximar la solución de

la ecuación dyy f(x,y)dx

con y = y0 en x = x0 empezando con x = x0, h es el paso y n es el número de

iteraciones. RK devuelve una matriz de puntos con n + 1 aproximaciones.

Ejemplo 5.13



2 2dy x ydx

si y(1) = 2, utilice el método de Euler y RK4 con h = 0.1 y h = 0.05. Utilice las funciones EULER y RK.

Se carga la utilidad Ode_appr.mth…

Se escriben las funciones de acuerdo a lo pedido…

EULER_ODE(x^2–y^2, x, y, 1, 2, 0.1, 6)

RK([x^2–y^2f], [x, y], [1, 2], 0.1, 6)

EULER_ODE(x^2–y^2, x, y, 1, 2, 0.05, 12)

RK([x^2–y^2f], [x, y], [1, 2], 0.05, 12)

Luego de aproximar se obtiene…


y,

5.6 APLICACIONES

Las EDOs de primer orden tienen numerosas aplicaciones, aquí se revisarán unos pocos ejemplos de ello…

Ejemplo 5.14

Física. Un paracaidista se lanza de un aeroplano y antes de abrir su paracaídas el arrastre debido a la resistencia

del aire es proporcional a 1.5v . Por ello la ecuación del movimiento del paracaidista esta dada por

1.5dv g kvdt

donde k = 0.05, g = 9.8 m/s2 y v(0) = 0. Determinar la velocidad del paracaidista cada me-

dio segundo.

Se utiliza RK, mediante la orden RK([9.8–0.05*v^1.5], [t, v], [0, 0], 0.5, 98), obteniendose…


t(s) v(m/s) t(s) v(m/s) t(s) v(m/s) 0 0 17 33.71332297 34 33.74197427

0.5 4.793106301 17.5 33.71893344 34.5 33.74197768 1 9.219965304 18 33.72344609 35 33.74198042

1.5 13.17437709 18.5 33.72707569 35.5 33.74198263 2 16.62786062 19 33.72999499 36 33.74198440

2.5 19.59312055 19.5 33.73234298 36.5 33.74198583 3 22.10583387 20 33.73423145 37 33.74198698

3.5 24.21303637 20.5 33.73575032 37.5 33.74198790 4 25.96561345 21 33.73697192 38 33.74198864

4.5 27.41364417 21.5 33.73795443 38.5 33.74198924 5 28.60373270 22 33.73874463 39 33.74198972

5.5 29.57768156 22.5 33.73938018 39.5 33.74199011 6 30.37203125 23 33.73989133 40 33.74199042

6.5 31.01812723 23.5 33.74030244 40.5 33.74199067 7 31.54248246 24 33.74063308 41 33.74199087

7.5 31.96728292 24.5 33.74089900 41.5 33.74199103 8 32.31094043 25 33.74111288 42 33.74199116

8.5 32.58863623 25.5 33.74128489 42.5 33.74199126 9 32.81282445 26 33.74142324 43 33.74199135

9.5 32.99368113 26.5 33.74153450 43.5 33.74199142 10 33.13949459 27 33.74162399 44 33.74199147

10.5 33.25699858 27.5 33.74169596 44.5 33.74199151 11 33.35165286 28 33.74175385 45 33.74199155

11.5 33.42787713 28.5 33.74180040 45.5 33.74199158 12 33.48924458 29 33.74183784 46 33.74199159

12.5 33.53864104 29.5 33.74186796 46.5 33.74199159 13 33.57839529 30 33.74189218 47 33.74199159

13.5 33.61038534 30.5 33.74191165 47.5 33.74199159 14 33.63612489 31 33.74192732 48 33.74199159

14.5 33.65683349 31.5 33.74193992 15 33.67349334 32 33.74195005

15.5 33.68689528 32.5 33.74195820 16 33.69767595 33 33.74196476

16.5 33.70634774 33.5 33.74197003

Un gráfico de la tabla anterior se muestra a continuación…


el gráfico muestra la presencia de una velocidad constante a partir de los 46 s. aproximadamente, ésta es la llamada velocidad terminal.

Ejemplo 5.14

Crecimiento poblacional. Un ecologista introduce 100 aves con el objeto de combatir una plaga de insectos. La

experiencia muestra que el número N de las mismas puede ser modelado por la ecuación diferencial

1.9dN 0.89N 0.003Ndt

donde t está en meses. El ecologista afirma que no hay peligro de que las aves se

conviertan en una plaga ¿Por qué?

Nuevamente se utiliza RK, mediante la orden RK([0.89–0.003*N^1.9], [t, N], [0, 100], 1, 29), obteniendose…

t(mes) N t(mes) N t(mes) N 0 100 10 557.6407007 20 558.4252736 1 188.0985332 11 558.0710982 21 558.4254248 2 300.5228543 12 558.2655348 22 558.4254930 3 405.0082009 13 558.3533244 23 558.4255237 4 477.7947448 14 558.3929520 24 558.4255376 5 519.1559280 15 558.4108376 25 558.4255439 6 540.0513810 16 558.4189097 26 558.4255467 7 549.9938562 17 558.4225527 27 558.4255480 8 554.5912846 18 558.4241968 28 558.4255484 9 556.6891718 19 558.4249388 29 558.4255484

Un gráfico de la tabla anterior es…

velocidad terminal


Este gráfico al igual que la tabla muestran que el número de aves se estabiliza en 558 a partir de 1 año aproxi-madamente de introducidas las aves, lo cual justifica la aseveración del ecologista que el crecimiento poblacio-nal de las aves no constituye un problema de generación de plagas.

Ejemplo 5.14

Ley de enfriamiento de Newton. Una taza de café que se halla inicialmente a 100C, se enfría de acuerdo a la

ecuación diferencial dT 0.03(T 20)dt

donde T es la temperatura en C y t es el tiempo en minutos. Des-

pués de 20 minutos cual es la temperatura del café.

Las órdenes

CaseMode := Sensitive

RK([–0.03(T–20)], [t, T], [0, 100], 1, 20)

generan la tabla…

t(min) T(C) t(min) T(C) t(min) T(C) 0 100 7 84.84673977 14 72.56374573 1 97.63564269 8 82.93022898 15 71.01025228 2 95.34116271 9 81.07035966 16 69.50267150 3 93.11449486 10 79.26545777 17 68.03964647 4 90.95363499 11 77.51389880 18 66.61986036 5 88.85663818 12 75.81410622 19 65.24203527 6 86.82161699 13 74.16455010 20 63.90493106

cuyo gráfico es…


El café se encuentra a una temperatura aproximada de 63.90C después de 20 minutos.

5.7 SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Los métodos numéricos empleados para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias individuales se pueden

emplear en la resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias con valor inicial. Se considerará a

continuación los sistemas de ecuaciones diferenciales de primer orden.

Considérese el siguiente sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden…

dxf(t,x,y)

dtdy

g(t,x,y)dt

(A)

con las condiciones iniciales…

0 0 0 0x(t ) x , y(t ) y (B)

Una solución del sistema dado es un par de funciones derivables x(t) e y(t) tales que cuando t, x(t) e y(t) se sus-

tituyen en f(t,x,y) y g(t,x,y), el resultado es igual a dxdt

y dydt

respectivamente, es decir…

0

0

0 0 0t t

0 0 0t t

dxf(t ,x ,y )

dt

dyg(t ,x ,y )

dt

Por ejemplo considérese el sistema de ecuaciones diferenciales…


dxx 2y

dtdy

3x 2ydt

con condiciones iniciales x(0) 6

y(0) 4

; la solución del problema de valor inicial es…

4t t

4t t

x(t) 4e 2e

y(t) 6e 2e

lo que se puede verificar sustituyendo directamente dxdt

,dydt

, x(t) e y(t) en el sistema, así pues…

4t t

4t t

4t t 4t t 4t t 4t t

dx x(t ) y(t ) x(t ) 2y(t )dt

4t t 4t t 4t t 4t t

dy x( t ) y(t ) 3x(t ) 2y(tdt

dx16e 2e

dtdy

24e 2edt16e 2e 4e 2e 2(6e 2e ) 16e 2e

24e 2e 3(4e 2e ) 2(6e 2e ) 24e 2e

)

Se puede determinar una solución numérica del sistema (A) con condiciones iniciales (B) en un intervalo dado

a t b considerando las diferenciales…

dx f(t,x,y)dt y dy g(t,x,y)dt (C)

El método de Euler para resolver este problema es fácil de formular, así: Sustituyendo en (C) los diferenciales

por incrementos k 1 kdt t t , k 1 kdx x x y k 1 kdy y y se obtiene…

k 1 k k k k k 1 k

k 1 k k k k k 1 k

x x f(t ,x ,y )(t t )

y y g(t ,x ,y )(t t )

Si se divide el intervalo en n subintervalos de anchura b a

hn

, y empleando los puntos k 1 kt t h como

nodos, se obtienen las siguientes fórmulas recursivas…

k 1 k

k 1 k k k k

k 1 k k k k

t t h

x x hf(t ,x ,y )

y y hg(t ,x ,y ) para k 1,2,3,...,n 1

Para conseguir un grado de precisión razonablemente mejor, es necesario utilizar un método de orden mayor,

por ejemplo el método de Runge-Kutta de orden 4, mediante el empleo de este método, las ecuaciones para el

sistema dado se transforman en…


k 1 k 1 2 3 4

k 1 k 1 2 3 4

hx x (f 2f 2f f )

6h

y y (g 2g 2g g )6

(D)

donde…

1 k k k 1 k k k

2 k k 1 k 1 2 k k 1 k 1

3 k k 2 k 2 3 k k 2 k 2

4 k k 3 k 3 4 k k 3 k 3

f f(t ,x ,y ) g g(t ,x ,y )

h h h h h hf f t ,x f ,y g g g t ,x f ,y g

2 2 2 2 2 2

h h h h h hf f t ,x f ,y g g g t ,x f ,y g

2 2 2 2 2 2f f t h,x hf ,y hg g g t h,x hf ,y hg

Ejemplo 5.15

Empléese el método de Runge-Kutta de cuarto orden para hallar la solución numérica del sistema…

dxx 2y

dtdy

3x 2ydt

x(0) 6con

y(0) 4

en el intervalo [0.0, 0.2], tomando diez subintervalos con tamaño de paso h = 0.002

Hallamos los nodos del intervalo, así entonces…

0

1

9

0

1t h

2t h

10t h

t 0.0

t 0.0 0.02 0.02

t 0.02 0.02 0.04

.

.

.

t 0.18 0.02 0.20

Para el primer cálculo se tiene 1t 0.02 y las operaciones intermedias necesarias para obtener 1x e 1y son…

k k

1

x 2y

f f(0.00,6.0,4.0) 6.0 2(4.0) 14.0

0 1

h 0.02x f 6.00 14.0 6.14

2 2


k 1 k 1

2

h hx f 2 y g

2 2

f f(0.01,6.14,4.26) 6.14 2(4.26) 14.66

0 2

h 0.02x f 6.00 14.66 6.1466

2 2

k 2 k 2

3

h hx f 2 y g

2 2

f f(0.01,6.1466,4.2694) 6.1466 2(4.2694) 14.6854

0 3x hf 6.00 (0.02)(14.6854) 6.293708

k 3 k 3

4

x hf 2 y hg

f f(0.02,6.293708,4.539572) 6.293708 2(4.539572) 15.372852

k k

1

3x 2y

g f(0.00,6.0,4.0) 3(6.0) 2(4.0) 26.0

0 1

h 0.02y g 4.00 26.0 4.26

2 2

k 1 k 1

2

h h3 x f 2 y g

2 2

g g(0.01,6.14,4.26) 3(6.14) 2(4.26) 26.94

0 2

h 0.02y g 4.00 26.94 4.2694

2 2

k 2 k 2

3

h h3 x f 2 y g

2 2

g f(0.01,6.1466,4.2694) 3(6.1466) 2(4.2694) 26.9786

0 3y hg 4.00 (0.02)(26.9786) 4.539572

k 3 k 3

4

3 x hf 2 y hg

g f(0.02,6.293708,4.539572) 3(6.293708) 2(4.539572) 27.960268

Utilizando los valores calculados en las expresiones (D) se tiene…

1 0 1 2 3 4

1 0 1 2 3 4

h 0.02x x (f 2f 2f f ) 6 [14.0 (2)(14.66) (2)(14.6854) 15.372852] 6.29354551

6 6h 0.02

y y (g 2g 2g g ) 4 [26.0 (2)(26.94) (2)(26.9786) 27.960268] 4.539324906 6

Los cálculos en los demás nodos se determinan de manera similar y se presentan en la siguiente tabla…

K kt kx ky

0 0.00 6.00000000 4.00000000

1 0.02 6.29354551 4.53932490

2 0.04 6.61562213 5.11948599


3 0.06 6.96852528 5.74396525

4 0.08 7.35474319 6.41653305

5 0.10 7.77697287 7.14127221

6 0.12 8.23813750 7.92260406

7 0.14 8.74140523 8.76531667

8 0.16 9.29020955 9.67459538

9 0.18 9.88827138 10.6560560

10 0.20 10.5396230 11.7157807


CCAAPPÍÍTTUULLOO 66 AALLGGEEBBRRAA LLIINNEEAALL NNUUMMÉÉRRIICCAA

Algunos de los procedimientos estudiados en el Álgebra Lineal como la resolución de sistemas de ecuaciones

lineales pueden ser tratados desde el punto de vista del análisis numérico, desarrollando métodos que facilitan el

cálculo especialmente cuando la presencia de números en punto flotante involucran al error por redondeo.

En el presente capítulo se desarrollarán únicamente métodos numéricos para solución de sistemas de ecuacio-

nes lineales.

6.1 MÉTODO DE ELIMINACIÓN DE GAUSS CON PIVOTEO PARCIAL

El error por redondeo puede tener un efecto determinante durante la solución de un sistema de ecuaciones linea-

les por el método de eliminación de Gauss, como lo muestra el siguiente ejemplo…

Ejemplo 6.1

Utilizando el método de eliminación de Gauss, resuelva el siguiente sistema redondeando a tres cifras significa-

tivas después de cada cálculo intermedio. La solución exacta es x = 1, y = 1, z = 1.

0.007x 61.20y 0.093z 61.34.810x 5.92y 1.110z 0.0

81.400x 1.12y 1.180z 83.7

Se forma la matriz aumentada del sistema…

0.007 61.20 0.093 61.34.810 5.92 1.110 0.081.400 1.12 1.180 83.7

dividiendo la primera fila por 0.007…

1 8742.857 13.286 8757.1434.810 5.92 1.110 0.081.400 1.12 1.180 83.7

restando 4.810 veces la fila 2 de la 1…

1 8742.857 13.286 8757.1430 42059.062 62.796 42121.858

81.400 1.12 1.180 83.7

restando 81.400 veces la fila 3 de la 1…

1 8742.857 13.286 8757.1430 42059.062 62.796 42121.8580 711667.439 1080.300 712747.740

dividiendo la segunda fila por –42059.062…

1 8742.857 13.286 8757.1430 1 0.00149 1.0010 711667.439 1080.300 712747.740

restando –711667.439 veces la fila 3 de la 2…


1 8742.857 13.286 8757.1430 1 0.00149 1.0010 0 19.916 368.634

dividiendo la tercera fila por –19.916…

1 8742.857 13.286 8757.1430 1 0.00149 1.0010 0 1 18.509

por sustitución inversa…

z = 18.509 , e 1 18.509 17.509

y = 1.001 – 0.00149(18.509) = 0.973, e 1 0.973 0.027

x = 8757.143 – 13.286(18.509) – 8742.857(0.973) = 4.433, e 1 4.433 3.433

es evidente que la respuesta obtenida esta con error excesivamente grande gracias a la acumulación del error por redondeo durante las operaciones intermedias.

Un método para minimizar el error por redondeo y obtener soluciones aproximadas razonables, es el que se va a

revisar seguidamente y que se lo conoce como Eliminación Gaussiana con pivoteo parcial. Este método toma en

consideración el siguiente procedimiento…

1. Se encuentra la entrada en la primera columna con el mayor valor absoluto, y se utiliza esa entrada como

pivote para la eliminación.

2. Se efectúa un intercambio de filas con aquella que contenga el pivote para ubicarla como primera fila.

3. Se divide la primera fila por el pivote (este paso será innecesario si el pivote es 1).

4. Se utiliza operaciones elementales por filas para reducir a cero las entradas bajo el pivote.

A continuación se vuelve a ejecutar el mismo procedimiento eliminando la fila y columna del pivote.

El siguiente ejemplo muestra este procedimiento…

Ejemplo 6.2

Utilizando el método de eliminación de Gauss con pivoteo parcial, resuelva el siguiente sistema redondeando a

tres cifras significativas después de cada cálculo intermedio. La solución exacta es x = 1, y = 1, z = 1.

0.007x 61.20y 0.093z 61.34.810x 5.92y 1.110z 0.0

81.400x 1.12y 1.180z 83.7


0.007 61.20 0.093 61.34.810 5.92 1.110 0.081.400 1.12 1.180 83.7

81.400 será el pivote por ser la entrada de mayor valor absoluto, entonces

se intercambian primera y tercera fila… pivote


81.400 1.12 1.180 83.74.810 5.92 1.110 0.00.007 61.20 0.093 61.3

se divide la primera fila por 81.400…

1 0.0138 0.0145 1.0284.810 5.92 1.110 0.00.007 61.20 0.093 61.3

se resta la segunda fila de 4.810 veces la primera…

1 0.0138 0.0145 1.0280 5.986 1.040 4.945

0.007 61.20 0.093 61.3

se resta la tercera fila de 0.007 veces la primera…

1 0.0138 0.0145 1.0280 5.986 1.040 4.9450 61.20 0.0929 61.293

61.20 será el siguiente pivote por lo que se intercambia segunda y tercera

filas…

1 0.0138 0.0145 1.0280 61.20 0.0929 61.2930 5.986 1.040 4.945

se divide la segunda fila por 61.20…

1 0.0138 0.0145 1.0280 1 0.00152 1.0020 5.986 1.040 4.945

se resta la tercera fila de –5.986 veces la segunda…

1 0.0138 0.0145 1.0280 1 0.00152 1.0020 0 1.049 1.053

se divide la tercera fila por 1.049…

1 0.0138 0.0145 1.0280 1 0.00152 1.0020 0 1 1.004


z = 1.004, e 1 1.004 0.004

y = 1.002 – 0.00152(1.004) = 1.000, e 1 1.000 0.000

x = 1.028 – 0.0145(1.004) – 0.0138(1.000) = 1.000, e 1 1.000 0.000

Es evidente la mejoría con respecto a la respuesta del ejemplo 6.1

Este es un método directo, pues su resultado se obtiene gracias a la ejecución de un determinado proceso sin

recurrir a un refinamiento del mismo. Este tipo de métodos son poco prácticos, pues algunos sistemas muy

sensibles al error por redondeo denominados problemas mal condicionados no pueden ser tratados por este

procedimiento, tal como lo ejemplifica el siguiente caso…

pivote


Ejemplo 6.3

Utilizando el método de eliminación de Gauss con pivoteo parcial, resuelva el siguiente sistema redondeando a

tres cifras significativas después de cada cálculo intermedio. La solución exacta es x = 10820, y = –10818.

x y 2600x y 20601


1 1 21 0.998 20

restamos la segunda fila de la primera…

1 1 20 0.002 18

se divide la segunda fila por –0.002…

1 1 20 1 9000


y = –9000, 10818 9000e 100 16.8%

10818

x = 2 – (–9000) = 9002, 10820 9002e 100 16.8%

10820

el porcentaje de error es significativo a pesar de haberse empleado el método de Gauss con pivoteo parcial.

6.2 MÉTODOS ITERATIVOS PARA SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Este tipo de métodos envuelven el uso de procesos iterativos, los que permiten el refinamiento del resultado.

Los dos más importantes métodos iterativos a revisarse son…

Método de Jacobi, y

Método de Gauss–Seidel

6.2.1 MÉTODO DE JACOBI

Este método requiere de dos suposiciones básicas: (a) El sistema dado por…

11 1 12 2 1n n 1

21 1 22 2 2n n 2

n1 1 n2 2 nn n n

a x a x ... a x ba x a x ... a x b

.

.

.a x a x ... a x b

deberá poseer solución única y (2) La matriz de coeficientes del sistema no debe poseer ceros sobre la diagonal

principal, y en caso de que ello ocurra deberá realizarse intercambio de filas o columnas para evitarlo. Bajo es-

tas condiciones podemos resolver secuencialmente cada una de las n ecuaciones del sistema para x1, x2, …, xn


como se muestra…

1 1 12 2 13 3 1n n11

1x (b a x a x ... a x )a

2 2 21 1 23 3 2n n22

1x (b a x a x ... a x )a

.

.

.

n n n1 1 n2 2 n,n 1 n 1nn

1x (b a x a x ... a x )a

Entonces bajo una aproximación inicial (x1, x2, x3, . . ., xn) se puede iniciar un proceso iterativo con el sistema

(6.1) tal como lo muestra el siguiente ejemplo…

Ejemplo 6.4

Utilizando el método de Jacobi y la aproximación inicial (x1, x2, x3, . . ., xn) = (0, 0, 0, . . ., 0), resuelva el si-

guiente sistema redondeando los resultados a tres cifras significativas.

1 2 3

1 2 3

1 3

4x x x 7x 7x 2x 2

3x 4x 11

Se escribe el sistema en la forma…

321

12 3

3 1

xx7x4 4 4

x2 2x x7 7 711 3x x4 4

la primera iteración produce…

1

2

3

7 0 0x 1.754 4 42 0 2x 0 0.2867 7 711 3x 0 2.754 4

la segunda iteración…

1

2

3

7 0.286 2.75x 0.9914 4 42 1.75 2x (2.75) 1.3227 7 711 3x (1.75) 1.4384 4

siguiendo el proceso iterativo se genera la siguiente tabla…

(6.1)


n 0 1 2 3 4 5 6

x1 0 1.75 0.991 1.060 1.039 1.009 1.009

x2 0 0.286 1.322 0.838 1.011 0.993 0.993

x3 0 2.75 1.438 2.007 1.955 1.971 1.993

n 7 8 9 10 11 12

x1 1.003 1.002 1.001 1.000 1.000 1.000

x2 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999 0.999

x3 1.993 1.997 1.999 1.999 1.999 1.999

A tres cifras significativas la solución es…

x1 = 1.000

x2 = 0.999

x3 = 1.999

Observando la tendencia, la respuesta exacta posiblemente sea x1 = 1, x2 = 1 y x3 = 2.

Los métodos iterativos pueden diverger, como lo muestra el siguiente ejemplo…

Ejemplo 6.5

Utilizando el método de Jacobi y la aproximación inicial (x1, x2, x3, . . ., xn) = (0, 0, 0, . . ., 0), resuelva el si-

guiente sistema redondeando los resultados a tres cifras significativas.

1 2 3

1 2

2 3

x 3x x 53x x 5x 2x 1

Se escribe el sistema en la forma…

1 2 3

2 1

23

x 5 3x xx 3x 5

x1x2 2

Aplicando el proceso iterativo de Jacobi, al sistema anterior se obtiene la siguiente tabla…

n 0 1 2 3 4 5 6

x1 0 5 20.5 – 22 – 169 190.25 1577

x2 0 – 5 10 56.5 – 71 – 512 565.75

x3 0 0.5 3 – 4.5 – 27.75 36 256.5 lo que confirma la divergencia del proceso.

6.2.2 MÉTODO DE GAUSS–SEIDEL

Este método es una modificación de anterior, la que permite que el método sea ligeramente más efectivo y re-

quiere un poco menos de iteraciones para obtener el mismo grado de precisión que el método de Jacobi.

En el método de Gauss–Seidel se utilizan los valores de xi en cada fórmula al tiempo en que se generan sin es-

perar que termine una iteración completa, así entonces una vez calculado x1, este se aplica en x2 y a su vez es-


tos valores se utilizan para hallar x3. El siguiente ejemplo ilustra lo mencionado…

Ejemplo 6.4

Utilizando el método de Gauss–Seidel y la aproximación inicial (x1, x2, x3, . . ., xn) = (0, 0, 0, . . ., 0), resuelva el

siguiente sistema redondeando los resultados a tres cifras significativas.

1 2 3

1 2 3

1 3

4x x x 7x 7x 2x 2

3x 4x 11

Nuevamente se escribe el sistema en la forma…

321

12 3

3 1

xx7x4 4 4

x2 2x x7 7 711 3x x4 4

la primera iteración produce…

17 0 0x 1.754 4 4

22 1.75 2x 0 0.5367 7 7

311 3x (1.75) 1.4384 4

es de notar que en la formula de x2 no se utilizo x1 = 0 , sino el valor de x1 calculado y lo mismo sucedió al

hallar x3.

la segunda iteración es…

17 0.536 1.438x 1.2574 4 4

22 1.257 2x 1.438 0.8767 7 7

311 3x (1.257) 1.8074 4

Continuando con el proceso iterativo de Gauss–Seidel, se obtiene la siguiente tabla…

n 0 1 2 3 4 5 6

x1 0 1.75 1.257 1.079 1.026 1.008 1.003

x2 0 0.536 0.876 0.956 0.987 0.996 0.999

x3 0 1.438 1.807 1.941 1.981 1.994 1.998

n 7 8

x1 1.000 1.000


x2 0.999 0.999

x3 1.999 1.999

A tres cifras significativas el resultado es…

x1 = 1.000

x2 = 0.999

x3 = 1.999

Con respecto al método de Jacobi se han efectuado 4 iteraciones menos.

Tanto el método de Jacobi , como el de Gauss–Seidel pueden divergir, sin embargo existe una manera de evitar

dicha divergencia y asegurar la convergencia de ambos métodos para ello se va a revisar la siguiente definición

importante…

Definición (Matriz de diagonal estrictamente dominante). Una matriz A de orden n, se denomina de diagonal es-

trictamente dominante si el valor absoluto de cada entrada de la diagonal principal es mayor que la suma de los

valores absolutos de las restantes entradas en la misma fila, así…

11 12 13 1n

22 21 23 2n

nn n1 n2 n,n 1

a a a ... a

a a a ... a...

a a a ... a

La matriz A de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales en algunos casos puede convertirse en una

matriz de diagonal estrictamente dominante, mediante intercambio de filas y/o columnas, como lo muestra el si-

guiente ejemplo…

Ejemplo 6.5

Determinar si la matriz de coeficientes del siguiente sistema de ecuaciones lineales es de diagonal estrictamente

dominante, y en caso de no serlo convertirla mediante intercambio de filas.

1 2 3

1 2 3

2 3

9x 6x x 22x 3x 2x 2

6x 4x 1

La matriz de coeficientes del sistema es…

93

4

6 12 70 6

9 6 1 23 7 4 6 0

por lo que la matriz no es de diagonal estrictamente dominante, pero intercambiando segunda y tercera filas se

tiene…

(6.2)


96

7

6 10 42 3

, entonces…

9 6 1 6 0 4 27 3

y la matriz es de diagonal estrictamente dominante.

El siguiente teorema mostrado aquí sin demostración asegura la convergencia en los métodos de Jacobi y

Gauss-Seidel para sistemas con matriz de coeficientes de diagonal estrictamente dominante…

Teorema (Convergencia de los métodos de Jacobi y Gauss–Seidel). Si la matriz de coeficientes A de un sistema

de ecuaciones lineales es de diagonal estrictamente dominante, entonces el sistema dado por Ax = b, tiene una

solución única a la cual los métodos de Jacobi y Gauss–Seidel convergerán para cualquier aproximación inicial.

El siguiente ejercicio ejemplifica lo anteriormente mencionado…

Ejemplo 6.6

Resolver el siguiente sistema por lo métodos de Jacobi y Gauss–Seidel con tres cifras significativas de preci-

sión.

1 2

1 2 3

1 3

2x 3x 7x 3x 10x 9

3x x 13

La matriz de coeficientes del sistema es…

23

1

3 01 103 0

se comprueba si va a existir convergencia o no…

2 3 0 3 1 10 1 3 0

entonces el sistema no es convergente.

se intercambia segunda y tercera filas…

2 3 03 0 11 3 10

, seguidamente se intercambian primera y segunda filas…

33

10

0 12 01 3

se comprueba nuevamente la convergencia…

3 0 1 23 0 110 3

entonces ahora es convergente el sistema…

(6.3)


1 3

1 2

1 2 3

3x x 132x 3x 7

x 3x 10x 9

a partir de éste se genera el sistema…

31

12

1 23

x13x3 32x 7x3 3

x 3x9x10 10 10

aplicando el método de Jacobi al mismo se tiene…

n 0 1 2 3 4 5 6

x1 0 4.333 4.633 4.256 3.957 3.949 3.984

x2 0 2.333 5.222 5.422 5.170 4.971 4.966

x3 0 – 0.9 0.233 1.13 1.152 1.047 0.986

n 7 8 9 10 11

x1 4.005 4.004 4.001 4.000 4.000

x2 4.990 5.003 5.003 5.000 5.000

x3 0.988 0.997 1.001 1.000 1.000

y mediante Gauss–Seidel se logra…

n 0 1 2 3 4 5

x1 0 4.333 3.967 4.003 4.000 4.000

x2 0 5.222 4.978 5.002 5.000 5.000

x3 0 1.1 0.99 1.001 1.000 1.000

por lo que la solución a tres cifras significativas es…

x1 = 4.000

x2 = 5.000

x3 = 1.000

Si bien el teorema (6.3) asegura la convergencia en caso de matrices de coeficientes con diagonal estrictamente

dominante, esto no es condición necesaria para la convergencia, pues existen sistemas que si bien no tienen

matrices de coeficientes con diagonal estrictamente dominante sin embargo convergen. Se deja al lector de-

mostrar que ello ocurre en el caso del sistema…

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4x 2x 2x 0x 3x x 7

3x x 4x 5

Los métodos de Jacobi y Gauss–Seidel, puede ser tratados de una forma más compacta y útil de forma matri-

cial como se explicará a continuación..


Se empieza expresando la matriz de coeficientes del sistema A en la forma..

A L D U

donde D es una matriz diagonal, L una triangular inferior y U una triangular superior. El siguiente ejemplo mues-

tra esta descomposición…

2 1 5 0 0 0 02 1 51 3

0 01 3 2 0 0 0 0 0 0

4 1 6 0 0 0 02

4 1 6 0 0A L D U

el sistema a resolverse Ax = b, puede expresarse entonces como…

(L D U)x b

si se despeja Dx…

Dx (L U)x b

que en forma desarrollada se presenta así…

11 1 1 12 2 13 3 1n na x b a x a x ... a x

22 2 2 21 1 23 3 2n na x b a x a x ... a x...

nn n n n1 1 n2 2 n,n 1 n 1a x b a x a x ... a x

finalmente despejando x,

1x D (L U)x b

entonces el método de Jacobi se puede escribir como…

i 1 i1

x F(x ), dondeF(x) D (L U)x b

es de notar que para que exista D–1, dii 0, lo que explica la suposición (2) del método de Jacobi.

La descripción matricial del método de Gauss–Seidel a partir de la expresión anterior es…

actual 1 actual anteriorx D Lx Ux b

resolviendo para actualx …

actual actual anterior

actual anterior

Dx Lx Ux b(L D)x Ux b

por lo que la expresión final para el método de Gauss–Seidel es…

i 1 i1

x F(x ), dondeF(x) (L D) Ux b

(6.4)

(6.5)


La expresiones (6.4) y (6.5) nos sirven para programar los métodos de Jacobi y Gauss–Seidel.

6.3 MÉTODOS DE JACOBI Y GAUSS–SEIDEL CON DERIVE 6

Utilizando la expresiones (6.4) y (6.5) y mediante PROGRAMACIÓN FUNCIONAL los métodos de Jacobi y

Gauss-Seidel se implementan mediante las siguientes líneas de programación…

#1: Precision := Approximate #2: Notation := Decimal #3: A := #4: b := #5: L := VECTOR(VECTOR(IF(i > j, ELEMENT(A, i, j), 0), j, 1, DIM(A)), i, 1, DIM(A)) #6: U := VECTOR(VECTOR(IF(i < j, ELEMENT(A, i, j), 0), j, 1, DIM(A)), i, 1, DIM(A)) #7: D := VECTOR(VECTOR(IF(i = j, ELEMENT(A, i, j), 0), j, 1, DIM(A)), i, 1, DIM(A)) #8: f(v) := (D^–1)(– (L + U)v + b) #9: f_(v) := ((L + D)^(–1))(– Uv + b) #10: JACOBI(v0, n) := ITERATES(f(v), v, v0, n) #11: GAUSS_SEIDEL(v0, n) := ITERATES(f_(v), v, v0, n)

A es la matriz de coeficientes del sistema, b es el vector de terminos libres escrito en la forma [b1, b2, … , bn]�,

n el número de iteraciones y v0 el vector inicial generalmente [0, 0, …]

6.4 APLICACIONES

Los sistemas de ecuaciones lineales y su resolución tienen mucha aplicación en varias ciencias, tal como lo

demuestran los siguientes ejemplos…

Ejemplo 6.7

Ajuste polinomial por mínimos cuadrados. El distribuidor de un nuevo modelo de automóvil ha obtenido los si-

guientes datos…

Número de semanas luego de la presentación del auto

Ingresos brutos por semana (en millones de dólares)

1 0.8

2 0.5

3 3.2

4 4.3

5 4

6 5.1

7 4.3

8 3.8

9 1.2

10 0.8

Sean i los ingresos brutos por semana(en millones de dólares), t semanas después de la presentación del auto.

(a) Determinar un polinomio cuadrático de mínimos cuadrados para los datos dados, y (b) Utilice dicho polino-

mio para estimar los ingresos brutos 12 semanas después de la presentación del auto.

El ajuste polinomial por mínimos cuadrados se define como un polinomio de grado m, que mejor se ajusta a un

conjunto de n puntos dados. El problema se define matemáticamente así…

El polinomio de ajuste por mínimos cuadrados de grado m para el conjunto de puntos {(x1, y1), (x2, y2), . . ., (xn,

yn)} esta dado por…


m m 1 2m m 1 2 1 0y a x a x ... a x a x a

donde los coeficientes ai, se determinan del siguiente sistema de m + 1 ecuaciones lineales…

2 m0 i 1 i 2 i m i

2 3 m 1i 0 i 1 i 2 i m i i

2 3 4 m 2 2i 0 i 1 i 2 i m i i

m m 1 m 2 2m mi 0 i 1 i 2 i m i i

na x a x a ... x a y

x a x a x a ... x a x y

x a x a x a ... x a x y

.

.

.x a x a x a ... x a x y

para el caso de un polinomio cuadrático se tiene…

22 1 0y a x a x a

con…

20 i 1 i 2 i

2 3i 0 i 1 i 2 i i

2 3 4 2i 0 i 1 i 2 i i

na x a x a y

x a x a x a x y

x a x a x a x y

Graficando la distribución de datos del ejemplo…

es fácil notar que un polinomio de segundo grado se ajusta correctamente a la misma; este polinomio será…

22 1 0( ) a a a i t t t

con

(6.4)


i

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2i

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3i

4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4i

i

i i

n 101 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 385

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3025

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25333

0.8 0.5 3.2 4.3 4 5.1 4.3 3.8 1.2 0.8 28

t

t

t

t

i

t i2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

i i

(1)0.8 (2)0.5 (3)3.2 (4)4.3 (5)4 (6)5.1 (7)4.3 (8)3.8 (9)1.2 (10)0.8 158.5

(1 )0.8 (2 )0.5 (3 )3.2 (4 )4.3 (5 )4 (6 )5.1 (7 )4.3 (8 )3.8 (9 )1.2 (10 )0.81015.1

2t i

por lo que para hallar i(t) es necesario resolver…

0 1 2

0 1 2

0 1 2

10a 55a 385a 2855a 385a 3025a 158.5

385a 3025a 25333a 1015.1

Se va a utilizar el método de eliminación de Gauss con pivoteo parcial. La matriz aumentada del sistema es…

10 55 385 2855 385 3025 158.5385 3025 25333 1015.1

intercambiando primera con tercera fila…

385 3025 25333 1015.155 385 3025 158.510 55 385 28

dividiendo la primera fila por 385…

1 7.857 65.8 2.63755 385 3025 158.510 55 385 28

restando 55 veces la fila 2 de la 1 y 10 veces la fila 3 de la 1…

1 7.857 65.8 2.6370 47.135 594 13.4650 23.57 273 1.63

dividiendo la segunda fila por – 47.135…

1 7.857 65.8 2.6370 1 12.602 0.2860 23.57 273 1.63

restando –23.57 veces la fila 3 de la 2…

1 7.857 65.8 2.6370 1 12.602 0.2860 0 24.029 5.111

dividiendo la tercera fila por 24.029…

1 7.857 65.8 2.6370 1 12.602 0.2860 0 1 0.213



a2 = –0.213 ; a1 = –0.286 – (12.602)(–0.213) = 2.398 ; a0 = 2.637 – (65.8)(–0.213) – (7.857)(2.398) = –

2.189, entonces…

(a) 2( ) 0.213 2.398 2.189 i t t t

La gráfica del polinomio de ajuste y los datos es…

(b) 2(12) 0.213(12) 2.398(12) 2.189 4.085 i

El valor negativo indica que se en lugar de ingresos existen pérdidas a las 12 semanas.

Ejemplo 6.8

Distribución de temperatura en una placa cuadrangular. Una placa metálica cuadrangular tiene una temperatura

constante sobre cada uno de sus cuatro bordes, como lo muestra la figura. Utilice un enrejado 44 para

aproximar la distribución de temperatura en el interior de la placa. Asuma que la temperatura en cada punto in-

terior es el promedio de la temperatura en los cuatro puntos contiguos.

Punto Ecuación de temperatura

1 2 41

100 100 T TT4

100C

100C 0C

0C

1 2 3

4 5 6

7 8 9


2 1 3 52

100 T T TT

4

3 2 63

0 100 T TT

4

4 1 5 74

100 T T TT

4

5 2 4 6 85

T T T TT

4

6 3 5 96

0 T T TT

4

7 4 87

100 0 T TT

4

8 5 7 98

0 T T TT

4

9 6 89

0 0 T TT

4

este sistema se va a resolver por el método de Gauss–Seidel, obteniéndose la siguiente tabla…

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7 T8 T9

0 0 0 0 0 0 0 0 0

50 37.5 34.375 37.5 18.75 13.2812 34.375 13.2812 6.64062

68.75 55.4687 42.1875 55.4687 34.375 20.8007 42.1875 20.8007 10.4003

77.7343 63.5742 46.0937 63.5742 42.1875 24.6704 46.0937 24.6704 12.3352

81.7871 67.5170 48.0468 67.5170 46.0937 26.6189 48.0468 26.6189 13.3094

83.7585 69.4747 49.0234 69.4747 48.0468 27.5949 49.0234 27.5949 13.7974

84.7373 70.4519 49.5117 70.4519 49.0234 28.0831 49.5117 28.0831 14.0415

85.2259 70.9402 49.7558 70.9402 49.5117 28.3272 49.7558 28.3272 14.1636

85.4701 71.1844 49.8779 71.1844 49.7558 28.4493 49.8779 28.4493 14.2246

85.5922 71.3065 49.9389 71.3065 49.8779 28.5103 49.9389 28.5103 14.2551

85.6532 71.3675 49.9694 71.3675 49.9389 28.5409 49.9694 28.5409 14.2704

85.6837 71.3980 49.9847 71.3980 49.9694 28.5561 49.9847 28.5561 14.2780

85.6990 71.4133 49.9923 71.4133 49.9847 28.5637 49.9923 28.5637 14.2818

85.7066 71.4209 49.9961 71.4209 49.9923 28.5676 49.9961 28.5676 14.2838

85.7104 71.4247 49.9980 71.4247 49.9961 28.5695 49.9980 28.5695 14.2847

85.7123 71.4266 49.9990 71.4266 49.9980 28.5704 49.9990 28.5704 14.2852

85.7133 71.4276 49.9995 71.4276 49.9990 28.5709 49.9995 28.5709 14.2854

85.7138 71.4280 49.9997 71.4280 49.9995 28.5711 49.9997 28.5711 14.2855

85.7140 71.4283 49.9998 71.4283 49.9997 28.5713 49.9998 28.5713 14.2856

85.7141 71.4284 49.9999 71.4284 49.9998 28.5713 49.9999 28.5713 14.2856

85.7142 71.4285 49.9999 71.4285 49.9999 28.5713 49.9999 28.5713 14.2856

85.7142 71.4285 49.9999 71.4285 49.9999 28.5714 49.9999 28.5714 14.2857

85.7142 71.4285 49.9999 71.4285 49.9999 28.5714 49.9999 28.5714 14.2857

Los resultados se obtuvieron truncando las cifras decimales a cuatro cifras significativas.


159 Breve Introducción a Derive 6

AAPPÉÉNNDDIICCEE AA BBRREEVVEE IINNTTRROODDUUCCCCIIÓÓNN AA DDEERRIIVVEE 66

Desde fines de la década de los años 60 y principios de los 70, empezaría, especialmente en Estados Unidos,

una tendencia que hoy ha cambiado la forma de enseñar las matemáticas, esto es el desarrollo de programas

denominados Sistemas de Álgebra Computacional (Computer Algebra Systems). Estos programas tuvieron co-

mo objetivo permitir que cálculos simbólicos, por ejemplo...

y2x

2

y4x

y6x

y2x

322

)y2x)(y2x(

)y2x(2y6x)y2x(3

y2x

2

)y2x)(y2x(

y6x

y2x

3

y2x

2

)y2x)(y2x(

y4x2

)y2x)(y2x(

y4x2y6xy6x3

de trámite engorroso, la mayoría de las veces, se conviertan en un trabajo para el computador y no para el

científico, el ingeniero, el estudiante o el profesor. Así las personas dedicadas al manejo de las matemáticas o

sus aplicaciones, gastarían su tiempo en analizar el problema y su planteamiento y no en resolver los tediosos

cálculos matemáticos que este involucre. Pero estos sistemas llegaron aún mas lejos, pues se convirtieron en

programas que no solo manejaron el simbolismo matemático sino también la programación y aún proporciona-

ron el uso de capacidades graficas (en dos y tres dimensiones), permitiendo el análisis casi integral de las ma-

temáticas.

Entre algunos de los Sistemas de Álgebra Computacional (CAS, por sus siglas inglesas) más destacados se

pueden mencionar MATLAB, MAPLE, MATHEMATICA, DERIVE, MATHCAD. El presente texto se dedicará exclu-

sivamente al manejo de Derive, por ser un Sistema de Álgebra Computacional compacto, de fácil manejo y uno

de los más populares.

DERIVE, nació a partir de muMATH, un programa desarrollado en lenguaje LISP por David Stoutemyer y Albert

Rich. Al igual que muMATH, Derive se escribió en LISP y desde sus inicios se caracterizó por ser un sistema

muy compacto (su versión 5 ocupa 4.8 MB aproximadamente) y de capacidad simbólica, numérica y gráfica

bastante amplia, cubriendo las matemáticas desde el nivel preparatorio hasta el universitario.

A.1 INSTALACIÓN, INICIO Y BREVE DESCRIPCIÓN DE DERIVE.

Su versión 5 se instala a partir del archivo SETUP.EXE (contenido en un CD proporcionado por el fabricante),

siendo necesario como mínimo aproximadamente 5 MB de capacidad en disco duro, Windows 95, 98, 2000,

Millenium o XP y si estos sistemas operativos funcionan correctamente con la memoria RAM de que disponga,

no se preocupe entonces por la RAM, pues será más que suficiente para que pueda utilizar DERIVE sin proble-

mas.

Al instalarse Derive 6, colocará el icono de acceso directo en el escritorio de Windows, a partir del cual hacien-

do doble clic, se puede ingresar a la ventana de trabajo de Derive 6, también se puede ingresar, alternativamen-

te, por Inicio/Programas/Derive 6/Derive 6.

160 Breve introducción a Derive 6

Para introducir las expresiones y órdenes de que dispone el programa se presiona Editar(Autor)/Expresión...(ó

F2), con lo que el cursor se ubica en el cuadro de comandos como lo muestra la figura siguiente...

donde se teclea las instrucciones que una vez introducidas se escriben en la pantalla principal, en notación ma-

temática tradicional. Así si se escribe (x+y)/2, Derive 6 presentará...

El orden de precedencia de los operadores es igual a la de cualquier lenguaje de programación(potenciación ^,

división /, multiplicación *, resta –, suma +). A cada expresión ingresada Derive 6 le asigna un número #n, en

estricto orden ascendente, esto facilita la escritura de fórmulas. Derive 6 posee además de una pantalla de tra-

bajo matemático (denominada ventana de Álgebra) otra dos ventanas para el manejo de gráficos en dos y tres

dimensiones (llamadas ventanas 2D y 3D). Para una descripción completa de todos los operadores y funciones

que dispone Derive 6, el lector debe remitirse al Manual del Usuario, o a la Ayuda en línea del programa; sin em-

bargo a continuación se revisarán algunas órdenes que son muy útiles en nuestro trabajo con el análisis numé-

rico.

A.2 SIMPLIFICACIÓN Y APROXIMACIÓN

Derive 6 puede fácilmente simplificar, si es posible, una expresión que ha sido ingresada. Todas las simplifica-

ciones, por defecto, son efectuadas de forma exacta, así por ejemplo si se ingresa el valor 12 , Derive 6 lo

simplifica a 2 3 . Derive 6 cuenta con varias opciones de simplificación, que se ubican en el menú Simplificar,

entre ellas se pueden mencionar...

Normal


Expandir

Factorizar

Aproximar

La opción Basic sirve para simplificar expresiones sobre las cuales se han aplicado funciones incorporadas por

Derive 6 u operaciones elementales como sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y potenciaciones, así por

ejemplo si se desea evaluar la derivada de 3x , se debe introducir la expresión DIF(x^3, x, 1), que queda indi-

cada como...

sin presentar de manera explicita el resultado, para observar éste, se elige la opción Simplicar/Normal...(ó

CTRL+B, ó ) obteniéndose...

La opción Expandir toma una expresión ingresada y la expande o desarrolla, de esta forma una expresión como

2(x y) , mediante la opción Simplificar/Expandir...(ó CTRL+E) se convertirá en 2 2x 2xy y .

La opción Factor toma una expresión ingresada y la factora a su mínima expresión, así la expresión 2 2x y ,

mediante la opción Simplificar/Factorizar...(ó CTRL+F) se expresará como (x y)(x y) .

Aunque valores numéricos son manejados por defecto en forma exacta pueden ser también expresados en for-

ma aproximada mediante la opción Simplificar/Aproximar...(ó CTRL+G, ó ) , así pues el valor 12 median-

te esta opción se expresará como 3.46410 en lugar de su forma exacta 2 3 .

A.3 SUSTITUCIÓN

Una opción muy útil en Derive 6, es la posibilidad que tiene el usuario de efectuar la sustitución de una variable

dentro de una expresión por otra variable u otra expresión, así por ejemplo supóngase que dentro de la expre-

sión 2 2

x zx z

, se quiere obtener el valor de la misma cuando x = 1 y z = 2, entonces se procede como a con-

tinuación se detalla...

Se introduce la expresión.

Se hace clic en la opción Simplificar/Sustituir Variable...(ó CTRL+W ó ) y aparece el cuadro de diálo-

go...


Entonces se hace clic sobre cada variable para seleccionarla y se introduce en la casilla Nuevo Valor los

valores 1 y 2 respectivamente, obteniéndose al hacer clic sobre el botón Simplificar...

Además de introducir valores numéricos se pueden también introducir valores literales.

Por otro lado pueden sustituirse dentro de una expresión compleja valores numéricos o literales no solamente

para variables sino para expresiones completas, por ejemplo en la expresión 2 2 2

(x 1) (y z)(x 1)(x 1) y z

, se desea

sustituir (x – 1) por el valor de 2, entonces...

Se introduce la expresión.

Se hace clic sobre la expresión (x – 1) para seleccionarla.

Seguidamente se hace clic en la opción Simplificar/Sustituir Subexpresión... (ó CTRL+T) y aparece el

cuadro de diálogo...

Entonces se escribe el valor 2 y se selecciona la opción Todos, para indicar que se va a sustituir el valor indica-

do en todas las expresiones (x – 1), obteniéndose al hacer clic sobre el botón Simplificar...

A.4 VECTORES Y MATRICES

Derive 6 es un asistente matemático que puede trabajar muy fácilmente con vectores y matrices tanto en forma

simbólica como numérica. El paquete maneja esencialmente vectores fila y una matriz la construye como un

vector columna de vectores fila. En Derive 6 se puede introducir una matriz de dos maneras diferentes, veamos

como se procede de la primera forma:

Se hace clic sobre la opción Editar(Autor)/Matriz..., entonces se presenta el siguiente cuadro de diálogo:


En esta ventana se introduce el numero de filas y columnas que se desea para la matriz y se presiona Sí.

Aparece entonces el siguiente cuadro de diálogo...

donde cada casillero de introducción de datos debe ser llenado desde el teclado por la entrada correspondiente,

luego de lo cual la matriz se presentará así...

Como se dijo, Derive 6 considera una matriz como un vector de vectores, así por ejemplo la matriz anterior es

para Derive 6 un vector formado de tres vectores fila, es decir...

1 3 1

4 5 3

0

2 3

por ello para introducir una matriz, se puede editarla como un vector de vectores, lo cual nos lleva a la segunda

forma de introducir una matriz:

Se hace clic sobre el cuadro de comandos y se introduce desde el teclado la expresión [[1,–3,–1],

[4,5,3],[0,2,–3]] ó [1,–3,–1;4,5,3;0,2,–3]. Es de notar que cada elemento del vector fila se separa con una co-

ma y en la segunda opción cada vector fila del siguiente mediante un punto y coma. También se puede asociar

un nombre cualquiera, por ejemplo A, a una matriz, mediante el signo igual para definición (:=), así por ejemplo

para la anterior matriz se hace clic en el cuadro de comandos y se introduce la expresión A := [1,3,–

1;4,5,3;0,2,–3] obteniéndose...

Delante de cada expresión introducida, DERIVE escribe un número consecutivo, este hecho resulta importante

cuando se quiere utilizar una expresión en cálculos posteriores. Se pueden extraer entradas mediante la notación

NOMBREij donde como se ha descrito antes i representa a la fila y j a la columna; para lograr ello se escribe

el nombre y los subíndices de la entrada en el cuadro de comandos...


al presionar ENTER se tiene como resultado...

También se pueden extraer elementos de una matriz mediante la expresión ELEMENT(M, i, j) donde M es la ma-

triz de la que se quiere extraer el elemento de la fila i y columna j; generalmente en M se indica el número (#_)

asignado a la matriz cuyo elemento se desea extraer. Para el ejemplo anterior la expresión ELEMENT(#2,2,3)

arroja el mismo resultado.

La dimensión de un vector o matriz es el número de elementos del vector o el número de vectores que confor-

man la matriz; este parámetro es fácilmente extraíble de una matriz creada en Derive 6, para ello se utiliza la ex-

presión DIMENSION(M) o DIM(M) siendo obviamente M la matriz o vector de la que se quiere extraer su dimen-

sión. Para la matriz del ejemplo anterior se tiene...

de donde…

lo que indica que la matriz A esta formada de tres vectores fila.

A.5 PROGRAMACIÓN CON DERIVE 6.

A.5.1 PROGRAMACIÓN FUNCIONAL

Derive 6 basa su capacidad de programación en la programación funcional, mediante algunas funciones entre

las cuales cabe mencionar...

ITERATE e ITERATES.

IF.

VECTOR.

SUM y PRODUCT.

A.5.1.1 PROCESOS ITERATIVOS Y LAS FUNCIONES ITERATES E ITERATE

Un proceso iterativo es aquel en el cual se obtiene una aproximación actual a partir de otra anterior. A continua-

ción analicemos un ejemplo...

Supóngase que se tiene f(x) 10 x , y se quiere hallar los primeros cuatro valores numéricos que se ob-

tengan iterativamente para f(x) a partir de x = 0(valor de inicio), entonces...

Por lo que los valores son: 3.16227766, 2.614903887, 2.717553332, 2.698600872. El proceso calculó un

i xi f(xi)

1 0 f(0) 10 0 3.16227766

2 3.16227766 f(3.16227766) 10 3.16227766 2.614903887

3 2.614903887 f(2.614903887) 10 2.614903887 2.717553332

4 2.717553332 f(2.717553332) 10 2.717553332 2.698600872


nuevo valor a partir de uno anterior, por lo tanto se trata de un proceso iterativo. Cada nuevo valor obtenido es

una iteración, y la función f(x) que se utilizó en los cálculos se conoce como fórmula de iteración.

La orden de Derive 6, ITERATES(f, x, a, n), donde f representa la fórmula de iteración, x la variable de iteración,

a el valor de inicio y n el número de iteraciones, automatiza un proceso iterativo, así para el ejemplo anterior...

da como resultado un vector que contiene las cuatro primeras iteraciones para el ejemplo que se calculo ante-

riormente.

Si se quiere obtener únicamente el último valor del proceso iterativo, se utiliza la orden ITERATE(f, x, a, n), don-

de los parámetros tienen el mismo significado anterior. Así para el ejemplo anterior...

A.5.1.2 FUNCIÓN CONDICIONAL IF

Derive 6 posee la función de decisión IF, que tiene la siguiente estructura IF(Condición_lógica, Verdadero, Falso,

Duda). La condición lógica o prueba de decisión puede ser una expresión que permita decidir sobre una alterna-

tiva a tomar, dependiendo de si la condición es verdadera o falsa. Si la prueba no es ni verdadera ni falsa, la op-

ción a tomar se escribirá a continuación de dichas opciones. Seguidamente se analiza un ejemplo...

Se desea crear una función SIGNO(x), que produzca el valor de 1, en caso de que se x sea un real positivo, –1

en caso contrario y 0 si no se puede dilucidar su signo. Esta función es...

los resultados para –7.5, 6 y 5, serán entonces...

Al igual que en cualquier lenguaje de programación se pueden anidar las funciones de decisión IF, así por ejem-

plo se desea que en el ejemplo anterior para el caso de x = 0, la función arroje el comentario “no tiene signo”,

entonces...

los resultados para –7.5, 6, 5 y 0 son...


Se puede observar que en la condición lógica se puede utilizar operadores lógicos, como en el caso anterior el

operador (y lógico). Para conocer los operadores lógicos disponibles puede consultar la ayuda en línea o el

manual del usuario.

A.5.1.3 FUNCIÓN VECTOR

Derive 6 además puede construir vectores o matrices bajo un patrón, para ello dispone de la orden VECTOR,

cuya estructura es VECTOR(F(x), x, a, b, p), donde F(x) es la función generadora del vector o matriz, x la varia-

ble de la función generadora, a el valor de inicio, b el valor final y p es el paso entre a y b. Supóngase que se

quiere generar el vector 1 3 5 7 , entonces la expresión será...

que al simplificarse genera...

la variable p es alternativa, pues si no se la escribe Derive 6 toma p = 1.

Mediante la anidación de VECTOR se puede crear una matriz, así por ejemplo supóngase que se quiere construir

la matriz

1 3 53 5 75 7 9

, entonces la instrucción es...

donde la función VECTOR interna genera los elementos de cada fila y la función VECTOR externa genera las co-

lumnas.

A.5.1.4 SUMATORIA Y PRODUCTO ITERADO – FUNCIONES SUM Y PRODUCT

Es muy frecuente encontrar en análisis numérico, procesos que involucren sumatorias y productos iterados ta-

les como:

n

i 0 1 2 ni 0

a a a a ... a

(Sumatoria)

n

i 0 1 2 ni 0

a a a a a

(Producto iterado)

Derive 6 incluye entre sus funciones incorporadas, las funciones SUM y PRODUCT que corresponden a las for-

mulaciones anteriores, su sintaxis son:

SUM(F(i),i, in, fin, p), donde F(i) corresponde a la expresión sobre la cual se va a efectuar la sumatoria, i el índi-

ce de la sumatoria, in el valor de inicio, fin el valor final y p el paso utilizado entre dos valores consecutivos de i.

PRODUCT(F(i), i, in, fin, p), donde la notación es idéntica al caso de la función SUM.

Supóngase que se desean calcular 5

i 0

ii 2 y

i8i 1

i 0e

, entonces...

dará como resultado…


�

y,

producirá...

la variable p, se utilizará en casos en que el índice no varíe en una unidad, así por ejemplo supóngase que se

desea evaluar la suma de los números impares menores o iguales a 11, entonces...

dará por resultado...

Derive 6 utiliza la programación funcional, es decir, construye los diferentes módulos de un programa en base a

definición de funciones. Veamos un ejemplo...

Ejemplo A.1

Construir un programa que calcule la matriz adjunta de una matriz de datos:

nn3n2n1n

n3333231

n2232221

n1131211

a...aaa

...............

a...aaa

a...aaa

a...aaa

A

.

Se procederá bajo el siguiente algoritmo funcional:

1. Se construirá una función que calcule el menor ijM .

2. Seguidamente se construirá una función que calcule el cofactor i jij ijA ( 1) M , correspondiente al menor

ijM .

3. Finalmente en base a las dos funciones definidas anteriormente se elaborará una función final para el cálculo

de la adjunta de A.

Las funciones para cada paso del algoritmo son...

#1: MENOR(A, i, j) := DELETE_ELEMENT(DELETE_ELEMENT(A, i)`, j)` #2: COFACTOR(A, i, j) := ((–1)^(i + j))DET(MENOR(A, i, j)) #3: ADJ(A) := VECTOR(VECTOR(COFACTOR(A, i, j), i, DIMENSION(A)), j, DIMENSION(A))

La función DELETE_ELEMENT(A, i), elimina la fila i–ésima de la matriz A y la función DET(A) calcula el determi-

nante de la matriz A.

La primera función MENOR(A, i, j) elimina la fila i y columna j de la matriz de datos A(de orden n), generando el

menor correspondiente(una matriz de orden n – 1). La segunda función utiliza la anterior, obteniendo su deter-


minante y multiplicándolo por el término ji)1( para producir el respectivo cofactor. La tercera y última función

se basa a su vez en la anterior, para elaborar la matriz adjunta de a, mediante una función VECTOR anidada.

A.5.2 PROGRAMACIÓN PROCEDURAL

Derive 6 ha incorporado además funciones que realizan la ejecución de un proceso mediante procedimientos

secuenciales, es decir, efectúan programación por procedimientos o procedural; estas estructuras de control o

lazos son...

PROG.

LOOP.

A.5.2.1 FUNCIÓN PROG

Esta función tiene la estructura PROG(s1,s2,s3,….,sn) y permite ejecutar secuencialmente las instrucciones s1,

s2, s3, …, sn.

A.5.2.2 FUNCIÓN LOOP

Esta función tiene la estructura LOOP(s1,s2,s3,….,sn) y permite ejecutar secuencialmente las instrucciones s1,

s2, s3, …, sn y repetir la secuencia hasta que en una de dichas instrucciones se cumpla un EXIT o un RETURN

que permita terminar su ejecución. La orden EXIT obliga al programa a salir de la ejecución de la función LOOP y

continuar con la ejecución de las secuencias más externas LOOP o PROG. La función RETURN también obliga al

programa a terminar la ejecución del lazo LOOP presentando un resultado, por lo que generalmente debe consti-

tuir la finalización del programa.

En los siguientes ejemplos se aclarará el uso de estas estructuras de control…

Ejemplo A.2

Construir un programa que calcule la suma de los n primeros números pares.

Se procederá bajo el siguiente algoritmo:

1. Se inicializan los valores de tres variables, un contador c a 1, un generador de los números pares p a 2 y la

suma de los pares s a 0.

2. Una estructura de control ira actualizando el contador, el generador de los números pares y la suma de los

mismos hasta alcanzar el resultado con los n números pares pedidos

El programa para este algoritmo es:

#1: SUM(n) := PROG(c := 1, p := 2, s := 0, LOOP(IF(c > n, EXIT), s :+ p, p :+ 2, c :+ 1), s)

Se diseño el programa de esta forma con el objetivo de mostrar el uso del comando EXIT. La estructura de con-

trol más externa PROG, controla la ejecución secuencial de las asignaciones c := 1 , p := 2, s := 0, LOOP(IF(c

> n, EXIT), s :+p, p :+2, c :+1) y s. La estructura más interna de control LOOP(IF(c > n, EXIT), s :+p, p :+2,

c :+1) actualiza los valores de c, p y s hasta alcanzar la suma de los n números pares pedidos luego de lo cual

ejecuta la orden EXIT que le permite terminar la ejecución de LOOP y concluir con la presentación del resultado

s.

Ejemplo A.3


Construir un programa que calcule el producto de los n primeros números pares.

Se procederá bajo el siguiente algoritmo:

1. Se inicializan los valores de tres variables, un contador c a 1, un generador de los números pares p a 2 y el

producto de los pares m a 1.

2. Una estructura de control ira actualizando el contador, el generador de los números pares y el producto de los

mismos hasta alcanzar el resultado con los n números pares pedidos

El programa para este algoritmo es:

#1: MULT(n) := PROG(c := 1, p := 2, m := 1, LOOP(IF(c > n, RETURN [“n”, “producto” ; n, m]), m : p, p :+ 2, c :+ 1))

Se diseño el programa de esta forma con el objetivo de mostrar el uso del comando RETURN. La estructura de

control más externa PROG, controla la ejecución secuencial de las asignaciones c := 1 , p := 2, m := 1 y LO-

OP(IF(c > n, RETURN[“n”,”producto”;n,m]), m :p, p :+2, c :+1). La estructura más interna de control LO-

OP(IF(c > n, RETURN[“n”,”producto”;n,m]), m :p, p :+2, c :+1), actualiza los valores de c, p y m hasta al-

canzar el producto de los n números pares pedidos luego de lo cual ejecuta la orden RETURN que le permite

terminar la ejecución de LOOP y del programa presentando el resultado con la estructura...

n producton m

A.6 GENERACIÓN DE UNA UTILIDAD

Al escribir en Derive 6 un programa o implementación para generar un determinado método numérico, el autor

desearía poder guardarlo para utilizarlo en otro momento. Para ello Derive 6 puede almacenar una implementa-

ción dentro de un archivo de extensión .MTH y además cuando el usuario lo requiera puede cargar este archivo

en memoria para usar las funciones incorporadas en el mismo sin tener la molestia de que aparezca todo lo es-

crito en el documento. Esto es conocido en Derive 6 como “Cargar una utilidad”, y para ello debe efectuarse el

procedimiento descrito a continuación:

Se guarda el programa o implementación generada en un archivo de extensión MTH.

Para cargarlo como utilidad, se hace clic en Archivo/Leer/Utilidades..., entonces aparecerá el siguiente

cuadro de diálogo:


En este se busca el nombre del archivo que contenga la utilidad requerida y se hace clic en Abrir.

Inmediatamente Derive 6 cargará en memoria dicho archivo y el usuario podrá utilizar las funciones defi-

nidas en él como si fuesen funciones incorporadas al programa.

Como complemento se dan algunos ejercicios sobre programación y precisión en Derive 6…

A.4 – A.5 PROGRAMACIÓN FUNCIONAL

A.4. Generar en DERIVE 5 la matriz

n0 0

n1 1

nn n

1 x ... x1 x ... x. . ... .1 x ... x

, con la ayuda de una función VECTOR anidada.

Para representar un subíndice en Derive 5 por ejemplo xi, se escribe x↓i. Entonces la función que la llamaremos

MATRIZ, y que genera la matriz pedida es:

MATRIZ(n) := VECTOR(VECTOR ((x↓i)ˆj, j, 0, n), i, 0, n)

A.5. Genere una función en Derive 5 para calcular el vector de n iteraciones para F(x), empezando en a.

El programa funcional es:

ITER(F, a, n) := ITERATES(F, x, a, n)

Así para la función 1

F(x) : 21 x

, empezando en x = 0 y con 7 iteraciones se tiene:

en modo exacto, y

en modo aproximado.

A.6 – A.7 PROGRAMACIÓN PROCEDURAL

A.6. Escriba un programa para obtener el cociente y el resto de dos números enteros positivos, aplicando el

método de restas sucesivas.

El método de restas sucesivas permite llegar a calcular el resto de una división de números enteros mediante la aplicación sucesiva de la resta. El siguiente ejemplo lo explica:

Para hallar el residuo de 10/3, se tiene:

10 – 3 = 7

7 – 3 = 4

4 – 3 = 1 → El proceso se detiene cuando el resto (1) es menor que el divisor (3)

Por lo tanto 1 es el resto y 3(número de restas efectuadas) es el cociente.

El programa procedural escrito en una sola línea es:

COC_REST(D, d) := PROG(C := 0, R := D, LOOP(IF(R < d, RETURN ["RESTO", "COCIENTE"; R, C]), R :– d, C :+ 1))

El programa escrito en forma indentada y la explicación de su funcionamiento es:

COC_REST(D, d) := Argumentos de la función: D = dividendo, d = divisor Prog


C := 0 Inicialización del contador del número de restas efectuadas R := D Asignación al resto del valor del dividendo para iniciar las restas sucesivas Loop If R < d Condición para defenecer el proceso y retornar el resultado

RETURN ["RESTO", "COCIENTE"; R, C] Salida Re

sto CocienteR C

R :- d Proceso de restas sucesivas (resto) C :+ 1 Actualización del contador de restas efectuadas (cociente)

A.7. Escriba un programa para obtener el máximo común divisor de dos números enteros positivos, aplicando el

algoritmo de Euclides.

El algoritmo de Euclides permite hallar el MCD mediante divisiones sucesivas de números enteros positivos, como lo muestra el siguiente ejemplo:

Para hallar el MCD de 6 y 15, entonces:

15 / 6 → Cociente = 2; Resto = 3 (divisor en la siguiente división) 6 / 3 → Cociente = 2; Resto = 0

El ultimo divisor bajo el cual se obtuvo el resto nulo, es decir 3 es el MCD

El programa procedural constará de dos funciones, una para el cálculo del resto, y la otra para el cálculo del

MCD:

#1: RESTO(D, d) := PROG(C := 0, R := D, LOOP(IF(R < d, RETURN R), R :– d, C :+ 1)) #2: MCD(a, b) := PROG(IF(a > b, [D := a, d := b], [D := b, d := a]), LOOP(IF(d = 0, RETURN D), R := RESTO(D, d), D := d, d := R))

El programa escrito en forma indentada y la explicación de su funcionamiento es:

RESTO(D, d) := Prog C := 0 R := D Loop If R < d RETURN R R :- d C :+ 1 MCD(a, b) := Argumentos de la función: números a y b enteros positivos Prog If a > b [D := a, d := b] [D := b, d := a] Loop If d = 0 → Condición para defenecer el proceso y retornar el resultado RETURN D → Salida del último divisor (D := d) como el MCD R := RESTO(D, d) → Calcula el resto de la división D/d D := d → Asigna al divisor de una división como dividendo de la siguiente d := R → Asigna al resto de una división como divisor de la siguiente

A.8 PRECISIÓN EN DERIVE 6

A.8. Con un ejemplo de cálculo de una expresión se va a mirar el efecto de la precisión en un resultado.

Ingresamos la expresión 1 1 2 x x x x x

Variante del programa 1, para el cálculo del resto.

Lazo de decisión para asignar al mayor valor como divi-dendo (D) y al menor como divisor (d)

dividendo en la siguiente división


Se substituye 1000000 para x utilizando Simplificar/Sustituir variable… o el botón tal como se muestra:

luego de hacer clic en Sí, se obtiene

aproximando este resultado con se tiene

La aproximación da un valor de cero sin embargo al simplificar bajo el modo exacto no se obtuvo ese valor por

lo tanto la aproximación es sospechosa. En efecto se la precisión de Derive 6 en este cálculo es insuficiente pa-

ra mostrar el verdadero resultado para ello vamos a cambiar los dígitos de precisión de 10 a 15, mediante el

comando:

entonces volvemos a aproximar la expresión obteniendo esta vez

lo que demuestra que con 10 dígitos de precisión en esta operación Derive 6 cometió un error al obtener el re-

sultado en punto flotante. El origen de este error esta en la resta de valores muy cercanos como lo va a demos-

trar el propio programa con el siguiente desarrollo:

Regresamos a la precisión con 10 dígitos al escribir el comando PrecisionDigits := 10.

A partir de la expresión:

seleccionamos ‹(1000000 + 1), ‹(1000000 - 1) y 2·‹1000000 sucesivamente, a la vez que sim-

plificamos cada subexpresión con desde la barra de botones, obteniendo:

se puede observar que el resultado dentro del paréntesis da 0 lo cual obviamente explica el resultado final de 0

al aproximar la expresión.

173 Series de Taylor

AAPPÉÉNNDDIICCEE BB SSEERRIIEESS DDEE TTAAYYLLOORR

El éxito de los métodos numéricos consiste en la aproximación y sustitución de funciones complicadas

por otras de fácil manejo. Muchas funciones, tales como sen(x), cos(x), ln(x), etc., pueden ser aproximadas y sustituidas mediante una suma infinita de términos denominada serie de Taylor, la cual por su sencillez es más apropiada para su utilización en el campo del análisis numérico.

B.1 SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN.

Teorema de Taylor. Sea f(x) una función continua y derivable hasta el orden n, en cierto intervalo que contiene al punto x = c, entonces f(x) se puede expresar como:

)c(f!n

)cx(...)c(f

!3

)cx()c(f

!2

)cx()c(f

!1

)cx()c(f)x(f )n(

n32

Una función real f(x), puede ser escrita mediante un polinomio de grado menor o igual a n, en la forma...

2 3 n0 1 2 3 nf(x) a a x a x a x ... a x

donde los coeficientes a0, a1, a2, a3 , ... son constantes que no dependen de la variable x. El problema es deter-minar los valores de dichos coeficientes para expresar con exactitud el polinomio.

Tómese la expresión (B.1) y hágase en ella x = 0...

0f(0) a

con lo cual se ha determinado a0, pues al conocerse f(x), también se conoce su valor en un punto dado. Por otro lado, calcúlense las n sucesivas derivadas, es decir...

2 n 11 2 3 nf (x) a 2a x 3a x ... na x ...

n 22 3 nf (x) 2a 6a x ... n(n 1)a x ...

n 33 nf (x) 6a ... n(n 1)(n 2)a x ...

…………………………………………… (n)

nf (x) n!a ...

entonces si se sustituye x = 0 en todas ellas se obtiene...

1 1f (0) a 1!a

2 2f (0) 2a 2!a

3 3f (0) 6a 3!a .........................

(n)nf (0) n!a

despejando de las ecuaciones (B.3), a0, a1, a2, a3 , ... , y sustituyendo estos valores en f(x) se obtiene...

2 3 n(n)x x x xf(x) f(0) f (0) f (0) f (0) ... f (0)

1! 2! 3! n!

fórmula que expresa a f(x) como un polinomio en x, y todos los coeficientes son derivadas calculadas en el punto x = 0; este tipo de polinomio se denomina serie de Maclaurin ó fórmula de Maclaurin.

(B.1)

(B.2)

(B.4)

(B.3)


Pero existen funciones reales, como ln(x), que en el punto x = 0 no está definida; resulta entonces conveniente aproximar ésta y otras funciones, que se hallan en el mismo caso, mediante un polinomio cuyas constantes se puedan determinar en base a un punto cualquiera c, diferente al que genera el problema. Téngase en cuenta en-tonces, el polinomio siguiente...

2 3 n0 1 2 3 nf(x c) a a (x c) a (x c) a (x c) ... a (x c)

realizando un proceso similar al que se efectuó para deducir la serie de Maclaurin, se obtiene el polinomio...

2 3 n(n)(x c) (x c) (x c) (x c)f(x) f(c) f (c) f (c) f (0) ... f (c)

1! 2! 3! n!

denominado serie de Taylor ó fórmula de Taylor.

Se puede observar de la última ecuación, que la fórmula de Maclaurin es simplemente un caso particular de la fórmula de Taylor, cuando en ésta c = 0. La fórmula de Taylor asegura una aproximación bastante razonable de la función f(x) en cierto entorno (entiéndase como pequeño intervalo) alrededor del punto c, es decir en el inter-valo [c , c + ] (>0), mientras que la fórmula de Maclaurin hace lo mismo alrededor del punto c = 0, o sea en el intervalo [, ]; este intervalo se denomina intervalo de convergencia.

B.2 SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN CON RESTO EN FORMA DE LAGRANGE.

Teorema (Resto para la Serie de Taylor). Sea f(x) una función continua y derivable hasta el orden n + 1, en cier-to intervalo que contiene al punto x = c, y sea un punto cualquiera tal que x< <c (ó c<<x) entonces f(x) se puede expresar como…

2 3 n(n)(x c) (x c) (x c) (x c)f(x) f(c) f (c) f (c) f (c) ... f (c) R

1! 2! 3! n!

n(n 1)(x c)donde R f ( )

(n 1)!

Al aproximar una función real f(x), mediante las fórmulas de Taylor o Maclaurin, el orden del polinomio puede ser un valor entero cualquiera, pero dado que es imposible escribir un infinito número de términos del polinomio, es necesario entonces utilizar un número finito de términos, dígase n, surgiendo entonces un error debido a los términos no considerados o truncados del polinomio (desde el término (n + 1)ésimo en adelante). Este error, está representado mediante el llamado término complementario, residuo o resto de la serie, representado por R. La serie de Taylor expresada en función del resto R, se escribe...

2 3 n(n)(x c) (x c) (x c) (x c)f(x) f(c) f (c) f (c) f (0) ... f (c) R

1! 2! 3! n!

donde todos los términos luego del (n + 1)–ésimo término han sido sustituidos por el resto. El resto de una se-rie de Taylor se puede expresar como...

n 1(n 1)(x c)R f ( ) donde c x si x c ; x c si x c

(n 1)!

denominado resto en forma de Lagrange. Análogamente la fórmula de Maclaurin con resto en forma de Lagran-ge, se escribirá...

2 3 n(n)x x x xf(x) f(0) f (0) f (0) f (0) ... f (0) R

1! 2! 3! n!

con

(B.5)

(B.6)

(B.7)


n 1(n 1)(x)R f ( ) donde 0 x si x 0 ; x 0 si x 0

(n 1)!

sin embargo, el valor de (B.7) y (B.8) es imposible determinarlo de forma precisa, aunque se lo puede estimar considerando que el valor absoluto de la (n + 1)–ésima derivada de está acotado, es decir...

(n 1)f ( ) M donde M 0

y entonces...

n 1MR (x c) ...para la formula de Taylor(n 1)!

n 1MR x ...para la formula de Maclaurin(n 1)!

El resto representa el error de truncamiento en las formulas de Taylor (ó Maclaurin), y éste puede ser únicamen-te estimado más no calculado de manera exacta. El error de truncamiento puede presentarse en cualquier pro-ceso matemático de infinitos términos en el cual se truncan o cortan los mismos.

B.3 FORMA ALTERNATIVA PARA LA SERIE DE TAYLOR Y EL RESTO.

Si en la serie de Taylor, expresada por (B.6), se sustituye h = x – c, ésta se simplifica a...

2 3 n(n)h h h hf(c h) f(c) f (c) f (c) f (c) ... f (c) R

1! 2! 3! n!

donde el resto de la serie está dado por

n 1(n 1) hR f (c h) donde 0 1

(n 1)!

debido a que es difícil de calcular con exactitud, pues se encuentra dentro de un intervalo, a menudo se toma = 0, con lo que...

n 1(n 1) hR f (c)

(n 1)!

siendo la expresión (B.13), una forma aproximada y más cómoda de calcular el error de truncamiento para la serie de Taylor, y representa el término dominante((n + 1)–ésimo término) del conjunto de términos eliminados.

B.4 SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN CON DERIVE 6.

Derive 6 incluye una opción para el cálculo de funciones mediante series de Taylor y Maclaurin, la cual se en-cuentra bajo la orden Polinomios de Taylor... del menú Cálculo. Para desarrollar una función en una serie de Taylor…

Paso 1: Se escribe la función que se va a desarrollar en serie de Maclaurin.

2SIN(x) COS(x 1)

Paso 2: Se hace clic sobre la opción Cálculo/Polinomios de Taylor..., entonces aparece el cuadro de diálogo...

(B.8)

(B.9)

(B.10)

(B.11)

(B.12)

(B.13)


Aquí, se debe elegir la variable sobre la cual se va a desarrollar la serie, el punto alrededor del cual se estructu-rará la misma y el orden de aproximación (potencia del término a partir del cual se va a tomar el resto).

Paso 3: Finalmente, se hace clic sobre el botón Simplificar y se obtendrá...

4 5 3(2 x )COS(1) x x2x SIN(1) x2 120 6

que es la expresión para la serie de Maclaurin pedida.

Ejemplo B.1

Mediante Derive 6 desarrollar en serie de Maclaurin, la función f(x) = sen(x + 1). Utilizar 4, 5 y 6 términos del desarrollo, luego graficar la función así como sus correspondientes desarrollos.

Definición de la función:

SIN(x+1)

Serie de Maclaurin con 4 términos: Cálculo/Polinomios de Taylor...(Variable = x, Punto = 0, Grado = 3)

2 2x(6 x )COS(1) (2 x )SIN(1)6 2

entonces, expandiendo los términos mediante la orden Simplificar/Expandir...

3 2x COS(1) x SIN(1)xCOS(1) SIN(1)

6 2


2 4 2x(6 x )COS(1) x x1 SIN(1)

6 24 2


3 4 2x COS(1) x SIN(1) x SIN(1)xCOS(1) SIN(1)

6 24 2


5 3 4 2x x x xx COS(1) 1 SIN(1)

120 6 24 2


5 3 4 2x COS(1) x COS(1) x SIN(1) x SIN(1)xCOS(1) SIN(1)

120 6 24 2


En el gráfico las series de Maclaurin se nominan como: g(x)(serie de Maclaurin con 4 términos), h(x)(serie de Maclaurin con 5 términos), k(x) (serie de Maclaurin con 6 términos) y la función como f(x); estos gráficos se definen en un intervalo alrededor de x = 0; también se podrá notar que alrededor del punto x = 0 los desarrollos y la función f(x) tienen un cierto intervalo de convergencia de radio aproximadamente igual a 1.

3 2 1 0 1 2 3

4

2

2

f x( )

g x( )

h x( )

k x( )

x

Ejemplo B.2

Con la ayuda de Derive 6 expresar en serie de Taylor la función

2x1

x1ln)x(f , alrededor del punto x = 1,

determinar además el error de truncamiento aproximado y el error de truncamiento exacto. Utilizar hasta la po-tencia x4 del desarrollo.

Se definen la función, el punto alrededor del cual se desarrolla la serie(x = c) y el orden(n), de la siguiente ma-nera: Cálculo/Polinomios de Taylor...(ln((1 + x)/(1 + x^2)), Variable = x, Punto = 0, Grado = 5) y se obtie-ne...

4 3 2(x 1)(54x 351x 929x 1141x 29)960

luego se realiza la sustitución x = h + 1(Simplificar/Sustituir Variable...(Variables = x , Nuevo Valor = h + 1)), y expandiendo(Simplificar/Expandir...) los términos se obtiene...

5 4 3 29h 9h 5h h h160 64 24 8 2

Las siguientes líneas de programación en Derive 6, permiten determinar para cualquier serie de Taylor o Ma-claurin el error de truncamiento aproximado((1.13)) y el error de truncamiento exacto(f(x) – Serie de Taylor para n términos); para ello se debe introducir la función que se aproxima mediante la serie, el punto alrededor del cual se desarrolla la serie(x = c) y el orden del término en que se trunca la serie(n)...

#1: F(x):= #2: ET_APROX(x, c, n) := TAYLOR(F(x), x, c, n + 1) TAYLOR(F(x), x, c, n) #3: ET_EXACT(x, c, n) := F(x) TAYLOR(F(x), x, c, n)


Para el problema presente, se utilizan las líneas anteriores(ingresando 1 xF(x): ln 21 x

, x = 1 y n = 4) pa-

ra obtener...

4 3 29(x 1)(x 4x 6x 4x 1)ET _ APROX(x,1,4)

1604 3 2x 1 9x 37x 51x 15x 5

ET _EXACT(x,1,4) LN 2 64 48 32 16 192x 1

Del gráfico f(x), st(x) vs. x, se puede observar que la función f(x) y la serie que la aproxima st(x) coinciden en un intervalo que va desde x = 0.6 hasta x = 1.4, aproximadamente; este intervalo es el radio de convergencia de la serie.

1 0 1 2 3

4

3

2

1

1

f x( )

s x( )

x

Ejemplo B.3

Utilizando la serie de Maclaurin calcular el valor de cos(10) con una precisión de hasta 0.0001. Emplee Derive 6.

Cálculo del número de términos del desarrollo de Maclaurin, en base a la fórmula de acotamiento del resto R... |f(n+1)()| M = 1, pues la (n + 1)ésima derivada de cos(x) pueden ser cos(x) ó sen(x), que son acotadas en 1, por lo que...

0.0001 1n

181)!(n

1R

es decir...

0.0001

1n

181)!(n

1

dado que resolver la desigualdad analíticamente es algo difícil, se utiliza una solución iterativa, la cual se obtiene mediante las siguientes líneas de programación en Derive 6...

#1: R(n):= #2: N(in, fin,):=VECTOR(i, i, in, fin, )


#3: SOL(in, fin, ):=VECTOR([(N(in, fin, ))i, R((N(in, fin, ))i)], i, 1, DIM(N(in, fin, )))

entonces,

n 11

R(n) :(n 1)! 16

3 0.0000386632

1 0.01523082 0.000886096

SOL(1,5,1)4 0.00000134965 0.0000000392583

se puede observar que el valor n que cumple la desigualdad es n = 3, por lo tanto se desarrolla la serie de Ma-claurin de cos(x) hasta el orden de aproximación 3, así…

2xCOS(x) : 1

2

y el valor aproximado buscado es...

COS : 0.98476918

La segunda columna muestra los valores de R(n)para los valores de n de la primera columna

180 Bibliografía y referencias

BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFÍÍAA YY RREEFFEERREENNCCIIAASS

BIBLIOGRAFÍA.

1. Learning Numerical Analysis through DERIVE, Etchells T. / Berry J., Ed. Chartwell–Bratt

2. Numerical Analysis via DERIVE, Schonefeld S., Ed. Mathware.

3. Métodos Numéricos para Ingenieros, Chapra S. / Canale R., Ed. Mc. Graw–Hill.

4. Introduction to Derive 5, Kutzler B. / Kokol–Voljc V., Texas Instruments Inc.

5. Métodos Numéricos aplicados con software, Nakamura S., Ed. Prentice–Hall.

6. Análisis Numérico con Aplicaciones, Gerald C. / Wheatley P., Ed. Prentice–Hall.

7. Métodos Numéricos aplicados a la Ingeniería, Nieves A. / Domínguez F., Ed. C.E.C.S.A.

8. Análisis Numérico y visualización gráfica con MATLAB, Nakamura S., Ed. Prentice–Hall.

9. Análisis Numérico, Un enfoque práctico, Maron M. / López R., Ed. C.E.C.S.A.

10. Análisis Numérico, Scheid F., Ed. Mc.Graw–Hill.

11. Introducción a los Métodos Numéricos, Samarski A., Ed. Mir.

12. Métodos Numéricos, Volkov E., Ed. Mir.

13. Learning Diferential Equations through DERIVE, Lowe B. / Berry J., Ed. Chartwell–Bratt

14. Learning Mathematics through DERIVE, Graham E. /Watkins A.J.P / Berry J., Ed. Chartwell–Bratt

NOTAS Y REFERENCIAS.

[1] La notación [n]if indica de forma muy compacta la n-esima diferencia dividida para el dato xi.

[2] Estas líneas de programación fueron ampliadas a partir de aquellas tomadas del texto “Numerical Analysis via DERIVE” de S. Schonefeld, Ed.

MathWare, 1ra. Edición, 1997, pág. 111.

[3] Tomado de “Learning Numerical Análisis through DERIVE “de Terence Etchells & John Berry, Ed. Chartwell–Bratt, 1997, pág. 53

181 Índice Alfabético

ÍÍNNDDIICCEE AALLFFAABBÉÉTTIICCOO

A Aislamiento de raíces ...................................................... 49 Ajuste polinomial por mínimos cuadrados ................... 153 Algebra lineal numérica – aplicaciones ........................ 153 Aproximación gráfica a una raíz ..................................... 50 Aproximación por diferencias progresivas o hacia

adelante...................................................................... 73 Aproximación por diferencias regresivas o hacia atrás . 73

B Base ................................................................................ 10 Bit 11

C Cifras decimales ............................................................. 14 Cifras significativas ......................................................... 14 Condición inicial de una ecuación diferencial ............. 111 Convergencia en métodos de Jacobi y Gauss–Seidel 150 Convergencia en procesos iterativos ............................... 7

D Derivadas de orden superior .......................................... 79 Diagrama de convergencia ó divergencia . Véase Método

de iteración de punto fijo, diagrama de Cobweb Diagrama de escalones ...... Véase Método de iteración de

punto fijo, diagrama de Cobweb Diferencia finita hacia adelante ....................................... 30 Diferencia progresiva ............ Véase Diferencia finita hacia

adelante Diferenciación numérica, aproximación por diferencias72,

83 Diferenciación numérica, aproximación por diferencias

centrales ..................................................................... 78 Diferenciación numérica, aproximación por diferencias

progresivas ................................................................ 72 Diferenciación numérica, aproximación por diferencias

regresivas ................................................................... 72 Diferencias fdivididas ...................................................... 28

E Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden –

aplicaciones ..................................................... 133, 137 Épsilon de una computadora ......................................... 13 Error de truncamiento ................................................... 175 Error en los métodos de Euler ..................................... 118 Error en los métodos de Runge–Kutta ......................... 131 Error en los métodos de Taylor .................................... 125 Error en métodos de integración ............................. 81, 98 Error en polinomios de interpolación ............................. 39 Error en polinomios de interpolación de Newton .......... 45 Errores de redondeo ...................................................... 10 Errores en Análisis Numérico. .......................................... 8

Existencia de una raíz, teorema de Bolzano .................. 49 Exponente ....................................................................... 10

F Fenómeno de Runge ...................................................... 39 Fórmula iterativa ................................................................ 6 Fórmulas de Newton–Cotes ........................................... 98 Fuentes de error por redondeo ...................................... 13 Función condicional IF .................................................. 165 Función de forma .. Véase Polinomio básico de Lagrange Función LOOP ............................................................... 168 Función PROG .............................................................. 168 Función VECTOR .......................................................... 166 Funciones ITERATE e ITERATES ................................. 164 Funciones SUM y PRODUCT ....................................... 166

G Generación de utilidades en Derive 6 .......................... 169

I Instalación e inicio de Derive 6 ..................................... 159 Integración de Romberg ............................................... 102 Integración Numérica, reglas de Simpson ..................... 92 Interpolación con raíces o puntos de Chebyshev .......... 46 Interpolación lineal .......................................................... 22 Interpolación lineal con Derive 6 .................................... 23 Interpolación polinómica ................................................ 20 Interpolación polinómica por el método general ........... 20 Interpolación polinómica por serie de potencias ..... Véase

Interpolación polinómica por el método general Interpolación polinómica, nodos de interpolación ......... 20

M Mantisa ............................................................................ 10 Matriz de diagonal estrictamente dominante ............... 149 Método de aceleración del método de trapecios .......... 92 método de aceleración para la regla de 1/3 de Simpson

.................................................................................... 95 Método de bisección ...................................................... 51 Método de bisección con Derive 6 ................................. 55 Método de eliminación de Gauss con pivoteo parcial . 142 Método de Euler hacia adelante ................................... 111 Método de Euler modificado ........................................ 116 Método de falsa posición ................................................ 56 Método de iteración de punto fijo ................................... 66 Método de iteración de punto fijo con Derive 6 ............. 71 Método de iteración de punto fijo, diagrama de Cobweb

.................................................................................... 66 Método de las cuerdas .. Véase Método de falsa posición Método de las secantes .................................................. 64 Método de las secantes con Derive 6 ............................ 66 Método de las tangentes ....... Véase Método de Newton–

Raphson

182 Índice Alfabético

Método de los rectángulos ............................................. 85 Método de los rectangulos utilizando Derive 6 .............. 89 Método de los trapecios ................................................. 89 Método de los trapecios utilizando Derive 6 .................. 92 Método de Newton–Raphson ......................................... 60 Método de Newton-Raphson con Derive 6 .................... 63 Método de Runge–Kutta de cuarto orden .................... 129 Método de Runge–Kutta de tercer orden ..................... 127 Método de sustituciones sucesivas ...... Véase Método de

iteración de punto fijo Método del punto medio ................................................ 85 Método del punto medio utilizando Derive 6 ................. 89 Métodos abiertos ............................................................ 59 Métodos abiertos, características diferenciativas .......... 71 Métodos cerrados ........................................................... 51 Métodos cerrados, características diferenciativas ......... 59 Métodos de Euler.......................................................... 111 Métodos de Runge–Kutta ............................................. 127 Métodos de solución de EDOs con Derive 6 ............... 131 Métodos de Taylor ........................................................ 122 Minimización del error de interpolación .................... Véase

Interpolación con raíces o puntos de Chebyshev

N Número de punto flotante ............................................... 10 Número de punto flotante, forma normalizada .............. 10 Número de punto flotante, precisión .............................. 11

O Orden EXIT .................................................................... 168 Orden RETURN ............................................................. 168 Overflow, zona de .......... Véase Zona de desbordamiento

P Parte fraccionaria ........................................ Véase Mantisa Polinomio básico de Lagrange....................................... 25 Polinomio de interpolación de Lagrange ....................... 25 Polinomio de interpolación de Lagrange con Derive 6 . 27 Polinomio de interpolación de Newton .......................... 32 Polinomio de interpolación de Newton con Derive 6..... 38 Polinomio de interpolación de Newton con diferencias

progresivas ................................................................ 37 Polinomio de interpolación de Newton–Gregory ...... Véase

Polinomio de interpolación de Newton con diferencias progresivas

Polinomio de interpolación por el método general con Derive 6 ...................................................................... 21

Precisión en Derive 6 ...................................................... 17 Proceso iterativo ............................................................... 6 Programación con Derive 6 .......................................... 164 Programación funcional con Derive 6 .......................... 164

Programación procedural en Derive 6.......................... 168

R Raices de Chebyshev con Derive 6 ................................ 48 Raíz de una ecuación ...................................................... 49 Regla de 1/3 de Simpson ............................................... 92 Regla de 3/8 de Simpson ............................................... 96 Reglas de Simpson utilizando Derive 6 .......................... 97 Regula Falsi .................... Véase Método de falsa posición

S Serie de Taylor, intervalo de convergencia .................. 174 Serie de Taylor, teorema del resto ............................... 174 Series de Taylor y Maclaurin......................................... 173 Series de Taylor y Maclaurin con Derive 6 ................... 175 Series de Taylor y Maclaurin con resto en forma de

Lagrange. ................................................................. 174 Series de Taylor y resto, forma alternativa ................... 175 Simplificación y aproximación con Derive 6 ................. 160 Solución de sistemas de ecuaciones lineales, método

directo ....................................................................... 144 Solución de sistemas de ecuaciones lineales, problema

mal condicionado ..................................................... 144 Solución de sistemas de ecuaciones lineales–método de

Gauss–Seidel ........................................................... 147 Solución de sistemas de ecuaciones lineales–método de

Jacobi ....................................................................... 145 Solución de sistemas de ecuaciones lineales–métodos

iterativos ................................................................... 145 Solución general de una ecuación diferencial ............. 110 Solución particular de una ecuación diferencial .......... 110 Sustitución de variables en Derive 6 ............................ 161

T Teorema de Bolzano ....................................................... 49 Teorema de Taylor. ....................................................... 173

U Underflow, zona de ...................... Véase Zona de agujero

V Vectores y matrices en Derive 6 ................................... 162 Velocidad de convergencia en procesos iterativos ......... 7

Z Zona de agujero .............................................................. 12 Zona de desbordamiento ............................................... 12

Documents

Introduccion a Los Metodos Numericos Con Derive 6