INTRODUCCION A LA MEDIDA E INTEGRAL DE HAARrepository.udistrital.edu.co/bitstream/11349/3078/1/medida de haar.pdf · una funci on integrable Lebesgue en Rn, entonces Z R n f(x)dx=

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INTRODUCCION A LA MEDIDA E INTEGRALDE HAAR

Camila Andrea Leandro Velosa

20102167040

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDASFACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICASBOGOTA

2015

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INTRODUCCION A LA MEDIDA E INTEGRALDE HAAR

Camila Andrea Leandro Velosa

20102167040

TRABAJO DE GRADODIRIGIDO POR:

SAMUEL BARRETO MELO

UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDASFACULTAD DE CIENCIAS Y EDUCACION

PROYECTO CURRICULAR DE MATEMATICASBOGOTA

2015

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Dedicado a mi mama.

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Agradecimientos

La presente monografıa es el resultado de mucho esfuerzo y dedi-cacion, este trabajo no hubiese sido posible sin el apoyo incondicionalde muchas personas que estuvieron en cada uno de los momentos vivi-dos a lo largo de mi formacion academica y personal.

Agradezco a toda mi familia; a mi madre Alicia, mi hermana Leslypor estar siempre a mi lado incondicionales.Desde luego, quiero agradecer a todos los profesores, quienes a lo largode estos cinco anos y medio, aportaron todo su conocimiento para esteproyecto de vida, especialmente a mis profesores orientadores: SamuelBarreto Melo por su apoyo incondicional para dirigirme en este trabajoy al profesor Milton Lesmes por su guıa cuando necesite de ella, estoha dejado en mi un desarrollo academico y personal muy grande.

Indice general

Objetivos 7

Introduccion 8

1. Preliminares 101.1. Grupos Cocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.1. Particiones y Relaciones de Equivalencia . . . . . . . . . . . . 131.1.2. Clases Laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Medida de conjuntos 232.1. Definicion general de medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2. Funciones medibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.3. La integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. La medida de Haar 363.1. Teorema de Represenatacion de Riez . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2. Existencia y Unicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3. Ejemplos de medida de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3.1. Medida de Haar sobre el circulo unitario complejo . . . . . . 393.3.2. Medida de Haar sobre un grupo discreto . . . . . . . . . . . . 403.3.3. Medida de Haar sobre Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.4. Medida de Haar sobre R+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.5. Medida de Haar sobre GL(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.3.6. Medida de Haar a izquierda diferente a la medida de Haar a

derecha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

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INDICE GENERAL 6

4. Integracion invariante 434.1. Propiedades fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2. Propiedades Fuertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.1. Integral de Haar en los Grupos de R . . . . . . . . . . . . . . 484.2.2. Integral de Haar en los Grupos de Rn . . . . . . . . . . . . . . 49

Conclusiones 50

Bibliogrfıa 53

Indice de figuras

1.1. Particion de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2. Particion de un conjunto 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3. Relacion de equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4. Formas de particionar un conjunto de 3 elementos . . . . . . . . . . . 171.5. Clases laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1. Integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

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Objetivos

Objetivo generalEstudiar algunos aspectos del Analisis Armonico y Espectral en lo que respecta a lamedida e integral de Haar.Objetivos especıficos

Estudiar e interpretar la medida de Haar y alguna de sus aplicaciones.

Estudiar la integral de Haar y su importancia en el Analisis Armonico.

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Introduccion

Una de las mas utiles propiedades de la medida de la integral de Lebesgue es suinvarianza bajo traslaciones y rotaciones. Por ejemplo, si a ∈ Rn, r ∈ Rn×n y f esuna funcion integrable Lebesgue en Rn, entonces

∫Rn

f(x)dx =

∫Rn

f(rx+ a)dx.

La nocion de la medida de Haar es una generalizacion de este ejemplo. En estesentido en un grupo compacto (mas generalmente localmente compacto) G, existeuna medida m tal que ∫

G

f(x)dm(x) =

∫G

f(bx)dm(x),

para una funcion integrable f sobre G y un elemento b ∈ G.La medida anterior fue introducida por Alfred Haar, matematico Hungaro, en 1933.”El prueba que existe una medida invariante en un grupo localmente compacto yseparable . Mas tarde Banach generaliza el teorema definiendo axiomaticamente lacongruencia. Ademas la separabilidad no es esencial en el trabajo de Banach, ya quesus razonamientos son validos sustituyendo compacidad secuencial por compacidad.Finalmente el teorema de Haar fue generalizado a grupos localmente compactos ycompletado en 1936 con el teorema de unicidad debido a Von Neumann”segun [6].

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Capıtulo 1

Preliminares

Definicion 1. Sea X un espacio topologico y K ⊂ X. Una coleccion Vα : α ∈ Ide subconjuntos de X es un recubrimiento de K , si K ⊂ ∪α∈IVα ademas si Vα esabierto, se dice que el recubrimiento es abierto.

Definicion 2. Sea G un conjunto con una operacion binaria · : G×G→ G, y seaτ una familia de subconjuntos de G. Se dice que G es un grupo topologico si:

(G, ·) es un grupo,

(G, τ) es un espacio topologico, y

Las funciones

m : G×G→ G

(x, y) 7→ x · y

i : G→ G

x 7→ x−1

Son continuas.

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CAPITULO 1. PRELIMINARES 11

Aquı,G×G es visto como un espacio topologico con la Topologıa producto.

Ejemplo 1. Algunos ejemplos de grupos topologicos son:

a) Sea G un grupo. Definimos la topologıa discreta τ como la topologıa en la quecada punto es un conjunto abierto.

b) Rn con la topologıa usual y con la operacion suma.

c) R+ = (0,∞) con la operacion multiplicacion y la topologıa relativa a R.

d) S1 el cırculo unitario con la topologıa relativa a C y la multiplicacion de loscomplejos.

e) El conjunto GL(n) es la coleccion de todas las matrices invertibles de n × n,con la multiplicacion usual de las matrices, la matriz identidad como elementoneutro y la topologıa relativa a Rn×n.

Definicion 3. Un conjunto K se dice compacto, si de cualquier recubrimiento abier-to de K,Vα : α ∈ I, se puede extraer un subrecubrimiento finito.

Definicion 4. Un espacio topologico X se dice localmente compacto en x si ex-iste algun subconjunto compacto C de X que contiene una vecindad de x. Si X eslocalmente compacto en cada uno de sus puntos, X se dice localmente compacto.

Definicion 5. Una familia X de subconjuntos de X que satisface las siguientescondiciones se le llama una σ - algebra de subconjuntos de X.

a) ∅, X ∈ X

b) Si A ∈ X entonces Ac ∈ X


c) An ∈ X (n = 1, 2, ...) entonces⋃∞n=1An ∈ X

Definicion 6. La σ - algebra de Borel sobre un espacio topologico X es una σ-algebra de subconjuntos de X asociada a la topologıa de X tal que es generada porlos conjuntos abiertos.

Definicion 7. Diremos que µ es una funcion de conjuntos definida en X una σ -algebra definida sobre un conjunto X si µ asigna a cada A ∈ X un numero µ(A) ≥ 0del sistema ampliado de los numeros reales.

µ : X→ R+ + 0

A 7→ µ(A)

La funcion µ se dice aditiva si A ∩B = ∅ implica

µ(A ∪B) = µ(A) + µ(B)

y es aditiva numerable si Ai ∩ Aj = ∅(i 6= j) implica

µ(∞⋃n=1

An) =∞∑n=1

µ(An)

Definicion 8. Si µ es una funcion aditiva numerable definida sobre una σ -algebradefinida para un conjunto X, entonces µ es una medida. Si la medida esta definidasobre la σ -algebra de Borel se le llama medida de Borel, y si µ(X) = 1 diremos queµ es una medida de probabilidad.

Definicion 9. Sea G un espacio topologico localmente compacto. Una medida µse dice que es de Borel regular si esta definida en la Σ−algebra Σ generada por lossubconjuntos compactos de X, y verifica ademas que:

µ(E) = infµ(U) : E ⊆ U,U ∈ Σµ(E) = supµ(K) : E ⊇ K,K ∈ Σ

Definicion 10. Un espacio de medida es un conjunto X para el que se ha definidouna σ -algebra X de conjuntos medibles y una funcion de medida concreta µ queasigna un valor real o medida a cada elemento de la σ -algebra. A la tripleta (X,X, µ)se le llama espacio de medida, si la medida es de probabilidad se le llama espacio deprobabilidad.


Definicion 11. Sean (X,X, µ) un espacio de medida, T : X → X una funcioncontinua y sobreyectiva, decimos que µ es T-invariante si para todo A ∈ X tenemosque T−1(A) ∈ X y µ(T−1(A)) = µ(A)

Definicion 12. Si G es un espacio topologico localmente compacto Hausdorff sedefine en C(G) (el espacio de las funciones continuas sobre G) los siguientes sube-spacios localmente convexos:

Cc(G) = f ∈ C(G) : Sop(f) es compactoCb(G) = f ∈ C(G) : f es acotada

Ası mismo se definen los siguientes espacios de medidas complejas.

M(G) = medidas de Borel regularesMc(G) = µ ∈M(G) : Sop(µ) es compactoM1(G) = µ ∈M(G) : µ es acotada

1.1. Grupos Cocientes

Para comprender mejor la definicion de la integral de Haar se daran algunas defini-ciones basicas de grupos cocientes y las caracterısiticas que los componen.

1.1.1. Particiones y Relaciones de Equivalencia

Particionar un conjunto A es separar los elementos de A en subconjuntos no vacıosA1, A2, A3,etc., los cuales son llamados las clases de la particion.Decimos que dos clases distintas Ai y Aj de A son disyuntas, si ellas no tienen

elementos en comun. Y la union de las clases de A es todo A

Por ejemplo la particion ilustrada anteriormente en la fig : 1 podrıa ser represen-tada tambien ası : A1 es la misma clase de A5, A2 es la misma clase de A6 y A3 es


Figura 1.1: Particion de un conjunto

la misma clase de A7.

Figura 1.2: Particion de un conjunto 2

Definicion 13. Una particion de un conjunto A es una familia Ai : i ∈ I desubconjuntos no vacios de A tal que:

si algunas dos clases digamos Ai y Aj, tienen un elemento en comun x (estoes, no son disyuntos), entonces Ai = Aj.


todo elemento x de A esta en alguna de las clases de A.

Ahora daremos otro concepto matematico importante. Una relacion en un conjuntoA es alguna condicion la cual puede ser verdadera o falsa para cada par ordenado(x, y) de elementos de A. Ejemplos de relaciones, en conjuntos apropiados son :

x = y, x < y, x ‖ y

Una clase importante de relaciones en conjuntos son las relaciones de equivalencia .Usualmente representaremos la relacion con el sımbolo ∼, entonces x ∼ y podrıaleerse “x es equivalente a y”Una relacion de equivalencia en un conjunto A es una relacion ∼ la cual es:

Reflexiva: esto es, x ∼ x para todo x ∈ A;Simetrica: esto es, si x ∼ y, entonces y ∼ x;Transitiva: esto es, si x ∼ y y y ∼ z entonces x ∼ z

Si Ai : i ∈ I es una particion de A podemos definir una relacion de equivalencia∼ en A ası, x ∼ y si y solo si x y y estan en la misma clase de la particion

a ∼ bc ∼ de ∼ f

En otras palabras, llamamos dos elementos “equivalentes”si ellos son miembros dela misma clase. Es facil ver que esta relacion ∼ es una relacion de equivalencia enA. Ciertamente, x ∼ x por que x esta en la misma clase de x, ahora si x y y estanen la misma clase entonces y y x estan en la misma clase, finalmente si x y y estanen la misma clase y, y y z estan en la misma clase entonces x y z estan en la mismaclase, por lo que ∼ es una clase de equivalencia en A; Esta es llamada la ralacionde equivalencia determinada por la particion Ai : i ∈ I .


Figura 1.3: Relacion de equivalencia

Sea ∼ una relacion de equivalencia en A, y x un elemento de A. El conjunto detodos los elementos equivalentes a x es llamado la clase de equivalencia de x y esdenotado por [x] o x

[x] = y ∈ A : y ∼ xUna de las mas utiles propiedades de las clases de equivalencia es esta:

Lema 1. Si x ∼ y, entonces [x] = [y]

Es decir, sı dos elementos son equivalentes, ellos tendran la misma clase de equiva-lencia. La prueba de este lema es bastante sencilla : si x ∼ y, entonces los elementosequivalentes a x son los mismos elementos equivalentes a y.

Teorema 1. Si ∼ es una relacion de equivalencia en A, la familia de todas lasclases de equivalencia, esto es [x] : x ∈ A es una particion de A.

Para probar el teorema, observese primero que cada clase de equivalencia es un sub-conjunto no vacıo de A.(esto es no vacıo por que x ∼ x entonces x ∈ [x]). Ahoranecesitamos mostrar que dos clases distintas son disyuntas o lo que es analogo quesi dos clases [x] y [y] tienen un elemento en comun, son iguales.Bueno, si [x] y [y] tienen un elemento en comun digamos u, entonces u ∼ x y u ∼ yy por las leyes simetrica y transitiva se tiene que x ∼ y.De esta manera [x] = [y] por


el lema 1.Finalmente, se prueba que todo elemento de A pertenece a alguna clase de equiv-alencia, esto es valido por que x ∈ [x] por tanto, la familia de todas las clases deequivalencia es una particion de A.Cuando ∼ es una relacion de equivalencia en A y A es particionado por esas clasesde equivalencia , llamamos esta particion la particion determinada por la relacionde equivalencia ∼Por ultimo, existen muchas formas de particionar un conjunto dado A. Del algebrase sabe que cada particion determina exactamente una relacion de equivalencia es-pecifica en A, entonces si A es un conjunto de tres elementos, digamos a, b, c haycinco maneras de particionar a A ası:

Figura 1.4: Formas de particionar un conjunto de 3 elementos

1.1.2. Clases Laterales

Definicion 14. Sea G un grupo, y H un subgrupo de G. Para algun elemento a ∈ G,el sımbolo

aH


denota el conjunto de todos los productos ah, con a fijo y h recorriendo todo H.aH es llamada una clase lateral a izquierda de H en G.De forma similar,

Ha

denota el conjunto de todos los productos ha, con a fijo y h recorriendo todo H, Haes llamada una clase lateral a derecha de H en G.

Cuando trabajamos con clases en un grupo G, se debe tener en cuenta que cadaclase en G es un subconjunto de G. Entonces cuando necesitemos probar que dosclases Ha y Hb son iguales, se debe probar que son conjuntos iguales. Que quieredecir por supuesto que todo elemento x ∈ Ha esta en Hb, y todo elemento z ∈ Hbesta en Ha, por ejemplo probemos el siguiente hecho:

Proposicion. Si a ∈ Hb, entonces Ha = Hb

Si a ∈ Hb, entonces a = h1b para algun h1 ∈ H, necesitamos probar que Ha = Hb.Sea x ∈ Ha, esto es que x = h2a para algun h2 ∈ H. Pero a = h1b entoncesx = h2a = (h2h1)b que esta en Hb, esto prueba que cada x ∈ Ha esta en Hb;analogamente podemos probar que todo y ∈ Hb esta en Ha y ası Ha = Hb

Teorema 2. La familia de todas las clases Ha, como un recorrido de G, es unaparticion de G.

Primero debemos probar que dos clases digamos Ha y Hb son disyuntas o iguales. Sison disyuntas la particion ya esta, si no sea x ∈ Ha ∩Hb x ∈ Ha entonces x = h1apara algun h1 ∈ H, y x ∈ Hb entonces x = h2b para algun h2 ∈ H. Entoncesh1a = h2b lo cual es:

a = (h−11 h2)b

esto es que a ∈ Hb y por la proposicion anterior se tiene que Ha = Hb.Ahora debemos ver que todo elemento c ∈ G esta en una de las clases de H. Peroes obvio por que c = ec y e ∈ H por lo tanto,

c = ec ∈ Hc


Figura 1.5: Clases laterales

por los dos hechos anteriores se tiene que, la familia de todas las clases de H es unaparticion de G.

Con respecto a la notacion: Dada una clase digamos Hb, podemos escribir de otramanera la clase. Por la proposicion, si a algun elemento en Hb, entonces Hb = Ha.Por ejemplo si una clase de H contiene n diferentes elementos a1, a2, ..., an podrıaser escrito en n diferentes maneras, Ha1, Ha2, ..., Han.El siguiente hecho sobre clases concierne a grupos finitos. Sea G un grupo finito yH un subgrupo de G ahora se probara que todas las clases de H tienen el mismonumero de elementos, este hecho es consecuencia del siguiente teorema.

Teorema 3. Si Ha es una clase de H, existe una correspondencia uno a uno de Ha Ha.

Sea f : H → Ha definida por:f(h) = ha

recordemos que a es fijo mientras h varia.

f es inyectiva: si f(h1) = f(h2), entonces h1a = h2a y por lo tanto h1 = h2.f es sobreyectiva: es sobreyectiva por que todo elemento de Ha es de la forma ha


para algun h ∈ H, y ha = f(h).

por lo tanto, f es la correspondencia uno a uno de H en Ha requerida.Y ademas por el teorema anterior alguna clase Ha tiene el mismo numero de ele-mentos que H, y por lo tanto todas las clases tienen el mismo numero de elementos.

Ahora sea G un grupo finito y H un subgrupo de G. Supongamos ahora que G tieneuna particion de clases de H y todas las clases de H tienen el mismo numero deelementos. Entonces el numero de elementos de G es igual a el numero de elementosen H multiplicada por el numero de clases distintas de H. Este hecho es conocidocomo el teorema de Lagrange.

Teorema 4. Teorema de LagrangeSea G un grupo finito, y H un subgrupo de G. El orden de G es un multiplo de elorden de H.

En otras palabras el orden de un subgrupo H de G es un divisor de el orden de G.Por ejemplo, si G tiene 15 elementos, los subgrupos propios podrıan tener orden3 o 5, si G tiene 7 elementos, este no tendra subgrupos propios ya que 7 no tienefactores diferentes a 7 y 1, este ultimo ejemplo puede ser generalizado:Sea G un grupo con un numero primo p de elementos. Si a ∈ G con a 6= e entonces elorden de a es algun entero m 6= 1.Pero entonces el grupo cıclico <a> tiene m elemen-tos, por el teorema de Lagrange m debera ser factor de p, pero p es primo y por lotanto m = p de esto concluimos que <a> tiene p elementos y por lo tanto es todo G.

Teorema 5. Si G es un grupo con un numero primo de elementos p, entonces Ges un grupo cıclico, es mas algun elemento a 6= e ∈ G es un generador de G

El teorema 5 quiere decir que existe (salvo isomorfismos) un unico grupo de ordenprimo p, por ejemplo el unico grupo (salvo isomorfismos) de orden 7 es Z7, el unicogrupo de orden 11 es Z11.Ahora tenemos que completar la informacion sobre todos los grupos con orden pri-mo.


De la misma manera como llegamos al teorema 5, si a es un elemento de un grupo G,el orden de a es el mismo orden del grupo cıclico <a> y por el teorema de Lagrangeeste numero es un divisor de el orden de G.

Teorema 6. El orden de un elemento de un grupo finito divide el orden del grupo.

Finalmente, si G es un grupo y H un subgrupo de G, entonces el Indice de H en Ges el numero de clases de H en G, se denota por (G : H); por lo tanto el numero deelementos de G es igual a el numero de elementos en H multiplicado por el numerode clases de H en G.

(G : H) =o(G)

o(H)

Ejemplo 2. Sea G = Z15 y H = <5> = 0, 5, 10 entonces las clases laterales deH son:

H + 0 = H + 5 = H + 10 = 5, 10, 0H + 1 = H + 6 = H + 11 = 1, 6, 11H + 2 = H + 7 = H + 12 = 2, 7, 12H + 3 = H + 8 = H + 13 = 3, 8, 13H + 4 = H + 9 = H + 14 = 4, 9, 14

En este caso el ındice (G : H) = 153

= 5 es decir hay solo 5 clases disyuntas de Hen G.

Ejemplo 3. Sea G = Z y H = <m> con m un entero, entonces las clases lateralesde H son:H + 0 = m, 2m, 3m, ...H + 1 = m+ 1, 2m+ 1, 3m+ 1, ...···H + k = m+ k, 2m+ k, 3m+ k, ...


···Podemos concluir el hecho de que Z/<m> ≈ Zm

Capıtulo 2

Medida de conjuntos

El concepto de medida de un conjunto es una fuerte generalizacion del concepto delongitud de un intervalo.Consiste en dar una definicion de longitud no solo para intervalos, sino para conjun-tos mas generales, Se asume que la unidad de medida es el intervalo [0, 1]. entoncesla longitud de un intervalo arbitrario [a, b] es obviamente b − a. Analogamente, sitenemos dos intervalos disyuntos [a1, b1], [a2, b2] parece natural tomar como longituddel conjunto E formado por los dos intervalos el numero (b1 − a1) + (b2 − a2).Sin embargo, es un poco mas complicado medir un conjunto que no sea un intervalopor ejemplo, ¿cual es la longitud del conjunto de Cantor ?En conclusion, el concepto de longitud de un conjunto de la recta requiere una difini-cion matematica rigurosa.

El problema de la definicion de la medida de conjuntos es muy importante por queencierra una importancia capital en la generalizacion del concepto de integral. Elconcepto de medida de un conjunto tiene aplicaciones a otros problemas en teorıade funciones, probabilidades, topologıa analisis funcional,etc.La definicion de medida de un conjunto que se da a continuacion se debe al matematicofrances H. Lebesgue y es la base de la definicion de la integral que lleva su nombre.

23

CAPITULO 2. MEDIDA DE CONJUNTOS 24

Todo conjunto abierto es la suma finita o numerable de intervalos abiertos disyun-tos dos a dos. La medida de los intervalos abiertos se define como la suma de laslongitudes de los intervalos abiertos que lo forman.Ası, si

G =∑

(ai, bi)

Y los intervalos (ai, bi) son disyuntos dos a dos, entonces la medida de G es igual∑(bi − ai) , denotado la medida de un conjunto E por µE podemos escribir

µG =∑

(bi − ai)

en particular, la medida de un intervalo abierto coincide con su longitud

µ(a, b) = b− a

todo conjunto cerrado F contenido en [a, b] y tal que los puntos extremos de estepertenecen a F se obtiene a partir de [a, b] suprimiendo de el un cierto conjuntoabierto G. La medida del conjunto cerrado F ⊂ [a, b] , donde a ∈ F y b ∈ F sedefine como la diferencia entre la longitud de [a, b] y la medida del conjunto abiertoG complementario de F .

De esta forma

µF = (b− a)− µG

no es difıcil verificar que , de acuerdo con esta definicion , la medida de un intervaloarbitrario es igual a su longitud

µ[a, b] = b− a

y que la medida de un conjunto formado por un numero finito de puntos es 0.


2.1. Definicion general de medida

Con el fin de dar una difinicion mas general, se hace uso de un concepto auxiliar.Sea E un conjunto contenido en el intervalo [a, b]. Considerando todas las posiblesenvolturas de E, es decir, todos los conjuntos abiertos V (E) que contienen a E. Lamedida de cada conjunto V (E) es un cierto conjunto de numeros positivos.Este conjunto esta acotado inferiormente (por ejemplo por 0) y tiene por tanto unextremo inferior que denotamos por µeE. el numero µeE se llama medida exteriorde E. Sea µeE la medida exterior de un conjunto E y µeCE la medida exterior desu complemento relativo a [a, b].

Si la relacion

µE + µCE = (b− a)

entonces se dice que E es medible y el numero µeE es su medida; µE = µeE si larelacion no se cumple decimos que E no es medible, un conjunto no medible no tienemedida.Siempre en general se cumple que:

µE + µCE ≥ (b− a)

La medida de los conjuntos mas simples (por ejemplo, intervalos abiertos o cerrados)tiene propiedades notables:

a) si los conjuntos E yE1 son medibles y E1 ⊆ E, entonces

µE1 ≤ µE

es decir la medida de una parte de E no debe exceder de la de todo el conjuntoE.

b) Si E1 y E2 son medibles, entonces el conjunto E = E1 + E2 es medible y

µ(E1 + E2) ≤ µE1 + µE2;


es decir la medida de la suma no excede la suma de las medidas de los suman-dos.

c) Si los conjuntos Ei(i = 1, 2, ...) son medibles y disyuntos dos a dos, esto esEiEj = ∅(i 6= j) entonces su suma E =

∑Et es medible y

µ(∑

Ei

)=∑

µEi

es decir, la medida de una suma finita o numerable de conjuntos disjuntos dosa dos es igual a la suma de las medidas de los sumandos.Esta propiedad de la medida es llamada aditividad total.

d) La medida de un conjunto E no cambia si este se desplaza como un solidorıgido.

Seria deseable que las propiedades de la longitud se conservaran en el concepto masgeneral de medida de conjuntos. Pero se puede probar rigurosamente que esto es im-posible si la medida se refiere a conjuntos de puntos arbitrarios. En consecuencia, enel sentido de esta defincion existen conjuntos que tienen medida (que son medibles)y otros que no tienen medida (que son no medibles).Por otra parte, la clase de conjuntos medibles es tan amplia que ello no conduce aninguna desventaja substancial. De hecho, la construccion de un ejemplo de conjun-to no medible es bastante difıcil.

Ejemplo 4. La medida del conjunto perfecto de Cantor P .En la construccion del conjunto P a partir del intervalo [0, 1] se comienza eliminandoun intervalo adyacente de longitud 1/3, despues dos intervalos adyacentes de longitud1/9, luego 4 de longitud 1/27, etc. De forma general, en el paso n-esimo hemossuprimido 2n−1 intervalos adyacentes de longitud 1/3n. Ası, pues la longitud detodos los intervalos suprimidos es

S =1

3+

2

9+

4

27+ ...+

2n−1

3n+ ...


Los terminos de esta serie forman una progresion geometrica de razon 2/3 cuyoprimer termino cae 1/3. Por lo tanto la suma S de la serie es

13

1− 23

= 1

Ası pues la suma de las longitudes de los intervalos adyacentes al conjunto de Cantores 1.Dicho de otra manera, la medida del conjunto abierto G complementario de Pes 1.Por tanto la medida de P es

µP = 1− µG = 1− 1 = 0

Este ejemplo muestra que existen conjuntos con la cardinalidad del continuo cuyamedida es 0

Ejemplo 5. Medida del conjunto R de todos los puntos racionales del intervalo[0, 1].Mostremos primero que µeR = 0.Como Q son numerables y R es un subconjunto deQ.Ordenamos los puntos de R en una sucesion

r1, r2, ..., rn, ...

Ahora, para un ε > 0 encerramos el punto rn en un intervalo abierto δn de longitudε/2n. La suma

∑δn = δ es un conjunto abierto que contiene a R. Los intervalos δn

pueden tener interseccion no vacıa, por lo cuales

µ(δ) = µ(∑

δn) ≤∑

µδn =∑

ε/2n = ε

2.2. Funciones medibles

Se procede ahora a exponer una de las aplicaciones mas brillantes del concepto demedida de un conjunto, a saber, la descripcion de la clase de funciones con las queopera actualmente el analisis matematico y la teorıa de funciones. El planteamientopreciso es como sigue:Si una sucesion fn(x) de funciones definidas en un cierto conjunto E converge en


cada punto de E excepto en los puntos de un conjunto de medida nula, Se dice quela sucesion fn(x) converge en casi toda parte.¿Que funciones se obtienen al aplicar repetidamente las operaciones algebraicas y laoperacion de paso al lımite de una sucesion de funciones convergentes en casi todaparte?Para contestar a estas preguntas se necesitan algunos conceptos nuevos.Sea f(x) una funcion definida en un conjunto E y α un numero real arbitrario.Denotaremos por:

x ∈ E|f(x) > α

el conjunto de los puntos de E tales que f(x) > α.Por ejemplo, si f(x) esta definido en [0, 1] y f(x) = x sobre este intervalo,

para α < 0x ∈ [0, 1]|f(x) > 0 = [0, 1]

para 0 ≤ α < 1x ∈ [0, 1]|f(x) > α = (α, 1]

para 1 ≤ αx ∈ [0, 1]|f(x) > α = ∅

Formalmente, una funcion f(x) definida en un conjunto E se llama medible si E esmedible y si el conjunto x ∈ E|f(x) > α es medible para cualquier numero realα.

Se puede demostrar que cualquier funcion continua definida en un intervalo es med-ible. Existen, sin embargo, entre las funciones medibles otras muchas que no soncontinuas; por ejemplo la funcion de Direchlet:

D(x) =

1, si x /∈ Q ∩ [0, 1]

0, si x ∈ Q ∩ [0, 1](2.1)

Se mencionaran a continuacion, sin demostracion, algunas propiedades de las fun-ciones medibles.


a) Si f(x) y φ(x) son funciones medibles definidas en el mismo conjunto E, en-tonces las funciones:

f + φ, f − φ, f · φ yf

φ

son tambien medibles (la ultima si φ 6= 0 ).Esta propiedad nos muestra que las funciones que se obtienen de aplicar lasoperaciones algebraicas a funciones medibles son tambien medibles.

b) Si una sucesion de funciones medibles fn(x) definidas en un conjunto E con-verge en casi toda parte a una funcion f(x), entonces esta funcion es tambienmedible.Esta propiedad nos dice que la operacion de paso al lımite de una sucesionconvergente en casi todo punto de funciones medibles vuelve a dar una fun-cion medible.

Estas propiedades de las funciones medibles fueron establecidas por Lebesgue. Unestudio mas profundo de las funciones medibles ha sido llevado a cabo por losmatematicos sovieticos D.F.Egorov y N.N.Luzin.Luzin ha probado que toda funcion continua medible definida en un intervalo puedehacerse continua cambiando sus valores en un conjunto de medida arbitrariamentepequena.Este resultado clasico de N.N.Luzin y las propiedades dichas arriaba bastan paraprobar que las funciones medibles, son justamente las funciones por las que nos pre-guntabamos al comienzo de esta subseccion.

Las funciones medibles son tambien de gran importancia en la teorıa de integracion:el concepto de integral se puede generalizar de forma que toda funcion medible yacotada sea integrable.


2.3. La integral de Lebesgue

Antes de dar una definicion formal, para comprender mejor el principio fundamentalde esta integral, se da el siguiente ejemplo.Imagine una serie de monedas de distinto valor y queremos hallar cuanto dinerosuman en total.Se puede hacer de dos maneras. Colocar las monedas en fila y sumar el valor decada una al valor de las precedentes. Tambien se puede seguir un proceso diferente:colocar las monedas en montones de forma que las monedas de cada monton sondel mismo valor; contar el numero de monedas de cada monton, multiplicar estenumero por el valor de la moneda correspondiente, y finalmente sumar los numerosasi obtenidos.El primer metodo para contar el dinero corresponde al proceso de integracion deRiemman, y el segundo, al proceso de integracion de Lebesgue.

Pasando de monedas a funciones, para el calculo de la integral de Riemann el do-minio de definicion de la funcion (el eje de abscisas) se divide en pequenas partes,mientras que para el calculo de la integral de Lebesgue es el dominio de valores dela funcion (el eje de ordenadas) lo que se divide, este ultimo principio fue aplicadoen la practica mucho antes de Lebesgue, en el calculo de integrales de funciones decaracter oscilatorio; sin embargo fue Lebesgue quien lo desrrollo con toda generali-dad y le dio una fundamentacion rigurosa mediante la teorıa de la medida.

Ahora se examina como estan relacionadas la teorıa de la medida y la integral deLebesgue.Sea E un conjunto arbitrario medible contenido en el intervalo [a, b], se construyeuna funcion φ(x) que es igual a 1 si x pertenece a E , y a cero si no pertenece, enotros terminos escribimos:

φ(x) =

1, si x ∈ E0, si x /∈ E

la funcion φ(x) es llamada habitualmente funcion caracterıstica de E.


Consideremos ahora la integral

I =

∫ b

a

φ(x)dx.

Se acostumbra a considerar la integral como el area de la figura D acotada por eleje de abscisas, las rectas x = a, x = b y la curva y = φ(x) . Puesto que en este casola “altura” de D es distinta de 0 en los puntos x ∈ E solamente, y en estos vale 1,el area (por la formula del area :longitud por anchura) es igual numericamente a lalongitud (medida) de E. Ası pues I debe ser igual a la medida de E.

I = µE

La integral de Lebesgue de la funcion φ(x) se define precisamente ası.

se observa que la ecuacion anterior es la definicion de la integral∫ baφ(x)dx en el

sentido de Lebesgue. Puede suceder que la integral I no exista en el sentido deRiemann, es decir como lımite de una suma. Pero, aunque esto ocurra la integral Isiempre existe en el sentido de Lebesgue y vale µE.

Ejemplo 6. Calcular la integral de la funcion de Dirichlet φ(x), igual a 0 en lospuntos racionales y a 1 en los puntos irracionales del intervalo [0,1]. Puesto que lamedida del conjunto de los puntos irracionales del intervalo [0,1] es 1 (gracias a elejemplo 5), la integral de Lebesgue ∫ 1

0

φ(x)dx

es igual a 1.La integral de Riemann de esta funcion no existe.

Una proposicion auxiliar.Suponga ahora que f(x) es una funcion arbitraria, acotada y medible. Se va ademostrar que una funcion ası puede ser representada con el grado de aproximacionque se desee, por una combinacion lineal de funciones caracterısticas de conjuntos.Para ver esto se divide el eje de las ordenadas, el intervalo entre el extremo superiorA y el extremo inferior B de los valores de la funcion por medio de los puntosy = A, y1, y2, ..., yn = B en intervalos de longitud menor que ε, donde ε es un


numero positivo previamente fijado.Ahora, si en el punto x ∈ [a, b],

yi ≤ f(x) < yi+1 (i = 0, 1, 2, ..., n− 1),

entonces en el punto x se pone:φ(x) = yi,

y si en xf(x) = yn = B,

entonces se pone:φ(x) = yn

Por construccion de la funcion φ(x) se tiene para cada punto x de [a, b]

|f(x)− φ(x)| < ε

Ademas puesto que φ(x) toma solamente un numero finito de valores y0, ..., yn puedeser escrita en la forma

φ(x) = y0 · φ0(x) + y1 · φ1(x) + ...+ yn · φn(x) (2.2)

donde φi(x) es la funcion caracterıstica del conjunto de puntos tales que φ(x) = yi,es decir yi ≤ f(x) < yi+1 (en cada punto x de [a, b] solamente un sumando de laderecha de (2) es distinto de cero).Habitualmente se llama a esta combinacion lineal, representacion estandar de lafuncion.

Definicion de la integral de Lebesgue.

Ahora la definicion de la integral de Lebesgue para funciones arbitrarias acotadas ymedibles. Como φ(x) difiere muy poco de f(x), se puede tomar como aproximaciondel valor de la integral de f(x) la de φ(x). Pero si se tiene en cuenta que las funcionesφi(x) son funciones caracterısticas de conjuntos y se usa formalmente las reglas


Figura 2.1: Integral de Lebesgue


ordinarias del calculo de integrales, tenemos∫ b

a

φ(x)dx =

∫ b

a

y0 · φ0(x) + y1 · φ1(x) + ...+ yn · φn(x)dx

=

∫ b

a

y0 · φ0(x)dx+

∫ b

a

y1 · φ1(x)dx+ ...+

∫ b

a

yn · φn(x)dx

= y0

∫ b

a

φ0(x)dx+ y1

∫ b

a

φ1(x)dx+ ...+ yn

∫ b

a

φn(x)dx

= y0µ(e0) + y1µ(e1) + ...+ ynµ(en)

donde µ(ei) es la medida del conjunto ei de los x tales que:

yi ≤ f(x) < yi+1

Ası, un valor aproximado del valor de la integral de Lebesgue de f(x) es la “sumaintegral de Lebesgue”

S = y0µ(e0) + y1µ(e1) + ...+ ynµ(en)

Propiedades de la integral de Lebesgue.La integral de Lebesgue tiene todas las propiedades de la integral ordinaria, a saber,la integral de la suma es igual a la suma de las integrales, una constante permutacon el signo integral, etc. Sin embargo al integral de Lebesgue tiene una importantepropiedad que la integral ordinaria no tiene: si las funciones fn(x) son medibles yestan uniformemente acotadas

|fn(x)| < K

para todo n y todo x en [a, b] y si la sucesion fn(x) converge en casi toda parte af(x), entonces ∫ b

a

fn(x)dx→∫ b

a

f(x)dx

En otros terminos la integral de Lebesgue permite sin restriccion el paso al lımite.De hecho esta propiedad hace de la integral de Lebesgue una herramienta muy con-veniente y a veces indispensable en muchas investigaciones. En particular, la teorıa


de la integral de Lebesgue es indispensable en la teorıa de series trigonometricas, enla de espacios funcionales y en otras ramas de matematicas.

Ejemplo 7. Sea f(x) una funcion periodica de perıodo 2π y

a02

+∞∑n=1

(ancos(nx) + bnsen(nx))

su serie de Fourier. Si por ejemplo f(x) es continua, es facil demostrar que

1

π

∫ 2π

0

f 2(x)dx =a202

+∞∑n=1

(a2n + b2n)

Esta identidad se conoce con el nombre de igualdad de Parseval.Se plantea ahora la siguiente pregunta: ¿para que tipo de funciones es valida laigualdad de Parseval?La respuesta es que la igualdad de Parseval es valida si y solo si f(x) es mediblesobre [0, 2π] y f 2(x) es integrable Lebesgue en el mismo intervalo.

Capıtulo 3

La medida de Haar

3.1. Teorema de Represenatacion de Riez

La teorıa de integracion sobre espacios topologicos localmente compactos de Haus-dorff depende del concepto de medida de Borel. Se dice que un espacio de medida esun par ordenado que consiste en un conjunto no vacıo y una σ− algebra. Sea X unespacio topologico localmente compacto de Hausdorff, y sea Ω la σ− algebra gener-ada por los conjuntos abiertos, estos conjuntos son llamados conjuntos de Borel. Lasmedidas definidas sobre este espacio de medida (X,Ω) se llaman medidas de Borel.Una medida µ es llamada regular sobre X, si la medida de cada conjunto compactoes finita. Una medida compleja es llamada una medida de Borel, si su valor absolutoes una medida de Borel.Usando la descomposicion de Hahn - Jordan de medidas complejas (ver [11],p.120)es facil ver que cada medida compleja es una combinacion lineal compleja de 4 me-didas no negativas. Todas las medidas regulares de Borel complejas sobre X formanun espacio lineal complejo el cual es denotado por M(X).

Teorema 7. (Teorema de Representacion de Riez)Si X un espacio localmente compacto de Hausdorf, entonces la aplicacion µ 7→ Fµdonde

36

CAPITULO 3. LA MEDIDA DE HAAR 37

Fµ(f) =

∫fdµ,

para cada funcion f en C(X), es un isomorfismo isometrico de M(X) sobre C(X)∗,(en este caso M(X) sobre C(X) consiste en el espacio normado de funciones aco-tadas).

La integral de Haar I definida sobre un grupo abeliano compacto G, es un funcionallineal del espacio C(X) para el cual corresponde por el teorema anterior, una unicamedida regular compleja de Borel tal que:

I(f) =

∫fdµ,

para f : G→ C, las propiedades de I implican que µ es una medida. Esta medida µes llamada la medida de Haar.

Teorema 8. Sea G un grupo abeliano compacto finito. La medida de Haar es launica medida positiva sobre la familia de conjuntos de Borel que tiene las siguientespropiedades:

a) µ(G) = 1

b) La medida µ es translacion invariante: para cada conjunto de Borel B y g enG se tiene µ(g ·B) = µ(B).

c) La medida de cada conjunto abierto no vacıo es positiva.

d) La medida de cada conjunto abierto es igual a el supremo de las medidas detodos los subconjuntos compactos contenidos en este.

e) La medida de cada conjunto de Borel es igual a el ınfimo de las medidas detodos los conjuntos abiertos que lo contienen.


3.2. Existencia y Unicidad

Definicion 15. (Medida de Haar)Sea G un grupo abeliano localmente compacto. Una medida regular µ definida sobrela σ−algebra de todos los conjuntos de Borel de G es llamada una medida de Haarsobre G si:

a) La medida µ es invariante bajo traslaciones para cada conjunto B de Borel ytodo elemento g ∈ G se tiene µ(g ·B) = µ(B), y

b) todo conjunto compacto tiene medida finita

Teorema 9. Sea G un grupo topologico localmente compacto. Entonces existe unamedida regular de Borel no nula µ(At) = µ(A) para todo t ∈ G,A ⊆ G de Borel.

La idea de la prueba es construir un funcional lineal positivo T que sea invariantepor traslaciones en Cc(G), el espacio de todas las funciones complejas continuas enG con soporte continuo. Esto quiere decir que Tf ≥ 0 si f ≥ 0 y que T (fx) = T (f)donde fx es la traslacion de f definida por

fx(y) = f(y − x) (y ∈ G)

Luego el teorema de representacion de Riez muestra que hay una medida µ con laspropiedades requeridas tal que:

Tf =

∫G

fdµ (f ∈ Cc(G))

Demostracion. Ver [11, pag. 254]

Teorema 10. Si A es un subconjunto abierto de G diferente de vacıo, entoncesµ(A) > 0.


Demostracion. Ya que µ es una medida podemos asegurar que µ(A) ≥ 0 para todoA ⊆ G ahora si µ(A) = 0 sea K un compacto de G, podemos hacer finitas trasla-ciones de A que converjan a K y por lo tanto µ(A) = µ(K) = 0 y ya que µ esuna medida regular implica que µ(E) = 0 para todo conjunto de Borel de G lo cualcontradice la propiedad que no es identicamente cero por lo tanto

µ(A) > 0 (∀A ⊆ G)

Teorema 11. Sea G un grupo compacto. Entonces existe una unica medida de Haaren G que es invariante por traslaciones izquierdas y derechas en G.

En virtud de la invarianza por traslaciones a izquierda y derecha, y por inversionespuedo concluir con que al integrar en un grupo compacto respecto a su medida deHaar, pueden efectuarse los cambios de variables como s 7→ tsr−1 para t y r ∈ Garbitrarios sin cambiar el valor de la integral.

3.3. Ejemplos de medida de Haar

3.3.1. Medida de Haar sobre el circulo unitario complejo

Se sabe que todo grupo finito es compacto si es equipado con la topologıa discreta, yesta es la unica topologıa de Hausdorff que hace un grupo finito un grupo topologıco.Sobre grupos finitos la medida de conteo dividida por el numero de elementos en elgrupo satisface las condiciones listadas en el teorema anterior y por unicidad estaes identica a la medida de Haar.El proximo grupo abeliano compacto es T, el circulo unitario complejo. el siguienteteorema se refiere a este grupo.

Teorema 12. Sea f : T→ C una funcion continua, y sea µ la medida de Haar deT. Entonces: ∫

fdµ =1

2π

∫ 2π

0

f(eit)dt.


En particular, si B es un conjunto de Borel en T, entonces

µ(B) =1

2π

∫ 2π

0

χB(eit)dt.

donde χB denota la funcion caracaterıstica del conjunto B

Demostracion. Es facil comprobar que la aplicacion t 7→ eit es biyectiva y continuade [0, 2π) en T, la cual manda conjuntos de Borel en conjuntos de Borel. Por lo tantoµ(B) definida anteriormente cumple con las propiedades de la medida de Haar , porlo que esta es la medida de Haar en T por unicidad.

3.3.2. Medida de Haar sobre un grupo discreto

Dado G cualquier grupo discreto la medida de Haar es la medida del conteo sobrela familia de conjuntos P(G), (La medida del conteo es la medida que asigna a unconjunto dado el cardinal de este conjunto) es decir

µ(E) = card(E),

si la cardinalidad de E es finita, en caso contrario se dice que µ(E) =∞.Mas adelante se podra deducir que la integral de cualquier funcion medible definidaen G esta dada por: ∫

f(x)dµ =∑x∈G

f(x).

3.3.3. Medida de Haar sobre Rn

En Rn la medida de Haar es λn = λ× . . . × λ que es la medida producto, donde λes la medida de Lebesgue en R.


3.3.4. Medida de Haar sobre R+

En R+, sea µ : B(R+)→ R definida como

µ(E) =

∫E

1E(x)

xλ(dx),

para todo E ∈ B(R+). Sea y ∈ R+ entonces:

µ(yE) =

∫yE

1yE(x)

xλ(dx)

pero la funcion caracteristica,

1yE(x) =

1, si x ∈ yE0, si x /∈ yE

si x ∈ yE es por que x = yu para u ∈ E, entonces u = y−1x por lo que la funcion1yE(x) se puede reemplazar por:

1E(y−1x) =

1, si y−1x ∈ E0, si y−1x /∈ E

y asi:

µ(yE) =

∫E

1E(y−1x)

xλ(dx)

haciendo un cambio de variable u = y−1x y ydu = dx

µ(yE) =

∫E

1E(u)

uλ(du) = µ(E)

3.3.5. Medida de Haar sobre GL(n)

El conjunto GL(n) es la coleccion de todas las matrices invertibles de n× n, con lamultiplicacion usual de las matrices, la matriz identidad como elemento neutro y latopologıa relativa a Rn×n.Sea E ⊆ GL(n), la medida de Haar esta dada por:

µ(E) =

∫E

1

|det(X)|2λn2(dX)


3.3.6. Medida de Haar a izquierda diferente a la medida deHaar a derecha

Para el grupo topologico G =

(a b0 1

)|a > 0, b ∈ R

, la medida de Haar a izquier-

da de un subconjunto E es:

µ(E) =

∫φ(E)

1

a2λ(da)λ(db)

y la medida de Haar a derecha es:

µ(E) =

∫φ(E)

1

aλ(da)λ(db)

Donde φ

(a b0 1

)= (a, b).

Capıtulo 4

Integracion invariante

Los funcionales, medida e integrales invariantes son una herramienta vital en el es-tudio de las representaciones de grupos localmente compactos. Ademas permitenobtener los espacios y algebras de funciones que se estudian en el analisis armonico.Si bien en el caso compacto puede obtenerse mas informacion acercade las medidasinvariantes, los grupos localmente compactos admiten una tal medida, esencialmenteunica, y que en cierta forma determina la topologıa de un grupo.En este capitulo se demostrara la existencia y la unicidad de la integral de Haar, ypara ello se daran a continuacion los teoremas y lemas necesarios para dicho cometi-do.

Teorema 13. (Particion de la Unidad)Sea X un espacio localmente compacto de Hausdorff, K un subconjunto de X, yV1, V2, . . . , Vn un recubrimiento de K. Entonces existen unas funciones hi : X → Rtal que alguna de ellas es cero fuera de un subconjunto compacto de algun Vi, ademas:

h1(x) + h2(x) + . . .+ hn(x) = 1

tomando x en K.

Teorema 14. (Punto fijo de Markov-Kakutani)Toda familia conmutativa de aplicaciones continuas afines de un conjunto no vacıo,

43

CAPITULO 4. INTEGRACION INVARIANTE 44

convexo y compacto en un espacio vectorial topologıco localmente convexo tiene unpunto en comun.

Lema 2. Sea G un grupo abeliano localmente compacto, y sea U una vecindadsimetrica de la identidad de G, entonces existe un subconjunto S en G tal que paracada elemento a en G el conjunto aU2 contiene al menos un elemento de S, y elconjunto aU contiene mas de un elemento de S.

4.1. Propiedades fundamentales

La integral de Haar tiene las mismas propiedades que la integral ordinaria (Integralde Lebesgue) en la recta real.

a) La integral de Haar es un funcional lineal.

b) La integral de Haar no es identicamente cero.

c) La integral de Haar de una funcion real no negativa.

d) La integral de Haar es invariante con respecto a la reflexion, esto es, s(t) ys(−t) tienen la misma integrales∫

I

s(−t)dt =

∫I

s(t)dt;

e) La integral de Haar es invariante para traslaciones, esto es, s(t) y sp(t) =s(t− p) tienen la misma integrales∫

I

s(t− p)dt =

∫I

s(t)dt, p ∈ I.

El resultado es el siguiente teorema el cual garantiza la existencia y al unicidad dela integral de Haar.

Teorema 15. En todo grupo localmente compacto existe una integral con las propiedadesa− e.


Demostracion. La prueba es basada en el Teorema del punto fijo de Markov-Kakutani.Sea G un grupo abeliano localmente compacto, y Cc(G)∗ el espacio dual de Cc(G)con la topologıa debil. Para cada a en G y f ∈ Cc(G)se define:

Ta : Cc(G)∗ → Cc(G)∗

TaΛ(f) 7→ Λ(τaf).

Entonces cada Ta es un operador lineal continuo de el espacio vectorial localmenteconvexo topologico Cc(G)∗, es claro que todos los operadores Ta conmutan. Para estecaso se tiene que probar que existe un funcional lineal diferente de cero en Cc(G), elcual sera un punto fijo de cada operador Ta.Para lograr esto es suficiente presentarun subconjunto convexo compacto en Cc(G)∗ el cual es mandado en el mismo portodos los operadores Ta, por que en este caso nuestro proposito es una consecuenciadel teorema del punto fijo de Markov-Kakutani.Primero que todo se escoge una vecindad Ucompacta simetrica de la identidad enG. Sea C el conjunto de todos los funcionales lineales positivos Λ, el cual posee lassiguientes dos propiedades:

Λ(f) ≤ 1 cuando f ∈ Cc(G) con 0 ≤ f ≤ 1, ademas el soporte de f es incluidoen aU para algun a ∈ G;

Λ(f) ≥ 1 cuando f ∈ Cc(G) con 0 ≤ f , ademas f = 1 sobre el conjunto aU2

para algun a ∈ G.

Es claro que C es un subconjunto convexo cerrado de Cc(G)∗. Por el teorema de laParticion de la Unidad, se puede observar que todo elemento no negativo de Cc(G)∗

es una suma finita de funciones continuas no negativas, cada una de ellas tiene unsoporte en un conjunto aU con a ∈ G. Por la primera condicion de C, para cadafuncion f ∈ Cc(G) el conjunto Λ(f) : Λ ∈ C es acotado. Entonces el conjunto Ces compacto. Por como esta definida Ta manda a el conjunto C en C. Finalmentese tiene que probar que C es no vacıo pero aplicando el lema 2, para esta vecindadU el funcional lineal

f →∑s∈S

f(s)


pertenece a C.Se concluye diciendo que, por el Teorema del punto fijo de Markov-Kakutani todoslos operadores Ta tienen un punto fijo en comun el cual es exactamente la integralde Haar sobre G.

Este teorema permite identificar la integral de Haar en casos especıficos. Por ejem-plo,la integral de Lebesgue sobre R cumple con las condiciones a-e por lo tanto estaes precisamente la integral de Haar en R. Ahora si cambiamos el campo por Z laintegral de Lebesgue cumple con las propiedades a,c,d y e, pero no con la condicionb ya que es extendido a un conjunto de medida nula y esta es identicamente ceropor lo que la integral de Lebesgue no puede representar la integral de Haar sobreZ. La sumatoria de los valores que toma la funcion sobre el campo Z cumple conlas propiedades a-e por lo que precisamente esta es nuestra integral de Haar sobre Z.

Entonces dicha expresion es la integral de Haar. Ahora respecto a la multiplicacionde alguna constante, debemos hacer un cambio adecuado para quitar ambiguedadesy para formulas mas simples. Para algunos autores la integral de Haar se puedeinterpretar como una senal area entonces por d y e:

area(s) = area(−s) = area(sp)

Podemos tambien definir una integral sobre un subconjunto A ⊂ I esta es obtenidausando la funcion caracterıstica.

φA(t) =

1, si t ∈ A0, si t /∈ A

y la integral esta dada por:


∫A

s(t)dt ,∫I

s(t)dtφA(t);

4.2. Propiedades Fuertes

Integral Sobre Grupos Cociente Si conocemos la integral de Haar sobreun grupo ordinario G, sea H un subgrupo normal la integral de Haar sobreel grupo cociente G/H es obtenida limitando la integracion sobre el grupocociente G/H, esto es:∫

G/H

f(t)dµ =

∫G

f(t)φ(G/H)(t)dµ;

donde φG/H(t) es la funcion caracterıstica de G/H.

Integral Sobre Un Producto Cartesiano Si I = I1 × I2 es el productocartesiano de dos grupos localmente compactos, este es un grupo localmentecompacto y la integral de Haar correspondiente esta dada por:∫

I1×I2s(t)dt =

∫I1

dt1

∫I2

s(t1, t2)dt2

La cual requiere primero evaluar la integral con repecto a t2 y luego con respec-to a t1. En particular cuando la senal es el producto tensorial de dos senalesse tiene que s(t1, t2) = s1(t1)s2(t2), la integral es dada por el producto de dosintegrales especıficamente∫

I1×I2s1(t1)s2(t2)dt1dt2 =

∫I1

s1(t1)dt1

∫I2

s2(t2)dt2

esta regla es en general para mas factores.

Integral sobre un Grupo Finito Sea G un grupo abeliano finito, entoncesla integral de Haar esta dada por∫

G

f(t)dµ =1

|G|∑x∈G

f(t),


para cada f ∈ C(G)

Integral Desde Isomorfismos Si la integral sobre un grupo H es conocida,podemos obtener la integral sobre un grupo G isomorfo.

Demostracion. (ver [2],p.196)

4.2.1. Integral de Haar en los Grupos de R

A continuacion se da la integral de Haar para cada grupo localmente compacto enR

R, Z, R/Z, Z/nZ

I = R Obtenemos la integral ordinaria (Lebesgue) en R esta condicion se ob-tiene por el teorema de existencia y unicidad.

Z Tenemos para este caso la sumatoria de todos los valores de la funcion

R/Z Tenemos de nuevo la integral ordinaria, pero en este caso limitado porR/Z = [x0, x0 + Z) donde x0 ∈ R es arbitrario por lo que el resultado de laintegral es independiente de x0.Este expresion es obtenida por la propiedad de la integral de Haar sobre ungrupo cociente G/H.

Z/nZ Es la integral de un grupo abeliano discreto finito.

GRUPO INTEGRAL DE HAAR

I = R∫Rf(t)dµ =

∫ +∞

−∞f(t)dt

I = Z∫Zf(t)dµ =

+∞∑n=−∞

f(n)

I = Z/nZ∫Z/nZ

f(t)dµ =n−1∑k=0

f([x])


4.2.2. Integral de Haar en los Grupos de Rn

A continuacion damos la integral de Haar para cada grupo localmente compacto enRn

Teorema 16. (Fubini)Sea (X,X, µ) y (Y,Y, µ) espacios de medida completos, y f : X × Y → C una fun-cion (µ× µ)− integrable, entonces las integrales:∫

X

(∫Y

f(x, y)dµ(y)

)dµ(x),

∫Y

(∫X

f(x, y)dµ(x)

)dµ(y)

existen, y ∫X×Y

fd(µ× µ) =

∫X

(∫Y

f(x, y)dµ(y)

)dµ(x)

=

∫Y

(∫X

f(x, y)dµ(x)

)dµ(y)

Diferentes versiones de este teorema pueden ser encontradas en [11],[12])

Ejemplo 8. Sea f(x) una funcion (λ × λ)− integrable donde λ es la medida deLebesgue y x ∈ R2, entonces la integral de Haar en R2 esta dada por:∫

R2

f(x)dµ =

∫R

∫Rf(x)d(λ× λ)

=

∫ ∞−∞

∫ ∞−∞

f(x)d(λ2)

Esto gracias al teorema de Fubini.

Ejemplo 9. De la misma forma con que se trabajo el ejemplo 8, se define la integralde Haar para el toro bidimensional T2 esta es dada por:∫

T2

f(x, y)dµ =

∫T

∫Tf(x, y)d(λ× λ)

=1

(2π)2

∫ 2π

0

∫ 2π

0

f(x, y)d(λ2)

=1

(2π)2

∫ 2π

0

(∫ 2π

0

f(x, y)dλ(x)

)dλ(y)


Donde f : T2 → C y λ es la medida de Lebesgue.

Teorema 17. Dadas dos integrales de Haar sobre un grupo Abeliano localmentecompacto, alguna de estas es un multiplo positivo constante de la otra.

Demostracion. Sea I y J dos integrales de Haar definidas sobre G, f, h ∈ Cc(G) yademas h una funcion simetrica diferente de la funcion cero, esto es, h(x) = h(x−1)para cada x ∈ G. Por el teorema 16 de Fubini y por la invarianza de las dos integralespodemos proceder como sigue:

I(h)J(f) = IyJxh(y)f(x) = IyJxh(y)f(xy),

y

J(h)I(f) = IyJxh(x)f(y)

= IyJxh(y−1x)f(y)

= JxIyh(x−1y)f(y)

= JxIyh(y)f(xy).

esto implica que I(h)J(f) = I(f)J(h), y por I(h) 6= 0 el teorema esta probado

Conclusiones

La medida de Haar es una herramienta muy poderosa ya que lleva la teorıa dela medida y la teorıa de la integracion de Lebesgue a un campo mas generalcomo los son los grupos discretos compactos (Zm = Z/mZ), grupos discretosno compactos (Z) o grupos ni compactos ni discretos (T).

La existencia de la medida de Haar y la integral de Haar hace posible definirla transforma da de Fourier no solo para funciones en L2 si no tambien paratodas las funciones integrables. Ademas si m es la medida de Haar sobre elgrupo abeliano G entonces se define el correspondiente espacio de LebesgueLp(G) para p ≥ 1 de la forma usual: identificando las funciones que son igualcasi toda parte con respecto a m, la funcion medible f : G → C pertenece aLp(G) si

‖f‖p =

[∫|f |pdm

] 1p

<∞

El importante teorema de representacion de Riez sobre espacios localmentecompactos de Hausdorff permite una identificacion fiel de cada uno de loselementos del espacio dual C(G)∗ con los elementos del espacio de las medidasregulares de Borel M(G) mediante el isomorfismo:

M(G)→ C(G)∗

µ 7→ Fµ(f)

donde Fµ es:

Fµ(f) =

∫fdµ

51


para cada funcion f ∈ C(G)

EL teorema de Fubini permite concluir que siempre se puede establecer unamedida en un producto cruz de espacios medibles σ− finitos, esta es la medidaproducto de las medidas de cada espacio por lo que se puede definir una integralcon respecto a dicha medida.Este hecho es util para poder encontrar la medida de Haar en espacios mascomplejos.

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INTRODUCCION A LA MEDIDA E INTEGRAL DE HAARrepository.udistrital.edu.co/bitstream/11349/3078/1/medida de haar.pdf · una funci on integrable Lebesgue en Rn, entonces Z R n f(x)dx=