INTRODUCCION A LA MATEM´ ATICA DISCRETA´personal.us.es/Dana/Boletin.pdf2.Sin hacer uso del metodo de resoluci´ on de recurrencias lineales, determinar la´ formula expl´ ´ıcita

INTRODUCCION A LA MATEMATICA DISCRETA

BOLETIN DE PROBLEMAS

INDICE GENERAL

1. RECURSION 5

2. ARITMETICA ENTERA 9

3. ARITMETICA MODULAR 19

4. TECNICAS DE CONTAR 31

RECURSION 1Ejercicio 1.1 Encontrar una formula explıcita para los terminos de la sucesion definida

por:

u0 = 0 , u1 = 1 , un = 5un−1 − 6un−2 (n ≥ 2)

Ejercicio 1.2 Hallar una formula explıcita para los terminos de la sucesion definida por:

u0 = 1 , u1 = 0 , un = 6un−1 − 8un−2 (n ≥ 2).

Ejercicio 1.3 Hallar una formula explıcita para los terminos de la sucesion definida por:

u0 = 1 , u1 = 2 , u2 = 3, un = 5un−1 − 8un−2 + 4un−3 (n ≥ 3).

Ejercicio 1.4 Hallar una formula explıcita para el termino general de la sucesion defini-

da mediante

a0 = 0, a1 = 1, a2 = 3, an − an−1 = 4[(an−1 − an−2)− (an−2 − an−3)

](n ≥ 3).

Ejercicio 1.5 Hallar el termino general de las sucesiones definidas por:

6 RECURSION

1. un = 4un−1 para n ≥ 1 con u0 = 2.

2. un = 4un−2 para n ≥ 2 con u0 = 2, u1 = 3.

3. un + 5un−1 + 4un−2 = 0 para n ≥ 2 con u0 = 1, u1 = 1.

4. un+2 + 5un+1 + 4un = 0 para n ≥ 0 con u0 = 1, u1 = 1.

5. un + 5un−1 + 4un−2 = 0 para n ≥ 2 con u0 = 1, u1 = 3.

6. un+2 + 8un+1 + 16un = 0 para n ≥ 0 con u0 = 1, u1 = 1.

7. un+3 + un+2 − 8un+1 − 12un = 0 para n ≥ 0 con u0 = 1, u1 = 1, u2 = 2.

8. un+3 − 6un+2 + 12un+1 − 8un = 0 para n ≥ 0 con u0 = 1, u1 = 1, u2 = 0.


1. un+1 − un = 2n+ 3 para n ≥ 0 con u0 = 1.

2. un+1 − un = 3n2 − n para n ≥ 0 con u0 = 3.

3. un+1 − 2un = 5 para n ≥ 0 con u0 = 1.

4. un+1 − 2un = 2n para n ≥ 0 con u0 = 1.


1. un+2 + 3un+1 + 2un = 3n (n ≥ 0) con u0 = 0 y u1 = 1.

2. un+2 + 4un+1 + 4un = 7 (n ≥ 0) con u0 = 1 y u1 = 2.

Ejercicio 1.8

1. Determinar una formula explıcita para el termino general de la sucesion un defi-

nida por la recurrencia lineal y homogenea

u0 = 1 , u1 = 6

un = 6un−1 − 9un−2 ∀ n ≥ 2

Recursion 7

2. Determinar una formula explıcita para el termino general de la sucesion un defi-

nida por la recurrencia lineal no homogenea

u0 = 1 , u1 = 6

un = 4n+ 6un−1 − 9un−2 ∀ n ≥ 2

Ejercicio 1.9 Nos regalan tres sellos y decidimos iniciar una coleccion. El ano siguiente,

la incrementamos con 8 sellos mas (tendrıamos entonces 11 sellos). Si cada ano compra-

mos un numero de sellos igual al doble de los que compramos el ano anterior, ¿al cabo

de cuantos anos habremos superado el millon de sellos?

Ejercicio 1.10 Los dos primeros terminos de una sucesion valen, respectivamente, 1 y

2. Sabiendo que cada termino es la media aritmetica del anterior con la media aritmetica

de los dos adyacentes (anterior y posterior), se pide:

1. Hallar una formula explıcita para los terminos de dicha sucesion.

2. Describir un procedimiento para calcular el termino 40 realizando, a lo mas, 10

operaciones (sumas, restas, multiplicaciones o divisiones).

Ejercicio 1.11 Determina la solucion general de una recurrencia lineal no homogenea

cuya ecuacion caracterıstica tiene una raız igual a 2 que es doble, otra raız simple igual

a 3 y el termino independiente es la funcion (2n+ 4)2n.

Ejercicio 1.12 Halla una recurrencia lineal homogenea cuyo termino general sea

1. un = 3n+2 + n3n−2

2. un = 2n+1 + n2n−1

3. un = n5n−2 + 2n+1

4. un = n2n−1 + 3n+ 1

8 RECURSION

Ejercicio 1.13 Halla la solucion general de una ecuacion de recurrencia lineal no ho-

mogenea cuya ecuacion caracterıstica tiene una solucion simple r1 = 2 y una solucion

doble r2 = −2 y el termino independiente es la funcion (3n− 6)2n.

Ejercicio 1.14 La solucion general de la ecuacion

un+2 + b1un+1 + b2un = b3n+ b4

es c12n + c23n + n− 7. Calcula los coeficientes b, 1 ≤ i ≤ 4.

Ejercicio 1.15 Calcula el termino general de la sucesion definida por

a0 = 20, a1 = 22, a2 = 24

an = 4an−1 − 5an−2 + 2an−3 + n · 2n, n ≥ 3


a0 = 0, a1 = 1

an = 3an−1 − 2an−2, ∀n ≥ 2

Ejercicio 1.17 Resolver la siguiente relacion de recurrencia:

un+2 + 4un+1 + 3un = 3n (n ≥ 0) con u0 = 0 y u1 = 1

Ejercicio 1.18 Resolver la siguiente relacion de recurrencia:

un+2 − 6un+1 + 9un = 3 · 2n + 7 · 3n (n ≥ 0) con u0 = 1 y u1 = 4

Ejercicio 1.19 Calcula el termino general de la sucesion definida por a0 = 0 y an =

2an−1 + n para todo n ≥ 1.


a0 = 1, a1 = 2

an = 5an−1 − 4an−2, ∀n ≥ 2

ARITMETICA ENTERA 2Ejercicio 2.1 Usar el principio de induccion para probar que, para todo entero n ≥ 0, se

tiene:

1. n2 + 3n es divisible por 2.

2. n3 + 3n2 + 2n es divisible por 6.

Ejercicio 2.2 Demostrar por induccion que 2n > n+ 1 para todos los enteros n ≥ 2.

Ejercicio 2.3 Resolver las siguientes cuestiones:

1. Demostrar por induccion para n ≥ 1, que 1 + 2 + 3 + · · ·+ n = n (n+1)2

.

2. Hacer una tabla de valores de Sn = 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 para 1 ≤ n ≤ 6.

3. Inducir de la tabla una formula para Sn.

4. Demostrar por induccion matematica la validez de la formula anterior. Si no se

consigue, repetir la etapa anterior.

10 ARITMETICA ENTERA

Ejercicio 2.4 Probar por induccion en los enteros n ≥ 2 la igualdad

(2n− 1) + (2n− 3) + · · ·+ 3 = n2 − 1

Ejercicio 2.5

1. Se considera la sucesion (an) definida por a1 = 1 y an = an−1 +n para n ≥ 2. Hacer

uso del metodo de induccion para probar que an + an−1 = n2 cualquiera que sea

el entero n ≥ 2.

2. Sin hacer uso del metodo de resolucion de recurrencias lineales, determinar la

formula explıcita del termino general de la sucesion (an).

Ejercicio 2.6 Probar mediante induccion completa que an <(74

)n ∀n ∈ Z+ donde (an)

es la sucesion definida por

a1 = 1, a2 = 3,

an = an−1 + an−2, ∀n ≥ 3

Ejercicio 2.7 Dada la sucesion de Fibonacci definida por f1 = 1, f2 = 1

fn = fn−1 + fn−2, ∀n ≥ 3

probar, por induccion en n, que

∀n ∈ Z+ es f1 + f3 + · · ·+ f2n−1 = f2n

Ejercicio 2.8 Dada la sucesion de Fibonacci definida por f1 = 1, f2 = 1

fn = fn−1 + fn−2, ∀n ≥ 3

probar, por induccion en n, que

n∑i=1

fi(fi − 1) = (fn − 1)(fn+1 − 1)

Aritmetica entera 11

Ejercicio 2.9 Demostrar por induccion que si un es la sucesion definida por:

u1 = 3, u2 = 5, un = 3un−1 − 2un−2 (∀n ≥ 3),

entonces, un = 2n + 1 para todo entero n ≥ 1.

Ejercicio 2.10 Demostrar por induccion que si Fn es la sucesion de Fibonacci definida

por:

F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, Fn = Fn−1 + Fn−2 (∀n ≥ 3),

entonces, Fn =1√5

(1 +√

5

2

)n

− 1√5

(1−√

5

2

)n

para n ∈ N.

Ejercicio 2.11 Demostrar que la sucesion de Fibonacci verifica que mcd (Fn, Fn+1) = 1

para todo n ≥ 1.

Ejercicio 2.12 Probar que c | a y c | b si, y solo si, c | mcd (a, b).

Ejercicio 2.13 Probar que si el mcd (a, b) = d entonces a/d y b/d son primos entre sı.

Ejercicio 2.14 Probar que para cualquier entero n se verifica que

mcd(a, b) = mcd(a, b+ a · n)

Ejercicio 2.15 ¿Si a divide a b y c divide a d, debe a+ c dividir a b+ d?

Ejercicio 2.16 Probar que si a, b, c, y d son cuatro enteros mutuamente coprimos enton-

ces mcd(ab, cd) = 1.

Ejercicio 2.17 Probar que c es multiplo comun de a y b si, y solo si, es un multiplo de

m = mcm(a, b)

Ejercicio 2.18 Probar o encontrar un contraejemplo de las siguientes implicaciones:

1. a3|b2 ⇒ a|b

2. a2|b3 ⇒ a|b


Ejercicio 2.19 ¿Que restos se pueden obtener al dividir un cuadrado perfecto entre 3?,

¿y entre 5?, ¿y entre 6?

Ejercicio 2.20 Definimos el mınimo comun multiplo de dos enteros m,n como

mcm (m,n) =mn

mcd (m,n)

1. Dar un algoritmo para calcular el mcm de dos numeros.

2. Usar el algoritmo anterior para hallar el mcm de 1769 y 551.

Ejercicio 2.21 Sean a y b dos numeros enteros positivos. Demostrar que si m =

mcm (a, b), entonces mcd (m/a,m/b) = 1

Ejercicio 2.22 Calcular mcd (1485, 1745) y expresarlo de la forma 1485u+ 1745v.

Ejercicio 2.23 Hallar mcd (1092, 1155, 2002) y expresarlo como 1092u+ 1155v + 2002w.

Nota: usar que mcd (a1, a2, a3) = mcd (mcd (a1, a2), a3).

Ejercicio 2.24 Hallar mcd (910, 780, 286, 195).

Ejercicio 2.25

1. Demostrar que, para todo entero n, el valor de n(n2 + 2) es multiplo de 3.

2. Deducir, de lo anterior, que la suma de los cubos de tres enteros consecutivos es

siempre multiplo de 9.

Ejercicio 2.26 Probar que si a ∈ Z no es multiplo de 2 ni de 3 entonces a2−1 es divisible

por 24.

Ejercicio 2.27 ¿Tiene soluciones enteras la ecuacion 12x + 21y = 46? Justifıquese la res-

puesta.

Ejercicio 2.28 Hallar la solucion general de la ecuacion 1485x+ 1745y = 15.


Ejercicio 2.29 Encontrar todas las soluciones positivas de la ecuacion diofantica lineal

5x+ 12y = 71.

Ejercicio 2.30 Sea c ∈ Z+ con 10 ≤ c ≤ 1000.

1. Determinar el mınimo valor de c para el que la ecuacion 84x + 990y = c admite

soluciones. Resolverla en dicho caso.

2. ¿Existe algun valor de c (en el rango especificado) para el que dicha ecuacion ad-

mita soluciones positivas?

Ejercicio 2.31 Una determinada empresa desea emitir un anuncio por 2 cadenas de

television con el objetivo de que sea visto diariamente por 910 personas. Al realizar un

estudio de audiencia de las dos cadenas se sabe que cada vez que se emite en la primera

cadena CTV1 va a ser visto por 325 personas, mientras que en la segunda CTV2 solo

sera visto por 26. ¿Cuantas veces al dıa debe emitirse en cada una de las cadenas para

cubrir el objetivo previsto de las, exactamente, 910 personas teniendo en cuenta que

CTV1 cobra 600 euros cada vez que lo emite y CTV2 solo cobra 60?

Ejercicio 2.32 Un coleccionista de obras de arte ha adquirido varios cuadros y dibujos

de un artista moderno. Las pinturas le han costado 649 euros cada una y los dibujos se

los han dejado a 132 euros cada uno. Cuando el coleccionista llega a su casa, no recuerda

si el coste total de las obras de arte ha sido de 2716 o 2761 euros.

1. ¿Cuanto les han costado exactamente?

2. ¿Cuantos cuadros y cuantos dibujos ha comprado?

Ejercicio 2.33 La unidad monetaria de INTERIA es el “ interio” existiendo unicamente

billetes de 18, 20 y 45 interios.

1. Probar que se puede realizar una compra por cualquier cantidad entera.


2. ¿Como podrıa pagarse 1 interio? ¿es unica la solucion? Justifica la respuesta.

Ejercicio 2.34 Enviamos por correo dos tipos de paquetes A y B. Por enviar los del tipo

A nos cobran 15 centimos de euro mas que por los del tipo B. Sabiendo que hemos

enviado mas paquetes del tipo B que del tipo A, que en total hemos enviado 12 paquetes

y que nos han cobrado un total de 13 euros con 20 centimos, ¿cuantos hemos enviado

de cada tipo y que nos han cobrado por cada uno?

Ejercicio 2.35 La companıa CABITELE nos cobra por llamar desde una de sus cabinas 50

centimos de euro el minuto por una llamada a Madrid y 1 euro con 20 centimos si es a

Parıs. No contabiliza fracciones, es decir, por 1 minuto y 1 segundo nos cobra 2 minutos.

Si la cabina no devuelve cambio pero podemos (sin colgar) volver a marcar otro telefono

mientras exista credito, ¿se pueden consumir 10 euros sin perder dinero y sin que se

nos corte la llamada teniendo en cuenta que queremos hablar necesariamente con dos

personas, una que se encuentra en Madrid y otra que se encuentra en Paris? ¿Cuantos

minutos podremos hablar con cada una de ellas? ¿Existe mas de una solucion?

Ejercicio 2.36 Se considera la ecuacion diofantica lineal 3x+ 7y = c donde c ∈ Z+.

1. Hallar la solucion general de la ecuacion.

2. ¿Cual es el mınimo valor que puede tomar c para que la ecuacion posea soluciones

positivas?

3. ¿A partir de que valor de c podemos garantizar que la ecuacion siempre va a te-

ner soluciones positivas? (independientemente de que para algun valor anterior

tambien puede admitirla).

4. ¿Entre que dos valores debe situarse c para poder garantizar la existencia de dos

soluciones positivas, sin poder garantizar la existencia de una tercera? ¿Podrıa

darse el caso de que para alguno de los valores encontrados tuviese tres soluciones

positivas?


5. ¿Cual es el mınimo valor que puede tomar c para que la ecuacion admita solucio-

nes pares (tanto x como y deben ser pares)? Hallar para dicho valor de c todas las

soluciones pares de la ecuacion.

Ejercicio 2.37 Encontrar la solucion general de la ecuacion 282x + 88 y = 14. ¿Posee

soluciones positivas?

Ejercicio 2.38 Se considera la ecuacion ax+ 45y = 150 con a < 45 y mcd(a, 45) 6= 1.

1. Determinar el mayor valor de a para el que dicha ecuacion admite soluciones en-

teras.

2. Determinar el mayor valor de a para el que admite soluciones enteras y positivas.

Ejercicio 2.39 Disponemos de laminas de 3 y 5 milımetros de espesor. ¿Cual es el nume-

ro mınimo de laminas que debemos apilar para conseguir un espesor de 31 milımetros?

Ejercicio 2.40

1. Encontrar todas las soluciones positivas de la ecuacion 81x+ 12y = 270.

2. Encontrar la solucion general de la ecuacion 2x+ 9y = 270.

Ejercicio 2.41 Resolver la ecuacion diofantica 24x + 16 y = 32. ¿Tiene soluciones po-

sitivas? ¿Hay algun entero positivo c de manera que la ecuacion 24x + 16 y = c tenga

siempre soluciones no negativas para todo entero mayor o igual a c?

Ejercicio 2.42 El franqueo de una carta es de 40 centimos y se dispone de sellos de 4 y 5

centimos. ¿De cuantas maneras se puede hacer?

Ejercicio 2.43 Un turista tiene 1000 coronas checas y quiere cambiar ese dinero en una

cantidad exacta de libras chipriotas y zlotys polacos. El cambio que le ofrece un oficina

es el siguiente: 1 zloty polaco = 13 coronas checas; 1 libra chipriota = 18 coronas checas.

La oficina no proporciona fracciones de ninguna moneda, ¿de cuantas formas diferentes

puede dar la oficina el cambio? Describir una de dichas formas.


Ejercicio 2.44 Usando dos recipientes de capacidades 9 y 7 litros respectivamente y te-

niendo en cuenta que se dispone de una cantidad ilimitada de agua y de un desague,

1. ¿Se puede conseguir medir, exactamente, un litro de agua?

2. Si las capacidades de los recipientes fuesen r y s litros respectivamente, ¿que ca-

pacidades podrıan medirse?

Ejercicio 2.45 ¿Cuales de las siguientes ecuaciones diofanticas admite soluciones ente-

ras?

1. 234x+ 715y = 807

2. 234x+ 716y = 806

3. 235x+ 715y = 806

Ejercicio 2.46 Se desea invertir 600 euros en la compra de dos tipos de componentes

electronicos. Suponiendo que el componente de tipo A cuesta 17 euros y el precio del

tipo B es de 12 euros. ¿Cuanto deben comprarse de cada tipo de forma que el numero

de componentes del tipo B sea inferior a los del tipo A?

Ejercicio 2.47 Demostrar que se podrıa dar cualquier importe mayor o igual que 8 euros

usando billetes de 3 y de 5 euros.

Ejercicio 2.48 En un paıs utilizan monedas de importes 17 y 5.

1. ¿De cuantas maneras se puede dar en monedas un importe de 100?

2. ¿Se puede dar cualquier importe en monedas?

Ejercicio 2.49 Determinar todos los enteros n tales que n3 − 1 sea primo.

Ejercicio 2.50 Probar que si p es primo y p | ak, entonces p | a y, por tanto, pk | ak; ¿es

tambien valido si p es compuesto?


Ejercicio 2.51 ¿Cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuales falsas,

donde a y b son enteros positivos y p primo? En cada caso, dar una demostracion o un

contraejemplo.

1. Si mcd (a, p2) = p entonces mcd (a2, p2) = p2.

2. Si mcd (a, p2) = p y mcd (b, p2) = p2 entonces mcd (ab, p4) = p3.

3. Si mcd (a, p2) = p y mcd (b, p2) = p entonces mcd (ab, p4) = p2.

4. Si mcd (a, p2) = p entonces mcd (a+ p, p2) = p.

Ejercicio 2.52 Probar que cualquier numero primo p 6= 3 es de la forma 3q + 1 o 3q + 2

para algun entero q. Probar que existen infinitos primos de la forma 3q + 2.

Ejercicio 2.53 Encontrar cinco enteros compuestos consecutivos. Probar que para cada

entero k ≥ 1 existe una secuencia de k enteros compuestos consecutivos.

Ejercicio 2.54 Probar que si a ≥ 2 y am + 1 es primo (como por ejemplo 37 = 62 + 1),

entonces a es par y m es una potencia de 2.

Ejercicio 2.55 Probar que si m > 1 y am − 1 es primo, entonces a = 2 y m es primo.

Ejercicio 2.56 Usar la criba de Eratostenes para hallar todos los primos menores que

100.

Ejercicio 2.57 ¿Para que primos p es tambien primo p2 + 1?

Ejercicio 2.58 Se consideran los numeros de Fermat Fn = 22n + 1. Probar, mediante

induccion en n, que

F0F1 · · ·Fn−1 = Fn − 2. ∀n ≥ 1

Ejercicio 2.59 Demostrar que todo numero primo mayor que 3 es de la forma 6n + 1 o

6n+ 5.

Ejercicio 2.60 Sean p y q dos numeros primos con p > q y tales que p · q + 1 tambien es

primo. Probar, razonadamente, las siguientes afirmaciones:


1. q ha de ser, necesariamente, 2.

2. Si p 6= 3 entonces p+ 1 es multiplo de 6.

3. Si p 6= 3, p no puede ser un primo de Mersenne.

4. Probar que los numeros Fn de Fermat verifican la recurrenciaF0 = 3

Fn = (Fn−1 − 1)2 + 1 ∀n ≥ 1

y hacer uso de dicha propiedad para probar que si n ≥ 3 entonces Fn termina en

7.

5. Si p 6= 3 y p 6= 5, p no puede ser un primo de Fermat.

Ejercicio 2.61 Contestar razonadamente a las siguientes cuestiones independientes.

1. ¿Es cierto que dos numeros enteros positivos y consecutivos son siempre primos

entre sı? ¿y dos impares consecutivos?

2. Se dice que dos numeros primos son gemelos si son impares consecutivos, por

ejemplo 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, etc. ¿Es posible encontrar tres numeros impares con-

secutivos (ademas de 3, 5 y 7) de forma que los tres sean primos?

3. ¿Puede hacerse la diferencia entre dos numeros primos consecutivos tan grande

como se quiera (mayor que cualquier entero positivo n por grande que este sea)?

Ejercicio 2.62 Sea p un primo impar y a y b dos enteros tales que p|(a + b) y p|(a − b).

Probar que p2|ab. ¿Se podrıa asegurar lo mismo si p no fuese impar?

Ejercicio 2.63

1. Encontrar todas las parejas p y q, con p > q, de numeros primos tales que tanto

p+ q como p− q tambien sean primos.

2. Probar que si p y q, con p > q, son primos tales que pq + 1 tambien es primo,

entonces p = 3 o p+ 1 es multiplo de 3.

ARITMETICA MODULAR 3Ejercicio 3.1 Sin realizar los productos, calcular los restos de dividir:

1. 37× 45 entre 35.

2. 79× 70 entre 75.

3. 34× 27 entre 29.

Ejercicio 3.2 Hacer uso de congruencias para probar que la condicion necesaria y sufi-

ciente para que un numero sea divisible por 4 es que lo sea el numero formado por sus

dos ultimas cifras.

Ejercicio 3.3

1. ¿Que pares de entre los enteros −11,−8,−7,−1, 0, 3, 17 son congruentes modulo

7?

2. Demostrar que si a ≡ b (mod 7), entonces 10a+ 13 ≡ −4b+ 20 (mod 7).

20 ARITMETICA MODULAR

Ejercicio 3.4 Hallar los inversos de

a) 6 en Z11 b) 6 en Z17

c) 3 en Z10 d) 5 en Z12

Ejercicio 3.5 Demostrar por induccion en n que 22n ≡ 6 (mod 10), para todo entero n ≥

2.

Ejercicio 3.6 Demostrar, por induccion en n que ∀n ≥ 4,

1! + 2! + · · ·+ n! ≡ 3 (mod 10).

Ejercicio 3.7 Deducir una regla para decidir si un entero es divisible por 11, basada en

la expresion decimal del numero.

Ejercicio 3.8 Sea p un numero primo. Probar que los unicos elementos de Zp iguales a

su propio inverso son 1 y p− 1. Encontrar un contraejemplo para el caso en que p no sea

primo.

Ejercicio 3.9 Demostrar que si p es primo, entonces p | ((p− 1)! + 1).

Ejercicio 3.10 Hallar la solucion general de la congruencia 12x≡ 9 mod 15.

Ejercicio 3.11 Hallar el numero de soluciones distintas que tienen las siguientes con-

gruencias (en caso de que tengan solucion):

1. 225x ≡ 18 mod 31315,

2. 1235x ≡ 65 mod 25948.

Ejercicio 3.12 Para cada una de las siguientes congruencias, decidir cuales tienen solu-

cion y cuales no, encontrando la solucion general.

1. 3x ≡ 5 mod 7.

2. 12x ≡ 15 mod 22.

Aritmetica modular 21

3. 19x ≡ 42 mod 50.

4. 18x ≡ 42 mod 50.

Ejercicio 3.13 ¿Existe algun multiplo positivo de 91 terminado en 15? En caso afirmati-

vo, hallar todos los comprendidos entre 10000 y 30000.

Ejercicio 3.14 Para todo n ∈ N, sea An = 2n + 4n + 8n.

1. Probar que si n ≡ m mod 3 entonces An ≡ Am mod 7.

2. Probar, sin hallar su expresion decimal, que el numero cuya expresion en binario

viene dada por 1000100010000, es divisible entre 7.

Ejercicio 3.15 Si x ≡ 2 mod 3 y x ≡ 3 mod 5, ¿cuanto es x mod 15?

Ejercicio 3.16 Determinar si los siguientes sistemas de congruencias tienen solucion, y

en caso afirmativo, hallar la solucion general

1. x ≡ 1 mod 4, x ≡ 2 mod 3, x ≡ 3 mod 5.

2. x ≡ 2 mod 7, x ≡ 7 mod 9, x ≡ 3 mod 4.

3. 3x ≡ 6 mod 12, 2x ≡ 5 mod 7, 3x ≡ 1 mod 5.

4. x ≡ 13 mod 40, x ≡ 5 mod 44, x ≡ 38 mod 275.

5. 2x ≡ 2 mod 12, x ≡ 5 mod 14, x ≡ 4 mod 21.

6. 5x ≡ 5 mod 6, 3x ≡ 1 mod 14, x ≡ −2 mod 21.

Ejercicio 3.17 Resolver el sistema de congruenciasx ≡ 1 (mod 6)

x ≡ 1 (mod 12)

x ≡ 1 (mod 15)


Ejercicio 3.18 Resolver la congruencia 91x ≡ 419 mod 440.

(Indicacion: transformarla en un sistema).

Ejercicio 3.19 Hallar la solucion general de la congruencia

54x ≡ 342 mod 23400.

Ejercicio 3.20 Encontrar todas las soluciones comprendidas entre 1000 y 2000 del siste-

ma 2x ≡ 4 mod 10

7x ≡ 19 mod 24

2x ≡ −1 mod 45

Ejercicio 3.21 Dado el sistemax ≡ 4 mod 8

x ≡ a mod 6

x ≡ −1 mod 15

1. Determinar todos los posibles valores del parametro a ∈ Z que hacen que el siste-

ma tenga solucion.

2. Probar que la solucion del sistema, en caso de tener solucion, es independiente del

parametro a.

3. Resolver el sistema en los casos en que tiene solucion.

Ejercicio 3.22 Hallar el valor de n sabiendo que se trata del menor multiplo de 4, no

inferior a 250, que da de resto 4 tanto si lo dividimos entre 6 como si lo hacemos entre 9.

Ejercicio 3.23 En una pena hay mas de 10 y menos de 100 personas que quieren jugar

una competicion dividiendose en equipos iguales, pero tienen un problema: les sobra

siempre una persona para poder formar equipos de 2, 3, 4, 5 o 6. Hallar el numero de

personas de la pena.


Ejercicio 3.24 Se han comprado 72 objetos iguales, cada uno de los cuales tiene un pre-

cio en euros dado por un numero entero. La factura se ha encontrado rota y solo se ha

recuperado un fragmento del que se deduce que el importe total fue x06y, donde x e y

representan dıgitos decimales ilegibles. Encontrar el precio de cada objeto.

Ejercicio 3.25 Siete ladrones tratan de repartir, entre ellos y a partes iguales, un botın

de lingotes de oro. Desafortunadamente, sobran seis lingotes y en la pelea que se desata

muere uno de ellos. Como al hacer de nuevo el reparto sobran dos lingotes, vuelven a

pelear y muere otro. En el siguiente reparto vuelve a sobrar una barra y solo despues de

que muera otro es posible repartirlas por igual. ¿Cual es el mınimo numero de barras

para que esto ocurra?

Ejercicio 3.26 Una banda de 20 piratas trata de repartirse un botın de entre 5000 y 10000

monedas de oro. Al intentar hacer un reparto equitativo les sobran 15 monedas que se

disputan entre ellos y como consecuencia de la pelea muere uno de los piratas. Deciden

hacer de nuevo un reparto equitativo pero les vuelven a sobrar 15 monedas. En una

nueva disputa vuelve a morir otro de los piratas y al volver a efectuar el reparto les

sobran 3 monedas.

1. Calcular el numero de monedas del botın.

2. Si la historia continua, es decir, siempre que sobren monedas se organiza una re-

yerta y muere uno de los piratas, ¿cuantos quedaran vivos cuando en el reparto no

sobre ninguna moneda? La respuesta no tendra validez si se calcula eliminando

sucesivamente piratas hasta dar con la solucion.

Ejercicio 3.27 Se dispone de una cantidad par de monedas. Si formamos montones de

17 monedas cada uno nos sobran 8 monedas, mientras que si, con la mitad de las mone-

das iniciales, se forman montones de 7 nos sobran 3. Calcular la cantidad de monedas

de que se disponıa sabiendo que su numero era inferior a 600. En caso de existir mas de

una solucion ¿existe alguna de ellas para la que 7N mod 31 = p donde N representa la

solucion buscada y p un numero primo? ¿Es ahora unica la solucion?


Ejercicio 3.28

1. Resolver el sistema de congruencias

3x ≡ 2 (mod 7)

21x ≡ 15 (mod 30)

6x ≡ 5 (mod 25)

2. Probar que si x es una solucion cualquiera del sistema anterior, existen enteros α

y β tales que xα + 28β = 1.

Ejercicio 3.29 Sean a, b y c tres enteros positivos tales que a|b. Si al dividir c entre a

obtenemos un resto r y al dividir c entre b un resto s, ¿que resto se obtiene de la division

de s entre a?

1. Razonar el ejercicio haciendo uso del algoritmo de la divisibilidad y no de con-

gruencias.

2. Repetirlo haciendo uso de congruencias y no del algoritmo de la divisibilidad.

Ejercicio 3.30 Usar el Teorema de Fermat para calcular el resto de la division entera de

347 entre 23.

Ejercicio 3.31 Utilizar el teorema de Fermat para calcular los restos de dividir

1. 528574 entre 17.

2. 35346 entre 41.

Ejercicio 3.32

1. Utiliza el Teorema de Fermat para calcular 3302 mod 5, 3302 mod 7 y 3302 mod 11

2. Utilizando el resultado del apartado anterior y el teorema chino del resto calcular

3302 mod 385

Ejercicio 3.33 Encontrar los valores φ(19), φ(20) y φ(21).


Ejercicio 3.34 Encontrar todos los valores de n para los que φ(n) = 16.

Ejercicio 3.35 ¿Para que valores de n es φ(n) ≡ 2 mod 4?

Ejercicio 3.36

1. Encontrar todos los valores de n para los que φ(n) = n/2.

2. Encontrar todos los valores de n para los que φ(n) = n/3.

Ejercicio 3.37 Enumerar todas las posibilidades para n de modo que φ(n) sea multiplo

de 4.

Ejercicio 3.38 Demostrar que φ(n) es par para todo n ≥ 3.

Ejercicio 3.39 Sea p un numero primo mayor que 3 y α, β dos enteros positivos. Si la

descomposicion en factores primos de un numero n es n = 2α · 3α · pβ , se pide:

1. Hallar n sabiendo que φ(n) = 216, siendo φ la funcion de Euler.

2. En el caso de existir mas de una solucion del apartado anterior, elegir dos de ellas,

n1 y n2 y hallar φ(|n1 − n2|).

Ejercicio 3.40 Hallar el mınimo comun multiplo de dos numeros a y b sabiendo que

la descomposicion en factores primos de cualquiera de los dos posee solo dos factores

primos, que su maximo comun divisor es 3 y que φ(a) = 72 y φ(b) = 4.

Ejercicio 3.41 ¿Puede conocerse un entero positivo sabiendo que es menor que 100 y

conociendo los restos de sus divisiones entre 3, 5 y 7?

Ejercicio 3.42 Conocemos que si mcd(a, b) = 1, entonces φ(a)φ(b) = φ(ab). ¿Es cierto el

recıproco? Demostrarlo o dar un contraejemplo, segun sea el caso.

Ejercicio 3.43 Usando el Teorema de Euler y sabiendo que 59437 es divisible por 49,

calcular 550905 (mod 59437).


Ejercicio 3.44 Sabiendo que n es el producto de dos primos y el valor de su funcion de

Euler es φ(n) = 24, hallar n.

Ejercicio 3.45 De cuantas maneras podemos elegir dos enteros a y b con las condiciones

12 ≤ a ≤ 14 y 12 ≤ b ≤ 15 para que

1. la ecuacion ax ≡ b tenga solucion unica en Z15.

2. dicha ecuacion admita mas de una solucion en Z15.

Ejercicio 3.46 Utilizar el Teorema de Euler junto con el Teorema Chino de los restos

para probar que n12 ≡ 1 (mod 72) para cualquier entero n primo con 72.

Ejercicio 3.47 Halla el valor de n sabiendo que se trata del menor multiplo de 4, no

inferior a 250, que da de resto 4 tanto si lo dividimos entre 6 como si lo hacemos entre 9.

Ejercicio 3.48 Probar, mediante congruencias, que 32n+5 + 24n+1 es divisible por 7 cual-

quiera que sea el entero n ≥ 1.

Ejercicio 3.49 Considerese el sistema de congruencias lineales

2x ≡ 4 (mod 10), 7x ≡ 19 (mod 24), 2x ≡ −1 (mod 45)

1. Encontrar los enteros positivos a, b, c, n1, n2, n3 tales que el sistema dado sea equi-

valente a este otro

x ≡ a (mod n1), x ≡ b (mod n2), x ≡ c (mod n3)

2. Probar que se verifican las hipotesis del Teorema Chino de los restos generalizado

y que, por tanto, el sistema admite solucion. Reducirlo a otro sistema equivalente

en ele que los modulos sean mutuamente primos entre sı.

3. Encontrar todas las soluciones del sistema comprendidas entre 1000 y 2000.


4. Sean m la menor y M la mayor de las soluciones encontradas. ¿Se puede asegu-

rar si son primos o compuestos sabiendo que 2m ≡ 1048 (mod M)? Justifica las

respuestas.

Ejercicio 3.50

1. Demostrar que para todo entero n el valor de n(n2 + 2) es multiplo de 3.

2. Deducir de lo anterior que la suma de los cubos de tres enteros consecutivos es

siempre multiplo de 9.

Ejercicio 3.51 En un paıs se utilizan monedas de valor 17 y 5.

1. ¿De cuantas maneras se puede dar en monedas un importe de 100?

2. ¿Se puede dar cualquier importe mayor o igual a 22 en monedas?

Ejercicio 3.52 Demostrar que el producto de tres enteros consecutivos es siempre multi-

plo de 6.

Ejercicio 3.53 Probar que 1729 y 2821 son numeros de Carmichael.

Ejercicio 3.54

1. Probar que 561 es de Carmichael.

2. Probar que no existe ningun numero de Carmichael de la forma 21p siendo p un

numero primo.

3. Probar que el unico numero de Carmichael de la forma 33p, con p primo, es 561.

Ejercicio 3.55 Probar que no existe ningun numero de Carmichael de la forma n = 55·m

siendo m un numero libre de cuadrados y primo con 55.

Ejercicio 3.56 Encontrar dos numeros de Carmichael de la forma 13 · 61 · p donde p es

primo.


Ejercicio 3.57 Encontrar un numero de Carmichael de la forma 7 · 23 · p, donde p es

primo.

Ejercicio 3.58

1. Hallar dos numeros primos p y q (con p < q) tales que 91.p y 91.q sean ambos

numeros de Carmichael.

2. Aplicar el test de base 2 al numero n = p.q para determinar si se trata, o no, de un

pseudoprimo.

3. Sin calcular su valor, determinar en que cifra termina el numero pq − qp.

Ejercicio 3.59 Sean p, p1, p2 y p3 cuatro numeros primos tales que p1 < p2 < p3 y p =

p21 + p22 + p23. Probar que

1. p1 no puede ser 2

2. p1 ha de ser necesariamente igual a 3.

3. Si p = 419 ¿cuanto pueden valor p2 y p3? En caso de existir mas de una solucion,

¿existe alguna para la que el numero n = p1 · p2 · p3 sea de Carmichael?

Ejercicio 3.60 Hallar tres numeros primos p1, p2 y p3 con 5 < p1 < p2 < p3 < 37 tales

que n = p1 · p2 · p3 y m = 37 · p1 · p2 · p3 sean numeros de Carmichael.

Ejercicio 3.61 Realizar la codificacion RSA de “HELLO” con r = 1, y la clave publica

(101, 3). Comprobar decodificando el resultado.

(Nota: utilizar la conversion A=01, B=02, C=03, . . . , Y=26, Z=27).

Ejercicio 3.62 Decodificar el mensaje 1914, sabiendo que la clave publica es (2803, 113)

y r = 1.

(Nota: utilizar la conversion A=01, B=02, C=03, . . . , Y=26, Z=27).


Ejercicio 3.63 Realizar la codificacion RSA de la palabra HOLA, tomando r = 4, y con

la clave publica (3524084471, 5), sabiendo que 3524084471 = 59359× 59369. Comprobar

el resultado decodificando.

Ejercicio 3.64 Utilizando el alfabeto { , E, M, N, O, P, R, S} y numerando sus elementos

del 0 al 7 respectivamente, descifrar el mensaje 061− 026− 091− 014− 035− 094− 021

sabiendo que fue cifrado mediante un codigo RSA con r = 2 y que la clave publica es

(101, 67).

Ejercicio 3.65 Utilizando el alfabeto { , A, B, C, D, E} y numerando sus elementos del 0

al 5 respectivamente. Si tomamos, para un codigo RSA, la clave publica (12, 5) con r = 2

se pide:

1. Cifrar el mensaje BECA.

2. Descifrar el mensaje cifrado en el apartado anterior.

3. ¿Que es lo que falla? Justifica la respuesta.

Ejercicio 3.66 Utilizando el alfabeto { , A, D, E, I, L, N, O, R, U} y numerando sus

elementos del 0 al 9 respectivamente, descifrar el mensaje

798− 012− 450− 847− 822

sabiendo que fue cifrado mediante un codigo RSA con r = 3 y clave publica (1009, 605).

Ejercicio 3.67 Utilizando el alfabeto { ,A, B, C, D, E, I, N, O, S, T } y numerando sus

elementos del 00 al 10 respectivamente, se pide:

1. Si queremos cifrar mensajes mediante RSA tomando r = 2 (dividiendo el texto en

grupos de dos letras) ¿es correcta la clave (n, e) = (1213, 485)? Justifica la respues-

ta.

2. Teniendo en cuenta que se ha utilizado dicha clave, descifrar el mensaje

466− 1117− 952− 533− 295− 359


Ejercicio 3.68 El identificador ISBN de los libros es un codigo de 10 dıgitos (x1−x2x3−

x4x5x6x7x8x9− x10) con identificadores por bloques, donde el ultimo x10 es un dıgito de

control (un dıgito o la letra X), que verifica10∑i=1

ixi ≡ 0 mod 11

1. Si los nueve primeros valores del ISBN de un libro es 0 − 07 − 053945.¿Cual es el

valor de x10?

2. Si para otro libro, su ISBN es 0− 201− 57a89− 1. Encontrar el valor de a

TECNICAS DE CONTAR 4Ejercicio 4.1 Se recibe de Secretarıa la siguiente informacion: cada alumno de una de-

terminada titulacion esta matriculado en cuatro de las siete asignaturas que se ofertan,

las listas de alumnos por asignaturas estan constituidas por 52, 30, 30, 20, 25, 12 y 18

alumnos respectivamente. ¿A que conclusion nos lleva dicha informacion?

Ejercicio 4.2 En una clase de musica con 73 alumnos hay 52 que tocan el piano, 25 el

violın, 20 la flauta, 17 tocan piano y violın, 12 piano y flauta, 7 violın y flauta y solo hay

1 que toque los tres instrumentos. ¿Hay algun alumno que no toque ninguno de los tres

instrumentos?

Ejercicio 4.3 Una multinacional tiene 10000 empleados de los cuales 5600 hablan ingles,

4400 frances y 2200 castellano. Se sabe que cualquiera de ellos habla, al menos, uno de

los tres idiomas, que 1600 hablan ingles y frances, 200 frances y castellano y 100 hablan

los tres idiomas. Si el director general habla ingles y castellano, ¿con cuantos empleados

puede comunicarse sin necesidad de interprete? ¿Cuantos empleados hablan unicamen-

te castellano?

32 TECNICAS DE CONTAR

Ejercicio 4.4 Hallar cuantos enteros hay en el rango 1 ≤ n ≤ 1000 que no son divisibles

ni por 2 ni por 3 ni por 5.

Ejercicio 4.5 Describir un metodo para generar todas las permutaciones de n elementos

a partir de las de n− 1 elementos.

Ejercicio 4.6 ¿Cuantas cadenas de diez bits comienzan con 000 o bien terminan con 00?

Ejercicio 4.7 Probar que en cualquier grupo de 6 personas, o hay 3 que se conocen entre

sı o hay 3 que son mutuamente desconocidos.

Ejercicio 4.8 Sea C un conjunto de 5 enteros positivos no superiores a 9. Demostrar que

existen, al menos, dos subconjuntos de C cuyos elementos suman lo mismo.

Ejercicio 4.9 ¿De cuantas maneras puede un fotografo de boda ordenar un grupo de 6

personas si

1. los novios deben salir juntos en la foto?

2. los novios no pueden salir juntos en la foto?

3. la novia debe salir en algun puesto a la izquierda del novio?

Ejercicio 4.10 ¿Cuantas matrıculas se pueden formar utilizando bien tres letras

mayusculas seguidas de tres dıgitos o bien cuatro letras mayusculas seguidas de dos

dıgitos? (Las letras se extraen del alfabeto ingles que consta de 26 letras)

Ejercicio 4.11 En un grupo hay n hombres y n mujeres. ¿De cuantas formas se pueden

ordenar estas personas en una fila si los hombres y las mujeres se debe alternar?

Ejercicio 4.12 ¿Cuantas cadenas de diez bits contienen

1. exactamente cuatro unos?

2. como mucho cuatro unos?

Tecnicas de contar 33

3. al menos cuatro unos?

4. una cantidad igual de unos que de ceros?

Ejercicio 4.13 ¿De cuantas formas se puede seleccionar una comision para disenar el

programa de un curso de matematica discreta en la escuela de informatica si la comision

debe estar compuesta por tres miembros del departamento de informatica (que tiene

nueve miembros en total) y cuatro del departamento de matematicas (que tiene once)?

Ejercicio 4.14 ¿De cuantas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra XSIAON

de modo que las palabras ASI y NO nunca aparezcan?

Ejercicio 4.15 Una empresa posee seis ordenadores y los quiere colocar en red. Si cada

ordenador debe conectase con otros dos, y solo con otros dos, ¿cuanto tiempo tardaran

en estudiar todas las configuraciones posibles, para encontrar la mas adecuada, si em-

plean dos minutos en analizar cada una de ellas por separado?

Ejercicio 4.16 Por un canal de comunicacion, se va a transmitir un mensaje usando 12

sımbolos diferentes. Ademas de estos 12 sımbolos, el transmisor tambien enviara un

total de 45 espacios en blanco entre los sımbolos, con tres espacios como mınimo entre

cada par de sımbolos consecutivos ¿de cuantas formas se puede mandar el mensaje?

Ejercicio 4.17

1. ¿De cuantas formas se pueden colocar diez bolas iguales en ocho cajas distintas?

2. ¿En cuantas de ellas queda al menos una caja vacıa?

Ejercicio 4.18 ¿Cuantas cadenas de 8 bits comienzan por 101 o tienen el cuarto bit igual

a 1?

Ejercicio 4.19 ¿Cuantos numeros de telefono de 5 dıgitos tienen un dıgito que aparece

mas de una vez?

34 TECNICAS DE CONTAR

Ejercicio 4.20 Determinar el numero b de formas en que podemos ordenar las letras de

la palabra EXAMEN teniendo en cuanta que las dos letras E no pueden ir juntas.

Ejercicio 4.21 ¿Cuantas palabras de longitud 3 (sin repetir signos) pueden escribirse

con un alfabeto de 256 letras teniendo en cuenta que dos determinados signos (por

ejemplo, las letras “a” y “b”) no figuren nunca juntos (consecutivos)?

Ejercicio 4.22 ¿Como se pueden distribuir 25 caramelos entre cuatro ninos? ¿Y si se

anade la condicion de que cada nino recibe al menos tres caramelos y no mas de ocho?

Ejercicio 4.23 De los enteros entre 100 y 999, ambos inclusive,

1. ¿cuantos son divisibles por 7?

2. ¿cuantos son impares?

3. ¿cuantos tienen los tres dıgitos iguales?

4. ¿cuantos son divisibles por 3 y por 4?

5. ¿cuantos no son divisibles ni por 3 ni por 4?

Ejercicio 4.24 Probar las igualdades:

a)

r

k

=r

k

r − 1

k − 1

b) r

r − 1

k

= (r − k)

r

k

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INTRODUCCION A LA MATEM´ ATICA DISCRETA´personal.us.es/Dana/Boletin.pdf2.Sin hacer uso del metodo de resoluci´ on de recurrencias lineales, determinar la´ formula expl´ ´ıcita