Introducción al método de los Elementos Finitos en 2D · Introducción al método de los Elementos Finitos en 2D 1 Adaptado por Jaime Puig-Pey (UC) de:. Zabaras, N. Curso ‘FE

Lección 12Aproximación por Elementos Finitos de

Problemas de Contorno 2D

Introducción al método de los Elementos Finitos en 2D

1

Adaptado por Jaime Puig-Pey (UC) de:. Zabaras, N. Curso ‘FE Analysis for Mech&Aerospace Design’. U. Cornell. 2012.. Fish, J., Belytschko, T. “A First Course in Finite Elements”. Ed. Wiley, 2007.

E.T.S. de Ingeniería de Caminos, C. y P. Santander

v20160610

Aprox por EF de Prob de Contorno 2DLos datos en un dominio de contorno - La ‘fuente’ f=f(x,y) en - ‘Parámetros’ de material ki=ki(x,y) , bi=bi(x,y) , (x,y) en - Los datos para las condiciones de borde:

. Esenciales : u(s)=û(s) , s 1

. Naturales: (s), (s) en 2 ,(o bien q(s) y/o p(s) yu (s), en 2)

Con estos datos, queremos calcular la función escalar u(x,y) en (temperatura, potencial hidráulico,…) :

,i=,Ωyx,y), u(x,y)=f(x+b(x,y)u(x,y))·(k(x,y)· i 21),(·

ssûsuspn

u(s)k(s)· 2)),(-)()·((

ssqn

u(s)k(s)· 2,)(-

conocidas sys sssusn

u(s)k(s)·sis en sínte )()(),()()·(-:o 2

u(s)=û(s) , s1

EDP:

Condiciones globales de contorno

Conservación flujo normal en interfaz entre subdominios en su caso: ssnsu(s)·ksnsu(s)k ,0)()·()()·(

2E.T.S. de Ingeniería de Caminos, C. y P. Santander

)),()()·(2( 2

sssusn

u(s)k(s)·DBVP es:rama en el prog

1 : u = û2 : -k·u/n = ·u+

La formulación débil de la anterior EDP se expresa:. Encontrar una función u(x,y) H1() tal que u(s)=û(s) , s u 1 y para todas las funciones w(x,y) H1() , con w(x,y) =0 en 1 que cumpla:

Aprox por EF de Prob de Contorno 2D

2

2

∂)]()·,()·,()·,(

)()·()·,(·)(

Ω

Ω

·dssyxwdΩyxfyxw

·dssusyxwdΩ)]x,y)·u(x,y+w(x,y)·b(u(x,y)k(x,y)·w(x,y)[

2211111111111111111111122221

········Ω

xxxxΩ

xxxxxxxxx

T ·dswdΩfw·dsuwdΩ]u·bw+u·Dw[

. Reescribiéndolo en forma matricial, asignado al coeficiente k(x,y) de laspropiedades constitutivas una expresión matricial D (2x2) operando sobre u:


-k·u/n=u+

. El dominio se aproxima mediante un dominio aproximado h con E elementos finitos y n nodos, ubicando nodos y elementos de tal modo que los bordes de elementos coincidan lo mejor posible con el contorno e interfaces que existan entre zonas con diferente valor en k u otros parámetros característicos del material que constituye el dominio.


Se seguirán haciendo las integraciones extendidas sobre h y sobre la parte de su contorno 2h afectado por condiciones de contorno ‘naturales’. Y se calcularán acumulando las contribuciones de cada elemento finito en la malla. Como se vio, no hay que incorporar integrales sobre lados contiguos entre elementos, incluso con distintas propiedades constitutivas. Por el equilibrio de flujos normales en esos bordes, se cancelan las integrales sobre dichos lados.


. Definimos un subespacio finito n-dimensional Hh de H1(h) construyendo unas funciones de base globales adecuadas: Ni, i=1, 2, …,n, (nº de nodos), empleando los elementos comentados antes. Estas funciones básicas se utilizarán para aproximar tanto u(x,y) como las funciones de peso w(x,y) (método de Galerkin).. Llamando N(x,y) N al vector fila: [N1(x,y),…Nn(x,y)]. Una función de prueba wh típica en Hh , de coeficientes en el vector columna Wh, es de la forma:

. La función solución u(x,y), en Hh , de coeficientes constantes en el vector Uh, conocidos en 1 , se aproxima mediante:

- Recuérdese que la función Nj(x,y) (j=1,…,n) vale 1 en (xj,yj) y 0 en los demás nodos.. En general los datos de las condiciones de contorno esenciales (de Dirichlet) û en 1 curva de borde con parámetro s, se aproximan mediante:

donde la suma se extiende a todos los nodos de 1h


11111 ),(

·),(),(·),(·),(nx

h

xn

T

nxxn

Th

n

jj

yxw

jh WyxNyxNWyxNWyxwjjh

j

jjh sysxNuyxu ))(),((·ˆ),(ˆ

111 ),(

·),(),(·),(nx

h

xn

n

jj

yxu

jh UyxNyxNuyxujjh

E.T.S. de Ingeniería de Caminos, C. y P. Santander 5

. Encontrar una función uh(x,y) Hh()

uh (x,y)=û(s) sobre 1h, tal que para todas las wh(x,y) Hh(h), con wh(x,y) =0 en 1h (CC esenciales), se cumpla:

Formulación del problema mediante el MEF

hhhh Ωxx

hΩxx

hΩxh

xxhΩ

xh

xxh

xh

xx

Th ·dswdΩfw·dsuw·]dΩu·b·w)+u·D·w[

2211111111111111111111122221

·····

. Se sustituirán las expresiones matriciales para uh y wh, anteriores. Veámoslo término a término en la ecuación

1

2

12

·∇nx

h

xn

y

x

xh U

NN

u

Nx y Ny son vectores fila con las derivadas parciales respectivas del vector N respecto a x e y

1

2

122121

·∇,],[·∇nx

h

xn

y

x

xh

nx

Ty

Tx

xn

Th

x

Th W

NN

wNNWw

hh Ωnx

h

xn

y

x

xnx

Ty

Tx

xn

ThΩ

xh

xx

Th dΩU

NN

·DNNWdΩu·Dw ···],[···1

2

2221122221


111 ),(

·),(),(·),(nx

h

xn

n

jj

yxu

jh UyxNyxNuyxujjh


Sintetizandomatricialmente:Wh

T·(K·Uh-F)=0 (1x1)

WhT= [W1,W2,…,Wn]

Uh= [U1,U2,…,Un]T

Valores de Uh y Wh en los nodos

hh Ω

nxh

xnxnx

T

xn

ThΩ

xh

xxh dΩUN·bNWdΩu·bw ······

111111111111

hh Ωnx

hxnxnx

T

xn

ThΩ

xh

xxh dsUN·NWdsu·w

22

······111111111111

hh Ωxnx

T

xn

ThΩ

xxh dsNW·dsw

22

····11111111

hh Ω

xnx

T

xn

ThΩ

xxh dfNW·dfw ····

11111111

0]

···)··],[([

·

2

2

111111

111111111

2

222

1

hh

hh

·dsβ·N·dΩf·N

UdsN·NdΩN·bNNN

·DNN

W

xnx

T

Ωxnx

T

nxhΩ

xn

T

xnxΩ

xnxnx

T

xn

y

x

xnx

Ty

Tx

xn

Th

hh Ωxnxnx

T

Ωxnxnx

T

xn

y

x

xnx

Ty

Tx dsN·NdΩN·bN

NN

·DNNK2

··)···],[(11111111

2

222

hh Ωxnx

T

Ωxnx

T dsNdfNF2

····111111


hhhh Ωxx

hΩxx

hΩxh

xxhΩ

xh

xxh

xh

xx

Th ·dswdΩfw·dsuw·]dΩu·b·w)+u·D·w[

2211111111111111111111122221

·····

hh Ωnx

h

xn

y

x

xnx

Ty

Tx

xn

ThΩ

xh

xx

Th dΩU

NN

·DNNWdΩu·Dw ···],[···1

2

2221122221

Formulación del problema mediante el MEFSintetizando matricialmente: Wh

T·(K·Uh-F)=0 (1x1)Wh

T = [W1,W2,…,Wn] , Uh=[U1,U2,…,Un]T Valores de Uh y Wh en los nodos

. Obsérvese que la matriz K es simétrica si lo es la D de propiedades constitutivas.

. Como las funciones de peso wh(x,y) se anulan en 1h, podemos subdividir el vector de sus coeficientes Wh (valores de wh en los nodos) en dos bloques: Wh

T=[WhET,Whr

T] esto es, WhE con todas las componentes nulas (pues son los valores de wh(x,y) en los nodos con condiciones de contorno u=û conocidas(condiciones esenciales), y Whr el resto.. Se hará esta misma partición en el vector Uh, bloques UhE y Uhr . Esta ordenación se considerará igualmente en el vector N de las funciones base, y a las submatrices que resultan en K: KE, KEr, KrE,Kr , y a los subvectores de F: FE, Fr a las particiones en F. En la síntesis matricial queda:

0-·]·,[-·]·,[

r

E

hr

hE

rrE

ErEThr

ThE

hr

hEThr

ThE F

FUU

KKKK

WWFUU

KWW


hh Ωxnxnx

T

Ωxnxnx

T

xn

y

x

xnx

Ty

Tx dsN·NdΩN·bN

NN

·DNNK2

··)···],[(11111111

2

222

hh Ωxnx

T

Ωxnx

T dsNdfNF2

····111111

Formulación del problema mediante el MEFSe tiene la síntesis matricial: Wh

T·(K·Uh-F)=0 (1x1) de la formulación débil, conWh

T=[W1,W2,…,Wn] , Uh=[U1,U2,…,Un]T ,valores de wh y uh en los nodos.Separando componentes asociadas a nodos con condiciones esenciales (E), Wh

T=[WhET,Whr

T] , teniendo WhE todos los elementos nulos y siendo Whr el resto:

Llamemos: RE=KE·UhE+KEr·Uhr-FE , Rr=KrE·UhE+Kr·Uhr-Fr

Esto es: WhET·RE+ Whr

T·Rr=0 (1x1) 0]·,[

r

EThr

ThE R

RWW


0-·]·,[-·]·,[

r

E

hr

hE

rrE

ErEThr

ThE

hr

hEThr

ThE F

FUU

KKKK

WWFUU

KWW

Puesto que WhE=0, resulta que ha de ser WhrT·Rr=0 para cualesquiera valores de

las componentes de Whr .¡¡Pero esto implica que Rr debe ser el vector nulo: Rr=0 !!, Esto es: KrE·UhE+Kr·Uhr - Fr= 0

Así que los valores aproximados Uhr de la función incógnita en los nodos sin condiciones esenciales, resultan de resolver el sistema de ecuaciones lineales:

Kr·Uhr = Fr-KrE·UhE


0

-· E

r

E

hr

hE

rrE

ErE RFF

UU

KKKK

Obteniéndose los valores aproximados Uhr de la función incógnita en los nodos sin condiciones esenciales del sistema de ecuaciones lineales:

Kr·Uhr = Fr-KrE·UhE

Si se desea obtener RE, basta operar tras calcular Uhr: RE=KE·UhE + KEr·Uhr - FE

0-· E

hr

hE RF

UU

KManteniendo la matriz K y el vector F completos, ordenando vectores y matrices ubicando primero las cc esenciales (UhE conocidos)


KrE·UhE+Kr·Uhr - Fr= 0

De la expresión matricial global de la forma débil aproximada y discretizada:

0-·]·,[-·]·,[

r

E

hr

hE

rrE

ErEThr

ThE

hr

hEThr

ThE F

FUU

KKKK

WWFUU

KWW

Se puede escribir, con la terminología presentada:

Aproximación mediante EF

Podemos hablar de una matriz Ke de ‘rigidez’ del elemento e, de dimensión (nexne) y un vector Fe (nex1) de ‘cargas’ de cada elemento con su contribución. No hay integración sobre lados ‘interiores’. Si el número de nodos del elemento genérico es ne, se tendrá:

Habiendo realizado la discretización del dominio mediante la malla de elementos finitos, se han de calcular la matriz de ‘rigidez’ K y el vector de ‘cargas ‘F’. Cada una de las integrales que aparecen en K y en F se han de calcular mediante la suma de contribuciones de cada elemento en la malla.

he

eheh

sobreborde

conelementos

E

e

2

2

,1

eh ee

eh ee

e

e

Ωxn

e

x

e

xn

Te

Ωxn

e

x

e

xn

Te

xn

ey

ex

x

e

xn

Tey

Tex

e dsN·NdΩN·bNNN

·DNNK2

··)···],[(11111111

2

222

eh e

eh e

Ωx

e

xn

Te

Ωx

e

xn

Tee dsNdfNF2

····111111


hh Ωxnxnx

T

Ωxnxnx

T

xn

y

x

xnx

Ty

Tx dsN·NdΩN·bN

NN

·DNNK2

··)···],[(11111111

2

222

hh Ωxnx

T

Ωxnx

T dsNdfNF2

····111111

Proceso de ensamblado

. Las anteriores integraciones se hacen en los ejes globales considerados en el dominio h, por tanto si se realiza algún cambio de variable al referir la integración sobre un elemento e, se habrá de considerar en el proceso.. En cada elemento e intervienen tantas funciones base Ni(x,y) como nodos tiene el elemento. - Si dichos nodos tienen índices globales j1, j2,…, jne , siendo los índices locales 1,…,ne, respectivamente, el elemento de la matriz Ke de índices locales r, s, (r, s=1,…,ne), se incorporará a la matriz global K, como un término aditivo (con su signo) en el elemento Kjr,js de la misma.- Análogamente, el elemento del vector Fe de índice local r se incorporará al vector global F como un término aditivo (con su signo) en la componente Fjr del mismo.

* Este es el proceso que se conoce como ensamblado.


eh ee

eh ee

e

e

Ωxn

e

x

e

xn

Te

Ωxn

e

x

e

xn

Te

xn

ey

ex

x

e

xn

Tey

Tex

e dsN·NdΩN·bNNN

·DNNK2

··)···],[(11111111

2

222

eh e

eh e

Ωx

e

xn

Te

Ωx

e

xn

Tee dsNdfNF2

····111111

Proceso de ensamblado

. En las integraciones para calcular K y F aparecen:- Integrales extendidas a un dominio h multidimensional (2D en nuestro caso), .- Integrales curvilíneas extendidas al borde 2h.

- Si un elemento e no tiene lados que pertenecen al contorno 2h su contribución a términos referentes al contorno en el vector F será nula. Si los tiene, se incorpora su contribución a la/s componente/s correspondientes de F.

. La función f(x,y) tiene, en la ecuación diferencial, el sentido de una ‘fuente’, interna al dominio, de aportación de flujo por unidad de superficie.- Puede ocurrir, por el problema físico subyacente (foco puntual de calor, caudal puntual de fluido), que esa aportación no sea distribuida sino que aparezca como concentrada en un punto. ¿Cómo introducirlo en el proceso?


eh ee

eh ee

e

e

Ωxn

e

x

e

xn

Te

Ωxn

e

x

e

xn

Te

xn

ey

ex

x

e

xn

Tey

Tex

e dsN·NdΩN·bNNN

·DNNK2

··)···],[(11111111

2

222

eh e

eh e

Ωx

e

xn

Te

Ωx

e

xn

Tee dsNdfNF2

····111111

14

Proceso de ensamblado: Fuentes puntuales

La delta de Dirac (x-xi,y-yi) se utiliza para representar un función que es cero en todo el dominio salvo en un entorno pequeño del punto (xi,yi) , donde vale ‘infinito’, pero de modo que su integral en el dominio toma el valor finito 1. Se puede asimilar la situación a cargas verticales distribuidas (carga por unidad de superficie) actuando sobre , cuya integral sea una carga acumulada de valor 1 sobre el dominio. Si se quiere representar una carga puntual unidad en (xi,yi) se puede hacer tratándola como límite de cargas distribuidas que van reduciendo su dominio de acción y va creciendo su valor distribuido tendiendo a infinito al tender el dominio de acción a un punto, debiendo ser su integral en el dominio de valor unidad para equivaler a la acción de la carga vertical unidad acumulada.Esta función ‘especial’ forma parte de un modelo especial de funciones llamadas

‘distribuciones’.

eh e

Ωx

e

xn

Te dfN ··111

hΩ

xnx

T dfN ··111

Visión global

Visión local

),(,),(·)·,(·)·-,-( iiiiii yxyxgVdyxgVyyxx

),(,1)·-,-( iiii yxdyyxxLa función ‘impulso’ o delta de Dirac (x-xi,y-yi)se define de modo que :

Tienen como propiedad adicional que, siendo V un valor constante y g(x,y) una función suave definida sobre , se verifica:


- Si la fuente puntual P actúa en un punto que es el nodo j (xj,yj) global de la discretización, en el que la única función base global no nula es Nj(x,y), la aportación al vector global F1 será en su componente j, como un término aditivo que se añadirá a otras posibles contribuciones de otras fuentes f.


Visión global Visión

local

Para introducir la fuente puntual de valor P actuando en el punto (xi,yi) del dominio basta fijarse en las integrales que implican a la fuente f y al vector N de funciones base en el proceso de aproximación por elementos finitos. La función a considerar será f=P·(x-xi,y-yi) .

Se comentan algunos casos ilustrativos: hΩ

xnx

T dfNF ··1111

PyxNPdyyxxPyxN jjjΩ jj

x

jh

),(·)·-,-(·)·,(11

- Si la fuente puntual P actúa en un punto (xj,yj) que es interior a un elemento de nodos con índices globales j1,…,jne, se tendrán en cuenta las funciones base de la discretización que no se anulan en dicho elemento, Nj1(x,y)…,Njne(x,y). Entonces la aportación de la fuente puntual aparecerá en ne componentes del vector F1, en cada una de ellas con un término aditivo, por ejemplo en la componente j1, la aportación valdrá P·Nj1(xj,yj), y así hasta la componente ne, con el término aditivo P·Njne(xj,yj). Cada término aditivo se añadirá a otras posibles contribuciones de otras fuentes f.



hΩxnx

T dfN ··111

eh e

Ωx

e

xn

Te dfN ··111

16



local

- Si la fuente puntual P actúa en un punto (xj,yj) que es intermedio de un lado de un elemento, siendo los puntos extremos de ese lado los nodos j1y j2 , con notación global, y dándose el caso de que las únicas funciones base que no se anulan en (xj,yj) son Nj1 y Nj2, la aportación de la fuente puntual aparecerá en 2 componentes del vector F1, en cada una de ellas con un término aditivo, en la componente j1, la aportación valdrá P·Nj1(xj,yj), y en la componente j2 con el término aditivo P·Nj2(xj,yj) . Cada término aditivo se añadirá a otras posibles contribuciones de otras fuentes f.

. Es posible que el lado en que actúa la fuente puntual sea compartido por dos elementos, y se deben tener en cuenta las funciones globales que no se anulan en el punto de aplicación de la fuente.

. Se puede operar fijándose en el elemento o elementos afectados por la ubicación del punto de aplicación de la fuente puntual. Pero siempre partiendo de la posición de dicho punto en relación con las funciones base globales de la discretización; influirán todas aquellas que no se anulen en el punto de aplicación (xj,yj) de la fuente, y la aportación aditiva se dará en las componentes de F1 correspondientes a los índices globales de esas funciones base globales.



hΩxnx

T dfN ··111

eh e

Ωx

e

xn

Te dfN ··111

hΩ

xnx

T dfNF ··1111

- Si la fuente f actúa a modo de cuchillo como una función P(x,y) que actúa sobre una trozo de curva C(x,y), la contribución a F1 se expresará:

17

Proceso de ensamblado: Fuente sobre una curva


local

),(111

·),(·yxC

xnx

T dsyxPN

. Es decir, se realizará la integral curvilínea a lo largo de la curva C, del integrandoformado por el producto de la función fuente P(x,y) por las funciones baseglobales que no se anulan sobre el segmento de curva C(x,y). Habráaportación aditiva en las componentes del vector F1 que correspondan a esasfunciones base globales no nulas sobre C(x,y), siendo la aportación en lacomponente j de F1 el valor:

),(1111

·),(·),(yxC

xx

j dsyxPyxN



hΩxnx

T dfN ··111

eh e

Ωx

e

xn

Te dfN ··111

hΩ

xnx

T dfNF ··1111

EjemploConsideraremos la solución por el MEF del siguiente problema de contorno :

Con las condiciones de contorno:u=0 sobre 41(tipo Dirichlet)----------

(tipo Neumann)

1h=1 , 2h=2

2=122556 6774 ,1=41

en y)f(x,y)u(x,- =

746725120 ,ΓΓ,Γ,Γ sobre =nu

56· Γ sobre unu


1

2

31

3

2

1 3

2

1

13

3

2

2

1

23

Ejemplo. Elemento 1:


0000000000000000000000000000000000000000

122

123

121

132

133

131

112

113

111

1

kkkkkkkkk

K

0000

12

13

11

1

fff

F

1

3

2

1

1

1

2

1

1

22

1

2

11 ·],[hΩ

xn

y

x

xxn

T

y

T

x dΩNN

·DNN

11

··11

1

1

1

hΩxxn

T dfN

Aportación de elem 1 a matriz K en lo relativo al término:

Aportación de elem 1 al vector F en lo relativo al término:

2=122556 6774 ,1=41



0000000000000000000000000000000000000000

222

223

221

232

233

231

212

213

211

2 kkkkkk

kkk

K

000

0

22

23

21

2 ff

f

F

1 3

2


2

2

2

2

2

2

22

2

2

22 ·],[hΩ

xn

y

x

xxn

T

y

T

x dΩNN

·DNN

22

··11

2

1

2

hΩxxn

T dfNAportación de elem 2 al vector F en lo relativo al término:

2=122556 6774 ,1=41

21


0000000000000000000000000000000000000000

333

332

331

323

322

321

313

312

311

3

kkk

kkkkkk

K

00

0

0

33

32

31

3

f

ff

F

2=122556 6774 ,1=41


1 3

2Aportación de elem 3 al vector F en lo relativo al término:

3

3

3

2

3

3

22

3

2

33 ·],[hΩ

xn

y

x

xxn

T

y

T

x dΩNN

·DNN

33

··11

3

1

3

hΩxxn

T dfN


1

3

2

Ejemplo. Elemento 6 (tiene cond. naturales):

0000000000000000000000000000000000000000

622

623

621

632

633

631

612

613

311

6

kkkkkk

kkkK

0

0

00

62

63

61

6

ff

fF


Aportación de elem 6 a matriz K en lo relativo al término:

6

6

6

2

6

6

22

6

2

66 ·],[hΩ

xn

y

x

xxn

T

y

T

x dΩNN

·DNN

66

··11

6

1

6

hΩxxn

T dfN

56Γβ sobre α·unu


1

3

2

Ejemplo: Cond. Naturales de contorno

000000000000000000000000000000000000000000000

622

623

632

633

6

aaaa

A

2=122556 6774 ,1=41

0

0000

62

63

6

bb

B

Aportaciones “a” de elem 6 a matriz K en lo relativo a cond. natur. en 5-6 (2), término “”: hΩ

xnxxn

T dsN·N2

666

··1

6

11

6

1

6

Aportaciones “b” de elem 6 a vector F en lo relativo a cond. natur. en 5-6 (2), término “”:


62 6

··11

6

1

6

hΩxxn

T dsN

. Elemento 6 (tiene cond. naturales):

Ejemplo: Ensamblado- Las aportaciones a K de todos los elementos, incluyendo las de las condiciones de contorno naturales: K=K1+K2+K3+K4+K5+K6+A6

- Las aportaciones a F de todos los elementos, incluyendo las de las condiciones de contorno naturales: F=F1+F2+F3+F4+F5+F6+B6

77767473

67666563

56555352

47444341

37363534333231

25232221

14131211

000000

000000

000000

KKKKKKKK

KKKKKKKKKKKKKKK

KKKKKKKK

K

7

6

5

4

3

2

1

FFFFFFF

F

* Obsérvese los elementos de K no nulos y sus subíndices en relación con la conexión entre los nodos

El ensamblado se puede realizar en 2 fases: 1) introducir las aportaciones de los elementos sin incluir las condiciones de contorno naturales. 2) Introducir estas c.c. naturales.


Ejemplo: Sistema final de ecuaciones- El sistema final de ecuaciones queda, en notación compacta:

Donde K* y F* son las matrices K y F con sus filas reordenadas respecto de poner los índices de los nodos “esenciales “ en cabeza. UE son los valores conocidos de las condiciones de contorno esenciales en los nodos correspondientes. Escribamos el sistema sin efectuar esta reordenación, y señalando que aquí u1=0, u4=0. RE es desconocido,

000

00

-0

0

·

000000

000000

000000

4

1

7

6

5

4

3

2

1

7

6

5

4

3

2

1

77767473

67666563

56555352

47444341

37363534333231

25232221

14131211

E

E

r

r

FFFFFFF

uuu

uuu

u

KKKKKKKK

KKKKKKKKKKKKKKK

KKKKKKKK

0

*-·* E

r

E RF

UU

K


Ejemplo: Sistema final de ecuaciones

- Transformando el sistema con sus incógnitas propias, u2, u3, u5, u6, u7:

7

6

5

3

2

7

6

5

3

2

777673

67666563

56555352

3736353332

252322

·

000

0

00

FFFFF

uuuuu

KKKKKKK

KKKKKKKKK

KKK

Resuelto este sistema lineal y obtenidos todos los valores de u en los nodos, si en el postproceso se desea se calcular r1E y r4E que constituyen RE:

r1E=K12·u2+K13·u3-F1r4E=K43·u3+K47·u7-F4


El sistema efectivo, 5x5, con las 5 incógnitas, valores en los nodos que no tienen condiciones 'esenciales‘:

Ejemplo: Sistema final de ecuacionesConsideremos una pequeña variante del ejercicio, de modo que en lugar de u=0 sobre 41 se supone que hay una condición no nula, u=c, (también tipo Dirichlet). Escribamos el sistema sin efectuar reordenación, y señalando que aquí u1=c, u4=c. RE es desconocido,

000

00

-·

000000

000000

000000

4

1

7

6

5

4

3

2

1

7

6

5

4

3

2

1

77767473

67666563

56555352

47444341

37363534333231

25232221

14131211

E

E

r

r

FFFFFFF

uuu

cuuu

cu

KKKKKKKK

KKKKKKKKKKKKKKK

KKKKKKKK


El sistema efectivo, 5x5, con las 5 incógnitas, valores en los nodos que no tienen condiciones 'esenciales‘:

cKFFF

cKcKFcKF

uuuuu

KKKKKKK

KKKKKKKKK

KKK

·

···

·

000

0

00

747

6

5

34313

212

7

6

5

3

2

777673

67666563

56555352

3736353332

252322

. Consideremos un ejemplo similar (se empleará notación asociada a la conducción del calor) repitiendo los mismos cálculos pero en forma matricial. En el programa 2dBVP MatLab los cálculos están programados de este modo.

. El problema de contorno 2D se formula así.

Calcular T(x,y) en Ω tal que:

Ejemplo adicional: tratamiento en forma matricial

TenTT

qenqq


),(··-

),(T

),()∇··(∇-

TdeflujovalornaturccsobreqTDq

TvalorEsencccsobreT

yxfTD

q

T

n

La forma débil del problema se expresa:. Encontrar una función T(x,y) H1() tal que T(s) =T (s) , s T y se cumple lo siguiente:

para todas las funciones w(x,y) U0, denotando como U0 : w H1() , con w=0 en T

. La forma débil se escribe en modo matricial, dispuesta para la discretizaciónpor el MEF, siendo q el flujo de calor y D la matriz de conductividad térmica:

Conducción del calor 2D. Forma débil

q

sqwfwDwT d··d··Td··

yyyx

xyxx

conducmatrizy

x

calorflujo

T

kkkk

DT,-D·qq

q,yw

xww ,

yTxT

T



E

1e

eE

1eΩ

e

1Ω

eeTeeq

ee·dΓq·w·f·dΩw=dΩT··Dw

E

e

Se reemplazan las integrales por suma de integrales sobre los elementos finitos:. Encontrar una función T(x,y) H1() tal que T(s)=T (s) , s y que se cumpla:

·]·[]·[]·...[)·,(),(1

1 dLNdNT

TNNdyxNyxT eeee

nen

e

ene

eeee

Siendo: E el número de elementos. ne es el número de nodos en cada elemento. Le es la matriz (nexn) de acople del elemento local e en la matriz global. Ne(x,y) el vector (1xne) de funciones de forma del elemento. de el vector (ne x1) de temperaturas nodales del elemento . d es el vector (n x 1) de temperaturas en los nodos globales de la malla. - Las fórmulas de interpolación para T(x,y) y para la función de prueba w(x,y) sobre cada

elemento :

Ej. matriz acople (pareja origen-destino: 1-2, 2-4, 3-5). local de=[d1

e,d2e, d3

e]T, global d=[d1, d2,d3,d4,d5]= [0, d1e,0, d2

e ,d3e]T

0 1 0 0 0Le = 0 0 0 1 0

0 0 0 0 1

Comprobar: de=Le·d


·]·[]·[]·...[)·,(),(1

1 WLNWNW

WNNdyxNyxw eeee

nen

e

ene

eeee

. Los campos de gradiente de Te y de we se obtienen así (ne: nº nodos elemento; Le: matriz de acople de contrib. elemento a matriz global):


·]·[)]·,([T

T·

yN...

yN

xN...

xN

·y

N...·y

N

·x

N...·x

N

yTx

T

Tene

e1

ene

e1

ene

e1

ene

1

e1

ene

1

e1

e

e

e dLBdyxBTT

TTeeee

ene

e

ene

e

. Análogamente para el gradiente de we(x,y), función de prueba o de test en el elemento e, llamando WeT al vector (1 x ne) de coeficientes de dicha función en el elemento y WT al vector (1x n) de coeficientes de w(x,y), que son sus valoresen los nodos de la malla global:

Be es la matriz (2 x ne) de las derivadas 1as de las funciones base en el elemento.

TeTeTTeTeene

eee

T BLWBWWWyx ···

yN

xN

yN

xN

]·,...,[y

wx

w),(wene

ene

e1

e1

1e


. Obsérvese que el vector WT (1xn), con los coeficientes de la función de pruebagenérica w(x,y)=WT·N(x,y)T, siendo N(x,y) T el vector columna de funciones de forma, se puede particionar, e igualmente el vector de temperatura en nodos d, en :* WE , dE: asociados a los nodos de bordes con condiciones esenciales; WE seránulo para que las funciones w(x,y) de prueba se anulen en esos bordes (en susnodos) donde se impone el valor de T(x,y), que se asignan en dE en este caso.* Wr , dr: el resto de los coeficientes. Así:

Conducción del calor 2D. Forma débil. Podemos sustituir las expresiones anteriores en la formulación ‘débil’

(En prog. 2DBVP, D se supone diagonal(kx,ky) se utiliza la notación kx·(u /x)·nx+ ky·(u /y)·ny=alpha·u+beta, en el borde. Así la condición -k·(u/n) = qb , valor flujo en un borde, implica que beta=-qb )

rr

E

W0

W0W

W ,dr

E

dd


T

E

e

enanulesequeyxw

),(,·dΓq·w·f·dΩw=dΩT··DwE

1e

eE

1eΩ

Te

1Ω

eeeeq

ee

T

nx

E

e

TeTeeTe

xn

enanulesequeWvector

dqNdfNdLBBLeq

0]·····)··dΩ··D·[(·W

1

1ΩΩ

eeTe

1

Tee

Introduciendo las expresiones de interpolación de T(x,y) y de w(x,y):

. De esta ecuación se puede identificar fácilmente:


eq

ee Γ

Te

Ω

Tee

Ω

eeTee ·dΓqN·f·dΩNF,·dΩ·B·DBK

Tx

E

e

eTeE

e

eeTe

xn

T Γenanulesequew(x,y)·FL·d·L·KL·W

11111

0

. Y se puede escribir la ‘forma débil’ así:

E

e

eTe

n

E

e

Te

nnFLFLLK

111

ee ·,·K·

. Se tienen la matriz K de “rigidez” global y el vector F de “cargas”:

En el 2º factor, vector (nx1) entre corchetes, se habrán de anular las componentes correspondientes a los índices de nodos en que no se imponen condiciones esenciales. Ahí está el sistema de ecuaciones que da la solución.


T

nx

E

e

TeTeeTe

xn

enanulesequeWvector

dqNdfNdLBBLeq

0]·····)··dΩ··D·[(·W

1

1ΩΩ

eeTe

1

Tee

. Con la partición del vector de coeficientes W (WE ; Wr), y las correspondientes en K y F, la forma débil se escribe, llamando RE=KE·dE+KEr·dr-FE ,Rr=KrE·dE+Kr·dr-Fr :

Conducción del calor 2D. Resolución

Así se opera en el programa 2DBVP (Matlab). El vector RE tiene que ver con los flujos en los bordes con condiciones de contorno ‘esenciales’, se puede calcular tras obtener dr .

0]·,0[-·]·,0[-·]·,[

r

ETr

TE

r

E

r

E

rrE

ErETr

TE

r

ETr

TE R

RWW

FF

dd

KKKK

WWFUU

KWW

[WET=0]·RE+ Wr

T·Rr=0 , que se ha de cumplir Wr , lo que implica que: Rr=0 (RE no tiene por qué serlo, su valor no es conocido a priori)

r

EE

r

E

rrE

ErE

FRF

dd

·KKKK

que es el sistema que da las temperaturas dr en los nodos en que es desconocida.


Es decir, KrE·dE+Kr·dr-Fr=0 , y puesto que dE es conocido (condiciones esenciales):

WT·(K·d - F)=0 (11)

T

E

e

eTeE

e

eeTe

n

T Γenanulesequew(x,y)·FL·d·L·KL·W

11111

0

E

e

eTeE

e

Te FLFLLK11

ee ·,·K·

Kr·dr = Fr - KrE·dE

El sistema global K·D-F=RE;0 asociado a la formulación débil se puede escribir, con dEconocido y RE desconocido a priori:



Documents

Introducción al método de los Elementos Finitos en 2D · Introducción al método de los Elementos Finitos en 2D 1 Adaptado por Jaime Puig-Pey (UC) de:. Zabaras, N. Curso ‘FE