Interval Pouzdanosti

5/27/2018 Interval Pouzdanosti

1/16

1

INTERVALINTERVAL POUZDANOSTI ZA SREDNJU VREDNOSTPOUZDANOSTI ZA SREDNJU VREDNOST

2

StatistiStatistike metodeke metode

Statistikemetode

StatistiStatistikekemetodemetode

Deskriptivna

statistika

Deskriptivna

statistika

Inferencijalna

statistika

Inferencijalna

statistika

Testiranjehipoteze

Testiranjehipoteze

OcenjivanjeOcenjivanje


2/16

3

Inferencijalna statistika: dobijanje informacija o populaciji naInferencijalna statistika: dobijanje informacija o populaciji na osnovu uzorkaosnovu uzorka

Tri procedure u inferencijalnoj statisticiTri procedure u inferencijalnoj statistici

StatistiStatistiki parametriki parametri

Interval pouzdanostiInterval pouzdanosti

Testiranje hipotezeTestiranje hipoteze

Inferencijalna statistikaInferencijalna statistika

uzorakuzorak populacijapopulacija

4

ppopulaopulacciijaja

uzorakuzorak

Iz iste populacije se moIz iste populacije se moe odabrati vie odabrati vie uzorakae uzoraka

Svi uzorci neSvi uzorci nee imati identie imati identine karakteristikene karakteristike

Posledica:Posledica: razlirazliite statistiite statistike karakteristikeke karakteristike

uzorakuzorak

uzorakuzorak

uzorakuzorak uzorakuzorak

uzorakuzorak

uzorakuzorak

uzorakuzorak

uzorakuzorak

uzorakuzorak

GreGreka zbog korika zbog korienja uzorkaenja uzorka


3/16

5

RRaspodela srednjih vrednosti uzorakaaspodela srednjih vrednosti uzoraka

uzorakuzorak 44

4x

uzorakuzorak 11

1x uzorakuzorak 555x

uzorakuzorak 33

3x uzorakuzorak 222x

uzorakuzorak 66

6x

RaspodelaRaspodela srednjih vrednosti uzoraka sastoji se odsrednjih vrednosti uzoraka sastoji se od

,....x,x,x,x,x,x 654321

6

CentralCentralnana granigraninana tteoremeoremaa

AkoAkojeje populacijapopulacijanormalnormalnonodistribudistribuiranairana,, sa srednjom vrednosa srednjom vrednouu iistandardstandardnomnom devidevijjaacciijjoomm ,,

ssrednje vrednostirednje vrednostiuzorakauzoraka e imatie imati normalnormalnunuraspodeluraspodelu za bilo kojuza bilo koju

veliveliinu uzorkainu uzorka NN..

xx

xx

x

x x

x x

x

x


4/16

7


xx

xx

x

x

xxx x

x

xxx

Ako populacijaAko populacijanijenije normalnormalnonodistribudistribuiranairana,, sa srednjom vrednosa srednjom vrednouu

ii standardstandardnomnom devidevijjaacciijjoomm ,,

ssrednje vrednostirednje vrednostiuzorakauzoraka e imatie imati normalnormalnunuraspodeluraspodelu ako jeako jeveliveliina uzorkaina uzorka NN 3030

8


RaspodelaRaspodela srednjih vrednosti uzorakasrednjih vrednosti uzoraka ima srednju vrednost koja jeima srednju vrednost koja jejednakajednaka ssrednjoj vrednosti populacijerednjoj vrednosti populacije

Raspodela srednjih vrednosti uzoraka imaRaspodela srednjih vrednosti uzoraka ima standardstandardnunu devidevijjaacciijuju koja jekoja jejednakajednaka standardstandardnojnoj devidevijjaacciiji populacije podeljenoj kvadratnimji populacije podeljenoj kvadratnimkorenom izkorenom iz NN

naziva se inaziva se i standardstandardnanagregreka srednje vrednostika srednje vrednosti

srednja vrednost srednjihsrednja vrednost srednjihvrednosti uzorakavrednosti uzoraka

=x

standardna devijacijastandardna devijacijasrednjih vrednosti uzorakasrednjih vrednosti uzoraka

Nx =


5/16

9

1 6

==

=

=

55833.05.3

5n

x

x

1 6

==

==

102917.0

5.310n

x

x

1 6

==

==

251167.0

5.325n

x

x

je manje odje manje od to je N veto je N vee, to je manje.e, to je manje.

to je N veto je N vee, je blie, je bliee x

x

x


10


srednjasrednjavrednostvrednost

uzorkauzorka

140140

142142

144144

146146

148148

150150

152152uzorak

146 152

140 149

151 147

148 145

144 142

145 150142 146

141

x = 145,9Sd = 3,68

Pitanje: Da li je prava vrednostPitanje: Da li je prava vrednostpopulacije u ovom rasponu?populacije u ovom rasponu?

Odgovor:Odgovor: Malo verovatno!Malo verovatno!

Mali nivo pouzdanosti da jeMali nivo pouzdanosti da jeprava vrednost populacije uprava vrednost populacije uovom rasponuovom rasponu


6/16

11


srednjasrednjavrednostvrednostuzorkauzorka

140140

142142

144144

146146

148148

150150

152152uzorak

146 152

140 149

151 147

148 145

144 142

145 150

142 146

141

x = 145,9Sd = 3,68


Odgovor:Odgovor: Vrlo verovatno!Vrlo verovatno!

Umeren nivo pouzdanosti da jeUmeren nivo pouzdanosti da jeprava vrednost populacije uprava vrednost populacije uovom rasponuovom rasponu

12


srednjasrednjavrednostvrednost

uzorkauzorka

140140

142142

144144

146146

148148

150150

152152uzorak

146 152

140 149

151 147

148 145

144 142

145 150142 146

141

x = 145,9Sd = 3,68


Odgovor:Odgovor: ViVie nego sigurno!e nego sigurno!

Pouzdanost 100% da je pravaPouzdanost 100% da je pravavrednost populacije u ovomvrednost populacije u ovomrasponurasponu


7/16

13


Interval u kome moInterval u kome moemo da oemo da oekujemo (sa odrekujemo (sa odreenomeenomverovatnoverovatnoom) da se nalazi srednja vrednost populacijeom) da se nalazi srednja vrednost populacije

toto iri interval, to bolje?iri interval, to bolje? NE !!NE !!

malamala irina intervalairina intervala mala verovatnomala verovatnoa da se u njemu nalazia da se u njemu nalazisrednja vrednost populacijesrednja vrednost populacije

velikavelika irina intervalairina intervala velika verovatnovelika verovatnoa da se u njemu nalazia da se u njemu nalazisrednja vrednost populacije, ali mala vrednost zakljusrednja vrednost populacije, ali mala vrednost zakljukaka

IzraIzraunata statistiunata statistikakaveliveliinaina


Granica pouzdanostiGranica pouzdanosti(gornja)(gornja)

Granica pouzdanostiGranica pouzdanosti(donja)(donja)

14

Granice pouzdanosti za srednju vrednostGranice pouzdanosti za srednju vrednost

populacionipopulacioni pparametarametaar =r =izraizraunata vrednostunata vrednost gregrekaka

x

x

xx

x

zx

zx

zgreka

grekaz

grekax

xz

uzorakavrednosti.srraspodela

xgreka-x

grekax

=

=

=

=

=

=

==

=


8/16

15

Granice pouzdanosti za srednju vrednostGranice pouzdanosti za srednju vrednost

Raspodela greRaspodela greke srednje vrednostike srednje vrednosti

x58,2 x65,1 +x96,1

90%90% uzorkauzorka

95%95% uzorkauzorka

99%99% uzorkauzorka

x65,1 x58,2 +x96,1 +

xzx =

Nx

=

x

16

NivoNivoznaznaajnostiajnosti

1 - /2/2

x

Nivo znaNivo znaajnostiajnosti -- verovatnoverovatnoaa da seda se nepoznata srednjanepoznata srednja

vrednostvrednost populacijepopulacije (()) nalazi unutar intervalanalazi unutar intervala OznaOznaava se saava se sa (1(1 -- ) %) %

je verovatnoje verovatnoa daa da srednja vrednost populacijesrednja vrednost populacije nijenije unutarunutarintervalintervalaa

TipiTipine vrednosti sune vrednosti su 99%, 95%, 90%99%, 95%, 90%


9/16

17

IzraIzraunavanje intervalaunavanje intervalapouzdanostipouzdanosti

Pretpostavke:Pretpostavke: Populaciona standardna devijacija je poznataPopulaciona standardna devijacija je poznata

Populacija je normalnoPopulacija je normalno distribuiranadistribuirana

Koristi se z vrednost za dvostrani testKoristi se z vrednost za dvostrani test

IntervalInterval pouzdanosti je:pouzdanosti je:

Nzx

Nzx

Nzx

/2/2

2/

+

=

NNapomenaapomena: 99%: 99% ZZ == 22,,58,58, 95%95% ZZ == 11,,96 ,96 , 990%0% ZZ == 11,,6565

18

Interval pouzdanostiInterval pouzdanosti --primerprimer

Merenje zapremine boca od 2 L:Merenje zapremine boca od 2 L:

N = 100N = 100 xxsrsr = 1= 1,,9999 L,L, == 0,080,08 LL

KojaKojajeje irinairina intervalaintervala pouzdanosti zapouzdanosti za srednjusrednju vrednost populacije zavrednost populacije zanivo znanivo znaajnostiajnosti 90%90%??

zz/2/2 = 1,645= 1,645

003,21,977100

0,081,6451,99

100

0,081,6451,99

N

zx

N

zx /2/2

+

+


10/16

19

Uticaj razliUticaj razliitih faktoraitih faktora

NaNa irinu intervala pouzdanostiirinu intervala pouzdanosti utiutiu:u: nivo znanivo znaajnostiajnosti

veliveliina uzorkaina uzorka

varijacija (velivarijacija (veliina standardneina standardne devijacije)devijacije)

nivo znanivo znaajnostiajnosti

veliveliina uzorkaina uzorka

varijacijavarijacija

irina intervalairina intervala

++

++

20

Uticaj nivoa znaUticaj nivoa znaajnostiajnosti

MerenjeMerenje zapremine boca od 2 L:zapremine boca od 2 L:

NN = 100= 100 xxsrsr = 1= 1,,9999 L,L, == 0,080,08 LL

IntervalInterval pouzdanosti zapouzdanosti za srednjusrednju vrednost za:vrednost za:

nivo znanivo znaajnosti 90%ajnosti 90% -- zz/2/2 = 1,645= 1,645



N

zx

N

zx /2/2 +


11/16

21


003,21,977100

0,081,6451,99

100

0,081,6451,99

+

006,21,974100

0,081,961,99

100

0,081,961,99

+

011,21,9691000,0858,21,99

1000,0858,21,99

+

nivo znanivo znaajnosti 90%ajnosti 90%



22

Uticaj veliUticaj veliine uzorkaine uzorka


xxsrsr = 1= 1,,9999 L,L, == 0,080,08 LL

IntervalInterval pouzdanosti zapouzdanosti za srednjusrednju vrednost za nivovrednost za nivoznaznaajnosti 90%ajnosti 90% -- zz/2/2 = 1,645= 1,645

N = 100N = 100

N = 25N = 25

N = 9N = 9

N

zx

N

zx /2/2 +


12/16

23


003,21,977100

0,081,6451,99

100

0,081,6451,99

+

016,21,96425

0,081,6451,99

25

0,081,6451,99

+

N = 100N = 100

N = 25N = 25

N = 9N = 9

034,21,94690,081,6451,99

90,081,6451,99

+

24

Uticaj standardne devijacijeUticaj standardne devijacije


N = 100, xN = 100, xsrsr = 1= 1,,9999 L,L, == 0,080,08 LL

IntervalInterval pouzdanosti zapouzdanosti za srednjusrednju vrednost za nivovrednost za nivoznaznaajnosti 90%ajnosti 90% -- zz/2/2 = 1,645= 1,645

= 0,08 L= 0,08 L

= 0,16 L= 0,16 L

= 0,04 L= 0,04 L

N

zx

N

zx /2/2 +


13/16

25

Uticaj standardne devijacijeUticaj standardne devijacije

003,21,977100

0,081,6451,99

100

0,081,6451,99

+

016,21,964100

0,161,6451,99

100

0,161,6451,99

+

= 0,08 L= 0,08 L

= 0,16 L= 0,16 L

= 0,04 L= 0,04 L

997,11,983100

0,041,6451,99100

0,041,6451,99

+

26

IzraIzraunavanje intervala pouzdanostiunavanje intervala pouzdanosti

Pretpostavke:Pretpostavke:

Populaciona standardna devijacija NIJE poznataPopulaciona standardna devijacija NIJE poznata

Populacija je normalno distribuiranaPopulacija je normalno distribuirana

VrednostVrednost zz se zamenjuje sase zamenjuje sa tt iziz StudentoveStudentove raspodeleraspodele (za dvostrani(za dvostranitest)test)

Izraz za izraIzraz za izraunavanje glasi:unavanje glasi:

N

Sdtx

N

Sdtx

N

Sdtx

1-N/2,1-N/2,

1N,2/

+

=


14/16

27

Interval pouzdanostiInterval pouzdanosti --primerprimer

Kod grupe od 15 studenata merena je proseKod grupe od 15 studenata merena je prosena duna duina sna u tokuina sna u tokunonoii

xxsrsr = 6,4= 6,4 ,, SdSd = 1,0= 1,0

dfdf = 15= 15--1 = 14 t1 = 14 t0,05, 140,05, 14 = 2,145= 2,145

Koji jeKoji je intervalinterval pouzdanostipouzdanosti za nivo znaza nivo znaajnosti 95% zaajnosti 95% za proseprosenonovreme spavanja svih studenata ?vreme spavanja svih studenata ?

95,65,85

0,556,415

12,1456,4

N

Sdtx 14,05,0

===

Interval pouzdanosti je 5,85 do 6,95Interval pouzdanosti je 5,85 do 6,95 asovaasova

28

StudentStudent--ova tova t--raspodelaraspodela

tt zavisi od broja stepenazavisi od broja stepena slobode (manji broj stepena slobodeslobode (manji broj stepena slobode vevea vrednost t)a vrednost t)

za maliza mali uzorak (mala vrednost N) vrednostuzorak (mala vrednost N) vrednost ttjeje veveaa ododvrednostivrednosti zz za isti nivo znaza isti nivo znaajnostiajnosti

za N =za N = 120 vrednost120 vrednost ttje skoroje skorojednaka vrednostijednaka vrednosti zz

zztt00

t (t ( = 5)= 5)

sstandardtandardizovanaizovanannormalormalna raspodelana raspodela

t (t ( = 13)= 13)


15/16

29

t vrednost i zavisnost od brojat vrednost i zavisnost od broja

stepeni slobodestepeni slobode

0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0005 P

0,20 0,10 0 ,05 0,02 0,01 0,001 2P

1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636,619

2 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31,598

3 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12,924

4 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8,610

5 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 6,869

6 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5,959

7 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5,408

8 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5,041

9 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4,781

10 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4,587

11 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4,437

12 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4,318

13 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4,221

30

PoreenjePoreenje vrednosti t i zvrednosti t i z

t (za )nivoznaajnosti 5 25 120

z

90% 2,015 1,708 1,658 1,645

95% 2,571 2,060 1,98 1,96

99% 4,032 2,787 2,617 2,575

zaza malimali uzorakuzorak tt interval je veinterval je vei odi od zz intervalaintervala

kakokako se N povese N poveavaava tt se smanjuje ise smanjuje i tt intervalinterval postajepostajeskoroskorojednakjednak zz intervaluintervalu


16/16

31

OptimalnaOptimalna veliveliinaina uzorkauzorka

NeNe elim da uzorakelim da uzorakbude ni suvibude ni suvie velikie velikini suvini suvie mali!e mali!

2

22

greka

zN

Nzgreka

N

greka

N

xz

=

=

=

=

32

OptimalnaOptimalna veliveliina uzorkaina uzorka --primerprimer

Iz pilot studije je dobijenaIz pilot studije je dobijena SdSd = 0,65= 0,65 mmolmmol/L za/L zaholesterolholesterol u populaciji deceu populaciji dece

Koji je optimalan broj za 95% ocenjivanje rezultata akoKoji je optimalan broj za 95% ocenjivanje rezultata akoje dozvoljena greje dozvoljena greka 0,05ka 0,05 mmolmmol/L/L

6490,05

0,651,96

greka

z

N 2

22

2

22

=

==

Documents

Interval Pouzdanosti