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INTERSEZIONI DI CONI QUADR1CI

di Francesco Amato (*) (Messina)

SUMMARY. We interprete the n - 1 quadratic equation of a homogeneous system as

quadric cones of a n-dimensional space En and we give a sufficient condition for these cones

to have common real generating lines. In the particular case of n ~ 3, we give a necessary

and sufficient condition.

1. - Dato un sistema di n - 1 equazioni quadratiche omogenee

(i) ' ( ~ = 1 . . . . . n ~ l )

d o v e i c . . . . . , c~ sono costanti reali, ci possiamo domandare sotto quali condi-

zioni questo sistema ammette soluzioni reali helle incognite x~ . . . . . xn diverse 2 dalla soluzione nulla. Ponendo xi = yt ne risulta che si tratta di risolvere, neile

incognite Yt, un sistema iineare omogeneo, imponendo la condizione che le in-

cognite y~ siano non negative e non tutte nulle. Ricordiamo che un tale problema

s'incontra nella programmazione lineare [1].

A! nostro problema si pub dare un'interpretazione geometrica, considerando

le n - 1 equazioni (1) come equazioni di coni quadrici Q,, con il vertice nel-

l'origine dello spazio euclideo E.(x , , x= . . . . , x.). Cosicch~ trovare le soluzioni

reali equivale a trovare le generatrici reali comuni ai coni Q=.

(*) Lavoro eseguito nell'ambito del O. N. S. A. (3. A. del C. N. R..

II'qTEEfIBglOm DI CONI QUADRICI 2 4 5

Osserviamo adesso the le costanti c~ ( i = 1, . . . , n) possono essere consi-

derate, per un assegnato i, come le componenti di un vettore v i hello spazio

euclideo En_1, in quanto che l'indice = varia da 1 a n - 1. Dunque, dare le

equazioni (1), equivale a dare n vettori

v ~ (c~ . . . . . e L ,) (i = 1 . . . . . n)

hello spazio E._I. Possiamo supporre, poi, che ciascuno di questi vettori sia

diverso da zero, perch~ se uno dei vettori fosse zero, per esempio v i, il si-

sterna (1) non conterebbe la variabile xt e quindi il sistema avrebbe sempre

almeno la soluzione

x~ -~ O, x ~ = O , . . . . x . - = O .

Detto cib, consideriamo nello spazio E,_I ii

ortogonale ai vettori v 2 , . . . , v"-~; si ottiene, in

equazioni :

vettore u (u i, u ~ . . . . , u"- ' )

conseguenza, ii sistema di

(2) u' e; + . . . + tr '- , c'.,_, = o, ( s = 2 . . . . . n - - D .

Moltiplichiamo adesso le equazioni (1) rispettivamente per u" (~=I , 2, ..., n - - l )

e sommiamo membro a membro. Tenendo conto delle (2), si ricava:

(3) Dx~ -I- ~ ' " 2 Ls X , , = O

dove si ~ posto:

D = u'c: + . . . + u"-'c'._,,

D i n 1 n = u c, + . . . + u ~ -~e n M--I �9

Le (2), tenendo presente la teoria dei sistemi lineari omogenei, ci dicono

che possiamo considerare u t, u ~, . . . , u "-1 rispettivamente uguali ai minori, con

segno, della matrice

i C2 2 r - $ 3 3

Ct Cs �9 . . C,~_ I ) . . . ~ . . . . . . . . �9

\ C x ' | rn-1 C n - I / \ I ~2 �9 �9 �9 n - - l , t

246 VnA~CESCO AM&TO

Ne viene, pertanto, che D e D ~ sono daft rispettivamente dai determinanti:

(4) D =

I I I C 1 C 2 . o . C n _ 1

2 2 2 I

Cl C2 . . . Cn_ l

I . . . . . . , . , �9

i ~ , n - - I p n - - I ~ , n - - I ]

- - 1 ~ 2 . . . . n - - I I

D i n

c~ c~' c" �9 " " n ~ |

2 2 C2 Cl C2 �9 �9 �9 n - I

�9 �9 . �9 �9 �9 o �9 �9 .

~ ~ �9 n - - 1

e si vede che D in si ottiene da D sostituendo al posto della prima riga, for-

mata dalle componenti del vettore v i, quella delle componenti del vettore v n.

Osserviamo ora che la (3) si ~ ottenuta escludendo dall'ortogonalit/~ il

vettore vL Ne risulta quindi, escludendo dall'ortogonalit~ il generico vettore v i

(i-----1, 2 , . . . , n - - 1 ) , c h e l a (3) diventa:

( 3 ' ) D x2t --~ D in x2n = 0 ( i~ -1 , 2 . . . . , n - - l )

dove D i~ ~ il determinante che si ottiene da D quando, al posto delle compo-

henri del vettore v i ( i = 1 , 2, . . . , n - - l ) , si sostituiscono le componenfi del

vettore v ~. Abbiamo dunque, supponendo che D sia diverso da zero, le formule:

D D in 2

(5) x, = D' x'., ( i - - 1 , 2 , . . . , n - - l ) .

Ne segue che il sistema (1) ha soluzioni reali se si ha:

D D ~ .~< 0,

Ora abbiamo, per D D i~ la formula:

( i = 1 , 2 , . . . , n - - l ) .

O D i n

V i X v n V 2 X v n . . . V n - i X v n

Y t X v 2 p 2 X v z . . . Y n - t X p ~

�9 �9 o , �9 ~ . . . . . . . o . . . . . ~ �9

. . . . . . . , . �9 o . ~ �9 , o �9 o ~ , �9

p i ~ p n - - i I ;2 ~ 1 ) n - t �9 �9 �9 1 / a - i X 1 ~ n - i

dove v i X vY ~ il prodotto scalare dei vettori v i, vJ. Siccome si ha:

v i X vJ ~ l t l j c o s Oij

dove 0~j ~ l'angoio dei vettori v i, vJ e l ~, I j rispettivamente le loro lunghezze,

l ~ m s m o m ut corn OuADmCz 247

si r i c a v a la f o r m u l a

(6)

d o v e AI~ ~ d a t o dal d e t e r m i n a n t e

(7) ~ l . =

D D TM = l ' l ' ( l ' ) ' . . . ( I ' - ' ) ' A I ~

COS 0tn COS 02n . . . COS On-I,n

COS 012 1 . . . COS 0/1-1,2

cOS 0t,n-i COS 02,n-I . . . 1

Ne r i s u l t a che q u e s t o d e t e r m i n a n t e d e v e e s s e r e n e g a t i v o .

V o g l i a m o m o s t r a r e a d e s s o , che u n a c o n d i z i o n e suf f ic ien te p e r c h ~ il s i s t e -

m a (1) a b b i a s o l u z i o n i reali ~ che i c o s e n i degl i a n g o l i 0 U s i a n o n e g a t i v i , o s s i a

che gli a n g o l i 0 U s i a n o o t tus i .

Infat t i , se s i a m o nel c a s o n = 3, il d e t e r m i n a n t e Ats si s c r i v e :

co s 0is c o s 023 Ata ~--- / = C O S 0 1 3 ~ C O S 0 2 3 C O S 0 1 2

c o s 012

e q u e s t o d e t e r m i n a n t e ~ e v i d e n t e m e n t e n e g a t i v o se tut t i i c o s e n i s o n o nega t iv i .

Lo s t e s s o va l e pe r il d e t e r m i n a n t e

A23 COS 023 COS 01s

Cos 012 1 = COS 023 - - COS 012 COS 013.

(8)

T e n e n d o poi c o n t o che si h a :

i Cos 012 . . . COS Ol,n-I

COS 021 l . . . COS 02 ,n - - i

/)2 = ( l ' ) ' . . . ( / ' - ' ) ' . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c o s %-~.t co sOn- t , 2 . . . 1

ne v i e n e t h e pe r n - - - - 3 , si o t t i e n e :

D z ___ (l~) 2 (12) 2 s e n ~ 0t~

248 ,sAr~causco , - ,To

cosicch~ le formule (5), in ques to caso, si scr ivono:

(9)

S e n ~ 4 si ha:

i ~ ( c o s Oz3 - - c o s Oz3 c o s 0~2) x ~, l ~ sen z 012

x:= l ~ (cos 023 - - cos % cos 013) x ~ , l= s e n 2 012

~14

cos 0~4 cos 024 cos 0341

COS 012 | COS 023 .

c o s 013 c o s 023 !

Quindi il determinante A14 si scrive:

AI4 = d~ cos 014 -I- de cos Oz4 -I- ds cos 034

dove abb iamo pos to :

(I0) d l = sen: 023, cos 0~2 cos 023 1 cos 0~3 cos 023

- - I , d $ ~--- - - , d2 = cos0~3 I [ cos0z2 1

ne risulta che d l , d~, d s sono positivi se i cos 0q sono negatlvi, dunque : A14

negativo se i coseni degli angoli sono negativi.

I~ facile vedere c h e l a propriet~ ~ vera per n qualunque. Infatti, se suppo-

niamo che sia vera per n, ne risulta che ~ vera anche per n ~ I, in quanto

che si ha:

At,n+1 = d l cos 01,n+i --I- d2 cos 0a, n+1 -+- �9 �9 �9 Jc- dn cos On, n+1

dove i determinanti dl, dz, . . . , dn sono positlvi, e ssendo dl quello che figura

nella formula (8) e d2, . . . , (In determinantl del tipo (7).

Abbiamo dunque il teorema:

Gli n - I coni quadrici hanno generatrici reali in comune se g l i angoli dei

vettori v ~, v ~, . . . , v n sono ottusi.

2. - Consider iamo adesso il caso particolare n ~ 3. In ques to caso i tre

coseni cos 01z, cos 0~3, cos 02s, devono verificare le condizioni:

cos 023 cos 0~2 > cos 0~3 (11)

cos 0~2 cos 0~3 > cos (~

che sono evidentemente verificate se questi coseni sono tutti negativi.

=~=assmom m corn QUADmCl 249

Supponiamo che siano invece tutti positivt. Con tale ipotesi le (1I) non

possono essere verificate essendo i coseni delle quantith inferiore all'unit/L

Supponiamo allora che dei tre coseni suddetti ve ne sia uno positivo e

uno negativo, ossia si abbia:

cos 013 = p=, cos Oz3 = - - q~, ( O < p < 1, O < q < 1).

Sotto questa ipotesi la prima delle (11) ci dice che cos 01~ deve essere altresi

negativo. Cosicch~, pos to :

si deve avere:

COS 0 1 2 : - - r 2

p= < q2 r =, ( p < q , p < r ) .

N e v i e n e quindi il t e o r e m a :

Dati due coni quadrici in Es, di equazioni:

(12) I a x ~ "t- b f -t- c z ~ = 0

= x ~ -t- ~ f -t- "r z 2 = 0

essi hanno quattro generatrici reali in comune se i tre vettori del piano

v' (a, =), v (b, v (c,

formano angoli ottusi, oppure uno acuto e clue ottusi con

diciamo Oj3 l'angolo acuto e Ol~, Oz3 quelli ottusi si abbia:

cos 0~3 < cos 0~2 cos 023.

la condizione c h e s e

Si pub dare un'altra forma a questo teorema, lnfatti, le (12) si

scrivere sot to la forma

X z y2 Z 2

b T - - ~ c c = - - a y a ~ - - b ~

possono

Queste equazioni ci danno valori reali per x, y, z se le quantitY:

(13) by - - ~c, c~ - - ay , a~ - - b,~,

250 ~ c ~ c o A , - ,~

s o n o de l lo s t e s s o segno . P o n e n d o :

a ~ 11 cos Oi,

b = l ~ c o s 0~,

c = 1 ~ cos 03,

~--- l ' sen 01,

= l ' s en 02,

Y ~ 13 sen 03,

ne r i su l ta che gli angol i dei ve t tor i v ], v ~, v 3 s o n o dat i da l le f o r m u l e :

012 ~ 02 ~ 01,

e le quant i t / t (13) d i v e n t a n o

I~13 sen 0 ~ , /I /3 s en 03m,

da cui s egue che i seni

sen 023,

023 ~ 0 3 - - 02, 03~ ----- OI - - 03,

1 ~ 12 sen 012,

sen 03~, sen 0~2,

d e v o n o a v e r e Io s t e s s o s e g n o ; ed ~ faci le v e d e r e che q u e s t o r i su l t a to ~ equ i -

va l en t e al p r eceden t e .

Messina, Dicembre 1975.

BIBLIOORAFIA

[I] L. Muracchini, Programmazione matematlca, Unione Tipograflca Editrice Torinese, 1969.