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DESCRIPTION
They are so beautiful. I picked up some determinants from the textbook I'm using, some from Wolfram, some are calculated by myself. Please send an e-mail as soon as you find a mistake.
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Interesting Determinant Formulas
経瑠姉楕羅http://heruneedollar.web.fc2.com/E-mail:[email protected]
March 2, 2010
|(aij)| =∑σ∈Sn
(sgn σ)n∏
i=1
aiσ(i) (1)
∣∣∣∣∣∣(s − a)p ap ap
bp (s − b)p bp
cp cp (s − c)p
∣∣∣∣∣∣ =
s3
abc(s−a)2(s−b)2(s−c)2
[(s−2a)(s−2b)(s−2c)
abc + 2]
(p = −2)1
(s−a)(s−b)(s−c)
[(s−2a)(s−2b)(s−2c)
abc + 4]
(p = −1)
4abc (p = 1)2abcs3 (p = 2)a2b2c2
[3s3(st − 3) + 4abc
](p = 3)(
s = a + b + c, t =1a
+1b
+1c
)(2)
∣∣∣∣∣∣∣∣(s − a)p ap ap ap
bp (s − b)p bp bp
cp cp (s − c)p cp
dp dp dp (s − d)p
∣∣∣∣∣∣∣∣=
2s4
abcd(s−a)2(s−b)2(s−c)2(s−d)2
[− (s−2a)(s−2b)(s−2c)(s−2d)
abcd − st + 4]
(p = −2)2
(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)
[− (s−2a)(s−2b)(s−2c)(s−2d)
abcd − 2st + 8]
(p = −1)
4abcd (st − 4) (p = 1)2abcds4 (st − 4) (p = 2)(
s = a + b + c + d, t =1a
+1b
+1c
+1d
)(3)
|(aij)| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x0 x1 x2 x3 · · · xn−1 1x1 x0 x2 x3 · · · xn−1 1x1 x2 x0 x3 · · · xn−1 1
x1 x2 x3 x0 · · ·...
......
......
.... . . xn−1 1
x1 x2 x3 · · · xn−1 x0 1x1 x2 x3 · · · xn−1 xn 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
n∏k=1
(x0 − xk) , aij =
1 (j = n + 1)xj−1 (i < j, j≤n)x0 (i = j, j≤n)xi (j < i, j≤n)
(4)
1
|(xl)| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x0 x1 x2 x3 · · · xn−1 xn
x1 x0 x2 x3 · · · xn−1 xn
x1 x2 x0 x3 · · · xn−1 xn
x1 x2 x3 x0 · · ·...
......
......
.... . . xn−1 xn
x1 x2 x3 · · · xn−1 x0 xn
x1 x2 x3 · · · xn−1 xn x0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
(n∑
k=0
xk
)[n∏
k=1
(x0 − xk)
]
, l =
j − 1 (i < j)0 (i = j)j (j < i)
(5)
Vandermonde matrix
∣∣(xij−1)∣∣ =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 x1 x12 x1
3 · · · x1n−1
1 x2 x22 x2
3 · · · x2n−1
1 x3 x32 x3
3 · · · x3n−1
......
......
......
1 xn xn2 xn
3 · · · xnn−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∏i<j
(xj − xi) (6)
Circulant matrix
|(xj−i mod n)| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x0 x1 x2 x3 · · · xn−1
xn−1 x0 x1 x2 · · · xn−2
xn−2 xn−1 x0 x1 · · · xn−3...
......
.... . .
...x2 x3 x4 x5 · · · x1
x1 x2 x3 x4 · · · x0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∏
ζn=1
(n−1∑k=0
ζkxk
)(7)
|(aij)| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x −1 0 0 · · · 0 00 x −1 0 · · · 0 0
0 0 x −1. . .
......
......
. . . . . . . . . 0 00 0 · · · 0 x −1 00 0 · · · 0 0 x −1c0 c1 · · · cn−4 cn−3 cn−2 cn−1 + cnx
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
n∑k=0
ckxk (8)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 x2 x3 x4 · · · xn
x2 x2 x3 x4... xn
x3 x3 x3 x4... xn
x4 x4 x4 x4...
...... · · · · · · · · · . . . xn
xn xn xn · · · xn xn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= xn
n−1∏k=1
(xk − xk+1) (9)
2
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 x1 x2 · · · xn−1 xn
x1 1 0 · · · 0 0
x2 0 1. . .
......
......
. . . . . . 0 0xn−1 0 · · · 0 1 0xn 0 · · · 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −
n∑k=1
xn2 (10)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 + x1 1 1 · · · 1 11 1 + x2 1 · · · 1 1
1 1 1 + x3. . .
......
......
. . . . . . 1 11 1 · · · 1 1 + xn−1 11 1 · · · 1 1 1 + xn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
(1 +
n∑k=1
1xk
)(n∏
k=1
xk
)(11)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a b b · · · b bb a b · · · b b
b b a. . .
......
......
. . . . . . b bb b · · · b a bb b · · · b b a
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (a − b)n + nb(a − b)n−1 (n×n matrix) (12)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x0 x1 x4 x9 · · · xn2−2n+1
x3 x2 x5 x10... xn2−2n+2
x8 x7 x6 x11... xn2−2n+3
x15 x14 x13 x12... xn2−2n+4
... · · · · · · · · · . . ....
xn2−1 xn2−2 xn2−3 xn2−4 · · · xn2−n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= x
13(n3−n)
n−1∏k=1
(1 − x2k
)(13)
3
Proofs of the above determinants, or rather, just derivations.
|(aij)| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x0 x1 x2 x3 · · · xn−1 1x1 x0 x2 x3 · · · xn−1 1x1 x2 x0 x3 · · · xn−1 1
x1 x2 x3 x0 · · ·...
......
......
.... . . xn−1 1
x1 x2 x3 · · · xn−1 x0 1x1 x2 x3 · · · xn−1 xn 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x0 − x1 x1 − x0 0 0 · · · 0 0x1 x0 x2 x3 · · · xn−1 1x1 x2 x0 x3 · · · xn−1 1
x1 x2 x3 x0 · · ·...
......
......
.... . . xn−1 1
x1 x2 x3 · · · xn−1 x0 1x1 x2 x3 · · · xn−1 xn 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (x0 − x1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x0 x2 x3 · · · xn−1 1x2 x0 x3 · · · xn−1 1
x2 x3 x0 · · ·...
......
......
. . . xn−1 1x2 x3 · · · xn−1 x0 1x2 x3 · · · xn−1 xn 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
− (x1 − x0)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 x2 x3 · · · xn−1 1x1 x0 x3 · · · xn−1 1
x1 x3 x0 · · ·...
......
......
. . . xn−1 1x1 x3 · · · xn−1 x0 1x1 x3 · · · xn−1 xn 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
(comes to 0 by the firstand last column
)
= (x0 − x1)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x0 x2 x3 · · · xn−1 1x2 x0 x3 · · · xn−1 1
x2 x3 x0 · · ·...
......
......
. . . xn−1 1x2 x3 · · · xn−1 x0 1x2 x3 · · · xn−1 xn 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
...
=n∏
k=1
(x0 − xk) (14)
4
Dn =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x0 x1 x2 x3 · · · xn−1 xn
x1 x0 x2 x3 · · · xn−1 xn
x1 x2 x0 x3 · · · xn−1 xn
x1 x2 x3 x0 · · ·...
......
......
.... . . xn−1 xn
x1 x2 x3 · · · xn−1 x0 xn
x1 x2 x3 · · · xn−1 xn x0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x0 x1 x2 x3 · · · xn−1 xn
x1 x0 x2 x3 · · · xn−1 xn
x1 x2 x0 x3 · · · xn−1 xn
x1 x2 x3 x0 · · ·...
......
......
.... . . xn−1 xn
x1 x2 x3 · · · xn−1 x0 xn
0 0 0 · · · 0 xn − x0 x0 − xn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (x0 − xn)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x0 x1 x2 x3 · · · xn−1
x1 x0 x2 x3 · · · xn−1
x1 x2 x0 x3 · · · xn−1
x1 x2 x3 x0 · · ·...
......
......
. . . xn−1
x1 x2 x3 · · · xn−1 x0
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣− (xn − x0)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x0 x1 x2 x3 · · · xn
x1 x0 x2 x3 · · · xn
x1 x2 x0 x3 · · · xn
x1 x2 x3 x0 · · ·...
......
......
. . . xn
x1 x2 x3 · · · xn−1 xn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (x0 − xn)Dn−1 − (xn − x0)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x0 − x1 x1 − x2 x2 − x3 x3 − x4 · · · 00 x0 − x2 x2 − x3 x3 − x4 · · · 00 0 x0 − x3 x3 − x4 · · · 0...
.... . . . . . · · ·
...0 · · · 0 0 x0 − xn−1 0x1 x2 x3 · · · xn−1 xn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (x0 − xn)Dn−1 + xn(x0 − xn)
n−1∏k=1
(x0 − xk)
= (x0 − xn)Dn−1 + xn
n∏k=1
(x0 − xk)
=...
= (x0 − xn)(x0 − xn−1) · · · (x0 − x1)D0 +
(n∑
k=1
xk
)[n∏
k=1
(x0 − xk)
]
=
(n∑
k=0
xk
)[n∏
k=1
(x0 − xk)
](15)
5
|(aij)| =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x −1 0 0 · · · 0 00 x −1 0 · · · 0 0
0 0 x −1. . .
......
......
. . . . . . . . . 0 00 0 · · · 0 x −1 00 0 · · · 0 0 x −1c0 c1 · · · cn−4 cn−3 cn−2 cn−1 + cnx
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x −1 0 0 · · · 0 00 x −1 0 · · · 0 0
0 0 x −1. . .
......
......
. . . . . . . . . 0 00 0 · · · 0 x −1 00 0 · · · 0 0 0 −1c0 c1 · · · cn−4 cn−3 cn−2 + cn−1x + cnx2 cn−1 + cnx
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x −1 0 0 · · · 0 00 x −1 0 · · · 0 0
0 0 x −1. . .
......
......
. . . . . . . . . 0 00 0 · · · 0 0 −1 00 0 · · · 0 0 0 −1c0 c1 · · · cn−4 cn−3 + cn−2x + cn−1x
3 + cnx3 cn−2 + cn−1x + cnx2 cn−1 + cnx
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 −1 0 · · · 0 0
0 0 −1. . . 0 0
0 0 0. . .
......
......
. . . . . . 0 00 0 · · · 0 −1 00 0 · · · 0 0 −1
n∑k=0
ckxk
n∑k=1
ckxk−1 · · ·
n∑k=n−3
ckxk−n+3
n∑k=n−2
ckxk−n+2
n∑k=n−1
ckxk−n+1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
n∑k=0
ckxk (16)
6
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 x2 x3 x4 · · · xn
x2 x2 x3 x4... xn
x3 x3 x3 x4... xn
x4 x4 x4 x4...
...... · · · · · · · · · . . . xn
xn xn xn · · · xn xn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (x1 − x2)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x2 x3 x4 · · · xn
x3 x3 x4... xn
x4 x4 x4...
...... · · · · · · . . . xn
xn xn · · · xn xn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= (x1 − x2)(x2 − x3)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣x3 x4 · · · xn
x4 x4...
...... · · · . . . xn
xn · · · xn xn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
...
= xn
n−1∏k=1
(xk − xk+1) (17)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
0 x1 x2 · · · xn−1 xn
x1 1 0 · · · 0 0
x2 0 1. . .
......
......
. . . . . . 0 0xn−1 0 · · · 0 1 0xn 0 · · · 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−x12 x1 x2 · · · xn−1 xn
0 1 0 · · · 0 0
x2 0 1. . .
......
......
. . . . . . 0 0xn−1 0 · · · 0 1 0xn 0 · · · 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−x12 − x2
2 x1 x2 · · · xn−1 xn
0 1 0 · · · 0 0
0 0 1. . .
......
......
. . . . . . 0 0xn−1 0 · · · 0 1 0xn 0 · · · 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
−n∑
k=1
xn2 x1 x2 · · · xn−1 xn
0 1 0 · · · 0 0
0 0 1. . .
......
......
. . . . . . 0 00 0 · · · 0 1 00 0 · · · 0 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −
n∑k=1
xn2 (18)
7
Dn =
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 + x1 1 1 · · · 1 11 1 + x2 1 · · · 1 1
1 1 1 + x3. . .
......
......
. . . . . . 1 11 1 · · · 1 1 + xn−1 11 1 · · · 1 1 1 + xn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 + x1 1 1 · · · 1 01 1 + x2 1 · · · 1 0
1 1 1 + x3. . .
......
......
. . . . . . 1 01 1 · · · 1 1 + xn−1 −xn−1
1 1 · · · 1 1 xn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= xn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 + x1 1 1 · · · 11 1 + x2 1 · · · 1
1 1 1 + x3. . .
......
.... . . . . . 1
1 1 · · · 1 1 + xn−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣+ xn−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
1 + x1 1 1 · · · 11 1 + x2 1 · · · 1
1 1 1 + x3. . .
......
.... . . . . . 1
1 1 · · · 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= xnDn−1 + xn−1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x1 0 0 0 1
0 x2 0... 1
0 0 x3. . .
......
.... . . . . . 1
0 0 · · · 0 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= xnDn−1 +
1xn
n∏k=1
xk
=...
= xnxn−1· · ·x2D1 +
(n∑
k=2
1xk
)(n∏
k=1
xk
)
=
(1 +
n∑k=1
1xk
)(n∏
k=1
xk
)(19)
8
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a b b · · · b bb a b · · · b b
b b a. . .
......
......
. . . . . . b bb b · · · b a bb b · · · b b a
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= bn
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
a/b 1 1 · · · 1 11 a/b 1 · · · 1 1
1 1 a/b. . .
......
......
. . . . . . 1 11 1 · · · 1 a/b 11 1 · · · 1 1 a/b
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= bn
n∏k=1
(a
b− 1)(
1 +n∑
k=1
1a/b − 1
)
= bn(a
b− 1)n(
1 +n
a/b − 1
)= (a − b)n
(1 +
nb
a − b
)= (a − b)n + nb(a − b)n−1 (20)
9
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x0 x1 x4 x9 · · · xn2−2n+1
x3 x2 x5 x10... xn2−2n+2
x8 x7 x6 x11... xn2−2n+3
x15 x14 x13 x12... xn2−2n+4
... · · · · · · · · ·. . .
...xn2−1 xn2−2 xn2−3 xn2−4 · · · xn2−n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x0 − x2 x1 x4 x9 · · · xn2−2n+1
0 x2 x5 x10... xn2−2n+2
0 x7 x6 x11... xn2−2n+3
0 x14 x13 x12... xn2−2n+4
... · · · · · · · · ·. . .
...0 xn2−2 xn2−3 xn2−4 · · · xn2−n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=(x0 − x2
)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x2 x5 x10 · · · xn2−2n+2
x7 x6 x11... xn2−2n+3
x14 x13 x12... xn2−2n+4
... · · · · · ·. . .
...xn2−2 xn2−3 xn2−4 · · · xn2−n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=(x0 − x2
)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x2 − x6 x5 x10 · · · xn2−2n+2
0 x6 x11... xn2−2n+3
0 x13 x12... xn2−2n+4
... · · · · · ·. . .
...0 xn2−3 xn2−4 · · · xn2−n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=(x0 − x2
) (x2 − x6
)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x6 x11 · · · xn2−2n+3
x13 x12... xn2−2n+4
... · · ·. . .
...xn2−3 xn2−4 · · · xn2−n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
=(x0 − x2
) (x2 − x6
)∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x6 − x12 x11 · · · xn2−2n+3
0 x12... xn2−2n+4
... · · ·. . .
...0 xn2−4 · · · xn2−n
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
(x0 − x2
) (x2 − x6
) (x6 − x12
) ∣∣∣∣∣∣∣x12 · · · xn2−2n+4
.... . .
...xn2−4 · · · xn2−n
∣∣∣∣∣∣∣=
...=
(x0 − x2
) (x2 − x6
)· · ·(xn2−3n+2 − xn2−n
)xn2−n
=
[n−1∏k=1
(xk2−k − xk2+k
)]xn2−n
= x13 (n3−n)
n−1∏k=1
(1 − x2k
)(21)
From the next page, I show some graphs. Well, beautiful isn’t it? But is this function useful orimportant? Just beautiful to see? I don’t know whether or not it can be used as a tool to prove othertheorems. Maybe not, I guess.
10
Figure 1: Zeros of Re[f(z, 3)] shown in blue lines and zeros of Im[f(z, 3)] in red lines where
f(z, n) = z13(n3−n)
n−1∏k=1
(1 − z2k
)and z is a complex variable.
Figure 2: Zeros of Re[f(z, 4)] in blue lines and zeros of Im[f(z, 4)] in red lines. Actually, this graphis not true because it shows as if f(z) = 0 at all points in the area |z|≤0.4. Of cource, there’re onlyfinite zero points.
11
Figure 3: The same function as figure.2 with the range 0≤Re(z)≤1 and√
3/2− 1/2≤Im(z)≤√
3/2 +1/2. I expanded this range because f(1/2 + i
√3/2, 4) = 0. Of course you can see zero point at
z = 0 + i.
Figure 4: The same function as figure.2 with the range 1/2≤Re(z)≤3/2 and −1/2≤Im(z)≤1/2. Iused wxMaxima 0.8.4 and GRAPES 6.75a to plot all the figures.
12
