Intercambio calor por conducción 14

8/13/2019 Intercambio calor por conduccin 14

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Intercambio de Calor por Conduccin 581

Introduccin a la Termodinmica Jorge A. Rodriguez

CAPITULO 14

INTERCAMBIO DE CALOR POR CONDUCCION

14.0 Introduccin. Modos de transmisin del calorEl calor es una forma de transferir energa que se manifiesta por causa de la diferencia de temperatura.Imaginemos una fuente de calor en un da muy fro. Si tenemos fro nos colocamos ante ella de frente o deespaldas, pero muy raramente de perfil, porque intuitivamente sabemos que el calor que recibimos es direc-tamente proporcional a la superficie expuesta. El calor emitido por radiacin es inversamente proporcionalal cuadrado de la distancia a la fuente y directamente proporcional a la superficie que la recibe, por eso sitenemos mucho fro tratamos de acercarnos lo mas posible a la fuente. Pequeas diferencias de temperatu-ra de la fuente influyen mucho en la cantidad de calor recibida, por lo que intuimos que depende de la tem-peratura elevada a una potencia grande, mayor que uno.

Parte de la energa de la fuente es absorbida por el aire que la rodea, que al calentarse se dilata, esto es,disminuye su densidad. Por lo tanto recibe un empuje del aire fro que lo rodea mayor que su propio peso, yasciende. Este proceso se llama conveccin. Por eso los ambientes altos son mas fros que los de techobajo. Si el movimiento del fluido se ayuda con medios mecnicos se dice que hay conveccin forzada ycuando el origen del movimiento es la accin gravitatoria pura se denomina conveccin natural.

Adems todas las sustancias que estn en contacto con la fuente clida tienen una energa de vibracinmayor en las molculas que estn expuestas a la fuente o en contacto con ella que en las molculas masalejadas. Esta energa, asociada en los gases y lquidos a modos traslacionales, se puede transferir porchoque entre partculas. A este modo de transferir calor se lo llama conduccin.

14.1 Transmisin del calor por conduccinEn todos los procesos de transporte (flujo de calor, electricidad, fluidos, etc.) se encuentra que la cantidadde lo que fluye es directamente proporcional a la diferencia de potencial e inversamente proporcional a la

resistencia. Esta diferencia de potencial en el caso de flujo de electricidad es la diferencia de potencial elc-trico, en el caso de flujo de fluidos es la diferencia de presiones, y en el de flujo de calor es la diferencia detemperaturas. En cuanto a la resistencia, en el caso de la electricidad es la resistencia elctrica. En el deflujo de fluidos la origina la viscosidad del fluido, las caractersticas del conducto y la formacin de torbelli-nos. En el caso de flujo de calor se debe a la rigidez de las molculas que obstaculiza la vibracin o a pre-sencia de huecos en el material. En todos los casos se puede plantear la ecuacin generalizada:

sistenciaRe

Potencialde FlujoIntensidad = (14-1)

En 1822 Fourier estudi los fenmenos de transferencia decalor y estableci su conocida ecuacin:

x

TAk

!

Q

=

(14-2)

Donde: Q= calor transmitido por conduccin;x= espesor de material;

A= rea normal al flujo calrico;k= conductividad trmica del material;!= tiempo;T= temperatura

En forma abreviada, usaremos la siguiente notacin:

!

Qq

=! De este modo la ecuacin de Fourier queda:

x

TAkq

=!


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14.2 Tipos de rgimenSe distinguen dos tipos de rgimen de flujo de calor.

! Si q! es constante se dice que el rgimen es estable, estacionario o permanente.

! Si q! es variable con el tiempo decimos que el rgimen es transitorio.

En la mayora de los casos de inters prctico se alcanza el rgimen estable si se espera un cierto perodo

de tiempo, y nosotros vamos a asumir rgimen estable salvo que aclaremos expresamente lo contrario.En general, las situaciones de transferencia de calor en rgimen transitorio son algo mas complicadas quelas de rgimen estable y se analizarn mas adelante en detalle. Tienen importancia en el arranque y paradade equipos, as como en todos los casos en que se presentan variaciones importantes y relativamente brus-cas en las condiciones de operacin.Cmo podemos usar la ecuacin de Fourier (14-2) para deducir qu condiciones producen el rgimentransitorio de flujo de calor?. Para razonar sobre la base de la ecuacin (14-2)es necesario comprender

que en esencia propone un modelo en el que la intensidad de flujo de energa en forma de calor se calculaen funcin de tres trminos bsicos: la conductividad trmica del material, el rea disponible para el flujo yel gradiente trmico. Cualquier variacin de alguno de estos elementos produce un cambio en la intensidaddel flujo de calor. Pero si tenemos un sistema dado, tanto la conductividad trmica del material como el reade intercambio de calor son parmetros dimensionales y constructivos que no pueden variar de manera queel nico trmino variable con las condiciones operativas es el gradiente trmico !T/!x. En consecuencia, si

la distribucin de temperaturas es uniforme e invariable con el tiempo, el flujo ser estable, en tanto que sila distribucin de temperaturas es variable con el tiempo, el flujo ser transitorio.

14.2.1 Rgimen estable, permanente o estacionario

L

TAkq

=! (14-3)

Usamos la notacin q! para identificar la cantidad de calor transferida por unidad de tiempo.

constante!

Qq =

=!

14.2.2 Rgimen transitorioEn rgimen transitorio el flujo calrico depende del tiempo, es decir que en distintos momentos tendr unvalor diferente. En general:

( )!"q=! Para poder evaluar el flujo calrico ser preciso conocer la forma de la funcin matemtica .El rgimen transitorio de transmisin de calor por conduccin se presenta con menor frecuencia que el r-gimen permanente, por las mismas razones invocadas para el rgimen transitorio de flujo de energa que seestudi en el captulo 3. Vase la discusin sobre el particular en el apartado 3.5.3.

14.3 Conductividad trmicaDe la ecuacin (14-3)se deduce:

[ ] Chrm

Kcal

m

Chrm

Kcal

2 === kL

tA

q

k

!

Los valores de kse pueden obtener en los textos especializados o se pueden estimar.Generalmente kvara linealmente con la temperatura en los slidos, de modo que resulta vlida la interpo-lacin lineal. En los slidos kes independiente de la presin. En los lquidos kdepende de la presin pero

muy poco; vara en forma no lineal con la temperatura pero en pequeos intervalos se admite la interpola-cin lineal, aunque se aconseja la polinmica.En los gases kvara bastante con la presin y la temperatura. Uno de los problemas mas importantes de la

transferencia de calor es la estimacin de la conductividad trmica de gases. Existen muchos mtodos, yninguno es sencillo. La conductividad trmica presiones para gases puros no polares y polares se puedeestimar por mtodos que se explican en detalle en la bibliografa especializada, y que por razones de espa-cio no podemos tratar aqu. Nos limitaremos a comentar nicamente la estimacin del nmero de Prandtl.


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14.3.1 Estimacin del nmero de PrandtlLos nmeros de Prandtl son importantes para estimar coeficientes de transmisin del calor por conducciny conveccin. Para los gases el nmero de Prandtl es prcticamente independiente de la temperatura por-que tanto Cpcomo y kaumentan con la temperatura del mismo modo, o casi. Tambin es casi indepen-

diente de la presin, para presiones bajas y moderadas. Esto permite hacer estimaciones muy rpidas deconductividad trmica. El nmero de Prandtl se define de la siguiente manera:

k

CpNPr= (14-4)

A continuacin damos una tabla de los nmeros de Prandtl mas comunes a 100 C y 1 ata.

Gas NPr Gas NPr Gas NPraire 0.74 C2H4 0.83 N2 0.74NH3 0.78 H2 0.74 O2 0.74SO2 0.80 CH4 0.79 SH2 0.77CO2 0.84 CO 0.74 H2O 0.78

En la teora de Eucken para gases a baja densidad es posible obtener la siguiente frmula que permite cal-cular el nmero de Prandtl para cualquier temperatura y a baja presin, partiendo de datos experimentaleso estimados de Cp'a la misma temperatura.

48.2+

= ""

pC

pCNPr (14-5)

Cp'debe estar en Kcal/(Kmol K). Tambin se puede emplear la siguiente frmula:

#

NPr 59

4

= (14-5')

Cualquiera de las dos frmulas da resultados coincidentes con los experimentales (tabla anterior) para ga-ses casi ideales como el aire, N2u O2pero sus resultados difieren algo para gases polares o asociados(NH3, vapor de H2O, etc.). Se puede esperar que este valor no vare mucho con un aumento moderado depresin.Para gases polares es preferible adoptar un valor de NPr= 0.86 ya que no responden a la teora de Eucken,que idealiza molculas al considerarlas no polares. Para gases puros a alta presin esta frmula es pococonfiable, y es preferible estimar por separado cada componente del NPry calcularlo como producto de los

valores individuales, dado que en particular para molculas complejas es difcil estimar bien el valor exactodeNPrdado que el Cpvara mucho mas que las otras variables con la presin. Igual procedimiento se debeadoptar para mezclas de gases, estimando cada propiedad para la mezcla y luego a partir de ellas el NPr.

14.3.2 Estimacin de conductividades trmicas de mezclas lquidasLas reglas dadas por Kern permiten obtener algn valor, aunque se deber preferir un valor experimentalsiempre que sea posible.

a) Mezclas o soluciones de lquidos miscibles (una sola fase)Se puede usar la suposicin (a veces razonable) de que la conductividad trmica es aditiva. Porejemplo, para una mezcla de dos componentes A y B tenemos:

100

B%

100

A%

+

= BA

m

kkk (14-6)

b) Dispersiones coloidalesEmplear 0.9 veces la conductividad trmica del lquido dispersor.

c) Emulsiones de lquidos en lquidosEmplear 0.9 veces la conductividad trmica del lquido que rodea a las gotas.

d) Soluciones salinasEmplear 0.9 veces la conductividad trmica del agua, siempre que la concentracin no sea mayordel 3%.


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14.4 Flujo por conduccin en rgimen permanenteSe denomina rgimen permanente o estacionario al que ocurre cuando en la ecuacin de Fourier la canti-dad de calor no vara con el tiempo, es decir cuando q! no es una funcin del tiempo. Dicho en otros trmi-

nos, cuando la temperatura de un punto cualquiera de la masa atravesada por el flujo calrico no vara conel tiempo, lo que permite suponer un kconstante. Lo opuesto al rgimen permanente o estacionario es elrgimen transitorio: es el caso de un cuerpo que est siendo calentado y cuya temperatura no se ha estabi-

lizado an. Cuando su temperatura no cambia con el tiempo se encuentra en rgimen permanente.

14.4.1 Resistencia a la conduccin en paredes compuestasLa frecuencia con que aparecen fenmenos de intercambio de calor a travs de paredes compuestas pordos o mas materiales distintos justifica el tratamiento en detalle de esta cuestin. Solo nos ocuparemos delas geometras mas simples.

14.4.1.1 Paredes planas compuestasCombinando las ecuaciones (14-1)y (14-3):

L

TAkqFlujodeIntensidad

== !sistenciaRe

Potencial

obtenemos:

Ak

LT

q !=! (14-3)

Comparando las ecuaciones (14-3) y (14-1)vemos que son anlo-

gas. Puesto que la intensidad de flujo es en nuestro caso el flujo decalor por unidad de tiempo, es evidente que !trepresenta el po-tencial y la resistencia ser:

Ak

LR= (14-7)

Como la transmisin de calor ocurre en estado estacionario no hay

acumulacin de calor en ninguna parte del sistema: por todas lasparedes circula la misma cantidad de calor por unidad de tiempo.En consecuencia:

L

ttAk

L

ttAk

L

ttAk

L

ttAkq 30c

3

323

2

2$2

$

$0$

=

=

=

=!

Donde kces el coeficiente combinado de la pared y: L=L$+L2+L3Despejando las respectivas diferencias de temperatura obtenemos:

Ak

Lqtt

Ak

Lqtt

Ak

Lqtt

Ak

Lqtt

c

30

3

332

2

22$

$

$$0

=

=

=

= !!!!

;;;

Sumando las tres primeras diferencias de temperatura, el resultado es igual a la ltima. En efecto:

30322$$0 tttttttt =++

Pero por otra parte tambin es:

++=

=3

3

2

2

$

$

c

30k

L

k

L

k

L

A

q

Ak

Lqtt

!!

3

3

2

2

$

$

c k

L

k

L

k

L

k

L++= (14-8)

En consecuencia se deduce fcilmente que:

( )

3

3

2

2

$

$

30

k

L

k

L

k

L

ttAq

++

=! (14-9)

Reordenando:


5/21



Ak

Lq

Ak

L

Ak

L

Ak

Lq

c3

3

2

2

$

$ !! =

++

Denominaremos resistencias a los sumandos de la relacin anterior.

Ak

LR

Ak

LR

Ak

LR

Ak

LR

c

t

3

33

2

22

$

$$

==== ;;;

tenemos:

Rt=R$+R2+R3

Ejemplo 14.1Clculo de la prdida de calor por conduccin, pared plana compuesta.La pared de un horno est compuesta de tres capas de ladrillo. La interior es de 8 pulgadas de refractariocon un k= 0.68 BTU/(pie hr F), la segunda de 4" de ladrillo aislante (k= 0.15) y la ltima y externa es de 6"de ladrillo comn con k= 0.40. El horno opera a 1600 F y la pared externa permanece a 125 F. Cunto

calor se pierde por conduccin por pie cuadrado de superficie y cuales son las temperaturas de las interfa-ses de cada capa?.Solucin

a) Clculo de las resistencias por pie cuadrado de superficie.

Para refractarioBTU

hrF98.0

168.0

128 =

==Ak

LR

$

$$

BTU

hrF45.4totalaResistenci

BTU

hrF25.1

140.0

126

comnladrilloPara

BTU

hrF22.2

115.0

124

aislantePara

==++=

=

==

=

==

t32$

3

33

2

22

RRRR

Ak

LR

Ak

LR

b) Clculo del calor perdido por conduccin

2piehr

BTU332

45.4

1251600=

==

tR

tq

!!

c) Clculo de las temperaturas de las interfases

Para refractario: !t= 1600 T$= q!R$= 3320.98 = 325 F T$= 1600 325 = 1275 FPara aislante: !t= 1275 T2= q!R2= 3322.22 = 738 FT2= 1275 738 = 537 F

d) Comprobacin

Para ladrillo vulgar: !t= 537 T3= q!R3= 3321.25 = 415 FT3= 537 415 = 122 F

Como la temperatura real en la cara externa es por dato 125 F, hay una pequea diferencia atribuible a

error por redondeo, que no es relevante.

14.4.1.2 Paredes planas compuestas con grandes diferencias de temperaturaEn el apartado anterior tratamos la cuestin de la conduccin de calor en rgimen estacionario para pare-des compuestas considerando constantes la conductividad trmica que, estrictamente, es variable y depen-de de la temperatura.Normalmente en casos de diferencias de temperaturas no tan pequeas como para considerar constante elkpero no tan grandes como para justificar un tratamiento riguroso, se puede tomar un valor medio, pero encasos extremos hay que tomar en cuenta la variacin de kcon la temperatura.Sea un elemento de pared de espesor uniforme, compuesto por un solo material. Si el espesor de pared Lino es demasiado grande, y las temperaturas de las interfases que limitan el elemento de pared tiy ti+$no di-

fieren mucho entre s entonces la temperatura media t obtenida por interpolacin lineal, es decir:

21++= ii

ttt no se aparta gran cosa de la temperatura media verdadera del elemento de pared.


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Vamos a suponer que kvara linealmente con la temperatura. Nuevamente, el hecho de que !tsea peque-o para el elemento nos autoriza a hacer una aproximacin lineal sin cometer por ello un gran error. Estonos permite corregir los estimados de temperatura y, mediante un procedimiento de aproximaciones sucesi-vas, obtenemos mayor exactitud. La ecuacin lineal es:

tbak += (14-10)Veamos ahora cmo obtener las temperaturas medias de cada elemento de pared. De la ecuacin (14-2):

n

n

n$n

2

2

2$

$

$

$0

k

Ltt

k

Ltt

k

Ltt

Aq ==== -##! (a)

De la ecuacin (14-9):

=

=

n

1i i

i

n0

k

L

tt

A

q! (b)

Por lo tanto, de las ecuaciones (a)y (b)podemos construir una sucesin:

njj

k

L

L

k

ttt

k

L

k

L

tttt

k

L

L

k

ttt

k

L

k

L

ttt

k

L

A

qtt

k

L

L

k

ttt

k

L

k

L

ttt

k

L

A

qtt

i

i

j

j

n0j

j

j

i

i

n0jj

i

i

2

2

n0$

2

2

i

i

n0$

2

2$2

i

i

$

$

n00

$

$

i

i

n00

$

$0$


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donde:L$,L2,L3, .... ,Lnson los espesores de materiales 1, 2, 3, .... , n, cuyas conductividades son k$, k2, k3,.... , kn. Ahora, una vez estimadas las temperaturas medias, es inmediato obtener los coeficientes k:

k$= a$+ b$t$;k2= a2+ b2t2;.....................;

kn= an+ bntnEstos valores se usarn para corregir el calor total intercambiado por unidad de rea

A

q!porque su magni-

tud afecta el calor que atraviesa la pared, y por ende a las temperaturas intermedias de cada interfase entredos materiales sucesivos, de modo que el clculo es iterativo y finaliza cuando se obtienen dos valores su-

cesivos deA

q!que no difieran significativamente.

14.4.1.3 Aire: el mejor aislanteEl ejemplo siguiente demuestra que si no hay problemas de resistencia de materiales o estructurales queimpidan dejar espacios vacos el aire es un aislante muy efectivo.

Ejemplo 14.2 Clculo de la prdida de calor por conduccin, pared compuesta con capa de aire.Si en el ejemplo anterior se deja un espacio de 1/4" (0.635 cm) y las otras dimensiones permanecen inalte-radas, la solucin se modifica como sigue.SolucinEn una tabla de un libro especializado tenemos un dato de kpara el aire a 572 F: k= 0.265 BTU/(pie hr F).Como esa temperatura se acerca a la que hay en la interfase ladrillo aislante-ladrillo comn, ubicamos all elespacio de aire.La resistencia adicional que ofrece el aire por pie cuadrado de superficie es:

BTU

hrF79.0

1265.0

1225.0

=

==Ak

LRaire

Por ello la resistencia total ahora es:

Rt=R$+R2+R3+Raire= 4.45 + 0.79 = 5.24BTU

hrF

2piehr

BTU281

24.5

1251600=

==

tR

tq

!!

Comparando las cifras: una pared compuesta de 18" (45.7 cm) de espesor de ladrillo grueso, slido, pesadoy caro deja pasar 332 BTU/hora por pie cuadrado de superficie, mientras el agregado de 1/4" (0.635 cm) deaire que no cuesta nada ha reducido la prdida en un 15%. Esto es as porque el aire retenido entre doscapas de aislante est estancado; si estuviese en libertad de movimiento tendra posibilidad de escapar ytransmitir su calor al medio ambiente, lo que en lugar de reducir las prdidas las aumentara. Este hecho seusa en los aislantes porosos, como la lana de vidrio, el telgopor y otros que contienen poros e infinidad depequeas cmaras de aire que aumentan las cualidades aislantes, aunque a expensas de la resistenciamecnica de estos materiales, que tampoco son aptos para resistir altas temperaturas. Una alternativa usa-da antes era el asbesto, que consiste en largas fibras de una sustancia mineral que puede aplicarse sola ocombinada con otras, pero que hoy est en desuso por ser una sustancia cancergena. Otro ejemplo es lamagnesia al 85%, que es una mezcla de 85% de CO3Mg y 15% de asbesto, se puede aplicar como un ce-mento y para temperaturas del orden de 260 C es ideal por su bajo costo y fcil aplicacin. En la actuali-dad se reemplaza el asbesto por otros materiales dado que el asbesto es cancergeno, aunque el aislanteretiene su nombre de magnesia al 85%.


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14.4.2 Resistencia a la conduccin en tubosEn el caso de tubos la ecuacin de Fourier se plantea desarrollando el rea de flujo de calor. Aqu el reaes el permetro de la circunferencia media del tubo. Se entiende por circunferencia media aquella que pasapor un punto equidistante de los radios exterior ree interior ri. Sea este radio medio r.

El gradiente de temperatura se expresa en funcin del radio de la circunferencia media del tubo ya que elflujo de calor ser perpendicular al eje longitudinal del tubo. En el siguiente croquis se muestra un corte

transversal de un tubo. El flujo de calor se produce por efecto de la diferencia de temperaturas entre elinterior del tubo ti y el exterior te. No nos interesa cual es la mayor temperatura, ni el sentido del flujocalrico. Este se puede escribir:

=r

tkL%q 2!

Dividiendo porL:

=r

tk%qL 2! (14-12)

Lq! es el calor que fluye a travs de las paredes del tubo por unidad de tiempo y por unidad de longitud. La

ecuacin (14-12)es una ecuacin diferencial a variables separables de modo que separando variables re-sulta:

dtk%r

drqL 2=!

Integrando:

( )eii

eL

te

ti

re

riL ttk%

r

rlnqdtk%

r

drq == 22 !! Operando:

( )

i

e

eiL

r

rln

ttk%q

=

2! (14-13)

Esta ecuacin se debe usar con cuidado cuando los radios interno y externo tienen valores muy parecidos,es decir cuando el espesor de pared de tubo es muy pequeo. En estos casos el error aumenta a medidaque ritiende a ser igual are.En efecto, en la expresin anterior se puede verificar fcilmente que el calor que atraviesa un tubo se haceinfinito cuando el espesor de pared tiende a cero, o lo que es lo mismo cuando retiende a ser igual a ri. Estoes absurdo.Porqu debera ser infinito el calor que atraviesa un espesor infinitesimal de material?. A me-dida que el espesor dr tiende a cero, tambin lo hace el incremento de temperatura dt, de manera que elcociente es finito. Esto sucede por un defecto matemtico de la ecuacin (14-13), que no describe exacta-mente la realidad fsica.De hecho adems en la prctica hay otras razones para que el calor no sea infinito, en primer lugar porquepara ello sera necesario que la fuente tuviese una capacidad calrica infinita de emitir energa, y en segun-do trmino porque adems de la resistencia por conduccin normalmente tambin existe una resistenciaadicional por conveccin, que limita el flujo de modo que no puede ser infinito. En el prximo captulo volve-

remos sobre esta cuestin.

te

ti

L

re

ri

r


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14.4.2.1 Tubos compuestos de varias capasSupongamos tener un tubo compuesto con varias capas de distintos aislantes tal como se ilustra en el si-guiente croquis.

( ) ( ) ( )

3

4

43C

2

3

32B

$

2

2$AL

r

rln

ttk%

r

rln

ttk%

r

rln

ttk%q

=

=

=

222!

Como hicimos antes, postulamos un coeficiente de conduccin medio para todos los materiales kmtal que:

( )

$

4

4$mL

r

rln

ttk%q

=

2! (*)

De la primera, segunda y tercera relacin obtenemos:

++==++

===

C

3

4

B

2

3

A

$

2

L4$43322$

C

3

4L

43

B

2

3L

32

A

$

2L

2$

k

r

rln

k

r

rln

k

r

rln

%

qtttttttt

k%

r

rlnq

ttk%

r

rlnq

ttk%

r

rlnq

tt

2

2;

2;

2

!

!!!

De la ecuacin (*) despejando la diferencia de temperaturas:

C

3

4

B

2

3

A

$

2

m

$

4

m

$

4

L4$k

r

rln

k

r

rln

k

r

rln

k

r

rln

k

r

rln

%

qtt ++== 2

!

( )

C

3

4

B

2

3

A

$

2

4$L

k

r

rln

k

r

rln

k

r

rln

tt%q

++

=

2! (14-14)

Aqu observamos una situacin anloga (pero no igual) a la de la pared plana compuesta y el razonamientoes similar: asumiendo rgimen permanente de flujo calrico no hay acumulacin en ningn punto y lastemperaturas no varan con el tiempo.

t

r4 t$

L

Material A

Material B

Material C

t2

t3

r$ r2r3


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Ejemplo 14.3Clculo de la prdida de calor por conduccin, tubera compuesta.Calcular las prdidas de calor por pie de longitud en un tubo de 3" de dimetro nominal aislado con 1" demagnesia al 85% si la temperatura de la superficie interna del aislante es 500 F y la temperatura de la caraexterna es 100 F.SolucinPara obtener la conductividad trmica del aislante usamos la temperatura media de la aislacin, ya que po-

demos suponer que vara linealmente en un intervalo de temperatura tan pequeo.

3002

500100

2=

+=

+= 2$m

ttt F

De tablas a 300 F:( )

piehr

BTU240

5.3

5.5

100500043.014.32

Fpiehr

BTU043.0 =

==

ln

qk L!

14.4.3 Esfera hueca

La esfera es el cuerpo geomtrico de mayor relacinsuperficie

volumen y por eso es preferible cuando se

trata de minimizar el costo del recipiente, porque tiene el mayor volumen de cualquier figura con el menor

costo de material. Adems se usa preferentemente cuando se trata de minimizar el rea que permite entraro escapar el calor, por lo que muchos recipientes de transporte de materiales a muy baja temperatura sonesfricos. Aplicando la ecuacin de Fourier con un razonamiento similar a casos anteriores obtenemos:

( )

ei

ei

rr

ttk%q

11

4

=! (14-15)

Donde: ri=radio interno; re= radio externo.Nuevamente encontramos la misma situacin que en el apartado 14.4.2. Cuando los dos radios son casi

iguales el flujo calrico que atraviesa el muy pequeo espesor de pared es enorme, tendiendo a infinito amedida que el espesor tiende a cero. Ver la discusin al final del apartado 14.4.2.

Ejemplo 14.4 Clculo de la prdida de calor por conduccin, esfera hueca.Se desea determinar la conductividad trmica de un material. Para ello se le ha dado forma de esfera hue-ca, colocando una resistencia elctrica de calentamiento en su centro y midiendo la temperatura de la su-perficie con pares termoelctricos cuando se alcanza el rgimen estable. El radio interno de la esfera huecaes ri= 1.12, el radio externo es re= 3.06 y el suministro de energa elctrica a la resistencia es de 11.1 W.Se han medido las temperaturas interna (ti=203 F) y externa te= 184 F.

Determinar: a) la conductividad trmica del material. b) la temperatura en un punto intermedio de la pared.Solucina) De la ecuacin (14-15)podemos despejar la conductividad trmica.

( )

( ) ( ) Fhrpie

BTU08.1

18420314.34

06.3

12

12.1

12413.31.11

4

11

11

4

2=

=

=

=

ei

ei

ei

ei

tt%

rrq

k

rr

ttk%q

!

!

b) El valor medio del radio de la esfera es:

pulg09.22

121.06.3

2=

+=

+= eim

rrr

Planteamos la ecuacin (14-15)entre dos puntos, uno situado en la cara interior de la esfera y el otro en

el radio medio. Obtenemos:

( )

F2.1808.13203

F8.1308.114.34

06.3

12

12.1

12413.31.11

4

11

11

4

==

=

=

=

=

m

ei

mi

mi

mi

t

k%

rrq

tt

rr

ttk%q

!

!


11/21



Aqu encontramos una situacin novedosa. Cuando pensamos en una pared plana de gran espesor, es ob-vio que cuanto mayor sea el espesor de la misma tanto menor cantidad de calor la atraviesa. En el lmitecuando el espesor tiende a infinito el flujo calrico tiende a cero. Esta nocin intuitiva que es correcta paraparedes planas resulta equivocada en el caso de una esfera hueca. En la ecuacin anterior:

( ) ( )( )eii

i

ei

ei

ei

ee

ttkr%

r

ttk%

rr

ttk%q

rrlimlim =

=

=

4

1

4

11

4! (14-16)

Es decir que en una esfera infinita (cuya pared tiene espesor infinito) el flujo calrico no es cero, sino quedepende de las temperaturas externa e interna, del material y del radio interno de la esfera. Esto es asporque a medida que crece el espesor de pared de la esfera aumenta el rea externa de modo que el lmiteno es nulo. Entonces se plantea una incgnita: si un espesor infinito deja pasar un flujo lmite finito, cul esel espesor que se puede usar?. La respuesta requiere un estudio de costos que minimice el costo global re-sultante de la prdida de calor y el costo del aislante para cada espesor. El mnimo costo total correspondeal espesor ptimo para ese aislante y esa disposicin geomtrica en particular.

Ejemplo 14.5 Clculo de la prdida de calor por conduccin, esfera hueca.Calcular la velocidad con la que entra calor a un recipiente esfrico de 5" de dimetro que contiene oxgenolquido, aislado con 1" de espesor de slice de diatomeas (tierra de Fuller) pulverizada y compactada hasta

una densidad de 10 libras/pie3, si la superficie interna se debe mantener a 290 F y la externa est a 50F.Cul es la prdida mnima terica obtenible con un espesor infinito de aislante?.SolucinDe tablas a la temperatura media de 120 F:

( )

hr

BTU820

5.3

1

5.2

1

50290022.04

Fpiehr

BTU022.0 =

==

%qk !

La prdida mnima terica obtenible es: ( )hr

BTU235502905.2022.04 == %qmin!

14.4.4 Casos mas complejos de geometra compuestaLos casos de formas geomtricas compuestas se pueden resolver usando un rea media siempre que elespesorLa atravesar sea constante; la frmula bsica es:

L

tAkq m

=! (14-17)

A continuacin trataremos algunos casos sencillos de geometra compuesta.

14.4.4.1 Superficies semiesfricas concntricasEs el caso de los extremos de ciertos recipientes cilndricos, aunque no se trate de una semiesfera sino deun sector esfrico. Los cabezales torisfricos ASME tambin se pueden tratar de este modo. El rea mediaes:

2$m AAA = (14-18)

14.4.4.2 Hornos rectangulares de paredes gruesas

Se considera que tienen paredes gruesas los hornos con espesor de pared superior a la mitad de la aristainterior mnima. Este caso no se puede analizar descomponiendo el horno en paredes simples porque lasaristas constituyen una gran proporcin de la pared y a veces se pierde mas calor en las aristas que en lasparedes planas. Sea el horno un paraleleppedo de espesor de pared constante xy sea "yla suma de to-das las aristas internas, Aiel rea interna total, Aeel rea externa total y Amel rea media. Podemos distin-guir varios casos, que resumimos en la tabla de la pgina siguiente.


12/21



Dimensiones relativas de Am Observacioneslas aristas interiores

Todas las aristas

menores que 2x2215420 xyxAA im .. ++=

(14-19)

y mayores quex/5En la "yno

Cuatro aristas23504650 xyxAA im .. ++= (14-20) se consideran

menores quex/5 las 4 aristas

menores quex/5Ocho aristas

i

e

maxm

A

A

yxA

10log

78.2= (14-21)

menores quex/5Todas las 12 aristas

menores quex/5 eim AAA = 79.0 (14-22)Si el horno no tiene espesor de pared constante se pueden analizar en los dos primeros casos cada una delas paredes por separado. En el primer caso el rea media de cada pared es:

2202710 xyxAA im .. ++= (14-23)En el segundo caso el rea media de cada pared es:

20602330 xyxAA im .. ++= (14-24)En ambos casos se toma "ycomo la suma de las cuatro aristas que limitan la pared en cuestin. Cabe aco-tar que no es en absoluto normal tener un horno que no tiene espesor de pared constante, ya que la mayorprdida se da en las paredes de menor espesor. Lo mas lgico y habitual es construir hornos de espesor depared constante.

14.5 Conduccin del calor en estado transitorioEl estado de rgimen transitorio se caracteriza porque la temperatura depende de dos factores: el tiempo yla posicin, a diferencia del rgimen estacionario o permanente, donde la temperatura slo depende de laposicin. Aqu vamos a analizar un caso simplificado, en funcin del tiempo y una sola coordenada, con ge-neracin interna de calor, para luego extender a tres coordenadas. Supongamos tener un cuerpo prismticode rea Atransversal al flujo de calor q! (cal/hr) que se orienta segn la direccinx.

El volumen del cuerpo es:

V= AxDonde: x= espesor del cuerpo;A= rea transversal, medida en la direccin per-pendicular al flujo de calor.El calor que se genera en el interior del cuerpo(por ejemplo por medio de una resistencia elctri-

ca) a una velocidad de W cal/(hr m3) lo supone-

mos producido por el cuerpo en su integridad; es

decir que W es una medida de la velocidad con

que se produce calor por unidad de volumen detodo el cuerpo, que suponemos istropo a talefecto.

Si el flujo calrico es xq! al ingresar al cuerpo y

A

qx

x

&x

qx+&x


13/21



sale del mismo en una magnitud xxq +! es obvio que la diferencia entre el calor que sale xxq +! y el ingre-

sante xq! en un tiempo #!es:

( )

+

+

!!

!

xxx !dqq !! (14-25)

Recordemos que el teorema del valor medio del clculo integral (Cauchy) es:

( ) ( ) ( ) ( ) b'aba''fabdxxfb

a


14/21



!x

tAkq

=! y adems u= Cvt

En esta expresin nos apartamos algo de la notacin usada en la ecuacin (14-3)poniendo el gradiente detemperaturas respecto al espesor a tiempo constante.Pero como vimos en el apartado 3.7.3del captulo 3los calores especficos a presin y a volumen constan-

te de un slido no son muy diferentes, de modo que podemos considerar Cv= Cp= Cde donde:u= Ct

En consecuencia:

( )AAA

x

tC(

x

tk

x!

=+

W

Dividiendo por A:

( )

x

tC(

x

tk

x !

=+

W (14-30)

En el caso de que la variacin de temperatura no sea demasiado grande o tomando valores medios sepuede sacar (, Cy kfuera de las derivadas:

!tC(

x

tk2

2

=+

W (14-31)

La extensin al sistema de tres coordenadas es inmediata y ocurre naturalmente:

!

t

k

C(

kz

t

y

t

x

t2

2

2

2

2

2

=+

+

+ W

(14-32)

La ecuacin (14-32)se denomina ecuacin diferencial de Laplace y ha sido muy estudiada. Se puede re-solver por mtodos analticos o numricos; para configuraciones especialmente complejas se han usadocon xito modelos elctricos construidos con papel conductor. En las aplicaciones de ingeniera son muycomunes las situaciones en un solo eje y menos habituales las que requieren dos o tres ejes. Vamos a es-tudiar un mtodo de clculo para paredes planas (un solo eje) que pese a su antigedad (E. Schmidt 1924)tiene gran utilidad prctica por su simplicidad que se presta para el clculo a mano y tambin es muy fcil

de programar.

14.5.1 Mtodo numrico de SchmidtSea un cuerpo plano. Se divide en nlminas iguales de espesor

#xcada una. Se prefiere que nsea grande. El error tiende a ce-ro para ntendiendo a infinito, aunque se debe tener en cuentatambin que si #x es demasiado pequeo hay errores de re-dondeo que hacen que la solucin numrica se aparte de la realpara n muy grande. La discusin de este problema escapa a

nuestro propsito y a los lmites de este tratamiento pero acla-remos que a medida que nse hace mas grande (o #xmas pe-queo) el error disminuye hasta que a partir de un punto co-mienza a crecer, y sigue hacindolo cada vez mas. El valor de n

para el cual el error es mnimo es el ptimo y depende de variosfactores, entre ellos las caractersticas del algoritmo de clculo,del lenguaje compilador usado y del equipo.

t'= temperatura del lado clidot"= temperatura del lado froSe suponen constantes C, ky (.

Si observamos la figura de la izquierda se impone una reflexin.La curva descendente de temperaturas desde t' hasta t3 es

compatible con la hiptesis de conduccin del calor porque la resistencia del cuerpo la hace disminuir enforma constante. Pero a partir de ah se encuentra un mnimo de temperatura y luego comienza a crecer, loque slo se puede deber a la presencia de una fuente de calor en el interior del cuerpo. Sin embargo, en losucesivo supondremos que no se genera calor en el interior del cuerpo, sino que existe conduccin pura.Si tomamos la (14-31)dividiendo por k:


15/21



!

t

k

C(

x

t2

2

=+

W

Pero en este caso W= 0 (es decir, hay conduccin pura), por lo tanto:

!

t

k

C(

x

t2

2

=

Cul ser el #!para el cual #t= 1?. Reemplazando el operador derivada por diferencias finitas hacia ade-lante tenemos:

( ) ( )

k

C(

t

tx!

!

t

k

C(

x

t2

2

2

2

=

=

Haciendo:2

12

=

t

t

Esto se justifica por razones matemticas para asegurar la convergencia numrica. Entonces:

( )k

C(x!

2

2= (14-33)

El grupo que tenemos a la derecha es interesante por sus propiedades. Si tomamos la inversa del grupo dela derecha resulta la llamada difusividad trmica:

Cp(

ka= (14-34)

--------------------------------El nombre de aderiva del hecho de que tiene las mismas unidades que el coeficiente de difusividadde masa. En efecto, el flujo de masa por difusin mutua entre dos especiesAyBes:

dx

dCDN AABA =

Donde: NA= cantidad de masa que fluye a lo largo de una distancia dxpor unidad de tiempo y porunidad de superficie de contacto entre ambas especies (moles/(segundo cm

2);

CA= concentracin molar de la especie A (moles/cm3);

x= distancia a lo largo de la cual se produce la difusin (cm);

DAB= coeficiente de difusividad de masa (cm2/seg).

Esta ecuacin se conoce como ley de Fick de difusin. Comparando la ley de Fick y la ecuacin(14-2) de Fourier encontramos analogas provocativas.Es interesante observar que las unidades de la difusividad trmica tambin son las mismas que lasde la viscosidad cinemtica *. En efecto:

[ ] [ ][ ][ ]

[ ]seg

m

seg

m

CKg

Kcal

m

Kg

Csegm

Kcal22

3

==== *Cp(

ka

Esto se suele interpretar en la teora de fenmenos de transporte como una analoga entre el trans-

porte de cantidad de movimiento y el transporte de energa en forma de calor. La viscosidad cine-mtica expresa la capacidad de transporte de cantidad de movimiento, la difusividad trmica expre-sa la capacidad de transporte de calor, y el coeficiente de difusividad de masa expresa la capacidadde transporte de masa.

--------------------------------Es ahora necesario determinar las temperaturas t0, t$, t2, ......, tnen intervalos de tiempo #!, 2#!, 3#!,...etc.Si no se conocen las temperaturas internas de la particin t$, t2, ......, tn-$se pueden asumir a partir de t0y tn.Si tampoco se conocen t0y tnse pueden estimar a partir de t'y t"(temperaturas del medio caliente y fro)

usando el coeficiente combinado de radiacin y conveccin a partir de una buena estimacin de las tempe-raturas t$y tn-$que deben ser conocidas o estimarse de modo que corresponde en este caso usar un proce-dimiento iterativo, de aproximaciones sucesivas.

xhk

tktxht

t

$t0

!

!

+

+= (14-35)


16/21



xhk

tktxht

t

ntn

!

!

++

= 1- (14-35)

Donde h'ty h"tson los coeficientes combinados del lado clido y fro respectivamente. Luego se obtienen

las temperaturas internas asumiendo que la distribucin se rectifica por una poligonal, es decir aproximarsuponiendo que el salto de temperaturas en cada una de las lminas de espesor #xes lineal.

Entonces:

2;;

2

;2

;2

2;;

2

;2

;2

)a(

1

)a(

1-)2a()a()a(

)2a(

)a()a()2a(

)a()a()2a(

)0a(

1

)0a(

1-)a()0a()0a(

)a(

)0a()0a()a(

)0a()0a()a(

!!

j

!!

j!!

j

!!

4

!!

2!!

3

!!

3

!!

$!!

2

!!

2

!!

0!!

$

!

j

!

j!!

j

!

4

!

2!!

3

!

3

!

$!!

2

!

2

!

0!!

$

ttt

ttt

ttt

ttt

ttt

ttt

ttt

ttt

!!

!!!

!

!!!

!!

!

!!

!!

=+

==

===

===

===

=+

==

===

===

===

+=

+=

+=

+=

+=

+=

+=

+=

#

#

Y as sucesivamente. Esto equivale a construir una tabla donde las temperaturas t0, t$, t2, ......, tnse conoceno se asumen en una suposicin razonable para != 0 y los dems valores se determinan en base a esos da-tos y a datos conocidos de t0a distintos tiempos o de tna distintos tiempos o de ambos.

La tabla en cuestin es:

Tiempo temperaturas

horas t0 t$ t2 t3 t4 t5 t6. . . .0 "" "" "" "" "" "" ""

#! "" ## ## ## ## ## ##

2#! "" ## ## $$ ## ## ##

3#! "" ## ## ## ## ## ##

Los smbolos """" identifican valores conocidos y los "##" a valores calculados.

El sentido de clculo es desde las casillas superiores y a los lados hacia abajo y hacia el centro.Por ejemplo el casillero identificado ($$) tendr un valor de temperatura dado por:

2

!4,!2,

!3,2

ttt !!

!

+=

En general, la frmula de recurrencia que se debe usar para calcular cualquier temperatura es:

( ) ( )

1

,1

21111


17/21



Esto nos permite corregir los estimados de temperatura y mediante un procedimiento de aproximacionessucesivas obtener mas exactitud. Las ecuaciones lineales son:

btak += (14-37)

tbaC += (14-37')Sea un espesor de pared uniforme, compuesto por un solo material. Si est compuesto por mas de uno el

tratamiento se modifica un poco dentro de las mismas lneas generales y siguiendo idntico razonamiento.Lo dividimos en n lminas de espesor #x. Como toda la pared estar compuesta de un solo material perocada lmina tiene una temperatura distinta, y el coeficiente kdepende de la temperatura, asumimos un va-lor distinto de kpara cada lmina.En un instante #!suficientemente pequeo suponemos que no hay acumulacin de calor en ningn punto,

es decir que en ese instante el sistema se comporta en todo sentido como si estuviese en rgimen estacio-nario. O, dicho en otros trminos, si el rgimen estacionario se caracteriza por la variacin de las temperatu-ras en el tiempo, en un lapso de tiempo suficientemente pequeo las temperaturas no cambian y por endeel rgimen transitorio se puede considerar como una infinita sucesin de una gran cantidad de estados dergimen estacionario, todos diferentes entre s.De la ecuacin (14-2):

n

n$n

2

2$

$

$0

k

x

tt

k

x

tt

k

x

tt

A

q

!!!

==

=

= -##

! (a)

De la ecuacin (14-9):

=

=

n

1i

1

i

n0

kx

tt

A

q

!

! (b)

Por lo tanto, de las ecuaciones (a)y (b)podemos

construir una sucesin:

njj

kk

ttt

k

L

k

L

tttt

kk

ttt

k

x

kx

ttt

k

L

A

qtt

kk

ttt

k

x

kx

ttt

k

L

A

qtt

i

j

n0j

j

j

i

i

n0jj

i

2

n0$

2

i

n0$

2

2$2

i

$

n00

$

i

n00

$

$

0$


18/21



==

==

=

+=

+=

=

+=

+=

n

i

n

i

n

i

n

i

11

11

12

12

1

2

12

12

1

2

i

2

n00

i

2

n0$$

2$2

i$

n00

i$

n000

$0$

kk

ttt

kk

tttt

ttt

kk

ttt

kk

tttt

ttt

Y, generalizando para cualquierj/1


19/21



El problema de determinar las temperaturas de la pared lo resolvemos as: en el instante 0 el horno est to-tal y uniformemente fro a 80 F, y como tarda dos horas y media en alcanzar la temperatura interna unifor-me de 1800 F, durante esas dos y media horas asumimos que t0aumenta linealmente. Esta suposicin pa-rece razonable porque la superficie interna recibe energa en forma constante. Las temperaturas interioreslas obtenemos por interpolacin lineal tal como explicamos precedentemente, lo que es fcil porque la tem-peratura del otro extremo (lado fro) permanece constante e igual a 80 F (temperatura ambiente).

tiempo temperaturas Flujo calricoA

q!

[horas] [F] [BTU/(pie2hr)]

t0 t$ t2 t3 t4

0.00 80 80 80 80 80 0

0.95 734 80 80 80 80 2340

1.90 1388 407 80 80 80 3510

2.85 1800 734 244 80 80 3810

3.80 1800 1022 407 162 80 2780

4.75 1800 1104 592 244 169 2490

5.70 1800 1196 674 381 243 2160

6.65 1800 1237 789 459 286 2010

7.60 1800 1295 848 538 328 1805

8.55 1800 1324 917 588 356 1700

9.50 1800 1359 956 637 382 1575

% 1800 -- -- -- 475 1185

La temperatura t0 a las 0.95 horas se obtiene por interpolacin lineal, teniendo en cuenta que a las 2.5horas del arranque el horno tiene una temperatura t0uniforme de 1800 F y suponemos (no tiene porquser de otro modo) que esta crece linealmente:

F7348095.05.2

801800horas95.0a =+

=0t

Para las primeras 4.75 horas se pueden calcular las temperaturas intermedias por promedio aritmtico delas temperaturas precedentes. El valor de t4(temperatura de la superficie externa del horno) para ese mo-

mento y tiempos sucesivos posteriores se puede obtener de la siguiente igualdad:

xhk

tktxht

t

3t4

!

!

++

=

Las intermedias (t1, t2, t3) por promedio aritmtico como se explic. Los valores de Aq!

que aparecen en la

tabla se determinan por aplicacin de la ecuacin de Fourier, ecuacin (14-2), a la primera lmina (flujo que

sale del horno). Por ejemplo a las 3.8 horas tenemos:

2piehr

BTU2780

1875.0

1022180067.0 =

=

A

q!

Para != %se alcanza estado estacionario. Todo el flujo calrico que pasa por la primera lmina sale por laltima, por lo tanto si la pared libera calor al medio ambiente a razn de 3 BTU/(hr pie

2F) (que es el valor

de h"t) es para ese instante:

4t

4tAhtq == 1800131800!

y tambin:

129

1800167.0

1800 44 t

L

tAkq

=

=!

por lo tanto operando:

2piehr

BTU1185F475 ==

A

qt4

!

De igual forma trabajamos para el caso de la lana de vidrio. La prdida total de calor en cada material a lolargo del perodo total es:

= dtqQ !


20/21



Dados los valores de las tablas esta integral se puede resolver en forma numrica o grfica. La dificultadmayor para ello reside en el hecho de que el intervalo de tiempo #!es demasiado grande, lo que a su vezproviene de haber elegido un #xdemasiado grande del cual depende #!por la ecuacin (14-33). Si quere-mos tener mayor exactitud debemos elegir una laminacin mucho mas fina, en 12 o 20 tajadas. Para el la-drillo refractario se obtiene Q/A = 154,700 BTU/pie

2 y para el material de lana de vidrio Q/A = 43,300

BTU/pie2, ambos por semana.

Observemos que cuando el horno se est calentando, durante la mitad del primer turno, la prdida es mu-cho mayor que en rgimen estable lo que se debe a la gran masa del ladrillo refractario que se debe calen-tar. Esto, que es una desventaja en el arranque y en la parada porque hay que esperar mucho para podercargar, tiene la ventaja de que cualquier corte de energa elctrica lo afecta mucho menos que si se emplealana de vidrio, que tiene menor inercia trmica.

Existen varios programas de clculo de intercambio de calor por conduccin en estado transitorio en variasversiones: para refractarios, para aislamiento trmico, etc.


21/21


BIBLIOGRAFIA

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Transmisin del Calor y sus Aplicaciones H. J. Stoever.

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Intercambio de Calor Holman.

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Documents

Intercambio calor por conducción 14