Interacción suelo cimiento estructura

8/8/2019 Interaccin suelo cimiento estructura

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INTERACCIN DEL SUELO, CIMIENTO Y ESTRUCTURA:EL CASO DE LAS ZAPATAS (la PARTE)(INTERACTION OF SOIL, FOUNDATIONS AND STRUCTURE: THE CASE OF ISOLATEDFOUNDATIONS, PART 1)Manuel J. Freire Tellado, ArquitectoOpto . de Tecnologia de la Construccin. Univ . de A. Corua

RESUMENEl artculo defiende la mejora de los modelos de clculo deestructuras introduciendo el conjunto suelo- cimiento.Seguidamente se plantea la modelizacin del terreno,recurriendo para ello al mtodo del mdulo de balasto,explicando su aplicacin al clculo matricial.En la segunda parte del artculo se aplica este modelo a unaserie de prticos planos correspondientes a diversos tiposestructurales con zapatas aisladas y se estudian lasconsecuencias de la variacin de determinado s parmetros.Las conclusiones obtenidas resultan especialmentesorprendentes en lo referente a los prticos tipo nave ya lasvigas centradoras.

Fecha de recepc in: 9V[[-2000400-36

SUMMARYThispaper proposes the improvement of the structural analysismodels introducing both soil and foundation .in the modeloNext the soil modelling is analyzed, using the model of thecoefficient ofsubgrade reaction for this task. lts application tothe matrix analysis is explained, too.At last, in the second part, the proposed model is aplicated to anumber ofplane frames belonging to various structural typeswith isolatedf oundations. The results derivedfrom thevariation ofcertain parameters are carefully studied. Theconclusions concerning industrialpremises frames andcentering beams are specially surprising.

Introduccin

Este artculo es el primero de un conjunto de dos en los quese analizan los resultados de diversos modelos de clculo deestructuras en los cuales se ha incorporado larepresentacindel terreno y de la cimentacin conjuntamente con la partedel esqueleto resistente que tradicionalmente se conocecomo estructura -o, en algunos casos, como superestructura- . Se recurre a la divisin en dos partes para mantener laextensin del texto dentro de los lmites de un artculo,partes que se corresponden con la exposicin de las basesdel mtodo, parte primera, reservando la segunda al relatode los anlisis efectuados y a las conclusiones que sederivan. El ndice general del conjunto es el siguiente :Primera ParteEstructuras de edificacin, cimientos y terreno.

Planteamiento del problema.El mtodo del coeficiente de balasto.Aplicacin a la formulacin matricial.Tipos estructurales y mtodo de anlisis.Anejo: estudios de interaccin.Bibliografia.

Segunda ParteAnlisis desarrollado :Prtico tipo colegio sobre viga flotante .Prtico metlico de 20 m de luz sobre zapatas .Estudio de la zapata de medianera .Conclusiones.Bibliografia.


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Estructuras de edificacin, cimientos y terrenoEl proceso de anlisis convencional del esqueleto resisten te de una edificacin empieza por el estudio de la estructura, no rma lmente supuesta emp otrada en la cimentacin. Posteriormente, una vez obtenidas las acc ionesque el edificio transmite a la ci mentacin, se realiza e!dim ensionado de sta, comprobando, en primer lugar, quelas tensiones transmitidas seanadmisibles para el terreno yrea lizando, seguidamente, [as comprobaciones pertinentesa la estructura de cimentacin. Las etapas seal adas sonestancas: la cimentacin recibe de [a superestru ctura unosesfu erzos que ha de aceptar y del suelo una condicin detensi n admisible.Frente a uno s sistemas de anlisis de la superestructura queincorporan elementos muy sofisticados -rnatriciales 3D,elementos finitos, correcciones por efectos no lineales,efe cto P--, por ejemplo, o incluso clculos en teor a desegundo orden- en los que se analizan numerosos efectossecundario s, resu lta sorprendente la radical s implificacinde las condiciones de co ntorno al suponer -en el mbito dela edificacin convencio nal-, la es truc tura empotrada -enciertos cas os articulada- en su enlace con la cimentacin. Sitodo el anlisis estructural se basa en la compatibilidad dedesplaz amientos entre los diferentes elementos queco mponen laestructura, al llegar a cimentacin esta premisa se olvida y el tratamiento de las partes es totalmenteindependiente: la tensin adm isible se suele tomar igua lpara todas las piezas sin tener en cuenta que sta dependetam bin de las dimensiones de aqullas y se obvian ,as imismo , tanto la defonnabilidad de la cimentacin comoel efecto de la compresib ilidad de! suelo y, por tanto, de losasientos de la edifi cacin .El plante amiento anterior, con una va lidez no obstantereconocida, tiene su origen en po cas pasadas, con recursosde clculo fundamentalmente manuales, en los que elanlisis por partes de la estructura era la nic a formafactible de abordar su tratamiento. Sin emb argo, los recursos de c lculo disponibles ho y en da, hacen viable elestud io co njunto de toda la est ructura . Hoy e s fac tibleabordar el tratamiento analtico gl obal de l conj untoestructura-cimiento-suelo, recogiendo las interaccionesentre las distint as partes del esqueleto resistente . Es ms ,tratamientos de este tip o son norma usual en el es tudio depresas y grandes obras de inge niera.El problema es ms cercano de lo que pud iera parecer :la bib liografa da cuenta de cmo la deform acin delterr eno puede hacer que lo que se ha considerado en elmodelo de clculo un empotramiento se comporte enrealidad como algo mucho ms parecido a una articulacin.La modificacin de la condiciones de bo rde lleva aparejadoen ciertos cas os -prticos tipo portera por ej emplo- unno table cambio en las leyes de es fuerzos , debido a que lamagnitud de las rotac iones de las piezas que separan el

comportamiento de un tipo apoyo del otro son realmentepequeas. Elconj unto sue lo-cimentac in repercute de formacons iderable en las leyes de esfuerzos de la superestructura,al tiempo que [aci mentaci n es, adem s, un factor de costemuy importante en el conjunto del ed ificio. Conseguir quela obra ejecutada se comporte de la form a en qu e ha s idoconside rada en c lcu lono es en ningn caso un tema menor,ye n el que el comporta miento del suelo influye de formaapre ciable.Obviamenteen el plan teamiento anunciado subyacetambinla necesidad de introduccin de precis in desde e! punto devista conceptual, mejo rando la fiabilidad de los resultadosobtenidos, por cuanto la co nsideracin de un mayor nmerode parmetros permite refleja r la situacin real de formam s fided igna, al tiempo que permitira la reconsider acinde los coeficientes de seg uridad, cone lconsiguiente ahorro.Factor de inters aadido es e l estudio de situ aciones en lasque se producen desviaciones en tre el modelo de clculocon vencional y la realidad, como puede ser e l caso delequi librio en zapatas de medianera y esquina. De todotcnico con cierta experiencia en ejecucin de obra resultanconocidas las protestas debidas a las dimensiones y armados de las viga s centradoras. Protestas stas que no tendranmayor repercusin si no ex istiesen numerosos casos dezapatas de med ianera sin nervio -y a las que, adems, noacometen pilares de r igid ez sufici ente como para garantizar su equ ilibrio de acuerdo con los estudios tericos- yque, sin embargo,son perfectamente estables. Esta situacinha llevado a algunas casas de so ftware a proponer valoresde 1, IOpara el coeficiente de mayoracin de acc iones eneste tipo de elementos . Si bien este valo r no resulta aco rdecon la normativa vigente, no se puede olvidar que la Teorade Estructuras es, pese a su s importantes recurso smatemticos, una ci enc ia de carcter experimental.La cimentacin superficial es adems la situacin queintroduce las ma yores divergencias con el modelo declculo vigente : s i en el caso de una cimentacin profundalos asie ntos son prcticamente nulos -se sue le buscar unestrato rgido- y la rigidez de los encep ados y los elementosestructurales intermedios entre p ilares y pilotes garantizanbastante bien la hiptesis de empo tramiento, en e l caso delas cimentaciones super ficiales - especialmente cuando elsistema elegido es de zapatas ais ladas -, la rotacin de lasza p ata s y los as ientos - to t ales y d iferenci alesexperime ntados, debidos ambos a la compresibilidad de unterreno con variaciones muy locales, dificultan [aaceptacindel sistema de c lculo sealadoPlanteamiento de problemaSi bien se acaba de sea lar que posib leme nte las mayoresdiscrepanc ias en el an lisis conjunto sue lo-c imientoestructura se produ zcan en lascimentaciones superficia les,pese a la existencia de un nmero cons iderab le de es tudios


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sobre la interrelacin suelo-cimienta-estructura, tanto detipo plano como espacial -vanse las referencias incluidasen el Anejo 1-, la totalidad de los trabajos realizados seaplican a los casos de cimentacin por vigas flotantes -losanlisis planos- y cimentacin por losas -los estudios en3D-. No se han encontrado referenc ias de estudios deinteraccin con sistemas de cimentacin formados porzapatas aisladas conectadas mediante nervios, la tipologade cimentacin ms usual en nuestro entorno. Si bien larazn de esta ausencia es bastante obvia -ya que tanto vigasflotantes como losas de cimentacin son soluciones que seemplean con situaciones ms criticas, bien por la escasacapacidad portante del terreno bien por la elevada magnitud de las tensiones transmitidas-, la carencia de estudios esespecialmentedeplorablepor cuanto locomn de lasolucinde zapatas aconseja un mnimo de optimizacin . Desde esaperspectiva, uno de los puntos tradicionalmente conf1ictivos en este tipo estructural -y que se desea analizar- es elfuncionamiento de las vigas centradoras, su necesidad ycomportamiento, desde la constatacin experimental de lacapacidad de mltiples estructuras para mantenerse en piepese a carecer de estos elementos .El anlisis bibliogrfico ha permitido constatar, asimismo,que las dimensiones de los elementos constitutivos de losmodelos distan bastante de ser las usuales en edificacin ennuestro pas, emplendose escuadras que resultan chocantesen nuestroentornoy que, deeste modo,pueden contribuira enmascarar la comparacin intuitiva del comportamiento del modelo analizado con los resultados proporcionadospor situaciones ms comunes.Ademses normacomn en lostrabajoscitadosel despreciarel comportamiento del material estructural, que se suponeelstico y lineal. Empero, debido a lo reducido de lasescuadras empleadas, la estructura se encuentra sometidaa tensiones muy altas, que tal vez no permitan unasimplificacin tan radical.Los coeficientes de seguridad usualmente empleados enmecnica del suelo se traducen en tensiones que rara vezsuperan el tercio de la carga de hundimiento del terreno. Seda en ciertos casos la paradoja de adoptar complejosmodelos de terreno, mientras que ste est sometido a unosvalores tensionales reducidos que no justifican tamaoesfuerzo. Sobre todo cuando en la superestructura sepresentan fuertes valores tensionales que se tratan, sinembargo, como situacin elstica y lineal. Parece sensatoinvestigar el comportamiento real de la estructura y terreno, verificando las solicitaciones a que realmente estnsometidas las piezas y su congruencia con los modelosusuales, dentro de un cierto grado de igualdad en lassimplificaciones asumidas en cadacasoy antesde cualquierintento de actuar sobre los coeficientes de seguridad .Es tambin notable la ausencia de constatacin de resultados experimentales de todos los trabajos consultados,

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especialmente los que analizan modelos de suelos distintosdel desarrollado por Winkler , modelo que si bien cuentacon unciertoavalexperimental referidoalconjuntoedificiocimentacin-terreno, ste es lamentablemente bastantereducido.No cabe olvidar adems la ausencia de capacidad operativa prctica de alguna de las modelizaciones consignadas enla bibliografa, por cuanto la complej idad de su desarrollolas relegan a la esfera de la mera especulac in terica, almenos en la actualidad, aunque el espectacular desarrolloinformtico hace muy aventurado avanzar cualquier tipode crtica en este sentido.El objetivo de estas lneas es proponer y valorar losresultados de un modelo de clculo de estructuras deedificacin que tenga una mejor aproximacin a lascondiciones de borde reales de las estructuras. Este modelose ha construido con un mtodo que -se espera- resulteoperativo y consecuente con el gran nmero de elementosy secciones presentes, esto es, compatible con la demandade economa que impera en toda actividad. El planteamiento busca analizar la repercusin de la modelizacin delterrenoenel dimensionadode loselementosde cimentacin,lo que supone una revisin de los mtodos clsicos dedimensionado de stos.El mtodo del coeficiente de balasto

Para ello el primer problema a resolver es la modelizacindel terreno. Se opt por el mtodo del Mdulo de Balastoo modelo de Winkler [O 1], que parte de la hiptesis de queel asiento producido en un punto mantiene una relacinlineal con la presin a la que est sometido el terreno,transmitida por la cimentacin . Analiticamente,

dondep representa la presin transmitida al terreno,y - sel asiento experimentado y k, el factor de proporcin entreambos,conocidopor variosnombres siendoelms aceptadoCoeficiente o Mdulo de Balasto, con unidades de kg/cm',De acuerdo con laecuacin inicial,p = k ' y , para los casossde carga lineal q repartida sobre un ancho b y para cargaconcentrada P actuando sobre una placa de rea A, laformulacin se completa como sigue:

q = k;b y = ky P = kA = K ydonde las unidades de k y K son variables para permitir lahomogeneidad de la frmula .Si bien ste es un mtodo que no se ajusta exactamentea la realidad experimental del terreno, con problemassobradamente conocidos, los resultados que histricamente haproporcionado estn avalados por laexperiencia,


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factor de considerable importancia en un anlisis como elque se aborda en estas lneas. Adems, dado el mbito deeste estudio, mtodos ms preciso s como el modelohiperblico -el stico no lineal- no aportan mayor precisinen los resultados, por cuanto que en edificacinconvencional, las tensiones transmitidas al terreno no sonaltas: la tensin admisible engloba un doble factor deseguridad suficiente frente a hundimiento y frentea asientosexcesivos. Por esta razn la relacin reaccin del suelo/asiento se sita en la parte baja de la rama, que es, en todoslos modelos propuestos, bien una recta o bien sustituiblepor una recta sin error apreciable, tal y como se puedeapreciar en el Grfico 1 [03].

Grfico 1(VALUACION DE LOS COEFICIENTES DE BALASTO

.fl. .fl. p.3 ? u p ,,---.....,i , , )),........ . )


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donde s., esel asiento experimentado por laplaca de 30cm,sees el asiento del cimiento y bees el ancho del cimiento.De acuerdo con la ecuacin inicial y dado que la presintransmitidaesconstante, es inmediato obtener lasecuacionesclsicas propuestas por Terzaghi en 1955 [03]:

k = k . (arcillas duras)e JU b l'e

b + 30k = k)O ( e F (arenas)e 2bePosteriores estudios e investigaciones han generalizado yreescrito parcialmente estas expresiones, de tal forma quesus expresiones ms conocidas resultan ser [04]

bk = k ' f (arenas sueltas o muy sueltas, limos, arcillas)e oe

be + bOk = ka ( - - - - - F (arenas densas)e 2beb + be O3be

donde b representa el lado de la placa de carga .oOtros autores -[05], pg. 207; [06], pg. 310- recogenadems la ltima de las expresiones de Terzaghi citadas,generalizndola para un cimiento rectangularde proporciny dimensiones cualquiera, expresndola en el sistemainternacional de unidades

2'a + 3'a

lsiendo a = e (arcillas preconsolidadas)be

Expresiones que, sin ser las nicas ni las ms precisas, s sonlas ms conocidas para el clculo del mdulo de balasto delcimiento a partir de los valores obtenidos en ensayos deplaca de carga. De hecho, hoy en da, existen expresionesms precisas que hacen depender el Coeficiente de Balastode [07]:- Mdulo de Compresibilidad E, bajo el cimiento .- Forma y dimensiones de la cimentacin -rectangular,cuadrada, circular. ..

- Proporcin entre las dimensiones del cimiento y cargasaplicadas.- Rigidez Relativa del cimiento.- Nivel de Cargas: Cargas Vivas/ Cargas Muertas

Aplicacin a la formulacin matricialEn las figuras del Grfico 2se muestra el proceso bsico deidealizacin [08] del terreno desde la situacin real hasta elesquema de clculo simulando el efecto del terreno mediante un conjunto de muelles.Bsicamente este proceso consiste en la sustitucin delcontinuo del suelo por un conjunto de apoyos elsticossuficientemente prximos . Para ello se divide el terreno enuna serie de fragmentos de ancho igual al del cimiento -enconsonancia con las hiptesis del mtodo del mdulo debalasto- y paso a conveniencia, sin temor a cometer ungrave error si se asegura que la discretizacin sea losuficientemente tupida. De esta forma se ha idealizado lapieza, realmente apoyada sobre un medio elstico continuo,como un elemento apoyado en un nmero finito de apoyoselsticos. Seguidamente se evala la capacidad resistente de cada una de las porciones de terreno as definidas y serepresenta porun muelle -esto es, un elemento con reaccinexclusivamente vertical- oEl paso siguiente es introducir los muelles as definidos enla formulacin matricial, consiguiendo que la respuesta delterreno sea exclusivamente vertical. Esto se puede realizar,si el programa lo permite, introduciendo la constante demuelle paracada apoyo . Pero, en nuestro caso, el programadisponible, un matricial convencional, no ofreca estaposibilidad. Por ello se ha tenido que representar cada unode los apoyos elsticos por una barra, asegurando la reaccin de sta en direccin vertical. Estas barras se conocencomo barras ficticias.Como es sabido, en la formulacin matricial una barraqueda representada por su matriz de rigidez. De esta matrizdepende el comportamiento resistente de la barra . Dosfactores resultan determinantes: la rigidez axil de la piezay la rigidez a flexin .

. d 11 . .. di' EALa primera e e as nene una expresin e tipo - - ; lalE'segunda es de la forma -- si se desprecia la influencialde la deformacin por cortante -situaci n usual en losprogramas de clculo-, con los siguientes significadosE: Mdulo de Young del material de la barra ficticia queemula el muelleA: rea transversal de la barra ficticia que emula el muelle1: longitud de la barra ficticia que emula el muelle


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Grfico 2 Para garantizar que la reaccin se produce en direccinvertical se debe anular la resistencia a flexin de la barra,E, , , ' ibl desto es, -- =0, SI bien la Igualdad es irnposi e elrepresentar sin alterar la formulacin matricial, sin cmbar'11 ' E1go es senci o conseguir que ---== 0, lo que producel

los mismos efectos prcticos. Para ello basta asignar a labarra un momento de inercia suficientemente reducido. Deesta forma se anula la respuesta a flexin de la barra,Como adems en la formulacin matricial el cortante esSITUACiN REAL xfuncin de expresiones tipo E1 y E , con lo que e l

{2 J1lartificio anterior anula tambin su efecto. Obviamente sedebe tener la precaucin de introducir como longitud deestas barras ficticias valores superiores a la unidad,En estas condic iones, al producirse el asientoYven un puntodel cimiento y de acuerdo con la formulacin matricial, lareaccin de la barra en contacto con ese punto toma el valor

EAl

valor que debe ser igual a la reaccin del suelo producidaDISCRETIZACIN DEL TERRENO por cada columna virtual de terreno -evaluada con elmtodo del mdulo de balasto-, que para el mismodesplazamiento vertical en ambos casos se expresa como

-K -bx edondek : Mdulo de balasto del cimiento.eb: ancho del cimientox: ancho de la columna virtual de suelo considerada .Igualando ambas expresiones

y

ESQUEMA DE CLCULO

Dado que algunos programas admiten exclusivamente unnico valor de E -y, en todo caso, por comodidad- y parafacilitar la introduccin de datos, suelen prefijarse losvalores del mdulo de Young E y la longitud l de las barras,por loque resulta un valor para el rea de lasbarras ficticiasdekb 'x" le e

EEl sistema anteriorpermite trabajar conanchos de cimientovariables y distintos mdulos de balasto -lo que posibilitala emulacin de variaciones del terreno bajo el cimiento ola introduccin de diversas correcciones al valor del mdulode balasto-.


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Interesa, adems, que la longitud 1sea de cierta magnitud,al efecto de que aumente la flexibilidad transversal de laspiezas. Empero, cuando la flexibilidad transversal es muyelevada es preciso aadir una barra horizontal ficticia paraevitar problemas de mal condicionamiento de matrices yerrores en los resultados. Esta barra existe realmente -laaccin del terreno sobre el borde libre de la pieza decimentacin y el rozamientocimiento suelo-pero tampocodebe preocupar su introduccin, por cuanto realmente lassolicitaciones a las que sevesometida en los casos usualesson de muy reducida magnitud.Para un clculo ajustado es importante la adopcin de unmdulo del balasto del cimiento adecuado, teniendo encuenta las diversas correcciones que plantea la bibliografa, Entre stassonde especial inters aquellascorreccionesque garantizan cierta continuidad en la deformacin delsoporte -suelo-, corr igiendo los valores del mdulo debalasto en los extremos delcimiento o empleando tcnicasde muelles emparejados -'coupled springs 'o, de acuerdocon lo expuesto en la norma ACI-336, u otros sistemas vase [07J- .Tipos estructurales y mtodo de anlisisEl anlisis que se expone en la segunda parte de este artculoha sido efectuado mediante una serie de clculos de lasestructuras propuestas sobre un programa matricial. Dichoprograma permite el control de la exactitud del clculomediante el estudio de los desequilibrios finales en losnudosde laestructura-condicin inexcusableparagarantizarla validez de laidealizacin analizada-, as como el enlaceconprogramasdeCAD quepermiteneltratamientoposteriorde las leyes de esfuerzos obtenidas [09].El mtodo de anlisis parti del estudio de la repercusinque tiene lamodificacindel valorde una variablemientrasse mantienen constantes los valores de todas las dems.Este sistema da lugar a una serie de familias de resultadoscomparativos que permiten analizar la distinta repercusinde la modificacin efectuada en una serie de casos cruzados,estableciendo asimismo la repercusin porcentual de lavariacin.Evidentemente nadajustificaque nose produzcaninteracciones de mayor repercusin cuando se modificansimultneamente dos variables,pero, a la luzde losresultados obtenidos, sta ha parecido una aproximacin suficiente.Establecido el mtodo de clculo y la forma de realizar laidealizacin del terreno, queda justificar las estructurasanalizadas. A tenor de la j ustificacin anterior nos hemoscentrado en algunas de las ms comunes en la prcticaprofesional. Se analizaron distintos tipos estructurales,inicialmente muy sencillos, pero que fueron arrojandoresultados que por, su discordanc ia con los obtenidos conlos modelos de clculoactualmente admitidos, llevaron a laconsideracin de modelos cada vez ms complicados.

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El anlisis de la bibliografa, en la que se ha constatado suexclusin, as como la prctica constructiva usual de Galicia-realidad de fondo en el que se inscribe este estudio- hanllevado a las tipologas propuestas en este trabajo, quequizs parser muy comunes hansido muy pocoestudiadas,debido a su falta de singularidad, y que versan sobres ituac iones de cimen taciones de tipo superficial,particularmente zapatas.As, se ha estudiado previamente una serie de vigas flotantes -correspond ientes a una estructura tpica de colegiosegn modelizaciones conocidas [10], introduciendo lascargas como puntuales en un primer paso, posteriormenteconsiderando el refinamiento de considerarl as repartidassobre elancho de los pilaresy, por ltimo, introduciendo lasuperestructura en el modelo. Este tipo estructural se utilizcomo comprobacin del modelo desarrollado.Se ha pasado a continuacin al estudio de un prticometlico de 20 m. de luz apoyado sobre zapatas, que podraser la estructura de una nave, para analizar el conocidoproblema de su cimentacin a base de zapatas en suelos deno gran calidad.Posteriormente se afront el estudio de las zapatas demedianera, para el que se analizaron dos casos; un prticode bajo y 2 plantas altas en el que la carga del cerramientollegaba hasta el terreno sin afectar a la estructura -caso deque el cerramiento fuese continuo hasta el terreno- y,posteriormente, un prtico de bajo y 5 plantas, en el que laestructura reciba, adems, la carga de cerramiento.En nuestro caso, por razones de ubicacin geogrfica, elestudio se ha centrado en el caso de suelos sin cohesin,arenosos, con valores de mdulo de balasto en placacircular de dimetro D= 75 cm, adoptando valores !sl= 9 yk71= 15 kg/cm', usuales para suelos arenosos pobres o yacon cierta calidad [11], emplendose las frmulas decorrelacincorrespondientes a las arenas.Detodas formas,tal y como se comprobar posteriormente, el valor delmdulo de balasto elegido -en el rango usual de valores-noresulta especialmente determinante en el comportamientodel sistema.Adems, en los estudios de prticos planos sobre zapatas,elclculo dekc se ha realizado independientemente paralosdistintos elementos de la cimentacindiferenciados, sibienstosseencuentranenlazados por nerviosde atado,situacinque se ha incluido por considerarla de buena prctica y porel recuerdo de las prescripciones de la POS.Para el dimensionado de los elementos -vigas y pilares,zapatas- introducidos en el modelo se ha partido de laexperiencia y de tabulaciones publicadas de uso corrienteen edificacin.Entre los modelos calculados no se ha incluido ninguno que


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incorporase la correccin de muelles emparejados. S se hatenido en cuenta, en cambio, la correccin por distancia alborde, si bien entre los resultados que se transcriben no seincluyen stos dado que significaba un comportamientoms ventajoso en los casos en que se consider.Como se ha expresado anter iormente, la rigidez axil de labarra ficticia que emula el terreno se expresa como

EA- -= k 'b 'xI e edonde x es el paso de la discretizacin . Evidentemente ,como segn lo anteriormente expuesto, siendo x constante,resulta que la capacidad de carga del cimiento es muy pocodependiente de su ancho b, especi almente en el caso de lafrmula propuesta para las arenas seltas o muy sueltas,

blimos y arcillas, en la que kc= ka T- ' lo que, sustituidoeen la expresin anterior, conducira a

EA b-= (k . ---"- ) b :x = k -b 'XI a be ' a aya que lacapacidad portante del cimiento fuese totalmente independiente de su ancho , lo cual no es obviamenteaceptable. En el caso de las formul aciones para arenasdensas y para arenas compactas, si bien las consecuenciasno son tan radicales, se producen, sinembargo, situacionescuriosas dado que la aplicacin de la formulacin conducea que para cimientos de 1,00x1,25 Y de 1,00x2,50 lescorresponda el mismo mdulo de balasto, mientras que lapresin de hundimiento es muy diferente en ambos casos.El estudio de las diversas propuestas elaboradas para ladeterminacin del mdulo de balasto permiten contrastarlas correcciones por razn de forma de la cimentac in quehan introducido los diferentes autores. Ya la hiptesisgeneral del mtodo, en peque as superficies , distingue lasituacinentreplacacirculary placa cuadrada,estableciendola relacin entre los mdulos de balasto de la placa circulary una cuadrada de igual rea en relacin con su dimetroequivalente, esto es

dk J = k 4'Ae- 1tLa relacin anterior para el caso de placas de d imetrosnormali zados 34 y 75 cm y placa cuadrada de 30 c m delado, se convierte en 34 k = 75 kJU 7jTerzaghi [6, pg. 315], propone una expresin para arcillas precomprimidas que tiene en cuenta las dimen siones relativas del cimiento. Esta expresin ha sido adaptadapor autores posteriores [11] [12], generalizndola paracualquier ancho de cimiento y expr esndola en el sistemainternacional de unidades como

b . le (arcillas pre2'a + 1 JO SIendo a = -k, = kJO Ia b ' be comprimidas)e

expresin vlida para una placa cuadrada de 1pie (30 cm),donde 1es la longitud del cimiento y b, el ancho de ste.

bSowers, 1977 [13] k, = ko (_0 r 0,5 '.'::,n '.'::, 0,7b,.Esta expresin, aplicable a depsitos de arena naturaly compacidad relativamente uniforme, introduce unacorreccinexponencial que parece provenir de diferenciasen la carga ltima encontrada. Ha sido probada con placasde carga de hasta 1,20 m. El autor indica como correccinexperimental que, en cimientos rectangulares, esms exactoemplear el lado del cimiento cuadrado de igual rea. Si sedefine elcoeficientede formade la cimentacin rectangu-

Ilar como CJ. = ----,en estas condiciones y teniendoe

en cuenta la considera cin anterior la frmula se rescribecomobk = k ( _ _0_)" 0,5'.'::, n '.'::, 0,7e o be' 'JCl

Segn DE BEER [14] Y VOGT [15 ]:l . Cimentacin Circular de rea A y rigidez suficienteparadistribucin uniforme de presiones:

Ek = 1 392 - "e ' fA2. Cimentacin Rectangular a > b y rigidez suficiente paradistribucin uniforme de presiones:

Ek = 1 330 - " -e ' ~ 2

De acuerdo con el concepto anterior de coeficiente deforma, la frmula se puede expre sar como

E,k = 1,330, b3a.DIMITROV [1 4] E,25k,= P b (1 _f12)

donde p es un Coeficiente de Forma de la CimentacinRectangular, segn la Tabla l .

TABLA 1a:b 1,00 1,50 2,00 3,00 5,00 10 20 30 50P 1,05 0,87 0,78 0,66 0,54 0,45 0,39 0,33 0,30

E,DfN 4019: [14] ke = - --bfr , O)donde la funcin I depende de las relaciones a/b y z/b,donde z es e1espesor de la capa de terreno efectiva. LaTabla2 recoge los valores propuestos para esta funcin por Kany[1 4].


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TABLA 2

VALaRES DE Irs. o) PROPUESTOS POR KANYz:b \a:b

1.00 1,50 2.00 3,00 5,00 10,00 20,000,20 0, 108

0,108

0, 108

0, 109

0, 109

0, 19 0, 19

0 ,40 0,209

O,JO1

0,302

0.303

0.303

0,34 0,34

0.6 0 0, 307 0,40 0,402 0.404 0,405 0,46 0,460,80 0,404

0,407

0,50

0,503

0,506

0,57 0,57

1,00 0,409

0,503 0, 507

0,60I

0,604

0,67 0,67

1,50 O,SO8

0,605

0,70 0,705 0, 801 0,86 0.872.00 0.604

0,702

0,708

0,805

0,903

1.00 1.03

3,00 0,70 0,802 OBO9 0.909 1,009 1,20 1,255,00 0,706

0,90 1,00 UO3 1,207 1,43 1,547.00 0,709 0,904 1,005 1,20 1,307 1,55 1,6810,00 0.80

I0,907

1,009

1,206

1,405

1,68 1,85

20,00 0,802

0, 908

1,102

1.302

1.507

1.89 2.12

La propia norma advierte que se tome un valor z= 2b si elespesor efectivo de terreno supera 2b.En el Grfico 3 se puede visua lizar el valor de la corre cci n propuesta por Kan y -n tese que parece haber unerror en la primera col umna y que los valores propuestoscorrespond iesen a b:z en lugar de a z.b- ,Para poder co mpa rar la correcc in por forma que incluyen los valores pro puestos por Kany con los propues tos por los otros autores, se divide n los valo res de cadafila pare! primerode ellos -el que corresponde a un cimiento cuadrado-, en tendiendo que los valores de/ !sO) = !p!1esto es, que el valor resultante es elproducto de un coeficientede empotramiento que depende slo de la profundidad y deun coeficiente de forma -de valor l para la zapata cuadrada -oEstas son las curvas que se representan en el Grfico 5,

comparativa de los factore s correctores por forma propuestospor los distintos autores.AC!-336 .2R-88 Es[17]: En Comentarios, k = - - -"--- -c b ( f- .J)!JFfrmula que se debe a Bow les [16], Y que se obt ieneponiendoen relacin laexpresin del mdulo con ecuacionesde clculo de asientos . f representa el Fac tor de influenciade forma, dependiente r de la forma y flexib ilidad de lacimentacin y que se puede exp resar en funcin de loscoeficientes de influencia de Seinbrenner, ! Je ! l' como

f -2.Jf - .Jf es el factor de empotramiento por la profund idad, deb idoF


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Grfico 3CORRECCiN AL MDULO DE BALASTO SEGN KAN Y6

5

4

II 020 II I II II II ,I I II I I I,I I I I1 I I1'-1 I O' hn II I II\ I I I Ir- I I I\! I 1 I\ 1" ,- -1 I I I-""' I I, \ ,I,\ r-r- ,r-;-. 20 0 I::- I I I I II

II

FACTOR DE INFLUENCIA DE FORMA Y PROFUNDIDAD , 1,1,00 r- ~ ~ - - - o I ' , " I I I , " I I , , , " I ,3 I " " " ".._- ---. --.----. . --.... _-------- ----,---------.- -_.. .---- . -_. -- --------- I I , I ",

0,90

2

00 0 0 0 0 o o o1 Lt'l lD r-. . . CO O'lO o o oci o" 66 .....- v lJ'i o= f(S,O)o a 5 10 15 20 Relacin de profundidad, pibti Grfico 4

Grfico 5FACTOR DE MINORACiN DEL MDULO DE BALASTO

COMPARATIVA DE LAS PROPUES TAS DE TERZAGHI, SOWERS , DE BEER, DIMITROV y KANY

1,00

0,50

p

I II , I I Ianv 06I I1an I I ; III -. , I 1 I I 2 II ! I I I ! I I~ I Kan 5 I II II SOWCrs u,! I I Dim rov I I ----r=::::: ' II I Sow ers U, ,, I 1 I-I--+-l I IIi I AreaguaI I II I I I I I ,I

I I I I IIa 5 10 15 20b


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a Fox [17], Y variable tambin en funci n de la forma ydimensiones de la cimentacin . El Grfico 4, tomado de lareferencia [18], proporciona una idea clara de la variacindel factor 1F'El Grfico 5 permite comparar el significado los diversosfactores de correccin propuestos por los autores.Como se ve, las correcciones planteadas por los autorestienen un aspecto coherente, aunque s lo las de Sowers, DeBeer,D imitrov y Kany 5 -o superiores- guardan una buenacorrelacin. Pese a esta reflexin, enelestudio desarrolladopara las zapatas de medianera se ha utilizado la correccinpor ancho equivalente, b - ancho de un cimiento cuadradocqde igual rea-, dado que proporciona una menor capacidad portante para la zapata de medianera y es , por tanto ,ms exigente con las piezas de atado y centradoUna justificacin filosfica de esta eleccin se planteadesde el principio fisico del empujede cuerpos sumergidos.Este mtodo es conocido, com o es bien sabido, como de lasvigas j/otantes, que est expresando que se considera elcimiento como flotando sobre un lquido. Es sabido que enel caso de los lqu idos , el empuje que recibe el cuerposumergido es proporcional a l volumen de lquidodesplazado. En este sentido se justifica la introduccin delconcepto de ea Equivalente.Asimismo, se ha tenido en cuenta el aumento del Mdulode Balasto por con soldacin en los bordes del cimiento. J.Hahn, en la referencia [14] , propone unas correcciones almdulo de balasto en funcin de la posicin relativa de lacarga y el borde del cimiento, valores que se reflejan en elGrfico 6. Sin embargo, en el estudio de las zapatas demedianera se ha desestimado inicialmente esta correccindado que el no rea lizarla da lugar a una situacin msdesfavorab le para el centrado de las cargas. Tampoco laaplicacin de esta correccin 'hace variar demasiado losresultados .

Grfico 6CORRECCi N DEL MDULO DE BALASTO POR DISTANCIA AL BORDE

I I I I I I 1.00 0,;8 , o,m, o...,. 1''' o.... 1"'''' i

v.:l. I II !0.00 0,10 0.20 0,30 0.40 0,50

PORCEJlITAJE DE DISTANCIAAl. EXTREMO HL

Informe s de la Co nstrucc in, Vol. 52 nO47 1, enero / febrero 2001

En la segunda parte de este artculo se analizan distintas estructuras de edificacin comunes en las que se harepresentado el apoyo en el terreno med iante el mtodo delmdulo de balasto descrito en las lneas a nteriores.Anejo: estudios de interaccinA.l. Estudios de p rticos planosLos investigadores han desarrollado una ingente cantidad de trabajo para estudiar el fenmeno de la interaccinsuelo-estructura en estructuras porticadas planas . Acontinuacin se menc ionan algunas de las contribucionesms sobresalientes:Grasshoff-Influence ofFlexural Rigidity of Superestructureon the Distribution of Contact Pressure and BendingMoments of an Elastic Comb ined Footing . Proc. 4thIntemational Conference SMFE, Londres , 1957, Vol. 1,pp. 300- 306- estudi los casosextremosde superestructuracompletamente rgida y flex ible, con pilares totalmenteempotrados y articulados en la cimentacin. La cimentacin se estudi como una viga continua sobre un modelo deWinkler, con columnas perfectamente e lsticas o plst icas.Sommer-A MethodforCalculation ofSettlements, ContactPressures and Bending Moments in a Foundation Includingthe Inj/uence ofthe Flexura 1Rigidity of the Superestructure.Proc. 6th. Intemational Conference SMFE,Montreal, 1965,Vol. Il, pp . 197-201.- desarroll el primer estudio completo del problema general la interacci n cimientosuperestructura .Propuso, asimismo, un mtodo para incluireste efecto en eldiseo de lacimentacin . El anlisis que seplantea estudia una viga de cimentacin -O cimentacin porlosa que se considera tlectando exclusivamentelongitudinalmente- tratndose el suelo como un semiespacio elstico . La cimentacin se subdivide en cierto nmerode elementos iguales que se consideraron soportados en supunto m edio po r p ilares fict i cios . Se aplica undesplazamiento unitario a estos pilares ficticios, empleandolas condiciones de equ ilibrio en cada pilar para calcular lasreacciones . Al considerar la compresibil idad del suelo, lasdeformaciones de esos puntos de la superficie del suelo sededu cen de las propiedades del suelo. Sustituyendo losvalores de asientos ca lculados en el primer grupo deecuaciones de equilibrio se determinan las reacc iones, quedeterminan la distribucin de la pres in de contacto bajola cim entacin .En este mtodo se consideran conjuntamente cimentaciny superestructura, emplendose la compatibilidad dedeformaciones de la interfaz cimiento-suelo para resolverel problema.1. K. Lee y H. B. Harrison en su articulo Structurefoundation int eraction theory -Journal of Structural


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Division. ASCE n 96, pp. 177-198, 1970- desarrollarondos mtodos de estud io del problema de la interaccin .En el primero de ellos, se plantea n como incgn itas lasrotaciones y despl azamientos en los puntos de uninpilares-cimentacin. Estas se obtienen del anlisis aisladode la superestructura y se igualan con los valores obtenidosconsiderando la cimentacin una viga sobre un terrenotipo Winkler. En el segundo de los mtodos, una hipotti cadistribucin de la presin de contacto se modificainteractivamente hasta obtener la congruencia dedeformaciones entre superestructura, cimentacin y terreno.Este mtodo se encuadra dentro del grupo de los queabordan el problema desde la consideracin conjunta decimentacin y superestructura, empleando lacompatibilidaddedeformaciones dela interfazcimiento-suelo para resolverel problema.M. 1. Haddadin -Mats and conbined footing analysisby finite element metho d Journal of American Concrete Institute, n 68, pp . 945-949, 1971- propuso unaaproximacin bidimensional por el mtodo de lassubestructuras paraun anlisis interactivoy linealde prticossobre zapatas combinadas.1.K. Lee y P. T. Brown en Stru cturefo undation interactionanalysis -Joumal ofStructural Division. ASCE n 98, pp.1413-1431, 1972- plantearon un clculo que contempl aba la interacin terreno-estructura de un edificio de estructura porticada de siete plantas y tres vanos, en el cua l elterreno era modelizado tanto siguiendo la teora de Winklercomo segn el modelo de semiespacio elstico. El prticose estudi como plano y con los pilares articulados encimentacin.G. 1. King y V.S. Chandrasekaran Interactive analys isusing a simplified soil mo del Proceedings oflntemationalSymposium on Soil-Structure Interaction, Roorkee , Vol. l .pp. 93-100, 1977 estudiaron un prt ico plano cimentadopor losa en el cual tanto el prtico como la viga decimentacin fueron discretiz ados mediante elementos vigacon capacidad de flexin mientras la masa de suelo serepresentaba con elementos planos rectangulares. Adoptaronun elemento de friccin de espesor nulo para representar elinterfaz viga-terreno. De todas formas , este elemento es tiltan slo en presencia de cargas laterales.P. T. Brown, Load sequence and structure foundationinteraction -Journalof'Structural Division.ASCE n113(3),pp. 481-488, 1986- examin el efecto de la secuenci aconstructiva sobreelcomportamiento interactivo,yencontrque la rigidez efectiva de un edificio durante su construccin es aproximadamente la mitad de la rigidez de laestructura completa.

1. Noorzarei -Non linear so il-struc ture interaction inframed structures. Ph.D. Thes is, Civil EngineeringDepartm ent, University ofRoorkee, Roorkee, India, 1991

consider losaspectos no lineales del subsuelo e investigcompletamente su influencia sobre el comportamientointeractivo de las estructuras porticadas.M.N. Viladkar, P. N. Godbole y J.Noorzarei;Soil-slru clureinteraction in plane fra mes using couple finite-infin iteelements. Computers and Structures, n 39 (5), pp. 535546, 1991, emplearon una formulacin mixta de elementosfinitos e infinitos emparejados para subrayar la ventaja delempleo de elementos infin itos en el estudio de problemasde interacin.1. Noorzarei, M. N. Viladkar y P. N. Godbole, Non -LinearSoil-Structure Interaction oj Plane Frames:A ParametricStudy. Computers and Structures, Vol. 49 (n 3), pp. 561566, 1993, calcularon un modelo param trico que representa un prtico de horm ign de 2 vanos y 5 plantas-con tratamiento elstico del mater ial- cimentado conuna viga flotante sobre un suelo representado por unmodelo hiperblico con variacin lineal con la profundidad . La modelizacin se real iz mediante elementosBeam Isopararntricos de 3 Nodos y 3 D.O.F. (G. deL.) pornodo para vigas y pilares de l prtico y para la viga decimentacin, mientras que el terreno se represent conElementos Finitos Planos Isoparam tricos de 8 Nodos yElementos Semi-infinitos Isoparam tricos de 6 Nodosemparejados . Entre cimentacin y terreno se introdujo unElemento Interfaz de 3 Nodos.Se estudi lavariacin de losresultados de acuerdo con el espesor de la viga flotante. Serealizaron grficas comparativas de los asientos, de lavariacin de los momentos flectores en el prtico y en laviga flotante, as como de la variacin de la carga axil enpilares, en todos los casos en funcin de la variacin deespesor de la viga flotante . Choca,sinembargo , laausenciade alguna referencia a un modelo comparativo, que podraser cualquier modelo de clculo usual.J. Noorzare i, M. N. Viladkar y P. N. Godbole Elaslopla stic analysis fo r soil-structur e interaction in jramedstru ctures . Computers and Structures , n 55, pp. 797-807,1995, estudiaron el comportamiento interactivo de lasestructuras porticadas cuando el subsuelo se modela comoun cuerpo elstico-perfectamente plstico. Se compararonlos anlisis interactivos de formulaci n lineal, no lineal con respuesta del terreno hiperb lica- y el modelo elastoperfectamente plstico, tomando comoreferencia el anlisisno interactivo con vencional. Asimismo, el comportamiento interact ivo del conjunto con el suelo como cuerpo elastoplstico se compar con modelos de suelo de formulacinelstica lineal y elstica no lineal -hiperb lico-. Dentro delos valores de cargas de servicio, el anlisis elasto-plsticoarroja valores muy semejantes a los dedu cidos del anlisiselstico-lineal, mientras que mtodos elsticos no lineales-tericamente ms precisos- arrojan valores muy diferentes.El mode lo estudiado se define en el artculo siguiente.J. Noorzarei, M. N. Viladkar y P. N. Godbol e lnjluence oj


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strain hardening on soil-structure interaction 01 framedstructures. Computers and Structures, Vol 55 (n 5), pp.789-795, 1995, estudiaron el comportamiento de un prtico de dos vanos y dos alturas cimentado mediante unaviga flotante sobre terreno hiperblico elasto-plstico.La modelizacin se realiz mediante elementos BeamIsoparamtricos de 3 Nodos y 3 D.O.F (G. de L.) por nodopara la superestructura y la viga de cimentacin, mientrasque el terreno se materializ como Elementos FinitosPlanos Isoparamtricos de 8 Nodos y Elementos Semiinfinitos Isoparamtricos de 6 Nodos. Los asientos -yengeneral el comportamiento estructural del modelo- arrojvalores mucho menores de los calculados con modelos deanlisis no lineal, incluso de respuesta hiperblica. Laconclus in que se deriva de este artculo es que los antiguosmodelos de representacin del terreno elstico puedenllegar a ser mucho ms ajustados que otros modelos tenidoscomo ms avanzados.A.2. Estudios de prticos espacialesVarios autores plantearon estudios sobre la influencia de lainteracin entre un prtico espacial, la cimentacin y elterreno en cuanto a la redistribucin de los cortantes,flectores, presiones de contacto y asientos diferenciales:S. J. Hain y 1. K. Lee Rational analysis ofrafifoundations.Joumal of Geotech. Div. ASCE 100, pp. 843-860, 1974,estudiaron prticos espaciales de 3x3 (tres por tres) vanosy de 6x3 (seis por tres) vanos usando el mtodo de lassubestructuras.V.S. Chandrasekaran y G. J. King Interactive analysis 01raftedmultistoreyedspaceframe resting on inhomogenousclay stratum Proceedings of Intemational Conference ofFinite Element Method in Engineering. University ofNewSouth Wales, pp. 493-509, 1974, elaboraron un modelofisico mediante elementos finitos de un prtico espacialsobre losa en un estrato de arcilla no homogneo,reconociendoel hecho de que larigidezde lasuperestructurapuede ejercer una profunda influencia en la resdistribucinde esfuerzos y asientos.D. N. Buragohain y V. L. Shah, 3-D interactive finiteelement analysis offoundation structures. Proceedings ofIntemational Conference of Computer Applications inCivil Engineering, University of Roorkee, Theme IV, ppIV-275, 1979, generaron una modelizacin completa porelementos finitos del sistema formado por un prticoespacial, una losa de cimentacin y el terreno, totalmentetridimensional.M. N. Viladkar, P. N. Godbole y 1.Noorzarei, Spaceframeraft-soil interaction including eJJects 01 slab sti./Jness.Computers and Structures, n" 43 (l), pp. 93-106, 1992,subrayaron el efecto de la rigidez de la losa sobre elcomportamiento de la interaccin entre prtico espacial,losa y terreno.

M. N. Viladkar, G. Ranjan y R. P. Sharma, Soil-structureinteraction in time domain. Computers and Structures, n46 (3), pp. 429-442, 1993, estudiaron, asimismo, el problemade la interaccin suelo-estructura considerando su facetatemporal, con una formulacin de elementos finitoscompletamente tridimensional. Se analiza tanto el asientototal como el diferencial, as como la distribucin de lapresin de contacto bajo la cimentacin y tambin loscortantes y flectores en los elementos de la superestructura en funcin del tiempo.M. N. Viladkar, 1. Noorzarei y P. N. Godbole, InteractiveAnalysis 01 a Space Frame-Raft-Soil System consideringsoil Non-Linearity. Computers and Structures, Vol. 51 (n4) , pp. 343-356, 1994, desarrollaron un modelotridimensional, que trata de avanzar un paso ms en elmodelado fisico de la estructura, integrando la losa decimentacin dentro del conjunto estructural, yrepresentandoel suelo mediante un modelo no lineal -hiperblico-. Elmodelo se desarrollo mediante M.E.F., representando laestructura mediante elementos tipo Viga de 3 Nodos y 3 G.de L. por nodo. Para la discretizacin de las losas de forjadoas como para la losa de cimentacin se emplearon Elementos Placa Isoparamtricos de 8 Nodos con capacidad deFlexin. El suelo se model iz mediante Elementos FinitosIsoparamtricos de 16 Nodos -tipo Brick- conjuntamentecon Elementos Semi-Infinitos de8y 16Nodos-compatiblescon los anteriormente indicados-o Los resultados analizanlos asientos -totales y diferenciales- experimentados por lalosa, as como la distorsin, la distr ibucin de la presin decontacto, la tabulacin de los momentos experimentadospor la losa y las vigas, as como la tabulacin de los axilesde las columnas. Los resultados se comparan con aquellosarrojados por el Anlisis Lineal Interactivo.BIBLIOGRAFA(1) Winkler, E. Die Lehre von Elastizitt und Festigkeit (SobreElasticidad y Resistencia). Praga, 1867 , pp. 182.(2) Zimmermann,H. Die Berechnung des Eisenbahn Oberbaues.(Clculo de superestructuras de vas de ferrocarril). Berln, 1888(3) Terzaghi, Karl, Evaluation 01 Coefficients 01 SubgradeReaction. Geotecnique, 1955, Vol. 5, n 4, pp. 297-326.(4) Tomadas de Sopea, L. Jornadas sobre ProblemticaGeotcnica en la Edificacin, Cimentaciones, pg. 64 Yss. Lugo,junio 1994.(5) Calavera, J. Estructuras de Cimentacin. rNTEMAC, Madrid(2" Ed.).(6) D. Graux, Fundamentos de Mecnica del Suelo. Proyecto deMurosyCimentaciones. Editores Tcnicos Asociados, Barcelona,1975 (2 Ed.)(7) Se puede consultar una exposicin sobre el tema en Manuel J.Freire Tellado, Precisiones para el empleo del mtodo del mdulode balasto en edificacin. Informes de la Construccin, Vol. 51n 463, septiembre/octubre 1999.


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(8) Se puede consultar una sencilla exposici n del mtodo en elCaptulo V Elem entos estructurales especiales, por Manuel 1.Freire Tellado, del libro Prez Valc rcel et all i, Estructuras deHormign Armado, Trcu lo Artes Grficas, Santiago, 1.993(9) Martn Gutirrez et alli; An lisis Matricial de SistemasEstru cturales Plan os . ProgramaX7.Departamento dc Tecnologade la Construccin de la Uni versidad de La Corua-Trculo ArtesGrficas, Santiago , 1997(10) Sez-Benito Esp ada, 1.M.; Clculo Matricial de Estructurasfo rmadas po r pi ezas p rismticas. Fondo Editorial de IngenieraNa val. Madrid , 1975 .(1 J) Calavera, op. c it. pg. 342 Y343 .( 12) D. Graux, Fun damentos de Mecnica del Suelo. Proyecto deMurosy Cimentaciones. Editores Tcnicos Asociad os, Barcelona,197 5 (2" Ed.)(13) Sowers, G.F . Foundation Modulus fo r a Mat on Sand.

Preprint n" 2937. American Society ofCivil Engineers, Oct \72 1.New York, 1977 .

( 14) Tomado de 1. Hann , Vigas Continuas, Prticos, Pla cas yVigas Flotantes sobre Terreno Elstico. Editorial Gu stavo Gil,3 Ed. pgs . 334 y ss.( 15) Tomado de limnez Salas, Geotecnica y Cimientos ll l.Captulo l . Edi torial Rueda. Madrid, 1980 (2 Ed.)(16) Bowles,1.E. Analyti cal and Computer Methods inFoundationEngin eering ,

McGraw-Hill Book Co ., New York, 1974, pp(17) Fox, E.N . The Mean Elastic Settlement of Uni formly LoadedArea at a Depth Below the Ground Surfa ce . 2 ICSMFE, 1948,vol. 1, pp 129-132( 18) Bowles, 1.E.; Foundation Analysis adn Design, 4th. Edition.McGraw-Hill, I988.

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Documents

Interacción suelo cimiento estructura