INTEGRALES DE SUPERFICIE

Representación paramétrica de una superficie

𝑥=𝑋 (𝑢 ,𝑣 ) , 𝑦=𝑌 (𝑢 ,𝑣 ) ,𝑧=𝑍 (𝑢 ,𝑣 )

𝑟 (𝑢 ,𝑣 )=( 𝑋 (𝑢 ,𝑣 ) ,𝑌 (𝑢 ,𝑣 ) ,𝑍 (𝑢 ,𝑣))

Representación paramétrica de una esfera

𝑥=𝑎 cos𝑢cos𝑣 , 𝑦=𝑎𝑠𝑒𝑛𝑢cos𝑣 ,𝑧=𝑎𝑠𝑒𝑛𝑣

>>u=0:0,2:2*pi;>>v=-pi/2:0,2:pi/2:>>[x,y]=meshgrid(x,y);>>x=cos(u).*cos(v);y=sin(u).*cos(v);z=sin(v);>>mesh(x,y,z)

Representación paramétrica de un cono𝑟 (𝑢 ,𝑣 )=(𝑢cos𝑣 ,𝑢𝑠𝑒𝑛𝑣 ,𝑢) ,𝑢≥0

-4-2

02

4

-4

-2

0

2

40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

>> u=0:0.2:3;>> v=0:0.2:2*pi;>> [u,v]=meshgrid(u,v);>> x=u.*cos(v);y=u.*sin(v);z=u;>> mesh(x,y,z)

Producto vectorial fundamental𝑟 (𝑢 ,𝑣 )=( 𝑋 (𝑢 ,𝑣 ) ,𝑌 (𝑢 ,𝑣 ) ,𝑍 (𝑢 ,𝑣))

𝜕𝑟𝜕𝑢

=(𝜕 𝑋𝜕𝑢 , 𝜕𝑌𝜕𝑢 , 𝜕𝑍𝜕𝑢 )𝜕𝑟𝜕𝑣

=(𝜕 𝑋𝜕 𝑣 , 𝜕𝑌𝜕𝑣 , 𝜕𝑍𝜕𝑣 )Producto vectorial fundamental:

𝜕𝑟𝜕𝑢×𝜕𝑟𝜕𝑣

=| �⃗� �⃗� �⃗�𝜕 𝑋𝜕𝑢

𝜕𝑌𝜕𝑢

𝜕𝑍𝜕𝑢

𝜕 𝑋𝜕𝑣

𝜕𝑌𝜕𝑣

𝜕𝑍𝜕𝑣

|Superficie regular: producto vectorial fundamental no nulo

Área de una superficie paramétrica

𝑎 (𝑆 )=∬𝑇

❑

‖𝜕𝑟𝜕𝑢× 𝜕𝑟𝜕𝑣‖𝑑𝑢𝑑𝑣

Un helicoide se define por , donde y es la región donde y . Hallar su área.

Ejemplo

>>u=0:0,2:1;>> v=0:0,2:2*pi;>>[x,y]=meshgrid(x,y);>>x=u.*cos(v);>>y=u.*sin(v);>>z=v;>>mesh(x,y,z)

Integrales de superficie de un campo vectorial

Sea un campo vectorial definido sobre , la imagen de unaSuperficie parametrizada . La integral de superficie de Sobre se define por:

EjemploSea el rectángulo en el plano definido por

y sea la superficie definida por la parametrización dada por

Si , calcular .

-0.50

0.5

-0.5

0

0.5

-0.5

0

0.5

1

>> u=0:0.2:2*pi;>> v=0:0.2:pi;>> [u,v]=meshgrid(u,v);>> x=cos(u).*sin(v);>> y=sen(u).*sin(v);>> z=cos(v);>> mesh(x,y,z)>> axis equal>> hold on>> [x,y,z]=meshgrid(-1:0,2:1);>> quiver3(x,y,z,x,y,z)

Rotacional y divergencia de un campo vectorial

�⃗� (𝑥 , 𝑦 , 𝑧 )=(𝑃 (𝑥 , 𝑦 ,𝑧 ) ,𝑄 (𝑥 , 𝑦 ,𝑧 ) ,𝑅 (𝑥 , 𝑦 , 𝑧))

𝑟𝑜𝑡 �⃗� =(𝜕𝑅𝜕 𝑦 − 𝜕𝑄𝜕 𝑧 , 𝜕𝑃𝜕 𝑧 − 𝜕𝑅𝜕 𝑥 , 𝜕𝑄𝜕𝑥 − 𝜕𝑃𝜕 𝑦 )�⃗�=( 𝜕

𝜕 𝑥,𝜕𝜕 𝑦

,𝜕𝜕 𝑧 )⇒𝑟𝑜𝑡 �⃗� =�⃗�× �⃗�

𝑑𝑖𝑣 �⃗� =�⃗� ∙ �⃗� =𝜕𝑃𝜕𝑥

+𝜕𝑄𝜕𝑦

+𝜕𝑅𝜕 𝑧

Ejemplo de campos vectoriales

�⃗� =(− 𝑦 ,𝑥 )

-6 -4 -2 0 2 4 6-6

-4

-2

0

2

4

6

�⃗� =( 𝑦𝑥2+𝑦2 ,−

𝑥𝑥2+𝑦2 )

EjemploCalcular la divergencia de

EjemploCalcular la divergencia de

EjemploCalcular la divergencia de

EjemploCalcular la divergencia de

Observación desde arriba de un fluido en el que flota una rueda con paletas. El campo de velocidades es irrotacional: la rueda no giraalrededor de su eje .

EjemploComprobar que un campo gradiente es irrotacional.

EjemploComprobar que no es un campogradiente.

EjemploHallar el rotacional del campo vectorial