38

Lemma : Sei g : 5913 → E, get ) :

.

. re

" it

,

r > O.

Dann gilt :

r

§ I dz = Ziti .

t 1-

*r

>

rJ T

Beweis : §,

Iz da = 1^7e-" itrati I

" it

at = ziti. a

Satz : ( Cauchy 's che Integral formel )

Sei Use often , fill - s E holomorph ,I

rlzo) ft I 11 -

toler) EU und

y .:[ 0,23 → U

, yr Lt ) : -

-

zot re

" it

. Dann gilt He c. Brlzo )

f- Ll )f Let = ÷ if all

I - t

Vr

r

Beweis : In Ulfz ] ist ft ,f " I rr

( , - z ) holonrorph and fir E Klein yeung istre .

e

u' -

Ieye homo top zu Jst Jr

-

Js in U.

Also ist • z.rsT

t

•• . yZo

f. f'

.

'! di -

- f.'itI di

.

= f." " It!

"dit !

.

f!! as

'

- - - -

f unit E - soi

oZiti fi ) nach dem Lemma

E → O

Denn If,

" YI!"

dll His:P, ,

I" ' It

' "I → odafhocomorph .

II

Standardabschatzung

Bem .:

.

yr und ye sindu frei homo top

"

.

• Im Satz Kaun Brio ) durch ein but. einfach Zusainmenh

.

Gebiet f unit glaltem Rand

ersetzt werden.

JG inbvnimmt damn die Rolle von fr .

39

corollas :(Miltelwerteigenschaft )

1st f : BICH - s ① holomorph

,

damn gilt :

[ f ( et re" it

) at = f Ctl

Bemis : lift late . !"

!!!!"

f jrlttdt= : yr Lt )

= ÷ ; §.

t!'

! all = fit ). D

Satz : ( Poteuzreiheneutwicklung )

Sei f : U EE → E holomorph ,

BrLeo ) eine Kreis scheibe in U um to unit

Radius r > O undy

Lt ) to t r e' " it

. Danu gilt FEE Br Lto ) :

f- ( z ) = II cu I 2- - to )"

,

f let

cu: = ¥ . § ( z

- z.

) uitd t

r

Beweis : O. B. d. A

. to-- O

.

ten -- ÷.iq#oel=iifgtfI . ¥ di

w

IEff tf!! . di" E. I It

"

far Heisler

D

gleichen . kouuergeuz

Bem . i Durch Koe # zieuteuvergl . hit der Tayler eutwioklung bekommen wir :

f-' "

Go I = I § I!! .pt. all the No

korollari Fine holomorphic Funktiou ist bet. oft komplex diff .

bar.

Beweis : Wo f komplex diff . bar ist,

Komen wir f ( und dann 't ouch f'

, f"

,

etc. )

als Potenzreihe schreiber .

D

40

Korolev : 1st fille E - s Q holo morph und in einer offeneu Umgebung um to EU :

f- Le ) -

- ⇐ Cn ( z - to )"

.

Dann gilt fir den zugehorigeu konvwgenz radius S :

St inf Iz - Zo I = : dist ( Zo,

d U ).

ZE JU

Fair den Satz von Cauchy - G ours at ( f holomorphic y null - homo top ⇒ fog ftztdt = O )

gibt es folgende Umkehrung :

Satz ( von Morera ) : Sei U e a ein Geb .' et und fi U - s E stetig .

1st f auf U

weguuabhoingig iutegrierbw ,

dawn ist f ant U holo morph .

Beweis : O.

B. d. A.

heh men wir an,

das Dreieck I O, zizo ) ist in U

. Defrniere Karren

×z

Lt ) .

- = tz,

Bz It ) :-. ( a - t ) zottz,

"

y:

= xzotpz -

xz"

.

z Bz Far t Cz ) : -_ / fl S ) df gilt dann• a £0

Az

"t ' -

Taz.

Flt !-

.FI?yz?zo/pzflltd4--/oflln-tIzottz) at

t ' tos fczo )

.

O

O

§ finds = O

Dami 't ist F bei zo komplex diff .bar unit F

'

Lao ) = f Hot.

Mit F ist

dann auch f --

F '

auf U holourorph .

D

Dami 't haben wir : f Lolo morph⇒ f lokal als Potenzreihedwstekbar ( :

" aualytisoh" )

⇒ § flzsdz -- O fir hull - homotopy

⇒ I reek. diff . bar ol CR DEL erfiillt

⇒ f besitet Stammfht . ant eiufachzusam . Gebieteh