Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Integracao Numerica

Wellington D. Previeropreviero@utfpr.edu.br

http://pessoal.utfpr.edu.br/previero

Universidade Tecnologica Federal do Parana - UTFPRCampus Londrina

Wellington D. Previero Integracao Numerica 1 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Sumario

1 Introducao

2 Regra dos Trapezios

3 Regra 1/3 de Simpson

Wellington D. Previero Integracao Numerica 2 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

1 Introducao

2 Regra dos Trapezios

3 Regra 1/3 de Simpson

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Introducao

Do Calculo Diferencial e Integral temos que se f (x) e umafuncao contınua em [a,b], entao esta funcao tem umaantiderivada (ou primitiva) nesse intervalo, isto e, existe umafuncao F (x) tal que F ′(x) = f (x).Alem disso, temos que a integral definida de f (x) calculada nointervalo [a,b] e dada por∫ b

af (x) dx = F (b)− F (a)

Dessa forma, para calcular uma integral definida precisamosencontrar uma antiderivada do integrando e aplicar o TeoremaFundamental do Calculo.

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Em algumas situacoes, integrais definidas sao difıceis oumesmo impossıveis de serem resolvidas analiticamente:

o valor de f (x) e conhecido para apenas em alguns pontosno intervalo [a,b];ao contrario da derivada, a integral de f (x) naonecessariamente possui uma solucao analıtica. Porexemplo:

∫e−x2

dx .

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

ObjetivoObter uma aproximacao para a integral definida∫ b

af (x) dx = F (b)− F (a)

atraves de metodos numericos.

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Graficamente, considerando f (x) ≥ 0 para todo x ∈ [a,b],podemos relacionar

∫ ba f (x) dx como sendo a area da regiao

compreendida pelo grafico da funcao f (x) e o eixo x nointervalo [a,b].

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Ideia principal da Integracao Numerica: substituir a funcaof (x) por um polinomio que a aproxime razoavelmente nointervalo [a,b]. Assim o problema fica resolvido pela integracaode polinomios.

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1 Introducao

2 Regra dos Trapezios

3 Regra 1/3 de Simpson

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Regra dos Trapezios

Seja f (x) uma funcao definida no intervalo [a,b]. Considerex0 = a, x1 = b e x1 − x0 = h.Temos que a formula de Lagrange para o polinomio p1(x) queinterpola f (x) em x0 e x1 e dada por

p1(x) = f (x0)(x − x1)

(x0 − x1)+ f (x1)

(x − x0)

(x1 − x0)

= f (x0)(x − x1)

−h+ f (x1)

(x − x0)

h.

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Regra dos Trapezios

Seja f (x) uma funcao definida no intervalo [a,b]. Considerex0 = a, x1 = b e x1 − x0 = h.Temos que a formula de Lagrange para o polinomio p1(x) queinterpola f (x) em x0 e x1 e dada por

p1(x) = f (x0)(x − x1)

(x0 − x1)+ f (x1)

(x − x0)

(x1 − x0)

= f (x0)(x − x1)

−h+ f (x1)

(x − x0)

h.

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Regra dos Trapezios

Seja f (x) uma funcao definida no intervalo [a,b]. Considerex0 = a, x1 = b e x1 − x0 = h.Temos que a formula de Lagrange para o polinomio p1(x) queinterpola f (x) em x0 e x1 e dada por

p1(x) = f (x0)(x − x1)

(x0 − x1)+ f (x1)

(x − x0)

(x1 − x0)

= f (x0)(x − x1)

−h+ f (x1)

(x − x0)

h.

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Logo podemos usar p1(x) para aproximar f (x) no intervalo[a,b] no calculo da integral definida.

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Assim

∫ b

af (x) dx ≈

∫ x1

x0

p1(x)dx

=

∫ x1

x0

[f (x0)

(x − x1)

−h+ f (x1)

(x − x0)

h

]dx

= Area do Trapezio

=h2[f (x0) + f (x1)]

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Assim

∫ b

af (x) dx ≈

∫ x1

x0

p1(x)dx

=

∫ x1

x0

[f (x0)

(x − x1)

−h+ f (x1)

(x − x0)

h

]dx

= Area do Trapezio

=h2[f (x0) + f (x1)]

Wellington D. Previero Integracao Numerica 12 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Assim

∫ b

af (x) dx ≈

∫ x1

x0

p1(x)dx

=

∫ x1

x0

[f (x0)

(x − x1)

−h+ f (x1)

(x − x0)

h

]dx

= Area do Trapezio

=h2[f (x0) + f (x1)]

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Assim

∫ b

af (x) dx ≈

∫ x1

x0

p1(x)dx

=

∫ x1

x0

[f (x0)

(x − x1)

−h+ f (x1)

(x − x0)

h

]dx

= Area do Trapezio

=h2[f (x0) + f (x1)]

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Exemplo 1

Calcule o valor aproximado de∫ 1

0,5(ln x + x)dx usando a Regrados Trapezios.

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Resposta

Integracao numerica:∫ 1

0,5(ln x + x)dx ≈ 0,2017

Valor exato:∫ 1

0,5(ln x + x)dx = 0.2215

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Resposta

Integracao numerica:∫ 1

0,5(ln x + x)dx ≈ 0,2017

Valor exato:∫ 1

0,5(ln x + x)dx = 0.2215

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Regra dos Trapezios Generalizada

A Regra do Trapezio Generalizada consiste em dividir ointervalo de integracao [a,b] em n subintervalos iguais, cadaqual de amplitude h = xn−x0

n , com x0 = a e xn = b, e aplicarmosa Regra dos Trapezios em cada subintervalo.

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Assim:

∫ xn

x0

f (x)dx ≈ h2[f (x0) + f (x1)] +

h2[f (x1) + f (x2)] + . . .+

+h2[f (xn−1) + f (xn)]

=h2[f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + · · ·+ 2f (xn−1) + f (xn)]

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Assim:

∫ xn

x0

f (x)dx ≈ h2[f (x0) + f (x1)] +

h2[f (x1) + f (x2)] + . . .+

+h2[f (xn−1) + f (xn)]

=h2[f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + · · ·+ 2f (xn−1) + f (xn)]

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Assim:

∫ xn

x0

f (x)dx ≈ h2[f (x0) + f (x1)] +

h2[f (x1) + f (x2)] + . . .+

+h2[f (xn−1) + f (xn)]

=h2[f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + · · ·+ 2f (xn−1) + f (xn)]

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Assim:

∫ xn

x0

f (x)dx ≈ h2[f (x0) + f (x1)] +

h2[f (x1) + f (x2)] + . . .+

+h2[f (xn−1) + f (xn)]

=h2[f (x0) + 2f (x1) + 2f (x2) + · · ·+ 2f (xn−1) + f (xn)]

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Exemplo 2

Calcule o valor aproximado de∫ 4

1√

x dx usando a regra doTrapezio Generalizada para 6 subintervalos.

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Resposta

Integracao numerica:∫ 4

1√

x dx ≈ 4,6614Valor exato:

∫ 41√

x dx = 4,6666

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Resposta

Integracao numerica:∫ 4

1√

x dx ≈ 4,6614Valor exato:

∫ 41√

x dx = 4,6666

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

1 Introducao

2 Regra dos Trapezios

3 Regra 1/3 de Simpson

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Regra 1/3 de Simpson

Vamos usar a formula de Lagrange para estabelecer a formulade integracao resultante da aproximacao de f (x) por umpolinomio de grau 2.

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Seja p2(x) o polinomio que interpola f (x) nos pontos x0 = a,x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h = b:

p2(x) = f (x0)(x−x1)(x−x2)(x0−x1)(x0−x2)

+ f (x1)(x−x0)(x−x2)(x1−x0)(x1−x2)

+ f (x1)(x−x0)(x−x1)(x2−x0)(x2−x1)

= f (x0)(x−x1)(x−x2)(−h)(−2h) + f (x1)

(x−x0)(x−x2)h(−h) + f (x1)

(x−x0)(x−x1)(2h)h

= f (x0)(x−x1)(x−x2)

2h2 − f (x1)(x−x0)(x−x2)

h2 + f (x1)(x−x0)(x−x1)

2h2 .

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Seja p2(x) o polinomio que interpola f (x) nos pontos x0 = a,x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h = b:

p2(x) = f (x0)(x−x1)(x−x2)(x0−x1)(x0−x2)

+ f (x1)(x−x0)(x−x2)(x1−x0)(x1−x2)

+ f (x1)(x−x0)(x−x1)(x2−x0)(x2−x1)

= f (x0)(x−x1)(x−x2)(−h)(−2h) + f (x1)

(x−x0)(x−x2)h(−h) + f (x1)

(x−x0)(x−x1)(2h)h

= f (x0)(x−x1)(x−x2)

2h2 − f (x1)(x−x0)(x−x2)

h2 + f (x1)(x−x0)(x−x1)

2h2 .

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Seja p2(x) o polinomio que interpola f (x) nos pontos x0 = a,x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h = b:

p2(x) = f (x0)(x−x1)(x−x2)(x0−x1)(x0−x2)

+ f (x1)(x−x0)(x−x2)(x1−x0)(x1−x2)

+ f (x1)(x−x0)(x−x1)(x2−x0)(x2−x1)

= f (x0)(x−x1)(x−x2)(−h)(−2h) + f (x1)

(x−x0)(x−x2)h(−h) + f (x1)

(x−x0)(x−x1)(2h)h

= f (x0)(x−x1)(x−x2)

2h2 − f (x1)(x−x0)(x−x2)

h2 + f (x1)(x−x0)(x−x1)

2h2 .

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Seja p2(x) o polinomio que interpola f (x) nos pontos x0 = a,x1 = x0 + h e x2 = x0 + 2h = b:

p2(x) = f (x0)(x−x1)(x−x2)(x0−x1)(x0−x2)

+ f (x1)(x−x0)(x−x2)(x1−x0)(x1−x2)

+ f (x1)(x−x0)(x−x1)(x2−x0)(x2−x1)

= f (x0)(x−x1)(x−x2)(−h)(−2h) + f (x1)

(x−x0)(x−x2)h(−h) + f (x1)

(x−x0)(x−x1)(2h)h

= f (x0)(x−x1)(x−x2)

2h2 − f (x1)(x−x0)(x−x2)

h2 + f (x1)(x−x0)(x−x1)

2h2 .

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Assim,

∫ ba f (x) dx ≈

∫ x2x0

p2(x)dx

= f (x0)

2h2∫ x2

x0(x−x1)(x−x2)dx− f (x1)

h2∫ x2

x0(x−x0)(x−x2)dx+

f (x2)2h2

∫ x2x0

(x−x0)(x−x1)dx .

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O calculo das integrais pode ser simplificado com a mudancade variaveis: x − x0 = zh. Assim

x − x0 = zh⇒ x = x0 + zh⇒ dxdz

= h⇒ dx = hdz

x − x1 = x − (x0 + h) = x − x0 − h = zh − h = h(z − 1)x − x2 = x − (x0 + 2h) = x − x0 − 2h = zh − 2h = h(z − 2)x = x0 ⇒ x0 − x0 = zh⇒ z = 0x = x1 ⇒ x1 − x0 = zh⇒ z = 1x = x2 ⇒ x2 − x0 = zh⇒ z = 2

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

O calculo das integrais pode ser simplificado com a mudancade variaveis: x − x0 = zh. Assim

x − x0 = zh⇒ x = x0 + zh⇒ dxdz

= h⇒ dx = hdz

x − x1 = x − (x0 + h) = x − x0 − h = zh − h = h(z − 1)x − x2 = x − (x0 + 2h) = x − x0 − 2h = zh − 2h = h(z − 2)x = x0 ⇒ x0 − x0 = zh⇒ z = 0x = x1 ⇒ x1 − x0 = zh⇒ z = 1x = x2 ⇒ x2 − x0 = zh⇒ z = 2

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

O calculo das integrais pode ser simplificado com a mudancade variaveis: x − x0 = zh. Assim

x − x0 = zh⇒ x = x0 + zh⇒ dxdz

= h⇒ dx = hdz

x − x1 = x − (x0 + h) = x − x0 − h = zh − h = h(z − 1)x − x2 = x − (x0 + 2h) = x − x0 − 2h = zh − 2h = h(z − 2)x = x0 ⇒ x0 − x0 = zh⇒ z = 0x = x1 ⇒ x1 − x0 = zh⇒ z = 1x = x2 ⇒ x2 − x0 = zh⇒ z = 2

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

O calculo das integrais pode ser simplificado com a mudancade variaveis: x − x0 = zh. Assim

x − x0 = zh⇒ x = x0 + zh⇒ dxdz

= h⇒ dx = hdz

x − x1 = x − (x0 + h) = x − x0 − h = zh − h = h(z − 1)x − x2 = x − (x0 + 2h) = x − x0 − 2h = zh − 2h = h(z − 2)x = x0 ⇒ x0 − x0 = zh⇒ z = 0x = x1 ⇒ x1 − x0 = zh⇒ z = 1x = x2 ⇒ x2 − x0 = zh⇒ z = 2

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

O calculo das integrais pode ser simplificado com a mudancade variaveis: x − x0 = zh. Assim

x − x0 = zh⇒ x = x0 + zh⇒ dxdz

= h⇒ dx = hdz

x − x1 = x − (x0 + h) = x − x0 − h = zh − h = h(z − 1)x − x2 = x − (x0 + 2h) = x − x0 − 2h = zh − 2h = h(z − 2)x = x0 ⇒ x0 − x0 = zh⇒ z = 0x = x1 ⇒ x1 − x0 = zh⇒ z = 1x = x2 ⇒ x2 − x0 = zh⇒ z = 2

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

O calculo das integrais pode ser simplificado com a mudancade variaveis: x − x0 = zh. Assim

x − x0 = zh⇒ x = x0 + zh⇒ dxdz

= h⇒ dx = hdz

x − x1 = x − (x0 + h) = x − x0 − h = zh − h = h(z − 1)x − x2 = x − (x0 + 2h) = x − x0 − 2h = zh − 2h = h(z − 2)x = x0 ⇒ x0 − x0 = zh⇒ z = 0x = x1 ⇒ x1 − x0 = zh⇒ z = 1x = x2 ⇒ x2 − x0 = zh⇒ z = 2

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

O calculo das integrais pode ser simplificado com a mudancade variaveis: x − x0 = zh. Assim

x − x0 = zh⇒ x = x0 + zh⇒ dxdz

= h⇒ dx = hdz

x − x1 = x − (x0 + h) = x − x0 − h = zh − h = h(z − 1)x − x2 = x − (x0 + 2h) = x − x0 − 2h = zh − 2h = h(z − 2)x = x0 ⇒ x0 − x0 = zh⇒ z = 0x = x1 ⇒ x1 − x0 = zh⇒ z = 1x = x2 ⇒ x2 − x0 = zh⇒ z = 2

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

O calculo das integrais pode ser simplificado com a mudancade variaveis: x − x0 = zh. Assim

x − x0 = zh⇒ x = x0 + zh⇒ dxdz

= h⇒ dx = hdz

x − x1 = x − (x0 + h) = x − x0 − h = zh − h = h(z − 1)x − x2 = x − (x0 + 2h) = x − x0 − 2h = zh − 2h = h(z − 2)x = x0 ⇒ x0 − x0 = zh⇒ z = 0x = x1 ⇒ x1 − x0 = zh⇒ z = 1x = x2 ⇒ x2 − x0 = zh⇒ z = 2

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

O calculo das integrais pode ser simplificado com a mudancade variaveis: x − x0 = zh. Assim

x − x0 = zh⇒ x = x0 + zh⇒ dxdz

= h⇒ dx = hdz

x − x1 = x − (x0 + h) = x − x0 − h = zh − h = h(z − 1)x − x2 = x − (x0 + 2h) = x − x0 − 2h = zh − 2h = h(z − 2)x = x0 ⇒ x0 − x0 = zh⇒ z = 0x = x1 ⇒ x1 − x0 = zh⇒ z = 1x = x2 ⇒ x2 − x0 = zh⇒ z = 2

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

O calculo das integrais pode ser simplificado com a mudancade variaveis: x − x0 = zh. Assim

x − x0 = zh⇒ x = x0 + zh⇒ dxdz

= h⇒ dx = hdz

x − x1 = x − (x0 + h) = x − x0 − h = zh − h = h(z − 1)x − x2 = x − (x0 + 2h) = x − x0 − 2h = zh − 2h = h(z − 2)x = x0 ⇒ x0 − x0 = zh⇒ z = 0x = x1 ⇒ x1 − x0 = zh⇒ z = 1x = x2 ⇒ x2 − x0 = zh⇒ z = 2

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Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

O calculo das integrais pode ser simplificado com a mudancade variaveis: x − x0 = zh. Assim

x − x0 = zh⇒ x = x0 + zh⇒ dxdz

= h⇒ dx = hdz

x − x1 = x − (x0 + h) = x − x0 − h = zh − h = h(z − 1)x − x2 = x − (x0 + 2h) = x − x0 − 2h = zh − 2h = h(z − 2)x = x0 ⇒ x0 − x0 = zh⇒ z = 0x = x1 ⇒ x1 − x0 = zh⇒ z = 1x = x2 ⇒ x2 − x0 = zh⇒ z = 2

Wellington D. Previero Integracao Numerica 23 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Com essas mudancas temos:

f (x0)

2h2

∫ x2

x0

(x − x1)(x − x2)dx =f (x0)

2h2

∫ 2

0(z − 1)h(z − 2)hhdz

=f (x0)h

2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz

f (x1)

h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x2)dx =f (x1)

h2

∫ 2

0zh(z − 2)hhdz

= f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz

f (x2)

2h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x1)dx =f (x2)

2h2

∫ 2

0zh(z − 1)hhdz

=f (x2)h

2

∫ 2

0z(z − 1)dz

Wellington D. Previero Integracao Numerica 24 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Com essas mudancas temos:

f (x0)

2h2

∫ x2

x0

(x − x1)(x − x2)dx =f (x0)

2h2

∫ 2

0(z − 1)h(z − 2)hhdz

=f (x0)h

2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz

f (x1)

h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x2)dx =f (x1)

h2

∫ 2

0zh(z − 2)hhdz

= f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz

f (x2)

2h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x1)dx =f (x2)

2h2

∫ 2

0zh(z − 1)hhdz

=f (x2)h

2

∫ 2

0z(z − 1)dz

Wellington D. Previero Integracao Numerica 24 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Com essas mudancas temos:

f (x0)

2h2

∫ x2

x0

(x − x1)(x − x2)dx =f (x0)

2h2

∫ 2

0(z − 1)h(z − 2)hhdz

=f (x0)h

2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz

f (x1)

h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x2)dx =f (x1)

h2

∫ 2

0zh(z − 2)hhdz

= f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz

f (x2)

2h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x1)dx =f (x2)

2h2

∫ 2

0zh(z − 1)hhdz

=f (x2)h

2

∫ 2

0z(z − 1)dz

Wellington D. Previero Integracao Numerica 24 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Com essas mudancas temos:

f (x0)

2h2

∫ x2

x0

(x − x1)(x − x2)dx =f (x0)

2h2

∫ 2

0(z − 1)h(z − 2)hhdz

=f (x0)h

2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz

f (x1)

h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x2)dx =f (x1)

h2

∫ 2

0zh(z − 2)hhdz

= f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz

f (x2)

2h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x1)dx =f (x2)

2h2

∫ 2

0zh(z − 1)hhdz

=f (x2)h

2

∫ 2

0z(z − 1)dz

Wellington D. Previero Integracao Numerica 24 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Com essas mudancas temos:

f (x0)

2h2

∫ x2

x0

(x − x1)(x − x2)dx =f (x0)

2h2

∫ 2

0(z − 1)h(z − 2)hhdz

=f (x0)h

2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz

f (x1)

h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x2)dx =f (x1)

h2

∫ 2

0zh(z − 2)hhdz

= f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz

f (x2)

2h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x1)dx =f (x2)

2h2

∫ 2

0zh(z − 1)hhdz

=f (x2)h

2

∫ 2

0z(z − 1)dz

Wellington D. Previero Integracao Numerica 24 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Com essas mudancas temos:

f (x0)

2h2

∫ x2

x0

(x − x1)(x − x2)dx =f (x0)

2h2

∫ 2

0(z − 1)h(z − 2)hhdz

=f (x0)h

2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz

f (x1)

h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x2)dx =f (x1)

h2

∫ 2

0zh(z − 2)hhdz

= f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz

f (x2)

2h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x1)dx =f (x2)

2h2

∫ 2

0zh(z − 1)hhdz

=f (x2)h

2

∫ 2

0z(z − 1)dz

Wellington D. Previero Integracao Numerica 24 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Com essas mudancas temos:

f (x0)

2h2

∫ x2

x0

(x − x1)(x − x2)dx =f (x0)

2h2

∫ 2

0(z − 1)h(z − 2)hhdz

=f (x0)h

2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz

f (x1)

h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x2)dx =f (x1)

h2

∫ 2

0zh(z − 2)hhdz

= f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz

f (x2)

2h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x1)dx =f (x2)

2h2

∫ 2

0zh(z − 1)hhdz

=f (x2)h

2

∫ 2

0z(z − 1)dz

Wellington D. Previero Integracao Numerica 24 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Com essas mudancas temos:

f (x0)

2h2

∫ x2

x0

(x − x1)(x − x2)dx =f (x0)

2h2

∫ 2

0(z − 1)h(z − 2)hhdz

=f (x0)h

2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz

f (x1)

h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x2)dx =f (x1)

h2

∫ 2

0zh(z − 2)hhdz

= f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz

f (x2)

2h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x1)dx =f (x2)

2h2

∫ 2

0zh(z − 1)hhdz

=f (x2)h

2

∫ 2

0z(z − 1)dz

Wellington D. Previero Integracao Numerica 24 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Com essas mudancas temos:

f (x0)

2h2

∫ x2

x0

(x − x1)(x − x2)dx =f (x0)

2h2

∫ 2

0(z − 1)h(z − 2)hhdz

=f (x0)h

2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz

f (x1)

h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x2)dx =f (x1)

h2

∫ 2

0zh(z − 2)hhdz

= f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz

f (x2)

2h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x1)dx =f (x2)

2h2

∫ 2

0zh(z − 1)hhdz

=f (x2)h

2

∫ 2

0z(z − 1)dz

Wellington D. Previero Integracao Numerica 24 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Com essas mudancas temos:

f (x0)

2h2

∫ x2

x0

(x − x1)(x − x2)dx =f (x0)

2h2

∫ 2

0(z − 1)h(z − 2)hhdz

=f (x0)h

2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz

f (x1)

h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x2)dx =f (x1)

h2

∫ 2

0zh(z − 2)hhdz

= f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz

f (x2)

2h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x1)dx =f (x2)

2h2

∫ 2

0zh(z − 1)hhdz

=f (x2)h

2

∫ 2

0z(z − 1)dz

Wellington D. Previero Integracao Numerica 24 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Com essas mudancas temos:

f (x0)

2h2

∫ x2

x0

(x − x1)(x − x2)dx =f (x0)

2h2

∫ 2

0(z − 1)h(z − 2)hhdz

=f (x0)h

2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz

f (x1)

h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x2)dx =f (x1)

h2

∫ 2

0zh(z − 2)hhdz

= f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz

f (x2)

2h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x1)dx =f (x2)

2h2

∫ 2

0zh(z − 1)hhdz

=f (x2)h

2

∫ 2

0z(z − 1)dz

Wellington D. Previero Integracao Numerica 24 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Com essas mudancas temos:

f (x0)

2h2

∫ x2

x0

(x − x1)(x − x2)dx =f (x0)

2h2

∫ 2

0(z − 1)h(z − 2)hhdz

=f (x0)h

2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz

f (x1)

h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x2)dx =f (x1)

h2

∫ 2

0zh(z − 2)hhdz

= f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz

f (x2)

2h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x1)dx =f (x2)

2h2

∫ 2

0zh(z − 1)hhdz

=f (x2)h

2

∫ 2

0z(z − 1)dz

Wellington D. Previero Integracao Numerica 24 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Com essas mudancas temos:

f (x0)

2h2

∫ x2

x0

(x − x1)(x − x2)dx =f (x0)

2h2

∫ 2

0(z − 1)h(z − 2)hhdz

=f (x0)h

2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz

f (x1)

h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x2)dx =f (x1)

h2

∫ 2

0zh(z − 2)hhdz

= f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz

f (x2)

2h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x1)dx =f (x2)

2h2

∫ 2

0zh(z − 1)hhdz

=f (x2)h

2

∫ 2

0z(z − 1)dz

Wellington D. Previero Integracao Numerica 24 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Com essas mudancas temos:

f (x0)

2h2

∫ x2

x0

(x − x1)(x − x2)dx =f (x0)

2h2

∫ 2

0(z − 1)h(z − 2)hhdz

=f (x0)h

2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz

f (x1)

h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x2)dx =f (x1)

h2

∫ 2

0zh(z − 2)hhdz

= f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz

f (x2)

2h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x1)dx =f (x2)

2h2

∫ 2

0zh(z − 1)hhdz

=f (x2)h

2

∫ 2

0z(z − 1)dz

Wellington D. Previero Integracao Numerica 24 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Com essas mudancas temos:

f (x0)

2h2

∫ x2

x0

(x − x1)(x − x2)dx =f (x0)

2h2

∫ 2

0(z − 1)h(z − 2)hhdz

=f (x0)h

2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz

f (x1)

h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x2)dx =f (x1)

h2

∫ 2

0zh(z − 2)hhdz

= f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz

f (x2)

2h2

∫ x2

x0

(x − x0)(x − x1)dx =f (x2)

2h2

∫ 2

0zh(z − 1)hhdz

=f (x2)h

2

∫ 2

0z(z − 1)dz

Wellington D. Previero Integracao Numerica 24 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Para cada uma das integrais temos:

f (x0)h2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz =

f (x0)h2

(23

)=

13

f (x0)h

f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz = f (x1)h

(−43

)= −4

3f (x1)h

f (x2h)2

∫ 2

0z(z − 1)dz =

f (x2h)2

(23

)=

13

f (x2)h

Assim ∫ ba f (x) dx ≈ 1

3f (x0)h +

43

f (x1)h +13

f (x2)h

=13

h[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]

Wellington D. Previero Integracao Numerica 25 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Para cada uma das integrais temos:

f (x0)h2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz =

f (x0)h2

(23

)=

13

f (x0)h

f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz = f (x1)h

(−43

)= −4

3f (x1)h

f (x2h)2

∫ 2

0z(z − 1)dz =

f (x2h)2

(23

)=

13

f (x2)h

Assim ∫ ba f (x) dx ≈ 1

3f (x0)h +

43

f (x1)h +13

f (x2)h

=13

h[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]

Wellington D. Previero Integracao Numerica 25 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Para cada uma das integrais temos:

f (x0)h2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz =

f (x0)h2

(23

)=

13

f (x0)h

f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz = f (x1)h

(−43

)= −4

3f (x1)h

f (x2h)2

∫ 2

0z(z − 1)dz =

f (x2h)2

(23

)=

13

f (x2)h

Assim ∫ ba f (x) dx ≈ 1

3f (x0)h +

43

f (x1)h +13

f (x2)h

=13

h[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]

Wellington D. Previero Integracao Numerica 25 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Para cada uma das integrais temos:

f (x0)h2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz =

f (x0)h2

(23

)=

13

f (x0)h

f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz = f (x1)h

(−43

)= −4

3f (x1)h

f (x2h)2

∫ 2

0z(z − 1)dz =

f (x2h)2

(23

)=

13

f (x2)h

Assim ∫ ba f (x) dx ≈ 1

3f (x0)h +

43

f (x1)h +13

f (x2)h

=13

h[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]

Wellington D. Previero Integracao Numerica 25 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Para cada uma das integrais temos:

f (x0)h2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz =

f (x0)h2

(23

)=

13

f (x0)h

f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz = f (x1)h

(−43

)= −4

3f (x1)h

f (x2h)2

∫ 2

0z(z − 1)dz =

f (x2h)2

(23

)=

13

f (x2)h

Assim ∫ ba f (x) dx ≈ 1

3f (x0)h +

43

f (x1)h +13

f (x2)h

=13

h[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]

Wellington D. Previero Integracao Numerica 25 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Para cada uma das integrais temos:

f (x0)h2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz =

f (x0)h2

(23

)=

13

f (x0)h

f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz = f (x1)h

(−43

)= −4

3f (x1)h

f (x2h)2

∫ 2

0z(z − 1)dz =

f (x2h)2

(23

)=

13

f (x2)h

Assim ∫ ba f (x) dx ≈ 1

3f (x0)h +

43

f (x1)h +13

f (x2)h

=13

h[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]

Wellington D. Previero Integracao Numerica 25 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Para cada uma das integrais temos:

f (x0)h2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz =

f (x0)h2

(23

)=

13

f (x0)h

f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz = f (x1)h

(−43

)= −4

3f (x1)h

f (x2h)2

∫ 2

0z(z − 1)dz =

f (x2h)2

(23

)=

13

f (x2)h

Assim ∫ ba f (x) dx ≈ 1

3f (x0)h +

43

f (x1)h +13

f (x2)h

=13

h[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]

Wellington D. Previero Integracao Numerica 25 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Para cada uma das integrais temos:

f (x0)h2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz =

f (x0)h2

(23

)=

13

f (x0)h

f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz = f (x1)h

(−43

)= −4

3f (x1)h

f (x2h)2

∫ 2

0z(z − 1)dz =

f (x2h)2

(23

)=

13

f (x2)h

Assim ∫ ba f (x) dx ≈ 1

3f (x0)h +

43

f (x1)h +13

f (x2)h

=13

h[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]

Wellington D. Previero Integracao Numerica 25 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Para cada uma das integrais temos:

f (x0)h2

∫ 2

0(z − 1)(z − 2)dz =

f (x0)h2

(23

)=

13

f (x0)h

f (x1)h∫ 2

0z(z − 2)dz = f (x1)h

(−43

)= −4

3f (x1)h

f (x2h)2

∫ 2

0z(z − 1)dz =

f (x2h)2

(23

)=

13

f (x2)h

Assim ∫ ba f (x) dx ≈ 1

3f (x0)h +

43

f (x1)h +13

f (x2)h

=13

h[f (x0) + 4f (x1) + f (x2)]

Wellington D. Previero Integracao Numerica 25 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Exemplo 3

Calcule o valor aproximado da integral∫ 1,5

0 cos x dx usando aregra do 1/3 de Simpson.

Wellington D. Previero Integracao Numerica 26 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Resposta

Integracao numerica:∫ 1,5

0 cos x dx ≈ 0,9993731693Valor exato:

∫ 1,50 cos x dx = 0,9974949866

Wellington D. Previero Integracao Numerica 27 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Resposta

Integracao numerica:∫ 1,5

0 cos x dx ≈ 0,9993731693Valor exato:

∫ 1,50 cos x dx = 0,9974949866

Wellington D. Previero Integracao Numerica 27 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Regra 1/3 de Simpson Generalizada

A regra de 1/3 de Simpson Generalizada consiste emsubdividirmos o intervalo de integracao [a,b] em n (n e par)subintervalos de tamanho h de forma que x0 = a e xn = b eaplicarmos a regra 1/3 de Simpson em cada 2 subintervalosconsecutivos.

Wellington D. Previero Integracao Numerica 28 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Assim∫ ba f (x) dx ≈

≈ h3 [f (x0)+4f (x1)+f (x2)]+

h3 [f (x2)+4f (x3)+f (x4)]+···+ h

3 [f (xn−2)+4f (xn−1)+f (xn)]

= h3 [f (x0)+4f (x1)+2f (x2)+4f (x3)+···+2f (xn−2)+4f (xn−1)+f (xn)].

Wellington D. Previero Integracao Numerica 29 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Exemplo 4

Calcule o valor aproximado de∫ 3

0 (xex + 1)dx usando a regrade 1/3 de Simpson para 6 subintervalos.

Wellington D. Previero Integracao Numerica 30 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Resposta

Integracao numerica:∫ 3

0 (xex + 1)dx ≈ 44.21Valor exato:

∫ 30 (xex + 1)dx = 44,17

Wellington D. Previero Integracao Numerica 31 / 31

Introducao Regra dos Trapezios Regra 1/3 de Simpson

Resposta

Integracao numerica:∫ 3

0 (xex + 1)dx ≈ 44.21Valor exato:

∫ 30 (xex + 1)dx = 44,17

Wellington D. Previero Integracao Numerica 31 / 31