Integer Add and Mult

7/27/2019 Integer Add and Mult

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1

E CE 3 6 6

C om p u t e r Ar c h i t

e c t ur e

I n s t r u c t or : S h a n t a n uD u t t

D e p a r t m e n t o

f E l e c t r i c a l a n d C om p u t e r E n gi n e e r i n g

Uni v e r s i t y of I l l i n oi s a t C h i c a g o

L e c t ur e N o t e s # 1 0

C O

MP UT E RARI T H

ME T I C :

I n t e g e r A d d i t i on a n d M ul t i pl i c a t i on

c

S h a n t a n uD u t t , UI C

1



2

ADDE R S

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F ul l A d d e r F A :

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S h a n t a n uD u t t

, UI C

2



3

Ri p pl e - C ar r yA d d e

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c o u t

S 7

S 6

S 5

S 4

S 3

S 2

S 1

S 0

P r o b l e m : D e l a yi s

g a t e d e l a y s or

— e a c h F Ah a s a 2 - g a t e d e l a y .T h u s

i s e a c h

g a t e h a s a d e l a y of 2 n s , d e l a yf or a 3

2 - b i t R C Ai s 6 4 n s .

c


, UI C

3



4

O v e r fl o wi nA d d

i t i on

¡

O v er fl o w o c c ur s wh e n

t h e r e s ul t of t h e o p e r a t i on d o e s n o t fi

t i n t h e r e pr e -

s e n t a t i on b e i n g u s e d

¡

F or

e x a m pl e ,i f 4 - b i t

un s i gn e d n um b e r s 6 =

!

!

"

a n d 1 2 =!

!

"

a r e

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e d t h e s um ( 1 8 ) o v

e r fl o w s s i n c e i t s b i n a r y e q ui v a l e n t

!

!

"

d o e s n o t

fi t i n4 b i t s

¡

O v e r fl o wi s d e t e c t e d f or un s i gn e d a d d i t i on wh e n t h e c a r r y

o u t ¦

#

of t h e

fi n a

l F ul l A d d e r i s 1

¡

F or

2 ’ s c om pl e m e n t r e pr e s e n t a t i on of s

i gn e d n um b e r s o v

e r fl o w o c c ur s

wh e n t h e c a r r yi n t o t h e M S B ( m o s t s i gni fi c a n t b i t ) , wh i c h i s a l s o t h e s i gn

b i t ,

i s d i f f e r e n t f r om t h e c a r r y o u t of t h a

t b i t .T h e c a r r y o u t of t h e M S B

a l w a y s r e pr e s e n t s t h e s i gn b i t of t h e s i gn- e x t e n d e d

!

b i t r e pr e s e n t a t i on

of t h e s um

c


, UI C

4



5

ADDE R S ( C on

t d . )

S p e e d i n g u p a d d

i t i on

¡

Af a s t e r a d d e r : T h e t r a d i t i on a l c a r r y-l o ok a h e a d a d d e r ( C L A

) :

D e fi n e t w o e x t r a f un c t i on s :

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¢

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l o gi c

F r om c ar r y −

g en.

l o gi c

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i s t h e g e n er a t e b i t , wh i c h i s 1 onl yi f a c a r r y o u t i s t o

b e g e n e r a t e d

i r r e s p e c t i v e of t h e i n p u t c a r r y .T h i s o b vi o u s l yi s t h e c a s e onl y wh e n

¢

£

¥

£

!

¡

%

£ i s t h e pr o p a g a t e b i t , wh i c h i s 1 onl yi f t h e o u t p u t c a r r yi s t o b e t h e s a m e

a s t h e i n p u t c a r r y ,i . e . ,

¦

£

©

¦

£ .T h i s wi l l b e t h e c a s e onl y wh e n e i t h e r

¢

£

or ¥

( b u t n o t b o t h ) i s

1

¡

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s t h e c a r r y o u t

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' t h s t a g e

c a n b e e x pr e s s e d

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£

c


, UI C

5



6

T r a d i t i on a l C L AA d d e r ( C on t d . )

¡

C on s i d e r a 4 - b i t a d d e r :

N o t e t h a t

$

£ a n d %

£ c a n b e g e n e r a t e d i n c on s t a n t t i m e ( s p e c i fi c a l l y ,1 g a t e

d e l a y ) b y e a c h m o d i fi e d f ul l a d d e r ( MF A

) .

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£ s a r e g e n e r a t e d b y a c ar r y- g e n er a t i o n u n i t a s s h o wn b e l o w .

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C 3

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I n t h i s C L A t h e

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2 -l e v e l l o gi c a n d t h u s h a v e a d e l a y of 3 g a t e d e l a y s

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or e a c h $

£

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£ , a n d 2 f or t h e

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£ ’ s ) , a s o

p p o s e d t o

1

2

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f or a 4 - b i t R C A .

c


, UI C

6



7


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Di s a d v a n t a g e : F or a 1 6 - b i t a d d e r ,f or e x a m pl e , w e c a nn o t g o on g e n e r -

a t i n

g t h e ¦

£ s i n t h i s m

a nn e r , s i n c e t h e h a r d w a r e b e c om e s s

e x e c s s i v e a n d

m e s s y

¡

A1

6 - b i t a d d e r c a n b e

p a r t i t i on e d i n t o gr o u p s of 4 4 - b i t C L A a d d e r s , wi t h

t h e

i n t e r - gr o u p c a r r i e s

r i p pl i n g t h r o u gh t h e f o ur gr o u p s :

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X 3 − 0

Y 3 − 0

C 4

4 − b i t C L A

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4 − b i t C L A

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S

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4 − b i t C L A

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7 −4

7 −4

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1 − 8

1 1 − 8

1 5 −1 2

1 5 −1 2

S 1 5 −1 2

8

1 2

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6

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h a 1 6 - b i t a d d e r h a s a d e l a y of 1 2 g a t e

d e l a y s ( =2 4 n s f or

a g a t e d e l a y of

2 n s ) a s o p p o s e d t o a d

e l a y of

1

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1

5

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a 1 6 - b i t R C A

¡

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e n e r a l f or a n

- b i t gr o u p- C L A a d d e r wi t h 4 - b i t C L A c e l l s , t h e d e l a y

i s 5

6

2

g a t e d e l a y s a s o p p o s e d t o

g a t e

d e l a y s f or t h e r i p p

l e - c a r r y a d d e r

c


, UI C

7



8


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o t e of c a u t i on :

7

-i n p u t g a t e s h a v e gr e a t e r d e l a y s t h a n

2 -i n p u t g a t e s

f or 7

8

. W e h a d a s s um e d t h a t f or a

4 - b i t C L A t h e 5 -

i n p u t OR a n d

A N

D g a t e s h a v e t h e s a m e d e l a y a s a 2 -i n

p u t g a t e .

¡

T h e

d e l a y of a 5 -i n p u t g a t e wi l l b e gr e a t e r b e c a u s e :

V d d

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V d d

A B

A

B

A B

A B

A B

A B C D

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V d d

Gn d

V d d

A B C D E

A

B

C

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E

A B C D E

A B C D E

A B

C

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A +B + C +D +

E

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u s i n g2 −i / p g a t e s : d el a y =4 t +7 R C

s

( a ) 2

−i / p OR

g a t e: d el a y =2 t + 3 R C

s

( b ) 5 −i / p OR

g a t e: d el a y =2 t + 6 R C

c


, UI C

8



9


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9

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b e t h e m a x . of t h e s wi t c h i n g on

a n d t h e s wi t c h i n g

of f t i m e of a

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S t r a n s i s t or ,i . e . , t h e m a x . of t h e t i m e f or c h a r g e t o

c ol l e c t a t t h e

c h a nn e l or t h e t i m e f or t h e c h a r g e t o b e r e m o v e d f r om t h e c h a nn e l

¡

L e t

A

b e t h e r e s i s t a n c

e of a c h a nn e l , a n d

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6

t h e i n p u t g a t e c a p a c i t a n c e

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t r a n s i s t or

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n , a 2 -i / pA ND / OR g a t e h a s a d e l a y of

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5

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a 5 -i / p g a t e h a s a d e l a y of

9

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wh i l e a 5 -i / pA ND / OR c k t .f or m e d of c a s c a d e d 2 -i / p g a t e s wi l l h a v e a

d e l a y of

2

9

@

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A

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s , wh i l e a 5 -i / pA

ND / OR g a t e wi l l b e s l o w e r t h a n a 2

-i / pA ND / OR

g a t e ,i t wi l l b e f a s t e r t h a n a c a s c a d e d i m pl e m e n t a t i on of a 5

-i / pA ND / OR

c k t .T h e l a t t e r i s pr i m a r i l y b e c a u s e m or e

t r a n s i s t or s s wi t c h

oni n p a r a l l e l

i n a

5 -i / pA ND / OR g a

t e t h a ni n a 5 -i / pA

ND / OR c k t .



1 0

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I n a 4 - b i t C L A a d d e r , w e a r e e s s e n t a l l y

r e pl a c i n g a s e r i e s of 2 -i / p c a s -

c a d e d ( m ul t i -l e v e l ) l o gi c b y a m ul t i pl e -i n p u t 2 -l e v e l l o gi c

¡

N o t e t h a t t h e d e l a y of

a n

- b i t gr o u p- C L

A a d d e r wi t h 4 - b i t c e l l s wi l l b e

s om

e wh a t m or e t h a n

5

6

2

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c


, UI C

1 0



1 1

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a d e l a y t h a t i s l i n e

a r i n t h e n um b e r o

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, b y u s i n g a c ar r y- s

e l e c t a d d e r (

D

t i m e ) , OR b y u s i n g a p ar a l l e l

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x c i r c ui t t o g e n e r a t e a l l c a r r i e s i n t i m

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A d d

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n−1

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x

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r o u p s i z e i s

¢ , t i m e t a k e ni s

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6

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( 2 -i / p ) g a t e d e l a y s

¡

F or

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, t h e t i m

e mi ni mi z e s t o

2

D

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2

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( 2 -i / p ) g a t e

d e l a y s

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, UI C

1 1



1 2

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e p a r a l l e l - pr e fi x C

L A a d d e r

¡

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t h e ' t h f ul l a d d e r , d e fi n e t h e s ym b ol s

R : k

i l l i n c omi n g c a r r y

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£

¥

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r o p a g a t e i n c omi n g c a r r y ( wh e n

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s ym b ol s a s

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£ .E a c h F A c a n pr o d u c e

U

£ i n

c on s t a n t t i m e

¡

A s

a m a t t e r of f a c t ,

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pr o p a g a t e b i t s of a F A

d i s c u s s e d e a r l i e r

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D e fi n e o p e r a t or

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Vi s a n a s s o c i a t i v e o p e r a t or ,i . e . , W

V

Y

V

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V

Y

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¡

Al s o ,Vi s n o t a c o m m u t a t i v e o p e r a t or ,i . e

. ,WV

Y

`

Y

V

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, UI C

1 2



1 3

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r a l l e l - pr e fi x C L A a d d e r ( c on t d . )

¡

D e fi n e

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U

£

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e c a n c om p u t e e a c

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£

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t e d i n c on s t a n t t i m

e a f t e r t h e

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£ ’ s a r e

a v a i l a b l e

c


, UI C

1 3



1 4

T h e p a


C om p u

t i n g t h e

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¡

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1 4



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c a n u s e t h e a b o v e pr o p e r t y t of or m1 -l e v e l

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c e n t U

£ ’ s , t h e n2 -l e v e l

a

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g ’ s b y c om b i ni n g t w o a d j a c e n t 1 -l e v e l

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£

f

g ’ s , e t c .

T h i s yi e l d s a t r e e - s t r u c t ur e d c i r c ui t wi t h

a Vl o gi c a t e v e r yn o d e ; t h i s c k t .

gi v e s u s onl y t h o s e

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1 5



1 6

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¡

T o o b t a i n a l l

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£ ’ s , t h e t r e e h a s t o b e a u gm

e n t e d a s s h o wn b e

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1

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L e g en d :

¡

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p a r a l l e l pr e fi x c i r c

ui t , a n d c a n b e u s e d t o o b t a i n t h e

pr e fi x e s of a n y a s s o c i a t i v e o p e r a t i on ( l i k e A ND , OR , a d d i t i on ,m ul t i pl i -

c a t i on , e t c . )

¡

T h e

d e l a yi s

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G

H

I

!

V-l o gi c s t e p s ,

E

G

H

s t e p s t o g o u p t h e t r e e a n d

E

G

H

I

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s t e p s t o c om

e d o wn

¡

E x t r a h a r d w a r e u s e d :

s

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VL S I a r e a r e q d . :

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G

H

–h e i gh t of t r e e i s

E

G

H

, wi d t h of t r e e i s

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, UI C

1 6



1 7

T h e p a


An o t h e r VL S I i m pl e m e n t a t i on of a p a r a l l e l

pr e fi x t r e e :

q 0

2

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1 ,i

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, UI C

1 7



1 8

T h e p a


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a l h a r d w a r e :

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F A

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F A

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X

Y 1 5

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P ar al l el P r ef i x M o d ul e

1

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, UI C

1 8



1 9

C O

MP UT E RARI T HME T I C

S UBT RA C T I O N

¡

S u b

t r a c t i onw

I

x

c a n b e d on e u s i n g a n a d d e r , s i n c e

w

I

x

w

I

x

¡

T h i s m e a n s t h a t

x

, wh i c h w e a s s um e i s

i n2 ’ s c om pl e m e n t n o t a t i on ,h a s

t o b

e n e g a t e d .A2 ’ s c om pl e m e n t n um b e r i s n e g a t e d b y c om

pl e m e n t i n gi t

a n d

a d d i n g a 1 ,i . e . ,I

x

y

x

!

¡

T h e

a u gm e n t a t i on t o a

n a d d e r t o p e r f or m

s u b t r a c t i oni s s h o

wn b e l o w :

X

Y

C i n

C o u t

S u b t r a c t / A d d

=1 / 0

F r om C on t r ol U ni t

n

n

1 n

n

n− b i t A d d er

c


, UI C

1 9



2 0

C O

MP UT E RARI T HME T I C

M UL T I P L I E R

S

S e r i a l M ul t i pl i c a t i on

A d d - a n d - s h i f t ( A & S ) m ul t i pl i c a t i on :

M a n u a

l E x a m pl e :

I f t h e a

d d i t i on s a r e d on e on e a t a t i m e , w e o

b t a i n a s e q u e n c e o

f p a r t i a l pr o d -

u c t s

(

¤

¤

¤

#



2 1

E a c h p

a r t i a l pr o d u c t

£

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i s o b t a i n e d a s

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d

w

wh e r e w

i s t h e m ul t i pl i e r

a n d x

t h e m ul t i pl i c a n d

c


, UI C

2 1



2 2

A

& S m ul t i pl i c a t i on

( c on t d . ) :

T h e s a m e e f f e c t a s s h i f t i n g t h e m ul t i pl i c a n d l e f t (

£

¢

£

x

) c a

n b e a c h i e v e d

b yk e e pi n g t h e m ul t i pl i c a n d fi x e d a t t h e l e f t -m o s t p o s i t i on a n

d s h i f t i n g t h e

p a r t i a l

pr o d u c t

£ r i gh t .

E x a m p

l e :

I n t h i s

c a s e , t h e p a r t i a l pr o d u c t s o b t a i n e d a r e :

(

¤

£

©

b

£

#

¢

£

x

H o w e v

e r ,

#

i s t h e s a m e :

#

#

b

£

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£

¢

£

x

c


, UI C

2 2



2 3

A

& S m ul t i pl i c a t i on

( c on t d . ) :

H a r d w a r e :

1 6 − b i t A d d er

A c c um ul a t or

Q

M

A n d

C o u t

1 6

1 1 6

1 6

1

1 6

M ul t i pl i er X

M ul t i pl i c an d Y

1

A d d −

an d − sh i f t m ul t i pl i c a t i onf or un

si gn e d n um b er s

C o u t

R e g.

Al g or i t h m :

I ni t i a l i z e A C = 0 ; Q=M ul t i pl i e r ; M=M ul t i pl i c a n d .

D o t h e

f ol l o wi n g s t e p s

t i m e s

I f L S B

of Qi s 1 t h e nA C

=A C +M e l s e A C

=A C ;

S h i f t

B

-A C - Qr e gi s t e r c om b i n a t i onr i gh t b y1 b i t

F i n a l p

r o d u c t i s i nA C - Q

r e gi s t e r

N OT E : O v e r fl o w s a r e t ol e r a t e d i n t h e a d d i t i on s —

B

i s f e d t o t h e M S B of

A C wh

e nr i gh t s h i f t i n g

c


, UI C

2 3



2 4

A & S

2 ’ s c om pl e m e n t m

ul t i pl i c a t i on

A s s um

p t i on : B o t h

w

a n d x

a r e i n t h e i r 2 ’ s c om pl e m e n t r e pr e s e n t a t i on

M e t h o d 1 :

¡

I f m

ul t i pl i e r w

i s - v e

g e t i t s 2 ’ s c om pl e m e n t s o t h a t i t b e c om e s p o s i t i v e ,

i . e .w

I

w

¡

I f m

ul t i pl i c a n d x

i s - v e g e t i t s 2 ’ s c om pl e

m e n t s o t h a t i t b e c om e s p o s i t i v e ,

i . e .x

I

x

¡

M ul t i pl y

w

x

¡

I f e x a c t l y on e of

w

a n d x

w a s n e g a t i v e , g e t

’ s 2 ’ s c om pl e m e n t s o t h a t

i t b e c om e s n e g a t i v e ,i . e .

I

¡

Di s a d v a n t a g e : P r e pr o

c e s s i n g a n d p o s t pr o c e s s i n g c a n t a k e

u p t o4 c l o c k

c y c l e s ( c c ’ s )

c


, UI C

2 4



2 5

A & S 2 ’ s c

om pl e m e n t m ul t i p

l i c a t i on ( c on t d . ) :

M e t h o d 2 :

¡

Wh

e n t h e m ul t i pl i e r

w

i s + v e p e r f or m

w

x

t a k i n g c a r e t o d o t h e

f ol l o wi n g wh e n e a c h

£

i s s h i f t e d r i gh t :

1 . Wh e n t h e r e i s n o o v

e r fl o wi n t h e a d d i t i on ( r e c a l l t h e c on d

i t i onf or o v e r -

fl o wf or 2 ’ s c om pl e

m e n t a d d i t i on ) , a n

ar i t h m e t i cr i g h t s h

i f t of r e gi s t e r

A C . Qi s p e r f or m e d

wi t h o u t s h i f t i n gi n

B

i n t o t h e M S B of A C

2 .Ar i t h m e t i c r i gh t s h

i f t : M S Bi s s i gn- e x t e n d e d ,i . e . ,i f t h e M S B ( s i gn

b i t ) i s 1 a 1 i s s h i f t e d i n t o t h e M S B of A C , o t h e r wi s e a 0

i s s h i f t e d i n

3 .I f t h e r e i s a n o v e r fl o w , t h e n a s i n t h

e un s i gn e d c a s e , s h i f t

B

i n t o

M S B of A C wh e n s h i f t i n gA C . Qr i gh t .

T h i s w or k s b e c a u s e i n t h i s c a s e t h e

!

b i t o u t p u t of t h e a d d e r , wh e r e

B

i s t h e M S B ,i s t h e e x a c t 2 ’ s c om pl e m e n t r e pr e s e n t a t i on of t h e s um .

C h e c k t h i s b y s i gn

e x t e n d i n g t h e i n p u

t s t o

!

b i t s a n d c om p u t e t h e

s um— t h e o u t p u t w

i l l b e t h e s a m e a s

f or t h e

- b i t i n p u t s , b u t wi t h o u t

o v e r fl o w o u t of t h e

!

t h b i t

c


, UI C

2 5



2 6

A & S 2 ’ s c



M e t h o d 2 ( c on t d . ) : E x a m

pl e :

c


, UI C

2 6



2 7

A & S 2 ’ s c



M e t h o d 2 ( c on t d . ) :

¡

I f t h e m ul t i pl i e r

w

i s

n e g a t i v e , p e r f or m

t h e fi r s t

I

!

a d

d i t i on s a s e x-

pl a i n e d a b o v e , a n d t h e

n s u b t r a c t x

a s t h e fi n a l s t e p

¡

T h i s w or k s b e c a u s e

t h e v a l u e of a 2

’ s c om pl e m e n t n

um b e r w

¢

#

b

¢

(

i s gi v e n b y

w

I

#

b

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#

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#

b

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£

#

b

"

£

¢

£

x

. Wh e nw

i s n e g a t i v e ,

¢

#

b

i s 1

a n d t h u s

(

£

#

b

"

£

¢

£

x

I

x

d

#

b

wh e r e t h e fi r s t t e r mr

e pr e s e n t s n or m a l

m ul t i pl i c a t i o

nf or t h e fi r s t

I

!

b i t s of

w

c


, UI C

2 7



2 8

A & S 2 ’ s c



M e t h o d 2 —E x a m pl e :

¡

N o t e t h a t m ul t i pl i c

a t i on

i s p e r f or m

e d on

t h e b a s

i s :

w

w

x

¡

T h e

m a gni t u d e of a n e g a t i v e

w

i s gi v e n b y

w

#

I

w

#

b

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£

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b

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£

#

b

"

£

¢

£

x

,

wh i c h i s wh a t w e a r e d oi n g

c


, UI C

2 8



2 9

A & S 2 ’ s c



M e t h o d 2 ( c on t d . ) : H a r d w

a r e :

1 6 − b i t A

d d er

A c c um ul a t or

Q

M

A n d

C o u t

1 6

1 1 6

1 6

1

1 6

M ul t i pl i er X

M ul t i pl i c an d Y

1

Ov f l .

d e t .

A C [ 0 ]

L o gi c

1 1

C 1 5

A d d − an d − sh i f t m ul t i pl i c a t i onf o

r 2 ’ s c om pl em en t n um b er s

1

A C [ 0 ]

L o gi c :

C o u t

I f ov f l t h en

o u t p u t =

el s e

o u t p u t =A C [ 0 ]

c


, UI C

2 9



3 0

S p e e d i n g U p S e r i a l M ul t i pl i c a t i on

B o o t h ’ s Al g or i t h m

¡

I d e a : C on s i d e r t h e f ol l o wi n g s u b s t r i n g of

w

:

j

lm

n

o

m

n

o

j

m

n

o

¡

T h u

s i n s t e a d of a d d i n g

a n d s h i f t i n g

x

4 t i m e s ( c or r e s p on d i n

g t o t h e s t r i n g

of 4

1 ’ s i n 0 1 1 1 1 0 ) , w e c a n s u b t r a c t

x

( I

x

!

) wh e n

w e s e e t h e 1 s t

1 c omi n g a f t e r a 0 i n

w

,i . e . , w e d e t e c t

t h e 2 - b i t s u b s t r i n g

1 0 i n t h e l a s t

2 b i t s of t h e c ur r e n t

w

, j u s t s h i f t 4 t i m e

s a n d t h e n a d d

x

(

x

!

)

wh e n w e s e e t h a t t h e c

ur r e n t s t r i n g of 1 ’ s i n

w

h a v e e n d e d ,

i . e . , w e d e t e c t

t h e

2 - b i t s u b s t r i n g 0 1 i n t h e l a s t 2 b i t s of

t h e c ur r e n t w

.T h i s s a v e s u s t w o

a d d

s

¡

T h u

s wh e n t h e m ul t i p

l i e r c on t a i n s l on g ( gr e a t e r t h a nl e n g t h 2 ) s t r i n g s of

1 ’ s ,B o o t h ’ s m ul t i pl i c a t i oni s f a s t e r

c


, UI C

3 0



3 1

B

o o t h ’ s Al g or i t h m

( c on t d . )

¡

B o o t h ’ s m ul t i pl i c a t i on a l s o t a k e s c a r e of a n e g a t i v e m ul t i p

l i e r a u t om a t i -

c a l l y . C on s i d e r t h e f ol l o wi n gw

:

j

j

S i n

c e t h e m ul t i pl i c a t i on a l g or i t h m c on t a i n s

s t e p s (

4

i n t h e a b o v e

e x a m pl e ) , t h e 1 0 0 0 0 0 0 i s i gn or e d a n d w e

e n d u p s u b t r a c t i n g

!

3

(

t i m e s t h e m ul t i pl i c a n d

— e x a c t l y t h e r i gh t a n s w e r !

c


, UI C

3 1



3 2

B


( c on t d . )

B o o t h ’ s a l g or i t h mi s d e c r

i b e d b y t h e f ol l o wi n g t a b l e f or i t e r a t i on

' :

B i t

'

B i t

'

I

!

E x pl an a t i on

A c t i on

¢

£

( c ur r e n t ) ( pr e v . )

1

0

B e gi nni n g of

a r un of

1 s

I

x

y

!

1

1

Mi d d l e of a r un of 1 s Onl y s h i f t 0

0

1

E n d of a r un of 1 s

x

1

0

0

Mi d d l e of a r un of 0 s Onl y s h i f t 0

N o t e : ( 1 ) F or un s i gn e d m

ul t i pl i c a t i on , w e n e e d t o p a d t h e m ul

t i pl i e r w

wi t h

m y t h i c

a l 0 s on b o t h s i d e s

( r i gh t of L S B p a d d i n gr e q ui r e d t o s t a r t of f t h e pr o-

c e s s )

( 2 ) F or

2 ’ s c om pl e m e n t m

ul t i pl i c a t i on , w e n

e e d t o p a d t h e m ul t i pl i e r

w

wi t h

a m y t h

i c a l 0 onl y t o t h e r i gh t of i t s L S B .T

h i s w or k s b e c a u s e

( f or 2 ’ s c om-

pl e m e n

t , t h e l a s t r un of 1 ’ s i s 1 1 . . .1 , wh e r e

t h e l e f t m o s t 1 i s t h e s i gn b i t ( b i t

I

!

)

a n d s u p p o s e t h e r i gh t m o s t 1 i s t h e

'

’ t h b i t f r oml e f t , t h e n t h e v a l u e

of t h i s

s e q u e n c e i s I

#

I

£

g

#

b

g

I

£

, wh i c h i s e x a c t l y

t h e v a l u e w e

a l l o t e d

t o t h i s s e q u e n c e w

h e n w e s u b t r a c t e d

x

a t t h e

£’ t h b i t p o s i t i on a t t h e



3 3

b e gi nni n g of t h i s l a s t r un

of 1 ’ s .F ur t h e r ,i f

i s t h e v a l u e w e

a l l o t e d t o t h e

r e s t of

t h e m ul t i pl i e r b e f or e t h e l a s t r un of 1 ’ s , t h e n t h e fi n a l v a l u e w e gi v e

t o t h e m ul t i pl i e r i s I

£

, wh i c h i s i t s c

or r e c t v a l u e i n2 ’ s

c om pl e m e n t :

I

#

I

£

g

#

b

g

£

.

( 3 ) ¢

£

i s t h e

' t h b i t of t h e

B o o t h R e c o d i n g of

w

:

( 4 ) ¢

£

m e a n s n o a r i t h m e t i c o p e r a t i on ,

!

m e a n s a d d

x

,

y

!

m e a n s

s u b t r a c

t x

H a r d w a r e : E x c er c i s e

c


, UI C

3 3



3 4

B


( c on t d . )

E x a m p

l e s :

c


, UI C

3 4



3 5

B


( c on t d . )

¡

P r o b l e m : Wh e n t h e m

ul t i pl i e r c on t a i n s l on g s t r i n g s ( s a y , of l e n g t h

7

) of

a l t e

r n a t i n g1 s a n d 0 s

( !

!

!

!

) , t h e n

w e p e r f or m

7

6

a d d i t i on s a n d

7

6

s u b t r a c t i on s u s i n

gB o o t h ’ s a l g or i t h

m c om p a r e d t o onl y

7

6

a d d i -

t i on

s u s i n gr e g ul a r a d d - a n d - s h i f t

¡

S ol u t i on : L o ok a t 3 c on s e c u t i v e b i t s of t h e m ul t i pl i e r i n s t e

a d of 2 t o d e -

c i d e wh a t t o d o .T h i s i s c a l l e d t h e M o d i fi

e d B o o t h ’ s Al g or i t h m ( MBA )

¡

T h i s wi l l e n a b l e u s t o

t r e a t i s ol a t e d 1 s a n d 0 s d i f f e r e n t l yf r

omr un s of 1 s

a n d

0 s .

c


, UI C

3 5



3 6

M

o d i fi e d B o o t h ’ s A

l g or i t h m

¡

T h u

s wh e n w e s e e a

w e

a d d x

c or r e s p on d i n g t o t h e i s ol a t e d 1 .T h i s i s c or r e c t , s i n c e i nBA w e

w o ul d h a v e s u b t r a c t e d

a x

on d e t e c t i n g1 0 a n d a d d e d

x

on

s u b s e q u e n t l y

d e t e c t i n g 0 1 .T h u s a s s umi n g t h e 1 i s t h

e ' t h b i t , w e w o ul d h a v e a d d e d

£

©

x

I

£

x

£

x

—

w e a r e d oi n g t h e R

H S i nMBA

¡

Wh

e n w e s e e a

a n d t h i s i s ol a t e d 0 i s n o t f ol l o wi n g a n

i s ol a t e d 1 , t h e n w

e s u b t r a c t x

c or r e s p on d i n g t o t h e i s ol a t e d 0 .T h i s i s

c or r e c t , s i n c e i nBA w e w o ul d

h a v e a d d e d

x

on d e t e c t i n g 0 1 a n d t h e n s u b t r a c t e d

x

on

d e t e c t i n g1 0 .

T h i s i s e q ui v a l e n t t o a d d i n gI

£

©

x

£

x

I

£

x

— a g a i n , w e a r e d oi n g

t h e

RH S i nMBA

c


, UI C

3 6



3 7

M o d i fi e d B o o t h ’ s Al g or i t h m ( c on t d . )

¡

Af t e r d e t e c t i n g a ni s ol a t e d 1 ( 0 1 0 ) ,i t s h o

ul d b e n o t e d a s s u c h s o t h a t a f t e r

s h i f t i n gr i gh t , w e d on’ t mi s i n t e r pr e t t h e b i t p a t t e r n a s e n d i n g a r un of 1 s .

F or

e x a m pl e , c on s i d e r t w o b i t p a t t e r n s s h o wi n g t h e 4 c on s e c u t i v e b i t s of

w

!

z

{

!

!

T h

e 1 s t h a s a ni s ol a t e d 1 a n d t h e 2 n d a r un of 1 s .F or t h

e 1 s t c a s e w e

h a v e a d d e d

x

c or r e s p

on d i n g t o t h e 1 , a n d i n t h e s e c on d c a s e , w e d on o t

d o a n y t h i n g a s w e a r e

i n t h e mi d d l e of a

r un of 1 ’ s ( a s i nBA )

Af t e r a r i gh t s h i f t , w e

h a v e t h e p a t t e r n s

!

z

{

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wh

i c h a r e i d e n t i c a l .

I n t h e fi r s t c a s e , w

e n e e d t oh a v e n o

t e d t h a t t h e 1

c or r e s p on d s t o a ni s ol a t e d 1 , s o t h a t w e d

on o t d o a n y t h i n g .

I n t h e s e c on d

c a s e , t h i s m e a n s e n d o

f a r un of 1 s , a n d s o w e n e e d t o a d d

x

( a s i nBA ) .

¡

T h e

s e c a s e s a r e d i s t i n g ui s h e d b y s e t t i n g a l a t c h

|

t o b e 0 wh

e n a ni s ol a t e d

1 i s

s p o t t e d , a n d t o1 i f a r un of 1 s i s s p o t t e d

¡

T h u

s a c t u a l l y t h e l e a s t s i gni fi c a n t of t h e

3 b i t s t h a t w e o b s e r v e s h o ul d b e

|

a n d n o t t h e pr e vi o u s b i t of

w

.E x c e p t

wh e n d i s t i n g ui s h i n g b e t w e e n a n



3 8

i s ol a t e d 1 ( 0 ) a n d t h e

e n d of a r un of 1 ’ s ( 0 ’ s )

|

wi l l b e t h

e s a m e a s t h e

pr e vi o u s l y o b s e r v e d b i t of

w

.

¡

T h u

s a f t e r a r i gh t s h i f t , t h e a b o v e 3 - b i t p a t t e r n s wi l l b e

|

z

{

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c


, UI C

3 8



3 9


¡

S i m

i l a r l y , w e n e e d t o

d i s t i n g ui s h b e t w e e n a ni s ol a t e d 0 a n d t h e e n d of a

r un

of 0 ’ s .I n t h e f or m

e r c a s e ,|

i s s e t t o

1 a n d t o 0 i n t h e l a

t t e r c a s e

¡

A g a i n , c on s i d e r t w o b

i t p a t t e r n s s h o wi n g

4 c on s e c u t i v e b i t s of

w

!

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T h e

1 s t h a s a ni s ol a t e d 0 i ni t s 2 n d b i t f or wh i c h w e s u b t r a c

t e d x

a n d t h e

2 n d

p a t t e r nh a s a 0 i n

i t s 2 n d b i t t h a t e n d

s a r un of 0 ’ s .

¡

T h u

s a f t e r a r i gh t s h i f t , t h e a b o v e 3 - b i t p

a t t e r n s wi l l n o t b e

i d e n t i c a l , b u t

wi l l b e

!

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|

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z

{

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I n t h e fi r s t c a s e , w e c

or r e c t l y d on o t h i n g ( w e a l r e a d y s u b t r a c t e d x

c or -

r e s p on d i n g t o t h e i s ol a t e d 0 ) c or r e s p on d

i n g t o t h e mi d d l e

b i t a n d i n t h e

s e c on d w e s u b t r a c t

x

, s i n c e t h e mi d d l e b i t b e gi n s a r un of

1 ’ s wh i c h h a s

n o t

y e t b e e n a c c o un t e d f or .

c


, UI C

3 9



4 0


¡

T h e

r i gh t m o s t b i t i n t h e 3 b i t s t h a t w e a r e l o ok i n g a t i s a c t u a l l y

|

wh i c h

i s i ni t i a l i z e d t o 0

¡

T h e

s e c on d b i t i s

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' t h i t e r a t i on ,

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) , a n

d t h e l e f t m o s t

b i t i s ¢

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N o t e t h a t e x c e p t i n t h e i s ol a t e d 1 / 0 c a s e ,

|

¢

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( a s i nB

A ) , o t h e r wi s e

|

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¢

£ b

c


, UI C

4 0



4 1


W e t h u

s h a v e t h e f ol l o wi n gM o d i fi e d B o o t h

’ s Al g or i t h m d e s c r i b e d f or i t e r a -

t i on' ,

}

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B i t

£

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B i t

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E x pl an a t i on

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( n e x t )

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I s ol a t e d 0 f ol l o wi n

g a ni s ol a t e d

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B e gi n s a r un of 1 s

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B e gi n s a r un of 0 s

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1

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1 s

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I s ol a t e d 0 f ol l o wi n

g a r un of 1 ’ s

1

1

1

1


1 s

1

0

N OT E : ( 1 ) T h e m ul t i pl i e

r n e e d s t o b e p a d d

e d b ym y t h i c a l 0 s

on b o t h s i d e s

f or un s

i gn e d a n d 2 ’ s c om pl e m e n t m ul t i pl i c a

t i on .

( 2 ) ¢

£

i s t h e

' t h b i t of t h e

M o d i fi e d B o o t h R e c o d i n g of

w

( 3 ) T h i s s i g n e d - d i g i t e n c o

d i n gh a s

6

5

0 s o

n t h e a v e r a g e , a s o p p o s e d t o

6

i n t h e r

e g ul a r b i n a r y c o d e .T h u s

6

4

f e w e r a

r i t h m e t i c o p e r a t i on

s a r e r e q ui r e d

on t h e a v e r a g e u s i n gMBAf or m ul t i pl i c a t i on .

c


, UI C

4 1




E x a m p

l e s :

c


, UI C

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