Indices de Seleccion Matrices

1GenGentica de Poblacionestica de PoblacionesAlgebra MatricialAlgebra Matricial

Ing. Jorge P. Caldern [email protected] Ing. Jorge P. Caldern [email protected]

MatricesMatrices

Es un arreglo rectangular de elementos (nmeros), dispuesto en filas y columnas.

Cada nmero individual es denominado elemento de la matriz.

La dimensin de la matriz es determinado por el numero de filas y el nmero de columnas, convencionalmente el nmero de filas es posicionado primero.

DimensiDimensin de las matricesn de las matrices

Si una matriz tiene 3 filas y 2 columnas, se indica que es una matriz de tamao, dimensin u orden 3 x 2.

Las matrices pueden ser cuadradas (tienen el mismo nmero de filas y columnas) o rectangulares (diferentes nmeros de filas y columnas).

MatricesMatrices

donde aij es el elemento de la matriz

MatricesMatrices

[ ][ ]ijcr

ij

aA

aA

A

==

=

),(

)3,3(

35518211223291812

AplicacionesAplicaciones

Tienen un gran campo de aplicacin en: Solucin de sistemas de ecuaciones lineales Teora grfica Gentica Manejo Forestal Modelos econmicos etc.

ZT7009 Indices de Seleccin 2006-II

Ing. Jorge P. Caldern Velsquez [email protected]

2DefinicionesDefiniciones

Escalar. Es una simple cantidad, usualmente designado por letra minscula y en itlicas, ejemplo: , , etc.

Vector. Un vector columna es una matriz con una sola columna, y un vector fila es una matriz con una sola fila. Usualmente la palabra vector es usado y ello implica que se refiere al vector columna. Son denotados por letras minsculas y en negritas.

DefinicionesDefiniciones

Diagonales. Los elementos diagonales de una matriz son aquellos elementos en el cual el nmero de filas y columnas son los mismos, es decir: aij, i = j.

los elementos diagonal son 8 y 7.

=175238

D

Tipos de MatricesTipos de Matrices

Rectangular. Una matriz es rectangular si el nmero de filas es diferente al nmero de columnas. Todos los vectores son matrices rectangulares.

Cuadradas. Matrices que tienen el mismo numero de filas y columnas. El producto de las matrices XX siempre son matrices cuadradas.


Simtrica. Matrice simtricas son siempre matrices cuadradas, los elementos de la i -sima fila y j - sima columna es igual al elemento de la j - sima fila e i - simacolumna, para todos los valores de i y j.

La transpuesta de una matriz simtrica es la misma matriz.

A = A

XX = simtrica y cuadrada.


Diagonal. Una matriz diagonal es una matriz cuadrada, simtrica, en el cual todos los elementos son ceros excepto los elementos de la diagonal principal.

Una matriz diagonal puede ser representada como:

donde di son los elementos de la diagonal.

[ ]ndddddiagD ...321=


Identidad. Una matriz identidad es una matriz diagonal especial en el cual todos los elementos de la diagonal son igual a uno (1).

Una matriz identidad es usualmente representada por I, siendo una matriz diagonal, la matriz identidad es adems cuadrada y simtrica.

=

100010001

I



3Tipos de MatricesTipos de Matrices

Nula. Una matriz nula es una matriz de cualquier dimensin u orden en la cual los elementos son igual a cero (0), y es representado por 0.

Matriz con solos 1. Un vector columna de dimensin n en el cual todos los elementos son 1, y se representa como 1n.

Una matriz con r filas y c columnas cuyos elementos son 1, se denota como J.


Triangular. Las matrices triangulares son matrices cuadradas en la cual los elementos sobre o debajo de la diagonal principal son ceros.

Una matriz triangular superior es aquella en la que los elementos debajo de la diagonal son ceros, y una matriz triangular inferior tiene todos los elementos sobre la diagonal igual a ceros.

Operaciones BOperaciones Bsicassicas

Se pueden realizar operaciones con las matrices, stas son: Suma Sustraccin

En el caso de estas dos operaciones las matrices deben ser del mismo orden o dimensin.

Multiplicacin, necesario que exista conformidad de las matrices.

Suma de MatricesSuma de Matrices

Para la suma de matrices, ambas deben ser del mismo orden, si lo son decimos que hay conformidad para la suma.

Para sumar matrices conformes, se realiza sumando los elementos correspondientes

Suma de MatricesSuma de Matrices

( ) ( )( ) ( )

( )[ ][ ]ijij

ij

baC

baC

BAC

BA

+=+=

=

++

++=+=

=

=

76112

)2(95165)4(2

2564

9152

SustracciSustraccin de Matricesn de Matrices

De la misma forma que la adicin de matrices, es necesario que ambas matrices sean del mismo orden.

La sustraccin de matrices se realiza restando al elemento de la primera matriz el elemento correspondiente de la segunda matriz.



4SustracciSustraccin de Matricesn de Matrices

( ) ( )( ) ( )

( )[ ][ ]ijij

ij

baD

baD

BAD

BA

==

=

==

=

=

11416

)2(95165)4(2

2564

9152

MultiplicaciMultiplicacin de matricesn de matrices

Por un escalar Escalar es un nmero cualquiera () que al

multiplicar a una determinada matriz, ste multiplica a cada uno de los elementos de la matriz.

=

=

==

273156

9152

3

9152

3

A

A


Considerando el procedimiento de producto de una matriz por un escalar podemos obtener un factor comn a todos los elementos de la matriz y considerar este factor como un escalar.

=

=

719256924

3213276151827612

A


Multiplicacin de vectores. El producto de un vector fila con un vector

columna da como resultado un escalar, el cual es obtenido de la suma del producto de los elementos correspondientes de los vectores.

[ ]

[ ] 25)2(1)5(4)1(3251

143'

251

143'

=++=

==

==

yvt

yv


El producto C de dos matrices A y B, est definido como:

donde j es sumado sobre todos los posibles valores de i y k.

Para multiplicar matrices ambas deben estar definidas: (n x m) (m x p) = (n x p)

jkijik bac =


Debemos de considerar el concepto de conformidad del producto, es decir: el nmero de columnas de la primera matriz (matriz que pre multiplica) debe ser igual al nmero de filas de la segunda matriz (matriz que post multiplica).



5MultiplicaciMultiplicacin de matricesn de matrices

Matriz que pre multiplicaMatriz que post multiplica

A x B = AB2 x 3 3 x 5 2 x 5

dimensin del producto


Si la matriz A es del orden r x c y la matriz B es del orden c x s, el producto C = AB es una matriz resultante del orden r x s, donde el elemento en la i - sima fila y j - sima columna es:

=

=c

kkjikij bac

1


Por tanto, para desarrollar el producto de la i-sima fila con la j-sima columna es:

sjribaAB

bac

BA

c

kkjik

c

kkjikij

sccr

,...,1;,...,11

1

),(),(

===

=

=

=

,


Ejemplo: si A(2,3) y B(3,4), la matriz resultante serC(2,4), y el elemento producto ser:

3313231213113

3

11)3,1(

3213221212112

3

11)2,1(

3113211211111

3

11)1,1(

)4,2(

)4,3()3,2( ,

babababac

babababac

babababac

CAB

BA

kk

k

kk

k

kk

k

++==

++==

++==

=

=

=

=

MultiplicaciMultiplicacin de matricesn de matricesMultiplicaciMultiplicacin de matricesn de matrices



6MultiplicaciMultiplicacin de matricesn de matrices

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

=

++++++++++++++++++

==

=

=

483191465071383851

2*76*12*92*78*11*91*73*19*92*26*52*62*28*51*61*23*59*62*96*22*42*98*21*41*93*29*4

221683219

,719256924

C

ABC

BA

Propiedades de la multiplicaciPropiedades de la multiplicacinn

Propiedad Asociativa. Se da en toda multiplicacin de matrices si estas son conformes.

( )[ ] ( ) ( ) kjlkilkjikij cbacabcab ==


Dado que ail, blk y clk son escalares, utilizando la propiedad asociativa de multiplicacin de los escalares, se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )[ ][ ] kjlkilij

ijljilkjlkilkjlkil

cbaabc

bcabcacbacba

=

===


Propiedad distributiva.

Si A y B son matrices de orden m x n y C y D son matrices de orden n x p, entonces:

A (C + D) = AC + AD

(A + B) C = AC + BC


Sin embargo, la multiplicacin de matrices es por lo general no conmutativa, si se da la propiedad conmutativa es por que las matrices A y B son diagonales y de la misma dimensin u orden.


( ) ( )( ) ( )( )( )

( ) AABABA

CBCABAC

BCACAB

CBACBA

ABBA

=+=++=+

=++=++

+=+

''



7Propiedades de la multiplicaciPropiedades de la multiplicacinn

( )( )

( )( )

( )( ) ( )'11'

11

1111

111

'''

'''

=====

+=+

AA

AA

ABCABC

ABAB

ABAB

BABA

Producto de bloques de matricesProducto de bloques de matrices

[ ][ ]

=

666564

565554

464544

666564

565554

464544

3333

2221

1211

2221

1211

666564

565554

464544

33

2221

1211

666564

565554

464544

33

2221

1211

bbbbbbbbb

aaaaaaaaa

babbbb

aaaa

bbbbbbbbb

bbbbb

aaaaaaaaa

aaaaa

Matriz transpuestaMatriz transpuesta

El objeto obtenido (matriz resultante) es mediante el reemplazo de todos los elementos aij por aji. El tensor transpuesta es simplemente aji. La matriz transpuesta, representada como AT, es la matriz obtenida por el intercambio de las As filas por columnas, y que satisface la identidad:

(AT)-1 = (A-1)T

Matriz transpuestaMatriz transpuesta

El producto de dos matrices transpuestas satisface:

(BTAT)ij = (bT)ik (aT)kj

= bkiajk = ajkbki

= (AB)ji = (AB)Tij

Adems:

(AB)T = BTAT

41

[ ]

[ ]jiTcxr

ijrxc

aaaaaaaaaa

A

aaaaaaaaaa

A

=

=

=

=

332313

322212

312111

333231

232221

131211

=

=

4105372

4310752

32

23

Tx

x

A

A

Ejemplo: Transpuesta de un productoTranspuesta de un producto

La transpuesta del producto de dos o ms matrices es el producto de la transpuesta de cada matriz en orden inverso.

(CDE) = EDC

debe de verificarse que el resultado es conforme para multiplicar, y que el resultado tiene las correcta dimensin u orden.



8Productos especialesProductos especiales

Una matriz A es dem potente si el producto de la matriz con ella misma es igual a ella misma.

A.A = A

Dicho producto implica que la matriz A debe ser cuadrada, pero no necesariamente simtrica.

Productos especialesProductos especiales

Una matriz es nulo potente si el producto de la matriz con ella misma determina una matriz nula.

B . B = 0

entonces, la matriz B es nulo potente.

Productos especialesProductos especiales

Una matriz es ortogonal si el producto de la matriz con su transpuesta es igual a una matriz identidad.

U U = I

ello implica que:

U U = I

Traza de las matrices cuadradasTraza de las matrices cuadradas

La traza es una operacin que es aplicado solamente a las matrices cuadradas, se representa como tr.

La operacin traza es la suma de los elementos de la diagonal de una matriz.

La traza es: tr(A) = 0.51 + 0.46 + 0.33 = 1.30

=33.016.021.014.046.028.019.032.051.0

A

Traza de las matrices cuadradasTraza de las matrices cuadradas

La traza del producto de matrices conformes tienen una propiedad especial conocida como la regla de rotacin de las trazas.

tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB)

los valores de las trazas son iguales, porque son escalares.

Norma euclidianaNorma euclidiana

La norma euclidiana es una operacin matricial usualmente usado para determinar el grado de diferencia entre dos matrices del mismo orden.

La norma es un escalar y es representada como: || A ||

( )[ ]5.0

1 1

2

5.0'

=

=

= =

n

i

n

jijaA

AAtrA



9Norma euclidianaNorma euclidiana

Ejemplo:

entonces:

( )317821.14)205(

641...1642549

811364257

5.0

5.0

==++++++=

=

A

A

A

Norma euclidianaNorma euclidiana

( )[ ] ( )( ) 317821.14205

666178

6622282261428478

832165147

811364257

832165147

811364257

5.0

5.05.0'

'

'

==++==

=

=

=

=

A

AAtrA

AA

AA

Otras operaciones matricialesOtras operaciones matriciales

Suma directa. Dada para matrices de cualquier dimensin, si tenemos las matrices H1, H2, ... Hn, la suma directa ser:

==+

n

ni i

H

HH

HHHH

...00.

.

...

...

.

.

.

.0...00...0

...2

1

21

Otras operaciones matricialesOtras operaciones matriciales

Producto Kronecker. Es conocido como producto directo, es cuando cualquier elemento de la primera matriz es multiplicada, como un escalar, tantas veces la segunda matriz.

Si tenemos una matriz B de orden m x n, y una matriz A de orden 2 x 2, el producto directo de A por B:

==BaBaBaBa

BABA2221

1211*

Inversa de una matrizInversa de una matriz

Una matriz A tiene una inversa si el determinante | A | 0.

Para una matriz 2 x 2:

La inversa es:

=

=acbd

bcadacbd

AA 111

=dcba

A x22


Para una matriz 3 x 3:

=

2221

1211

3132

1112

3231

2221

2123

1113

3331

1311

3133

2123

2322

1312

3233

1213

3332

2322

1 1

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

AA



10


Una matriz debe ser cuadrada para tener una inversa, as como todas las matrices cuadradas tienen inversa, la inversa de una matriz existe solamente cuando la matriz es de rango completo, entonces r(A)= r = c, y se dice que es No singular. Si la matriz no es de rango completo, se dice Singular.

DeterminanteDeterminante

Son procedimientos matemticos muy usados en el anlisis y solucin en sistemas de ecuaciones lineales. Adems, es un mtodo para determinar cuando una matriz tiene una inversa o es no singular.

La determinante de una matriz es un nmero o escalar, simbolizado por |A|.


Una matriz de orden 2 x 2 su determinante es definida como:

bcaddcba

dcba

det


Cuando se evala matrices de orden considerable, se puede emplear la definicin de la determinante para una matriz de orden r x r.

( )( )

=

=

+=

+

r

iij

jiij

r

jij

jiij

uier jpara cualqMa

uier ipara cualqMaA

1

1

1

1


La definicin anterior se denomina: Expansin de los elementos de la i-sima fila, para el primer caso, o de los elementos de la j-sima columna, en el segundo caso, la que permite hallar la determinante de manera resumida.

( ) ijjiijiji

ijij

Maacofactor

aaA

+==

= 1


M es llamado un Menor de A, y se obtiene eliminando la fila y la columna de la matriz Aresultando una matriz de orden (r-1) x (r-1) de la que se obtiene su determinante. El menor conjuntamente con el signo se denomina el cofactor de aij en |A|.



11

Propiedades de las Propiedades de las DeterminantesDeterminantes

1. Dado una determinante n x n, la inversa aditiva es: |-A | = (-1)n|A|

2. Propiedad distributiva: | AB | = |A| |B|

Esto significa que la determinante de una matriz inversa puede ser determinado como:

|I| =| A A-1| = |A| | A-1| = 1

|A| = 1 / | A-1|


3. Las determinantes son Multilineales en filas y columnas, desde que:

987

65

32

98

654

32

98

65

321

987

654

321

987

654

3

987

654

2

987

654

1

987

654

321

00

0

0

00

000000

aaaaaaa

aaaaaaa

aaaaaaa

aaaaaaaaa

y

aaaaaaa

aaaaaa

a

aaaaaa

a

aaaaaaaaa

++=

++=


4. La determinante de una matriz de Transformacin de similaridad es igual a la determinante de la Matriz original.

5. La determinante de una matriz transpuesta es igual a la determinante de la matriz original

|A| = | AT |

AB

ABBABBAB === 111


Resumiendo, el concepto de determinante y del menor, la inversa de una matriz podemos resumir como:

( )( )

( ) ( ) ( )

=+++

+

+

rrrr

rr

rr

rr

rr

MMMM

MMMMMMMM

AA

..........111..................................................1..........1..........

1

33

22

11

22

322212

11

312111

1

ResoluciResolucin de sistemas de n de sistemas de ecuaciones linealesecuaciones lineales

Uno de los primeros mtodos conocidos en la solucin de ecuaciones algebraicas lineales simultneas, es el conocido como el Mtodo de Eliminacin o el Mtodo de Eliminacin Gaussiana.

Utilizando el mtodo de Gauss, un conjunto de necuaciones con n incgnitas se reduce a un sistema triangular equivalente (un sistema equivalente es un sistema que tiene iguales valores de la solucin), que a su vez se resuelve fcilmente por "sustitucin inversa"; lo cual es un procedimiento simple .

MMtodo de Gausstodo de Gauss

Se basa en tres criterios de equivalencia:

Producto o cociente por un nmero real distinto de cero: si se multiplican o dividen los dos miembros de la ecuacin de un sistema por un nmero distinto de cero, resulta otro sistema equivalente al dado.

Suma o diferencia de ecuaciones: si a una ecuacin de un sistema se le suma o resta otra ecuacin del mismo, resulta otro sistema equivalente al dado.



12


Reduccin de ecuaciones: si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuacin es combinacin lineal de otras, dicha ecuacin puede suprimirse, siendo el sistema resultante equivalente al dado.


Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

X1 + 4 X2 + X3 = 7

X1 + 6 X2 - X3 = 13

2 X1 - X2 + 2 X3 = 5


Utilizando como ecuacin pivote la primera ecuacin (el coeficiente pivote es unitario), obtenemos:

X1 + 4 X2 + X3 = 7

2 X2 - 2 X3 = 6

-9 X2 + (0) X3 = -9


Utilizando la segunda ecuacin del sistema como ecuacin pivote y repitiendo el procedimiento, se obtiene el siguiente sistema triangular de ecuaciones:

X1 + 4 X2 + X3 = 7

2 X2 - 2 X3 = 6

- 9 X2 = - 9


Finalmente mediante sustitucin inversa, comenzando con la ltima de las ecuaciones se obtienen los siguientes valores:

X3 = -2

X2 = 1

X1 = 5

MMtodo de Gauss todo de Gauss -- DesventajasDesventajas

1. Divisin entre cero: Una de sus desventajas es que durante el proceso en las fases de eliminacin y sustitucin es posible que ocurra una divisin entre cero. Se ha desarrollado una estrategia del pivoteo para evitar parcialmente estos problemas.



13


2. Errores de redondeo: Al manejar fracciones en forma decimal con nmero limitado de cifras decimales, y tener fracciones, se introduce un error en la solucin la que denominamos error por redondeo.

Cuando se va a resolver un pequeo nmero de ecuaciones, el error por redondeo es pequeo y generalmente no se afecta sustancialmente la precisin de los resultados, pero si se van a resolver simultneamente muchas ecuaciones, el efecto acumulativo del error por redondeo puede introducir errores relativamente grandes en la solucin.


Por esta razn el nmero de ecuaciones simultneas que se puede resolver satisfactoriamente con el mtodo de eliminacin de Gauss, utilizando de 8 a 10 dgitos significativos en las operaciones aritmticas, se limita generalmente a 15 o 20 ecuaciones.


3. Sistemas mal condicionados

La obtencin de la solucin depende de la condicin del sistema. Es decir, los sistemas bien condicionados son aquellos en que un cambio en uno o ms coeficiente provoca un cambio similar en la solucin. Los sistemas mal condicionados son aquellos en que los cambios pequeos en los coeficientes provocan cambios grandes en la solucin.

MMtodo de Gauss todo de Gauss -- JordanJordan

Existen otros mtodos para determinar la inversa de una matriz definida o no singular, o solucin al sistema de ecuaciones, siendo el mtodo de Gauss - Jordan o reduccin de filas, que es empleado bsicamente en sistemas de hasta 15 o 20 ecuaciones simultneas, de hasta 8 o 10 dgitos de precisin, siendo un procedimiento de las reducciones de las filas en base a una ecuacin pvot.


Dado el sistema de ecuaciones, se presenta en un argumento matricial.

[sistema] ====== [A | B] Convertir [A | B] a la forma de reduccin de filas:

Pivoteando los elementos en la matriz en las posiciones 1-1, 2-2, 3-3, etc. En este orden, con el objetivo de crear una matriz identidad en el lado izquierdo de la matriz argumento.

[A | B] ===== [I | C]


Cuando el paso anterior ha sido completada, re-escribimos la matriz final [I | C] como una ecuacin. C ser un vector que contiene la lista de las variables el cual resuelve el sistema.



14

==

+=

+==

==

=

==

==++

=+

33233

211

22133

122

71

2170011104101

2061011105211

51

2061055505211

23

10232101235211

10232

1023

52

rRrrRrrR

rRrrRrrR

zyx

zyx

zyx

ResoluciResolucin de sistemasn de sistemas

Sistema de ecuaciones

ResoluciResolucin de sistemasn de sistemas

321

310020101001

310011104101

322

311

===

+=

==

zy

x

rrRrrR

Solucin

Inversa de una matriz, MInversa de una matriz, Mtodo todo Gauss Gauss -- JordanJordan

Utilizando el mtodo de Gauss Jordan es posible, tambin, invertir una matriz, pero que el sistema no sea mayor a 20 ecuaciones, el procedimiento es similar al de la solucin de ecuaciones lineales.


Sea A una matriz cuadrada y no singular, y que su determinante |A| 0. por definicin de matriz inversa se tiene que A-1 es la inversa de A si:

A . A-1 = I

Si representamos A-1 = X, entonces:

A . X = I


Puede considerarse que esta ecuacin matricial representa un sistema de ecuaciones simultneas, en donde no hay un solo vector de trminos independientes sino n, los n vectores bsicos que forman la matriz unitaria I. Adems, no existe un solo vector de incgnitas, sino n, los que corresponden a cada columna de la matriz unitaria.


Es posible determinar la inversa de una matriz con el mtodo de Gauss - Jordan de eliminacin completa, para lo cual bastarcon aplicar las operaciones elementales sobre los renglones de la matriz ampliada (A, I) de manera de transformar A en I. Cuando se haya hecho, se obtendr la matriz ampliada, con lo que se tendr la inversa buscada.



15


Si tenemos la siguiente matriz:

=

531122261

A


Considerando la primera ecuacin como pvot:

===

==

==

101730010/15/12/110001261

101

1017300125100001261

1017300125100001261

2

100531010122001261

22

133

122

RR

RRRRRR


La segunda ecuacin como pvot:

===

==+==

112553554100010151211005351101

112

11035221100010151211005351101

11035221100010151211005351101

36

1017300101512110001261

33

233

211

RR

RRRRRR


Utilizando la tercera ecuacin como pvot:

=

=+=+==

1125535541115575591125536557

1125535541001115575590101125536557001

21

112553554100010151211005351101

1

222

311

A

RRR

RRR

MMtodo de Gauss todo de Gauss -- SeidelSeidel

El mtodo de inversin de matrices tiene limitaciones cuando se trabaja con nmeros muy grandes de ecuaciones simultneas, por ejemplo evaluacin de reproductores, en la que el modelo contiene efectos fijos y efectos aleatorios y est compuesto por un gran nmero de registros de produccin.


Existen tcnicas para resolver grandes nmeros de ecuaciones simultneas, siendo una de ellas el Mtodo de Gauss -Seidel. El mtodo de Gauss - Seidel no siempre converge a una solucin o a veces converge muy lentamente. Este mtodo convergir siempre a una solucin cuando la magnitud del coeficiente de una incgnita diferente en cada ecuacin del conjunto, sea suficientemente dominante con respecto a las magnitudes de los otros coeficientes de esa ecuacin.



16


Es difcil definir el margen mnimo por el que ese coeficiente debe dominar a los otros para asegurar la convergencia y es an ms difcil predecir la velocidad de la convergencia para alguna combinacin de valores de los coeficientes cuando esa convergencia existe.


No obstante, cuando el valor absoluto del coeficiente dominante para una incgnita diferente para cada ecuacin es mayor que la suma de los valores absolutos de los otros coeficientes de esa ecuacin, la convergencia est asegurada. Ese conjunto de ecuaciones simultneas lineales se conoce como sistema diagonal.


Un sistema diagonal es condicin suficiente para asegurar la convergencia pero no es condicin necesaria. Las ecuaciones simultneas lineales que se derivan de muchos problemas de ingeniera (gentica), son del tipo en el cual existen siempre coeficientes dominantes.

Matriz de diagonal dominanteMatriz de diagonal dominante

Definiciones: Una matriz se dice de diagonal

estrictamente dominante por filas cuando el valor absoluto de cada elemento de la diagonal es mayor que la suma de los valores absolutos del resto de los elementos de la fila.

11

n

ii ijjj

a a=

>


Definiciones: Anlogamente se define una matriz de

diagonal estrictamente dominante por columnas, en la forma:

11

n

ii jijj

a a=

>


Propiedad: Toda matriz de diagonal estrictamente

dominante (por filas o por columnas), es invertible, con lo que queda garantizada la existencia y unicidad de solucin

Esto se puede demostrar basndose en el hecho de que el valor propio 0 queda fuera de los crculos de Gerschgorin, luego la matriz no puede ser singular.

1,

0 , 1, 2,...,j n

ii ijj j i

a a i n=

= > =



17


El mtodo de Gauss-Seidel, es un mtodo iterativo y por lo mismo, resulta ser un mtodo bastante eficiente. En el sistema de ecuaciones:


De la ecuacin 1 despejemos x1, de la ecuacin 2 despejemos x2, , de la ecuacin n despejemos xn. Esto nos da el siguiente conjunto de ecuaciones:


Este conjunto de ecuaciones son las que forman las frmulas iterativas. Para iniciar el proceso iterativo, se le da valor de cero a las variables x2, ... xn; esto nos dar un primer valor para x1 , la que tenemos:


Seguidamente, sustituimos este valor de x1en la ecuacin 2, y las variables x3, ... xnsiguen teniendo el valor de cero. Esto nos da el siguiente valor para x2:


Estos ltimos valores de x1 y x2, los sustituimos en la ecuacin 3, mientras que x4, ... xn siguen teniendo el valor de cero; y as sucesivamente hasta llegar a la ltima ecuacin. Todo este paso, nos arrojar una lista de primeros valores para nuestras incgnitas, la cual conforma nuestro primer paso en el proceso iterativo. Digamos quetenemos:


Volvemos a repetir el proceso, pero ahora sustituyendo estos ltimos valores en vez de ceros como al inicio, obtendremos unos segundos valores para cada una de las incgnitas. Digamos que ahora tenemos:



18


Al tener dos valores, podemos calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incgnitas, con la finalidad de determinar la convergencia, a un valor dado.


El proceso se vuelve a repetir hasta que:

donde es un valor suficiente prefijada.s


En el sistema de ecuaciones siguiente, mediante el mtodo de Gauss - Seidel determinar la solucin del sistema aproximado:


Se inicia la solucin, despejamos las ecuaciones en cada incgnita, la ecuacin 1 para x1, la ecuacin 2 para x2, y as sucesivamente:

155.27.06

114.43.35.27

57.24.12.94

213

312

321

xxx

xxx

xxx

+=

=

+=


Se empieza las iteraciones, considerando en la ecuacin 1, valor de cero para las variables x2 y x3.

En la ecuacin 2, se reemplaza el valor obtenido para x1, y se mantiene cero para x3.

En la ecuacin 3, se reemplaza los valores obtenidos para x1 y x2, obteniendo el valor de x3.


Valores de la primera iteracin:

x1 = -18.8400

x2 = -3.1520

x3 = -0.0461

Valores de la segunda iteracin:

x1 = -19.6976

x2 = -3.4277

x3 = -0.0520



19


Valores de la tercera iteracin:

x1 = -19.7716

x2 = -3.4523

x3 = -0.0527

Valores de la cuarta iteracin:

x1 = -19.7781 | e | = 0.03

x2 = -3.4545 | e | = 0.71

x3 = -0.0527 | e | = 1.22


Valores de la quinta iteracin:

x1 = -19.7787 | e | = 0.002

x2 = -3.4547 | e | = 0.064

x3 = -0.0527 | e | = 0.122

Valores de la sexta iteracin:

x1 = -19.7788 | e | = 0.0002

x2 = -3.4547 | e | = 0.0058

x3 = -0.0527 | e | = 0.0118

Dependencia lineal y rango Dependencia lineal y rango (rank) de una matriz(rank) de una matriz

Consideremos la siguiente matriz:

=

11543610221521

A


La matriz se puede visualizar las columnas como un vector, y podemos decir: que la matriz A ha sido construida por cuatro vectores. Si observamos que las columnas son interrelacionadas de una manera especial, se observa que la tercera columna es un mltiplo de la primera columna:

=

321

515105

cia linealindependen

a linealdependenciCCC

c

cc

0..,.........0

0.....

1

2211

===+++


Las columnas de A son linealmente dependientes, si un vector puede ser expresado como una combinacin lineal se algunas de ellas, y si no puede ser expresado como tal, decimos que los vectores son linealmente independientes.


El Rango de una matriz es definido como el mximo nmero de columnas independientes lineales en la matriz. En la matriz A, el rango es 3, ya que hay dependencia lineal, y las columnas que no tienen dependencia lineal son las columnas 1, 2 y 4.

El rango de una matriz es nica, y puede ser equivalente al definir como el mximo nmero de independencia lineal de filas.



20

DeterminaciDeterminacin del rango de un n del rango de un sistema de ecuacionessistema de ecuaciones

Dado un modelo, al investigador le interesara saber que funciones son o no estimables, en el siguiente modelo:

donde:

0)(

)(

=++=

+++=

ijk

jiijk

ijkjiijk

eE

bayE

ebay


Suponiendo que i = 1, 2, 3 y j = 1, 2, deseamos conocer el rango de X.

X tendr n filas para las N observaciones, y tendr 1 + 3 + 2 columnas por los efectos del modelo (1 para la media, 3 para el factor a, 2 para el factor b). El nmero de columnas usualmente es menor que el nmero de filas en X, y adems, el rango de X es menor o igual al nmero de columnas en X.

=

100011010101011001010011101001100101100011

X


Para este tipo de modelos una fila de Xcontendr ceros (0) y unos (1). Ellos sern 1 para la media, 1 para ai y 1 para bj de la Yijkobservacin:


De la matriz X, las columnas 2, 3, y 4 definen el factor a y las columnas 5 y 6 definen el factor b. La primera columna representa a la media que se encuentra en todas las observaciones. De la estructura de la matriz X, si sumamos las columnas 2, 3, y 4 nos dar el valor de la columna 1, sumadas las columnas 5 y 6 dar el valor de la primera columna. Entonces, existe 2 dependencias lineales entre estas columnas, y el rango est determinado por las columnas independientemente lineal, y al eliminar una columna para cada uno de los factores (a y b), determinan una nueva matriz cuyo rango es de 4.


Considerando el siguiente modelo:

donde:

El factor b tiene el subndice i el cual estasociado con el factor a. Si i = 1, 2 y j = 1, 2 y 3.

ijiijk

ijkijiijk

bayE

ebay

++=

+++=

)(

=

100000101010000101001000101001000101000100011000010011000001011

X

Col. 2 = Col. 4 + Col. 5 + Col. 6

Col. 3 = Col. 7 + Col. 8 + Col. 9

Col. 1 = Col. 2 + Col. 3

Col. 1 = Col. 4 + Col. 5 + Col. 6 +

Col. 7 + Col. 8 + Col. 9

Rango (X) = 9 2 1 = 6


En un arreglo matricial ser:



21


a.

para i = 1:3; j = 1:4; k = 1:5Columnas en X = 13Rango de X = 10

b.

para: i = 1:2; j = 1:3; k = 1:4Columnas en X = 17Rango de X = 12

c.


kjiijkm cbayE +++= )(

ikijiijkm cbayE +++= )(

ijkijiijkm cbayE +++= )(


d.


e.

para: i = 1:2; j = 1:3; k = 1:4; m = 1:5Columnas en X = 29Rango de X = 22

f.

para: i = 1:2; j = 1:3; k = 1:4Columnas en X = 24;Rango de X = 24

kijjiijkm dcbayE ++++= )(

jmikjiijkmn dcbayE ++++= )(

ijkijkmyE =)(

MODELOS LINEALESMODELOS LINEALES

Un modelo est compuesto por tres partes:

1. La ecuacin matemtica

2. Las matrices de los valores esperados y covarianzas de todas las variables aleatorias, y

3. Asunciones, restricciones, y factores limitantes el cual afecta el muestreo de la data, o la conduccin del anlisis.

La ecuaciLa ecuacin matemn matemticatica

Esta parte contiene todos los factores relevantes que causan la variacin en la observacin.

Donde:Y = Vector N x 1 de observaciones, N nmero total de observaciones.X = Matriz conocida N x p, determinada por los factores fijos.b = Vector de constantes p x 1 no conocido, de los efectos fijos.Z = Matriz conocida N x q, determinado por los efectos aleatorios.u = Vector no conocido y no observable q x 1 de las variables aleatorias.e = Vector no conocido, no observable N x 1, de las variables aleatorias.

eZuXbY ++=

Matrices de los valores Matrices de los valores Esperados y CovarianzasEsperados y Covarianzas

Los valores esperados de todas las variables aleatorias deben ser especificadas. Las variables aleatorias en los modelos lineales generales son: Y, u, e y w. W es un vector no conocido de orden M x 1, asumiendo un efecto aleatorio, el cual tiene no ceros de covarianzas con cualquiera u o e o ambos.


Nosotros podramos escribir:

E(u) = c

Y definimos a c como c = Pb, para cualquier P. Las dificultades aparecen en el subsiguiente anlisis cuando P no ha sido especificado explcitamente

++=

WbTbPb

eEuZEXb

weuy

E

)()(



22


Adems, es comn asumir que:

Entonces:E(y) = Xb

=

00

eu

E


La matriz de covarianza o matriz de varianza -covarianza (VCV) de las variables aleatorias son matrices el cual contienen varianzas a lo largo de la diagonal y covarianzas fuera de la diagonal. Las matrices VCV son denotados como:

=

)(),(

),()(dVfdCov

dfCovfVdf

V


En trminos de las variables aleatorias del modelo, la siguiente notacin es utilizado:

++

++++

=

HBABZABRSRZSASGSGZ

BZARZSSZGV

weuy

V

''''''''

''


),(),()()(

)(0

)()(

)(

)(

:

ZueCoveZuCoveVZuVV

ctor fijob es un vedesde que eZuVV

eZuVXbVV

eZuXbVV

yVV

donde

+++=++=

++=++=

=


''

'

'

),(

),(

),(),(

)(

)()(

ZSZueCov

ZSeZuCov

euZCoveZuCov

ZGZZuV

ZuZVZuV

mente:e separada cada parttrabajando

===

==


22

'

'''

;

0

uu AIG

IR

RZGZV

:que Sasumiento

ZSZSRZGZV

entonces:

==

+==

+++=



23

EstimabilidadEstimabilidad

En muchas situaciones biolgicas los investigadores se encuentran con problemas envueltos en los modelos lineales donde la matriz X no es de rango completo. Como consecuencia, la generalizacin de las ecuaciones mnimas cuadrticas no tienen una nica inversa y una inversa generalizada ser usada para obtener una solucin. Sin embargo, se sabe que muchas g-inversas son posibles obtener para tal matriz y por consiguiente se puede obtener muchas soluciones diferentes.


La pregunta que uno se hace es: Cul es el vector que da solucin al sistema, es el correcto, es el mejor?. La respuesta nos lleva al uso de funciones estimables como un vector solucin, el cual no importa que vector solucin es calculada, el valor de la funcin estimable es la misma.


1. Cualquier funcin lineal de las observaciones es una funcin estimable: ty es estimable.

2. El valor esperado de cualquier observacin es estimable: E(y) = Xb


3. Cualquier funcin lineal de los Valores esperados de las observaciones es estimable: tE(y) = tXb

4. Una funcin lineal de b es estimable solo si ste puede ser expresado como una funcin lineal de las esperanzas de las observaciones:

kb es estimable si kb = tXb, para algunas t.


Ejemplo de verificacin de la estimabilidad:Datos correspondientes a 3 grupos de animales alojados en dos diferentes instalaciones:

Nmero Suma

Grupo Corral 1 Corral 2 Total Corral 1 Corral 2 Total

1 10 6 16 120 60 180

2 11 7 18 154 49 2033 5 12 17 80 144 224


De esta informacin es posible construir XXb = Xy, las ecuaciones mnimas cuadrticas, sin construir la matriz X explcitamente.

El modelo para la suma del grupo 1 del corral 1 es:

El valor esperado para esta suma (cual es estimable) ser:

.1111.11 101010 egpy +++=

11.11 101010)( gpyE ++=



24


Para construir XXb = Xy, obsrvese que cualquier elemento de Xy es simplemente:

La suma y los valores esperados son:

E(y...) = 51u + 26p1 + 25p2 + 16g1 + 18g2 + 17g3

E(y1..) = 26u + 26p1 + 0p2 + 10g1 + 11g2 + 5g3

E(y2..) = 25u + 0p1 + 25p2 + 6g1 + 7g2 + 12g3

E(y.1.) = 16u + 10p1 + 6p2 + 16g1 + 0g2 + 0g3

E(y.2.) = 18u + 11p1 + 7p2 + 0g1 + 18g2 + 0g3

E(y.3.) = 17u + 5p1 + 12p2 + 0g1 + 0g2 + 17g3

n

nmnYX

=

224203180253354607

1700125170180711180016610161276250255111002626171816252651

3

2

1

2

1

gggpp


En forma matricial ser:


El rango de la matriz de X, o de XX, es 4, debido a que existe dependencia lineal en la matriz XX:

Fila 2 + Fila 3 = Fila 1

Fila 4 + Fila 5 + Fila 6 = Fila 1

Fila 2 + Fila 3 = Fila 4 + Fila 5 + Fila 6


Las ecuaciones son consistentes porque la dependencia entre filas de XX tambin existe entre los elementos de Xy

i) 354 + 253 = 607

ii) 180 + 203 + 224 = 607

iii) 354 + 253 = 180 + 203 + 224


Muchas inversas generalizadas pueden ser calculadas, pudiendo tener la siguiente estructura:

La dimensin de la matriz A11, ser igual al rango de la matriz XX, la que se restaurarcon elementos 0, para obtener una matriz de dimensin inicial (r,c).

=

000111AG


La matriz A11, de orden 4 x 4, ser formada eliminando el valor de la media, y el efecto del Corral 1, la cual sera:

=

1700120180700166127625

11A



25


Luego, invertimos la matriz A11, y formamos la matriz generalizada G, siendo la siguiente:

=

1019.00238.00229.00611.0000238.0086.00126.00336.0000229.00126.00747.00324.0000611.00336.00324.00865.000

000000000000

G

=

==

3257.160128.139231.124615.4

00

'

3

2

1

2

1

gggpp

yGXb


Tenga presente que los elementos de la matriz A11-1 debe ser localizado en la misma posicin ocupado por los elementos de A11, las soluciones son:


Cuales son las soluciones estimadas?, Sabemos que E(b) = GXXb

=

3

2

1

2

1

3

2

1

2

1

100011010011001011000110000000000000

gggpp

gggpp

E


Supongamos que deseamos estimar la funcin kb y esperamos conocer si es una funcin estimable, verificando si se cumple la siguiente relacin: kGXX = k; si:

k = (8 3 2 1 5 4)

entonces:

kGXX = (10 8 2 1 5 4) k


Sin embargo:

8u + 3p1 +2p2 + g1 + 5g2 +4g3; no es una funcin estimable,

10u + 8p1 + 2p2 + g1 + 5g2 + 4g3; es una funcin estimable, debido a que:

t = (10 8 2 1 5 4)

= kGXX

Entonces: tGXX = (GXX) GXX

= kG (XXGXX)

= kGXX = t


Usualmente, nos interesa ver las diferencias entre los niveles de un factor, si decimos que:

k = (0 0 0 -1 1 0), entonces

kGXX = k , puede ser verificado, por tanto:

kb = g2 g1 = 13.0128 12.9231 = 0.0897

Una funcin estimable significa que usando cualquier inversa generalizada de XX el estimado de g2 g1 ser siempre 0.0897, para este grupo de datos.



26


La varianza de la funcin estimable es tambin invariante para las inversas generalizadas.

V (Kb) = k V (b) k

= k G k 2ePara k = ( 0 0 0 -1 1 0 )

k G = ( 0 0 -0.0012 -0.0621 0.0560 0.0009 )

y k G k 2e = (0.0560 +0.0621) = 0.1181 2e= V (g1) + V (g2) 2 Cov (g1 , g2)

= (0.0747 + 0.0686 2 (0.0126)) 2e= 0.1181 2e


Tomando otra sub matriz de la matriz principal XX, del orden (4,4), rango de la matriz original:

=

180711016610762501110026

11A


Entonces, la inversa de la matriz reducida es:

=

00000001231.00679.00508.00782.0000679.01308.00504.00790.0000508.00504.00663.00409.0000782.00790.00409.01019.00000000

*G


y:

La funcin estimable ser la misma; es decir, la diferencia entre g2 g1 = 0.0897

=

=

03130.34027.38643.113257.16

0

*3

*2

*1

*2

*1

*

*

gggpp

b

BibliografBibliografa.a.

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Indices de Seleccion Matrices