hector.pasten/mpg3402files/mpg3402apunte.pdf · Indice general Cap tulo 1. Preliminares 5 1. Euclides 5 2. Relevancia de la factorizaci on uni ca 7 3. Algebra lineal 7 4. Algebra

MPG 3402: Teorıa de Numeros

Hector Pasten

Departamento de Matematicas, PUC, ChileEmail address, H. Pasten: [email protected]

Indice general

Capıtulo 1. Preliminares 51. Euclides 52. Relevancia de la factorizacion unica 73. Algebra lineal 74. Algebra 8

Capıtulo 2. Factorizacion 91. Ideales fraccionarios 92. Factorizacion de ideales 103. Anillos de enteros 114. Aplicaciones de teorema de la base entera 12

Capıtulo 3. Primos en extensiones 151. Clasificacion de primos 152. Clasificacion de primos en el caso Galois 163. Discriminantes de algebras 164. Discriminante y Ramificacion 17

Capıtulo 4. Geometrıa de numeros 211. Retıculos 212. La inclusion arquimedeana 223. Calculo de volumenes 234. La cota de Minkowski 25

Capıtulo 5. El grupo de clases 271. La secuencia exacta fundamental 272. Finitud del grupo de clases 273. El numero de clases y factorizacion 284. Aplicaciones diofantinas 29

Capıtulo 6. El grupo de unidades 311. La funcion regulador y ordenes 312. El teorema de Dirichlet 323. Aplicaciones diofantinas 334. El regulador 35

Capıtulo 7. Funciones zeta 391. Preliminares sobre series de Dirichlet 392. Productos de Euler 41

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3. Conteo de ideales 424. La funcion zeta de Dedekind 45

Capıtulo 8. Primos con condiciones de congruencia 471. Producto de Euler de ζK(s) 472. El grupo dual 493. Funciones L de Dirichlet 514. Primos en una progresion aritmetica 53

Capıtulo 9. Estudio analıtico de la funcion zeta de Riemann 551. Analisis de Fourier 552. Funciones especiales 563. Los resultados de Riemann sobre ζ(s) 574. El teorema de Hadamard y de la Valle Poussin 58

Capıtulo 10. Conteo de numeros primos 611. Los teoremas de Chebyshev 612. La derivada logarıtmica de ζ(s) 633. Un teorema Tauberiano 644. El teorema de los numeros primos 67

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Capıtulo 1

Preliminares

1. Euclides

Recordemos que la llave para la aritmetica basica de Z es la division con resto (o eucli-diana). Con ella se puede estudiar el maximo comun divisor y demostrar el lema de Euclides :

Lema 1.1. Sea p un numero primo y sean a, b ∈ Z. Si p|ab entonces p|a o p|b.

Lo anterior permite demostrar el teorema de factorizacion unica en primos, tambienllamado teorema fundamental de la aritmetica. Toda esta teorıa fue desarrollada por Eucli-des en su serie de libros Elementos, y funciona perfectamente bien en cualquier anillo quetenga division con resto. Es conveniente hacer algunas definiciones para resaltar los pasosintermedios del trabajo de Euclides. Sea A un dominio entero.

Una funcion euclidiana es una funcion ν : Ar 0 → Z≥0 que cumple que para todoa, b ∈ A con b 6= 0 existen q, r ∈ A con a = qb+ r tal que ν(r) < ν(b) o bien r = 0.A es un dominio euclidiano (DE) si tiene alguna funcion euclidiana.A es un dominio de ideales principales (DIP) si todos los ideales de A son principales.x, y ∈ A son asociados si existe u ∈ A× con x = uy. Se escribe x ∼ y.x ∈ A es irreducible si x /∈ A× y los unicos divisores de x son asociados de x ounidades.x ∈ A es primo si el ideal (x) es primo. Es decir, si para todo s, t ∈ A con x|st secumple que x|s o x|t.A es un dominio de factorizacion unica (DFU) si todo x ∈ Ar (A× ∪0) se escribecomo producto de irreducibles, y esta factorizacion es unica salvo orden y asociados.

Lo primero es la siguiente version abstracta del hecho que la division con resto da una buenateorıa del maximo comun divisor.

Teorema 1.2. Si A es un DE, entonces es DIP.

Demostracion. Sea ν : A r 0 → Z≥0 funcion euclidiana. Sea a ⊆ A ideal no nulo.Tomar x ∈ a tal que ν(x) = mınt∈a ν(t). Dado s ∈ a, sean q, r ∈ A dados por ν, es decir,s = qx + r y ademas r = 0 o ν(r) < ν(x). Como r = s − qx ∈ a, la minimalidad de ν(x)implica r = 0, es decir, s = qx. Por lo tanto a = (x).

Las nociones de irreducibles y primos en un anillo estan relacionadas:

Lema 1.3. En todo dominio entero A los primos son irreducibles.

Demostracion. Sea x ∈ A primo y sea s un divisor. Entonces x = st para algun t.Como x es primo, x|s o x|t. En el primer caso s = xy obteniendo x = xyt. Con esto yt = 1y ası y ∈ A×, por lo cual x ∼ s. En el segundo caso, de forma similar se obtiene s ∈ A×.

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Los irreducibles de Z son, salvo signo, exactamente los numeros primos. Sin embargo,Euclides noto que por motivos tecnicos es mejor trabajar con elementos primos en lugar deelementos irreducibles y por eso demostro el lema 1.1. La demostracion de Euclides usa suteorıa del maximo comun divisor, y abstractamente obtenemos

Lema 1.4 (Lema de Euclides para DIP). Sea A un DIP. Los irreducibles de A son primos.

Demostracion. Sea x ∈ A irreducible y notar que (x) A. Sea a ⊆ A un ideal con(x) ⊆ a. Como A es DIP, a = (s) para algun s ∈ A, y ası s|x. Como x es irreducible, s ∈ A×o s ∼ x. Luego a = A o a = (x). Por lo tanto (x) es un ideal maximal, ası que es primo.

Teorema 1.5. Si A es un DIP, entonces es DFU.

Demostracion. Demostraremos existencia y unicidad de la factorizacion en irreduci-bles. Por el lema de Euclides para DIP, los irreducibles son lo mismo que los elementosprimos.

Existencia. A es DIP ası que todos sus ideales son f.g. y por lo tanto es noetheriano.Sea Ω el conjunto de todos los ideales (x) con x ∈ A r (A× ∪ 0) sin factorizacion enprimos. Por contradiccion, suponga que Ω es no vacıo. Como A es noetheriano, hay algunx ∈ A r (A× ∪ 0) tal que (x) es maximal por contencion en Ω y notamos que (x) no esideal maximal. Sea p ⊆ A ideal maximal que contiene a (x) y note que (x) p. Como Aes DIP, p = (s) para algun s ∈ A que es primo pues p es ideal primo. Ası, sy = x cony ∈ A r (A× ∪ 0) debido a que (x) p. Como s es primo, x 6∼ y ası que (x) (y).Por maximalidad de (x) en Ω, y tiene factorizacion en primos, por lo cual x = sy tambien.Contradiccion.

Unicidad. Sean s1, ..., sm y t1, ..., tn primos de A con s1 · · · sm = t1 · · · tn. Como s1|t1 · · · tny es primo, tenemos que s1 ∼ tj para algun j. A es un dominio entero y cancelando s1

obtenemos una relacion similar con menos terminos. Procedemos inductivamente.

Notamos que en la unicidad fue importante trabajar con elementos primos en lugar deirreducibles. Finalmente hemos obtenido la siguiente version de la teorıa de Euclides:

DE ⇒ DIP ⇒ DFU.

No todo DE es DIP (pero los ejemplos no son tan sencillos), y no todo DFU es DIP (porejemplo, k[x, y] con k un campo). Cabe mencionar que el lema de Euclides es valido en masgeneralidad para DFU, pero la demostracion de DIP ⇒ DFU requerıa el caso de un DIP.

Lema 1.6. Sea A un DFU. Los irreducibles de A son primos.

Demostracion. Sea x ∈ A irreducible. Sean s, t ∈ A con x|st. Entonces existe y ∈ Atal que st = xy. Si y = 0 obtenemos s = 0 o t = 0, ası que x|s o x|t. Si y 6= 0 consideramosla factorizacion unica en irreducibles a ambos lados de st = xy, y vemos que x es asociadocon algun irreducible en la factorizacion de st. Ese irreducible esta en la facorizacion de s ode t por unicidad, ası que x|s o x|t.

Algunos ejemplos de DE con su funcion euclidiana. La verificacion es sencilla.

A = Z con ν(n) = |n|.A = Z[i] con ν(a+ bi) = a2 + b2.Si k es campo, A = k[x] con ν(f) = deg(f).

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2. Relevancia de la factorizacion unica

Un tema del curso es la utilidad de trabajar con numeros algebraicos, incluso si solo nosinteresa un resultado en Z o Q. Por ejemplo, como Z[i] es DE, tambien es DFU y obtenemos

Proposicion 1.7. La unica solucion en Z de la ecuacion y2 = x3 − 1 es (x, y) = (1, 0).

Demostracion. x es impar pues de otro modo y2 = x3 − 1 ≡ −1 mod 4.Si α ∈ Z[i] divide ambos y+ i, y− i entonces α|2 = i · (y− i+ y+ i) y α|x3. Pero x3 ∈ Z

es impar y existen A,B ∈ Z con Ax3 + 2B = 1. Ası α|1 en Z[i], es decir α ∈ Z[i]×. Por lotanto y + i e y − i no tienen factores irreducibles comunes en Z[i].

La ecuacion se puede escribir x3 = y2 + 1 = (y + i)(y − i). Por factorizacion unica,y+i = (a+bi)3 para ciertos a, b ∈ Z (inversibles pueden omitirse gracias al cubo). Obtenemos

1 = b(3a2 − b2)

y = a(a2 − 3b2).

La primera ecuacion da dos casos:

b = 1. Entonces 1 = 3a2 − b2 = 3a2 − 1, dando 3a2 = 2. Imposible.b = −1. Entonces −1 = 3a2 − b2 = 3a2 − 1, dando a = 0. Ası, la segunda ecuacionda y = 0. Luego x3 = y2 + 1 = 1 obteniendo x = 1.

En el argumento anterior fue importante tener factorizacion unica. Esto no siempre secumple, incluso en anillos muy parecidos a Z.

Proposicion 1.8. El anillo Z[√−5] no es DFU. En particular, no es DIP ni DE.

Demostracion. Tenemos 6 = 2 · 3 = (1 +√−5)(1−

√−5). Veremos que estas son dos

factorizaciones distintas en irreducibles.La norma al cuadrado de C cumple |wz|2 = |w|2|z|2 e induce la funcion n : Z[

√−5]→ Z≥0

definida por n(a+ b√−5) = a2 + 5b2.

Escribamos 1 +√−5 = xy con x, y ∈ Z[

√−5]. Obtenemos n(x) · n(y) = 6. Por simple

inspeccion las ecuaciones a2 +5b2 = 2 y a2 +5b2 = 3 no tienen solucion en Z ası que n(x) = 1o n(y) = 1. Resolviendo a2 + 5b2 = 1 obtenemos x = ±1 o y = ±1, que son inversibles enZ[√−5]. Ası que 1 +

√−5 es irreducible. Similarmente 1−

√−5 es irreducible.

Con la misma tecnica vemos que 2 y 3 son irreducibles en Z[√−5].

Finalmente, 2 no es asociado con 1 ±√−5. De otro modo, aplicando n obtendrıamos

4 = n(u) · 6 donde u ∈ Z[√−5]×, contradiccion.

Necesitamos algunos preliminares antes de desarrollar una mejor teorıa de factorizaciones.

3. Algebra lineal

Sea L/K una extension finita de campos de grado n. Sea α ∈ L. La regla x 7→ αx defineun endomorfismo K-lineal mα ∈ EndK(L).

La traza de α relativa a la extension L/K se define como TrL/K(α) = tr(mα).La norma de α relativa a la extension L/K se define como NrL/K(α) = det(mα).De la definicion es inmediato que

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Lema 1.9. Sea L/K una extension finita. La norma y la traza definen morfismos degrupos aditivos TrL/K : L→ K y multiplicativos NrL/K : L× → K×.

Lema 1.10. Sea L/K una extension finita. El polinomio caracterıstico de mα es unapotencia del polinomio mınimo de α sobre K.

Demostracion. mα define un endomorfismo K-lineal de K(α) con polinomio carac-terıstico igual al polinomio mınimo de α sobre K. Sea β1, ..., βr ∈ L una K(α)-base de L.Entonces L =

⊕j βj · K(α) como K-espacio vectorial, y cada sumando directo es estable

por mα. En cada βj ·K(α) el polinomio caracterıstico de mα es el mismo que en K(α).

Corolario 1.11. Sea L/K finita y separable. Sea F/K una extension que contiene a laclausura normal de L/K. Sean σ1, ..., σn : L → F las n inclusiones K-lineales de L en F .Se tiene que los valores propios de mα son los σj(α). En particular, TrL/K(α) =

∑j σj(α) y

NrL/K(α) =∏

j σ(α), y no cambian si reemplazamos α por un conjugado sobre K.

4. Algebra

Dado una inclusion de anillos (conmutativos, unitarios) A ⊆ B, decimos que β ∈ B esentero sobre A si existe un polinomio monico f ∈ A[x] tal que f(β) = 0. La coleccion detodos los elementos de B que son enteros sobre A es la clausura entera de A en B.

Lema 1.12. Dado una inclusion de anillos A ⊆ B y un β ∈ B, son equivalentes:

(i) β es entero sobre A.(ii) El A-modulo A[β] es finitamente generado.(iii) Hay un anillo intermedio A ⊆ C ⊆ B tal que β ∈ C y C es f. g. como A-modulo.

Demostracion. Las implicaciones (i)⇒ (ii)⇒ (iii) son obvias. Asumir (iii). La reglam : c 7→ βc define un endomorfismo A-lineal de C. Por Cayley-Hamilton existen αj ∈ A(0 ≤ j < d) tales que md + αd−1m

d−1 + ...+ α0 = 0. Evaluando en 1 ∈ C se obtiene (i).

Corolario 1.13. Dado A ⊆ B, la clausura entera de A en B es un anillo.

Demostracion. Usamos el lema 1.12. Dados α, β ∈ B enteros sobre A, el anillo inter-medio A ⊂ A[α, β] ⊆ B es un A-modulo f. g. que contiene a α + β y αβ.

Sea A ⊆ B una inclusion de anillos. Si la clausura entera de A en B es A, decimos que Aes integralmente cerrado en B. Por otro lado, si la clausura entera de A en B es B, decimosque la inclusion A ⊆ B es entera.

Lema 1.14. Si A ⊆ B y B ⊆ C son enteras, entonces A ⊆ C tambien es entera.

Demostracion. Sea γ ∈ C. Considere γn+βn−1γn−1 + ...+β0 = 0 con βj ∈ B. Como γ

es entero sobre A[β0, ..., βn−1] y cada βj es entero sobre A, concluimos por el lema 1.12.

Corolario 1.15. Sea A ⊆ B inclusion de anillos y sea R la clausura entera de A en B.Se tiene que R es integralmente cerrado en B.

Demostracion. Sea S la clausura entera de R en B. Considerar A ⊆ R ⊆ S.

Lema 1.16. Si A es un dominio de factorizacion unica entonces A es integralmentecerrado en su campo de fracciones.

Demostracion. Ejercicio sencillo y conocido.

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Capıtulo 2

Factorizacion

1. Ideales fraccionarios

Un dominio de Dedekind es un dominio entero A que cumple:

DD1. A es integralmente cerrado en su campo de fracciones,DD2. A noetheriano,DD3. A tiene dimension de Krull 1.

En esta seccion A es un dominio de Dedekind y K es su campo de fracciones.Un ideal fraccionario de K es un A-modulo a ⊆ K distinto de (0) y tal que existe

0 6= α ∈ A con α · a ⊆ A. Notamos que los ideales fraccionarios contenidos en A sonexactamente los ideales no nulos de A.

Lema 2.1. Sea M ⊆ K un A-modulo distinto de (0). Son equivalentes

(i) M es ideal fraccionario.(ii) existe un ideal no nulo a ⊆ A y un x ∈ K× tal que M = xa.(iii) M es f.g. como A-modulo.

Demostracion. (i)⇒ (ii) y (iii)⇒ (i) son claras. (ii)⇒ (iii) por DD2.

Si a es ideal fraccionario de K, definimos a = α ∈ A : α · a ⊆ A.Lema 2.2. Si a es ideal fraccionario de K, entonces a tambien lo es.

Demostracion. a es un A-modulo, y a 6= (0) porque a es ideal fraccionario. Sea 0 6=x ∈ a. Como b = x · a ⊆ A es ideal y a = x−1 · b, concluimos por el lema 2.1.

Si a y b son ideales fraccionarios, se define su producto ab ⊆ K como el A-modulogenerado por todos los productos xy con x ∈ a, y ∈ b. Cuando a y b son ideales de A, estocoincide con el producto usual de ideales.

Lema 2.3. Si a, b son ideales fraccionarios de K, ab tambien lo es.

Demostracion. Inmediato del lema 2.1.

Corolario 2.4. Los ideales fraccionarios de K con el producto forman un monoideabeliano con neutro A.

Demostracion. Por el lema anterior, basta observar que el producto de ideales fraccio-narios es asociativo, conmutativo, y que para todo ideal fraccionario a tenemos aA = a.

Un ideal fraccionario a es inversible si existe un ideal fraccionario b tal que ab = A. Eneste caso decimos que b es un inverso de a.

Lema 2.5. Sea a ideal fraccionario de K. Si a es inversible, su inverso es unico y es a.

Demostracion. Por definicion aa ⊆ A. Sea b un inverso de a. Para todo x ∈ b tenemosxa ⊆ ab = A ası que b ⊆ a. Luego, A = ab ⊆ aa ⊆ A. Por lo tanto b = baa = a.

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2. Factorizacion de ideales

En esta seccion A es un dominio de Dedekind y K es su campo de fracciones.

Lema 2.6. Sea a ⊆ A ideal no nulo. Existen ideales maximales p1, ..., pr ⊆ A tales quep1p2 · · · pr ⊆ a.

Demostracion. Por contradiccion suponga que el conjunto Ω de ideales sin la propiedaddeseada es no vacıo. Como A es noetheriano, existe un a ∈ Ω maximal por contencion. Comoa ∈ Ω, no es un ideal maximal. La dimension de Krull de A es 1 ası que a no es primo.Sean x, y ∈ A con x, y /∈ a y xy ∈ a. Por maximalidad de a en Ω, los ideales a + (x) ya + (y) contienen un producto de ideales maximales. Luego, b = (a + (x))(a + (y)) contieneun producto de ideales maximales, pero b ⊆ a. Contradiccion.

Lema 2.7. Sea p ⊆ A ideal maximal. Se tiene que A p.

Demostracion. Para cualquier ideal (0) 6= b ⊆ A se cumple A ⊆ b porque 1 ∈ b. Enparticular A ⊆ p. Ahora basta construir x ∈ K r A con x · p ⊆ A.

Sea 0 6= y ∈ p. Por el lema 2.6 podemos tomar un r minimal con la propiedad que hayideales maximales p1, ..., pr con p1p2 · · · pr ⊆ (y). Si r = 1 entonces (y) = p y podemos tomarx = y−1. Ası que asumimos r ≥ 2.

Como p es maximal y (y) ⊆ p, podemos suponer que p = p1. Por minimalidad de rtenemos que p2 · · · pr no esta contenido en (y). Sea z ∈ p2 · · · pr r (y) y sea x = z/y ∈ K.Entonces x /∈ A porque z /∈ (x), y xp = y−1zp ⊆ y−1p1p2 · · · pr ⊆ y−1(y) = A.

Lema 2.8. Sea p ⊆ A ideal maximal y sea a ⊆ A ideal. Se tiene que a ap.

Demostracion. a ⊆ ap por el lema 2.7. Por contradiccion supongamos que a = ap.Sea x ∈ p y defina el morfismo A-lineal m : K → K por m(α) = xα. Como a = ap,

tenemos que m se restringe a un morfismo A-lineal u : a→ a. Como A es noetheriano, a esf. g. y Cayley-Hamilton nos da una relacion ur +αr−1u

r−1 + ...+α0 = 0 para ciertos αj ∈ A.Por DD1, mr +αr−1m

r−1 + ...+α0 = 0 como endomorfismo de K. Evaluando en 1 se deduceque x es entero sobre A, luego, x ∈ A. Por lo tanto p ⊆ A. Esto contradice el lema 2.7.

Corolario 2.9. Todo ideal maximal p ⊆ A es inversible.

Demostracion. Sea p ⊆ A ideal maximal. Por el lema 2.8 tenemos p pp ⊆ A. Comop es maximal, obtenemos pp = A.

Teorema 2.10 (Teorema de Dedekind). Todo ideal a ⊆ A propio no nulo es el productode ideales maximales, y esa factorizacion es unica salvo orden.

Demostracion. Existencia. Sea Ω el conjunto de ideales propios no nulos de A sin fac-torizacion como producto de maximales. Suponga que Ω es no vacıo. Como A es noetherianohay un a ∈ Ω maximal por contencion, y notamos que a no es ideal maximal. Sea p un idealmaximal que contiene a a. Por el lema 2.8 y el corolario 2.9 tenemos a ap ⊆ pp = A.Por el lema 2.5 obtenemos a ap A. Por maximalidad de a en Ω, hay ideales maximalesp1, ..., pr con ap = p1 · · · pr. Obtenemos a = pp1 · · · pr por el corolario 2.9. Contradiccion.

Unicidad. Sean p1, ..., pr, q1, ..., qs ideales maximales de A con p1 · · · pr = q1 · · · qs.Como son primos y q1 · · · qs ⊆ p1 obtenemos que qj ⊆ p1 para algun j (caracterizacion

de ideal primo usando ideales) y de hecho qj = p1 porque son maximales. Multiplicamos porp y el corolario 2.9 nos permite concluir por induccion.

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Teorema 2.11. Los ideales fraccionarios de K con la multiplicacion forman un grupoabeliano libre generado por los ideales primos. En particular, son inversibles y el inverso deun ideal fraccionario a ⊆ K es a.

Demostracion. Por el teorema 2.10 y el corolario 2.9, todos los ideales no nulos de Ason inversibles. Sea a ⊆ K ideal fraccionario. Tomar 0 6= x ∈ A tal que b = xa ⊆ A. Notarque b = (x)a con b y (x) ideales de A, ası que a es inversible y se expresa como producto deideales maximales de A con exponentes enteros (si n es negativo y p es un ideal maximal,pn = p−n). La escritura es unica salvo orden por el teorema 2.10. El inverso de un idealfraccionario a ⊆ K es a por el lema 2.5.

Decimos que un ideal a ⊆ A divide al ideal b ⊆ A si existe un ideal c ⊆ A con b = ac. Seescribe a|b.

Lema 2.12. Dados dos ideales a, b ⊆ A tenemos que a|b si y solo si b ⊆ a.

Demostracion. Basta considerar el caso en que son ideales no nulos. Definimos el idealfraccionario c = ba. Tenemos que a|b si y solo si c ⊆ A, lo cual es equivalente a la inclusionac ⊆ a (basta multiplicar por a). Concluimos porque ac = b.

Dos ideales a, b ⊆ A son coprimos si a + b = A.

Lema 2.13. Dos ideales a, b ⊆ A propios no nulos son coprimos si y solo si sus factori-zaciones en ideales maximales no tienen factores comunes.

Demostracion. Tenemos a+b A si y solo si existe un maximal p ⊆ A con a+b ⊆ p,lo cual es equivalente a a, b ⊆ p. Concluimos por el lema 2.12.

3. Anillos de enteros

Un campo de numeros K es una extension finita de Q. Se define OK como la clausuraentera de Z en K.

Lema 2.14. Sea K un campo de numeros. OK es un anillo integralmente cerrado en K.

Demostracion. Por los corolarios 1.13 y 1.15.

Para un campo de numeros K, llamamos a OK el anillo de enteros de K.

Lema 2.15. El anillo de enteros de Q es OQ = Z.

Demostracion. Por el lema 1.16.

Lema 2.16. Sea L/K extension de campos de numeros. Se tiene que OK = OL ∩K. Enparticular, para todo campo de numeros L se tiene OL ∩Q = Z.

Demostracion. Se tiene OK ⊆ OL∩K. Obtenemos la igualdad porque OK es integral-mente cerrado en K (cf. Lema 2.14).

Para un campo de numeros K escribimos TrK = TrK/Q y NrK = NrK/Q. Estas sonfunciones K → Q.

Lema 2.17. Sea K campo de numeros y α ∈ OK. Tenemos TrK(α) ∈ Z y NrK(α) ∈ Z.

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Demostracion. Sea L/K la clausura normal de K. Para toda inclusion σ : K → Ltenemos σ(α) ∈ OL. Ası, TrK(α) ∈ OL y NrK(α) ∈ OL. Concluimos por el lema 2.16

Lema 2.18. Sea K campo de numeros y α ∈ K. Existe n ∈ Z no nulo tal que nα ∈ OK.

Demostracion. Tomar cualquier f ∈ Q[x] monico con f(α) = 0 y sea d su grado. Sean ∈ Z no nulo con nf ∈ Z[x]. Notar que g(x) = ndf(x/n) ∈ Z[x] y g(nα) = 0.

Corolario 2.19. Sea K campo de numeros. K es el campo de fracciones de OK.

Lema 2.20. Sea Λ ⊆ Rn un subgrupo aditivo que genera a Rn tal que 0 no es un puntode acumulacion de Λ en la topologıa de Rn. El grupo Λ es libre de rango n.

Demostracion. Sea x1, ..., xn ∈ Λ base de Rn y sea G el grupo que generan. SeaR = maxi ‖xi‖. Considerando el dominio fundamental de G en Rn determinado por xii,vemos que todo y ∈ Rn cumple ‖y − x‖ ≤ nR para algun x ∈ G. Por compacidad y porque0 es punto aislado de Λ, vemos que X = x ∈ Λ : ‖x‖ ≤ nR es finito. Como Λ es libre detorsion y es generado por X ∪ x1, ..., xn, es libre. Su rango es n porque [Λ : G] ≤ #X.

Teorema 2.21. Sea K campo de numeros. El Z-modulo OK es libre de rango [K : Q].

Demostracion. Sea n = [K : Q] y sea α1, ..., αn una Q-base de K. Sea u : K → Qn elisomorfismo Q-lineal u : K → Qn determinado por u(αj) = ej. Sea Λ = u(OK) y observamosque Λ es un subgrupo aditivo de Qn. El lema 2.18 muestra que Λ genera a Qn como Q-espaciovectorial. Por el lema 2.20, basta mostrar que 0 ∈ Λ es un punto aislado de Λ en la topologıade Rn. Definimos ν : Qn → Q por la formula ν(x) = NrK(u−1(x)). Sea L la clausura normalde K. De la expresion Nr(α) =

∏σ:K→L σ(α) observamos que ν es dada por un polinomio

homogeneo H ∈ Q[x1, ..., xn] de grado n. Por el lema 2.17 vemos que H(Λ) ⊆ Z, obteniendolo deseado.

Para un campo de numeros K, una Z-base de OK se llama base entera. El teoremaanterior demuestra que las bases enteras existen.

4. Aplicaciones de teorema de la base entera

Algunas consecuencias del teorema 2.21:

Corolario 2.22. Sea K campo de numeros. OK es noetheriano.

Corolario 2.23. Sea a ⊆ OK ideal no nulo. El ındice [OK : a] es finito.

Demostracion. Como es a 6= (0) es un OK-modulo con anulador trivial, contiene unOK-modulo isomorfo a OK . Ademas a ⊆ OK , y concluimos por el teorema 2.21.

Corolario 2.24. Sea K campo de numeros. La dimension de Krull de OK es 1.

Demostracion. Por el teorema 2.21 OK no contiene a Q ası que no es un campo y sudimension de Krull es al menos 1. Dado cualquier primo no nulo p ⊆ OK , el dominio enteroOK/p es finito por el corolario 2.23, ası que es un campo.

Teorema 2.25. Sea K campo de numeros. Se tiene que OK es dominio de Dedekind.

Demostracion. El lema 2.14 y el corolario 2.19 dan DD1. Los corolarios 2.22 y 2.24dan DD2 y DD3.

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En particular, la teorıa de ideales fraccionarios y sus factorizaciones en idales primos quedesarrollamos antes se aplica en el caso de los anillos de enteros de campos de numeros.Sin embargo, hacemos notar que el resultado de finitud en el corolario 2.23 no es valido engeneral para todos los dominios de Dedekind (e.g. C[x]). Vamos a sacarle provecho.

La norma de un ideal a ⊆ OK no nulo es Nr(a) = #OK/a. Esto es un entero positivopor el corolario 2.23.

Lema 2.26. Sea 0 6= α ∈ OK. Tenemos Nr((α)) = |NrK(α)|.

Demostracion. Sea m : K → K la funcion Q-lineal m(x) = αx. Por definicion,NrK(α) = det(m). Extendemos escalares a R y ponemos un producto interior de modo queRn/OK tiene volumen 1. Notamos que (α) = m(OK) y Rn/m(OK) tiene volumen | det(m)|.Finalmente, [OK : m(OK)] es el cuociente de los volumenes de Rn/m(OK) y Rn/OK .

Lema 2.27. Sean a, b ⊆ OK ideales no nulos. Se tiene Nr(ab) = Nr(a)Nr(b).

Demostracion. Sea a ⊆ OK ideal no nulo y p ⊆ OK maximal. Basta mostrar queNr(ap) = Nr(a)Nr(p). Como [a : ap] = [OK : ap]/[OK : a], basta mostrar [a : ap] = [OK : p].

El OK-modulo V = a/ap es naturalmente un espacio vectorial sobre el campo k = OK/p.Por factorizacion unica, V 6= (0). Sea 0 6= x ∈ V y sea α ∈ a con imagen x en a/ap.Por factorizacion unica y por el lema 2.12, no hay ideales intermedios entre a y ap. Comoα /∈ ap obtenemos que a = (α) + ap, por lo cual x genera a V como k-espacio vectorial. Ası,dimk V = 1 obteniendo #V = #k.

13

Capıtulo 3

Primos en extensiones

1. Clasificacion de primos

Sea K un campo de numeros. La teorıa de esta seccion permite ordenar y clasificar losideales primos (no nulos) de OK .

Para p ⊆ OK ideal maximal, su campo residual es κ(p) = OK/p. Este campo es finitopor el corolario 2.23.

Lema 3.1. Sea p ⊆ OK ideal maximal y sea p un numero primo. Son equivalentes:

(i) κ(p) tiene caracterıstica p.(ii) p ∩ Z = pZ(iii) pOK ⊆ p.(iv) p aparece en la factorizacion del ideal pOK.

Demostracion. (i) y (ii) son equivalentes por la definicion de caracterıstica. (iii) y (iv)son equivalentes por el lema 2.12. (i) y (iii) son equivalentes al hecho que el numero primop esta en en anulador de κ(p) como OK-modulo.

Para un ideal maximal p ⊆ OK y un numero primo p, si cualquiera de las condicionesequivalentes del lema anterior se cumple, decimos que p divide a p y escribimos p|p. Estotambien se indica diciendo que p esta sobre p, o que p esta bajo p. Obviamente tenemos:

Lema 3.2. Sea p ⊆ OK maximal. Existe un unico numero primo p bajo p.

Para p ⊆ OK ideal maximal y p el numero primo bajo p, notamos que κ(p) es unaextension finita de Fp, y que p aparece en la factorizacion de pOK en ideales primos. Definimos

g(p) es el numero de factores primos distintos del ideal pOK en OK

e(p) es el exponente de p en la factorizacion del ideal pOK . Se llama ındice de rami-ficacion de p.f(p) = [κ(p) : Fp]. Se llama grado residual de p.

Lema 3.3. Sea p ⊆ OK ideal maximal y p el numero primo bajo p. Se tiene Nr(p) = pf(p).

Demostracion. Nr(p) = [OK : p] = #κ(p) = pf(p).

Teorema 3.4 (d = efg general). Sea p un numero primo. Sean pj ⊆ OK los ideales

primos sobre p, con j = 1, ..., g(p). Tenemos [K : Q] =∑g(p)

j=1 e(pj) · f(pj).

Demostracion. Tomando una base entera de OK vemos que Nr(pOK) = p[K:Q].

Factorizando tenemos pOK =∏

j pe(pj)j . Tomando cardinalidades y usando el lema 2.27

obtenemos Nr(pOK) =∏

j Nr(pj)e(pj). Concluimos por el lema 3.3.

15

2. Clasificacion de primos en el caso Galois

En esta seccion K/Q es Galois con grupo de Galois G. Observamos que

Lema 3.5. La accion de G en K se restringe a una accion en OK. Cada τ ∈ G actua enOK por un automorfismo de anillos. En particular, permuta los ideales maximales de OK.

Lema 3.6. Sea p un numero primo. G actua en el conjunto de primos sobre p.

Demostracion. G actua en los ideales maximales de OK . La condicion p ∩ Z = pZmuestra que la acion respeta los numeros primos bajo un ideal maximal.

El lema tecnico clave es el siguiente:

Lema 3.7. Sea p un numero primo. G actua transitivamente en los primos sobre p.

Demostracion. De lo contrario, habrıa p, q sobre p tales que para todo τ ∈ G se tienep 6= τ(q). Por el lema de evitacion de ideales primos, p no esta incluido en

⋃τ∈G τ(q). Sea

x ∈ p fuera de los τ(q). Tenemos NrK(x) =∏

τ∈G τ(x) (cf. corolario 1.11). Como uno de losτ es la identidad, NrK(x) ∈ p, luego NrK(x) ∈ p ∩ Z = pZ ⊆ q. Ası, τ0(x) ∈ q para algunτ0 ∈ G. Tomando τ = τ−1

0 tenemos x ∈ τ(q); contradiccion.

Corolario 3.8. Sea K/Q campo de numeros Galois. Sea p primo. Todos los primos pde OK sobre p tienen el mismo grado residual f(p) y el mismo ındice de ramificacion e(p).

Con esto y el teorema 3.4 obtenemos

Teorema 3.9 (Teorema defg). Sea K/Q campo de numeros Galois de grado d. Sea pun numero primo y sea g = g(p). Sean e y f el ındice de ramificacion y el grado residual decualquier primo de OK sobre p. Se tiene d = efg.

Ejemplo. Con K = Q(i) tenemos OK = Z[i]. Aquı d = 2 y K/Q es Galois. Consideramosp = 2. Como OK es DFU en este caso, factorizar 2OK en ideales primos es lo mismo (salvounidades) que factorizar 2 en irreducibles de Z[i]. Tenemos 2 = (1+ i)(1− i) = i · (1+ i)2 coni unidad. Vemos que 1 + i es irreducible pues NrK(1 + i) = 2 es un numero primo. Ası queel ideal p = (1 + i) es maximal en Z[i], y obtenemos 2OK = 2Z[i] = p2. Esto nos da e = 2,g = 1. Como 2 = d = efg = 2f vemos que f = 1. En efecto, #κ(p) = [Z[i] : p] = 2, ası queκ(p) = F2 que es una extension de grado f = 1 sobre F2.

En general, entender los ındices de ramificacion e(p) (especialmente, si son mayores que1) es delicado e interesante. Vamos a desarrollar la teorıa de los discriminantes para estudiarmejor este fenomeno.

3. Discriminantes de algebras

Sean B un A-algebra conmutativa. Asumir que B es un A-modulo libre de rango finito n.La traza TrB/A : B → A se define por TrB/A(x) = tr(mx) donde mx ∈ EndA(B) es mx(α) =xα. Obtenemos la forma A-bilineal bB/A : B ×B → A definida por bB/A(x, y) = TrB/A(xy).

Dados x1, ..., xn ∈ B se define DiscB/A(x1, ..., xn) = det[bB/A(xi, xj)]ij. Un calculo estandar(expresando todo en terminos de una base de B) nos da

Lema 3.10. Sea f ∈ EndA(B) y sean x1, ..., xn ∈ B. Se tiene DiscB/A(f(x1), ..., f(xn)) =det(f)2DiscB/A(x1, ..., xn).

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Corolario 3.11. Sean (xi)i e (yi)i bases de B como A-modulo. Entonces se cumple queDiscB/A(x1, ..., xn) = 0 si y solo si DiscB/A(y1, ..., yn) = 0.

Demostracion. Las bases determinan un isomorfismo A-lineal f : B → B con f(xi) =yi. El resultado viene del lema 3.10 porque det(f) ∈ A×.

Si B,C son A-algebras (conmutativas) libres de rango finito, B × C tambien lo es.

Lema 3.12. Sean B,C dos A-algebras libres de rango finito m,n respectivamente. Seanx1, ..., xm ∈ B e y1, ..., yn ∈ C. Se tiene

DiscB×C/A((x1, 1), ..., (xm, 1), (1, y1), ..., (1, yn)) = DiscB/A(x1, ..., xm)DiscC/A(y1, ..., yn).

Demostracion. Determinante de una matriz diagonal por bloques con dos bloques.

Sea L/F extension de campos separable finita de grado n y sean x1, ..., xn ∈ L. Sea L′ laclausura normal de L sobre F y sean σ1, ..., σn : L→ L′ las n inclusiones de K-algebra de Len L′ numeradas en algun orden (existen por separabilidad). Definimos la matriz

ML/F (x1, ..., xn;σ1, ..., σn) = [σi(xj)]i,j .

Lema 3.13. Con la notacion anterior,

DiscL/F (x1, ..., xn) = detML/F (x1, ..., xn;σ1, ..., σn)2.

Demostracion. Sea M = ML/F (x1, ..., xn;σ1, ..., σn). Tenemos

(M tM)ij =∑k

σk(xi)σk(xj) =∑k

σk(xixj) = TrL/F (xixj).

Ası, DiscL/F (x1, ..., xn) = det(M tM) = det(M)2.

Como L/F es finita separable, hay elemento primitivo. Con esta observacion:

Lema 3.14. Con la notacion anterior, sea α ∈ L un elemento primitivo sobre F . Se tieneque detML/F (1, α, ..., αn−1;σ1, ..., σn) 6= 0.

Demostracion. Determinante de Vendermonde con todos los σi(α) ∈ L′ distintos.

Teorema 3.15. Sea L/F extension separable finita de grado n. Sea x1, ..., xn una F -basede L. Tenemos DiscL/F (x1, ..., xn) 6= 0. Ası, la forma F -bilineal bL/F es no-degenerada.

Demostracion. Sea α ∈ L elemento primitivo sobre F . Sea f ∈ EndF (L) que envıa laF -base 1, α, ..., αn−1 en x1, ..., xn. Como f es inversible, det(f) 6= 0. El resultado se sigue delos lemas 3.10, 3.13 y 3.14.

4. Discriminante y Ramificacion

En esta seccion K es un campo de numeros de grado n (no pedimos que sea Galois sobreQ). El discriminante de K (mas bien, de OK) es

DK = DiscOK/Z(x1, ..., xn)

donde x1, ..., xn es cualquier base entera de OK .

Teorema 3.16. Dado un campo de numeros K, el discriminante DK es independien-te de la eleccion de base entera. Para cualquier base entera (xj)j de OK se tiene DK =DiscK/Q(x1, ..., xn). Ademas, DK ∈ Z y DK 6= 0.

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Demostracion. DK es bien definido por el lema 3.10 y porque el cambio de base enteraes dado por una matriz en GLn(Z). La traza de K/Q coincide con la de OK/Z en OK ası queDK = DiscK/Q(x1, ..., xn). Tenemos DK ∈ Z por el lema 2.17. Finalmente, K/Q es separabley una base entera es en particular una Q-base de K, ası que DK 6= 0 por el teorema 3.15.

Lema 3.17. Sea p un numero primo y sea A = OK/pOK. Sea x1, ..., xn una base enterade OK y sean xj = xj mod pOK ∈ A. Se tiene que los xj forman una Fp-base de A y

DiscA/Fp(x1, ..., xn) = DiscOK/Z(x1, ..., xn) mod p.

Demostracion. Los x1, ..., xn generan A como Fp-espacio vectorial, y son un conjuntogenerador minimal porque #A = [OK : pOK ] = pn.

Dado cualquier α ∈ OK , la matriz M de mα ∈ EndZ(OK) en terminos de la base (xj)jtiene coeficientes en Z. Sea α = α mod pOK . El endomorfismo de multiplicacion mα ∈EndFp(A) en la base (xj)j es dado por la reduccion modulo p de la matriz M . Ası,

TrA/Fp(α) = TrOK/Z(α) mod p.

Como α ∈ OK es arbitrario, obtenemos el resultado.

Lema 3.18. Sea p un numero primo y sea k/Fp una extension finita de grado n. Se tieneque Disck/Fp(t1, ..., tn) 6= 0 para cualquier Fp-base t1, ..., tn de k.

Demostracion. k/Fp es separable. Aplicar el teorema 3.15.

Lema 3.19. Sea F un campo y sea A una F -algebra de dimension n. Para cualquier F -base t1, ..., tn de A con la propiedad que algun ti es nilpotente, se tiene DiscA/F (t1, ..., tn) = 0.

Demostracion. Sin perdida de generalidad, digamos que t1 es nilpotente. Todos lost1tj son nilpotentes. Los endomorfismos de multiplicacion mt1tj ∈ EndF (A) son nilpotentesy por ende tienen traza 0 (algebra lineal sobre un campo). Ası que una fila de la matriz[TrA/F (titj)]ij es nula.

Teorema 3.20. Sea K campo de numeros y sea p un numero primo. Tenemos que p|DK

si y solo si existe un primo p de OK sobre p con e(p) > 1.

Demostracion. Considere la factorizacion unica pOK =∏

p|p pe(p). Sea x1, ..., xn base

entera de OK . Sea A = OK/pOK y sea A(p) = OK/pe(p). Notamos que A y los A(p) son

Fp-algebras finitas. Por el teorema chino A '∏

p|pA(p) como Fp-algebras.

Para cada p|p tomamos una Fp-base (tp,j)j de A(p). Por el lema 3.12 existe una ciertabase (yj)j de A que cumple

DiscA/Fp(y1, ..., yn) =∏p|p

DiscA(p)/Fp((tp,j)j).

Por el lema 3.17

DK = DiscOK/Z(x1, ..., xn) ≡ DiscA/Fp(x1, ..., xn) mod p.

De esto, el corolario 3.11 nos permite concluir que p|DK si y solo si existe p|p con

DiscA(p)/Fp((tp,j)j) = 0

para alguna (equivalentemente, cualquier) Fp-base (tp,j)j.

18

Fijamos p|p. Si e(p) = 1 entonces A(p) = κ(p) es un campo finito y por el lema 3.18 setiene DiscA(p)/Fp((tp,j)j) 6= 0 para cualquier base.

Si e(p) > 1 entonces p/pe(p) es un sub Fp-modulo no trivial de A(p) y todos sus elementosson nilpotentes en la Fp-algebra A(p). Tomamos algun 0 6= t1 ∈ p/pe(p) y completamos a unaFp-base (tj)j de A(p), obteniendo DiscA(p)/Fp((tj)j) = 0 por el lema 3.19.

Un ideal maximal p de OK con e(p) > 1 se dice ramificado. Un numero primo p se diceque ramifica en K si algun primo p ⊆ OK sobre p es ramificado.

Corolario 3.21. Sea K campo de numeros. Los numeros primos que ramifican en Kson exactamente los que dividen a DK. En particular, son finitos.

Ejemplo. Con K = Q(i) tenemos OK = Z[i]. Anteriormente calculamos que 2OK = p2

con p = (1 + i). Esto significa que 2 ramifica en K. Calculamos el discriminante usando lamatriz MK/Q con respecto a la Z-base 1, i de OK , y las inclusiones Id : K → K (identidad)y c : K → K (conjugacion compleja):

M = MK/Q(1, i; Id, c) =

[1 i1 −i

]; detM = −2i

y ası DK = (−2i)2 = −4. Por lo tanto el unico numero primo que ramifica en K = Q(i) es2, porque es el unico numero primo que divide a DK .

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Capıtulo 4

Geometrıa de numeros

1. Retıculos

Sea V un espacio vectorial real de dimension n. Un retıculo Λ en V es un subgrupoaditivo de V libre de rango n y discreto para la topologıa euclideana.

Lema 4.1. Sea V un espacio vectorial real de dimension n y sea Λ ⊆ V un subgrupoaditivo. Las siguientes son equivalentes:

(i) Λ es un retıculo(ii) Λ es discreto y genera a V como R espacio vectorial.(iii) Λ es libre de rango n y genera a V como R espacio vectorial.(iv) Λ es discreto y el cuociente V/Λ es compacto en la topologıa cuociente.

El enunciado podrıa parecer intuitivamete evidente, pero hay sutilezas. Por ejemplo, unopuede considerar el grupo aditivo generado por (1, 0) y (

√2, 0) en V = R2.

Demostracion. (ii)⇒ (i) por el lema 2.20.(i) ⇒ (ii): Assuma (i). Sea W = 〈Λ〉R. Aplicando (ii) ⇒ (i) para Λ ⊆ W vemos que

dimW = rank (Λ) = n = dimV , ası que V = W .(i)&(ii)⇒ (iii) es claro.(iii)⇒ (iv): Asuma (iii). Sea x1, ..., xn base de Λ. Tambien es base de V . El isomorfismo

R-lineal θ : Rn → V , θ(a1, ..., an) =∑ajxj cumple θ(Zn) = Λ e induce un homeomorfismo

(R/Z)n ≈ Rn/Zn ≈ V/Λ.(iv) ⇒ (i): Suponga que (i) falla. Sea W = 〈Λ〉R. Aplicando (ii) ⇒ (i) para Λ ⊆ W

vemos que Λ es un retıculo en W , por lo cual m = rank Λ = dimW < n. Tomar una basex1, ..., xm de Λ y extenderla a una base x1, ..., xn de V . El isomorfismo R-lineal θ : Rn → V ,θ(a1, ..., an) =

∑ajxj cumple θ(Zm×0) = Λ e induce un homeomorfismo (R/Z)m×Rn−m ≈

V/Λ. Ası, V/Λ no es compacto.

Dados x1, ..., xn ∈ V definimos P (x1, ..., xn) = ∑

j tjxj : ∀j, 0 ≤ tj < 1.

Lema 4.2. Si (xi)i es una base de V y Λ es el retıculo que genera, P (x1, ..., xn) es undominio fundamental para V/Λ.

Si V tiene un producto interior 〈−,−〉 naturalmente tiene una medida de Lebesgue y porende una nocion de volumen. La relacion es dada por la condicion que si e1, ..., en ∈ V es unabase ortonormal para el producto interior, entonces Vol (P (e1, ..., en)) = 1. En consecuencia,

Lema 4.3. Sea V espacio vectorial sobre R de dimension n con un producto interiory su medida inducida. Si x1, ..., xn es cualquier base, e1, ..., en es una base ortonormal, yf ∈ Aut(V ) cumple f(ej) = xj para cada j, entonces Vol (P (x1, ..., xn)) = | det(f)|.

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Sea (V, 〈−,−〉) un espacio vectorial real de dimension n con un producto interior y seadµ la medida inducida. Sea Λ ⊆ V un retıculo. Obtenemos una medida de Lebesgue en V/Λinducida por dµ, y cumple que para cualquier base x1, ..., xn de Λ

Vol (V/Λ) = Vol (P (x1, ..., xn)).

Teorema 4.4 (Minkowski). Sea (V, 〈−,−〉) un espacio vectorial real de dimension n conun producto interior. Sea Λ ⊆ V un retıculo. Sea R ⊆ V un conjunto que cumple

(i) R es compacto(ii) −R = R(iii) R es convexo

Si Vol (R) ≥ 2nVol (V/Λ) entonces R ∩ Λ 6= (0).

Demostracion. Considere la proyeccion π : V → V/Λ. Sea R′ = 2−1 ·R y note que K ′

tambien cumple (i), (ii) y (iii). Ademas, Vol (R′) = 2−nVol (K) ≥ Vol (V/Λ).Veamos que π no es inyectiva en R′. Si Vol (R′) > Vol (π(R′)) esto es claro. Digamos que

Vol (R′) = Vol (π(R′)), entonces necesariamente Vol (R′) = Vol (π(R′)) = Vol (V/Λ). Ası,para todo n entero positivo tenemos que

Vol ((1 + 1/n)R′) > Vol (R′) = Vol (V/Λ) ≥ Vol (π((1 + 1/n)R′))

y por el caso anterior obtenemos xn 6= yn en (1+1/n)R′ con π(xn) = π(yn). Por compacidad,pasando a subsecuencias (primero para los xj, luego para los yj) obtenemos puntos lımitesx, y ∈ R′ tales que π(x) = π(y). Como para cada n tenemos xn− yn ∈ Λ−0 vemos que ladistancia entre xn, yn es uniformemente acotada por abajo, ası que x 6= y. Eso prueba que πno es inyectiva en R′.

Sean x, y ∈ R′ distintos con π(x) = π(y) y sea z = x−y de modo que π(z) = 0. Entoncesz ∈ Λ y z 6= 0. Finalmente notamos que −y ∈ R′ por (ii) en R′, y z = 2−1(2x− 2y) ∈ R por(iii) en R.

Hacemos notar que el factor 2n en el teorema de Minkowski es optimal. Esto se puedever por ejemplo considerando Zn ⊆ Rn y tomando R = (λj)j ∈ Rn : |λj| ≤ 1 − ε paracierto ε > 0 fijo. Es instructivo dibujar el caso n = 2.

2. La inclusion arquimedeana

Sea K campo de numeros de grado n. Sea µ(K) el grupo de las raıces de 1 en K.

Teorema 4.5 (Raıces de 1). Tenemos µ(K) ⊆ OK. Ademas, µ(K) es finito y

x ∈ OK : |σ(x)| ≤ 1 para cada σ : K → C = µ(K) ∪ 0.

Demostracion. x ∈ µ(K) si y solo si existe r ≥ 1 con xr − 1 = 0 ası que µ(K) ⊆ OK .Sea X el conjunto de los x ∈ OK tal que |σ(x)| ≤ 1 para cada σ : K → C. Te-

nemos µ(K) ⊆ X. Ademas, considerando el polinomio caracterıstico del endomorfismomα ∈ EndZ(OK) para α ∈ X, vemos que X esta incluido en

α ∈ OK : ∃a0, ..., an−1 ∈ Z t. q. |aj| ≤ 2n y αn + an−1αn−1 + ...+ a0 = 0

el cual es visiblemente finito. Por definicion X es cerrado bajo producto. Dado 0 6= x ∈ X,la secuencia x, x2, x3, ... es eventualmente periodica, ası que x ∈ µ(K).

22

Una inclusion σ : K → C se dice real si σ(K) ⊆ R, y compleja (o no-real, o imaginaria)de lo contrario. Se anota r1 = r1(K) por el numero de inclusiones reales, y r2 = r2(K) porel numero de inclusiones complejas. Las inclusiones complejas vienen en pares conjugados,ası que r1 + 2r2 = n.

Sean σ1, ..., σn : K → C las n inclusiones. Las enumeramos de forma que

σj para 1 ≤ j ≤ r1 son las inclusiones realesσr1+j = σr1+r2+j para 1 ≤ j ≤ r2.

En particular σr1+j para 1 ≤ j ≤ r2 son las distintas inclusiones complejas salvo conjugacion.Diremos que una enumeracion de este tipo es admisible.

Definimos el espacio vectorial real E = E(r1, r2) := Rr1×Cr2 y notamos que dimRE = n.La inclusion arquimediana es

ψ : K → E, ψ(x) = (σj(x))1≤j≤r1+r2 .

Por supuesto que ψ depende de la enumeracion de los σj, pero la teorıa que desarrollaremos esindependiente de esta pequena ambiguedad, siempre que se use una enumeracion admisible.

Lema 4.6. ψ respeta la estructura de Q-espacio vectorial en K. ψ(K) es denso en E enla topologıa euclidiana. ψ(OK) es un retıculo en E.

Demostracion. Lo primero es claro. Por el lema 2.18 basta mostrar que ψ(OK) esretıculo de rango n en E. Por el teorema de la base entera e inyectividad de ψ, basta mostrarque ψ(OK) es discreto en E. Esto se cumple por el teorema 4.5.

3. Calculo de volumenes

El espacio vectorial real E = E(r1, r2) tiene un producto interior estandar. Para escribirloen coordenadas, tomamos el isomorfismo de R-espacios vectoriales C ' R2 dado por z 7→(<(z),=(z)) el cual induce un isomorfismo E ' Rn. Ası, el producto interior estandar de Rninduce el siguiente producto interior en E: dado v, w ∈ E = Rr1 × Cr2 tenemos

〈v, w〉 =

r1∑j=1

vjwj +

r1+r2∑j=r1+1

(<(vj)<(wj) + =(vj)=(wj)) .

Equivalentemente, como C es un campo (¡no solo un R-espacio vectorial!) tenemos

〈v, w〉 =

r1+r2∑j=1

<(vj · wj).

Con esto, la medida de Lebesgue inducida en E por el producto interior no es otra que lamedida producto que viene de las medidas usuales en R y C. Tambien coincide con la medidausual en Rn via el isomorfismo E ' Rn anterior.

Teorema 4.7. Sea K campo de numeros y sea ψ : K → E(r1, r2) la inclusion arqui-medeana. Con el producto interior estandar en E(r1, r2) y la medida de Lebesgue asociada,tenemos que

Vol (E(r1, r2)/ψ(OK)) = 2−r2√|DK |.

23

Demostracion. Partimos con una observacion. Sea N ∈ Mn×n(C) una matriz con lapropiedad que para ciertos ındices j < k tenemos que la fila k es conjugada compleja dela fila j. Sea N ′ la matriz obtenida de N reemplazando la fila j por las partes reales desus elementos, y la fila k por las partes imaginarias de los elementos de la fila j. Entoncesdet(N) = −2i det(N ′). En efecto, usando operaciones elementales de fila tenemos:

det

x+ iy

· · · ... · · ·x− iy

= det

2x

· · · ... · · ·x+ iy

= 2 det

x

· · · ... · · ·x− iy

y el resto del calculo continua de forma similar.

Fijamos el isomorfismo E(r1, r2) ' Rn inducido por C ' R2, z 7→ (<z,=z). Este isomor-fismo respeta producto interior y medidas por definicion. Componiendo con ψ obtenemos lainclusion Ψ : K → Rn y se cumple que Vol (E/ψ(OK)) = Vol (Rn/Ψ(OK)).

Sea x1, ..., xn base entera de OK y sean v(j) = Ψ(xj) ∈ Rn. Notamos que

v(j) = (σ1(xj), ..., σr1(xj),<σr1+1(xj),=σr1+1(xj), ...,<σr1+r2(xj),=σr1+r2(xj)) ∈ Rn.

Consideramos la matriz real M1 = [v(1)| · · · |v(n)] ∈Mn×n(R) y observamos que es justamentela matriz de la funcion f ∈ AutR(Rn) que cumple f(ej) = v(j). Por el lema 4.3 tenemos| detM1| = Vol (Rn/Ψ(OK)).

Sea M2 = MK/Q(x1, ..., xn;σ1, ..., σn) ∈ Mn×n(C). Aplicando la observacion inicial r2

veces a M t2 se obtiene la matriz M1. Ası, detM2 = (−2i)r2 detM1. Por el lema 3.13

| detM1| = 2−r2| detM2| = 2−r2√|DK |.

Para t > 0 definimos la region

Rt =

v ∈ E :

r1∑j=1

|vj|+ 2

r1+r2∑j=r1+1

|vj| ≤ 1

⊆ E(r1, r2).

Lema 4.8. Para todo t > 0 la region Rt ⊆ E(r1, r2) es compacta, convexa y simetrica.Ademas, con la medida estandar de E(r1, r2) se tiene Vol (Rt) = 2r1−r2πr2tn/n!.

Demostracion. Lo primero es claro y basta calcular el volumen. Notar que Vol (Rt) =tnVol (R1). Definimos

S =

x ∈ Rn : ∀1 ≤ j ≤ r1, xj ≥ 0 &

r1∑j=1

xj + 2

r1+r2∑j=r1+1

√x2j + x2

j+r2≤ 1

⊆ Rn

y notamos que Vol (R1) = 2r1Vol (S).Para cualquier r1 + 1 ≤ j ≤ r2 aplicamos el principio de Cavalieri al par de variables

xj, xj+r2 . Inicialmente, para cada seccion 2-dimensional de S fijando las demas variables,(xj, xj+r2) varıa en un disco de cierto radio tj:

C(tj) = (xj, xj+r2) ∈ R2 :√x2j + x2

j+r2≤ tj.

24

Ahora las hacemos variar en el triangulo T (tj) = (xj, xj+r2) ∈ R2≥0 : xj + xj+r2 ≤ 2tj. En

cada seccion 2-dimensional tenemos area(C(tj)) = (π/2) · area(T (tj)). Hacemos este cambiode dominio para cada r1 + 1 ≤ j ≤ r2 obteniendo la nueva region

S ′ =

x ∈ Rn : ∀1 ≤ j ≤ r1 + r2, xj ≥ 0 &

r1∑j=1

xj +

r1+r2∑j=r1+1

(xj + xj+r2) ≤ 1

=

x ∈ Rn≥0 :

n∑j=1

xj ≤ 1

⊆ Rn

que cumple Vol (S) = (π/2)r2Vol (S ′). Notamos que S ′ es el simplex estandar de Rn cuyovolumen es conocido: Vol (S ′) = 1/n!. Por lo tanto

Vol (Rr) = tnVol (R1) = 2r1tnVol (S) = 2r1−r2πr2tn/n!.

4. La cota de Minkowski

Teorema 4.9 (Minkowski). Sea K un campo de numeros de grado n y sean r1 = r1(K),r2 = r2(K). Sea a ⊆ OK un ideal no nulo. Existe un 0 6= x ∈ a tal que

|NrK(x)| ≤ n!

nn(4/π)r2

√|DK | · Nr(a).

Demostracion. Tomamos la inclusion arquimedeana ψ : K → E = E(r1, r2) para unordenamiento admisible de las inclusiones σj : K → C. Como [OK : a] < ∞ y ψ(OK) es unretıculo en E, vemos que ψ(a) es retıculo en E. Por el teorema 4.7 tenemos

Vol (E/ψ(a)) = [OK : a]Vol (E/ψ(OK)) = 2−r2√|DK | · Nr(a).

Escribimos

t0 = 2 ·

(n!√|DK | · Nr(a)

2r1πr2

)1/n

y tomamos la region Rt0 ⊆ E, que por el lema 4.8 tiene volumen

Vol (Rt0) = 2r1−r2πr2tn0/n! = 2n · 2−r2√|DK | · Nr(a).

Dado que Vol (Rt0) = 2nVol (E/ψ(a)) y Rt0 es compacta, simetrica y convexa, el teorema deMinkowski sobre puntos en retıculos nos dice que existe 0 6= x ∈ a con ψ(x) ∈ Rt0 . Por ladefinicion de Rt0 obtenemos

n∑j=1

|σj(x)| =r1∑j=1

|σj(x)|+ 2

r2∑j=r1+1

|σj(x)| ≤ t0.

Por la desigualdad de media aritmetica y geometrica llegamos a

|NrK(x)| =n∏j=1

|σj(x)| ≤ (t0/n)n = 2n ·n!√|DK | · Nr(a)

2r1πr2nn=n!

nn

(4

π

)r2√|DK | · Nr(a).

25

Corolario 4.10 (Cota de Minkowski para el discriminante). Sea K un campo de nume-ros de grado n. Se cumple

|DK | ≥(π

4

)2r2(nn

n!

)2

≥(π

4

)n(nnn!

)2

.

Demostracion. Aplicar el teorema con a = OK . Observar que |NrK(x)| ≥ 1.

Lema 4.11. La secuencia (π4

)n(nnn!

)2

es creciente en n.

Demostracion. Ejercicio de induccion y calculo.

Corolario 4.12. Sea K un campo de numeros distinto de Q. Se tiene que |DK | ≥ 3 yexiste un numero primo que ramifica en K. La cota se alcanza para K = Q(

√−3).

Demostracion. Tomar n = [K : Q]. Como n ≥ 2 obtenemos |DK | ≥ π2/4 > 2,4 por ellema 4.11 y el corolario 4.10. Lo demas se sigue del corolario 3.21.

El siguiente teorema no fue cubierto en clases y no sera utilizado en el resto del curso. Detodas formas, se incluye como material complementario porque es un resultado importantey su demostracion es una aplicacion muy sencilla de la teorıa anterior.

Teorema 4.13. Sea X > 1. El conjunto de (clases de isomorfismo de) campos de nume-ros K con |DK | < X es finito.

Demostracion. Por el teorema 4.9 y el lema 4.11 basta demostrar finitud para ungrado n ≥ 2 fijo. Fijamos a, b ≥ 0 con n = a + 2b; basta demostrar finitud para los K conr1(K) = a, r2(K) = b. Escribimos E = E(a, b) y consideramos dos casos.

Caso 1: b = 0. Definimos

S = x ∈ E : |x1| ≤ 2n−1√X y |xj| ≤ 1/2∀j > 1

y notamos que S es simetrico, convexo, compacto y tiene Vol (S) = 2n√X. Sea K cualquier

campo de numeros de grado n con r2 = 0 que cumpla |DK | < X y considere la inclu-sion ψ : K → E para una enumeracion de los σj : K → C. Por el teorema 4.7 tenemos

Vol (E/ψ(OK)) =√|DK |, ası que Vol (S) > 2nVol (E/ψ(OK)). El teorema de Minkowski

nos dice que hay algun 0 6= γ ∈ OK con ψ(γ) ∈ S, y ası |σ1(γ)| ≤ 2n−1√X y |σj(γ)| ≤ 1/2

para cada j > 1. Por el teorema 4.5 tenemos |σ1(γ)| > 1 ası que σ1(γ) no esta repetido en lalista σj(γ). Esto nos dice que K = Q(γ).

Finalmente, notamos que el polinomio minimal de γ es monico de coeficietes enteros convalor absoluto ≤ 2n−1

√X + (n− 1)/2. Para X y n fijos, esto nos da finitas posibilidades.

Caso 2: b ≥ 1. Se hace de forma completamente similar, usando el siguiente S:

x ∈ E : |xa+1| ≤ 2n4√X ; |xj| ≤ 1/2∀j ≤ a y |<xj|, |=xj| ≤ 1/2∀a+ 2 ≤ j ≤ a+ b.

Tenemos Vol (S) = π · 22n√X > 2n · 2−b

√X, que basta para que el argumento funcione.

26

Capıtulo 5

El grupo de clases

1. La secuencia exacta fundamental

Sea K un campo de numeros. Recordemos que su anillo de enteros OK es un dominiode Dedekind (cf. teorema 2.25), y por ende sus ideales fraccionarios forman un grupo bajomultiplicacion, con elemento neutro OK (cf. teorema 2.11). Llamemos IF(K) a este grupo.Por el teorema 2.11 el grupo IF(K) es libre abeliano generado por los ideales maximalesde OK , ası que de hecho es isomorfo al grupo de sumas formales de ideales maximales queen el lenguaje de geometrıa algebraica es Div(SpecOK). Sin embargo, para nosotros seraconveniente seguir trabajando con ideales fraccionarios.

El conjunto de los ideales fraccionarios principales es

IFP(OK) = a ∈ IF(K) : ∃x ∈ K×, a = xOK.

Consideramos la funcion δ : K× → IF(K) dada por δ(x) = xOK . De las definiciones obtene-mos

Lema 5.1. La funcion δ es un morfismo de grupos multiplicativos. Tenemos im(δ) =IFP(K) y ker(δ) = O×K.

En particular, IFP(K) es un subgrupo de IF(K). El cuociente

Cl(K) = IF(K)/IFP(K)

se llama el grupo de clases de OK (o de K). Dado un ideal fraccionario a, su clase en Cl(K)se escribe [a]. El lema anterior nos da la secuencia exacta fundamental

1→ O×K → K× → IF(K)→ Cl(K)→ 1.

donde aparecen dos grupos de gran importancia: Cl(K) y el grupo de unidades O×K .

2. Finitud del grupo de clases

Lema 5.2. Sea A un dominio entero que como Z-modulo es libre de rango n. Todo idealno nulo a ⊆ A tiene ındice finito. Ademas, sea m ≥ 1 entero. Existen a lo mas finitos idealesa ⊆ A con [A : a] = m.

Demostracion. Sea a ideal no nulo. Dado 0 6= x ∈ a tenemos xA ⊆ a ⊆ A. En terminosde Z-modulos tenemos xA ' A ' Zn porque A es dominio entero. Luego, [A : a] es finito.

Notar que un subgrupo L ⊆ Zn de ındice m contiene a mZn, obteniendo lo segundo.

Notamos que cuando A = OK para un campo de numeros K, la primera parte del lemaes el corolario 2.23 (de hecho, es la misma demostracion). En el caso de OK , la segundaparte admite otra demostracion usando el teorema de factorizacion unica de ideales, que

27

presentamos a continuacion porque puede ser mas practico en casos concretos: notar queNr(a) = [OK : a] = m y puede contar factorizaciones en ideales maximales a =

∏sj=1 p

tjj .

Ahora estamos en condiciones de demostrar un teorema fundamental sobre la aritmeticade anillos de enteros.

Teorema 5.3 (Finitud del grupo de clases). Sea K campo de numeros. El grupo declases Cl(K) es finito. Mas aun, sea n = [K : Q] y sea

mK =n!

nn(4/π)r2

√|DK |.

Entonces:

(i) Todo ideal fraccionario es equivalente modulo IFP(K) a algun ideal en OK de normamenor o igual que mK.

(ii) El grupo de clases Cl(K) es generado por las clases de los ideales primos p conNr(p) ≤ mK.

Demostracion. Sea a ∈ IF(K). Por definicion de ideal fraccionario, [a] = [b] paraalgun ideal no nulo b ⊆ OK . Notar que [b] = [a] = [a]−1.

Por el teorema de Minkowski existe 0 6= x ∈ b con |NrK(x)| ≤ mKNr(b). Tomamos el

ideal fraccionario b inverso de b y notamos que c = x · b ⊆ bb = OK porque x ∈ b = ˜b. Elideal c cumple [c] = [b] = [b]−1 = [a] y tiene norma

Nr(c) = Nr(bc)/Nr(b) = Nr((x))/Nr(b) = |NrK(x)|/Nr(b) ≤ mK .

Esto demuestra (i). Por el lema 5.2 obtenemos que Cl(K) es finito. Como todo ideal no nuloc ⊆ OK es producto de ideales primos con norma ≤ Nr(c), obtenemos (ii).

El numero hK = #Cl(K) se llama numero de clases.

3. El numero de clases y factorizacion

El numero de clases de de cierta forma mide cuanto falla la propiedad de factorizacionunica en un anillo de enteros.

Teorema 5.4. Sea K campo de numeros. Son equivalentes:

(i) hK = 1(ii) OK es DIP(iii) OK es DFU.

Demostracion. (i) y (ii) son equivalentes (casi) por definicion. De la teorıa de Euclides,sabemos que (ii) implica (iii).

(iii) ⇒ (i): Asumir (iii). Por el teorema de factorizacion, basta mostrar que todo idealprimo es principal. Sea p un primo de OK y sea 0 6= x ∈ p. Por (iii) podemos factorizarx = s1 · · · sr en irreducibles sj. Como p es primo, tenemos sj ∈ p para algun j. El ideal (sj)es primo por el lema de Euclides para DFU (cf. lema 1.6). Se sigue que (sj) = p porque OK

tiene dimension de Krull 1.

28

Ejemplo. K = Q(√

5). Esto es un campo cuadratico y se puede calcular que su anillode enteros es OK = Z[(1 +

√5)/2] y su discriminante es DK = 5 (ver tareas del curso).

Calculamos

mK =2!

22(4/π)0 ·

√5 =

√5

2<

3

2.

Ası, todas las clases en Cl(K) son representadas por ideales de norma 1. El unico ideal denorma 1 es OK , ası que Cl(K) es trivial, obteniendo hK = 1. Esto prueba que OK es DFUsin que fuera necesario demostrar que es DE.

Ejemplo. K = Q(√−5). Esto es un campo cuadratico y se puede calcular que su anillo

de enteros es OK = Z[√−5] y su discriminante es DK = −20 (ver tareas del curso).

La proposicion 1.8 muestra que OK no es DFU en este caso. Ası que hK > 1. Aplicamosel teorema 5.3. Calculamos

mK =2!

22(4/π)1 ·

√20 =

√80

π<

√81

3= 3.

Ası, todas las clases en Cl(K) son representadas por ideales de norma ≤ 2. Con norma 1 solotenemos el neutro [OK ]. Con norma 2 basta buscar entre los ideales primos sobre 2. Como2 divide a DK = −20 vemos que 2 ramifica, ası que solo hay un primo p sobre 2. Como solotenemos las clases [OK ] y [p] obtenemos hK ≤ 2. Como hK > 1 llegamos a hK = 2. Esto daCl(K) ' Z/2Z.

Podemos ser mas precisos: notar que f(p) = 1 (por el teorema “defg”). Veamos quep = (2, 1 +

√−5). En efecto,

OK/(2, 1 +√−5) ' Z[t]

(t2 + 5, 2, 1 + t)' Z

(6, 2)= F2.

Ası, p = (2, 1 +√−5) es el unico ideal sobre 2, obteniendo Cl = [OK ], [p] para este p.

4. Aplicaciones diofantinas

Veamos como usar el grupo de clases en un problema diofantino.

Ejemplo. Mostraremos que la ecuacion y2 = x3 − 5 no tiene soluciones en Z. El resul-tado en si mismo no es interesante, pero el argumento que daremos ilustra como utilizarfactorizaciones en problemas diofantinos incluso cuando OK no es un DFU.

Partimos con x3 = y2 + 5 = (y +√−5)(y −

√−5).

Como Z[√−5] no es DFU, no podemos directamente analizar y ±

√−5 en terminos de

factorizaciones. Pasamos a ideales: (x)3 = ab donde a = (y +√−5) y b = (y −

√−5).

Veamos que a y b son coprimos. Si c divide a a, b entonces 4y2 = (2y)2, 20 = −(2√−5)2, x3 =

(y+√−5)(y−

√−5) estan en c2. Notamos que x es impar pues de otro modo y2 ≡ xp− 5 ≡

−1 mod 4. Ademas, 5 no divide a ambos 4y2, x3 en Z, porque y2 = x3 − 5. Ası, existenA,B,C ∈ Z con A · 4y2 +B · 20 +C · x3 = 1, lo que muestra que c2 = OK . Por factorizacionunica de ideales tenemos c = OK . Esto prueba que a, b son coprimos.

Por factorizacion unica de ideales y coprimalidad, la ecuacion (x)3 = ab nos da quea = a3

0 y b = b30 para ciertos ideales a0, b0. Notar que a, b son principales por definicion, ası

que [a0], [b0] ∈ Cl(OK) tienen orden que divide a 3. Pero hK = 2, es decir Cl(K) ' Z/2Z, asıque [a0] = [b0] = [OK ]. Concluimos que a0, b0 son principales, digamos a0 = (m+n

√−5) para

ciertos m,n ∈ Z. Esto nos da y +√−5 = (m + n

√−5)3 · u con cierto u ∈ O×K . Resolviendo

29

la ecuacion diofantina NrK(u) = a2 + 5b2 = 1 por agotamiento de casos se verifica queO×K = ±1. Obtenemos

y +√−5 = (m+ n

√−5)3 = (m3 − 15mn2) + (3m2n− 5n3)

√−5

posiblemente cambiando el signo de m,n. Ası,y = m(m2 − 15n2)

1 = n(3m2 − 5n2)

La segunda ecuacion nos da n = ±1. Con n = 1 obtenemos 1 = 3m2 − 5, y ası 2 = m2;imposible. Con n = −1 obtenemos 1 = −3m2 +5, lo que da 3m2 = 4; imposible. Por lo tantono hay soluciones.

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Capıtulo 6

El grupo de unidades

1. La funcion regulador y ordenes

Sea K un campo de numeros de grado n y sean r1 = r1(K), r2 = r2(K). Fijamos unaenumeracion admisible de las inclusiones σj : K → C. Sera conveniente definir

nj =

1 si 1 ≤ j ≤ r1

2 si r1 + 1 ≤ j ≤ r1 + r2.

Lema 6.1. Para todo x ∈ K se tiene

|NrK(x)| =n∏j=1

|σj(n)| =r1+r2∏j=1

|σj(x)|nj .

Definimos la funcion regulador λ : O×K → Rr1+r2 por la formula

λ(x) = (nj · log |σj(x)|)r1+r2j=1 .

En Rm definimos el hıperplano H(m) = v :∑m

j=1 vj = 0. Lo usaremos con m = r1 + r2.

Lema 6.2. λ : O×K → Rr1+r2 es un morfismo de grupos. Su kernel es µ(K). Su imagenes discreta y esta contenida en H(r1 + r2).

Demostracion. Sea x ∈ O×K . Tenemos x ∈ ker(λ) si y solo si |σj(x)| = 1 para cadaj = 1, ..., n. Como x ∈ OK , el teorema 4.5 implica que esto es equivalente a x ∈ µ(K).

Para cada x ∈ O×K se cumple NrK(x) = ±1. Tomando valor absoluto y logaritmos seobtiene λ(x) ∈ H(r1 + r2).

Considerando el hecho que ψ(OK) es discreto en E(r1, r2) (cf. lema 4.6) vemos que hayun ε = ε(K) > 0 que solo depende de K tal que

x ∈ OK : ∀1 ≤ j ≤ n, |σj(x)| ≤ 1 = x ∈ OK : ∀1 ≤ j ≤ n, |σj(x)| ≤ 1 + ε.

Podemos asumir que ε < 1. Si x ∈ O×K cumple |nj · log |σj(x)|| < ε/2 para cada j ≤ r1 + r2,tenemos que |σj(x)| < eε/2 < 1 + ε para cada j. Ası, x ∈ µ(K) obteniendo λ(x) = 0.

En el estudio de unidades es conveniente generalizar un poco la teorıa para cubrir anillosun poco mas generales que OK . Esto ayudara de forma directa en aplicaciones diofantinasque tienen miles de anos de antiguedad, y por ende, no podemos no hablar de ellas.

Un orden en K es un sub-anillo A ⊆ K que es libre de rango n como Z-modulo. Por elteorema de la base entera, OK es un orden en K.

Lema 6.3. Sea K campo de numeros y sea A ⊆ K un sub-anillo. A es un orden si y solosi A ⊆ OK con ındice finito.

31

Demostracion. Si A ⊆ OK con ındice finito entonces claramente es un orden.Suponga que A es un orden. Sea α ∈ A. Considerar el endomorfismo mα ∈ EndZ(A) de

multiplicacion por α. Se tiene A ' Zn como Z-modulo, ası que por Cayley-Hamilton aplicadoa mα concluimos que α es entero sobre Z. Ası, α ∈ OK .

En particular, OK es el unico orden maximal de K. Ademas, si A ⊆ K es un orden,tenemos que el grupo de unidades A× es un subgrupo de O×K .

Ejemplo. Sea K = Q(√

5). Entonces OK = Z[(1 +√

5)/2] (ver tareas). El anillo Z[√

5]esta incluido en OK con ındice 2. Ası, Z[

√5] es un orden no-maximal en K.

2. El teorema de Dirichlet

Teorema 6.4. Sea K campo de numeros de grado n y sea r1 = r1(K), r2 = r2(K). Seaλ : O×K → Rr1+r2 la funcion regulador para una enumeracion admisible de las inclusionesσ1, ..., σn : K → C. Sea A ⊆ OK un orden. Se tiene que λ(A×) es un retıculo en el hıperplanoH(r1 + r2) ⊆ Rr1+r2.

Demostracion. Ponemos H = H(r1 + r2). Por el lema 6.2 sabemos que λ(O×K) es unsubgrupo discreto de H, ası que λ(A×) tambien lo es. Por el lema 4.1 basta mostrar queel cuociente H/λ(A×) es compacto. Por lo tanto, basta mostrar que hay un cierto conjuntoacotado U ⊆ H tal que H = U +λ(A×). Vamos a construir un conjunto acotado U ⊆ H conesta propiedad.

Recordamos la inclusion arquimedeana ψ : K → E = E(r1, r2). Notamos que ψ(A) es unretıculo en E contenido en ψ(OK) con ındice finito [OK : A] porque A es un orden. Sea

T = 2r1+r2√|DK | · [OK : A]

y notamos que T = 2nVol (E/ψ(A)). (En realidad, el valor preciso de T no es importante;cualquier cantidad fija y suficientemente grande nos sirve de igual manera.)

Por el lema 5.2 en el caso de ideales principales, hay un conjunto finito FT ⊆ A tal quelos ideales principales a ⊆ A con [A : a] ≤ T son exactamente los ideales xA para x ∈ FT .Definimos t0 = T 1/n y definimos

B = x ∈ Rr1+r2 :∑j

xj ≥ 0 & ∀j, xj ≤ nj log t0 ⊆ Rr1+r2 .

B es una region acotada de Rr1+r2 . Finalmente, definimos

U = H ∩⋃β∈FT

(B − (nj log |σj(β)|)r1+r2

j=1

)que es una region acotada en H al ser union finita de trasladados de conjuntos acotados.Nuestro objetivo es demostrar que H = U + λ(A×).

Un elemento arbitrario de H se puede escribir como (nj log |vj|)r1+r2j=1 para v ∈ E tal que∏r1+r2

j=1 |vj|nj = 1. Tomamos cualquier v ∈ E de este tipo. Definimos la region

R(v) = y ∈ E : |yj| ≤ t0/|vj| para cada 1 ≤ j ≤ r1 + r2 ⊆ E

32

y notamos que es compacta, simetrica, convexa y tiene

Vol (R(v)) = 2r1πr2r1+r2∏j=1

(t0/|vj|)nj = 2r1πr2T ≥ T = 2nVol (E/ψ(A)).

Por el teorema de Minkowski, existe 0 6= α ∈ A con ψ(α) ∈ R(v), es decir, |σj(α)| ≤ t0/|vj|para cada 1 ≤ j ≤ r1 + r2. Notamos que

|NrK(α)| = [OK : αOK ] =[OK : αA]

[αOK : αA]=

[OK : A][A : αA]

[OK : A]= [A : αA].

y se obtiene

[A : αA] =n∏j=1

|σj(α)| =r1+r2∏j=1

|σj(α)|nj ≤r1+r2∏j=1

(t0/|vj|)nj = T.

Por definicion de FT se obtiene que αA = βA para algun β ∈ FT . Esto implica que α = ηβcon η ∈ A× y β ∈ FT . Para cada 1 ≤ j ≤ r1 + r2 obtenemos

log |vj| = log |vjσj(α)| − log |σj(β)| − log |σj(η)|.Notamos que (nj log |vjσj(α)|)j ∈ B porque

r1+r2∑j=1

nj log |vjσj(α)| = log |NrK(α)| ≥ 0 & ∀j, nj log |vjσj(α)| ≤ nj log t0.

Ası, (nj log |vj|)r1+r2j=1 ∈ B− (nj log |σj(β)|)r1+r2

j=1 − λ(η). Como (nj log |vj|)r1+r2j=1 ∈ H (recordar

que este vector es un elemento arbitrario de H, por definicion de v) obtenemos

(nj log |vj|)r1+r2j=1 ∈ H ∩

(B − (nj log |σj(β)|)r1+r2

j=1 − λ(η))⊆ U + λ(A×).

Como consecuencia del lema 6.2 y el teorema 6.4 obtenemos

Teorema 6.5 (Teorema de las unidades de Dirichlet). Sea K campo de numeros y sear1 = r1(K), r2 = r2(K). Sea A un orden en K. El grupo A× es libre abeliano con torsionµ(K) ∩ A y rango r1 + r2 − 1. En particular,

O×K ' µ(K)⊕ Zr1+r2−1.

Un sistema de unidades fundamentales de A× es una lista η1, ..., ηr1+r2−1 ∈ A× quegeneran A× modulo torsion. Equivalentemente, los λ(ηj) son una base para λ(A×) comoZ-modulo. En el caso de A = OK , se habla de un sistema de unidades fundamentales de K.

3. Aplicaciones diofantinas

Sea D ∈ Z un entero positivo que no es un cuadrado. Asociado a D tenemos la (malllamada) ecuacion de Pell

x2 −Dy2 = 1.

Esta ecuacion diofantina es un tema clasico con mas de dos milenios de historia. Hay una“ley de composicion” que permite operar soluciones para obtener soluciones nuevas:

(x1, y1) ∗ (x2, y2) = (x1x2 + y1y2D, x1y2 + x2y1).

33

Por ejemplo, para D = 2 la ecuacion x2 − 2y2 = 1 tiene la solucion (3, 2), y operando:

(3, 2) ∗ (3, 2) = (9 + 4 · 2, 6 + 6) = (17, 12).

Se obtiene la solucion x = 17, y = 12 que es menos evidente.El teorema de estructura es el siguiente.

Teorema 6.6. Sea D entero positivo que no es cuadrado perfecto. Sea PD la ecuacion

x2 −Dy2 = 1.

Sea PD(Z) el conjunto de soluciones en Z de PD. Con la ley de composicion para PD, elconjunto PD(Z) es un grupo abeliano con neutro (1, 0). Ademas:

(i) Se tiene PD(Z) ' Z/2Z ⊕ Z. Mas aun, la funcion θ(a + b√D) = (a, b) da un

isomorfismo de grupos θ : Z[√D]×1 → PD(Z), donde Z[

√D]×1 es el subgrupo de

Z[√D]× que consiste de las unidades de norma 1.

(ii) El unico punto de orden 2 en PD(Z) es (−1, 0).(iii) El inverso de (x, y) ∈PD(Z) es (x,−y).(iv) Para todo (x, y) ∈PD(Z) tenemos (−1, 0) ∗ (x, y) = (−x,−y).(v) El conjunto PD(Z)+ = (x, y) ∈PD(Z) : x, y ≥ 1 es cerrado por ∗.

(vi) Ordenando por coordenada x o y se obtiene el mismo orden total en PD(Z)+.(vii) Existe un unico (a, b) ∈ PD(Z)+ minimal. Este elemento genera al grupo PD(Z)

modulo torsion.

Demostracion. Sea A = Z[√D]. Este anillo es un orden en el campo cuadratico K =

Q(√D). Notamos que para a, b ∈ Z se tiene NrK(a+ b

√D) = (a+

√D)(a−

√D) = a2−Db2

y se sigue que son equivalentes:

(a, b) ∈PD(Z)

NrK(a+ b√D) = 1

a+ b√D ∈ A× (en cuyo caso el inverso multiplicativo es a− b

√D ∈ A×).

Esto nos permite definir la funcion θ : A× →PD(Z) por θ(a+ b√D) = (a, b) y se tiene que

es biyectiva. Un calculo directo muestra que θ convierte la multiplicacion de A× en la ley decomposicion de PD(Z): (x1 + y1

√D)(x2 + y2

√D) = (x1x2 + y1y2D) + (x1y2 + x2y1)

√D.

Ası, la ley de composicion ∗ en PD le da estructura de grupo, con la cual θ : A× →PD(Z)es un isomorfismo.

Por el teorema de las unidades de Dirichlet A× es un grupo abeliano finitamente generadode rango r1 + r2−1 = 2 + 0−1 = 1 y con torsion µ(K)∩A = ±1 ' Z/2Z (pues las unicasraıces de 1 en R son ±1, y K ⊆ R). Esto prueba (i).

(ii) y (iii) son inmediatos aplicando θ.(iv) y (v) son inmediatos por la formula explıcita de ∗.Tenemos (vi) porque todos los (x, y) ∈PD(Z)+ cumplen x2 = 1 +Dy2.Demostremos (vii). Por (i) existen exactamente 4 generadores salvo torsion; en Z/2Z⊕Z

estos son (0,±1) y (1,±1). Por (ii), (iii), (iv), existe exactamente uno de ellos en PD(Z)+,digamos (a0, b0). Por (i), todo elemento de PD(Z)+ es de la forma (±1, 0)∗((a0, b0)n)±1 paraalgun n ≥ 0. Por (v) tenemos (a0, b0)n ∈ PD(Z)+, y por (iii) y (iv) concluimos que todoslos elementos de PD(Z)+ son de la forma (a0, b0)n con n ≥ 1.

De la formula explicita de ∗ vemos que la secuencia (a0, b0), (a0, b0)2, (a0, b0)3, ... es cre-ciente en PD(Z)+ (ver por ejemplo las coordenadas x). Esto prueba (vii).

34

La solucion minimal (a, b) ∈PD(Z)+ de (vii) se llama solucion fundamental de PD.

Proposicion 6.7. Sea D un entero positivo que no es un cuadrado perfecto. Sea (a, b) ∈PD(Z)+ la solucion fundamental de PD. Una de las dos siguientes ocurre:

(i) Ningun elemento de Z[√D] tiene norma −1. En ese caso, η = a+b

√D es una unidad

fundamental para Z[D].

(ii) Algun elemento de Z[√D] tiene norma −1. En ese caso, cualquier η ∈ Z[

√D]× que

cumpla ±η2 = a+ b√D es unidad fundamental de Z[

√D]×.

Demostracion. La norma nos da un morfismo de grupos Z[√D]× → −1, 1 cuyo

kernel es Z[√D]×1 . Ası, (i) viene de los itemes (i) y (vii) del teorema 6.6.

Para (ii), notamos que Z[√D]×1 tiene ındice 2 en Z[

√D]× y ambos grupos son isomorfos

a Z⊕ Z/2Z. Por lo tanto, modulo torsion ambos grupos son isomorfos a Z y el ındice siguesiendo 2, obteniendo lo deseado.

Encontrar unidades fundamentales en ordenes es difıcil. Pero para encontrar solucionesfundamentales de la ecuacion de Pell existen metodos eficientes como por ejemplo el metodode fracciones continuas; este tema, aunque es elemental, se aleja del objetivo del curso.

Ejemplo. Tomamos D = 5. La ecuacion es x2 − 5y2 = 1. Por busqueda exhaustivaencontramos la solucion positiva mas pequena (9, 4); esta es la solucion fundamental. Lassiguientes soluciones positivas mas pequenas son

(9 + 4√

5)2 = 161 + 72√

5⇒ (161, 72); (9 + 4√

5)3 = 2889 + 1292√

5⇒ (2889, 1292).

Notar que se uso la aritmetica del orden Z[√

5] en K = Q(√

5), y Z[√

5] 6= OK .Por otro lado, tenemos que η = 2 +

√5 cumple

NrK(η) = (2 +√

5)(2−√

5) = −1

y η2 = 9 + 4√

5. Ası que η es una unidad fundamental para Z[√

5].

Nota historica. Las ecuaciones de Pell eran conocidas desde la antiguedad y se puedenencontrar en los trabajos de Arquimedes, celebremente en su “problema del ganado” (sigloIII a.C). Los matematicos indios desarrollaron el metodo chakravala como resultado de lostrabajos de Brahmagupta (siglo VII), Jayadeva (siglo IX) y Bhashara II (siglo XII). Elmetodo chakravala permite describir todas las soluciones enteras usando la estructura degrupo y generadores.

4. El regulador

Sea K campo de numeros. Volvemos a poner nuestra atencion en OK . La funcion regu-lador λ : O×K → Rr1+r2 cumple que λ(OK) ⊆ H = H(r1 + r2) es un retıculo en el hıperplanoH ⊆ Rr1+r2 . El producto interior usual de Rr1+r2 se restringe a H, y ası la medida usualtambien se restringe a H. Definimos el regulador de K (mas precisamente, de O×K) como

RegK =Vol (H/λ(O×K))√

r1 + r2

.

Con las convenciones usuales sobre espacios vectoriales de dimension 0, se obtiene queVol (H/λ(O×K)) = 1 cuando dimH = 0. Esto ocurre exactamente cuando (r1, r2) = (1, 0)

35

o (r1, r2) = (0, 1), es decir, para Q y campos cuadraticos imaginarios. Ası, para esos camposobtenemos RegK = 1/

√1 = 1.

Salvo el caso de Q y los campos cuadraticos imaginarios, dimH > 0 y el calculo deRegK es no trivial. Mas adelante veremos que el regulador de un campo de numeros es uninvariante aritmetico muy importante, con una sorprendente relacion al numero de claseshK . Pero por ahora nos centraremos en como calcularlo.

Lema 6.8. Sea m ≥ 2 y considere H(m) = v :∑

j vj = 0 ⊆ Rm. Para k = 1, ...,m sea

πk : Rm → Rm−1 la proyeccion que borra la k-esima coordenada. Cada πk se restringe a unisomorfismo R-lineal H(m)→ Rm−1 que multiplica los volumenes por un factor m−1/2.

Demostracion. Por simetrıa basta considerar πm. Claramente πk|H : H → Rm−1 esisomorfismo, y su inversa es ν : Rm−1 → H dada por

ν(x1, ..., xm−1) = (x1, ..., xm−1,−(x1 + ...+ xm−1)).

Veamos que ν multiplica volumenes por un factor m1/2. Una base ortonormal en Rm−1 es laestandar e1, ..., em−1 que generan un (m− 1)-cubo R de volumen 1. Para calcular el (m− 1)-volumen de ν(R) notamos que es igual al n-volumen del dominio fundamental generado porν(e1), ..., ν(em−1), w donde w es un vector unitario perpendicular a H. Podemos tomarw = (m−1/2, ...,m−1/2). Esto da que el volumen deseado es | detM | donde M es la matriz

M = [ν(e1)| · · · |ν(em−1)|w] =

1 0 · · · 0 m−1/2

0 1 · · · 0 m−1/2

......

0 0 · · · 1 m−1/2

−1 −1 · · · −1 m−1/2

.Factorizando m−1/2 del determinante y sumandole filas a la ultima fila nos da que

detM = m−1/2 · det

1 0 · · · 0 10 1 · · · 0 1...

...0 0 · · · 1 10 0 · · · 0 m

= m−1/2 ·m = m1/2.

Ejemplo. Es instructivo dibujar el caso m = 2 del lema 6.8. Aquı dimH = 1 y losvolumenes en H son simplemente las longitudes usuales.

36

Tomando en H un segmento X de longitud 1, la longitud de π1(X) y π2(X) es 1/√

2.

Teorema 6.9. Sea K campo de numeros y sea σ1, .., σn : K → C una enumeracionadmisible de las inclusiones. Sea r = r1 + r2 − 1.

Si r = 0 entonces K = Q o K es un campo cuadratico imaginario, y en ambos casosRegK = 1.

Suponga ahora que r ≥ 1 y sea η1, ..., ηr un sistema de unidades fundamentales para O×K.Considere la matriz real de tamano r × (r1 + r2)

U = U(η1, ..., ηr;σ1, ..., σr1+r2) = [nj log |σj(ηi)|]i,jdonde nj = 1 si j ≤ r1 y nj = 2 si j > r1. Se tiene:

(i) Los elementos de cada fila de U suman 0.(ii) Si se borra cualquier columna de U , se obtiene una matriz de rango r cuyo determi-

nante tiene valor absoluto RegK.

Demostracion. (i): La suma de los elementos de la fila i es log |NrK(ηi)| = 0.(ii): Considere las proyecciones estandar πk : Rr1+r2 → Rr obtenidas al borrar la k-esima

coordenada. Recordamos que H = v ∈ Rr1+r2 :∑r1+r2

j=1 njvj = 0 y notamos que cada πk serestringe a un isomorfismo R-lineal H → Rr.

Por lo tanto πk(λ(O×K)) es un retıculo en Rr con base πk(λ(η1)), ..., πk(λ(ηr)). Al borrarla columna k de U se obtiene la matriz Uk := [πk(λ(η1))| · · · |πk(λ(ηr))]

t. Aplicamos el lema6.8 con m = dimRr1+r2 = r1 + r2. Esto nos da que

| detUk| = Vol (Rr/πk(λ(O×K))) = (r1 + r2)−1/2 · Vol (H/λ(O×K)) = RegK .

Ejemplo. K = Q(√

2). Tenemos OK = Z[√

2] y r = r1 + r2 − 1 = 2 + 0 − 1 = 1.Calcular unidades fundamentales en general es difıcil, pero en este caso sencillo podemosusar la proposicion 6.7 con D = 2. Por busqueda exhaustiva entre las soluciones positivaspequenas de x2 − 2y2 = 1 encontramos la solucion fundamental de esta ecuacion de Pell:(x, y) = (3, 2). Tambien encontramos que η = 1 +

√2 cumple NrK(η) = −1 y η2 = 3 + 2

√2.

Ası, η es una unidad fundamental de O×K . Dibujamos λ(O×K) ⊆ H ⊆ Rr1+r2 = R2:

37

Vemos del dibujo que Vol (H/λ(O×K)) =√

2 log(1 +√

2). Ası, RegK = log(1 +√

2).Calculemos RegK de nuevo, pero usando la formula del teorema 6.9 esta vez. Tenemos

U =[log |1 +

√2|, log |1−

√2|]

y borrando la segunda columna nos da

RegK = | log |1 +√

2|| = log(1 +√

2) ≈ 0,88137.

38

Capıtulo 7

Funciones zeta

1. Preliminares sobre series de Dirichlet

Una serie de Dirichlet es una serie del tipo

D(s) =∑n≥1

anns, an ∈ C.

Los an son los coeficientes de Dirichlet de D(s). Con respecto a convergencia tenemos

Lema 7.1. Si D(s) converge en s = s0 ∈ C, entonces para cada 0 < α < π/2 tenemosque D(s) converge uniformemente en la region

z ∈ C : <(z − s0) ≥ 0, y | arg(z − s0)| ≤ α.

Demostracion. Salvo un cambio de variable, podemos suponer que s0 = 0 (los coefi-cientes de Dirichlet an se reemplazan por ann

−s0). Ahora∑

n an converge. Queremos mostrarque para cada M > 0 la serie D(s) converge uniformemente en

R = z ∈ C : <(z) > 0 y |z| ≤M<(z).Para cualquier l > k, la sumas de Abel nos dan

l∑n=k

anns

=

(l∑

n=k

an

)1

ls+

l−1∑n=k

(n∑j=k

aj

)(1

ns− 1

(n+ 1)s

).

Sea ε > 0. Tomar Nε tal que para todo l > k > Nε se cumpla∣∣∣∑l

n=k an

∣∣∣ < ε. Observe que∣∣∣∣ 1

ns− 1

(n+ 1)s

∣∣∣∣ =

∣∣∣∣∣s∫ log(n+1)

logn

e−stdt

∣∣∣∣∣ ≤ |s|∫ log(n+1)

logn

e−t<(s)dt =|s|<(s)

(1

n<s− 1

(n+ 1)<s

).

Entonces si l > k > Nε, para todo s ∈ R tenemos∣∣∣∣∣l∑

n=k

anns

∣∣∣∣∣ ≤ ε ·(

1 +M

(1

k<s− 1

(l + 1)<s

))≤ ε · (1 +M).

Corolario 7.2. Sea D(s) una serie de Dirichlet. Existen σa, σc ∈ [−∞,∞] tales queD(s) converge (absolutamente) para <(s) > σc (resp. <(s) > σa), y no converge (resp.absolutamente) para <(s) < σc (resp. <(s) < σa). Ademas, D(s) es holomorfa en <(s) > σc,y en esta region se cumple que

D′(s) = −∞∑n=1

an log n

ns.

39

Demostracion. El resultado es evidente, salvo el hecho que D(s) es holomorfa para<(s) > σc y que la derivada se obtiene derivando termino a termino. Esto es porque en elsemi-plano <(s) > σc las sumas parciales de D(s) convergen a D(s) uniformemente sobrecompactos. En efecto, todo compacto de un semi-plano abierto <(s) > B se puede incluiruna region “cuna” como las del lema anterior.

Los numeros σc, σa se llaman abscisa de convergencia y abscisa de convergencia absolutarespectivamente. Hacemos notar que

Lema 7.3. Si an ≥ 0 para cada n entonces D(s) cumple que σc = σa.

Vamos a necesitar el siguiente lema. La demostracion es un ejercicio elemental, pero elresultado es extremadamente practico y de uso comun en teorıa analıtica de numeros.

Lema 7.4 (Sumas por partes). Sea a1, a2, a3, ... una secuencia en C. Sea x ≥ 1 y seaf : [1, x]→ C de clase C 1. Entonces∑

n≤x

anf(n) =

(∑n≤x

an

)f(x)−

∫ x

1

(∑n≤t

an

)f ′(t)dt.

En muchos casos de interes aritmetico uno tiene control sobre las sumas parciales S(x) =∑n≤x an. Esto se traduce en propiedades analıticas para D(s). Los dos lemas siguientes son

ejemplos particulares, pero sirven en situaciones bastante tıpicas en aritmetica. La mismatecnica de demostracion se puede usar en situaciones mas generales.

Lema 7.5. Suponga que existe B ∈ R tal que∑

n≤x an = O(xB). Entonces D(s) convergepara <(s) > B y en esa region se puede expresar como

D(s) = s

∫ ∞1

S(t)dt

ts+1, <(s) > B.

Demostracion. Usando sumas por partes, las sumas parciales de D(s) cumplen∑n≤x

anns

=S(x)

xs+ s

∫ x

1

S(t)dt

ts+1.

De esta expresion y el hecho que S(x) = O(xB), es claro que D(s) converge para <(s) > B.Ademas, cuando <(s) > B tomamos el lımite x→∞ para obtener la formula deseada.

Lema 7.6. Suponga que existen ρ ∈ C× y b < 1 tales que∑

n≤x an = ρx+O(xb). Entoncesσc = 1 y tenemos la expresion

D(s) = s

∫ ∞1

S(t)dt

ts+1, <(s) > 1.

Ademas, D(s) admite una continuacion analıtica a la region <(s) > b salvo el punto s = 1donde tiene un polo simple de residuo ρ.

Demostracion. La primera parte es por la cota S(x) = O(x) y el lema anterior conB = 1. Para la segunda parte, usando S(x) = ρx+O(xb) con b < 1 obtenemos

D(s) = ρs

∫ ∞1

dt

ts+ s

∫ ∞1

(S(t)− ρt) dtts+1

.

40

Como la funcion S(t) − ρt es continua por tramos y cumple S(t) − ρt = O(xb), la segundaintegral converge a una funcion holomorfa en la region <(s) > b. Por otro lado, la primeraintegral converge a una funcion holomorfa para s > 1 y cumple

ρs

∫ ∞1

dt

ts=

ρs

s− 1, <(s) > 1.

Esto da lo deseado.

Ejemplo. El ejemplo no trivial mas sencillo se obtiene con la secuencia constante an = 1.Esto da la funcion zeta de Riemann:

ζ(s) =∑n≥1

1

ns.

Aquı se tiene S(x) = bxc = x+O(1). Aplicamos el lema anterior con ρ = 1 y b = 0. Primero,esto nos da que ζ(s) converge para <(s) > 1, pero como los coeficientes de Dirichlet sonreales positivos, la convergencia en esta region es absoluta. Ası, σc = σa = 1. Segundo,obtenemos que ζ(s) admite una continuacion analıtica a la region <(s) > 0 salvo por ununico polo simple de residuo ρ = 1 en s0 = 1.

Las propiedades analıticas de la funcion D(s) no solo reflejan informacion de los an, sinoque de hecho D(s) determina los an de manera unica cuando hay convergencia absoluta.

Lema 7.7 (Unicidad). Sean a = (an)n y b = (bn)n dos secuencias en C y sean D(s, a)y D(s,b) sus series de Dirichlet, respectivamente. Suponga que para cierto σ0 < +∞ setiene que ambas series convergen absolutamente en la region <(s) > σ0, y que en esa regionD(s, a) = D(s,b). Entonces a = b.

Demostracion. Basta el caso bn = 0 para todo n. Por contradiccion, supongamos queD(s, a) = 0 en la region y que an0 6= 0 para algun n0 ≥ 1 que suponemos minimal. Fijamosσ1 > σ0 cualquiera, entonces para t > 0 tenemos D(σ1 + t, a) = 0 y ası

|an0| =

∣∣∣∣∣ ∑n≥n0+1

annσ1+t

· nσ1+t0

∣∣∣∣∣ ≤ ∑n≥n0+1

|an|nσ1+t

· nσ1+t0 ≤ D(σ1, a)nσ10

(n0

n0 + 1

)t.

Tomando el lımite cuando t→ +∞ obtenemos an0 = 0, una contradiccion.

2. Productos de Euler

Recordamos el sigueinte resultado de analisis complejo:

Lema 7.8. Sea fn una secuencia de funciones holomorfas en un dominio Ω tales que∑n fn converge absoluta y uniformemente sobre compactos. Entonces

∏n(1 + fn) converge

absoluta y uniformemente sobre compactos a una funcion holomorfa en Ω.

Lema 7.9 (Producto de Euler). Suponga que la funcion aritmetica n 7→ an es multiplica-tiva no identicamente nula. Para <(s) > σa, la serie D(s) admite la expresion en productosobre numeros primos

D(s) =∏p

(1 +

apps

+ap2

p2s+ ...

).

41

Mas aun, si an es completamente multiplicativa, entonces

D(s) =∏p

1

1− app−s, <(s) > σa.

Demostracion. Si omitimos consideraciones de convergencia, la primera identidad esinmediata gracias a la multiplicatividad de an y el teorema de factorizacion unica en Z. Laconvergencia es asegurada porque para <(s) > σa se tiene∑

p

(|ap||ps|

+|ap2||p2s|

+ ...

)≤∑n

|an|n<(s)

<∞

y podemos usar el lema 7.8. Cuando an es completamente multiplicativa, tenemos queapkp

−ks = (app−s)k, ası que la cota anterior nos da en particular que |app−s| < 1 para

<(s) > σa. Ası, la segunda formula viene de la primera sumando una serie geometrica.

Ejemplo. Nuevamente tomamos an = 1. Obtenemos la siguiente expresion para ζ(s)demostrada por Euler:

ζ(s) =∏p

1

1− p−s, <(s) > 1.

Euler observo que la demostracion de esta identidad utiliza la factorizacion unica en Z, perono requiere saber de antemano el hecho que existen infinitos numeros primos. Ası que lasiguiente es una demostracion honesta de la infinitud de los primos (un teorema de Euclides):

Demostracion de la infinitud de los numeros primos. Si hubiese solo finitos,el producto de Euler para ζ(s) serıa convergente en s = 1, pero hay un polo en s = 1.

Esta demostracion es como matar una arana a martillazos: si bien es divertida, parece unesfuerzo innecesario. Pero la idea de fondo es que el polo de ζ(s) en s = 1 guarda informacionsobre los numeros primos, y esto resulta ser un hecho clave que abre la puerta para muchosotros resultados sobre la distribucion de primos.

3. Conteo de ideales

En esta seccion, K es un campo de numeros de grado n. Vamos a generalizar la funcionzeta de Riemann para estudiar otros campos de numeros, no solo para Z en Q. Esto va arequerir contar ideales de norma acotada. Para ζ(s) bastaba con notar que la cantidad deenteros positivos n ≤ x es bxc = x+O(1), pero en el caso general el calculo analogo es masdelicado.

Para una enumeracion admisible de las inclusiones σj : K → C consideramos la inclusionarquimedeana ψ : K → E = E(r1, r2). Definiremos algunas cosas en el espacio E:

O×K actua en E = Rr1 × Cr2 vıa ψ, con multiplicacion coordenada a coordenada.Definimos h : E → R por la formula h(v) =

∏r1+r2j=1 |vj|nj , donde nj = 1, 2 segun σj

sea real o complejo, como es usual.El conjunto R(1) = 0 ∪ v ∈ E : 0 < h(v) ≤ 1 ⊆ E.

Ejemplo. Para n = 2 hay dos posibilidades: (r1, r2) es (2, 0) o bien (0, 1). TenemosE(2, 0) = R2 con h(x, y) = |xy|, y E(0, 1) = C con h(z) = |z|2. Respectivamente, lasregiones R(1) ⊆ E estan dibujadas a continuacion:

42

Es importante observar que h ψ(α) = |NrK(α)| para todo α ∈ K. Ademas la accion deO×K en K es compatible con su accion en E, y esta accion se restringe a una accion en R(1).

Dado b un ideal fraccionario de K definimos P (b;x) como el numero de ideales fraccio-narios principales a ⊆ b con [b : a] ≤ x. En particular, P (OK ;x) es el numero de idealesprincipales (0) 6= a ⊆ OK de norma Nr(a) ≤ x.

Lema 7.10. Existe una constante κK > 0 que solo depende de K tal que para todo idealfraccionario b ⊇ OK se tiene

P (b;x) = κK · x+O(x1−1/n), (x→∞).

Ademas, κK tiene la siguiente descripcion: la accion de O×K en R(1) admite un dominiofundamental F (1) compacto, de interior no vacıo, con frontera suave por tramos, y se tiene

κK =Vol (F (1))

Vol (E/ψ(OK))=

2r1Vol F (1)√|DK |

Demostracion. Dado 0 6= α ∈ b elegimos β ∈ OK con (β) ⊆ (α) de forma queβ/α ∈ OK y deducimos

[b : (α)] =[b : OK ] · |NrK(β)|

[(α) : (β)]=

[b : OK ] · |NrK(β)|[OK : (β/α)]

= [b : OK ] · |NrK(α)|.

Multiplicar un α ∈ OK por elementos de O×K no cambia |NrK(α)|, ası que para todo x > 0tenemos que O×K actua en el conjunto

Ω(b;x) = 0 6= α ∈ b : |NrK(α)| ≤ x.Observamos que

(3.1) #(Ω(b;x)/O×K) = P (b; [b : OK ] · x).

Para x > 0 definimos R(x) = v ∈ E : h(v) ≤ x y observamos que x1/n ·R(1) = R(x). Laaccion de O×K en E se restringe a una accion en R(x).

Podemos elegir un dominio fundamental F (1) ⊆ R(1) compacto, de interior no vacıo,con frontera suave por partes gracias al teorema 6.4 (i.e. λ(O×K) es un retıculo en H(r1 +r2)).En efecto, H(r1 + r2) es la imagen de v ∈ E : h(v) = 1 por la funcion log : v ∈ E :∀j, vj 6= 0 → Rr1+r2 definida por log(v) = (nj log |vj|)j, y esta funcion cumple log ψ = λen O×K . Como ker(λ) = µ(K) es finito, vemos que hay un dominio fundamental F compacto

43

de frontera suave por partes para la accion de O×K en v ∈ E : h(v) = 1 y con interior novacıo en v ∈ E : h(v) = 1. Podemos tomar F (1) = [0, 1] · F .

Notamos que F (x) := x1/nF (1) ⊆ R(x) es un dominio fundamental para la accion deO×K en R(x). Tenemos entonces que

#(Ω(b;x)/O×K) = #ψ(b) ∩F (x) +O(#ψ(b) ∩ ∂F (x)).

Usando el hecho que ψ(b) es un retıculo en E, F (1) es un compacto con frontera suave portramos, y F (x) = x1/nF (1), lo anterior nos da

#(Ω(b;x)/O×K) =Vol (F (1))

Vol (E/ψ(b))· (x1/n)dimR E +O((x1/n)dimR E−1)

=Vol (F (1))

Vol (E/ψ(b))· x+O(x1−1/n).

Usando x = y/[b : OK ] en esta formula y notando que

Vol (E/ψ(b)) = Vol (E/ψ(OK))/[b : OK ]

obtenemos la formula deseada gracias a (3.1) y al teorema 4.7.

Ejemplo. K = Q(i). Aquı ψ : Z[i] → E = C es la inclusion usual, y Z[i]× = µ4 =1,−1, i,−i actua por multiplicacion. La funcion h : E = C→ R es h(z) = |z|2. La regionR(1) es el disco unitario, y un dominio fundamental (compacto) para la accion de Z[i]× esel cuarto de disco F (1) = z ∈ C : |z| ≤ 1,<(z) ≥ 0,=(z) ≥ 0.

En mas detalle: siguiendo la notacion de la demostracion anterior, el arco de circunferenciaF (desde 1 hasta i) es un dominio fundamental para la accion de Z[i]× = ±1,±i en

v ∈ E : h(v) = 1 = z ∈ C : |z|2 = 1,y la region F (1) se obtuvo como [0, 1] · F .

Para contar ideales principales a = (α) 6= (0) en OK con Nr(a) ≤ x basta notar que losunicos posibles generadores son ±α,±iα, ası que basta contar elementos 0 6= α ∈ Z[i] con|NrK(α)| ≤ x y dividir el resultado por 4. Esto es lo mismo que contar cuantos puntos deZ[i] estan en x1/2F (1) = F (x), el cual es un cuarto de disco de radio x1/2 (salvo por untermino de error que viene de la frontera de esa region, donde puede haber conteo repetido):

44

Esto nos da que P (Z[i];x) = (π/4) · x+O(x1/2).

4. La funcion zeta de Dedekind

En esta seccion, K es un campo de numeros de grado n. La funcion zeta de Dedekindpara K es la siguiente serie de Dirichlet:

ζK(s) =∞∑n=1

cK(n)

ns, cK(n) = #(0) 6= a ⊆ OK : Nr(a) = n.

Notamos que los cK(n) son enteros no negativos por el lema 5.2. Otra observacion relevantees que en el caso especial K = Q obtenemos cQ(n) = 1 para todo n, ası que ζQ(s) es lafuncion zeta de Riemann

ζQ(s) = ζ(s).

Teorema 7.11. ζK(s) tiene σc = σa = 1, y admite extension analıtica a <(s) > 1− 1/nsalvo en s = 1, donde tiene un unico polo. El polo tiene orden 1 y residuo ρK > 0. Ademas,

ρK =hK · 2r1Vol F (1)√

|DK |.

Demostracion. Para cada u ∈ Cl(K) escribimos

Su(x) = #a ⊆ OK : [a] = u& Nr(a) ≤ x.El teorema 5.3 nos dice que hK = #Cl(K) es finito, y para cada u ∈ Cl(K) podemos elegirun ideal cu ⊆ OK con [cu] = u. Sea bu = cu, de modo que bu ⊇ OK . Notamos que:

para cualquier ideal a ⊆ OK con [a] = u, existe un unico ideal fraccionario principald tal que dcu = a, y ademas d ⊆ bu porque a ⊆ OK .Para cualquier ideal fraccionario principal d ⊆ bu se tiene que a := dcu ⊆ OK y[a] = u.Si a = dcu como en cualquiera de los dos ıtemes anteriores, entonces hay un idealentero m ⊆ OK con d = mbu y se cumple que

Nr(a) = Nr(mbucu) = Nr(m) = [bu : d].

De estas tres observaciones se deduce que

Su(x) = P (bu;x)

45

y ası el lema 7.10 da para cada u ∈ Cl(K)

Su(x) = κK · x+O(x1−1/n).

Sea S(x) =∑

n≤x cK(n). Entonces S(x) =∑

u Su(x) donde la suma tiene hK terminos, y sededuce que

S(x) = hKκK · x+O(x1−1/n).

El resultado ahora es consecuencia del lema 7.6.

La convergencia absoluta nos permite reordenar, y obtenemos

Corolario 7.12. Para <(s) > 1 tenemos

ζK(s) =∑a

1

Nr(a)s

donde la suma es sobre todos los ideales (0) 6= a ⊆ OK.

Con mas trabajo es posible dar una formula explıcita para Vol F (1) en terminos de losinvariantes fundamentales de K. Esto lleva a la siguiente importante formula para ρK :

Teorema 7.13 (Formula analıtica del numero de clases). Se tiene que

Vol F (1) =(2π)r2RegK

wK, (wK = #µ(K)).

En particular,

Ress=1ζK(s) =2r1(2π)r2hKRegK

wK√|DK |

.

La demostracion es basicamente examinar la construccion de F (1) que dimos en lademostracion del lema 7.10 y calcular el volumen usando un cambio de variables adecuadopara cierta integral multiple que aparece. Lo vamos a omitir porque es un calculo laborioso yno usaremos esta formula el curso. Sin embargo, el caso de campos cuadraticos imaginarioses bastante sencillo porque O×K = µ(K) y RegK = 1 (ver el ejemplo de K = Q(i) de laseccion anterior). Este caso se deja como ejercicio para el lector interesado.

46

Capıtulo 8

Primos con condiciones de congruencia

1. Producto de Euler de ζK(s)

En esta seccion K es un campo de numeros.

Teorema 8.1 (Producto de Euler para ζK(s)). Para <(s) > 1 tenemos

ζK(s) =∏p

1

1− Nr(p)−s

donde p varıa sobre los ideales maximales de OK.

Demostracion. Si no nos preocupamos de convergencia, podemos expandir∏p

1

1− Nr(p)−s=∏p

(1 +

1

Nr(p)s+

1

Nr(p)2s+ ...

)y por el teorema de factorizacion unica de ideales de OK obtenemos la expresion para ζK(s)dada por el corolario 7.12. La convergencia se puede justificar de forma analoga a la de-mostracion del lema 7.9. Alternativamente, a continuacion damos otra demostracion usandodirectamente el lema 7.9:

La funcion cK(n) es multiplicativa porque si a, b son enteros positivos coprimos, entoncesla funcion (a, b) 7→ ab define una biyeccion

a ⊆ OK : Nr(a) = a × b ⊆ OK : Nr(a) = b → c ⊆ OK : Nr(a) = ab.Ası, el lema 7.9 nos da

ζK(s) =∏p

(1 +

cK(p)

ps+cK(p2)

p2s+ ...

), <(s) > 1

porque σa = 1 para ζK(s) (cf. teorema 7.11). Por otro lado, un calculo directo con la seriegeometrica nos da que para <(s) > 0 y un numero primo fijo p∏

p|p

1

1− Nr(p)−s=∏p|p

(1 +

1

Nr(p)s+

1

Nr(p)2s+ ...

)=∏p|p

(1 +

1

Nr(p)s+

1

Nr(p2)s+ ...

).

Expandiendo, vemos que esto es igual a∞∑k=0

∑Nr(a)=pk

1

Nr(a)s= 1 +

cK(p)

ps+cK(p2)

p2s+ ...

porque un ideal a tiene norma Nr(a) = pk para algun k si y solo si a se factoriza comoproducto de ideales primos p|p, y esta factorizacion es unica.

Como primera aplicacion, obtenemos informacion sobre los ideales primos de OK .

47

Corolario 8.2. Sea K 6= Q campo de numeros. Existen infinitos primos p ⊆ OK quecumplen f(p) = 1, y existen infinitos que no.

Demostracion. Sea n = [K : Q], de modo que n ≥ 2. Para <(s) > 1, el producto deEuler para ζK(s) se puede escribir

ζK(s) =∏p

Fp(s), Fp(s) :=∏p|p

1

1− p−f(p)s

por el lema 3.3. Notamos que cada Fp(s) es holomorfa y no se anula para <(s) > 0.Suponga que todos salvo finitos p tienen f(p) = 1. Entonces hay un conjunto finito de

numeros primos S tal que para todo p /∈ S se cumple

Fp(s) =

(1

1− p−s

)n.

Comparando con el producto de Euler de la funcion zeta de Riemann obtenemos

ζK(s) = ζ(s)n ·∏p∈S

Fp(s)(1− p−s)n.

Recordamos que ζ(s) se extiende a una funcion analıtica en <(s) > 0, salvo un polo simple ens = 1. Ası, el lado derecho define una funcion holomorfa en <(s) > 0 salvo un polo de ordenn ≥ 2 en s = 1. Pero ζK(s) tiene un polo simple en s = 1 (cf. teorema 7.11); contradiccion.

Por otro lado, suponga ahora que solo hay finitos p con f(p) = 1, y sea T el conjuntofinito formado por los numeros primos p bajo ellos. Para σ > 1 real y p /∈ T , tenemos

Fp(σ) =∏p|p

1

1− p−f(p)σ≤∏p|p

1

1− p−f(p)σ≤(

1

1− p−2s

)n/2.

De este modo, para σ > 1 se tiene

ζK(σ) ≤ ζ(2σ)n/2 ·∏p∈T

Fp(s)(1− p−2σ)n/2.

Tomando el lımite σ → 1+ el lado izquierdo diverge a +∞ porque ζK(s) tiene un polo simplede residuo ρK > 0 en s = 1 (c.f. teorema 7.11). Pero el lado derecho converge a un valorfinito; contradiccion.

Ejemplo. K = Q(i). Como DK = −4, solo p = 2 ramifica. Dado p > 2 y p|p, tenemosque f(p) = 1 si y solo si Z[i]/p = Fp, lo cual ocurre si y solo si x2 = −1 tiene solucion enFp. Usando el hecho elemental que (F×p , ·) ' (Z/(p− 1)Z,+), vemos que esto ultimo ocurresi y solo si p ≡ 1 mod 4. Por lo tanto, deducimos del resultado anterior que existen infinitosnumeros primos p de la forma 4k + 1, y existen infinitos de la forma 4k − 1.

Uno podrıa preguntarse si hay un teorema mas general que permita estudiar la existenciade ideales primos p con otras condiciones mas precisas, en lugar de simplemente pedir f(p) =1 o f(p) > 1. En efecto, hay un resultado mucho mas preciso llamado el Teorema de densidadde Chebotarev, pero es un tema mas avanzado y se escapa del panorama introductorio de estecurso. De todas formas, en las secciones siguientes veremos otra aplicacion de ideas similaresal estudio de numeros primos. Para esto sera necesario considerar otras series de Dirichletademas de ζK(s).

48

2. El grupo dual

Para un grupo abeliano finito G, su grupo dual es G = hom(G,C×), con multiplicacionde funciones y con neutro 1G : G → C× la funcion constante 1. Como G es finito, todo

χ : G→ C× toma valores en las raıces de la unidad, y por ende el inverso en G es dado porla conjugacion compleja. Naturalmente tenemos una funcion bilineal de evaluacion

〈−,−〉G = 〈−,−〉 : G× G→ C, 〈g, χ〉 = χ(g).

Lema 8.3. Sean G1, G2 grupos abelianos finitos y sea G = G1 ×G2. Sea ιj : Gj → G lainclusion canonica. La regla θ(χ) = (χ ι1, χ ι2) define un isomorfismo de grupos

θ : G→ G1 × G2.

Este isomorfismo es compatible con las formas bilineales de evaluacion en el siguiente sentido:

dados gj ∈ Gj y χj ∈ Gj se cumple

〈(g1, g2), θ−1(χ1, χ2)〉G = 〈g1, χ1〉G1 · 〈g2, χ2〉G2 .

Demostracion. Es claro que θ define un morfismo de grupos inyectivo.Dado χj ∈ Gj definimos χ ∈ G por χ(a, b) = χ1(a) · χ2(b). Notamos que (χ ι1)(a) =

χ(a, 0) = χ1(a)χ2(0) = χ1(a), ası que θ(χ) = (χ1, χ2), probando que θ es sobreyectiva.Ademas, con esta construccion de χ obtenemos θ−1(χ1, χ2) = χ.

La compatibilidad con la forma bilineal de evaluacion ahora es un chequeo directo.

Lema 8.4. Sea G = Z/NZ. Para a, b ∈ G definimos ψN(a, b) = exp(2πiab/N). Lafuncion ψN : G×G→ C× es simetrica, bilineal y no-degenerado.

La regla b 7→ ψN(−, b) induce un isomorfismo u : G → G. Este isomorfismo satisface

〈−,−〉 IdG × u = ψN en G×G. En particular, 〈−,−〉 : G× G→ C× es no-degenerado.

Demostracion. Que ψN sea simetrica y bilineal es claro. Dado a tal que ψN(a, b) = 1para todo b ∈ G, con b = 1 tenemos 1 = ψN(a, 1) = exp(2πia/N), lo cual implica a = 0 enG. Ası, ψN es no-degenerado.

Es claro que u : G→ G es morfismo de grupos. Como ψN es no-degenerado, u es inyectivo.

Un elemento χ ∈ G queda determinado por χ(1), ası que #G ≤ #µN = N = #G, por locual u es isomorfismo. Las demas consecuencias son inmediatas.

Teorema 8.5. Para todo grupo abeliano finito G se tiene G ' G. Ademas, la formabilineal de evaluacion es no-degenerada.

Demostracion. Por el teorema de clasificacion de grupos abelianos finitamente genera-dos, todo grupo abeliano finito es producto directo de grupos cıclicos. El resultado se deduceusando el lema 8.4 como caso base y aplicando el lema 8.3 repetidas veces.

Es conveniente exhibir los caracteres en una tabla de caracteres donde cada fila corres-ponde a los valores que toma un caracter. Las tablas de caracteres de grupos abelianos finitosson cuadradas gracias teorema anterior.

49

Ejemplo. Tomamos G = Z/4Z. Como G es cıclico, un caracter χ queda determinado porsu valor en un generador, digamos, por χ(1) ∈ µ4. Se obtiene

0 1 2 3ψ0 = 1Z/4Z 1 1 1 1ψ1 1 i −1 −iψ2 1 −1 1 −1ψ3 1 −i −i i.

Teorema 8.6 (Relaciones de ortogonalidad). Sea G un grupo abeliano finito.

(i) Sean g, h ∈ G. Entonces∑χ∈G

χ(g) · χ(h) =

#G si g = h

0 si g 6= h.

(ii) Sean χ, ψ ∈ G. Entonces∑g∈G

χ(g) · ψ(g) =

#G si χ = ψ

0 si χ 6= ψ.

Demostracion. La formula en (i) para el caso g = h es obvia: χ(g) es una raız de la

unidad, de modo que χ(g) · χ(g) = |χ(g)|2 = 1 y la suma requerida es∑

χ∈G 1 = #G = #G.

Supongamos ahora que g 6= h. Como 〈−,−〉 es no-degenerada, existe un caracter χ1 que

cumple χ1(g) 6= χ1(h). Por lo tanto 1 6= χ1(g) · χ1(h)−1 = χ1(g)χ1(h).Llamemos S(g, h) a la suma requerida. Entonces

χ1(g)χ1(h) · S(g, h) =∑χ∈G

(χ1χ)(g) · (χ1χ)(h) = S(g, h)

ya que cuando χ varıa sobre todos los caracteres de G, el producto χ1χ tambien. Por lo tanto

(χ1(g)χ1(h)− 1) · S(g, h) = 0

y deducimos S(g, h) = 0. El item (ii) se demuestra de forma completamente analoga.

Observamos que este teorema dice que para un grupo abeliano finito G, su tabla decaracteres tiene todas las columnas ortogonales entre ellas (por el item (i)) y todas las filasortogonales entre ellas (por el item (ii)) viendo estas filas y columnas como vectores en Cn(con n = #G) bajo el producto interior usual de Cn.

Ejemplo. Tomemos G = Z/2Z. Sabemos que hay 2 caracteres (ya que G ' G) y ademasconocemos la fila del caracter trivial 1 y la columna del elemento neutro 0:

0 11Z/2Z 1 1χ 1 (?)

El valor que falta es −1 gracias a las relaciones de ortogonalidad, ası que la tabla es

0 11Z/2Z 1 1χ 1 −1.

50

3. Funciones L de Dirichlet

En esta seccion N es un entero positivo. Definimos grupo multiplicativo GN = (Z/NZ)×.Notar que el orden de GN es dado por la funcion de Euler φ(N). Los caracteres de Dirichlet

modulo N son los elementos de GN . Dado un caracter de Dirichlet χ ∈ GN obtenemos unafuncion aritmetica completamente multiplicativa χ : N→ C definiendo

χ(n) =

χ(n mod N) si (n,N) = 1,

0 si (n,N) 6= 1.

Ella tambien se llama caracter de Dirichlet. El neutro χ0 := 1GNse llama caracter principal.

Ejemplo. N = 3. Entonces GN = 1 mod 3, 2 mod 3. Los caracteres son

1 2χ0 1 1χ 1 −1.

La funcion aritmetica completamente multiplicativa asociada al caracter no-principal es

χ(n) =

0 si n ≡ 0 mod 3,

1 si n ≡ 1 mod 3,

−1 si n ≡ 2 mod 3.

Lema 8.7. Si χ 6= χ0 entonces para todo x se tiene∣∣∑

n≤x χ(n)∣∣ < φ(N) = ON(1).

Demostracion. Por la relacion de ortogonalidad, para cualquier a se tiene

a+N∑n=a+1

χ(n) =a+N∑n=a+1

χ(n)χ0(n) = 0.

Ası,∑

n≤x χ(n) =∑

Nbx/Nc<n≤x χ(n) y concluimos por la desigualdad triangular.

A cada χ ∈ GN se le asocia la funcion L de Dirichlet definida por

L(s, χ) =∞∑n=1

χ(n)

ns.

Teorema 8.8. Sea χ un caracter de Dirichlet modulo N . La serie L(s, χ) tiene σa = 1,y para <(s) > 1 admite el producto de Euler

(3.1) L(s, χ) =∏p

1

1− χ(p)p−s, <(s) > 1.

Ademas:

(i) Si χ = χ0 entonces σc = 1 y L(s, χ0) admite continuacion analıtica a <(s) > 0 salvoen s = 1 donde tiene un polo simple de residuo φ(N)/N . Ademas,

L(s, χ0) = ζ(s)∏p|N

(1− p−s), <(s) > 1.

(ii) Si χ 6= χ0 entonces σc = 0. Ası, L(s, χ) converge a una funcion analıtica en <(s) > 0.

51

Demostracion. Tenemos∑

n≤x χ0(n) = (φ(N)/N)x + O(1) y χ0(n) ≥ 0, ası que laprimera parte del item (i) viene del lema 7.6.

Para cualquier χ tenemos |χ(n)| = χ0(n) por lo que L(s, χ) siempre tiene σa = 1. Comoχ es completamente multiplicativa, la formula (3.1) viene del lema 7.9. En el caso de χ0

obtenemos la segunda parte de (i):

L(s, χ0) =∏p

1

1− χ0(p)p−s=∏p-N

1

1− p−s= ζ(s)

∏p|N

(1− p−s), <(s) > 1.

Para χ 6= χ0 los lemas 8.7 y 7.5 dan σc ≤ 0. Ademas L(s, χ) es analıtica para <(s) > σc.Finalmente, σc ≥ 0 porque |χ(n)/n0| = χ0(n) no converge a 0. Esto da (ii).

Dado p - N , definimos a(p) como el orden de p mod N en GN . Sea b(p) = φ(N)/a(p).

Lema 8.9. Para p - N se tiene la identidad (1− ta(p))b(p) =∏

χ mod N(1− χ(p)t) en C[t].

Demostracion. El morfismo αp = 〈p,−〉 : GN → C× tiene imagen µd para algund|a(p). Para todo χ tenemos 1 = 〈p, χ〉d = 〈pd, χ〉 y como 〈−,−〉 es no-degenerado obtenemospd ≡ 1 mod N . Ası, d = a(p) y # ker(αp) = b(p). La ecuacion ahora es clara.

Vamos a trabajar con el campo de numeros ciclotomico KN = Q(µN).

Lema 8.10. Dado N , hay un conjunto finito de numeros primos SN que contiene a losdivisores primos de N , con la siguiente propiedad: Sea p /∈ SN . Sea p|p un primo de OKN

.Entonces f(p) = a(p) y g(p) = b(p).

Demostracion. Las raıces de 1 son enteros, ası que Z[µN ] es un orden en OKN. Basta

tomar SN = p : p|N & p|DKN& p|[OKN

: Z[µN ]]. Los primos ramificados estan en SN asıque por el teorema “d = efg” basta mostrar f(p) = a(p). Ademas, para p /∈ SN se cumpleque Z[µN ]/p = OKN

/p. Tenemos pOKN=∏

p|p p sin repeticiones, y el teorema chino nos da

Z[µN ]/p = OK/p '∏p|p

κ(p).

Por otro lado, Z[µN ]/p ' Z[x]/(p,ΦN) ' Fp[x]/(ΦN) donde ΦN(x) es el polinomio minimalde ξ = exp(2πi/N), y ΦN ∈ Fp[x] es su reduccion modulo p. El resultado se sigue del hechoelemental que los factores irreducibles de ΦN tienen grado a(p). Por completitud, incluimosuna demostracion de esto ultimo:

Dado un factor irreducible f(x)|ΦN y una raız η ∈ Fp, vemos que η es una raız N -esimade 1 con orden exactamente N pues es reduccion de una raız de ΦN y p - N . Los conjugados

de η se obtienen por la accion de Frobenius, i.e. η, ηp, ηp2, .... Ası, deg(f) = a(p).

Teorema 8.11. Sea N ≥ 1 y sea KN = Q(µN). Existe un conjunto finito de numerosprimos SN tal que, salvo factores de Euler en primos p ∈ SN , tenemos que ζKN

(s) es igual a∏χ mod N

L(s, χ).

52

Demostracion. De los lemas 8.9 y 8.10, hay un conjunto finito de numeros primos SNtal que para todo p /∈ SN se tiene la identidad de polinomios

(1− tf(p))g(p) =∏

χ mod N

(1− χ(p)t)

donde f(p) = f(p) para cualquier p|p. Evaluando esta identidad en t = p−s llegamos a∏p|p

1

1− Nr(p)−s=∏p|p

1

1− p−f(p)s=

∏χ mod N

1

1− χ(p)p−s.

Obtenemos lo pedido para <(s) > 1, y concluimos por el principio de identidad analıtica.

Con mas trabajo, es posible demostrar que OKN= Z[µN ] y que los primos que ramifican

en K son los que dividen a N . Ası que de hecho se puede tomar SN = p : p|N. Pero estainformacion mas precisa no sera necesaria en nuestro estudio.

4. Primos en una progresion aritmetica

Sea N ≥ 1 un entero. Estudiaremos las funciones L(s, χ) para χ ∈ GN .

Teorema 8.12. Sea χ un caracter no-principal modulo N . Tenemos que L(1, χ) 6= 0.

Demostracion. Para cualquier campo de numeros K los factores de Euler 1/(1 −Nr(p)−s) de ζK son holomorfos y no se anulan en la region <(s) > 0. Similarmente paralos factores de Euler de L(s, χ). Ası, de los teoremas 8.11 y 7.11 deducimos que∏

χ mod N

L(s, χ)

se extiende analıticamente a la region <(s) > 0 con un unico polo en s = 1, el cual tieneorden 1. Del teorema 8.8 vemos que L(s, χ0) aporta con el polo. Como L(s, χ) es analıticaen s = 1 para cada χ 6= χ0, vemos que no se anula pues de otro modo cancelarıa el polo.

El teorema 8.12 guarda importante informacion sobre primos. Para extraerla usaremos:

Lema 8.13. Dado χ ∈ GN existe una funcion gχ(s) analıtica para <(s) > 1/2 tal que enla region <(s) > 1 se tiene ∑

p

χ(p)

ps= logL(s, χ) + gχ(s)

donde log es la rama del logaritmo que cumple log(1) = 0.

Demostracion. Para <(s) > 1 consideramos el producto de Euler de L(s, χ) y usamosla serie de Taylor de − log(1− z):

logL(s, χ) = log∏p

1

1− χ(p)p−s=∑p

− log(1− χ(p)p−s)

=∑p

∞∑k=1

χ(p)k

kpks=∑p

χ(p)

ps+∑p

∑k≥2

χ(p)k

kpks

53

Sea gχ(s) la segunda serie en la ultima expresion. Entonces gχ(s) converge para <(s) > 1/2:

|gχ(s)| ≤∑p

∑k≥2

1

pk<(s)=∑p

1

p<(s)(p<(s) − 1)<∞∑n=2

1

n<(s)(n<(s) − 1).

Teorema 8.14 (Dirichlet). Sea N un entero positivo y sea a un entero con (a,N) = 1.Existen infinitos numeros primos p con p ≡ a mod N .

Demostracion. Por las relaciones de ortogonalidad, para <(s) > 1 tenemos∑p≡a mod N

1

ps=∑p

1

ps

(1

φ(N)

∑χ mod N

χ(p)χ(a)

)=

1

φ(N)

∑χ mod N

χ(a)∑p

χ(p)

ps

Por el lema 8.13 tenemos∑p≡a mod N

1

ps=

1

φ(N)

∑χ mod N

χ(a) logL(s, χ) +G(s)

para cierta funcion G(s) = φ(N)−1∑

χ χ(a)gχ(s) analıtica en la region <(s) > 1/2. Tomamos

s→ 1+ y vemos que logL(s, χ0) diverge por el polo en s = 1 (c.f. teorema 8.8) mientras quepara χ 6= χ0

lıms→1+

logL(s, χ) = logL(1, χ)

converge a un valor finito por el teorema 8.12. Ası,

lıms→1+

∑p≡a mod N

1

ps= +∞.

54

Capıtulo 9

Estudio analıtico de la funcion zeta de Riemann

1. Analisis de Fourier

Recordemos algunos hechos basicos de analisis de Fourier.Sea F : R→ C en L1([0, 1]) y 1-periodica. Definimos

ck(F ) =

∫ 1

0

F (t) exp(−2πikt)dt.

La serie de Fourier de F es la serie∑k∈Z

ck(F ) exp(2πikx).

Un objetivo del analisis de Fourier es imponer condiciones adecuadas en F que asegurenconvergencia de esta serie (en algun sentido) y relacionarla con la F inicial. Por ejemplo:

Teorema 9.1. Si F es continua, 1-periodica y∑

k |ck(F )| < ∞, entonces la serie deFourier de F converge puntualmente a F .

Ahora consideramos f : R→ C en L1(R). Su transformada de Fourier es

f(t) =

∫Rf(x) exp(−2πixt)dx.

Ejemplo. La transformada de Fourier de f(x) = exp(−πx2) es ella misma:

f(t) =

∫R

exp(−π(x2 + 2ixt))dx = exp(−πt2)

∫R

exp(−π(x− it)2)dx = exp(−πt2).

El calculo de la ultima integral es un ejercicio sencillo de analisis complejo: primero se calculacon t = 0 (por ejemplo, tomando el cuadrado de la integral y usando coordenadas polares) yluego con t complejo arbitrario usando un cambio de camino en C y el teorema de Cauchy.

Teorema 9.2 (Formula de suma de Poisson). Sea f : R → C continua tal que existe

δ > 0 cumpliendo |f(x)|, |f(x)| (1 + |x|)−(1+δ) (notar que f existe por la primera cota).Entonces para todo y ∈ R se tiene∑

n∈Z

f(n+ y) =∑k∈Z

f(k) exp(2πiky).

Demostracion. Definir F (y) =∑

n f(n+y). La cota en f nos da convergencia uniformey absoluta para F , de modo que es continua. Por construccion F es 1-periodica, y podemos

55

calcular sus coeficientes de Fourier. Por convergencia absoluta y uniforme:

ck(F ) =

∫ 1

0

F (x) exp(−2πikx)dx =

∫ 1

0

∑n

f(n+ x) exp(−2πikx)dx

=∑n

∫ 1

0

f(n+ x) exp(−2πikx)dx =∑n

∫ n+1

n

f(x) exp(−2πikx)dx = f(k)

La cota en f(x) implica que∑

k |ck(F )| <∞ ası que F es puntualmente igual a su serie deFourier. Esto da∑

n∈Z

f(n+ y) = F (y) =∑k∈Z

ck(F ) exp(2πiky) =∑k∈Z

f(k) exp(2πiky).

Para nosotros, la siguiente aplicacion sera fundamental.

Lema 9.3. Para todo x > 0 se tiene∑n

exp(−πn2/x) = x1/2∑k

exp(−πn2x).

Demostracion. La transformada de Fourier de f0(z) = exp(−πz2) es ella misma comoya calculamos antes. Entonces con un cambio de variable vemos que para f(z) = f0(z/x1/2) =

exp(−πz2/x) se obtiene f(t) = x1/2 exp(−πz2x). Tanto f como f decaen rapido, ası quepodemos usar la formula de suma de Poisson del teorema anterior con y = 0.

2. Funciones especiales

Definimos la funcion Θ

Θ(x) =∑n∈Z

exp(−πn2x) = 1 + 2∞∑n=1

exp(−πn2x).

Esta serie converge para todo x ∈ R. El lema 9.3 se puede enunciar como la ecuacion funcional

Θ(1/x) = x1/2Θ(x).

La simetrıa de la serie Θ sugiere definir

W (x) =∞∑n=1

exp(−πn2x) =1

2(Θ(x)− 1)

y es inmediato de la ecuacion funcional de Θ que

W (1/x) =1

2

(x1/2Θ(x)− 1

)= x1/2W (x) +

1

2(x1/2 − 1).

Otra funcion especial que sera util en nuestro estudio es la Funcion Γ

Γ(s) =

∫ ∞0

e−xxsdx

x, <(s) > 0.

Recordamos algunos hechos basicos de Γ(s): Es un ejercicio conocido de integracion de-mostrar que Γ(s + 1) = sΓ(s). Inductivamente, esta ecuacion funcional da continuacion

56

meromorfa de Γ(s) a todo C, unicamente con polos en los enteros no-positivos. Estos polosson simples. Usando la ecuacion funcional tambien se demuestra que Γ(s) nunca se anula.

3. Los resultados de Riemann sobre ζ(s)

Ahora estudiaremos la funcion ζ(s). Partimos de la observacion que para <(s) > 0

Γ(s

2

)=

∫ ∞0

e−tts/2dt

t=

∫ ∞0

e−πn2x(πn2x)s/2

dx

x

= πs/2ns∫ ∞

0

xs/2e−πn2xdx

x

por lo cual, usando convergencia absoluta para <(s) > 1 deducimos

π−s/2Γ(s

2

)ζ(s) =

∑n≥1

∫ ∞0

xs/2e−πn2xdx

x

=

∫ ∞0

xs/2

(∑n≥1

∫ ∞0

e−πn2x

)dx

x=

∫ ∞0

xs/2W (x)dx

x.

Vamos a mejorar la convergencia de la ultima integral alejandonos de x = 0. Para estousamos la ecuacion funcional de Θ(x) (implıcita en W (x)) y el hecho que x 7→ 1/x tiene unpunto fijo en x = 1, lo que sugiere romper la integral ahı.∫ ∞

0

xs/2W (x)dx

x=

∫ ∞1

xs/2W (x)dx

x+

∫ 1

0

xs/2W (x)dx

x

=

∫ ∞1

xs/2W (x)dx

x+

∫ ∞1

x−s/2W (x−1)dx

x

=

∫ ∞1

(xs/2 + x(1−s)/2)W (x)dx

x+

1

2

∫ ∞1

x−s/2(x1/2 − 1)dx

x

=1

s(s− 1)+

∫ ∞1

(xs/2 + x(1−s)/2)W (x)dx

x.

Finalmente definimos la funcion ζ completada

ξ(s) =1

2s(s− 1)π−s/2Γ

(s2

)ζ(s).

Los calculos anteriores muestran el siguiente resultado fundamental de Riemann, en su cele-bre artıculo Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grosse (Sobre la canti-dad de numeros primos hasta una cota dada)

Teorema 9.4 (Riemann, 1859). Para <(s) > 1 se tiene

2ξ(s) = 1 + s(s− 1)

∫ ∞1

(xs/2 + x(1−s)/2)W (x)

dx

x.

Y como corolario obtenemos los siguientes resultados

Teorema 9.5 (Continuacion analıtica). ξ(s) tiene continuacion analıtica a todo C. Enparticular ζ(s) tiene continuacion meromorfa a todo C. El unico polo de ζ(s) ocurre en s = 1.

Demostracion. Inmediato del teorema 9.4 y el hecho que Γ(s) nunca se anula.

57

Teorema 9.6 (Ecuacion funcional). Tenemos ξ(1 − s) = ξ(s) para todo s ∈ C. Enparticular

π−(1−s)/2Γ

(1− s

2

)ζ(1− s) = π−s/2Γ

(s2

)ζ(s).

Demostracion. Inmediato del teorema 9.4 y de sustituir la definicion de ξ(s).

Teorema 9.7 (Ceros triviales). ζ(s) no se anula para <(s) > 1 y sus unicos ceros en laregion <(s) < 0 ocurren en s = −2n para n = 1, 2, .... Estos ceros tienen multiplicidad 1.

Demostracion. El producto de Euler da el no-anulamiento en <(s) > 1. La afirmacionpara <(s) < 0 viene del no anulamiento para <(s) > 1, la informacion que sabemos de cerosy polos de Γ(s), y la ecuacion funcional de ζ(s).

Queda la incognita sobre los ceros de ζ(s) en la llamada banda crıtica 0 ≤ <(s) ≤ 1. Porejemplo, en s = 1 tenemos un polo simple de residuo 1.

Ejemplo. Calculemos ζ(0). De la formula de Riemann obtenemos ξ(0) = 1/2. Ademas

ξ(s) = (s− 1)π−s/2s

2Γ(s

2)ζ(s) = (s− 1)π−s/2Γ(

s

2+ 1)ζ(s)

y evaluando en s = 0 obtenemos

1

2= −1 · 1 · Γ(0 + 1)ζ(0) =⇒ ζ(0) = −1

2.

De la experiencia con las funciones L de Dirichlet sabemos que los ceros de funciones Lguardan valiosa informacion, y de hecho Riemann sabıa que en el caso de ζ(s) los ceros de labanda crıtica codifican gran parte del comportamiento de los numeros primos. Ya llegaremosa discutir esa conexion, pero por ahora simplemente continuaremos con el estudio desde unpunto de vista analıtico.

Cabe mencionar que fue en ese artıculo de 1859 donde Riemann propuso la famosaHipotesis de Riemann como una respuesta conjetural al problema de la ubicacion de losceros de ζ(s) en la banda crıtica

Conjetura 9.8 (Hipotesis de Riemann). Todos los ceros de ζ(s) en la banda crıtica0 ≤ <(s) ≤ 1 estan en la recta <(s) = 1/2.

No es muy difıcil demostrar que ζ(s) en efecto tiene infinitos ceros en la banda crıticausando analisis complejo, pero omitiremos este resultado por brevedad.

4. El teorema de Hadamard y de la Valle Poussin

El primer ataque exitoso al problema de los ceros en la banda crıtica es el siguientecelebre teorema obtenido independientemente por Hadamard y de la Valle Poussin en 1896.

Teorema 9.9 (Hadamard; de la Valle Poussin). Se tiene que ζ(s) 6= 0 para todo s en larecta <(s) = 1.

Por la ecuacion funcional del ζ(s), esto significa que ζ(s) no tiene ceros en la frontera dela banda crıtica.

Este teorema permite contar numeros primos hasta una cota dada con una formulaasintoticamente correcta; esto sera explicado mas adelante.

58

La demostracion que daremos a continuacion es una presentacion moderna. Curiosamen-te, no necesita mas material que la continuacion analıtica de ζ(s) a <(s) > 0 y el productode Euler para <(s) > 1.

Lema 9.10. Sea 0 < δ < 1 y sea w ∈ C con |w| = 1. Entonces

|(1− δ)−3(1− δw)−4(1− δw2)−1| ≥ 1.

Demostracion. Como δ es pequeno podemos usar la serie de Taylor de − log(1− z):

log |(1− δ)−3(1− δw)−4(1− δw)−1| = <∞∑k=1

δk

k

=∞∑k=1

δk

k<(3 + 4wk + w2k).

Para concluir, bastarıa mostrar que <(3 + 4wk +w2k) ≥ 0 para todo k. En efecto, escribimosw = eiθ de modo que

<(3 + 4wk + w2k) = 3 + 4 cos(kθ) + cos(2kθ)

= 3 + 4 cos(kθ) + 2 cos(kθ)2 − 1

= 2(cos(kθ) + 1)2 ≥ 0.

Corolario 9.11. Sea σ > 1 y t ∈ R. Tenemos

|ζ(σ)3ζ(σ + it)4ζ(σ + 2it)| ≥ 1.

Demostracion. Aplicar el lema anterior a cada factor de Euler con δ = p−σ y w = p−it:

|(1− p−σ)−3(1− p−σp−it)−4(1− p−σp−2it)−1| ≥ 1.

Demostracion del Teorema 9.9. Por contradiccion, suponga que ζ(1+it0) = 0 paracierto t0 ∈ R. Por el polo, sabemos que t0 6= 0 ası que 2t0 6= t0. Sea

α = ords=1+it0ζ(s), β = ords=1+2it0ζ(s)

de modo que α ≥ 1 y β ≥ 0. Ademas, recordamos que

ords=1ζ(s) = −1.

Como −3 + 4α + β ≥ 1 vemos que

lımσ→1+

ζ(σ)3ζ(σ + it)4ζ(σ + 2it) = 0.

Pero esto contradice el corolario anterior.

59

Capıtulo 10

Conteo de numeros primos

1. Los teoremas de Chebyshev

Vamos a estudiar la funcion

π(x) = #p ≤ x : p es primo.Para esto resultan convenientes algunas funciones auxiliares. La funcion de von Mangoldt es

Λ(n) =

log p si n = pα con α ≥ 1 y p primo.

0 en otro caso.

Definimos las funciones de Chebyshev

θ(x) =∑p≤x

log p, ψ(x) =∑n≤x

Λ(n).

Lema 10.1 (Cotas basicas). Para todo x > 0 tenemos ψ(x) ≥ θ(x) y π(x) log x ≥ θ(x).Ademas,

ψ(x) = θ(x) +O(x1/2(log x)2).

Demostracion. Las dos primeras son obvias. Para la segunda notamos que

ψ(x) = θ(x) + θ(x1/2) + θ(x1/3) + ...+ θ(x1/r(x))

donde r(x) = O(log x). Usando la cota obvia θ(t) ≤ t log t obtenemos

θ(x1/2) + θ(x1/3) + ...+ θ(x1/r(x)) = O(x1/2(log x)2).

Vamos a estimar π(x), θ(x), ψ(x) con el metodo de Chebyshev. Crucial para este metodoes la funcion

T (x) =∑n≤x

log n = log(bxc!).

Lema 10.2. Tenemos T (x) = x log x− x+O(log x). En particular,

T (x)− 2T (x/2) = (log 2)x+O(log x).

Demostracion. Usamos sumas por partes (cf. lema 7.4) junto con bxc = x+O(1):

T (x) =∑n≤x

log n = bxc log x−∫ x

1

btcdtt

= x log x+O(log x) +

∫ x

1

dt+O

(∫ x

1

dt

t

)= x log x− x+O(log x).

61

El calculo de T (x)− 2T (x/2) es inmediato.

La relacion con numeros primos es dada por

Lema 10.3. Tenemos

T (x) =∑k≥1

ψ(x/k).

Demostracion. Recordamos que el exponente de p en n! es

vp(n!) = bn/pc+ bn/p2c+ bn/p3c+ ...

Con esto obtenemos∑k≥1

ψ(x/k) =∑k≥1

∑n≤x/k

Λ(n) =∑n≤x

Λ(n)⌊xn

⌋=∑n≤x

Λ(n)⌊xn

⌋=∑n≤bxc

Λ(n)

⌊bxcn

⌋

=∑p

(⌊bxcp

⌋+

⌊bxcp2

⌋+

⌊bxcp3

⌋+ ...

)log p

=∑p

vp(bxc!) log p = log(bxc!) = T (x).

Con esto, ya podemos obtener el teorema de Chebyshev:

Teorema 10.4 (Chebyshev, 1848). Se tiene que

(log 2)x+O(log x) < ψ(x) < 2(log 2)x+O((log x)2).

Ademas:

(i) π(x) log x ∼ θ(x) ∼ ψ(x),(ii) ψ(x) x, θ(x) x, π(x) x/ log x.

Antes de pasar a la demostracion, recordamos que la notacion f(x) ∼ g(x) (digamos, parafunciones positivas) significa que lımx→∞ f(x)/g(x) = 1, mientras que f(x) g(x) significaque existen constantes c1, c2 > 0 que cumplen c1f(x) ≤ g(x) ≤ c2f(x). En particular,f(x) ∼ g(x) implica f(x) g(x), pero no recıprocamente.

Demostracion. Por los lemas 10.3 y 10.2 tenemos

ψ(x)− ψ(x/2) + ψ(x/3)− ψ(x/4) + ... = T (x)− 2T (x/2) = (log 2)x+O(log x).

En la izquierda tenemos una suma alternante de terminos no-crecientes, ası que truncandoal primer termino y a los dos primeros terminos obtenemos las cotas

ψ(x) ≥ (log 2)x+O(log x)

ψ(x)− ψ(x/2) ≤ (log 2)x+O(log x).

62

La primera es la cota inferior de ψ(x) deseada. Usamos la segunda con x reemplazado porx, x/2, x/4, ..., x/2r con r = O(log x) y sumamos para obtener

ψ(x) ≤r∑j=0

(log 2

2jx+O(log x)

)< 2(log 2)x+O((log x)2).

Esto muestra las cotas de ψ(x). En particular ψ(x) x, y por el lema 10.1 obtenemosθ(x) ∼ ψ(x). En particular, θ(x) x. Para finalizar, bastarıa mostrar π(x) ∼ θ(x)/ log x.En efecto, usando sumas parciales:

π(x) =∑p≤x

log p

log p=θ(x)

log x+

∫ x

2

θ(t)dt

t(log t)2

=θ(x)

log x+O

(∫ x

2

dt

(log t)2

)=θ(x)

log x+O

(x

(log x)2

)donde usamos ∫ x

2

dt

(log t)2=

(∫ x/(log x)2

2

+

∫ x

x/(log x)2

)dt

(log t)2 x

(log x)2.

Como θ(x) x, el termino de error O(x/(log x)2) basta para obtener π(x) ∼ θ(x)/ log x.

2. La derivada logarıtmica de ζ(s)

Con lo anterior, Chebyshev demostro que π(x) es del orden de magnitud de x/ log x:

(log 2− ε) x

log x< π(x) < (2 log 2 + ε)

x

log x, para xε 1.

De hecho, Chebychev mejoro bastante las constantes log 2 y 2 log 2 con ideas similares.Sin embargo, estos metodos elementales no fueron suficientes para demostrar una formu-la asintotica precisa para π(x). En aquel entonces (finales de los 1840’s) era conocida laconjetura que π(x) ∼ x/ log x. El artıculo de Riemann de 1859 que estudiamos antes pro-puso una estrategia con analisis complejo para demostrar esa conjetura usando ζ(s). Lostrabajos de Hadamard y de la Valle Poussin (1896) lograron demostrar que ζ(s) 6= 0 para<(s) = 1 y demostraron la conjetura que π(x) ∼ x/ log x, completando ası el programa deRiemann. Esta formula se conoce como el teorema de los numeros primos.

En las secciones siguientes veremos una presentacion moderna de como usar el no-anulamiento de ζ(s) en <(s) = 1 para demostrar que π(x) ∼ x/ log x. A pesar de seruna presentacion moderna, el objeto clave que convierte informacion analıtica en aritmeticaes exactamente el mismo considerado por Riemann: la funcion −ζ ′(s)/ζ(s). La estudiamosa continuacion.

Teorema 10.5. La serie de Dirichlet asociada a Λ(n) tiene σc = σa = 1. Ademas, para<(s) > 1 tenemos

∞∑n=1

Λ(n)

ns= −ζ

′(s)

ζ(s).

63

Demostracion. Tenemos∑

n≤x Λ(x) = ψ(x) = O(x) por el teorema de Chebyshev. Porlo tanto la convergencia absoluta en <(s) > 1 se sigue del lema 7.5 y el hecho que Λ(n) ≥ 0.

Por otro lado, se tiene que si <(s) > 1

−ζ′(s)

ζ(s)= − d

dslog ζ(s) =

d

dslog∏p

(1− p−s) =∑p

d

dslog(1− p−s)

=∑p

log p

1− p−s=∑p

(1 + p−s + p−2s + ...

)log p =

∞∑n=1

Λ(n)

ns.

Finalmente, como ζ(s) tiene un polo en s = 1, vemos que −ζ ′(s)/ζ(s) tambien, ası que lasabscisas de convergencia y convergencia absoluta son exactamente 1.

Usando lo anterior, el lema 7.5 y la continuacion analıtica de ζ(s) obtenemos:

Corolario 10.6. La serie de Dirichlet∑

n Λ(n)n−s admite continuacion meromorfa atodo C. Sus polos son todos simples, y ocurren exactamente en los ceros y polos de ζ(s). Enla region <(s) > 1 satisface la formula

∞∑n=1

Λ(n)

ns= s

∫ ∞1

ψ(x)dx

xs+1.

Hacemos notar que, si en lugar de usar la continuacion analıtica a todo C demostrada porRiemann usaramos el resultado elemental que ζ(s) admite continuacion analıtica a <(s) > 0,el corolario anterior se obtendrıa de igual manera pero solo en la region <(s) > 0. Parademostrar el teorema de los numeros primos, la region <(s) > 0 es suficiente.

3. Un teorema Tauberiano

En analisis, los teoremas “tauberianos” son resultados que permiten tomar una serie ointegral que converge en un sentido debil pero que satisface alguna propiedad analıtica, yconcluir que converge en un sentido fuerte. Heredan el nombre de Alfred Tauber, un pioneroen demostrar resultados de este tipo.

Hay una amplia literatura sobre el tema, pero nosotros nos enfocaremos en un teorematauberiano sencillo demostrado por D. J. Newman en 1980, que concierne transformadas deLaplace.

Teorema 10.7 (Tauberiano de Newman). Sea F : [0,∞) → C acotada y localmenteintegrable. Para <(s) > 0 defina

G(s) =

∫ ∞0

F (t)e−stdt.

Notar que G(s) es analıtica para <(s) > 0. Suponga que G(s) admite continuacion analıticaa un abierto de C que contiene el semi-plano cerrado s ∈ C : <(s) ≥ 0. Entonces laintegral impropia

∫∞0F (t)dt converge y su valor es G(0).

Demostracion. Para T > 0 definimos

GT (s) =

∫ T

0

F (t)e−stdt.

64

Notamos que para todo T > 0 la funcion GT (s) es entera en s ∈ C. Nuestro objetivo esmostrar

lımT→∞

GT (0) = G(0).

Dado R > 0 tomamos δR > 0 suficientemente pequeno de modo tal que el conjunto

DR = s ∈ C : <(s) ≥ −δR y |=(s)| ≤ R

este contenido en el abierto de extension analıtica de G(s). Sea

C = ∂s ∈ C : <(s) ≥ −δR y |s| ≤ R.

Observamos que C ⊆ DR. Definimos

C + = C ∩ s : <(s) > 0; C − = C ∩ s : <(s) < 0.

La siguiente imagen muestra los conjuntos y caminos que hemos definido hasta ahora. Tam-bien se muestra un camino γ que sera definido y utilizado mas adelante en la demostracion.

Por el teorema de Cauchy aplicado a la extension analıtica de G(s) obtenemos

G(0)−GT (0) =1

2πi

∫C

(G(s)−GT (s)) esT(

1 +s2

R2

)ds

s.

(Mencionamos que la integral tiene esta forma complicada unicamente porque agregamosun factor que, por un lado, no cambia el valor del residuo en s = 0, y por otro lado, va aayudarnos mas adelante con la convergencia de ciertas integrales.)

Tenemos

2π · |G(0)−GT (0)| ≤∣∣I+∣∣+∣∣I−1 ∣∣+

∣∣I−2 ∣∣65

donde

I+ =

∫C+

(G(s)−GT (s)) esT(

1 +s2

R2

)ds

s

I−1 =

∫C−

G(s)esT(

1 +s2

R2

)ds

s

I−2 =

∫C−

GT (s)esT(

1 +s2

R2

)ds

s.

Acotaremos las tres integrales. Primero, como F es acotada tenemos que B = ‖F‖∞ es finito.Segundo, notamos que cuando |w| = 1 se cumple |1 +w2| = 2|<(w)|. Ası, cuando |s| = R secumple ∣∣∣∣esT (1 +

s2

R2

)1

s

∣∣∣∣ =2|<(s)|e<(s)T

R2.

Con estas dos observaciones, tenemos:Cota para I+. Para <(s) > 0 se tiene

|G(s)−GT (s)| =∣∣∣∣∫ ∞T

F (t)e−stdt

∣∣∣∣ ≤ B

∫ ∞T

e−<(s)tdt =Be−<(s)T

<(s).

De esta forma el integrando de I+ con s ∈ C + tiene modulo

≤ Be−<(s)T

<(s)· 2<(s)e<(s)T

R2=

2B

R2

lo cual nos da

|I+| ≤ largo(C +) · 2B

R2=

2πB

R.

Cota para I−2 . Sea γ = s ∈ C : <(s) < 0 y |s| = R. Como GT (s) es entera, tenemos

I−2 =

∫γ

GT (s)esT(

1 +s2

R2

)ds

s.

Similar al caso de I+, para <(s) < 0 acotamos

|GT (s)| =∣∣∣∣∫ T

0

F (t)e−stdt

∣∣∣∣ ≤ B

∫ T

0

e−<(s)tdt =Be−<(s)T

|<(s)|− B

|<(s)|≤ Be−<(s)T

|<(s)|.

Por lo tanto, el integrando de la expresion anterior para I−2 para s ∈ γ tiene modulo

≤ Be−<(s)T

|<(s)|· 2|<(s)|e<(s)T

R2=

2B

R2

lo cual nos da

|I−2 | ≤ largo(γ) · 2B

R2=

2πB

R.

Cota para I−1 . Esta cota sera mas burda. El camino C − depende de R y δR (que depende

de F ) pero no depende del parametro T . La expresion

G(s)

(1 +

s2

R2

)ds

s

66

depende de la funcion F y del parametro R, pero no depende del parametro T. Por lo tanto,en el integrando de I−1 lo unico que depende de T es el factor esT y deducimos

|I−1 | F,R

∫C−

e<(s)T |ds|

Sobre C − se cumple <(s) < 0 y es sencillo ver que la integral anterior converge a 0 cuandoT → +∞.

Juntando las cotas. De lo anterior deducimos que para un R > 0 fijo se tiene

lım supT→+∞

|G(0)−GT (0)| ≤ B

R+B

R+ 0 =

2B

R.

Pero R es arbitrario y |G(s)−GT (s)| es independiente de R, por lo cual

lım supT→+∞

|G(0)−GT (0)| = 0.

Esto finalmente demuestra que

lımT→+∞

GT (0) = G(0).

4. El teorema de los numeros primos

Recordemos que ψ(x) =∑

n≤x Λ(n) y por el teorema de Chebyshev (teorema 10.4) secumple que

ψ(x) x y π(x) ∼ ψ(x)

log x.

Nuestro siguiente objetivo es demostrar el teorema de los numeros primos : la formula asintoti-ca π(s) ∼ x/ log x. Equivalentemente, queremos demostrar que ψ(x) ∼ x.

Teorema 10.8. La integral

∫ ∞1

(ψ(x)

x− 1

)dx

xconverge.

Demostracion. Definir F (t) = ψ(et)e−t−1. Es localmente integrable y por Chebysheves acotada. Para <(s) > 0 definimos

G(s) =

∫ ∞0

F (t)e−stdt =

∫ ∞1

(ψ(x)

x− 1

)x−s

dx

x.

Por el corolario 10.6, para <(s) > 0 se tiene

G(s) =

∫ ∞1

ψ(x)dx

xs+2−∫ ∞

1

dx

xs+1=−1

s+ 1· ζ′

ζ(s+ 1)− 1

s.

Por el teorema de Hadamard y de la Valle Poussin, el unico polo de ζ ′(s + 1)/ζ(s + 1) en<(s) = 0 ocurre en s = 0 con residuo −1. Se sigue que G(s) tiene continuacion analıtica aun abierto que contiene el semi-plano cerrado s : <(s) ≥ 0. El teorema ahora es inmediatodel tauberiano de Newman.

Finalmente obtenemos:

67

Teorema 10.9 (Teorema de los numeros primos). Se tienen las formulas asintoticas

π(x) ∼ x

log x, θ(x) ∼ x, ψ(x) ∼ x.

Demostracion. Las tres formulas son equivalentes entre ellas gracias al teorema deChebyshev. Vamos a demostrar ψ(x) ∼ x.

Por contradiccion, suponga que no se cumple. Entonces una de las siguientes ocurre:

Caso 1. Existe λ > 1 y existen infinitos T → ∞ tales que ψ(T ) > λT . Como ψ(x) esno-creciente obtenemos∫ λT

T

(ψ(x)

x− 1

)dx

x≥∫ λT

T

(ψ(T )

x− 1

)dx

x≥∫ λT

T

(λT

x− 1

)dx

x= c+(λ)

donde c+(λ) = λ− log λ− 1 > 0 porque λ > 1.

Caso 2. Existe λ < 1 y existen infinitos T → ∞ tales que ψ(T ) < λT . Como ψ(x) esno-creciente obtenemos∫ T

λT

(ψ(x)

x− 1

)dx

x≤∫ T

λT

(ψ(T )

x− 1

)dx

x≤∫ T

λT

(λT

x− 1

)dx

x= c−(λ)

donde c−(λ) = −λ+ log λ+ 1 < 0 porque λ < 1.

En ambos casos obtenemos una contradiccion con el teorema anterior.

68

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hector.pasten/mpg3402files/mpg3402apunte.pdf · Indice general Cap tulo 1. Preliminares 5 1. Euclides 5 2. Relevancia de la factorizaci on uni ca 7 3. Algebra lineal 7 4. Algebra