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Indexes à Arbres et Indexes à Hachage

Sections sélectionnées du Chapitre 10

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Introduction Rappel des 3 alternatives d’entrées des données

k*: un enregistrement de données avec une valeur de clé k une paire <k, rid> une paire <k, liste de rids>

Les indexes à arbres supportent à la fois la recherche des plages de valeurs (‘’range search’’) ainsi que les recherches d’egalités (‘’equality search’’). ISAM: structure statique; B+ tree: dynamique, s’ajuste

gracieusement aux insertions et effacements. Indexes à Hachage : meilleurs pour les recherches

d’égalité; ne peuvent supporter les recherches des valeurs des plages.

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Intuition Derrière les Indexes à Arbres

``Trouvez tous les étudiants avec un gpa > 3.0’’ Si les données sont stockées dans un fichier trié,

faire la recherche binaire pour trouver le premier de ces étudiants, et de là faire un scannage pour trouver les autres.

Le coût de la recherche binaire peut être prohibitif ! Il est en effet proportionnel au # de pages puisées.

Solution: Créer un fichier d’indexes

Une recherche binaire est faisable sur de petits fichiers d’indexes!

Page 1 Page 2 Page NPage 3 Fichier de données

k2 kNk1 Fichier d’indexes

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ISAM

Le fichier d’indexes peut être très large. On peut cependant appliquer l’idée de fichier d’indexes de manière répétée!

Les pages feuilles contiennent les entrées des données.

P0 K 1 P 1 K 2 P 2 K m P m

Entrée d’index

Pagesinternes

feuillesPage de

débordementPages primaires

Pages

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ISAM (Suite) Création du fichier: les feuilles (pages de

données) sont allouées séquentiellement et triées selon la clé de recherche; ensuite les pages de débordement sont crées.

Entrées d’indexes: <valeur de la clé, page id>; orientent la recherche vers les entrées de données se trouvant dans les pages feuilles.

Recherche: Commence à la racine; compare des clés pour aller vers la feuille appropriée. Coût: log F N ; F = # entrées/pg index, N = # feuilles

Insertion: Trouver la feuille à la quelle appartient l’entrée de donnée et l’y mettre.

Effacement: Trouver et enlever l’entrée de la feuille; désaffecter une page de débordement vide. Structure statique: les changements n’affectent que les feuilles.

Pages de données

Pages des indexes

Pages de débordement

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Exemple d’un Arbre ISAM Chaque nœud peut contenir 2 entrées; il

n’y a pas besoin de pointeurs liant les pages entre elles (Pourquoi ???)

10* 15* 20* 27* 33* 37* 40* 46* 51* 55* 63* 97*

20 33 51 63

40

Racine

7

Après l’Insertion de 23*, 48*, 41*, 42* ...

10* 15* 20* 27* 33* 37* 40* 46* 51* 55* 63* 97*

20 33 51 63

40Racine

23* 48* 41*

42*

Pages de débordement

primaires

Pages de l’index

Feuilles

8

... Ensuite Effacement de 42*, 51*, 97*

Notez que 51* apparaît au niveau de la page de l’index, mais pas dans la feuille!

10* 15* 20* 27* 33* 37* 40* 46* 55* 63*

20 33 51 63

40

Racine

23* 48* 41*

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Arbre B+: L’Index le plus Usuel Insertion/effacement avec coût log F N; Garde la

hauteur balancée. (F = ‘’fanout’’, N = # feuilles) Taux d’occupation minimum de 50%(sauf pour la

racine). Chaque nœud contient d <= m <= 2d entrées. Le paramètre d est appelé l’ordre de l’arbre.

Supporte efficacement les recherches des plages de valeurs et les recherches d’égalités.

Entrées de l’index

Entrées de données("Sequence set")

(orientent la recherche)

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Exemple d’Arbre B+ La recherche commence à la racine et les

comparaisons des clés l’orientent vers une page (similaire à la méthode ISAM).

Recherchez 5*, 15*, …, toutes les entrées de données >= 24*, ...

Racine

17 24 30

2* 3* 5* 7* 14* 16* 19* 20* 22* 24* 27* 29* 33* 34* 38* 39*

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Arbre B+ en Pratique Ordre typique: 100. Remplissage typique: 67%.

Sortance (‘’fanout’’) moyenne = 133 Capacités typiques:

Hauteur 4: 1334 = 312,900,700 enreg.’s Hauteur 3: 1333 = 2,352,637 enreg.’s

Les niveaux supérieurs de l’arbre peuvent souvent tenir en mémoire principale (‘’buffer pool’’): Niveau 1 = 1 page = 8 Kbytes Niveau 2 = 133 pages = 1 Mbyte Niveau 3 = 17,689 pages = 133 MBytes

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Insertion d’une Entrée de Données Trouver la feuille appropriée L. Mettre l’entrée de données dans L.

Si L a assez d’espace, fin! Sinon, on doit partager L (en L et un nouveau nœud L2)

• Redistribuer les entrées de manière égale, copier la clé du milieu vers le haut.

• Insérer l’entrée d’index pointant vers L2 dans le parent de L.

Ceci peut arriver de manière récursive Pour partager nœud d’index, redistribuer les entrées de

manière égale, mais pousser la clé du milieu vers le haut. (Contrastez ceci avec le partage des feuilles !!)

Les partages font croître l’arbre; le partage de la racine augmente sa hauteur. Croissance de l’arbre: devient plus large ou d’ un niveau

plus élevé à la racine.

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Insertion de 8* dans l’Exemple

Veuillez noter la différence entre copier vers le haut et pousser vers le haut. (Pourquoi fait-on cette différence????)

2* 3* 5* 7* 8*

5Entrée à insérer dans le nœud parent.

(Notez que 5 est copié vers le haut etcontinue d’apparaître dans la feuille.)

n’apparaît qu’une fois dans l’index.

5 24 30

17

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Entrée à insérer dans le nœud parent.(17 est poussé vers le haut et

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Exemple d’Arbre B+ Après l’Insertion de 8*

La racine a été partagée; d’où augmentation de la hauteur. En fait, nous pouvons redistribuer ici au lieu de partager; cependant cela n’est pas usuel dans la pratique.

2* 3*

Racine17

24 30

14* 16* 19* 20* 22* 24* 27* 29* 33* 34* 38* 39*

135

7*5* 8*

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Effacement d’une Entrée de Données

Commencer à la racine, trouver la feuille L à laquelle l’entrée appartient.

Enlever l’entrée. Si L est au moins à moitié vide, fin! Sinon L a seulement d-1 entrées,

• Essayer de redistribuer, empruntant des cousins .• Sinon, fusionner L et un cousin.

Si une fusion a lieu, on doit effacer l’entrée (d’indexe) pointant (vers L ou le cousin) à partir du parent de L.

La fusion peut se répercuter jusqu’à la racine, décroissant ainsi la hauteur de l’arbre.

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Notre Arbre Après l’Insertion de 8*, Suivie de l’Effacement de 19* et 20* ...

Effacer 19* est facile. Effacer 20* est fait via une redistribution.

Noter comment la clé du milieu est copiée vers le haut après la redistribution.

2* 3*

Racine

17

30

14* 16* 33* 34* 38* 39*

135

7*5* 8* 22* 24*

27

27* 29*

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... Et Ensuite Après l’Effacement de 24*

On doit fusionner. A droite, on fait un

`changement’ d’entrée d’index.

Ci bas, on `tire une entrée d’index vers le bas’.

30

22* 27* 29* 33* 34* 38* 39*

2* 3* 7* 14* 16* 22* 27* 29* 33* 34* 38* 39*5* 8*

Racine30135 17

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Exemple de Redistribution Interne

A l’opposé du cas précédant, ici on peut redistribuer une entrée de l’enfant gauche de la racine vers l’enfant droit.

Racine

135 17 20

22

30

14* 16* 17* 18* 20* 33* 34* 38* 39*22* 27* 29*21*7*5* 8*3*2*

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Après la Redistribution Intuitivement, les entrées sont redistribuées

en `poussant l’entrée partageante vers ’ le noeud parent.

Il suffit de redistribuer l’entrée d’index avec clé 20; on a aussi redistribué 17 pour illustration.

14* 16* 33* 34* 38* 39*22* 27* 29*17* 18* 20* 21*7*5* 8*2* 3*

Root

135

17

3020 22

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Chargement en Vrac d’un Arbre B+

Si l’on a une large collection d’enreg.’s et que l’on veut créer un indexe à arbre B+ avec une clé donnée, le faire enregistrement par enregistrement est très inefficace.

Solution: ‘’Bulk Loading’’ (chargement en vrac). Initialisation:

Trier toutes les entrées de données et les diviser en page;

créer une page racine vide; et insérer un pointeur de la racine vers la 1ère page des

données.

3* 4* 6* 9* 10* 11* 12* 13* 20* 22* 23* 31* 35* 36* 38* 41* 44*

Pages d’entrées de données triées; non encore mises dans l’arbre B+

Racine

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Chargement en Vrac (Suite) Les entrées d’index

pour les feuilles sont toujours créées dans la page d’index la plus à droite située juste au dessus du niveau des feuilles. Si cette dernière est pleine, elle est partagée. (Ce processus peut se répéter récursivement

3* 4* 6* 9* 10*11* 12*13* 20*22* 23* 31* 35*36* 38*41* 44*

Racine

Pages de données à mettre sur l’arbre3523126

10 20

3* 4* 6* 9* 10* 11* 12*13* 20*22* 23* 31* 35*36* 38*41* 44*

6

Racine

10

12 23

20

35

38

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Résumé Index en arbre: ISAM, arbres B+ ISAM est une structure statique

Seules les feuilles sont modifiées; pages de débordement nécessaires

Défaut: chaînes de débordements Arbres B+ est une structure dynamique.

Insertion et effacement laissent l’arbre balancé coût de log F N Pas de chaînes de débordement

Chargement en vrac des arbres B+