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Incertitude, risque et apprentissageECO8071 – Charles SéguinInspiré en partie de notes de Larry Karp et Christian Traeger

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L’INCERTITUDE, qu’est-ce?Ne pas connaître la valeur d’un élément?

Ne pas connaître la probabilité d’un événement?

Ne pas avoir conscience de la possibilité d’un événement?

Un exemple : lancer une pièce de monnaie en l’air Qu’est-ce qui est incertain? Est-ce risqué?

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CATÉGORISATION de l’incertain Incertitude :

Je connais toutes les possibilités;

Je représente la vraisemblance de leur occurrence par des probabilités.

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CATÉGORISATION de l’incertain Incertitude

Ambiguïté et flou : Je connais toutes les

possibilités; Je ne peux représenter la

vraisemblance de leur occurrence par des probabilités uniques.

?

?

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CATÉGORISATION de l’incertain Incertitude

Ambiguïté et flou

Inconscience : Je ne connais pas toutes

les possibilités.

Nous allons nous concentrer sur l’incertitude.

?

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INCERTITUDE et RISQUELancer une pièce est-il risqué?

Parier sur le résultat du lancé d’une pièce est-il risqué?

Il y a risque lorsque l’objectif (utilité, profit, etc.) d’un agent est incertain.

L’incertitude d’un élément affectant l’utilité d’un agent expose cet agent au risque.

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REPRÉSENTATION de l’incertitudeVariable aléatoire :

Une variable dont les valeurs possibles sont associées à des probabilités.

Probabilité : Nombre entre 0 et 1 qui mesure la vraisemblance; La somme des probabilités des valeurs d’une variable aléatoire est

1.

Pile ou face :

Parier 100 $ sur pile :

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DISTINCTIONS importantes ou non

Incertitude Fondamentale :

La variable est aléatoire indépendamment de la perception de l’agent;

(Purement) stochastique.

Perceptive : Certaines limitations de

l’agent rendent la variable aléatoire;

Incertitude (propre).

Probabilité Objective :

Tirée de données statistiques ou d’un raisonnement logique.

Subjective : Représente les croyances

de l’agent; Il peut y avoir des

probabilités subjectives différentes pour le même événement.

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ESPÉRANCE et UTILITÉ ESPÉRÉE Espérance :

Somme des valeurs d’une variable aléatoire pondérée par leurs probabilités;

Pari :

Utilité espérée : Somme de l’utilité des

valeurs d’une variable aléatoire pondérée par leurs probabilité

Pari :

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APPRENTISSAGEConcept dynamique;

Consiste à mettre à jour les probabilités d’une variable aléatoire avec des informations nouvelles;

Après que la pièce soit retombée : Quels sont les probabilités? Vas-tu parier 100 $ sur pile?

L’apprentissage peut influencer une décision risquée.

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TYPES d’Apprentissage Surprise (Naïf) :

L’apprentissage n’est pris en compte qu’une fois qu’il s’est produit.

Anticipé (Sophistiqué) : L’apprentissage est pris

en compte avant qu’il se produise.

Passif : L’apprentissage est

exogène aux décisions de l’agent.

Actif : L’apprentissage est

affecté par les décision de l’agent.

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Un exemple simple (décision binaire)2 périodes;

Décision : construire un barrage ou pas (irréversible);

Bénéfices : un barrage génère des bénéfices de 10M $ par période;

Coûts : un barrage dénature la rivière sur laquelle il est construit, ce qui génère des coûts incertains de 3M $ ou 35M $ avec probabilités égales (peu importe le moment de construction);

L’objectif du décideur est de maximiser l’espérance des bénéfices nets des coûts.

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Exemple simpleSANS APPRENTISSAGE Doit-on construire et quand?

Construire

oui

nonConstruire

Déjà fait

oui

non

Période 1 Période 2 Bénéfices nets espérées

14Exemple simple

AVEC APPRENTISSAGE ANTICIPÉ Si j’anticipe que je vais connaître la valeur des coûts avec

certitude à la période 2?

Construire

oui

nonApp.

Déjà fait

Période 1 Période 2 Bénéfices nets

35

3

Cons.

Cons.

oui

nonoui

non

App.

35

3 Déjà fait

Espérance

15Exemple simple

apprentissage NON-anticipéQue se passe-t-il à la période 1 si le décideur n’anticipe pas

qu’il apprendra la vraie valeur des dommages à la rivière?

Décision identique à l’absence d’apprentissage.

Est-ce toujours le cas?

Non…

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Valeur d’OPTION (quasi)Dans l’exemple précédent, l’apprentissage augmente la

valeur maximale de l’objectif (ex ante);

La différence entre la valeur de l’objectif ex ante avec apprentissage anticipé et sans apprentissage anticipé est la valeur d’option;

Dans le cas de notre exemple, la valeur d’option d’attendre d’apprendre avant de décider de construite ou non le barrage est de 2,5M $.

La valeur d’option peut-elle être négative?

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Deuxième exemple (décision CONTINUE)Un problème de changements climatiques :

Deux périodes : Niveau d’émission dans la période i : Incertitude sur les dommages : Objectif :

Quel est le niveau optimal d’émission sans apprentissage?

Réponse :

Objectif maximisé : 2,5

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Deuxième exempleAPPRENTISSAGE NON-ANTICIPÉ Décision sans apprentissage à la période 1 et décision

contingente à la période 2.

Période 1 Période 2 Objectif ex post

Objectif espéré

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Deuxième exempleAPPRENTISSAGE ANTICIPÉ Décision contingente à la période 2 utilisée pour résoudre

les émissions de la période 1.

Période 1 Période 2 Objectif espéré

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PrudenceL’anticipation de l’apprentissage ne diminue pas nécessairement

les actions irréversibles optimales précédents l’apprentissage;

Cela dépend de la nature du problème, du type d’apprentissage et de la prudence du décideur;

La prudence caractérise les préférences du décideur par rapport à un changement de niveau de risque;

Si le risque augmente dans une période, un décideur préférera transférer de la richesse vers cette période si il est prudent;

Un décideur est prudent si la troisième dérivé de sa fonction d’utilité (objectif) est positive.

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Principe de précautionQu’est-ce?

Définition de la Convention-Cadre des Nations Unies sur les Changements Climatiques : Lorsqu’il y a risque de dommages irréversibles ou importants, le

manque de certitude scientifique complète ne devrait pas justifier de repousser des mesures efficientes pour prévenir la dégradation de l’environnement.

Que pensez-vous de cette définition?

Peut-elle aider à faire des choix?

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Résolution PARTIELLE de l’incertitudeLes exemples précédents ont considérés uniquement une

résolution complète de l’incertitude.

Qu’est-ce qu’une résolution partielle?

Prenez le dernier exemple. Si au lieu d’apprendre la valeur de S, le décideur modifiait les probabilités attribués à chacune des réalisations de S.

Avec probabilités égales, le décideur peut apprendre que : a : b :

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Apprentissage ACTIFL’apprentissage est actif lorsque le décideur peut influencer

l’arrivée d’information.

Cela implique souvent un arbitrage entre quête d’information et coûts.

Revenons à notre exemple de changements climatiques (résolution complète de l’incertitude): Supposons que la résolution complète de l’incertitude est

incertaine et que cette incertitude dépend des émissions de la première période;

Avec probabilité j’apprends avec certitude la valeur de S, sinon je n’apprends rien, et .

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Incertitude avec INFÉRENCE BAYÉSIENNEThéorème de Bayes :

En mots : sachant les probabilités inconditionnelles des événements A et B, ainsi que la probabilité conditionnelle de B si A a déjà été observé, quelle est la probabilité de A conditionnelle à l’observation de B?

En math :

Pour l’apprentissage : Le décideur a ex ante une distribution a priori de la variable aléatoire; L’observation d’un signal fournira de l’information sur cette variable et

permettra d’établir une distribution a posteriori; Dans les deux premiers exemples avec distributions discrètes, le signal

donnait une information parfaite sur la variable aléatoire, ce qui impliquait une distribution a posteriori où une seule valeur avait une probabilité de 1.

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Distributions conjuguéesUn truc de modélisation pour utiliser l’inférence bayésienne,

les distributions conjuguées.

Si la probabilité postérieure appartient à la même famille que l’antérieure, cette dernière est la conjuguée de la distribution conditionnelle du signal.

Si est la conjuguée antérieure de , alors la distribution appartient à la même famille que .

Exemple : si le signal est distribué conditionnellement Poisson et que A est distribué Gamma, alors A conditionnel au signal est aussi distribué Gamma (signal dist. selon binomiale négative).

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Distributions conjuguées EXEMPLERevenons encore à l’exemple de changement climatique.

S peut prendre les valeurs entières ;

Quel est le signal?

Sur quoi apprend-t-on?

Qu’est qui est fondamentalement incertain?