從機率到推論 in竹塹

一、 教學背景目前各國，包括台灣，在數學課程的改革歷程中已逐漸重視統計，但是由於學校長期對統計

教學的忽視，及教師本身對統計過程的教學缺乏經驗和知識背景，或者對統計教學的目的認知不

夠明確，使得統計教學僵化。因此，我們常會給人感覺統計課程就是只有繪製統計圖、計算數量

的錯誤假象，完全忽略了從發現疑問、提出假設、搜集資料、分析數據、形成結論等一系列知識

形成時嚴謹的科學程序。基於上述情形，本課程是我們延伸國小六年級數學既有的統計課程，再將上述的科學程序融

入延伸課程的教學內容中，並指導學生使用資訊科技為工具來協助建立數學模型，幫助學生建構

學習統計的相關知識與培養科學程序，同時滿足跨領域素養為目標而發展出的課程。二、 創新教學目的目的一：培養機率的思維

由學生實際投擲骰子去發現機率概念出現在生活中的真實情況，可以應用與反思自己在生

活情境中實際碰到的經驗。目的二：統計圖表的詮釋

指導學生使用 Scratch程式語言來設計並實作數學模型，並藉此觀察、整理成統計圖表，鼓勵學生嘗試以統計數字來解釋背後母群體所代表的含義。

目的三：形塑推論統計的基礎概念經由蒐集與整理資料，製成統計圖表，並依趙科學程序來對統計圖表所呈現的結果進行推

論與反思。三、 創新教學作法

(一)主題教學未來世代即將面臨不同以往的挑戰，傳統教科書中知識的背誦已被資訊科技的技術所取代，孩

子們所需要的能力，是應用學校所學去面對未來的挑戰，單一學科領域內的課程內容，並不足以讓

學生具有這樣的能力。因此，我們透過跨領域主題的課程設計，結合數學領域、資訊教育議題以及

從機率到推論in竹塹

數學

骰子與機率統計圖表的解讀

製作統計圖表

資訊

程式設計應用

程式設計模擬汽車流量模型

主題

議題融入教學

創新策略與教材

表現任務製作圖表並推論母群體情況

校本課程活動，讓孩子的學習在生活情境中脈絡化、結構化，以建構學生由一般的日常生活中獲得

知識的的學習經驗。新竹市東門國小校本課程策略是體驗校園、探索社區與國際實踐，「從機率到推論 in竹塹」即

為高年級主題實踐課程，由觀察社區內東門城圓環的車流量開始，使用 Scratch 程式語言為工具，配合六年級數學課統計圖表延伸課程的教學，來推論新竹市汽車(母群體)顏色的分布狀況。 1.基礎概念的建立(機率概念的思維)

活動一、大家一起來投(機率概念的建立) 課堂中利用投擲骰子來形塑學生的機率知識的基礎，配合操作電腦程式幫助學生觀察

並模擬投擲大量骰子的情況。

學生投擲骰子並觀察點數出現的隨機性 以電腦程式模擬一次投擲 36次骰子

以電腦程式模擬一次投擲 1200次骰子 學生討論點數出現的隨機性

活動二、應用與反思請學生思考與討論生活情境中可能發生機率的情境與選擇。學生對投機率的刻板概念：問：請問投擲一個骰子一次出現 2的機率是多少？

答：!"（資訊發達的社會，連小朋友都很聰明）

問：那出現 5的機率又是多少？

答：也是 !"

問：大家都很厲害！所以，我們可以說每一個點數出現的機率都是 !"嗎？

答：是問：所以，從上面的結論我們是否可以說，如果連續丟一個骰子丟 6次，最後應該會很平均的從 1～6都出現 1次?

答：不會，那太難了……只是也許、可能吧……！

問：那你們為何說每一個點數出現的機率都是 !"呢？

答：……、本來就是 !" 啊、……

課程後學生對機率概念的轉變：

問：我們為何可以說每一個點數出現的機率都是 !"呢？

答：因為我們丟了很多次，全部平均的結果啊⋯⋯2.數學領域結合資訊議題的應用傳統的數學教學方式著重於講述式教學與紙筆評量，強調精準計算與結果，學生常要做許多繁

雜且艱難的計算流程，但在資訊能力大爆發的時代，這些電腦都可以做得到，如果要求孩子要與電

腦比較誰算得精準是沒有必要的。所以當我們以為把孩子的計算根基紮穩時，卻也同時也把孩子變

成了一台計算機，而不是讓孩子學習駕馭計算機。隨著 108新課綱的推行、各領域紛紛希望學生的學習具有素養並切合生活情境，當然數學也不

能例外。在這個主題課程中，學生除了需要掌握統計圖表的基本能力以外，更需要理解由跨出數學

領域而進入到資訊議題的課程中所學習到的「程式設計」能力來實作課程、透過結構化的學習課程，

運用數學與資訊的綜合能力來解決問題的數學素養導向的精神。當然、適當的工具是不可或缺的。對國小學童而言，圖形介面積木式的程式語言「Scratch」，

就是一個非常適當的工具。Scratch 的出現是程式設計的重大成就之一，它重新定義了計算機與數學教學關係，不再單純

的只是用紙和筆進行運算的傳統方式，而是給數學的研究工作帶來了完全不同於過去的工具，同時

也豐富和發展了「數學實驗」的內涵。在我們的課程當中，就充分的詮釋了這樣的一個論點。學生

藉由不同的程式參數來實驗而創造出不同的流量模型、然後來觀察模型與真實數值中間隱含的關係，

讓我們的學生從實驗當中發覺數學模型的規律。活動一、貓爪程式：學生能理解、熟悉 Scratch(貓爪)語言的各種程式積木的使用。1. 程式一開始，我們需要為每一個色球做隨機定位，所以學生

需要理解 Scratch的座標系統與範圍(參閱備註)，同時也要確保色球在訂位時必需避開相機的

位置。備註：我們使用座標軸模擬程式讓學生了解 Scratch的座標系統網址：https://scratch.mit.edu/projects/261960758/

2. 學生的心中需要有一個的圖像，同時要把色球的行為由圖像轉為抽象的程式，這樣才能處理邊界問

題。3. 整個程式非常重要的部分當然是紀錄，有了記錄，我們才能依照紀錄做出統計圖表。學生需要思考的是：當色球碰觸到相機時，程式需要誘發哪些動

作，才能順利紀錄，同時確保程式能繼續執行。A. 首先，程式必須要為色球的紀錄加 1。B. 然後，需要將色球的運動方向反置，所以我們可以使用

𝑑𝑥 = −1×dx、𝑑𝑦 = −1×dy 這兩個運算式來讓色球在碰觸到相機後能以相反的方向繼續

運動。

C. 接著，廣播一個事件來誘發畫筆程序，把色球的統計圖即時繪出，讓操作者可以立即看到統計圖的變化而得到回饋。

D. 最後，為了讓程式情境表現更加真實，我們加入了相機對焦聲音的播放，讓操作者同時在視覺與聽覺上感受統計圖表的變化。

活動二、貓爪開車：用 Scratch(貓爪)程式語言為動態系統實作數學建模，協助學生模擬生活中的情境(新竹市東門圓環的車流量)。學生在了解程式運作後，自行修改了程式的參數，讓汽車流量模型能夠產生各種不同

的執行環境，並進而觀察統計數字與真實母體之間的關係。

➡

➡

動三、貓爪應用：學生可以模擬生活實際可能觀察到的情境，並製成統計圖表。

當學生經過一段時間的操作後，有一位小朋友提了一個非常棒的問題：問：老師，如果這個程式裡面再多加一部相機，那他們的統計圖會不會一樣呢？備註：由於時間因素，雙相機版本這個部分我無法在課堂上實作，只能利用課餘的時

間來完成，希望明年可以把這個部分正式加入到課程中。網址：https://scratch.mit.edu/projects/276350114/小朋友在東門城圓環以分組的形式分別對四個方向來實地觀察，所以雙相機版本似乎

更貼近了實地觀察的真實現象，雖然程式執行後兩部相機的統計數字不一樣，但是我

們卻可以從統計圖的觀察，發現他們的趨勢是一致的。

3.推論與反思(統計圖表的解讀)透過新竹市東門國小的高年級主題實踐課程，希望

讓學生利用生活周遭的環境，由觀察社區內東門城圓環

的車流量開始，藉由數學領域統計圖表課程的延伸與資

訊能力的應用，培養推論統計的基礎，來推測新竹市汽

車(母群體)顏色的分布狀況。活動一、實地觀察

學生親自觀察與蒐集新竹市東門圓環的

車流量的數據，並製成統計圖表。1. 首先先利用 10 分鐘的實地錄影短片，讓學生理解我們這次所要觀察的

對象與形式，尋找最佳的識別方式。例如：自小客車與營業用小客車的區別等..以及車輛顏色的界定，讓學生實地觀

察時，能有更明確的判斷依據，去進

行車輛顏色的統計。2. 給學生編組、並編配觀察任務：例如：

各組編配有 8個成員，其中只有一個是記錄員，其他成員則各自負責觀察一個顏色。當白車觀察員發現有白車駛過時，則大喊「白車」，此時紀錄員在在白車的

欄位中，以「正」字逐筆紀錄（類似選舉開票的唱票員與計票員）。活動二、說明與推論

學生依據實際觀察的數據、

統計圖表來進行小組討論，

並由東門城圓環的車流量推

論母群體新竹市汽車的可能

狀況。1. 學生經由不同觀察點所產生的統計圖表，進行

小組數據的討論，並由

討論的結果，去推測新

竹市汽車(母群體)可能的顏色與數量。例如：這組的小朋友明確表示了以下兩個重點：A. 觀察的時間越久、得出來的統計數字會越準確。小朋友已經在不知不覺中開始運用大數法則

B. 觀察時、不能隨意改變地點，改變地點可能會因某些原因（如重複計算）而造成數據不準確。

2. 當全部的學生報告完，我們將各組的結果同時展示在一起，竟然發現各組的統計數據雖然在數值上不同，但是大家的統計圖趨勢卻是高度的一致，這樣的結果不

僅振奮了授課的師長們，同時也讓參加課程的小朋友驚呼不斷。備註：這也驗證了雙相機版本在未來教學的必要性。

活動三、詮釋與反思

根據各個小組資料與推論結果，反思自己小組觀察的結果。各小組逐一上台發表自己的統計圖表所推論的結果，同時也透過看到其他小組的統計

推論結果，來反思自己的結果。

四、 創新教學成效評估（一）對生活中的事件進行思辨：

什麼是機率？(實際生活中抽籤、抽獎、選舉民調、樂透彩、擲筊等情境供學生判斷。)機率，在課程的前、後學生對這個名詞的認知上的確會有明顯的不同與修正。課程後的

學生，可以從母群體這相對宏觀的角度來理解機率，而在課程前的學生往往就會陷在單

次發生相對微觀的面向來看機率。例如：

課前學生知道骰子投擲的機率是 !"，然而為何是 !

"？本來就是 !

"啊。

但是課後學生就可以理解，這 !"由來是當我們可以連續投擲非常多次的骰子時，每一

個點數出現的機率就會接近 !"。

雖然我們可能還沒有辦法跟國小學童來描述大數法則中的期望值，但學生已經可以從投

擲的總次數來體認大數法則的精神。（二）理解統計圖表代表的含意：

(1).學生能理解程式運行的基本規則，以及程式範例中，各個元件所代表的意義。

模仿也是一種有效的學習方法。對國小而言，Coding是一門新興課程，我們的學生即使在電腦課的課堂上表現優秀，但依然無法自行設計流量模型。一來是對這個主題的理解

不夠深入，二來是學生也沒有相對豐富的經驗來進行設計程式。但是當學生經由老師提示做法、模仿老師的程式碼，你在課堂上會發現「原來這個可以

這樣用」的表情充斥在許多小朋友的臉上(例如，求 2的餘數原來可以當作開關)。經過了設計得實作課程，學生也以 Coding 的角度來理解流量模型的設計概念，這時候，年輕、同時充滿創意的腦袋的

優勢就完全顯露出來，此起彼落不停的詢問。例如：老師，如果把第 2 個相機加到程式中會發生什麼情

形，這兩個統計圖表會有差異嗎？(2).學生能詮釋程式的運行，創造出各種可能的圖表，並依據圖表結果解釋程式與結果之間的關係。當我們的學生對老師給的模型設定不夠滿意時，他希望看到

更多的流量模型，於是在程式初始時，針對每一個色球設定

不同的分身數量，如此就可以創造不同的流量模型與統計圖

表，然後就可以觀察不同的統計圖表來推論描述統計圖與背

後母群體的相對關係，並藉此來形塑自己的統計概念。（三）對統計資料進行推論與反思

(1).依據蒐集資料的結果製成統計圖表，並說明圖表背後所代表的母群體的資訊。學生根據實地觀測的車子顏色與數量製成統計圖表，並能夠說明統計圖表可能呈現的資

訊或提出疑問：1. 學生：白色應該是數量最多的汽車顏色。老師：你這個推論應該是十分正確。

2. 學生：不知道白天觀察的結果，跟晚上會不會一樣？老師：我也不知道，希望有機會我們可以在晚上來觀察一次。

3. 學生：有些組別藍色車多於綠色的車，有些組別卻是綠色車多於藍色的車。老師：你的看法呢？學生：也許他們的真實數量本來就很接近，或是有人就根本看錯了。

4. 學生：我們可以從這個調查來推算全台灣的車嗎？老師：厲害！我相信一定可以。

(2).根據各小組推論的情況，比對與反思。1. 為什麼同一個時間點觀察會有不一樣的結果？2. 我們有辦法把產生不同結果的因素排除嗎？3. 只有在東門城圓環才可以觀察嗎？我們可以在別的地方、別的時間點來觀察嗎？4. 觀察時間好像不夠長？5. 雖然我們算出來了，但是這些數據變來變去，所以都不是正確數字。6. 老師，為什麼每一組的統計圖長得都很類似？7. ……

(3).教學者自我檢討。1. 課程授課時間不足：由於這個主題課程是基於六上「統計圖表」與「機率」的延伸課程，因此授課時間上

應該選擇充裕、不影響學生既定活動且有彈性的時段。以新竹市東門國小而言，應

該選擇在六下畢業考後畢業典禮前來實施。

2. 投擲骰子的課程應該更為嚴謹，思考問題應該要書面化，不該僅有教師的口頭提問。3. 應該與資訊課建立起更深的連結，可能的話應該納入 STEAM元素，例如，建立真實模擬環境：以這次的教學經驗我們學習到，圖像式的 Scratch 帶給學生的感受已經遠大於書面的文字描述，如果我們能夠

以 Arduino 或 Micro:bit 為核心，搭配至少四組以上的HC-SR04來建立一個真實的模擬環境，我相信給學生的感受一定是成幾何的成長。

4. 在課程的最後階段，老師把各組學生最終的統計圖表一起呈現，雖然各組的統計數據在數值上不相同，但是在

統計圖的趨勢卻是高度的一致。我們感到十分欣慰，因5. 為這時從學生們的反應，我們確信「這個課程是有效能而且同時具有魅力的」。6. 我們應該精確檢討並評估「利用控制更多的變因、來提升統計精確度」的授課是否有足夠的 CP值。

五、 關鍵詞：機率：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A6%82%E7%8E%87統計：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%9F%E8%AE%A1%E5%AD%A6跨領域統整：https://www.naer.edu.tw/ezfiles/0/1000/img/89/414127595.pdfScratch：https://zh.wikipedia.org/zh-tw/Scratch程式語言：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BC%96%E7%A8%8B%E8%AF%AD%E8%A8%80STEAM：https://flipedu.parenting.com.tw/article/3393

HC-SR04UltraSonic