-
8/10/2019 Impedence, Frequency Domain
1/4
4 3 1 5 3 1 C l a s s N o t e s 3
3 C i r c u i t A n a l y s i s i n F r e q u e n c y D o m a i
n
W e n o w n e e d t o t u r n t o t h e a n a l y s i s o f p a
s s i v e c i r c u i t s i n v o l v i n g E M F s , r e s i s t o
r s , c a p a c i -
t o r s , a n d i n d u c t o r s i n f r e q u e n c y d o m a
i n . U s i n g t h e t e c h n i q u e o f t h e c o m p l e x i m
p e d a n c e ,
w e w i l l b e a b l e t o a n a l y z e t i m e - d e p e n d
e n t c i r c u i t s a l g e b r a i c a l l y , r a t h e r t h a
n b y s o l v i n g d i f -
f e r e n t i a l e q u a t i o n s . W e w i l l s t a r t b y
r e v i e w i n g c o m p l e x a l g e b r a a n d s e t t i n g s
o m e n o t a t i o n a l
c o n v e n t i o n s . I t w i l l p r o b a b l y n o t b e p
a r t i c u l a r l y u s e f u l t o u s e t h e t e x t f o r t h
i s d i s c u s s i o n ,
a n d i t c o u l d l e a d t o m o r e c o n f u s i o n . S k
i m m i n g t h e t e x t a n d n o t i n g r e s u l t s m i g h t
b e u s e f u l .
3 . 1 C o m p l e x A l g e b r a a n d N o t a t i o n
L e t
~
V b e t h e c o m p l e x r e p r e s e n t a t i o n o f V . T
h e n w e c a n w r i t e
~
V =
~
V + =
~
V = V e
= V c o s + s i n
w h e r e =
p
, 1 V i s t h e r e a l a m p l i t u d e :
V =
q
~
V
~
V
=
h
2
~
V + =
2
~
V
i
1 = 2
w h e r e d e n o t e s c o m p l e x c o n j u g a t i o n . T
h e o p e r a t i o n o f d e t e r m i n i n g t h e a m p l i t u
d e o f a
c o m p l e x q u a n t i t y i s c a l l e d t a k i n g t h e
m o d u l u s . T h e p h a s e i s
= t a n
, 1
h
=
~
V =
~
V
i
S o f o r a n u m e r i c a l e x a m p l e , l e t a v o l t a
g e h a v e a r e a l p a r t o f 5 v o l t s a n d a n i m a g i n
a r y p a r t
o f 3 v o l t s . T h e n
~
V = 5 + 3 =
p
3 4 e
t a n
1
3 = 5
N o t e t h a t w e w r i t e t h e a m p l i t u d e o f
~
V , f o r m e d b y t a k i n g i t s m o d u l u s , s i m p l
y a s V . I t i s
o f t e n w r i t t e n
~
V . W e w i l l a l s o u s e t h i s n o t a t i o n i f t h e
r e m i g h t b e c o n f u s i o n i n s o m e c o n t e x t .
S i n c e t h e a m p l i t u d e w i l l i n g e n e r a l b e
f r e q u e n c y d e p e n d e n t , i t w i l l a l s o b e w r i
t t e n a s V !
W e w i l l m o s t o f t e n b e i n t e r e s t e d i n r e s
u l t s e x p r e s s e d a s a m p l i t u d e s , a l t h o u g h
w e w i l l a l s o
l o o k a t t h e p h a s e .
3 . 2 O h m ' s L a w G e n e r a l i z e d
O u r t e c h n i q u e i s e s s e n t i a l l y t h a t o f t
h e F o u r i e r t r a n s f o r m , a l t h o u g h w e w i l l n
o t n e e d t o
a c t u a l l y i n v o k e t h a t f o r m a l i s m . T h e r
e f o r e , w e w i l l a n a l y z e o u r c i r c u i t s u s i n
g a s i n g l e F o u r i e r
f r e q u e n c y c o m p o n e n t , ! = 2 f . T h i s i s p e
r f e c t l y g e n e r a l , o f c o u r s e , a s w e c a n a d d
o r
i n t e g r a t e o v e r f r e q u e n c i e s i f n e e d b e
t o r e c o v e r a r e s u l t i n t i m e d o m a i n . L e t o u
r c o m p l e x
F o u r i e r c o m p o n e n t s o f v o l t a g e a n d c u r
r e n t b e w r i t t e n a s
~
V = V e
! t +
1
a n d
~
I = I e
! t +
2
N o w , w e w i s h t o g e n e r a l i z e O h m ' s L a w b y
r e p l a c i n g V = I R b y
~
V =
~
I
~
Z , w h e r e
~
Z i s t h e
c o m p l e x i m p e d a n c e o f a c i r c u i t e l e m e n
t . L e t ' s s e e i f t h i s c a n w o r k . W e a l r e a d y k
n o w t h a t
a r e s i s t o r R t a k e s t h i s f o r m . W h a t a b o u
t c a p a c i t o r s a n d i n d u c t o r s ?
O u r e x p r e s s i o n f o r t h e c u r r e n t t h r o u g
h a c a p a c i t o r , I = C d V = d t b e c o m e s
~
I = C
d
d t
V e
! t +
1
= ! C
~
V
9
-
8/10/2019 Impedence, Frequency Domain
2/4
T h u s , w e h a v e a n e x p r e s s i o n o f t h e f o r
m
~
V =
~
I
~
Z
C
f o r t h e i m p e d a n c e o f a c a p a c i t o r ,
~
Z
C
, i f
w e m a k e t h e i d e n t i c a t i o n
~
Z
C
= 1 = ! C
F o r a n i n d u c t o r o f s e l f - i n d u c t a n c e L ,
t h e v o l t a g e d r o p a c r o s s t h e i n d u c t o r i s g
i v e n b y
L e n z ' s L a w : V = L d I = d t . N o t e t h a t t h e v o
l t a g e d r o p h a s t h e o p p o s i t e s i g n o f t h e i n
d u c e d
E M F , w h i c h i s u s u a l l y h o w L e n z ' s L a w i s
e x p r e s s e d . O u r c o m p l e x g e n e r a l i z a t i o n
l e a d s t o
~
V = L
d
d t
~
I = L
d
d t
I e
! t +
2
= ! L
~
I
S o a g a i n t h e f o r m o f O h m ' s L a w i s s a t i s e
d i f w e m a k e t h e i d e n t i c a t i o n
~
Z
L
= ! L
T o s u m m a r i z e o u r r e s u l t s , O h m ' s L a w i n
t h e c o m p l e x f o r m
~
V =
~
I
~
Z c a n b e u s e d t o
a n a l y z e c i r c u i t s w h i c h i n c l u d e r e s i s
t o r s , c a p a c i t o r s , a n d i n d u c t o r s i f w e u s
e t h e f o l l o w i n g :
r e s i s t o r o f r e s i s t a n c e R :
~
Z
R
= R
c a p a c i t o r o f c a p a c i t a n c e C :
~
Z
C
= 1 = ! C = , = ! C
i n d u c t o r o f s e l f - i n d u c t a n c e L :
~
Z
L
= ! L
3 . 2 . 1 C o m b i n i n g I m p e d a n c e s
I t i s s i g n i c a n t t o p o i n t o u t t h a t b e c a u
s e t h e a l g e b r a i c f o r m o f O h m ' s L a w i s p r e s
e r v e d ,
i m p e d a n c e s f o l l o w t h e s a m e r u l e s f o r c
o m b i n a t i o n i n s e r i e s a n d p a r a l l e l a s w e o
b t a i n e d f o r
r e s i s t o r s p r e v i o u s l y . S o , f o r e x a m p l
e , t w o c a p a c i t o r s i n p a r a l l e l w o u l d h a v e
a n e q u i v a l e n t
i m p e d a n c e g i v e n b y 1 =
~
Z
p
= 1 =
~
Z
1
+ 1 =
~
Z
2
. U s i n g o u r d e n i t i o n
~
Z
C
= , = ! C , w e t h e n r e c o v e r
t h e f a m i l i a r e x p r e s s i o n C
p
= C
1
+ C
2
. S o w e h a v e f o r a n y t w o i m p e d a n c e s i n s e
r i e s c l e a r l y
g e n e r a l i z i n g t o m o r e t h a n t w o :
~
Z
s
=
~
Z
1
+
~
Z
2
A n d f o r t w o i m p e d a n c e s i n p a r a l l e l :
~
Z
p
=
h
1 =
~
Z
1
+ 1 =
~
Z
2
i
, 1
=
~
Z
1
~
Z
2
~
Z
1
+
~
Z
2
A n d , a c c o r d i n g l y , o u r r e s u l t f o r a v o l
t a g e d i v i d e r g e n e r a l i z e s s e e F i g . 9 t o
~
V
o u t
=
~
V
n
"
~
Z
2
~
Z
1
+
~
Z
2
5
N o w w e a r e r e a d y t o a p p l y t h i s t e c h n i q u
e t o s o m e e x a m p l e s .
3 . 3 A H i g h - P a s s R C F i l t e r
T h e c o n g u r a t i o n w e w i s h t o a n a l y z e i s s
h o w n i n F i g . 1 0 . N o t e t h a t i t i s t h e s a m e a s
F i g . 7
o f t h e n o t e s . H o w e v e r , t h i s t i m e w e a p p
l y a v o l t a g e w h i c h i s s i n u s o i d a l :
~
V
n
t = V
n
e
! t +
A s a n e x a m p l e o f a n o t h e r c o m m o n v a r i a t
i o n i n n o t a t i o n , t h e g u r e i n d i c a t e s t h a t
t h e i n p u t
i s s i n u s o i d a l A C " b y u s i n g t h e s y m b o l s
h o w n f o r t h e i n p u t . N o t e a l s o t h a t t h e i n p
u t a n d
o u t p u t v o l t a g e s a r e r e p r e s e n t e d i n t h
e g u r e o n l y b y t h e i r a m p l i t u d e s V
n
a n d V
o u t
, w h i c h
a l s o i s c o m m o n . T h i s i s n e , s i n c e t h e m e
t h o d w e a r e u s i n g t o a n a l y z e t h e c i r c u i t c
o m p l e x
i m p e d a n c e s s h o u l d n ' t n e c e s s a r i l y e n
t e r i n t o h o w w e d e s c r i b e t h e p h y s i c a l c i r
c u i t .
1 0
-
8/10/2019 Impedence, Frequency Domain
3/4
Z1
Z2
Vin
V out
~
~
F i g u r e 9 : T h e v o l t a g e d i v i d e r g e n e r a l
i z e d .
Vout
C
RVin
F i g u r e 1 0 : A h i g h - p a s s l t e r .
W e s e e t h a t w e h a v e a g e n e r a l i z e d v o l t a
g e d i v i d e r o f t h e f o r m d i s c u s s e d i n t h e p r
e v i o u s
s e c t i o n . T h e r e f o r e , f r o m E q n . 5 w e c a n
w r i t e d o w n t h e r e s u l t i f w e s u b s t i t u t e
~
Z
1
=
~
Z
C
=
, = ! C a n d
~
Z
2
=
~
Z
R
= R :
~
V
o u t
=
~
V
n
"
R
R , = ! C
A t t h i s p o i n t o u r r e s u l t i s g e n e r a l , a n
d i n c l u d e s b o t h a m p l i t u d e a n d p h a s e i n f o
r m a t i o n .
O f t e n , w e a r e o n l y i n t e r e s t e d i n a m p l i
t u d e s . W e c a n d i v i d e b y
~
V
n
o n b o t h s i d e s a n d n d
t h e a m p l i t u d e o f t h i s r a t i o b y m u l t i p l
y i n g b y t h e c o m p l e x c o n j u g a t e t h e n t a k i n
g t h e s q u a r e
r o o t . T h e r e s u l t i s o f t e n r e f e r r e d t o a
s t h e t r a n s f e r f u n c t i o n o f t h e c i r c u i t , w
h i c h w e c a n
d e s i g n a t e b y T !
T !
~
V
o u t
~
V
n
=
V
o u t
V
n
=
! R C
1 + ! R C
2
1 = 2
6
E x a m i n e t h e b e h a v i o r o f t h i s f u n c t i o n
. I t s m a x i m u m v a l u e i s o n e a n d m i n i m u m i
s
z e r o . Y o u s h o u l d c o n v i n c e y o u r s e l f t h
a t t h i s c i r c u i t a t t e n u a t e s l o w f r e q u e n c
i e s a n d p a s s e s "
t r a n s m i t s w i t h l i t t l e a t t e n u a t i o n h i
g h f r e q u e n c i e s , h e n c e t h e t e r m h i g h - p a s
s l t e r . T h e
c u t o b e t w e e n h i g h a n d l o w f r e q u e n c i e s
i s c o n v e n t i o n a l l y d e s c r i b e d a s t h e f r e q
u e n c y a t
w h i c h t h e t r a n s f e r f u n c t i o n i s 1 =
p
2 . T h i s i s a p p r o x i m a t e l y e q u a l t o a n a t
t e n u a t i o n o f 3
d e c i b e l s , w h i c h i s a d e s c r i p t i o n o f t e
n u s e d i n e n g i n e e r i n g s e e b e l o w . F r o m E q n
. 6 w e s e e
t h a t T = 1 =
p
2 o c c u r s a t a f r e q u e n c y
2 f
3 d b
= !
3 d b
= 1 = R C 7
1 1
-
8/10/2019 Impedence, Frequency Domain
4/4
T h e d e c i b e l s c a l e w o r k s a s f o l l o w s : d b
= 2 0 l o g
1 0
A
1
= A
2
, w h e r e A
1
a n d A
2
r e p r e s e n t a n y
r e a l q u a n t i t y , b u t u s u a l l y a r e a m p l i t
u d e s . S o a r a t i o o f 1 0 c o r r e s p o n d s t o 2 0 d b
, a r a t i o o f 2
c o r r e s p o n d s t o 6 d b ,
p
2 i s a p p r o x i m a t e l y 3 d b , e t c .
3 . 4 A L o w - P a s s R C F i l t e r
A n a n a l o g y w i t h t h e a n a l y s i s a b o v e , w e
c a n a n a l y z e a l o w - p a s s l t e r , a s s h o w n i n F
i g . 1 1 .
Vin
R
C Vout
F i g u r e 1 1 : A l o w - p a s s l t e r .
Y o u s h o u l d n d t h e f o l l o w i n g r e s u l t f o r
t h e t r a n s f e r f u n c t i o n :
T !
~
V
o u t
~
V
n
=
V
o u t
V
n
=
1
1 + ! R C
2
1 = 2
8
Y o u s h o u l d v e r i f y t h a t t h i s i n d e e d e x h
i b i t s l o w p a s s " b e h a v i o r . A n d t h a t t h e 3 d
b
f r e q u e n c y i s t h e s a m e a s w e f o u n d f o r t h
e h i g h - p a s s l t e r :
2 f
3 d b
= !
3 d b
= 1 = R C 9
W e n o t e t h a t t h e t w o c i r c u i t s a b o v e a r e
e q u i v a l e n t t o t h e c i r c u i t s w e c a l l e d d i e
r e n t i a t o r "
a n d i n t e g r a t o r " i n S e c t i o n 2 . H o w e v e r
, t h e c o n c e p t o f h i g h - p a s s a n d l o w - p a s s l
t e r s i s m u c h
m o r e g e n e r a l , a s i t d o e s n o t r e l y o n a n a
p p r o x i m a t i o n .
A n a s i d e . O n e c a n c o m p a r e o u r r e s u l t s f
o r t h e R C c i r c u i t u s i n g t h e c o m p l e x i m p e d
a n c e
t e c h n i q u e w i t h w h a t o n e w o u l d o b t a i n b
y s t a r t i n g w i t h t h e d i e r e n t i a l e q u a t i o n
i n t i m e f o r
a n R C c i r c u i t w e o b t a i n e d i n S e c t i o n 2 ,
t a k i n g t h e F o u r i e r t r a n s f o r m o f t h a t e q u
a t i o n , t h e n
s o l v i n g a l g e b r a i c a l l y f o r t h e t r a n s f
o r m o f V
o u t
. I t s h o u l d b e t h e s a m e a s o u r r e s u l t f o r
t h e
a m p l i t u d e V
o u t
u s i n g i m p e d a n c e s . A f t e r a l l , t h a t i s w
h a t t h e i m p e d a n c e t e c h n i q u e i s d o i n g :
t r a n s f o r m i n g o u r t i m e - d o m a i n f o r m u a
t i o n t o o n e i n f r e q u e n c y d o m a i n , w h i c h , b
e c a u s e o f
t h e p o s s i b i l i t y o f a n a l y s i s u s i n g a s i
n g l e F o u r i e r f r e q u e n c y c o m p o n e n t , i s p a
r t i c u l a r l y s i m p l e .
T h i s i s d i s c u s s e d i n m o r e d e t a i l i n t h e
n e x t n o t e s .
1 2
