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力学力学力学力学力学力学力学力学IIIIII
工業力学演習工業力学演習工業力学演習工業力学演習工業力学演習工業力学演習工業力学演習工業力学演習解析力学解析力学解析力学解析力学解析力学解析力学解析力学解析力学
6週目
立命館大学 機械システム系 2008年度 後期
微分微分微分微分とととと変分変分変分変分微分微分微分微分とととと変分変分変分変分
変分 δIが 0微分 が 0極値の条件
関数 yの形変数 xの値考える
微小変化
汎関数
I(x, y, y’)関数 f(x)対象
変分微分
x
y
d
d
解答解答解答解答解答解答解答解答
ycyybayf ′+′+= 22
( ) ( )
022
22
22d
d
d
d
=−′′=
′−−′+′′=
′+−+′=
∂∂
−
′∂
∂=
ayyb
ycayycyb
ycaycyybx
fy
fyx
Iδ
xb
a
ey =
変形変形変形変形オイラーオイラーオイラーオイラーのののの方程式方程式方程式方程式変形変形変形変形オイラーオイラーオイラーオイラーのののの方程式方程式方程式方程式汎関数 の
関数 fが xに依存しない場合、
変分法における極値の条件の計算
(オイラーの方程式 )が
簡略化 できる (レジュメ p42)
∫ ′=2
1
d),,(x
xxyyxfI
0d
d=
∂∂
−
′∂
∂f
yf
yx
定数=′′∂
∂− yy
ff
変形オイラーの方程式
変形変形変形変形オイラーオイラーオイラーオイラーのののの方程式方程式方程式方程式変形変形変形変形オイラーオイラーオイラーオイラーのののの方程式方程式方程式方程式
yy
fy
y
fx
x
fy
y
fy
y
ff ′
′∂∂
+∂∂
=∂∂
+′′∂
∂+
∂∂
= dddddd
x
y
y
f
x
fy
y
f
d
d
d
d ′′∂
∂−=′
∂∂
∴
xに依存しない関数 fの性質
オイラーの方程式
0d
d=
∂∂
−
′∂
∂f
yf
yx0
d
d=′
∂∂
−′
′∂
∂∴ y
y
fyf
yx
変形変形変形変形オイラーオイラーオイラーオイラーのののの方程式方程式方程式方程式変形変形変形変形オイラーオイラーオイラーオイラーのののの方程式方程式方程式方程式
xで積分すると
x
y
y
f
x
fy
y
f
d
d
d
d ′′∂
∂−=′
∂∂
変形オイラーの方程式の導出
0d
d=′
∂∂
−′
′∂
∂y
y
fyf
yx
0d
d
d
d
d
d=′
′∂∂
+−′
′∂
∂∴
x
y
y
f
x
fyf
yx
定数=−′′∂
∂fy
y
f
xに依存しない関数 fの性質 オイラーの方程式
汎関数汎関数汎関数汎関数のののの例例例例汎関数汎関数汎関数汎関数のののの例例例例
到達時間 tgoal
∫=goalt
goal tt0d
微小時間 dtの間の移動距離 ds
vt
s=
d
d
v: 質点の速度
坂道を転がる質点がある点 xgoalに最も早く到達するような
坂道の形 y(x) を求める問題 (レジュメ p.39)
x
y
m
xgoal
v
y(x)
エネルギー保存則より
汎関数汎関数汎関数汎関数のののの例例例例汎関数汎関数汎関数汎関数のののの例例例例速度 v と位置 y の関係
xys d1d 2′+=
mgymv =22
1
gyv 2=∴
移動距離 ds と各座標の微小変位 dx, dyの関係
x
y
m
xgoal
v
y(x)
x
y
dx
ds
より
汎関数汎関数汎関数汎関数のののの例例例例汎関数汎関数汎関数汎関数のののの例例例例
gy
xy
v
st
2
d1dd
2′+==
tgoalの汎関数表現
∫∫′+
==goalx
0
2
0d
2
1d x
gy
ytt
goalt
goal
xysgyvvt
sd1d,2,
d
d 2′+===
最速降下曲線最速降下曲線最速降下曲線最速降下曲線のののの導出導出導出導出最速降下曲線最速降下曲線最速降下曲線最速降下曲線のののの導出導出導出導出汎関数
∫′+
=goalx
0
2
d2
1x
gy
ytgoal
変形オイラーの方程式
( )定数=
′+=
′+
′′−
′+=
′+′∂
∂′−
′+
2
2
222
12
1
122
1
2
1
2
1
yyg
ygy
yy
gy
y
gy
y
yy
gy
y
(レジュメ p.42)
よって
のとき、 tgoalは極値をとる
( ) 定数=′+ 21 yy
x
y
m
xgoal
v
y(x)
演習演習演習演習演習演習演習演習 ((((汎関数汎関数汎関数汎関数))))((((汎関数汎関数汎関数汎関数))))重力下で左右の2点(A,B)が固定された
質量 m[kg]、長さ l[m] のひもを考える
重力によるポテンシャルエネルギー Eを
汎関数の形式で求めよ
x
y
x2x1
ひもg
A B
解答解答解答解答解答解答解答解答 ((((汎関数汎関数汎関数汎関数))))((((汎関数汎関数汎関数汎関数))))微小長さ dlが持つエネルギー dE
gyl
lmEd
d =
dl と dx, dyの関係
( )
xy
xx
yxl
d1
dd
ddd
2
2
2
′+=
+=
ひも全体のエネルギー E
∫=B
AEE d
x
y
x2x1
ひもg
A B
x
y
dx
dl
解答解答解答解答解答解答解答解答 ((((汎関数汎関数汎関数汎関数))))((((汎関数汎関数汎関数汎関数))))
より
エネルギー E
xylgyl
lmEEE
B
Ad1d,
dd,d 2′+=== ∫
x
y
x2x1
ひもg
A B
∫
∫∫
′+=
==
2
1
d1
dd
2
0
x
x
lB
A
xyyl
mg
lyl
mgEE
演習演習演習演習演習演習演習演習 ((((変分法変分法変分法変分法))))((((変分法変分法変分法変分法))))
汎関数 が
極値を取るための関数 yの条件
を変分法を用いて求めよ
x
y
x2x1
ひもg
A B
∫ ′+=2
1
d1 2x
xxyy
l
mgE
ほっておくとひもは
エネルギー最小の状態になる
解答解答解答解答解答解答解答解答 ((((変分法変分法変分法変分法))))((((変分法変分法変分法変分法))))
( ) ( ) 定数=′′+′∂
∂−′+ yyyy
yy 22 11
変形オイラーの方程式
( )
定数=′+
=
′+
′−′+=′′+
′∂∂
−′+
2
2
2222
1
1111
y
y
y
yyyyyyy
yyy
xccy 21 cosh=
変分法変分法変分法変分法のののの導出導出導出導出変分法変分法変分法変分法のののの導出導出導出導出
関数 yの微小変化 y+δyによる汎関数の変化 δI
のとき となる証明
∫
∫∫
∫∫
′′∂
∂+
∂∂
=
′−
′+′′∂
∂+
∂∂
=
′−′+′+=
′−′+′+=
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
d
d),,(d),,(
d),,(d),,(
),,(),,(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xyy
fy
y
f
xyyxfxyyxfyy
fy
y
f
xyyxfxyyyyxf
yyxIyyyyxII
δδ
δδ
δδ
δδδ
0d
d=
∂∂
−
′∂
∂f
yf
yx
(レジュメ p.40-41)
0=Iδ
変分法変分法変分法変分法のののの導出導出導出導出変分法変分法変分法変分法のののの導出導出導出導出(レジュメ p.40-41)
∫
∫∫
′∂∂
−∂∂
=
′∂∂
−∂∂
=
′′∂
∂+
∂∂
=
2
1
2
1
2
1
dd
d
dd
dd
x
x
x
x
x
x
xyy
f
xy
f
xyy
f
xy
y
fxy
y
fy
y
fI
δ
δδδδδ
( )
∫∫
∫∫
′∂∂
−=
′∂∂
−
′∂
∂=
′∂∂
=
′∂
∂
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
dd
dd
d
d
dd
dd
d
d
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xyy
f
xxy
y
f
xy
y
f
xx
y
y
fx
x
y
y
f
δδδ
δδ