第 14 回 の

6. リースの 表現定理 と 1トン バナッハ の 定理

即 に 定義 した よう に.

named sp X から K - R or G へ の

hddlinearop を 有界 線形汎関数 (hddl.io functional)

いい、 その 主体 を Xた 土 (X .

k) と表し 、共役空間 という

K - Port は 完備 なので 水 も 完備 である。

また 、

この 元 を 普通 f EXを表す

i.e.fxnks.t.fmtpg ) - afnpfy) (hptk.by的

・ IHI < N.

メ が 1tilhertsp.lt/nE.HEH2 なる。

_

従って、

1が、 、LTD

.12

などの dudsp は それ自身と なる、

それが次の 定理 である.

che Riesが representton theorem

五、 6.1 (リス の表現定理)に H : Hilbertgo.ltf EH

* ヨ !y EH st.fm = く つは 〉 (秈)

しかも、

118 1 1 = 1は 11 を みたす「 これ により

HEH である

②𦥯f 三 0 なら ば 0 と さ れば よい

、 以下拝 0 とする.

N = KEH ifx ) = 0 1と おく と

、これは 閉部分空間 となる

NEN ,de k なら なか いた) = 0 より の( EN

x.でい た5 f txtで) =杉 +杉 =0 より ついでEN.MNは 部分 空間 、( きた惣荘ななな 製熱に 0

射影 定理 より H ・一 人は N

」と 分解 できる

.

f # 0 より NH t なので、 なに人は st.to#O さ に は、

この とき f No) =1 0 である。

な、 =,拗一

陣 は。 とおけば な EN2で、

これが求める

もの で ある、

実際、

片( EH に対して、

fy。) に 一 がいる。 EN fは。)

より0 -

一例がかかる > = fmam.fm!遊= fは)には7.fm )

.

③tn fpc) = は 7 と なる

。

もし ヨ y'

E H st.fm = は〉 = G . 57 と する と、

くつい ます'

7=0 た EH

なので たま- y'

と すれば 1は別に O いる = y '

M では一意 である。

また、側に 1 に対して

、

Schwartz の 不等式 より

lh, 1 = 1 は> 1 E側は1 1 = 1は11.

i . 仰る例

画に つく。 二 間 と する と

fH。) こ くで は 7 - 1は 1 1

となる の で

は 1 1 - 拓 々 劉㭭 = 例 の 例 : HH.

以上 より 11811=11411x

一般の Band sp X において 仲 を 定める の は

簡単 で は ない が 次の 例 は よく 知られ ている

④例

、

6. 1

TE p < e . HP の 共役指数 ieが 主 = 1 (ただし には5 9 = o )

II) rc 1が 、 Open に対して (LTD)たでん)に) (lグ = 1 9

例 6.2

ーピー { an El'

i -molておく と.li は0 の 閉 部分 空間 で 1 1% ノルム で

Band sp となり しかも は )ただ

三大 基本定理 の 最後の 1つ を 述べる。

これは 線形汎関数の拡張可能性 を述べ て いる

五、 6.2 (ハーン、 バナッハ の 定理 )「 Hahn- Bands theorem

X : 実線形 空間 、 阪) を X 上 で定義された 実数値汎 関数でi) p Pity) EPM tpは) は y EX)

(ii) p (か) = 入pk) (11 70 .x EX )

を みたす と する。

⑤f さ X の 線形部分 空間 L 上 で定義 された 実数値線形汎関数で

た) t.PH) は EL)

を みたす と する。

この とき、X全体で定義 された 実数値 線形汎関数 F でFM = fa ) は EL)

FM E p に は EX)

を みたす もの が存在する

曜に X な 5 明らかな ので

.

L キメ と する と EXILE に とり、

ム、_ は 十七% i なEL.ttRl

と おく と 、これは 実部分 空間 である

。また

、山 の 元 では

つい て 十 七 %

と 一意的 に表される 。実際

、

つに いた。 二 弘 七% は 、 y'EL.tt/ER)

と する と、

(ただ ) が こまは EL

なので ' t # t ' z する と No = t EL より 矛盾

よ、て た t' で あり なば と なる

⑥ft L 、 上 に 拡張する など に対して

、

FM = Fは十 七 M ) = = fly ) ttcと 定める

、

ここで C は 任意に 固定 さ れた定数である、

以下、

次 の 手順で 示す 、

い) F は 山上 の 線形 汎関数

い) 適当 な C さ こ れば FM EPM (KEL)

i) Zorn の 補題 を 用いて、fが X全体 に Fnp

を みたす よう に拡張 できる

(I) について 、

-

た = は、t た が EL, MEL , た ER)

、

di ER に対して、

Fkat れた ) = F (には、 t のは2) +1のけけ れた)%)

f 。 線形性 (= fにす なん) + C は 、t.toた)

t= の Hmtct ) t た (fmtcた)- di FIN ) t の FPD

.

⑦に) について-_-

まずる . Y'EL に対して

、

な) +1ば) -8はなり EPはなり= pは十から一%) EP は 十か 」 pは知

なので

fば ) - pは一%) と p は 十%) - fは).

R : こ

、蠁 (1の 一門が、 pigf (かみかな)

とおけ ば ftp. なので p 、EC epz と なる とを とれば

H) t CEP は十 %)、 fy) - CE pは一%) は 、 ると2)

これより 、-170 ならば

FPC) = Fは十 七%) = fy)ttc.tt) +4Et P ( ft % ) = P は t た。) = M)

.toなら ば

FM = F は十 七%) = fy ) + t C= せ ) ffff ) - c 1E -tpttx。) = p は 十 十%) = PM

.

⑧た 。 お つに は な ので

FPC) = Fly ) - fy ) Epは ) = PM .

以上 より Fm epm Nth )

(III) について

-8は tg.hr Ri 線形汎関数LC Lg かつ GM -扣 はEL)

gMEM) に E Lg )

と定義する か. が より 五井 中 で ある

。

王 に 伴 ) 順序 を 導入 する 8,1とき に対に

f E g' t Lgc Lg かっ 物 は仇) は E Lg )

と おけ ば 順序 と なる 王 の 任意の 全順序 部分 例 を とる、

Lily と 表 1. Lo = Uh と する t.to は部分空間 である

入

L 。 上 の 線形汎関数 G を 定め たい。任意 の IGG を とると

か s.t.IE厶 となる、この 入を用いて

、

g 。 H) = GM (RE ム )

と 定める、

これは 入 の とり方 に依らない。

実際、aHi なる か に対 に 例 は 全 順序集合 だから

なり、 又は たく た

⑨ht た とする と 厶 CH が 8作に𦀌 、

9.は 教 の 場合 も 同様。

よって 私か の 値は 入 の とり方に依らない、

また、 fo は 線形汎関数である

。

実際 にい つに EL。 な5ば、fh が全順序 より 引け

、かつに EH

h. た、 つい た 2 つに EL ,ヽ KER) であり、

g は、つい た2 つに) = 91たがあった)

= たん仏 ) th 9作) = kg。仏) thf。佑)

片( EL。 に対 に 引 st.atム なので

gk) = f、 H) EPM HELD .

よ、て 8。 は GM EP 的 には) を みたす 、

したがって GEI.

明らか に ある G なので fo は 例 の 上限で ある。

また 集合五 は Zorn の 補題 の 仮定さみた して いる ので、

王 に極大元 Fが存在する、

この 汎 関数F は x 全体で定義されている、

実際、もし そうで なければ

、証明 の 前半 と 同様に F は さらに

王 の 中で拡張できて しまい、 これは下の極大性に反する。

以上 より 定理が 示された . 4