Idferncias Divididas de Newton

Polinomios de interpolacin con diferencias divididas de Newton (Interpolacin Lineal, Interpolacin cuadrtica) 2010

1 Alm: Torres Baltazar Francisco Antonio | Ing. De Sistemas UCV LIC JOSEMIO



Polinomios de interpolacin con diferencias divididas de Newton

(Interpolacin Lineal, Interpolacin cuadrtica).

El polinomio de interpolacin con diferencias divididas de Newton, entre otros es la forma ms

popular adems de las ms til.

Interpolacin Lineal

La forma ms simple de interpolar es la de conectar dos puntos con una lnea recta. Este

mtodo, llamado interpolacin lineal, se muestra en la figura

Usando tringulos semejantes, se tiene:

[1]

que se puede reordenar como :

[2]



La cual es una formula de interpolacin lineal. La notacin f 1(X) indica que se trata de un

polinomio de interpolacin de primer orden. Ntese que adems de representar la pendiente de

la linera que conecta los dos puntos, el termino

[3]

Es una aproximacin de diferencias divididas finitas a la primera derivada. En general, entre

ms pequeo sea el intervalo entre dos puntos, ms exacta ser la aproximacin.

Interpolacin Cuadrtica

Una estrategia que mejora la aproximacin es la introducir cierta curvatura en la lnea que

conecta a los puntos. Si se dispone de tres datos, lo anterior se puede llevar a cabo con un

polinomio de segundo orden (llamado tambin polinomio cuadrtico o parbola). Una manera

conveniente para este caso es :

[4]

Ntese que aunque la ecuacin [1] parezca diferente de la ecuacin general de un polinomio :

[5]

Las dos ecuaciones son equivalentes.

Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de los coeficientes. Para bo

, se usa la ecuacin [4] con X=X0 y se obtiene.

[6]

Sustituyendo la ecuacin [6] y [4] y evaluando en X=X1 se obtiene

[7]

Y por ultimo las ecuaciones [7] y [6] se sustituyen en la ecuacin [4] y se evala est en X=X2 y

se obtiene



[8]

Ntese que, al igual que en el caso de interpolacin lineal, b1 aun representa la pendiente de la

lnea que une los puntos X0 y X1. Por lo tanto, los primeros dos trminos de la ecuacin [4] son

equivalentes a la interpolacin de X0 a X1. El ultimo termino b2(X-X0) (X-X1), introduce la

curvatura de segundo orden de la formula.

Forma general de los Polinomios de Interpolacin de Newton

[9]

Se debe notar que no es necesario que los datos usados en la ecuacin [9] estn igualmente

espaciados o que los valores de la abscisa necesariamente se encuentren en orden

ascendente. Tambin ntese que las ecuaciones son recursivas, esto es las diferencias de

orden superior se componen de las diferencias de orden inferior. Esta propiedad se puede

aprovechar al desarrollar un programa eficiente par un computador.



Interpolacin Polinmica

Un problema de interpolacinInterpolacin lineal y cuadrtica

Forma normal del polinomio de interpolacin.

Forma de Lagrange.

Forma de Newton.Tabla de diferencias divididas

Evaluacin y error del polinomio de interpolacin

Conclusiones y alternativas

Hora 6 8 10 12 14 16 18 20

Grados 7 9 12 18 21 19 15 10

Un problema de interpolacin

Evolucin de la temperatura diurna

4 6 8 10 12 14 16 18 20 2268

10121416182022

Hora

Gra

dos



Grfico de la temperatura en Matlab

% Hora

t = [6 8 10 12 14 16 18 20]'

% Temperatura

T = [7 9 12 18 21 19 15 10]'

plot(t,T,'*'), grid

xlabel('Horas'), ylabel('Grados')

a0 + 12a1 = 18

a0 + 14a1 = 21

a0 + a1x0 = y0a0 + a1x1 = y1

P1(x) = a0 + a1x

Interpolacin lineal

Recta que pasa por los puntos (x0,y0) y (x1,y1)

5 10 15 205

10

15

20

25

Hora

Gra

do

s



1 10 100

1 12 144

1 14 196

a

a

a

12

18

21

0

1

2

a0 + a1x0 + a2x02 = y0

a0 + a1x1 + a2x12 = y1

a0 + a1x2 + a2x22 = y2

Interpolacin cuadrtica

P2(x) = a0 + a1x + a2x2

5 10 15 205

10

15

20

25

Hora

Grados

Polinomio de grado2

X=10:2:14

Y=[12 18 21]'

A=vander(X)

cond(A)

p=A\Y

polyval(p,X)

x=5:0.1:22;

y=polyval(p,x);

plot(x,y)

Desplazamiento del origen

P2(x) = b0 + b1(x x1) + b2(x x1)2

P2(x) = 18 + 9/4(x 12) 3/8(x 12)2

A=[4 -2;4 2]; c=[-6,3]';

cond(A)

p=(A\c)

p=[p' 18]; polyval(p,X-12)

3

6

42

42

2

1

b

b



Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + + anx

n

Forma normal del polinomio de interpolacin

Dados n+1 puntos de abscisas distintas (x0,y0),..., (xn,yn), existe un nico polinomio de grado no superior a n tal que

P(xi) = yi, i=1,2,...,n

1 x x x

x x x

x x x

x x x

a

a

a

a

y

y

y

y

0 0

2

0

n-1

1 1

2

1

n-1

2 2

2

2

n-1

n n

2

n

n-1

0

1

2

n

0

1

2

n

1

1

1

Forma de Lagrange del polinomio de interpolacin

Polinomios de Lagrange

Existencia del polinomio de interpolacin.

Lin ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )x

x x x x x x x x

x x x x x x x x

i i n

i i i i i i n

0 1 1

0 1 1

Pn(x) = y0 L0n(x) + y1 L1n(x) + y2 L2n(x) + + yn Lnn(x)



Forma de Lagrange del polinomio de interpolacin

Polinomios de Lagrange

Existencia del polinomio de interpolacin.

Lin ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )x

x x x x x x x x

x x x x x x x x

i i n

i i i i i i n

0 1 1

0 1 1

Pn(x) = y0 L0n(x) + y1 L1n(x) + y2 L2n(x) + + yn Lnn(x)

Pn(x0) = y0 = c0Pn(x1) = y1 = c0+ c1(x1 x0)

Pn(x2) = y2 = c0+ c1(x2 x0) + c2(x2 x0)(x2 x1)

Determinacin algebraica

VentajasEl sistema es triangular

Permite aadir nuevos puntos sin rehacer todos los clculos.

Forma de Newton del polinomio de interpolacin

Pn(x) = c0 + c1(x x0) + c2(x x0)(x x1) + +

+ cn(x x0)(x x1) (x xn-1)



Tabla de diferencias divididas

c0 = f[x0] = y0

c = f x , xy c

x x

f x f x

x x1 0 1

1 0

1 0

1 0

1 0

f x ,xf x x f x x

x x0 1

1 2 0 1

2 0

,, ,

x2

f x , xf x x f x x

x x0 11 2 0 1

k 0

,, , , ,

xx x

k

k k 1

Tabla de diferencias divididas

y f x

y f x f x x

y f x f x x f x x x

y f x f x x f x x x f x x x x

0 0

1 1 0 1

2 2 1 2 0 1 2

3 3 2 3 1 2 3 0 1 2 3

[ ]

[ ] [ , ]

[ ] [ , ] [ , , ]

[ ] [ , ] [ , , ] [ , , , ]

12 18

14 21 1.5000

10 12 2.2500 -0.3750

16 19 1.1667 -0.5417 -0.0417



Evaluacin del polinomio de interpolacin

Pn(x) = c0+

c1(x x0) +

c2(x x0)(x x1) +

+

+ cn(x x0)(x x1) (x xn-1) =

= ( ((cn (x x n-1)

+ cn-1) (x x n-2)

+ cn-2) (x x n-3)

+

+ c1) (x x0)

+ c0

Error de interpolacin

f(x) P (x)f ( )

(n 1)!(x x )(x x ) (x x )n

(n 1)

0 1 n

f x , x , x xf ( )

(n 1)!0 1 n n+1

(n 1)

, ,



Conclusiones

El polinomio de interpolacin suele usarse para estimar valores de una funcin tabulada, en las abscisas que no

aparecen en la tabla.

El aumento de grado no siempre mejora la aproximacin.

El polinomio es muy sensible a los errores de los datos.

Alternativas

Mtodo de Mnimos Cuadrados

Interpolacin polinmica segmentaria. Splines

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