Identification en boucle fermée de la machine asynchrone

THESE

Presentee a

L’UNIVERSITE DE POITIERS

Pour l’obtention du grade de

DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE POITIERS

ECOLE SUPERIEURE D’INGENIEURS DE POITIERS

ECOLE DOCTORALE DES SCIENCES POUR L’INGENIEUR

Diplome National - Arrete du 7 aout 2006

SPECIALITE : AUTOMATIQUE

Pour l’obtention du grade de

DOCTEUR DE L’ECOLE NATIONALE D’INGENIEURS DE TUNIS

SPECIALITE : GENIE ELECTRIQUE

Presentee par

Imene BEN AMEUR BAZINE

IDENTIFICATION EN BOUCLE FERMEE DE LA

MACHINE ASYNCHRONE :

APPLICATION A LA DETECTION DE DEFAUT

Directeurs de These : J.-C. TRIGEASSOU et K. JELASSI

Co-encadrement : T. POINOT

Presentee et soutenue publiquement le 16 juin 2008

COMPOSITION DU JURY

Rapporteurs : Nabil DERBEL Professeur a l’ENIS SfaxMaurice FADEL Professeur a l’INP Toulouse

Examinateurs : Ilhem BELKHODJA Professeur a l’ENIT TunisMohamed BENREJEB Professeur a l’ENIT TunisKhaled JELASSI Maıtre de conferences a l’ENIT TunisThierry POINOT Professeur a l’Universite de PoitiersJean-Luc THOMAS Professeur titulaire de chaire au CNAM ParisJean-Claude TRIGEASSOU Professeur emerite a l’Universite de Poitiers

These preparee au sein du Laboratoire d’Automatique et d’Informatique Industrielle de Poitiers

et du Laboratoire des Systemes Electriques de Tunis

Mis en page avec la classe thloria.

Remerciements

Je tiens a exprimer toute ma gratitude et mes sinceres remerciements a Mon-

sieur Jean-Claude TRIGEASSOU, Professeur a l’Universite de Poitiers, pour

avoir dirige ce travail, pour ses grandes competences scientifiques ainsi que pour

ses conseils, ses remarques toujours constructives, ses remarquables qualites hu-

maines, son soutien, la confiance et l’amitie qu’il m’a toujours temoignees.

Je remercie Monsieur Khaled JELASSI, Maıtre de Conferences a l’Ecole Na-

tionale d’Ingenieurs de Tunis, pour m’avoir encadree depuis le PFE. Je le remercie

egalement pour son aide, sa confiance ainsi que son amitie.

J’adresse egalement mes remerciements a Monsieur Thierry POINOT, pour

avoir co-dirige ce travail ainsi que pour son soutien tout au long de cette these.

Que Monsieur Maurice FADEL, Professeur a l’I.N.P. de Toulouse et Mon-

sieur Nabil DERBEL Professeur a l’E.N.I.S de Sfax trouvent ici l’expression de

ma profonde gratitude pour m’avoir fait l’honneur de rapporter ce travail. Ces

remerciements s’adressent egalement a Monsieur Mohamed BENREJEB, Profes-

seur a l’E.N.I.T de Tunis, Monsieur Jean-Luc THOMAS, Professeur au C.N.A.M

de Paris et Madame Ilhem BELKHODJA, Professeur a l’E.N.I.T de Tunis pour

avoir accepte de participer au jury de cette these.

Je remercie chaleureusement Monsieur Gerard Champenois, Professeur a l’Uni-

versite de Poitiers et Directeur du Laboratoire d’Automatique et d’Informatique

Industrielle pour m’avoir accueillie au sein de son equipe et pour m’avoir en-

couragee tout au long de ces travaux, ainsi que pour ses remarquables qualites

humaines.

Je remercie aussi Nezha MAAMRI, Maıtre de Conferences a l’Universite de

Poitiers pour son amitie ainsi que pour tous les tres bons moments passes en sa

compagnie.

Je voudrais egalement remercier toutes les personnes des laboratoires L.A.I.I

et L.S.E, qui m’ont toujours offert leur aide et qui ont su creer une ambiance

agreable. Je ne peux les citer tous de risque d’en oublier.

Pour finir, je tiens a remercier du fond du coeur ma famille et ma belle-famille

qui m’ont encouragee tout au long de ces annees d’etudes. Qu’ils recoivent ici

i

ma profonde gratitude pour leurs innombrables sacrifices. Merci aussi a nos chers

cousins Rym et Rochdi.

Enfin mes plus tendres remerciements vont a mon mari Sadok pour tout son

soutien, sa patience, sa complicite indispensables durant ces annees d’etudes ainsi

que ma tres chere fille Aya pour sa patience durant toutes les periodes d’absence

de maman et papa.

ii

A ma famille

A ma belle-famille

A Sadok

A ma tres chere fille Aya

iii

iv

Table des matieres

Introduction generale 1

Chapitre 1 La machine asynchrone : modelisation, commande et

simulation 5

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Modelisation de la machine asynchrone . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Modele triphase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2.2 Modele diphase de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2.1 Transformation triphasee/diphase . . . . . . . . . 10

1.2.2.2 Equations generales . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3 Commande vectorielle a flux rotorique oriente . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.2 Expression generale de la commande . . . . . . . . . . . . 15

1.3.3 Decouplage par compensation . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3.4 Schema de principe de la commande vectorielle . . . . . . 17

1.4 Protocole de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Exemple de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6 Simulations dediees a l’identification . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6.2 Modele dedie a l’identification directe . . . . . . . . . . . . 26

1.6.3 Modele dedie a l’identification indirecte . . . . . . . . . . . 27

1.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Chapitre 2 Identification en boucle fermee 29

v

Table des matieres

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2 Identification en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2.2 Algorithme d’identification du type erreur de sortie . . . . 31

2.2.3 Estimation parametrique avec information a priori . . . . 33

2.2.3.1 Introduction de l’information a priori . . . . . . 34

2.2.3.2 Algorithme d’optimisation non lineaire . . . . . . 35

2.2.3.3 Calcul des fonctions de sensibilite . . . . . . . . . 36

2.2.3.4 Mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2.3.4.1 Choix de l’information a priori . . . . . 37

2.2.3.4.2 Choix de la variance de la perturbation

de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.3 Un panorama des methodes d’identification en boucle fermee . . . 39

2.3.1 Problematique de l’identification en boucle fermee . . . . . 40

2.3.2 L’approche directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.3.2.2 Biais de l’approche directe en boucle fermee . . . 41

2.3.3 L’approche simultanee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3.4 L’approche indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.3.4.2 Methodes associees a une parametrisation appro-

priee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.3.4.2.1 Methode C.L.O.E. . . . . . . . . . . . . 46

2.3.4.2.2 Methode Tailor-Made Parametrisation . 47

2.3.4.3 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4 Methode d’identification O.E. basee sur une decomposition de la

boucle fermee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4.2 Identification de correcteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.4.2.1 Methodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

vi

2.4.2.2 Etude de la surparametrisation . . . . . . . . . . 52

2.4.2.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.4.2.2.2 Les moments discrets . . . . . . . . . . . 53

2.4.2.3 Simulations numeriques . . . . . . . . . . . . . . 54

2.4.2.3.1 Choix de la structure du correcteur . . . 54

2.4.2.3.2 Les moments discrets . . . . . . . . . . . 57

2.4.3 Methodologie d’identification indirecte par erreur de sortie 58


2.4.3.2 Exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Chapitre 3 Identification en boucle fermee de la machine a courant

continu 65

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2 La machine a courant continu : modelisation et commande . . . . 66

3.3 Description du simulateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3.1 Protocole de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3.2 Types d’excitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4 Methodologie d’identification en boucle fermee . . . . . . . . . . . 72

3.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.4.2 Identification du correcteur equivalent . . . . . . . . . . . 73

3.4.2.1 Methodologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.4.2.2 Les moments discrets . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.4.2.3 Simulations numeriques . . . . . . . . . . . . . . 77

3.4.3 Identification indirecte par erreur de sortie . . . . . . . . . 80

3.4.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80


3.5 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.5.1 Identification indirecte avec correcteur reel pour differentes

excitations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3.5.2 Identification directe pour differentes excitations . . . . . . 86

vii

Table des matieres

3.5.3 Identification Indirecte avec correcteur surparametrise . . . 89

3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Chapitre 4 Identification en boucle fermee de la machine asyn-

chrone 97

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

4.2 Identification par approche directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

4.2.2 Calcul des fonctions de sensibilite . . . . . . . . . . . . . . 101

4.2.3 Resultat d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.3 Methodologie generale d’identification en boucle fermee . . . . . . 104

4.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4.3.2 Identification de la commande vectorielle . . . . . . . . . . 105

4.3.2.1 Methodologie d’identification de correcteur . . . . 105

4.3.2.2 Test de surparametrisation . . . . . . . . . . . . 110

4.3.2.3 Resultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . 111

4.3.3 Identification de la machine par decomposition de la boucle

fermee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.3.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117


4.3.4 Resultat d’identification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.4 Comparaison de resultats d’identification : approche directe/approche

indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Chapitre 5 Diagnostic de la machine asynchrone par approche in-

directe 129

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

5.2 Modeles de defaut de la machine asynchrone . . . . . . . . . . . . 131

5.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

5.2.2 Modele de defauts statoriques de type court-circuit . . . . 132

viii

5.2.3 Modele de defaut rotorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

5.2.4 Modele general de defauts de la machine asynchrone . . . 136

5.2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

5.3 Resultats du diagnostic de la machine asynchrone en boucle fermee 138

5.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

5.3.2 Estimation parametrique avec information a priori . . . . 139

5.3.3 Diagnostic d’un defaut stator . . . . . . . . . . . . . . . . 140

5.3.3.1 Modele dedie au diagnostic des courts-circuits au

stator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140


5.3.3.2.1 Detection et localisation . . . . . . . . . 142

5.3.3.2.2 Comparaison de resultats d’identification

par approche directe et approche indirecte144

5.3.4 Diagnostic d’un defaut rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.3.4.1 Modele de detection . . . . . . . . . . . . . . . . 147





5.3.5 Diagnostic de defauts simultanes stator/rotor . . . . . . . 152

5.3.5.1 Modele de detection . . . . . . . . . . . . . . . . 152





5.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Conclusion generale 159

Annexes 163

Annexe A Biais de l’estimateur 163

ix

Table des matieres

A.1 Algorithme a erreur de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

A.2 Hypothese deterministe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

A.3 Hypothese stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

A.3.1 Identification en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . 166

A.3.2 Identification en boucle boucle fermee par approche directe 166

A.3.3 Identification en boucle boucle fermee par approche indirecte167

Annexe B Relations lineaires entre moments discrets et parametres

du correcteur 169

B.1 Cas d’un correcteur sans integrateur . . . . . . . . . . . . . . . . 169

B.2 Cas d’un correcteur avec un integrateur . . . . . . . . . . . . . . . 171

Annexe C Identification de la machine a courant continu 173

Bibliographie 179

x

Table des figures

1.1 Principe de la transformation de Park . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Schema electrique equivalent de la machine asynchrone dans le

repere de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Modele de la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.4 Decouplage par addition des termes de compensation . . . . . . . 18

1.5 Simulateur pour l’obtention des signaux synthetiques . . . . . . . 20

1.6 Controle de la vitesse (flux rotorique oriente) . . . . . . . . . . . . 23

1.7 Courants et tensions statoriques dans le repere du stator . . . . . 24

1.8 Courants et tensions statoriques dans le repere du rotor . . . . . . 24

2.1 Principe des methodes a erreur de sortie . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Systeme boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3 Principe de l’identification directe en boucle fermee . . . . . . . . 42

2.4 Systeme boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5 Principe de l’identification indirecte en boucle fermee . . . . . . . 49

2.6 Processus boucle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.7 Moments discrets des correcteurs surparametrises en fonction de

l’ordre S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.8 Identification en presence d’un bruit blanc . . . . . . . . . . . . . 61

2.9 Identification en presence d’un bruit moyennement correle c1 = −0.5 62

2.10 Identification en presence d’un bruit fortement correle c1 = −0.95 63

3.1 Principe de la regulation de la machine MCC . . . . . . . . . . . 68

3.2 Principe de la simulation de la MCC . . . . . . . . . . . . . . . . 69

3.3 Controle de la machine a courant continu . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4 Principe du correcteur equivalent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.5 Comparaison des commandes reelle et estimees pour chaque struc-

ture surparametrisee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

xi

Table des figures

3.6 Principe de l’identification indirecte pour la MCC . . . . . . . . . 81

3.7 Identification indirecte en presence d’un bruit blanc sur le courant

et la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

3.8 Identification indirecte en presence d’un bruit fortement correle sur

le courant et d’un bruit blanc sur la vitesse . . . . . . . . . . . . . 85


le courant et d’un bruit moyennement correle sur la vitesse . . . . 87

3.10 Identification directe en presence d’un bruit fortement correle sur




3.12 Identification indirecte avec correcteur reel et correcteur surpara-

metrise en presence d’un bruit moyennement correle sur le courant 90


metrise en presence d’un bruit fortement correle sur le courant . . 91





3.16 Evolution des parametres electriques estimes durant la procedure

d’identification I.I.C.S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.17 Comparaison des courants et des tensions simules et estimes pour

l’I.I.C.S.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3.18 Identification en presence d’un bruit fortement correle sur le cou-

rant et d’un bruit blanc sur la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.1 Principe de l’identification directe de la machine asynchrone . . . 100

4.2 Evolution des parametres electriques durant la procedure d’esti-

mation par identification directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4.3 Comparaison des courants simules et estimes d’axes (d, q) pour

l’identification directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

4.4 Erreur d’estimation de l’identification directe . . . . . . . . . . . . 103

4.5 Decomposition de la commande de la machine en sous-systemes

multi-entrees mono-sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107


ture surparametrisee de CEq−uds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

xii


ture surparametrisee de CEq−uqs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.8 Principe de l’identification indirecte de la machine asynchrone . . 117

4.9 Evolution des parametres electriques durant la procedure d’esti-

mation par identification indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.10 Comparaison des courants (et tensions) simules et estimes d’axes

(d, q) pour l’identification indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.11 Erreur d’estimation de l’identification indirecte . . . . . . . . . . . 123

4.12 Identification en presence d’un bruit blanc sur les courants . . . . 124

4.13 Identification en presence d’un bruit fortement correle sur les cou-

rants et d’un bruit blanc sur la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . 125


rant et d’un bruit moyennement correle sur la vitesse . . . . . . . 127

5.1 Modele de defauts statoriques de la machine asynchrone . . . . . 132

5.2 Modele de defauts rotoriques de la machine asynchrone . . . . . . 135

5.3 Modele de defauts stator/rotor de la machine asynchrone . . . . . 136

5.4 Evolution des parametres pour un court-circuit de 58 spires sur la

phase a et 29 spires sur la phase b . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143


un court-circuit de 58 spires sur la phase a et 29 spires sur la phase

b d’axe q de Park . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

5.6 Resultats d’identification parametrique pour un court-circuit de 18

spires sur la phase c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146


spires sur la phase a et 29 spires sur la phase b . . . . . . . . . . . 146

5.8 Evolution des parametres de defaut pour une barre cassee . . . . 149


une rupture d’une barre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.10 Evolution des parametres pour un defaut de deux barres cassees . 150

5.11 Evolution des parametres de defaut dans le cas d’une machine saine

par identification indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

5.12 Evolution des parametres pour un court-circuit de 29 spires sur

la phase a, 18 spires sur la phase c et deux barres cassees par

identification indirecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

xiii

Table des figures

5.13 Evolution des parametres pour un court-circuit de 29 spires sur

la phase a, 18 spires sur la phase c et deux barres cassees par

identification directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

5.14 Comparaison des courants (et tensions) simules et estimes pour un

court-circuit de 29 spires sur la phase a, 18 spires sur la phase c et

deux barres cassees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

5.15 Resultats d’estimation parametrique (defauts simultanes) . . . . . 157

A.1 Identification en boucle ouverte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

A.2 Identification en boucle fermee par approche directe . . . . . . . . 166

A.3 Identification en boucle fermee par approche indirecte . . . . . . . 167

C.1 Machine a courant continu (MCC) . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

C.2 Les entrees / sorties de la MCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

C.3 Simulation en boucle ouverte a u = 20 V . . . . . . . . . . . . . . 176

C.4 Simulation en boucle fermee a ωref = 90 rad/s . . . . . . . . . . . 177

xiv

Liste des tableaux

1.1 Caracteristiques de la machine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1 Structures des correcteurs surparametrises . . . . . . . . . . . . . 56

2.2 les moments discrets du vrai correcteur . . . . . . . . . . . . . . . 57

2.3 Identification en presence d’un bruit blanc . . . . . . . . . . . . . 61

2.4 Identification en presence d’un bruit moyennement correle c1 = −0.5 62

2.5 Identification en presence d’un bruit fortement correle c1 = −0.95 62

3.1 Caracteristiques de la MCC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.2 Structures des correcteurs surparametrises de la MCC . . . . . . . 78

3.3 Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cw . . . . . 79

3.4 Les moments discrets des correcteurs surparametrises Ci . . . . . 79

3.5 Identification indirecte en presence d’un bruit blanc sur le courant

et la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84










metrise en presence d’un bruit moyennement correle sur le courant 90


metrise en presence d’un bruit fortement correle sur le courant . . 91

xv

Liste des tableaux


metrise en presence d’un bruit fortement correle sur le courant et

d’un bruit blanc sur la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91


metrise en presence d’un bruit fortement correle sur le courant et

d’un bruit moyennement correle sur la vitesse . . . . . . . . . . . 92


rant et d’un bruit blanc sur la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.1 Structures des correcteurs equivalents surparametrises CEq−uds . . 112

4.2 Structures des correcteurs equivalents surparametrises CEq−uqs . . 113

4.3 Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cid . . . . . 113

4.4 Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cωiq . . . . 113

4.5 Erreur quadratique entre la commande reelle uds et la commande

estimee uds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

4.6 Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cω . . . . . 115

4.7 Les moments discrets des correcteurs surparametrises Ciq . . . . . 115

4.8 Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cωid . . . . 115

4.9 Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cωφ . . . . 116

4.10 Erreur quadratique entre la commande reelle uqs et la commande

estimee uqs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

4.11 Caracteristiques de la machine asynchrone . . . . . . . . . . . . . 122

4.12 Identification en presence d’un bruit blanc sur les courants . . . . 124


rants et d’un bruit blanc sur la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . 125


rants et d’un bruit moyennement correle sur la vitesse . . . . . . . 126

5.1 Resultats d’estimation parametrique pour un court-circuit de 18

spires sur la phase c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145


spires sur la phase a et 29 spires sur la phase b . . . . . . . . . . . 145

5.3 Resultats d’estimation parametrique (defaut rotorique) . . . . . . 151

5.4 Resultats d’estimation parametrique (defauts simultanes) . . . . . 156

xvi

Introduction generale

La detection des defauts, si possible precoces, dans les entraınements elec-

triques represente un enjeu scientifique du fait de la complexite et de la variete

des problemes poses ainsi qu’un enjeu industriel en raison de l’interet economique

d’une strategie efficace de maintenance predictive. Le Laboratoire d’Automatique

et d’Informatique Industrielle (LAII) s’est investi depuis une vingtaine d’annees

dans le diagnostic des machines electriques et plus particulierement ces dernieres

annees dans celui des machines asynchrones. Plusieurs approches peuvent etre

mises en œuvre pour detecter les defauts des machines electriques : analyse vi-

bratoire, observateurs, estimation parametrique . . .

Compte-tenu de son experience dans le domaine de l’identification des sys-

temes a temps continu, le LAII s’est investi dans la detection des defauts a partir

de l’estimation des parametres physiques du modele electrique. Deux theses re-

centes ont reussi a demontrer la pertinence de cette approche. Dans la these de

Sandrine MOREAU [Moreau, 1999], l’apport de l’information a priori s’est avere

un element decisif pour robustifier la convergence des algorithmes a erreur de

sortie et pour integrer l’expertise de l’utilisateur. Dans la these de Smaıl BA-

CHIR [Bachir, 2002], une veritable methodologie de diagnostic par estimation

parametrique a ete mise au point, en integrant la signature des defauts a l’aide

de modeles dedies et l’expertise de l’utilisateur vis-a-vis du fonctionnement sain.

Il a ete ainsi demontre qu’il est possible de detecter des courts-circuits de spires

stator et des ruptures de barres rotor sur une machine asynchrone integree dans

un dispositif de regulation de vitesse par commande vectorielle.

Bien que les resultats obtenus sur un pilote de laboratoire aient ete tres encou-

rageants, de nombreuses questions fondamentales sont apparues. Une estimation

parametrique necessite une excitation riche afin d’exciter les modes pertinents

de la machine. Malheureusement, cette richesse d’excitation est le plus souvent

contradictoire avec les contraintes d’exploitation, surtout lorsque l’utilisateur a

1


besoin d’une regulation de vitesse performante. En outre, bien que les defauts

electriques soient bien detectes, il subsiste une incertitude relativement impor-

tante qui ne peut etre reduite par l’amelioration de l’excitation. Ce dernier point

souleve deux interrogations fondamentales :

– une part importante de l’incertitude n’est-elle pas due a une erreur de mo-

delisation ?

– par ailleurs, bien que la machine asynchrone fonctionne en boucle fer-

mee, l’utilisation d’un algorithme d’identification prevu pour fonctionner

en boucle ouverte n’est-elle pas la cause, au moins pour partie, de cette

incertitude qui pourrait aussi etre un biais ?

Le travail de recherche relate dans ce memoire se propose d’apporter quelques

reponses a l’ensemble de ces interrogations, le probleme de l’erreur de modeli-

sation etant trop vaste pour etre traite simultanement. Aussi, l’accent a ete mis

essentiellement sur les problemes d’identification, en essayant de les poser de ma-

niere fondamentale, independemment du diagnostic par estimation parametrique.

Il nous a donc semble fondamental d’etudier l’identification en boucle fermee

de la machine asynchrone. En effet, celle-ci, comme la machine a courant continu,

ne peut repondre aux imperatifs industriels de variation de vitesse que si elle

est incluse dans un dispositif boucle, constitue d’un asservissement de couple et

d’un asservissement de vitesse. Il est bien connu que l’identification d’un systeme

fonctionnant en boucle fermee, sans prise en compte explicite de cette boucle

fermee, se traduit par un biais asymptotique resultant de la correlation des bruits

de sortie avec la commande bouclee appliquee au systeme. Une precedente these

du LAII [Grospeaud, 2000] a fourni une solution a ce probleme fondamental dans

le cadre de l’identification par erreur de sortie, ou le correcteur est explicitement

pris en compte. Cette prise en compte peut etre effectuee soit par la connaissance

a priori du correcteur, soit (ce qui est plus realiste) par son estimation a l’aide

d’une technique d’identification par moindres carres surparametrises.

Il pouvait donc sembler immediat de transposer cette methodologie au cas de

la machine asynchrone. Le probleme est cependant trop complexe pour que la

transposition soit directe : en effet, il n’y a pas un seul correcteur, mais au moins

deux correcteurs imbriques en cascade dans le cas des machines electriques.

Le cas le plus simple est celui de la machine a courant continu et c’est pour

cette raison qu’il nous a d’abord servi a l’application de la methodologie initiale.

Le cas de la machine asynchrone est nettement plus complexe car le correcteur est

non seulement cascade mais multivariable et non lineaire du fait des decouplages.

2

D’autre part, plusieurs referentiels de Park sont potentiellement utilisables : il

a donc ete necessaire d’analyser le probleme pour definir celui qui est le mieux

approprie au probleme de l’identification en boucle fermee.

La deuxieme reponse que nous avons essaye d’apporter au probleme du diag-

nostic a concerne le mode d’excitation. Dans une variation de vitesse, il est natu-

rel de perturber la reference de vitesse par une sequence binaire pseudo aleatoire

(SBPA) afin de repondre a l’exigence de richesse de l’excitation necessaire a l’algo-

rithme d’identification. Malheureusement, ce mode d’excitation va totalement a

l’encontre des objectifs de production quand l’asservissement a precisement pour

mission de maintenir la vitesse constante. Or cette vitesse est perturbee par les

variations du couple de charge (provoquees par les imperatifs de production) que

l’asservissement a justement pour objectif de minimiser. Ces modifications du

couple de charge font varier le point de fonctionnement de la machine : sont-elles

suffisantes pour satisfaire les objectifs de richesse d’excitation et n’induisent-elles

pas un biais asymptotique du fait de la nature bouclee du fonctionnement ?

C’est a ces questions que les travaux relates dans ce memoire de these tentent

d’apporter une reponse sous la forme d’une methodologie generale d’identifica-

tion en boucle fermee de la machine asynchrone, applicable a son diagnostic par

estimation parametrique.

Organisation du memoire

Le premier chapitre permet de rappeler la constitution de la machine asyn-

chrone, sa modelisation et sa commande. Nous nous attardons en particulier sur

la commande a flux rotorique oriente. Nous rappelons aussi certaines notions im-

portantes (champ tournant et repere de Park) ; ces notions sont utilisees dans la

presentation du modele de simulation et des modeles de comportement dedies au

diagnostic.

Le deuxieme chapitre est consacre a une etude detaillee des problemes lies

a l’identification en boucle fermee et des solutions apportees pour y remedier.

Nous nous attachons en particulier a analyser les trois approches dites directe,

indirecte et simultanee developpees pour identifier des processus boucles. Une at-

tention particuliere est portee aux techniques basees sur l’approche par erreur de

sortie. Par ailleurs, nous presentons une methodologie d’identification en boucle

fermee transposable au cas des machines electriques. Cette methodologie s’ap-

puie sur l’approche indirecte et les algorithmes du type erreur de sortie. Nous

3


montrons, dans ce chapitre, l’avantage d’une telle approche a travers un exemple

academique.

Nous proposons, dans le troisieme chapitre, une methodologie d’identification

de la machine a courant continu en boucle fermee par approche indirecte. Cette

methodologie est basee sur la decomposition de la boucle fermee et exige de ce fait,

une connaissance du correcteur. Ainsi, dans une premiere etape, on identifie un

correcteur equivalent par une technique de moindres carres surparametrises. Par

ailleurs un test de caracterisation de l’ordre de surparametrisation est propose.

Dans une seconde etape, on realise l’identification des parametres du systeme

par une technique a erreur de sortie. Une analyse du biais en boucle fermee de

la machine a courant continu, par approche directe et approche indirecte, est

proposee dans ce chapitre.

Dans le quatrieme chapitre, nous precisons l’application de cette methodo-

logie au cas de la machine asynchrone. On explique donc le choix du repere de

fonctionnement de la machine pour l’identification indirecte. D’autre part, on

s’interesse aussi a l’identification de l’algorithme de commande de la machine,

qui est generalement une structure multi-variable et non lineaire, afin d’eviter

sa connaissance a priori. Une analyse du biais en boucle fermee de la machine

asynchrone, par approche directe et approche indirecte, est aussi proposee dans

ce chapitre.

Dans le cinquieme chapitre, nous utilisons la methodologie d’identification en

boucle fermee de la machine developpee precedemment pour la detection et la

localisation des defauts du type courts-circuits au stator et rupture de barres au

rotor. Ainsi, nous proposons une methodologie globale de diagnostic de la machine

asynchrone en boucle fermee par estimation parametrique, testee en simulation.

4

Chapitre 1

La machine asynchrone :

modelisation, commande et

simulation

Ce premier chapitre permet de rappeler la constitution de la machine asyn-

chrone, sa modelisation et sa commande. Nous nous attardons en particulier sur

la commande a flux rotorique oriente. Nous rappelons aussi certaines notions im-

portantes (champ tournant et repere de Park) ; ces notions sont utilisees dans la

presentation du modele de simulation et des modeles de comportement dedies au

diagnostic.

5

Chapitre 1. La machine asynchrone : modelisation, commande et simulation

1.1 Introduction

Les machines electriques tournantes occupent une place preponderante dans

tous les secteurs industriels. Les machines asynchrones triphasees a cage d’ecu-

reuil sont les plus frequemment utilisees en raison de leur robustesse, de leur

simplicite de construction et de leur bas cout. Neanmoins, celles-ci subissent au

cours de leur duree de vie un certain nombre de sollicitations externes ou internes

qui peuvent les rendre defaillantes. Les contraintes industrielles en fiabilite, main-

tenabilite, disponibilite et securite des equipements sont par ailleurs tres fortes.

C’est pourquoi il est interessant d’estimer l’etat de sante de ces machines.

L’un des objectifs les plus importants, dans le cadre du diagnostic, concerne

la mise au point de modeles mathematiques reellement representatifs d’un fonc-

tionnement en defaut. L’etape de modelisation s’avere donc indispensable aussi

bien en commande, pour la synthese des boucles de regulation, qu’en surveillance,

pour la detection et la localisation des pannes. Il paraıt evident que la surveillance

d’un dispositif s’appuie sur la connaissance de son comportement sain, quel que

soit son point de fonctionnement. La maıtrise des differents modes de fonctionne-

ment dits normaux˝est alors indispensable lorsqu’on envisage une surveillance

avancee du processus.

L’objectif de ce premier chapitre est d’effectuer quelques rappels sur la consti-

tution de la machine asynchrone a cage d’ecureuil, sa modelisation et sa com-

mande. Nous decrivons aussi le simulateur utilise pour la validation des algo-

rithmes d’identification.

1.2 Modelisation de la machine asynchrone

L’etude du fonctionnement de la machine consiste classiquement a rechercher

l’ensemble des equations reliant les variables internes aux grandeurs externes :

tensions aux bornes de la machine, courants consommes et couple disponible.

Les differentes approches pour l’etude reposent sur la resolution des equations

de l’electromagnetisme et de la mecanique. Les differences proviennent des hy-

potheses simplificatrices qu’il est possible de faire, en fonction du domaine de

frequence concerne, et de la topologie (structure physique) du systeme etudie,

c’est-a-dire en fonction des objectifs de la modelisation.

6

1.2. Modelisation de la machine asynchrone

La machine asynchrone, souvent appelee moteur a induction, est constituee :

– d’une armature statorique fixe comportant trois enroulements identiques a

p paires de poles et decales d’un angle electrique de 2π3p

. Ces derniers sont

loges dans des encoches et relies a la source d’alimentation. Ce dispositif

cree un champ tournant de vitesse de synchronisme Ωs =ωs

p.

– d’une armature rotorique mobile dont la structure peut etre constituee de

trois enroulements triphases (rotor bobine) raccordes en etoile a trois bagues

sur lesquelles frottent trois balais fixes accessibles par la plaque a bornes et

mis en court-circuit pendant les regimes permanents. L’armature rotorique

peut etre aussi (le plus souvent) un ensemble de conducteurs massifs integres

aux toles ferromagnetiques (rotor a cage d’ecureuil). Le rotor possede dans

ce cas un certain nombre d’encoches contenant chacune une barre conduc-

trice, en cuivre ou en aluminium. Les barres sont ensuite reunies entre elles

aux deux extremites par deux anneaux conducteurs.

Dans ce chapitre, nous allons considerer le cas d’une machine asynchrone a

cage d’ecureuil. Nous admettons par contre que sa structure rotorique est elec-

triquement equivalente a celle d’un rotor bobine. Le champ tournant induit des

courants rotoriques dans les barres de la cage d’ecureuil (ou bobinage) : ces cou-

rants induits provoquent un couple permettant au rotor de tourner a une vitesse

Ω, voisine de celle du champ tournant, mais necessairement inferieure.

La mise en equation de la machine asynchrone avec les hypotheses retenues

etant classique, nous ne mentionnerons que les points qui nous semblent essentiels

et les choix qui nous sont propres par rapport a ce qui se fait habituellement. Pour

plus de details, le lecteur pourra se referer a [Dalmasso, 1985] [Chatelain, 1989]

[Caron and Hautier, 1995] [?].

1.2.1 Modele triphase

Avant d’etablir le modele de la machine asynchrone en vue de sa commande,

nous rappelons brievement les hypotheses, desormais classiques, retenues :

– les circuits magnetiques sont non-satures,

– les pertes fer sont negligees,

– il n’y a pas d’effet de peau,

– l’effet des encoches est neglige,

– la repartition de la force magnetomotrice est sinusoıdale.

7


En posant :Rs : Resistance statorique

Rr : Resistance rotorique

Lsp : Inductance propre statorique

Lrp : Inductance propre rotorique

Ms : Mutuelle inductance inter-phases statoriques

Mr : Mutuelle inductance inter-phases rotoriques

Msr : Mutuelle inductance stator-rotor

p : Le nombre de paire de poles

θ : Angle mecanique de la position du rotor

us = [ua ub uc ]T : Tensions statoriques

ur = [u1 u2 u3 ]T : Tensions rotoriques

is = [ia ib ic ]T : Courants statoriques

ir = [i1 i2 i3 ]T : Courants rotoriques

Les equations electriques de la machine asynchrone sont a l’origine :

[ϕ] =

[ϕs

ϕr

]=

[[Ls] [Msr]

[Mrs] [Lr]

]·

[isir

](1.1)

et

[us

ur

]=

[[Rs] 0

0 [Rr]

]·

[isir

]+

d

dt

[ϕ]

= [L] · [I] (1.2)

avec :

[Rs] = Rs.I3 et [Rr] = Rr.I3 (1.3)

ou

I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

8


[Mrs] = [Msr]t = Mrs

cos(pθ) cos(pθ − 2π/3) cos(pθ − 4π/3)

cos(pθ − 4π/3) cos(pθ) cos(pθ − 2π/3)

cos(pθ − 2π/3) cos(pθ − 4π/3) cos(pθ)

(1.4)

[Ls

]=

Lsp Ms Ms

Ms Lsp Ms

Ms Ms Lsp

(1.5)

[Lr

]=

Lrp Mr Mr

Mr Lrp Mr

Mr Mr Lrp

(1.6)

Le comportement mecanique de la machine asynchrone depend de l’inertie J ,

du couple electromagnetique Ce, du couple mecanique resistant Cr et de couple

de frottement fluide Cf = fvΩ ou fv est la constante de frottement fluide.

L’equation mecanique est definie par :

JdΩ(t)

dt+ fvΩ(t) = Ce(t) − Cr(t) (1.7)

Le couple electromagnetique en fonction des trois courants statoriques et des

trois courants rotoriques s’exprime sous la forme :

Ce =1

2· [I]T ·

d[L]

dθ· [i] (1.8)

Le modele de representation de la machine asynchrone que nous venons de

presenter presente l’inconvenient d’etre relativement complexe dans la mesure ou

les matrices contiennent des elements variables en fonction de l’angle de rotation

θ. Une solution pour obtenir des coefficients constants consiste a appliquer une

transformation mathematique au systeme. Cette transformation est plus connue

sous le nom de transformation de Park.

9


1.2.2 Modele diphase de Park

1.2.2.1 Transformation triphasee/diphase

La representation de Park ou representation vectorielle, represente la projec-

tion des trois phases de la machine sur un repere biphase orthogonal. En plus des

simplifications dans la modelisation triphasee, dans le repere de Park, la machine

est supposee electriquement equilibree et on choisit de totaliser les fuites ma-

gnetiques au stator [Caron and Hautier, 1995]. Le passage d’une representation

triphasee a une representation biphasee decrite sur la figure 1.1, repose sur la

conservation des forces magnetomotrices. Cette transformation est orthonormee.

Elle conserve la puissance instantanee. La composante homopolaire s’annule car

la machine est supposee equilibree.

Par definition, le systeme d’axes (d, q) tourne a la vitesse ωa. Nous allons

considerer, comme decrit sur la figure 1.1, l’enroulement equivalent du stator

forme des deux bobinages d’axes en quadrature sd et sq tournant a la vitesse

ωa. De meme, au rotor, on substitue deux bobinages rd et rq aux enroulements

triphases equivalents.

θ

θr

θs

usaisa

ira

ω

Sa

Sc

q

Sb d

ωa

Ra

Fig. 1.1 – Principe de la transformation de Park

10


Pour la transformation d’une grandeur statorique, les matrices de passage sont

les suivantes :

Xsd

Xsq

Xso

= [Ps] ·

Xsa

Xsb

Xsc

(1.9)

Xsa

Xsb

Xsc

= [Ps]−1 ·

Xsd

Xsq

Xso

(1.10)

[Ps] =

√2

3

cos(θs) cos(θs −2π3

) cos(θs + 2π3

)

− sin(θs) − sin(θs −2π3

) − sin(θs + 2π3

)1√2

1√2

1√2

(1.11)

Pour obtenir les matrices de passage des grandeurs rotoriques, il suffit de

remplacer dans l’expression (1.11) θs par θr.

1.2.2.2 Equations generales

Dans un souci de simplification du modele de la machine asynchrone, on

choisit de totaliser les fuites magnetiques au stator [Caron and Hautier, 1995]

[Bachir, 2002].

Par definition, le systeme d’axes (d, q) tourne a la vitesse ωa. Il est interes-

sant de pouvoir changer de repere selon les besoins de l’utilisateur. Ainsi, pour

un referentiel note (x) tournant a une vitesse ωa par rapport au stator de la

machine asynchrone, l’ensemble des equations electriques de la machine s’ecrit

[Caron and Hautier, 1995] [Schaeffer, 1999] :

11


u(x)dqs

= Rsi(x)dqs

+d

dtφ(x)

dqs+ ωaP (

π

2)φ(x)

dqs(1.12)

u(x)dqr

= 0 = Rri(x)dqr

+d

dtφ(x)

dqr+ (ωa − ω)P (

π

2)φ(x)

dqr(1.13)

φ(x)

dqs= Lsi

(x)dqs

+ Lmi(x)dqr

(1.14)

φ(x)

dqr= Lmi

(x)dqs

+ Lri(x)dqr

(1.15)

avec :

Ls = Lsp − Ms : inductance cyclique statorique

Lr = Lrp − Mr : inductance cyclique rotorique

Lm =3

2Msr : inductance mutuelle cyclique stator-rotor

ω = pΩ : pulsation electrique de rotor

et

P (π

2) =

[cos(π

2) cos(π

2+ π

2)

sin(π2) sin(π

2+ π

2)

]

Si on fait l’hypothese que les fuites magnetiques sont totalisees au stator et

en definissant :

Ls = Lf + Lm

Lr = Lm

(1.16)

les equations (1.12) a (1.15) se reecrivent alors

u(x)dqs

= Rsi(x)dqs

+d

dtφ(x)

dqs+ ωaP (

π

2)φ(x)

dqs(1.17)

u(x)dqr

= 0 = Rri(x)dqr

+d

dtφ(x)


π

2)φ(x)

dqr(1.18)

φ(x)

dqs= (Lf + Lm)i

(x)dqs

+ Lmi(x)dqr

(1.19)

φ(x)

dqr= Lm

(i(x)dqs

+ i(x)dqr

)(1.20)

12


Il existe trois systemes d’axes de reference ayant des specificites distinctes :

– Si le referentiel est fixe par rapport au stator ωa = 0, on obtient un sys-

teme electrique ou les grandeurs statoriques sont purement alternatives et

a la frequence de l’alimentation. La simulation de la machine asynchrone

dans ce repere n’exige donc aucune connaissance de la position du rotor,

ce qui constitue un avantage pour la commande sans capteur de position.

L’inconvenient majeur est la manipulation de signaux a frequence elevee.

– Si le referentiel tourne a la vitesse de synchronisme ωa = ωs = 2πfs, on

obtient un systeme electrique purement continu qui est tres bien adapte

aux techniques d’identification. Cependant la position du champ tournant

doit etre reconstituee a chaque instant d’echantillonage.

– Si le referentiel est fixe par rapport au rotor ωa = ω, les signaux electriques

sont alors quasi-continus. La pulsation des grandeurs electriques est alors

egale a gω (ou g = ωs−ωωs

est le glissement de la machine) qui est faible dans

les conditions reelles de fonctionnement. Lorsqu’on a acces a la position me-

canique, ce repere est privilegie du fait de la quasi-continuite des grandeurs

electriques.

La figure 1.2 represente le schema electrique equivalent de la machine asynchrone

en regime dynamique, avec les fuites totalisees au stator.

RsLf

ωP (π2)φdqs

Rr

udqs

idqs

idqr

idqm

Lm

Fig. 1.2 – Schema electrique equivalent de la machine asynchrone dans le reperede Park

Le modele de la machine se caracterise alors par quatre parametres physiques

Rs, Rr, Lm et Lf . Ce sont donc ces quatre parametres que nous allons chercher

13


a estimer par la suite dans le cas d’une machine saine.

L’expression du couple Ce dans le repere de Park avec fuites ramenees au

stator s’ecrit [Caron and Hautier, 1995] [?] :

Ce = pLm

Lr

(iqsφdr − idsφqr) (1.21)

1.3 Commande vectorielle a flux rotorique oriente

1.3.1 Introduction

La machine asynchrone ou par nature le rotor ne tourne pas a la vitesse du

champ tournant et dont la seule entree electrique est au stator, pose des problemes

difficiles pour sa commande. La communaute scientifique et industrielle a imagine

de nombreuses methodes de commande afin de pouvoir la controler en couple, en

vitesse ou en position.La veritable maıtrise de la variation de vitesse des machines

asynchrones a necessite leur commande en couple dans un referentiel (d, q) lie au

champ tournant.

L’objectif de ce type de controle est d’aboutir a un modele simple de la ma-

chine asynchrone qui rende compte de la commande separee de la grandeur flux

Φ et de la grandeur courant I, generatrice de couple. Il s’agit a priori d’imposer

la quadrature entre I et Φ, naturellement decouples et orthogonaux dans une

machine a courant continu. La difficulte va resider justement dans le fait que,

pour une machine a induction, il est difficile de distinguer le courant produc-

teur de couple du courant producteur de flux, fortement couples. La methode du

flux oriente consiste a choisir un systeme d’axes (d, q), repere tournant biphase

oriente sur φr (flux rotorique) ou φs (flux statorique) et un type de commande

qui permettent de decoupler le couple et le flux.

En parlant d’orientation du flux, c’est plutot le systeme d’axe (d, q) que l’on

oriente de maniere a ce que l’axe d soit en phase avec le flux, c’est-a-dire :

ϕd = ϕ

ϕq = 0

14

1.3. Commande vectorielle a flux rotorique oriente

La commande vectorielle a orientation du flux rotorique est la plus utilisee car

elle elimine l’influence des reactances de fuite rotorique et statorique et donne des

meilleurs resultats que les methodes basees sur l’orientation du flux statorique ou

d’entrefer [Faidallah, 1995][Jelassi, 1991].

Nous nous interessons a la commande a flux rotorique oriente. Le systeme

d’axes (d, q) est elabore a partir des transformations de Park.

1.3.2 Expression generale de la commande

La commande vectorielle a flux rotorique oriente que nous avons retenue est

basee sur une orientation du repere tournant (T ) d’axes(d, q) telle que l’axe d soit

confondu avec la direction de φr.

Placons nous dans le referentiel lie au champ tournant, soit ωa = ωs. Alors :

udqs= Rsidqs

+d

dtφ

dqs+ ωsP (

π

2)φ

dqs(1.22)

udqr= 0 = Rridqr

+d

dtφ

dqr+ (ωs − ω)P (

π

2)φ

dqr(1.23)

φdqs

= Lsidqs+ Lmidqr

(1.24)

φdqr

= Lmidqs+ Lridqr

(1.25)

Le flux φr etant oriente sur l’axe d, les equations (1.22) a (1.25) nous per-

mettent d’exprimer uds et uqs, φr et ωs avec φqr ≡ 0 et φdr ≡ φr ≡ cte :

uds = σLs

dids

dt+ Rsids − ωsσLsiqs (1.26)

uqs = σLs

diqs

dt+ Rsiqs + ωsσLsids + ωs

lmLr

φr (1.27)

φr = −Tr

dφr

dt+ Lmids (1.28)

ωr =Lm

Tr

iqs

φr

(1.29)

ωs = ω + ωr (1.30)

15


avec σ = 1 − L2m

LsLrappele coefficient de dispersion.

Dans ces equations, ωr represente la pulsation de glissement donnee par l’ex-

pression (1.29). La relation (1.28) montre comment estimer le flux φr a partir de

la mesure de ids, lorsqu’on connaıt Tr. Connaissant φr, la relation (1.30) montre

comment estimer ωs a partir des mesures de ω, ids et iqs (systeme boucle).

Etant capable de projeter les equations de la machine dans le repere de com-

mande, les equations (1.28) et (1.21) montrent comment piloter le flux rotorique

de la machine et obtenir le couple electromagnetique desire (Ce = piqsφdr). Pour

cela, il est d’abord necessaire d’asservir les courants statoriques ids et iqs. Or les

equations differentielles liant ids et iqs a uds et uqs contiennent des termes de cou-

plage. En les considerant comme des perturbations, on se ramene au probleme

classique de l’asservissement de systemes du premier ordre a l’aide de correcteurs

a actions proportionnelle-integrale.

1.3.3 Decouplage par compensation

Nous pouvons representer la machine selon les equations (1.26) a (1.30) par

le schema bloc de la figure 1.3.

++uds

σLsωsiqs

-

-

Lm

Lrωsφr

+

σLsωsids

uqs

ids

iqs

1Rs

11+στsP

1Rs

11+στsP

Fig. 1.3 – Modele de la machine

Definissons deux nouvelles variables de commande uds1 et uqs1 telles que :

16

1.3. Commande vectorielle a flux rotorique oriente

uds = uds1 − ed et uqs = uqs1 − eq

avec

ed = ωsσLsiqs (1.31)

eq = −ωsσLsids − ωs

Lm

Lr

φr (1.32)

Les termes σLsωsiqs ,σLsωsids et Lm

Lrωsφr correspondent aux termes de cou-

plage entre les axes (d, q).

Nous considerons dans la suite de ce manuscrit, l’expression de decouplage

suivante :

ed = Cd · ωsiqs (1.33)

eq = −C1qωsids − C2qωsφr (1.34)

Les tensions uds et uqs sont alors reconstituees a partir des tensions uds1 et

uqs1 et des termes de couplage.

Dans le cas du decouplage par compensation, si celui-ci est correct, toute action

sur l’une des entrees ne provoque aucune variation de l’autre sortie.

1.3.4 Schema de principe de la commande vectorielle

La figure 1.4 donne l’organisation fonctionnelle de la commande issue des prin-

cipes precedemment evoques. Sur ce schema, le convertisseur et sa commande n’y

apparaissent pas explicitement puisqu’il s’agit d’etudier le controle du processus.

Ainsi, on s’interesse directement aux grandeurs de reglage uds et uqs et aux cou-

rants ids et iqs. Ces choix volontaires evitent d’alourdir inutilement la presentation

dont l’objectif essentiel est d’exposer les mecanismes particuliers a ce controle.

Nous pouvons constater sur la figure 1.4 l’apparition de deux boucles internes

pour asservir les courants ids et iqs et d’une boucle externe pour asservir la vitesse,

d’un ensemble estimant θs et φr ainsi que les termes de couplage. La sortie du

regulateur de vitesse fournit la consigne de courant iqsrefqui est l’image du couple

electromagnetique a flux donne.

17


Reg+

-

idsref

ids

+-uds1 uds

σLsωsiqs

+uqs

+

Lm

Lrωsφr

+

σLsωsids

uqs1Reg+

-

Ωref

Ω

Reg+

-

iqsref

iqs

Ω

ids

iqs

Machine+ charge

Regulation

idsθsωs

φr

estimateursiqs

Ω

Fig. 1.4 – Decouplage par addition des termes de compensation

On a donc trois regulateurs :

– Le regulateur de vitesse : il recoit en entree la vitesse de reference et la

vitesse mesuree. Il agit sur le couple pour regler la vitesse.

– Le regulateur de courant iqs : il recoit en entree le courant iqs de reference

et de mesure. Il agit sur la tension de reference uqs1 pour ajuster le courant

iqs.

– Le regulateur de courant ids : il recoit en entree le courant ids de reference

et de mesure. Il agit sur la tension de reference uds1. Regler ce courant a une

valeur constante, c’est garantir un flux rotorique constant d’apres l’equation

(1.28).

Il reste a examiner deux parties importantes :

– Les transformations directes et inverses : l’une permet, a partir des tensions

biphases (uds,uqs) dans le repere du champ tournant, de calculer les ten-

sions triphasees (ua,ub,uc) a imposer a la machine via l’onduleur a MLI. La

deuxieme transformation calcule, a partir des trois courants de ligne de la

machine, les courants biphases (ids,iqs) dans le repere de la regulation. Ces

18

1.4. Protocole de simulation

deux transformations necessitent le calcul de l’angle θs.

– Le calcul de l’angle du champ tournant θs : ce bloc utilise la vitesse mesuree

et la pulsation de glissement ωr. Ainsi θs se calcule comme suit :

θs =

t2∫

t1

ωsdt =

t2∫

t1

(pΩ +Lm

Tr

iqs

φr

)dt (1.35)

1.4 Protocole de simulation

L’objectif de notre travail de recherche a concerne la mise au point d’une

methodologie d’identification en boucle fermee de la machine asynchrone. Cette

methodologie aurait pu etre mise au point sur un systeme reel de commande. En

fait, de nombreuses difficultes ont du etre surmontees. La toute premiere concerne

la necessite de travailler entre differents reperes :

– le repere du champ tournant est preferable pour tout ce qui concerne la

commande,

– le repere du rotor est celui qui est habituellement utilise pour simuler la

machine ; c’est aussi le repere en identification directe,

– enfin le repere du stator est celui des signaux reellement observes : ua , ub , uc

et ia , ib , ic.

Une autre difficulte, et non des moindres, a ete la prise en compte d’un al-

gorithme de commande multivariable et non lineaire (a cause des decouplages)

dans le repere du champ tournant.

Aussi, avant d’appliquer cette methodologie d’identification sur un systeme

reel, il est indispensable de la tester sur un simulateur. Neanmoins, ce simulateur

doit etre le plus realiste possible, afin que le passage de la simulation au systeme

reel puisse s’effectuer sans entreprende de nouvelles etudes.

Dans une telle situation, le simulateur devient un outil essentiel : pour cela, il

est indispensable d’en faire un dispositif rigoureux (toutes les hypotheses doivent

etre clairement exprimees et discutees) et realiste (il doit proposer des signaux

voisins de la realite, que l’on doit pouvoir bruiter a volonte). Aussi, dans une

telle perspective, l’utilisateur doit avoir acces a tous les signaux de tension et de

courant (ainsi qu’aux informations sur la vitesse, le couple,. . .) dans les differents

reperes (stator, rotor, champ tournant).

19


Aussi, dans le but d’obtenir les signaux synthetiques de la machine asynchrone

en boucle fermee, nous avons mis au point le simulateur suivant comprenant trois

parties essentielles :

– Un modele de la machine asynchrone dans le repere de Park lie au rotor :

c’est celui qui est habituellement utilise pour simuler la machine.

– Un bloc de transformations : sachant que la commande est exprimee dans le

repere du champ tournant et que le modele de la machine est exprime dans

le repere du rotor, alors une transformation entre les reperes est necessaire.

Ainsi des transformations directes et inverses sont realisees : l’une permet,

a partir des courants diphases (ids,iqs) dans le repere du rotor (la sortie

du modele de la machine), de calculer les courants statoriques triphases

(ia,ib,ic) puis les courants dans le repere du champ tournant afin de calculer

la commande.

La deuxieme transformation calcule, a partir des deux tensions (uds,uqs)

dans le repere de la regulation (sortie de la commande), les tensions sta-

toriques triphasees (ua,ub,uc) puis les tensions diphasees (uds,uqs) dans le

repere du rotor qui constituent l’entree du modele de la machine.

– Un bloc de regulation : la figure 1.4 decrit la structure generale de la com-

mande utilisee. Les principaux constituants dans ce type de commande sont

la boucle de regulation de vitesse, celle des courants ids et iqs , les termes

de couplage et le bloc de calcul de ωs, θs et φr .

Consignes

flux + vitesseCommande vectorielle

Transformation (d, q)Machine asynchrone

Modele de Park

(repere du rotor)

+ charge

Rotor-Chp tournant

Chp tournant-Rotor

udst

uqst

udsr

uqsr

idsr

iqsr

idst

iqst Ω

Ω

θs

Transformation (d, q)

Fig. 1.5 – Simulateur pour l’obtention des signaux synthetiques

20

1.5. Exemple de simulation

La figure 1.5 donne une representation graphique du simulateur de la machine

asynchrone. Le bloc Commande vectorielle˝est identique au schema decrit par

la figure 1.4.

1.5 Exemple de simulation

Les algorithmes d’identification parametrique necessitent, pour converger, une

excitation persistante qui sensibilise suffisamment les modes du systeme. Dans le

cas de la machine asynchrone, il s’agit principalement d’exciter les modes les

plus rapides a savoir ceux correspondant aux grandeurs electriques. En effet, le

critere etant base sur les deux courants statoriques, il est donc necessaire d’impo-

ser une entree suffisamment riche en frequence afin d’obtenir une sensibilisation

satisfaisante des modes electriques.

Pour ne pas se restreindre a une application particuliere, nous avons defini les

deux types d’excitation suivants :

– une excitation obtenue par l’addition d’une Sequence Binaire Pseudo Alea-

toire (SBPA) a la consigne de la boucle vitesse,

– une excitation par couple de charge a vitesse constante obtenue par l’utili-

sation d’une SBPA.

Nous analyserons plus en detail ces deux types d’excitation, dans le chapitre

3, en mettant l’accent sur leurs avantages et leurs inconvenients.

Il est interessant de montrer dans un premier temps les differents types de

signaux selon le repere de Park choisi, ceci afin de donner une idee sur les signaux

que nous sommes en train de manipuler.

Pour nos simulations, nous avons utilise une machine a deux paires de poles. Ses

caracteristiques sont donnees par la table 1.1.

Rs = 9.8ΩRr = 5.3ΩLm = 0.5HLf = 0.04Hf = 1.910−03N.m.s/radJ = 29.310−03N.m.S2/rad

Tab. 1.1 – Caracteristiques de la machine

21


Les signaux sont evalues a partir d’une simulation globale a l’aide du logiciel

Matlab. La representation graphique de ces signaux presente un moyen de verifier

la coherence de notre outil de simulation.

L’essai est realise pendant une duree de 4s de la maniere suivante :

– idsrefest impose a 1.6 A.

– pour 0 < t < 0.25s la consigne de vitesse Ωref est nulle,

– pour 0.25 < t < 1s la consigne de vitesse Ωref evolue lineairement de 0 rad/s

a 100 rad/s , le couple de charge Cr restant nul,

– pour 1 < t < 2.5s on applique a la machine une excitation en vitesse de

100 ± 5 rad/s et un couple de charge constant de 6 Nm,

– pour t > 2.5s la consigne de vitesse Ωref reste fixee a 100 rad/s, a t = 2.5s

on applique a la machine un couple de charge variable allant de 1 a 7 Nm.

La figure 1.6 decrit les resultats obtenus, dans les conditions de l’essai, par le

simulateur. Ainsi, nous presentons les signaux electriques et mecaniques simules

en boucle fermee. Les signaux des courants et des tensions statoriques de la ma-

chine asynchrone sont exprimes dans le repere de la regulation (repere (d, q) lie

au champ tournant).

De meme, les figures 1.7 et 1.8 representent les courants et les tensions stato-

riques, de la machine en boucle fermee, dans le repere (d, q) du stator ainsi que

celui du rotor.

1.6 Simulations dediees a l’identification

1.6.1 Introduction

Apres avoir presente la modelisation et la commande de la machine asyn-

chrone pour l’obtention des signaux synthetiques, nous nous interessons dans

cette deuxieme partie au choix du modele dedie a l’identification.

La modelisation (et la simulation) de la machine asynchrone dans l’objectif de

son identification a ete (et reste), l’objet de nombreux travaux [Faidallah, 1995]

[?] [Moreau, 1999] [?] [Bachir, 2002]. Dans le cadre de diagnostic de la machine

asynchrone, notre choix s’est porte sur le modele de Park qui est plus simple, ce

qui facilite la procedure d’identification.

22

1.6. Simulations dediees a l’identification

0 1 2 3 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1 flux estimé

0 1 2 3 4

0

100

200

300

400

500Tensions statoriques d,q

0 1 2 3 4

0

2

4

6

8

10

Courants statoriques d,q

0 1 2 3 4−10

−5

0

5

10

Courant statorique Isa

0 1 2 3 40

20

40

60

80

100

120caractéristique de vitesse

0 1 2 3 4−400

−200

0

200

400

Tension statorique Usa

Ωref

Ω

ids

iqs

uds

uqs

Fig. 1.6 – Controle de la vitesse (flux rotorique oriente)

23


0 1 2 3 4−10

−5

0

5

10

ids

0 1 2 3 4−10

−5

0

5

10

iqs

0 1 2 3 4−300

−200

−100

0

100

200

300

uds

0 1 2 3 4−300

−200

−100

0

100

200

300

uqs

Fig. 1.7 – Courants et tensions statoriques dans le repere du stator

0 1 2 3 4−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

ids

0 1 2 3 4−8

−6

−4

−2

0

2

4

6

iqs

0 1 2 3 4−300

−200

−100

0

100

200

300

uds

0 1 2 3 4−300

−200

−100

0

100

200

300

uqs

Fig. 1.8 – Courants et tensions statoriques dans le repere du rotor

24


Dans une optique d’identification parametrique, deux approches seront envi-

sageables : l’identification directe et l’identification indirecte qui seront detaillees

au chapitre suivant. C’est a ces deux categories d’identification que nous allons

nous interesser dans ce memoire, dont l’objectif principal est de proposer une

methodologie generale pour l’identification en boucle fermee de la machine asyn-

chrone. Ces methodes reposent generalement sur la determination du modele du

systeme etudie et sur l’estimation des parametres caracteristiques de ce modele.

La rigueur voudrait que le modele continu de la machine asynchrone consi-

dere la vitesse mecanique comme une variable d’etat, ce qui a bien sur pour

consequence directe d’augmenter l’ordre de la representation d’etat. Or, cette re-

presentation d’etat suppose connu le couple de charge, qui malheureusement n’est

pas mesurable (voir l’annexe C pour une discussion sur ce probleme dans le cas

de la machine a courant continu).

Pour contourner cette difficulte, on considere la vitesse mecanique comme une

pseudo-entree. Par ailleurs, on suppose que l’on peut decoupler le mode mecanique

lent du mode electrique rapide [Moreau, 1999] [Bachir, 2002], et par consequent

considerer que la vitesse est constante entre deux instants d’echantillonage. Ainsi,

au lieu d’avoir un modele d’ordre 5 non lineaire, celui-ci est d’ordre 4 et non

stationnaire car la vitesse est prise en compte en tant que mesure.

Quant aux composantes du vecteur d’etat, nous avons opte pour les courants

statoriques et les flux rotoriques dans la mesure ou ils conduisent a un modele

d’ordre 4 relativement simple dans lequel les tensions et les courants statoriques

sont les grandeurs d’entree et de sortie du systeme.

Le modele de Park (figure 1.2) permet de definir plusieurs modeles continus

de la machine asynchrone en fonction des variables d’etat retenues et du repere

choisi (fixe par rapport au stator ωa = 0, au rotor ωa = ω ou au champ tournant

ωa = ωs). Notre choix s’est porte sur un repere ou les grandeurs sont les plus

proches du continu. L’ideal serait d’utiliser le repere lie au champ tournant, mais

ce repere necessite la reconstruction de la pulsation ωs. Aussi il est preferable

d’utiliser le repere lie au rotor : dans ce cas, les grandeurs variables sont de

pulsation g · ωs, c’est a dire proche du continu. Nous expliquons dans les parties

suivantes le repere judicieux pour chaque type d’identification.

Le modele discret de la machine asynchrone se deduit facilement du modele

continu [Bachir, 2002]. Le choix de la methode et du pas de discretisation sont

le resultat d’un compromis entre la precision, la stabilite du modele discret ainsi

que le temps de calcul. L’objectif etant la simulation realiste de la machine asyn-

25


chrone, il semble que le developpement de la methode de l’exponentielle de matrice

a l’ordre 5 offre un bon compromis [Moreau, 1999].

1.6.2 Modele dedie a l’identification directe

Notre choix s’est porte sur le repere de Park lie au rotor pour l’identifica-

tion directe de la machine asynchrone car c’est celui qui necessite le moins de

transformations/estimations : neanmoins, on mesure ua, ub, uc, ia, ib, ic que

l’on doit convertir en (uds, uqs)rot (ids, iqs)rot grace a une transformation de Park

connaissant la position du rotor (et sa vitesse).

Le modele continu de la machine asynchrone obtenu apres application de la

transformation de Park liee au rotor se presente alors sous la forme :

X(t) = A(ω).X(t) + B.u(t)

Y = C.X(t)(1.36)

avec

X =[ids iqs ϕdr ϕqr

]T: vecteur d’etat (1.37)

u =

[uds

uqs

], Y =

[ids

iqs

]: entrees et sorties du modele electrique (1.38)

A =

−Rs+Rr

Lfω Rr

Lf .Lm

ωLf

−ω −Rs+Rr

Lf− ω

Lf

Rr

Lf .Lm

Rr 0 − Rr

Lm0

0 Rr 0 − Rr

Lm

B =

[1

Lf0 0 0

0 1Lf

0 0

]T

, C =

[1 0 0 0

0 1 0 0

]

(1.39)

26


1.6.3 Modele dedie a l’identification indirecte

Si on veut proceder a une identification indirecte prenant en compte les cor-

recteurs, on est oblige de se placer dans le repere du champ tournant. En effet,

la commande (et les correcteurs) a ete concue dans le repere du champ tournant

afin d’asservir le flux et le couple.

Aussi, l’identification indirecte doit etre conduite dans le repere du champ

tournant en utilisant la connaissance de sa position calculee dans le cadre de la

commande.

Ensuite, grace aux mesures des grandeurs du stator ua, ub, uc, ia, ib, ic il

faut reconstruire (uds, uqs)chptournant, (ids, iqs)chptournant grace a une transformation

de Park utilisant la position du champ tournant.

Le modele continu de la machine asynchrone obtenu apres application de la

transformation de Park liee au champ tournant se presente par l’expression :

X(t) = A(ω).X(t) + B.u(t)

Y = C.X(t)(1.40)

Les vecteurs donnes par les expressions (1.37) et (1.38) sont exprimes dans

le repere du champ tournant. Nous expliquerons au chapitre suivant le terme u

utilise dans l’equation d’etat.

Les matrices utilisees dans ce cas sont les suivantes :

A =

−Rs+Rr

Lfωs

Rr

Lf .Lm

ωLf

−ωs −Rs+Rr

Lf− ω

Lf

Rr

Lf .Lm

Rr 0 − Rr

Lm(ωs − ω)

0 Rr −(ωs − ω) − Rr

Lm

B =

[1

Lf0 0 0

0 1Lf

0 0

]T

, C =

[1 0 0 0

0 1 0 0

]

(1.41)

27


1.7 Conclusion

Nous avons, dans ce chapitre, presente quelques rappels sur la constitution de

la machine asynchrone a cage d’ecureuil ainsi que sur sa commande de type

controle vectoriel a flux rotorique oriente. Nous nous sommes volontairement

attardes sur le modele triphase et le modele de Park de la machine.

Les choix des hypotheses d’etude et des objectifs du modele sont importants

pour le developpement du modele de simulation (dedie a l’identification), car ils

conditionnent la complexite du travail a realiser et l’utilisation d’outils appro-

pries. Notre choix s’est porte sur le modele de Park en vue de l’identification de

la machine asynchrone. Ce modele est plus simple, ce qui facilite la procedure

d’identification.

Les modeles (dedies a l’identification) exposes dans cette partie seront repris

ulterieurement afin de valider l’ensemble des modeles de defauts statoriques et

rotoriques. Ces modeles sont a la base de la procedure de diagnostic par estimation

parametrique.

28

Chapitre 2

Identification en boucle fermee

Ce chapitre a pour objectif de presenter un panorama des methodes d’iden-

tification en boucle fermee. Une attention particuliere est portee aux techniques

basees sur l’approche par erreur de sortie. Par ailleurs, nous allons presenter les

bases d’une methodologie d’identification dediee au diagnostic des machines elec-

triques et plus particulierement de la machine asynchrone, ou la structure bouclee

est indispensable au fonctionnement du systeme. Cette methodologie s’appuie sur

l’approche indirecte et les algorithmes du type erreur de sortie. Nous montrons,

dans ce chapitre, l’avantage d’une telle approche a travers un exemple acade-

mique.

29

Chapitre 2. Identification en boucle fermee

2.1 Introduction

La modelisation et l’identification sont en automatique des disciplines fon-

damentales et indispensables, qui precedent toutes les operations de simulation,

d’observation, d’etablissement d’une loi de commande ou de surveillance d’un sys-

teme. Cette double etape de modelisation et d’identification depend par ailleurs

fortement du systeme et de l’application consideree.

Si l’utilisateur veut simuler le comportement dynamique du systeme et en

meme temps tester l’influence de certains parametres caracteristiques, l’approche

par modele discret est insuffisante et il est necessaire d’utiliser une representation

a temps continu par equation differentielle plus proche de la nature physique du

systeme. En outre, dans un objectif de surveillance, il est certain que la modelisa-

tion a temps continu est preferable, surtout lorsque l’utilisateur souhaite effectuer

un diagnostic de l’etat du systeme a partir de l’estimation de parametres repre-

sentatifs de son fonctionnement sain ou en defaut.

L’identification des systemes a longtemps ete envisagee dans le cadre de la

bouce ouverte. Pourtant, de nombreux systemes sont contraints de fonctionner

en boucle fermee. Souvent, il n’est pas possible de conduire des experimentations

en boucle ouverte sur des procedes industriels, soit pour des raisons de production,

soit pour des problemes d’instabilite. Dans ce cas, il est possible, sous certaines

conditions, d’identifier ces systemes a partir des signaux acquis en boucle fermee.

Cette technique presente plusieurs avantages, comme par exemple la maıtrise

du signal (d’entree et / ou de sortie) lors des campagnes de mesures, ou encore le

maintien du processus autour d’un point de fonctionnement. Son principal incon-

venient reside dans la correlation induite par le bouclage entre les perturbations

de sortie et les signaux de commande.

Le travail presente dans ce chapitre concerne l’analyse de techniques d’identifi-

cation des systemes en boucle fermee. Nous nous interessons plus particulierement

a l’identification indirecte des systemes continus par erreur de sortie.

30

2.2. Identification en boucle ouverte

2.2 Identification en boucle ouverte

2.2.1 Introduction

Dans le contexte de notre travail, on va essentiellement s’interesser a l’identifi-

cation des systemes a l’aide de modeles a representation continue. Deux categories

d’algorithmes sont utilisables, que l’on classe suivant la nature des residus en er-

reur d’equation ou en erreur de sortie.

Les algorithmes a erreur d’equation ne sont utilisables en pratique qu’avec des

modeles du type equation differentielle a coefficients constants. Pour de tels mo-

deles, de nombreuses techniques [Mensler, 1999] ont ete imaginees afin d’exprimer

la sortie du systeme lineairement par rapport a ses parametres (L.P.). Cette pro-

priete de linearite permet alors d’utiliser la methode des moindres carres dont l’in-

teret essentiel est de fournir une expression analytique de l’estimee des parametres

[Ljung, 1987]. Malheureusement, on demontre que pour tout modele L.P. dont le

regresseur depend directement (ou indirectement par filtrage) des valeurs de la

sortie, les residus sont du type erreur d’equation et en consequence l’estimateur est

biaise. Une solution a l’elimination de ce biais est d’utiliser une technique de va-

riable instrumentale a modele parallele simule [?][Soderstrom and Stoica, 1983],

mais cela complique bien sur l’algorithme, et la convergence peut dans certains

cas poser probleme.

Enfin, comme en general les machines electriques ne se ramenent pas a des

equations differentielles a coefficients constants mais plutot a des systemes diffe-

rentiels non lineaires, on comprendra que cette methodologie d’identification ne

soit pas vraiment adaptee au probleme envisage. Cette partie va donc etre dediee

a la presentation de la deuxieme categorie d’algorithmes, du type erreur de sortie ;

en France ils sont aussi appeles methode du modele, selon un vocable introduit

par J. Richalet [Richalet, 1991].

2.2.2 Algorithme d’identification du type erreur de sortie

Comme on vient de le dire, ces algorithmes sont connus sous l’appellation

generique de methode du modele [Richalet et al., 1971]. Ils se caracterisent fon-

damentalement par la simulation de la sortie a partir de la seule connaissance

de l’excitation et du modele (et de ses parametres). Grace a cette procedure,

31


la sortie simulee est independante de la perturbation affectant le systeme, s’il

n’y a pas de bouclage [Landau and Karimi, 1997] [Trigeassou and Poinot, 2001]

[Trigeassou et al., 2003a] [Grospeaud, 2000] [Bachir et al., 2008] ; en consequence,

les residus sont l’image de cette perturbation, d’ou l’appellation d’erreur de sortie

et d’interessantes proprietes de convergence. Par contre, cette simulation com-

plique le probleme de minimisation du critere qui necessite l’utilisation de tech-

niques d’optimisation non lineaire. La methodologie generale mise en œuvre, peut

etre symbolisee par la figure 2.1.

Systèm eθθ

br u i t

A lgor i th m ede P. N . L .

M odèle

θθ

Jexci tationCr i tèr e

kεε

kb*ky

ky

ku

Fig. 2.1 – Principe des methodes a erreur de sortie

Considerons un systeme decrit par le modele d’etat general d’ordre n decrivant

la reponse y(t) a l’excitation u(t), dependant du vecteur parametres θ :

x = g (x, θ, u)

y = f (x, θ, u)avec

dim(x) = n

dim(θ) = N(2.1)

ou y(t) et u(t) sont consideres mono-dimensionnels uniquement pour simpli-

fier la presentation. On remarquera qu’aucune hypothese de linearite n’est neces-

saire : g et f sont des lois issues d’un raisonnement physique, qui en general ne

sont pas lineaires. On fera cependant l’hypothese que le systeme est identifiable

[Walter and Pronzato, 1997].

Considerons par ailleurs un ensemble de K donnees experimentales uk, y∗k,

acquises avec la periode d’echantillonnage Te, telle que t = k Te ; le probleme de

l’identification est alors d’estimer le modele qui explique au mieux ces donnees,

32


donc de determiner la valeur des parametres du vecteur θ.

Soit θ une estimation de θ. Alors grace a u(t), connue aux instants d’echan-

tillonnage uk, on obtient une simulation yk de la sortie, soit

x = g(x, θ, u

)

y = f(x, θ, u

) (2.2)

On definit alors l’erreur de prediction (residu) notee εk entre la sortie reelle

y∗k et la sortie simulee yk

εk = y∗k − y(uk, θ) (2.3)

avec

– y∗k = yk + bk : mesure de la sortie yk, perturbee par un bruit bk,

– yk : valeur exacte de la sortie,

– bk : perturbation aleatoire,

– εk : residu.

La valeur optimale de θ est obtenue par minimisation du critere quadratique

J :

J =K∑

k=1

ε2k =

K∑

k=1

(y∗

k − yk

(uk, θ

))2

(2.4)

2.2.3 Estimation parametrique avec information a priori

Les methodes a erreur de sortie reposent sur la definition d’un modele parame-

trique, fonction d’un certain nombre de parametres auxquels on peut attribuer

une signification plus ou moins physique, que l’on compare au systeme. Pour

converger, ces algorithmes necessitent :

– une entree persistante afin d’exciter toutes les dynamiques du systeme,

33


– une bonne initialisation pour accelerer la convergence.

Cependant, on pourrait croire que l’on utilise une bonne initialisation comme

information a priori pour accelerer la convergence aupres de l’optimum principal :

en fait, l’algorithme d’optimisation ne conserve aucune trace de cette information

initiale ! Au mieux, on evite de converger vers des optimums secondaires. De plus,

et malgre toutes les precautions numeriques, ces algorithmes peuvent dans cer-

taines situations fournir des estimations aberrantes [Almiah, 1995] [Jemni, 1997].

Il faut chercher la cause de ces anomalies dans le mecanisme d’optimisation : en

effet, celui-ci cherche le jeu de parametres qui permet au modele retenu d’appro-

cher au mieux les donnees, sans contrainte physique. Il s’agit fondamentalement

d’un probleme de sensibilisation parametrique : bien que theoriquement iden-

tifiables, les parametres concernes sont quasiment non identifiables et on peut

constater des phenomenes de compensation. Le reflexe traditionnel devant un

tel probleme est de proposer d’enrichir l’excitation [Ljung, 1987] [Kabbaj, 1997] :

toutefois, dans de nombreuses situations, cette excitation optimale peut s’ave-

rer irrealiste en pratique (voire dangereuse pour le procede) ou tout simplement

violer les conditions de validite du modele !

Une solution proposee consiste a introduire explicitement la connaissance phy-

sique afin qu’elle se substitue pour partie a l’excitation insuffisante ou qu’elle

contribue a enrichir l’excitation.

2.2.3.1 Introduction de l’information a priori

La modelisation des systemes sous forme continue permet de se referer a des

parametres possedant une interpretation physique. De ce fait, l’utilisateur possede

en general un ordre de grandeur du vecteur des parametres accessible par une

experimentation elementaire. Il est donc judicieux d’introduire cette connaissance

a priori pour mieux sensibiliser l’identification et obtenir ainsi une estimation

realiste des parametres.

Pour cela, il est necessaire d’adjoindre cette information a priori de maniere

explicite dans le critere quadratique [Moreau, 1999] [Trigeassou and Poinot, 2001]

[Trigeassou et al., 2003b], en adaptant les ponderations entre information expe-

rimentale et connaissance a priori. On definit donc un critere composite prenant

en compte une connaissance initiale θ0 (ponderee par sa matrice de covariance)

et le critere J (pondere par la variance de la perturbation de sortie) :

34


JC =(θ − θ0

)T

M−10

(θ − θ0

)

︸︷︷︸+

1

σ2b

K∑

k=1

(y∗

k − yk

(θ, u

))2

︸︷︷︸J0 J∗

(2.5)

ou :

θ0 : connaissance a priori de θ,

M0 : matrice de covariance de θ0,

σ2b : variance de la perturbation de sortie.

Le terme quadratique J∗ represente le critere conventionnel, porteur de l’in-

formation experimentale. Par contre, J0 est un deuxieme critere quadratique qui

introduit une contrainte ” elastique ” dans la minimisation du critere global JC :

en effet, il interdit a θ de trop s’eloigner de θ0, avec une ” force de rappel ”

dependant de θ − θ0.

2.2.3.2 Algorithme d’optimisation non lineaire

Comme la sortie n’est pas lineaire en θ, la minimisation de ce critere s’effectue

par une methode de Programmation Non Lineaire (P.N.L.) [Richalet et al., 1971].

Ainsi, la valeur optimale du vecteur parametre notee θopt est obtenue par un

algorithme d’optimisation iteratif [Himmelblau, 1972].

L’algorithme de Marquardt [Marquardt, 1963] offre un bon compromis entre

robustesse et rapidite de convergence. Les parametres a estimer sont reactualises

selon la loi :

θi+1 = θi − [J ′′θθ + λ I]−1 · J ′

θ θ=θi(2.6)

Les algorithmes d’erreur de sortie different surtout par la facon de gerer l’op-

timisation. Pour notre part, nous avons opte pour le calcul du gradient par les

fonctions de sensibilite parametrique. On prend donc :

– J′

Cθ= 2

[M−1

0

(θ − θ0

)− 1

σ2

b

K∑k=1

εkσk

]: gradient du critere,

35


– J′′

Cθθ≈ 2

[M−1

0 + 1σ2

b

K∑k=1

σkσTk

]: pseudo-hessien du critere,

– λ : parametre de reglage,

– σk,θi= ∂yk

∂θi: fonction de sensibilite parametrique.

2.2.3.3 Calcul des fonctions de sensibilite

Les fonctions de sensibilite σk,θ constituent le point nevralgique de toute la

procedure d’identification [Richalet et al., 1971] [Trigeassou, 1988]. Ce sont les

indicateurs essentiels du conditionnement de l’identification car elles traduisent

l’effet d’une variation d’un parametre sur la sortie du systeme. Leur role est

localement analogue au vecteur regresseur dans le cas lineaire par rapport aux

parametres [Ljung, 1987]. Par consequent, l’identification devient tres sensible au

calcul de ces coefficients.

Pour un systeme regi par la relation (2.1), il convient de definir deux sortes

de fonctions de sensibilite [Trigeassou and Poinot, 2001] :

– σy,θ = ∂y

∂θ: vecteur des fonctions de sensibilite de dimension (N × 1) cal-

culees par rapport a la sortie et directement utilise par l’algorithme de

Programmation Non Lineaire,

– σx,θ = ∂x

∂θ: matrice des fonctions de sensibilite de dimension (n×N) calcu-

lees par rapport a l’etat telle que

σx,θ =[

σx,θ1· · · σx,θi

· · · σx,θN

](2.7)

Pour chaque parametre θi, on determine σxn,θia partir de l’equation x =

g (x, θ, u) par integration du systeme differentiel :

∂x

∂θi

= σx,θi=

∂g (x, θ, u)

∂x

∂x

∂θi

+∂g (x, θ, u)

∂θi

(2.8)

Alors, σxn,θiest solution du systeme differentiel non lineaire :

σx,θi=

∂g (x, θ, u)

∂xσx,θi

+∂g (x, θ, u)

∂θi

(2.9)

36


Finalement, on obtient ∂y/∂θi par derivation partielle de l’equation (2.1), soit

∂y

∂θi

=

(∂f (x, θ, u)

∂x

)T

σx,θi+

∂f (x, θ, u)

∂θi

(2.10)

Le raisonnement precedent se particularise a une sous classe importante de

systemes constituee par les systemes lineaires dont l’etat

x = A(θ) x + B(θ) u

y = CT (θ) x + D(θ) u(2.11)

On obtient alors

σx,θi

= A(θ) σx,θi+

[∂A(θ)∂θi

]x +

[∂B(θ)∂θi

]u

σy,θi= CT (θ) σx,θi

+[

∂C(θ)∂θi

]T

x +[

∂D(θ)∂θi

]u

(2.12)

2.2.3.4 Mise en œuvre

La mise en œuvre de cette methodologie suppose la maıtrise de deux types

d’informations :

– l’information a priori θ0, M0 : celle-ci peut resulter soit d’une estimation

globale precedente, soit d’estimations specifiques et incompletes. Dans ce

dernier cas, le plus realiste, la matrice M0 est au mieux diagonale,

– la variance σ2b de la perturbation : elle joue un role essentiel dans la pon-

deration entre J0 et J : une faible valeur donne trop de poids aux donnees

experimentales, alors qu’une forte valeur les discredite au profit de θ0.

2.2.3.4.1 Choix de l’information a priori

Un choix judicieux des parametres (θ0 et M0) permet de regulariser le pro-

bleme du manque d’excitation lorsque la matrice d’information est proche de la

singularite, synonyme d’une excitation pauvre.

37


Lorsqu’on dispose d’une connaissance au prealable, disponible soit par une

experimentation elementaire ou par des donnees constructeur, il serait judicieux

de construire notre information a priori a partir de cette base. Cependant, il est

indispensable de prendre quelques precautions quant a l’utilisation de ces don-

nees issues generalement d’une experimentation en regime stationnaire, eventuel-

lement non compatible avec le domaine de validite du modele choisi. En pratique,

il est preferable de construire l’information a priori en partie par la connaissance

physique et par des estimations prealables. Plusieurs acquisitions de donnees cor-

respondant a differents modes de fonctionnement sont donc necessaires. En effet,

afin de construire les intervalles d’incertitude, il faut envisager l’ensemble des

situations susceptibles de faire varier les parametres (changement normal dans

l’etat du procede). Voir pour plus d’informations [Bachir et al., 2008].

2.2.3.4.2 Choix de la variance de la perturbation de sortie

Dans le cas d’une perturbation independante et stationnaire, les algorithmes

a erreur de sortie fournissent une estimation de la variance σ2b selon la relation

[Ljung, 1987] :

σb2 =

Jopt

K − N(2.13)

ou

– Jopt est la valeur du critere experimental J pour θ = θopt,

– K est le nombre de points de mesure,

– N est le nombre de parametres.

Il est important de noter que cette valeur ne constitue en aucun cas une in-

formation fiable sur la variance du bruit de sortie. En effet, il est rare que la

perturbation verifie les hypotheses simplificatrices precedentes. En general, elle

peut etre correlee, mais surtout non stationnaire. Par ailleurs, s’ajoute au terme

aleatoire une composante deterministe representant les erreurs de modelisation.

Cependant, cette valeur peut etre utilisee comme indicateur de coherence entre

information initiale et connaissance a priori. Ainsi, lorsque σ2b , θ0 et M0 sont des

informations sures, σ2b permet de tester si l’information experimentale est com-

patible avec la connaissance du systeme : une valeur de σ2b nettement superieure

a σ2b peut correspondre a une non stationnarite du systeme se manifestant par

une modification de son modele, et se traduisant dans JC par une augmentation

38

2.3. Un panorama des methodes d’identification en boucle fermee

de l’erreur de modelisation, donc de σ2b . Pour sa part, σ2

b peut necessiter d’etre

ajuste grace a une nouvelle passe de l’algorithme d’identification. Concretement,

on part d’une valeur a priori representant approximativement la variance de la

perturbation stochastique ; lorsque θC est obtenu, on recalcule σ2b grace a J(θC).

Si σ2b est tres different de sa valeur initiale, on reitere une nouvelle estimation de

θC jusqu’a convergence du processus.

2.2.4 Conclusion

Les techniques a erreur de sortie possedent l’avantage fondamental d’une ap-

plicabilite quasi-universelle, que ce soit vis-a-vis des types de systemes ou des do-

maines d’application. En particulier, en association avec la connaissance a priori,

ces methodes constituent un outil puissant d’identification depassant largement le

cadre de l’automatique, pour l’acces a la connaissance physique, comme cela a ete

illustre par les exemples d’applications au genie electrique. Rappelons toutefois

que la connaissance a priori ne saurait se substituer a l’indigence de l’excita-

tion. L’utilisateur doit toujours au prealable planifier son experimentation, c’est

a dire optimiser l’excitation compte-tenu de contraintes technologiques afin d’en-

richir le contenu informationnel de ses donnees experimentales ou de simulation

[Walter and Pronzato, 1994]. C’est lorsque cette optimisation a ete realisee que

peut alors valablement intervenir le complement du a l’information a priori. En-

fin, une attention particuliere doit etre portee a cette connaissance initiale, autant

a sa veracite qu’a sa precision, afin de ne pas induire en erreur l’algorithme d’op-

timisation.

2.3 Un panorama des methodes d’identification

en boucle fermee

Dans le contexte de l’identification en boucle fermee, un grand nombre de

methodes ont ete proposees dans les deux dernieres decennies. On peut citer les

travaux de Landau [Landau, 1987], Van Den Hof [Hof and Schrama, 1995], De

Bruyne et Ljung [Gustavsson et al., 1977] [Ljung, 1987] ou differentes techniques

d’identification utilisables en boucle ouverte et en boucle fermee sont proposees.

Afin de simplifier la presentation des resultats, on se place dans un cas mo-

novariable ; les methodes s’appliquent generalement au cas des systemes multiva-

39


riables.

2.3.1 Problematique de l’identification en boucle fermee

Le probleme typique de l’identification en boucle fermee reside dans la cor-

relation entre les bruits de sortie et le signal de commande, du fait de la boucle

fermee. Un autre probleme cause par des donnees recueillies en boucle fermee

est qu’elles comportent generalement moins d’information que celles recueillies

en boucle ouverte. En effet, un objectif important de la commande est de mini-

miser la sensibilite du systeme boucle aux perturbations, ce qui rend le probleme

d’identification plus delicat a traiter [Forssel and Ljung, 1999].

b

+

-

rC(z)

y∗

++u

CAN

CNA G0(s)y

e

H0(s)

Fig. 2.2 – Systeme boucle

On se place dans le cadre d’un processus boucle de commande numerique

represente par la figure 2.2. Les donnees d’entree/sortie du processus sont decrites

par les relations suivantes :

y(s)∗ = G0(s)u(s) + H0(s)e(s) (2.14)

u(q−1) = C(q−1)[r(q−1) − y(q−1)

](2.15)

Ou G0 represente le processus reel a identifier, et C(z) le correcteur. Le vecteur

de sortie est note y∗, et le vecteur d’entree u.

L’expression b(s) = H0(s)e(s) modelise les perturbations : e est une suite

de variables aleatoires independantes, identiquement distribuees a moyenne nulle

40


(bruit blanc), H0(s) est un filtre lineaire invariant stable et normalise (processus

generateur).

Le terme b(s) regroupe les bruits de mesure, les perturbations agissant sur

le systeme ainsi que les erreurs de modelisation. De plus, contrairement au cas

boucle ouverte, l’entree u(s) et les perturbations e(s) sont correlees, du fait de la

presence de la boucle fermee. Le signal rk peut representer un signal d’excitation

ou une consigne.

L’etude realisee dans ce manuscrit a ete developpee sous l’hypothese fon-

damentale : r est un signal quasi-stationnaire independant des perturbations e

[Ljung, 1987]. L’excitation appliquee au systeme est persistante, d’ordre suffi-

sant. La procedure d’identification vise a determiner une estimation du processus

G0(s). Dans certains cas, on va voir qu’il peut etre interessant de determiner

egalement une estimation du correcteur C(z).

2.3.2 L’approche directe

2.3.2.1 Principe

Dans le cas de l’identification directe, les donnees uk, yk recueillies en boucle

fermee sont traitees de la meme maniere qu’en boucle ouverte (figure 2.3).

Ainsi, la presence de la boucle fermee n’est pas prise en compte. A priori,

cette methode ne pose pas de veritable probleme pratique d’utilisation et elle est

donc couramment utilisee.

Cependant, comme on ignore la presence du correcteur, on se retrouve avec

une entree u(s) correlee avec la perturbation de sortie b(s) : l’estimation est donc

asymptotiquement biaisee (voir annexe A). Il s’agit donc la de l’inconvenient

essentiel de l’approche directe et qui a motive la mise au point d’algorithmes

prenant en compte explicitement la presence de la boucle fermee.

2.3.2.2 Biais de l’approche directe en boucle fermee

Lorsque le systeme fonctionne en boucle fermee (ce qui est le cas des ma-

chines a courant alternatif a commande vectorielle), la perturbation bk est ne-

cessairement correlee avec la commande uk par l’intermediaire du correcteur (ou

41


+

-

rC(z)

e

y∗

u

CAN

CNA

H0(s)

G0(s)

+

−

G0(s)y

Algorithme

++

d′optimisation

by

Fig. 2.3 – Principe de l’identification directe en boucle fermee

de l’algorithme de commande). Alors, les fonctions de sensibilite σk calculees a

partir de l’excitation uk se trouve correlees avec la perturbation bk, c’est-a-dire

que l’estimation θopt est asymptotiquement biaisee (voir annexe A). Ce biais n’est

vraiment tres important que lorsque le rapport signal sur bruit est tres faible. On

pourra donc le negliger en premiere approximation.

Cependant, des algorithmes d’identification par erreur de sortie en boucle fer-

mee ont ete proposes ; ils permettent une parfaite rejection de ce biais asympto-

tique, mais au prix d’une plus grande complexite de la procedure d’identification

[Grospeaud, 2000] [Landau and Karimi, 1997].

Une analyse [Grospeaud, 2000] [Grospeaud et al., 2000] montre que si bk est

un bruit blanc, a cause du retard inherent a la boucle fermee numerique, les fonc-

tions de sensibilite ne sont pas correlees avec le bruit blanc, soit : E σk,θi, bk = 0

Par contre, si bk est un bruit correle, un biais apparaıt dont la valeur depend du

processus generateur de ce bruit.

Une etude du biais asymptotique de l’algorithme a erreur de sortie en boucle

ouverte et en boucle fermee, est decrite dans l’annexe A et on s’y reportera pour

plus de details.

42


2.3.3 L’approche simultanee

A l’origine de cette methode d’identification en boucle fermee, ni la me-

sure du signal d’excitation rk, ni le correcteur C(z) ne sont supposes connus

[Gustavsson et al., 1977]. En revanche, on suppose que rk est un processus sto-

chastique stationnaire qui peut etre represente par :

rk = K0(q−1)wk (2.16)

avec K0(z) une fonction de transfert normalisee, rationnelle et stable, et wk une

suite de variables aleatoires independantes, identiquement distribuees, a moyenne

nulle.

On se place dans le cas ou le correcteur et le systeme sont discrets. Ainsi, le

systeme boucle peut etre decrit par la relation suivante :

[uk

yk

]=

[S0(q

−1)K0(q−1) −S0(q

−1)C(q−1)H0(q−1)

S0(q−1)G0(q

−1)K0(q−1) S0(q

−1)H0(q−1)

]·

[wk

ek

](2.17)

avec

S0(q−1) =

[I + C(q−1)G0(q

−1)]−1

la fonction de sensibilite (2.18)

ou [wk ek]T sont des bruits blancs. Cette methode consiste a estimer un modele

sans mesure du vecteur d’entree, c’est a dire a estimer un modele de bruit multiva-

riable. Cette approche est dite simultanee car elle consiste a utiliser conjointement

les signaux uk et yk comme sortie d’un modele multivariable.

Une estimation de ce modele peut etre obtenue en utilisant une methode

d’identification fondee sur la minimisation d’une fonction de l’erreur de prediction.

La seconde etape consiste a revenir aux estimations de G0(q−1), H0(q

−1), C(q−1)

et K0(q−1), ou C(q−1) represente le correcteur present dans la boucle lors des

experimentations (le correcteur etant inconnu, il doit etre estime).

Depuis son developpement [Gustavsson et al., 1977], cette approche a evo-

lue et a ete modifiee : le signal d’excitation est desormais suppose mesure et

il est utilise comme entree connue du systeme. Plusieurs methodes d’identifica-

43


tion en boucle fermee ont ete developpees dans le cadre de l’approche simulta-

nee. Pour plus de details, le lecteur pourra se referer a [Soderstrom et al., 1987]

[Hof and Schrama, 1995].

2.3.4 L’approche indirecte

2.3.4.1 Principe

Considerons le systeme en boucle fermee de la figure 2.4

e

H

+

-

rC(z)

uG(z)

y

y∗

++

b

Fig. 2.4 – Systeme boucle

Cette methode ne necessite pas la mesure de signaux a l’interieur de la boucle

de regulation. Ainsi, l’estimation est fondee sur les mesures de y∗k et rk. L’ap-

proche indirecte se decompose en deux parties :

– Identifier la fonction de transfert en boucle fermee entre rk et y∗k par une

methode d’identification a erreur de sortie. On obtient une estimation non

biaisee GBF (z), independante du modele de bruit b.

– Determiner les parametres du processus G(z) (boucle ouverte), a partir du

modele obtenu dans l’etape precedente et en utilisant la connaissance du

correcteur C(z). Ainsi, on peut trouver un estimateur non biaise de G(z)

en utilisant la relation suivante :

G(z) =GBF (z)

C(z)[1 − GBF (z)

] (2.19)

L’entree rk utilisee lors de la premiere etape de l’identification est decorrelee

des perturbations bk, ce qui constitue un probleme d’identification en boucle ou-

44


verte. Le systeme a identifier lors de cette premiere etape est decrit par l’equation

(2.20).

y∗k =

C(q−1)G(q−1)

1 + C(q−1)G(q−1)︸︷︷︸rk +

1

1 + C(q−1)G(q−1)bk

︸︷︷︸GBF (q−1) wk

(2.20)

ou wk est le bruit equivalent de sortie en boucle fermee.

Dans la deuxieme etape, le retour aux estimes de G(z) est realise par resolution

d’un systeme d’equations. Cette idee de base correspond au principe fondamental

des approches indirectes. Les techniques correspondantes different dans la facon

dont l’estimation G(z) est effectivement obtenue.

Le principal probleme engendre par cette methode reside dans la construction

du modele de la boucle ouverte basee sur l’estimation de la boucle fermee. Lors

du calcul de la relation (2.19), on se trouve dans la situation ou le nombre de

parametres identifies de la boucle fermee est superieur a celui du systeme en

boucle ouverte.

La suite de cette section est consacree a la presentation de certaines methodes

developpees dans le cas d’une identification de systemes boucles par approche in-

directe. Ces methodes ont ete proposees afin de remedier a certains des problemes

enonces precedemment. On s’interesse tout particulierement aux methodes asso-

ciees a une parametrisation appropriee. Ces methodes consistent a parametrer

la fonction de transfert en boucle fermee afin d’estimer en une seule etape les

parametres du processus a partir des signaux rk et yk.

2.3.4.2 Methodes associees a une parametrisation appropriee

Les methodes C.L.O.E. proposees par Landau, les methodes Tailor Made

Parametrization proposees par Van Den Hof, Von Denkelaar, De Bruyne et An-

derson et les methodes a erreur de sortie basees sur une decomposition de la

boucle fermee proposees par Trigeassou, Poinot et Grospeaud sont toutes issues

du meme principe, c’est-a-dire de l’identification de type O.E. (Output Error).

Ces techniques sont globalement equivalentes en depit de leurs particularites de

representation [Grospeaud, 2000].

45


2.3.4.2.1 Methode C.L.O.E.

I. Landau et A. Karimi [Landau and Karimi, 1997] ont propose une methode

d’identification en ligne des systemes boucles. Cette version recursive a ete de-

veloppee sous l’acronyme C.L.O.E. (Closed-Loop Output Error) et utilise des

algorithmes d’adaptation parametrique.

Considerons le systeme boucle decrit par la figure 2.4. Alors on peut definir

S(q−1) = 11+C(q−1)G(q−1)

la fonction de sensibilite et T (q−1) = 1−S(q−1) la fonction

de sensibilite complementaire. En boucle fermee, cette methode consiste a utiliser

l’equation de sortie du systeme de commande

y∗k = T (q−1) · rk + S(q−1) · H(q−1) · ek (2.21)

Le predicteur associe est fourni par :

yk = T (q−1) · rk (2.22)

On pose alors le modele G(q−1) = B(q−1)A(q−1)

, d’ou

yk = [T (q−1) · (1 − A(q−1)) + C(q−1) · S(q−1) · B(q−1)] · rk

= (1 − A(q−1)) · yk + B(q−1) · urk

= φk · θT

(2.23)

avec

φk =[−yk−1 · · · − yk−na

urk· · · urk−nb

](2.24)

ou le signal urkest construit a partir du signal de reference rk selon

urk= C(q−1) · Sθk−1

(q−1) · rk (2.25)

Ainsi, a partir de yk = φkθT , un algorithme recursif peut etre utilise. L’iden-

tification est realisee a partir de l’erreur de prediction

46


εk = yk − yk

Plusieurs variantes de cet algorithme sont proposees ; parmi elles on peut

citer la methode F-C.L.O.E. (Filtred C.L.O.E.), la methode AF-C.L.O.E. (Adap-

tative Filtred C.L.O.E.) et la methode X-C.L.O.E. (eXtended C.L.O.E.). Une

analyse des proprietes de ces methodes peut etre trouvee dans [Grospeaud, 2000]

[Landau and Karimi, 1997].

2.3.4.2.2 Methode Tailor-Made Parametrisation

Cette methode permet d’identifier les parametres du processus, a partir des

signaux mesures rk et y∗k et de la connaissance du correcteur. La configuration

particuliere de la structure bouclee est utilisee pour parametrer de facon appro-

priee la fonction de transfert du systeme boucle. Cette caracteristique permet

d’identifier en une seule etape un modele du processus. Cependant, comme elle

necessite la mesure de rk et la connaissance de C(z), elle est classee dans les

approches indirectes. Cette methode a ete developee par E. Van Donkelaar et P.

Van den Hof [Donkelaar and den Hof, 2000].

Dans cette methode, on utilise l’approche O.E. pour identifier globalement la

boucle fermee. En considerant les structures C(z) = R(z)S(z)

et G(z) = B(z)

A(z), alors on

peut ecrire

y(z) =C(z)G(z)

1 + C(z)G(z)r(z)

=R(z)B(z)

S(z)A(z) + R(z)B(z)r(z)

(2.26)

Le point fort de cette approche est dans le calcul des derivees notees y′(θ)

qui sont les fonctions de sensibilite parametrique. Un autre avantage de cette

methode de calcul est qu’elle permet une generalisation au cas non lineaire.

Le calcul du gradient et du hessien, necessaires a la minimisation du critere

quadratique par Programmation Non Lineaire, est obtenu a partir des fonctions

de sensibilite parametriques premieres et secondaires (y′(θ) et y′′(θ)).

47


2.3.4.3 Conclusion

Les approches C.L.O.E. et Tailor Made Parametrization sont basees sur un al-

gorithme du type erreur de sortie. Elles ne different en pratique que dans le mode

de traitement (recursif ou hors-ligne) [Grospeaud, 2000]. Ces algorithmes O.E.

conduisent tous aux memes fonctions de sensibilite σ ou φ. Ces deux methodes

sont aussi equivalentes a la methode d’identification 0.E. basee sur une decompo-

sition de la boucle fermee [Grospeaud and Trigeassou, 1999], elles ne different en

pratique que dans la formulation des modeles (transfert ou modele d’etat).

Par la suite, nous ne nous interessons qu’a la methode d’identification 0.E.

basee sur une decomposition de la boucle fermee que nous allons presenter dans

la section suivante. Cette approche offre l’interet fondamental de sa generalite.

2.4 Methode d’identification O.E. basee sur une

decomposition de la boucle fermee

2.4.1 Principe

O. Grospeaud, T.Poinot et J-C. Trigeassou [Grospeaud et al., 1999] ont pro-

pose une methodologie generale pour l’identification hors ligne en boucle fermee a

partir d’une technique a erreur de sortie. Elle s’applique aussi bien aux systemes

a temps discret que continu. De plus, grace a une decomposition des equations

de la boucle fermee, elle s’applique aussi bien aux systemes lineaires que non

lineaires [Grospeaud et al., 2000].

La methode proposee est equivalente a Tailor Made Parametrization. La dif-

ference reside dans le traitement de la boucle fermee : par fonction de transfert

avec Tailor Made Parametrization, par representation d’etat dans notre cas.

Cette technique peut s’appliquer a un systeme a temps continu G(s), pilote

par un correcteur continu C(s). En fait, il s’agit d’un probleme academique,

car les systemes continus tels que G(s), sont a present pilotes par un correcteur

numerique C(z) : il devient alors difficile d’envisager une representation d’etat

globale, conciliant temps continu pour G(s) et temps discret pour C(z). C’est

pour cette raison, que la methode proposee permet d’envisager cette situation

comme le montre la figure 2.5, et qui par ailleurs s’applique a des boucles fermees

48

2.4. Methode d’identification O.E. basee sur une decomposition de la boucle fermee

non lineaires.

C’est cette approche que nous avons particulierement developpee. Ainsi, nous

proposons, dans un premier temps, de rappeler l’interet d’une telle approche a

travers une etude appliquee a un systeme lineaire continu boucle par l’interme-

diaire d’un correcteur discret.

r

e

by

y∗

H0(s)

G(s, θ)

+

−˙x = A(θ)x + B(θ)u

y = C(θ)x + D(θ)u

y

Algorithme

++

d′optimisation

u+

+

-C(z)

u

CAN

CNA

-C(z)

CAN

CNA

Fig. 2.5 – Principe de l’identification indirecte en boucle fermee

Cette technique d’identification indirecte repose sur la connaissance du correc-

teur (figure 2.5) (ainsi que la majorite des autres approches). Cette hypothese cree

une veritable contrainte inadaptee a la realite industrielle. Nous allons montrer

que l’on peut s’affranchir de cette contrainte en identifiant le correcteur par une

technique de surparametrisation [Poinot, 1996] [Grospeaud and Trigeassou, 1999]

[Bazine et al., 2006b].

Cette approche ne necessite pas la mesure des signaux a l’interieur de la

boucle de regulation. Elle consiste a considerer un signal d’entree uk, reconstruit

(voir figure 2.5) a partir de la connaissance ou de l’estimation du correcteur

[Grospeaud, 2000] [Bazine et al., 2006b]. Le modele du processus est alors obtenu

par l’estimation du transfert entre la sortie y∗k et l’entree reconstruite uk .

49


2.4.2 Identification de correcteur

La principale contrainte imposee par l’identification indirecte est l’indispen-

sable connaissance du correcteur. Le probleme en commande industrielle est qu’il

n’y a pas de regulateur reellement implante qui corresponde parfaitement a l’ex-

pression theorique de celui-ci.

La solution que nous proposons consiste a identifier le correcteur a l’aide d’un

modele surparametrise [Poinot, 1996] [Trigeassou, 1987].

2.4.2.1 Methodologie

Soit la boucle fermee definie par la figure 2.6. On se propose d’estimer les

parametres du correcteur R(z)S(z)

.

+

-

r R(z)S(z)

e

y∗

++u

CAN

CNA

H0(s)

G0(s)y

b

Fig. 2.6 – Processus boucle

Connaissant la commande, la consigne et la sortie bruitee notees respective-

ment u, r et y∗, on se retrouve devant une identification sans perturbation (car

tous les signaux sont connus et parfaitement mesures), donc parfaitement deter-

ministe, pour laquelle on peut appliquer la methode des moindres carres ordinaires

qui dans ce cas particulier n’induit pas un biais asymptotique [Ljung, 1987]. En

effet, y∗k est bien la mesure de yk entachee d’erreurs dues au bruit de mesure bk

(y∗k = yk + bk avec yk inconnu) ; mais une fois la mesure obtenue, y∗

k est parfaite-

ment connu. Ainsi y∗k est une valeur certaine que l’on utilise dans l’algorithme de

calcul du correcteur.

50


Si la structure du correcteur est parfaitement connue, soit par exemple :

C(z) =R(z)

S(z)=

r0 + r1z−1 + · · ·+ rnz−n

1 + s1z−1 + · · · + smz−m(2.27)

Alors l’estimation par Moindres Carres est :

θMC =

[K∑

1

ϕkϕTk

]−1 K∑

1

ϕkuk (2.28)

Et θMC = θexact.

Avec :

θMC =

r0

r1

...

rn

s1

...

sm

et ϕk =

rk − y∗k

...

rk−n − y∗k−n

−uk−1

...

−uk−m

(2.29)

Par contre, si la structure exacte est inconnue (ce qui est souvent le cas) on

s’affranchit de cette connaissance structurelle, en utilisant le principe de surpa-

rametrisation [Poinot, 1996] [Grospeaud, 2000].

On choisira alors Cs(z) = Rs(z)Ss(z)

de telle sorte que :

degre [Rs(z)] > degre [R(z)]

degre [Ss(z)] > degre [S(z)]

On va donc utiliser un modele surparametrise de complexite superieure a

celle du vrai correcteur, afin de minimiser l’erreur de modelisation. Il faut par

contre disposer d’un test significatif permettant de caracteriser cette erreur de

modelisation.

51


On obtient donc :

θs =

[K∑

1

ϕskϕTsk

]−1 K∑

1

ϕskuk (2.30)

A partir de θs, on a plusieurs possibilites : soit on determine une structure

minimale, soit on utilise directement le modele surparametrise, ce qui en pratique

correspond a une solution simple et robuste vis-a-vis d’eventuelles erreurs de

modelisation (c’est la solution que nous avons retenue).

2.4.2.2 Etude de la surparametrisation

2.4.2.2.1 Introduction

Considerons le correcteur estime surparametrise

Cs(z) =r0 + r1z

−1 + · · · + rsz−s

1 + s1z−1 + · · ·+ ssz−s(2.31)

Ou s est le degre de la surparamerisation.

On ecrira uk = ϕTskθs ou

θs =

r0

r1

...

rs

s1

...

ss

et ϕsk =

rk − y∗k

...

rk−s − y∗k−s

−uk−1

...

−uk−s

(2.32)

La relation (2.30) fournit la valeur optimale de θs lorsque le degre de la surpa-

rametrisdation est suffisamment eleve. Pour decider si ce degre est correct, nous

52


allons utiliser un test de caracterisation, base sur des invariants de modelisa-

tion. Ces invariants sont, dans notre cas, les moments discrets [Trigeassou, 1987]

[Trigeassou, 2000].

2.4.2.2.2 Les moments discrets

Definition 2.1.

Soit une sequence hk de somme finie sur [0, +∞[. Alors en developpant H(z)

en serie de Taylor au voisinage de z−1 = 1, on obtient :

Z hk = H(z) =∞∑

n=0

(z−1 − 1)n

n!Cn(hk) (2.33)

ou

Cn(hk) =∞∑

k=n

Ankhk avec An

k =k!

(k − n)!(2.34)

Cn(hk) est le moment discret d’ordre n de hk.

Les moments possedent la propriete de caracteriser la reponse impulsionnelle

du systeme. De plus, en vertu du theoreme d’unicite [Trigeassou, 2000], cette

caracterisation est complete et les moments constituent donc des invariants du

systeme, pouvant caracteriser l’erreur de modelisation.

Notons aussi, qu’il existe une autre classe d’invariants [Trigeassou et al., 1994]

basee sur les parametres de Markov qui sont les premieres valeurs de la reponse

impulsionnelle, correspondant au developpement en serie de Taylor de H(z) au

voisinage de z−1 = 0.

Un theoreme fondamental de la theorie des fonctions de la variable complexe

peut s’enoncer :

Theoreme 2.1.

Si deux fonctions f(z) et g(z) sont holomorphes dans un domaine D et egales

dans un domaine D′ contenu dans D, alors elles sont egales en tout point de D.

53


Cette propriete nous amene a enoncer le theoreme d’unicite suivant [Poinot, 1996]

[Trigeassou, 2000] :

Theoreme 2.2.

Si deux fonctions de transfert possedent la meme serie de Taylor, donc les memes

moments (ou les memes parametres de Markov), alors elles sont identiques en tout

point de leur domaine de definition.

Application du theoreme d’unicite et invariants :

Considerons deux fonctions de transfert H1(z) et H2(z), de reponses impul-

sionnelles respectives h1 et h2. Supposons que les moments de ces deux fonc-

tions de transfert sont tous egaux, malgre des representations parametriques dif-

ferentes. Alors, d’apres le theoreme des fonctions de la variable complexe et le

theoreme d’unicite [Trigeassou, 2000] nous pouvons affirmer que ces deux fonc-

tions de transfert sont egales. Les moments discrets sont donc independants de

la parametrisation du systeme.

Consequence du theoreme d’Unicite :

Si une structure surparametrisee englobe la structure exacte, alors tous ses

moments sont egaux a ceux du vrai systeme. Ne connaissant pas les moments

exacts, il suffit en pratique de tester des structures surparametrisees de com-

plexite croissante. Lorsque les invariants deviennent stationnaires, c’est que la

structure consideree englobe de maniere certaine celle du vrai systeme.

Les relations lineaires entre moments discrets et parametres du correcteur sont

detaillees dans l’annexe B.

2.4.2.3 Simulations numeriques

2.4.2.3.1 Choix de la structure du correcteur

Soit le correcteur PID reel a identifier :

54


C(z) =r0 + r1z

−1 + r2z−2

1 + s1z−1 + s2z−2

avecr0 = 2.6064 r1 = −5.1980 r2 = 2.5916

s1 = −1.9802 s2 = 9.8020 10−01

Afin de valider le test precedent, nous avons teste differentes structures de

correcteurs (S = 1, 2, 3, 4). Apres identification, on obtient les parametres decrits

par le tableau 2.1.

Nous verifions sur cet exemple que le modele identifie du second ordre est

exactement identique au correcteur reel. Il est necessaire de tester le choix du

degre de surparametrisation. Nous allons pour cela calculer les moments discrets

des correcteurs identifies.

55

Chapitre

2.

Iden

tifica

tion

enbo

ucl

efe

rmee

Modelesr0 + r1z

−1

1 + s1z−1

r0 + r1z−1 + r2z

−2

1 + s1z−1 + s2z−2

r0 + r1z−1 + r2z

−2 + r3z−3

1 + s1z−1 + s2z−2 + s3z−3

r0 + r1z−1 + r2z

−2 + r3z−3 + r4z

−4

1 + s1z−1 + s2z−2 + s3z−3 + s4z−4

r0 2.6057 10+00 2.6064 10+00 2.6064 10+00 2.6064 10+00

r1 −2.5872 10+00 −5.1980 10+00 −3.4604 10+00 −2.5916 10+00

r2 ∗ 2.5916 10+00 −8.7372 10−01 −1.3032 10+00

r3 ∗ ∗ 1.7277 10+00 −7.3950 10−03

r4 ∗ ∗ ∗ 1.2958 10+00

s1 −9.7849 10−01 −1.9802 10+00 −1.3135 10+00 −9.8020 10−01

s2 ∗ 9.8020 10−01 −3.3993 10−01 −4.9999 10−01

s3 ∗ ∗ 6.5346 10−01 −9.8986 10−03

s4 ∗ ∗ ∗ 4.9009 10−01

Tab. 2.1 – Structures des correcteurs surparametrises

56


2.4.2.3.2 Les moments discrets

Differents correcteurs surparametrises ont ete identifies (Tableau 2.1). Pour

chacun d’eux, nous avons calcule les moments discrets correspondants (figure 2.7).

Les moments discrets du vrai correcteur sont presentes dans le tableau 2.2

1 2 3 40

0.005

0.01

0.015

0.02Moment ordre 0

1 2 3 4−3

−2

−1

0Moment ordre 1

1 2 3 40

100

200

300Moment ordre 2

1 2 3 40

1

2

3

4x 10

4 Moment ordre 3

Fig. 2.7 – Moments discrets des correcteurs surparametrises en fonction de l’ordreS

Moments Moment ordre 0 Moment ordre 1 Moment ordre 2 Moment ordre 3

Valeurs 2.5000 10−03 −6.2375 10−01 2.0000 10+02 2.9700 10+04

Tab. 2.2 – les moments discrets du vrai correcteur

On verifie que les moments du modele identifie d’ordre 1 sont differents de ceux

de C(z). On constate d’autre part les moments ne varient plus pour les modeles

identifies d’ordre superieur a 1 et que ces moments sont egaux aux moments

theoriques du vrai correcteur. En appliquant le test precedent, on peut donc dire

que les structures de complexite superieure ou egale a deux donnent satisfaction,

et peuvent se substituer au correcteur reel.

57


2.4.3 Methodologie d’identification indirecte par erreur

de sortie

Lorsque le correcteur C(z) est connu (dans notre cas par identification surpa-

rametrisee), on peut envisager l’identification du systeme continu. Referons nous

au schema de la figure 2.5 : dans ce cas, l’excitation u du modele continu est ob-

tenue par simulation du correcteur C(z), a partir de la reponse rk et de la sortie

predite yk.

On peut alors estimer les parametres θ du modele continu par erreur de sortie

et P.N.L : il faut pour cela calculer les fonctions de sensibilite σyk. On presente

dans ce qui suit l’etude des fonctions de sensibilite d’un systeme continu et lineaire

G(s) pilote par un correcteur a temps discret C(z).


Soit la representation d’etat continue du modele lineaire equivalent

˙x = A(θ)x + B(θ)u

y = C(θ)x + D(θ)u(2.35)

ou u est la commande predite du systeme (figure 2.5). On notera que A, B,

C et D sont relatifs a G(s).

Les fonctions de sensibilite par rapport a σy, devront etre calculees en prenant

en compte la sensibilite de u a θ, soit σu. Comme u(t) et u(t) sont generes par

un bloqueur d’ordre zero, alors pour tout temps t compris entre deux instants

d’echantillonnage, c’est a dire t ∈ [kTe, (k + 1)Te[, on a

u(t) = uk

De plus le correcteur discret C(z) genere uk selon l’algorithme

uk + s1uk−1 + s2uk−2 = r0(rk − yk) + r1(rk−1 − yk−1) + r2(rk−2 − yk−2) (2.36)

58


Definissons σy,θi= ∂y

∂θiet σx,θi

= ∂x∂θi

; alors on obtient les fonctions de sensibi-

lite a partir du systeme differentiel

σx,θi= A(θ)σx,θi

+∂A(θ)

∂θi

x +∂B(θ)

∂θi

u(t) + B(θ)∂uk

∂θi

σy,θi= C(θ)σx,θi

+∂C(θ)

∂θi

x +∂D(θ)

∂θi

u(t) + D(θ)∂uk

∂θi

(2.37)

avec∂uk

∂θi

= σuk,θilui meme obtenu a partir de l’equation aux differences :

∂uk

∂θi

+ s1∂uk−1

∂θi

+ s2∂uk−2

∂θi

= −r0∂yk

∂θi

− r1∂yk−1

∂θi

− r2∂yk−2

∂θi

(2.38)

Soit

σuk,θi+ s1σuk−1,θi

+ s2σuk−2,θi= −r0σyk ,θi

− r1σyk−1,θi− r2σyk−2,θi

(2.39)

En utilisant cette formulation des fonctions de sensibilite, il est possible d’es-

timer les parametres d’un systeme continu commande par un algorithme nume-

rique. Cette formulation est evidement utilisable pour les systemes discrets.

Il est important de remarquer que la sortie y et la commande u sont effective-

ment simulees a partir de l’excitation rk, de C(z) et du modele continu G(s) : u

et y etant totalement decorreles de b (le bruit), l’estimation obtenue est donc non

biaisee (voir annexe A). Ceci est illustre par les simulations numeriques realisees

dans la section suivante. Il est aussi important de noter que cette ecriture (sys-

teme d’etat) ne requiert pas d’hypothese particuliere sur la linearite du systeme

(ni meme du correcteur).

2.4.3.2 Exemple d’application

Afin d’illustrer les possibilites des techniques d’identification proposees, nous

allons les tester sur un systeme continu et lineaire du second ordre.

59


G(s) =b0

s2 + a1s + a0

avec

b0 = 0.8 a0 = 0.4 a1 = 1.4

Le correcteur associe est de type P.I.D et se presente sous la forme

C(z) =r0 + r1z

−1 + r2z−2

1 + s1z−1 + s2z−2

avecr0 = 2.6064 r1 = −5.1980 r2 = 2.5916,

s1 = −1.9802 s2 = 9.8020 10−01

Soit le correcteur identifie surparametrise

Cs(z) =r0 + r1z

−1 + r2z−2 + r3z

−3

1 + s1z−1 + s2z−2 + s3z−3

avec

r0 = 2.6064 r1 = −3.4604 r2 = −8.7372 10−01 r3 = 1.7277

s1 = −1.3135 s2 = −3.3993 10−01 s3 = 6.5346 10−01

Nous nous sommes places dans des conditions de bruit telles que le rapport

S/B = 20. Le bruit de sortie est genere par le modele A.R :

bk + c1bk−1 = ek ou ek est un bruit blanc et −1 < c1 < 0.

Trois situations ont ete etudiees :

– c1 = 0, alors bk correspond a un bruit blanc

– c1 = −0.5, alors bk correspond a un bruit moyennement correle

– c1 = −0.95, alors bk correspond a un bruit fortement correle

Les simulations de Monte Carlo ont ete realisees sur 30 realisations, chaque

realisation comportant 4000 couples de donnees.

Les algorithmes directs et les algorithmes indirects avec correcteur reel et sur-

60


parametrise sont compares grace a cette simulation stochastique. Les resultats

sont presentes dans les tableaux 2.3, 2.4 et 2.5.

Remarque

I.D : Identification Directe

I.I.C.E : Identification Indirecte, Correcteur Exact

I.I.C.S : Identification Indirecte, Correcteur Surparametrise d’ordre 3

Valeurs I.D I.I.C.E I.I.C.Sexactes

b0 = 0.8 8.1028 10−01 7.9879 10−01 7.9743 10−01

±2.6444 10−02 ±1.1869 10−02 ±1.3237 10−02

a0 = 0.4 3.7380 10−01 4.0610 10−01 4.0542 10−01

±7.1145 10−02 ±3.2745 10−02 ±3.5704 10−02

a1 = 1.4 1.4084 10+00 1.3991 10+00 1.3950 10+00

±2.4483 10−02 ±1.2689 10−02 ±1.4775 10−02

Tab. 2.3 – Identification en presence d’un bruit blanc

0.3 0.35 0.4 0.45

a0

1.38 1.4 1.42

a1

0.78 0.8 0.82

b0

IICE

IICS

ID

Valeur exacte

Fig. 2.8 – Identification en presence d’un bruit blanc

Nous presentons dans les tableaux 2.3, 2.4 et 2.5 la moyenne de chaque pa-

rametre identifie avec une marge d’erreur egale a ± 3 fois l’ecart type (de la

distribution de Monte Carlo).

61



b0 = 0.8 8.0804 10−01 8.0364 10−01 7.9832 10−01

±3.6904 10−02 ±1.5484 10−02 ±1.6268 10−02

a0 = 0.4 3.7071 10−01 3.9212 10−01 4.0558 10−01

±1.0150 10−01 ±3.4814 10−02 ±4.1090 10−02

a1 = 1.4 1.4040 10+00 1.3997 10+00 1.3956 10+00

±4.0469 10−02 ±2.3433 10−02 ±2.3387 10−02

Tab. 2.4 – Identification en presence d’un bruit moyennement correle c1 = −0.5

Les figures 2.8, 2.9 et 2.10 sont des representations graphiques de la plage des

variations de chaque parametre selon la methode d’identification des tableaux

2.3, 2.4 et 2.5.

0.3 0.35 0.4 0.45

a0

1.36 1.38 1.4 1.42 1.44

a1

0.76 0.78 0.8 0.82 0.84

b0

Fig. 2.9 – Identification en presence d’un bruit moyennement correle c1 = −0.5


b0 = 0.8 6.0283 10−01 8.0243 10−01 7.9800 10−01

±1.1933 10−01 ±2.2136 10−02 ±1.4515 10−02

a0 = 0.4 5.2435 10−01 4.0294 10−01 4.0987 10−01

±4.6527 10−01 ±4.1773 10−02 ±3.5272 10−02

a1 = 1.4 1.0202 10+00 1.3998 10+00 1.3944 10+00

±2.7406 10−01 ±4.1789 10−02 ±3.2106 10−02

Tab. 2.5 – Identification en presence d’un bruit fortement correle c1 = −0.95

62

2.5. Conclusion

On verifie tout d’abord que la technique directe I.D est non biaisee en bruit

blanc de sortie ; il en est bien sur de meme pour I.I.C.E et I.I.C.S. Par contre,

un biais apparaıt pour I.D des que le bruit est correle (c1 = −0, 5) ; il augmente

considerablement avec la correlation de ce bruit (c1 = −0, 95). On verifie alors

que les deux methodes indirectes fournissent une estimation non biaisee quelle

que soit la correlation du bruit de sortie.

0.2 0.4 0.6 0.8 1

a0

0.8 1 1.2 1.4

a1

0.5 0.6 0.7 0.8

b0

Fig. 2.10 – Identification en presence d’un bruit fortement correle c1 = −0.95

On remarque aussi, dans ce cas, que l’identification directe presente une va-

riance plus importante sur les parametres, notamment lorsque le bruit est correle ;

alors que l’identification indirecte donne une estimation des parametres nettement

plus precise. Remarquons enfin que meme si le correcteur ne possede pas la bonne

structure (methode I.I.C.S), les resultats sont tout a fait comparables avec ce

que l’on obtient avec le correcteur exact (methode I.I.C.E).

2.5 Conclusion

Au cours de ce chapitre, nous avons presente diferentes methodes d’identi-

fication en boucle fermee pour les systemes discrets et continus. Les methodes

presentees ont ete classees selon trois approches suivant leurs hypotheses d’utili-

sation :

– L’approche directe : le correcteur est ignore, la nature bouclee du systeme

63


n’est pas explicitement prise en compte et les signaux d’entree/sortie u et

y sont utilises pour identifier directement le processus.

– L’approche simultanee : le correcteur est suppose inconnu, mais la structure

bouclee du systeme est connue. L’entree u et la sortie y sont considerees

comme les sorties d’un systeme multivariable ayant pour entrees la consigne

r et le bruit b. La methode consiste a estimer directement les parametres

de processus a l’aide de l’utilisation simultanee de ces signaux.

– L’approche indirecte est fondee sur la connaissance du correcteur present

dans la boucle ainsi que sur les mesures du signal d’excitation r et de la

sortie y.

En resume, l’approche directe est celle a choisir pour une premiere identi-

fication d’un processus en boucle fermee. Elle permet d’obtenir une premiere

information sur le comportement global du processus. En revanche, il semble per-

tinent de completer cette premiere identification par l’utilisation d’une des deux

autres approches. Elles ont l’avantage de prendre en compte toutes les informa-

tions disponibles sur le systeme boucle, soit par l’utilisation de tous les signaux

intervenant dans la boucle (r, u et y) pour l’approche simultanee, soit par l’inter-

mediaire du correcteur pour l’approche indirecte.

Aussi, une attention particuliere a ete portee a l’identification indirecte par

erreur de sortie qui fait l’objet de ce memoire. Cette methode a ete evaluee en

simulation, ce qui permet d’effectuer une premiere quantification de ses perfor-

mances. Le principal interet de cette methode reside dans la non connaissance a

priori du correcteur. La procedure d’identification du correcteur par surparame-

trisation semble etre bien adaptee a une situation industrielle, car elle ne neces-

site ni la connaissance des parametres, ni de la structure exacte du correcteur.

L’approche indirecte va etre reprise, dans le cadre du diagnostic des processus

industriels, dans le cas de la machine a courant continu dans le chapitre 3 et dans

le cas de la machine asynchrone dans les chapitres 4 et 5.

64

Chapitre 3

Methodologie d’identification en

boucle fermee : Application a la

machine a courant continu

Dans ce chapitre, nous allons presenter une methodologie d’identification de

la machine a courant continu en boucle fermee par approche indirecte. Cette

approche est basee, dans une premiere etape, sur l’identification d’un correcteur

equivalent par une technique de moindres carres surparametrises. Par ailleurs un

test de caracterisation de l’ordre de surparametrisation est propose. Dans une

seconde etape, on realise l’identification des parametres du systeme sans biais

asymptotique par une technique a erreur de sortie.

65

Chapitre 3. Identification en boucle fermee de la machine a courant continu

3.1 Introduction

Toute machine electrique moderne prevue pour la variation de vitesse, et uti-

lisant une indispensable limitation de courant, ne peut fonctionner qu’en boucle

fermee, qu’il s’agit d’une machine a courant continu ou d’une machine a courant

alternatif. Dans ces conditions, il est justifie de se poser la question de l’inci-

dence du correcteur sur le biais en identification directe [Grospeaud et al., 1999]

[Grospeaud, 2000]. Nous nous proposons d’apporter une solution a ce probleme

grace a une identification indirecte sur la base de la connaissance du correcteur

(connaissance a priori ou estimation).

Dans le second chapitre, nous avons presente une methodologie generale d’iden-

tification en boucle fermee, qui a ete appliquee a un exemple academique. Cette

technique s’avere bien adaptee a une situation industrielle, en particulier par la

non connaissance des parametres et de la structure vraie du correcteur. Pour une

application realiste de cette procedure sur une machine asynchrone, objectif final

de notre travail, un travail fondamental doit etre effectue au prealable sur la ma-

chine a courant continu. En effet, le choix de la machine a courant continu nous a

paru judicieux comme plateforme de test de notre approche avec une complexite

limitee.

Une attention particuliere est donc portee a l’identification de la machine a

courant continu par une methode a erreur de sortie basee sur une decomposi-

tion de la boucle fermee. Aussi, afin d’identifier sans biais la machine a courant

continu fonctionnant en boucle fermee, nous proposons une methodologie generale

d’identification basee sur la prise en compte du correcteur. Fondamentalement,

on utilise un algorithme d’identification a erreur de sortie, dont la procedure de

minimisation quadratique est realisee par programmation non lineaire. Pour sa

part, le correcteur, de type cascade, est estime sous la forme d’un correcteur

equivalent par une technique de surparametrisation.

3.2 La machine a courant continu : modelisation

et commande

On a donc choisi comme premiere application la machine a courant continu.

Cette derniere est consideree, meme aujourd’hui, comme l’actionneur de reference

(notamment pour la simplicite de son modele). De plus, grace a la transformation

66

3.2. La machine a courant continu : modelisation et commande

de Park, on peut definir un repere d’etude pour les machines a courant alternatif

dont le modele s’apparente aux equations de la machine a courant continu. La

principale raison de ce choix est en fait que le modele de la machine a courant

continu est universellement connu et simple. Il nous permet ainsi de valider notre

methodologie d’identification en boucle fermee, dans un contexte plus simple que

celui de la machine asynchrone.

Le modele de la machine a courant continu est deduit de lois physiques elemen-

taires (loi de Lenz, loi d’Ampere, loi d’Ohm,. . .). Ces lois physiques conduisent

d’abord a l’equation electrique des enroulements d’induit, liant le courant d’in-

duit i a la tension d’induit u et a la f.e.m. e, au travers de la resistance R et de

l’inductance L de l’enroulement :

u(t) = e(t) + L ·di(t)

dt+ R · i(t) (3.1)

Vient ensuite la relation de conversion electromecanique de l’interaction stator-

rotor, liant la f.e.m. a la vitesse ω d’une part, et le couple electromagnetique Cem

au courant d’autre part, grace au meme coefficient k et au flux inducteur φ :

Cem(t) = k · φ · i(t)

e(t) = k · φ · ω(t)(3.2)

La machine que nous considerons est une machine a courant continu a aimants

permanents, donc k.φ est une constante, appelee dans la suite K.

La loi fondamentale de la mecanique debouche sur la relation liant la vitesse

ω aux couples electromagnetique Cem et resistant Cr, a travers l’inertie J et le

coefficient de frottements visqueux f de l’arbre du rotor :

J ·dω(t)

dt= Cem(t) − Cr(t) − f · ω(t) (3.3)

Les equations d’etat de la MCC montrent que les modes electriques et me-

caniques sont couples ; il est possible d’effectuer un decouplage des modes en

67


realisant une compensation statique de la f.e.m. On rend ainsi la commande du

courant et de la vitesse independantes l’une de l’autre.

La commande en courant distingue les deux sous systemes electrique et me-

canique. La constante de temps mecanique est tres largement superieure a la

constante de temps electrique. On distingue ainsi deux modes, le mode electrique

(mode rapide) et le mode mecanique (mode lent). Le controle de vitesse conduit

automatiquement a un controle de courant induit. Un algorithme de regulation

est elabore pour chaque mode [Chiappa, 1989]. Compte tenu des remarques enon-

cees, nous avons choisi un type de commande par boucles imbriquees, ou le mode

mecanique et le mode electrique sont traites separement.

La figure 3.1 montre le principe de la regulation :

u

CAN

CAN

Commande

CPM+−

ω

+−

iref

i

ωref

CPE

Processus

−+

+

Cr

+ω

K

K

i CemPE(s) PM(s)CNA hacheur

Fig. 3.1 – Principe de la regulation de la machine MCC

Sur la figure 3.1, on suppose que la vitesse ω est mesuree par une dynamo

tachymetrique.

PE, PM representent les fonctions de transfert des parties electrique et meca-

nique de la machine, et CPE, CPM , les correcteurs discrets associes.

On a vu que l’asservissement de la vitesse passe par celui du couple (courant).

Les correcteurs de la boucle de courant et de la boucle de vitesse utilises sont

de type PI.

Remarque

On se repportera a l’annexe C pour une discussion sur la modelisation de la MCC

en vue de son identification.

68

3.3. Description du simulateur

3.3 Description du simulateur

3.3.1 Protocole de simulation

Dans le but d’obtenir des signaux synthetiques de la MCC en boucle fermee,

nous avons mis au point un simulateur comprenant deux parties essentielles :

– Un modele de la MCC : le modele continu de simulation de la MCC se

presente alors sous la forme

X(t) = A.X(t) + B.V (t)

Y = C.X(t)(3.4)

avec

X =[i ω


V =

[u

Cr

], Y =

[i

ω

]: entrees et sorties de la machine (3.6)

A =

[−R

L−K

LKJ

− f

J

], B =

[1L

0

0 − 1J

]et C =

[1 0

0 1

](3.7)

– un bloc de regulation : La figure 3.1 decrit la structure generale de la com-

mande utilisee. Les principaux constituants dans ce type de commande sont

la boucle de regulation de vitesse et la boucle de regulation de courant.

i i∗ωref

Commande

bω

++

bi

+

+

ω∗ω

MCCu

ω∗

i∗

Cr

Fig. 3.2 – Principe de la simulation de la MCC

69


La figure 3.2 donne une representation graphique du simulateur de la machine

a courant continu. Le bloc Commande est identique au schema decrit par la figure

3.1.

Les algorithmes d’identification parametrique necessitent, pour converger, une

excitation persistante qui sensibilise suffisamment tous les modes du systeme.

Dans le cas de la machine a courant continu, nous avons defini les deux types

d’excitation suivants :

– une excitation obtenue par l’addition d’une Sequence Binaire Pseudo Alea-

toire (SBPA) a la consigne de la boucle vitesse ωref ,

– une excitation par couple de charge Cr a vitesse constante obtenue par

l’utilisation d’une SBPA.

Nous allons decrire ces deux types d’excitation, dans la section suivante, en

mettant l’accent sur l’effet de chacune d’elles sur le resultat de l’identification.

Pour nos simulations, nous avons utilise une machine a courant continu dont

les caracteristiques sont donnees par la table 3.1 :

L = 1.2857 10−03HR = 7.1428 10−01ΩK = 1.8400 10−01N.m/Af = 0.8000 10−02N.m.s/radJ = 0.1070 10−01N.m.S2/rad

Tab. 3.1 – Caracteristiques de la MCC

Il est donc necessaire de presenter dans un premier temps les differents types

de signaux que nous sommes en train de manipuler. Les signaux sont evalues a

partir d’une simulation globale a l’aide du logiciel Matlab.

L’essai est realise pendant une duree de 5s de la maniere suivante :

– pour 0 < t < 1.5s la consigne de vitesse ωref est fixee a 100 rad/s, le couple

de charge Cr reste nul,

– pour 1.5 < t < 3s on applique a la machine une excitation en vitesse de

100 ± 10 rad/s et un couple de charge constant de 0.8 Nm,

– pour t > 3s la consigne de vitesse ωref reste fixee a 100 rad/s, a t = 3s on

applique a la machine un couple de charge variable allant de 0.5 a 1.3 Nm.

70

3.3. Description du simulateur

La figure (3.3) decrit les resultats obtenus, dans les conditions de l’essai, grace

au simulateur.

0 1 2 3 4 50

5

10

15

20

25

30Tension

0 1 2 3 4 50

5

10

15Courant

0 1 2 3 4 50

20

40

60

80

100

120vitesse

0 1 2 3 4 50

0.5

1

1.5Couple de charge

wref

w

Fig. 3.3 – Controle de la machine a courant continu

3.3.2 Types d’excitation

Dans le contexte du diagnostic par estimation parametrique, il a ete demontre

que l’on peut detecter, localiser et quantifier les defauts stator et rotor d’une ma-

chine asynchrone par estimation parametrique [Bachir, 2002] [Bazine et al., 2005].

Cependant, cette procedure d’identification necessite une excitation riche (per-

sistante), apte a sensibiliser les modes electriques concernes. Or lorsque ces ma-

chines fonctionnent en regulation, c’est-a-dire en rejection des perturbations dues

au couple de charge, l’entree de consigne de vitesse est constante, donc non exci-

tatrice. Aussi, nous avons defini les deux excitations suivantes (on se reportera a

l’annexe C pour une discussion de ces deux types d’excitation) :

Une excitation en vitesse

En fonctionnement, cette excitation consiste a perturber le point de fonc-

tionnement electrique par une SBPA. A une vitesse donnee, il s’agit donc

d’introduire pendant la duree de l’acquisition ou de la simulation une SBPA

afin d’exciter la machine. Meme si ce mode d’excitation ne recoit pas tou-

jours l’approbation de l’utilisateur, il est neanmoins l’un des plus pratiques

et des plus simples dans le cas des machines electriques. En effet, en iden-

tification, les utilisateurs ont pour habitude d’exciter un systeme par une

71


SBPA en faisant varier sa sortie autour du point de fonctionnement. La

machine etant asservie en vitesse par un variateur, il suffit donc d’addition-

ner une SBPA a la consigne, ce qui est parfaitement realisable en pratique.

Ce mode d’excitation peut paraıtre naturel a un automaticien, il est par

contre anormal pour un utilisateur dont l’objectif est avant tout de main-

tenir la vitesse constante (dans un objectif de qualite de production). La

figure 3.3 represente les signaux simules pour une excitation en vitesse a

couple de charge constant pour 1.5 s < t < 3 s.

Une excitation par couple de charge

Le probleme d’identification est plus delicat si on n’a pas le droit de faire

varier la consigne de la boucle fermee, c’est-a-dire si seulement les pertur-

bations de charge, excitation implicite, sont autorisees.

En effet, une excitation qui perturbe le point de fonctionnement en regu-

lation de la machine, ne peut satisfaire les objectifs industriels : c’est pour

cette raison que l’excitation indirecte par variation du couple de charge a

ete retenue dans un objectif de diagnostic (voir annexe C). La figure 3.3

represente les signaux simules pour une excitation par couple de charge a

vitesse constante pour t > 3 s.

3.4 Methodologie d’identification en boucle fer-

mee

3.4.1 Introduction

Afin d’identifier sans biais asymptotique la machine a courant continu (MCC)

fonctionnant en boucle fermee, nous proposons une methodologie d’identification

indirecte a partir d’une technique a erreur de sortie hors ligne. La technique

d’identification indirecte repose sur la connaissance du correcteur. Cette hypo-

these cree une veritable contrainte inadaptee a la realite industrielle. Nous allons

montrer que l’on peut s’affranchir de cette contrainte en identifiant le correcteur

par une technique de surparametrisation.

Ainsi, notre solution consiste a identifier le modele electrique en tenant compte

explicitement de la correlation apportee par le correcteur. Malheureusement, le

correcteur n’est pas unique, mais constitue de deux correcteurs imbriques (cas-

cade), pour les boucles de courant et de vitesse. Alors, une solution est de deter-

72

3.4. Methodologie d’identification en boucle fermee

miner un seul correcteur equivalent, dont les entrees sont la consigne de vitesse

et les mesures du courant et de la vitesse. Comme la structure equivalente est

le plus souvent complexe et mal connue, ce correcteur equivalent est estime par

une technique de moindres carres surparametrises, et une structure minimale est

obtenue grace a un test portant sur les moments.

3.4.2 Identification du correcteur equivalent

3.4.2.1 Methodologie

Dans le cas particulier de la MCC, le correcteur n’est pas unique, mais consti-

tue de deux correcteurs, pour les boucles de courant et de vitesse. Alors, la so-

lution que nous proposons est de determiner un seul correcteur equivalent, dont

les entrees sont la consigne de la vitesse ωref et les mesures du courant i∗ et de

la vitesse ω∗, et ou la sortie est la commande u (figure 3.2).

uk

Correcteur equivalent

ukCEq

ω∗k

i∗k

ωrefk

Commande MCC

CPM+−

ω∗k

+−

i∗k

ωrefk

CPE

Fig. 3.4 – Principe du correcteur equivalent

L’expression theorique du correcteur equivalent est alors de la forme :

u(z) = Cω(z) · [ωref(z) − ω∗(z)] + Ci(z) · i∗(z) (3.8)

avec

Cω(z) =r0ω + r1ωz−1 + · · · + rnωz−n

1 + s1z−1 + · · · + smz−met Ci(z) =

r0i + r1iz−1 + · · ·+ rniz

−n

1 + s1z−1 + · · ·+ smz−m

73


Comme la structure equivalente est le plus souvent complexe et mal connue,

ce correcteur equivalent est estime par une technique de moindres carres surpa-

rametrises et une structure minimale est obtenue grace a un test portant sur les

moments.

Connaissant la commande, la consigne, le courant bruite et la vitesse bruitee

notees respectivement u, ωref , i∗ et ω∗ (figure 3.4), on se retrouve devant une

identification sans perturbation, donc parfaitement deterministe (voir chapitre

2), pour laquelle on peut appliquer la methode des moindres carres ordinaires qui

dans ce cas particulier n’induit pas un biais asymptotique.

Alors l’estimation par moindres carres des parametres du correcteur equivalent

(CE) forme par les deux blocs Cω(z) = Rω(z)S(z)

et Ci(z) = Ri(z)S(z)

a pour expression :

θCE =

[K∑

1

ϕkϕTk

]−1 K∑

1

ϕkuk (3.9)

avec θCE = θexact (car il n’y a pas de bruit ou de perturbation)

et

θCE =

r0ω

r1ω

...

rnω

r0i

r1i

...

rni

s1

...

sm

et ϕk =

ωrefk− ω∗

k...

ωrefk−n− ω∗

k−n

i∗k...

i∗k−n

−uk−1

...

−uk−m

(3.10)

Si la structure exacte du correcteur equivalent est inconnue on s’affranchit de

cette connaissance structurelle, en utilisant le principe de surparametrisation. On

74


choisira alors Cs(z) de telle sorte que :

degre [Rsω(z)] > degre [Rω(z)]

degre [Rsi(z)] > degre [Ri(z)]

degre [Ss(z)] > degre [S(z)]

On va donc utiliser un modele surparametrise de complexite superieure a celle du

vrai correcteur, afin de minimiser l’erreur de modelisation.

On obtient alors :

θS =

[K∑

1

ϕSkϕTSk

]−1 K∑

1

ϕSkuk (3.11)

A partir de θS, on a plusieurs possibilites : soit on determine une structure mi-

nimale grace a un test portant sur les moments, soit on utilise directement le

modele surparametrise, ce qui en pratique correspond a une solution simple et

robuste vis-a-vis d’eventuelles erreurs de modelisation.

3.4.2.2 Les moments discrets

Considerons le correcteur estime surparametrise

CS(z) =r0 + r1z

−1 + · · ·+ rsz−s

1 + s1z−1 + · · ·+ ssz−s(3.12)

Ou s est le degre de la surparamerisation.

D’apres la figure 2.5, on ecrira uk = ϕTSkθS ou

θS =

r0

r1

...

rs

s1

...

ss

et ϕSk =

rk − y∗k

...

rk−s − y∗k−s

−uk−1

...

−uk−s

(3.13)

Pour decider si le degre de surparametrisation est correct, nous allons utiliser

un test de caracterisation, base sur des invariants de modelisation. Ces invariants

75


sont, dans notre cas, les moments discrets (voir chapitre 2).

La serie∞∑

n=0

un

n!Cn(ck) est entierement definie dans son domaine de convergence.

Par ailleurs, les moments discrets Cn sont parfaitement definis dans le cas d’un

systeme stable. Soient les polynomes β(u) et α(u) correspondant respectivement

au numerateur et au denominateur du correcteur C(z) obtenus en remplacant la

variable (z−1 − 1) par la variable u et en developpant les expressions en serie de

Taylor selon l’equation (2.33).

Soit

β(u) =S∑

n=0

unβn

α(u) =S∑

n=0

unαn

(3.14)

ou

βn =S∑

k=n

Ankrk et An

k = k!n!(k−n)!

αn =S∑

k=n

Anksk

Le correcteur equivalent de la MCC possede une double integration, a cause

des correcteurs PI en cascade. Dans ce cas, les moments discrets Cn sont obtenus

a partir de l’egalite suivante :

C(u) =β(u)

α(u)=

1

u2

∞∑

n=0

un

n!Cn (3.15)

avec C(z) =r0 + r1z

−1 + · · · + rsz−s

1 + s1z−1 + · · ·+ ssz−s

Les moments discrets Cn recherches peuvent donc etre calcules par division

polynomiale ou par convolution discrete. Ils sont obtenus a partir des relations

76


recurrentes suivantes :

C0 = 0!β0/α2

C1 = 1! [β1 − α3C0] /α2

C2 = 2! [β2 − α4C0 − α3C1] /α2

C3 = 3!

[β3 − α5C0 − α4C1 −

1

2!α3C2

]/α2

...

Cn = n!

[βn −

n−1∑i=0

1

i!Ciαn+2−i

]/α2

...

CS = S!

[βS −

1

2!αSC2 −

1

3!αS−1C3 − · · · −

1

(S − 1)!α3CS−1

]/α2

(3.16)

Sachant que l’expression theorique du correcteur equivalent de la MCC est

de la forme :

u(z) = Cω(z) · [ωref(z) − ω∗(z)] + Ci(z) · i∗(z) (3.17)

avec

Cω(z) =r0ω + r1ωz−1 + · · ·+ rsωz−s

1 + s1z−1 + · · · + ssz−set Ci(z) =

r0i + r1iz−1 + · · ·+ rsiz

−s

1 + s1z−1 + · · · + ssz−s

Il suffit en pratique de tester des structures surparametrisees de complexite

croissante pour chacun des correcteurs Cω et Ci du correcteur equivalent. Lorsque

les moments deviennent stationnaires pour chaque correcteur , on peut en conclure

que la structure consideree englobe de maniere certaine celle du vrai correcteur.

3.4.2.3 Simulations numeriques

Afin de valider la methodologie precedente, on a realise des simulations nu-

meriques avec un regulateur de courant de type PI et un regulateur de vitesse

de type PI.

CPM(z) =r0pm + r1pmz−1

1 + s1pmz−1

CPE(z) =r0pe + r1pez

−1

1 + s1pez−1

77


avec

r0pm = 5.8185 10−01 r1pm = −5.8120 10−01 s1pm = −1

r0pe = 2.7857 10−02 r1pe = −2.3571 10−02 s1pe = −1

L’expression theorique du correcteur equivalent correspondant a cette double

action integrale est de la forme :

u(z) =r0ω + r1ωz−1 + r2ωz−2

1 + s1z−1 + s2z−2· [ωref(z) − ω∗(z)] +

r0i + r1iz−1 + r2iz

−2

1 + s1z−1 + s2z−2· i∗(z)

avec les valeurs theoriques suivantes :

r0ω = 1.6209e−02 r1ω = −2.9905e−02 r2ω = 1.3700e−02

r0i = −2.7857e−02 r1i = 5.1429e−02 r2i = −2.3571e−02

s1 = −2 s2 = 1

Differents correcteurs surparametrises (S = 1, 2, 3) ont ete identifies (Tableau

3.2). Pour chacun d’eux on a calcule les moments discrets correspondants (Ta-

bleaux 3.3 et 3.4).

Modeles Structure d’ordre 1 Structure d’ordre 2 Structure d’ordre 3

r0w 1.6198e−02 1.6209e−02 1.6209e−02

r1w −1.5635e−02 −2.9905e−02 −2.9902e−02

r2w ∗ 1.3700e−02 1.3693e−02

r3w ∗ ∗ 3.2090e−06

r0i 5.1855e−01 −2.7857e−02 −2.7857e−02

r1i −5.1854e−01 5.1429e−02 5.1422e−02

r2i ∗ −2.3571e−02 −2.3559e−02

r3i ∗ ∗ −5.5214e−06

s1 −1.0000e+00 −2.0000e+00 −1.9998e+00

s2 ∗ 1.0000e+00 9.9953e−01

s3 ∗ ∗ 2.3424e−04

Tab. 3.2 – Structures des correcteurs surparametrises de la MCC

Nous verifions sur cet exemple que le modele identifie du second ordre est

exactement identique au correcteur theorique equivalent. En pratique, bien sur,

78


on ne connaıt pas le correcteur exact et il est donc necessaire de tester le choix du

degre de surparametrisation. Nous allons pour cela calculer les moments discrets

des correcteurs identifies.

Modeles estimes C0 C1 C2 C3

Valeurs theoriques 2.7950e−06 −2.5062e−03 2.7399e−02 0Structure ordre 1 5.6264e−04 −1.5635e−02 0 0Structure ordre 2 2.7950e−06 −2.5062e−03 2.7399e−02 0Structure ordre 3 2.7950e−06 −2.5062e−03 2.7399e−02 −2.5405e−21

Tab. 3.3 – Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cw


Valeurs theoriques 3.4694e−18 4.2857e−03 −4.7143e−02 0Structure ordre 1 3.2585e−06 −5.1854e−01 0 0Structure ordre 2 3.4694e−18 4.2857e−03 −4.7143e−02 0Structure ordre 3 5.3520e−18 4.2857e−03 −4.7143e−02 0

Tab. 3.4 – Les moments discrets des correcteurs surparametrises Ci

Nous presentons, dans les tableaux 3.3 et 3.4, les differents moments discrets

pour chaque modele estime de Cω et Ci. Ces moments sont compares aux moments

theoriques du correcteur equivant (Cω ,Ci).

On verifie que les moments du modele estime d’ordre 1 pour Ci et Cω sont dif-

ferents de ceux du vrai correcteur. On constate de plus que les moments ne varient

plus pour les modeles d’ordre superieur a 1. On peut donc dire que les structures

de complexite superieure ou egale a deux donnent satisfaction et peuvent se sub-

stituer au correcteur exact.

Nous presentons sur la figure 3.5, une comparaison de la tension reelle u

et celles estimees pour les structures d’ordre 1, 2 et 3. On voit bien, a travers

les courbes, que la sortie estimee u pour la structure de correcteur d’ordre 1

est differente de la commande reelle u, alors qu’on trouve des comportements

totalement identiques pour les autres structures.

79


0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.426

27

28

29

30

31

32

Commande u

u pour S1

u pour S2

u pour S3

Fig. 3.5 – Comparaison des commandes reelle et estimees pour chaque structuresurparametrisee

3.4.3 Identification indirecte par erreur de sortie

3.4.3.1 Principe

Lorsque la commande de la MCC est connue (par connaissance a priori

par identification surparametrisee), on peut envisager l’identification du systeme

continu. Referons nous au schema de la figure 3.6 : dans ce cas, l’excitation u du

modele continu est obtenue par simulation du correcteur CEq(z), a partir de la

reponse ωrefk, de la mesure ω∗

k et de la sortie predite ik.

On peut ainsi estimer les parametres θ du modele continu par erreur de sortie

et P.N.L : il faut pour cela calculer les fonctions de sensibilite σik .


Il est important de remarquer que la sortie i et la commande u sont effective-

ment simulees a partir de l’excitation ωref , de ω∗,de CEq et du modele continu :

u et i etant totalement decorreles de bi (le bruit), l’estimation obtenue est en

principe non biaisee. Ceci va etre illustre par les simulations numeriques realisees

80


i

i∗+

−i

Algorithme

d′optimisation

ωref

u

Commande

CEq(z)

bω

++

bi

+

+

ω∗ω

Modele MCC

MCCu

ω∗

ω∗

i∗

i

ω∗

Cr

Fig. 3.6 – Principe de l’identification indirecte pour la MCC

dans la section suivante.

Soit la representation d’etat continue du modele electrique de la MCC

˙x(t) = A(θ)x(t) + B(θ)V (t)

y(t) = C(θ)x(t)(3.18)

avec :

θ = [R L K]T : vecteur des parametres a estimer,

A =−R

L, B =

[1

L

−K

L

], C = 1 (3.19)

ety(t) = x(t) = i(t)

V = [u(t) ω∗(t)]t

ou u(t) est la commande predite de la MCC (figure 3.6).

Les fonctions de sensibilite par rapport a σi, doivent etre calculees en prenant

en compte la sensibilite de u a θ, soit σu. Comme u(t) et u(t) sont generes par

un bloqueur d’ordre zero, alors pour tout temps t compris entre deux instants

81


d’echantillonnage, c’est-a-dire t ∈ [kTe, (k + 1)Te[, on a u(t) = uk.

De plus le correcteur equivalent discret CEq(z) genere uk selon l’algorithme :

uk + s1uk−1 + s2uk−2 + · · ·+ ssuk−s = r0ω(ωrefk− ω∗

k) + r1ω(ωrefk−1− ω∗

k−1)

+ · · ·+ rsω(ωrefk−s− ω∗

k−s) + r0iik + r1iik−1 + · · ·+ rsiik−s (3.20)

Definissons σ i,θi= ∂i

∂θi, alors on obtient les fonctions de sensibilite a partir du

systeme differentiel :

σi,θi= A(θ)σi,θi

+∂A(θ)

∂θi

i +∂B(θ)

∂θi

V (t) + B(θ)∂V k

∂θi

(3.21)

avec∂V k

∂θi

=

[∂ω∗

k

∂θi

∂uk

∂θi

]t

=[0 σuk,θi

]t

ou σuk,θiest lui-meme obtenu a partir de l’equation aux differences :

∂uk

∂θi

+ s1∂uk−1

∂θi

+ · · · + ss

∂uk−s

∂θi

= r0i

∂ik∂θi

+ r1i

∂ik−1

∂θi

+ · · · + rsi

∂ik−s

∂θi

(3.22)

Soit

σuk,θi+ s1σuk−1,θi

+ · · · + ssσuk−s,θi= r0iσik ,θi

+ r1iσik−1,θi+ · · ·+ rsiσik−s,θi

(3.23)

3.5 Applications

Nous avons teste les techniques d’identification presentees dans ce chapitre

sur une machine a courant continu dont les parametres sont donnes par la table

3.1. Nous avons employe deux processus generateurs de bruit pour la vitesse et le

courant, afin de tester notre methodologie dans des situations stochastiques va-

riees. Nous nous sommes places dans des conditions de bruit telles que le rapport

S/B = 50 pour le courant et S/B = 80 pour la vitesse.

82

3.5. Applications

Le bruit de sortie est genere par le modele A.R : bk + c1bk−1 = ek ou ek est

un bruit blanc et −1 < c1 < 0


– c1 = 0, alors bk correspond a un bruit blanc,

– c1 = −0.5, alors bk correspond a un bruit moyennement correle,

– c1 = −0.95, alors bk correspond a un bruit fortement correle.

Les simulations de Monte Carlo ont ete effectuees sur 20 realisations, chaque

realisation comportant 5000 couples de donnees.

3.5.1 Identification indirecte avec correcteur reel pour dif-

ferentes excitations

L’objectif de ces simulations est de mettre en evidence l’influence de l’exci-

tation sur le resultat de l’identification par approche indirecte. Les algorithmes

d’identification parametrique necessitent, pour converger, une excitation persis-

tante qui sensibilise suffisamment les modes du systeme. Dans le cas de la machine

a courant continu, nous avons defini les trois types d’excitation suivants :

– une excitation obtenue par l’addition d’une SBPA a la consigne de la boucle

vitesse,

– une excitation par couple de charge sous vitesse constante obtenue par

l’utilisation d’une SBPA,

– une excitation par couple de charge obtenue par l’utilisation d’une SBPA et

d’une excitation en vitesse obtenue par l’addition d’une SBPA a la consigne

de la boucle vitesse.

Les resultats d’identification qui vont etre presentes ci-apres traitent plusieurs

situations de bruit et ils ont ete obtenus avec ces excitations. Sur une moyenne

de vingt simulations, on obtient les valeurs des estimations des parametres elec-

triques de la MCC recapitulees aux tableaux ci-apres (l’incertitude est fournie

sous la forme ± 3 fois l’ecart-type de la distribution).

Remarque

Ex Cr : Excitation par couple de charge

Ex ω : Excitation en vitesse

Ex ω + Cr : Excitation par couple de charge et vitesse

1. Cas d’un bruit blanc sur le courant et la vitesse

83


Valeurs Excitation Excitation Excitationexactes Cr Cr + ω ω

L = 0.0013 1.3441 10−03 1.3553 10−03 1.3554 10−03

±1.5587 10−04 ±1.4729 10−04 ±1.3089 10−04

R = 0.7143 7.1455 10−01 7.1414 10−01 7.1385 10−01

±2.3216 10−03 ±3.5234 10−03 ±5.8967 10−03

K = 0.1840 1.8400 10−01 1.8401 10−01 1.8402 10−01

±1.0641 10−04 ±3.2547 10−04 ±4.0386 10−04

Tab. 3.5 – Identification indirecte en presence d’un bruit blanc sur le courant etla vitesse

On verifie a l’aide de cette simulation qu’il n’y a pas de biais significa-

tif quand les bruits de mesure de courant et de vitesse sont tous les deux

des bruits blancs. On remarque que les resultats d’estimation parametrique

obtenus pour les trois types d’excitation sont voisins, mais on peut aussi

verifier que la variance sur l’estimation des parametres est legerement infe-

rieure avec une excitation par couple de charge.

La figure 3.7 presente la plage des variations de chaque parametre de la

MCC selon le type de l’identification du tableau 3.5.

1.2 1.3 1.4 1.5

x 10−3

L

0.71 0.715 0.72

R

0.1835 0.184 0.1845

K

Ex Cr

Ex Cr + w

Ex w

valeur exacte

Fig. 3.7 – Identification indirecte en presence d’un bruit blanc sur le courant etla vitesse

84

3.5. Applications

2. Cas d’un bruit correle sur le courant et d’un bruit blanc sur la

vitesse


L = 0.0013 1.3718 10−03 1.3940 10−03 1.3556 10−03

±2.6251 10−04 ±4.4232 10−04 ±3.9504 10−04

R = 0.7143 7.1446 10−01 7.1340 10−01 7.1459 10−01

±2.6747 10−03 ±6.9202 10−03 ±7.2732 10−03

K = 0.1840 1.8399 10−01 1.8406 10−01 1.8406 10−01

±1.3986 10−04 ±7.7138 10−04 ±7.1779 10−04

Tab. 3.6 – Identification indirecte en presence d’un bruit fortement correle sur lecourant et d’un bruit blanc sur la vitesse

On verifie a l’aide de cette simulation (tableau 3.6) qu’il n’y a pas de biais

significatif quand le bruit de mesure de courant est fortement correle et le

bruit de vitesse est de type bruit blanc.


MCC selon le type de l’identification du tableau 3.6.

1 1.2 1.4 1.6 1.8

x 10−3

L

0.705 0.71 0.715 0.72

R

0.1835 0.184 0.1845

K

Fig. 3.8 – Identification indirecte en presence d’un bruit fortement correle sur lecourant et d’un bruit blanc sur la vitesse

3. Cas d’un bruit correle sur le courant et la vitesse

85



L = 0.0013 1.4364 10−03 1.4109 10−03 1.4556 10−03

±2.9161 10−04 ±2.9537 10−04 ±3.2457 10−04

R = 0.7143 7.1418 10−01 7.1348 10−01 7.1463 10−01

±2.5292 10−03 ±8.2461 10−03 ±7.5881 10−03

K = 0.1840 1.8400 10−01 1.8410 10−01 1.8401 10−01

±1.1742 10−04 ±5.6928 10−04 ±5.3723 10−04

Tab. 3.7 – Identification indirecte en presence d’un bruit fortement correle sur lecourant et d’un bruit moyennement correle sur la vitesse

On verifie a l’aide de cette simulation (tableau 3.7) qu’un biais faible sur

l’inductance L commence a apparaıtre pour un bruit de vitesse moyenne-

ment correle.

On a discute dans l’annexe C du modele electrique de la MCC : ce modele

possede une sortie explicite, le courant i, une entree explicite, la tension u,

et une pseudo-entree, la vitese ω. On ne peut pas utiliser le modele complet

(electrique et mecanique) car l’entree couple de charge˝est inconnue.

Aussi, ce modele presente un defaut incontournable en identification par

approche indirecte : alors que l’entree u et le courant i peuvent etre recons-

truits par simulation (voir figure 3.6), la vitesse ω doit obligatoirement etre

consideree comme une mesure (en effet, elle ne peut pas etre reconstruite

par simulation car on ne connaıt pas l’entree couple de charge).

En consequence, l’approche indirecte arrive a rejeter le biais asymptotique

du au bruit sur le courant tandis qu’elle ne peut rien faire sur un biais

du au bruit sur la vitesse. C’est effectivement ce qui est observe sur ces

resultats de simulation numerique : un bruit blanc sur la vitesse est sans

effet sur le biais asymptotique alors qu’il commence a apparaıtre pour un

bruit moyennement correle.

On remarquera cependant que les resultats restent globalement satisfai-

sants en approche indirecte, alors qu’un biais nettement plus important se

manifeste en approche directe (voir paragraphe suivant).

3.5.2 Identification directe pour differentes excitations

Nous allons presenter, a present, les resultats d’identification par approche

directe en utilisant les excitations definies precedemment. Notre objectif est de

86

3.5. Applications

1.2 1.4 1.6 1.8

x 10−3

L

0.705 0.71 0.715 0.72

R

0.1835 0.184 0.1845

K

Fig. 3.9 – Identification indirecte en presence d’un bruit fortement correle sur lecourant et d’un bruit moyennement correle sur la vitesse

comparer les approches directe et indirecte pour les excitations precedentes. Un

des objectifs est aussi de mettre clairement en evidence le principal defaut de

l’approche directe, a savoir la presence d’un biais asymptotique.

Rappel :

Ex Cr : Excitation par couple de charge

Ex ω : Excitation en vitesse

Ex ω + Cr : Excitation par couple de charge et vitesse


L = 0.0013 1.5801 10− 03 1.6335 10−03 1.7618 10−03

±5.2873 10 − 04 ±3.3235 10−04 ±2.8191 10−04

R = 0.7143 7.1414 10− 01 7.1448 10−01 7.1388 10−01

±4.5148 10 − 03 ±7.2753 10−03 ±8.7532 10−03

K = 0.1840 1.8401 10− 01 1.8399 10−01 1.8402 10−01

±2.5050 10 − 04 ±3.9535 10−04 ±4.9330 10−04

Tab. 3.8 – Identification directe en presence d’un bruit fortement correle sur lecourant et d’un bruit blanc sur la vitesse

87


1 1.5 2

x 10−3

L

0.7 0.71 0.72 0.73

R

0.18340.18360.18380.1840.18420.1844

K

Fig. 3.10 – Identification directe en presence d’un bruit fortement correle sur lecourant et d’un bruit blanc sur la vitesse


L = 0.0013 2.0139 10−03 2.2121 10−03 2.5381 10−03

±2.8599 10−04 ±3.9752 10−04 ±6.0114 10−04

R = 0.7143 7.1542 10−01 7.1635 10−01 7.1635 10−01

±5.1958 10−03 ±1.2410 10−02 ±9.8874 10−03

K = 0.1840 1.8394 10−01 1.8385 10−01 1.8387 10−01

±2.7953 10−04 ±6.5257 10−04 ±5.1733 10−04

Tab. 3.9 – Identification directe en presence d’un bruit fortement correle sur lecourant et d’un bruit moyennement correle sur la vitesse

1.5 2 2.5 3

x 10−3

L

0.71 0.72 0.73

R

0.183 0.1835 0.184 0.1845

K

Fig. 3.11 – Identification directe en presence d’un bruit fortement correle sur lecourant et d’un bruit moyennement correle sur la vitesse

88

3.5. Applications

On verifie d’apres les tableaux 3.8 et 3.9 qu’un biais apparaıt en I.D des

que le bruit devient correle pour le courant et la vitesse. Remarquons qu’il se

manifeste principalement d’apres les simulations realisees sur l’inductance L et

partiellement sur la resistance R (ce biais sur L est manifeste sur le tableau 3.9).

Les figures 3.10 et 3.11 presentent la plage des variations de chaque parametre

de la MCC selon le type de l’identification des tableaux 3.8 et 3.9.

On remarque que le parametre L est moins bien sensibilise par les differents

essais. Ce meme constat a ete etabli pour l’identification indirecte dans le pa-

ragraphe precedent. En fait, ce sont les parametres R et K qui sont les mieux

sensibilises par les protocoles d’excitation utilises.

3.5.3 Identification Indirecte avec correcteur surparame-

trise

Le correcteur equivalent surparametrise a ete decrit dans la section 3.4.2.3.

Les simulations ont ete realisees dans le cadre de la regulation avec une consigne

ωref constante et un couple resistant variable, seule excitation implicite. C’est

par ce type d’excitation que nous sommes particulierement interesses (dans un

objectif de diagnostic).

Nous nous sommes places dans des conditions de bruit telles que le rapport

S/B = 50 pour le courant et S/B = 80 pour la vitesse. Les resultats d’iden-

tification qui vont etre presentes ci-apres traitent plusieurs situations de bruit.

Sur une moyenne de vingt simulations, on obtient les valeurs des estimations des

parametres electriques de la MCC. Les algorithmes indirects avec correcteur reel

et correcteur equivalent surparametrise sont compares grace a cette simulation

stochastique. Les resultats sont presentes dans les tableaux 3.10, 3.11, 3.12 et

3.13.

Remarque

I.I.C.R : Identification Indirecte, Correcteur Reel

I.I.C.S.2 : Identification Indirecte, Correcteur Surparametrise d’ordre 2


89


Valeurs I.I.C.R I.I.C.S.2 I.I.C.S.3exactes

L = 0.0013 1.3092 10−03 1.2983 10−03 1.2396 10−03

±3.3706 10−04 ±3.5777 10−04 ±2.3359 10−04

R = 0.7143 7.1425 10−01 7.1437 10−01 7.1425 10−01

±2.8400 10−03 ±1.4090 10−03 ±3.6544 10−03

K = 0.1840 1.8400 10−01 1.8399 10−01 1.8400 10−01

±1.5667 10−04 ±7.8746 10−05 ±2.1239 10−04

Tab. 3.10 – Identification indirecte avec correcteur reel et correcteur surparame-trise en presence d’un bruit moyennement correle sur le courant

1 1.2 1.4 1.6

x 10−3

L

0.71 0.712 0.714 0.716 0.718

R

0.1838 0.1839 0.184 0.1841 0.1842

K

IICR

IICS2

IICS3

valeur exacte

Fig. 3.12 – Identification indirecte avec correcteur reel et correcteur surparame-trise en presence d’un bruit moyennement correle sur le courant

Les figures 3.12, 3.13, 3.14 et 3.15 presentent la plage des variations de chaque

parametre de la MCC selon le type de l’identification des tableaux 3.10, 3.11,

3.12 et 3.13.

On verifie que les deux methodes indirectes (I.I.C.R et I.I.C.S) fournissent

une estimation non biaisee quelle que soit la correlation du bruit de sortie de

courant et en absence de bruit de vitesse (tableau 3.10 et 3.11). Remarquons

enfin que meme si le correcteur ne possede pas la bonne structure (methode

I.I.C.S.2 et I.I.C.S.3), les resultats restent cependant tout a fait comparables

avec ce que l’on obtient avec le correcteur reel (methode I.I.C.R).

90

3.5. Applications


L = 0.0013 1.2866 10−03 1.2729 10−03 1.3072 10−03

±3.5732 10−04 ±2.6020 10−04 ±2.4842 10−04

R = 0.7143 7.1408 10−01 7.1423 10−01 7.1423 10−01

±2.3415 10−03 ±7.9470 10−04 ±7.0702 10−04

K = 0.1840 1.8401 10−01 1.8400 10−01 1.8401 10−01

±1.0123 10−04 ±7.3100 10−05 ±9.3322 10−05

Tab. 3.11 – Identification indirecte avec correcteur reel et correcteur surparame-trise en presence d’un bruit fortement correle sur le courant

1 1.2 1.4 1.6

x 10−3

L

0.712 0.714 0.716

R

0.18390.1839 0.184 0.184 0.18410.1841

K

Fig. 3.13 – Identification indirecte avec correcteur reel et correcteur surparame-trise en presence d’un bruit fortement correle sur le courant


L = 0.0013 1.3718 10−03 1.3508 10−03 1.3811 10−03

±2.6251 10−04 ±2.8828 10−04 ±3.3800 10−04

R = 0.7143 7.1446 10−01 7.1444 10−01 7.1435 10−01

±2.6747 10−03 ±9.3331 10−04 ±2.1102 10−03

K = 0.1840 1.8399 10−01 1.8400 10−01 1.8401 10−01

±1.3986 10−04 ±1.2321 10−04 ±2.1113 10−04

Tab. 3.12 – Identification indirecte avec correcteur reel et correcteur surparame-trise en presence d’un bruit fortement correle sur le courant et d’un bruit blancsur la vitesse

91


1 1.2 1.4 1.6 1.8

x 10−3

L

0.712 0.714 0.716 0.718

R

0.18370.18380.18390.1840.18410.18420

1

2

K

Fig. 3.14 – Identification indirecte en presence d’un bruit fortement correle surle courant et d’un bruit blanc sur la vitesse


L = 0.0013 1.4364 10−03 1.4005 10−03 1.4202 10−03

±2.9161 10−04 ±2.2198 10−04 ±2.5313 10−04

R = 0.7143 7.1418 10−01 7.1437 10−01 7.1421 10−01

±2.5292 10−03 ±8.1873 10−04 ±1.1602 10−03

K = 0.1840 1.8400 10−01 1.8400 10−01 1.8401 10−01

±1.1742 10−04 ±1.0032 10−04 ±8.0487 10−05

Tab. 3.13 – Identification indirecte avec correcteur reel et correcteur surpara-metrise en presence d’un bruit fortement correle sur le courant et d’un bruitmoyennement correle sur la vitesse

1.2 1.4 1.6

x 10−3

L

0.712 0.714 0.716

R

0.1839 0.184 0.1841

K

Fig. 3.15 – Identification indirecte en presence d’un bruit fortement correle surle courant et d’un bruit moyennement correle sur la vitesse

92

3.5. Applications

1 2 3 4 5 6

1.1

1.15

1.2

1.25

1.3

x 10−3

L

1 2 3 4 5 60.71426

0.71429

0.71432

R

1 2 3 4 5 60.1838

0.18385

0.1839

0.18395

0.184

0.1838

K

Fig. 3.16 – Evolution des parametres electriques estimes durant la procedured’identification I.I.C.S

1.5 2 2.5 3

18

18.05

18.1

18.15Tension

1.5 2 2.5 34.4

4.6

4.8

5

5.2Courant

1.5 2 2.5 3−0.01

−0.005

0

0.005

0.01

εu

1.5 2 2.5 3−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

εi

u simuléeu estimée

i simuléi estimé

Fig. 3.17 – Comparaison des courants et des tensions simules et estimes pourl’I.I.C.S.2

On represente a la figure 3.16 l’evolution de θ en fonction des iterations pour

un essai avec l’excitation par couple de charge et en presence d’un bruit fortement

correle sur le courant. En 4 iterations, l’algorithme converge vers l’optimum.

La figure 3.17 represente la comparaison entre le courant mesure i∗ et son

estime i ainsi que la tension mesuree u et celle predite u.

93


Enfin, un recapitulatif des resultats d’identification par approche directe et

approche indirecte (avec correcteur reel et correcteur surparametrise) est donne

par le tableau 3.14 ainsi que la figure 3.18. Ces resultats d’identification sont en

presence d’un bruit fortement correle sur le courant et d’un bruit blanc sur la

vitesse et en utilisant les variations du couple de charge comme excitation.

Valeurs I.D I.I.C.R I.I.C.S.3exactes

L = 0.0013 1.5801 10−03 1.3718 10−03 1.3811 10−03

±5.2873 10−04 ±2.6251 10−04 ±3.3800 10−04

R = 0.7143 7.1414 10−01 7.1446 10−01 7.1435 10−01

±4.5148 10−03 ±2.6747 10−03 ±2.1102 10−03

K = 0.1840 1.8401 10−01 1.8399 10−01 1.8401 10−01

±2.5050 10−04 ±1.3986 10−04 ±2.1113 10−04

Tab. 3.14 – Identification en presence d’un bruit fortement correle sur le courantet d’un bruit blanc sur la vitesse

1 1.5 2

x 10−3

L

0.71 0.712 0.714 0.716 0.718 0.72

R

0.18370.18380.18390.1840.18410.1842

K

ID

IICR

IICS3

Valeur exacte

Fig. 3.18 – Identification en presence d’un bruit fortement correle sur le courantet d’un bruit blanc sur la vitesse

On remarque bien a travers la figure 3.18 que les resultats d’identification sont

globalement satisfaisants en approche indirecte (pour I.I.C.R et I.I.C.S), alors

qu’un biais plus important se manifeste en approche directe.

On remarque aussi, dans ce cas, que l’identification directe presente une va-

94

3.6. Conclusion

riance plus importante sur les parametres, alors que l’identification indirecte

donne une estimation des parametres plus precise. Constatons enfin que meme si

le correcteur ne possede pas la bonne structure (methode I.I.C.S.3), les resultats

sont tout a fait comparables avec ce que l’on obtient avec le correcteur exact

(methode I.I.C.R).

3.6 Conclusion

Nous avons propose une methode d’identification non biaisee en boucle fer-

mee par approche indirecte adaptee a la machine a courant continu. Son princi-

pal interet reside dans la non connaissance a priori du correcteur. La procedure

d’identification par surparametrisation nous semble bien adaptee a une situation

industrielle : non connaissance des parametres et de la structure vraie du correc-

teur. Par ailleurs cette technique d’identification peut fonctionner en n’utilisant

que l’excitation implicite causee par les variations du couple de charge. La com-

mande realisee est du type cascade avec plusieurs correcteurs imbriques : dans

ce cas, la technique de surparametrisation nous semble un moyen permettant de

contourner cette difficulte.

Notre prochain objectif va donc consister a adapter la methodologie proposee

dans ce chapitre au probleme concret de l’identification en boucle fermee de la

machine asynchrone.

95


96

Chapitre 4

Identification en boucle fermee

de la machine asynchrone

Au chapitre precedent, nous avons propose une methodologie d’identification

en boucle fermee, developpee et validee en simulation sur la machine a courant

continu. Cette methodologie est basee sur la decomposition de la boucle fermee

et exige de ce fait, une connaissance du correcteur. Dans ce chapitre, nous nous

interessons a l’application de cette methodologie au cas de la machine asynchrone.

Nous allons donc expliquer le choix du repere de fonctionnement de la machine

pour l’identification indirecte. D’autre part, on s’interesse aussi a l’identification

de l’algorithme de commande de la machine (regulateurs de flux et de vitesse),

qui est generalement une structure multi-variable et non lineaire, grace a une

technique de surparametrisation.

97

Chapitre 4. Identification en boucle fermee de la machine asynchrone

4.1 Introduction

Depuis deux decennies, de nombreux travaux de recherche en genie electrique

et en identification ont permis l’elaboration de nouvelles strategies de diagnos-

tic hors-ligne et en-ligne des entraınements electriques et particulierement de la

machine asynchrone.

Les techniques d’estimation parametrique ont ete intensivement etudiees et

testees, en particulier sur des pilotes de laboratoire. Les algorithmes de type er-

reur d’equation sont en general ecartes car ils sont asymptotiquement biaises

et sensibles aux perturbations stochastiques et aux erreurs de modelisation. Au

contraire, le filtre de Kalman et les techniques a erreur de sortie permettent

d’obtenir des estimations realistes et fiables en situation reelle [Moreau, 1999]

[Bachir, 2002]. Ainsi, la mise au point d’algorithmes dedies a l’estimation des

parametres physiques, en tenant compte d’une connaissance a priori de la ma-

chine asynchrone, a permis une avancee prometteuse du diagnostic par estimation

parametrique.

Lorsque la machine asynchrone est alimentee directement sur le secteur, elle

fonctionne alors en boucle ouverte, mais a vitesse quasi-constante. La variation de

vitesse est le plus souvent obtenue grace a une commande vectorielle, auquel cas

la machine fonctionne en boucle fermee, avec une structure de regulation cascade

comme dans le cas de la machine a courant continu : le probleme de l’identification

de la machine asynchrone est donc le meme que celle de son homologue a courant

continu. Dans ces conditions, il est justifie de se poser la question de l’incidence du

correcteur sur le biais en identification directe (sans tenir compte de la structure

bouclee).

Le diagnostic de la machine asynchrone est un sujet d’etude tres vaste qui

necessite une investigation poussee et une bonne comprehension physique des

phenomenes mis en jeu et surtout l’utilisation d’outils appropries. Une premiere

etape concerne l’identification parametrique de la machine asynchrone en tenant

compte de la correlation apportee par la commande via la boucle de retour. Ce

travail de recherche s’inscrit donc dans la continuite des precedentes activites de

recherche du LAII : son objectif principal est la definition et la mise en œuvre

d’une methodologie de surveillance de la machine asynchrone a cage en boucle

fermee.

Nous avons montre precedemment l’interet de l’identification en boucle fer-

98

4.2. Identification par approche directe

mee pour la machine a courant continu. Alors que cette methode est relativement

simple d’application dans le cas de la machine a courant continu, elle est net-

tement plus complexe dans le cas de la machine asynchrone, pour deux raisons

fondamentales : le correcteur est dans ce cas multi-variable et non lineaire ; par

ailleurs, les signaux doivent etre reconstruits dans le repere du champ tournant,

a partir d’une information vitesse elle-meme estimee.

De plus, nous proposons d’identifier le modele electrique de la machine asyn-

chrone sans excitation explicite. En effet, une excitation sur la reference de vitesse

qui perturbe le point de fonctionnement de la machine ne peut satisfaire les ob-

jectifs industriels : c’est pour cette raison que l’excitation indirecte par variation

du couple de charge a ete retenue. Cette solution est a priori innovante en electro-

technique : elle a deja ete testee sur la machine a courant continu dans le chapitre

precedent. L’objectif du present chapitre est donc de proposer une methodologie

d’identification prenant en compte l’ensemble de ces contraintes.

4.2 Identification par approche directe

Dans cette section, on se propose de rappeler l’identification par approche di-

recte dans le cas du modele electrique de la machine asynchrone. Dans un premier

temps, il est necessaire de preciser le modele de la machine utilise pour l’estima-

tion parametrique. Nous presentons ensuite les fonctions de sensibilite dans le cas

de cette approche.

Remarque

On se reportera a l’annexe C pour une discussion sur l’identifiabilite du modele

electromecanique de la MCC mais aussi de la machine asynchrone : comme le

couple resistant est par nature inconnu, on ne peut identifier que le modele elec-

trique. Par contre, il est possible d’utiliser l’excitation par variation du couple

resistant, en considerant la vitesse du rotor comme une pseudo-entree.

4.2.1 Principe

L’identification directe de la machine asynchrone sans prise en compte expli-

cite de la loi de commande utilise les donnees uds,uqs eti∗ds,i

∗qs

comme avec

une veritable boucle ouverte (voir figure 4.1). On constate donc que le correcteur

est ignore et que la nature bouclee du systeme n’est pas explicitement prise en

99


compte.

Modele electrique

(repere du rotor)

+ charge

udsr

uqsr

i∗dsr

i∗qsridsref

Ωref

Ω∗

Algorithme

CommandeMachine asynchrone

+

−

+ +

d’optimisation

idsr

iqsr

+

−

Fig. 4.1 – Principe de l’identification directe de la machine asynchrone

Nous avons discute dans la section 1.6.2 le choix du repere pour l’identification

directe. Ainsi, on utilise le repere de Park lie au rotor de la machine car c’est celui

qui necessite le moins de transformations/estimations : neanmoins, on mesure

ua, ub, uc, ia, ib, ic que l’on doit convertir en (uds, uqs)rot (ids, iqs)rot grace a

une transformation de Park connaissant la position du rotor (et donc sa vitesse).

Le modele electrique de la machine asynchrone est represente comme un sys-

teme multivariable, a deux entrees (uds et uqs ) et a deux sorties (ids et iqs).

On definit l’erreur d’estimation (residu d’identification note εds sur l’axe d et εqs

sur l’axe q) entre la sortie reelle (courants mesuresi∗ds,i

∗qs

) et la sortie estimee

ids ,iqs

par :

εdsk

= i∗dsk− idsk

εqsk= i∗qsk

− iqsk

(4.1)

100


On minimise le critere quadratique J compose de deux termes :

J =N∑

k=1

ε2dsk

+N∑

k=1

ε2qsk

(4.2)

Les courants estimesids ,iqs

representent la simulation du modele sur la

base d’une estimation du vecteur parametre θ ou :

θ = [Rs Rr Lm Lf ]T (4.3)

Le calcul des fonctions de sensibilite se deduit directement de la representation

d’etat de la machine asynchrone decrite par l’equation (1.36) et la resolution du

systeme differentiel ainsi obtenu s’effectue par la methode de l’exponentielle de

matrice, comme pour le modele de la machine.

Nous allons identifier les parametres electriques du modele classique de Park

[Rs Rr Lm Lf ] avec le critere simple J (sans information a priori). L’initialisation

de cette technique est elementaire car elle repose uniquement sur celle du vecteur

initial θinit.

4.2.2 Calcul des fonctions de sensibilite

Referons nous au schema de la figure 4.1 ; il est important de remarquer que

les sorties (ids ,iqs) sont effectivement simulees a partir des entrees (uds,uqs), de

la mesure Ω∗ et du modele de la machine asynchrone exprime dans le repere du

rotor.

La representation d’etat du modele electrique de la machine asynchrone est :

˙x(t) = A(θ)x(t) + B(θ)u(t)

y(t) = C(θ)x(t)(4.4)

Les matrices A, B et C sont donnees par l’expression (1.39). Les vecteurs x,

y et u sont presentes par les expressions (1.37) et (1.38) exprimes dans le repere

du rotor.

101


Definissons σids,θi= ∂ids

∂θiet σiqs,θi

= ∂iqs

∂θi. Nous noterons aussi que :

σy,θi=

[σids,θi

σiqs,θi

]T

(4.5)

alors on obtient les fonctions de sensibilite a partir du systeme differentiel :

σx,θi

= A(θ)σx,θi+

∂A(θ)

∂θi

x +∂B(θ)

∂θi

u(t)

σy,θi= Cσx,θi

(4.6)

Nous remarquons ainsi que les fonctions de sensibilite calculees dans le cadre

de l’approche directe, ne prennent pas en compte la sensibilite de u = [uds uqs]T

a θ et donc l’incidence du bruit sur l’excitation, ce qui doit se traduire par un

biais asymptotique (voir annexe A).

4.2.3 Resultat d’identification

Nous estimons dans le repere de Park lie au rotor les differents parametres

de la machine sans defaut (qui vont nous servir d’initialisation pour l’approche

indirecte).Nous avons utilise une excitation implicite par variation du couple de

charge sous forme d’une SBPA de ±1.5 N.m autour de la charge Cr = 4N.m.

1 2 3 4 5 69.8

9.85

9.9

9.95

10

Rs

1 2 3 4 5 6

5.3

5.35

5.4

5.45

Rr

1 2 3 4 5 60.48

0.485

0.49

0.495

0.5

Lm

1 2 3 4 5 60.037

0.0375

0.038

0.0385

0.039

Lf

Fig. 4.2 – Evolution des parametres electriques durant la procedure d’estimationpar identification directe

102


1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

−5

0

5

10

ids

1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

−5

0

5

10

iqs

simulation

estimation

simulation

estimation

Fig. 4.3 – Comparaison des courants simules et estimes d’axes (d, q) pour l’iden-tification directe

1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

−0.5

0

0.5

εids

1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3

−0.5

0

0.5

εiqs

Fig. 4.4 – Erreur d’estimation de l’identification directe

103


Les courbes de la figure 4.2 fournissent les resultats d’estimation hors-ligne

des quatre parametres du modele de Park (Rs , Rr , Lr , Lm) pour une seule rea-

lisation, a partir des mesures des tensions uds , uqs et des courantsi∗ds , i∗qs

exprimes dans le repere lie au rotor. On represente ainsi l’evolution de θ en fonc-

tion des iterations de l’algorithme d’optimisation. En 4 iterations l’algorithme

converge vers l’optimum.

Pour le meme essai, on represente a la figure 4.3 la comparaison entre les

courants simules et les courant estimes. Sur la figure 4.4, on represente les residus

sur les courants.

4.3 Methodologie generale d’identification en boucle

fermee

4.3.1 Introduction

Le chapitre 3 a ete consacre a l’etude de l’identification en boucle fermee de la

machine a courant continu. La question qui vient immediatement a l’esprit est la

suivante : peut-on transposer directement les resultats de la MCC a la machine

asynchrone ? Ce n’est pas aussi simple que l’on pourrait le penser !

La commande bouclee d’une machine asynchrone necessite une commande

en couple (asservissement de courant) et generalement une commande en vitesse

(d’ou des correcteurs en cascade) ainsi qu’une commande en flux.

Sur la MCC, la commande en flux n’a pas besoin d’etre mise en œuvre car

on maıtrise naturellement le flux (par l’intermediaire des aimants permanents).

D’autre part, les correcteurs de la machine asynchrone sont necessairement plus

complexes. En outre, comme les asservissements de couple et de flux ne sont

pas naturellement decouples, il est indispensable de prevoir un decouplage (ge-

neralement non lineaire) ce qui complique la structure du correcteur (correcteurs

imbriques multi-variables et non lineaires). Mais on n’est pas au bout de notre

peine !

Dans la MCC, on ne se pose pas la question du champ tournant car grace a

une astuce mecanique (balais/collecteur), on travaille en courant continu et donc

directement dans le champ tournant (sans avoir a se poser cette question !).

104

4.3. Methodologie generale d’identification en boucle fermee

Il n’y a donc qu’un repere possible avec la MCC, celui du champ tournant

(en fait celui induit par les bornes d’alimentation de la machine).

Le fonctionnement de la machine asynchrone est habituellement analyse dans

trois reperes : repere lie au stator, repere lie au rotor et repere lie au champ

tournant. L’identification directe de la machine asynchrone se fait dans le repere

du rotor car c’est celui qui necessite le moins de transformations/estimations.

Si on veut proceder a une identification indirecte prenant en compte les cor-

recteurs, on est oblige de se placer dans le repere du champ tournant. En effet,

la commande et les correcteurs ont ete concus dans le repere du champ tournant

(comme pour une MCC) afin d’asservir le flux et le couple. Cela signifie en parti-

culier que ces correcteurs sont a parametres constants dans ce repere, mais qu’ils

dependent de la vitesse dans tout autre repere : il est donc imperatif de se referer

au champ tournant. Malheureusement, la position du champ tournant n’est pas

connue et elle doit necessairement etre estimee : l’identification en boucle fermee

de la machine asynchrone est donc nettement plus complexe et delicate que celle

de la MCC.

Dans le contexte de l’approche indirecte, nous proposons, dans un premier

lieu, d’etendre le champ d’application de cette approche en identifiant prealable-

ment un correcteur equivalent a l’aide d’une technique de surparametrisation, afin

d’eviter la connaissance a priori de la structure et des parametres du correcteur.

La structure equivalente est le plus souvent complexe et mal connue dans le cas

de la machine asynchrone et de surcroıt non lineaire. Ce correcteur equivalent

est estime par une technique de moindres carres surparametrises. Une structure

minimale est obtenue la encore grace a un test sur les moments. Une fois que

le correcteur equivalent est estime (dans une premiere etape) on peut envisager

l’identification de la machine asynchrone (dans une deuxieme etape).

4.3.2 Identification de la commande vectorielle

4.3.2.1 Methodologie d’identification de correcteur

La commande de la machine asynchrone est consideree comme un systeme

multidimensionnel (multi-entrees double-sorties). On peut decomposer cette re-

lation en deux relations particulieres, correspondant a deux sous-systemes multi-

entrees mono-sortie, c’est a dire l’un correspond a la sortie uds et l’autre sous-

105


systeme correspond a la sortie uqs (voir figure 4.5).

On se propose donc de decrire le comportement de ce systeme en determinant

les relations liant les sorties de la commande (uds, uqs) exprimees dans le repere

du champ tournant aux entrees (Ωref , Ω∗, idsref) et (i∗ds et i∗qs) exprimees elles

aussi dans le repere du champ tournant.

Pour identifier le systeme de commande de la machine asynchrone et en raison

de la complexite de la commande vectorielle, nous avons travaille sous certaines

hypoyheses :

– on suppose que l’on peut construire la pulsation ωs et le flux φr en dis-

posant prealablement d’une estimation des parametres de la machine par

identification directe ;

– on suppose connaıtre les consignes Ωref et idsref;

– on suppose connaıtre le type de decouplage, c’est-a-dire la loi :

ed = αd · ωs · iqs

eq = αq · ωsids + βq · ωs · φr

Les termes αd, αq et βq, dans ce cas, sont supposes inconnus ;

– sachant que l’expression des sorties de la commande uds , uqs en fonc-

tion des entreesΩref , Ω∗ , ωs , φr , idsref

, i∗ds , i∗qs

est non lineaire, nous

proposons d’introduire les nouvelles variables ωiq, ωid et ωφ, deduites se-

lon l’equation (4.7), afin de ramener l’expression de la commande a une

relation pseudo-lineaire.

ωiq(k) = ωs(k) · i∗qs(k)

ωid(k) = ωs(k) · i∗ds(k)

ωφ(k) = ωs(k) · φr(k)

(4.7)

ωiq, ωid et ωφ sont donc des nouvelles variables.

Les variables utilisees dans la figure 4.5 correspondent a :

ed = Cd · ωs · i∗qs (4.8)

eq = −C1q · ωs · i∗ds − C2q · ωs · φr (4.9)

106


PIφ+−

idsref

i∗ds

+−

uds1

uds

ed

−uqs

eq

+uqs1

PIΩ+−

Ωref

Ω∗

PICe+−

iqsref

i∗qs

Commande

Correcteurs equivalents

udskCEq−uds

idsrefk

CEq−uqs

Ω∗k

Ωrefk

ωiqk

i∗dsk

uqsk

ωidk

ωφk

i∗qsk

Fig. 4.5 – Decomposition de la commande de la machine en sous-systemes multi-entrees mono-sortie

et

Cφ(q−1) =

r0φ + r1φq−1

1 − q−1

CΩ(q−1) =r0Ω + r1Ωq−1

1 − q−1

CCe(q−1) =

r0Ce + r1Ceq−1

1 − q−1

(4.10)

L’expression theorique de deux correcteurs equivalents pour la sortie uds et

uqs est alors de la forme :

uds(q−1) = Cid(q

−1) ·[idsref

(q−1) − i∗ds(q−1)

]+ Cωiq(q

−1) · ωiq(q−1)

uqs(q−1) = Cw(q−1) · [Ωref(q

−1) − Ω∗(q−1)] + Ciq(q−1) · i∗qs(q

−1)

+Cwid(q−1) · wid(q−1) + Cωφ(q

−1) · ωφ(q−1)

(4.11)

Le correcteur equivalent CEq−uds de la sortie uds est compose par l’ensemble

Cid , Cwiq. Pour la sortie uqs le correcteur equivalent CEq−uqs est compose par

l’ensemble Cω , Ciq, Cωid , Cωφ.

107


Avec :

Cid(q−1) = r0id+···+rnidq−n

1+s1udq−1+···+snudq−n Cωiq(q−1) =

r0ωiq+···+rnωiqq−n

1+s1udq−1+···+snudq−n

Cω(q−1) = r0ω+···+rmwq−m

1+s1uqq−1+···+smuqq−m Ciq(q−1) =

r0iq+···+rmiqq−m

1+s1uqq−1+···+smuqq−m

Cωid(q−1) = r0ωid+···+rmωidq−m

1+s1uqq−1+···+smuqq−m Cωφ(q−1) =

r0ωφ+···+rmωφq−m

1+s1uqq−1+···+smuqq−m

Comme la structure equivalente est le plus souvent complexe est mal connue,

les deux correcteurs equivalents sont estimes par une technique de moindres carres

surparametrises, et une structure minimale est obtenue la encore grace a un test

portant sur les moments.

Connaissant les commandes (uds, uqs), les consignes (Ωref , idsref), la pulsation

ws, le flux φr, les courants bruites (i∗ds et i∗qs) et la vitesse bruitee Ω∗ (figure 4.5),

on se retrouve devant une identification sans perturbation, donc parfaitement

deterministe, pour laquelle on peut appliquer la methode des moindres carres

ordinaires qui dans ce cas particulier n’induit pas de biais asymptotique.

Alors l’estimation par moindres carres des parametres des correcteurs equiva-

lents (CEq−uds, CEq−uqs) est donnee par l’expression :

θCE−uds =

[K∑

k=1

ϕdskϕT

dsk

]−1 K∑

k=1

ϕdskudsk

(4.12)

θCE−uqs =

[K∑

k=1

ϕqskϕT

qsk

]−1 K∑

k=1

ϕqskuqsk

(4.13)

108


Avec :

θCE−uds =

r0id

r1id

...

rnid

r0wiq

r1wiq

...

rnwiq

s1ud

...

snud

, ϕdsk=

idsrefk− i∗dsk

...

idsrefk−S− i∗dsk−S

wiqk

...

wiqk−S

−udsk−1

...

−udsk−n

(4.14)

et

θCE−uqs =

r0w

...

rmw

r0iq

...

rmiq

r0wid

...

rmwid

r0wφ

...

rmwφ

s1uq

...

smuq

, ϕqsk=

Ωrefk− Ω∗

k...

Ωrefk−m− Ω∗

k−m

i∗qsk

...

i∗qsk−m

widk

...

widk−m

wφk

...

wφk−m

−uqsk−1

...

−uqsk−m

(4.15)

Si la structure exacte du correcteur equivalent est inconnue on s’affranchit de

cette connaissance structurelle, en utilisant le principe de surparametrisation. On

utilise donc un modele surparametrise de complexite superieure a celle du vrai

correcteur, afin de minimiser l’erreur de modelisation.

109


On obtient ainsi :

θS−uds =

[K∑

k=1

ϕds−SkϕT

ds−Sk

]−1 K∑k=1

ϕds−Skudsk

θS−uqs =

[K∑

k=1

ϕqs−SkϕT

qs−Sk

]−1 K∑k=1

ϕqs−Skuqsk

(4.16)

A partir de θS−uds et θS−uqs, on a plusieurs possibilites : soit on determine une

structure minimale grace a un test portant sur les moments, soit on utilise direc-

tement le modele surparametrise, ce qui en pratique correspond a une solution

simple et robuste vis-a-vis d’eventuelles erreurs de modelisation.

4.3.2.2 Test de surparametrisation

Nous allons tester plusieurs structures de correcteurs equivalents (S = 1, 2, 3).

Pour chacune d’elles nous allons calculer par la suite les moments discrets corres-

pondants.

Considerons le correcteur equivalent CEq−uds estime surparametrise d’ordre S.

D’apres la figure 4.5, nous ecrivons udsk= ϕT

ds−SkθS−uds ou

θS−uds =

r0id

r1id

...

rSid

r0wiq

r1wiq

...

rSwiq

s1ud

...

sSud

et ϕds−Sk=

idsrefk− i∗dsk

...

idsrefk−S− i∗dsk−S

wiqk

...

wiqk−S

−udsk−1

...

−udsk−S

(4.17)

De la meme maniere nous ecrivons uqsk= ϕT

qs−SkθS−uqs ou ϕqs−Sk

est le regres-

seur et θS−uqs est le vecteur parametres du correcteur equivalent surparametrise

CEq−uqs d’ordre S.

110


Pour decider que le degre de surparametrisation est correct, nous allons utiliser

un test de caracterisation, base sur des invariants de modelisation. Ces invariants

sont, dans notre cas, les moments discrets.

Le correcteur equivalent CEq−uds possede une integration, a cause de correcteur

PI applique dans le cadre de la regulation de flux. Dans ce cas, les moments

discrets Cn de l’ensemble Cid, Cwiq sont obtenus en appliquant la methode de

calcul pour un correcteur avec une integration (voir annexe B).

Le correcteur equivalent CEq−uqs possede une double integration, a cause des

deux correcteurs PI en cascade appliques dans le cadre de la regulation de la

vitesse et de couple electromagnetique. Dans ce cas, les moments discrets Cn de

l’ensemble Cw, Ciq, Cwid, Cwφ sont obtenus en appliquant la technique de calcul

pour un correcteur avec double integration.

Il suffit pratiquement de tester des structures surparametrisees de complexite

croissante pour chacun des correcteurs CEq−uds et CEq−uds. Lorsque les moments

deviennent stationnaires pour chaque correcteur equivalent, nous pouvons conclure

que la structure consideree englobe de maniere certaine celle du vrai correcteur.

4.3.2.3 Resultats de simulation

Afin de valider la technique de surparametrisation appliquee a l’algorithme

de commande de la machine asynchrone, on a realise des simulations numeriques

avec des regulateurs (de flux, de vitesse et de couple) de type PI.

Cφ(q−1) =

r0φ + r1φq−1

1 + s1φq−1

CΩ(q−1) =r0Ω + r1Ωq−1

1 + s1Ωq−1

CCe(q−1) =

r0Ce + r1Ceq−1

1 + s1Ceq−1

avec

r0φ = 2.0973 10+00 r1φ = −1.9027 10+00 s1φ = −1

r0Ω = 5.7788 10−01 r1Ω = −5.7716 10−01 s1Ω = −1

r0Ce = 2.0973 10+00 r1Ce = −1.9027 10+00 s1Ce = −1

111


Les termes de decouplage ont les valeurs suivantes :

Cd = 4.0000 10−02

C1q = −4.0000 10−02 C2q = −1

L’expression theorique de deux correcteurs equivalents pour la sortie uds et

uqs est de la forme :

uds(q−1) = r0id+r1idq−1

1+s1udq−1 ·[idsref

(q−1) − i∗ds(q−1)

]+

r0ωiq+r1ωiqq−1

1+s1udq−1 · ωiq(q−1)

(4.18)

uqs(q−1) = r0ω+r1ωq−1+r2ωq−2

1+s1uqq−1+s2uqq−2 · [Ωref(q−1) − Ω∗(q−1)] +

r0iq+r1iqq−1+r2iqq−2

1+s1uqq−1+s2uqq−2 · i∗qs(q−1)

+ r0ωid+r1ωidq−1+r2ωidq−2

1+s1uqq−1+s2uqq−2 · ωid(q−1) +r0ωφ+r1ωφq−1+r2ωφq−2

1+s1uqq−1+s2uqq−2 · ωφ(q−1)

(4.19)

Differents correcteurs equivalents surparametrises (S = 1, 2, 3) ont ete iden-

tifies (tableaux 4.1 et 4.2). Pour chacun d’eux, nous avons calcule les moments

discrets correspondants.


r0id 2.0973 10+00 2.0973 10+00 2.0973 10+00

r1id −1.9027 10+00 −8.5806 10−01 −5.1333 10−01

r2id ∗ −9.4777 10−01 −5.6845 10−01

r3id ∗ ∗ −6.2789 10−01

r0ωiq −4.0000 10−02 −4.0000 10−02 −4.0000 10−02

r1ωiq 4.0000 10−02 2.0076 10−02 1.3501 10−02

r2ωiq ∗ 1.9924 10−02 1.3300 10−02

r3ωiq ∗ ∗ 1.3200 10−02

s1ud −1.0000 10+00 −5.0189 10−01 −3.3752 10−01

s2ud ∗ −4.9811 10−01 −3.3249 10−01

s3ud ∗ ∗ −3.2999 10−01

Tab. 4.1 – Structures des correcteurs equivalents surparametrises CEq−uds

Il est necessaire de tester le choix du degre de surparametrisation. Nous allons

pour cela calculer les moments discrets des correcteurs identifies. Les tableaux 4.3

et 4.4 correspondent au moments discrets des correcteurs equivalents CEq−uds.

112



r0ω 1.2110 10+00 1.2120 10+00 1.2120 10+00

r1ω −1.1219 10+00 −2.3100 10+00 −1.5233 10+00

r2ω ∗ 1.0982 10+00 −4.0138 10−01

r3ω ∗ ∗ 7.1290 10−01

r0iq −2.0407 10+00 −2.0973 10+00 −2.0973 10+00

r1iq 1.9149 10+00 4.0000 10+00 2.6385 10+00

r2iq ∗ −1.9027 10+00 6.9390 10−01

r3iq ∗ ∗ −1.2352 10+00

r0ωid 3.9897 10−02 4.0000 10−02 4.0000 10−02

r1ωid −3.9690 10−02 −8.0000 10−02 −5.4034 10−02

r2ωid ∗ 4.0000 10−02 −1.1933 10−02

r3ωid ∗ ∗ 2.5966 10−02

r0ωφ 1.0193 10+00 1.0000 10+00 1.0000 10+00

r1ωφ −1.0088 10+00 −2.0000 10+00 −1.3508 10+00

r2ωφ ∗ 1.0000 10+00 −2.9832 10−01

r3ωφ ∗ ∗ 6.4916 10−01

s1uq −1.0000 10+00 −2.0000 10+00 −1.3508 10+00

s2uq ∗ 1.0000 10+00 −2.9832 10−01

s3uq ∗ ∗ 6.4916 10−01

Tab. 4.2 – Structures des correcteurs equivalents surparametrises CEq−uqs


Structure ordre 1 1.9453 10−01 −1.9027 10+00 0 0Structure ordre 2 1.9453 10−01 −1.9027 10+00 4.3852 10−11 0Structure ordre 3 1.9453 10−01 −1.9027 10+00 2.7110 10−10 −1.2516 10−10

Tab. 4.3 – Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cid


Structure ordre 1 3.5527 10−15 4.0000 10−02 0 0Structure ordre 2 1.4229 10−14 4.0000 10−02 1.1312 10−13 0Structure ordre 3 7.9792 10−14 4.0000 10−02 1.9860 10−13 −1.1052e−13

Tab. 4.4 – Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cωiq

113


On verifie que les moments du modele estime pour Cid et Cωiq sont station-

naires quel que soit l’ordre de la surparametrisation. Aussi on peut dire que les

structures de complexite superieure ou egale a 1 donnent satisfaction, et peuvent

se substituer au correcteur equivalent exact CEq−uds.

1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8

−50

−40

−30

−20

−10

0

10

uds

uds

pour S1

uds

pour S2

uds

pour S32.2 2.22 2.24

−4

−2

0

Fig. 4.6 – Comparaison des commandes reelle et estimees pour chaque structuresurparametrisee de CEq−uds

Nous presentons sur la figure 4.6, une comparaison de la tension reelle uds et

celles estimees pour les structures d’ordre 1, 2 et 3. On voit bien, a travers les

courbes, que les sorties estimees uds pour les structures de correcteur d’ordre 1

ou plus ont le meme comportement.

Le tableau 4.5 definit alors l’erreur quadratique entre la commande reelle uds

et celle estimee uds.

S = 1 S = 2 S = 3

Erreur quadratique 2.0206 10−016 4.5333 10−013 1.5037 10−013

Tab. 4.5 – Erreur quadratique entre la commande reelle uds et la commandeestimee uds

Cette comparaison est realisee en appliquant les memes entrees (idsref, i∗ds, i∗qs

et ωs) a la vraie commande de la machine asynchrone et aux structures surpara-

metrisees indentifiees.

114


Les tableaux 4.6 a 4.9 correspondent au moments discrets de correcteur equi-

valent CEq−uqs.


Structure ordre 1 8.9055 10−02 −1.1219 10+00 0 0Structure ordre 2 1.3954 10−04 −1.1364 10−01 2.1964 10+00 0Structure ordre 3 1.3954 10−04 −1.1364 10−01 2.1964 10+00 1.3638 10−10

Tab. 4.6 – Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cω


Structure ordre 1 −1.2585 10−01 1.9149 10+00 0 0Structure ordre 2 1.6698 10−13 1.9453 10−01 −3.8055 10+00 0Structure ordre 3 2.9338 10−13 1.9453 10−01 −3.8055 10+00 1.1842 10−10

Tab. 4.7 – Les moments discrets des correcteurs surparametrises Ciq


Structure ordre 1 2.0673 10−04 −3.9690 10−02 0 0Structure ordre 2 1.8429 10−13 −2.9794 10−13 8.0000 10−02 0Structure ordre 3 1.2024 10−13 −1.7232 10−13 8.0000 10−02 −2.4960 10−13

Tab. 4.8 – Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cωid

On verifie que les moments du modele estime pour Cω , Ciq , Cωid et Cωφ

ne varient plus pour les modeles d’ordre superieur a 1. On peut donc dire que

les structures de complexite superieure ou egale a deux donnent satisfaction, et

peuvent se substituer au correcteur equivalent exact CEq−uqs.

Nous presentons dans la figure 4.7, une comparaison de la tension reelle uqs

et celles estimees pour les structures d’ordre 1, 2 et 3. On voit bien, a travers les

courbes, que la sortie estimee uqs pour la structure de correcteur d’ordre 1 est

differente de la commande reelle uqs, alors qu’on trouve le meme comportement

pour les structures d’ordre superieur.

Le tableau 4.10 definit alors l’erreur quadratique entre la commande reelle uqs

et la commande estimee uqs.

115



Structure ordre 1 1.0486 10−02 −1.0088 10+00 0 0Structure ordre 2 3.5283 10−13 −9.0748 10−11 2.0000 10+00 0Structure ordre 3 2.1118 10−13 −6.3177 10−11 2.0000 10+00 1.7343 10−10

Tab. 4.9 – Les moments discrets des correcteurs surparametrises Cωφ

uqs

uqs

pour S1

uqs

pour S2

uqs

pour S3

1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3100

120

140

160

180

200

220

240

260

280

300

2.274 2.275 2.276 2.277110

115

120

125

u

qs

uqs

pour S1

uqs

pour S2

uqs

pour S3

Fig. 4.7 – Comparaison des commandes reelle et estimees pour chaque structuresurparametrisee de CEq−uqs

S = 1 S = 2 S = 3

Erreur quadratique 5.3490 10+006 9.5693 10−010 2.3909 10−010

Tab. 4.10 – Erreur quadratique entre la commande reelle uqs et la commandeestimee uqs

116


Cette comparaison est realisee en appliquant les memes entrees (Ωref , Ω∗,

i∗qs, ωs et φr) a la vraie commande de la machine asynchrone et aux structures

surparametrisees indentifiees.

4.3.3 Identification de la machine par decomposition de

la boucle fermee

4.3.3.1 Principe

Lorsque l’algorithme de commande de la machine asynchrone est connue (par

connaissance a priori ou par identification surparametrisee), on peut envisager

l’identification du modele continu de la machine. Referons nous au schema de

la figure 4.8 : dans ce cas, l’excitation u = uds , uqs du modele continu est

obtenue par simulation du correcteur CEq, a partir des consignes (Ωref , idsref), de

la mesure Ω∗, de la pulsation ωs , de flux φr et des sorties predites ids et iqs.

Modele electrique

(repere du chp-tournant)

+ charge

udst

uqst

i∗dst

i∗qst

idsref Ωref

Ω∗

Algorithme

CommandeMachine asynchrone

+

−

+ +

d’optimisation

idst

iqst

+

−

CEq−uds

CEq−uqs

udst

uqst

Fig. 4.8 – Principe de l’identification indirecte de la machine asynchrone

Nous avons analyse dans la section 1.6.3 le choix du repere pour l’identifica-

tion indirecte. Ainsi, notre choix s’est porte sur le repere de Park lie au champ

117


tournant pour pouvoir prendre en compte les correcteurs sous une forme station-

naire, tout autre repere se traduisant par des correcteurs non stationnaires.

Par consequent, l’identification indirecte doit etre conduite dans le repere du

champ tournant en utilisant la connaissance de sa position estimee dans le cadre

de la commande. Ensuite, grace aux mesures des grandeurs du stator ua, ub, uc,

ia, ib, ic il faut reconstruire (uds, uqs)chptournant, (ids, iqs)chptournant grace a une

transformation de Park utilisant la position du champ tournant.


Referons nous au schema de la figure 4.8, il est important de remarquer que

les sorties (ids, iqs) et les entrees (uds, uqs) sont effectivement simulees a partir

des excitations (idsref, Ωref ), de la mesure Ω∗, des deux correcteurs equivalents

CEq−uds , CEq−uqs (ou exacts) et du modele continu de la machine asynchrone.

Ainsi uds , uqs etids , iqs

sont totalement decorreles du bruit des courants.

Ceci est illustre par les simulations numeriques realisees dans la section suivante.

La representation d’etat du modele electrique de la machine asynchrone dans

ce cas est :

˙x(t) = A(θ)x(t) + B(θ)u(t)

y(t) = C(θ)x(t)(4.20)

Les matrices A, B et C sont donnees par l’expression (1.41). Les vecteurs x

et y sont presentes par les expressions (1.37) et (1.38) exprimes dans le repere

du champ tournant. Nous avons explique le principe de la construction de la

commande predite u = [udsuqs]T dans la section 4.3.2.

Les fonctions de sensibilite par rapport a σy =[σids

σiqs

]T

, devront etre

calculees en prenant en compte la sensibilite de u = [uds uqs]T a θ, soit σu =[

σudsσuqs

]T

Definissons σids,θi= ∂ids

∂θiet σiqs,θi

= ∂iqs

∂θi.

Alors on obtient les fonctions de sensibilite a partir du systeme differentiel :

118


σx,θi

= A(θ)σx,θi+

∂A(θ)

∂θi

x +∂B(θ)

∂θi

u(t) + B(θ)σu,θi

σy,θi= Cσx,θi

(4.21)

Rappelons que la reconstruction des commandes uds et uqs peut etre realisee

soit en utilisant la vraie commande, dans le cas ou on suppose que la commande

est parfaitement connue ; soit en utilisant la structure equivalente, dans le cas ou

la structure et les parametres de la regulation sont inconnus, donc grace a une

identification prealable de la commande.

Deux situations sont envisageables pour calculer la sensibilite de u par rap-

port aux parametres de la machine :

– En utilisant la structure exacte de la commande

σudsk,θi

= ∂uds(k)∂θi

et σuqsk,θi

= ∂uqs(k)∂θi

sont obtenues a partir de l’equation

aux differences :

∂uds(k)

∂θi

=∂uds1(k)

∂θi

−∂ed(k)

∂θi

(4.22)

∂uqs(k)

∂θi

=∂uqs1(k)

∂θi

−∂eq(k)

∂θi

(4.23)

La sensibilite des parties lineaires uds1 et uqs1 par rapport aux parametres

est egale a :

∂uds1(k)

∂θi

= −∂uds1(k − 1)

∂θi

− r0φ ·∂ids(k)

∂θi

− r1φ ·∂ids(k − 1)

∂θi

(4.24)

∂uqs1(k)

∂θi

= −∂uqs1(k − 1)

∂θi

− r0Ce ·∂iqs(k)

∂θi

− r1Ce ·∂iqs(k − 1)

∂θi

(4.25)

Nous allons supposer que les termes ωsiqs, ωsids, et ωsφr qui entrent dans

le decouplage sont des mesures. Dans ce cas :

∂ed(k)

∂θi

= 0 et∂eq(k)

∂θi

= 0 (4.26)

Si nous supposons que les termes de decouplage sont en fonction des sor-

ties estimees ids et iqs, alors la sensibilite de decouplage par rapport aux

119


parametres devient :

∂ed(k)

∂θi

= Cd · ωs ·∂iqs(k)

∂θi

(4.27)

∂eq(k)

∂θi

= −C1q · ωs ·∂ids(k)

∂θi

(4.28)

– En utilisant la structure equivalente

Le correcteur equivalent discret CEq genere uk selon les algorithmes :

uds(k) + s1ududs(k − 1) + · · ·+ sSududs(k − S) =

r0id(idsref(k) − ids(k)) + · · ·+ rSid(idsref

(k − S) − ids(k − S))

+ r0ωiqωs(k)iqs(k) + · · ·+ rSωiqωs(k − S )iqs(k − S)) (4.29)

et

uqs(k) + s1uquqs(k − 1) + · · ·+ sSuquqs(k − S) =

r0ω(Ωref(k) − Ω∗(k)) + · · ·+ rSω(Ωref (k − S) − Ω∗(k − S))

+ r0iq iqs(k) + r1iq iqs(k − 1) + · · ·+ rSiq iqs(k − S))

+ r0ωidωs(k)ids(k) + · · ·+ rSωidωs(k − S )ids(k − S))

+ r0ωφωs(k)φr(k) + · · ·+ rSωφωs(k − S)φr(k − S)) (4.30)

Ainsi σuk,θiest obtenue a partir de l’equation aux differences :

∂uds(k)

∂θi

+ s1ud

∂uds(k − 1)

∂θi

+ · · · + sSud

∂uds(k − S)

∂θi

= −r0id

∂ids(k)

∂θi

− r1id

∂ids(k − 1)

∂θi

− · · · − rSid

∂ids(k − S)

∂θi

+ r0ωiqωs(k)∂iqs(k)

∂θi

+

r1ωiqωs(k − 1)∂iqs(k − 1)

∂θi

+ · · ·+ rSωiqωs(k − S)∂iqs(k − S)

∂θi

(4.31)

120


∂uqs(k)

∂θi

+ s1uq

∂uqs(k − 1)

∂θi

+ · · ·+ sSuq

∂uqs(k − S)

∂θi

= r0iq

∂iqs(k)

∂θi

+

r1iq

∂iqs(k − 1)

∂θi

+ · · · + rSiq

∂iqs(k − S)

∂θi

+ r0ωidωs(k)∂ids(k)

∂θi

+

r1ωidωs(k − 1)∂ids(k − 1)

∂θi

+ · · ·+ rSωidωs(k − S)∂ids(k − S)

∂θi

(4.32)

4.3.4 Resultat d’identification

Les figures 4.9, 4.10 et 4.11 presentent les resultats de l’identification par

approche indirecte pour une realisation particuliere, en utilisant comme excitation

implicite une variation du couple de charge.

La figure 4.9 fait apparaıtre l’evolution des parametres lors de la procedure

d’identification par approche indirecte. En trois iterations la methode converge

vers l’optimum.

Nous avons utilise une excitation implicite par variation du couple de charge

sous forme d’une SBPA de ±1.5 N.m au tour de la charge Cr = 4N.m.

1 2 3 4 5 6

9.8

9.85

9.9

9.95

10

Rs

1 2 3 4 5 65.2

5.3

5.4

5.5

Rr

1 2 3 4 5 60.48

0.49

0.5

0.51

0.52

Lm

1 2 3 4 5 60.036

0.037

0.038

0.039

0.04

Lf

Fig. 4.9 – Evolution des parametres electriques durant la procedure d’estimationpar identification indirecte

Pour le meme essai, nous representons a la figure 4.10 la comparaison entre

les courants simules et les courant estimes ainsi que les tensions simulees et celles

predites exprimes dans le repere du champ tournant. Sur la figure 4.10, nous

121


representons les residus sur les courants et les tensions.

2 2.5 3−30

−20

−10

0

uds

2 2.5 30.5

1

1.5

2

2.5

ids

2 2.5 3

140

160

180

200

uqs

2 2.5 32

4

6

8

iqs

simulation

estimation

Fig. 4.10 – Comparaison des courants (et tensions) simules et estimes d’axes(d, q) pour l’identification indirecte

4.4 Comparaison de resultats d’identification :

approche directe/approche indirecte

Nous avons teste les techniques d’identification presentees dans ce chapitre

sur une machine asynchrone dont les parametres sont donnes par la table 4.11.

Rs = 9.8ΩRr = 5.3ΩLm = 0.5HLf = 0.04Hf = 1.9 10−03N.m.s/radJ = 29.3 10−03N.m.S2/rad

Tab. 4.11 – Caracteristiques de la machine asynchrone

Nous avons employe deux processus generateurs de bruit pour la vitesse et

les courants, afin de tester notre methodologie dans des situations stochastiques

122

4.4. Comparaison de resultats d’identification : approche directe/approche indirecte

2 2.5 3−1

−0.5

0

0.5

1

εids

2 2.5 3−1

−0.5

0

0.5

1

εiqs

2 2.5 3−4

−2

0

2

4

εu

ds

2 2.5 3−4

−2

0

2

4

εu

qs

Fig. 4.11 – Erreur d’estimation de l’identification indirecte

variees. Nous nous sommes places dans des conditions de bruit telles que le rap-

port S/B = 15 pour les courants ids, iqs exprimes dans le champ tournant et

S/B = 20 pour la vitesse.

Le bruit de sortie est genere par le modele A.R : bk + c1bk−1 = ek ou ek est

un bruit blanc et −1 < c1 < 0


– c1 = 0, alors bk correspond a un bruit blanc,

– c1 = −0.5, alors bk correspond a un bruit moyennement correle,

– c1 = −0.95, alors bk correspond a un bruit fortement correle.

Les simulations de Monte Carlo ont ete effectuees sur dix realisations, chaque

realisation comportant 6000 couples de donnees. Les valeurs des estimations des

parametres electriques de la machine asynchrone sont recapitulees dans les ta-

bleaux ci-apres.

Remarque

I.D : Identification Directe

I.I.C.R : Identification Indirecte, Commande Reelle


123


1. Cas d’un bruit blanc sur les courants ids, ids


Rs = 9.8 9.8391 10+00 9.8053 10+00 9.7947 10+00

±2.0128 10−01 ±2.9645 10−02 ±4.4240 10−02

Rr = 5.3 5.3100 10+00 5.3029 10+00 5.2987 10+00

±4.9579 10−02 ±2.6663 10−02 ±3.9992 10−02

Lm = 0.5 4.9977 10−01 5.0456 10−01 4.9581 10−01

±1.8040 10−02 ±3.1467 10−02 ±4.6082 10−02

Lf = 0.04 3.9188 10−02 4.0177 10−02 4.0093 10−02

±4.0606 10−03 ±2.6444 10−03 ±3.2582 10−03

Tab. 4.12 – Identification en presence d’un bruit blanc sur les courants

9.6 9.7 9.8 9.9 10

Rs

5.25 5.3 5.35

Rr

0.45 0.5 0.55

Lm

0.035 0.04 0.045

Lf

ID

IICR

IICS3

Valeur exacte

Fig. 4.12 – Identification en presence d’un bruit blanc sur les courants


machine asynchrone selon le type de l’identification du tableau 4.12.

On verifie a l’aide de cette simulation qu’il n’y a pas de biais significatif

quand les bruits de mesure des courants sont des bruits blancs (et que la

vitesse est mesuree sans erreur).

On remarque que les resultats d’estimation parametrique obtenus pour les

trois types d’identification (I.D, I.I.C.R et I.I.C.S.3) sont voisins.

2. Cas d’un bruit fortement correle sur les courants et d’un bruit

blanc sur la vitesse

124

4.4. Comparaison de resultats d’identification : approche directe/approche indirecte


Rs = 9.8 1.0827 10+01 9.7788 10+00 9.7590 10+00

±2.6251 10+00 ±1.6866 10−01 ±2.1913 10−01

Rr = 5.3 4.9051 10+00 5.3218 10+00 5.3294 10+00

±4.5455 10−01 ±2.8570 10−01 ±1.8924 10−01

Lm = 0.5 5.2233 10−01 4.9217 10−01 4.9191 10−01

±3.4571 10−02 ±8.7178 10−02 ±7.8276 10−02

Lf = 0.04 4.3365 10−02 4.0161 10−02 4.0667 10−02

±5.1324 10−03 ±5.7434 10−03 ±3.6792 10−03

Tab. 4.13 – Identification en presence d’un bruit fortement correle sur les courantset d’un bruit blanc sur la vitesse

8 9 10 11 12 13

Rs

4 4.5 5 5.5

Rr

0.4 0.45 0.5 0.55 0.6

Lm

0.035 0.04 0.045 0.05

Lf

ID

IICR

IICS3

Valeur exacte

Fig. 4.13 – Identification en presence d’un bruit fortement correle sur les courantset d’un bruit blanc sur la vitesse

Nous remarquons dans ce cas de simulation (en presence d’un bruit forte-

ment correle sur les courants et d’un bruit blanc sur la vitesse) que l’iden-

tification indirecte en utilisant la structure exacte de correcteur I.I.C.R ou

la structure surparametrisee I.I.C.S.3 fournit des estimations parfaitement

centrees sur la valeur exacte des parametres, alors que les estimations de

Rr, Lm et Lf font apparaıtre un biais dans le cas de l’identification directe.

3. Cas d’un bruit correle sur les courants et la vitesse

On verifie d’apres le tableau 4.14 (ou sur la figure 4.14) qu’un biais appa-

raıt pour I.D des que le bruit devient correle pour le courant et la vitesse.

125



Rs = 9.8 1.0454 10+01 1.0013 10+01 1.0014 10+00

±2.1706 10+00 ±8.5146 10−01 ±1.0478 10+00

Rr = 5.3 4.9723 10+00 5.1551 10+00 5.2227 10+00

±4.8713 10−01 ±5.2179 10−01 ±5.1779 10−01

Lm = 0.5 5.3203 10−01 4.9344 10−01 4.9339 10−01

±3.2620 10−02 ±1.1009 10−01 ±9.1381 10−02

Lf = 0.04 4.2630 10−02 4.0397 10−02 4.0251 10−02

±5.7890 10−03 ±3.6061 10−03 ±4.0547 10−03

Tab. 4.14 – Identification en presence d’un bruit fortement correle sur les courantset d’un bruit moyennement correle sur la vitesse

Remarquons qu’il se manifeste principalement, d’apres les simulations rea-

lisees, sur la resistance rotorique Rr et l’inductance magnetisante Lm, et

partiellement sur l’inductance de fuite Lf . On constate aussi la presence

d’une variance tres importante sur la resistance statorique Rs.

On verifie a l’aide de la figure 4.14 qu’un biais faible apparaıt pour un bruit

de vitesse moyennement correle pour l’identification indirecte (I.I.C.R et

I.I.C.S.3). Il se manifeste principalement sur la resistance rotorique Rr et

partiellement sur la resistance statorique Rs. Ceci peut etre explique par le

fait qu’on ne se trouve pas dans le cas ou notre commande est parfaitement

decorrelee du bruit comme cela s’est produit pour la machine a courant

continu. En effet, on utilise la sortie de vitesse (correlee avec le bruit bw),

pour calculer les nouvelles commandes uds et uqs dans le cadre de notre

methode d’identification indirecte. Alors, les fonctions de sensibilite calcu-

lees a partir de l’excitation u se trouvent correlees avec la perturbation

bw, c’est-a-dire que l’estimation θopt est asymptotiquement biaisee. Ce biais

n’est vraiment tres important que lorsque le rapport signal sur bruit de la

vitesse est faible.

En conclusion, l’etude du biais asymptotique en boucle fermee de la machine

asynchrone nous a permis de montrer que celui-ci depend de la correlation

du bruit de courant et de vitesse pour l’approche directe, et uniquement de

la correlation du bruit de vitesse pour l’approche indirecte.

De maniere generale, on remarque que les resultats d’estimation parametrique

obtenus pour les deux cas d’identification (I.I.C.R et I.I.C.S.3), dans le cadre de

l’identification par approche indirecte, sont voisins quelles que soient les condi-

126

4.5. Conclusion

tions de bruit, c’est-a-dire que la parametrisation du correcteur equivalent a peu

d’influence.

8 9 10 11 12 13

Rs

4 4.5 5 5.5

Rr

0.4 0.45 0.5 0.55 0.6

Lm

0.04 0.045 0.05

Lf

ID

IICR

IICS3

Valeur exacte

Fig. 4.14 – Identification en presence d’un bruit fortement correle sur le courantet d’un bruit moyennement correle sur la vitesse

4.5 Conclusion

Une methode d’identification en boucle fermee par approche indirecte adaptee

a la machine asynchrone a ete proposee. Cette methode se base sur une decom-

position de la boucle fermee. Par ailleurs cette technique d’identification n’utilise

qu’une excitation implicite due aux variations du couple.

Cette solution est a priori innovante en electrotechnique : elle a deja ete testee

dans une premiere etude sur la machine a courant continu [Bazine et al., 2006a,

Bazine et al., 2007] et nous avons pu l’adapter au cas de la machine asynchrone,

malgre de fortes contraintes (correcteur multi-variable et non lineaire, change-

ments de reperes).

Cette methodologie semble bien adaptee a l’estimation parametrique des ma-

chines electriques. Dans le cas des machines a courant alternatif, souvent utilisees

en entraınement electrique a vitesse variable donc en boucle fermee, nous avons

volontairement utilise comme excitation les variations du couple de charge. Dans

un contexte industriel cette grandeur reste toujours accessible et s’adapte bien

pour la detection de defaut.

127


Les resultats de simulation montrent que l’identification indirecte fournit de

meilleures estimations que l’identification directe, et en particulier qu’elle permet

de rejeter le biais asymptotique du aux bouclages [Bazine et al., 2008b].

Cependant, la principale contrainte imposee par l’identification indirecte est

l’indispensable connaissance du correcteur. Actuellement, la machine asynchrone

est a la base de plusieurs applications industrielles qui couvrent un domaine tres

vaste. Selon l’application mise en jeu, l’industriel peut avoir un acces a tous les

details de la commande, c’est-a-dire une connnaissance complete de systeme de

regulation implante, tout comme il peut ignorer certaines parties a l’interieur de

la structure de la regulation. Dans ce cas, nous avons propose une identification

prealable de correcteur equivalent a l’aide d’une technique de surparametrisa-

tion afin d’eviter la connaissance a priori de la structure et des parametres du

correcteur.

Nous avons aussi remarque que le fait d’avoir une vitesse bruitee (notamment

si ce bruit est correle) a pour consequence une estimation asymptotiquement

biaisee car on ne peut pas respecter les conditions theoriques de rejet du biais, a

savoir la simulation de la vitesse. Cette methodologie d’identification en boucle

fermee de la machine asynchrone va donc pouvoir etre appliquee au diagnostic de

la machine dans le prochain chapitre.

128

Chapitre 5

Diagnostic de la machine

asynchrone par approche

indirecte

Au chapitre 4, nous avons propose une methodologie generale d’identifica-

tion en boucle fermee de la machine asynchrone par approche indirecte, ainsi

que l’identification d’un correcteur equivalent a l’algorithme de commande de la

machine, grace a une technique de moindres carres surparametrises. Dans ce cha-

pitre, nous utilisons cette approche pour la detection et la localisation des defauts

des courts-circuits au stator et de rupture de barres au rotor d’une machine asyn-

chrone. Nous proposons ainsi de definir une methodologie globale de diagnostic

de la machine asynchrone en boucle fermee par estimation parametrique qui ne

sera testee qu’en simulation.

129

Chapitre 5. Diagnostic de la machine asynchrone par approche indirecte

5.1 Introduction

Un systeme de surveillance doit fournir des informations fiables sur le fonc-

tionnement de l’unite aux operateurs qui l’exploitent. Il doit etre capable de

provoquer dans les cas graves un arret de l’unite ou de permettre au systeme de

production de continuer de fonctionner en mode degrade en cas de probleme ne

necessitant pas un arret immediat. Tout cela en evitant bien sur des erreurs de

type fausses alarmes qui provoquent l’arret inutile de l’installation. Les taches de

detection et de localisation des defaillances trouvent ainsi tout naturellement leur

place dans un tel systeme de surveillance.

La detection de defauts dans les machines electriques a fait l’objet de re-

cherches et de realisations industrielles depuis de nombreuses annees. L’analyse

vibratoire, en particulier, est utilisee pour la detection de problemes mecaniques,

des ruptures de barres au rotor et des courts-circuits au stator des machines asyn-

chrone [Baghli et al., 1997]. Les exigences industrielles en terme de maintenance

orientent la recherche vers un diagnostic fin des defauts et surtout leur diagnostic

precoce.

Depuis environ deux decennies, de nombreuses recherches en genie electrique

et en identification parametrique ont permis l’elaboration de strategies de diag-

nostic hors-ligne et en-ligne des entraınements electriques. Ainsi, la mise au point

d’algorithmes dedies a l’estimation des parametres physiques, en prenant en

compte une connaissance a priori de la machine, a permis une avancee promet-

teuse du diagnostic par estimation parametrique. Il est necessaire au prealable de

preciser un point essentiel : pour obtenir une bonne estimation des parametres,

il est indispensable de bien exciter la machine. Pour cela, en fonctionnement

avec variateur de vitesse, l’excitation qui semble le mieux satisfaire a cette exi-

gence consiste a perturber le point de fonctionnement electrique par une SBPA

[Moreau, 1999] [Schaeffer, 1999] [Bachir, 2002]. Ce mode d’excitation est effec-

tivement bien adapte aux applications a vitesse variable ; cependant, il s’avere

contradictoire avec les objectifs de production lorsque le but est precisement de

maintenir une vitesse constante.

Aussi, nous avons etudie un autre protocole d’excitation qui nous semble

mieux adapte aux applications industrielles a vitesse constante. Ce protocole

exclut les variations de vitesse par action sur la reference de regulation. Comme

des variations autour du point de fonctionnement sont cependant necessaires, on

considere comme seules acceptables par l’utilisateur celles induites par la variation

130

5.2. Modeles de defaut de la machine asynchrone

du couple de charge pendant le fonctionnement normal de la machine.

Dans ce chapitre, nous presentons dans une premiere partie deux modeles de

defauts de la machine asynchrone : un modele de defaut statorique traduisant le

dysfonctionnement de la machine en presence de court-circuit de spires au stator

et un modele de defaut rotorique du type rupture de barres. Une panne de type

court-circuit au stator et rupture de barres au rotor apparaissant simultanement

n’est pas a exclure lors de grandes sollicitations de la machine ; un modele global

de la machine asynchrone avec defauts stator/rotor est donc lui aussi presente. La

deuxieme partie de ce chapitre est consacree a l’application de cette methodologie

d’identification en boucle fermee a la detection de defauts simules de la machine

asynchrone.

5.2 Modeles de defaut de la machine asynchrone

5.2.1 Introduction

L’hypothese fondamentale pour la surveillance d’un systeme par un suivi pa-

rametrique est qu’un defaut se traduit par la variation d’un (ou de plusieurs)

parametre(s) caracteristique(s) du systeme, constituant ainsi la signature de ce

defaut.

D’apres [Bachir, 2002] dont les travaux de recherche s’appuient sur ceux de

[Moreau, 1999] [Schaeffer, 1999], la machine asynchrone presente en plus d’un

comportement dynamique conventionnel, un comportement du au defaut. Ainsi,

ces etudes ont permis l’elaboration de modeles permettant le decouplage de deux

modes : le mode commun qui n’est autre que le modele dynamique de la machine

asynchrone et le mode differentiel, caracteristique du defaut. Le mode commun,

exprime dans le repere triphase ou dans le repere de Park et parametrise par les

composants electriques de la machine, est l’image du comportement sain de la

machine. Pour tenir compte du defaut, on doit introduire le mode differentiel qui

traduit le dysfonctionnement. Les parametres de ce mode doivent permettre la

detection et la localisation du defaut. Rappelons que le principe de cette metho-

dologie est decrit dans [Bachir et al., 2008].

Notre objectif est l’application de notre methodologie d’identification en boucle

fermee, developpee auparavant, a la detection des defauts de la machine asyn-

131


chrone. Ceci necessite une modelisation adaptee au defaut envisage. Il est donc

necessaire d’ecrire des modeles de la machine asynchrone en situation de defaut :

– un modele de court-circuit de spires au stator,

– un modele de rupture de barres au rotor,

– un modele global avec defauts stator/rotor.

Ces modeles sont directement deduits de [Bachir, 2002].

5.2.2 Modele de defauts statoriques de type court-circuit

Il s’agit de modeliser une machine fictive equivalente dont le stator et le rotor

sont toujours constitues de trois phases identiques parcourues par des courants

triphases. Pour prendre en compte l’existence de spires en court-circuit au stator

de la machine asynchrone, on introduit une bobine supplementaire court-circuitee

dont le nombre de spires ncc est egal au nombre de spires en defaut dans la ma-

chine [Schaeffer, 1999]. Ainsi, en presence d’un desequilibre statorique, la machine

comporte, en plus des bobinages triphases statoriques et rotoriques, un bobinage

court-circuite a l’origine du champ stationnaire de direction fixe θcc par rapport

au stator.

Le modele de defauts statoriques que nous presentons ici prend intrinseque-

ment en compte l’existence de courts-circuits de spires dans plusieurs phases au

stator [Bachir et al., 2001c]. Ce modele comporte en plus du modele classique

(modele biphase), des quadripoles de courts circuits pour expliquer un eventuel

defaut sur plusieurs phases. La figure 5.1 donne le schema electrique equivalent

de la machine asynchrone dans le repere de Park en regime transitoire, en tenant

compte d’un eventuel defaut de court-circuit et avec les fuites totalisees au stator.

Rs LfωP (π

2)φdqs

Lm Rrudqs

idqs

idqr

idqm

i′

dqs

idqcc1

idqcc2idqcc3

Qcc3Qcc2Qcc1

Fig. 5.1 – Modele de defauts statoriques de la machine asynchrone

132


Pour un referentiel note (x) tournant a une vitesse ωa par rapport au sta-

tor de la machine asynchrone, l’ensemble des equations electriques de la ma-

chine asynchrone en defaut de court-circuit statorique s’ecrit [Schaeffer, 1999]

[Bachir, 2002] :

u(x)dqs

= Rsi′(x)dqs

+d

dtφ(x)

dqs+ ωaP (

π

2)φ(x)

dqs(5.1)

0 = Rri(x)dqr

+d

dtφ(x)


π

2)φ(x)

dqr(5.2)

φ(x)

dqs= (Lf + Lm)i

′(x)dqs

+ Lmi(x)dqr

(5.3)

φ(x)

dqr= Lm(i

′(x)dqs

+ i(x)dqr

) (5.4)

i(x)dqs

= i′(x)dqs

+ i(x)

dqcc(5.5)

i(x)

dqcc=

3∑

k=1

i(x)

dqcck(5.6)

i(x)

dqcck=

2

3

ηcc

Rs

P (−θa)Q(θcck)P (θa)u

(x)dqs

(5.7)

avec :

–dθa

dt= ωa ;

– le rapport de court-circuit note ηcck=

ncck

nsest egal au rapport du nombre

de spires en court-circuit de la keme phase sur le nombre total de spires

dans une phase statorique sans defaut. Ce parametre permet de quantifier

le desequilibre et d’obtenir le nombre de spires en court-circuit ;

– le courant i(x)

dqcckcorrespond au courant de court-circuit de la keme phase ;

– l’angle electrique, note θcck, repere le bobinage en court-circuit par rapport

a l’axe de reference de la phase as. Ce parametre permet la localisation du

bobinage en defaut et ne peut prendre que les trois valeurs 0, 2π3

ou −2π3

,

correspondant respectivement a un court-circuit sur les phases as, bs ou cs ;

– la matrice Q(θcck) permet de situer l’angle du bobinage en court-circuit.

Q(θcck) =

[cos(θcck

)2 cos(θcck) sin(θcck

)

cos(θcck) sin(θcck

) sin(θcck)2

](5.8)

Si on veut proceder a un diagnostic par identification indirecte, on est oblige

de se placer dans le repere du champ tournant. Ainsi les equations de tensions

et de flux de la machine asynchrone en presence d’un defaut statorique de type

133


court-circuit, dans un referentiel lie au champ tournant, deviennent :

udqs= Rsi

′

dqs+

d

dtφ

dqs+ ωsP (

π

2)φ

dqs(5.9)

0 = Rridqr+

d

dtφ


π

2)φ

dqr(5.10)

φdqs

= (Lf + Lm)i′

dqs+ Lmidqr

(5.11)

φdqr

= Lm(i′

dqs+ idqr

) (5.12)

idqs= i

′

dqs+ idqcc

(5.13)

idqcc=

3∑

k=1

idqcck(5.14)

idqcck=

2

3

ηcc

Rs

P (−θs)Q(θcck)P (θs)udqs

(5.15)

5.2.3 Modele de defaut rotorique

Comme pour un defaut statorique, une rupture de barre rotorique est a l’ori-

gine d’un champ stationnaire H0 par rapport au rotor et dirige selon l’angle θ0

de la barre en defaut. Un parametre supplementaire η0 est naturellement intro-

duit pour quantifier le defaut rotorique [Bachir et al., 2001b]. Le rotor dans le

repere biphase comporte donc un troisieme bobinage court-circuite du fait de la

cage d’ecureuil et parcouru par un courant fictif i0 de defaut et dont le nombre

de spires fictives est proportionnel au taux de defaut. Pour tenir compte de cette

anomalie de champ, ce bobinage doit obligatoirement avoir la meme direction que

la barre en defaut. Par consequent, le mode differentiel introduit comporte deux

parametres de defaut permettant la detection et la localisation des barres cassees :

– l’angle electrique note θ0 reperant le bobinage˝en defaut. Ce parametre

permet la localisation de la barre en defaut ;

– le rapport de defaut note η0 egal au rapport du nombre de spires en defaut

sur le nombre total de spires dans une phase triphasee rotorique fictive sans

defaut. Ce parametre permet de quantifier le desequilibre et d’obtenir le

nombre de barres cassees. Le nombre de spires au rotor etant fictif, pour

un rotor de nb barres, si on considere une spire rotorique comme etant

une maille constituee de deux barres court-circuitees par deux portions

d’anneaux [Bachir et al., 2001a], alors le nombre total de spires rotoriques

est egal au nombre de barres au rotor. Une phase fictive est donc constituee

134


de nb

3barres. Pour nbc barres cassees sur une phase, l’expression du rapport

de defaut η0 est donnee par :

η0 =3nbc

nb

(5.16)

Rdefaut

RsLf

ωP (π2)φdqs

Rrudqs

idqs

idqr

idqm

Lm

Fig. 5.2 – Modele de defauts rotoriques de la machine asynchrone

Dans [Bachir, 2002], un modele de la machine asynchrone en situation de

defauts rotoriques a ete propose. La figure 5.2 illustre le schema equivalent dans

le repere de Park de la machine asynchrone en regime dynamique avec fuite

ramenee au stator.

L’ensemble des equations electriques de la machine asynchrone en defaut ro-

torique, dans un referentiel lie au champ tournant, s’ecrit :

udqs= Rsidqs

+d

dtφ

dqs+ ωsP (

π

2)φ

dqs(5.17)

0 = Reqidqr+

d

dtφ


π

2)φ

dqr(5.18)

φdqs

= (Lf + Lm)idqs+ Lmidqr

(5.19)

φdqr

= Lm

(idqs

+ idqr

)(5.20)

Req = Rr.I2 + Rdefaut (5.21)

Rdefaut =α

1 − αQ(θ0)Rr (5.22)

ou I2 =

[1 0

0 1

]

Avec

– la resistance equivalente Req au rotor est la mise en serie de la resistance

saine Rr et de la matrice resistance de defaut Rdefaut,

135


– θ0 est l’angle de reperage de defaut rotor dans le repere du champ tournant

(θ0 = θ0r−θr , θ0r

etant l’angle de reperage du defaut par rapport au rotor),

α =2

3η0 Q(θcck

) =

[cos(θ0)

2 cos(θ0) sin(θ0)

cos(θ0) sin(θ0) sin(θ0)2

]

Remarque

En situation de defaut sur deux barres au rotor, l’estimation de deux angles de

defaut θ01 et θ02 permet d’avoir le decalage angulaire ∆θ entre les barres cassees :

∆θ = θ02 − θ01 (5.23)

5.2.4 Modele general de defauts de la machine asynchrone

Nous avons presente deux modeles de la machine asynchrone a cage. Chaque

modele est dedie a un defaut particulier (court-circuit des spires au stator et rup-

ture de barres au rotor). En milieu industriel, les defauts intervenant en cours

de fonctionnement sont rarement localises dans une seule partie de la machine.

En effet, la reaction en chaıne des incidents est fortement envisageable car le

rotor, comme le stator, sont soumis au meme environnement. Ainsi, il est inte-

ressant, dans une optique de surveillance generalisee de la machine, d’envisager

un diagnostic de defauts simultanes stator/rotor.

Nous presentons ainsi a la figure 5.3, un modele de defauts stator/rotor (repere

de Park) [Bachir et al., 2001e] qui fait intervenir le fonctionnement sain de la

machine, les courts-circuits de spires au stator et les ruptures de barres au rotor

a travers la matrice resistance de defaut.

Rs LfωP (π

2)φdqs

Lmudqs

idqs

idqr

idqm

i′

dqs

idqcc1

idqcc2idqcc3

Qcc3Qcc2Qcc1

Rdefaut

Rr

Fig. 5.3 – Modele de defauts stator/rotor de la machine asynchrone

136


L’ensemble des equations electriques de la machine asynchrone en defaut si-

multane stator/rotor, dans un referentiel lie au champ tournant, s’ecrit alors :

udqs= Rsi

′

dqs+

d

dtφ

dqs+ ωsP (

π

2)φ

dqs(5.24)

0 = Reqidqr+

d

dtφ


π

2)φ

dqr(5.25)

φdqs

= (Lf + Lm)i′

dqs+ Lmidqr

(5.26)

φdqr

= Lm(i′

dqs+ idqr

) (5.27)

idqs= i

′

dqs+

3∑

k=1

idqcck(5.28)

idqcck=

2

3

ηcc

Rs

P (−θs)Q(θcck)P (θs)udqs

(5.29)

Req = Rr.I2 + Rdefaut (5.30)

Rdefaut =α

1 − αQ(θ0)Rr (5.31)

Le modele de defaut stator/rotor permet la detection et la localisation de spires en

court-circuit a partir des rapports ηccket des angles θcck

ainsi que la quantification

du nombre de barres cassees a travers le rapport η0. Ainsi, la connaissance de ces

parametres par estimation parametrique permet une surveillance generalisee de

la machine asynchrone.

5.2.5 Conclusion

En situation de defaut, la machine asynchrone presente en plus d’un compor-

tement dynamique classique, un comportement du au defaut. En modelisation

orientee vers le diagnostic, deux modes sont envisages ; un mode commun˝et

un mode differentiel˝. Le mode commun traduit le fonctionnement sain de la

machine. Le mode differentiel a pour objectif de traduire le dysfonctionnement

et ses parametres doivent etre essentiellement sensibles au defaut. Cette situa-

tion s’avere propice a la detection de veritables defauts. En effet, une variation

de temperature ou d’etat magnetique se traduisent par une modification de l’etat

parametrique du modele de mode commun, et ne doivent pas pour autant affecter

le mode differentiel [Bachir et al., 2008].

La methode de diagnostic par estimation parametrique conduit a proceder

a l’identification des parametres du modele complet. Ainsi, les parametres elec-

137


triques du mode commun indiqueront l’etat dynamique de la machine tandis que

les parametres du mode differentiel permettront d’acceder a l’information sur les

defauts presents dans la machine. L’identification de ces parametres va permettre

la detection et la localisation du desequilibre.

5.3 Resultats du diagnostic de la machine asyn-

chrone en boucle fermee

5.3.1 Introduction

L’identification parametrique, presentee au second chapitre, est la procedure

permettant la determination des parametres d’un modele mathematique a partir

de resultats experimentaux. Ainsi, l’identification repose sur la definition d’un

modele du systeme reel.

Dans le cas du diagnostic de la machine asynchrone a cage, on s’interesse

a l’identification des parametres des modeles de defaut statorique et rotorique

presentes precedemment. La strategie de diagnostic consiste a realiser le suivi

des parametres du mode differentiel (parametres de defaut). L’estimation des

parametres ηcckindique alors le nombre de spires en court-circuit sur chacune

des trois phases au stator et le parametre η0 permet d’avoir le nombre de barres

cassees au rotor.

Les methodes de suivi de la variation de parametres physiques, basees sur

l’estimation parametrique, ont ete peu appliquees jusqu’a present en diagnostic.

L’experience du Laboratoire d’Automatique et d’Informatique Industrielle dans

ce domaine, nous montre qu’il s’agit d’une methode de surveillance bien adaptee

a la detection et a la localisation, a condition neanmoins d’utiliser une strategie

efficace. Pour cela, il est raisonnable de considerer que le mode commun represente

le fonctionnement sain de la machine et qu’a ce titre, l’utilisateur en possede une

certaine expertise.

Cette expertise va representer une connaissance a priori de la machine, c’est-

a-dire d’une estimation θ0 des parametres et de leur variance. Par contre, l’uti-

lisateur ne sait pas a priori quel defaut va se produire et il doit porter toute

son attention sur l’estimation des parametres caracteristiques du defaut. Aussi

l’association d’une technique d’estimation parametrique avec information a priori

138

5.3. Resultats du diagnostic de la machine asynchrone en boucle fermee

associee a un modele de defaut de la machine, avec modes commun (sain) et dif-

ferentiel (de defaut) nous semble donc parfaitement adaptee au cas de la machine

asynchrone.

5.3.2 Estimation parametrique avec information a priori

Les travaux de recherche realises au sein de Laboratoire d’Automatique et

d’Informatique Industrielle ont montre que l’adjonction d’une information a priori

en erreur de sortie, grace a un critere composite, permet d’introduire une connais-

sance initiale, relative a la machine saine, et ainsi d’accelerer et de robustifier la

convergence de l’algorithme de programmation non lineaire.

La connaissance du fonctionnement sain resulte d’une (ou plusieurs) estima-

tion(s) prealable(s) permettant d’obtenir les valeurs nominales du vecteur θ, de

la variance du bruit de sortie σb ainsi que de la matrice de covariance de l’es-

timation V ar θopt. Ces valeurs sont en effet indispensables pour construire les

differentes ponderations du critere composite (θ0, σb, M0). Pour cela, une estima-

tion des parametres electriques de la machine asynchrone saine, sans introduction

d’information a priori, permet d’obtenir ces informations indispensables.

Pour cela, nous proposons de construire l’information a priori, a partir d’une

moyenne de dix estimations par identification indirecte (correspondant au fonc-

tionnement sain de la machine), afin de determiner les differentes ponderations

du critere composite :

JC = (θ − θ0)T M−1

0 (θ − θ0) +1

σ2b

K∑

k=1

(ε2dsk

+ ε2qsk

) (5.32)

avec

θ0 =

Rs0

Rr0

Lm0

Lf0

=

9.7921

5.3079

5.0456 10−01

4.0625 10−02

139


M0 =

σ2Rs

0 0 0

0 σ2Rr

0 0

0 0 σ2Lm

0

0 0 0 σ2Lf

=

4.587 10−03 0 0 0

0 5.241 10−04 0 0

0 0 1.451 10−04 0

0 0 0 4.588 10−07

σb2 =

Jopt

K − N(5.33)

K, N , Jopt representent respectivement le nombre de points, le nombre de

parametres et la valeur du critere a l’optimum.

Pour la construction de la matrice de covariance des parametres M0, on ne

conserve en pratique que les termes diagonaux.

La relation (5.33) est obtenue en faisant l’hypothese que le bruit de mesure

est identique sur les deux axes de Park. Dans le cas ou le bruit de mesure est

different sur les deux axes, il faut calculer les variances respectives sur les deux

axes d et q de Park et ponderer de fait differemment les deux termes quadratiques

du critere composite.

Les resultats d’estimation parametrique sont obtenus en utilisant une excita-

tion par couple de charge. Dans ce cas la variance estimee de la perturbation de

sortie est egale a :

σb2 = 0.0413

5.3.3 Diagnostic d’un defaut stator

5.3.3.1 Modele dedie au diagnostic des courts-circuits au stator

A partir du modele de defaut stator decrit a la section 5.2.2, on obtient

une representation d’etat d’ordre 4 de la machine asynchrone (ou la vitesse est

une pseudo-entree mesuree) correspondant a l’identification indirecte. Le vecteur

d’etat ainsi que l’entree et la sortie du systeme sont exprimes dans le champ

tournant :

140


˙

X(t) = A(ω).X(t) + B.u(t)

Y = C.X(t) + D.u(t)(5.34)

avec

X =[i′

ds i′

qs ϕdr ϕqr


u =

[uds

uqs

], Y =

[ids

iqs


A =

−Rs+Rr

Lfωs

Rr

Lf .Lm

ωLf

−ωs −Rs+Rr

Lf− ω

Lf

Rr

Lf .Lm

Rr 0 − Rr

Lm(ωs − ω)

0 Rr −(ωs − ω) − Rr

Lm

, B =

[1

Lf0 0 0

0 1Lf

0 0

]T

(5.37)

C =

[1 0 0 0

0 1 0 0

], D =

3∑k=1

2ηcck

3Rs

P (−θs)Q(θcck)P (θs) (5.38)

Le modele de defaut permet la detection et la quantification de spires en

court-circuit a partir des rapports ηcck, et aussi de localiser ce defaut a travers

les angles θcckpredefinis. Ainsi, on ecrit l’expression du vecteur des parametres a

estimer :

θ = [Rs Rr Lm Lf ηcc1 ηcc2 ηcc3]T (5.39)

A partir des estimations de la machine asynchrone saine effectuees precedem-

ment, on obtient les parametres electriques de reference ainsi que les ponderations

du critere composite JC . Les parametres de defaut ηccketant completement in-

connus, on leur affecte la valeur nulle dans le vecteur θ0 . Ainsi pour toutes les

simulations d’identification, on prend :

141


θ0 =[9.7921 5.3079 5.0456 10−01 4.0625 10−02 0 0 0

]T

M−10 = diag(1/4.587 10−03 , 1/5.241 10−04 , 1/1.451 10−04 , 1/4.588 10−07 , 0 , 0 , 0)

σb2 = 0.0413

Dans l’expression de la matrice inverse M−10 , seuls les parametres electriques

possedent une information a priori. Les parametres de defaut etant totalement

inconnus, cela signifie que leur variance ne peut etre qu’infinie, et leur inverse ne

peut donc qu’etre nulle.


5.3.3.2.1 Detection et localisation

Pour tester notre methodologie d’identification en boucle fermee dans le cas

de defaut statorique, nous avons envisage deux situations de defauts statoriques :

court-circuit sur une seule phase et court-circuit sur plusieurs phases au stator.

Les simulations ont ete realisees dans le cadre d’un fonctionnement en re-

gulation avec une consigne Ωref qui est donc constante et un couple de charge

variable, seule excitation implicite. Nous nous sommes places dans des conditions

de bruit telles que les bruits des courants ids, iqs sont fortement correles et avec

le rapport S/B = 20 dans le champ tournant. Le bruit de vitesse est un bruit

blanc de rapport S/B = 30.

Les procedures de diagnostic par approche directe et approche indirecte ont

ete appliquees sur les cas suivants :

– cas 1 : Court-circuit de 18 spires sur la phase c du stator,

– cas 2 : Court-circuit de 58 spires sur la phase a et 29 spires sur la phase b.

Remarque

Pour plus de clarte, nous remplacerons directement les rapports de court-circuit

ηcckpar le nombre de spires en court-circuit ncck

correspondant. Chaque phase

ayant 464 spires, le nombre de spires en court-circuit sur la keme phase est obtenu

142


conformement a la relation :

ncck= ηcck

· ns = ηcck· 464

10 209.79

9.792

9.794

9.796

9.798

9.8

Rs

10 205.3

5.305

5.31

Rr

10 200.492

0.494

0.496

0.498

0.5

Lm

10 200.04

0.0402

0.0404

0.0406

0.0408

Lf

10 200

20

40

60

ncc

1

10 200

10

20

30

ncc

2

10 200

1

2

3

4

ncc

3

Fig. 5.4 – Evolution des parametres pour un court-circuit de 58 spires sur laphase a et 29 spires sur la phase b

2 2.5 3 3.5100

150

200

uqs

2 2.5 3 3.50

5

10

iqs

2 2.5 3 3.5

−5

0

5

εuqs

2 2.5 3 3.5

−1

0

1

εiqs

simulation

estimation

Fig. 5.5 – Comparaison des courants et des tensions simules et estimes pour uncourt-circuit de 58 spires sur la phase a et 29 spires sur la phase b d’axe q de Park

143


A titre d’illustration, il est interessant de presenter l’evolution des parametres

estimes lors de la procedure d’identification indirecte. Comme le montre la figure

5.4, seul le nombre de spires en court-circuit estime explique le defaut.

En effet, au cours de la procedure d’identification, les parametres electriques

de la machine asynchrone restent quasiment figes sur l’optimum (en raison de

l’information a priori θ0 ponderee par M0) alors que les rapports de court-circuit

evoluent librement pour approcher le defaut reel.

La figure 5.5 represente la comparaison entre les courants et les tensions simu-

les et estimes dans le repere du champ tournant (correspondant a l’identification

par approche indirecte).

5.3.3.2.2 Comparaison de resultats d’identification par approche di-

recte et approche indirecte

Sur une moyenne de dix simulations, on obtient les valeurs des estimations des

parametres avec information a priori de la machine asynchrone . Les algorithmes

directs et indirects avec correcteur reel et correcteur equivalent surparametrise

sont compares grace a cette simulation stochastique.

Les tableaux 5.1et 5.2 montrent les resultats d’estimation parametrique, por-

tant sur une moyenne de dix simulations pour les deux cas de defauts statoriques.

Ainsi, nous presentons la moyenne de chaque parametre identifie avec une marge

d’erreur egale a ± 3 fois l’ecart type (de la distribution de Monte Carlo).

D’apres les resultats obtenus, l’approche parametrique conduit, en moyenne,

a une estimation satisfaisante du nombre de spires en court-circuit ncckprovoque

sur les phases en defaut. L’erreur d’estimation, pour les deux cas de l’identification

indirecte (I.I.C.R et I.I.C.S), est negligeable et ne depasse pas 3 spires sur les

phases en defaut.

Cependant, on note pour l’identification directe que l’estimation du taux de

defaut sur ces phases pour l’ensemble des simulations, presente une erreur deux

fois plus importante que celle par l’identification indirecte.

On remarque aussi, que l’estimation de nccksur les phases sans defaut est tres

proche de zero pour l’identification indirecte, alors que ce parametre presente un

defaut de quelques spires par l’identification directe.

144


θ I.D I.I.C.R I.I.C.S.3

Rs9.8805 10+00 9.7922 10+00 9.7916 10+00

±6.5227 10−02 ±6.3468 10−04 ±3.8940 10−03

Rr5.3095 10+00 5.3079 10+00 5.3079 10+00

±2.1505 10−03 ±1.7846 10−04 ±1.7272 10−04

Lm4.9335 10−01 4.9377 10−01 4.8378 10−01

±1.3655 10−03 ±1.5807 10−05 ±4.8890 10−05

Lf3.8835 10−02 4.0627 10−02 4.0617 10−02

±4.1246 10−04 ±4.7647 10−05 ±5.5365 10−05

ncc1

4.0613 10−01 3.3300 10−02 6.2600 10−02

±9.0310 10−01 ±1.3589 10−01 ±1.2687 10−01

ncc2

5.6011 10−01 5.6080 10−02 4.8280 10−02

±1.4981 10+00 ±8.9889 10−02 ±1.1701 10−01

ncc3

1.8542 10+01 1.7787 10+01 1.8362 10+01

±2.0072 10+00 ±1.5294 10+00 ±1.3850 10+00

Tab. 5.1 – Resultats d’estimation parametrique pour un court-circuit de 18 spiressur la phase c


Rs9.9161 10+00 9.7956 10+00 9.7928 10+00

±1.7852 10−01 ±1.4397 10−03 ±5.0967 10−03

Rr5.3104 10+00 5.3080 10+00 5.3080 10+00

±3.3186 10−03 ±3.9225 10−04 ±3.0718 10−04

Lm4.9265 10−01 4.9208 10−01 4.8375 10−01

±9.3483 10−03 ±1.2194 10−05 ±8.1338 10−05

Lf3.8448 10−02 4.0609 10−02 4.0625 10−02

±1.1955 10−03 ±1.6937 10−05 ±2.0087 10−05

ncc1

5.9396 10+01 5.8041 10+01 5.8329 10+01

±2.8348 10+00 ±1.9108 10+00 ±2.7581 10+00

ncc2

2.9443 10+01 2.8868 10+01 2.8907 10+01

±2.7111 10+00 ±1.7340 10+00 ±1.8353 10+00

ncc3

5.5603 10−01 5.9956 10−02 6.3388 10−02

±2.1885 10+00 ±1.3732 10−01 ±1.9994 10−01

Tab. 5.2 – Resultats d’identification parametrique pour un court-circuit de 58spires sur la phase a et 29 spires sur la phase b

145


−1 −0.5 0 0.5 1 1.5

ncc

1

−1 0 1 2

ncc

2

16 17 18 19 20 21

ncc

3

ID

IICR

IICS3

valeur exacte

Fig. 5.6 – Resultats d’identification parametrique pour un court-circuit de 18spires sur la phase c

Une projection des estimations du nombre de spires en court-circuit, pour

les deux cas de defauts statoriques, presentee sur les figures 5.6 et 5.7, permet

de visualiser la bonne correspondance entre les estimations et les valeurs reelles.

En plus, on constate une meilleure estimation et une dispersion plus faible des

resultats pour l’identification indirecte (pour un correcteur parfaitement connu

ou estime par surparametrisation).

54 56 58 60 62 64

ncc

1

26 28 30 32

ncc

2

−2 −1 0 1 2 3

ncc

3

ID

IICR

IICS3

valeur exacte

Fig. 5.7 – Resultats d’identification parametrique pour un court-circuit de 58spires sur la phase a et 29 spires sur la phase b

146


5.3.4 Diagnostic d’un defaut rotor

5.3.4.1 Modele de detection

Nous avons presente a la section 5.2.3 un modele de defaut rotorique parame-

tre par les 6 coefficients (Rs , Rr , Lm , Lf , η0 , θ0). La representation d’etat du

modele electrique de la machine, dans le champ tournant, tenant compte de ce

type de defaut est :

˙

X(t) = A(ω).X(t) + B.u(t)

Y = C.X(t)(5.40)

avec

X =[ids iqs ϕdr ϕqr


u =

[uds

uqs

], Y =

[ids

iqs


A =

[−

(L−1

f (Rs.I2 + Req) + ωsP (π2))

L−1f

(ReqL

−1m − ωP (π

2))

Req −(ReqL

−1m + (ωs − ω)P (π

2))]

B =

[1

Lf0 0 0

0 1Lf

0 0

]T

, C =

[1 0 0 0

0 1 0 0

]

[Req] = Rr ·

(I2 +

α

1 − αQ(θ0))

)

(5.43)

θ0 est l’angle de reperage de defaut rotor par rapport au champ tournant. Ainsi,

on ecrit l’expression du vecteur des parametres a estimer :

θ = [Rs Rr Lm Lf η0 θ0]T (5.44)

En calculant le nombre de barres cassees nbc correspondant au taux de defaut

sur l’axe de recherche repere par l’angle θ0, on peut en deduire plusieurs situa-

tions :

– si le nombre de barres cassees nbc est negligeable, alors le rotor est sain ;

147


– si le nombre de barres cassees nbc est proche de l’unite, alors le rotor com-

porte au moins un defaut dans une barre ;

– si nbc > 1, alors le rotor comporte plus d’une barre cassee. On introduit

dans le modele deux parametres η01 et η02 correspondant respectivement au

taux de defauts sur deux axes de recherche reperes par les angles θ01 et θ02.

On definit alors le nouveau vecteur des parametres a estimer :

θ = [Rs Rr Lm Lf η01 η02 θ01 θ02]T (5.45)

On calcule les parametres nbckcorrespondant aux taux de defaut sur les

deux barres.

Ce processus est reitere si nbck> 1.

Remarque

En application industrielle, il est evident que la simple detection d’une barre

cassee est suffisante pour envisager soit le changement du rotor dans le cas des

petites et moyennes puissances, soit sa reparation pour les grandes puissances.

Dans ce cas, le diagnostic sur un seul axe est suffisant pour une maintenance

predictive de la machine.



Nous avons teste la procedure de diagnostic de rupture de barres en boucle

fermee dans les situations suivantes :

– un rotor possedant une seule barre cassee, l’angle de defaut par rapport au

rotor est 4π28

;

– un rotor avec deux barres cassees successives ∆θ = 2π28

.

Les simulations ont ete realisees dans le cadre d’une excitation par couple de

charge, seule excitation implicite. Nous nous sommes places dans des conditions

de bruit telles que les bruits des courants ids, iqs sont fortement correles et avec

le rapport S/B = 20 dans le champ tournant. Le bruit de vitesse est un bruit

blanc de rapport S/B = 30.

Comme pour les courts-circuits au stator, nous remplacons directement le pa-

rametre η0 par le nombre de barres cassees correspondant nbc. Le nombre total

148


de barres au rotor est egal a 28 , le nombre de barres cassees est obtenu confor-

mement a la relation :

nbc = η0 ·nb

3= η0 ·

28

3

2 4 6 8 10 12 140

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n0

2 4 6 8 10 12 140

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

θ0

Fig. 5.8 – Evolution des parametres de defaut pour une barre cassee

La figure 5.8 represente l’evolution des parametres lors de la procedure d’iden-

tification indirecte relative a l’essai avec une barre cassee. Pour le meme essai, on

represente a la figure 5.9 la comparaison entre le courant reel et le courant estime

ainsi que la comparaison entre la commande reelle et la commande estimee sur

l’axe q de repere du champ tournant.

Les residus sur les courants (εids, εiqs

) traduisent les types de bruits introduits

lors de la simulation de la machine asynchrone.

Malgre l’initialisation a zero du parametre n0, le nombre de barres cassees

estime est proche de l’unite. On peut par ailleurs constater que l’angle de defaut

estime est tres proche de la realite.

La figure 5.10 represente l’evolution des parametres lors de la procedure

d’identification indirecte pour deux barres cassees successives.

Les resultats de l’identification font apparaıtre l’existence d’une defaillance au

rotor. Il paraıt clair d’apres la figure 5.10 que le taux de defaut sur un seul axe est

superieur a l’unite. Par consequent, le nombre de barres en defaut est superieur

a une barre.

Dans ce cas particulier ou les defauts sont successifs, le nombre de barres

cassees estime sur un seul axe est approximativement proche de la realite.

149


2 2.5 3 3.5

120

140

160

180

200

uqs

2 2.5 3 3.52

4

6

8

iqs

2 2.5 3 3.5

−1

0

1

εiqs

2 2.5 3 3.5

−5

0

5

εuqs

Fig. 5.9 – Comparaison des courants et des tensions simules et estimes pour unerupture d’une barre

5 10 159.79

9.7929.7949.7969.798

9.89.802

Rs

5 10 15

5.3

5.305

5.31

5.315

Rr

5 10 15

0.5

0.5005

0.501

0.5015

Lm

5 10 150.0385

0.039

0.0395

0.04

Lf

5 10 150

0.5

1

1.5

2

n0

Fig. 5.10 – Evolution des parametres pour un defaut de deux barres cassees

150




Sur une moyenne de dix simulations, on obtient les valeurs des estimations des

parametres avec information a priori de la machine asynchrone. Les algorithmes

directs et indirects avec correcteur reel et correcteur equivalent surparametrise

sont compares grace a cette simulation stochastique.

Le tableau 5.3 presente les resultats d’identification, dans le cas d’une barre

cassee, pour une moyenne de dix simulations differentes. Ainsi, nous presentons,

la moyenne de chaque parametre identifie avec une marge d’erreur egale a ± 3

fois l’ecart type.


Rs9.8585 10+00 9.7916 10+00 9.7917 10+00

6.8541 10−02 2.3263 10−03 2.4996 10−03

Rr5.3047 10+00 5.3079 10+00 5.3078 10+00

1.3682 10−02 1.2902 10−04 3.4278 10−04

Lm4.9548 10−01 4.8382 10−01 4.8381 10−01

3.5792 10−03 1.2777 10−04 1.4614 10−04

Lf3.8837 10−02 4.0625 10−02 4.0618 10−02

5.2716 10−04 7.3050 10−05 4.1435 10−05

n01.0171 10+00 1.0313 10+00 1.0215 10+00

1.6797 10−01 8.4558 10−02 8.1024 10−02

θ04.3736 10−01 4.4219 10−01 4.4622 10−01

9.0931 10−02 8.6426 10−02 9.1245 10−02

Tab. 5.3 – Resultats d’estimation parametrique (defaut rotorique)

En premier lieu, on peut remarquer que les parametres electriques du mode

commun sont peu affectes par le defaut. Leurs variations dans l’ensemble des

situations sont negligeables. En revanche, l’estimation du parametre nbc indique

la presence d’un desequilibre au rotor. L’angle θ0 indique la position du defaut

par rapport au rotor. Ainsi, on peut constater la bonne correspondance entre les

estimations et les valeurs reelles. En plus, on remarque une meilleure estimation

et surtout une dispersion plus faible des resultats pour l’identification indirecte

(I.I.C.R et I.I.C.S.3).

151


5.3.5 Diagnostic de defauts simultanes stator/rotor

5.3.5.1 Modele de detection

Nous avons presente a la section 5.2.4 un modele global de defauts simultanes

stator/rotor. On definit donc le vecteur des parametres a estimer :

θ = [Rs Rr Lm Lf ηcc1 ηcc2 ηcc3 η0 θ0]T (5.46)

La representation d’etat du modele electrique de la machine, dans le champ

tournant, tenant compte de ce type de defauts est :

˙

X(t) = A(ω).X(t) + B.u(t)

Y = C.X(t) + D.u(t)(5.47)

avec

X =[i′

ds i′

qs ϕdr ϕqr


u =

[uds

uqs

], Y =

[ids

iqs


A =

[−

(L−1

f (Rs.I2 + Req) + ωsP (π2))

L−1f

(ReqL

−1m − ωP (π

2))

Req −(ReqL

−1m + (ωs − ω)P (π

2))]

B =

[1

Lf0 0 0

0 1Lf

0 0

]T

, C =

[1 0 0 0

0 1 0 0

]

D =3∑

k=1

2ηcck

3Rs

P (−θs)Q(θcck)P (θs)

[Req] = Rr ·

(I2 +

α

1 − αQ(θ0))

)

(5.50)



152


Comme precedemment, les simulations ont ete realisees dans le cadre d’une

excitation par couple de charge, seule excitation implicite. Nous nous sommes

places dans des conditions de bruit telles que les bruits des courants ids, iqs

sont fortement correles avec le rapport S/B = 20 dans le champ tournant. Le

bruit de vitesse est un bruit blanc de rapport S/B = 30.

Concretement, on procede d’abord a un essai avec une machine saine. La figure

5.11 presente l’evolution des parametres de defaut estimes lors de la procedure

d’identification indirecte dans le cas d’une machine saine.

5 10 150

0.05

0.1

ncc

1

5 10 150

0.1

0.2

0.3

0.4

ncc

2

5 10 150

0.02

0.04

0.06

ncc3

5 10 150

0.005

0.01

nbc

Fig. 5.11 – Evolution des parametres de defaut dans le cas d’une machine sainepar identification indirecte

On verifie bien d’apres la figure 5.11, qu’en absence de defaut dans la machine

asynchrone et en utilisant le modele global de defauts comme modele d’identi-

fication, les parametres de defaut presentent des taux de defauts negligeables,

signalant donc une absence de defauts.

Pour analyser le comportement du modele lors de defauts simultanes stator

et rotor, nous effectuons l’essai d’un court-circuit de 29 spires sur la phase as, de

18 spires sur la phase cs et deux barres cassees successives avec ∆θ =2π

28.

A titre d’illustration, il est interessant de presenter l’evolution des parametres

estimes lors de la procedure d’identification indirecte et la procedure d’identifica-

tion directe. L’objectif est en fait de comparer la rapidite de convergence ainsi que

la precision de l’estimation des parametres pour les deux types d’identification.

153


5 10 15 20 250

10

20

30

ncc

1

5 10 15 20 250

2

4

6

ncc2

5 10 15 20 250

5

10

15

20

ncc

3

5 10 15 20 250

0.5

1

1.5

2

2.5

nbc

Fig. 5.12 – Evolution des parametres pour un court-circuit de 29 spires sur laphase a, 18 spires sur la phase c et deux barres cassees par identification indirecte

2 4 6 80

10

20

30

ncc

1

2 4 6 80

1

2

3

4

ncc

2

2 4 6 80

5

10

15

20

25

ncc

3

2 4 6 80

0.5

1

1.5

2

nbc

Fig. 5.13 – Evolution des parametres pour un court-circuit de 29 spires sur laphase a, 18 spires sur la phase c et deux barres cassees par identification directe

154


Comme le montrent les figures 5.12 et 5.13, le nombre de spires en court-

circuit estime et le nombre de barres cassees expliquent le defaut. En effet, au

cours de la procedure d’identification, les parametres electriques de la machine

asynchrone restent quasiment figes sur l’optimum (en raison de l’information a

priori θ0 ponderee par M0) alors que les rapports de court-circuit et des barres

cassees evoluent librement pour approcher le defaut reel.

On remarque aussi que l’identification directe necessite moins d’iterations pour

converger que l’approche indirecte. Mais, en contre partie, l’estimation des pa-

rametres de defaut par approche indirecte apparaıt plus precise que celle par

approche directe.

La figure 5.14 represente la comparaison entre les courants (et les tensions)

simules et estimes dans le repere du champ tournant dans le cas d’un court-

circuit de 29 spires sur la phase a, 18 spires sur la phase c et deux barres cassees

(correspondant a l’identification par approche indirecte).

1.5 2 2.5 3 3.5−30

−20

−10

0

10

uds

1.5 2 2.5 3 3.51

1.5

2

2.5

ids

1.5 2 2.5 3

120

140

160

180

200

uqs

1.5 2 2.5 3 3.52

4

6

8

10

iqs

simulation

estimation

Fig. 5.14 – Comparaison des courants (et tensions) simules et estimes pour uncourt-circuit de 29 spires sur la phase a, 18 spires sur la phase c et deux barrescassees



155


Comme precedemment, la strategie de diagnostic de la machine asynchrone

consiste a effectuer plusieurs estimations des parametres du modele de defaut glo-

bal. La moyenne des estimations des parametres ηcckindique le nombre de spires

en court-circuit sur chacune des trois phases et le parametre η0 permet d’obtenir

le nombre de barres cassees au rotor conformement a :

– nombre de spire en defaut sur la keme phase : ncck= ηcck

· ns ;

– nombre de barres cassees au rotor : nbc =η0nb

3.


Rs9.8895 10+00 9.7927 10+00 9.7930 10+00

±6.4223 10−02 ±1.8141 10−03 ±2.5298 10−03

Rr5.3102 10+00 5.3079 10+00 5.3080 10+00

±1.9567 10−03 ±9.9975 10−05 ±1.6172 10−04

Lm4.9116 10−01 4.8377 10−01 4.8377 10−01

±1.2460 10−03 ±6.0462 10−05 ±9.3287 10−05

Lf3.8601 10−02 4.0629 10−02 4.0634 10−02

±1.7313 10−04 ±2.3874 10−05 ±1.5670 10−05

ncc1

2.9854 10+01 2.8626 10+01 2.8248 10+01

±2.9300 10+00 ±2.1003 10+00 ±2.2901 10+00

ncc2

4.9395 10−01 1.2838 10−01 1.2619 10−01

±8.5083 10−01 ±2.3694 10−01 ±1.6647 10−01

ncc3

1.9054 10+01 1.8267 10+01 1.8001 10+01

±1.9662 10+00 ±5.7173 10−01 ±9.5223 10−01

n02.1043 10+00 2.0459 10+00 2.0504 10+00

±1.9851 10−01 ±3.3049 10−01 ±2.3863 10−01

Tab. 5.4 – Resultats d’estimation parametrique (defauts simultanes)

Le tableau 5.4 resume les resultats de l’estimation parametrique pour l’en-

semble des simulations. Les resultats obtenus montrent la concordance entre les

parametres estimes et les parametres reels du defaut (une erreur maximale de

3 spires pour l’identification indirecte sur les phases en defaut et de plus que 5

spires pour l’identification directe). On peut aussi remarquer que les parametres

electriques de la machine ne sont pas affectes par l’introduction des differents

defauts sur la machine. Seuls les parametres de defaut varient en fonction de

l’origine du desequilibre.

En conclusion, l’algorithme d’identification parametrique avec information a

priori est robuste face a des defauts simultanes stator/rotor. On peut aussi consta-

ter que l’estimation des parametres par approche indirecte presente de bons re-

156

5.4. Conclusion

sultats en simulation qui donnent une image tres realiste du desequilibre present

dans la machine.

Une projection des estimations du nombre de spires en court-circuit et du

nombre des barres cassees, presentee sur la figure 5.15, permet de visualiser la

bonne correspondance entre les estimations et les valeurs reelles. En plus, on

constate une meilleure estimation et une dispersion plus faible des resultats pour

l’identification indirecte. On peut remarquer qu’avec cette approche, l’estimation

des defauts est mieux centree que l’approche directe. De plus, la variance des

estimations est plus faible. L’interet de cette variance plus faible est manifeste en

absence de defaut : alors que l’approche directe laisse subsister un doute sur ncc2

(figure 5.15).

Comme les estimations par approche indirecte fournissent une dispersion ne-

gligeable au tour de la valeur zero, on peut en deduire que cette approche permet

de reduire le taux de fausses-alarmes.

26 28 30 32 34

ncc

1

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5

ncc

2

16 18 20 22

ncc

3

1.8 2 2.2 2.4

nbc

ID

IICR

IICS3

valeur exacte

Fig. 5.15 – Resultats d’estimation parametrique (defauts simultanes)

5.4 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons propose une procedure de detection et de loca-

lisation des defauts sur la machine asynchrone basee sur l’identification parame-

trique par approche indirecte et sur l’utilisation de modeles dedies aux defauts

statoriques et rotoriques.

157


Cette procedure de diagnostic en boucle fermee a ete validee en simulation, en

utilisant une excitation implicite due aux variations du couple de charge. Elle a

permis d’une part, la localisation au stator de spires en court-circuit sur plusieurs

phases et la determination de leur nombre, et d’autre part, de quantifier le nombre

de barres cassees au rotor.

Ce dernier chapitre apporte une reponse a nos interrogations initiales exposees

dans l’introduction generale :

– l’excitation du modele electrique par couple de charge est-elle suffisamment

riche pour satisfaire aux objectifs d’identification ?

– est-il possible d’ameliorer la detection de defauts en prenant en compte ex-

plicitement la nature bouclee du fonctionnement de la machine asynchrone ?

Concernant l’excitation par le couple de charge, toutes les etudes en simula-

tion, que ce soit sur la machine a courant continu ou la machine asynchrone ont

montre sa pertinence. Par ailleurs, son utilisation n’induit pas de biais specifique a

condition bien evidemment d’utiliser un algorithme d’identification par approche

indirecte.

Concernant l’amelioration de la detection de defauts stator et rotor, l’approche

indirecte semble apporter une meilleure precision d’estimation de nature a lever

des doutes (principalement en absence de defauts) et surtout une absence de

biais asymptotique, caracteristique essentielle de l’approche directe. Toutefois,

il faut reconnaıtre que l’approche indirecte converge nettement plus lentement

que son homologue directe : une solution a ce probleme pratique serait d’utiliser

l’approche directe pour initialiser l’approche indirecte.

158

Conclusion generale

Dans l’introduction generale, nous nous sommes donne fondamentalement

pour objectif l’amelioration du diagnostic par estimation parametrique de la ma-

chine asynchrone. Pour cela, nous avons defini deux voies de recherche, l’une

concernant un mode d’excitation acceptable par l’utilisateur grace aux pertur-

bations induites par les variations du couple de charge, l’autre dediee a l’iden-

tification de la machine asynchrone par une methodologie prenant en compte

explicitement l’algorithme de commande de la boucle fermee. Cependant, avant

d’aboutir a cet objectif final, il nous a semble judicieux de definir des etapes inter-

mediaires pour la mise au point d’une methodologie generale d’identification en

boucle fermee de la machine asynchrone, utilisable pour le diagnostic, mais aussi

dans toute autre application necessitant une estimation parametrique, telle que la

modelisation physique de la machine, la synthese d’un algorithme de commande,

etc. D’autre part, toute cette etude a ete validee en simulation numerique, grace

a la mise au point d’une plate-forme de simulation.

Dans le premier chapitre, nous avons presente quelques rappels sur la consti-

tution de la machine asynchrone ainsi que sur sa commande par controle vectoriel

a flux rotorique oriente. Nous nous sommes volontairement attardes sur le mo-

dele triphase et le modele de Park de la machine pour determiner les modeles

(dedies a l’identification directe et l’identification indirecte) qui sont a la base

de la procedure de diagnostic par estimation parametrique. Nous avons aussi de-

crit un simulateur numerique de la machine asynchrone, incluant son algorithme

de commande, charge de generer des donnees de validation pour les algorithmes

d’identification.

Nous avons consacre le deuxieme chapitre a la presentation de differentes me-

thodes d’identification en boucle fermee, classees en trois approches suivant leurs

hypotheses d’utilisation : l’approche directe, l’approche simultanee et l’approche

indirecte. Une attention particuliere a ete portee a l’identification indirecte par

159

Conclusion generale

erreur de sortie qui fait l’objet de ce memoire. Cette methode a ete evaluee en

simulation, ce qui a permis d’effectuer une premiere quantification de ses perfor-

mances. Le principal interet de cette methode reside dans la non connaissance a

priori du correcteur. La procedure d’identification du correcteur par surparame-

trisation semble bien adaptee a une situation industrielle, car elle ne necessite ni

la connaissance des parametres, ni la structure exacte du correcteur.

Dans le troisieme chapitre, nous avons propose une methode d’identification

en boucle fermee de la machine a courant continu basee sur l’approche indirecte.

En effet, le choix de la machine a courant continu nous a paru judicieux comme

plateforme de test de notre approche avec une complexite limitee. Le principal

interet de cette methodologie d’identification reside dans la non connaissance a

priori du correcteur. La commande realisee est du type cascade avec correcteurs

imbriques : dans ce cas, la technique de surparametrisation nous semble un moyen

permettant de contourner cette difficulte. Par ailleurs cette technique d’identifi-

cation peut fonctionner en n’utilisant que l’excitation implicite causee par les

variations du couple de charge. Une comparaison des resultats d’identification

par approche directe et par approche indirecte montre que les resultats d’iden-

tification sont globalement satisfaisants en approche indirecte (en utilisant la

structure exacte du correcteur ou la structure surparametrisee), alors qu’un biais

asymptotique dependant de la nature et de la variance du bruit se manifeste en

approche directe. Nous avons constate aussi que l’identification directe presente

une variance plus importante sur les parametres que l’approche indirecte.

On s’est interesse dans le quatrieme chapitre a l’application de cette methode

au cas de la machine asynchrone. Plusieurs problemes ont ete souleves : dans le

cas de la MCC, on ne se pose pas la question du repere car il n’y en a qu’un

de possible, celui du champ tournant, alors que le fonctionnement de la machine

asynchrone peut etre analyse dans trois reperes principaux : repere lie au stator,

repere lie au rotor et repere lie au champ tournant. Un autre probleme concerne

le correcteur equivalent a la commande vectorielle : alors qu’il est uniquement

cascade dans le cas de la MCC, il est cascade, multivariable et non lineaire pour

la machine asynchrone. On choisit habituellement le repere lie au rotor de la ma-

chine asynchrone pour l’identification directe car c’est celui qui necessite le moins

de transformations/estimations. Comme on veut proceder a une identification in-

directe prenant en compte les correcteurs, on est oblige de se placer dans le repere

du champ tournant. En effet, la commande et les correcteurs ont ete concus dans

le repere du champ tournant (comme pour une MCC) afin d’asservir le flux et le

couple : il est donc imperatif de se referer au champ tournant. Malheureusement,

160

la position du champ tournant n’est pas connue et elle doit necessairement etre

estimee : l’identification en boucle fermee de la machine asynchrone est donc net-

tement plus complexe et plus delicate que celle de la MCC. L’etude comparative

en simulation numerique a montre que le biais asymptotique sur l’estimation des

parametres electriques est quasi inexistant pour l’approche indirecte alors qu’il

depend nettement de la nature et de la variance des bruits sur les courants pour

l’approche directe. Par ailleurs, nous avons verifie que l’excitation par couple

de charge s’avere satisfaisante et suffisante, tout en garantissant une meilleure

precision pour l’approche indirecte.

Le cinquieme chapitre est dedie au diagnostic de la machine asynchrone par

estimation parametrique grace a l’approche indirecte. Il constitue la reponse es-

sentielle a notre interrogation initiale exposee dans l’introduction generale. Cette

methodologie de detection de defauts repose fondamentalement sur la definition

de modeles dedies aux defauts [Bachir, 2002]. Le premier modele permet d’ex-

pliquer un court-circuit sur plusieurs phases statoriques, le second tient compte

du desequilibre au rotor du type rupture de barres. Enfin, l’association de ces

deux modeles avec le modele nominal˝a permis de definir un modele global en

situation de defauts simultanes stator/rotor, pour une surveillance generalisee de

la machine asynchrone a cage. La encore, les etudes comparatives effectuees en

simulation numerique ont montre que l’approche indirecte permet une ameliora-

tion de la detection de defauts, qu’ils soient au stator, au rotor, ou simultanes, en

permettant de rejeter la presomption de defauts en fonctionnement sain, et cela

grace a la seule excitation creee par les variations du couple de charge. Il faut ce-

pendant constater un accroissement net du temps de convergence de l’algorithme

en approche indirecte.

Bien que des reponses aient ete apportees a nos interrogations initiales, notre

travail est cependant loin d’etre acheve, et cela pour plusieurs raisons. La premiere

concerne la validation experimentale de notre methodologie : il devient essentiel

de verifier les resultats d’identification par approche indirecte sur une application

reelle. En effet, bien que la simulation numerique ait ete concue dans un souci

de realisme, il devient indispensable de verifier certaines hypotheses relatives aux

bruits, sur les courants et sur la vitesse. D’autre part, un point nevralgique pour

l’utilisation du repere du champ tournant concerne l’estimation de sa position :

il sera donc tres instructif d’analyser son influence sur l’identification indirecte

en situation reelle. Enfin, bien que les correcteurs aient ete envisages avec des

compensations non lineaires, il va etre fondamental de tester la methodologie

avec des correcteurs reellement implantes sur calculateur.

161

Conclusion generale

Nous avons signale qu’un bruit sur la vitesse induisait un biais asymptotique

qu’il n’est pas possible de rejeter par approche indirecte, cela car la vitesse est

consideree comme une pseudo-entree. Ce point la va meriter une attention particu-

liere en situation experimentale, afin de quantifier l’influence de cette contrainte.

Une piste de recherche peut aussi concerner la prise en compte d’un modele elec-

tromecanique complet (annexe C), pour eviter la contrainte de la pseudo-entree

vitesse. Mais bien sur, cela repousse le probleme sur la connaissance du couple

de charge ou de son estimation.

Enfin, on peut donner comme objectif plus general l’analyse des erreurs de

modelisation de la machine asynchrone comme voie d’amelioration du diagnos-

tic. A cet effet, la modelisation des barres rotoriques par de simples resistances

n’est pas de nature a prendre en compte les effets de frequence dus aux cou-

rants de Foucault : leur modelisation par approche fractionnaire semble donc une

piste pertinente d’amelioration du diagnostic, au prix cependant d’un surcroıt de

complexite.

162

Annexe A

Biais de l’estimateur

A.1 Algorithme a erreur de sortie

Le vecteur parametre θ est reactualise par l’algorithme de Gauss-Newton de

la maniere suivante :

θi+1 = θi − [J ′′θθ]

−1 · J ′θ θ=θi

(A.1)

avec :

– J′

θ = −2K∑

k=1

εkσk : Le gradient,

– J′′

θθ = 2K∑

k=1

σkσTk : Le pseudo-hessien,

– εk = yk + bk − yk(θ) : le residu,

– yk(θ) : le modele simule grace a la connaissance de l’excitation uk et de

l’estimation θ des parametres du systeme.

A.2 Hypothese deterministe

On suppose dans un premier temps que la sortie n’est pas bruitee, c’est-a-dire

que le bruit de sortie bk = 0 quel que soit k.

On fait par ailleurs l’hypothese que θex est la valeur exacte des parametres et

que l’on connaıt parfaitement l’ordre du systeme.

163

Annexe A. Biais de l’estimateur

Alors yk(θex) = yk pour bk = 0 ∀k et pour des conditions initiales nulles.

Initialisons l’algorithme de Gauss-Newton a θi = θex.

Alors

εk = yk − yk(θex) = 0 ∀k

donc

J′

θ = −2

K∑

k=1

εkσk = −2

K∑

k=1

0 · σk = 0

alors

θi+1 = θex − 0 = θex

En absence de bruit de sortie, l’algorithme converge vers θex (minimum ab-

solu).

A.3 Hypothese stochastique

Soit bk un bruit de sortie quelconque (blanc ou correle) mais de moyenne nulle.

Alors lorsque θ = θex, εk = bk. Dans ce cas, le gradient ne peut plus s’annuler

pour θex et il apparaıt une erreur d’estimation (pour un nombre fini K de points

de mesure).

Remarquons que :

[J ′′θθ]

−1 · J ′θ = −

[2

K∑k=1

σkσtk

]−1

·

[2

K∑k=1

εkσk

]

= −

[2

K

K∑k=1

σkσtk

]−1

·

[2

K

K∑k=1

εkσk

] (A.2)

164

A.3. Hypothese stochastique

Alors

limK→∞

1

K

K∑k=1

σkσtk = E σkσ

tk

et

limK→∞

1

K

K∑k=1

εkσk = E εkσk

(A.3)

Soit

E εkσk = E

(yk + bk − yk(θ))σk

= E

(yk − yk(θ))σk

+ E bkσk

Lorsque θ = θex , E(

yk − yk

(θ))

σk

= 0.

Alors

θi+1 = θi +[E

σkσ

tk

]−1· E εkσk

Soit θi = θex

alors ǫk = bk et

θi+1 = θex + [E σkσtk]

−1· E bkσk

= θex + ∆θ∞ (lorsque K → ∞)(A.4)

Plusieurs situations sont envisageables :

– Identification en boucle ouverte

– Identification directe en boucle fermee

– Identification indirecte en boucle fermee

165


A.3.1 Identification en boucle ouverte

y∗k

uk

yk(θ)

+

+

bk

Systeme

Modele

σk

yk

Fig. A.1 – Identification en boucle ouverte

Les fonctions de sensibilite σk sont calculees a partir de uk (independant du

bruit bk) et ne sont donc pas correlees avec bk.

Soit

E σkbk = σkE bk = 0

alors θ∞

= 0

donc θi+1 = θex lorsque K → ∞, en identification boucle ouverte, l’algorithme

converge vers θex, quelle que soit la nature du bruit (de moyenne nulle).

A.3.2 Identification en boucle boucle fermee par approche

directe

+-rk

y∗k

uk

yk(θ)

+

+

bk

Systeme

Modele

σk

Correcteur

Fig. A.2 – Identification en boucle fermee par approche directe

166

A.3. Hypothese stochastique

Dans ce cas σk est calcule a partir de uk, qui lui meme est calcule (via le

correcteur) a partir de bk. Donc σk est correle avec bk et E σkbk 6= 0 donc

θ∞

6= 0 ce qui induit un biais asymptotique. C’est-a-dire que l’algorithme de

Gauss-Newton ne peut plus converger vers θex (lorsque K → ∞).

Remarque

En situation boucle fermee et en identification indirecte, lorsque bk est un bruit

blanc, uk n’est pas correle avec bk, mais avec bk−1,bk−2, . . .a cause du retard

inherent au correcteur numerique. Alors E σkbk = 0 malgre le bouclage.

A.3.3 Identification en boucle boucle fermee par approche

indirecte

rk

+- uk

ModeleCorrecteur

yk(θ)

+- y∗

kuk ++bk

SystemeCorrecteur

σ∗k

Fig. A.3 – Identification en boucle fermee par approche indirecte

uk est une entree reconstruite, obtenue par simulation. Dans ce cas σ∗k est

calcule a partir de uk, lui meme est calcule a partir de rk et yk(θ), sans que le

bruit bk intervienne dans la boucle.

Alors σ∗k est independant de bk donc E σ∗

kbk = 0 et θ∞

= 0

L’algorithme de Gauss-Newton peut alors reconverger vers θex, lorsque σ∗k est

calcule a partir d’une deuxieme boucle fermee, independante de bk.

167


168

Annexe B

Relations lineaires entre

moments discrets et parametres

du correcteur

Les relations etablies dans cette annexe sont tirees de [Trigeassou, 1987] et

[Grospeaud, 2000].

B.1 Cas d’un correcteur sans integrateur

Soit

C(z) =r0 + r1z

−1 + · · ·+ rmz−m

1 + s1z−1 + · · ·+ snz−n(B.1)

Nous avons defini dans le chapitre 2 le principe des moments discrets comme

etant le developpement de C(z) en serie de Taylor au voisinage de z−1 = 1. On

obtient :

Z ck = C(z) =

∞∑

n=0

(z−1 − 1)n

n!Cn (B.2)

169

Annexe B. Relations lineaires entre moments discrets et parametres du correcteur

ou

Cn =∞∑

k=n

Ankck avec An

k =k!

(k − n)!(B.3)

Cn(ck) est le moment discret d’ordre n de ck.

La serie∞∑

n=0

un

n!Cn(ck) est entierement definie dans son domaine de convergence.

Par ailleurs, les moments discrets Cn sont parfaitement definis dans le cas d’un

systeme stable.

Soient les polynomes β(u) et α(u) correspondant respectivement au numera-

teur et au denominateur du correcteur C(z) obtenus en remplacant la variable

(z−1 − 1) par la variable u et en developpant les expressions en serie de Taylor

selon la forme precedente.

Soit

β(u) =M∑

n=0

unβn

α(u) =N∑

n=0

unαn

(B.4)

ou

βn =M∑

k=n

Ankrk et An

k = k!n!(k−n)!

αn =N∑

k=n

Anksk

(B.5)

D’apres les relations (B.4) et (B.5), et comme C(u) = β(u)α(u)

, on obtient alors

l’egalite suivante :

C(u) =

M∑n=0

unβn

N∑n=0

unαn

=

N∑

n=0

un

n!Cn(ck) (B.6)

Les moments discrets Cn(ck) recherches peuvent donc etre calcules par division

170

B.2. Cas d’un correcteur avec un integrateur

polynomiale ou par convolution discrete. Ils sont solution du systeme lineaire

triangulaire.

β0 = α0C0

β1 = α1C0 + α0C1

β2 = α2C0 + α1C1 +1

2!α0C2

...

βi =n=i∑n=0

1

n!αi−nCn

...

βN = αNC0 + αN−1C1 +1

2!αN−2C2 + · · · +

1

n!α0CN

(B.7)

Les moments Cn sont obtenus successivement a partir des relations recurrentes

suivantes

C0 = 0!β0/α0

C1 = 1! [β1 − α1C0] /α0

C2 = 2! [β2 − α2C0 − α1C1] /α0

...

Cn = n!

[βn −

n−1∑i=0

1

i!Ciαn−i

]/α0

...

CN = N !

[βN − αNC0 − αN−1C1 −

1

2!αN−2C2 − · · · −

1

(n − 1)!α1CN−1

]/α0

(B.8)

B.2 Cas d’un correcteur avec un integrateur

Lorsque le correcteur possede une integration, le calcul des moments differe

du cas precedent.

Soit

C(u) = −1

u

∞∑

n=0

un

n!Cn (B.9)

171

Annexe B. Relations lineaires entre moments discrets et parametres du correcteur

On obtient alors l’egalite suivante :

C(u) =

M∑n=0

unβn

N∑n=0

unαn

= −1

u

N∑

n=0

un

n!Cn(ck) (B.10)

Les moments discrets Cn recherches peuvent donc etre calcules par division

polynomiale ou par convolution discrete. Ils sont obtenus a partir des relations

recurrentes suivantes :

C0 = 0!−β0/α1

C1 = 1! [−β1 − α2C0] /α1

C2 = 2! [−β2 − α3C0 − α2C1] /α1

C3 = 3!

[−β3 − α4C0 − α3C1 −

1

2!α2C2

]/α1

...

Cn = n!

[−βn −

n−1∑i=0

1

i!Ciαn+1−i

]/α1

...

CN = N !

[−βN − αNC1 −

1

2!αN−1C2 − · · · −

1

(n − 1)!α2CN−1

]/α1

(B.11)

172

Annexe C

Identification de la machine a

courant continu

R

e

L

i

u ω

Cr

Fig. C.1 – Machine a courant continu (MCC)

Le modele electromecanique de la MCC se subdivise en deux modeles :

Un modele electrique

u = R · i + L ·di

dt+ k · φ · ω (C.1)

173

Annexe C. Identification de la machine a courant continu

Un modele mecanique

J ·dω

dt= k · φ · i − Cr − f · ω (C.2)

Pour une MCC a aimants parmanents, le flux φ est constant et on introduit

le parametre K telque K = k · φ. Dans ces equations, u et i sont les grandeurs

electriques relatives au rotor, tandis que ω et Cr sont les grandeurs mecaniques

relatives a la dynamique de rotation.

Les variables u, i et ω sont des grandeurs facilement mesurables ; par contre, le

couple resistant Cr n’est que tres rarement mesure, voire jamais dans la pratique

industrielle.

Du point de vue de la causalite, les variables u et Cr sont des variables qui

agissent sur le rotor et sa dynamique de rotation : ce sont donc des entrees ou

des excitations dans une formulation automaticienne.

Les variables i et ω resultent de l’action de ces variables d’excitation : ce sont

donc des sorties ou des reponses a ces excitations.

On peut donc schematiser la MCC par le systeme a 2 entrees / 2 sorties

caracterise par les parametres R , L , K , J , f

ω

i

Cr

u

θT = [R L K J f ]

Fig. C.2 – Les entrees / sorties de la MCC

On peut donc formuler le probleme de l’identification du modele de la MCC

selon : estimer les parametres θ grace aux mesures u , Cr , ω , i .

Comme on l’a dit precedemment, la variable Cr n’est pas mesuree et le modele

electromecanique ne peut donc pas etre identifie directement dans sa globabilite.

Un solution triviale consiste a supposer que la MCC fonctionne a vide : alors

Cr = 0 et le modele global est theoriquement identifiable.

174

On notera neanmoins que Cr n’est jamais identiquement nul et qu’il subiste

un couple de frottement sec inconnu : l’identification n’est donc pas possible en

pratique, sauf si on fait l’hypothese que ce couple est constant et qu’on l’assimile

a une composante continue que l’on va aussi identifier.

Lorsque le couple de charge est proportionnel a la vitesse ou a son carre

(Cr = αω ou Cr = βω2) le modele redevient identifiable : les coefficients α et

β ne sont alors rien d’autres qu’une generalisation du coefficient de frottement

visqueux f .

Cependant, en pratique industrielle, le couple de charge doit etre considere

comme une grandeur non mesuree inherente au fonctionnement de la machine,

que l’on considere comme une grandeur de perturbation dans une approche au-

tomaticienne, et dont on rejette l’influence grace a un asservissement ou une

regulation.

Aussi, il est plus simple de realiser l’identification de la MCC en s’appuyant

sur les particularites de ses modeles electrique et mecanique.

Le modele mecanique fait explicitement appel a l’excitation Cr : on identi-

fie alors les parametres mecaniques J et f grace a des essais de ralentissement

conventionnels, lesquels essais sont necessairement hors ligne.

Le modele electrique ne fait pas explicitement appel a l’excitation Cr : il

peut donc etre identifie grace aux mesures u, i et ω , en considerant u comme

une entree, i comme une sortie et ω comme une entree (ou plutot comme une

pseudo-entree).

Soit

u − k · φ · ω = R · i + L ·di

dt(C.3)

u est une veritable entree, verifiant le principe de causalite ; par contre ω est

une sortie d’un point de vue causal. En considerant que ω est une variable d’ex-

citation, on viole donc le principe de causalite, mais on rend le modele electrique

identifiable.

Comme ce modele ne fait pas intervenir explicitement Cr, il peut etre utilise

en charge, et a couple de charge variable.

175


Dans un fonctionnement en boucle ouverte, u est constant : en regime perma-

nent, Cr = cte donc i et ω sont constants. Lorsque Cr varie, le courant absorbe

par le rotor i et sa vitesse ω varient (figure C.3), conformement a l’equation

mecanique (C.2), tout en verifiant l’equation electrique (C.1) (ou (C.3)).

2 2.5 3 3.5 45

5.5

6

6.5Courant i

2 2.5 3 3.5 484

86

88

90Vitesse ω

2 2.5 3 3.5 4−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Couple de charge Cr

Fig. C.3 – Simulation en boucle ouverte a u = 20 V

Dans l’equation (C.2), ω est la consequence de l’action de Cr (et du courant

i) tandis que dans l’equation (C.1) i est la consequence de l’action de la variable

ω (a u = cte), donc en fait de l’action de Cr.

En conclusion, le couple de charge Cr est bien une variable d’entree pour la

variable de sortie courant, mais implicite et remplacee dans l’equation (C.1) par

la pseudo-entree ω.

Dans un fonctionnement en boucle fermee du type regulation de vitesse, c’est

la reference de vitesse ωref qui est a present constante : lorsque le couple de charge

Cr varie, la boucle fermee ramene la vitesse ω a sa consigne ωref en modifiant la

variable de commande u (figure C.4). Mais la encore, la variable de sortie i verifie

toujours la relation (C.1), dans laquelle u et ω ont subi des variations imposees

par l’asservissement suite a l’action du couple de charge Cr.

En conclusion, le couple de charge Cr est une variable d’excitation de type

implicite et l’equation (C.1) peut etre utilisee pour estimer les parametres elec-

triques de la MCC en considerant la variable ω comme une pseudo-entree.

176

1.5 2 2.5 3 3.5 419

20

21

22Commande u

1.5 2 2.5 3 3.5 42

4

6

8Courant i

1.5 2 2.5 3 3.5 4

80

85

90

95

vitesse

1.5 2 2.5 3 3.5 4

0

0.2

0.4

0.6

Couple de charge Cr

ωref

ω

Fig. C.4 – Simulation en boucle fermee a ωref = 90 rad/s

Remarque

On retrouve la meme problematique dans le cas de la machine asynchrone, avec

des equations plus complexes. Comme la encore le couple de charge ne peut pas

etre mesure, on se limite a l’identification du modele electrique, dans lequel la

vitesse du rotor est consideree comme une pseudo-entree.

177


178

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Bibliographie

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Resume

Ce memoire de these relate la mise au point d’une methodologie d’identification en boucle

fermee de la machine asynchrone, grace a une prise en compte explicite de l’algorithme de

commande vectorielle. Fondamentalement, l’identification directe pose des problemes en raison

des perturbations stochastiques que l’on retrouve sur la variable de commande via la boucle de

regulation, ce qui rend l’estimation asymptotiquement biaisee. Nous proposons de remedier a

ce probleme grace a une identification indirecte sur la base de la connaissance du correcteur. De

plus, nous etendons le champ d’application de cette approche en identifiant prealablement un

correcteur equivalent a l’aide d’une technique de moindres carres surparametrises, afin d’eviter

la connaissance a priori de la structure et des parametres du correcteur. Une structure minimale

du correcteur equivalent surparametrise est obtenue grace a un test original portant sur les mo-

ments. L’identification de la machine asynchrone est effectuee grace au correcteur equivalent, a

l’aide d’un algorithme du type erreur de sortie. Outre l’elimination du biais asymptotique, les

etudes comparatives realisees en simulation stochastique ont montre que l’approche indirecte

fournit des estimees plus precises, et cela pour une excitation de la machine uniquement consti-

tuee par les variations du couple de charge. Enfin, cette nouvelle methodologie d’identification

en boucle fermee a permis d’ameliorer la detection des defauts statoriques et rotoriques de la

machine asynchrone, grace a une meilleure rejection des fausses alarmes.

Mots-cles: Machine asynchrone, machine a courant continu, identification en boucle fermee,

identification par erreur de sortie, information a priori, diagnostic par estimation parametrique.

Abstract

This thesis presents the application of a closed loop identification technique to induction ma-

chines, including explicitly the control algorithm. Basically, direct identification is asymptot-

ically biased by output disturbances and noises which are feedback to the control input via

the control algorithm. In order to get rid of this bias problem, an indirect identification tech-

nique with explicit use of the controller is proposed. Moreover, a prior knowledge of the control

algorithm is replaced by its identification with the help of an overparametrized least squares

techniques, which avoids knowledge of the structure and the parameters of the controller. An

equivalent minimal structure controller is estimated thanks to an original criterion based on

discrete moments. The identification of induction machines is performed with this equivalent

controller using an output error technique. Comparative studies performed by Monte Carlo

simulations have exhibited bias rejection and better precision of indirect identification, while

necessary excitation is only provided by torque variations of the machine load. Finally, this new

closed loop identification technique has been applied to the diagnosis of induction machines,

with the benefit of better detection of stator and rotor faults, thanks to better rejection of false

alarms.

Keywords: Induction machine, DC machine, closed-loop identification, output error identifi-

cation, a prior information, diagnosis by parameter estimation.

Documents

Identification en boucle fermée de la machine asynchrone