IDEAL DARI LATIS SKRIPSI OLEH LAILATUL FITRIYAHetheses.uin-malang.ac.id/6368/1/09610109.pdf · that + : ;, the inverse image of 0, that is + < : ; = d. I is a prime ideal of L iff

IDEAL DARI LATIS

SKRIPSI

OLEH

LAILATUL FITRIYAH

NIM. 09610109

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM

MALANG

2015

IDEAL DARI LATIS

SKRIPSI

Diajukan Kepada

Fakultas Sains dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang

untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam

Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)

Oleh

Lailatul Fitriyah

NIM. 09610109

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM

MALANG

2015

IDEAL DARI LATIS

SKRIPSI

Oleh

Lailatul Fitriyah

NIM. 09610109

Telah Diperiksa dan Disetujui untuk Diuji

Tanggal: 15 Mei 2015

Pembimbing I,

Evawati Alisah, M.Pd

NIP. 19720604 199903 2 001

Pembimbing II,

Abdul Aziz, M.Si

NIP. 19760318 200604 1 002

Mengetahui,

Ketua Jurusan Matematika

Dr. Abdussakir, M.Pd

NIP. 19751006 200312 1 001

IDEAL DARI LATIS

SKRIPSI

Oleh

Lailatul Fitriyah

NIM. 09610109

Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi

dan Dinyatakan Diterima Sebagai Salah Satu Persyaratan

untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)

Tanggal 25 Juni 2015

Penguji Utama : H. Wahyu H. Irawan, M.Pd ......................................

Ketua Penguji : Dr. Abdussakir, M.Pd ......................................

Sekretaris Penguji : Evawati Alisah, M.Pd ......................................

Anggota Penguji : Abdul Aziz, M.Si ......................................

Mengetahui,

Ketua Jurusan Matematika

Dr. Abdussakir, M.Pd

NIP. 19751006 200312 1 001

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Lailatul Fitriyah

Nim : 09610109

Jurusan : Matematika

Fakultas : Sains dan Teknologi

Judul Skripsi : Ideal dari Latis

menyatakan dengan sebenarnya bahwa skripsi yang saya tulis ini benar-benar

merupakan hasil karya saya sendiri, bukan merupakan pengambilalihan data,

tulisan atau pikiran orang lain yang saya akui sebagai hasil tulisan atau pikiran

saya sendiri, kecuali dengan mencantumkan sumber cuplikan pada daftar pustaka.

Apabila di kemudian hari terbukti atau dapat dibuktikan skripsi ini hasil jiplakan,

maka saya bersedia menerima sanksi atas perbuatan tersebut.

Malang, 25 April 2015

Yang membuat pernyataan,

Lailatul Fitriyah

NIM. 09610109

MOTO

“Jangan selalu katakan "masih ada waktu" atau "nanti saja".

Lakukan segera, gunakan waktumu dengan bijak”

PERSEMBAHAN

Skripsi ini penulis persembahkan kepada:

Alm. Bapak Bashori A.R, Ibu Sularsih, Kakak Nur Diana Wati,

M. Ainur Rohim, dan M. Isnaini Syahrudin, serta keluarga dan

kerabat yang selalu memberikan do’a dan dukungan.

viii

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Alhamdulillah, puji syukur kepada Allah Swt. atas rahmat, nikmat, taufiq,

dan hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik.

Sholawat serta salam semoga senantiasa tercurahkan kepada Nabi Muhammad

Saw. yang telah membawa menuju agama yang benar yakni agama Islam.

Selanjutnya penulis ucapkan terima kasih karena do’a dan harapan kepada

semua pihak yang telah membantu selesainya skripsi ini. Ucapan terima kasih ini

penulis sampaikan kepada:

1. Prof. Dr. H. Mudjia Rahardjo, selaku rektor Universitas Islam Negeri Maulana

Malik Ibrahim Malang.

2. Dr. drh. Hj. Bayyinatul Muchtaromah, M.Si, selaku dekan Fakultas Sains dan

Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.

3. Dr. Abdussakir, M.Pd, selaku ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan

Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.

4. Evawati Alisah, M.Pd, selaku dosen pembimbing I yang telah banyak

memberikan arahan, nasihat, motivasi, dan berbagai pengalaman yang

berharga kepada penulis.

5. Abdul Aziz, M.Si, selaku dosen pembimbing II yang telah banyak

memberikan arahan dan berbagi ilmunya kepada penulis.

6. Hairur Rahman, M.Si, selaku dosen wali yang telah memberikan arahan

selama penulis menempuh kuliah.

7. Seluruh dosen dan staf administrasi Jurusan Matematika Fakultas Sains dan

ix

Teknologi yang telah bersabar dalam memberikan ilmu dan bimbingannya.

8. Keluarga tercinta, Alm. Bashori A. R, Sularsih, selaku ayah dan ibu penulis,

serta Nur Diana Wati, M. Ainur Rohim, dan M. Isnaini Syahrudin selaku

kakak-kakak penulis, yang memberikan dukungan moral maupun spiritual

sehingga penulisan skripsi ini dapat terselesaikan.

9. Seluruh teman-teman seperjuangan Jurusan Matematika angkatan 2009, dan

adik-adik tingkat yang telah memberikan dukungan kepada penulis dalam

menyelesaikan skripsi ini.

10. Dulur-dulur di Unit Kegiatan Mahasiswa Seni Religius (UKM SR)

Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.

11. Semua pihak yang telah membantu penulis, yang tidak dapat disebutkan satu

persatu.

Semoga skripsi ini bermanfaat dan dapat menambah wawasan keilmuan

khususnya ilmu matematika bagi penulis sendiri dan pembaca, Amin.

Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Malang, April 2015

Penulis

x

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL

HALAMAN PENGAJUAN

HALAMAN PERSETUJUAN

HALAMAN PENGESAHAN

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN

HALAMAN MOTTO

HALAMAN PERSEMBAHAN

KATA PENGANTAR ...................................................................................... viii

DAFTAR ISI ..................................................................................................... x

DAFTAR TABEL ............................................................................................ xii

DAFTAR GAMBAR ........................................................................................ xiii

DAFTAR SIMBOL .......................................................................................... xiv

ABSTRAK ........................................................................................................ xv

ABSTRACT ...................................................................................................... xvi

xvii ................................................................................................................... ملخص

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ............................................................................. 1

1.2 Rumusan Masalah ........................................................................ 3

1.3 Tujuan Penelitian ......................................................................... 3

1.4 Manfaat Penelitian ....................................................................... 3

1.5 Metode Penelitian ........................................................................ 4

1.6 Sistematika Penulisan .................................................................. 5

BAB II KAJIAN PUSTAKA

2.1 Aljabar ......................................................................................... 6

2.2 Himpunan .................................................................................... 7

2.2.1 Definisi Himpunan ............................................................ 7

2.2.2 Himpunan Bagian .............................................................. 9

2.2.3 Operasi Himpunan ............................................................. 11

2.3 Relasi ........................................................................................... 18

2.3.1 Relasi pada Himpunan ....................................................... 18

2.3.2 Operasi pada Relasi ........................................................... 19

2.3.3 Relasi Ekuivalensi ............................................................. 21

2.4 Order ............................................................................................ 21

xi

2.5 Rantai ........................................................................................... 25

2.6 Latis ............................................................................................. 26

2.7 Irisan dan Gabungan .................................................................... 32

2.8 Sublatis ........................................................................................ 33

2.9 Homomorfisma ............................................................................ 34

2.10 Kajian Latis dalam Perspektif Islam .......................................... 36

BAB III PEMBAHASAN

3.1 Definisi Latis ............................................................................... 40

3.1.1 Latis sebagai Order ............................................................ 40

3.1.2 Latis sebagai Aljabar ......................................................... 41

3.1.3 Prinsip Dualitas untuk Latis .............................................. 45

3.2 Sublatis ........................................................................................ 47

3.3 Sublatis Konveks ......................................................................... 49

3.4 Ideal ............................................................................................. 52

BAB IV PENUTUP

4.1 Kesimpulan .................................................................................. 60

4.2 Saran ............................................................................................ 60

DAFTAR PUSTAKA ....................................................................................... 62

RIWAYAT HIDUP .......................................................................................... 63

xii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Hukum-Hukum Aljabar Himpunan ................................................... 15

xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Diagram Venn ................................................................................ 8

Gambar 2.2 Diagram Venn ..................................................................... 9

Gambar 2.3 Diagram Garis ..................................................................... 10


Gambar 2.5 Diagram Ven ....................................................................... 12

Gambar 2.6 Diagram Venn ........................................................................... 13


Gambar 2.8 Diagram Latis Kecil ....................................................................... 35

Gambar 2.9 Contoh Homomorfisma .................................................................. 35

Gambar 3.1 Sublatis dari Latis ........................................................................... 48

Gambar 3.2 Ideal dan Ideal Prima ...................................................................... 53

Gambar 3.3 Kemungkinan-Kemungkinan dari Subset H dan I dalam

Latis L ........................................................................................... 57

xiv

DAFTAR SIMBOL

Simbol-simbol yang digunakan dalam skripsi ini mempunyai makna

sebagai berikut:

𝐼𝑑(𝑎) : principal ideal terbentuk dari elemen 𝑎

𝐼𝑑(𝐻) : ideal yang terbentuk dari himpunan H

𝐼𝑑 𝐿 : ideal dari latis L

𝐼𝑑0𝐿 : setara dengan (augmented) ideal dari latis L gabungan dari ∅

𝐼𝑛𝑓(𝐻) : batas bawah terbesar dari H

𝔏𝑎𝑙𝑔 : (order) latis L sebagai aljabar

𝔏𝑜𝑟𝑑 : (aljabar) latis L sebagai order

𝑠𝑢𝑝(𝐻) : batas atas terkecil dari H

xv

ABSTRAK

Fitriyah, Lailatul. 2015. Ideal dari Latis. Skripsi. Jurusan Matematika, Fakultas

Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim

Malang. Pembimbing: (I) Evawati Alisah, M.Pd. (II) Abdul Aziz, M.Si.

Kata Kunci: subhimpunan, latis, sublatis, ideal.

Suatu latis 𝐿 adalah suatu aljabar dengan dua operasi biner (dimisalkan

dengan perkalian ( ) dan penjumlahan ( )) yang memenuhi postulat-postulat

yaitu tertutup, komutatif, asosiatif dan absorpsi. Dalam aljabar pasti ada

subaljabar begitu juga pada latis juga terdapat sublatis. Himpunan bagian tak

kosong dari unsur-unsur suatu latis 𝐿 yang memuat irisan dan gabungan

sebarang dua unsur dari 𝐿 disebut sublatis dari 𝐿. Latis 𝐿 adalah sublatis dari

dirinya sendiri; jika adalah himpunan bagian sejati dari 𝐿, disebut sublatis

sejati dari 𝐿. Himpunan bagian tak hampa dari unsur-unsur suatu latis 𝐿 yang

memuat irisan dan gabungan sembarang dua unsur dari 𝐿 disebut sublatis dari 𝐿.

Jelas bahwa 𝐿 adalah sublatis dari dirinya sendiri; jika adalah himpunan bagian

sejati dari 𝐿, disebut sublatis sejati dari 𝐿.

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mendeskripsikan sifat-sifat ideal

dari latis. Hasil dari penelitian ini adalah:

a. Suatu subset 𝐼 dari latis 𝐿 disebut ideal jika sublatis dari 𝐿 dan 𝐼 dan 𝑎 𝐿

menyebabkan 𝑎 𝐼 b. Suatu ideal 𝐼 dari 𝐿 adalah proper jika 𝐼 𝐿

c. Ideal 𝐼 adalah ideal sejati 𝐿 jika dan hanya jika ada irisan-homomorfisma

pada 𝐿 onto seperti 𝐼 ( ), gambaran invers dari 0, yaitu 𝐼 * ( ) +

d. Ideal 𝐼 adalah ideal utama 𝐿 jika dan hanya jika ada homomorfisma pada 𝐿

onto dengan 𝐼 ( ) Bagi penelitian selanjutnya dapat dikembangkan dengan mengkaji bentuk aljabar

lainnya seperti ring, modul sebagai aplikasi dari latis disertai dengan deskripsi

gambar, teorema dan buktinya.

xvi

ABSTRACT

Fitriyah, Lailatul. 2015. Ideal of Lattice. Thesis. Department of Mathematics,

Faculty of Science and Technology, Islamic State University of

Maulana Malik Ibrahim Malang. Advisors: (I) Evawati Alisah, M.Pd.

(II) Abdul Aziz, M.Si

Keywords: subset, lattice, sublattice, ideal.

A lattice L is an algebra with two binary operations (exemplified by

multiplying (x) and the sum (+)) that satisfies postulates that closed, commutative,

associative and absorption. In algebra must be sub-algebra as well as on lattice

there is also sublattice. Non-empty subset S of elements of a lattice L which

contains intersection and union any two elements of L are called sublattice of

lattice L. L is sublattice of itself; if S is a proper subset of L, S is called proper

sublattice of L. Non-empty subsets S of elements of a lattice L than contains

intersection and union of any two elements of L are called sublattice of L. It is

clear that L is sublattice of itself; if S is a proper subset of L, S called proper

sublattice of L.

The aim of this study is to describe the ideal properties of lattice. The

results of this study are:

a. A subset I of lattice L is called an ideal if it is a sublattice of 𝐿 and 𝐼 and

𝑎 𝐿 imply that 𝑎 𝐼 b. An ideal 𝐼 of 𝐿 is proper if 𝐼 𝐿

c. I is a proper ideal of L iff there is a join homomorphism of 𝐿 onto such

that 𝐼 ( ), the inverse image of 0, that is 𝐼 * ( ) + d. I is a prime ideal of L iff there is a homomorphism of 𝐿 onto with

𝐼 ( ) Further research can be developed to assess other forms such as ring algebra,

modules as application of lattice accompanied by a description of the image,

theorem and proof.

xvii

خصمل

التكنولوجيا جامعة كلية العلوم و الرياضيات ةبشع . يجامع البحث .المثالية في الشعرية. ۵۱۰۲ ليلة. الفطرى,( عبد العزيز، ٢) .املاجستري ،سةلافويت( ا۰) :املشرف .موالنامالك إبراىيم ماالنجاإلسالمية احلكومية

املاجستري

.ثاليةالشعرية، امل اجملموعة، الشعرية، اجملموعة الثانوية: الكلمات الرئيسية

(( الذي يرضي ) ةزياد( و ىو اجلرب مع اثنني من العمليات الثنائية )مثال بضرب ) 𝐿الشعرية الواردة الشعريةاجلرب فضال عن اجملموعة. يف اجلرب جيب امتصاص هي أغلقت، تباديل، النقايب، وفاملسلمات الذي حيتوي على شرائح واجلمع بني 𝐿 الشعرية من عناصر جزء اجملموعة الثانوية .الشعرية اجملموعةأيضا فارغة

ىي Sيف حد ذاتو. إذا الشعرية اجملموعةىو 𝐿الشعرية 𝐿.من الشعرية اجملموعةتسمى 𝐿أي اثنني من عناصر .𝐿صحيح من Sالشعرية اجملموعة ، ودعا Lجمموعة فرعية احلقيقية لل

أي اجلمع بني و شرائح 𝐿 الشعرية اليت حتتوي على من العناصر الفارغة جمموعات فرعية أي وتسمىىي جمموعة S إذا نفسو؛ من الشعرية اجملموعة ىو𝐿 ومن الواضح أن L. من الشعرية اجملموعة عناصر اثنني من

وفقط إذا كان إذا حمدبة يسمى L من L من صحيح الشعرية اجملموعة S ومن مث دعا، L احلقيقية من فرعية S.و أن يكون ]ب أ،[ كامل، والفاصل الزمين ب ≥ أ ، وS يف أ، ب املماثلة العناصر زوج من لكل

:ىي ىذه الدراسة نتائج . الشعرية من خصائص مثالية لوصف ىذه الدراسة وكان الغرض من سبب و و L من الشعرية اجملموعة مثالية إذا Lالشعرية األول من فرعية ويسمى .أ

𝐼لو من املناسب Lاملثل األعلى للأنا و .ب 𝐿 على Lعلى φ مسفر و مو مو ى ةحيشر إذا كان ىناك إذا وفقط Lاحلقيقي لل املثل األعلى أنين كنت مثالية .ج

𝐼مثل 𝐼ىي ، 0 من عكسية نظرة عامة، ( ) * ( ) + مع على L على φم سفر و مو مو ى ةحيشر إذا كان ىناك إذا وفقط Lالقاعدة الرئيسية ل ىو I مثالية .د

𝐼 ( ) وصفا يرافقو الشعرية عن تطبيق، وحدات اجلرب حلقة مثل أشكال أخرىتقييم وضعها ل ملزيد من البحث وميكن

.والربىان نظريةصورة، لل

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pada era globalisasi terdapat berbagai permasalahan yang muncul,

sehingga manusia dituntut selalu berupaya untuk mencari pemecahan dari

permasalahan tersebut. Di sisi lain, ilmu pengetahuan dan teknologi semakin

berkembang, sehingga dapat membantu memberikan solusi dari permasalahan

yang terjadi. Salah satu disiplin ilmu tersebut adalah matematika. Matematika

merupakan salah satu ilmu yang memiliki banyak manfaat dalam kehidupan

sehari-hari. Matematika merupakan bahasa proses, teori dan aplikasi ilmu yang

memberikan suatu bentuk dan kemanfaatan. Namun kebanyakan orang masih

menganggap matematika sebagai salah satu pelajaran yang ditakuti, sehingga

tidak banyak orang yang tertarik untuk berusaha mempelajari dan menerapkannya

dalam kehidupann sehari-hari. Padahal, jika ditinjau lebih jauh matematika selalu

dibutuhkan kapan saja dan dimanapun tempatnya. Matematika sebenarnya

mengajak untuk berpikir secara sistematis dalam menghasilkan solusi pemecahan

yang sesuai (Kasanah, 2009:1).

Dalam al-Quran surat ar-Ra’d/13 ayat 4 disebutkan bahwa :

قىبما وان يسأ رصن أ وان وغي أ ورات و جنت منأ اعأنب وزرأع ونخيأل صن أ رأض قطع متج ل وفى الأ ف للأ أ ى ا ع أ لل ون ء وا

ون ق أ م ي ۞إن ف ذالك ليت لقوأ

“Dan di bumi ini terdapt bagian-bagian yang berdampingan, dan kebun-kebun

anggur, tanaman-tanaman dan pohon kurma yang bercabang, dan yang tidak

bercabang, disirami dengan air yang sama, kami melebihkan sebagian tanam-

tanaman itu atas sebagian yang lain tentang rasanya. Sesungguhnya pada yang

demikian itu terdapat tanda-tanda (kebesaran Allah) bagi kaum yang berfikir”

(QS. ar-Ra’d/13:4).

2

Ayat di atas menjelaskan bahwa di bumi dan di langit terdapat bagian-

bagian yang berdampingan, yang saling berhubungan antara satu pohon dengan

pohon lain, antara satu tanaman dengan tanaman lain, dan antara satu ilmu dengan

ilmu yang lain. Begitu pula matematika dengan ilmu-ilmu yang lain juga sangat

berhubungan erat dan saling membutuhkan. Seperti dijelaskan dalam arti “kami

melebihkan sebagian tanaman-tanaman itu atas sebagian lain”. Oleh sebab itu

matematika tidak terlepas dari ilmu-ilmu lain dan sebaliknya ilmu-ilmu lain juga

membutuhkan matematika.

Aljabar adalah salah satu cabang yang paling tua dari semua cabang

matematika. Aljabar merupakan salah satu bidang matematika yang mempunyai

banyak sekali materi yang dapat dibahas, di antaranya adalah himpunan, grup,

ring, ideal, teori latis, dsb. Struktur aljabar dengan satu operasi biner yang

memenuhi sifat-sifat tertentu disebut dengan grup. Sedangkan struktur aljabar

dengan dua operasi biner yang memenuhi sifat tertentu disebut ring. Dalam

perkembangannya, dua operasi biner yang memenuhi sifat tertentu disebut juga

latis. Latis atau teori latis dapat dipandang dengan beberapa cara yang berbeda,

dalam struktur aljabar atau teori himpunan. Latis dapat dikembangkan menjadi

beberapa subpembahasan diantaranya latis modular, semi modular, latis distributif

dan lain-lain. Latis didefinisikan sebagai himpunan terurut parsial yang setiap

pasangan elemen dalam mempunyai batas bawah terbesar dan batas

atas terkecil (Ifa, 2010:2-3).

Dalam penelitian ini penulis membahas tentang ideal dari latis. Ideal dari

latis ini berawal pada subset dari latis dimana subset tersebut membentuk sublatis.

Agar sublatis dapat membentuk suatu ideal, maka sublatis tersebut harus beberapa

3

sifat yang dijelaskan pada penelitian ini. Dalam penelitian ini penulis belum

pernah menjumpai penelitian yang membahas tentang ideal dari latis ini. Sehingga

penulis ingin membahas lebih jauh tentang ideal dari latis.

Berdasarkan permasalahan di atas, penulis ingin mengetahui lebih jauh dan

menganalisis tentang ideal dari latis. Merujuk pada jurnal-jurnal ilmiah dan

penelitian yang ada belum dapat menjelaskan tentang kajian ideal dari latis secara

lebih jelas. Oleh karena itu, penulis tertarik untuk membahasnya, sehingga skripsi

ini oleh penulis diberi judul “Ideal dari Latis”.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas, maka rumusan masalah yang diberikan

dalam penelitian ini adalah bagaimana deskripsi sifat-sifat ideal dari latis?

1.3 Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari penelitian ini

adalah mendeskripsikan sifat-sifat ideal dari latis.

1.4 Manfaat Penelitian

Dari penulisan skripsi ini penulis berharap agar penelitian ini bermanfaat

bagi berbagi kalangan, antara lain:

1. Bagi penulis

a. Untuk menambah pemahaman tentang konsep yang ada dalam

matematika, khususnya teori latis.

b. Sebagai sarana dan latihan untuk menambah penguasaan penulis dalam

mengkaji ideal dari latis.

4

2. Bagi Mahasiswa Jurusan Matematika

Sebagai tambahan literatur atau wawasan untuk kajian lebih lanjut bagi

mahasiswa khususnya yang sedang menempuh mata kuliah teori latis.

3. Bagi Lembaga

a. Sebagai bahan informasi tentang pembelajaran matakuliah teori latis

yang masih terbatas referensinya.

b. Sebagai tambahan bahan kepustakaan.

1.5 Metode Penelitian

Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode kajian pustaka

(library research). Untuk menganalisis ideal dari latis, terlebih dahulu akan dikaji

mengenai definisi dan sifat-sifat latis yang dapat membentuk ideal.

Adapun langkah-langkah yang akan diterapkan penulis dalam membahas

penelitian ini adalah

1. Menerapkan konsep latis, sublatis atau latis-bagian untuk menjelaskan ideal

dari latis dengan langkah-langkah sebagai berikut:

a. Menjelaskan definisi dan teorema-teorema latis beserta bukti dan contohnya

b. Menjelaskan definisi dan teorema-teorema sublatis beserta bukti dan

contohnya

c. Menjelaskan definisi dan teorema-teorema ideal dari latis beserta bukti dan

contonya.

5

1.6 Sistematika Penulisan

Untuk mempermudah memahami penulisan ini secara keseluruhan, maka

penulis menggambarkan sistematika penulisannya sebagai berikut:

Bab I Pendahuluan

Pada bab ini membahas tentang latar belakang, rumusan masalah, tujuan

penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian, dan sistematika

penulisan.

Bab II Kajian Pustaka

Pada bab ini menyajikan konsep-konsep (teori-teori) yang mendukung

bagian pembahasan. Konsep-konsep tersebut antara lain membahas

tentang himpunan, relasi, urutan parsial, latis, sublatis, dan kajian agama.

Bab III Pembahasan

Pada bab ini membahas tentang ideal yang terbentuk dari suatu latis

dengan beberapa sifat.

Bab IV Penutup

Bab ini berisi kesimpulan dari penelitian serta saran-saran yang

berkaitan dengan hasil penelitian.

6

BAB II

KAJIAN PUSTAKA

2.1 Aljabar

Ambil sebagai himpunan tak kosong. Operasi -urutan pada himpunan

adalah pemetaan dari ke dalam ; dengan kata lain, jika ,

kemudian . Jika , operasi disebut uner; jika ,

operasi disebut biner. Karena , operasi nullary ditentukan

oleh , dan biasanya diidentifikasi dengan . Aljabar universal atau

hanya aljabar, terdiri dari himpunan tak kosong dan himpunan dari operasi;

masing-masing adalah operasi -urutan untuk suatu (bergantung kepada

). Aljabar ini dapat ditandakan oleh atau (di aljabar universal, karakter

huruf besar jerman seperti adalah sering terpakai untuk menandakan aljabar;

konvensi ini digunakan untuk latis dan order secara teratur untuk sepasang

berikutnya dari halaman dan adakalanya setelah itu untuk menghindari kerancuan)

(Gr tzer, 2011:11-12).

Jenis dari aljabar adalah urutan ( ) dari bilangan bulat tidak

negatif, , dimana o( ) adalah ordinal disebut dengan order dari .

Aljabar dari jenis adalah pasangan order , dimana adalah himpunan

tak kosong dan adalah urutan ( ), dimana adalah operasi -urutan

pada untuk . Jika finit, , maka dapat ditulis

untuk (Gr tzer, 2011:12).

7

2.2 Himpunan

2.2.1 Definisi Himpunan

Secara harfiah, himpunan mengandung pengertian sebagai suatu kumpulan

atau koleksi/gabungan dari objek-objek. Objek-objek ini biasa disebut juga

anggota atau unsur atau elemen dari himpunan tersebut. Jadi himpunan dapat

didefinisikan sebagai kumpulan suatu objek dengan suatu sifat/ciri tertentu,

dengan kata lain himpunan adalah kumpulan suatu objek yang mempunyai ciri

dan karakteristik yang sama. Suatu himpunan biasa dinotasikan dengan

menggunakan huruf besar/kapital, misalkan . Sedangkan unsur-

unsur atau anggota-anggota dinotasikan dengan huruf kecil, misalkan

(Mas’oed, 2013:2).

Menurut Rasdihan Rasyad (2003:4), suatu himpunan dapat tanpa elemen

yang disebut himpunan kosong atau null set atau empty set, yang dilambangkan .

Sedangkan suatu himpunan yang mempunyai elemen tunggal disebut dengan

singleto atau suatu unit. Empty set atau null set berbeda dengan singleton set yang

berisi elemen 0, karena , artinya adalah himpunan kosong, sedangkan

, artinya adalah himpunan yang elemennya adalah nol. Ada beberapa

cara menuliskan himpunan yaitu:

1. Himpunan dinyatakan dengan menulis atau mendaftar anggota-anggotanya

dalam tanda kurung kurawal, misalnya .

Himpunan bilangan asli atau himpunan bilangan bulat positif

.

Himpunan bilangan bulat .

Himpunan bilangan riil .

8

2. Menyebutkan atau mendefinisikan persyaratan keanggotaan himpunan. Kelas

yang keberadaannya dipostulatkan oleh aksioma 2 dinotasikan oleh

atau . Kalimat terbuka merupakan pernyataan yang

menentukan syarat keanggotaan atau pembentuk himpunan. Ditegaskan disini

bahwa adalah benar jika dan hanya jika adalah himpunan,

dan benar.

Contoh 2.2.1.1:

- Himpunan bilangan rasional

- Himpunan bilangan genap

- Himpunan bilangan ganjil

-

- B =

3. Menggambar titik-titik sebagai anggota-anggota himpunan dalam diagram

yang berbentuk kurva tertutup sederhana. Diagram tersebut dinamakan

dengan diagram venn.

Gambar 2.1 Diagram Venn

Jika dalam himpunan terdapat anggota yang sama maka anggota yang

demikian hanya menggambarkan satu anggota saja.

S

A

.a .b

.c

.d

9

Contoh 2.2.1.2

Misal . Himpunan tersebut mempunyai lima

anggota saja, yaitu dan . Banyaknya anggota suatu

himpunan dapat ditulis dengan simbol atau , .

2.2.2 Himpunan Bagian

Himpunan A disebut himpunan bagian atau subset dari jika dan hanya

jika setiap anggota juga merupakan anggota . Himpunan bagian dilambangkan

dengan notasi , sehingga dibaca himpunan bagian dari atau dapat

ditulis dibaca memuat atau dikatakan superset .

Contoh 2.2.2.1:

1. Diketahui dan

, maka dan .

2. Dapat ditunjukkan hubungan antara , dan berturut-turut

himpunan bilangan asli, himpunan bilangan bulat, himpunan bilangan

rasional, himpunan bilangan riil, dan himpunan bilangan kompleks,

bahwa

Dalam diagram venn digambarkan bahwa berada dalam , sebagai

berikut:

Gambar 2.2 DiagramVenn

B

A

S

10

Pada gambar 2.2, dapat juga dinyatakan dalam diagram garis, sebagai

berikut:

Gambar 2.3 Diagram Garis

Jika dan ada paling sedikit satu anggota , yaitu tetapi maka

dikatakan himpunan bagian sejati atau proper subset dan ditulis atau

.

Definisi 2.2.2.1

Suatu himpunan dikatakan merupakan himpunan bagian , jika setiap

anggota dari himpunan merupakan anggota dari himpunan , yang

dilambangkan dengan .

(Mas’oed, 2013:3).

Definisi 2.2.2.2

Suatu himpunan dikatakan merupakan himpunan bagian sejati (proper

subset) dari himpunan , jika dan terdapat sedikit satu unsur dari

yang bukan anggota dari , yang dilambangkan dengan .

(Mas’oed, 2013:3)

Dengan kata lain, artinya tetapi bukan merupakan

himpunan bagian dari , dilambangkan dengan . Dapat juga diartikan

jika dan hanya jika , dengan dengan

).

Definisi 2.2.2.3

Misalkan dan himpunan. dikatakan sama dengan , ditulis ,

11

jika subset dan subset .

Secara simbolik,

(Abdussakir, 2006:2)

Definisi 2.2.2.4

Himpunan kuasa (power set) dari adalah himpunan yang terdiri dari

himpunan bagian dari . Banyaknya anggota himpunan kuasa dari

himpunan yang mempunyai n anggota ( bilangan bulat) adalah .

(Mas’oed, 2013:8)

2.2.3 Operasi Himpunan

Operasi adalah aturan untuk mendapatkan unsur tunggal dari satu atau

beberapa unsur tertentu. Misal operasi berlaku dalam suatu himpunan semesta ,

maka operasi adalah aturan untuk mendapatkan unsur tunggal dalam dari satu

atau lebih unsur dalam . Jika hasil dari suatu operasi termasuk dalam semesta ,

maka operasi yang demikian disebut tertutup atau closure. Jika aturan dalam

operasi berkenaan dengan satu unsur maka operasinya dinamakan operasi uner,

dan jika berkenaan dengan dua unsur dinamakan operasi biner, tiga unsur terner,

dan sebagainya. Beberapa contoh operasi uner misalnya operasi ingkaran atau

negasi (dalam logika), tambah satu (dalam bilangan), transpose (dalam matriks),

maupun komplemen (dalam himpunan yang akan dibahas dalam uraian

berikutnya). Sedangkan operasi biner misalnya operasi tambah, pengurangan,

perkalian, pembagian (dalam bilangan), “dan” atau konjungsi, “atau” atau

disjungsi (dalam logika), tambah, pengurangan, perkalian (dalam matriks),

12

A B

A B

gabungan, irisan (dalam himpunan yang akan dibahas dalam uraian berikutnya).

Operasi dalam himpunan berkenaan dengan satu atau lebih himpunan

untuk mendapatkan himpunan tunggal dalam suatu kelas himpunan. Beberapa

operasi yang berlaku dalam himpunan didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.2.3.1

gabungan ditulis dengan adalah himpunan yang semua

anggotanya merupakan anggota atau anggota , digambarkan sebagai

berikut:

(Mas’oed, 2013:4)

Gambar 2.4 Diagram Venn AB

Pada gambar 2.4, adalah daerah yang diarsir, baik satu kali atau dua kali.

Definisi 2.2.3.2

irisan B ditulis dengan adalah himpunan yang semua anggotanya

merupakan anggota sekaligus anggota , digambarkan sebagai berikut,

(Mas’oed, 2013:5)


13

A B

S

B

Pada gambar 2.5, adalah daerah yang diarsir dua kali.

Definisi 2.2.3.3

Komplemen pada himpunan semesta dari suatu himpunan dengan

anggota himpunan dengan , yang dinyatakan dengan .

(Mas’oed, 2013:5)

Gambar 2.6 Diagram Venn , daerah yang diarsir

Pada gambar 2.6, adalah daerah yang diarsir diluar tetapi masih berada di

dalam .

Definisi 2.2.3.4

Selisih himpunan dan adalah – .

(Mas’oed, 2013:4)


Pada gambar 2.7, adalah daerah yang diarsir.

Dari definisi-definisi yang ada diperoleh sifat-sifat dari himpunan, sebagai

berikut:

Teorema 2.2.3.1

Untuk sembarang tiga himpunan dan diperoleh

S

A

14

(Mas’oed, 2013:6)

Bukti.

Yang perlu dibuktikan dari adalah:

a.

sehingga

b.

sehingga

Dari persamaan a dan b, terbukti bahwa

Teorema 2.1.3.2

Hukum-hukum aljabar himpunan.

15

Tabel 2.1 Hukum-Hukum Aljabar Himpunan

HUKUM ALJABAR HIMPUNAN

Hukum Idempoten

1a. 1b.

Hukum Assosiatif

2a. 2b.

Hukum Komutatif

3a. 3b.

Hukum Distributif

4a. 4b.

Hukum Identitas

5a.

6a.

5b.

6b.

Hukum De Morgan

7a. 7b.

(Raishinghania, 1980:5)

Bukti.

1a. Ambil sebagai sembarang unsur dari , kemudian

Konsekuensi

dan

sehingga

2a. Ambil sebagai sembarang unsur dari AA = A, kemudian

Konsekuensi

dan

16

sehingga

3a. Ambil sebagai sembarang unsur dari

Konsekuensi

dan

sehingga


Konsekuensi

dan

sehingga


sehingga

17


sehingga

7a. Jika adalah sembarang unsur dari

Jadi

dan

sehingga

Penomoran dengan menggunakan indeks huruf dan di belakang angka

dimaksudkan untuk menunjukkan bahwa kedua pernyataan dalam hukum aljabar

di atas saling dual, yaitu pernyataan yang diperoleh dengan mempertukarkan

dengan dengan .

Sebagai contoh bahwa dual dari 5a. A = A adalah 5b. AS = A.

Dalam hal dual, untuk membuktikan kebenaran kedua pernyataan yang saling dual

tidak perlu membuktikan keduanya, cukup salah satu diantaranya. Dengan

menggunakan prinsip dual yaitu suatu prinsip jika suatu pernyataan sudah terbukti

kebenarannya maka kebenaran pernyataan dualnya terpenuhi.

Contoh 2.1.3.1

Buktikan :

18

Bukti :

1. ………….........hukum distributif

2. ………………………………............. hukum komplemen

3. Jadi .……................................. substitusi

4. .. ................................................................. hukum identitas

5. Jadi ............................................... substitusi

2.3 Relasi

2.3.1 Relasi pada Himpunan

Definisi 2.3.1.1

Misalkan dan merupakan dua himpunan tak kosong, maka suatu

relasi biner dari ke adalah suatu himpunan dari . Jika

, maka disebut relasi biner pada .

(Mas’oed, 2013:9)

Definisi 2.3.1.2

Suatu barisan finit adalah suatu himpunan terdiri atas n unsur dan

ditempatkan berkorespondensi satu-satu dengan himpunan bilangan asli

yang disusun menurut urutan baku. Suatu pasangan terurut

adalah barisan dengan dua unsur.

(Sukardjono, 2002:8)

Definisi 2.3.1.3

Diketahui suatu himpunan dengan unsur-unsur misalkan telah

ditentukan dengan cara yang persis suatu himpunan terdiri atas pasangan

dengan ; himpunan terdiri atas pasangan terurut seperti

19

ini disebut relasi dalam . Jika kita mempunyai pasangan terurut (

anggota maka akan ditulis dengan dan dibaca “ berelasi dengan ”

atau “relasi berlaku antara dan ”. Dalam relasi ini disebut

anteseden untuk , konsekuen untuk . Jika setiap unsur dari muncul

sebagai anteseden, disebut atas . Misalnya, pasangan terurut dari

bilangan asli menentukan suatu relasi atas

himpunan bilangan asli.

(Sukardjono, 2002:8-9)

2.3.2 Operasi pada Relasi

Definisi 2.3.2.1

Diberikan suatu himpunan . Misalkan telah dibentuk barisan

terdiri atas unsur dari , untuk tetap, dan untuk masing-

masing barisan ini telah dialokasikan tepat satu unsur dari , maka

himpunan terdiri atas pasangan terurut disebut operasi finiter

dalam . Untuk disebut uner, biner, terner, dan untuk nilai

umum , disebut -ner. Jelas bahwa adalah relasi di mana berlaku,

sebagai anteseden adalah barisan terdiri dengan n unsur dan konsekuennya

adalah unsur tunggal . Jika (suatu kasus yang banyak terjadi),

operasi biner adalah relasi antara pasangan-pasangan terurut sebagai

anteseden dan unsur tunggal sebagai konsekuen. Jika operasi -ner

diketahui sedemikian sehinga , dapat digunakan notasi

; ini seringkali dipergunakan sebagai lambang khusus.


20

Definisi 2.3.2.2

Misalkan adalah himpunan unsur dan operasi biner dan

didefinisikan pada .

(i) Jika untuk semua maka disebut

asosiatif. Sehingga

tetapi – – .

(ii) Jika untuk semua , maka disebut komutatif.

Sehingga

tetapi

(iii) Jika komutatif dan untuk

semua maka disebut distributif terhadap . Sehingga

tetapi

(Sukardjono, 2002:9-10)

Definisi 2.3.2.3

Jika P adalah operasi -ner yang didefinisikan dalam himpunan untuk

setiap barisan terdiri atas unsur dari , himpunan disebut tertutup

terhadap operasi . Suatu himpunan yang tertutup terhadap satu atau lebih

operasi finiter tertentu disebut suatu aljabar. Himpunan bilangan asli

dengan operasi ( ) tambah ( ) dan kali ( ) merupakan suatu aljabar.

Suatu subaljabar adalah himpunan bagian dari aljabar yang memuat

operasi-operasi dalam sendiri. Jadi bilangan-bilangan genap merupakan

subaljabar dari aljabar bilangan asli; tetapi bilangan ganjil tidak, sebab

jumlah dua bilangan ganjil adalah bilangan genap.


21

2.3.3 Relasi Ekuivalensi

Definisi 2.3.3.1

Diberikan himpunan dengan unsur-unsur . Didefinisikan relasi

ekuivalensi atas himpunan sebagai sembarang relasi atas yang

memenuhi:

(i) Refleksif: untuk setiap .

(ii) Simetris: jika , maka .

(iii) Transitif: jika dan , maka .


Contoh 2.3.3.1

Misalkan himpunan bilangan asli, dengan jika dan hanya jika

genap. Syarat (i) dan (ii) jelas terpenuhi; sedangkan (iii), jika genap

dan genap, maka dan adalah genap. Dalam

ekuivalensi ini himpuna bilangan ganjil adalah ekuivalensi, dan demikian

pula himpunan semua bilangan genap.

2.4 Order

Definisi 2.4.1

Misalkan adalah himpunan dengan unsur-unsur dengan relasi

kesamaan telah didefinisikan. Maka relasi terurut parsial atas

adalah sembarang relasi atas yang memenuhi sifat-sifat:

(i) Refleksi: untuk setiap di dalam ;

(ii) Anti simetrik: jika dan , maka ;

(iii) Transitif: jika dan , maka .

22

Lambang dalam secara umum akan ditukar dengan ≤. Jika ,

dikatakan lebih kecil atau sama dengan , termuat dalam , memuat

, dsb. Jika dan , ditulis . berarti ;

berarti . Jika atau , dikatakan bahwa komparabel

(dapat dibandingkan).


Definisi 2.4.2

Suatu himpunan yang dilengkapi dengan relasi terurut parsial yang

telah didefinisikan padanya disebut suatu himpunan terurut parsial atau

poset (poset singkatan dari kata partially ordered set).


Unsur-unsur dari suatu poset tidak harus komparabel satu sama lain,

meskipun setiap unsur adalah komparabel dengan dirinya sendiri. Berikut adalah

contoh-contoh poset.

Contoh 2.4.1

adalah himpunan semua bilangan asli dan didefinisikan

dengan atau terdapat sehingga

Contoh 2.4.2

S adalah himpunan semua bilangan rasional

dan

dimaksudkan bahwa – adalah bilangan bulat

negatif atau nol.

Contoh 2.4.3

adalah himpunan semua bilangan bulat dan dimaksudkan

dengan – adalah bulat negatif atau nol; khususnya dimaksudkan

23

bahwa adalah bilangan bulat negatif.

Definisi 2.4.3

Misalkan adalah poset dengan unsur-unsur . Jika dan jika

tidak terdapat unsur dengan sifat dikatakan bahwa

menutup .


Mengingat sifat ilmu hitung dari himpunan riil dapat dinyatakan dalam hal

penjumlahan dan perkalian, order yang teoritis, dan dengan demikian topologi,

sifat yang dinyatakan dalam pengurutan . Dasar sifat hubungan ini adalah

sebagai berikut.

Untuk semua , aturan berikut berlaku untuk pengurutan sebagai

berikut:

(Refl) Refleksif : .

(ASim) Antisimetri : dan menyatakan bahwa .

(Trans) Transitif : dan menyatakan bahwa .

(Lin) Linear : atau

Ada banyak contoh relasi biner berbagi sifat ini dengan pengurutan dari

riil, dan ada lebih banyak menikmati pertama tiga sifat. Fakta ini, dengan

sendirinya, tidak akan membenarkan pengenalan konsep baru. Namun, telah

diamati bahwa banyak konsep-konsep dasar dan hasil tentang riil tergantung

hanya pada tiga sifat, dan ini dapat digunakan setiap kali memiliki relasi yang

memenuhi tiga sifat tersebut. Suatu relasi memenuhi sifat: refleksif, antisimetri,

dan transitif (kondisi: (Refl), (ASim), dan (Trans)) disebut pengurutan. Himpunan

24

tidak kosong yang memenuhi sifat-sifat relasi disebut himpunan order atau order

(partially ordered set atau poset) (Gr tzer, 2011:1).

Untuk membuat definisi formal, ambil mulai dengan dua himpunan

dan dan bentuk himpunan dari semua pasangan terurut dengan

dan . Jika , ditulis untuk . Kemudian relasi biner

pada adalah subset dari . Unsur pada relasi dengan hal untuk jika

, untuk kasus ini juga harus mempergunakan notasi . Relasi biner

akan dituliskan dengan small greek letters atau dengan lambang istimewa

(Gr tzer, 2011:1-2).

Bandingkan definisi formal ini dengan sesuatu intuitif: hubungan biner

pada adalah "ketentuan" yang memutuskan ya atau tidaknya untuk

sembarang pasangan tertentu dari unsur. Tentu, sembarang ketentuan

demikian akan menentukan himpunan , dan himpunan ini

menentukan , sehingga mungkin juga mengenai seperti menjadi sama halnya

himpunan ini.

Untuk relasi biner dan pada , terdapat , relasi biner pada

didefinisikan jika terdapat elemen memenuhi dan

. Sehingga relasi biner adalah transitif jika . Order

terdiri dari himpunan tak kosong dan relasi biner pada seperti memenuhi

sifat refleksif, antisimetri, dan transitif. Catatan bahwa ini dapat dinyatakan

kembali sebagai berikut: untuk semua berlaku:

mengakibatkan bahwa

mengakibatkan bahwa

25

Jika memenuhi sifat refleksif, antisimetri, dan transitif, kemudian adalah

terurut (relasi terurut parsial), dan pada umumnya dituliskan oleh ≤. Jika ,

kadang kala dikatakan bahwa adalah majorized oleh atau majorized . Juga,

dimaksudkan ;

dimaksudkan dan ;

dimaksudkan .

2.5 Rantai

Definisi 2.5.1

Jika setiap pasang unsur dari suatu poset memenuhi atau

atau keduanya, himpunan dikatakan terurut sederhana atau terurut

total, dan disebut suatu rantai. Menurut definisi 2.4.1 (ii) dan

berimplikasi . Dengan demikian didefinisikan suatu rantai sebagai

poset dengan sifat bahwa setiap pasang unsur yang berlainan berlaku

atau . Dilihat bahwa sembarang himpunan bagian dari rantai

adalah juga rantai.


Contoh 2.5.1

Perhatikan bilangan-bilangan:

4, 32, 8, 64, 16, 128, 2

yang diurutkan dengan yang didefinisikan dengan adalah

kelipatan . Karena bilangan-bilangan itu adalah pangkat-pangkat yang

berlainan dari 2, setiap pasang unsur yang satu adalah kelipatan yang lain,

dan bilangan-bilangan itu merupakan rantai dengan unsur sebanyak 7.

26

. Dengan membuang

dari barisan diperoleh . Kemudian membuang 128 dan 64

diperoleh . Dengan melanjutkan proses ini disusun unsur-unsur

rantai dalam urutan menaik (menaik terhadap urutan relasi yang

didefinisikan):

128, 64, 32, 16, 8, 4, 2

Isomorphik dengan

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Unsur 128 adalah unsur terkecil atau unsur nol, 2 adalah unsur terbesar

atau unsur satuan.

2.6 Latis

Suatu latis dapat dipandang dengan beberapa cara yang berbeda, dari sudut

pandang aljabar atau sebagai teori himpunan. Oleh karena penerapan teori latis

sangat luas dan penting dalam cabang-cabang lain matematika maupun sains yang

sejenis. Pertama-tama latis dipandang dari sudut aljabar dulu.

Definisi 2.6.1.

Suatu latis adalah suatu aljabar dengan dua operasi biner (disimbolkan

dengan perkalian ( ) dan penjumlahan ( )) yang memenuhi postulat-

postulat berikut : untuk semua a, b, c di

1.a) L tertutup terhadap operasi x

1.b) L tertutup terhadap operasi +

27

2.a) Operasi x komutatif

2.b) Operasi + komutatif

3.a) a(bc) = (ab)c Operasi x asosiatif

3.b) a+(b+c) = (a+b)+c Operasi + asosiatif

4.a) a(a+b) = a Absorpsi terhadap operasi +

4.b) a+ab = a Absorpsi terhadap operasi x


Postulat 1.a) dan 1.b) dituliskan demi lengkapnya, meskipun kedua

pernyataan itu telah terkandung dari kata “aljabar dengan dua operasi biner”;

postulat 2.a) dan 2. b) mensyaratkan bahwa kedua operasi itu komutatif; postulat

3.a) dan 3.b) menghendaki bahwa kedua operasi asosiatif; postulat 4.a) dan 3.b)

menghendaki sifat absorpsi dan jelas tidak sejalan dengan operasi perkalian dan

penjumlahan biasa.

Sekarang dibuktikan sejumlah teorema tentang latis, bukti diberikan secara

deduktif dari postulat-postulat

Teorema 2.6.1.


Bukti.

menurut 4.b)

menurut 4.a)

Teorema 2.6.2.

a+a = a


28

Bukti.

menurut teorema 2.6.1

menurut 4.b)

Teorema-teorema ini mengatakan bahwa perkalian dan penjumlahan adalah

idempoten, penulis tidak memerlukan eksponen atau koefisien numerik dalam

teori latis.

Teorema 2.6.3.

Jika , maka


Bukti.

menurut ketentuan pada teorema 2.6.3

menurut 2.b)

menurut 2.a)

menurut 4.b)

Teorema 2.6.4.

Jika , maka


Bukti.

menurut ketentuan b pada teorema 2.6.4

menurut 4.a)

Definisi 2.6.2.

Didefinisikan suatu relasi R di antara dua unsur dalam suatu latis dengan

(i) jika dan hanya jika

dipandang dari teorema 2.6.3 dan 2.6.4 hal ini ekuivalensi dengan

29

(ii) jika dan hanya jika


Teorema 2.6.5.


Bukti.

menurut teorema 2.6.1, dengan demikian menurut definisi

2.6.2 (i)

Teorema 2.6.6.

Jika dan , maka


Bukti.

menurut ketentuan dan definisi 2.6.2 (i)

menurut 2.a)

menurut ketentuan kedua dan definisi 2.6.2 (i)

Teorema 2.6.7.

Jika dan , maka


Bukti.

menurut ketentuan pertama dan definisi 2.6.2 (i)

menurut 2.a)

menurut ketentuan kedua dari Definisi 2.6.2 (i)

menurut ketentuan pertama dan Definisi 2.6.2 (i)

Dengan demikian menurut Definisi 2.6.2 (i).

30

Relasi yang refleksif (Teorma 2.6.5), anti simetrik (Teorema 2.6.6), dan

transitif (Teorema 2.6.7), sehingga merupakan relasi terurut parsial; dapat

menuliskan untuk . Tidak diperlukan bukti lebih lanjut untuk teorema

berikut ini.

Teorema 2.6.8.


Bukti.

menurut 2.b)

menurut 4.b)

Maka menurut definisi 2.6.2 (ii)

Teorema 2.6.9.


Bukti.

menurut 4.a)

Jadi, menurut definisi 2.6.2 (ii)

Teorema 2.6.10.


Bukti.


Tetapi menurut 2.a)

Jadi,

31

Akibatnya ialah bahwa adalah suatu batas bawah dari pasangan .

Teorema 2.6.12.


Bukti.


Tetapi menurut 2.b)

Akibatnya ialah bahwa adalah batas bawah dari pasangan .

Teorema 2.6.13.

Jika dan , maka


Bukti

menurut ketentuan pertama dan definisi 2.6.2 (i)

menurut ketentuan kedua dan definisi 2.6.2 (ii)

menurut 3.a)

menurut 2.a)

Dengan demikian menurut definisi 2.6.2 (i);

Jadi adalah batas terbesar dari pasangan .

Definisi 2.6.2.

Suatu latis adalah poset di mana setiap pasang unsur mempunyai suatu

batas bawah terbesar (disajikan oleh ) yang berada di dalam

himpunan itu.

(Sukardjono, 2002:43).

32

2.7 Irisan dan Gabungan

Teorema 2.7.1

Jika dalam suatu latis dan , maka .


Bukti.

Dari ketentuan (definisi 2.6.2-(i)), selanjutnya

menurut definisi 2.6.1-3.a)





menurut ketentuan

Dengan demikian menurut definisi 2.6.2-(i)

Dengan dualitas diperoleh:

Teorema 2.7.2

Jika dalam suatu latis dan , maka .


Untuk dapat menyingkap bukti-bukti seperti yang baru saja diberikan,

diperlukan untuk mengungkap sifat asosiatif dan komutatif yang diperlukan untuk

irisan dan gabungan menurut postulat bagian 2.6.1-2.a) dan 2.6.1-3.b). Pertama-

tama dibicarakan suatu definisi dan teorema-teorema untuk irisan dalam latis yang

dapat dipakai untuk sembarang operasi biner asosiatif dalam aljabar.

Definisi 2.7.1

Misalkan adalah barisan unsur dari suatu latis; unsur-unsur itu

33

tidak perlu semuanya berlainan. Irisan dari dua unsur didefinisikan

dalam definisi 2.6.1. Sekarang didefinisikan secara rekurensi irisan -

unsur, untuk , sebagai berikut:

dualnya

keberadaan unsur ini dijamin oleh postulat 2.6-1.a) dan postulat 2.6- 1.b).


2.8 Sublatis

Definisi 2.8.1

Himpunan bagian tak hampa dari unsur-unsur suatu latis yang memuat

irisan dan gabungan sembarang dua unsur dari disebut sublatis dari .

Jelas bahwa adalah sublatis dari dirinya sendiri; jika adalah himpunan

bagian sejati dari , disebut sublatis sejati dari .


Teorema 2.8.1

Setiap interval dari suatu latis adalah sublatis dari .

(Sukardjono, 2002:92).

Bukti.

Misalkan . Menurut teorema gabungan dan irisan

sehingga dan anggota . Khususnya interval , yaitu

34

setiap unsur yang berlainan di adalah sublatis dari .

2.9 Homomorfisma

Pemetaan adalah pemetaan isoton (juga disebut pemetaan

monoton atau pemetaan order-preserving) dari order yang pada urutan jika

di dinyatakan bahwa di . Suatu isoton bijeksi dengan

kebalikan isoton adalah isomorfisma. Dual dari Isoton adalah antiton. Pemetaan

adalah suatu pemetaan antiton dari urutan urutan jika di

dinyatakan bahwa di (Gr tzer, 2011:30).

Didefinisikan homomorfisma pada yang semilatis ke semilatis

seperti pemetaan mengakibatkan .

Karena latis adalah suatu semilatis dengan operasi dan ,

terdapat dua konsep homomorfisma, gabungan-homomorfisma ( -

homomorfisma) dan irisan-homomorfisma ( -homomorfisma). Homomorfisma

adalah pemetaan yang baik gabungan-homomorfisma dan irisan-homomorfisma.

Jadi homomorfisma dari latis ke latis adalah pemetaan ke

menghasilkan keduanya

Suatu homomorfisma dari latis ke dalam latis itu sendiri disebut endomorphism.

Homomorfisma satu-ke-satu juga akan disebut embedding (Gr tzer, 2011:30).

Perhatikan bahwa gabungan-homomorfisma, irisan-homomorfisma, dan

(latis) homomorfisma adalah semua Isoton. Penulis membuktikan pernyataan ini

untuk gabungan-homomorfisma. Jika dan

35

untuk setiap , dan jika dengan , maka ;

dengan demikian dan ikuti di .

Perhatikan bahwa sebaliknya gagal, dan tidak ada hubungan antara irisan dan

gabungan-homomorfisma.

Gambar 2.9 menunjukkan tiga pemetaan pada gambar 2.8 di

rantai tiga-elemen . Pertama pemetaan Gambar 2.9 adalah Isoton tetapi tidak

irisan ataupun gabungan-homomorfisma. Pemetaan kedua adalah gabungan-

homomorfisma tetapi tidak irisan-homomorfisma, sehingga tidak homomorfisma.

Pemetaan ketiga pada gambar 2.9 adalah homomorfisma. Jika (semi) latis dan

nol, dan mereka diawetkan di bawah homomorfisma , disebut -

homomorfisma(Gr tzer, 2011:30).

Gambar 2.8 Diagram Latis Kecil

Gambar 2.9 Contoh Homomorfisma

2.10 Kajian Latis dalam Perspektif Islam

Dalam struktur aljabar terdapat suatu latis, dimana definisi dari latis

sendiri adalah suatu aljabar dengan satu himpunan tak kosong dengan satu

himpunan tak kosong dengan dua operasi biner dan yang memenuhi sifat

tertutup, asosiatif, komutatif dan absorpsi. Sifat tertutup dalam matematika adalah

suatu himpunan bila dioperasikan maka hasilnya tetap dalam himpunan tersebut.

36

Dalam Islam tertutup dapat dicontohkan dalam perintah untuk menjaga suatu

rahasia atau menutupi suatu rahasia. Perhatikan firman Allah Swt dalam al-Quran

surat al-Qashash/28 ayat 10 :

“Dan menjadi kosonglah hati ibu Musa. Sesungguhnya hamper saja ia

menyatakan rahasia tentang Musa, seandainya tidak kami teguhkan hati-nya,

supaya ia termasuk orang-orang yang percaya (kepada janji Allah)” (QS. al-

Qashash/28:10).

Pada ayat di atas terdapat kalimat لتبدى yang artinya “menyatakan rahasia”.

Rahasia yang dimaksud di sini adalah sesuatu yang harus ditutupi. Perintah untuk

menjaga rahasia dicontohkan pada cerita Ibu Musa berusaha menutupi rahasianya

demi menyelamatkan Musa. Dalam Islam seorang muslim yang mempunyai

rahasia ataupun diamanahi suatu rahasia diwajibkan untuk menutup atau menjaga

rahasia tersebut. Karena menyangkut kehormatan muslim yang lain atau dirinya.

Orang yang menjaga rahasia telah dijanjikan oleh Allah suatu balasan yang

sempurna (Hasbi, 2002:874-875).

Dalam surat yang lain juga diceritakan bagaimana suatu rahasia itu harus

ditutupi dan dijaga, di dalam al-Quran surat at-Tahrim/66 ayat 3 Allah berfirman

(Hasbi, 2002:1365):

“Dan ingatlah ketika nabi membicarakan secaa rahasia kepada salah seorang

istrinya (Hafsah) suatu peristiwa. Maka tatkala (Hafsah) menceritakan pristiwa

itu (kepada Aisyah) dan Allah memberitahukan hal itu (pembicaraan Hafsah dan

Aisyah) kepada Muhammad lalu Muhammd memberitahukan sebagian (yang

diberitakan Allah kepadanya) dan menyembunyikan sbagian yang lain (kepada

Hafsah). Maka tatkala (Muhammad) memberitahukan pembicaraan (antara

Hafsah dan Aisyah) lalu (Hafsah) bertanya : “Siapakah yang Telah

37

memberitahukan hal ini kepadamu?” nabi menjawab : “Telah diberitahukan

kepadaku oleh Allah yang Maha Mengetahui lagi Maha Mengenal”” (QS. at-

Tahrim/66:3).

Suatu latis tidak hanya tertutup, akan tetapi juga komutatif. Komutatif

adalah suatu timbah balik. Dalam Islam komutatif dapat dicontohkan dalam

perintah untuk saling tolong menolong. Perhatikan firman Allah dalam surat al-

Ma’idah/5 ayat 2:

“Dan tolong-menolonglah kamu dalam (mengerjakan) kebajikan dan takwa, dan

jangan tolong-menolong dalam berbuat dosa dan pelanggaran. Dan bertakwalah

kamu kepada Allah, sesungguhnya Allah amat berat siksa-Nya” (QS. al-

Ma’idah/5:2).

Dari ayat di atas terdapat kalimat تعاونوا yang artinya “tolong-menolong”.

Ayat di atas menjelaskan perintah untuk saling tolong-menolong dalam hal

kebajikan dan ketakwaan, yakni segala upaya yang dapat menghindarkan bencana

duniawi dan atau ukhrawi. Selain itu ayat di atas juga menegaskan larangan

tolong-menolong dalam hal dosa dan pelanggaran, karena sesungguhnya siksaan

Allah amat pedih. Sebagai makhluk sosial manusia berkewajiban bermasyarakat

dan saling tolong-menolong antara satu dengan yang lainnya (Hasbi, 2002 : 246).

Dari keterangan di atas dapat dicontohkan dengan ketika mengucapkan

salam. Ketika seorang mengucapkan salam pasti orang yang diajak bicara akan

menjawab salam tersebut dan sebaliknya terjadi, ketika ada orang yang

mengucapkan salam pasti akan menjawab salam terebut.

Sifat latis tidak hanya tertutup dan komutatif, akan tetapi juga asosiatif.

Asosiatif adalah suatu kerjasama. Dalam Islam asosiatif dapat dicontohkan dalam

perintah untuk saling bekerjasama. Dalam surat al-Baqarah/2 ayat 282 disebutkan

38

“Hai orang-orang yang beriman, apabila kamu bermu’amalah tidak secara tunai

untuk waktu yang ditentukan, hendaklah kamu menuliskannya” (QS. al-

Baqarah/2:282).

Pada ayat di atas terdapat kalimat تدينتم yang mempunyai arti

“bermuamalah ialah seperti berjual beli, hutang piutang, atau sewa menyewa dan

sebagainya” mengisyaratkan suatu asosiatif. Muamalah juga dapat dikaitkan

dengan rahasia. Dalam menjaga rahasia orang yang bersangkutan bermuamalah

atau bekerjasama untuk saling menjaga rahasia tersebut agar terjaga. Dengan

bermuamalah akan tercipta kerukunan antar sesama dalam mengerjakan sesuatu

yang baik. Sebagai makhluk sosial, manusia menerima dan memberikan andilnya

kepada orang lain, saling bermuamalah untuk memenuhi hajat hidup dan

mencapai kemajuan dalam hidupnya. Muamalah disini dapat dicontohkan dalam

jual beli. Sebagai penjual dan pembeli akan terjadi keharmonisan interaksi satu

sama lain (Hasbi, 2002:112).

Sifat terakhir dari latis adalah absorpsi. Absorpsi dalam matematika

adalah suatu penyerapan. Dalam Islam absorpsi dapat dicontohkan dalam perintah

untuk saling memaafkan. Perhatikan firman Allah dalam surat asy-Syura/42 ayat

40:

“Dan balasan suatu kejahatan adalah kejahatan yang serupa, maka barang siapa

memaafkan dan berbuat baik maka pahalanya atas (tanggungan) Allah.

Sesungguhnya Dia tidak menyukai orang-orang yang zalim” (QS. asy-

Syura/42:40).

Dari ayat di atas istilah absorpsi sudah ada dalam al-Qur’an. Dari

definisinya absorpsi merupakan suatu penyerapan. Dalam Islam, absorpsi adalah

memaafkan atau menghapus atau mengampuni kesalahan orang lain. Seperti

39

dalam ayat diatas terapat kalimat عفا yang artinya “memaafkan”. Islam mengajak

manusia untuk saling memaafkan dan memberi derajat tinggi bagi pemaaf. Contoh

memaafkan orang yang berbuat salah kepada kita ketika orang tersebut menyadari

kesalahannya dan berjanji tidak akan mengulangi lagi kesalahan tersebut,

sehingga kerukunan hubungan sesama akan terbina dalam kehidupan

bermasyarakat (Hasbi, 2002:1121).

Dari keterangan diatas dapat disimpulkan bahwa himpunan-himpunan

dalam latis mempunyai elemen atau anggota. Anggota di dalam himpunan itu

diibaratkan dalam kehidupan merupakan makhluk yang menjadi salah satu

anggota dari ciptaan-Nya. Sedangkan operasi biner merupakan operasi antar

anggota himpunan dengan dua interaksi. Hal ini diibaratkan seperti interaksi

antara makhluk-makhluk Allah, dan sifat-sifat yang harus dipenuhi merupakan

aturan-aturan yang telah ditetapkan oleh Allah, artinya sekalipun makhluk-Nya

berinteraksi dengan sesama makhluk, ia harus tetap berada dalam koridor yang

telah ditetapkan Allah.

6

40

BAB III

PEMBAHASAN

Berdasarkan kerangka teori pada bab sebelumnya maka pembahasan

berawal dari definisi latis secara teoritis yang memenuhi unsur-unsur struktur

aljabar sebagai berikut.

3.1. Definisi Latis

Berdasarkan penjelasan pada bab II, latis dapat dipandang sebagai order

dan aljabar. Pada bab ini akan dibahas tentang latis sebagai order dan latis sebagai

aljabar. Kemudian dari kedua pembahasan tersebut akan diperoleh pembahasan

tentang ideal dari latis yang merupakan pengembangan dari latis yang mengalami

adaptasi, berbeda dengan ideal pada aljabar abstrak.

3.1.1. Latis sebagai Order

Pengembangan dari definisi latis terdapat beberapa teorema yang

berhubungan dengan order, diantaranya adalah

Teorema 3.1.1.1

Order dengan anggota himpunan poset adalah latis jika dan

ada untuk setiap finit subset tidak kosong dari .

(Gr tzer, 2011:11)

Bukti.

Ambil memenuhi definisi asli dan ambil tidak kosong dan

finit. Jika { }, maka . Jika { }

untuk suatu , maka

41

{ { { } } }

Sebagai contoh, jika { }, maka himpunan { } dan

{ }; terbukti bahwa . Pertama, dan

; oleh sebab itu (oleh transitif), bagi setiap . Kedua,

jika adalah batas atas dari , maka dan dengan demikian

; juga , sehingga , oleh sebab itu, , karena

{ }. Dengan demikian adalah sup dari .

Oleh dualitas (dengan kata lain, dengan menerapkan prinsip dualitas),

disimpulkan bahwa ada.

Latis yang tidak mempunyai nol atau identitas, sehingga dan

atau -nya tidak ada dan tidak ada. Batas latisnya adalah nol atau identitas.

Setiap latis finit mempunyai batas. Bukti sederhana dari teorema 3.1.1.1 dapat

dibedakan untuk menghasilkan sejumlah besar dengan persamaan pernyataan

trivial tentang latis dan order. Untuk membuat penggunaan dari prinsip dualitas

untuk latis, catatan:

jika adalah latis, sehingga dualnya .

(Gr tzer, 2011:9-10)

Dengan demikian latis dapat dipandang sebagai order karena pada sisi lain latis

merupakan himpunan tidak kosong yang memenuhi sifat-sifat relasi disebut

himpunan order atau order (partially ordered set atau poset).

3.1.2. Latis sebagai Aljabar

Pada subbab selanjutnya telah dibahas tentang latis sebagai order,

selanjutnya akan dibahas latis sebagai aljabar. Artinya bahwa latis juga

42

merupakan operasi dari anggota-anggota himpunannya. Berdasarkan pengertian

dan simbol dari himpunan yaitu menggunakan huruf kapital, maka berikut ini

merupakan pengertian dari latis sebagai aljabar.

Ambil sebagai aljabar dengan A sembarang anggota himpunan dan

sembarang operasi biner . Aljabar didefinisikan semilatis jika operasi

bersifat idempoten, komutatif, dan asosiatif. Selanjutnya, aljabar yang

merupakan himpunan yang anggota-anggotanya mempunyai sifat-sifat latis

pada operasi dan akan disebut latis jika adalah himpunan tak kosong,

dan adalah semilatis, dan kedua-duanya sifat absorpsinya dipenuhi.

Dari kondisi latis sebagai order dan latis sebagai aljabar, teorema berikut

menyatakan bahwa latis sebagai aljabar dan latis sebagai order adalah konsep

"ekuivalen" (Gr tzer, 2011:12).

Teorema 3.1.1.1

(i) Ambil order sebagai latis. Himpunan

{ }

{ }

Maka aljabar adalah latis.

(ii) Ambil aljabar sebagai latis.

jika

Maka adalah order, dan order adalah latis.

(Gr tzer, 2011:12-13)

Bukti.

(i) Teorema ini telah dibuktikan dalam subbab sebelumnya yaitu pada

subbab latis sebagai order. Pada subbab sebelumnya telah dijelaskan

43

bahwa adalah operasi gabungan, dan adalah operasi irisan, pada

latis keduanya adalah operasi biner, yang berarti dapat berlaku untuk

sepasang unsur dari untuk menghasilkan elemen dari .

Dengan demikian adalah peta dari ke dalam dan demikian

adalah .

Bukti sebelumnya menghasilkan

{ }

dan terdapat suatu rumus serupa untuk infimum.

(ii) Pertama, himpunan didefinisikan . Sekarang relasi

adalah refleksif karena idempoten; relasi adalah antisimetrik

karena dan dimaksudkan dan oleh

komutatif dari , mengakibatkan bahwa ;

relasi adalah transitif, karena jika dan , maka

dan , dan demikian

( asosiatif)

yaitu, . Dengan demikian adalah order. Untuk

membuktikan bahwa adalah latis, diverifikasi

{ } dan { }. Bahwasanya, , karena

mempergunakan asosiatif dan idempoten dari ; dengan cara yang

sama, . Sehingga adalah batas atas dari dan .

Sekarang jika adalah beberapa batas atas dari dan , maka

dan , yang, dan , maka

44

dengan demikian , membuktikan { }.

Kedua, dan , karena dan

oleh yang pertama sifat absorpsi. Jika dan

, yang, jika dan , maka

dan (oleh kedua ciri absorpsi). Demikian

(karena )

(karena )

(asosiatif)

(absorpsi)

dimana , melengkapi pembuktian dari { }.

Pembahasan (i) dan (ii) mendeskripsikan proses dari order ke aljabar dan

sebaliknya.

Bukti dari teorema 3.1.1.1 dan juga pernyataan dari teorema 3.1.1.1, adalah pokok

ke kritik:

- Pada definisi dari latis sebagai aljabar, diperlukan delapan sifat (sebagaimana

disebutkan pada bab II halaman 27); keidempotenan adalah redundant.

- Langkah terakhir dari bukti dari (ii) dapat dibuat lebih sederhana dengan

membuktikan

jika dan hanya jika

- Teorema 3.1.1.1 harus didahului oleh dalil serupa untuk "semilatis"

Akhirnya, catatan itu untuk latis sebagai aljabar, prinsip dualitas menjadi bentuk

sederhana.

45

3.1.3 Prinsip Dualitas untuk Latis

Dipergunakan notasi

{ }

{ }

dan sebut gabungan, dan irisan. Di latis, keduanya adalah operasi biner, yang

berarti dapat berlaku untuk sepasang unsur dari untuk menghasilkan

elemen dari . Dengan demikian adalah peta dari ke dalam dan demikian

juga .

Bukti sebelumnya menghasilkan bahwa

{ }

dan terdapat rumus serupa untuk infimum. Diamati bahwa sisi kanan tidak dapat

menyesuaikan dalam cara unsur didaftarkan. Dengan demikian dan adalah

idempoten, komutatif, dan asosiatif adalah yang memenuhi kondisi berikut:

(Idem) Idempoten:

(Comm) Komutatif: ,

(Assoc) Asosiatif: ( )

Sifat dari operasi tersebut disebut idempoten, komutatif, dan asosiatif

(sebagaimana pada pengertian latis sebagai aljabar). Seperti halnya kasus ketika

terdapat satu operasi asosiatif, ditulis operasi yang teriterasi tanpa tanda kurung,

sebagai contoh,

46

dan sama untuk .

Ada pasangan lain dari ketentuan yang menghubungkan dan . Untuk

memperoleh operasi tersebut, diketahui bahwa jika , maka { } ;

yaitu, , dan sebaliknya. Dengan demikian

jika dan hanya jika

Oleh dualitas (dan dengan mempertukarkan a dan b),

jika dan hanya jika

benar. Penerapan "hanya jika" bagian dari yang ketentuan pertama ke dan ,

dan ketentuan kedua ke dan a, diperoleh sifat absorpsi:

(Absorp) absorpsi:

Ambil sebagai latis dengan operasi dan . Dual dari adalah diambil

dari dengan memadukan dan . Jika adalah benar secara keseluruhan latis,

maka juga benar secara keseluruhan latis (Gr tzer, 2011:14).

Untuk membuktikan ini hanya harus mengamati jika , maka

dualitas dari adalah . Akhirnya, melibatkan , dan

kemungkinanya 0 dan 1, sebagai tambahan terhadap dan . Ketika dualism pada

, dipadukan dan , pergantian oleh , dan substitusi dengan 0 dan 1. Untuk

latis L, ditunjukkan latis L dual oleh .

Menggunakan latis sebagai aljabar secara alamiah untuk mendefinisikan

kondisi pada latis seperti delapan sifat di atas yaitu idempoten, komutatif, asosiatif

dan absorpsi, menurut latis tetapi tidak untuk yang lainnya, sebagai contoh,

47

Latis yang memenuhi sifat-sifat tersebut disebut distributif dan kelas latis

distributif dinotasikan oleh D. Sebagai contoh yang lain

Latis yang memenuhi sifat di atas disebut modular dan kelas latis modular

dinotasikan oleh M. Selanjutnya kelas pada aljabar menyatakan bahwa latis

dengan operasi penambahan, sebagaimana kelas aljabar Boolean,

, dimana adalah latis distributif dengan himpunan kosong, 0,

dan identitas, 1, dimana

Korespondensi latis, , disebut latis Boolean (Gr tzer, 2011:15).

3.2. Sublatis

Definisi 3.2.1

Latis dengan anggota himpunan poset adalah sublatis dari

latis dengan anggota himpunan poset, jika adalah subset

di dengan sifat yang mengakibatkan (operasi

dan diambil di ), dan dan di adalah pembatasan di dengan

dan pada ; disimbolkan dan dapat juga disimbolkan

(Gr tzer, 2011:31).

Dalam bahasa yang lebih sederhana, diambil subset tidak kosong pada

latis bahwa tertutup dari operasi dan pada . Jelas, adalah latis dengan

operasi dan . Jika adalah sublatis dari , maka adalah ekstensi di ; dalam

notasi, . Extensi adalah proper jika memiliki setidaknya satu unsur. Jika

48

dan terdapat endomorfisma memenuhi untuk semua

, maka adalah retraction dan adalah retract di . Jika adalah

homomorfisma dari latis ke latis , maka

{ }

adalah sublatis ; jika adalah satu-ke-satu, maka sublatis ini isomorfik ke .

Ambil latis dan ambil untuk . Kemudian

(teori himpunan irisan untuk ) juga tertutup pada dan dan dapat disebut

latis jika tidak kosong; sehingga untuk setiap dengan , terdapat

himpunan bagian terkecil dari mengandung dan tertutup di dan ;

ditunjukkan dengan . Sublatis disebut sublatis dari dihasilkan

oleh , dan disebut menghasilkan himpunan pada . Jika

{ }, maka dapat ditulis untuk .

dinotasikan dengan (Gr tzer, 2011:31).

Pada bab sebelumnya juga telah dijelaskan tentang definisi dan teorema-

teorema sublatis. Sublatis merupakan subhimpunan dari unsur-unsur suatu latis

seperti pada gambar berikut.

Gambar 3.1 Sublatis dari latis

Pada gambar di atas diberikan sebagai yaitu latis dan sebagai yaitu

sublatis dengan semesta pembicaraan Latis. Artinya bahwa semua anggota dari

himpunan yang digambar diagram vennnya memenuhi sifat-sifat latis. Jadi dari

gambar di atas dapat diketahui bahwa setiap unsur dari terdapat pada unsur

B

A

L

S

49

yang dapat dikatakan adalah subhimpunan dari . Subhimpunan tersebut dapat

disebut sublatis jika memuat irisan dan gabungan sebarang dua unsur dari latis

tersebut.

Contoh 3.2.1

S adalah latis dengan anggota himpunan bilangan bulat genap dengan

operasi dan dari suatu latis dengan anggota himpunan bilangan bulat

dengan operasi dan . Buktikan bahwa S adalah sublatis.

Bukti.

Latis adalah sublatis dari latis jika adalah subset di

dengan sifat yang mengakibatkan (operasi

dan diambil di L), dan dan di S adalah pembatasan di dengan

dan pada ; disimbolkan dan dapat juga disimbolkan

3.3 Sublatis Konveks

Definisi 3.3.1

Sublatis dari latis disebut konveks jika dan hanya jika untuk setiap

pasang unsur komparabel di , , seluruh interval berada di


Sublatis konveks terbentuk dari suatu sublatis dari latis jika setiap

pasang unsur dalam sublatis tersebut dapat saling dibandingkan. Ketika pada

setiap pasang unsur itu tidak dapat saling dibandingkan, maka sublatis tersebut

tidak konveks. Setiap pasang unsur yang komparabel dan memenuhi

tersebut dapat terbentuk dari suatu poset.

50

Definisi 3.3.2

Sublatis dari latis disebut konveks jika dan hanya jika sublatis ini

memuat sebarang dan bukan saja dan tetapi memuat juga

semua dimana


Pada bab 2 telah dijelaskan bahwa disebut sublatis jika himpunan bagian

dari unsur-unsur suatu latis tersebut memuat irisan dan gabungan sebarang dua

unsur dari latis tersebut. Sedangkan pada sublatis konveks, sublatis tersebut tidak

hanya memuat irisan dan gabungan tetapi juga memuat semua . Pada himpunan

tersebut menghasilkan .

Teorema 3.3.1

Definisi 3.1.1 dan definisi 3.1.2 adalah ekuivalen


Bukti.

Jika sublatis S adalah konveks menurut definisi 3.3.1, untuk sebarang

unsur a, b di S unsur komparabel ab dan a + b anggota S (sebab S adalah

sublatis) dan seluruh interval [ab, a + b] dengan demikian anggota S; yaitu

S memuat semua x dimana ab ≤ x ≤ a + b. Jadi definisi 3.3.1 definisi

3.3.2.

Jika sublatis adalah konveks menurut definisi 3.3.2, dan adalah

sepasang unsur sebarang yang komparabel, dengan umpamanya, , maka

, sehingga interval yang menjadi anggota

menurut definisi 3.3.2 berimpit dengan interval , dan definisi 3.3.1 dipenuhi.

Jadi, definisi 3.3.2 definisi 3.3.1.

51

Contoh 3.3.1

Misalkan adalah latis dengan operasi penjumlahan dan

perkalian dengan anggota himpunan bilangan bulat positif

dimaksudkan dengan atau terdapat sehingga . Dari

suatu latis diambil sublatis dengan himpunan bagian tak kosong yang

meliputi himpunan bilangan bulat positif genap. Buktikan bahwa sublatis

adalah sublatis konveks.

Bukti.

Setiap pasang unsur pada himpunan sublatis tersebut komparabel karena

misal ambil sebarang anggota himpunan sublatis , sehingga

.

Sublatis dari latis dapat disebut konveks jika dan hanya jika sublatis

ini memuat sebarang dan . Ambil sebarang anggota himpunan

sublatis tersebut. Ketika anggota himpunan bilangan bulat positif genap

dikalikan dengan anggota himpunan bilangan bulat positif genap maka

akan menghasilkan himpunan bilangan bulat positif genap yang akan

kembali pada anggota himpunan sublatis S tersebut itu sendiri yang

dituliskan . Begitu juga sebaliknya pada operasi penjumlahan,

ketika himpunan bilangan bulat positif genap dijumlahkan dengan

himpunan anggota himpunan bulat positif genap maka akan menghasilkan

anggota himpunan bilangan positif genap juga yang dituliskan .

Dalam suatu sublatis konveks bukan saja dan tetapi juga memuat

semua dimana . Misal ambil sebarang anggota

52

himpunan sublatis dan terdapat juga dalam sublatis tersebut, maka

akan mengakibatkan .

3.4 Ideal

Pada sub bab ini adalah pembahasan tentang ideal yang merupakan

pengembangan dari latis yang mengalami adaptasi, berbeda dengan ideal pada

aljabar abstrak. Berikut adalah definisi, teorema-teorema dan contoh yang

membahas ideal dari latis tersebut.

Definisi 3.4.1

Suatu himpunan bagian tak kosong dari suatu latis disebut ideal dari

jika dan hanya jika dipenuhi syarat-syarat berikut:

(i) Untuk

(ii) Untuk


Menurut Gr tzer (2011:32) suatu subset dari latis disebut ideal jika

sublatis dari dan dan menyebabkan . Suatu latis dapat

disebut ideal jika suatu subset dari latis tersebut membentuk sublatis dari latis itu

sendiri. Pada definisi yang tercantum dalam bab 2 telah dijelaskan tentang subset

dari latis yang menjadi suatu sublatis. Ketika subset tersebut tidak membentuk

sublatis dari latis itu sendiri, maka subset dari latis tersebut tidak dapat disebut

dengan ideal. Jika subset dari latis tersebut telah membentuk sublatis serta misal

dan , maka terbentuklah ideal dengan sifat Begitu juga

menurut Sukardjono, pada definisi 3.4.1 tersebut menunjukkan bahwa subset dari

latis dapat disebut ideal jika terdapat syarat yang telah disebutkan di atas.

53

Contoh 3.4.1

adalah subset dengan anggota himpunan bilangan bulat genap dengan

operasi dan dari suatu latis dengan anggota himpunan bilangan

bulat dengan operasi dan . Buktikan bahwa subset dari latis L adalah

ideal.

Bukti.

Pada definisi 3.4.1 telah disebutkan syarat-syarat ideal dari latis yaitu:

(i) Untuk

(ii) Untuk

Misal

Misal

Dari pembuktian di atas, tekbukti bahwa subset S dari latis L adalah ideal.

Suatu ideal dari adalah proper jika . Suatu latis dapat disebut

ideal jika terdapat subset dari latis tersebut yang membentuk sublatis. Jika subset

dan latis tersebut sama maka latis tersebut tidak dapat menjadi ideal. Maka seperti

yang telah disebutkan pada definisi di atas, ideal dari adalah proper jika .

Seperti pada gambar 3.1, diberikan sebagai yaitu latis dan sebagai yaitu

subset dari latis. Jadi dari gambar dapat diketahui bahwa setiap unsur dari

terdapat pada unsur yang dapat dikatakan adalah subset dari dan subset

dapat menjadi ideal jika subset merupakan sublatis dari latis . Proper ideal

pada adalah prima jika dan menyatakan bahwa atau

. Pada Gambar 3.2, adalah ideal dan adalah ideal prima.

54

Gambar 3.2 Ideal dan Ideal Prima

Karena irisan dari sembarang bilangan sublatis konveks (ideal) adalah

sublatis konveks (ideal) kecuali tidak pernah kosong (unless void), dapat

didefinisikan sublatis konveks dihasilkan oleh subset , dan ideal yang dihasilkan

oleh subset dari latis , diperjelas bahwa . Ideal yang dihasilkan oleh

subset akan dilambangkan oleh , dan jika { }, dituliskan

untuk { } ; akan disebut sebagai ideal utama.

Dari definisi di atas telah disebutkan bahwa suatu latis dapat disebut ideal

jika setiap unsur latis dengan himpunan bagian dari unsur latis tersebut

membentuk sublatis dari latis tersebut yang pada keduanya mengakibatkan sifat.

Dengan adanya sifat tersebut, latis dapat membentuk ideal. Seperti halnya

manusia, setiap manusia mempunyai sifat yang berbeda. Jika beberapa sifat

mereka dipertemukan satu sama lain, akan timbul suatu sifat yang dapat

membentuk suatu kesempurnaan. Seperti halnya orang mukmin yang telah

dijelaskan di dalam al-Qur’anul Karim pada surat al Isra’/17 ayat 70 yang

berbunyi

“Dan sesungguhnya telah Kami muliakan anak-anak Adam, Kami angkut mereka

di daratan dan dil autan, Kami beri mereka rezki dari yang baik-baik dan Kami

lebihkan mereka dengan kelebihan yang sempurna atas kebanyakan makhluk

yang telah Kami ciptakan” (QS. al-Isra’/17:70).

55

Dalam ayat di atas menjelaskan tentang adapun kemuliaan manusia bermula

ketika Allah berkehendak menjadikan Adam sebagai Khalifah-Nya di atas muka

bumi dengan misi ibadah kepada-Nya. Kehendak Allah menjadikan manusia

sebagai Khalifah-Nya di bumi itu tentunya berdasarkan ilmu dan perencanaan-

Nya yang sangat matang. Kemuliaan tersebut bukan karena subyektivitas Tuhan

Pencipta yang Maha Kuasa atas segala makhluk-Nya, melainkan berdasarkan

standar ilmiyah terkait dengan rancangan penciptaan yang sangat sempurna baik

fisik maupun non fisik seperti akal, qalb (hati), tanpa kehilangan syahwat dan

nafsu hewaniyahnya, demikian juga gerak mekanik seluruh tubuhnya yang

demikian indah dan dinamis. Dengan demikian, manusia dianugerahkan berbagai

kelebihan, dan kelebihan-kelebihan tersebut tidak diberikan Allah kepada

makhluk lain selain manusia dan telah pula menyebabkan mereka memperoleh

kemuliaan-Nya. Namun demikian, kemulian manusia erat kaitannya dengan

komitmen untuk menjaga kelebihan-kelebihan tersebut dengan cara

menggunakannya secara optimal dan seimbang sesuai dengan kehendak yang

telah dirancang Tuhan Pencipta.

Manusia adalah makhluk Allah yang paling mulia selama mereka dapat

memanfaatkan secara optimal tiga anugerah keistimewaan/kelebihan yang mereka

miliki yakni, Spiritual, Emotional, dan Intellektual dalam diri sesuai misi dan

visi penciptaan meraka. Namun apabila terjadi penyimpangan misi dan visi hidup,

mereka akan menjadi makhluk paling hina, bahkan lebih hina dari binatang dan

Iblis bilamana mereka kehilangan kontrol atas ketiga keistimewaan yang mereka

miliki. Penyimpangan misi dan visi hidup akan menyebabkan derajat manusia

jatuh di hadapan Tuhan Pencipta dan di dunia.

56

Dari ayat di atas juga dapat diperoleh suatu teorema berikut. Pada teorema

berikut terdapat dua subset tak kosong dari latis L. Kedua subset dari latis tersebut

dapat saling berkesinambungan sebagaimana manusia yang juga dapat saling

berkesinambungan satu sama lain seperti yang telah dijelaskan sebelumnya.

Teorema 3.4.1

Ambil adalah latis dan ambil dan adalah subset tidak kosong dari .

(i) adalah ideal jika dan hanya jika berikut dua kondisi terus:

(i1) mengakibatkan

(i2) I adalah himpunan turunannya

(ii) jika dan hanya jika

{ }

(Gr tzer, 2011:32)

Bukti

(i) Ambil sebagai ideal. Maka mengakibatkan bahwa ,

karena adalah sublatis, sesuai (i1). Jika , maka

hal ini sesuai dengan (i2). Sebaliknya, ambil yang memenuhi

(i1) dan (i2). Ambil . Maka berdasarkan (i1), dan

karena , selanjutnya berdasarkan (i2);

sehingga adalah sublatis. Akhirnya, jika dan , maka

, demikian yang berdasarkan (i2),

membuktikan bahwa adalah ideal.

(ii) Misalkan adalah himpunan di sisi kanan dari rumus ditampilkan

dalam (ii). Menggunakan (i), jelas bahwa adalah ideal, dan jelas

57

. Jika dan adalah ideal, maka , dan dengan

demikian adalah ideal terkecil yang memuat ; yaitu, .

Pada teorema di atas terdapat banyak kemungkinan yang ada pada subset

dan subset karena subset dan subset tidak dijelaskan pada ketentuannya.

Kemungkinan-kemungkinan tersebut diantaranya yaitu subset himpunan saling

lepas dengan subset dalam latis , subset himpunan irisan dengan subset

dalam latis , subset subset dari subset dalam latis atau subset subset dari

subset dalam latis . Kemungkinan tersebut dapat digambar sebagai berikut.

L

Subset irisan dengan subset dalam latis

L

Subset irisan dengan subset dalam latis

L

Subset saling lepas dengan subset dalam

latis

L

Subset subset dari subset dalam latis

Gambar 3.3 Kemungkinan-kemungkinan dari subset dan dalam latis

Ambil dinotasikan sebagai himpunan semua ideal pada dan ambil

{ } Disebut latis ideal dan setara dengan (the augmented) latis

ideal pada .

Lemma 3.4.1

dan adalah order di bawah himpunan inklusi yang setara dengan

latis (Gr tzer, 2011:33).

H

I I H

H I

H

I

58

Bukti.

Untuk

Rumus ini dapat dibangun untuk jika mendapatkan bahwa

. Dari pembuktian teorema 1 poin (ii), dilihat bahwa

, elemen jika dan hanya jika untuk setiap dan

.

Sekarang amati postulat berikut

;

Karena menyatakan bahwa , hal ini terbukti.

Teorema 3.4.2

(i) adalah ideal sejati jika dan hanya jika ada irisan-homomorfisma

pada onto seperti , gambaran invers dari 0, yaitu

{ }

(ii) adalah ideal utama jika dan hanya jika ada homomorfisma pada

onto dengan

(Gr tzer, 2011:33)

Bukti.

(i) Ambil suatu ideal sejati dan didefinisikan {

jelas, adalah irisan-homomorfisma ke .

Sebaliknya, ambil irisan-homomorfisma di onto dan

. Maka berlaku untuk semua ;

59

demikian

; dan juga .

Jika , maka yaitu ;

maka . Akhirnya, adalah onto, oleh karena itu, .

(ii) Jika adalah prima, ambil dikonstruksi dalam bukti (i) dan

perhatikan bahwa dapat bertentangan sifatnya menjadi

homomorfisma hanya dengan . Akan Tetapi, jika adalah

prima, ; akibatnya, , dan

adalah homomorfisma. Sebaliknya, ambil adalah homomorfisma

suatu L onto C2 dan ambil . Jika , maka

, sehingga , dan oleh

karena itu, , sehingga adalah prima.

Dari pembahasan di atas telah diketahui bahwa ideal dari latis dan ideal dari

aljabar abstrak sangatlah berbeda. Namun terdapat beberapa kesamaan konsep

dari kedua ideal tersebut. Pada aljabar abstrak ideal terbentuk dari suatu subring

dari ring dengan beberapa syarat yang harus dipenuhi sedangkan ideal dari latis

tersebut terbentuk dari sublatis dari latis dengan beberapa syarat yang harus

dipenuhi. Sehingga dapat disimpulkan bahwa ideal tersebut terbentuk dari

himpunan bagian dari bidang yang disejajarkannya.

60

BAB IV

PENUTUP

4.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan yang telah diberikan, maka dapat disimpulkan

bahwa suatu aljabar dengan sifat yang berbeda dapat membentuk aljabar yang

lain, seperti halnya ideal dari latis dengan sifat-sifat berikut.

a. Suatu subset dari latis disebut ideal jika sublatis dari dan dan

menyebabkan

b. Suatu ideal dari adalah proper jika

c. Ideal adalah ideal sejati jika dan hanya jika ada irisan-homomorfisma

pada onto seperti , gambaran invers dari 0, yaitu

d. Ideal adalah ideal utama jika dan hanya jika ada homomorfisma pada

onto dengan

4.2 Saran

Pada penelitian ini penulis mengkaji perumusan tentang struktur aljabar

yaitu ideal sebagai aplikasi dari latis. Bagi penelitian selanjutnya dapat

dikembangkan dengan mengkaji bentuk aljabar lainnya seperti ring, modul

sebagai aplikasi dari latis disertai dengan deskripsi gambar, teorema dan buktinya.

Dapat pula diberikan aplikasi nyata dari topik-topik latis sebagaimana pada buku

“Lattice-Ordered Rings and Modules” karangan Stuart A Steinberg (2010)

diterbitkan oleh Springer, “Lattice Theory: Special Topics and Applications

61

(Volume 1)” karangan George Gr tzer dan Friedrich Wehrung (2014) yang

diterbitkan oleh Birkhauser.

62

DAFTAR PUSTAKA

Abdussakir, 2007. Ketika Kiai Mengajar Matematika. Malang: UIN Malang

Press.

Ash Shidiqi, TMH. 2002. Al Bayan Tafsir Penjelas Al-Qur’an.Bandung: PT

Pustaka Rizki Putra

Gr tzer, G. 2011. Lattice Theory: Foundation. Canada: Springer Basel.

Kasanah, S. 2009. Aplikasi Fuzzy MADM Metode Topsis untuk Identifikasi

Servqual (Contoh Kasus pada Swalayan BC UIN Malang). Skripsi tidak

dipublikasikan. Malang: UIN Maulana Malik Ibrahim

Mas’oed, F. 2013. Struktur Aljabar. Jakarta: Permata Putri Media

Raisinghania, M.D. and Anggarwai, R.S. 1980. Modern Algebra. New Delhi:

Ram Nagar

Rasyad, R. 2003. Logika Aljabar. Jakarta PT. Grasindo

Septaria, I. 2010. Latis Modular dan Sifat-Sifatnya. Skripsi tidak dipublikasikan.

Malang: UIN Maulana Malik Ibrahim Malang.

Sukardjono. 2002. Teori Latis. Yogyakarta: Andi

Documents

IDEAL DARI LATIS SKRIPSI OLEH LAILATUL FITRIYAHetheses.uin-malang.ac.id/6368/1/09610109.pdf · that + : ;, the inverse image of 0, that is + < : ; = d. I is a prime ideal of L iff