ICML-Basu02-Semi Supervised Clustering by Seeding

8/3/2019 ICML-Basu02-Semi Supervised Clustering by Seeding

http://slidepdf.com/reader/full/icml-basu02-semi-supervised-clustering-by-seeding 1/8

Proceedings of the 19th International Conference on Machine Learning

(ICML-2002), pp. 19-26, Sydney, Australia, July 2002

Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò Ý Ë Ò

Ë Ù Ø Ó × Ù × Ù Ø Ó × º Ù Ø Ü × º Ù

Ô Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ù Ø Ö Ë Ò × ¸ Í Ò Ú Ö × Ø Ý Ó Ì Ü × ¸ Ù × Ø Ò ¸ Ì ½ ¾

Ö Ò Ñ Ò Ö Ò Ö º Ù Ø Ü × º Ù

Ô Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ð Ø Ö Ð Ò Ó Ñ Ô Ù Ø Ö Ò Ò Ö Ò ¸ Í Ò Ú Ö × Ø Ý Ó Ì Ü × ¸ Ù × Ø Ò ¸ Ì ½ ¾

Ê Ý Ñ Ó Ò Å Ó Ó Ò Ý Ñ Ó Ó Ò Ý × º Ù Ø Ü × º Ù

Ô Ö Ø Ñ Ò Ø Ó Ó Ñ Ô Ù Ø Ö Ë Ò × ¸ Í Ò Ú Ö × Ø Ý Ó Ì Ü × ¸ Ù × Ø Ò ¸ Ì ½ ¾

× Ø Ö Ø

Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò Ù × × × Ñ Ð Ð

Ñ Ó Ù Ò Ø Ó Ð Ð Ø Ø Ó Ò × Ø

Ð Ù × Ø Ö Ò Ó Ù Ò Ð Ð Ø º Ì × Ô Ô Ö Ü ¹

Ô Ð Ó Ö × Ø Ù × Ó Ð Ð Ø Ø Ó Ò Ö Ø

Ò Ø Ð × Ð Ù × Ø Ö × ¸ × Û Ð Ð × Ø Ù × Ó

Ó Ò × Ø Ö Ò Ø × Ò Ö Ø Ö Ó Ñ Ð Ð Ø Ø Ó

Ù Ø Ð Ù × Ø Ö Ò Ô Ö Ó × × º Á Ø Ò Ø Ö Ó Ù ×

Ø Û Ó × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ú Ö Ò Ø × Ó Ã Å Ò × Ð Ù × ¹

Ø Ö Ò Ø Ø Ò Ú Û × Ò × Ø Ò × Ó Ø

Å Ð Ó Ö Ø Ñ ¸ Û Ö Ð Ð Ø Ô Ö Ó Ú ×

Ô Ö Ó Ö Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò Ó Ù Ø Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ð × ¹

Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ó Ò Ø Ó Ö Ý Ð Ð × º Ü Ô Ö ¹

Ñ Ò Ø Ð Ö × Ù Ð Ø × Ñ Ó Ò × Ø Ö Ø Ø Ú Ò Ø × Ó

Ø × Ñ Ø Ó × Ó Ú Ö × Ø Ò Ö Ö Ò Ó Ñ × Ò

Ò Ç È ¹ Ã Å Ò × ¸ Ô Ö Ú Ó Ù × Ð Ý Ú Ð Ó Ô

× Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò Ð Ó Ö Ø Ñ º

½ º Á Ò Ø Ö Ó Ù Ø Ó Ò

Á Ò Ñ Ò Ý Ð Ö Ò Ò Ø × × ¸ Ø Ö × Ð Ö × Ù Ô Ô Ð Ý Ó Ù Ò Ð ¹

Ð Ø Ù Ø Ò × Ù Æ Ò Ø Ð Ð Ø × Ò Ø Ò

Ü Ô Ò × Ú Ø Ó Ò Ö Ø º Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ö Ò Ò Ó Ñ ¹

Ò × Ð Ð Ò Ù Ò Ð Ð Ø Ù Ö Ò Ø Ö Ò Ò Ø Ó

Ñ Ô Ö Ó Ú Ô Ö Ó Ö Ñ Ò º Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ö Ò Ò × Ô ¹

Ô Ð Ð Ø Ó Ó Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ò Ð Ù × Ø Ö Ò º Á Ò × Ù Ô Ö ¹

Ú × Ð × × ¬ Ø Ó Ò ¸ Ø Ö × Ò Ó Û Ò ¸ ¬ Ü × Ø Ó Ø ¹

Ó Ö × Ò Ø Ó Ö Ý ¹ Ð Ð Ø Ö Ò Ò Ø × Ù × Ø Ó Ò ¹

Ù Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò º Á Ò × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð × ¹

× ¬ Ø Ó Ò ¸ Ø Ö Ò Ò Ð × Ó Ü Ô Ð Ó Ø × Ø Ó Ò Ð Ù Ò Ð Ð

Ø ¸ Ö Õ Ù Ò Ø Ð Ý Ö × Ù Ð Ø Ò Ò Ñ Ó Ö Ù Ö Ø Ð × × ¬ ¹

Ø Ó Ò Ù Ò Ø Ó Ò ´ Ð Ù Ñ ² Å Ø Ð Ð ¸ ½ Ö Ñ Ò

² Â Ó Ö Ò ¸ ½ µ º Á Ò Ù Ò × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò ¸ Ò Ù Ò Ð ¹

Ð Ø × Ø × Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò Ø Ó Ö Ó Ù Ô × Ó × Ñ Ð Ö Ü ¹

Ñ Ô Ð × ¸ Ø Ý Ô Ð Ð Ý Ý Ó Ô Ø Ñ Þ Ò Ò Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò

Ø Ø Ö Ø Ö Þ × Ó Ó Ô Ö Ø Ø Ó Ò × º Á Ò × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú ×

Ð Ù × Ø Ö Ò ¸ × Ó Ñ Ð Ð Ø × Ù × Ð Ó Ò Û Ø Ø

Ù Ò Ð Ð Ø Ø Ó Ó Ø Ò Ø Ø Ö Ð Ù × Ø Ö Ò º Ì × Ô ¹

Ô Ö Ü Ô Ð Ó Ö × Ø Ù × Ó Ð Ð Ø Ø Ó Ò Ö Ø ×

Ð Ù × Ø Ö × Ø Ø Ò Ø Ð Þ Ð Ù × Ø Ö Ò Ð Ó Ö Ø Ñ ¸ × Û Ð Ð

× Ø Ù × Ó Ó Ò × Ø Ö Ò Ø × Ò Ö Ø Ö Ó Ñ Ø Ð Ð

Ø Ø Ó Ù Ø Ð Ù × Ø Ö Ò Ô Ö Ó × × º È Ö Ó Ô Ö × Ò

× × Ð Ù × Ø Ö Ò Ø Ó Û Ö × Ó Ó Ö Ó Ò Ó Ø × Ö

× Ô ¸ Ø Ö Ý Ö Ù Ò Ø Ò × Ó Ø Ø Ø Ò × Ø Ù

Ò Ô Ó Ó Ö Ð Ó Ð Ó Ô Ø Ñ ¸ Û Ð × Ñ Ù Ð Ø Ò Ó Ù × Ð Ý Ô Ö Ó Ù Ò

Ð Ù × Ø Ö Ò × Ñ Ð Ö Ø Ó Ø Ù × Ö ¹ × Ô ¬ Ð Ð × º

Á Ø Ò Ø Ð Ð Ð Ø Ö Ô Ö × Ò Ø Ð Ð Ø Ö Ð Ú Ò Ø

Ø Ó Ö × ¸ Ø Ò Ó Ø × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò Ò

× Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ð Ó Ö Ø Ñ × Ò Ù ×

Ó Ö Ø Ó Ö Þ Ø Ó Ò º À Ó Û Ú Ö Ò Ñ Ò Ý Ó Ñ Ò × ¸ Ò Ó Û Ð ¹

Ó Ø Ö Ð Ú Ò Ø Ø Ó Ö × × Ò Ó Ñ Ô Ð Ø º Í Ò Ð

× Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð × × ¬ Ø Ó Ò ¸ × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö ¹

Ò Ò Ö Ó Ù Ô Ø Ù × Ò Ø Ø Ó Ö × Ò Ø Ò Ø Ð

Ð Ð Ø ¸ × Û Ð Ð × Ü Ø Ò Ò Ñ Ó Ý Ø Ü × Ø Ò

× Ø Ó Ø Ó Ö × × Ò Ø Ó Ö - Ø Ó Ø Ö Ö Ù Ð Ö Ø ×

Ò Ø Ø º

Ì × Ô Ô Ö Ò Ø Ö Ó Ù × Ø Û Ó × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ú Ö Ò Ø × Ó

Ã Å Ò × Ð Ù × Ø Ö Ò ´ Å É Ù Ò ¸ ½ µ Ø Ø Ù × Ò ¹

Ø Ð Ð Ð Ø Ó Ö × Ò º Ï Ñ Ó Ø Ú Ø Ø Ð ¹

Ó Ö Ø Ñ × Ù × Ò Ø Ü Ô Ø Ø Ó Ò Å Ü Ñ Þ Ø Ó Ò ´ Å µ

Ö Ñ Û Ó Ö ´ Ñ Ô × Ø Ö Ø Ð º ¸ ½ µ ¸ × Ó Û Ò Ø Ø × ¹

Ò Ò Ü Ô Ð Ò Ù × Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù ¹

Ø Ó Ò Ó Ò Ø Ó Ö Ý Ð Ð × º Ï Ô Ö × Ò Ø Ö × Ù Ð Ø ×

Ó Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × Ñ Ó Ò × Ø Ö Ø Ò Ø Ú Ò Ø × Ó Ó Ù Ö

Ñ Ø Ó × Ó Ú Ö × Ø Ò Ö Ö Ò Ó Ñ × Ò Ò Ç È ¹

Ã Å Ò × ´ Ï × Ø « Ø Ð º ¸ ¾ ¼ ¼ ½ µ ¸ Ò Ð Ø Ö Ò Ø Ú × Ñ ¹

× Ù Ô Ö Ú × Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ º

¾ º Ö Ó Ù Ò

Ã Å Ò × × Ð Ù × Ø Ö Ò Ð Ó Ö Ø Ñ × Ó Ò Ø Ö Ø Ú

Ö Ð Ó Ø Ó Ò Ø Ø Ô Ö Ø Ø Ó Ò × Ø × Ø Ò Ø Ó Ã Ð Ù × Ø Ö × ¸ Ð Ó ¹

Ð Ð Ý Ñ Ò Ñ Þ Ò Ø Ú Ö × Õ Ù Ö × Ø Ò Ø Û Ò

Ø Ø Ô Ó Ò Ø × Ò Ø Ð Ù × Ø Ö Ò Ø Ö × º Ó Ö × Ø Ó



Ø Ô Ó Ò Ø × Ü

½

¡ ¡ ¡ Ü

Æ

Ü

¾ Ê

¸ Ø Ã Å Ò ×

Ð Ó Ö Ø Ñ Ö Ø × Ã ¹ Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò

½

Ð

Ã

Ð ½

Ó × Ó

Ø Ø

½

¡ ¡ ¡

Ã

Ö Ô Ö × Ò Ø Ø Ã Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò Ø Ö × ¸

Ø Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò

Â

Ñ Ò ×

Ã

Ð ½

Ü

¾

Ð

Ü

Ð

¾

´ ½ µ

× Ð Ó Ð Ð Ý Ñ Ò Ñ Þ º

¾ º ½ Ç È ¹ Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ

Ç È ¹ Ã Å Ò × ´ Ï × Ø « Ø Ð º ¸ ¾ ¼ ¼ ½ µ × × Ñ ¹

× Ù Ô Ö Ú × Ú Ö Ò Ø Ó Ã Å Ò × ¸ Û Ö Ò Ø Ð ¹

Ö Ó Ù Ò Ò Ó Û Ð ¸ Ô Ö Ó Ú Ò Ø Ó Ö Ñ Ó Ó Ò × Ø Ö Ò Ø ×

Ø Û Ò Ò × Ø Ò × Ò Ø Ø × Ø ¸ × Ù × Ò Ø Ð Ù × ¹

Ø Ö Ò Ô Ö Ó × × º Ì Ö Ö Ø Û Ó Ø Ý Ô × Ó Ó Ò × Ø Ö Ò Ø × ¸

Ñ Ù × Ø ¹ Ð Ò ´ Ø Û Ó Ò × Ø Ò × Ú Ø Ó Ø Ó Ø Ö Ò Ø

× Ñ Ð Ù × Ø Ö µ Ò Ò Ò Ó Ø ¹ Ð Ò ´ Ø Û Ó Ò × Ø Ò × Ú Ø Ó

Ò « Ö Ò Ø Ð Ù × Ø Ö × µ ¸ Û Ö Ù × Ò Ø Ð Ù × ¹

Ø Ö Ò Ô Ö Ó × × Ø Ó Ò Ö Ø Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ø Ø × Ø × ¬ × Ð Ð

Ø Ú Ò Ó Ò × Ø Ö Ò Ø × º Á Ò Ø × Ô Ô Ö ¸ Û Ú Ú Ð Ó Ô

Ø Û Ó × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ú Ö Ò Ø × Ó Ã Å Ò × Ò Ó Ñ Ô Ö

Ø Ñ Ø Ó Ç È ¹ Ã Å Ò × º

¾ º ¾ Ë È Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ

Á Ò Ø Ë Ô Ö Ð Ã Å Ò × ´ Ë È Ã Å Ò × µ Ð Ó Ö Ø Ñ ¸

× Ø Ò Ö Ã Å Ò × × Ô Ô Ð Ø Ó Ø Ú Ø Ó Ö × Ø Ø Ú

Ò Ò Ó Ö Ñ Ð Þ Ø Ó Ú Ù Ò Ø Ä

¾

Ò Ó Ö Ñ ¸ º º ¸ Ø Ø

Ô Ó Ò Ø × Ð Ó Ò Ù Ò Ø × Ô Ö ´ Ð Ð Ó Ò Ø Ð º ¸ ¾ ¼ ¼ ½ µ º × ¹

× Ù Ñ Ò Ü

Ð

½ Ð Ò Õ Ò º ½ ¸ Û Ø

Ü

Ð

¾

¾ ¾ Ü

Ì

Ð

º Ì Ò ¸ Ø Ð Ù × Ø Ö Ò Ô Ö Ó Ð Ñ

Ò Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ð Ý Ó Ö Ñ Ù Ð Ø × Ø Ø Ó Ñ Ü Ñ Þ Ò

Ø Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò

Â

× Ô Ñ Ò ×

Ã

Ð ½

Ü

¾

Ð

Ü

Ì

Ð

´ ¾ µ

Ì Ë È Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ Ú × Ð Ó Ð Ñ Ü Ñ Ù Ñ Ó

Ø × Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò º Ì Ë È Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ ×

Ó Ñ Ô Ù Ø Ø Ó Ò Ð Ú Ò Ø × Ó Ö × Ô Ö × Ñ Ò × Ó Ò Ð

Ø Ú Ø Ó Ö × ¸ Û Ö Ú Ö Ý Ó Ñ Ñ Ó Ò Ò Ó Ñ Ò × Ð

Ø Ü Ø Ð Ù × Ø Ö Ò º Ó Ö Ø × Ö × Ó Ò ¸ Û Ú Ù × Ë È ¹

Ã Å Ò × Ò Ó Ù Ö Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × º

¿ º Ð Ó Ö Ø Ñ ×

Á Ò Ø × × Ø Ó Ò ¸ Û Ü Ô Ð Ò Ó Û × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò Ò

Ò Ó Ö Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ø Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ Ý × ¹

Ò Ò Ô Ö Ó Ô Ó × Ø Û Ó Ú Ö Ò Ø × Ó Ø Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ

Ø Ø Ù × Ø × × Ø Ò Û Ú Ø Ñ Ø Ñ Ø Ð Ñ Ó ¹

Ø Ú Ø Ó Ò Ò Ø Ø Û Ó Ô Ö Ó Ô Ó × Ð Ó Ö Ø Ñ × º

Ð Ó Ö Ø Ñ Ë ¹ Ã Å Ò ×

Á Ò Ô Ù Ø Ë Ø Ó Ø Ô Ó Ò Ø × Ü

½

¡ ¡ ¡ Ü

Æ

Ü

¾ Ê

̧

Ò Ù Ñ Ö Ó Ð Ù × Ø Ö × Ã ¸ × Ø Ë

Ã

Ð ½

Ë

Ð

Ó Ò Ø Ð × ×

Ç Ù Ø Ô Ù Ø × Ó Ò Ø Ã Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò

Ð

Ã

Ð ½

Ó × Ù Ø Ø

Ã Å Ò × Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ô Ø Ñ Þ

Å Ø Ó

½ º Ò Ø Ð Þ

´ ¼ µ

½

Ë

È

Ü ¾ Ë

Ü Ó Ö ½ Ã Ø ¼

¾ º Ê Ô Ø Ù Ò Ø Ð Ó Ò Ú Ö Ò

¾ º × × Ò Ð Ù × Ø Ö × × Ò Ø Ô Ó Ò Ø Ü Ø Ó Ø

Ð Ù × Ø Ö

£

´ º º × Ø

́ Ø · ½ µ

£

µ ¸ Ó Ö

£

Ö Ñ Ò

Ü

́ Ø µ

¾

¾ º × Ø Ñ Ø Ñ Ò ×

́ Ø · ½ µ

½

́ Ø · ½ µ

È

Ü ¾

́ Ø · ½ µ

Ü

¾ º Ø ́ Ø · ½ µ

Ù Ö ½ º Ë ¹ Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ

Ð Ó Ö Ø Ñ Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò ×

Á Ò Ô Ù Ø Ë Ø Ó Ø Ô Ó Ò Ø × Ü

½

¡ ¡ ¡ Ü

Æ

Ü

¾ Ê

̧

Ò Ù Ñ Ö Ó Ð Ù × Ø Ö × Ã ¸ × Ø Ë

Ã

Ð ½

Ë

Ð

Ó Ò Ø Ð × ×

Ç Ù Ø Ô Ù Ø × Ó Ò Ø Ã Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò

Ð

Ã

Ð ½

Ó × Ù Ø Ø

Ø Ã Å Ò × Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ô Ø Ñ Þ

Å Ø Ó

½ º Ò Ø Ð Þ

´ ¼ µ

½

Ë

È

Ü ¾ Ë

Ü Ó Ö ½ Ã Ø ¼

¾ º Ê Ô Ø Ù Ò Ø Ð Ó Ò Ú Ö Ò

¾ º × × Ò Ð Ù × Ø Ö Ó Ö Ü ¾ Ë ¸ Ü ¾ Ë

× × Ò Ü Ø Ó Ø

Ð Ù × Ø Ö ´ º º ¸ × Ø

́ Ø · ½ µ

µ º Ó Ö Ü ¾ Ë ¸ × × Ò Ü Ø Ó Ø

Ð Ù × Ø Ö

£

´ º º × Ø

́ Ø · ½ µ

£

µ ¸ Ó Ö

£

Ö Ñ Ò

Ü

́ Ø µ

¾

¾ º × Ø Ñ Ø Ñ Ò ×

́ Ø · ½ µ

½

́ Ø · ½ µ

È

Ü ¾

́ Ø · ½ µ

Ü

¾ º Ø ́ Ø · ½ µ

Ù Ö ¾ º Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ

¿ º ½ Ë Ò

Ú Ò Ø × Ø ¸ × Ô Ö Ú Ó Ù × Ð Ý Ñ Ò Ø Ó Ò ¸ Ã Å Ò ×

Ð Ù × Ø Ö Ò Ó Ø Ø × Ø Ò Ö Ø × Ã ¹ Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò

Ð

Ã

Ð ½

Ó × Ó Ø Ø Ø Ã Å Ò × Ó Ø Ú × Ð Ó Ð Ð Ý

Ñ Ò Ñ Þ º Ä Ø Ë ¸ Ð Ð Ø × × Ø ¸ Ø × Ù ¹

× Ø Ó Ø ¹ Ô Ó Ò Ø × Ó Ò Û × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò × Ô Ö Ó Ú ×

Ó Ð Ð Ó Û × Ó Ö Ü

¾ Ë ¸ Ø Ù × Ö Ô Ö Ó Ú × Ø Ð Ù × Ø Ö

Ð

Ó Ø Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ø Ó Û Ø Ð Ó Ò × º Ï × × Ù Ñ

Ø Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ô Ö Ø Ø Ó Ò

Ð

Ó ¸ Ø Ö ×

Ø Ý Ô Ð Ð Ý Ø Ð × Ø Ó Ò × Ô Ó Ò Ø Ü

¾ Ë º Ó Ø Ø Ø Û

Ø × Ó Ò Ø Ã ¹ Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò Ë

Ð

Ã

Ð ½

Ó Ø × × Ø

Ë ¸ × Ó Ø Ø Ð Ð Ü

¾ Ë

Ð

Ð Ó Ò × Ø Ó

Ð

Ó Ö Ò Ø Ó Ø

× Ù Ô Ö Ú × Ó Ò º Ì × Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò Ó Ø × × Ø Ë Ó Ö Ñ ×

Ø × Ð Ù × Ø Ö Ò Ò × Ù × Ø Ó Ù Ø Ã Å Ò ×

Ð Ó Ö Ø Ñ º

¿ º ¾ Ì Û Ó Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ ×

Á Ò Ë ¹ Ã Å Ò × ¸ Ø × Ð Ù × Ø Ö Ò × Ù × Ø Ó Ò ¹

Ø Ð Þ Ø Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ º Ì Ù × ¸ Ö Ø Ö Ø Ò Ò ¹

Ø Ð Þ Ò Ã Å Ò × Ö Ó Ñ Ã Ö Ò Ó Ñ Ñ Ò × ¸ Ø Ñ Ò Ó

Ø Ð Ø Ð Ù × Ø Ö × Ò Ø Ð Þ Û Ø Ø Ñ Ò Ó Ø Ð Ø

Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ë

Ð

Ó Ø × × Ø º Ì × Ð Ù × Ø Ö Ò × Ó Ò Ð Ý

½

Ã × Ó Ò Ø × Ù × Ø × Ó ¸ Û Ó × Ù Ò Ó Ò ×



Ù × Ó Ö Ò Ø Ð Þ Ø Ó Ò ¸ Ò Ø × × Ö Ò Ó Ø Ù × Ò

Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò × Ø Ô × Ó Ø Ð Ó Ö Ø Ñ º Ì Ð Ó Ö Ø Ñ ×

Ô Ö × Ò Ø Ò Ø Ð Ò º ½ º

Á Ò Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × ¸ Ø × Ð Ù × Ø Ö Ò × Ù ×

Ø Ó Ò Ø Ð Þ Ø Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ × × Ö Ó Ö

Ø Ë ¹ Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ º À Ó Û Ú Ö ¸ Ò Ø × Ù ¹

× Õ Ù Ò Ø × Ø Ô × ¸ Ø Ð Ù × Ø Ö Ñ Ñ Ö × Ô × Ó Ø Ø

Ô Ó Ò Ø × Ò Ø × × Ø Ö Ò Ó Ø Ö ¹ Ó Ñ Ô Ù Ø Ò Ø

× × Ò Ð Ù × Ø Ö × Ø Ô × Ó Ø Ð Ó Ö Ø Ñ ß Ø Ð Ù × Ø Ö

Ð Ð × Ó Ø × Ø Ö Ô Ø Ù Ò Ò ¸ Ò Ó Ò Ð Ý

Ø Ð Ð × Ó Ø Ò Ó Ò ¹ × Ø Ö Ö ¹ × Ø Ñ Ø º Ì

Ð Ó Ö Ø Ñ × Ú Ò Ò Ø Ð Ò º ¾ º

Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × × × Ø Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ

Û Ø Ø Ù × Ö ¹ × Ô ¬ Ð Ð Ø Ò Ô × Ø Ø

Ð Ð Ò Ù Ò Ò Ø Ö Ó Ù Ó Ù Ø Ø Ð Ó Ö Ø Ñ º Á Ò

Ë ¹ Ã Å Ò × ¸ Ø Ù × Ö ¹ × Ô ¬ Ð Ð Ò Ó Ø ×

Ø Ñ Ý Ò Ò Ø Ó Ù Ö × Ó Ø Ð Ó Ö Ø Ñ º

Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × × Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Û Ò Ø Ò Ø Ð

× Ð Ð Ò × Ò Ó × ¹ Ö ¸ Ó Ö Ø Ù × Ö Ó × Ò Ó Ø Û Ò Ø

Ø Ð Ð × Ó Ò Ø × Ø Ø Ó Ò ¸ Û Ö × Ë ¹

Ã Å Ò × × Ô Ô Ö Ó Ô Ö Ø Ò Ø Ô Ö × Ò Ó Ò Ó × Ý × × º

Ì × Ò Ó Ø Ö × Ô Ø × Ó Ø × Ø Û Ó Ð Ó Ö Ø Ñ × Ö

× Ø Ù Ò Ø Ð Ø Ö Ó Ù Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × Ò Ë º º

¿ º ¿ Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ã Å Ò × × Å

Ì Å Ð Ó Ö Ø Ñ × Ú Ö Ý Ò Ö Ð Ñ Ø Ó Ó ¬ Ò ¹

Ò Ø Ñ Ü Ñ Ù Ñ ¹ Ð Ð Ó Ó × Ø Ñ Ø Ó Ø Ô Ö Ñ ¹

Ø Ö × Ó Ò Ù Ò Ö Ð Ý Ò × Ø Ö Ù Ø Ó Ò ¸ Ó Ö ¸ Ñ Ó Ö Ò Ö Ð Ð Ý ¸

Ô Ö Ó Ð × Ø Ø Ò Ö Ø Ó Ò Ô Ö Ó × × ¸ Ö Ó Ñ × Ø Ó

Ó × Ö Ú Ø Ø Ø × Ò Ó Ñ Ô Ð Ø Ó Ö Ñ × × Ò Ú Ð Ù × º

Á Ò Ó Ø × Ø Ó × Ö Ú Ø ¸ ¢ Ò Ó Ø × Ø Ù Ö ¹

Ö Ò Ø × Ø Ñ Ø Ó Ø Ô Ö Ñ Ø Ö Ú Ð Ù × Ò Ò Ó Ø ×

Ø Ñ × × Ò Ø ¸ Ø Ò ¸ Ò Ø ¹ × Ø Ô ¸ Ø Å Ð Ó ¹

Ö Ø Ñ Ó Ñ Ô Ù Ø × Ø Ü Ô Ø Ú Ð Ù Ó Ø Ó Ñ Ô Ð Ø ¹

Ø Ð Ó ¹ Ð Ð Ó Ó Ð Ó Ô ́ ¢ µ Ó Ú Ö Ø × Ø Ö Ù Ø Ó Ò

Ô ́ ¢ µ ´ Ð Ñ × ¸ ½ µ º × Û × Ð Ð Ñ Ó Ò × Ø Ö Ø ¸

Ø × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò Ô Ö Ó Ú Ø Ó Ø Ã Å Ò × Ð Ó ¹

Ö Ø Ñ × × Ò Ø Ð Ð Ý Ø Ö Ñ Ò × Ø × Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù ¹

Ø Ó Ò Ó Ú Ö Û Ø Ü Ô Ø Ø Ó Ò × Ó Ñ Ô Ù Ø º Ï × Ð Ð

Ø Ð Ó × Ö Ð Ó Ó Ø Ø × × Ù Ñ Ô Ø Ó Ò × Ó Ò Ñ × Ó Ò

Ø × × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ò Ø Å Ö Ñ Û Ó Ö Ó Ö × Ó Ð Ú Ò Ø

Ã Å Ò × Ô Ö Ó Ð Ñ × Ó Ø Ø Ø « Ø Ó × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò

Û Ð Ð Ó Ñ Ú Ò Ø º

Ì Ã Å Ò × Ð Ù × Ø Ö Ò Ð Ó Ö Ø Ñ × × × Ò Ø Ð Ð Ý Ò Å

Ð Ó Ö Ø Ñ Ó Ò Ñ Ü Ø Ù Ö Ó Ã Ù × × Ò × Ù Ò Ö Ö Ø Ò

× × Ù Ñ Ô Ø Ó Ò × º Ì Ø ¹ Ò Ö Ø Ó Ò Ô Ö Ó × × Ò Ã Å Ò ×

× × × Ù Ñ Ø Ó × Ó Ð Ð Ó Û × ß ¬ Ö × Ø ¸ Ó Ò Ù × × Ò ×

Ó × Ò Ó Ù Ø Ó Ø Ã Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Ö Ô Ö Ó Ö Ô Ö Ó Ð ¹

Ø Ý × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ø Ò ¸ Ø ¹ Ô Ó Ò Ø × × Ñ Ô Ð Ó Ð ¹

Ð Ó Û Ò Ø × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ó × Ò Ù × × Ò º Ä Ø

Ü

½

¡ ¡ ¡ Ü

Æ

Ø × Ø Ó Ø ¹ Ô Ó Ò Ø × Û Û Ò Ø

Ø Ó Ð Ù × Ø Ö Û Ø Ü

¾ Ê

º Ì Ñ × × Ò Ø × Ø

Ð Ù × Ø Ö × × Ò Ñ Ò Ø Ó Ø Ø ¹ Ô Ó Ò Ø × º Á Ø Ø × Ú Ð Ù ×

Ò ½ ¡ ¡ ¡ Ã Ò × Ð Û Ý × Ó Ò Ø Ó Ò Ó Ò Ø Ø ¹

Ô Ó Ò Ø Ù Ò Ö Ó Ò × Ö Ø Ó Ò º Ï Ò Ó Ø ´ Ð µ Ý Þ

Ð

º

Ó Ö Ö Ú Ò Ã Å Ò × ¸ Û × × Ù Ñ Ø Ø Ø Ô Ö Ó Ö × Ø Ö ¹

Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ù × × Ò × × Ù Ò Ó Ö Ñ ¸ º º ¸

Ð

½ Ã Ð ̧

Ò Ø Ø Ù × × Ò × Ò Ø Ø Ý Ó Ú Ö Ò º Ì Ò ¸

Ø Ô Ö Ñ Ø Ö × Ø ¢ Ó Ò × × Ø × Ó Ù × Ø Ø Ã Ñ Ò ×

½

¡ ¡ ¡

Ã

º Ï Ø Ø × × × Ù Ñ Ô Ø Ó Ò × ¸ Ó Ò Ò × Ó Û

Ø Ø ´ Ð Ñ × ¸ ½ µ

¢

Ð Ó Ô ́ ¢ µ

Ã

Ð ½

Æ

½

Ð Ó ´

Ð

¡

½

´ ¾ µ

¾

Ü

Ð

¾

µ Ô ́ Þ

Ð

Ü

¢ µ

Ã

Ð ½

Æ

½

Ü

Ð

¾

Ô ́ Þ

Ð

Ü

¢ µ · ´ ¿ µ

Û Ö × Ó Ò × Ø Ò Ø º Ù Ö Ø Ö × × Ù Ñ Ò Ø Ø

Ô ́ Þ

Ð

Ü

¢ µ

½ Ð Ö Ñ Ò

Ü

¾

¼ Ó Ø Ö Û × ¸

´ µ

Ò Ö Ô Ð Ò Ø Ò Õ Ò º ¿ ¸ Û Ò Ó Ø Ø Ø Ø Ü Ô Ø Ø Ó Ò

Ø Ö Ñ Ó Ñ × Ó Ù Ø Ø Ó Ø Ò Ø Ú Ó Ø Û Ð Ð ¹ Ò Ó Û Ò

Ã Å Ò × Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò Û Ø Ò Ø Ú Ó Ò × Ø Ò Ø º

¾

Ì Ù × ¸ Ø Ô Ö Ó Ð Ñ Ó Ñ Ü Ñ Þ Ò Ø Ü Ô Ø Ø Ó Ò Ó

Ø Ó Ñ Ô Ð Ø ¹ Ø Ð Ó ¹ Ð Ð Ó Ó Ù Ò Ö Ø × × × Ù Ñ Ô ¹

Ø Ó Ò × × × Ñ × Ø Ø Ó Ñ Ò Ñ Þ Ò Ø Ã Å Ò × Ó ¹

Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò º Ã Ô Ò Ò Ñ Ò Ø × × Ù Ñ Ô Ø Ó Ò Ò

Õ Ò º ¸ Ø Ã Å Ò × Ó Ø Ú Ò Û Ö Ø Ø Ò ×

Â

Ñ Ò ×

Ã

Ð ½

Æ

½

Ü

Ð

¾

Ô ́ Þ

Ð

Ü

Ð

µ ´ µ

Ì Ó Ò Ð Ý Ñ × × Ò Ø Ó Ö Ø Ã Å Ò × Ô Ö Ó Ð Ñ Ö

Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ô ́ Þ

Ð

Ü

Ð

µ º Ã Ò Ó Û Ð

Ó Ø × × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × × Ó Ð Ú × Ø Ô Ö Ó Ð Ñ ¸ Ù Ø Ò Ó Ö Ñ Ð Ð Ý

Ø Ö × Ò Ó Û Ý Ø Ó Ó Ñ Ô Ù Ø Ø º Á Ò Ø × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú ×

Ð Ù × Ø Ö Ò Ö Ñ Û Ó Ö ¸ Ø Ù × Ö Ô Ö Ó Ú × Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò

Ó Ù Ø × Ó Ñ Ó Ø Ø Ô Ó Ò Ø × Ø Ø × Ô ¬ × Ø

Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × º

Ü Ñ Ô Ð Á Ü

Ò Ü

Ö Ø Û Ó Ø ¹ Ô Ó Ò Ø × Û Ø

Ñ Ù × Ø ¹ Ð Ò Ó Ò × Ø Ö Ò Ø Ø Û Ò Ø Ñ ´ Ë º ¾ º ½ µ ¸ Ø Ò

Ô ́ Þ

Ð

Ü

Ð

µ Ò Ô ́ Þ

Ð

Ü

Ð

µ Ö Ò Ø Ð Ð Ý × Ø Ö Ù Ø º

Á Ò Ø ¸ Ð Ð Ø ¹ Ô Ó Ò Ø × Ò Ø Ø Ö Ò × Ø Ú Ð Ó × Ù Ö Ó

Ó Ò Ò Ø × Ø Ó Ñ Ù × Ø ¹ Ð Ò Ó Ò × Ø Ö Ò Ø × Û Ð Ð

Ò Ø Ð Ð Ý × Ø Ö Ù Ø º

Ì Ù × ¸ × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò × × Ò Ø Ð Ð Ý Ô Ö Ó Ú × Ò Ó Ö Ñ ¹

Ø Ó Ò Ó Ù Ø Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ô ́ Þ

Ð

Ü

Ð

µ º

¾

Ì × × Ù Ñ Ô Ø Ó Ò Ò Õ Ò º Ò Ð × Ó Ö Ú Ý × ¹

× Ù Ñ Ò Ø Ó Ú Ö Ò Ó Ø Ù × × Ò × Ø Ó ̄ Á Ò Ð Ø Ø Ò

̄ ¼

·

´ Ã Ö Ò × Ø Ð º ¸ ½ µ º



Á Ò × Ø Ò Ö Ã Å Ò × Û Ø Ó Ù Ø Ò Ý Ò Ø Ð × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò ¸

Ø Ã Ñ Ò × Ö Ó × Ò Ö Ò Ó Ñ Ð Ý Ò Ø Ò Ø Ð Å ¹

× Ø Ô Ò Ø Ø ¹ Ô Ó Ò Ø × Ö × × Ò Ø Ó Ø Ò Ö × Ø

Ñ Ò × Ò Ø × Ù × Õ Ù Ò Ø ¹ × Ø Ô º × Ü Ô Ð Ò Ó Ú ¸

Ú Ö Ý Ô Ó Ò Ø Ü

Ò Ø Ø × Ø × Ã Ô Ó × × Ð Ó Ò ¹

Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × × × Ó Ø Û Ø Ø ´ × Ø × Ý Ò

Õ Ò º µ Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò Ø Ó Ø Ã Ñ Ò × Ø Ó Û Ø Ò

Ð Ó Ò º Ì × × × Ò Ñ Ò Ø Ó Ø Ô Ó Ò Ø Ü

Ø Ó Ö Ò Ó Ñ

Ð Ù × Ø Ö Ò Ø ¬ Ö × Ø ¹ × Ø Ô × × Ñ Ð Ö Ø Ó Ô Ò Ó Ò Ó Ò ¹

Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ø Ö Ò Ó Ñ Ö Ó Ñ Ø Ã Ô Ó × × Ð

Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × º

Á Ò Ë ¹ Ã Å Ò × ¸ Ø Ò Ø Ð × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò × Õ Ù Ú Ð Ò Ø

Ø Ó × Ô Ý Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ô ́ Þ

Ð

Ü

Ð

µ

Ó Ö Ø × Ô Ó Ò Ø × Ü

¾ Ë º Ì × Ô ¬ Ó Ò Ø Ó Ò Ð

× Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ó Ø × Ø Ö Ù × Ø Ù × Ò Ø Ò ¹

Ø Ð Å ¹ × Ø Ô Ó Ø Ð Ó Ö Ø Ñ ¸ Ò Ô ́ Þ

Ð

Ü

Ð

µ × Ö ¹

× Ø Ñ Ø Ó Ö Ð Ð Ü

¾ Ò Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò ¹ × Ø Ô × Ó

Ø Ð Ó Ö Ø Ñ º

Á Ò Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × ¸ Ø Ò Ø Ð Å ¹ × Ø Ô × × Ñ ×

Ë ¹ Ã Å Ò × º Ì « Ö Ò × Ø Ø Ó Ö Ø ×

Ø Ô Ó Ò Ø × ¸ Ø Ò Ø Ð Ð Ð × ¸ º º ¸ Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ð × ¹

Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ô ́ Þ

Ð

Ü

Ð

µ ¸ Ö Ô Ø Ù Ò Ò Ø Ö Ó Ù Ó Ù Ø

Ø Ð Ó Ö Ø Ñ ¸ Û Ö × Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò Ó Ö

Ø Ò Ó Ò ¹ × Ô Ó Ò Ø × Ö Ö ¹ × Ø Ñ Ø Ø Ú Ö Ý ¹ × Ø Ô º

Á Ò Ó Ù Ö Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × ¸ Û Û Ð Ð Ù × Ò Ø Ë È Ã Å Ò ×

Ö Ñ Û Ó Ö ´ Ë º ¾ º ¾ µ º Á Ò Ø × Ö Ñ Û Ó Ö ¸ × Ò Ú Ö Ý

Ô Ó Ò Ø Ð × Ó Ò Ø Ù Ò Ø × Ô Ö × Ó Ø Ø Ü

Ð

½ ̧

Ø Ü Ô Ø Ø Ó Ò Ø Ö Ñ Ò Õ Ò º ¿ Ó Ñ × Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ø Ó

¢

Ð Ó Ô ́ ¢ µ

Ã

Ð ½

Æ

½

Ü

Ì

Ð

Ô ́ Þ

Ð

Ü

¢ µ ·

Ë Ó ¸ Ñ Ü Ñ Þ Ò Ø Ë È Ã Å Ò × Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò

× Õ Ù Ú Ð Ò Ø Ø Ó Ñ Ü Ñ Þ Ò Ø Ü Ô Ø Ø Ó Ò Ó Ø

Ó Ñ Ô Ð Ø ¹ Ø Ð Ó ¹ Ð Ð Ó Ó Ò Ø ¹ × Ø Ô Ó Ø Å

Ð Ó Ö Ø Ñ º

º Ü Ô Ö Ñ Ò Ø ×

Á Ò Ó Ù Ö Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × ¸ Û Ù × ¾ Ø × Ø × ß Å Í

¾ ¼ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø Ò Ó Ó Û × Ø º Ó Ö

Ø × Ø ¸ Û Ö Ò Ð Ó Ö Ø Ñ × ß Ë ¹ Ã Å Ò × ¸

Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × ¸ Ç È ¹ Ã Å Ò × ¸ Ò Ê Ò Ó Ñ ¹

Ã Å Ò × º Á Ò Ê Ò Ó Ñ ¹ Ã Å Ò × ¸ Ø Ã Ñ Ò × Û Ö Ò ¹

Ø Ð Þ Ý Ø Ò Ø Ñ Ò Ó Ø Ò Ø Ö Ø Ò Ö Ò ¹

Ó Ñ Ð Ý Ô Ö Ø Ù Ö Ò Ø Ã Ø Ñ × ´ Ý Ý Ø Ð º ¸ ½ µ º

Ì × Ø Ò Õ Ù Ó Ò Ø Ð Þ Ø Ó Ò × Ú Ò Ó Ó Ö × Ù Ð Ø ×

Ò Ù Ò × Ù Ô Ö Ú × Ã Å Ò × Ò Ô Ö Ú Ó Ù × Û Ó Ö ´ Ð Ð Ó Ò

Ø Ð º ¸ ¾ ¼ ¼ ½ µ º Ï Ó Ñ Ô Ö Ø Ô Ö Ó Ö Ñ Ò Ó

Ø × Ñ Ø Ó × Ó Ò Ø ¾ Ø × Ø × Û Ø Ú Ö Ý Ò × Ò

Ò Ò Ó × Ð Ú Ð × ¸ Ù × Ò ½ ¼ ¹ Ó Ð Ö Ó × × Ú Ð Ø Ó Ò º Ó Ö

Ø × Ø ¸ Ë È Ã Å Ò × Û × Ù × × Ø Ù Ò Ö Ð Ý Ò

Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ Ó Ö Ð Ð Ø Ã Å Ò × Ú Ö Ò Ø × º

º ½ Ø × Ø ×

Ì ¾ ¼ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø × Ø ´ ¾ ¼ Æ Û × Ö Ó Ù Ô × µ × Ó Ð ¹

Ð Ø Ó Ò Ó ¾ ¼ ¸ ¼ ¼ ¼ Ñ × × × ¸ Ó Ð Ð Ø Ö Ó Ñ ¾ ¼ « Ö ¹

Ò Ø Í × Ò Ø Ò Û × Ö Ó Ù Ô × ß ½ ¼ ¼ ¼ Ñ × × × Ö Ó Ñ Ó

Ø ¾ ¼ Ò Û × Ö Ó Ù Ô × Û Ö Ó × Ò ¸ Ò Ø Ø × Ø Û ×

Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ý Ò Û × Ö Ó Ù Ô Ò Ñ º

¿

Á Ò Ó Ù Ö Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × ¸

Û Ù × Ø Å Ø Ó Ó Ð Ø

Ó Ö Ö Ø Ò Ø Ú Ø Ó Ö × Ô

Ñ Ó Ð Ó Ö Ø Ü Ø Ó Ù Ñ Ò Ø × º Ó Ö Ø ¾ ¼ Æ Û × Ö Ó Ù Ô ×

Ø × Ø ¸ Å Ò Ö Ø Ú Ó Ù Ð Ö Ý Ó ¾ ½ ¸ ¿ ½ Û Ó Ö ×

ß Ñ × × × Ö Ô Ö × Ò Ø × ´ × Ô Ö × µ Ú Ø Ó Ö Ò

¾ ½ ¸ ¿ ½ Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ô ¸ Û Ø Ì Á Û Ø Ò º

Ì Ó Ó Û × Ã ¹ × Ö × ´ Ó Ó Æ Û × µ Ø × Ø

×

Ó Ð Ð Ø Ó Ò Ó ¾ ¿ ¼ Ó Ó Ò Û × Ö Ø Ð × Ð Ó Ò Ò

Ø Ó Ó Ò Ó ¾ ¼ « Ö Ò Ø Ó Ó Ø Ó Ö × º Ì Ú ¹

Ø Ó Ö × Ô Ñ Ó Ð Ó Ø Ã ½ × Ø Ö Ó Ñ Ø Ó Ó Ã ¹

× Ö × × ½ ¾ ¸ ¾ ¾ Û Ó Ö × ß Ø Ø ¹ Ô Ó Ò Ø × Ö × Ò

½ ¾ ¸ ¾ ¾ Ñ Ò × Ó Ò Ð × Ô Ò Ö Ì Á Û Ø º

Ó Ö Ø Ø Ü Ø Ø × Ø × ¸ Ò Ó Ò ¹ Ó Ò Ø Ò Ø ¹ Ö Ò × Ø Ó Ô ¹

Û Ó Ö × ¸ ¹ Ö Õ Ù Ò Ý Û Ó Ö × Ò Ð Ó Û ¹ Ö Õ Ù Ò Ý Û Ó Ö ×

Û Ö Ö Ñ Ó Ú ¸ Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Ñ Ø Ó Ó Ð Ó Ý Ó Ð Ð Ó Ò Ø

Ð º ´ ¾ ¼ ¼ ½ µ º

Ö Ó Ñ Ø Ó Ö Ò Ð ¾ ¼ Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø × Ø ¸ × Ó Ñ Ó Ø Ö

Ø × Ø × Û Ö Ò Ö Ø ´ ½ µ Ë Ñ Ð Ð ¹ ¾ ¼ Æ Û × Ö Ó Ù Ô ×

ß Ó Ò Ø Ò × Ö Ò Ó Ñ × Ù × Ñ Ô Ð Ó ½ ¼ ¼ Ó Ù Ñ Ò Ø ×

Ö Ó Ñ Ó Ø ¾ ¼ Ò Û × Ö Ó Ù Ô × ´ ¾ µ Ö Ò Ø ¹ ¿

Æ Û × Ö Ó Ù Ô × ß × Ð Ø × ¿ Ú Ö Ý « Ö Ò Ø Ò Û × Ö Ó Ù Ô ×

Ö Ó Ñ Ø Ó Ö Ò Ð ¾ ¼ Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø × Ø ´ Ð Ø º Ø × Ñ ¸

Ö º × Ô Ó Ö Ø º × Ð Ð ¸ × º × Ô µ ´ ¿ µ Ë Ñ ¹ ¿ Æ Û × Ö Ó Ù Ô ×

ß × Ð Ø × ¿ Ú Ö Ý × Ñ Ð Ö Ò Û × Ö Ó Ù Ô × Ö Ó Ñ Ø Ó Ö Ò Ð

¾ ¼ Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø × Ø ´ Ó Ñ Ô º Ö Ô × ¸ Ó Ñ Ô º Ó × º Ñ × ¹

Û Ò Ó Û × ¸ Ó Ñ Ô º Û Ò Ó Û × º Ü µ º Ì Ø × Ø Ë Ñ Ð Ð ¹ ¾ ¼

Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Û × Ö Ø Ø Ó × Ø Ù Ý Ø « Ø Ó

Ø × Ø × Þ Ó Ò Ø Ô Ö Ó Ö Ñ Ò Ó Ø Ð Ó Ö Ø Ñ × º

Ö Ò Ø ¹ ¿ Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ò Ë Ñ ¹ ¿ Æ Û × Ö Ó Ù Ô ×

Û Ö Ò Ö Ø Ø Ó × Ø Ù Ý Ø « Ø Ó Ø × Ô Ö Ð Ø Ý

Ó Ò Ø Ð Ó Ö Ø Ñ × º

º ¾ Ú Ð Ù Ø Ó Ò Å × Ù Ö ×

Ï Ú Ù × Ø Û Ó Ú Ð Ù Ø Ó Ò Ñ × Ù Ö × Ò Ó Ù Ö Ü Ô Ö ¹

Ñ Ò Ø × º Ç Ò × Ø Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò Ó Ã Å Ò × ß

Ó Ö Ë È Ã Å Ò × ¸ Ø Ö Ø Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò ¸ Ø

Ø Ø Ö × Ø Ô Ö Ó Ö Ñ Ò º Ì × Ñ × Ù Ö Ó × Ò Ó Ø

Ø Ò Ø Ó Ó Ù Ò Ø Ø Ù × Ö ¹ Ð Ð Ò Ó Ø Ø º Ì

Ó Ø Ö Ñ × Ù Ö × Ñ Ù Ø Ù Ð Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò ´ Å Á µ ¸ Û ¹

Ø Ö Ñ Ò × Ø Ñ Ó Ù Ò Ø Ó × Ø Ø × Ø Ð Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò × Ö

Ý Ø Ö Ò Ó Ñ Ú Ö Ð × Ö Ô Ö × Ò Ø Ò Ø Ð Ù × Ø Ö Ò

Ø ´ Ù × Ö ¹ Ð Ð µ Ð × × × × Ò Ñ Ò Ø × Ó Ø Ø Ô Ó Ò Ø × º

Á Ò Ø × Û Ó Ö ¸ Å Á × Ó Ñ Ô Ù Ø Ó Ð Ð Ó Û Ò Ø Ñ Ø Ó Ó Ð ¹

Ó Ý Ó Ë Ø Ö Ð Ø Ð º ´ ¾ ¼ ¼ ¼ µ º

¿

Ø Ø Ô » » Û Û Û º º Ñ Ø º Ù » Ô Ó Ô Ð » Ö Ò Ò » ¾ ¼ Ò Û × Ö Ó Ù Ô ×

Ø Ø Ô » » Û Û Û º × º Ù Ø Ü × º Ù » Ù × Ö × » Ò » Ñ

Ø Ô » » Ø Ô º × º Ù Ñ Ò º Ù » Ù × Ö × » Ó Ð Ý » È È Ø



0.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

0.6

0.62

0.64

0.66

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

M I m e t r i c

Seed fraction

Seeded-KMeansConstrained-KMeans

COP-KMeansRandom-KMeans

Ù Ö ¿ º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Å Á Ó Ð Ó Ö Ø Ñ × Ó Ò ¾ ¼

Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø ¸ Ò Ó × Ö Ø Ó Ò ¼

º ¿ Ä Ö Ò Ò Ù Ö Ú × Û Ø Ö Ó × × Ú Ð Ø Ó Ò

Ó Ö Ð Ð Ø Ð Ó Ö Ø Ñ × ¸ Ó Ò Ø × Ø ¸ Û Ú Ò Ö ¹

Ø Ð Ö Ò Ò Ù Ö Ú × Û Ø ½ ¼ ¹ Ó Ð Ö Ó × × ¹ Ú Ð Ø Ó Ò º Ó Ö

× Ø Ù Ý Ò Ø « Ø Ó × Ò ¸ ½ ¼ ± Ó Ø Ø × Ø ×

× Ø × × Ø Ø × Ø × Ø Ø Ò Ý Ô Ö Ø Ù Ð Ö Ó Ð º Ì

Ø Ö Ò Ò × Ø × Ø « Ö Ò Ø Ô Ó Ò Ø × Ó Ø Ð Ö Ò Ò Ù Ö Ú

Ö Ó Ø Ò Ö Ó Ñ Ø Ö Ñ Ò Ò ¼ ± Ó Ø Ø Ý

Ú Ö Ý Ò Ø × Ö Ø Ó Ò Ö Ó Ñ ¼ º ¼ Ø Ó ½ º ¼ Ò × Ø Ô × Ó ¼ º ½ ¸

Ò Ø Ö × Ù Ð Ø × Ø Ô Ó Ò Ø Ó Ò Ø Ð Ö Ò Ò Ù Ö Ú Ö

Ó Ø Ò Ý Ú Ö Ò Ó Ú Ö ½ ¼ Ó Ð × º Ì Ð Ù × Ø Ö Ò Ð ¹

Ó Ö Ø Ñ × Ö Ù Ò Ó Ò Ø Û Ó Ð Ø × Ø ¸ Ù Ø Ø Å Á Ñ ¹

× Ù Ö × Ð Ù Ð Ø Ó Ò Ð Ý Ó Ò Ø Ø × Ø × Ø º Ó Ö × Ø Ù Ý Ò Ø

« Ø × Ó Ò Ó × Ò Ø × Ò ¸ × Ñ Ð Ö Ð Ö Ò Ò Ù Ö Ú ×

Ö Ò Ö Ø Ý Ô Ò ¬ Ü Ö Ø Ó Ò Ó × Ò

Ò Ú Ö Ý Ò Ø Ò Ó × Ö Ø Ó Ò º

º Ë Ò Æ Ó × Ò Ö Ø Ó Ò

Á Ò Ë ¹ Ã Å Ò × Ò Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × ¸ Ø

× × Ø Ò Ý Ô Ó Ò Ø Ó Ò Ø Ð Ö Ò Ò Ù Ö Ú Û Ö × ¹

Ð Ø Ö Ó Ñ Ø Ø × Ø Ó Ö Ò Ø Ó Ø Ó Ö Ö × Ô Ó Ò Ò

× Ö Ø Ó Ò º Á Ò Ç È ¹ Ã Å Ò × ¸ Ø Ñ Ù × Ø ¹ Ð Ò Ò Ø

Ò Ò Ó Ø ¹ Ð Ò Ó Ò × Ø Ö Ò Ø × Ö Ò Ö Ø Ö Ó Ñ Ø × Ô ¹

¬ × × º Ì Ã Ð Ù × Ø Ö Ò Ø Ö × Ö Ó × Ò Ö Ò Ó Ñ Ð Ý ¸

Ù Ø × Ó Ò × Ó × Ò ¸ Ò Ý Ñ Ù × Ø ¹ Ð Ò Ó Ò × Ø Ö Ò Ø ×

Ø Ø Ø Ô Ö Ø Ô Ø × Ò Ö Ò Ó Ö ¸ º º ¸ Ð Ð Ø Ñ × Ø Ø

Ø Ó × Ò Ò × Ø Ò Ñ Ù × Ø Ð Ò Ø Ó Ö × × Ò Ø Ó Ø

Ò Û Ð Ù × Ø Ö ¸ × Ó Ø Ø Ø Ý Ò Ò Ó Ø Ð Ø Ö Ó × Ò × Ø

Ò Ø Ö Ó Ò Ó Ø Ö Ð Ù × Ø Ö ´ Ï × Ø « Ø Ð º ¸ ¾ ¼ ¼ ½ µ º

Á Ò Ö Ð ¹ Ð Ô Ô Ð Ø Ó Ò ¸ × Ò Ø × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò

Û Ð Ð Ô Ö Ó Ú Ý Ù Ñ Ò Ù × Ö ¸ Ø Ö × Ò

Ø Ø Ø × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò Ñ Ý Ö Ö Ó Ò Ó Ù × Ò × Ó Ñ × × º

Ï × Ñ Ù Ð Ø × Ù Ð Ð Ò Ò Ó × Ò Ó Ù Ö Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × Ý

Ò Ò Ø Ð Ð × Ó Ö Ø Ó Ò Ó Ø × Ü Ñ Ô Ð ×

Ø Ó Ö Ò Ó Ñ Ò Ó Ö Ö Ø Ú Ð Ù º

º Ò Ð Ý × × Ó Ê × Ù Ð Ø ×

Å Á Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó × Ò Ó Ö Ø Þ Ö Ó ¹ Ò Ó ×

× ¸ Ø × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ó Ö Ø Ñ × Ô Ö Ó Ö Ñ Ø Ø Ö

Ø Ò Ø Ù Ò × Ù Ô Ö Ú × Ð Ó Ö Ø Ñ Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø Å Á

Ñ × Ù Ö ´ × º ¿ ¸ ¸ µ ¸ Ö Ö × Ô Ø Ú Ó Ø × Þ Ó Ø

Ø × Ø º Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × Ô Ö Ó Ö Ñ × Ø Ð × Ø ×

Ó Ó × Ø Ë ¹ Ã Å Ò × ¸ × Ò Ø Ó Ö Ñ Ö Ù × × Ø

Ó Ö Ö Ø Ù × Ö × Ò Ø Ö Ó Ù Ý Ø Ù × Ö ¹ Ð Ð × ×

Ø Ö Ó Ù Ó Ù Ø Ø Ü Ù Ø Ó Ò Ó Ø Ð Ó Ö Ø Ñ Ò Ø Þ Ö Ó ¹

Ò Ó × × º Ì Ó Ù Ó Ø Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × Ò

Ç È ¹ Ã Å Ò × Ø Ö Ø Ø × × × Ó Ò × Ø Ö Ò Ø × ¸ Ø Ø

Ø Ø Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × Ù × × Ð Ð Ø × × Ø Ó Ò Ø Ð ¹

Þ Ð Ù × Ø Ö × ¸ × Ó Ô Ô Ó × Ø Ó Ç È ¹ Ã Å Ò × Û Ó ×

Ò Ó Ø Ò × × Ö Ð Ý Ó Ø Ø ¸ Ö × Ù Ð Ø × Ò Ø Ó Ö Ñ Ö Ú Ò

Ø Ø Ö Ô Ö Ó Ö Ñ Ò Ò Ñ Ó × Ø × × ¸ Û Ø Þ Ö Ó ¹ Ò Ó × º Á Ò

Ø ¸ Ø « Ø Ó × Ò × Ñ × Ø Ó × Ó Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø

Ø Ø Ò × Ó Ñ × × ´ º µ ¸ Ë ¹ Ã Å Ò × Ô Ö Ó Ö Ñ ×

× Ò ¬ Ò Ø Ð Ý Ø Ø Ö Ø Ò Ç È ¹ Ã Å Ò × º

Ç Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó × Ò

Ì Ó Ù Ø Å Á Ñ × Ù Ö Ò Ö × × Û Ø Ò Ò Ö ×

Ò × Ö Ø Ó Ò Ó Ö Ø × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ó Ö Ø Ñ × ¸

Ø Ú Ó Ö Ó Ø Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò Û Ð Ð Ô Ò Ó Ò

Û Ø Ö Ø Ù × Ö × Ô Ö Ó Ú Ý Ø Ù × Ö ¹ Ð Ð

× × × Ó Ò × × Ø Ò Ø Û Ø Ø × × Ù Ñ Ô Ø Ó Ò × Ó Ã Å Ò × º Á

Ø Ø Ó Ö Ý × Ø Ö Ù Ø Ù Ö Ö Ø Ý Ø Ù × Ö ¹ Ð Ð Ò Ó

Ø Ø × Ø × Ø × ¬ × Ø Ã Å Ò × × × Ù Ñ Ô Ø Ó Ò × ¸ Ø Ò Ø

Ø Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò Ù Ý × Ò Û Ð Ð Ð Ó × Ø Ó Ø

Ó Ô Ø Ñ Ð Ô Ö Ø Ø Ó Ò ¸ Ò Ã Å Ò × × Ò Ó Û Ò Ø Ó Ó Ò Ú Ö

Ø Ó Ó Ó Ð Ó Ð Ó Ô Ø Ñ Ù Ñ Ò Ø × × ´ º µ ´ Ú Ö Ó Ý

Ø Ð º ¸ ½ µ º Ç Ò Ø Ó Ø Ö Ò ¸ Ø Ù × Ö × ×

Ò Ó Ò × × Ø Ò Ø Û Ø Ø Ã Å Ò × × × Ù Ñ Ô Ø Ó Ò × ¸ Ø Ò Ó Ò ¹

× Ø Ö Ò × Ò Û Ð Ð Ö × Ù Ð Ø Ò Ó Ò Ú Ö Ò Ø Ó × Ù ¹

Ó Ô Ø Ñ Ð × Ó Ð Ù Ø Ó Ò ´ º µ º Ó Ø Ø Ø × Ò Ë ¹

Ã Å Ò × Ó × Ò Ó Ø Ò × × Ö Ð Ý Ñ Ò Ø Ò Ø × Ñ × ¹

× Ò Ñ Ò Ø × Ó Ö Ø × Ô Ó Ò Ø × Ò × Ù × Õ Ù Ò Ø Ø Ö Ø Ó Ò × ¸

Ø × Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò Ó × Ò Ó Ø Ö × Ù Ø Ó Ó Ò - Ø

Ò × Ó Û Ú Ö ¸ × Ò Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × Ò Ç È ¹

Ã Å Ò × Ô Ø × × × Ó Ò × Ø Ö Ò Ø × ¸ Ø Ö Ó ¹

Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò Ö × × Û Ø Ò Ö × Ò × Ò º Ë Ò

Ê Ò Ó Ñ ¹ Ã Å Ò × Ò Ú Ö Ù × × Ø × × ¸ Ø × Ú Ó Ö ×

Ò Ô Ò Ò Ø Ó Ø × Ó Ò - Ø º

Ø × Ø × Ô Ö Ð Ø Ý Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò Ú × × Ù ¹

× Ø Ò Ø Ð Ñ Ô Ö Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ú Ö Ù Ò × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò Ó Ö

Ø × Ø × Ø Ø Ö Æ Ù Ð Ø Ø Ó Ð Ù × Ø Ö ¸ Ò Ø × Ò ×

Ø Ø Ø Ö × Ð Ó Ø Ó Ó Ú Ö Ð Ô Ø Û Ò Ø Ð Ù × ¹

Ø Ö × ¸ º º ¸ Ë Ñ ¹ ¿ Æ Û × Ö Ó Ù Ô × ¸ ´ º µ ¸ Û Ö × Ó Ö

Ø × Ø × Ø Ø Ö × Ð Ý × Ô Ö Ð ¸ º º ¸ Ö Ò Ø ¹ ¿

Æ Û × Ö Ó Ù Ô × ´ º µ ¸ Ø Ñ Ô Ö Ó Ú Ñ Ò Ø Ó Ú Ö Ê Ò Ó Ñ ¹

Ã Å Ò × × Ñ Ö Ò Ð º Á Ø Ø × Ø × × Ð Ý × Ô Ö Ð ¸

Ø Ò Ø Ö Ö Ò Ó Ø Ñ Ò Ý Ð Ó Ð Ñ Ò Ñ Ò Ú Ò

Ê Ò Ó Ñ ¹ Ã Å Ò × Ò × Ð Ý ¬ Ò Ø Ð Ù × Ø Ö × Ø Ö Ù Ø Ù Ö º

À Ó Û Ú Ö ¸ Ó Ö Ø × Ø × Û Ø Ó Ú Ö Ð Ô Ô Ò Ð Ù × Ø Ö × Ø Ö Ù ¹



0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

M I m e t r i c

Seed fraction



Ù Ö º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Å Á Ó Ð Ó Ö Ø Ñ × Ó Ò Ë Ñ Ð Ð ¹ ¾ ¼

Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø ¸ Ò Ó × Ö Ø Ó Ò ¼

0.41

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

0.47

0.48

0.49

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

M I m e t r i c

Seed fraction



Ù Ö º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Å Á Ó Ð Ó Ö Ø Ñ × Ó Ò Ó Ó Ø ¸

Ò Ó × Ö Ø Ó Ò ¼

Ø Ù Ö ¸ × Ò × Ñ × Ø Ó Ò Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ø Ó Ö Ò Ð Ô ¹

Ò Ø Ð Ó Ö Ø Ñ ¬ Ò Ó Ó Ð Ù × Ø Ö Ò º Ì Å Á Ñ ¹

× Ù Ö Ó Ö Ø × Ô Ö Ð Ø × Ø × Ò Ò Ö Ð Ñ Ù Ö

Ø Ò Ó Ö Ø Ó Ú Ö Ð Ô Ô Ò Ø × Ø Ú Ò Û Ø × ¹

Ò ¸ Ù × Ø Ð Ø Ø Ö Ó Ò × Ö Ö Ô Ö Ó Ð Ñ Ø Ó × Ó Ð Ú º

È Ö Ó Ö Ñ Ò Û Ø Ò Ó Ñ Ô Ð Ø × Ò Ï Ð × Ó

Ö Ò Ò Ø Ð Ü Ô Ö Ñ Ò Ø × Û Ø Ò Ó Ñ Ô Ð Ø × Ò ¸ Û Ö

× × Ö Ò Ó Ø × Ô ¬ Ó Ö Ú Ö Ý Ð Ù × Ø Ö ß Ö Ó Ñ º ½ ¼ ¸

Ø Ò × Ò Ø Ø Ø Å Á Ñ Ø Ö Ò Ó Ø Ö ×

× Ù × Ø Ò Ø Ð Ð Ý Û Ø Ò Ö × Ò Ø Ò Ù Ñ Ö Ó Ù Ò ×

Ø Ó Ö × ¸ × Ó Û Ò Ø Ø Ø × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò

Ð Ó Ö Ø Ñ × Ó Ù Ð Ü Ø Ò Ø × Ð Ù × Ø Ö × Ò Ò Ö Ø

Ñ Ó Ö Ð Ù × Ø Ö × ¸ Ò Ó Ö Ö Ø Ó ¬ Ø Ø Ö Ù Ð Ö Ø Ý Ó Ø Ø º

È Ö Ó Ö Ñ Ò Û Ø Ö × Ô Ø Ø Ó Ò Ó × × Ò Ó × × Ò ¹

Ö × ¸ Ø Ô Ö Ó Ö Ñ Ò Ó Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × Ò

Ç È ¹ Ã Å Ò × × Ø Ö Ø × Ø Ó Ö Ó Ñ Ô Ö Ø Ó Ë ¹

Ã Å Ò × º Ç È ¹ Ã Å Ò × Ò Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò ×

Ô Ù × Ò Ø × Ñ Ò Ó × Ý × × Ò Ú Ö Ý × Ù × Õ Ù Ò Ø

330

340

350

360

370

380

390

400

410

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

O b j

e c t i v e f u n c t i o n

Seed fraction

Seeded-KMeans

Constrained-KMeansCOP-KMeansRandom-KMeans

Ù Ö º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ð Ó Ö Ø Ñ ×

Ó Ò Ë Ñ Ð Ð ¹ ¾ ¼ Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø ¸ Ò Ó × Ö Ø Ó Ò ¼

480

500

520

540

560

580

600

620

640

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

O b j e c t i v e f u n c t i o n

Seed fraction



Ù Ö º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò × Ó Ð Ó Ö Ø Ñ ×

Ó Ò Ó Ó Ø ¸ Ò Ó × Ö Ø Ó Ò ¼

Ø Ö Ø Ó Ò Ó Ø Ð Ó Ö Ø Ñ ¸ Û Ö × Ë ¹ Ã Å Ò ×

Ò Ò Ó Ò Ò Ó × Ý × Ð Ð × Ò × Ù × Õ Ù Ò Ø Ø Ö Ø Ó Ò ×

´ º ½ ½ µ º Ë Ó Ë ¹ Ã Å Ò × × Õ Ù Ø Ö Ó Ù × Ø Ò × Ø

Ò Ó × Ý × Ò ¸ Ò Ò Ø Ù Ð Ð Ú Ò Ø Ó Ø × ¹

Ò Ø Ú × Ø Ð Ó Ö Ø Ñ Ó Ó Ò Ø Ð Þ Ø Ó Ò º

Ì × Ø Ø × Ø Ð × Ò ¬ Ò Ó Ø Ó Ò Ð Ù × Ó Ò × Ò Ø ×

× Ø Ó Ò Ú Ò Ø × Ø Ö Ó × × Ú Ö Ó Ù × Ø × Ø × º Ó Ö

Ü Ñ Ô Ð ¸ Ó Ò Ø Ë Ñ Ð Ð ¹ ¾ ¼ Æ Û × Ö Ó Ù Ô Ø × Ø ¸ Ø

Ó Ò Ð Ù × Ó Ò × Ö × Ò ¬ Ò Ø Ó Ö × Ö Ø Ó Ò ¼ ¾

́ Ô ¼ ¼ ¼ ½ µ Ó Ö Ø ¬ Ö × Ø Ø Ö × Ô Ø × × Ù × × Ó Ú ¸

Ù × Ò Ø Û Ó ¹ Ø Ð Ô Ö Ø ¹ Ø × Ø º Ó Ö Ø Ò Ó × Ü Ô Ö ¹

Ñ Ò Ø × ¸ Ø Ó Ò Ð Ù × Ó Ò × × Ò ¬ Ò Ø Ó Ö Ò Ó × Ö Ø Ó Ò

¼ ́ Ô ¼ ¼ ¼ ½ µ º

º Ê Ð Ø Ï Ó Ö

Ë Ú Ö Ð × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ð Ó Ö Ø Ñ × Ú

× Ó Û Ò Ñ Ô Ö Ó Ú Ñ Ò Ø × Ò Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ù Ö Ý Ó Ú Ö



0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

M I m e t r i c

Seed fraction



Ù Ö º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Å Á Ó Ð Ó Ö Ø Ñ × Ó Ò Ë Ñ ¹ ¿

Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø ¸ Ò Ó × Ö Ø Ó Ò ¼

0.76

0.78

0.8

0.82

0.84

0.86

0.88

0.9

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

M I m e t r i c

Seed fraction



Ù Ö º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Å Á Ó Ð Ó Ö Ø Ñ × Ó Ò Ö Ò Ø ¹ ¿

Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø ¸ Ò Ó × Ö Ø Ó Ò ¼

Ô Ù Ö Ð Ý × Ù Ô Ö Ú × Ð Ó Ö Ø Ñ × ¸ º º Ó ¹ Ø Ö Ò Ò ´ Ð Ù Ñ

² Å Ø Ð Ð ¸ ½ µ ¸ Ø Ö Ò × Ù Ø Ú Ë Ù Ô Ô Ó Ö Ø Î Ø Ó Ö Å ¹

Ò × ´ Ë Î Å × µ ´ Â Ó Ñ × ¸ ½ µ ¸ Ò × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú ×

Å ´ Ö Ñ Ò ² Â Ó Ö Ò ¸ ½ Ñ Ø Ð º ¸ ¾ ¼ ¼ ¼ µ º

Á Ò × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò ¸ Ô Ö Ú Ó Ù × Û Ó Ö × Ò

Ó Ò Ó Ò Ø Ù × Ó Ð Ð Ø Ø Ó Ð Ù × Ø Ö Ò Ý

Ñ Ó Ý Ò Ð Ù × Ø Ö Ò Ó Ø Ú Ù Ò Ø Ó Ò × Ø Ó Ò Ó Ö Ô Ó ¹

Ö Ø Ð Ð Ø ´ Ñ Ö Þ Ø Ð º ¸ ½ µ ¸ Ø Ö Ø Ú Ù × Ö

´ Ó Ò Ø Ð º ¸ ¾ ¼ ¼ ¼ µ ¸ Ò Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö ¹

Ù Ø Ó Ò × Ò Ò Ù Ü Ð Ö Ý × Ô ´ Ë Ò Ó Ò Ò ² Ã × ¸

¾ ¼ ¼ ¼ µ º È Ö Ú Ó Ù × Û Ó Ö Ó Ò Ð Ù × Ø Ö Ò Ø Ð Þ Ø Ó Ò Ò Ð Ù ×

Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò × Ó Ø ¹ Ô Ò Ò Ø Ò Ø ¹ Ò Ô Ò Ò Ø

Ò Ø Ð Þ Ø Ó Ò Ø Ò Õ Ù × ´ Å Ð ² À Ö Ñ Ò ¸ ½ µ ¸

Ò × Ø Ñ Ø Ó Ò Ó Ø Ñ Ó × Ó Ø Ø × Ø Ö Ù Ø Ó Ò

Ó Ö Ó Ó Ò Ø Ð Þ Ø Ó Ò ´ Ý Ý Ø Ð º ¸ ½ µ º

0.48

0.5

0.52

0.54

0.56

0.58

0.6

0.62

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

M I m e t r i c

Number of Unseeded Categories

Constrained-KMeansSeeded-KMeans


Ù Ö ½ ¼ º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Å Á Ó Ð Ó Ö Ø Ñ × Ó Ò ¾ ¼

Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø ¸ × Ö Ø Ó Ò ¼ º ½

0.4

0.45

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

M I m e t r i c

Noise fraction



Ù Ö ½ ½ º Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó Å Á Ó Ð Ó Ö Ø Ñ × Ó Ò Ë Ñ Ð Ð ¹ ¾ ¼

Æ Û × Ö Ó Ù Ô × Ø ¸ × Ö Ø Ó Ò ¼ º

º Ù Ø Ù Ö Ï Ó Ö

Ì Ó Ò Ò Ø Ó Ò Û Ø Ø Ò Ö Ð Å Ö Ñ Û Ó Ö Ò

Ø Ò Ø Ö Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ó × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò Ò Ø Ö Ñ × Ó Ó Ò ¹

Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Û Ò × Ø Ô Ô Ð Ð Ø Ý Ó Ø

Ô Ö Ó Ô Ó × Ñ Ø Ó × Ø Ó Ú Ö Ø Ý Ó Ð Ù × Ø Ö Ò Ô Ö Ó Ð Ñ × º

Ì Ñ Ó × Ø Ñ Ô Ó Ö Ø Ò Ø Ó Ø × × Ø Ó Ò Ô Ø Ó Ô Ö Ó ¹

Ð × Ø Ó Ö × Ó Ø × Ò ß Û Ö × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò Ú ×

Ø Ð Ó Ö Ø Ñ Ø Ô Ö Ó Ð Ø × Ó Ø × × Ð Ó Ò ¹

Ò Ø Ó Ø Ú Ö Ó Ù × Ð Ù × Ø Ö Ð Ð × ¸ Ö Ø Ö Ø Ò Ü Ô Ð Ø Ð Ý

× Ø Ø Ò Û Ð Ù × Ø Ö Ø Ð Ó Ò × Ø Ó º Á Ò Ø Ö Ñ × Ó Ø

Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò ¸ Û Ó Ò Ó Ø Ò Ø × × Ù Ñ Ô ¹

Ø Ó Ò Ò Õ Ò º Ò Ý Ñ Ó Ö ¸ × Ò Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù ¹

Ø Ó Ò × Ò Ò Ó Û Ò Ý Ñ Ù Ð Ø Ò Ó Ñ Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò ¬ Ò

Ó Ú Ö Ø Ã Ð Ù × Ø Ö Ð Ð × º Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ó Ò Ý Ô Ö Ó ¹

Ð × Ø × Ò Ó Ù Ð Ô Ô Ð Ð Ø Ó Ñ Ò Ý Ð Ö Ò Ò

Ø × × ¸ × Ù × Ú Ó Ð Ò Ó Ø Ø Ó Ò Ò Ô Ð Ò Ø ¹ × Ù Ö Ñ ¹

× ´ Ë Ñ Ý Ø Ø Ð º ¸ ½ µ º



º Ó Ò Ð Ù × Ó Ò

Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò Ù × × × Ó Ñ Ð Ð Ø Ø Ó

× Ö Ò × Ø Ô Ö Ø Ø Ó Ò Ò Ó Ù Ò Ð Ð

Ø Ò Ø Ó Ó Ò Ô Ø Ù Ð Ö Ó Ù Ô × º Ë ¹ Ã Å Ò × Ò

Ó Ò × Ø Ö Ò ¹ Ã Å Ò × Ö × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò

Ð Ó Ö Ø Ñ × Ø Ø Ù × Ð Ð Ø Ø Ó Ó Ö Ñ Ò Ø Ð Ð Ù × Ø Ö ×

Ò Ó Ò × Ø Ö Ò × Ù × Õ Ù Ò Ø Ð Ù × Ø Ö × × Ò Ñ Ò Ø º Ó Ø

Ñ Ø Ó × Ò Ú Û × Ò × Ø Ò × Ó Ø Å Ð Ó ¹

Ö Ø Ñ ¸ Û Ö Ð Ð Ø Ô Ö Ó Ú × Ô Ö Ó Ö Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò

Ó Ù Ø Ø Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ó Ò Ø Ó Ö Ý

Ð Ð × º Ü Ô Ö Ñ Ò Ø Ð Ö × Ù Ð Ø × Ñ Ó Ò × Ø Ö Ø Ø Ú Ò ¹

Ø × Ó Ø × Ñ Ø Ó × Ó Ú Ö × Ø Ò Ö Ö Ò Ó Ñ × Ò

Ò Ç È ¹ Ã Å Ò × ´ Ï × Ø « Ø Ð º ¸ ¾ ¼ ¼ ½ µ ¸ Ò Ð Ø Ö Ò ¹

Ø Ú × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ã Å Ò × Ð Ó Ö Ø Ñ º Á Ò Ô Ö Ø Ù Ð Ö ¸

× Ò Û Ø Ó Ù Ø Ó Ò × Ø Ö Ò Ø × × Ö Ó Ù × Ø × Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú ×

Ñ Ø Ó Ø Ø × Ð × × × Ò × Ø Ú Ø Ó Ò Ó × Ò Ñ Ô Ö Ø Ó Ò ×

Ò Ø × Ù Ô Ö Ú × Ø º

º Ò Ó Û Ð Ñ Ò Ø

Ì × Ö × Ö Û × × Ù Ô Ô Ó Ö Ø Ý Ë Ö Ò Ø × Á Á Ë ¹

¼ ½ ½ ¿ ¼ Ò Ë ¹ ¼ ¼ ¿ ¿ ¸ Ò Ý Ò Å Ð Ð Ó Û × Ô

Û Ö Ý Ø Í Ò Ú Ö × Ø Ý Ó Ì Ü × Ø Ù × Ø Ò º

Ê Ö Ò ×

Ð Ñ × ¸ Â º ´ ½ µ º Ò Ø Ð Ø Ù Ø Ó Ö Ð Ó Ò Ø Å Ð Ó ¹

Ö Ø Ñ Ò Ø × Ô Ô Ð Ø Ó Ò Ø Ó Ô Ö Ñ Ø Ö × Ø Ñ Ø Ó Ò

Ó Ö Ù × × Ò Ñ Ü Ø Ù Ö Ò Ò Å Ö Ó Ú Ñ Ó Ð ×

´ Ì Ò Ð Ê Ô Ó Ö Ø Á Ë Á ¹ Ì Ê ¹ ¹ ¼ ¾ ½ µ º Á Ë Á º

Ð Ù Ñ ¸ º ¸ ² Å Ø Ð Ð ¸ Ì º ´ ½ µ º Ó Ñ Ò Ò Ð Ð

Ò Ù Ò Ð Ð Ø Û Ø Ó ¹ Ø Ö Ò Ò º È Ö Ó º Ó ½ ½ Ø

Ò Ò Ù Ð Ó Ò º Ó Ò Ó Ñ Ô Ù Ø Ø Ó Ò Ð Ä Ö Ò Ò Ì Ó Ö Ý º

Ó Ò ¸ º ¸ Ö Ù Ò ¸ Ê º ¸ ² Å Ð Ð Ù Ñ ¸ º ´ ¾ ¼ ¼ ¼ µ º

Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò Û Ø Ù × Ö ¹

º Í Ò Ô Ù Ð × Ñ Ò Ù × Ö Ô Ø º Ú Ð Ð Ø

Ø Ø Ô » » Û Û Û ¹ ¾ º × º Ñ Ù º Ù » Ñ Ð Ð Ù Ñ » º

Ñ Ö Þ ¸ º ¸ Ò Ò Ø Ø ¸ Ã º ¸ ² Ñ Ö Ø × ¸ Å º ´ ½ µ º

Ë Ñ ¹ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × Ø Ö Ò Ù × Ò Ò Ø Ð Ó Ö Ø Ñ × º

Ö Ø ¬ Ð Æ Ù Ö Ð Æ Ø Û Ó Ö × Ò Ò Ò Ö Ò ´ Æ Æ Á µ º

Ñ Ô × Ø Ö ¸ º È º ¸ Ä Ö ¸ º Å º ¸ ² Ê Ù Ò ¸ º º ´ ½ µ º

Å Ü Ñ Ù Ñ Ð Ð Ó Ó Ö Ó Ñ Ò Ó Ñ Ô Ð Ø Ø Ú Ø

Å Ð Ó Ö Ø Ñ º Â Ó Ù Ö Ò Ð Ó Ø Ê Ó Ý Ð Ë Ø Ø × Ø Ð Ë Ó ¹

Ø Ý ̧ ¿ ¸ ½ ß ¿ º

Ú Ö Ó Ý ¸ Ä º ¸ Ý Ó Ö ¬ ¸ Ä º ¸ ² Ä Ù Ó × ¸ º ´ ½ µ º Ô Ö Ó ¹

Ð × Ø Ø Ó Ö Ý Ó Ô Ø Ø Ö Ò Ö Ó Ò Ø Ó Ò º Ë Ô Ö Ò Ö Î Ö ¹

Ð º

Ð Ð Ó Ò ¸ Á º Ë º ¸ Ò ¸ Â º ¸ ² Ù Ò ¸ º ´ ¾ ¼ ¼ ½ µ º Æ Ò Ø

Ð Ù × Ø Ö Ò Ó Ú Ö Ý Ð Ö Ó Ù Ñ Ò Ø Ó Ð Ð Ø Ó Ò × º Á Ò

Ø Ñ Ò Ò Ó Ö × Ò Ø ¬ Ò Ò Ò Ö Ò Ô Ô Ð ¹

Ø Ó Ò × º Ã Ð Ù Û Ö Ñ È Ù Ð × Ö × º

Ý Ý ¸ Í º Å º ¸ Ê Ò ¸ º ¸ ² Ö Ð Ý ¸ È º Ë º ´ ½ µ º

Á Ò Ø Ð Þ Ø Ó Ò Ó Ø Ö Ø Ú Ö ¬ Ò Ñ Ò Ø Ð Ù × Ø Ö Ò Ð ¹

Ó Ö Ø Ñ × º È Ö Ó Ò × Ó Ø Ó Ù Ö Ø Á Ò Ø Ö Ò Ø Ó Ò Ð

Ó Ò Ö Ò Ó Ò Ã Ò Ó Û Ð × Ó Ú Ö Ý Ò Ø Å Ò ¹

Ò ´ Ã ¹ µ ´ Ô Ô º ½ ß ½ µ º

Ö Ñ Ò ¸ º ¸ ² Â Ó Ö Ò ¸ Å º Á º ´ ½ µ º Ë Ù Ô Ö Ú ×

Ð Ö Ò Ò Ö Ó Ñ Ò Ó Ñ Ô Ð Ø Ø Ú Ø Å Ô Ô Ö Ó º

Ú Ò × Ò Æ Ù Ö Ð Á Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò È Ö Ó × × Ò Ë Ý × Ø Ñ ×

´ Ô Ô º ½ ¾ ¼ ß ½ ¾ µ º

Â Ó Ñ × ¸ Ì º ´ ½ µ º Ì Ö Ò × Ù Ø Ú Ò Ö Ò Ó Ö Ø Ü Ø

Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ù × Ò × Ù Ô Ô Ó Ö Ø Ú Ø Ó Ö Ñ Ò × º È Ö Ó º

Ó ½ Ø Á Ò Ø Ð º Ó Ò º Ó Ò Å Ò Ä Ö Ò Ò ´ Á Å Ä ¹ µ º

Ã Ö Ò × ¸ Å º ¸ Å Ò × Ó Ù Ö ¸ º ¸ ² ¸ º º ´ ½ µ º Ò

Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò ¹ Ø Ó Ö Ø Ò Ð Ý × × Ó Ö Ò × Ó Ø × ¹

× Ò Ñ Ò Ø Ñ Ø Ó × Ó Ö Ð Ù × Ø Ö Ò º È Ö Ó º Ó ½ ¿ Ø Ó Ò º

Ó Ò Í Ò Ö Ø Ò Ø Ý Ò Ö Ø ¬ Ð Á Ò Ø Ð Ð Ò ´ Í Á ¹ µ

´ Ô Ô º ¾ ¾ ß ¾ ¿ µ º

Å É Ù Ò ¸ Â º ´ ½ µ º Ë Ó Ñ Ñ Ø Ó × Ó Ö Ð × × ¬ Ø Ó Ò

Ò Ò Ð Ý × × Ó Ñ Ù Ð Ø Ú Ö Ø Ó × Ö Ú Ø Ó Ò × º È Ö Ó º Ó

Ø Ö Ð Ý Ë Ý Ñ Ô Ó × Ù Ñ Ó Ò Å Ø Ñ Ø Ð Ë Ø Ø × Ø ×

Ò È Ö Ó Ð Ø Ý ´ Ô Ô º ¾ ½ ß ¾ µ º

Å Ð ¸ Å º ¸ ² À Ö Ñ Ò ¸ º ´ ½ µ º Ò Ü Ô Ö Ñ Ò Ø Ð

Ó Ñ Ô Ö × Ó Ò Ó × Ú Ö Ð Ð Ù × Ø Ö Ò Ò Ò Ø Ð Þ Ø Ó Ò

Ñ Ø Ó × ´ Ì Ò Ð Ê Ô Ó Ö Ø Å Ë Ê ¹ Ì Ê ¹ ¹ ¼ µ º Å ¹

Ö Ó × Ó Ø Ê × Ö º

Ñ ¸ Ã º ¸ Å Ð Ð Ù Ñ ¸ º Ã º ¸ Ì Ö Ù Ò ¸ Ë º ¸ ² Å Ø Ð Ð ¸

Ì º ´ ¾ ¼ ¼ ¼ µ º Ì Ü Ø Ð × × ¬ Ø Ó Ò Ö Ó Ñ Ð Ð Ò Ù Ò Ð ¹

Ð Ó Ù Ñ Ò Ø × Ù × Ò Å º Å Ò Ä Ö Ò Ò ̧ ¿ ̧

½ ¼ ¿ ß ½ ¿ º

Ë Ò Ó Ò Ò ¸ Â º ¸ ² Ã × ¸ Ë º ´ ¾ ¼ ¼ ¼ µ º Ë Ñ × Ù Ô Ö Ú × Ð Ù × ¹

Ø Ö Ò × Ó Ò Ó Ò Ø Ó Ò Ð × Ø Ö Ù Ø Ó Ò × Ò Ò Ù Ü ¹

Ð Ö Ý × Ô ´ Ì Ò Ð Ê Ô Ó Ö Ø ¼ µ º À Ð × Ò Í Ò ¹

Ú Ö × Ø Ý Ó Ì Ò Ó Ð Ó Ý º

Ë Ñ Ý Ø ¸ È º ¸ Ý Ý ¸ Í º ¸ Ù Ö Ð ¸ Å º ¸ ² È Ö Ó Ò ¸ È º ´ ½ µ º

Á Ò Ö Ö Ò Ö Ó Ù Ò Ø Ö Ù Ø Ö Ó Ñ × Ù Ø Ú Ð Ð Ð Ò Ó

Î Ò Ù × Ñ × º Ú Ò × Ò Æ Ù Ö Ð Á Ò Ó Ö Ñ Ø Ó Ò È Ö Ó ¹

× × Ò Ë Ý × Ø Ñ × º

Ë Ø Ö Ð ¸ º ¸ Ó × ¸ Â º ¸ ² Å Ó Ó Ò Ý ¸ Ê º ´ ¾ ¼ ¼ ¼ µ º Á Ñ ¹

Ô Ø Ó × Ñ Ð Ö Ø Ý Ñ × Ù Ö × Ó Ò Û ¹ Ô Ð Ù × Ø Ö Ò º

Ï Ó Ö × Ó Ô Ó Ò Ö Ø ¬ Ð Á Ò Ø Ð Ð Ò Ó Ö Ï Ë Ö

´ Á ¾ ¼ ¼ ¼ µ ´ Ô Ô º ß µ º

Ï × Ø « ¸ Ã º ¸ Ö ¸ º ¸ Ê Ó Ö × ¸ Ë º ¸ ² Ë Ö Ó Ð ¸ Ë º

´ ¾ ¼ ¼ ½ µ º Ó Ò × Ø Ö Ò Ã ¹ Å Ò × Ð Ù × Ø Ö Ò Û Ø ¹

Ö Ó Ù Ò Ò Ó Û Ð º È Ö Ó º Ó ½ Ø Á Ò Ø Ö Ò Ø Ó Ò Ð Ó Ò ¹

Ö Ò Ó Ò Å Ò Ä Ö Ò Ò ´ Á Å Ä ¹ ¾ ¼ ¼ ½ µ º

Documents

ICML-Basu02-Semi Supervised Clustering by Seeding