44

Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

�������������� ��������������������������! "�# ��$�%�&��'�() ��*�%���"+� -,.��/0�! "��/

1.243*5!6!798;:<3*=!6!79>�?

@&ACB$DFE"G�HJI�KML�N0O�P#LQH9R&I�O�P%K)SUT.G.V�W$ACGYX[Z]\M^_E`GaI�bcLdP0EfegR&OihQH9j

klL�minJboR&Ldprq]H4s�LdP)O]n�n4toLV#mdt*IuI]jvO�P#K�SfI]PuwQLQR&LQP%mxL�I�PyB�R&IMz�OMzQH9j{HJnJ|)}ltoL~I�R�|

}0R�H�L�p�n�LdE��]�]���M��A�O�|��*ZMZ_�

�c���[�u�M�Q�Q�����

�����x���i���������a�_�i  ¡�¢

Page 2: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

����������� ������������������������������ ���"! �����#�%$&!('��)���"!+*"�#��!,*-�����/.0�1�����2�+3+*���!-*-3+�"45'6�87

��9�:"4 ����!5�;! <#7)!0�"������.=4 ����.5�>���0�����?457)������@��"4 �����87)A��B� 3-� ����'���CED1�"�B�/������������!5�;�8���!F�������������6�����;'G4 ���H�8*-��45�����I���"�J� ��'���A/���%���K!0��� ��L�A��;7�!5������M+��45�"*I���)<N�����!JO P�QR<N!0��*-�)�?4 ��A��S45�"*T����<N�������"7�����C

Page 3: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

�������������

�������������������������������� "!#��$&%(' )* +-,.+ /0�132.4.265�782.139;:=<?>-<A@�B;,C,D,E,E,E,D,E,C,D,E,E,D,E,E,C,D,E,E,D,E,E,C,D,GF=++-,IH J*K=LM>N4�/0�132.4O2653782.1�9 ,C,D,E,E,E,D,E,C,D,E,E,D,E,E,C,D,E,E,D,E,E,C,D,GFNP+-,IQ RTS=UV7?K=UVS=W3>N9X2.L�/0�13>-<?26KYWZ,E,E,D,E,C,D,E,E,D,E,E,C,D,E,E,D,E,E,C,D,GFY[

\ ]^*_`$ba�'dc&���feCgh�(_Y��'�'���' iV\H�,.+ /kjVLM4.13B?26KYWml7?K=Ln@�B?BA@�B ,D,E,E,E,D,E,C,D,E,E,D,E,E,C,D,E,E,D,E,E,C,D, [-HH�,IH RTS=UV7?K=UVS=W3>N9X2.L�J�2O9X26<o,D,E,E,E,D,E,C,D,E,E,D,E,E,C,D,E,E,D,E,E,C,D, [hpH�,IQ qsrV@Et�u3u37?KY>NLvrw,E,D,E,C,D,E,E,E,D,E,C,D,E,E,D,E,E,C,D,E,E,D,E,E,C,D, [N[H�,xp tzy�26{NKN7?KY13BTl�7?K�KN|C,E,C,D,E,E,E,D,E,C,D,E,E,D,E,E,C,D,E,E,D,E,E,C,D,G}-~

� �����o]����hgh�����������h���(�f����g���g��3��c��=���m���*'M�d�= �' �3�Q�,.+ t#��78>NU326@�W�<s/kjVLM4.13B?2.KYW�l7?K=Ln@�B?Bw,E,C,D,E,E,D,E,E,C,D,E,E,D,E,E,C,D,G}NPQ�,IH qsrV@ER�S�UV78K�UVS=W3>N9X2OL��@�r3>d��2.KN7�,E,C,D,E,E,D,E,E,C,D,E,E,D,E,E,C,D,G}N}

� �����o���=$&�V�hc����o]D���dgh�������z�`�h���(� ���

��������gh�=��_Y��' ����

Page 4: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim
Page 5: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

������������� ��������������������������� ���!�"���#���%$�&����'�#���)(*�,+-�/.'�0�)�1. F=+

2 3 �54 ��6���54 ����87:9s�54 �1; < 9�=)>E�

?A@B? C5DFEHGBIBGBJ�K�G!E�L MONQPRNQSUTV W <?r�2.B�L8r�>-u3<A@M7HW�@�2OW`�N@�BA<?2.{Y>-<A@�2.WXU3@M<?>N2.4V<?rV@LM>NBA@TKN|(2.W3U�2.BA<?2.WV{Y1�2.B?r3>-5�4.@�u�>-7?<?2.LM4.@�B9 Kd�=2.WV{ >NB U32.B?Ln7?@M<A@�<?2.9 @ 2.W3U3@Mu�@�W�UV@�W`<D7v>NW3UVKY9XW�>N4ZY�BM,\[@�WVKN<A@m5�S^]Z<?r3@�BA@M<KN|s2.W`<A@M{N@M7vB�>NW3U 5�S_]�`C<?rV@baQc�U32O9 @�W3B?26KYW�>N4�4.>-<A<?2.Ln@N,ed3KN7 >�u�KYB?26<?26�N@�2OW`<A@M{N@M7gfihUV@�WVKN<A@ 5�SkjFl <?rV@ <AKN7813BmWT2.<?rkf u�KY2.W�<?B�n,j�lpoq],rsft] >NW3U 46@M<mj `l ovu0j�lmw ` ,qsrV@Eu�KY2.W�<?B KN|xj `l h�LM>N4.46@�U B?26<A@�B�h�>-7?@C7?@Mu�7?@�BA@�W�<A@�Uw5�S�<?r3@�4.>NBA<�L8r3>-78>NLn<A@M7vB�KN|k<?r3@>N46u�r3>-5�@M<yu#z{h}| >NW3U�~ wv,

q�K UV@�B?Ln78265�@ <?rV@ @M�NKY4.1V<?2.KYW KN| <?r3@�BAS=BA<A@�9�h�W�@X5�@M{Y2.Wo5�S U32.B?<?2.WV{Y132.B8r32.WV{�>N4O4u�>-7?<?2.LM46@�B�,�J*@M<�� U3@�WVKN<A@ <?r3@ <AKN<?>N4�W�139C5�@M7�KN|Eu�>-7?<?2OLM46@�B�>-<�<?2.9 @ ~ >NW3Uf4.@M<z������������'z�� UV@�WVKN<A@o<?rV@�267 2.W326<?2O>N4 u�KYB?26<?26KYW3B�,Zl�>-7?<?2.LM46@�B�@M�NKY46�N@ >NB 2.W3UV@Mu�@�W3UV@�W�<<A78>NW3B?4.>-<?2.KYWw2.W���>-782O>NW`<TU�2.B?Ln7?@M<A@E<?2O9 @E78>NW3U3KY9�W�>N4ZY�BTKYW�<?rV@C<AKN7813BM,�d�2 jw>X<A78>NW3B'c4.>-<?26KYW 2.W���>-782O>NW`< <A78>NW3B826<?26KYW�u37?KN5�>-5�2.4.26<�Sm��u#z{�'|}w KYW�]�`�n���u#zO�'|�wxo���ub~��'|��kz�wxo5n��u#|b��z�wE|�KN7 BAKY9X@�u�7?KN5�>-5�2.4O26<�Sb��u��*wCKYW�] ` h�LM>N4.46@�U <?rV@ @�46@�9X@�W`<?>-7?S�<A78>NW3B?26<?2.KYWu37?KN5�>-5�2O4.26<�S�KN|�<?rV@�BAS�B?<A@�9m,

J*@M<��U��u#zO�'|�w�7?@Mu�7?@�BA@�W�<�<?r3@ u37?KN5�>-5�2O4.26<�SDKN|�5�@�2.WV{�>-<k<?2.9 @��*KYWXB?2.<A@�|C|�KN7�>DU32OB�cLn7?@M<A@E<?2.9 @�78>NW�UVKY9�W�>N4�YbWT26<?r�@�46@�9X@�W`<?>-7?S�<A78>NW3B826<?26KYW�u37?KN5�>-5�2.4.26<�Sm��u��*w�BA<?>-7?<?2.W3{|�7?KY9Xz�,��U��u ���O�wC2OW3rV@M7826<?BE<?rV@ <A78>NW3B?4.>-<?2.KYW 2.W��->-782.>NW3Ln@�u37?KNu�@M7?<�S |&7?KY9���u �����wn�U��u#z{�'|}wxoi�U�)ub~��'|g��zAwxo�n/�U��u#|g�\z�wv,

� @>-78@�WVK"Wf2.WX>Cu�KYB?26<?26KYW <AK UV@�B?Ln782.5�@ <?r3@T9 KN<?26KYW�KN|�@�>NL8r�u�>-7?<?2.LM4.@N,�[@�WVKN<A@5�S��%�, � �C+¢¡¤£�¡¥�i¦5��2.W3UV@Mu�@�W3UV@�W�<TLnKNu�2.@�B�KN|�> U32.B?Ln7?@M<A@ <?2.9 @ 78>NW3U3KY9vW >N4�YWT26<?r @�46@�9X@�W`<?>-7?S <A7v>NW3B?26<?26KYW u�7?KN5�>-5�2.4O26<�S���u��*wD>NW3U�2.W326<?2.>N4O46S�>-<C<?r3@XKN7826{Y2.W*,§dVKN7+¢¡¤£1¡¥��h(46@M<�¨  � 7?@Mu37?@�BA@�W�<<?rV@ u�KYB826<?26KYW�>-<�<?2.9X@��sKN| <?rV@�£ c <?r u�>-7?<?2.LM4.@N, � @BA@M<

¨  � o©z  �ª �  � 9 K=U�fX�:=2.W3Ln@ u�>-7?<?2.LM4.@�B�>-7?@ LnKYW3B?2OUV@M7?@�U�2.W3U32.B?<?2.WV{Y132.B8r3>-5�46@Qh�W�@ >-7?@oW3KN<�2.W�<A@M7?@�BA<A@�U

2.W <?rV@�2OW3U326�=2.U313>N4�u�KYB?26<?26KYW KN|�@�>NLvr u�>-7?<?2.LM46@ 5�1V<EKYW346S 2.W <?r3@�<AKN<?>N4�W�139�5�@M7EKN|u�>-7?<?2.LM46@�Bk>-<@�>NL8r�B?26<A@N, V W u�>-7?<?2.LM134.>-7�hN<?rV@TBA<?>-<A@BAu�>NLn@sKN|�<?rV@TBAS=BA<A@�9�h�>N4.BAKCLM>N4.4.@�ULnKYW�«3{Y1V78>-<?2.KYW BAu�>NLn@Qh 2.B5¬�­�®¯ ,�°�KYW�«3{Y1378>-<?26KYW3B >-7?@wUV@�W3KN<A@�U 5�S �7?@M@�Y 46@M<A<A@M78B± hO² >NW�U^³V, V W <?r32.BmW >�SQh�|&KN7C>wB?26<A@gz KN|�j�`l h ± u#zAw7?@Mu37?@�B?@�W`<?BD<?r3@�W�1�9C5�@M7DKN|u�>-7?<?2.LM46@�B�>-<B826<A@yz |�KN7<?rV@ LnKYW�«3{Y1V78>-<?2.KYW ± ,TqsrV@M7?@M|&KN7?@Qh�26|�<?rV@�2OW326<?2.>N4�u�KYB?26<?2.KYW3B>-7?@yz����������"�'zR�´h3|�KN7T@M�N@M7?S�ztµ�j `l n

± u#z�w_o�

¶ Z· �

�z   o¤z�¦´�

V W��N@M78BA@�46SQh-{Y26�N@�W¢� ± u#zAw¸�ztµ�jF`l ¦¹h-<AKUV@�«�WV@�<?r3@@M�NKY4.1V<?2.KYWEKN|=<?rV@ B?S�BA<A@�9�h%W�@ LM>NW

Page 6: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

FNH ��� �U�� ����

«378BA<T4O>-5�@�4�>N4.4(u�>-7?<?2OLM46@�BT>NW3U�<?rV@�W�4.@M<T<?rV@�9 @M�NKY46�N@ >NLMLnKN7vU32.WV{�<AK�<?rV@ BA<AK�Lvr3>NBA<?2.LUVS�W�>N9X2.LMB UV@�B?Ln7v265�@�U�>-5�Kh�N@N,

° 46@�>-784.SQh326|{W�@CUV@�WVKN<A@C5�S ± �k<?rV@CLnKYW�«�{Y1V78>-<?26KYWm>-<�<?2.9 @ �sh�W @Cr�>��N@

± �)u#zAw_o�

¶ Z· �

�¨  � o z{¦y�

qsrV@ u37?K=Ln@�B?B�u ± �!w!����� 2.W3rV@M7v26<?BC<?r3@���>-7�YNKh� u37?KNu�@M7?<�S�|�7?KY9 <?r3@m78>NW3UVKY9XW >N4�Y�B�¨e � �D+�¡ £�¡¤�i¦�5�@�LM>N13BA@ >N4.4*u�>-78<?2.LM46@�BTr�>��N@ <?rV@�B8>N9 @�@�4.@�9 @�W`<?>-78Sm<A78>NW3B?26<?2.KYWu37?KN5�>-5�2O4.26<�S�>NW3Um<?rV@MS UVKXWVKN<T2OW`<A@M78>NLn<,WT26<?r @�>NL8r KN<?rV@M7�,

qsrV@¢«�78BA<E0�1V@�BA<?26KYW�78>N2.BA@�U 2OW <?rV@�B?<?13UVSoKN|� >-7�YNKh� u37?K=Ln@�B?BA@�B�2.BE<?rV@�L8r3>-7'c>NLn<A@M782��>-<?26KYWfKN|D>N4.4s2.W���>-7v2.>NW`<X9X@�>NB?1V7?@�BM, :=2.W3Ln@m<?r3@ BA<?>-<A@oBAu�>NLn@ 2OBg«�W326<A@m>NW3UB?2.W3Ln@�<?rV@�<AKN<?>N4kW�139�5�@M7TKN|u�>-7?<?2.LM46@�B�2.BT<?r3@ 13W�2.0�13@C0�1�>NW`<?26<�S LnKYW3B?@M7?�N@�Uo5�Sw<?r3@UVS�W�>N9X2.LMB�h|�KN7m@M�N@M78S�u�KYB?2.<?26�N@ 2.W`<A@M{N@M7t� 7?@Mu37?@�BA@�W�<?2.WV{ <?rV@ <AKN<?>N4�W�1�9C5�@M7mKN|u�>-7?<?2.LM46@�Bh3<?rV@M7?@ 2.B KYW346S KYWV@ 2.W���>-782O>NW`<T9X@�>NB?1V7?@Qh�>NBT46KYWV{�>NBs<?rV@ B?1Vu3u�KN7?< KN|k<?r3@@�46@�9 @�W�<?>-7?Sm<A78>NW3B?2.<?26KYWmu37?KN5�>-5�2.4.26<�Sy��u �ws{N@�WV@M78>-<A@�Bm]�`M, qsr3@Cl�KY2.B?BAKYW 9 @�>NB?1V7?@�BWT2.4.4 h=rVK"W @M�N@M7h�u�4.>dS�>XLn@�W�<A78>N4(78KY46@N,

ys@�LM>N4.4�<?r3>-<�>�l�KY2.B?BAKYWwU�2.BA<A78265�1V<?26KYW�KN|�u�>-78>N9 @M<A@M7 ���f~�2.B <?rV@Cu37?KN5�>-5�2O4.26<�S9 @�>NB?1V7?@5�'����� �moi���������Z+%¦CKYW�¬ {Y26�N@�Ww5�S

��� o���� � ����� � ��µ�¬��

>NW3Uw26<?B J�>-u�4.>NLn@E<A78>NW�BA|�KN7v9 2.B @�0�13>N4(<AK

� � ���¶� · �� ��� � �

���� o�� � � � �! #"%$ o @nj=u&��u'� ��� ��+�w

|�KN7T>N4O4�u�KYB826<?26�N@)(*,dVKN7�>�«Vj�@�U u�KYB?2.<?26�N@ |&13W�Ln<?26KYW+*�nRj `l-,/.10 h{W�@�LM>N4.4kl�KY2.B?BAKYW�9 @�>NB?1V7?@ KYW

j�`l >NB8BAK�LM2O>-<A@�U�<AK <?rV@�|b13W3Ln<?26KYW2* >�u37?KN5�>-5�2O4.26<�S KYW <?rV@oLnKYW�«3{Y1V7v>-<?26KYW BAu�>NLn@¬x­ ® ¯�h�UV@�W3KN<A@�Um5�S43 l57698 : h�r3>d��2OWV{ <?rV@E|&KY4.46K"WT2.WV{ <BW�K�u�7?KNu�@M7?<?26@�BM,1;W3UV@M7<3

l57698 : h3<?r3@

78>NW3UVKY9 ��>-7v2.>-5�46@�B5� ± u#z�w�5z µ j�`l ¦ 7?@Mu37?@�BA@�W�<?2.WV{ <?rV@�W�139�5�@M7CKN|su�>-78<?2.LM46@�BC>-<@�>NL8rXB?2.<A@�>-7?@ 2.W3U3@Mu�@�W�UV@�W`<�>NW3UAh-|&KN7�@M�N@M78S´«Vj=@�U B?26<A@�zkµ�j `l h ± u#zAw�2.B�U32.BA<A782.5�1V<A@�U>NLMLnKN78U32.WV{C<AK�>Cl�KY2.B8BAKYW�U32OBA<A78265�13<?26KYW KN|�u�>-78>N9 @M<A@M7=*Ru#z�wv, V WX<?r3@TLM>NBA@�WTrV@M7?@s<?r3@|&13W�Ln<?26KYW>*�2.BDLnKYW3BA<?>NW�<E@�0�13>N4�<AK���h�W @XU3@�WVKN<A@?3 l576@8 :BA 13B?<5�S>3

l� , qsrV7?KY1V{Yr3KY1V<<?rV@�BA@CWVKN<A@Qh�@nj�u�@�Ln<?>-<?26KYWeWT26<?r 7?@�BAu�@�Ln< <AK�> 9 @�>NB?1V7?@C3�WT2.4.4�5�@EUV@�WVKN<A@�Um5�S�D<E�,

Page 7: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

������������� ��������������������������� ���!�"���#���%$�&����'�#���)(*�,+-�/.'�0�)�1. FNQ

qsrV@s9 @�>NB81V7?@<3 l57698 : 2.BkL8r�>-78>NLn<A@M782�M@�U�5�S 26<?B�9 1346<?2.U�2.9 @�W3B?2.KYW3>N4`J�>-u�4.>NLn@ <A78>NW3B'c|�KN789�n

D E ¯����� �� @nj=u��§� ¶

� ­ ® ¯(Ou#z�w ± u#z�w ��� o�� � ­ ® ¯ @nj=u4*Ru#zAw�� � ��� 6� : � +��

o @nj=u�� � ­ ® ¯ *Ru#z�w�� � ��� 6� : ��+��|�KN7T>N4O4�u�KYB826<?26�N@EBA@�0�1V@�W3Ln@�Bm� (Ou#z�w¸Hzkµ�jF`l ¦bubLn| ,��xQ���hR° r3>-u*,�� V)V wv,

qsrV@t«378BA<�7?@�B?134.<�LnKYW3B82.BA<?B�2.W�u�7?Kd�=2.WV{ <?r3>-<�<?rV@ l�KY2OB?BAKYW 9 @�>NB?1V78@�B�>NB8BAK�LM2�c>-<A@�U�<AK LnKYW3BA<?>NW�< |b13W3Ln<?26KYW�B�>-7?@�2OW`�->-782.>NW�<k|�KN7 >EBAS=BA<A@�9;KN|(2.W3UV@Mu�@�W3UV@�W�<k78>NW3U3KY9W�>N4�Y=BM,

eEgh������'hcO��c����z � @9w"!oO�RdnJHJmuj LdpFO�R�L.H4P�H4nJH O�j4j | K�H9p�nJR�H zQbon�L~K�O[mxm~I�R&K�H4P q�n�I OBgI]H pxpdI�P# L~O_pxboR�L�O�p~pdIimQH O]n�L�K n�I�O m~I�P0pdn�O�Pcn0w�boP%munJH I�P�L%$Qb�O�j$n�I � n4toLdP�n4toLK]H pdnJRxH�zdb0nJH I�P�O]nnJH # L � H9p�L'&MOMmunJj{| n4toL�pQO # LBgI�H9p~pQI�P # L�O_p�b*R�L�(eEgh�(���') [�@�W3KN<A@�5�S+* E ¯, <?rV@Xu378KN5�>-5�2.4.2.<�S�9 @�>NB81V7?@XKYW <?r3@Xu�>-<?r�B?u�>[email protected] l o¬x­ ® ¯0/ ¬x­ ® ¯0/ �����2.W�U313Ln@�Um5�Sm<?rV@�2OW3UV@Mu�@�W3UV@�W�< 78>NW3UVKY9vW�>N4�Y=BUVS�W�>N9X2.LMBs>NW3U<?rV@2OW326<?2.>N4V9 @�>NB81V7?@ 3 l� ,k/kj=u�@�Ln<?>-<?26KYWbWT26<?r�7?@�BAu�@�Ln< <AK1* E ¯, 2.BU3@�WVKN<A@�U�5�S32 E ¯, ,4 KN<?2.Ln@o<?rV@�U�2�5�@M78@�W3Ln@w5�@M<BW�@M@�W D E ¯, >NW�U62 E ¯, , qsr3@�«378BA<�@nj�u�@�Ln<?>-<?26KYW�2.B�>NW@nj�u�@�Ln<?>-<?26KYW WT26<?r�7?@�BAu�@�Ln<�<AK <?rV@ou37?KN5�>-5�2.4.26<�S 9 @�>NB81V7?@>3 l� U3@�«�WV@�UfKYW�¬x­ ®¯ hWTr32.46@C<?rV@ B?@�LnKYW3U 2.B>NW @nj=u�@�Ln<?>-<?26KYWtWT26<?r 7?@�BAu�@�Ln<<AK�<?r3@�u378KN5�>-5�2.4.2.<�Sm9 @�>NB?1V78@* E ¯, U3@�«�WV@�U KYW <?r3@�u�>-<?roBAu�>NLn@7- l , V W u�>-7?<?2.LM134O>-7h 2 E ¯, � 8�u ± � w9��o D E ¯, � 8§u ± w9�|�KN7T>N4O4�5�KY1�W3UV@�UmLnKYW�<?2.W�13KY13B |b13W3Ln<?26KYW:8#KYW�¬ ­�®¯ ,

:=2.W3Ln@�>�u378KN5�>-5�2.4.2.<�S�9X@�>NB?1V7?@ KYWe¬�­ ®¯ 2.BL8r3>-7v>NLn<A@M782�M@�Uo5�Sw2.<?B�9 1346<?2.U�2.9 @�W�cB?26KYW3>N4(J�>-u�4.>NLn@E<A78>NW�BA|�KN7v9�h�W @E>-78@CW3>-<?1V78>N4O46S�46@�U <AK�LnKY9 u�1V<A@E<?r3@E@nj�u�@�Ln<?>-<?26KYW

2 E ¯, � @nj=u´� ¶� ­ ® ¯

({u#zAw ± �u#z�w9�

|�KN7�>N4.43u�KYB?26<?2.�N@TBA@�0�1V@�W3Ln@�B�� (Ou#z�w¸Hztµ�j `l ¦Y,xdVKN7 >CB826<A@�| 2.W�j `l h�W�@,W�2.4.4VUV@�WVKN<A@5�S¢¨+; � �� <?r3@u�KYB?2.<?26KYW�>-< <?2.9 @��KN|�<?rV@ �-c <?r�u�>-7?<?2.LM46@�2.W326<?2O>N4.46S >-<�|�, V W�<?r32OB�W >�SQh<?rV@CW�139C5�@M7 KN|�u�>-7?<?2.LM4.@�Bs>-<TB?26<A@ zo>-<s<?2.9 @ � 2.B @�0�13>N4(<AK

± ��u#z�w§o ¶; ­ ® ¯

<'= 6 ; :¶� · �

�¨ ; � �� o¤z�¦´�

Page 8: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

F�p ��� �U�� ����

dV7?KY9 <?r32.B�|&KN789�1�4.> >NW�U�2OW`�N@M7?<?2OWV{ <?r3@oKN7vUV@M7 KN|CB?139X9�>-<?26KYW3BbW @ KN53<?>N2OWf<[email protected]@�W�<?26<�S

¶� ­ ® ¯

({u#zAw ± �)u#z�wxo ¶; ­ ® ¯

<'= 6 ; :¶� · �

(Ou#¨ ; � �� w��

:=2.W3Ln@@�>NL8rwu�>-7?<?2.LM46@@M�NKY46�N@�Bs2OW3UV@Mu�@�W3UV@�W�<?46S >NW3U <?rV@�<AKN<?>N4(W�1�9C5�@M7 KN|*u�>-7?<?2�cLM46@�BT>-<s@�>NLvr B826<A@E>-<T<?2.9X@E~X2.BsU32OBA<A78265�13<A@�U�>NLMLnKN7vU32.WV{X<AK�>Xl�KY2.B?BAKYW U32.BA<A782.5�1V<?26KYWKN|�u�>-7v>N9 @M<A@M7 ��h

2 E ¯, � @nj�u´� ¶� ­ ® ¯

(Ou#z�w ± �u#zAw9� o �; ­ ® ¯

2 E ¯, � @nj=u��§�<'= 6 ; :¶� · �

({u#¨+; � �� w � �o �

; ­ ® ¯� 3 l� u0a ± w�� D � @nj=u��´� ({u#¨ ; � �� w�� �� <'= 6 ; :

o �; ­ ® ¯

@nj=u����� D � � ��� 6 ; 0��� : �\� +�� �´�

WTrV@M7?@�¨ � 2.B�<?r3@su�KYB?26<?26KYW >-<�<?2.9X@���KN|�>D78>NW3U3KY9qW�>N4�Y KYW <?r3@ <AKN7813BxjF`l BA<?>-7?<?2.W3{|�7?KY9 <?rV@DKN7826{Y2.Wm>NW�U�WT26<?r <A78>NW�B?26<?26KYW u378KN5�>-5�2.4.2.<�S � l� u �w UV@�«�W3@�Um5�S

� l� u#z{�'|}w�n*o ¶� � ®

�U�)u#z{�'| ª ft~-w

|�KN7�zo>NW3U�| 2.W�jF`l ,�:=2.W3Ln@

D � � ��� 6 ; 0��� : � o ¶� ­ ® ¯

� l� u#z���|}w � ��� 6� : �2.W`�N@M78<?2.WV{ <?rV@DKN78U3@M7sKN|kB?139X9X>-<?2.KYWAh�W @EKN5�<?>N2.Wm<?r3>-<

2 E ¯, � @nj=u´� ¶� ­ ® ¯

(Ou#z�w ± �u#zAw9� o @nj�u�� ¶� ­ ® ¯

� � � ��� 6� : � + � �e�

���= ���gh% �O\ V�H4P%mxLgn4toLan�I]n�O]j*Pcb # zxLdRaI�w !0O�R�nJH mQj L�p � � ­ ® ¯ ± u#z�w H9p�m~I]P0pQLQRxs]L�K�zQ|n4toLp�n�IumQt*O_p�nJH m�K�|�P%O # H mdpHJn # H q�t n`pQLxL # # I�R�L�P%O]nJboR&O�j"n�I m~I�P�pxH KMLdR�O�pFR�LJwuLdR�LdP#mxL!%R�I z�OMzQH9j{H4nJ| # L�O�pxboR&Ldp n4toL L%&[nJR�L # O�j�H9Pcs_O�R�HJO]Pcn # L~O_pxboR�L�p�n4t*O]nO�R�L m~I�P#mxLdP%nJR�O]n�L~K

Page 9: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

������������� ��������������������������� ���!�"���#���%$�&����'�#���)(*�,+-�/.'�0�)�1. FNP

I�P�n4t0L���tM| !0LdR � !%j O�P#Ldp���I�w�O]j9jlmxI�P��"q[b*R&O]nJH I�P0p��fHJn4t O� &*L�K n�I]n�O�jUP�b # z~LQRI�w !oO�R��nJHJmuj Ldp (�}ltoLdpQL # L�O_p�boR&Ldp�O�R�LFq]H4s�LdP zd|

3 ­ ® ¯ � � � � � n�o�3 l� �y��¶� ­ ® ¯

± u#z�w�o¤� �\�

��@�B?2.UV@�Bk<?r3@ |&>NLn<�<?r�>-<�<?rV@MS @�W3>-5�46@ @�>NB?2.@M7LnKY9 u�1V<?>-<?2.KYW3B�hY<?rV@sl�KY2.B8BAKYWXU32.B?<A782 c5�1V<?26KYW3Bu37?@�BA@�W�<KN<?r3@M7 2OW`<A782OW3B?2.L >NUV�->NW`<?>-{N@�B <?r�>-<HWT2O4.4V5�@TBA@M@�W 2.W�<?rV@T|&KN7?<?r3LnKY95c2.WV{ BA@�Ln<?26KYW3B�,4 KN<?2OLn@�<?r3>-<�KYW346S KYWV@�0�13>NW�<?26<�S 2.BCLnKYW3B?@M7?�N@�U�5�S <?rV@�UVS�W�>N9X2.LMB�n�<?rV@�<AKN<?>N4W�139�5�@M7 KN|�u�>-7?<?2.LM4.@�BM, ��W�<?rV@�KN<?rV@M7sr3>NW3U�h�l�KY2.B?B?KYWmU32.BA<A782.5�1V<?26KYW3B>-7?@DB?13L8r�<?r3>-<<?rV@�267 @nj=u�@�Ln<?>-<?2.KYW�2.B @�0�13>N4(<AK

¶� ��� � �

� � ���� �po �^�

qsrV@�l�KY2.B8BAKYW�9X@�>NB?1V7?@�B�>-7?@�2.WX<?r32OBxW >�S�W3>-<?1378>N4.46S u�>-78>N9X@M<A782�M@�U�5�S <?rV@�UV@�W3B826<�SKN|�u�>-7?<?2.LM46@�BM,�d31V7?<?r3@M789 KN7?@Qh�5�S <?rV@yW�@�> Yw4.>�WZKN|k4.>-7?{N@ W�139�5�@M78B�h326|�<?rV@CW�139�5�@M7KN|�B?2.<A@�BsKN|�<?rV@CBA@M<,j `l 2.B UV@�W3KN<A@�Uw5�S�� j ` l �*h

4.2.9l�� �+

� j ` l �¶� ­ ® ¯

± u#zAw^o��

2.Wmu37?KN5�>-5�2.4.26<�S¢WT26<?rw7?@�BAu�@�Ln<s<AK 3 l� , qsrV@Eu�>-7v>N9 @M<A@M7 � UV@�B8Ln78265�@�B <?rV@M7?@M|&KN7?@C<?r3@� 9 @�>NW��XUV@�W�B?26<�S�KN|�u�>-7?<?2.LM46@�BT2.Wm> � 4.>-7?{N@��X5�Kdj�,

V W LnKYW�LM4.13B?26KYW�hAW @ KN53<?>N2OWV@�U >-5�Kd�N@�2.W l7?KNu�KYB?26<?26KYW u +-,.+�w�>mKYW3@��`u�>-78>N9 @M<A@M7|&>N9X2O46S�KN|�2.W���>-7v2.>NW`<�>NW3U�<A78>NW3B?4.>-<?2.KYW�2.W��->-782.>NW�<�9 @�>NB?137?@�B�2.W3UV@nj=@�UC5�SD<?rV@ UV@�W3B826<�SKN|�u�>-78<?2.LM46@�B�h�WTr�2.L8rm2.Bs<[email protected]�1V@D0�13>NW`<?2.<�S LnKYW3BA@M7?�N@�U�5�S�<?rV@E<?2.9X@D@M�NKY4.1V<?26KYW(,

?A@�� ������PAImC5DFEHGBIBGBJ�K�G!E�L� @�B?>N2OU <?r3>-<�<?rV@�u�>NB8B?>-{N@�|&7?KY9 9X2.Ln7?KYB?LnKNu�2.L <AK 9�>NLn7?KYB?LnKNu�2.L�W KY1�4.U 5�@�UVKYW3@u�@M78|�KN789�2.WV{�>E4.2.9X2.<�2.W5W�r32.L8r <[email protected]<?>NW3Ln@ 5�@M<!W @M@�W�u�>-7?<?2.LM46@�BLnKYW`�N@M7?{N@�B <AK M@M7?KV,qsr32.B u�KY2.W�< UVK�@�BTWVKN<su37?@�B?@�W`<s>NW�SmU32���LM134.<�S�2.Ww|�KN789�>N4.2��>-<?26KYW(, � @ A 13B?<sr3>��N@E<AKLnKYW3B?2.UV@M7 <?r3@E<AKN7813B1j�`l >NBT@�9C5�@�U3UV@�Um2OWm<?rV@´a¹c�U32.9 @�W3B826KYW3>N4�<AKN7813B�jF` o � ~���+�w�`-h<?r3>-<�2.Bh�<?> Y=2.WV{X<?rV@ 4.>-<A<?2.Ln@�j�`�WT2.<?r � �N@M7?<?2.Ln@�B �§z�rsfihRz\µtjF`l , V Wm<?r�2.B�W >�Sw<[email protected]<?>NW3Ln@�Bs5�@M<!W @M@�W 9 KY46@�LM134.@�B 2.BE+�rsf >NW3Um<A@�W3U�B <AK M@M7?K�>NB1f"!$# ,

� @XB?r3>N4.4�7?@M|&@M7D<AK�j�`�>NB�<?rV@ 9X>NLn7?KYB?LnKNu�2OL B?u�>NLn@X>NW3Uo<AK�jF`l >NB�<?rV@ 9X2.Ln78K cB?LnKNu�2.L�BAu�>NLn@N, V Ww<?r32OB�W >�Sw@�>NLvro9�>NLn7?KYB?LnKNu�2.LCu�KY2.W`<% 2OWejF`�2OBT>NB?BAK=LM2.>-<A@�Uo<AK�>

Page 10: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

FNF ��� �U�� ����

9X2.Ln7?KYB?LnKNu�2.LCB?2.<A@´zto � % f �k2.Wej `l >NW3U�h�7?@�LM2.u37?K=LM>N4.46SQh�@�>NLvr B?26<A@�z 2OBT>NB?BAK=LM2.>-<A@�U<AK > 9X>NLn7?KYB8LnKNu�2.Lu�KY2.W`<Hz�rsf 2OW§jF`Y,�R�@M7?@D>NW3U�5�@�46K�Wyh�|&KN7 >�aQc�U�2.9 @�W3B?2.KYW3>N437?@�>N4� opu � ��������� � ` wh � � ��U3@�WVKN<A@�Bs<?rV@�2.W`<A@M{N@M7Tu�>-7?<sKN| � n � � �Ao:u�� � ������������� � � ` �#wv,��W <?rV@ KN<?r3@M7 r3>NW3U�hB?2OW3Ln@\W @�r�>��N@ > KYW3@��`u�>-78>N9 @M<A@M7o|&>N9�2.46S�KN| 2.W���>-7v2 c>NW`< 9 @�>NB?1V7?@�Bh�KYWV@§W�>dS <AK U3@�B?Ln78265�@X>�4.K�LM>N4@�0�132O4.2653782O139vW�26<?r UV@�W3B826<�S u37?KQ«�46@* �RnUjF` , . 0 2.B�<?rV@s|&KY4.46K"WT2.WV{V, � @�U32.B?<A78265�1V<A@�u�>-7?<?2OLM46@�Bk>NLMLnKN78U32.W3{D<AKC>El�KY2.B?BAKYW9 @�>NB?1V7?@�WT26<?r B?46K�W�46S ��>-7?S=2.WV{�u�>-78>N9 @M<A@M7KYWkj `l h�<?r3>-<�2.Bh�|&KN7�@�>NLvr u�KYB?2.<?26�N@´fW @�«3j <?rV@�u�>-78>N9 @M<A@M7�KN|�<?rV@�l�KY2.B?BAKYW�U32.BA<A782.5�1V<?26KYW >-<�B?2.<A@�zf<AK 5�@m@�0�13>N4 <AK* � u#z�rsf�wv,�:=2.W3Ln@ <?r32.B<�S�u�@ KN| 9 @�>[email protected]�>-u3u�@�>-7D|&7?@�0�13@�W`<?46S 2.Wo<?rV@�BA@XWVKN<A@�B�hW @C2OW`<A7?K=U313Ln@�<?rV@C|�KY4.4.K�WT2.W3{�<A@M789�2.WVKY46KN{NSN,

� ���k��c��hc&���Z ��6��� I]R�L�O[mQt p # IuI]n4t;w�b*P#munJH I�P *���nRj ` , . 0 E$��LyR&L !%R&LdpQLQPcn zQ|3 l5%= 6@8 : n4toL # L�O�pxboR&L;I�P n4toL�p�n�O]n�L p !oO[m�L�� ­ ® ¯ o ¬ ­ ® ¯ t*O]siH4P q n4toLrwQI�j9j I �fH4P q)n �`I!%R�I !0LdRdnJH Ldp (�W"P#KMLdR 3 l5%= 6@8 : n4toL s�O�RxH OMzQj Ldp � ± u#z�w¸�z_µ�jF`l ¦ O�R�L H4P%KML !�LdP%KMLQPcn�O�P#K_EwdI�R O pxHJn�L z_µejF`l E ± u#z�w H9p�K�H9p�nJR�H�zdb0n�L�K;OMm~m~I]R�K�H4P qCn�I O�BgI�H9p~pQI�P K�H9p�nJR�H�zdb0nJHJI]P I�w!oO�R&O # LQn�LdR * �¹u#zArsf\w�

3 l5%= 698 : � ± ¸ ± u#z�wxo � ¦¥o�3 l5%= 6�� l : � ± ¸ ± ub~�wHo � ¦wdI�R�O�j9j z H9P j ` l O�P%K � H9P ¬ (

� @ r3>��N@ <?r�13B�>NB8BAK�LM2O>-<A@�U <AK�@�>NL8r u�7?KQ«�46@ *��Rn j ` , . 0 >NW3U @�>NL8r u�KYB?2.<?26�[email protected]`<A@M{N@M7�f >�l�KY2OB?BAKYWw9 @�>NB81V7?@DKYWm<?rV@C<AKN7813B�j `l ,

t�Bs<?rV@Du�>-78>N9 @M<A@M71f 2.W3Ln78@�>NBA@�B <AKX2.W�«�W326<�SQh=<?rV@EU�2.B?Ln7?@M<A@�<AKN7813B�j `l <A@�W3U3B <AK<?rV@�|b134.44.>-<A<?2.Ln@�] ` , � @mLM>NW >N4.BAKoUV@�«�WV@�> l�KY2.B?B?KYW 9 @�>NB81V7?@�KYW <?rV@ BAu�>NLn@�KN|LnKYW�«3{Y1V78>-<?2.KYW3B Kd�N@M7,]�`�,�dVKN7s@�>NLvr�� � ~5W @mWT2O4.4�U3@�WVKN<A@D5�S 3 � <?rV@�u37?KN5�>-5�2O4.26<�SKYW ¬ � ® <?r3>-<�9X> YN@�B�<?r3@w��>-7v2.>-5�46@�B�� ± u#z�w¸�zpµ ]�`/¦ 2OW3UV@Mu�@�W3UV@�W�< >NW3U [email protected](|�KN7C@M�N@M7?S\z 2.W\]�`�h ± u#zAw�2.BEU�2.BA<A78265�1V<A@�U >NLMLnKN7vU32.WV{m<AK�>�l�KY2OB?BAKYW 4.>�W KN|u�>-78>N9 @M<A@M7 ��,

� 2.<?r <?rV@�UV@�«�W326<?2.KYW\W @�r3>��N@�{Y26�N@�W�KN| 3 l5%= 698 : h�>NW3U�B82.W3Ln@ *��§nOj�` , .10 2OB>NB?B?139 @�UE<AKT5�@B?9 K�KN<?rAh->NBOf ! # >NW3U W�@ 46K�KQY � LM46KYBA@��s<AK>su�KY2.W�< %tµ�jF` ��<?r3>-<2.B � >-7?KY13W�U��yz�o � f %����5W @sKN5�BA@M7?�N@�>�l�KY2.B?BAKYW�9 @�>NB?1V7?@�KN|�u�>-78>N9 @M<A@M7 ub>N4.9 KYBA<wLnKYW3BA<?>NW�< @�0�13>N43<AK)* � u %Awv, V W�|&>NLn<�h=B?2.W3Ln@T<?rV@T|b13W3Ln<?26KYW * � u��*w�2OB�B?9 K�KN<?rAh�|�KN7 @M�N@M7?Su�KYB826<?26�N@ 2OW`<A@M{N@M7 � >NW3UC|&KN7k@M�N@M7?S�u�KYB826<?26�N@�|&>N9X2O46S�KN|�u�>-78>N9X@M<A@M78B�� ({u#zAw¸ � z�� ¡��"¦¹h

4O2.9l � �D E ¯� = ��� �

� � ����� �� ��� � 6� : < 6�� � l�� 0 : �8o D<E � = ��� � � � ����� �� ��� � 6� : < 6� : ��� u +-,.+�w

V W�<?r32.B |&KN789 134.>X>NW3U�<?rV7?KY1V{Yr3KY1V<s<?rV@�BA@ WVKN<A@�B�h�|�KN7 %eo u %{���������� % ` w 2.W . `Uh�� %��

Page 11: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

������������� ��������������������������� ���!�"���#���%$�&����'�#���)(*�,+-�/.'�0�)�1. FY[

UV@�WVKN<A@�Bs<?r3@E/13LM4.2OUV@�>NWmWVKN789 KN| % >NW�U � % ��<?r3@E9X>�jwWVKN789�n

� %���� o ¶���   � `

%��  � � %��yo 9X>�j���   � `� %   ���

V W <?r32OBDBA@�W3BA@ <?rV@�BA@�0�13@�W3Ln@?3 l5%= 6@8 : UV@�B?Ln782.5�@�B�>NW @njV>N9 u�4.@ KN|�46K=LM>N4�@�0�132.4.265�782.139m,qsr32.B*U3@�«�W326<?26KYWEKN|Vu37?K=U313Ln<�9 @�>NB81V7?@�W�26<?rEB?46K"WT46S��->-7?S�2OWV{su�>-78>N9X@M<A@M7�2OB*KN|3LnKY1V78B?@<AK�KX78@�BA<A782.Ln<?26�N@N, � @E7?@M|&@M7s<AK+�xP���|&KN7TBAKY9X@E{N@�WV@M78>N4.2 �>-<?26KYW(,

V W�<?rV@DLnKYW�«3{Y1378>-<?26KYW�BAu�>NLn@m¬ ­�®¯�h�@�W3UVK"W @�U�WT2.<?r�26<?B�W3>-<?1V7v>N4�U32OB?Ln7?@M<A@<AKNu�KY4�cKN{NSQhAW @ UV@�WVKN<A@ 5�S\��� ��z^µ�jF`l ¦ <?rV@ {N7?KY1VuoKN|�<A78>NW�B?4.>-<?26KYW3B�,Tqsr�13B�h�|&KN7�>�B?2.<A@z{h�� ± 2.B <?rV@CLnKYW�«�{Y1V78>-<?26KYWm<?r�>-<�h�>-<TB?26<A@ |Rh3r3>NB ± u#z ª |�w u�>-7?<?2.LM46@�Bn

u�� ± w/u#|}w^o ± u#| ª z�w� |bµej `l �

qsrV@X>NLn<?26KYW�KN| <?rV@�<A78>NW3B?4.>-<?2.KYW {N7?KY1Vu @nj=<A@�W3U3B�2.W >wW3>-<?1V7v>N4FW�>dS <AKw<?rV@XBAu�>NLn@KN|�|b13W3Ln<?26KYW�B�>NW�U <AKX<?rV@EBAu�>NLn@DKN|�u37?KN5�>-5�2.4.26<�SX9 @�>NB?1V78@�B KYW�¬�­�®¯ , V W |b>NLn<�h3|�KN7s>B?26<A@ z >NW�Uw> u37?KN5�>-5�2.4.26<�S�9 @�>NB?137?@�h{u�� Ow 2.B <?rV@C9X@�>NB?1V7?@EB?1�L8rm<?r3>-<

��� u ± w/u�� Ow/u0a ± w^o � � u�� ± w��u0a ± w�

|�KN7s@M�N@M78S�5�KY13W�UV@�U LnKYW`<?2.W�1VKY13BT|&1�W3Ln<?26KYW � ,q�K u�@M7?|&KN789;<[email protected]<�f !$# W�@�@�9�5�@�U�<?rV@DBAu�>NLn@m¬ ­�®¯ 2.W§¬ � ® 2.U3@�W`<?26|&S=2.WV{

>mLnKYW�«3{Y1V78>-<?2.KYW KYW <?rV@ <AKN781�BD<AK�> u�@M7826K=U32.L LnKYW�«3{Y1V7v>-<?26KYW KYW <?rV@ |b134.4�4.>-<A<?2.Ln@N,� @�WT2.4.4k@�W�UVK�W <?rV@ LnKYW�«3{Y1378>-<?26KYW BAu�>NLn@�¬ � ® WT26<?r 26<?B W3>-<?1V78>N4 <AKNu�KY46KN{NSQh<?r3@u37?K=U313Ln<�<AKNu�KY4.KN{NSN,��S�� ��u#¬ � ® wKN7sB?2.9 u�4.S 5�S�� �h�W�@78@Mu37?@�BA@�W�< <?rV@DBAu�>NLn@DKN|u37?KN5�>-5�2O4.26<�S�9 @�>NB?1V7?@�BsKYW�¬ � ® @�W3UVK"W @�U�WT26<?rm<?rV@ W�@�> Y <AKNu�KY46KN{NSN,

V W <?r�2.B <AKNu�KY46KN{Y2.LM>N4(BA@M<A<?2.W3{�hV|�KN789 134.>�u +-,.+�w @�BA<?>-5�4.2.B8rV@�B�<?r3>-< |�KN7�>N4.4�u�KY2OW`<?B %KN|�j ` <?rV@EBA@�0�1V@�W3Ln@�� � � l�� 3 l5%= 6@8 : LnKYW`�N@M7?{N@�B1W�@�> Y�46S <AKX<?r3@E9 @�>NB?1V7?@C3 5%= 6 � : ,

?A@�� �����xK��������xPAL¤G �_CgDFExPRN¹G ���� @X<?1V78W WVK"W <AKw<?rV@XB?<?13UVSoKN| <?rV@XU�2.BA<A78265�1V<?26KYW KN| u�>-78<?2.LM46@�BD>-<C>m4.>-<A@M7C<?2.9 @g�BA<?>-7?<?2.WV{ |&7?KY9 > u�7?K�U�13Ln< 9 @�>NB?1V7?@ W�26<?rmB?46K"WT46S��->-7?S=2.WV{ u�>-78>N9X@M<A@M7�,ys@Mu�@�>-<?2.W3{<?rV@ LnKY9 u�1V<?>-<?26KYW�B1W�@ U32.U <AK u37?Kd�N@Xl7?KNu�KYB?26<?26KYW�u +-,.+�w1W @ BA@M@ <?r�>-<�2.|�W @ BA<?>-7?<

Page 12: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

FN} ��� �U�� ����

|�7?KY9 >Xl�KY2.B?BAKYWw9X@�>NB?1V7?@ WT2.<?rmB?46K�W�46S��->-7?S=2.WV{ u�>-78>N9X@M<A@M7T<?rV@�W

2 E ¯� = ��� � �*@nj�u´� ¶� ­ ® ¯

(Ou#z�w ± �u#zAw �

o @nj�u ¶� ­ ® ¯

*��¹u#z�rsf�w ¶; ­ ® ¯

� l� u#|��_z�w�� � ��� 6 ; : ��+��o @nj�u ¶

; ­ ® ¯� � ��� 6 ; : � + � ¶

� ­ ® ¯� l� u#|5��zAw * �¹u#z�rsf�w

o�nD@nj=u ¶; ­ ® ¯

� � ��� 6 ; : ��+����xl � ��u#|�w��

qsrV@M7?@M|&KN7?@Qh>-< <?2.9 @b�shxW @mBA<?2O4.4 r�>��N@w> l�KY2.B?BAKYW 9 @�>NB?137?@�WT26<?r B?46K�W�46S �->-7?S�2OWV{u�>-78>N9 @M<A@M7h�WTr32OL8r 2.B WVK"W��xl � �)u��*w 2.W3BA<A@�>NU KN| * �¹u��*rsf�wv, ;�u <AK <?r32.B u�KY2.W�<5W @r3>��N@ WVKN<�1�BA@�U <?rV@�u�>-7?<?2.LM134O>-7X|�KN7v9 KN|��U�)u��*w 5�@�B82.UV@�B <?rV@ |&>NLn<�<?r3>-<�26<�9X> YN@�B�U��u������*w <A78>NW3B84.>-<?26KYW 2.W���>-782O>NW`< >NW3Um<?r�13B 5�2OBA<AK�Lvr3>NBA<?2.L n � � �'u#zO�'|�w�o +D|&KN7 @M�N@M7?S|�, � @sB?r3>N4.4�WVK"W BA@M@�WTr3>-<�r3>-u3u�@�W3BOWTrV@�W���2.B�«Vj=@�U >NW3U5f 2.W3Ln78@�>NBA@�B�<AK�2OW�«�W326<�SN,V Wm<?r�2.BsLM>NBA@,�U��u��*w 2.Bs>X|&13W�Ln<?26KYW�WT26<?rm@�B8BA@�W`<?2O>N4.46Sb«�W326<A@DB?1Vu�u�KN78<�hV<?r3>-<T2.B�hV|&KN7�>N4O4��� ~�h�<?rV@M7?@[email protected]<?B��¥o��5u#�� � w � ~XB?KX<?r3>-<

¶ ��

�U�)u#z�w � +�� � �

dV7?KY9 <?r3@D@nj�u�4O2.LM26< |�KN7v9 KN|���l � ��h}W�@Cr3>d�N@E<?r3>-<s|&KN7s@M�N@M7?SwLnKYW�<?2.W�1326<�S�u�KY2.W�<�%oKN|* �%h

4.2.9l�� ��xl � �)u�� % f �#w_o *�� u %Aw��

qsrV@ u37?KQ«�46@ 78@�9X>N2.WV@�U 13W3Lvr3>NWV{N@�U(,kqsrV@ BAS=BA<A@�9 U32OU�WVKN<kr3>d�N@s<?2.9 @ <AKD@M�NKY46�N@>NW3UC<?r�2.B*7?@� �@�Ln<?B�<?r3@|b>NLn<�<?r�>-<�>-<�<?rV@ 9�>NLn7?KYB?LnKNu�2.L�B?LM>N46@�u�>-7?<?2OLM46@�B�U32OUCWVKN<�9 Kd�N@N,V W3U3@M@�UAh(LnKYW3B?2.UV@M7D>�<A@�BA<Du�>-78<?2.LM46@ 2.W326<?2.>N4O46S�>-<D<?r3@ KN7v26{Y2.W(,C:=2.W�Ln@ 26<@M�NKY46�N@�BE>NBD>U32.B?Ln7?@M<A@�<?2.9 @ 78>NW�UVKY9XW�>N4�YRh�26|�¨g��UV@�WVKN<A@�B 2.<?B�u�KYB?2.<?26KYW >-< <?2O9 @§�sh�|&KN7 @M�N@M7?S��� ~�h*<?rV@M7?@ @njV2.BA<?B�� o��5u#�� � w � ~�B813L8r <?r3>-<�� ��� ¨g� � � � �H¡ � ,�qsr3@M7?@M|�KN78@QhWT26<?r u37?KN5�>-5�2.4.26<�SELM46KYBA@ <AK�+ h�2.W <?rV@s9X>NLn7?KYB8LnKNu�2.LsB?LM>N4.@QhY<?rV@s<A@�BA<ku�>-7?<?2.LM46@s>-<k<?2.9X@�T2.B�>-<DU32.BA<?>NW3Ln@ KN| KN78UV@M7 f � � |&7?KY9 <?rV@ KN7826{Y2.W(, V W >� �132.UAh�rVK�W�@M�N@M7h�> � <A@�BA< �u�>-7?<?2.LM46@�<A78>d�N@M78BA@�B>X9X>NLn7?KYB8LnKNu�2.LEU32OBA<?>[email protected]>X9�>NLn7?KYB?LnKNu�2.LE<?2.9 @N,

� @sBAKY46�N@�<?r32.B�u37?KN5�46@�9�U�2.BA<?2.WV{Y1�2.B?r32.W3{ 5�@M<BW�@M@�W <BW�KD<?2.9 @ B?LM>N46@�B�ub>NBFW�@ r3>��N@<BW�K�BAu�>NLn@CB8LM>N46@�B�n�jF`C>NW�U�f � � jF`l wn> 9X2.Ln78KYB?LnKNu�2.L�<?2.9X@�� >NW3Uw> 9�>NLn7?KYB?LnKNu�2.L<?2.9 @ WTr32OL8rm2.Bs2OW�«�W326<A@�4.SX4.>-7?{N@ WT26<?r 78@�BAu�@�Ln<s<AK¢� ,

Page 13: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

������������� ��������������������������� ���!�"���#���%$�&����'�#���)(*�,+-�/.'�0�)�1. F��

q�K�2.W`<A78K�U31�Ln@ <?rV@T9X>NLn7?KYB8LnKNu�2.L <?2.9X@TB?LM>N46@Qh�WVKN<?2.Ln@s<?r3>-<<?rV@s<A78>NW3B826<?26KYW u378KN5�c>-5�2.4.26<?2.@�B{� � u �ws>-7?@E@�0�13>N4�<AK

� � u#z�w_o � � u#z�w��WTrV@M7?@�� � BA<?>NW3U�B |�KN7s<?r3@ �-c <?rwLnKYW`�NKY4O1V<?26KYWmu�K�W�@M7 KN|�<?rV@D@�46@�9 @�W�<?>-7?S�<A78>NW3B?26<?2.KYWu37?KN5�>-5�2O4.26<�S�KN|�@�>NLvr�u�>-78<?2.LM46@N,

t�B8B?139 @ <?r3>-<�<?r3@ @�46@�9X@�W`<?>-7?S�<A78>NW3B?26<?2.KYW u37?KN5�>-5�2.4.26<�Se��u �w�r3>NB§«�W32.<A@w@nj-cu�@�Ln<?>-<?2.KYWAn�� n*o � zx��u#zAw�µ . ` , � @ B?>dSC<?r3>-<�<?rV@ 78>NW�UVKY9 W >N4�YC2OB O_p�| # # LunJRxH m26|����o ~�h�<?r3>-<26<�2OB # L�O�P � hiLdR&I�O�px| #3# LunJRxH m 26|��Fu��*w�2.BkWVKN<B?S�9X9X@M<A782.L 5�1V<�� o�~>NW3Uw<?r3>-<�26<T2OB px| #3# LQnJR�HJm 2.|U��u��*wT2.B�BAS�9�9 @M<A782.L-, ys@�LM>N4O4�<?r3>-<1¨ � BA<?>NW�U3Bs|&KN7�<?r3@u�KYB826<?26KYW >-<<?2O9 @���KN|(>CU32.B8Ln7?@M<A@s<?2.9 @T78>NW3UVKY9:W >N4�Y5WT26<?rX<A78>NW3B?26<?2.KYW u37?KN5�>-5�2O4.26<�S��u��*w >NW3U 2OW326<?2.>N4.4.S�>-<X<?rV@wKN7v26{Y2.W(,���S <?rV@�4O>W KN|D4.>-7?{N@ W�139�5�@M78B |&KN7�78>NW3U3KY9W�>N4�Y=B�hV|&KN7T>N4.4 ��� ~�h

4.2.9l�� �¶

� � l �� � ���� ��l�u#zAw_o 4.2.9l�� �

� � ¨g��lf � ���

¡ � �8o +m�

V Wou�>-7?<?2OLM134.>-7h�|&7?KY9 <?rV@ @nj�u�4.2.LM26<@nj�u�7?@�B?B?26KYWo|&KN7�� l � ��l >NW3U B?2.W3Ln@5W�@X>NB?B?139X@�U<[email protected].<?2.>N4�u�7?KQ«�46@�<AKX5�@EB?9 K�KN<?rAh�W�@Cr3>d�N@C<?r3>-<

4.2.9l�� ��xl � ��l�u�� % f �#w^o * �Qu %b� ���'w�o n�*Ru#�s� %�w

|�KN7s@M�N@M78S % 2.W�j ` ,� @ KN53<?>N2.WV@�U 2.W <?r32.ByW >�S > W3@�W <?2O9 @�B?LM>N4.@Qh���fih�2.W_W�r32.L8riW�@�KN5�B?@M7?�N@�>

WV@�WZ9X>NLn7?KYB8LnKNu�2.LEu�7?KQ«�46@Qn�<?r3@EKN7826{Y2.W�>N4�KYWV@E<A78>NW3B84.>-<A@�Uw5�S����v, �wKN7?@�u37?@�LM2.B?@�46SQh2.W <?r32.Bs9�>NLn7?KYB?LnKNu�2.LCB?LM>N46@y��fXW @EKN5�BA@M7?�N@C>X4.K�LM>N4(@�0�132.4O2653782.1�9 u37?KQ«�46@D<?r3>-<Tr3>NB5�@M@�W�<A78>NW3B?4O>-<A@�U 5�S�����B?2.W�Ln@��xl � ��l�2.B26<?BA@�46|�B?46K"WT46S ��>-78S�2.W3{E2.W <?rV@T9�>NLn7?KYB?LnKNu�2.LB?LM>N46@N,

�|�LnKY1V78BA@Qh3<?r3@Du37?KQ«�46@ *�u#�� %Aw B?>-<?2.B�«3@�B <?rV@Eu�>-78<?2.>N4(U32�5�@M7?@�W�<?2.>N4�@�0�1�>-<?26KYW� �'* ª ����� *qo"~ u +-,IH¹w

26|�� *�UV@�WVKN<A@�BT<?rV@E{N78>NU32.@�W`< KN| *Un�� *5o:u � ��� *U�������"� � � ® *�wv,V WmLnKYW�LM4.13B?26KYW�h�26|{W @D7?@�B?<A782.Ln<�KY1V78BA@�46�N@�B <AKX> u�>-7?<?2.LM134.>-7 LM4.>NB?B KN|�2.W32.<?2.>N4�9 @�>%c

B?1V7?@�B�h�W�@Er3>d�N@C@�BA<?>-5�4O2.B?rV@�U�<?rV@[email protected]<A@�W�Ln@DKN|�> <?2O9 @E>NW3UwBAu�>NLn@CB?LM>N46@�Bs2OW�WTr32.Lvr<?rV@Tu�>-78<?2.LM46@�BU3@�W3B?26<�S @M�NKY4.�N@�B�>NLMLnKN7vU32.WV{�<AKC<[email protected]@�>-7�u�>-7?<?2.>N4�U�2�5�@M78@�W`<?2.>N43@�0�13>%c<?26KYW�u +-,IH¹wv, � @ r3>��N@ <?r�1�B�UV@M7v26�N@�U�|&7?KY9 <?rV@ 9�2.Ln7?KYB?LnKNu�2OLEBA<AK=L8r3>NBA<?2OL�UVS=W3>N9X2OLMB>X9X>NLn7?KYB?LnKNu�2.LEUV@M<A@M789�2.W32.BA<?2OLT@M�NKY4.13<?26KYWm|&KN7s<?rV@E13W32O0�1V@DLnKYW3B?@M7?�N@�U�0�13>NW�<?26<�SN,

Page 14: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

[�~ ��� �U�� ����

t�W 2.W�<A@M78>NLn<?2.WV{ u�>-7?<?2.LM46@XB?S�BA<A@�9 |&KN7´WTr32OL8r <?rV@M78@�@njV2.BA<?BC>�<?2.9 @�>NW�U�BAu�>NLn@9X>NLn7?KYB?LnKNu�2OLoB8LM>N46@�B 2.W�W�r32.L8rf<?rV@ LnKYW3BA@M7?�N@�U 0�13>NW�<?26<?26@�B�@M�NKY46�N@ >NLMLnKN78U32OWV{ <AKBAKY9 @�u�>-7?<?2.>N4�U32�5�@M7?@�W`<?2O>N4Y@�0�13>-<?26KYW 2.B�B8>N2.UE<AKDr3>d�N@�>r`S=UV7?K=UVS=W3>N9X2.LUV@�B?Ln7826u�<?26KYW(,�wKN7?@MKh�N@M7h3<?rV@Dl�, [ , /s,32.B LM>N4.4.@�U�<?r3@�r�S=UV7?K=UVS�W�>N9X2.L @�0�13>-<?26KYWm>NB?B?K�LM2.>-<A@�U <AK <?r3@BAS�B?<A@�9m,

� @�B?1�9X9X>-782�M@�<?r32OB 7?@�B?1346<s2OW <?rV@D|�KY4O46K�WT2OWV{ u37?KNu�KYB?26<?26KYW*,eEgh������'hcO��c����z �6� D px|_p�n�L # I�w !oO�RdnJHJmuj Ldp LQs_I�j{siH4P q)O_p�H4P%KML !0LdP#KMLdPcnO�px| #3# LunJ�RxH m�R&O�P%K[I # �`O]j���p �fHJn4t �<P�HJn�L �<Rxp�n # I # LdP%n�I�P O K��&K�H # LdP0p�HJI�P#O�j�n�I]Rxb*p�toO_p�OtM|[K�R�IiK�|�P%O # HJmCKML�pQmQR�H !!nJHJI�P ( }lt0L LQs_I�j{b0nJHJI]P I�w�n4t0L K LdP0p�H4nJ|7!%R�I �<j L H9p�KML�pQmQR�H zxL�Kzd|�n4toL�pQI�j{bonJH I�P�I�w�n4toL K�H �.LdR�LdPcnJH O�jfL'$Qb�O]nJH I�P

� �'* ª ��� � *qo"~g�

� r3@�Ww<?rV@E@nj=u�@�Ln<?>-<?26KYW � �->NW32.B8rV@�B�hV<?rV@CB?KY4.1V<?26KYWmKN|�<?r32.BTU32�5�@M7?@�W`<?2O>N4�@�0�13>%c<?26KYWX2.BkLnKYW3B?<?>NW`<�h WTr32.Lvr 9 @�>NW3Bk<?r�>-<�<?rV@ u37?KQ«�46@ U32.U3W��x<kLvr3>NWV{[email protected] <?r3@s<?2.9 @sB?LM>N4.@��f , 4 KN<?r�2.WV{ 2.9 u�KYBA@�UAhVrVK"W @M�N@M7�h3<[email protected]@EKN|{��f >NBs9X>NLn7?KYB?LnKNu�2.L�<?2.9 @DB?LM>N46@N,V W |&>NLn<�hAW�rV@�W�<?r3@ 9 @�>NW U�2.BAu�4.>NLn@�9X@�W`< � �->NW32.B?rV@�Bh�<AK KN5�BA@M78�N@ >NW 2.W�<A@M7?@�BA<?2OWV{<?2.9 @D@M�NKY4.1V<?2.KYWAh�W @�WV@M@�Um<AK�LnKYW3B82.UV@M7T> 4.>-78{N@M7s<?2.9 @EB?LM>N4.@Qh3<?2.9 @�B KN|�KN78U3@M7,f � ,

t�B8B?139 @ <?r3>-<m<?rV@ @�4.@�9 @�W`<?>-78Sf<A78>NW�B?26<?26KYW�u37?KN5�>-5�2.4.26<�S <?r3>-<wUV@�B?Ln7v265�@�B�<[email protected]�4O>NLn@�9 @�W`< KN|*@�>NL8r�u�>-78<?2.LM46@�r�>NB�> BA@�LnKYW3U 9 KY9X@�W`<M,�J�@M<��kopu��   � � w ���   � � � ` 5�@<?rV@CLnKd�->-782.>NW�Ln@C9X>-<A782 j KN|�<?r32.BsU32OBA<A78265�13<?26KYWAn

�   � � o ¶� ­ ® ¯

z   z � ��u#zAw� +y¡ £���¡�a��

� S <?rV@ELn@�W�<A78>N4�4.2.9X26<�<?rV@MKN7?@�9 |�KN7T78>NW3UVKY9�W >N4�Y=B�h�W�@CBA@M@E<?r3>-<4.2O9l�� �

� l � l��B� u�� f % �#wio 4.2.9l�� �¶� ­ ® ¯

� l� u�� f % � �_z�w * �¹u#zArsf\w

o 4.2.9l�� �D � * �¹u %b�_f � � ¨ ��l � w9�8o �

� ®* �Qu� -w����)u %��� -w a� 5�

WTrV@M7?@ *��Rn . ` , . 0 2.BD<?rV@Xu�@M782.K�U32OL�|b13W3Ln<?2.KYWAh�WT26<?r u�@M7v26K�U�j ` >NW3U @�0�13>N4k<AK* ��KYW <?r3@ <AKN7v13Bmj ` >NW�U��m� 2OBT<?rV@ UV@�W�B?26<�S�KN|�<?rV@���>N13B?B82.>NW U�2.BA<A78265�1V<?26KYW�WT2.<?rLnKd�->-782.>NW3Ln@ 9X>-<A782 jb����,

:=2.W3Ln@�<?rV@���>N13B?B82.>NW U�2.BA<A78265�1V<?26KYWw2.B<?rV@ |b13W3U3>N9 @�W�<?>N4�BAKY4.1V<?26KYW KN|<?r3@ rV@�>-<@�0�13>-<?2.KYW8u#WTr32OL8r LM>NW�5�@wLvrV@�L�YN@�U�5�S > B?2.9 u�46@mLnKY9 u�1V<?>-<?26KYWRw�W @�KN53<?>N2.W <?r3@|�KY4.4.K�WT2.W3{ 78@�B?1346<M,

Page 15: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

������������� ��������������������������� ���!�"���#���%$�&����'�#���)(*�,+-�/.'�0�)�1. [�+

eEgh������'hcO��c����z ��� D px|_p�n�L # I&w !oO�RdnJHJmuj Ldp�LQs_I�j{siH4P q O_p�H9P%K L !0LQP%KMLdP%n # L~O�P � h�LdR&IO_px| #3# LQnJR�HJm�R�O]P%K[I # �`O�j �ip �fHJn4t �<P�HJn�LCpQL~m~I�P#K # I # LdPcn I�P O K��&K�H # LQP0pxH I�P%O]jn�I�Rxb*p t*O�p O;t |]K]R�IuK]|_P#O # HJmCKML�pQmQR�H !#nJH I�P ( }lt0L Lds_I]j b0nJH I�P I&w�n4toL KMLdP�pxHJnJ|�!%R&I �<j LH p�KMLdpdmuRxH�z~L~K�zQ| n4toL�pQI�j{bonJH I�P�I�w�n4toL K�H �.LdR�LdPcnJH O�j�L%$Qb�O]nJH I�P

� � �'*:o � ���   � � � ` �   � � � ���� � ��� *��*Rub~�� %Aw^o * � u %�w��

J*@M<g��� l u#��w�}� � ~ ¦�5�@ <?rV@�B?@�9X26{N7?KY1Vu KYW � �C>NB8BAK�LM2O>-<A@�U <AKw<?rV@?� >-7�YNKh�u37?K=Ln@�B?Bgu ± �!w!�����-, V W l�7?KNu�KYB?2.<?26KYW3B�u +-,xp-w>NW�U�u +-,IP¹wh{W @ r3>d�N@ u�7?Kd�N@�U <?r3>-<�<?rV@[email protected] > <?2.9 @D78@�WVKN789X>N4.2 �>-<?26KYW %lZB?13Lvrm<?r3>-<

4.2O9l�� �� l u#� %l�w � � � l � 3 l5%= 698 : o�3 5 6 � � � : �

|�KN7T>N4O4��=� ~�>NW3Uw>N4.4(LnKYW�<?2.W�1326<�S�u�KY2.W�<?B %�KN| *Ru#�s���*wv,;�B813>N4.46S *�u#����*w 2.B <[email protected]<?26KYW KN|�>�° >N13L8r�S�u�7?KN5�46@�9 WT2.<?r�2OW326<?2.>N4�LnKYW3U326<?2.KYW

* �Qu��*wv,kt�B�W�@ B?>N2.U�@�>-784.2.@M7hh<?r�2.B�U32 5�@M7?@�W�<?2.>N4`@�0�13>-<?2.KYW�2.B�LM>N4.46@�U�<?rV@ r�S=UV7?K=UVS�W�>N9X2.L@�0�13>-<?2.KYWmKN|�<[email protected]�<A@M78>NLn<?2.WV{Xu�>-7?<?2.LM46@DBAS=BA<A@�9m,

V W <?r32.BBA@�Ln<?26KYW\W�@ <AK�KQYo>NUV��>NW�<?>-{N@ KN|BA@M�N@M7v>N4kBAu�@�LM2.>N4*|&@�>-<?1V7?@�B�KN|�<?r3@�@M�NK c4.1V<?26KYW KN|2OW3UV@Mu�@�W3UV@�W�<C78>NW�UVKY9XW�>N4�Y=B <AK KN53<?>N2.W >NW @nj=u�4.2OLM26<C|&KN789 134.>o|�KN7 <?r3@u37?KQ«�46@ *�u#����*wv, qsrV@ <�S�u�@XKN| 7?@�B?1�46<�h�rVK"W @M�N@M7h�2.BELvr3>-78>NLn<A@M782OBA<?2.L KN| <?rV@�B81V5 A @�Ln<M,� @�r3>d�N@Eu37?Kh�N@�UAn

+-,,[@�B?Ln7826u�<?26KYWmKN|�<?rV@E@�0�132.4.265�782.139 B?<?>-<A@�BTKN|�<?rV@CBAS=BA<A@�9m,

H�,�°�KYW3B?@M7?��>-<?2.KYWmKN|�<?rV@E46K=LM>N4(@�0�1�2.4.26537v2.139 2.W <?2O9 @D@M�NKY4.1V<?26KYW*,

Q�,�° r3>-7v>NLn<A@M782��>-<?26KYW >-<T>X4.>-<A@M7s<?2O9 @DKN|�<?r3@CWV@�W u�>-7v>N9 @M<A@M78BTU3@�B?Ln78265�2OWV{�<?r3@46K=LM>N4*@�0�132.4.2.53782.139;>NW3UwUV@M7v26��>-<?2.KYWmKN|k>Xu�>-7?<?2O>N4*U32�5�@M7?@�W�<?2.>N4�@�0�1�>-<?26KYWw<?r3>-<UV@M<A@M789�2.WV@�BsrVK"W <?rV@Eu�>-78>N9 @M<A@M78B @M�NKY4.�N@�2.W <?2.9X@N,

qsrV@�>N2O9 KN| <?rV@�BA@�WVKN<A@�B�2OBE<AK�u�7?@�BA@�W�<CBAKY9 @�{N@�WV@M78>N49X@M<?rVK�U�ByWTr32OL8r 46@�>NU<AK�<?r3@ U3@M7826�->-<?26KYW�KN| >§W�@�> Y��N@M7vB?26KYWoKN|�<?rV@ LnKYW3BA@M78��>-<?26KYW KN| 46K�LM>N4�@�0�132.4.2.53782.139|�KN7 > LM4.>NB?B�KN|T2.W�<A@M78>NLn<?2.WV{ou�>-7?<?2.LM4.@�BAS=BA<A@�9XBM, � @�W KY134OU 4.2ZYN@�2.W�|&>NLn< <AKou37?Kd�N@> 9 KN7?@w{N@�W3@M78>N4s7?@�B81346<�h�<?r3>-<�2.Bh KYWV@�|�KN7�2.W326<?2.>N4 BA<?>-<A@�B�<?r3>-<�>-7?@�WVKN<Xu�7?K�U�13Ln<9 @�>NB?1V7?@�BmW�26<?r B?46K�W�46Sw�->-7?S�2OWV{�u�>-78>N9 @M<A@M7 �w<?r�13BmWT26<?rVKY13<>NB?B8139X2.WV{ >mBA<A7?KYW3{|�KN789 KN|46K=LM>N4�@�0�1�2.4.26537v2.139 >-<�<?2O9 @ ~ �w5�1V<�|�KN7D2.W32.<?2.>N4*BA<?>-<A@�BDr3>d��2OWV{�> UV@�W3B826<�Su37?KQ«�46@ >NW3U 2.9Xu�KYB82.WV{T<?r�>-<�26<k2.BkWVKN<k<AK�KD|&>-7hY2OW >DBA@�W3BA@ <AKD5�@ UV@�«�WV@�U 4.>-<A@M7h`|�7?KY9>�4.K�LM>N4�@�0�1�2.4.26537v2.139�¸V<?rV@ u37?K=Ln@�B?B@�BA<?>-5�4O2.B?r32.W3{X5�S 26<?BA@�46|�>�46K=LM>N4�@�0�132.4O2653782.1�9 >-<4.>-<A@M7s<?2.9 @�B�,

Page 16: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

[-H ��� �U�� ����

� ����� =�� ��?��� �(� � ����������F@B? C�� ��I!E�T G � ����K�� ��S T%T%SUT� @�u37?@�B?@�W`< 2.W <?rV@�BA@�WVKN<A@�BC<?r3@�<?rV@MKN7?S KN| <?rV@�r`S=UV7?K=UVS=W3>N9X2.L 5�@�r3>��=26KN7EKN|s2OW�c<A@M78>NLn<?2.WV{ u�>-7?<?2OLM46@ B?S�BA<A@�9 2OW <?r3@ LnKYW�<A@nj=<DKN|@njVLM4.13B?26KYWou378K�Ln@�B?B?@�BM, V W LnKYW�<A78>NBA<WT26<?r�B81Vu�@M7?u�KYB?26<?26KYW3B KN|78>NW3UVKY9�W�>N4ZY�B�u37?@�BA@�W�<A@�U 2.Wt° r3>-u3<A@M7 + h�<?r3@�@njVLM4.13B?2.KYWu37?K=Ln@�B?Bs>N4.46K"WTBs>-<T9XKYBA< KYWV@Eu�>-78<?2.LM46@Du�@M7sB?26<A@N,

qsrV@EBA<?>-<A@ BAu�>NLn@C2OB <?rV@M7?@M|&KN7?@g�d~���+%¦ ­ ® ¯ ,d�2 j > u�KYB?26<?26�N@ 2.W�<A@M{N@M7 � >NW3U >b«�W32.<A@ LnKY4.4.@�Ln<?26KYWoKN| 46K=LM>N4 p�nJR�HJminJj |�!oI_pxHJnJH4s�L

|&13W�Ln<?26KYW3B���� � n � ~ ��¡ �´¦Y,�°�KYW�B?2.UV@M7 <?rV@4��>-7)YNKd� u37?K=Ln@�B?B KYW �d~���+%¦�­ ® ¯ WT2.<?r{N@�WV@M78>-<AKN7��Hl {Y2.�N@�Wm5�S

u�� l � w/u ± w_o ¶ � � ­ ® ¯

± u#z�w � +1� ± u#z ª ~-w9��� � 0 � u ± w � � u�� � 0 � ± wF� � u ± w9�{��u H�,.+�w

WTrV@M7?@�� � 0 � u ± w�o�� � u�� ± wE>NW3U � � ; ± 2OBE<?rV@ LnKYW�«3{Y1V7v>-<?26KYW�KN5�<?>N2.WV@�U |�7?KY9 ±@nj=Lvr3>NWV{Y2.WV{�<?rV@DK�LMLM13u�>-<?26KYWm�->-782.>-5�4.@�B ± u#zAw >NW3U ± u#|�wn

u�� � ; ± w/u0~-wio���� ± u0~-w 2.|O~ �o zO�'|��

± u#|}w 2.|O~�o zt�± u#z�w 2.|O~�o |b�

u H�,IH¹w

qsrV@ @nj=LM4O13B?26KYW u37?K=Ln@�B?BA@�B�LM>NW 5�@ U�26��2OUV@�U�2.W <BW�Km<�S�u�@�BM,EqsrV@�«378B?<�KYWV@�Bh�2OWWTr32.LvrX<?rV@�78>-<A@�B�� � u ± w�U3K�WVKN< UV@Mu�@�W3U KYW�<?rV@�LnKYW�«3{Y1V78>-<?2.KYW3B�h�>-78@LM>N4.4.@�U�B?2.9Xu�46@@nj=LM4.1�B?26KYW u37?K=Ln@�B?BA@�BT>NW3Uw9X>dS�5�@D<?rV@�9�BA@�46�N@�BsB?135�U�26��2OUV@�U�2.W <?r37?@M@CLM>-<A@M{NKN7826@�Bn+-, ���� �`�hg�c&_ 'dcb ���$&�Z��^*_`$ba�'hc���� ��g��(_Y��'d' n�� � u ± wto���u0~ wh,WTrV@M78@���n

]�` , . 0 2.B > u�KYB?26<?26�N@m«�W�26<A@D78>NWV{N@EBAS=9X9 @M<A7v2.L�|&1�W3Ln<?26KYW(,H�,�� ��g��! v �������3'M�� ����dg-c�_ 'dcb ���$&� �`^*_`$ba�'dc&���Z��g��(_Y��'�' n"� � u ± w�o ��u0~-w>NW3U�� n�]�` , . 0 2OBD>mu�KYB?26<?26�N@5«�W32.<A@ 7v>NWV{N@�>NBAS=9X9 @M<A782OL�|b13W3Ln<?2.KYW B?13L8r<?r3>-< � � � ® ~/�Fu0~-wxo ~=,

Q�,$# 'M�� ����dg-c�_ 'dcb ��$&�;�`^*_`$ba�'dc&��� ��g��(_Y��'�' n%� � u ± w o ��u0~-w�>NW3U�� n]�` , . 0 2.Bm> u�KYB?26<?26�N@\«�W�26<A@ 7v>NWV{N@ >NBAS=9X9 @M<A782.L |b13W3Ln<?2.KYW�B813L8r <?r3>-<� � � ® ~/��u0~-w �o ~=,

� @\WT2.4.4 KYW�46S LnKYW3B?2.U3@M7�> B?1V5�c�LM4O>NB?BXKN|E<?r3@oBA@�LnKYW�U�LM>-<A@M{NKN78S�KN|[email protected]?2.KYWu37?K=Ln@�B?BA@�B�h32.W�<A@M78>NLn<?2.W3{�BAS=BA<A@�9XBs2.W�W�r32.L8r <?r3@E78>-<A@�B

� � u ± w�o&� � � u�� � ± w�|�KN7>N4.4A~�h� � u ± w U3K�@�BsW3KN<TUV@Mu�@�W3U�KYW ± ub~�wh ± u0~-wv, u H�,IQ¹w

Page 17: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

������������� ��������������������������� ���!�"���#���%$�&����'�#���)(*�,+-�/.'�0�)�1. [-Q

4 KN<?2.Ln@ <?r3>-< � � � u�� � ± wHo � � � �Qu ± ws2.Bs<?rV@�78>-<A@ >-<,WTr32OL8rw>�u�>-7?<?2.LM4.@ A 139Xu�B |&7?KY9�~<AK�<?r3@ KN7v26{Y2.WkWTrV@�W <?rV@ LnKYW�«3{Y1V78>-<?2.KYWo2OB ± ,Cqsr32OBT|&KN789 134.>�2OB�<?r�13B�B?>dS�2.W3{�<?r3>-<� � u ± wh�<?rV@C78>-<A@ >-<�WTr32.Lvr�>Xu�>-7?<?2.LM46@ 2.B A 139 u�2OWV{ |�78KY9 <?rV@ KN7826{Y2.Ww<AKb~�h�2.BT@�0�13>N4<AKX<?rV@E78>-<A@�>-<�WTr32.Lvrm> u�>-7?<?2OLM46@ A 139Xu�B |�78KY9 ~ <AK�<?r3@DKN7826{Y2.W(,

� @�>N4�W >�S=BC>NB?B8139 @ <?rV@ u378K�Ln@�B?B�<AK�5�@ 26787?@�U313LM265�46@Qh W�r32.L8r 9X@�>NW3BD<?r3>-<E<?r3@BA@M<���~e� � � u ± w � ~ ¦ {N@�WV@M78>-<A@�B�]�`�h(2 ,x@N,�h(|&KN7E>NW`S u�>N267�KN| B?2.<A@�B1zOhA|�2.W\]�`�h(<?rV@M78@@nj=2.B?<?B � � +E>NW3Uw>�BA@�0�13@�W3Ln@yz�o¤z�� ��������'z�� o¤| B?13L8rw<?r3>-<"� ��� � � � � ~ |�KN7~¢¡ £�¡ � � +-,

� @CUV@�WVKN<A@�5�S���� l u#��w�x�=��~ ¦E<?rV@EBA@�9X26{N78KY1Vu KN|�<?rV@ � >-7�YNKd��u37?K=Ln@�B?B�WT2.<?r{N@�WV@M78>-<AKN7 � l , � @ 1�BA@�<?rV@�B?>N9 @WVKN<?>-<?2.KYWC|&KN7�BA@�9�26{N7?KY1Vu�B�>NLn<?2.WV{sKYW�LnKYW`<?2.W�1VKY13B|&13W�Ln<?26KYW3B�KN7KYW�<?rV@TBAu�>NLn@ � �"u!�d~���+%¦�­ ® ¯ w�KN|�u�7?KN5�>-5�2.4O26<�SC9X@�>NB?1V7?@�BKYW��d~���+%¦�­ ® ¯ ,

dVKN7 ~_¡ � ¡ + hFW @�UV@�WVKN<A@�5�S 3 � o 3 l� <?rV@�� @M7vWVKY134.4.2�u�7?K�U�13Ln<E9 @�>NB?1V78@KN|su�>-78>N9 @M<A@M7 ��hk<?r3>-< 2.B�h�<?rV@�u37?K=U313Ln<C9X@�>NB?1V7?@�KYW �d~���+%¦�­ ® ¯ WT26<?r UV@�W3B?26<�S ��,;�W3U3@M7 3 � h <?rV@���>-782O>-5�46@�Bb� ± u#z�w��z:µ j `l ¦ >-7?@�2.W�UV@Mu�@�W3UV@�W�<�WT2.<?r 9X>-7?{Y2.W3>N4OB{Y26�N@�Wm5�S

3 � � ± u#z�w�o#+%¦¤o�� o +�� 3 � � ± u#z�wHo ~ ¦´�

eEgh������'hcO��c���� \ � }lt0L�eFLdR�P%I�boj9j{H # L~O_pxboR�L�p � 3 � �?~i¡ �q¡ +%¦ O�R�L�H4P�s�O�RxH O�PcnwdI�R;pxH # !#j L)L%&MmQj{b*pxH I�P !%R�IimxL�pxpQLdp (�� HJn4t R&Ldp !0L~mun n�I L�O[mQt 3 � E�pxH # !%j L�L'&Mmuj b*p�HJI�P!%R�IimxL�pxpQLdp �fHJn4t LQj L # LdPcn�O�R�|��b # !7!#R�IMz~OMzdH4j{H4nJ|��Fu0~-w�n*oi��u��,~-w O�R�L�O[K��dI�H4Pcn<n�I !%R&I��mxL�pxpQLdp �fHJn4t Ldj L # LQPcn�O�R�| ��b # ! !%R&IMz�O zdH4j HJnJ| ��u0~-w ( V�| # # LunJRxH m p�H # !%j L�L'&Mmuj b*p�HJI�P!%R�IimxL�pxpQLdp O�P%K L%&Mmuj b*pxH I�P !%R&IumxLdp~puL�p�pdO]nJH9p9w�|�H9P q���� (9��� O�R�LCpQLQj w��&O[K��QI�H9P%n �fHJn4t R�Ld�p !0L~mun�n�I L�O[mQt 3 � (

qsrV@Du378K�KN|�2.B @�46@�9 @�W�<?>-7?Sm>NW3UwLM>NW�5�@D|�KY13W�Um2.W �xP�� , 4 KN<?2.Ln@C<?r�>-<s<?rV@D|b>N9X2.46SKN|�2.W��->-782.>NW�<s9 @�>NB?1V7?@�B 3 � 2.B u�>-78>N9 @M<A7v2�M@�Um5�S�<?r3@EUV@�W3B?26<�SQhV|�KN7

D E , � ± ub~�w9��o 3 � � ± ub~�w�o#+%¦ o��i�

:=2.W3Ln@�<?rV@ <AKN<?>N4�W�139�5�@M7�KN|Du�>-7?<?2.LM4.@�B�2.B�LnKYW3BA@M7?�N@�U�5�S <?rV@ UVS�W�>N9X2.LMBX<?r3@9 @�>NB?1V7?@�B

3Ql � ��u �w�n*o 3 ���

� ¶� ­ ® ¯

± u#z�wxo¤����>-7?@�2OW`�->-782.>NW�<�>NW3U 26<�LnKY134.UCr�>��N@ BA@M@�9 @�U 9 KN7?@ W3>-<?1V7v>N4Y<AKDLnKYW3B?2.U3@M7�<?rV@�9 2.W3B?<A@�>NUKN| <?rV@ ��@M78WVKY1�4.4.2�u37?K=U313Ln<�9 @�>NB?1V78@�B 3 � , 4 @M�N@M7?<?rV@�46@�B8B�h�>mB?2.9Xu�46@ LnKY9 u�1V<?>-<?26KYWKYW 5�2.WVKY9X2O>N4.B�B?r3K�WTB <?r3>-<m|&KN7w>N4.4�«�W32.<A@oB?135�BA@M<?B�D KN|5]�`�h|�KN7w>N4.4�BA@�0�1V@�W3Ln@�B

Page 18: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

[hp ��� �U�� ����

� � ¸�z\µ�Dg¦�W�26<?r ��>N4O1V@�B 2.Wt�d~���+%¦ >NW3Um|&KN7T>N4.4(~¢¡ �i¡ + h

4.2.9l�� �3 � � ± u#z�wxo � �xzkµ4D

¶; ­ ® ¯

± u#|}wxo � � ��f ` ���o�3 � = � ± u#zAwxo � �xzkµ4D �

13W326|&KN789X46S 2.W4� ��,�qsrV@M7?@M|&KN7?@QhV<?rV@E��@M78W3KY134.4.2�u37?K=U313Ln< 9 @�>NB?1V78@�B >-7?@DKN53<?>N2.WV@�Um>NB4.2.9X26<?B�KN|�<[email protected]���>-7v2.>NW`< 9 @�>NB81V7?@�B<3 l � � h3>NB <?rV@D<AKN<?>N4�W�139�5�@M7 KN|�B?2.<A@�B 2.W3Ln7?@�>NBA@�B<AK�2.W�«�W�26<�SN,

dVKN7s@�>NLvrw~g¡ � ¡ f ` hVUV@�WVKN<A@�5�S � �l � � <?rV@ � r�S�u�@M7?u�4.>NWV@�B �CKN|�>N4.4�LnKYW�«3{Y1�c78>-<?26KYW3B�W�26<?r�� u�>-7?<?2.LM46@�Bn

� �l � � o � ± µ��d~���+%¦ ­�®¯ ¸ ¶� ­ ® ¯

± u#z�wxo �0�k�

V W���>-7v2.>NW`<�9 @�>NB?1V7?@�BCKN| UV@�W3B?26<�S u37?@�BA@M7?�=2.WV{mu�>-7?<?2.LM46@XBAS=BA<A@�9XBC<?r3>-<�>-78@�LnKYW3Ln@�W�c<A78>-<A@�U KYW r�S�u�@M78u�4.>NWV@�BAW�26<?rC>1«Vj=@�UC<AKN<?>N4VW�139�5�@M7�KN|3u�>-7?<?2OLM46@�B�>-78@�LM>N4.4.@�UCLM>NWVKYW�c2.LM>N4*9 @�>NB?137?@�B�u&<?rV@C|&>N9X2O46S�� 3Ql � ���~�¡�� ¡�ft`%¦�2.Wm<?rV@�LnKYW`<A@nj=<�KN|�B?2.9Xu�46@�@nj-cLM4.13B?26KYW�u378K�Ln@�B?B?@�B�hV|�KN7s2OW3BA<?>NW3Ln@"wv, V WmLnKYW�<A78>NBA<�h3<?rV@E9X@�>NB?1V7?@�B KN5�<?>N2.WV@�Um>NB�W�@�> Y4.2.9X26<?BKN|*<?rV@DLM>NWVKYW32OLM>N4�9X@�>NB?1V7?@�B�h=>NB <?rV@�W�1�9C5�@M7�KN|�B?26<A@�B 2.W�Ln7?@�>NBA@�B <AK 2OW�«�W326<�SQh>-7?@CLM>N4.46@�U <?r3@E{N78>NW3UwLM>NW3KYW32.LM>N4*9 @�>NB81V7?@�B´ubrV@M78@D<?rV@C��@M78WVKY134O4.2�9 @�>NB?1V7?@�BT>NB�W @r3>��N@ A 13B?< B?@M@�W�>-5�Kd�N@"wv,�F@�� �����xK��������xPAL¤G � �1GBL¤G NV W\° r3>-u3<A@M7C+´W @�u37?@�BA@�W�<A@�U�>�0�1�26<A@D7?@�BA<A782OLn<?26�N@�UV@�«�W326<?26KYW KN|k46K=LM>N4*@�0�132.4.2.53782.139>NB?BAK=LM2.>-<A@�U <AK > UV@�W3B826<�S u37?KQ«�46@N, � @w7?@�0�13267?@�U <?rV@m9X>-78{Y2.W3>N4 u37?KN5�>-5�2.4.26<?2.@�BEKN|<?rV@ BA<?>-<A@ KN|<?rV@ BAS=BA<A@�9 >-<E> 9X>NLn7?KYB?LnKNu�2.L <?2.9 @��h(<?r3>-<D2.Bh�KN| � l u#� l w� l h(<AKLnKYW`�N@M7?{N@<AKEKYWV@TKN|�<?r3@s@nj�<A78@�9X>N4�2.W��->-782.>NW�<�>NW3U <A78>NW3B84.>-<?26KYWX2.W��->-782.>NW�<�9 @�>NB?1V7?@�BKN|s<?rV@ 2.W�«�W32.<A@�BAS=BA<A@�9 >-< @�>NLvr LnKYW�<?2.W�1�26<�S u�KY2.W�<CKN|T<?rV@�u�7?KQ«�46@N, /��N@�W 26| <?r32OBUV@�«�W326<?2.KYW 2.B � u�r�S=B?2.LM>N4.46S � W3>-<?1378>N4 h 26<�2.B�U32���LM134.< <AK u378Kd�N@ 2.<M, � 26<?rf<?r32.BX2OW9X2.W3UAh W�@C2.W�<A7?K�U�13Ln@D>5W @�> YN@M7WVKN<?26KYWmKN|�46K=LM>N4�@�0�132O4.2653782O139m, � @y«�78BA< 7?@�LM>N4.4(<?r3@WVKN<?26KYW KN| u37?K=U313Ln<E9X@�>NB?1V7?@�B W�26<?r B?46K"WT46So��>-78S�2.W3{�u�>-78>N9 @M<A@M7 >NB?BAK=LM2.>-<A@�U <AK�>u37?KQ«�46@N,� ���k��c��hc&����\ �.\�� H4s�LdP Om~I�P%nJH9P�b�I�b*p !%R�I �<j L *�� n j ` , . 0 E ��LgKMLQP%I]n�Lrzd| 3 l5%= 6@8 :n4toL !%R&IuK�b�mun # L�O�pxboR&L�I�P �d~���+%¦�­ ® ¯ �fH4n4t # O�R q]H4P%O�j pFq[H9s]LdP zd|

3 l5%= 698 : � ± � ± u#z�wxo � ¦¥o�3 l5%= 6�� l : � ± � ± ub~�wHo � ¦

Page 19: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

������������� ��������������������������� ���!�"���#���%$�&����'�#���)(*�,+-�/.'�0�)�1. [-P

wdI�R�O]j9j z H9P j ` l E �to#~���+ ( }ltMH p # L�O�pxboR&L H9p�m~O�j4j L~Kyn4t0L !#R�IuK]b0min # L~O_pxboR�L �fH4n4tpxj I �aj | s_O]Rx|�H4P q !oO�R&O # LQn�LQR O_pxpdIumuHJO[n�L�K n�I * � u��*w (

�w@�>NB81V7?@�B�KYW§�d~���+%¦ � ® >-78@�Lvr3>-78>NLn<A@M782�M@�U 5�SE<?rV@�W >�SE<?rV@MS�2.W`<A@M{N7v>-<A@ LnS=4.2.W�UV@M7|&13W�Ln<?26KYW3BM, V W KN78UV@M7<AK�YN@M@Mu WVKN<?>-<?26KYW B?2.9 u�46@Qh�<AK�@�>NL8r LnS=4.2.W3U3@M7T|b13W3Ln<?26KYW�� 2OW�d~���+%¦ � ® W�@�>NB8BAK�LM2O>-<A@�<?rV@�7?@�>N4 5�KY13W3UV@�U |b13W3Ln<?2.KYW��� n . 0 , . <?r3>-< >-< � 2OB@�0�13>N4*<AKX<?rV@E@nj=u�@�Ln<A@�Um��>N4O1V@DKN|�� 13W3UV@M7<3 � n

��gu'�Fw�nbo D E , ��� �bo ��gu ± w 3 � u0a ± w�� u H�,xp-w

:=2.W3Ln@�� 2.BT>X46K=LM>N4�|&13W�Ln<?26KYWAh �� 2.Bs>Xu�KY4.S�WVKY9�2.>N4 ,V W�<?rV@ B?>N9 @´W >�S�<?r3>-<,W�@ r�>��N@ UV@�«�WV@�U 2.Wt° r�>-u3<A@M7�+C<A78>NW3B?4.>-<?2.KYW3BsKN|�LnKYW�c

«3{Y1V78>-<?26KYW�B�h`|&KN7 >N4.4�LnKYW`<?2OW�1VKY1�B�|b13W3Ln<?26KYW3B���h-W�@�U3@�WVKN<A@T5�S � � <?rV@�<A78>NW3B?4.>-<?2.KYWKN|��z5�S�z 13W�26<?B�n

u�� �´w/u ± wio�gu�� ± w|�KN7s@M�N@M78S LnKYW}«3{Y1V78>-<?26KYW ± ,

��S�° rV@M5�S�LvrV@M��2.W3@�0�13>N4O26<�S >NW3U <?rV@ UVKY9X2.W�>-<A@�U LnKYW��N@M7?{N@�W3Ln@m<?rV@MKN78@�9�hk|�KN7@M�N@M7?S B?9 K�KN<?r u37?KQ«�46@+* � n{jF` , . 0 >NW3U @M�N@M7?S BA@�0�1V@�W3Ln@ 3 l5 = 6@8 : KN| l�KY2.B?BAKYW9 @�>NB?1V7?@�B�WT26<?rmB?46K"WT46S���>-7?S=2.WV{ u�>-78>N9 @M<A@M7�>NB8BAK�LM2O>-<A@�Uw<AKX<?r32OB u37?KQ«�46@Qh

4.2.9l � �3 l5%= 6@8 : � +

f `¶� ­ ® ¯

�gu#z�rsf�w�u�� �yw/u ± w\� �­ ®

�gu %�w ��5u * �¹u %�w'w a�% �� � o"~

|�KN7 >N4.4LnKYW�<?2.W�1VKY13BE|b13W3Ln<?2.KYW3B �tn�jF` , . hs>N4O4k5�KY13W3UV@�U LnS=4.2.W�UV@M7D|&1�W3Ln<?26KYW3B��>NW3Uw>N4.4(BA<A7v2.Ln<?46S�u�KYB?2.<?26�N@ ,

qsr32.B�4.>NBA<�BA<?>-<A@�9 @�W�<�>NB?BA@M7?<?B�<?r3>-<�<?rV@ BA@�0�1V@�W3Ln@ KN|�9 @�>NB81V7?@�B 3 l5%= 6@8 : 2.W�<A@M{N78>-<A@�B<?rV@ LnS�4.2OW3UV@M7|&13W�Ln<?26KYW � >-78KY13W3Uo<?rV@ 9X>NLn7?KYB?LnKNu�2.L u�KY2.W`< %�2.W\jF`X2.W <?rV@ B?>N9 @W�>dS�>NB >NW @�0�132.4O2653782.1�9 9 @�>NB81V7?@�KN|sUV@�W3B?26<�S * �Qu %�w´W�KY134.U UVKV, � @mUVKoWVKN<�78@/c0�132.7?@E>NW`S=9 KN7?@�<?rV@C9X>-78{Y2.W3>N4.B KN|�<?rV@�BA@�0�13@�W3Ln@CKN|k9 @�>NB?137?@�Bs<AK�LnKYW`�N@M7?{N@ <AK�>NW@nj�<A7?@�9�>N43@�0�132.4.265�782.139�9 @�>NB?1V7?@s>-< @M�N@M7?S LnKYW`<?2OW�132.<�S u�KY2.W`<kKN|�<?rV@Tu37?KQ«�46@ *��-, � @KYW346S 2.9 u�KYBA@m<?r3>-<�26<?B�B?u�>-<?2.>N4T9X@�>NWfLnKYW��N@M7?{N@�B�<AK�<?rV@oLnKN7?7?@�BAu�KYW3U�2.WV{ BAu�>-<?2O>N49 @�>NW(, qsr32.BTWVKN<?26KYW�2OB <?rV@M7?@M|&KN7?@´W�@�> YN@M7�<?r3>NWw<?r3@CKYWV@�KN|�4.K�LM>N4�@�0�132O4.2653782O139;2OW�c<A7?K�U�13Ln@�U�2.Wb° r3>-u3<A@M7+-,�qsrV@T9X>N2OWXU32�5�@M7?@�W3Ln@T2OB�<?rV@BAu�>-<?2.>N43>d�N@M78>-{N@�Kd�N@M7 B?9X>N4O49X>NLn7?KYB?LnKNu�2OL 5�K�j=@�BkKN|��NKY4O139 @ KN|�KN78UV@M7�f ` <?r3>-<2.Bk2O9 u�4.2.LM2.<�2.W <?r32OBkWV@�W�LnKYW3Ln@Mu3<>NW3Uw>-5�BA@�W�<T2.W <?r3@EUV@�«�W326<?2.KYW�KN|k46K=LM>N4�@�0�132.4.265�782.139m,

qsrV@�|&13W�Ln<?26KYW��gu ± w�o ± ub~�wsu�4.>dS�B>�B?u�@�LM2O>N4(7?KY46@ 2.Ww<?rV@�WTrVKY4.@CBA<?13UVS KN|r�S-cUV7?K=UVS�W�>N9X2.LMB 5�@�2OWV{ LM4.KYBA@�46SX7?@�4O>-<A@�U <AK <?rV@ELnKYW3BA@M7?�N@�U�0�13>NW�<?26<�SN,qsrV@�UV@�«�W32.<?26KYW

Page 20: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

[-F ��� �U�� ����

<?r3>-< |&KY4.46K"WTB�2.B>�u�>-7?<?2.LM1�4.>-7846S5W�@�> Y�WVKN<?26KYW�B?2.W3Ln@26< U3@�9X>NW3U3B KYW346S LnKYW��N@M7?{N@�W3Ln@|�KN7s<?r�2.B LnS�4O2.W3UV@M7 |b13W3Ln<?26KYW*,

� ���k��c��hc&����\ �6� D-pQL%$QbcLdP%m�L u l w�l �A� I�w !%R&IMz�O zdH4j HJnJ| # L�O�pxboR&Ldp�I�P �d~���+%¦�­ ® ¯ H pO_p~pQIumQH O]n�L�K�n�IO !%R&I �<j L * �RnUj ` , . 0 H wcwQI�RgLds�LQRx|m~I]PcnJH9Pcb0I]b p#wxboP%minJHJI]P �tnUj ` ,. E.O�P%K.wQI�R�LQs�LdR�| � ~ ��L�t*O�s]L

4.2O9l�� � l � f � `

¶� ­ ® ¯

�gu#z�rsf�w ± u#z�w^� �­ ®

�gu %Aw * ��u %Aw a % � �´o ~5�

qsrV@s0�13>NW�<?26<�S A 13BA<�2.W�<A7?K=U313Ln@�UX2.W <?r3@TUV@�«�W32.<?26KYW >-5�Kh�N@�LM>NW�5�@ 78@M|�KN789 134.>-<A@�U2.W <A@M789XB�KN|(@�9 u�26782OLM>N4�9X@�>NB?1V7?@�BM,kJ�@M< �l 5�@ <?r3@su�KYB?26<?26�N@s9 @�>NB81V7?@sKYW�<?rV@s<AKN7813B

j�`CKN53<?>N2.WV@�Uw5�S >NB?B?26{YW�2.WV{ <AKX@�>NL8r u�>-7?<?2OLM46@D>X9X>NB?B�f � `Qn�

l u ± ��a %Aw5nbo f � ` ¶� ­ ® ¯

± u#z�w � l u0a�%�w� u H�,IP¹w

V W <?r32.B�|�KN7v9�134O>�h�|&KN7D>�U�c�U32.9 @�W3B826KYW3>N4(�N@�Ln<AKN7�%Oh � 7?@Mu�7?@�BA@�W�<?B�<?r3@5[�267v>NL�9 @�>%cB?1V7?@ LnKYW3Ln@�W`<A7v>-<A@�U KYW %�, qsrV@ 9 @�>NB?1V7?@ �

l u ± ��a %Aw 2.B�LM>N4.4.@�UZ<?rV@ @�9 u�267v2.LM>N49 @�>NB?1V7?@m>NB?B?K�LM2.>-<A@�U <AK <?rV@mLnKYW�«3{Y1V78>-<?2.KYW ± , qsrV@ UV@Mu�@�W3UV@�[email protected] ± WT2.4.4 |�78@/c0�1V@�W�<?46S�5�@�KY9X26<A<A@�U�<AK,YN@M@Mu WVKN<?>-<?26KYW >NB�B?2.9 u�4.@�>NB�u�KYB?B?2.5�46@N, � 26<?rE<?r32OB�WVKN<?>-<?26KYWf � ` � � ­ ® ¯ �gu#zArsf\w ± u#z�wC2.BD<?rV@X2OW`<A@M{N78>N4�KN| � WT26<?r 7?@�BAu�@�Ln<E<AK�<?rV@ @�9 u�267v2.LM>N49 @�>NB?1V7?@ �

l h3UV@�WVKN<A@�U�5�S�� � l � � � ,J*@M< � 0 u0jF` w 5�@m<?r3@�BAu�>NLn@wKN|m«�W�26<A@ u�KYB826<?26�N@w9 @�>NB?137?@�B KYW <?r3@w<AKN7813B¢jF`

@�W3UVK�W�@�UgWT2.<?r�<?r3@�W @�> Y <AKNu�KY46KN{NSN, 4 KN<?2OLn@s<?r3>-<k|&KN7k@�>NL8r�fih � l 2.B�>DLnKYW`<?2.W�1VKY13B|&13W�Ln<?26KYW |�78KY9q¬x­ ®¯ <AK�� 0 ,�dVKN7 >�u378KN5�>-5�2.4.2.<�SC9 @�>NB81V7?@ KYWg¬x­ ®¯ h`<?rV7?KY1V{YrVKY13<<?rV@�BA@ WVKN<A@�B�hAW�@ >N4.BAK UV@�WVKN<A@ 5�S <?r3@ 9X@�>NB?1V7?@ �u � l w � � KYW � 0 2.W�U313Ln@�Uw5�S >NW3U �

l u �u � l w � � � � ��o � � l µ � �#wv, � 26<?r <?r32.BLnKYW��N@�W`<?26KYW�h�> BA@�0�1V@�W3Ln@ KN|u37?KN5�>-5�2O4.26<�So9 @�>NB?1V78@�B§u l w�l�A��2OW�¬x­�®¯Z2OBC>NB?BAK=LM2.>-<A@�U <AK > UV@�W3B?26<�S u�7?KQ«�46@ *��26|�<?rV@�BA@�0�1V@�W3Ln@�KN|�78>NW3U3KY9 9 @�>NB?137?@�B �

l u0a %AwsLnKYW��N@M7?{N@�BD2.Wmu�7?KN5�>-5�2.4O26<�S�<AK�<?r3@UV@M<[email protected]�2.BA<?2.L9 @�>NB?1V78@ * �¹u %�w�a�%�,

V W <?rV@�BA<?13UVS KN|s<?r3@�r�S�UV78K�UVS=W3>N9X2OL 5�@�r3>��=26KN7CKN|�2.W`<A@M7v>NLn<?2.WV{�u�>-7?<?2.LM46@�BAS�B'c<A@�9XB{W�@�W�2.4.4NBAKY9 @M<?2O9 @�B�5�@�|&KN78Ln@�U�<AKT7?@�U�13Ln@KY1V7�{NKY>N4.B�>NW3UE<AK�LnKYW`<A@�W�<�KY1V78BA@�46�N@�B2.W u37?Kh��2OWV{w<?r3>-< BA<?>-7?<?2.W3{w|�78KY9 > BA@�0�13@�W3Ln@�KN|s9 @�>NB81V7?@�BC>NB8BAK�LM2O>-<A@�U <AKo>�UV@�W�cB?26<�S�u37?KQ«�46@ * �<?rV@�WAh3>-<T>�4.>-<A@M7TB?132.<?>-5�46SX7?@�W3KN789X>N4.2�M@�U <?2O9 @Qh�W @DKN5�<?>N2.Ww>XBA<?>-<A@u � l u#� l w� l 2OW�<?r3@EWVKN<?>-<?26KYWwKN|x° r3>-u�<A@M7E+�w�>NB?BAK=LM2.>-<A@�Uw<AKX>XW3@�W UV@�W3B?26<�S�u378K c«�46@ *Ru#�s���*wmWTr�2.L8r 2.B�<?r3@�BAKY4.1V<?2.KYW KN|�BAKY9X@Xu�>-7?<?2.>N4kU�2�5�@M78@�W`<?2.>N4�@�0�13>-<?26KYW*,?�wKN7?@u37?@�LM2.BA@�4.SQh�W @�W >NW`< <AK u378Kd�N@ <?r3>-< |&KN7 >N4O4�B?@�0�1V@�W�Ln@�B KN|Tu37?KN5�>-5�2.4.26<�S 9 @�>NB?1V7?@�B

Page 21: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

������������� ��������������������������� ���!�"���#���%$�&����'�#���)(*�,+-�/.'�0�)�1. [N[

l >NB?BAK=LM2.>-<A@�U�<AK >mu378KQ«�46@ * �§n�j ` , . 0 >NW3U WVKN<E<AK�K�|b>-7h�2OW >wBA@�W3B?@ <AK�5�@BAu�@�LM2�«3@�Um4.>-<A@M7hV|&7?KY9 >X{Y46KN5�>N4(@�0�132.4.2.53782.139 3 l� h

4.2.9l�� � l � f � `

¶� ­ ® ¯

�¢u#z�rsf�w ± ��� ¯ u#z�w�� �­ ®

�gu %�w *�u#�� %Aw a %�� ��o ~

|�KN7s> B?1�26<?>-5�46@7?@�WVKN789�>N4.2��>-<?26KYW l h=|&KN7s@M�N@M7?S LnKYW`<?2.W�1VKY13B |b13W3Ln<?2.KYW �tnUj ` , .>NW3U @M�N@M7?S BA<A782OLn<?46S u�KYB?2.<?26�N@N, t�B�2.W <?rV@�LM>NB?@�KN|D46K=LM>N4 @�0�1�2.4.26537v2.139�hk2.W <?r32OB|�KN789 134.> *�u������*wFWT2.4O4`5�@ <[email protected]<?26KYW KN|�>´° >N13L8r�S�u�7?KN5�46@�9qWT2.<?r 2OW326<?2.>N4�LnKYW3U326<?2.KYW* �Qu��*wv, qsr�2.B LnKYW3BA<?26<?13<A@�B <?rV@Eu378KN{N78>N9 KN|�<?rV@CWV@nj=<TL8r�>-u3<A@M78BM,

�F@�� ����S������K �{P ��

V W�<?r32.B�BA@�Ln<?26KYW5W�@ u�7?Kd�N@ <?rV@ r�S�UV78K�UVS=W3>N9X2OLk5�@�r3>��=26KN7�KN|�WV@�>-7?@�B?<�WV@�2.{Yr`5�KN7�BAS�9gc9 @M<A782.L B?2O9 u�46@ @njVLM4.13B?26KYW u�7?K�Ln@�B8BA@�B�>NW3UXB8rVK�W <?r�>-<�<?rV@Tr�S�U37?K�U3S�W3>N9�2.L@�0�13>-<?26KYW2.B <?rV@CrV@�>-<T@�0�13>-<?2.KYWAn

� � *qo u +�r-H¹w�� *��V Wm<?r�2.B |�KN7v9�134O>�h � *�BA<?>NW�U3B |&KN7s<?rV@EJ�>-u�4.>NLM2.>NWmKN|B*Un� *5o � ���   � ` � ���� *�,� @ 537826@� 3S u378@�BA@�W`<�<?rV@ BA<A78>-<A@M{NS�KN|C<?rV@ u�7?K�KN| , � @\«378B?<�B?rVK"W <?r�>-<�<?r3@@�9 u�26782OLM>N4�9 @�>NB?1V78@�BAKY4.�N@�B�<?r3@�rV@�>-< @�0�13>-<?26KYW 2.W�>kW�@�> Y BA@�W3B?@�2.W >NW 2OW`<A@M{N78>N4|�KN789w, ��KN7?@u37?@�LM2.B?@�46SQhY|&KN7�>Cu�KYB826<?26�N@T9 @�>NB81V7?@ � KYW�jF`KN|A«�W326<A@T<AKN<?>N4�9�>NB?B>NW3U|�KN7T>�LnKYW`<?2.W�1VKY13Bs|&13W�Ln<?26KYW �tn jF` , . h�UV@�W3KN<A@E5�S�� � � � � <?rV@C2OW`<A@M{N78>N4*KN| �WT26<?r 7?@�BAu�@�Ln< <AK � n

� � � � � o �­ ®

�gu %�w � u0a�%�w��

� @wB?r3>N4.4u37?Kd�N@m<?r�>-< <?r3@�@�9 u�26782.LM>N4�9 @�>NB?1V78@ �l� >NB8BAK�LM2O>-<A@�U <AKo<?r3@ B?S�9X9X@M<�c

782.LXB?2O9 u�46@ @njVLM4.13B?26KYW u37?K=Ln@�B?BCLnKYW��N@M7?{N@�B�h�2.W�>�W >�S <AKo5�@XB?u�@�LM2Z«3@�U 4.>-<A@M7h�<AK >9 @�>NB?1V7?@ � � >-5�BAKY4.1V<A@�46S LnKYW�<?2.W�1VKY13BHWT26<?rX78@�BAu�@�Ln<<AKC<?r3@J�@M5�@�B?{Y1V@�9 @�>NB81V7?@T>NW3UB?>-<?2.BA|&S�2OWV{�n

� � ��� � � o � � �%� � � ª u +�r-H¹w � �� � ��� ��� � � a� u H�,IF¹w

|�KN7C>mB81 ��LM26@�W�<?46S 4O>-7?{N@XLM4.>NB?BDKN|�|b13W3Ln<?26KYW3B �vnAj ` ,/. >NW3U |&KN7E@M�N@M7?St�2.W >NW2.W`<A@M78��>N4 � ~���� ��«Vj=@�Uw2.Wm>NUV�->NW3Ln@N,

ys@�LM>N4.4<?r3>-<�W @�UV@�WVKN<A@�U 5�S�� 0 o � 0 u0j�`Qw�<?r3@�BAu�>NLn@�KN|�«�W326<A@Xu�KYB?2.<?26�N@9 @�>NB?1V7?@�BXKYW�jF`�@�W�UVK�W�@�U WT2.<?r <?rV@�W�@�> Y <AKNu�KY46KN{NSN, V W KN78UV@M7X<AK^W KN7�Y 2.W >

Page 22: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

[-} ��� �U�� ����

«Vj�@�U BAu�>NLn@ >NBmf�2.W3Ln7?@�>NBA@�BhRW�@ LnKYW3B?2.U3@M7�<?rV@ <?2.9X@�@M�NKY4.13<?26KYWoKN|�<?rV@ @�9 u�267v2.LM>N49 @�>NB?1V7?@ �

l� >NB?BAK=LM2.>-<A@�U�<AKX<?rV@Du�>-7?<?2OLM46@EBAS=BA<A@�9 UV@�«�W3@�Um5�SRn

l� u0a�%�w^o �

l u ± �'��a %Aw�n*o +f `

¶� ­ ® ¯

± �)u#z�w � l u0a�%�w�� u H�, [Qw

4 KN<?2.Ln@�<?r3>-<E<?rV@M7?@X2OBD>mKYWV@ <AKwKYWV@�LnKN7?7?@�BAu�KYW3UV@�W�Ln@ 5�@M<!W @M@�W LnKYW�«3{Y1V78>-<?2.KYW3B ±>NW3U @�9 u�26782OLM>N4 9 @�>NB81V7?@�B �

l u ± ��a %Awv, V W u�>-7?<?2.LM134O>-7h � l� 2.W3r3@M7826<?BE<?r3@�� >-7�YNKh�u37?KNu�@M7?<�S�|&7?KY9 ± � ,

� @�LnKYW3B?2OUV@M7D<[email protected]?<A78265�1V<?2.KYWwKN|�<?rV@ @�9 u�267v2.LM>N4�9 @�>NB?1V7?@X>NBC>mBA@�0�13@�W3Ln@XKN|u37?KN5�>-5�2O4.26<�S 9 @�>NB?137?@�B�KYW�>i«Vj=@�UfB?u�>NLn@N, :=2.W3Ln@ <?rV@M7?@ >-7?@ A 139 u�B�<?r32OB�BAu�>NLn@9�13B?<�5�@��\u�� ~���� ��� � 0 wh�<?rV@oB?u�>NLn@ KN|E7826{Yr�<�LnKYW�<?2.W�1VKY13B�|b13W3Ln<?26KYW3B�WT26<?r�46@M|&<4.2.9X26<?B�<?> Y=2.WV{ �->N4.1V@�Bs2OW � 0 ,

d�2 j�> u37?KQ«�46@ *��mn¹j ` , � ~���+ ��>NW3U UV@�WVKN<A@D5�S l > BA@�0�1V@�W3Ln@�KN|�u37?KN5�>-5�2O4.26<�S9 @�>NB?1V7?@�BT>NB?BAK=LM2.>-<A@�Uw<AK * � ,�dVKN7@�>NL8rkf �Z+ h�46@M<�� l 5�@D<?rV@Eu378KN5�>-5�2.4.2.<�S�9 @�>%cB?1V7?@�KYW��\u�� ~���� ��� � 0 w�LnKN7?7?@�B?u�KYW�U32.WV{ <AKX<?rV@ � >-7�YNKd�mu�7?K�Ln@�B8B � l� BAu�@M@�UV@�Um13u5�Sbf � >NW3U BA<?>-7?<?2.W3{ |&7?KY9 l , � @EBAu�@M@�UV@�U 1Vu <?rV@�u37?K=Ln@�B?B�5�Sbf � 5�@�LM>N13BA@mW @r3>��N@EBA@M@�Wm2OW�° r3>-u3<A@M7D+�<?r3>-< <AK KN53<?>N2.Wm> WVKYW�<A7826�=2.>N4�r`S=UV7?K=UVS=W3>N9X2.LT@M�NKY4.1V<?26KYW|�KN7T9X@�>NW�c M@M7?K�u�7?K�Ln@�B8BA@�B�W�@CWV@M@�Um<AK�LnKYW�B?2.UV@M7 <?2.9X@EB?LM>N46@�BsKN|�KN78UV@M71f � ,

��1V7E{NKY>N4 2.BD<AK u37?Kd�N@�<?r3>-<�h�|�KN7�@�>NL8ri«Vj�@�U�<?2.9 @g�sh�<?r3@X@�9 u�267v2.LM>N4k9 @�>NB?1V78@�

l� LnKYW`�N@M7?{N@�BD2OW�u378KN5�>-5�2.4.2.<�S�<AK *�u#�� %Aw�a %_WTr3@M7?@)*�u#�� %Aws2OBT<?rV@ BAKY4.13<?26KYWwKN|�<?r3@rV@�>-<�@�0�13>-<?26KYWkWT26<?r 2.W326<?2O>N4*LnKYW3U326<?2.KYW4* � , � @ B8r3>N4.4*u�7?K�Ln@M@�Uo2.W�<BW�K B?<A@Mu�BM, � @«378BA<u37?Kh�N@ <?r�>-<<?r3@�u378K�Ln@�B?B � l� LnKYW��N@M7?{N@�BE2OW U32OBA<A78265�13<?26KYWm<AK <?rV@ u37?KN5�>-5�2O4.26<�S9 @�>NB?1V7?@ LnKYW3Ln@�W�<A78>-<A@�U KYW�<?rV@ UV@M<[email protected]<?2.Lwu�>-<?r¥� *�u#�� %Aw�a %O� ~8¡ ��¡ �´¦>NW3U <?rV@�W >-7?{Y1V@�<?r3>-<�LnKYW��N@M7?{N@�[email protected] U32.BA<A7v265�1V<?26KYWo<AKo>�UV@M<A@M789�2.W32.BA<?2OL5W @�> Y=46SLnKYW`<?2.W�1VKY13B�<A78> A @�Ln<AKN7?S�2.9Xu�4.26@�BDLnKYW��N@M7?{N@�[email protected]�u37?KN5�>-5�2O4.26<�So>-< >NW�S�«Vj=@�U <?2.9X@~¢¡ ��¡��C,

t UV@M<A@M789�2.W32.BA<?2OLD<A78> A @�Ln<AKN7?SoLM>NW 5�@ 2.W`<A@M78u37?@M<A@�U >NB<?rV@ B81Vu3u�KN7?<TKN| >b[�267v>NLu37?KN5�>-5�2O4.26<�S�9 @�>NB?1V78@CKYW��tu�� ~���� ��� � 0 wsLnKYW3Ln@�W�<A78>-<A@�UoKYW�<?r32OBs<A78> A @�Ln<AKN7?SN,Tqsr3@u37?K�KN|�KN|�<?rV@sr`S=UV7?K=UVS=W3>N9X2.L 5�@�r3>��=26KN7kKN|�BAS=9X9 @M<A782.L B?2O9 u�46@�@nj=LM4O13B?26KYW u37?K=Ln@�B?BA@�B2.Bs<?rV@M78@M|�KN7?@�7?@�U313Ln@�U <AK�B8rVK�Wz<?rV@�LnKYW��N@M7?{N@�W3Ln@ KN|k<?r3@�BA@�0�1V@�W3Ln@�KN|ku37?KN5�>-5�2O4.26<�S9 @�>NB?1V7?@�B�� l <AK <?r3@m[�267v>NL�9 @�>NB81V7?@DLnKYW3Ln@�W�<A78>-<A@�UmKYW�<?rV@�BAKY4.1V<?26KYW�KN|�<?r3@rV@�>-<@�0�13>-<?2.KYW(,

t�W 2.W�U3267?@�Ln<BA<?>NW3U3>-78Uo9 @M<?rVK=Uo<AK u37?Kd�N@ <?rV@ LnKYW��N@M7?{N@�W3Ln@XKN| >�B?@�0�1V@�W�Ln@ 2OB<AKwB?rVK�W#<?r�>-<<?r�2.B�BA@�0�13@�[email protected]?@�4.>-<?26�N@�4.S�LnKY9 u�>NLn<E>NW3U <?r3@�W <AK B8rVK�W#<?r3>-<E>N4O4LnKYW`�N@M7?{Y2OWV{ B?135�BA@�0�1V@�W3Ln@�BELnKYW��N@M7?{N@ <AK�<?rV@�B?>N9 @�4O2.9X26<M,�q�K�B?r3K�W <?r3@�7?@�4.>-<?2.�N@LnKY9 u�>NLn<?WV@�B?B�W�@¢WT2.4.4k1�BA@Xl�7?KYr3KN7?Kd� � B�Ln7v26<A@M7826KYW(,�t <C<?r32.BEu�KY2OW`<E26<´WT2.4.4�7?@�9X>N2OW<[email protected]@�W�<?2�«�LM>-<?2.KYW KN|�>N4.4(4O2.9X26<�u�KY2.W`<?BsKN|�B?135�BA@�0�1V@�W3Ln@�BM,

Page 23: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

������������� ��������������������������� ���!�"���#���%$�&����'�#���)(*�,+-�/.'�0�)�1. [�

q�KL8r3>-7v>NLn<A@M782�M@ >N4.4Y4.2O9X26<�u�KY2.W`<?B�KN|V<?rV@ B?@�0�1V@�W�Ln@ � l h"W�@ r�>��N@�<AK2.W��N@�BA<?26{Y>-<A@rVK�W W�@�9X>dS 13B?@�<?rV@�78>NW3UVKY9 @M�NKY4.1V<?2.KYW <AK 9X> YN@ >NW @�0�1�>-<?26KYW KN|s<�S�u�@\u H�,IF¹w>-u3u�@�>-7�, 4 KN<?2.Ln@�«�78BA< <?r3>-<�h 13W3UV@M7 � l h|&KN7X@M�N@M7?S |&1�W3Ln<?26KYW �tnAjF` , . h<?r3@0�13>NW�<?26<?26@�B

� �

l� � � � o +f `

¶� ­ ® ¯

�gu#z�rsf�w ± �u#z�w u H�,I}¹w

�N@M7826|&S�<?rV@E2OUV@�W`<?2.<�S

� �

l� � � � o � � l� � � � ª� �� f � �Hl � � l� � � � a� ª � � � l�

WTrV@M7?@ � � � l� >-78@o9X>-78<?2.WV{Y>N46@�BbWT26<?rf7?@�BAu�@�Ln<�<AK <?rV@oW�>-<?1V78>N4�«�46<A78>-<?2.KYW����bo�xu ± � ����¡ ��wv,XqsrV@ |b>NLn<AKN7�f � 2.W |&7?KYW`<DKN|�<?rV@X{N@�W3@M78>-<AKN7���l >-u3u�@�>-78BD5�@�LM>N13B?@W @�BAu�@M@�UV@�U�13u�<?rV@u37?K=Ln@�B?B 5�S¢f � , V W�<?rV@�u�>-7?<?2.LM134.>-7�LM>NBA@KN|*WV@�>-7?@�BA< WV@�26{Yr�5�KN7BAS�9�9 @M<A782.L B?2.9 u�4.@k@nj=LM4.1�B?26KYWEu�7?K�Ln@�B8BA@�B�h-<?rV@ BA@�LnKYW3U�<A@M789zKYWC<?rV@�7826{Yr�<�r�>NW3UCB?2OUV@9X>�S 5�@�7?@�Ws782.<A<A@�W >NBD>�|&1�W3Ln<?26KYW KN|�<?rV@ @�9 u�26782OLM>N4�9 @�>NB?137?@N, V W3U3@M@�UAh�>-u�u�46S=2.WV{<?rV@E{N@�WV@M78>-<AKN7�<AKX<?rV@E|b13W3Ln<?2.KYW ± , ± u#zAw�W @�r3>��N@Qn

��l ± u#z�w_o u +�r-H¹w `¶� · �

� ± u#z ª � � w ª ± u#z�� � � wF� H ± u#zAw9�¢�

tT|&<A@M7T<!W K�B8139X9X>-<?26KYW�B 5�S u�>-7?<?B�W @EKN5�<?>N2.W <?r3>-<T13W�UV@M7 � l

� �

l� � � � o � � l� � � � ª u +�r-H¹w � �� � �

l� ���¢l � � a � ª � � � l�

WTrV@M7?@ � l 2.B <?rV@EU�2.B?Ln7?@M<A@EJ�>-u�4.>NLM2.>NWAn

u �¢l �yw/u#z�rsf�w^o f �`¶� · �

� � � u#z ª � � w'rsf � ª � � u#z�� � � w'rsf � ��H �gu#z�rsf�w9�¢�

q�KDLnKYW3LM4O13UV@�<?rV@ u�7?K�KN|�KN|3<?rV@ r`S=UV7?K=UVS=W3>N9X2.L�5�@�r�>��=26KN7�KN|�BAS=9X9 @M<A782.L�B?2.9Xu�46@@nj=LM4.1�B?26KYW u�7?K�Ln@�B8BA@�B�hs26<�7?@�9X>N2.W3B�<AK B?rVK�W´h KYWf<?r3@�KYWV@ r3>NW3UAhs>NW�13W32O0�1V@�W3@�B?B<?rV@MKN7?@�9�|�KN7�BAKY4.1V<?2.KYW3B(KN|V@�0�13>-<?26KYW3B�u H�,IF¹w¸�13W�2.0�13@�WV@�B?B�<?rV@MKN7?@�9�<?r3>-<�WT2.4.4-78@�0�132.7?@<AK�u�7?Kd�N@ 2.UV@�W�<?26<�Siu H�,IF¹w�|�KN7E>�Ln@M7?<?>N2.W LM4O>NB?BKN|�|&1�W3Ln<?26KYW3B ��¸�>NW3U�h�KYWo<?rV@ KN<?rV@M7r3>NW3UAhk<AK u378Kd�N@m<?r3>-< <?rV@w9X>-78<?2.WV{Y>N46@�B � � � l� ��>NW�2.B?r 2.W <[email protected]< >NBgf ! #|�KN7 <?r32OBC|b>N9X2.46S�KN|T|b13W3Ln<?26KYW3B � ,�dV7?KY9 <?rV@�BA@m<!W K 78@�B?1346<?B 26< |�KY4O46K�WTB <?r3>-< <?r3@BA@�0�13@�W3Ln@ � l r3>NB>�13W�2.0�[email protected].< u�KY2OW`< � ? W�r32.L8r 2.B�<?rV@�u�7?KN5�>-5�2.4O26<�S 9 @�>NB?1V78@LnKYW3Ln@�W`<A7v>-<A@�U�KYWm<[email protected]�1V@�BAKY4.1V<?2.KYW KN|�u H�,IF¹wv,

Page 24: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

}-~ ��� �U�� ����

�F@�� ����G����{K �{E�T ��K � ���� @�9X>dS�WVK"WZ<?1V7vW <AK�> 7826{NKN78KY13B u37?K�KN| ,

��������gh�= \ �6��� H & O !%R&I �<j L *���n,jF` , � ~���+ � O�P%K j LQn l zxL n4toLCpuL'$QbcLQP%mxLI�w.eFLdR�P%I�boj4j H !%R&IuK�b�min # L~O_pxboR�L�p�I&wFpxj I �aj | s_O]Rx|�H4P q !oO�R&O # LQn�LQR O_pxpdIumuHJO[n�L�K n�I n4toL!%R�I �<j L * �

l � ± ¸ ± u#z�wxo +%¦¥o * � u#zArsf\w � ztµ�j `l �}ltoLdP0E%wdI�R Lds�LQRx| � � ~ E�n4toL�pQL%$QbcLdP%m�L I�wR&O�P%K[I # # L~O_pxboR�L�p

l� u0a %Aw_o +f `

¶� ­ ® ¯

± �)u#z�w � l u0a %Aw

m~I�P�s]LdR q Ldp�H4P !%R&IMz~OMzdH4j HJnJ|�n�I�n4toLrOMz�pQI�j b0n�LQj |�mxI�PcnJH4P�b�I�b*p # L~O_pxboR�L � �)u0a %Awxo *Ru#�s� %�wa % �vt*I_puL KMLQP0pxHJnJ|�H9p�n4toL�pdI]j b0nJH I�P I�w�n4toL�toL~O]ngL'$ub0O[nJHJI�P �

� � �'*qo u +�r-H¹w � **Rub~��{�w^o *�� u �w�� u H�, �¹w

� @B?<?>-7?<H«3j=2.W3{C>C<?2O9 @ � � ~C>NW3U�[email protected]{D<?rV@BA@�0�1V@�W3Ln@KN|(u37?KN5�>-5�2O4.26<�S9 @�>NB?1V7?@�B � l KYW �tu�� ~���� ��� � 0 w LnKN7?7?@�BAu�KYW3U32OWV{w<AK <?rV@4� >-7�YNKd� u37?K=Ln@�B?B � l� hUV@�«�WV@�U 5�S\u H�, [Qwh�BAu�@M@�UV@�Um1Vu�5�S�f � >NW3U�BA<?>-7?<?2.WV{ |&7?KY9� l ,� c&gh'M� 'M�d��� )E���=$&�V�hc����m_Y�� ����3_N������'�' � qsrV@�«378B?<�BA<[email protected]�<?rV@�u37?K�KN|*KN|*<?r3@�r�S-cUV7?K=UVS�W�>N9X2.Ls5�@�r3>d��2.KN7�LnKYW3B82.BA<?B 2.W�B?rVK"WT2.WV{ <?r3>-< <?rV@DBA@�0�1V@�W3Ln@ � l 2OB 78@�4.>-<?26�N@�46SLnKY9 u�>NLn<M, � @ B'Y=26u <?r32.BsBA<A@Mu rV@M7?@E>NW3Um78@M|�@M7s<?r3@E7?@�>NUV@M7s<AK��xP��*|�KN7UV@M<?>N2.4.B�,����_Y����� 'M�d��� )w��c��*a�������'�' ��� $&cb c�� ���cb���d' � 4 K�W <?r�>-<§W�@kY=WVK"W <?r3>-<<?rV@DBA@�0�13@�W3Ln@ � l 2.B�W�@�> Y�46S�7?@�4.>-<?26�N@�46S�LnKY9 u�>NLn<�h326<�7?@�9X>N2.W�B <AK Lvr3>-78>NLn<A@M782�M@E>N4O44.2.9X26< u�KY2.W�<?BsKN| � l , J*@M< � ? 5�@C>�4.2.9X26< u�KY2.W�<T>NW3U 46@M< � l� 5�@C>�B?1V5�c�B?@�0�1V@�W�Ln@LnKYW`�N@M7?{Y2OWV{X<AK � ? ,

� @�«378BA<�u37?Kh�N@�<?r�>-< � ? 2.B�LnKYW3Ln@�W�<A78>-<A@�U KYW >-5�BAKY4O1V<A@�46SELnKYW�<?2.W�13KY13B�9 @�>NB?1V7?@�BWT26<?r 7?@�BAu�@�Ln<E<AK�<?rV@XJ*@M5�@�BA{Y1V@�9 @�>NB?1V7?@N,�:V2.W3Ln@ <?rV@M7?@�2.BD>-<C9 KYBA<CKYWV@Xu�>-7?<?2OLM46@u�@M7sB826<A@Qh

B?1Vu� �}����� � �

l� � � � ¡ f � ` ¶

� ­ ® ¯� �gu#zArsf\w ���

:=2.W3Ln@Qh�KYW <?rV@ KN<?rV@M7Er3>NW3UAh�|&KN7�«3j�@�U LnKYW�<?2.W�13KY13B|&13W�Ln<?26KYW3B ��h(<?rV@ >-u3u�4.2OLM>-<?26KYWWTr32.Lvr�>NB?BAK=LM2.>-<A@�B <AK >C<A7v> A @�Ln<AKN7?S � <?r3@��->N4.1V@B?1Vu � �}����� � � � ��� � � �`2.B�LnKYW`<?2.W�c1VKY13B�hV5�S§W�@�> YmLnKYW`�N@M78{N@�W3Ln@Qh�>N4O4*4.2.9X2.< u�KY2.W�<?B >-7?@CLnKYW3Ln@�W�<A78>-<A@�U KYWm<A78> A @�Ln<AKN7826@�B� ��B?13Lvrm<?r3>-<

� � ��� � �

¡ � � �gu %Aw ��a %

Page 25: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

������������� ��������������������������� ���!�"���#���%$�&����'�#���)(*�,+-�/.'�0�)�1. }=+

|�KN7 >N4.4�LnKYW`<?2OW�1VKY1�B |&13W�Ln<?26KYW � >NW�U�|&KN7X>N4.4�~�¡��b¡ ��, t�4.4�4.2.9�26<Eu�KY2.W�<?B�>-7?@<?r�13BLnKYW3Ln@�W�<A78>-<A@�UoKYW >-5�BAKY4.1V<A@�46SmLnKYW�<?2.W�1VKY13B�<A78> A @�Ln<AKN7v26@�B,W�26<?rw7?@�B?u�@�Ln<�<AK�<?r3@J*@M5�@�BA{Y1V@E9 @�>NB81V7?@Qn

� ? � � ¸ � ��u0a�%�wxo � �)u %�w�a�% ��oG+ �t�4O434.2.9X2.<�u�KY2.W�<?B�KN|(<?rV@TB?@�0�1V@�W�Ln@�� l >-7?@�LnKYW�Ln@�W`<A78>-<A@�U�KYWX<A7v> A @�Ln<AKN782.@�B<?r3>-<>-<�<?2O9 @�~>-7?@ @�0�13>N4`<AK *�� u %Aw�a %�, V W3U3@M@�UAh-5�SyW�@�> Y�LnKYW��N@M7?{N@�W3Ln@Qh�|�KN7�@M�N@M7?S � � ~�h

� ? � f � `¶� ­ ® ¯

�gu#zArsf\w ± �-u#z�w\� ��gu %�w *���u %�w a�%

� � �¡ 4.2O9 2.WV|� � �

�l� � f � `

¶� ­ ® ¯

�gu#z�rsf�w ± ��u#zAw\� ��¢u %�w * �¹u %Aw a %�

� � �o 4.2.9� � �

l � f � `¶� ­ ® ¯

�gu#zArsf\w ± u#z�w^� ��¢u %�w * �-u %�w a %

� � � o"~g�

� @ WVK�W u�7?Kd�N@ <?r3>-< � ? 2.B LnKYW3Ln@�W�<A78>-<A@�U KYW u�>-<?r�B � u#�s��a %Aw\o *�u#�� %Aw�a %WTrVKYBA@CU3@�W3B?26<�S�2.B >¢W @�> YwBAKY4O1V<?26KYW KN|�<?rV@CrV@�>-<�@�0�1�>-<?26KYW(,�dVKN7u�KYB?26<?26�N@E2OW`<A@M{N@M78B� >NW3U � h�UV@�WVKN<A@�5�S�� � � u�� ~���� � / jF`Qw�<?rV@BAu�>NLn@�KN|�LnKYW�<?2.W�1VKY13B|&13W�Ln<?26KYW3B�WT2.<?r� LnKYW�<?2.W�1VKY13B UV@M782.��>-<?26�N@�B 2.W�<?2.9 @�>NW3U � LnKYW`<?2OW�1VKY1�B�U3@M7826�->-<?26�N@�B 2.W�B?u�>NLn@N,�dVKN7�qn�� ~���� � / j ` , . KN|(LM4.>NB8B�� � � � h`LnKYW3B82.UV@M7�<?rV@s9�>-7?<?2.WV{Y>N46@ � �� o � � � l� {Y26�N@�W5�S

� �� o � � l� � �m� � � � �

l� � � � � � � �� u � � ª f � �Hl1w � � l� � � � � a �y�

V <�2.BxW @�4.4�Y=WVK"WTWeubLn| ,�t�u3u�@�W3U326j�+ 2.W �xP��#w�<?r�>-<�<?rV@ u37?K=Ln@�B?Bxf �� o¤f � � l� UV@�«�W3@�U5�S

f �� o � � �� � � �_f � � �� � � u � w a�

W�26<?r � � u � w_o���l � � l� � � � � � ��H � �l� � � � � �Hl � � l� � � � �

2.Bs>�9�>-7?<?2.WV{Y>N46@´WT26<?rm7?@�B?u�@�Ln<�<AK�<?rV@�W3>-<?1V78>N4{«�46<A78>-<?26KYW*, :�<A78>N2.{Yr`<A|&KN7�W >-78U�LnKY95cu�1V<?>-<?26KYW3BTB?rVK�WZ<?r3>-<

� � u � w�o +f � 6 ` � � : ¶

� ; · �� � � u#|�rsf�wF� � � u#z�rsf�w9� � ± � u#z�w/u +�� ± � u#|�w'w��

Page 26: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

}NH ��� �U�� ����

V Wmu�>-7?<?2.LM134.>-7�h�5�S�° rV@M5�S�LvrV@M��>NW�U�[K�KN5o2.WV@�0�13>N4.26<�SQh�

l � B?1Vu� �}����� � ��

� � �:¡ p � � � D�� ¯�� u � �� w ���

o p � � � D�� ¯ � � �

� � � u �%w a � �p¡ ��u �yw �� � f ` �

V |�W @ WVK"W KN5�BA@M7?�N@ <?r3>-<m<?r3@ U32�5�@M7?@�W3Ln@o5�@M<!W @M@�W�H f � ��l � �

l� � � � � o �

l� ��� l � � >NW3U � �l� ��� � � 2.BEKN|�KN7vUV@M7�� l u +�wD5�@�LM>N13BA@X<?rV@�<AKN<?>N4 9X>NB8BEKN|

l� 2.B 5�KY13W�UV@�U�5�S +E>NW3U � 2.B KN|�LM4.>NB?B � � h}W @�9X>�SmLnKYW3LM4.1�UV@D<?r3>-<s@M�N@M7?Sm4.2O9X26<u�KY2OW`< � ? 2OB LnKYW3Ln@�W`<A7v>-<A@�U�KYW�<A78> A @�Ln<AKN7v26@�BTB?1�L8rm<?r3>-<� � �'� �m� � o � � �"� � � � ª

� �� � ��� � � � � � ��u +�r-H¹w�� � � � a�´� u H�,.+M~�w

|�KN7 >N4.4~i¡p�¢¡ � 5�@�LM>N13BA@�<?rV@ >-u3u�4.2.LM>-<?2.KYW |�78KY9 �\u�� ~���� ��� � 0 w�<AK . WTr32.Lvr>NB?BAK=LM2.>-<A@�Bs<AK�>X<A78> A @�Ln<AKN78S\� � �'�?~¢¡ ��¡��y¦E<?r3@CW�1�9C5�@M7

B81Vu����� � � �'� � � � � � �%� � � � u +�r-H¹w � �

� � � � ��� � � a� 2.B LnKYW`<?2OW�1VKY1�Bs>NBT46KYW3{X>NB � 2.BsKN|�LM4.>NB8B � � ,

V WmLnKYW�LM4.13B?26KYW�h�>N4.4�4.2O9X26<u�KY2.W�<?B >-7?@ELnKYW3Ln@�W�<A78>-<A@�UwKYWm>-5�BAKY4.1V<A@�46S�LnKYW`<?2.W�1VKY13B<A78> A @�Ln<AKN7v26@�B � �'u0a�%�wmo � ��u %�w�a�% <?r�>-<C>-7?@gW�@�> Y B?KY4.1V<?26KYW3BKN|�<?rV@XrV@�>-<E@�0�13>-<?26KYW2.W <?rV@CBA@�W�BA@DKN|�u H�,.+M~�wT>NW3U�W�rVKYBA@EUV@�W3B826<�S >-<s<?2.9 @E~�2.B * �Qu��*wv,����c&gh� 'M�d��� ) w��c��*a�������'�'E��� ���3% '���$&a��hc&����'E���k�h���������V�E� �*a��V�hc&��� � � @

A 13B?<�u378Kd�N@�U <?r3>-< @M�N@M7?S 4.2.9X2.<Cu�KY2.W�<�KN|�<?rV@mBA@�0�13@�W3Ln@ �l 2.B LnKYW3Ln@�W�<A78>-<A@�U KYW

W @�> Y�B?KY4.1V<?26KYW3BTKN|k<?rV@ rV@�>-<T@�0�13>-<?26KYWkWT26<?r 2.W326<?2.>N4*u37?KQ«�46@ * ��,Tq�K�LnKYW3LM4O13UV@C<?r3@u37?K�KN|�KN|�<?rV@ 13W32.0�1V@�WV@�B?B�KN|k4.2.9�26< u�KY2OW`<?B�h�26< 7?@�9X>N2.W�B <AK�B?r3K�W <?r3>-<�<?rV@M7?@[email protected]<?BKYW346S�KYW3@yW @�> YmBAKY4O1V<?26KYW KN|�<?r32.B @�0�13>-<?26KYW(,

qsrV@M7?@ @njV2.BA<?B�9X>NW�S 9 @M<?r3K�U3B�,C��7?@7�2.BD>NW3U_°�78>NW�U3>N4.4�u + �Y[�¹wu37?Kh�N@�U B?13Lvro>7?@�B?1346<k|&KN7 >ELM4.>NB?B KN|(0�13>NB82 c�4.2.WV@�>-7�B?@�LnKYW3U�KN7vUV@M7@�0�13>-<?26KYW3B�,�qTrV@�267�<?rV@MKN78@�9 {Y26�N@�B13Bs2.9X9X@�U32.>-<A@�46SX<[email protected]�1V@�WV@�B8B 78@�B?1346<�W�@CWV@M@�U(,

� @u378@�BA@�W`<*2OWDtTu3u�@�W3U�2 jTtH�,xp3�xP��`>s13W�2.0�13@�WV@�B?B�7?@�B?134.<�5�>NBA@�UDKYWD<?rV@�2OW`�N@�BA<?2.{Y>%c<?26KYW�KN|�<?rV@�<?2O9 @T@M�NKY4.13<?26KYW�KN|�<?rV@�� � � WVKN789m,kqsr�2.B9 @M<?r3K�U�7?@�0�13267?@�B�h�rVK�W�@M�N@M7hB?1Vu3u�4.@�9 @�W`<?>-78S u�7?KNu�@M7?<?26@�B KN|�W @�> Y�BAKY4.1V<?2.KYW3B�<?r3>-< >-7?@DWVKN< U32���LM1346<�<AK L8r3@�L�Y�2OW<?rV@CLM>NBA@EKN|�BAS=9X9 @M<A782OLDB?2.9 u�4.@�@njVLM4.13B?2.KYW u37?K=Ln@�B?BA@�BM,

d�2.W3>N4.46SQh=B?2.W�Ln@<?r3@Er`S=UV7?K=UVS=W3>N9X2.L�@�0�1�>-<?26KYW KN|�B?S�9X9X@M<A782.L�B?2.9 u�46@[email protected]?2.KYW2.B 4.2.WV@�>-7�h�<?rV@E9X@M<?rVK�U�B UV@M�N@�46KNu�@�U 5�S �@�4.B?Lvr34 �>-{N@M7´u + �N}NP¹ws{Y26�N@E> <?r3267vU�u�KYB?B?2.5�46@>-u3u37?KY>NLvr(,

Page 27: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

������������� ��������������������������� ���!�"���#���%$�&����'�#���)(*�,+-�/.'�0�)�1. }NQ

4 KN<A@ <?r3>-<�|�KN7>NW`Sm5�KY13W3U3@�U u37?KQ«�46@ *��D<?rV@ rV@�>-<T@�0�13>-<?26KYW >NU39X26<?B�>�BA<A7?KYW3{BAKY4.1V<?26KYW {Y2.�N@�Wm5�S

*�u#�� %Aw_o ���* � u � w � � u %b� � w a �26| �* ��n . ` , . 7?@Mu378@�BA@�W`<?B�<?rV@�jF`�c u�@M7826K=U32.L |b13W3Ln<?26KYW 2.UV@�W�<?2.LM>N4.46S @�0�13>N4 <AK>*��KYW j ` >NW3U 26| ���)u�� w 2.B <?rV@w13B?1�>N4Ha¹c�U32.9 @�W3B826KYW3>N4 ��>N13B?B?2O>NWiYN@M7vWV@�4 n ���)u��mw¢ou H � �'w � ` � @nj�uA����u +�r-H%�'w � � � � ¦Y, V W u�>-78<?2.LM134.>-7m<?rV@^W @�> Y BAKY4O1V<?26KYW 2.Bw2OW |&>NLn<o>BA<A7?KYWV{XBAKY4O1V<?26KYW(,

V W LnKYW3LM4O13B?26KYWAh�WT2.<?r >NW�S�KN| <?rV@�BA@X13W32O0�1V@�W3@�B?Bs7?@�B81346<?B�h�W�@ u�7?Kd�N@�U <?r3>-<D<?r3@BA@�0�13@�W3Ln@�� l LnKYW��N@M7?{N@�B�<AK <?rV@�[2.78>NL 9 @�>NB?1V7?@wLnKYW�Ln@�W`<A78>-<A@�U�KYW <?r32.B BA<A7?KYW3{BAKY4.1V<?26KYW*,� ��a�gh�h� 'M�d����������������g��=��_`��cb� ��gh����� ��cb$bcO� � �V� ��^*��� �hcb � � � /��N@�W 26|�2OW{N@�WV@M78>N4�26<�2.BT|&>N4OBA@E<?r3>-<<?rV@�>-u�u�4.2.LM>-<?26KYW�|�78KY9 �\u�� ~���� ��� � 0 w <AK � 0 KN53<?>N2.W3@�U5�S <?> Y�2.W3{ <?rV@ ��>N4.13@ >-< <?2O9 @m~ ��� � � KN|T<?r3@mu37?K=Ln@�B?B 2.B LnKYW`<?2OW�1VKY1�B�h<?r32OBBA<?>-<A@�9 @�W�<T2.B�<A781V@E26|�<?rV@�u37?K=Ln@�B?B 2.B >N4.9 KYBA<sB81V7?@�46S�LnKYW�<?2.W�1VKY13B >-< <?2.9X@�� |�KN7 <[email protected]<?2OWV{ u�7?KN5�>-5�2.4O26<�S�9X@�>NB?1V7?@N, V W <?rV@wu37?@�B?@�W`<�LnKYW�<A@nj=<�hs<?rV@�4.2O9X26<?2.WV{ou37?KN5�>%c5�2.4.26<�Sm9 @�>NB?1V7?@ 2.BLnKYW3Ln@�W�<A78>-<A@�U KYWtW @�> Y=46SoLnKYW`<?2.W�1VKY13B<A78> A @�Ln<AKN7826@�B�,Eqsr�1�B �

l�LnKYW`�N@M7?{N@�B 2.W U32.B?<A78265�1V<?2.KYW�<AKm<?rV@XU3@M<[email protected]<?2.L 9 @�>NB?1V7?@ � ��u %�w�a %�,�:=2.W3Ln@ LnKYW�c�N@M7?{N@�[email protected] U32.BA<A782.5�1V<?26KYW <AK >oUV@M<[email protected]�2.BA<?2.L �->-782.>-5�46@�2.9Xu�4.26@�BELnKYW��N@M7?{N@�W3Ln@w2OWu37?KN5�>-5�2O4.26<�SQh=<?rV@D<?r3@MKN7?@�9 2.B u�7?Kd�N@�U(,

V W <?r3@ u37?@M�=26KY13Bu37?K�KN|!h(<[email protected]<?2.>N4�BA<?>-<A@ l >-u3u�@�>-7?@�U KYW346So2.Wo<?rV@XBA@�LnKYW3UBA<A@Mu*, V <mW >NBEWV@�Ln@�B?B?>-78S <AKwB?r3K�W#<?r3>-<D<[email protected]<�u�KY2OW`<?B � ? W�@M7?@XLnKYW3Ln@�W�<A78>-<A@�UKYWm<A78> A @�Ln<AKN7826@�B � ��u0a %Aw�<?r3>-<T>-<s<?2O9 @E~gW�@M7?@E{Y26�N@�Wm5�S

� � u0a�%�w_o * � u %�w a�%k�qsrV@M7?@M|&KN7?@Qh�<?rV@mBAu�@�LM2.>N4 BA<A7v13Ln<?1V7?@�KN|T<?rV@m9 @�>NB81V7?@ l U32.U WVKN< u�4.>dS >NW�S�u�>-7�c<?2.LM134.>-77?KY46@ 2.Wo<?rV@ u37?K�KN|>NW3Uo<?rV@ r`S�u�KN<?rV@�B?2.B�KN| qTrV@MKN7?@�9 H�,xpwLnKYW3Ln@M78W32OWV{�<[email protected]<?2.>N4�BA<?>-<A@�LM>NWw5�@ELnKYW3B?2.U3@M78>-5�46SX78@�4.>�j�@�U�n

��������gh�= \ ��� � I�R * ��nRj ` , � ~���+ � EFmxI�P0pxH KMLQR O�puL'$QbcLQP%mxL I�w # L�O_p�boR&Ldp � l nf � +%¦ I�P �d~���+%¦�­ ® ¯ O�p~pdIimQH O]n�L�K n�I n4toL !#R�I �`j L * � �

4.2.9 B81Vul�� � l � f � `

�¢u#z�rsf�w ± u#zAw_� ��gu %�w *���u %�w a�%

� �8o ~g�

wdI�R�LQs�LQRx| � ~ O�P%K�Lds�LQRx|�mxI�PcnJH4P�b�I�b*p<wxboP%minJHJI]P �tnRj�` , . (;}ltoL�m~I]P%mQj{b*pxH I�P0pI�w }ltoL~I�R&L # � (�� R�L # O�H4P)H9P�wQI�R�m�L�(

Page 28: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

}�p ��� �U�� ����

V W LnKYW3LM4.13B826KYWAh�13W�UV@M7E<?rV@�r`S�u�KN<?rV@�B?2.BDKN| >eW @�> Y 4.>�W KN|s4.>-78{N@�W�1�9C5�@M78BE>-<<?2.9 @�~C|�KN7�<?rV@�@�9 u�26782OLM>N439 @�>NB?1V78@ �

l h W�@�r3>d�N@u�7?Kd�N@�U�>C4.>�WfKN|*4O>-7?{N@�W�139�5�@M7vB|�KN7T>NW�Sm4.>-<A@M7s<?2.9X@ �v,

� ��� � � ��� �(�16���� ��� � �y4���$�� �A9�4 �?� �� �����3����; �

qsrV@M7?@�>-78@�@�B?B?@�W`<?2.>N4O46S <BW�K {N@�WV@M7v>N4 9 @M<?r3K�U3BC<AK u�7?Kd�N@�<?rV@�r�S�U37?K�U3S�W3>N9�2.L 5�@/cr3>��=26KN7kKN|�>NW 2.W`<A@M7v>NLn<?2.WV{Du�>-7?<?2OLM46@ BAS�B?<A@�9m, � @su37?@�BA@�W�<krV@M7?@ <?rV@�«�78BA<�KYWV@Qh�LM>N4.4.@�U<?rV@E@�W�<A7?KNu�Sm9 @M<?r3K�UAh3U�1V@�<AK���1VK�h�l�>-u�>NW�2.LnKY4.>-KY1�>NW�U ��>-78>NU3r3>NW � p � ,

q�K 2O4.4.13BA<A7v>-<A@�<?r32OB 9 @M<?rVK=UAh�W�@mu37?Kh�N@�2.W <?r32.B Lvr3>-u3<A@M7X<?rV@wr�S=UV7?K=UVS�W�>N9X2.L5�@�r�>��=26KN7 KN|�>NW @nj=LM4O13B?26KYW�u37?K=Ln@�B?B B?>-<?2.BA|&S=2.WV{�>NB8B?139 u3<?2.KYW3B�u H�,IQ¹wv, � @Er3>��N@EBA@M@�W2.W\° r3>-u3<A@M7 +C<?r�>-<<AKm>NU3U37?@�B?B�B?13Lvro>�0�1V@�BA<?26KYWAh�W�@ W3@M@�Uk«�78BA<<AK U3@�B?Ln78265�@C<?r3@@�0�132O4.2653782O139;B?<?>-<A@�B�KN|k<?rV@�u�7?K�Ln@�B8BM,TqsrV@�WV@nj�<7?@�B?1�46<TB?rVK"WTB�<?r3>-<�<?r3@���@M78WVKY134O4.2u37?K=U313Ln<C9 @�>NB81V7?@�B >-7?@�7?@M�N@M78B?265�46@X|&KN7 @njVLM4.13B826KYW u378K�Ln@�B?B?@�B�B?>-<?2OBA|�S=2.WV{o>NB?B?139Xu�c<?26KYW3B´u H�,IQ¹wh�@nj�u�4O>N2.W32.WV{ >N4.BAK <[email protected]�<A@M7?@�BA< KN|�<?r32.B BA@M<TKN|�r�S�u�KN<?r3@�BA@�BM,� �= � � � SfI�P0pxH KMLQR�O�P L'& mQj{b*pxH I�P !%R�IimxL�pxp �fHJn4t�q LdP!LdR&O]n�I�R q[H9s]LdP zd| ��� (4� �O�P%K R�O[n�L�p ��� � u ± w)¦ pdO[nJH p4wx|�H4P q���� (9��� ( }lt0LdP0E n4toL eFLdR�P%I�boj9j{H !%R&IuK�b�mun # L�O�pxboR&Ldp3 l� O�R&L R&LQs�LdRxpxH�zdj L�(eEgh�(���') ��S >NB8B?139 u3<?2.KYW�� � 0 � u ± wgo � 0 � � u ± w�>NW3U 5�KN<?r |b13W3Ln<?2.KYW3B�U3K W3KN<UV@Mu�@�W3U KYW ± u#z�wh ± u#z ª ~-wv,xd�2 j <BW�K�46K=LM>N4V|b13W3Ln<?26KYW3B � h���,kt�Lvr3>NWV{N@�KN|��->-782.>-5�4.@�B²yo � � 0 � ± {Y26�N@�Bs<?r3>-<

� � � 0 � u ± w ± u#z�w � +�� ± u#z ª ~-w9� � u�� � 0 � ± w��Ru ± w a 3 l�o � � � 0 � u�� � 0 � ± w ± u#z ª ~-w � +�� ± u#zAw9� � u ± w��Ru�� � 0 � ± w a�3 l�o � � � 0 � u ± w ± u#z ª ~-w � +,� ± u#zAw9� � u ± w���u�� � 0 � ± w a 3 l�o � � 0 � � u ± w ± u#z ª ~-w � +,� ± u#zAw9� � u ± w���u�� � 0 � ± w a 3 l� �

qsr32.B 2.U3@�W`<?26<�S�u378Kd�N@�Bs<?r�>-<s<?rV@C9 @�>NB81V7?@�B<3 l� >-7?@E7?@M�N@M7vB?265�46@N,

dVKN7§~�2.W�j�`l h UV@�WVKN<A@m5�S�� � 0 � <?rV@wLM137?7?@�W�< Kd�N@M7�<?r3@m5�KYW�U��zO�'z ª ~�¦Y,qsr32.BD2.B�<?r3@X78>-<A@�>-<�WTr32.Lvr >mu�>-7?<?2.LM4.@ A 139 u�B�|�7?KY9 z <AK�z ª ~ 9X2.W�13B<?rV@X78>-<A@>-<�WTr32.Lvr�> u�>-7?<?2.LM46@ A 139 u�B�|&7?KY9 z ª ~ <AKgz�, � 26<?r <?rV@EWVKN<?>-<?2.KYWm2.W`<A78K�U31�Ln@�U�2OW<?rV@CUV@�«�W�26<?26KYW�KN|�<?r3@E@nj=LM4O13B?26KYW u378K�Ln@�B?Bh� � 0 � o�� � 0 � u ± w ± u#z�w � +�� ± u#z ª ~-w9�b� � 0 � � u ± w ± u#z ª ~ w � +,� ± u#z�w9�{�

Page 29: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

������������� ��������������������������� ���!�"���#���%$�&����'�#���)(*�,+-�/.'�0�)�1. }NP

� @�W�2.4.43B?>dSX<?r3>-< >NW 2.W`<A@M7v>NLn<?2.WV{Cu�>-7?<?2.LM46@BAS�B?<A@�9 2OB�{N78>NU32.@�W`< 26|�<?rV@�LM1V7?7?@�W�<�LM>NW5�@ WT7826<A<A@�Wm>NBT>�46K�LM>N4�|b13W3Ln<?2.KYWm9X2.W�13B 26<?B <A78>NW�B?4.>-<?26KYWAn� ���k��c��hc&���f� �.\ D.P L%&Mmuj b*pxH I�P !#R�Ium�L�pxp �fH4n4t �xb # ! R&O]n�L�p ��� � u ± w)¦ H p�pdO�H K;n�I�z~Lq]R&O[K�H�LdPcnFH wgwQI�R L~O[mdt ~ n4t0LdR�LyL'&[H pdnO !oI_pxHJnJH4s�L�H4Pcn�L�q LdR � � � + Ej Ium~O�j!w�boP%munJH I�P0p� � �   E +y¡ £�¡ � � E�O�P%K pxHJn�L�p z � �   E +´¡ £�¡ � � Efp�b0mQt;n4t*O]n

�+� � � o���¶ Z· �

��� ��� � � � �   � � � �   ¦´�

� @´WT2O4.4�B?@M@E5�@�46K�W <?r3@D7?@�>NBAKYW�>NW�Um<[email protected] u�KN7?<?>NW�Ln@DKN|�<?r32OB <[email protected]{NSN,

�F@B? ����K¹P ��G�S��{NkC�� ��I!E�T G � ����K�� ��S T%T/��N@M7?S�<?r32.WV{�u37?@�BA@�W�<A@�U�2.WX<?r32OBL8r�>-u3<A@M7 7?@�4.26@�BKYW�<?rV@�>NB?B?1�9 u3<?26KYW3B<?r3>-<�<?rV@Tu378K cLn@�B?Bw2.B�{N78>NU32.@�W`<w>NW3U <?r�>-<m<?rV@ KYWV@/c u�>-78>N9 @M<A@M7 |&>N9�2.46S KN| 2.W���>-782O>NW`< BA<?>-<A@�B�2OB@nj�u�4O2.LM26<?46SbY�W3K�WTW(,RTK"W @M�N@M7�h*<AK§«3j�2.UV@�>NB>NW3UtYN@M@Mu W3KN<?>-<?26KYW B?2.9 u�4.@Qh}W @ |&K�LM13BrV@M7?@�>-|&<A@M7�KYWX>�KYWV@/c�U32O9 @�W3B?26KYW�>N4`{N78>NU�26@�W`<[email protected] u37?K=Ln@�B?BkB?>-<?2.BA|&S=2.WV{D>NB?B?139Xu�c<?26KYW3B´u H�,IQ¹wv,

°�KYW3B?2OUV@M7<?rV@�KYWV@/c�U�2.9 @�W3B?2.KYW3>[email protected]?26KYW�u37?K=Ln@�B?B�WT26<?r�78>-<A@�B���� � u ± w)¦E{Y26�N@�W5�S

� � u ± w_o�� � + ª�� � ± u��E+�w ª ± u H¹w9� |&KN71~�o + h+ ª�� � ± u��TH¹w ª ± u +�w9� |&KN71~�oq�E+ h

~ 2.| � ~ � � +|�KN7B?KY9 @ � � �C+�r-H�,�qsrV@�BA@ 78>-<A@�B B?>-<?2.BA|&S >NB?B?139 u�<?26KYW�u H�,IQ¹w�B?KD<?r3>-<�<?rV@su�7?K�U�13Ln<� @M7vWVKY134.4.2�9 @�>NB81V7?@�BC>-78@X7?@M�N@M78B?2.5�46@N,XtW @�46@�9 @�W�<?>-7?S LnKY9 u�1V<?>-<?2.KYW�B?rVK"WTBD<?r3>-<<?rV@CLM1V7?78@�W`< �+� � �s2.Bs{Y26�N@�Wm5�S

�+� � �io � � �"u ± wF���%� � �"u ± w � ª � � � u ± wF��� � � � u ± w �t� u Q�,.+�wWTrV@M7?@Qh

� � u ± w_o ± ub~�w�� � ± u��E+�w ± u +�w >NW�U � � u ± w^o � ± u��E+�w ± ub~�w,�qsr32.B�u37?K=Ln@�B?B 2.B <?r�13B {N78>NU326@�W�< >NW3U 7?@M�N@M78B8265�46@bWT26<?r 7?@�BAu�@�Ln< <AK <?rV@m��@M78WVKY134O4.2u37?K=U313Ln<T9 @�>NB81V7?@�BM, �|kLnKY1V7vBA@Qh�B82.W3Ln@E<?rV@�u37?K=Ln@�B?B2.Bs<A78>NW�B?4.>-<?26KYW 2.W`�->-782.>NW�<�h�<?r3@LM1V7?7?@�W�<�Kd�N@M7 <?rV@�5�KYW3U��z{�'z ª +%¦¹hVUV@�WVKN<A@�U�5�S � � 0 �/h�2.B A 13BA<<?rV@�LM1V787?@�W`< Kd�N@M7<?rV@E5�KYW3Uk�d~���+%¦ <A7v>NW3B?4.>-<A@�Um5�Sbz{n

� � 0 �io � �+� � ���

Page 30: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

}NF ��� �U�� ����

��1V7E{NKY>N4�2.BD<AK u37?Kh�N@�<?r3>-< 13W3UV@M7EBAKY9X@�>NB?B?1�9 u3<?26KYW3B�KYW�<?rV@�2OW326<?2.>N4�BA<?>-<A@Qh<?rV@ @�9Xu�26782.LM>N4C9 @�>NB?1V7?@ LnKYW��N@M7?{N@�B <AK�B?KY9 @ >-5�BAKY4.1V<A@�46S LnKYW�<?2.W�1VKY13Bo9 @�>NB?1V78@*Ru#�s� %�w�a %Oh1W�rVKYBA@ UV@�W3B?2.<�S 2.B�<?rV@ BAKY4.13<?26KYW�KN|�BAKY9 @ u�>-7?<?2.>N4U32�5�@M7?@�W�<?2.>N4�@�0�13>%c<?26KYW(,xdVKN7 {N78>NU�26@�W`< BAS=BA<A@�9XBh=2.< 2OB @�>NB?S�<AKX>NW�<?2.LM26u�>-<A@�<?rV@Dl�[�/ W�r32.L8r UV@�B8Ln78265�@�B<?rV@E@M�NKY4.1V<?2.KYW KN|�<?r3@CUV@�W3B?2.<�SN,

RT@M78@ 2OBT<?rV@ rV@�13782.BA<?2.L�UV@M7826�->-<?26KYW KN|�<?rV@ l�[�/T,�tB?B?1�9 @C<?r3>-<�<?rV@ LnKYW3B?@M7?��>%c<?26KYW�KN|*4.K�LM>N4�@�0�1�2.4.26537v2.139zrVKY4.U3B >NW3U�<?r�>-< <?rV@�@�9 u�267v2.LM>N439 @�>NB?137?@ �

l� LnKYW��N@M7?{N@�B<AK B?KY9 @&*�u#�� %Aw�a %�,pd�26j�> B?9XK�KN<?r�|b13W3Ln<?26KYW � n1j , . >NW3U LnKYW3B?2OUV@M7�<?r3@9X>-7?<?2.WV{Y>N4.@ � �� >NB?BAK=LM2.>-<A@�U�<AKX<?rV@E@�9 u�26782.LM>N4�9 @�>NB?137?@Qn

� �� o � � l� � � � � � �

l� � � � � � �� f � ��l � � l� � � � a �y�

� SmUV@�«�W326<?26KYW�KN|�<?rV@E@�9 u�2.782.LM>N4�9 @�>NB?1V78@Qhf � ��l � � l � � � o f � � ¶

� ­ ¯�gu#zArsf\w�f � �Hl ± u#zAw��

� l ± u#z�w�2.B <?r3@�78>-<A@o>-<�WTr32OL8r ± u#z�w�L8r3>NW3{N@�BM, V W KY1V7�@njV>N9 u�46@�<?r32.B�r�>-u3u�@�W3BKYW346S 26| >mu�>-7?<?2.LM4.@ A 1�9 u�B�|&7?KY9 > WV@�26{Yr�5�KN7�B?26<A@X<AKkz KN7 |�78KY9 z <AK�KYWV@XKN| <?r3@WV@�26{Yr�5�KN7vBM,k� SmUV@�«�W326<?26KYW�KN|�<?rV@CLM1V7?78@�W`<�hV<?r32OBs9X>�S 5�@mWs7826<A<A@�W�>NB

� l ± u#z�w_o � � � � � � � 0 � �ys@Mu�4.>NLM2OWV{X2.W <?rV@Eu�7?@M��2.KY13B B?139���l ± u#z�w�5�S <?r32.B @nj=u37?@�B8B?26KYWm>NW3Umu�@M7?|&KN789X2OWV{ >B?139X9X>-<?2.KYW 5�S u�>-78<?B�h�W�@TKN53<?>N2OWX<?r3>-< <[email protected]�<A@M{N78>N43<A@M7v9;2.WX<?rV@T9X>-7?<?2OWV{Y>N46@ � ��2.B @�0�1�>N4(<AK

f � � ¶� ­ ¯

u ��l �yw/u#zArsf\w�f � � 0 ���

WTrV@M7?@ �¢lZ2.B <?rV@EU�2.B?Ln7?@M<A@EUV@M7v26��>-<?2.�N@D{Y26�N@�Wm5�S

u �¢l �yw/u#zArsf\w�o f^� �gu#z ª +�rsf\wx� �gu#z�rsf�w)¦5�

qsr32.B§«378BA<mB?1�9X9X>-<?26KYWf5�Sfu�>-7?<?B�h�>N4�W >�S=Bmu�KYB?B?265�46@QhsLM>NW3Ln@�46@�U KYWV@ KN|�<?rV@ |&>NLsc<AKN78B1f ,�t#B?@�LnKYW3U B?139X9X>-<?2.KYWw5�Smu�>-7?<?B2.BT>N4.B?K�u�KYB?B?2.5�46@D5�@�LM>N13BA@�W @ >NB?B?139X@�U<?rV@�LM1V7?78@�W`< <AK 5�@w26<?B?@�46|T<?rV@ U32�5�@M7?@�W3Ln@mKN|<BW�K 46K=LM>N4 |b13W3Ln<?26KYW3B�, R�@M7?@w@�W�<A@M78B<?rV@C{N78>NU�26@�W`<>NB?B?139Xu3<?26KYW3B,WTr32.LvrAh�>NBSNKY1 LM>NWoBA@M@Qh(B?2.9Xu�4.2�«3@�B LnKYW3B82.UV@M78>-5�4.S�<?r3@u37?KN5�46@�9w, � 26<?r3KY1V<E>wBA@�LnKYW3U�2.W`<A@M{N7v>-<?26KYW 5�S u�>-7?<?B�h{W�@¢WT2O4.4�r3>��N@�<AKw@�BA<?2.9X>-<A@>NWm@nj�u�7?@�B?B?26KYW KN|�KN78U3@M7,f�,

Page 31: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

������������� ��������������������������� ���!�"���#���%$�&����'�#���)(*�,+-�/.'�0�)�1. }Y[

��S�u Q�,.+�ws>NW3Uw> B?1�9X9X>-<?26KYWm5�S�u�>-7?<?B�hV<?rV@Cu37?@M�=26KY13B B?139 2OB @�0�1�>N4�<AK

f � � ¶� ­ ¯

f^�-u �¢l �´w/u#z�rsf�w���u �¢l �yw/u#z�� +�rsf�w)¦�� � �ª f � � ¶

� ­ ¯f^�-u �¢l �yw/u#z�rsf�w�� u �¢l �yw/u#z���H¹rsf�w)¦�� � �

o f � � ¶� ­ ¯

��� � u#zArsf\w � � � ª H f � � ¶� ­ ¯

��� ��u#zArsf\w � � � ª � u0f � � wH�

� @EWVK�W 78@M<?1V78W�<AK <?rV@D9X>-7?<?2.WV{Y>N4.@N,�:V2.W3Ln@<?rV@D9X>-7?<?2.WV{Y>N4.@��->NW32.B?r3@�B�>-< <?2.9X@~�h�26<?B @nj=u�@�Ln<?>-<?26KYW�2.B LnKYW�BA<?>NW`<�@�0�1�>N4(<AK�~=, V W u�>-7?<?2.LM1�4.>-7h

2�� ¯ �� �

l� � � � � � �

l� � � � � u Q�,IH¹w

o 2 � ¯ � � �� a�Of � � ¶

� ­ ¯� � � u#z�rsf�w � � u ± � w9� ª � u0f � � w��

WTrV@M7?@� o � � ª H � � �

ys@�LM>N4.4�<?r3>-<§W @ >-7?@ >NB?B?139X2OWV{ <?r3>-<�<?rV@�@�9 u�26782.LM>N4s9X@�>NB?1V7?@oLnKYW`�N@M7?{N@�B <AK*Ru#�s� %�w�a %�, V Wmu�>-7?<?2OLM134.>-7h=<?rV@E46@M|&<sr3>NW3UmB82.UV@DKN|�<?r32.B @nj=u37?@�B?B826KYWmLnKYW`�N@M78{N@�BT<AK

�­�¢u %�w *Ru#�s� %�w a�% � �

­�gu %�w *���u %�w a�%\�

��W <?rV@EKN<?rV@M7r3>NW3UAh=<?rV@C7826{Yr�<sr3>NW3UmB?2.U3@�2OB @�0�1�>N4(<AK� �� a�Of � � ¶

� ­ ¯� � � u#z�rsf�w92 � ¯ � � � u ± � w9���

;�W3U3@M7�<?r3@o>NB?B8139 u3<?26KYWfKN|�LnKYW�BA@M7?�->-<?26KYW�KN|�46K=LM>N4T@�0�132.4O2653782.1�9�h |&KN7m>NW`S «Vj=@�U9X>NLn7?KYB?LnKNu�2OLD<?2.9 @E~¢¡ �y¡ � >NW3Um>NW�Sm46K�LM>N4*|&13W�Ln<?26KYW � h

2 � ¯ � � � u ± � w9��� D E ¯���� � �� ¯ � �� ���

� S¥u H�,xp-whs<?r�2.B�4.>NB?<X@nj�u�7?@�B?B?26KYW�LM>NW 5�@�Ws782.<A<A@�W >NB �� u *�u �¹�'zArsf\w'wv, qsr3@M7?@M|�KN78@Qh13W3UV@M7�<?rV@m>NB?B?139 u�<?26KYW KN|TLnKYW�BA@M7?�->-<?26KYW KN|�46K=LM>N4@�0�132.4O2653782.1�9�h(<?rV@�7826{Yr�< r3>NW�UB?2.UV@�KN|�u Q�,IH¹w 2.B LM4.KYBA@Qh�>NB,f ! # hV<AK

� �� a�Of � � ¶

� ­ ¯��� ��u#zArsf\w �� u *Ru ���'z�rsf�w'w��

Page 32: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

}N} ��� �U�� ����

V W�LnKYW3LM4.13B?2.KYWAh¹W�@su37?Kh�N@�U�<?r3>-< 26|�<?r3@[email protected]�LnKYW�BA@M7?�->-<?26KYWXKN|(46K=LM>N43@�0�132.4.2.53782.139>NW3U 26|�<?rV@ @�9 u�267v2.LM>N4D9 @�>NB?1V78@ LnKYW`�N@M7?{N@�BhC26<w9 13BA<wLnKYW��N@M7?{N@�B�<AKf> 9 @�>NB?1V78@*Ru#�s� %�w�a %\WTr3KYBA@EUV@�W3B?2.<�S�B8>-<?2.B'«3@�B <[email protected]@�W�<?26<�S

�­�gu %�w *�u#�� %Aw a % � �

­�gu %Aw * ��u %Aw a %vo � �

� a � �­

a % ��� ��u %�w �� u *Ru ��� %�w'w

|�KN7�>N4.4sB?9 K�KN<?rf|&13W�Ln<?26KYW3B � >NW3U�>N4.4s<?2.9 @�� , qsr32.B 9 @�>NW�B�<?r3>-< * 2OBX>_W�@�> YBAKY4.1V<?26KYW KN|�<?rV@ClH[�/ � � ��*go � �� u *�w��

*�ub~����*w�o *�� u��*w�� u Q�,IQ¹w

t B?2O9 u�46@�LnKY9Xu�1V<?>-<?26KYW B?rVK"WTB <?r3>-< 2.W KY1V7 @nj=>N9Xu�46@Qh �� u'�Fwgo � ª � � � B?K<?r3>-<s<?rV@D@�0�13>-<?26KYW 2.B

� �'*5o � � u �tu *�w � � *�wWT26<?r �\u'��wxo#+ ª H � �,�F@�� ����S � ���xK � ��� ��PAL G ����S ��P��xG ��K� @ 9�>�S�WVK"W <?1V78W <AK�>�B'YN@M<?L8r KN| >�782.{NKN7?KY13B�u37?K�KN|�,q�@�Lvr3W32.LM>N4�UV@M<?>N2.4OBTLM>NW 5�@«�W3U�2OW�° r3>-u�<A@M7 P�KN|1�xP � , � @ u37?@�BA@�W�<A@�U 2.W�° r�>-u3<A@M7 H > {N@�WV@M78>N4 9 @M<?rVK=U�<AKu37?Kd�N@�<?rV@�r�S=UV7?K=UVS�W�>N9X2.L 5�@�r3>��=26KN7�KN| >NW 2.W�<A@M78>NLn<?2.WV{ u�>-7?<?2.LM4.@�BAS=BA<A@�9�h�WTr32.LvrLnKYW3B?2.BA<A@�U�2.W <?rV7?@M@EBA<A@Mu�BM,

[@�WVKN<A@D5�S � l <?rV@�u37?KN5�>-5�2.4.26<�S 9X@�>NB?1V7?@KYW <?rV@u�>-<?r BAu�>NLn@ �tu�� ~���� ��� � 0 wLnKN7?7?@�BAu�KYW3U32OWV{�<AK <?rV@ � >-7�YNKd� u�7?K�Ln@�B8B � l� h�BAu�@M@�UV@�U 1Vu 5�S�f � h�>NW�U BA<?>-7?<?2.W3{|�7?KY9 BAKY9 @ 9 @�>NB?137?@ l , � @^«378BA< u37?Kh�N@ <?r3>-<�� l 2.Bw<?26{Yr`<M, qTr32.BmBA<A@MuZ2OB<A@�L8r3W32OLM>N4*>NW3UmKY9X2.<A<A@�U(,

� @ <?rV@�W W3@M@�U <AKmLvr3>-78>NLn<A@M782�M@ >N4.4�4.2.9�26< u�KY2.W`<?B�KN|�<?rV@ BA@�0�1V@�W3Ln@ � l ,qsr�2.BBA<A@Mu 2OB�U32.��2.U3@�U 2.W�<?r37?@M@�BA<?>-<A@�9X@�W`<?BM, � @mB?rVK"W;<?r3>-< >N4.4�4.2.9X2.<Du�KY2OW`<?B � ? >-7?@LnKYW3Ln@�W`<A7v>-<A@�U�KYW

+-,T>-5�BAKY4O1V<A@�46S LnKYW`<?2.W�1VKY13Bs<A78> A @�Ln<AKN7v26@�B � u#�s��a %Aw�o *Ru#�s� %�w�a�%{¸H�,�W�@�> YwBAKY4.1V<?26KYW�B KN|�<?rV@ElH[�/ u Q�,IQ¹w¸Q�,s<A78> A @�Ln<AKN7826@�B � u#���a�%�w o *Ru#�s� %�w�a�%�WTrVKYBA@XUV@�W�B?26<�S B?>-<?2.B?|�S >NW @�WV@M7?{NS @�BA<?2�c9X>-<A@N,

� 13B?<>NB 2OWb° r3>-u�<A@M7�H h=B?2.W3Ln@s<?r3@M7?@�2.B >-< 9 KYB?<KYWV@�u�>-7?<?2.LM46@Tu�@M7�B?26<A@Qh�>N4.4�4.2O9X26<u�KY2OW`<?B�>-7?@�LnKYW�Ln@�W`<A78>-<A@�U KYW�u�>-<?r�B � u#�s��a %AwyW�r32.L8r >-7?@ >-5�BAKY4.13<A@�46S LnKYW`<?2.W�1VKY13B

Page 33: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

������������� ��������������������������� ���!�"���#���%$�&����'�#���)(*�,+-�/.'�0�)�1. }��

WT26<?r 7?@�BAu�@�Ln<�<AKm<?rV@ J*@M5�@�BA{Y1V@ 9 @�>NB?1V78@ >NW�UkW�rVKYBA@ UV@�W3B?26<�S4*Ru#�s� %�w2OB�u�KYB?2.<?26�N@>NW3Um5�KY13W3UV@�U�5�So+-, qsrV@ «378B?<sBA<?>-<A@�9 @�W�<�2.B <?r�13B <A782.��2.>N4 ,

q�K�u37?Kd�N@�<?r3>-<�>N4.4 4O2.9X26< u�KY2.W`<?B�>-7?@�LnKYW3Ln@�W�<A78>-<A@�UfKYW W @�> Y B?KY4.1V<?26KYW3BhxW @|�KY4.4.K�W >-{Y>N2OW <?rV@�B?<A78>-<A@M{NS u37?KNu�KYBA@�U�2.W ° r3>-u�<A@M7�H�, dVKN7 >�B?9 K�KN<?r |b13W3Ln<?2.KYW�qn¹j , . h�LnKYW3B?2.UV@M7 <?r3@C9X>-7?<?2.W3{Y>N46@ � �� 2.W�<A7?K=U313Ln@�U 2.W <?rV@Cu37?@M�=26KY13B BA@�Ln<?26KYW(,t�W @�46@�9X@�W`<?>-7?S�@�BA<?2.9X>-<A@sB8rVK�WTB�<?r�>-<�<?r�2.B�9X>-7?<?2.WV{Y>N4.@��->NW32.B8rV@�B�2.W�� � >NB�f"! # ,qsrV@M7?@M|&KN7?@QhV5�S�[K�KN5 � Bs2.W3@�0�13>N4O26<�SQhV|&KN7s@M�N@M7?S � ~�h

4.2.9l � �* � ¯ � B?1Vu� �}����� � � �� � � � o ~g� u Q�,xp-w

RT@M7?@�>-u3u�@�>-78B(<?rV@�«378BA<*9X>N2OWEU32�5�@M7?@�W3Ln@�5�@M<!W @M@�W�<?r32.B({N7v>NU326@�W�<*@nj=LM4O13B?26KYW�u378K�Ln@�B?B>NW3U�<?r3@�BAS=9X9 @M<A782OLTB?2.9Xu�46@[email protected]?2.KYWXu37?K=Ln@�B?BM, � r32.46@�2.WX<?rV@�B?2.9Xu�46@TBAS=9X9 @M<A7v2.LLM>NBA@ <?rV@ 9X>-7?<?2.WV{Y>N4.@ � �� LnKY1�4.U�5�@tWs7826<A<A@�W�>NBm> |&1�W3Ln<?26KYWfKN|E<?rV@ @�9 u�267v2.LM>N49 @�>NB?1V7?@Qh�rV@M7?@ � �� h�{Y26�N@�Wm5�S

� �

l� � � � � � �

l� � � � � � �� a�Of � � ¶

� ­ ¯��� ��u#z�rsf�w � � u ± � w��

2.BkWVKN<�>�|b13W3Ln<?26KYW KN|�<?rV@ @�9 u�2.782.LM>N4=9 @�>NB?1V78@ 5�@�LM>N1�BA@ u37?K=U313Ln<�<A@M789XB>NB ± ub~�w ± u +�w>-u3u�@�>-7�2.Wm<?r3@�UV@�«�W�26<?26KYW KN| � u ± wv, V |FW @�W�>NW�<�<AK�u37?K=Ln@M@�U >NB�2.Wt° r3>-u3<A@M7H h W @WV@M@�U <AK � LM46KYBA@��E<?r32.B�@�0�13>-<?26KYW 2.W <A@M789�B�KN|�<?rV@ @�9Xu�26782.LM>N4=9 @�>NB81V7?@N,�qsr32.B�2.BkUVKYW3@5�S <?rV@E78@Mu�4.>NLn@�9 @�W�<�46@�9�9X> 5�@�46K�W�U31V@D<AK �D1VK�h�l�>-u�>NW32OLnKY4.>-KY1�>NW3U ��>-78>NU3r3>NW*,q�K�B?<?>-<A@C<?r32.B 78@�B?1346<�h�W�@CWV@M@�Um<AK�2OW`<A7?K=U313Ln@EB?KY9 @EWVKN<?>-<?26KYW(,

dVKN7�> u378KN5�>-5�2.4.2.<�S 9 @�>NB?137?@ l KYW �d~���+%¦�­ ¯ hUV@�W3KN<A@ 5�S ��u l � 3 l� w�<?r3@@�W`<A7?KNu�S KN|�{l WT26<?r 78@�BAu�@�Ln< <AK 3 l� n

��u l � 3 l� w_o � 46KN{ a la�3 l� a l �

qsrV@78@�>NUV@M7�LM>NW�«�W�UE2.WCt�u3u�@�W3U326j + KN| �xP��=<?rV@ 9X>N2OWEu37?KNu�@M7?<?2.@�B*KN|3<?rV@ @�W`<A78KNu�SC2OW<?rV@�LnKYW�<A@nj�<�KN| � >-7�YNKd�Xu�7?K�Ln@�B8BA@�BM, � 13B?<�KN5�BA@M7?�N@�<?r3>-<|&KN7 >NW�SX46K=LM>N43@�0�132.4.2.53782.1393 l5%= 6@8 :

4.2.9l�� �f � � ��u'3 l5 = 698 : � 3 l� w

o � a % � * � u %�w�4.KN{ *�� u %Aw� ª � +�� * � u %�w9�d46KN{ +�� *��¹u %�w

+�� � � �

qsr�1�B�h�<?r3@ @�W`<A7?KNu�S KN| > 4.K�LM>N4D@�0�132.4O2653782.1�9 BA<?>-<A@_WT2.<?r 7?@�BAu�@�Ln<m<AK�>NW�S�WVKYW�cUV@M{N@�WV@M78>-<A@ 2.W`�->-782.>NW�< BA<?>-<A@�2OB KN|�KN7vUV@M7,f ,

Page 34: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

�-~ ��� �U�� ����

dVKN7�@�>NL8r u�KYB?26<?2.�N@�2.W�<A@M{N@M7 �C>NW3U 2OW`<A@M{N@M7mz{h�UV@�WVKN<A@ 5�S ±�� u#z�ws<?rV@ @�9 u�267v2.LM>N4UV@�W3B?26<�S�KN|�u�>-7?<?2OLM46@�Bs2.Wm> 5�K�jmKN|�46@�WV{N<?r�H � ª +ELn@�W�<A@M7?@�U >-<,z{n

± � u#z�w^o +u H � ª +�w ¶

; � � �± u#|�w�� u Q�,IP¹w

� �= � � �.��� H & O pQL'$ubcLdP%m�L l I&w7!%R&IMz~OMzdH4j HJnJ| # L�O�pxboR&Ldp l I�P �d~���+%¦ ­ ¯ (DFpxpxb # L)n4t*O]n ��u l � 3 l� wi¡ � � f wQI�R�pdI # L �<P�HJn�L mxI�P0pdn�O�Pcn � � ( }ltoLQP0E�wQI�RLds�LQRx| � ~ O�P#K;Lds�LQRx|�j IumxO�j*wxboP%minJHJI�P � E

4.2.9 B81Vu� � � 4.2.9 B?13ul�� �* � ¯ � � �

� f � � ¶� ­ ¯

� �� ��l�u ± � w a�C� �8o"~5�

�vtoLdR�L� �

u ± w^o +

u H � ª +�w ¶ ; � �

� ; ��u ± w_� �� � ± � ub~�w � �

� @ LM4.>N2.9 <?r�>-<�<?r32OB�46@�9�9X>su�@M789X2.<?B(<AK�@nj�u378@�B?B�<?r3@ 9X>-7?<?2OWV{Y>N46@ � �� 2OWE<A@M789XBKN|*<?rV@T<?r3@�@�9 u�26782.LM>N439X@�>NB?1V7?@ �

l� ,xdVKN7 � � ~�h=UV@�WVKN<A@5�S�� � <?rV@>-u�u37?K�jV2.9X>-<?2.KYWKN|�<?rV@�2.UV@�W�<?26<�S

� �%u %Aw^o +H � � � %���¡ � ¦��

V Wmu�>-7?<?2.LM134.>-7�h

± �'l ub~�w_o +H � f ª +

¶ ; ���'l

± u#|�w �+

H � f¶ ; ���'l

± u#|}w_o � � l ��� � � �Xu Q�,IF¹w

ys@�LM>N4.4�<?r3@D@nj�u378@�B?B?26KYW�|&KN7 <[email protected]�<A@M{N78>N4�u�>-7?< KN|�<?rV@D9X>-7?<?2.WV{Y>N4.@ � �� >NW3Ub«Vj>CB?9 K�KN<?rX|b13W3Ln<?2.KYW � n¹j , . ,�:=2.W�Ln@ � 2.B>�B?9 K�KN<?rX|b13W3Ln<?26KYWAh�>CBA@�LnKYW�UXKN78UV@M7q�>dS�46KN7�@nj�u�>NW3B?26KYWmB?r3K�WTB <?r�>-<

f � � ¶� ­ ¯

��u#zArsf\w � � u ± � w

o f � � ¶� ­ ¯

+H � f ª +

¶ ; � ���'l

��u#|�rsf�w � � u ± � w ª � u � � w��

t�B?1�9X9X>-<?26KYWm5�S�u�>-7?<?BsB?r3K�WTB <?r�>-<s<?rV@Eu378@M��26KY1�B <A@M789 LM>NWw5�@mWs782.<A<A@�Ww>NB

f � � ¶� ­ ¯

��u#z�rsf�w +H � f ª +

¶ ; � ����l

� ; � u ± � w ª � u � � wH�

Page 35: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

������������� ��������������������������� ���!�"���#���%$�&����'�#���)(*�,+-�/.'�0�)�1. �=+

� SmJ�@�9X9X>XQ�,IQX>NW�Um2.UV@�W�<?26<�S�u Q�,IF¹wh�<?r�2.B @nj�u�7?@�B?B?26KYWm2OB @�0�13>N4*<AKf � � ¶

� ­ ¯��u#zArsf\w � �� u � � l� ��� � � w ª�� l � �1�

WTrV@M7?@ � l � � 2OB >NW @nj=u37?@�B8B?26KYWiWTr32.Lvr �->NW32.B8rV@�B�2OW u�7?KN5�>-5�2.4O26<�S >NBgf ! # >NW3U<?rV@�W ��� ~=,

V W�LnKYW3LM4.13B?2.KYWAh`26<�|&KY4.46K"WTBk|&7?KY9 J�@�9X9X>�Q�,IQE<?r3>-<�<?rV@9X>-7?<?2.W3{Y>N46@ � �� LM>NW�5�@Ws7826<A<A@�Wm>NB

� �

l� � � � � � �

l� � � �� � �

� a �{f � � ¶� ­ ¯

� � � u#zArsf\w � �� u � � l� ��� � � w ª�� l � �WTrV@M7?@ � l � �k2.B�>NW @nj�u�7?@�B?B?26KYW�WTr32OL8r���>NW32OB?rV@�B�2.WCu�7?KN5�>-5�2.4O26<�S�>NB�f"! # >NW�UC<?rV@�W��� ~=,�qsr�2.Bk|b>NLn<�h�<AKN{N@M<?rV@M7�WT2.<?rku Q�,xp-w>NW3UX<?rV@BA<A78>-<A@M{NSXu�7?@�BA@�W�<A@�U�2.W�° r3>-u3<A@M7 HB?rVK�W�B�<?r3>-<>N4O434.2.9X2.<�u�KY2.W�<?B � ? KN|�<?r3@�BA@�0�1V@�W3Ln@�� l >-78@�LnKYW3Ln@�W�<A78>-<A@�U�KYWXu�>-<?r3B� u#���a�%�w�o *Ru#�s� %�w�a % B?13Lvrm<?r3>-<

�­�gu %�w *�u#�� %Aw a % � �

­�gu %Aw * � u %Aw a %vo � �

� a � �­

a % � � � u %�w �� u *Ru ��� %�w'w|�KN7 >N4.4�B?9 K�KN<?r |b13W3Ln<?26KYW3B �z>NW3U >N4.4�<?2.9 @�B�� ,�qsr�13B >N4.4�4.2.9X26<u�KY2OW`<?B >-7?@DLnKYW3Ln@�W�c<A78>-<A@�UwKYW�W�@�> YmBAKY4.1V<?2.KYW3B KN|�u Q�,IQ¹wv,

V W LnKYW�<A78>NBA< WT2.<?r�<?rV@ BAS=9X9 @M<A782OL�B?2O9 u�46@�@nj=LM4.1�B?26KYW u37?K=Ln@�B?B�h�WTrVKYBA@ 9X>NLn7?K cB?LnKNu�2.L @M�NKY4O1V<?26KYWX2.BUV@�B?Ln78265�@�U 5�S <?rV@TrV@�>-<�@�0�13>-<?26KYW�h�W�@�r3>d�N@�rV@M7?@s>�WVKYW�c�4.2OWV@�>-7u�>-78>-5�KY4.2.L@�0�13>-<?2.KYW >NW3U BAKY9 @ |b1V7?<?rV@M7�u37?KNu�@M7?<?2.@�B�>-7?@sW3@M@�UV@�U 2.W�KN78UV@M7k<AKD@�[email protected]�1V@�WV@�B?B�KN|FW�@�> Y B?KY4.1V<?26KYW3B�,

��WV@�LM4.>NB?B?2OLM>N4�u378K�KN|(KN|�1�W32.0�1V@�WV@�B?B7?@�4.26@�BKYW�<?r3@<?2O9 @T@M�NKY4.13<?26KYW�KN|*<?rV@ � � �WVKN789 >NW3Uo7?@�0�13267?@�Bu37?KNu�@M7?<?2.@�BTKYWo<?rV@ BAu�>NLn@XU3@M7826�->-<?26�N@�KN| <?rV@ BAKY4.1V<?2.KYW(,�:=13Lvr7?@�B?1346< 2.BTB?139X9X>-7v2�M@�U 2.Wm<?rV@EWV@nj=<T46@�9�9X>=,� ���k��c��hc&���f� � � D # L�O�pxboR�O zdj L.wxboP%minJHJI]P *Hn�� ~���� � / j , . 0 H9p pdO�H K n�I z~L O��L�O � pQI�j b0nJH I�P)H4P�� � I�w � � (9��� !%R&I�siH KML~K� ( *Ru#�s���*w zxLdj I�P q]p�n�I � � u0j ` w wQI�RrLQs�LdR�| ~¢¡ ��¡�� O�P#K B?13u � �}����� �#*����� � � # (� ( }ltoLQR&L�L'&]H9p�n4pFO�wxboP%minJHJI]P H9P � � u�� ~���� � / j�w EaKMLdP#I]n�L�K�zQ| � � �� u *Ru ��� %�w'w Evpxb�mdt

n4t*O]n#wQI�R�LQs�LdR�|�p # IuI]n4t�w�boP%munJH I�P �tn � ~���� � / j , .� �

� a � �­

a %5u � � �yw/u �¹� %Aw �� u *Ru ��� %�w'w

o � � �

� a� �­

a % �¢u �¹� %Aw � � �� u *Ru ��� %�w'w��

Page 36: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

�NH ��� �U�� ����

� ( � I]R Lds]LdR�| p # IuI[n4t�wxboP%minJHJI]P �\n . , . O�P%KrwQI�R�LQs�LdR�| ~ � ��¡�� E�­

a % *Ru#�s� %�w��gu %Aw_� �­

a�%<* � u %Aw��gu %�w

o � � �� a� �

­a % � � u %Aw � � �� u *�u �¹� %Aw'w��

� �= � � ��� }ltoLdR�L L'&[H pdn4p�O�boP�H $QbcL ��L�O � pdI�j{b0nJHJI�P)H4P�� � I&w ��� (9��� (V W���2.@�W;KN| <?r32OBE7?@�B?1�46<�h�<AK LnKYW3LM4.1�UV@X<?rV@�u37?K�KN| KN| <?rV@�13W�2.0�13@�WV@�B?BDKN|s4.2O9X26<

u�KY2OW`<?B KN|�<?rV@EBA@�0�1V@�W3Ln@ � l hUW @CW3@M@�Um<AKXu37?Kh�N@E<?rV@E|&KY4.46K"WT2.WV{ 46@�9X9�>�n� �= � � �.) D.j9jaj{H # HJn !oI�H4Pcn4p � ? I�wyn4toL�pQL'$ubcLdP%m�L � l O�R�L)m~I�P#mxLdP%nJR�O]n�L~K I�P!oO]n4t[p *Ru#�s� %�w�a�% �fHJn4t n4toL !#R�I !�LdRdnJ|�n4t*O]n<n4t0LdR�L�L'&[H pdn4p.O�P � � u�� ~���� � / jF`Qw wxboP%minJHJI�PKMLdP%I[n�L�K;zd| � � �� u *Ru ��� %�w'w pxb�mQt n4toO]n� �

� a � �­ ®

a %�u � � �yw/u ��� %�w �� u *�u �¹� %Aw'w^o � � �

� a� �­ ®

a % �gu �¹� %Aw � � �� u *�u �¹� %Aw'w

wdI�R�O�j9jUp # IuI]n4t�w�boP%munJH I�P0p � (gA I�R�L�I�s]LdRxE� �

� a� �­ ®

a %5u � � �� u *�u �¹� %Aw'w'w � � #©�

qsrV@�BA@T7?@�B?1346<?B�<AKN{N@M<?rV@M7 B?rVK�Wf<?r3>-<<?r3@�BA@�0�1V@�W3Ln@ � l LnKYW`�N@M7?{N@�B�<AK�<?rV@�9 @�>%cB?1V7?@�� LnKYW3Ln@�W�<A78>-<A@�U KYW <?rV@m13W�2.0�13@¢W @�> Y BAKY4.13<?26KYW 2OW � � KN|5u Q�,IQ¹w�u37?Kh��2.U3@�U<?rV@�@�W`<A7?KNu�S�KN|� l W�26<?r�7?@�BAu�@�Ln< <AKX>�78@M|�@M7?@�W�[email protected]`�->-782.>NW�< BA<?>-<A@)3 l� 2OB 5�KY13W�UV@�U5�S � � fih�|�KN7 BAKY9 @§«�W326<A@�LnKYW3BA<?>NW�< � � hk>NW3U�u37?Kd�=2.UV@�U�<?rV@�@�9 u�26782OLM>N4�9 @�>NB?1V78@LnKYW`�N@M7?{N@�B2.W u378KN5�>-5�2.4.2.<�SQhV13W3UV@M7 l hV<AK * �¹u %Aw�a %�,

q�K�LnKYW3LM4.13UV@D<?r3@Eu37?K�KN|�KN|�<?rV@CLnKYW��N@M7?{N@�W3Ln@ KN| �l� <AK *Ru#�s� %�w�a %OhUW�@CWV@M@�Um<AK

>-7?{Y1V@Qh�>NB 2.W�° r�>-u3<A@M7 H hk<?r�>-< LnKYW��N@M7?{N@�[email protected]�<?rV@m:�YNKN7?KYrVK=U BAu�>NLn@�<AK >�LnKYW�c<?2.W�13KY13B�u�>-<?r�2.9 u�4.26@�BkLnKYW��N@M7?{N@�[email protected]�<?rV@�13W�26|�KN7v9 WVKN789;>NW3U�<?r�>-< LnKYW��N@M7?{N@�[email protected] U32.BA<A7v265�1V<?26KYW�<AK�>_[�2678>NLm9X@�>[email protected]�4.26@�B LnKYW`�N@M78{N@�W3Ln@o2OW u37?KN5�>-5�2O4.26<�SN, V WB?139X9X>-78SQh�W @Cr�>��N@Eu378Kd�N@�U�2OW <?r32.B L8r�>-u3<A@M7T<?rV@C|�KY4.4.K�WT2.W3{ 78@�B?1346<M,��������gh�= � �&i k"LQn l z~L O pQL'$ubcLdP%m�L I�w.!%R&IMz�O zdH4j HJnJ| # L�O_p�boR&Ldp I]P n4toL !oO]n4tp !oO[m�L �d~���+%¦�­ ¯ (Dp~pxb # L n4toLQR&L L'&[H pdn4p O �<PcH4n�L�m~I�P0pdn�O�Pcn �=� O�P#K;O;KMLQP0pxHJnJ| ~ �� � + pxb�mQt n4toO]n ��u l � 3 l� we¡ �=��f ( V�b ! !oI_puL�wxboRdn4toLdR # I�R�L)n4t*O]n�wQI�R�Lds]LdR�|m~I�PcnJH4P�b�I�b*p`w�boP%munJH I�P0p � n¹j , . O�P%K;LQs�LdR�| � ~ E

4.2.9l � � l �

� �

l � � � � �­

a %���u %Aw * � u %Aw � � o ~g�

Page 37: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

������������� ��������������������������� ���!�"���#���%$�&����'�#���)(*�,+-�/.'�0�)�1. �NQ

}ltoLdP0E<wQI�RyLds]LdR�| � � ~ E�Lds]LdR�|)mxI�PcnJH4P�b�I�b*pwxboP%minJHJI�P�p � n�j , . O�P#K Lds]LdR�|�� ~

4O2.9l � �* � ¯ �

� �

l� � � � � �­

a�%���u %�w *Ru#�s� %�w � ��o ~¢�

�vtoLdR�L *Ru#�s� %�w H9p�n4toL�boP�H $ubcL ��L~O ��pdI]j b0nJH I�P)H9P�� � I�w � � ( � ��(� ��� ��7#��=�9�� ���� � ���(�16 � � ��� � �y4

� @�u378@�BA@�W`< 2.W <?r�2.BC46@�Ln<?137?@�<?rV@�BA@�LnKYW3U {N@�WV@M78>N4 9 @M<?rVK=U <AKou37?Kh�N@�<?r3@�r�S�UV78K cUVS�W�>N9X2.LE5�@�r3>d��2.KN7KN|�>NW 2.W`<A@M7v>NLn<?2.WV{�u�>-7?<?2.LM46@ BAS=BA<A@�9m,��CWVK�WTWo>NB�<?rV@ 7?@�4.>-<?2.�N@@�W`<A7?KNu�S 9X@M<?rVK�U�h�26<�2.BU31V@�<AK��>N1 � � � , � r32.4.@E<?rV@ @�W`<A78KNu�S�9X@M<?rVK�Uou378@�BA@�W`<A@�U2.W�<?r3@u�7?@M��2.KY13B Lvr3>-u3<A@M7s78@�4.26@�B KYW <[email protected]�1V@�WV@�B?BKN|{W�@�> Y�B?KY4.1V<?26KYW3B KN|�<?r3@�r�S-cUV7?K=UVS�W�>N9X2.Ls@�0�13>-<?26KYW�h�<?r3@78@�4.>-<?26�N@�@�W`<A78KNu�S 9 @M<?rVK=U�7?@�4.26@�B�KYW�<?rV@�@nj=2OBA<A@�W3Ln@DKN|>XB?9 K�KN<?rwBAKY4.13<?26KYW(,

t�B 2.Wf<?rV@ou37?@M�=26KY13B�L8r3>-u�<A@M78B�h�>N4O4Tu378K�KN|bB�KY9�26<A<A@�U rV@M7?@ LM>NW 5�@ |�KY1�W3Uf2OW° r3>-u3<A@M7�F KN| �xP�� ,

q�Kk«Vj 2.UV@�>NB�h�LnKYW3B?2OUV@M7E<?rV@�KYWV@/c�U32.9 @�W�B?26KYW3>N4�@njVLM4.13B?2.KYW u37?K=Ln@�B?ByW�26<?r 78>-<A@�B��� � u ± w)¦�{Y26�N@�Ww5�S

� � u ± w_o�� � + ª�� � ± u��E+�w ª ± u H¹w9� |&KN71~�o + h+ ª�� � ± u��TH¹w ª ± u +�w9� |&KN71~�oq�E+ h

~ 2.| � ~ � � +|�KN7EBAKY9X@ � � �E+�r-H�, � @Xr3>��N@�BA@M@�W <?r3>-<�<?rV@ r`S=UV7?K=UVS=W3>N9X2.LC@�0�1�>-<?26KYW KN|<?r32OB9 K�U3@�4(2.B <?rV@EWVKYW�c�4.2.WV@�>-7 u�>-7v>-5�KY4O2.LT@�0�13>-<?26KYW

� �'*5o � � u �tu *�w � � *�w��WT26<?r �tu'�Fw�o + ª H � �, qsr32.B @�0�13>-<?26KYW >NU39�26<?B > B?9 K�KN<?r BAKY4.1V<?2.KYWAhUV@�WVKN<A@�U5�S&*Ru#�s� %�wh*<!WT2.Ln@XLnKYW�<?2.W�13KY13B?46S�U�2�5�@M78@�W`<?2.>-5�46@ 2OWoB?u�>NLn@ >NW3U KYW3Ln@XLnKYW�<?2.W�13KY13B?46SU32�5�@M7?@�W`<?2O>-5�[email protected] <?2.9 @�ubLn| ,��x}��#wv,

q�K >��NKY2OU 13W�2.W`<A@M78@�BA<?2.WV{m<A@�Lvr3W32.LM>N4�U32���LM1�46<?26@�B�hOW @�>NB?B?139 @�<?r3>-<C<?r3@�2.W�26<?2.>N4u37?KQ«�46@ *��¹u��*w 2.B 5�KY13W3U3@�U 5�@�4.K�WZ>NW3U�>-5�Kh�N@C5�SmBA<A782.Ln<?46S�u�KYB?26<?26�N@D>NW3Ue«�W326<A@DLnKYW�cBA<?>NW`<?Bn

~ � �b¡ * �¹u %Aw�¡ � � � �RT@M78@�>-|�<A@M7h�|&KN7x�� ~�h-W�@TUV@�WVKN<A@T5�S 3 l576 � � 8 : <?rV@su�7?K�U�13Ln<k9 @�>NB?1V7?@,WT26<?r B?46K"WT46S

��>-7?S=2.WV{ u�>-7v>N9 @M<A@M7�>NB?B?K�LM2.>-<A@�U�<AKX<?rV@Eu�7?KQ«�46@ *Ru#�s���*wn3 l5 6 � � 8 : � ± ¸ ± u#z�w�o#+%¦ o�3 576 � � � l : � ± � ± ub~�w�o +%¦´� |�KN7 zkµ�j�l8�

� @�9X>dS�WVK"W�BA<?>-<A@�<?rV@E9X>N2.W 78@�B?1346< KN|�<?r32.BsLvr3>-u3<A@M7�,

Page 38: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

��p ��� �U�� ����

��������gh�= � � k"LQn u l w�l �A� z~L O�puL'$ub�LQP%mxL;I�w # L�O�pxboR&Ldp I]P �d~���+%¦ ­ ¯ �vt*I�pQLLdPcnJR&I !%| �fH4n4t;R�L�p9!0L�min�n�I 3 l5 6 � � 8 : H p�I&w�I�R&KMLdR ��u0f�w�

��u l � 3 l576 � � 8 : w_o ��u0f�w��}ltoLdP0Efn4toL.R�Ldj O]nJH4s�LLQPcnJR&I !%|�I�w.n4toLrp�n�O[n�LI�wrn4t0L !%R&IumxLdp~pO]nvn4toL # O[mQR&I_pQm~I !%H m�nJH # L� �fH4n4t;R�L�p9!0L�min�n�I 3 l576 � � 8 : H p�O�j pdI I&w�I�R&KMLdR ��u0f�w�

� � l � l� � 3 l576 � � 8 : � o ��u0f�w wQI�R�LQs�LdR�| � � ~g�

@xP n4tMH9p.wQI�R # boj O_E � l� p�n�O�P#K_p.wQI�R n4toL�pQL # H4�Jq[R�I]b ! O_p~pQIumQH O]n�L~K�n�I�n4toL�q*LdP#LQR�O]n�I]R�Hl p !�L~L�K L�K�b ! zd| f � (V <E2OBDWVKN<CU32���LM1346<T<AK UV@�U313Ln@ |&7?KY9 <?r32.B�78@�B?1346<D>wBA<A78KYWV{m�N@M78B?26KYW KN|�<?rV@�r�S-c

UV7?K=UVS�W�>N9X2.L4.2.9X26<�5�@�r3>��=26KN7sKN|�<?rV@C2OW`<A@M78>NLn<?2OWV{ u�>-7?<?2.LM4.@EBAS�B?<A@�9�n

����g���$b$&�3gh� � �O\ W�P%KMLQRyn4toL O_pxpxb # !#nJH I�P0p I&w;n4toL�n4toL�I]R&L # ErwdI�R Lds�LQRx| mQ|�j H4P%KMLQRwxboP%minJHJI�P � O�P%K;LQs�LdR�| mxI�PcnJH4P�b�I�b*p`wxboP%minJHJI]P �8nUj , . E

4.2.9l�� �D � ¯�� ¯ � f �

� ¶� ­ ¯

��u#z�rsf�w � �gu ± w�� �­��u %Aw D<E �'� � � � ������a %�

� o ~g�

qsrV@�u37?K�KN|�KN|�qTrV@MKN7?@�9 pV,.+ 2OBTU326�=2.UV@�Um2OW�BA@M�N@M78>N4�46@�9�9X>NBM, � @ BA<?>-7?<�2.W`<A78K cU313LM2.WV{mBAKY9X@XWVKN<?>-<?26KYW(,¢dVKN7 ~�� � � + h 3 l� B?<?>NW3U3BD|&KN7C> 7?@M|&@M7?@�W3Ln@�2OW`�->-782.>NW�<9 @�>NB?1V7?@�>NW3U�� l u#��wk|&KN7 <?rV@y�>NUVKYW � 4 2�YNK=UVS�9 UV@M782.��>-<?26�N@�KN| 3 l576 � � 8 : W�26<?r�78@�BAu�@�Ln<<AK 3 l� n

� l u#��w�n*o a 3 l5 6 � � 8 :a 3 l� �

tfB?2O9 u�46@�LnKY9 u�1V<?>-<?26KYW�>N4.46K�W�B�<AKDKN53<?>N2.W >NW @nj=u�4.2.LM2.<�|&KN789 134.>|�KN7 � l u#�'w�5�@�LM>N13B?@<?rV@C9 @�>NB?137?@�B<3 l576 � � 8 : h�3

l� >-7?@Eu�7?K�U�13Ln< >NW3Um<?rV@Eu�7?KQ«�46@ *�u#����*w 2OB 5�KY13W3UV@�U 5�@�46K"W5�S >XBA<A782OLn<?46S�u�KYB?26<?2.�N@ELnKYW3BA<?>NW�<T13W326|&KN789X4.S�2.W <?2.9 @Qn

�xl´u#��w_o @nj=u � ¶� ­ ¯

± u#z�w 4.KN{ *Ru#�s�'z�rsf�w� ª � +�� ± u#zAw9��46KN{ +,� *Ru#�s�'z�rsf�w

+�� � �e�

[�@�W3KN<A@C5�S� l� <?rV@C9 @�>NB?137?@ l >-<�9X>NLn7?KYB?LnKNu�2OLD<?2.9 @ �sn l� n*o l � l� �

Page 39: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

������������� ��������������������������� ���!�"���#���%$�&����'�#���)(*�,+-�/.'�0�)�1. �NP

5�S � l�u#�'w5o � l� <?rV@myT>NUVKYW � 4 2�YNK=UVS=9 U3@M7826�->-<?26�N@�KN| l� WT26<?r 7?@�BAu�@�Ln< <AKo<?r3@7?@M|�@M78@�W3Ln@C9 @�>NB?137?@ 3 l� n

� l u#�'w�n*o a l�a�3 l� o a l � l�

a�3 l�>NW3Um5�S ��l�u#�'w <?rV@D7?@�4.>-<?26�N@C@�W`<A7?KNu�S KN|� l� WT26<?r 78@�BAu�@�Ln< <AK 3 l576 � � 8 : n

� l u#��w_o � �� l� � 3 l576 � � 8 : � �:=2.W3Ln@ l� 2.Bm>-5�BAKY4.13<A@�46SfLnKYW�<?2.W�1VKY13B�WT2.<?r 7?@�BAu�@�Ln<w<AK 3 l576 � � 8 : h�5�Sf<?rV@�@nj�u�4O2.LM26<|�KN789 134.> |&KN7s<?rV@D78@�4.>-<?26�N@E@�W�<A7?KNu�S

��l´u#��w©o � 46KN{ a l�a�3 l576 � � 8 :

a l�

o � � l� u ± w 46KN{ � � l� u ± w� l� u ± w�� 3 l� u0a ± w��

� @ <?1V78W WVK"W <AK <?r3@ou�7?K�KN|CKN|CqsrV@MKN7?@�9 pV,.+-, qsrV@ BA<A78>-<A@M{NS LnKYW3B?2.B?<?B�2OW@�BA<?2.9X>-<?2.W3{C<?rV@�7?@�4.>-<?2.�N@�@�W�<A7?KNu�S � l u#��w�5�S�> <A@M789 KN|*KN7vUV@M7 ��u0f�w >NW3U�<?r3@�<[email protected]`<A@M{N7v>N4(KN|�<?rV@D@�W`<A78KNu�Sm9 1346<?26u�4O26@�U�5�S >XLnKYW3BA<?>NW�<�n

� l u#�'w�¡ ��u0f�w ª�� � � � �� � l u � w a�

>NW3U >-u3u�46S���7?KYW�W >N4.4�46@�9X9�>�<AK LnKYW3LM4O13UV@N,�qsrV@�«378B?<�BA<A@MuwB?<?>-<A@�Uw2.W J*@�9X9�>�pV,IQ5�@�4.K�W {Y26�N@�BT>NW�1Vu3u�@M7 5�KY13W3U�|&KN7s<?rV@E@�W�<A7?KNu�S�u�7?K�U�13Ln<?26KYW(,

� �= � � �.��� I�R�LQs�LQRx| �=� ~ E� � ��l´u#�'w�¡ � +

� l� � f � � ?l � l� � � � � l� � � l� a�3 l� �

�vtoLdR�L � ?l H9p�n4toL O[K��QI�H4PcnaI�w ��l H4P � � u'3 l� w (eEgh�(���') V < 2.B�@�>NBAS <AK LvrV@�L�Y <?r3>-< � l u#��w�2.B <[email protected]<?2.KYW�KN|�<?rV@ �DKY4.9 KN{NKN7?Kh�|�KN7�W >-78Um@�0�13>-<?26KYW

� � � l´u#��w_o f � � ?l � l´u#��w��:=2.W3Ln@�<?rV@Eu�7?KQ«�46@ *Ru#�s���*w 2.BTB?9 K�KN<?rAh3>XB?2.9Xu�46@�LnKY9 u�1V<?>-<?26KYW B?rVK"WTB <?r3>-<

� � �§l´u#��w o � f � � ?l � l� �d46KN{ � � l�� l� � a 3 l�

ª� � f � � ?l � l� � � l� � � � l�

� l� � a�3 l� �

Page 40: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

�NF ��� �U�� ����

:=2.W3Ln@�� ?l 2.B <?rV@�>NU A KY2OW`< KN| �Hl�2.W � � u'3 � wh� � ?l � l� a�3 l� o ~g�

� Sf<?rV@ B?>N9 @ 7?@�>NB?KYWAhT<?rV@\«37vBA<�@nj=u37?@�B8B?26KYW�KYW <?rV@ 7826{Yr�<�r�>NW3U B?2.UV@ 9X>�S�5�@7?@�Ws7826<A<A@�Wm>NB

f � � � l�� l�� l� � l�� 4.KN{ � l�

� l��� a�3 � �qsrV@D@�46@�9 @�W�<?>-7?Sm2.WV@�0�13>N4.2.<�S

� � 4.KN{���� 46KN{�� �k¡ u���� ��w<?r3>-< r3KY4.U3BE|&KN7 u�KYB826<?26�N@�78@�>N4.B�� h��"h�B?rVK�W�BC<?r3>-< |&KN7 @M�N@M78S u�KYB?26<?26�N@X|b13W3Ln<?2.KYW �>NW3Um|&KN7s@M�N@M7?S {N@�WV@M78>-<AKN7�� KN|�> A 139 umu37?K=Ln@�B?B�h

� �1ub46KN{ � w ¡ � � �V Wmu�>-7?<?2.LM134.>-7�h�<?r3@E4.>NBA<s2.W�<A@M{N78>N4*2.Bs5�KY1�W3UV@�U >-5�Kd�N@C5�S

f � � � l� �Hl�� � l�� l��� a�3 l� o f � �

� l�� l� � ?l � l� a�3 l� �

� @�LM4.>N2O9 <?r3>-<

f � � ?l � l� � � � � l�� l� o � u +�w u&pV,.+�w

ªl � �¶ · �

� � �� u#z�rsf�w ��� � �¹u ± w�� �� �¹u *Ru#�s�'z�rsf�w'wO� �� � � u *Ru#�s�'z�rsf�w'w � ± u#zAw���*�u#��'zArsf\w9���

ªl � �¶ · �

� � �� u#z�rsf�w9� � ��� ���Qu ± w¹� ��!��u *Ru#�s�'z�rsf�w'w�� �� �� u *�u#��'zArsf\w'w � ± u#z�w��C*Ru#�s�'z�rsf�w9���x�

WTrV@M7?@ � u +�w 2.Bs>NWm@nj=u37?@�B8B?26KYW 5�KY13W3UV@�U�5�S�>�LnKYW3BA<?>NW�<�13W32.|�KN789�46SX2.W�f >NW3U

�g��u#z�rsf�w^o 4.KN{ *Ru#�s�'z�rsf�w+�� *�u#��'zArsf\w �

� �¹u ± w_o H � ± ub~�w ± u +�wi� � ± u��C+�w ± u +�w,��!�¹u ± w_o � ± ub~�w ± u +�w ª � ± ub~�w ± u +�w ª � ± u��E+�w ± u +�w^� H � ± u��E+�w ± ub~�w ± u +�w��

Page 41: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

������������� ��������������������������� ���!�"���#���%$�&����'�#���)(*�,+-�/.'�0�)�1. �Y[

q�K�KN53<?>N2.Wo<?rV@ >-5�Kd�N@XB?2.9Xu�46@E|&KN789 134.>NB�hRW @ WV@M@�Uo<AK u�@M7?|�KN7v9 BAKY9 @ 2.W�<A@M{N78>-<?26KYW5�S�u�>-7?<?BM,HdVKN7�2.W�BA<?>[email protected]?<A@�>NUmKN|�KN5�<?>N2.W32.WV{XH � ± ub~�w ± u +�w2OW � � hVKYWV@E{N@M<?B

� ¶� � �

u#z�w ± u#z�w ± u#z ª +�w

|�KN7 BAKY9 @�u�KYB?26<?26�N@Qh�«�W326<A@/c�B81Vu3u�KN7?<A@�U |b13W3Ln<?26KYW � B?13Lvr�<?r3>-<7� � u#z�w�o H�, � @LM>NWw7?@�Ws7v26<A@�<?r32.B B?139 >NB

H � ± ub~�w ± u +�w ª � ¶� � �

u#z�w)� ± u#z�w ± u#z ª +�wF� ± ub~�w ± u +�w)¦

>NW3U 2.W`<A@M{N7v>-<A@ 5�Swu�>-7?<?B�<?rV@ BA@�LnKYW3Uo@nj=u37?@�B?B?2.KYW <AKm2.W�LnKN7?u�KN78>-<A@ 2.<2.Wo<?rV@ KN78UV@M7+D<A@M789m,�qsr�2.B u37?K=Ln@�U31V7?@Dr3>NBs5�@M@�W�UVKYWV@D7?@Mu�@�>-<A@�U346S�<AK�>N4.9XKYBA<s>N4.4(<A@M789�BM,

q�Ku37?Kh�N@ |&KN789 134.>�u&pV,.+�wh¹«378BA<�KN5�BA@M7?�N@�<?r3>-< � ?l o �Hl 5�@�LM>N13BA@ <?rV@�u37?K=Ln@�B?B�2OB7?@M�N@M78B?265�46@N,B��KN7?@MKd�N@M7�h�B?2.W�Ln@ � � 0 ��u ± wxo � 0 � � u ± wh�W @ LM>NW5Ws7826<A@ <?rV@ {N@�WV@M78>-<AKN7�Hl >NB

u���l � w/u ± w_o ¶� ­ ® ¯

� � 0 ��u ± w � � u�� � 0 � ± wF� � u ± w9�{�

t BA<A78>N26{Yr�<A|�KN7)W�>-78U�LnKY9 u�1V<?>-<?26KYW�B?rVK�W�B <?r3>-<f � � l � l�� l� o

l � �¶ · �

� � 0 �u ± w � � l� u�� � 0 � ± w� l� u ± w ��+ �

ol � �¶ · �

� � �� u#zArsf\w � � u ± w ªl � �¶ · �

� � �� u#z�rsf�w9� � � �Ru ± w ª � u +�w��

WTrV@M7?@ � u +�w 2.B >NW @nj=u37?@�B?B?2.KYW 5�KY13W�UV@�U 5�S > LnKYW3BA<?>NW�<X13W32.|�KN789�46So2OW�fih � o� � ª H � � 2.B <?rV@E46K=LM>N4(|b13W3Ln<?26KYWm2OW`<A7?K=U313Ln@�Um2OW <?rV@Eu37?@M�=26KY13B Lvr3>-u3<A@M7�>NW�U�Ru ± w^o ± ub~�w � +�� ± u +�w9� ª � ± ub~�w ± u +�w ª � ± u��E+�w ± u +�wi� H � ± u��C+�w ± ub~�w ± u +�w��:=2.W3Ln@ �

­� � �� u %�w �� u *Ru#�s� %�w'w a % o � �

­a %�� �� u %�w �� �Bu *�u#�� %Aw'w�u � � *�w/u#�s� %�w

o � �­

a % � � �� u %�w9� � ��Au *Ru#�s� %�w'w��W @EKN5�<?>N2.Wm<?r3>-<

f � ��l � l�� l� o

l � �¶ · �

� � �� u#z�rsf�w � � � u ± wF� �� u *Ru#�s�'z�rsf�w'w �

ªl � �¶ · �

� � �� u#zArsf\w9� � � � �Ru ± w�� ���u *Ru#�s�'z�rsf�w'w � ª � u +�w��

Page 42: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

�N} ��� �U�� ����

��Wm<?rV@DKN<?r3@M7�r3>NW3Um>NWw@�46@�9 @�W�<?>-7?SmLnKY9 u�1V<?>-<?26KYW B?rVK"WTB <?r3>-<� � � l�� l� o � �Y46KN{ � l� o ¶

� ­ ¯� �� u *�u#��'zArsf\w'w

*�u#��'zArsf\w � +��+*Ru#�s�'z�rsf�w9� � ± u#z�wF� *Ru#�s�'z�rsf�w9�5�@�LM>N1�BA@ *�u#�� %AwE2OBC<?rV@ BAKY4.13<?26KYW KN|s<?r3@�r�S�U37?K�U3S�W3>N9�2.L @�0�13>-<?26KYW(, t�U�U32.WV{w<?r3@u37?@M�=26KY13B <BW�K�@nj=u37?@�B8B?26KYW3B�W�@D{N@M<T<?r3>-<

f � � ?l � l� � � � � l�� l� o � u +�w

ªl � �¶ · �

� � �� u#z�rsf�w � � � u ± w�� �� u *Ru#�s�'z�rsf�w'w�� �� � u *Ru#�s�'z�rsf�w'w � ± u#zAwx� *�u#��'zArsf\w9���

ªl � �¶ · �

� � �� u#z�rsf�w9� � � � �Ru ± w�� ���u *Ru#�s�'z�rsf�w'w�� �� ��u *�u#��'zArsf\w'w � ± u#z�wH� *�u#��'zArsf\w9���t�

V < 7?@�9�>N2.W3B <AKXKN5�BA@M7?�N@E<?r3>-<�>N4.4(4.2.WV@�>-7 <A@M7v9XBsLM>NW3Ln@�4�<AK�UV@�U313Ln@�u&pV,.+�wv,t 9X2.Ln7?KYB?LnKNu�2.LEq�>�S=46KN7T@nj=u�>NW3B?2.KYWw1Vuw<AK�<?rV@CBA@�LnKYW3U�KN78UV@M7>-u3u�@�>-7?@�Uw2.Wm<?r3@

|�KN789 134.>�u&pV,.+�wv,sq�KX<?> YN@ >NUV�->NW`<?>-{N@ KN|�<?r32.B @nj=u�>NW3B?2.KYWAh�W @�>-u3u�46S�<?rV@EKYWV@C5�46K=L�Y@�BA<?2.9X>-<A@E<AK�7?@Mu�4.>NLn@E<?r3@ELnS�4.2OW3UV@M7 |&1�W3Ln<?26KYW3B � � h ����5�S �� �¹u ± �� u#zAw'wh ��!�¹u ± �� u#z�w'wv,

V Wo�=26@�WzKN|J*@�9X9�>�pV,IQ�>NW3U >-|&<A@M7�<?rV@ KYWV@�5�46K�L)Yw@�BA<?2.9�>-<A@Qh*B?2.W3Ln@ ��l´ub~�w�o��u0f�wh}W�@EKN53<?>N2.Ww<?r3>-<

f � � ��l�u#�'w ¡ �=� � �� a� D � ¯��-¯

�� f � � l � �

¶ · �

� ± � u#z�w�� *Ru ���'z�rsf�w � � �ª ��u0fk� ��w��

|�KN7�B?KY9 @�«�W326<A@mLnKYW3B?<?>NW`< �=�bWTr�2.L8r UV@Mu�@�W3U�B�KYW�46S�KYW <[email protected]<?26KYW�*�u#�� %Aw KN|<?rV@Cr�S�UV78K�UVS=W3>N9X2OLT@�0�13>-<?26KYW(, V Ww<?r32.B |&KN789 134.>�h ��u0fe� ��w 2.BT>NWw@nj=u37?@�B?B?2.KYW�WTr32.Lvr��>NW32OB?rV@�B >NB,f ! # >NW�Um<?rV@�W ��!$#">NW3UmLnKY9X@�BT|&7?KY9 <?rV@DKYW3@E5�46K=L�Y�@�BA<?2.9X>-<A@N,

��S�<?rV@ @�W�<A7?KNu�S 2.WV@�0�13>N4.2.<�SQh�<?rV@ 9X>N2.Wo<A@M789 KYW <?rV@ 7826{Yr�<�r3>NW3U B?2.UV@ KN|<?r3@u37?@M�=26KY13B @nj=u37?@�B?B?2.KYWm2.B 5�KY13W3UV@�Um>-5�Kd�N@C5�S

�=� � �� a� ��lyu � w� f ª

�=�� f � �� a ��46KN{=D E ¯�'� � � � �

� @nj�u � � l � �¶ · �

� ± � u#z�w�� *Ru ���'z�rsf�w9� � � �u&pV,IH¹w

|�KN7 @M�N@M7?S � � ~=, :=2.W3Ln@ 3 l576 � � 8 : 2.B > u37?K=U313Ln< 9X@�>NB?1V7?@Qh=5�S�R �KY4.UV@M7 2.WV@�0�13>N4.26<�SQh�<?r3@BA@�LnKYW3Um<A@M789 2.B 46@�B?Bs<?r3>NWmKN7s@�0�13>N4(<AK

�=�� u H � ª +�w�f� �� a�

l � �¶ · �

46KN{ D E ¯�'�� � � �� @nj=u�� � u H � ª +�w � ± � u#z�wF� *Ru ���'z�rsf�w9� � � �5�

Page 43: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

������������� ��������������������������� ���!�"���#���%$�&����'�#���)(*�,+-�/.'�0�)�1. ���

t�B�f !$# <?r�2.B @nj=u37?@�B?B?2.KYWmLnKYW`�N@M7?{N@�B�<AK

�=�� u H � ª +�w� �� a � �

­a % 46KN{=D E ¯���� � � �

� @nj=u�� � u H � ª +�w � ± � ub~�w�� *�u �¹� %Aw9� � � �5�

� S <?r3@�4.>-7?{N@�UV@M��2O>-<?26KYW3BE|&KN7�2 , 2 , U(, � @M7vWVKY134.4.2�7v>NW3UVKY9 �->-782.>-5�46@�BE>NW3U J�>-u�4.>NLn@/c��>-78>NU3r3>NWw4.@�9X9X>�h�>NB ��! # hV<?r�2.B @nj=u37?@�B?B?2.KYWmLnKYW`�N@M7?{N@�B�<AK�=�� � �

� a � �­

a�% B?1Vu� � � � � � � � � y� *�u#�� %Aw9� � ��� 576 � � � : u� w �e�

WTrV@M7?@�� � u��*w 2OB <?rV@C4.>-7?{N@EU3@M��2.>-<?2.KYW3B 78>-<A@E|b13W3Ln<?26KYW�>N4�{Y26�N@�Ww5�S

� � u� -w�o 46KN{ � ª � +��� �d46KN{ +��

+�� � �

:=2.W3Ln@3� ���*Ru#�s� %�w9� � 2.B�0�13>NU378>-<?2.LT>-78KY13W3U *�u#�� %Awh326< 2OB WVKN< U32���LM1346<k<AK B?rVK"Wf<?r3>-<<?rV@M7?@ @nj=2OBA<?B � � � ~�h�UV@Mu�@�W3U32.WV{�KYW346S�KYW <?r3@ B?KY4.1V<?26KYW KN|�<?r3@ r�S=UV7?K=UVS�W�>N9X2.L@�0�13>-<?2.KYWAh3B?13Lvrm<?r3>-<

B?13u� � � � � � � � � y� * � � ��� 5 u� -w ��¡ ~

|�KN7E>N4.4 � � � � >NW3U�>N4.4B* 2.Wo<[email protected]�<A@M7?�->N4 � 2.WV| � * �¹u %Aw�?B?1Vu � *��Qu %�w9� ,Xqsr32OB�u�7?Kd�N@�B<?r3>-<D<?rV@�BA@�LnKYW�U <A@M789 2.W u&pV,IH¹wD��>NW32OB?rV@�BD>NByf ! # >NW3U <?r3@�W � ! # h*u37?Kh��2OUV@W @CLvrVK�KYBA@ � B?9X>N4.4�@�WVKY1V{Yr*,

l1V<A<?2OWV{X>N4.4�u37?@M�=26KY13B @�B?<?2.9X>-<A@�Bs<AKN{N@M<?r3@M7hUW�@EKN53<?>N2.Ww<?r3>-<

f � � ��l´u#�'w ¡ �=� � �� a� � l u � w� f ª ��u0fk� �w

|�KN7 � B?9X>N4O4�@�W3KY1V{Yr(,qsr3@MKN7?@�9 pV,.+D|&KY4.46K"WTBsWVK"W |�78KY9 �7?KYW-W�>N4O4*2.WV@�0�13>N4.26<�SN,

Page 44: Hydrodynamic Limit of Interacting Particle Systems Claudio Landim

+M~N~ ��� � ���������

7#� ��� �(�� � ��� + � ��7?@�2.9X>NW#J,§u + ���NH¹wn B�R&IMz�OMzQH9j{HJnJ| , :�K=LM26@M<�Sz|�KN7 V W3U�13BA<A782.>N4 >NW3U#t�u3u�4O26@�U

9X>-<?rV@�9�>-<?2.LMB�h�l r32.4.>NUV@�4.u�r32.>=,�xH � ��7?@7�2.B R�,�h °�78>NW3U3>N4O4���,3� ,{u + �Y[�¹wn ;W32.0�1V@�WV@�B?B KN|�BAKY4O1V<?26KYW3B KN|�<[email protected]�26<?2.>N4

�->N4.1V@Du37?KN5�46@�9 |�KN7 %U�A� ����u %�w�o ~=, � ,���>-<?r(,�l1V7?@Dt�u3u�4 , ��� h�+�PNQ ��+�FNQ�,�xQ ��dV@�4.4.@M7 � ,�u + �NFNF¹wn D.Py@xPcnJR&IuK�b�munJH I�P n�I�B�R&IMz�OMzQH9j{HJnJ| }lt0L�I�R�|;O�P%K HJn4pFD ! !%j H4�

m~O[nJHJI�P�p h � KYr3W � 2.46@MS�� :�KYW3B�h 4 @�W ��KN7�Y� p�� ��1VK�h ��,���,�h l�>-u�>NW32.LnKY4.>-KY1�hs� ,*°,�h ��>-78>NU3r3>NW�hs:�, yE, :�,1u + �N}N}¹wn 4 KYW34.2.W3@�>-7

U32�5(13B?2.KYW4O2.9X26<�|�KN7�>sBAS=BA<A@�9¥W�26<?rDWV@�>-7?@�BA<�WV@�26{Yr�5�KN7�2.W`<A@M7v>NLn<?26KYW3BM,%° KY9X9�1�W(,� >-<?r(,�lr�S=BM, � �� h�Q=+ ��P���,

�xP � �E26u�W32.B�°,s>NW3U�J�>NW3U32O9 °,�u + �����¹wn V%m~O]j H4P q�j H # H4n4p I&w)H9Pcn�LQR�OMmunJH4P q !oO�R��nJH mQj LCpx|_p�n�L # p ,��781�W3U346@�rV78@�W�UV@M7m9X>-<?rV@�9�>-<?2.B?L8r3@�W � 2.B?B?@�W3B?L8r�>-|�<A@�W ��\3� h:�u37v2.WV{N@M7h 4 @�W ��KN7�Y�,

�xF � J�2.{N{N@M<A< qE,��,yu + �N}NP¹wn @xPcn�LdR&O[minJH9P q !oO�RdnJH mQj L p�|�pdn�L # p ,���7813W3U34.@�rV7?@�W UV@M79X>-<?rV@�9�>-<?2.B?L8r3@�W � 2.B?BA@�W3B8L8r3>-|&<A@�W \�iV) h�:=u3782.WV{N@M7�h 4 @�W ��KN7�Y�,

� [ � �@�4.B8L8r34 �>-{N@M7 � ,Au + �N}NP¹wn tZ4.>W KN|�4O>-7?{N@W�139�5�@M78B|&KN7 9 K=UV@M78>-<A@�46S�2OW`<A@M78>NLn<�c2.WV{ U32 5�13B826KYW�u37?K=Ln@�B?BA@�BM,���, � >NrV78B?Lvr(, �k@M7�WE,��@M5�26@M<A@ )�� h�HY[� ��QNHNH�,

�x} � ��46@�2OW32�YRh � ,�t�,�h �D781 �YNKh� h :�, 4 ,�u + �NF=+�wn���13>NB?2 ��4O2.WV@�>-7 B?@�LnKYW3U �`KN78UV@M7u�>-78>-5�KY4.2OLX@�0�13>-<?26KYW3B�WT26<?r 9X>NW�S 2.W�UV@Mu�@�W3UV@�W�<E��>-7v2.>-5�46@�BM,�yT13B8B?2.>NW���>-<?r(,:=1V78�N@MS�B �) � h�+M~YP ��+np`F�,

� � ���>N1Ah(R�,�qD,�u + ���=+�wn�ys@�4.>-<?26�N@ @�W�<A7?KNu�S >NW3U r`S=UV7?K=UVS=W3>N9X2.LMB KN| ��2.W M5�137?{ �J�>NW�U3>N1m9 K=UV@�4.BM,3J�@M<A<M,���>-<?r*,�lr�S�B�, \�\ h�FNQ ��}-~=,