HIPERPROSTORI I WHITNEYJEVA PRESLIKAVANJA · su mnogi radovi o dimenziji, konveksnim skupovima,.... Uovomradu·cemo de–nirati i obraditi sve temeljne pojmove teorije hiper-prostora,

PRIRODOSLOVNO - MATEMATIµCKI FAKULTETSVEUµCILI�TE U SPLITU

GORAN ERCEG

HIPERPROSTORI I

WHITNEYJEVA PRESLIKAVANJA

DIPLOMSKI RAD

SPLIT, LISTOPAD 2009.

STUDIJSKA GRUPA: MATEMATIKA

GORAN ERCEG

HIPERPROSTORI I

WHITNEYJEVA PRESLIKAVANJA

DIPLOMSKI RAD

VODITELJICA:

Dr. sc. VLASTA MATIJEVIC

SPLIT, LISTOPAD 2009.

Sadrµzaj

Predgovor iii

1 Topologija za hiperprostore 1

1.1 De�nicija i osnovna svojstva hiperprostora . . . . . . . . . . . 1

1.2 Posebni hiperprostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Hausdor¤ova metrika Hd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Metrizabilnost hiperprostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Konvergencija u hiperprostorima . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Geometrijski modeli hiperprostora 24

2.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.2 X je luk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Konusi, geometrijski konusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Kada su C (Y ) i K (Y ) homeomorfni? . . . . . . . . . . . . . . 28

3 2X i C (X) za Peanov kontinuum X 30

3.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.2 Apsolutni retrakt, Z-skup, Torunczykov teorem . . . . . . . . 31

3.3 Svojstva Peanovih kontinuuma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Curtis-Schorijev teorem za 2X i C (X) . . . . . . . . . . . . . 38

4 Lukovi u hiperprostorima 46

4.1 Uvod: Separacija, kvazikomponente . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2 Whitneyjeva preslikavanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

i

SADRµZAJ ii

4.3 Ure�eni lukovi i povezanost putovima u 2X i C (X) . . . . . . 57

4.4 Postojanje ure�enih lukova od A0 do A1 . . . . . . . . . . . . 62

4.5 Kelleyjevi segmenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.6 Prostor segmenata Sw (H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.7 Prostor ure�enih lukova, O (H) . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.8 Sw�2X�; Sw (C (X)) kada je X Peanov kontinuum . . . . . . 76

Literatura 79

Predgovor

Hiperprostor H topolo�kog prostora X je familija nepraznih i zatvorenih

podskupova od X snabdijevena posebnom topologijom tzv. Vietorisovom

topologijom.

Pojam hiperprostora vezuje se uz radove Hausdor¤a i Vietorisa s poµcetka

20. stoljeca. Dvadesetih i tridesetih godina 20. stoljeca opisana su osnovna

svojstva hiperprostora. Veliku zaslugu za to imaju Borsuk i Mazurkiewicz

koji su, me�u ostalim, opisali strukturu luka u hiperprostorima te Wojdys-

lawski s radom objavljenim 1939. godine.

1942. godine Kelley objavljuje vaµzan rad u kojem je sistematski obradio

vec poznate rezultate o hiperprostorima i donio veliki broj novih. Me�u os-

talim, Kelley je prvi koristio Whitneyjeva preslikavanja u istraµzivanju hiper-

prostora. Naime, pomocu njih je de�nirao i prouµcavao posebna preslikavanja

koja je nazvao segmentima. Od tada su i Whitneyjeva preslikavanja i seg-

menti standardni alati za prouµcavanje hiperprostora. Nadalje, Kelley je prvi

primjenio hiperprostore i u drugim podruµcjima matematike i, �to je naj-

vaµznije, time ih pribliµzio brojnim matematiµcarima.

1969. godine je u SUNY-u u Bu¤alu odrµzana prva znanstvena konferen-

cija posvecena hiperprostorima. U to vrijeme nije bilo mnogo matematiµcara

koji su se bavili iskljuµcivo teorijom hiperprostora pa se vecina sudionika kon-

ferencije bavila samo primjenom tehnika i rezultata o hiperprostorima. No,

vaµzna posljedica konferencije su mnogi znaµcajni radovi o hiperprostorima

objavljeni nedugo nakon konferencije. Me�u njima je i Curtisov, Storijev

i Westov pozitivan odgovor na sljedece vaµzno pitanje: Ako je X Peanov

iii

PREDGOVOR iv

kontinuum, je li hiperprostor 2X homeomorfan Hilbertovom kvadru? Ovo

je pitanje bilo otvoreno sve od dvadesetih godina 20. stoljeca. U rje�a-

vanju problema koristile su se tehnike beskonaµcno dimenzionalne topologije.

Nadalje, kao posljedica Curtisovog, Storijevog i Westovog rezultata nastali

su mnogi radovi o dimenziji, konveksnim skupovima,. . . .

U ovom radu cemo de�nirati i obraditi sve temeljne pojmove teorije hiper-

prostora, a bavit cemo se i rezultatima svih gore spomenutih matematiµcara.

U prvom poglavlju de�niramo hiperprostore, opisujemo neka njihova svo-

jstva, de�niramo na njima tzv. Hausdor¤ovu metriku i bavimo se konvergen-

cijom nizova u hiperprostorima. U drugom poglavlju navodimo geometrijske

modele hiperprostora prostora X kada je prostor X luk i konus te opisujemo

svojstva tih modela. U trecem poglavlju se bavimo hiperprostorima prostora

X, gdje jeX Peanov kontinuum i dokazujemo iznimno vaµzan Curtis-Schorijev

teorem. U zadnjem poglavlju de�niramo ure�ene lukove, Whitneyjeva pres-

likavanja i pomocu njih de�niramo Kelleyjeve segmente. Zatim de�niramo

prostore ure�enih lukova i segmenata, a potom dokazujemo teorem analogan

Curtis-Schorijevom teoremu, za prostore segmenata za 2X i C (X) :

Poglavlje 1

Topologija za hiperprostore

1.1 De�nicija i osnovna svojstva hiperpros-

tora

Neka je (X; T ) topolo�ki prostor. Oznaµcimo s

CL (X) = fA � X : A je neprazan i zatvoren u Xg :

CL (X) cemo snabdjeti topologijom, tzv. Vietorisovom topologijom, na

sljedeci naµcin.

De�nicija 1.1 Neka je (X; T ) topolo�ki prostor. Vietorisova topologija TVna CL (X) je najmanja topologija koja ima sljedeca svojstva:

(i) Ako je U 2 T , onda je skup fA 2 CL (X) : A � Ug 2 TV ;

(ii) Ako je B � X zatvoren obzirom na T , onda je fA 2 CL (X) : A � Bgzatvoren obzirom na TV :

Opi�imo jednu prikladnu bazu topologije TV : U tu svrhu uvedimo sljedecuoznaku. Za konaµcno mnogo podskupova S1; :::; Sn od X; n 2 N; neka je

hS1; : : : ; Sni = fA 2 CL (X) : A � [ni=1Si i A \ Si 6= ?; i = 1; : : : ; n;n 2 Ng :

1

POGLAVLJE 1. TOPOLOGIJA ZA HIPERPROSTORE 2

Teorem 1.2 Neka je (X; T ) topolo�ki prostor i neka je

BV = fhU1; : : : ; Uni : Ui 2 T ; i = 1; : : : ; n; n 2 Ng

Tada je BV baza za TV :

Dokaz. Primijetimo sljedece. Za svaki U 2 T i svaki skup B zatvoren u T ,vrijedi

fA 2 CL (X) : A � Ug = hUi i

fA 2 CL (X) : A � Bg = CL (X) n hX;XnBi :

Po De�niciji 1.1, TV je najmanja topologija naCL (X) koja sadrµzi sve skupoveoblika hUi i hX;Ui za U 2 T : Drugim rijeµcima, familija S de�nirana sa

S = fhUi : U 2 T g [ fhX;Ui : U 2 T g

je podbaza od TV is µcega slijedi da je familija S� svih konaµcnih presjekaelemenata iz S baza za TV : Dakle, dovoljno je dokazati da vrijedi S� = BV :Dokaµzimo BV � S�:Neka je n 2 N i U1; : : : ; Un 2 T te primijetimo da vrijedi:

hU1; : : : ; Uni = h[ni=1Uii \ (\ni=1 hX;Uii) :

Neka je A 2 hU1; : : : ; Uni : Tada je A � [ni=1Ui i A \ Ui 6= ? 8i = 1; : : : ; n:Dakle, A 2 h[ni=1Uii i A 2 hX;Uii za 8i = 1; : : : ; n: Odavde slijedi A 2h[ni=1Uii \ (\ni=1 hX;Uii) :Time je dokazana inkluzija BV � S�.Dokaµzimo sada S� � BV :Prvo dokaµzimo da za U ;W 2 BV vrijedi U \ W 2 BV : Neka je U =

hU1; : : : ; Uki i W = hW1; : : : ;Wmi, gdje su Ui;Wj 2 T i k;m 2 N: Nekaje U = [ki=1Ui, a W = [mj=1Wj: Vrijedi da je

U \W = hU1 \W; : : : ; Uk \W;W1 \ U; : : : ;Wm \ Ui : (�)


Naime,

U \W = fA 2 CL (X) : A � U i A \ Ui 6= ? za svaki ig \

\fA 2 CL (X) : A � W i A \Wj 6= ? za svaki jg =

= fA 2 CL (X) : A � U \W , A \ Ui 6= ? i A \Wj 6= ? za svaki i; jg =

= fA 2 CL (X) : A � U \W , A \ (Ui \W ) 6= ? i A \ (Wj \ U) 6= ?

za svaki i; jg =

= hU1 \W; : : : ; Uk \W;W1 \ U; : : : ;Wm \ Ui

Dakle, vrijedi U \W 2 BV :Nadalje, da dokaµzemo S� � BV dovoljno je dokazati da je presjek dva

proizvoljna elementa od S element od BV : (Napomenimo sljedece: Ako saE oznaµcimo praznu podfamiliju od S, onda je oµcito \E 2 S�: No kako je Efamilija podskupova od CL (X), vrijedi \E = CL (X) iz µcega slijedi da je

\E 2 BV buduci da je CL (X) = hXi :)Direktno iz (�) slijede sljedece tri tvrdnje za U1; U2 2 T .(1) hU1i \ hU2i = hU1 \ U2i(2) hU1i \ hX;U2i = hU1; U1 \ U2i(3) hX;U1i \ hX;U2i = hX;U1; U2i

Dakle, pokazali smo da je presjek dva proizvoljna elementa od S element odBV pa slijedi da je S� � BV :

Propozicija 1.3 Neka je (X; T ) topolo�ki prostor i Y zatvoren podskup od

X. Tada je Vietorisova topologija na CL (Y ) dobivena iz relativne topologije

na Y jednaka relativnoj topologiji na CL (Y ) dobivenoj iz Vietorisove topologije

TV na CL (X) : Drugim rijeµcima,

(T jY )V = TV jCL (Y ) :

Dokaz. Pokaµzimo da je svaki otvoreni skup iz TV jCL (Y ) otvoren u (T jY )Vi obratno.


Dakle, neka je CL (Y )\U 2 TV jCL (Y ), U 2 TV i prikaµzimo ga u obliku[k2NUk; Uk 2 BV :

CL (Y ) \ U = CL (Y ) \ ([k2NUk) =

= CL (Y ) \ ([k2N fA 2 CL (X) : A � [nki=1Ui i A \ Ui 6= ? za svaki i;nk 2 Ng) =

= fA 2 CL (X) : A � Y g \ ([k2N fA 2 CL (X) : A � [nki=1Ui i A \ Ui 6= ?

za svaki ig) =

= [k2N fA 2 CL (X) : A � ([nki=1U) \ Y i A \ (Ui \ Y ) 6= ? za svaki ig 2 (T jY )V

Dakle dokazali smo da je TV jCL (Y ) � (T jY )V ; no kako gore dokazanejednakosti vrijede u oba smjera, dokazali smo i drugu inkluziju. Time je

dokazana na�a tvrdnja.

Propozicija 1.4 Neka je X T1�prostor. Za svaki U1; : : : Un 2 T , n 2 N;vrijedi

Cl (hU1; : : : ; Uni) =U1; : : : ; Un

�:

Dokaz.U1; : : : ; Un

�je zatvoren u CL (X). Naime, [ni=1Ui je zatvoren u X,

aU1; : : : ; Un

�je skup svih podskupova od [ni=1Ui:Dalje, vrijedi hU1; : : : ; Uni �

U1; : : : ; Un�; pa je Cl (hU1; : : : ; Uni) �

U1; : : : ; Un

�:

Preostaje nam dokazati da jeU1; : : : ; Un

�� Cl (hU1; : : : ; Uni). Neka

je A 2U1; : : : ; Un

�i V = hV1; : : : ; Vmi ; m 2 N; otvorena okolina od A:

Trebamo pokazati da je hU1; : : : ; Uni \ hV1; : : : ; Vmi 6= ?: Buduci da je A \Ui 6= ?, i = 1; : : : n; postoji xi 2 A \ Ui za svaki i = 1; : : : ; n: Kako je

A � [mj=1Vj, [mj=1Vj je otvorena okolina od xi; pa postoji yi 2 Ui \�[mj=1Vj

�za svaki i = 1; : : : ; n: Kako za 8j = 1; : : : ;m postoji xj 2 A \ Vj i A �[ni=1Ui = ([ni=1Ui); mora postojati zj 2 Vj \ ([ni=1Ui) ;8j = 1; : : : ;m: Buducida je X T1-prostor to je B = fy1; : : : ; yn; z1; : : : ; zmg zatvoren skup u X i

B 2U1 \

�[mj=1Vj

�; : : : ; Un \

�[mj=1Vj

�; V1 \ ([ni=1Ui) ; : : : ; Vm \ ([ni=1Ui)

�:


Propozicija 1.5 Neka je X T1�prostor, K zatvoren podskup od X i neka

je

CLK (X) = fA 2 CL (X) : A � Kg :

Skup CLK (X) je zatvoren u CL (X) :

Dokaz. Neka je K = [i2I fxig. Promotrimo skup CLfxig (X) : Tvrdimo daje zatvoren. Naime,

CLfxig (X) = fA 2 CL (X) : A � fxigg = CL (X) n fA 2 CL (X) : A � Xn fxigg :

X je T1�prostor pa je fxig zatvoren. Dakle, Xn fxig je otvoren pa dalje sli-jedi da je fA 2 CL (X) : A � Xn fxigg 2 TV , a onda i da je CLfxig zatvoren.Dalje, skup \i2ICLfxig je zatvoren (presjek zatvorenih skupova). No vrijedisljedece: \i2ICLfxig = fA 2 CL (X) : A � [i2I fxigg = fA 2 CL (X) : A � Kg =CLK (X) : Time je tvrdnja dokazana.

De�nicija 1.6 Neka je (X; T ) topolo�ki prostor i H � CL (X) : Potprostor(H; TV jH) prostora (CL (X) ; TV ) naziva se hiperprostor prostora X.

Teorem 1.7 Neka su X i Y homeomorfni. Tada su hiperprostori CL (X) i

CL (Y ) homeomorfni:

Dokaz. Neka je h : X ! Y homeomor�zam. De�nirajmo funkciju h� :

CL (X) ! CL (Y ) na sljedeci naµcin: h� (A) = h [A] ; za svaki A 2 CL (X),gdje je h [A] = fh (a) : a 2 Ag : Uoµcimo da je h� dobro de�nirana funkcija.Naime, za svaki A � X zatvoreni podskup od X, h (A) � Y je zatvoreni

podskup od Y , buduci da je h zatvoreno preslikavanje. Pokaµzimo da je h�

homeomor�zam. Dovoljno je pokazati da je h� neprekidna otvorena bijekcija.

Buduci da je za svaki B 2 CL (Y ) ; h�1 (B) 2 CL (X) i h�(h�1 (B)) = B,

slijedi da je h� surjekcija: Dalje, buduci da je h injekcija, slijedi da je i h�

tako�er injekcija.

Pokaµzimo sada da je h� neprekidna funkcija. Napomenimo da cemo,

opcenito, neprekidnu funkciju moci zvati preslikavanje.


Neka je hW1; : : : ;Wni ;Wi otvoren u Y za 8i 2 N; otvoren skup u CL (Y ) :Trebamo pokazati da je (h�)�1 (hW1; : : : ;Wni) otvoren u CL (X) :

(h�)�1 (hW1; : : : ;Wni) =

=�(h�)�1 (B) 2 CL (X) : B � [ni=1Wi i B \Wi 6= ?; i = 1; : : : ; n;n 2 N

=

=�h�1 [B] 2 CL (X) : B � [ni=1Wi i B \Wi 6= ?; i = 1; : : : ; n;n 2 N

=

=�h�1 [B] 2 CL (X) : h�1 [B] � [ni=1h�1 [Wi] i h�1 [B] \ h�1 [Wi] 6= ?;

i = 1; : : : ; n;n 2 Ng h zatvoreno=

=�A 2 CL (X) : A � [ni=1h�1 [Wi] i A \ h�1 [Wi] 6= ?; i = 1; : : : ; n;n 2 N

=

=h�1(W1); : : : ; h

�1(Wn)�:

Dakle, pokazali smo da je h� preslikavanje, jer je hh�1(W1); : : : ; h�1(Wn)i

otvoren u CL (X) (jer je h preslikavanje): Jo� preostaje pokazati da je h�

otvoreno preslikavanje.

Neka je hU1; : : : ; Umi ; Ui otvoren u Y;8i 2 N; otvoren skup uCL (X) :Trebamopokazati da je h� (hU1; : : : ; Umi) otvoren u CL (Y ) :

h� (hU1; : : : ; Umi) =

= fh� (A) 2 CL (Y ) : A � [mi=1Ui i A \ Ui 6= ?; i = 1; : : : ;m;m 2 Ng =

= fh [A] 2 CL (Y ) : A � [mi=1Ui i A \ Ui 6= ?; i = 1; : : : ;m;m 2 Ng =

= fh [A] 2 CL (Y ) : h [A] � [mi=1h [Ui] i h [A] \ h [Ui] 6= ?; i = 1; : : : ;m;m 2 Ng =

= hh(U1); : : : ; h(Um)i :

hh(U1); : : : ; h(Um)i je otvoren u CL (Y ) jer je h (Ui) otvoren u Y za 8i:Ovime je pokazano da je h� homeomor�zam:

1.2 Posebni hiperprostori

Promotrimo sada neke istaknute potprostore prostora CL (X) :

Uvedimo sljedece oznake:

(i) CLC (X) = fA 2 CL (X) : A je povezang


(ii) 2X = fA 2 CL (X) : A je kompaktang

(iii) C (X) =�A 2 2X : A je povezan

Uoµcimo da je 2X = CL (X) kada je X kompaktan, jer je tada svaki

zatvoreni podskup od X kompaktan. Nadalje, ako je X Hausdor¤ov prostor,

vrijedi 2X = fA � X : A je neprazan i kompaktang ; jer je svaki kompaktnipodskup Hausdor¤ovog prostora zatvoren.

Nadalje, uoµcimo da vrijedi C (X) = 2X \ CLC (X) :U daljnjem tekstu cemo s jAj oznaµciti kardinalni broj skupa A; tj. jAj def=cardA: Tako�er, prisjetimo se sljedece karakterizacije T1�prostora: Topolo�kiprostor X je T1�prostor ako i samo ako je svaki jednotoµckovni skup fxg 2 Xzatvoren u X:

Propozicija 1.8 Ako je X normalan prostor, onda je CLC (X) zatvoren u

CL (X) :

Dokaz. Neka jeA 2 CL (X) nCLC (X) : To znaµci da jeA neprazan, zatvoreni nepovezan podskup od X. Zbog nepovezanosti od A, postoje F1 i F2zatvoreni podskupovi od X takvi da je A � F1 [F2; A\F1 6= ?; A\F2 6= ?i (A \ F1) \ (A \ F2) = ?: Kako je X normalan prostor, postoje otvoreni

skupovi U1 i U2 u X takvi da je A \ F1 � U1; A \ F2 � U2 i U1 \ U2 = ?:Kako je A = (A \ F1)[(A \ F2) � U1[U2, to je hU1; U2i otvorena okolina odA. Tvrdimo da je hU1; U2i\CLC (X) = ?: Pretpostavimo suprotno, tj. nekaje B 2 hU1; U2i \CLC (X) : Tada je B � U1 [U2; B \U1 6= ?; B \U2 6= ? i(B \ U1) \ (B \ U2) � U1 \ U2 = ?; pa slijedi da je B nepovezan.

De�nicija 1.9 Neka je X T1�prostor: Za svaki n 2 N; neka je Fn (X) =fA � X : 1 � jAj � ng potprostor od CL (X) : Hiperprostor Fn (X) nazivamon-terostruki simetriµcni produkt od X. Za n = 1; F1 (X) se jo�naziva hiper-

prostor jednotoµckovnih podskupova od X.

De�nicija 1.10 Za T1�prostor X; neka je F (X) =1[n=1Fn (X) : F (X) nazi-

vamo prostorom konaµcnih podskupova od X:


Simetriµcni produkti nam omogucuju da na jednostavan naµcin konstru-

iramo zanimljive prostore. Posebno, n-terostruki simetriµcni produkt od X i

topolo�ki produkt Xn su obiµcno priliµcno razliµciti. Ova je tvrdnja istinita vec

kada je X metriµcki kontinuum i n = 2:

Teorem 1.11 Neka su X i Y homeomorfni prostori. Tada su homeomorfni

i sljedeci prostori:

(i) CLC (X) i CLC (Y ) ;

(ii) 2X i 2Y ;

(iii) C (X) i C (Y ) :

Nadalje, neka su X i Y T1-prostori. Tada su Fn (X) i Fn (Y ) homeomorfni

8n 2 N:

Dokaz. Traµzene homeomor�zme de�niramo kao u dokazu Teorema 1.7. Svi

homeomor�zmi su dobro de�nirani jer je neprekidna slika povezanog skupa

povezan skup, a neprekidna slika kompaktnog skupa kompaktan skup.

Propozicija 1.12 Neka je X povezan T1�prostor. Tada je Fn (X) povezanza svaki n 2 N. Nadalje, CL (X) je povezan.

Dokaz. Neka je n 2 N i Xn Kartezijev produkt prostora X s produktnom

topologijom. Xn je povezan, jer je povezan i X: De�nirajmo fn : Xn !Fn (X) pravilom

fn ((x1; : : : ; xn)) = fx1; : : : ; xng :

fn je neprekidna surjekcija, a onda slijedi da je i Fn (X) povezan. Nadalje,

F (X) je povezan jer je unija povezanih skupova Fn (X) ; n 2 N, i \1n=1Fn (X) =F1 (X) 6= ?: Vrijedi jo� da je F (X) gust na CL (X) pa iz povezanosti odF (X) slijedi da je CL (X) povezan.

Korolar 1.13 Ako je X T1�prostor, onda su X i F1 (X) homeomorfni:


Dokaz. Funkcija f1 : X ! F1 (X) iz dokaza prethodne propozicije je home-

omor�zam.

Propozicija 1.14 Neka je X T1�prostor. X je separabilan ako i samo ako

je CL (X) separabilan.

Dokaz. Neka je X separabilan. Analogno kao u dokazu Propozicije 1.12

pokaµzemo da je za svaki n 2 N, Fn (X) separabilan. Nadalje, F (X) je pre-brojiva unija separabilnih skupova Fn (X), n 2 N pa je i F (X) separabilan.Dakle, postoji prebrojiv podskup D od F (X) takav da je ClD = F (X) : No

kako je F (X) gust na CL (X) slijedi da je ClD = Cl (ClD) = ClF (X) =

CL (X) :

Neka je CL (X) separabilan. Dovoljno je dokazati da je F1 (X) separabi-

lan, jer su X i F1 (X) homeomorfni.

Neka jeD = fAn 2 CL (X) : n 2 Ng � CL (X) prebrojiv podskup odCL (X)takav da je ClD = CL (X) i hUi otvoren podskup od CL (X) : Buduci je Dgust na CL (X) ; D \ hUi 6= ? pa 9n0 2 N takav da je An0 � U:Dalje, neka jeB1 = A1; B2 = A2nA1 i induktivnoBn = Ann

�[n�1i=1 Bi

�; n 2

N: Neka je B = fBn � X : n 2 Ng. B je oµcito neprazan, jer je B1 = A1 6= ?i jBj � @0. Po aksiomu izbora postoji skup D1 = fxn : xn 2 Bn;n 2 Ng =fxn : xn 2 An;n 2 Ng :De�nirajmo sada skupD0 = ffxng : xn 2 An;n 2 Ng �F1 (X) : Tvrdimo da je D0 gust na F1 (X) :

Pretpostavimo suprotno. Neka je hUi \ F1 (X) otvoren skup u F1 (X) takavda je hUi \ F1 (X) \D0 = ?: No, onda vrijedi

hUi \ F1 (X) \D0 = fA 2 F1 (X) : A � U;A 2 D0g = ? =)

=) @ fag 2 F1 (X) ; fag � U; fag 2 D0 =)

=) @ fag 2 F1 (X) ; a 2 U; fag 2 D0:

Dakle, za 8a 2 U i 8 fxng 2 D0; a 6= xn: No to je u kontradikciji s µcinjenicomda 9n0 2 N takav da je An0 � U tj. xn0 2 U: Time je tvrdnja dokazana.


1.3 Hausdor¤ova metrika Hd

Neka je (X; d) metriµcki prostor. Bez smanjenja opcenitosti moµzemo pret-

postaviti da je d ome�ena metrika. Naime, za svaku metriku d postoji

ome�ena metrika d0 koja inducira istu topologiju u X kao i polazna metrika

d. Za svaki x 2 X i svaki A 2 CL (X) oznaµcimo s

d (x;A) = inf fd (x; a) : a 2 Ag :

Za svaki r > 0 i za svaki A 2 CL (X) neka je

Nd (r; A) = fx 2 X : d (x;A) < rg :

Nd (r; A) nazivamo generaliziranom otvorenom d-kuglom u X oko A radijusa

r:

Teorem 1.15 Neka je (X; d) ome�en metriµcki prostor i Hd : CL (X) �CL (X)! R realna funkcija de�nirana pravilom:

Hd (A;B) = inf fr > 0 : A � Nd (r; B) i B � Nd (r; A)g :

Tada je Hd metrika na CL (X) i naziva se Hausdor¤ova metrika na CL (X)

inducirana metrikom d.

Dokaz. Primijetimo da iz ome�enosti metrike d slijedi da je Hd dobro de�ni-

rana funkcija i Hd (A;B) � 0 za 8 (A;B) 2 CL (X)� CL (X) :Nadalje, primijetimo da je Hd simetriµcna funkcija, tj. vrijedi Hd (A;B) =

Hd (B;A) za svaki A;B 2 CL (X) :Dalje, pretpostavimo da su A;B 2 CL (X) takvi da je Hd (A;B) = 0:

Tada iz de�nicije od Hd slijedi

A � Nd ("; B) ; za svaki " > 0:

Dakle, odaberemo li �ksni p 2 A, postoje bn 2 B; za svaki n 2 N; takvida je d (p; bn) < 1=n: Niz (bn) u B; n 2 N; konvergira prema p, B je zatvorenpa slijedi p 2 B: Time smo pokazali da vrijedi A � B: Analogno pokaµzemo


da vrijedi i B � A; iz µcega slijedi A = B: Obrat, Hd (A;A) = 0 za svaki

A 2 CL (X) ; slijedi neposredno iz de�nicije od Hd.Jo�nam preostaje dokazati nejednakost trokuta zaHd: Prvo dokaµzimo sljedecu

tvrdnju.

8K;L 2 CL (X) i 8" > 0; vrijedi K � Nd (Hd (K;L) + "; L) (1)

Neka suK;L 2 CL (X) i " > 0 proizvoljni. Moramo pokazati da je d (x; L) <Hd (K;L)+"; 8x 2 K:No, iz de�nicije odHd slijedi da je d (x; L) �Hd (K;L) <Hd (K;L) + "; 8x 2 K:Neka su A;B;C 2 CL (X) : Trebamo dokazati da vrijedi

Hd (A;C) � Hd (A;B) +Hd (B;C) :

Neka je " > 0 i neka je a 2 A: Tada, po (1) postoji b 2 B takav da je(i) d (a; b) < Hd (A;B) + ".

Buduci je b 2 B, koristeci (1) postoji c 2 C takav da vrijedi(ii) d (b; c) < Hd (B;C) + ":

Iz (i) i (ii) i nejednakosti trokuta od d slijedi

(iii) d (a; c) < Hd (A;B) +Hd (B;C) + 2":

Nadalje, buduci je a proizvoljna toµcka iz A dokazali smo da vrijedi

(iv) A � Nd (Hd (A;B) +Hd (B;C) + 2"; C) :Na sliµcan naµcin, uzev�i toµcku iz C kao polaznu toµcku, moµzemo dokazati

(v) C � Nd (Hd (C;B) +Hd (B;A) + 2"; A) :Vec smo pokazali da je Hd simetriµcna funkcija pa (v) moµzemo napisati na

sljedeci naµcin:

(vi) C � Nd (Hd (A;B) +Hd (B;C) + 2"; A) :Iz (iv) ; (vi) i de�nicije od Hd slijedi Hd (A;C) � Hd (A;B) + Hd (B;C) +

2": Dakle, buduci je " > 0 proizvoljan, vrijedi Hd (A;C) � Hd (A;B) +

Hd (B;C) :

Propozicija 1.16 Neka je (X; d) ome�en metriµcki prostor. Tada, za svaki

A;B 2 CL (X) vrijedi

Hd (A;B) = max

�supa2A

d (a;B) ; supb2B

d (b; A)

�:


Dokaz. Bez smanjenja opcenitosti pretpostavimo da jemax�supa2A

d (a;B) ; supb2B

d (b; A)

�=

supa2A

d (a;B) i oznaµcimo ga s r0: Trebamo dokazati da je inf fr > 0;A � Nd (r; B)g =r0: Pretpostavimo suprotno, tj. neka postoji r1 takav da je 0 < r1 < r0 i

A � Nd (r1; B) : No, onda vrijedi sljedece:

A � Nd (r1; B) =) a 2 Nd (r1; B) ;8a 2 A =) d (a;B) < r1;8a 2 A =)

=) r0 = supa2A

d (a;B) � r1 < r0 �to je kontradikcija.

Korolar 1.17 Neka je (X; d) metriµcki prostor. Ako je A;B 2 2X ; A �Nd (r; B) i B � Nd (r; A), onda je Hd (A;B) < r:

Dokaz. Slijedi direktno iz Teorema 1.15.

1.4 Metrizabilnost hiperprostora

Neka je (X; d) ome�en metriµcki prostor i Td topologija inducirana metrikomd. Na skupu CL (X) moµzemo promatrati Vietorisovu topologiju (Td)V i

metriµcku topologiju THd induciranu Hausdor¤ovom metrikomHd. Topologije(Td)V i THd su, opcenito, razliµcite. �tovi�e, pokazat cemo da za nekompaktanT1-prostor (X; T ), hiperprostor (CL (X) ; TV ) nije metrizabilan.

Lema 1.18 Ako je Y beskonaµcan, diskretan prostor, onda Vietorisova topologija

na CL (Y ) nema prebrojivu bazu.

Dokaz. Neka je � proizvoljna baza Vietorisove topologije na CL (Y ). Prim-

ijetimo da je svaki A 2 CL (Y ) otvoren u Y: Dakle, za svaki A 2 CL (Y )postoji BA 2 � takav da vrijedi

A 2 BA � hAi :

Oµcito vrijedi

(i) A = [BA za svaki A 2 CL (Y ) :


Sada direktno iz (i) slijedi: ako su A; A0 2 CL (Y ) takvi da je A 6= A0,onda je BA 6= BA0 : Drugim rijeµcima, funkcija A 7�! BA je injekcija iz CL (Y )u �: Dakle vrijedi

(ii) jCL (Y )j � j�j :Buduci da je Y diskretan prostor, vrijedi CL (Y ) = fA � Y : A 6= ?g :Dakle,buduci da je Y beskonaµcan skup, vrijedi da je CL (Y ) neprebrojiv. Sada iz

(ii) slijedi da je baza � neprebrojiva.

Teorem 1.19 Neka je (X; T ) T1�prostor. Ako je (CL (X) ; TV ) metrizabi-lan, onda je (X; T ) kompaktan, metrizabilan prostor.

Dokaz. Buduci da je (CL (X) ; TV ) metrizabilan i da su X i F1 (X) home-

omorfni (po Propoziciji 1.13), oµcito je (X; T ) metrizabilan. Dokaµzimo daje (X; T ) kompaktan. Pretpostavimo suprotno. Tada, buduci da je (X; T )metrizabilan postoji prebrojivo beskonaµcan, zatvoren (u X) i diskretan pot-

prostor (Y; T jY ) od (X; T ) : Buduci da je Y zatvoren u X, iz Propozicije

1.3 slijedi da je CL (Y ) s Vietorisovom topologijom (T jY )V potprostor od(CL (X) ; TV ) : Sada iz metrizabilnosti prostora (CL (X) ; TV ) slijedi(i) (CL (Y ) ; (T jY )V ) je metrizabilan.

Primijetimo da je (Y; T jY ) T1�prostor (jer je (Y; T jY ) diskretan). Tako�er,primijetimo da je (Y; T jY ) separabilan (jer je Y prebrojiv). Dakle, iz Propozi-cije 1.14 slijedi

(ii) (CL (Y ) ; (T jY )V ) je separabilan.Iz (i) i (ii) slijedi da postoji prebrojiva baza od (T jY )V : No, kako je Y

beskonaµcan, diskretan prostor, to je u kontradikciji s Lemom 1.18. Dakle,

(X; T ) je kompaktan.

Kao �to vidimo u Teoremu 1.19, ako je prostor (CL (X) ; TV )metrizabilan,onda je X nuµzno kompaktan prostor. No u daljnjem cemo pokazati da je,

za svaki metriµcki prostor (X; d) ; hiperprostor 2X s Vietorisovom topologijom

metrizabilan i , �tovi�e, vrijedi obrat Teorema 1.19.

Neka je (X; d) metriµcki prostor. Neka su A;B 2 2X (A i B su neprazni,

kompaktni podskupovi od X). Tada postoji realan broj r > 0 takav da je


A � Nd (r; B) (npr. r = 1 + diamdA [ B). Iz dokaza Teorema 1.15 slijedida je Hd metrika za 2X neovisno je li d ome�ena ili ne. Ovu metriku zovemo

Hausdor¤ovom metrikom na 2X induciranom s d: Koristimo isti simbol, Hd,

za ovu metriku kao i u Teoremu 1.15 jer ne moµze nikako doci do zabune.

Neka je H hiperprostor. Za svaki A 2 H i r > 0, oznaµcimo s BHd (r; A)

otvorenu Hd�kuglu u H radijusa r i s sredi�tem A. Drugim rijeµcima,

BHd (r; A) = fB 2 H : Hd (A;B) < rg :

Sljedeci teorem je obrat Teorema 1.19 za hiperprostor 2X :

Teorem 1.20 Neka je (X; d) metriµcki prostor. Tada je�2X ; TV

�metrizabi-

lan i vrijedi TV = THd :

Dokaz. Pokaµzimo prvo da vrijedi THd �TV : Buduci da je topologija TVgenerirana skupovima hUi i hX;Ui za svaki U 2 T (gdje je T topologija na

X), dovoljno je pokazati da je hUi 2 THd i hX;Ui 2 THd za svaki U 2 T :Neka je U 2 T :Pokaµzimo da vrijedi hUi 2 THd na sljedeci naµcin. Ako je U = X, onda je

hUi = 2X i nadalje, hUi 2 THd : Pretpostavimo da je U 6= X: Sada, neka jeA 2 hUi : Neka je

" = d (A;XnU) (= inf fd (a; x) : a 2 A i x 2 XnUg) :

Primijetimo da je " > 0; buduci da je A kompaktni podskup otvorenog

skupa U (" postoji jer su A i XnU neprazni). Nadalje, vrijedi BHd ("; A) �hUi na sljedeci naµcin: ako je B 2 BHd ("; A), onda je Hd (A;B) < " i iz

Teorema 1.15 slijedi

B � Nd ("; A) :

Dakle, iz de�nicije od " slijedi da je B � U; a onda i B 2 hUi. Pokazalismo da iz pretpostavke A 2 hUi slijedi BHd ("; A) � hUi za neki " > 0:Dakle, dokazali smo da vrijedi

(1) hUi 2 THd


Pokaµzimo da vrijedi hX;Ui 2 THd na sljedeci naµcin. Neka je A 2 hX;Ui.Tada vrijedi A \ U 6= ?: Neka je p 2 A \ U: Buduci da je p 2 U i U 2 T ,postoji � > 0 takav da vrijedi

Nd (�; fpg) � U

Dokaµzimo da vrijedi BHd (�; A) � hX;Ui : Neka je B 2 BHd (�; A) : Tadaje Hd (A;B) < �: Iz Teorema 1.15 slijedi

A � Nd (�; B) :

Buduci da je p 2 A, postoji b 2 B takav da je d (b; p) < �: Nadalje, zbog

naµcina na koji smo odabrali �, vidimo da vrijedi b 2 U: Vrijedi B \ U 6=?; odakle slijedi B 2 hX;Ui : Ovime smo dokazali da vrijedi BHd (�; A) �hX;Ui : Dakle, poµcev�i od A 2 hX;Ui, pokazali smo da vrijedi BHd (�; A) �hX;Ui za neki � > 0: Dokazali smo(2) hX;Ui 2 THd :Buduci da smo (1) i (2) dokazali za po volji odabran U 2 T ; slijedi

THd �TV :Dokaµzimo sada THd �TV : Po Teoremu 1.2, dovoljno je dokazati da za

svaku Hd�kuglu, BHd (r; A) postoji konaµcno mnogo otvorenih podskupovaU1; : : : ; Un od X; takvih da vrijedi

A 2 hU1; : : : ; Uni � BHd (r; A) :

Dokaµzimo tu tvrdnju. Neka je A 2 2X i neka je r > 0: Buduci da

je A kompaktan i neprazan, postoji konaµcno mnogo otvorenih podskupova

U1; : : : ; Un od X koji zadovoljavaju sljedeca tri uvjeta:

(3) A � [ni=1Ui;(4) A \ Ui 6= ? za svaki i;(5) diamUi < r za svaki i:

Iz (3) i (4) je oµcigledno da je A 2 hU1; : : : ; Uni : Dakle, preostaje dokazatida vrijedi

hU1; : : : ; Uni � BHd (r; A) :


Neka je K 2 hU1; : : : ; Uni : Buduci da je K � [ni=1Ui, iz (4) i (5) slijedi

K � Nd (r; A) :

Tako�er, buduci da je K \ Ui 6= ? za svaki i, iz (3) i (5) slijedi

A � Nd (r;K) :

Dakle, Hd (A;K) < r po Korolaru 1.17 pa vrijedi K 2 BHd (r; A) :Dokazali smo da vrijedi THd �TV µcime je teorem dokazan.

Napomenimo da Teorem 1.20 moµzemo iskazati na sljedeci naµcin:

Teorem 1.21 Ako je (X; T ) metrizabilan topolo�ki prostor, onda je�2X ; TV

�metrizabilan. Nadalje, ako je d bilo koja metrika u X koja inducira T , ondaje TV = THd :

Teorem 1.22 Neka je (X; T ) T1�prostor. Tada je�2X ; TV

�metrizabilan

ako i samo ako je (X; T ) metrizabilan.

Dokaz. Pretpostavimo da je�2X ; TV

�metrizabilan. Tada, buduci da je

F1 (X) � 2X i da su X i F1 (X) homeomorfni (po Propoziciji 1.13), vrijedi

da je (X; T ) metrizabilan. Obrat vrijedi po Teoremu 1.21.Usporedimo rezultate o 2X u Teoremu 1.22 sa sljedecim rezultatima o

CL (X) :

Teorem 1.23 Neka je (X; T ) T1�prostor: Tada je (CL (X) ; TV ) metrizabi-lan ako i samo ako je (X; T ) kompaktan, metrizabilan prostor.

Dokaz. Pretpostavimo da je (X; T ) kompaktan, metrizabilan prostor. Tadaje po Teoremu 1.22

�2X ; TV

�metrizabilan i vrijedi 2X = CL (X) : Dakle,

(CL (X) ; TV ) je metrizabilan. Obrat vrijedi po Teoremu 1.19.

Propozicija 1.24 Neka je (X; d) potpuno ome�en metriµcki prostor. Tada

je (CL (X) ; Hd) potpuno ome�en.


Dokaz. Neka je " > 0: Zbog potpune ome�enosti od X postoji konaµcan pod-

skup fx1; : : : ; xng � X takav da jeX = [ni=1Bd (xi; "=2), gdje jeBd (xi; "=2) =fx 2 X : d (x; xi) < "=2g : Tvrdimo da je CL (X) = [A�fx1;:::;xngBHd (A; ") :Neka je B 2 CL (X). Tada je B � [kj=1Bd

�xij ; "

�; k � n; a onda B 2

BHd (fxi1 ; : : : ; xikg ; ") : Naime,

Hd (B; fxi1 ; : : : ; xikg) = max�sup

j=1;:::;nd�xij ; B

�; supb2Bd (b; fxi1 ; : : : ; xikg)

�� "=2 < ":

Sljedeci teorem je bio od velike vaµznosti za razvoj teorije hiperprostora.

Teorem 1.25 Ako je (X; T ) kompaktan, metrizabilan, onda je (CL (X) ; TV )kompaktan.

Dokaz. Neka je d metrika u X koja inducira T : Primijetimo da je (X; d)potpuno ome�en i potpun. (CL (X) ; Hd) je potpuno ome�en po Propozicij

1.24. Navedimo bez dokaza slijedecu tvrdnju:

(�) Neka je (X; d) ome�en metriµcki prostor. Ako je (X; d) potpun, onda je(CL (X) ; Hd) potpun.

Iz (�) slijedi da je (CL (X) ; Hd) potpun, a onda i da je kompaktan.Sada, primijetimo da je CL (X) = 2X (buduci je X kompaktan). Dakle,

po Teoremu 1.20 vrijedi THd =TV iz µcega slijedi da je (CL (X) ; TV ) kompak-tan.

Korolar 1.26 Neka je (X; T ) T1�prostor: Ako je (CL (X) ; TV ) metrizabi-lan, onda je (CL (X) ; TV ) kompaktan.

Dokaz. Dokaz slijedi iz Teorema 1.23 i 1.25.

Korolar 1.27 Ako je (X; T ) kompaktan, metrizabilan prostor, onda je (C (X) ; TV )kompaktan.

Dokaz. Dokaz slijedi iz Teorema 1.25 i Propozicije 1.8.


Napomena 1.28 Pretpostavimo da je (X; T ) kompaktan metrizabilan topolo�kiprostor. Iz Teorema 1.21 slijedi da je TV = THd neovisno o izboru metrike dkoja inducira T : Stoga cemo µcesto izostaviti d iz oznaka. Drugim rijeµcima,

oznaµcit cemo Hausdor¤ovu metriku u 2X sa H i odgovarajucu topologiju sa

TH :

1.5 Konvergencija u hiperprostorima

De�nicija 1.29 Neka je (X; T ) topolo�ki prostor i fAig1i=1 niz podskupovaod X: De�niramo limes inferior od fAig1i=1 u oznaci lim inf Ai te limes supe-rior od fAig1i=1 u oznaci lim supAi na sljedeci naµcin:

(i) lim inf Ai = fx 2 X : za proizvoljni U 2 T takav da je x 2 U; U \ Ai 6= ?

osim za konaµcno mnogo ig

(ii) lim supAi = fx 2 X : za proizvoljni U 2 T takav da je x 2 U; U \ Ai 6= ?

za beskonaµcno mnogo i.g

De�nicija 1.30 Neka je (X; T ) topolo�ki prostor, fAig1i=1 niz podskupova odX i A � X: Kaµzemo da fAig1i=1 konvergira prema A u X i pi�emo LimAi =

A, ako vrijedi

lim inf Ai = A = lim supAi:

Lema 1.31 Ako je (X; T ) topolo�ki prostor i fAig1i=1 niz u X; onda je

lim supAi = \1n=1 [Cl ([1i=nAi)] :

Dokaz. Dokaµzimo da je lim supAi � \1n=1 [Cl ([1i=nAi)] : Neka je x 2lim supAi i U 2 T proizvoljna okolina od x. Vrijedi da je U \ Ai 6= ?za beskonaµcno mnogo i, odnosno x 2 ClAi za beskonaµcno mnogo i: Dru-gaµcije zapisano, 8n 2 N, 9m � n takav da je x 2 ClAm odnosno, 8n 2 N,x 2 [1i=nClAi � Cl [1i=n Ai: Dakle, x 2 \1n=1 [Cl [1i=n Ai] :Neka je x 2 \1n=1 [Cl ([1i=nAi)] : Pretpostavimo suprotno, odnosno da

svaka okolina od x sijeµce najvi�e konaµcno mnogo Ai:


No vrijedi sljedece: Za 8n 2 N; x 2 Cl ([1i=nAi) : Dalje, za svaku okolinu Uod x i za 8n 2 N; 9i0 � n; takav da je U \ Ai0 6= ?, odnosno svaka okolinaU od x sijeµce beskonaµcno mnogo Ai �to je u kontradikciji s pretpostavkom.

Propozicija 1.32 Neka je (X; T ) topolo�ki prostor i Ai � X za svaki i 2 N:Tada su lim supAi i lim inf Ai zatvoreni u X. Posebno, LimAi, ako postoji,

je tako�er zatvoren u X.

Dokaz. lim supAi je zatvoren jer je po Lemi 1.31 presjek zatvorenih skupova.

Dokaµzimo da je lim inf Ai zatvoren uX. Pokazat cemo da jeCl (lim inf Ai) �lim inf Ai:

Neka je x0 2 Cl (lim inf Ai) i U proizvoljna otvorena okolina od x0: Tada jeU \ lim inf Ai 6= ?; pa neka je x1 2 U \ lim inf Ai: Buduci da je U otvorenaokolina i od x1; vrijedi da U \ Ai 6= ?; osim za konaµcno mnogo i: No onda

je x0 2 X takav da proizvoljna otvorena okolina U od x0 sijeµce sve osim

konaµcno mnogo Ai pa je i x0 2 lim inf Ai: Za LimAi, ako postoji, vrijedilim inf Ai = LimAi = lim supAi pa je tako�er zatvoren.

De�nicija 1.33 Neka je (X; T ) topolo�ki prostor, fAig1i=1 niz u CL (X) iA 2 CL (X) : Kaµzemo da fAig1i=1 konvergira prema A u CL (X) ako vrijedisljedece:

(8U1; : : : ; Uk 2 T ; k 2 N) (9i0 2 N) i � i0 =) Ai 2 hU1; : : : ; Uki :

Do kraja odjeljka cemo se baviti odnosom izme�u konvergencije u X i

konvergencije u CL (X) i uvjetima kada jedna implicira drugu.

Lema 1.34 Neka je (X; T ) topolo�ki prostor, fAig1i=1 niz podskupova od Xi A � X: Tada su sljedece dvije tvrdnje ekvivalentne:

(i) LimAi = A

(ii) A � lim inf Ai i lim supAi � A:


Dokaz. Dokaz slijedi iz De�nicija 1.29 i 1.30 uz oµcitu tvrdnju lim inf Ai �lim supAi:

Teorem 1.35 Neka je (X; T ) regularan topolo�ki prostor i fAig1i=1 niz uCL (X). Ako fAig1i=1 konvergira prema A u CL (X) ; onda fAig

1i=1 konver-

gira prema A u X:

Dokaz. Pretpostavimo da je fAig1i=1 niz u CL (X) takav da fAig1i=1 kon-

vergira prema A u CL (X) : Pokazat cemo da vrijedi LimAi = A koristeci

Lemu 1.34. Prvo, pokaµzimo da vrijedi A � lim inf Ai: Neka je a 2 A i nekaje U 2 T takav da je a 2 U: Primijetimo da je A 2 hX;Ui : Buduci da nizfAig1i=1 konvergira prema A u CL (X) ; postoji i0 2 N takav da je

Ai 2 hX;Ui za svaki i � i0:

Drugim rijeµcima, Ai \ U 6= ? za svaki i � i0: Ovime smo dokazali da je

a 2 lim inf Ai: Dakle, dokazali smo da vrijedi(1) A � lim inf Ai:Pokaµzimo sada da vrijedi lim supAi � A: Neka je x 2 XnA: Buduci da je

(X; T ) regularan, postoje U;W 2 T takvi da je x 2 U;A � W i U \W = ?:Buduci da je A 2 hW i i fAig1i=1 konvergira prema A u CL (X) ; postoji j0takav da je Ai 2 hW i za svaki i � j0:Buduci da je U \W = ?, vrijedi Ai \ U = ? za svaki i � j0. Ovime

smo pokazali x =2 lim supAi: Dakle, buduci da smo poµceli s toµckom x =2 A;dokazali smo da vrijedi

(2) lim supAi � AIz (1) i (2) i Leme 1.34 slijedi LimAi = A �to je i trebalo pokazati.

Sada nam preostaje odrediti kada konvergencija u X implicira konvergen-

ciju u CL (X). Pokazat cemo da ta implikacija vrijedi kada je X prebrojivo

kompaktan. Prisjetimo se da je topolo�ki prostor, X, prebrojivo kompaktan

ako svaki prebrojiv otvoreni pokrivaµc od X ima konaµcan potpokrivaµc.


Lema 1.36 Neka je (X; T ) prebrojivo kompaktan topolo�ki prostor. Ako jefAig1i=1 niz nepraznih podskupova od X, onda vrijedi

lim supAi 6= ?:

Dokaz. Po Lemi 1.31 vrijedi

lim supAi = \1n=1 [Cl ([1i=nAi)] (1)

De�nirajmo otvorene skupove Un = XnCl ([1i=nAi) za svaki n 2 N:Pretpostavimo da je lim supAi = ?: Sada iz (1) slijedi [1n=1Un = X: Buducida je (X; T ) prebrojivo kompaktan, konaµcno mnogo skupova Un pokrivaX: Od konaµcno skupova Un �to pokrivaju X; neka je Um skup s najvecim

indeksom m: Tada, buduci da je Un � Um za svaki n < m, oµcito je Um = X:Sada slijedi

Cl ([1i=mAi) = ?:

Posebno vrijedi Am = ?; �to je u kontradikciji s pretpostavkom leme.

Teorem 1.37 Neka je (X; T ) prebrojivo kompaktan topolo�ki prostor i fAig1i=1niz u CL (X). Ako fAig1i=1 konvergira prema A u X; onda fAig

1i=1 konvergira

prema A u CL (X) :

Dokaz. Neka je fAig1i=1 niz u CL (X) takav da fAig1i=1 konvergira prema A

u X.

Prvo pokaµzimo da je A 2 CL (X) : Buduci da je A = lim supAi, po Lemi1.36 vrijedi A 6= ?: Iz Propozicije 1.32 slijedi da je A zatvoren u X. Dakle,A 2 CL (X) :Sada pokaµzimo da fAig1i=1 konvergira premaA uCL (X) :Neka su U1; : : : ; Un 2

T ; n 2 N; takvi da vrijedi A 2 hU1; : : : ; Uni. Moramo pokazati da vrijediAi 2 hU1; : : : ; Uni za dovoljno veliki i: Dakle, moramo pronaci prirodne bro-jeve k0 i l0 takve da vrijede sljedece dvije tvrdnje:

(1) Ai \ Uj 6= ? za svaki i � k0 i za svaki j = 1; : : : n:(2) Ai � [nj=1Uj za svaki i � l0:


Prona�imo k0 za koji ce tvrdnja (1) biti zadovoljena. Odaberimo proizvoljni

j � n i odgovarajuci skup Uj: Buduci da je A 2 hU1; : : : ; Uni, postoji toµckap 2 A \ Uj: Buduci da je p 2 A i A = LimAi; slijedi p 2 lim inf Ai: Dakle,buduci da je p 2 Uj i Uj otvoren u X; slijedi Uj \ Ai 6= ? za sve osim za

konaµcno mnogo i: Drugim rijeµcima, postoji prirodni broj, kj; takav da je

Uj \ Ai 6= ? za svaki i � kj:

Za svaki j � n smo dobili prirodni broj kj pa sada odaberimo

k0 = max fk1; : : : ; kng :

Oµcito je k0traµzeni broj za tvrdnju (1) :

Prona�imo l0 za koji ce tvrdnja (2) biti zadovoljena. De�nirajmo u ovu

svrhu

Y = Xn [nj=1 Uj:

Pretpostavimo suprotno, neka ne postoji l0 takav da vrijedi tvrdnja (2) :

Tada postoji podskup�Ai(k)

1k=1

skupa fAig1i=1 takav da vrijedi(a) Ai(k) \ Y 6= ? za svaki k 2 N:

Sa lim supY oznaµcimo limese superior s obzirom na potprostor (Y; T jY ).Primijetimo da je i (Y; T jY ) prebrojivo kompaktan (buduci da je Y zatvorenu X). Dakle, po (a), moµzemo iskoristiti Lemu 1.36 na prostor (Y; T jY ) i niz�A(k) \ Y

1k=1

da pokaµzemo tvrdnju:

(b) lim supY�Ai(k) \ Y

�6= ?:

Uoµcimo da vrijedi:

(c) lim supY�Ai(k) \ Y

�� lim supAi:

Sada, buduci da je A = LimAi, vrijedi A = lim supAi: Dalje, iz (b) i (c)

slijedi A \ Y = ?, µcime smo do�li do kontradikcije. Dakle, mora postojatiprirodan broj l0 takav da vrijedi (2) :

Iz (1) i (2), Ai 2 hU1; : : : ; Uni za svaki i � max fk0; l0g : Dakle, dokazalismo da niz fAig1i=1 konvergira prema A u CL (X) :Sljedeci teorem je posljedica prethodna dva teorema.


Teorem 1.38 Neka je (X; T ) kompaktan Hausdor¤ov prostor i fAig1i=1 niz uCL (X). fAig1i=1 konvergira prema A u X ako i samo ako fAig1i=1 konvergiraprema A u CL (X)

Dokaz. Buduci da su kompaktni Hausdor¤ovi prostori regularni i prebrojivo

kompaktni, teorem slijedi iz Teorema 1.35 i 1.37.

Korolar 1.39 Neka je (X; T ) kompaktan metrizabilan prostor i fAig1i=1 nizu CL (X). fAig1i=1 konvergira prema A u X ako i samo ako fAig1i=1 konver-gira prema A u CL (X) obzirom na Hausdor¤ovu metriku.

Dokaz. Dokaz slijedi iz Teorema 1.38 i 1.23.

U sljedecem teoremu cemo pokazat da se uvjet prebrojive kompaktnosti

iz Teorema 1.37 ne moµze oslabiti kada je (X; T ) T1�prostor: Prije iskazi-vanja sljedeceg teorema dogovorimo sljedece: niz fAig1i=1 ; poskupova od X;nazivamo netrivijalnim nizom ako vrijedi LimAi 6= ?:

Teorem 1.40 Neka je (X; T ) T1-prostor sa svojstvom da svaki netrivijalani

niz fAig1i=1 u F2 (X) koji konvergira u X konvergira i u F2 (X) : Tada je

(X; T ) prebrojivo kompaktan.

Dokaz. Pretpostavimo da (X; T ) nije prebrojivo kompaktan. Tada, buducida je (X; T ) T1�prostor, postoji prebrojiv podskup Y skupa X takav da Y

nema gomili�te u X: Bez smanjenja opcenitosti pretpostavimo da je Y 6= Xi neka je p 2 XnY . Sada, neka je Y = fyi : i 2 Ng : Za svaki i 2 N; neka je

Ai = fp; yig :

Lako se vidi da je LimAi = fpg. Naime, ako postoji x 2 LimAi; x 6= ponda, buduci da x nije gomili�te skupa Y i (X; T ) je T1�prostor, postojiU 2 T i x 2 U takav da je U\Ai 6= ? za najvi�e jedan i; �to je kontradikcija.Nadalje, fAig1i=1 je netrivijalni niz u F2 (X) i vrijedi LimAi = fpg :Me�utim,niz fAig1i=1 ne konvergira prema fpg u F2 (X) buduci da je fpg 2 hXnY i, aAi =2 hXnY i za svaki i (primijetimo da je hXnY i 2TV jer je Y zatvoren u

X).

Poglavlje 2

Geometrijski modeli

hiperprostora

2.1 Uvod

U ovom poglavlju se bavimo geometrijskim modelima hiperprostora, no prije

samih primjera uvedimo neke nazive i oznake koji ce nam biti potrebni u

daljnjem tekstu.

U svim primjerima, prostoriX su neprazni, kompaktni i metriµcki. Neprazan,

kompaktan i metrizabilan prostor zovemo kompaktum. Povezani kompaktum

zovemo kontinuum. Podkompaktum (podkontinuum) zovemo potprostor koji

je kompaktum (kontinuum).

Za svaki n 2 N; n-celija je prostor homeomorfan prostoru In =Qni=1 [0; 1]i :

1-celiju zovemo luk, rubna toµcka luka A je jedna od dvije toµcke koje su slika

skupa f0; 1g homeomor�zmom sa [0; 1] na A: Za svaki n 2 N; s @In oz-naµcavamo rub od In. Drugim rijeµcima

@In = f(xi)ni=1 2 In : xi = 0 ili 1 za neki ig :

Hilbertov kvadar je prostor homeomorfan prostoru I1 =Q1i=1 [0; 1]i.

Produktna topologija na I1 metrizabilna je metrikom d1 de�niranom na

24

POGLAVLJE 2. GEOMETRIJSKI MODELI HIPERPROSTORA 25

sljedeci naµcin:

d1 ((xi)1i=1 ; (yi)

1i=1) =

1Pi=1

2�i jxi � yij za svaki (xi)1i=1 ; (yi)1i=1 2 I1

Konaµcno, navedimo sljedece potprostore od 2X i C (X) : Neka je X kom-

paktum i neka je K podkompaktum od X. De�nirajmo 2XK i CK (X) na

sljedeci naµcin:

2XK =�A 2 2X : A � K

; CK (X) = fA 2 C (X) : A � Kg :

Buduci da su 2X i C (X) kompaktumi, po Propoziciji 1.5 su i 2XK i CK (X)

kompaktumi.

Konaµcni graf je kontinuum koji se moµze prikazati kao unija od konaµcno

mnogo lukova od kojih se svaka dva sijeku najvi�e u jednoj ili obje svoje

rubne toµcke.

2.2 X je luk

Konstruirat cemo geometrijski model za C (X) kada je X proizvoljan luk.

Preciznije, pokazat cemo da je C (X) 2-celija i odrediti podkontinuume od

X koji tvore rub od C (X) :

Prvo razmotrimo primjer kada je X = [0; 1] : Primijetimo da su toµcke

od C ([0; 1]) zatvoreni intervali [a; b], 0 � a � b � 1: Ovo nas navodi da

de�niramo funkciju h : C ([0; 1])! R2 na sljedeci naµcin

h ([a; b]) = (a; b) za svaki [a; b] 2 C ([0; 1]) :

Slika od C ([0; 1]) je trostrana 2-celija (trokut) T u R2 s vrhovima (0; 0) ;

(0; 1) i (1; 1). h je bijekcija iz C ([0; 1]) u T: Naime, ako je h ([a1; b1]) =

h ([a2; b2]) ; odnosno (a1; b1) = (a2; b2) ; onda vrijedi da je a1 = a2 i b1 = b2odakle slijedi i da su segmenti [a1; b1] i [a2; b2] jednaki, dakle h je injekcija.

Za svaki (a; b) 2 T postoji segment, [a; b] ; takav da je h ([a; b]) = (a; b), pa jeh surjekcija. Tvrdimo da je h : C ([0; 1])! T homeomor�zam. Buduci da je

C ([0; 1]) kompaktan metriµcki prostor, dovoljno je dokazati da je h neprekidna


funkcija. U tu svrhu dovoljno je dokazati sljedece

(1) Neka je f[ai; bi]g1i=1 niz u C ([0; 1]) : Tada f[ai; bi]g1i=1 konvergira u

C ([0; 1]) prema [a; b] ako i samo ako niz f(ai; bi)g1i=1 konvergira u R2 prema(a; b) :

Dokaz za (1) : Neka niz f[ai; bi]g1i=1 konvergira u C ([0; 1]) prema [a; b] :Tada za svaku okolinu (a� "; b+ ") od [a; b] ; gdje je " proizvoljan, postojii0 2 N takav da 8i � i0 [ai; bi] � (a� "; b+ ") : No tada faig1i=1 konvergiraprema a u R, a niz fbig1i=1 konvergira prema b u R; odnosno niz f(ai; bi)g

1i=1

konvergira prema (a; b) u R2.

Obratno, neka niz f(ai; bi)g1i=1 konvergira u R2 prema (a; b). Tada nizfaig1i=1 konvergira prema a u R, a niz fbig

1i=1 konvergira prema b u R: Neka je

" proizvoljan i (a� "; b+ ") okolina od [a; b] u C ([0; 1]). Tada postoji i0 2 Ntakav da 8i � i0; d (ai; a) < " i d (bi; b) < ", odnosno [ai; bi] � (a� "; b+ "),odnosno niz f[ai; bi]g1i=1 konvergira u C ([0; 1]) prema [a; b] :Dakle, dokazali smo da je C ([0; 1]) 2-celija. Nadalje, buduci da homeo-

mor�zmi µcuvaju rubove, slijedi:

(2) @C ([0; 1]) = F1 ([0; 1]) [ Cf0g ([0; 1]) [ Cf1g ([0; 1]) :Sada, koristeci upravo dokazane µcinjenice oC ([0; 1]), dokaµzimo sljedecu opcen-

itu tvrdnju za lukove:

Propozicija 2.1 Neka je X proizvoljni luk s rubnim toµckama p i q. Tada je

C (X) 2-celija i vrijedi

@C (X) = F1 (X) [ Cfpg (X) [ Cfqg (X) :

Dokaz. Buduci da smo pokazali da je C ([0; 1]) 2-celija, iz Teorema 1.11 (iii),

izravno slijedi da je C (X) 2-celija. Da bismo dokazali drugi dio propozicije,

dovoljno je konstruirati barem jedan homeomor�zam iz C (X) u C ([0; 1])

koji preslikava F1 (X) [ Cfpg (X) [ Cfqg (X) u @C ([0; 1]) : Neka je k : X! [0; 1] homeomor�zam. Dalje, de�nirajmo k� : C (X) ! C ([0; 1]) na

sljedeci naµcin:

k� (A) = k (A) za svaki A 2 C (X) :


k� je homeomor�zam iz C (X) uC ([0; 1]) (jer je k� de�niran na isti naµcin kao i

h� u dokazima Teorema 1.7 i 1.11). Tako�er, buduci da svaki homeomor�zam

izme�u lukova µcuva rubne toµcke, vrijedi

k (fp; qg) = f0; 1g

Dobivamo

k��F1 (X) [ Cfpg (X) [ Cfqg (X)

�= F1 ([0; 1]) [ Cf0g ([0; 1]) [ Cf1g ([0; 1]) :

Dakle, promotrimo li (2) ; vidimo da je k� traµzeni homeomor�zam.

2.3 Konusi, geometrijski konusi

Neka je Y topolo�ki prostor. Konus nad Y , u oznaci K (Y ) ; je kvocijentni

prostor dobiven iz Y � [0; 1] tako da Y � f1g preslikamo u jednu toµcku.Drugim rijeµcima, K (Y ) je kvocijentni prostor Y � [0; 1] = v gdje je v relacijaekvivalencije na Y � [0; 1] de�nirana sa: (y1; t1) v (y2; t2) ako i samo ako

(y1; t1) = (y2; t2) ili t1 = t2 = 1: Toµcku Y � f1g nazivamo vrh, a podskupY � f0g nazivamo bazom konusa K (Y ) :

Ako je Y kompaktum, onda je K (Y ) topolo�ki isti prostor kao i pros-

tor G (Y ) dobiven sljedecom geometrijskom konstrukcijom. Bez smanjenja

opcenitosti moµzemo pretpostaviti da je Y � E, gdje je E = Rn za neki n iliE = I1: Fiksirajmo toµcku p 2 E: Razmotrimo prostor E � [0; 1] : Neka jev = (p; 1) : Za svaki y 2 Y , sa yv oznaµcimo segment u E � [0; 1] od (y; 0) dov (dakle, yv = ftv + (1� t) (y; 0) : 0 � t � 1g).Neka je

G (Y ) = [fyv : y 2 Y g :

Dokaµzimo da su G (Y ) i K (Y ) homeomorfni. Sa � : Y � [0; 1] ! K (Y )

oznaµcimo kvocijentno preslikavanje i neka je f : Y � [0; 1]! G (Y ) dan sa

f (y; t) = tv + (1� t) (y; 0) za svaki (y; t) 2 Y � [0; 1] :


Primijetimo da je f��1 dobro de�nirana funkcija (buduci da je f (y; 1) =v za sve toµcke (y; 1) iz prostora Y � [0; 1]). Dakle, f � ��1 je preslikavanje(buduci da je f neprekidna i � je kvocijentno preslikavanje). Oµcito, f ��1 jeinjekcija. Tako�er, K (Y ) je kompaktan (buduci da je Y � [0; 1] kompaktani � preslikavanje). Dakle, f � ��1 je homeomor�zam iz K (Y ) u G (Y ) :

G (Y ) nazivamo geometrijski konus nad Y; toµcku v nazivamo vrh odG (Y )

(primijetimo da gore de�nirana funkcija f � ��1 preslikava vrh od K (Y ) uv), a podskup Y � f0g od G (Y ) nazivamo bazom od G (Y ) :

Gore navedena konstrukcija prostora G (Y ) se moµze provesti za svaki

separabilni metriµcki prostor Y .

2.4 Kada su C (Y ) i K (Y ) homeomorfni?

Promotrimo sljedece pitanje: Za koje kontinuume Y vrijedi da je C (Y ) home-

omorfan K (Y )?

Motivacija za ovo pitanje dolazi iz sljedeca dva sliµcna svojstva C (Y ) i

K (Y ) : Prvo, postoje lukovi u K (Y ) koji idu od baze do vrha od K (Y )

(oznaµcili smo ih s yv u G (Y )). Sliµcno, postoje lukovi u C (Y ), zovemo ih

ure�enim lukovima, koji idu od F1 (Y ) do Y: Drugo, postoje projekcije od

K (Y ) na [0; 1] koje "mjere" visinu toµcaka u K (Y ). Sliµcno, postoji preslika-

vanje iz C (Y ) u [0;1) koje zovemo Whitneyjeva preslikavanja, koja "mjere"visinu (s obzirom na parcijalni ure�aj) toµcaka od C (Y ). Tako cemo prikazati

C (Y ), sliµcno naµcinu kako smo prikazali K (Y ) kao G (Y ).

Unatoµc ovim sliµcnostima, prostori C (Y ) i K (Y ) su obiµcno priliµcno ra-

zliµciti. Zapravo, ako je Y konaµcno-dimenzionalni lokalno povezan kontinuum

takav da su C (Y ) i K (Y ) homeomorfni, onda je Y konaµcan graf. Dakle, Y

je luk ili jednostavna zatvorena krivulja.

Jedna istaknuta razlika izme�u C (Y ) i K (Y ) je vezana uz dimenziju. S

jedne strane, ako je dimY < 1, onda je i dimK (Y ) < 1: S druge strane,ako je dimY � 2, onda je dimC (Y ) = 1: Dakle, iz toga slijedi sljedeciteorem:


Teorem 2.2 Ako je Y konaµcno-dimenzionalni kontinuum takav da su C (Y )

i K (Y ) homeomorfni, onda je dimY = 1:

Za kontinuum kaµzemo da je rastavljiv ako se moµze prikazati ako unija

dvaju pravih podkontinuuma. Za kontinuum koji nije rastavljiv kaµzemo

da je nerastavljiv. Za kontinuum kaµzemo da je nasljedno rastavljiv ako je

svaki nedegenerirani podkontinuum rastavljiv. Za kontinuum kaµzemo da je

nasljedno nerastavljiv ako je svaki podkontinuum nerastavljiv.

Teorem 2.3 Neka je Y nasljedno rastavljiv kontinuum. C (Y ) i K (Y ) su

homeomorfni ako i samo ako je Y jedan od osam kontinuuma iz Slike 2.1.

Slika 2.1

Poglavlje 3

2X i C (X) za Peanov

kontinuum X

3.1 Uvod

Za prostor kaµzemo da je lokalno povezan ako svaka toµcka ima bazu okolina

koja se sastoji od povezanih, otvorenih skupova. Lokalno povezan kontin-

uum µcesto nazivamo Peanovim kontinuumom u µcast Giuseppea Peana. Jed-

nostavni primjeri Peanovih kontinuuma su konaµcni graf, n-celija, Hilbertov

kvadar.

Tema ovog poglavlja je problem od kljuµcne vaµznosti za µcije dokazivanje

je trebalo vi�e od 50 godina. Zato je prikladno poglavlje zapoµceti povijesnim

pregledom.

U Poljskoj se ranih 1920�ih godina 20. stoljeca pojavila pretpostavka da je

2I ; I = [0; 1] ; Hilbertov kvadar. Pretpostavka se prvi put pojavila u pisanim

dokumentima 1938. godine. No, iako je bilo oµcito da pretpostavka zaista

vrijedi, dugi niz godina su poku�aji dokazivanja bili bezuspje�ni. Sve do 70-

ih kada su Schori i West konaµcno uspjeli dokazati da je 2I zaista Hilbertov

kvadar. Oni su i pro�irili rezultate na 2X , gdje je X konaµcni graf.

No, vratimo se na 1938. godinu. Tada je Wojdyslawski postavio sljedece

pitanje: Je li 2X Hilbertov kvadar kada je X (nedegeneriran) Peanov kon-

30

POGLAVLJE 3. 2X I C (X) ZA PEANOV KONTINUUM X 31

tinuum? 1939. je dokazao da su za svaki Peanov kontinuum X; 2X i C (X)

apsolutni retrakti, vaµznu tvrdnju koja ide u prilog pozitivnom odgovoru na

postavljeno pitanje.

Me�utim, preko trideset godina se µcekalo na nekakav napredak, sve do

radova Schorija i Westa.

No onda su Curtis i Schori 1974. i 1978. objavili µclanke u kojima su

odgovorili na Wojdyslawskovo pitanje i objavili dva rezultata o C (X) : Nji-

hovi rezultati za nedegeneriran Peanov kontinuum X su sljedeci:

(i) 2X je Hilbertov kvadar;

(ii) C (X) je Hilbertov kvadar ako svaki luk u X ima prazan interior

u X;

No tu nije kraj na�e priµce. H. Torunczyk se sredinom 70-ih bavio karak-

teriziranjem tzv. Q-mnogostrukosti. Objavljen je µclanak na µcijem kraju

je elegantno dokazao rezultate Curtisa i Schorija za 2X primjenjujuci svoj

karakterizacijski teorem.

Ovo nas dovodi do sadrµzaja ovog poglavlja, dokaza prvih dvaju rezultata

Curtisa i Schorija koristeci Torunczykov teorem. Prvo cemo navesti tvrdnje

nuµzne za dokazivanje teorema.

3.2 Apsolutni retrakt, Z-skup, Torunczykov

teorem

Neka je Y prostor i Z potprostor od Y . Kaµzemo da je Z retrakt od Y ako

postoji neprekidna funkcija r : Y ! Z tako da je rjZ = idZ . r zovemo

retrakcija. Za kompaktum K kaµzemo da je apsolutni retrakt ako za svaki

metriµcki prostor X u kojem je K smje�ten kao (zatvoreni) potprostor postoji

retrakcija r : X ! K:

Kompaktum K zovemo apsolutni ekstenzor ako ima slijedece svojstvo:

Ako jeB zatvoreni podskup metriµckog prostoraM i f : B ! K preslikavanje,

onda se f moµze pro�iriti do preslikavanja F :M ! K:


Teorem 3.1 (Uryshonov metrizacijski teorem) Neka je X T1�prostor.Tada su sljedece tvrdnje ekvivalentne:

(i) X je 2-prebrojiv i regularan;

(ii) X se moµze smjestiti u Hilbertov kvadar;

(iii) X je metrizabilan i separabilan.

Teorem 3.2 (Tietze) Neka je X normalan prostor, A zatvoreni podskup od

X i f : A! [�1; 1] preslikavanje. Tada postoji preslikavanje g : X ! [�1; 1]takvo da je gjA = f , tj. f ima neprekidno pro�irenje.

Teorem 3.3 (Borsuk) Kompaktum K je apsolutni retrakt ako i samo ako

je apsolutni ekstenzor.

Dokaz. Pretpostavimo da je K apsolutni retrakt. Po Teoremu 3.1 moµzemo

pretpostaviti da je K � I1: Tada postoji retrakcija r : I1 ! K: Dokaµzimo

da jeK apsolutni ekstenzor. Neka je B zatvoren podskup metriµckog prostora

M i neka je f : B ! K preslikavanje s koordinatnim funkcijama fi : B ![0; 1]i ; i 2 N: Po Teoremu 3.2 svaka koordinatna funkcija fi se moµze pro�iritido preslikavanje gi :M ! [0; 1]i ; i 2 N: Neka je

g = (gi)1i=1 :M ! I1:

Funkcija r � g :M ! K je neprekidno pro�irenje od f: Dakle, K je apsolutni

ekstenzor.

Dokaµzimo sada obrat. Pretpostavimo da je K apsolutni ekstenzor. Neka

je K smje�ten u metriµckom prostoru Y kao zatvoreni potprostor Pro�irimo

id : K ! K do preslikavanja r : Y ! K. r je traµzena retrakcija.

Korolar 3.4 Neka je K kompaktum u I1. Ako je K retrakt od I1, onda je

K apsolutni retrakt.


Dokaz. Dovoljno je dokazati da je K apsolutni ekstenzor. Neka je B

zatvoreni podskup metriµckog prostora M i f : B ! K preslikavanje. Po

prvom dijelu dokaza Teorema 3.3 postoji pro�irenje F :M ! K od f .

Sada cemo, koristeci Korolar 3.4, navesti nekoliko primjera apsolutnih

retrakata. Sam prostor I1 je apsolutni retrakt, jer je identiteta retrakcija.

Dalje, bilo koja n�celija je apsolutni retrakt (preslikavanje (xi)1i=1 ! (x0i)1i=1 ;

gdje je x0i = xi za svaki i � n i x0i = 0 za svaki i > n, jest retrakcija od I1

na In).

S druge strane, jednostavni primjeri kompaktuma koji nisu apsolutni re-

trakt slijede iz µcinjenice da je svaki apsolutni retrakt Peanov kontinuum. Ova

µcinjenica je posljedica sljedecih tvrdnji: Svaki kompaktum se moµze smjestiti

u I1: I1 je Peanov kontinuum, a svaki retrakt Peanovog kontinuuma je

tako�er Peanov kontinuum.

De�nirajmo sada Z-skup.

De�nicija 3.5 Neka je Y kompaktum s metrikom d. Zatvoren podskup A od

Y zovemo Z-skup u Y ako vrijedi:

8" > 0;9 preslikavanje f" : Y ! Y nA; takvo da je d (f" (y) ; y) < ";8y 2 Y:

Na primjer, @In je Z-skup u In: Dakle, zatvoreni podskup A od In je

Z-skup u In ako i samo ako je A � @In.Usporedimo sada Z-skupove u In sa Z-skupovima u I1. Koristit cemo

metriku d1 u I1 danu sa

d1 ((xi)1i=1 ; (yi)

1i=1) =

1Pi=1

2�i jxi � yij za svaki (xi)1i=1 ; (yi)1i=1 2 I1

Svaka toµcka u I1, za razliku od prostora In, je Z-skup u I1. Pokaµzimo tu

tvrdnju.

Neka je p = (pi)1i=1 2 I1 i " > 0: Odaberimo j � 1 takav da vrijedi 2�j < "

i neka je q 2 [0; 1] takav da je q 6= pj: De�nirajmo f" : I1 ! I1 na sljedeci

naµcin:

f" ((xi)1i=1) = (x1; : : : ; xj�1; q; xj+1; : : :) za svaki (xi)

1i=1 2 I1: (1)


Oµcito vrijedi p =2 f" (I1) i d1 (f" (y) ; y) < "; za svaki y 2 I1: Dakle, fpgje Z-skup. Na sliµcan naµcin moµzemo pokazati da je svaki konaµcan i prebrojiv,

zatvoren podskup od I1 Z-skup u I1: Iz ovoga slijedi da u I1 postoji niz

Z-skupova µcija je unija gusta u I1:

Propozicija 3.6 Neka je Y kompaktum. Konaµcna unija Z-skupova u Y je

Z-skup.

Dokaz. Neka je Z = [ni=1Zi, gdje je Zi Z-skup za 8i: Pretpostavimosuprotno, odnosno da (9" > 0) (8f" : Y ! Y nZ) (9y0 2 Y ) d (f" (y0) ; y0) �": No kako je Y nZ = (Y nZ1) \ : : : \ (Y nZn), 9i0 2 f1; : : : ; ng takav da jef" (y0) 2 Y nZi0 pa gornja pretpostavka vrijedi i za Y nZi0. No, onda slijedida Zi0 nije Z-skup �to je kontradikcija.

Navest cemo jo� jedan primjer Z-skupova u I1. U tu svrhu de�nirajmo

pojam Z-preslikavanja.

De�nicija 3.7 Neka su Y1 i Y2 kompaktumi. Za preslikavanje f : Y1 ! Y2

kaµzemo da je Z-preslikavanje ako je f (Y1) Z-skup u Y2.

Za svaki n 2 N; neka je fn : I1 ! I1 preslikavanje dano sa:

fn ((xi)1i=1) = (x1; : : : ; xn; 0; 0; : : :) ;8 (xi)

1i=1 2 I1:

Svaka funkcija fn je Z-preslikavanje (dokaz analogan kao u (1)). Primije-

timo da niz ffig1i=1 konvergira uniformno prema identiteti na I1, s obziromna metriku d1: Dokaµzimo to. Neka je " > 0 proizvoljan i n0 takav da je12n0

< ". Dalje, neka su n � n0 i (xi)1i=1 2 I1 proizvoljni. Vrijedi sljedece

d1 (fn ((xi)1i=1) ; id ((xi)

1i=1)) =

nPi=1

2�i jxi � xij+1P

i=n+1

2�i jxi � 0j =

=1P

i=n+1

jxij2i

jxij�1;8i2N�

1Pi=n+1

1

2i=

1

2n+1

1Pi=0

1

2i=

2

2n+1=1

2n� 1

2n0< ":

Time je tvrdnja dokazana, a ujedno je pokazano i slijedece: Za svaki " > 0

postoji Z-preslikavanje f" : I1 ! I1 tako da je d1 (f" (y) ; y) < ";8y 2 I1:


Dakle, odredili smo osnovne µcinjenice o Hilbertovim kvadrima:

Ako je Q Hilbertov kvadar, onda Z-preslikavanja uniformno konvergiraju

prema identiteti na Q. Obrat, za apsolutni retrakt, je Torunczykov teorem!

Teorem 3.8 (Torunczyk) Neka je Y apsolutni retrakt sa svojstvom da za

svaki " > 0 postoji Z-preslikavanje f" : Y ! Y tako da je d1 (f" (y) ; y) <

"; 8y 2 Y: Tada je Y Hilbertov kvadar.

3.3 Svojstva Peanovih kontinuuma

Sljedece tvrdnje cemo navesti bez dokaza jer dokazi prelaze okvire ovog

diplomskog, a nuµzne su nam u daljnjem tekstu.

Teorem 3.9 Neka je X Peanov kontinuum. Tada je X, za svaki " > 0,

unija konaµcno mnogo Peanovih kontinua dijametra manjeg od ".

Za prostor X kaµzemo da je putovima povezan ako se svake dvije toµcke mogu

povezati lukom.

Teorem 3.10 Svaki Peanov kontinuum je putovima povezan.

Neka je (X; d) metriµcki prostor i x; y 2 X. Kaµzemo da je m 2 X sredi�nja

toµcka za x i y ako vrijedi

d (x;m) = d (m; y) =1

2d (x; y) :

Za metriku d na X kaµzemo da je konveksna ako za svake dvije toµcke x; y 2 Xpostoji njihova sredi�nja toµcka m 2 X:

Teorem 3.11 Svaki Peanov kontinuum ima konveksnu metriku.

Sada cemo navesti nekoliko osnovnih svojstava konveksne metrike.

Propozicija 3.12 Neka je X kontinuum s konveksnom metrikom d: Tada

se svake dvije toµcke x; y 2 X mogu povezati lukom J u X takvim da je J

izometriµcan zatvorenom intervalu [0; d (x; y)] :


Dokaz. Neka jem�12

�sredi�nja toµcka za x i y. Dalje, neka jem

�14

�sredi�nja

toµcka od x i m�12

�te neka je m

�34

�sredi�nja toµcka od m

�12

�i y. Neka je

m�k8

�sredi�nja toµcka od m

�k�18

�i m

�k+18

�gdje je k = 1; 3; 5; 7 i gdje je

m (0) = x te m (1) = y: Induktivno de�nirajmo sljedeci podskup M skupa

X:

M =

�m

�k

2n

�: n 2 N i k = 1; : : : ; 2n � 1

�;

gdje je svakim�k2n

�sredi�nja toµcka odm

�k�12n

�im

�k+12n

�: Neka je J = ClM:

De�nirajmo f : J ! [0; d (x; y)]

f (z) = d (x; z) za svaki z 2 J:

f je izometrija iz J u [0; d (x; y)] : Dakle, J mora biti luk buduci da su

izometrije homeomor�zmi. Tako�er iz de�nicije luka J slijedi x; y 2 J:Za sljedeca dva svojstva konveksnih metrika moramo de�nirati poopcenu

zatvorenu kuglu.

Neka je (X; d) metriµcki prostor, neka je r > 0 i neka je A 2 CL (X) :Poopcenu zatvorenu d-kuglu u X oko skupa A radijusa r, koju oznaµcavamo

sa Cd (r; A) ; de�niramo na sljedeci naµcin:

Cd (r; A) = fx 2 X : d (x;A) � rg :

Propozicija 3.13 Neka je X kontinuum s konveksnom metrikom d i neka

je r > 0. Tada, za svaki A;B 2 2X ; vrijedi

Hd (Cd (r; A) ; Cd (r; B)) � Hd (A;B) :

Dokaz. Neka su A;B 2 2X . Za Hd cemo koristiti sljedecu formulu:

Hd (A;B) = max

�supa2A

d (a;B) ; supb2B

d (b; A)

�Nadalje, dovoljno je, zbog simetrije od Hd; dokazati da vrijedi

d (x;Cd (r; B)) � Hd (A;B) ;8x 2 Cd (r; A) : (1)


Dokaµzimo (1).

Neka je x 2 Cd (r; A) : (1) oµcito vrijedi ako je x 2 Cd (r; B) pa pret-

postavimo da x =2 Cd (r; B) :Buduci da je x 2 Cd (r; A) i A 2 2X , postoji a 2 A takav da je d (x; a) � r.

Kako je B 2 2X ; postoji b 2 B takav da je d (a; b) = d (a;B) : Napomenimo

da je d (x; b) > r (slijedi iz pretpostavke x =2 Cd (r; B)).Sada po Propoziciji 3.12 postoji luk J u X od x do b takav da je J

izometriµcan s [0; d (x; b)] : Buduci da je d (x; b) > r, postoji toµcka y 2 J takvada je d (y; b) = r: Tada su x i b rubne toµcke luka J i J je izometriµcan s

[0; d (x; b)] pa vrijedi:

d (x; y) + d (y; b) = d (x; b) :

Dalje, kako je d (y; b) = r; vrijedi

d (x; y) = d (x; b)� r � d (x; a) + d (a; b)� r;

a buduci da je d (x; a) � r i d (a; b) = d (a;B) ; vrijedi

d (x; y) � d (a;B) :

Dakle, po Propoziciji 1.16 vrijedi d (x; y) � Hd (A;B) : Buduci da je y 2Cd (r; B), dokazali smo (1) :

Propozicija 3.14 Neka je X kontinuum s konveksnom metrikom d: Tada,

za svaki A 2 C (X) i r > 0, vrijedi Cd (r; A) 2 C (X) :

Dokaz. Ako je A 2 C (X), onda povezanost od Cd (r; A) slijedi iz Propozicije3.12.

Sljedece jednostavno svojstvo o uniji Peanovih kontinuuma µcesto cemo

koristiti u daljnjem.

Propozicija 3.15 Ako su Z1 i Z2 Peanovi kontinuumi (u danom prostoru)

i ako je Z1 \ Z2 6= ?, onda je Z1 [ Z2 Peanov kontinuum.


Dokaz. Neka je Z = Z1 [ Z2. Z je oµcito kontinuum lokalno povezan u

svakoj toµcki skupa Zn (Z1 \ Z2) : Neka je z 2 Z1 \Z2 i W okolina od z u Z.

Tada su W \ Zi; i = 1; 2; okoline od z u Zi pa postoji povezana okolina Viod z u Zi takva da je z 2 Vi � W \ Zi: Tada je V1 [ V2 povezan skup u Z iz 2 V1 [ V2 � W: Nadalje, V1 [ V2 je okolina od z:Dakle, buduci da su Z1i Z2 Peanovi kontinuumi slijedi da svaka toµcka u Z

ima bazu okolina koja se sastoji od povezanih skupova. (�)Sada odaberimo �ksni p 2 Z i neka je N proizvoljna okolina od p u Z: S IntN

oznaµcimo interior od N u Z, a sa G oznaµcimo komponentu od p u IntN (G

je unija svih povezanih podskupa od IntN koji sadrµze p). Primijetimo da je

G povezan.

Pokaµzimo da je G otvoren u Z:

Neka je z 2 G: Po (�), z ima povezanu okolinu E � IntN: Primijetimo daje G[E povezani podskup od IntN koji sadrµzi p, pa mora biti G[E � G tj.E � G. Dakle, buduci da je E okolina od z u Z i buduci da je z proizvoljnatoµcka iz G, dokazali smo da je G otvoren u Z:

Dakle, G je povezan, otvoren podskup od Z i p 2 G � N: Pokazav�i

da postoji takav G za proizvoljan p 2 Z i za proizvoljnu okolinu N od p;

dokazali smo da je Z lokalno povezan.

Teorem 3.16 (Wojdyslawski) Ako je X Peanov kontinuum, onda su 2X

i C (X) apsolutni retrakti.

3.4 Curtis-Schorijev teorem za 2X i C (X)

U ovom odjeljku cemo dokazati Curtis-Schorijev teorem, ali prije toga pokaµzimo

kada su 2XK i CK (X) Z-skupovi.

Lema 3.17 Neka je J luk s rubnim toµckama p i q. Tada postoji preslikavanje

' : 2J ! 2J sa sljedecim svojstvima: Ako je A 2 2J i S � fp; qg, onda' (A) 6= J; ' (S) = S i ' (A [ S) = ' (A) [ S:


Dokaz. Prvo dokaµzimo sluµcaj kada je Y = [�1; 1] : Ako je A 2 2Y , neka je

a+ = inf A \ [0; 1] ako je A \ [0; 1] 6= ?;a� = supA \ [�1; 0] ako je A \ [�1; 0] 6= ?;a0 = inf fjaj : a 2 Ag :

Ako je A 2 2Y takav da 0 =2 A, neka je

(A) =

8>><>>:A [ f2a+ � 1g ; ako je A � (0; 1]A [ f2a� + 1g ; ako je A � [�1; 0)A [ f2a+ � 1; 2a� + 1g ; ako je A \ [�1; 0) 6= ? 6= A \ (0; 1] :

Primijetimo da je neprekidna na 2Y n2Y0 : Konaµcno, de�nirajmo ' : 2Y ! 2Y

na sljedeci naµcin:

' (A) =

8>><>>: (A) ; ako je A \

��12; 12

�= ?

[An (�1; 1)] [ f�1; 1g ; ako je 0 2 A( (A) n (2a0 � 1; 1� 2a0)) [ f2a0 � 1; 1� 2a0g ; ako je 0 < a0 � 1

2:

Tvrdimo da ' zadovoljava traµzena svojstva iz leme. Oµcito vrijedi da je

' (A) 6= Y za svaki A 2 2Y : Pokaµzimo da je ' (S) = S: Neka je S � f�1; 1g.Vrijedi da je ' (S) = (S) (buduci da je S \

��12; 12

�= ? za svaki S �

f�1; 1g). Ako je S = f�1g, onda je ' (S) = (S) = S [ f2a� + 1g =S [ f�1g = S: Sliµcno pokaµzemo za S = f1g i S = f�1; 1g : Dakle, pokazalismo da vrijedi ' (S) = S: ' (A [ S) = ' (A) [ ' (S) = ' (A) [ S µcime smopokazali da ' zadovoljava svojstva iz leme.

Opci rezultati za proizvoljni luk J sada oµcito slijede. Naime, neka je

h : J ! Y homeomor�zam, neka je h� : 2J ! 2Y funkcija iz dokaza Teorema

1.7 i neka je ' : 2Y ! 2Y upravo konstruirana funkcija. Tada je (h�)�1�'�h�

traµzeno preslikavanje za 2J :

Neka je X kompaktum i u : 22X ! 2X funkcija de�nirana sa

u (A) = [A; 8A 2 22X :

Funkcija u se naziva unija preslikavanje i ima slijedeca svojstva


(U1) u je surjekcija.

(U2) u je neprekidna i vrijedi H ([A;[B) � HH (A;B) za svaki A;B 2 22X:

(U3) u preslikava C (C (X)) u 2X :

Neka je A luk u prostoru X: Kaµzemo da je A slobodan luk u X ako je A bez

rubova otvoren skup u X.

Teorem 3.18 Neka je X nedegenerirani Peanov kontinuum i K zatvoren

podskup od X takav da je intK 6= ?: Tada je 2XK Z-skup u 2X : Nadalje, akoK ne sadrµzi slobodne lukove, onda je CK (X) Z-skup u C (X) :

Dokaz. Uoµcimo da je 2XK zatvoren u 2X po Propoziciji 1.5. Tako�er vrijedi

da je CK (X) zatvoren u C (X) :

Prvo dokaµzimo teorem za 2XK pretpostaviv�i da K sadrµzi barem jedan

slobodan luk u X. Neka je " > 0. Tada, buduci da K sadrµzi slobodan luk u

X; sadrµzi luk J takav da vrijedi

diamd (J) < ":

Neka su p i q rubne toµcke od J i neka je ' : 2J ! 2J funkcija iz Leme

3.17. De�nirajmo f" : 2X ! 2X na sljedeci naµcin:

f" (B) =

(B; ako je B \ J = ?(BnIntJ) [ ' (B \ J) ; ako je B \ J 6= ?:

Neprekidnost od f" slijedi iz µcinjenice da je J slobodan luk u X i iz

svojstva od ' u Lemi 3.17. Buduci da je J � K i ' (A) � J , za svaki

A 2 2J (po Lemi 3.17), f" preslikava 2X u 2Xn2XK : Konaµcno, f" je u "�okoliniidentitete na 2X (s obzirom na Hd) buduci da je diamd (J) < ": Dakle,

dokazali smo da je 2XK Z-skup u 2X ako K sadrµzi slobodan luk u X:

Dalje, dokaµzimo teorem za 2XK pretpostaviv�i da K ne sadrµzi luk slobodan

u X. Drugim rijeµcima, pokaµzimo da za svaki " > 0 postoji preslikavanje g"iz 2X u 2Xn2XK takva da je u "�okolini identitete na 2X (s obzirom na Hd).


Neka je " > 0; intK 6= ? i p 2 intK: Po Teoremu 3.9, X = [ni=1Xi; gdje je

svaki Xi Peanov kontinuum i

diamd (Xi) < "=4; i = 1; : : : ; n:

De�nirajmo sada zvijezdu od p s obzirom na X1; : : : ; Xn na sljedeci naµcin:

St (p) = [fXi : p 2 Xig :

Bez gubitka opcenitosti, moµzemo pretpostaviti da je " dovoljno malen da

vrijedi St (p) � K i St (p) 6= X: Neka je

C = fXj : p =2 Xj i Xj \ St (p) 6= ?g :

Buduci da je St (p) 6= X i X = [ni=1Xi povezan, slijedi da je C 6= ?. Uprotivnom, ako je C = ?, X se moµze prikazati kao unija dvaju zatvorenih i

disjunktnih skupova, St (p) i XnSt (p) ; odakle bi slijedilo da je X nepovezan

�to je kontradikcija.

Za svaki Xj 2 C, neka je pj 2 Xj \ St (p) : Toµcke pj postoje buduci da jeC 6= ?: Po Propoziciji 3.15 vrijedi da je St (p) Peanov kontinuum. Nadalje,iz Teorema 3.10 slijedi da postoji luk Aj u St (p) od p do pj, za svaki j: S A

oznaµcimo uniju svih Aj i neka je

Y = A [ ([C) :

Iz Propozicije 3.15 slijedi da je Y Peanov kontinuum. Nadalje, iz Teorema

3.16 slijedi da je C (Y ) apsolutni retrakt. De�nirajmo � : Y ! C (Y ) na

sljedeci naµcin:

� (y) = fyg za svaki y 2 Y:

Sada, buduci da je C (Y ) apsolutni retrakt, iz Teorema 3.3 slijedi da se

� moµze pro�iriti u preslikavanje � : St (p) [ Y ! C (Y ) : Sada pro�irimo

funkciju � u : X ! C (X) na sljedeci naµcin:

(x) =

(� (x) ; ako je x 2 St (p) [ Yfxg ; ako je x 2 Xn (St (p) [ Y ) :


Pokazat cemo da je neprekidna, no prvo pokaµzimo kako cemo funkciju

upotrijebiti da na 2X de�niramo funkciju g":

Za svaki B 2 2X neka je

g" (B) = [f (b) : b 2 Bg :

Pokaµzimo da g" ima sljedeca tri svojstva:

(i) g" preslikava 2X u 2X i g" je neprekidna,

(ii) g" (B) � K za svaki B 2 2X ;(iii) g" se nalazi u "�okolini identitete na 2X (s obzirom na Hd).

Dokaµzimo (i).

Prvo dokaµzimo da je funkcija g" neprekidna. Gore de�nirana funkcija �

je neprekidna i vrijedi � (y) = fyg za svaki y 2 Y: Neprekidnost funkcije slijedi iz sljedece tvrdnje:

Cl (XnSt (p)) \ St (p) � Y: (1)

Dokaµzimo (1). Neka je z 2 (Cl (XnSt (p))) \ St (p) : Neka je fzkg1k=1 nizu XnSt (p) takav da fzkg1k=1 konvergira prema z: Buduci da je X = [ni=1Xi

i n 2 N, postoji m 2 N takav da je zk 2 Xm za beskonaµcno mnogo k: To

implicira da Xm ima sljedeca tri svojstva:

(a) z 2 Xm;

(b) p =2 Xm (buduci da zk =2 St (p) za svaki k);(c) Xm \ St (p) 6= ? (iz (a) buduci da je z 2 St (p)).Iz (b) i (c) slijedi da jeXm 2 C. Dakle, iz (a) slijedi da je z 2 Y: S ovim smo

dokazali (1). Buduci da je Cl (XnSt (p))\ St (p) � Y i � (y) = fyg ;8y 2 Y;slijedi da se funkcija moµze de�nirati i ovako:

(x) =

(� (x) ; ako je x 2 St (p) [ Yfxg ; ako je x 2 Cl (XnSt (p)) :

Kako su St (p) [ Y i Cl (XnSt (p)) zatvoreni podskupi od X, � neprekidnafunkcija i jCl (XnSt (p)) neprekidna, to slijedi da je i neprekidna.Sada cemo iskoristiti neprekidnost od da bi dokazali (i). Neka je B 2

2X : Buduci da je preslikavanje iz X u C (X), (B) je neprazni kompaktni


podskup od C (X) : Dakle, (B) 2 22X: Nadalje, buduci da je g" (B) =

[ (B) ; iz svojstva (U1) unija preslikavanja slijedi g" (B) 2 2X : Ovime smopokazali da g" preslikava 2X u 2X : Neprekidnost od g" slijedi iz neprekidnosti

od i iz svojstva (U2) unija preslikavanja na sljedeci naµcin. Neka je u unija

preslikavanje i � : 2X ! 22Xde�nirana sa

� (B) = (B) za svaki B 2 2X :

Sada vrijedi da je g" = u� �: � je neprekidna, buduci da je neprekidna,a onda slijedi iz (i) u dokazu oTeorema 1.7. Dalje, u je po svojstvu (U1)

neprekidna. Dakle, g" je neprekidna. Ovime smo dokazali (i).

Dokaµzimo sada (ii).

Prvo pokaµzimo

St (p) * Y: (�)

Neka je U = Xn [ fXi : p =2 Xig : Primijetimo da vrijedi

U � St (p) n [ C.

Sada, da bismo dokazali (�), dovoljno je dokazati da UnA 6= ? (buduci da

je Y = A [ ([C)). Prisjetimo se sada da je A de�niran kao konaµcna unijalukova iz St (p) i da je St (p) � K: Tako�er se prisjetimo pretpostavke da

K ne sadrµzi slobodne lukove u X: Dakle, A je konaµcna unija lukova koji

imaju prazne interiore u X: Dakle, vrijedi intA = ?: Sada, buduci da je Uoµcito neprazan i otvoren u X, vrijedi U * A; odnosno UnA 6= ?: Time smodokazali (�).Dovr�imo sada dokaz za (ii). Iz (�) slijedi da postoji toµcka q 2 St (p) nY:

Prisjetimo se pravila od i da je C (Y ) kodomena od �: Sada slijedi da

q =2 (x) za svaki x 2 X: Iz pravila od g" slijedi q =2 g" (B) ; za svaki B 2 2X :Dakle, buduci da je q 2 St (p) � K; oµcito je g" (B) � K za svaki B 2 2X :Ovime smo dokazali (ii).

Dokaµzimo sada (iii).

Primijetimo da vrijedi diamd (St (p) [ Y ) < ": Dalje, iz de�nicije od iµcinjenice da je C (Y ) kodomena od � slijedi

diamd (fxg [ (x)) < " za svaki x 2 X:


Dakle, za svaki B 2 2X vrijedi B � Nd ("; g" (B)) i g" (B) � Nd ("; B) : IzKorolara 1.17 sada slijedi Hd (g" (B) ; B) < " za svaki B 2 2X : Ovime smodokazali (iii).

Iz (i)� (iii) slijedi da je 2XK Z-skup u 2X :Dokaz teorema za CK (X) je sada jednostavan. Razmotrimo preslikavanje

g"jC (X), gdje je g" gore de�nirana funkcija. Pokaµzimo da g"jC (X) preslikavaC (X) u C (X) : Neka je B 2 C (X) : Sada, buduci da je : X ! C (X)

neprekidna, (B) je podkontinuum od C (X) ; odnosno (B) 2 C [C (X)] :Dalje, buduci da je g" (B) = [ (B), iz svojstva (U3) unija preslikavanjaslijedi g" (B) 2 C (X) : Dakle, dokazali smo da g"jC (X) preslikava C (X)u C (X) : Dakle, koristeci tvrdnje analogne (i) � (iii), slijedi da je CK (X)Z-skup u C (X) :

Teorem 3.19 (Curtis-Schori) Neka je X nedegenerirani Peanov kontin-

uum. Tada vrijede slijedece tvrdnje.

(i) 2X je Hilbertov kvadar.

(ii) C (X) je Hilbertov kvadar kada nema slobodnog luka u X:

Dokaz. (i) : Za dokaz koristimo Teorem 3.8. �to se tiµce prve pretpostavke

u Teoremu 3.8 vrijedi da su 2X i C (X) apsolutni retrakt po Teoremu 3.16.

Provjerit cemo drugu pretpostavku u Teoremu 3.8 za 2X , a onda i za

C (X) :

U tu svrhu, po Teoremu 3.11 pretpostavimo da je d konveksna metrika

za X:

Neka je " > 0. Po Teoremu 3.8 moramo pokazati da postoji Z-preslikavanje

iz 2X u 2X koje je unutar " okoline identitete na 2X . De�nirajmo �" : 2X !2X na sljedeci naµcin

�" (A) = Cd ("; A) ; za svaki A 2 2X

Po Propoziciji 3.13, �" je neprekidna. Oµcito je �" od identitete na 2X

udaljena najvi�e za " (s obzirom na Hd). Konaµcno, pokaµzimo da je �"


Z-preslikavanje. Buduci da je X kompakt, postoji konaµcno mnogo toµcaka

p1; : : : ; pn u X takvih da vrijedi

X = [ni=1Cd ("=2; fpig) :

Neka je Ki = Cd ("=2; fpig) ; za svaki i = 1; : : : ; n. Po prvom dijelu Teorema

3.18, 2XKije Z-skup u 2X ; za svaki i: Dakle, po Propoziciji 3.6 [ni=12XKi

je

Z-skup u 2X . Dalje, za svaki A 2 2X postoji j takav da vrijedi �" (A) 22XKj: Naime, buduci da je X = [ni=1Cd ("=2; fpig) ; postoji j takav da je

A \ Cd ("=2; fpjg) 6= ?: Buduci da je diamCd ("=2; fpjg) � " vrijedi da je

Cd ("=2; fpjg) � Cd ("; A) odnosno da je Cd ("; A) = �" (A) 2 2XKj: Drugim

rijeµcima,

�"�2X�� [ni=12XKi

:

Dakle, buduci da je zatvoren podskup Z-skupa Z-skup, �"�2X�je Z-skup u

2X : Dakle, dokazali smo da je �" Z-preslikavanje.

Iz Teorema 3.8 slijedi da je 2X Hilbertov kvadar. Time smo dokazali (i).

(ii) : Pretpostavimo da uX nema slobodnih lukova. Da bismo dokazali da

C (X) zadovoljava drugu pretpostavku u Teoremu 3.8, koristimo se dokazom

za 2X . Dakle, neka je �" de�nirana kao u dokazu od (i) i neka je '" =

�"jC (X) : Po Propoziciji 3.14, '" preslikava C (X) u C (X) : Iz svojstava od�", slijedi da je '" neprekidna i da je u " okolini od identitete na C (X) :

Da dokaµzemo da je '" Z-preslikavanje, neka je Ki de�niran kao gore za svaki

i = 1; : : : ; n. Dalje, po drugom dijelu Teorema 3.18, CKi(X) je Z-skup u

C (X) za svaki i. Nadalje, prilagodimo li dokaz od (i), slijedi da je '" Z-

preslikavanje. Dakle, po Teoremu 3.8, C (X) je Hilbertov kvadar.

Poglavlje 4

Lukovi u hiperprostorima

Istraµzivanje lukova u hiperprostoru je najvaµznija zadaca u opcoj teoriji o

hiperprostorima. U ovom poglavlju cemo sistematski obraditi strukturu luka

u 2X i C (X) kada je X kompaktum. Tako�er cemo obraditi neke povezane

teme kao �to su prostori segmenata.

Poglavlje zapoµcinjemo uvodnim odjeljkom o kvazikomponentama, a zatim

odjeljkom o Whitneyjevim preslikavanjima. Materijal iz ova dva odjeljka

cemo koristiti kroz µcitavo poglavlje.

4.1 Uvod: Separacija, kvazikomponente

Neka je (X; T ) topolo�ki prostor. Za dva podskupa, E i F , od X kaµzemo da

su me�usobno separirani u X ako vrijedi

E \ F = ? = E \ F :

Primijetimo da me�usobna separiranost ovisi samo o relativnoj topologiji

na E[F . Dakle, moµze se jednostavno reci da su E i F me�usobno separirani(bez nagla�avanja u kojem prostoru).

Neka je (X; T ) topolo�ki prostor i Y � X. Tada pi�emo Y = EjF ako jeY = E [ F , gdje su E i F neprazni i me�usobno separirani. Dakle, slijedi

da Y nije povezan.

46

POGLAVLJE 4. LUKOVI U HIPERPROSTORIMA 47

Neka je (X; T ) topolo�ki prostor i neka su K; L i B podskupovi od X.

Kaµzemo da su K i L separirani skupom B ako vrijedi

XnB = EjF , K � E i L � F:

Ako su K i L separirani skupom B = ?, onda samo kaµzemo da su Ki L separirani u X: Ako je bilo koji od skupova K; L ili B jednotoµckovni,

oznaµcimo ga na primjer sa fxg ; onda radije koristimo oznaku x u oznaµcavanjui terminologiji.

Ako su skupovi K i L separirani, onda su oµcito i me�usobno separirani.

Obrat ne vrijedi.

Naime, neka je X = [0; 1] ; K; L � [0; 1], K = (0;m) i L = (n; 1) ; 0 � m <

n � 1: K = [0;m] i L = [n; 1] : Vrijedi K \ L = ? = K \ L: Dakle, K i L su

me�usobno separirani, a buduci da je X povezan, ne postoje E i F takvi da

je Y = EjF .

Propozicija 4.1 Neka je (X; T ) topolo�ki prostor i neka su K; L i B pod-

skupovi od X. Tada su K i L separirani u X s B ako i samo ako postoji

neprazan podskup G od XnB takav da je G otvoreno-zatvoren u XnB, K � Gi G \ L = ?:

Dokaz. Nuµznost je oµcita. Dovoljno je staviti G = E:

Naime,

E \ (XnB) = E \ (E [ F ) =�E \ E

�[�E \ F

�= E;

F \ (XnB) = F:

Dakle, E i F su zatvoreni u XnB i E \ F = ? pa je E otvoreno-zatvoren uXnB, K � E i E \ L = ?:Obratno, pretpostavimo da postoji G s traµzenim svojstvima. Tvrdimo da je

XnB = Gj ((XnB) nG) ; K � G;L � (XnB) nG:


Naime, G [ ((XnB) nG) = XnB: Dalje, vrijedi

G \ ((XnB) nG) = G \ ((XnB) nG) = ? i

G \ ((XnB) nG) = G \ (Xn (B [G)) = G \ (XnInt (B [G)) =

= G \ (Xn (IntB [ IntG)) = G \ (Xn (IntB [G)) =

= G \ ((XnIntB) nG) = ?:

Time je tvrdnja dokazana:

Lema 4.2 Neka je (X; T ) topolo�ki prostor, p 2 X i C neprazan, kompaktan

podksup od X: Ako su p i svaka toµcka iz C separirani u X, onda su p i C

separirani u X:

Dokaz. Za svaki c 2 C postoji skup Gc, otvoreno-zatvoren u X, takav da jec 2 Gc i p =2 Gc (po Propoziciji 4.1). Buduci da je C kompaktan, sadrµzan jeu uniji G od konaµcno mnogo skupova Gc: Oµcito je G otvoreno-zatvoren u X

i p =2 G: Dakle, buduci da je po Propoziciji 4.1 C � G, p i C su separirani uX:

Propozicija 4.3 Neka je (X; T ) topolo�ki prostor, B i C neprazni kompak-

tni podskupovi od X: Ako su sve toµcke iz B i sve toµcke iz C separirane u X,

onda su B i C separirani u X:

Dokaz. Po Lemi 4.2, B i svaka toµcka iz C su separirani uX:Dakle, ponovimo

li dokaz od Leme 4.2 (p zamijenimo s B), slijedi da su B i C separirani u X:

Neka je (X; T ) topolo�ki prostor i neka je A � X: Granica skupa A u X je

skup

FrA = ClA \ Cl (XnA) :

Propozicija 4.4 Neka je (X; T ) topolo�ki prostor, A � X i p 2 A: Ako sup i FrA separirani u X, onda su p i XnA separirani u X:


Dokaz. Po Propoziciji 4.1 postoji otvoreno-zatvoren skup G u X takav da

je p 2 G i G\FrA = ?: Skup G\A je otvoreno-zatvoren u X: Naime kakoje G \ FrA = ? slijedi

G \ A = G \ ClA i G \ A = G \ IntA;

a buduci da je G otvoreno-zatvoren u X, isto slijedi i za G \ A: Tako�er,p 2 G \A, a G \A i XnA su disjunktni pa iz Propozicije 4.1 slijedi da su pi XnA separirani u X:Neka je (X; T ) topolo�ki prostor i neka je p 2 X: Komponenta od p u

X je skup koji se sastoji od svih toµcaka, x 2 X, takvih da p i x leµze u

istom povezanom podskupu od X. Drugim rijeµcima, komponenta od p u

X je unija svih povezanih podskupa od X koji sadrµze p. Kvazikomponenta

od p u X je skup svih toµcaka, x 2 X, takvih da p i x nisu separirani u

X. Drugim rijeµcima, kvazikomponenta od p u X je presjek svih skupova

otvoreno-zatvorenih u X koji sadrµze p.

Kada kaµzemo komponenta od X i kvazikomponenta od ; mislimo (redom) na

komponentu i kvazikomponentu neke toµcke u X.

Lema 4.5 Svaka kvazikomponenta prostora X je zatvorena u X:

Dokaz. Tvrdnja slijedi iz µcinjenice da je svaka kvazikomponenta od X pres-

jek skupova otvoreno-zatvorenih u X:

Lema 4.6 Svaka kvazikomponenta prostora X je unija nekih komponenti od

X:

Dokaz. Neka je Q kvazikomponenta toµcke p u X: Neka je x 2 Q i C

komponenta od x u X: Neka je G otvoreno-zatvoren u X takav da je p 2 G:Tada po de�niciji kvazikomponente vrijedi G � Q: Dakle, G \ C 6= ?.Buduci da je G \ C otvoreno-zatvoren u C, a C je povezan, vrijedi da je

G \ C = C; odnosno G � C: Dakle, buduci da je Q presjek svih skupova

otvoreno-zatvorenih u X koji sadrµze p, slijedi da je Q � C:


Teorem 4.7 U kompaktnom Hausdor¤ovom prostoru, komponente i kvazikom-

ponente se podudaraju.

Dokaz. Neka je X kompaktan Hausdor¤ov prostor. Po Lemi 4.6 dovoljno je

dokazati da je svaka kvazikomponenta povezana. Neka jeQ kvazikomponenta

u X: Pretpostavimo da Q nije povezana u X; odnosno da je Q = EjF: IzLeme 4.5 slijedi da su E i F zatvoreni u X: Dakle, buduci da je X normalan

prostor, postoji otvoreni podskup U od X takav da vrijedi

(i) E � U i F \ U = ?Nadalje, buduci da je U otvoren u X; vrijedi FrU = UnU . Dakle, kako jeQ = E [ F; iz (i) slijedi(ii) Q \ FrU = ?:Neka je p 2 E: Tada, buduci da je p 2 Q; iz (ii) slijedi(iii) p i svaka toµcka iz FrU su separirani u X:

Iskoristit cemo Lemu 4.2 da dokaµzemo da su p i FrU separirani u X: U tu

svrhu cemo dokazati tvrdnje (iv) i (v):

(iv) FrU 6= ?Pretpostavimo suprotno, tj. da je FrU = ?: Tada bi skup U bio otvoreno-zatvoren u X: Me�utim, buduci da je U \Q 6= ? i U � Q (po (i)), do�li smodo kontradikcije i time dokazali (iv).

Buduci da je X kompaktan i FrU zatvorena u X, vrijedi

(v) FrU je kompaktan.

Sada iz (iii)� (v) i Leme 4.2 slijedi da su p i FrU separirani u X: Dalje,buduci da je p 2 U (E � U), iz Propozicije 4.4 slijedi da su p i XnUseparirani u X: Me�utim, do�li smo do kontradikcije, jer je p 2 Q i F je

neprazan podskup od Q takav da je F � XnU: Dakle, Q je povezana.

Propozicija 4.8 Za svaki topolo�ki prostor (X; T ) sljedece dvije tvrdnje suekvivalentne:

(i) svake dvije komponente od X su separirane u X

(ii) kvazikomponente od X i komponente od X se podudaraju.


Dokaz. Pretpostavimo da vrijedi (i) : Neka je Q kvazikomponenta toµcke

p 2 X. Pretpostavimo suprotno, tj. da Q nije komponenta. Po Lemi 4.6 jeQ unija nekih komponenti pa neka su C1 i C2 komponente takve da je C1 � Qi C2 � Q i C1 komponenta od p. No kako su po (i) C1 i C2 separirane, postojineprazan podskup G od X takav da je G otvoreno-zatvoren u X, C1 � G iG\C2 = ?: No tada je G\Q otvoreno-zatvoren u X; p 2 G\Q i G\Q � Q�to je kontradikcija s µcinjenicom da je Q kvazikomponenta od p:

Pretpostavimo da vrijedi (ii): Neka su C1 i C2 dvije proizvoljne kompo-

nente od X. No kako su C1 i C2 tako�er i kvazikomponente od X slijedi da

su otvoreno-zatvorene u X. No onda su po Propoziciji 4.1 separirane u X.

Naime, C1 je otvoreno-zatvoren skup u X takav da je C1 � C1 i C1\C2 = ?:

Korolar 4.9 Svake dvije komponente kompaktnog Hausdor¤ovog prostora su

separirane u prostoru.

Dokaz. Slijedi iz Teorema 4.7 i Propozicije 4.8.

Sada cemo dokazati dva glavna teorema ovog odjeljka.

Teorem 4.10 Neka je Y kompaktan Hausdor¤ov prostor, B i C neprazni i

zatvoreni podskupovi od X: Ako ne postoji povezan podskup od Y koji sijeµce i

B i C, onda su B i C separirani u X:

Dokaz. Po pretpostavci ne postoji komponenta koja sijeµce i B i C. Dakle,

po Teoremu 4.7 ne postoji kvazikomponenta koja sijeµce i B i C: Drugim

rijeµcima, svaka toµcka iz B i svaka toµcka iz C su separirani u Y: Dakle, po

Propoziciji 4.3, B i C su separirani u Y:

Kontinuum je po de�niciji, metrizabilan prostor. Neprazan, kompaktan,

povezan Hausdor¤ov prostor zovemo Hausdor¤ov kontinuum.

Lema 4.11 Ako je (X; T ) povezan topolo�ki prostor i A neprazan, pravi

podskup od X, onda je FrA 6= ?:


Dokaz. Pretpostavimo suprotno, tj. Neka je FrA = ?: No onda slijedi daje ClA \ Cl (XnA) = ?; a odatle da je ClA \ (XnA) = ? i A \ Cl (XnA) :Dakle, skupovi A i XnA su me�usobno separirani, A[(XnA) = X pa je X =

Aj (XnA), a odatle slijedi da nije povezan µcime smo do�li do kontradikcije.

Teorem 4.12 Neka jeX Hausdor¤ov kontinuum, U neprazan, otvoren, pravi

podskup od X. Ako je K komponenta od U , onda je

K \ FrU 6= ?, odnosno, K \ (XnU) 6= ?:

Dokaz. Pretpostavimo da je K \ FrU = ?: Tada, buduci da je K najveci

povezan podskup od U , slijedi da ne postoji povezan podskup od U takav da

sijeµce i K i FrU: Tako�er, primijetimo da su K i FrU zatvoreni podskupovi

od U , K 6= ? i FrU 6= ? (vrijedi po Lemi 4.11). Dakle, iz Teorema 4.10

slijedi da su K i FrU separirani u U: Drugim rijeµcima,

U = EjF; K � E i FrU � F:

Pokaµzimo da vrijedi

X = Ej (F [ (XnU)) :

Naime vrijedi:

(i) E [ F [ (XnU) = U [ (XnU) = X(ii) E \ (F [ (XnU)) =

�E \ F

�[�E \ (XnU)

�= E \ (XnU) = ?

(iii) E \ F [ (XnU) = E \�F \XnU

�=�E \ F

�[�E \XnU

�=

= E \XnU = ?:S ovime smo do�li u kontradikciju s µcinjenicom da je X povezan. Dakle,

K \ FrU 6= ?:Pokaµzimo dvije jednostavne primjene dvaju prethodnih teorema. Prva

primjena se se odnosi na vezu izme�u nul-dimenzionalnih prostora i potpuno

nepovezanih prostora. Za topolo�ki prostor Y kaµzemo da je nul-dimenzionalan,

pi�emo dimY = 0; ako je Y 6= ? i ako postoji baza topologije od Y takva

da je svaki µclan baze otvoreno-zatvoren u Y: Za topolo�ki prostor X kaµzemo


da je potpuno nepovezan ako je X 6= ? i ako su povezani podskupovi od Xnajvi�e jednotoµckovni (odnosno da svaka komponenta od X sadrµzi najvi�e

jednu toµcku).

Dokaµzimo sljedecu primjenu Teorema 4.10.

Teorem 4.13 Neka je X kompaktan Hausdor¤ov prostor. Tada je dimX =

0 ako i samo ako je X potpuno nepovezan.

Dokaz. Neka je dimX = 0 (dakle, X 6= ?). Pretpostavimo suprotno,odnosno da X nije potpuno nepovezan. Tada, buduci da je X 6= ?, postojipovezan podskup C od X takav da C sadrµzi najmanje dvije toµcke, oznaµcimo

ih s p i q. Buduci da je dimX = 0 i X je T1�prostor, postoji okolinaN toµcke p; otvoreno-zatvorena u X takva da q =2 N . N \ C je neprazan,

pravi, otvoreno-zatvoren podskup od C. Dakle, do�li smo u kontradikciju s

µcinjenicom da je C povezan. Dakle, X je potpuno nepovezan.

Dokaµzimo sada obrat. Neka je X potpuno nepovezan. Neka je p 2 Xi neka je U otvorena okolina od p u X: Bez gubitka opcenitosti moµzemo

pretpostaviti da je U 6= X: fpg i XnU su neprazni, zatvoreni podskupovi odX. Tako�er, buduci da jeX potpuno nepovezan, ne postoji povezan podskup

od X koji sijeµce i fpg i XnU . Dakle, po Teoremu 4.10 vrijedi da su p i XnUseparirani u X. Dalje, po Propoziciji 4.1 postoji skup G, otvoreno-zatvoren

u X; takav da je p 2 G i G � U . Buduci da je X 6= ?; dokazali smo da jedimX = 0:

Sljedeci teorem je vaµzan rezultat o strukturi kontinuuma i jednostavna je

posljedica Teorema 4.12.

Teorem 4.14 Neka je X nedegeneriran Hausdor¤ov kontinuum. Tada X

sadrµzi nedegeneriran, pravi Hausdor¤ov podkontinuum. Dalje, neka je A

pravi Hausdor¤ov podkontinuum od X i neka je U otvoreni podskup od X

takav da je A � U: Tada postoji Hausdor¤ov podkontinuum B od U takav daje B � A i B 6= A:

Dokaz. Prvo dokaµzimo drugi dio teorema. Dakle, pretpostavimo da A i U

zadovoljavaju uvjete drugog dijela teorema. Tada, buduci da je X normalan


prostor, postoji otvoren podskup V od X takav da je A � V; V � U i

V 6= X: Neka je B komponenta od V koja sadrµzi A (B postoji jer je A

povezan podskup od V ). Po Teoremu 4.12 vrijedi

B \ (XnV ) 6= ?

pa, buduci da je A � V , slijedi B 6= A: Primijetimo da je B � U; buduci daje V � U: B je zatvoren podskup kompakta, pa je kompaktan, komponenta

je od V pa je povezan, a odatle slijedi da je Hausdor¤ov podkontinuum od

U:

Sada cemo pokazati kako prvi dio teorema slijedi iz drugog dijela. Neka

je p 2 X i neka je U pravi otvoreni podskup od X takav da je p 2 U: Tada podrugom dijelu teorema (A = fpg), postoji Hausdor¤ov podkontinuum B od

U takav da je p 2 B i B 6= fpg : Oµcito je B pravi, nedegeneriran Hausdor¤ovpodkontinuum od X:

4.2 Whitneyjeva preslikavanja

Whitneyjeva preslikavanja su usko povezana sa strukturom lukova u hiper-

prostorima. Sljedeci odjeljak posvecujemo konstrukciji Whitneyjevih pres-

likavanja za proizvoljni hiperprostor i time dokazujemo da Whitneyjeva pres-

likavanja uvijek postoje.

De�nicija 4.15 Neka je X kompaktum i H � 2X . Preslikavanje w : H ![0;1) naziva se Whitneyjevim preslikavanjem ako zadovoljava sljedeca dva

uvjeta:

(i) 8A; B 2 H sa svojstvom A � B i A 6= B vrijedi w (A) < w (B) ;

(ii) w (A) = 0 ako i samo ako je A 2 H \ F1 (X) :

Neka je X kompaktum s metrikom d. Dijametar preslikavanje s obzirom

na d je funkcija diamd : 2X ! [0;1) koja je de�nirana na sljedeci naµcin: za

svaki A 2 2X ;diamd (A) = sup fd (x; y) : x; y 2 Ag :


Ako je na [0; 1] de�nirana standardna euklidska metrika d, onda je diamd :

C (X)! [0;1)Whitneyjevo preslikavanje. S druge strane, ako je X = S1 =

fx 2 R2 : kxk2 = 1g i d2 euklidska metrika na X onda diamd2 : S1 ! [0;1)

nije Whitneyjevo preslikavanje. Naime, ako je A "gornja polukruµznica" tj.

A = f(x; y) 2 S1 : y � 0g iB = A[B0, gdje jeB0 = f(x; y) 2 S1 : x � 0; y � 0g,onda je A � B;A 6= B, ali diamd2A = diamd2B = 1:

Lema 4.16 Neka je X kompaktum s metrikom d: Tada je dijametar pres-

likavanje diamd : 2X ! [0;1) neprekidno.

Dokaz. Neka je " > 0 i neka su A; B 2 2X takvi da je Hd (A;B) < ".

Buduci da je A kompaktan, postoje a1; a2 2 A takvi da je

diamd (A) = d (a1; a2) :

Buduci da su a1; a2 2 A i A � Nd ("; B), postoji b1; b2 2 B takvi da je

d (a1; b1) < " i d (a2; b2) < ": Dakle,

d (a1; a2) < d (a1; b1) + d (b1; b2) + d (b2; a2) < d (b1; b2) + 2":

Odatle slijedi

(i) diamd (A) < d (b1; b2) + 2" � diamd (B) + 2":

Analogno pokaµzemo da vrijedi

(ii) diamd (B) < diamd (A) + 2":

Iz (i) i (ii) slijedi jdiamd (A)� diamd (B)j < 2":

Lema 4.17 Neka su X i Y kompaktumi, f : X ! Y neprekidna funkcija.

Neka je f � : 2X ! 2Y de�nirana na sljedeci naµcin:

f � (A) = f [A] ; 8A 2 2X :

Tada je f � neprekidna.

Dokaz. Neka su W1; : : : ;Wn otvoreni podskupovi od Y . Tada, koristeci

µcinjenicu da je f zatvoreno preslikavanje vrijedi sljedece:

(f �)�1 (hW1; : : : ;Wni) =f�1(W1); : : : ; h

�1(Wn)�:


Sada, buduci da je f neprekidno, iz Teorema 1.2 slijedi da je f � neprekidno.

Teorem 4.18 Neka je X kompaktum i H proizvoljni hiperprostor od X.

Tada postoji Whitneyjevo preslikavanje w : H ! [0;1) :

Dokaz. Uoµcimo slijedece: Ako je w : 2X ! [0;1)Whitneyjevo preslikavanjei H � 2X , onda je restrikcija wjH : H ! [0;1) Whitneyjevo preslikavanjena H: Dakle, dovoljno je pokazati da postoji Whitneyjevo preslikavanje na2X :

Neka je d metrika na X. Neka je Z = fz1; z2; : : : ; zn; : : :g prebrojiv i gustpodskup od X. Za svaki n 2 N de�nirajmo fn : X ! [0; 1] na sljedeci naµcin:

fn (x) =1

1 + d (zn; x); 8x 2 X:

Dalje, za svaki n 2 N de�nirajmo wn : 2X ! [0; 1] na sljedeci naµcin:

wn (A) = diam (fn [A]) ; 8A 2 2X :

Konaµcno de�nirajmo w : 2X ! [0; 1] :

w (A) =P1

n=1 2�nwn (A) ; 8A 2 2X :

Za svaki n su funkcije wn neprekidne i to po Lemama 4.16 i 4.17 (wn =

diam� � f �n; gdje je � standardna metrika na [0; 1]) pa slijedi da je i funkcijaw neprekidna.

Sada pokaµzimo da je w Whitneyjevo preslikavanje.

Neka su A; B 2 2X takvi da je A � B i A 6= B. Buduci da je A � B; oµcitovrijedi fn (A) � fn (B) ; za svaki n 2 N: Dalje, vrijedi wn (A) � wn (B) ;

za svaki n 2 N: Dakle, da pokaµzemo w (A) < w (B) ; dovoljno je pokazati

sljedece:

wi (A) < wi (B) ; za neke i 2 N: (1)

Dokaµzimo (1).

Neka je p 2 BnA i neka je r = 12d (p;A) : Primijetimo da je r > 0; jer je

p =2 A i A zatvoren u X: Buduci da je Z gust na X; postoji zi 2 Z takav da


je d (p; zi) < r: Stoga vrijedi

(i) fi (p) =1

1+d(zi;p)> 1

1+r:

Kako je d (zi; A) > r; vrijedi

(ii) fi (a) =1

1+d(zi;a)< 1

1+r; za svaki a 2 A:

Iz (i) i (ii) slijedi

(iii) sup fi [A] � 11+r

< fi (p) :

Sada, buduci da je p 2 B; iz (iii) slijedi(iv) sup fi [A] < sup fi [B] :

Sada izravno iz (iv) i (v) slijedi wi (A) < wi (B) : Ovime smo dokazali (1) i

time dokazali da funkcija w zadovoljava svojstvo (i) za Whitneyjevo pres-

likavanje. Nadalje, buduci da je fi [A] � fi [B] vrijedi(v) inf fi [B] � inf fi [A]Na kraju, pokaµzimo da w zadovoljava i svojstvo (ii). Neka je A 2 2X .

Prvo, pretpostavimo da je A 2 F1 (X) i neka je A = fxg : Sada, za svakin 2 N; vrijedi

wn (A) = diam (fn [fxg]) = 0:

Dakle, w (A) = 0. Sada pretpostavimo da A =2 F1 (X). Za neki k 2 N;fk (A) je nedegeneriran, buduci da je Z gust u X. Dakle wk (A) > 0, a iz

toga slijedi w (A) > 0; �to smo i trebali pokazati.

4.3 Ure�eni lukovi i povezanost putovima u

2X i C (X)

Na svakom luku se se moµze de�nirati potpuni ure�aj, a na svakom hiper-

prostoru parcijalni ure�aj na prirodan naµcin. Ure�eni luk u hiperprostoru

H je luk � � H takav da se parcijalni ure�aj na H slaµze na � s potpunim

ure�ajem na �:

Prisjetimo se da familijuN skupova zovemo gnijezdo, ako za svakiN1; N2 2N vrijedi N1 � N2 ili N2 � N1:


De�nicija 4.19 Neka je X kompaktum, H � 2X i � luk u H. Kaµzemo daje � ure�eni luk, ako je � gnijezdo elemenata iz H.

Lema 4.20 Neka je X kompaktum, H � 2X i w : H ! [0;1) Whitneyjevopreslikavanje. Ako je N kompaktno gnijezdo u H, onda je wjN : N ! w (N )homeomor�zam.

Dokaz. w je preslikavanje pa je i wjN preslikavanje. Dakle, preostaje nam

dokazati da je wjN injekcija. Neka su A;B 2 N i A 6= B: Buduci da je Ngnijezdo, vrijedi A � B ili B � A: Pretpostavimo da je A � B: No kako jeA 6= B; slijedi w (A) < w (B), a onda i w (A) 6= w (B) ; A;B 2 N . Dakle,wjN je injekcija, a odatle slijedi da je i homeomor�zam.

Gnijezdo od A0 do A1 je gnijezdo N � H takvo da je A0; A1 2 N i

A0 � N � A1 za svaki N 2 N . Kaµzemo da je N maksimalno gnijezdo od A0do A1 ako za svako gnijezdoM od A0 do A1 vrijediM� N .

Lema 4.21 Neka je X kompaktum i neka su A0; A1 2 C (X) takvi da jeA0 � A1: Ako jeM maksimalno gnijezdo u C (X) od A0 do A1, onda jeMkompaktan.

Dokaz. Po Korolaru 1.27 je C (X) kompaktan, pa je dovoljno dokazati da je

M zatvoren u C (X) : Neka je Mi 2M, i 2 N; takav da fMig1i=1 konvergiraprema nekom A 2 C (X) : Pokaµzimo da je A 2M.

Prvo pokaµzimo da je M[ fAg gnijezdo. Neka je M 2 M. Buduci da

jeM gnijezdo, Mi � M za beskonaµcno mnogo i ili Mi � M za beskonaµcno

mnogo i. U prvom sluµcaju vrijedi A � M (po Propoziciji 1.5 skupMM je

zatvoren pa je A kao limes element tog skupa). U drugom sluµcaju, A � M ,buduci da je C (M) po Korolaru 1.27 kompaktan. Dakle, buduci da je Mgnijezdo, slijedi da jeM[ fAg gnijezdo:Dalje, buduci da je A0 �Mi � A1 za svaki i, vrijedi A0 � A � A1:Dakle, pokazali smo da jeM[fAg gnijezdo u C (X) od A0 do A1: Buduci

da jeM maksimalan, vrijedi A 2M:


Lema 4.22 Neka je X kompaktum i A0; A1 2 C (X) takvi da je A0 � A1 iA0 6= A1: Ako jeM maksimalno gnijezdo u C (X) od A0 do A1, onda jeMluk od A0 do A1:

Dokaz. Po Teoremu 4.18 postoji Whitneyjevo preslikavanje w : C (X) ![0;1). Neka je t0 = w (A0) i neka je t1 = w (A1) : Buduci da jeM gnijezdo

od A0 do A1 i A0 6= A1, slijedi t0 < t1 i w [M] � [t0; t1] : Tako�er, iz Leme4.21 slijedi da jeM kompaktan. Dakle, da bismo dokazali da jeM luk od

A0 do A1, po Lemi 4.20 dovoljno je dokazati da je w [M] = [t0; t1] :

Pretpostavimo suprotno, tj. w [M] 6= [t0; t1] : Buduci da je t0; t1 2 w [M]

i w [M] kompaktan podskup od [t0; t1] ; postoje s0; s1 2 w [M] takvi da je

s0 < s1 i w [M] \ (s0; s1) = ?: Drugim rijeµcima, otvoreni interval (s0; s1) je

komponenta od [t0; t1] nw [M] : Neka suM0;M1 2M takvi da je w (M0) = s0

i w (M1) = s1: Buduci da je s0 < s1 i M je gnijezdo, slijedi M0 � M1 i

M0 6=M1: Kako jeM� C (X), M0 je pravi podkontinuum kontinuuma M1,

pa po drugom dijelu Propozicije 4.14, postoji pravi podkontinuum B od M1

takav da je B �M0 i B 6=M0:

Pokaµzimo da je M [ fBg gnijezdo. Neka je M 2 M. Buduci da je

w [M] \ (s0; s1) = ?; vrijedi w (M) � s0 ili w (M) � s1: Ako je w (M) � s0;onda vrijedi M � M0: Ako je w (M) � s1, onda analogno vrijedi M � M1

Dakle, buduci da jeM0 � B �M1; vrijediM � B iliM � B; dakleM[fBgje gnijezdo.

Nadalje, M[ fBg je gnijezdo u C (X) od A0 do A1 (buduci da je B 2C (X) i buduci da je A0 � M0 � B � M1 � A1). Sada zbog maksimalnostiod M vrijedi B 2 M. Me�utim, tako�er vrijedi B =2 M jer je w [M] \(s0; s1) = ? pa mora biti s0 < w (B) < s1:Ovime je dobivena kontradikcija pa mora biti w [M] = [t0; t1] :

Lema 4.23 (Zornova lema) Neka je X parcijalno ure�en skup u kojem

svaki lanac ima gornju me�u. Tada X ima barem jedan maksimalni element.

Lema 4.24 Neka je X kompaktum i A0; A1 2 C (X) takvi da je A0 � A1:

Tada postoji maksimalno gnijezdo u C (X) od A0 do A1:


Dokaz. Za svako gnijezdo N �C (X) od A0 do A1, A1 je gornja me�a.Tvrdnja sada slijedi iz Leme 4.23.

Sljedeci teorem je vaµzna posljedica dvaju prethodnih lema.

Teorem 4.25 Neka je X kompaktum i A0; A1 2 C (X) takvi da je A0 � A1i A0 6= A1: Tada postoji ure�eni luk u C (X) od A0 do A1:

Dokaz. Po Lemi 4.24 postoji maksimalno gnijezdo M u C (X) od A0 do

A1: Po Lemi 4.22,M je luk od A0 do A1. Dakle,M je ure�eni luk u C (X)

od A0 do A1:

Lema 4.26 Neka je X kompaktum i A nedegenerirani podkontinuum od 2X :Ako je A gnijezdo, onda je A ure�eni luk.

Dokaz. Po Teoremu 4.18 postoji Whitneyjevo preslikavanje w : 2X ![0;1) : Po Lemi 4.20 slijedi da je wjA homeomor�zam iz A u nedegener-

irani, zatvoreni i ome�eni interval. Dakle, A je luk i gnijezdo pa je i ure�eni

luk.

Navodimo sada elementarne leme nuµzne za dokaz Teorema 4.29

Lema 4.27 Neka je Y prostor i p 2 Y proizvoljna toµcka:Ako za svaku toµckuy 2 Y n fpg postoji luk u Y od y do p, onda je Y putovima povezan.

Dokaz. Neka su y1; y2 2 Y n fpg proizvoljne toµcke. Trebamo dokazati dapostoji luk od y1 do y2. Po pretpostavci postoji luk od y1 do p i luk od p do

y2: Oznaµcimo ih redom s L1 i L2: L1 i L2 su lukovi pa su homeomorfni s [0; 1],

a onda i sa svakim segmentom u R: Neka su h1 : L1 !�0; 1

2

�i h2 : L2 !

�12; 1�

traµzeni homeomor�zmi i neka je h1 (y1) = 0; h1 (p) = 12; h2 (p) =

�12

�; h2 (p) =

1: Neka je h : L1 [ L2 ! [0; 1] funkcija takva da je h (y) = h1 (y) ; y 2 L1i h (y) = h2 (y) ; y 2 L2: h je traµzeni homeomor�zam pa je Y putovima

povezan.

Lema 4.28 Unija preslikavanje u : CL (X)�CL (X)! CL (X) de�nirano

sa u (A;B) = A [B za svaki A;B 2 CL (X), je neprekidno.


Dokaz. Pokaµzimo da je u (Cl (A;B)) = Clu (A;B) ; za svakiA;B � CL (X) :Dakle, neka su A;B proizvoljni podskupovi od CL (X) :

u (Cl (A;B)) = u (ClA;ClB) = ClA [ ClB = Cl (A [B) = Cl (u (A;B)) :

Dakle vrijedi da je u (Cl (A;B)) � Cl (u (A;B)) �to znaµci da je u neprekidna.

Teorem 4.29 Ako je X kontinuum, onda su 2X i C (X) putovima povezani.

Dokaz. Neka je K 2 2X takav da je K 6= X: Neka je A0 proizvoljna

komponenta od K: Primijetimo da su A0; X 2 C (X) i A0 6= X: Dalje, po

Teoremu 4.25 postoji ure�eni luk � u C (X) odA0 doX:Neka je h : [0; 1]! �

homeomor�zam takav da je h (0) = A0 i h (1) = X: De�nirajmo funkciju

f : [0; 1]! 2X pravilom

f (t) = K [ h (t) ; t 2 [0; 1] :

Primijetimo da je f (0) = K, f (1) = X. Nadalje, f je neprekidna po

Propoziciji 4.28 , buduci da je h neprekidna. Dakle, f ([0; 1]) je nedegener-

irani podkontinuum od 2X : Uoµcimo da je f ([0; 1]) gnijezdo od K do X, jer

je � ure�eni luk od A0 do X i A0 � K. Po Lemi 4.27, f ([0; 1]) je ure�eni

luk u 2X od K do X.

Pokazali smo da za svaki K 2 2X takav da je K 6= X postoji luk u 2X od

K do X. Po Lemi 4.27 da je 2X putovima povezan.

Primjenom Teorema 4.25 za A1 = X i Leme 4.27 zakljuµcujemo da je

C (X) putovima povezan.

Vaµzno je primijetiti da prostor X u Teoremu 4.29 ne mora biti putovima

povezan. Dapaµce, ne mora sadrµzavati nijedan luk.

U drugom dijelu Propozicije 1.12 vec smo pokazali da je 2X povezan ako

je X povezan. Me�utim, Teorem 4.29 je prvi rezultat iz kojeg slijedi da je

C (X) povezan, ako je X kontinuum.

Korolar 4.30 Ako je X kontinuum, onda su 2X i C (X) putovima povezani

kontinuumi.


Dokaz. Hiperprostori 2X i C (X) su kompaktumi po Teoremima 1.20 i 1.25

i Korolaru 1.27. Dakle, po Teoremu 4.29, 2X i C (X) su putovima povezani

kontinuumi.

4.4 Postojanje ure�enih lukova od A0 do A1

De�nicija 4.31 Za ure�eni luk � kaµzemo da je ure�eni luk od A0 do A1 ako

vrijedi A0 � A1 gdje su A0 i A1 rubne toµcke od �.

Dakle, ure�eni luk od A0 do A1 nije ure�eni luk od A1 do A0 dok je,

naravno, ure�eni luk od A0 do A1 ujedno i luk od A1 do A0:

Neka su A0; A1 2 C (X) takvi da je A0 6= A1: Vec znamo nuµzan i dovoljanuvjet za postojanje ure�enog luka u C (X) od A0 do A1: Uvjet je da vrijedi

A0 � A1 (iz Teorema 4.25 i De�nicije 4.31). Me�utim, kada su A0; A1 2 2X ,ovaj uvjet nije uvijek dovoljan. Na primjer, ne postoji ure�eni luk u 2[0;1] od

f0g do f0; 1g :Sljedeci nam je cilj odrediti nuµzan i dovoljan uvjet za postojanje ure�enog

luka u 2X od A0 do A1:

Lema 4.32 Neka jeX kompaktum iM0;M1 2 2X takvi da jeM0 �M1;M0 6=M1 i svaka komponenta od M1 sijeµce M0. Tada postoji C 2 2X takav da jeM0 � C �M1;M0 6= C 6=M1 i svaka komponenta od C sijeµce M0:

Dokaz. Buduci da M0 � M1, postoji p 2 M1nM0. Neka je K1 komponenta

od M1 koja sadrµzi p: Tada, po pretpostavci vrijedi, K1 \M0 6= ?. Buducida je K1 komponenta od M1 i M1 � M0, K1 sadrµzi komponentu K0 od M0.

Primijetimo da je K0 � K1n fpg i da je K0 pravi subkontinuum kontinuuma

K1: Po drugom dijelu Teorema 4.14 postoji podkontinuum B od K1n fpgtakav da je B � K0 i B 6= K0. Sada, neka je

C =M0 [B:

Pokaµzimo da C zadovaljava uvjete leme. Oµcito je C 2 2X iM0 � C �M1.

Dokaµzimo da je M0 6= C. Prisjetimo se da je K0 komponenta od M0 i da je


B kontinuum µciji je K0 pravi podskup. Dalje, B � M0 pa slijedi C 6= M0:

Da je C 6=M1 slijedi iz µcinjenice da je p 2M1 i p =2 C:Konaµcno, dokaµzimo da svaka komponenta od C sijeµce M0: Neka je L

komponenta od C. Ako je L\B = ?, onda je L �M0, a onda L\M0 6= ?:Dakle, neka je L \ B 6= ?: Buduci da je B povezan podskup od C, vrijedi

L � B: Dalje, buduci da je B � K0, vrijedi L � K0: Dakle, buduci da je

K0 �M0 i K0 6= ?; opet smo dobili da je L \M0 6= ?:

De�nicija 4.33 Neka je C familija skupova. Maksimalan µclan od C je skupF 2 C takav da nijedan µclan od C ne sadrµzi F . Minimalan µclan od C je skupE 2 C takav da E ne sadrµzi nijedan µclan od C.

Teorem 4.34 Neka je X kompaktum. Ako je C neprazan, zatvoren podskupod 2X , onda postoje i maksimalan i minimalan µclan od C.

Dokaz. Buduci da je X metrizabilan i kompaktan, po Teoremu 1.25 slijedi

da je 2X kompaktan�2X = CL (X) ; jer je X kompaktan

�. Nadalje, C je

zatvoren podskup kompaktnog skupa pa je tako�er kompaktan. Snabdijeven

Vietorisovom topologijom C je hiperprostor.Nadalje, po Teoremu 4.18 postoji Whitneyevo preslikavanjew na C. Dakle,

w : C ! R je preslikavanje sa kompaktnog prostora C pa postoje A1; A2 2 Ctakvi da je w (A1) � w (A) � w (A2) ;8A 2 C, tj. A1 � A � A2;8A 2 C.Dakle, A1 je minimalan, a A2 je maksimalan µclan skupa C.

Teorem 4.35 Neka X kompaktum i A0; A1 2 2X takvi da je A0 6= A1: Tadasu sljedece tvrdnje ekvivalentne.

(i) Postoji ure�eni luk u 2X od A0 do A1

(ii) A0 � A1 i svaka komponenta od A1 sijeµce A0:

Dokaz. (i) =) (ii). Neka je � ure�eni luk u 2X od A0 do A1. Oµcito

je A0 � A1: Pokaµzimo da vrijedi i drugi dio tvrdnje (ii). Pretpostavimo

suprotno, tj. neka postoji komponenta K od A1 takva da je K \ A0 = ?:


Tada, buduci da je A0 � A1, po Teoremu 4.10 vrijedi da su K i A0 separirani

u A1: Dakle, postoje E i F takvi da vrijedi

A1 = EjF; gdje je A0 � E;K � F:

Neka je E = fA 2 � : A � Eg i neka je F = fA 2 � : A \ F 6= ?g : Primi-jetimo da E i F imaju sljedeca svojstva: E 6= ? (buduci da je A0 2 E), F 6= ?(buduci da je A1 2 F), E [ F = � (buduci da za svaki A 2 �;A � A1 =

E [ F ), E \ F = ? (buduci da je E \ F = ?) i E i F su zatvoreni u � (jer

su E i F po De�niciji 1.1 zatvoreni u X). Dakle, � nije povezan. To je u

kontradikciji s µcinjenicom da je � luk. Dakle, svaka komponenta od A1 sijeµce

A0:

(ii) =) (i). Neka je

� =�N � 2X : N je kompaktno gnijezdo od A0 do A1 i za svaki N 2 N ;

svaka komponenta u N sijeµce A0g

Tada je � 6= ? (buduci da je fA0; A1g 2 � po (ii)). Tako�er, � je

zatvoreni podskup od 22X. Dakle, postoji maksimalan µclanM od � (vrijedi

po Teoremu 4.34 ako X zamijenimo s 2X). Pokazat cemo da jeM ure�eni

luk u 2X od A0 do A1 µcime cemo pokazati da vrijedi (i). Buduci da je Mgnijezdo u 2X od A0 do A1, preostaje nam samo pokazati da jeM luk.

Neka je w Whitneyjevo preslikavanje na 2X (postoji po Teoremu 4.18) i

neka je t0 = w (A0), t1 = w (A1) : Buduci da je M gnijezdo od A0 do A1;

slijedi da je t0 < t1 i da je w [M] � [t0; t1]. Tako�er primijetimo da je Mkompaktan buduci da je M 2 �: Dakle, da bismo pokazali da je M luk,

dovoljno je po Lemi 4.20 dokazati da je w [M] = [t0; t1] :

Pretpostavimo da je w [M] 6= [t0; t1] : Buduci da su t0; t1 2 w [M] i w [M]

kompaktan podskup od [t0; t1], postoje s0; s1 2 w [M] takvi da je s0 < s1

i w [M] \ (s0; s1) = ?: Neka su M0;M1 2 M takvi da je w (M0) = s0 i

w (M1) = s1:

Pokaµzimo da M0 i M1 zadovoljavaju pretpostavke u Lemi 4.32. Kako je

s0 < s1, oµcito je M0 6= M1 i M1 * M0: Dakle, buduci da je M gnijezdo,


vrijedi M0 � M1: Dokaµzimo da je ispunjena zadnja pretpostavka u Lemi

4.32. Neka je L komponenta od M1:Tada je M1 2 M 2 �; L \ A0 6= ?:Tako�er, buduci da je M0 2M 2 �; vrijedi A0 �M0: Dakle, L \M0 6= ?:Sada moµzemo upotrijebiti Lemu 4.32 da dobijemo C 2 2X sa slijedecim

svojstvima:

(1) M0 � C �M1;

(2) M0 6= C 6=M1;

(3) svaka komponenta od C sijeµce M0:

(1) ; (2) ; (3) cemo upotrijebiti da dobijemo kontradikciju, preciznije, pokazat

cemo da vrijedi C 2M i C =2M.

Pokaµzimo da vrijedi C 2M. Dovoljno je pokazatiM[fCg 2 �: Naime,tada slijedi C 2M, jer jeM maksimalan µclan od �.

Buduci da jeM2 � i C 2 2X , da bi dokazali da jeM[fCg 2 �; moramopokazati da C ima sljedeca svojstva:

(a) M � C ili C �M; za svaki M 2M;

(b) A0 � C � A1;(c) svaka komponenta od C sijeµce A0:

Dokaµzimo (a). Neka je M 2 M . Tada je w (M) � s0 ili w (M) � s1:

Buduci da jeM gnijezdo, slijedi M �M0 ili M �M1, a onda po (1) vrijedi

M � C ili C �M: Ovime smo dokazali (a).Dokaµzimo (b). Prisjetimo se da su M0;M1 2 M 2 �. Dakle, vrijedi

A0 �M0 i M1 � A1. (b) sada slijedi izravno iz (1).Preostaje dokazati (c). Neka je Q komponenta od C. Po (3) vrijedi Q \

M0 6= ?: Buduci da je Q komponenta od C i C �M0, Q sadrµzi komponentu

Q0 od M0: Buduci da je M0 2 M 2 �, vrijedi Q0 \ A0 6= ?: Buduci da jeQ � Q0, slijedi Q \ A0 6= ?, �to dokazuje (c).Pokazav�i (a)� (c), pokazali smo da vrijediM[fCg 2 �, a time i da je

C 2M.

Me�utim, buduci da je w [M]\ (s0; s1) = ? i s0 < w (C) < s1, iz (1) ; (2)i De�nicije 4.15 slijedi C =2 M. Time smo do�li u kontradikciju pa vrijedi

w [M] = [t0; t1] : Dakle,M je ure�eni luk u 2X od A0 do A1:


Neka je � ure�eni luk u 2X od A0 do A1 i neka je H � 2X . Kaµzemo da �

poµcinje u H; ako je A0 2 H. Kaµzemo da � ostaje u H ako je � � H.

Korolar 4.36 Neka je X kompaktum i � ure�eni luk u 2X : Ako � poµcinje u

C (X), onda � ostaje u C (X) :

Dokaz. Po pretpostavci, � je ure�eni luk u 2X od A0 do A1, gdje je A0 2C (X). Neka je B 2 � takav da je B 6= A0. S � oznaµcimo podluk od � od A0do B. Primijetimo da je � ure�eni luk i da je A0 � B: Dakle, � je ure�eniluk od A0 do B. Po Teoremu 4.35 svaka komponenta od B sijeµce A0: Buduci

da je A0 povezan podskup od B, B sadrµzi samo jednu komponentu. Drugim

rijeµcima, B je povezan pa je B 2 C (X) : Dakle, � � C (X) :

Korolar 4.37 Za svaki kontinuum X, 2X i C (X) su lokalno povezani u

toµcki X.

Dokaz. S d oznaµcimo metriku na X: Neka je " > 0 i neka je A0 2 2X

takav da je A0 6= X i Hd (A0; X) < ": Po Teoremu 4.35 postoji ure�eni

luk � u 2X od A0 do X. Ako je A0 2 C (X), onda je po Korolaru 4.36

� � C (X). Sada iz Teorema 1.15 izlazi Hd (A;X) < " za svaki A 2 �; jer jeHd (A;X) < Hd (A0; X) < ":

4.5 Kelleyjevi segmenti

Neka je X kompaktum i neka je w : 2X ! [0;1)Whitneyjevo preslikavanje:Neka je � ure�eni luk u 2X od A0 do A1: Oznaµcimo s a0 = w (A0) i a1 =

w (A1) : Tada je wj� : �! [a0; a1] homeomor�zam po Lemi 4.20. Oznaµcimo

s � linearno preslikavanje � : [0; 1]! [a0; a1] dano sa

� (t) = (1� t) a0 + ta1; t 2 [0; 1] :

Konaµcno, de�nirajmo parametrizaciju � : [0; 1]! � pravilom

� = (wj�)�1 � �:


Istraµzimo svojstva funkcije �:

Prva dva svojstva od � su oµcita. � je homeomor�zam, � (0) = A0 i � (1) = A1.

Sljedece svojstvo od � je da w "linearizira" �. Eksplicitno, w � � = �, tj.

w (� (t)) = (1� t)w (� (0)) + tw (� (1)) ; t 2 [0; 1] :

Nadalje, � µcuva ure�aj. Naime,

� (t1) � � (t2) ako je 0 � t1 � t2 � 1:

To svojstvo slijedi iz µcinjenice da � i wj� µcuvaju ure�aj.

De�nicija 4.38 Neka je X kompaktum, H � 2X ; w Whitneyjevo preslika-

vanje na H i A0; A1 2 H. Za fukciju � : [0; 1]! H kaµzemo da je segment u

H od A0 do A1 s obzirom na w ako � ima sljedeca µcetiri svojstva:

(S1) � je neprekidna,

(S2) � (0) = A0 i � (1) = A1;

(S3) w (� (t)) = (1� t)w (� (0)) + tw (� (1)) za svaki t 2 [0; 1] ;

(S4) � (t1) � � (t2) kada je 0 � t1 � t2 � 1:

Do kraja odjeljka cemo se baviti rezultatima o segmentima.

Teorem 4.39 Neka je X kompaktum, H � 2X i w Whitneyjevo preslika-

vanje na H. Tada je svaki ure�eni luk u H slika segmenta s obzirom na

w:

Dokaz. Dokaz slijedi iz razmatranja koja prethode De�niciji 4.38. Naime,

dovoljno je zamijeniti 2X s H i pretpostaviti da je w Whitneyjevo preslika-

vanje na H.

Lema 4.40 Svaki segment, koji nije konstanta, je homeomor�zam.


Dokaz. Neka je X kompaktum, H � 2X i w Whitneyjevo preslikavanje naH. Neka je � : [0; 1]! H segment s obzirom na w; koji nije konstanta. � je

neprekidan. Dakle, dovoljno je dokazati da je � injekcija.

Pretpostavimo suprotno, tj. � nije injekcija. Tada postoje s; t 2 [0; 1]takvi da je s 6= t i � (s) = � (t) : Dakle, w (� (s)) = w (� (t)) : Prema svojstvu(S3) od � vrijedi

(s� t)w (� (0)) = (s� t)w (� (1)) :

Dakle, w (� (0)) = w (� (1)) : Tako�er, po svojstvu (S4) vrijedi � (0) �� (1) : No, po De�niciji 4.15 (i) vrijedi � (0) = � (1) : Sada, iz (S4) slijedi

da je � konstanto preslikavanje µcime smo do�li do kontradikcije. Dakle, � je

injekcija.

Teorem 4.41 Neka je X kompaktum, H � 2X , w Whitneyjevo preslikavanjenaH, � : [0; 1]! H segment od A0 do A1 s obzirom na w; koji nije konstanta,i � = � ([0; 1]) : Tada je � ure�eni luk od A0 do A1 i � = (wj�)�1��; gdje je �jedinstveno rastuce linearno preslikavanje iz [0; 1] u w (�) = [w (A0) ; w (A1)] :

Dokaz. Prvo pokaµzimo da je � ure�eni luk od A0 do A1: Po Lemi 4.40,

� je homeomor�zam iz [0; 1] u �: Dakle, � je luk s rubovima � (0) i � (1).

Nadalje, po (S4), � je gnijezdo, a onda je i ure�eni luk. Buduci da su � (0)

i � (1) rubovi od �, slijedi da su te rubne toµcke A0 i A1. Tako�er, po (S4)

vrijedi A0 � A1: Dakle, � je ure�eni luk od A0 do A1.Konaµcno, pokaµzimo da je � = (wj�)�1 � �, gdje je � kao u pretpostavci

teorema. Primijetimo � moµzemo prikazati na sljedecei naµcin:

� (t) = (1� t)w (A0) + tw (A1) za svaki t 2 [0; 1] :

Dakle, po (S3) i (S4), vrijedi w � � = �: Buduci da je � ure�eni luk

od A0 do A1, po Lemi 4.20 slijedi da je wj� bijektivno preslikavanje iz � u[w (A0) ; w (A1)]. Dakle, (wj�)�1 je dobro de�nirano na cijelom [w (A0) ; w (A1)] :Buduci da je w � � = �, oµcito vrijedi da je � = (wj�)�1 � �:Dokaµzimo sada dva korolara. Prvi karakterizira slike segmenata, a drugi daje

jedinstvenost rezultata.


Korolar 4.42 Neka je X kompaktum, H � 2X i w Whitneyjevo preslika-

vanje na H: Podskup S od H je slika segmenta s obzirom na w ako i samo

ako je S ure�eni luk ili S 2 F1 (H) :

Dokaz. Dovoljnost slijedi iz Teorema 4.39 i µcinjenice da je svako konstantno

preslikavanje iz [0; 1] uH segment s obzirom na w: Nuµznost slijedi iz Teorema4.41.

Korolar 4.43 Neka je X kompaktum, H � 2X i w Whitneyjevo preslika-

vanje na H. Tada je segment u H s obzirom na w jedinstveno odre�en svojom

slikom. Drugim rijeµcima, ako su �1 i �2 segmenti u H s obzirom na w takvi

da je �1 ([0; 1]) = �2 ([0; 1]), onda je �1 = �2:

Dokaz. Neka su �1 i �2 dani segmenti i neka je � = �1 ([0; 1]) = �2 ([0; 1]) :

Tada je �i = (wj�)�1 � �; i = 1; 2; po Teoremu 4.41 (s pretpostavkom da je

� konstantna ako je � konstantna). Dakle, �1 = �2:

Ranije smo dokazali dva vaµzna rezultata o ure�enim lukovima, Teorem 4.35

i Korolar 4.36. Sada cemo dokazati analogne tvrdnje za segmente.

Teorem 4.44 Neka je X kompaktum, w Whitneyjevo preslikavanje na 2X i

A1; A2 2 2X : Tada su sljedece tvrdnje ekvivalentne:

(i) Postoji segment s obzirom na w od A0 do A1:

(ii) A0 � A1 i svaka komponenta od A1 sijeµce A0:

Dokaz. Oµcito, obe tvrdnje su istinite ako je A0 = A1: Zato, pretpostavimo

da je A0 6= A1: Tada, po Teoremu 4.35, tvrdnja (ii) teorema ekvivalentna

sljedecoj tvrdnji:

(�) Postoji ure�eni luk � u 2X od A0 do A:

Dakle, dovoljno je dokazati da je tvrdnja (i) teorema ekvivalentna (�).Pretpostavimo da vrijedi (i). Tada, buduci da je A0 6= A1, iz Teorema 4.41slijedi da (�) vrijedi.Obratno, pretpostavimo da vrijedi (�). Tada, po Teoremu 4.39, postoji

segment � s obzirom na w takav da je � ([0; 1]) = �; gdje je � kao u (�).


Ako pokaµzemo da je � (0) = A0 i � (1) = A1, tvrdnja (i) ce vrijediti po (S2).

Primijetimo da, po Lemi 4.40, vrijedi da je � homeomor�zam iz [0; 1] u �:

Dakle, � (0) i � (1) su rubne toµcke od �: Tako�er vrijedi � (0) � � (1) po

(S4). S druge strane, buduci da je � ure�en luk od A0 do A1, A0 i A1 rubne

toµcke od � i A0 � A1: Dakle, vrijedi � (0) = A0 i � (1) = A1:

Teorem 4.45 Neka je X kompaktum, H � 2X i w Whitneyjevo preslika-

vanje na H. Ako je � segment u H s obzirom na w takav da je � (0) 2 C (X),onda je � ([0; 1]) � C (X) :

Dokaz. Teorem oµcito vrijedi ako je � konstanta pa pretpostavimo da �

nije konstanta. Po Korolaru 4.42, � ([0; 1]) je ure�eni luk, a iz Leme 4.40

slijedi da su � (0) i � (1) rubne toµcke od � ([0; 1]) : Nadalje, vrijedi da je

� (0) � � (1) :Dakle, � ([0; 1]) je ure�eni luk od � (0) do � (1) : Iz pretpostavkeda je � (0) 2 C (X) iz Korolara 4.36 slijedi da je � ([0; 1]) � C (X) :

Teorem 4.46 Neka jeX kompaktum, wWhitneyjevo preslikavanje na C (X) i

A0; A1 2 C (X) : Tada postoji segment od A0 do A1 s obzirom na w ako i samoako je A0 � A1:

Dokaz. Pretpostavimo da postoji segment � s obzirom na w od A0 do A1:

Tada po (S2) i (S4) vrijedi da je A0 � A1: Obratno, pretpostavimo da je

A0 � A1 i da je A0 6= A1 (dokaz je trivijalan ako je A0 = A1): Tada, po

Teoremu 4.25 postoji ure�eni luk � u C (X) od A0 do A1: Dalje, po Teoremu

4.39 postoji segment � s obzirom na w takav da je � ([0; 1]) = �: Iz (S4) i

Leme 4.40 slijedi da je � segment od A0 do A1 (kao u dokazu Teorema 4.44).

Vecinu rezultata u ovom odjeljku smo iskazali s obzirom na Whitneyjeva

preslikavanja na H, gdje je H � 2X : Sada je prirodno zapitati se je li svakisegment u H � 2X s obzirom na Whitneyjevo preslikavanje na H ujedno

i segment s obzirom na Whitneyjevo preslikavanje na 2X : Pokazat cemo u

sljedecem korolaru da je odgovor na to pitanje potvrdan.


Teorem 4.47 Ako je X kompaktum, onda se svako Whitneyjevo preslika-

vanje na proizvoljnom zatvorenom podskupu od 2X moµze pro�iriti do Whit-

neyjevog preslikavanja na 2X :

Dokaz. Neka je H zatvoren podskup od 2X i neka je w Whitneyjevo pres-

likavanje na H. Neka je

K = H [ F1 (X) [ fXg :

Pro�irimo w do Whitneyjevog preslikavanja w0 u K tako da stavimo

w0 (fxg) = 0 za svaki fxg 2 F1 (X) i w0 (X) = 1 + supw (H) ako X =2 H.Sada se w0 moµze pro�iriti do Whitneyjevog preslikavanja na 2X :

Korolar 4.48 Neka je X kompaktum i H � 2X : � : [0; 1]! H je segment s

obzirom na Whitneyjevo preslikavanje na H ako i samo ako je � segment s

obzirom na Whitneyjevo preslikavanje na 2X .

Dokaz. Neka je w Whitneyjevo preslikavanje na H takvo da je � segment

u H s obzirom na w. Neka je G = � ([0; 1]) i g = wjG. Primijetimo daje G zatvoren u 2X i da je g Whitneyjevo preslikavanje na G. Dakle, poTeoremu 4.47, g se moµze pro�iriti do Whitneyjevog preslikavanja g0 u 2X :

Oµcito, � je segment s obzirom na g0: Obrat slijedi iz µcinjenice da je restrikcija

Whitneyjevog preslikavanja sa 2X na H Whitneyjevo preslikavanje na H:

4.6 Prostor segmenata Sw (H)

Neka je Y kompaktum i neka je Z metriµcki prostor s metrikom dZ . Tada

sa ZY oznaµcavamo prostor svih preslikavanja iz Y u Z. Topologija za ZY je

topologija inducirana uniformnom metrikom � koja je de�nirana na sljedeci

naµcin:

8f; g 2 ZY ; � (f; g) = sup fdZ (f (y) ; g (y)) : y 2 Y g :

Tu topologiju nazivamo uniformnom topologijom da bismo naglasili ko-

jom je metrikom inducirana.


Uniformna topologija ne ovisi o izboru metrike koja inducira topologiju

na Z. Nadalje, konvergencija nizova s obzirom na uniformnu topologiju je

uniformna konvergencija.

De�nicija 4.49 Neka je X kompaktum, H � 2X i w Whitneyjevo preslika-vanje na H. Prostor segmenata u H s obzirom na w je prostor

Sw (H) =�� 2 H[0;1] : � je segment s obzirom na w

snabdijeven uniformnom topologijom.

Prvo svojstvo prostora segmenata koje cemo istraµziti je kompaktnost. U

tu svrhu podsjetimo se de�nicije ekvikontinuiranosti.

Neka su (Y; dY ) i (Z; dZ) kompaktni metriµcki prostori i neka je F � ZY .Tada kaµzemo da je F ekvikontinuiran ako vrijedi:

(8" > 0) (9� > 0) dY (y1; y2) < � =) dZ (f (y1) ; f (y2)) < "; 8 f 2 F :

Lako se vidi da za kompaktume Y i Z, ekvikontinuiranost ovisi samo o

topologijama na Y i Z, a ne danim metrikama na dY i dZ :

Teorem 4.50 (Arzela-Ascoli) Neka su Y i Z kompaktumi, ZY snabdi-

jeven uniformnom topologijom i F � ZY : F je kompaktan ako i samo ako je

F ekvikontinuiran i zatvoren u ZY :

Lema 4.51 Neka je X kompaktum, H zatvoren podskup od 2X i w Whitney-

jevo preslikavanje na H. Tada, za svaki " > 0 postoji � (") > 0 sa sljedecimsvojstvom: Ako su A;B 2 H takvi da je A � B i jw (B)� w (A)j < � ("),

onda je H (A;B) < ":

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, odnosno da lema ne vrijedi za neki " > 0:

Tada, za svaki i 2 N; postojeAi; Bi 2 H takvi da jeAi � Bi; jw (Bi)� w (Ai)j <1ii H (A;B) � ": Buduci da je H kompaktum po Teoremima 1.20 i 1.25,

moµzemo pretpostaviti da nizovi fAig1i=1 i fBig1i=1 konvergiraju u H prema

A i B redom. Tada vrijedi A � B i w (A) = w (B). Dakle mora vrijediti

A = B pa je H (A;B) = 0: Me�utim, buduci da je H (Ai; Bi) � " za svaki i,tako�er vrijedi da je H (A;B) � " > 0: Dakle, do�li smo do kontradikcije.


Teorem 4.52 Neka je X kompaktum, H zatvoren podskup od 2X i w : H ![0;1) Whitneyjevo preslikavanje. Tada je Sw (H) kompaktan.

Dokaz. Pokaµzimo da je Sw (H) ekvikontinuiran i zatvoren u H[0;1]. Tada

traµzena tvrdnja slijedi iz Teorema 4.50, buduci da je H zatvoren, a onda i

kompaktan podskup od 2X .

Dokaµzimo da je Sw (H) ekvikontinuiran. Neka je " > 0 i � (") kao u Lemi4.51. Dalje, neka je s = sup (w [H]) : Odaberimo � > 0 takav da je �s < � (").Neka su t1; t2 2 [0; 1] takvi da je jt1 � t2j < � i neka je � 2 Sw (H) : Iz (S3)izravno slijedi

w (� (t1))� w (� (t2)) = (t2 � t1)w (� (0))� (t2 � t1)w (� (1)) :

Dakle,

jw (� (t1))� w (� (t2))j = jt2 � t1j jw (� (0))� w (� (1))j � jt2 � t1j s < �s < � (") :

Prema (S4) vrijedi � (t1) � � (t2) ili � (t2) � � (t1) : Dakle, buduci da je � (")kao u Teoremu 4.50, vrijedi H (� (t1) ; � (t2)) < ": Ovime smo dokazali da je

Sw (H) ekvikontinuiran.Dokaµzimo sada da je Sw (H) zatvoren u H[0;1]. Neka je f 2 H[0;1] takav

da postoji niz f�ig1i=1 u Sw (H) koji konvergira u H[0;1] prema f: Pokaµzimo

da je f 2 Sw (H). Buduci da je f 2 H[0;1], f je neprekidna. Dakle, preostaje

dokazati da f zadovoljava (S3) i (S4). Odaberimo t 2 [0; 1] : Pogledajmosljedece jednakosti:

w (f (t)) = w (Lim�i (t)) = limw (�i (t)) = lim (1� t)w (�i (0)) + tw (�i (1)) =

= (1� t)w (Lim�i (0)) + tw (Lim�i (1)) = (1� t)w (f (0)) + tw (f (1)) :

Jednakosti slijede iz neprekidnosti od w, konvergencije po toµckama niza

f�ig1i=1 prema f i iz µcinjenice da svaka funkcija �i zadovoljava (S3).Ovime smo pokazali da f zadovoljava (S3). Preostaje dokazati da f

zadovoljava (S4). Neka su t1; t2 2 [0; 1] takvi da je t1 � t2: Tada, buduci da,za svaki i; �i zadovoljava (S4) vrijedi

�i (t1) � �i (t2) ; za svaki i:


Dalje, buduci da je f (t1) = Lim�i (t1) i f (t2) = Lim�i (t2) (po Korolaru

1.39), lako slijedi da je f (t1) � f (t2). Ovime smo pokazali da f zadovoljava(S4), a time da je f 2 Sw (H) : Dakle, dokazali smo da je Sw (H) zatvoren uH[0;1].

Korolar 4.53 Ako je X kompaktum, onda su Sw�2X�i Sw (C (X)) kom-

paktumi.

Dokaz. Slijedi iz Teorema 4.52. Uoµcimo da Teorem 4.52 smijemo primijeniti

na Sw (C (X)) prema Propoziciji 1.8.

4.7 Prostor ure�enih lukova, O (H)

Sljedeci teorem nam daje drugaµciji pogled na prostore segmenata. Vidjet

cemo da je posljedica toga da su prostori segmenata, topolo�ki gledano, neo-

visni o izboru Whitneyjevog preslikavanja. Kljuµcna ideja je u sljedecoj de�ni-

ciji:

De�nicija 4.54 Neka je X kompaktum i H � 2X . Prostor ure�enih lukovau H je prostor O (H) de�niran s:

O (H) =�� 2 2H : � je ure�eni luk u H

:

Zatvoreni prostor ure�enih lukova u H je prostor O (H) de�niran s

O (H) = O (H) [ F1 (H) ;

gdje su topologije na O (H) i O (H) inducirane Hausdor¤ovom metrikom na

2H:

Teorem 4.55 Neka je X kompaktum i H � 2X . Tada su Sw (H) i O (H)homeomorfni prostori.

Dokaz. De�nirajmo funkciju fw : Sw (H)! O (H) na sljedeci naµcin:

fw (�) = � ([0; 1]) 8� 2 Sw (H) :


Po Korolaru 4.42, fw je surjekcija iz Sw (H) u O (H) ; a po Korolaru 4.43, fwje injekcija.

Dalje, pokaµzimo da je fw neprekidna. Uvedimo sljedece oznake: s H

oznaµcimo Hausdor¤ovu metrika na H, s HH oznaµcimo Hausdor¤ovu metrikuna 2H induciranu s H kao u Teoremu 1.7 i s � oznaµcimo uniformnu metriku

na Sw (H). Pokaµzimo da vrijedi

HH (fw (�1) ; fw (�2)) � � (�1; �2) 8�1; �2 2 Sw (H) : (1)

Dokaµzimo (1). Odaberimo �1; �2 2 Sw (H). Neka je r > � (�1; �2). Tada izde�nicije od � slijedi

H (�1 (t) ; �2 (t)) < r za svaki t 2 [0; 1] :

Dakle vrijedi �1 ([0; 1]) � NH (r; �2 ([0; 1])) i �2 ([0; 1]) � NH (r; �1 ([0; 1])) :

Po prvom dijelu Korolara 1.17 vrijedi

HH (�1 ([0; 1]) ; �2 ([0; 1])) < r:

Dakle, pokazali smo da vrijedi HH (fw (�1) ; fw (�2)) < r; za svaki r >

� (�1; �2) , a odatle slijedi (1). Iz (1) oµcito slijedi da je fw neprekidna.

Konaµcno, pokaµzimo da je funkcija f�1w : O (H) ! Sw (H) neprekidna.Neka je � 2 O (H) i neka su �i 2 O (H) ; za svaki i 2 N; takvi da niz f�ig1i=1konvergira u O (H) prema �: Neka je � = f�1w (�) i neka je �i = f�1w (�i) za

svaki i: Dokaµzimo sljedecu tvrdnju:

(�) Postoji kompaktni podskup � od Sw (H) takav da je � 2 � i

�i 2 � za svaki i:Dokaµzimo (�). Neka je H0 = � [ ([1i=1�i) i w0 = wjH0: Primijetimo da je

w0 Whitneyjevo preslikavanje na H0 i neka je

� = Sw0 (H0) :

Pokaµzimo da � zadovoljava svojstva u (�). Lako je pokazati da je H0

kompaktan. Naime, neka je U otvoreni pokrivaµc od H0: Buduci da je � limes

niza f�ig1i=1, skup U 2 U koji sadrµzi �, sadrµzi gotovo sve elemente niza


f�ig1i=1 koje pokrijemo s konaµcno mnogo skupova, odakle slijedi da U imakonaµcan potpokrivaµc. Dakle, H0 je kompaktan. Dalje, po Teoremu 4.52, �

je kompaktan. Buduci da je w0 = wjH0 i H0 � H oµcito vrijedi

� = f�0 2 Sw (H) : �0 ([0; 1]) � H0g :

Dakle, vrijedi � � Sw (H) ; � 2 � i �i 2 � za svaki i: Ovime smo dokazali(�).Iskoristimo sada (�) da dokaµzemo da niz ff�1w (�i)g1i=1 konvergira u Sw (H)prema f�1w (�) :Vec smo pokazali da je fw neprekidna injekcija iz Sw (H). Po(�) vrijede slijedece tvrdnje(1) fwj� je homeomor�zam.(2) � 2 fw (�) i �i 2 fw (�) za svaki i:Konaµcno, niz f�ig1i=1 konvergira prema � pa po (1) i (2) niz ff�1w (�i)g1i=1konvergira u � prema f�1w (�) : Buduci da je � � Sw (H) ; pokazali smoda ff�1w (�i)g1i=1 konvergira u Sw (H) prema f�1w (�), a time i da je f�1wneprekidna.

Korolar 4.56 Neka je X kompaktum i H � 2X : Tada za svaka dva Whitney-jeva preslikavanja w1 i w2 u H vrijedi da su Sw1 (H) i Sw2 (H) homeomorfni:

Dokaz. Po Teoremu 4.55 vrijedi da su Sw1 (H) i O (H) te Sw2 (H) i O (H)homeomorfni:

4.8 Sw�2X�; Sw (C (X)) kada je X Peanov kon-

tinuum

Navodimo, bez dokaza, neke vaµzne rezultate o prostoru O�2X�:

Propozicija 4.57 Ako je X Peanov kontinuum, onda je i O�2X�Peanov

kontinuum.

Propozicija 4.58 Za svaki kompaktum X; F1�O�2X��je retrakt od 2O(2

X):


Propozicija 4.59 Neka je X kompaktum. Tada je O (C (X)) retrakt odO�2X�ako i samo ako je C (X) retrakt od 2X :

Dokazat cemo teorem analogan Teoremu 3.19.

Teorem 4.60 Neka je X nedegeneriran Peanov kontinuum. Tada vrijedi,

(i) Sw�2X�je Hilbertov kvadar,

(ii) Sw (C (X)) je Hilbertov kvadar ako ne postoji slobodan luk u X;

(iii) Sw (C (X)) je apsolutni retrakt.

Dokaz. Prema Teoremu 4.55 dovoljno je dokazati da je O�2X�Hilbertov

kvadar i da je O (C (X)) Hilbertov kvadar ukoliko X ne sadrµzi slobodan luk.

Dokaz cemo provesti koristeci Torunczykov teorem.

Po Propoziciji 4.57, O�2X�je Peanov kontinuum, pa je, po Teoremu

3.16, 2O(2X) apsolutni retrakt. Dalje, po Propoziciji 4.58, O (2x) je apso-

lutni retrakt. Dakle, buduci da je po Teoremu 3.16 C (X) retrakt od 2X , iz

Propozicije 4.59 slijedi da je O (C (X)) apsolutni retrakt. Time smo dokazali(iii).

Pokaµzimo sada da prema identitetima na O�2X�i O (C (X)) uniformno

konvergiraju neki nizovi Z-preslikavanja.

Za svaki zatvoreni podskup K od X takav da je IntK 6= ?; neka je

OK

�2X�=�� 2 O

�2X�: \� � K

:

Pokaµzimo da je OK

�2X�Z-skup u O

�2X�. Neka je " > 0: Po Teoremu

3.18 postoji preslikavanje f" : 2X ! 2Xn2XK takvo da je f" u "�okolini iden-titete na 2X : Neka je f �" : 2

2X ! 22Xinducirano preslikavanje iz Leme 4.17.

Sada lako slijedi da f �" jO�2X�preslikava O

�2X�u O

�2X�nOK

�2X�i da

je f �" jO�2X�u "�okolini identitete na O

�2X�. Ovime smo pokazali da je

OK (2x) Z-skup u O

�2X�:

Za svaki zatvoreni podskup K od X takav da je IntK 6= ? i K ne sadrµzi

slobodne lukove, neka je

OK (C (X)) =�� 2 O (C (X)) : \� � K

:


Tada jeOK (C (X)) Z-skup uO (C (X)) :Dokaz je sliµcan dokazu zaOK

�2X�:

Konaµcno, dokaµzimo da prema identitetama na O�2X�i O (C (X)) uni-

formno konvergiraju neki nizovi Z-preslikavanja. Neka je " > 0. Zamijenimo

�" : 2X ! 2X iz dokaza Teorema 3.19 s ��" : O

�2X�! O

�2X�danim

pravilom

��e (�) = fCd ("; A) : A 2 �g za svaki � 2 O�2X�:

Zamijenimo 2XKiu dokazu Teorema 3.19 s OKi

�2X�: Napravimo li oµcite za-

mjene u dokazu Teorema 3.19, vrijedi da je ��" Z-preslikavanje i da je unutar

"�okoline identitete na O�2X�: Tako�er, zamijenimo li CKi

(X) u dokazu

Teorema 3.19 s OKi(C (X)), vrijedi da je ��"jO (C (X)) Z-preslikavanje iz

O (C (X)) u O (C (X)) i da je ��"jO (C (X)) unutar "�okoline od identitetena O (C (X)) :

Literatura

[1] R. Engelking, General topology, PNW, Warszawa, 1977.

[2] Alejandro Illanes, Sam B. Nadler Jr., Hyperspaces, Marcel Dekker, New

York, 1999.

[3] S. Marde�ic, Matematiµcka analiza u n-dimenzionalnom prostoru, �kol-

ska knjiga, Zagreb, 1974.

[4] Sam B. Nadler Jr., Hyperspaces of sets, Marcel Dekker, New York,

1978.

[5] Sam B. Nadler Jr., Continuum theory, Marcel Dekker, New York, 1992.

79

Documents

HIPERPROSTORI I WHITNEYJEVA PRESLIKAVANJA · su mnogi radovi o dimenziji, konveksnim skupovima,.... Uovomradu·cemo de–nirati i obraditi sve temeljne pojmove teorije hiper-prostora,