Upload
others
View
10
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
JJoM | Jambura J. Math. 167 Volume 3 | Issue 2 | July 2021
JAMBURA JOURNAL OF MATHEMATICS Jambura J. Math. Vol. 3, No. 2, pp. 167-179, July 2021
Journal Homepage: http://ejurnal.ung.ac.id/index.php/jjom DOI: https://doi.org/10.34312/jjom.v3i2.10468
Hasil Kali Matriks (Mod 2) pada Graf Roda, Graf Pertemanan dan Graf Bunga
Fransiskus Fran1*, Novita Indah Saputri2, Mariatul Kiftiah3
1,2,3 Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas Tanjungpura,
Jl. Prof. Dr. Hadari Nawawi, Kota Pontianak 78124, Kalimantan Barat, Indonesia
* Penulis Korespondensi. Email: [email protected]
ABSTRAK1
Pada artikel ini dibahas sifat-sifat hasil kali matriks (mod 2) terkait graf roda (๐๐), graf pertemanan (๐น๐) dan graf bunga (๐น๐๐) yang grafikal. Beberapa hasil yang diperoleh,
๐ด(๐๐)๐ด(๐๐)(๐๐๐ 2) dan ๐ด(๐๐)๐ด(๐๐)(๐๐๐ 2) grafikal apabila ๐ = 2๐ + 1, dengan ๐๐
merupakan graf bintang. Selanjutnya, diperoleh ๐ด(๐๐)๐ด(๐บ0)(๐๐๐ 2) dan ๐ด(๐๐)๐ด(๐บ0)(๐๐๐ 2)
grafikal untuk semua ๐ โฅ 3, dengan ๐บ0 adalah subgraf dari ๐๐ dengan ๐๐๐๐บ0๐ฃ0 =
0, ๐๐๐๐บ0๐ฃ๐ = ๐๐๐๐๐
๐ฃ๐ , untuk 1 โค ๐ โค ๐. Hasil kali matriks (mod 2) yang grafikal juga diperoleh
untuk graf pertemanan dan graf bunga dengan komplemen dan subgrafnya masing- masing. Hasil lebih umum diperoleh untuk kondisi sehingga ๐ด(๐บ)๐ด(๐บ)(๐๐๐ 2) grafikal.
Kata Kunci: Matriks Ketetanggaan; Subgraf; Graf Roda; Graf Pertemanan; Graf Bunga; Hasil Kali Matriks
ABSTRACT
In this paper, we discussed the properties of the wheel, flower and friendship graphs for which the matrix product under modulo 2 were graphical. Let ๐๐ be a star graph and G0 be a subgraph of ๐๐ where ๐๐๐๐บ0
๐ฃ0 = 0, ๐๐๐๐บ0๐ฃ๐ = ๐๐๐๐๐
๐ฃ๐ , for 1 โค ๐ โค ๐. We proved the matrix product
๐ด(๐๐)๐ด(๐๐)(๐๐๐ 2) and ๐ด(๐๐)๐ด(๐๐)(๐๐๐ 2) was graphical for ๐ = 2๐ + 1, and the matrix
product ๐ด(๐๐)๐ด(๐บ0)(๐๐๐ 2) and ๐ด(๐๐)๐ด(๐บ0)(๐๐๐ 2) was graphical for all ๐ โฅ 3. For the next, a graphical matrix product (mod 2) was also obtained for the friendship graph and the flower graph with its complement and subgraph, respectively. As more general results were obtained for conditions such that ๐ด(๐บ)๐ด(๐บ)(mod 2) was graphical.
Keywords: Adjacency Matrix; Subgraph; Wheel Graph; Flower Graph; Friendship Graph; Matrix Product
Format Sitasi:
F. Fran, N. I. Saputri and M. Kiftiah, โHasil Kali Matriks (Mod 2) pada Graf Roda, Graf Pertemanan dan Graf Bunga,โ Jambura J. Math., vol. 3, no. 2, pp.167-179, 2021.
1. Pendahuluan
Suatu graf ๐บ adalah pasangan himpunan (๐, ๐ธ) dengan ๐ merupakan himpunan tak kosong dari simpul-simpul dan ๐ธ merupakan himpunan (boleh kosong) pasangan simpul-simpul (๐ธ โ ๐ ร ๐). Pasangan simpul selanjutnya disebut sisi. Berdasarkan
1 e-ISSN: 2656-1344 ยฉ 2021 F. Fran., N. I. Saputri, M. Kiftiah | Under the license CC BY-NC 4.0
Received: 6 May 2021 | Accepted: 7 June 2021 | Online: 9 June 2021
F. Fran, et.al.
JJoM | Jambura J. Math. 168 Volume 3 | Issue 2 | July 2021
sisinya, graf ๐บ merupakan graf sederhana jika tidak memuat loop dan sisi ganda. Pada artikel ini lebih khusus akan dibahas terkait graf sederhana. Terdapat beberapa graf sederhana yang menjadi fokus pada tulisan ini, yaitu graf roda, graf pertemanan dan graf bunga. Graf roda merupakan graf yang dapat dibentuk dari graf cycle, dan berdasarkan graf roda dapat dibentuk graf pertemanan dan graf helm. Lebih lanjut, dari graf helm dapat dibentuk graf bunga.
Berdasarkan graf sederhana yang telah dipaparkan, dapat dibentuk pula graf baru yaitu komplemen graf dan subgraf. Misalkan ๐บ graf sederhana, komplemen dari
๐บ dinotasikan dengan ๐บ merupakan graf dengan ๐(๐บ) = ๐(๐บ) dan sisi (๐ข, ๐ฃ) โ ๐ธ(๐บ)
jika dan hanya jika sisi (๐ข, ๐ฃ) โ ๐ธ(๐บ). Sedangkan, ๐ป merupakan subgraf dari ๐บ jika dan hanya jika ๐(๐ป) โ ๐(๐บ) dan ๐ธ(๐ป) โ ๐ธ(๐บ).
Jika diberikan suatu graf, maka graf ini dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks. Salah satu matriks yang dapat merepresentasikan graf adalah matriks ketetanggaan.
Telah banyak penelitian terkait matriks ketetanggaan, diantaranya oleh Metha dan Acharya [1] yang meneliti tentang matriks ketetanggaan dari hasil kali graf. Pada tahun 2013, Prasad, et.al. [2] memperkenalkan tentang konsep perkalian matriks ketetanggaan dari graf-graf dengan banyak simpul yang sama, untuk memperoleh graf baru. Apabila hasil kali matriks ketetanggaan menghasilkan matriks simetris (0,1)
dengan diagonal nol, maka akan diperoleh realisasi hasil kali matriks ketetanggaan
dalam bentuk graf.
Berdasarkan konsep perkalian matriks, beberapa hasil perkalian matriks pada graf sangat mungkin tidak memenuhi syarat untuk mempunyai realisasi dalam bentuk graf, salah satunya ketika terdapat entri hasil kali matriks yang bernilai selain nol atau satu. Prasad, et.al. [3] melanjutkan penelitiannya dengan memperkenalkan tentang hasil kali matriks (mod 2) pada graf dan memberikan sifat-sifat hasil kali matriks (mod 2) yang grafikal. Oleh karena masing-masing graf mempunyai karakteristik yang berbeda-beda, sifat-sifat khusus yang lebih spesifik dapat diperoleh juga terkait hasil kali matriks (mod 2). Penelitian pada graf yang lebih khusus, dilakukan oleh John dan Jency [4]-[5] tentang hasil kali matriks (mod 2) pada graf cycle dan graf Petersen yang masing-masing merupakan graf regular (graf dengan simpul-simpulnya berderajat sama). Pengembagan lainnya dilakukan oleh Bhat, et.al. [6] yang menurunkan konsep baru yaitu hasil kali matriks ๐ด(๐บ)๐ต(๐บ) yang grafikal, dengan ๐ต(๐บ) merupakan matriks insidensi (0,1) dari graf ๐บ. Kemudian, sifat komutatif hasil kali matriks yang grafikal antara graf dan komplemennya yang diperumum dibahas oleh Bhat dan Sudhakara [7] dan penelitiannya dilanjutkan pada [8], membahas tentang sifat komutatif berdasarkan partisi himpunan simpul graf yang memenuhi sifat-sifat perfect matching.
Penelitian terkait hasil kali matriks (mod 2) untuk graf tak regular masih terbuka untuk dikaji. Dalam artikel ini dibahas tentang hasil kali matriks (mod 2) pada graf tak regular khususnya graf roda yang merupakan pengembangan dari hasil penelitian
Saputri, et.al. [9] tentang perkalian matriks pada graf roda. Hasil kali matriks (mod 2) yang dibahas dikaitkan dengan komplemen dan subgrafnya. Selain itu, dibahas pula hasil kali matriks (mod 2) pada graf pertemanan dan graf bunga yang masih merupakan keluarga graf roda.
Hasil Kali Matriks (Mod 2) pada Graf Roda, Graf Pertemanan dan Graf Bunga
JJoM | Jambura J. Math. 169 Volume 3 | Issue 2 | July 2021
2. Dasar Teori
Seperti yang telah dipaparkan, untuk memperoleh hasil kali matriks, terlebih dahulu
perlu diketahui matriks ketetanggaan dari graf yang diberikan. Untuk itu, diberikan
definisi matriks ketetanggaan sebagai berikut.
Definisi 1. [2] Misalkan ๐บ = (๐, ๐ธ) graf sederhana dan tak berarah dengan ๐(๐บ) =
{๐ฃ1, ๐ฃ2,โฏ , ๐ฃ๐}. Matriks ketetanggaan dari ๐บ dinyatakan dengan ๐ด(๐บ) = (๐๐๐) adalah
matriks berukuran ๐ ร ๐ dengan ๐๐๐ = 1 jika simpul ๐ฃ๐ dan ๐ฃ๐ bertetangga, selain itu
๐๐๐ = 0; 1 โค ๐, ๐ โค ๐.
Jika terdapat sisi (๐ข, ๐ฃ) untuk simpul ๐ข, ๐ฃ โ ๐บ, simpul ๐ข dan ๐ฃ dikatakan bertetangga
dan dinotasikan dengan ๐ข~๐บ๐ฃ. Berdasarkan Definisi 1 dapat diketahui bahwa pada
suatu graf tak berarah ๐บ, jika simpul ๐ฃ๐ bertetangga dengan simpul ๐ฃ๐, maka simpul ๐ฃ๐
bertetangga dengan simpul ๐ฃ๐, sehingga pada matriks ketetanggaannya ๐ด(๐บ) = (๐๐๐)
entri ๐๐๐ bernilai sama dengan entri ๐๐๐. Oleh karena itu, ๐ด(๐บ) merupakan matriks
simetris. Simpul-simpul yang saling bertetangga pada graf ๐บ akan menentukan derajat
dari simpul tersebut, yang pada artikel ini dinotasikan ๐๐๐๐บ๐ฃ, ๐ฃ โ ๐บ. Derajat suatu
simpul ๐ฃ โ ๐บ merupakan banyak sisi yang bersisian dengan simpul ๐ฃ [10].
Hasil kali matriks ketetanggaan dapat merupakan matriks ketetanggaann dari suatu
graf tertentu jika matriks tersebut grafikal. Konsep matriks yang grafikal diberikan
pada Definisi 2 dan pada Definisi 3 terkait hasil kali matriks (mod 2).
Definisi 2. [2] Matriks grafikal adalah matriks simetris (0,1) dengan diagonalnya
mempunyai entri yang semuanya nol. Untuk suatu graf ๐บ dan matriks grafikal ๐ต
dengan ๐ต = ๐ด(๐บ), maka ๐บ disebut realisasi dari ๐ต.
Definisi 3. [3] Graf ๐น merupakan hasil kali matriks (mod 2) dari graf ๐บ dan ๐ป apabila
๐ด(๐บ)๐ด(๐ป) (mod 2) adalah grafikal dan graf ๐น adalah realisasi dari ๐ด(๐บ)๐ด(๐ป) (mod 2).
Contoh 1. Diberikan graf ๐บ dan graf ๐ป seperti pada Gambar 1.
(a)
(b)
Gambar 1. (a) Graf ๐บ dan (b) Graf ๐ป
Matriks ketetanggaan dari ๐บ dan ๐ป berdasarkan Definisi 1 adalah,
๐ด(๐บ) =
[ 0 1 01 0 10 1 0
0 0 10 0 01 0 0
0 0 10 0 01 0 0
0 1 01 0 10 1 0]
dan ๐ด(๐ป) =
[ 0 0 10 0 01 0 0
1 1 01 1 10 1 1
1 1 01 1 10 1 1
0 0 10 0 01 0 0]
F. Fran, et.al.
JJoM | Jambura J. Math. 170 Volume 3 | Issue 2 | July 2021
Berdasarkan ๐ด(๐บ) dan ๐ด(๐ป) diperoleh ๐ด(ฮจ) yaitu hasi kali (mod 2) dari ๐ด(๐บ) dan ๐ด(๐ป),
๐ด(๐น) =
[ 0 1 11 0 11 1 0
0 1 11 0 11 1 0
0 1 11 0 11 1 0
0 1 11 0 11 1 0]
.
Berdasarkan Definisi 2 dan Definisi 3, matriks ๐ด(๐น) grafikal, dan realisasi graf ๐น
seperti pada Gambar 2.
Gambar 2. Graf ๐น
Selanjutnya, konsep hasil kali matriks (mod 2) diterapkan untuk graf roda sebagai pengembangan dari hasil penelitian Saputri, et.al [9] dan dibahas pula untuk graf pertemanan (๐น๐) yang dapat dipandang sebagai subgraf dari (๐2๐) serta graf bunga (๐น๐๐) yang merupakan graf yang dibentuk dari graf helm. Untuk itu terlebih dahulu diberikan Teorema 1 yang merupakan salah satu karakteristik hasil kali (mod 2) pada suatu graf G dan komplemennya yang telah dibahas oleh Prasad, et.al [3] (untuk bukti Teorema 1 dapat dilihat di [3]).
Teorema 1. [3] Diberikan graf ๐บ dengan ๐บ adalah komplemennya serta memiliki himpunan simpul yang sama yaitu {๐ฃ0, ๐ฃ1,โฏ , ๐ฃ๐}. Pernyataan berikut ekuivalen:
a. ๐ด(๐บ)๐ด(๐บ)(๐๐๐ 2) grafikal
b. Untuk setiap ๐ dan ๐, 0 โค ๐, ๐ โค ๐, ๐๐๐๐บ๐ฃ๐ โ ๐๐๐๐บ๐ฃ๐ โก 0 (๐๐๐ 2)
3. Hasil dan Pembahasan
Sebelum membahas hasil kali matriks (mod 2) pada graf roda, graf pertemanan dan graf bunga, diberikan definisi graf cycle, graf bintang dan masing-masing graf tersebut. Graf cycle merupakan graf sederhana yang simpul-simpulnya berderajat dua. Graf cycle dengan ๐ simpul dilambangkan dengan ๐ถ๐ [11]. Graf Roda (๐๐) merupakan graf yang diperoleh dengan menambahkan satu simpul baru pada graf cycle sehingga masing-masing simpul pada graf cycle bertetangga dengan simpul baru tersebut [12]. Graf roda mempunyai himpunan simpul ๐(๐๐) = {๐ฃ๐|๐ = 0,1,2,โฆ , ๐} dan himpunan sisi ๐ธ(๐๐) = {(๐ฃ0, ๐ฃ๐), (๐ฃ1, ๐ฃ๐)|๐ = 1,2,โฆ , ๐} โช {(๐ฃ๐ , ๐ฃ๐+1)|๐ = 1,2,โฆ , ๐ โ 1} dengan ๐ฃ0 merupakan simpul pusat graf roda. Salah satu subgraf dari graf roda adalah graf bintang (๐๐) yang merupakan graf sederhana dengan 1 simpul berderajat ๐ dan ๐ simpul anting-anting (berderajat 1). Graf pertemanan dinotasikan ๐น๐ adalah graf yang memiliki ๐ salinan graf ๐ถ3 yang bertemu di satu simpul pusat [13]. Graf pertemanan mempunyai 2๐ + 1 simpul dan merupakan subgraf dari ๐2๐. Graf pertemanan mempunyai himpunan simpul ๐(๐น๐) = {๐ฃ๐|๐ = 0,1,2,โฆ ,2๐} dan himpunan sisi ๐ธ(๐น๐๐) ={(๐ฃ0, ๐ฃ๐)|๐ = 1,2,โฆ ,2๐} โช {(๐ฃ2๐โ1, ๐ฃ2๐)|๐ = 1,2,โฆ , ๐}. Dari graf roda, dapat dibentuk pula graf helm (๐ป๐) yaitu graf yang diperoleh dari graf roda dengan menambahkan sisi
Hasil Kali Matriks (Mod 2) pada Graf Roda, Graf Pertemanan dan Graf Bunga
JJoM | Jambura J. Math. 171 Volume 3 | Issue 2 | July 2021
anting-anting pada masing-masing simpul dicycle luar [14]. Sedangkan graf bunga (๐น๐๐) merupakan graf yang diperoleh dari graf helm dengan menghubungkan setiap simpul anting-anting ke simpul pusat dari graf helm [14]. Graf bunga mempunyai himpunan simpul ๐(๐น๐๐) = {๐ฃ๐|๐ = 0,1,2,โฆ ,2๐} dan himpunan sisi ๐ธ(๐น๐๐) ={(๐ฃ0, ๐ฃ๐), (๐ฃ1, ๐ฃ2๐โ1)|๐ = 1,2, โฆ ,2๐} โช {(๐ฃ2๐โ1, ๐ฃ2๐), (๐ฃ2๐โ1, ๐ฃ2๐+1)| ๐ = 1,2, โฆ , ๐}. Ilustrasi graf roda, graf pertemanan dan graf bunga dapat dilihat pada Gambar 3.
(a)
(b)
(c)
Gambar 3. (a) Graf ๐4, (b) Graf ๐น4, (c) Graf ๐น๐4
Berdasarkan Definisi 1, ๐ด(๐๐) merupakan matriks berukuran (๐ + 1) ร (๐ + 1).
Sedangan ๐ด(๐น๐)dan ๐ด(๐น๐๐)merupakan matriks berukuran (2๐ + 1) ร (2๐ + 1).
Selanjutnya, berdasarkan Definisi 2 dan Definisi 3, maka hasil kali ๐ด(๐๐)๐ด(๐๐)(๐๐๐ 2)
tidak grafikal, hal ini karena matriks ketetanggaan merupakan matriks simetris dan
titik-titik selain titik pusat pada graf roda mempunyai derajat 3. Akibatnya, terdapat
elemen diagonal utama pada matriks hasil kali tersebut yang tidak nol setelah
dimodulokan 2. Terkait perkalian matriks (mod 2) pada graf roda dan komplemennya,
diberikan pada Teorema 2.
Teorema 2. Diberikan graf roda ๐๐ dengan ๐๐ adalah komplemennya.
a. ๐ด(๐๐)๐ด(๐๐)(๐๐๐ 2) tidak grafikal untuk ๐ = 2๐ dengan ๐ โ โ dan ๐ โฅ 2.
b. ๐ด(๐๐)๐ด(๐๐)(๐๐๐ 2) grafikal untuk ๐ = 2๐ + 1 dan ๐ โ โ.
Bukti:
a. Diberikan graf ๐๐ dan ๐๐ dengan ๐ = 2๐. Graf ๐๐ dan ๐๐ memiliki himpunan
simpul yang sama yaitu {๐ฃ0, ๐ฃ1, ๐ฃ2, โฆ , ๐ฃ๐} dengan ๐ฃ0 adalah simpul pusat. Akibatnya
matriks ketetanggaan dari ๐๐, ๐ด(๐๐ ) = (๐๐๐) dengan ๐1๐ = ๐๐1 = 1, 2 โค ๐, ๐ โค ๐ + 1
dan ๐11= 0, sedangkan untuk ๐๐๐ dengan 2 โค ๐, ๐ โค ๐ + 1 adalah,
๐๐๐ = {1, ๐ = ๐ ยฑ 1, ๐ = ๐ ยฑ (๐ โ 1)0, ๐๐๐๐๐๐ฆ๐.
Matriks ketetanggaan dari ๐๐, ๐ด(๐๐) = (๐โฒ๐๐) dengan ๐โฒ1๐ = ๐โฒ๐1 = 0, untuk 1 โค ๐, ๐ โค
๐ + 1 dan untuk ๐โฒ๐๐ dengan 2 โค ๐, ๐ โค ๐ + 1 adalah,
๐โฒ๐๐ = {0, ๐ = ๐, ๐ = ๐ ยฑ 1 ๐๐๐ ๐ = ๐ ยฑ (๐ โ 1)1, ๐๐๐๐๐๐ฆ๐.
F. Fran, et.al.
JJoM | Jambura J. Math. 172 Volume 3 | Issue 2 | July 2021
Dari ๐ด(๐๐) dan ๐ด(๐๐) diperoleh ๐ด(๐๐)๐ด(๐๐) = (๐๐๐) dengan entri-entriya ๐1๐ untuk
2 โค ๐ โค ๐ + 1 adalah ๐๐๐๐๐๐ฃ๐ โข 0 (๐๐๐ 2). Sedangkan ๐๐1 adalah 0, oleh karena itu,
๐ด(๐๐)๐ด(๐๐) dengan ๐ = 2๐ tidak grafikal.
b. Diberikan graf ๐๐ dan ๐๐ dengan ๐ = 2๐ + 1. Untuk ๐ = 3, ๐๐ merupakan graf null.
Oleh karena itu, diperoleh ๐ด(๐3) merupakan matriks yang semua entrinya adalah
nol. Akibatnya, semua entri pada ๐ด(๐3)๐ด(๐3)(๐๐๐ 2) adalah nol (grafikal). Untuk
๐ > 4 dengan ๐ = 2๐ + 1, ๐๐ dan ๐๐ memiliki himpunan simpul yang sama
yaitu {๐ฃ0, ๐ฃ1, ๐ฃ2, โฆ , ๐ฃ๐} dengan ๐ฃ0 adalah simpul pusat. Berdasarkan definisi graf
roda ๐๐, diperoleh ๐๐๐๐๐๐ฃ0 = ๐ = 2๐ + 1 dan ๐๐๐๐๐
๐ฃ๐ = 3 untuk 1 โค ๐ โค ๐.
Akibatnya, untuk setiap ๐ dan ๐, 0 โค ๐, ๐ โค ๐, ๐๐๐๐๐๐ฃ๐ โ ๐๐๐๐๐
๐ฃ๐ โก 0 (๐๐๐ 2).
Berdasarkan Teorema 1, ๐ด(๐๐)๐ด(๐๐)(๐๐๐ 2) grafikal. โ
Contoh 2. Diberikan graf roda ๐5 dan kompelmennya ๐5 seperti pada Gambar 4.
(a)
(b)
Gambar 4. (a) Graf ๐5 dan (b) Graf ๐5
Dari Gambar 4, diperoleh matriks ketetanggaan ๐ด(๐5) dan ๐ด(๐5) sehingga ๐ด(๐น) =
๐ด(๐5)๐ด(๐5)(๐๐๐ 2) adalah,
๐ด(๐น) =
[ 0 0 00 0 10 1 0
0 0 01 1 11 1 1
0 1 10 1 10 1 1
0 1 11 0 11 1 0]
.
Berdasarkan Definisi 3, ๐ด(๐น) merupakan matriks yang grafikal, sehingga terdapat graf
๐น merupakan realisasi dari ๐ด(๐น) seperti pada Gambar 5.
Gambar 5. Graf ฮจ
Hasil Kali Matriks (Mod 2) pada Graf Roda, Graf Pertemanan dan Graf Bunga
JJoM | Jambura J. Math. 173 Volume 3 | Issue 2 | July 2021
Untuk selanjutnya, pembahasan berfokus pada hasil perkalian matriks (๐๐๐ 2) terkait
graf roda yang grafikal.
Teorema 3. Jika diberikan graf roda ๐๐ dan ๐บ0 adalah subgrafnya dengan ๐๐๐๐บ0๐ฃ0 =
0, ๐๐๐๐บ0๐ฃ๐ = ๐๐๐๐๐
๐ฃ๐ , untuk 1 โค ๐ โค ๐, maka ๐ด(๐๐)๐ด(๐บ0)(๐๐๐ 2) grafikal.
Bukti. Misalkan ๐๐ merupakan graf roda, ๐ด(๐๐) = (๐๐๐) sama seperti pada bukti
Teorema 2 (a) dan ๐บ0 adalah subgraf dari ๐๐ dengan๐๐๐๐บ0๐ฃ0 = 0, ๐๐๐๐บ0
๐ฃ๐ =
๐๐๐๐๐๐ฃ๐ , untuk 1 โค ๐ โค ๐sehingga ๐ด(๐บ0) = (๐๐๐) dengan entri-entrinya ๐1๐ = ๐๐1 = 0
untuk 1 โค ๐, ๐ โค ๐ + 1 , dan ๐๐๐ = ๐๐๐ untuk 2 โค ๐, ๐ โค ๐ + 1. Berdasarkan ๐๐๐ dan ๐๐๐
diperoleh ๐ด(๐๐)๐ด(๐บ0)(๐๐๐ 2) = (๐ค๐๐). Hasil ๐ด(๐๐)๐ด(๐บ0)(๐๐๐ 2) untuk ๐ = 3,4
merupakan matriks null (grafikal). Sedangkan untuk ๐ โฅ 5, diperoleh entri-entri ๐ค1๐ =
๐๐๐๐บ0๐ฃ๐ = 2 โก 0 (๐๐๐ 2), ๐ = ๐ โ 1 dan ๐คi1 = 0 untuk 2 โค ๐, ๐ โค ๐ + 1. Untuk ๐ค๐๐
dengan 2 โค ๐, ๐ โค ๐ + 1 adalah,
๐ค๐๐ = {1, ๐ = ๐ ยฑ 2 ๐๐๐ ๐ = ๐ ยฑ (๐ โ 2)0, ๐๐๐๐๐๐ฆ๐.
Dari ๐ค๐๐ diperoleh bahwa entri diagonal pada ๐ด(๐๐)๐ด(๐บ0)(๐๐๐ 2) adalah 0 dan
๐ด(๐๐)๐ด(๐บ0)(๐๐๐ 2) merupakan matriks simetris (0,1). Oleh karena itu,
๐ด(๐๐)๐ด(๐บ0)(๐๐๐ 2) grafikal. โ
Contoh 3. Diberikan graf ๐3 dan ๐บ0 seperti pada Gambar 6.
(a)
(b)
Gambar 6. (a) Graf ๐3 dan (b) Graf ๐บ0
Dari Gambar 6, hasil kali matriks ketetanggaan untuk graf ๐3 dan ๐บ0 adalah ๐ด(๐น) =
๐ด(๐3)๐ด(๐บ0)(๐๐๐ 2) sebagai berikut.
๐ด(๐น) = [
0 00 0
0 00 0
0 00 0
0 00 0
]
Matriks ๐ด(๐น) adalah matriks grafikal. Oleh karena itu, ๐ด(๐3)๐ด(๐บ0)(๐๐๐ 2) dapat
direalisasikan dalam bentuk graf seperti pada Gambar 7.
F. Fran, et.al.
JJoM | Jambura J. Math. 174 Volume 3 | Issue 2 | July 2021
Gambar 7. Graf ๐น
Selanjutnya, ditinjau hasil kali matriks (๐๐๐ 2) dari komplemen graf roda dengan
beberapa subgraf yang diperoleh dari graf roda. Untuk lebih jelasnya, dibahas pada
Teorema 4 dan Teorema 5.
Teorema 4. Diberikan komplemen graf roda (๐๐ ) dan graf bintang ๐๐. Jika ๐ = 2๐ + 1
dan ๐ โ โ maka ๐ด(๐๐ )๐ด(๐๐)(๐๐๐ 2) grafikal.
Bukti. Diberikan ๐๐ merupakan graf roda dan ๐๐ komplemen dari ๐๐. Seperti pada
bukti Teorema 2 (a), ๐ด(๐๐) = (๐โฒ๐๐) dan graf bintang ๐๐ (dapat dipandang sebagai
subgraf ๐๐), dengan ๐ด(๐๐) = (๐ ๐๐) dengan ๐ 1๐ = ๐ ๐1 = 1, 2 โค ๐, ๐ โค ๐ + 1 dan ๐ ๐๐ = 0
untuk ๐, ๐ lainnya. Berdasarkan ๐โฒ๐๐ dan ๐ ๐๐ diperoleh ๐ด(๐๐)๐ด(๐๐)(๐๐๐ 2) = (๐๐๐). Oleh
karena ๐3 merupakan graf null, ๐ด(๐3)๐ด(๐3)(๐๐๐ 2)merupakan matriks null (grafikal).
Sedangkan untuk ๐ โฅ 4, entri-entri ๐๐๐ adalah ๐๐1 = ๐๐๐๐๐๐ฃ๐ , untuk 2 โค ๐ โค ๐ + 1, ๐ =
๐ โ 1 dan ๐๐๐ = 0 untuk ๐, ๐ lainnya. Oleh karena ๐i1 = ๐๐๐๐๐๐ฃ๐, maka agar
๐ด(๐๐)๐ด(๐๐)(๐๐๐ 2) grafikal haruslah ๐๐๐๐๐๐ฃ๐ โก 0 (๐๐๐ 2), yang dipenuhi ketika ๐ =
2๐ + 1, ๐ โ โ. โ
Contoh 4. Diberikan graf ๐3ฬ ฬ ฬ ฬ dan graf ๐3 seperti pada Gambar 8.
(a)
(b)
Gambar 8. (a) graf ๐3ฬ ฬ ฬ ฬ dan (b) Graf ๐3
Dari Gambar 8, dapat diperoleh matriks ketetanggaan ๐ด(๐3ฬ ฬ ฬ ฬ ) dan ๐ด(๐3) sehingga
๐ด(๐น) = ๐ด(๐3ฬ ฬ ฬ ฬ )๐ด(๐3)(๐๐๐ 2) sebagai berikut.
๐ด(๐น) = [
0 00 0
0 00 0
0 00 0
0 00 0
]
Hasil Kali Matriks (Mod 2) pada Graf Roda, Graf Pertemanan dan Graf Bunga
JJoM | Jambura J. Math. 175 Volume 3 | Issue 2 | July 2021
Berdasarkan ๐ด(๐น) dapat diketahui bahwa ๐ด(๐3ฬ ฬ ฬ ฬ )๐ด(๐3)(๐๐๐ 2) yang grafikal. Oleh
karena itu, terdapat realisasi untuk ๐ด(๐3ฬ ฬ ฬ ฬ )๐ด(๐บ)(๐๐๐ 2) sebagai berikut.
Gambar 9. Graf ๐น
Teorema. 5 Jika ๐บ0 adalah subgraf dari ๐๐ dengan ๐๐๐๐บ0๐ฃ0 = 0, ๐๐๐๐บ0
๐ฃ๐ =
๐๐๐๐๐๐ฃ๐ , untuk 1 โค ๐ โค ๐, maka ๐ด(๐๐)๐ด(๐บ0)(๐๐๐ 2) grafikal.
Bukti. Diberikan ๐๐ merupakan graf roda dan ๐๐ komplemen dari ๐๐. Seperti pada
bukti Teorema 2 (a), ๐ด(๐๐) = (๐โฒ๐๐) dan graf ๐บ0 dengan ๐ด(๐บ0) = (๐๐๐) seperti pada
Teorema 3. Oleh karena itu diperoleh entri-entri pada ๐ด(๐๐)๐ด(๐บ0)(๐๐๐ 2) sama
dengan entri-entri pada ๐ด(๐๐)๐ด(๐๐)(๐๐๐ 2) (kecuali pada kolom pertama
untuk ๐ genap). Selanjutnya, berdasarkan Teorema 2, untuk ๐ ganjil,
๐ด(๐๐)๐ด(๐๐)(๐๐๐ 2) grafikal, yang berarti ๐ด(๐๐)๐ด(๐๐)(๐๐๐ 2) grafikal. Oleh
karena ๐โฒ๐1 = ๐โฒ1๐ = ๐๐1 = ๐1๐ = 0, 1 โค ๐, ๐ โค ๐ + 1, berakibat semua entri pada
kolom pertama dan baris pertama dari ๐ด(๐๐)๐ด(๐บ0)(๐๐๐ 2) adalah nol. Jadi,
untuk ๐genap, ๐ด(๐๐)๐ด(๐บ0)(๐๐๐ 2) grafikal. Oleh karena itu,
๐ด(๐๐)๐ด(๐บ0)(๐๐๐ 2) grafikal untuk semua ๐ โฅ 3. โ
Contoh 5. Diberikan graf ๐4 dam graf ๐บ0 seperti pada Gambar 10.
(a)
(b)
Gambar 10. (a) Graf ๐4dan (b) Graf ๐บ0
Dari Gambar 10, diperoleh matriks ketetanggaan ๐ด(๐4) dan ๐ด(๐บ0) sehingga ๐ด(ฮจ) =
๐ด(๐4)๐ด(๐บ0)(๐๐๐ 2) adalah,
๐ด(ฮจ) =
[ 0 0 00 0 1
0 00 1
0 1 00 0 10 1 0
1 00 11 0]
Berdasarkan ๐ด(๐น), ๐ด(๐4)๐ด(๐บ)(๐๐๐ 2) grafikal. Oleh karena itu terdapat realisasi ๐น
untuk ๐ด(๐4)๐ด(๐บ)(๐๐๐ 2) seperti pada Gambar 11.
F. Fran, et.al.
JJoM | Jambura J. Math. 176 Volume 3 | Issue 2 | July 2021
Gambar 11. Graf ฮจ
Pada pembahasan selanjutnya, diberikan salah satu karakteristik hasil kali matriks
(๐๐๐ 2) yang grafikal dan dinyatakan pada Teorema 6. Selain itu, dibahas pula sifat-
sifat hasil kali matriks(๐๐๐ 2) yang grafikal pada graf pertemanan (๐น๐) dan graf bunga
(๐น๐๐).
Teorema 6. Misalkan ๐บ graf sederhana dengan ๐(๐บ) = {๐ฃ0, ๐ฃ1, ๐ฃ2, โฆ , ๐ฃ๐}. Hasil kali
๐ด(๐บ)๐ด(๐บ)(๐๐๐ 2) grafikal jika dan hanya jika ๐๐๐๐บ๐ฃ๐ โก 0 (๐๐๐ 2), 0 โค ๐ โค ๐.
Bukti. Misalkan untuk graf sederhana ๐บ dengan ๐(๐บ) = {๐ฃ0, ๐ฃ1, ๐ฃ2, โฆ , ๐ฃ๐},
๐ด(๐บ)๐ด(๐บ)(๐๐๐ 2) grafikal. Artinya, jika ๐ด(๐บ)๐ด(๐บ)(๐๐๐ 2) = (๐๐๐), 1 โค ๐, ๐ โค ๐ + 1,
nilai ๐๐๐ โก 0 (๐๐๐ 2). Disisi lain, ๐๐๐ = ๐๐๐๐บ๐ฃ๐, ๐ = ๐ โ 1. Oleh karena itu, ๐๐๐๐บ๐ฃ๐ โก
0 (๐๐๐ 2), 0 โค ๐ โค ๐. Sebaliknya, karena ๐ด(๐บ) matriks simetris, maka
๐ด(๐บ)๐ด(๐บ)(๐๐๐ 2) matriks simetris (0,1). Akibatnya, jika ๐๐๐๐บ๐ฃ๐ โก 0 (๐๐๐ 2), 0 โค ๐ โค ๐
maka ๐๐๐ โก 0 (๐๐๐ 2) yang berarti ๐ด(๐บ)๐ด(๐บ)(๐๐๐ 2) grafikal.
Teorema 7. Misalkan ๐น๐ merupakan graf pertemanan dengan 2๐ + 1 simpul dan ๐บ1
adalah subgraf dari ๐น๐dengan ๐๐๐๐บ1๐ฃ0 = 0, ๐๐๐๐บ1
๐ฃ๐ = ๐๐๐๐น๐๐ฃ๐ , untuk 1 โค ๐ โค 2๐.
a. ๐ด(๐น๐)๐ด(๐น๐)(๐๐๐ 2) grafikal.
b. ๐ด(๐น๐)๐ด(๐น๐)(๐๐๐ 2) grafikal.
c. ๐ด(๐น๐)๐ด(๐2๐)(๐๐๐ 2) grafikal
d. ๐ด(๐น๐)๐ด(๐บ1)(๐๐๐ 2) grafikal
Bukti:
a. Berdasarkan definisi graf pertemanan ๐น๐ dengan ๐(๐น๐) = {๐ฃ0, ๐ฃ1, ๐ฃ2, โฆ , ๐ฃ2๐},
diperoleh ๐๐๐๐น๐๐ฃ0 = 2๐ dan ๐๐๐๐น๐
๐ฃ๐ = 2, 1 โค ๐ โค 2๐, yang berarti simpul-simpul
pada ๐น๐ mempunyai derajat genap. Akibatnya, berdasarkan Teorema 6,
๐ด(๐น๐)๐ด(๐น๐)(๐๐๐ 2) grafikal.
b. Berdasarkan bukti pada Teorema 7 (a), simpul-simpul pada ๐น๐ mempunyai derajat
genap. Dengan demikian, untuk setiap ๐ dan ๐, 0 โค ๐, ๐ โค 2๐, ๐๐๐๐น๐๐ฃ๐ โ ๐๐๐๐น๐
๐ฃ๐ โก
0 (๐๐๐ 2). Akibatnya, menurut Teorema 1, ๐ด(๐น๐)๐ด(๐น๐)(๐๐๐ 2) grafikal.
c. Diberikan graf pertemanan ๐น๐ dengan ๐น๐ merupakan komplemennya, serta graf
bintang ๐2๐. Berdasarkan ๐น๐ diperoleh ๐ด(๐น๐) = (โ๐๐) dengan โ1๐ = โ๐1 = 0 untuk
1 โค ๐, ๐ โค 2๐ + 1 dan graf bintang ๐2๐ dengan ๐ด(๐2๐) = (๐ ๐๐) seperti pada Teorema
5 untuk 1 โค ๐, ๐ โค 2๐ + 1. Berdasarkan โ๐๐ dan ๐ ๐๐ diperoleh ๐ด(๐น๐)๐ด(๐2๐)(๐๐๐ 2) =
Hasil Kali Matriks (Mod 2) pada Graf Roda, Graf Pertemanan dan Graf Bunga
JJoM | Jambura J. Math. 177 Volume 3 | Issue 2 | July 2021
(๐๐๐). Akibatnya, entri-entri ๐๐๐ adalah ๐๐1 = ๐๐๐๐น๐๐ฃ๐, untuk 2 โค ๐ โค 2๐ + 1, ๐ =
๐ โ 1 dan ๐๐๐ = 0 untuk ๐, ๐ lainnya. Oleh karena ๐๐๐๐น๐๐ฃ๐ โก 0 (๐๐๐ 2), maka
๐ด(๐น๐)๐ด(๐2๐)(๐๐๐ 2) grafikal.
d. Diberikan graf bunga ๐น๐ dengan ๐น๐ merupakan komplemennya, serta graf ๐บ1.
Berdasarkan Teorema 7 (b) dan karena ๐บ1 subgraf ๐น๐dengan ๐๐๐๐บ1๐ฃ0 =
0, ๐๐๐๐บ1๐ฃ๐ = ๐๐๐๐น๐
๐ฃ๐, untuk 1 โค ๐ โค 2๐,akibatnya, entri ๐ด(๐บ1) = (๐๐๐) adalah ๐1๐ =
๐๐1 = 0, 1 โค ๐, ๐ โค 2๐ + 1 dan entri lainnya sama dengan entri matriks ๐ด(๐น๐๐). Oleh
karena itu diperoleh entri-entri pada ๐ด(๐น๐)๐ด(๐บ1)(๐๐๐ 2) sama dengan entri-entri
pada ๐ด(๐น๐)๐ด(๐น๐)(๐๐๐ 2) dengan ๐ด(๐น๐)๐ด(๐น๐)(๐๐๐ 2) grafikal. Jadi,
๐ด(๐น๐)๐ด(๐บ1)(๐๐๐ 2) grafikal. โ
Teorema 8 Misalkan ๐น๐๐ merupakan graf bunga dengan 2๐ + 1 simpul dan ๐บ2 adalah
subgraf ๐น๐๐ dengan ๐๐๐๐บ2๐ฃ0 = 0, ๐๐๐๐บ2
๐ฃ๐ = ๐๐๐๐น๐๐๐ฃ๐ , untuk 1 โค ๐ โค 2๐.
a. ๐ด(๐น๐๐)๐ด(๐น๐๐)(๐๐๐ 2) grafikal.
b. ๐ด(๐น๐๐)๐ด(๐น๐๐)(๐๐๐ 2) grafikal.
c. ๐ด(๐น๐๐)๐ด(๐2๐)(๐๐๐ 2) grafikal
d. ๐ด(๐น๐๐)๐ด(๐บ2)(๐๐๐ 2) grafikal
Bukti:
a. Berdasarkan definisi graf bunga ๐น๐๐ dengan ๐(๐น๐๐) = {๐ฃ0, ๐ฃ1, ๐ฃ2, โฆ , ๐ฃ2๐}, diperoleh
๐๐๐๐น๐๐๐ฃ0 = 2๐, ๐๐๐๐น๐๐๐ฃ๐ = 4, ๐ ganjildan ๐๐๐๐น๐๐๐ฃ๐ = 2, ๐ genap, ๐ โ 0, yang berarti
simpul-simpul pada ๐น๐๐ mempunyai derajat genap. Akibatnya, berdasarkan
Teorema 6, ๐ด(๐น๐๐)๐ด(๐น๐๐)(๐๐๐ 2) grafikal.
b. Berdasarkan bukti pada Teorema 8 (a), simpul-simpul pada ๐น๐๐ mempunyai
derajat genap. Dengan demikian, untuk setiap ๐ dan ๐, 0 โค ๐, ๐ โค 2๐, ๐๐๐๐น๐๐๐ฃ๐ โ
๐๐๐๐น๐๐๐ฃ๐ โก 0 (๐๐๐ 2). Akibatnya, menurut Teorema 1, ๐ด(๐น๐๐)๐ด(๐น๐๐)(๐๐๐ 2)
grafikal.
c. Diberikan graf bunga ๐น๐๐ dengan ๐น๐๐ merupakan komplemennya, serta graf
bintang ๐2๐. Berdasarkan ๐น๐๐ diperoleh, ๐ด(๐น๐๐) = (โโฒ๐๐) dengan โโฒ1๐ = โโฒ๐1 = 0, 1 โค
๐, ๐ โค 2๐ + 1 dan graf bintang ๐2๐ dengan ๐ด(๐2๐) = (๐ ๐๐) seperti pada Teorema 5
untuk 1 โค ๐, ๐ โค 2๐ + 1. Berdasarkan โโฒ๐๐ dan ๐ ๐๐ diperoleh ๐ด(๐น๐๐)๐ด(๐2๐)(๐๐๐ 2) =
(๐๐๐). Akibatnya, entri-entri ๐๐๐ adalah ๐๐1 = ๐๐๐๐น๐๐๐ฃ๐, untuk 2 โค ๐ โค 2๐ + 1, ๐ =
๐ โ 1 dan ๐๐๐ = 0 untuk ๐, ๐ lainnya. Oleh karena ๐๐๐๐น๐๐๐ฃ๐ โก 0 (๐๐๐ 2), maka
๐ด(๐น๐๐)๐ด(๐2๐)(๐๐๐ 2) grafikal.
d. Diberikan graf bunga ๐น๐๐ dengan ๐น๐๐ merupakan komplemennya, serta graf ๐บ2.
Berdasarkan Teorema 8 (b) dan karena ๐บ2 subgraf ๐น๐๐ dengan ๐๐๐๐บ2๐ฃ0 =
0, ๐๐๐๐บ2๐ฃ๐ = ๐๐๐๐น๐๐๐ฃ๐ , untuk 1 โค ๐ โค 2๐. Akibatnya, entri ๐ด(๐บ2) = (๐โฒ๐๐) adalah
๐โฒ1๐ = ๐โฒ๐1 = 0, 1 โค ๐, ๐ โค 2๐ + 1 dan entri lainnya sama dengan entri matriks
๐ด(๐น๐๐). Oleh karena itu diperoleh entri-entri pada ๐ด(๐น๐๐)๐ด(๐บ2)(๐๐๐ 2) sama
F. Fran, et.al.
JJoM | Jambura J. Math. 178 Volume 3 | Issue 2 | July 2021
dengan entri-entri pada ๐ด(๐น๐๐)๐ด(๐น๐๐)(๐๐๐ 2) dengan ๐ด(๐น๐๐)๐ด(๐น๐๐)(๐๐๐ 2)
grafikal. Jadi, ๐ด(๐น๐๐)๐ด(๐บ2)(๐๐๐ 2) grafikal.
4. Kesimpulan
Hasil kali matriks (mod 2) pada graf roda, graf pertemanan dan graf bunga yang dibahas pada artikel ini dikaitkan dengan subgraf dan komplemen masing-masing graf
tersebut. Berdasarkan hasil penelitian diperoleh ๐ด(๐๐)๐ด(๐๐)(๐๐๐ 2) dan
๐ด(๐๐)๐ด(๐๐)(๐๐๐ 2) grafikal apabila ๐ = 2๐ + 1, ๐ โ โ, dengan ๐๐ merupakan
komplemen graf roda. Selanjutnya diperoleh ๐ด(๐๐)๐ด(๐บ0)(๐๐๐ 2) dan
๐ด(๐๐)๐ด(๐บ0)(๐๐๐ 2) grafikal untuk ๐ โฅ 3 dengan graf ๐บ0 adalah subgraf dari ๐๐
dengan ๐๐๐๐บ0๐ฃ0 = 0, ๐๐๐๐บ0
๐ฃ๐ = ๐๐๐๐๐๐ฃ๐, untuk 1 โค ๐ โค ๐. Selain itu, untuk graf
sederhan ๐บ, ๐ด(๐บ)๐ด(๐บ)(๐๐๐ 2) grafikal jika dan hanya jika simpul-simpulnya ๐บ mempunyai derajat genap. Hasil kali matriks (mod 2) yang grafikal juga diperoleh untuk graf pertemanan dan graf bunga dengan komplemen dan subgrafnya masing- masing yang berlaku untuk ๐ โฅ 3.
Berdasarkan hasil observasi untuk beberapa graf dengan simpul-simpulnya ada yang memiliki derajat ganjil dan ada yang genap, kemungkinan untuk hasil kali matriks (mod 2) adalah tidak grafikal. Namun demikian diperlukan penelitian lebih lanjut terkait hal ini. Selain itu, untuk penelitian tentang karakteristik-karakteristik graf sehingga diperoleh hasil kali matriks (mod 2) yang grafikal masih sangat terbuka. Misalnya, terkait sifat-sifat matriks, graf-graf dengan graf pembangun yang sama, graf pohon dan lain-lain. Referensi
[1] H.S. Mehta and U.P. Acharya, โAdjacency Matrix of Product Graphsโ, in International Conference on Research and Inventions in Science, Engineering & Technology. vol. 7, 2017, pp. 158-165.
[2] K.M. Prasad, M. Sudhakara, H.S. Sujatha, and M. Vinay. "Matrix Product of Graphs", in Combinatorial Matrix Theory and Generalized Inverses of Matrices, R. B. Bapat, S. J. Kirkland, K. M. Prasad, and S. Puntanen, Eds. India: Springer India, 2013, pp. 41-56, 2013.
[3] K.M. Prasad, M. Sudhakara, H.S. Sujatha, and K.V. Soumnya, โMatrix Product (Modulo 2) of Graphsโ, Indian J. Pure Appl. Math., vol. 45, no. 6, pp. 851โ860, Dec. 2014, doi: 10.1007/s13226-014-0093-4.
[4] B. S. John and S. Jency, โMatrix Product (Modulo-2) Of Cycle Graphsโ, International Journal of Mathematics and Statistics Invention, vol. 4, no. 7, pp. 8-13, sept. 2016.
[5] B. S. John and S. Jency, โMatrix Product (Modulo-2) Of Petersen Graphsโ, International Journal of Mathematics Archive, vol. 7, No. 8, pp. 139-143, 2016.
[6] K. A. Bhat, K. M. Prasad, and G. Sudhakara, โSome Matrix Equestions of Graphโ, Advances and Applications in Discrete Mathematics, vol. 17. No. 1, pp. 29-48, 2018.
[7] K. A. Bhat and G. Sudhakara, โCommuting Graph and Their Generalized Complementsโ, Malaysian Journal of Mathematical Science, vol. 12, No.1, pp. 63-84,
Hasil Kali Matriks (Mod 2) pada Graf Roda, Graf Pertemanan dan Graf Bunga
JJoM | Jambura J. Math. 179 Volume 3 | Issue 2 | July 2021
2018.
[8] K. A. Bhat and G. Sudhakara, โCommuting and Decomposition of Kn1,n2,โฏ,nk
through Realization of The Product A(G)A(Gkp)โ, Special Issue on Linear Algebra
and Its Applications (ICLAA2017), Spec. Matrices; vol. 6, pp. 343-356, 2018.
[9] N. I. Saputri, M. Kiftiah, and F. Fran, โPerkalian Matriks pada Graf Rodaโ, Buletin Ilmiah Mat.Stat dan Terapannya (Bimaster), vol. 9, No. 2, pp. 337-342, 2020.
[10] R. Munir, Matematika Diskrit, Ed ke-3, Bandung: Informatika, 2010.
[11] H. Y. Harsya, I. H. Agustin, and D. Dafik, โPewarnaan Titik pada Operasi Graf Sikel dengan Graf Lintasanโ, in Prosiding Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, vol. 1, 2014, pp. 11-18.
[12] N. Rahmawati and B. Rahajeng, โDekomposisi Graf Sikel, Graf Roda, Graf Gir dan Graf Persahabatanโ, MATHunesa, vol. 3, np. 3, pp. 64-71, 2014.
[13] G. B. Mertzios and W. Unger, โThe Friendship Problem on Graphsโ, in 1st International Conference on Relations, Orders and Graphs : Interaction with Computer Science (ROGICS), 2008, pp. 152-158.
[14] W. Abidin and Masni, โPewarnaan Sisi pada Graf yang Berhubungan dengan Sikelโ, Jurnal MSA, vol. 2 No. 1, pp. 69-75, 2014.
This article is an open-access article distributed under the terms and conditions of the Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License. Editorial of JJoM: Department of Mathematics, Universitas Negeri Gorontalo, Jln. Prof. Dr. Ing. B.J. Habibie, Moutong, Tilongkabila, Kabupaten Bone Bolango, Provinsi Gorontalo 96119, Indonesia.