8/6/2019 Harmaonic Oscillator Higher Order SMC

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P r o c e e d i n g s o f t h e TuC1 4 . 64 4 t h I E E E C o n f e r e n c e o n D e c i s i o n a n d C o n t r o l , a n dt h e E u r o p e a n C o n t r o l C o n f e r e n c e 2 0 0 5S e v i l l e , S p a i n , December 1 2 - 1 5 , 2 0 0 5I n t e g r a l a n d S e c o n d O r d e r S l i d i n g Mode C o n t r o l o f H a r m o n i cO s c i l l a t o r

P a r i s a K a v e h , A s h k a n A s h r a f i a n d Y u r i S h t e s s e l , S e n i o r Member I E E E , AIAAA b s t r a c t - A t y p i c a l s e c o n d o r d e r H a r m o n i c O s c i l l a t o r i sc o n t r o l l e d u s i n g b o t h t r a d i t i o n a l a n d h i g h e r o r d e r S l i d i n gMode C o n t r o l ( S M C ) . I n t e g r a l s l i d i n g mode c o n t r o l i s u s e d t oc o m p e n s a t e f o r t h e b o u n d e d d i s t u r b a n c e s i m p r o v i n g t h er o b u s t n e s s o f t h e c o n t ro l l e d H a r m o n i c O s c i l l a t o r . Thea d v a n t a g e s o f t h e h i g h e r o r d e r SMC o v e r t h e t r a d i t i o n a l o n ei . e . , c o n t r o l c o n t i n u i t y a n d i m p r o v e d a c c u r a c y a r e s h o w n . Ac o m p u t e r s i m u l a t i o n i s p e r f o r m e d t o m a n i f e s t t h e t h e o r e t i c a la n a l y s i s .

I . INTRODUCTIONJ x c e p t f o r d i r e c t d i g i t a l f r e q u e n c y s y n t h e s i z e r s ( D D F S ) ,w h i c h g e n e r a t e s i n u s o i d a l w a v e f o r m b y u s i n g a n o p e n -l o o p d i g i t a l s y s t e m a s a s t a i r c a s e s i g n a l [ 1 ] , t h e o t h e r t y p e so f w a v e f o r m g e n e r a t o r s a r e b a s e d o n a f e e d b a c k s y s t e mh a v i n g t w o c o m p l e x - c o n j u g a t e p o l e s o n t h e i m a g i n a r y a x i s .T h i s k i n d o f s i n e w a v e g e n e r a t o r i s c a l l e d h a r m o n i co s c i l l a t o r . H a r m o n i c o s c i l l a t o r s a r e u s e d i n d i f f e r e n ta p p l i c a t i o n s , e s p e c i a l l y i n c o m m u n i c at i o n a n d s i g n a lp r o c e s s i n g .T h e m a i n p r o b l e m i n a h a r m o n i c o s c i l l a t o r i s a m p l i t u d es t a b i l i t y , w h i c h i s p r o v i d e d b y a n o n l i n e a r s y s t e m l i k ea u t o m a t i c g a i n c o n t r o l ( A G C ) [ 2 ] . T h e m a j o r d r a w b a c k o f ah a r m o n i c o s c i l l a t o r w i t h A GC i s d i s t o r t i o n a p p e a r i n g i n t h eo u t p u t w a v e f o r m d u e t o n o n - l i n e a r i t y i m p o s e d b y AGC.S e v e r a l a t t e m p t s h a v e b e e n m a d e t o o v e r c o m e t h i s p r o b l e m ,e s p e c i a l l y i n e l e c t r o n i c s , y e t g e n e r a t i n g a v e r y a c c u r a t e s i n ewave w i t h a s t a b i l i z e d f r e q u e n c y b y a h a r m o n i c o s c i l l a t o r i sn o t a n e a s y t a s k .A n o t h e r m e t h o d t o c o n t r o l t h e a m p l i t u d e a n d t h ef r e q u e n c y o f a h a r m o n i c o s c i l l a t o r i s s l i d i n g m o d e c o n t r o l[ 3 ] , [ 4 ] . T h i s m e t h o d i s c o n s i d e r e d b y s e v e r a l a u t h o r s , f o ri n s t a n c e i n [ 5 ] , [ 6 ] , b u t n o n e o f t h e m h a s d i s c u s s e da p p l i c a t i o n o f i n t e g r a l a n d h i g h ( s e c o n d ) o r d e r s l i d i n g m o d ec o n t r o l . I n [ 5 ] t r a d i t i o n a l s l i d i n g m o d e c o n t r o l a n ds y n c h r o n i z a t i o n o f h a r m o n i c o s c i l l a t o r s i s c o n s i d e r e d i n t h ep o l a r c o o r d i n a t e s t h a t may y i e l d i m p l e m e n t a t i o n p r o b l e m s .I n [ 6 ] t h e Van d e r P o l o s c i l l a t o r i s c o n t r o l l e d i n t r a d i t i o n a l

s l i d i n g m o d e s .P a r i s a K a v e h i s w i t h t h e E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g D e p a r t m e n t , t h eU n i v e r s i t y o f A l a b a m a i n H u n t s v i l l e , H u n t s v i l l e , A L 3 5 8 9 9 U SA ( e - m a i l :p a r i s a g i e e e . o r g ) .A s h k a n A s h r a f i i s w i t h t h e E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g D e p a r t m e n t , t h eU n i v e r s i t y o f A l a b a m a i n H u n t s v i l l e , H u n t s v i l l e A L , 3 5 8 9 9 U SA ( e - m a i l :a s h k a n g i e e e . o r g ) .Y u r i S h t e s s e l i s w i t h t h e E l e c t r i c a l E n g i n e e r i n g D e p a r t m e n t , U n i v e r s i t yo f A l a b a m a i n H u n t s v i l l e , H u n t s v i l l e , A L 3 5 8 9 9 U S A , ( e - m a i l :s h t e s s e l @ e c e . u a h . e d u , t e l . : ( 2 5 6 ) 8 2 4 - 6 1 6 4 , f a x : ( 2 5 6 ) 8 2 4 - 6 8 0 3 ) ,c o r r e s p o n d i n g a u t h o r

I n t h i s p a p e r r o b u s t n e s s o f s l i d i n g m o d e h a r m o n i co s c i l l a t o r s i s s t u d i e d u s i n g t r a d i t i o n a l [ 3 ] , [ 4 ] , i n c l u d i n gi n t e g r a l , a n d h i g h e r o r d e r s l i d i n g m o d e (HOSM) c o n t r o l [ 7 ] -[ 9 ] . A c h i e v i n g h i g h e r a c c u r a c y i n s l i d i n g s u r f a c es t a b i l i z a t i o n a n d p o s s i b i l i t y o f g e n e r a t i n g c o n t i n u o u s c o n t r o la r e t h e a d v a n t a g e s o f e m p l o y i n g HOSM t o d e s i g n h a r m o n i co s c i l l a t o r s . B o t h a d v a n t a g e s o f HOSM s i g n i f i c a n t l y i m p r o v et h e h a r m o n i c o s c i l l a t o r p e r f o r m a n c e t h a t i s e x t r e m e l yi m p o r t a n t i n a p p l i c a t i o n s . T o c o n t r o l t h e h a r m o n i c o s c i l l a t o r ,t r a d i t i o n a l , i n c l u d i n g i n t e g r a l [ 3 ] , [ 4 ] a n d " s u p e r - t w i s t "( s e c o n d o r d e r ) s l i d i n g m o d e c o n t r o l ( S O S M ) [ 7 ] , [ 8 ] a r es t u d i e d , a n d t h e e f f e c t o f a b o u n d e d d i s t u r b a n c e i si n v e s t i g a t e d a n a l y t i c a l l y a n d v i a c o m p u t e r s i m u l a t i o n s .T h e p a p e r i s o r g a n i z e d a s f o l l o w s : S e c t i o n I I g i v e s t h ep r o b l e m f o r m u l a t i o n . I n S e c t i o n I I I h a r m o n i c o s c i l l a t o rc o n t r o l l e d i n t r a d i t i o n a l s l i d i n g m o d e s , i n c l u d i n g i n t e g r a ls l i d i n g m o d e c o n t r o l . I n S e c t i o n I V t h e h a r m o n i c o s c i l l a t o rc o n t r o l l e d i n s e c o n d o r d e r s l i d i n g m o d e ( s u p e r - t w i s ta l g o r i t h m ) i n c o mb i na t i on w it h i n t e g r a l s l i d i n g m o d e c o n t r o li s s t u d i e d . I m p l e m e n t a t i o n i s s u e s a r e d i s c u s s e d i n S e c t i o n V .A n u m e r i c a l e x a m p l e i s c o n s i d e r e d i n S e c t i o n V I .C o n c l u s i o n s a r e s u m m a r i z e d i n S e c t i o n V I I .

I I . PROBLEM F O R M U L A T I O NA b a s i c h a r m o n i c o s c i l l a t o r h a s t h e f o l l o w i n g d y n a m i c a ls y s t e m d e s c r i p t i o n [ 2 ]

X ? 2 2X 2 = - 0 0 o x XX 1 ( 0 ) = X I O , X 2 ( 0 ) = X 2 0

( 1 )T h i s r e s u l t s i n a h a r m o n i c s o l u t i o n :

X 1 ( t ) = c o s ( w ) 0 t + 0 0 )w ) oX 2 ( t ) = - a o s i n ( w 0 t + 0 0 ) ( 2 )

w h e r e a o =xiO + x 2 2 0 a n d 0 0 = a r c t a n { - j> I JC l e a r l y , t h e a m p l i t u d e o f t h e h a r m o n i c s o l u t i o n o f ( 1 )d e p e n d s o n t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s . T h e f r e q u e n c y o fo s c i l l a t i o n wo a l s o d e p e n d s o n t h e i m p l e m e n t a t i o n a c c u r a c yo f t h e p l a n t ( 1 ) .T o s t u d y t h e o s c i l l a t i o n s i n a p e r t u r b e d p l a n t w i t h g i v e na m p l i t u d e a n d f r e q u e n c y t h e f o l l o w i n g s y s t e m c a n b ec o n s i d e r e d

0 - 7 8 0 3 - 9 5 6 8 - 9 / 0 5 / $ 2 0 . 0 0 2 0 0 5 I E E E 3 9 4 1

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2/6

X= X 2 + f ( t ) + u lX 2 +2 X I + V f ( t ) + U 2 ( 3 )X 1 ( 0 ) = X I O , X2 ( 0 ) = X 2 0

w h e r e f ( t ) a n d y f ( t ) a r e c o n t i n u o u s d i s t u r b a n c e s t o t h es y s t e m , u l a n d u 2 a r e c o n t r o l f u n c t i o n s a n d C o i s a nu n c e r t a i n t y , w h i c h a r e d u e t o i m p e r f e c t i m p l e m e n t a t i o n o ft h e i d e a l p l a n t ( 1 ) . L e t f ( t ) a n d( P j t = y ( t ) - ( 2 C o o + 0 ? ) 1 b e b o u n d e d

I f ( t ) < L 1 , | ( ( x 1 , t ) < L 2 + L 3 j x 1 ( 4 )A p p a r e n t l y , i f x 1 a n d x 2 a r e p h a s e v a r i a b l e s i n ( 3 ) t h e ns t a b i l i z i n g e q u a t i o n

c o 0 2 x + x 2 _R =0 ( 5 )y i e l d s a d e s i r e d h a r m o n i c s o l u t i o nx 1 ( t ) =R c s ( A ) t + 0 0 , X 2 ( t ) = -R s i n c o t + 0 ( 5 a )c o ot h a t i s r o b u s t t o t h e p e r t u r b a t i o n s i n h a r m o n i c o s c i l l a t o rm o d e l ( 3 ) , ( 4 ) . T h e e q u a t i o n ( 5 ) , w h i c h i s t r e a t e d f u r t h e r a s as l i d i n g s u r f a c e , c a n b e e a s i l y s t a b i l i z e d b y c o n t r o l u 2 . Ac r u c i a l p o i n t i n s t a b i l i z i n g t h e d e s i r e d h a r m o n i c s o l u t i o n( 5 a ) i s c o m p e n s a t i o n o f t h e d i s t u r b a n c e f ( t ) , w h i c h i su n m a t c h e d t o c o n t r o l u 2 , a n d , t h e r e f o r e , m u s t b ec o m p e n s a t e d b y m e a n s o f c o n t r o l u 1 . T h e r e f o r e , c o n t r o l u 1m u s t b e d e s i g n e d p r e s e r v i n g t h e s y s t e m ( 3 ) d y n a m i c s a f t e rc o m p e n s a t i o n o f f ( t ) .

S o , i n t h i s w o r k t h e r o b u s t s t a b i l i z a t i o n o f h a r m o n i co s c i l l a t i o n s i n t h e p e r t u r b e d p l a n t ( 3 ) i s a d d r e s s e d v i a t h ec o n t r o l f u n c t i o n s u 1 a n d u 2 d e s i g n s u c h t h a t* t h e d i s t u r b a n c e f ( t ) i s c o m p e n s a t e d i n a f i n i t e t i m e* t h e s t a t e s o f t h e s y s t e m ( 3 ) s a t i s f y e q . ( 5 )i n p r e s e n c e o f b o u n d e d d i s t u r b a n c e s f ( t ) a n d p ( x 1 , t ) .

I I I . HARMONIC OSCILLATOR CONTROLLED BY TRADIT I ONALSM CA . . I n t e g r a l s l i d i n g m o d e c o n t r o l u l d e s i g nT h e i n t e g r a l s l i d i n g m o d e [ 3 ] i s a b l e t o c o m p e n s a t ei m p l i c i t l y f o r t h e m a t c h e d b o u n d e d d i s t u r b a n c e s i n a f i n i t et i m e o r e v e n w it h o ut a n y t i m e d e l a y p r e s e r v i n g t h e r e s t o ft h e s y s t e m d y n a m i c s . T h e r e f o r e , u s i n g t h i s c o n c e p t f o r

c o m p e n s a t i n g t h e b o u n d e d d i s t u r b a n c e f ( t ) v i a c o n t r o l u 1t h e f o l l o w i n g i n t e g r a l s l i d i n g v a r i a b l e [ 3 ] i s i n t r o d u c e dtU i = x i - f x 2 d T ( 6 )

T h e a 1 - d y n a m i c s i s d e r i v e d b a s e d o n ( 3 ) a n d ( 6 )

& I = f ( t ) + u ( 7 )T h e i n t e g r a l s l i d i n g v a r i a b l e a 1 i s s t a b i l i z e d a t z e r o i n af i n i t e t i m e v i a t r a d i t i o n a l s l i d i n g m o d e c o n t r o l [ 3 ] , [ 4 ]

u 1 = - ( p + L I ) s i g n c a , , p > 0 ( 8 )E q u i v a l e n t c o n t r o l t h a t r u n s s y s t e m ( 3 ) i n t h e s l i d i n g m o d ea , = 0 i s c o m p u t e d a s f o l l o w s :U e q = -f ( t ) ( 9 )a n d s y s t e m ( 3 ) i n t h e s l i d i n g m o d e a 1 = 0 b e c o m e s

2X 2 = - 0 ) 0 X I + ( O ( X I I t ) + U 2 ( 1 0 )R e m a r k 1 . I f t h e i n i t i a l v a l u e x 1 ( 0 ) i s k n o w n t h e n t h e i n i t i a l

tv a l u e o f f x 2 d z c a n b e e q u a t e d t o - x 1 ( 0 ) t h a t y i e l d s

0

a 1 ( 0 ) = 0 , a n d t h e s l i d i n g m o d e ( 1 0 ) s t a r t s w i t h o u t r e a c h i n gp h a s e . O t h e r w i s e t h e s l i d i n g m o d e s t a r t s i n a f i n i t e t i m eI C , ( 0 )pB . S l i d i n g m o d e c o n t r o l U 2 d e s i g nI n o r d e r t o m a k e e q . ( 5 ) i d e n t i t y w e i n t r o d u c e a s i d i n gv a r i a b l e

f=02X2 +X2 _2 ( 1 1 )U 2 )X + X2 -Rt h a t m u s t b e s t a b i l i z e d a t z e r o i n a f i n i t e t i m e b y m e a n s o f ac o n t r o l f u n c t i o n u 2 o n t h e t r a j e c t o r y g i v e n b y ( 1 0 ) .T h e d y n a m i c s o f t h e s l i d i n g q u a n t i t y U 2 i s d e r i v e d b a s e do n ( 5 ) a n d ( 1 0 )& 2 ( X ) = 2 0 X I X 2 + 2 X 2 0 + U 2 + ( O X 1 , t ) ) == 2 x 2 U 2 + 2 X 2 P ( X 1 , t ) ( 1 2 )

T o d e s i g n SMC t h a t s t a b i l i z e s U 2 a t z e r o a L y a p u n o vf u n c t i o n c a n d i d a t e i s i n t r o d u c e d [ 1 0 ]V ( U 2 ) = 0 . 5 U 2 2 ( 1 3 )

T h e e x i s t e n c e o f t h e s l i d i n g m o d e i s i n v e s t i g a t e d b yc h o o s i n g a c o n t r o l l a w a su 2 = ( 2 + L 3 x I + s i g n ( X 2 ) s i g n ( 7 2 ) , > 0 ( 1 4 )

I t i s n o t d i f f i c u l t t o s e e t h a tV ( U 2 ) =U262 < - 2 e | U 2 l I X 2 1 ( 1 5 )

T h e c o n d i t i o n s ( 1 4 ) a n d ( 1 5 ) p r o v i d e c o n v e r g e n c e f o rU 2 = 0 i f x 2 ( 0 ) . 0 a n d x 2 ( t ) 1 . 0 d u r i n g c o n s e c u t i v et i m e e x c e p t f o r s o m e i s o l a t e d p o i n t s .

3 9 4 2

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T h e o r e m . I f x 2 ( 0 ) . 0 t h e n x 2 ( t ) c a n n o t b e i d e n t i c a l l ye q u a l t o z e r o d u r i n g t h e c o n s e c u t i v e t i m e e i t h e r i n r e a c h i n go r i n s l i d i n g p h a s e .P r o o f . F i r s t o f a l l , c o n s i d e r a r e a c h i n g p h a s e w i t h x l ( 0 ) . 0 ,x 2 ( 0 ) . 0 a n d c 2 . 0 , t h e n t h e s y s t e m ( 1 O ) - ( 1 2 ) d y n a m i c si s d e s c r i b e d a s f o l l o w s :

X 1 = X 2X 2 = - 0 ) o X I + ( P X I , t ) - ( 1 6 )-( 4 2 + L 3 I x I + s i g n ( X 2 ) s i g n ( U 2 )

No h i g h f r e q u e n c y s w i t c h i n g i n c o n t r o l i s e x p e c t e d b e c a u s eU 2 . 0 . O b v i o u s l y , i f x 1 ( 0 ) . 0 a n d x 2 ( 0 ) . 0 t h e n as o l u t i o n x 2 ( t ) o f ( 1 6 ) c a n n o t b e i d e n t i c a l l y e q u a l t o z e r oV t E [ E t r

N e x t , c o n s i d e r i n g a s l i d i n g p h a s e i n ( 1 0 ) - ( 1 2 ) o n c r 2 = 0V t > t r _ i t c a n b e p r ov e d t h a t | x 2 ( t ) . 0 e x c e p t f o r s o m ei s o l a t e d p o i n t s . I n d e e d , t h e s y s t e m ( 1 0 ) d y n a m i c s i n t h es l i d i n g m o d e U 2 = 0 c a n b e d e s c r i b e d V t > t r b ys u b s t i t u t i n g U 2 = 0 a n d e q u i v a l e n t c o n t r o l U 2 e q = - ( P ( X i , t[ 1 1 ] , d e f i n e d b y & 2 = 0 , i n ( 1 0 ) . T h i s i s

X 1 = X 2X 2 = 2 X I ( 1 7 )0 ) x 2 - w o x 1 2 _ 2 =2 2 1 2 2w 0 x 1 + x2 -R = 0

A p p a r e n t l y , a s o l u t i o n x 2 ( t ) o f ( 1 7 ) c a n n o t b e i d e n t i c a l l ye q u a l t o z e r o V t 2 t r_R e m a r k 2 . C o n s e q u e n t l y , i n t e g r a l s l i d i n g m o d e c o n t r o l u 1i n ( 6 ) , ( 8 ) a l t o g e t h e r w i t h t r a d i t i o n a l s l i d i n g m o d e c o n t r o lU 2 i n ( 1 1 ) , ( 1 4 ) r o b u s t l y e n f o r c e h a r m o n i c o s c i l l a t i o n s ( 5 a )w i t h t h e g i v e n f r e q u e n c y w 0 a n d t h e a m p l i t u d e a o = R i nt h e p e r t u r b e d h a r m o n i c o s c i l l a t o r ( 3 ) i n p r e s e n c e o f b o u n d e dd i s t u r b a n c e s ( 4 ) .R e m a r k 3 . C o n s i d e r a n u n p e r t u r b e d c a s e , w h e n

zX 1 ( 0 ) = X 2 ( 0 ) = 0 , f ( t ) = q ' ( x l , t ) 0 a n d s i g n ( z ) +5i n ( 1 4 ) w i t h a n a r b i t r a r y s m a l l S > 0 . I n t h i s c a s ex 1 ( 0 ) = x 2 ( 0 ) = 0 w i l l b e a n e q u i l i b r i u m p o i n t o f ( 1 0 ) .T h e r e f o r e , i t c a n b e i m m e d i a t e l y c o n c l u d e d V ( U 2 ) - 0b a s e d o n ( 1 5 ) . C o n s e q u e n t l y , t h e e q u i l i b r i u m p o i n t U 2 = 0o f ( 1 2 ) w i l l n o t b e a s y m p t o t i c a l l y s t a b l e . I n o t h e r w o r d s , t h es l i d i n g m o d e U 2 = 0 w i l l n o t e x i s t i n t h e u n p e r t u r b e dh a r m o n i c o s c i l l a t o r ( 1 0 ) c o n t r o l l e d b y t h e c o n t r o l f u n c t i o n( 1 1 ) a n d ( 1 4 ) i f x 1 ( 0 ) = X 2 ( 0 ) = . T h i s c a s e m u s t b ea v o i d e d i n p r a c t i c a l i m p l e m e n t a t i o n o f t h e SMC c o n t r o l l e dH a r m o n i c O s c i l l a t o r .

I V . HARMONIC OSCILLATOR C O N T R O L L E D BY S E C O N DORDER ( S U P E R - T W I S T ) SMCT h e s e c o n d o r d e r s l i d i n g m o d e c o n t r o l [ 7 ] , [ 8 ] , i np a r t i c u l a r a s u p e r - t w i s t i n g a l g o r i t h m , i s u s e d t o r o b u s t l ys t a b i l i z e a 1 a n d U 2 a t z e r o i n a f i n i t e t i m e f o r t h e p e r t u r b e d

h a r m o n i c o s c i l l a t o r ( 3 ) . T h i s k in d o f c o n t r o l , s i m u l t a n e o u s l yi m p r o v e s t h e s t a b i l i z a t i o n a c c u r a c y o f b o t h s l i d i n g v a r i a b l e sc l a n d U 2 .I t i s w e l l k n o w n t h a t a s o l u t i o n z ( t ) o f t h e f o l l o w i n gd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n

Z + a z l 2 s i g n ( z ) + b f s i g n ( z ) d r = $ ( t ) ( 1 8 )a n d i t s d e r i v a t i v e z ( t ) c o n v e r g e t o z e r o i n a f i n i t e t i m e i fa . 0 . 5 C a n d b . 4C w i t h I 4 ( t ) l < C [ 7 ] , [ 8 ] .S u b s t i t u t i n g f o l l o w i n g s u p e r t w i s t c o n t r o l

u i = - a 1 l u l s i g n ( u i ) + A I 1 f s i g n ( u i ) d ri n t o ( 7 ) t h e a , - c o mp e ns a t ed d y n a mi c s i s a c h i e v e d

I + |@ @2 s i g n ( 1 l ) + A t 1 J s i g n ( c l ) d r = f ( t )( 1 9 )

( 2 0 )I n o r d e r t o o b t a i n a f i n i t e t i m e c o n v e r g e n c e , 1 - X 0 a n d

I - e 0 t h e p a r a m e t e r s o f t h e s u p e r - t w i s t c o n t r o l l e r ( 1 9 )m u s t s a t i s f y t h e f o l l o w i n g i n e q u a l i t i e s a , 1 0 . 5 L 1 a n dA 3 1 2 4 L 1 .S u b s t i t u t i n g f o l l o w i n g s u p e r - t w i s t l i k e c o n t r o l [ 7 , 8 ]

U 2 = - s i g n ( X 2 2 ) [ a X 2 1 1 2 s i g n ( u 2 ) ++ / 2 J s i g n ( U 2 ) d r ]

i n t o ( 1 2 ) , t h e U - c o m pe n s a t e d d y n a m i c s i s a c h i e v e d2 +2 a 2 J 2 1 J U 2 s i g n ( U 2 ) +

+ 2 / 8 2 X 2 1 J s i g n ( U 2 ) d r =2 X 2 ( ( X 1 , t ) ( 2 2 )T o o b t a i n a f i n i t e t i m e c o n v e r g e n c e u 2 - e 0 a n d& 2 - X 0 t h e p a r a m e t e r s o f t h e s e c o n d o r d e r ( s u p e r - t w i s tl i k e ) s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r ( 2 1 ) m u s t s a t i s f y t h e f o l l o w i n gi n e q u a l i t i e s

1 +L 3 1 2 (a 2 > ~i> 4 L 2 3 + L 32 2 X 2 1 ( 2 3 )A p p a r e n t l y , t h e s u p e r t w i s t - l i k e c o n t r o l l e r ( 2 1 ) i s a b l e t or o b u s t l y e n f o r c e U 2 = 0 a n d & 2 = 0 a l m o s t e v e r y w h e r ee x c e p t f o r t h e s m a l l v i c i n i t i e s o f x 2 = 0 ( s i n g u l a r p o i n t s ) ,w h e r e t h e s e c o n d o r d e r s l i d i n g m o d e i s d e s t r o y e d .T h e m a j o r a d v a n t a g e o f s u p e r - t w i s t l i k e c o n t r o l ( 1 9 ) , ( 2 1 )o v e r t r a d i t i o n a l SMC ( 8 ) , ( 1 4 ) i s t h a t t h e s u p e r - t w i s t i s

3 9 4 3

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4/6

c o n t i n u o u s . A l s o , t h e s t a b i l i z a t i o n a c c u r a c y o f a 1 = 0 a n dU2 = 0 i s p r o p o r t i o n a l t o T 2 t h a t i s much h i g h e r t h a n t h es t a b i l i z a t i o n a c c u r a c y a c h i e v e d v i a t r a d i t i o n a l SMC ( 8 ) , ( 1 4 )t h a t i s p r o p o r t i o n a l t o T , w h e r e T i s a s a m p l i n g t i m e o f ac o m p u t e r - i m p l e m e n t e d c o n t r o l [ 7 ] , [ 8 ] . T h e s e f e a t u r e s a r ev e r y i m p o r t a n t f o r t h e c o n t r o l l e d h a r m o n i c o s c i l l a t o r sb e c a u s e h i g h f r eq u en cy s w i t c h i n g c o n t r o l c o u l d d e s t r o y t h es i n u s o i d a l o u t p u t w a v e f o r m o r i t c o u l d m a k e p h a s e n o i s e ,w h i c h t h e l o w e r i t i s , t h e b e t t e r t h e o s c i l l a t o r w o r k s . I na d d i t i o n , t h e r o b u s t n e s s t o t h e e x t e r n a l d i s t u r b a n c e s a l o n gw i t h t h e s i g n i f i c a n t i m p r o v e m e n t i n t h e a c c u r a c y o f t h es l i d i n g s t a b i l i z a t i o n y i e l d s m u c h m o r e a c c u r a t e s i n u s o i d a lw a v e f o r m a t H a r m o n i c O s c i l l a t o r o u t p u t .

V . I M PLEMENT A T I O N ISSUEB a s e d on t h e d i s c u s s i o n g i v e n i n R e m a r k 3 , t h e i n i t i a lc o n d i t i o n s are p r o h i b i t e d t o b e a t t h e z e r o s t a t e

x1 ( 0 ) = x2 ( 0 ) = 0 . I n r e a l i t y a l l t h e t i m e c i r c u i t s are e f f e c t e db y v e r y s m a l l ( u s u a l l y u n w a n t e d ) s i g n a l s l i k e t h e r m a l n o i s e ,w h i c h make t h e u n w a n t e d z e r o i n i t i a l c o n d i t i o n s t o b e b a r e l ym e t . I n t h i s p a r t i c u l a r case t h o s e u n w a n t e d s i g n a l s b e c o m eu s e f u l b e c a u s e t h e y j u m p - s t a r t t h e o s c i l l a t o r . C o n s e q u e n t l yt h e c o n d i t i o n x1 ( 0 ) = x2 ( 0 ) = 0 d i s c u s s e d i n R e m a r k 3 w i l ln e v er o c cu r i n r e a l i t y .

32

U 0

a _4 1 . a 2Figure Phase p o r t r a i t : TraditionalSMC

tIA IF i g u r e 2 P h a s e p o r t r a i t : S u p e r - t w i s t c o n t r o l.2 3

V I . EX AM PLET h e h a r m o n i c o s c i l l a t o r ( 3 ) w i t h w0 = 6 . 2 8 r a d / s e c ,o= 1 . 0 r a d / se c f ( t ) = sin t , e u ( t ) = s i n 2 t ,x 1 ( 0 ) = 0 . 0 1 r a d a n d x 2 ( 0 ) = 0.01 r a d / s e c h a s b e e ns i m u l a t e d . T h e a m p l i t u d e o f t h e o s c i l l a t i o n s i n ( 5 ) a n d ( 6 )

t h a t must b e r o b u s t l y s t a b i l i z e d b y s l i d i n g mode c o n t r o l i sc h o s e n a o = R = 2 . T h e p a r a m e t e r b o u n d a r i e s o f t h ep e r t u r b e d p l a n t ( 3 ) ar e c o m p u t e dL1=2.0,L2=1.0,L3=20.0 a n d p=-=2.0. T h ep a r a m e t e r s o f t h e s u p e r - t w i s t s l i d i n g mode c o n t r o l l e r s ar ec h o s e n a , = 1 . 0 , , A R = 5 . 0 f o r u l a n d a2 =20 1 + 2 0 | x I , 12 = 5 ( ) + 2 0 | x 1 f o r U 2 . The c o n t r o l m a g n i t u d e i s l i m i t e d

b y 1 0 . 0 f o r t h e b o t h c o n t r o l l e r s . T h e s i m u l a t i o n s a m p l i n gt i m e i s s e t t o b e 1 0 - 5 sec. T h e r e s u l t s o f t h e s i m u l a t i o n s f o rb o t h t r a d i t i o n a l a n d h i g h e r o r d e r SMC are s h o w n i n f i g u r e s1 - 1 2 . B o t h c o n t r o l l e r s p r o v i d e r o b u s t a c c u r a t e c o n t r o l o fH a r m o n i c O s c i l l a t o r ( F i g u r e s 1 - 4 ) .

2 4vFigure 3 X2 vstime: Traditional SMC

3

f 2 4 f fT i m 6 ( s e bF i g u r e 4 X 2 V S t i m e : S u p e r - t w i s t c o n t r o l3 944

A.

i . L . .wIII

. . . ka . w awkam .b f9&pJ.F r 0 r " . p . . . ." r . . .9 ik

-m -m r E -o f.

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5/6

A s d e m o n s t r a t e d i n F i g u r e s 5 - 8 , t h e s u p e r - t w i s t ( s e c o n do r d e r s l i d i n g m o d e ) c o n t r o l p r o v i d e s m u c h b e t t e rs t a b i l i z a t i o n a c c u r a c y r a t h e r t h a n t r a d i t i o n a l s l i d i n g m o d ec o n t r o l .

. , O e X ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ r _ ~-.I4 . k o EImU;U1rw 1jLuiT i a b l e V s e dF i g u r e 8 S l i d i n g v a r i a b l e c r 2 v s t i m e ( z o o m e d ) :S u p e r - t w i s t c o n t r o l

F i g u r e 5 S l i d i n g v a r i a b l e a 1 v s t i m e ( z o o m e d ) :T r a d i t i o n a l SMCF i g u r e s 9 - 1 1 i l l u s t r a t e t h e f a c t t h a t t h e r o b u s t p e r f o r m a n c eo f t h e h a r m o n i c o s c i l l a t o r c a n b e a c h i e v e d v i a c o n t i n u o u sc o n t r o l g e n e r a t e d b y SOSM ( s u p e r - t w i s t a l g o r i t h m ) a n dh i g h f r e q u e n c y s w i t c h i n g c o n t r o l g e n e r a t e d b y t h e

t r a d i t i o n a l s l i d i n g m o d e c o n t r o l l e r . T h e s p i k e s i n t h e s e c o n do r d e r c o n t r o l l a w d u e t o t h e a f o r e m e n t i o n e d s i n g u l a r i t y c a nb e c l e a r l y o b s e r v e d i n F i g u r e 1 2 .

F i g u r e 6 S l i d i n g v a r i a b l e a 1 v s t i m e ( z o o m e d ) :S u p e r - t w i s t c o n t r o l 2 4 6 ' 8F i g u r e 9 I n t e g r a l T r a d i t i o n a l SMC u 1

F i g u r e 7 S l i d i n g v a r i a b l e a r 2 v s t i m e ( z o o m e d ) :T r a d i t i o n a l SMC

. a m . , , . . .-

F i g u r e 1 0 I n t e g r a l S u p e r - t w i s t u l

3 9 4 5

7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 .

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6/6

1 0 . 1 [ 6 ] H . S i r a - R a m i eV , " H a r m o n i c R e s p o n s e o f V a r i a b l e - S t r u c t u r e7 5 C o n t r o l l e d Van d e r P o t O s c i l l a t o r , " IEEE T r a n s a c t i o n s o nC i r c u i t s a nd S y s t e m s , V o l . 3 4 , No. 1 , 1 9 8 7 , pp. 1 0 3 - 1 0 6 .. [ 7 ] F r i d m a n a n d A . L e v a n t , " H i g h O r d e r S l i d i n g M o d e s a s a

0 - 1l 1 |i a v a r i a b l e s t r u c t u r e a n d L y a p u n o v t e c h n i q u e s , F . G a r o f a l oa n d L . G l i e l m o e d s . , L e c t u r e N o t e s i n C o n t r o l a n d~ ~ 2 * 5 I n f o r m a t i o n S c i e n c e , ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ n o .2 1 7 , p p . 1 0 7 - 1 3 3 , L o n d o n : S p r i n g e r -V e r l a g , 1 9 9 6 .[ 8 ] A . L e v a n t , " U n i v e r s a l 5 1 5 0 s l i d i n g - m o d e c o n t r o l l e r s w i t h7 - - - - ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ f i n i t e - t i m e c o n v e r g e n c e . I E E E T r a n s a c t i o n s on A u t o m a t i c1 0 0 C o n t r o l , 4 6 ( 9 ) , 2 0 0 1 , p p . 1 4 4 7 - 1 4 5 1 .] 2 4 6 [ 9 ] Y . B . S h t e s s e l , I . A . S h k o l n i k o v , a n d M a r k D . J . B r o w n , " A nT me ( 6 8 A s y m p t o t i c S e c o n d O r d e r S m o o t h S l i d i n g Mode C o n t r o l , "A s i a n J o u r n a l o f C o n t r o l , V o l . 5 , N o 4 , 2 0 0 3 , p p . 4 9 8 - 5 0 4 .[ 1 0 ] J . - J . S l o t i n e , a n d E . W. L i , A p p l i e d N o n l i n e a r C o n t r o l ,F i g u r e 1 1 C o n t r o l f u n c t i o n U 2 T r a d i t i o n a l SMC E n g l e w o o d C l i f f s : P r e n t i c e H a l l , 1 9 9 1 .[ 1 1 ] D . S h e v i t z , a n d B . P a d e n , " L y a p u n o v s t a b i l i t y t h e o r y o fn o n s m o o t h s y s t e m s , " IEEE T r a n s a c t i o n s on A u t o m a t i cI - g I C o n t r o l , V o l . 3 9 , # 9 , 1 9 9 4 , p p . 1 9 1 0 - 1 9 1 4 .

u F C r = = ; . = = - - - -;-====-=---= - = - - - 1 , * , , , P7 5 - -

1 0 0 2 4 a 1 UF i g u r e 1 2 C o n t r o l f u n c t i o n 1 1 2 : S u p e r - t w i s t a l g o r i t h m

V I I . CONCLUSIONT r a d i t i o n a l a n d h i g h o r d e r s l i n g m o d e s p r o v i d e s r o b u s t

c o n t r o l o f f r e q u e n c y a n d a m p l i t u d e o f o s c i l l a t i o n s i nH a r m o n i c O s c i l l a t o r s i n p r e s e n c e o f b o u n d e d d i s t u r b a n c e sa n d u n c e r t a i n t i e s . U s i n g t h e h i g h o r d e r ( s e c o n d ) s l i d i n gm o d e c o n t r o l , a much m o r e p r e c i s e s t a b i l i z a t i o n w i t h ac o n t i n u o u s c o n t r o l f u n c t i o n c a n a l s o b e p r o v i d e d . I t i ss h o w n t h a t d e s p i t e s o m e s i n g u l a r i t y p o i n t s i n t h e c o n t r o ll a w , t h e s e c o n d o r d e r s l i d i n g i s r e s t o r e d .R E F E R E N C E S

[ 1 ] J . V a n k k a , " M e t h o d s o f M a p p i n g f r o m P h a s e t o S i n eA m p l i t u d e i n D i r e c t D i g i t a l S y n t h e s i s , " IEEE T r a n s a c t i o n s o nU l t r a s o n i c s , F e r r o e l e c t r i c s , a n d F r e q u e n c y C o n t r o l , V o l . 4 4 ,N o . 2 , 1 9 9 7 , p p . 5 2 6 - 5 3 4 .[ 2 ] K . C l a r k e , a n d D . H e s s , C o m m u n i c a t i o n C i r c u i t s : A n a l y s i sa n d D e s i g n , K r i e g e r P u b l i s h i n g C o m p a n y , 1 9 9 4 .[ 3 ] V . U t k i n , G . G u l d n e r , a n d J . S h i , S l i d i n g Mode C o n t r o l i nE l e c t r o m e c h a n i c a l S y s t e m s , T a y l o r & F r a n c i s , 1 9 9 9 .[ 4 ] C . E d w a r d s , a n d S . S p u r g e o n , S l i d i n g Mode C o n t r o l : T h e o r ya n d A p p l i c a t i o n s , T a y l o r & F r a n c i s , 1 9 9 8 .[ 5 ] B . V e c e l i c , a n d C . M i l o s a v l j e v i c , " S l i d i n g Mode B a s e dH a r m o n i c O s c i l l a t o r S y n c h r o n i z a t i o n , "I n t e r n a t i o n a l J . E l e c t r o n i c s , V o l . 9 0 , N o . 9 , 2 0 0 3 , p p . 5 5 3 - 5 7 0 .

3 9 4 6