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Institut Superieur des Etudes Technologiques de Rades

Departement de Genie Electrique

Electronique de Communication

Support de cours

et exercices corriges

3eme niveau Genie ElectriqueOption Electronique

Dr J.Y. HaggegeIngenieur ENIT

Agrege de Genie Electrique

Technologue a lISET de Rades

2004

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ii

ISET Rades cours delectronique de communication HAGGEGE, 2003

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Table des matieres

1 Les signaux 11.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2 Representation mathematique dun signal . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Classification des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 Les signaux periodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3.2 Signaux sinusodaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Spectre dun signal periodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.1 Developpement en serie de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4.2 Repesentation spectrale dun signal periodique . . . . . . . . . . . . 41.4.3 Exemple de calcul du spectre dun signal periodique . . . . . . . . . 5

1.5 Generalisation de la notion de spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5.1 Spectre dun signal non periodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5.2 Exemple de calcul du spectre dun signal non periodique . . . . . . 71.5.3 Calcul de la puissance dun signal a partir de son spectre . . . . . . 81.5.4 Spectre des signaux utilises en telecommunications . . . . . . . . . 8

1.6 Filtrage des signaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6.2 Exemples de filtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 La modulation damplitude 112.1 But dune modulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2 La modulation AM Double Bande Sans Porteuse . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Cas dun signal modulant sinusodal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.3 Cas dun signal modulant quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Generation du signal AM DBSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.3.1 Utilisation de circuit integres specialises . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.2 Modulateur en anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Demodulation des signaux AM DBSP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.4.2 Representation spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4.3 Probleme de la demodulation du signal AM DBSP . . . . . . . . . 20

2.5 La modulation AM Double Bande Avec Porteuse . . . . . . . . . . . . . . 21

HAGGEGE, 2003 cours delectronique de communication ISET Rades

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iv Table des matieres

2.5.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.2 Representation temporelle du signal AM DBAP . . . . . . . . . . . 212.5.3 Representation spectrale du signal AM DBAP . . . . . . . . . . . . 22

2.5.4 Puissance dun signal AM DBAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6 Generation du signal AM DBAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6.1 Methode directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6.2 Utilisation dune non linearite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.6.3 Amplificateur a gain variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.7 Demodulation des signaux AM DBAP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.7.1 Demodulation coherente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.7.2 Demodulation AM par detection denveloppe . . . . . . . . . . . . . 28

2.8 La modulation AM a Bande Laterale Unique . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.8.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.8.2 Caracteristiques du signal BLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.8.3 Generation du signal BLU par filtrage passe-bande . . . . . . . . . 312.8.4 Generation du signal BLU par la methode du dephasage . . . . . . 332.8.5 Demodulation du signal BLU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.9 La modulation AM a Bande Laterale Residuelle . . . . . . . . . . . . . . . 342.10 E xercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.10.1 Modulateur AM a non linearite cubique . . . . . . . . . . . . . . . 352.10.2 Modulation damplitude en quadrature (QAM) . . . . . . . . . . . 362.10.3 Demodulation quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.10.4 Codage et decodage stereophonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.10.5 Cryptage par inversion de spectre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.10.6 Puissance dun signal AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 La modulation de frequence 433.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2 Caracteristiques de la modulation de frequence . . . . . . . . . . . . . . . . 443.3 Analyse spectrale du signal FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3.1 Developpement en serie de Fourier dun signal FM . . . . . . . . . . 453.3.2 Les fonctions de Bessel de premiere espece . . . . . . . . . . . . . . 453.3.3 Representation spectrale du signal FM . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.4 Occupation spectrale utile du signal FM . . . . . . . . . . . . . . . 493.3.5 Generalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.4 Generation du signal FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4.2 Methode par variation de parametres . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.4.3 Modulateur dArmstrong . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5 Demodulation des signaux FM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5.1 Discriminateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.5.2 Boucle a verrouillage de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.6 Les recepteurs a changement de frequence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.7 La modulation de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60


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Table des matieres v

3.7.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.7.2 Occupation spectrale du signal PM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.8.1 Mesure de la sensibilite dun modulateur de frequence . . . . . . . . 613.8.2 Modulateur FM a diode varicap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.8.3 Demodulateur FM quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.8.4 Synthese dune PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Bibliographie 71


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vi Table des matieres


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Chapitre 1

Les signaux

1.1 Definitions1.1.1 Signal

Un signal est le support physique dune information. Exemples : signaux sonores : fluctuations de la pression de lair transportant un message a notre

oreille ; signaux visuels : ondes de lumiere apportant une information a notre il.En telecommunications, on appelle signal tout phenomene electromagnetique, genera-lement de faible niveau, qui constitue le support dune information. Exemple : tensionmodulee en frequence ou en amplitude.

1.1.2 Representation mathematique dun signal

Un signal est represente par une fonction dune ou plusieurs variables. Generalement, uneseule variable est utilisee : le temps car linformation transportee par un signal est lavariation dune grandeur au cours du temps.

Notation des signaux : x(t), y(t), s(t), ...

Exemples de signaux : x(t) = A (signal constant) y(t) = at + b s(t) = s0et

Ces fonctions constituent une idealisation mathematique des signaux reels.

1.2 Classification des signaux

Les signaux peuvent etre classes en deux categories :

signaux deterministes :

- analogiques : amplitude et temps continus, images exactes des informations a trans-

mettre ;


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2 Chapitre 1. Les signaux

- numeriques : amplitude et temps discrets, obtenus par passage de linformationpar un convertisseur analogique/numerique ou signaux naturellement numeriquesprovenant dun calculateur.

signaux aleatoires : etudies en utilisant la theorie des probabilites et des processusaleatoires. Ils permettent de mieux representer les signaux reels.

Consequence : il y a deux types de transmission des signaux : transmission analogique ettransmission numerique.

1.3 Les signaux periodiques

1.3.1 Definitions

Un signal x(t) est periodique sil existe une duree T telle que x(t + T) = x(t).Exemples :

t

t

x(t) y(t)

TT

AA

signal carr signal en dents de scie

Un signal periodique x(t) est caracterise par : son amplitude A ; sa periode T (en secondes) ou sa frequence f = 1

T(en Hertz) ;

sa puissance moyenne P =1

T

T0

x(t)2dt ;

sa valeur moyenne (composante continue) : Xm =1

T

T0

x(t)dt.

1.3.2 Signaux sinusodauxLes signaux sinusodaux (ou harmoniques) sont des signaux periodiques tres importants.Ce sont les signaux de la forme :

x(t) = A0 sin(2f0t + 0)

avec : A0 : amplitude ; f0 : frequence ; 0 : phase a lorigine (ou dephasage ou phase) ;

2f0t + 0 : phase instantannee.


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1.4. Spectre dun signal periodique 3

Puissance dun signal sinusodal : P = A2

2.

Representation temporelle dun signal sinusodal :

T0

0

A

t

Autre representation dun signal sinusodal : cest la representation spectrale :

A

f

f

0A

0

0f

0f

spectre d'amplitude

spectre de phase

amplitude

phase

frquence

1.4 Spectre dun signal periodique

1.4.1 Developpement en serie de FourierSoit x(t) un signal periodique quelconque (non sinusodal) de periode T (ou de frequencef = 1

T). On montre que x(t) peut secrire sous la forme dun developpement en serie de

Fourier, cest-a-dire une somme de signaux sinusodaux de frequences multiples entiers def :

x(t) =a02

+

n=1

an cos2nft + bn sin2nft

avec :

a0

2

=1

T

T

0x(t)dt


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et n 1,

an =2

T

T

0x(t)cos2nft dt

bn =2

T

T0

x(t)sin2nft dt

Le signal sinusodal de frequence f est appele fondamental et les signaux sinusodaux defrequences nf, n 2 sont appeles harmoniques.Si x(t) est impair (cest-a-dire x(t) = x(t)), alors n > 0, an = 0, et si x(t) est pair(cest-a-dire x(t) = x(t)) alors n > 1, bn = 0.

1.4.2 Repesentation spectrale dun signal periodique

Le developpement en serie de Fourier dun signal periodique x(t) peut egalement secriresous la forme :

x(t) =a02

+

n=1

Ax(n) cos(2nft + x(n))

avec :Ax(n) =

a2n + b

2n

et :

x(n) = arctan bnan

Ax(n) et x(n) representent respectivement le spectre damplitude et le spectre de phasede x(t). Ce sont des spectres de raies ou spectres discrets : un signal periodique ne possedede composantes spectrales que pour des frequences multiples entiers du fondamental.Representation graphique :

frquence

frquence

spectre d'amplitude

spectre de phase

A (n)x

(n)x

A (1)x

A (5)xA (4)xA (3)x

A (2)x

(5)x

(4)x

(3)x

(2)x

(1)x

f 2f 3f 4f 5f

f 2f 3f 4f 5f

En pratique, le spectre dun signal est visualise au moyen dun analyseur de spectre.


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1.4. Spectre dun signal periodique 5

1.4.3 Exemple de calcul du spectre dun signal periodique

On considere un signal carre bipolaire :

t

x(t)

TA

-A

TT2

x(t) est impair

a02

= 0

n 1, an = 0

bn =2

T

T2

0

A sin2nt

Tdt +

2

T

TT2

A sin 2ntT

dt

= 2

T

A T

2n cos2nt

T T2

0 2

T

A T

2n cos2nt

T T

T2

= An

[(1)n 1] + An

[1 (1)n]

= 2An

[1 (1)n]

=

0 si n = 2p4An

si n = 2p + 1

Finalement, le developpement en serie de Fourier de x(t) est :

x(t) =4A

p=0

1

2p + 1sin

2(2p + 1)t

T

Representation graphique :


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f 3f 5f 7f

4A

4A34A54A

74A9

9f

A (n)x

frquence

1.5 Generalisation de la notion de spectre

1.5.1 Spectre dun signal non periodique

Soit x(t) un signal quelconque, en particulier non periodique. On montre dans ce cas quele spectre de x(t) est une fonction continue de la frequence, cest-a-dire que x(t) possede

des composantes spectrales a toutes les frequences. Le signal x(t) peut alors secrire sousla forme :

x(t) =+

0Ax(f)cos(2f t + x(f) df

avec : Ax(f) = 2 |X(f)| : spectre damplitudex(f) = arg X(f) : spectre de phase

ou X(f) est la transformee de Fourier de x(t) definie par :

X(f) = + x(t)ej2f t dtContrairement aux signaux periodiques, les signaux non periodiques possedent donc unspectre continu :

A (f)x

f

spectre d'amplitude (f)x

f

spectre de phase


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1.5. Generalisation de la notion de spectre 7

1.5.2 Exemple de calcul du spectre dun signal non periodique

Soit une impulsion x(t) de duree et damplitude A :

x(t)

t

A

X(f) = +

x(t)dt = 0

Aej2ft dt = Aj2f

ej2ft0

= Aj2f

ej2f 1

=A

j2f

1 ej2f

=

A

j2fejf

ejf ejf

=

A

fejf sin f = A

sin f

f ejf

Ainsi :

Ax(f) = 2 |X(f)| = 2Asin f

f

et :

x(f) = arg X(f) = f Representation graphique :

1

2

3

4

432

2

(f)x

A (f)x

f

f0


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1.5.3 Calcul de la puissance dun signal a partir de son spectre

La puissance dun signal est egale a la somme des puissances des composantes de son

spectre damplitude.Dans le cas dun signal x(t) periodique dont le developpement en serie de Fourier secrit :

x(t) =a02

+

n=1

Ax(n) cos(2nft + x(n))

la puissance moyenne est :

P =1

T

T0

x(t)2dt

domaine temporel=

a204

+

n=1

Ax(n)2

2

domaine spectral(egalite de Parseval)

Dans le cas dun signal non periodique secrivant sous la forme :

x(t) =+

0Ax(f)cos(2f t + x(f) df

son energie est :

E=+

x(t)2dt

domaine temporel=

1

2

+0

Ax(f)2 df

domaine spectral1.5.4 Spectre des signaux utilises en telecommunications

Les signaux transmis par un systeme de telecommunications sont des signaux a bandeetroite. Ces signaux possedent un spectre nul en dehors dun intervalle de largeur B,appelee largeur de bande ou occupation spectrale du signal.

Cet intervalle est generalement centre autour dune frequence f0 appelee frequence centraledu signal. Sil est de la forme [0, B], alors le signal est appele signal en bande de base.

B

A (f)x signalen bandede base

0

B

f0

A (f)x signal bande troite

f

La connaissance du spectre dun signal permet de dimensionner les canaux de transmis-

sion.


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1.6. Filtrage des signaux 9

1.6 Filtrage des signaux

1.6.1 PrincipeLoperation de filtrage dun signal consiste a modifier le spectre de ce signal de maniere aaffaiblir certaines parties du spectre et/ou a en amplifier dautres.Dans le domaine spectral, le filtrage se traduit par la multiplication du spectre damplitudedu signal par une fonction de la frequence et de laddition dune autre fonction de lafrequence au spectre de phase du signal.Soit un filtre de fonction de transfert H(f) (H(f) est une fonction complexe de f).

H(f)e(t) s(t)

Si on injecte a lentree de ce filtre un signal e(t) dont le spectre damplitude est Ae(f)et le spectre de phase est e(f), alors les spectres damplitude et de phase du signal desortie s(t) sont respectivement :

As(f) = |H(f)| Ae(f)et

s(f) = e(f) + arg H(f)

1.6.2 Exemples de filtres

Filtre passe-bas :symbole

1

0,71

H(f)

fc frquence

de coupure

f

fonction de transfert

Filtre passe-bande :symbole

1

0,71

H(f)

fc1f

fonction de transfert

fc2

bande

passante

f0

frquence centrale


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Chapitre 2

La modulation damplitude

2.1 But dune modulationSoit le montage suivant :

A

Gnrateur

sinusodal

de frquence

f = constante

I

tige mtallique de

longueur variable

l

transformateur

En faisant varier la longueur l de la tige metallique, on constate que pour une longueurl0, le courant debite par le generateur devient tres superieur au courant consomme par leprimaire du transformateur a vide : tout se passe comme si le secondaire du transformateuretait connecte a une charge.

l0

l

I

courant en charge

du transformateur

courant vide

du transformateur

Il y a donc un echange denergie entre le generateur et le milieu ambiant. Cet echange se


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12 Chapitre 2. La modulation damplitude

fait sous forme de rayonnement electromagnetique. La tige metallique joue le role duneantenne emettrice.On constate egalement que la longueur l0 pour laquelle le rayonnement est maximal est

liee a la frequence f du generateur par la relation :

l0 =

2

avec : =c

f= longueur donde du signal produit par le generateur, c etant la vitesse de

la lumiere.Exemple de calcul : si on veut transmettre un signal audio dont le spectre se situe autourde 10 kHz, la longueur de lantenne doit etre :

l =c

2f

=3 108

2 10 103= 15000 m

Lantenne doit avoir une longueur tres grande : difficile en pratique. Pour diminuer lalongueur de lantenne, on doit augmenter la frequence du signal a transmettre : on effectueun decalage spectral vers les hautes frequences du signal : cest la modulation.Exemple : si lemission se fait a la frequence f = 10 MHz, la longueur de lantenne devient :

l =c

2f=

3 1082 10 106 = 15 m

Cest une antenne realisable pratiquement.A la reception, le signal HF doit etre ramene vers les basses frequences : decalage spectral

vers les basses frequences du signal : cest la demodulation.Ainsi, les signaux basse frequence (signaux audio) ne peuvent pas etre directement trans-mis en bande de base car ils necessitent de trop grandes antennes. Le but dune modulationest donc de decaler le signal a emettre vers les hautes frequences afin davoir des antennesemettrices de dimensions raisonnables.La frequence a laquelle se fait lemission en HF est appelee frequence porteuse car elletransporte linformation BF. Le signal transmis en HF est appele signal module.On en deduit le schema synoptique dune chane de transmission :

source

d'informationmodulateur

canal de

transmissiondmodulateur destinataire

message

m(t)

signal mis

s(t)

signal reu

r(t)

signal dmodul

m(t)^

BF HF HF BF

signal en

bande de base

signal

bande troite

signal en

bande de base

signal

bande troite

La methode la plus simple de transposition spectrale est la modulation damplitude (oumodulation lineaire ), notee AM (Amplitude Modulation). Cest la methode utilisee pourles premieres transmissions radio, dans les annees 1920.

Il y a quatre types de modulations damplitude :


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2.2. La modulation AM Double Bande Sans Porteuse 13

AM Double Bande Sans Porteuse (DBSP) : utilisee pour le multiplexage frequentiel etle cryptage analogique ;

AM Double Bande Avec Porteuse (DBAP) : utilisee en radiodiffusion ;

AM Bande Laterale Unique (BLU) : utilisee pour le multiplexage frequentiel, la telephonie,les radiocommunications militaires et marines ;

AM Bande Laterale Residuelle (BLR) : utilisee pour lemission des signaux de television.

2.2 La modulation AM Double Bande Sans Porteuse

2.2.1 Principe

Soit un signal sinusodal haute frequence p(t) = cos 2f0t, appele porteuse. Le messagem(t) a transmettre est appele signal modulant.

Le signal AM module en amplitude Double Bande Sans Porteuse (DBSP) secrit :

s(t) = p(t) m(t)

2.2.2 Cas dun signal modulant sinusodal

On considere un signal modulant sinusodal m(t) = A cos2fmt avec fm f0. Le signalAM secrit alors :

s(t) = cos 2f0t A cos2fmtRepresentation temporelle :

p(t)1

-1

t

m(t)

A

-A

t

s(t)

A

-A

t


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Representation spectrale : pour determiner le spectre de s(t), il faut decomposer s(t) enune somme de signaux sinusodaux. On a :

s(t) = cos 2f0t A cos2fmt = A2

cos2(f0 + fm)t + A2

cos2(f0 fm)tLe spectre damplitude du signal module s(t) est donc constitue de deux raies symetriquessituees aux frequences f0 fm et f0 + fm. De plus, il ny a pas de composante spectrale ala frequence f0 de la porteuse. Lallure du spectre damplitude du signal module justifielappellation Double Bande Sans Porteuse.

fm

mA (f)

A

f

signalmodulant

0f0 f + fmf - f0 m

A(f)s

A2

A2

f

signalmodul

Le signal module est un signal a bande etroite, centre autour de la frequence f0 de la

porteuse. Le but de la modulation est atteint : le signal BF est transforme en un signalHF.

2.2.3 Cas dun signal modulant quelconque

Representation temporelle :m(t)

t

s(t)

t


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21/77

2.3. Generation du signal AM DBSP 15

Representation spectrale :

mA (f)

f

signal modulant

f0 0f + Bmf - B0 m

A (f)s

f

signal modul

A

Bm

B = 2 Bs m

bande latrale

infrieure (BLI)

bande latrale

suprieure (BLS)

A2

Le spectre damplitude du signal AM DBSP avec un signal modulant quelconque estconstitue de deux bandes symetriques, centrees autour de f0 : la bande laterale inferieure(BLI) et la bande laterale superieure (BLS).

Loccupation spectrale du signal AM DBSP est :

Bs = 2 BmLa transmission dun signal en modulation AM DBSP necessite donc une largeur de bandedouble de celle du signal modulant.

2.3 Generation du signal AM DBSP

Pour produire un signal AM DBSP, il faut effectuer le produit du signal modulant parla porteuse. Le systeme qui effectue cette operation est appele multiplieur analogique ou

modulateur ou encore melangeur.

m(t) s(t)

p(t)

multiplieur analogique

(ou modulateur, ou mlangeur)

Il existe differentes realisations possibles du modulateur.


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22/77


2.3.1 Utilisation de circuit integres specialises

On utilise des circuits integres specifiques bases sur le principe de lamplificateur differentiel :

circuit constructeur frequence maximaleAD 633 Analog Device 1 MHzMC 1496 Motorola 1 MHzMC 1596 Motorola 1 MHzMC 1495 Motorola 10 MHzMC 1595 Motorola 10 MHzSO42P Siemens 200 MHz

Exemple de mise en uvre :

signalmodulant

porteuse

rglaged'offset

+ 15 V

sortiesignalAM

- 15 V

8,2 k 8,2 k

3 k

3,3 k

3,3 k

1,8 k

10F

10F

1

2

3

45 6

7

8

9

10 11

12

13

14

MC 1595

2.3.2 Modulateur en anneau

Le produit m(t)cos2f0t peut etre obtenu en multipliant le signal modulant m(t) par unsignal carre bipolaire c(t) de frequence f0 et en effectuant un filtrage passe-bande centre

sur f0.


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23/77

2.3. Generation du signal AM DBSP 17

t

t

t

m(t)

c(t)

u(t) = m(t) c(t)

+U

-U

1/f0

Spectre du signal u(t) = c(t) m(t) :

c(t) =4U

n=0

1

2n + 1cos2(2n + 1)f0t

u(t) = c(t) m(t) = 4U

n=01

2n + 1m(t)cos2(2n + 1)f0t

=4U

m(t)cos2f0t +

4U

1

3m(t)cos2(3f0)t +

4U

1

5m(t)cos2(5f0)t +

Apres filtrage passe-bande autour de f0, on obtient un signal AM DBSP :

s(t) =4U

m(t)cos2f

0t


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f

f

f

A

4U

A2

4U

5

A

2

4U3

A2

Bm

f0 3f0 5f0

4U

A2

f0

A (f)m

A (f)u

A (f)s

1

filtrage

passe-bande

signal AM DBSP

La multiplication du signal modulant m(t) par le signal carre bipolaire c(t) revient amultiplier alternativement m(t) par +1 ou par 1. La realisation pratique du modulateuren anneau est basee sur le fait que cette multiplication est une commutation de signe, cequi se traduit par une inversion periodique du sens dun courant ou dune tension. Pourrealiser cette operation, on utilise le montage suivant, appele modulateur en anneau :

c(t)

n

n

nn

n

nm(t) u(t) s(t)

f0

D1

D'1

2D'

2D

Le signal c(t) commande louverture des diodes disposees en anneau (dou le nom demodulateur en anneau) et assure ainsi la multiplication par 1 : si c(t) = +U, les diodesD1 et D1 conduisent et les diodes D2 et D2 sont bloquees et u(t) = m(t) ; si c(t) = U,ISET Rades cours delectronique de communication HAGGEGE, 2003

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2.4. Demodulation des signaux AM DBSP 19

les diodes D2 et D2 conduisent et les diodes D1 et D

1 sont bloquees et u(t) = m(t).

LL

LL

L

Lm(t)

D1

1D'

m(t)U

LL

LL

L

Lm(t)

2D'

2D

-m(t)U

c(t) = +U et m(t) > 0 c(t) = -U et m(t) > 0

LL

LL

L

Lm(t)

D1

1D'

m(t)U

LL

LL

L

Lm(t)

2D'

2D

-m(t)

U

c(t) = +U et m(t) < 0 c(t) = -U et m(t) < 0

2.4 Demodulation des signaux AM DBSP

2.4.1 Principe

m(t)^v(t)s(t) = m(t) cos 2f0t

cos 2f0t : porteuse locale

passe bas

v(t) = s(t)cos2f0t = m(t)cos2 2f0t

= m(t) 12

(1 + cos 4f0t) =1

2m(t) +

1

2m(t)cos4f0t

Apres filtrage passe bas de v(t), on obtient le signal demodule :

m(t) =1

2

m(t)


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2.4.2 Representation spectrale

mA (f)

f

f0 0f + Bmf - B0 m

A (f)s

f

A

Bm

A2

f0 0f + Bmf - B0 m

A (f)v

f

A4

A2

f

Bm

mA (f)^

A2

filtrage

passe bas

signal modulant

signal modul

signal dmodul

2.4.3 Probleme de la demodulation du signal AM DBSP

Si la porteuse locale est affectee dun dephasage , on a :

v(t) = s(t) cos(2f0t + ) = m(t)cos2f0t cos(2f0t + )

= 12

m(t)cos + 12

m(t) cos(4f0t + )

Apres filtrage passe bas :

m(t) =1

2m(t)cos

On constate quil y a attenuation du signal demodule, dou la necessite que la porteuse lo-cale soit en phase avec la porteuse recue : demodulation coherente ou synchrone. Solution :transmission separee dune porteuse de reference appelee frequence pilote.La modulation AM DBSP nest pas utilisee pour la radiodiffusion mais pour des techniquesde multiplexage frequentiel : transmission de plusieurs signaux sur un meme support,

chaque signal etant transmis sur une porteuse differente.


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2.5. La modulation AM Double Bande Avec Porteuse 21

2.5 La modulation AM Double Bande Avec Porteuse

2.5.1 PrincipeSoit p(t) = A cos2f0t la porteuse et m(t) le message a transmettre. Le signal AM DBAPsecrit :

s(t) = (A + m(t))cos2f0t

Dans le cas dun signal modulant sinusodal m(t) = Am cos2fmt, le signal AM DBAPdevient :

s(t) = (A + Am cos2fmt)cos2f0t

= A(1 + AmA

cos2fmt)cos2f0t

= A(1 + k cos2fmt)cos2f0t

avec k = AmA

: indice de modulation (ou taux de modulation) = rapport entre lamplitudedu signal modulant et celle de la porteuse.

Pour un signal modulant quelconque, lindice de modulation est defini par :

k =|m(t)|max

A

2.5.2 Representation temporelle du signal AM DBAP

t

-Am

m(t)

Am

t

2,5 A

-2,5 A

0,5 A

-0,5 A

A

A

s(t) k > 1

(k = 1,5)

t

1,5 A

-1,5 A

0,5 A

-0,5 A

A

A

s(t)k < 1

(k = 0,5) smax

smin

t

2 A

2 A

A

A

s(t)

k = 1 enveloppedu signal

signal modulant

Si k 1, lenveloppe du signal module s(t) possede exactement la forme du signal modu-lant. Si k > 1, lenveloppe du signal module ne correspond plus au signal modulant : la

signal AM est surmodule. En pratique, on doit toujours avoir k 1.HAGGEGE, 2003 cours delectronique de communication ISET Rades

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Determination de lindice de modulation k a partir de la representation temporelle dusignal AM DBAP :

smax = A(1 + k)smin = A(1 k) k =smax

smin

smax + smin

Autre methode de determination pratique de lindice de modulation dun signal AMDBAP : methode du trapeze. On trace le signal module s(t) en fonction du signal modu-lant m(t) :

smax = A (1+k)

-smax = -A (1+k)

smin = A (1-k)

-smin = -A (1-k)

s(t)

m(t)

smax

-smin

s

max

+smin

M

N

P

k < 1 s(t)

m(t)

M

N

P

k > 1

k =smax sminsmax + smin

k = MNMP

2.5.3 Representation spectrale du signal AM DBAP

s(t) = A(1 + k cos2fmt)cos2f0t

= A cos2f0t + kA cos2fmt cos2f0t

= A cos2f0t +kA

2cos2(f0 fm)t + kA2 cos2(f0 + fm)t

Le spectre du signal AM DBAP possede donc une raie damplitude A a la frequence f0

de la porteuse et deux raies laterales damplitudekA

2 aux frequences f0 fm et f0 + fm.As(f)

A

kA

2

kA

2

f0 - fm f0 + fmf0


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2.5. La modulation AM Double Bande Avec Porteuse 23

Cas dun signal modulant quelconque :

As(f)

A

f0 - Bm f0 + Bmf0

bande

latrale

suprieure

bande

latrale

infrieure

Occupation spectrale du signal AM DBAP :

Bs = 2Bm

2.5.4 Puissance dun signal AM DBAP

On a les relations suivantes :

Ps = Pporteuse + PBLI + PBLS

PBLI = PBLS

dou :

Ps = Pporteuse + 2 PBL

Dans le cas dun signal modulant sinusodal :

Ps =A2

2+ 2 (

kA2

)2

2=

A2

2+

k2A2

4=

1 +

k2

2

A2

2

Ainsi :

Ps =

1 +

k2

2

Pporteuse

En general, le signal AM transmis ne doit pas etre surmodule : k 1. Pour k = 1 (valeurmaximale), on a donc :

Ps =3

2Pporteuse Pporteuse = 2

3Ps

Donc seul un tiers (au maximum) de la puissance du signal AM contient linformation

utile. Cest un inconvenient de la modulation AM DBAP : gaspillage de puissance.


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2.6 Generation du signal AM DBAP

2.6.1 Methode directe

A

m(t)

s(t)

cos 2f0t

Cette methode est tres peu utilisee.

2.6.2 Utilisation dune non linearite

m(t) s(t)

p(t) = A cos 2f0t

NLy(t)

f0

x(t)

Exemple : on considere la non linearite definie par :

y = F(x) = a0 + a1x + a2x2

Le signal y(t) secrit alors :

y(t) = F(m(t) + p(t))

= a0 + a1[m(t) + p(t)] + a2[m(t)2 + p(t)2 + 2m(t)p(t)]

= a00

+ a1m(t) Bm

+ a1p(t) f0

+ a2m(t)2

2Bm

+ a2p(t)2

2f0

+ 2a2m(t)p(t) f0

Apres filtrage passe bande du signal y(t) autour de la frequence f0, on obtient :

s(t) = a1p(t) + 2a2m(t)p(t)

= [a1 + 2a2m(t)]p(t)

Cest bien un signal AM DBAP :

Ay(f)

f0 2f0

a0a1m(t)

a2m(t)2

a1p(t)

a2p(t)2

2a2(m(t)p(t)

filtrage

passe bande

autour de f0

Bm 2Bm


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2.6. Generation du signal AM DBAP 25

Application pratique :

R

LC

+Vcc

HF

porteuse

BF

signal

modulant

Cl

LA

RbiHF

iBF

ib

s(t)ic

VCE

impdance Z

Dans ce circuit, le condensateur de liaison Cl (impedance faible aux hautes frequences,elevee aux basses frequences) et linductance darret LA (impedance elevee aux hautesfrequences, faible aux basses frequences, appelee egalement self de choc) permettent lai-guillage des courants HF et BF vers la base du transistor sans que les deux sources(porteuse et signal modulant) ne se perturbent mutuellement. On a ainsi :

ib = iHF + iBF

Le point de fonctionnement du transistor est choisi dans la zone non lineaire de sa ca-racteristique IC VCE :

IC

VCEIB

IC = IBVcc

R

Vcc

variation de

ib = iHF + iBF

variation de

VCE = f(iHF + iBF)

coude de saturation

= non linarit

point de

fonctionnement

Ainsi, la tension VCE est bien une fonction non lineaire de ib = iHF + iBF, pouvant etrerepresentee sous la forme :

VCE = a0 + a1ib + a2i

2

b + HAGGEGE, 2003 cours delectronique de communication ISET Rades

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Le filtrage autour de la frequence f0 de la porteuse est effectue par le circuit RLC setrouvant dans le circuit de collecteur du transistor. En effet, limpedance du circuit RLCest :

Z(f) = 11R

+ j

2f C 12fL

et sa frequence de resonnance est :

fr =1

2

LC

Celle-ci est choisie telle que fr = f0.

fr = f0f

Z(f)

R

En dehors de la resonnance (f f0 ou f f0), Z 0 et VCE = Vcc = constante. A laresonnance, Z = R et on a alors le signal AM DBAP sur le collecteur du transistor. On

a donc bien un filtrage de la porteuse et des bandes laterales.

2.6.3 Amplificateur a gain variable

Ampli

HF

p(t) = A cos 2f0t

(porteuse)

m(t)

(signal modulant)

commande

de gain

s(t)

A la frequence f0 de la porteuse, lamplificateur HF a un gain G(f0) = G0ej0 . Pour

une entree p(t) = A cos2f0t, on a s(t) = AG0 cos(2f0t + 0). Le gain G0 depend despolarisations du montage, on peut donc faire varier G0 en fonction de m(t) en agissantsur ces polarisations. Ainsi, le gain devient :

G = G0 + m(t)

Le signal modulant m(t) varie lentement par rapport a la porteuse dou :

s(t) = A[G0 + m(t)] cos(2f0t + 0) = AG0

1 +

G0m(t)

cos(2f0t + 0)

Cest bien un signal AM DBAP.


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2.7. Demodulation des signaux AM DBAP 27

Exemple de realisation dun emetteur AM 27 MHz :

+12 V

+12 V

27 MHz

2N2218

12 k

6,8k 47 220

47 nF

10 nF5-65

pF

100 pF

10 nFBD158

2N3053

10 nF

7-100

pF

7-100

pF

L1*

L2*

L3*

antenne

* L1 : 10 spires, fil diamtre 1 mm, noyau ferrite diamtre 9 mm

L2 : 15 spires, fil diamtre 1 mm, noyau ferrite diamtre 9 mm

L3 : 12 spires, fil diamtre 0,4 mm, noyau VK200

entremodulation

2.7 Demodulation des signaux AM DBAP

2.7.1 Demodulation coherente

m(t)^v(t)s(t)

cos 2f0t

(porteuse locale)

passe bas suppression

de la composante

continue


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Pour un signal m(t) tel que |m(t)|max = 1, on a :v(t) = s(t)cos2f0t

= A(1 + k m(t))cos2 2f0t

= A2

(1 + k m(t))(1 + cos 4f0t)

= A2

+ kA2

m(t) + A2

cos4f0t +kA

2m(t)cos4f0t

Apres filtrage passe-bas et suppression de la composante continue :

m(t) =k A

2m(t)

La demodulation coherente presente le probleme de la synchonisation de la porteuse localeavec la porteuse a lemission. Une methode de demodulation plus efficace est la detectiondenveloppe.

2.7.2 Demodulation AM par detection denveloppe

Principe : mesure de lenveloppe du signal pour recuperer le signal modulant m(t) :

t

s(t)

enveloppe = m(t)

Detecteur denveloppe :

R C R'

C'

s(t) m(t)^

redresseur cellule RCsuppression

de la composante

continue


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2.7. Demodulation des signaux AM DBAP 29

Fonctionnement : le signal AM est redresse par la diode afin de garder seulement lalter-nance positive. Le signal AM ne doit pas etre surmodule pour que lenveloppe du signalredresse soit proportionelle au signal modulant :

t

signalAMredress

Pendant lalternance positive du signal AM ou la diode conduit, le condensateur C secharge. Lorsque la diode se bloque pendant lalternance negative, le condensateur sedecharge a travers la resistance R avec une constante de temps = RC. Si cette constantede temps est suffisamment grande, la tension aux bornes du condensateur reproduit ap-proximativement la forme de lenveloppe du signal AM.

t

tension aux bornes

du condensateur

Apres elimination de la composante continue, on obtient le signal demodule :

t

m(t)^


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Si est de lordre de la periode Tm =1

fmdu signal modulant, le condensateur se decharge

trop lentement le signal demodule ne peut pas suivre les variations du signal modulant :

t

Tm

Si est de lordre de la periode T0 =1f0

de la porteuse, le condensateur se decharge troprapidement le signal demodule presente une forte ondulation haute frequence :

t

T0

Pour une demodulation correcte, on doit donc avoir :

T0 Tmcest-a-dire :

fm 1RC

f0

Lavantage de la modulation AM DBAP est la simplicite de la realisation du demodulateur.La modulation AM DBAP est tres utilisee pour la radiodiffusion.

2.8 La modulation AM a Bande Laterale Unique

2.8.1 Principe

En modulation AM double bande, avec ou sans porteuse, le spectre du signal modulepresente deux bandes laterales symetriques autour de la frequence de la porteuse. Cesdeux bandes laterales se deduisent lune de lautre, donc elles contiennent chacune la

meme information. Leur occupation spectrale vaut le double de celle du signal en bande


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37/77

2.8. La modulation AM a Bande Laterale Unique 31

de base. Il y a donc un gaspillage de la puissance de lemetteur et de la bande passantedu canal de transmission.

Principe de la modulation AM a bande laterale unique (BLU) : supprimer lune des deux

bandes laterales du signal transmis pour une meilleure exploitation de la puissance et dela bande passante.

La modulation BLU (ou SSB : Single Side Band) est principalement utilisee en ra-diotelephonie militaire et marine.

2.8.2 Caracteristiques du signal BLU

f

Am(f)

Bm

f0 + Bmf0

bande latrale

suprieure

bande latrale

infrieure

As(f)

f0 - Bm f0ff

As(f)

ou

signal modulant

signal BLU signal BLU

Occupation spectrale du signal BLU :

Bs = Bm

2.8.3 Generation du signal BLU par filtrage passe-bande

s(t)m(t)

cos 2f0t

passebande

f0 +Bm2

f0 -Bm2

(BLI)

(BLS)

ou


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f0 + Bm

filtrage de la

bande latrale

suprieure

f0f

As(f)

Probleme pose par cette methode : realisation dun filtre passe-bande avec une coupurenette en f0 (pente infinie) le spectre du signal modulant ne doit pas contenir defrequences tres basses pour pouvoir utiliser un filtre passe-bande realisable.

En pratique, on supprime les frequences du signal modulant comprises dans un intervalle[0 f] a laide dun filtre passe bande avant deffectuer la modulation (f = 300 Hz pourla telephonie) :

f

Am(f)

Bm f0 + Bm

filtrage

passe-bande

ralisable

f0f

As(f)

signal modulant signal BLU

f0 + ff0 - f

f 2f

Pour augmenter encore f afin de pouvoir utiliser un filtre passe-bande avec une faiblepente, on peut realiser une double modulation BLU :

f

Am(f)

Bm f1f

signal modulant

f1 + f

f f1 + ffiltrage

passe-bande

faible pente

f2f

As(f)

signal BLU

2(f1 + f)premire

modulation

BLU

deuxime

modulation

BLU

s(t)m(t)

cos 2f1t cos 2f2t


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2.8. La modulation AM a Bande Laterale Unique 33

2.8.4 Generation du signal BLU par la methode du dephasage

s(t)

m(t) cos 2f0t

sin 2f0t

filtredphaseur

m1(t)

+

+ (BLS) (BLI)

2

Le filtre dephaseur (ou filtre de Hilbert) presente un gain egal a 1 et introduit un dephasagede

2dans la bande de frequences [0 Bm] (Bm : occupation spectrale du signal modulant) :

f

f

H(f)

H(f)

1

2

Bm

Bm

Pour un signal modulant m(t) = Am cos2fmt, on a :

s(t) = m(t)cos2f0tm1(t)sin2f0t

= Am cos2fmt cos2f0t Am sin2fmt sin2f0t

= Am2

cos2(f0 + fm)t +Am

2cos2(f0 fm)t

Am2

[cos2(f0 + fm)t cos2(f0 fm)t]

=

Am cos2(f0 + fm)t (+ : BLS)

Am cos2(f0 fm)t ( : BLI)

La realisation pratique du filtre dephaseur reste cependant delicate.


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2.8.5 Demodulation du signal BLU

La demodulation dun signal BLU se fait par demodulation coherente :

m(t)^v(t)s(t)

cos 2f0t : porteuse locale

passe bas

Pour un signal BLU s(t) = Am cos2(f0 + fm)t, on a :

v(t) = s(t)cos2f0t

= Am cos2(f0 + fm)t cos2f0t

= Am2

cos2fmt +Am

2cos2(2f0 + fm)t

Apres filtrage passe-bas, on obtient le signal demodule :

m(t) =Am

2cos2fmt =

1

2m(t)

2.9 La modulation AM a Bande Laterale ResiduelleLa modulation AM a Bande Laterale Residuelle (BLR ou VSB : Vestigial Side Band) estutilisee lorsque les signaux a transmettre presentent des composantes spectrales impor-tantes aux tres basses frequences qui ne peuvent donc pas etre eliminees comme dans lecas de la modulation BLU. Exemple caracteristique : les signaux video. La modulationBLR est une technique intermediaire entre les modulations double bande et BLU.Principe :

f ff

Am(f) As(f)

f0Bmf0 + Bmf0 - Bm f0 Bm f0 + Bm

filtragesymtrie

locale

modulationdoublebande

sans porteuse

signal modulant signal BLR

Loccupation spectrale du signal BLR est :

Bs = (1 + )Bm avec 0 < < 1 ( = 0, 15 en general)

On montre que la demodulation dun signal BLR peut se faire par detection denveloppe.


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41/77

2.10. Exercices 35

2.10 Exercices

2.10.1 Modulateur AM a non linearite cubiqueLe schema bloc suivant represente un modulateur damplitude ou p(t) = A cos2f0trepresente la porteuse et m(t) = b x(t) le signal modulant avec |x(t)| 1. Le circuit nonlineaire est caracterise par lequation vs = a v3e ou vs designe sa sortie et ve son entree.

:2

NL +

+ +

+m(t)

p(t)

ve(t) vs(t) s(t)

e(t)filtre

passe bande

diviseur

defrquence

1. Donner lexpression des signaux ve(t) et vs(t).

2. Quelle est la condition sur le filtre passe bande pour obtenir un signal AM DBAPen sortie ? Donner alors lexpression de s(t).

3. Determiner lindice de modulation k du signal AM si A = 1, a = 2 et b = 0,2.Donner la representation temporelle puis spectrale de s(t).

Correction :

1. On a : ve(t) = m(t) + e(t)= bx(t) + A cos 0t

2avec 0 = 2f0

et :

vs(t) = ave(t)3 = a

bx(t) + A cos 0t

2

3= ab3x(t)3 + 3abx(t)A2 cos2 0t

2+ 3ab2x(t)2A cos 0t

2+ aA3 cos3 0t

2

= ab3x(t)3 + 3abx(t)A2

12

+ 12

cos 0t

+ 3ab2x(t)2A cos 0t2

+aA3

34

cos 0t2

+ 14

cos 30t2

2. Le signal vs(t) possede des composantes spectrales aux frequences f0, f02 et 3f02 . Lacomposante a la frequence f0 correspond au produit de x(t) par la porteuse. Il fautdonc garder seulement ce terme pour obtenir la modulation souhaitee : le filtre passebande doit ainsi posseder une frequence centrale fc = f0. A la sortie du filtre passebande, il ne reste plus que le terme 3

2abA2x(t)cos 0t. Le signal s(t) secrit alors :

s(t) = A cos2f0t +3

2abA2x(t)cos2f0t = A

1 +

3abA

2x(t)

cos2f0t

Cest bien un signal AM DBAP dont lindice de modulation est k = 3abA2

puisquon

a |x(t)| 1.HAGGEGE, 2003 cours delectronique de communication ISET Rades

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3. Pour A = 1, a = 2 et b = 0,2, on a :

k =3abA

2=

3

2

0,2

1

2= 0,6

Representation temporelle (cas dun signal modulant sinusodal) :

0 5 10 15-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

2

1.5

amplitude

temps

Representation spectrale :

f0 frquence

amplitude

f0fm f0+fm

0,3

1

2.10.2 Modulation damplitude en quadrature (QAM)

On veut transmettre deux messages m1(t) et m2(t) dont loccupation spectrale est res-pectivement Bm1 et Bm2 sur une meme porteuse de frequence f0. Pour cela, on utilise lesysteme de modulation suivant :

m1(t)

m2(t)

cos 2f0t

sin 2f0t

s(t)

+

+

/2


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2.10. Exercices 37

1. Ecrire lexpression temporelle du signal s(t) a transmettre (signal QAM).

2. Representer le spectre de s(t) en fonction de celui de m1(t) et m2(t) dans le cas oum

1(t) et m

2(t) sont des signaux sinusodaux de frequences respectives fm

1

et fm2

.

3. Donner loccupation spectrale de s(t) et conclure.

4. Proposer un demodulateur qui permet dextraire les signaux m1(t) et m2(t) du signals(t).

Correction :

1. Dapres le schema synoptique du modulateur, on a :

s(t) = m1(t)cos2f0t + m2(t)sin2f0t

Le signal s(t) est la somme des signaux AM DBSP m1(t)cos2f0t et m2(t)sin2f0t.

2. Le spectre du signal QAM s(t) est la somme des spectres des deux signaux AMDBSP :

fm1 fm2

Am1 Am2

f0 fm1 f0 f0 + fm1f0 fm2 f0 + fm2

f

ff

f

f0

f0

Am12 Am2

2

signauxmodulants

signauxmodulsenamplitudeDBSP

signals(t)transmis

f0 fm1 f0 + fm1f0 fm2 f0 + fm2

Bm1 = 2fm1 Bm2

= 2fm2

Bs = 2max(Bm1,Bm2)

Am12

Am22

3. Dapres le spectre de s(t), on a :

Bs = 2max(Bm1, Bm2)Le signal QAM contient deux signaux modulants et donc deux informations differen-tes. Loccupation spectrale de ce signal est egale a celle dun signal AM DBSP qui necontient quun seul signal. Donc la modulation QAM permet de transmettre deuxfois plus dinformation que la modulation AM DBSP en utilisant la meme bande

passante.


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4. On peut utiliser le demodulateur suivant :

cos2f0t

sin2f0t

s(t)

/2

m1(t)^

m2(t)^

v1(t)

v2(t)

En effet, on a :

v1(t) = s(t)cos2f0t = m1(t)cos2 2f0t + m2(t)sin2f0t cos2f0t

= 12

m1(t)(1 + cos 4f0t) + 12

m2(t)sin4f0t

=1

2m1(t) +

1

2m1(t)cos4f0t

2f0

+1

2m2(t)sin4f0t

2f0

Le filtre passe bas permet deliminer les composantes a la frequence 2f0 et on adonc :

m1(t) =1

2m1(t)

De meme :

v2(t) = s(t)sin2f0t = m1(t)cos2f0t sin2f0t + m2(t)sin2 2f0t

=1

2m1(t)sin4f0t +

1

2m2(t)(1 cos4f0t)

=1

2m1(t)sin4f0t

2f0

+1

2m2(t) 1

2m2(t)cos4f0t)

2f0

Le filtre passe bas permet deliminer les composantes a la frequence 2f0 et on adonc :

m2(t) =1

2m2(t)

2.10.3 Demodulation quadratique

On considere un signal s(t) module en amplitude DBAP. Determiner a quelle conditionle dispositif suivant permet de demoduler s(t) :

m(t)s(t)(.)2

QuadrateurFiltre

passe-bas

Suppression

de la composante

continue


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2.10. Exercices 39

Correction :Pour un signal modulant m(t) tel que |m(t)| 1, on a :

s(t) = A ((1 + k m(t))cos2f0t

et donc :s(t)2 = A2 ((1 + k m(t))2 cos2 2f0t

=A2

2

1 + 2k m(t) + k2 m(t)2

(1 + cos 4f0t)

=A2

2

1 + cos 4f0t + 2k m(t) + 2k m(t)cos4f0t + k

2 m(t)2 + k2 m(t)2 cos4f0t

Apres filtrage passe bas et elimination de la composante continue, on obtient :

m(t) = kA2m(t) + k2A2

2m(t)2

Pour que le signal demodule m(t) soit proportionnel au signal modulant m(t), il faut quele terme k

2A2

2m(t)2 soit faible devant le terme kA2m(t) :

k2A2

2m(t)2

kA2m(t)

|km(t)| 2

Comme on a |m(t)| 1, la condition secrit :|k| 2

2.10.4 Codage et decodage stereophonique

Le signal composite stereophonique c(t) possede le spectre suivant :

0 15 kHz 19 kHz 23 kHz 38kHz 53 kHz

Gauche + Droite

Gauche Droite

Sous-porteuse

Ac(f)

f

Il contient les voies droite d(t) et gauche g(t) par multiplexage frequentiel. La somme g(t)+d(t) est transmise en bande de base, la difference g(t) d(t) est transmise en modulationDBSP a la frequence f0 = 38 kHz. On a joute en plus une sous-porteuse (frequence pilote)a 19 kHz pour faciliter la synchronisation du demodulateur a la reception.

1. Justifier le choix du signal composite utilise.

2. Donner lexpression du signal composite c(t).


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3. Proposer un schema de decodeur stereophonique permettant dobtenir separementles signaux g(t) et d(t). On utilisera une demodulation coherente et des filtres.

Correction :

1. Le signal composite utilise permet de transmettre un signal stereophonique, cest-a-dire contenant un signal gauche g(t) et un signal droite d(t) , sans affecter lareception monophonique. En effet, un recepteur monophonique doit etre capable derecevoir correctement une emission stereophonique. Pour cela, on ne transmet pasdirectement les signaux g(t) et d(t) mais plutot le signal g(t) + d(t) qui constitue lesignal monophonique et le signal g(t)d(t) module sur une sous-porteuse de 38 kHzsituee au-dela du spectre des frequences audibles. Un recepteur monophonique recoitdonc seulement le signal g(t) + d(t) tandis quun recepteur stereophonique recoit enplus le signal g(t) d(t). Le recepteur stereophonique peut ainsi reconstituer lessignaux g(t) et d(t) a partir du signal composite recu.

2. Dapres le spectre du signal composite, on a :

c(t) = g(t) + d(t) + (g(t) d(t))cos2f0t + cos 2 f02

t

avec f0 = 38 kHz.

3. Schema dun decodeur stereophonique :

x 2

+/

c(t)

g(t) + d(t)

g(t)d(t)

g(t)

d(t)

0 - 15 kHz

23 -53 kHz

19 kHz

multiplicateur

defrquence

38 kHz

0 - 15 kHz

2.10.5 Cryptage par inversion de spectre

On veut crypter un message m(t), une emission de television par exemple, dont loccu-pation spectrale est Bm. Proposer le schema de principe dun systeme qui effectue uneinversion de spectre :

Am(f)

f

A'm(f)

f

cryptage


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2.10. Exercices 41

Correction :Pour realiser le cryptage par inversion de spectre, on peut effectuer une modulation abande laterale unique en conservant la bande laterale inferieure qui est symetrique par

rapport a la bande laterale superieure puis demoduler ce signal :

Am(f)

f

A'm(f)

modulation

BLU

fBm f0 Bm f0

dmodulationBande

Latrale

Infrieure

signalen "clair" signalcrypt

2.10.6 Puissance dun signal AM

Sachant quun signal AM double bande avec porteuse est emis avec une puissance de1000 W, completer le tableau suivant :

Indice de modulation Pporteuse (W) PBLI (W) PBLS (W)1

734,6956,9 21,9

87,2

Correction :

Premiere ligne du tableau :

Ps =

1 + k2

2

Pporteuse Pporteuse = Ps

1+k2

2

= 10001,5

= 666,7 W

Ps = Pporteuse + 2PBL PBLI = PBLS = PsPporteuse2 = 1000666,72 = 166,7 W

Deuxieme ligne :

Ps = 1 +k2

2 Pporteuse k = 2

PsPporteuse

1 = 2

1000734,6

1 = 0,85

Ps = Pporteuse + 2PBL PBLI = PBLS = PsPporteuse2 = 1000734,62 = 132,7 W

Troisieme ligne :

Ps =

1 + k2

2

Pporteuse

Ps = Pporteuse + 2PBL

1 + k

2

2

Pporteuse = Pporteuse + 2PBL k22 Pporteuse = 2PBL

PBLPporteuse

= k2

4 k = 2

PBL

Pporteuse= 2

21,9

956,9= 0,3

PBLS = PBLI = 21,9 W


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Quatrieme ligne :

Pporteuse =Ps

1+k22 Pporteuse = Ps 2PBL Ps1 + k22 = Ps 2PBL k =

4PBLPs

1 2PBLPs= 4

87,21000

1 2 87,21000= 0,65

Pporteuse =Ps

1 + k2

2

= 10001 + 0,65

2

2

= 825,6 WPBLS = PBLI = 87,2 W

On a ainsi :

Indice de modulation Pporteuse (W) PBLI (W) PBLS (W)1 666,7 166,7 166,7

0,85 734,6 132,7 132,70,3 956,9 21,9 21,9

0,65 825,6 87,2 87,2


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Chapitre 3

La modulation de frequence

3.1 Definitions

Soit un signal s(t) = A cos(2f0t + (t)). On definit :

- la phase instantanee :

i(t) = 2f0t + (t)

- la frequence instantanee :

Fi(t) =1

2

di(t)

dt= f0 +

1

2

d(t)

dt

La modulation de frequence (FM : Frequency Modulation) est la transformation du mes-sage m(t) a transmettre en variations de la frequence instantanee du signal s(t) qui esttransmis sur le canal de transmission. La transformation est lineaire :

Fi(t) = f0 + kf m(t)

On en deduit lexpression du signal module en frequence :

i(t) = 2t

0Fi(u)du = 2f0t + 2kf

t0

m(u)du

dou :

s(t) = A cos

2f0t + 2kf

t0

m(u)du


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44 Chapitre 3. La modulation de frequence

Representation temporelle :

t

t

m(t)

s(t)

signalmodulant

signalFM

3.2 Caracteristiques de la modulation de frequence

La FM possede une tres bonne resistance au bruit (perturbations) : elle est utilisee pourla radiodiffusion haute fidelite et les transmissions par satellites.Cest une modulation a enveloppe constante, dou :

- puissance constante : PFM =A2

2, independante du signal modulant m(t), ce qui

facilite le dimensionnement et la realisation des emetteurs ;

- resistance aux non linearites :

NLs(t)

signalFM

u(t)

u = a0 + a1s + a2s2 + a3s

3 +

s(t) = A cos(2f0t + (t))

u(t) = m + n cos(2f0t + (t)) + p cos(4f0t + 2(t)) + q cos(6f0t + 3(t)) + Un filtrage passe bande permet de recuperer le signal FM : n cos(2f0t + (t)).On peut ainsi utiliser, pour lamplification des signaux FM, des amplificateurs depuissance fonctionnant pres de la saturation (zone fortement non lineaire), doncavec un tres bon rendement : amplificateurs a T.O.P (tubes a ondes progressives)pour les transmissions satellites et les faisceaux hertziens.


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3.3. Analyse spectrale du signal FM 45

3.3 Analyse spectrale du signal FM

3.3.1 Developpement en serie de Fourier dun signal FMSoit un signal FM :

s(t) = A cos

2f0t + 2kf

t0

m(u)du

On ne sait pas calculer le spectre de s(t) pour un signal modulant m(t) quelconque. Oneffectue le calcul dans le cas dun signal modulant sinusodal :

m(t) = Am cos2fmt

Dans ce cas, la frequence instantanee du signal FM est :

Fi(t) = f0 + kfm(t) = f0 + kfAm cos2fmt

Fi(t) varie de maniere sinusodale dans un intervalle [f0 f, f0 + f] avec :f = kfAm

f est appele excursion maximale en frequence. Cest une grandeur proportionnelle alamplitude du signal modulant.On en deduit la phase instantanee du signal FM :

i(t) = 2 t

0Fi(u)du = 2f0t +

kfAmf

m

sin2fmt

On definit lindice de modulation du signal FM :

=f

fm=

kfAmfm

Le signal FM secrit donc :

s(t) = A cos(2f0t + sin2fmt)

Cest un signal periodique. On montre que son developpement en serie de Fourier secrit :

s(t) = A+

n=Jn()cos2(f0 + nfm)t

ou Jn() est la fonction de Bessel de premiere espece dordre n.

3.3.2 Les fonctions de Bessel de premiere espece

La fonction de Bessel de premiere espece dordre n est definie par :

Jn(x)def=

1

2

exp(jx sin jn)d


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Elle peut etre developpee en serie par :

Jn(x) =+

m=0(1)m(x

2)n+2m

m! (n + m)!

Elle possede les proprietes suivantes :

Jn(x) = (1)nJn(x)Jn(x) = (1)nJn(x)

Jn1(x) + Jn+1(x) =2n

xJn(x)

Pour x 1, Jn(x) xn

2n n!

Pour x 1, Jn(x) 2

xcos

x

4 n

2

+

n=J2n(x) =

+n=

+m=

Jn(x)Jm(x) = 1

Representation graphique :

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

-0. 5

0

0.5

1

J1()

J0()

J2()J3()

J4()


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Table des fonctions Jn() pour differentes valeurs de lindice :

n\ 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10 1.000000 0.99002 0.9604 0.912 0.84629 0.7652

1 0 0.099501 0.19603 0.2867 0.36884 0.44005

2 0 0.0049834 0.019735 0.043665 0.075818 0.1149

3 0 0 .00016625 0.0013201 0.0043997 0.010247 0.019563

4 0 4.1583e-006 6.6135e-005 0.00033147 0.001033 0.0024766

5 0 8.3195e-008 2.6489e-006 1.9948e-005 8.3084e-005 0.00024976

6 0 1 .3869e-009 8.8382e-008 9 .9956e-007 5 .5601e-006 2.0938e-005

7 0 1.9816e-011 2.527e-009 4.2907e-008 3.1864e-007 1.5023e-006

8 0 2.4774e-013 6.321e-011 1.611e-009 1.5967e-008 9.4223e-008

9 0 2.753e-015 1.4053e-012 5.3755e-011 7.1092e-010 5.2493e-009

10 0 2 .7532e-017 2.8116e-014 1.614e-012 2 .8478e-011 2.6306e-010

11 0 2 .5031e-019 5.1136e-016 4 .4047e-014 1 .0368e-012 1.198e-011

12 0 2.0861e-021 8.5248e-018 1.1018e-015 3.4597e-014 4.9997e-013

13 0 1.6048e-023 1.3118e-019 2.5439e-017 1.0655e-015 1.9256e-014

14 0 1.1463e-025 1.8744e-021 5.4536e-019 3.0465e-017 6.8854e-016

15 0 7.6424e-028 2.4996e-023 1.0911e-020 8.1294e-019 2.2975e-017

16 0 4.7767e-030 3.1249e-025 2.0465e-022 2.0335e-020 7.1864e-019

n\ 2 3 4 5 6 70 0.22389 -0.26005 -0.39715 -0.1776 0.0.15065 0.30008

1 0.57672 0.33906 -0.066043 -0.32758 -0.27668 -0.0046828

2 0.35283 0.48609 0.36413 0.046565 -0.24287 -0.30142

3 0.12894 0.30906 0.43017 0.36483 0.11477 -0.16756

4 0.033996 0.13203 0.28113 0.39123 0.35764 0.1578

5 0.0070396 0.043028 0.13209 0.26114 0.36209 0.3479

6 0.0012024 0.011394 0.049088 0.13105 0.24584 0.3392

7 0.00017494 0.0025473 0.015176 0.053376 0.12959 0.23358

8 2.218e-005 0.00049344 0.0040287 0.018405 0.056532 0.12797

9 2.4923e-006 8.4395e-005 0.0009386 0.0055203 0.021165 0.058921

10 2.5154e-007 1 .2928e-005 0.00019504 0.0014678 0.006964 0.023539

11 2. 3043e-008 1.794e- 006 3.6601e-005 0.00035093 0.00 20479 0.0083348

1 2 1 .9 32 7e -0 09 2 .2 75 7e -0 07 6 .2 64 5e -0 06 7 .6 27 8e -0 05 0 .0 00 54 51 5 0 .0 02 65 56

1 3 1 .4 94 9e -0 10 2 .6 59 1e -0 08 9 .8 58 6e -0 07 1 .5 20 8e -0 05 0 .0 00 13 26 7 0 .0 00 77 02 2

1 4 1 .0 72 9e -0 11 2 .8 80 2e -0 09 1 .4 36 2e -0 07 2 .8 01 3e -0 06 2 .9 75 6e -0 05 0 .0 00 20 52

1 5 7 .1 83 e- 01 3 2 .9 07 6e -0 10 1 .9 47 9e -0 08 4 .7 96 7e -0 07 6 .1 91 7e -0 06 5 .0 59 e- 00 5

1 6 4 .5 06 e- 01 4 2 .7 48 8e -0 11 2 .4 71 7e -0 09 7 .6 75 e- 00 8 1 .2 01 9e -0 06 1 .1 61 2e -0 05

n\ 8 9 10 11 12 130 0.17165 -0.090334 -0.24594 -0.17119 0.047689 0.20693

1 0.23464 0.24531 0.043473 -0.17679 -0.22345 - 0.070318

2 -0.11299 0.14485 0.25463 0.13905 -0.08493 -0.21774

3 -0.29113 -0.18094 0.058379 0.22735 0.19514 0 .0033198

4 -0.10536 -0.26547 -0.2196 -0.01504 0.1825 0.21928

5 0.18577 -0.055039 -0.23406 -0.23829 -0.073471 0.13162

6 0.33758 0.20432 -0.014459 - 0.20158 -0.24372 -0.11803

7 0.32059 0.32746 0.21671 0.018376 -0.17025 -0.24057

8 0.22345 0.30507 0.31785 0.22497 0.045095 -0.14105

9 0.12632 0.21488 0.29186 0.30886 0.23038 0.066976

10 0.060767 0.12469 0.20749 0.28043 0.30048 0.23378

11 0.025597 0.062217 0.12312 0.20101 0.27041 0.29269

12 0.0096238 0.027393 0.06337 0.1216 0.19528 0.26154

13 0.0032748 0.01083 0.028972 0.064295 0.12015 0.19015

14 0.0010193 0.0038946 0.011957 0.030369 0.06504 0.11876

15 0.0002926 0.0012864 0.004508 0.013009 0.031613 0.065644

16 7.8006e-005 0.0003933 0.0015668 0.00511 0.013991 0.032725


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3.3.3 Representation spectrale du signal FM

Dapres les proprietes des fonctions de Bessel :

- le spectre du signal FM module par un signal sinusodal de frequence fm est constituedune infinite de raies distantes de fm, situees aux frequences f0nfm, damplitudeA Jn() ;

- les raies symetriques aux frequences f0 + nfm et f0nfm ont meme amplitude maissont en opposition de phase pour n impair car Jn() = (1)nJn() ;

- le nombre de raies est infini, mais Jn() 0 quand n donc le signal FM peutetre considere comme un signal a largeur de bande limitee ;

- lorsque lindice de modulation est faible, cest-a-dire 1, on a :

J0()

1, J1()

2

et Jn()

0 pour n > 1

donc le spectre est constitue dune raie a la frequence f0 de la porteuse et de deuxraies laterales aux frequences f0 fm et f0 + fm : il ressemble a un signal AMdouble bande avec porteuse sauf que les raies laterales sont en opposition de phasecar J1() = J1(). Un tel signal est appele signal FM a bande etroite (NBFM :Narrow Band FM).

f

f

f

f

= 0,2

= 5

= 3

= 1

f0 f0 + fmf0fm

f0 f0 + fmf0fm f0 + 2fmf02fm

f0f0 + fmf0fm

f0 + 2fmf02fm

f0 + 3fmf03fmf0 4fm f0+ 4fm

f0+5fmf05fm

f0f0 + fmf0fm

f0 + 2fmf02fm

f0 + 3fmf03fmf0 4fm f0+ 4fm

f0+5fmf05fmf0+ 6fm

f0+7fm

f0+ 8fmf0 6fm

f07fmf0 8fm

0.99

0.10.1

0.76

0.44

0.11

0.44

0.11

0.260.34 0.490.31

0.130.04

0.340.490.31

0.130.04 0.010.01

f0+ 6fmf0 6fm

0.18

0.33

0.05

0.360.39

0.26

0.13

0.050.02

0.33

0.05

0.360.39

0.26

0.13

0.050.02


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3.3.4 Occupation spectrale utile du signal FM

Le signal FM possede theoriquement une occupation spectrale infinie (nombre de raies

infini), il necessite donc un canal de transmission possedant une bande passante infinie :irrealisable en pratique.La transmission du signal FM se fait donc en remarquant que, pour une valeur donnee delindice de modulation , lamplitude des raies spectrales devient de plus en plus faiblelorsquon seloigne de la frequence de la porteuse. On peut donc negliger les raies dont lerang est superieur a une certaine valeur qui reste a determiner en fonction de .Soit N() le nombre de raies significatives de part et dautre de la porteuse. Loccupationspectrale utile du signal FM est donc :

Bs = 2N()fm

Il existe differents criteres de determination de N(), par exemple la regle de Carson :pour mesurer N(), on ne garde que les raies dont la somme des puissances constitue aumoins 98 % de la puissance totale du signal FM.En utilisant le developpement en serie de Fourier du signal FM, la puissance de celui-cisecrit :

PFM =+

n=

[A Jn()]22

=A2

2

+n=

Jn()2 =

A2

2(car

+n=

Jn()2 = 1)

Le nombre N() de raies significatives selon la regle de Carson est donc defini parlinegalite :

A2

2

+N()n=N() J

n()2

puissance des raies significatives

0, 98 A2

2 98 % de la puissance totale

cest-a-dire :+N()

n=N()Jn()

2 0, 98

ou encore :

J0()2 + 2

N()n=1

Jn()2 0, 98

car, pour n > 1, on a Jn() = (1)n

Jn() donc Jn()2

= Jn()

2

.En utilisant la table des fonctions de Bessel, on trouve que :

N() = + 1

dou :Bs = 2(+ 1)fm

Puisque = ffm

, on a egalement :

Bs = 2

f

fm+ 1

fm = 2(f + fm) = 2(kfAm + fm)

Loccupation spectrale du signal FM depend donc de deux grandeurs :


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- lexcursion en frequence f, proportionnelle a lamplitude du signal modulant ;

- la frequence fm du signal modulant.

Dans le cas dun signal FM a faible indice ( 1), on a Bs = 2( + 1)fm 2fm : onretrouve loccupation spectrale dun signal AM.Dans le cas dun signal FM a grand indice ( 1), on a Bs = 2(+1)fm 2fm = 2kfAmdonc loccupation spectrale dun signal FM a grand indice de modulation (appele signalWBFM : Wide Band FM) est proportionnelle a lamplitude du signal modulant. Cedernier resultat est connu sous le nom de theoreme de Woodward.

3.3.5 Generalisation

Dans le cas dun signal modulant m(t) quelconque, on peut utiliser pour determiner loc-cupation spectrale utile du signal FM, le resultat trouve dans le cas dun signal modulant

sinusodal en definissant lindice de modulation generalise :

=f

Bm=

kf|m(t)|maxBm

avec :

- f = kf|m(t)|max : excursion maximale de la frequence instantanee ;- Bm : occupation spectrale du signal modulant.

La regle de Carson donne :Bs = 2(f + Bm)

Exemple de calcul : en radiodiffusion FM dans la bande 88 108 MHz, on a f = 75 kHzet Bm = 15 kHz (norme HI-FI : haute fidelite). Dans ce cas, on a :

=f

Bm=

75

15= 5

et :Bs = 2(f + Bm) = 2 (75 + 15) = 180 kHz

La valeur ainsi determinee constitue une estimation de Bs. Il reste necessaire deffectuerdes mesures pour chaque cas particulier.

3.4 Generation du signal FM

3.4.1 Principe

Generer un signal FM consiste a transformer des variations de tension en variations defrequence. La transformation tension u f requence f doit etre lineaire :

f(u) = f0 + kf uPour u = 0, f = f0 : le modulateur FM delivre la porteuse non modulee, kf est appelesensibilite du modulateur (en Hz/V) et mesure la variation de frequence f produite par

une variation de tension u.


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3.4. Generation du signal FM 51

3.4.2 Methode par variation de parametres

Le signal FM est obtenu en faisant varier la frequence dun oscillateur LC en agissant

sur la valeur de la capacite qui determine la frequence doscillation. Lelement a capacitevariable utilise est une diode varicap placee en parallele avec la capacite du circuit LC :

LA Cl

LCDVm(t) oscillateur

La diode varicap se comporte comme une capacite dont la valeur depend de la tension

inverse Vp appliquee entre ses bornes. La capacite dune diode varicap est :

C(Vp) =C0

1 + VpV0

nou C0, V0 et n sont des constantes. Par exemple, pour la diode BB909A : C0 = 30 pF,V0 = 700 mV et n = 0, 7.

0 5 10 15 20 25 30 350

5

10

15

20

25

30

C (pF)

Vp(V)

Vp DV

Le condensateur de liaison Cl, dimpedance negligeable en haute frequence, permet deviterque linductance L ne court-circuite le signal modulant m(t). Linductance darret LA (selfde choc), dimpedance negligeable en basse frequence, presente une impedance elevee enhaute frequence afin de ne pas court-circuiter le signal de loscillateur par la source dusignal modulant.La frequence de loscillateur est egale a la frequence de resonance du circuit LC donc :

f(Vp) =1

2

L[C+ C(Vp)]avec Vp = m(t)

En utilisant lapproximation (1 + x) 1 + x pour x 1, avec un signal modulant defaible amplitude Vp V0, on a :

C(Vp) =C0

1 + VpV0n = C0 1 +

VpV

0n C0 1

nVpV

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donc :

f(Vp) 1

2L C+ C0 1 nVpV0 =

1

2L C+ C0 nC0V0 Vp

=1

2

L(C+ C0)1 nC0

(C+C0)V0Vp = 1

2

L(C+ C0)

1 nC0

(C+ C0)V0Vp

12

12

L(C+ C0)

1 +

nC02(C+ C0)V0

Vp

Ainsi :

f(Vp) f0 + kfVp = f0 + kfm(t)

avec :

f0 =1

2

L(C+ C0)

et

kf =nC0f0

2(C+ C0)V0

La frequence de loscillateur est une fonction lineaire du signal modulant m(t). Loscilla-teur delivre donc bien un signal FM. Un tel oscillateur est appele oscillateur commandeen tension ou VCO (Voltage Controlled Oscillator).

Application : on veut transmettre un signal damplitude Am = 10 mV sur une porteusede frequence f0 = 98 MHz avec une excursion en frequence f = 75 kHz. Determiner lesvaleurs de L et C dans le cas ou une diode varicap BB109A est utilisee.

On a : f = kfAm, dou kf =fAm

= 7510

= 7, 5 kHz/mV. Des expressions de f0 et kftrouvees precedemment, on deduit :

L =1

42

f20 C0

1

2kfV0

nf0 74, 4 nH

et

C =C0

nf02kfV0

1 5, 42 pF

Avantage de cette methode : elle permet dobtenir des excursions en frequence impor-tantes.

Inconvenient : les caracteristiques de loscillateur varient avec le temps a cause du vieillis-sement des composants, des variations de temperature . . . dou une derive de la frequence

de la porteuse.


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3.4. Generation du signal FM 53

3.4.3 Modulateur dArmstrong

Cette methode est basee sur la generation dun signal FM a faible indice de modulation

1 tel que 1 1.Soit un signal FM :

s(t) = A cos(2f1t + (t))

avec :

(t) = 2kf

t0

m(u)du

Dans le cas dun signal modulant sinusodal m(t) = Am cos2fmt, on a :

(t) = 1 sin2fmt

Si 1 1, alors : |(t)| = |1 sin2fmt| 1 1ainsi :

|(t)| 1Le signal FM peut secrire :

s(t) = A cos2f1t cos (t)A sin2f1t sin (t)

Puisque |(t)| 1, on peut faire les approximations suivantes :

cos (t) 1sin (t) (t)

dou :

s(t) A cos2f1tA(t)sin2f1tOn en deduit le schema fonctionnel dun modulateur permettant dobtenir un signal FMa faible indice de modulation :

s(t)m(t)

Acos2f1t

2

(t)

intgrateurAsin2f1t

+

modulateurdefrquence faibleindice

2kf


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Le signal FM a faible indice genere par ce modulateur possede une frequence porteusef1 et une excursion en frequence f1 = 1fm, donc sa frequence instantanee varie danslintervalle [f1

f1, f1 + f1].

Pour obtenir un indice de modulation donne, on multiplie la frequence du signal FM afaible indice par une valeur n. Ainsi, la frequence instantanee du signal FM est rameneedans lintervalle [nf1nf1, nf1 + nf1] donc son excursion en frequence devient f =nf1. Lindice de modulation du signal FM devient alors :

=f

fm=

nf1fm

= n1

La frequence porteuse du signal FM ainsi obtenu est nf1. Pour obtenir un signal FM defrequence porteuse f0 donnee, on effectue un changement de frequence par une modulationdamplitude double bande sans porteuse avec une frequence porteuse f2. Le signal FMobtenu possede alors une frequence porteuse f

0telle que :

f0 = f2 n f1En effectuant un filtrage passe-bande, on peut conserver lune des deux composantesf0 = f2 nf1 ou f0 = f2 + nf1.Ainsi, en choisissant convenablement les valeurs de n et f2, on peut obtenir un signalFM de frequence porteuse et dindice de modulation quelconques. Un modulateur FMfonctionnant selon ce principe est appele modulateur dArmstrong.Schema fonctionnel du modulateur dArmstrong :

modulateurdefrquence

faibleindice

multiplicateurdefrquence

parn

f1 f2

f1

f1

n f1

n f1

f0 = f2 n f1+

n f1

m(t)s(t)

changement

defrquence

filtrage

passe bandef0 = f2 + n f1

f0 = f2 n f1

ou

n f1

frquence

centrale = f0

Application : le modulateur de frequence a faible indice delivre un signal FM de frequenceporteuse f1 = 0,5 MHz et dindice de modulation 1 = 0,1. On veut obtenir un signal FMde frequence porteuse f0 = 98 MHz et dindice de modulation = 5. Calcul de n et f2 :

= n1 n =

1 =

5

0,1 = 50

f0 = f2 nf1 f2 = f0 nf1 = 98 50 0,5 = 73 MHz98 + 50 0,5 = 123 MHz

On choisit en general la frequence la plus faible, donc on peut prendre f2 = 73 MHz. Lefiltre passe bande doit avoir une frequence centrale fc = f0 = 98 MHz.Lavantage du modulateur dArmstrong reside dans le fait que les oscillateurs utilises pourgenerer les frequences porteuses f1 et f2 possedent une frequence constante, pouvant doncetre fixee avec une grande precision en utilisant par exemple un quartz, dou une bonnestabilite de la frequence porteuse du signal FM au cours du temps, contrairement a la

methode par variation de parametres utilisant une diode varicap.


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3.5. Demodulation des signaux FM 55

3.5 Demodulation des signaux FM

3.5.1 DiscriminateurSoit le signal FM :

s(t) = A cos(2f0t + (t))

avec :

(t) = 2kf

t0

m(u)du

Si on derive le signal s(t), on obtient :

dsdt

= A2f0 + ddt

sin(2f0t + (t))

or :d

dt= 2kf m(t)

donc :ds

dt= 2A[f0 + kfm(t)] sin(2f0t + (t))

Le signaldsdt est un signal FM dont lenveloppe est une fonction lineaire du signal modulant

m(t). Une detection denveloppe permet de recuperer m(t). On en deduit le schema deprincipe dun discriminateur :

filtre

drivateur

dtecteur

d'enveloppe

s(t) m(t)^

signal

FM

signal

dmodul

ds

dt

t

s(t)signalFM

t

ds

dt enveloppe

t

m(t)^ signaldmodul

Realisation pratique du filtre derivateur : loperation de derivation correspond a unemultiplication par j2f dans le domaine frequentiel. La fonction de transfert dun filtrederivateur est donc :

H(f) = j2f


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pente=

2f

H(f)

f

En pratique, on realise une approximation lineaire autour de la frequence f0 en utilisantun circuit resonnant :

H(f)

ff0 fr

frquencedusignal

FM dmoduler

frquencedersonnance

ducircuitRLC

LCs(t)

R

u(t)

linarisation

autourdef0

On choisit les valeurs de R, L et C de maniere a avoir la partie lineaire de la courbe

de resonance dans lintervalle [f0 f, f0 + f], f etant lexcursion en frequence dusignal FM a demoduler. La demodulation du signal FM se fait sur le flanc de la courbede resonance.

Pour augmenter la plage de linearite du filtre derivateur, on peut monter deux circuitsresonnants en tete-beche :

s(t) m(t)^

circuits

rsonnants

dtecteurs

d'enveloppe

H(f)

ff0

H1(f)

H2(f)

H1(f) + H2(f)

fr1

fr2

Les deux circuits resonnants de frequences de resonance fr1 et fr2 relativement prochesrestent cependant delicats a regler.

Inconvenient de la demodulation FM par le discriminateur : sensibilite aux variations

damplitude parasites du signal FM puisque la modulation de frequence est transformee


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3.5. Demodulation des signaux FM 57

en modulation damplitude avant detre demodulee comme un signal AM par le detecteurdenveloppe. Pour resoudre ce probleme, on fait preceder le discriminateur par un limiteurqui permet deliminer les variations damplitude parasites sans perturber la modulation :

discriminateur

limiteur

s(t) m(t)^

3.5.2 Boucle a verrouillage de phase

La boucle a verrouillage de phase (BVP ou PLL : Phase Locked Loop) est utilisee lorsqueles conditions de reception du signal FM sont trop difficiles, pour lesquelles le discrimina-teur ne se comporte plus de maniere satisfaisante, par exemple dans le cas des communi-cations par satellites.Une PLL est un systeme boucle constitue dun comparateur de phase et dun oscillateurcommande en tension (VCO) :

+

comparateur

dephase

VCO

s(t)

r(t)

y(t)

On note :

- s(t) = A cos(2f0t + (t)) avec (t) = 2kf

t0

m(u)du, le signal FM a demoduler ;

- y(t), le signal delivre par le comparateur de phase qui represente la sortie de la PLL ;

- r(t) = B cos(2f0t + (t)) avec (t) = 2k0

t0

y(u)du, le signal de sortie du VCO

qui constitue le signal de retour de la PLL.Le comparateur de phase est un dispositif qui delivre une tension y(t) proportionnelle audephasage entre les signaux dentree :

y(t) = K [(t) (t)]ou K est la sensibilite du comparateur de phase.Le VCO est un modulateur FM dont la frequence porteuse est f0, egale a la frequenceporteuse du signal a demoduler, et la sensibilite est k0.La tension en sortie du comparateur de phase est :

y(t) = K

[(t)

(t)] = K 2kf

t

0

m(u)du

2k0 t

0

y(u)duHAGGEGE, 2003 cours delectronique de communication ISET Rades

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En derivant cette expression par rapport au temps, on obtient :

dy

dt

= 2kfKm(t)

2k0Ky(t)

ou encore :dy

dt+ 2k0Ky(t) = 2kfKm(t)

Cest une equation differentielle lineaire du premier ordre. On pose :

=1

2k0K: constante de temps de la PLL

G =kfk0

: gain de la PLL

Ainsi, lequation de la PLL secrit :

dy

dt+ y(t) = Gm(t)

Reponse indicielle de la PLL :

m(t) y(t)

t t

m y = Gm

En regime permanent, cest-a-dire pour t 3, on a :dy

dt 0 2k0Ky 2kfKm y kf

k0m = G m

Le signal y(t) en sortie de la PLL presente donc une variation proportionnelle a la variationm du signal modulant. Donc si le signal modulant varie assez lentement pour que laPLL puisse atteindre son regime permanent a tout instant, on a bien une demodulationdu signal FM.En pratique, on insere dans la chane daction de la PLL un filtre passe-bas qui permet

de regler ses performances (temps de reponse, gain, depassement, . . .) :

+

comparateur

dephase

VCO

s(t)

r(t)

y(t)

filtre

passe-bas


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3.6. Les recepteurs a changement de frequence 59

3.6 Les recepteurs a changement de frequence

La fonction dun recepteur radio est de restituer le message transmis a partir du signalHF (porteuse) recu au niveau de lantenne. Generalement, le recepteur doit recevoir plu-sieurs emis

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