Gunter Rote- Curves with Increasing Chords

8/3/2019 Gunter Rote- Curves with Increasing Chords

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T e c h n i s c h e U n i v e r s i t

a t G r a z I n s t i t u t f

u r M a t h e m a t i k

C h r i s t i a n - D o p p l e r - L a b o r a t o r i u m

"

D i s k r e t e O p t i m i e r u n g \

C u r v e s w i t h I n c r e a s i n g C h o r d s

G

u n t e r R o t e

R e p o r t 2 4 5 A p r i l 1 9 9 3 C D L D O - 1 1

T e c h n i s c h e U n i v e r s i t

a t G r a z , S t e y r e r g a s s e 3 0 , A - 8 0 1 0 G r a z , A u s t r i a

V e r s i o n 2

T h i s r e p o r t a p p e a r e d i n t h e M a t h e m a t i c a l P r o c e e d i n g s o f t h e C a m b r i d g e P h i l o s o p h i c a l S o c i e t y 1 1 5 ( 1 9 9 4 ) , 1 { 1 2 .

T i t l e p a g e p r o c e s s e d b y T

E

X o n F e b r u a r y 1 4 , 1 9 9 5



C u r v e s w i t h I n c r e a s i n g C h o r d s

G

u n t e r R o t e

I n s t i t u t f

u r M a t h e m a t i k , T e c h n i s c h e U n i v e r s i t

a t G r a z

S t e i r e r g a s s e 3 0 , A - 8 0 1 0 G r a z , A u s t r i a

r e c e i v e d 1 6 F e b r u a r y 1 9 9 3 ;

A b s t r a c t

A c u r v e h a s i n c r e a s i n g c h o r d s i f A D B C f o r a n y f o u r p o i n t s A ; B ; C ; D l y i n g

o n t h e c u r v e i n t h a t o r d e r . T h e l e n g t h o f s u c h a c u r v e t h a t c o n n e c t s t w o p o i n t s a t

d i s t a n c e 1 i s a t m o s t 2 = 3 i n t w o d i m e n s i o n s , w h i c h i s t h e o p t i m a l b o u n d , a n d l e s s

t h a t 3 0 i n t h r e e d i m e n s i o n s .

A M S 1 9 9 1 M a t h e m a t i c s S u b j e c t C l a s s i c a t i o n s : 5 2 A 4 0 5 1 K 9 9 , 5 1 M 0 4 ,

5 1 M 2 5 , 5 2 A 3 8

1 I n t r o d u c t i o n

L e t A B d e n o t e t h e E u c l i d e a n d i s t a n c e b e t w e e n t w o p o i n t s A a n d B I f f : [ 0 ; 1 ! R

n

i s a

c u r v e , f [ t

1

; t

2

] d e n o t e s t h e p a r t o f t h e c u r v e b e t w e e n f ( t

1

) a n d f ( t

2

) , a n d l e n g t h ( f [ t

1

; t

2

)

d e n o t e s i t s l e n g t h . T h e l e n g t h o f t h e w h o l e c u r v e i s d e n o t e d b y l e n g t h ( f )

D e n i t i o n . L e t f : [ 0 ; 1 ! R

n

b e a n n - d i m e n s i o n a l c u r v e .

1 f h a s i n c r e a s i n g c h o r d s , i f f o r 0 t

1

t

2

t

3

t

4

1 , f ( t

1

) f ( t

4

) f ( t

2

) f ( t

3

)

2 . T h e m i n i m u m g r o w t h r a t e o f f i s

i n f

f ( t

1

) f ( t

2

)

l e n g t h ( f [ t

1

; t

2

)

: 0 t

1

< t

2

1

;

i f f i s r e c t i a b l e a n d 0 o t h e r w i s e .

T h e c o n d i t i o n s i n t h e s e d e n i t i o n s e x p r e s s s o m e s o r t o f \ s m o o t h n e s s " o f t h e c u r v e s ,

a l t h o u g h p i e c e w i s e l i n e a r c u r v e s a r e n o t f o r b i d d e n . D e n i t i o n 2 c o n t a i n s t h e m i n i m u m

g r o w t h r a t e a s a n u m e r i c a l p a r a m e t e r , a n d t h u s i t a l l o w s u s t o e x p r e s s v a r i o u s \ d e g r e e s "

o f s m o o t h n e s s o f c u r v e s . I n t h i s p a p e r w e i n v e s t i g a t e r e l a t i o n s b e t w e e n t h e s e c o n c e p t s

o f s m o o t h n e s s .

L a r m a n a n d M c M u l l e n [ 2 ] s h o w e d t h a t t h e m i n i m u m g r o w t h r a t e o f a p l a n e c u r v e

w i t h i n c r e a s i n g c h o r d s i s a t l e a s t 1 =

p

1 2 0 2 8 9 a n d i n d i c a t e d h o w t h i s b o u n d c a n

b e i m p r o v e d t o a p p r o x i m a t e l y 0 . 3 . T h e y c o n j e c t u r e d t h a t t h e t r u e l o w e r b o u n d i s

3

2

0 4 7 7 , w h i c h i s t h e m i n i m u m g r o w t h r a t e o f t w o 6 0

a r c s a r o u n d t h e e n d p o i n t s

f ( 0 ) a n d f ( 1 ) , s e e g u r e 1 . T h i s c o n j e c t u r e i s m e n t i o n e d a s p r o b l e m G 3 i n t h e b o o k o f

C r o f t , F a l c o n e r , a n d G u y [ 1

1



A B

f

F i g u r e 1 : T h e l o n g e s t p a t h w i t h i n c r e a s i n g c h o r d s b e t w e e n A a n d B

W e p r o v e t h i s c o n j e c t u r e , a n d w e b o u n d t h e m i n i m u m g r o w t h r a t e o f c u r v e s w i t h

i n c r e a s i n g c h o r d s i n h i g h e r d i m e n s i o n s .

T h e r e s u l t s i n t h i s p a p e r h a v e a p p l i c a t i o n s i n t h e c o n t e x t o f p i e c e w i s e l i n e a r a p -

p r o x i m a t i o n s o f a c u r v e , w h e r e t h e a b o v e c o n c e p t s a r e u s e d t o d e n e \ w e l l - b e h a v e d "

c u r v e s f o r w h i c h s i m p l e a l g o r i t h m s s u c e t o c o m p u t e g o o d o r o p t i m a l a p p r o x i m a t i o n s

b e c a u s e c e r t a i n a n o m a l i e s c a n n o t a r i s e , s e e R o t e a n d T i c h y [ 3 ] . F o r t h e c o r r e c t n e s s o f a

c e r t a i n g r e e d y - l i k e a p p r o x i m a t i o n a l g o r i t h m w e n e e d e d a c o n d i t i o n w h i c h p r e v e n t s t h e

c u r v e f r o m g o i n g f r o m a p o i n t A t o a d i s t a n t p o i n t B a n d r e t u r n i n g t o A a g a i n w h i l e

r e m a i n i n g i n s i d e a n a r r o w , i n n i t e l y l o n g c y l i n d e r . I n o t h e r w o r d s , t h e c u r v e i s n o t

a l l o w e d t o \ t u r n a r o u n d " i n s i d e a n a r r o w c y l i n d e r . O n t h e o t h e r h a n d , w e d i d n o t w a n t

t o e x c l u d e p o l y g o n a l c u r v e s , b e c a u s e v e r y o f t e n t h e c u r v e s a r e g i v e n i n a d i s c r e t i z e d ,

i . e . , p o l y g o n a l w a y . S o t h e s i m p l e i d e a o f b o u n d i n g t h e c u r v a t u r e c a n n o t b e a p p l i e d .

W e a l s o d i d n o t w a n t t o e x c l u d e a c u r v e w h i c h c l o s e s i t s e l f a f t e r m a k i n g a \ l a r g e " t u r n .

O n e w a y t o r e s t r i c t c u r v e s i n a m e a n i n g f u l m a n n e r w i t h r e s p e c t t o t h e m e n t i o n e d a i m s

i s t o i m p o s e a n y o n e o f t h e c o n d i t i o n s 1 { 2 i n t h e a b o v e d e n i t i o n l o c a l l y , i . e . , o n l y

f o r p o i n t s f ( t

1

) ; f ( t

2

) ; : : : w h o s e d i s t a n c e a l o n g t h e c u r v e i s s m a l l e r t h a n s o m e s p e c i e d

b o u n d .

2 I n c r e a s i n g C h o r d s i n T h e P l a n e

T h e o r e m 1 T h e m i n i m u m g r o w t h r a t e o f a p l a n e c u r v e w i t h i n c r e a s i n g c h o r d s i s a t

l e a s t

3

2

P r o o f : L e t f : [ 0 ; 1 ! R

2

b e o u r c u r v e w i t h i n c r e a s i n g c h o r d s , s t a r t i n g a t A = f ( 0 ) a n d

e n d i n g a t B = f ( 1 ) . I t i s s u c i e n t t o s h o w t h a t l e n g t h ( f )

2

3

A B

B y t h e d e n i t i o n o f c u r v e l e n g t h ,

l e n g t h ( f ) : = s u p

m

X

i = 1

f ( t

i 1

) f ( t

i

) ; ( 1 )

w h e r e t h e s u p r e m u m i s t a k e n o v e r a l l s u b d i v i s i o n s 0 = t

0

< t

1

< t

2

< < t

m 1

<

t

m

= 1 o f t h e c u r v e .

L e t m e r s t g i v e a n o v e r v i e w o f t h e p r o o f . W e t a k e a n y x e d s u b d i v i s i o n a s a b o v e .

I n t h e r s t s t e p w e w i l l s i m p l i f y f a n d r e p l a c e i t b y a m o r e m a n a g e a b l e c u r v e g f r o m

A = f ( 0 ) t o B = f ( 1 ) w h i c h g o e s t h r o u g h t h e p o i n t s f ( t

1

) , f ( t

2

) , i n t h a t o r d e r ,

2



a n d w h o s e l e n g t h i s a t m o s t t h e l e n g t h o f f ( a n d o f c o u r s e b i g g e r t h a n t h e s u m o n t h e

r i g h t s i d e o f ( 1 ) ) . I n p a r t i c u l a r , e a c h p i e c e o f g b e t w e e n f ( t

i

) a n d f ( t

i + 1

) c o n s i s t s o f a t

m o s t o n e c o n v e x p i e c e t u r n i n g t o t h e l e f t , o n e s t r a i g h t s e g m e n t , a n d o n e c o n v e x p i e c e

t u r n i n g t o t h e r i g h t , i n t h a t o r d e r o r i n t h e r e v e r s e o r d e r . S t i l l , w e e n s u r e t h a t g h a s

i n c r e a s i n g c h o r d s .

I n t h e s e c o n d s t e p w e f o l l o w a n i d e a t h a t w a s a l s o u s e d i n L a r m a n a n d M c M u l l e n [ 2 :

W e c o n v e x i f y g a n d o b t a i n a c o n v e x c u r v e ~ g w i t h t h e s a m e e n d p o i n t s a n d w i t h t h e s a m e

l e n g t h a s g . I n t u i t i v e l y , w e c u t g i n t o s m a l l p i e c e s a n d r e a r r a n g e t h e m a c c o r d i n g t o

d e c r e a s i n g s l o p e .

I n t h e t h i r d s t e p w e s h o w t h a t t h i s c u r v e l i e s i n t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e t w o d i s k s

w i t h r a d i u s 1 c e n t e r e d a t A a n d B . T h e c u r v e l e n g t h i s t h e r e f o r e b o u n d e d b y t h e l e n g t h

o f t h e t w o u p p e r 6 0

a r c s o f t h e t w o c i r c l e s , a n d w e a r e d o n e . I n t h i s s t e p w e w i l l

h a v e t o e s t a b l i s h a c o r r e s p o n d e n c e b e t w e e n p i e c e s o f ~ g a n d p i e c e s o f g , a n d t h e r e t h e

a b o v e - m e n t i o n e d p r o p e r t i e s o f t h e s i m p l i e d c u r v e g w i l l h e l p u s .

B e l o w w e w i l l d i s c u s s t h e t h r e e s t e p s i n d e t a i l . W e w i l l a s s u m e w . l . o . g . t h a t

A = f ( 0 ) = ( 0 ; 0 ) a n d B = f ( 1 ) = ( 1 ; 0 ) . L e t u s s t a t e t h e f o l l o w i n g e a s y l e m m a , w h i c h

i s a l r e a d y g i v e n i n L a r m a n a n d M c M u l l e n [ 2

L e m m a 1 T h e c u r v e f i s s t r i c t l y m o n o t o n e i n t h e x - d i r e c t i o n , i . e . , i f f ( t ) =

x t

y t

,

t h e n 0 t

1

< t

2

1 i m p l i e s x ( t

1

) < x ( t

2

)

L e t u s u s e t h e n o t a t i o n A

i

= f ( t

i

) . I n t h e r s t s t e p o f t h e p r o o f w e l o o k a t e a c h

p a r t f [ t

i

; t

i + 1

] o f t h e c u r v e i n t u r n a n d r e p l a c e i t b y t h e s h o r t e s t p o s s i b l e c u r v e b e t w e e n

A

i

a n d A

i + 1

s u c h t h a t t h e n e w p i e c e t o g e t h e r w i t h t h e o r i g i n a l c u r v e f r o m A t o A

i

a n d f r o m A

i + 1

t o B s t i l l h a s i n c r e a s i n g c h o r d s . W e s a y t h a t a c u r v e f : [ a ; b ! R

2

h a s

i n c r e a s i n g c h o r d s w i t h r e s p e c t t o s o m e s e t S i f f o r a l l P 2 S a n d f o r a l l a t

1

t

2

b ,

P f ( t

1

) P f ( t

2

)

L e m m a 2 A c u r v e f h a s i n c r e a s i n g c h o r d s w i t h r e s p e c t t o a s e t S i f a n d o n l y i f i t h a s

i n c r e a s i n g c h o r d s w i t h r e s p e c t t o t h e c o n v e x h u l l o f S

P r o o f : F o r a t

1

< t

2

b w i t h f ( t

1

) 6= f ( t

2

) , t h e b i s e c t o r o f f ( t

1

) a n d f ( t

2

) d i v i d e s

t h e p l a n e i n t o t w o h a l f p l a n e s . T h e c u r v e f h a s i n c r e a s i n g c h o r d s w i t h r e s p e c t t o S i f

a n d o n l y i f f o r a l l a t

1

< t

2

b w i t h f ( t

1

) 6= f ( t

2

) , t h e c l o s e d h a l f p l a n e b o u n d e d b y

t h e b i s e c t o r o n t h e s i d e o f f ( t

1

) c o n t a i n s S . F r o m t h i s t h e l e m m a f o l l o w s i m m e d i a t e l y .

W e w a n t o u r n e w c u r v e g

i

f r o m A

i

t o A

i + 1

t o h a v e i n c r e a s i n g c h o r d s w i t h r e s p e c t

t o f [ 0 ; t

i

] . I t i s t h e r e f o r e s u c i e n t t o l o o k a t t h e c o n v e x h u l l C o f f [ 0 ; t

i

] , s e e g u r e 2 .

T h e a r e a w h e r e g i s a l l o w e d t o r u n f r o m A

i

t o A

i + 1

i s b o u n d e d b y t h e t w o c o n v e x

s m o o t h i n v o l u t e s o f C s t a r t i n g a t A

i

t h a t a r e g e n e r a t e d b y a s t r i n g t h a t i s u n r o l l e d

a r o u n d C . I n a d d i t i o n , t h i s a r e a i s b o u n d e d b y t h e t w o i n v o l u t e s o f t h e c o n v e x h u l l o f

f [ t

i + 1

; 1 ] s t a r t i n g a t A

i + 1

. W e t a k e g

i

t o b e t h e s h o r t e s t c u r v e f r o m A

i

t o A

i + 1

w h i c h

d o e s n o t c r o s s t h e f o u r i n v o l u t e b o u n d a r i e s . O b v i o u s l y t h e c u r v e f [ t

i

; t

i + 1

] m u s t f u l l l

t h i s c o n d i t i o n , a n d t h e r e f o r e g

i

e x i s t s .

T h e f o l l o w i n g l e m m a s t a t e s a c o u p l e o f q u i t e i n t u i t i v e p r o p e r t i e s o f t h e c u r v e s , w h o s e

f o r m a l p r o o f i s n e v e r t h e l e s s r e l a t i v e l y l o n g .

3



C

A

A

i

A

i + 1

g

i

B

f

f

F i g u r e 2 : R e p l a c i n g t h e p a r t o f t h e c u r v e b e t w e e n A

i

a n d A

i + 1

b y a n e w c u r v e g

i

L e m m a 3 ( i ) T h e t y p i c a l s h a p e o f g

i

c o n s i s t s o f

( 1 ) a n i n i t i a l p i e c e o f o n e o f t h e i n v o l u t e s s t a r t i n g i n A

i

,

( 2 ) a s t r a i g h t - l i n e s e g m e n t , a n d

( 3 ) a n i n i t i a l p i e c e o f o n e o f t h e i n v o l u t e s s t a r t i n g i n A

i + 1

,

i n t h e g i v e n o r d e r . P a r t s ( 1 ) a n d ( 3 ) m a y b e m i s s i n g . I f a n y o f ( 1 ) o r ( 3 ) i s

p r e s e n t , t h e s e g m e n t ( 2 ) i s t a n g e n t t o i t . T h e s e g m e n t ( 2 ) m a y a l s o b e m i s s i n g

i n t h e e x t r e m e c a s e s t h a t p a r t s ( 1 ) a n d ( 3 ) a r e t a n g e n t t o e a c h o t h e r o r t h a t p a r t

( 1 ) g o e s t h r o u g h A

i + 1

o r p a r t ( 3 ) g o e s t h r o u g h A

i

. I f p a r t s ( 1 ) a n d ( 3 ) a r e b o t h

p r e s e n t t h e y t u r n i n o p p o s i t e d i r e c t i o n s .

( i i ) P a r t s ( 1 ) a n d ( 3 ) o f t h e c u r v e e a c h t u r n b y l e s s t h a n 9 0

( i i i ) T h e c u r v e g

i

h a s i n c r e a s i n g c h o r d s w i t h r e s p e c t t o f [ 0 ; t

i

( i v ) T h e i n v e r s e c u r v e o f g

i

h a s i n c r e a s i n g c h o r d s w i t h r e s p e c t t o f [ t

i + 1

; 1

( v ) T h e c u r v e g

i

i t s e l f h a s i n c r e a s i n g c h o r d s ( \ w i t h r e s p e c t t o i t s e l f " , s o - t o - s p e a k ) .

( v i ) T h e c u r v e g

i

i s n o t l o n g e r t h a n f [ t

i

; t

i + 1

( v i i ) T h e c o n v e x h u l l o f g

i

i s c o n t a i n e d i n t h e c o n v e x h u l l o f f [ t

i

; t

i + 1

P r o o f : S t a t e m e n t ( i ) f o l l o w s d i r e c t l y f r o m t h e f a c t t h a t t h e i n v o l u t e s a r e c o n v e x a n d

b e n d o u t w a r d s .

T o s e e ( i i ) , l e t

~

b e t h e i n i t i a l t a n g e n t d i r e c t i o n o f g

i

a t A

i

, a n d l e t

~

b e t h e n o r m a l

d i r e c t i o n p o i n t i n g t o w a r d s t h e i n n e r ( c o n c a v e ) s i d e o f t h e i n v o l u t e . N o w c o n s i d e r a

p o i n t T o n p a r t ( 1 ) o f t h e c u r v e g

i

w h e r e t h e t a n g e n t d i r e c t i o n h a s t u r n e d b y 9 0

a n d

i s p a r a l l e l t o

~

. B y t h e p r o p e r t i e s o f a n i n v o l u t e , t h e r e i s e i t h e r a s i n g l e p o i n t P o n

t h e c u r v e f [ 0 ; t

i

] l y i n g o n t h e c o n c a v e ( i n n e r ) s i d e o f t h e i n v o l u t e , s u c h t h a t t h e a n g l e

b e t w e e n

!

P A

i

a n d

~

i s 9 0

, o r t h e r e i s a s e q u e n c e P

j

o f p o i n t s a p p r o a c h i n g A

i

s u c h t h a t

4



t h e c o r r e s p o n d i n g a n g l e a p p r o a c h e s 9 0

. I n t h e r s t c a s e , T m u s t l i e a t l e a s t a s f a r

i n t h e d i r e c t i o n

~

a s P , a n d i t f o l l o w s t h a t P T < T A

i

. I n t h e s e c o n d c a s e , t h e s a m e

r e l a t i o n h o l d s f o r s o m e p o i n t P

j

w h i c h i s c l o s e e n o u g h t o A

i

a n d w h o s e a n g l e i s c l o s e

e n o u g h t o 9 0

N o w , T i s u s e d b y g

i

, a n d t h i s m e a n s t h a t t h e c u r v e f [ t

i

; t

i + 1

] m u s t n e c e s s a r i l y c r o s s

t h e r a y f r o m T i n t h e t a n g e n t d i r e c t i o n

~

i n s o m e p o i n t T i n o r d e r t o r e a c h A

i + 1

. T h e

d i s t a n c e o f T f r o m A

i

i s b i g g e r t h a n i t s d i s t a n c e f r o m P o r P

j

, r e s p e c t i v e l y , a n d t h i s

c o n t r a d i c t s t h e i n c r e a s i n g c h o r d p r o p e r t y .

S t a t e m e n t ( i i i ) i s t r u e f o r p a r t ( 1 ) , b e c a u s e t h e i n v o l u t e h a s t h i s p r o p e r t y : C i s

a l w a y s c o n t a i n e d o n o n e s i d e o f t h e n o r m a l l i n e o f t h e c u r v e . W h e n t h e c u r v e c h a n g e s

f r o m p a r t ( 1 ) t o p a r t ( 2 ) , t h e n o r m a l l i n e o f g , w h i c h w a s p r e v i o u s l y t a n g e n t t o C ,

m o v e s a w a y f r o m C , a n d h e n c e t h e d i s t a n c e f r o m C i n c r e a s e s . T h i s h o l d s a l s o i f p a r t

( 1 ) i s m i s s i n g . W h e n p a r t ( 3 ) o f t h e c u r v e s t a r t s , t h e n o r m a l l i n e t u r n s e v e n f u r t h e r

a w a y f r o m C . T h e o n l y t h i n g t h a t c a n h a p p e n i s t h a t t h e n o r m a l l i n e h i t s C o n t h e

o t h e r s i d e o f t h e c u r v e , b u t t h i s c a n a l s o b e e x c l u d e d : I t w o u l d m e a n t h a t t h e n o r m a l

l i n e q c o n t a i n s t h e f o l l o w i n g t h r e e p o i n t s i n t h e g i v e n o r d e r : T h e c u r r e n t p o i n t P o n t h e

i n v o l u t e , t h e p o i n t o n f [ t

i + 1

; 1 ] w h i c h i s t h e c e n t e r a b o u t w h i c h t h e i n v o l u t e c u r r e n t l y

r o t a t e s , a n d a n e x t r e m e p o i n t o f C , i . e . , a p o i n t o f f [ 0 ; t

i

] . A s P i s u s e d b y g

i

, i t m e a n s

t h a t f [ t

i

; t

i + 1

] m u s t i n t e r s e c t q i n a p o i n t w h i c h l i e s b e f o r e P ( i n t h e a b o v e o r d e r o n q )

T h e t h r e e p o i n t s o f f o n q n o w c l e a r l y v i o l a t e t h e i n c r e a s i n g c h o r d p r o p e r t y .

S t a t e m e n t ( i v ) i s a n a l o g o u s t o ( i i i ) , a n d ( v ) f o l l o w s e a s i l y f r o m ( i ) a n d ( i i ) .

S t a t e m e n t ( v i ) i s c l e a r f r o m t h e d e n i t i o n o f g , a n d ( v i i ) c a n b e s e e n b y c o n s i d e r i n g

t h e p o s s i b l e s h a p e s o f g

i

a c c o r d i n g t o ( i ) a n d t h e p o s s i b l e p a t h s t h a t f [ t

i

; t

i + 1

] c a n t a k e .

B y ( v i i ) a n d l e m m a 2 , e a c h c u r v e g

i

h a s n o t o n l y i n c r e a s i n g c h o r d s w i t h r e s p e c t t o

t h e o t h e r p a r t s o f f , b u t a l s o w i t h r e s p e c t t o t h e o t h e r p i e c e s g

k

. T h e r e f o r e w e c a n p u t

t o g e t h e r t h e p i e c e s g

1

, g

2

, , a n d w e o b t a i n a c u r v e g w i t h t h e d e s i r e d p r o p e r t i e s : I t

h a s i n c r e a s i n g c h o r d s , i t s l e n g t h l i e s b e t w e e n

P

m

i = 1

f ( t

i 1

) f ( t

i

) a n d t h e l e n g t h o f f , a n d

i t c o n s i s t s o f n i t e l y m a n y c o n v e x p i e c e s a n d s t r a i g h t l i n e s e g m e n t s . I n t h e r e m a i n d e r

o f t h e p r o o f w e w i l l o n l y w o r k w i t h t h e s i m p l i e d c u r v e g

I n t h e s e c o n d s t e p w e c o n v e x i f y t h e c u r v e g : [ 0 ; 1 ! R

2

. T h e i d e a i s t o c u t g i n t o

i n n i t e s i m a l p i e c e s a n d r e a r r a n g e t h e m a c c o r d i n g t o s l o p e . S i n c e g h a s n i t e l y m a n y

c o n v e x p i e c e s w e n e e d n o t w o r r y a b o u t p r o b l e m s w i t h l i m i t s a n d w e c a n g i v e a n e x p l i c i t

c o n s t r u c t i o n f o r t h e c o n v e x i e d c u r v e ~ g

F o r m a l l y , l e t 0 = t

0

< t

1

< t

2

< < t

m 1

< t

m

= 1 b e a s u b d i v i s i o n o f g s u c h

t h a t e a c h p i e c e g [ t

i 1

; t

i

] i s e i t h e r a s t r a i g h t l i n e s e g m e n t , s t r i c t l y c o n v e x , o r s t r i c t l y

c o n c a v e ( w h e n v i e w e d a s a f u n c t i o n o f x ) . T h e c o n v e x i e d c u r v e ~ g : [ 0 ; U ! R

2

w i l l

b e p a r a m e t e r i z e d b y a p a r a m e t e r u i n t h e f o l l o w i n g w a y : F o r e v e r y p i e c e g [ t

i 1

; t

i

t h e r e a r e t w o p o i n t s r

i

( u ) a n d s

i

( u ) i n t h e i n t e r v a l [ t

i 1

; t

i

] t h a t v a r y c o n t i n u o u s l y a n d

m o n o t o n i c a l l y w i t h u . I n i t i a l l y , r

i

( 0 ) = s

i

( 0 ) . T h e n r

i

d e c r e a s e s w i t h u a n d s

i

i n c r e a s e s

w i t h u u n t i l [ r

i

( U ) ; s

i

( U ) ] = [ t

i 1

; t

i

] . M o r e o v e r , f o r e a c h u t h e r e e x i s t s a d i r e c t i o n ( u )

i n t h e r a n g e [ = 2 ; = 2 ] ( w h e n m e a s u r e d b y i t s a n g l e w i t h t h e p o s i t i v e x - a x i s ) s u c h

t h a t f o r e v e r y i , g [ r

i

( u ) ; s

i

( u ) ] i s p r e c i s e l y t h a t p i e c e o f g [ t

i 1

; t

i

] w h i c h i s s t e e p e r t h a n

( u ) ( i n t h e s e n s e o f h a v i n g l a r g e r s l o p e ) .

M o r e p r e c i s e l y , l e t ~ b e t h e v e c t o r p o i n t i n g i n t h e d i r e c t i o n 9 0

c o u n t e r c l o c k w i s e

f r o m , i . e . , i n t o t h e u p p e r h a l f - p l a n e . I f g [ t

i 1

; t

i

] i s s t r i c t l y c o n c a v e ( a s a f u n c t i o n

5



o f x ) , w e h a v e r

i

( u ) = t

i 1

a n d

s

i

( u ) = a r g m a x

t

i 1

s t

i

h ~ ; g ( s ) i

I f g [ t

i 1

; t

i

] i s s t r i c t l y c o n v e x , t h e n s

i

( u ) = t

i

a n d

r

i

( u ) = a r g m i n

t

i 1

r t

i

h ~ ; g ( r ) i

F o r a s t r a i g h t s e g m e n t g [ t

i 1

; t

i

] , w e c a n f o r e x a m p l e s e t r

i

( u ) = s

i

( u ) = t

i

a s l o n g a s

( u ) i s s t e e p e r t h a n t h e s e g m e n t . T h e n t h e r e i s a n i n t e r v a l [ u ; u ] d u r i n g w h i c h ( u )

r e m a i n s s t a t i o n a r y a n d p a r a l l e l t o t h e s e g m e n t . I n t h i s i n t e r v a l r

i

( u ) d e c r e a s e s t o t

i 1

F o r h i g h e r v a l u e s o f u , r

i

( u ) a n d s

i

( u ) r e m a i n c o n s t a n t a g a i n .

C l e a r l y , ( u ) i s d e c r e a s i n g . I t i s e a s y t o c o n s t r u c t s u c h p a r a m e t e r i z a t i o n s ( u ) ,

r

i

( u ) , a n d s

i

( u ) . W e r e i t n o t f o r t h e s t r a i g h t p i e c e s o f g , w e c o u l d t a k e i t s e l f a s t h e

p a r a m e t e r . W e c a n a l s o e n s u r e t h a t ( u ) i s c o n t i n u o u s .

T h e c u r v e ~ g : [ 0 ; U ! R

2

i s n o w d e n e d b y t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n .

!

A ~ g ( u ) =

m

X

i = 1

!

g ( r

i

( u ) ) g ( s

i

( u ) ) ( 2 )

T h i s i s o n l y a w e a k l y m o n o t o n i c p a r a m e t e r i z a t i o n o f t h e c u r v e . I t i s c l e a r t h a t ~ g i s a

c u r v e f r o m A t o B . I t i s c o n v e x b e c a u s e i n e a c h p o i n t ~ g ( u ) t h e l i n e w i t h d i r e c t i o n ( u )

i s a s u p p o r t i n g l i n e . T h e c u r v e ~ g l i e s i n t h e u p p e r h a l f - p l a n e , a n d m o r e o v e r , i t h a s t h e

s a m e l e n g t h a s g . T h i s i s d u e t o t h e f o l l o w i n g f a c t : A s u i n c r e a s e s b y a s m a l l a m o u n t

t h e p a r t s o f g t h a t a r e a d d e d t o ~ g a r e e s s e n t i a l l y p a r a l l e l .

!

~ g ( u ) ~ g ( u + " ) =

m

X

i = 1

!

g ( r

i

( u + " ) ) g ( r

i

( u ) ) +

m

X

i = 1

!

g ( s

i

( u ) ) g ( s

i

( u + " ) )

T h e d i r e c t i o n o f t h e n o n - z e r o v e c t o r s i n t h i s s u m l i e s i n t h e r a n g e [ ( u + " ) ; ( u ) ] . T h u s

t h e l e n g t h o f t h e v e c t o r s u m d i e r s f r o m t h e s u m o f t h e l e n g t h s o f t h e v e c t o r s b y a t

m o s t a f a c t o r o f c o s ( ( u ) ( u + " ) ) , w h i c h c a n b e m a d e a r b i t r a r i l y c l o s e t o 1 .

I n t h e t h i r d s t e p o f t h e p r o o f , w e s h o w t h a t e a c h p o i n t o f t h e c u r v e ~ g h a s d i s t a n c e

a t m o s t 1 f r o m A a n d B . A s s u m e t h e c o n t r a r y , f o r e x a m p l e t h a t t h e l a r g e s t d i s t a n c e

f r o m B i s b i g g e r t h a n 1 . T h e n t h e r e m u s t b e a p o i n t T o n ~ g d i e r e n t f r o m A w i t h a

s u p p o r t i n g l i n e o f d i r e c t i o n s u c h t h a t t h e n o r m a l t o t h r o u g h T p a s s e s a b o v e B ,

s e e g u r e 3 . W e t a k e i n t h e d i r e c t i o n o f t h e c u r v e ~ g r u n n i n g f r o m A t o B , a n d w e n d

a p a r a m e t e r v a l u e u s u c h t h a t ( u ) i s t h i s d i r e c t i o n . A c c o r d i n g t o t h e r e p r e s e n t a t i o n

( 2 ) , w e c a n c u t t h e c u r v e g i n t o p a r t s a t t h e p o i n t s r

j

( u ) a n d s

j

( u ) . W e g e t t w o k i n d s o f

p a r t s : T h e \ u p w a r d " p a r t s g [ r

j

( u ) ; s

j

( u ) ] , w h e r e t h e s l o p e i s a l w a y s b i g g e r t h a n , a n d

t h e r e m a i n i n g \ d o w n w a r d " p a r t s g [ s

j 1

( u ) ; r

j

( u ) , g [ 0 ; s

1

( u ) ] , a n d g [ t

m

( u ) ; 1 ] , w h e r e t h e

s l o p e i s s m a l l e r . B y d i s c a r d i n g e m p t y \ p a r t s " a n d m e r g i n g t o g e t h e r a d j a c e n t n o n - e m p t y

p a r t s w h i c h a r e a l l u p w a r d o r w h i c h a r e a l l d o w n w a r d w e c a n a s s u m e t h a t u p w a r d a n d

d o w n w a r d p a r t s a l t e r n a t e o n t h e c u r v e , a n d t h a t t h e p a r t s a r e p r o p e r p a r t s o f p o s i t i v e

l e n g t h . T h e s u m o f t h e u p w a r d v e c t o r s i s

!

A T , b y ( 2 ) , a n d t h e d o w n w a r d v e c t o r s s u m

t o

!

T B . S i n c e t h e i n n e r p r o d u c t h

!

T B ; i < 0 , t h e r e m u s t b e a d o w n w a r d p a r t g [ u ; v

w h o s e s t a r t i n g p o i n t g ( u ) l i e s h i g h e r i n t h e d i r e c t i o n t h a n i t s e n d p o i n t g ( v ) . T h i s

p a r t m u s t b e a d j a c e n t t o s o m e u p w a r d p a r t ( s e e g u r e 4 , w h e r e t h e c a s e o f a n u p w a r d

p a r t w h i c h p r e c e d e s g [ u ; v ] i s s h o w n ) . H o w e v e r , t h i s l e a d s t o a c o n t r a d i c t i o n w i t h t h e

6



A B

~ g

T

F i g u r e 3 : H o w t h e c u r v e e x i t s t h e c i r c l e o f r a d i u s 1 a r o u n d B

i n c r e a s i n g c h o r d p r o p e r t y : A s o n e m o v e s a w a y f r o m t h e c o m m o n s u b d i v i s i o n p o i n t o n

t h e u p w a r d p a r t ( i n g u r e 4 t h i s i s t h e p o i n t g ( u ) ) , t h e d i s t a n c e t o t h e o t h e r e n d p o i n t

( g ( v ) i n t h e g u r e ) o f t h e d o w n w a r d p a r t d e c r e a s e s .

N o w t h e p r o o f o f t h e o r e m 1 i s c o m p l e t e : t h e l o n g e s t c o n v e x c u r v e f r o m A t o B w h i c h

i s c o n t a i n e d i n t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e t w o d i s k s f o l l o w s t h e b o u n d a r y o f t h i s i n t e r s e c t i o n ,

a s i n g u r e 1 , a n d t h i s l e n g t h i s 2 = 3

N o t e t h a t a c u r v e w i t h a p o s i t i v e m i n i m u m g r o w t h r a t e l e s s t h a n 1 d o e s n o t n e c e s -

s a r i l y h a v e i n c r e a s i n g c h o r d s , a s t h e e x a m p l e o f a s u c i e n t l y f a s t w i n d i n g l o g a r i t h m i c

s p i r a l s h o w s .

3 H i g h e r D i m e n s i o n s

W e w i l l n o w e s t a b l i s h a p o s i t i v e l o w e r b o u n d o n t h e g r o w t h r a t e o f a c u r v e w i t h i n -

c r e a s i n g c h o r d s i n t h r e e a n d h i g h e r d i m e n s i o n s . S i n c e t h e p r o o f f o r t h r e e d i m e n s i o n s

c o n t a i n s a l l t h e e s s e n t i a l i d e a s , w e w i l l r s t p r o v e t h i s c a s e i n s u c i e n t d e t a i l a n d d e r i v e

a n e x p l i c i t b o u n d .

F i r s t w e n e e d a l e m m a . W e s a y t h a t a c u r v e i s m o n o t o n e i n t h e d i r e c t i o n o f a v e c t o r

a i f t h e i n n e r p r o d u c t h f ( t ) ; a i i n c r e a s e s a l o n g t h e c u r v e .

L e m m a 4 S u p p o s e t h a t a c u r v e f : [ 0 ; 1 ! R

n

f r o m f ( 0 ) = A t o f ( 1 ) = B i s m o n o t o n e

i n t h e l i n e a r l y i n d e p e n d e n t d i r e c t i o n s q

1

; q

2

; : : : ; q

n

. T h e n t h e c u r v e i s c o n t a i n e d i n t h e

p a r a l l e l o t o p e ( p a r a l l e l e p i p e d )

P = f x 2 R

n

: h A ; q

i

i h x ; q

i

i h B ; q

i

i f o r i = 1 ; : : : ; n g ;

a n d i t s l e n g t h i s b o u n d e d b y t h e l e n g t h o f n s u c c e s s i v e e d g e s o f P l e a d i n g f r o m A t o B

P r o o f : F i r s t o f a l l i t i s c l e a r t h a t t h e c u r v e i s c o n t a i n e d i n P a n d t h a t t h e p a t h f o r m e d

b y n s u c c e s s i v e e d g e s o f P i s m o n o t o n e i n t h e d i r e c t i o n s q

1

; q

2

; : : : ; q

n

. T h e r e f o r e t h e

c l a i m e d b o u n d c a n a c t u a l l y b e a c h i e v e d .

7



g

g ( v )

g ( u )

F i g u r e 4 : D e r i v i n g t h e c o n t r a d i c t i o n t o t h e i n c r e a s i n g c h o r d p r o p e r t y

L e t Q b e t h e m a t r i x w h o s e r o w s a r e t h e v e c t o r s q

1

; q

2

; : : : ; q

n

, a n d t r a n s f o r m t h e

c o o r d i n a t e s x o f t h e c u r v e b y

x = Q x

L e t u s d e n o t e t h e b a s i s v e c t o r s o f t h e t r a n s f o r m e d c o o r d i n a t e s y s t e m ( t h e c o l u m n s

o f Q

1

) b y r

i

. W e m a y w . l . o . g . n o r m a l i z e t h e v e c t o r s q

i

i n s u c h a w a y t h a t t h e

v e c t o r s r

i

a r e u n i t v e c t o r s . T h e t r a n s f o r m e d c o o r d i n a t e s x

i

a r e j u s t t h e s c a l a r p r o d u c t s

w i t h t h e d i r e c t i o n s q

i

:

x

i

= h x ; q

i

i

B y a s s u m p t i o n , t h e s e c o o r d i n a t e s i n c r e a s e m o n o t o n i c a l l y a l o n g t h e c u r v e f , a n d t h e r e -

f o r e w e m a y p a r a m e t e r i z e t h e c u r v e b y u : = x

1

+ x

2

+ + x

n

. L e t u s a s s u m e t h a t

f : [ u

0

; U ! R

n

i s t h i s p a r a m e t e r i z a t i o n .

N o w t a k e a n y s u b d i v i s i o n u

0

< u

1

< u

2

< < u

m

= U o f t h e p a r a m e t e r i n t e r v a l

a n d c o n s i d e r t h e l e n g t h o f t h e c o r r e s p o n d i n g p o l y g o n a l p a t h .

L : =

m

X

j = 1

f ( u

j 1

) f ( u

j

) ( 3 )

L e t u s l o o k a t o n e t e r m o f t h i s s u m , f o r x e d v a l u e s o f u

j 1

a n d u

j

w i t h u : = u

j

u

j 1

,

a n d c o n s i d e r t h e m a x i m u m p o s s i b l e v a l u e o f f ( u

j 1

) f ( u

j

) f o r a g i v e n u . L e t x

d e n o t e t h e d i e r e n c e b e t w e e n t h e t r a n s f o r m e d c o o r d i n a t e s o f f ( u

j

) a n d f ( u

j 1

) : x : =

Q ( f ( u

j

) f ( u

j 1

) ) . T h e n w e h a v e f o r t h e c o o r d i n a t e s x

i

o f x :

x

i

0 , f o r i = 1 ; : : : ; n , a n d

x

1

+ x

2

+ + x

n

= u

( 4 )

T h e v e c t o r

!

f ( u

j 1

) f ( u

j

) w h o s e n o r m w e w a n t t o m a x i m i z e i s g i v e n b y

!

f ( u

j 1

) f ( u

j

) = Q

1

x =

n

X

i = 1

x

i

r

i

8



T h e p o s s i b l e r e s u l t i n g v e c t o r s

!

f ( u

j 1

) f ( u

j

) s u b j e c t t o t h e c o n s t r a i n t s ( 4 ) f o r m a s i m p l e x

w i t h v e r t i c e s u r

i

. S i n c e t h e n o r m i s a c o n v e x f u n c t i o n , i t t a k e s i t s m a x i m u m a t o n e

o f t h e v e r t i c e s o f t h e f e a s i b l e r e g i o n . I n o u r c a s e , a l l v e r t i c e s m a x i m i z e t h e n o r m : t h e i r

l e n g t h i s u = u

j

u

j 1

. S o w e o b t a i n f o r ( 3 )

L =

m

X

j = 1

f ( u

j 1

) f ( u

j

)

m

X

j = 1

( u

j

u

j 1

) = U u

0

;

a n d t h e m a x i m u m i s o b t a i n e d w h e n e v e r y s e g m e n t f ( u

j 1

) f ( u

j

) i s p a r a l l e l t o o n e o f t h e

e d g e d i r e c t i o n s q

i

L a r m a n a n d M c M u l l e n [ 2 ] u s e d a s p e c i a l c a s e o f t h i s l e m m a i n t w o d i m e n s i o n s .

T h e y p r o v e d i t b y a m o r e d i r e c t a r g u m e n t , r e a r r a n g i n g s e g m e n t s a c c o r d i n g t o s l o p e a s

w e d i d i n t h e s e c o n d s t e p o f t h e p r o o f o f t h e o r e m 1 .

W e w i l l n o w s p e c i a l i z e t h i s l e m m a t o t h r e e d i m e n s i o n s a n d w e w i l l a c t u a l l y c o m p u t e

t h e m a x i m u m p o s s i b l e l e n g t h o f t h e c u r v e f o r t h r e e v e c t o r s q

1

, q

2

, a n d q

3

i n a s p e c i a l

p o s i t i o n .

L e m m a 5 S u p p o s e t h a t a t h r e e - d i m e n s i o n a l c u r v e f : [ 0 ; 1 ! R

3

f r o m f ( 0 ) = A t o

f ( 1 ) = B i s m o n o t o n e i n t h e t h r e e d i r e c t i o n s q

1

, q

2

, a n d q

3

, w h e r e q

3

=

!

A B , t h e a n g l e

b e t w e e n q

1

a n d q

2

i s = 3 a n d t h e a n g l e b e t w e e n q

3

a n d t h e p l a n e s p a n n e d b y q

1

a n d q

2

i s = 3 . T h e n t h e l e n g t h o f t h e c u r v e i s a t m o s t

p

4 = 3 +

p

1 3 = 1 2

A B 2 2 A B

P r o o f : W e a s s u m e w . l . o . g . t h a t q

1

, q

2

, a n d q

3

a r e u n i t v e c t o r s , q

1

i s p a r a l l e l t o t h e

x - a x i s , a n d q

2

l i e s i n t h e x - y - p l a n e . T h e m a t r i x Q i n t h e p r e v i o u s t h e o r e m w h o s e r o w s

a r e t h e v e c t o r s q

i

c a n t h u s b e w r i t t e n a s f o l l o w s :

Q =

0

B

@

q

1

q

2

q

3

1

C

A

=

0

B

@

1 0 0

c o s ( = 3 ) s i n ( = 3 ) 0

c o s ( = 6 + ) c o s ( = 3 ) s i n ( = 6 + ) c o s ( = 3 ) s i n ( = 3 )

1

C

A

;

w h e r e = 6 + i s t h e a n g l e t h a t t h e p r o j e c t i o n o f q

3

o n t h e x - y - p l a n e m a k e s w i t h t h e

x - a x i s . W e h a v e

R = Q

1

= ( r

1

; r

2

; r

3

) =

0

B

@

1 0 0

1 =

p

3 2 =

p

3 0

2 s i n ( = 6 ) = 3 2 s i n ( = 6 + ) = 3 2 =

p

3

1

C

A

T h e l e n g t h s o f t h e e d g e s o f t h e p a r a l l e l o t o p e P a r e g i v e n b y k r

i

k h q

i

; q

3

i = k q

3

k , b e c a u s e

t h e p r o j e c t i o n o f t h e e d g e p a r a l l e l t o r

i

o n t o q

i

i s e q u a l t o t h e p r o j e c t i o n o f

!

A B = q

3

o n t o q

i

. A f t e r s o m e c o m p u t a t i o n a n d s t r a i g h t f o r w a r d m a n i p u l a t i o n s w e o b t a i n t h e

f o l l o w i n g e x p r e s s i o n f o r t h e s u m o f t h e t h r e e e d g e s :

p

1 2 + c o s ( = 6 + )

q

4 c o s ( = 6 )

2

+ c o s ( = 6 )

q

4 c o s ( = 6 + )

2

.

3 ( 5 )

N e g l e c t i n g c o n s t a n t t e r m s a n d f a c t o r s , t h i s e x p r e s s i o n i s o f t h e f o r m

b

p

4 a

2

+ a

p

4 b

2

; ( 6 )

9



w i t h a = c o s ( = 6 + ) a n d b = c o s ( = 6 ) . F o r a n y x e d a i n t h e r a n g e 1 a 1 ,

t h e v a l u e o f b i n t h e r a n g e 1 b 1 w h i c h m a x i m i z e s t h i s e x p r e s s i o n i s b = 1

S u b s t i t u t i n g t h i s v a l u e i n t o ( 6 ) a n d m a x i m i z i n g a , o n e s e e s t h a t t h e m a x i m u m i s a c h i e v e d

f o r a = b = 1 . S i n c e a a n d b a r e c o s i n e s t h i s m e a n s t h a t t h e a n g l e s m u s t b e z e r o :

= 6 + = = 6 = 0 . S u b s t i t u t i n g t h e v a l u e = 0 i n t o ( 5 ) g i v e s t h e b o u n d c l a i m e d

i n t h e l e m m a .

L e m m a 6 S u p p o s e t h a t a t h r e e - d i m e n s i o n a l c u r v e f : [ 0 ; 1 ! R

3

f r o m f ( 0 ) = A t o

f ( 1 ) = B h a s i n c r e a s i n g c h o r d s a n d i s m o n o t o n e i n t w o d i r e c t i o n s q

1

a n d q

2

, w h e r e

q

2

=

!

A B a n d t h e a n g l e b e t w e e n q

1

a n d q

2

i s = 3 . T h e n t h e l e n g t h o f t h e c u r v e i s a t

m o s t

1 + 1 =

p

1 2

4 +

p

1 3

A B 9 8 A B

P r o o f : L e t u s a s s u m e w . l . o . g . t h a t q

1

= ( 1 ; 0 ; 0 ) a n d q

2

=

!

A B = ( 1 = 2 ;

p

3 = 2 ; 0 ) . L e t

0 = t

0

< t

1

< t

2

< < t

m 1

< t

m

= 1 b e a n y s u b d i v i s i o n o f t h e c u r v e . W e s h a l l r e n e

t h i s s u b d i v i s i o n b y i n s e r t i n g a d d i t i o n a l p o i n t s . W h a t w e w a n t i s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y :

W e c l a s s i f y t h e s e g m e n t s f ( t

i

) f ( t

i + 1

) i n t o s t e e p a n d a t o n e s , a s t h e a n g l e b e t w e e n t h e

s e g m e n t a n d t h e x - y - p l a n e i s = 3 o r < = 3 . F o r e a c h s t e e p s e g m e n t f ( t

i

) f ( t

i + 1

) ,

w e w i l l b e a b l e t o n d p o i n t s t

j

a n d t

k

w i t h j i a n d k i + 1 s u c h t h a t t h e a n g l e

b e t w e e n t h e s e g m e n t f ( t

j

) f ( t

k

) a n d t h e x - y - p l a n e i s e x a c t l y e q u a l t o = 3 . M o r e o v e r ,

t h e c o v e r i n g i n t e r v a l s [ t

j

; t

k

] t h a t o c c u r i n t h i s w a y s h o u l d n o t o v e r l a p t o o m u c h .

W e g o a l o n g t h e c u r v e f r o m A t o B . W e s t a r t b y s e t t i n g i = 0 . I f t h e c u r r e n t

s e g m e n t f ( t

i

) f ( t

i + 1

) i s a t w e p r o c e e d t o t h e n e x t s e g m e n t , i . e . , w e i n c r e a s e i b y 1 .

O t h e r w i s e w e l o o k f o r t h e l a s t p o i n t f ( t ) , w i t h t > t

i

, o n t h e c u r v e f o r w h i c h t h e a n g l e

b e t w e e n t h e s e g m e n t f ( t

i

) f ( t ) a n d t h e x - y - p l a n e i s e q u a l t o = 3 . I f t h e a n g l e b e t w e e n

f ( t

i

) B a n d t h e x - y - p l a n e i s a t m o s t = 3 , c o n t i n u i t y e n s u r e s t h a t s u c h a p o i n t t e x i s t s .

G e o m e t r i c a l l y , t h e s e t o f p o i n t s p f o r w h i c h t h e s e g m e n t f ( t

i

) p m a k e s t h e d e s i r e d a n g l e

i s a c i r c u l a r c o n e w i t h a p e x f ( t

i

) . W e l o o k f o r t h e l a s t i n t e r s e c t i o n p o i n t f ( t ) o f t h e

c u r v e w i t h t h i s c o n e . W e i n s e r t t h i s p o i n t i n t o t h e s u b d i v i s i o n , i f n e c e s s a r y , a n d w e

d e c l a r e [ t

i

; t ] t o b e a c o v e r i n g i n t e r v a l . T h e n e x t s e g m e n t t h a t w e l o o k a t i s t h e s e g m e n t

f r o m f ( t ) t o t h e n e x t p o i n t o n t h e g i v e n s u b d i v i s i o n .

A s i n d i c a t e d a b o v e , i t i s p o s s i b l e t h a t t h e r e i s s o s u c h i n t e r s e c t i o n p o i n t f o l l o w i n g t

i

I n t h i s c a s e w e s t o p . T h e a n g l e b e t w e e n t h e s e g m e n t f ( t

i

) B a n d a n d t h e x - y - p l a n e

m u s t b e l a r g e r t h a n = 3 . S o w e c a n n d t h e r s t p o i n t f ( t ) o n t h e c u r v e f o r w h i c h

t h e a n g l e b e t w e e n f ( t ) B a n d t h e x - y - p l a n e i s e q u a l t o = 3 . W e m u s t h a v e t < t

i

W e

n a l l y i n s e r t t h i s p o i n t t i n t o t h e s u b d i v i s i o n , i f n e c e s s a r y , a n d w e d e c l a r e [ t ; 1 ] t o b e a

\ s p e c i a l " c o v e r i n g i n t e r v a l .

I t i s n o w c l e a r t h a t t h e a b o v e d e s i r e d p r o p e r t i e s o f t h e s u b d i v i s i o n h o l d : E v e r y s t e e p

s e g m e n t i s c o v e r e d b y a t l e a s t o n e c o v e r i n g i n t e r v a l . M o r e o v e r , t h e c o v e r i n g i n t e r v a l s

a r e d i s j o i n t , w i t h t h e p o s s i b l e e x c e p t i o n o f t h e l a s t \ s p e c i a l " c o v e r i n g i n t e r v a l .

N o w w e l o o k a t t h e p r o j e c t i o n o f t h e c u r v e o n t o t h e x - y - p l a n e . W e c a n a p p l y

l e m m a 4 i n t w o d i m e n s i o n s , a n d w e c o n c l u d e t h a t t h e l e n g t h o f t h i s p r o j e c t e d c u r v e i s

a t m o s t c o t ( = 3 ) + 1 = s i n ( = 3 ) =

p

3

F o r a n y c o v e r i n g i n t e r v a l [ t

j

; t

k

] w e c a l l t h e s e g m e n t f ( t

j

) f ( t

k

) a c o v e r i n g s e g m e n t .

L e t a d e n o t e t h e t o t a l l e n g t h o f t h e p r o j e c t i o n s o f a l l a t s e g m e n t s w h i c h a r e n o t

c o v e r e d b y a n y c o v e r i n g i n t e r v a l . L e t b d e n o t e t h e l e n g t h o f t h e p r o j e c t i o n o f t h e l a s t

s p e c i a l c o v e r i n g s e g m e n t . I f t h a t s e g m e n t w a s n o t g e n e r a t e d , w e s e t b = 0 . L e t c

d e n o t e t h e t o t a l l e n g t h o f t h e p r o j e c t i o n s o f a l l r e m a i n i n g c o v e r i n g s e g m e n t s . W e h a v e

1 0



a + c

p

3 , b e c a u s e t h e s e g m e n t s a c c o u n t e d f o r i n a a n d c c o r r e s p o n d t o p a r t s o f t h e

c u r v e w h i c h d o n o t o v e r l a p . S i n c e n o s i n g l e s e g m e n t c a n b e l o n g e r t h a n A B = 1 w e

h a v e b c o s ( = 3 ) = 1 = 2

N o w e a c h a t s e g m e n t w h o s e p r o j e c t i o n h a s l e n g t h l h a s l e n g t h a t m o s t l = c o s ( = 3 ) =

2 l , g i v i n g a n o v e r a l l c o n t r i b u t i o n o f 2 a . E a c h c o v e r i n g i n t e r v a l [ t

j

; t

k

] g i v e s r i s e t o a p i e c e

o f t h e c u r v e t o w h i c h l e m m a 5 c a n b e a p p l i e d : T h i s p i e c e o f t h e c u r v e i s m o n o t o n e i n

t h e d i r e c t i o n q

3

=

!

f ( t

j

) f ( t

k

) s i n c e t h e c u r v e h a s i n c r e a s i n g c h o r d s ( l e m m a 1 ) . I f t h e

t w o - d i m e n s i o n a l p r o j e c t i o n o f t h e c o v e r i n g s e g m e n t f ( t

j

) f ( t

k

) h a s l e n g t h l , t h e n t h a t

s e g m e n t i t s e l f h a s l e n g t h l = c o s ( = 3 ) = 2 l , a n d t h i s m u s t b e m u l t i p l i e d b y t h e f a c t o r f r o m

l e m m a 5 . H e n c e t h e t o t a l c o n t r i b u t i o n o f a l l s e g m e n t s w h i c h a r e c o v e r e d b y c o v e r i n g

s e g m e n t s i s a t m o s t ( b + c )

4 =

p

3 +

p

1 3 = 3

E v e r y s e g m e n t i n t h e s u b d i v i s i o n i s n o w

e i t h e r a c c o u n t e d f o r i n t h i s b o u n d o r i n t h e a b o v e b o u n d 2 a . R e g a r d i n g t h e c o n s t r a i n t s

o n a , b , a n d c , t h e s u m o f t h e t w o b o u n d s i s m a x i m i z e d f o r c =

p

3 a n d b = 1 = 2 . T h i s

g i v e s a n o v e r a l l b o u n d o f (

p

3 + 1 = 2 )

4 =

p

3 +

p

1 3 = 3

f o r t h e l e n g t h o f t h e c u r v e .

T h e o r e m 2 T h e m i n i m u m g r o w t h r a t e o f a t h r e e - d i m e n s i o n a l c u r v e w i t h i n c r e a s i n g

c h o r d s i s a t l e a s t

1

3 +

p

3 = 2

4 +

p

1 3

1

2 9 4

0 0 3 4

P r o o f : S i m i l a r l y t o t h e p r o o f o f l e m m a 6 w e w i l l c l a s s i f y t h e s e g m e n t s o f a s u b d i v i s i o n

i n t o s t e e p a n d a t o n e s . B y r e n i n g t h e s u b d i v i s i o n w e w i l l e n s u r e t h a t e v e r y s t e e p

s e g m e n t i s c o v e r e d b y s o m e c o v e r i n g i n t e r v a l . W e w i l l b o u n d t h e l e n g t h o f t h e a t

s e g m e n t s d i r e c t l y a n d r e d u c e t h e c o v e r i n g i n t e r v a l s t o l e m m a 6 , j u s t a s t h e p r o o f o f

l e m m a 6 r e d u c e d t h e m t o l e m m a 5 . S i n c e t h e p r o o f i s e s s e n t i a l l y t h e s a m e a s t h a t o f

l e m m a 6 w e w i l l o n l y s k e t c h i t , e m p h a s i z i n g t h e d i e r e n c e s .

W e k n o w t h a t t h e c u r v e f r o m A t o B i s m o n o t o n e i n t h e d i r e c t i o n q

1

=

!

A B W e

a s s u m e w . l . o . g . t h a t q

1

= ( 1 ; 0 ; 0 )

A s e g m e n t o f s o m e s u b d i v i s i o n o f t h e c u r v e i s c l a s s i e d a s s t e e p o r a t a c c o r d i n g t o

i t s a n g l e w i t h t h e d i r e c t i o n q

1

: I t i s c a l l e d s t e e p i f t h i s a n g l e i s a t l e a s t = 3

T h e p r o c e s s o f i n t r o d u c i n g n e w p o i n t s o f t h e s u b d i v i s i o n a n d d e c l a r i n g c o v e r i n g

i n t e r v a l s i s j u s t a s i n l e m m a 6 . F i n a l l y w e p r o j e c t a l l s e g m e n t s o n t o t h e x - a x i s , a n d

a s b e f o r e w e d e n o t e b y a , b , a n d c t h e t o t a l l e n g t h s o f p r o j e c t i o n s o f u n c o v e r e d a t

s e g m e n t s , o f t h e s p e c i a l c o v e r i n g s e g m e n t , a n d o f t h e r e m a i n i n g c o v e r i n g s e g m e n t s ,

r e s p e c t i v e l y . W e h a v e a + c 1 a n d b c o s ( = 3 ) = 1 = 2

W e d i v i d e t h e b o u n d 3 = 2 o n a + b + c b y c o s ( = 3 ) t o t a k e i n t o a c c o u n t t h e p r o j e c t i o n

a n d m u l t i p l y t h e r e s u l t b y t h e f a c t o r f r o m l e m m a 6 , g i v i n g t h e b o u n d ( 3 +

p

3 = 2 ) ( 4 +

p

1 3 )

f o r t h e o v e r a l l l e n g t h o f t h e c u r v e .

B y c h o o s i n g d i e r e n t t h r e s h o l d a n g l e s i n t h e d e n i t i o n s o f s t e e p a n d a t s e g m e n t s

o n e c a n s l i g h t l y i m p r o v e t h e c o n s t a n t o f t h e o r e m 2 . T h e b e s t b o u n d t h a t c a n b e o b t a i n e d

b y t h e a b o v e p r o o f m e t h o d i s 2 9 . 2 8 . I t i s a c h i e v e d b y c h o o s i n g a n a n g l e o f 1 . 0 7 i n s t e a d

o f = 3 i n l e m m a 6 , a n d a n a n g l e o f 1 . 0 0 3 i n s t e a d o f = 3 i n l e m m a 5 .

I t i s i n p r i n c i p l e n o p r o b l e m t o e x t e n d t h e a b o v e p r o o f t o m o r e t h a n t h r e e d i m e n s i o n s .

T h e o r e m 3 F o r e v e r y n , t h e r e i s a p o s i t i v e l o w e r b o u n d o n t h e m i n i m u m g r o w t h r a t e

o f a n n - d i m e n s i o n a l c u r v e w i t h i n c r e a s i n g c h o r d s .

1 1



P r o o f : ( S k e t c h . ) O n e i n d u c t i v e l y e s t a b l i s h e s a n u p p e r b o u n d o n t h e l e n g t h o f a n n -

d i m e n s i o n a l c u r v e w i t h i n c r e a s i n g c h o r d s f r o m A t o B w h i c h i s m o n o t o n e i n i l i n e a r l y

i n d e p e n d e n t d i r e c t i o n s q

1

; q

2

; : : : ; q

i

, w h e r e

!

A B = q

i

h a s l e n g t h 1 a n d f o r e a c h j , t h e

a n g l e b e t w e e n q

j

a n d t h e s u b s p a c e s p a n n e d b y q

1

; q

2

; : : : ; q

j 1

i s = 3 . T h i s i s p r o v e d

b y i n d u c t i o n f r o m i = n d o w n t o i = 1 . T h e i n d u c t i o n b a s i s ( i = n ) i s p r o v i d e d b y

l e m m a 4 . T h e i n d u c t i o n p r o c e e d s a s a b o v e f r o m l e m m a 4 a n d l e m m a 5 o v e r l e m m a 6

t o t h e o r e m 2 . A t e v e r y s t e p , s e g m e n t s a r e c l a s s i e d a s s t e e p a n d a t o n e s a c c o r d i n g t o

t h e i r a n g l e w i t h t h e s u b s p a c e s p a n n e d b y q

1

; q

2

; : : : ; q

i

. T h e l a s t c a s e ( i = 1 ) g i v e s t h e

s t a t e m e n t o f t h e t h e o r e m , b y l e m m a 1 .

4 L o w e r B o u n d s

A s a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e p l a n a r c a s e t o n d i m e n s i o n s , i t h a s b e e n p r o p o s e d t h a t t h e

c u r v e w i t h i n c r e a s i n g c h o r d s w h i c h h a s t h e l a r g e s t g r o w t h r a t e i s g i v e n b y n s u c c e s s i v e

e d g e s o f a R e u l e a u x s i m p l e x . A R e u l e a u x s i m p l e x i s o b t a i n e d a s t h e i n t e r s e c t i o n o f

n + 1 u n i t b a l l s c e n t e r e d a t t h e v e r t i c e s o f a n n - d i m e n s i o n a l r e g u l a r s i m p l e x w i t h s i d e

l e n g t h 1 . T h e t o t a l l e n g t h o f t h r e e e d g e s o f a R e u l e a u x t e t r a h e d r o n i n t h r e e d i m e n s i o n s

i s a b o u t 3 . 2 0 , w h i c h i s v e r y f a r f r o m t h e b o u n d 2 9 . 4 i n t h e o r e m 2 . H o w e v e r , t h i s

c u r v e d o e s n o t s a t i s f y t h e i n c r e a s i n g c h o r d p r o p e r t y : L e t A

0

, A

1

, A

2

, A

3

d e n o t e t h e

v e r t i c e s o f t h e R e u l e a u x t e t r a h e d r o n , i n t h e o r d e r i n w h i c h t h e y a r e v i s i t e d . T h e \ e d g e "

f r o m A

0

t o A

1

i s a c i r c u l a r a r c i n t h e b i s e c t i n g p l a n e o f A

2

a n d A

3

, c e n t e r e d a t t h e

m i d p o i n t o f t h e s e g m e n t A

2

A

3

. L e t A

0 5

b e t h e p o i n t o n t h i s e d g e w h i c h i s e q u i d i s t a n t

f r o m A

0

a n d A

1

, a n d s i m i l a r l y , l e t A

2 5

b e t h e p o i n t o n t h e e d g e b e t w e e n A

2

a n d A

3

w h i c h i s e q u i d i s t a n t f r o m t h e s e t w o p o i n t s . T h e n t h e d i s t a n c e b e t w e e n A

0 5

a n d A

2 5

i s

p

3

p

1 = 2 1 0 2 5 > 1 , a n d t h u s t h e i n c r e a s i n g c h o r d p r o p e r t y i s v i o l a t e d . B y

s l i g h t l y p u s h i n g t h e p o i n t s A

0 5

, A

1

, A

2

, a n d A

2 5

t o w a r d s t h e c e n t e r o n e c a n c o n s t r u c t

a m o d i e d c u r v e w h i c h c o n s i s t s o f v e p i e c e s w h i c h a r e c i r c u l a r a r c s t h a t l i e i n t h e s a m e

p l a n e s a s i n t h e o r i g i n a l c o n s t r u c t i o n , a n d w h i c h d o e s h a v e i n c r e a s i n g c h o r d s . I t s l e n g t h

i s a b o u t 3 . 0 8 7 , b u t t h e c o n s t r u c t i o n c a n s u r e l y b e m o d i e d t o y i e l d a l o n g e r c u r v e .

N o t e t h a t l e m m a 4 i n s o m e s e n s e g i v e s a n i n d i c a t i o n w h a t a l o n g e s t c u r v e w i t h

i n c r e a s i n g c h o r d s m i g h t l o o k l i k e : L e m m a 4 s a y s t h a t a c u r v e t h a t i s c o n s t r a i n e d t o b e

m o n o t o n e i n c e r t a i n d i r e c t i o n s a c h i e v e s i t s m a x i m u m l e n g t h w h e n i t a l w a y s m o v e s i n

o n e o f i t s e x t r e m e p o s s i b l e d i r e c t i o n s . L o c a l l y , t h e c u r v e o f g u r e 1 b e h a v e s e v e r y w h e r e

e x a c t l y i n t h i s w a y , w h e n t h e m o n o t o n i c i t y d i r e c t i o n s t h a t a r e i m p l i e d b y t h e i n c r e a s i n g

c h o r d p r o p e r t y w i t h r e s p e c t t o t h e o t h e r e d g e s a r e t a k e n i n t o a c c o u n t . T h e s a m e h o l d s

( a p p r o x i m a t e l y ) f o r t h e n e d g e s o f a R e u l e a u x s i m p l e x .

R e f e r e n c e s

[ 1 H a l l a r d T . C r o f t , K e n n e t h J . F a l c o n e r a n d R i c h a r d K . G u y

U n s o l v e d P r o b l e m s i n G e o m e t r y . ( S p r i n g e r - V e r l a g , 1 9 9 1 ) .

[ 2 D a v i d G . L a r m a n a n d P e t e r M c M u l l e n

A r c s w i t h i n c r e a s i n g c h o r d s . P r o c . C a m b r i d g e P h i l o s . S o c . 7 2 ( 1 9 7 3 ) , 2 0 5 { 2 0 7 .

[ 3 G

u n t e r R o t e a n d R o b e r t F . T i c h y

S p h e r i c a l d i s p e r s i o n w i t h a n a p p l i c a t i o n t o p o l y g o n a l a p p r o x i m a t i o n o f c u r v e s . T o

a p p e a r i n A n z e i g e r d e r

O s t e r r e i c h i s c h e n A k a d e m i e d e r W i s s e n s c h a f t e n ( 1 9 9 4 / 1 9 9 5 ) .

1 2

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