Geometry Semester 1

7/31/2019 Geometry Semester 1

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1 . H e l l y ' s T h e o r e m .

C o n v e x s e t : S i s c o n v e x i f f o r a l l p o i n t s A, B S, t h e s e g m e n t AB S.B o u n d e d s e t : T h e r e i s a c i r c l e w h i c h c o n t a i n s t h e s e t .

P l a n a r c o n v e x r e g i o n : C o n v e x b o u n d e d c l o s e d s e t . T h e s e s e t s h a v e d i a m e t e r .

S u p p o r t l i n e : L i n e t o u c h i n g b o u n d a r y o f s e t , w i t h t h e s e t o n o n e s i d e .

T h e o r e m s :

1 - d i m e n s i o n a l H e l l y . I f n i t e l y m a n y s e g m e n t s o n a l i n e h a v e t h e p r o p e r t y t h a t a n y 2 h a v e a c o m m o n p o i n t , t h e n a l l h a v e a c o m m o n p o i n t .

2 - d i m e n s i o n a l H e l l y . F i n i t e l y m a n y c o n v e x s e t s i n t h e p l a n e s o t h a t e v e r y 3 h a s a c o m m o n p o i n t , t h e n a l l h a v e a c o m m o n p o i n t .

E x e r c i s e s :

1 . F i n i t e l y m a n y p o l y g o n s s o t h a t e a c h t w o i n t e r s e c t , t h e n i n a n y g i v e n d i r e c t i o n

t h e r e i s a l i n e w h i c h i n t e r s e c t s a l l p o l y g o n s a t t h e s a m e t i m e .

2 . L i b r a r y p r o b l e m .

3 . F i n i t e f a m i l y o f p a r a l l e l r e c t a n g l e s . I f e a c h t w o o v e r l a p , t h e n a l l h a v e a

c o m m o n p o i n t .

4 . 4 h a l f - p l a n e s s u c h t h a t e v e r y p o i n t o f t h e p l a n e i s a n i n t e r i o r p o i n t o f o n e o f

t h e h a l f - p l a n e s , t h e n 3 o f t h e h a l f - p l a n e s c o v e r t h e p l a n e .

5 . E v e r y c o n v e x r e g i o n h a s a p o i n t O s u c h t h a t O i s i n t h e m i d d l e t h i r d o f a n y c h o r d p a s s i n g t h r o u g h O . ( U s e c o m p a c t n e s s . )

1


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2 - 5 . B l a s h k e , J u n g , E u l e r , S y l v e s t e r T h e o r e m .

W i d t h : S m a l l e s t d i s t a n c e b e t w e e n p a r a l l e l s u p p o r t l i n e s .

D i a m e t e r : L a r g e s t d i s t a n c e b e t w e e n t w o p o i n t s o f t h e s e t .

T h e o r e m s :

B l a s h k e . E v e r y c o n v e x r e g i o n ( c l o s e d , b o u n d e d ) o f w i d t h W c o n t a i n s a c i r c l e o f r a d i u s W/3.

J u n g . A n y c o n v e x r e g i o n o f d i a m e t e r d c a n b e c o v e r e d b y a c i r c l e o f r a d i u s d/

3.

E u l e r . V E+ F = 2. P r o v e u s i n g d u a l s p a n n i n g t r e e c o n s t r u c t i o n . ( S e e D C G 1 6 5 , P F B 7 7 . ) G i v e n a s i m p l e p l a n a r g r a p h G w i t h n > 2 v e r t i c e s ,

A ) G h a s a t m o s t 3n 6 e d g e s . u s e d i n B . . .

B ) T h e r e e x i s t s v e r t e x o f d e g r e e a t m o s t 5.

u s e d i n S y l v e s t e r . C ) I f e d g e s o f G a r e 2 - c o l o r e d , t h e r e e x i s t s v e r t e x o f G w i t h a t m o s t 2

c o l o r c h a n g e s ( i n r a d i a l o r d e r a r o u n d t h e v e r t e x ) .

u s e d i n C a u c h y R i g i d i t y .

S y l v e s t e r . G i v e n n l i n e s , n o n e p a r a l l e l , n o t a l l p a s s t h r o u g h t h e s a m e p o i n t , t h e r e i s a n i n t e r s e c t i o n b e l o n g i n g t o e x a c t l y 2 l i n e s . P r o o f s : m i n i m a l c h o i c e

( S e e P F B 6 3 ) , m o r e g e n e r a l . . .

D U A L : G i v e n n ( 3) p o i n t s , n o t a l l o n a l i n e , t h e r e i s a l i n e w h i c h c o n n e c t s e x a c t l y 2 p o i n t s . T h i s p r o b l e m r e d u c e s s p h e r i c a l c a s e o f t h e

a b o v e . . . p r o v e d u s i n g p r o p . B E u l e r . S e e P F B 7 5 .

E x e r c i s e s :

1 . G i v e n n l i n e s i n g e n e r a l p o s i t i o n ( n o 2 p a r a l l e l , n o 3 i n t e r s e c t ) , i f t h e r e a r e 2 p o i n t s s . t . t h e y m e e t e v e r y o t h e r p o i n t a t t h e r i g h t i n t e r s e c t i o n s , t h e n t h e y

a l l m e e t . ( P o i n t s t r a v e l i n g a l o n g l i n e s , c r o w y )

2 . n p o i n t s e t o f d i a m e t e r d , h o w l a r g e m u s t s m a l l e s t d i s t a n c e b e ?

3 . H o w m a n y t r i a n g l e s , e d g e s d o e s a n y t r i a n g u l a t i o n o f n p o i n t s h a v e ?

2


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6 - 9 . C o n s t a n t w i d t h , R e u l e a u x t r i a n g l e , B a r b i e r T h e o r e m , M i n k o w s k i s u m , M e i s s -

n e r b o d y .

R e u l e a u x t r i a n g l e : E q u i l a t e r a l t r i a n g l e w i t h c i r c u l a r a r c s ( e m a n a t i n g f r o m e a c h

v e r t e x ) .

C o n s t a n t w i d t h : F o r a n y d i r e c t i o n , p a r a l l e l s u p p o r t l i n e s h a v e s a m e d i s t a n c e s .

M i n k o w s k y s u m : F o r K, M R2 , K + M := {Ok + Om | k K, m M} . ( A l l s u m s o f v e c t o r s f r o m o r i g i n t o k K, m M r e s p e c t i v e l y . ) S e e D C G 1 2 8 . M e i s s n e r b o d y : 3 D R e u l e a u x . I n t e r s e c t i o n o f 4 b a l l s c e n t e r e d a t e a c h v e r t e x o f

s i m p l e x .

T h e o r e m s :

B a r b i e r . E v e r y c o n s t a n t w i d t h (w) s h a p e h a s a p e r i m e t e r e q u a l t o w .

P r o p e r t i e s o f M i n k o w s k y s u m :

S h a p e o f t h e s u m d o e s n o t d e p e n d o n o r i g i n c h o i c e .

S u m o f c o n v e x s e t s i s c o n v e x .

P e r i m e t e r o f s u m = s u m o f p e r i m e t e r s o f o r i g i n a l s h a p e s .

C i r c l e i s t h e o n l y c e n t e r - s y m m e t r i c s h a p e o f c o n s t a n t w i d t h .

E x e r c i s e s :

1 . K + (K) i s c e n t e r - s y m m e t r i c . ( K i s K a p o i n t r e e c t i o n . U s e f u l f o r m o t i o n p l a n n i n g . )

2 . K h a s c o n s t a n t w i d t h (K) h a s c o n s t a n t w i d t h .

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1 0 - 1 4 . P a c k i n g s , C o v e r i n g s , D e n s i t y , H a j o s L e m m a .

P a c k i n g : N o o v e r l a p a l l o w e d .

C o v e r i n g : O v e r l a p a l l o w e d , p l a n e c o v e r e d .

D e n s i t y : ~ % o f s p a c e c o v e r e d

D e n s i t y o f a p a c k i n g o f c o n v e x s e t s (Ki) :

1 . M a r k a c e n t e r p o i n t O .

2 . D e n e f(R) :=P

area(KiS(O,R))R2

f o r e a c h r a d i u s R. ( % s p h e r e c o n t a i n e d i n c o n v e x s e t s )

3 . I f liminfR

(f(R)) = limsupR

(f(R)), t h e s e d e n e t h e d e n s i t y .

T h e o r e m s :

H a j o s L e m m a . T w o c o c e n t r i c c i r c l e s C ( R ) , C ( r ) . P o l y g o n w i t h v e r t i c e s o u t - s i d e C ( R ) , w h i c h c o n t a i n s C ( r ) . T h e s m a l l e s t a r e a p o l y g o n s a t i s f y i n g t h e s e

c o n d i t i o n s i s a t r i a n g l e w i t h v e r t i c e s o n C ( R ) a n d t w o s i d e s t a n g e n t t o C ( r ) .

H e x a g o n a l p a c k i n g i s o p t i m a l f o r u n i t c i r c l e s / c o n g r u e n t d i s c s . 9 2 % T . H a l e s p r o v e d s i m i l a r p a c k i n g r e s u l t f o r s p h e r e s .

U s e a b o v e l e m m a , o r . . .

E n c l o s e a n y n i t e # i n h e x a g o n , p a r t i t i o n , a v g . s i d e # 6, D o w k e r i m p l i e s a r e a s m a l l e s t c i r c u m s c r i b e d c o n c a v e u p , a p p l y J e n s e n .

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1 5 - 1 9 . D e n s e s t t r i a n g l e t r a n s l a t e s p a c k i n g , S h a d o w c e l l , L a t t i c e p a c k i n g , P a c k i n g

c y l i n d e r s i n 3 D , M a l f a t t i ' s p r o b l e m .

S h a d o w c e l l : I d e n t i f y e a c h o b j e c t i n a p a c k i n g w i t h t h e a r e a o f i t s d o w n w a r d

p r o j e c t i o n , g e t s o m e i d e a f o r h o w t o m i n i m i z e t h e s e s h a d o w s .

L a t t i c e p a c k i n g : C o p i e s a r r a n g e d o n a g r i d m a d e f r o m l i n e s p a r a l l e l t o t w o i n i t i a l

d i r e c t i o n s . P i c k a p o i n t o n t h e s h a p e , p l a c e t r a n s l a t e d c o p i e s o f s h a p e s . t . t h i s

p o i n t i s a t g r i d i n t e r s e c t i o n s .

A n e : T r a n s f o r m a t i o n w h i c h p r e s e r v e s s t r a i g h t l i n e s a n d r a t i o s o f d i s t a n c e s

b e t w e e n p o i n t s l y i n g o n a s t r a i g h t l i n e . I t d o e s n o t n e c e s s a r i l y p r e s e r v e a n g l e s o r

l e n g t h s . E x . T r a n s l a t i o n , g e o m e t r i c c o n t r a c t i o n , e x p a n s i o n , d i l a t i o n , r e e c t i o n ,

r o t a t i o n , s h e a r , c o m b i n a t i o n s t h e r e o f . P a r a l l e l l i n e s s t i l l p a r a l l e l .

E x e r c i s e s :

1 . P a c k i n g p l a n e w i t h c o n g r u e n t ( n o n - o v e r l a p p i n g ) e q u i l a t e r a l t r i a n g l e s t o g e t

l a r g e s t d e n s i t y . T r a n s l a t e s o n l y : B e s t d e n s i t y i s 2 / 3 .

2 . C o v e r i n g p l a n e w i t h c o n g r u e n t t r i a n g l e s t o g e t l e a s t d e n s i t y . D e n s i t y 2 , b e t t e r

i s p o s s i b l e .

3 . H e m i s p h e r e t r a n s l a t e p a c k i n g , e l l i p s e t r a n s l a t e p a c k i n g : s a m e a s c i r c l e s , u s i n g

a n e t r a n s f o r m a t i o n .

4 . F o r c i r c l e s , d = dL = dT . F o r t r i a n g l e s , 1 = d = dL = dT .5 . A r r a n g e 3 i n n i t e c y l i n d e r s i n 3 D s u c h t h a t a l l a r e a s c l o s e a s p o s s i b l e t o

s o m e p o i n t p i n s p a c e .

6 . M a l f a t t i ' s p r o b l e m : M a x i m i z i n g a r e a o f 3 c i r c l e s i n a t r i a n g l e , 3 t r i a n g l e s i n

a c i r c l e .

5


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2 0 - 2 5 . I n s c r i b e d s h a p e s i n c u r v e s , D o w k e r T h e o r e m , J e n s e n i n e q u a l i t y .

J o r d a n c u r v e : C o n t i n u o u s i m a g e o f a c i r c l e . c l o s e d l o o p g r a p h . I f S i s c o n v e x s e t w i t h a n i n t e r i o r p o i n t , bd(S) i s a J o r d a n c u r v e . ( S e e D C G 2 ) A n e r e g u l a r : I m a g e o f r e g u l a r s h a p e u n d e r l i n e a r t r a n s f o r m a t i o n . C e n t e r

s y m m e t r i c , d i a g o n a l s c o r r e s p o n d t o p a r a l l e l s i d e s , s i d e r a t i o s p r e s e r v e d .

T h e o r e m s :

F o r e v e r y c o n v e x s e t C t h e r e i s a c i r c u m s c r i b e d t r i a n g l e T w i t h area(C) >area(T)

2 , a n d t h u s C c a n b e p a c k e d w i t h a d e n s i t y 1/2. D o w k e r . I f C i s a c o n v e x c u r v e , A(n) i s t h e s m a l l e s t a r e a o f a c i r c u m s c r i b e d

n- s i d e d p o l y g o n , t h e n A(n) A(n1)+A(n+1)2 .

O v e r l a y n 1, n + 1 s i d e d . C o n t a i n e d c u s p e x i s t s , f o r m 2n s i d e d l o o p w i t h e x a c t l y o n e c o n t a i n e d c u s p . B r e a k i n t o 2 n sided, o n e o f w h i c h m u s t h a v e a r e a .

J e n s e n i n e q u a l i t y . I f f : R R i s c o n c a v e u p , n N, (xn) Rn t h e n

f

ni=1

xn

n

ni=1

f(xn)

n.

( f o f t h e a v e r a g e o f i n p u t s i s l e q . t o t h e a v e r a g e o f f u n c t i o n v a l u e s a t e a c h i n p u t . )

E x e r c i s e s :

1 . O p e n p r o b l e m : E v e r y J o r d a n c u r v e h a s a s q u a r e w i t h v e r t i c e s o n t h e c u r v e .

2 . E v e r y c o n v e x c u r v e ( o r c o n v e x r e g i o n ) h a s a n i n s c r i b e d e q u i l a t e r a l t r i a n g l e .

R h o m b u s w i t h d i a g o n a l i n a n y g i v e n d i r e c t i o n , s q u a r e t o o .

3 . C i r c u m s c r i b e d s q u a r e e x i s t s f o r c o n v e x .

4 . C i s c e n t e r s y m m e t r i c c u r v e . P r o v e t h e r e i s a n a n e r e g u l a r i n s c r i b e d h e x a g o n .

5 . C o u n t e r e x a m p l e : C o n v e x s h a p e w i t h n o i n s c r i b e d r e g u l a r p e n t a g o n .

6 . D o w k e r f o r c i r c l e .

7 . J e n s e n f o r n = 3 w i t h n a t u r a l n u m b e r s , f o r n = 2 i n g e n e r a l . R e l a t i o n t o D o w k e r .

6


7/8

2 6 - 3 1 . F e r m a t p o i n t , P o l y a ' s e x p e r i m e n t , C o n v e x p a r t i t i o n o f a h e x a g o n , D e n s i t y

b o u n d , O l o i d .

F e r m a t p o i n t : G i v e n a t r i a n g l e , t h i s i s t h e i n t e r i o r p o i n t w h i c h m i n i m i z e s t h e s u m

o f d i s t a n c e s t o e a c h v e r t e x .

P o l y a ' s e x p e r i m e n t : H a n g i n g w e i g h t s t h r o u g h h o l e s a t t r i a n g l e v e r t i c e s , t o d e t e r -

m i n e F e r m a t p o i n t .

C o n v e x h u l l : R u b b e r b a n d a r o u n d s h a p e i n t h e p l a n e , o r s h r i n k i n g p l a s t i c a r o u n d

3 D g u r e . I n t e r s e c t i o n o f a l l c o n v e x r e g i o n s c o n t a i n i n g t h e s e t . ( S e e D C G C h a p t e r

2 )

O l o i d : C o n v e x h u l l o f 2 p e r p e n d i c u l a r c i r c l e s o f r a d i i r i n 3 - s p a c e w h i c h p a s s t h r o u g h e a c h o t h e r s ' c e n t e r s . I t s s u r f a c e a r e a = t h a t o f r - r a d i u s s p h e r e . R o l l s p h e r e o n a p o i n t , c o l o r a g r e a t c i r c l e . R o l l o l o i d o n a p o i n t , c o l o r t h e e n t i r e g u r e .

T h e o r e m s :

D i v i d e a h e x a g o n i n t o c o n v e x p o l y g o n s ( e d g e t o e d g e , w e c a l l t h i s a p a r t i t i o n ) . T h e n t h e a v e r a g e # o f s i d e s f o r i n t e r i o r p o l y g o n s i s 6. U s e E u l e r T h e o r e m ( S e e D C G 6 3 , P F B 7 5 ) .

D e n s i t y d f o r p a c k i n g s o f c o n g r u e n t c o p i e s o f c o n v e x r e g i o n C: d area(C)

areasmallestcircumscribedhexagon( 0 < d < 1).

N o t e : I f C i s c e n t e r s y m m e t r i c , w e h a v e e q u a l i t y . H e x a g o n w i t h 2 p a r a l l e l s i d e s f o r a t i l i n g .

L a r g e s t d e n s i t y f o r p a c k i n g i s a l w a y s a c h i e v e d b y a l a t t i c e a r r a n g e m e n t .

M i n k o w s k y s y m m e t r i z a t i o n d e n s i t y p r e s e r v i n g p r o p e r t y i s u s e f u l .

C c o n v e x , C i t s M i n k . s y m m e t r i z a t i o n . C e n t r a l s y m m e t r i c h a s i n - s c r i b e d a n e r e g u l a r h e x a g o n . A t r i a n g l e o f t h i s h e x a g o n , w i t h c o r r e s p .

a r c s a t t a c h e d h a s M i n k s y m m . e q u a l C . R e g u l a r h e x c i r c u m s t r i b e s T p a c k i n g i s l a t t i c e , o r l a t t i c e i s m a x i m a l f o r r e u l e a u x f o r o t h e r s i m i l a r s h a p e s l i k e T .

E x e r c i s e s :

1 . O p e n p r o b l e m : P o s s i b l e t o p l a c e n p o i n t s i n p l a n e s . t . y o u c a n n o t c o v e r a l l o f t h e m w i t h a p a c k i n g o f u n i t c i r c l e s ?

7


8/8

3 2 - 3 5 . V o r o n o i , D e l a u n a y , P a r a b o l o i d l i f t i n g , C r o s s i n g p a i r s .

V o r o n o i p a r t i t i o n : C r e a t e s ( c o n v e x ) r e g i o n s a r o u n d e a c h p o i n t i n a p o i n t s e t . T h e

V o r o n o i r e g i o n a r o u n d a s i n g l e p o i n t p i s t h e s e t o f a l l p o i n t s i n t h e p l a n e t h a t a r e a t l e a s t a s c l o s e t o p a s a n y o t h e r p o i n t i n t h e p o i n t s e t . P e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r s o f n e a r b y p o i n t s f o r m t h e e d g e s . . . V o r o n o i r e g i o n a r o u n d p i s i n t e r s e c t i o n o f a h a l f p l a n e s c o n t a i n i n g p w i t h p e r p . b i s e c t o r s w . r . t . o t h e r p o i n t s a s t h e i r b o u n d s . ( S e e D C G 9 9 )

D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n : L e g a l e d g e c o n s t r u c t i o n ' f a t t e s t ' t r i a n g u l a t i o n . D u a l o f V o r o n o i p a r t i t i o n . C o n n e c t p o i n t s i f t h e i r r e g i o n s s h a r e a c o m m o n e d g e . ( S e e

D C G 7 9 , 1 0 7 )

E x e r c i s e s :

1 . A l g o r i t h m f o r n d i n g V o r o n o i o f a g i v e n p o i n t s e t : s w e e p a p l a n e a t 45 d e g r e e a n g l e w i t h p o i n t s e t p l a n e , t h r o u g h c o n e s e m a n a t i n g f r o m e a c h p o i n t i n t h e

p o i n t s e t . F r o m b e l o w t h e c o n e s w e s e e t h e i r i n t e r s e c t i o n s - t h e V o r o n o i

p a r t i t i o n ! ( S e e D C G 1 2 2 )

2 . F i n d i n g D e l a u n a y t r i a n g u l a t i o n : p r o j e c t p o i n t s u p w a r d o n t o a p a r a b a l o i d .

T a k e c o n v e x h u l l o f t h e s e p o i n t s i n 3 - s p a c e , i t s f a c e s h a v e p r o p e r t y . P r o j e c t

b a c k o n t o p l a n e , g e t t r i a n g u l a t i o n . U s e l a r g e s t e m p t y c i r c l e s c o n n e c t i o n t o

e x p l a i n t h i s ( S e e D C G 8 5 ) .

3 . M i n i m u m s p a n n i n g t r e e o f c o m p l e t e g r a p h i s r e l a t e d t o D e l a u n a y . ( S e e D C G

8 8 )

( a ) U s e e m p t y c i r c l e c h a r a c t e r i z a t i o n t o s h o w a n e d g e t h a t i s n o t D e l a u n a y

m u s t h a v e n o e m p t y c i r c l e , i n c l u d i n g t h e o n e w i t h t h e e d g e a s d i a m e t e r .

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Geometry Semester 1