28

Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

  • Upload
    005235

  • View
    79

  • Download
    2

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

����������� ��� �������������

� ����� �"!#� !#�#$&% '('()+*,- �.�/�1032'(% 4/)+�156% 7 *

89%;:1<#=�)+> ?�=/5�@A)+��?CB�D/D/D

EGFHF#IHJKHLNMGOQP RNSUT MWV�XUOZY\[NOQM^] [NT _�X+XU`�P O\acbed+fgL+[�YQhjiHkglUmnk6o;p^q rgsUt uvk6o w�l6xUyGlQzvuvsUo w�k6mnsUo;q rgsUt{|w+}Uygq r6y&~����A���gb(�AX6��M^��M �6�#P RG�N�QM ���1�QP RNS�YQLNM OQMT M f^YQ[N�QM O&�eL�� ��MV�1�NM�M^�+YQM RNOQP ��M[NOQMX1]� b �Nb��AP fg`+Oc��lUo�k6yclU�\��q �Ak6pZk6��o;q sUt(iHkglUmnk6o;p^}�~ �U�1R��AXUOZYQ�g�1RN���gb#��_�M T P M^��MAYQLNP O�_�X+XU`&YQX&_�MXU[�Y�X1]��N�QP R�Y6�+_N[�YHP Y|M V��NL��1OQP h M O|f XUV��NT M^YQM T �nf X+XU�Q�NP R���YQMc] �QM MAV�M^YQLNX+�NO|YQX&���NM SU�QM MAYQL���YH�� RN�\[NOQM^] [NT;bA����YQ�QM6��YQV�M R�YeX1]#f T �1OQOQP f6�1T"V�M fgL��1RNP f OcT M6�1RNOcXUR��&b �gb��c�QRNXUT �vuvsUo w�k6mnsUo;q rgsUtuvk6o w�l6xUyAlQz� (t sUygygq rgsUtNuvkgr w�sU��q r6ygb(¡�XU�(S��1[NSUM�YQLNM XU�QP M O#��L�� ��MH[NOQM �&¢�b � b1£����NM � ¤�¥NsU��o;¥�m¦�q k6t x§�w�kglUp^}|�1RN�n�cb1¨c[NP SUSiHsU¥�©�k&§�w�kglUp^q k6y�lQz|o w�k�ª�o;pZlU��©1«A¬\kgs1­�«�sU��xe®�t kgr6o;pZlUmns�©U��k6o;q r¯g��o�k6pZs�r6o;q lU��ygb

Page 2: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

� ��� ����� ����� �� ���� �

� ��������� F������ %;5e=�7������/> ���/%;:+=�>�5��#=/:�)���7����/)�7�<()+�� �% 7�< =�:��/> > )�:U7�% �/'v����:��/' 7�% '"!(��!#5$#&%'#�?�=(�#5*)'+�,.-/+1032546 )�77 &)+)+' =�' ����)+' 56)�78-/+�9:� =�'#0 =�' ����)+'356)�7&���;254 �.�/�n56�/? )% ' 7�)�/)+�=<���@n<()�:��/> > )�:U7�% �/'?>(-/+�@�?A!#5 7n:���4/)+��n�@n<()B�#=�% �DCE)'+GF&-/+IH %;5n:+=�> > )�0 =AJLK �.MLN �.�/�O�n�$-/+ %;5n:+=�> > )�0�7�<()��cF ������� ���H7�<()\:1<#=��67�� � :��/?P�(> )�7�)\56)�7n���

:1<#=��6715&%;5:+=�> > )�03=�' �.N � � J\�.�/�8Q �

R8S ���UT ��VXW�Y�W� :�% �1:�> ) %;5W=�?�=�'(% �.�/>;0�� , '() :1<#=��67 %;5Z�(����4�%;0")�0 6 * 7�<() =�'��/> )P[ =�'#0 7�<() ����)+' % ' 7�)+��4�=�>�DX\][^\ B`_��a % '#:�)\7�<() �/��% �/% ' %;5n) - :�> !#0")�0 �.���/?�7�<()v0"�/?�=�% '3���c7�<(%;5�:1<#=��67cb. &)\'()+)�0�=�'(��7�<()+��:1<#=��67��edj)v:���!(>;0�!#56)�[% '37�<()v0"�/?�=�% '^fg_X\ [h\ _��$iH�":+=�> > *�7�<()v:�% �1:�> ) > ����j"5&> % j/)�2lkLb 6 !"78�/> � 6 =�> > * % 7%;5Omn!(% 7�)v0"% o|)+��)+' 7�� @n<(%;50"% o|)+��)+'#:�)D�/% 4/)�5&��%;56)�7��G7�<() '()+)�0 �.�/��? �/��)�7�<#=�'��/'() :1<#=��67��a % '#:�)W�.�/��phqU��bG)'+rCEpLHBqs254? &)W?�=N*9:��/'#56%;0")+��)'+97����(����4�%;0")Z< ��)�=�> tg4�=�> !()�03�u!('#:U7�% �/'#5D)�v+ �/'X��b�7�<()wEx�y 5�!#:1< �u!('#:U7�% �/'���)�7z!(��'(% '��G7�<() 4�=�> !() ���A7�<() wEx�y :����/�10"% '#=�7�)\���A7�<()D���/% ' 7% '�254 7��h �<(%;:1<?p %;5n?�=(����)�0��{^'|-/+l}:-�~� &)j� 6 71=�% ' = ?�=(��)'+���)�~G� k ,B254�0�254 ���Z254 % ' 7�� % 7156)+> � �C@n<()j?�=�'(% �.�/>;0 %;5?�Zk� �u� V M V �'Nc���.� ��V�% oj=�> >����c7�<()D<G�\0")+��% 4�=�7�% 4/)�5

����.��� )'+A��) � k~]� v���� � �`�z� � � � � �c�`�

) - %;5 7���{g7e%;5/�D�0"% o|)+��)+' 7�%;= 6 > )&% �|=�> >�<(% �/<()+��tg�/�10")+�c0")+��% 4�=�7�% 4/)�5r!��W7��D� x�y �/'()�5c) - %;5 7��r{c56<#=�> >"=/5�5�!(? ) 7�<(����!��/<(��!"77�<#=�7O &) 56<#=�> >H=���)� &�/�zj�% '��� �% 7�<��D� ?�=�'(% �.�/>;0(5+�

R8S ���UT ��VXW�Y��dj) ��)cmn!(% ��) =�7> )�=/5 7�77 &��:1<#=��6715&�.�/��7�<()WBLt^5��(<()+��)Z�*����@n<()�56) ? % �/< 7 6 )\77 &� 56*"5 7�)+?�5n����5��(<()+��%;:+=�>;���/>;=��:����/�10"% '#=�7�)�5O��0�Cu�eFz�*H� �% 7�<9'(�/'.t �#=��1=�> > )+>;���/>;=��= - )�5+�8¡ a ��7�<#=�7�7�<()W:����/�10"% '#=�7�) 56% '���!(>;=���% 7�% )�5=�7ACZD�F�DnH0"��'(��7�:��/% '#:�%;0")/� ¢�@n<"!#58);kkO£ �eb')��kO£ � �.�/�n7�<()�¤#�15 7�/��% )+' 71=�7�% �/'3���c7�<()D���/>;=��= - %;5+�*{g7%;5�)+4�%;0")+' 7�7�<#=�77�<()G?�=(�^) k �8) � k� %;5�% ' 7�<(%;5\:+=/56)G= :��/?P�(> ) - 7���% �/�/'(�/? )�7���%;:\�u!('#:U7�% �/'j����77 &��=��z��!(? )+' 715+� � > 7�)+��'#=�7�% 4/):1<#=��6715=���)D�(����4�%;0")�0 6 *3)+? 6 )�0(0"% '���7�<()W5��(<()+��)v% 'l25¥(,�7�<()+'? &)W:+=�'l!#56)�);kkB£ � F¦)��kB£�§ bI �% 7�<X- k 7�<()<()+? %;5��(<()+��)D¨h© D�b(=�'#0?);k�B£ � F¦)���B£ª§ b� �% 7�<s- � 7�<() <()+? %;5��(<()+��)D¨h\ D(�

R8SGV M J � JcV�«&W�¬L­® - �(>;=�% '� �<�* =/0(0"% 7�% �/'#=�>H:1<#=��6715�=���)���)cmn!(% ��)�0 �.�/�n7�<()v5��(<()+��)\% '37�<() >;=/5 7�) - =�?P�(> )�b(=�'#0�5�!����(> * 5�=�? )/�iH)�7Z¯ 6 )�= ��)�=�> tg4�=�> !()�0��u!('#:U7�% �/'j�/'j56�/? )W����)+'j56)�7A-°9|Q �Ddj) 5�=N*37�<#=�7Z¯ %;5\=l�D� �u!('#:U7�% �/'j% o =�> >

7�<()�?�=(�#5A¯��8) � k+ ,'254^0�2 =���)1� 7�% ? )�5v0"% o|)+��)+' 7�%;= 6 > ) =�7v=�> >/���/% ' 715DS 7�<#=�7G5�=�7�%;5 �.*X) � k(CuSrH�qª-�}X-/+��{�56<#=�> >e<()+'#:�)��.�/�67�< =/5�5�!(? )W7�<#=�7��u!('#:U7�% �/'#5\=���)P� � �A±�% 4/)+'j=1���/% ' 7�²³q�Q�b|> )�7D´Oµ 0")+'(��7�)v7�<()�56)�7\���&=�> >��)�=�> tg4�=�> !()�0W�u!('#:U7�% �/'#5 7�<#=�7&=���)�0")¶¤#'()�0 % ' = '()+% �/< 6 ��!(��<(�"0G���G²j��@n<()�:����/�10"% '#=�7�)n�u!('#:U7�% �/'#5�)�vH���A=�'�*G:1<#=��67=���)\)+> )+? )+' 715n���e´Oµv�

W�Y�W¸· ����¹ V �'Nhº V"J N F M J@n<() 6 % �30"% o|)+��)+'#:�) 6 )�77 &)+)+'j:¶!(��4/)�09=�'#0l»�=�7\5��#=/:�)�5�> % )�5�% '97�<()G'#=�7z!(��)W��� 4/)�:U7��/�15+�O{^' =h»�=�7\5��#=/:�)A &)G:+=�'7�<(% '�j����c=W4/)�:U7��/�&=/5G¼ �/% '(% '��W77 &�A���/% ' 715&% ' 7�<()\5��#=/:�)/��@n<(%;5&%;0")�= �Z=�% >;5&% '3=W:¶!(��4/)�0 5��#=/:�)�=�'#0h &)B�(���":�)+)�0 =/5�.�/> > �` 5+��iH)�7D¯�F7½lq�´Oµ �.�/�O²¾qXQ ��@n<()+' = Nc����¹ V �'N1º V"J N F Mh¿ µ =�78² %;5?�=(� ¿ µ],"´OµÀ0Á2 7�<#=�7�<#=/57�<()\�.�/> > �` �% '��P�(������)+�67�% )�5

¿ µ�C�Â.¯PÃÅÄz½�H £  ¿ µ�CE¯;HGÃÅÄ ¿ µ�C�½�HÆ �% 7�<?Â�F¦Ä8q52¿ µ�CE¯I½�H £ ½;Cu²?H ¿ µ�CE¯;HrÃůeCu²?H ¿ µ�C�½�H&Ç

C7#/� #LH@n<()A¤#�15 7\:��/'#0"% 7�% �/' 5 71=�7�)�57�<#=�7 ¿ µ %;5\= > % '()�=���u!('#:U7�% �/'H�v@n<()G56)�:��/'#0 5 71=�7�)�57�<#=�7\% 7\� 6 )+*"5BiH)+% 6 '(% 7zÈ�É|�z!(> )�.�/�&0"% o|)+��)+' 7�%;=�7�% '��v=D�(���"0.!#:U7��edj)�56<#=�> >�56)+)�7�<#=�7 ¿ µ�CE¯;He��)�7z!(��'#5�7�<()�1=�7�)���H:1<#=�'��/)����r¯3=/5��/'()? ��4/)�5*�#=/5 7² =�> �/'�� = :¶!(��4/)�7�<#=�7%;5&71=�'��/)+' 7n7�� ¿ µ =�7�=G�1=�7�)�7�<#=�7%;5�0")�7�)+��? % '()�0 6 *�7�<() ?�=(�/'(% 7z!#0") ��� ¿ µW�

Page 3: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

� ��������� ���������������������� �! " #!�R8SGV M J � JcV�«z��¬L­a <(�` �.���/?3C7#/� #LH�7�<#=�7 ¿ µ =�'('(% <(% >;=�7�)�5�=�'�* :��/'#5 71=�' 7n�u!('#:U7�% �/'H�

{g7 %;5�:�> )�=��c7�<#=�7 % � ¿ µ =�'#0%$�µ =���)&71=�'��/)+' 7e4/)�:U7��/�15e=�7*²Xb�7�<()+' 56�\%;5'&*µ)(  ¿ µ5Ã5Ä*$�µ �.�/��=�'�*AÂ�F¦ÄOq�2 �@n<#=�7�%;5b�7�<()71=�'��/)+' 7 4/)�:U7��/�15�=�7$² �.�/��? = 4/)�:U7��/� 5��#=/:�)% ' 7�<()�56)+'#56)������/�10"% '#=���*v> % '()�=���=�> �/) 6 �1=(�c@n<(%;5�5��#=/:�)%;5�:+=�> > )�0 7�<() Nc����¹ V �'N J Te� J�V =�7O²Xb,+.µW�

±�% 4/)+'�=�:1<#=��67DCE)rF&-DH� �% 7�<l² q�- % 7%;5n)�=/56*�7���56)+)�7�<#=�7�7�<()\�.�/> > �` �% '���=���)�)+> )+? )+' 715����+.µ�,- �� ) v�. µ �<()+��) - �� ) v�. µ ¯/( �

��� v ¯P��) � k CuSrH �.�/�g² £ ) � k CuSrH&Ç C7#/� B�H, ' =(���(> *�% '���C �10`� )�vEH7µ 7��P) � q�´Oµ % 7 6 )�:��/? )�5&:�> )�=���7�<#=�7�7�<()�56)\=���)> % '()�=���> *ntg% '#0")��)+'#0")+' 7&)+> )+? )+' 715&���2+.µW�{g7\%;5�'(��7\<#=��10�7���56<(�` 7�<#=�7�7�<()+*��.�/��? = 6 =/56%;5�.�/��7�<()G4/)�:U7��/��5��#=/:�)3+.µW�D{^' �Z=/:U7cb|�.�/�\=�'�* ¿ µ q4+.µ�=�'#0¯�q�´Oµ� &) <#=N4/)`k

¿ µ�CE¯;H £45v 6�k ¿ µACE) v H -

�� ) v . µ ¯�Ç C7#/� 7nH

@n<() '"!(? 6 )+�15 ¿ vµ ( ¿ µ�CE)�v H&=���) :+=�> > )�0 7�<()ZJ/F �UT F � V �'N J���� ¿ µ % '37�<()v:1<#=��678)A�®$mn!#=�7�% �/'�C7#/� 7nH�56<(�` 5n7�<#=�78+.µ <#=/5ACZ=/5�=�> % '()�=���4/)�:U7��/��5��#=/:�)LH&7�<()G5�=�? )W0"% ? )+'#56% �/'�< =/5BQ �g{g�=Q %;5»�=�7cbH=�'#097�<()+��)��.�/��)G% 7156)+> �&= > % '()�=��\4/)�:U7��/�\5��#=/:�)�b9+.µ 6 )�:��/? )�5�% '#0"%;5 7�% '���!(%;56<#= 6 > )W�.���/?3Q�bH=�'#097�<(%;5\%;5B �<�* &) 0"��'(��7�'(�/��?�=�> > * <#=N4/)�7�� 6 ��7�<()+�O �% 7�<:+.µW�iH)�7=� 6 )=\:¶!(��4/)&�/'hQ 7�<#=�7/�#=/5�56)�5A7�<(����!��/<�² =�'#0W> )�7';Bq52 6 )g�#=��1=�? )�7�)+�e �<(%;:1< 5���)�:�% ¤#)�5�=�> �":+=�7�% �/'

�/'?� % '95�!#:1<�=P n=N* 7�<#=�7<; £ D�:��/����)�5����/'#0(5 7��h²j� @n<()+'3% 7%;5�)�=/56*�7���:1<()�:¦j�7�<#=�7ACZ0 0 0,;H�= > % )�5n% ':+.µW�

W�Y��?>DV"J N F M"@ V"���cJ ��� �BA � V���V M`�uº��.Nc�uº V�J�|º V"J N F M:@ V"��� ¿ �/'^- 9 Q %;5�=��z!(> ) 7�<#=�7 =/5�56% �/'#5n7�� )�=/:1<?²¾qU- = 71=�'��/)+' 7�4/)�:U7��/� ¿ µ qC+.µW�8d <()+' &)v=(���(> * ¿ 7���¯sq�´OµÀ &)v� 6 71=�% '9=�'(��7�<()+���u!('#:U7�% �/'l½lq�´OµZ,$½;Cu²?HD( ¿ µ�CE¯;Hgq?2 � a ��4/)�:U7��/�g¤#)+>;0(5�?�=(�´Oµ 7���% 7156)+> � �

{g�e &) =(���(> *3= 56)�:��/'#0 4/)�:U7��/��¤#)+>;0/$ 7�� 7�<()\�u!('#:U7�% �/' ¿ ¯�b. &)��/)�7=G�u!(�67�<()+�n�u!('#:U7�% �/'E$ ¿ ¯c�GF���)�5n7�<(%;5% ?P�(> * 7�<#=�78$ ¿ %;5% 7156)+> � =�4/)�:U7��/��¤#)+>;0IH4J�Ib 6 )�:+=(!#56)Z &)W:+=�'956<(�` 7�<#=�7PC�$ ¿ H7µ 5�=�7�%;57¤#)�5�/'(> * 7�<()Z¤#�15 7���7�<()v0")¶¤#'(% '�� :��/'#0"% 7�% �/'#5DC7#/� #LH&,

C�$ ¿ H7µ�¯ k ¯ � £ $�µ�C ¿ ¯ k ¯ � H £ $�µ � ¯ � ¿ CE¯ k HrÃů k ¿ CE¯ � H �£ $�µ�CE¯ � H ¿ µ�CE¯ k HrÃů � Cu²?HK$�µ � ¿ CE¯ k H � ÃL$�µ�CE¯ k H ¿ µPCE¯ � HrÃů k Cu²?HK$�µ � ¿ CE¯ � H � Ç C7#/� M"H

@n<()956)�:��/'#0 =�'#0�¤#'#=�>n7�)+��?�5 % ' 7�<()�>;=/5 7�> % '() =���)�=�> >n7�<#=�7�%;5���)cmn!(% ��)�0 �.�/� 5�=�7�%;5 �Z=/:U7�% �/' ����7�<() 56)�:��/'#0 ���:��/'#0"% 7�% �/'#5DC7#/� #LH&, ¯ k Cu²?H¶C�$ ¿ H7µACE¯ � HGÃů � Cu²?H¶C�$ ¿ H7µACE¯ k H&Ç@n<() ��7�<()+� 77 &� 7�)+��?�5 % ']C7#/� M"H =���)?!('" n=�' 7�)�0��NJ��7�%;:�)97�<#=�7� &)s &��!(>;0:�/)�7 7�<()+? =�>;56� % �A &) :+=�>;:¶!(>;=�7�)�0C ¿ $AH7µD¯ k ¯ � �1=�7�<()+�n7�<#=�'^C�$ ¿ H7µ�¯ k ¯ � �PO(���/?�7�<(%;5�% 7��.�/> > �` 5�7�<#=�7�:��/? ?A!"71=�7��/�

¡ ¿ FQ$�¢9( ¿ $ fR$ ¿ C7#/� S�HTVU =G4/)�:U7��/�$¤#)+>;0;b#56% '#:�)�7�<()D!('" n=�' 7�)�0 ) - 7��1=v7�)+��?�5��.���/?�7�<()�77 &���(���"0.!#:U715� �% > >H:+=�'#:�)+>Q�g¡ ¿ FQ$D¢H%;5n:+=�> > )�0 7�<()A � V ��M`� J�I�V N ��� ¿ =�'#0W$ �/�&7�<()�A � V���V M`�uº��.Nc�uº VEX�Y�$ ���G$hb"�.�/����)�=/56�/'#5= �<(%;:1<� �% > >H)+? )+�z�/) 56<(�/�67�> */�

R8SGV M J � JcV�«�Z'¬L­a <(�` 7�<#=�7 [ �� ) v F

�� ) �,\ £ D^] w F`_�Ç C7#/� anH

k KHLNM&�N�QX+X1]�P R���XUT ��M Oe�A�QP YQP RNS�b ~ c�d��2e4b ~ c\�,fWg v�h v b v ~ c�d��g� �ALNM �QM h v�iCj�v ~ c�d��Ik j�v ~ c\�e�1RN�vYQLNM�b v MKl+[��1T!m�b�n m j�v ��Yc d eWcvb#KHLNP OH�NXURNMU��XURNM�M^���NT XUP YQOHYQLNM T P RNM6�1�QP Y��X1],o µ �1RN��YQLNM�];�1f^YHYQL���YcP YA�1RNRNP LNP T ��YQM Ocf XURNOZYg�1R�YA] [NRNf^YQP XURNO6b

Page 4: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

��� ���!������ ���!�� �<� # ���1� ��� �Q��� ������� *� �dj)�56<(�` &)�0 = 6 ��4/)n7�<#=�7 �.�/��=�'�* :¶!(��4/)8� 7�<()�0"% o|)+��)+' 7�%;=�>#����)+�1=�7��/�OCZ0 0 0,;He%;5�=�'�)+> )+? )+' 7����1+.µW�e{^' �Z=/:U7cb�/% 4/)+'3=W4/)�:U7��/�$¤#)+>;0 ¿ =�'#0 =A���/% ' 7g² &)\:+=�'3:��/'#5 7��z!#:U7�=G:¶!(��4/)�5�!#:1< 7�<#=�7�'()�=��=²Xb ¿ £ CZ0 0 0,;H&=�> �/'��v7�<()

:¶!(��4/)/��@A��56)+)�7�<(%;5g &) :��/'#56%;0")+�n7�<(%;556*"5 7�)+? ����:���!��(> )�0 �#� 0�� )/� 5,0I)�vzCu²��¦H

0,; £ C ¿ ) v H¶Cu²��¦H C w £ #�FÇÇǶF�<rHBF C7#/� �(H �<()+��)g²���q�Q %;5c7�<()O���/% ' 7�7�<#=�7&:��/����)�5����/'#0(5A7���;Bq52 �GO(�/� 5�!�� :�% )+' 7�> *G56?�=�> >'- 7�<()�56)D#�5 7�tg�/�10")+�e)cmn!#=�7�% �/'#5<#=N4/)\=P!('(% mn!() 56�/> !"7�% �/'l �% 7�<�)�vzCu²W=LH £ )�vzCu²?HU�=�PC�;H&%;5:+=�> > )�03=�' ���'N V ¹IM`� ��J�� MLº V ��� ¿ �

R8S ���UT ��VXW�YVZd <#=�7%;5&7�<() % ' 7�)�/�1=�>H:¶!(��4/)����gC �10`� ) � H�H:O(�/�n7�<(%;5:1<(�/%;:�)\��� ¿ )cmn!#=�7�% �/'#5DC7#/� �(H���)�=/0

0I)�v¦Cu²��¦H0,; £�� v� C w £ #�FÇÇǶF�<rHBÇ C7#/� �nH

56�X) v £ :��/'#5 7v�.�/� w��£ _j=�'#0�) � £ ;�� %Q� )/� bc7�<() % ' 7�)�/�1=�>&:¶!(��4/)�5 ����= 6 =/56%;5D¤#)+>;0 �z!('U�#=��1=�> > )+>�7�� 7�<():����/�10"% '#=�7�)G= - )�5+� J��7�%;:�)W7�<#=�7hC �10`� )�vEH�:��/' 71=�% '#5�? �/��)W% '"�.�/��?�=�7�% �/'97�<#=�'1¼7!#5 7A)�v 6 )�:+=(!#56)W% 715\% ' 7�)�/�1=�>:¶!(��4/) 0")��)+'#0(5��/'�=�> >|7�<()v:����/�10"% '#=�7�)��u!('#:U7�% �/'#5b('(��7e¼7!#5 7B)�v¦CEHU�

�9F N V�­$&*3=�'#=�> ���/*h �% 7�<�7�<()v:+=/56)\���c7�<()Z�#=�% � � )�v�FcC �10`� )�vEH � ��)+���(> ) ����7�)+'l ���% 7�)v0 0 0,;�% 'l�(>;=/:�) ��� ¿ ��@n<()v=/0"t4�=�' 71=(�/)n����7�<(%;5 '(��71=�7�% �/' %;5e7�<#=�7 % 7�) - �(> %;:�% 7�> *G=/5�56�":�%;=�7�)�5e �% 7�< =\4/)�:U7��/�e¤#)+>;0G% 715�=/5�56�":�%;=�7�)�0A�#=��1=�? )�7�)+�G;��@n<() 0"%;5�=/0"4�=�' 71=(�/)�5n=���)PC.%�H�7�<#=�7�% 7O!#56)�5&7�<() 56*�? 6 �/>! 0;É"�.�/��56�/? )�7�<(% '�� ��7�<()+�n7�<#=�'3) - 7�)+��% �/��0"% o|)+��)+' 7�%;=`t7�% �/'XCZ56)+) 6 )+> �` 8H&b;C.% %�H�7�<#=�7n% 7n% ?P�(> % )�5�7�<#=�7 ¿ %;5n0")¶¤#'()�0 6 * = �u!('#:U7�% �/'W;`b" �<(%;:1< % 7n%;5�'(��7cb"=�'#0sC.% % %�H�7�<#=�7% 7:+=�'3� 6 5�:¶!(��)7�<()��Z=/:U7n7�<#=�7n7�<#=�7 ;�%;5n=G��)�=�>��#=��1=�? )�7�)+�n�/'3=G:¶!(��4/)�b"=�'#03:+=�' 6 )\% '#:���)+? )+' 7�)�05 �% 7�<(��!"7:��/'#:�)�"7z!#=�>c�u!#5�5+�D{O!#5�!#=�> > *?�(��)��.)+��7��30")+'(��7�)�= 4/)�:U7��/�8¤#)+>;0 6 * =3:+=(�(% 71=�>e> )�767�)+� =�'#0 % 715B�#=��1=�? )�7�)+� 6 *7�<()v:��/����)�5����/'#0"% '�� 56?�=�> >�> )�767�)+���®$mn!#=�7�% �/'�C7#/� �(H�0")¶¤#'()�5�) - =/:U7�> *��/'()W% ' 7�)�/�1=�>c:¶!(��4/)v��� ¿ 7�<(����!��/< =�'�*l²ÁqUQ �Bdj)�!#56)v7�<()�56) :¶!(��4/)�5

7�� 0")¶¤#'()v7�<()�VnS T F � V �'Nc��� � ���.T ) - �rC ¿ H8,�Q 0 Q =/5��.�/> > �` 5+�n) - �rC ¿ H¶Cu²?H�%;57�<()A���/% ' 7��/'()W��)�=/:1<()�5 6 *% ' 7�)�/�1=�7�% '��3)cmn!#=�7�% �/'#5PC7#/� �(H��.���/? ; £ D 7��/; £ #W�.���/? % '(% 7�%;=�> :��/'#0"% 7�% �/'X²W= £ ²j� @n<() '(��71=�7�% �/' �.�/> > �` 5�.���/?�7�<() )+4�%;0")+' 7n�Z=/:U7�7�<#=�7�) - �rC ¿ HG��) - �GC ¿ H £ ) - �rCQB ¿ H&b(=�'#0 ? �/��)��/)+'()+�1=�> > *G7�<#=�7) - �rC� ¿ HG� ) - �rCEÄ ¿ H £) - � � C�Â�ÃÅĶH ¿ � �#"�` &)+4/)+�cb % 'l�/)+'()+�1=�>|) - �rC ¿ HG��) - �rC�$�H �£ ) - �rC ¿ ÃL$�HU�

@c=N*�> �/�n) - �#=�'#0"% '��G7�<() > )���7�56%;0") ����C7#/� �(Hn= 6 ��!"7 ; £ D� &)\<#=N4/)��.�/��5�!�� :�% )+' 7�> * 56?�=�> >1;) v Cu²��¦H £ ) v Cu²W=`HGÃL; - 0I) v Cu²��¦H0,; . = à ; �

B�$ - 0 � ) v Cu²��¦H0,; � . = Ã&%'%'%£ ) v Cu²?HrÃL; ¿ µ�CE) v Hrà ;¶�

B�$ ¿ µ�C ¿ CE) v H�HrÃ&%'%'% C7#/� (nH")+'#:�)D &)\<#=N4/)\=�@c=N*�> �/�&) - �#=�'#56% �/' �.�/�n7�<()v:����/�10"% '#=�7�)�5&���e) - �rC�; ¿ H*)

) v � ) - �rC�; ¿ H¶Cu²?H � £ + - #=ÃL; ¿ à C�; ¿ H7�B�$ Ã&%'%'% . ) v�, Cu²?H&Ç C7#/� #�DnHiH)�7A!#5G0")+'(��7�)�7�<()5���` &)+�W56)+��% )�5 % ' 7�<() ����)+�1=�7��/� ¿ 7�<#=�7 =(����)�=��15 �/' 7�<() ��% �/< 7v����7�<(%;5v)cmn!#=�7�% �/' =/5v) �`Y �@n<()+'l &)\<#=N4/)

) v � ) - �rC�; ¿ H¶Cu²?H � £ � ) �`Y ) v � Cu²?H C7#/� #�#LHJ�` 5�!������ 56)� &)\<#=N4/)�77 &�G4/)�:U7��/�=¤#)+>;0(5.-ZF0/ =�'#0 7�<#=�7O &)�!#56)�7�<() ) - ���/'()+' 7�%;=�>|?�=(�37��P��!#56<�² ¤#�15 7 6 *5Â�#=��1=�> > )+>�7���- =�'#0 7�<()+' 6 *�ÄO�#=��1=�> > )+>|7���/ � @n<() :����/�10"% '#=�7�)�5&���c7�<()B¤#'#=�>G���/% ' 7�) - �rCEÄ*/�HG��) - �rC�Â1-BH¶Cu²?Hn=���)

) v � ) - �rCEÄ*/�Hr��) - �GC�Â1-BH¶Cu²?H � £ - )32�4 )35*6*) v . Cu²?H&Ç C7#/� #NB�H

Page 5: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

� ��������� ���������������������� �! " #!�{g�7b(�/' 7�<() ��7�<()+��<#=�'#0� &)���!#56<l² ¤#�15 7=�> �/'�� /�=�'#0 7�<()+'9=�> �/'�� - ��!(��¤#'#=�>;���/% ' 7O �% > >H<#=N4/)\:����/�10"% '#=�7�)�5

) v � ) - �rC�Â1-BHr��) - �rCEÄ*/�H¶Cu²?H � £ - )35*6c)32�4=) v . Cu²?H&Ç C7#/� #�7nH")+'#:�)G��)�:+=�> > % '���7�<#=�7\) 5*6 %;5$¼7!#5 7 =356<(�/�67�<#=�'#0��.�/��7�<()����` &)+�\56)+��% )�5% ' C7#/� #�DnHg &)G<#=N4/) 7�<#=�7�7�<() 0"% o|)+��)+'#:�)6 )�77 &)+)+'37�<()v:����/�10"% '#=�7�)�5&���A7�<()\77 &��¤#'#=�>G���/% ' 715n%;5

) v � ) - �rC�Â1-BHr��) - �rCEÄ*/�H¶Cu²?H �f8) v � ) - �rCEÄ*/�Hr��) - �rC�Â1-BH¶Cu²?H � £ + [ )35*6=F6)32�4 \ ) v�, Cu²?H

£ - � Â.Ä`¡ -ZF0/D¢�à , C� � H � ) v . Cu²?H&ÇC7#/� #�M"H

{g�e7�<()W% ' 7�)�/�1=�>A:¶!(��4/)�5n���#- =�'#0 / &)+��)\7�� ? )�56<�7����/)�7�<()+��7����.�/��?C= :����/�10"% '#=�7�)v56*"5 7�)+?lb 6 ��7�<9)+'#0l���/% ' 715 &��!(>;0 <#=N4/)W:����/�10"% '#=�7�)�5�C�Â�F¦Ä¶HU��")+'#:�)G7�<()G% ' 7�)�/�1=�>e:¶!(��4/)�5���� - =�'#0 / �.�/��? =3:����/�10"% '#=�7�)G56*"5 7�)+? % o 7�<()0"% o|)+��)+'#:�)1C7#/� #�M"H&b" �<(%;:1<37�� > �` &)�5 7��/�10")+�n%;5g�(�������/�67�% �/'#=�>�7��G7�<()ZiH% ) 6 �1=/:¦j/)�7cb�4�=�'(%;56<()�5+�W�YVZ�� �.T�Te����¹U��������� F����cJiH)�7DQ k =�'#0�Q � 6 )W?�=�'(% �.�/>;0(5AC.'(��7�'()�:�)�5�5�=���% > * ���e7�<()G5�=�? )W0"% ? )+'#56% �/'�H�=�'#0�> )�7�� ,IQ k 0 Q � 6 )W=�?�=(�6 )�77 &)+)+'v7�<()+?���@n<(%;5c?�=(�W%;5e5�=�%;0 7�� 6 )O� � % �7b�% 'G=(���(�����(��%;=�7�)&:����/�10"% '#=�7�)$�#=�71:1<()�5b�) v ���O�I) � k� ,`254 � 03254��%;5�=�'#=�> * 7�%;:(b. �<()+��)A) � F¦) v =���)\:����/�10"% '#=�7�)�5��.�/�BQ k =�'#0lQ � b(��)�5���)�:U7�% 4/)+> */�

� % '#0.!#:�)�5=G?�=(�/+.µ�0 + + � µ � =/5&�.�/> > �` 5,e�/% 4/)+'l¯�ql´ + � µ � =�'#0 ¿ q/+.µ 0")¶¤#'()1C�� ¿ H$q:+ + � µ � 6 *C�� ¿ H¶CE¯;HG( ¿ CE¯P���eH&Ç C7#/� # S�H

��%;5�:+=�> > )�0 7�<()�� � J/F �e�����ª���.T ������

R8SGV M J � JcV�«� ;¬L­±�% 4/)+'�=G7�<(% �10 ?�=�'(% �.�/>;0?Q ¥ =�'#03=h�D� ?�=(���^,nQ � 0ÁQ ¥ b#56<(�` 7�<#=�7ZC��l���eH� £ ��$�����O(�/� =�'�*W4/)�:U7��/��¤#)+>;0;b�7�<()�! =/:�� 6 %;=�'W����7�<()�) - ���/'()+' 7�%;=�>(?�=(� ?�=(�#5c71=�'��/)+' 7�5��#=/:�)�5e% ' 7��\)�=/:1< ��7�<()+���c@n<()% ?�=(�/)v) - �rC ¿ H� $�µ ����=�4/)�:U7��/�<$�µ qC+.µ]!('#0")+��7�<(%;5�?�=(� %;5�5�=�%;037�� 7�<() ��)�5�!(> 7����/iH% )¶t^0"�1=(���/% '�� $�µ =�> �/'��¿ É �

@n<()\�.�/> > �` �% '��G��)�5�!(> 7) - �(>;=�% '#5&7�<() �/��% �/% ' ���c7�<() '#=�? )\���DX�Y�$1,X�Y�$ £ > % ?

��� = ) - �rC7f�� ¿ H�*$������ � � Y � � µ � fR$�µ� Ç C7#/� #�anHW�Y ·=V � J�F M J ��� � � F M`� J� 5v% ' �/�10"% '#=���* > % '()�=��W=�> �/) 6 �1=�bc=�' % ?P���/�671=�' 7W����/> )�%;5Z�(>;=N*/)�0 6 * 7�<() > % '()�=��v��)�=�> tg4�=�> !()�0 �u!('#:U7�% �/'#5v�/'L+.µW�dj)W:+=�> >�7�<()�56) � 6 ¼ )�:U715OJ/F º V"J N F M JW�/�DW! � F M`� J/��@n<()+* �.�/��?C=�'l<'t^0"% ? )+'#56% �/'#=�>�4/)�:U7��/�5��#=/:�)�+ µ b�:+=�> > )�0 7�<()J/F Nc����¹ V �'N J Te� J�V�� @n<"!#5n% �#":q/+ µ &) <#=N4/)

"8C ¿ µ�H=q�2 �% 7�<$"8C� ¿ µ ÃÅÄ*$�µ�H £ Â!"8C ¿ µ�HGÃÅÄ�"8C�$�µ�H�C ¿ µAFQ$�µ|q/+.µ ) Â�F¦Ä8q52�H&Ç C7#/� # �(H±�% 4/)+'�=�'�*�¯�q�´OµA,* &) 0")¶¤#'()v=�#¶tQ�.�/��? 0I¯9> % j/)�7�<(%;5+�PO(�/�=�'�* ¿ µÀq:+.µ

0I¯eC ¿ µ�H'( ¿ µ�CE¯;H CE¯�ql´OµZF ¿ µÀq/+.µDH&Ç C7#/� # �nHJ��7�%;:�)�7�<#=�7&<()+��) 0;É <#=/5 '(��7�<(% '�� 7��W0"�A �% 7�< =�'�% '.¤#'(% 7�)�56% ?�=�>Q� a ���/'h &)�56<#=�> >I�/)+'()+�1=�> % È+)0�% ' 7��W=�'�����)+�1=�7��/�7�<#=�7?�=(j/)�5n=A¤#)+>;0 ����Cu<1Ã:#LH tQ�.�/��?�5n��!"7����e=A¤#)+>;0 ����<'tQ�.�/��?�5b(56�G% 7%;5n<#=�'#0"*�7�� ��)� =��10 )+> )+? )+' 715n����´Oµ =/5¤#)+>;0(5����%& � F M`� J/�e@n<() ��)�5�!(> 7����e!#56% '���03�/'�=W�.�/��?'" %;5�:+=�> > )�0 7�<()DVnS N V M`� F M ��V M`�uº��.Nc�uº V ���#"�

Page 6: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

��� ���! #I�*� � ��� # ����� �Q � �

R8SGV M J � JcV�«���¬L­a <(�` 7�<#=�7�0GCE¯I½�H £ ¯eCu²?H 0"½DÃ^½;Cu²?H 0I¯��.�/�8¯�F7½5q�´OµW�±�% 4/)+'�=�:1<#=��67O)rbI &)\<#=N4/)B< #¶tQ�.�/��?�5n0I)�v6�*d % 7�<�C7#/� # �nH/ &) <#=N4/)�7�<#=�7

0I) v - �� ) � . µ £&� v� Ç C7#/� # (nHO(���/? 7�<(%;5/ &)�:+=�'�56)+)ZC.%�He7�<#=�7 7�<()�0I) v =���)�<�> % '()�=���> *W% '#0")��)+'#0")+' 7�)+> )+? )+' 715 ���1+ µ =�'#0W7�<()+��)��.�/��):��/'#5 7�% 7z!"7�)= 6 =/56%;5&�.�/�� µ b#=�'#0XC.% %�H&7�<#=�7�7�<(%;5 6 =/56%;5n%;5b"% '37�<()D!#5�!#=�>A56)+'#56)\���c> % '()�=��=�> �/) 6 �1=�b 7�<() �/'()\7�<#=�7�%;5:��/'`¼7!�� =�7�)7��G7�<()1C �10`� )�v H7µ 6 =/56%;5&�.�/� +.µW�

R8SGV M J � JcV�«�'¬L­O(���/?3C7#/� # �nH&0")+��% 4/)�7�<()ZJLK �����:M ����V0I¯eC ¿ µBH £ 5 v

� ¯� ) v 0I) v C ¿ µ�H&Ç C7#/� B�DnH

� JcV"J/F � � M`��� IÅJ/F º��.M`�����'NPN V � J�F M �/� � = � � 7�)+'#56�/�O� %;5n=W��)�=�> tg4�=�> !()�0 6 % > % '()�=����u!('#:U7�% �/'3�/' 7�<()�7�)+'#56�/��(���"0.!#:U7/+.µ � +.µW�°CZ@n<()j)+> )+? )+' 715 ���W= 7�)+'#56�/�5�(���"0.!#:U7�=���) 56% ?P�(> * �/�10")+��)�0 �#=�% �15 ���v)+> )+? )+' 715 ��� 7�<()�(���"0.!#:U7�)�0j5��#=/:�)�5+� H @n<"!#5D� %;5 =3��)�=�> tg4�=�> !()�0 > % '()�=����u!('#:U7�% �/'^ �% 7�< 77 &��56> ��715,Z�gC ¿ FQ$AHZqU2 � � JcV"J/F � � M`��� I J/F �'NM`��º��.M`�����'N�N V � J�F M �/� � �= � 7�)+'#56�/��� %;5\= ��)�=�> tg4�=�> !()�0 6 % > % '()�=����u!('#:U7�% �/'j�/' 7�<()W7�)+'#56�/�B�(���"0.!#:U7+ µ �B+ µ be%Q� )/� be=��u!('#:U7�% �/'� �% 7�< 77 &� 56> ��715��AC "OF��eH�q:2 �l{g7G%;5v� 6 4�% ��!#5\7�<#=�7W�/'() :+=�'^�/� �/'j7�� 0")¶¤#'()3=�> >?�=�'('()+�����c7�)+'#56�/�15b�% '#:�> !#0"% '�� � = ¥ � 7�)+'#56�/�15b � kk � 7�)+'#56�/�15DC��u!('#:U7�% �/'#5��/'/+.µ��L+ µ H&)�71:��

{g7�%;5'#=�7z!(�1=�>H7�� :�>;=/5�56% �.* <(�/? ���/)+'()+��!#5�B�'#0"tg�1=�'#0 7�)+'#56�/�15 6 *�56*�? ? )�7���*',={g��� %;5�= � = � � 7�)+'#56�/�cb(�.���/?C% 7 &)\) - 7��1=/:U7=�' 7�%;56*�? ? )�7���%;:\=�'#0356*�? ? )�7���%;:�7�)+'#56�/�15,-AC ¿ FQ$AH'(��AC ¿ FQ$AHef��AC�$$F ¿ H*) -AC�$$F ¿ H £ f.-AC ¿ FQ$AH&F�gC ¿ FQ$AH'(��AC ¿ FQ$AHrÃ��AC�$$F ¿ H*) �gC�$$F ¿ H £ Ã��gC ¿ FQ$AH&Ç C7#/� B.#LH

� ' 7�%;56*�? ? )�7���%;: � =� � 7�)+'#56�/�15;�(>;=N*�=�'\)�5���)�:�%;=�> > *�% ?P���/�671=�' 7H����/> ) =�'#0 =���)�:+=�> > )�0�� �u� V M V �'Nc��� � � F M`� J/�/CZD`tQ�.�/��?�5=�'#0�#¶tQ�.�/��?�5n=���)�0")+)+? )�0 7�� 6 ) =�' 7�%;56*�? ? )�7���%;:�� H � � � F M`� %;5�=�'3=�' 7�%;56*�? ? )�7���%;: � = � � 7�)+'#56�/��� � Z& � F M`� %;5=W7���71=�> > * =�' 7�%;56*�? ? )�7���%;: � = ¥ � 7�)+'#56�/�cb")�71:�� @n<"!#5n% ��� =�'#0�� =���) =37`tQ�.�/��? =�'#03=%M(tQ�.�/��?lb"��)�5���)�:U7�% 4/)+> *�b

�hC ¿ FQ$$F*&8H £ f��hC�$$F ¿ F*&8H £ �hC�$$F*&gF ¿ H £ %'%'%F�hC��^F ¿ FQ$$F*&8H £ f��hC ¿ F��^FQ$$F*&8H £ �hC ¿ FQ$$F��^F*&8H £ f��hC ¿ FQ$$F*&gF��ÀH £ %'%'% C7#/� B/B�H

±�% 4/)+' 77 &�l#¶tQ�.�/��?�5 "OF��$b� &) :+=�' �.�/��? = BLtQ�.�/��? =/5&�.�/> > �` 5

C "����eH¶C ¿ FQ$�HP( "8C ¿ H��=C�$AHef "8C�$AH��=C ¿ H&Ç C7#/� B�7nH� '#=�> ���/��!#56> *l &)�0")¶¤#'()G7�<()! AV"� ¹ V T�M FG� ��J N ����7�<(��)+)l#¶tQ�.�/��?�5�=/5�7�<()G7���71=�> > * =�' 7�%;56*�? ? )�7���%;:A�#=��67\����7�<()7�)+'#56�/�g�(���"0.!#:U7c, �

C "������#"�H¶C ¿ FQ$$F*&8H £ "8C ¿ H��=C�$AH�"BC`&8Hrà "8C`&8H��=C ¿ H�"BC�$�Hrà "8C�$AH��=C`&8H�"BC ¿ Hf "8C�$�H��=C ¿ H�"BC`&8Hef "8C`&8H��=C�$�H�"BC ¿ H�f "8C ¿ H��=C`&8H�"BC�$�H&Ç C7#/� B M"H{g�� &)\=���)�'(�` �/% 4/)+' =5#¶tQ�.�/��? " =�'#03= BLtQ�.�/��?$�X &)�?A!#5 7�:�> )�=���> * 0")¶¤#'() "%�!� 5�!#:1< 7�<#=�7cb"% �&�^ &)+��)�% 7156)+> �e= &)�0.�/)��(���"0.!#:U7� £ "'��( ��� B5#¶tQ�.�/��?�5b" &)� &��!(>;03<#=N4/)

"���� £ "��XC)"��#(�H&Ç C7#/� B�S�H� KHLNM �QM�P O���l�*Qn�+-,�P R] �QXUR�YHX1](YQLNM��NM � RNP YQP XUR\X1]"YQLNM���M �NSUM �N�QX+�N[Nf^YAX1]-+�*�.;] XU�QV�O6b

Page 7: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

� ��������� ���������������������� �! " #!�@n<() ��)cmn!(% ��)�0 �z!(> ) %;5

C "����eH¶C ¿ FQ$$F*&8H £ "8C ¿ H��=C�$$F*&8HGà "8C�$�H��=C`&gF ¿ HGà "8C`&8H��=C ¿ FQ$AH&Ç C7#/� B�anH� ���":�)+)�0"% '��G% '37�<(%;5g n=N*��/'()\?�=N* 56<(�` 7�<#=�7% �#" =�'#0�� =���)���t�=�'#0��ctQ�.�/��?�5b"��)�5���)�:U7�% 4/)+> *�b�7�<()+'

C "����eH¶C ¿ k FÇÇǶF ¿���� H £#

� $ �1$ 5�C7fD#LH � "8C ¿ � � FÇÇÇF ¿ ��� H��=C ¿ ���� � FÇÇÇF ¿ ���� �� H C7#/� B �(H

")+��)�7�<()v5�!(? %;5n��4/)+��=�> >;��)+��?A!"71=�7�% �/'#5=_j���A7�<() '"!(? 6 )+�15DC7#�F1B.FÇÇǶF��AÃ��(Hn=�'#0XC7fD#LH � %;5��A#\0")��)+'#0"% '����/' �<()�7�<()+�n7�<()D��)+��?A!"71=�7�% �/'�%;5n)+4/)+'3�/���"0(0��*d % 7�<�7�<(%;5n�z!(> )D &)\<#=N4/)

"���� £ C7fD#LH �� ��� "OÇ C7#/� B �nH{g7%;5�5 7��1=�% �/< 76�.�/�z n=��10 7�� :1<()�:¦j 7�<#=�7O �% 7�<37�<()�56)v0")¶¤#'(% 7�% �/'#5n7�<()D�(���"0.!#:U7�%;5=/5�56�":�%;=�7�% 4/)�,

"��sC)����"�H £ C "����eH ��"8Ç C7#/� B (nH@n<()8 &)�0.�/)g�(���"0.!#:U7&���1Mv�/� S.b ÇÇǶb�#¶tQ�.�/��?�5�%;5&56% ? % >;=���> * 0")¶¤#'()�0 7�� 6 )7�<()7���71=�> > * =�' 7�%;56*�? ? )�7���%;:g�#=��67�����7�<()��)+> )+4�=�' 7n7�)+'#56�/�g�(���"0.!#:U7��e{g7%;5n7���% 4�%;=�>|7���56<(�` 7�<#=�7�"��XC� �eH £ Â!"����j�.�/�OÂ1q�2 �

a % '#:�)v=�BLtQ�.�/��?�%;5�> % '()�=��n% '�)�=/:1<�56> ��7cb. &) :+=�'3)+4�=�> !#=�7�)\% 7�/'�=�'�* 56)�7���c4/)�:U7��/�15&% �e &)�j�'(�` 7�<() 4�=�> !()�5% 7�71=(j/)�5&�.�/�=�> >;��� 5�56% 6 > )��#=�% �15&�.���/? = 56)�7��� 6 =/56%;5&4/)�:U7��/�15,

"8C ¿ FQ$AH £ " - 5v¿ v �� ) v F 5 � $ � �� ) v�.

£ 5 v � ¿ v $ � " -�� ) v F

�� ) � .

C7#/� 7/DnH")+'#:�)�7�<()9'"!(? 6 )+�����\> % '()�=���> * % '#0")��)+'#0")+' 73BLtQ�.�/��?�5G%;5�)cmn!#=�>n7��j7�<() '"!(? 6 )+�������#=�% �15G��� 0"%;5 7�% '#:U7 6 =/56%;54/)�:U7��/�15b�'#=�? )+> * k� </Cu<lf #LHU�#")+'#:�) =�'�*3BLtQ�.�/��? :+=�' 6 ) ) - �#=�'#0")�0 % '37�)+��?�5n����:����/�10"% '#=�7�)��.�/��?�5�=/5

" £ 5��� ��� ������

" v � 0I) v �30I) � F �<()+��) " v � ( " - �� ) v F �� ) � . Ç C7#/� 7�#LHa % ? % >;=���> *�b�7�<()�'"!(? 6 )+������> % '()�=���> *W% '#0")��)+'#0")+' 7 7`tQ�.�/��?�5�%;5 k¥ � </Cu<Zf�#LH¶Cu<Zf3B�H =�'#0�56� �/'H��{^'1�#=��67�%;:¶!(>;=���7�<()+��)%;5��/'(> *s# > % '()�=���> * % '#0")��)+'#0")+' 7B<'tQ�.�/��?lb(=�'#0 7�<()+��)W=���)\) - =/:U7�> *3=/5n?�=�'�* > % '()�=���> * % '#0")��)+'#0")+' 78<lf�� �.�/��?�5=/5&7�<()+��) =���)\> % '()�=���> * % '#0")��)+'#0")+' 7B� �.�/��?�5+�

W�Y � R8S N V M`� F M ��V M`�uº��.Nc�uº V�J®$mn!#=�7�% �/'ÅC7#/� # �nH0")¶¤#'()�5�7�<()G����)+�1=�7��/�\097�<#=�7\?�=(j/)�5�=h¤#)+>;0 ��� �/'()¶tQ�.�/��?�5�.���/? =h¤#)+>;0 ���&D`tQ�.�/��?�5+��{g7\%;5\=0")+��% 4�=�7�% 4/) ����)+�1=�7��/�\����=�56'()�=(j�*�j�% '#0;, % 7Z!#56)�5�7�<() 0")+��% 4�=�7�% 4/)P���` &)+� ���&7�<()�) - 7��1=3=��z��!(? )+' 7\�.�/�D �<(%;:1< % 7?�=(j/)�5 5��#=/:�)G�1=�7�<()+�\7�<#=�' 0"�/% '��9=�'�* 0"% o|)+��)+' 7�%;=�7�% �/'j% 7156)+> � ��!��/'#56%;0")+�\7�<() �.�/> > �` �% '��95�:1<()+? )G�.�/� ?�=(j�% '��9=77 &�(t^56> ��7&�u!('#:U7�% �/'���!"7���e=l#¶tQ�.�/��?l,

C � "=H¶C ¿ FQ$�HP( ¿ "8C�$AHefR$�"8C ¿ H&Ç C7#/� 7 B�H@n<(%;5� 6 ¼ )�:U7�%;5�=�' 7�%;56*�? ? )�7���%;: =�'#0 =�> % '()�=����u!('#:U7�% �/' ��� 6 ��7�<9% 715�=��z��!(? )+' 715+�#" )�7�% 7�% '�$&%('= BLtQ�.�/��? $�@n<()7�����! 6 > ) %;5�7�<#=�7v% 715 4�=�> !()�=�7D² 0"��)�5\'(��7v0")��)+'#0j�/'(> * �/' ¿ µZb 6 !"7W=�>;56���/' 7�<()�4�=�> !()�5\��� ¿ % ' =�'j)+' 7�% ��)'()+% �/< 6 ��!(��<(���"03���e²j�DCZ@A� 56)+)\7�<(%;5b#)+4�=�> !#=�7�) � " �/'�7�<()D¤#)+>;0? ¿ b� �<()+��)AÂ�q?´Oµ 5�=�7�%;57¤#)�5OÂ'Cu²?H £ #/� H � '� 6 ¼ )�:U7n7�<#=�7*)+%�, U 0")��)+'#03�/'(> * �/' ¿ µAFQ$�µ %;5�0 "Ob� �<(%;:1<3%;50")¶¤#'()�0 6 *

CZ0 "=H¶C ¿ FQ$�HP( ¿ "8C�$ZHefR$ "8C ¿ H�f "8C�¡ ¿ FQ$�¢uH&Ç C7#/� 7�7nHR8SGV M J � JcV�«.-�¬L­

� ����4/)7�<() >;=/5 7�5 71=�7�)+? )+' 7 6 *356<(�` �% '��W7�<#=�7�0 "8C`&gFQ$AH £ D ]C& 5+� 7���&*µ £ D(�

Page 8: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

��� ����#!���� �*����� � #�� �&��� �Q � �R8SGV M J � JcV�«��'¬L­a <(�` 7�<#=�7

0(0I¯ £ D�Ç C7#/� 7�M"H@n<()v=/:U7�% �/'3���e03�/'�=P�/)+'()+�1=�> ��tQ�.�/��? � %;50")¶¤#'()�0 6 *

CZ0 �eH¶C ¿ k FÇÇǶF ¿���� k H'( ��� k5� 6�k C7fD#LH �

� k ¿ � �=C ¿ k FÇÇÇF �¿ � FÇÇÇF ¿���� k Hà 5v� �C7fD#LH v � � �=C�¡ ¿ v F ¿ � ¢ F ¿ k FÇÇÇF �¿ v FÇÇÇF �¿ � FÇÇǶF ¿���� k H&F

C7#/� 7 S�H �<()+��) =G<#=�7% '#0"%;:+=�7�)�5&7�<#=�7�7�<#=�7% 7�)+?C56<(��!(>;0 6 ) �/? % 767�)�0 �.���/?�7�<() > %;5 7��*{^'l &�/�10(5&7�<(%;55�=N*"5b 7�<#=�7g¤#�15 7�*/��!!#56)W)�=/:1< =��z��!(? )+' 7% '9�.���/' 7B �% 7�<97�<()W��7�<()+�15% '#56%;0") � =�'#037�<()+' */��!?��!"7�7�<()G:��/? ?A!"71=�7��/���� )�=/:1<?�#=�% ��% '7�<()O¤#�15 7n56> ��7n=�'#0 7�<()���)+?�=�% '(% '��W=��z��!(? )+' 715��.�/> > �` �% '��v% ' �/�10")+���e89)�=�'" �<(% > )*/��!hj/)+)� =�> 7�)+��'#=�7�% '�� 7�<()�56% �/'#5% '3�.���/' 7����e*/��!(�&7�)+��?�5+�

{g�' &)n) - �#=�'#0W0 � =/5e=�> % '()�=�� :��/? 6 % '#=�7�% �/'W���|:����/�10"% '#=�7�)��.�/��?�5�=/5c% '?C7#/� 7�#LH&b` &)��/)�7 =���)�=/56�/'#= 6 > * 56% ?P�(> )) - �(��)�5�56% �/' �.�/�n7�<() ) - �#=�'#56% �/'�:���) � :�% )+' 715 6 )�:+=(!#56) =�> >|7�<() 6 =/56%;5=¤#)+>;0(5 �10`� )�v�:��/? ?A!"7�)�,

% � � £ 5v� � �;� � � �

� v � � � � � 0I) v �30I) � %'%'%7�<()+' 0 � £ 5

v� � �;� � � �0 � v � � � � � �30I) v �30I) � %'%'% C7#/� 7�anH

CZ@n<()$�(�������"���"7�<()&56)�:��/'#0\> % '()&56% ?P�(> *\% '�4/�/> 4/)�5�)+4�=�> !#=�7�% '���7�<()&=/:U7�% �/' ��� 6 ��7�<W56%;0")�5H�/'W=�'v=�� 6 % 7��1=���*�:��/> > )�:U7�% �/'��� 6 =/56%;5$¤#)+>;0(5ZC �10`� ) v HU� H

@n<() �.�/> > �` �% '����z!(> )�5H�.�/�A) - 7�)+��% �/�A0"% o|)+��)+' 7�%;=�7�% �/'\�.�/> > �` )�=/56% > *��.���/? 7�<()&:����/�10"% '#=�7�)���)�(��)�56)+' 71=�7�% �/'hC7#/� 7�anH=�'#0 )cmn!#=�7�% �/'^C7#/� 7�M"H&,

0GC "XÃ��eH £ 0 "sà 0 � ) 0GC "'���eH £ CZ0 "=H ���là C7fD#LH � "��XCZ0 �eH= �<()+��) "OF�� =���)��rF.� �.�/��?�5 ) 0(0 £ D�Ç

C7#/� 71�(Hd <()+' 0 " £ D� &)5�=N* 7�<#=�7 " %;5/J��ZF�JcV"����{g� " £ 0 �$bn &):+=�> >&"UVnS � J N �edj)<#=N4/)�¼7!#5 7&56)+)+'G7�<#=�7&=�> >() - =/:U7

�.�/��?�5=���) :�> � 56)�0�� , '9= '(�/'.tQ7���% 4�%;=�>�?�=�'(% �.�/>;037�<()v:��/'�4/)+�156)\%;5g!(' 7��z!()�,�7�<()+��)v) - %;5 7'(�/'.tg) - =/:U7:�> � 56)�0 �.�/��?�5+�@n<()) - %;5 7�)+'#:�)���H5�!#:1< �.�/��?�5 0")��)+'#0(5$!����/'Gb�=�'#0 %;5�=�'�% ?P���/�671=�' 7&0"%;=(�/'(� 5 7�%;:n���7b/7�<()O�/> � 6 =�>"7������/> ���/*W���|7�<()?�=�'(% �.�/>;0�����F ��� J �.M� V�� Jl��V ����� 5 71=�7�)�5�7�<#=�7\�/'�254 =�> >�:�> � 56)�0��.�/��?�5\=���)W) - =/:U7�� a % '#:�) > �":+=�> > *�)+4/)+��*�Q %;5> % j/)D254'b��/% 4/)+'90 " £ DP &)W:+=�' =�> n=N*"5=¤#'#0%� 5�!#:1<37�<#=�7 " £ 0 � % ' =?C.����7�)+' >;=��z�/)LH&'()+% �/< 6 ��!(��<(���"03��� =�'�*���/% ' 7��

W�Y �� �'N V ¹IM`�.Nc� F � F �g� F M`� J{g��*/��! <#=N4/)�=�' ��tQ�.�/��? " =�'#0 = ��t^0"% ? )+'#56% �/'#=�>OCZ5�! 6 H tg?�=�'(% �.�/>;0��UbA7�<()+' */��! :+=�' % ' 7�)�/�1=�7�) " ��4/)+��� =/5�.�/> > �` 5+�GOc% �15 756)�7O!��9= :����/�10"% '#=�7�)B�/��%;0XC�GkLFÇÇÇF�� � H&�/'�� � @n<()+'l &�/�zj���!"7n7�<()���% )+?�=�'('�% ' 7�)�/�1=�>

� " ( � 0�� k %'%'%�0�� � " - �� � k FÇÇÇF �� � � . F C7#/� 7��nH �<()+��)\0��9%;5�=�' % '.¤#'(% 7�)�56% ?�=�>Eb $&%('&=�#¶tQ�.�/��?��e@n<#=�7�%;5b(=�7n7�<() :�)+' 7���)\���c)�=/:1<356?�=�> >�:�)+> >��/'��3 &)�)+4�=�> !#=�7�) "�/'37�<()v4/)�:U7��/�15�:��/'`¼7!�� =�7�)\7�� 7�<()W:����/�10"% '#=�7�)�5b(=�'#037�<()+' =/0(0 7�<()v��)�5�!(> 7�% '���'"!(? 6 )+�15n�.�/�)�=/:1<9:�)+> >Q�DO(�/��7�<()0")¶¤#'(% 7�% �/'lC7#/� 7��nH�7��\?�=(j/)n56)+'#56)&% 7�%;5�:�> )�=���> * % ?P���/�671=�' 7c7�<#=�7�� " 56<(��!(>;0 6 )n% '#0")��)+'#0")+' 7 ���� �<#=�7 :����/�10"% '#=�7�)56*"5 7�)+?�� v 7�<#=�7O &)��(>;=/:�)\�/'�� �*iH)�7cÉ 5���) ���% 7�)hC7#/� 7��nH�% '37�)+��?�5n���c'() :����/�10(5�C� k FÇÇÇF�� � HU� $&*XC7#/� 7nH

�� � v £ 5 �

� � �� � v

�� � � Ç

Page 9: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

� ��������� � �,����� 3� ��� #,� � #W "��K��� #,��� �dj)\5�! 6 5 7�% 7z!"7�)�7�<(%;5&) - �#=�'#56% �/' % ' 7�� " % 'XC7#/� 71�(H =�'#0�) - �(> �/% 7&7�<()�> % '()�=���% 7 * ��� " 7��G) - 7��1=/:U7�7�<()\:���) � :�% )+' 715����7�<()1C �10`� � � HU��$&*�7�<()v:��/?P�(> )�7�) =�' 7�%;56*�? ? )�7���* ���#" &)B¤#'#0

" - �� � k FÇÇǶF �� � � . £ � C��k`FÇÇǶF�� � H� C� k FÇÇǶF�� � H " - �� � k FÇÇǶF �� � � . F C7#/� 7�(nH

�<()+��) � CEH 0`� CEH&0")+'(��7�)�5&7�<()D!#5�!#=�>H! =/:�� 6 %;=�'30")�7�)+��? % '#=�' 7�� , '37�<()\��7�<()+��<#=�'#0;b��.���/? :��/'�4/)+' 7�% �/'#=�>�:+=�>;:¶!(> !#5 &)\<#=N4/)0�� k %'%'%60�� � £ � C�GkLFÇÇǶF��

� H� C� k FÇÇǶF�� � H 0�� k %'%'%�0�� � Ç C7#/� M DnH

d <()+'UC7#/� 7�(nH�=�'#0XC7#/� M DnH&=���)B!#56)�0 % '^C7#/� 71�(H 7�<()�77 &��! =/:�� 6 %;=�' 0")�7�)+��? % '#=�' 715�:+=�'#:�)+> 6 * 7�<()D!#5�!#=�>|7�<()+�/��)+?lb56�G7�<#=�7 � " £

� 0�� k %'%'%�0�� � " - �� � k FÇÇÇF �� � � . Ç C7#/� MI#LH")+'#:�) % 7�0"��)�5n'(��7?�=�767�)+�g �<#=�7�:����/�10"% '#=�7�)\56*"5 7�)+? */��!�!#56)\7�� )+4�=�> !#=�7�) � "�

@n<() ) - 7�)+��% �/��0")+��% 4�=�7�% 4/)\<#=/5 6 )+)+'90")¶¤#'()�0�5�!#:1< 7�<#=�7% ' 7�)�/�1=�7�% �/' 6 *1�#=��6715n*�% )+>;0(5�� N F#I�V�J � N K�V�F M V ��� 0 " £

�� � "OF C7#/� M�B�H

�<()+��) � � 0")+'(��7�)\7�<() 6 ��!('#0(=���* ���A7�<()1C �Pê#LH t^0"% ? )+'#56% �/'#=�>|��)�/% �/' � �� M FHF � ­¾dj) 6 ��)�=(j � % ' 7��W56?�=�> >�C 6 !"7&'(��7�% '.¤#'(% 7�)�56% ?�=�>�He��)�/% �/'#5 � d 7�<#=�7n:+=�' 6 )�:���4/)+��)�0 6 * =v56% '��/> ):1<#=��67=�'#0P¤#�15 7=�(����4/)n7�<()���)�5�!(> 7��.�/�n5�!#:1< =v��)�/% �/'H��dj)8!#56)�:����/�10"% '#=�7�)�5 0")�56% �/'()�0 �.�/� 7�<()$¼ � 6 ,A7�<()�% ' 7�)�/�1=�>�:¶!(��4/)�5���8C �10`� ) = H&FÇÇÇFcC �10`� ) � H> % )G% ' � d bH=�'#0�7�<() 6 ��!('#0(=���% )�5���� � � d :��/% '#:�%;0")� �% 7�<j5�!(�6�Z=/:�)�5B) v £ :��/'#5 7��!O(���/?7�<()v56)�:��/'#0 ���e)cm�5DC7#/� 7�anH/ &) <#=N4/)

0 " £4 � k5+ 6 = 5

v� � �;� � � �� " v � � � � �� ) + 0I) + � 0I) v �30I) � %'%'%Ç C7#/� M 7nH

@n<() 4�=�> !()\���c7�<(%;5��/'^C �10`� ) = H&FÇÇÇFcC �10`� ) � H&%;5

0 " + �� ) = FÇÇÇF �� ) � , £

�5+ 6 = C7fD#LH+ � "�= k � � ���+ � � � �� ) + F C7#/� M�M"H

�<()+��)�7�<() <#=�7�=(� =�% ' % ?P�(> % )�5n7�<#=�7�7�<#=�7% 7�)+?C56<(��!(>;0 6 ) �/? % 767�)�0 �.���/?�7�<() > %;5 7��#")+'#:�)

�� 0 " £

�5+ 6 = C7fD#LH+ � 0I) = %'%'%�0I) � � "�= k � � ���+ � � � �� ) +

£�5+ 6 = C7fD#LH

+ � 0I) = %'%'% �0I) + %'%'%�0I) ��� "�= k � � ���+ � � � ������������� ���� � ÇC7#/� M S�H

$=!"7�7�<() >;=/5 7\) - �(��)�5�56% �/'9%;5\56% ?P�(> * � � � "�D{^'#0")+)�0;b 6 * :��/'#5 7��z!#:U7�% �/' )�=/:1< ��� 7�<() B�C �hÃ�#LH��Z=/:�)�5���� � %;5\=5�!(�6�Z=/:�)\����:��/'#5 71=�' 78)�v =�'#0 7�<()+*3:��/? )\% 'l�#=�% �15,�> )���7�=�'#03��% �/< 7n�Z=/:�)�5+�/®�=/:1< 7�)+��? % '37�<()v5�!(? ��4/)+��� %;5n7�<()5�!(? ���c% ' 7�)�/�1=�>;5n��� " ��4/)+�&7�<()�56)��Z=/:�)�5+� @n<()v=�> 7�)+��'#=�7�% '�� 56% �/'���!"7n�.���/' 7�4�=���% )�5&7�<() �/�10")+��% 'l �<(%;:1<3> )���7�=�'#0��% �/< 7\=���) 71=(j/)+'H��@n<(%;5�)+'#5�!(��)�5�7�<#=�7� &)W% ' 7�)�/�1=�7�)� =�����!('#0;É(7�<() 6 ��!('#0(=���*/��O(�/��) - =�?P�(> )v7�<()G�/�10"% '#=���* > % '()% ' 7�)�/�1=�> �

���� x"!$#%��&(' � 0�� %�) £� k= 0 � � - � C � F�DnHef - � C � F#LH � f � k= 0 § � -+*.CZD�F § H�f -AC7#�F § H � Ç

d <()+'1 &)�=/0(0 7�<()��)�5�!(> 7= &)<#=N4/)g�(����4/)�0W�.�/� � d ��4/)+��=�> >�� d 9 �ÁC7#/� M�B�Hc�.�/> > �` 5 6 )�:+=(!#56)�7�<()�:��/' 7���% 6 !"7�% �/'#5�.���/?C:��/? ? �/' �Z=/:�)�5�����=/0L¼ �/% '(% '�� � d �% > >A:+=�'#:�)+>Eb(> )�=N4�% '��G�/'(> * 7�<()W:��/' 7���% 6 !"7�% �/' �.���/? 7�<() 4�=���% ��!#5��#=��6715n���� � �

Page 10: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

��#!��� ���I������� � #C��� ��� 3� ��� #,� � #W "��K��� #,��� � �

� � � � ���U���h � � ���\��� � �����

@n<() "�=�? % > 7��/'(%;=�' ? )�:1<#=�'(%;:+5v����=�7�% ? )¶tg% '#0")��)+'#0")+' 7�56*"5 7�)+?¾ �% 7�< � 0")�/��)+)�5 �����.��)+)�0"�/? 71=(j/)�5Z�(>;=/:�) % '�(<#=/56)95��#=/:�)�Q ���\0"% ? )+'#56% �/' < £ B � � @n<(%;5�5��#=/:�)�%;5�5 7��z!#:U7z!(��)�0 6 * = :�> � 56)�0 BLtQ�.�/��? " 7�<#=�7 <#=/5G7�<()�(������)+�67 * 7�<#=�7% �#"8C ¿ FQ$�H £ D�]9$hb�7�<()+' ¿ £ D(�*{g7%;5�:+=�> > )�0 7�<()vJ�� �UT ��V"J Nc� J � F M`� �@n<()P�(<�*"56%;:+5���� 7�<()�56*"5 7�)+? %;5\5���)�:�% ¤#)�0 6 * =3D`tQ�.�/��?��Cu²?HU� a ��)�:�% ¤�:+=�> > *�bH56*"5 7�)+?�5�? ��4/)� �% 7�< 7�% ? ) �

=�> �/'�� = 4/)�:U7��/�=¤#)+>;0�sb. �<(� 56)��#=��1=�? )�7�)+� �&%;5+�� %;5���)+>;=�7�)�0 7�� � 6 *"8C7F�lH £ 0��?Ç CQB"� #LH

� '#=�> ���/��!#56> *h �% 7�<UCQB"� #LH&b " )+'#= 6 > )�5�!#5&7�� =/5�56�":�%;=�7�)\=�!('(% mn!() 4/)�:U7��/�=¤#)+>;0�´ �% 7�<��($�� �u!('#:U7�% �/'�¯�,"8C7F�´hH £ 0I¯�Ç CQB"� B�H

�9F N V�­89�/��)��/)+'()+�1=�> > *�b " )�5 71= 6 > %;56<()�5�=�#¶t¦# :��/����)�5����/'#0")+'#:�) 6 )�77 &)+)+' 7�<() )+> )+? )+' 715����+ µ =�'#0 7�<(� 56) ���+.µG�

R8SGV M J � JcV�«��'¬L­� ����4/)7�<#=�7O´ %;5�!('(% mn!()/�J�` 7�<() �1=�7�)\����:1<#=�'��/)����c7�<()\> �":+=�>H4�=�> !()\���/¯ =/5n�/'()\? ��4/)�5= �% 7�<9= 56*"5 7�)+? %;5

0I¯0&� £ 0I¯eC�lH £ "8C�sF�´hH £ f0���Cu´hH&Ç CQB"� 7nH

@n<()��u!('#:U7�% �/'?>½'F¦¯r@<( "8Cu´�F��eH�%;5�:+=�> > )�0G7�<() ��F � J�J�F �^��M`� J�I�V N ���r¯3=�'#0�½|�gC�J��7�%;:�)�7�<()���)+4/)+�15�=�>"�����/�10")+� $ H� F M F���� �.M �

� £ :��/'#5 71=�' 7=�> �/'���=�'�*�7��1=`¼ )�:U7��/��*/�iH)�7g� 6 )\=W5�!(�6�Z=/:�)% '�Q�=�'#0�> )�7g� d 6 )7�<()\5�!(�6�Z=/:�)� 6 71=�% '()�0h �<()+' )+4/)+��*����/% ' 7&% 'l� <#=/5 6 )+)+' )+4/�/> 4/)�0

�.�/�n7�% ? ) �U� @n<()+'37�<()���F ��� J �.M� V ���'º��.M`�����'NhN K�V�F M V � 5 71=�7�)�5&7�<#=�7 ��� " £ ��� "�� M FHF � ­ !��/'#56%;0")+�\7�<() :�*�> % '#0")+�A� 7�<#=�7v%;5 6 ��!('#0")�0 6 *X��be� d =�'#0 7�<()�7��1=`¼ )�:U7��/��% )�5�7�<#=�7W:+=�����*����/% ' 715 �/'� � % ' 7��1���/% ' 715�/' � � d %3> )�7�� 0")+'(��7�)v7�<(%;5>;=/5 7� :¶!(��4/)�0;ÉI�#=��67����7�<()W:�*�> % '#0")+��� a % '#:�)W0 " £ D�b� &)v<#=N4/) �/'=(���(> *�% '�� a 7���j/)�5É�7�<()+�/��)+? 7�� 7�<() % ' 7�)+��% �/�n���/� 7�<#=�7 � ��� " £ D(� a % '#:�) � � %;5�?�=/0")D!������/��bI� d =�'#0���b� &)<#=N4/)

f � � "sà � � "XÃ� " £ D�Ç CQB"� M"H

�<()+��)�7�<()1¤#�15 7v7�)+��? <#=/5W=9? % '"!#5W56% �/' 6 )�:+=(!#56)1 &) :1<(��� 56) 7�� �/��% )+' 7 6 ��7�< � =�'#0�� d % ' 7�<()35�=�? ) 56)+'#56) �<(% > ) a 7���j/)�5É�7�<()+�/��)+? ��)cmn!(% ��)�5 ������� 56% 7�)�)+'#0(5v����=94/�/> !(? ) 7�� <#=N4/) ������� 56% 7�) �/��% )+' 71=�7�% �/'#5+� @A� )+4�=�> !#=�7�)� ": &)v'()+)�037�� :1<(��� 56)\77 &� :����/�10"% '#=�7�)�5n�.�/�!�G� , '()v� 6 4�% ��!#5:+=�'#0"%;0(=�7�) %;5 �U� � 56)�:��/'#0�:����/�10"% '#=�7�)ApW:+=�'6 )l�/)+'()+�1=�7�)�0 6 * 0")�:�%;0"% '��j�/' =�'�* 5�:1<()+? ) �.�/��0")+'(��7�% '��s��� 56% 7�% �/' =�����!('#0 � � 5�!#:1< 7�<#=�7G7�<()95�=�? )5���/% ' 7:��/����)�5����/'#0(5�7��?p £ # =/57��lp £ D(�hC.%Q� )/� bH=���7�)+�\% '#:���)+? )+' 7�% '��lp 6 *^#G*/��!GÉ 4/)Z�/�/'()W��% �/< 7�����!('#0 � �n� H @n<()+'7�<()D���/% ' 715ZCEp�F ��H=q�� %;5&7�<()D���/% ' 7BpDq � � ��)�=/:1<()�5n=�7�7�% ? ) �U�*dj) <#=N4/)

� " £

� �= 0&� � k= 0Ip�" - �� p F� .£ �

�= 0&� � k= 0IpA0�� - �� p .£ �

�= 0&� � k= 0Ip - � �� p .£� �= 0&�;¡ ��CEpnC7#LH�Hef"��CEpnCZDnH�H ¢ £ D�Ç

CQB"� S�H

@n<"!#5 � " £ D =�'#03% 7��.�/> > �` 5�7�<#=�7 ��� " £ ��� " =/5�5 71=�7�)�0��

Page 11: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

��� ��������� � �,����� 3� ��� #,� � #W "��K��� #,��� �{^? ? )�0"%;=�7�)v:��/���/> >;=���% )�5&=���)�7�<#=�7

���� "�� " £ � � � "�� "�

��� "�� "�� " £ � � � "�� "�� "ÇÇÇ

CQB"� anH �<()+��) 5�!#:+:�)�5�56% 4/)\> % '()�5���)+>;=�7�)\% ' 7�)�/�1=�>;5&����0"% ? )+'#56% �/'/MIFQa�FÇÇÇ&F�<���@n<()D<'t^0"% ? )+'#56% �/'#=�>|4/)+�156% �/'3���A7�<(%;5��)�5�!(> 7%;5�j�'(�` �'�=/5giH% ��!(4�% > > )�É 5&7�<()+�/��)+?��

�;Y�W � ��� F ��� J � ��J/FHF M � �����.N V�J!����/�10"% '#=�7�)�5�C T F��GHn% 'l �<(%;:1< " 71=(j/)�5�7�<()v56% ?P�(> )\�.�/��?

" £�5v

0(� v �30 � v CQB"� �(H=���)\:+=�> > )�05J ��� F ��� J � ��J/FHF M � �����.N V�J/�GJ��7�%;:�)�7�<#=�7 " %;5�:�> � 56)�0 6 )�:+=(!#56) " £ 0� v ��vZ0 �`v6�*d <()+'�� :����(% )�5&���" =���)� &)�0.�/)�0 7����/)�7�<()+�cb�7�<() ��)�5�!(> 7�%;5n)�5�56)+' 7�%;=�> > *�7�<()v5 71=�'#0(=��10 ? )�=/5�!(��)����e�(<#=/56)¶t^5��#=/:�)�4/�/> !(? )�,

"�� "�� %'%'% � " £ � $�0(� k �30 � k �30(� � � %'%'% �30 � � Ç�9F N V�­

!&=�'(�/'(%;:+=�>&:����/�10"% '#=�7�)�5v?�=N* 6 )3:��/'#5 7��z!#:U7�)�0 �.�/���($�� 56*�?P�(> )�:U7�%;:��.�/��? 5�!#:1< 7�<#=�7 =�'�*X�/% 4/)+'U¤#)+>;0 ¿:��/% '#:�%;0")�5= �% 7�<XC �10`� �;k¶HU��@n<() :��/'#5 7��z!#:U7�% �/' %;5n:�> � 56)+> *�=�'#=�> ���/��!#5�7��h±��1=�?�t a :1<(? %;0�7n�/�67�<(���/�/'#=�> % È�=�7�% �/'H�dj) ��)�:���4/)+� "�=�? % > 7��/'GÉ 5�)cmn!#=�7�% �/'#5 6 *30")�7�)+��? % '(% '��G7�<()v=/:U7�% �/'3��� �/'9:+=�'(�/'(%;:+=�>�:����/�10"% '#=�7�)�5,

� �� � v £ 0�� - �� � v�. £ - 5

�0(� � �30 � � . - �� � v F� .

£ 0 � v C�lH £ XC�� v H £�� v� �� � v £ 0�� - �� � v�. £ - 5

�0(� � �30 � � . - �� � v F� .

£ f0(� v C�lH £ f XC � v H £ f � v Ç

CQB"� �nH

89�/��)A�/)+'()+�1=�> > *37�<(%;5\:+=�>;:¶!(>;=�7�% �/'j56<(�` 57�<#=�7\% ' :+=�'(�/'(%;:+=�>e:����/�10"% '#=�7�)�5�7�<() ��)+>;=�7�% �/' 6 )�77 &)+)+'j= �u!('#:U7�% �/'U¯=�'#0 % 715�4/)�:U7��/�=¤#)+>;0�´ %;5

´ £�5v- ´lC � v H �� � v ÃU´lC�� v H �� � v�. �<()+��)

� � �´lC � v H £ f

� ¯� � v

´lC�� v H £ Ã� ¯� � v Ç

CQB"� (nH@A��¤#'#0 7�<()v:+=�'(�/'(%;:+=�>|�.�/��? ���A7�<()v�e�/%;5�56�/' 6 �1=/:¦j/)�7� &) :+=�>;:¶!(>;=�7�)c¥

>½'F¦¯r@�( "8Cu´�F��eH £ 5 � 0(� � �30 � � + 5v� ¯� � v

�� � v f

� ¯� � v

�� � v F 5 �

� ½� � �

�� � � f

� ½� � �

�� � � ,

£ 5 �+ � ½� � �

� ¯� � � f

� ½� � �

� ¯� � � , Ç

CQB"� #�DnH

O(�/��)�=/:1<9�u!('#:U7�% �/'^¯j7�<()G����)+�1=�7��/�Z>nF¦¯r@W%;5�?�=�'(% �.)�5 7�> * = 4/)�:U7��/�O¤#)+>;0;bH=�'#0 :��/?P�#=���%;56�/'9���BCQB"� #�DnHg �% 7�<CQB"� (nH&56<(�` 5&7�<#=�7% 7%;5��(��)�:�%;56)+> *�7�<()�¤#)+>;0�´ 7�<#=�7�7�<()v56*�?P�(> )�:U7�%;: 5 7��z!#:U7z!(��) =/5�56�":�%;=�7�)�5= �% 7�<�¯c�

¥ �AX1YQP f MeYQLNM �QM^��M �QOg�1T X1](YQLNM�XU�Q�NM �AX1]�b����nP RYQLNM �NM � RNP YQP XUR\X1]�������b���b

Page 12: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

��#!��� ���I������� � #C��������� � �����# �� *� ���·ZK�V�F M V � W

�e�/%;5�56�/' 6 �1=/:¦j/)�715&5�=�7�%;5 �.* 7�<()�� � J/F �e��� ��V �'Nc�uN �>�>`¯�F7½�@nF��;@/Ã:>�>½'F��;@nF¦¯r@$Ã:>�>��GF¦¯r@nF7½�@ £ D�Ç CQB"� #�#LH

� M FHF � ­Á® 4/)+��* 7�)+��?�% ' 7�<()35�!(?��/' 7�<()3>Q� <H� 5+�c����CQB"� #�#LH :��/' 71=�% '#5W= 56)�:��/'#0 0")+��% 4�=�7�% 4/) ����/'() ���B¯�F7½'F��H�� '�* B�'#0 0")+��% 4�=�7�% 4/)�5 ����� ?A!#5 7�=���%;56)��.���/? 7�<()B�#=��67�%;=�>|5�!(?�>�>½'F��;@nF¦¯r@rÃU>�>��GF¦¯r@nF7½�@ �A$&* 7�<()�'#=�7z!(��)�����7�<()����)+�1=�7��/�A>nFzÂI@nb|7�<(%;5D�#=��67�%;=�>�5�!(? )cmn!#=�>;5h¡ �$F�´A¢�H� $=!"7v56% '#:�)G7�<() :��/? ?A!"71=�7��/�\���n=�'�*�77 &�5¤#)+>;0(5\%;5\% 7156)+> ��=¤#)+>;0;bG¡ �$F�´A¢��:+=�'3:��/' 71=�% ' �/'(> *P¤#�15 7�0")+��% 4�=�7�% 4/)�5&�����H��$&* 56*�? ? )�7���* % 7n�.�/> > �` 5�7�<#=�7&7�<()\>Q� <H� 5+�"���=CQB"� #�#LH�:+=�':��/' 71=�% '3'(� B�'#0�0")+��% 4�=�7�% 4/)�5&����=�'�* �u!('#:U7�% �/'Gb�=�'#0 ?A!#5 74�=�'(%;56<H�

R8SGV M J � JcV�«&W&%'¬L­a <(�` 7�<#=�7A¡ ´�F��G¢A%;5&7�<() 4/)�:U7��/��¤#)+>;0�=/5�56�":�%;=�7�)�01 �% 7�<X>`¯�F7½�@ �R8SGV M J � JcV�«&W�W�¬L­� ' % ?P���/�671=�' 7v7����/>�% ' 5 7z!#0"% )�5v�/' % ' 7�)�/�1= 6 % > % 7 *j=�'#0 :1<#=�� 5\% ' 56*"5 7�)+?�5Z �% 7�< � £ B3%;5W= J � M`� � J�V F �

JcV"J Nc� F � C �HF �rHU�|@n<(%;5�%;5�=1�(> ��7����8C �;k`F.��k¶H=�7����/% ' 715��/' =�' % ' 7�)�/�1=�>c:¶!(��4/)v��� =�7� �<(%;:1< �`� £ D =�'#0� � © D(�ª±�% 4/)+' =X���/% ' 7�% ' 7�<() a � a =�'#0 = 4�=�> !()� ��� � &)�:+=�' 56�/> 4/)���C T F��GH £ �.�/� � � bn=�'#07�<()+' C.'"!(? )+��%;:+=�> > *,HLH �.�/> > �` =�7��1=`¼ )�:U7��/��*X!(' 7�% >&% 7 '() - 7G��)�7z!(��'#5v7�� 7�<() a � a �O(�/� =?¤ - )�0 4�=�> !() ����7�<(%;5D�(���":�)�0.!(��) 0")¶¤#'()�5�7�<() ��F ��� J �.M� V M V N � M`�À���.T ����7�<() a � a �/' 7��3% 7156)+> � � a <(�` 7�<#=�7 7�<(%;5\?�=(�j%;5=���)�=`t �(��)�56)+��4�% '��#��¡ "% ' 7c,8¤#�15 7 56<(�` 7�<#=�71C� �F��PF �?F ��H8�(����4�%;0")G:+=�'(�/'(%;:+=�>e:����/�10"% '#=�7�)�5�.�/�B�(<#=/56) 5��#=/:�)�b �<()+��)� �F�� =���)�7�<()W:����/�10(5=�7O �<(%;:1<�7�<()v% ' 7�)�/�1=�>H:¶!(��4/) ��� 7�<(����!��/<�=h�/% 4/)+'����/% ' 7�>;=/5 7<(% 7�7�<() a � a=�'#0 �&%;5n7�<()\7�% ? ) )+>;=(�#56) 6 )�77 &)+)+' 7�<(%;5�<(% 7�=�'#0 7�<()D�/% 4/)+'5���/% ' 7�� ¢

�;Y�� � ��� F ��� J � � NM`��� J � F M`���.Nc� F � Ja !������ 56)s>� Dv7F��Dv @�%;5 =�'(��7�<()+� 56)�7G����:+=�'(�/'(%;:+=�>n:����/�10"% '#=�7�)�5+� @n<()+' " £ 0� � Z��0��Z� £ 0� � �'��0 �(� 56�C.> �":+=�> > *�H 5

�C� � 0�� � f�� � 0 � � H £ 0I� CQB"� #NB�H

�.�/�56�/? )��u!('#:U7�% �/'��n�*{g�e &)�71=(j/) =/5�:����/�10"% '#=�7�)�5&���c7�<(%;5n�u!('#:U7�% �/'��gC��lF��GH&b� &)\<#=N4/)

0I� £ 5 �+ � �� � � 0�� � Ã

� �� � � 0 � �3, Ç CQB"� #�7nH

®$mn!#=�7�% '���:���) � :�% )+' 715n���e0��Z�G=�'#030 �(� 6 )�77 &)+)+'^CQB"� #NB�H&=�'#0^CQB"� #�7nH/ &)v:��/'#:�> !#0")�7�<#=�7

� £� �� � � F � � £ f

� �� � � Ç CQB"� #�M"H

, '() 5�=N*"5�7�<#=�7B� <#=/5 ¹ V � V M`�.N V"�j7�<()v:+=�'(�/'(%;:+=�>|7��1=�'#5 �.�/��?�=�7�% �/'�> T F���@B0³> �PF���@\7�<(����!��/<^CQB"� #�M"HR8SGV M J � JcV�«&W���¬L­

$&*1 ���% 7�% '�� " £ f0� � �Z�N0� Z�W� 6 71=�% '� � £

� �� � � � £

� �� � � CQB"� # S�H

�.�/�=��/)+'()+�1=�7�% '��W�u!('#:U7�% �/'9���A7�<()\�.�/��?��gC �PF��GH")+��)�7�<()+��)&<#=/5 6 )+)+'W7�% ? )�7����/'(> *v5��#=��156)+> * 5�=�?P�(> ) 7�<()��/)+�/? )�7���%;:+=�> =/5���)�:U715c��� "�=�? % > 7��/'(%;=�'W? )�:1<#=�'(%;:+5+�8?!#:1<W? �/��)&�/'v7�<(%;5c7����(%;:&:+=�' 6 )&�.��!('#0W% '��W� {U� � ��'(�/>;0;É 5 6 )�=(!"7�% �u!(> 6 ����j�� �('� ,�� �(' T�� ����� , '� %�) U %��! �� � U U*T�� ���� , � ���($ T��*U C a �(��% '��/)+�&HU�

Page 13: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

� � ��������� ����� ����� � �����# �� *�� � ��� ����s���� �+���

8?!#:1<j�����(<�*"56%;:+5�71=(j/)�5��(>;=/:�)G�/' = @���M V � � � ����V�� @A�9:��/'#5 7��z!#:U7 �/'() ����7�<()�56)�b hbr &)�=�7671=/:1<j=3?�=�'(% �.�/>;0� C�7�<()A¤ 6 ��)LHn7�� )�=/:1<?���/% ' 7��/'97�<() �e� JcVjJ Te� J�V�Q � a ��7��35���)�:�% �.*hq &)W5���)�:�% �.*?²¾qUQ =�'#0�¯Uq��=�'#035�=N*� £ Cu²XF¦¯;HU� 2�5�!#=�> > *�7�<()B¤ 6 ��) :+=�����% )�5�? �/��) 5 7��z!#:U7z!(��)�7�<#=�'?Q �PO(�/�n) - =�?P�(> )\% 7�? % �/< 7 6 )v=G4/)�:U7��/�5��#=/:�) =/5\% ' 7�<() Nc����¹ V �'N?� � � ����V�bH% 'X �<(%;:1< =�'j)+> )+? )+' 7 �Dq +.µ�%;5\=/5�56�":�%;=�7�)�0� �% 7�<^² q Q�bA=�'#0 % ' 7�<()=�'#=�> ���/��!#56> * 0")¶¤#'()�0PJ/F Nc����¹ V �'N�� � � ����V�� � '(��7�<()+� ) - =�?P�(> )n����=8¤ 6 ��) 6 !('#0"> )%;5e�(����4�%;0")�0 6 * 7�<()Omn!#=�' 7z!(?¤#)+>;0���� =�5��(% '.t^DP�#=��67�%;:�> )�,&=�7)�=/:1<l���/% ' 78² 7�<()v4�=�> !()v���e7�<()D¤#)+>;0�%;5= :��/?P�(> ) - '"!(? 6 )+� "�q ���={^' :�)+�671=�% ':�% �1:¶!(?�5 71=�'#:�)�5DCZ= 6 ����j/)+'GÉ(56*�? ? )�7���*�H�� "��. �% > >H)+4/)+��*" �<()+��)�71=(j/)\)�5�56)+' 7�%;=�> > *�7�<()W5�=�? ) 4�=�> !()�b#=�'#0 7�<()D¤ 6 ��)%;5��.�/� ? � 5 7���!(�z��� 56)�5�7�<()�:�% �1:�> )h�$kN�G$&����j/)+' 56*�? ? )�7���% )�5����/¤#)+>;0(5�7�<#=�7 > % ) % 'j5��#=/:�)�5����&<(% �/<()+�\0"% ? )+'#56% �/'?�=(j/)�� % ' 7�� 5 7�% > >H? �/��)�'(�/'.tQ7���% 4�%;=�>H5��#=/:�)�5+�

� :1<#=��67 �.�/� � 6 4�% ��!#56> * :��/' 71=�% '#5&:1<#=��6715��.�/� 6 ��7�<lQ�=�'#0#� �*iH)�7� £ Cu²XF¦¯;H�> % )�% '�7�<()�% ' 7�)+�156)�:U7�% �/'����7�<()v0"�/?�=�% '#58- k F&- � ���c77 &��:1<#=��6715bI) k =�'#0?) � � @n<()+'�) � kk ��) � %;5�?�=(� �À0 25410 � ����� �/' 7�� % 7156)+> � ��$&*:1<(��� 56% '��\:1<#=��6715� �% 7�<�56)+'#56% 6 > *W=�> % �/'()�0G:����/�10"% '#=�7�)n56*"5 7�)+?�5e &)�:+=�'G)+'#5�!(��)&7�<#=�7�7�<(%;5�?�=(�G%;5c7�<()�%;0")+' 7�% 7 *G=�'#0) k CE¯;H £ ) � CE¯;HU� $=!"7�:+=�'5 &) :1<(��� 56)\:����/�10"% '#=�7�)�5 �.�/�=�> >'¤ 6 ��)�5n5�!#:1< 7�<#=�78) v CE¯;H £ ) � CE¯;H&56% ?A!(> 71=�'()+��!#56> * �.�/�)+4/)+��*A�#=�% �����A:1<#=��6715 w F`_W=�7n=�> >I���/% ' 715 % 'l- v }�- � Hl{g��7�<(%;5�:+=�' 6 )�0"�/'()�b/7�<() 6 !('#0"> )�%;5� 7���% 4�%;=�>EÉ =�'#0�%;5�� � %������ � �¼7!#5 7n7�<()�7�)+'#56�/�=�(���"0.!#:U7OQ � � ��@n<()�% ' 7�)+��)�5 7�% '�� :+=/56)�%;5= �<()+'5 &)\:+=�'('(��7�=N4/�/%;0�? %;56?�=�71:1<(% '�� :����/�10"% '#=�7�)�556�/? ) �<()+��)/�e@n<()+' 7�<()\56?�=�> > )�5 7=��� 5�56% 6 > )�56)�7&���H7��1=�'#5 �.�/��?�=�7�% �/'#5$) � kv �*) � ��� �À0 � %;5&=v'(�/'.tQ7���% 4�%;=�>I�/����!��Gb7�<()vJ NM ��J N � M V ¹IM F � T ���c7�<() 6 !('#0"> )/�

@n<()3:�>;=/5�56%;: ) - =�?P�(> ) ����=9'(�/'.tQ7���% 4�%;=�> 6 !('#0"> ) %;5v�.�/�PQ = :�% �1:�> ) =�'#0 � =9> % '()/� @n<(%;5 6 !('#0"> )3:+=�' 6 )��)�(��)�56)+' 7�)�0 6 * = 5 7���% �3�����#=(��)+�g �<(� 56)\)+'#0(5n<#=N4/) 6 )+)+'l�/> !()�0 7����/)�7�<()+���e{g�c7�<() 6 =�'#0 �.�/��?�5�= :�*�> % '#0")+�cb�7�<()6 !('#0"> )�%;5�7���% 4�%;=�>EbG �<(% > ) % �n% 7 �.�/��?�5 =�8��� 6 % !#5 5 7���% � 7�<() 6 !('#0"> ) %;5 '(�/'.tQ7���% 4�%;=�>�=�'#0 7�<() 5 7��z!#:U7z!(��)��/����!�� %;5>n#�FfD#(@ �ZGY�W � F ��� V"J Nc� F � Jdj)�=/5�5�!(? )7�<#=�7&% 7n?�=(j/)�5�56)+'#56)�7��G=/0(0h���/% ' 715��/' =�¤ 6 ��)�� �GO(�/�&) - =�?P�(> )�b % '�7�<()\:+=/56)���A=v5��(% '.t^DZ�#=��67�%;:�> )�b=h���/% ' 7��/'�7�<()Z¤ 6 ��) %;5�= :��/?P�(> ) - '"!(? 6 )+� "BCu²?H&b|=�'#037�<()�56)W:+=�' 6 )G=/0(0")�0�� � :��/'('()�:U7�% �/'GÉ(%;5�=��z!(> ) 7�<#=�75���)�:�% ¤#)�5�<(�` &)v=���)\7�� 0"% o|)+��)+'#:�)D���/% ' 715n7�<#=�7�> % )v�/' ) T � ,��., $ '=¤ 6 ��)�5b�=/5n%;5)�5�56)+' 7�%;=�>�% �* &)v=���)\7���)+4�=�> !#=�7�)7�<()D�/�1=/0"% )+' 7n��� "��*dj)�¤#�15 70")¶¤#'()v= :��/'('()�:U7�% �/' �.�/�n7�<()\71=�'��/)+' 7 6 !('#0"> )/�

� J/F ��� V"J Nc� F ��� �.�/�gQ�=/5�56% �/'#5�7��G)�=/:1<1�#=�% �&���H4/)�:U7��/�/¤#)+>;0(5 ¿ FQ$ �/'�Q�= 7�<(% �10 4/)�:U7��/�/¤#)+>;0 � Y�C�$�H5�!#:1< 7�<#=�7 � Y�C�$�à &8H £ � Y�C�$�Hrà � YAC`&8H*) � Y ��� C`&8H £ � Y�C`&8Hrà ��� C`&8H*) �� Y�C�$�H £ ¯ � YAC�$�H*) � Y�CE¯!$�H £ ¿ CE¯;HK$ Ãů � Y�C�$AH&Ç

C�7(� #LH")+��)1¯:qÅ´Oµv� � :+:��/�10"% '��37��37�<(%;5v0")¶¤#'(% 7�% �/' � %;5��u!(> > * > % '()�=�� % ' % 715 5�! 6 5�:���% �"7W=�'#0 %;5 =�0")+��% 4�=�7�% �/'j% ' % 715=��z��!(? )+' 7�� ")!(��%;5 7�%;:+=�> > *�b � Y�$ %;5n7�<() �1=�7�)�����:1<#=�'��/)����G$ =/5n*/��!3? ��4/) =�> �/'��W7�<() % ' 7�)�/�1=�>�:¶!(��4/)\��� ¿ �

� ���(> %;:+=�7�% �/' ��� � 7��P¯?ql´ 7�% ? )�5&=v:��/'#5 71=�' 7/¤#)+>;0 56<(�` 5e7�<#=�7&% 7&%;5�) - ��)�0"% )+' 7�7��v) - 7�)+'#0 7�<()�����)+�1=�7�% �/'��� � 7�� �u!('#:U7�% �/'#5ZC.�1=�'�j � == � 7�)+'#56�/�15¦H 6 *�7�<() �z!(> )

� Y�¯W( ¿ CE¯;H&Ç C�7(� B�Hdj) ) - 7�)+'#0 7�<()v=/:U7�% �/'3��� � 7�� � = � � 7�)+'#56�/�15 6 *�7�<()\�.�/> > �` �% '��G�z!(> )�,

� � Y�� � C�$ k FÇÇÇFQ$ � HP( ¿ � �AC�$ k FÇÇǶFQ$ � H � f �5v 6�k �AC�$ k FÇÇǶF � Y�$ v FÇÇÇFQ$ � H&Ç C�7(� 7nH

O(�/��) - =�?P�(> )�b��.�/�D#¶tQ�.�/��?�5 " =�'#0�BLtQ�.�/��?�5�!1 &)\<#=N4/)

� � Y�" � C�$�H £ ¿ � "8C�$�H � f "8C � Y�$AH� � Y"! � C�$$F*&8H £ ¿ � !'C�$$F*&8H � f�!'C � Y�$$F*&8H�f�!'C�$$F � Y &8H&Ç C�7(� M"H

Page 14: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

��� ���# ������ � � � #! ���V�� ��� ������� �,��!�� �3�")!(��%;5 7�%;:+=�> > *�b � Y � )+4�=�> !#=�7�)�0 �/' 7�<()3$ v %;5�7�<()��#=��67\��� ¿ =/:U7�% '��3�/'97�<()�5�:+=�>;=�� �AC�$ k FÇÇÇ H�7�<#=�7\%;5\0.!()W7��7�<()v:1<#=�'��/)�% '%� �1=�7�<()+�n7�<#=�'�:1<#=�'��/)�5&% '37�<()�$ v =/5n�/'()\? ��4/)�5n=�> �/'���=�'3% ' 7�)�/�1=�>�:¶!(��4/)\��� ¿ �J�` 7�<#=�78 &)v<#=N4/) 0")¶¤#'()�0�<(�` � =/:U715�/'3�.�/��?�5b#% 7�%;55 7��1=�% �/< 76�.�/�z n=��10�7�� 0")¶¤#'() 7�<()W=/:U7�% �/'���� � �/'=�'�=�� 6 % 7��1=���* � � � � 7�)+'#56�/�� % 'l�(��)�:�%;56)\=�'#=�> ���/*h �% 7�<UC�7(� 7nHU�

{g�r &)\=���)O�/% 4/)+' =G:¶!(��4/)B�PC�;H��/'lQ 7�<(����!��/<1² =�'#0 $�µ|q/+.µAb�7�<()+' 7�<()+��)�%;5&=A!('(% mn!()O¤#)+>;0W$1C�;H��/'��5�!#:1<37�<#=�7�$5CZDnH £ $�µ =�'#0 � � ����� � � $ £ D(�n@n<() 4�=�> !()�5����P$ �.�/�g¤#)+>;09=���)v5�=�%;0 7�� 6 ) 7�<()v��)�5�!(> 7��� Te�.M`� ����V"�NM`��� J T F MLNc����¹ $�µ =�> �/'��1�G�� M FHF � ­ÁiH)�7ACE)rF&-DH 6 )v= :1<#=��67&�.�/�g² qs-G� @n<()+'�0")¶¤#'()\�u!('#:U7�% �/'#5��rv� � q�´Oµ 6 *

� � � � � ��&� - �� ) � . £ 5 v � v� ��� ) v Ç C�7(� S�H

@n<()+' 6 *�7�<() M�7�<��z!(> ) = 6 ��4/)8$ £ � v $ZvzC �10`� )�vEH&<#=/5&7�� 5�=�7�%;5 �.*

D £ � � ����� � � $ £ 5 v+ 0,$Zv

0,; à 5 � $ � 0I)'�0,; � v� � , �� ) v Ç C�7(� anH

@n<"!#5� &) <#=N4/)�7���56�/> 4/)�7�<() > % '()�=���¤#�15 7�tg�/�10")+�&�#� 0�� )/� 5

0,$Av0,; Ã 5 � � $ �

0I)'�0,; � v� � £ D�Ç C�7(� �(H

@n<()�56)\)cmn!#=�7�% �/'#5n<#=N4/)\=P!('(% mn!() 56�/> !"7�% �/'H��rv� � %;5&:+=�> > )�0�= � K M`� J N F � V"�cJ�� �s� F�� ��O(�/�/¤ - )�05�W7�<()�?�=�7���% - � v� à � )'��rv� � �/% 4/)�5e7�<()�=�? ��!(' 7 6 *� �<(%;:1<

7�<()\�.�1=�? )\���c7�<() 6 =/56%;5=¤#)+>;0(5n����71=�7�)�5�=/5n�/'()\? ��4/)�5 � )'�G=�> �/'��W7�<()A�nt^= - %;5+�@n<()�0")¶¤#'(% 7�% �/' ��� � = 6 ��4/) �.�/�G7�<()371=�'��/)+' 7 6 !('#0"> )l�/)+'()+�1=�> % È+)�5W)�=/56% > *j7�� ��7�<()+�A¤ 6 ��) 6 !('#0"> )�5+��dj)

��)�:����/'(% È+)�7�<#=�7% 'l�/)+'()+�1=�>; &) <#=N4/)�77 &��56�/�6715n���e4/)�:U7��/��¤#)+>;0(5b('#=�? )+> * �/'()�5n7�<#=�7> % ) % '�7�<()\71=�'��/)+' 7 6 !('#0"> )����7�<() 6 =/56)G?�=�'(% �.�/>;0j=�'#0 �/'()�5�7�<#=�7 > % ) % 'j7�<()�¤ 6 ��) 6 !('#0"> )h!('#0")+�v:��/'#56%;0")+�1=�7�% �/'H� � É 5 5�! 6 5�:���% �"7�¤#)+>;0 ¿5���)�:�% ¤#)�5&=v0"% ��)�:U7�% �/'Gb�56�W% 7&> % )�5�% '�7�<()71=�'��/)+' 7 6 !('#0"> )�b" �<(% > ) � É 5�=��z��!(? )+' 7/¤#)+>;0 $ > % )�5�% '�7�<()O¤ 6 ��) 6 !('#0"> )/�a !������ 56) k FÇÇǶF � =���) 6 =/56%;5=¤#)+>;0(5n�.�/�n7�<()�¤ 6 ��)�5+��@n<()+'

¿ £45v 6�k ¿ v

�� ) v $ £

�5v 6�k $ v v C�7(� �nH

=�'#0 7�<()*!�<(��%;5 7��(o|)+>A56*�? 6 �/>;5�=���)�'(�` 0")¶¤#'()�0 6 *� � � � � ��&� � £ 5 v � v� � v Ç C�7(� (nH

")+'#:�)\7�<()v56)�:��/'#0 > �` &)+�n% '#0") - ���� �z!('#5&�.���/? #�7��5�1 �<(% > )\7�<() ��7�<()+�n77 &�P�/�W�.���/?3#�7�� �A�

ZGY�� RB��V"J NM F ����¹�� V Nc� J � � J �X¹�� � ¹ V @ V"���@n<()+��)G%;5��/'()W4/)+��*�% ?P���/�671=�' 7 :+=/56)G% 's �<(%;:1<s &) :+=�'j5�!����(��)�5�57�<()�¤#�15 7�77 &�3% '#0"%;:�)�5������ )+' 7�% ��)+> */�v@n<(%;5�%;5 �<()+'97�<()A¤ 6 ��)W%;5�=h�#=��67�����7�<()G:��/?P�(> ) - �(>;=�'()�)' &)G0")¶¤#'() k ( #�b � ( %e56��7�<#=�7 $ £ � C�$�H k Ã��BC�$�H �=�'#0ª &) ) - 7�)+'#0 7�<() ����)+�1=�7�% �/' ��� ¿ 7�� = :��/?P�(> ) - �u!('#:U7�% �/' 5�!#:1< =/5W$ 6 * 7�<() � 6 4�% ��!#5 �z!(> ) ¿ C�$AH £¿ � � C�$�H � à ¿ � �BC�$�H � %Q�PJ�` �.�/��)�=/:1<l� 7�<() 5�!(? � v � $ � � v� � v %;5=G:��/?P�(> ) - '"!(? 6 )+�n7�<#=�7%;5��(�������/�67�% �/'#=�>7��%$hb"56�v% 7&%;5/�(>;=(!#56% 6 > )7�<#=�7= &)�:+=�'h ���% 7�)�% 7n=/5�=D�(���"0.!#:U7&���|7�<()�:��/?P�(> ) - �(���"0.!#:U7����2$ =�'#0 56�/? )�:��/?P�(> ) -'"!(? 6 )+��� � � � '�) - �(> %;:�% 7�:+=�>;:¶!(>;=�7�% �/'3��)+4/)�=�>;5= �<()+' 7�<(%;5�%;5g��� 5�56% 6 > )/� , 6 4�% ��!#56> *�b

5v �$ � � v� � v £ $�� � £ � � C�$�H � C�� � Hef��BC�$�H��BC�� � H � k à � � C�$�H��BC�� � HrÃ��BC�$�H � C�� � H � � C�7(� #�DnH

Page 15: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

� � ��������� ����� ����� � �����# �� *�56��:��/?P�#=���% '�� :���) � :�% )+' 715n���7b"�.�/��) - =�?P�(> )�b � C�$�Hn=�'#0 k &) 0"%;5�:���4/)+�&7�<#=�7O &)\��)cmn!(% ��)

�ekk�� £ � C�� � H �ek�¦� £ f �BC�� � H�r�k�� £ �BC�� � H �r��¦� £ � C�� � H C�7(� #�#LH@n<()�56) ��)�5 7���%;:U7�% �/'#5\�/' 7�<() �rv� � ��)¶»#)�:U7\7�<() �Z=/:U7 7�<#=�7v?A!(> 7�% �(> %;:+=�7�% �/' 6 * =�:��/?P�(> ) - '"!(? 6 )+�5C�� � H\:+=�'j�/'(> *)¶o|)�:U7�= :��/'"�.�/��?�=�>|7��1=�'#5 �.�/��?�=�7�% �/' ���A7�<()v:��/?P�(> ) - �(>;=�'()/�

d <()+'G7�<()�!�<(��%;5 7��(o|)+>#56*�? 6 �/>;5�5�=�7�%;5 �.* 7�<()56*�? ? )�7���*v���|)cmn!#=�7�% �/'#5gC�7(� #�#LH&b( &)n<#=N4/)��.�/� =P#¶t^0"% ? )+'#56% �/'#=�>:��/?P�(> ) - ¤ 6 ��)

� Y�$ £ ¿ C�$AHrà 45�*6�k ¿ � $�� � Ç C�7(� #NB�H

iH)�7cÉ 58 ���% 7�)v7�<(%;5�% 'j:��/'�4/)+' 7�% �/'#=�>H'(��71=�7�% �/'� �% 7�<^) v £ � v b9$ £ "8b � � £ f�% C�� 0 ��IH - � =�'#09?A!(> 7�% �(> *�7�<(����!��/<6 *�f�% �� �.�/���u!('G,f�% �� � � � � � � � � " £ f�% ��

+ � "��� v fj% C�� 0 ���H - v " , Ç C�7(� #�7nH

dj)n��)�:����/'(% È+)�7�<(%;5�=/5I¼7!#5 7�7�<() wEx�y :��/?P���/'()+' 7����#7�<()gmn!#=�' 7�% 7 *D �<(%;:1< =(����)�=��15e5zmn!#=���)�0v% 'W7�<()."�=�? % > 7��/'(%;=�'W���=\:1<#=��z�/)�0A�#=��67�%;:�> )/�c@n<"!#5b/% 'G7�<(%;5�% ' 7�)+�z�(��)�71=�7�% �/'W7�<()�)+> )�:U7����/?�=(�/'()�7�%;:=����7�)+' 7�%;=�> - %;5e7�<()�!�<(��%;5 7��(o|)+>#56*�? 6 �/>����= :��/'('()�:U7�% �/'H��@n<()W%;0")�= 6 )+<(% '#0 =�> >�� =(!��/)D¤#)+>;0�7�<()+�/��% )�5b�5�!#:1< =/5��B®'F =�'#0�� !DFAb�%;57�<#=�7\% ' 7�)+�1=/:U7�% �/'#56 )�77 &)+)+'�¤#)+>;0(5�=���%;56) 6 )�:+=(!#56)56�/? )=¤#)+>;0(58C� � =(!��/)=¤#)+>;0(5É Hc�u!(��'(%;56<�:��/'('()�:U7�% �/'#5e�.�/�e7�<()g¤ 6 ��) 6 !('#0"> )�5�7�<#=�7�=���)=/5�56�":�%;=�7�)�0D �% 7�<��#=��67�%;:�> )$¤#)+>;0(5+��dj)n56<#=�> >"56)+) 6 )+> �` 7�<#=�7e7�<()=¤#)+>;0v)cmn!#=�7�% �/'#5c����=8� =(!��/)/¤#)+>;0G=���)&0")�7�)+��? % '()�06 *�7�<()v56*�? ? )�7���*1�/����!��3���c% 715�¤ 6 ��)/�ZGYVZ ·&F M J � F �ª��� �ªJ�� MLº��.N � M V� Y�$ %;5&'(��7=W7�)+'#56�/� 6 )�:+=(!#56)�% 7�0"��)�5&'(��70")��)+'#03�/'(> *��/' 7�<()\4�=�> !()�7�<#=�7 $ 71=(j/)�5n=�7g²j��@� &�G7�)+'#56�/�15&=���)=/5�56�":�%;=�7�)�01 �% 7�<�% 7�7�<(��!��/<Gb"7�<() N F M J � F � � =�'#0 7�<()ZJ�� MLº��.N � M V ��,

�AC ¿ FQ$ZHP( � Y�$�f ���*¿ f:¡ ¿ FQ$�¢�PC ¿ FQ$�HQ&B( � Y ��� & f ��� � Y & f ��� Y � ����& C�7(� #�M"H

� %;53?�=�'(% �.)�5 7�> * =�' 7�%;56*�? ? )�7���%;: % ' % 715�=��z��!(? )+' 7153=�'#0 � %;53?�=�'(% �.)�5 7�> * =�' 7�%;56*�? ? )�7���%;: % ' % 7155¤#�15 7377 &�=��z��!(? )+' 715+� !�> )�=���> *�� %;5�0")¶¤#'()�03�/'(> *��.�/�n7�<()\71=�'��/)+' 7 6 !('#0"> )�b� �<(% >;5 7!� %;50")¶¤#'()�0 �.�/��=�'�*P¤ 6 ��) 6 !('#0"> )/�

R8SGV M J � JcV�«&W�Z'¬L­a <(�` 7�<#=�7�� %;5�=W7�)+'#56�/� 6 * 56<(�` �% '��G7�<#=�7��ACE¯ ¿ FQ$ZH £ ¯ �AC ¿ FQ$ZH��.�/�8¯�q�´OµW�

R8SGV M J � JcV�«&W ;¬L­a <(�` 7�<#=�7!�PCE¯ ¿ FQ$AHQ& £ ¯ �PC ¿ FQ$AHQ& �.�/�8¯?ql´OµW�±�% 4/)+' 7�<()3��)�5�!(> 7G���7�<()3>;=/5 7G) - )+�1:�%;56)�bc7�� 56<(�` 7�<#=�7 �C%;5 =97�)+'#56�/�� &) <#=N4/) �/'(> * 7��j56<(�` 7�<#=�7G�.�/�¯�q�´OµAb��PC ¿ FQ$AH�¯1& £ ¯ �PC ¿ FQ$AHQ&D,�PC ¿ FQ$�H�¯1& £ � Y � C�$�¯;HQ&�Ãů ��� & � f ��� � C ¿ ¯;HQ&UÃů � Y & � f:C�¡ ¿ FQ$D¢u¯;HQ& fU¯ ��� Y � ���&

£ C ¿ $A¯;HQ&�à C�$�¯;H � Y &�à C ¿ ¯;H ��� &�à ¯ � Y ��� & f:C�$ ¿ ¯;HQ&f:C ¿ ¯;H ��� & f:C�$�¯;H � Y & fU¯ ��� � Y & f:C�¡ ¿ FQ$�¢u¯;HQ& fU¯ ��� Y � ����&£ ¯ �PC ¿ FQ$AHQ&gÇ

C�7(� # S�H

Page 16: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

��� � �G� ���`� #/���������������*� 2���� ����� � #I� � �ZGY � �.MLNc��� J NM ��J N � M`� ��V � � �.Nc� F � Ja % '#:�) � %;5�> % '()�=���% '�% 715�5�! 6 5�:���% �"7cb"�.���/?3C�7(� (nH$ &) <#=N4/)

� Y" � £ 5 � ¿ � � � � � � � � � � £ 5 v � ¿ � � v� � v£ 5 v � v� C ¿ H v Ç

C�7(� #�a/=nH �<()+��) � v� C ¿ HP( 5 � ¿ � � v� ��� � v� � ( � v� - �� ) �9. Ç C�7(� #�a 6dj) :+=�' ��)�:+=/5 7�7�<(%;5v0")¶¤#'(% 7�% �/' % ' = �.�/��? 7�<#=�7v0"��)�5\'(��7 ? )+' 7�% �/' 7�<()�!�<(��%;5 7��(o|)+> 56*�? 6 �/>;5 6 * % ' 7����"0.!#:�% '��7�<()h#¶tQ�.�/��?�5 � v 0.!#=�>�7��G7�<() 6 =/56%;5n4/)�:U7��/�15� � ,� v C � H £&� v��� � v� C ¿ HP( � v � � Y� � � Ç C�7(� # �(H{^'37�)+��?�5n��� � v� b � Y�$ %;5

� Y�$ £ 5 v - ¿ C�$ v Hrà 5�$ � � v� C ¿ H . v Ç C�7(� # �nH

dj)G'(�` :+=�>;:¶!(>;=�7�)G:¶!(��4�=�7z!(��) 7�)+'#56�/��% ' 7�)+��?�5�����7�<() � �.MLNc����� F M`� J � v&=�'#0 � v� �Bdj)G0")¶¤#'()G= 56)�7������)�=�> tg4�=�> !()�03BLtQ�.�/��?�5 6 *

�PC ¿ FQ$AH � £�5v 6�k � v� C ¿ FQ$AH v C�7(� # (nH

=�'#095�! 6 5 7�% 7z!"7�) 7�<(%;5)cmn!#=�7�% �/'�% ' 7���7�<()W0")¶¤#'(% 7�% �/'9��� � =�> �/'��h �% 7�< ¿ £ � ¿ v v )�71:��=dj)D¤#'#037�<()GJcV"J/F � �� �.MLNc��� J NM ��J N � M VsV � � �.Nc� F � ,

� v� £ 0 � v� à 5 � � v� � � �� Ç C�7(� B�DnH@n<(%;5\)cmn!#=�7�% �/'s�(����4�%;0")�5�=�'j=�> 7�)+��'#=�7�% 4/)G0")+? �/'#5 7��1=�7�% �/' 7�<#=�7 � %;5 = 7�)+'#56�/� 6 * 56<(�` �% '�� 7�<#=�7 % 7 %;5 56��!('#0"> *:��/'#5 7��z!#:U7�)�0 �.���/?��.�/��?�5+�

R8SGV M J � JcV�«&W ��¬L­F�)¶¤#'()W=�56)�7���� BLtQ�.�/��?�5 6 *��AC ¿ FQ$ZH £ � �v 6�k �8v�C ¿ FQ$�H v �n$&*35�! 6 5 7�% 7z!"7�% '���7�<(%;5) - �(��)�5�56% �/' �.�/��� % ' 7��C�7(� #�M"H&b"� 6 71=�% ' 7�<() @�M J N � �.MLNc��� J NM ��J N � M VsV � � �.Nc� F � ,

� v £ 0 � v à 5 � � v� � � � Ç C�7(� B.#LHd % 7�<�C�7(� #�a 6 H % 7�.�/> > �` 5&% ? ? )�0"%;=�7�)+> * �.���/?3C�7(� B�DnH 7�<#=�7

� v� 5 2 ( � v� - �� ) 5 F �� ) 2 .£

�� ) 5 � v� - �� ) 2 . f �

� ) 2 � v� - �� ) 5 . à 5 �� � v� - �� ) 5 . � �� - �� ) 2 . f � v� - �� ) 2 . � �� - �� ) 5 .��

£� �rv� 2� ) 5 f � �rv� 5� ) 2 à 5 �� � v � 5 � �� 2 f � v � 2 � �� 5 � Ç

C�7(� B/B�H

@c=(j�% '��G7�<() ) - 7�)+��% �/��0")+��% 4�=�7�% 4/)\����C�7(� B�DnH�*�% )+>;0(5�=�'�% ?P���/�671=�' 7�%;0")+' 7�% 7 *',0�� v� £ 5 �

- 0 � v� � � �� f � v� �30 � �� .£ 5 �

- � � v� f 5 � � v� � � � � � � � �� f � v� � � � �� f 5 � � �� � � � � � .£ 5 �

- � v� � � �� f � v� � � �� .C�7(� B�7nH

@n<(%;5�%;5&7�<()vE ����� JLK ��� ��V �'Nc�uN ���

Page 17: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

� � ��������� ����� ����� � �����# �� *�R8SGV M J � JcV�«&W '¬L­a <(�` �.���/?�7�<()v$&%;=�'#:1<(%�%;0")+' 7�% 7 * 7�<#=�7

� v� ����� µ Ã�� v� � µ � � Ã�� v� µ ��� � £ D C�7(� B M"H �<()+��) -

�µ ( � � � � � ���*� -v� ¡ "% ' 7c, 7�<()�:+=�>;:¶!(>;=�7�% �/' %;5G<(�/����)+'#0"��!#5Z!('(> )�5�5G:+=�����% )�0 ��!"7G% ' = �.�1=�? ) % ' �<(%;:1< � v� £ DG=�7�²j� � �z��!()�7�<#=�7�)�=/:1<�7�)+��? % '^C�7(� B M"H %;5n=v7�)+'#56�/��=�'#0 :+=�' 6 )\%;0")+' 7�% ¤#)�0 �.���/?�% 715&4�=�> !()

% '9=�'�*1�/% 4/)+' �.�1=�? )/� ¢R8S ���UT ��V:ZGY�W{^' )+> )�:U7����/?�=(�/'()�7�%;56? � � £ f�% C�� 0 ��IH - � b"56�W)cmn!#=�7�% �/'#58C�7(� #�#LHc7�)+> >'!#5 7�<#=�7��.�/�&��)�=�> - � 7�<()��/'(> * '(�/'.t È+)+���

�rv� � =���) �ek�¦� £ f��r�k�� £ C�� 0 ���H - � � � >;56�� k £ #�b � £ %c56� � k £ � =�'#0 � � £ ���.")+'#:�) 7�<()v�/'(> *3'(�/'.tÈ+)+��� � v� =���) � k� C �10`� ) � H £ f � �k C �10`� ) � H £ C�� 0 ��IH - � �={g7�.�/> > �` 5n7�<#=�7 � v� � � �� £ D�56� 7�<#=�7�� v� £ 0 � v� �@n<()+��) =���)�77 &� '(�/'.t È+)+���G:¶!(��4�=�7z!(��)��.�/��?�5b��Zk�B£ f ���kg£ C�� 0 ���H 0 -v� a ��)�:�% ¤�:+=�> > *�b

� k� - �� ) � F �� ) �9. £ C�� 0 ���H - � - �� ) � f� - �� ) �. Ç C�7(� B�S�H

dj)n��)�:����/'(% È+) �Zk� =/5 � 0 ��v7�% ? )�5c7�<()�8 = - &)+> >n¤#)+>;0v7�)+'#56�/��� � � �e{^'W7�<(%;5�:+=/56)�7�<()�$&%;=�'#:1<(%�%;0")+' 7�% 7 *v��)�0.!#:�)�57�� 0 � £ D�b. �<(%;:1<���)�(��)�56)+' 715��.��!(������8 = - &)+> >EÉ 5&)cmn!#=�7�% �/'#5+�@n<()��/)+�/? )�7���%;:+=�>e56% �/'(% ¤�:+=�'#:�)W��� � %;5���)+4/)�=�> )�0 6 * :+=�>;:¶!(>;=�7�% '�� 7�<()�:1<#=�'��/)W% 'j= 4/)�:U7��/��$�µ �<()+' % 7\%;5�#=��1=�> > )+>�7��1=�'#5����/�67�)�03=�����!('#03= :�> � 56)�03:¶!(��4/)D�PC�;HU��$&*sC�7(� �(H= &)\<#=N4/)\=�7)�=/:1<����/% ' 7��/'37�<()v:¶!(��4/)

0,$Zv0,; £ f 5 � 2 $ �

0I) 20,; � v� 2 Ç C�7(� B�anH

!��/'#56)cmn!()+' 7�> *�b�7�<()\7���71=�>H:1<#=�'��/)\% '3)�=/:1<�:��/?P���/'()+' 7<$Zv��/'��/�/% '�� =�����!('#0 %;5

� $ v £ f� 5� 2 0I) 2I$ � � v� 2 Ç C�7(� B �(H

{^'37�<(%;5�% ' 7�)�/�1=�> 6 ��7�< �rv� 2 =�'#0/$ � =���)��u!('#:U7�% �/'#5����e² d (��PC�;HU� "�` &)+4/)+�cb�% �e &)v:��/'#56%;0")+���/'(> * % '.¤#'(% 7�)�56% ?�=�>> �����#5� &)\?�=N* ) - �#=�'#0 )�=/:1<�:��/?P���/'()+' 7����� =�'#0W$ % 'l���` &)+�56)+��% )�5n= 6 ��!"7O²X,

� v� 2 Cu² d H £ � v� 2 Cu²?Hrà 5 5 CE) 5.Cu² d HefU) 5.Cu²?H�H� �rv� 2� ) 5 ���� µ Ã&%'%'%

$ � Cu² d H £ $ � Cu²?Hrà 5 5 CE) 5.Cu² d H�fU) 5.Cu²?H�H� $ �� ) 5 ���� µ Ã&%'%'% C�7(� B �nH

8?!(> 7�% �(> *�% '�� 7�<()�56)\77 &�G) - �#=�'#56% �/'#5&7����/)�7�<()+�=�'#035�! 6 5 7�% 7z!"7�% '�� 7�<() ��)�5�!(> 7�% ' 7���C�7(� B �(H&b. &)��/)�7� $ v £ f

� 5� 5 2 0I) 2cCu² d H � � � v� 2 $ � � µ Ã

+� v� 2 � $ �� ) 5 ÃL$ � � �rv� 2� ) 5 , µ CE) 5.Cu² d HefU) 5.Cu²?H�HrÃ&%'%'% � Ç C�7(� B (nH

a % '#:�) 7�<()Z¤#�15 77�)+��?C% ' � %;5�:��/'#5 71=�' 7cb#% 7\:+=�' 6 )v71=(j/)+'���!"7156%;0") 7�<()W% ' 7�)�/�1=�>A56% �/'H� a !(? ? % '�� % 715�:���) � :�% )+' 70I) 2 Cu² d Hn=�����!('#0 ��!(�:�> � 56)�03:¶!(��4/)B &)\7�<()+'�� 6 71=�% '�È+)+���#�GJ�` � &)\'(��7�)\7�<#=�7ZC�7(� B�anH�% ?P�(> % )�5n7�<#=�7

5 50I) 50,; + � $ �

� ) 5 à 5 � $ � � � � 5 , £ D�Ç C�7(� 7/DnH{^' 7�)�/�1=�7�% '��W7�<(%;5�) - �(��)�5�56% �/'3=�����!('#0l�| &)B¤#'#0

55� $ �� ) 5 ���� µ � ) 5.Cu² d H�fU) 5.Cu²?H � £ f 5 5 �

- $ � � � � 5 . µ � ) 5"Cu² d HefU) 5"Cu²?H � Ã , C�; � H&F C�7(� 7�#LH

Page 18: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

��� ���< #! �*� ����� �,��!�� �<� # ���1� � � � ���9� � �56�P &)\?�=N* )+> % ? % '#=�7�)1C � $ � 0`� ) 5 H��.���/?3C�7(� B (nHU� @n<()+'� &) <#=N4/)

� $ v £ f 5 5 2+ � �rv� 2� ) 5 $ � f 5 � � � v� 2 � � � 5 $ �3, µ

�0I) 2cCu² d H � ) 5.Cu² d HefU) 5.Cu²?H � Ã&%'%'%

£ f 5 5 2+ � �rv� 2� ) 5 f 5 � � � v� 2 � � � 5 , µ $ �

�0I) 2cCu² d H�) 5.Cu² d HGÃ&%'%'% C�7(� 7 B�H

� �(> ��7&����7�<()PCE) 5 F¦) 2 H*�(>;=�'()\56<(�` 5�7�<#=�7�7�<()�% ' 7�)�/�1=�>#% 'XC�7(� 7 B�He)cmn!#=�>;5&=�' =�' 7�%;56*�? ? )�7���%;:� 6 ¼ )�:U7g� 5 2 �<(%;:1<Gb�.�/�= �£ ÄLb %;5�'"!(? )+��%;:+=�> > * � 7�<()�=���)�=\% '#56%;0")7�<()B�(���(¼ )�:U7�% �/' ���H��!(�$�#=�7�< �/' 7�� 7�<()�CE) 5 F¦) 2 H*�(>;=�'()/� a % '#:�)��/'(> *7�<()�=�' 7�%;56*�? ? )�7���%;:��#=��67�����=�'�� 6 ¼ )�:U7�:��/' 7���% 6 !"7�)�5�7��\7�<()�:��/' 7��1=/:U7�% �/' ���|7�<#=�7�� 6 ¼ )�:U7/ �% 7�< =�' =�' 7�%;56*�? ? )�7���%;:� 6 ¼ )�:U7cb. &) ?�=N*1 ���% 7�)

� $ v £ k� 5 � 5 2+ � �rv� 2� ) 5 f � �rv� 5� ) 2 Ã 5 � � v� 5 � � � 2 f � v� 2 � � � 5 , $ � �#5 2

£ k� 5 � 5 2 � v� 5 2 $ � �#5 2¶ÇC�7(� 7�7nH

")+��)7�<()PC�7(� B/B�He<#=/5 6 )+)+'5!#56)�0 7��W� 6 71=�% ' 7�<()�56)�:��/'#0�)cmn!#=�> % 7 */� a % '#:�)7�<()�'"!(? 6 )+�15 � $Avc=���)�7�<()\0"% o|)+��)+'#:�)�5% ' 7�<()�:����/�10"% '#=�7�)�5���� 77 &�34/)�:U7��/�15�% 'R+.µ C�$ 6 )��.�/��) =�'#0 =���7�)+�D�#=��1=�> > )+>A7��1=�'#5����/�67\=�����!('#097�<() > ������H&b|7�<()+*=���)�7�<()+?�56)+> 4/)�5 7�<()\:����/�10"% '#=�7�)�5 ���c=v4/)�:U7��/��% '"+.µG�e{^' �Z=/:U7cb" &)�:+=�'1 ���% 7�)�C�7(� 7�7nH�% ' :����/�10"% '#=�7�)¶tQ�.��)+)��.�/��?�=/5

� $ £ k� � � �PCEHK$$F C�7(� 7�M"H �<()+��)5� %;5v= BLt^5�!(�6�Z=/:�)W7�<#=�7W%;5 6 ��!('#0")�0 6 *^�PCEHv=�'#0X &)�) - �(> �/% 7 7�<()��Z=/:U7v7�<#=�7 �PCEH�%;5W=UC.?�=�7���% - tg4�=�> !()�0IHBLtQ�.�/��?��

@n<()A�(<�*"56%;:+=�>c%;0")�=1!('#0")+��> *�% '��3=h� =(!��/) 7�<()+�/��*�%;57�<#=�7\% 7�71=(j/)�5�)+'()+�z�/* 7�� 6 )+'#0 = 0"*�'#=�? %;:+=�>r¤#)+>;0;b�56�7�<#=�7�¤#)+>;0(5�7���*97����z!(' 5 7��1=�% �/< 7cb�%Q� )/� bH7�� 6 )P�#=��1=�> > )+>�=�7 '()+% �/< 6 ��!(��% '������/% ' 715+��{^' 7�<()h�(��)�56)+'#:�)G���&'(�/'.t È+)+���:¶!(��4�=�7z!(��)9% 73%;5 T ��� % U U*T ��� ,j�.�/� =^¤#)+>;0 7�� �z!(' 5 7��1=�% �/< 7�� ")+'#:�) :¶!(��4�=�7z!(��) 56<(��!(>;0 6 )j=/5�56�":�%;=�7�)�0Å �% 7�< ='(�/'.t È+)+���G)+'()+�z�/* 0")+'#56% 7 */�*dj)v56<#=�> >H=/5�j 6 )+> �` <(�` 7�<(%;5�? % �/< 7 6 )Zmn!#=�' 7�% ¤#)�0��

ZGY ����V � V M`� � ¹�� � ¹ V @ V"���cJ ��� �BA � V ¹IM F � T J$&)��.�/��)h &)�7���* 7��Xmn!#=�' 7�% �.* 7�<() )+'()+�z�/*j0")+'#56% 7 *j���:¶!(��4�=�7z!(��)�be> )�7cÉ 5v> ����j =�7G:��/'('()�:U7�% �/'#5Z �<()+' = 6 !('#0"> )�É 5¤ 6 ��)�5�5�!������/�67= ��)�(��)�56)+' 71=�7�% �/' ���e=PiH% )D�/����!����8% =/5&7�<()+* 0"�Ib"�.�/��) - =�?P�(> )�b"% '�<(% �/<.tg)+'()+�z�/* =(���(> %;:+=�7�% �/'#5+�

{^' 7�<()�56)�=(���(> %;:+=�7�% �/'#5e)�=/:1<�¤ 6 ��)%;5 =���t^0"% ? )+'#56% �/'#=�>(4/)�:U7��/� 5��#=/:�)g �<(%;:1< 5�!������/�6715 =�'�% ����)�0.!#:�% 6 > )���)�(��)¶t56)+' 71=�7�% �/'lC� % ����)�GÉ Hc����56�/? )OiH% )g�/����!�� ���O(�/� ) - =�?P�(> )�b�7�<()<F�% �1=/:&)+> )�:U7����/'�¤#)+>;0 " %;5 =8M(t^0"% ? )+'#56% �/'#=�>"� 6 ¼ )�:U7 �<(%;:1< 5�!������/�6715�7�<()?C k� F�DnH% ����)� ����7�<()hiH�/��)+' 7zÈA�/����!��H� a % ? % >;=���> *�b�)�=/:1<Xmn!#=��zj�¤#)+>;0'" %;5 =W7`t^0"% ? )+'#56% �/'#=�>� 6 ¼ )�:U7�7�<#=�7v5�!������/�67157�<() � � k � = � % ����)� �����$-PC�7nHAC�»�=N4/��!(�&HU� $&* 5�!������/�67�% '���=�' % ����)�GÉ' &)G? )�=�' 7�<#=�7\)�=/:1<)+> )+? )+' 7��� � %;5=/5�56�":�%;=�7�)�01 �% 7�< = > % '()�=��n7��1=�'#5 �.�/��?�=�7�% �/'3���c7�<()�¤ 6 ��) % ' 7���% 7156)+> � �$d <()+'37�<()�56)\7��1=�'#5 �.�/��?�=`t7�% �/'#5n=���)�) - �(��)�5�56)�0 =/5&?�=�7���%;:�)�5 6 *�7�<() :1<(�/%;:�)����c=G:����/�10"% '#=�7�) 6 =/56%;58> � @��.�/�&7�<()B¤ 6 ��)�b. &)8¤#'#0 7�<#=�7n7�<()�56)?�=�7���%;:�)�5n<#=N4/)�7�<()v:1<#=��1=/:U7�)+�15BC�7��1=/:�)�5¦H�7�<#=�7=���)���)�:¶!(> %;=��n7�� 7�<()D�/% 4/)+' % ����)�H�

dj) =���)G� 6 > % �/)�0�7���5���)�:�% �.*?���/% ' 715��/'j=1¤ 6 ��) 6 * =356)�7\����j'"!(? 6 )+�15g%�7�<() :����/�10"% '#=�7�)�5���� 7�<#=�7����/% ' 7% ' =l�/% 4/)+' 6 =/56%;5+�3$=!"7G=�'�* 77 &� :����/�10"% '#=�7�) 56*"5 7�)+?�5\7�<#=�7G:+=�' 6 ) ?�=/0") ��!"7v����)�=/:1< ��7�<()+� 6 * �/'() ��� �$É 5��)�(��)�56)+' 7�% '���7��1=�'#5 �.�/��?�=�7�% �/'#5H=���) % 'W56�/? )���)�5���)�:U715G�(<�*"56%;:+=�> > *�)cmn!(% 4�=�> )+' 7�� ")+'#:�)&�/' '()+% �/< 6 ��!(��% '��g¤ 6 ��)�5r &)=���)n> % j/)+> *v7�� 6 )O!#56% '��v:����/�10"% '#=�7�)�56*"5 7�)+?�5e7�<#=�7&=���)n��)+>;=�7�)�0 6 *G=\'(�/'.tQ7���% 4�%;=�>�7��1=�'#5 �.�/��?�=�7�% �/'Z%G=��/)+'()+�1=�> % È+)�0����71=�7�% �/'H�e@n<()=¼ � 6 ���A7�<() :��/'('()�:U7�% �/' %;5&7��W7�)+> >G!#5&% �c7�<()+��)�%;5�5�!#:1<3=W����71=�7�% �/'Gb"=�'#0;b 6 * :��/?P��)+'#5�=�7�% '��W�.�/�n% 7cb7�� ��)�:���4/)+�&7�<() ��)�=�>�0"% o|)+��)+'#:�) 6 )�77 &)+)+' 7�<() 4�=�> !()�5����&" =�7�'()+% �/< 6 ��!(��% '��P���/% ' 715n���c7�<() 6 =/56)\?�=�'(% �.�/>;0lQ �

dj)�¤#�15 7) - =�? % '()\<(�` 7�<()v:��/'('()�:U7�% �/'� &�/�zj"5= �<()+'37�<()+��)\%;5�'(��:¶!(��4�=�7z!(��)�b(56��=�!('(% 4/)+�15�=�>H5 71=�'#0(=��10 ���=�> % �/'(? )+' 7�:+=�' 6 )G56)�7B!�� 6 *��#=��1=�> > )+> tQ7��1=�'#5����/�67�% '���=h�#=��67�%;:¶!(>;=����.�1=�? )h> � @v�.���/?�² 7�� =�> >G¤ 6 ��)�5+�Odj)G:+=�> >

� ���T M f^YQ[N�QM RNX1YQM OAXUR�SU�QXU[N��YQLNM XU�Z�\�1�QM�XUR�V��n��M _N���1SUMU���H�H� .;YQLN�NL���O6b �NL���OQP f O6b X6�/b �1fUb [N`�[NOQM �QO�1���1V�M Oga|P RNRNM^��

Page 19: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

��� ��������� ����� ����� � �����# �� *�7�<(%;5D�#=��1=�> > )+>c�.�1=�? )�> � � �� @ =�'#0 0")+'(��7�) 6 *U> � @ 7�<() �.�1=�? )P!#56)�0j=�7v=��/)+'()+�1=�>e���/% ' 7Z² d �hdj)�=/5�5�!(? )G7�<#=�77�<()��/)+'()+�1=�> % È+)�0 ����71=�7�% �/' 6 )�77 &)+)+' 7�<()�> � @ =�'#0?> � � �� @��.�1=�? )�5 7�)+'#0(5&7��W7�<()�%;0")+' 7�% 7 * =/5=² d 0 ²j�PJ)�=���7�<()%;0")+' 7�% 7 *�7��1=�'#5 �.�/��?�=�7�% �/'Gb|=�> >c��)�(��)�56)+' 7�% '�� ?�=�7���%;:�)�5�=���)W��� 7�<()W�.�/��? · £ ) - �rC7f�% � � � � � ��� � � � H&b; �<()+��)v7�<()� � � � =���)��)�=�>#'"!(? 6 )+�15b/7�<() � � � � =���)?�=�7���%;:�)�5�7�<#=�7&��)�(��)�56)+' 7 7�<() ���2@e���uN V�J ����� � ¹ V � V M`�.N F M J���� �$b"=�'#0 7�<()����)+�1=�7��/�n) - �3?�=N* 6 )v0")¶¤#'()�0 6 * 7�<()D!#5�!#=�>;���` &)+��56)+��% )�5+� � a �

� �� µ r£ ) - � - fj% 5�� � � � � � � � . %� � � ��

�- ��fj% 5

�� � � � � � � � . % � � �� Ç C�7(� 7 S�H

dj) '(�` > )�7O² d 0 ² 6 )�=���% '��G% '�? % '#0���!(��=/5�5�!(?P�"7�% �/' 7�<#=�7% '37�<(%;5�> % ? % 7 � � � � 0�D(�edj)�¤#'#0

� v � � Y" � � £ � v� C ¿ H £ f�% 5�

0�� � � � C ¿ H�� v� � � � C�7(� 7�anH �<()+��)�� v� � � � ( � v C � � � � % � H�%;5�7�<()��nx�yh�/)+'()+�1=�7��/�� ���% 767�)+' % '�7�<()h> v @ 6 =/56%;5+��O(���/? C�7(� # �nH�7�<()G=/:U7�% �/'����e7�<():��/'('()�:U7�% �/'�:+=�'3'(�` 6 )D ���% 767�)+'

� Y�$ £ 5 v - ¿ C�$ v Hefj% 5� �$ � 0�� � � � C ¿ H�� v� � � � . v Ç C�7(� 71�(H

®$mn!#=�7�% �/' C�7(� 71�(HO�/% 4/)�5�7�<()G�.�/��? ����7�<()�:��/'('()�:U7�% �/'s �<()+'j7�<()+��)G%;5\'(�9:¶!(��4�=�7z!(��)/�A{^' 7�<()P�/)+'()+�1=�>�:+=/56)W7�<()#¶tQ�.�/��?�5n0�� � � � % 'UC�7(� 71�(H&=���)���)�(>;=/:�)�0 6 * % '() - =/:U7Z#¶tQ�.�/��?�5 - � � � b#56�

� v� C ¿ H £ f�% 5�- � � � C ¿ H�� v� � � �

� Y�$ £ 5 v - ¿ C�$ v Hefj% 5� �$ � - � � � C ¿ H�� v� � � � . v Ç C�7(� 7��nH

@n<()?#¶tQ�.�/��?�5 - � � � =���)P�/)+'()+�1=�> > * :��/'#56%;0")+��)�0 6 * 6 ) =�56)�7W����<�� 4/)�:U7��/� ¹�� � ¹ V T F N V �'Nc��� �ZJ >;= 6 )+> > )�0 6 *^�|�d <()+' ¿ %;5= 6 =/56%;5=¤#)+>;0;brC�7(� 7��nH ��)�=/0(5

� � � � � ��&� $ £ 5 v - � $Zv� ) 5 fj% 5� �$ � - � � �5 � v� � � � . v F C�7(� 7�(/=nH

�<()+��) - � � �5 (�- � � � - �� ) 5 . C� £ #�FÇÇǶF�< )8� £ #�FÇÇǶF�<��(H&Ç C�7(� 7�( 6� � � ¹ V NM`��� J � F M`���.Nc� F � J

iH)�7Z> v @W=�'#0X> dv @ 6 ) 77 &� 56)�715���� 6 =/56%;5�¤#)+>;0(5n7�<#=�7�=���)\��)+>;=�7�)�0 6 *3=P��� 56% 7�% �/'.t^0")��)+'#0")+' 7O� =(!��/)�7��1=�'#57t�.�/��?�=�7�% �/'

dv £ 5 � � v � � F C�7(� M DnH �<()+��)�·1C�½�HW%;5G�/'() ���7�<()3��)�(��)�56)+' 7�% '�� ?�=�7���%;:�)�5W���7�<()5¤ 6 ��)�É 5��/����!�� ���Udj)3����7�)+' '()+)�0 7�� 6 )�= 6 > ) 7��) - �(��)�5�5�7�<()�!&=��671=�' �.�/��? � d v� ���A7�<()P> dv @ 56*"5 7�)+? % ' 7�)+��?�5n��� � v� � $&)��.�/��)B &) 6 )�/% ' 7�<() :+=�>;:¶!(>;=�7�% �/'5�(������)+�cb &)\)�5 71= 6 > %;56<�56�/? ) 6 =/56%;:���)+>;=�7�% �/'#5+�*iH)�7

$ £ 5 v $ v v £ 5 � $ d � d� Ç C�7(� MI#LH� KHLNMnR+[NV&_�M �eX1]�P R � RNP YQM OQP V�1T(SUM RNM �g��YQXU�QO P OeMKl+[��1T#YQX�YQLNMn�NP V�M RNOQP XUR�+ � X1]� �c] XU����� ~����cP Y�P O�����] XU����� ~����cP Y�P O���M^YQfUb

KHLNM�V��YQ�QP f M O6������[NOQM ��LNM �QM �1�QM�f XUV��NT M^�_N[�Yc�AM �QV�P YQP �1R�XU_��ZM f^YQO6b

Page 20: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

��� ���< #! �*� ����� �,��!�� �<� # ���1� � � � ���9� ���@n<()+'�% ? ? )�0"%;=�7�)+> *

$ � £ 5 � $ d � � � � � $ d � £ 5 � $ � � � � F �<()+��) 5v� � v � v � £�� �� Ç C�7(� M�B�H

a % '#:�) N %;57�<()W��% �/< 7�% '�4/)+�156) ���$· =�'#09)+4/)+��*3��% �/< 7�% '�4/)+�156) %;5�=�>;56� = > )���7�% '�4/)+�156)�bI &)W<#=N4/) � � � v � � � � £ � �v �2�56% '��G7�<(%;5��/'UC�7(� M DnH/ &)�¤#'#0 � £ 5 v � � v dv Ç C�7(� M 7nH

J�` � &) :+=�>;:¶!(>;=�7�) 5 µ � d µ� C ¿ H dµ £ � Y�C d� H £ 5 � � � Y�C)� � � � H �£ 5 � � ¿ C)� � � H � Ã�� � � � Y�C � H �£ 5 � � ¿ C)� � � H � Ã�� � � 5

� �� C ¿ H � �£ 5 � µ � ¿ C)� � � H � �

µ Ã�� � � 5�

� �� C ¿ H � � µ � dµ ÇC�7(� M�M"H

d <()+'l &)\'(�` �!#56)1C�7(� 7��nH 7�� )+> % ? % '#=�7�)\7�<()*!&=��671=�' �.�/��?�5� &)�¤#'#0 7�<#=�7�7�<()D� =(!��/)8¤#)+>;0(5&7��1=�'#5 �.�/��?�7�<"!#5

54- d � 4 � C ¿ H�� µ� 4 � � £ 5 � � % ¿ C)� � � H � � µ à 5

� 4- � 4 � C ¿ H�� � � � �� 4 � � � � µ � Ç C�7(� M S�=nH

$&)�=���% '��G% '�? % '#0 7�<#=�7�7�<() � =���) 5�j/) �t^56*�? ? )�7���%;:(b�% '�?�=�7���% - '(��71=�7�% �/'^C�7(� M S�=nH ��)�=/0(5

54- d � 4 � C ¿ H � � 4 � £ f�% ¿ C�·AH!%· � k à 5

4- � 4 � C ¿ H7· % � � 4 � %c· � k Ç C�7(� M S 6

dj)v:+=�'�:�> )�=�'�!���)cmn!#=�7�% �/'^C�7(� M S 6 H 6 *30")¶¤#'(% '���=G?�=�7���% - tg4�=�> !()�0s#¶tQ�.�/��?) ( 4��5

�*6�k - � � � � � � � Ç C�7(� M anH@n<()+' ) d C ¿ H £ f�% ¿ C�·AH!%· � k Ã�· %�)sC ¿ H!%c· � k Ç C�7(� M��(H, '(> * 7�<()v56)�:��/'#0�7�)+��? % ' 7�<(%;5&7��1=�'#5 �.�/��?�=�7�% �/' >;=L %;5��(�������/�67�% �/'#=�>#7���-v�*d <()+' 7�<() :¶!(��4�=�7z!(��) � 4�=�'(%;56<()�5b7�<(%;5n�Z=/:U7�:+=�' 6 ) ) - �(> �/% 7�)�0 7���)+'#5�!(��)�7�<#=�7+) d £ D(�

{^'#56)+�67�% '��h· £ ) - � � fj%�� � � � � � � � � � � % ' 7���C�7(� M��(H&=�'#0 )+4�=�> !#=�7�% '��G�.�/�56?�=�> > � � � � b� &)B¤#'#0

� )sC ¿ HP(|C�) d f )�H¶C ¿ H £ f 5 � ¿ C�� � � � H � � � � à % 5� �

) � � � C ¿ H�� � � � ¡ � � � � F � � � � ¢ Ç C�7(� M �nH� � MLº��.N � M V N V � J�F M F �O�X¹�� � ¹ V N K�V�F M �

a % '#:�)\�.�/�=�� =(!��/)�7�<()+�/��*�7�<()*!&=��671=�' �.�/��? � v� %;5e¼7!#5 7Zf�%�� � ��v� � � � - � � � brC�7(� B�DnH$�/% 4/)�5�7�<()v:¶!(��4�=�7z!(��) =/5

� v� £ f�% 5�� v� � � � 0 - � � � f 5 � � 5 � � v� � � � � �� � � � - � � � � - � � �

£ f�% 5�� v� � � � 0 - � � � f k� 5 � �

�� � � � F � � � � � v � - � � � � - � � � Ç C�7(� M (nH

Page 21: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

� � ��������� ����� ����� � �����# �� *�")+��)j7�<() 5zmn!#=���) 6 �1=/:¦j/)�7�% ' 7�<() >;=/5 7 > % '() 0")+'(��7�)�537�<() :��/? ?A!"71=�7��/�����G77 &� ?�=�7���%;:�)�5+� dj) <#=N4/) 7�<#=�7¡ � � v � F � � � � ¢ £ � � ;�v � � � � � b� �<()+��)�7�<() '"!(? 6 )+�15�;�v � =���)�7�<()vJ NM ��J N � M V�J/F � J Nc���'N Jv��� ���

$&* )+4�=�> !#=�7�% '�� 7�<() ��� <H� 5+� ���hC�7(� M (nHG�/' 77 &�^¤#)+>;0(5 ¿ FQ$hbn% 7 %;5 5 7��1=�% �/< 76�.�/�z n=��10 7�� 56<(�` 7�<#=�7 % ' ��!(�:�> )�=�'()�0"t !��3'(��71=�7�% �/'GbGC�7(� M (nH&:+=�' 6 )D ���% 767�)+'

� £ f�%;0 ) f:¡ )�F()h¢ F C�7(� S�DnH �<()+��)�)+4/)+��* 56*�? 6 �/>�%;5&=v?�=�7���% - tg4�=�> !()�0 �.�/��?�=�'#0�¡ )�F()h¢ C ¿ FQ$�HP(|¡ )sC ¿ H&F()sC�$�H ¢H0"��)�5�'(��7n4�=�'(%;56< 6 )�:+=(!#56)7�<()�¤#�15 7=�'#0�56)�:��/'#0 �":+:¶!(����)+'#:�)�5&���") )+4�=�> !#=�7�)�7�� 0"% o|)+��)+' 7?�=�7���%;:�)�5+�

dj)Bj�'(�` 7�<#=�7 ��v� 7��1=�'#5 �.�/��?�5 > % j/)�= 7�)+'#56�/�*%G7�<#=�7n%;5b % 715�7��1=�'#5 �.�/��?�=�7�% �/' >;=L % '�4/�/> 4/)�5 �/'(> *P· =�'#0�'(��7% 715�0")+��% 4�=�7�% 4/)�5+��@n<(%;5��(������)+�67 * 5�!(% 715n% 7n7���=G����/> )�% ' 7�<()DiA=(�/�1=�'��/%;=�' ���e=Z¤#)+>;0 7�<()+�/��*/�e{^'3)+> )�:U7����/?�=(�/'()�7�%;56?7�<()OiA=(�/�1=�'��/%;=�'W0")+'#56% 7 *�b�� £ @A����%�� 0 M��9=n%;5�)�5�56)+' 7�%;=�> > *\7�<()5zmn!#=���)&����7�<()��/'(> *v% '#0")��)+'#0")+' 7cb/'(�/'.tg4�=�'(%;56<(% '��)+> )+? )+' 7������v� �#"�` &)+4/)+�cb 7��G�.�/��? 7�<(%;55zmn!#=���)B &)\'()+)�0�=G? )�7���%;:(b� �<(%;:1<�0"� '(��7*/)�7�<#=N4/)/�

ZGY � ����¹� � � ���ZJ N K�V�F M �@n<()l�(����7���7 *"��)�'(�/'.t � 6 )+> %;=�' � =(!��/) 7�<()+�/��* %;5G7�<#=�7h &�/�zj/)�0 ��!"7�% '�# ( S M 6 *�"�=�'�� � 89% > >;5�CZ� <�*"5+� ��)+4|� b� GbO# (�#LHU�X{^' 7�<(%;5W7�<()+�/��*�� £ �$-PCQB�H&b�56�s<�� £ 7 56� 7�<()+��)3=���)W7s�/)+'()+�1=�7��/�15 � � � � =�'#0 7�<()+* 5�=�7�%;5 �.* 7�<():��/? ?A!"71=�7�% �/'3��)+>;=�7�% �/'#5 ¡ � � v � F � � � � ¢ £ % 5

�� v � � � � � � Ç C�7(� S.#LH

@n<()+��) =���)W77 &� % ?P���/�671=�' 7 ��)�(��)�56)+' 71=�7�% �/'#5����7�<(%;5�7�<()+�/��*',�C.%�H�7�<()�5��(% '(�/���/'()�bG �<()+' 7�<()�¤ 6 ��)�5\=���)�BLt^0"% ?:��/?P�(> ) - 5��#=/:�)�5�=�'#0 � � � � £ k��� � � � =���)Z�(�������/�67�% �/'#=�>�7�� 7�<()G��=(!(> %A?�=�7���%;:�)�5')eC.% %�H�7�<()W4/)�:U7��/���/'()�b� �<()+'97�<()¤ 6 ��)�5�=���)\��)�=�>97`t^0"% ?C5��#=/:�)�5n=�'#0 ��v� � � � £ % � v � � �{^'37�<() 4/)�:U7��/�n��)�H�. &) <#=N4/)

!&=��671=�' �.�/��? � v� C ¿ H £ 5 � � v � � - � � � C ¿ H!��/'('()�:U7�% �/' C � Y "�H7v £ ¿ C)" v HGà 5 � � � v � � " � - � � � C ¿ H±\=(!��/)�7��1=�'#5 � � � )sC ¿ H £ f 5 � ¿ C�� � � � H � � � � f 5 �&v � � �&v � � � v � - � � � C ¿ H � � � �!$!(��4�=�7z!(��) �sC ¿ FQ$AH £ f�% 5

�0 )sC ¿ FQ$AH � � � � f )sC ¿ H�� )sC�$�H F

C�7(� S/B�H

�<()+��) )sC ¿ H�� )sC�$�HP( � ��� µ � ��� µ - � � � C ¿ H - � � � C�$AH � � µ � �

Page 22: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

��� � ���!�� ��� �,�� � � �*����� � � �� � �+�\� � � � � �e� � �����

� � V NM`� J3%;5W=956*�? ? )�7���%;: � = � � 7�)+'#56�/�D½ 7�<#=�7W%;5 '(�/'.t^0")�/)+'()+�1=�7�) % ' 7�<() 56)+'#56) 7�<#=�7Z½;C ¿ FQ$AH £ D"]9$ �¿ £ D(� � ?�=�'(% �.�/>;0 7�<#=�7v%;5 )cmn!(% ����)�0^ �% 7�< =�? )�7���%;: %;5v:+=�> > )�0 = � � V ����������������������� F���� % �=½;C ¿ FQ$AH��D%] ¿ FQ$hb|=�'#0�%;5��7�<()+�z �%;56)v:+=�> > )�09= T JcV1���cF� �� � V �������������:��������� F������ !�> )�=���> *�b�5��#=/:�)¶tQ7�% ? ) %;5�=h�#56)!#0"�(t��% )+?�=�'('(%;=�'�?�=�'(% �.�/>;0��'J�/'()\7�<()v> )�5�5b�{n56<#=�> >H:��/'#:�)+' 7��1=�7�)\�/'���% )+?�=�'('(%;=�'�?�=�'(% �.�/>;0(5 6 )+> �` 6 )�:+=(!#56)\7�<()+*<#=N4/)�)+4/)+��* 7�<(% '��G7�<#=�7�=��#56)!#0"�(t ��% )+?�=�'('(%;=�' ?�=�'(% �.�/>;03<#=/5�=�'#03? �/��)/�

R8SGV M J � JcV�«&W -�¬L­a <(�` 7�<#=�7 7�<() ? )�7���%;: 7�)+'#56�/� ��� = ��% )+?�=�'('(%;=�' ?�=�'(% �.�/>;0�5�=�7�%;57¤#)�5 7�<() �GJLK �.MLN�� ��� V � � � � �uN �*b½;C ¿ FQ$AH �� ½;C ¿ F ¿ H ½;C�$$FQ$ZH&b�=�'#0j7�<() NM`������¹ ��V ��� V � � � � �uN �*b�½;C ¿ à $$F ¿ ÃB$�H k � �� ½;C ¿ F ¿ H k � � ý;C�$$FQ$AHzk � �/�, '�= ��% )+?�=�'('(%;=�'3?�=�'(% �.�/>;0�=�'�* :¶!(��4/)Z�PC�;Hn<#=/5�=G> )+'���7�<

CE�DHP( � � �� � 0,;�½ - 00,; F 0

0,; . k � � Ç C M#� #LH

@n<"!#5���� 5�56)�5�56% �/' ����=3? )�7���%;: ?�=(j/)�5�% 7Z��� 5�56% 6 > )G�.�/�\7�<()P¤#�15 7\7�% ? ) 7�� 5���)�:�% �.*j0"%;5 71=�'#:�)�5 6 )�77 &)+)+'X���/% ' 715B%<()+'#:�)�½'É 5n'#=�? )/�

½ =/5�56�":�%;=�7�)�5�7�<()B#¶tQ�.�/��?�½;C7F ¿ H; �% 7�<W)+4/)+��*�4/)�:U7��/� ¿ �rd % 7�<W)+4/)+��* 6 =/56%;5A4/)�:U7��/�=C �10`� )�vEHG &)&<#=N4/)�=�> ��)�=/0"*=/5�56�":�%;=�7�)�0�7�<()P#¶tQ�.�/��? 0I)�v 6 * 7�<() �z!(> )\0I)�v¦C �10`� ) � H £�� v� � � 6 =/56%;5��.�/�� �<(%;:1<�0I)�v :��/% '#:�%;0")�5= �% 7�<5½;C7F �10`� )�vEH%;5�:+=�> > )�0�=�'�F MLN KcF � F M`��� � �e� J � J�,

½ - �� ) � F �� ) v�. £&� v � C.�/�67�<(�/'(�/��?�=�> 6 =/56%;5zH&Ç C M#� B�H

@n<()v:����/�10"% '#=�7�)���)�(��)�56)+' 71=�7�% �/' ���c7�<(%;5�=/5�56�":�%;=�7�% �/' %;5=/5&�.�/> > �` 5+�edj)v0")¶¤#'() '"!(? 6 )+�15 ¿ v 6 *5v¿ v 0I) v £ ½;C7F ¿ H

=�'#03:��/?P��!"7�)¿ v £ ½ - �� ) v F ¿ . £ 5 � ½ v � ¿ � �<()+��) ½ v � ( ½ - �� ) v F �� ) � . Ç C M#� 7nH

@n<"!#5=½ v � %;5=�'3% '#0") - > �` &)+��% '��W����)+�1=�7��/���@n<()\'(�/'.t^0")�/)+'()+�1=/:�*G���G½ % ?P�(> % )�5�7�<#=�7n7�<()\?�=�7���% - ½ v � <#=/5n=�' % '�4/)+�156)/�eiH)�7n7�<(%;5 6 ) 0")+'(��7�)�01½.v � ��@n<()+'

?A!(> 7�% �(> *�% '�� 6 ��7�<956%;0")�5n���e)cmn!#=�7�% �/'^C M#� 7nH 6 *h½.v � &)\<#=N4/)

¿ v £ 5 � ½ v � ¿ �+ 5�½ v � ½ � � £�� v� , Ç C M#� M"H

dj) :+=�'�!#56)Z½ v � �/�8½.v � 7��3�1=�%;56)v�/��> �` &)+��=�'�*3% '#0") - % ' 7�<() :����/�10"% '#=�7�)v) - �#=�'#56% �/' ����=�7�)+'#56�/������=�'�*37 *"��)/�O(�/��) - =�?P�(> )� v � � � � � 0 � v � � � � � ( 5

�� � � � �½ v � ½ � � %'%'% �5½ � � � �� � � � � F C M#� S�H

�/�cb")cmn!(% 4�=�> )+' 7�> *�ACZ0I) v FÇÇǶF�0I) � H £ 5

�� � � � �½ v � � %'%'% �5½ � � � - �� ) � FÇÇÇF �� ) � . Ç C M#� anH

Page 23: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

��� ��������� ��������� � #,#,� � #/�`�1� � *� rY�W¸·ZK�V��9FG� ¹ V � F T V M`�.N F M, ' =�'9�/��% )+' 71= 6 > )\?�=�'(% �.�/>;0��D½��/% 4/)�5n��%;56) 7�� = '#=�7z!(�1=�>A4/�/> !(? )D<'tQ�.�/��?�� =/5��.�/> > �` 5+��iH)�7Z>"C �10`� )�vEH¦@ 6 )G=�'�/�67�<(�/'(�/��?�=�> 6 =/56%;5+��@n<()+'

� ( 0I) k � %'%'% �30I) 4 Ç C M#� �(H, '()Z�(����4/)�5n7�<#=�7�� %;5O!('(% mn!()A!��97�� = 56% �/' 6 *956<(�` �% '�� 7�<#=�7�% �g>"C �10`� "=v�H¦@W%;5�= 56)�:��/'#0��/�67�<(�/'(�/��?�=�> 6 =/56%;5b7�<()+'

� ( ��0 " k � %'%'% �30 " 4 Ç C M#� �nH{^'#0")+)�0;b(% � �

� ) v £ 5 � � v�� " � C M#� (nH

7�<()+'

� v � £ ½ - �� ) v F �� ) � . £ 5 ��� �v �� ½ - �� " � F �� " � .£ 5 ��� �v �� � ��� £ 5 � �v �� Ç

C M#� #�DnH

a �� %;5G=�' �/�67�<(���/�/'#=�> ?�=�7���% - =�'#0 <#=/5G0")�7�)+��? % '#=�' 7 0")�7� £ �A#/� , ' 7�<()3��7�<()+�W<#=�'#0;b % �O &)356)�7 � £� 0 "gkeÇÇÇ60 "=43=�'#03)+4�=�> !#=�7�) �l6 * ��)cmn!(% ��% '��G7�<#=�7���C �10`� );kcFÇÇÇF �10`� )�4�H £ #�b. &)B¤#'#0� �% 7�<UC M#� (nH 7�<#=�7

� £ CZ0")�7��H � k 0 " k � %'%'% �30 " 4 C M#� #�#LH=�'#0 7�<() ��)cmn!(% ��)�0 ��)�5�!(> 7n�.�/> > �` 5+�

R8SGV M J � JcV�«&W��'¬L­� 0(=(�"7�7�<()D�(�������I¼7!#5 7O�/% 4/)+' 7���56<(�` 7�<#=�7O �% 7�<���)�5���)�:U7�7���=�'�=�� 6 % 7��1=���* 56)�7���� 6 =/56%;5=¤#)+>;0(5DC �10`� )�v H� £ �� 0")�7`C�½ v � H �� k � � 0I) k � %'%'% � 0I) 4 Ç C M#� #NB�H

R8SGV M J � JcV�«&W �'¬L­O(���/? 7�<()��.�/��)�/�/% '��v) - )+�1:�%;56)�56<(�` 7�<#=�7�� v � � � � � £ �� 0")�7`C�½ 5 2 H �� k � � � v � � � � � b" �<()+��) � %;5 7�<()B!#5�!#=�>'iH)+4�% t !�% 4�% 71=56*�? 6 �/>Q�g¡ J��7�)\7�<#=�7 � v � � � � � £ � v � � � � � � ¢{^'��c#/� MD &)�0")+4/)+> ����)�0G7�<()7�<()+�/��*G���|�.�/��?�5e%W7���71=�> > * =�' 7�%;56*�? ? )�7���%;: � =��� 7�)+'#56�/�15+�e$&*lC M#� anH�½ =/5�56�":�%;=�7�)�5

�% 7�< )+4/)+��* ��tQ�.�/��? = 7���71=�> > * =�' 7�%;56*�? ? )�7���%;: � � = � 7�)+'#56�/��� � 4/�/> !(? ) �.�/��?�� )�5 71= 6 > %;56<()�5 =Å#¶t¦# ?�=(���(% '��6 )�77 &)+)+' 5�!#:1< 7�)+'#56�/�15�=�'#0�Cu<�f �'H tQ�.�/��?�5+�8{^'#0")+)�0;b�> )�7�� 6 ) =�' =�' 7�%;56*�? ? )�7���%;: � � = � 7�)+'#56�/����@n<()+'s �% 7�< % 7 &) =/5�56�":�%;=�7�)� - �� ) ��� k FÇÇÇF

�� ) 4 . £ � - �� ) k FÇÇǶF �� ) 4 . �ACZ0I) k FÇÇÇF�0I) � H(�� - �OF �

� ) ��� k FÇÇǶF�� ) 4G. Ç

C M#� #�7nH@n<#=�7v%;5b�7�<()�Cu<sf �'H tQ�.�/��? � =/5�56�":�%;=�7�)�0� �% 7�< � %;5D �<#=�7cÉ 5\> )���7W=���7�)+� */��!GÉ 4/)�5 7z!.o|)�0 7�<()P¤#�15 7 � 56> ��715\����� �% 7�<��v�@n<()G56)cmn!()+'#:�)v��������)+�1=�7�% �/'#5*¼7!#5 7\0")�5�:���% 6 )�0;b�'#=�? )+> * 7�<()A!#56)v���*½ 7�� 7z!(��' = ��tQ�.�/��? " % ' 7�� = � � = �7�)+'#56�/�=�'#0 7�<()+'37�<()Z!#56)\����� 7�� 7z!(��'37�<() >;=�767�)+�% ' 7�� =�'^Cu<lf��'H tQ�.�/��? � " %;556*�? 6 �/> % È+)�0 6 * 7�<()��9FG� ¹ V �F T V M`�.N F M � a ! 6 5 7�% 7z!"7�% '�� % ' 7��?C M#� #�7nH �.���/?3C M#� anH$ &) <#=N4/)

� " - �� ) ��� k FÇÇÇF

�� ) 4G. £ � - �� ) k FÇÇÇF �� ) 4P.

� 5 � � � �

½ k � %'%'% �5½ � � " - �� ) FÇÇÇF �� ) � .C M#� #�M"H

� �cR������ ���! #"%$�& ��'("��)� *+�,& -(. P O�XURNM XUR��ALNP fgL�XURNMeYQLNM �QM M^��P OZYQOA�1R�+ .;] XU�QV YQL���YcP OHM^��M �Z�+�ALNM �QM RNXUR .�h M �QXNb

Page 24: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

��� ��� ������ �#� � � ��3 � ��� � �@n<()v?�=(���(% '�� =/:+:��/?P�(> %;56<()�0 6 * � %;5O��� 5�56% 6 > ) 6 )�:+=(!#56)�b�=/5g &)W5�=L % ' �c#/� MIb"7�<()+��)W=���) ) - =/:U7�> *�=/5�?�=�'�*

> % '()�=���> * % '#0")��)+'#0")+' 7ACu<lf��'H tQ�.�/��?�5�=/5�7�<()+��)v=���)�> % '()�=���> * % '#0")��)+'#0")+' 7 ��tQ�.�/��?�5+�{^'W=g�/)+'()+�1=�>/:����/�10"% '#=�7�) 56*"5 7�)+? 7�<() "�"0.�/) � %;5A=�? )�5�5+�r{g7c%;5 6 )�5 7e=(���(> % )�0\% 'W=�' �/�67�<(�/'(�/��?�=�>/:����/�10"% '#=�7�)

56*"5 7�)+? �<()+' � v � � � � � � £ � v � � � � � � =�'#0 ¹ %;5n7�<() %;0")+' 7�% 7 * ?�=�7���% - � @n<()+'� �% 7�<" £ 5

v � ��� � � �'v �" v � � � � � � v � 0I) v � � %'%'% �30I) v � F C M#� # S�H

� " :+=�' 6 )Z ���% 767�)+' 0"�` �' 6 *3��)�(>;=/:�% '�� )�=/:1<��/�10")+��)�05 &)�0.�/)D�(���"0.!#:U7 6 *3=�'9�/�10")+��)�05 &)�0.�/)D�(���"0.!#:U7���e7�<()��)+?�=�% '(% '���0I)�v6�PO(�/��) - =�?P�(> )�b"% '/M�0"% ? )+'#56% �/'#5�0I)�� � 0I) �v%;5n��)�(>;=/:�)�0 6 *�f0I);k��30I)�¥/�·ZK�V�F M V � �O(�/�=�'�*�77 &� ��tQ�.�/��?�5= &)\<#=N4/)

� ) ��" £ � "'�l)rÇ C M#� #�anH� M FHF � ­ a % '#:�) � =�'#0 ��=���) > % '()�=�� ����)+�1=�7��/�15bn% 795�!�� :�)�5 7�� 56<(�` C7�<() ��)�5�!(> 7 �.�/�?) =�'#0 " ? �/'(�/? %;=�>;50I);k � %'%'% ��0I) � �$&��7�< 56%;0")�5���OC M#� #�anH&7�<()+'94�=�'(%;56<?!('(> )�5�57�<()+*�=���) %;0")+' 7�%;:+=�>A? �/'(�/? %;=�>;5�=�'#09=���)\7���% 4�%;=�> > *)cmn!#=�>; �<()+'37�<()+*3=���)�7�<()v5�=�? )\? �/'(�/? %;=�>Q���

·ZK�V�F M V � Z� %;5b"7��P �% 7�<(% ' = 56% �/'Gb"% 715��` �'3% '�4/)+�156)�,

� � " £ C7fD#LH � � 4 � � � " ��tQ�.�/��?'" C M#� # �(H� M FHF � ­ a % '#:�) � %;5v> % '()�=��cbc% 7G=(� =�% ' 5�!�� :�)�5 7�� 0")+? �/'#5 7��1=�7�) 7�<() ��)�5�!(> 7v�.�/�W=�' =�� 6 % 7��1=���* ? �/'(�/? %;=�>" £0I);k�� %'%'% �30I) � b� �<()+��)� &)\<#=N4/)\>;= 6 )+> > )�0 ��!(���/�67�<(�/'(�/��?�=�>�:����/�10"% '#=�7�)�5�7���5�!(% 7�"� @n<()+'

� " £ 0I) ��� k � %'%'% � 0I) 4 � C � "=H � � � � � � �� � £ � k7� � � � � � � � � � � �� � Ç C M#� # �nH")+'#:�)1C M#� #�M"H�*�% )+>;0(5b� � " v � � � � v � £ � v �� � � � � v � v � � � � v � � k7� � � � � v �� � � � � v � F C M#� # (nH

�<()+��) w k ÇÇÇ w 4 %;5�=�'3=�� 6 % 7��1=���*���)+��?A!"71=�7�% �/' ���H7�<()\'"!(? 6 )+�15B#/ÇÇÇ7<�� !�> )�=���> *G7�<()\��% �/< 7�56%;0")�4�=�'(%;56<()�5=!('(> )�5�5w k ÇÇÇ w � 6 )�77 &)+)+'j7�<()+? 71=(j/)G7�<()�4�=�> !()�5P#/ÇÇÇ �rbc=�'#0 %;5 )cmn!#=�>e7�� �A#P �<()+'j7�<()+* 0"��71=(j/)G7�<()�56) 4�=�> !()�5+� @A�� 6 71=�% ' 7�<() 56% �/'X &) ? ��4/) )�=/:1< ���&7�<()�Cu<�f �'HO¤#�15 7v% '#0"%;:�)�5\�/' 7�<()P¤#�15 7 � 7���% 715D�(������)+���(>;=/:�) % 'j7�<()�> %;5 7cb5 71=��67�% '��D �% 7�< w 4 =�'#0P�(%;:¦j�% '��D!�� � ? % '"!#56)�5��.�/��)�=/:1< % '#0") - �edj)g¤#'#=�> > * :��/'#:�> !#0")�7�<#=�7 � � " k £ C7fD#LH � � 4 � � � "=/5n��)cmn!(% ��)�0����

R8SGV M J � JcV�«z��%'¬L­a <(�` 7�<#=�7% ':7/0�®/!#:�> %;0")�=�'�5��#=/:�)�b. �% 7�<�- =�'#0 /�#¶tQ�.�/��?�5- � / £ � C�- ��/�H � - £ � 0 - %'- £ 0 � -ZÇ C M#� B�DnH

R8SGV M J � JcV�«z�;W�¬L­a <(�` 7�<#=�7��.��!(������8 = - &)+> >EÉ 5&)cmn!#=�7�% �/'#5�=���) :��/' 71=�% '()�0 % '� 0 � � £ �9= _�F C M#� B.#LH

�<()+��) _�%;5&7�<()h#¶tQ�.�/��? ���A7�<()v:¶!(����)+' 70")+'#56% 7 */�®�=/:1<�����7�<()�����)+�1=�7��/�15 � 0 � 0�=�'#0 0 � 0 � :+=�����% )�5 = ��tQ�.�/��? % ' 7��G= ��tQ�.�/��?���{g7n%;5&5 7��1=�% �/< 76�.�/�z n=��10v7��G56<(�`

7�<#=�7$ �<()+' =(���(> % )�0G7���¯�q�´OµAb � 0 � 0G*�% )+>;0(5���c¯�bn �<(% > )�0 � 0 � ¯ *�% )+>;0(5/È+)+���#�c@n<(%;5 ? ��7�% 4�=�7�)�5�7�<()�0")¶¤#'(% 7�% �/'���c7�<()�A �.T � � J�V E�V"� NM`����� F T V M`�.N F M

� ( � 0 � 0Zà C7fD#LH 4 0 � 0 � Ç C M#� B/B�H� 7z!(��'#5v�/'() ��tQ�.�/��? % ' 7�� =�'(��7�<()+�cbe=�'#0^ �<()+'�!#56)�0 �/' D`tQ�.�/��?�5 ��)�0.!#:�)�5\7��97�<()�iA=(�(>;=/:�%;=�'H� � �.�/��? 7�<#=�75�=�7�%;57¤#)�5 � - £ DG%;5�:+=�> > )�0 =PK �.M`� F ��� J � F M`� ��@n<()�7�<()+�/��* ���e0") �=�<(? :��/<(�/? �/> ���/*A% 56)+) 6 )+> �` ª% 56<(�` 57�<#=�7n7�<()\) - %;5 7�)+'#:�)����e:�)+�671=�% ' <#=���? �/'(%;:�.�/��?�5&<#=/5&��)+?�=��zj�= 6 > )�% ?P�(> %;:+=�7�% �/'#5&�.�/�&7�<()��/> � 6 =�>�7������/> ���/* ���*Q �

Page 25: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

��� ��������� ��������� � #,#,� � #/�`�1� � *�R8SGV M J � JcV�«z����¬L­a <(�` 7�<#=�7% '37�<()ZiH�/��)+' 7zÈB� =(!��/)hCZ0 � - £ DnH&<#=�> �e���e8 = - &)+> >EÉ 5n)cmn!#=�7�% �/'#5 6 )�:��/? ) � - £ �9= _#�

rY�����V �5K ��� � F�KcF � F��ZF ¹ �{^'�®/!#:�> %;0")�=�' 5��#=/:�)�:�> � 56)�0 �.�/��?�5&=���)) - =/:U7c,e0 " £ D � " £ 0 "�� , ' = 7������/> ���/%;:+=�> > *G'(�/'.tQ7���% 4�%;=�>#?�=�'(% �.�/>;07�<()+��) =���)�% '() - =/:U7 :�> � 56)�0 �.�/��?�5 =�'#0 7�<()+��)?�(����4/)�5W7�� 6 ) = :�> � 56)���)+>;=�7�% �/' 6 )�77 &)+)+' 7�<()9'"!(? 6 )+� ���v5�!#:1<�.�/��?�5n=�'#0�7�<()\'"!(? 6 )+�n���A<#=���? �/'(%;:��.�/��?�5+��@n<(%;5n��)+>;=�7�% �/' %;5n5�!(�z�(��%;56% '�� 6 )�:+=(!#56)\030"��)�5&'(��7�0")��)+'#0 �/' 7�<():��/'('()�:U7�% �/'Gb" �<(% >;5 7 � 0"��)�5+��@A�G)�5 71= 6 > %;56< 7�<()���)+>;=�7�% �/'1 &)\5 71=��67 6 *�0")¶¤#'(% '�� =�' % '('()+���(���"0.!#:U7 6 )�77 &)+)+'3=�'�*77 &� ��tQ�.�/��?�5g)rF�"8,

CE)rF�"�H'( ��

) � � " C M#� B�7nH@n<(%;5�)cmn!#=�7�% �/'�?�=(j/)�5�56)+'#56) 6 )�:+=(!#56) � " %;5�=�'sCu<�f*�'H tQ�.�/��? 56�P) � � " %;5&=�'1<'tQ�.�/��?���dj)�=/5�5�!(? ))+% 7�<()+��7�<#=�7Q %;5:�> � 56)�0 �/�&7�<#=�7�=�> >��.�/��?�5n4�=�'(%;56<3�/'3% 715 6 ��!('#0(=���*/�

$&*sC M#� #�anH 7�<() % '('()+�O�(���"0.!#:U7ZC M#� B�7nH�%;5�56*�? ? )�7���%;:(,OCE)rF�"�H £ C)"8F¦)'HU�$&*1 ���% 7�% '���C M#� B�7nH % '9=�'��/�67�<(�/'(�/��?�=�> 6 =/56%;5b. &) 56)+)�7�<#=�7ACE)rF¦)'H £ D % o^) £ D(�J) - 7A &)h¤#'#0j7�<()3=/0L¼ �/% ' 7v���0^!('#0")+�v7�<() % '('()+�Z�(���"0.!#:U7��ld % 7�< ) =UC �?f�#LH tQ�.�/��?lb&" = ��tQ�.�/��?�=�'#0C7#/� 71�(H$ &)\<#=N4/)�,

CZ0I)rF�"�H £� 0I) � � "

£ � 0GCE) � � "�H�f:C7fD#LH � � k � ) �30 � "

£ C7fD#LH � � ) �sCE� � � H 0 � "£ C7fD#LH � �;CE)rF � 0 � "�H&Ç

C M#� B M"H

O(���/? C M#� # �(H^� £ C7fD#LH � 4 � � � � k � � � � � k � £ C7fD#LH74 � � � k � � � � � k � b 56� 7�<() '"!(? )+��%;:+=�>1�(��)��Z=/:U7��/� % ' C M#� B M"H %;5C7fD#LH74 � � 4 � k £ C7fD#LH74 ��� 4 � kLb#=�'#0 � (ÀC7fD#LH 4 ��� 4 � k � 0 � C M#� B�S�H%;5&7�<()v=/0L¼ �/% ' 7���e0��*d % 7�<�7�<(%;50")¶¤#'(% 7�% �/'UC M#� B/B�H�*�% )+>;0(5

� £ �;C � 0AÃ 0 � H&F CE� £ �A#LH C M#� B�anH·ZK�V�F M V �

� ��tQ�.�/��?'" %;5n<#=���? �/'(%;:�% o0 " £�� " £ D�Ç C M#� B �(H

� M FHF � ­ @n<() % �e�#=��67�%;5n7���% 4�%;=�>;�/% 4/)+'^C M#� B�anHU�GO�!(�67�<()+�� " £ D � D £ C "OF � "=H £ C "OF � 0 "=Hrà C "OF�0 � "=H

£ CZ0 "OF�0 "=HGà C � "OF � "=H&F C M#� B �nH �<()+��)g &)<#=N4/)g!#56)�0G7�<()?A!"7z!#=�>�=/0L¼ �/% ' 7�'()�5�5����H0�=�'#0 � ��@n<()��)�5�!(> 7 '(�` �.�/> > �` 5 6 )�:+=(!#56)�b =/5* &)<#=N4/)56)+)+'Gb)�=/:1< % '('()+�g�(���"0.!#:U7n%;5n'(�/'.tg'()� =�7�% 4/)�=�'#03=W4�=�'(%;56<(% '��G% '('()+�g�(���"0.!#:U7�% ?P�(> % )�5&7�<#=�7�% 715�:��/' 7�)+' 715&4�=�'(%;56<H���

·ZK�V�F M V � �{g�#" %;5:�> � 56)�0 6 !"7'(��7) - =/:U7cb�7�<()+'37�<()+��)\) - %;5 715 " 5�!#:1< 7�<#=�7�"^f 0 " %;5�<#=���? �/'(%;:��

� M FHF � ­ !��/'#56%;0")+���%(|C "Xf 0 "8F�"sfj0 "�H&b. �<(%;:1<3%;5n=�> n=N*"5$��� 56% 7�% 4/)/� ")+'#:�)\% 7?A!#5 7n<#=N4/)\=W? % '(% ?A!(?C=/5n=�u!('#:U7�% �/'#=�>H���&"��/iH)�7�7�<(%;5�? % '(% ?A!(? �":+:¶!(�=�7�"=v=�'#0 > )�7�( 6 )v=�'�* 56?�=�> >�4�=���%;=�7�% �/'3=�����!('#0�"=/� @n<()+'

D £ CZ0 ('F�"Uf 0 "=LHrà C "^f 0 "=nF�0 (�H£ B�C)('F � ¡ "^f 0 "=¢uH� � ¡ "^f 0 "=¶¢ £ D

C M#� B (nH@n<() ��)�5�!(> 7�'(�` �.�/> > �` 5&�.���/?�7�<() >;=/5 7n7�<()+�/��)+? 6 )�:+=(!#56) 0G¡ "Uf 0 "=¶¢A4�=�'(%;56<()�5&7���% 4�%;=�> > */���

Page 26: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

��� � ��� � #,#,� � # � � #,#!������ � # � �·ZK�V�F M V �

@n<()v0"% o|)+��)+'#:�) 6 )�77 &)+)+'377 &��0"%;5 7�% '#:U7<#=���? �/'(%;: ��tQ�.�/��?�5n%;5n'()+4/)+��) - =/:U7��� M FHF � ­ÁiH)�7 "8F¦) 6 ) 77 &�9<#=���? �/'(%;:���tQ�.�/��?�5+� @n<()+' "N($":f:) %;5v=�>;56��<#=���? �/'(%;:(bc56� � " £ D(� a !������ 56)" £ 0��e� @n<()+'

D £ C � "OF��GH £ C "OF�0��GH £ C "OF�"=H� " £ D=�'#0�" £ ) :��/' 7��1=���* 7���:��/'`¼ )�:U7z!(��)/� �

dj)�'(�` 0"% 4�%;0")&:�> � 56)�0 6 !"7e% '() - =/:U7 ��tQ�.�/��?�5H% ' 7��8J/F�KcF � F��ZF ¹ � :�>;=/5�56)�5A5�!#:1< 7�<#=�7A7�<()&0"% o|)+��)+'#:�) 6 )�77 &)+)+'=�'�*�77 &� �.�/��?�5\% ' =��/% 4/)+'j:�>;=/5�5�%;5\) - =/:U7 )H7�<(%;5\%;5 =3:��/'#56%;5 7�)+' 7D�(���":�)+)�0"% '�� 6 )�:+=(!#56) % � " k f " � £ 0I) 5 =�'#0" � f " ¥ £ 0I) 2 b�7�<()+' " k f " ¥ £ 0GCE) 5 Ã�) 2 HU��@n<() � x�y E�V NNc��� � �s� V M Ä � ����8 %;5e7�<()�'"!(? 6 )+� ����:��/<(�/? �/> ���/*:�>;=/5�56)�5&���&��tQ�.�/��?�5+�

@n<()+�/��)+? SW=/5�5�!(��)�5$!#5�7�<#=�7&7�<()+��)�%;5n=�7n> )�=/5 7n�/'()�<#=���? �/'(%;:��.�/��?�% '3)�=/:1< :��/<(�/? �/> ���/* :�>;=/5�5 6 * 5 71=�7�% '��7�<#=�7 �.�/��=�'�* "^ &)�<#=N4/)&7�<#=�7 "�=�( "1f 0 " %;5�<#=���? �/'(%;:��e@n<()+�/��)+?Na 5 71=�7�)�5e7�<#=�7 7�<()+��)%;5��/'(> * %($&,<#=���? �/'(%;:�.�/��? ��)+��:��/<(�/? �/> �/* :�>;=/5�5+� ")+'#:�)�b�7�<()+��)v=���)B�(��)�:�%;56)+> * =/5n?�=�'�* <#=���? �/'(%;:��.�/��?�5�=/5�:��/<(�/? �/> �/*�:�>;=/5�56)�5+�

@n<() :��/<(�/? �/> ���/* :�>;=/5�56)�5n0")��)+'#03�/'�0 6 !"7'(��7�/' 7�<() ? )�7���%;:(b(56�G7�<()+* =���)\% '�4�=���%;=�' 7n% �e &) :1<#=�'��/)�7�<()? )�7���%;:� �<(% >;5 7�> )�=N4�% '��\7�<()�=�'#=�> * 7�%;:�5 7��z!#:U7z!(��)=�> �/'()/�c� <�*"56%;:+=�> > *W:1<#=�'��/% '���7�<()? )�7���%;:=�? ��!(' 715e7��v0"%;5 7��/�67�% '��7�<()v5��#=/:�)\% '9= :��/' 7�% '"!(��!#5= n=N*1 �% 7�<(��!"7�:1<#=�'��/% '���� 7�<()D n=N*�% 7%;5�¼ �/% '()�0�!����(�

dj)\:+=�'5�(>;=N*�=Z� =�? )8 �% 7�<35�! 6 ?�=�'(% �.�/>;0(5n=�'#0 6 ��!('#0(=���% )�5 7�<#=�7n%;5n:�> � 56)+> *�:��/'('()�:U7�)�0h �% 7�< 7�<()B� =�? )8 &)<#=N4/) 6 )+)+'^�(>;=N*�% '��5 �% 7�< :�> � 56)�09�.�/��?�5\=�'#0j0��Adj)G�.�":¶!#5\�/' ��t^0"% ? )+'#56% �/'#=�>�5�! 6 ?�=�'(% �.�/>;0(5D� 7�<#=�7 <#=N4/)G'(�6 ��!('#0(=���*', � � £ D(� a !#:1<G� 6 ¼ )�:U715�=���)n:+=�> > )�0�J �GJ���V�J/�GO(�/�&� £ #� &)�=���)n5���)�=(j�% '��\���|:�> � 56)�0G:¶!(��4/)�5')��.�/�&� £ B:�> � 56)�0 5�!(�6�Z=/:�)�5b")�71:�� a �/? )�7�% ? )�5&7�<()v0"% o|)+��)+'#:�) 6 )�77 &)+)+' 77 &����t^:�*":�> )�5�7�<#=�7�=���)�'(��7n7�<()+?�56)+> 4/)�5 6 ��!('#0(=���% )�5����hà #W?�=�'(% �.�/>;0(5B �% > >c�.�/��? 5�!#:1< = 6 ��!('#0(=���*�b�56�/? )�7�% ? )�5�'(��7��1C�!��/'#56%;0")+�\:�> � 56)�0 :¶!(��4/)�5�/'j= 7��/�z!#5+� H�{g�7�<() 0"% o|)+��)+'#:�)G%;5\= 6 ��!('#0(=���*UCE� k f � � £ � �/H&b|7�<()+'s &)��(>;=/:�)P� k =�'#0X� � % ' 7�<() 5�=�? )�KcF � F��ZF ¹ � :�>;=/5�5+�@n<()�'"!(? 6 )+�����H<(�/? �/> ���/*G:�>;=/5�56)�5���� ��t^:�*":�> )�5 %;5�0")+'(��7�)�05Ä � �e{g7�7z!(��'#5���!"7 7�<#=�7gÄ � £ Ä � b"56�v*/��! :+=�' 7�)+> >�<(�` ?�=�'�*G<#=���? �/'(%;: ��tQ�.�/��?�5=Q <#=/5 6 * :���!(' 7�% '�� 7�<()�'"!(? 6 )+������% '()cmn!(% 4�=�> )+' 7 ��t^:�*":�> )�5�% 7n=/0"? % 715+�GO(�/��) - =�?P�(> )�b7�<()+��) =���)W'(�3<#=���? �/'(%;:5#¶tQ�.�/��?�5��/'j=�BLt^5��(<()+��) 6 )�:+=(!#56)G)+4/)+��*9:�> � 56)�0 :¶!(��4/)W�/'j=�BLt^5��(<()+��)W%;5\= 6 ��!('#0(=���* )7�<()+��) =���)\'(� % '() - =/:U7cÉ#:¶!(��4/)�5+� rYVZ � � V ������������� J/F ��� V"J Nc� F �� ? )�7���%;: % '#0.!#:�)�5�=�'#=�7z!(�1=�>A:��/'('()�:U7�% �/'9�/'�7�<()v71=�'��/)+' 7 6 !('#0"> )W���$Q � a ��)�:�% ¤�:+=�> > *�bI &)W56)+)j�= :��/'('()�:U7�% �/'7�<#=�7<#=/5�È+)+���W7��/�156% �/'�=�'#0 *�% )+>;0(5=G4�=�'(%;56<(% '���0")+��% 4�=�7�% 4/)\���r½ % ' 7�<()v56)+'#56)\���c7�<()WB�'#0 )cmn!#=�7�% �/' 6 )+> �` D,

D £ � Y<$Àf ���*¿ f:¡ ¿ FQ$�¢ F&�½;C ¿ FQ$AH £ ½;C ���G¿ FQ$AHrÃ^½;C ¿ F ��� $�H&Ç C M#� 7/DnH@A� 56)+) 7�<#=�7 7�<()�56) )cmn!#=�7�% �/'#5 5�!�� :�)�7�� 0")¶¤#'() � b� &)h ���% 7�)���!"7v7�<()�>;=/5 7v)cmn!#=�7�% �/'j77 �%;:�)�? �/��)�bc:�*":�> %;:+=�> > *��)+��?A!"7�% '�� ¿ FQ$$F*& =/5� &)��/�I,

¿ ½;C�$$F*&8H £ ½;C � Y<$$F*&8HGÃ^½;C�$$F � Y &8H*)$D½;C`&gF ¿ H £ ½;C ��� &gF ¿ HGÃ^½;C`&gF ���*¿ H&Ç C M#� 7�#LHJ�` � &) =/5�5�!(? ) 7�<#=�7 ¿ FQ$$F*& =���) :����/�10"% '#=�7�)�¤#)+>;0(5W56�97�<#=�7v7�<()+* :��/? ?A!"7�)sCu �% 7�< 7�<() :��/'#56)cmn!()+'#:�) 7�<#=�7� Y�$ £ ���*¿ )�71:�� HW=�'#0 5�! 6 7��1=/:U7&7�<() B�'#0����A)cmn!#=�7�% �/'#5BC M#� 7/DnHe�.���/? 7�<()\5�!(?����A)cmn!#=�7�% �/'#5BC M#� 7�#LHU�e{^' 4�% ) ���c7�<()v56*�? ? )�7���* ���r½ 4�=���% ��!#5&7�)+��?�5�:+=�'#:�)+>H=�'#0� &)\<#=N4/)

¿ ½;C�$$F*&8H;ÃL$�½;C ¿ F*&8H�fL&�½;C ¿ FQ$AH £ BL½;C � Y<$$F*&8H CZ:��/? ?A!"7�% '���¤#)+>;0(5¦H&Ç C M#� 7 B�H®$mn!#=�7�% �/':C M#� 7 B�H\:�> )�=���> * 0")¶¤#'()�5 7�<() =/:U7�% �/'j��� � 56% '#:�) % 7v)+'#= 6 > )�5D!#5 7��l¤#'#0 =�' =�� 6 % 7��1=���* :��/?P���/'()+' 7v���� Y�$ �.�/�=�'�*�77 &��:����/�10"% '#=�7�)8¤#)+>;0(5 ¿ FQ$��*{^'37�)+��?�5n��� !�<(��%;5 7��(o|)+>H56*�? 6 �/>;5D¡ )cm��GC�7(� (nH ¢r &)\<#=N4/)

k� - � ½ � �� ) v Ã� ½ v �� ) � f

� ½ v �� ) � . £ ½ - 5�

� � v ��� ) � F

�� ) � .

£ 5�

½ ��� � � v � FC M#� 7�7nH

Page 27: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

��� ��������� ��������� � #,#,� � #/�`�1� � *� �<(%;:1<9:�> )�=���> *�% ?P�(> % )�5n7�<#=�7

� � v � £ k� 5 � ½ � �- � ½ � �� ) v Ã

� ½ v �� ) � f� ½ v �� ) �. Ç C M#� 7�M"H

R8SGV M J � JcV�«z�IZ'¬L­a % '#:�) CE�DH ��D 7�<()+��)� �% > > 6 )j= 56<(�/�67�)�5 73:¶!(��4/) 6 )�77 &)+)+' 77 &�����/% ' 715+� a <(�` C7�<#=�7 7�<(%;53:¶!(��4/) %;53=¹ V�FG��V�J � J�b�%Q� )/� b � � ����� � � 0

0,; £ D(�a !������ 56)B &)�<#=N4/)�= 6 !('#0"> )\���A'()�=�� 6 *P�/)+�"0")�56%;:+5,c% '5�/)+'()+�1=�>���)+>;=�7�% 4�% 7 *?CE± �8H 7�<()+* :���!(>;0 6 )�7�<()� &�/��>;0"t

> % '()�5n���e=G?�=/5�5n��� 6 =�> >;5&7�<#=�7B±\=�> > % > )+�G<#=/5�¼7!#5 7�0"��������)�0 �.���/?�7�<()ZiH)�=�'(% '�� @A�` &)+�n���e� %;5�=(�*iH)�7�� =�'#0 � 6 )7�<()\71=�'��/)+' 7�4/)�:U7��/��=�'#0�= ��'()��#=��1=�? )�7�)+�&�.�/�=G7 *"�(%;:+=�>;�/)+�"0")�56%;:��J�` % ?�=(�/% '()�=9:¶!(��4/)G7�<#=�7O¼ �/% '#5D���/% ' 715v=/5�56�":�%;=�7�)�0s �% 7�< =l�/% 4/)+'j4�=�> !()���� ����iH)�7v7�<()�> �":+=�>�71=�'��/)+' 74/)�:U7��/��7�� 7�<(%;5&:¶!(��4/) 6 )D-�b� �% 7�< � 7�<()�:��/����)�5����/'#0"% '��v= ��'()O�#=��1=�? )�7�)+�cb 56�P- £ �10`� �c�c$&*A¤#> > % '��v7�<()8 �<(�/> )��)�/% �/'l �% 7�< :¶!(��4/)�5*¼ �/% '(% '�� )+4/)+' 715��� )cmn!#=�> ��b� &)G:+=�'9) - 7�)+'#0X- % ' 7��3=�4/)�:U7��/�g¤#)+>;0 =�'#0?!#56)��j=�'#0���=/5�B���c7�<()v:����/�10"% '#=�7�)�5&���*Q �#")+'#:�)1¡ -�F��B¢ £ D =�'#0XC M#� 7/DnH�*�% )+>;0(5 ��� � £ ��� -G�

{^' 7�<()�±\=�> > % > )+� ) - =�?P�(> )�b�7�<()3?�=(�/'(% 7z!#0")3���D-C7�)+> >;5�!#5G<(�` �1=(�(%;0"> *^ &)3? ��4/) �.���/? 6 =�> >&7�� 6 =�> >�=/5 &)�4�=���* ��b�=�'#0 7�<"!#5v%;5Z�(�������/�67�% �/'#=�>e7��97�<() 0"%;5 71=�'#:�) 6 )�77 &)+)+' 6 =�> >;5+�l{g�n7�<() 0"% ��)�:U7��/' ���8-C:1<#=�'��/)�5bA% 7cÉ 56 )�:+=(!#56) 7�<() 6 =�> >;5 =���) ? ��4�% '��9=�����!('#0 �/'() =�'(��7�<()+�v=/5�7�<()+* �Z=�> >Ebe56�37��?�/)�7 6 )�77 &)+)+'j77 &�l�/% 4/)+' 6 =�> >;5bH7�<()0"% ��)�:U7�% �/'9*/��!�<#=N4/)\7�� <()�=/0��(o % '9%;5)+4/�/> 4�% '���% '�7�% ? )�C�.HU� a ��7�<()+��)�É 5% ' 7�)+��)�5 7�% '��h�(<�*"56%;:+=�>A% '"�.�/��?�=�7�% �/'�% '7�<() ��=/:+:�)+> )+�1=�7�% �/'�� � � - 0`� � � b(=�'#0� &) :+=�>;:¶!(>;=�7�)\% 7��

� �L-� � � £ ��� ��� - £ ��� ��� � £ ��� ��� � Ã��PC��/F&-DH��

£ �PC��/F&-DH��/Ç C M#� 7 S�H@n<(%;5�%;5&7�<()ZV � � �.Nc� F � F �O¹ V�FG��V�J � J5��V ºG���.Nc� F � �

d <()+'? &)W:1<#=�'��/)\�.���/? 7�<()h>`) 5 @G:1<#=��67�7���7�<()h>`) d 5 @G:1<#=��67cb"7�<()v'#=�7z!(�1=�> 6 =/56%;5�4/)�:U7��/�15n�.�/�<+.µ 5�!.o|)+��=> % '()�=��n7��1=�'#5 �.�/��?�=�7�% �/' �

� ) d 5 £ / 25 �� ) 2 �<()+��) / 25 ( � ) 2� ) d 5 Ç C M#� 7�anHdj)D!#56)�7�<()v56<(�/�67�<#=�'#0 � 5 ( � � � � � � =�'#0 � d5 ( � � � � � � =�'#03:+=�>;:¶!(>;=�7�)

� d 5 2 � � ( ½;C � d5 �10`� ) d 2 F �10`� ) d � H £ ½ � / 5 �� C�/ �2 �10`� ) � H&F0/�� �10`� )� �£ ½ � / 5 �� C�/ �2 H �10`� ) � F0/ �� �10`� ) � � Ã^½ � / 5 / �2 �� ��10`� ) � F0/ �� �10`� ) � �£ / 5 �� C�/ �2 H / �� ½;C �10`� ) � F �10`� ) � HGà / 5 / �2 / �� ½;C �� ��10`� ) � F �10`� ) � H£ / 5 � /

�2� ) /�� ½;C �10`� ) � F �10`� )��Hrà / 5 / �2 /�� � � � � Ç C M#� 71�(H@n<(%;5�) - �(��)�5�56% �/'956<(�` 5�7�<#=�7�% 'j=/0(0"% 7�% �/'�7�� 7�<()A!#5�!#=�>A7�)+'#56�/�7��1=�'#5 �.�/��?�=�7�% �/'��z!(> )�b � ��)cmn!(% ��)�5�=�' =/0(0"% 7�% 4/)7�)+��?

/ 5 � /�2� ) / �� ½;C �10`� ) � F �10`� ) � H £ � / �2� ) d 5 / �� ½;C �10`� ) � F �10`� ) � H £ � �c) �

� ) d 5 � ) d 2 / �� ½;C �10`� ) � F �10`� ) � H C M#� 7��nHdj) :+=�' ?�=(j/) � d £ DW% �� &)\:+=�' ?�=(j/)�7�<(%;5&7�)+��? :+=�'#:�)+> / 5 / �2 / �� � � � � �.�/��=�'�*h�/% 4/)+' � ��@A��56)+)�7�<#=�7n7�<(%;5&%;5��� 5�56% 6 > )�b(0")¶¤#'() - 52 ( � ) d 5� ) 2 � - 52 / 2� £&� 5� =�'#0 - 52 / �5 £&� �2 F C M#� 7�(nH=�'#0\?A!(> 7�% �(> *hC M#� 71�(H�7�<(����!��/< 6 *8½ � � - �� bL �<()+��)*½ � � %;5�7�<()�% '�4/)+�156)�����7�<()�? )�7���%;:e7�)+'#56�/�=¡ ½ � � ½;C �10`� ) � F �10`� ) � H £� �� ¢c=�'#01¤#'#0 7�<#=�7 � d �% > >H4�=�'(%;56<3% �

� �c) �� ) d 5 � ) d 2 £ f./ 5 / �2 ½ � � � � � � £ f./ 5 / �2 � � � Ç C M#� M DnH

Page 28: Geometry and Physics Lecture Notes James Binney

��� � ��� � #,#,� � # � � #,#!������ � # � �O(���/? 7�<()v@c=N*�> �/��56)+��% )�5n) - �#=�'#56% �/'3���/) ��CE) d H= &)v56)+)�7�<#=�7�=�7�=�'�*1�/% 4/)+'����/% ' 77�<()v0"��! 6 > )v0")+��% 4�=�7�% 4/)\?�=�7���% -�/' 7�<()\> )���7�:+=�' 6 ) 56)�7�)cmn!#=�>|7�� =�'�* 56*�? ? )�7���%;:�?�=�7���% - &)B�(> )�=/56)�b"56�P &)\:+=�'�56)�7�% 7�)cmn!#=�>�7��G7�<() ��<#5+��@n<"!#5�.�/�=�'�*5�/% 4/)+'����/% ' 7���/Q 7�<()+��) =���) :1<#=��6715n% 'l �<(%;:1< � d £ D(�*{^'�± � 5�!#:1<�=�:1<#=��67�%;55�=�%;0 7��h�(����4�%;0")D�ZFGJ � ���� V MLNc��� �OJ/FHF M � �����.N V�J/� @n<()W) - %;5 7�)+'#:�)W��� 7�<()�56)G:����/�10"% '#=�7�)�5)+'#:+=(�#5�!(>;=�7�)�57�<()����(��% '#:�% �(> )W��� )cmn!(% 4�=�> )+'#:�) �7�<#=�7%;5&7�<()v5 71=��67�% '��P���/% ' 7��.�/�8± � �

a % '#:�)vD £ � d5 ½ d2 � £ � d5 ½ d2 � f B � d �5 2 ½ d� � b(% �� d £ D =�> >G�#=��67�%;=�>�0")+��% 4�=�7�% 4/)�5n���r½ d =�>;56�G4�=�'(%;56<H�