Upload
gabriela-dinca
View
455
Download
9
Embed Size (px)
Citation preview
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
1/110
Geometrie analitica
Suport de sudiu pentru seminar
Mihaela Sterpu
October 22, 2002
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
2/110
Cuprins
1 Spatii afine 5
1.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Spatii afine 9
2.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Subspatii afine 19
3.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Subspatii afine 27
4.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5 Tranformari afine 37
5.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
3/110
2 CUPRINS
6 Tranformari afine 47
6.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7 Spatii euclidiene punctuale 57
7.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
7.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
8 Spatii euclidiene punctuale 65
8.1 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
9 Izometrii 67
9.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
10 Izometrii 73
10.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
10.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11 Asemanari 79
11.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
11.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
12 Conice 87
12.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
12.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
4/110
Geometrie analitica 3
13 Conice 93
13.1 Exercitii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
13.2 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
14 Cuadrice 101
14.1 Exercitii propuse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
5/110
4 Mihaela Sterpu
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
6/110
Seminarul 1
Spatii afine
1.1 Exercitii rezolvate
E 1.1 Sa se arate ca aplicatia : E3 E3 V3, (A, B) = AB, pentruorice A, B E3, defineste o structura afin a.
Solutie. Axioma (a1) este verificata. Axioma (a2) este verificata,
conform definitiei adunarii vectorilor liberi.
E 1.2 Fie V un spatiu vectorial real de dimensiune finita. Sa se arate
ca : V V V, (x, y) = y x, pentru orice x,y V, defineste ostructura afina.
Solutie. Daca v, a V, atunci (a, a + v) = v, deci axioma (a1) esteverificata. Cum (x, y) + (y, z) = (y x) + (z y) = z x = (x, z),pentru orice x, y, z V, axioma (a2) este verificata.
5
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
7/110
6 SEMINARUL 1. SPATII AFINE
E 1.3 Sa se arate ca orice spatiu afin punctual (A, V , ) poate fi dotatcu o structura de spatiu vectorial.
Solutie. Fie O A un punct fixat. Daca A, B A si R, atunciexista punctele unice C, D A astfel ncat (O, C) = (O, A)+(O, B),(O, D) = (O, A). Consideram, prin definitie, A + B = C, A = D.
In raport cu aceste operatii A are structura de spatiu vectorial real.
E 1.4 Sa se determine legatura dintre coordonatele afine si coordonatele
carteziene ale unui punct M relative la reperul afin S= {A0,...,An} si,respectiv, la reperul cartezian asociat reperului afin
R= A0, {A0A1,...,A0An} .
Solutie. Fie (0,...,n) coordonatele afine ale punctului M relative
la reperul afin S si (x1,...,xn) coordonatele carteziene ale punctului Mrelative la reperul cartezian R. Din M = 0A0 + 1A1 + ... + nAn,0 + 1 + ... + n = 1, rezulta A0M =
1A0A1 + ... + nA0An. Deducem
1 = x1,..., n = xn, 0 = 1 x1 ... xn.
E 1.5 In planul afinA2 se considera punctele afin independente A, B, C,miloacele A, B, C ale segmentelor BC, CA, AB, respectiv, si repereleafine Ra = {A,B,C} siRa = {A, B, C}.
a) Ce ntelegeti prin faptul punctulM este o combinatie afina a punctelor
A, B, C? Explicati semnificatia expesiei M = 13
B + 23
C.
b) Sa se determine coordonatele afine ale centrului de greutate G al
triunghiului ABC n reperul afin Ra.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
8/110
1.1. EXERCITII REZOLVATE 7
c) Sa se scrie formulele de schimbare a coordonatelor carteziene ale
unui punct cand se trece de la reperul cartezian Rc canonic asociat
luiRa la reperul cartezian Rc asociat lui Ra.d) Sa se scrie formulele de schimbare a coordonatelor afine ale unui
punct cand se trece de la reperul afin Ra la reperul afin Ra.
Solutie. b) Din A = 12
B + 12
C, B = 12
C + 12
A, C = 12
A + 12
B,
G = 13
A + 13
B + 13
C, deducem G = 13
A + 13
B + 13
C.
c) In reperul cartezian Rc, canonic asociat reperului afin Ra, avemA(0, 0), B(1, 0), C(0, 1), A(1
2, 12
), B(0, 12
), C(12
, 0), AB( 12
, 0), AC(0, 12
).
Notand (x1, x2), (y1, y2) coordonatele carteziene ale unui punct relative,
respectiv, la reperele carteziene Rc, Rc, formulele de schimbare a coor-donnatelor au expresia
x1
x2
=
1
2
1
2
+
1
20
0 12
y1
y2
.
d) Fie (0, 1, 2), (0, 1, 2) coordonatele afine ale lui M respectiv
n Ra si Ra. Din 1 = x1, 2 = x2, 1 = y1, 2 = y2, folosind rezultatelede la c) obtinem
0 = 12 1201 = 1
2 1
21
2 = 12 1
22
.
E 1.6 In spatiul afin A3 se considera punctele afin independente O, A,B, C si se noteaz a cuD, E, F mijloacele segmentelorBC, CA si, respec-
tiv, AB. Sa se determine coordonatele varfurilor tetraedrului n raport cu
reperul cartezian
O, {OD,OE,OF} .
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
9/110
8 SEMINARUL 1. SPATII AFINE
Solutie. In reperul cartezian considerat avem O(0, 0, 0), D(1, 0, 0),
E(0, 1, 0), F(0, 0, 1). Din D = 12
B + 12
C, E = 12
C + 12
A, F = 12
A + 12
B,
deducem A(1, 0, 0), B(1, 1, 1), C(1, 1, 1).E 1.7 Fie A,B,Ctrei puncte coliniare distincte din spatiul afin punctual
A. Daca C = A + B, , R, + = 1, atunci (AB | C) =
.
Solutie. Daca C = A + B atunci CC = CA + CB. Cum C = A,rezulta = 0, si CA =
CB, adica (AB | C) =
.
E 1.8 Fie A,B,Ctrei puncte coliniare distincte din spatiul afin punctual
A. Daca (AB | C) = k atunci (BA | C) =1
k , (AC | B) = 1 k,(CA | B) = 1
1k , (CB | A) = kk1 , (BC | A) = k1k .
Solutie. Daca (AB | C) = k atunci C = 11kA k1kB, A = kB + (1
k)C si B = 1k
A 1kk
C. Aplicand exercitiul anterior se obtine relatiile
cerute.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
10/110
Seminarul 2
Spatii afine
2.1 Exercitii rezolvate
E 2.1 In planul afinA2 se considera reperele carteziene R = (O; {e1, e2}) siR = (O; {f1, f2}). Se noteaza (x, y), (x, y) coordonatele unui punct nR, R, respectiv. Axele Ox, Oy au, n raport cu reperul R, ecuatiile2x + y 4 = 0, si, respectiv, x y 2 = 0, iar punctul P, care n repe-rul R are coordonatele (1, 1) , n reperul R are cooronatele (3, 1) . Sa se
scrie formulele de schimbare a coordonatelor cand se trece de la reperulcartezian R la reperul cartezian R.
Solutia 1. Deoarece Ox are ecuatiile parametrice x = t, y = 4 2t,rezulta ca putem considera vectorul g1(1, 2) ca vector director al axeiOx. Analog se gaseste ca g2(1, 1) este un vector director pentru axa
Oy. Atunci f1 = g1, f2 = g2, , R.Originea reperului R este punctul O(2, 0) de intersectie a dreptelor
9
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
11/110
10 SEMINARUL 2. SPATII AFINE
Ox, Oy. Formula matriceala de schimbare a coordonatelor este
xy = 2
0+ 2
x
y . (2.1)
Punand conditia ca x = 1, y = 1, x = 3, y = 1 sa verifice (2.1), se
obtine = 29
, = 13
.x
y
=
2
0
+
2
9 1
3
49
13
x
y
.
Solutia 2. Formulele de schimbare a coordonatelor sunt de forma
x = 11x + 12y + a1y = 21x + 22y + a2 .
Axa Ox are n reperul R ecuatia y = 0, adica 21x + 22y + a2 = 0, axaOy are n reperul R ecuatia x = 0, adica 11x + 12y + a1 = 0. Rezulta
x = (x y 2)y = (2x + y 4) . (2.2)
Punand conditia ca x = 1, y = 1, x = 3, y = 1 sa verifice (2.2), se
obtine = 23
, = 1.
E 2.2 In spatiul afin punctual A3 se considera reperele carteziene R =(O; {e1, e2, e3}) siR = (O; {f1, f2, f3}), astfel ncat planele Oxy, O yz,Ozx au, n raport cu reperul R, ecuatiile x+1 = 0, 2xy = 0 si, respec-tiv, x2y + 3z 6 = 0, iar punctul P, care n reperul R are coordonatele(1, 1, 1) , n reperul R are coordonatele (1, 3, 1) . Sa se scrie formulelede schimbare a coordonatelor cand se trece de la reperul cartezian R lareperul cartezian R.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
12/110
2.1. EXERCITII REZOLVATE 11
Solutia1. Originea reperului R este punctul O(1, 2, 1) de intersectiea planelor de coordonate Oxy, Oyz, Ozx.
Axa Ox are ecuatiile x +1 = 0, x2y + 3z 6 = 0. Deci g1(0, 3, 2)este un vector director pentru Ox. Vectorii directori ai axelor Oy, Oz
sunt g2(0, 0, 1), respectiv g3(1, 2, 1). Deducem f1 = g1, f2 = g2, f3 =g3, ,, R. Formula matriceala de schimbare a coordonatelor sescrie
x
y
z
=
121
+
0 0
3 0 22
x
y
z
. (2.3)
Punand conditia ca x = 1, y = 1, z = 1, x = 1, y = 3, z = 1 sa verifice
(2.3), se obtine = 13
, = 89
, = 2. Formula (2.3) se scrie
x
y
z
=
121
+
0 0 2
1 0 42
38
92
x
y
z
.
Solutia 2. Formulele de schimbare a coordonatelor sunt de forma
x = 11x + 12y +
13z + a
1
y = 21x + 22y +
23z + a
2
z = 31x + 32y +
33z + a
3
.
Planul Oxy are n reperul R ecuatia z = 0, adica 31x+32y+33z+a3 =0, planul Oyz are n reperul R ecuatia x = 0, adica 11x + 12y + 13z +a1 = 0, iar planul planul Oxz are n reperul R ecuatia y = 0, adica
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
13/110
12 SEMINARUL 2. SPATII AFINE
21x + 22y +
23z + a
2 = 0 Rezulta
x = (2x
y)
y = (x 2y + 3z 6)z = (x + 1)
. (2.4)
Punand conditia ca x = 1, y = 1, z = 1, x = 1, y = 3, z = 1 sa verifice
(2.4), se obtine = 1, = 34
, = 12
.
E 2.3 In spatiul geometric elementar E3, se considera paralelipipedul
ABCDABCD
si reperele carteziene
R = (A; {AB,AD,AA})siR = (C; {CB, CD, CC}).
Sa se scrie formulele de schimbare a coordonatelor cand se trece de la
reperul R la reperul R.
Solutie. In reperul R avem
A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), D(0, 1, 0), A(0, 0, 1), C(1, 1, 0),
B(1, 0, 1), C(1, 1, 1), D(0, 1, 1),
CB(0, 1, 0), CD(1, 0, 0), CC(0, 0, 1).
Formula de schimbare a coordonatelor se scrie
x1
x2
x3
=
1
1
1
+
0 1 01 0 00 0 1
y1
y2
y3
.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
14/110
2.1. EXERCITII REZOLVATE 13
E 2.4 In spatiul geometric elementar E3, se considera paralelipipedulABCDABCD
si reperele carteziene
R = (C; {CB,CD,CC})si R = (A; {AG1, AG2, AG3}),unde G1, G2, G3 sunt centrele de greutate ale fetelor BC B
C, CDCD
si, respectiv, ABCD. Sa se scrie formulele de schimbare a coordo-
natelor cand se trece de la reperul R la reperul R.E 2.5 In spatiul geometric elementar E3 se considera reperul cartezianR = (O; {e1, e2, e3}) si punctele
E0(1, 1, 0), E1(0, 3, 1), E2 (1, 2, 1) , E3 (1, 1, 1) ,date prin coordonatele lor n reperul R.
a) Sa se arate sistemulRa = {E0, E1, E2, E3} determina un reper afinsi s a se calculeze coordonatele afine relative la Ra ale punctuluiP(0, 5, 1).
b) Sa se scrie formulele de schimbare a coordonatelor cand se trece de
la reperul R la reperul cartezian canonic asociat reperului afin Ra.Solutie. a) Vectorii E0E1(1, 2, 1), E0E2(0, 1, 1), E0E3(2, 0, 1)
sunt liniar independenti, deci Ra ete un reper afin. Daca (0, 1, 2, 3)sunt coordonatele afine ale punctului P relativ la reperul afin Ra, atunci
1 = 0 + 1 + 2 + 3
0 = 1 23 + 15 = 21 + 2 + 1
1 = 1 + 2 3.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
15/110
14 SEMINARUL 2. SPATII AFINE
Deducem 0 = 2, 1 = 1, 2 = 2, 3 = 0.b) Formula de schimbare a coordonatelor se scrie
x1
x2
x3
=
1
1
0
+
1 0 22 1 0
1 1 1
y1
y2
y3
.
E 2.6 In spatiul geometric elementar E3 se considera reperul cartezianOxyz si punctele A(2, 1, 3), B(2, 4, 0), C(3, 0, 4) care determina planul. In planul se considera reperul cartezian R =
A, {AB,AC} .
a) Sa se determine coordonatele spatiale ale punctului P din planul
care are coordonatele (5, 3) n reerul R
b) Sa se determine coordonatele n reperul plan ale punctului de intersectie
dintre axa Oz si planul .
Solutie. a) Din AB(0, 3, 3), AC(5, 1, 1) si AP = 5AB + 3AC de-ducem AP(15, 12, 12). Cum OP = OA +AB, rezulta P(13, 13, 9).
b) Ecuatia planului se scrie:
x 2 0 5y 1 3 1z 3 3 1
= 0,
sau y + z 4 = 0. Punctul M de intersectie dintre axa Oz si planul are coordonatele carteziene (0, 0, 4). Din OM = OA + t1AB + t2AC,
deducem ca punctul M are coordonatele (t1, t2) = ( 15
, 25
) n reperul
cartezian din planul .
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
16/110
2.1. EXERCITII REZOLVATE 15
E 2.7 In spatiul afin punctual A4, ntr-un reper cartezian R, se daupunctele A(1, 0, 0, 1), B(0, 1, 0, 1), C(0, 0, 1, 1), D(0, 0, 0, 1), E(1, 1, 1, 0).
a) Sa se arate ca sistemul Ra = {A,B,C,D,E} defineste un reperafin.
b) Sa se gaseasca coordonatele afine ale punctului M(1, 2, 2, 1) nraport cu reperul afin Ra
c) Sa se scrie formulele de schimbare a coordonatelor cand se trece de
la reperul cartezianR la reperul cartezian canonic asociat reperuluiafin
Ra.
Solutie. a) Sistemul de vectori
{AB(1, 1, 0, 0), AC(1, 0, 1, 0), AD(1, 0, 0, 0), AE(0, 1, 1, 1)}
este liniar independent (rang
1 1 1 01 0 0 1
0 1 0 1
0 0 0 1
= 4).
b) Daca (0, 1, 2, 3, 4) sunt coordonatele afine ale punctului M
relativ la reperul afin Ra, atunci M = 0A + 1B + 2C+ 3D + 4E,de unde rezulta
1 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4
1 = 1 1 2 32 = 1 + 4
2 = 2 + 41 = 1 4
.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
17/110
16 SEMINARUL 2. SPATII AFINE
Deducem 0 = 1, 1 = 0, 2 = 4, 3 = 4, 4 = 2.b) Formula de schimbare a coordonatelor se scrie
x1
x2
x3
x4
=
1
0
0
1
+
1 1 1 01 0 0 1
0 1 0 1
0 0 0 1
y1
y2
y3
y4
.
2.2 Exercitii propuse
E 2.8 Fie R = Oxy, R = Oxy doua repere carteziene n planul afinA2. Axele Ox, Oy au, n raport cu reperulR, ecuatiile x+y4 = 0, si,respectiv, 2x y + 1 = 0, iar punctul O are coordonatele (1, 5) n reperulR. Sa se scrie formulele de schimbare a coordonatelor cand se trece dela reperul cartezian R la reperul cartezian R.
E 2.9 Fie R = Oxyz, R = Oxyz doua repere carteziene n spatiulafinA3, astfel ncat planele Oxy, Oyz, Ozx au, n raport cu reperulR, ecuatiile x + z = 0, x y 2z = 0 si, respectiv, 2y z 5 = 0, iarpunctul P, care n reperul R are coordonatele (1, 0, 1) , n reperul R arecooronatele (1, 2, 4) . Sa se scrie formulele de schimbare a coordonatelorcand se trece de la reperul cartezian R la reperul cartezian R.
E 2.10 In spatiul geometric elementar E3, se considera paralelipipedulABCDABCD si reperele carteziene
R = (C; {CB,CD,CC})si R = (A; {AG1, AG2, AG3}),
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
18/110
2.2. EXERCITII PROPUSE 17
unde G1, G2, G3 sunt centrele de greutate ale fetelor BC BC, CDCD
si, respectiv, ABCD. Sa se scrie formulele de schimbare a coordo-
natelor cand se trece de la reperul R la reperul R.E 2.11 In spatiul afin punctual A4, ntr-un reper cartezian R, se daupunctele
A(1, 1, 0, 1), B(0, 0, 2, 1), C(2, 1, 1, 1), D(1, 1, 1, 1), E(0, 1, 0, 0).
a) Sa se arate ca sistemul Ra = {A,B,C,D,E} este un reper afin.
b) Sa se gaseasca coordonatele afine ale punctului M(1, 1, 1, 1) n ra-
port cu reperul afin Ra.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
19/110
18 SEMINARUL 2. SPATII AFINE
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
20/110
Seminarul 3
Subspatii afine
3.1 Exercitii rezolvate
E 3.1 Sa se arate ca submultimea nevidaA An este un subspatiu afinal spatiului fin real (An, Vn, ) daca si numai dac a pentru orice P, Q Asi pentru orice , R, + = 1, avem P + Q A.
Solutie. Daca A este un subspatiu afin, O A, atunci A aresubspatiul vectorial director W =
{OM
|M
A
}. Fie P, Q
A si
, R, + = 1. Rezulta OP, OQ W, deci OP + OQ W (Weste subspatiu vectorial). Din definitia lui W rezulta ca exista un punct
R A astfel ncat OR = OP + OQ, deci R = P + Q A.Reciproc, demonstram ca multimea W = {OM | M A} Vn este
un subspatiu vectorial.
Daca v W, R, rezulta ca exista un punct P A astfel ncatOP = v. Aplicand ipoteza deducem ca Q = (1 )O + P A, deci
19
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
21/110
20 SEMINARUL 3. SUBSPATII AFINE
OQ = OP = v W.Daca u, v W, atunci exista P, Q A astfel ncat OP = u, OQ = v.
Aplicand ipoteza deducem ca R =1
2P+1
2Q A, deci OR W. Rezultaca u + v = 2
1
2OP + 1
2OQ
= 2OR W.
E 3.2 Fie V un spatiu vectorial real de dimensiune finita, W un subspatiu
vectorial al lui V si x0 V. Submultimea
L = {x0 + y |y W}
a luiV se numeste varietate liniara determinata de vectorulx0 si subspatiul
vectorial W. Daca pe V se considera structura afina definita la E 2.2,
sa se arate ca L este un subspatiu afin.
Solutie. Deoarece x0 L si (x0, x0+y) = (x0+y)x0 = y, multimea{(x0, x0 + y), y W} = W este un subspatiu vectorial al lui V.
E 3.3 Fie (A, V , ) un spatiu afin real de dimensiune finita n. Sa searate ca daca S= {A0,...,Ap} A, atunci
L(S) =
M A, M = 0A0 + ... + pAp, i R, i = 0, p,p
i=0i = 1
.
Solutie. Notam
A =
M A, M = 0A0 + ... + pAp, i R, i = 0, p,pi=0
i = 1
.
Evident, A este un subspatiu afin si S A, deci L(S) A.Fie A A un subspatiu afin care include S si M = 0A0 + ... +
pAp A,pi=0
i = 1 arbitrar. Din A0,...,Ap A, rezulta M A.Prin urmare A A. In concluzie A = L(S).
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
22/110
3.1. EXERCITII REZOLVATE 21
E 3.4 In spatiul afin real (A, V , ), de dimensiune finita n, raportat lareperul cartezian R = (O; e1,..., en) , se considera hiperplanul n1 :n
i=1 a1x
i
+ a = 0. Sa se arate ca vectorul nenul u =
ni=1 u
i
ei este paralel cu
n1 daca si numai dacan
i=1
aiui = 0.
Solutie. Presupunem ca vectorul u este paralel cu hiperplanul n1,
adica u Vn1, unde Vn1 este subspatiul director al lui n1. Dacaa1 = 0 (nu micsoram generalitatea presupunand aceasta), ecuatiile para-metrice ale hiperplanului n1 sunt:
x1 = a2
a1t2 a3
a1t3 ... an
a1tn a
a1,
xi
= ti
, i = 2, n.Atunci Vn1 = L({b2,..., bn}), unde
b2 = (a2a1
, 1, 0,..., 0),
b3 = (a3a1
, 0, 1, 0,..., 0),
...
bn = (ana1
, 0,..., 0, 1).
Dar u
Vn
1 implica existenta scalarilor
2,..., n
R, astfel ncat
u = 2b2 + ... + nbn, adica
2a2a1
3a3a1
... nana1
= u1, i = ui, i = 2, n.
De aici, rezulta usor ca a1u1 + ... + anu
n = 0.
Reciproc, presupunem ca a1u1 + ... + anu
n = 0. Daca admitem ca
a1 = 0, obtinemu1 = u2a2
a1 u3a3
a1 ... unan
a1.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
23/110
22 SEMINARUL 3. SUBSPATII AFINE
Atunci
u =n
i=1
uiei
=
u2a2
a1 u3a3
a1 ... unan
a1
e1 + u
2e2 + ... + unen
=
a2
a1e1 + e2
u2 + ... +
an
a1e1 + en
un
= u2b2 + ... + unbn Vn1.
E 3.5 In spatiul afin real (A4, V4, ) raportat la reperul cartezian R =(O; e1, e2, e3, e4) se considera punctele
A (3, 1, 0, 1) , B (10, 4, 6, 5) , P(1, 0, 2, 1) , Q (4, 1, 2, 1) , R (1, 1, 1, 4) .Sa se determine locul geometric al mijlocului segmentului (MN) , unde
M este varibil pe drepta AB, iar N un punct variabil n planul (P QR).
Solutie. Fie M(313, 1+3, 6, 1+4), R, un punct variabilpe dreapta AB si N(1 + 3 2, + , 2 3, 1 + 3), , R, unpunct variabil n planul (P QR). Atunci coordonatele mijlocului H al
segmentului (MN) sunt:
x1 = 12(4 13 + 3 2)x2 = 1
2(1 + 3 + )
x3 = 12
(2 6 3)x4 = 1
2(2 + 4 + 32).
Eliminand , , din relatiile de mai sus, se obtine ecuatia locului geo-
metric:
6x1 + 18x2 16x3 18x4 + 13 = 0,
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
24/110
3.1. EXERCITII REZOLVATE 23
adica un hiperlan.
E 3.6 In spatiul afin punctual E3 raportat la reperul cartezian Oxyz, seconsidera punctul A(1, 1, 2), planul : x + y z 3 = 0 si dreapta
d :
2x + y + z = 0
x y + 2z + 3 = 0 . Se cere:
a) Ecuatia planului care trece prin punctul A si contine dreapta d.
b) Ecuatia planului care contine dreapta d si este paralel cu dreapta
d : x12
= y1
= z21
.
Solutie. a) Ecuatiile parametrice ale dreptei d sunt
x = t
y = t + 1z = t 1
, t R,
deducem ca d trece prin punctul P(0, 1, 1) si are vectorul directorv(1, 1, 1). Planul 1 trece prin punctul A si are vectorii directori v,AP(1, 2, 3). Ecuatia carteziana a planului 1 este
x 1 1 1y + 1 1 2z 2 1 3
= 0,
adica 5x + 4y + z 3 = 0.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
25/110
24 SEMINARUL 3. SUBSPATII AFINE
b) Dreata d are vectorul director u(2, 1, 1). Planul 2 trece prinpunctul P si are vectorii directori v, u. Ecuatia carteziana a planului 2
este x 1 2
y 1 1 1z + 1 1 1
= 0,
adica 2x y + 3z + 4 = 0.
E 3.7 In spatiul afin punctualA4, ntr-un reper cartezian, se dau punctele
A(1, 1, 0, 1), B(0, 1, 1, 0), C(1, 0, 1, 0), D(1, 2, 0, 1). Sa se scrie:
a) ecuatiile carteziene ale dreptei AB si ale dreptei care trece prin C
si este paralel a cu AB;
b) ecuatiile carteziene ale planului ABC;
c) ecuatia carteziana a hiperplanului ABCD.
Solutie. a) Dreapta (AB) are ecuatiile
x1 11 =
x2 + 1
2=
x3
1 =x4 1
1 .
Ecuatiile carteziene ale dreptei care trece prin C si este paralela cu (AB)
sunt
x1 11 =
x2
2=
x3 + 1
1 =x4
1 .
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
26/110
3.2. EXERCITII PROPUSE 25
b) Planul (ABC) are vectorii directori AB(1, 2, 1, 1), AC(0, 1, 1, 1),Ecuatia vectoriala parametrica a planului ABC este r = OA + t1AB +
t2
AC, t1
, t2
R. Prin eliminarea parametrilor din ecuatiile parametrice
x1 = 1 t1x2 = 1 + 2t1 + t2x3 = t1 t2x3 = 1 t1 t2
se obtin ecuatiile carteziene cerute
x1 1 1 0x2 + 1 2 1
x3 1 1
= 0,
x1 1 1 0x2 + 1 2 1
x4 1 1 1
= 0,
adica x1 + x2 + x3 = 0, x1 + x2 + x4 1 = 0.c) Hiperplanul ABCD este determinat de punctul A si vectorii AB,
AC, AD(0, 3, 0, 0). Ecuatia carteziana a acestui hiperplan este:
x1 1 1 0 0x2 + 1 2 1 3
x3
1
1 0
x4 1 1 1 0
= 0,
adica x3 x4 + 1 = 0.
3.2 Exercitii propuse
E 3.8 Fie (A, V , ) un spatiu afin real de dimensiune finita n. Sa searate ca submultimea nevida A a lui A este un subspatiu afin daca si
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
27/110
26 SEMINARUL 3. SUBSPATII AFINE
numai daca multimea razelor vectoare ale punctelor sale, ntr-un reper
cartezian fixat, constituie o varietate liniara.
E 3.9 In spatiul afin punctual A4, ntr-un reper cartezian R, se daupunctele A(1, 0, 0, 1), B(0, 1, 0, 1), C(0, 0, 1, 1), D(0, 0, 0, 1), E(1, 1, 1, 0).
a) Sa se scrie ecuatiile planului (ABC);
b) Sa se scrie ecuatiile planului care trece prin punctulD si este paralel
cu planul (ABC);
c) Sa se scrie ecuatia hiperplanului care trece prin punctul E si este
paralel cu hiperplanul (ABCD).
E 3.10 In spatiul afin punctualA5, ntr-un reper cartezian, se dau punctele
A(1, 1, 0, 1, 2), B(2, 1, 3, 4, 2), C(1, 2, 7, 6, 1). Sa se scrie ecuatiile cartezieneale dreptei AB si ale planului ABC.
E 3.11 Fie (A3, V3) un spatiul afin real raportat la reperul cartezianOx1x2x3. Se cere:
a) Sa se scrie ecuatia generala a planului afin1 care trece prin dreapta
afina d1 :
x1 2x2 + x3 + 1 = 02x1 + x2 x3 + 3 = 0 si este paralel cu dreapta de-
terminata de punctele A(1, 2, 3), B (1, 7, 2) .
b) Sa se scrie ecuatia carteziana generala a planului afin 2 care este
paralel cu planul afin 3 : 2x1 x2 + 3x3 4 = 0 si contine dreapta
afina d2 :x152
= x2
7= x
3
1.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
28/110
Seminarul 4
Subspatii afine
4.1 Exercitii rezolvate
E 4.1 In spatiul afin punctual A3, n reperul cartezian Ox1x2x3 se daupunctul A(5, 3, 2), dreptele d1 :
x1 + x2 x3 1 = 0
2x1 x2 2 = 0 , d2 :x111
=
x2+11 =
x322
si d3 :x1+34
= x221
= x315
. Se cere:
a) sa se scrie ecuatia planului care trece prinA si este paralel cu planulOx1x2;
b) sa se scrie ecuatia carteziana a planului care trece d1 si este paralel
cu d2;
c) sa se scrie ecuatiile dreptei d care intersecteaza d1 si d2 si este
paralela cu d3.
27
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
29/110
28 SEMINARUL 4. SUBSPATII AFINE
Solutie. a) Planul Ox1x2 are ecuatia x3 = 0. Un plan 1 paralel cu
planul Ox1x2 are ecuatia x3 + = 0. Conditia A 1implica = 2.
b) Ecuatiile parametrice ale dreptei d1 se scriu
x1 = t
x2 = 2t 2x3 = 3t 3
, t R,
deducem ca d1 trece prin punctul P(0, 2, 3) si are vectorul directorv1(1, 2, 3). Dreapta d2 are vectorul director v2(1, 1, 2). Planul 2 treceprin punctul P si are vectorii directori v1, v2. Ecuatia carteziana a plan-
ului 2 estex1 1 1
x2 + 2 2 1x3 + 3 3 2
= 0,
adica 7x1 + x2 3x3 7 = 0.c) Fie M(t, 2t 2, 3t 3), N(s + 1, s 1, 2s + 2) punctele n care
dreapta d intersecteaza dretele date d1, resectiv d2. Din conditia ca dreapta
d sa fie paralela cu dreapta d3 rezulta ca vectorii MN(s + t 1, s 2t + 1, 2s 3t + 5) si v3(4, 1, 5) sunt liniar dependenti. Deducem ca ex-ista un numar real nenul astfel ncat s + t 1 = 4, s 2t + 1 = ,2s3t+5 = 5. Se obtine t = 4
3, s = 4
3, M(4
3, 23
, 1), iar ecuatiile dreptei
d sunt
x1 43
4=
x2 23
1=
x3 15
.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
30/110
4.1. EXERCITII REZOLVATE 29
E 4.2 In spatiul afin punctualA4, ntr-un reper cartezian, se dau dreptele
d1 :
x1 = 1 + t
x2 = 2 + t
x3 = 3 + t
x4 = 4 + t
, d2 :
x1 = 0
x2 + x3 + 1 = 0
x4 3 = 0.
Sa se scrie ecuatiile sumei geometrice a celor doua drepte (acoperirea
afina a reuniunii d1 d2).
Solutie. Dreapta d1 trece prin punctul A(1, 2, 3, 4) si are vectorul
director v1(1, 1, 1, 1), iar dreapta d2 trece prin punctul B(0, 0, 1, 3) si
are vectorul director al v2(0, 1, 1, 0). Acoperirea afina a multimii d1 d2 A4 este subspatiul afin care trece prin unctul A si are aubspatiulvectorial director generat de vectorii v1, v2, AB(1, 2, 4, 1). Cumacesti vectori sunt
Rangul sistemului de vectori este egal cu liniar independent i,
rang
1 0 11 1 21 1 4
1 0 1
= 3,
acoperirea afina d1 + d2 este hiperplanul de ecuatie
x1 1 1 0 1x2 2 1 1 2x3 3 1 1 4x4 4 1 0 1
= 0,
adica x1 x4 +3 = 0.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
31/110
30 SEMINARUL 4. SUBSPATII AFINE
E 4.3 In spatiul afin punctualA4, ntr-un reper cartezian, se dau subspatiileafine 1 :
x1 + 2x2 x3 + 2 = 0
2x
1
+ x
2
+ x
4
= 0
si 2 definit de punctul B(1, 0, 0, 1)
si vectorii b1(1, 1, 0, 2), b2(1, 0, 2, 1).
a) Sa se scrie ecuatiile subspatiilor afine 1 2 si 1 + 2.
b) Sa se scrie ecuatia hiperplanului care trece prin 1 si este paralel
cu dreapta d : x1 = x2, x3 = x4, x2 = 2x3.
c) Sa se scrie ecuatia unui plan astfel ncat1 = {Q(0, 1, 0, 1)}.
Solutie. Planul 1 trece prin punctul A(0, 0, 2, 0) si admite vectorii di-
rectori a1(1, 0, 1, 2), a2(0, 1, 2, 1), iar planul 2 are ecuatiile carteziene2x1 + 2x2 x3 2 = 0x1 + x2 + x4 = 0 . Daca 1 2 = , Ecuatiile subspatiului
afin 1 2 sunt date de sistemul principal asociat sistemului de ecuatiiliniare
x1 + 2x2 x3 + 2 = 0
2x1
+ x2
+ x4
= 02x1 + 2x2 x3 2 = 0x1 + x2 + x4 = 0
.
In acest caz sistemul este incompatibil si 1 2 = . Subspatiul afin1 + 2 trece prin punctul A si are subspatiul vectorial director generat
de vectorii {a1, a2, b1, b2, AB}. Cum sistemul {a1, a2, b1, AB} este liniarindependent, rezulta dim(1 + 2) = 4 si 1 + 2 = A4.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
32/110
4.1. EXERCITII REZOLVATE 31
b) Dreapta d are vectorul director v(2, 2, 1, 1). Se obtine
x1 1 0 2
x2 0 1 2
x3 2 1 2 1x4 2 1 1
= 0,
adica 3x1 9x2 + 7x3 + 5x4 14 = 0.c) Deoarece Q 1, orice plan care trece prin Q si are vectorii di-
rectori c1, c2 ndeplineste conditia ceruta daca vectorii a1, a2, c1, c2 sunt
liniar independenti. De exemplu putem alege c1 = e3, c2 = e4. si pentru
obtinem ecuatiile:x1 = 0
x2 + 1 = 0.
E 4.4 In spatiul afin punctualA4, ntr-un reper cartezian, se dau subspatiileafine
:
x1 = 1 + 2t
x2 = 2 + 3t
x
3
= 3 + 4tx4 = 4 + 5t
, : x1 x2 = 0
x
3
x4
1 = 0.
Sa se scrie ecuatiile hiperplanelor paralele care contin subspatiile si,
respectiv, .
Solutie. Subspatiul afin este dreapta care trece prin punctul A(1, 2, 3, 4)
si are vectorul director a(2, 3, 4, 5). Subspatiul afin este planul care trece
prin punctul B(0, 0, 1, 0) si are vectorii directori b1(1, 1, 0, 0), b2(0, 0, 1, 1).
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
33/110
32 SEMINARUL 4. SUBSPATII AFINE
Vectorii a, b1, b2 fiind liniar independenti
rang
2 3 4 5
1 1 0 0
0 0 1 1
= 3
,hiperplanele cerute 1, 2 vor avea acelasi subspatiu director L(a, b1, b2)
si vor trece, respectiv, rin unctele A si B. Obtinem:
1 :
x1 1 2 1 0x2 2 3 1 0x3 3 4 0 1x4 4 5 0 1
= 0, 2 :
x1 2 1 0
x2 3 1 0
x3 1 4 0 1x4 5 0 1
= 0,
deci 1 : x1
x2
x3 + x4 = 0, 2 : x
1
x2
x3 + x4 + 1.
E 4.5 In spatiul afin punctual A4, ntr-un reper cartezian, se considerasubspatiile afine
: x1 + x2 + x3 x4 2 = 0, :
x1 x2 x3 1 = 02x1 x2 2 = 0 ..
Sa se determine intersectia si suma geometrica a subspatiilor afine si
.
Solutie. Subspatiul afin trece prin punctul A(2, 0, 0, 0) si are vectoriidirectori a1(1, 1, 0, 0), a2(1, 0, 1, 0), a3(1, 0, 0, 1). Planul trece prinpunctul B(0, 0, 1, 2) si are vectorii directori b1(1, 0, 1, 2), b2(0, 1, 1, 0).Subspatiul afin este determinat de ecuatiile
x1 + x2 + x3 x4 2 = 0x1 x2 x3 1 = 02x1 x4 2 = 0
.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
34/110
4.1. EXERCITII REZOLVATE 33
Sistemul fiind incompatibil, deducem = .Sistemul de vectori a1, a2, a3, b1, b2, AB(2, 0, 1, 2) are rangul 4
(a1, a2, a3, AB sunt liniar independenti), deci suma geometrica + coincide cu spatiul afin A4.E 4.6 In spatiul afin punctualA3, ntr-un reper cartezian, se dau drepteled1, d2 prin ecuatiile lor. Sa se decida daca aceste drepte sunt sau nu
coplanare si, daca este cazul, sa se scrie ecuatia planului determinat de
ele.
a) d1 :
x1 + x3 1 = 03x1 + x2 x3 + 13 = 0 , d2 :
x1 2x2 + 3 = 0x2 + 2x3 8 = 0 ;
b) d1 :
2x1 + 3x2 = 0
x1 + x3 8 = 0 , d2 :
x3 4 = 02x1 + 3x3 7 = 0 ;
c) d1 :
x1 + x2 + x3 1 = 0x2 + 4x3 = 0
, d2 :
2x1 + 3x2 + 6x3 6 = 03x1 + 4x2 + 7x3 = 0
.
Solutie. a) A1(0, 12, 1) d1, A2(3, 0, 4) d2 si d1, d2 au vectoriidirectori, respectiv, a1(1, 4, 1), a2(4, 2, 1). Deoarece
1 4 3
4 2 12
1 1 3
= 0,d1 si d2 sunt coplanare. Planul determinat de ele are ecuatia
x1 + 3 1 4x2 4 2
x3 4 1 1
= 0,
adica 2x1 + 18 + x2 6x3 = 0.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
35/110
34 SEMINARUL 4. SUBSPATII AFINE
4.2 Exercitii propuse
E 4.7 In spatiul afin punctual
A5, ntr-un reper cartezian, se considera
subspatiile afine
:
x2 x4 2 = 0x5 x4 1 = 0x1 + x2 x3 + 3 = 0
, :
x1 x2 + 3 = 0x2 + x3 + x4 2x5 = 0 ..
Sa se determine intersectia si suma geometrica a subspatiilor afine
si .
E 4.8 In spatiul afin punctual
A4, ntr-un reper cartezian, se dau dreapta
d :
x1 = x2 = 3x3
x3 = x4, planul :
3x1 2x2 + x4 + 1 = 0x2 + x3 = 0
si punctul
P(1, 0, 1, 1).
a) Sa se scrie ecuatiile acoperii afine a multimii {P}.
b) Sa se scrie ecuatia hiperplanului care trece prin si este paralel cu
dreapta d.
c) Sa se scrie ecuatiile planului care trece prin punctul P si este paralel
cu .
d) Sa se scrie ecuatiile unui plan1 astfel ncat1 = {B(1, 1, 1, 2)}.
E 4.9 In spatiul afin punctualA3, ntr-un reper cartezian, se dau dreptele
d1 :
x1 + x2 = 0
x1 x2 + x3 + 4 = 0 , d2 :
x1 + 3x2 1 = 0x2 + x3 2 = 0 ,
punctul M(2, 3, 1) si vectorul v(1, 0, 2).
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
36/110
4.2. EXERCITII PROPUSE 35
a) Sa se scrie ecuatiile dreptei care intersecteaza dreptele d1, d2 si trece
prin punctul M.
b) Sa se scrie ecuatiile dreptei care intersecteaza dreptele d1, d2 si este
paralela cu vectorul v.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
37/110
36 SEMINARUL 4. SUBSPATII AFINE
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
38/110
Seminarul 5
Tranformari afine
5.1 Exercitii rezolvate
E 5.1 Fie V un spatiu vectorial real de dimensiune finita dotat cu struc-
tura afina : V V V, (x, y) = y x, () x,y V. Sa se arate cadaca : V V este o aplicatie liniara atunci este o aplicatie afina.
Solutie. Deoarece este aplicatie liniara rezulta ca
(x + y) = (x) + (y),
pentru orice x, y A, , R, n particular pentru , R, cu + = 1, deci este o aplicatie afina.
E 5.2 In spatiul afin real (A, V , ) de dimensiune n, se considera reperulcartezian R = (O, B = {e1,..., en}) , hiperplanul : a1x1 + .... + anxn +a0 = 0 si dreapta d astfel ncat d .
37
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
39/110
38 SEMINARUL 5. TRANFORM ARI AFINE
1. Sa se scrie ecuatiile proiectiei : A A a spatiului afin A pehiperplanul , n directia dreptei d.
2. Sa se scrie ecuatiile simetriei s : A A a spatiului afin A fat ade hiperplanul , n directia dreptei d.
Solutie. a) Fie v =n
i=1
viei, vectorul director al dreptei d. Conditia d
implican
i=1
viai = 0. Pentru M A, OM =n
i=1
xiei, notam M = (M),
OM =ni=1
yiei. Punctul M ete determinat de conditiile (i) M si (ii)
vectorii v, MM sunt liniar dependenti, adica exista t R, t = 0, astfel
nct MM = tv. Exprimand n ecuatii cele doua conditii rezulta
yj = xj + tvj, j = 1, n,ni=1
yiai + a0 = 0.(5.1)
Prin eliminarea parametrului real t din (5.8) se obtin ecuatiile proiectiei
n reperul R :y
j = xj
ni=1
xiai + a0
ni=1 v
i
ai
vj , j = 1, n. (5.2)
b) Simetria fata de hiperplanul n directia v este aplicatia s,
definita prin s(M) = 2(M) M, pentru orice M A. In consecinta,ecuatiile simetriei sunt
yj = xj 2
ni=1
xiai + a0
ni=1
viaivj , j = 1, n. (5.3)
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
40/110
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
41/110
40 SEMINARUL 5. TRANFORM ARI AFINE
a) Sa se scrie ecuatiile proiectiei : A A a spatiului afin A pedreapta d, paralela cu planul .
b) Sa se scrie ecuatiile simetriei s : A A a spatiului afin A fat ade dreapta d, paralela cu planul .
Solutie. a) Fie v = v1e1 + v2e2 + v
3e3, vectorul director al dreptei
d. Conditia d implica v1a1 + v2a2 + v3a3 = 0. Pentru M A,OM = x1e1 + x
2e2 + x3e3, notam M
= (M), OM = y1e1 + y2e2 + y3e3.
Punctul M este determinat de conditiile (i) M d si (ii) dreapta MMeste paralela cu planul . Exprimand n ecuatii cele doua conditii rezulta
yj = xj0 + tvj, j = 1, 3,
(y1 x1) a1 + (y2 x2) a2 + (y3 x3) a3 = 0. (5.8)
Prin eliminarea parametrului real t din (5.8) se obtin ecuatiile proiectiei
n reperul R :
yj = xj0 +
3i=1
(xi xi0) ai
v1a1 + v2a2 + v3a3vj , j = 1, 3. (5.9)
b) Conform E ??, simetria fata de dreapta d, paralela cu planul .
este aplicatia s, definita prin s(M) = 2(M)M, pentru orice M A.In consecinta, ecuatiile simetriei sunt
yj = 2xj0 xj + 2
3i=1
(xi xi0) ai
v1a1 + v2a2 + v3a3vj, j = 1, n. (5.10)
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
42/110
5.1. EXERCITII REZOLVATE 41
E 5.4 In spatiul afin real (A3, V3, ) se considera un reper cartezianR =(O; e1, e2, e3) si punctul O
(2, 1, 3).
a) Sa se scrie ecuatiile simetriei S spatiului afin A3 fat a de punctulO.
b) Sa se scrie ecuatiile omotetieiO,O de centruO si coeficient = 3
c) Sa se determine imaginea punctului P(1, 0, 3) prin transformarile
afine definite la a) si, respectiv, b).
d) Sa se determine imaginea dreptei d : x122
= x2
3= x
3+1
1 prin trans-
formarile afine definite la a) si, respectiv, b).
e) Sa se determine imaginea planului : x1 + 2x2 x3 1 = 0 printransformarile afine definite la a) si, respectiv, b).
Solutie. a) Ecuatiile simetriei S sunt
y1 2 = (x1 2)y2 + 1 = (x2 + 1)y3 3 = (x3 3)
.
a) Ecuatiile omotetiei O,O sunt
y1 2 = 3(x1 2)y2 + 1 = 3(x2 + 1)
y3 3 = 3(x3 3).
c) Dreapta S(d) are ecuatiile
d :2 (x1 2) 2
2=
1 (x2 + 1)3
=3 (x3 3) + 1
1 ,
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
43/110
42 SEMINARUL 5. TRANFORM ARI AFINE
iar ecuatiile dreaptei O,O(d) sunt
d :2 + 1
3(x1 2) 2
2=
1 + 13
(x2 + 1)
3=
3 + 13
(x3 3) + 11
.
d) Planul S() are ecuatia
2 (x1 2) + 2 1 (x2 + 1) 3 (x3 3) 1 = 0adica x1 + 2x2 x3 + 7 = 0, iar planul O,O () are ecuatia
2 +1
3(x1 2) + 2
1 + 1
3(x2 + 1)
3 +1
3(x3 3)
1 = 0,
adica x1 + 2x2
x3
9 = 0.
E 5.5 Sa se arate ca aplicatia : A3 A3, data ntr-un reper cartezianprin ecuatiile
y1 = x1 + x2 3x3 6y2 = x1 + 1
2x2 + 3
2x3 + 3
y3 = x1 12
x2 + 52
x3 + 3
este o proiectie a lui A3. Sa se determine subspatiul afin de proiectie sidirectia de proiectie.
Solutie. Prin calcul direct se arata ca = , deci este o proiectie.Conform E ??, subspatiul afin de proiectie este multimea punctelor fixe
ale lui . Rezolvand sistemul
x1 = x1 + x2 3x3 6x2 = x1 + 1
2x2 + 3
2x3 + 3
x3 = x1 12
x2 + 52
x3 + 3
,
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
44/110
5.1. EXERCITII REZOLVATE 43
se obtine ca subspatiul de proiectie este planul
:
2x1 + x2
3x3
6 = 0.
Directia de proiectie este ker T, unde T este operatorul liniar asociat lui
, operator definit de ecuatiile
y1 = x1 + x2 3x3y2 = x1 + 1
2x2 + 3
2x3
y3 = x1 12
x2 + 52
x3.
Rezolvand sistemul
0 = x1
+ x2
3x3
0 = x1 + 12
x2 + 32
x3
0 = x1 12
x2 + 52
x3
,
se obtine ca ker T = L ({v}) , unde v (2, 1, 1) .
E 5.6 Sa se arate ca daca o transformare afina a spatiului afin real Aare doua puncte fixe, distincte, atunci ea are o infinitate de puncte fixe.
Solutie. Fie A si B A
, A= B, doua puncte fixe pentru . Fie C
un punct arbitrar pe dreapta AB si fie (AB | C) = k, raportul simplu alpunctelor coliniare A, B, C. Deoarece raportul simplu este un invariant
afin, rezulta
((A)(B) | (C)) = (AB | (C)) = k.
Din unicitatea punctului care mparte un segment ntr-un raport dat
deducem (C) = C. In concluzie, 1(C) = 2(C), pentru orice C AB.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
45/110
44 SEMINARUL 5. TRANFORM ARI AFINE
E 5.7 Sa se arate ca, daca o transformare afina : E2 E2 are un unicpunct fix C, atunci orice dreapta invarianta n raport cu trece prin C.
Solutie. Preupunem prin absurd ca C / d. Atunci putem alege unreper cartezian cu originea C si axa Cx paralela cu dreapta d. Punctul
C(0, 0) fiind fix pentru transformarea , ecuatiile lui suntx = a11x + a12y
y = a21x + a22y.
In plus, punctul fix este unic. Atunci
a11 1 a12a21 a22 1 = 0. (5.11)
Fie y = a, a = 0, ecuatia dreptei d n reperul ales. Tinand seama cadreapta d este invarianta n raport cu avem (M) = M (x, a) d,oricare ar fi M(x, a) d. Deci
a = a21x + a22a,
oricare ar fi x
R. Obtinem a21 = 0, a22 = 1, ceea ce contrazice (??).
5.2 Exercitii propuse
E 5.8 In spatiul afin real (A3, V3, ) , n reperul cartezian
R = (O, B = {e1, e2, e3})
se considera vectorul v(2, 1, 1) si planul : 2x1 x2 + 3x3 + 6 = 0.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
46/110
5.2. EXERCITII PROPUSE 45
a) Sa se scrie ecuatiile proiectiei : A3 A3 a spatiului afin A3 peplanul , paralel cu v.
b) Sa se scrie ecuatiile simetriei s : A3 A3 a spatiului afinA3 fat ade planul paralel d.
E 5.9 Sa se arate ca aplicatia : A3 A3, data ntr-un reper cartezianprin ecuatiile
y1 = 1
3x1 2
3x2 + 2
3
y2 = 43
x1 13
x2 + 43
y3
= x3
este simetria lui A3 fat a de un subspatiu al sau. Sa se determine acestsubspatiu afin si directia de simetrie.
E 5.10 Sa se arate ca, daca o transformare afina : A3 A3 are ununic punct fix C, atunci orice dreapta invarianta n raport cu trece
prin C si orice plan invariant n raport cu trece prin punctul C.
E 5.11 Fie (A, V , ) un spatiu afin real, de dimensiune finita n, C A,v V si R, = 0. Se noteaza cu O,C omotetia de centru C sicoeficient , iar cu tv translatia de vector v. Sa se precizeze semnificatia
geometrica a aplicatiei O,C tv (O,C)1.
E 5.12 Fie (A, V , ) un spatiu afin real, de dimensiune finita n, C A,v V si R, = 1. Se noteaza cu O,C omotetia de centru C sicoeficient, iar cu tv translatia de vector v. Sa se arate ca O,C tv este
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
47/110
46 SEMINARUL 5. TRANFORM ARI AFINE
o omotetie de centru C1 si coeficient , unde punctul C1 este determinat
de relatia
CC1 = 1 v.
E 5.13 Fie (A, V , ) un spatiu afin real, de dimensiune finitan, si1, 2doua omotetii de centre C1, C2 respectiv. Daca 1 2 este o omotetiede centru C3 atunci punctele C1, C2, C3 sunt coliniare.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
48/110
Seminarul 6
Tranformari afine
6.1 Exercitii rezolvate
E 6.1 Sa se determine semnificatia geometrica a transformarii afine
a spatiului euclidian E3 care transforma varfurile tetraedrului ABCD ncentrele de greutate ale fetelor opuse, respectiv.
Solutie. Alegem reperul cartezian R = {A; AB,AC,AD}. Coordo-natele punctelor date n acest reper sunt A(0, 0, 0), B(1, 0, 0), C(0, 1, 0),
D(0, 0, 1). Notam cu A, B, C, D respectiv centrele de greutate ale tri-
unghiurilor [BC D], [CDA], [DAB], [ABC]. Coordonatele acestor puncte
n reperul R sunt A(13
, 13
, 13
), B(0, 13
, 13
), C(13
, 0, 13
), D(13
, 13
, 0). Tinand
seama de ipoteza (A) = A, (B) = B, (C) = C, (D) = D, obtinem
47
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
49/110
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
50/110
6.1. EXERCITII REZOLVATE 49
Valorile proprii ale matricei A sunt 1 = 2 = 3 = 2. Atunci are o
unica directie invarianta data de vectorul a = e1. Tranformarea are
unica dreapta invarianta d, care trece prin punctul fix C si are vectoruldirector a. Ecuatiile dreptei invariante sunt:
d :
y 1 = 0z + 3 = 0
.
Fie : a1x + a2y + a3z + a4 = 0 un plan invariant n raport cu .
Planul () are ecuatia
a1(2x + y + 1) + a2(2y + z + 2) + a3(2z + 3) + a4 = 0,
sau
() : 2a1x + (a1 + 2a2)y + (a2 + 2a3)z + a1 + 2a2 + 3a3 + a4 = 0.
Conditia () = implica
2a1a1
=a1 + 2a2
a2=
a2 + 2a3a3
=a1 + 2a2 + 3a3 + a4
a4,
de unde se obtine a1 = 0, a2 = 0, a3 = , = 0, a4 = 3, iar planulinvariant n raport cu are ecuatia
: z + 3 = 0.
E 6.3 In planul afin(A2, V2), se considera reperul cartezianR = {O, e1, e2}.Sa se determine ecuatiile transformarii afine : A2 A2, care ducepunctulA(1, 2) n punctulA (3, 5) , vectorulu(2, 1) nu (1, 2) siv (1, 1)n v (2, 5) .
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
51/110
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
52/110
6.1. EXERCITII REZOLVATE 51
Solutie. Alegem reperul cartezian R = {C; CA,CB}. In acest reper,coordonatele punctelor date sunt A(1, 0), B(0, 1), C(0, 0). Tinand seama
de ipoteza obtinem ecuatiile transformariiy1 = x2
y2 = x1.
Punctele fixe sunt P(, ), R, adica punctele dreptei CD, unde Deste mijlocul segmentului [AB].
Matricea transformarii este
M= 0 1
1 0 .
Atunci valorile proprii ale operatorului liniar asociat lui sunt 1 = 1,
2 = 1, iar vectorii proprii corespunzatori sunt a1(1, 1), a2(1, 1).Transformarea admite doua directii invariante: directia dreptei CD
si directia dreptei AB. Astfel, transformarea este simetria planului A2fata de dreapta x1 = x2, adica fata de dreapta CD, n directia dreptei
AB.
E 6.6 Se considera transformarea afina : A2 A2, care n raport cureperul cartezian R = (O, {e1, e2}) are ecuatiile
x = x + 2y
y = 4x + 3y.
Se cere:
a) sa se determine punctele fixe si dreptele invariante n raport cu ;
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
53/110
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
54/110
6.1. EXERCITII REZOLVATE 53
E 6.7 In planul planulA2, raportat la reperul cartezian R = {O, e1, e2},se considera dreptele d1 : x + y 1 = 0, d2 : x 3y + 1 = 0. Sa se
scrie ecuatiile transformarii afine : A2 A2, n raport cu R, stiindca dreptele d1, d2 sunt invariante n raport cu , iar (O) = O
(1, 1).
Solutia 1. Ecuatiile lui sunt de formax = a11x + a12y + a1
y = a21x + a22y + a2.
Deoarece (O) = O, obtinem a1 = 1, a2 = 1. Tinand seama ca drepteled1, d2 sunt invariante n raport cu , oricare ar fi M(, 1 ) d1 siN(3
1, )
d2 avem:
(M) = M(a11 + a12(1 ) + 1, a21 + a22(1 ) 1) d1si
(N) = N(a11(3 1) + a12+ 1, a21(3 1) + a22 1) d2.Rezulta
(a11 a12 + a21 a22) + a12 + a22 1 = 0,oricare ar fi
R si
(3a11 + a12 9a21 3a22) a11 + 3a21 + 5 = 0,oricare ar fi R. Deducem
a11 a12 + a21 a22 = 0a12 + a22 = 1
3a11 + a12 9a21 3a22 = 0a11 + 3a21 = 5
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
55/110
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
56/110
6.2. EXERCITII PROPUSE 55
b) sa se determine semnificatia geometrica a transformarii afine
care transforma varfurile triunghiului ABC n mijloacele laturilor
opuse, respectiv.
E 6.11 Se considera transformarea afina : A2 A2, care n raportcu reperul cartezian R = (O, {e1, e2})(= Oxy) are ecuatiile
x = 2x + 3y
y = x + 4y.
Se cere:
a) sa se determine punctele fixe si dreptele invariante n raport cu ;
b) sa se arate ca exista o dreapta d n plan astfel ncat oricare ar fi
M E2, MMd, unde M = (M).
E 6.12 Sa se determine punctele fixe si dreptele invariante ale trans-
formarii afine : A2 A2, data ntr-un reper cartezianR = (O, {e1, e2})prin ecuatiile
a) x = 7x y + 1y = 4x + 2y + 4 ; b)
x = 135
x + 45
y
8
5
y = 45
x + 75
y 45
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
57/110
56 SEMINARUL 6. TRANFORM ARI AFINE
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
58/110
Seminarul 7
Spatii euclidiene punctuale
7.1 Exercitii rezolvate
E 7.1 In spatiul punctual euclidian E3, n reperul cartezian ortonormatR = Ox1x2x3, se considera punctele A (1, 0, 1) , B (2, 1, 1) , C(1, , 3) .
a) Sa se determine astfel ncat punctele A,B,CsiO sa fie coplanare.
b) Pentru = 2, sa se calculeze aria triunghiului ABC si volumul
tetraedrului OABC.
Solutie. a) Conditia de coplanaritatea a punctelor A,B,C,O este ca
vectorii OA, OB, OC sa fie liniar dependenti, deci ca
1 2 1
0 1
1 1 3
= 0.
57
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
59/110
58 SEMINARUL 7. SPATII EUCLIDIENE PUNCTUALE
Rezulta ca = 23
.
b) Aria(ABC) = 12
AB AC
. Avem AB (1, 1, 2) , AC(0, 2, 2) si
AB AC =
e1 e2 e3
1 1 20 2 2
= 6e1 2e2 + 2e3,
de unde rezulta Aria(ABC) = 22. Volumul tetraedrului ABCD este
V ol (ABCD) =1
6
1 2 1
0 1 23
1 1 3
=2
3.
E 7.2 In spatiul punctual euclidian E3, n reperul cartezian ortonormatR = (O, e1, e2, e3), se considera dreapta
d :
2x1 + x2 x3 1 = 0x1 x2 + 1 = 0
si punctul A (2, 1, 1) . Se cere:
a) Sa se calculeze distanta de la punctul A la dreapta d.
b) Sa se determine coordonatele proiectiei ortogonale a punctuluiA pe
dreapta d.
c) Sa se scrie ecuatiile perpendicularei dusa din A pe dreapta d.
Solutie. Ecuatiile parametrice ale dreptei d se scriu
d :
x1 = t
x2 = t + 1
x3 = 3t
, t R.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
60/110
7.1. EXERCITII REZOLVATE 59
Dreapta d trece prin punctul P(0, 1, 0) si are vectorul director v (1, 1, 3) .
a) Avem
v AP =
e1 e2 e3
1 1 3
2 0 1
= e1 72e2 + 2e3,
deci
(A, d) =
v APv =
5411
.
b) Fie M proiectia ortogonala a punctului A pe dreapta d. Atunci
M(t, t + 1, 3t) si AMd, de unde rezulta ca < AM, v >= 0, adica t 2 + t + 3 (3t + 1) = 0. Se obtine t = 1
11si M
111
, 1011
, 311
.
c) Dreapta ceruta este
AM :x1 223 =
x2 11 =
x3 + 1
8.
E 7.3 In spatiul punctual euclidian E3, n reperul cartezian ortonormatR = (O, e1, e2, e3), se considera planul : 2x1+x2x31 = 0 si punctulA (2,
1, 1) .si punctul . Se cere:
a) Sa se scrie ecuatiile perpendicularei dusa din A pe planul .
b) Sa se determine coordonatele proiectiei ortogonale A a punctului
A pe planul si coordonatele punctului A, simetricul luiA fat a de
planul .
c) Sa se calculeze distanta de la punctul A la planul .
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
61/110
60 SEMINARUL 7. SPATII EUCLIDIENE PUNCTUALE
Solutie. a) Vectorul n(2, 1, 1) este un vector normal pentru planul. Dreapta ceruta d trece prin punctul A si are vectorul director n, deci
are ecuatiile
d :x1 2
2=
x2 + 1
1=
x3 11 .
b) Punctul A este intersectia dintre planul si dreapta d, deci coor-
donatele ale sunt solutiile sistemului2x1 + x2 x3 1 = 0x122
= x2+1
1= x
311
.
Se obtine A43 ,
4
3 ,4
3
. Deoarece A = 2A A, rezulta A 23 , 53 , 53 .c) Aplicand formula distantei de la un punct la un plan se obtine:
(A, ) =|2 2 1 1 1|
n =1
6.
E 7.4 In spatiul punctual euclidian E3, ntr-un reper cartezian ortonor-mat, se considera dreptele
d1 : x1 + 2x2 3x3 + 1 = 0
2x
1
3x2
+ x
3
4 = 0,
d2 :
x1 + x2 + x3 9 = 02x1 x2 x3 = 0
si planul : x1 x2 + 2x3 9 = 0.
a) Sa se scrie ecuatiile perpendicularei comune a dreptelor d1, d2.
b) Sa se calculeze distanta dintre dreptele d1 si d2.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
62/110
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
63/110
62 SEMINARUL 7. SPATII EUCLIDIENE PUNCTUALE
Rezulta ca
d : x2 + x3 6
7= 0
x1
+ x2
+ x3
9 = 0.
b) Aplicand formula distantei dintre doua drepte necoplanare, de-
ducem
(d1, d2) =
a, b,AB
a b
=
1 0 10
7
1 1 0
1 1 367
6=
16
7
6.
c) Dreapta prd1 este intersectia dintre planul si planul 3, care
trece prin dreapta d1 si este perpendicular pe planul . Rezulta ca 2
trece prin punctul A si are vectorii directori a si n(1, 1, 2), n fiind unvector normal pentru planul . Deducem
3 :
x1 11
71 1
x2 1 1x3 6
71 2
= 0,
deci 3 : 3x1 x2 2x3 3 = 0, iar dreapta prd1 are ecuatiile:
prd1 :
3x1 x2 2x3 3 = 0x1 x2 + 2x3 9 = 0 .
7.2 Exercitii propuse
E 7.5 Sa se determine planul care trece prin punctul A(1, 2, 3), este
perpendicular pe planul 1 : 5x 2y + 5z 10 = 0 si face cu planul2 : x 4y 8z + 12 = 0 un unghi de 45.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
64/110
7.2. EXERCITII PROPUSE 63
E 7.6 Se considera dreptele
d1 : x
z
1 = 0
3x + y z + 13 = 0 , d2 : x
2y + 3 = 0
y + 2z 8 = 0 .
1. Sa se arate ca d1, d2 sunt concurente si sa se determine ecuatia
planului determinat de ele.
2. sa se scrie ecuatiile bisectoarelor unghiurilor formate de d1 si d2.
E 7.7 In spatiul punctual euclidian E3, n reperul cartezian ortonormatOxyz, se considera planele 1 : 2x + y z + 2 = 0, 2 : x 3y 4z = 0,
3 : y + z 2 = 0.1. Sa se arate ca cele trei plane determina o prisma.
2. Sa se determine axa si raza cilindrului de rotatie circumscris acestei
prisme.
3. Sa se calculeze aria unei sectiuni ortogonale n prisma.
E 7.8 sa se gaseasca centrul si raza sferei nscri a n tetraedrul determi-
nat de alnele de coordonate si de planul : 11x 10y 2z 57 = 0. Sase determine proiectia axei Oz pe planul .
E 7.9 Fie x, y distantele de la punctul M la doua drete date si ,
, constante reale, strict pozitive. Sa se gaseasca locul geometric al
punctelor M pentru care x + y = .
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
65/110
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
66/110
Seminarul 8
Spatii euclidiene punctuale
8.1 Exercitii propuse
In spatiul euclidian E3 se considera reperul ortonormat R = (O; {e1, e2, e3}) .
E 8.1 Sa se scrie ecuatia sferei care are centrul n punctul A (1, 1, 2)si este tangenta la planul de ecuatie x + y + z = 0.
E 8.2 Sa se scrie ecuatiile sferelor ce contin cercul : z = 0, x2
+ y2
=11, si sunt tangente la planul de ecuatie x + y + z 5 = 0.
E 8.3 Sa se scrie ecuatia sferei S care trece prin punctul A (1, 1, 1) si
este tangenta la dreptele d1 : x = y = z, d2 :x11
= y+11 =z31
.
E 8.4 Se considera sferaSdefinita de ecuatiax2+y2+z22x+4y4 = 0.Se cere:
65
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
67/110
66 SEMINARUL 8. SPATII EUCLIDIENE PUNCTUALE
a) Sa se scrie ecuatiile planelor tangente la S, care sunt paralele cu
planul : x y + 2z 2 = 0.
b) Sa se determine centrul si raza cercului S .
E 8.5 Se considera cercul :
x2 + y2 + z2 + 2x 4y + 4z 40 = 0
2x + 2y z + 4 = 0 .Se cere:
a) Sa se determine centrul si raza cercului .
b) Sa se scrie ecuatia sferei care contine cercul si trece prin originea
reperului.
E 8.6 Sa se scrie ecuatia sferei tangenta dreptei d1 : x 1 = y+12 = zn punctul A (1, 1, 0) si dreptei d2 : x+12 = y1 = z 2 n punctulB (1, 0, 2) .
E 8.7 Sa se scrie ecuatia planului care trece prin punctul A (5, 2, 0) si
este tangent la sferele S1 : x2 + y2 + z2 12x 2y + 2z + 37 = 0 si
S2 : x2 + y2 + z2 10x + 8z + 32 = 0.
E 8.8 Sa se determine locul geometric al centrelor sferelor care trec
prin punctul A (2, 3, 1) si sunt tangente la axa Oz. Sa se recunoascasuprafata.
E 8.9 Sa se determine locul geometric al centrelor sferelor are trec printr-
un punct fix si sunt tangente la un plan fix. Sa se recunoasca locul geo-
metric.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
68/110
Seminarul 9
Izometrii
9.1 Exercitii rezolvate
E 9.1 In planul euclidian E2, ntr-un reper ortonormat, se cere:
a) sa se scrie ecuatiile rotatiei planului n jurul punctului C(2, 5),de unghi = 5
6;
b) sa se scrie ecuatiile simetriei ortogonale a planului fat a de dreapta
x + y 2 = 0.
Solutie. a) Ecutiile rotatiei sunt:x 2 = (x 2)cos 5
6 (y + 5) sin 5
6
y + 5 = (x 2) sin 56
+ (y + 5) cos 56
.
b) Directia de proiectie este data vectorul normal v (1, 1) al dreptei
d. Aplicand formulele deduse la E 5.2 rezulta ca ecuatiile simetriei cerute
67
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
69/110
68 SEMINARUL 9. IZOMETRII
sunt
x = y + 2
y = x + 2.
E 9.2 In planul euclidian E2, n reperul ortonormat R = (O; e1, e2) , seconsidera punctele A(1, 0), B(0, 1). Sa se determine izometriile : E2 E2 ale planului care duc punctele A, O n punctele O, B respectiv. Sa sedetermine elementele geometrice asociate acestor izometrii.
Solutie. Daca este o izometrie de tipul I, ecuatiile sale sunt de forma
x = x cos y sin + a1
y = x sin + y cos + a2.
Din conditia (A) = O rezulta a1 = 0, a2 = 1, iar din conditia (O) = B
se obtine sin = 1, cos = 0. Ecuatiile izometriei se scriux = y
y = x + 1 .
Izometria este rotatia planului de unghi = 32
, n jurul punctului fix
C
1
2, 12
.
Daca este o izometrie de tipul II, ecuatiile sale sunt de formax = x cos + y sin + a1
y = x sin y cos + a2.
Din conditiile (A) = O, (O) = B rezulta a1 = 0, a2 = 1, sin = 1,cos = 0, deci ecuatiile izometriei se scriu
x = yy = x + 1 .
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
70/110
9.1. EXERCITII REZOLVATE 69
Izometria este produsul dintre simetria planului fata de dreapta d si
translatia de vector v. Vectorul propriu al operatorului liniar asociat lui ,
corespunzator valorii proprii = 1, este a (1, 1) . Rezulta ca vectorulde translatie este
v =< a,O(O) >
a2 a = 1
2e1 +
1
2e2.
Dreapta de simetrie este definita de ecuatia
x
1=
y 12
1.
E 9.3 In spatiul euclidianE3, ntr-un reper ortonormat, se cere:
a) sa se scrie ecuatiile translatiei de vector v(1, 2, 4);
b) sa se scrie ecuatiile omotetiei de centru C(2, 0, 1) si coeficientk = 3.
Solutie. a)
x = x + 1
y = y 2z = z + 4
.
b)
x 2 = 3 (x 2)y = 3yz + 1 = 3 (z + 1)
E 9.4 In spatiul euclidian E3, ntr-un reper ortonormat, se cere:
a) sa se scrie ecuatiile rotatiei spatiului n jurul axelor de coordonate,
respectiv, de unghi ;
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
71/110
70 SEMINARUL 9. IZOMETRII
b) sa se scrie ecuatiile rotatiei spatiului n jurul dreptei de ecuatii
x 1 =y
2 =
z
2
1
de unghi = 3
.
Solutie.
E 9.5 In spatiul euclidian E3, ntr-un reper ortonormat, se dau planele1 : 2x + 2y z + 1 = 0, 2 : z = 0, si dreapta
d :
x z + 1 = 0y + z 1 = 0 .
Se cere:
a) sa se scrie ecuatiile simetriei s a spatiului fat a de planul 1;
b) sa se scrie ecuatiile subspatiilor sim12, sim1d;
c) sa se scrie ecuatiile simetriei spatiului fat a de dreptad si s a se scrie
ecuatiile simd1.
Solutie. a) Ecuatiile simetriei spatiului fata de planul 1 sunt:
x =x 8y + 4z 4
9
y =8x + y + 4z 4
9
z =4x + 4y + 7z + 2
9
.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
72/110
9.2. EXERCITII PROPUSE 71
b) Intrucat s s = 1E3, deducem
sim12 :4x + 4y + 7z + 2
9
= 0
si
sim1d :
x 8y + 4z 49
4x + 4y + 7z + 29
+ 1 = 0
8x + y + 4z 49
+4x + 4y + 7z + 2
9 1 = 0
c) Ecuatiile simetriei spatiului fata de dreapta d sunt:
x =x 2y + 2z 2
3
y = 2x
y
2z + 2
3
z =2x 2y z + 4
3
,
iar ecuatia planului simd1 este
simd1 : 2x2y+2z2
3+ 22xy2z+2
3 2x2yz+4
3+ 1 = 0
9.2 Exercitii propuse
E 9.6 In planul euclidian E2, ntr-un reper ortonormat cu originea npunctul O, se considera punctele A(1, 0), B(1, 1), C(0, 1). Sa se deter-
mine izometriile planului care duc dreptele OA si OC n dreptele OB si
AC, respectiv. Interpretare geometrica.
E 9.7 Sa se determine izometriile planului pentru care dreptele x y +1 = 0 six + y 1 = 0 sunt drepte invariante. Sa se determine elementelegeometrice asociate acestor izometrii.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
73/110
72 SEMINARUL 9. IZOMETRII
E 9.8 Sa se studieze tranformarile afine ale planului euclidianE2 definitentr-un reper ortonormat prin ecuatiile
a)
x = x + 2
y = y 4 ;b)
x = 35
x 45
y 85
y = 45
x + 35
y 45
;
c)
x = 4
5x 3
5y + 10
y = 35
x + 45
y 20 .
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
74/110
Seminarul 10
Izometrii
10.1 Exercitii rezolvate
E 10.1 Sa se studieze transformarea afina : E3 E3 a spatiului euclid-ian E3 definita, ntr-un reper cartezian ortonormat, prin ecuatiile:
a)
x = z + 4
y = x 2z = y + 6
; b)
x =6x + 2y + 3z
7 7
y =2x 3y + 6z
7 14
z =
3x + 6y + 2z
7 + 7
.
Solutie. a) Matricea asociata transformarii afine
A =
0 0 1
1 0 0
0 1 0
este ortogonala si det A = 1, prin urmare este o izometrie de tipul I a
spatiului euclidian E3, si anume produsul dintre o translatie de vector v
73
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
75/110
74 SEMINARUL 10. IZOMETRII
si o rotat ie de unghi n jurul dreptei d. Unghiul de rotatie este solutia
ecuatiei
2cos + 1 = tr A,
deci cos = 12
. Vectorul director a al dreptei d este vector propriu
pentru matricea A, coreunzator valorii proprii = 1. Rezulta ca a(1, 1, 1).
Vectorul de translatie este
v =< a,O(O) >
a2 a =8
3a.
Dreapta de rotatie d este multimea punctelor fixe ale transformarii tv,definita de ecuatiile
x = z + 4 8
3
y = x 2 83
z = y + 6 83
.
Se obtine
d :
x + z + 4
3= 0
x y 143
= 0.
E 10.2 Sa se studieze transformarea afina : E3 E3 a spatiului euclid-ian E3 definita, n reperul cartezian ortonormat R = (O; e1, e2, e3), prinecuatiile:
a)
x = y + 6y = z 8
z = x + 2
; b)
x =2x + 2y + z
3+ 1
y =11x + 10y + 2z
15+ 2
z =2x + 5y 14z
15+ 3
.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
76/110
10.1. EXERCITII REZOLVATE 75
Solutie. a) Matricea asociata transformarii afine
A =
0 1 00 0 1
1 0 0
este ortogonala si det A = 1, prin urmare este o izometrie de tipulII a spatiului euclidian E3. Deoarece urma matricei A este diferita de 1,izometria este produsul dintre o simetrie fata de un plan si o rotatie
de unghi n jurul dreptei d. Unghiul de rotatie este solutia ecuatiei
2cos 1 = tr A,
deci cos = 12 .
Planul si dreapta d trec prin punctul fix C(6, 0, 8) al izometriei .
Vectorul director a al dreptei d este vector propriu pentru matricea A,
corespunzator valorii proprii = 1. Rezulta ca a(1, 1, 1) si avem
d :x 6
1=
y
1=
z 81 ,
: x 6 + y (z 8) = 0.
Vectorul de translatie este
v = < a,O(O) >a2 a =83
a.
Dreapta de rotatie d este multimea punctelor fixe ale transformarii tv,definita de ecuatiile
x = z + 4 83
y = x 2 83
z = y + 6 83
.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
77/110
76 SEMINARUL 10. IZOMETRII
Se obtine
d : x + z +4
3= 0
x y 14
3 = 0
.
E 10.3 Sa se studieze transformarea afina : E3 E3 a spatiului euclid-ian E3 definita, n reperul cartezian ortonormat R = (O; e1, e2, e3), prinecuatiile:
x = 3
5x + 4
5y + 1
y = 45
x 35
y 2z = z + 3
.
.
Solutie. a) Matricea asociata transformarii afine
A =
3
5
4
50
4
5 3
50
0 0 1
este ortogonala si det A = 1, prin urmare este o izometrie de tipulII a spatiului euclidian E3. Deoarece urma matricei A este egala cu 1,izometria este produsul dintre o simetrie fata de un plan si o translatie
de vector v.
Planul trece prin mijlocul P al segmentului [O (O)], iar vectorulnormal a al planului este vector propriu pentru matricea A, core-
spunzator valorii proprii = 1. Rezulta ca a(1, 2, 0) si avem : x 1
2 2 (y + 1) = 0.
Vectorul de translatie este
v = O(O) < a,O(O) >a2 a = 3e3.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
78/110
10.2. EXERCITII PROPUSE 77
10.2 Exercitii propuse
E 10.4 Sa se studieze transformarea afina :E3
E3 a spatiului euclid-
ian E3 definita, ntr-un reper cartezian ortonormat, prin ecuatiile:
x =6x + 2y + 3z
7 7
y =2x 3y + 6z
7 14
z =3x + 6y + 2z
7+ 7
.
E 10.5 Sa se studieze transformarea afina : E3 E3 a spatiului euclid-ian
E3 definita, n reperul cartezian ortonormat
R= (O; e1, e2, e3), prin
ecuatiile:
x =2x + 2y + z
3+ 1
y =11x + 10y + 2z
15+ 2
z =2x + 5y 14z
15+ 3
.
E 10.6 Sa se studieze transformarea afina : E3 E3 a spatiului euclid-ian E3 definita, n reperul cartezian ortonormat R = (O; e1, e2, e3), prinecuatiile:
x =
11x + 2y + 10z
15+ 7
y =2x + 14y 5z
15+ 4
z =2x + y + 2z
3+ 6
.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
79/110
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
80/110
Seminarul 11
Asemanari
11.1 Exercitii rezolvate
E 11.1 Se considera transformarea afina : E2 E2, care n raport cureperul cartezian ortonormat R = {O; e1, e2} are ecuatiile
x = 8x y + 1y = x + 8y.
Se cere:
a) Sa se arate ca este o asemanare.
b) Sa se studieze asemanarea .
Solutie. a) Se observa ca8 11 8
=
65
865
165
165
865
=
65A.
79
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
81/110
80 SEMINARUL 11. ASEM ANARI
Matricea A este ortogonala si det A = 1. Rezulta ca este o asemanare
care se descompune n rotatia planului n jurul unui punct si o omotetie
de coeficient 65. Punctul fix unic al lui este C 750 , 150 .Rotatia are ecuatiile
x + 750
= 865
x + 7
50
165
y 1
50
y 1
50= 1
65
x + 7
50
+ 8
65
y 1
50
.Omotetia are ecuatiile
x + 750
=
65
x + 750
y 1
50=
65 y
150
.
E 11.2 Se considera transformarea afina : E2 E2, care n raport cureperul cartezian ortonormat R = {O, e1, e2} are ecuatiile
x = x + y 1y = x y + 2 .
Se cere:
a) Folosind definitia, sa se arate ca este o asemanare.
b) Sa se studieze asemanarea .
Solutie. a) Daca P(x1, y1) , Q (x2, y2) avem
(P) = P
x1 + y1 1, x1 y1 + 2 ,si
(Q) = Q
x2 + y2 1, x2 y2 + 2 .
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
82/110
11.1. EXERCITII REZOLVATE 81
Rezulta
(P, Q) = [(x1 x2) + (y1
y2)]2 + [(x1
x2)
(y1
y2)]2
=
2[(x1 x2) + (y1 y2)]2=
2 (P, Q).
Deci este o asemanare de coeficient k =
2 a planului E2. Punctul fixunic al lui este C(0, 1) .
Matricea operatorului liniar asociat lui este1 1
1
1
=
2
12
12
12
12
=
2A.
Deoarece det A = 1, transformarea este o asemanare care se poateproduul dintre o omotetie de coeficient
2 si simetria n raport cu o
dreapta d care trece prin C si are directia data de un vector propriu a,
coresunzator valorii prorii = 1. Obtinem a = e1 +
2 1 e2. Astfel,ecuatia axei de simetrie este
x
1=
y 12 1 ,
iar ecuatiile omotetiei de centru C si coeficient 2 sunt scrie ca n rotatiaplanului n jurul unui punct si. .
Omotetia are ecuatiilex =
2x
y 1 = 2 (y 1) .
E 11.3 Sa se arate ca daca o transformare bijectiva a planului euclidian
E2 duce cercuri n cercuri atunci ea este o transformare afina.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
83/110
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
84/110
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
85/110
84 SEMINARUL 11. ASEM ANARI
Imaginea hiperbolei H prin transformarea afina este curba
(H) :(a11x + a12y + a1)
2
a2
(a21x + a22y + a2)
2
b2
1 = 0.
Conditia (H) = H implica:
a11a12a2
a21a22b2
= 0,a11a1
a2 a21a2
b2= 0,
a12a1a2
a22a2b2
= 0, (11.2)
si
a211 a2
b2a221 =
b2
a2a212 a222 = 1
a21a2
+a22b2
. (11.3)
Fie a11 = r ch t, a21 = rba
sh t, a22 = r ch s, a12 = rab
sh s, cu t, s R. Din(11.2) deducem t
s = 0, a1 = a2 = 0, ceea ce implica r = 1.
Transformarea are ecuatiile
(t) :
x = x ch t + a
by sh t
y = ba
x sh t + y ch t, t R.
Observatie. Multimea { (t) , t R} a tranformarilor afine aleplanului care invariaza hiperbola H formeaza un subgrup al grupului
Af f(E2).
11.2 Exercitii propuse
E 11.6 Se considera transformarea afina : E2 E2, care n raport cureperul cartezian ortonormat R = {O, e1, e2} are ecuatiile
x = 2x + 3y + 1
y = 3x 2y + 2 .
Se cere:
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
86/110
11.2. EXERCITII PROPUSE 85
a) Folosind definitia, sa se arate ca este o asemanare.
b) Sa se studieze asemanarea .
E 11.7 Sa se determine transformarile afine : E2 E2 ale planuluieuclidianE2 care invariaza conica definita prin ecuatia:
a) E : x2
a2+ y
2
b2 1 = 0;
b) P : y2 = 2px.
E 11.8 Sa se determine ecuatiile transformarii afine : E2 E2 care in-
variaza parabola y2
= 2x si duce punctele A(2, 2) n A(8, 4), siB(1/2, 1)n B(9/2, 3).
E 11.9 Sa se arate ca transformarea afina a planului euclidianE2 esteo asemanare daca si numai daca duce cercuri n cercuri.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
87/110
86 SEMINARUL 11. ASEM ANARI
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
88/110
Seminarul 12
Conice
12.1 Exercitii rezolvate
E 12.1 In plan, ntr-un reper ortonormat, se dau punctulA(2, 4), dreaptad : 3x + 4y + 10 = 0, cercul : x2 + y2 4x 2y 4 = 0. Se cere:
a) sa se scrie ecuatia cercului cu centrul n punctul A, de raza egala
cu 5;
b) sa se determine centrul si raza cercului ;
c) sa se scrie ecuatia cercului cu centrul n punctul A, tangent dreptei
d;
d) sa se scrie ecuatiile cercurilor cu centrul n punctul A si tangente
cercului .
Solutie. a) (x + 2)2 + (y 4)2 = 52.
87
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
89/110
88 SEMINARUL 12. CONICE
b) Ecuatia cercului se scrie (x2)2+(y1)2 = 9, deci centrul cercului este punctul C(2, 1), iar raza sa este r = 3.
c) Raza cercului este egala cu distanta de la punctul A la dreapta d,(A, d) = |3(2) + 4 4 + 10| /9 + 16 = 4. Ecuatia cercului este (x +2)2 + (y 4)2 = 16.
d) Razele celor doua cercuri sunt egale cu (A, C) + r si, respectiv,
(A, C) r.
E 12.2 Sa se determine puterea punctului A(x0, y0) fat a de cercul :
x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0. Sa se scrie ecuatia axei radicale a cercurilor
i : x2 + y2 + 2aix + 2biy + ci = 0, i = 1, 2.
Solutie. Fie C(a, b) si r = a2 + b2 c centrul si respectiv razacercului . Puterea punctului M fata de cercul este p(A, ) = |AC|2 r2 = (x0+a)
2+(y0+b)2a2b2+c. Deci p(A, ) = x20+y20+2ax0+2by0+c.
Fie M(x, y) un punct al axei radicale. Atunci p(M, 1) = p(M, 2).
Deducem ca ecuatia axei radicale este 2(a1a2)x+2(b1b2)y+(c1c2) =0.
E 12.3 Sa se scrie ecuatiile cercurilor 1 si 2 ntr-un reper ortonomat
n care axa Ox coincide cu linia centrelor cercurilor, iar axa Oy coincidecu axa radicala a cercurilor 1 si 2.
Solutie. Fie i : x2 + y2 + 2aix + 2biy + ci = 0, i = 1, 2, ecuatiile
celor doua cercuri n reperul considerat. Cum centrele celcurilor 1 si 2
sunt situate pe axa Ox deducem ca b1 = b2 = 0. Din ipoteza ca axa Oy
coincide cu axa radicala a cercurilor 1 si 2 rezulta ca c1 = c2 = c, iar
a1 = a2. Deci i : x2 + y2 + 2aix + c = 0, i = 1, 2, cu a1 = a2.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
90/110
12.1. EXERCITII REZOLVATE 89
E 12.4 Sa se scrie conditia de ortogonalitate a cercurilor i : x2 + y2 +
2aix + 2biy + ci = 0, i = 1, 2. Sa se gaseasca ecuatia locului geometric a
cercurilor ortogonale cercurilor 1 si 2.
Solutie. Sa notam cu Oi(ai, bi) centrul si cu ri raza cercului i,i = 1, 2, iar cu P unul dintre punctele de intersectie ale celor doua cercuri.
Daca cercurile 1 si 2 sunt ortogonale atunci triunghiul P O1O2 este
dreptunghic, cu O1P O2 = /2. Deducem ca r21 + r
22 = |O1O2|2 , de
unde se obtine conditia de ortogonalitate 2(a1a2 + b1b2) + (c1 + c2) = 0.
Fie M(x0, y0) un punct al locului geometric si fie : (x x0)2 +(y
y0)
2 = r2, un cerc cu centrul n punctul M care este ortogonal
ccercurilor date. Eliminand pe r din cele doua conditii de ortogonalitate
2(aix0 biy0) + (ci + x20 + y20 r2) = 0, i = 1, 2, si renotand cu (x, y)coordonatele punctului M se obtine 2(a1 a2)x + 2(b1 b2)y = c1 c2.Relatia obtinuta reprezinta ecuatia unei drepte d n care este inclus locul
geometric. Fie acum M(x0, y0) d. Atunci cercul cu centrul n punctulM si avand raza r, cu r2 = 2(aix0 biy0) + (ci + x20 + y20), unde i = 1sau i = 2, este ortogonal cercurilor 1 si 2. Locul geometric este deci
dreapta d.
E 12.5 In plan, n reper ortonormat, se considera elipsaE: x2a2
+ y2
b2= 1.
Se cere:
a) Sa se scrie ecuatia tangentei la elipsa n punctul A(x0, y0) E.
b) Sa se scrie ecuatile tangentelor la elipsaE, avand coeficientul unghi-ular m.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
91/110
90 SEMINARUL 12. CONICE
Solutie. a) xx0a2
+ yy0b2
= 1. b) Fie d : y = mx + n. Dreapta d este
tangenta la elipsa Edaca si numai daca discriminantul ecuatiei
(m2a2 + b2)x2 + 2a2mnx + a2(n2 b2) = 0 (12.1)
este nul. Se obtine n = m2a2 + b2.
E 12.6 Sa se gaseasc a locul geometric al punctelor din care se pot duce
tangente perpendiculare la elipsa E: x2a2
+ y2
b2= 1.
Solutie. Punctele (a, b), (a, b), (a, b), (a, b) apartin locului geo-metric. Fie M(x0, y0) un punct apartinand locului geometric, diferit de
cele patru puncte mentionate si fie d : y y0 = m(x x0), m = 0, odreapta care trece prin punctul M. Dreapta d este tangenta la elipsa Edaca si numai daca discriminantul ecuatiei 12.1, unde n = y0 mx0, estenul. Se obtine conditia (y0 mx0)2 = m2a2 + b2, sau, echivalent,
(a2 x20)m2 + 2mx0y0 + (b2 y20) = 0. (12.2)
Daca discriminantul ecuatiei (12.2) este pozitiv, i.e. 4a2b2x20
a2+
y20
b2 1
>
0, atunci exista doua tangente distincte la elipsa, corespunzatoare solutiilor
reale distincte m1, m2 ale ecuatiei (12.2). Cele doua tangente sunt per-pendiculare daca m1m2 = 1, deci (b2 y20) = (a2 x20). Se obtineastfel ecuatia locului geometric x2 + y2 = a2 + b2. Locul geometric este
un cerc,cu centrul n origine. Acest cerc este circumscris dreptunghiului
are ncadreaza elipsa si se numeste cercul lui Monge.
E 12.7 In plan, n reper ortonormat, se considera hiperbolaH : x2a2
y2b2
=
1. Se cere:
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
92/110
12.2. EXERCITII PROPUSE 91
a) Sa se scrie ecuatia tangentei la hiperbola n punctul A(x0, y0) H.
b) Sa se scrie ecuatile tangentelor la hiperbola
H, avand coeficientul
unghiular m.
Solutie. a) xx0a2
yy0b2
= 1. b) Fie d : y = mx + n. Dreapta d este
tangenta la hiperbola H daca si numai daca discriminantul ecuatiei
(m2a2 b2)x2 + 2a2mnx + a2(n2 + b2) = 0 (12.3)
este nul. Se obtine n = m2a2 b2, n ipoteza m2a2 b2 > 0.
E 12.8 Sa se gaseasc a locul geometric al punctelor din care se pot duce
tangente perpendiculare la hiperbola H : x2a2
y2b2
= 1.
Solutie. Procedand ca n exercit iul 12.6, se obtine ecuatia locului
geometric x2 + y2 = a2 b2. Locul geometric este multimea vida (uncerc imaginar) daca a < b, un punct daca a = b, si un cerc cu centrul
n origine daca a > b. Acest cerc se numeste, ca si la elipsa, cercul lui
Monge.
12.2 Exercitii propuse
E 12.9 Sa se gaseasc a locul geometric al punctelor din care se pot duce
tangente perpendiculare la parabola P: y2 = 2px.
E 12.10 Sa se gaseasca locul geometric al mijloacelor coardelor paralele
cu o directie data duse la elipsaE: x2a2
+ y2
b2= 1. (HiperbolaH : x2
a2 y2
b2= 1
sau parabola P: y2 = 2px).
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
93/110
92 SEMINARUL 12. CONICE
E 12.11 Sa se determine locul geometric al punctelor din planul euclid-
ian E2 pentru care raportul distantelor la un punct fix F si la o dreapta
fixa h, F / h, este constant.E 12.12 Sa se gaseasca locul geometric al mijloacelor segmentelor care
unesc un punct fix A cu un punct variabilM situat pe cercul datC(O, r).
E 12.13 In plan, n reper ortonormat, se considera parabola P : y2 =2px. Se cere:
a) Sa se scrie ecuatia tangentei la parabola n punctul A(x0, y0) P.
b) Sa se scrie ecuatile tangentelor la parabola P, avand coeficientulunghiular m.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
94/110
Seminarul 13
Conice
13.1 Exercitii rezolvate
In planul euclidian E2 se considera reperul ortonormat R = (O; {e1, e2}) .
E 13.1 Se considera conica
x2 12xy 4y2 + 12x + 8y + 5 = 0.
Se cere:
a) sa se scrie ecuatiile axelor de simetrie;
b) sa se ecuatiile asimptotelor conicei;
c) sa se aduca ecuatia la forma canonica, precizand schimarile de
repere necesare.
93
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
95/110
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
96/110
13.1. EXERCITII REZOLVATE 95
Deducem u1
6 + 2
10, 1
, u2
6 210, 1 , iar ecuatiile asimptotelorsunt:
x6 + 2
10
= y 11
,
x
6 210 =y 1
1.
c) In urma schimbarii de coordonatex = x
y = y 1 ,
se obtine ecuatia:
(x)2 12xy 4 (y)2 + 12x + 8y + 9 = 0.
Vectorii f1
213
, 313
, f2
313
, 213
constituie o baza ortonormata for-
mata din vectori proprii. Considerand schimbarea de coordonatex
y
=
213
313
313
213
x
y
,
se obtine
8 (x)2 + 5 (y)2 + 9 = 0.
Ecuatia are forma canonica:
(x)2
9
8
(y)2
9
5
1 = 0
si reprezinta o hiperbola.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
97/110
96 SEMINARUL 13. CONICE
E 13.2 Se considera conica
9x2
4xy + 6y2 + 16x
8y
2 = 0.
Se cere:
a) sa se scrie ecuatiile axelor de simetrie;
b) sa se ecuatiile tangentelor paralele cu dreapta d : x + y = 0;
c) sa se determine locul geometric al mijloacelor coardelor paralele cu
dreapta d;
d) sa se aduca ecuatia la forma canonica, precizand schimarile de
repere necesare.
Solutie. Fie
A =
9 2
2 6
matricea asociata ecuatiei. Polinomul caracteristic asociat matricei A
este
P() = 2
15 + 50,
cu valorile proprii 1 = 10, 2 = 5 si v1 (2, 1) , v2 (1, 2) vectorii propriicorespunzatori.
a) Axele de simetrie sunt diametri conjugati cu directiile v1, v2. Ecuatiile
lor sunt:
2(18x 4y + 16) + (4x + 12y 8) = 0,(18x 4y + 16) + 2 (4x + 12y 8) = 0
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
98/110
13.1. EXERCITII REZOLVATE 97
deci 2x y + 2 = 0 si x + 2y = 0.b) Fie
d : x + y + = 0
o dreapta paralela cu dreapta d. Dreapta d este tangenta conicei daca
si numai daca sistemul de ecuatiix + y + = 0
9x2 4xy + 6y2 + 16x 8y 2 = 0 .
Se obtine 1 =2
5
1
5
95, 2 =
2
5+ 1
5
95.
c) Locul geometric cautat este diametrul conjugat directiei u (1, 1)a dreptei d. Se obtine dreapta
(18x 4y + 16) (4x + 12y 8) = 0.
d) Centrul de simetrie C al conicei se obtine rezolvand sistemul
18x 4y + 16 = 04x + 12y 8 = 0
Rezulta C4
5, 25
. In urma schimbarii de coordonate
x = x + 4
5
y = y 25
,
se obtine ecuatia:
9 (x)2 4xy + 6 (y)2 + 16x 8y 10 = 0.
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
99/110
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
100/110
13.2. EXERCITII PROPUSE 99
E 13.4 Sa se determine asimptotele si axele de simetrie ale conicei
: x2
4xy + y2 + 3x
3y + 2 = 0.
E 13.5 Se considera conica x2 4xy + 4y2 2x + 2y 1 = 0. Se cere:
a) sa se scrie ecuatia tangentei n punctul M(1, 0);
b) sa se ecuatia tangentei n varful conicei;
c) sa se scrie ecuatiile tangentelor paralele cu dreapta d : x + y = 0;
d) sa se aduca ecuatia la forma canonica, precizand schimarile de
repere necesare.
E 13.6 Se considera conica
2xy 4x + 2y + 1 = 0.
Se cere:
a) sa se scrie ecuatiile axelor de simetrie;
b) sa se ecuatiile asimptotelor;
c) sa se aduca ecuatia la forma canonica, precizand schimarile de
repere necesare.
E 13.7 Se considera familia de conice
: x2 2y + (y2 2x) = 0, R.
Sa se discute tipul si genul conicelor dupa .
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
101/110
100 SEMINARUL 13. CONICE
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
102/110
Seminarul 14
Cuadrice
14.1 Exercitii propuse
In spatiul euclidian E3 se considera reperul ortonormat R = (O; {e1, e2, e3}) .
E 14.1 Sa se calculeze distantele de la elipsoidul x2
4+ y
2
9+ z
2
16 1 = 0 la
planele
a) 2x
y + z
4 = 0;
b) x y + z 5 = 0.
E 14.2 Se considera hiperboloidul cu o panza H : x2
25+ y
2
16 z2
4 1 = 0
si planul : 4x 5y 10z 20 = 0.
a) Sa se scrie ecuatiile generatoarelor rectilinii care trec prin punctul
M(5, 4, 2) .
101
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
103/110
102 SEMINARUL 14. CUADRICE
b) Sa se arate ca planul intersecteaza H dupa doua generatoare rec-
tilinii.
E 14.3 Se considera paraboloidul hiperolic : x2
9 y2
4= z.
a) Sa se determine unghiul format de generatoarele rectilinii care trec
prin punctul M(0, 2, 1) .
b) Sa se scrie ecuatiile generatoarelor rectilinii paralele cu planul 2xy + z = 0.
E 14.4 Se considera cuadrica definita de ecuatia
2x2 + y2 + 2z2 2xy 2yz + 4x 2y = 0.
Se cere:
a) Sa se scrie ecuatia planului tangent la n punctul M(2, 0, 0) .
b) Sa se scrie ecuatiile generatoarelor rectilinii care trec prin M.
c) Sa se scrie ecuatiile planelor de simetrie.
d) Sa se aduca ecuatia la forma cononica, precizand shimbarile de
repere necesare.
E 14.5 Se considera cuadrica definita de ecuatia
x2 + y2 + 4z2 + 2xy + 4xz + 4yz 6z + 1 = 0.
Se cere:
8/14/2019 Geometrie Analitica - Probleme
104/110
14.1. EXERCITII PROPUSE 103
a) Sa se arate ca admite generatoare rectilinii si sa se deter