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GeometraCompendio de Ciencias - III - A

69SISTEMA HELICOIDAL

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Geometra Compendio de Ciencias - III - A

70 PASCUAL SACO OLIVEROS

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EXPERIENCIA: Localizando el punto de gravedad de un tringulo

En todo tringulo el baricentro resulta ser su cenro de gravedad (punto donde se concentra su masa).Comprubalo con un tringulo de cartn, haciendo pasar por el mismo un hilo anudado en su extremo y

observando que se mantiene en posicin horizontal o de equilibrio.

Repite la experiencia pasando el hilo por otro punto distinto del baricentro.

EXPERIENCIA: Visualizando la recta de Euler

Las figuras adjuntas te muestran el circuncentro y baricentro de un tringulo ABC y sus respectivas

construcciones. Copia en diferentes hojas de papel transparente cada una de ellas y observa que al super-

ponerlas, haciendo coincidir los lados del tringulo, vizualizars a contraluz la recta de Euler que pasa por

los tres puntos mencionados.

PUNTOS NOTABLESSon aquellos puntos donde concurren las denominadas lneas notables.

Reconocerlaubicacindelospuntosnotablesdeuntringulo

Establecer las relaciones entre los puntos notablesy las circunferencias que se

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ORTOCENTROEs el punto por donde concurren las alturas o sus prolongaciones de estas en un tringulo.

La ubicacin del ortocentro depende de la

naturaleza del tringulo.

En un tringulo acutngulo es un punto interior

a l.

ABC : AcutnguloH : Ortocentro del ABC

En un tringulo rectngulo es un punto ubicado

en el vrtice del ngulo recto

ABC : rectngulo

B : ortocentro del ABC

En un tringulo obtusngulo es un punto exte-

rior.

BARICENTROEs el punto donde concurren las medianas en

una regin triangular este punto est ubicado en el

interior a todo tringulo.

Teorema El baricentro de toda regin triangular divide ala mediana en dos segmentos que estn en la razn

de 2 a 1, siendo el mayor de ellos el que tiene por

extremos al vrtice y al baricentro.

G: baricentro de la regin tringular ABC

INCENTROEs el punto donde concurren las bisectrices

interiores en un tringulo.

El incentro de un tringulo coincide con el centro

de la circunferencia inscrita a dicho tringulo.

Teorema El incentro de todo tringulo equidista de suslados.

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I: incentro del ABC

EXCENTROEs el punto de concurrencia de dos bisectrices

exteriores y la bisectriz interior del tercer ngulo de

un tringulo, este punto coincide con el centro de

la circunferencia exinscrita al tringulo.

Ea: excentro relativo a

Ra: exradio relativo a

Teorema El excentro de todo tringulo equidista deun lado y de las prolongaciones de los otros dos

lados.

CIRCUNCENTROEs el punto de concurrencia de las mediatrices

de los lados de un tringulo, este punto coincide

con el centro de la circunferencia circunscrita al

tringulo.

La ubicacin del circuncentro depende de la

naturaleza del tringulo.

En un tringulo acutngulo es un punto interior

al tringulo.

ABC : acutngulo

O : circuncentro del ABC

R : circunradio

En un tringulo rectngulo es un punto que esta

en el punto medio de la hipotenusa.

ABC : rectngulo

R : circunradio

En un tringulo obstusngulo es un punto

exterior al tringulo.

ABC : Obtusngulo

R : circunradio

Teorema

El circuncentro de todo tringulo equidista desus vrtices.

En un tringulo acutngulo

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O: Circuncentro del ABC

En un tringulo rectngulo


En un tringulo obtusngulo


RECTA DE EULEREn todo tringulo no equiltero, el ortocentro,

baricentro y circuncentro, se encuentran ubicados

en una lnea recta denominada la recta de Euler

H: Ortocentro, G: Baricentro, O: Circuncentro del

del ABC

Teoremas1. En un tringulo acutngulo

Si, P: incentro (

90)P: ortocentro (

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Si: E excentro

1. Demostrar que en todo tringulo el segmentoque une los pies de dos alturas es perpencicular

al circunradio relativo al tercer vrtice.

Resolucin:

Por demostrar:x= 90

En la figura:

O: circuncentro del ABC.

H: ortocentro del ABC

Trazamos:

Por teora:

x= 90

2. Problema

En la figura demostrar que. Si H y O son el ortocentro y circuncentro del

tringulo ABC.

Resolucin:

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1. En la figura, G es baricentro de la regintriangular ABC. Calculexsi AC = 2 (AG).

Rpta.: ...........................................................

2. En la figura, FE = 4 y G es punto de tangencia.Calcule FC.

Rpta.: ...........................................................

3. En la figura, I es un incentro del tringulo ABC.Calculex.

Rpta.: ...........................................................

4. En la figura, calculex.

Rpta.: ...........................................................

5. En la figura, E es excentro del tringulo ABC.Calculex.

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

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Rpta.: ...........................................................


Rpta.: ...........................................................

9. En la figura, I y O son el incentro y circuncentrorespectivamente del ABC. Calculex.

Rpta.: ...........................................................

10.En la figura: E es circuncentro del ABC, CDEFes un cuadrado, E y T son puntos de tangencia.Calcule .

Rpta.: ...........................................................

11.Determine el valor de verdad de las siguientesproposiciones.

A) En todo tringulo el ortocentro, baricentro

y circuncentro son colineales.B) Todo tringulo posee tres excentros.

C) El excentro es exterior para uin tringulo

reectngulo.

D) En un tringulo el baricentro siempre est

ubicado en la regin interior.

E) La Recta de Euler contiene al incentro.

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1. En la figura, G es baricentro de la regin trian-gular ABC. Si: AG = 4 y BC = 6, calcule la

A) 30 B) 60 C) 37

D) 53 E) 45

2. En la figura, I es incentro del tringulo ABC y

. Calcule MN si AM = 3 y NC = 4.

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9


A) 15 B) 20 C) 25

D) 30 E) 40

4. En la figura, H es ortocentro del ABC.Si HD = 6, calcule CD.

A) 15 B) 20 C) 25

D) 30 E) 40

5. En la figura, O es circuncentro del ABC.Calcularx.

A) 15 B) 20 C) 25

D) 30 E) 40

6. En la figura, I y H son el incentro y ortocentrodel ABC respectivamente. Calcule .

7. En la figura, ABCD es un romboide. C es ex-centro del ABD, calcule .

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A) 120 B) 100 C) 150

D) 154 E) 160

8. En un cuadrante AOB, en el arco AB se ubica el

punto P, se traza el rectngulo PMOS,

y . Qu punto notable es Q en el

MPS?

A) Circuncentro

B) Baricentro

C) Ortocentro

D) Incentro

E) Excentro

9. En el interior de la regin triangular ABC se ubi-

ca el punto P de modo que

y Qu punto notable es P

del ABC?

A) Ortocentro B) Incentro

C) Baricentro D) Circuncentro

E) Excentro

10.En la figura, H es ortocentro del ABC,4(HE) = 3(EC). Calcule el mayor valor entero

del

A) 21 B) 31

C) 22 D) 36

E) 30

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Reconocerlaproporcionalidadentrelossegmentosdeciertasfigurasdeterminadas.

Aplicarcorrectamentelosteoremas,enespecialelTeoremadeCevayelTeoremadeMenelao.

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS Y SEMEJANZA

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOSEn un da de sol, los cuerpos producen sombra.

Te has detenido a pensar la relacin que existe entre

la altura de los cuerpos y la longitud de las sombras

que stos producen?

Ya en el S. VI a.C., uno de los siete sabios de

Grecia, Tales de Mileto, se plantea esta y otras

cuestiones anlogas, de las que nos ocuparemos

ms adelante.De la vida de Tales se sabe que era un rico

comerciante de Mileto, que vivi aproximadamen-

te desde el 640 hasta el 550 a.C. Tena mucho

xito como hombre de negocios; sus tareas como

mercader lo llevaron a muchos pases y su ingenio

natural le permiti aprender de las novedades que

vea. Fue conocido por sus admirados compatriotas

de generaciones posteriores como uno de los Siete

Sabios de Grecia, muchas leyendas y ancdotas se

renen en torno a su nombre. Se dice que una vezTales estaba encargado de algunas mulas cargadas

con sacos de sal. Mientras cruzaban un ro, uno de

los animales resbal; al disolverse, en consecuencia,

la sal en el agua su peso disminuy instantneamen-

te. El astuto animal, como es natural, se sumergi

deliberadamente en el prximo vado y continu con

este truco hasta que Tales atin con la feliz solucin

de llenar el saco de esponjas. Este demostr ser un

remedio eficaz. En otra ocasin, Tales que prevea

una cosecha de olivas extraordinariamente finas,

se apoder de todas las prensas de olivas en el dis-

trito, una vez obtenido este monopolio, se convirti

en el jefe del mercado y pudo dictar sus propias

condiciones. Pero, entonces, segn un relato, una

vez demostrado lo que poda hacer, su propsito

ya haba sido conseguido; en vez de oprimir a suscompradores, vendi magnnimamente la fruta a

un precio que horrorizara a un capitalista de hoy

en da.

Tales, como muchos otros comerciantes de su

tiempo, se retir pronto de los negocios, pero a dife-

rencia de otros muchos, dedic su ocio a la filosofa

y las matemticas. Comprendi lo que haba visto

en sus viajes, particularmente en sus relaciones con

los sacerdotes de Egipto; y fue el primero en poner

de relieve algo del verdadero significado del sabercientfico egipcio. Fue un gran matemtico y un gran

astrnomo a la vez. En realidad, gran parte de su

fama popular se debi a su acertada prediccin de

un eclipse solar en el ao 585 a.C. No obstante, se

dice que, mientras contemplaba las estrellas durante

un paseo nocturno, cay dentro de una zanja, en-

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tonces una anciana que lo atendi exclam; cmo

podeis saber que ocurre en los cielos si no veis lo

que se encuentra a vuestros pies?.

Tales nunca olvid la deuda contrada con los

sacerdotes de Egipto, y cuando ya era un anciano

aconsej firmemente a su discpulo Pitgoras que les

hiciera una visita. Pitgoras, actuando de acuerdo

con este consejo, viajo y obtuvo una amplia ex-

periencia, que le fue de gran utilidad cuando, a la

larga se estableci y reuni sus propios discpulos

a su alrededor, llegando a ser an ms famoso que

su maestro.

James P. Newman

El mundo de las matemticas

Es sabido que el Sol incide con igual inclinacin

sobre los cuerpos en un determinado momento y

lugar. Utilizando una regla milimetrada, compara las

alturas de la abuela y el bastn con sus respectivas

sombras. Podemos predecir la sombra en el mismo

momento y lugar?

Te habrs percatado de que las sombras miden

el doble de sus alturas, por lo que:

Por lo tanto:

La igualdad es una proporcin de

segmentos, y el valor 2 comn a ambos cocientes,

la razn de la proporcin.

PROPORCIONALIDADRAZN GEOMTRICA ENTRE LAS

LONGITUDES DE DOS SEGMENTOSEs la comparacin de las longitudes de dos

segmentos mediante el cociente entre ellos.

SEGMENTOS PROPORCIONALESSe denominan segmentos proporcionales a dos

pares de segmentos que presentan razones geom-

tricas iguales.

TEOREMA DE THALESTres o ms rectas paralelas determinan en dos

rectas transversales segmentos proporcionales.

COROLARIO DE THALES

Toda recta secante a dos lados o a sus prolon-

gaciones en un tringulo y paralela al tercer lado

determina sobre los lados anteriores, segmentos

proporcionales.

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1.

2.

3.

TEOREMA DE LA BISECTRIZ EN UNTRINGULO

En un tringulo se cumple que los lados que

forman el vrtice de donde parte la bisectriz interior

o exterior son proporcionales a los segmentos deter-

minados por dicha bisectriz sobre el lado opuesto o

su prolongacin.

1.

Mtodo prctico

2. Si, es bisectriz exterior

Mtodo prctico

En un tringulo los puntos de intersec-cindelasbisectricesinterioryexteriortrazadosdesdeunmismovrtice,dividenarmonicamentealladoopuesto.

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Enlafigura:

TEOREMA DEL INCENTROEn todo tringulo el incentro divide a un seg-

mento de bisectriz interior en dos segmentos cuyaslongitudes son proporcionales a la suma de las

longitudes de los lados adyacentes a dicha bisectriz

como a la longitud del tercer lado.

I: Incentro

TEOREMA DE MENELAOAl trazar una recta secante a dos lados de un

tringulo y a la prolongacin del tercero; se deter-

minan 6 segmentos de tal manera, que el producto

de las longitudes de 3 de ellos tomados en forma no

consecutiva es igual al producto de las longitudes

de los tres segmentos restantes.

TEOREMA DE CEVAEn todo tringulo, al trazar tres cevianas in-

teriores concurrentes en un punto denominado

cevacentro, se determinan en los lados 6 segmentosde tal manera que el producto de las longitudes de 3

de ellos tomados en forma no consecutiva es igual

al producto de las longitudes de los otros tres.Si: O

es cevacentro.

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1. En la figura demostrar que:(AP) (BQ) (CR) = (PB)(QC) (AR)

Resolucin:

Se traza:

ABL: Corolario del Teorema de Thales

BCL: Corolario del Teorema de Thales

(1) (2):

2. Problema En la figura demostrar que:

(AP) (BQ) (RC) = (PB) (QC) (AR)

Resolucin:

1. En la figura, , 5(AB) = 3 (DE),

7(AD) = 5(BC) y . Calcule GH.

Rpta.: ...........................................................

2. En la figura, , BC = 2 y CD =

6. calcule AB

Rpta.: ...........................................................

3. En la figura, PM = 2 y MT = 4 y.Calcule AP si T es punto de tangencia.

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Rpta.: ...........................................................

4. En la figura, G es baricentro de la regin trian-gular ABC, PB = 12 y AC = 2 (CR). Calcule

QC si P y Q son puntos de tangencia.

Rpta.: ...........................................................

5. En la figura, 3 (AB) = 4 (AC). Calculex.

Rpta.: ...........................................................

6. En la figura, ND = 24 y 2 (AE) = 3 (EL).

Calcule AN.

Rpta.: ...........................................................

7. En la figura, T es punto de tangencia, AB = 3

y FE = 3 (GF). Calcule AE.

Rpta.: ...........................................................

8. En un tringulo ABC se traza la recta L que

intersecta a los lados en P y Q res-

pectivamente y a la prolongacin de en

R.

3 (AB) = 4 (AP); 3 (BQ) = 2

(BC), PQ QR = 1 y AC CE = 4.

Calcule:

Rpta.: ...........................................................

9. En la figura, calcule la

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Rpta.: ...........................................................

10.En una regiun triangular rectangular ABC, recta

en B, de baricentro G, en se ubican

los puntos M yQ respectivamente de modo que

.

Calcule

Rpta.: ...........................................................

1. En la figura, , AC = 8, DF = 12 yEF = AB = 5. Calcule DE.

2. En la figura, G es baricentro de la regin trian-gular ABC. Calculex.

A) 8 B) 9 C) 10 D) 14 E) 15

3. En la figura, FC = 3, CR = 10 y AR = 4.Calcule AD.

A) 1,5 B) 1,3 C) 1,2

D) 1,4 E) 1,6

4. En la figura, . Si FB = FN, AE =6 y 2 (AB) = 3 (BF), calcule FC.

A) 10 B) 12 C) 14 D) 18 E) 20

5. En la figura, AB = 2 (BC), 2 (CM) = 5 (BM).Calculex.

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A) 30 B) 37 C) 45

D) 53 E) 60

6. En la figura, Q es punto de tangencia,PC = 7 (PQ) y AB = 2. Calcule AC.

A) 10 B) 11 C) 12

D) 14 E) 16

7. En la figura, T es punto de tangencia,

3 (BN) = 4 (NT), CD = 28 y .

Calcule TM.

A) 1,5 B) 1,8 C) 2

D) 3 E) 9

8. En la figura, AP = 3 y PC = 2. Calcule QC.

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12

9. En la figura, ABCD es un cuadrado.

AD = 2 (DO) y Calcule .

A) 1 B) C) 2 D) 3 E)

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En la figura tienes el resultado de aplicarle al

tringulo ABC las siguientes transformaciones:

Le aplicamos la homotecia y al resultado ABC

lo sometemos a:

1. una traslacin.

2. una simetra.

3. un giro.

Obtenemos, de manera respectiva, los tringu-

los: A1

B1

C1, A

2B

2C

2y A

3B

3C

3.

Observamos que en cualqiera de los casos los

lados correpondientes son proporcionales y los n-gulos no han variado. La razn d eproporcionalidad

es la de la homotecia.

En algn caso cambia la orientacin de la

figura?

Diremos que cualquiera de los tringulos resul-

tantes es semejante al ABC.

La semejanza es la transformacin del plano

que resulta de componer un movimiento y una

homotecia. llamaremos razn de semejanza a la

razn de la homotecia correspondiente.

PROPIEDAD

La semejanza de tringulos equivale a cualquie-

ra de las siguientes propiedades:

a) Tienen sus ngulos iguales.

b ) T i e n e n l o s l a d o s c o r r e p o n d i e n t e s

proporcionales.

c) Tienen un ngulo igual y proporcionales loslados que lo forman.

En particular, de a) se deduce que:

Sidostringulostienensus ladosparaleloso

perpendiculares, sern semejantes.

Sidostringulosrectngulostienenunngulo

agudo igual, sern semejantes.

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FIGURAS SEMEJANTESPodemos generalizaar el conceto de semejanza

a una figura cualquiera: F y F son semejantes si una

de ellas se aplica en la otra mediante una homotecia

y un movimiento.

De manera intuitiva diremos que dos figuras son

semejantes cuando tienen igual forma, aunque

puedan tener distinto tamao.

APLICACIONES Clculodedistancias

El problema de la agrimensura est ligado a

los conceptos de homotecia y semejanza. Sw

atribuyen a Thales de Mileto (s. IV a.C.) las

primeras hazaas en el oficio de agrimensor:

se cuenta que calcul la altura de una pirmide

comparando su sombra con la que determinaba

una estaca y que calcul la distancia a que se

encontraba un barco de la costa.

Fernado se coloca con una estaca para compa-

rar su sombra con la del edificio del instituto. A

continuacin, su amiga Teresa comprueba que

la distancia desde el final de la sombra hasta la

base de la estaca es de 245m. y hasta la basedel edificio de 131m. Como sabemos que

la longitud de la estaca es de 3m. podremos

calcular la altura del edificio:

Como los tringulos ABC y ABC tienen sus

lados paralelos son semejantes y, por lo tanto,

tendrn sus lados homlogos proporcionales:

Mide unos 16m.

Semejanzayescalas

Los planos muestran dibujos que son repre-

sentaciones semejantes de la realidad que se

estudia. La razn de semejanza es lo que se

conoce como escala del dibujo.

El plano de la figura es semejante a la distri-bucin real de una vivienda. Sabiendo que la

terraza tiene una anchura de 2m:

a) Calcula los m2 que tiene cada habitacin.

b) Tenemos, para el saln, un mueble de 50cm. de

fondo y 3m. de longitud, dos tresillos de 0,8m.

de fondo por 2m. de largo, una mesa baja de 60

120, do sillones de orejas que ocupan 0,8m2,

una mesa circular de 120cm. de dimetro y dos

sillas de brazos que ocupan un poco menos que

los sillones de orejas. Distribuye los muebles en

el saln utilizando la misma escala y decide si

hemos de buscar otro apartamento con un saln

ms amplio.

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TRINGULOS SEMEJANTESDos tringulos son semejantes si tienen la misma forma, es decir, los ngulos de uno son congruentes con

los ngulos del otro respectivamente y sus segmentos

homlogos son proporcionales.

Son lados homlogos aquellos que se oponen

en uno y otro tringulo a los ngulos que. son res-

pectivamente congruentes. as como tambin. las

lneas notables que parten de los vrtices de estos

ngulos. Son homlogos tambin los radios de las

circunferencias inscritas, circunscritas, ex - inscritas,

etc.

Si: ABC ~ DEF

Donde k: razn de semejanza

TEOREMAS DE SEMEJANZAPrimer Teorema

Dos tringulos son semejantes si dos ngulos

del primero son congruentes a dos ngulos del

segundo.

Segundo TeoremaDos tringulos son semejantes si dos lados del

primero son proporcionales a los lados del segundo

y los ngulos formados por dichos lados son con-

gruentes.

Tercer Teorema

Dos tringulos son semejantes si los tres ladosdel primero son proporcionales a los lados del se-

gundo.

1.

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2.

TEOREMAS1.

Corolario:

2.

3. Clculo de la medida del lado de un cuadradoinscrito en un tringulo, si uno de los lados del

cuadrado descansa en la base del tringulo.

4.

5.

6. En todo tringulo el producto de las medidas dedos lados es igual al producto de las medidas

del dimetro de la circunferencia circunscrita y

la altura relativa al tercer lado.

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R: Circunradio

7.

Si: T es punto de tangencia, es secante.

Si:Tespuntodetangencia

1. En la figura: P es punto de tangencia.Demostrar que (PQ)2 = (AM) (BN).

Resolucin:

En la figura: por ngulo seminscrito:

,

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(1) = (2)

(PQ)2 = (AM) (BN)

2. Problema

1. En la figura, AM = R, AN = 10, T es punto detangencia. Calcule r.

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

4. En la figura: A, P y D son puntos de tangencia,BP = 8 y PC = 3. Calcule CE.

Rpta.: ...........................................................

5. En la figura: BD = 2, BE = 6, AC = 4

y Calcule

Rpta.: ...........................................................

6. En la figura, ME = MD. Calcule

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Rpta.: ...........................................................

7. En la figura, 5 (BP) = 3 (PC) y GD = 15.Calcule AG.

Rpta.: ...........................................................

8. En la figura, O1

y O2

son centros de los cuadra-

dos ABCD y BPMN, PC = 6. Calcule O1

y O

2.

Rpta.: ...........................................................

9. En la figura, P y Q son puntos de tangencia,PT = 2 (TA) y BL = 6. calcule LQ.

Rpta.: ...........................................................

10.En la figura, E e spunto de tangencia, AB = 4y CD = 5. Calcule EF.

Rpta.: ...........................................................

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1. Si los lados de un tringulo miden 15, 18 y 24 y el lado menor de un tirngulo semejante al primero

mide 6, calcule la medida del lado mayor delltimo tringulo.

A) 9,8 B) 9,6 C) 8,5

D) 8,8 E) 9,5

2. En la figura, calcule la longitud del lado delmenor cuadrado.

3. En la figura, PQRS es un cuadrado. calcule QRsi AC = 12 y BM = 8.

C) D) E)


6. En la figura, HC = 2 (HA) = 4 y BD = 3 (DH).calcule EF.

A) 1 B) 2 C)

D) E)

7. En la figura, AD = DB = 5, AE = EC y BC =4. Calcule AE.

A) 7,6 B) 3,2 C) 2

D) E)

8. En un trapecio issceles ABCD, , seinscribe una circunferencia y BC = 6 y AD =

10. Calcule la longitud del segmento que une

los puntos laterales de tangencia.

A) 9,5 B) 6,5 C) 7,5

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D) 8,5 E) 10,5

9. En la figura, T es punto de tangencia, PM = 4y MT = 1. Calcule OM.

A) 8 B) 2 C) 3

D) E)

10.En la figura, A y B son puntos de tangencia.

CH = 3 y BC = (AP). Calcule PQ.

A) B) C) D) E)

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Proporcionaruna formaindirectaparaelclculode lossegmentosdeuntringulorectngulo

Introduccin

PITGORASIsla de Samos, actual Grecia, hacia 572 a.C.

Filsofo y matemtico griego. Se tienen pocas

noticias de la biografa de Pitgoras que puedan

considerarse fidedignas, ya que su condicin

de fundador de una secta religiosa propici la

temprana aparicin de una tradicin legendaria

en torno a su persona.

Parece seguro que Pitgoras fue hijo de Mne-

sarco y que la primera parte de su vida la pas en

Samos, la isla que probablemente abandon unos

aos antes de la ejecucin de su tirano Polcrates,

en el 522 a.C. Es posible que viajara entonces

a Mileto, para visitar luego Fenicia y Egipto; en

este ltimo pas, cuna del conocimiento esotrico,

se le atribuye haber estudiado los misterios, as

como geometra y astronoma.

Algunas fuentes dicen que Pitgoras march des-

pus a Babilonia con Cambises, para aprender

all los conocimientos aritmticos y musicales

de los sacerdotes. Se habla tambin de viajes a

Delos, Creta y Grecia antes de establecer, por

fin, su famosa escuela en Crotona, donde goz

de considerable popularidad y poder.

La comunidad liderada por Pitgoras acab,

plausiblemente, por convertirse en una fuerza

poltica aristocratizante que despert la hostilidad

del partido demcrata, de lo que deriv una re-

vuelta que oblig a Pitgoras a pasar los ltimos

aos de su vida en Metaponto.

La comunidad pitagrica estuvo seguramente

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rodeada de misterio; parece que los discpulos

deban esperar varios aos antes de ser pre-

sentados al maestro y guardar siempre estricto

secreto acerca de las enseanzas recibidas. Las

mujeres podan formar parte de la cofrada; la

ms famosa de sus adheridas fue Teano, esposa

quiz del propio Pitgoras y madre de una hija y

de dos hijos del filsofo.

El pitagorismo fue un estilo de vida, inspirado

en un ideal asctico y basado en la comunidad

de bienes, cuyo principal objetivo era la purifi-

cacin ritual (catarsis) de sus miembros a travs

del cultivo de un saber en el que la msica y las

matemticas desempeaban un papel importan-

te. El camino de ese saber era la filosofa, trmino

que, segn la tradicin, Pitgoras fue el primero

en emplear en su sentido literal de amor a la

sabidura.

Tambin se atribuye a Pitgoras haber trans-

formado las matemticas en una enseanza

liberal mediante la formulacin abstracta de sus

resultados, con independencia del contexto ma-

terial en que ya eran conocidos algunos de ellos;

ste es, en especial, el caso del famoso teorema

que lleva su nombre y que establece la relacin

entre los lados de un tringulo rectngulo, una

relacin de cuyo uso prctico existen testimonios

procedentes de otras civilizaciones anteriores a la

griega.

El esfuerzo para elevarse a la generalidad de

un teorema matemtico a partir de su cumpli-

miento en casos particulares ejemplifica el mto-

do pitagrico para la purificacin y perfeccin del

alma, que enseaba a conocer el mundo como

armona; en virtud de sta, el universo era un

cosmos, es decir, un conjunto ordenado en el que

los cuerpos celestes guardaban una disposicin

armnica que haca que sus distancias estuvieran

entre s en proporciones similares a las correspon-

dientes a los intervalos de la octava musical. En

un sentido sensible, la armona era musical; pero

su naturaleza inteligible era de tipo numrico, y

si todo era armona, el nmero resultaba ser la

clave de todas las cosas.

La voluntad unitaria de la doctrina pitagrica

quedaba plasmada en la relacin que estableca

entre el orden csmico y el moral; para los pi-

tagricos, el hombre era tambin un verdadero

microcosmos en el que el alma apareca como la

armona del cuerpo. En este sentido, entendan

que la medicina tena la funcin de restablecer

la armona del individuo cuando sta se viera

perturbada, y, siendo la msica instrumento

por excelencia para la purificacin del alma, la

consideraban, por lo mismo, como una medi-

cina para el cuerpo. La santidad predicada por

Pitgoras implicaba toda una serie de normas

higinicas basadas en tabes como la prohibicin

de consumir animales, que parece haber estado

directamente relacionada con la creencia en la

transmigracin de las almas; se dice que el propio

Pitgoras declar ser hijo de Hermes, y que sus

discpulos lo consideraban una encarnacin de

Apolo.

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PROYECCIONES ORTOGONALES1. PROYECCIN ORTOGONAL DE UN

PUNTO SOBRE UNA RECTALa proyeccin ortogonal de un punto sobre una

recta es el pie de la perpendicular trazada del

punto a la recta.

2. PROYECCIN ORTOGONALDE UN SEGMENTOLa proyeccin ortogonal de un segmento se

obtiene proyectando los extremos del segmento

sobre la recta.

proyeccinortogonalde sobre

R E L A C I O N E S M T R I C A S E N E LTRINGULO

RECTNGULO

: Proyeccin ortogonal de sobre

: Proyeccin ortogonal de sobre

Teorema:Si en un tringulo rectngulo se traza la altura

correspondiente a la hipotenusa, se determina

2 tringulos parciales semejantes al tringulo

dado, por consiguiente se cumplen las siguientes

relaciones:

Relaciones:

I.

II.

III. (T. Pitgoras)

IV.

V.

VI.

La longitudde laalturarelativaa lahipotenusaesmenoro igual que lamitadadichahipotenusa

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1. En la figura mostrada, demostrar que se cumple

la siguiente relacin de los inradios:

Resolucin:

En el grfico:

Entonces:

; donde k es una constan-

te.Elevando al cuadrado:

r1

2 = k2 c2 ............... (I)

r2

2 = k2 a2 ............... (II)

r2 = k2 b2 ............... (III)Sumando (I) y (II):

r1

2 + r22 = k2 (a2 + c2) = k2 b2 ....... (IV)

Igualando (III) y (IV)

r1

2 + r22 = r2

2. ProblemaEn la siguiente figura: BC = a y AC = b.

Demostrar:

Resolucin:

1. Los lados de un tringulo miden 9, 16 y 18.Qu longitud se debe restar a cada lado para

que el tringulo resulte un tringulo rectngu-

lo?

Rpta.: ...........................................................

2. En un tringulo rectngulo ABC (recto en B) se

traza la altura . Si AH, HC y AB son valores

enteros consecutivos, calcular AC.

Rpta.: ...........................................................

3. En la figura mostrada, (AF) (EF) = 32,calcular BE.

Rpta.: ...........................................................

4. Del grfico, AH = 4, y G es baricentro

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de la regin triangular. Calcule BC.

Rpta.: ...........................................................

5. En la figura, BH = 2 y HL = 8. Calcule PH.

Rpta.: ...........................................................

6. En la figura, son dimetros.Si: MN = NH y (DH) (HC) = 9, calcular MH.

Rpta.: ...........................................................

7. En un rectngulo ABCD se ubica P en talque BP = 4, PC = 9. Calcular la longitud del

segmento que une las proyecciones de B y C

sobre respectivamente sabiendo que

Rpta.: ...........................................................

8. En el grfico ABCD es un rectngulo. Si: AM

= 2 y NP = 3, calcular AB si C es punto de

tangencia.

Rpta.: ...........................................................

9. Calcular la medida de los catetos de un tringulorectngulo cuyo permetro es 24cm. y la altura

relativa a la hipotenusa es 4,8cm.

Rpta.: ...........................................................

10.En la figura mostrada calcular R si:

AP = a y QC = b. Adems es dimetro y

T es punto de tangencia.

Rpta.: ...........................................................

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1. En un tringulo rectngulo su altura relativa ala hipotenusa determina en dicha hipotenusa

segmentos de longitudes 16 y 36. Calcular la

longitud de sus catetos.

A) B)

C) D)

E) 7 y 9

2. En la figura, . Calcular:

A) B) C) D) E)

3. De la figura mostrada, calcular el radio de larueda que est apoyada en el ladrillo (en funcinde a y b).

A) B)

C) D)

E)

4. Un cuadriltero ABCD est inscrito en una

circunferencia tal que , AD =

10m. y DC = 6m.

Calcular la longitud de la diagonal

A) 7 B) 8 C) 14 D) 16 E) 18

5. De la figura adjunhta, MN = 8. Calcular AB.

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 16

6. En un trapecio issceles los lados no paralelosmiden 15u y una de las diagonales, que es

perpendicular a ste mide 20u. Calcular las

longitudes de sus bases.

A) 8 y 15 B) 9 y 12 C) 8 y 25

D) 7 y 15 E) 7 y 25

7. Del grfico adjunto:

; dimetro, FB = 2 AH = 4. Calcular

PH.

A) B) C) 4

D) 8 E)

8. Segn el grfico: MQ = QN = 4 y AB = 10.Calcular AP.

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9. En un cuadrado PQRS, tomando centro en losvrtices P y S y DE radio al lado del cuadrado,

se trazan arcos PR y SQ que se intersectan en

el punto L. En el tringulo mixtilneo PLS se

inscribe un cuadrado donde un lado descansa

sobre . Calcular la relacin que hay entre

los lados de los cuadrados.

A) B) C) D) E)

10.La hipotenusa de un tringulo rectngulo mide50u y el radio d ela circunferencia inscrita mide

10u. Calcular la longitud de los catetos.

A) B)

C) D)

E) 30 y 40

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