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GeometraCompendio de Ciencias - II - A

71SISTEMA HELICOIDAL

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Geometra Compendio de Ciencias - II - A

72 PASCUAL SACO OLIVEROS

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Definirlasfigurasgeomtricascompuestasportresomslados.

Aplicar,correctamente,losteoremasypropiedadesfundamentalesdelospoligonos.

UN POLGONO MUY PARTICULAR:

LA CIRCUNFERENCIAEl nmero de lados de un polgono puede sertan grande como se quiere; as, por ejemplo cons-truir polgonos irregulares de 20 lados (icosgono),de 100 lados, 1 000 lados, etc. Al aumentar elnmero, stos se hacen cada vez ms pequeos. Sipudisemos construir polgonos regulares de unainfinidad de lados, sucedera que cada uno de ellosno sera un segmento, sino un punto, con lo cualhabramos construido un polgono muy particular,

la circunferencia, caracterizada por el hecho deque todos sus puntos estn a igual distancia delcentro.

Reconoceremos en la circunferencia los mismoselementos que aparecan en los polgonos regulares,si bien, algunos reciben nombres diferentes.

El radio de la circunferencia equivale a laapotema del polgono regular, y la longitud de lacircunferencia al permetro de ste.

El crculo es la porcin del plano interior a lacircunferencia.

Por tanto, no confundas circunferencia con

crculo. La circunferencia es una lnea y el crculo

es una superficie.El anillo sugiere la idea de circunferencia y la

moneda de crculo.

TRAZADO DE POLGONOS REGULARESEl trazado de polgonos regulares a mano alzada

es prcticamente imposible, como t mismo puedescomprobar. Por ello se hace necesario recurrir amtodos de dibujo.

A continuacin exponemos dos mtodos paraconstruir un polgono regular.a. Conociendoelladodelpolgono

Sea L el lado. Trazamos dos arcos desde sus

extremos y obtenemos el centro B, y describimosuna circunferencia que nos contendr seis vecesal lado. El radio de ste, , lo dividiremos enseis partes iguales, obteniendo los puntos 1, 2,3, 4, 5 y 6.

Si hacemos centro de 1 y radio hasta C di-bujaremos una circunferencia que contiene ocho

veces el lado L y as sucesivamente hasta llegar

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a tomar como centro el punto 6 y radio hasta C,lo que permite dibujar una circunferencia quecontiene doce veces al lado L.

b. Dadaunacircunferencia.

Uno de los problemas que con ms frecuencia

nos encontraremos ser la necesidad de tenerque dividir la circunferencia en un nmerodeterminado de partes iguales. A pesar de queexisten diversos procedimientos, exponemosaqu el ms conocido y que podemos llamargeneral porque sirve para todos los casos quese nos puedan presentar.Empezaremos por dibujar la circunferencia dada.El dimetro lo dividiremos en un nmero departes igual al que queremos dividir la circunfe-

rencia, en este caso siete. Tomando como radioel dimetro de la circunferencia y centro de losextremos de ste, A y B, describimos dos arcosque al cortarse nos dar el punto C.

Se une mediante una recta el punto C con el 2y se prolonga, obteniendo el D. El arco esla sptima parte del total de la circunferencia.En todos los casos se opera del mismo modo,teniendo siempre presente que la recta que une

el punto exterior C ha de pasar por el 2 (segundadivisin del dimetro).

Es la figura geomtrica determinada por lospuntos P1, P2, P3, ......Pn coplanarios, donde no haytres puntos colineales, y n 3, entonces a la reuninde los segmentos P

1P

2, P

2P

3, P

3P

4, ......, P

n-1P

n,

Pn P1 se denomina polgono. Estos segmentos nodeben intersectarse ms que en sus extremos.

Elementos: Vrtices:P

1, P2, P3, ....., Pn

Lados:Notacin:

Polgono: P1 P2 P3 ...... Pn

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Medida de los ngulos Internos:

1,

2,

3, ......,

n

Externos: 1, 2, 3, ......., n

En todo polgono convexosecumplequeelnmerodevrticesesigualalnmerodeladoseigualalnmerodengulos.

DIAGONALEs el segmento que une dos vrtices no conse-

cutivos.

En la figura , ....... diagonales.

DIAGONAL MEDIAEs el segmento cuyos extremos son los puntos

medios de dos lados.

En la figura: , ....... diagonalesmedias

Conjunto convexo,unconjuntoAsedeno-minaconvexo,siparacadadospuntosM

yNdelconjunto,todoelsegmento estenA.Ejemplo:

Conjunto no convexo UnconjuntoBsedenominanoconvexo,

siparadospuntosPyQdelconjunto,partedelsegmentoPQnoestenB.

Ejemplo:

DENOTACIN DE LOS POLGONOS

CLASIFICACIN DE LOS POLGONOSI. Segn la regin ue limitan a. Polgonoconvexo: Es el polgono que

limita una regin convexa.

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b. Polgononoconvexo:Es el polgono quelimita una regin no convexa.

II. Segn la medida de sus lados y ngulosinternos determinados

a. Polgonoequingulo:Es aquel polgonoconvexo cuyos ngulos son congruentes.

b. Polgonoequiltero: Es aquel polgonocuyos lados son congruentes.

c. polgono regular: Es aquel polgonoconvexo que es a la vez equingulo y equi-ltero.

ngulocentraldeunpolgonoregular:Es

aquelcuyovrticeeselcentrodelpolgonoregularysusladospasanpordosvrticesconsecutivosdelpolgono.

O : Centro del polgono regular. : Medida del ngulo central.

FRMULAS PARA TODO POLGONODE n LADOS

A. Suma de las medidas de los ngulos internos

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de un polgono convexo (Si)

B. Suma de las medidas de los ngulos exterioresde un polgono convexo (Se)

C. Nmero de diagonales trazadas desde un ver-tice. (N

DTV)

D. Nmero total de diagonales.

E. Nmero de diagonales trazadas desdeMvrticesconsecutivos. (N

m)

F. Nmero total de diagonales medias (NTDM

)

FRMULAS PARA TODO POLGONOREGULAR DE n LADOS

A. Medida de un ngulo interior (M i)

B. Medida de un ngulo externo (M e)

C. Medida de un ngulo central (M c)

Las frmulas para calcular las medidasdelosngulosinterioryexteriordeunpolgonoregularsonaplicablestambinaunpolgonoequingulo.

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1. Demostrar que en todo polgono convexo la suma de las medidas de los ngulos externos tomados unopor vrtice es 360.Resolucin:

Sabemos que:

2. Problema Demostrar que en todo polgono convexo la

suma de las medidas de los ngulos internoses:180(n2) donde n es el nmero de lados delpolgono.

Resolucin:

1. La suma de las medidas de los ngulos internos,centrales y externos de un polgono regular esigual a 2520. Calcule la medida de su ngulocentral.

Rpta.: ...........................................................

2. Si se duplica el nmero de lados de un polgonoel nmero de sus diagonales aumenta en 30.Calcule el nmero de vrtices.

Rpta.: ...........................................................

3. En un polgono convexo ABCDEF equingulo,AB = 7u, CD = 6u y DE = 8u. Calcule: BF.

Rpta.: ...........................................................

4. En un octgono equingulo ABCDEFGH:

y BC = 1u. Calcule: AC.

Rpta.: ...........................................................

5. En un polgono equingulo de n lados desde(n7) vrtices se trazan 2n diagonales. Calculela medida de su ngulo interior.

Rpta.: ...........................................................

6. En un polgono la razn del nmero de diago-nales y el nmero de diagonales medias es .Calcule la suma de las medidas de los ngulosinternos de dicho polgono.

Rpta.: ...........................................................

7. El nmero de tringulos en que se descompone

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un polgono convexo al trazar las diagonales deun solo vrtice y el nmero de diagonales quese pueden trazar del quinto vrtice consecutivoestn en la relacin de 7 a 5. Calcule la suma

de las medidas de los ngulos internos de dichopolgono.

Rpta.: ...........................................................

8. En el campeonato de fulbito de docentes porplanas de la academia Pascual Saco Oliverosparticipan n equipos. Si se sabe que (n 4)equipos jugaron 5n partidos, calcule el nmerototal de partidos jugados en el campeonato.

Rpta.: ...........................................................

9. Las medidas de los ngulos internos de un

exgono convexo se encuentran en progresinaritmtica. Calcule el mayor valor entero de larazn.

Rpta.: ...........................................................

10.En ngulo interior y el ngulo exterior de unpolgono regular miden y (k 1) respecti-

vamente. Cules son los valores enteros quepuede tomar k para que el polgono exista?

Rpta.: ...........................................................

1. Cuntos lados tiene un polgono cuya suma de las medidas de sus ngulos internos y externos es3960?A) 12 B) 23 C) 20 D) 30 E) 32

2. Al aumentar en 3 el nmero de lados de unpolgono, el nmero de diagonales se duplica.Calcule la suma de las medidas de los ngulosinternos.A) 1240 B) 1280 C) 1250D) 1270 E) 1260

3. InteriormenteaunpentgonoregularABCDEseconstruye un tringulo equiltero APB. Calcule

laA) 42 B) 66 C) 84D) 36 E) 54

4. Se tiene un octgono equingulo ABCDEFGH,

AB = 3u, y CD = 3u. Calcule lalongitud del segmento que une los puntos me-

dios de

A) B) C)

D) E)

5. En un polgono equingulo de n lados, desde(n 3) vrtices consecutivos se han trazado(n 1) diagonales. calcular la medida de sungulo exterior.A) 30 B) 45 C) 60D) 72 E) 90

6. En un polgono equingulo la razn de la medi-da de su ngulo interior y exterior es 5. Calcule

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el nmero de diagonales de dicho polgono.A) 52 B) 54 C) 58 D) 56 E) 68

7. En un pol gono la diferencia entre el nmero

de diagonales y el nmero de ngulos llanosa que equivale la suma de las medidas de losngulos internos es 119. calcule el nmero dediagonales.A) 100 B) 135 C) 180D) 120 E) 160

8. En el campeonato mundial de fulbito realizadoporlaFIFAparticipan32selecciones.Sijugaran

todos contra todos, cuntos partidos se jugarnen total?A) 420 B) 240 C) 260D) 496 E) 520

9. Las medidas de los ngulos internos de un pen-

tgono convexo estn en progresin aritmtica.Calcule el mayor valor entero de la razn.A) 33 B) 34 C) 35D) 36 E) 37

10.Los ngulos interno y externo de un polgonoregular miden y K respectivamente. Si Ktoma su mayor valor entero, calcule el nmerode diagonales medias del polgono.A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

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Conocerlasfigurasgeomtricasconstituidasporcuatrolados. Conoceryaplicarlaspropiedadesdecadacuadriltero(Trapezoide,TrapecioyParale-

logramo)

EXPERIENCIA: LOS CUADRILTEROS Y

EL TANGRAMConoces algn juego de tangram?

stos consisten en obtener diferentes figurassegn la colocacin dealgunas piezas bsicas.

A continuacin te pro-ponemos la construccinde uno de ellos sobre elanagrama de la CruzRoja. Este anagramaest descomppuesto en8tiposdiferentesdecuadrilteros.Identificacada

uno de ellos, pasando despus a calcar la figura conel fin de poder recortar sus piezas bsicas. Una vezrecortadas, intenta recomponer el anagrama. Otra figura posible a partir de este tangram esla siguiente.

Sabas componerla con las piezas bsicas?

Es aquel polgono de 4 lados y puede ser con-

vexo y no convexo.a. Cuadriltero Convexo

b. Cuadriltero No Convexo.

Notacin: MNPQ: Cuadriltero No ConvexoMNPQ

Diagonales:

CLASIFICACIN DE LOS CUADRILTE-ROSCONVEXOS

Los cuadrilteros convexos se clasifican deacuerdo al paralelismos de sus lados opuestos.

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I. TRAPEZOIDE: Es aquel cuadriltero convexoque no presenta lados opuestos paralelos.

Clases:* Trapezoideasimtrico: Es el trapezoide

propiamente dicho esto quiere decir que nopresenta caractersticas en especial

* Trapezoide simtrico: Es aquel trape-zoide donde una de sus diagonales bisecaperpendicularmente a otro.

Propiedades:1. La medida del ngulo formado por dos bisectri-

ces interiores de dos ngulos consecutivos de uncuadriltero es igual a la semisuma de los otrosdos ngulos del cuadriltero.

2. La medida del ngulo formado por dos bi-sectrices de dos ngulos consecutivos de uncuadriltero es igual a la semisuma de estos dosngulos.

3. La medida del menor ngulo formado por dosbisectrices interiores de dos ngulos opuestosde un cuadriltero es igual a la semidiferenciade los otros dos ngulos.

4. La suma de las distancias de un punto interior alos vrtices de un cuadriltero est comprendida

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entrep y 3p.

5. El permetro del cuadriltero formado por los

puntos medios de los lados de un cuadrilteroes igual a la suma de las diagonales del cuadri-ltero.

II. TRAPECIO: Es aquel cuadriltero convexoque tiene dos lados paralelos denominados ba-ses y los otros dos son no paralelos (laterales).

En la figura:

Bases: y

Ladoslaterales: y

Altura:

Mediana:

Clases:

* Trapecio escaleno: Es aquel trapecio cuyoslados no paralelos tiene diferentes longitudes.

* Trapecio issceles: Es aquel trapecio cuyoslados no paralelos tienen igual longitud.

Enlostrapeciosisscelesmostradossecumple:

* Trapecio rectngulo: Es aquel trapecio dondeuno de sus lados no paralelos son perpendiculara sus bases.

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Propiedades.1. En todo trapecio la longitud del segmento que

une los puntos medios de los lados no paralelossedenominaMEDIANA;yesigualalasemisu-ma de las longitudes de sus bases.

Si:

2. En todo trapecio la longitud del segmento queune los puntos medios de las diagonales esigual a la semidiferencia de las longitudes desus bases.

Si:

Caso particular:

M: punto medio

3. La distancia del baricentro de un tringulo auna recta exterior es la media aritmtica de lasdistancias de los tres vrtices a la misma recta.

G: Baricentro del

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1. En la figura, AM = MB, BN = NC y AQ = QC.Demostrar: a + b + c

Resolucin:

Por teorema de la mediana de un trapecio:

(1) + (2) + (3)2 (x+ y +z) = 2 (a + b + c)

2. Problema En la figura, G es baricentro de la regin trian-

gular ABC. demostrar:

Resolucin:

1. En un trapezoide ABCD,AD = 6, CD = 4. Calcule AB.

Rpta.: ...........................................................

2. Si la mediana de un trapecio mide 6, calcule elmenor valor entero de una diagonal si mide lamitad de la otra diagonal.

Rpta.: ...........................................................

3. En el trapecio ABCD, , BC = 1,AD = 9, CD = 6, AM = MB. Calcule: MC.

Rpta.: ...........................................................

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4. En un trapecio ABCD, , CD = 6,

. Calcule la longitud

del segmento que une los puntos medios de

y

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

6. En un rectngulo ABCD (AB < BC), se traza

perpendicular a . La bisec-

triz del interseca a en F. Si CD =4, calcule BF.

Rpta.: ...........................................................

Rpta.: ...........................................................

8. En un trapecio ABCD recto en A y B de altura

8, BC = 5. Se ubica M, punto medio de

y . Cunto distan los

puntos medios de

Rpta.: ...........................................................

9. En la figura, ABCD es un cuadrado, AEFG es un

trapecio issceles y AF = AG. Calcule:

Rpta.: ...........................................................

10.En la figura: CM = MD, ABCM es un trapezoide

simtrico, ABPM es un romboide, .Calcule PD.

Rpta.: ...........................................................

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1. En un trapezoide ABCD:

, BC = 6, AD = 10.Calcule: CD.A) 16 B) 12 C) 14 D) 15 E) 8

2. En la figura, AB = BM y CM = MD. Calcule:.

3. Si las diagonales de un trapecio escaleno miden6 y 8, calcule el mayor valor entero de la longi-tud de la mediana.A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10

4. En un trapecio ABCD,

y AB = 18. Calcule la lon-gitud del segmento que une los puntos medios

deA) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

A) B) 45 C)D) 30 E) 15

6. En la figura, ABCD es un rectngulo,AC = 6 (FC), BM = MC y FC = k. Calcule:

MN.

A) B) 2k C)

D) k E)

7. En la figura ABCD es un rombo. AP=PD=DQ.Calcule:x.

A) 30 B) 45 C) 37D) 60 E) 53

8. En un romboide ABCD se trazan las bisectricesinteriores de A y B que se intersecan en P. Si

P dista de 10 y 3 respectivamente.

Cunto dista B de ?A) 6 B) 7 C) 8 D) 11 E) 13

9. En un trapecio ABCD, , BC

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