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Taller: Dibujando con GeoGebra,
construcciones ti les para maestros y maestras
Randall Blanco Benamburg
Instituto Tecnolgico de Costa Rica
[email protected]
Ana Mara Sandoval Poveda
Universidad Estatal a Distancia
[email protected]
Palabras clave: Geometra, cuadrilteros, primaria, herramienta,
GeoGebra, evaluacin, dinmica.
Resumen: El objetivo de este taller es poner a disposicin de los
y las participantes estrategiasque les permitan dinamizar sus
clases e innovar en ellas y en sus evaluaciones. Esto se har
pormedio del softwareGeoGebra.
Materiales requeridos para la realizacin del taller
Estos materiales debern estar a disposicin de los y las
participantes del taller. Fotocopias de ejercicios
Laboratorio de computacin, deber instalarse el
GeoGebra(softwarelibre)
Materiales de los participantes
Aunque lo deseable es que cada persona cuente con estos
instrumentos;
posiblemente no los tengan durante la actividad del Festival. Se
tendrn algunos a
disposicin para aquellas personas que requieran utilizarlos.
Papel blanco
Lpiz
Regla graduada
Problemtica en la que se centra el taller
Necesidad de los y las docentes de primaria de contar con
herramientas para
trabajar algunos conceptos de Geometra, en particular los
cuadrilteros, que le
permitan no solo hacer ms dinmicas sus lecciones, sino evaluar
de una manera
ms cercana al trabajo de aula.
Planteamiento del taller
El taller est planteado para realizarse en dos sesiones:
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1. La primera consiste trabajar los componentes tericos del tema
y el uso de
herramientas computacionales para reproducir el trabajo con
papel, regla y
lpiz (conocimiento de los comandos bsicos del GeoGebra). Para
esto se
partir de las figuras geomtricas planas que se estudian en la
educacin
primaria y sus caractersticas.
a. Qu caractersticas debe cumplir una figura de cuatro lados
para que se
considere un paralelogramo? [ideas y conocimientos de los
participantes]
b. Qu herramientas del GeoGebrapermiten construir figuras que
cumplan
con esas especificaciones? [uso de elementos del manual e
ideas
generadas por el grupo]
c. Qu otras caractersticas tienen las figuras construidas?
[diferenciacin
entre paralelogramos de distintas clasificaciones]
2. Sesin de ejercicios de construccin y razonamiento para
construir las figuras
geomtricas en el laboratorio de cmputo. Elementos de uso de la
herramienta
para la construccin de prcticas y ejercicios de evaluacin
(utilizables como
evaluacin sumativa).
Fundamentacin terica
En la educacin primaria se trabaja todos los aos con contenidos
de Geometra;
con figuras de geometra plana y tridimensional. En los planes de
estudio oficiales
para la Educacin General Bsica (EGB) menciona el anlisis de las
caractersticas
de estos elementos en varias oportunidades.
En el caso de este taller, se circunscribir a trabajar nicamente
con las
caractersticas de las figuras planas y en forma particular los
cuadrilteros. Esta
limitacin se hace precisamente por cuestiones de tiempo y
profundidad en elestudio. Si se abarcaran ms figura, el tiempo
dedicado a ellas sera mnimo.
La primera mencin a los cuadrilteros y sus caractersticas se
hace en el
programa de segundo ao, objetivo 2 de Geometra: 2 - Reconocer
forma,
elementos, caractersticas y nombre de tringulos, cuadrados y
rectngulos
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(Ministerio de Educacin Pblica, 2005a: 124). En este momento, se
especifica el
estudio de las caractersticas de las figuras Identificacin de
los elementos y
caractersticas del tringulo, el cuadrado y el rectngulo, y las
semejanzas y
diferencias entre estos (Ministerio de Educacin Pblica, 2005a:
124).
Se retoman las caractersticas de los cuadrilteros en el programa
de tercer ao.
All se estudian los polgonos convexos y se seala entre los
procedimientos lo
siguiente: Identificacin de las caractersticas de tringulos y
cuadrilteros, sus
semejanzas y diferencias (Ministerio de Educacin Pblica, 2005a:
149).
Por lo tanto, en el primer ciclo de la Educacin General Bsica se
trabajan los
cuadrilteros a partir de sus caractersticas ms evidentes:
cantidad de lados y
convexidad. Ambos elementos corresponden nicamente a la forma de
la figura y
es en el segundo ciclo que se hace ms profundo el estudio de las
diferentes
figuras.
En el programa de cuarto ao se anota 3 - Caracterizar los
cuadrilteros
considerando su clasificacin, el paralelismo que presentan sus
lados y la medida
de sus ngulos internos (Ministerio de Educacin Pblica, 2005b:
141). Como
parte de los contenidos para desarrollar este objetivo se hace
la siguiente
mencin: Caractersticas de los cuadrilteros (base, altura, lados,
ngulos
internos, diagonales, ejes de simetra) y clasificacin en
paralelogramos
(cuadrado, rectngulo, rombo y romboide) y no paralelogramos
(trapecio y
trapezoide) (Ministerio de Educacin Pblica, 2005b: 141). En ese
objetivo y
contenido se desarrolla el estudio de las caractersticas de los
cuadrilteros en
general. Es a partir de este momento que se habla de la
clasificacin de los
cuadrilteros segn sus caractersticas.
El trabajo con las caractersticas de las figuras puede ser un
tema atractivo para
las y los estudiantes, pues permite desarrollar actividades que
requieran
creatividad y el uso de su ingenio y visin geomtrica como parte
de su actividad
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de aula. Estas actividades se fundan en las sugerencias que
propone el mismo
programa de estudios oficial para la EGB.
Las actividades y situaciones que se diseen tienen que
enfocarse
hacia la comprensin, asimilacin e interiorizacin de conceptos de
lamatemtica, a partir de la manipulacin que el nio y la nia hagan
delos materiales o recursos didcticos; pero recordando en todo
momento,que estos son medios que coadyuvan a la construccin y
reconstruccinde conceptos, y nunca un fin en s mismos (Ministerio
de EducacinPblica, 2005b: 18).
El uso de actividades que se centren en procesos y habilidades
cognitivas se
enmarcar en las solicitudes que las autoridades educativas hace
a los y las
docentes.
Una actividad importante para el desarrollo del pensamiento del
nio yla nia es la clasificacin, la cual se pone en juego al
observar eidentificar las propiedades que tienen los objetos. [] Al
iniciar eltrabajo con figuras geomtricas, el educando reconstruye
en gran parteel proceso evolutivo de la historia de la matemtica,
desde un procesode visualizacin de objetos, hasta la construccin y
reconstruccin deconceptos (Ministerio de Educacin Pblica, 2005b:
71).
Adems, si se agrega el componente computacional como un
ingrediente
adicional, los resultados pueden ser sorprendentes.
Por otra parte, los educadores y las educadoras que trabajen
este tema a fondo,
con el uso del laboratorio de computacin y alguna herramienta
tecnolgica que lo
permita, tendrn a su alcance no solo actividades llamativas,
sino posibilidades de
trasladar este tipo de actividades a la evaluacin.
Debido a que el currculo, las actividades y el conocimiento
matemticoque propugnan estos programas tienen una base conceptual,
laevaluacin no es una tarea simple ni reducida. El desarrollo
deestructuras conceptuales constituye un proceso a largo plazo;
lasestructuras conceptuales se desarrollan, elaboran, profundizan y
se vanhaciendo ms completas con el paso del tiempo. En
consecuencia, laevaluacin debe ser un proceso continuo. No puede
asumirse que unaexperiencia suelta de aprendizaje o de evaluacin
vaya a ofrecer uncuadro completo del desarrollo intelectual de los
estudiantes. La
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evaluacin debe intentar dar a todos los estudiantes la
oportunidad dereconocer sus capacidades, potencialidades y
limitaciones y de cmosuperar estas ltimas (Ministerio de Educacin
Pblica, 2005b: 105).
Como se indica, la evaluacin es una tarea continua y no slo
destinada a emitir
una calificacin. En este caso, se propone que las actividades
que se trabajen
permitan al docente usarlas tanto en la forma de pruebas
escritas como de
actividades de trabajo. Estas pueden realizarse en clase o extra
clase y existe la
posibilidad de que se usen para la evaluacin sumativa.
Para llevar a cabo este taller se propone retomar las ideas del
didacta francs
Alain Kuzniak. Segn l hay tres formas de capacitar de un
profesional en
educacin:
a) Los nios y futuros profesores parten de la misma situacin
inicial.b) La situacin que se le presenta a los adultos es
ligeramente ms
compleja pero se puede transferir fcilmente.c) La situacin que
se le presenta [a los docentes] podra transferirse
fcilmente a la escuela elemental (Kuzniak, 2003: 75).
Cada una de estas perspectivas presenta sus ventajas y sus
desventajas, algunas
para los y las docentes y otras para el estudiantado.
Tabla 1. Interpretacin de las hiptesis de Kuzniak (2003).
Situacin Ventajas Desventajas
a Es sencillo que el educador y la
educadora tomen conciencia del
procedimiento pedaggico seguido y lo
lleve directamente al aula.
Se corre el peligro de infantilizar a los y
las docentes y provocar una reaccin de
rechazo.
b El traslado al nivel de los y las estudiantes
de I y II ciclo no ser difcil.
Los contenidos podran ser muy bsicos
para sustentar los que deben ensearse.
c Es posible que la y el docente aprendan
conocimientos matemticos no triviales
que le permitan sustentar su enseanza;
esto enriquecer su acerbo matemtico.
Se corre el peligro de que el conocimiento
no llegue nunca a los y las estudiantes, ya
sea porque la y el docente no pudo
adaptarlo o porque lo adapt errneamente.
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Para este taller, se propone trabajar el primero de los esquemas
y cuidar que la
desventaja descrita no llegue a presentarse. Para esto se
proyecta trabajar con la
funcin evaluativa que los y las docentes deben cumplir y centrar
all la
culminacin del proceso de taller.
Actividades del tal ler
1. Conociendo el GeoGebra
Para el desarrollo del taller se trabajar con el programa
GeoGebra
principalmente por las siguientes dos razones:
Es una herramienta informtica muy verstil y til para el
estudiantado y
docentes de Matemtica.
Es un software libre.
GeoGebraes un softwarede Matemtica que rene geometra, lgebra y
clculo.
Lo desarroll Markus Hohenwarter en la Universidad Atlntica de
Florida (Florida
Atlantic University) para la enseanza de matemtica escolar.
Al abrir el GeoGebra aparece una ventana en la cual se pueden
identificar cuatrosecciones: Barra de herramientas, Ventana de
lgebra, Zona grficay Campo de
entradas.
Captura de pantalla 1. Pantalla principal del GeoGebra.
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Guiando con el mouselos tiles de construccin (modos) de la Barra
de
herramientaspueden construirse figuras sobre la Zona grficacuyas
coordenadas
o ecuaciones aparecen en la Ventana de lgebra.
En el Campo de entradaso Campo de textopueden anotarse
directamente
coordenadas, ecuaciones, comandos y funciones que pasarn a
representarse en
la Zona grficaal ingresarse pulsando la tecla Enter.
Para el trabajo en este taller se har nfasis en la Zona grficay
el men de la
parte superior de la pantalla. Tambin se har referencia a la
Ventana de lgebra,
sin entrar en detalles sobre las ecuaciones de los objetos
geomtricos.
Antes de hacer construcciones se har un recorrido por las
diferentes opciones
que brinda el men del GeoGebra:
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2. Dibujando rectas, segmentos, ngulos y crculos
A. Utilizando el men de la parte superior de la pantalla
construya:
Una recta B
Otra recta DE que interseque a la recta anterior en un punto
C.
El segmento E
B. Abra una nueva ventana (en el men archivo) y dibuje:
Un segmento B de 5 unidades de longitud
Una recta perpendicular a B por B
El punto medio Mde AB
Un punto Cque no pertenezca a B
Una recta que contenga a C y sea perpendicular a B Una recta
paralela a AB
que contenga a C
C. Abra una ventana nueva y dibuje:
Un segmento B
Una circunferencia de centro A y radio AB.
Una circunferencia de centro B y 2 unidades de radio.
D. Abra una ventana nueva y dibuje:
Un ngulo BC
Un ngulo de 80
La bisectriz del ABC
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E. Abra una ventana nueva y dibuje:
Una recta B
Un punto Cque no pertenezca a B
El simtrico de Ccon respecto a B
3. Dibujando tringulos.
A. Abra una ventana nueva y dibuje:
Un tringulo cualquiera, dibujando primero sus vrtices y luego
sus lados
Un tringulo usando el menABC
Un tringulo equiltero usando el men
4. Dibujando cuadrilteros
A. Abra una ventana nueva y dibuje:
Un cuadriltero cualquiera ABCDdibujando primero sus vrtices y
luego
sus lados
Un cuadriltero cualquier usando el men
5. Dibujando polgonos regulares
A. Abra una ventana nueva y dibuje:
Un pentgono regular y un octgono regular usando el men
6. Para la segunda sesin se solicitar a los participantes en el
taller:
A. Llevar, si est dentro de sus posibilidades, material con el
que trabajan en sus
aulas como prcticas, exmenes o libros de texto que contengan
cuadrilteros
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que quisieran reproducir utilizando el GeoGebra,con la intencin
de incluir
figuras en los materiales que ellos producen.
Para la siguiente sesin se parte de la siguiente premisa: los y
las participantes
conocen las herramientas bsicas de GeoGebray tienen inters en
trazar algunas
figuras especficas.
Se solicitar al grupo que entregue los materiales que llevaron o
expongan sus
necesidades al inicio de la sesin. Si alguno o alguna tiene
inters por figuras que
no sean cuadrilteros, se atender por separado. El primer paso
ser el anlisis
del esquema:
Son claras las relaciones representadas?
Qu caractersticas de cuadrilteros especficos no se sealan?
Agrguelas.
Podra representar otras relaciones que no se encuentren en el
mapa?
Cmo puede ayudar estas caractersticas al trazo de los
diferentes
cuadrilteros?
Solicitar a los participantes que tracen las imgenes
correspondientes a los
siguientes ejercicios:
1. Utilizando tres cuadrados, un tringulo equiltero y un
rectngulo (puerta)
construir la figura adjunta. Esta casita cumple las siguientes
condiciones:
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a) El borde inferior de cada ventana debe estar a la misma
altura que el
borde superior de la puerta.
b) La puerta tiene la mitad de la altura de la casa (sin
considerar el techo).
c) La puerta debe estar a igual distancia de las ventanas.
d) El ancho de cada ventana debe ser la cuarta parte del ancho
de la casa.
Qu relacin hay entre el rea de cada ventana y el rea de la casa?
Y
entre el rea de cada ventana y el rea de la puerta?
Si el permetro del techo es 36 m, encuentre el permetro de los
cuatro
rectngulos.
2. Dibujar dos papalotes. Uno es un rombo y el otro es un
cuadriltero que
cumple las condiciones siguientes:
a) Las diagonales son perpendiculares entre s y una mide el
doble de la
otra.
b) La diagonal mayor biseca a la menor.
c) La diagonal menor divide a la mayor en dos partes tales que
una mide el
triple de la otra.
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Si en ambos cuadrilteros las diagonales miden 12 cm y 18 cm cul
es el
rea de cada uno?
3. Dibuje una bandera rectangular dividida en 8 secciones
triangulares como se
muestra en la figura adjunta. Las condiciones son las
siguientes:
a) El largo del rectngulo debe ser el triple del ancho.
b) Los vrtices de los tringulos deben ser los puntos medios de
los lados o
de las diagonales o vrtices del rectngulo.
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4. Realice el siguiente dibujo. Qu tipo de ejercicio podra
realizar con l?
a) Indique la medida de los siguientes ngulos:
DAE CAE DAB BAF
b) Indique el nombre del ngulo cuya medida se da a
continuacin:
60
105
150
165
c) Indique el nombre de dos ngulos agudos, dos obtusos y dos
rectos.
5. Dibuje las siguientes banderas utilizando el GeoGebray el
Paint. Considere
las siguientes caractersticas:
a) En la bandera de la Repblica Checa los vrtices del tringulo
deben serdos vrtices del rectngulo y el centro del rectngulo y las
franjas roja y
blanca deben tener igual ancho.
b) En la bandera del El Congo el ancho de la franja debe ser la
mitad del
ancho del rectngulo, los tringulos deben ser issceles.
Repblica Checa
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El Congo
Costa Rica
Un aspecto interesante del GeoGebraes que permite extraer
imgenes de l yusarlas en otros programas. Para esto es preciso
utilizar las herramientas del
men superiorArchivo, en la opcin Exporta. De esta forma puede
llevar sus
figuras al Word o a algn otro procesador de texto. Tambin puede
abrirlas con
algn manipulador de imgenes (Photoshop, Paintu otro similar) y
realizar
diferentes acciones con ellas.
Esta caracterstica del programa permite utilizar las imgenes del
programa en la
elaboracin de actividades, ejercicios o pruebas escritas.
Por otra parte, si se cuenta con la opcin del uso frecuente de
un laboratorio de
informtica, tambin pueden crearse actividades o evaluaciones con
el uso directo
del software, ya sea guardando los archivos propios del programa
o exportando
las construcciones como Hoja dinmica como pgina web.
En esta modalidad, se guarda el archivo como un archivo .html y
no es necesariotener el programa GeoGebrainstalado para ver la
construccin realizada. Es
necesario tener solamente algn navegador de Internet y el Java
instalado en su
mquina para acceder a la construccin de sus estudiantes y
verificar que cumple
las caractersticas deseadas.
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Suponga que sus estudiantes deben construir un cuadrado de 5 cm
de lado. Para
verificar que su construccin es adecuada es necesario que
algunos de los
segmentos que traz pertenezcan a rectas perpendiculares entre s,
que todos los
segmentos tengan la misma medida y que las otras caractersticas
propias del
cuadrado se cumplan a cabalidad. En un archivo dinmico, esto se
puede verificar,
pues es posible alterar la construccin para ver que la
construccin fue correcta o
no.
Referencias
Damin, A. et al. El uso de modelos dinmicos en la didctica de la
matemtica. En:
Revista Uno, revista de didctica de las Matemticas, volumen 24,
pp 62-77.
Hohenwarter, M. y Preiner J. (2009). Documento de Ayuda de
GeoGebra. Manual Oficial
de la Versin 3.2. Recuperado en febrero de 2010 desde:
.
Kuzniak, A. (1994). Las estrategias utilizadas para formar a los
maestros de primer grado
en Matemticas. En: La enseanza de las matemticas para alumnos de
2 a 12 aos:
herramientas para la formacin de profesores en Francia. De la
Comisin permanente
de los IREMpara la enseanza de las matemticas en la escuela
primarial
(COPIRELEM). Pars:ARPEME.
Kuzniak, A. (2003). La enseanza de la geometra en la formacin
inicial. En: La
enseanza de las matemticas para alumnos de 2 a 12 aos:
herramientas para la
formacin de profesores en Francia. Pars: ARPEME.
Ministerio de Educacin Pblica (2005a). Programa de estudio,
Matemtica I Ciclo. San
Jos: Editorial del Ministerio de Educacin Pblica.
Ministerio de Educacin Pblica (2005b). Programa de estudio,
Matemtica II Ciclo. San
Jos: Editorial del Ministerio de Educacin Pblica.
Villella, Jos (2001). Uno, dos, tres Geometra otra vez. De la
intuicin al conocimiento
formal en la EGB. Buenos Aires: Aique Grupo Editor S.A., serie
Carrera docente.
http://www.geogebra.org/help/docues.pdfhttp://www.geogebra.org/help/docues.pdf
